Universidad Nacional de Ingeniera
Facultad de Ingeniera Civil
Matemtica II
Apuntes de Clase
Parte II
Autor:
Rolando Gandhi Astete Chuquichaico
2012, UNI, Per
ndice general
Portada i
1. Series 1
1.1. Serie de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bibliografa 17
Matemticas 2
Autor: Rolando Gandhi Astete Chuquichaico
i
1Series
Denicin 1. Una serie numrica en K es un par de sucesiones panqn P N ; pSnqn P Nrelacionadas por la frmula Sn a1 an. Una serie de este tipo se representaabreviadamente mediante
8
n1
an
1. an se le llama trmino general de la serie.
2. Sn se llama suma parcial n-sima.
3. La serie numrica (o simplemente serie) se dice convergente si existe limnSn :S P K.
4. S recibe el nombre de suma de la serie y se escribe8
n1
an S.
5. Cuando an P R y limnSn 8 la serie se dice divergente a 8
Teorema 1.0.1. (Condicin necesaria de convergencia)
Si la serie
8
n1
an converge entonces existe limnan y vale 0.
((((((((( expression
Teorema 1.0.2. (Condicin de Cauchy para la convergencia de una serie)
La serie numrica
8
n1
an
es convergente si y solo si para cada 0 existe n0 P N tal que verica
|ap ap1 aq| ,
siempre que los naturales p, q cumplan n0 p q.
Ejemplo 1. Veamos algunos ejemplos
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1
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA
FACULTAD DE INGENIERA CIVIL SERIES
La serie
8
n0
rn
con |r| 1 es una serie convergente con suma
1
1 r
Si |r| 1 la serie es divergente.
La serie
8
n1
1
n2
es convergente ya que la sucesin pSnqn es montona creciente y acotada
la serie
8
n1
1
n
es divergente, ya que no satisface el criterio de Cauchy
proposicin 1.0.1. La convergencia de una serie no se altera modicando un nmero
nito de trminos de la misma.
proposicin 1.0.2. Sean
8
n1
an y8
n1
bn dos series convergentes con sumas A y B
respectivamente. Entonces para cada , P K, la serie
8
n1
pan bnq
es convergente y tiene suma A B
Denicin 2. Sea f : ra,8y R tal que su restriccin a ra, bs es integrable Riemannpara cada a b 8 (una tal funcin se llama localmente integrable).
1. Se dice que f es integrable en sentido impropio en ra,8y (o que la integral im-propia es convergente) si existe lm
x8
x
afptqdt P R
2. Dicho lmite recibe el nombre de integral impropia de f en ra,8y y se denota con
8
afptqdt.
Teorema 1.0.3. (Condicin de Cauchy para la convergencia de una integral impropia)
La integral impropia
b
a
fptqdt,
donde f : ra, by R es localmente integrable y b 8, es convergente si y solo sipara cada 0 existe c P xa, by tal que si c y z b entonces
z
y
fptqdt
.
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Corolario 1.0.1. La integral impropia
8
af converge si, y solo si, lo hace la integral
impropia
8
af para algn a b P R.
Ejemplo 2. La integral impropia
8
1
1
tdt
es convergente para cada 1 y divergente para los otros valores de ya quepara cada x 1 se tiene x
1
1
tdt
x
1
tdt 1
1 px1 1q
Y por tanto, para 1 se tiene
8
1
1
tdt lm
b8
1
1 px1 1q
mientras que para 1 es
8
1
1
tdt 8.
proposicin 1.0.3. Sean f, g : ra, by R conb 8, tales que las integrales impropiasb
af yb
ag son convergentes. Entonces para cada , P R, la integral impropiab
apf
gq es convergente siendo
b
a
pf gq
b
a
f
b
a
g.
Para series en general, existen una serie de criterios de convergencia:
1. Primer criterio de comparacin.- Si panq y pbnq son dos sucesiones de numerosreales tales que Dm P N , tal que 0 an bn para todo natural n m. Entonces:
a) si la serie
8
i1 bi es convergente, la serie8
i1
ai es convergente.
b) si la serie
8
i1
ai es divergente, la serie8
i1
bi es divergente.
