Maestro Mate Matic as 2 Vol 2

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matemticaS2do Grado Volumen II

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Libro para el maestro

matemticas II2do Grado Volumen II

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Matemticas II. Libro para el maestro. Volumen II fue elaborado en la Coordinacin de Informtica Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicacin Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboracin entre la Subsecretara de Educacin Bsica y el ILCE.

AutorasAna Laura Barriendos Rodrguez, Diana Violeta Solares Pineda

Asesora acadmicaMara Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo tcnico y pedaggicoMara Catalina Ortega Nez

ColaboracinAraceli Castillo Macas, Rafael Durn Ponce, Ernesto Manuel Espinosa Asuar, Silvia Garca Pea, Jos Cruz Garca Zagal, Olga Leticia Lpez Escudero, Jess Rodrguez Viorato

Colaboracin (actividades tecnolgicas)Deyanira Monroy Zarin

Coordinacin editorialSandra Hussein Domnguez

Primera edicin, 2007Sexta reimpresin, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2007 Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN 978-970-790-964-9 (obra completa)ISBN 978-968-01-1461-0 (volumen II)

Impreso en MxicoDistribucin gratuita-ProhibiDa su venta

Servicios editorialesDireccin de arteRoco Mireles Gavito

DiseoZona Grfica

DiagramacinBruno Contreras, Erandi Alvarado,Vctor M. Vilchis Enrquez

IconografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

IlustracinGustavo Crdenas, Curro Gmez, Carlos Lara,Gabriela Podest

FotografaCynthia Valdespino, Fernando Villafn

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C I N C O S U G E R E N C I A S PA R A E N S E A R E N L A T E L E S E C U N D A R I A

1 Crear un ambiente de confianza 2 Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente 3 Fomentar la interaccin en el aula 4 Utilizar recursos mltiples 5 Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas

Pistas didcticas

Mapa-ndice

Clave de logos

BLOqUE 3

secuencia 18 Sucesiones de nmeros con signosecuencia 19 Ecuaciones de primer gradosecuencia 20 Relacin funcionalsecuencia 21 Los polgonos y sus ngulos internossecuencia 22 Mosaicos y recubrimientossecuencia 23 Las caractersticas de la lnea recta

BLOqUE 4

secuencia 24 Potencias y notacin cientficasecuencia 25 Tringulos congruentessecuencia 26 Puntos y rectas notables del tringulosecuencia 27 Eventos independientessecuencia 28 Grficas de lneasecuencia 29 Grficas formadas por rectas

BLOqUE 5

secuencia 30 Sistemas de ecuacionessecuencia 31 Traslacin, rotacin y simetra centralsecuencia 32 Eventos mutuamente excluyentessecuencia 33 Representacin grfica de sistemas de ecuaciones

Examen bloque 3

Examen bloque 4

Examen bloque 5

Bibliografa

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ndice


Cinco sugerencias para ensear en la Telesecundaria

1 3 452


L ib ro para e l maest ro


Aprender significa tomar riesgos: Lo nuevo siempre causa cierta inseguridad e intentar algo por primera vez implica estar dispuesto a equivocarse. Por eso es importante crear un ambiente de confianza en el cual los alumnos puedan decir lo que piensan, hacer preguntas o intentar procedimientos nuevos sin temor. Algunas ideas para lograr esto son:

Antes de calificar una respuesta, reflexione sobre su origen, en muchas ocasiones las preguntas tienen ms de una solucin. Por ello, es importante valorar planteamientos diferentes y no obligar a todos a llegar a una solucin nica. Ayude a los alumnos a aprender a escuchar a sus compaeros y a encontrar diferencias y semejanzas en las propuestas, analizando sus partes y detectando hasta qu punto se acerca a una respuesta satisfactoria. En Matemticas, por ejemplo, muchas veces los alumnos obtienen soluciones diferentes, que corresponden a interpretaciones distintas del problema. Es una tarea colectiva comprender las distintas interpretaciones que pueden aparecer en la clase sobre un mismo problema.

Los alumnos pueden aprender unos de otros: en el trabajo de equipo es conveniente que los alumnos tengan diferentes niveles de conocimientos y experiencias. Algunos sern lectores fluidos, otros sabrn argumentar con detalle sus ideas, otros dibujarn con mucha facilidad, otros harn clculos y estimaciones con soltura. Formar equipos heterogneos propicia que unos puedan compartir lo que saben con otros. Esto es particularmente til para la realizacin de los proyectos de Ciencias, debido a que stos integran contenidos conceptuales, habilidades y actitudes desarrolladas a lo largo de un bloque o al final del ao escolar.

Crear un ambiente de confianza1



Los docentes pueden modelar las actividades para los alumnos usando su propio trabajo para ejemplificar alguna actividad o situacin que desea introducir al grupo. Si los alumnos tienen que escribir, leer en silencio, o trabajar de manera individual en alguna tarea, el maestro puede hacer lo mismo. Esto lo ayudar a darse cuenta de cunto tiempo toma, qu retos especiales presenta o qu aspectos hay que tomar en cuenta para realizarla. Al compartir su propio trabajo, tambin puede escuchar comentarios, responder preguntas, ampliar informacin y tomar sugerencias.

Mientras los alumnos trabajan en grupos, el maestro debe estar atento a qu ocurre en los equipos: aprovechar la oportunidad para hacer intervenciones ms directas y cercanas con los alumnos, sin abordarlos de manera individual. Mientras ellos desarrollan una tarea, puede pasar a los equipos y escuchar brevemente, registrando frases o palabras de los alumnos para retomarlas en las discusiones generales; tambin puede participar en algunos grupos para conocer la dinmica del trabajo en equipo. Adems, en algunos momentos, puede orientar el dilogo de los alumnos, si considera pertinente destacar algn contenido conceptual.

Considere tiempo para mejorar los productos y/o las actividades: en ocasiones los alumnos concluyen una actividad y despus de discutirla con otros se dan cuenta de que les gustara modificarla. Puede resultar de gran provecho dar oportunidad a los alumnos para revisar algn aspecto de su trabajo. Cuando lo considere pertinente, dles tiempo para reelaborar y sentirse ms satisfechos con su trabajo.

Cmo hacer una lluvia de ideas

Cmo coordinar la discusin de

un dilema moral



Es importante usar diferentes prcticas acadmicas de manera constante y reiterada. Se trata de guiar la lectura de distintos tipos de textos, grficas, esquemas, mapas, frmulas e imgenes; demostrar diversas formas de expresar y argumentar las ideas, utilizar trminos tcnicos; plantear preguntas, elaborar textos, registrar datos y realizar operaciones matemticas. Las siguientes estrategias pueden servir como lineamientos generales para la enseanza en el aula:

Invite a los alumnos a leer atentamente y dar sentido a lo que leen: las diferentes frmulas, grficas, mapas, tablas e imgenes que se les presentan en los libros para el alumno, libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula, recursos digitales, videos, etc. Reflexione con ellos sobre por qu se incluyen estos recursos en la actividad, qu tipo de informacin aportan y en qu aspectos deben poner atencin para comprenderlos mejor.

Las actividades relacionadas con los mapas, imgenes, grficas, problemas y textos incluidos en las secuencias, tienen la finalidad de favorecer la construccin colectiva de significados: en lugar de utilizarlas para verificar la comprensin de lectura o la interpretacin de la informacin representada, se busca construir con el grupo, con la participacin de todos, qu dice el texto o las otras representaciones, qu conocemos acerca de lo que dice, qu podemos aprender de ellos y qu nos dicen para comprender mejor nuestro mundo.

Utilice diferentes modalidades de lectura: la lectura en voz alta consti-tuye una situacin privilegiada para escuchar un texto y comentarlo sobre la marcha, haciendo pausas para plantear preguntas o explicar su significado; la lectura en pequeos grupos crea oportunidades para que todos lean; la lectura en silencio favorece la reflexin personal y la relectura de fragmentos. Segn la ocasin y el propsito, tambin puede preparar lecturas dramatizadas con todo el grupo o en equipos.

Ayude a los alumnos a construir el sentido de sus respuestas: en lugar de ver estas actividades como pautas para verificar la comprensin de los estudiantes, utilcelas para construir, junto con ellos, los significados de los textos incluidos en las secuencias.

Cuando los alumnos deben escribir respuestas o componer pequeos textos, puede modelarse cmo iniciar el escrito en el pizarrn: pida a dos o tres estudiantes que den ejemplos de frases iniciales para ayudar a todos a empezar a escribir.

Incorporar estrategias de enseanza de manera permanente


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Invite a los alumnos a leer en voz alta los diferentes textos que van escribiendo: proporcione pautas para revisar colectivamente los escritos, dando oportunidad a los alumnos para reconsiderar sus textos y escuchar otras maneras de redactar lo que quieren expresar. Esto los ayudar a escuchar cmo se oye (y cmo se entienden) sus escritos. Propicie la valoracin y aceptacin de las opiniones de los otros con el fin de mejorar la composicin de textos. Modele y propicie el uso de oraciones completas, en lugar de respuestas breves y recortadas.

