Transcript
Page 1: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

��� �������� �� � ������ � ������ ������� ������� ���������� �������� � ��� ����� �������� ����

����� �� �������� �� ���� �����

������� ������ ����� �� �������� �� ��������� �� ������ ��������� �� ������ �� ���� ������

���� ������ !������� � ������ ���� �" ##�#�$%��&� �"'��������� �� ����(���� "������ �� "������� ��������� �� '������� )���������� '* �+,-%$�&&#� �"'

��������

���� �� ���� !� ���� "# $#%%&' #(() �������� �� ��*�����+�������� ������� ������� $,-./' ����������� � ���������

�������� �� 0��0���� � �� ����� � ������� ������ ������ ������� ������� $�//'� 1 ��� ������� �� 0�� ��� � ��������

���� � �� � ������ � ����� �// �������� �����*� � ������� ���� �2����� ���� ����� ������ �� ���� �������� ���� *������ �+

����� ����� ���������� � �� ���3 � �� ���0�� ����� ��������� ������ ���0������ ���� ���� �������� ��� ���� � �� ����� �

��� �2���� ����� �� 0�������� � �� ������� ������� ������ � �� ���������� � (44# /���*��� ������ ,�� !�� ����� �����*���

��� �� �� /������ �����5 /������ ���������5 -���� ���������

� ���� ������

1 �� ����� ��������� �����

� � ��� �� �#�#������ � �� � � � # *���� � �����*����� � �� � � � �����3 � 6�� ������ � �� � � � # *���� � �6��

0��������� �� � �� � � � # *���� � ����� ������

������� � ��*� .��� � 4 �� 7����� � � (�� ��� �����

0������ � ��������� ������� �� � ������ �� �6��

0������� *���� �� ��� ��� ����� ������ � ���

0������ �� �� ������� ���� �2����� $8,�' �������

��8,� � �����#��� �#�(������ �����9�� �� ��� � �2����� ����������

��/� ��� � ��� � ������ � ��� � �� �����#

�(� � �#�:�

�*�� ��� ������ *����� ���!������ 8,� ������� �� ��������� �� ��� �������

������� ���� � ��������� �� � ����+��*���0�� �����+

��� ������ � �� �����*� � *������� � �� �����

�����0���� ! ����� � ����� ������*�� � 8,� ��*�

��� 0��0���� � �� ��������� �������� �� �*������ *��

���������

���� �� ���� #) ��������� � ���������9��� � ����

�2����� �� ���� ��������� ������ ����� � �������

����������� � ��� ����0 ��������� � ����� (� 1 ���

������� �� �������� � � �� ����� � ��������� �����+

�� 6�� �� ������ ������� ������� $�//'� �����

��� ����;� �������� � �� ������� .� �3���� ��

� ������ � �// ���� ����� ������ �� �� ��������

� �// ���� *������ ������*� ����� ���������� *��

�������� � �� ���3 � �� ���0�� ����� ����� / ��4 � �#0 � ��

� ��������� ������� �� �����������

1 �� ��������� ����� $#�#'� ��� � �����*���� ���

��2����� � ������ �� � �6�� 0��������� 1 ���

�������� ����*��� � �� ������ �� �� ������ � �

�*��+�������� ����� � �2������

,� 1 � <�#� �(�2��= �� � �� � ������ ���� ��� �

����� �����*���� � �� ���0�� � ��9� �� >��� �1 �

�� �� � � � �������3 ������� � �� ���� � � ���3��

�� �� ����� 1� �� ���� �1 � �� �� ������0���� � � #

���*���� � �� .� �� �� � �� ���� �� � � �����*���� ��

� �������� ������ ��� ������ � �� ����� � �

�2����� � � �6�����1 ��1 � �1� �� ������ � ��������

��(������� �� �� ��*� ��

��1 � ��1�1��#�1�1 � ��#1 �1� �(�#�

������� �� ��6��1� � �� ���� ������ 0��*���� �

0�� �� � ������ �� � ��� 0��� � �� ������� ������

?����������� /������� �������� #@ $(44#' :(:A::4

4(@@+B%(4C4#CD + ��� �� ���� � (44# /���*��� ������ ,�� !�� ����� �����*���

?11� �4(@@+B%(4$4#'444#B+(

��������*�������C�����C0���������

� ������0���� ������ ����� �#+%#:+"BB+E&:"5 �3� �#+%#:+"BB+E&%4�

.$���� � ����3 �����F6������� $���� ����'�

Page 2: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

.��� �� ��������� ��� ��� ���� �� � ��� � � ��� �����+

�� ������ $����������'�

�� ��� �� �����*��� � �� ���� �2����� ����� �����

(44 ����� ���� ���� ���� � ��� � ������ �� ������ �

���� ������� ���������� � ������ ���������

��� ����� $��� �� ��������� ������ � ����� () ��

������ :)'� ����� �00������� ���� 2���6�� ������� ���

� �� ��������� ����� ����� � ������� ���������� �

��� ��� ����

.�� �� �������� �*��������� � ���0��� 0���� �

���� �������� ���� ��� ��� ������ ����� � ��

�00������ � ������� ���������� � ��������� �����+

�� �� ���������� ����� E) �� �� ") ��*���0�� �����

���0�� ����� ��������� �������� ����� � �������

���������� $������ ��� �� ������ 0���� � 0���'�

-��� @)� G��6�� � ��� &)� �� .����� B) ���������

�� ��� � ������� ������ �� ����0�� ������ ������

�� ���� ��������� ���������� -�������� �� ����� %)