2. Segundo criterio de comparacin.- Si panq y pbnq son dos sucesiones de nu-meros reales tal que an 0 y bn 0 para todo n P N y supongamos quelimn
anbn L P R. Entonces:
a) si L 0, las series8
i1
ai es convergente si y solo si8
i1
bi es convergente.
b) si L 0, la serie8
i1
bi es convergente, entonces la serie8
i1
ai es convergente.
c) si L 8, la serie8
i1
ai es convergente, entonces la serie8
i1
bi es convergente.
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3. Criterio de la integral.- Si f : r1,8y R es una funcin decreciente ypositiva, y si para cada n P N , se cumple que an fpnq. Entonces, la serie8
i1
ai es convergente si y solo si la integral impropia
r1,8yfpxqdx existe , y es
divergente si lmb8
b
1fpxqdx 8 .
4. Criterio del cociente.- Si panq es una sucesin de numeros reales, y L
limn
an1an
. Entonces,
si L 1 la serie8
i1
ai converge.
si L 1 la serie8
i1
ai diverge.
5. Criterio de Raabe.- Si panq es una sucesin de numeros reales y sea L
limnn
1 an1an
Entonces:
si L 1 la serie8
i1
ai converge.
si L 1 la serie8
i1
ai diverge.
6. Criterio de la raz.- Si panq es una sucesin de numeros reales no negativos ysea L limn n?
an . Entonces:
si L 1 la serie8
i1
ai converge.
si L 1 la serie8
i1
ai diverge.
nota: Si Dlimn
an1an
limn n?
an. Adems, limn
an1an
limn n?
an. Este cri-
terio se puede utilizar para hallar limn n?
an hallando el limn
an1an
7. Criterio de Lebniz para la serie alternante.- Dada la serie
8
n1
p1qnan, con
an 0,
si an es decreciente an1 an
si limnan 0
entonces la serie
8
n1
p1q1an converge.
Denicin 3. Una serie
8
n1
an se dice que es convergente absolutamente si la serie
8
n1
| an | es convergente
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Demostracin. Para cada criterio
1. Si an bn para todo n m, entonces las sumas parciales ensimas verican:
An Bn para todo natural n. Luego, si la serien
i1
bi es convergente lo es tambin
la sucesin pBnq, y estar acotada superiormente, luego tambin lo estar pAnq,y teniendo en cuenta que pAnq es montona creciente y acotada, Sera:
pAnq una sucesin convergente la serien
i1
bi es convergente
Y si la serie
n
i1
ai es divergente lo sera tambin la sucesin pAnq, que por ser mo-
ntona creciente, no esta acotada superiormente, luego por tanto, tampoco estar
acotada superiormente la sucesin pBnq, y teniendo en cuenta que es montonacreciente y no acotada, sera:
pBnq una sucesin divergente la serien
i1
bi es divergente
2. Si L 0, Dm P N tal que para todo n m se verica:
L
2
anbn 3
L
2
y por tanto
Lbn2 an
3Lbn2
adems; si la sucesin de sumas parciales ensimas Bn converge, se cumpleLbn2
y
3Lbn2tambin converge, lo que implica que la serie de sumas parciales ensimas
An tambin converge. Luego la serien
i1
ai es convergente.
Y si la la serie
n
i1
ai es divergente, como la sucesin An diverge, entonces, las
sucesiones
Lbn2y
3Lbn2tambin divergen, lo que implica que Bn tambin diverge.
Luego la serie.
n
i1
bi es divergente
Luego resulta que las tres series,
8
i1
Lbn2,8
i1
3Lbn2y
8
i1
ai
tienen el mismo carcter de convergencia. Y por tanto las series
8
i1
ai y8
i1
bi
tiene tambin el mismo carcter.
Si L 0, D, un m P N tal que para todo n m se verica anbn 1 y, por tanto,
an bn y el resultado se sigue tambin del primer criterio de comparacin.
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3. Por ser f decreciente, sera para cada k P N :
fpk 1q
xk1
xk
fpxqdx fpkq.
Es decir:
ak1
xk1
xk
fpxqdx ak
Y sumando desde k 1 hasta k n, obtenemos:
Ak1 a1
xk1
xk
fpxqdx An
Y tomando limites a ambos miembros de la desigualdad, se obtiene el resultado
pedido.
4. Supongamos que L limn
an1an
1. Entonces, a partir de un cierto natural
n0. Se cumplir quean1an 1. Es decir an1 an 0 para n n0. Luego sera
limnan 0. Y la serie no cumplir el criterio necesario de convergencia, por lo
que
8
i1
ai sera divergente.