Plantee preguntas relacionadas con los temas que tienden a extender el conocimiento disciplinario y sociocultural de los estudiantes: algunas preguntas pueden promover el pensamiento crtico en los estudiantes porque no slo se dirigen a los contenidos conceptuales, tambin se involucra el desarrollo de actitudes, porque se promueve la reflexin de aspectos ticos, de salud, ambiente e interculturales, entre otros.

Busque ejemplos de uso del lenguaje de acuerdo a la temtica o contenido acadmico: para ejemplificar algn tipo de expresin, identifique fragmentos en los libros de las Bibliotecas Escolares y de Aula y lalos en clase. Incorpore la consulta puntual de materiales mltiples y la lectura de muchas fuentes como parte de la rutina en clase.

Busque ejemplos del contexto cotidiano y de la experiencia de los alumnos, de acuerdo a la temtica o contenido acadmico.

Utilice la escritura como una herramienta de aprendizaje; no todo lo que se escribe en el aula tiene que ser un texto acabado: muchas veces, cuando intentamos poner una idea por escrito, nos damos cuenta de nuestras preguntas y dudas. Tambin se puede usar la escritura para ensayar relaciones y procesos, hacer predicciones, formular hiptesis o registrar interrogantes que pueden retomarse en una ocasin posterior. En matemticas, por ejemplo, el carcter de formal o acabado del procedimiento de solucin de un problema depende del problema que trata de resolverse. Por ejemplo, para un problema de tipo multiplicati-vo, la suma es un procedimiento informal, pero esta misma operacin es un procedimiento experto para un problema de tipo aditivo. El conoci-miento matemtico est en cons-truccin permanente.

Cmo apoyar la elaboracin de resmenes

Cmo introducir otros recursos

Para hacer uso del diccionario

Cmo leerun mapa

Cmo concluirun dilogo o actividad


10 L ib ro para e l maest ro

El dilogo e interaccin entre los pares es una parte central en el proceso de aprendizaje: la participacin con otros nos ayuda a desplegar nuestros conocimientos, demostrar lo que sabemos hacer, anticipar procesos, reconocer nuestras dudas, or las ideas de los dems y compararlas con las propias. Por ello, es deseable:

Fomentar la interaccin en el aula con mltiples oportunidades para opinar, explicar, argumentar, fundamentar, referirse a los textos, hacer preguntas y contestar: las preguntas que se responden con s o no, o las que buscan respuestas muy delimitadas tienden a restringir las oportunidades de los alumnos para elaborar sus ideas. Las preguntas abiertas, en cambio, pueden provocar una variedad de respuestas que permiten el anlisis, la comparacin y la profundizacin en las problemticas a tratar; tambin permiten explorar razonamientos diferentes y plantear nuevas interrogantes. Adems, dan pie a un uso ms extenso de la expresin oral.

Crear espacios para que los alumnos expresen lo que saben sobre el tema nuevo o lo que estn aprendiendo: en diferentes momentos de las secuencias (al inicio, desarrollo, al final) pueden abrirse dilogos, con el fin de que contrasten sus conocimientos con los de otros alumnos, y con ello enriquecer y promover la construccin compartida de conocimientos.

Fomentar la interaccin en el aula


3


11L ib ro para e l maest ro

Incorporar en las actividades cotidianas los dilogos en pequeos grupos: algunos estudiantes que no participan en un grupo grande, es ms probable que lo hagan en un grupo ms pequeo o en parejas.

Utilizar ciertos formatos de interaccin de manera reiterada, con materiales de apoyo escritos y/o grficos para organizar actividades: algunos ejemplos de estos formatos son la presentacin oral de reseas de libros, la revisin de textos escritos por los alumnos, realizacin de debates, el trabajo en equipo en el que cada alumno tiene una tarea asignada (coordinador, relator, buscador de informacin, analista, etctera).

Realizar cierres de las actividades: obtener conclusiones que pueden ser listas de preguntas, dudas o diversas opiniones; los acuerdos del grupo; un registro de diferentes formas de expresin o propuestas de cmo decir algo; un resumen de lo aprendido, un diagrama, una tabla, un procedimiento eficaz para resolver un problema, entre otros.

Cmo llevar a cabo un debate

Cmo conducir una revisin grupal de textos

Cmo conducir un dilogo grupal

Cmo coordinar la discusin de

un dilema moral



Una parte fundamental de la educacin secundaria es aprender a utilizar recursos impresos y tecnolgicos para conocer diversas expresiones culturales, buscar informacin y resolver problemas. Por ello es indispensable explorar y conocer diferentes materiales como parte de la preparacin de las clases y

Llevar al aula materiales complementarios: para compartir con los alumnos y animarlos a buscar y compartir con el grupo diferentes recursos.

Promover el uso constante de otros recursos tecnolgicos y bibliogrficos disponibles en la escuela: si tienen acceso a computadoras, puede

Utilizar recursos mltiples


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fomentarse su uso para la realizacin de los trabajos escolares y, de contar con conectividad, para buscar informacin en Internet. Asimismo las colecciones de Bibliotecas Escolares y de Aula, la biblioteca de la escuela y la biblioteca pblica son fuentes de informacin potenciales importantes. Por otro lado, el uso de recursos tecnolgicos, como los videos, los simuladores para computadora y otras actividades ejecutables en pantalla facilitan la comprensin de fenmenos o procesos matemticos, biolgicos, fsicos y qumicos que muchas veces son difciles de replicar en el laboratorio o a travs de alguna actividad experimental.

Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas

Cmo introducir otros recursos



Las paredes del aula constituyen un espacio importante para exponer diferentes recursos de consulta rpida y constante. Por ejemplo, se puede:

Crear un banco de palabras en orden alfabtico de los trminos importantes que se estn aprendiendo en las distintas materias. Sirven de recordatorio para los estudiantes cuando tienen que resolver sus guas, escribir pequeos textos, participar en los dilogos, etc.

Dejar apuntadas diferentes ideas aportadas por todos para resolver algn tipo de problema. Por ejemplo, puede hacerse un cartel para orientar qu hacer cuando uno encuentra una palabra desconocida en un texto:

Desplegar ideas en el aula para consultas rpidas


tratar de inferir el significado del texto.

Buscarlo en el diccionario.

Preguntar al maestro o a un compaero.

saltarla y seguir leyendo.

Qu hacer cuando no sabes Qu significa una palabra?

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Colgar mapas, tablas, grficas, frmulas, diagramas y listas para la consulta continua.

Puede involucrar a los alumnos en el registro de la historia del grupo y la evolucin de las clases. Una forma de hacer esto es llevar una bitcora donde se escribe cada da lo que ocurri en las diferentes clases. Los alumnos, por turnos, toman la responsabilidad de llevar el registro del trabajo y experiencias del da. La bitcora se pone a disposicin de todos para consultar. Esta no es una actividad para calificar o corregir. Se trata de darle importancia y presencia a la memoria del grupo durante el ao escolar. Cada alumno podr seleccionar qu fue lo relevante durante el da y escribir de acuerdo a su estilo y sus intereses.

Cmo organizar la bitcora del grupo



Pistas didcticas

Cmo anotar referencias de las fuentes utilizadas Cuando se utilizan textos o imgenes que aparecen en distintos medios, se cita

su procedencia, usando alguno de los siguientes cdigos:

Libro: apellido del autor, nombre del autor, ttulo, lugar de edicin, editorial y ao de publicacin. Si se trata de un diccionario o enciclopedia, anotar tambin las palabras o pginas consultadas.

Revista o peridico: ttulo, nmero, lugar y fecha de publicacin, pginas consultadas.

Programa de TV: Nombre del programa, horario de transmisin y canal.

Cmo conducir una revisin grupal de textos individuales Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Copie fragmentos breves de los

textos en el pizarrn o usando el procesador de textos, para ejemplificar frases o expresio-nes que puedan ser mejoradas.

Acepte dos o tres intervenciones, para hacer comentarios sobre el contenido cotejando lo que plantea el libro para los alumnos. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas por los comentaristas y pregunte al autor si est de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se le ha ocurrido otra idea para mejorarlo. Permita que sea el propio autor el que concluya cul es la manera que mejor se acerca a lo que quiere relatar, la corrija en el pizarrn y despus en su cuaderno.

Solicite que todos relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, poder leerlo con facilidad ante el grupo.

En cada ocasin invite a alumnos distintos a revisar sus textos con todo el grupo, incluyendo a los que no se autopropongan.

Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

Cmo conducir un dilogo grupal Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos. Anote algunas respuestas en el pizarrn,

para recuperarlas en la discusin o conclusiones.

Acepte respuestas distintas; sugiera que se basen en lo que dice el texto (video, mapa o problema) o en situaciones parecidas.

