���������� ��� ��������
��� ������ �� ��� ���������������
��������������������� ��
��������������������
�������
���������
����������� ��� ����������� �������������������������������� ������ ����������������������������������
������� ����������� ���������������������������� ���� �� ������������ ������ �������
���������������������� ����������� ���� � ������������� ���������� �
!���� ���� ������������������������� ���� � ���������������� �����������������"
� ���� ����������� ������������#�� �� $�����������%�����������#� ������������� ������� #& �����
� ��������������� � ����� ��'������ ���� (
������#� �������� �� ������� �����#���������� � �#�������
�� ������������� #� � ������������#����� ���� ������� � ����� �'����"���$� ����� ����(�
������ �� ������� �����
�
�
!���� ����������������� ��� ���������� ���%������� ������� ����������� ������
) �� ����� ����%���������������������� ������ ���� � ��������� �������� �'����� �(������������������%����
�� �������� ������������ ������������ ������� ������� �������������������
* �������� ����� ����������� ������������� �������� ���� � ����� ������������ ��� ���������������� ����� ��
� ��� ��� ����� ���� ���� ��
+������������� ���������� ����� ��!���� ����������� ��������� �������� � ������� ��,���������������
������� � ��������������������������"
�������� *�� ���������� ����������� ���������������� ��� ������� ��� ���������� ����� �� ����������
-���������� ������������������ �������� � ���� ���
. �������� ����������������� ���������������� ���'�%��� (��������������������� ���� ���� �
� ����
� � �� � ����
� � �� � ����
. �������� ����������������������� � ���� �� ���� �� ������������/��$�����������������������
���������� �� ��������� ����������
. �������� ��������� ���� ��� �� �������%�������� ����������������� �
. �������� ����������������������������������� ��������������
���� ��������������$�����������$����� ���������������� ���������� � ������ ����������������
����������� ���� � ������� ������������� ������������ ��� ����%��������������� � ����
!���� ������������������ ������� ����������������������
) �� ��� ������ ������������������������ ������$�� ��� �$������ ���������������� ���� �
� �� �������������������������������������� ��������� �������� ���������������� ����������������������������������
*����������$������ ��������������������������������� ��������
�
������ ������������� ���������������������������
�������������������������������������������� ���������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
������� ��������� � ����������������������������� �������������������������������
������������������ �������������� � �� ����������������������������
������������������ �������������� � ��!���� ��� �������� �������������������������������������
������������� �� ����������������� � ���������� ���������������������������������������
�������� �� �������� ���������� �������������������������������������
"���������������������������!�������������������������������������
�
�
��
����
��
��
��
�
�
�
�
�
�
�
"��������� � ��������������������������� ��
���� ��� �������� ���� �
#$%&�'()('�*�)*&$�
�
��������������������������������������� !�
��������
23 4 2; 4 2 6,5 9 :3⋅ + − ⋅ + �������� �� ���� �� �
2 333 2; 5 ; ; 3 2 1;
2 4
yx x a b x y z+ − − + −
4 1; 2
1
xx
x
−+
�������� �� �� ������� �
����� �� �� ���������� ���������� ��
������ ����� � 2x ����������� �� ������� �
�� �� � 2 32 43 2; 5 ; ;
2 3 3
yx x a b+ − �����
���� �� ��������������� �������������
0� � �� �� ������������� ������� ������� �
�1�� ���������� ���������� ������2
,3
�����
������ �
4 1
1
x
x
−+
��������� �� ��%����� ���� �� �
�� �� ��� ����������� ������� �������������
� � ( ) ( ) ( ), ,A x B x C x � ���
� ���������������������������������������
�����������������������������������
����� ( ), ,...,A x y z ����� ( ), ,...,B x y z ���������
�������� ��� ������ ���� ����� ����� � ���� �
���������� ��� ��� ����� �� � �������� �����
( ) ( ), ,..., , ,...,A x y z B x y z= ������
������������� ��
����� ( )A x � ���� ( )B x � ���� ��������� ��� �����
���������������������������������������� �
�������������������� ������ ( ) ( )A x B x=
������������������������������ ����������
!������������������������������������������� ����������"�� �������#������������������������������������������
������������������������
$������������������% ���������"�� ��&����������'����������������% �����&
� (������������ �������������������������������������������������������������#
��� 2 3 5;x x− = + ��3 2;x y− = ����������� 3 2 4;x y z− + = )�� 2 8 ;x x x− = +��� 6;x xy− = ��� 3 2 2 5 0.x x y− − =
���������������������� ��������������������������������*�)��������������������������������������������������������������������� �$�������������������#��������)�*����������������������#� ������������*������������������������ ��������
�������� ���������������������� �����������
���������������������������������������������������������� ���� ������������������������
���� ���
+��� ��������������������������������������������������������������������������������������
(��������� �������������������+����������,
-���������� �����������������������������������������
�
.�� ������������������� ���������� ������������������������'�������� ��������������������"�������
+��������������������������������� ������ ( ) ( )A x B x= �������� ����������������������������
���������������������������� �����
/������� ����� 4x = ��������"�������� ������� 2 8 ,x x x− = + ����� 24 4 8 4− = + ������� ������������������
0��"���������� 2x = − ��������"����������
0���"��������� �����������������������������"������"�������������� � �� ������������� ���������������������������� �����
1������"����� ��������������������������������������������������������������� ��������������������
/������� ��������'����������������������������������������������� ������������������������� ���������
����������"�����������������������������
2��������� ������������������ �������������������������������������������������������'����
��� �������������� �0���'������������������ ��������������������� �������������������
�����������������������������
������������������������� ������� ( ) ( )A x B x= �������������������������������������� ( )P x ���
�����������'������������"������������������������������������������'������ ��������������������
��������������� � ��
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).A x B x A x P x B x P x= ⇔ + = +
/���������������������#
������+����������� ������������ ������������� �������������������������������� �����������
������������������������������
��������������������������� �������������������������� ���������������������������������
� � �� �����������
�
0����������������������������"����������� ������������������������������������������"������"��������� ��������
� 2"����� �����#�����3 4 2 5;x x− = + �� ( )( ) 22 3 2.x x x− − = +
������������$��� ������#�+���������������"������������������������� ������������������������������������������������������������
3 4 2 5 3 2 5 4 9,x x x x x− = + ⇔ − = + ⇔ = ����� 9x = ��������"�������� ��������������
�
� 2"����� �����#
��� ( ) ( )5 3 2 2 3 ;x x+ = + �� ( ) ( ) ( )2 1 3 1 4 1 1;x x x+ + − = + +
��� ( )( ) 21 2 2 2;x x x x− + + = + )�� ( ) ( )21 3 2.x x x− = − +
���������������������� ������� ( ) ( )A x B x= ���������������������������������������������( )0p ≠ �������������� ( )P x ���������'�����������������������������������������������������������
�������������������'������ ������������������ ��������������� � ��
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).A x B x A x P x B x P x= ⇔ ⋅ = ⋅
/������������������)�,������'���������"������"����������� ������������#
����������������������� ������� ( ) ( )A x B x= �������������� 1,− ���������������������������
����������������
��������������������� ��� ������� ( ) ( )A x B x= ����������������������������������� �����
��������� �����������!3-/���������������������'������ �����������������
� 2"����� �����#����� ( ) ( )3 2 4 2 3 2 3;x x x− − + = + ������������ ��3 1 2 2
.4 3 6
x x x− + +− =
��������
��3 1 2 2
4 3 6
x x x− + +− = ���� � ��������������������������2.3'4�5�6(789�
( ) ( ) ( )3 3 1 4 2 2 2x x x⇔ − − + = + �����������������
9 3 4 8 2 4x x x⇔ − − − = + ��������� ��������������� ������
9 4 2 4 3 8x x x⇔ − − = + +
3 15 /: 3x⇔ =
���������� ����� �������
�������������������� ����������� ������� !�!��!��4�����
�������������"���������������)������������������� ���
5x⇔ = ��������"�������� ������
�� ( )( ) 22 3 2x x x− + = + �������� ��������� �"������ ���� �������� ��� ����"� ������������
#� ( ) ( )A x B x= ���������"��� ����������� ��� �!2 23 2 6 2x x x x⇔ + − − = + ��������� ������ ����� �������� ���� ����� �������������������� !
3 2 6 2x x⇔ − − = ��������� ���������
3 2 2 6,x x⇔ − = +8x⇔ = �������������������������!
��� ��� ����������)�+����)�,��� �������������������������� ������������������������������������� ��
������ ������ �� ����������� ��� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ������� ���� ���� ���� ���� ������ ����� �
����� �����
�
��������
) ��� ���� ,ax b+ ������� �������� ����� ���� ���#��� ��%� ����
:������� ��%� ������ ��� ����� ������� �$"
��� 2 4;x − ��������� ��1
3 .2
ax −
;��$���� 3 2x x− = ������� ��� ������ ����$���23 4 5x x+ = ������������
� � 5���������� �����
( )( ) 22 1 2 2 3.x x x− + = +6����� ���������� �� �������� ���� ��� "������������ �������������������� ������
���������( )( ) 22 1 2 2 3x x x− + = + ⇔2 22 4 2 2 3x x x x⇔ + − − = + ⇔
3 5 0.x⇔ − =
���� ���
������� 0ax b+ = �������'������������ �������������������� ����������������������������*������������������������������'������������������������������������������������
� 2"����� �����#�����2 2 3
1;3 6
x xx
− −− = + ������������ �� ( )( ) ( )3 2 3 .x x x x− − = −
+��� �����������������������'����������'����������"�������
�����������������������
� $��� ������ �������������� ����������������������������������� ����� ���"����� ������������� ������#���� ;5 dhe
65
62
43 =−=−−−
xxxx ������������������������ �����7���87�9���87��������9�7
2"����� �����#�����3
2 1;2
xx
−− + = ������� �� ( )3 2 3 4 ;x x+ = + ���������� ( )2 6 2 3 .x x− = −
�������
���3
2 1/ 22
xx
−− + = ⋅
2 4 3 2x x⇔ − + − =
3 9x⇔ =3.x⇔ =
�� ( )3 2 3 4x x+ = +
3 2 3 12x x⇔ + = +3 3 12 2x x⇔ − = −0 10.x⇔ ⋅ =
��� ( )2 6 2 3x x− = −
2 6 2 6x x⇔ − = −2 2 6 6x x⇔ − = −0 0.x⇔ ⋅ =
������2"�������� ������������������ 3.x = ���������� ���������"���������������������������������
��������������"�������������� ��� ������������ �2"�������� ������������������)'��������������������
����)������������������������ �������������������� �/������� ������ 0ax b+ = �������"������������
����"����������������������������������
�(�10 2 4;x − = �(�� 7 9 4 3 8 ;x x x x− − = − −
%(�2
1;3
xx
− = + ��� (� ( )( )23 3 2 1 8.x x x− − + =
<����������$�� ��( )3 6 :−
�
�(� ( ) ( )22 2 2;x x x− = + −
�(�( ) ( )2 21 1 4;x x+ − − =
�(� 3 2 42;
3 2
x x− −− =
�(�14 1 2 3 3 4
.15 5 3
x x x− − −+ =
�(�4 3 3 1 5 1 1
;2 4 3 2
x x x− − +− = +
�(�2 2 9 2
.3 2 3
x xx
− +− − =
�
�
�
:�����%���� �����$�� � �������������$������ ���
� �� ������������ $������ �� �� %���� ���$��������
�� ���� �"
�(� ( )3 6 5 2 ;x x x− = − −
�(� ( )2 3 2 4;x x− + = −
%(� ( )6 77 6 1 ;x x+ = − − ������ (�1 5
1 .5 5
xx
++ =
�
3��%������� ����������������$���
( ) 23 3 :m x m m− = −
�(����$������ ����� �� =
�(������������������ =
%(����������������$������ >
���� ���
������������ 0 :ax b+ =
������� 0a ≠ �����"��������������� ;b
xa
= −
������ 0a = ����� 0b ≠ ��������"��������� � �� ������������������������������*
������� 0a = ����� 0b = ��������������0 0,x⋅ = ������"������������)��������������� � �� ��������'�������"�����
/������������� �������������"���������������������"�����#����� ( )3 3 2 1 ;x x x− = − −
�� ( )2 3 4 2;x x− + = − ����������� ( )6 7 6 1 ;x x x+ = − − )��2 1 1
1 .2 3
xx
− − = −
�� ���
�(�8 3 4 5 4;⋅ − = ⋅ ������������(��0 5 0 5;⋅ = −
%(�( ) ( )5 3 15;− ⋅ − = − (��15 9 5 3
.6 2
− −=
3����%�������$����������������"�
:���� �����$�� � ������� ������ �� "�
�(� 2 23 12x x x+ = + ��� � 3 12;x =
�(� 22 6x x= ��� � 2 6;x =
%(� 83 5
x x+ = ��� � 15?x =
�
������������������������������
��������
���������������������� ��������$������������ ��"
� ����������������� ��������������� ���
��������������������������������������������$���
��������� ��"���� ��'���$�������������������(������
'���$���������������������(������� �'���$�������������
���� ��(� ����
����� ������ ��� ��� �������� � �� � ��������� ��� ��
�������� �%������������ ����$����"
�(�3 2 6;x − = �(�2 3;x y+ =%(� 2 2 3;x x= + (� 2 3 0.x xy+ − =
� � !�����������������������������
����� ��� ���������� � ����������� �� ���� ��������������������������#
2"��������� �����������)'���������"��������:��:;����7��:<����4��:=��� ���:;��:���"���������:;�"�����
19,x y+ = ���� , .x y ∈�
-�������)'�����:��:;�������:;��:������������ ��� �����
� � �� � ( ) ( )1,18 18,1 .≠
��������'����� 19x y+ = ����������������������������
���� ���
�������������� ,ax by c+ = �������������������������������������������������������������������������
������������������������������������'������������ ���������������������������� ������������� ���������� �������������������������������� ����� ������
+���)'������"�������������������� ( )0 0,x y ������������ ������ ax by c+ = �������� �������������������� 0 0ax by c+ = ����������������� �������������� �������� ������������)'�����������"�������������������������������������� ������
0���������+� �����������"�������������� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,18 , 2,17 , 3,16 , 4,15 ,..., 18,1 .M =
� /�����)'������"������#�������( )4, 6 ;− ������ ��( )5,3 ����������"�������� ������
12 10.
