Diktat Kalkulus Visual Part 1

8/20/2019 Diktat Kalkulus Visual Part 1

1/118

KALKULUS VISUAL BAGIAN I

DIKTAT PENDUKUNG KULIAH

MA1101 KALKULUS 1A

MA1201 KALKULUS 1B

Public domain, tidak untuk komersial

Penyusun:

Irisan Kerucut, property of WD2011

Program Studi Matematika, Fakultas MIPA

Institut Teknologi Bandung

Agustus 2011

Warsoma Djohan


2/118

Kata Pengantar

Kalkulus merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi hampir semua ProgramStudi dan Sekolah di Institut Teknologi Bandung. Berdasarkan kebutuhan yang

berbeda pada berbagai Program Studi yang ada, mulai tahun ajaran 2004 perkuliahanKalkulus dibagi menjadi dua macam yaitu Kalkulus A (4 kredit) dan Kalkulus B (3kredit). Untuk bahan perkuliahan semester 1 (Kalkulus 1A dan Kalkulus 1B), penulis

hanya mengembangkan satu diktat. Hal ini disebabkan materi Kalkulus 1B merupakansubbagian dari materi Kalkulus 1A, dengan pengurangan pada beberapa topik.

Diktat ini mulai disusun sejak tahun 2004. Pada awalnya materi disusun dalam bentukbeningan/transparency. Tujuannya adalah untuk meningkatkan proses pembelajaran,dengan cara menyediakan bahan kuliah yang berisi ringkasan teori dan soal-soal latihan

terpilih. Dengan adanya beningan ini diharapkan proses pencatatan yang banyak di-lakukan pada perkuliahan konvensional bisa dikurangi. Dengan demikian, waktu yang

tersedia dapat digunakan dengan lebih efektif untuk kegiatan ceramah dan diskusi.

Diktat ini selalu direvisi secara kontinu dan disesuaikan dengan kebutuhan yang ada.

Perkembangan peralatan multimedia saat ini memungkinkan konstruksi tampilan konsep-konsep matematika secara visual melalui bantuan komputer. Hal ini akan sangat mem-

bantu proses belajar mahasiswa, karena konsep-konsep yang rumit dan abstrak dapatdiperlihatkan secara kongkrit melalui program animasi. Sejalan dengan perubahan ini,mulai tahun ajaran 2011 judul diktat ini diubah menjadi ”Kalkulus Visual”. Melalui

mekanisme ini diharapkan para mahasiswa dapat memahami konsep-konsep yang adadengan lebih cepat dan lebih mudah. Pada diktat ini, bagian yang memuat animasi

ditandai dengan ikon berbentuk ♠ atau Animation . Cara menampilkan animasinyaadalah dengan meng-klik tombol mouse pada ikon tersebut.

Untuk dapat memanfaatkan diktat ini secara efektif diperlukan beberapa perangkatlunak pendukung, yaitu: Adobe Acrobat Reader versi 9 atau lebih baru dan Quick

Time player. Semua perangkat lunak tersebut bersifat public domain/free dan dapatdiunduh/didownload via internet. Untuk memudahkan, penulis telah menempatkandiktat kuliah beserta perangkat lunak pendukung tersebut pada ftp server denganalamat ftp://167.205.6.6 . Site ini dapat diakses semua orang dan tidak memer-lukan username . Diktat ini ada di dalam folder BahanKuliah/Warsoma/MA1101& MA1102 Kalkulus 1 , sedangkan perangkat pendukungnya berada dalam folder

BahanKuliah/Warsoma/Software Pendukung . Tatacara instalasi dan penggunaandiktat ini pada komputer anda dijelaskan pada file —readme1st.doc.

i

http://demoteori/Author01.pdfhttp://demoteori/Author02.pdfhttp://demoteori/Author02.pdfhttp://demoteori/Author01.pdf


3/118

Catatan:

• Sesuai dengan kebijakan dari pihak pengelola internet di ITB, semua ftp-server diITB hanya dapat diakses dari dalam kampus ITB.

• Akses dari luar kampus ITB masih dimungkinkan melalui fasilitas Virtual PrivateNetwork (VPN). Akses ini hanya dapat digunakan oleh mereka yang mempunyaiaccount internet di ITB.

• Untuk dapat memastikan tampilan animasi yang ada berjalan dengan benar, se-mua file PDF yang ada harap dibuka menggunakan Adobe Acrobat Reader . Sejauhini kelengkapan yang ada di PDF reader yang lain belum sepenuhnya mendukungfasilitas yang diperlukan oleh diktat ini.

Sebagai penutup, Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan Dosen yangtelah memberikan masukan terhadap pengembangan diktat ini, diantaranya kepada

Dr. Wono Setya Budhi, Prof. Dr. Hendra Gunawan, Prof. Dr. Edy Tri Baskoro,Dr. Sri Redjeki, serta Drs Koko Martono M.S.. Semoga diktat ini dapat berguna un-tuk meningkatkan kualitas pembelajaran Kalkulus.

Agustus 2011,Penyusun,

Warsoma Djohan

ii


4/118

Daftar Isi

Kata Pengantar i

BAB 1 Pengantar Kalkulus 1

BAB 2 Fungsi dan Limit 14

BAB 3 Turunan 33

BAB 4 Penggunaan Turunan 45

BAB 5 Integral Tentu 61

BAB 6 Penggunaan Integral 82

BAB 7 Fungsi-Fungsi Transenden 97

iii


5/118

Kalkulus Visual Bagian 1, untuk dipakai di ITB 1

Dasar-Dasar Logika Matematika

Pasal ini memberikan ringkasan tentang beberapa pengertian dasar dalam

matematika, meliputi istilah-istilah, notasi-notasi, sedikit tentang logika

matematika dan teknik-teknik pembuktian dalam matematika.

Aksioma/Postulat: Sebuah proposisi/pernyataan yang diasumsikan be-

nar tanpa perlu dibuktikan. Contoh: bila x dan y bilangan-bilangan real,

maka x + y juga bilangan real.

Definisi: Definisi adalah istilah/nama yang dipakai untuk menjelaskan se-

buah proposisi tertentu, sehingga penulisannya menjadi singkat dan jelas.

Contoh: Sebuah bilangan bulat yang hanya dapat dibagi oleh bilangan itu

sendiri dan bilangan satu disebut bilangan prima.

Teorema/Lemma/Dalil: Sebuah proposisi/pernyataan yang kebenaran-

nya memerlukan bukti. Contoh: Jika n2 bilangan genap maka n genap.

Penulisan teorema dalam bentuk pernyataan ”Jika P maka Q” disebutimplikasi. Notasi lain untuk sebuah implikasi: ”P =⇒ Q”.

Perhatikan bahwa pernyataan jika P maka Q dengan pernyataan jika Q

maka P tidak ekivalen. Ilustrasi: ”Jika Hilda orang Sumatera maka Hilda

orang Indonesia” adalah pernyataan yang benar, tetapi pernyataan ”Jika

Hilda orang Indonesia maka Hilda orang Sumatera” tidak benar.

Negasi dari proposisi ”P” ditulis ”∼P”. Pernyataan ”P =⇒ Q” ekivalendengan pernyataan ”∼Q =⇒ ∼P”. Ekivalensi ini disebut konstra posi-tif . Ilustrasi: ”Jika Hilda orang Sumatera maka Hilda orang Indonesia”

ekivalen dengan ”Jika Hilda bukan orang Indonesia maka Hilda bukan orang

Sumatera”.

Warsoma Djohan / MA-ITB / 2011


6/118


Konsep kontra positif ini banyak digunakan untuk pembuktian teorema.

Contoh: Gunakan konsep kontra positif untuk membuktikan implikasi ”bila

n2 genap maka n genap”. ♠

Principle of Excluded Middle: Either proposition P true or ∼P true .Prinsip ini dijadikan dasar pembuktian dengan metode kontradiksi. Proses-

nya dilakukan dengan mengandaikan sebuah proposisi adalah salah. Selan-

jutnya dengan melalui serangkaian proses ditunjukkan adanya suatu kon-

tradiksi. Hal ini timbul akibat pengandaian kita keliru. Kesimpulannya

proposisi tersebut benar. Tunjukkan√

2 bilangan irrasional ♠ .

Dalam beberapa hal implikasi berlaku bolak balik, yaitu ”Jika P maka Q”

dan ”Jika Q maka P” keduanya benar. Bila kondisi ini berlaku, biasanya

dinotasikan ”P ⇐⇒ Q” dan disebut ekivalensi.Contoh: implikasi ”n2 genap =⇒ n genap” dan ”n genap =⇒ n2 genap”keduanya benar. Jadi dapat ditulis sebagai ”n2 genap ⇐⇒ n genap”.

Simbol-Simbol relasi: adalah simbol-simbol yang biasa dipakai untukmembandingkan nilai antara dua buah bilangan real. Simbol-simbol terse-

but adalah < , ≤ , > , ≥. Untuk memahami arti dari simbol-simbol terse-but, periksalah pernyataan mana yang benar dan yang salah:

2 > 3, 2


7/118


Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, · · ·}

Himpunan Bilangan Bulat: Z = {· · · , −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · ·}Himpunan Bilangan Rasional: Q = { pq | p, q ∈ Z, q = 0}Apakah himpunan bilangan rasional sudah ”lengkap”?

Perhatikan gambar segitiga siku-siku di samping.

Panjang s =√

12 + 12 =√

2, bukan bilangan rasional.

1

1

S

Bilangan yang tak rasional disebut bilangan irrasional. Gabungan him-punan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilangan real,

disimbolkan R. Jelas N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Himpunan bilangan irrasional tidak mempunyai simbol khusus . ♠

Notasi Interval: Misalkan a, b ∈ R,1. (a, b) = { x | a < x < b } ( )2. [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b } [ ]3. [a, b) = { x | a ≤ x < b } [ )4. (a, b] = { x | a < x ≤ b } ( ]5. (a, ∞) = { x | x > a } (6. Gambarkan himpunan-himpunan berikut dalam garis bilangan real

[a, ∞) = { x | x ≥ a }, (−∞, b) = { x | x < b }(−∞, b] = { x | x ≤ b }, (−∞, ∞) = R

Hati-Hati: −∞ dan ∞ bukan bilangan real, jadi tidak pernah termuatdalam suatu interval.


http://demoteori/SymbolforIrrationalNumbers.pdfhttp://demoteori/SymbolforIrrationalNumbers.pdf


8/118


Polinom / Suku Banyak

Bentuk umum: p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn, dengan

n bilangan asli, a0, a1,

· · ·, an bilangan-bilangan real (disebut koefisien dari

polinom), dan x bilangan real yang belum ditentukan (variabel).

Derajat polinom adalah nilai n terbesar yang koefisiennya tidak nol.