Para avanzar en el dilogo, resalte las diferencias y semejanzas entre las participaciones de los alumnos. Por ejemplo: Juan dijo tal cosa, pero Mara piensa esta otra, qu otras observaciones se podran hacer?

Cierre cada punto y d pie al siguiente inciso. Por ejemplo: Ya vimos las caractersticas comunes a todos los seres vivos, ahora pasaremos a las diferencias entre un ser vivo y un objeto inanimado.

En cada ocasin otorgue la palabra a distintos alumnos, incluyendo los que no levanten la mano.

Seale claramente el momento de las conclusiones y el cierre de los comentarios.



Cmo hacer una lluvia de ideas Plantee una pregunta abierta relacionada con una actividad, texto, imagen o situacin (Qu

pasara si? Cmo podramos? Por qu creen que esto ocurre as? Qu les sugiere esto?).

Permita y promueva que los alumnos den su opinin, anote ideas y sugerencias y planteen dudas.

Conforme los alumnos van participando, apunte en el pizarrn, de manera abreviada, sus comentarios y aportaciones. Tambin puede anotar sus ideas en un procesador de palabras y proyectarlas en la pantalla.

Cuando los alumnos han terminado de participar, revise con ellos la lista y busquen diferentes formas de organizar sus ideas (juntar todas las similares, ordenarlas cronolgicamente, agruparlas por contenido, etctera).

Resuma con el grupo las principales aportaciones.

Retome las participaciones cuando sea pertinente relacionarlas con otras intervenciones.

Cmo concluir un dilogo o una actividad Hacia el final del dilogo o de una actividad, resuma los comentarios de todos los

participantes.

Seale las principales semejanzas y diferencias en las aportaciones. Recurdele al grupo cmo se plantearon y cmo se resolvieron.

Ayude a los alumnos a definir las conclusiones, inferencias y acuerdos principales de la actividad y de sus reflexiones.

Permita a los alumnos expresar sus dudas y contestarlas entre ellos.

Anote en el pizarrn las ideas y conclusiones ms importantes.

Cmo organizar la bitcora del grupo La bitcora es una actividad compartida por todos los miembros del grupo. Se busca

escribir da a da la vida del grupo escolar. Es una actividad libre de escritura en el sentido de que cada alumno puede elegir qu aspecto del da comentar y cmo comentarlo. No se trata de corregirlo sino de compartir las diferentes perspecti-vas acerca de los eventos centrales de la convivencia en el aula.

Cada da un alumno diferente se hace responsable de escribir, dibujar, insertar fotografas, etctera.

Es una actividad que los alumnos pueden realizar en un procesador de palabras.

Si cuenta con conectividad, se puede crear un blog (bitcora electrnica) del grupo que se despliegue en Internet. En la pgina www.blogspot.com se explica cmo hacerlo.



Cmo coordinar la discusin de un dilema moral Pida a los alumnos que lean el dilema individualmente y respondan las preguntas. Indique que

los comentarios se harn ms adelante.

Aclare con el grupo el sentido del dilema, preguntndoles, por qu es un dilema?, cul es el tema central?, qu habr pensado el personaje en cuestin?

Invite a los alumnos a intercambiar ideas en plenaria.

Explique previamente dos reglas bsicas: a) Debatir argumentos y no agredir ni elogiar a personas, y b) turnarse el uso de la palabra, de modo que se ofrezcan equilibradamente argumentos a favor y en contra de cada postura.

A medida que el grupo identifique las posturas y argumentos posibles, antelos en el pizarrn e invite al grupo a organizarlos, mediante preguntas como: Cul es el mejor argumento a favor de X postura y por qu? Habra otros argumentos?, cules?

Para cerrar, invite al grupo a redefinir o confirmar sus posturas iniciales, con base en los argumentos dados, y a buscar salidas diversas y ms satisfactorias al dilema.

Cmo introducir otros recursos Explore y lea con anticipacin los materiales, seleccionando aquellos que desea compartir con

el grupo.

Presente el material (libro, revista, artculo de peridico, mapa, imagen, etctera) al grupo, comentando qu tipo de material es, el autor o artista, el ao.

Lea o mustrelo al grupo.

Converse con los alumnos acerca de la relacin de este material con el trabajo que se est desarrollando. Propicie la reflexin sobre la relacin del material presentado con la actividad que se realiza o el contenido que se trabaja.

Invtelos a revisar el material y conocerlo ms a detalle, o que ellos sugieran, aporten, lleven o busquen material relevante para los temas que estn abordando en el curso.

Cmo llevar a cabo un debate Antes de empezar, solicite a dos alumnos que desempeen las funciones de moderador y

de secretario, explicndoles en qu consiste su labor.

Defina con claridad los aspectos del tema seleccionado que se van a debatir; debe plantearse con claridad cul o cules son los puntos o aspectos que se estn confrontando.

El moderador anota en una lista los nombres de quienes desean participar e inicia la primera ronda de participaciones para que cada uno exprese su punto de vista y sus argumentos acerca del tema.

El secretario toma notas de las participaciones poniendo nfasis en las ideas o conceptos que aportan.

Al agotar la lista de participaciones, el moderador hace un resumen de los comentarios. De ser necesario y contar con tiempo, puede abrirse una nueva lista de participaciones; o bien, al final resume las principales conclusiones o puntos de vista para que el secretario tome nota de ellas.

Cada vez que sea necesario, es importante que el moderador les recuerde a los participan-tes cules son los puntos centrales del debate, para evitar distracciones.

Al final, el secretario lee sus anotaciones y reporta al grupo las conclusiones o puntos de vista.



Cmo leer un mapa Pida a los alumnos que identifiquen el ttulo del mapa para saber qu tipo de informacin

representa. Si se trata de un mapa histrico, solicite a los estudiantes que identifiquen de cundo data y si representa hechos o procesos del pasado.

Revise con los alumnos las referencias o simbologa.

Seale claramente cul es la escala empleada en el mapa.

Revise con el grupo la simbologa utilizada y su explicacin.

Comente con el grupo la informacin que se puede obtener a partir del mapa o relacionndolo con otras informaciones previas.

Interprete la orientacin a partir de leer la rosa de los vientos.

Cmo conducir una revisin grupal de textos colectivos Solicite a un equipo voluntario para leer su texto frente al grupo y otro para comentarlo. Copie fragmen-

tos breves del texto en el pizarrn para ejemplificar frases o expresiones que puedan ser mejoradas.

Acepte dos o tres observaciones de los comentaristas, basadas en las pautas de revisin. En el pizarrn haga las modificaciones sugeridas y pregunte a los autores si estn de acuerdo, si su texto mejora con las aportaciones o se les ocurre otra idea para mejorarlo. Permita que los autores sean quienes decidan sobre la manera que mejor se acerca a lo que quieren decir, reelaboren su idea en el pizarrn y luego en su cuaderno.

Solicite que en cada equipo relean y revisen sus textos, hagan las correcciones necesarias y lo reescriban con claridad para, posteriormente, leerlo con facilidad ante el grupo.

En cada ocasin, invite a equipos distintos a que revisen y comenten sus textos con todo el grupo. Siempre propicie actitudes positivas hacia la revisin para el mejoramiento de la expresin escrita.

Cmo apoyar la elaboracin de resmenes Elija el texto que se va a resumir y lalo con el grupo.

Solicite participaciones a partir de las preguntas: cul consideran que es la idea principal de cada prrafo?, cules sern las ideas secundarias o ejemplos? Acepte participaciones de los alumnos, escriba algunas en el pizarrn o con el procesador de textos y despus proponga usted sus respuestas a las mismas preguntas.

A partir de las respuestas, ejemplifique en el pizarrn cmo retomar la idea principal de cada prrafo. Puede incluir definiciones textuales, vocabulario tcnico y ejemplos del texto.

De ser posible, muestre a los alumnos ejemplos de resmenes elaborados por usted o por otros estudiantes.

Para hacer uso del diccionario Haga una lista, con sus alumnos, de las palabras que no conocen o no comprenden.

Bsquenlas en el diccionario en orden alfabtico.

Lea el significado e intenten utilizarlo dentro de un contexto. Tambin pueden hacer uso de sinnimos.

Relea las oraciones que contienen las palabras consultadas para comprenderlas ampliamente.

Si an quedan dudas, busque la palabra en un libro especializado.



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Establecerla

srelacion

esentrelo

sn

gulosqu

eseforman

en

tredo

srectasparalelascortada

spo

run

atran

sversal.

Justificar lasrelacion

esentrela

smed

idasdelosn

gulos

interio

resde

lostring

ulosyparalelog

ramos.

6.1

ngu

losco

rrespo

ndientes

ngu

losypa

ralelas

Paralelasysecante(Log

o)

6.2

ngu

los alternosin

ternos

Relacion

esdelosn

gulosen

trepa

ralelas

(Geo

metra

dinm

ica)

6.3

Los n

gulosen

lospa

ralelogram

osyeneltri

ngulo

Relacion

esim

portan

tes

Reco

nocer,estimarym

edirn

gulos

7.Lare

lacin

inversade

una

relacin

deprop

orcion

alidad

directa.

