01 kalkulus 1 review 2016

Kalkulus-1 (Review)Hasdi radiles

Teknik Elektro – FST

UIN SUSKA RIAU 2016

Matrikulasi

• Bilangan

• Set

• Koordinat Cartesian

• Polinomial

10/10/2016 Hasdi – Kalkulus-1 2

Matrikulasi|Bilangan

• Hirarki


𝑁 = 1, 2, 3,⋯

𝑍 = ⋯ ,−1,0, 1, 2,⋯

𝑄 =𝑎𝑏

𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 ∧ 𝑏 ≠ 0

𝑅 = 𝑥 𝑥2 ≥ 0 Real

Rational

Integer

Natural

Quotient

Irrational


• Penulisan

Penulisan real

• Bilangan bulat, contohnya: … ,−3,−2,1, 0, 1, 2, 3, …

• Bilangan pecahan, contohnya: 1

2, 1

2

3,11

4,4

2

Penulisan desimal

• Bulat : 2.0 4.00

• Terminated: 2.25 4.5500 12.50

• Non-terminated:

• Berpola: 2.23232323 4.333333

• Tidak berpola: 2.3634212354 10.9128475



• Hukum operasi: Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑁, maka berlaku:

Komutatif (pertukaran posisi)

• Pada penjumlahan: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

• Pada perkalian: 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎

Asosiatif (pengelompokan)

• Pada penjumlahan: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

• Pada perkalian: 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐

Distributif (penguraian)

• 𝑎 + 𝑏 𝑐 − 𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 − 𝑏𝑑

Bilangan Invers

• Pada penjumlahan: 𝑎 + −𝑎 = 0

• Pada perkalian: 𝑎 × 1 𝑎 = 1


Matrikulasi|Set

• Definisi:

Set(Himpunan): kumpulan dari suatu objek (anggota), yang bisa jadi tidak berurutan, tetapi

tidak terjadi duplikasi.

Himpunan penyelesaian (HP): bilangan-bilangan yang memenuhi kriteria untuk

menyelesaikan suatu persamaan/pertidaksamaan

Universal set(ruang semesta): seluruh anggota yang menjadi objek dari suatu pengamatan,

dalam hal ini adalah set bilangan real, disimbolkan dengan U atau S

Null set (himpunan kosong): set tanpa anggota didalamnya, disimbolkan dengan ∅ atau

Nama dari suatu set dituliskan dengan huruf Kapital, sedangkan anggotanya dituliskan

dengan huruf kecil

Dua buah set A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika seluruh anggota A juga merupakan

anggota B


Matrikulasi|Set

• Notasi set pada domain bilangan Real:

Notasi Interval: menggunakan simbol 𝑎, 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏 ; −∞,∞ ; 𝑑𝑠𝑡

Garis Bilangan:

Set listing

Enumerating: A = 1, 2, 3, 4, 5

Ellipse : A = 1, 2, 3,⋯ , 100

Set builder

Model set builder 𝐴 = 𝑥 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑒𝑟𝑡𝑖 𝑥

𝐴 = 𝑥 1 ≤ 𝑥 < 10 ∪ 𝑥 > 15 , ∀ 𝑥 ∈ 𝑁 ∧ 𝑥 ≠ 4

Simbol domain set: =, ≤,<,>,≥,≠, ∈, ∀, ∉,∧,∨


𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓

Matrikulasi|Set

• Pertidaksamaan set

Sub-Set

• Subset: A ⊂ 𝐵 → set A merupakan bagian dari set B atau seluruh anggota A merupakan

sebagian anggota B

• Improper-subset: A ⊆ 𝐵 → set A merupakan bagian dari atau sama dengan set B.

Super-Set

• Superset: A ⊃ 𝐵 → Set A mengandung set B atau sebagian anggota A merupakan

seluruh anggota dari set B

• Improper-superset: A ⊇ 𝐵 → Set A mengandung atau sama dengan set B


Matrikulasi|Set

• Operasi set

Union (gabungan)

o 𝐴 ∪ 𝐵 : menghasilkan set baru dengan anggota seluruh set A dan set B

o 𝐴 = 1,2,3 ; 𝐵 = 2,3,4,5 ∴ 𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5