Contoh: p(x) = x4 − 2x3 − 7x2 + 8x + 12, derajat p(x) adalah 4.Bilangan real t disebut akar dari polinom p(x) bila p(t) = 0.

Latihan: Tunjukkan t = 2 akar dari p(x) = x4

−2x3

−7x2 + 8x + 12. ♠

Polinom Linear/Derajat Satu: p(x) = ax+b, a = 0 akarnya x = −ba

.

Polinom Kuadrat/Derajat Dua: p(x) = ax2 + bx + c, a = 0.Misalkan D = b2 − 4ac, disebut diskriminan. Berdasarkan nilai D, adatiga kemungkinan jenis akar:

• D > 0, Dua akar real berbeda, x1,2 = −b±√

D2a .

• D = 0, Dua akar kembar, x1 = x2 = −b2a .• D 0 grafik cekung ke

atas (membuka ke atas) sebaliknya bila a


9/118


Pertaksamaan Rasional

Bentuk umum: A(x)

B(x) < C (x)D(x)

A(x), B(x), C (x), dan D(x) masing-masing polinom.Catatan: Tanda < dapat juga berupa ≤ , > atau ≥Contoh: x

3+1x2−2x+8 ≥ 3xx5+3x−4

Tujuan kita adalah mencari semua titik-titik x ∈ R yang ’memenuhi’pertaksamaan tersebut. Himpunan titik-titik ini disebut solusi.

Operasi-operasi dasar dalam mencari solusi pertaksamaan:

• Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama.• Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif.• Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif akan mengubah tanda

pertaksamaan menjadi ”kebalikannya”.

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari x+1

2−x ≥ xx+3 ♠1. Tentukan ’daerah definisi’ dari pertaksamaan tersebut

2. Tambahkan kedua ruas dengan −C (x)D(x), lalu samakan penyebutnya se-hingga diperoleh bentuk P (x)

Q(x)


10/118


Latihan: Tentukan solusi dari: 2 ≤ x2 − x


11/118


Akar Kuadrat

Akar kuadrat dari bilangan tak negatif x, ditulis √

x adalah bilangan

tak negatif a sehingga berlaku hubungan a2 = x.

Ilustrasi: (a) √ 9 = 3, (b) (−4)2 = 4.Secara umum : Bila b ∈ R maka

√ b2 = |b|.

Pertaksamaan yang memuat tanda mutlak dan akar kuadrat

Untuk mencari solusi pertaksamaan yang memuat tanda mutlak / akar

kuadrat, usahakan menghilangkan tanda mutlak / akar kuadratnya, lalu

diselesaikan sebagai pertaksamaan rasional.

Proses untuk menghilangkan tanda mutlak dapat dilakukan seperti pada

penjelasan sebelumnya. Sebagai tambahan, dua sifat di bawah ini dapat

digunakan untuk menghilangkan tanda mutlak.

Sifat-Sifat: Misalkan a

≥ 0 maka,

• |x| < a ⇐⇒ −a < x < a• |x| > a ⇐⇒ x a

Contoh-contoh:

1. |x − 4| ≤ 1 ♠2. |2x + 3| ≤ |x − 3| ♠3. Benarkah pernyataan berikut ? −1 ≤ x ≤ 3 =⇒ |x|


12/118


Soal-Soal Latihan Mandiri:

1. |2x − 7| < 32.

|2x

−3

| > 3

3. |x − 2| 75. |x − 2| + |x + 2| 811. Cari bil. δ postif supaya

a. |x − 5| < δ =⇒ |3x − 15|


13/118


Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang

Penggagas: Pierre de Fermat (1629) & René Descartes (1637)

1 2 3 4 5-1-5

1

4

-1

-4

x

y

kuadran 1kuadran 2

kuadran 3 kuadran 4

1 2 3 4 5-1-5

1

4

-1

-4

P(a,b)

a

b

x

y

(-4,-3)

(-3,2)

(4,-4)

Sumbu horizontal dinamakan sumbu-x (absis ) dan sumbu vertikal dina-

makan sumbu-y (ordinat ). Setiap pasangan terurut bilangan (a, b) dapat

digambarkan sebagai sebuah titik pada koordinat tersebut dan sebaliknya,

setiap titik pada bidang koordinat Kartesius berkorespondensi dengan satu

buah pasangan bilangan (a, b).

Jarak dua titik di bidang

Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang. Jarak kedua

titik tersebut P Q =

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Irisan KerucutIrisan kerucut adalah kurva yang terbentuk bila sebuah kerucut diiris oleh

sebuah bidang datar. Kurva irisan ini dapat berbentuk: titik, garis lurus,

lingkaran, elips, parabola dan hiperbola. ♠ ♠

Parabola/persamaan kuadrat telah dibahas di depan. Pada bagian berikut-

nya akan dibahas irisan kerucut yang lainnya.


http://gifanimation/05-IrisanKerucutA.gifhttp://gifanimation/05-IrisanKerucutB.gifhttp://gifanimation/05-IrisanKerucutB.gifhttp://gifanimation/05-IrisanKerucutA.gif


14/118


Garis Lurus

Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A, B, dan C konstanta.

Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yangmemenuhi persamaan tersebut.

Hal-hal khusus:

• Bila A = 0, persamaan berbentuk y = −C B

, grafiknya sejajar sumbu-x.

• Bila B = 0, persamaan berbentuk x = −C A

, grafiknya sejajar sumbu-y.

• Bila A, B tak nol, Ax + By + C = 0

⇐⇒ y =

−A

B x

− C

B.

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada

garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan

sebagai m = y2−y1x2−x1

Sifat: m = −AB

.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :y − y1y2 − y1 =

x − x1x2 − x1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :

y − y1 = m(x − x1)

Misalkan ℓ1 dan ℓ2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.

ℓ1 sejajar ℓ2 ⇐⇒ m1 = m2ℓ1 tegak lurus ℓ2 ⇐⇒ m1 · m2 = −1 (buktikan?)



15/118


Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik

tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat

di (0, 0) dan jari-jari r adalah: x2 + y2 = r2 (gambar sebelah kiri).

Bila pusat lingkaran berada di titik ( p, q ) maka persamaannya menjadi

(x − p)2 + (y − q )2 = r2(gambar sebelah kanan).

x

K 2 K 1

0

1 2

y

K 2

K 1

1

2

lingkaran x2 + y2 = 3

x

K 1

0

1 2 3 4

y

K 1

1

2

3

4

lingkaran (x − 1)2 + (y − 2)2 = 3Latihan: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x2−2x+y2 +4y−20 = 0



16/118


Elips

Bentuk umum elips yang berpusat di (0, 0) : x2

a2 +

y2

b2 = 1 (gambar kiri).

Untuk elips yang berpusat di ( p, q ) persamaannya (x

− p)2

a2 +(y

−q )2

b2 = 1

x

K 3 K 2 K 1

0

1 2 3

y

K 3

K 2

K 1

1

2

3

x

K 2 K 1

0

1 2 3 4 5

y

K 1

1

2

3

4

5

6

Latihan: Gambarkan elips berikut 4x2 − 24x + y2 − 4y + 39 = 0.



17/118


Hiperbola

Bentuk umum : x2

a2 − y

2

b2 = 1 atau

−x2a2

+ y2

b2 = 1

x2

4 − y

2

9 = 1 −x

2

4 +

y2

9 = 1

Garis putus-putus mempunyai persamaan 2y = 3x dan merupakan asimtot

terhadap hiperbola tersebut.

Bila kedua parabola di atas dirotasikan berlawanan arah dengan putaran

jarum jam sebesar 45o maka diperoleh:

xy = k −xy = k



18/118


Fungsi

A B

Misalkan A dan B dua buah himpunan.

Fungsi dari A ke B adalah aturan

memasangkan (memadankan) setiapelemen di A dengan satu elemen di B.

Bila elemen-elemen dari A lebih banyak

dari elemen-elemen B, dapatkah kita

membuat fungsi dari A ke B?

Sebuah fungsi disebut fungsi real bila B ⊂ R.

Pembahasan selanjutnya akan dibatasi untuk A, B ⊂ R.Notasi fungsi: y = f (x) dengan x elemen A, f (x) aturan pemadanan-

nya, dan y adalah elemen B yang merupakan pasangan dari x. ♠ ♠

Pada persamaan berikut, tentukan mana yang mendefinisikan fungsi:

1. y = x2 + x4 ♠

2. xy3

= 1 ♠

3. x2y = 1 ♠

4. x

2

+ y

2

= 1 ♠

5. x3 + y3 = 1 ♠

6. x

2

+ y

3

= 1 ♠

Daerah Definisi (daerah asal/wilayah/domain) dari suatu fungsi f (x),

dinotasikan Df adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan

aturan fungsi berlaku/terdefinisi.

Daerah Nilai (daerah hasil/jelajah/range) dari suatu fungsi f (x), dino-tasikan Rf =

{y

|y = f (x), x

∈Df

} (berisi semua pasangan dari x).

Latihan: Tentukan Df , Rf lalu gambarkan grafik dari fungsi berikut:

1. f (x) = x +√

x ♠

2. f (x) = x2 − 1 ≤ x ≤ 1

3. f (x) = x2 x ≤ 01 x > 0

♠

4. f (x) = |x| ♠5. f (x) = [|x|], bilangan bu-

lat terbesar, yang lebih kecil atau

sama dengan x ♠


http://gifanimation/08A-Definisi%20dan%20grafik%20fungsi.gifhttp://gifanimation/08B-Definisi%20dan%20grafik%20fungsi.gifhttp://demoteori/K1-2T-01A.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01B.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01C.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01D.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01E.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01F.pdfhttp://demoteori/K1-2A-01.pdfhttp://demoteori/K1-2A-03.pdfhttp://demoteori/K1-2A-04.pdfhttp://demoteori/K1-2A-05.pdfhttp://demoteori/K1-2A-05.pdfhttp://demoteori/K1-2A-04.pdfhttp://demoteori/K1-2A-03.pdfhttp://demoteori/K1-2A-01.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01F.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01E.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01D.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01C.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01B.pdfhttp://demoteori/K1-2T-01A.pdfhttp://gifanimation/08B-Definisi%20dan%20grafik%20fungsi.gifhttp://gifanimation/08A-Definisi%20dan%20grafik%20fungsi.gif


19/118


Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil/Gasal:

Fungsi f disebut fungsi genap bila memenuhi f (−a) = f (a). Grafikdari fungsi genap simetri terhadap sumbu-y ♠

Fungsi f disebut fungsi ganjil bila memenuhi f (−a) = −f (a). Grafiknyasimetri terhadap titik asal (titik pusat koordinat). ♠

Latihan:

1. Periksa apakah fungsi berikut termasuk fungsi ganjil / genap.

(a) y = x2 ♠

(b) y = x3 ♠

(c) y = x5 + 3x2 + 1 ♠

(d) y = |x − 1| ♠(e) y = [|x|] ♠

(f) y = [|x2

|]2. Adakah fungsi yang sekaligus genap dan ganjil? (bahas!)