3x y− =
��������� �������������������������������������� �/��� 5x = ����� 3y = �����1
2 5 6 10,3
⋅ − ⋅ = �� � ��
8 10,= ��������������� ������������������������ ������ �.���������)'�� ( )5,3 �����������"�������
������
� (��������'�������� ������#����� 2 3 5;x y− = ��1
0.2
x y+ =
���������������������� ,ax by c+ = �������� 2, 3, 5.a b c= = − = �� �� 1,a = �1
, 0.2
b c= =
�����������������������:> �!���"���������������,
��
2 31/ 6
3 2
x x y− ++ = ⋅
( ) ( )2 2 3 3 6x x y⇔ − + + =
4 6 3 3 6x x y⇔ − + + =4 3 3 6 6x x y⇔ + + = +
7 3 12.x y⇔ + =
���� ��������������������������2.3( )3,2 6.=
I kryejmë operacionet e shënuara.
I grupojmë anëtarët e barazimit.
I mbledhim monomet e ngjashëm.
� !����������'���������������������������������� �����#
��� 2 3 3 4;x y x y+ − = + − �������� �� ( )( )3 2 1 ;x y xy− − − = ������������ ( )( )1 3 4 3 .x y x− − = −
�������������� 2 3 3 4 2 3 4 3 2 1;x y x y x x y y x y+ − = + − ⇔ − + − = − + ⇔ − = −
�� ( )( )3 2 1 2 3 6 1 2 3 5 2 3 5.x y xy xy x y xy x y x y− − − = ⇔ − − + − = ⇔ − − = − ⇔ + =
� � (������"��������� �������4 6x y+ = ����� { }2, 3, 2 .y ∈ − −
���������/��� 2y = �����4 2 6 4 6 2 4 4 1.x x x x+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = �.���������)'���� �����������"�����
+��� ����������������������'���������� ��������������������� ���������������� ,ax by c+ = ��������������������)�+�����)�,�������������������
��������
!���������� � ���������� �������� �������� ��� �����$�� �� ������ �� >
� .�� ������������������������������������������ ����������� ���������
������ �����'���� ���� ������� ��� ��� ����� ���"�������
� 0���'���������'������������ ������2 3
1.3 2
x x y− ++ =
��������
��� ( )( )1 3 4 3 3 3 4 3 1.x y x xy x y x xy y− − = − ⇔ − − + = − ⇔ − =
��������������������������������������������������'����� .ax by c+ =
12 , 3
4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
��������"�������� ������
(������"�������� ����������� 2.y = − �2"������������������������������������"�������� ������ +��
���'���,
-��������� �������������ax by c+ = ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �����������������"�������� ������
�� ������ �/��� 3y = − ����� ( ) 9 14 3 6 4 6 3 2 ,
4 4x x x+ − = ⇔ = + ⇔ = = ����������)'�
��
� (����� �����������"����������� �������7��8���9�4* ., Ryx ∈
���������2"������)'����������������������������� �/������� ���� 2.x = �?����������
2 2 3 3 4 1,y y y⋅ + = ⇔ = − ⇔ = − �����)'��( )2, 1− �����������"�������� ������
/��� 1,x = − � ( )2 1 3 3 2 5,y y y⋅ − + = ⇔ = + ⇔ = �����( ) ( ), 1,5x y = − ��������"�������� ������
������"�������������������)'������������������ � �� ���9��� Rk ∈ ��������� 2 3 3 2 ,k y y k+ = ⇔ = − ����
�����������"����������� ���������������7���94�9@���4�7���� Rk ∈ A
���� ���
������������ax by c+ = ������'����������"���������#
+�� 0a ≠ ����� 0b ≠ ��������������������,�� 0.a b c= = =
������������������"���������"���������������������������������� �/������� ���������� 1y = − ����
( )2 1 3 2 3 1 2,x x x+ − = ⇔ = + ⇔ = �����)'��( ) ( ), 2, 1x y = − ��������"�������� ������ �������"������
������������)'������������������ � �� ������ Rn ∈ ��������
�3
2 3 2 3 ,2
nx n x n x
−+ = ⇔ = − ⇔ = ����� �����������"����������� ������������
{ }3(2 3) ,
2
nN x y n n R
−⎛ ⎞+ = = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
������������"�������� ��������� �������2 3x y+ = ������������������������������������������� ������
��)'�����������"��������������� ��� ����
(����� �����������"����������� ������#
��� 4 2;x y− = � �� ( ) ( )2 1 2 1 ;x y x− + = + ������ ( )2 3 2 1 ;x y y+ − = + ���)�� 2 3 2 .x y x y− = + −��������
+��� ��������������������'����� .ax by c+ =
�� ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 0 3 0 3.x y x x y x x x y x y x y− + = + ⇔ − − = + ⇔ − − = + ⇔ ⋅ − = ⇔ ⋅ + = −
-������� 0, 1, 3,a b c= = = − ������������������������������ � �� �B9�� Rk ∈ ���������������������� 0 0x⋅ =������� 3,y = − ����� �����������"���������������9@����4�C Rk ∈ A
)�� 2 3 2 2 2 3 0 0 3.x y x y x x y y x y− = + − ⇔ − − + = ⇔ ⋅ + ⋅ = �-���� ��� 0, 3,a b c= = = � ���� �����
�������"�������� � �� � .M = ∅
����� 0,a b= = ������� 0,c ≠ ��������� �������������"�����
��
�� ���
�(� 5 3;x y+ = − ������������(�� 7 10;y x− =%(�9 2 ;y= ����������� (�3 5 0;x − =�(� 22 3 4;x y− = ������������ (� 4?x xy− =
:���� �����$�� � �������������������$������ ���
�������������"
�
?��������������$����2 3 4.x y+ = �:���� �� ��� �
�����������������$������ � ����$�������������"�
�(�( )1, 1 ; ���������(�( )1, 2 ;− ��������%(� ( )3, 1 ;− (�( )5, 2 ;− �����(�( )1, 2 ?−
!�������� �� ���$�� � � ������ � ��� ������
��������� �'��� ����� �("
�
�(� ( )3 2 3;x y x+ = −�(� ( )( )3 2 3 ;x y xy+ + − =
%(� ( ) ( )3 2 4 ;x y x− = −
(�3
2 ;4 3
x y x yx
+ +− = +
�(� ( ) ( ) 12 1 3 1 .
2x y x+ − + = +
��������
y ax b= + ���� �� ��������� ��� ������������� �
����������'�� ����� ���(����� ����� ������������
���
0�$������������ �����������
2 1.y x= − +
,���������������������� ��������� ���$�
� (����� �����������"����������
������� 2 0,x y+ − =���������������������"��'�����������������������������������
��������� ���������������������������������
2 0 2 2.x y x y y x+ − = ⇔ + = ⇔ = − + ��������9��� Rk ∈ ��������� 2,y k= − + ������"�������� ������
������ ��������������79D�9@��� �87�� � Rk ∈ A
/������� ��������� ( )1: 1 2 1 2 3,k y= − = − − + = + = �����)'��( )1, 3− ��������"�����*
���� 0 : 0 2 2,k y= = + = �����)'��( )0, 2 ��������"�����
-���� ������ ������ 2 0x y+ − = � ������ �������� '����� ����
2y x= − + �"��'���������������������������������
1−2−3−
1−2− 8 9
8
95
5@
�
�
�
� 1− � �
� � �
+'������������������ ��������� ���������"��������� ����������������������
���������������������"��'�������'������ 2.y x= − +
6�������������������������"��'���� ���'������a c
y xb b
= − + ����� 0b ≠ � �����"��������� ������
,ax by c+ = ����� .a c
ax by c y xb b
+ = ⇔ = − +
�� -�����"��'�����'���������������������������� �����#
��� 2 4;x y− = ������� �� 2 0;x y+ = ���������� ( )2 2 4;x y x− = + ������)�� ( )3 3 1 .x y y+ = +(����� �����������"�����������)������������ ����������������
��
?��������������$����2 3.x y− = �:�����$������ ��
���$�������� "
�
�(� 1;x = �(� 2;x = −%(� 1;y = ���������������� (� 2.y =
:���������������� �$������ � �������$�����"�
�(� 2 3;x y+ = �(�1
3;2
x y− =
%(� ( )2 1 3;x y+ − = (� ( )2 3 3 1 ;x y y− = −
������� ���������������������������������
��������
;��$���� 2 5x y+ = ����������$������ ��� ������
��������
*�����$�� ���� � �� �������������������� ������ ��
��� ���������������������������������$������� ���������
��������������$������ � �
!��� ������ �������������� � �� ( )0 0,x y ��� ��
���$���ax by c+ = �������������$������ �����������
0 0ax by c+ = ���� ��$������ � ����$�����
� E��������� 1 1 1a x b y c+ = ����
2 2 2a x b y c+ = ����� ������������������
�����������
���� ���
$�������������������� ���������������������������������������������������� ������ ��������������������������������������������
��������� �� ��� ��������� ������ ��� ������������������������������������������"���������� ���������������� ���� ���������������������������� ������������
+����������������� �����������������������������������������������������������������������������
��'�����1 1 1
2 2 2
,a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
�����������'������������ ��������������������������� �/���������
�����������������������������������������������������������������������'������������������������������
�����������������������
F����������������������������� �����������������'���������������'�����������������������������)�+�)�,�����������������������������������#
���������������� ������������������������ ���������������������'������������� ��������
�������������� ������������
�(� ( )2 2 2 2 .x y x− − + =
0�$������������ ���������������%������� ����$����"�
�(�2 1;x y+ = �(�3 6 0;x y− + =
%(�2 4 8 0;x y+ − = (�2 3 0;x − =�(� 2 0.y + =
��
+���)'������"��������������������( )0 0,x y ������������ �������������������������� �������������
��� ��� ����� 1 0 1 0 1a x b y c+ = ����� 2 0 2 0 2a x b y c+ = �������������������� ���
� /�����)'������"�������( )2,3− ����������"������������������ ���������#
���5
;2 2 1
x y
x y
− = −⎧⎨ + = −⎩
��2 4
;3 5 9
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
���2 3 3
5 1.
