8
The robustness and ef®ciency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study Matthew S. Mayo a, * , J. Brian Gray b a Kansas Cancer Institute and Department of Preventive Medicine, University of Kansas Medical Center, 3901 Rainbow Boulevard, Kansas City, KS 66160-7312, USA b Department of Management Science and Statistics, University of Alabama, Tuscaloosa, AL 35487-0226, USA Abstract Mayo and Gray [Am Statist 51 1997) 122] introduced the leverage-residual weighted elemental LRWE) classi®cation of regression estimators and proposed a new method of estimation called trimmed elemental estimation TEE). In this article, we perform a simulation study of the ef®ciency of certain TEE estimators relative to ordinary least squares under normal errors and their robustness under various non- normal error distributions in the context of the simple linear regression model. Comparisons among these estimators are made on the basis of mean square error and percentiles of the absolute estimation errors in the simulations. q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Elemental subset; Elemental regression; Robust regression 1. Introduction In the linear regression model Y Xb 1 1; 1:1 where Y is an n £ 1 vector of observations, X is an n £ p matrix of known constants, b is a p £ 1 vector of unknown parameters, and 1 is an n £ 1 vector of random errors assumed to have E1 0 and Var1 s 2 I: The basic problem in regression analysis is to estimate the unknown parameter vector b. The most common solution to this problem is the ordinary least squares OLS) estimate: ^ b OLS X t X 21 X t Y; 1:2 which minimizes the sum of squared residuals, SSE ^ bY 2 X ^ b t Y 2 X ^ b e t e X n i1 e 2 i ; 1:3 over all estimate vectors ^ b: Although OLS estimation is desirable for many reasons, including ease of calculation and a well-developed statisti- cal theory, it is sensitive to violations of the model assumptions. A number of robust alternatives to OLS have been proposed in the regression literature and evaluated via simulation. Mayo and Gray [1] considered a characterization of least squares and other regression methods based on elemental regressions, an old concept described in Section 2. In this article, we elaborate on a new method of regression estima- tion known as trimmed elemental estimation TEE), which was brie¯y introduced in that article. We examine the ef®ciency of TEE under normal errors and the robustness of TEE under various alternative error distributions via simulation in the context of the simple linear model Y b 0 1 b 1 X 1 1: 2. Elemental subsets and regressions In the regression model 1.1), only p observations are required to estimate the p unknown parameters. In most situations, however, n is greater than p, leading to an over-determined system of equations. Let h {i 1 ; i 2 ; ¼i p } be a set of indices identifying p distinct observations in the sample of size n. De®ne X h to be the p £ p submatrix consisting of the rows of X indexed by the subset h, and de®ne Y h to be the corresponding p £ 1 subvector of Y. We refer to any such set of p observations as an elemental subset. The solution to the system of p equations in p unknowns, X h ^ b h Y h ; is called an elemental regression and is given by ^ b h X t h X h 21 X t h Y h X 21 h Y h ; 2:1 assuming that rankX h p: This solution provides a perfect ®t through the p data points in the elemental subset. Probabilistic Engineering Mechanics 16 2001) 323±330 0266-8920/01/$ - see front matter q 2001 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0266-892001)00018-2 www.elsevier.com/locate/probengmech * Corresponding author. Tel.: 11-913-588-4735; fax: 11-913-588-4790. E-mail address: [email protected] M.S. Mayo).

The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

��� �������� �� � ������ � ������ ������� ������� ���������� �������� � ��� ����� �������� ����

����� �� �������� �� ���� �����

������� ������ ����� �� �������� �� ��������� �� ������ ��������� �� ������ �� ���� ������

���� ������ !������� � ������ ���� �" ##�#�$%��&� �"'��������� �� ����(���� "������ �� "������� ��������� �� '������� )���������� '* �+,-%$�&&#� �"'

��������

���� �� ���� !� ���� "# $#%%&' #(() �������� �� ��*�����+�������� ������� ������� $,-./' ����������� � ���������

�������� �� 0��0���� � �� ����� � ������� ������ ������ ������� ������� $�//'� 1 ��� ������� �� 0�� ��� � ��������

���� � �� � ������ � ����� �// �������� �����*� � ������� ���� �2����� ���� ����� ������ �� ���� �������� ���� *������ �+

����� ����� ���������� � �� ���3 � �� ���0�� ����� ��������� ������ ���0������ ���� ���� �������� ��� ���� � �� ����� �

��� �2���� ����� �� 0�������� � �� ������� ������� ������ � �� ���������� � (44# /���*��� ������ ,�� !�� ����� �����*���

��� �� �� /������ �����5 /������ ���������5 -���� ���������

� ���� ������

1 �� ����� ��������� �����

� � ��� �� �#�#������ � �� � � � # *���� � �����*����� � �� � � � �����3 � 6�� ������ � �� � � � # *���� � �6��

0��������� �� � �� � � � # *���� � ����� ������

������� � ��*� .��� � 4 �� 7����� � � (�� ��� �����

0������ � ��������� ������� �� � ������ �� �6��

0������� *���� �� ��� ��� ����� ������ � ���

0������ �� �� ������� ���� �2����� $8,�' �������

��8,� � �����#��� �#�(������ �����9�� �� ��� � �2����� ����������

��/� ��� � ��� � ������ � ��� � �� �����#

�(� � �#�:�

�*�� ��� ������ *����� ���!������ 8,� ������� �� ��������� �� ��� �������

������� ���� � ��������� �� � ����+��*���0�� �����+

��� ������ � �� �����*� � *������� � �� �����

�����0���� ! ����� � ����� ������*�� � 8,� ��*�

��� 0��0���� � �� ��������� �������� �� �*������ *��

���������

���� �� ���� #) ��������� � ���������9��� � ����

�2����� �� ���� ��������� ������ ����� � �������

����������� � ��� ����0 ��������� � ����� (� 1 ���

������� �� �������� � � �� ����� � ��������� �����+

�� 6�� �� ������ ������� ������� $�//'� �����

��� ����;� �������� � �� ������� .� �3���� ��

� ������ � �// ���� ����� ������ �� �� ��������

� �// ���� *������ ������*� ����� ���������� *��

�������� � �� ���3 � �� ���0�� ����� ����� / ��4 � �#0 � ��

� ��������� ������� �� �����������

1 �� ��������� ����� $#�#'� ��� � �����*���� ���

��2����� � ������ �� � �6�� 0��������� 1 ���

�������� ����*��� � �� ������ �� �� ������ � �

�*��+�������� ����� � �2������

,� 1 � <�#� �(�2��= �� � �� � ������ ���� ��� �

����� �����*���� � �� ���0�� � ��9� �� >��� �1 �

�� �� � � � �������3 ������� � �� ���� � � ���3��

�� �� ����� 1� �� ���� �1 � �� �� ������0���� � � #

���*���� � �� .� �� �� � �� ���� �� � � �����*���� ��

� �������� ������ ��� ������ � �� ����� � �

�2����� � � �6�����1 ��1 � �1� �� ������ � ��������

��(������� �� �� ��*� ��

��1 � ��1�1��#�1�1 � ��#1 �1� �(�#�

������� �� ��6��1� � �� ���� ������ 0��*���� �

0�� �� � ������ �� � ��� 0��� � �� ������� ������

?����������� /������� �������� #@ $(44#' :(:A::4

4(@@+B%(4C4#CD + ��� �� ���� � (44# /���*��� ������ ,�� !�� ����� �����*���

?11� �4(@@+B%(4$4#'444#B+(

��������*�������C�����C0���������

� ������0���� ������ ����� �#+%#:+"BB+E&:"5 �3� �#+%#:+"BB+E&%4�

.$���� � ����3 �����F6������� $���� ����'�

Page 2: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

.��� �� ��������� ��� ��� ���� �� � ��� � � ��� �����+

�� ������ $����������'�

�� ��� �� �����*��� � �� ���� �2����� ����� �����

(44 ����� ���� ���� ���� � ��� � ������ �� ������ �

���� ������� ���������� � ������ ���������

��� ����� $��� �� ��������� ������ � ����� () ��

������ :)'� ����� �00������� ���� 2���6�� ������� ���

� �� ��������� ����� ����� � ������� ���������� �

��� ��� ����

.�� �� �������� �*��������� � ���0��� 0���� �

���� �������� ���� ��� ��� ������ ����� � ��

�00������ � ������� ���������� � ��������� �����+

�� �� ���������� ����� E) �� �� ") ��*���0�� �����

���0�� ����� ��������� �������� ����� � �������

���������� $������ ��� �� ������ 0���� � 0���'�

-��� @)� G��6�� � ��� &)� �� .����� B) ���������

�� ��� � ������� ������ �� ����0�� ������ ������

�� ���� ��������� ���������� -�������� �� ����� %)

�� G��6�� #4) ��������� �� 0��������� � ��������

�� ������ �� �0���� 0������� ������� ���� ���0��3

������� ������ ���� �� ���� ����� � �2����� $,��'

�� ���� ������ ��� � �2����� $,��'� � �� �� � �����+

�� ����������� H�� � ��*� ��� �������� G��6�� #4)

�� ����� � �� �0���� ������ �*�� �� ���� 0�������

�0��� �� �� �������� ��� ������� $��/'� G� ����� ��

��� ������� ������� $�//' �� �� �0���� ������ �*��

�� �������� � ������� ���

���� ������� ���� �� ���� #) 0��0���� � �� ����+

������� � ��������� �������� ����� � � ���������9���

� 8,� ��������� � ���� � ������� ����������� 1 #BE#�

������ ������ �� �� 8,� ������ �� � ������� �*����� �

�� ������� ���������� � �� �� � ��� ()� 1 �������

�� �30������ �� ���� �2����� ������� ��8,� � �� ���

��8,� �

�1

��1�1�4 ��1�1

��1�1��

�1

��1�1�4 ��1

������1

��1�1�����

4 ��1

��1

1 ��1�

�(�(������ ��1�1� �� �� ������� � �� � � � ����3 �1�1����� �� �� ������� � �� � � � ����3 ��� �� ��

���� ��� �6� �*�� ��� � ��� ������� ������ 1� ������� 4 �

1 � # ���1 1 � #� � ������ �� �� ���� �2����� ���+

���� �� � ������� �*����� � �� ������� �����������

���� �� ���� #) �������9�� �� ������� ���������

�������� � 8,� � /2� $(�(' � � �� ����� � ���������

�������� ������ �� ������(�$���� ��� ��(1� ��������

$,-./' ��������� ��������� /��� ������ � ��� ����� ��

� ������� �*����� � �� ������� ���������� � �� ���

����� �� �

�1

���1�� ��1��4 ��1�1

���1�� ��1�� � �(�:�

����� ���1�� ��1�� �� �� ����� ������ � �� �������

��������� ������ ��1� ��� ����� �� � ���� � ��

���0���� ��1�� � ������� ���� ����� � �1 �� I��*��+

���J � ������� �� ��1�� � ������� ���� ����� �

������ � � �� I��������J � ������ �� �� �������

��������� 1�

��� ,-./ ����� ������� 8,�� ���� ��� � �������

*����� � $,!7' ���������� �� ��� ���� �3���� ������+

��� ��������� H�� 8,�� �� ����� ����� ���

��1� � ��1�1��

��1� � #� �1 �� ���1�� ��1�� � ��1���1�� �(�E�K�� �� ���� ��1� � # �� ��� 1� �� ���� �2�����

������� ���� � ����9� ������ � �� �� ��������� � ����+

�� � ��*�� ����� � � ������� ����������

��� ,!7 � ��� �� 0��0��� � 0����� ������ � ���� �

� �� ��� 0���� �� ���� ��� ������0��� ������� � ��

� �� ������� ����������� ����� � �� ���� � �� ,!7

�������� ��� � �� ����� �� �� ��������� �� ��*� � �

����� ������� ��������� ������� ?� ����� ����

���� �� ��� � ������� ��������� $�!/' �������� ��/ ��// � ,!7 #4)�

� ������ ��������� ����������

H��� �� ,-./ �������� � /2� $(�:'� ���� ��� ���

0������� �������� �� ����� �6� � ���� �� ���������

��������� ,-./ �������� ��� ����� �� ���� ��1� ��

��1� ������ /3���� ,-./ �������� �� �� �������

�� ������ �� ��������� � �� �� ��� � ���� �����

������ 1 �� 8,� �������� �� �3��0��� �� �����

���� ��1� ����� �� ������� � ��*� ����� ��������

� ��� ���� �� ������� ��������� �� �� ���� ��� ��1������ ���� ����� ���� �� ������� � ���� �� � ��� �

������� ������ ��� �3������ ���� �� ��� ��*������

$/������ ���������� ����� � ���+��*����� �������

������ �� � � �� ���� ��� �� 0������'

��� ������ ������� �������� $�//' ��� � �0�����

���� � /2� $(�:'� �// �������� ��� �� ���� �������

���������� �� 0����� � �� ��� ��� ��C�� ��*� �3����

��*����� $����� �� �����'� H�� �3��0��� �� ���� ����� ��

������� ������� ��������

��1� � ��1�1��

��1� �

�����#

��1�� � �# � ��� #44� 0������� � ��

��

�����#

��1 ��� *�����

��

�:�#�

���1�� ��1�� � ��1���1������� �4� �� �� ������� ����� �� �� � ������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(E

Page 3: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

���� �4 � �� � #�� ������# ��1�� �

����# ��� � �� ��1� ��

�� �!/ ������� ��� �� ������� ������ ��1� 1 ���

����� �� ��*� ������ �� 8,� ��1� ���0�� � �����

� ������ ���� ����� ������ �� ����� �� ��1� ���0�+

� � ��� �� �� ������� ���������� �� ��� 0�����

� �� ��� �� �������� �� �� �!/ �������� �� ��L����

�� *���� � �� ������ ���� ��� �� �� ����� �

*����� � ������ ��������� ��������� ����� �� ����

�� �//����� $!�����*� �// �������� ��� ��������� �

����� @�'

1 ����� E� �� �������� � �������� ������� � ����

�� �������� � �� �//���� �������� ���� � *����� �

����� ���������� �� ���� � �������� ���� �������

��������� �������

� ���������� �����

8�� �������� ���� ��� ������� � �*����� ��

�//���� ��������� �� ����� � /2� $:�#'� � �� ���3

� ���0�� ����� ���������� ��� ������ � $#' �� ��������

�� �����*� 0�� ������ � 8,�� �//��� � 4�("���//��� � 4�"4�� �//��� � 4�&"�� �� �� ��� �������

��������� $�//' $,!7' �� *������ �+����� ����� �����+

������ $(' �� �����*� � �������� � �//��� � 4�("���//��� � 4�"4�� �//��� � 4�&"�� �� �� �// $,!7'

���0���� � 8,� ���� ����� ������ ��� $:' �� �����*�

� �������� � 8,�� �//��� � 4�("�� �//��� � 4�"4���//��� � 4�&"� ���0���� � ,!7 ���� ,�0���� �������

������ #AB �������9� �� 0�� ������ � ���� �����+

��� ���� *������ ����� ������� �� ����� %

�������9�� ���� �����*� � �������� $���0���� � 8,�'

���� ����� ������ �� ���� �����*� � ������ $���0����

� ,!7' ���� ,�0���� ������� ��� ����� � �������

���� � ��� ��������� ��� #4 444� ���� ������ ��� �����

� �� ������� 0������� � �� ������� ��/ � �� 8,�

������� ���� � ����� ����� ��������� �� �� ���� �

��� ��2����� �� �� ���������� H�� #4 444 �������� ��

��/ � �� 8,� �������� �� �� ������ ��������� ���

������� � �00��3������ ���� ������� 0������ �� ��

����� �� ��2����� ���� �� # � � � ������ ?"+#(4

0������ ���0��� ��� @E �� -!� ���� �������

������� ?�������� E�4�

H�� ���� ��������� ������� �� *���� � � ��� �� �

����� #4 �� ("� �� �� *���� � ���� ����� � �� ( $���0��

����� ���������'� ����� ������� ��0���� ����� ��

������� ���0�� ��9�� �� �������� �� �� ���� ���� ���

��� �����0 ��� �� �2��� � 9��� �� �� ��� ���0� ��

�2��� � �� �� ��� ����������

H�� ����� ����������� �� ��������� �� ������

������� ,�0����� ���� � �� � #4M �������� �����

���������� H�� �� ������ ,�0����� �� �����������

0������� *����� ���� ����� ���� �� �� ����� *������

� ( ��� ����� :�4 �� %�4� 1 ���� ��������� �� ������

,�0����� �� ����� ���������� ���� �������� � ��*�

�� ���� *������� H�� �� ����� ���������� �� �������

������ ����� *������ �� ����0���� �� � � ���� ��

������� *������� H�� �� ,�0���� ���������� �� �������

����� *������ ��� � �30����� ��������� ��� �

��� � #�4� ������� ������� � 0����*� �� ����*�

���� �� �� ����0���� �� � C(� H�� �� ���������� ��

�� �� ������� � ������ �2��� � ����� : �� (�(" � ��*�

� ( �2��� � :�4 �� %�4� ���0���*���� ��� ������ ���������

���� ��� �� ������ ������� H�� �� #4M ��������

����� ���������� ������ ����� *������ ���� ����+

��� �� ����0���� �� ����� � $��� 0��������� 4�%' �� ����"

�� $��� 0��������� 4�#' ����� � �� *���� � � �� ���

����� *������

��� *����� � �� ���0��� *������� 0 �� ��� ������+

�� ��� ���� ���� ��� ��� �� ��� ����������� ��

����� �� �� �� ���� ��� ����� ���������� ����

���� <�:� :� �� <�@� #(� �� �� �� ��� ����������

���� ��4� @� �� ��4� #(�� $K�� �� <��� �� �� � �����

��������� ��� ��� � �� *������ �� �� ���� � �� �

�� ��� ��������� � �� ���*�� ��� ��' ��� <�:� :� ��

��4� @� ��*� � ��� � : �� � *������ � :� ��

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :("

