§4 緩増加超関数入門
4.1 緩増加超関数
4.2 Fourier変換
4.3 周期超関数
4.3 Sobolev空間
4.1 緩増加超関数 2
関数 f P L1pRq と汎関数 C80 pRq Q φ ÞÝÑ Tf pφq :“
ş8
´8fpxqφpxq dx P C を
しばしば同一視する. この見方により関数の概念を拡張することができる.
《定義》 φ P C8pRq に対して,
pkpφq :“ max0ďjďk
supxPR
xxyk|φpjqpxq| pk P N0q, xxy :“ p1 ` x2q1{2.
(1) S “ SpRq :“ tφ P C8pRq | pkpφq ă 8 p@kqu (φ P S を急減少関数と呼ぶ)
(2) S において tφnu Ă S が φ P S に収束する (φn Ñ φ in S と表す)defô @k P N0に対して pkpφn ´ φq Ñ 0.
〔例〕 (Hermite関数) ※ D :“d
dx
h0pxq “14?πe´x2{2,
?2n hnpxq “ px´Dqhn´1pxq pn “ 1, 2, 3, . . . q
で定まる hn は S に含まれる. (hnpxq “ pxのn次多項式q e´x2{2:n次Hermite関数)
実は, L2pRq の正規直交基底をなすことが知られている.
3
《定義》 (緩増加超関数) ※汎関数=関数空間からCの写像
(1) S “ SpRq上の連続線型汎関数を緩増加超関数と呼ぶ. (超関数の一種)
すなわち, T が緩増加超関数であるとは,
(i) T : S Ñ C が線型写像, かつ
(ii) T : S Ñ C が連続, i.e. φn Ñ φ in S ñ pT, φnq Ñ pT, φq in C.(φ の T による像 T pφq を pT, φq と表す)
緩増加超関数全体の作る空間を S 1 “ S 1pRq と表す.
(2) S 1 において tTnu Ă S 1 が T P S 1 に収束する (Tn Ñ T in S 1 と表す)
defô @φ P Sに対して pTn, φq Ñ pT, φq.
〈注〉 上の定義(1)の(ii)は次で置き換えることができる.
(ii)1 φn Ñ 0 in S ñ pT, φnq Ñ 0 in C.(ii)2 Dk P N DC ą 0 s.t. |pT, φq| ď C pkpφq p@φ P Sq.
4
〔例〕 (基本的な緩増加超関数)
(1) Dk P N s.t. xxy´kfpxq P L1pRq (i.e. f が緩増加局所可積分関数) のとき,
pf, φq :“
ż 8
´8
fpxqφpxq dx pφ P Sq
と定めれば, f P S 1. 実際,
|pf, φq| ď
ż
xxy´k|fpxq| ¨ xxy
k|φpxq| dx ď
ˆż
xxy´k|fpxq| dx
˙
pkpφq.
(2) Diracのデルタ関数 δapxq pa P Rq
pδa, φq :“ φpaq pφ P Sq
によって, δa P S 1が定義される(a “ 0のときは単に δ と表す). 実際,
|pδa, φq| ď |φpaq| ď p0pφq.
5
(3)1
xに対応する超関数 pv
` 1
x
˘
`
pv1
x, φ
˘
:“ limεÑ0
ż
|x|ěε
φpxq
xdx
loooooooooomoooooooooon
Cauchyの主値
“
ż 8
0
φpxq ´ φp´xq
xdx pφ P Sq
と定めれば, pv` 1
x
˘
P S 1. 実際,
ˇ
ˇ
`
pv1
x, φ
˘ˇ
ˇ ď
ż 1
0
|φpxq ´ φp´xq|x
dx`
ż 8
1
|φpxq| ` |φp´xq|x
dx
ď
ż 1
0
2x|φ1pξxq|x
dx`
ż 8
1
xxy |φpxq| ` xxy |φp´xq|x2
dx
pDξx P p´x, xqq
ď 2 p1pφq ` 2 p1pφq “ 4 p1pφq.
〈注〉 大雑把に言って, (緩増加)超関数は関数の拡張概念であるが, 通常の関数がすべて超関
数というわけではない. 1{xは通常の関数であるが, x “ 0の近傍での可積分性がないた
めにx “ 0での意味がはっきりせず, このままでは超関数と見なせない.