�� G��6�� #4) ��������� �� 0��������� � ��������

�� ������ �� �0���� 0������� ������� ���� ���0��3

������� ������ ���� �� ���� ����� � �2����� $,��'

�� ���� ������ ��� � �2����� $,��'� � �� �� � �����+

�� ����������� H�� � ��*� ��� �������� G��6�� #4)

�� ����� � �� �0���� ������ �*�� �� ���� 0�������

�0��� �� �� �������� ��� ������� $��/'� G� ����� ��

��� ������� ������� $�//' �� �� �0���� ������ �*��

�� �������� � ������� ���

���� ������� ���� �� ���� #) 0��0���� � �� ����+

������� � ��������� �������� ����� � � ���������9���

� 8,� ��������� � ���� � ������� ����������� 1 #BE#�

������ ������ �� �� 8,� ������ �� � ������� �*����� �

�� ������� ���������� � �� �� � ��� ()� 1 �������

�� �30������ �� ���� �2����� ������� ��8,� � �� ���

��8,� �

�1

��1�1�4 ��1�1

��1�1��

�1

��1�1�4 ��1

������1

��1�1�����

4 ��1

��1

1 ��1�

�(�(������ ��1�1� �� �� ������� � �� � � � ����3 �1�1����� �� �� ������� � �� � � � ����3 ��� �� ��

���� ��� �6� �*�� ��� � ��� ������� ������ 1� ������� 4 �

1 � # ���1 1 � #� � ������ �� �� ���� �2����� ���+

���� �� � ������� �*����� � �� ������� �����������

���� �� ���� #) �������9�� �� ������� ���������

�������� � 8,� � /2� $(�(' � � �� ����� � ���������

�������� ������ �� ������(�$���� ��� ��(1� ��������

$,-./' ��������� ��������� /��� ������ � ��� ����� ��

� ������� �*����� � �� ������� ���������� � �� ���

����� �� �

�1

���1�� ��1��4 ��1�1

���1�� ��1�� � �(�:�

����� ���1�� ��1�� �� �� ����� ������ � �� �������

��������� ������ ��1� ��� ����� �� � ���� � ��

���0���� ��1�� � ������� ���� ����� � �1 �� I��*��+

���J � ������� �� ��1�� � ������� ���� ����� �

������ � � �� I��������J � ������ �� �� �������

��������� 1�

��� ,-./ ����� ������� 8,�� ���� ��� � �������

*����� � $,!7' ���������� �� ��� ���� �3���� ������+

��� ��������� H�� 8,�� �� ����� ����� ���

��1� � ��1�1��

��1� � #� �1 �� ���1�� ��1�� � ��1���1�� �(�E�K�� �� ���� ��1� � # �� ��� 1� �� ���� �2�����

������� ���� � ����9� ������ � �� �� ��������� � ����+

�� � ��*�� ����� � � ������� ����������

��� ,!7 � ��� �� 0��0��� � 0����� ������ � ���� �

� �� ��� 0���� �� ���� ��� ������0��� ������� � ��

� �� ������� ����������� ����� � �� ���� � �� ,!7

�������� ��� � �� ����� �� �� ��������� �� ��*� � �

����� ������� ��������� ������� ?� ����� ����

���� �� ��� � ������� ��������� $�!/' �������� ��/ ��// � ,!7 #4)�

� ������ ��������� ����������

H��� �� ,-./ �������� � /2� $(�:'� ���� ��� ���

0������� �������� �� ����� �6� � ���� �� ���������

��������� ,-./ �������� ��� ����� �� ���� ��1� ��

��1� ������ /3���� ,-./ �������� �� �� �������

�� ������ �� ��������� � �� �� ��� � ���� �����

������ 1 �� 8,� �������� �� �3��0��� �� �����

���� ��1� ����� �� ������� � ��*� ����� ��������

� ��� ���� �� ������� ��������� �� �� ���� ��� ��1������ ���� ����� ���� �� ������� � ���� �� � ��� �

������� ������ ��� �3������ ���� �� ��� ��*������

$/������ ���������� ����� � ���+��*����� �������

������ �� � � �� ���� ��� �� 0������'

��� ������ ������� �������� $�//' ��� � �0�����

���� � /2� $(�:'� �// �������� ��� �� ���� �������

���������� �� 0����� � �� ��� ��� ��C�� ��*� �3����

��*����� $����� �� �����'� H�� �3��0��� �� ���� ����� ��

������� ������� ��������

��1� � ��1�1��

��1� �

�����#

��1�� � �# � ��� #44� 0������� � ��

��

�����#

��1 ��� *�����

��

�:�#�

���1�� ��1�� � ��1���1������� �4� �� �� ������� ����� �� �� � ������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(E

Page 3: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

���� �4 � �� � #�� ������# ��1�� �

����# ��� � �� ��1� ��

�� �!/ ������� ��� �� ������� ������ ��1� 1 ���

����� �� ��*� ������ �� 8,� ��1� ���0�� � �����

� ������ ���� ����� ������ �� ����� �� ��1� ���0�+

� � ��� �� �� ������� ���������� �� ��� 0�����

� �� ��� �� �������� �� �� �!/ �������� �� ��L����

�� *���� � �� ������ ���� ��� �� �� ����� �

*����� � ������ ��������� ��������� ����� �� ����

�� �//����� $!�����*� �// �������� ��� ��������� �

����� @�'