Determinarelfactorinversoda

dauna

relacin

de

prop

orcion

alidad

yelfactorde

propo

rciona

lidad

fracciona

rio.

7.1

Elpesoen

otrosplane

tas

Elpesoen

otrosplane

tas

Cu

ntope

sosie

stoy

enSa

turno?(C

alcu

lado

ra)

7.2

Europa

yPlutn

7.3

Prob

lemas

Factoresdeprop

orcion

alidad

Prop

orcion

alidad

con

Log

o

8.Prop

orcion

alidad

mltiple.

Elab

oraryutilizarprocedimientospararesolverproblem

asde

prop

orcion

alidad

mltiple.

8.1

Elvolum

enLaprop

orcion

alidad

mltiple

Prop

orcion

alidad

mltiple

8.2

Laexcursin

8.3

Msproblem

as

9.Prob

lemasdeco

nteo

.

Anticipa

r resultad

osenprob

lemasdeco

nteo

,con

baseen

la

iden

tific

acinde

regu

larid

ades.V

erificarlosresultad

os

med

iantearreglosre

ctan

gulares,diag

ramasderbo

luotros

recu

rsos.

9.1

Cm

ono

sestacion

amos?

Decu

ntasform

as?

Diagram

ade

rbol

9.2

Lacasade

cultura

9.3

Repa

rto de

dulces

Diagram

ade

rbol

Anticipa

r resultad

osenprob

lemasdeco

nteo

10.P

olgon

osdefrecue

ncias.

Interpretarycom

unicarin

form

acinmed

iantepolgon

osde

frecue

ncia.

10.1Re

zago

edu

cativo

ygrfic

as

10.2An

emiaenlapob

lacin

infantilmexican

aPo

lgon

osdefrecue

nciasen

losrepo

rtesdeinvestigacin

10.3Q

ugrfic

autilizar?

Polg

onode

frecu

encias

EV

AL

UA

CI

N



Bloque2

S EC

UEN

CIA

S ES I

N

REC

UR

SOS

T EC

NO

LG

ICO

SV

ideo

sIn

t er a

c tiv

os

Au

la d

e m

e dio

s

11.

Laje

rarquade

lasop

eracione

s.

Utilizarla

jerarquade

lasop

eracione

sylospa

rntesis

sifue

ranecesario,e

nprob

lemasyclcu

los.

11.1Elc

oncu

rsode

latele

Elcon

cursode

latele

Jerarquade

lasop

eracione

s

yusode

parn

tesis

Aprend

eacalcularcon

Log

o(Log

o)

11.2M

sre

glas

Construc

cin

deprog

ramasVII(Calcu

lado

ra)

12.Multiplicacin ydivisin

depo

linom

ios.

Re

solverproblem

asm

ultiplicativosque

implique

nel

usode

exp

resion

esalgeb

raicas.

12.1Lo

sbloq

uesalge

braico

sLosbloq

uesalge

braico

sMultiplicacinydivisin

deexpresione

salge

braicas

12.2Acub

rirre

ctn

gulos


deexpresione

salge

braicas

12.3C

unto midelabase?

13.Cu

bos, prismasypir

mides.

Describir lascaractersticasde

cub

os,p

rismasy

pirmides.C

onstruirde

sarrollosplan

osdecu

bos,

prismasypir

midesre

ctos.A

nticipardiferen

tesvistas

deuncu

erpo

geo

mtric

o.

13.1Desarrolla

tuim

aginacin

Lageo

metra

atualrede

dor

Cub

os,p

rismasypir

mides

13.2M

sdesarrollo

splan

osCub

os,p

rismasypir

mides

13.3El c

uerpoesco

ndido

13.4Patrone

syregu

larid

ades

13.5Diferen

tes pu

ntosdevista

Construc

cion

escon

cub

os

14.Vo

lumen

deprismasypir

mides.

Justificarlasfrm

ulasparacalcularelv

olum

ende

cubo

s,pris

masypir

midesre

ctos.

14.1La

scajas

Volumen

decu

bos,prismasypir

mides

14.2M

svolm

enesdeprismas

Volumen

decu

bos,prismasypir

mides

14.3Arrozy

volum

enUna

sfrm

ulasseob

tien

endeotras

Estimacinyclculode

volm

enes

15.Ap

licacin de

volm

enes.

Estimarycalcu

larelvolum

endecu

bos,prismasy

pirmidesre

ctos.

Ca

lculardatosdesco

nocido

s,da

dosotrosrelacion

ados

conlasfrm

ulasdelclcu

lodevo

lumen

.

Establecerre

lacion

esdevaria

cin

entrediferen

tes

med

idasdeprismasypir

mides.

Re

alizarcon

versione

sde

med

idasdevo

lumen

yde

capa

cida

dyan

alizarla

relacin

entreella

s.

15.1Eld

ecm

etrocb

ico

Estimacinyclculode

volm

enes

15.2Cap

acidad

esyvolm

enes

Prob

lemasprcticos

15.3Variacion

esEstimacinyclculode

volm

enes

16.Co

mpa

racin

desituacione

sde

propo

rciona

lidad

.

Resolverproblem

asdeco

mpa

racin

derazone

s,co

nba

seenlanoc

inde

equ

ivalen

cia.

16.1Elren

dimientoco

nstante

Compa

racin

derazone

s

16.2La

con

centracin

depintura

Compa

racin

deco

cien

tes

Compa

racin

derazone

s

17.Med

idasdetend

enciacentral.

Interpretarycalcularlasm

edidasdetend

encia

centralde

unco

njun

todeda

tosag

rupa

dos,

consideran

dodeman

eraespe

cialla

sprop

ieda

desde

lam

ediaarit

mtica.

17.1Elp

romed

iodelgrupo

enelexa

men

1

17.2Elp

romed

iodelgrupo

enelexa

men

2M

edidasdetend

enciacentral

17.3La

s calora

squ

eco

nsum

enlo

sjvene

sEstadsticas,a

limen

tosyotrassituacione

sM

edidasdetend

enciacentral

EV

AL

UA

CI

N



Bloque3

SEC

UEN

CIA

SESI

N

REC

UR

SOS

TEC

NO

LG

ICO

SV

ideo

sIn

t er a

c tiv

os

Au

la d

e m

e dio

s

1 8.S u

c esio n

e sden

me ro sco n

sign o

[2

8 -3 9

]

C on stru irsuc esio n

e sden

me ro sco n

sign o

apa rtird e

un a

reglada

da.O

bten

erla

reglaqu

ege

nerauna

suc

esinde

n

meroscon

signo

.

1 8.1 C

u le

slare

g la ?

S uc esio n

e sden

me ro s

S uc esio n

e sden

me ro sco n

sign o

De sc ripc i n

dep ro g

rama s(C

a lc u

lad o

ra)

1 8.2N m

e ro squ e

crec en

S uc esio n

e sden

me ro sco n

sign o

18.3De mayoram

enor

Sucesion

esgeo

mtric

ascon

Log

o

19.Ecua

cion

esdeprim

ergrado

[4

0-55

]

Resolverproblem

asque

implique

nelplantea

mientoyla

resolucin

deecua

cion

esdeprim

ergrado

delaforma:

ax +

bx

+ c

= dx

+ e

x +

fyco

npa

rntesisenun

ooen

am

bosmiembrosdelaecu

acin,utilizan

docoe

ficientes

enterosofraccion

arios,po

sitivo

sone

gativo

s.

19.1Pien

saunn

mero

Ecua

cion

es(2

)(Hojade

clcu

lo)

19.2Elm

odelode

labalan

zaLabalan

zaRe

solucin

deecua

cion

esdeprim

ergrado

Nm

erosperdido

s(Calcu

lado

ra)

19.3Msall

delm

odelode

laba

lanz

a

19.4Miscelne

ade

problem

as

20.Re

lacin

fun

cion

al

[56-

75]

Re

cono

ceren

situa

cion

esproblem

ticasasociad

asa

fen

men

osdelafsica,la

biologa,la

eco

nomayotras

disciplin

as,lapresen

ciade

can

tida

desqu

evara

nun

aen

func

inde

laotrayrepresen

tarestare

lacin

med

ianteun

atablaoun

aexpresinalge

braicadelaforma:y

= a

x +

b.

Construir, interpretaryutilizargrfi

casde

relacion

esline

ales

asoc

iada

sadiversosfen

men

os.

20.1Lacolade

lastortillas

Descripcin

defen

men

osc

onre

ctas

20.2Cm

o ha

blan

portelfon

o!Va

riacin

line

a(2)(Hojade

clcu

lo)

20.3Eltax

iDescripcin

defen

men

osc

onre

ctas

Grfic

asdefunc

ione

s(Log

o)

20.4Elre

sorte

Descripcin

defen

men

osc

onre

ctas

Grado

sFahren

heitocen

tgrad

os?

