Click here to load reader
Upload
cupress
View
291
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ
Citation preview
บทที่ 1
บทนําสมการเชิงอนุพันธ
1.1 บทนํา
โดยนิยาม สมการเชิงอนุพันธ (differential equation) คือ สมการที่ประกอบดวยตัวแปรตามไมทราบคาหนึ่งตัว และอนุพันธตาง ๆ ของตัวแปรดังกลาว สมการเชิงอนุพันธจัดวาเปนคณิตศาสตรแขนงหนึ่งที่มีความสําคัญอยางมากกับการประยุกตใชงานในทางวิศวกรรมไฟฟา วิทยาศาสตร และในสาขาคณิตศาสตรประยุกต ปญหาตาง ๆ ในสาขาวิขาเหลานี้สามารถจําลองไดในรูปของสมการเชิงอนุพันธ เชน การวิเคราะหวงจรไฟฟา การทํานายอัตราการเติบโตของประชากร กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปญหาของการนําความรอนในแทงโลหะ เปนตน สมการเชิงอนุพันธสามารถแบงออกไดเปน 2 ประเภทใหญ ๆ ที่มีความสําคัญในทางปฏิบัติ ไดแก
• สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE)
• สมการเชิงอนุพันธยอย (Partial Differential Equation: PDE)
เกณฑที่ใชในการแบงประเภทของสมการเชิงอนุพันธเปนดังนี้ ถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวยอนุพันธแบบสามัญ (ordinary derivative) เทานั้น เราจะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธ
2 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
สามัญ หรือ ODE แตถาสมการเชิงอนุพันธประกอบดวยอนุพันธยอย (partial derivative) ดวย เราจะเรียกสมการดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธยอย หรือ PDE ในหนังสือเลมนี้เราจะกลาวถึงเฉพาะสมการเชิงอนุพันธสามัญ
1.2 การจําลองระบบดวยสมการเชิงอนุพันธ
หัวขอนี้กลาวถึงตัวอยางการประยุกตใชสมการเชิงอนุพันธเพื่อจําลองระบบที่เราสนใจ โดยในที่นี้จะขอยกตัวอยางปญหางาย ๆ 2 ตัวอยางไดแก ปญหาการทํานายการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง และปญหาการเย็นตัวของนิวตัน
1.2.1 การทํานายอัตราการเติบโตของจํานวนประชากร
พิจารณาการทํานายอัตราการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบานแหงหนึ่ง กําหนดให ( )P t แทนจํานวนประชากรในหมูบานดังกลาว ซ่ึงไดเขียนเปนฟงกชันที่แปรผันตามเวลา t
คําถามที่ เราอาจสนใจไดคือ จํานวนประชากรของหมูบานในอีก 5 ปขางหนา ในที่นี้จะใชแบบจําลองพื้นฐานที่มีช่ือเรียกวา แบบจําลองเลขชี้กําลัง (the exponential model) ซ่ึงมีขอสมมุติวา อัตราการเพิ่มขึ้นของประชากรในหมูบานแปรผันตรงกับจํานวนประชากรที่มีอยู ดังนั้น เราจึงสามารถจําลองพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรไดในรูปสมการเชิงอนุพันธไดดังนี้
( ) ( )d P t kP tdt
= (1.1)
โดย k เปนคาคงที่ (คาบวก) ซ่ึงเรียกวาคาคงที่ของการแปรผัน เราสามารถหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธดังกลาวไดเปน
0( ) ktP t P e= (1.2)
โดย 0P แทนจํานวนประชากรเริ่มตน กลาวคือ 0(0)P P=
ถา ณ เวลาปจจุบันในหมูบานมีประชากรทั้งหมด 1000 คน และให 0.1k = จะไดวาจํานวนประชากรในอีก 5 ปขางหนามีคาเทากับ
0.1 5(5) 1000 1649P e ×= ≈ คน
บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 3