Fungsi PeriodikFungsi f disebut periodik bila terdapat bilangan p sehingga f (x + p) =

f (x). Definisi ini menginformasikan bentuk grafik y = f (x) akan berulang

bila kita bergerak sejauh p pada sumbu x. ♠

Pergeseran Grafik Fungsi:

Diberikan grafik fungsi y = f (x) dan

a > 0. Selanjutnya dibentuk fungsi

g(x) = f (x − a), maka gambargrafik g(x) dapat diperoleh dengan

menggeser grafik f (x) sejauh a ke

kanan. ♠

y = f ( x

)

a

y = f ( x

- a ) a>0

x

y

Diskusi: Jika a > 0, jelaskan cara memperoleh grafik-grafik

h = f (x + a), l(x) = f (x) + a dan m(x) = f (x) − a dari grafik f (x).

Contoh: Berdasarkan grafik y = x2, gambarkan grafik h = x2 + 4x + 3


http://gifanimation/08C-Fungsi%20Genap.gifhttp://gifanimation/08D-Fungsi%20Ganjil.gifhttp://demoteori/K1-2B-01.pdfhttp://demoteori/K1-2B-02.pdfhttp://demoteori/K1-2B-03.pdfhttp://demoteori/K1-2B-04.pdfhttp://demoteori/K1-2B-05.pdfhttp://gifanimation/08E-Fungsi%20Periodikl.gifhttp://gifanimation/08F-Pergeseran%20Grafik%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/08F-Pergeseran%20Grafik%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/08E-Fungsi%20Periodikl.gifhttp://demoteori/K1-2B-05.pdfhttp://demoteori/K1-2B-04.pdfhttp://demoteori/K1-2B-03.pdfhttp://demoteori/K1-2B-02.pdfhttp://demoteori/K1-2B-01.pdfhttp://gifanimation/08D-Fungsi%20Ganjil.gifhttp://gifanimation/08C-Fungsi%20Genap.gif


20/118


Operasi pada fungsi

Misalkan f dan g fungsi-fungsi real dengan daerah definisi Df dan Dg.

• (f + g)(x) = f (x) + g(x), ♠ Df +g = Df

∩Dg

• (f − g)(x) = f (x) − g(x), ♠ Df −g = Df ∩ Dg• (f g)(x) = f (x) g(x), ♠ Df g = Df ∩ Dg• (f /g)(x) = f (x)/g(x), ♠ Df /g = Df ∩ Dg ∩ {x|g(x) = 0}• (cf )(x) = c f (x), ♠ Dcf = Df • f n(x) = f (x) f (x) · · · f (x) n suku

Df n = Df

Contoh: Misalkan f (x) = 4√

x + 1 dan g(x) =√

9 − x2.Tentukan f + g, f − g, f g, f /g, dan f 5 beserta daerah definisinya.

Peta/Image dan Prapeta/Preimage:

Misalkan f suatu fungsi dengan daerah definisi Df dan daerah nilai Rf .

Misalkan A ⊂ Df dan B ⊂ R.• Peta dari A oleh f adalah f (A) = {y ∈ Rf | y = f (x), x ∈ A}• Prapeta dari B oleh f adalah f −1(B) = {x ∈ Df | f (x) ∈ B}

Berikut disajikan visualisasi dari peta dan prapeta: ♠ ♠

Contoh: Diberikan f (x) = x2,

Tentukan f ([0, 1]), f ([−12, 1]), f −1([0, 1]), f −1([−1, 1]), dan f −1({−1})

Diskusi: Benar atau salah (a) f −1(f (A)) = A , (b) f (f −1(B)) = B


http://gifanimation/09A-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09B-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09C-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09D-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09e-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/12A-Peta%20dan%20Prapeta.gifhttp://gifanimation/12B-Peta%20dan%20Prapeta.gifhttp://gifanimation/12B-Peta%20dan%20Prapeta.gifhttp://gifanimation/12A-Peta%20dan%20Prapeta.gifhttp://gifanimation/09e-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09D-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09C-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09B-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gifhttp://gifanimation/09A-Operasi%20Aljabar%20Fungsi.gif


21/118


Fungsi Komposisi

Perhatikan dua buah fungsi f (x) = 6xx2−9 dan g(x) =

√ 3x.

Dibentuk fungsi baru (g ◦ f )(x) = g(f (x))

Jadi (g ◦ f )(x) = g( 6xx2−9) = 6xx2−9Fungsi demikian disebut sebagai fungsi komposisi dari f dan g.

Apakah fungsi komposisi selalu terdefinisi?.

Misalkan diberikan fungsi f (x) = x2 − 1, 0 ≤ x ≤ 3 dang(x) = (x + 3)(x − 2)(x − 4). Selanjutnya dibentuk fungsi komposisi(g◦f )(x). Apakah daerah definisi fungsi komposisi ini interval 0 ≤ x ≤ 3?Untuk memahaminya, perhatikanlah ilustrasi di bawah ini:

2( ) 1, 0 3 f x x x

0

-3

-1 8

2 4

3

0

( ) ( 3)( 2)( 4) g x x x x

4,8989

1 2



22/118


Masalah: Bagaimana cara menentukan Dg◦f dan Rg◦f Perhatikan gambar di bawah ini. Titik-titik dari Df yang dapat dievaluasi

oleh fungsi komposisi g ◦ f adalah titik-titik yang oleh fungsi f dipetakanke dalam Dg (mengapa?). Sebut A = Rf

∩Dg, maka:

Dg◦f = f −1(A) dan Rg◦f = g(A)

Contoh-Contoh:

1. f (x) = 1 + x2 dan g(x) = √ 1 − x.Tentukan f ◦ g, Df ◦g, dan Rf ◦g

2. f (x) =

x(10 − x) dan g(x) = √ 4 − x2.Tentukan g ◦ f , Dg◦f , dan Rg◦f



23/118


Fungsi Trigonometri

x

y t 1

o

P

x

y Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari

satu di sebelah kiri. Titik P=(x, y) berada

pada lingkaran tersebut. Sudut t adalahsudut yang dibentuk antara sumbu x positif

dengan segmen garis OP . Nilai sudut ini

positif bila arah putarannya berlawanan jarum

jam dan negatif bila searah putaran jarum jam.

Besar sudut selalu dinyatakan dalam satuan radian.

Hubungan satuan radian dan derajat: 3600

= 2π rad, jadi 10

= 1180π rad.

Definisi: Fungsi sinus dan cosinus didefinisikan sebagai f (t) = sin t = ydan g(t) = cos t = x. ♠ ♠

Dengan definisi di atas maka Df = . . ., Rf = . . ., Dg = . . ., Rg = . . .

Sudut t + 2π dan sudut t menyatakan posisi titik P yang sama, sehingga,

sin(t + 2π) = sin t dan cos(t + 2π) = cos t.

Jadi fungsi sin dan cos merupakan fungsi periodik dengan periode 2π.

Nilai maksimum dari kedua fungsi tersebut 1 dan nilai minimumnya -1 (mengapa?)

t

o

-t

y

-y

x x

yPerhatikan gambar di samping kanan.

sin(t) = y sedangkan sin(−t) = −y.Jadi sin(−t) = − sin(t) (fungsi ganjil).cos(t) = x sedangkan cos(−t) = x.Jadi cos(−t) = cos(t) (fungsi genap)


http://gifanimation/13A-Fungsi%20Sinus.gifhttp://gifanimation/13B-Fungsi%20Cosinus.gifhttp://gifanimation/13B-Fungsi%20Cosinus.gifhttp://gifanimation/13A-Fungsi%20Sinus.gif


24/118


Berikut disajikan grafik dari fungsi sin t dan cos t

y

t

y = sin( )t

t

y

y = cos( )t

Fungsi-Fungsi Trigonometri Lainnya:

• f (x) = tan t = sin tcos t Df = {x | x = 2k+12 π, k ∈ Z}, Rf = R• f (x) = cot t = cos tsin t Df = . . . Rf = . . .• f (x) = sec t = 1

cos t Df = . . . Rf = . . .

• f (x) = csc t = 1sin t

Df = . . . Rf = . . .

Periksa apakah fungsi-fungsi tersebut termasuk fungsi ganjil/genap.

Apakah fungsi-fungsi tersebut periodik, berapa periodenya?

♠


http://gifanimation/13C-Fungsi%20Tangen.gifhttp://gifanimation/13C-Fungsi%20Tangen.gif


25/118


♠

Sifat-Sifat Penting Fungsi Trigonometri:

• sin2 x + cos2 x = 1, 1 + tan2 x = sec2 x, 1 + cot2 x = csc2 x• sin(−x) = sin x dan cos(−x) = cos x• sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y

−sin x sin y

• sin2 x = 12 − 12 cos(2x) dan cos2 x = 12 + 12 cos(2x)• sin x + sin y = 2 sin(x+y

2 ) cos(x−y

2 )

cos x + cos y = 2 cos(x+y2 ) cos(x−y

2 )

cos x − cos y = −2 sin(x+y2

) sin(x−y2

)


http://gifanimation/13D-Fungsi%20Sekan.gifhttp://gifanimation/13D-Fungsi%20Sekan.gif


26/118


Konsep Limit ♠ ♠ ♠

Misalkan I = (a, b) suatu interval buka di R dan c ∈ I . Fungsi f (x)dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f (x) terdefinisi di-

semua titik pada I \{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak.Ilustrasi:

a bc a bc

f(x)

f(x)

a bc

f(x)

a bc

f(x)

L L

L L

M M

x

y

x

y

x

y

x

y

Diskusi: Adakah bentuk lain dari f (x) yang memenuhi definisi di atas?

Pada gambar-gambar di atas, berapakah limit f (x) bila x mendekati c.

Untuk memudahkan pembahasan konsep limit, hayatilah pengertian berikut:

|x − a| < δ ⇐⇒ −δ < x − a < δ himpunan semua bil. real x yang jaraknya ke titik a kecil dari δ

a−

δ a a+δ .Warsoma Djohan / MA-ITB / 2011

http://gifanimation/14A-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14B-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14C-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14C-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14B-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14A-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gif


27/118


Pembahasan konsep limit secara formal: ♠ ♠

Perhatikan fungsi f (x) = 2x2−3x−2x−2 , Df = R\{2}

x f (x)

0.00000 1.00000

1.00000 3.00000

1.90000 4.80000

1.95000 4.90000

1.99999 4.99998...

2.00000 ?...

2.00001 5.00002

2.05000 5.10000

2.10000 5.20000

3.00000 7.00000

L

L-

L+

c c+c-

y

x

f (x) = 2x2

−3x

−2

x−2 = (2x+1)(x

−2)

x−2 = 2x + 1 Df = R\{2}Amatilah fungsi di atas beserta grafiknya, lalu lengkapilah implikasi berikut:

• Tentukan δ 1 supaya 0 < |x − 2| < δ 1 =⇒ |f (x) − 5| < 1Apakah δ 1 = 3/8 memenuhi syarat?

