View
28
Download
4
Category
Tags:
Preview:
DESCRIPTION
A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?) Lov á sz L á szl ó Eötvös Loránd Tudományegyetem , Budapest lovasz@cs.elte.hu. Szemerédi Regularit ási Lemma. Szemerédi Endre 1974. Szemerédi Regularit ási Lemma. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
2012. November 6.
A Szemerédi Regularitási Lemma (közérthetően?)
Lovász László
Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest
lovasz@cs.elte.hu
1
Szemerédi Endre 1974
2012. November 6. 2
Szemerédi Regularitási Lemma
2012. November 6. 3
Szemerédi, E.: On sets of integers containing no four elements in arithmetic progression. Acta Math. Hung. 20 (1969) 89–104.
Szemerédi, E.: On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression, Acta Arith. 27 (1975), 199–245.
Ruzsa, I. Z.; Szemerédi, E.: Triple systems with no six points carrying three triangles. Combinatorics (Proc. 5th Hung. Colloq., Keszthely, 1976), 939–945.
Szemerédi, E.: Regular partitions of graphs, Probl. Combin. et Théorie des Graphes, (Colloq. Internat. CNRS, Orsay, 1976); 399–401.
Szemerédi Regularitási Lemma
2012. November 6. 4
Az Erdős-Turán probléma
rk(n) = max(|A|: A{1,...,n}, A nem tartalmaz
k tagú számtani sorozatot}
Erdős-Turán sejtés (1936): minden k-ra,
rk(n)/n 0
k=3: Roth 1953k=4: Szemerédi 1969 k>4: Szemerédi 1975
12012. November 6. 5
Kis gráf (hálózat)
22012. November 6. 6
Nagy gráf
32012. November 6. 7
Nagyon nagy gráf
G
0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 00 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 11 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0
AG
WG
A Lemma képekben
2012. November 6. 8
2012. November 6.
A Lemma képekben
9
ha megfelelően rendezzüka csúcsokat
véletlenszerű
2012. November 6.
A Lemma képekben
10
2012. November 6.
A Lemma
Minden gráf csúcsai beoszthatók
kevés számú
lényegében egyforma osztályba
úgy, hogy
a legtöbb osztály-pár közötti páros gráf
véletlenszerű
(különböző sűrűséggel)..≤ k2 kivétellel
XVi,YVj
X és Y közötti élek száma pij|X||Y| ± (n/k)2
Adott >0
22
21 12 }ke e
£ £N
különbség ≤1
11
2012. November 6.
A Lemma
Eredeti Regularitási Lemma Szemerédi 1976
“Gyenge” Regularitási Lemma Frieze-Kannan 1999
“Erős” Regularitási Lemma Alon-Fisher-Krivelevich -M.Szegedy 2000Tao 2006L-B.Szegedy 2007
12
2012. November 6.
Elhagyási Lemma
Következményei: Erdős-Turán probléma k=3 esete
Háromszögmentesség tesztelhető
>0 ’>0
háromszögek száma ’n3
elhagyható n2 él úgy, hogy ne maradjon háromszög.
Ruzsa - SzemerédiAz 1/' érték ,,csak”
log(1/) magas torony
Fox 2010
13
2012. November 6. 14
Elhagyási Lemma
X
2012. November 6.
A Lemma, mint általános séma
Nagy, bonyolult struktúra
egyszerűstruktúra
véletlenszerűmódosítás
(kis)hiba
megérthetőleirható, kezelhető
nagy számoktörvényealkalmazható
becsülhető
15
2012. November 6.
A Lemma, mint általános séma
16
Ritka gráfok Kohayakawa, Rödl, Łuczak, Scott, ...
Hipergráfok Frankl, Rödl, Skokan, Schacht, Gowers, ...
Abel-csoportok Green, Tao, Szegedy
Permutációk Cooper, Kohayakawa, ...
Boole-függvények Green, Mossel, Schramm, ...
Kategóriák L
...
2012. November 6.
A Lemma más megfogalmazásban
- adjacencia-mátrix kis rangú közelítése
- 2-változós függvény közelítése
lépcsősfüggvénnyel
- sorfejtés Hilbert-térben
- gráf-limeszek terének kompaktsága
- pontok hasonlóságának (majdnem) véges
dimenziója
17
2012. November 6.
A ,,gyenge’’ Lemma
1,..., kV V
pij: Vi és Vj közti élsűrűség
S
2
,ij i j
i j
p S V S V neÇ Ç ±åS-beli élek száma:
18
21/2k e£
2012. November 6. 19
S
2( [ ]) ( '[ ])E G S E G S ne- £
G’: a Vi és Vj közötti éleketvéletlenül behúzott
élekkel helyettesítjük
A Megszámlálási Lemma
Megszámlálási Lemma: G-ben és G’-ben minden,,kis’’ részgráfnak kb. ugyanannyi példánya van
2012. November 6.
Sorfejtés Hilbert térben
1 2
1
1
0
0
2
1
, ,... nem üres,
1
...,
1, ...
i i
m m
f
g f f f
f
n
f f g
n
n
f
g
f f f
m
K
K
K K H H
R
+
" Í "
$ + + +
$ £
Î
Î - -
Î
" - - £
" ³
×
:
{ }1 2
,,gyenge''
: ( ) ( ) mátrixok, ..