Supongamos que L limn
an1an
1 y sea x un nmero real tal que 0 x 1.
Entonces existe un m P N tal que:
an1an
para n m.
es decir
an1an anx para n m.
Y en particular
am1 amx
am2 am1x amx2.
amk amk1x amxk.
Luego se verica:
8
im
ai 8
im
aixi am
x
1 x 8.
Ahora bien teniendo en cuenta, que la suma de una serie nita de trminos nitos
es n
8
im
ai 8
im
aixi
8
im
ai amx
1 x 8.
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5. Supongamos que L 1 y sea x un numero real tal que L x 1. Entonces,Dm P N tal que para todo m P N y para todo n m se verica:
n
1an1an
x
Es decir:
npan an1q xan.
Y por tanto:
mpamam1qpm1qpam1am2q npanan1q xpamam1am2 anq.
Luego:
mam am1 an nan1 xpam am1 anq.
Y de aqu resulta:
am1 an pm xqam nan1
x 1
pm xqamx 1
Con lo que:
a1 an a1 am pm xqamx 1
Y la serie
8
i1
es convergente, por que la sucesin de sumas parciales est acotada.
Supongamos ahora que L 1. Entonces, existe un m P N tal que para todon m se verica:
n
1an1an
Es decir
pn 1qan nan1.
Y por tanto:
mam1 pm 1qam2 pn 1qan
Luego:
am mam1n 1
Y como la serie n 1 es divergente, por el primer criterio de comparacin resulta
que la serie
8
i1
ai es divergente.
6. Supongamos que L 1 y sea x un numero real tal que L x 1. Entonces,Dm P
N tal que an xnpara todo n m. Y la convergencia la serie8
i1
ai se sigue del
primer criterio de comparacin, pues por ser 0 x 1, la serie8
i1
xi converge.
Supongamos ahora que L 1. Entonces, an 1 para innitos valores de n yn0 se cumple, la condicin necesaria de que limnan 0, para que se cumpla la
convergencia de la serie
8
i1
ai
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Observaciones y ejemplos:
1. ww
En el caso del segundo criterio de comparacin, si L 0 y la serie8
i1
bi
diverge, no se puede armar nada sobre la serie
8
i1
ai.
Por ejemplo, si an 0 y bn 1, sera L 0, y la serie8
i1
ai converge.
Mientras, que si an 1ny bn 1, sera L 0, y la serie8
i1
ai diverge
La serie
8
i1
1ipes convergente si p 1, y divergente si p 1. Puesto que la
integral indenida
8
1ixpes convergente si p 1, y divergente si p 1.
Del primer criterio de comparacin, se sigue que la serie
8
n1
sen2xn3es con-
vergente, puesto que 0 sen2x
n2
1n3para todo n P N . Y la serie8
i1
1i3es
convergente.
Por el segundo criterio la serie
8
n1
npn1qpn2qpn3q. Es convergente, ya que
lmn n2 npn1qpn2qpn3q 1. Y la serie8
i1
1i2es convergente.
En el criterio del cociente, no se puede armar nada si L 1, ya que
por ejemplo, para las series
8
i1
1i1y
8
i1
1i2es L 1, y la primera serie es
divergente, mientras que la segunda convergente.
En el criterio de la raz, no se puede armar nada si L 1, ya que por ejem-
plo, para las series
8
i1
1i1y
8
i1
1i2es L 1, y la primera serie es divergente,
mientras que la segunda convergente.
La serie
8
i1
1i!, es convergente, ya que:
limn
1pn1q!
1n!
limn1
n 1 0
Ejemplos
1. Use el criterio de la integral para determinar si la serie
8
n1
1pln6qnconverge o
diverge.
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Solucin. Sea
fpxq 1
pln6qx pln6qx lny lnpln6qx lny xlnpln6q
derivando respecto de x
1
yDxy lnpln6q Dxy ylnpln6q
f 1pxq lnpln6qpln6qx
; f 1pxq 0@x 1; `por lo tanto, f es decreciente @x 1. Secumplen pues las hiptesis del criterio de la integral.
