View
793
Download
13
Category
Tags:
Preview:
Citation preview
الله بسمالرحمن الرحيم
CE 150 1
MECH326Fluid Mechanics(2)
S.A. AbushoushaDept. of Mechanical Engineering
Omdurman Islamic University
2011 SEPTEMPER 2
Dimensional Analysis and Modeling التحليل
والنمذجة البعدي
CE 150 3
Objectivesاالهداف
• Understand dimensions, units, and dimensional homogeneity
البعدي والتجانس والوحدات االبعاد معرفة• Understand benefits of dimensional
analysisالبعدي • التحليل اهمية معرفةريلي • نظرية استخدام معرفة
• Know how to use the method of repeating variables
بكنجهام • نظرية استخدام المتغيرات (معرفة)المتكررة
CE 150 4
OUTLINE OF THE LECTURE
المحاضرة • واهداف عامة مقدمةالبعدي • التحليل اهميةوالتجانس • واالبعاد الوحداتالبعدي • التحليل نظريات اهمومساوئه • ريلي نظريةبكنجهام • نظريةوتمهيد • للمحاضرة تلخيص
التشابه لمحاضرةاالسئلة •الطالب • تساؤالترؤساء • من الحضور استالم
المجموعاتCE 150 5
Introduction مقدمة
ميكانيكا • في المسائل معظم حلولتحليلية بيانات الي يحتاج الموائع
وتجريبيةالباب • هذا في نتناول سوف
تصميم في المستخدمة التقنياتبين العالقة وايجاد التجارب
المختلفة المتغيراتنجري • كيف بدراسة سنقوم
النمذجة او المعملية التجاربخارج المتشابهة الظواهر لتوصيف
المعامل
6
Introduction
• The solutions to most fluid mechanics problems involving real fluids require both analysis and experimental data
• In this section, we look at the techniques used in designing experiments and correlating data
• Specifically, we will learn how laboratory experiments (or models) can be used to describe similar phenomena outside the laboratory
CE 150 7
Dimensional Analysis Example
• Consider an experiment that investigates the pressure drop in an incompressible Newtonian fluid flowing through a long, smooth-walled circular pipe
• Based upon our “experience”, the pressure drop per unit length is
CE 150 8
),,,( VDfpp
الضغط • هبوط اليجاد تجربة اعتبرسطح ذو انبوبة في نيتوني لمائعفي المقطع دائرية ناعم داخلي
انضغاطي ال جريانالعالقة • ان نجد الخبرة خالل من
يلي كما تكون
CE 150 9
),,,( VDfpp
البد ) ( • الدالة العالقة طبيعة لمعرفةعلي متغير كل عالقة ايجاد منالمتغيرات باقي تثبيت بعد حدة
10
البيانية • الرسمات هذة من يتضحمن قراءات عشرة الي نحتاج اننانحصل لكي متغير لكل تجربة كل
لبقية وكذا االول المخطط عليتجربة لمائة تحتاج اي المتغيرات
الكلية العالقات علي للحصول
CE 150 11
Dimensional Analysis Example• To determine the nature of this
function, an experiment could be designed which isolates and measures the effect of each variable:
CE 150 12
Experimental Testing and Incomplete Similarity
• One of the most useful applications of dimensional analysis is in designing physical and/or numerical experiments, and in reporting the results.
• Setup of an experiment and correlation of data.
• Consider a problem with 5 parameters: one dependent and 4 independent.
• Full test matrix with 5 data points for each independent parameter would require 54=625 experiments!!
• If we can reduce to 2 's, the number of independent parameters is reduced from 4 to 1, which results in 51=5 experiments vs. 625!!
