Apresentação do PowerPoint · 2020-06-26 · 4 Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao...

MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES

01 SISTEMAS LINEARES

23/06/2020

2

QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES

3

SISTEMAS LINEARES

4

Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.

SISTEMAS LINEARES

5

Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.

A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.

SISTEMAS LINEARES

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Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)

Valor (R$)

Paula 10 min 6 min 2 min 12,20

Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40

André 8 min 5 min 5 min 14,70

SISTEMAS LINEARES

7

SISTEMAS LINEARESVamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para

telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente:

A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20

A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40

A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70

As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.

8

SISTEMAS LINEARES

As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum.

Vamos analisar por exemplo a equação:

EQUAÇÃO LINEAR

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SISTEMAS LINEARES

As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum.

Vamos analisar por exemplo a equação:

É uma equação de 1º grau.

Os três termos do 1º membro são de 1º grau.

O termo do segundo membro é de grau zero (independe de

qualquer variável).

Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.

EQUAÇÃO LINEAR

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SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,

x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:

11

SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,

x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

b é o termo independente;

12

SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,

x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:

x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;

a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;

b é o termo independente;

Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.

13

SISTEMAS LINEARES

Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.

14

SISTEMAS LINEARES

Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.

x + 2y = 3

Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).

x – y = 5

15

SISTEMAS LINEARES

Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.

x + 2y = 3

Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).

x – y = 5

2x – y +z – t = 0

Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).

x – 2y + t = 03x + y – 2z = 0

16

SISTEMAS LINEARES

Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.

2x + y = 3x – 2y = 05x + y = 0

2 1

1 –2

5 1A =

x

YX =

3

0

1B =

Matriz dos coeficientes

Matriz das incógnitas

Matriz dos termos independentes

ATENÇÃO

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SOLUÇÃO DE UM LINEARES

x + y = 52x – y = 1

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que

satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

18

SOLUÇÃO DE UM LINEARES

x + y = 52x – y = 1

(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)2.2 – 3 = 1 (V)

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que

satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

19

SOLUÇÃO DE UM LINEARES

x + y = 52x – y = 1

(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)2.2 – 3 = 1 (V)

(3, 2) não é solução →3 + 2 = 5 (V)2.3 – 2 = 1 (F)

Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que

satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.

20

SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui

todos os coeficientes independentes nulos.

21

SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui

todos os coeficientes independentes nulos.

Num sistema linear homogêneo, todas as equações são

homogêneas (possui todos os coeficientes independentes

nulos).

22

SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui

todos os coeficientes independentes nulos.

Num sistema linear homogêneo, todas as equações são

homogêneas (possui todos os coeficientes independentes

nulos).

Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0,

0, ..., 0), chamada de trivial.

23

SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui

todos os coeficientes independentes nulos.

Num sistema linear homogêneo, todas as equações são

homogêneas (possui todos os coeficientes independentes

nulos).

Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0,

0, ..., 0), chamada de trivial.

Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da

trivial.

24

SISTEMAS LINEARES

O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0

Exemplo

25

SISTEMAS LINEARES

O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0

(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)–3.0 + 6.0 = 0 (V)

Exemplo

26

SISTEMAS LINEARES

O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0

(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)–3.0 + 6.0 = 0 (V)

(2, 1) também é solução →2 – 2.1 = 0 (V)–3.2 + 6.1 = 0 (V)

Exemplo

27

SISTEMAS LINEARES

Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas

soluções são chamados sistemas equivalentes.

2x + y = 5 x – y = 1

e

28

SISTEMAS LINEARES

Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas

soluções são chamados sistemas equivalentes.

2x + y = 5 x – y = 1

e x + y = 33x + y = 7

29

SISTEMAS LINEARES

Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas

soluções são chamados sistemas equivalentes.

2x + y = 5 x – y = 1

e x + y = 33x + y = 7

Ambos os sistemas são possíveis e determinados.

30

SISTEMAS LINEARES

Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas

soluções são chamados sistemas equivalentes.

2x + y = 5 x – y = 1

e x + y = 33x + y = 7

Ambos os sistemas são possíveis e determinados.

A solução é a sequência (2, 1).

31

Sistema linear

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

32

Sistema linear

Tem solução?

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

33

Sistema linear

Tem solução?

Não

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

34

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

35

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

36

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

37

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

38

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Apenas uma

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

39

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Apenas uma

Determinado (SPD)

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

40

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Apenas uma

Determinado (SPD)

Infinitas

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

41

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Apenas uma

Determinado (SPD)

Infinitas

Indeterminado (SPI)

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

42

Sistema linear

Tem solução?

Não

Impossível (SI)

Sim

Possível (SP)Quantas?

Apenas uma

Determinado (SPD)

Infinitas

Indeterminado (SPI)

Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e

determinado, possível e indeterminado ou impossível.

43

SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO

Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c,

em que a e b são simultaneamente não nulos, definem uma

reta. A solução de um sistema linear de duas equações a duas

variáveis corresponde aos pontos comuns às retas

relacionadas a essas equações.

44

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Exemplo

45

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,

Exemplo

46

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7

Exemplo

47

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12

Exemplo

48

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3

Exemplo

49

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3

→ y = 3.3 – 5 → y = 4y = 3x – 5

Exemplo

50

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3

→ y = 3.3 – 5 → y = 4

Solução (3, 4)y = 3x – 5

Exemplo

51

SISTEMAS LINEARES

3x – y = 5x + y = 7

Na 1ª equação, y = 3x – 5.

Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12

Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é

chamado sistema possível e determinado (SPD).

→ x = 3

→ y = 3.3 – 5 → y = 4

Solução (3, 4)y = 3x – 5

Exemplo

52

SISTEMAS LINEARES

Veja a interpretação gráfica do sistema3x – y = 5x + y = 7

53

SISTEMAS LINEARES

x

y

O

Veja a interpretação gráfica do sistema3x – y = 5x + y = 7

r2

3

4r1

Retas concorrentes

54

55

56