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
���������$��������������� 2x = − ����� 3y = ���)�������������������������������#
��� ( )2 3 5 5 5 5 5
;2 2 2 3 1 4 6 1 2 1
− − = −⎧ − = − − = −⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ − + ⋅ = − − + = − = −⎪ ⎩ ⎩⎩
�� ( )2 2 3 4 2 6 4 4 4
;3 2 5 3 9 6 15 9 9 9
− + ⋅ =⎧ − + = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ − + ⋅ = − + = =⎪ ⎩ ⎩⎩
���( )2 2 3 3 3 4 9 3 13 3
2 15 1 13 1.2 5 3 1
⋅ − − ⋅ =⎧ − − = − =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + = =− + ⋅ =⎪ ⎩ ⎩⎩
.���������)'��( )2,3− ��������"����������������
� �/���)'��( )2,3− �����������"������������������
��������������,
� !������������'����������"���������������������'�����#
����( )( )2 3 2
;2 3
x y xy
x y
− + = −⎧⎪⎨
+ =⎪⎩ ���
( )
22
3 21
3 2 .2
x y xx
x y x
−⎧ − =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎩
���( )( )2 3 2 3 2 6 2 3 2 6 2 3 2 4
2 3 2 3 2 3.2 3
x y xy xy x y xy x y x y
x y x y x yx y
− + = −⎧ + − − = − − = − − =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = + = + =+ =⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩
��
( )
( )( )
22 2 2 6 2 3 11 2 03 2
10 6 1.1 6 2 2 13 2
2
x y xx x y x x x y
x yx y xx y x
−⎧ − =⎪ − − ⋅ =⎧ + =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ − =− + ⋅ = ⎩⎪⎪ ⎩− + =⎪⎩
6��'���������#� 1 1 1 2 2 23, 2, 4, 2, 1, 3.a b c a b c= = − = = = =
6��'���������#� 1 1 1 2 2 211, 2, 0, 10, 6, 1.a b c a b c= = = = = − =
� !������'�������������������� �������#
���
13 2
2 ;
22
x y
xx y
⎧ − = +⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
��
( )( ) ( )2
31
2 3
1 1 2 1 .
x y yx
x x y x
− −⎧ + = −⎪⎨⎪ − + − = −⎩
��������
��
� 5����������������� ��������#�����2 1
;1
x y
x y
+ = −⎧⎨ + =⎩
������� ��3 5
;2 3 4
x y
x y
− = −⎧⎨ + = −⎩
����������3 5
2 3 4.
x y
x y
− = −⎧⎨ + =⎩
/�����)'��( )1,2− ���������"����������
0���"�����������������������������������������"������"�����������
.����������������� ��������������������������������������������� ���������� ��������� ��� ���������"�������
� G�����������������2 4
3 5 6
x y
x y
+ =⎧⎨ = +⎩
�������2 4
3 5 6.
x y
x y
= −⎧⎨ − =⎩
���/�����)'�� ( )2,0 ����������"����������������������� ��������
��!������� �����������������������'����������"������� �+�������,�!������������,
���� ���
������������'������������������������������������ ����������������������'���������������
������������'������ ,x k
y p
=⎧⎨ =⎩
���������)'������"������� ( ) ( ), ,x y k p= ��������"����������������������
� 2"������������� ��������#����������( )3 2 2 3
;2
x y x y
y
− = − +⎧⎪⎨
=⎪⎩��������������� ��� ( )
3
3 2 5 3.
x
y x
=⎧⎪⎨ − = +⎪⎩
2"����� ����( )3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3
2 2 2,2
x y x y x y x y x x y y x
y y yy
− = − +⎧ − = − + − − + = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨= = ==⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩
�����"���������������������)'�� ( ) ( ), 3,2 .x y =
��3 3 3
3 5 3 9 3 9 15 8.
x x x
y y y
= = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− ⋅ = = + =⎩ ⎩ ⎩
.����������"���������������������)'�� ( ) ( ), 3,8 .x y =
� 2"������������� ��������#���������� ( )2
;2 3 2 6
y
x y
=⎧⎪⎨ − + =⎪⎩
��������������� ���( )( )
3 1 2 3
2 2 1 4.
x y y
x y x
− − = −⎧⎪⎨
+ − = −⎪⎩
��
�� ���
������ ��������������� ����� ���� ����$�� �
( )1 4 :−
�(�2 5 2
;3 2
x y y x
x y
− + = −⎧⎨ − = +⎩
�(��5 2 3
2 4 5 .
x y x
x y x y
− + = +⎧⎨ − − = − +⎩
�
�(� ( ) ( )2 3 5
;3 2 2 3
x y y x
x y
− = − −⎧⎪⎨ − = +⎪⎩
�(��( )
( )2 3 5
3 2 4 2 5.
x y y x
x y x y
⎧ + = − +⎪⎨
+ = − −⎪⎩
�
�(�2
2 3 ;
02 3
x y
x y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
������������(��1
;6 92 3 4
x y
x y
⎧ − = −⎪⎨⎪ − =⎩
%(�15
36
.5 5
x yx
y xy
+⎧ + =⎪⎪⎨ −⎪ − =⎪⎩
�
�(�( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1;
1 2 3 2
x y x y
x x x y
⎧ − + − = + −⎪⎨
− − − = − +⎪⎩
�(��( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2
2 1 2
3 2 2 3 .
y y x y
x y x y x y
⎧ + − − = −⎪⎨
+ − = − + + +⎪⎩
�
A�������� �� ��������$�� � ���� � �� ������
���������������������( )5 7 :−
� ������ ��������� �������=H����� ��������������
������HD�
� ������47� $���� � � ��� ������ ������� ������ ��
��� �������������������$�� ��� �B����� ���������
5������ ������� ������������
� ������������ ���������� ����������!"#�������I7��
��� �������������������� �� �������:;��
3����� ������� ��������������"
�(�( )3,2 �$������ � ����� ����2 3
;5
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
�(�( )2,1− �$������ � ����� ���
2 3;
2 0
x y
x y
+ = −⎧⎨ + =⎩
%(�1 2
,2 3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�$������ � ����� ���
1
62 3 1.
x y
x y
⎧ − = −⎪⎨⎪ + =⎩
:�����$������ �� ����� ����������$�� � �( )9 10 :−
�(�2 3 0
;3
x y
y
− + =⎧⎨ =⎩
�(�2 3 2
;2
x y x y
x
+ = + −⎧⎨ =⎩
�(�( )2 3 2
;5 0
x y x y
x y
⎧ + = − −⎪⎨
+ − =⎪⎩
�(�
( )( ) 2
2 1
3 2 6
2 1 2.
x y xx
x y x x
−⎧ − =⎪⎨⎪ − + = −⎩
��
��
�"������������������ �������������������������������������
��������� �
��� �%���������$��� ������ ����������$�� � ���� �
$��������� ��� ����$������� ��� � ������ ���� ���
����� ������ ��������������� ������ ���� �����������
:����� ��������� � � �������$�� � ������ ������ ��>
3���� � � ����� �� ������� ( ) ( ), 3,1x y = � �� �����
$������ � ������ ���
2 1
2 7
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
������ ( )2 1
2 2 1 7.
x y
y y
= +⎧⎪⎨ + + =⎪⎩
G���������������#
���2 5
;3 1
x y
x y
+ =⎧⎨ − = −⎩
��������� �� ( )5 2
3 5 2 1.
y x
x x
= −⎧⎪⎨ − − = −⎪⎩
/��������)'�� ( ) ( ), 2,1x y = ����������"�������)������������������������ ��������
�����������������
<����� ����$�����2 3x y+ = �����"
�(��������������=������(���������������$��������������� 2x = ����� 1y = ���)������������������������������#
���2 2 1 5 5 5
;2 3 1 1 1 1
⋅ + = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− ⋅ = − − = −⎩ ⎩
�� ( ) ( )1 5 2 2 1 5 4 1 1
2 3 5 2 2 1 2 3 5 4 1 1 1.
= − ⋅ = −⎧ ⎧ =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − ⋅ = − − − = − − = −⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩
1������)'������"������� ( )2,1 ��������"����������������������
!������� ������������������������� �!"���������������#
��������������������������������������������� � �� � 2 5 5 2 .x y y x+ = ⇔ = −
0�� ������������������������������������������������������������������������ 5 2x− ����'��������� ��������������
$�����������'�����'������������������������������������������������������������������������#
)��-����������������� ��������������������������������������� ���������������������������
2 ���� � ������ ��������"����� �"������� ��� ������� ��� ��������� ������ �� ��������� ���� �� ���� ������������
������������������ ������������������������������������������������������������������� � ������������������ ����������'��������� ������������������������'���������������������������������������������
�
!������ ����������������������'�����������
$��� �����������������������������������������������������������������'���������������� 1,−��������������������������#
( )3 2 1 23 2 6 3 2 6 2 3 5 5
2 1 2 1 2 1 2 12 1
y yx y y y y y y
x y x y x y x yx y
− − =⎧− = − − = − = + =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − = − = − = −= −⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎩
1 1
2 1 1 1.
y y
x x
= =⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= ⋅ − =⎩ ⎩ 2"����������������������)'��( ) ( ), 1,1 .x y =
� 2"������������� ���������2 3 1
3 2 8.
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
���������6��'���������)�������������������������������������������������� 1,− �������������������������
����������������������������������������� �����������������#
1 3 1 31 3
2 3 1 2 1 3 2 22
3 2 8 3 2 8 1 3 3 93 9 4 163 2 8 2 8 / 2
2 2
y yyx xx y x y x
x y x y y yy yy y
− −⎧ ⎧ −= = ⎧⎪ ⎪+ = = − =⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − = − −⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ − − =⋅ − = − = ⋅ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎩
( )1 3 11 3 1 32
2 2 21.
13 16 3 1 1
y yxx x xy
y y y
− ⋅ −⎧− −⎧ ⎧ == = ⎧=⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ = −⎩⎪ ⎪ ⎪− = − = − = −⎩ ⎩ ⎩
/��������"������������
( ) ( ), 2, 1 .x y = −
� 2"������������� ��������������2 5
;3 2 7
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
��2 3 2
4 5 10.
x y
x y
− =⎧⎨− + = −⎩
� 2"������������� ����������
( )( )1 3 4
22.
3 2 6
x y xy
x x y y x
− + = +⎧⎪⎨ − + −− = −⎪⎩
��������
!���������������������'����������"����������������������"��������'����������������������������'����������"�������
( )( )( ) ( )
1 3 4 3 3 4 3 4 32 2 2 3 2 6 2 4 3 3 122 / 6
3 2 6
x y xy xy x y xy x yx x y y x x x y y x x x y y x
− + = +⎧ + − − = +⎧ − = +⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + − − − + = − − ⋅ − − − = − −− = − ⋅ ⎪ ⎩⎩⎪⎩
� 2"������������� ���������3 2
2 1.
x y
x y
− =⎧⎨ − = −⎩
��������
��
3 7 3 7 3 2 7 3
2 3 3 12 4 4 8 2 2.
x y x y x x
x x x y y y y y
− = − = − = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨− + − − = − + − = − = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩
.����������"����������������������)'�� ( ) ( ), 3,2 .x y =
� (������"��������������#�����
1
3 6 6 ;5
42 5
x y
x y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + = −⎪⎩
������� ��
4 2
3 2 61 1
.2 3
x y y
x y
− +⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪⎩
�������������������������'��������������������� �������������������������������������������������� �����������������������0 x k⋅ = ������0 ),y k⋅ = ���� Rk ∈ J@DA������������ �������������"������������������� ���������������������������������� � �� ������������������������������������
� 2"������������� ��������#�������������2 3
;2 5
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
������� ��3 2 4
6 4 8.
