1

PEMODELAN KINEMATIKA SISTEM PENGARAHAN MISILDENGAN PERHITUNGAN GANGGUAN PADA LANDASAN

Moh. Imam Afandi*)

ABSTRACT

Kinematic modeling of missile aiming system has been done for a moving target with the

calculation of base disturbances, i.e roll, pitch and yaw disturbances. Kinematic modeling of missile

aiming system is made using Denavit-Hartenberg convention. The missile trajectory calculation will also

be explained without aerodynamic analysis. The kinematics of missile aiming system can be proved

mathematically with high precision to the predicted target although there is an occurrence of base

disturbances.

Keywords : kinematics, missile, roll, pitch, yaw, Denavit-Hartenberg convention, trajectory.

PENDAHULUAN

Sistem alat penembak sangat memerlukan sistematika pengarahan untuk menjamin

misil tepat pada sasaran. Sistem alat penembak ini biasanya banyak dipasang pada

kendaraan-kendaraan perang seperti pada kapal perang, kapal selam, tank, pesawat

tempur, dsb. Hal ini jelas mengakibatkan gerakan pada landasan alat penembak sehingga

sistematika perhitungan dari pengarahan misil akan menjadi sangat kompleks. Gangguan

pada landasan sistem ini biasanya disebabkan oleh gangguan luar. Sebagai contoh, kapal

mengalami gangguan landasan karena gelombang laut, tank mengalami gangguan

landasan karena medan yang tidak rata, kapal selam mengalami gangguan landasan

disebabkan oleh arus bawah laut, pesawat mengalami gangguan landasan karena

turbulensi angin dan gerakan manuvernya sendiri. Gangguan landasan tersebut dapat

dikelompokkan menjadi 3 bentuk gangguan, yaitu gangguan roll, gangguan pitch dan

gangguan yaw. Gangguan roll merupakan gangguan yang mengakibatkan sistem menjadi

miring, gangguan pitch merupakan gangguan yang mengakibatkan sistem mengangguk,

sedangkan gangguan yaw merupakan gangguan yang mengakibatkan sistem berputar.

Ketiga bentuk gangguan tersebut akan mengakibatkan kesalahan pengarahan yang sangat

signifikan dalam sistem penembakan. Untuk mengatasi gangguan ini, salah satunya dapat

diselesaikan dengan menggunakan persamaan kinematika robotika. Persamaan

kinematika yang sering digunakan dalam menyelesaikan permasalahan robotika adalah

persamaan kinematika Denavit-Hartenberg. Selain itu, sistematika pengarahan misil ini

* PUSLIT KIM – LIPI, KAWASAN PUSPITEK SERPONG Gd. 420, TANGERANG 15314

2

juga memperhitungkan trayektori misil. Perhitungan trayektori misil dengan berbagai

karakteristik aerodinamikanya telah banyak dikemukakan oleh beberapa ahli(Lee et

al.,1999; Akcay, 2004; Akgul & Karasoy, 2005).

Dalam tulisan ini akan dibahas pemodelan kinematika sistem pengarahan misil

dengan memperhitungkan gangguan pada landasan menggunakan konvensi persamaan

Denavit-Hartenberg. Selain itu, trayektori misil juga diperhitungkan dalam pemodelan

ini, namun dibatasi tanpa memperhatikan faktor aerodinamikanya. Hal ini bertujuan

untuk memudahkan perhitungan dan mempercepat respon sistem secara real time.

DASAR TEORI

Untuk menyelesaikan permasalahan kinematika, harus mempunyai pengetahuan

dasar mengenai matrik transformasi homogenous(Selig, 1992). Selanjutnya, penyelesaian

permasalahan kinematika dari suatu sistem dapat diselesaikan dengan menggunakan

konvensi parameter Denavit-Hartenberg(Sciavicco & Siciliano, 1996). Konvensi ini

dapat dijelaskan dengan beberapa langkah. Langkah pertama adalah menentukan lokasi

sendi dengan menamakan sumbu sendi Z0 . . . Zn-1 dengan n = jumlah sendi, serta

menyesuaikan sumbu X0 dan Y0 seperti yang diberikan pada Gambar 1.