(Calcu

lado

ra)

20.5Elplanpe

rfecto

Loscelulares

Descripcin

defen

men

osc

onre

ctas

21.Los po

lgon

osysusng

ulosin

ternos

[76-

85]

Estableceruna

frmulaqu

epe

rmitacalcularla

sum

ade

los

ngu

losinterio

resde

cua

lquierpolgon

o.

21.1Tring

ulosenpo

lgon

osTriang

ulacione

ssimplesdelos

polg

onoscon

vexo

sn

gulos interio

resde

unpo

lgon

o

21.2U

nafrmulapa

rala

sum

ade

los

ngu

losinternos

ngu

losinterio

resde

unpo

lgon

oMed

icinde

perm

etrosyn

gulos

(Geo

metra

dinm

ica)

22.Mosaico

s yrecu

brim

ientos

[86-

97]

Co

nocerlascaractersticasde

lospo

lgon

osque

permiten

cu

brirelplano

yre

alizarre

cubrim

ientosdelplano

.

22.1Re

cubrim

ientosdelplano

Que

noqu

edena

dasincub

rirCu

brim

ientosdelplano

Recu

brim

ientode

lplano

con

polgon

os

regu

lares(Geo

metra

dinm

ica)

22.2Losre

cubrim

ientoscon

polgon

os

irreg

ulares

Cubrim

ientosdelplano

22.3Algu

nas co

mbina

cion

esCu

brim

ientosdelplano

23.Las caractersticasde

lalne

arecta

[98-

115]

An

ticipa

r elcom

portam

ientode

grfic

asline

alesdelaforma

y =

mx

+ b,cua

ndosem

odificaelv

alorde

bmientraselvalor

dem

perman

ececo

nstante.

An

alizarelc

ompo

rtam

ientode

grfic

asline

alesdelaforma

y =

mx

+ b,cua

ndocambiaelvalorde

m,m

ientraselvalor

debperman

ececo

nstante.

23.1Pe

ndienteyprop

orcion

alidad

Rectasque

crecen(C

alcu

lado

ra)

Qu

grfic

asc

recenm

srp

ido?

(Calcu

lado

ra)

23.2Las pe

ndientesneg

ativas

Ecua

cin

delare

ctay=

mx

+ b

Grfic

asque

de

crecen

(Calcu

lado

ra)

23.3Laorden

adaalorig

enRe

ctasparalelas

Ecua

cin

delare

cta

y =

mx

+ b

Analizan

dogrfic

asderectas

(Hoja de

clcu

lo)

Unpu

ntoim

portan

teenun

arecta

(Calcu

lado

ra)

23.4Miscelne

a de

problem

asyalgoms

EV

AL

UA

CI

N



S EC

UEN

CIA

S ES I

N

REC

UR

SOS

T EC

NO

LG

ICO

SV

ideo

sIn

t er a

c tiv

os

Au

la d

e m

e dio

s

24.Po

tenc

iasyno

tacin

cientfica

[118

-137

]

Elab

orar,u

tilizaryju

stificarproc

edim

ientosparacalcular

prod

uctosyco

cien

tesde

poten

ciasenteraspositivasdela

mismaba

seypoten

ciasdeun

apo

tenc

ia.

Interpretarelsignific

adode

elevarun

nm

erona

turala

una

po

tenc

iadeexpo

nentene

gativo

.

Utilizarla

notacincien

tfic

apa

rare

alizarclcu

losen

losqu

einterviene

ncantidad

esm

uygrand

esom

uypeq

uea

s.

24.1Prod

uctodepo

tenc

ias

Potenc

iasyexpo

nentes

Leyesde

losexpo

nentesI(Calcu

lado

ra)

24.2Po

tenc

ias de

poten

cias

Potenc

iasyexpo

nentes

24.3Co

cien

tes de

poten

cias

Potenc

iasyexpo

nentes

Leyesde

losexpo

nentesIII(Ca

lculad

ora)

24.4Ex

pone

ntesneg

ativos

Potenc

iasyexpo

nentes

Leyesde

losexpo

nentesIIyIV

(Calcu

lado

ra)

24.5Notacin cien

tfic

aNm

erosm

uygrand

es

y muy

peq

ueo

sPo

tenc

iasyexpo

nentes

25.Tring

uloscon

grue

ntes

[138

-147

]

Determinarlo

scriteriosde

con

grue

nciadetring

ulosapartir

decon

struccione

sco

ninform

acinde

term

inad

a.

25.1Tresla

dosigua

les

Figu

rasco

ngruen

tes

Cong

ruen

ciade

tri

ngulos

25.2Un n

guloydosla

dosco

rrespo

ndientesig

uales

Cong

ruen

ciade

tri

ngulos

25.3Un lado

ydosng

uloscorrespon

dien

tesigua

les

Cong

ruen

ciade

tri

ngulos

26.Pu

ntosyre

ctasnotab

lesde

ltri

ngulo

[148

-165

]

Explorarla

sprop

ieda

desde

lasalturas,med

iana

s,med

iatrices

ybisectric

esenun

tri

ngulo.

26.1Med

iatrices

Rectasypun

tosno

tablesdeltri

ngulo

26.2Alturas

Rectasypun

tosno

tablesdeltri

ngulo

26.3Med

iana

sRe

ctasypun

tosno

tablesdeltri

ngulo

Bisectriz

,altura,m

ediana

ym

ediatrizdeun

tring

ulocu

alqu

iera(G

eometra

dinm

ica)

26.4Bisectric

esPu

ntosyre

ctasnotab

lesde

ltring

ulo

Rectasypun

tosno

tablesdeltri

ngulo

Trazarelinc

rculode

untring

ulo

(Geo

metra

dinm

ica)

27.Even

tos inde

pend

ientes

[166

-183

]

Disting

uirendiversassitua

cion

esdeazareventosque

son

inde

pend

ientes.

Determinarla

formaen

que

sepu

edecalcularlaprob

abilida

dde

ocu

rren

ciade

dosom

seventosin

depe

ndientes.

27.1C

ulessonloseven

tosinde

pend

ientes?

Cu

ndodo

seven

tosson

inde

pend

ientes?

Diagram

ade

rbol

27.2Dosom

seventosin

depe

ndientes

Diagram

ade

rbol

27.3Even

tos inde

pend

ientesydep

endien

tes

Diagram

ade

rbol

Prob

abilida

d.Eventosin

depe

ndientes

Frecue

nciayproba

bilid

adcon

Log

o

28.Grfic

asdeln

ea

[184

-199

]

Interpretaryutilizardo

somsgrfic

asdeln

eaque

represen

tancaractersticasdistintasdeun

fen

men

oo

situacinpa

raten

erin

form

acinmscom

pletayen

sucaso

tomardecisione

s.

28.1Turis

mo,empleo

sygrfi

casde

lne

aElturismo:una

ocu

pacin

interesante

Grfic

asdeln

eaenlaestad

stica

28.2Sab

escu

ntaspersona

svisitanelestad

oen

qu

evives?

Grfic

asdeln

eaenlaestad

stica

28.3C

untosextranjerosnosvisitaron

?

29.Grfic

asformad

asporre

ctas

[200

-209

]

Interpretaryelab

orargrfic

asformad

asporseg

men

tosde

rectaqu

emod

elan

situa

cion

esre

lacion

adascon

mov

imiento,

llena

doderecipien

tes,etctera.

29.1Albe

rcasparach

icosygrand

esLlen

adode

recipien

tes

Grfic

asformad

asporseg

men

tos

dere

cta

29.2De aq

uparaallydeallparaac

29.3Ca

mino alaescue

laGrfic

asformad

asporseg

men

tos

dere

cta

EV

AL

UA

CI

N

Bloque4



Bloque5

EJ

E 1

:Se

ntidonu

mricoype

nsam

ientoalge

braico

EJ

E 2

:Fo

rma,espacioym

edida

EJ

E 3

:Man

ejode

lain

form

acin

S EC

UEN

CIA

S ES I

N

REC

UR

SOS

T EC

NO

LG

ICO

SV

ideo

sIn

t er a

c tiv

os

Au

la d

e m

e dio

s

30.Sistem

asdeecua

cion

es

[212

-229

]

Represen

tarco

nliteraleslo

svaloresde

scon

ocidosdeun

prob

lemayusarlaspa

raplantea

ryresolverunsistem

ade

ecua

cion

escon

coe

ficientesenteros.

30.1Lasvacasylosch

ivos

DeDiofantoalsigloXXI

Sistem

asdeecua

cion

es

30.2Laeda

dde

Don

Matias

Sistem

asdeecua

cion

es

30.3Co

mprasenelm

ercado

30.4Laig

ualacin

30.5Loqu

eap

rend

imosdesistem

asdeecua

cion

es

31.Traslacin

, rotacinysimetra

cen

tral

[230

-245

]

Determinarla

sprop

ieda

desde

laro

tacin

ydelatraslacinde

fig

uras.C

onstruiryreco

nocerdiseo

squ

eco

mbina

nla

simetra

axialycen

tral,larotacin

yla

traslacinde

figu

ras.