หากนําสมการที่ (1.2) มาวาดเปนกราฟจะไดผลดังแสดงในรูปที่ 1.1 สังเกตวาจํานวนประชากรมีแตเพิ่มสูงขึ้นตามเวลาไปเรื่อย ๆ แตในสภาพความเปนจริงพฤติกรรมการเพิ่มขึ้นของประชากรอาจแตกตางไปจากนี้ เพราะมีปจจัยอ่ืน ๆ เชน สภาพแวดลอมทางธรรมชาติ ปริมาณอาหารที่มีอยูจํากัด คาครองชีพ พื้นที่ทํากิน และที่อยูอาศัย ที่อาจจํากัดอัตราการเติบโตของประชากร หากตองการใหการทํานายประชากรสอดคลองกับสภาพความเปนจริงมากขึ้น จะตองสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่ซับซอนมากขึ้น
จํานว
นประชากร
รูปท่ี 1.1 ลักษณะการเพิ่มขึ้นของจํานวนประชากรในหมูบาน
1.2.2 กฎการเย็นตัวของนิวตัน
พิจารณาจากกฎการเย็นตัวของนิวตัน (Newton's law of cooling) เราพบวาอุณหภูมิบนผิวของวัตถุหนึ่งมีการเปลี่ยนแปลงดวยอัตราที่แปรผันตรงกับผลตางระหวางอุณหภูมิบนผิวของวัตถุนั้นกับอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม กําหนดให ( )T t แทนอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุซ่ึงเปนฟงกชันของเวลา t เราสามารถจําลองอุณหภูมิบนพื้นผิวของวัตถุในรูปของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งไดดังนี้
( ) [ ( ) ]sd T t k T t Tdt
= − − (1.3)
โดย sT เปนอุณหภูมิของสิ่งแวดลอม (สมมุติวามีคาคงที่) และ k เปนคาคงที่ (คาบวก)
สมการเชิงอนุพันธนี้สามารถหาผลเฉลยไดไมยากนักดังตอไปนี้
4 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
( )[ ( ) ]s
dT t kdtT t T
= −−
ln[ ( ) ]sT t T kt c− = − +
( )( ) kt csT t T e − +− =
1( ) ktsT t T c e−= +
พิจารณาที่ 0t = จะได 1(0) sT T c= + ฉะนั้น 1 (0) sc T T= − เมื่อแทนคา 1c กลับลงในสมการ จะไดผลเฉลยดังนี้
( ) [ (0) ] kts sT t T T T e−= + − (1.4)
เราสามารถหาคา k ไดโดยเริ่มตนจากการพิจารณาคา ( )T t ที่เวลา 1t และ 2t ดังนี้ 1
1( ) [ (0) ] kts sT t T T T e−= + −
22( ) [ (0) ] kt
s sT t T T T e−= + −
นําสมการทั้งสองมาหารกัน (ยายขางคาของ sT กอน) จะได
1 2( )1
2
( )( )
k t ts
s
T t T eT t T
− −−=
− (1.5)
ดังนั้น
1
2 1 2
1 ( )ln( )
s
s
T t Tkt t T t T
−=
− − (1.6)
ตัวอยาง 1.1 ■■
สมมุติวามีผูพบศพผูเสียชีวิตจากการฆาตกรรมในโรงแรมแหงหนึ่งในชวงเชาเวลา 09.00 นาฬิกา ตรวจพบวารางกายของศพมีอุณหภูมิเทากับ 33 องศาเซลเซียส และอีกสองชั่วโมงตอมาพบวาศพ มีอุณหภูมิลดลงเหลือเปน 30 องศาเซลเซียส ทั้งนี้ อุณหภูมิภายในหองมีคาคงที่เทากับ 25 องศา จงหาวาผูเสียชีวิตถูกฆาตกรรมเวลากี่นาฬิกา
วิธีทํา
ใชสมการที่ 1.6 เพื่อคํานวณคาคงที่ k
บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 5
1
2 1 2
1 ( )ln( )
s
s
T t Tkt t T t T
−=
− −
จากโจทย 1 9t = 2 11t = 1( ) 33T t = 2( ) 30T t = และ 25sT = ฉะนั้น
1 33 25ln 0.2352 30 25
k −= =
−
สมมุติวาผูเสียชีวิตกอนถูกฆาตกรรมมีอุณหภูมิเทาคนปกติคือ 37 องศาเซลเซียส จากสมการที่ 1.6
12 1
2
1 ( )ln( )
s
s
T t Tt tk T t T
−− =
−
จากโจทย 2 9t = 1( ) 37T t = 2( ) 33T t = 0.235k = และ 25sT = ฉะนั้น
11 37 259 ln
0.235 33 25t −
− =−
1 7.2746t =
ดังนั้น เราประมาณไดวาฆาตกรรมเกิดขึ้นเวลา 07.16 นาฬิกา
1.3 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