Intersection (irisan)

o 𝐴 ∩ 𝐵 : menghasilkan set baru dengan anggota: elemen set A tetapi juga elemen set B

o 𝐴 = 1,2,3 ; 𝐵 = 2,3,4,5 ∴ 𝐴 ∩ 𝐵 = 2,3

Complement

o 𝐴𝑐 : seluruh elemen universal yang bukan anggota dari set A

Difference (pengurangan)

o 𝐴 − 𝐵: seluruh elemen A yang bukan menjadi elemen B


Matrikulasi|Set

• Diagram Venn

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖

𝐴 ∩ 𝐵 = ℎ, 𝑖

𝐴 − 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐

𝐵 − 𝐴 = 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔

𝐴 ∩ 𝐶 = ∅

𝐵 ∩ 𝐶 =

𝐴𝑐 = 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘,𝑚, 𝑛

𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑗, 𝑘

𝐴 ∪ 𝐵 𝑐 = 𝑗, 𝑘,𝑚, 𝑛

𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, 𝑗, 𝑘,𝑚, 𝑛


𝑈

abc

𝐴

de fg

B

jk

𝐶

hi

mn

Matrikulasi|Koordinat Cartesian

• Definisi

• Terdiri dari 2 buah sumbu: 𝑥 dan 𝑦

• Kedua sumbu berpotongan pada titik origin

𝑂 0,0

• Terdiri dari 4 kuadran dengan karakteristik:

• Kuadran I : 𝑥, 𝑦

• Kuadran II : −𝑥, 𝑦

• Kuadran III : −𝑥,−𝑦

• Kuadran IV : 𝑥,−𝑦


−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒

−𝟐

−𝟑

−4

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝒙

𝒚

III

III IV


• Suatu Titik Koordinat

• Suatu titik dipetakan dengan penulisan 𝑥, 𝑦

• Dua Buah titik

• Jarak dua buah titik A dan B dapat dihitung sbb:

𝐷𝐴𝐵 = 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵2 + 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵

2

• Kemiringan garis A dan B dihitung sbb:

𝑚𝐴𝐵 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦𝐴 − 𝑦𝐵𝑥𝐴 − 𝑥𝐵

• Persamanaan garis lurus antara A dan B adalah:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐


−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒

−𝟐

−𝟑

−4

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝒙

𝒚

𝐴−3,−2

𝐵3,2


• Dua buah garis lurus

• Dua buah garis dikatakan sejajar jika:

𝑚1 = 𝑚2

• Dua buah garis dikatakan saling tegak lurus jika:

𝑚1 ×𝑚2 = −1

• Persamaan Lingkaran & Ellips

• Lingkaran dengan pusat 𝑎, 𝑏 dan jari-jari 𝑟:

𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2

• Ellips yang berpusat pada 𝑎, 𝑏 dengan semi-

mayor 𝑚 dan semi-minor 𝑛 adalah:

𝑥 − 𝑎 2

𝑚2+

𝑦 − 𝑏 2

𝑛2= 1


−𝟏−2−3−4 𝟏 𝟐 3 𝟒

−𝟐

−𝟑

−4

𝟏

𝟐

𝟑

𝟒

𝒙

𝒚

𝐴−3,−2

𝐵3,2

Matrikulasi|Polinomial

Persamaan Polinomial

Polinomial derajat-1 (linear)

• Bentuk umum : 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏; 𝑎 ≠ 0

• Akar polynomial: 𝑥 = − 𝑏 𝑎

Polinomial derajat-2 (kuadrat)

• Bentuk umum : 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎 ≠ 0

• Akar polynomial: 𝑥1,2 =−𝑏± 𝐷

2𝑎; 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐

• Sifat determinan 𝐷

• 𝐷 = 0; memiliki dua buah akar kembar

• 𝐷 > 0;memiliki dua buah akar yang berbeda

• 𝐷 < 0; tidak memiliki akar-akar real



Persamaan Polinomial

Polinomial derajat-n

• Bentuk umum:

𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0; 𝑎𝑛 ≠ 0

• Metoda pencarian akar: membagi dengan polynomial lainnya sehingga terbentuk

perkalian polynomial derajat-1 atau 2.𝑝 𝑥 = 𝑥6 − 1

Uji nilai 𝑥 sehingga 𝑝 𝑥 = 0 sehingga memiliki akar persamaan polinom.

