19-11-2013

INSTITUTO

TECNOLOGICO Y DE

ESTUDIOS SUPERIORES DE

MONTERREY

MÉTODOS NUMÉRICOS

PARA INGENIERÍA

CLARISSA ARGUMEDO

MAT. A01243216

INTERPOLACIÓN DE NEWTON

INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

REGLA TRAPEZOIDAL

1

INDICE

Polinomio de interpolación de Newton……………….……………..(Pág. 2)

Polinomio de interpolación de Lagrange………………..………….(Pág. 11)

Regla Trapezoidal…………………………………………………….(Pág.22)

2

Polinomio de Interpolación de Newton

Con la interpolación se pretende obtener, mediante una serie de puntos en el plano

𝑥𝑦, una ecuación que pase por todos ellos y que confirme los puntos actuales y

pueda, mediante la función, predecir los siguientes puntos. Este es uno de varios

métodos para llegar a un mismo resultado. Una vez que las matrices se vuelven

excesivas es mejor optar por los métodos de interpolación de datos. Es aquí donde

el polinomio de interpolación de Newton y su método de diferencias divididas,

puede facilitar la obtención de una función por medio de puntos.

En una interpolación lineal tendríamos:

𝑥 𝑥0 𝑥1

𝑦 𝑦0 𝑦1

Se necesita calcular la pendiente (𝒎) de la recta:

𝑚 =(𝒚𝟏 − 𝒚𝟎)

(𝒙𝟏 − 𝒙𝟎)

La fórmula general para la ecuación de una recta es:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑦0 + (𝒚𝟏−𝒚𝟎)

(𝒙𝟏−𝒙𝟎) (𝑥 − 𝑥1)

Para 𝑛 número de puntos o datos, el polinomio, siguiendo el método anterior para

dos puntos sería:

𝑓(𝑥) = 𝑦0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯

+ 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)

Donde 𝑏𝑛 sería la pendiente de cada recta siendo 𝑏𝑛 una diferencia.

Ahora bien, teniendo el siguiente problema a resolver con la interpolación de

Newton.

El pentóxido de dinitrógeno gaseoso puro reacciona en un reactor

intermitente según la reacción estequiométrica reversible.

3

𝑵𝟐𝑶𝟓 ⇆ 𝟐𝑵𝟐𝑶𝟒 + 𝑶𝟐

Calculamos la concentración de pentóxido de dinitróeno existente en

ciertos instantes, obteniendo los siguientes datos:

T(s) 0 200 400 650 1100 1900 2300

C 5.5 5.04 4.36 3.45 2.37 1.32 0.71

Si lo tenemos en el reactor un tiempo máximo de 35 minutos (2100

segundos), ¿cuál es la concentración de pentóxido de dinitrógeno que

queda sin reaccionar?

El problema anterior se resolverá por el método de la interpolación de Newton de

las diferencias divididas, ayudándose además del programa .

A continuación se desarrollará la resolución del problema paso por paso.

Lo primero que se debe hacer es abrir el programa, esto le creará la siguiente vista.

4

Es necesario utilizar, en Geogebra ® una hoja de cálculo para facilitar el cálculo de

las diferencias. Los datos anteriores nos generarán un polinomio de grado 6. Para

crear la hoja de cálculo vaya a la pestaña de:

>

Tendrá la siguiente vista.

Introduzca los datos brindados anteriormente por el problema en la hoja de

cálculo.

Siendo un polinomio de grado 6, se obtienen 6 diferencias. Es necesario indicar en

el programa que se debe mostrar por lo menos un redondeo de 5 cifras. Para esto

se dirige a la pestaña Opciones>Redondeo>5 Lugares Decimales

5

Para el cálculo de la columna de la 1ª diferencia de Newton, se introduce la

siguiente fórmula en la celda C2 esta fórmula calculará la primera diferencia y se

arrastrará hasta la celda C7 para generar las diferencias restantes. Esto según la

fórmula de la pendiente.

=(B3 - B2) / (A3 - A2)

Generando los siguientes datos.

Para la 2ª diferencia se inserta en la celda D2 la siguiente fórmula:

=(C3-C2)/(A4-A2)

Esto calcula la diferencia de las 1ª diferencias. El denominador se toma brincando

un lugar por cada diferencia. Por esto el valor C3 que es -.00340 se le resta el valor

6

de C2 que es -0.0023 dividido entre el valor de A4 que es 400 menos el valor de

A2 que es 0, esto porque se trata de la diferencia de las diferencias, la resta del

denominador se brincará de lugar por cada diferencia. Así se sigue el mismo

procedimiento para las demás diferencias. Para la 3ª se brincará tres lugares, para

la 4ª cuatro, etc. Con la fórmula anterior se generan estos valores:

Hasta este paso, se tendría 𝑏1 = −0.00230 y 𝑏2 = −2.75𝑥10−6

Para la 3ª diferencia se introduce la siguiente fórmula, que generará con el mismo

procedimiento los datos siguientes.