Veamos
8
1
1
pln6qxdx lm
b8
b
1
pln6qxdx lmb8
pln6qx
lnpln6q
b
1
lmb8
pln6qb
lnpln6q
pln6q1
lnpln6q
1
lnpln6q ln6
existe. De acuerdo con el criterio de la integral se ha demostrado que la serie
8
n1
1pln6qnes convergente
2. Considere la funcin
fpxq
"
1 si x P Z0 si x R Z
La funcin f es positiva pero no continua ni decreciente. La integral
8
1fpxqdx
converge porque
b
1fpxqdx 0 para cualquier b 1, as que lm
b8
b
1fpxqdx 0.
Pero la serie
8
n1
fpnq diverge porque sus sumas parciales son Sn n
k1
fpkq n
para cualquier n P N , as que lmn8
Sn 8
Usando la misma funcin f anterior, ahora la funcin gpxq 1 fpxq tiene una
integral divergente porque
b
1gpxqdx b 1 para cualquier b 1, pero su serie
converge porque
n
k1
gpkq 0 para cualquier n.
La razn por la que la convergencia de la serie no es equivalente a la convergencia
de la integral para las dos funciones anteriores no es que ellas sean discontinuas,
sino que no son montonas.
3. Un ejemplo con una funcin que no es toda positiva puede ser hpxq cosp2pixqx,
para x 1 (vea el grco abajo). Esta funcin cambia de signo y tiende a cerode una manera tal que su integral impropia converge, pero hpnq 1
npara cada
n P N , de modo que la serie8
n1
hpnq diverge.
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4. La siguiente serie es divergente
8
n1
ln|n|nEn efecto
f 1pxq 1 lnx
x2 0
es decreciente, aplicando el criterio de la integral
8
1
ln|x|
xdx lm
b8
b
1
ln|x|
xdx lm
b8
pln|x|q2
2
b
1
lmb8
pln|b|q2
2
pln1q2
2
8 0
8
n1
ln|n|ndiverge
5. Usando el criterio de comparacin la serie
8
n1
p2n3q3
pn31q2es convergente. En efecto
6. La serie
8
n1
2cosn3
2nnes convergente, en efecto:
se conoce que
0 2 cosn3
2n n
3
2n 3
1
2
n
Sean an 2cosn3
2nny bn 3
12
nentonces 0 an bn.
Como
8
n1
bn 8
n1
3p1
2q
n 8
porque la serie de la derecha es una serie geomtrica de razn
12 1. Es decir, la
serie
8
n1
bn converge. Por el criterio de comparacin, obtenemos8
n1
an 8.
es decir
8
n1
2cosn3
2nn 8
7. De la serie
8
n1
an se sabe que la sucesin de las sumas parciales tSnu viene3
denida por:
Sn 2n 3
n 4@n P N
Hallar
a) el trmino general de la serie.
b) el carcter de la suma de la serie.
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Solucin. (a) El primer trmino de la serie a1 coincide con S1, i.e. a1 S1 1el resto de los trminos
an Sn Sn1 2n 3
n 4
2n 1
n 3
5
pn 3qpn 4q
en este caso el primer trmino no sigue la regla general as:
8
n1
an 18
n2
5
pn 3qpn 4q
Solucin. (b) La serie converge la suma es
S lmb8
Sn lmb8
2n 3
n 4 2
Ejercicio 1. Analizar la convergencia de las siguientes series
a)
8
n1
1np2n5q(Rpta. converge)
b)
8
n1
1
n 3?
ln|n|(Rpta. diverge)
c)
8
n1
n2en3(Rpta. converge)
d)
8
n1
1n21(Rpta. converge)
Ejercicio 2. Pruebe la convergencia o la divergencia de cada serie
a)
47
48
49
410
411
b)
8
n1
p1qn1 lnnn(Rpta.
c)
8
n1
p3qn
n3(Rpta.
d)
8
n1
p1qn1?
n(Rpta.
e)
8
n1
p1qn1nn4(Rpta. converge)
f)
8
n1
p1qn1 nn21(Rpta.
g)
8
n1
n2
3n(Rpta.
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En el estudio de las funciones elementales por ejemplo las funciones trigonomtricas,
exponenciales, logartmicas, no se dieron mtodos para calcular sus valores cuando estos
no son exactas.
Ejemplo sen23, e expp1q, etc.
En este captulo estudiaremos la forma de aproximar estas funciones como un po-
linomio para luego ser evaluados con cierto error de aproximacin.