1 ����� E� �� �������� � �������� ������� � ����

�� �������� � �� �//���� �������� ���� � *����� �

����� ���������� �� ���� � �������� ���� �������

��������� �������

� ���������� �����

8�� �������� ���� ��� ������� � �*����� ��

�//���� ��������� �� ����� � /2� $:�#'� � �� ���3

� ���0�� ����� ���������� ��� ������ � $#' �� ��������

�� �����*� 0�� ������ � 8,�� �//��� � 4�("���//��� � 4�"4�� �//��� � 4�&"�� �� �� ��� �������

��������� $�//' $,!7' �� *������ �+����� ����� �����+

������ $(' �� �����*� � �������� � �//��� � 4�("���//��� � 4�"4�� �//��� � 4�&"�� �� �� �// $,!7'

���0���� � 8,� ���� ����� ������ ��� $:' �� �����*�

� �������� � 8,�� �//��� � 4�("�� �//��� � 4�"4���//��� � 4�&"� ���0���� � ,!7 ���� ,�0���� �������

������ #AB �������9� �� 0�� ������ � ���� �����+

��� ���� *������ ����� ������� �� ����� %

�������9�� ���� �����*� � �������� $���0���� � 8,�'

���� ����� ������ �� ���� �����*� � ������ $���0����

� ,!7' ���� ,�0���� ������� ��� ����� � �������

���� � ��� ��������� ��� #4 444� ���� ������ ��� �����

� �� ������� 0������� � �� ������� ��/ � �� 8,�

������� ���� � ����� ����� ��������� �� �� ���� �

��� ��2����� �� �� ���������� H�� #4 444 �������� ��

��/ � �� 8,� �������� �� �� ������ ��������� ���

������� � �00��3������ ���� ������� 0������ �� ��

����� �� ��2����� ���� �� # � � � ������ ?"+#(4

0������ ���0��� ��� @E �� -!� ���� �������

������� ?�������� E�4�

H�� ���� ��������� ������� �� *���� � � ��� �� �

����� #4 �� ("� �� �� *���� � ���� ����� � �� ( $���0��

����� ���������'� ����� ������� ��0���� ����� ��

������� ���0�� ��9�� �� �������� �� �� ���� ���� ���

��� �����0 ��� �� �2��� � 9��� �� �� ��� ���0� ��

�2��� � �� �� ��� ����������

H�� ����� ����������� �� ��������� �� ������

������� ,�0����� ���� � �� � #4M �������� �����

���������� H�� �� ������ ,�0����� �� �����������

0������� *����� ���� ����� ���� �� �� ����� *������

� ( ��� ����� :�4 �� %�4� 1 ���� ��������� �� ������

,�0����� �� ����� ���������� ���� �������� � ��*�

�� ���� *������� H�� �� ����� ���������� �� �������

������ ����� *������ �� ����0���� �� � � ���� ��

������� *������� H�� �� ,�0���� ���������� �� �������

����� *������ ��� � �30����� ��������� ��� �

��� � #�4� ������� ������� � 0����*� �� ����*�

���� �� �� ����0���� �� � C(� H�� �� ���������� ��

�� �� ������� � ������ �2��� � ����� : �� (�(" � ��*�

� ( �2��� � :�4 �� %�4� ���0���*���� ��� ������ ���������

���� ��� �� ������ ������� H�� �� #4M ��������

����� ���������� ������ ����� *������ ���� ����+

��� �� ����0���� �� ����� � $��� 0��������� 4�%' �� ����"

�� $��� 0��������� 4�#' ����� � �� *���� � � �� ���

����� *������

��� *����� � �� ���0��� *������� 0 �� ��� ������+

�� ��� ���� ���� ��� ��� �� ��� ����������� ��

����� �� �� �� ���� ��� ����� ���������� ����

���� <�:� :� �� <�@� #(� �� �� �� ��� ����������

���� ��4� @� �� ��4� #(�� $K�� �� <��� �� �� � �����

��������� ��� ��� � �� *������ �� �� ���� � �� �

�� ��� ��������� � �� ���*�� ��� ��' ��� <�:� :� ��

��4� @� ��*� � ��� � : �� � *������ � :� ��

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :("

����� #

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�:� :� �� �����

*������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(E 4�(" 4�(& 4�(%

&" �5,� 4�E# 4�EE 4�EB 4�"#

%% �5�# #�4% #�#& #�:4 #�:%

,�0���� "4 4�:: 4�(@ 4�#@ 4�#4 �5��

&" 4�&# 4�"E 4�:" 4�(E �5&,

%% :�:% (�EE #�&% �5#+ #�&4

���� "4 4�#% 4�#% �5�- 4�#B 4�#%

&" 4�:" 4�:E �5�& 4�:: 4�:@

%% #�(: #�4& �5�� #�4: #�##

��� K��� "4 4�(& �5&% 4�(& 4�(% 4�:(

&" 4�E& �5,% 4�E& 4�"# 4�"@

%% #�:4 �5&� #�:@ #�EB #�@#

������ "4 4�"" 4�:% 4�(& �5&, 4�(@

&" #�:: 4�B( 4�"E �5,- 4�"#

%% :E�#@ "�:% (�&( &5�, (�"@

� � ("