����� #

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�:� :� �� �����

*������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(E 4�(" 4�(& 4�(%

&" �5,� 4�E# 4�EE 4�EB 4�"#

%% �5�# #�4% #�#& #�:4 #�:%

,�0���� "4 4�:: 4�(@ 4�#@ 4�#4 �5��

&" 4�&# 4�"E 4�:" 4�(E �5&,

%% :�:% (�EE #�&% �5#+ #�&4

���� "4 4�#% 4�#% �5�- 4�#B 4�#%

&" 4�:" 4�:E �5�& 4�:: 4�:@

%% #�(: #�4& �5�� #�4: #�##

��� K��� "4 4�(& �5&% 4�(& 4�(% 4�:(

&" 4�E& �5,% 4�E& 4�"# 4�"@

%% #�:4 �5&� #�:@ #�EB #�@#

������ "4 4�"" 4�:% 4�(& �5&, 4�(@

&" #�:: 4�B( 4�"E �5,- 4�"#

%% :E�#@ "�:% (�&( &5�, (�"@

� � ("

K����� "4 �5�, 4�#E 4�#" 4�#& 4�#&

&" �5&, 4�(" 4�(@ 4�(B 4�:4

%% 4�"& �5+% 4�@4 4�@& 4�&#

,�0���� "4 4�(" 4�#@ 4�4% 4�4" �5��

&" 4�EB 4�:# 4�#B 4�#4 �5�-

%% #�@@ #�4# 4�@# �5,� 4�E(

���� "4 4�#( 4�## 4�#4 �5�� 4�##

&" 4�(( 4�(4 �5�- 4�#B 4�#%

%% 4�@" 4�"( �5,% 4�EB 4�E%

��� K��� "4 4�#@ 4�#@ �5�# 4�#& 4�#B

&" 4�(B 4�(& �5&% 4�:4 4�:(

%% 4�@& �5#+ 4�@& 4�&: 4�&&

������ "4 4�EB 4�(E 4�#@ �5�� 4�#E

&" #�#" 4�E" 4�(% �5&, 4�(E

%% (%�E: #�&( 4�BB �5%� 4�&B

Page 4: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

<�@� #(� �� ��4� #(� ��� ��*� � ��� � @ �� �

*������ � #(�

8�� ������� �� �� ���0��� *������� �� ����� �����+

����� ����� � ���� ���� � �( *������ ��� ���������

�� ������� �� ������ � ������ # �� "� ( �� @� : �� &�

�� E �� B ��*� �30���� �( *����� �2��� � 4�"� 4�("� 4�&"�

�� 4�"&� ���0���*���� �� �� ������ ,�0����� �� �����

�����������

� ���������� �������

�� ���0��� �� 0�� ������ � �� ��������� �� ���

���0�� 0�������� $"4�� &"�� �� %%�' � �� #4 444

�������� ������� ������ �� ���� ���0� �������� � �� # �#�� �� ������� ��������� ��� "4� 0������� ��0����� ��

���� � �� #4 444 ������� ������� �� &"� 0������� ��

�� ���� 2������� �� �� %%� 0������� ��*�� ���� ���� �

�� ���� ����*��� � �� ���0� �������� H�� � ��*�

���0�� ��9�� ����� ���������� �� �������� ����

0�������� ��� �������� � �� ������� 0����� � ������

#AB $���� � ����� ������0��� � � �� ��� 0 �������+

��'� H�� ���� 0�������� �� ������� *���� ������ �����+

��� �� ��������� �� ���� ����� ��������� � �������

���0�������

������ # �� ( �������9� �� ������ ��� �� �����

*������ � ( �� �2��� � :�4 �� %�4� ���0���*���� �� ��

������ ,�0����� �� ����������� �� �� ���0���

*������� �� ������� ��� � <�:� :� ��������� �� � �#4 �� � � ("� ������ : �� E ��� ������� � ������ # ��

(� ���0���*���� �3��0 �� �� ���0��� *������� 0 ��

������� ��� � <�@� #(� ���������� ���� �� 0 ���������

��� ��� ��� �� �� �� *������ ���������

��� �������� ������ ���� � ������ ������ "AB ���

������� � ���� �� ������ #AE� ���0���*���� �3��0 �� �

�� ��� ��������� ��� ���� � ������ �� *����� � ��

���0��� *������� 0 ����� � � ����� ���������� 1

������ " �� @� �� ��4� @� ��������� ��� ���� ����� � �

<�:� :� ���������� �� � ������ & �� B� �� ��4� #(���������� ��� ���� ����� � � <�@� #(� ���������� 1

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(@

����� (

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�:� :� �� �����

*������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5,� 4�E# 4�E: 4�E& 4�"#

&" �5%� 4�&# 4�&" 4�B( 4�B%

%% �5-% #�%( (�4( (�(4 (�E4

,�0���� "4 4�"B 4�EE 4�(B 4�#& �5�#

&" #�(4 4�%E 4�@# 4�E( �5,&

%% "�%& E�@# :�4" &5%# (�B%

���� "4 4�(( 4�(# �5�� 4�#% 4�(#

&" 4�E# 4�:% �5�, 4�:" 4�:&

%% #�B# #�:( �5�+ #�(: #�(&

��� K��� "4 4�E@ �5,# 4�E& 4�"# 4�"E

&" 4�B( �5-& 4�B( 4�BB 4�%"

%% (�:E &5�� (�:( (�"@ (�@(

������ "4 4�": 4�:B 4�(& �5&, 4�(@

&" #�:# 4�&% 4�": �5,# 4�"4

%% :E�4# "�@" (�"@ &5�- (�:B

� � ("