𝑥 = 1 → 16 − 1 = 0 ∴ 𝑥 − 1 adalah salah satu akar polinom tersebut

𝑥 = −1 → −1 6 − 1 = 0 ∴ 𝑥 + 1 juga salah satu akar polinom tersebut

Sehingga kita dapatkan persamaan akhir:𝑝 𝑥 = 𝑥6 − 1 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥2 + 𝑥 + 1



Pertidaksamaan Polynomial

Bentuk umum:

𝐴 𝑥

𝐵 𝑥≤

𝐶 𝑥

𝐷 𝑥• Tanda ≤ dapat diganti dengan tanda pertidaksamaan lainnya: <,>, 𝑑𝑎𝑛 ≥

• 𝐴 𝑥 ;𝐵 𝑥 ; 𝐶 𝑥 ;𝐷 𝑥 ; merupakan polynomial

• Daerah asal (domain) dari pertidaksamaan memiliki syarat :

𝑥 𝑥 ∈ 𝑅, 𝐵 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝐷 𝑥 ≠ 0



Pertidaksamaan PolynomialContoh soal

𝑥 + 1

2 − 𝑥≥

𝑥

𝑥 + 3↔

𝑥 + 1

2 − 𝑥−

𝑥

𝑥 + 3≥ 0

𝑥 + 1 𝑥 + 3 − 𝑥 2 − 𝑥

2 − 𝑥 𝑥 + 3≥ 0 ↔

2𝑥2 + 2𝑥 + 3

−𝑥 + 2 𝑥 + 3≥ 0

2𝑥2 + 2𝑥 + 3 → 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓, 𝑠𝑒ℎ𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ℎ𝑎𝑛𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡

HP = 𝑥 −3 < 𝑥 < 2; ∀𝑥 ∈ 𝑅


-3 2

+ + + +– – – – – – – –

Fungsi

• Pendahuluan

• Operasi pada fungsi

• Fungsi Komposit

• Fungsi Genap & Ganjil

• Fungsi Inverse

• Fungsi Trigonometri

• Fungsi Eksponensial

• Fungsi Logaritma

• Nilai Absolute


Fungsi|Pendahuluan

• Definisi : hubungan antara sekelompok input dengan sekelompok output, dimana satu input dipasangkan hanya dengan satu output.

• Misalkan terdapat suatu fungsi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 makadituliskan dengan 𝑓 𝑥

• Sekelompok input (𝑥) disebut set domain disimbolkan 𝐷𝑓

• Sekelompok output (𝑦) disebut dengan set kodomain/range, disimbolkan 𝑅𝑓

• Fungsi: aturan memasangkan 1 input ke 1 output bukan sebaliknya.


𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4

𝐷𝑓 𝑅𝑓

Do

mai

n Ran

ge

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

𝑦1𝑦2𝑦3𝑦4

Bukan fungsi

Fungsi|Operasi pada fungsi

• Misalkan 𝑓 𝑥 ; 𝑔 𝑥 merupakan suatu fungsi, maka:

• Penjumlahan/pengurangan𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥

𝐷𝑓±𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅

• Perkalian:𝑓 × 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥

𝐷𝑓×𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ∀ 𝑥 ∈ 𝑅

• Pembagian:𝑓

𝑔𝑥 =

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥; 𝑔 𝑥 ≠ 0

𝐷𝑓/𝑔 = 𝑥 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ; 𝑔 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅


Fungsi|Fungsi Komposit

• Definisi:

• Fungsi komposit adalah fungsi dari suatu fungsi

• Analoginya: misalkan 𝑔 𝑥 adalah fungsi dari rice cooker dan 𝑓 𝑥 adalah fungsi daripenggorengan. Jika 𝑥 adalah beras dan 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 adalah nasi goreng, maka :

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥

𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 ≠ 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥


𝑔 ∙ 𝑓 ∙𝑥 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥𝑔 𝑥 𝑓 𝑔 𝑥

• Fungsi Genap

• Secara grafis suatu fungsi dikatakan genap jika simetris terhadap sumbu-y

• Suatu fungsi disebut fungsi genap jika dan hanya jika: 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥

• Contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥2

• Fungsi Ganjil

• Secara grafis suatu fungsi dikatakan ganjil jika simetris terhadap titik origin 0,0