K����� "4 �5�, 4�#E 4�#" 4�#& 4�#&

&" �5&, 4�(" 4�(@ 4�(B 4�:4

%% 4�"& �5+% 4�@4 4�@& 4�&#

,�0���� "4 4�(" 4�#@ 4�4% 4�4" �5��

&" 4�EB 4�:# 4�#B 4�#4 �5�-

%% #�@@ #�4# 4�@# �5,� 4�E(

���� "4 4�#( 4�## 4�#4 �5�� 4�##

&" 4�(( 4�(4 �5�- 4�#B 4�#%

%% 4�@" 4�"( �5,% 4�EB 4�E%

��� K��� "4 4�#@ 4�#@ �5�# 4�#& 4�#B

&" 4�(B 4�(& �5&% 4�:4 4�:(

%% 4�@& �5#+ 4�@& 4�&: 4�&&

������ "4 4�EB 4�(E 4�#@ �5�� 4�#E

&" #�#" 4�E" 4�(% �5&, 4�(E

%% (%�E: #�&( 4�BB �5%� 4�&B

Page 4: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

<�@� #(� �� ��4� #(� ��� ��*� � ��� � @ �� �

*������ � #(�

8�� ������� �� �� ���0��� *������� �� ����� �����+

����� ����� � ���� ���� � �( *������ ��� ���������

�� ������� �� ������ � ������ # �� "� ( �� @� : �� &�

�� E �� B ��*� �30���� �( *����� �2��� � 4�"� 4�("� 4�&"�

�� 4�"&� ���0���*���� �� �� ������ ,�0����� �� �����

�����������

� ���������� �������

�� ���0��� �� 0�� ������ � �� ��������� �� ���

���0�� 0�������� $"4�� &"�� �� %%�' � �� #4 444

�������� ������� ������ �� ���� ���0� �������� � �� # �#�� �� ������� ��������� ��� "4� 0������� ��0����� ��

���� � �� #4 444 ������� ������� �� &"� 0������� ��

�� ���� 2������� �� �� %%� 0������� ��*�� ���� ���� �

�� ���� ����*��� � �� ���0� �������� H�� � ��*�

���0�� ��9�� ����� ���������� �� �������� ����

0�������� ��� �������� � �� ������� 0����� � ������

#AB $���� � ����� ������0��� � � �� ��� 0 �������+

��'� H�� ���� 0�������� �� ������� *���� ������ �����+

��� �� ��������� �� ���� ����� ��������� � �������

���0�������

������ # �� ( �������9� �� ������ ��� �� �����

*������ � ( �� �2��� � :�4 �� %�4� ���0���*���� �� ��

������ ,�0����� �� ����������� �� �� ���0���

*������� �� ������� ��� � <�:� :� ��������� �� � �#4 �� � � ("� ������ : �� E ��� ������� � ������ # ��

(� ���0���*���� �3��0 �� �� ���0��� *������� 0 ��

������� ��� � <�@� #(� ���������� ���� �� 0 ���������

��� ��� ��� �� �� �� *������ ���������

��� �������� ������ ���� � ������ ������ "AB ���

������� � ���� �� ������ #AE� ���0���*���� �3��0 �� �

�� ��� ��������� ��� ���� � ������ �� *����� � ��

���0��� *������� 0 ����� � � ����� ���������� 1

������ " �� @� �� ��4� @� ��������� ��� ���� ����� � �

<�:� :� ���������� �� � ������ & �� B� �� ��4� #(���������� ��� ���� ����� � � <�@� #(� ���������� 1

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(@

����� (

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�:� :� �� �����

*������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5,� 4�E# 4�E: 4�E& 4�"#

&" �5%� 4�&# 4�&" 4�B( 4�B%

%% �5-% #�%( (�4( (�(4 (�E4

,�0���� "4 4�"B 4�EE 4�(B 4�#& �5�#

&" #�(4 4�%E 4�@# 4�E( �5,&

%% "�%& E�@# :�4" &5%# (�B%

���� "4 4�(( 4�(# �5�� 4�#% 4�(#

&" 4�E# 4�:% �5�, 4�:" 4�:&

%% #�B# #�:( �5�+ #�(: #�(&

��� K��� "4 4�E@ �5,# 4�E& 4�"# 4�"E

&" 4�B( �5-& 4�B( 4�BB 4�%"

%% (�:E &5�� (�:( (�"@ (�@(

������ "4 4�": 4�:B 4�(& �5&, 4�(@

&" #�:# 4�&% 4�": �5,# 4�"4

%% :E�4# "�@" (�"@ &5�- (�:B

� � ("

K����� "4 �5&, 4�(E 4�(@ 4�(B 4�:4

&" �5,� 4�E( 4�EE 4�E% 4�"#

%% #�4( �5�& #�4" #�#@ #�(E

,�0���� "4 4�E: 4�(% 4�#@ 4�4B �5�+

&" 4�BE 4�"" 4�:# 4�#B �5��

%% :�#% #�B4 #�4% �5%� 4�&(

���� "4 4�#" 4�#: 4�## �5�� 4�#(

&" 4�(@ 4�(( 4�(4 �5�� 4�(4

%% #�4" 4�@# �5+� 4�"# 4�"E

��� K��� "4 4�(B �5&% 4�(B 4�:4 4�:(

&" 4�EB �5,- 4�EB 4�"( 4�""

%% #�(: #�#B �5�% #�(% #�:(

������ "4 4�EB 4�(E 4�#@ �5�� 4�#E

&" #�#& 4�E" 4�(% �5&, 4�("

%% :(�E: #�&" 4�%( �5%& 4�&B

����� :

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�@� #(� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#( 4�#E 4�#"

&" �5&� 4�(# 4�(( 4�(E 4�(@

%% �5++ 4�"@ 4�"% 4�@" 4�&4

,�0���� "4 4�#@ 4�#: 4�4B 4�4" �5�,

&" 4�:" 4�(B 4�#& 4�#( �5�&

%% #�&% #�(" 4�B" �5%� 4�B"

���� "4 4�#4 4�4% �5�� 4�4% 4�#4

&" 4�#B 4�#& �5�# 4�#@ 4�#&

%% 4�@4 4�": �5+� 4�"E 4�""