• Tentukan δ 2 supaya 0 < |x − 2| < δ 2 =⇒ |f (x) − 5| < 12• Tentukan δ 3 supaya 0 < |x − 2| < δ 3 =⇒ |f (x) − 5| < 11000000• Bila ǫ bilangan positif sebarang, carilah δ supaya

0 < |x − 2| < δ =⇒ |f (x) − 5| < ǫ

Dari uraian di atas, terlihat untuk setiap ǫ > 0, selalu dapat dicari δ > 0

sehingga 0 < |x − 2| < δ =⇒ |f (x) − 5| < ǫ. Dikatakan limx→2

f (x) = 5


http://gifanimation/14D-Limit,%20Pendekatan%20formal,%20eps-delta.gifhttp://gifanimation/14E-Limit,%20Pendekatan%20formal,%20eps-delta.gifhttp://gifanimation/14E-Limit,%20Pendekatan%20formal,%20eps-delta.gifhttp://gifanimation/14D-Limit,%20Pendekatan%20formal,%20eps-delta.gif


28/118


Definisi Limit: Misalkan f (x) terdefinisi pada I = (a, b), kecuali mungkindi c ∈ I . Limit dari f (x) untuk x mendekati c disebut L, dinotasikanlimx→c

f (x) = L artinya untuk setiap ǫ > 0, dapat dicari δ > 0 sehingga

0 < |x − c| < δ =⇒ |f (x) − L| < ǫ

Contoh:

1. Tunjukkan lim

x→23x + 2 = 8 ♠

2. Tunjukkan limx→2

x2 = 4 ♠

Sifat-Sifat Limit: Misalkan f dan g dua buah fungsi dan k ∈ R.1. lim

x→ck = k

2. limx→

cx = c

3. limx→c

(kf )(x) = k limx→c

f (x)

4. limx→c

(f + g)(x) = limx→c

f (x) + limx→c

g(x)

5. limx→c

(f − g)(x) = limx→c

f (x) − limx→c

g(x)

6. limx→c

(f g)(x) = limx→c

f (x) · limx→c

g(x)


http://demoteori/K1-2C-01.pdfhttp://demoteori/K1-2C-02.pdfhttp://demoteori/K1-2C-02.pdfhttp://demoteori/K1-2C-01.pdf


29/118


7. limx→c

(f g )(x) =limx→c f (x)limx→c g(x)

8. limx

→c

f n(x) = limx→cf (x)

n, n ∈ N

9. limx→c

n√ f (x) = n limx→c

f (x) , limx→c

f (x) ≥ 0 untuk n genap10. Bila p(x) polinom maka lim

x→c p(x) = p(c)

11. Prinsip Apit. Misalkan f, g, dan h tiga fungsi dengan

g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) untuk setiap x ∈ I . Bila limx→c

g(x) = L dan

limx→c

h(x) = L maka limx→c

f (x) = L ♠

Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri:

1. limx→c

sin x = sin c dan limx→c

cos x = cos c

2. limx→0

sin xx

= 1 ♠ dan limx→0

xsin x

= 1

3. limx→0

tan x

x

= 1 dan limx→0

x

tan x

= 1

Hati-hati, bila limx→c

u = 0belum tentu lim

x→c

sin uu

= 1

Soal-Soal: Hitung limit-limit berikut ini

1. limx→3

x4−3x3x2−5x+7

2. limx

→3

x2−2x−3x−3

3. limx→1

2x3+3x2−2x−3x2−1

4. limx→0

x−sin(2x)2x+tan x

5. limx→12π

(x − 12π) tan(3x)

6. limx→π

1+cos xsin(2x)

7. limx→0

x sin 1x

8. limx→0

x2 cos 1x


http://demoteori/K1-2T-02.pdfhttp://demoteori/K1-2T-03.pdfhttp://solusi/K1-2D-08.pdfhttp://solusi/K1-2D-07.pdfhttp://solusi/K1-2D-06.pdfhttp://solusi/K1-2D-05.pdfhttp://solusi/K1-2D-04.pdfhttp://solusi/K1-2D-03.pdfhttp://solusi/K1-2D-02.pdfhttp://solusi/K1-2D-01.pdfhttp://demoteori/K1-2T-03.pdfhttp://demoteori/K1-2T-02.pdf


30/118


1 2

-1

1

2

1,5

y

x

Limit Sepihak ♠ ♠ ♠ ♠

Perhatikan fungsi berikut:

f (x) = x x 0 supaya 0 < x − 1 < δ =⇒ |f (x) − 1,5| < ǫ

Karena untuk setiap ǫ > 0 kita dapat mencari δ > 0 sehingga implikasinya

berlaku, dikatakan limit dari f (x) untuk x menuju 1 dari kanan bernilai

1,5 dan dinotasikan limx→1+

f (x) = 1,5

Definisi Limit Kanan: Misalkan f (x) terdefinisi pada I = (a, b), kecuali

mungkin di c ∈ I . Limit dari f (x) untuk x mendekati c dari kanan disebutL, dinotasikan limx→c+

f (x) = L artinya untuk setiap ǫ > 0, dapat dicari

δ > 0 sehingga 0 < x − c < δ =⇒ |f (x) − L| < ǫ

Latihan: Tuliskan Definisi Limit Kiri


http://gifanimation/15A-Limit%20Kanan.gifhttp://gifanimation/15C-Limit%20Kanan.gifhttp://gifanimation/15B-Limit%20Kiri.gifhttp://gifanimation/15D-Limit%20Kiri.gifhttp://gifanimation/15D-Limit%20Kiri.gifhttp://gifanimation/15B-Limit%20Kiri.gifhttp://gifanimation/15C-Limit%20Kanan.gifhttp://gifanimation/15A-Limit%20Kanan.gif


31/118


Sifat-sifat:

• limx→c

f (x) = L ⇐⇒ limx→c−

f (x) = L dan limx→c+

f (x) = L

• lim

x→cf (x) = L =

⇒ lim

x→c |f (x)

| =

|L

|• limx→c

f (x) = 0 ⇐⇒ limx→c

|f (x)| = 0

Latihan: Hitung limit-limit berikut ini

1. (a) limx→1

|x2 − 1| ♠ (b) limx→0−

x|x| ♠ (c) limx→1

[|x|] ♠

2. f (x) =

−x2 x


32/118


Limit di takhingga ♠ ♠

Bagian ini mengamati perilaku fungsi f (x) bila x membesarmengecil

tanpa batas.

Ilustrasi:

Perhatikan grafik fungsi f (x).Bila x membesar terus tanpa

batas, ditulis x → ∞, nilaif (x) ’cenderung’ menuju 0.

Fenomena ini mendasari konsep limit di takhingga

x

y

copyright WD2011

P( ) y f x

Misalkan f terdefinisi pada [c,

∞).

limx→∞ f (x) = L artinya untuk setiap ǫ >0, dapat dicari bilangan M sehingga

x > M =⇒ |f (x) − L| < ǫ.

Misalkan f terdefinisi pada (−∞, c).lim

x→−∞f (x) = L artinya untuk setiap

ǫ > 0, dapat dicari bilangan M sehinggax < M =⇒ |f (x) − L| < ǫ.

Sifat: Misalkan k ∈ N maka limx→−∞

1xk

= 0 dan limx→∞

1xk

= 0

Contoh: Tentukan (a) limx→∞

x1+x2

♠ dan (b) limx→∞

2x3

1+x3 ♠

Asimtot Datar:Garis y = L disebut asimtot datar dari fungsi f (x) jika memenuhi salah

satu dari limx→−∞

f (x) = L atau limx→∞

f (x) = L ♠ ♠

Tentukan asimtot-asimtot datar dari dua contoh terakhir. ♠ ♠

Diskusi: Dari definisi di atas, apakah y = 0 asimtot dari f (x) = sin xx . ♠


http://gifanimation/16A-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://gifanimation/16B-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://demoteori/K1-2F-01.pdfhttp://demoteori/K1-2F-02.pdfhttp://gifanimation/16A-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://gifanimation/16B-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://demoteori/K1-2F-03.pdfhttp://demoteori/K1-2F-04.pdfhttp://gifanimation/GrafikSinxPerx.gifhttp://gifanimation/GrafikSinxPerx.gifhttp://demoteori/K1-2F-04.pdfhttp://demoteori/K1-2F-03.pdfhttp://gifanimation/16B-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://gifanimation/16A-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://demoteori/K1-2F-02.pdfhttp://demoteori/K1-2F-01.pdfhttp://gifanimation/16B-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gifhttp://gifanimation/16A-Limit%20di%20Takhingga,%20Asimtot%20Datar.gif


33/118


Limit Takhingga ♠ ♠Bagian ini mengamati perilaku fungsi f (x) di mana nilai f (x) membe-

sar/mengecil tanpa batas.

Misalkan f terdefinisi pada (a, b) yang memuattitik c. lim

x→c+f (x) = ∞ artinya untuk setiap

bilangan M , dapat dicari δ > 0, sehingga

0 < x − c < δ =⇒ f (x) > M . x

y

c

( ) y f x

Dengan cara sama, coba definisikan dan

gambarkan secara grafik dari pengertian-pengertian berikut:

limx→c−

f (x) = ∞, limx→c+

f (x) = −∞, dan limx→c−

f (x) = −∞

Sifat: Misalkan k ∈ N maka

a. limx→0+

1xk

= ∞

b. limx→0−

1xk

=

∞ n genap−∞ n ganjil

Contoh: Tentukan (a) limx→0

1x ♠ (b) lim

x→2+x+1

x2−5x+6 ♠

Asimtot Tegak: ♠ ♠

Garis x = c disebut asimtot tegak dari fungsi f (x) jika memenuhi salahsatu dari:

(a) lim

x→c−f (x) =

−∞ (b) atau lim

x→c−f (x) =

∞(c) lim

x→c+f (x) = −∞ (d) atau lim

x→c+f (x) = ∞

Tentukan asimtot-asimtot tegak dari dua contoh terakhir. ♠ ♠


http://gifanimation/17A-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://gifanimation/17B-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://demoteori/K1-2G-01.pdfhttp://demoteori/K1-2G-02.pdfhttp://gifanimation/17A-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://gifanimation/17B-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://demoteori/K1-2G-03.pdfhttp://demoteori/K1-2G-04.pdfhttp://demoteori/K1-2G-04.pdfhttp://demoteori/K1-2G-03.pdfhttp://gifanimation/17B-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://gifanimation/17A-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://demoteori/K1-2G-02.pdfhttp://demoteori/K1-2G-01.pdfhttp://gifanimation/17B-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gifhttp://gifanimation/17A-Limit%20Takhingga,%20Asimtot%20Tegak.gif