6
(4) δpxqに収束する関数列の例
u P L1pRq がş
upxq dx “ 1 を満たすとき (例えば u “ χr0,1q, h20 ),
uεpxq “1
εu
´
x
ε
¯
pε ą 0q
とおけば, uε Ñ δ in S 1 (ε Ñ 0). 実際, @φ P S に対して,
puε, φq “
ż
uεpxqφpxq dx “
ż
upyqφpεyq dy py “ x{εq.
|upyqφpεyq| ď p0pφq|upyq| P L1 より,
Lebesgueの収束定理が適用できて,
limεÑ0
puε, φq “ limεÑ0
ż
upyqφpεyq dy
“ φp0q
ż
upyq dy “ φp0q “ pδ, φq.
3 2 1 1 2 3
1
2
3
4
7
【緩増加超関数に対する基本演算】
※作用素=関数空間の間の写像
定理4.1 (原理) S上の連続線型作用素 A : S Ñ S に対して,ż
pAψqφdx “
ż
ψ ptAφq dx pψ,φ P Sq ¨ ¨ ¨①
を満たす連続線型作用素 tA : S Ñ S (Aの転置作用素) が存在すると仮定する.
このとき,
pAu, φq :“ pu, tAφq pu P S 1, φ P Sq ¨ ¨ ¨②
により, A は S 1上の連続線型作用素 A : S 1 Ñ S 1 に拡張される.
〈注〉 A : S Ñ S が連続であるとは, φn Ñ φ in S ñ Aφn Ñ Aφ in S である
ということ(φ “ 0の場合だけで十分). あるいは, 次を満たすこと :
@k P N0 DC ą 0 Dl P N0 s.t. pkpAφq ď Cplpφq p@φ P Sq.
8
[証]
• ② がAu P S 1 を定めること. 示すべきは, u P S 1のとき Au : S Ñ C が連続線型汎関数となること. まず線型性は明らか. 連続性を示すために, φn Ñ φ in Sであるとすれば, tAに
関する仮定により tAφn Ñ tAφ in S. よって,
pAu, φnq “ pu, tAφnq Ñ pu, tAφq “ pAu, φq.
• A : S 1 Ñ S 1 の連続性. un Ñ u in S 1 とすれば, @φ P S に対して,
pAun, φq “ pun,tAφq Ñ pu, tAφq “ pAu, φq.
• ①は②が u “ φ P S Ă S 1 に対して成り立つことを表す. よって, ②で定まる
A : S 1 Ñ S 1 は, 明らかに, 最初に与えられた A : S Ñ S の拡張である.
以下, 緩増加超関数に対するいくつかの基本演算を挙げる.
9
[a] 緩増加C8関数の掛け算
f P C8pRq が緩増加C8関数, すなわち f が
@k P N0 Dl “ lpkq P N0 : max0ďjďk
supxPR
xxy´l|f pjqpxq| ă 8
を満たすとき, u P S 1 に対して fu P S 1 を次式で定義する:
pfu, φq :“ pu, fφq pφ P Sq.
Aφ “ fφ (φ P S) と定めれば,
pkpAφq “ max0ďjďk
supxPR
xxyk|tfpxqφpxqu
pjq|
ď C max0ďj1`j2ďk
supxPR
`
xxy´l|f pj1q
pxq| ¨ xxyk`l|φpj2q
pxq|˘
ď
´
C max0ďjďk
supxPR
xxy´l|f pjq
pxq|¯
pk`lpφq.
よって, A : S Ñ S は連続. また, 明らかに tA “ A が成り立つ.
10
[b] 微分
u P S 1 に対して Dlu “ uplq P S 1 (l P N) を次式で定義する:
puplq, φq :“ p´1qlpu, φplqq pφ P Sq.
Aφ “ φplq (φ P S) と定めれば,
pkpAφq “ max0ďjďk
supxPR
xxyk|tφplq
pxqupjq| ď pk`lpφq.
よって, A : S Ñ S は連続. また, 部分積分を繰り返してż
ψplqpxq φpxq dx “ p´1q
l
ż
ψpxqφplqpxq dx pψ,φ P Sq
が得られるので, tAφ “ p´1qlφplq. 明らかに tA : S Ñ S も連続.