• Suatu fungsi disebut fungsi ganjil jika dan hanya jika: 𝑓 𝑥 = −𝑓 𝑥

• Contoh: 𝑓 𝑥 = 𝑥3

Fungsi|Fungsi Genap & Ganjil


• Sudut Istimewa

Fungsi|Fungsi Trigonometri


𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑡𝑎𝑛 𝛼

0 0 1 0

30 12

12 3 1

3 3

45 12 2 1

2 2 1

60 12 3

12 3

90 1 0 ∞

• Pengetahuan Dasar

sin𝛼 =𝑦

𝑟cos 𝛼 =

𝑥

𝑟tan𝛼 =

𝑦

𝑥=

sin 𝛼

cos 𝛼csc 𝛼 = sin−1 𝛼 sec 𝛼 = cos−1 𝛼 cot 𝛼 = tan−1 𝛼

sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 →sin2 𝛼

cos2 𝛼+cos2 𝛼

cos2 𝛼= 1 + tan2 𝛼 = sec 𝛼

sin 𝛼 ± 𝛽 = sin𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin𝛽

cos 𝛼 ± 𝛽 = cos𝛼 cos 𝛽 ∓ sin𝛼 sin𝛽

tan 𝛼 ± 𝛽 =tan𝛼 ± tan𝛽

1 ∓ tan𝛼 tan𝛽



𝛼

𝑥

𝑦𝑟

• Hukum Trigonometri

𝐿𝑎𝑤 𝑜𝑓 𝑆𝑖𝑛𝑒𝑠:𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin𝛽=

𝑐

sin 𝛾

𝐿𝑎𝑤 𝑜𝑓 𝐶𝑜𝑠𝑖𝑛𝑒𝑠:

cos 𝛼 =𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2

2𝑏𝑐

cos 𝛽 =𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2

2𝑎𝑐

cos 𝛾 =𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2

2𝑎𝑏



𝛼

𝛽

𝛾

𝑎

𝑏

𝑐

• Definisi: Absolute value atau nilai mutlak merupakan bilangan real non-negative, sehingga dapatdidefinisikan sebagai berikut:

𝑥 = 𝑥2

• Tanda absolute pada suatu fungsi dapat dihilangkan dengan mengkonversi nilai fungsi sebagaiberikut:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 ≥ 0

−𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 < 0

• Contoh: berikan solusi pada fungsi berikut:𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≤ 0

𝑥2 + 4𝑥 ≤ 4 ↔ −4 ≤ 𝑥2 + 4𝑥 ≤ 4

𝑥2 + 4𝑥 + 4 ≥ 0 ∪ 𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≤ 0𝑥 + 2 2 ≥ 0 ∪ 𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≤ 0

Fungsi|Nilai Absolute


Limit & Kontinuitas

• Latar belakang

• Ilustrasi grafis

• Properti

• Metoda Perhitungan

• Kontinuitas

• Garis singgung


Limit|Latar-belakang

• Masalah: Ada kalanya suatu fungsi tidak terdefinisi

• Secara numerik: penyebab utama adalah nilai penyebut menjadi nol𝑃𝑒𝑚𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔

𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑏𝑢𝑡→ 𝑓 𝑥 =

𝑥2 − 4

𝑥 − 2

Fungsi di atas tidak terdefinisi ketika 𝑥 = 2

• Secara grafis:

fungsi tangga putus

𝑓 𝑥 =

𝑥2 + 4 𝑥 < −2𝑥 − 2 −2 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥2 − 4

𝑥 − 2𝑥 > 2

Fungsi di atas terputus pada 𝑥 = ±2


Limit|Latar-belakang

• Ide pemecahan: melihat konvergensi nilai 𝑓 𝑥 dari arah kiri dan kanan

• Limit kiri dari 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = 𝑏

• Limit kanan dari 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝑏

• Nilai fungsi 𝑓 𝑥 , notasi penulisan𝑓 𝑎 = 𝑏

• Limit 𝑓 𝑥 , notasi penulisan:lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑏 ↔ lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = 𝑏

Limit dari 𝒇 𝒙 dikatakan “ada” jika limit kiri dan kanannya sama ketika 𝒇 𝒂 “tidak ada”


Limit|Ilustrasi grafis


𝑎 𝑐

𝑓 𝑥

𝑥

𝑘

𝑗

𝑙

𝑏 𝑑

𝑖

𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙

𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝐴𝑠𝑖𝑚𝑡𝑜𝑡 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝑗

lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞

lim𝑥→𝑑−

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑑+

𝑓 𝑥 = 𝑙

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 = 𝑗

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑝𝑑 𝑥 = 𝑐

Limit|Ilustrasi grafis

lim𝑥→0

𝑓 𝑥 = 𝑡𝑑𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = 𝑘

• 𝑓 0 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = 𝑙

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = ∞

• lim𝑥→𝑎−

𝑓 𝑥 = ∞

• 𝑓 𝑎 = ∞

• lim𝑥→𝑎+

𝑓 𝑥 = ∞

lim𝑥→𝑏

𝑓 𝑥 = 𝑡𝑑𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→𝑏−

𝑓 𝑥 = 𝑙

• 𝑓 𝑏 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→𝑏+

𝑓 𝑥 = 𝑖

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑗

• lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝑗

• 𝑓 𝑐 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝑗

lim𝑥→𝑑

𝑓 𝑥 = 𝑙

• lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝑙

• 𝑓 𝑐 = 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎

• lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝑙

lim𝑥→∞

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑠𝑒𝑝𝑖ℎ𝑎𝑘

• lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 0

• lim𝑥→−∞

𝑓 𝑥 = 𝑗


Limit|Properti

• Misalkan lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 dan lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 ada, dan 𝑘 adalah konstanta, maka berlaku sifat limit:

1. lim𝑥→𝑎

𝑘𝑓 𝑥 = 𝑘 lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

2. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 ± lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

3. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 × 𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 × lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥

4. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥← lim

𝑥→𝑎𝑔 𝑥 ≠ 0

5. lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 𝑘 = lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥𝑘

6. lim𝑥→𝑎

𝑘 = 𝑘

7. lim𝑥→𝑎

𝑥𝑘 = 𝑎𝑘


Limit|Metoda Perhitungan

1. Konvensional:

Menghitung langsung nilai 𝑓 𝑥 untuk 𝑥 sehingga mendekati nilai limitnya

𝑓 𝑥 =𝑥2 − 1

𝑥 − 1Hasil perhitungan dapat dilihat pada table berikut:

Dari table dapat dilihat bahwa nilai 𝑓 𝑥 mendekati 2 ketika 𝑥 → 2 dari kiri dan kanan

Sehingga disimpulkan dan dapat dituliskan sebagai berikut :

lim𝑥→1

𝑓 𝑥 =𝑥2 − 1

𝑥 − 1= 2

𝑥 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

𝑓 𝑥 1.9 1.99 1.999 1.9999 Error 2.0001 2.001 2.01 2.1



2. Faktorisasi & Eliminasi

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1=?

• Pecah 𝑓 𝑥 menjadi polynomial menjadi suku polinomial derajat terkecil:

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑥 − 1 𝑥 + 1

𝑥 − 1

• Eliminasi suku-suku polynomial yang sama

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1𝑥 + 1

• Hitung nilai limit dengan mensubsitusikan 𝑥 = 1

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= 2



3. Perkalian Conjugate

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1=?

• Eliminasi bentuk akar pada penyebut dengan perkalian conjugate:

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1×

𝑥 + 1

𝑥 + 1

• Eliminasi suku-suku polynomial yang sama dari hasil perkalian

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥 + 1

𝑥 − 1

• Hitung nilai limit dengan mensubsitusikan 𝑥 = 1

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1𝑥 + 1 𝑥 + 1 = 4



4. Aturan L’hopital

lim𝑥→1

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

0

0𝑎𝑡𝑎𝑢 lim

𝑥→1

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

±∞

±∞

∴ lim𝑥→1

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥= lim

𝑥→1

𝑑 𝑓 𝑥

𝑑 𝑓 𝑥↔ 𝑑 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡; 𝑑 𝑔 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡; 𝑑𝑎𝑛 𝑑 𝑔 𝑥 ≠ 0

lim𝑥→∞

𝑥2 + 2𝑥 + 5

2𝑥2 + 4=

lim𝑥→∞

2𝑥 + 2

4𝑥𝐿′ℎ𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙

= lim𝑥→∞

𝑥 2 +2𝑥

4𝑥=

1

2



4. Aturan L’hopital

lim𝑥→−1+

3𝑥 + 1 ln 𝑥 + 1 = lim

𝑥→−1+

ln 𝑥 + 1

𝑥 + 1 −13

≡ lim𝑥→−1+

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥=

∞

∞

𝑑𝑓 𝑥 =1

𝑥 + 1𝑑𝑔 𝑥 = −

1

3𝑥 + 1 −

43

lim𝑥→−1+

3𝑥 + 1 ln 𝑥 + 1 = lim

𝑥→−1+−3

𝑥 + 1 −1

𝑥 + 1 −43

= lim𝑥→−1+

−3 𝑥 + 113 = 0



5. Limit pada Nilai mutlak

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 ≥ 0

−𝑓 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑓 𝑥 < 0

Contoh:

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1=

lim𝑥→1+

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1+

𝑥 − 1 𝑥 + 1

𝑥 − 1= 2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥2 − 1 ≥ 0

lim𝑥→1−

− 𝑥2 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1−

− 𝑥 − 1 𝑥 + 1

𝑥 − 1= −2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥2 − 1 < 0

Sehingga:

lim𝑥→1−

𝑥2 − 1

𝑥 − 1≠ lim

𝑥→1+

𝑥2 − 1

𝑥 − 1→ lim

𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥 − 1= 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑎𝑑𝑎



6. Limit pada 𝒙 → ±∞

• Cari cara untuk merubah ∞ → 0

lim𝑥→∞

𝑥2 + 2𝑥 + 5

2𝑥2 + 4= lim

𝑥→∞

𝑥2 1 +2𝑥+

5𝑥2

𝑥2 2 +4𝑥2

=1

2

lim𝑥→∞

2𝑥 + 5

2𝑥2 + 4= lim

𝑥→∞

𝑥2 2𝑥+

5𝑥2

𝑥2 2 +4𝑥2

= 0



7. Teorama Squeezing

• Jika 𝑓 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥

• Dan jika lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑎

𝑔 𝑥 = 𝐿

• Maka : lim𝑥→𝑎

ℎ 𝑥 = 𝐿

lim𝑥→0

𝑥2 cos1

𝑥

−1 ≤ cos1

𝑥≤ 1 ↔ −𝑥2 ≤ 𝑥2 cos

1

𝑥≤ 𝑥2

lim𝑥→0

−𝑥2 = lim𝑥→0

𝑥2 = 0

lim𝑥→0

𝑥2 cos1

𝑥= 0


Limit|Kontinuitas fungsi

• Suatu fungsi dikatakan kontinu pada 𝑎 jika dan hanya jika:lim𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 = 𝐿


𝑎 𝑐

𝑓 𝑥

𝑥

𝑘

𝑗

𝑙

𝑏 𝑑

𝑖

𝑓 𝑥 kontinu sepihak dari kiri

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = 𝑓 0 = 𝑘

𝑓 𝑥 diskontinu pada 𝑎

lim𝑥→𝑑

𝑓 𝑥 ≠ 𝑓 𝑑

Diskontinu pada 𝑥 = 𝑑

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 = 𝑗

𝐾𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 𝑝𝑑 𝑥 = 𝑐

𝑓 𝑥kontinu sepihak

kanan

Limit|Garis singgung

• Sebuah garis yang melewati suatu kurva :

Secant Line : garis lurus memotong kurva pada titik𝑥 = 𝑎 dan di sembarang 𝑥

Tangent Line : garis lurus memotong (menyinggung) kurva hanya pada titik 𝑥 = 𝑎

• Solusi: Garis secant dirotasikan agar berubahkemiringannya sehingga menjadi garis tangen.

𝑚𝑇 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥∴ lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎

𝑥 − 𝑎• Jika ∆𝑥 = ℎ ≡ 𝑥 − 𝑎 , maka:

𝑚𝑇 = limℎ→0

𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎

ℎ


𝑎 𝑥

𝑓 𝑎

𝑓 𝑥

𝑦

𝑥

Limit|Garis singgung

• Contoh: cari persamaan garis lurus yang menyinggung kurva 𝑦 = 2𝑥 + 5 pada titik 2,3

𝑚 = lim𝑥→2

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎

𝑥 − 𝑎→ lim

𝑥→2

2𝑥 + 5 − 3

𝑥 − 2Hilangkan tanda akar dengan metoda conjugate:

𝑚 = lim𝑥→2

2𝑥 + 5 − 3

𝑥 − 2×

2𝑥 + 5 + 3

2𝑥 + 5 + 3= lim

𝑥→2

2𝑥 + 5 − 9

𝑥 − 2 2𝑥 + 5 + 3

Eliminasi suku yang sama dan subsitusikan nilai 𝑥:

𝑚 = lim𝑥→2

2 𝑥 − 2

𝑥 − 2 2𝑥 + 5 + 3= lim

𝑥→2

2

2𝑥 + 5 + 3=

1

3

Masukan titik 2,3 kedalam persamaaan garis :

𝑦 =1

3𝑥 + 𝑐 → 𝑐 = 3 −

2

3=

7

3∴ 𝑦 =

𝑥 + 7

3


Science

01 kalkulus 1 review 2016