Gambar 1. Koordinat Sumbu Sendi

Selanjutnya pada langkah kedua, menentukan lokasi titik asal Oi pada

perpotongan Zi-1 dengan keadaan bidang normal ke Zi-1 dan Zi seperti yang diberikan

pada Gambar 2. Jika Zi-1 adalah paralel dan sendi i adalah sendi putar(revolute), yang

diilustrasikan dalam bentuk tabung, maka tentukan Oi sehingga di = 0. Namun jika sendi i

adalah sendi translasi(prismatic), yang diilustrasikan dalam bentuk kubus, maka tentukan

Oi pada posisi referensi dari sendi i - 1.

X0

Y0

Xn-1

Yn-1

Zn-1

..............

..

3

Gambar 2. Transformasi Link Konvensi Parameter Denavit-Hartenberg

Kemudian dengan tetap mengacu pada Gambar 2, pada langkah ketiga, adalah

menentukan sumbu Xi yang mempunyai garis normal terhadap sumbu Zi dan Zi-1 yang

mempunyai arah terhadap sendi i ke sendi i + 1. Langkah keempat, menentukan Yi

dengan kaidah tangan kanan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Langkah kelima,

menentukan tabel dari parameter lengan ai, di, αi dan θi dimana ai menyatakan jarak

sepanjang Xi dari Oi ke perpotongan Oi+1, sedangkan di menyatakan jarak sepanjang Zi-1

dari Oi-1 ke perpotongan Oi dan di merupakan variabel jika sendinya translasi(prismatic).

Selanjutnya αi menyatakan sudut antara Zi-1 dan Zi terhadap sumbu Xi yang nilainya

positif jika rotasi berlawanan arah jarum jam. Untuk θi menyatakan sudut antara Xi-1 dan

Xi terhadap sumbu Zi-1 yang nilainya positif jika berlawanan arah jarum jam dan juga

parameter θi merupakan variabel jika sendinya putar(revolute). Langkah keenam,

dilakukan dengan cara mensubstitusikan parameter ai, di, αi dan θi ke dalam persamaan

matrik transformasi homogeneous 1iiA seperti yang diberikan pada Persamaan (1).

Selanjutnya, dilakukan perkalian seluruh matrik transformasi homogeneous 1iiA

sehingga membentuk persamaan kinematika maju 101

0 ... nnn AAT , yang memberikan

posisi dan orientasi dari kerangka ujung terhadap kerangka dasar.

4

1000

cossin0

cos.sin.coscos.cossin

cos.sin.sincos.sincos

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

ii d

a

ca

A

untuk ni ,...,1 .......... ( 1 )

Hasil perkalian matrik homogeneous 0nT ini memiliki vektor-vektor yang relatif

terhadap sumbu utama yang dapat dijabarkan sebagai berikut :

1000

0

zzzz

yyyy

xxxx

n dasn

dasn

dasn

T ................................................... ( 2 )

dimana : n = vektor arah sumbu OnXn terhadap O0X0Y0Z0 (normal)

s = vektor arah sumbu OnYn terhadap O0X0Y0Z0 (sliding)

a = vektor arah sumbu OnZn terhadap O0X0Y0Z0 (approach)

d = vektor pergeseran On terhadap O0 (translasi)

Dari parameter-parameter tersebut di atas selanjutnya dapat diturunkan persamaan model

kinematika sesuai dengan sistem yang didisain .

Untuk perhitungan trayektori misil dimana faktor aerodinamikanya diabaikan,

maka dalam hal ini hanya gravitasi bumi yang mempengaruhi pergerakan misil. Oleh

sebab itu dapat diterapkan persamaan gerak trayektori parabola seperti yang diberikan

pada Gambar 3.

Gambar 3. Gerak Trayektori Parabola

Persamaan gerak trayektori parabola(Wikipedia, 2002) yang penting untuk diketahui

dalam perhitungan trayektori misil, antara lain :

5

Perhitungan sudut misil dalam kordinat kartesian,

xg

vyxggvv

.