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次の定理は緩増加超関数の1つの特徴付けを与える.
定理4.2 T P S 1 ならば, 緩増加局所可積分関数 F pxq および p P N が存在して,
T “ DpF.
〔例〕 超関数の導関数
(1) Hapxq :“
"
1 px ě aq
0 px ă aq(Heaviside関数) の導関数. (H0はHと書く)
xxy´2Hapxq P L1pRq より Ha P S 1. @φ P S に対して,
pH 1a, φq “ ´pHa, φ
1q “ ´
ż 8
a
φ1pxq dx “ ´“
φpxq‰8
a“ φpaq “ pδa, φq
となるので, H 1a “ δa.
12
(2) log |x| の導関数.
xxy´2 log |x| P L1pRq より log |x| P S 1. @φ P S に対して,
pplog |x|q1, φq “ ´plog |x|, φ1q “ ´
ż 8
0
pφ1pxq ` φ1
p´xqq log x dx
“ ´ limεÑ0
ż 8
ε
pφ1pxq ` φ1
p´xqq log x dx
“ limεÑ0
´
´
”
pφpxq ´ φp´xqq log xı8
ε`
ż 8
ε
φpxq ´ φp´xq
xdx
¯
“
ż 8
0
φpxq ´ φp´xq
xdx “
⟨pv
´ 1
x
¯
, φ⟩.
よって, plog |x|q1 “ pv´
1
x
¯
.
【問4.1】 k P N0, l P N とする. xl は緩増加C8関数であるから, xlδpkq P S 1 である.
xlδpkq“
#
0 pk ă lq
cpn, kq δpk´lq pl ď kqpcpn, kqは定数q
と簡約化されることを示し, cpn, kqの具体形を求めよ.
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(3) 原始超関数
u P S 1 に対して, 原始超関数 up´1q P S 1 (i.e. Dup´1q “ u) が存在する.
up´1q は以下のように与えられる. まず, φ P S に対して,
φ̃pxq “ φpxq ´ p1, φqh0pxq2´
p1, φq “ż 8
´8φpyq dy
¯
と定める(h0 は0次Hermite関数). ここで,
φ ÞÑ Φpxq :“ż x
´8φ̃pyq dy は S から S への作用素として連続 ¨ ¨ ¨①
であることに注意. C を任意定数として,
pup´1q, φq :“ ´
´
u,ż x
´8φ̃pyq dy
¯
` Cp1, φq pφ P Sq
と定めれば, ①より up´1q P S 1 であり, 更に Dup´1q “ u を満たす.
【問4.2】 次が成り立つことを示せ.
(i) @k P N に対し, l P N, C ą 0 が存在して, pkpΦq ď Cplpφq pφ P Sq. (①の証明)
(ii) pDup´1q, φq “ ´pup´1q, φ1q “ pu, φq pφ P Sq.
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[c] 変数変換
緩増加C8級関数 y “ ρpxq が infxPR
|ρ1pxq| ą 0 を満たせば, 逆関数 x “ ρ´1pyq
が存在し, やはり緩増加C8級関数となる. このとき,
u P S 1 に対して, pρ˚uqpxq ” upρpxqq P S 1 を次式で定義する :
pρ˚u, φq “ pupyq, φpρ´1pyqq |ρ1pρ´1pyqq|q pφ P Sq
〔例〕 (伸張作用素と平行移動作用素) S P S 1 に対して,
pDaSqpxq “ Spaxq pa ‰ 0q を pDaS, φq :“1
|a| pS, D1{aφq で,
pTbSqpxq “ Spx´ bq pb P Rnq を pTbS, φq :“ pS, T´bφq で定める. pφ P Sq
【問4.3】 δ P S 1, s ą 0 に対して, δpsxq “ s´1δpxq (´1次正斉次) となることを示せ.
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《定義》 (台 “ support)
(1) f P CpRq の台 supp f とは, supp f :“ tx | fpxq ‰ 0u.
(2) T, S P S 1 および I Ă R (開区間 or 開区間の合併) に対して,
T “ S in Idefô pT ´ S, φq “ 0 @φ P S, suppφ Ă I.
(3) T P S 1 の台 suppT とは
suppT :“ R z tx | T “ 0 in DIx pxの開近傍qu.