Dimensions and Units والوحدات االبعاد
• Review مراجعةمثل • الفيزيائية الكمية يقيس البعد
والكتلة والزمن الطول– Dimension: Measure of a physical
quantity, e.g., length, time, massرقمية – كميات الي االبعاد تحويل الوحدات
مثل –(m( ,)sec( ,)kg)
– Units: Assignment of a number to a dimension, e.g., (m), (sec), (kg)
CE 150 14
7 Primary Dimensions: الوحدات االساسية• Mass الكتلة m (kg)• Length الطول L
(m)• Time الزمن t
(sec)• Temperature الحرارة درجة
T (K)
• Current التيار I (A)
• Amount of Light االضاءة كميةC (cd)
• Amount of matter المادة كميةN (mol)
CE 150 15
المشتقة غير االبعاد جميعمن من اشتقاقها يمكنالسبعة االساسية الوحدات
All non-primary dimensions can be formed by a combination of the 7
primary dimensionsExamples مثال
– / = الزمن المسافة السرعة{Velocity{ = }/Length Time = }{/L t}الزمن = / • المسافة الكتلة القوة•{Force{ = } /Mass Length Time = }
{/mL t2}
CE 150 16
Dimensional Homogeneity االتجانس
البعديفي • حد كل يعني البعدي التجانس
مشابه بعد له يكون ان البد معادلةلالخر
• Law of dimensional homogeneity (DH): every additive term in an equation must have the same dimensions
برنولي : • معادلة مثال• Example: Bernoulli equation
CE 150 17
– {p} = {force/area}={mass x length/time x 1/length2} = {m/(t2L)}
– {1/2V2} = {mass/length3 x (length/time)2} = {m/(t2L)}
– {gz} = {mass/length3 x length/time2 x length} ={m/(t2L)}
CE 150 18
قسمنا • اذا التجانس قوانين منمن بمجموعة الحدود جميع
الي المعادلة تتحول المتغيراتبعدية
Given the law of DH, if we divide each term in the equation by
a collection of variables and constants that have the same dimensions, the equation is rendered non dimensional
CE 150 19
Methods of Dimensional Analysis
البعدي • للتحليل طرق عدة يوجد• There are many methods of
dimensional analysis. االقدم • وهي ريالي طريق
• Rayleigh’s Indicial method – oldest method
وسوف • االشهر وهي باكنجهام طريقةالفصل هذا في نستخدمه
• Buckingham theorem – most famous method
L. M. Lye DOE Course 20
وهي • مير ورايت هنساكر طريقةاالسرع
• Hunsaker and Rightmire’smethod – quick method
المصفوفات طريقة• Matrix Method • الصحيح التعريف تعتمد الطرق هذه كل
في الموثرة الفيزيائية العوامل لكلالعملية
• All methods are absolutely dependent on the correct identification of all the factors which govern the physical events being analyzed.
CE 150 21
Rayleigh’s method
• Consider a problem involving a scale model test of a hydraulic machine. The thrust force F, velocity v, viscosity and density of the fluid is given including a typical size of the system, L, is also given.
الختبار • نموزج يتضمن مسألة اعتبرهيدروليكية المتغيرات الة تتضمن
الدافعة القوة V والسرعةF التاليةوكذلك ρوالكثافة µواللزوجة معطاة
للنظام الحقيقية Lاالبعاد
L. M. Lye DOE Course 22
• Two questions must be posed, namely:سؤالين • علي االجابة من البد
– How to analyze or plot the data in the most informative way, and
– بشكل البيانات نمثل او نحلل كيف االولوجلي واضح
– How to relate the performance of the model to that of the working prototype.
واالصل – النموزج بين العالقة نوجد كيف الثاني
CE 150 23
Solution
• Let’s postulate that the force F is related to the other given quantities:
• في دالة القوة ان اعتبراالخري المتغيرات
[1] F = f [, v, , L]
L. M. Lye DOE Course 24
• The form of the function is completely unknown, but it has been proposed earlier that:
بالكامل • معلوم عير الدالة شكلولكن
– The function must be in the form of a power product
مضروب – شكل في يمكن الدالةلالسس
– There must be a dimensional balance between both sides of the equation للطرفين بعدي تجانس
CE 150 25
• From [1], the equation maybe rewritten as: كتابة يمكن المعادلة منمايلي[2] F = K [a , vb ,c , Ld] يساوي ان البد اليسر الطرف في االبعاد
االيمن• So obviously, for dimensional
homogeneity, the dimensions on the LHS must equal those on the RHS.
• Expressing each quantity in [2] in terms of its dimensions,
ابعاد • شكل في المتغيرات عن عبر• MLT-2 = K[ (ML-3)a (LT-1)b (ML-1T-1)c Ld]• Equating the indices for M, L, and T,• M: 1 = a + c• L: 1 = -3a + b - c + d• T: -2 = -b - c or 2 = b + c
L. M. Lye DOE Course 26
فقط • واربع 3لدينا معادالتنهائي حل يوجد ال مجاهيل
• Thus we have 3 equations but 4 unknowns, so a complete solution is not attainable.