31.1H

aciadn

dem

emue

vo?

Conc

eptodetraslacin

(Geo

metra

dinm

ica)

31.2Ro

tacion

esCo

ncep

toderotacin

(Geo

metra

dinm

ica)

Molinosyre

hiletes1y2(Log

o)

31.3Simetra

cen

tral

Mov

imientosenelplano

Usodelasim

etra

cen

tral(G

eometra

dinm

ica)

31.4Algo

mssob

resim

etra

s,rotacion

esy

traslacion

esMov

imientosenelplano

32.Even

tos mutua

men

teexcluyentes

[246

-259

]

Disting

uir en

diversassituacione

sde

azareven

tosqu

eson

mutua

men

teexcluyentes.

Determinarla

formaen

que

sepu

edecalcularla

proba

bilid

ad

deocu

rren

cia.

32.1C

und

odo

seven

tossonmutua

men

te

excluy

entes?

Cu

ndodo

seven

tosson

mutua

men

teexcluyentes?

Prob

abilida

d.Eventosm

utua

men

te

excluy

entes

32.2Clcu

lodelaproba

bilid

addeeven

tos

mutua

men

teexcluyentesynoexcluy

entes

32.3Msproblem

asdeprob

abilida

dProb

abilida

d.Eventosm

utua

men

te

excluy

entes

Azaryproba

bilid

adcon

Log

o

33.Re

presen

tacin

grfic

ade

sistem

asdeecua

cion

es

[260

-273

]

Represen

tar grfi

camen

teunsistem

ade

ecu

acione

slin

eales

conco

eficien

tesen

teroseinterpretarlain

terseccin

desus

grfi

casco

molasoluc

inde

lsistema.

33.1Laferiagan

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Solucin

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programa inTEgrador EdusaT

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oTros TExTos


45

90

135

y= 4.500

x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

45

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x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

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4x - 5y = 32x + 10y = 29

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x= -8.000

y= -7.000

4x - 5y = 32x + 10y = 29

BLOQUE 3



12

secuencia 18

En esta secuencia construirs sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla dada y obtendrs la regla que genera una sucesin de nmeros con signo.

CUL ES LA REGLA?Para empezarSucesiones de nmeros

En la secuencia 3 de tu libro Matemticas i, volumen i trabajaste con sucesiones defiguras y con sucesiones de nmeros. En esta secuencia, continuars estudiando las su-cesiones de nmeros y las reglas que permiten obtener cada uno de sus trminos.

Consideremos lo siguienteCompleta los trminos que faltan en la siguiente sucesin de nmeros:

5, 2, , 4, 7, 10, , 16, , , 25, 28, 31, , 37, ,

a) Escribe una regla para obtener cada uno de los trminos de la sucesin.

b) Cul es el trmino que est en el lugar 30?

c) Qu lugar ocupa el nmero 121 en esta sucesin?

Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obrai. Seala cules de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla su-

mar tres al trmino anterior.

15, 11, 7, 3, 1, 5,

3, 6, 9, 12, 15, 18,

4, 1, 2, 5, 8, 11,

8, 3, 2, 7, 12, 17,

7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,

14, 6, 2, 10, 18, 26,

12, 9, 6, 3, 0, 3,

SESin 1

Sucesiones de nmeros con signo

MAT2 B3 S18.indd 12 9/10/07 12:28:21 PM

Propsitos de la sesin. Obtener la regla verbal que genera una sucesin de nmeros con signo en la que el valor de los trminos va aumentando; en la regla se dice cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino de la sucesin. Obtener la sucesin a partir de una regla de ese tipo.

Sugerencia didctica. Si lo considera conveniente recuerde a los alumnos a qu se refieren las expresiones trmino y lugar del trmino. Puede preguntarles Cul es el primer trmino de la sucesin y el segundo?, En qu lugar de la sucesin est el trmino 7 y el 25?

Descripcin del video. Se hace una introduc-cin al tema con la presentacin y descripcin de sucesiones famosas a lo largo de la historia tales como la sucesin de Fibonacci y la dada por Gauss para obtener la suma de los primeros 100 nmeros naturales.

Propsito de la sesin en el aula de medios. Hallar los nmeros que faltan para completar una tabla que contiene nmeros con signo.

Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesin 1.

Propsito de la actividad. La sucesin es parecida a las que se trabajaron en primero, la diferencia es que ahora se incluyen trminos negativos. Se espera que los alumnos logren expresar la regla de manera verbal.

Posibles procedimientos. Es relativamente sencillo que los alumnos logren identificar que los trminos van aumentando de 3 en 3 ; es posible que identifiquen esta regularidad primero con los nmeros positivos y que despus la apliquen a los nmeros negativos con los que inicia la sucesin. Para formular la regla general es probable que la expresen verbalmente por ejemplo: van de tres en tres, aumenta de tres en tres y empieza en 5 , Se suma tres al trmino anterior. La regla algebraica es 3n 8, sin embargo es poco probable que los alumnos la expresen de esa manera; en caso de que alguno llegara a formularla, invtelo a que la compare con las reglas verbales de otros compaeros. Para encontrar el trmino en el lugar 30 pueden hacer la lista con los primeros 30 trminos. Tambin es probable que algunos alumnos continen la lista hasta los primeros 43 trminos para determinar que lugar ocupa el nmero 121. Durante el intercambio grupal motive a los alumnos para que identifiquen una o ms reglas que permitan obtener la sucesin.

Propsito del interactivo. Explorar diferentes sucesiones numricas. Que los alumnos analicen y completen diferentes sucesiones numricas.

Propsito de las actividades I y II. Se espera que los alumnos identifiquen que, con una regla verbal del tipo sumar tres al trmino anterior o sumar cinco al trmino anterior, se pueden obtener muchas sucesiones distintas, pero si se indica cul es el primer trmino, entonces slo se obtiene una sucesin.

Respuestas. 3, 6, 9, 12, 15, 18,

4, 1, 2, 5, 8, 11,

7, 4, 1, 2, 5, 8, 11,

12, 9, 6, 3, 0, 3,

1 13 19 22 34 40

Van de tres en tres, Aumenta de tres en tres y empieza en -5

82

El lugar 43



13

IIMATEMTICASII. Responde las preguntas:

a) Con la regla sumar cinco al trmino anterior, podemos obtener muchas sucesio-

nes o una sola sucesin?

b) Encuentra una sucesin que se obtenga con esta regla.

c) Una regla ms precisa para obtener la sucesin que escribiste es sumar cinco al

trmino anterior y el primer trmino es

d) Por qu crees que esta regla sea ms precisa?

Comparen sus respuestas y comenten: la diferencia entre dos trminos consecuti-vos de una sucesin se obtiene al restar a un trmino el trmino anterior. Cul es ladiferencia entre dos trminos consecutivos de las sucesiones que encontraron en elinciso b)? . Obtengan tres sucesiones en las que la diferencia entre dostrminos consecutivos sea 7.

III.Completa lo que falta en las siguientes expresiones y responde las preguntas:

a) Una regla para obtener la sucesin 5, 11, 17, 23, 29, 35, es sumar seis al tr-

mino anterior y el primer trmino es

b) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

c) Una regla para obtener la sucesin 12, 10, 8, 6, 4, 2, es sumar

al trmino anterior y el primer trmino es

d) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

e) Escribe la sucesin que se obtiene con la regla sumar cinco al trmino anterior y

el primer trmino es 14:

f) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin?

A lo que llegamos

En las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es constante, cada trmino se obtiene sumando una misma cantidad al trmino anterior.

La regla verbal para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuntohay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino. Por ejemplo:

En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17,

MAT2 B3 S18.indd 13 9/10/07 12:28:22 PM

Sugerencia didctica. Comente con sus alumnos a qu se refiere la expresin La diferencia entre dos trminos consecutivos de una sucesin; si lo considera conveniente pida a algunos alumnos que pasen al pizarrn a hacer la resta para encontrar la diferencia en una sucesin. La diferencia entre dos trminos les servir, posteriormente, para encontrar las reglas algebraicas y para distinguir si una sucesin es creciente o decreciente.

Propsitos de la actividad. Que obtengan la diferencia entre dos trminos consecutivos de cada sucesin; identifiquen la regla verbal que sirve para obtener de manera nica una sucesin, y que obtengan una sucesin a partir de la regla verbal.

Respuestas:

a) Sumar seis al trmino anterior y el primer trmino es 5.

b) La diferencia es 6.

c) Sumar dos al trmino anterior y el primer trmino es 12.

d) La diferencia es 2.

e) 14, 9, 4, 1 , 6, 11,

f) La diferencia es 5.

Sugerencia didctica. Lea esta informacin junto con sus alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente puede pedir a los alumnos que propongan otra sucesin numrica como ejemplo y que den la regla verbal para obtener esta sucesin.