K����� "4 �5&, 4�(E 4�(@ 4�(B 4�:4

&" �5,� 4�E( 4�EE 4�E% 4�"#

%% #�4( �5�& #�4" #�#@ #�(E

,�0���� "4 4�E: 4�(% 4�#@ 4�4B �5�+

&" 4�BE 4�"" 4�:# 4�#B �5��

%% :�#% #�B4 #�4% �5%� 4�&(

���� "4 4�#" 4�#: 4�## �5�� 4�#(

&" 4�(@ 4�(( 4�(4 �5�� 4�(4

%% #�4" 4�@# �5+� 4�"# 4�"E

��� K��� "4 4�(B �5&% 4�(B 4�:4 4�:(

&" 4�EB �5,- 4�EB 4�"( 4�""

%% #�(: #�#B �5�% #�(% #�:(

������ "4 4�EB 4�(E 4�#@ �5�� 4�#E

&" #�#& 4�E" 4�(% �5&, 4�("

%% :(�E: #�&" 4�%( �5%& 4�&B

����� :

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�@� #(� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#( 4�#E 4�#"

&" �5&� 4�(# 4�(( 4�(E 4�(@

%% �5++ 4�"@ 4�"% 4�@" 4�&4

,�0���� "4 4�#@ 4�#: 4�4B 4�4" �5�,

&" 4�:" 4�(B 4�#& 4�#( �5�&

%% #�&% #�(" 4�B" �5%� 4�B"

���� "4 4�#4 4�4% �5�� 4�4% 4�#4

&" 4�#B 4�#& �5�# 4�#@ 4�#&

%% 4�@4 4�": �5+� 4�"E 4�""

��� K��� "4 4�#: �5�� 4�#: 4�#" 4�#@

&" 4�(E �5&, 4�(E 4�(@ 4�(B

%% 4�@@ �5## 4�@B 4�&( 4�&B

������ "4 4�(@ 4�#% 4�#: �5�& 4�#:

&" 4�@" 4�:% 4�(@ �5&� 4�("

%% #B�"E (�B4 #�:: �5�# #�(4

� � ("

K����� "4 4�4& �5�% 4�4& 4�4B 4�4B

&" �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

%% 4�:4 �5&� 4�:# 4�:E 4�:@

,�0���� "4 4�#( 4�4B 4�4" 4�4( �5��

&" 4�(E 4�#@ 4�4% 4�4" �5�,

%% 4�%# 4�": 4�:# �5&� 4�(#

���� "4 4�4@ 4�4@ �5�+ 4�4" 4�4"

&" 4�## 4�#4 �5�� 4�4% 4�#4

%% 4�:( 4�(" �5&, 4�(E 4�(E

��� K��� "4 4�4B 4�4B �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

%% 4�:E �5�� 4�:E 4�:& 4�:B

������ "4 4�(" 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�"B 4�(( 4�#E �5�& 4�#(

%% #@�(@ 4�B" 4�E" 4�:@ 4�:&

Page 5: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

��� ���� �� ��� �� *������ � �� 0 ��������� ��

���� � ������ "AB ��� �� ���� �� ���� � �� �����0��

� ������ #AE� ���� ��� ��� � ��� � ���� ��� �� � ��

� �� �����*� 0�� ������ � �� �������� ��� ��

����������� ���0� � �� ���0��� *�������

�������

.� ���� ���*� � � �� ������ � ���6 �*�� �� ������ �

������ "AB� �� �� ������ ��� ������ ������� � ���� �

������ #AE� ����� �� ��� �� ������ �� �����������

���0� � �� ���0��� *������� ��� ���� �� � � �� �

�� �����*� 0�� ������ � �� ��������� H�� �� ������

�� ��������� � �� �������� ������ ����� ����� ����

���� � �� 6�� ����� � ������ #AE�

H�� �� ����� ����� ���������� 8,� ��� �� �������

*���� �� ��� � �� 0�������� ���������� �� ���� ��

�30����� ��� �//��� � 4�("� ������� �� � *��� �����

������ 1 ��� �� � �� �������� ��� �������

0�� ������ 0������� � ��� �����

H�� �� ,�0���� ����� ���������� ��� ,!7 ��

�//��� � 4�&"� 0�� ��� ���� ��� � ����� ���� � ,!7

�� �� ������ ���0�� ��9� � � � ("� 1 ������ �� ���

�� ,!7 �� ������� � � �����*���� ��� � � #4

������� ���� ��� ��� E" ������� �� � ��� ����� ��

�� � ���� ������� �� ��� �� *��� ����� � �� ���

��������� ����

H�� ���� ������� ��� � �� �������� ��� ��

�3��0�� � 8,� ��� ���0���*�� ��� 0����0� � �����

���� ���� � �//��� � 4�"4�� ��� 0�� ������ � 8,�

�� �������� ���6�� �� �� ���� ��� �������� � ���

�����

N��� #4M �������� ����� ������� ��� �� ��������

������� 8,� �00��� � 0�� ��� ����� �� ��� �� ����

���� � �//��� � 4�("�� ��� ��0��*�� 0�� ������ �

8,� �� 0������� ��� � �� ���6 �������� � ��

����� ���������� ���� �� �������� ����� ���� � ��"

���� ��*� ��� �� ����� � ����� 0������� �� 8,��

N��� ������ ��������� ������� �//��� � 4�&"��00���� � �� �� ����� ����� ��� ����� 0�� �������

�� �//��� � 4�"4� �� ,!7� 8,� ��� *��� 0����� � ���

�������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :(&

����� E

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� <�@� #(� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(4 4�(( 4�(: 4�("

&" �5�+ 4�:" 4�:& 4�E# 4�EE

%% 4�%( �5�& 4�%@ #�## #�#&

,�0���� "4 4�(% 4�(( 4�#E 4�4% �5�-

&" 4�@( 4�EB 4�:# 4�(( �5&�

%% :�#E (�(E #�"E �5,� #�":

���� "4 4�## 4�#4 �5�� 4�#4 4�#4

&" 4�(4 4�#% �5�% 4�#& 4�#%

%% 4�B" 4�@" �5++ 4�"@ 4�@4

��� K��� "4 4�(E �5&, 4�(E 4�(" 4�(B

&" 4�E# �5,� 4�E# 4�E" 4�EB

%% #�#& �5�+ #�#@ #�(" #�:#

������ "4 4�(@ 4�#% 4�#E �5�& 4�#:

&" 4�@" 4�E4 4�(& �5&, 4�("

%% #&�&% (�B% #�:# �5�# #�:"

� � ("

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

&" 4�(# �5&� 4�(( 4�(" 4�(@

%% 4�"# �5+� 4�"E 4�@4 4�@(

,�0���� "4 4�(# 4�#E 4�4B 4�4E �5��

&" 4�E# 4�(& 4�#" 4�4B �5�#

%% #�"" 4�%E 4�"@ �5�+ 4�:"

���� "4 4�4& 4�4@ 4�4@ �5�# 4�4@

&" 4�#: 4�## 4�#4 �5�� 4�#4

%% 4�"# 4�:# 4�(@ �5&# 4�(&

��� K��� "4 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

&" 4�(" �5&, 4�(E 4�(& 4�(B

%% 4�@( �5+� 4�"% 4�@" 4�@B

������ "4 4�(E 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�"B 4�(( 4�#E �5�& 4�#(

%% #%�4& 4�B: 4�EE �5�+ 4�:B

����� "

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� @� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(: 4�(E 4�(& 4�(B

&" �5�� 4�E4 4�E( 4�E@ 4�"4

%% �5�� #�4# #�4@ #�#@ #�(E

,�0���� "4 4�:: 4�(@ 4�#" 4�#4 �5��

&" 4�&4 4�": 4�:: �5&& 4�(:

%% :�(B (�:( #�"" �5�% #�":

���� "4 4�#% 4�#B �5�% 4�#B 4�(4

&" 4�:: 4�:( �5�� 4�:( 4�:E

%% #�4% 4�%& �5-- 4�%# 4�%&

��� K��� "4 4�(@ �5&# 4�(& 4�(% 4�:#

&" 4�E" �5,+ 4�E@ 4�"4 4�"E

%% #�#B #�#B #�#% #�(B #�:%

������ "4 4�"E 4�:B 4�(& �5&, 4�("

&" #�:( 4�B4 4�"# �5,+ 4�EB

%% :B�#" "�4( (�:4 �5�+ (�#"

� � ("

K����� "4 �5�, 4�#E 4�#" 4�#& 4�#&

&" �5&, 4�(E 4�(" 4�(B 4�(%

%% 4�"" �5++ 4�"B 4�@" 4�@B

,�0���� "4 4�(@ 4�#& 4�4% 4�4" �5��

&" 4�E% 4�:# 4�#& 4�4% �5�%

%% #�@E 4�%( 4�": �5�, 4�:@

���� "4 4�#( 4�## �5�� 4�#4 4�##

&" 4�(# 4�(4 �5�- 4�#B 4�#%

%% 4�@4 4�E& �5,� 4�E: 4�E"

��� K��� "4 4�#@ �5�# 4�#@ 4�#B 4�#B

&" 4�(B 4�(B �5&% 4�:4 4�:(

%% 4�@" �5#& 4�@E 4�&# 4�&(

������ "4 4�": 4�(E 4�#" �5�� 4�#E

&" 4�#: 4�E" 4�(& �5&� 4�(E

%% :"�@E 4�#E 4�&& �5#, 4�@%

Page 6: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

���0������ � ������ # � (� : � E� " � @� �� & � B

������ �� �������� �� ����� *������ � (� �����

��������� �� �30���� �(� ��� ���� � �� � �� �����*�

0�� ������� � �� ���������

����� % 0��*���� � ���0����� � �� �����*� � ��������

� �� �������� �� ����� �� ,�0���� ������� .� �����

�� �����*� � ������ � � ������� ���0���� � 8,�

���� ����� ������ �� �� ���� � �� �������� ���

�2���� ����� � � ������� � �� ��� �2���� ����� �

8,�� ��� �����*� � ������ � � ������� ���0���� �

,!7 ���� ,�0���� ������ ��� ����� �� �� ���� � ��

�������� ��� ������� ����� � � ������� � �� ���

������� ����� � ,!7� ����� �� � ��*� ������� ����

���� ���� ������� � �� �����*� � ������ ���0���� �

8,� �� � ,!7 �� � � #4 �� � � ("� ��� �*����� *����

� ���� ���� ������� �� �������9�� � ����� %� ��� ����+

�*� � ������ � �//��� � 4�"4� �� �//��� � 4�&"������*� � 8,� �� B&�: �� %B�&M� ���0���*���� �� � �#4 �� B@�% �� %%�(M� ���0���*���� �� � � (" �����

��� *��� ����� ��� �����*� � �������� � ,!7 ��

�//��� � 4�&"� � 8,� ��� ������ �� ���� ���*� @4M ��

,!7 �� �00��3������ &4M �� �//��� � 4�&"� ���

� � #4 �� � � ("� ��� ���0�� ��9� ��� � ��*� � �����+

�� ��0�� � �� �����*� � ������ � �� �������

���0���� � 8,�� �� �� �����*� � ������ � ��������

���0���� � ,!7 ��� ������ � ���� �� �� ���0�� ��9��

.�� � � #4� �//��� � 4�&"� ��� � �*����� �����*� � �+

����� � #4(�:M �� �� �����*� � ������ � �//��� �4�"4� ��� &E�@M ���0���� � ,!7 ����� �� ���� ����� ���

�����*� � ������ � �//��� � 4�("� �� 8,� � ,!7�

��� � � #4� ��� ���� ����� � E&�( �� :"�%M� ���0��+

�*���� .�� � � ("� ��� �� �����*� � �������� �����*� �

,!7 ��� � ������� ���0 � B#�E� E"�E� (:�" �� #@�#M ��

�//��� � 4�&"�� �//��� � 4�"4�� �//��� � 4�("� ��

8,�� ���0���*���� ��� ������ �����*� � �������� � ��

�������� *����� ,!7 ��� � � #4 �� � 0�� ��� � ��

�� �� �� ����� ���0�� ��9��� �� ����� � �������

���������� �� ����� $E"'� ����� ������ �� ����� �� ��

�//� ����� ,!7 �� ���� �� �!/ �������� ���� �� ����� �

�� ��� �������

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���:(B

����� @

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� @� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�� 4�E4 4�E: 4�EB 4�"4