جزئي • حل ايجاد فقط يمكن• We can only obtain a partial
solution. بداللة • السس كل عن cنعبر
• Let’s express all indices in terms of say c.
L. M. Lye DOE Course 27
• a = 1 – c• b = 2 – c• d = 2 – c• Substituting for a, b, and d
in[2]:بالتعويض• F = K [1-c v2-c c L2-c]
CE 150 28
• Or,او
• Since the function represents a product, it may be restated as: c
vLKLvF
22
L. M. Lye DOE Course 29
c
vLLvKF
22
cvL
KLv
F
22
L. M. Lye DOE Course 30
• Or as:
• Where: K and c are unknown and must be obtained by experimentation.
يمكن cو Kحيث • معلومتان غيرالتجربة من ايجادهما
• Key points to note from the above equation:
يلي • ما مالحظة يمكن– Two groups have emerged from the
analysis. If you check, it will be found that both groups are dimensionless.
التحليل – من عليهما تحصلنا المجموعتانالبعديتين لوجدتهما فحصتهما ولو
– Dimensionless groups are independent of units and of scale and are therefore equally applicable to the model or to the prototype
– من مستقلتان البعدية المجموعاتاسخدامهما ويمكن والقياس الوحدات
واالصل للنماذج
CE 150 31
قوتين – بين نسبة المجموعتين يمثلالقصور – قوة علي الدافعة القوةالزوجة / – قوة القصور قوة
– Both groups represent ratios of forces: thrust force/inertial force, and inertial force/viscous force.
L. M. Lye DOE Course 32
• All three fundamental dimensions are present. Therefore, if the model is to truly represent the prototype, then both model and prototype must conform to the law of dynamic similarity, i.e. the magnitude of each dimensionless group must be the same for the model as for the prototype.
اختيار • ولوتم كلها االساسية البعاد يوجدوعليه االصل تقارب بصورة النموزج
االصل بين التشابه قوانين تطبيق يمكنتكون الالبعدية والمجموعات والنموزج
لالثنين متساوية
CE 150 33
– The Raleigh indicial method is okay as long as the number of variables is small.
تكون – عندما تستخدم ريلي طريققليلة المتغيرات
CE 150 34
Another example• The velocity of propagation of a
pressure wave through a liquid can be expected to depend on the elasticity of the liquid represented by the bulk modulus K, and its mass density r. Establish by D. A. the form of the possible relationship.
• Assume: u = C Ka b
• U = velocity = L T-1, = M L-3, K = M L-1 T-2
• L T-1 = Ma L-a T-2a x Mb L-3b
• M: 0 = a + b• L: 1 = -a – 3b• T: -1 = - 2a
L. M. Lye DOE Course 35
• Therefore: a = ½ , b = -½, and a possible equation is:
• Rayleigh’s method is not always so straightforward. Consider the situation of flow over a U-notched weir.
• Q = f(, , H, g)• [Q] = [C a b Hc gd] [ ] =>
dimensions of
L. M. Lye DOE Course 36
K
Cu
• Using the M, L, T system,• [L3 T-1] = [ML-3]a [M L-1 T-1]b [L]c [L T-
2]d
• M: 0 = a + b (1)• L: 3 = -3a –b +c + d (2)• T: -1 = - b – 2d (3)
CE 150 37
We have only 3 equations, but there are 4 unknowns. Need to express a, b, c, in terms of d.
• b = 1 – 2d• a = -b = 2d -1• c = 3 + 3a + b – d = 1 + 3d• Q = C (2d-1) (1-2d) H(1+3d) g(d)
L. M. Lye DOE Course 38
dgHH
C
2
32
2
32
gH
H
Qor
•Buckingham Pi Theorem نظرية بكنجهام
فيها • معادلة هنالك كانت متغير kاذاتقليل يمكن بعديا متجانسين
الي مقدارها العالقات k – rقيمةمستقل البعدي ضرب حاصل
• If an equation involving k variables is dimensionally homogeneous, it can be reduced to a relationship among k – r independent dimensionless products,
CE 150 39
• where r is the minimum number of reference dimensions required to describe the variables.