34/118


Kekontinuan Fungsi ♠ ♠ ♠

f (c) = · · ·limx→c−

f (x) = · · ·limx→c+ f (x) = · · ·

f (c) = · · ·limx→c−

f (x) = · · ·limx→c+ f (x) = · · ·

f (c) = · · ·limx→c−

f (x) = · · ·limx→c+ f (x) = · · ·

Kekontinuan di satu titik:

Misalkan f (x) terdefinisi pada interval buka I dan c ∈ I . Fungsi f disebutkontinu di titik c jika

f (c) = limx

→c

f (x) ⇐⇒ f (c) = limx→

c−

f (x) = limx→

c+f (x)

Contoh: Misalkan f (x) =

x2−4

x−2 x = 25 x = 2

Periksa kekontinuan f di titik x = 2. ♠

Akibat: Bila f (x) kontinu di c maka limx

→c

f (x) = f (limx

→c

x)

Kekontinuan sepihak:

• Fungsi f disebut kontinu kiri di x = c bila f (c) = limx→c−

f (x)

• Fungsi f disebut kontinu kanan di x = c bila f (c) = limx→c+

f (x)

Pada ketiga ilustrasi di halaman 30, tentukan fungsi yang kontinu sepihak.


http://gifanimation/14C-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14B-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14A-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://demoteori/K1-2T-04.pdfhttp://demoteori/K1-2T-04.pdfhttp://gifanimation/14A-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14B-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gifhttp://gifanimation/14C-Limit,%20Pendekatan%20Intuitif.gif


35/118


Kekontinuan pada interval:

• Fungsi f disebut kontinu pada interval buka (a, b) bila f kontinu disetiap titik pada (a, b)

• Fungsi f disebut kontinu pada interval tutup [a, b] bila f kontinu pada(a, b), kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.Sifat-sifat:

1. Suatu polinom p(x) kontinu pada seluruh R.

2. Fungsi rasional ( p(x)q (x) , p(x) dan q (x) polinom), kontinu pada seluruh

daerah definisinya.

3. Fungsi f (x) = |x| kontinu di seluruh R

4. Fungsi f (x) = n√ x dengan n ∈ N kontinu diseluruh daerah definisinya5. Bila f dan g kontinu di titik c dan k ∈ R maka:

kf,f + g, f − g,fg, f g

dengan g(c) = 0, f n, dan n√ f kontinu di c.

Soal-soal:1. Sketsakan sebuah grafik fungsi yang memenuhi semua sifat berikut:

• Daerah definisinya [

−2, 4]

• f (−2) = f (0) = f (1) = f (3) = f (4) = 1• f kontinu di seluruh Df kecuali di -2, 0, 3• lim

x→−1−f (x) = 2, lim

x→0+f (x) = 2, dan lim

x→3−f (x) = 1 ♠

2. Tentukan a dan b agar f (x) =

−1 x ≤ 0ax + b 0 < x


36/118


Teorema Nilai Antara ♠

Sifat: Misalkan f kontinu pada [a, b]. Bila w bilangan diantara f (a) dan

f (b), maka terdapat bilangan c ∈ [a, b] sehingga f (c) = wBila syarat kontinu dari f dihapus, apakah sifat di atas masih berlaku?

Contoh-contoh:

1. Tunjukkan p(x) = x3 + 3x − 2 mempunyai akar real diantara 0 dan 1. ♠2. Tunjukkan p(x) = x5 + 4x3 − 7x + 14 mempunyai paling sedikit satu akar real.3. Misalkan f kontinu pada [0, 1] dengan 0 ≤ f (x) ≤ 1. Tunjukkan f mempunyai

titik tetap. (titik tetap adalah titik c yang bersifat f (c) = c). ♠

4. Tunjukkan selalu terdapat dua titik pada cincin kawat melingkar yang temper-

aturnya sama. (petunjuk gambarkan cincin pada koordinat kartesius denganpusatnya di titik (0,0) dan bentuk f (θ) sebagai fungsi temperaturnya). ♠

5. Pada pukul Pk 4.00 seorang biarawan secara perlahan mendaki gunung dan tibadipuncaknya pada sore hari. Keesokan harinya dia menuruni gunung tersebut

mulai Pk 5.00 dan tiba di bawah Pk 11.00. Tunjukkan bahwa ada titik pada jalanyang dilaluinya yang menunjukkan waktu yang sama saat naik dan turun.


http://gifanimation/20-Teorema%20Nilai%20Antara.gifhttp://demoteori/K1-2J-01.pdfhttp://demoteori/K1-2J-03.pdfhttp://demoteori/K1-2J-04.pdfhttp://solusi/K1-2J-05.pdfhttp://demoteori/K1-2J-04.pdfhttp://demoteori/K1-2J-03.pdfhttp://solusi/K1-2J-02.pdfhttp://demoteori/K1-2J-01.pdfhttp://gifanimation/20-Teorema%20Nilai%20Antara.gif


37/118


Turunan/Derivatif

Konsep turunan mempunyai aplikasi yang sangat luas baik di bidang sci-

ence maupun engineering , misalnya masalah kemiringan garis singgung,

masalah kecepatan sesaaat, laju pertumbuhan mahluk hidup, masalah ali-ran listrik dalam sebuah rangkaian elektronik, masalah kecepatan suatu

reaksi kimia, dan lain-lain. Pada pasal ini akan ditinjau konsep turunan

sebagai masalah garis singgung dan kecepatan sesaat.

Garis Singgung Terhadap Kurva di Bidang

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mendefinisikan gradien/kemiringan

dari sebuah garis lurus. Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua buah titik padasebuah garis lurus, maka gradiennya adalah m = y2−y1

x2−x1 . Pada pasal iniakan kita tinjau pengertian gradien garis singgung terhadap sebuah kurva.

Diberikan sebuah kurva di bidang dan titik P terletak pada kurva tersebut.

Apakah yang dimaksudkan dengan garis singgung di titik P ?

Euclides memberi gagasan garis singgung adalah garis yang memotong

kurva tersebut tepat di satu titik. Gagasan ini secara intuisi terasa benar,

khususnya untuk dua gambar di sebelah kiri. Tetapi konsep ini menjadisalah bila diterapkan pada gambar paling kanan. Untuk itu, kita memer-

lukan konsep formal yang dirumuskan dalam persamaan matematika, se-

hingga pengertian garis singgung tersebut mempunyai makna yang jelas

dan tidak berarti ganda.

Animasi berikut memperlihatkan konsep garis singgung secara visual ♠


http://gifanimation/30-Turunan%20sebagai%20garis%20singgung.gifhttp://gifanimation/30-Turunan%20sebagai%20garis%20singgung.gif


38/118


k 1

k 2

k 3

k

P

Q2

Q1

Q3

k 1

k

P

Q

c c+h

f(x)

x

x

y

y

Perhatikan gambar di samping kiri. Kita akan

mendefinisikan pengertian garis singgung di

titik P . Garis talibusur K 1 menghubungkan

titik P dan Q1 pada kurva. Selanjutnya titik

Q1 kita gerakkan mendekati titik P . Saat

sampai di posisi Q2, talibusurnya berubah

menjadi garis k2. Proses ini diteruskan

sampai titik Q1 ”berimpit” dengan titik P .

Garis yang terbentuk dinamakan sebagai garis

singgung.

Selanjutnya perhatikan kembali gambar kedua. Kemiringan garis talibusur yang melalui

P dan Q adalah:

msec = f (c + h) − f (c)

h

Kemiringan garis singgung di titik P = (c, f (c)) didefinisikan sebagai:

m = limh→0

f (c + h) − f (c)h

Bila m telah dihitung, maka persamaan garis singgungnya dapat diperoleh

memakai rumus persamaan garis lurus yaitu y − f (c) = m(x − c).



39/118


Masalah kecepatan sesaat: ♠

Perhatikan sebuah benda yang jatuh bebas. Hasil percobaan

menunjukan posisinya setiap saat S (t) = 16t2.

Ingin diketahui berapa kecepatannya saat t = 1?

t1 t2 S (t1) S (t2) V rata-rata = S (t2)−S (t1)

t2−t1

1 2 16 64 64−162−1 = 48

1 1,5 16 36 36−161,5−1 = 40

1 1,1 16 19,36 19,36−161,5

−1

= 33, 6

1 1,01 16 16,3216 16,3216−161,01−1 = 32, 16

1 1,001 16 16.032016 16,032016−161,001−1 = 32, 016

Dengan tabel di atas kita hanya dapat menghitung kecepatan rata-rata

antara t = 1 dan t = 1 + ∆t, tetapi yang ingin dihitung adalah kecepatan

sesaat pada t = 1. Untuk itu kita definisikan kecepatan sesaat tersebut

sebagai berikut:

V = V sesaat = lim∆t→0

V rata-rata = lim∆t→0

S (t + ∆t) − S (t)∆t

Perhatikan kembali rumus gradien garis singgung dan bandingkan dengan

rumus kecepatan sesaat. Keduanya mempunyai pola hitungan matematika

yang persis sama.

Pada masalah nyata, banyak sekali persoalan fisis yang rumus hitunganya

sama dengan rumus tersebut. Untuk itu, kita akan mempelajari sifat-sifat

dari rumus tersebut. Sebagai hasilnya, kita akan mendapatkan formula

untuk menghitung bentuk limit tersebut dengan lebih mudah. Kajian sifat-

sifat limit tersebut dinamakan sebagai konsep turunan/derivatif .


http://gifanimation/31-Turunan%20sebagai%20kecepatan%20sesaat.gifhttp://gifanimation/31-Turunan%20sebagai%20kecepatan%20sesaat.gif


40/118


Definisi turunan: Misalkan f sebuah fungsi real dan x ∈ Df .Turunan dari f di titik x, ditulis f ′(x) = lim

h→0f (x+h)−f (x)

h

Latihan: Kerjakan soal-soal di bawah ini hanya dengan definisi turunan.1. Cari kemiringan garis singgung terhadap y = x2 − 2x di titik (2, 0). ♠2. Seekor bakteri berkembang sehingga beratnya setelah t jam adalah

12

t2 + 1 gram. Berapa laju perkembangannya pada saat t = 2 jam?

3. Massa sepotong kawat (1 dimensi) yang panjangnya sejauh x cm dari

ujung kirinya adalah x3 gram. Berapa rapat massanya pada posisi 3

cm dari ujung kirinya? ♠

Berikut disajikan berbagai notasi untuk turunan:

x x+h x t

( ) ( ) f x h f x

t x

( ) ( ) f t f x

h x x

y y( ) ( )

0li m

f x h f x

hh

( ) ( )li m

f t f x

t x t x

y

x x

y

x x x

0

li m y

x x

dy

dx

Leibniz

Simbol-simbol lain untuk turunan:

f ′(x) = dy

dx = D[f ] = Dx[f ]


http://demoteori/K1-3A-01.pdfhttp://demoteori/K1-3A-03.pdfhttp://demoteori/K1-3A-03.pdfhttp://solusi/K1-3A-02.pdfhttp://demoteori/K1-3A-01.pdf


41/118


Sifat: Bila f ′(c) ada maka f (x) kontinu di x = c.