=(D3 - D2) / (A5 - A2)

Obteniendo 𝑏3 = 3.41𝑥10−9

Como se mencionó anteriormente los denominadores se alternan de lugar según

la diferencia. Para la 4ª diferencia se inserta la fórmula:

=(E3-E2)/(A6-A2)

7

Y se obtienen los siguientes valores:

Obteniendo 𝑏4 = −7.72𝑥10−13

Para la 5ª diferencia se inserta la siguiente fórmula, en este caso se brincará 5 lugares

para restar el denominador:

=(F3-F2)/(A7-A2)

Con esto tenemos que 𝑏5 = −5.72𝑥10−16

Para la 6ª y última diferencia se inserta la siguiente fórmula:

=(G3-G2)/(A8-A2)

8

La 6ª y última diferencia es también 𝑏6 = 6.30𝑥10−19

Con los resultados de 𝑏1, 𝑏2, 𝒃𝟑, 𝑏4, 𝒃𝟓 y 𝑏6 se puede formar le polinomio de

Newton.

Recordando la fórmula general:

𝑓(𝑥) = 𝑦0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) + ⋯

+ 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1)

Sustituyendo:

𝑓(𝑥) = −2.3𝑥10−3(𝑥 − 0) − 2.75𝑥10−6(𝑥)(𝑥 − 200) + 3.41𝑥10−9(𝑥)(𝑥

− 200)(𝑥 − 400) − 7.72𝑥10−13(𝑥)(𝑥 − 200)(𝑥 − 400)(𝑥

− 650) − 𝟓. 𝟕𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟏𝟔(𝑥)(𝑥 − 200)(𝑥 − 400)(𝑥 − 650)(𝑥

− 1100) − 6.30𝑥10−19(𝑥)(𝑥 − 200)(𝑥 − 400)(𝑥 − 650)(𝑥

− 1100)(𝑥 − 1900)

En Geogebra ® es posible encontrar el polinomio por medio de puntos. Los

puntos dados por el problema se insertan en la casilla de Entrada entre paréntesis

( ) y se separan por una coma “,” de la siguiente manera:

(0, 5.5)

9

Insertando todos los puntos nos da una gráfica:

Para retirar o acercar los ejes se selecciona éste despliega el siguiente menú,

se selecciona Zoom de Alejamiento.

Para crear el polinomio, puede insertar el siguiente operador en la casilla Entrada.

En lista de puntos ingrese los puntos anteriormente creados. Presione ENTER.

10

El polinomio se crea:

La función que nos arroja es el siguiente:

Esto es:

𝑓(𝑥) = 5.5 − 0.00153683𝑥 − 4.12903𝑥10−6𝑥2 + 7.8779𝑥10−10𝑥3

+ 4.51176𝑥10−12𝑥4 − 3.23387𝑥10−15𝑥5 + 6.27487𝑥10−19𝑥6

En el problema se quiere encontrar la concentración a los 2100 segundos. Esto

quiere decir encontrar el valor de 𝒚 en 𝒙 = 𝟐𝟏𝟎𝟎. Para encontrar este valor se

ingresa en la casilla de entrada la función evaluada en el punto 2100:

Esto nos arroja el siguiente resultado:

Esto quiere decir que la concentración a los 2100 segundos es de 0.84392

Creando el punto (2100, 0.84392):

11

Con el punto H(2100, 0.84392) se comprueba que pasa por el polinomio de

interpolación de Newton y que la solución 0.84392 es la correcta.

Interpolación de Lagrange

En las ciencias exactas es necesario dado el conocimiento de un conjunto de

puntos, encontrar una función que verifique los datos anteriores y permita predecir

otros valores. Dado un conjunto de puntos, el polinomio de interpolación de

Lagrange es una combinación lineal en donde se encuentra una función

polinómica. Esto lleva a resolver y formular el polinomio por medio del álgebra

lineal en el cual se resuelve un sistema de ecuaciones. El polinomio crecerá

dependiendo de la cantidad de puntos, y así lo hará la aproximación de la función.