)..2.(tan

20

240

201 ....................................................... ( 3 )

Perhitungan waktu tempuh misil,

g

y

g

v

g

vt

.2sinsin 200

................................................................... ( 4 )

dimana, 0v = kecepatan awal misil (m/s)

g = percepatan gravitasi (m/s2)

PEMODELAN KINEMATIKA SISTEM

Sistem pengarahan misil minimal menggunakan dua penggerak utama yaitu

penggerak azimuth(bearing/pen) dan penggerak elevasi(tilt). Sementara itu juga ada 3

bentuk gangguan pada landasan yang berupa gangguan roll, pitch dan yaw. Kemudian

dengan menggabungkan ketiga bentuk gangguan tersebut dengan dua penggerak utama

sistem, maka akan didapatkan kinematika sistem pengarahan dengan 5 derajad kebebasan

seperti yang diberikan pada Gambar 4.a. Kemudian untuk menghasilkan tabel konvensi

yang unik, maka sumbu koordinat setiap sendi ditentukan seperti yang diberikan pada

Gambar 4.b.

Gambar 4. a. Susunan Sendi Sistem Pengarahan Misilb. Susunan Sumbu Koordinat Sendi

O0

(b)(a)

O1

O2

O3

O4

Missile Aiming

Pitch

Roll

Azimuth

Elevasi

L

x2

y2

z2

z1

y1

y3

x3

z3

z4

x4

y4

x1

Yaw

z0

x0

y0

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

Dengan menerapkan langkah-langkah yang telah ditetapkan oleh konvensi

parameter Denavit-Hartenberg, maka dengan mengacu pada Gambar 4.b. akan

didapatkan hasil yang diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Parameter Denavit-Hartenberg Pada Sistem Pengarahan Misil

i Sendi ai αi di θi

1 Yaw 0 900 0 θ1

2 Pitch 0 900 0 θ2+900

3 Roll 0 900 0 θ3+900

4 Azimuth 0 900 L θ4+900

5 Elevasi 0 0 0 θ5

Data yang ditampilkan pada Tabel 1. dapat dijelaskan dengan cara sederhana,

misalnya pada sendi yaw, parameter a1 bernilai nol karena tidak jarak antara O0 dan O1

sepanjang sumbu xo. Sedangkan parameter α1 bernilai 900 karena terjadi perputaran

berlawanan arah jarum jam dengan sudut 900 dari z0 ke z1 jika dilihat dari sumbu x1.

Kemudian parameter d1 juga bernilai nol karena tidak ada jarak antara O0 dan O1

sepanjang sumbu z0. Sedangkan untuk parameter θ1 adalah variabel karena merupakan

sendi putar(revolute). Parameter θ1 ini tidak ada penambahan konstanta sudut karena

sumbu xo dan sumbu x1 tidak membentuk sudut jika dilihat dari sumbu z0. Hal ini juga

berlaku sama pada sendi-sendi yang lain.

Selanjutnya data Tabel 1. tersebut dimasukkan ke dalam Persamaan (1) dan

hasilnya sebagai berikut ini :

1000

0010

0cos0sin

0sin0cos

11

11

01

A ,

1000

0010

0sin0cos

0cos0sin

22

22

12

A ,

1000

0010

0sin0cos

0cos0sin

33

33

23

A

1000

010

0sin0cos

0cos0sin

44

44

34 L

A

,

1000

0100

00cossin

00sincos

55

55

45

A

Kemudian dengan memisalkan cos ii c dan sin ii s untuk i = 1 ... 5, maka

didapatkan hasil perkalian matrik transformasi kinematika homogenous,

7

1000

0

zzzz

yyyy

xxxx

n dasn

dasn

dasn

T

dimana, 5313215421431321x )sss+cs(-c+)cccc+)scs+ss(-(cn

5313215421431321y )ssc-cs(-s+)cccs+)scc-ss-(s(n

532542432z scc+)ccs+ss(cn

5313215421431321x )css+cs(-c+)sccc+)scs+ss-(-(cs

5313215421431321y )csc-cs(-s+)sccs+)scc-ss-(-(ss

532542432z ccc+)scs+ss-(cs

421431321x scc+)ccs+ss(ca

421431321y scs+)ccc-ss(sa

42432z ss+cs-ca

)Lss+cs(-c 31321x d

)Lsc-cs(-s 31321y d

Ld 32z cc

Kemudian dengan melihat kembali pada Gambar 4.b, akan didapatkan bahwa

sistem pengarahan misil diwakili oleh koordinat sumbu x4 yang relatif terhadap sumbu