Apakah kebalikan dari sifat di atas berlaku, artinya bila f (x) kontinu di c,

apakah f ′(x) ada? Untuk memahaminya, perhatikan fungsi f (x) =

|x

|.

Fungsi ini kontinu pada seluruh R. Gunakan definisi turunan untuk menen-tukan f ′(0). ♠

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, amatilah grafik di bawah ini, lalu

tentukan titik-titik di mana fungsi f (x) tak kontinu. Beri alasan yang jelas.

a b c d x

y

Aturan-aturan Turunan:• Misalkan k suatu konstanta, maka Dx[k] = 0 (buktikan !) ♠• Dx[x] = 1 ♠• Misalkan n ∈ N maka Dx[xn] = n xn−1 (buktikan !) ♠• Misalkan k suatu konstanta, maka Dx[k f (x)] = k Dx[f (x)] ♠

• Dx[(f

±g)(x)] = Dx[f (x)]

±Dx[g(x)]

• Dx[(f g)(x)] = Dx[f (x)] g(x)+f (x) Dx[g(x)] = f ′(x)g(x)+f (x)g′(x)• Dx[(f g )(x)] = Dx[f (x)] g(x)−f (x) Dx[g(x)](g(x))2 =

f ′(x)g(x)−f (x)g′(x)(g(x))2

• Misalkan n ∈ N maka Dx[x−n] = −n x−n−1 ♠


http://demoteori/K1-3T-00.pdfhttp://demoteori/K1-3T-01.pdfhttp://demoteori/K1-3T-02.pdfhttp://demoteori/K1-3T-03.pdfhttp://demoteori/K1-3T-04.pdfhttp://demoteori/K1-3T-08.pdfhttp://demoteori/K1-3T-08.pdfhttp://demoteori/K1-3T-04.pdfhttp://demoteori/K1-3T-03.pdfhttp://demoteori/K1-3T-02.pdfhttp://demoteori/K1-3T-01.pdfhttp://demoteori/K1-3T-00.pdf


42/118


Aturan Turunan Fungsi Trigonometri:

• Dx[sin x] = cos x (buktikan !) ♠ Dx[cos x] = − sin x

• Dx[tan x] = sec

2 x Dx[cot x] =

−csc2 x

• Dx[sec x] = sec x tan x Dx[csc x] = − csc x cot x

Soal-soal:

1. Tentukan turunan dari fungsi f (x) = x2−x+1x2+1

♠

2. Cari persamaan garis singgung terhadap y = 1x2+1

di titik (1, 12) ♠

3. Tentukan semua titik pada grafik y = 13x3 + x2 − x yang kemiringangaris singgungnya bernilai 1

4. Tentukan pers. garis singgung pada y = 4x − x2 yang melalui (2, 5).5. Seekor lalat merayap dari kiri ke kanan sepanjang kurva y = 7 − x2.

Seekor laba-laba menunggunya di titik (4, 0). Tentukan jarak antara

keduanya pada saat pertama kali saling melihat.

6. Tunjukkan kurva y = √ 2sin x dan y = √ 2cos x berpotongan tegaklurus pada 0 < x < π

2. ♠


http://demoteori/K1-3U-01.pdfhttp://demoteori/K1-3B-01.pdfhttp://demoteori/K1-3B-02.pdfhttp://demoteori/K1-3B-06.pdfhttp://demoteori/K1-3B-06.pdfhttp://solusi/K1-3B-05.pdfhttp://solusi/K1-3B-04.pdfhttp://solusi/K1-3B-03.pdfhttp://demoteori/K1-3B-02.pdfhttp://demoteori/K1-3B-01.pdfhttp://demoteori/K1-3U-01.pdf


43/118


Aturan Rantai

Aturan rantai berfungsi untuk menentukan turunan fungsi komposisi.

Misalkan f = f (u) dan u = u(x), bagaimanakah menghitung df dx

?

Ilustrasi: f (u) = sin2(u) dan u = x3 − 2x + 1. Berapakah df dx

Sifat: Misalkan f = f (u) dan u = u(x) maka df dx = df du

dudx

Contoh: Tentukan Dx[sin(x3 − 3x)]. ♠

Aturan rantai bersusun: Misalkan f = f (u), u = u(v), dan v = v(x)

maka

df

dx =

df

du

du

dv

dv

dx

Contoh: Tentukan Dx[sin3(x3 − 3x)]. ♠

Hati-hati dengan notasi f ′:

Mis. f = f (u) dan u = u(x), maka notasi f ′ berarti df du

, bukan df

dx.

Ilustrasi: f (x2) = sin(x2).

Disini u = x2 dan f ′ = cos(x2), tetapi df dx

= cos(x2) 2x


http://demoteori/K1-3U-02.pdfhttp://demoteori/K1-3U-03.pdfhttp://demoteori/K1-3U-03.pdfhttp://demoteori/K1-3U-02.pdf


44/118


Soal-soal:

1. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. y = x2−1x+4

4

b. y = sin xcos(2x)

3c. y = sin3(cos x)

d. y = sin3(cos x3)

e. y = sin(cos2 x3)

f. y = sin(cos(sin(2x)))

2. Sisi sebuah kubus bertambah dengan laju 16 cm/menit.

a. Cari laju pertambahan volumenya pada saat sisinya 20 cm.

b. Cari laju perubahan luas permukaannya saat sisinya 15 cm

3.

Perhatikan gambar roda-piston di samping. Roda berputar

berlawanaan jarum jam dengan laju 2 rad/detik. Pada saatt = 0, P berada di posisi (1, 0). Animation

a. Tentukan kedudukan titik P setiap saat.b. Tentukan ordinat dari titik Q setiap saat.c. Tentukan kecepatan gerak titik Q.

4. Dua buah kapal bertolak dari titik yang sama. Kapal A bergerak ke timur dengan

laju 20 km/jam. Kapal B bergerak ke utara dengan laju 12 km/jam. Seberapacepat mereka berpisah setelah 3 jam?

5. Tentukan titik potong garis singgung terhadap kurva f (x) = x cos(x2) di x =

π3

dengan sumbu-x.


http://gifanimation/32-Turunan,%20Gerak%20Roda%20Piston.gifhttp://solusi/K1-3C-05.pdfhttp://solusi/K1-3C-04.pdfhttp://solusi/K1-3C-03.pdfhttp://gifanimation/32-Turunan,%20Gerak%20Roda%20Piston.gifhttp://solusi/K1-3C-02.pdfhttp://solusi/K1-3C-01.pdf


45/118


Turunan tingkat tinggi

Turunan tingkat tinggi adalah fungsi yang diperoleh dengan menurunkan

sebuah fungsi beberapa kali. Pembahasan turunan tingkat tinggi memegang

peranan penting pada banyak aplikasi, diantaranya: masalah kecekungangrafik fungsi, masalah percepatan gerak sebuah benda, masalah hampiran

nilai fungsi, masalah rangkaian listrik dan lain-lain. ♠

Misalkan f (x) sebuah fungsi dan f ′(x) turunan pertamanya.

Turunan kedua dari f : f ′′(x) = D2x[f ] = d2f dx2

= limh→0

f ′(x+h)−f ′(x)h

Dengan cara yang sama turunan ketiga, keempat dst. diberi notasi:

f ′′′(x) = D3x[f ] = d3f

dx3 , f (4)(x) = D4x[f ] =

d4f

dx4 , · · ·

Misalkan S (t) menyatakan posisi sebuah partikel yang sedang bergerak.

Kecepatan partikel tersebut adalah turunan pertama dari fungsi posisinya,v(t) = S ′(t), sedangkan percepatannya a(t) = v′(t) = S ′′(t).

Contoh: 1. Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dengan posisi

tiap saat S (t) = t3 − 12t2 + 36t − 30.a. Kapan kecepatannya nol? b. Kapan kecepatannya positif?

c. Kapan dia bergerak mundur? d. Kapan percepatannya positif?

e. Ilustrasikan gerak partikel tersebut ♠

2. Cari rumus umum turunan ke n dari y = 11−x.


http://motivasi/Turunan%20Tingkat%20Tinggi%20-%20Jerk%20System.pdfhttp://demoteori/K1-3D-01.pdfhttp://solusi/K1-3D-02.pdfhttp://demoteori/K1-3D-01.pdfhttp://motivasi/Turunan%20Tingkat%20Tinggi%20-%20Jerk%20System.pdf


46/118


Pendiferensialan Implisit:

Pada pembahasan sebelum ini kita selalu membahas fungsi berbentuk

y = f (x). Bentuk ini dinamakan bentuk eksplisit.

2

1

x

y3 37 y y x

Beberapa fungsi ekspresinya berbentukF (x, y) = 0. Bentuk seperti ini disebut

bentuk implisit. Sebagai contoh,

perhatikan fungsi berikut y3 + 7y = x3.

Bagaimana kita menghitung dydx

dari

fungsi tersebut?

Untuk mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi berbentuk implisit,gunakan prinsip berikut ini:

Prinsip: Perhatikan bentuk implisit F (x, y) = 0. Untuk mencari dydx

,

turunkan kedua ruas terhadap x dengan mengingat bahwa y = y(x).

Untuk mencari d2y

dx2, kita pandang turunan pertama sebagai G(x,y,y′), lalu

turunkan terhadap x dengan mengingat y = y(x) dan y′ = y ′(x).

Sifat: Bila r ∈ Q maka Dx[xr] = r xr−1 ♠Soal-soal:

1. Carilah dydx

dan d2y

dx2 dari

a. y3 + 7y − x3 = 0

b. x3y4 − 1 = 0c.

sin(xy2) = 0

d. y2

x3 − 1 = y3

2

2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal (garis yang ⊥thd garis singgung) terhadap y3 − xy2 + cos(xy) = 2 di titik (0, 1).