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
������������2 3 3 2 3 2 3 2
2 5 3 2 2 5 0 5 3 0 2.
x y x y x y x y
x y y y y y
+ = = − = − = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − + = ⋅ = − ⋅ =⎩ ⎩ ⎩ ⎩
�������0 2y⋅ = ��������"�����������������������������"�������� � �� �������������������
��
4 24 2
3 2 4 33
6 4 8 4 20 0.6 4 8
3
yyx
x y x
x y yyy
−⎧ −= ⎧⎪+ = =⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = −⎩ ⎪ ⎪ ⋅ =⋅ + = ⎩⎪⎩�������0 0y⋅ = ������'����������"�����
�� � �� ������9�� Rk ∈ �3
24 kx
−= ������"������������ { }Rkkk
yx ∈⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −= /,
324
),(
������ ���� ������������������������������� ���� ��������������� � ������ 0 0x⋅ = ������ 0 0),y⋅ =���������� �����������'����������"������������������� ������������������������������������������ � �� ����������������� ���
���� ���
!��������� ������������������������������������#�����������"��������������*������������'����������"�������� � �� �����������������������*���������������"�������� � �� ������������������������������������
�� ���<����� �� �� ������ �$���������������� ����� ����$�� � "
�(�2 3 4
;2
x y x
y
− = −⎧⎨ =⎩
�(��3
3 2.
x
y x y
=⎧⎨ − = +⎩
� �(�2 3
;2 1
x y
x y
− =⎧⎨ + = −⎩
�(��3 2 7 0
2 1 0.
x y
x y
− + =⎧⎨ + + =⎩
�
��
�(�3 4 5
;4 2 3
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
�(��5 2 2 0
3 4 10 0.
x y
x y
− − =⎧⎨ − + =⎩
�
�(�
51
3 2 ;1
2
x y
xy
+⎧ + =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
������
1 1
3 2 33 3
2 .4 2
x y x y
x yy
+ + −⎧ − =⎪⎪⎨ − −⎪ − =⎪⎩
�
�(�
2 7
4 2 4 ;2 4 2 7
3 5 5
x y x y
x x y
− −⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ + = −⎪⎩
�
�(�2 4
;3 6 12
x y
x y
− =⎧⎨− + = −⎩
�����(��2 3
4 2 5.
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
�
�"������������������ ���������������������������#��$%����������#�������
��������
������I��� � 5;− � 12− ��� �:7=�4�I��� � 3,5− �����
����������������
��������������� ����������� �����������>
3���� ������� �������( ) ( ), 2,0x y = ���������$������
����� � �
3 2 6
2 2
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
������ ( )3 2 6
3 2 2 6 2.
x y
x y x y
+ =⎧⎪⎨ + + − = +⎪⎩
��� � a b= ��� � ,c d= ����� � .a c b d+ = +
������ ��������� ������������������ ����������
$ ������� ������ ( )5 5 0; 12 12 0.+ − = − + =.������7��������������������������������� 2 ;x− ��
5x− ������������������������I��
� � !��������������� ��������
5 3 11
3 5
x y
x y
− =⎧⎨− + =⎩
���� ( )5 3 11
5 3 3 11 5.
x y
x y x y
− =⎧⎪⎨ − + − + = +⎪⎩
0��"�����)'�� � ���"������� ( ) ( ), 4,3x y = �������"����������������������
$������������� 4x = ����� 3y = ��"������������������)'�� ( )4,3 ��������"���������������������
-���� �������������������������
�������������������������������������������
�����������������������������������'��������� ������������������������������������������ ���������
������������������������������������������������������������#
���� a b= ����� ,c d= ��������� .a c b d+ = +$�����������'�����������'������������ ����������������������������������������������������
��������������#
)��.��!������ ��������� 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
��������������������������� ��������
( )1 1 1
1 1 2 2 1 2 ,
a x b y c
a x b y k a x b y c kc
+ =⎧⎪⎨ + + + = +⎪⎩ �����������)'�������������������������������
�����������������������������������
�(�� ( ) ( )2 3 3 2
2 5 2 3 2 1.
x y
x y y x x
+ = −⎧⎪⎨ − − + = +⎪⎩
�
!������ �������������������������'����������"�������
6��'������������������������������������������������������#
( )
14 3 24 3 2 4 3 2 4 3 5 2 44
4 3 4 5 2 84 5 8 2 10 55.
x yx y x y x x
x y x yx y y yy
⎧− =⎧− = − = − ⋅ = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− + − + = +− + = = =⎪⎩ ⎩ ⎩⎩ ⎪ =⎩
2"���������������������)'��( ) 1, 4 ,5 .
4x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
� $��� �������������������'�������������������"������������� ��������#
���3 5 19
;2 5 6
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
��2 1
3 9.
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
��������� ������������������� �
6��'������������������������������������������������������
!������ ����������������������'����������"�������
� 2"������������� ���������5
3 2 4.
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
����������������� �����������������������������������������"��������������������'����������������������������������������������������� �/�����������������#
( )2 6 2 10 11
6.6
y y
xx
− ⋅ − − = −⎧ =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = −= −⎪ ⎩⎩ 2"������������������ ���������������)'�� ( ) ( ), 6,11 .x y = −
( )5 / 2 2 2 10 2 2 10 2 2 10
3 2 4 2 2 3 2 10 4 63 2 4
x y x y x y x y
x y x y x y xx y
+ = ⋅ −⎧ − − = − − − = − − − = −⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − − + + = − + = −+ =⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩
-���������������������"���������� �������������������������� 3.−2"����������������������
� $��� ��������������������'�������������������"������������� ��������#
���2 6 3
;3 2 6
x y
x y
+ =⎧⎨ + = −⎩
��0,5 0,2 3
0.
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
2 �������������������"������"��������������������� ����������������������� �������������� ���� ������� �
� (������"������������������ ���������4 3 2
4 5 8
x y
x y
− =⎧⎨− + =⎩
����������������'�����������������
����������������
��
� $��������������'�������������������"������������� ���������
1
2 3 31 2 2
.3 2 3
x y
x y
⎧ − =⎪⎪⎨ − −⎪ + =⎪⎩���������������
!���������������'��������'�������������������#
( ) ( )
1/ 6 3 2 2 3 2 22 3 3
2 1 3 2 41 2 2 2 3 12./ 6
3 2 3
x yx y x y
x yx y x y
⎧ − = ⋅⎪ − =⎧ − =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + − =− − + =⎪ ⎩⎩⎪ + = ⋅⎪⎩
��������������������������������������������������������'�����#
30 329 6 6
3 2 2 / 3 9 6 6 9 6 6 13 132 3 12 / 2 4 6 24 9 6 4 6 6 24 30 30
.13 13
y yx y x y x y
x y x y x y x yx x
⎧ ⎧⋅ − = =⎪ ⎪− = ⋅ − = − =⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = ⋅ + = − + + = +⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩
�"����������������������)'��( ) 30 32, , .
13 13x y
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
2"�������������������������� ���������������� 2,− ������������������
� $���������������'�������������������"�������������� ��������#
���( )( )( )( )
1 3 2;
5 3 2
x y xy
x y xy
− + = +⎧⎪⎨
+ − = +⎪⎩ ��
4 2
3 2 61 1
.2 3
x y y
x y
− +⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪⎩
!������� ���������1
2 2
mx y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
��"��������������������'�����������������
��������
�������������������������� �������������
/��������������������������������������������������������������������������������������
( ) ( )( )
11/ 1 1/ 11
2 12 22 2 2 1 2
mx ymx y mx ymx y
m xx yx y mx y x y
+ =+ = ⋅ − − − = − ⋅ −⎧ ⎧ ⎧− − = −⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ − =+ =+ = − − + + = − +⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩ ⎩
( )1 2 2
1 12 2 2, 2 0 , 2.
1 1 1
2 2 2
m mm y y y
m m mm m
x x xm m m
−⎧ ⎧ ⎧⋅ + = = − =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪− − −⇔ − ≠ ⇔ ⇔ ≠⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = =⎪ ⎪ ⎪− − −⎩ ⎩ ⎩
��
�"���������������������)'�� ( ) 1 2 2, , ,
2 2
mx y
m m
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠����� 2.m ≠
/������������������������� 2 0,m− ≠ �� � �� � 2?m ≠����� 2,m = ��������� ������( )2 1m x− = ��������������0 1x⋅ = �����������"�������������������������
2m = ��������"�������� � �� �����������������
> 2"������������� ���������6
,2
ax y
x y a
+ =⎧⎨ + =⎩
��������������������
�� ���
<����� � ���� ���� � ���$�� � �� �� ������
�� ��%� ���� �����������"
�(�2 3
;5 4
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
�(��3 4 1
;2 3
x y
x y
+ = −⎧⎨ − =⎩
%(�2 5
2 1.
x y
x y
− = −⎧⎨− + =⎩
�
�(�3 2 9
;2
x y
x y
= −⎧⎨ = +⎩
�������(��15 23 10 0
3 4 2 0.
x y
x y
+ + =⎧⎨ + + =⎩
�
�(�( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 2 2 5;
4 3 7 4 0
x y x y
x y x y
⎧ − + = − +⎪⎨
+ − − + − =⎪⎩
�(��( )( )( )( )
2
2
3 1 4 5
3 2 3 3 14 15.
x x x y
x x x y
⎧ + − = + +⎪⎨
+ − = − +⎪⎩
�
�(�2
2 3 ;
02 3
x y
x y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
�(��1
6 9 ;5 4 1
159 6 3
x y
x y
⎧ − = −⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩
%(�
6 52
86
1.8
x y
x y
+⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
�
�(�
2 1 3 22
5 4 ;3 1 3 2
05 4
x y
x y
− +⎧ + =⎪⎪⎨ + +⎪ − =⎪⎩
�(� �( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1
1 3 3.
x y x
y y y x
⎧ − + − = − −⎪⎨
− − − + =⎪⎩
�
�(�( ) ( ) ( ): 3 2 : 4
;2 5 9
x x y y
y x
⎧ + = − +⎪⎨
− =⎪⎩
�(� �( ) ( )1 : 2 1: 2
: 3: 4.
x y
x y
⎧ − + =⎪⎨
=⎪⎩
�
�(�5
;2 3
ax y a
x y a
+ =⎧⎨ + =⎩
�(��2 5
;3
ax ay
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
� <����� ����� ���� ����$�� � ��� ��������$������ �
�������������� ������������#
%(�1.
x y k
kx y
+ =⎧⎨ + =⎩
��
�"������"��$#�������������� ����������������������������������
,���������������������� �� y ax b= + ����������������
},/),{( baxyRxyxG +=∈=
!��� ��� �� ������� �� ���$����� ��� ��� � ��� ��
�������>
!������$������ ��� ����������������$C��7������
0≠a �� � 0b ≠ %������������������ ��
2 1y x= − ������������������� ������ �������������
������������������$�����
� �
1−1−D
: :1−
3−
@8
2−
1−2− 9
�
�
( )2 1R y x= −
!��� ��� ���� ����������� � ���� � ��� �������� ��
���$�������� ��� ������������������������$��>
� + �������������������������������"��'�������'�������������
������������������ �����������������2 1
4.
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
$�� �����������������������������'�����������
2 1y x= − + �������������������� 4.y x= +� �
1−D:
:
� �
2−D
7H
F��'������� ����������������������������
��������
1−
88
2−
1−2−9
�
�
954
�
����
������������"����������� ������������������������������ ���������������������������������)�������������������
��������� �����������"������������ �������������������������������)���������������������
�
/��� ( )1,3M − �������������������������������������������������������������������������������������
�������������"�������������� ��������
/�������)'��( ) ( ), 1,3x y = − ��������"�������������������������� ����������������
1��"��'����������"���������������� ��������������������������������������#
��������������"��'�����'���������������������� ����������������*��������������������������������������������������������������������
, 2"�����"��'������������� ��������#
���2
;2 1
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
��2 5
;3 2 4
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
���3 2
2 1.
x y
x y
− =⎧⎨ − = −⎩
�4
��
��������
���� ���$������������������"#��� �=#�� ������ � ��� ���������� =#������ ��
���� ��� ��������$�� � ���� � �� ��������������
������$������ �����������������������������������
�������� � ����������� ����$�� �� �����
/ F��'������"������������� ��������#
���2 5
;1
x y
x y
+ =⎧⎨ − = −⎩
��3 2
3 5.
x y
x y
+ =⎧⎨ + = −⎩
���2 3
;2 4 6
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
����������������
���1 5
.2 2
y x= − +�
�
1−1
22
� �
� �
1.y x= + �
�
2−
�
� �
1− � 1−81−
2−
9
�
�
�� �
�
( )1, 2M
F��'�������'������������������� ������������������������������� ����������� ������������������
( )1,2 ,M �����"���������������������)'�� ( ) ( ), 1,2 .x y =
��2
.3
xy
−=�
�
1−2
3
� �
� �
5.