��� K��� "4 4�#: �5�� 4�#: 4�#" 4�#@

&" 4�(E �5&, 4�(E 4�(@ 4�(B

%% 4�@@ �5## 4�@B 4�&( 4�&B

������ "4 4�(@ 4�#% 4�#: �5�& 4�#:

&" 4�@" 4�:% 4�(@ �5&� 4�("

%% #B�"E (�B4 #�:: �5�# #�(4

� � ("

K����� "4 4�4& �5�% 4�4& 4�4B 4�4B

&" �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

%% 4�:4 �5&� 4�:# 4�:E 4�:@

,�0���� "4 4�#( 4�4B 4�4" 4�4( �5��

&" 4�(E 4�#@ 4�4% 4�4" �5�,

%% 4�%# 4�": 4�:# �5&� 4�(#

���� "4 4�4@ 4�4@ �5�+ 4�4" 4�4"

&" 4�## 4�#4 �5�� 4�4% 4�#4

%% 4�:( 4�(" �5&, 4�(E 4�(E

��� K��� "4 4�4B 4�4B �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

%% 4�:E �5�� 4�:E 4�:& 4�:B

������ "4 4�(" 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�"B 4�(( 4�#E �5�& 4�#(

%% #@�(@ 4�B" 4�E" 4�:@ 4�:&

Page 5: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

��� ���� �� ��� �� *������ � �� 0 ��������� ��

���� � ������ "AB ��� �� ���� �� ���� � �� �����0��

� ������ #AE� ���� ��� ��� � ��� � ���� ��� �� � ��

� �� �����*� 0�� ������ � �� �������� ��� ��

����������� ���0� � �� ���0��� *�������

�������

.� ���� ���*� � � �� ������ � ���6 �*�� �� ������ �

������ "AB� �� �� ������ ��� ������ ������� � ���� �

������ #AE� ����� �� ��� �� ������ �� �����������

���0� � �� ���0��� *������� ��� ���� �� � � �� �

�� �����*� 0�� ������ � �� ��������� H�� �� ������

�� ��������� � �� �������� ������ ����� ����� ����

���� � �� 6�� ����� � ������ #AE�

H�� �� ����� ����� ���������� 8,� ��� �� �������

*���� �� ��� � �� 0�������� ���������� �� ���� ��

�30����� ��� �//��� � 4�("� ������� �� � *��� �����

������ 1 ��� �� � �� �������� ��� �������

0�� ������ 0������� � ��� �����

H�� �� ,�0���� ����� ���������� ��� ,!7 ��

�//��� � 4�&"� 0�� ��� ���� ��� � ����� ���� � ,!7

�� �� ������ ���0�� ��9� � � � ("� 1 ������ �� ���

�� ,!7 �� ������� � � �����*���� ��� � � #4

������� ���� ��� ��� E" ������� �� � ��� ����� ��

�� � ���� ������� �� ��� �� *��� ����� � �� ���

��������� ����

H�� ���� ������� ��� � �� �������� ��� ��

�3��0�� � 8,� ��� ���0���*�� ��� 0����0� � �����

���� ���� � �//��� � 4�"4�� ��� 0�� ������ � 8,�

�� �������� ���6�� �� �� ���� ��� �������� � ���

�����

N��� #4M �������� ����� ������� ��� �� ��������

������� 8,� �00��� � 0�� ��� ����� �� ��� �� ����

���� � �//��� � 4�("�� ��� ��0��*�� 0�� ������ �

8,� �� 0������� ��� � �� ���6 �������� � ��

����� ���������� ���� �� �������� ����� ���� � ��"

���� ��*� ��� �� ����� � ����� 0������� �� 8,��

N��� ������ ��������� ������� �//��� � 4�&"��00���� � �� �� ����� ����� ��� ����� 0�� �������

�� �//��� � 4�"4� �� ,!7� 8,� ��� *��� 0����� � ���

�������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :(&

����� E

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�@� #(� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(4 4�(( 4�(: 4�("

&" �5�+ 4�:" 4�:& 4�E# 4�EE

%% 4�%( �5�& 4�%@ #�## #�#&

,�0���� "4 4�(% 4�(( 4�#E 4�4% �5�-

&" 4�@( 4�EB 4�:# 4�(( �5&�

%% :�#E (�(E #�"E �5,� #�":

���� "4 4�## 4�#4 �5�� 4�#4 4�#4

&" 4�(4 4�#% �5�% 4�#& 4�#%

%% 4�B" 4�@" �5++ 4�"@ 4�@4

��� K��� "4 4�(E �5&, 4�(E 4�(" 4�(B

&" 4�E# �5,� 4�E# 4�E" 4�EB

%% #�#& �5�+ #�#@ #�(" #�:#

������ "4 4�(@ 4�#% 4�#E �5�& 4�#:

&" 4�@" 4�E4 4�(& �5&, 4�("

%% #&�&% (�B% #�:# �5�# #�:"

� � ("

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

&" 4�(# �5&� 4�(( 4�(" 4�(@

%% 4�"# �5+� 4�"E 4�@4 4�@(

,�0���� "4 4�(# 4�#E 4�4B 4�4E �5��

&" 4�E# 4�(& 4�#" 4�4B �5�#

%% #�"" 4�%E 4�"@ �5�+ 4�:"

���� "4 4�4& 4�4@ 4�4@ �5�# 4�4@

&" 4�#: 4�## 4�#4 �5�� 4�#4

%% 4�"# 4�:# 4�(@ �5&# 4�(&

��� K��� "4 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

&" 4�(" �5&, 4�(E 4�(& 4�(B

%% 4�@( �5+� 4�"% 4�@" 4�@B

������ "4 4�(E 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�"B 4�(( 4�#E �5�& 4�#(