3. Tunjukkan hiperbola xy = 1 dan x2 − y2 = 1 berpotongan ⊥.


http://demoteori/K1-3U-04.pdfhttp://solusi/K1-3E-03.pdfhttp://solusi/K1-3E-02.pdfhttp://solusi/K1-3E-01C.pdfhttp://solusi/K1-3E-01B.pdfhttp://solusi/K1-3E-01A.pdfhttp://demoteori/K1-3U-04.pdf


47/118


Diferensial dan Aproksimasi:

Pada bagian ini kita akan mempelajari metode sederhana untuk mengham-

piri nilai fungsi. Aproksimasi ini diperlukan karena banyak sekali fungsi

yang sukar (bahkan tidak mungkin) dihitung nilainya secara eksak. Con-

toh: sin(310), √ 4, 1, 10log 23, dan lain-lain.Misalkan y = f (x). Pada hampiran diferensial, nilai yang akan kita hitung

pada titik x tertentu, yaitu f (x), digantikan dengan nilai pada garissinggung terhadap f di suatu titik (x0, y0).

dy

y

x

x0

x

P y0

y=f(x)

x

y

Q

R

S

x0

x

y0

y=f(x)

x

y

nilai f(x)

hampiran f(x)

Perhatikan grafik y = f (x). Akan dihitung hampiran nilai f (x). Pilihtitik x0 yang ”dekat” dengan titik x dan nilai fungsinya, f (x0), mudah

untuk dihitung. Selanjutnya kita definisikan beberapa istilah berikut:

• Diferensial dari peubah bebas x adalah dx = ∆x = x − x0.• ∆y = f (x) − f (x0)• Diferensial dari peubah tak bebas y adalah dy = f ′(x0) dx

Arti geometri dari ∆y dan dy dapat dilihat pada gambar sebelah kanan(beri penjelasan!).

Secara umum nilai ∆y dengan dy tidak sama. Namun demikian, bila titik

x dan x0 ”dekat” maka perbedaan ∆y dengan dy juga dekat. Hal ini

mendasari hampiran penting berikut:

f (x)

−f (x0) = ∆y

≈ dy = f ′(x0) dx



48/118


Soal-Soal Latihan Turunan:

1. Gunakan hampiran diferensial untuk menaksir nilai (a)√

3.9 ♠ (b) sin( 31180

π)

2. Dari pengukuran diperoleh rusuk sebuah kubus 11,4 cm dengan galat/ kesalahan±0,05 cm Hitung volume kubus dan taksir kesalahannya. ♠

3. Limit berikut merupakan suatu turunan. Tentukan fungsi asalnya dan turunannya(menggunakan aturan turunan).

a. limh→0

3(2+h)2−3(2)2h

b. lim∆x→0

tan(π4+∆x)−1∆x

c. lim p→x

3/p−3/x p−x

d. limx→π

2

sinx−1x−π

2

4. Gambarkan sebuah fungsi f yang memenuhi semua kriteria berikut:

• Daerah definisinya Df = [−2, 3]• f (−2) = f (−1) = f (0) = f (1) = f (2) = f (3) = 1• f kontinu di Df kecuali di −2, −1, 1• lim

x→−1−f (x) = lim

x→1+f (x) = 2, dan lim

x→1−f (x) = 1

2

• f tidak memiliki turunan di 0 dan 2.5. Sebuah kotak baja berbentuk kubus, tebal dindingnya 0,25 cm dan volumenya

1000 cm3. Gunakan diferensial untuk mengaproksimasi volume bahannya.

6. Sebuah bak berbentuk kerucut terbalik diisi air dengan laju 8 dm3/menit. Bilatinggi kerucut 12 dm dan jari-jari atasnya 6 dm, tentukan laju permukaan air naik

pada saat tinggi air 4 dm.

7. Pada tengah hari, sebuah pesawat terbang ke utara melewati kota Bandung den-gan kecepatan 640 km/jam. Pesawat kedua bergerak ke timur dengan kecepatan600 km/jam dan melintasi Bandung 15 menit kemudian. Bila keduanya terbangdengan ketinggian yang sama, seberapa cepat mereka berpisah pada Pk 13.15

8. Sebuah tongkat panjang 20 dm bersandar di dinding. Ujung bawah tongkat ditarik

sepanjang lantai menjauhi dinding dengan kecepatan 2 dm/detik. Pada saat ujungbawahnya berjarak 4 dm dari dinding, seberapa cepat ujung tangga atas bergeser

menuruni dinding. Animation

9.

Tangki di sebelah kiri (ukuran dalam dm) diisiair dengan laju 2 liter/menit. Seberapa cepatpermukaan air naik pada saat tinggi air 30 dm?

Petunjuk: Tunjukkan volume air pada kerucut terpotong dengan jari-jari alas a, jari-jari atas bdan tinggi h adalah V = 13πh(a

2 + ab + b2)


http://demoteori/K1-3F-01A.pdfhttp://demoteori/K1-3F-02.pdfhttp://solusi/Tongkat.gifhttp://solusi/K1-3F-09.pdfhttp://solusi/K1-3F-08.pdfhttp://solusi/Tongkat.gifhttp://solusi/K1-3F-07.pdfhttp://solusi/K1-3F-06.pdfhttp://solusi/K1-3F-05.pdfhttp://solusi/K1-3F-04.pdfhttp://solusi/K1-3F-03.pdfhttp://demoteori/K1-3F-02.pdfhttp://solusi/K1-3F-01B.pdfhttp://demoteori/K1-3F-01A.pdf


49/118


Penggunaan Turunan

Pada bagian ini akan dikaji mengenai penggunaan turunan untuk berbagai

aplikasi sederhana. Pembahasan teori meliputi maksimum dan minimum

fungsi, kemonotonan, kecekungan, titik belok, asimtot datar/tegak/miring.

Hasil akhir dirangkum dalam proses penggambaran grafik fungsi. Selain

itu disajikan juga beberapa aplikasi pada masalah-masalah fisis sederhana

dalam bentuk soal-soal latihan.

Maksimum & Minimum Nilai Fungsi

Misalkan f sebuah fungsi dengan daerah definisi Df dan c ∈ Df .f disebut mencapai maksimumminimum di c bila

f (c)≥f (x)f (c)≤f (x) ∀ x ∈ Df .

Nilai f (c) disebut nilai maksimumnilai minimum

.

Titik di mana f mencapai maksimum/minimum disebut titik ekstrim.

Amatilah grafik berikut ini, lalu beri tanda checklist atau tanda × padakotak yang bersesuaian.

x x x

y y y

maksimum ada maksimum ada maksimum ada minimum ada minimum ada minimum ada

Sifat: Bila f kontinu dan daerah definisinya berupa selang tutup [a, b]

maka f mempunyai titik maksimum dan titik minimum.



50/118


Ilustrasi berikut menggambarkan tempat terjadinya titik ekstrim.

maks

min

maks

min

min

maks

x x x

y y y

Dari ilustrasi di atas dapat disimpulkan calon titik ekstrim hanya ada

tiga macam, yaitu:

• Titik ujung interval

• Titik yang bersifat f ′(x) = 0, dinamakan titik stasioner.• Titik di mana turunan f tidak ada, disebut titik singular

Titik

kritis

Soal-Soal Latihan

1. Tentukan semua titik ekstrim dari fungsi-fungsi berikut:

a. f (x) = −2x3 + 3x2 pada [−12, 2]. ♠b. g(x) = x

23 pada [−1, 2].

2. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil

kalinya maksimum.

3. Carilah bilangan yang bila dikurangi kuadratnya bernilai maksimum.

(bilangan tersebut berada diantara 0 dan 1, mengapa?). ♠

4.

Sebuah kotak persegipanjang dibuat

dari selembar kertas dengan memo-

tongnya sisi-sisinya sepanjang x cm

dan melipatnya. Tentukan x supaya

volumenya maksimum.


http://demoteori/K1-4A-01A.pdfhttp://demoteori/K1-4A-03.pdfhttp://solusi/K1-4A-04.pdfhttp://demoteori/K1-4A-03.pdfhttp://solusi/K1-4A-02.pdfhttp://solusi/K1-4A-01B.pdfhttp://demoteori/K1-4A-01A.pdf


51/118


5. Kawat sepanjang 16 cm dipotong jadi dua bagian. Salah satu potongan

dibentuk jadi bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran.

Berapa ukuran potongan tersebut agar:

a. Jumlah total luasnya minimum.

b. Jumlah total luasnya maksimum.

6. Sebuah kerucut dibuat dari potongan selembar lingkaran kertas berjari-

jari 10 cm. Tentukan volume maksimum kerucut yang dapat dibuat.


http://solusi/K1-4A-06.pdfhttp://solusi/K1-4A-05.pdf


52/118


Kemonotonan Grafik Fungsi

Pasal ini membahas tentang naik turunnya grafik sebuah fungsi. Bila

grafiknya naik, dikatakan fungsi tersebut monoton naik, sebaliknya bila

grafiknya turun, dikatakan monoton turun. Bila grafiknya konstan, dikatakan

fungsi tersebut monoton tak turun atau monoton tak naik. Dalam matem-

atika, konsep seperti ini dinyatakan dalam suatu aturan formal yang memu-

dahkan untuk dievaluasi/dikalkulasi.

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval I .

• f disebut monoton naik pada I bila ∀ x1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2)

• f disebut monoton turun pada I bila

∀x

1 < x

2 =

⇒f (x

1) > f (x

2)

• f monoton tak turun pada I bila ∀ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2)• f monoton tak naik pada I bila ∀ x1 < x2 =⇒ f (x1) ≥ f (x2)

x

y

x

y

x

y

x

y

f monoton naik f monoton turun f monoton tak turun f monoton tak naik

x1

x2

x1

x2

x1

x2

x1

x2

y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)

Sifat berikut ini merupakan alat untuk menguji kemonotonan sebuah fungsi.

• Bila f ′(x) > 0 pada setiap x di interval I maka f naik.• Bila f ′(x) < 0 pada setiap x di interval I maka f turun.

x

y y=f(x)

f ’(x)>0

x

y y=f(x) f ’(x)


53/118


Ekstrim Lokal ♠

Misalkan f sebuah fungsi dengan daerah definisi S dan c ∈ S .f dikatakan mencapai maksimumminimum lokal di c bila terdapat interval (a, b)

yang memuat c sehingga f mencapai maksimumminimum di (a, b) ∩ S .

maxglobal maxlokal maxlokal maxlokalminglobalminlokal

minlokal

x

y

)[ )( )( )( )( )( ](

property of WD2011

Seperti pada masalah ekstrim global, calon-calon ekstrim lokal adalah titik-

titik kritis. Berikut ini disajikan aturan untuk menguji titik ekstrim lokal:

Misalkan fungsi f kontinu pada interval buka (a, b) dan c titik kritis dari

f . Periksa tanda dari f ′(x) di kiri dan kanan dari titik c.

• Bila tanda f ′(x) berubah dari negatif ke positif maka c titik minimum lokal• Bila tanda f ′(x) berubah dari positif ke negatif maka c titik maksimum lokal• Bila tanda f ′(x) tidak berubah dan f ′(x) = 0, maka c bukan titik ekstrim lokal

f ' ( x ) >

0

f ' ( x ) 0

+ + +- - - + + + - - - + + + + + + x

y

x

y

x

y

Diskusi: Apakah titik ekstrim global termasuk ekstrim lokal?

