Fisica classica - aula 5

Movimento Uniformemente Acelerado - MUAMovimento Circular

Fısica Classica

Rafael,Suzana

Brasılia, 1o semestre de 2009

Universidade de Brasılia - Faculdade do Gama

Rafael,Suzana Fısica Classica


Movimento Uniformemente Acelerado - MUA

Movimento Circular




I A caracterıstica principal do MUA e o fato da aceleracao semanter constante ao longo do tempo.

I Se o vetor velocidade e o vetor aceleracao forem paralelosrecae-se no caso particular do movimento retilıneouniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado.

I Conhecidas as condicoes iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0,admitindo-se que v0 e a nao sao paralelas estas formam umafamılia de planos paralelos, e caracterizam um movimentobidimensional.

I O movimento estara contido no plano dessa famılia que passapela posicao inicial r0. Toma-se entao como a origem esteplano.




I A caracterıstica principal do MUA e o fato da aceleracao semanter constante ao longo do tempo.

I Se o vetor velocidade e o vetor aceleracao forem paralelosrecae-se no caso particular do movimento retilıneouniformemente acelerado MRUA, anteriormente estudado.

I Conhecidas as condicoes iniciais r(t) = r0 e v(t) = v0,admitindo-se que v0 e a nao sao paralelas estas formam umafamılia de planos paralelos, e caracterizam um movimentobidimensional.

I O movimento estara contido no plano dessa famılia que passapela posicao inicial r0. Toma-se entao como a origem esteplano.




I Arbitrando-se um sistema decoordenadas cartesianas com o eixoy na direcao da aceleracao tem-sea = aj

I v0 = v0x i + v0y j

I r0 = x0 i + y0 j

I Este movimento bidimensionalpode ser decomposto em ummovimento uniforme na direcao x eoutro uniformemente acelerado nadirecao y




I As equacoes na forma vetorial para este caso sao dadas por

I v(t) = v0 + a(t − t0)

I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2

I onde as componentes horizontais de v e r correspondem asequacoes para o MRU e as componentes verticais destesmesmos vetores correspondem as equacoes do MRUA

I A trajetoria deste tipo de movimento tem a forma

I y − y0 =

(v0y

v0x

)(x − x0) +

1

2

a

v20x

(x − x0)2

I Exercıcio: prove as equacoes acima a partir da definicao doMUA e das relacoes entre aceleracao, velocidade e posicao.




I As equacoes na forma vetorial para este caso sao dadas por

I v(t) = v0 + a(t − t0)

I r(t) = r0 + v0(t − t0) + 12a(t − t0)2

I onde as componentes horizontais de v e r correspondem asequacoes para o MRU e as componentes verticais destesmesmos vetores correspondem as equacoes do MRUA

I A trajetoria deste tipo de movimento tem a forma

I y − y0 =

(v0y

v0x

)(x − x0) +

1

2

a

v20x

(x − x0)2

I Exercıcio: prove as equacoes acima a partir da definicao doMUA e das relacoes entre aceleracao, velocidade e posicao.



Movimento dos Projeteis

Adotando as hipoteses de que a Terra e plana e a aceleracao dagravidade e constante podemos aplicar as equacoes do MUA aomovimento de projeteis.

I Considerando uma velocidade inicial v0 in-clinada de um angulo φ com a horizontal ea aceleracao na direcao do eixo y , a = −g j ,onde g e o modulo da aceleracao da gravi-dade, temos:

I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ)

I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t

a equacao da trajetoria fica sendo entao y = tan(φ)x − gx2

2v20 cos2(φ)



Movimento dos Projeteis

Adotando as hipoteses de que a Terra e plana e a aceleracao dagravidade e constante podemos aplicar as equacoes do MUA aomovimento de projeteis.