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las literales.

Antecedentes

En la secuencia 3 de Matemticas I, volumen I, los alumnos aprendieron a representar sucesiones numricas o con figuras a partir de una regla dada y viceversa; en la secuencia 4 del mismo libro aprendieron a interpretar las letras como nmeros generales con los que es posible operar.

En Matemticas II se retoman las sucesiones numricas con la finalidad de que los alumnos continen buscando regularidades, y de que aprendan a formularlas, y a argumentar su validez. En esta ocasin las sucesiones incluyen nmeros con signo.

Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1

Cul es la regla? Obtener la regla verbal que genera una sucesin de nmeros con signo en la que el valor de los trminos va aumentando; en la regla se dice cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es el primer trmino de la sucesin. Obtener la sucesin a partir de una regla de ese tipo.

Video Sucesiones de nmeros

Interactivo Sucesiones de nmeros

con signo Aula de medios

Descripcin de programas (Calculadora)

2

Nmeros que crecen Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones de nmeros

con signo

3

De mayor a menor Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0.Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo.

Interactivo Sucesiones geomtricas

con Logo Programa integrador 13



14

secuencia 18La diferencia entre dos trminos consecutivos se calcula al restar a un trmino el trmi-no anterior, por ejemplo: 7 2 = 5.

La regla verbal es: sumar 5 al trmino anterior y el primer trmino es 8.Si no se indica cul es el primer trmino, se pueden obtener muchas sucesiones utilizan-do la misma regla.

iV.Una regla para obtener la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, 10, (es la misma que est en el

apartado Consideremos lo siguiente) es sumar al trmino anterior y el

primer trmino es

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

b) Completa la siguiente tabla con algunos de los trminos de la sucesin.

Lugar del trmino Trmino de la sucesin

1 5

2 2

3 1

4 4

5 7

10

15

20

30

40

c) Para pasar del trmino en el lugar 30 al trmino en el lugar 40, se avanza 10 lu-

gares. Cunto cambia el valor del trmino?

d) Cul es el trmino que est en el lugar 50?

e) Cul es el trmino que est en el lugar 100?

Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar todos los trminos.

MAT2 B3 S18.indd 14 9/10/07 12:28:24 PM

Propsito de la actividad. Que amplen la sucesin que trabajaron en el apartado Consideremos lo siguiente con la finalidad de que identifiquen la dificultad de encontrar cualquier trmino utilizando slo una regla verbal.

Posibles procedimientos. Pueden observar que, si se avanza 5 lugares, por ejemplo del trmino en el lugar 5 al trmino en el lugar 10, el valor del trmino aumenta 15 y si se avanza 10 lugares, el valor del trmino aumenta 30.

Respuestas.

c) Aumenta 30.

d) 142.

e) 292.

22

37

52

82

112

3

35



Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es la misma.

15

IIMATEMTICASLo que aprendimosResponde las preguntas para la siguiente sucesin:

23, 16, 9, 2, 5, 12,19, ...


b) Cul es la regla verbal que nos permite obtener cada uno de los trminos de la suce-sin?

nMEROS QUE CRECEnPara empezarEn la sesin anterior encontraste la regla verbal para una sucesin de nmeros con signodiciendo cunto hay que sumar a cada trmino para obtener el siguiente y cul es elprimer trmino. En esta sesin obtendrs la regla algebraica utilizando el lugar que ocu-pa cada trmino.

Para la siguiente sucesin de nmeros:

2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,


b) Sealen con cules de las siguientes reglas podemos obtenerlos trminos de la sucesin. La n indica el lugar del trmino.

2n + 4.

Sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2.

4n + 2.

4n 2.

c) Comenten si algunas de las reglas anteriores son equivalentes.

Consideremos lo siguienteCompleta la siguiente tabla para encontrar los trminos que se indican en cada sucesin:

Lugar del trmino

Reglas algebraicas

3n 3n + 1 3n 7 3n 10 3n 161

2

3

4

10

100

115

Recuerden que:

La diferencia entre dos trminos

consecutivos se calcula al restar

a un trmino el trmino anterior.

Cuando hay varias reglas para

obtener la misma sucesin de

nmeros, se dice que son reglas

equivalentes.

SESin 2

MAT2 B3 S18.indd 15 9/10/07 12:28:26 PM

Respuestas.

a) La diferencia es 7.

b) La regla verbal es: sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 23.

Propsitos de la sesin. Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a > 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo.

Propsito de la actividad. Proponer reglas verbales y algebraicas en las que utilizan el lugar del trmino .

Respuestas.a) La diferencia es 4.

b) Hay dos respuestas correctas: 4n 2 y sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2.

c) Las reglas equivalentes son sumar cuatro al trmino anterior y el primer trmino es 2 y 4n 2.

Sugerencia didctica. En el inciso b) se espera que los alumnos identifiquen las dos reglas correctas, en caso de que slo identifiquen una de ellas usted puede animarlos a buscar si hay otra ms. Si eligen una regla incorrecta, durante la confrontacin grupal pdales que identifiquen los primeros trminos de la sucesin que se obtienen con esa regla.

Para el inciso c) invtelos a que justifiquen por qu consideran que tales reglas son equivalentes.

Propsito del Interactivo. Que los alumnos identifiquen que con distintas reglas, se obtienen sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es la misma.

3 4 4 7 13 6 7 1 4 10 9 10 2 1 7 12 13 5 2 4 30 31 23 20 14 300 301 293 290 284 345 346 338 335 329



16

secuencia 18a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos en cada una de estas sucesiones?

b) Para la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, Cul es la regla algebraica que nos permite en-

contrar el trmino que est en el lugar n ?

c) Aparece en esta sucesin el nmero 278?

Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrar la regla.

Manos a la obrai. Responde las preguntas sobre la sucesin que se obtiene con la regla 3n 7.

a) Una regla equivalente para obtener esta sucesin es sumar al trmino

anterior y el primer trmino es

b) Cul es el trmino que est en el lugar 40?

c) Cul de las dos reglas utilizaste para encontrar ese trmino?


ii. Responde las preguntas sobre la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16,

a) Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de esta sucesin?

b) Observa las dos sucesiones

3, 6, 9, 12, 15, 18,

1, 4, 7, 10, 13, 16,

Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin (3, 6, 9, 12,

15, 18, )?

c) Subraya la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin:

Restar 2

Sumar 2

d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, ?

MAT2 B3 S18.indd 16 9/10/07 12:28:28 PM

Respuestas.a) La diferencia es 3.

b) 3n 8.

c) El nmero 278 no aparece en la sucesin.

Sugerencia didctica. Si observa que algunos alumnos tienen dificultades para encontrar la regla de la sucesin 5, 2, 1, 4, 7, ... puede sugerirles que intenten encontrar los trminos de otras sucesiones que tengan reglas en las que la n se multiplica por 3.

Si tienen dificultades para determinar si el nmero 278 est en la sucesin, usted puede sugerirles que obtengan algunos trminos de la sucesin que se acerquen a 300. Un buen procedimiento es encontrar el trmino en el lugar 100 (es 292) y observar que 289, 286, 283, 280 y 277 s estn en la sucesin, pero 278 no.

Otra forma de resolver, es explorar si 278 resulta de la aplicacin de la regla 3n 8: a 278 se le suma 8, y el resultado se divide entre 3. Este procedimiento implica despejar a n ; no se espera que los alumnos lo resuelvan de esta manera, pero si algunos de ellos se acercan a este procedimiento, usted puede ayudarles precisando las relaciones entre los datos.

Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos comenten cmo cambian las sucesiones cuando cambia la regla, para ello usted puede preguntar cmo cambia el valor del primer trmino en cada una de las sucesiones.

Propsito de la actividad. Que comparen la utilidad de los dos tipos de reglas (la verbal y la algebraica) para encontrar cualquier trmino en la sucesin.

Respuestas.

a) Sumar 3 al trmino anterior y el primer trmino es 4.

b) 113.

d) 137.

Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos consideren que la regla algebraica es ms difcil de utilizar que la regla verbal; si fuera el caso usted puede preguntarles cmo utilizaran cada una de las reglas para encontrar el trmino que est en el lugar 1 350. Con este ejemplo se espera que los alumnos identifiquen la utilidad de la regla algebraica.

Propsito de la actividad. Que los alumnos conozcan una forma de establecer la regla algebraica de una sucesin.

Se comparan los trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 3n con los de la otra sucesin (1, 4, 7, 10, 13, 16, ), esto se hace con la finalidad de establecer la operacin que permite pasar de un trmino de la primera sucesin, al trmino que le corresponde en la segunda sucesin y de esta manera encontrar la regla algebraica para obtener la segunda sucesin. En este caso la operacin que se debe hacer es restar 2 y entonces la regla algebraica para obtener la sucesin 1, 4, 7, 10, 13, 16, es 3n 2.