Lemma
. 1S SV G V GH K K ´´ = =
Þ
=
20
{ }2: ( ) ( ) mátrixok, 2 csupa-1 blokk
eredeti Lemma
i
iV G V GH K´ = £
Þ
i: i-edfokú polinomok, intervallumok, ...???
2012. November 6.
Approximáció lépcsősfüggvénnyel
,,Gyenge’’ Lemma: [ ] [ ][ ] [ ]
2
2 lépcsőj
: 0,1 0,
1melyr
ű : 0,
e .log
1
1
0,1
1
k U
W k
U Wk
- £
®
" ® " ³
$
W
21
vágásnorma, vagy LL1 operátornorma, vagy Neumann-Schatten norma
ha megfelelően rendezzüka csúcsokat
véletlenszerű
2012. November 6.
A Lemma képekben
22
2012. November 6.
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]2 2
0
2
0
1
1
0 0
' 0,1 0,1 , lépcsőjű : 0,1
, ,. 1
mely
.. 0 : 0,1 0
0,1
re ' és '
,1
.k
W
W k k U
W W U W
ke
e
e
e
$ Î ® $ £
" > "³
-
®
£
®
- £
$
W
23
Approximáció lépcsősfüggvénnyel
,,Erős’’ Lemma:
2012. November 6.
sim : E P ( , ) P (, ) , )( v u wsu E uv E tw E wv Ed s t = Î Î - Î Î
st
v
wu
Reprezentatív halmaz:
s,tU, dsim(s,t) >
legtöbb v csúcsra, dsim(U,v)
Geometriai változat
24
Hasonlósági távolság: L-Szegedy B.
2012. November 6.
Voronoi diagramm= gyenge regularitási partíció
25
Geometriai változat
2012. November 6.
Minden gráfban van elemű
reprezentatív halmaz.
Alon
A hasonlósági távolságra nézveminden gráf
,,majdnem’’ véges dimenziójú.
2
1og
1exp lO
ee
æ ö÷ç ÷ç ÷çæ ö÷ç ÷ç ÷ç øøè è ÷
26
Geometriai változat
2012. November 6. 27
Algoritmus
Alon, Duke, Lefmann, Rödl, Yuster 1994
Frieze, Kannan 1999
A regularitási partíció polinomiális időben
kiszámítható.
2012. November 6. 28
Algoritmus
L- Szegedy B.
Egy reprezentatív halmaz konstans időben
kiszámítható.
2012. November 6.
És végül...
29
2012. November 6.
Analytic version 2. Distance of graphs
'2, ( )
| (( , '
, ) ( , ) |ma) x G G
S T V G
e S T e S TG
nd GX Í
=-
(a) V(G) = V(G')
(b) |V(G)| = |V(G')|
'
* min ( , '( , ') )G G
d GG G GX Xd«
=
(c) |V(G)| =n, |V(G')|=m
(blow up nodes, or fractional overlay)
cut distance
( , ')G GXd
30
2012. November 6.
Analytic version 2. Distance of graphs
24/and with 2 nodes
such that ,
0
( ) .
G
H
H
GX
e
d e
e" " > $ £
£
“Weak" Regularity Lemma (approximation form):
31
2012. November 6.
Analytic version Graphons
t(F,WG) = t(F,G): Probability that random map
V(F)V(G) preserves edges
W0 = {W: [0,1]2 [0,1], symmetric, measurable}
( ) ( )[ , ]
( ,( , ) )0 1
i jV F ij E F
W x x dxt F WÎ
= Õò
"graphon"
32
2012. November 6.
Analytic version 2. Distance of functions
:[0,1] [0,1]measure preserving
( , ) infW WU U
X
'( , ') ( , )G GG G W WX Xd d=
, [0,1]sup
S T S T
W W
X
33
2012. November 6.
Counting Lemma Subgraph densities
(Can be defined for weighted graphs G)
t(F,G): Probability that random map V(F)V(G) preserves edges
If □(G,H) is small, then G and G’ are similar in many other respects...
|t(F,G) - t(F,H)| |E(F)| □(G,H)
34
Recommended