Contoh: Tentukan semua titik ekstrim lokal dari f (x) = x2−2x+4

x−2 ♠


http://gifanimation/33-Turunan,%20maks%20min%20lokal.gifhttp://demoteori/K1-4B-02.pdfhttp://demoteori/K1-4B-02.pdfhttp://gifanimation/33-Turunan,%20maks%20min%20lokal.gif


54/118


Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal:

Misalkan f ′′(x) ada pada (a, b) dan c titik stasioner dari f (x), maka:

• bila f ′′(c) 0 maka c adalah titik minimum lokal.

Contoh: Dengan uji turunan kedua, tentukan semua titik ekstrim lokal

dari f (x) = x2−2x+4

x−2 .

Kecekungan dan Titik Balik/Belok

Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c.

• f disebut cekung ke atas bila f ′ monoton naik.• f disebut cekung ke bawah bila f ′ monoton turun.• Titik c disebut titik balik/belok bila terjadi perubahan kecekungan di

kiri dan kanan c.

cekung ke atas cekung ke bawah cekungke bawah

cekungke atas

titik balik

x

y

x

y

x

y

Pengujian kecekungan: Misalkan fungsi f terdiferensial dua kali padainterval buka (a, b),

• Bila f ′′(x) > 0 maka f cekung ke atas.• Bila f ′′(x) < 0 maka f cekung ke bawah.

Contoh: Tentukan kecekungan dan titik balik dari

(a) f (x) = x3 (b) f (x) = 13x2/3

(c) f (x) = x2−2x+4

x−2 ♠


http://demoteori/K1-4C-03.pdfhttp://demoteori/K1-4C-03.pdfhttp://solusi/K1-4C-02.pdfhttp://solusi/K1-4C-01.pdfhttp://solusi/K1-4B-03.pdf


55/118


Soal-Soal Latihan

1. Cari (jika ada) titik-titik ekstrim dari

(a) f (x) = x4 − 4x (b) f (x) = xx3+2

2. Sebuah surat akan diketik pada kertas denganbatas-batas seperti pada gambar di samping.

Bila luas tulisan 50 cm2, Berapa ukuran x dan

y supaya luas kertas seminimum mungkin.

3. Anton berada di perahu dayung 2 km dari titik terdekat B pada sebuah

pantai. Ia melihat rumahnya yang terletak di pantai, 6 km dari titik B,

sedang terbakar. Bila Anton dapat mendayung dengan laju 6 km/jamdan berlari 10 km/jam, Tentukan jalur yang harus diambilnya supaya

secepat mungkin sampai di rumah.

4. Tentukan ukuran sebuah tabung lingkaran tegak yang volumenya sebe-

sar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut beruku-

ran tinggi a cm dan jari-jari alas b cm.

5. Pagar setinggi h meter berdiri sejajar sebuahgedung tinggi, sejauh w meter darinya. Ten-

tukan panjang tangga minimum yang dapat

digunakan agar ujung-ujungnya menyentuh

tanah dan dinding gedung.h

w

g

e

d

u

n

g

6.

x

a

B

A

z C

DSecarik kertas berbentuk persegi panjang dengan

lebar a, salah satu sudutnya dilipat seperti padagambar di samping kiri. Tentukanlah x agar:

(a) Luas segitiga BCD maksimum.

(b) Luas segitiga ABC minimum.

(c) panjang z minimum.


http://solusi/K1-4D-06.pdfhttp://solusi/K1-4D-05.pdfhttp://solusi/K1-4D-04.pdfhttp://solusi/K1-4D-03.pdfhttp://solusi/K1-4D-02.pdf


56/118


7.

Prinsip Fermat dalam optik mengatakan

bahwa cahaya melintas dari titik A ke B

sepanjang jalur yang memerlukan waktutersingkat. Misalkan cahaya melintas di

medium satu dengan kecepatan c1 dan di

medium kedua dengan kecepatan c2. Per-

lihatkan bahwa sin αc1 = sin β

c2


http://solusi/K1-4D-07.pdf


57/118


Garis Asimtot

Garis Asimtot adalah garis lurus yang ”didekati” oleh fungsi f (x) bila

x → −∞ atau x → ∞. Ada tiga jenis asimtot, yaitu asimtot tegak,asimtot datar dan asimtot miring. Aturan mencari asimtot tegak dan

datar telah dibicarakan pada pasal limit tak hingga. Pada pasal ini akan

dibahas asimtot miring.

Garis y = ax + b disebut asimptot miring

terhadap fungsi f bila memenuhi salah satu dari:

(a) limx→∞

f (x) − (ax + b) = 0

(b) limx→−∞ f (x) − (ax + b) = 0

y = a x + b

y=f (x )

x

y

Menentukan asimptot miring:

a. Hitung limx→∞

f (x)x

, bila hasilnya takhingga atau nol maka asimptot mir-

ing tidak ada, bila berhingga dan tak nol maka hasilnya a.

b. Hitung limx

→∞(f (x)

−ax), bila hasilnya takhingga maka asimptot miring

tidak ada, bila bukan takhingga maka hasilnya adalah b.

c. Lakukan langkah (a) dan (b) untuk x → −∞. ♠

Contoh: Tentukan semua asimptot dari f (x) = x2−2x+4

x−2 ♠


http://demoteori/K1-4T-01.pdfhttp://demoteori/K1-4E-01.pdfhttp://demoteori/K1-4E-01.pdfhttp://demoteori/K1-4T-01.pdf


58/118


Menggambar Grafik Fungsi:

Pada pasal ini, hasil-hasil yang telah kita bicarakan sebelumnya meliputi

konsep, kemonotonan, ekstrim lokal, kecekungan, titik balik, dan garis

asimtot akan kita rangkum untuk menggambar grafik sebuah fungsi. Se-cara umum, langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi disajikan

dalam prosedur berikut:

• Tentukan daerah definisinya• Tentukan (jika mudah) perpotongan f dengan sumbu-sumbu koordinat• Periksa kesimetrian grafik, apakah fungsi ganjil atau genap.• Dengan uji turunan pertama, tentukan daerah kemonotonan dan titik-

titik ekstrim lokal & global.

• Dengan uji turunan kedua, tentukan daerah kecekungan dan titik-titikbaliknya.

• Tentukan asimptot-asimptot dari f .

• Sketsakan grafik f .

Contoh: Sketsakan grafik (a) f (x) = 3x5−20x3

20 (b) f (x) = x

2−2x+4x−2 ♠


http://demoteori/K1-4F-02.pdfhttp://demoteori/K1-4F-02.pdfhttp://solusi/K1-4F-01.pdf


59/118


Teorema Nilai Rata-Rata:

Perhatikan sebuah mobil yang bergerak dan menempuh perjalanan sejauh

180 km dalam waktu 3 jam. Kecepatan rata-rata mobil tersebut adalah180

3

= 60 km/jam. Kecepatan mobil pada saat awal berangkat tentunya

berada di bawah 60 km/jam. Setelah beberapa saat kecepatannya akan

naik dan mungkin berubah-ubah. Timbul pertanyaan, ”Mungkinkah mobil

tersebut tidak pernah mencapai kecepatan 60 km/jam?” Pada pasal ini

kita akan memeriksanya secara eksak melalui hitungan matematika.

Teorema Nilai Rata-Rata Misalkan f kontinu pada [a, b] dan terdiferen-

sial di (a, b), maka terdapat titik c ∈

(a, b) dengan sifat: f ′(c) = f (b)−f (a)b−a

.

Animation

c c d e x

y

x

y

Contoh:

1. Pada soal berikut, carilah titik c yang memenuhi teorema nilai rata-rata

(a) f (x) = 2√

x pada [1, 4] ♠ (b) f (x) = x2/3 pada [−8, 27] ♠2. Bu Hilda berangkat Pk. 6.00 dari Bandung menuju Jakarta dan tiba

Pk 9.00. Jarak tempuh perjalanan adalah 180 km. Menurut Bu

Hilda, speedometer kendaraannya selalu menunjukkan angka dibawah

60 km/jam. Tunjukkan speedometer tersebut sudah tidak akurat. ♠


http://gifanimation/37-Turunan,%20Teorema%20Nilai%20Rata%20Rata.gifhttp://demoteori/K1-4G-01.pdfhttp://demoteori/K1-4G-02.pdfhttp://demoteori/K1-4G-03.pdfhttp://demoteori/K1-4G-03.pdfhttp://demoteori/K1-4G-02.pdfhttp://demoteori/K1-4G-01.pdfhttp://gifanimation/37-Turunan,%20Teorema%20Nilai%20Rata%20Rata.gif


60/118


Soal-soal Latihan

1. Tentukan limit-limit berikut:

a. limx

→∞

3−2xx+5

b. limx→∞

3x√ x+3x+1x2−x+11

c. limx→∞

2x+1√ x2+3

d. limx→−∞

2x+1√ x2+3

e. limx→∞

√ 2x2 + 3 − √ 2x2 − 5

f. limx→−∞

9x3+1x2

−2x+2

g. limx→3+

3+x3−x

h. limx→3−

3+x3−x

j. limx→0−

1+cos xsin x

2. Tentukan asimptot-asimptot dari :a. f (x) = 2xx−3 b. f (x) = 2x

4−3x3−2x−4x3−1

3. Buat sketsa grafik yang memenuhi semua kriteria berikut:

• f kontinu diseluruh R• f (2) = −3, f (6) = 1

• f ′(2) = 0, f ′(6) = 3.• f ′(x) > 0 untuk x = 2.• f ′′(6) = 0, dan f ′′(x) > 0 untuk 2 < x 6.

4. Sketsakan grafik fungsi f (x) = 4xx2+2

.


http://solusi/K1-4H-03.pdfhttp://solusi/K1-4H-01H.pdfhttp://solusi/K1-4H-01G.pdfhttp://solusi/K1-4H-01D.pdfhttp://solusi/K1-4H-01C.pdf


61/118


Anti Turunan/Integral Tak Tentu

Pada beberapa pasal sebelumnya kita telah mempelajari konsep turunan

disertai beberapa aplikasinya. Pada pasal ini akan dipelajari konsep keba-

likannya. Sebelum kita membahas konsep matematikanya, perhatikanlah

beberapa contoh berikut ini

a. Sebuah mobil berangkat dari kota A menuju kota B. Kecepatan mobil

setiap saat adalah

V (t) =

2t 0 ≤ t ≤ 1020 10 < t ≤ 720020

−4(t

−7200) 7200 < t

≤ 7205

meter/detik.

Berapa jarak yang ditempuhnya setelah 500 detik? ♠

b. Tentukan kurva-kurva yang kemiringan garis singgungnya di setiap titik

selalu dua kali absisnya. ♠

c. Sebuah cangkir diisi dengan air mendidih, kemudian diletakkan pada

rua

Documents

Diktat Kalkulus Visual Part 1