La fórmula para la interpolación de Lagrange es la siguiente:

𝑝(𝑥) = 𝑦0𝑙0(𝑥) + 𝑦1𝑙1(𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑛𝑙𝑛(𝑥)

Teniendo los puntos:

𝑥 𝑥0 𝑥1 … 𝑥𝑛

𝑦 𝑦0 𝑦1 … 𝑦𝑛

Existen condiciones para la formación del polinomio 𝑝𝑛(𝑥𝑛) = 𝑦𝑛 :

Que 𝑙𝑖(𝑥𝑛) = 0

Que 𝑙𝑛(𝑥𝑛) = 1

12

Y para 𝑙0(𝑥𝑜):

Que 𝑙0(𝑥0) = 0

Que 𝑙0(𝑥0) = 1

Dado las condiciones anteriores 𝑙0(𝑥) se determina de la siguiente forma:

𝑙0(𝑥) =(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛)

(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥 − 𝑥𝑛)

Para la solución de un problema dado un conjunto de puntos utilizando la

interpolación de Lagrange se puede utilizar el software Geogebra ® en el presente

texto se mostrarán instrucciones paso por paso para resolver el problema siguiente:

En la tabla siguiente se indica el tiempo (en días) y el peso (en

gramos) de tres embriones de cierta especie animal:

Tiempo 3 5 8

Peso 8 22 73

Determine, a partir de dicho polinomio, el peso que correspondería

a un embrión de 6,5 días.

El primer paso para resolver el problema es abrir el programa .

La primera vista que nos muestra el programa es la siguiente:

13

Para resolver el problema anterior es necesario una hoja de cálculo que nos permita

realizar los cálculo con facilidad para eso se selecciona la casilla >

o se selecciona Ctrl+Maúsculas+S

Se recrea la siguiente vista:

A partir de la columna A se insertan los puntos dados en la tabla:

14

Siendo:

𝑥0 = 3, 𝑥1 = 5, 𝑥2 = 8, 𝑦0 = 8, 𝑦1 = 22, 𝑦2 = 73,

En la celda C2 insertamos la siguiente fórmula:

=($A$2-A2)

Esto quiere decir que el valor de la celda A2 que es 3 se le restará el valor de la

celda A2 que es 3 y esta fórmula se moverá hacia abajo a excepción del primer

valor A$2$ ya que se indica entre $ para evitar que se corra hacia las demás celdas.

Esto formará la siguiente columna:

En este punto la fórmula para 𝑙0(𝑥) quedaría de esta manera:

𝑙0(𝑥) =(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

(3 − 5)(3 − 8)

𝑙0 =(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

(−2)(−5)

15

Los resultados -2 y -5 son los resultados obtenidos anteriormente con el programa,

sin embargo, el programa también calcula la resta de (3-3) lo que da como

resultado cero y anularía 𝑙0(𝑥), más adelante se muestra cómo evitar este

inconveniente.

Para calcular 𝑙1(𝑥) se inserta la siguiente fórmula en la celda D2, se arrastra hasta

la celda D4, esto calcularía de la misma forma que calculó 𝑙0(𝑥) y arrojaría los

siguientes valores:

Fórmula:

=$A$3 - A2

Resultados:

La fórmula funciona de igual manera que la anterior, pero ahora con el valor de 𝑥1

que es 5. La fórmula para 𝑙1(𝑥) quedaría de la siguiente forma:

𝑙1(𝑥) =(𝑥 − 3)(𝑥 − 8)

(5 − 3)(5 − 8)

𝑙1(𝑥) =(𝑥 − 3)(𝑥 − 8)

(2)(−3)

Se puede observar que son los valores arrojados por el programa, repitiéndose el

caso anterior con el cero.

Para 𝑙2(𝑥) se inserta la siguiente fórmula en la celda E2. La fórmula se repite una

vez más sin embargo cambia el valor de 5 por 8 siendo éste 𝑥2

=($A$4-A2)

Arrojando los valores para 𝑙2(𝑥):

16

La fórmula para 𝑙2(𝑥) manualmente obtendría los siguientes resultados a su vez:

𝑙2(𝑥) =(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)

(8 − 3)(8 − 5)

𝑙2 =(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)

(5)(3)

Al igual que los casos anteriores la resta (8-8) provoca el cero en nuestro programa.

Ahora se necesita introducir una fórmula para que realice la multiplicación de los

valores anteriores; para 𝑙0(𝑥) por ejemplo; que multiplique (-2)*(-5) sin verse

afectado por el 0. Para 𝑙1(𝑥) que multiplique (2)*(-3), y para 𝑙2(𝑥) que

multiplique (5)*(3).