特に, suppT がコンパクト集合(“有界閉集合) のとき, T はコンパクト台をもつ超
関数と呼ぶ. また, コンパクト台をなす超関数の空間を E 1 pĂ S 1q と表す.
〔例〕 χr0,1q P E 1, suppχr0,1q “ r0, 1s. δa P E 1, supp δa “ tau.
定理4.3 u P S 1の台が t0u ならば u “kř
j“0
ajδpjq の形に書ける.
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[d] 合成積
f, g P S 1のとき, g P E 1 ならば 合成積 f ˚ g P S 1 が定義できる. (概略のみ)
Step 1 φ P S に対して, pg ˚ φqpxq :“ pg, Txφ̌q, φ̌pxq :“ φp´xq と定めれば,
g ˚ φ P S で, φ Ñ 0 in S ñ g ˚ φ Ñ 0 in S.
〈注〉 g P S なら,
pg, Txφ̌q “
ż
gpyqTxφ̌pyq dy “
ż
gpyqφ̌py ´ xq dy “
ż
gpyqφpx ´ yq dy “ g ˚ φpxq.
Step 2 pf ˚ g, φq :“ pf, pg ˚ φ̌qˇq pφ P Sq により, f ˚ g P S 1 が定義される.
〈注〉 f, g P S なら,
pg ˚ φ̌qˇpxq “ pg ˚ φ̌qp´xq “
ż
gpyqφ̌p´x ´ yq dy “
ż
gpyqφpx ` yq dy “
ż
gpz ´ xqφpzq dz,
pf, pg ˚ φ̌qˇq “
ż
fpxq´
ż
gpz ´ xqφpzq dz¯
dx
“
ż
´
ż
fpxqgpz ´ xq dx¯
φpzq dz “
ż
pf ˚ gqpzqφpzq dz.
【問4.4】 上の説明に従って f P S 1 に対して f ˚ δ “ f を示せ.
4.2 Fourier変換 17
T P S 1 のFourier変換 pT “ FT を
pFT, φq :“ pT, Fφq`
ô p pT , φq “ pT, pφq˘
pφ P Sq.
により定義する.
Aψ “ Fψ “ pψ pψ P Sq と定める. 0 ď j, k ď ℓ のとき,
ωkpψpjq
pωq “ ωkDjω
ż
ψpxqe´iωx dx “
ż
p´ixqjψpxq ωke´iωx dx
“ p´iqjikż
xjψpxqDkxe
´iωx dx “ p´iqj`k
ż
txjψpxqupkq e´iωx dx.
6 |ω|k| pψpjqpωq| ď
ż
xxy2|txjψpxqu
pkq| dx
xxy2ď C pk`2pψq.
これより, pkpAψq “ pkp pψ q ď Cpk`2pψq が得られ, A “ F : S Ñ S は連続. また, Fubiniの定
理により容易にż
pψpyqφpyq dy “
ż
ψpxq pφpxq dx pψ,φ P Sq
が得られ, tA “ F “ A.
18
定理4.4
(i) F : S 1 Ñ S 1 は連続な逆 F´1 : S 1 Ñ S 1 を持ち, T P S 1 に対して F´1T は
pF´1T, φq “ pu, F´1φq pφ P Sq
で与えられる. ここで,
F´1φpxq :“1
2π
ż
φpωqeixω dω (逆Fourier変換).
(ii) T P S 1 のとき, ωjpi´1DωqkFT “ Fppi´1Dxqjp´xqkT q.
[証] (i) S 上で F´1F “ FF´1 “ I (変転公式)が成り立つから, T P S 1, φ P S に対して,
pF´1pFT q, φq “ pFT, F´1φq “ pT, FpF´1φqq “ pT, φq.
よって, F´1FT “ T . 同様に FF´1T “ T . すなわち, S 1 上でも F´1F “ FF´1 “ I.
19
(ii) この関係式は S 上では容易に確かめられる. よって, @φ P S に対して,
pFppi´1Dqjp´xq
kT q, φq “ ppi´1Dqjpp´xq
kT q, pφ q “ p´1qjpp´xq
kT, pi´1Dqj
pφ q
“ p´1qj`k
pT, xkpi´1DqjFφq “ p´1q
j`kpT, Fppi´1Dq
kp´ωq
jφqq
“ p´1qj`k
pFT, pi´1Dqk
p´ωqjφq “ pωj
pi´1DqkFT, φq.