koordinat base Ooxoyozo. Sehingga matrik sudut pengarahan misil dengan gangguan

landasan direpresentasikan oleh kolom pertama dari hasil kali perkalian matrik

transformasi homogenous,

θ1 θ2 θ3 0 →

532542432

5313215421431321

5313215421431321

scc+)ccs+ss(c

)ssc-cs(-s+)cccs+)scc-ss(-(s

)sss+cs(-c+)cccc+)scs+ss(-(c

Z

Y

X

sehingga untuk mengatasi kesalahan sudut pengarahan yang terjadi, dapat dipakai sudut

referensi pada masing-masing penggerak sebagai berikut :

Sudut referensi penggerak azimuth = XYTanArc ,2.44 , dan

Sudut referensi penggerak elevasi = 2255 ,2. YXZTanArc

8

Kemudian hal yang paling penting dalam suatu penembakan yang efektif adalah

sistem dapat diperbolehkan menembak jika sasaran berada di dalam jangkauan

penembakan. Pada sasaran yang bergerak juga diperlukan data posisi untuk setiap waktu

sebagai dasar pengambilan keputusan dalam menentukan prediksi sasaran dengan tepat.

Misalkan posisi sasaran diwakili oleh koordinat ruang (xs, ys, zs) yang relatif terhadap

sumbu koordinat Oo. Selanjutnya koordinat posisi sasaran ini ditransformasikan ke dalam

posisi sasaran trayektori parabola misil,

22ss yxx , szy ............................................ ( 5 )

Dalam perhitungan trayektori misil ini, banyak dilema yang ditemui dalam

penentuan sudut penembakan yang tepat pada sasaran bergerak. Hal ini disebabkan oleh

adanya 2 variabel yang belum diketahui dan saling ketergantungan. Variabel itu adalah

prediksi titik sasaran dan waktu tempuh yang sama antara misil dan sasaran untuk

menuju prediksi titik pertemuan.

Untuk memudahkan permasalahan tersebut, diasumsikan bahwa waktu tempuh

misil sangat cepat dan mengenai sasaran hampir mendekati nol, sehingga posisi prediksi

sasaran hampir sama dengan posisi sasaran yang terdeteksi. Selain itu, harus dipastikan

terlebih dahulu bahwa sasaran sudah berada dalam daerah jangkauan penembakan,

dengan persyaratan sebagai berikut :

20

2240 ...2. vygxgv ,

g

vy

.2

20 .................................. ( 6 )

Persyaratan ini didapatkan dengan menghindari nilai akar-akar yang tidak imajiner

pada Persamaan (3) dan (4). Selanjutnya dapat dihitung sudut pengarahan misil untuk

posisi prediksi sasaran menggunakan Persamaan (3). Kemudian, hasil sudut pengarahan

misil ini menjadi sudut referensi untuk penggerak elevasi, sedangkan sudut referensi

untuk penggerak azimuth dihasilkan dari sudut yang dibentuk oleh posisi xs dan ys

sasaran terhadap koordinat sumbu O0 pada Gambar 4.b.

Untuk membuktikan metode di atas, digunakan data-data sebagai berikut :

kecepatan awal misil (vo)= 1000 m/s, gravitasi bumi (g) = 9,8 m/s2, posisi sasaran berada

di koordinat (1000,1000,1000) dalam satuan meter, sudut gangguan roll 300, sudut

gangguan pitch 300, sudut gangguan yaw 300. Sehingga dengan menggunakan Persamaan

(5), akan diperoleh 2.141410001000 22 x , 1000y

9

Selanjutnya, dipastikan terlebih dahulu bahwa sasaran sudah berada dalam daerah

jangkauan penembakan dengan menggunakan Persamaan (6),

benar

vygxgv

1012

81220

2240

10.98.110

10.1969,19207631510...2. ,

benar

g

vy

33

63

20

10.5110

8,9.2

1010

.2

Setelah persyaratan dipenuhi, selanjutnya dapat dihitung sudut pengarahannya dengan

menggunakan Persamaan (3), sehingga diperoleh

4

81261

20

240

201

10.4.1

10.98.11010tan

.