3
xy
− −=�
�
2−5
3−
� �
1− 3−
1−81−
2−
�
�
��
��
48
3−
F��'�������'�������������������� ���������������������������������� ��������������������������"�����
���1 3
.2 2
y x= − + �
�
1−3
2
� �
� �
�
�
3−3
2
� �
� �
2 6
4 4y x= − + ⇔
1 3.
2 2y x⇔ = − + 1−
81−3−
�
�
9
1 2p p≡
F��'�������'������������������� ����������������������������������������'����������"������
� � �� � }.23
21
,/),{( +−=∈= xyRxyxM
��
-��������"������������������ �����������������������������������������������������������'���������������������������������������������������������������#
���1 2
,1 1
≠−
�� � �� � 1 1
2 2
,a b
a b≠ �����������"��������������*
��1 3 2
,1 3 5
= ≠−
�� � �� � 1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c= ≠ ��������������"�����*
���1 2 3
,2 4 6
= = �� � �� � 1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c= = ������������'����������"�����
���� ���
!������ ���������1 1 1
2 2 2
:a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
������"����������������� � �� ������������������������ 1 1
2 2
;a b
a b≠
���������"�������� � �� ����������������������� 1 1 1
2 2 2
;a b c
a b c= ≠
�������'����������"�������� � �� ���������������������� 1 1 1
2 2 2
.a b c
a b c= =
- $���������������'�������������������������������������� ��������#
���3 2
;2 1
x y
x y
− =⎧⎨ + = −⎩
��2 2
;2 3
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
���2 3 4
6 9 12.
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
��������� ��� ���#� 1 1 1 2 2 23, 1, 2, 1, 2, 1,a b c a b c= = − = = = = − � ���� 1 1
2 2
a b
a b≠ �� � � �� �
3 1.
1 2
−≠
.���������������� �������������"��������������
��� 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c= ≠ ��� � �� �
1 2 2.
1 2 3
−= ≠−
�.���������������� ����������������"�����
��� 1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c= = �� � �� �
2 3 4 1,
6 9 12 3= = = ������������ ��������������'����������"�����
. 5����������������� ��������#����2
;2 2 4
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
������� ��2 3
;4 2 1
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
����������3
2 0.
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
$���������������'������������������������������������������ �/��"�"�����'���������������"������"��'������������
��
0 (����������������������������������������� ��������#
���( )1 3
2 3 1
kx k y
x y k
+ + =⎧⎪⎨
+ = −⎪⎩����������"��������������*
��( )( )1 2 5 7
2 4 8
k x y
k x y
+ + =⎧⎪⎨
+ + =⎪⎩��������������"�����* ���
5 3
10 8
x y k
x my
+ =⎧⎨ + =⎩
�������������������
��������������
���!���������"������������������� 1 1
2 2
,a b
a b≠ �� � �� �
1.
2 3
k k +≠ �/���������������
( )3 2 1k k≠ + ����� 3 2 2,k k− ≠ �� � �� � 2.k ≠
��!������������"���������� 1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c= ≠ �� � �� �
1 2 5 7.
2 4 8
k
k
+ = ≠+
�/����1 2 5
2 4
k
k
+ =+
����
( ) ( )4 1 2 5 2 ,k k+ = + �� � �� ��97
��!�������������������������� 1 1 1
2 2 2
,a b c
a b c= = �� � �� �
5 3.
10 8
k
m= = �/����
5 3
10 m= ����� 6,m = ���
�����5
10 8
k= ����� 4.k =
/�����������"������������������������������������ 110Av = ���C� ������������������������������"�������������������������������� 60Bv = ���C� �����������"��������������������������������������������"������������������������������,�/��"�"�����������"��'����
1 )
��������� ������������������� ��!��������
E������������������������������������������������������������������ �/����������������������������������"�
110 ,As t= ⋅ ������������� 60 .Bs t= ⋅ �/����������� 85,A Bs s+ = �� � ��
110 60 85t t+ = ��������1
,2
t = �����1
110 55.2As = ⋅ = �.�����������������������������������
1
2������������
����������"�����II��������������!
������� � � �������������� 0 ,s s v t= ± ⋅ ������������������� '������������ ��������������������� ��������������������� �/���������#
110A Ax v t t= ⋅ = 85 60 .Bx t= −���
��
� � �
������
� �
���
1
4�
��
�
-���� ��� "��'���� �� '�������� ��� �������� ����������� � 6��������� �� ����������� ��� ����� �������������������������������������"��������������������������� � ��
1
2t = ������������� 55As = ����
�� ���
,���������$����� ����� ���� ����$�� � �( )1 2 :−
�(�3
;2 3
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
�(��3 2
;2 3
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
%(�0
2.
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
+
�(�1;
1
x y
x
+ =⎧⎨ = −⎩
�(��2 3
;2 3
y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
%(�2
3.
x
y
=⎧⎨ = −⎩
,
. �� ������ ����� � ��� $������ �� ���� %���� �
���� � � � ��� ���$��� � ��� ������ ������ %������
�������������� ����%�����"
/
�(�1
;2
x y
x y
+ =⎧⎨ + = −⎩
�(��2 1
;2 4 2
x y
x y
− + =⎧⎨ − = −⎩
%(�
2 3
1 5.
2 2
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ − =⎪⎩
. ����������� � ��� ��%� ���� ����������������
%���� ������ � � �������$�� � ���������%��������
�%�������� ������������"
-
�(�4 6 3
;6 9 4,5
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
�(��2 3 4
;4 6 5
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
%(�4 6 7
8 12 15.
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
:������� ��� ���� �������� 0≠a �����%����
���� ��������$�� � �4
:2 3
x my
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
.
�(��������$������ =
�(����$������ ����� �� =�������������%�����$������ ��
���� ����
3��%������� �������� ���������� ��������$�� �
2 3
5
x y
x ay a
− =⎧⎨ + = +⎩
������������%�����>
0
?��������������� �������$�� � �3
2 3.
x ky m
x y
− =⎧⎨ + =⎩
�3�
%������� �������� ��� ����� ������� ����������"
1
�(����� ��������$������ =
�(��������$������ =
%(����������������$������ >
�����
"
88@
BB
1
2
1
4
������
DB
110
As
t=
8560
Bs
t
=−
!
�
� ��������������� ���������������������������������
!������������� ���������������������������������������������'�����#�%!�����������������������������������������������"�����������������������������������������������������������&
30
5.2 3
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ − =⎪⎩
������������� ��������������������
/��������)'�� ( ) ( ), 18,12x y = ����������"�����
�������������������������������������������
��������
�"����������������������������"��������������������������������� �����"�������������������������������������������"���������������������� �������������������������������� �/�����������������������������������������������������������"���������������������������"������������ ����
+ ������������������������������������������������'������������������� ������ �������������������������������������������������������������������'������������7������ ����� �(����������������,
�����������������E��������������������������������
/���������������������������������� ( ) ( ): 2x y x y+ − = ������ �������� � �� � ( )2 8.x y x y+ = − +
/����������������������������������� : 2x y = ������ ��������� � �� � 2 2.x y= +
/��� ���� �������� �� '��������������� �"������ �� ��������� ��� '����������������� �"������ �� ��� ������� � �'���������������� ��������#
( ) ( )2 2 2 22 2 2 10 2 22
2 8 2 2 3 83 8 10 10.
x y x yx y x x
x y x y y yx y y y
= + = +⎧ ⎧= + = ⋅ + =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − + − + + =− + = = =⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩⎩ ⎩
�"���������������������)'��( ) ( ), 22,10 .x y =
/��������������"�������������������� ��������������������������������"�������������������������������
�����#�/���� 22 :10 2= ������ ������������ ( ) ( )22 10 : 22 10 32 :12 2+ − = = ������ ������������������
�����������������������������������������������
, �� ���������'������������������������������ ������)���'����������"��I��������������������K�"��4����������������)���'����������"��=�������������������"���������� �!��'�������� � ��������������,
������� ������ � �������'�������������������������#
5 3 5 3 4
6 1 6 1 23.
x y x y x
x y x y y
⋅ = − − = − =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ = + − = =⎩ ⎩ ⎩
�2"���������������������)'�� ( ) ( ), 4, 23 .x y =
��
0 & ���� ����������������������������������"������������'������������������������ ��"������������������������)����������������������'���������������"������'��������,
. * �������������������������B������������������'��������������������������������������������������� ���������������������������������B���������������������'���������������������������������������������������� �!�����������������������������B���������������������������'�����,
������� �.�������������"�������� �����������"�������B������� �E����������������������B�������������
���B�����������������������'������������������#
( )( )
15 5 15 5 66 3 264 81
3 2 285 21.12 8 12 8 57
x y x y x
x y yx y
⋅ + ⋅ = + ⋅⎧ + = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = =⋅ + ⋅ = + ⋅ ⎩ ⎩⎪⎩
.�������������B���������������������'����������
/ ��������������������������� � �������"�"�#�%/������������������������������������������������������4���������������4���������������������& !���������� � ����������������,
����������������� ����������������������������������������� �?����������#
( )( )
5 5 5 5 20 45
3 6 13.3 3 3
x y x y x
x y yx y
− = −⎧ − = − =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− = =+ = + ⎩ ⎩⎪⎩
�����#�/����������� � �������������������������������13 5 8− = �����������5 8 40.⋅ = �/���������� � ������������45 3 48,+ = ������������13 3 16,+ = �����3 16 48.⋅ = �.������������ � ��������������������������������
�����#������H��'�����������"��I�������������������������"�������� 4 5 20⋅ = ����������������K�"��
23 20 3− = ������ �����������)���'�����������"���=���������������������������� 4 6 24⋅ = ������������
��"���������� �/������� � �����H�'���������74������
������� �E������������������������ ������������������������������� �?����������"�������������� ��������������
��������������( ) 5 63,x y− ⋅ = ���������������������������� ( ) 3 63.x y+ ⋅ = �/�����������������"�������
- ) �������������������������������������������������������� ���������������������� �F�����������"����������������������������������������� �!�������������������� �����������������������������������������������,
�������������������� ������
�������( )( )
5 63,
3 63
x y
x y
− ⋅ =⎧⎪⎨
+ ⋅ =⎪⎩�������)'��( ) ( ), 16,8;4,2 .x y = �.���������������������������� ������
��
������� �E�����������������������"�������'��������������������'�������� �?������������
� ���������������1 1 0,4
0,7 1,2 0,1 1 7 12 10 0,6.
x y x y x
x y x y y
+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ + ⋅ = ⋅ + = =⎩ ⎩ ⎩
�� ���
�������������� ���������� �������7;����� � �
���������������B�� ������������� ����������
$��� ����������������6�� ������������� �������
���������� ����� ��� ����� �������B��:����� ��������
����>
+
������ � ������ � ��� ���� ����� ��������� ������ �
��������� � �::����� ������� ��������� �� ����� �
�����7<������ ������������� �����������������
������ ������� � ������� � �������� �� ��� �����
���������:�������������������������>
,
����������� ��������&��������� ����������� ����
7D�� �� ��3�� ��������� �����������&������� �4
�������� ��� ��������� ������������������9�����
�����&������������5D������������� �� �����&����
�������������������>
/
������� ����$�����������������4<��� ���3���7��� ���������� ���:D�� ����� ��� ���� ����$�������� ����
��������� �������$�>
-
0 �� ��!��"� �� �#� �� �� ��� � ����� ��� ��
�������������� �������������� ��!��� �". )
2"������������)'��( ) ( ), 0,4;0,6 .x y = �!�����������"�������������������0, 4� �����0,6 .�
������;D��� �3 ��� �����!�����#���� ������ �������
�������$�� ��� ������ID���C������������������ ���
������������������ ������������������ � ��� �����"��� �����������������$�� ��� ������4D���C���3�������� �������� ���� ���� ���������� � ��� �����!���� ��������������������������>�<������ �������
����������
*��������$�� �%� ���� � ����� ������� ��:DH������$������ ��������������$�� ���������
0 )
���I�#�;����� �������$����� ����� �����ID��������
������������������� ������������ ������������������
������$����� ������>
+���$��� � ���� �� ���� ��� � ������ ���
���$�� �� 1 2y t= + ��� � 2 ,x t= + �����������
���� ������ ������ ������� ����������� �������(�:��������$����� �����$� ��� ( ).y y x=�(�0�$���� ��� ��� �� � ����$� �� ��� ������
������������$��%(�:������$����� ��������� ��� ��� 0.t = (�%������� �������� �����$� ��
1 )
���������� � ���� ��4I�� ��������������
��� � �� ���� �H;� � ���� �� ��������� ��
��������� ��������� ������ ��������������
��������������� ���������������7=D��"��$� � ������� �� ����HD� � ���� �� �������>� ',����
�$� � ������������ �� ������� ������������
� ������������&������������������������(
2 *
����� ���� ��$������� ���� ����������<=L��� ���� ��� � � ���� �� ��� ������;;L��� ���������� ������ �� ��� �����������
��� ���� ��� ������������������������� ��%��
��:D�I��"�����������������;HL���� ��>
3 *
*������������������ ��������������:7������3���I������������������������������������ ��� ������� ���������:<�I�������3�������������������� ���� �� ��������>
+4 *
��
3����� ����� ( )3, 2A − �������� ������������� ���������������������� ����$����"
�(�2 8;x y− = �(� 2 1.x y+ =0
������ ���������� ���������� ����� ���� ����$�� � "�������(�
25
3 ;1
22
x y
x y
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩
�(�
( )( )
3 3 5
3 6 22 3 .
