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Introduction to probability
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Conceptos fundamentales de probabilidad
G. Edgar Mata Ortiz
„The most important questions of life are
indeed, for the most part, really only
problems of probability."
Pierre-Simon Laplace
(Théorie Analytique des Probabilités: 1812)
Las preguntas más importantes de la vida son, en su mayor parte, realmente sólo
problemas de probabilidad
Introducción
Determinísticos o deterministas
- Son aquellos en los que podemos predecir su resultado,
aún antes de realizar un experimento
- Ejemplo: El valor de una variable en cualquier fórmula de
física
Dos tipos de fenómenos
Introducción
Aleatorios
- Son aquellos en los que no podemos predecir su
resultado, sin importar cuánta información tengamos
disponible
- Ejemplo: El resultado al lanzar un dado
Dos tipos de fenómenos
Introducción
El estudio de los fenómenos aleatorios es menos
usual que el de los fenómenos determinísticos.
Se estudia la geometría y física, donde las fórmulas
nos entregan resultados exactos y predecibles
Los fenómenos aleatorios
b = base
h = altura
Área del triángulo
Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y
hechos de la vida cotidiana, no tienen este
comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los
resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios
Introducción
Sin embargo, la mayor parte de los fenómenos y
hechos de la vida cotidiana, no tienen este
comportamiento.
Muchos fenómenos son aleatorios, es decir, los
resultados no son predecibles.
La probabilidad se ocupa del estudio de los:
La probabilidad y los fenómenos aleatorios
Conceptos fundamentales
Definición de la real academia española
¿Qué es probabilidad?
Conceptos fundamentales
Como pudimos observar, la palabra probabilidad tiene
varios significados.
Es conveniente distinguir los diversos significados de
acuerdo al uso que se hace de la palabra
probabilidad.
Vamos a estudiar los cuatro enfoques de probabilidad:
Probabilidad subjetiva, probabilidad frecuencial,
probabilidad clásica y probabilidad axiomática
¿Qué es probabilidad?
Conceptos fundamentales
¿Qué es probabilidad?
Probabilidad
Subjetiva Objetiva
Frecuencial Clásica Axiomática
Conceptos fundamentales
Es el grado de certeza que tenemos de que un suceso
va a ocurrir.
Suele indicarse como un número decimal, menor que
uno o como un porcentaje.
Probabilidad subjetiva
Conceptos fundamentales
Se basa en la opinión personal, la experiencia o la
intuición
En ocasiones hace uso de datos históricos.
No siempre se cuantifica
Probabilidad subjetiva
Conceptos fundamentales
Las estimaciones subjetivas de probabilidad cambian
de una persona a otra
No es necesario realizar ningún experimento para
estimar la probabilidad subjetiva de un evento
Probabilidad subjetiva
Conceptos fundamentales
A pesar del uso ocasional de datos históricos, dichas
estimaciones presentan un elevado grado de
incertidumbre
No obstante dicha incertidumbre, en muchas
circunstancias, es necesario recurrir a la probabilidad
subjetiva.
Probabilidad subjetiva
Conceptos fundamentales
Richard Von Mises
Generalmente la teoría de
probabilidad es considerada
una rama de las matemáticas,
sin embargo, sus fundamentos
son puramente filosóficos, y
Richard von Mises, desarrolló
la correcta teoría de
probabilidad objetiva o “de
frecuencia”.
Probabilidad frecuencial
Conceptos fundamentales
Es una forma empírica de calcular
probabilidades
Es necesario repetir el experimento
varias veces para calcular la
probabilidad
La tabla muestra el número de veces
que se obtuvo cada resultado al lanzar
dos dados, cien veces.