Para esto sea f una funcin, entonces f se puede aproximar a un polinomio degrado n con la propiedad que en x0 se cumpla:
Pp
xq n
i0
aipx x0qi Pnpx0q fpx0q
P 1p
xq n
i1
iaipx x0qi1 P 1npx0q f1
px0q
P 2npx0q f2
px0q.
.
.
P pnqn px0q fpnqpx0q
Formula de Taylor
Se dice que una funcin es una funcin polinomial de grado n si
fpxq a0 a1x a2x2 anx
n
donde cada an es un nmero real an 0, los exponentes son enteros positivos.
Imprimir pgina 94 del archivo series de calculo II
1.1. Serie de Potencias
Denicin 4. Se llama serie de potencias a la serie de funciones del tipo
8
n0
anxn a0 a1x a2x
2 anx
n
8
n0
anpx x0qn a0 a1px x0q a2px x0q
2 anpx x0q
n
donde los coecientes a0, a1, a2, . . . , an, . . . son constantes.
Teorema 1.1.1. Si la serie de potencias
8
n0
anxnes convergente para algn valor
particular de x x0 0, entonces es absolutamente convergente para todo valor x talque |x| |x0|.
Si la serie de potencias
8
n0
anxnes divergente para algn valor particular de x
x0 0, entonces es divergente para todo valor x tal que |x| |x0|.
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Demostracin. Consideremos que:
8
n0
anxn0 conv lm
n8anx
n0 0 |anx
n0 | 1
|anxn|
anxn
xn0xn0
|anxn0 |
xn
xn0
1
xn
xn0
xn
xn0
rn
8
n0
|anxn|
8
n0
rn conv abs conv
r 1
xn
xn0
1 |x| |x0|
8
n0
anxn0 div para |x1| |x0| no puede ser8
n0
anxn1 converge, ya que sera abso-
lutamente convergente para |x| |x1|
Teorema 1.1.2 (convergencia de la serie de potencias). Par la convergencia de las
series de potencias
8
n0
anxnsolamente caben las tres posibilidades siguientes:
1. la serie converge nicamente en el punto x 0
2. la serie converge en toda la recta real p8,8q,
3. la serie converge en un intervalo centrado en el origen pR,Rq y diverge fuerade l. Pudiendo ser convergente o no en los extremos de dicho intervalo
Denicin 5. Al intervalo donde converge la serie se llama intervalo de convergencia
y a R radio de convergencia.
El intervalo de convergencia podr ser:
xR,Ry rR,Ry, xR,Rs, rR,Rs
Para hallar la convergencia en los extremos del intervalo habr que estudiar la conver-
gencia de las series numricas:
8
n0
anRn,8
n0
anpRqn
Teorema 1.1.3 (radio de convergencia). El radio de convergencia de una serie de
potencias puede calcularse por cualquiera de las frmulas siguientes:
R lmn8
|an|
|an1|R lm
n8
1na
|an|
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Nota 1. Cuando el exponente de x es distinto de n, estas frmulas pueden no servlidas. En efecto, cuando el exponente de x es n, al aplicar el criterio del cocienteresulta
lmn8
tn1tn
|x|
L 1 |x| L R L lm
n8
anan1
Sin embargo, en los dems casos resulta
lmn8
tn1tn
|x|k
L 1 |x|k L R L lm
n8
anan1
Hemos llamado tn al trmino completo de la serie y an a la parte numrica. Cuandoel radio de convergencia es R 1, en la prctica, el error no se produce ya que |x|k 1 |x| 1.
Ejemplo 3. 1. El intervalo de convergencia de la serie
8
n0
xn
n!es todo R. En efecto
R lmn8
|an|
|an1| lm
n8
pn 1q!
n! lm
n8
pn 1qn!
n! lm
n8pn 1q 8
de manera que el intervalo de convergencia es x8,8y, es decir la serie con-verge en toda la recta real.
2. La serie
8
n0
nnxn converge solo para x 0
En efecto
lmn8
na
|an| lmn8
na
|nx|n lmn8|nx|
"
8 cuando x 00 cuando x 0
3. La serie
8
n0
2nxn
n!es convergente y converge en toda la recta real.