x y x yy
x y xy
− −⎧ − = −⎪⎨⎪ − + =⎩
1
����������������������������$��%�
?��������������$����2 3 5.x y− = �:���� �� ��� � �������������������$�������� ����$�������������>+
�(�( )4,1 ; �(�1
,2 ;2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
%(�( )1, 1 ;− (�( )1,1 .−
:������� ��� ����� ���������������� �����( )2, 3− ����� ���$������ � ����$����
( )2 1 3 1.k x y− + =,
?��������������$����3 2 6.x y+ = �:������� ��� ����"
�(������� � 3;y = �(������� � 2.x = −/
:���������������� �$������ � �������$����"��(�2 1;x y+ = − �(�2 1.2
yx y− = +-
0�$������������ ���������������%������� ����$����"
�(�2 1 0;x y+ + = �(� 2 1 0;x y− − = %(� 2 0.y + =.
������$���� �������� ������������ ��:7DDDD ����������������� ��� �������� �������
�� �� � �:D�IL����� � � � ������:7L����
�������������� ���$���������� ��� ��:4;DD ����!���� ���� � ��� ��� ����� ��� ������
������>
++ *
���� ����� � ����� �� ��� ���� � ���� � ��
% %��� ��"� E���������� ��� ��� ��� �F>
G % %��� ���������� "�E��� ������ID��������
���� �� ������� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��
$��$���������� �������;D������������� ���
4D������������������� ���� �� F�����������
�� ������� ���������� ��>
+, *
��������%������������� �������� ���������� ����
������ ���%��8@H����� ��� ���8BH�������� ����
� � �� ����������� ��������������������������
������ ��� ���%��89H>
+/ &
����� �������������� ���� ����������<�#H������ �����������D�I=��"������������������
� ���>
+- &
����� �������������������������� �����������
�������� ����� ������3 �� �������������������
+. �
<DD������� ���������� ����%�������������ID�������
������ ��� ������ ��:���� ���������������� ��ID��"���� ��� � �� ������� ��� ���� �� � �� ��������
�� �$�� ��:ID��"�������������� ��������������� �
:I������ �������������� ���� ����������>
��
?��������������� ��������$�� � �2 3
3 2.
x y
x y
− =⎧⎨ + = −⎩
�:���� �� ��� � ���� �������������$������ � >2
�(�( )1,1 ;− �(�( )1, 1 ;− %(�( )5,1 .−
<����� ����� ���� ����$�����( )9 11 :−
5 57
33 24 0
xy
x y
−⎧ − =⎪⎨⎪ + − =⎩
��� �� ������ �$������������3
2 4
2 5
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
� �� �� ����������� �++
. ����������� ���� ��%� ���� �������$�� � �����%���� ������ � � �������$�� � ����$������ ����� �� "
�(�2 4 4
;2 2
x y
x y
− =⎧⎨ − = −⎩
�(�2 4 4
;2 2
x y
x y
− =⎧⎨ + =⎩
%(�2 4 4
2 2.
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
+,
:�������� ������������������� ��������$� � �( )2 3 1
:5
k x y
kx y
⎧ − + =⎪⎨
− =⎪⎩+/
�(����� ���$������ ����� �� = �(��������� ���$������ �
�� ������������ ���� ������ ��������������=������������,��������� ����������;4L���������� � �����
��������77L��������� ����������� �� ����������� ��������������� ������������� ��;�I���������������� ���������������� � ����� �� ������ �>
+- &
����� �������=IDD�� ��������� ��������������7D�� ������������������ ������������ � ���� ��7;� ����������������3 ��������� ����� ����:DL����� � ����������� �:=L��*�� �������������������
HD�� ������������������� ������������ID�� ����������������� �����������������4>HD�� ��������������������������� ��������������������������� ��� �����>
+. *
( )2 2
1 2
3 4 6
2 3
x y x y
x y x
+ + −⎧ − =⎪⎨⎪ − + =⎩
��� �� ������ ��� ��%� ���� ������������+4
��������������#�������
+ !������� ������( )2, y �������$������ � ����$�����2 3x y+ = ���� ���������"
:�(�:=��������(� 1;− ������%(� 7− =������� (�I�
, !������� ������( ) ( ), 1,2x y = − �������$������ � ����$�����2 3 4x ky− = ���� ��� �� ���� �����������"
�(�:=��������(�7=��������%(� 1;− ������ (�D� :
��
- ���� ��������$�� � �2 3 1
3 1
x y
x y
− =⎧⎨ + = −⎩
������"���(������������=���(����%�����=����%(���%������:
. ���� ��������$�� � �6 2
3 1
kx y
x y
+ =⎧⎨ + = −⎩
���������������������� ���� ����������"
�(� 2;k = �(� 2;k ≠ %(� 1;k = − (� 3.k = :
0 ��� ����������� ��������� � ����%�������� ����$�� �� ����� ���� 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
������ ������� �
���� ��������"���(���%�����=��������(����%�����=��������%(������������� :
1 *�� ���$�� � ��� � � � � ��� ��� �������� ����� ������ ��� ��� � ����� ��������� ��� $������ � IIIIIIIIIIIIIIII�
7
2 ;��$������� ��ax by c+ = �������$������ ���� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
3 ;��������� �$������ � �������$����� 2 1x y− + = ������� { }.M = 7
+4 ��� ��������� ����$�� � �������� ������ ������� ��$������ � ����� ���������
� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�7
++ ���� ��������$�� � � 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
����������������$������ ���� ��� ��%� �����
�������� �������� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
+, ���� ����$�������������� ���������� �2 3
2.2 3
x x yx
− +− = −4
+- . �� ������ ��� ��%� ���� ������������$����� ����� ���� ����$�� � �
5
2 1.
4 2 2
x y x
x y x y
+ = −⎧⎪⎨ − −+ =⎪⎩ 4
+. J�������������������������������������������� ���������������I����� ������� �����������������
������������������� ������������� ����������������H4��:��������������� 4
+/ ���� ���������� ���������� ����� ���� ����$�� � �( )( )( ) ( )2 2 2 2
2 3
1 1 .
x y xy
x y x y
⎧ − + =⎪⎨
− + + = +⎪⎩ 4
+0 ;����� ����������$������ ��� �� ��������� ��������� ��:ID��������� ������� � � � ����������7������� ���������� ���������������� ��� ����������� ���������5�����:������� �������� ��������� ��� �������
�������
4
/ <������ � ����� ����������$�� � �2 4
2 3
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
������� ������� ������"
�(�( )2,1 ;− �(�( )2, 1 ;− %(�( )2, 1 ;− − (�( )2,1 . :
��
6��������������
M����������"��������������� -����� �� �������
0���'�������������
$ ������������ ������ �������
N�������������������� �������
!����������������
�
�
�
�
��
��
�����& ��������
�
�
�
.��������������������������'����� ��
�
.���������������������� � ��!������������������'����������������������� ��
�
�
#$%&�'()('�*�)*&$�
��
(�������������������������"��������� ������#����� 3 27;x = ��� �� 6 64;x = ������� 2 49?x =
0���������������������������������������� ������������������"�������������������������������
������ .nx a=
� (���������������"��������� ������#
��� 3 64;x = − ������� �� 3 64;x = ���������� 5 32;x = − �������)�� 3 125.x =
������������ 4,x = − ����� ( )34 64;− = − �����)�� 5,x = ����� 35 125.=
��������
3���79��� }2,1,0,1,2{ −−∈n �%������� ��� �������� .nx a=
:������ �%���� �������$�� ��������%���������� ���
�>
#�����������������
� � !����������������������� 216 cm . �(�����"��������
���������������
� -����� � ��� �� � ������ 3125cm . � (����"�������������������� �
!������������������ ������������������'�������%9������������������� �����������������������
'������� 3.V a=1��������������"������������������������������"�������������������� �������������"����� �����
2 16,a = ������������� ������ 3 125.a =
2"�������� ������ 2 16a = ������� 4a = ����� 4,a = − ��������"�������� ������� 3 125a = ������� 5.a =/������� �������������� 4 cm,a = ������� �������� �������� 5cm.a =
/����"������� 4a = − ��� ������� 2 16a = �����������"�������������������������� ( )24 16?− =
2"�������� ������� 3 27x = ������� 3,x = ����� 33 27;= ��"�������� ������� 3 27x = − ������� 3,x = − ����
( )33 27.− = −
/����"��������� ������� nx a= �����������������������������������������������������
� �� � �/���)�������������������������)���������������������������������������������������
�������"�������� ������� .nx a=
��
���� ���
/���)�������������������)������������������� Nkkn ∈+= ,12 �������������������������������������2 1 .kx a+ =
.��������������������������������������"������������������������������������"�������� ������nx a= ���������������������������� .n a
����������5����!���� 3 27 ����������������������������������������� 3 27 3= ����� 33 27;=
����� ( )2n n ≥ ������� ������������������������������������������������������������������������
�������������������������
$��������������������������� n a ����������������
������� 5 32− ���������������������������� 32,− ������� 5 32 2− = − ������ ( )52 32.− = −
2"�������� ������� 2 9x = ������� 3x = ����� 3,x = − ����� 23 9= ����� ( )23 9.− = �2"��������� ������
2 25x = ����� 5x = ����� 5.x = −
���� ���
/���)������������� 0a > �����)���������������)'�� Nkkn ∈= ,2 ����������������������������� x− ����
������������ ( )22 .kkx x a= − =
.������������� 0a > ����� Nkkn ∈= ,2 � ������ 2kx a= ��������"������ �������� ����������������� ��
������� �2"����������������������� ,n a ��������"�������"����������������� .n a−
����� 0a ≥ ����� 2,n = ������������������ 2 a ����������� ,a ���������B��������������������������
����������5�������� 2 16x = ������������������������������������������������� �N�����������������
16, ��������������"����������� 16,− �� � �� � 16 4x = = ����� 16 4.x = − = −
��������"�������������������������)'������ 0,a > ���������������������������������������"��������
��������� .nx a= �?����������������������������������
�
����������� 2 4,x = − ��� �� 4 81x = − �������"�������� �������� ?�
���� ���
N��������������"�������������������)'����������������"������������������'������� �������
�������������
� (�������������������������������������#����� 9 8;− ������ �� 12 0; ��������� 16 256;− ������)�� 4 16 ?−
� !�������#����� 5 52 ; ����� �� 3 32 ; �������� ( )33 2 ;− �����)�� ( )22 ?−
����* ���* ��� ( )3 3 33 33 2 2 2 2;− = − = − = − ���)�� ( )22− ������������������������������������������
( )22 4 2.− = = �/���� ( )2
2 4,− = �������� ( )22− ��������������� ( )2 22 2 2.− = =
!����������������������������������#
��� 3 8 2= ����� 32 8;= �� 3 64 4− = − ����� ( )34 64;− = −
��� 5 1 1− = − ����� ( )51 1;− = −
)�� 49 7,= ����� 27 49= �����<�����������������
���"������������������ �����
����� 0,a < ��������� 0,a− > ��������� 2 1,n k k= + ∈� ����� 2 1 2 1 .k ka a+ += − −
����������5���� 5 32 2− = − ����� 5 32 2,− = − �� � �� � 5 532 32,− = − ����� ( )5 52 2 32;− = − = −
�� 3 3125 125 5;− = − = − ��� 7 71 1 1− = − = − ����
/��� 2 0x ≥ ����� 4 0x ≥ �����)������������������������ ����������������� ��������N��� � �� ����������
4− ����� 4 81− ����������������� �/���������������������������������������������� ���������N
����������������
��"���������������������� ( ) ( )4 24 4 24 3 3 3, 5 5 5− = = − = = ����
-�������� ( ) ( ) ( )2 4 242 | 2 | 2, 3 | 3 | 3, 5 | 5 | 5,− = − = − = − = − = − = �� � �� ����� ,Ra ∈ ��������� 2 | | .a a= ���
���"��������������������������������)'����������� | | .n na a=
����� 0,a = �������������������������������������� �� � �� � 0 0n = ����� 0 0n = ����������������
����������������� 0na = �
�
���� ���
⎩⎨⎧
=çift.numër është nëse ,
numër tek është nëse ,
na
naan n
� (����������������������#����� ( )55 7 ;− ���� �� 3 39 ; ������� ( )44 4 ;− ����)�� 6 63 .
