Movimiento armónico simple

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ple Movimientos Periódicos

Son todos aquellos que se repiten cada cierto intervalo de tiempo (por ejemplo, un MCU).En ellos se pueden definir dos características:

• Período (𝜏): tiempo invertido por el fenómeno en repetirse (en segundos

• Frecuencia (𝜐): número de repeticiones por unidad de tiempo (s-1

o Hz)

Siendo la relación entre ambas magnitudes:

𝜐 =1

𝜏

En un movimiento oscilatorio, un cuerpo se desplazará a uno y otro lado de una posición de equilibrio (claro está, de manera periódica), como en el movimiento de un péndulo.

El movimiento vibratorio, por su parte, se caracteriza porque la trayectoria seguida es una recta, como sucede en la vibración de un resorte.

Eric Calvo Lorente 1 2ºBachillerato

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ple Movimiento Armónico Simple

El movimiento se debe a la acción de una fuerza restauradora que intenta hacer retornar al cuerpo a su posición de equilibrio.

Esta fuerza es directamente proporcional a la separación del cuerpo respecto de su posición de equilibrio:

𝐹 = −𝐾. Δ𝑥

Se denomina OSCILADOR ARMÓNICO a toda partícula que se mueva con MAS.


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ple Cinemática del Movimiento Armónico Simple

El MAS puede hacerse corresponder con la proyección de un MCU sobre uno de sus diámetros:

Analíticamente:

𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0

,donde:

x: elongación o estiramiento (m)A: amplitud o estiramiento máximo (m)𝜔: frecuencia angular (rad/s)𝜙0: ángulo inicial o desfase (rad)

La ecuación puede tomar estas otras formas:𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝜐𝑡 + 𝜙0

𝑥 = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛2𝜋

𝜏𝑡 + 𝜙0

O ser expresada en forma cosenoidal: 𝑥 = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 ±𝜋

2


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ple Ecuación de la Velocidad en el MAS

Puesto que la posición del cuerpo varía con el tiempo, podremos determinar la rapidez de esa variación; es decir, podremos conocer la velocidad de la partícula en cada una de las posiciones por las que pasa. Así:


v =𝑑𝑥

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0 → v = 𝐴.𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0

Velocidad y posición pueden relacionarse, teniendo en cuenta que:

𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0 =𝑥

𝐴

𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 =v

𝐴𝜔𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜙0 + 𝑐𝑜𝑠

2 𝜔𝑡 + 𝜙0 = 1

→𝑥

𝐴

2

+v

𝐴𝜔

2

= 1

Por lo que:𝑥2. 𝜔2 + v2 = 𝐴2. 𝜔2 → v2 = 𝜔2 𝐴2 − 𝑥2

v = 𝜔 (𝐴2 − 𝑥2) Como vemos, la velocidad es máxima para x=0, y nula para x=A.


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ple Ecuación de la Aceleración en el MAS

Puesto que la velocidad del cuerpo también varía con el tiempo, podremos determinar la rapidez de esa variación; es decir, podremos conocer la aceleración de la partícula en cada una de las posiciones por las que pasa.

Así:v = 𝐴.𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0

𝑎 =𝑑v𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡𝐴.𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0 → 𝑎 = −𝐴.𝜔2. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0

Aceleración y posición pueden relacionarse, teniendo en cuenta que:


𝑎 = −𝐴.𝜔2. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0

→ 𝑎 = −𝜔2. 𝑥


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ple Dinámica del MAS

La fuerza restauradora, dada por la Ley de Hooke, es la fuerza causante de la oscilación del cuerpo alrededor de la posición de equilibrio. Si tenemos en cuenta el 2º Principio de la Dinámica:

𝐹 = −𝐾. 𝑥𝐹 = 𝑚. 𝑎

→ −𝐾. 𝑥=𝑚. 𝑎

Recordando ahora que:

𝑎 = −𝜔2. 𝑥

Resultará la siguiente expresión:

−𝐾. 𝑥 = −𝑚.𝜔2. 𝑥 → 𝐾 = 𝑚.𝜔2

𝐾 = 𝑚.2.𝜋

𝜏

2

𝜏 = 2. 𝜋.𝑚

𝐾


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ple Péndulo Simple

Llamamos así a una masa puntual que pende de un hilo inextensible y sin masa

La fuerza restauradora que provoca el movimiento oscilatorio es la componente del peso tangencial a la trayectoria del cuerpo.