Probabilidad frecuencial
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
Conceptos fundamentales
Cuanto más
grande es el
número de veces
que se lanzan los
dados, la
frecuencia relativa
se aproxima a la
probabilidad de
ocurrencia de
cada evento
Probabilidad
frecuencial Resultados 100 1000 30000 100000
2 0.05000 0.02200 0.02737 0.02825
3 0.09000 0.05700 0.05483 0.05558
4 0.10000 0.07700 0.08607 0.08156
5 0.09000 0.11100 0.10947 0.11214
6 0.15000 0.14000 0.13927 0.13915
7 0.15000 0.17800 0.16720 0.16560
8 0.11000 0.13700 0.13530 0.13961
9 0.14000 0.11300 0.11177 0.11169
10 0.07000 0.08800 0.08503 0.08336
11 0.04000 0.05400 0.05570 0.05501
12 0.01000 0.02300 0.02800 0.02805
Probabilidades frecuenciales
Conceptos fundamentales
La probabilidad frecuencial, a diferencia de la
subjetiva, siempre se cuantifica
Puede expresarse como fracción, número decimal o
porcentaje
Se calcula mediante la fórmula:
Probabilidad frecuencial
𝑝 𝒂 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑣𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑜 𝒂
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
Conceptos fundamentales
Ejemplo de aplicación de la fórmula:
Se lanzan dos dados 100 veces y se
cuenta el número de ocasiones en las
que la suma de las caras es igual a 2,
3, 4, ..., 12
La tabla de la derecha contiene los
resulados de este experimento
aleatorio
Probabilidad frecuencial
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
Conceptos fundamentales
Ejemplo de aplicación de la fórmula:
En la tabla de distribución de
frecuencias, se observa que el número
3 se obtuvo en 9 ocasiones, por lo
tanto:
También puede expresarse como: 9%
Probabilidad frecuencial
𝑝 3 =9
100𝑝 3 = 0.09
Resultados 100
2 5
3 9
4 10
5 9
6 15
7 15
8 11
9 14
10 7
11 4
12 1
Conceptos fundamentales
La ley de los grandes números
(también llamada ley del azar),
propuesta por J. Bernoulli,
afirma que al repetir un
experimento aleatorio un
número cada vez más grande
de veces, la frecuencia relativa
de cada suceso elemental
tiende a aproximarse a un
número fijo, llamado
probabilidad de un suceso.
Probabilidad frecuencial
Jakob Bernoulli (Basilea, 27 de
diciembre de 1654 -ibíd. 16 de
agosto de 1705), también conocido
comoJacob, Jacques o James
Bernoulli, fue un
genialmatemático y científico suizo y
hermano mayor deJohann
Bernoulli (parte de la familia Bernoulli).
Conceptos fundamentales
Estableció la “regla de Laplace”
para el cálculo de
probabilidades cuando los
eventos posibles en un
experimento aleatorio tienen la
misma probabilidad de suceder.
Además de sus trabajos sobre
probabilidad se destacó en
ecuaciones diferenciales y
mecánica celeste.
Probabilidad clásica
Pierre Simón Marqués de
Laplace.(1749-1827)
Conceptos fundamentales
La probabilidad de un evento es la razón entre el
número de casos favorables y el número total de
casos que pueden presentarse, siempre que los
resultados sean equiprobables.
Es una forma de probabilidad objetiva
No es necesario realizar ningún experimento para
determinar la probabilidad de un evento
Probabilidad clásica
𝑝 𝐴 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝐴
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠
Conceptos fundamentales
Un ejemplo típico de este modelo de probabilidad
hace referencia al lanzamiento de una moneda “legal“
Entendemos por “legal“, que la probabilidad de que se
obtenga un águila o un sol es la misma, son eventos
equiprobables.
Entonces, el número de casos favorables para que se
obtenga un águila es 1, y el número de casos totales
es dos
Probabilidad clásica
𝑝 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 á𝑔𝑢𝑖𝑙𝑎
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=1
2
Conceptos fundamentales
Otro ejemplo citado con frecuencia es el lanzamiento
de un dado
Se asume que, al igual que en la moneda, la
probabilidades de cada cara del dado, es la misma.
Entonces, el número de casos favorables para que se
obtenga, por ejemplo, un tres; es 1, y el número de
casos totales es seis
Probabilidad clásica
𝑝 𝑡𝑟𝑒𝑠 =𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑎 𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠=1
6
Conceptos fundamentales
Andréi Kolmogórov,
matemático ruso, entre
muchos otros trabajos
científicos, estructuró el
sistema axiomático de la
probabilidad.
Se basó en la teoría de
conjuntos.
Fundamenta matemáticamente
la probabilidad.
Probabilidad axiomática
Andréi Kolmogórov.
Conceptos fundamentales
Axiomas de la probabilidad
- La probabilidad de un suceso X es un número real
mayor o igual a cero: P(X)≥0
- La probabilidad del universo W es igual a 1: P(W)=1
- Si A1, A2, … Ai son sucesos mutuamente
excluyentes, entonces P(A1UA2…UAi) = SP(Ai)
Probabilidad axiomática
Gracias por su atención
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