!�������#�� ( ) ( )2 334 , 5 ? �����������/��� ( ) ( )
2 24 2 4,= = �������� ( )2
4 4.=
/����������������������� ( ) ( )3 73 75 5, 15 15= = ����
����������6�( )55 5 5,− = − ������������� ( )2
3 3,− ≠ − ����� 3− ������������
������"����������� n a ����������������������� ( ) .n
n a a=
�� ���
:����� ������ ������� � ��������������"
�(������;���������������� � :==�(������;���������������� � �=H=%(������ � ���� �47�������7=
�
:����� ���� �� � ������������������������"�
�(� 9;− �������(� 5 1;− ������%(� 5 32;− ������ (� 4 16;−
��(� 6 0; ������ (� 25 ?−
3��%������� ����������� ��������������� ���"�
�(� 1;x − �������(� 3 5;x − ������%(� 4 6 2 ;x−
(� 5 1 ;x− �������(� 6 2 1?x +
�� ���"
�(� 121; �������(� 3 64; ������%(� 3 64;− ����� (� 4 81.
�
�� ���"
�(�1 1
2 3 25 4 ;4 16
+ −
�(� 3 4169 125 16;− − +
%(� 3 58 36 32.− − − −
�
:����� �����$�� � �����������������������"
�(� 23 3;= �������(� ( )23 3;− = − ������%(� ( )2
3 3;− =
(� ( )33 4 4;− = − ��������(� ( )44 6 | 6 |;− = −
(� ( )33 1 1?− =
�
3��%������� ����������� �������������������$���"
�(� 2 ;a a= �����������(� 3 3 ;a a=
%(� ( )22 2;x x− = −
(� ( )44 1 |1 | ?x x− = −
�
(������ � ���� � 32− �������7=�(������ �������� �;:������� 3?−
��
��������
�� ���� RmRaam ∈∈ ,, ���� �������
����� +∈ Rm �������2për ,... ≥⋅⋅= maaaa
m
m�����
��� 1 .a a=��� � ,0 dhe 0 ≠= am ����� �� 0 1 .
d e fa =
��� � −∈ Rm ��������� 0 dhe , ≠∈−= aRkkm
����� ��1
.defm k
ka a
a−= =
� .���� �� �"������� ������ ���� '�����
���"����������������������������"����
���"���� ��� ������������� ���� ��������� ����
���"����������������������������������'���������"���
�����������
0�������������������������"������������������
'���������'�����'���������"���������������
Mbaj mend!
����� +∈ Ra ����� Rn
m ∈ ����� NnRm ∈∈ , ��������������
.def
mn mna a=
!���������'�������#�11 3
3 32 2 34 4 2; 4 4 64 8; 27 27 3.= = = = = = =
� ������#������ 0,59 ; ������ ��2
38 ; ���������1
3125 ; ������)�� 0,50,01 .
����� 1,m = ���������1
,nna a= �����1
1
1 11: .n
nn
m aa
a
−= − = =
� !���������'��������������������'��#
���1249 ; �� 0,5100 ;− ���
2
3 ;a )��2
3 ;x−
���21
32 ;a b⋅
����������������1
249 49;= ���������2
3 23 ;a a= �������)��2
32 3 23
1 1;x
xx
−= = ���
21
32 3 2 .a b a b⋅ = ⋅
/�������m
na ���������!������ �������������������
$�'��������"������������%���(�����������������
���������� ��2
23 38 8 4;= = �������)��1
0,5 20,01 0,01 0,01 0,1.= = =
��
������������1
3 38 8 2,= = �����������1 2
3 6= �����
2
6 6 2 68 8 64 2.= = = �.���������1 2
3 68 8= ����
O������������'������"��������������������������������������������������"�������������������������
�����������������'������"��������������������������������
� 6������������������������#
������������������� ��3
2
3 13 1 3 2 6 1141,5 114 24 2 4 4: ;x x x x x x x
⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
−⋅ = = = =
���2
3
2 231 13 31 122 2 1
.a a a a aa
⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
− −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⋅ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
/���)�� +∈ Rba, �����)��� Rq
p
n
m ∈, ���� NqnRpm ∈∈ , ;, ����#
0 0 01 . ; 2 . : ; 3 . ;
p
qp p p p m pm mm m mq n q q n q n qn n na a a a a a a a
+ −⋅⋅⎛ ⎞
⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 0. ; 5 . .4
mmm mm nnn nn
mn
a aa b a b
bb
⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
P���� ��������� ��� ����� ������ �������� ��������������� ������� �m
n���������������������� �/��
���� �����3 6 9
...4 8 12
= = = �/����'��������������������'����m
na �������������������������������������
��� ���������m
n������������������"������������'���� �/���������#
NknRmRaaaa nk mkkn
km
n
m
∈∈∈== +⋅⋅
,,,,
� 6������������������������#
���2 13 2 ;a a⋅ ���� ��
3 11,54 2 : ;x x x−⋅ ������
21 32 ;a a
−⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
��)��
123 234 .x a
⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
���1 1
2 2 2: ;x x x−
⋅ ��
211 3
2 32 ;x y x⎛ ⎞
⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ( )21
0,5 0,532 : .x xy x y⎛ ⎞
⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
N������������'����������������'��������������
��
!��������"��������������������������������#���� 3 44, 3, 2; ���� �� 2 23 5, , .x xy x y
&������������ �� ������ � �������������� ���������������������������������������� ����������������� ���� ������� ��� ���� � ����� ��� ���
��������
, 0.m m k
kn n k
⋅= ≠⋅
���������������������������������"
:, 0.
:
m m kk
n n k= ≠
, 0.m
n m na a a= >
21 1 332 2 23 , , 2 .a a b
� 6������������������������ 3 8 ����� 6 64.
3 8 2,= ����� 32 8;= � 6 66 64 2 2.= =
.���������������� 3 8 ����� 6 64 �������������������#3 68 64 2,= = �� � �� � 3 63 62 2 .=
� N������ 33, 2 ����� 42
3��"�������#�����4* ��H
� 2"����������������#����� 5 2 ;a ������ �� 3 2 ;a b ��������� 4 2 3 ,ab c ������ 0, 0, 0.a b c> > >
� !��������"��������������������������������#���� 3 42, 2, 2; ������ �� 34 3 26 , , 2 .a a ab
���������N�������������������"��������������������������������������'���������"������� �����������"������
���!3-/ ( )2,3,4 12,= ����
���� ���
��������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������"����������� 0a > ����� Nknm ∈,, ��������
���� .n kn m m ka a⋅ ⋅=
�������� .m m k
n kn m m kn n ka a a a⋅
⋅ ⋅⋅= = =
������ ������ ����� �������������� �
��������������������3
3 3 92 3 61 3 3 1 3 3 1242 2
3 3 3 ; 2 2 ; .3 3
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
2"����� ��(� 5 5 2 102 2 2 4 ;a a a⋅ ⋅= = ����� (� ( )23 62 2 4 26 .a b a b a b= =
2 6 6 122 2 64,⋅= =3 4 43 122 2 16,⋅= =
4 3 34 122 2 8;⋅= =
��!3-/ ( )6,4,3 12,= ����
12 26 ,a a=3 44 123 3 3 9 ,a a a⋅ ⋅= =
( )4 4 43 122 2 83 42 2 2 .ab ab a b⋅= =
��
� 6������������������������ 9 68 ����� 3 28 .
( ) ( )6 999 6 3 18 2 29 98 2 2 2 2 4;= = = = = ( ) ( )2 33 2 3 2 23 38 2 2 2 4.= = = =
.���������������� 9 68 ����� 3 28 ��������������������� � �� � 9 36 28 8 .=
+�������������������� 3 dhe 3,3 6 312 6 �����������'���������"�����������������������������
���������$�� � ����m
n m na a= � ���#�36 1
612 6 3 612 23 3 , 3 3 , 3 3= = = � � /���6 3 1
,12 6 2
= = � ���� ��36 1612 23 3 3 ,= = �� � �� � 612 6 33 3 3.= =
�� 0�������������#�����12 8 ;a �� 24 18 ;a ��� 8 2 4 .a b
��� 12:2 6 6:2 312 8 8:2 4 4:2 2a a a a a= = = = ������ 12:4 312 8 8:4 2 ;a a a= =
�� 24:624 418 18:6 3 ;a a a= = ���-�����/$/ ( )8,2,4 2,= ������ 8 42 4 2 .a b ab=
�� 0�������������#����� 6 4 ;a ��4 28 ;x y ��� 6 4 86 .x y z
������"����������#������� 0a > ����� Nknm ∈,, ��������
���� ���
��������"��������������������"�������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������
��������� ������������������� ��
�������������� n ma ����"�����������������������������������"������������������������������� � �� ����
,m n p= ⋅ �������������)��� 0,a ≥ � .n nm n p pa a a⋅= =
���� 2 22 , | | ,kn m k p pn k a a a⋅= = = �����)��� Ra ∈ �
���� ( )2 12 12 1, ,k pk pn mn k a a a+ ⋅+= + = = �����)��� Ra ∈
����������#� 6 35 5 125;= = ��� ( ) ( )6 3 3
9 33 1 1 1 14 4 64; .
2 2 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��������:
: : : .m k m
n k nm k mn k na a a a= = = �������� ������ ����� �����������������
: : .n kn m m ka a=
0��������������������������������������������������������
��
�� 0����������������#����� 54 4 5, ;x x �� ( )33 2 ;x − ��� 2 4 4.x x− +��������������
���⎪⎩
⎪⎨⎧
<−=
>=
0për ,
0për ,0
0për ,4 4
xx
x
xx
x �� � �� � 44 | | .x x=
�� ( )33 2 2,x x− = − �����)��� Rx ∈
��� ( )22 4 4 2 | 2 |x x x x− + = − = − =
�� 6�������������#����� ,5 dhe 8 66 �� ,3 dhe 4 43 ��� ,11 dhe 5 3
���������/������������������������������"�������������������������������������������������������������������������
���� 6 68 5,> ����8 5;>
�� N�������������������������#����� 3 3 310, 8, 43; �������� �� 3 63, 6, 37.
�� ���
� <�� ���� �5����������"
�(� 3 2; ����(� 2 ;a ���%(� 3 22 ;a b ��� (� 2 34 3 .a b
)�� ������������( )9 11 :−
�(� 3 62 ; �����(� 8 64; �����%(� 5 32; ����� (� 0,01.
�(�!3-/�( ) 12 433,4 12, 4 4 ,= = ��� 12 34 3 3 ,= ����� 4 34 3> �������� 3 44 3;>
� :������� ��� �������"
�(�329 ; ����(�
124 ;
−���%(�
1249 ; ��� (� 1,516 ; ����(�
238 .