สมการเชิงอนุพันธสามัญ (Ordinary Differential Equation: ODE) คือ สมการที่แสดงความสัมพันธระหวางฟงกชันไมทราบคาฟงกชันหนึ่งกับคาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของมัน โดยสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับที่ n หรือเรียกโดยยอวา ODE อันดับที่ n สามารถเขียนเปนสมการไดดังนี ้
( )( ), , , , 0nF x y y y′ =K (1.7)
โดย y เปนฟงกชันของ x , dyydx
′ = คืออนุพันธอันดับที่หนึ่งเมื่อเทียบกับ x และ ( )n
nn
d yydx
=
คืออนุพันธอันดับที่ n เมื่อเทียบกับ x จะเห็นวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธคืออันดับสูงสุดของอนุพันธที่กระทํากับฟงกชัน y และนอกเหนือจากคําวา อันดับของสมการเชิงอนุพันธแลว เรายังมีการนิยามคําวา ระดับขั้น (degree) เพื่อใชระบุวาพจนของสมการเชิงอนุพันธที่มีอันดับสูงสุดมีคายกกําลังเทาใด
6 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
1.3.1 สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน
สมการเชิงอนุพันธสามัญจะจัดวา เปน สมการเชิงอนุพันธเชิงเสน (linear differential equation) ที่มีอันดับเทากับ n ไดหากสามารถเขียนไดในรูปตอไปนี้
1
1 1 01( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n nn n
d y d y dya x a x a x a x y f xdx dx dx
−
− −+ + + + =K (1.8)
หรือจะเขียนในอีกรูปหนึ่งไดคือ
( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n
n na x y a x y a x y a x y f x−− ′+ + + + =K (1.9)
ใหสังเกตวาในสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนนั้นจะตองมีคุณลักษณะดังตอไปนี้
1. ฟงกชัน y และอนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y จะมีคายกกําลังเปน 1 เสมอ
2. ตองไมปรากฏมีพจนที่เปนคาการคูณกันของฟงกชัน y หรืออนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y แตอยางใด ตัวอยางเชน ตองไมมี yy′ ในสมการ เปนตน
3. ตองไมปรากฏมีฟงกชันอดิศัย1 (transcendental function) ของฟงกชัน y หรืออนุพันธอันดับตาง ๆ ของ y ตัวอยางเชน ตองไมมี sin( )y log( )y หรือ ye ปรากฏอยูในสมการ
ตัวอยาง 1.2 ■■
จงพิจารณาวาสมการเชิงอนุพันธสามัญตอไปนี้จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสนหรือไมเชิงเสน จากนั้นระบุอันดับ และระดับขั้นของสมการดังกลาว
(ก) 2
2 4 2 sin( )d y dyx y xdx dx
+ + =
(ข) ( )2 2 22 0y x yy x y′′ ′′′+ + =
1 ฟงกชันอดิสัย (transcendental function) หมายถึงฟงกชันที่ไมใชฟงกชันพีชคณิต (algebraic function) กลาวคือ เปนฟงกชันที่ไมสามารถ
เขียนในรูปพีชคณิต ตัวอยางของฟงกชันอดิสัย ไดแก ฟงกชันเลขชี้กําลัง (exponential function) และฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric function)
บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 7
วิธีทํา
(ก) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธเชิงเสน เพราะมีรูปแบบตรงตามนิยามในสมการ 1.8 สังเกตวา แมสมการนี้จะมีฟงกชันอดิศัยปรากฏอยู คือ sin( )x แตยังจัดวาเปนสมการเชิงเสนไดเพราะฟงกชันอดิศัยนี้มิไดเปนฟงกชันของตัวแปร y สมการนี้มีอันดับเทากับ 2 และระดับขั้นเทากับ 1
(ข) จัดเปนสมการเชิงอนุพันธไมเชิงเสน เพราะมีทั้งพจนยกกําลังสองของ y′′ และการคูณกันของ y และ y′′′ ซ่ึงไมสอดคลองตามนิยามในสมการ 1.8 สมการนี้มีอันดับเทากับ 3 และระดับขั้นเทากับ 1
ตัวอยาง 1.3 ■■
พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งที่เรียบงายตอไปนี้
6y x′ =
จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ
วิธีทํา
จัดรูปสมการใหมเปน
6dy x dx= ⋅
หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได
6dy x dx= ⋅∫ ∫
23y x c= +
พิจารณาจากผลเฉลยที่ไดจะเห็นวามี c ซ่ึงเปนคาคงตัวที่ยังไมไดเจาะจงปรากฏอยู ดังนั้น เมื่อนําผลเฉลยไปวาดเปนกราฟจะไดเปนกราฟพาราโบลาที่มีจุดตัดแกน y ที่แตกตางกันตามคาของ c
8 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-20
0
20
40
60
80
y
x
0c = 20c = −
20c =
รูปท่ี 1.2 เสนกราฟ 23y x c= + สําหรับคา c ตาง ๆ กัน
ตัวอยาง 1.4 ■■
พิจารณาตัวอยางสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งตอไปนี้
5y y′ =
จงหาผลเฉลยของสมการพรอมวาดกราฟประกอบ
วิธีทํา
จัดรูปสมการใหมเปน
5dy dxy=
หาคาปริพันธของสมการทั้งสองดานจะได
1 5dy dxy
=∫ ∫
ln 5 lny x c= +
เราสามารถเขียนผลเฉลยของสมการนี้ไดในรูป
5xy ce=
บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 9
ผลเฉลยที่ไดแสดงใหเห็นวาเปนฟงกชันเลขชี้กําลังที่ถูกคูณดวยคาคงตัวไมเจาะจง c และเมื่อนํามาวาดเปนกราฟจะเปนเสนที่มีความโคงมากนอยตางกัน ดังแสดงในรูปที่ 1.3 จากตัวอยางนี้เราสามารถขยายผลตอไดวาสมการ y ky′ = จะมีผลเฉลยในรูป kxy ce= โดย k เปนคาคงตัว
20c = −
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80 20c =
5c =
5c = −
10c = −
10c =
y
x
รูปท่ี 1.3 เสนกราฟ 5xy ce= สําหรับคา c ตาง ๆ กัน
คําตอบของผลเฉลยที่ไดในตัวอยางทั้งสองตัวอยางแสดงอยูในรูปของ ผลเฉลยท่ัวไป (general solution) กลาวคือ ผลเฉลยจะตองมีคาคงตัวไมเจาะจงปรากฏอยูในผลเฉลยอยางนอยหนึ่งตัวเสมอ แตเมื่อมีการแทนคาคงตัวไมเจาะจงดวยตัวเลขคาหนึ่งแลว ผลเฉลยที่ไดจะเรียกวา ผลเฉลยเฉพาะราย (particular solution) วิธีการหนึ่งที่สามารถนํามาใชในการกําหนดคาตัวเลขใหกับคาคงตัวไมเจาะจงคือ การระบุความตองการเพิ่มเติมวาใหผลเฉลยตองตัดผานจุด 0 0( , )x y จุดหนึ่งที่กําหนด หรือมักจะกําหนดในรูปของเงื่อนไขคาตั้งตน (initial condition) ของระบบก็ได
1.3.2 การทวนสอบวาฟงกชันเปนผลเฉลยจริงของสมการเชิงอนุพันธ
หากเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว เราสามารถทวนสอบ (verify) ไดวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาวหรือไม โดยวิธีการงาย ๆ คือ หาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันนั้น แลวแทนคากลับลงในพจนตาง ๆ ของสมการเชิงอนุพันธที่จะทวนสอบ หากพบวาคาของสมการทั้งสองดานมีคาเทากันก็แสดงวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยจริง
10 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
ตัวอยาง 1.5 ■■
จงทวนสอบ (verify) ดูวา 21 2
x xy c e c e−= + เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองตอไปนี้
2 0y y y′′ ′− − =
สําหรับคาคงตัว 1c และ 2c ใด ๆ
วิธีทํา
จากฟงกชัน 21 2
x xy c e c e−= + ที่โจทยกําหนดให เราหาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดเปน
21 22x xy c e c e−′ = − +
21 24x xy c e c e−′′ = +
เมื่อแทน y′ และ y′′ ลงในสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองดานซายมือของสมการจะได
( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 24 2 2x x x x x xc e c e c e c e c e c e− − −+ − − + − +
( ) ( ) 21 1 2 2 2 22 4 2 2x xc c c e c c c e−= + − + − −
0=
ซ่ึงมีคาเปนศูนย ดังนั้น เราจึงสรุปไดวา
21 2
x xy c e c e−= + เปนผลเฉลยของสมการ 2 0y y y′′ ′− − = จริง
โจทยตัวอยางขอนี้แสดงใหเห็นวาถาเรารูผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญสมการหนึ่งแลว เราสามารถทวนสอบวาฟงกชันดังกลาวเปนผลเฉลยที่แทจริงของสมการเชิงอนุพันธสามัญดังกลาวหรือไม เปนเรื่องที่งายและเปนประโยชนในการตรวจสอบคําตอบ
ใหสังเกตวาสมการในตัวอยาง 1.3 และ 1.4 ซ่ึงเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจง 1 ตัว และสมการในตัวอยาง 1.5 ซ่ึงเปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจง 2 ตัว เราพบวาในกรณีทั่วไปสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ n จะใหผลเฉลยที่มีคาคงตัวไมเจาะจงจํานวน n ตัว
บทที่ 1 บทนําสมการเชิงอนุพันธ 11
1.3.3 การหาสมการเชิงอนุพันธจากฟงกชันผลเฉลย
นอกจากการทวนสอบวาผลเฉลยสอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญที่กําหนดมาใหเปนเรื่องงายแลว เรายังพบอีกวาถารูผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ เราจะสามารถหาสมการเชิงอนุพันธไดดวยเชนกัน วิธีการคือใหหาอนุพันธอันดับตาง ๆ ของฟงกชันผลเฉลยที่ได แลวพยายามกําจัดคาคงตัวไมเจาะจงออกไปจากสมการ
ตัวอยาง 1.6 ■■
จงหาสมการเชิงอนุพันธอันดับสองที่มีผลเฉลยดังตอไปนี ้
cosxy ae b x= +
โดยที่ a และ b เปนคาคงตัวไมเจาะจง
วิธีทํา
หาอนุพันธอันดับหนึ่งและอันดับสองไดผลดังนี ้
sinxy ae b x′ = −
cosxy ae b x′′ = −
กําจัดคาคงตัว b โดยนํา y และ y′′ มาบวกกันและจัดพจนเพื่อหาคา a
( )2 x
y yae′′+
=
กําจัดคาคงตัว a โดยนํา y และ y′′ มาลบกันและจัดพจนเพื่อหาคา b
( )2cosy yb
x′′−
=
แทนคา a และ b ที่ไดลงในสมการผลเฉลย cosxy ae b x= + และนําไปแทนลงในสมการ sinxy ae b x′ = − ผลที่ไดคือ
( ) ( ) sin2 2cos
xx
y y y yy e xe x′′ ′′+ −′ = −
12 สมการเชิงอนุพันธสามัญ
1 1( ) ( ) tan2 2
y y y y x′′ ′′= + − −
จัดรูปสมการใหมได
[1 tan ] 2 [1 tan ] 0x y y x y′′ ′+ − + − =
1.3.4 แนวทางการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ
สมการเชิงอนุพันธสามัญมีรูปแบบที่เปนไปไดจํานวนมากทั้งที่เปนเชิงเสนและไมเปนเชิงเสน มีอันดับที่แตกตางกันไดมากมายตั้งแตอันดับหนึ่ง อันดับสอง ไปจนถึงอันดับที่สูงกวานี้ ดังนั้น การหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธสามัญจึงเปนเรื่องยุงยากซับซอนมาก ดังนั้น โดยทั่วไปจึงมักจะแบงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญออกเปนประเภทยอย และแยกการวิเคราะหสมการเชิงอนุพันธสามัญแตละประเภทดวยวิธีหรือเทคนิคที่แตกตางกัน ในที่นี้ไดแบงประเภทของปญหาสมการเชิงอนุพันธสามัญโดยใชเกณฑตามอันดับของสมการ กลาวคือ จะเร่ิมตนจากการพิจารณาสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่งกอน ซ่ึงเปนเนื้อหาที่บรรจุไวในบทที่ 2 จากนั้นจะไดศึกษาถึงสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับสองในบทที่ 3 และสําหรับสมการเชิงอนุพันธสามัญที่มีอันดับสูงขึ้นไปจะไดกลาวถึงในบทที่ 4