&" �5#� 4�@% 4�&E 4�B# 4�B&

%% �5%� #�&# #�B: (�44 (�(#

,�0���� "4 4�"B 4�E@ 4�(& 4�#@ �5�+

&" #�#B 4�%: 4�"& �5�� 4�E4

%% "�@E E�## (�"B &5&, (�"B

���� "4 4�(: 4�(# �5�� 4�#% 4�(4

&" 4�E# 4�:B 4�:: �5�� 4�:@

%% #�&( #�(: �5�- #�4( #�#4

��� K��� "4 �5,+ 4�E" 4�E" 4�E% 4�":

&" 4�&B �5%% 4�&% 4�B@ 4�%(

%% (�4% (�4@ &5�+ (�(( (�E(

������ "4 4�": 4�:% 4�(& �5&� 4�("

&" #�(B 4�&% 4�"# �5,, 4�EB

%% ::�B4 E�%" (�(E �5�� (�##

� � ("

K����� "4 4�(E �5&, 4�(@ 4�(% 4�(%

&" 4�E# �5,� 4�EE 4�E% 4�"#

%% �5�� 4�%: #�4( #�#" #�#@

,�0���� "4 4�E" 4�(% 4�#@ 4�4B �5�+

&" 4�B" 4�"E 4�(% 4�#" �5�&

%% (�BE #�@" 4�%: �5+% 4�@(

���� "4 4�#" 4�#: �5�� 4�## 4�##

&" 4�(@ 4�(( 4�#% �5�� 4�#%

%% 4�%E 4�"% 4�EB �5,- 4�E%

��� K��� "4 4�(B 4�(& �5&% 4�:# 4�:(

&" 4�EB �5,% 4�E& 4�"( 4�""

%% #�#& #�#E �5�& #�(( #�(@

������ "4 4�"# 4�(E 4�#" �5�� 4�#:

&" #�(" 4�E" 4�(& �5&& 4�(E

%% E4�&4 #�"# 4�&& �5#+ 4�@&

����� &

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� #(� ��

����� *������ �� : $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#( 4�#E 4�#E

&" �5&� 4�(4 4�(# 4�(: 4�("

%% �5,% 4�EB 4�"# 4�"& 4�@#

,�0���� "4 4�#& 4�#: 4�4B 4�4" �5�,

&" 4�:" 4�(& 4�#& �5�� 4�#(

%% #�@E #�#@ 4�B( �5#% 4�&B

���� "4 4�4% 4�4% �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#& 4�#@ �5�+ 4�#@ 4�#&

%% 4�"" 4�EB �5,� 4�E@ 4�E%

��� K��� "4 4�#: �5�� 4�#: 4�#E 4�#"

&" 4�(: �5&� 4�(: 4�(" 4�(&

%% 4�"B �5+% 4�@4 4�@: 4�@%

������ "4 4�(& 4�#% 4�#E �5�& 4�#:

&" 4�@E 4�E4 4�(@ �5&& 4�(E

%% #E�E# (�E& #�#E �5�% #�4%

� � ("

K����� "4 �5�% 4�4& 4�4& 4�4B 4�4%

&" �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#E

%% �5&% 4�(& 4�(% 4�:: 4�:E

,�0���� "4 4�#: 4�4B 4�4E 4�4( �5��

&" 4�(E 4�#" 4�4B 4�4" �5�,

%% 4�B& 4�E& 4�(B �5�% 4�#B

���� "4 4�4@ 4�4@ 4�4" �5�+ 4�4"

&" 4�## 4�#4 �5�� 4�4% 4�#4

%% 4�:4 4�(E �5&� 4�(( 4�(:

��� K��� "4 4�4B 4�4B �5�- 4�4% 4�4%

&" 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#"

%% 4�:( 4�:# �5�� 4�:E 4�:@

������ "4 4�(@ 4�#( 4�4B �5�% 4�4&

&" 4�@# 4�(( 4�#E �5�� 4�#(

%% #B�%( 4�&% 4�:B �5�� 4�:"

Page 7: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

� ����������

����� � �� ������ ��� ������ #AB� �� ��*� ���������

�� �������� � �� �// � �+����� ����� �����������

�� �� �� �//���� �������� 0�� ��� ���� �� � ����

*����� � �+����� ����� ����������� ��� ������ �

����� % ���� �� �� �//� ��0������� �//��� � 4�"4��� �//��� � 4�("�� ��*� � ���� �����*� � ������ ��

���0���� � 8,� ��� �� ����� ��������� �� ������

����� �� �// � ��� ������ ��� ���� � ������ ��

��������� ��� ������ � �� �00��0���� ������ �����+

�� ������� �� �������� � ���*����� �� ���0�*�

�������5 ����*��� �//��� � 4�"4� �00���� � ��*� ����

�*����� 0�� ������� 1 ������ ������� � ������� ����

����� ������� �� ��� ������ � �������� ���� � �+

����� ���� �������� �//��� � 4�&"� ���� �� � ����

�������

!�����*� ������� � �// �������� ��� 0������� ��

�������� ��� ���� ����� �� �// �������� �� � ��� ��

���� ������� ���������� �� 0����� � �� ��� ��� ��C

�� ��*� �3���� ��*����� $����� �� �����'� !� � ������*�

� /2� $:�#'� �� ����� ��*� ����� �� ������� �������

��������

��1� � ��1�1�4

���1�1� � �# � ��� #44� 0������� � ��

���

���1 ��1 � � *�����

��

��1� �

�����#

��1�� � �# � ��� #44� 0������� � ��

���

� ����#

��1 ���*�����

��

�@�#�

���1�� ��1�� � ��1���1������� �4� �� �� ������� ����� �� �� �� ��� ������

����� �4 � ����� � #�� ������# ��1�� �

����# ��� �

�� ��1� �� �� �!/ ������� ��� �� ������� ������ ��1�1 ��� ����� �� ��*� ������� �� 8,� ��1� ���0�� �

� ���*��� 9��� �� �� �������� � ���� � �� ������

��*����� ������� ������ � �� ������� �*����� �

/2� $(�:'� .� ���� ��� �� ��1� ���0�� � ��� �� ��

������� ���������� �� ��� 0����� � �� ��� �� ����+

���� �� �� �!/ �������� �� ��L���� �� *����� � ��

������ ����� �� �� ��� �� �� ����� � *����� �

������ ��������� ��������� ����� �� ���� ��

�//��������8��� �������� ������� ����� �� �� ���� � 0���� �

�� �!/ � ��1�� 1 0��������� �� ��*� ��������� ��

������ �!/ � ����� � 0��0���� � �� ������ �������

���������� ����� ��!/� �� ������ �� ��� ������ ��

������� ������� ���������� .� ���� ��� *����� �

�� �// �� �//���������!/�� 8��� 0����������� ������

�� ������ ��� � �2����� ��������� �� �� ����� ����+

��� ��������� 1 ������� �� ���� ���� ������� ������

�� ��� � �� ���� ���1�� ��1�� ����� ������� ��

��*����� �� �������� ������� ������

H������ �� �������� �� G��6�� #4) �� ���� ��

���� #)� ����� ������0��� � ������� ���������� �

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;��� :(%

����� B

?�������� � ������� ������ � ���0� ������� ��� 0 �� ��4� #(� ��

����� *������ �� % $ �� ������ ,�0����� �� '

/���� ���������� M��� 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

� � #4

K����� "4 �5&� 4�(4 4�(# 4�(: 4�("

&" �5�, 4�:E 4�:@ 4�E4 4�E:

%% �5-+ 4�B@ 4�%: #�4# #�4%

,�0���� "4 4�(B 4�(( 4�#E 4�4B �5�%

&" 4�"% 4�E& 4�(% �5&� 4�(4

%% (�@B (�44 #�:4 �5�� #�(&

���� "4 4�## 4�## �5�� 4�4% 4�#4

&" 4�(4 4�#% 4�#& �5�% 4�#B

%% 4�B% 4�@E �5+� 4�"# 4�""

��� K��� "4 �5&� 4�(: 4�(: 4�(" 4�(&

&" 4�:% �5�� 4�E4 4�EE 4�E&

%% #�4E �5�, #�4@ #�#% #�("

������ "4 4�(& 4�#% 4�#: �5�& 4�#(

&" 4�@& 4�E4 4�(@ �5&& 4�(E

%% #B�E% (�B# #�(4 �5�+ #�4&

� � ("

K����� "4 �5�& 4�#( 4�#: 4�#E 4�#"

&" �5&� 4�(# 4�(( 4�(" 4�(@

%% �5,% 4�E& 4�"# 4�"B 4�"%

,�0���� "4 4�(: 4�#" 4�4B 4�4E �5�&

&" 4�E: 4�(& 4�#E 4�4B �5�#

%% #�": 4�BE 4�E& �5&� 4�::

���� "4 4�4& 4�4@ 4�4" �5�+ 4�4@

&" 4�#: 4�## 4�4% �5�� 4�#4

%% 4�E% 4�(B �5&� 4�(: 4�(E

��� K��� "4 4�#E �5�, 4�#E 4�#" 4�#@

&" 4�(E �5&, 4�(E 4�(@ 4�(&

%% 4�"& �5++ 4�"@ 4�@# 4�@:

������ "4 4�(" 4�#( 4�4B �5�# 4�4&

&" 4�@# 4�(( 4�#E �5�� 4�#(

%% #"�&( 4�&& 4�:B �5�� 4�:"

����� %

!*����� �����*� � ��������

/���� � 8,� �//(" �//"4 �//&" ,!7

K������ #4 A %B�& BB�4 &(�4 @(�:

(" A %%�( B&�: &4�: @"�:

,�0����� #4 :@�% EB�E &"�" #4(�" A

(" #"�% ("�: E"�: B#�4 A

� ��� ������ ��*����� � ���� ������� ����� ��� 4�( � #�%�� ��� ������ ��*����� � ���� ������� ����� ��� 4�E � #�:�

Page 8: The robustness and efficiency of trimmed elemental estimation in regression analysis: a Monte Carlo simulation study

�00��3���� �// �� ���� ������� ������� �������

�������� �� �� ��9� � �� ��������� 0������ ���������

.� ��� ������� �*������� �� ����� � ��� � ���

���0�� �� ������� ���������� � �// ��������

�!�������

#) ���� ��� ���� ��� /������ ������� �� ������� ����6� � ������+

���� !� ���� #%%&5"#�#((A%�

() ����� 8�� -��� �����*���J� ���6 � 0���������� !��� G�� /3��

��� #%&:5%�:4@A(E�

:) ������ ��� ��� ������ � �������� �� ��������� � �������

�� ��� #%44� ���������� ��� ���6�0 ?���� � G��*��� N�*�����

?����� #%B@�

E) ����� G� ! ��6+�*���� ����� � ����� �� 0�������� ���������

������� 111� K����� !6�� .����� ?��� ��� ! #%"45":�#:%&AE#(�

") �� ?O� /������ � �� ��������� ��� ���� ����� � O�����J�

��� � !� ���� !���� #%@B5@:�#:&%AB%�

@) -��� >�� ���0���� 0��� � ������� ���� �2����� �����������

����������� #%B45((�:E:AB�

&) G��6�� >�� ����� >� O��� �7� ,����� � ��*���� ������� �

����0�� ��������� ��� ���� ������� ������� �����������

#%BE5(@�#%&A(4B�

B) .����� -/� ����� ���� ��� #%B@5#�E4:A"�

%) -�������� ?�� ����� �� �� -������� � �� �+����� �������� ��

��������� ��� ���� ����6��� 0��� 1� ����� .� ������ -����+

���� ���������� ���0��� �� ���0���� � �������� K�� P��6�

�0������ #%%#�

#4) G��6�� >�� ��� �������� � ������� �� �00��3������ ��

���������� � !� ���� !���� #%%:5BB�"B4A%�

�5"5 ����� 65!5 7��� 8 ������������ .�(�������( ���1����� �# 9&���: �&�;���::4