%% #%�4& 4�B: 4�EE �5�+ 4�:B

����� "

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� @� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(: 4�(E 4�(& 4�(B

&" �5�� 4�E4 4�E( 4�E@ 4�"4

%% �5�� #�4# #�4@ #�#@ #�(E

,�0���� "4 4�:: 4�(@ 4�#" 4�#4 �5��

&" 4�&4 4�": 4�:: �5&& 4�(:

%% :�(B (�:( #�"" �5�% #�":

���� "4 4�#% 4�#B �5�% 4�#B 4�(4

&" 4�:: 4�:( �5�� 4�:( 4�:E

%% #�4% 4�%& �5-- 4�%# 4�%&

��� K��� "4 4�(@ �5&# 4�(& 4�(% 4�:#

&" 4�E" �5,+ 4�E@ 4�"4 4�"E

%% #�#B #�#B #�#% #�(B #�:%

������ "4 4�"E 4�:B 4�(& �5&, 4�("

&" #�:( 4�B4 4�"# �5,+ 4�EB

%% :B�#" "�4( (�:4 �5�+ (�#"

� � ("

K����� "4 �5�, 4�#E 4�#" 4�#& 4�#&

&" �5&, 4�(E 4�(" 4�(B 4�(%

%% 4�"" �5++ 4�"B 4�@" 4�@B

,�0���� "4 4�(@ 4�#& 4�4% 4�4" �5��

&" 4�E% 4�:# 4�#& 4�4% �5�%

%% #�@E 4�%( 4�": �5�, 4�:@

���� "4 4�#( 4�## �5�� 4�#4 4�##

&" 4�(# 4�(4 �5�- 4�#B 4�#%

%% 4�@4 4�E& �5,� 4�E: 4�E"

��� K��� "4 4�#@ �5�# 4�#@ 4�#B 4�#B

&" 4�(B 4�(B �5&% 4�:4 4�:(

%% 4�@" �5#& 4�@E 4�&# 4�&(

������ "4 4�": 4�(E 4�#" �5�� 4�#E

&" 4�#: 4�E" 4�(& �5&� 4�(E

%% :"�@E 4�#E 4�&& �5#, 4�@%

Page 6: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

���0������ � ������ # � (� : � E� " � @� �� & � B

������ �� �������� �� ����� *������ � (� �����

��������� �� �30���� �(� ��� ���� � �� � �� �����*�

0�� ������� � �� ���������

����� % 0��*���� � ���0����� � �� �����*� � ��������

� �� �������� �� ����� �� ,�0���� ������� .� �����

�� �����*� � ������ � � ������� ���0���� � 8,�

���� ����� ������ �� �� ���� � �� �������� ���

�2���� ����� � � ������� � �� ��� �2���� ����� �

8,�� ��� �����*� � ������ � � ������� ���0���� �

,!7 ���� ,�0���� ������ ��� ����� �� �� ���� � ��

�������� ��� ������� ����� � � ������� � �� ���

������� ����� � ,!7� ����� �� � ��*� ������� ����

���� ���� ������� � �� �����*� � ������ ���0���� �

8,� �� � ,!7 �� � � #4 �� � � ("� ��� �*����� *����

� ���� ���� ������� �� �������9�� � ����� %� ��� ����+

�*� � ������ � �//��� � 4�"4� �� �//��� � 4�&"������*� � 8,� �� B&�: �� %B�&M� ���0���*���� �� � �#4 �� B@�% �� %%�(M� ���0���*���� �� � � (" �����

��� *��� ����� ��� �����*� � �������� � ,!7 ��

�//��� � 4�&"� � 8,� ��� ������ �� ���� ���*� @4M ��

,!7 �� �00��3������ &4M �� �//��� � 4�&"� ���

� � #4 �� � � ("� ��� ���0�� ��9� ��� � ��*� � �����+

�� ��0�� � �� �����*� � ������ � �� �������

���0���� � 8,�� �� �� �����*� � ������ � ��������

���0���� � ,!7 ��� ������ � ���� �� �� ���0�� ��9��

.�� � � #4� �//��� � 4�&"� ��� � �*����� �����*� � �+

����� � #4(�:M �� �� �����*� � ������ � �//��� �4�"4� ��� &E�@M ���0���� � ,!7 ����� �� ���� ����� ���

�����*� � ������ � �//��� � 4�("� �� 8,� � ,!7�

��� � � #4� ��� ���� ����� � E&�( �� :"�%M� ���0��+

�*���� .�� � � ("� ��� �� �����*� � �������� �����*� �

,!7 ��� � ������� ���0 � B#�E� E"�E� (:�" �� #@�#M ��

�//��� � 4�&"�� �//��� � 4�"4�� �//��� � 4�("� ��

8,�� ���0���*���� ��� ������ �����*� � �������� � ��

�������� *����� ,!7 ��� � � #4 �� � 0�� ��� � ��

�� �� �� ����� ���0�� ��9��� �� ����� � �������

���������� �� ����� $E"'� ����� ������ �� ����� �� ��

�//� ����� ,!7 �� ���� �� �!/ �������� ���� �� ����� �

�� ��� �������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(B

����� @

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� @� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�� 4�E4 4�E: 4�EB 4�"4