• For example, the function of G can be written as ;
CE 150 40
• G(π1, π2, π3, ……., πk-r)=0 • Or • π1=G(π2, π3, π4, ……., πk-r)=0 • The dimensionless products are
frequently referred to as “pi terms”, and the theorem is called the Buckingham Pi Theorem.
CE 150 41
للتعبير باي الرمز بكنجهام يستخدمالالبعدية االعداد ضرب حاصل
•Buckingham used the symbol П• to represent a dimensionless
product, and this notation is commonly used.
CE 150 42
Comments on Dimensional Analysis
• Selection of variables اختيار طرقالمتكررة المتغيرا
– no simple procedure سهلة طريقة توجد الالفيزيائية – والقوانين الظواهر لمعرفة يحتاج
– requires understanding of the phenomena and physical laws
الشكل حسب تصنيفها يمكن المتغيراتوالتاثيرات المادة وخواص الهندسي
الخارجية– variables can be categorized by geometry,
material properties, and external effects
CE 150 43
• To summarize, the steps to be followed in performing a dimensional analysis using the method of repeating variables are as follows :
CE 150 44
Determining the Pi Terms
المتكررة • المتغيرات طريقة• Method of Repeating Variables:
المسألة • في المتغيرات بجميع قائمة حدد1) List all variables in the problem
االساسية االبعاد صيغة في المتغيرات جميع اكتب2) Express each variable in terms of basic dimensions
باكنجهام عدد حدد3) Determine the number of pi terms
االبعاد تساوي عادة وهي المتكررة المتغرات اختارالمسألة في الداخلة االساسية
4) Select a number of repeating variables that equals the no. of reference dimensions
CE 150 45
•Step 3 Determine the required• number of pi terms .
المطلوب • باي عدد حدد
CE 150 46
• Step 4 Select a number of repeating variables, where the number required is equal to the number of reference dimensions. (usually the same as the number of basic dimensions)
• بحيث المتكررة المتغيرات حدداالساسية لالبعاد مساوية تكونفي المتغيرات جميع في الموجودةالمسالة
CE 150 47
•Step 5 Form the pi term by multiplying one of the non repeating variables by the
product of repeating variables each raised to an exponent that
will make the combination dimensionless. اليجاد بضرب قم
غير المتغيرات من واحدة بايالمتغيرات ضرب بحاصل المتكررة
المتكررة
CE 150 48
• Step 6 Repeat step 5 for each of the remaining non repeating variables.
من • االنتهاء لحين العملية هذه كررالمتكررة غير المتغيرات جميع
نص حسب باي عدد تساوي وهيالنظرية
CE 150 49
• Step 7 Check all the resulting pi terms to make sure they are dimensionless.
كل • ان من للتاكد باي كل راجعالبعدية صيغة
CE 150 50
• Step 8 Express the final form as a relationship among the pi terms and think about what it means.
النهائي • شكلها في العالقة عن عبرتعني ماذا واستنتج
CE 150 51
• Basic dimensions االبعاد االساسية– usually use MLT or FLT القوة طريقة استخدمالكتلة او الزمن المسافة
الزمن المسافة– all three not always required جميع وجود بالضرورة ليس
االساسية االبعاد
CE 150 52
Comments on Dimensional Analysis
• Repeating variablesتكون • ان البد المتكررة المتغيرات عدد
االساسية لالبعد متساوية– number must equal the no. of reference
dimensions
االساسية – االبعاد جميع تضمين من البداغفالها وعدم المتغيرات في الموجودة
– must include all basic dimensions contained in variables
االبعاد – المتشابهة المتغيرات تختار ال– must be dimensionally independent of
each other
CE 150 53
• Pi termsولكن • ثابتة تكون ان البد باي عدد
قد المتكررة المتغيرات اختيارعلي تعتمد وهي مختلفة تكون
كثيرة ومسائل امثلة بحل الخبرة– number of terms is unique but form
of each term is not unique, since selection of repeating variables is somewhat arbitrary (unless there is only one pi term)
CE 150 54
Guidelines for choosing Repeating parameters
متكرر 1. كمتغير المستقل المتغير تختار الNever pick the dependent variable. Otherwise, it may
appear in all the 's.