I Considerando uma velocidade inicial v0 in-clinada de um angulo φ com a horizontal ea aceleracao na direcao do eixo y , a = −g j ,onde g e o modulo da aceleracao da gravi-dade, temos:

I vy = v0sin(φ)− gt e vx = v0cos(φ)

I y = v0sin(φ)t − 12gt2 e x = v0cos(φ)t

a equacao da trajetoria fica sendo entao y = tan(φ)x − gx2

2v20 cos2(φ)




Movimento Circular



Movimento Circular Uniforme - MCU

I No MCU, a velocidade ins-tantanea e sempre tangencialao cırculo (que representa atrajetoria), porem seu modulo|v| = v nao varia com o tempo.

I Como nao ha variacao em v temos um MRUs(t)− s0 = v(t − t0). Por definicaoφ(t) = s(t)/r = φ0 + ω(t − t0), onde ω = v/r e a velocidadeangular.

I Decompondo r(t) = r(cosφi + sinφj), derivandov(t) = rω(− sinφi + cosφj) e derivando de novoa(t) = −rω2(cosφi + sinφj).

I Exercıcio: mostre que r · v = 0, v · a = 0 e que o tempo parauma volta e T = 2πr/v = 2π/ω.
























Coordenadas polares

I Devido a sua simetria cilındrica, o MCU e mais facilmentedescrito usando um sistema de coordenadas curvilıneo, ascoordenadas polares.

I Neste sistema de coordenadas, especificamos a posicao de umponto no plano especificando o modulo do vetor r e o seuangulo com o eixo x .

I Da mesma forma que no sistema cartesiano, podemos definirdois vetores unitarios nas direcoes radial r = r/r e φ, que eperpendicular a r e tangente ao cırculo.

I Observe que no MCUv = v φ = rω(− sinφi + cosφj)⇒ φ = − sinφi + cosφj .

I Da mesma formar = r r = r(cosφi + sinφj)⇒ r = cosφi + sinφj



Coordenadas polares

I Devido a sua simetria cilındrica, o MCU e mais facilmentedescrito usando um sistema de coordenadas curvilıneo, ascoordenadas polares.

I Neste sistema de coordenadas, especificamos a posicao de umponto no plano especificando o modulo do vetor r e o seuangulo com o eixo x .

I Da mesma forma que no sistema cartesiano, podemos definirdois vetores unitarios nas direcoes radial r = r/r e φ, que eperpendicular a r e tangente ao cırculo.

I Observe que no MCUv = v φ = rω(− sinφi + cosφj)⇒ φ = − sinφi + cosφj .

I Da mesma formar = r r = r(cosφi + sinφj)⇒ r = cosφi + sinφj



Aceleracao Tangencial e Normal

I No Movimento circular nao-uniforme, a velocidadeinstantanea e sempre tangente ao cırculo, porem seu modulo edirecao variam ao longo do tempo. Exercıcio: Usando a

definicao de r , mostre que ω(t)φ =dr

dt, onde ω(t) = dφ/dt.

Calcule d φ/dt.

I Comodv

dt6= 0⇒ dv

dt=

d(v φ)

dt=

dv

dtφ+ v

d φ

dt= ar r + aφφ.

I Aceleracao em um movimento circular qualquer:

I a = ar r + aφφ

I ar = −ω2r = −r(dφ

dt)2 = −v2

r(prove isto!)

I aφ = αr = −rd2φ

dt2=

dv

dt(isto tambem!)







Calcule d φ/dt.

I Comodv

dt6= 0⇒ dv

dt=

d(v φ)

dt=

dv

dtφ+ v

d φ

dt= ar r + aφφ.


I a = ar r + aφφ


dt)2 = −v2

r(prove isto!)


dt2=

dv

dt(isto tambem!)







Calcule d φ/dt.

I Comodv

dt6= 0⇒ dv

dt=

d(v φ)

dt=

dv

dtφ+ v

d φ

dt= ar r + aφφ.


I a = ar r + aφφ


dt)2 = −v2

r(prove isto!)


dt2=

dv

dt(isto tambem!)


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