En efecto Aplicando el criterio del cociente
lmn8
|an1|
|an| lm
n8
|2n1xn1n!|
|pn 1q!2nxn| lm
n8
|2x|
|n 1| 0 1
la serie converge @x P R as el intervalo de convergencia es x8,8y
4. El intervalo de convergencia La serie
8
n1
xn
n4nes r4, 4y
En efecto Aplicando el criterio del cociente
lmn8
|an1|
|an| lm
n8
|xn1n4n|
|pn 1qxn4n1| lm
n8
|nx|
4|n 1|
1
4|x| 1
es cierto cuando |x| 4, veamos en los extremos:
x 48
n1
4n
n4n
8
n1
1n:diverge
x 48
n1
p4qn
n4n
8
n1
p1qn
n: converge
as el intervalo de convergencia es r4, 4y
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5. El intervalo de convergencia de la serie
8
n1
p1qn px2qn
4n?
nes el intervalo x2, 6s.
En efecto Aplicando el criterio del cociente
lmn8
|an1|
|an| lm
n8
|px 2qn14n?
n|
|4n1?
n 1px 2qn| lm
n8
|px 2q?
n|
|4?
n 1|
|x 2|
4 1
es cierto cuando |x 2| 4, veamos en los extremos:
x 2 48
n1
p1qn 4n
4n?
n
8
n1
p1qn?
n:converge
x 2 48
n1
p1qn 4n
4n?
n
8
n1
1?
n: diverge
as el intervalo de convergencia es x2, 6s
6. La serie geomtrica
8
n1
rn es converge si |r| 1 y la suma converge a8
n1
rn 11r
Ejercicio 3. 1. Analizar la convergencia de las series:
a)
8
n1
p1qn1
n4npx 2qn
b)
8
n1
p1qn
nnpx 1qn
2. Desarrollar en series de potencias, indicando el intervalo de convergencia,de:
a) fpxq 11r
b) fpxq 11x
c) fpxq 53x
d) fpxq 53x
Analizar la convergencia de:
1.
8
n1
p
n?
n 1qn
2.
8
n1
p
n1nq
n
2nn1
n
3.
8
n1
p
n22n1
3nq
n
4.
8
n1
n?
pn1q!
p11qp1?
2qp1?
nq
5.
8
n1
147....p3n2q369...3n
2
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1.2. Serie de Taylor
Ciertas funciones fpxq no pueden ser determinadas o calculadas exactamente enalgunos puntos x0 de su dominio, solo pueden ser determinadas de manera aproximada.Supongamos que la funcin y fpxq tiene derivadas hasta de orden n 1 inclusive, encierto intervalo que contiene al punto x0 as para determinar de este valor aproximadode la funcin en dicho punto aproximamos fpxq a un polinomio Pnpxq de grado n donden depender del grado de aproximacin que se desea determinar.
Si Pnpxq nk0 akpx x0q
kdonde los coecientes ak
f pkqpx0q
k!
Una expresin para calcular el error que se comete cuando se aproxima fpxq por elpolinomio Pnpxq esta dado por:
Teorema 1.2.1. Sea f una funcin que tiene derivadas continuas hasta de orden n1inclusive en cierto intervalo I que contiene al punto x0, entonces para todo x P I:
fpxq n
k0
f pkqpx0q
k!px x0q
kRnpx x0q
donde:
Rnpx;x0q 1
n!
x
x0
f pn1qptqpx tqndt
se llama residuo
Usando el teorema del valor medio para integrales, se obtiene la expresin para el
residuo
Rnpx;x0q f pn1qpcq
pn 1q!px tqn1
donde x0 c x x c x0, a esta forma del residuo se le conoce como la Formulade Lagrange para el residuo.
As para aquellos valores de x en el que el residuo Rnpxq es pequeo, el polinomioPnpxq da un valor aproximado de la funcin fpxq.
Ejemplo 4. Calcular, con precisin de hasta 0, 001
1{2
0
1 cosx
x2dx
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Bibliografa
[1] Hasser y Lasalle Anlisis Matemtico Vol-I, Vol-2. Editorial Trillas 1
o
edicin
Mxico 1979
[2] Luis Leithold. El Clculo. Oxford University Press Mxico S.A. de C.V.
[3] Marsden J. y A. Tromba. Clculo Vectorial Editorial Pearson Educacin
[4] Claudio Pita Ruiz. Clculo Vectorial, Edicin Prentice (1995).
[5] Sherman K. Stein. Clculo con Geometra Analtica, Edicin Prentice (1992).
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