Se introduce la siguiente fórmula en la celda C5:

=Producto[Si[C2:C4=0,1,C2:C4]]

Con esta fórmula de producto se condiciona el resultado, si el resultado da 0, lo

convierte en 1 y luego se multiplica de nuevo. Así se evita tener una multiplicación

por cero sustituyéndose por 1. Es decir la multiplicación de (0)*(-5)*(-2)

quedando el valor de esta forma:

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Después en la celda D5 se introduce la siguiente fórmula, que hace el mismo

procedimiento anterior pero con la columna correspondiente D.

=Producto[Si[D2:D4=0,1,D2:D4]]

Quedando el valor en la celda D5 de esta forma:

De la misma forma para el producto de la columna E se aplica la siguiente

fórmula en la celda E5:

Los valores de la tabla quedan de la siguiente forma:

El siguiente paso es colocar los valores 𝑦0 = 8, 𝑦1 = 22, 𝑦2 = 73 de manera

horizontal en la fila 5 esto con el fin de hacer más sencilla su operación. Para esto

se recurre a la trascripción de la columna B a la fila 5 donde el número 8 ocupará

la celda C6, el 22 la celda D6, y por último el 73 la celda E6:

=Producto[Si[E2:E4=0,1,E2:E4]]

18

En este punto nuestra formula quedaría en el siguiente avance:

𝑙0 =(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

(10)

𝑙1(𝑥) =(𝑥 − 3)(𝑥 − 8)

(−6)

𝑙2 =(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)

(15)

El polinomio:

𝑝(𝑥) = 𝑦0𝑙0(𝑥) + 𝑦1𝑙1(𝑥) + ⋯ + 𝑦𝑛𝑙𝑛(𝑥)

Sustituyendo 𝑦𝑛 y 𝑙𝑛(𝑥)

𝑝(𝑥) = 8 [(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

(10)] + 22 [

(𝑥 − 3)(𝑥 − 8)

(−6)] + 73[

(𝑥 − 3)(𝑥 − 5)

(15)]

El paso siguiente sería la división de los valores 𝒚𝟎, 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 entre los denominadores

10, -6, 15. Las divisiones serían las siguientes:

8

10,

22

−6,

73

15

En nuestro programa la fórmula sería:

=C6 / C5

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Se insertaría en la celda C7 y se recorre a la derecha hasta la celda E7, nos arrojaría

los valores:

Para mayor exactitud se requiere de mayor número de dígitos. Para esto diríjase a

Opciones>Redondeo>5 lugares.

Estos coeficientes son los siguientes en la fórmula:

𝑝(𝑥) = 0.8(𝑥 − 5)(𝑥 − 8) − 3.66667(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

+ 4.86667(𝑥 − 5)(𝑥 − 8)

Para obtener una forma gráfica del polinomio de Lagrange se insertan los puntos

ya dados por el problema en la casilla de Entrada los puntos deben ingresarse

entre paréntesis ( ) y separados por una coma “,” ejemplo:

(3,8)

Graficándose cada uno de la siguiente forma:

20

Para retirar o acercar los ejes se selecciona éste despliega el siguiente menú,

se selecciona Zoom de Alejamiento.

Para crear el polinomio, puede insertar el siguiente operador en la casilla Entrada.

En lista de puntos ingrese los puntos anteriormente creados. Presione ENTER.

El polinomio se crea:

21

Además de su función:

Si se requiere saber el peso que corresponde a un embrión de 6.5 días se inserta el

valor anterior en la función.

𝑝(6.5) = 0.8(6.5 − 5)(6.5 − 8) − 3.66667(6.5 − 5)(6.5 − 8)

+ 4.86667(6.5 − 5)(6.5 − 8)

Dando como resultado:

𝑝(6.5) = 43

O bien en Geogebra ®:

Dando como resultado:

En la gráfica se puede observar que para un valor de 6.5 en el eje horizontal 𝒙, la

𝒚 tendría un valor de 43. Para asegurarse de eso puede insertar el punto (6.5, 43)

y observar que pasa por el polinomio siendo 43 el resultado.

22

D como punto (6.5, 43)

Regla del trapecio para aproximación de integral

La regla del trapecio es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes. Es un

método de integración numérica, es decir, un método para calcular

aproximadamente el valor de la integral definida.

La regla aproxima el valor de la integral. La integral de ésta es igual al área del

trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Esto dependerá del número de

trapecios con que se calcule la integral es decir, 𝑛 trapecios.

23

Suponiendo que 𝑓 es continua en el intervalo [a,b].