البعدي 1. اصال الذي المتغير تختار الNever pick parameters that are
already dimensionless.
CE 150 56
CE 150 57
وبنهما 1. متاشيهة بابعاد متغيرين تختار الفقط االسس في اختالف
Never pick two parameters with the same dimensions or with dimensions that differ by only an exponent.
يظهر • ربما الزي العام المتغير اختارفي
كل •• كل
CE 150 58
باي 1. معادلة
2. Pick common parameters since they may appear in each of the 's.
المعقدة غير المتغيرات اختار1. Pick simple parameters over complex
parameters.
Dimensionless Groups in Fluid Mechanics
• Common groups given in Table 7.1– Reynolds number– Froude number– Euler number– Mach number– Strouhal number– Weber number
CE 150 59
Correlation of Experimental Data
التحليل • استخدام يمكنالتجربة ممع البعدي
بين العالقة لتحديد العمليةباي معادالت
• Dimensional analysis and experimental data can be used together to determine the specific relationship between pi terms
CE 150 60
• Problems with one pi term:
واحد – بباي تكون التي المسائل
– relationship is determined by dimensional analysis but constant must be determined by experiment
بالتحليل • العالقة تحديد يمكنبالتجربة والثابت البعدي
CE 150 61
(constant) 1 C
CE 150 62
CE 150 63
Nuclear Explosion Shock Wave
r f (E,,t)
The propagation of a nuclear explosion shock wave depends on: E, r, , and t
n = 4 No. of variablesr = 3 No. of dimensionsn – r = 1 No. of dimensionless parameters
Select “repeating” variables: E, t, and
Combine these with the rest of the variables: r
E r t
ML2
T-2
ML-3
L T
CE 150 65
5/15/25/15/15/25/1
1
322000
1
5
220:
5
13210:
0:
)()())((
)(
tE
RtRE
bbaT
acaL
accaM
MLTTMLLTLM
tErcba
cba
5/15/25/15/15/25/1
11 0)(
tECRCtER
CF
CE 150 66
5/12
Et
CR
kg/m3
R = (E/)1/5 t2/5
log R = 0.4 log t +0.2 log(E/
0.2 log(E/
E = 7.9x1013 J = 19.8 kilotons TNT
Blast Radius vs Time
log R = 0.4058 log t + 1.5593
1
2
3
-2 -1 0 1 2
log (t)
log(
R)
Dimensional Analysis in the Lab
• Want to study pressure drop as function of velocity (V1) and diameter (do)
• Carry out numerous experiments with different values of V1 and do and plot the data
5 parameters:p, , V1, d1, do
2 dimensionless parameter groups:P/(V2/2), (d1/do)
p1
p0
V1
A1
V0
A0
Much easier to establish functional relations with 2 parameters, than 5
P V1 d
1
d
2
ML-
1T-2
ML-3
LT-
1
L L
راجعة تغية
وفوائده • البعددي التحليل عرفاالبعاد • المتجانسة بالمعدلة نعني ماذا
في المستخدمة الطرق اهم ازكرالبعدي التحليل
والبعد • الوحدة بين مالفرقوالمشتقة • االساسية بالوحدة نعني ماذاباكنجهام • نظرية ماهيباكنجهام • نظرية خطوات ماهم ماهيوكيف • المتكررة بالمتغيرات نعني ماذا
عددها تبلغ وكم نختارها
CE 150 69
HOME WORK NO (1)
من )• المسائل من( 15الي 1حلدكتور تاليف الموائع ميكانيكا كتاب
حواس مراد مصططفيالالبعدية • المجموعات عن تقريرالمختلفة • القياس انظمة مراجعة
والعالمية البريطانيةنهاية • بعد القادم االربعاء يوم يسلم
المحاضرة والتاخير • النقل ممنوعالمتسلسل • والرقم اسمك اكتب
القائمة في كما الجديد
CE 150 70
المراجع •1. G.A. Kallio Dept. of Mechanical Engineering, Mechatronic
Engineering & Manufacturing TechnologyCalifornia State University, Chico
2. Eric Paterson Penn State, University Park August 2005
CE 150 71
Recommended