𝑃𝑡𝑔 = −𝑚. 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜙

Si se consideran desplazamientos pequeños,𝑠𝑒𝑛𝜙 ≅ 𝜙 =

𝑠

𝐿=𝑥

𝐿

, por lo que: 𝑃𝑡𝑔 = −𝑚.𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜙=-m.g.

𝑥

𝐿

Y, por ser la causante del movimiento:

𝐹 = 𝑚. 𝑎 = −𝑚.𝜔2. 𝑥

De modo que: −𝑚.𝜔2. 𝑥 =-m.g.𝑥

𝐿→𝜔2 =

𝑔

𝐿→

2.𝜋

𝜏

2=𝑔

𝐿→ 𝜏 = 2. 𝜋.

𝐿

𝑔

, independiente de la masa y de la amplitud de la oscilación.


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ple Energía del MAS (I)

Al desplazarse el cuerpo por acción de una fuerza, podremos determinar el trabajo realizado por ella cuando el cuerpo se desplaza desde un punto A hasta otro B:

𝑊𝐴→𝐵 = 𝐴

𝐵

𝐹. 𝑑 𝑟 = 𝐴

𝐵

−𝐾. 𝑥. 𝑑𝑥

𝑊𝐴→𝐵 = −1

2𝐾𝑥𝐵

2−1

2𝐾𝑥𝐴

2

Que, como vemos, depende tan solo de las posiciones inicial y final del cuerpo. Por lo tanto, LA FUERZA RECUPERADORA que origina el MAS ES UNA FUERZA CONSERVATIVA.

En consecuencia es posible definir una magnitud escalar que asocie a cada posición un valor de energía. Es decir, podemos asociar a cada punto una ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA:

𝐸𝑝,𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 =1

2𝐾𝑥2 =

1

2𝐾 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0

2


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ple Energía del MAS (II)

, de forma que:𝑊𝐴→𝐵 = −∆𝐸𝑝,𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

Por otro lado, y puesto que el cuerpo tiene una determinadavelocidad, poseerá también un contenido energético en forma de ENERGÍA CINÉTICA:

𝐸𝐾 =1

2𝑚v2 =

1

2𝑚 𝐴.𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0

2

La energía mecánica del sistema será igual a:

𝐸𝑀 =1

2𝑚 𝐴.𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙0

2 +1

2𝐾 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙0

2

𝐸𝑀 =1

2𝒎𝝎𝟐𝐴2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜙0) +

1

2𝐾𝐴2𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜙0)

𝐸𝑀 =1

2𝐾𝐴2𝑐𝑜𝑠2(𝜔𝑡 + 𝜙0) +

1

2𝐾𝐴2𝑠𝑒𝑛2(𝜔𝑡 + 𝜙0)

𝐸𝑀 =1

2𝐾𝐴2


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ple Energía del MAS (III)

Podremos entonces encontrar una ecuación para la energía cinética más simple,

𝐸𝐾 = 𝐸𝑀 − 𝐸𝑃

𝐸𝐾 =1

2𝐾𝐴2 −

1

2𝐾𝑥2 → 𝐸𝐾 =

1

2𝐾 𝐴2 − 𝑥2


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ple Oscilaciones Forzadas. Resonancia

Los osciladores armónicos vibran con una frecuencia que depende tan sólo de sus características propias. Es la FRECUENCIA NATURAL DEL OSCILADOR.

En un oscilador real, las pérdidas de energía provocan una paulatina disminución de la amplitud, hasta la detención total. Si se pretende que el oscilador se comporte como un armónico, se le deberá aplicar una fuerza periódica, convirtiéndolo en lo que se conoce como un OSCILADOR FORZADO.

En el caso en el que se aplique una fuerza oscilante, con una frecuencia igual a la natural del oscilador, se producirá el fenómeno conocido como RESONANCIA, por el cual el oscilador sufre un acusado aumento en su amplitud.

Link


http://cluster-divulgacioncientifica.blogspot.com.es/2011/03/resonancia-con-una-copa.html

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