&" �5#� 4�@% 4�&E 4�B# 4�B&

%% �5%� #�&# #�B: (�44 (�(#

,�0���� "4 4�"B 4�E@ 4�(& 4�#@ �5�+

&" #�#B 4�%: 4�"& �5�� 4�E4

%% "�@E E�## (�"B &5&, (�"B

���� "4 4�(: 4�(# �5�� 4�#% 4�(4

&" 4�E# 4�:B 4�:: �5�� 4�:@

%% #�&( #�(: �5�- #�4( #�#4

��� K��� "4 �5,+ 4�E" 4�E" 4�E% 4�":

&" 4�&B �5%% 4�&% 4�B@ 4�%(

%% (�4% (�4@ &5�+ (�(( (�E(

������ "4 4�": 4�:% 4�(& �5&� 4�("

&" #�(B 4�&% 4�"# �5,, 4�EB

%% ::�B4 E�%" (�(E �5�� (�##

� � ("

K����� "4 4�(E �5&, 4�(@ 4�(% 4�(%

&" 4�E# �5,� 4�EE 4�E% 4�"#

%% �5�� 4�%: #�4( #�#" #�#@

,�0���� "4 4�E" 4�(% 4�#@ 4�4B �5�+

&" 4�B" 4�"E 4�(% 4�#" �5�&

%% (�BE #�@" 4�%: �5+% 4�@(

���� "4 4�#" 4�#: �5�� 4�## 4�##

&" 4�(@ 4�(( 4�#% �5�� 4�#%

%% 4�%E 4�"% 4�EB �5,- 4�E%

��� K��� "4 4�(B 4�(& �5&% 4�:# 4�:(

&" 4�EB �5,% 4�E& 4�"( 4�""

%% #�#& #�#E �5�& #�(( #�(@

������ "4 4�"# 4�(E 4�#" �5�� 4�#:

&" #�(" 4�E" 4�(& �5&& 4�(E

%% E4�&4 #�"# 4�&& �5#+ 4�@&

����� &

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� #(� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#( 4�#E 4�#E

&" �5&� 4�(4 4�(# 4�(: 4�("

%% �5,% 4�EB 4�"# 4�"& 4�@#

,�0���� "4 4�#& 4�#: 4�4B 4�4" �5�,

&" 4�:" 4�(& 4�#& �5�� 4�#(

%% #�@E #�#@ 4�B( �5#% 4�&B

���� "4 4�4% 4�4% �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#& 4�#@ �5�+ 4�#@ 4�#&

%% 4�"" 4�EB �5,� 4�E@ 4�E%

��� K��� "4 4�#: �5�� 4�#: 4�#E 4�#"

&" 4�(: �5&� 4�(: 4�(" 4�(&

%% 4�"B �5+% 4�@4 4�@: 4�@%

������ "4 4�(& 4�#% 4�#E �5�& 4�#:

&" 4�@E 4�E4 4�(@ �5&& 4�(E

%% #E�E# (�E& #�#E �5�% #�4%

� � ("

K����� "4 �5�% 4�4& 4�4& 4�4B 4�4%

&" �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#E

%% �5&% 4�(& 4�(% 4�:: 4�:E

,�0���� "4 4�#: 4�4B 4�4E 4�4( �5��

&" 4�(E 4�#" 4�4B 4�4" �5�,

%% 4�B& 4�E& 4�(B �5�% 4�#B

���� "4 4�4@ 4�4@ 4�4" �5�+ 4�4"

&" 4�## 4�#4 �5�� 4�4% 4�#4

%% 4�:4 4�(E �5&� 4�(( 4�(:

��� K��� "4 4�4B 4�4B �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#"

%% 4�:( 4�:# �5�� 4�:E 4�:@

������ "4 4�(@ 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�@# 4�(( 4�#E �5�� 4�#(

%% #B�%( 4�&% 4�:B �5�� 4�:"

Page 7: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

� ����������

����� � �� ������ ��� ������ #AB� �� ��*� ���������

�� �������� � �� �// � �+����� ����� �����������

�� �� �� �//���� �������� 0�� ��� ���� �� � ����

*����� � �+����� ����� ����������� ��� ������ �

����� % ���� �� �� �//� ��0������� �//��� � 4�"4��� �//��� � 4�("�� ��*� � ���� �����*� � ������ ��

���0���� � 8,� ��� �� ����� ��������� �� ������

����� �� �// � ��� ������ ��� ���� � ������ ��

��������� ��� ������ � �� �00��0���� ������ �����+

�� ������� �� �������� � ���*����� �� ���0�*�

�������5 ����*��� �//��� � 4�"4� �00���� � ��*� ����

�*����� 0�� ������� 1 ������ ������� � ������� ����

����� ������� �� ��� ������ � �������� ���� � �+

����� ���� �������� �//��� � 4�&"� ���� �� � ����

�������

!�����*� ������� � �// �������� ��� 0������� ��

�������� ��� ���� ����� �� �// �������� �� � ��� ��

���� ������� ���������� �� 0����� � �� ��� ��� ��C

�� ��*� �3���� ��*����� $����� �� �����'� !� � ������*�

� /2� $:�#'� �� ����� ��*� ����� �� ������� �������

��������

��1� � ��1�1�4

���1�1� � �# � ��� #44� 0������� � ��

���

���1 ��1 � � *�����

��

��1� �

�����#

��1�� � �# � ��� #44� 0������� � ��

���

� ����#

��1 ���*�����

��

�@�#�

���1�� ��1�� � ��1���1������� �4� �� �� ������� ����� �� �� �� ��� ������

����� �4 � ����� � #�� ������# ��1�� �

����# ��� �

�� ��1� �� �� �!/ ������� ��� �� ������� ������ ��1�1 ��� ����� �� ��*� ������� �� 8,� ��1� ���0�� �

� ���*��� 9��� �� �� �������� � ���� � �� ������

��*����� ������� ������ � �� ������� �*����� �

/2� $(�:'� .� ���� ��� �� ��1� ���0�� � ��� �� ��

������� ���������� �� ��� 0����� � �� ��� �� ����+

���� �� �� �!/ �������� �� ��L���� �� *����� � ��

������ ����� �� �� ��� �� �� ����� � *����� �

������ ��������� ��������� ����� �� ���� ��

�//��������8��� �������� ������� ����� �� �� ���� � 0���� �

�� �!/ � ��1�� 1 0��������� �� ��*� ��������� ��

������ �!/ � ����� � 0��0���� � �� ������ �������

���������� ����� ��!/� �� ������ �� ��� ������ ��

������� ������� ���������� .� ���� ��� *����� �

�� �// �� �//���������!/�� 8��� 0����������� ������

�� ������ ��� � �2����� ��������� �� �� ����� ����+

��� ��������� 1 ������� �� ���� ���� ������� ������

�� ��� � �� ���� ���1�� ��1�� ����� ������� ��

��*����� �� �������� ������� ������

H������ �� �������� �� G��6�� #4) �� ���� ��

���� #)� ����� ������0��� � ������� ���������� �

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :(%

����� B

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� #(� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(4 4�(# 4�(: 4�("

&" �5�, 4�:E 4�:@ 4�E4 4�E:

%% �5-+ 4�B@ 4�%: #�4# #�4%

,�0���� "4 4�(B 4�(( 4�#E 4�4B �5�%

&" 4�"% 4�E& 4�(% �5&� 4�(4

%% (�@B (�44 #�:4 �5�� #�(&

���� "4 4�## 4�## �5�� 4�4% 4�#4

&" 4�(4 4�#% 4�#& �5�% 4�#B

%% 4�B% 4�@E �5+� 4�"# 4�""

��� K��� "4 �5&� 4�(: 4�(: 4�(" 4�(&

&" 4�:% �5�� 4�E4 4�EE 4�E&

%% #�4E �5�, #�4@ #�#% #�("

������ "4 4�(& 4�#% 4�#: �5�& 4�#(

&" 4�@& 4�E4 4�(@ �5&& 4�(E

%% #B�E% (�B# #�(4 �5�+ #�4&

� � ("

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

&" �5&� 4�(# 4�(( 4�(" 4�(@

%% �5,% 4�E& 4�"# 4�"B 4�"%

,�0���� "4 4�(: 4�#" 4�4B 4�4E �5�&

&" 4�E: 4�(& 4�#E 4�4B �5�#

%% #�": 4�BE 4�E& �5&� 4�::

���� "4 4�4& 4�4@ 4�4" �5�+ 4�4@

&" 4�#: 4�## 4�4% �5�� 4�#4

%% 4�E% 4�(B �5&� 4�(: 4�(E

��� K��� "4 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

&" 4�(E �5&, 4�(E 4�(@ 4�(&

%% 4�"& �5++ 4�"@ 4�@# 4�@:

������ "4 4�(" 4�#( 4�4B �5�# 4�4&

&" 4�@# 4�(( 4�#E �5�� 4�#(

%% #"�&( 4�&& 4�:B �5�� 4�:"

����� %

!*����� �����*� � ��������

/���� � 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

K������ #4 A %B�& BB�4 &(�4 @(�:

(" A %%�( B&�: &4�: @"�:

,�0����� #4 :@�% EB�E &"�" #4(�" A

(" #"�% ("�: E"�: B#�4 A

� ��� ������ ��*����� � ���� ������� ����� ��� 4�( � #�%�� ��� ������ ��*����� � ���� ������� ����� ��� 4�E � #�:�

Page 8: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

�00��3���� �// �� ���� ������� ������� �������

�������� �� �� ��9� � �� ��������� 0������ ���������

.� ��� ������� �*������� �� ����� � ��� � ���

���0�� �� ������� ���������� � �// ��������

�!�������

#) ���� ��� ���� ��� /������ ������� �� ������� ����6� � ������+

���� !� ���� #%%&5"#�#((A%�

() ����� 8�� -��� �����*���J� ���6 � 0���������� !��� G�� /3��

��� #%&:5%�:4@A(E�

:) ������ ��� ��� ������ � �������� �� ��������� � �������

�� ��� #%44� ���������� ��� ���6�0 ?���� � G��*��� N�*�����

?����� #%B@�

E) ����� G� ! ��6+�*���� ����� � ����� �� 0�������� ���������

������� 111� K����� !6�� .����� ?��� ��� ! #%"45":�#:%&AE#(�

") �� ?O� /������ � �� ��������� ��� ���� ����� � O�����J�

��� � !� ���� !���� #%@B5@:�#:&%AB%�

@) -��� >�� ���0���� 0��� � ������� ���� �2����� �����������

����������� #%B45((�:E:AB�

&) G��6�� >�� ����� >� O��� �7� ,����� � ��*���� ������� �

����0�� ��������� ��� ���� ������� ������� �����������

#%BE5(@�#%&A(4B�

B) .����� -/� ����� ���� ��� #%B@5#�E4:A"�

%) -�������� ?�� ����� �� �� -������� � �� �+����� �������� ��

��������� ��� ���� ����6��� 0��� 1� ����� .� ������ -����+

���� ���������� ���0��� �� ���0���� � �������� K�� P��6�

�0������ #%%#�

#4) G��6�� >�� ��� �������� � ������� �� �00��3������ ��

���������� � !� ���� !���� #%%:5BB�"B4A%�

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���::4