)..2.(tan

xg

vyxggvv

4

461

10.4.1

10.9910tan 0

4

461 5,35

10.4.1

10.9910tan

dan diperoleh 05 5.35 , sedangkan 01

4 45)1000,1000(tan , sehingga

didapatkan matrik sudut pengarahan misil dengan gangguan landasan,

0.9719

0.232

0.0147-

scc+)ccs+ss(c

)ssc-cs(-s+)cccs+)scc-ss(-(s

)sss+cs(-c+)cccc+)scs+ss(-(c

532542432

5313215421431321

5313215421431321

Z

Y

X

kemudian, akan didapatkan

Sudut referensi untuk penggerak azimuth = XYTanArc ,2.44

= 45 + ( 45 - 93.61 ) = -3.610

Sudut referensi untuk penggerak elevasi = XYTanArc ,2.44

= 35.5 + ( 35.5 - 76.54 ) = -5.540

Cara lain yang paling mudah untuk membuktikannya adalah tanpa memberikan

gangguan landasan, yaitu dengan memberikan nilai θ1 = θ2 = θ3 = 0. Sehingga akan

diperoleh,

θ1 = θ2 = θ3 = 0 →

5

54

54

0

0

0

s

cs

cc

Z

Y

X

Dengan melihat persamaan matrik sudut pengarahan tanpa gangguan, maka hasil

persamaan sudut referensi untuk penggerak elevasi akan didapatkan hasil yang sama

dengan sudut gerak trayektori misil ( 5 ). Hasil yang sama juga akan didapatkan pada

sudut referensi untuk penggerak azimuth dengan sudut 4 .

10

KESIMPULAN

Secara matematis telah dapat dibuktikan bahwa pemodelan kinematika

menggunakan persamaan Denavit-Hartenberg ini mampu memberikan sistem

pengarahan misil yang tepat pada prediksi sasaran walaupun terjadi gangguan pada

landasan yang berupa gangguan roll, pitch dan yaw. Penyelesaian sistem pengarahan

misil dengan menggunakan pemodelan kinematika ini masih belum memperhitungkan

faktor aerodinamika yang bekerja pada misil, padahal pada kenyataannya, gerak

trayektori misil ini merupakan gerak balistik yang banyak dipengaruhi oleh banyak

faktor, seperti koefisien drag, viskositas udara, arah dan kecepatan udara, kelembaban

udara, gesekan/hambatan udara, suhu udara, dsb. Sehingga masih perlu dilakukan

analisis perhitungan secara mendalam mengenai gerak aerodinamika misil supaya

mendapatkan hasil penembakan yang lebih tepat menuju sasaran.

SARAN

Hasil perhitungan matematis pemodelan kinematika ini masih perlu diuji secara

visual dengan menggunakan simulasi komputer sehingga sistem kinematika pengarahan

misil akan terlihat dengan jelas dapat mendekati sudut penembakan yang diinginkan

walaupun diberikan gangguan-gangguan pada landasan.

DAFTAR PUSTAKA

.... , 2002. Riffleman’s Rule & General Ballistic Trajectory, Wikipedia Organization.

Akcay, M., 2004. Development of Universal Flight Trajectory Calculation Method for Unguided Projectiles, Proceeding of Turkish Engineering, Environment and Science, 369-376.

Akgul, A. and Karasoy, S., 2005. Development of a Tactical Ballistic Missile Trajectory Prediction Tool, Journal of Electrical and Electronics Engineering, Vol. 5 No. 2.

Lee, Sou-Chen., Huang, Yu-Chao. & Liu, Cheng-Yu, 1999. Trajectory Estimation for Tactical Ballistic Missiles in Terminal Phase Using On-line Input Estimator, Proceeding of National Science and Council ROC, Vol. 23 No. 5 pp.644-653.

Sciavicco, L. & Siciliano, B., 1996. Modeling And Control of Robot Manipulators, McGraw Hill Companies, Inc, New York

Selig, J.M., 1992. Introductory Robotics, Prentice Hall International Ltd., UK.