〔例〕 F : S 1pRxq Ñ S 1pRωq
(1) Fδa “ e´iaω
(2) F´
ř
kPZδpx´ 2πkq
¯
“ř
nPZδpω ´ nq
(3) Fpxke´iaxq “ 2πikδpkqpω ` aq
(4) F´
pv1
x
¯
“ ´πi sgnω
(5) F´
ř
nPZane
inx¯
“ 2πř
nPZanδpω ´ nq
(6) F´
ř
nPZane
inxχr´π,πspxq
¯
“ 2πř
nPZan
sin πpω ´ nq
πpω ´ nq(tanu P ℓ2pZqとする)
20
いくつか計算してみよう. 以下では, φ P S “ SpRωq とする.
(1) pFδa, φq “ pδa, pφq “ pφpaq “
ż
φpωqe´iaω dω “ pe´iaω, φq
(2)´
F´
ř
kPZδpx´ 2πkq
¯
, φ¯
“
´
ř
kPZδpx´ 2πkq, pφ
¯
“ř
kPZpδpx´ 2πkq, pφq “
ř
kPZpφp2πkq.
ここで, ψpxq :“ř
kPZpφpx` 2πkq P C8pTq はFourier級数展開可能: ψpxq “
ř
nPZcne
inx,
cn “1
2π
ż
Tψpxqeinx dx “
1
2π
ż
T
ÿ
kPZpφpx` 2πkqeinx dx
“1
2π
ÿ
kPZ
ż 2π
0
pφpx` 2πkqeinx dx “1
2π
ż 8
´8
pφpxqeinx dx “ φpnq.
よって,ř
kPZpφpx` 2πkq “
ř
nPZφpnqeinx. 特に,
ÿ
kPZpφp2πkq “
ÿ
nPZφpnq (Poissonの和公式)
これより,´
F´
ř
kPZδpx´ 2πkq
¯
, φ¯
“
´
ř
nPZδpω ´ nq, φ
¯
.
21
(3) pFpxke´iaxq, φq “ pxke´iax, pφq “
ż
e´iaxxkˆ
ż
e´iωxφpωq dω
˙
dx
“
ż
e´iax
ˆż
ikpDkωe
´iωxqφpωq dω
˙
dx´
Dω “d
dω
¯
“ 2πp´iqk ¨1
2π
ż
eip´aqx
ˆż
e´iωxφpkqpωq dω
˙
dx
“ 2πp´iqkφpkqp´aq “ 2πp´iqkpδpω ` aq, φpkq
pωqq
“ p2πikδpkqpω ` aq, φq.
(4)´
F´
pv1
x
¯
, φ¯
“
´
pv1
x, pφ
¯
“ limεÑ0
ż
|x|ěε
pφpxq
xdx “ lim
εÑ0RÑ8
ż R
ε
pφpxq ´ pφp´xq
xdx
“ limεÑ0RÑ8
ż R
ε
ˆż 8
´8
e´ixω ´ eixω
xφpωq dω
˙
dx
“ ´2i limεÑ0RÑ8
ż 8
´8
ˆż R
ε
sinωx
xdx
˙
φpωq dω (Fubiniの定理)
“ ´2i limεÑ0RÑ8
ż 8
´8
sgnω
ˆż |ω|R
|ω|ε
sinx
xdx
˙
φpωq dω “ p´πi sgnω, φq.
4.3 周期超関数 22
4.4 Sobolev空間 23
《定義》 (Sobolev空間)
α P Rのとき,
Hα “ HαpRq :“ tf P S 1 | xωyα pfpωq P L2u pxωy “ p1 ` |ω|2q1{2q
をα次のSobolev空間と呼ぶ.
• α “ 0 のとき, H0 “ L2.
• α “ 1, 2, 3, . . . のとき,
f P Hα ô f P L2 X Cα´1 かつ f pαq P L2 (f pαqはS 1の意味での微分)
• α “ ´1,´2,´3, . . . のとき,
Hα は1点に台をもつ |α|次以下のすべての超関数を含む
• Hα は
xf, gyα :“1
2π
ż 8
´8
pfpωqpgpωq xωy2α dω pf, g P Hαq
を内積とするHilbert空間となる.