Es posible que algunos alumnos hayan encontrado sus propios procedimientos para obtener la regla algebraica. Se sugiere que pida a esos alumnos que pasen al pizarrn a explicar sus procedimientos.

Respuestas.


b) 3n.

c) Restar 2.

d) 3n 2.



17

IIMATEMTICASIII.Observa el diagrama y responde las preguntas.

5, 10, 15, 20, 25, 30,

6, 11, 16, 21, 26, 31,

a) Cul es la regla algebraica para obtener la primera sucesin?

b) Cul es la operacin que debemos hacer para pasar de cada trmino en la prime-

ra sucesin a su correspondiente trmino en la segunda sucesin?

c) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 6, 11, 16, 21, 26, 31, ?

d) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin 15, 10, 5, 0, 5, 10, ?

Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar las reglas algebraicasy encuentren la regla verbal y la regla algebraica para obtener la sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14,

A lo que llegamosEn las sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecu-tivos es una constante, podemos dar la regla algebraica multiplican-do el lugar del trmino por la diferencia de los trminos consecutivosy sumando o restando una constante adecuada.

Por ejemplo:

En la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , la diferencia es de 5.

Para encontrar la regla, sabemos que para pasar de cada trmino en la sucesin que se obtiene con la regla 5n, a su correspondiente trmino en la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, , debemos restar 13.

Entonces la regla para obtener la sucesin 8, 3, 2, 7, 12, 17, es 5n 13.

MAT2 B3 S18.indd 17 9/10/07 12:28:31 PM

Propsito de la actividad. Que los alumnos comparen la sucesin que se obtiene con la regla 5n con dos sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos consecutivos es 5, de esta manera lograrn obtener la regla algebraica de cada sucesin.

En la confrontacin grupal usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a hacer el diagrama para comparar la sucesin que se obtiene con la regla 5n con la sucesin 11, 6, 1, 4, 9, 14,

Respuestas.

a) 5n.

b) Sumar 1.

c) 5n + 1.

d) 5n 20.

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos apoyndose en el ejemplo que se muestra. Posteriormente usted puede proponer otra sucesin para que identifiquen la diferencia entre los trminos consecutivos y para que establezcan la regla algebraica.



Respuestas.

a) 492.

b) No.

c) S.

d) 142.

e) Est en el lugar 28.

Una forma de averiguar si un nmero est en una sucesin determinada, es por medio de estimacio-nes: a partir de un trmino que ya se conoce de la sucesin y que sea cercano al trmino propuesto. Para obtener el lugar de un trmino, se puede proceder tambin por aproximaciones; otra forma es recurrir a la misma regla para despejar a n, por ejemplo, para encontrar el lugar del trmino del nmero 132 a partir de la regla 5n 8, se suma 8 y luego se divide entre 5.

Sugerencia didctica. La sucesin que se obtiene con la regla del inciso c) tiene nmeros decimales; es importante que los alumnos practiquen el manejo de estos nmeros al obtener la sucesin.

Respuestas.

a) 19, 11, 3, 5, 13, 21, 29, 37, 45, 53,

b) 18, 11, 4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45,

c) 2.5, 0.5, 1.5, 3.5, 5.5, 7.5, 9.5, 11.5, 13.5, 15.5,

18

secuencia 18iV.Para la sucesin que se obtiene con la regla 5n 8:

a) Cul es el trmino que est en el lugar 100?

b) El nmero 500 est en la sucesin?

c) El nmero 497 est en la sucesin?


e) En que lugar de trmino est el nmero 132?

Comparen sus respuestas.

Lo que aprendimos1. Encuentra los primeros 10 trminos de las sucesiones que se obtienen con las si-

guientes reglas:

a) Sumar 8 al trmino anterior y el primer trmino es 19

b) 7n 25

c) 2n 4.5

2. Responde las preguntas para la sucesin 23, 16, 9, 2, 5, 12,19,


b) Cul es la regla algebraica para obtener la sucesin?

c) La regla verbal para obtener esta sucesin es sumar al trmino an-

terior y el primer trmino es

d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 78?

e) En qu lugar de trmino est el nmero 201?

3. Responde a las preguntas sobre la siguiente sucesin:

2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5,


b) Expresa la regla algebraica para obtener la sucesin.

c) Cul es el trmino que ocupa el lugar 25 en la sucesin?

d) Cul es el trmino que ocupa el lugar 278?

e) Qu lugar ocupa el nmero 101.5 en esta sucesin?

MAT2 B3 S18.indd 18 9/10/07 12:28:31 PM

Propsito de la actividad. Que los alumnos trabajen con sucesiones en las que la diferencia entre dos trminos sucesivos es 1, por lo que en la regla algebraica la n aparece sin coeficiente, al estar multiplicada por 1.

Respuestas.


b) n 3.5

c) 21.5

d) 274.5

e) El lugar 105.

Respuestas.


b) 7n 30.

c) Sumar 7 al trmino anterior y el primer trmino es 23.

d) 516.

e) En el lugar 37.



19

IIMATEMTICAS4. En la columna de la izquierda se presentan los primeros trminos de algunas sucesio-

nes y en la columna de la derecha, algunas reglas. Relaciona ambas columnas.

Trminos de la sucesin Reglas

( ) 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4,

( ) 7, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 21,

( ) 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17, 22,

( ) 11, 7 3, 1, 5, 9, 13, 17,

( ) 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19, 24,

( ) 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6,

(a) 5n 13

(b) 2n 12

(c) 4n 15

(d) 2n 8

(e) 4n 7

(f) 5n 16

(g) 4n 11

(h) 5n 18

(i) 2n 10

DE MAYOR A MEnORPara empezarEn la sesin anterior, encontraste reglas para sucesiones en las que los trminos iban au-mentando. Ahora trabajars con sucesiones en las que los trminos van disminuyendo.

Encuentren los primeros 10 trminos de la sucesin que se obtiene con la regla 4n.

Cul es la diferencia entre dos trminos consecutivos de la sucesin?

Consideremos lo siguienteCompleta la siguiente sucesin de nmeros:

6, 2, , , 10, , 18, 22, , , ,


b) Escribe una regla para encontrar el trmino en el lugar n.

Comparen sus respuestas. Comenten cmo hicieron para encontrar la regla y la diferen-cia entre dos trminos consecutivos.

SESin 3

MAT2 B3 S18.indd 19 9/10/07 12:28:32 PM

Propsitos de la sesin. Construir sucesiones de nmeros con signo a partir de una regla de la forma an + b, con a < 0. Obtener la regla algebraica que genera una sucesin de nmeros con signo de este tipo.

Propsito de la actividad. Que los alumnos exploren una regla algebraica en la que la n est multiplicada por un nmero negativo. Se espera que los alumnos generen la sucesin numrica que se obtiene al aplicar la regla 4n ; esta sucesin ser importante para elaborar, posteriormente, la regla que permite encontrar el trmino en el lugar n.

Sugerencia didctica. Para obtener la diferencia usted puede pedir a un alumno que pase al pizarrn a realizar la operacin:

(8) (4) = (8) + 4 = 4

De esta manera, adems, podrn recordar cmo se hace una resta de nmeros negativos.

b

g

h

c

f

i

Propsito de la actividad. Proponer la regla algebraica para obtener una sucesin en la que los trminos van disminuyendo.

Posible respuesta. Algunos alumnos podran escribir Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6. Si bien esta regla es correcta, lo que se pide es el trmino en el lugar n y esto debe hacerse con una regla algebraica; no obstante esa regla verbal es aceptable por el momento.

Posibles errores. Algunos alumnos podran considerar que la diferencia es de 4 y que la regla es 4n + 2. Otros ms podran considerar que la diferencia es de 4, pero pueden proponer reglas incorrectas: 4n + 2 o 4n 2. Durante la confrontacin grupal puede pedirles que pasen al pizarrn a escribir los primeros trminos de la sucesin que se obtienen con estas reglas e invitarlos a que discutan cules reglas son vlidas y cules no.

Respuestas.

6, 2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,

a) 4.

b) 4n + 10.

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40

4



Propsito de la actividad. Identificar que hay tres reglas posibles para obtener esta sucesin: dos reglas verbales y la regla algebraica. Durante la sesin se utilizan reglas verbales del tipo sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es, para que identifique que, en estas sucesiones, la diferencia entre dos trminos consecutivos es 4 y en la regla algebraica se multiplica la n por 4.

Respuestas.

Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 6.

4n + 10.

Sumar (4) al trmino anterior y el primer trmino es 6.

Propsito de la actividad. Que los alumnos expresen la regla verbal para obtener una sucesin en la que los trminos van disminuyen-do y que encuentren la diferencia entre dos trminos consecutivos de esa sucesin.

Respuestas.

a) Van aumentando.

b) 4.

c) Van disminuyendo.

d) Restar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 14.

e) Sumar 4 al trmino anterior y el primer trmino es 14.

f) 10 14 = 4.

20

secuencia 18

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Maestro Mate Matic as 2 Vol 2