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥

Primero se divide el intervalo [a,b] en 𝑛 subintervalos, cada uno de un ancho ∆𝑥 =(𝑏−𝑎)

𝑛 .Siendo 𝑏 y 𝑎 los límites de la integral. Para realizar el cálculo en 𝑛 número

de trapecios se llega a la siguiente formula general:

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 ≅ (𝑏 − 𝑎)

2𝑛[𝑓(𝑥0) + 2 ∑ 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑛)

𝑛−1

𝑖=1

]

El siguiente problema puede ser resuelto con la regla trapezoidal.

Usar la regla del trapecio para aproximar,

∫𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑥 + 1

6

1

Dividiendo en un solo intervalo.

Dividiendo en 6 intervalos.

Para la solución de este problema por medio del método de la regla del trapecio

se usará además el programa . Los cálculos se harán en la hoja de cálculo de Geogebra ®.

24

La primera vista que nos muestra el programa es la siguiente:

Para generar la hoja de cálculo se hace lo siguiente.

Se selecciona la casilla > o se

selecciona Ctrl+Maúsculas+S

Se recrea la siguiente vista:

25

Siendo 𝒂 = 𝟎 , 𝒃 = 𝟔, 𝒏 = 𝟏

Se introducen los datos en la hoja de cálculo de Geogebra ®.

En la celda B4 se introducirá la fórmula para encontrar el incremento y/o los

subintervalos ∆𝑥 =(𝑏−𝑎)

𝑛

=(B2 - B1) / B3

Dando el resultado en la celda B4 de 6.

En la celda A7 se ingresa el valor del intervalo 𝒂 = 𝟏, en la celda A8 se ingresa la fórmula para el incremento según Dx, el valor de Dx entre $ para evitar que la fórmula se corra hacia abajo, con esto el valor es estático.

=A7 + $B$4

Esto quiere decir que al valor inicial, 𝒂 = 𝟏, se le adicionará el incremento de Dx

que es 5, para así llegar al valor 𝒃 = 𝟔

Esto nos genera el siguiente dato:

26

En la casilla de Entrada se ingresa la función

𝐶𝑜𝑠(𝑥)

𝑥 + 1

27

Esto nos generará la función en el plano:

Para conocer la función evaluada en un punto 𝑥 sólo se ingresa en la celda B7 el siguiente comando, ya que la función ya está definida. Arrastrando la fórmula dos lugares obtendremos los demás resultados.

=f(A7)

28

Para obtener más cifras significativas se siguen los siguientes pasos. Se dirige a la

pestaña Opciones>Redondeo>5 Lugares Decimales

Para encontrar la aproximación a la integral con n=1 se tiene la siguiente fórmula:

En la hoja de cálculo se ingresa la fórmula en la celda D1

=( B2 - B1 )/2*( B7 +B8)

29

Dando como aproximación 3.4115. Para obtener el valor real se ingresa el comando siguiente.

Resultando el valor siguiente:

Se ingresa el valor de a en la celda D2 para el valor verdadero de la integral:

30

Finalmente el error porcentual se calcula con la siguiente fórmula:

𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 = |𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑅𝑒𝑎𝑙 | 𝑥100%

En base en la fórmula anterior se ingresa la siguiente fórmula en la casilla para el error porcentual D3 :

=Abs((D2 - D1) / D2)

Para el insiso b cuando 𝑛 = 6 se sigue el mismo procedimiento sin embargo la

fórmula de aproximación de la integral se cambia por la fórmula de 𝑛 numero de trapecios.

31

=(B2 - B1) / (2B3) (B7 + 2Suma[B8:B12] + B13)

Con este cambio los resultados quedan de la siguiente forma:

Donde la aproximación con n=6 es 0.36907

32

Referencias:

-Interpolaciones, documento PDF:

http://www.ugr.es/~pmartine/ejemplos/interpolacion.pdf

-S. Chinea, Carlos. INTERPOLACIÓN Y POLINOMIOS DE LAGRANGE,

documento PDF de:

http://casanchi.com/mat/interpolacion01.pdf

-Regla del trapecio, documento de PDF recuperado de:

http://fjarabo.webs.ull.es/VirtualDoc/Curso%202010-

2011/Ingenier%C3%ADa%20Qu%C3%ADmica/2_Teoria/Tema_6_Ingenieria

_de_la_Reaccion_Quimica/A60/603_Integracion_grafica_por_Trapecios.pdf

-Reglas trapezoidales, documento PDF recuperado de:

http://proton.ucting.udg.mx/posgrado/cursos/metodos/trapecio/index.html