−
� �� ���"���(�
1 20,52 31 1 8
2 ;4 4 27
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� �� ���"���(�2 1 113 3 3;a a a
−⋅ ⋅ ���(�
11132 : ;b b b−⎛ ⎞
⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� ������������������������"
�(�14 ;x �����(�
11322 ;a b ����%(�
21323 .a b
−
� ������������������������"
�(� 4 3 ;a ��(� 4 2 32 ;a b �%(� 3 2 ;b a⋅ � (� 32 2 .a a+
�(� 0,5 0,25 0,75 036 81 16 5,6 .+ − −
%(�
65
13
4152: : .x x x
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
%(�!3-/�( )2,3 6,= ����� 6 3 65 5 125,= = ���� �6 23 611 11 121,= = ���������� 35 11.>
���������������� �� ���������������������� �( )7 8 :−
⎪⎩
⎪⎨⎧
<<−−−===−
>>−−=
2për d.m.th. 02për ),2(
2për d.m.th. 2për ,02
2për d.m.th. 02për ,2
xxx
xxx
xxx
�
�( ,6 dhe 2,3 63 �����(� , dhe , 8 243 2 ababa
%(� ,3 dhe ,2 8 54 36 2 yxxy
�( , dhe 6 54 3 aa ����( , dhe 2 6 53 2 abx
%(� ,3 dhe 2 6 23 2 baba
�� �(� 4 2 ;x �����(� 6 4 ;x �����%(� 6 3 ;x ����� (�12 8 .x
�(�12 6 3 ;a b �(� 4 2 225 ;a b
%(� 2 281 ;x y (� 12 9 364 .a b
��
��
�����$���������������
��������
G������ 3 2a ������� �������������������� �� �� �
������%������
A���$�"
�(�( )2;a b⋅ �(�( )2
: ;a b �%(�( )23 ;a b⋅ � (�( )
34: .a b
� + /��������������������#
!"������������������� ����������������������������������� �.���������������������������������
���������������������������������������� ��� ������������������������������������������������������
���������������
� ������#���� 3 8 64;⋅ ���� �� 38
.64
� ������#���� ( )3 27 64 125;⋅ − ⋅ � �� 532
.243
−
� )�� ������� �� �"���(� 9 6 33 ;x y z ����(�
63
36 3
8.
27
a b
x y
������������� 339 6 3 9 6 3 3 23 3 .x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ =
� /������������������������������������������ �������#
��� ( ) 3 33 2 2;x x x x+ = ⋅ + ������� ��4
42 4 2
?1 1
x x
x x=
+ +
���/���)��� Rx ∈ �����������������"�����������������������������'���������)������������
��/�� 0,x ≥ �����������������"�������������������)'�������������'�����������������������"������ � �� ����������������������������������� ��� ������������
( )1 11
;n nn n nnab ab a b a b= = ⋅ = ⋅ Nnba
b
a
b
a
b
a
b
an
n
n
nnn ∈>≥==⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛= ,0,0,1
11
6�����������"�������������������������� ����������������������
������"���������#
6�������"������������������������������������������������������������������������
��� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ ������ ��100 100
.25 25
=
��������������
��
� � 0����������������#������ 216 ;a b ��5 3
5 .32
x y
��������
��� 2 216 16 4 ;a b a b a b= ⋅ ⋅ = ��35 55 3 5
3555
.32 232
x yx y xy
⋅= =
0���'����������������������������"������������������� �������������������������
� �B������������������������������������#
��� 8; ����� �� 3 192; ��������� 4 11 ;a ������)�� 3 7 572 ;a b ��������� 24 16.a +
���������� ( )2 2 24 16 4 4 2 4.a a a+ = + = +
(����������������������B�������������������������,
E��������������� .n ma ������ m n> ����� ,m np r= + ��������� .np r npm ra a a a+= = ⋅ �/���������������
.n n nm np r p ra a a a a= ⋅ = ⋅
�B�����������������������������������#���� 4 35 ;a ������ �� 7 145 .x y
������������ 4 435 8 3 ,a a a= ⋅ ����� 35 8 4 3.= ⋅ +
� !������� ������ 212 2 3 2 3= ⋅ = ����������������������������
-���������������7�������'������������������������ � �� � 22 3 2 3 12.= ⋅ =
6�����'������������� ��������������� �����������������������
����� ( )0, 0 ,nA α β α β= ⋅ > > ��������� .nn nn n n nA α β α β α β= ⋅ = ⋅ =
����� 0, 0,α β> > ��������� .nnnα β α β= ⋅
�� M������������������������������#
����������)��22 27 4 27
3 .3 4 9 4
x a x aax
x x⋅ = ⋅ =
/�����������B�������������������������������������������������"���������������������������������������� ��� �����������"������������
������������� 3 28 2 2 2 2 2;= = ⋅ = ��� 4 4 411 8 3 2 3 ;a a a a a= ⋅ = ⋅
��� 3 2 ;x x⋅ ��������� ��2
4 ;a b
b a⋅ �������������� 3
13 ;
9a
a⋅ ������������)��
2 27.
3 4
x a
x⋅
��
�� /����������������������������������������#
��� 3 5 ����� 4 3; ������ �� 32 3 ����� 3 25; ��������� 42 10⋅ ����� 43 2.⋅
���� ���
!���������'�����������������������������������'��������������"��������������������������������'�������'�����������������������������������
0���'����������������������������������������������������������������������������#����������������������������������������������'�������������������� �?�������'������������������� ����������������������������������������������������
������"������'��������������������������������������������������������
/������� ������������ 3 52 422 2, 3 , 4 ,
3ax a b a ���������������'�����������
���� ���
������������������'���������������#:� �!����������������������� ������������������������������� 7� ��!����������������������� �����������������������B������������������������� 4� �0��"�������������������"���������������������������������������������� ������
�� /������������� 18, �� �� ( )13 1, 0 ,a a a
a≠ ≠ ���� 2 242a a b ����������'�����������,
������������ 18 ������������'����������������� 218 2 3= ⋅ ����� �����������������������B�������������������������
��!�������������������������1
a����� �������������������������������
��� 4 2 22a a b ������������'�������������������"�������������������"���������������������������
���������������� �������7��� � �� ������������������������������"������������"�������������
�� !���������'����������������������#���� 48; ������ ��1
;2
���������3
2 .xx
��� 48 16 3 4 3;= ⋅ = ������ ��1 2 1
2;2 4 2
= = ��������� 2 2
3 3 3 32 2 2 2 2 3 .
x x xx x x x x
x x x x x
⋅= = = =⋅
����������������������'����������'���������������'���������������������������������� �?��
�������������� �������"������������������#� 23 32 2 2 3 .x x x
x x⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
������������� 2 23 5 3 5 45; 4 3 4 3 48.= ⋅ = = ⋅ = ��/��� 45 48,< �������� 3 5 4 3.<
��������
�
���� ���
.��������� ������ �������� '��������������������������������������'������������������ ����������
�� ���
� �� ���"��(� 16 121;⋅ ������(� ( )3 8 27 64;⋅ − ⋅
%(� 2 285 84 ;− ������� (� 519
7 .32
� �� ���"��(� 2 4 ;x y⋅ ������(� 8 124 81 ;x y
%(�15
510
32.
x
y
−
��&��������$� ��������� ������������"
��(� 108; ���(� 3 5 454 ;x y ��%(�3 5
4
12.
a b
c
� A���������$� ���������� ����� ������"
�(�3 2; ����(� 42 3
;3 2
���%(�1
;aa
���� (�3
2 .2
xxy
y
� 3���� �����������������������"
��(� 33 32 dhe 22 ���(� 33 27 dhe 55
�%(� 33 32 dhe 23
� �������������������� ����������"
�(�1
5 ;3
��(� 3 54; �%(� 2 53 ;a b � (�12
;abab
�(�1 1
2 ;2 7
+ � (� 3 24 8 ;a a− ��(�2
1.
a b
b a a−
� ����������� ���������������
��������
:���������������������������>
:������������� ��%� �������������"2 22 ; ; 0,25 ?a b xy y−
��������� ���������>
� � !������������'�����������#
��� 2 32
24 ;a
a⋅ ���� �� 8; ���������
1;
2�������)�� 250a
����������������
��� 2 2 2 3 33 32 2
2 2 14 4 4 2 4 2 ;
aa a a a a a
a a a a
⋅⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅⋅
�� 2 2; ���������1
2;2
������)�� 5 2.a
!����������������������������������������������������������'��������������������������� ������������
���������������'���������������#� 3 2 45 ; 7 ; 3 2a a b ab⋅ ⋅ ⋅ ������������������I��<������4
6��'���������������������������������'��������������������������������+�����������������H���7������
21�����I�
�
� 0��"��������������"����������#����� 8 ����� 32; ����� ��2
3�����
16 ;
6��������
2
a�����
2.
a
8 4 2 2 2,
32 16 2 4 2;
= ⋅ =
= ⋅ =
� 0��"��������������"����������#���� 3 16 ����� 3 54; � ��1 3
2 4+ �����
8 1;
9 3− ����
x
y����� .
y
x
��������
������ �� ��������������� ���������$�������������
� ���� ��� �������
�������������������� ������������
� �
1 12 1 .
2 2ab ab ab− +
0����������������1
2 3 3 3 1 3.2
− +
��������$��� ��������������� ��������#
1 1 12 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3.
2 2 2⎛ ⎞− + = − + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
6������'�������������������������� ���������
����#��� ���������� �������������������"������
� ������������#�����5 5 7 20 2 45;+ − �� 3 3 33 5 8 27 .a a a+ −
���������+�������������������������������������������������������� �?��������������'��������'����
���������������������������������������"������
��� 5 5 7 20 2 45 5 5 7 4 5 2 9 5+ − = + ⋅ − ⋅ = ( )5 5 7 2 5 2 3 5 5 14 6 5 13 5;+ ⋅ − ⋅ = + − =
�� 3 33 33 3 3 33 5 8 27 3 5 2 3a a a a a a+ − = + − = 3 3 3 33 5 2 3 10 .a a a a+ ⋅ − =
� 0�����������������#����� 3 23 4;a b a
a b+ �� ( )3 3 3 3125 8 27 64 .x x x x− − −
/������� �����������#� 3 3 3 32 2 2 2 214 2 , 2 , 2 2 , 2
2a b ab ab b ab ab⋅ ⋅ ��������"������
6��'�������������������������������#� 2 14 , , 2 , 1.
2a b b
��������
2
2 2 3 6 16,
3 3 3 3 3
1 1 6 16 6 6 6 6;
6 6 6 6
⋅= = =⋅
⋅= = ⋅ =⋅
���1
22 2
aa= �����
2 12 .a
a a=
��������� �� ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3125 8 27 64 5 2 3 4 5 2 3 4 4 .x x x x x x x x x x− − − = − − + = − − + =
�� �
��
�� ���
� 3��������������������� �����"���� ,8 dhe 2 ���� �� ,98 dhe 50,18 ������ . dhe , 3 2232
32
−− yxx
y
y
x
� �� ���"��(�8 2 6 2 8 18;− + − ���(�1
25 0,2 2 1 3 20;4
+ − ��%(� 6 6 94 4 2 9 3 8;− −
(�1
12 27 48;2
− + ���(�1 1
32 0,5 2 27 .3 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�������)��������)�$�'�����������������������
� + /�������������������� �����#����� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ ���� ��100 100
.2525
=
!"������������������� �������������������� �6������������������������)'�������������� � ��
( )1 1 1
n n nn n na b a b ab ab⋅ = ⋅ = = ���������
1 1
1 .n n n
nn
n
a a a a
b bbb
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
������"�������������������������"�����#
6����"����������������'����
� ������#����� 2 3;⋅ �� 5 52 2 ;x x⋅ ��� 3 2 25 5: .x y x y
������������ ( )3 2 2 3 2 25 5 55: : .x y x y x y x y xy= =
����������� ������������ ���������������� ���������� ��� ����� ���"���� ��� ������ �/��������������������������������������������������������������������������������"�������������
��� �
� ������#����� 12 3;⋅ �������� �� 3 2 32 25 3 15 ;a a⋅ ����������� 48 : 3;
)��3
4 3 427 : ;3
aa ����������� ( )( )3 2 3 2 .− +
� �� ���"����(�2 36 3 25 2 9 ;a a a− + ������������(�4
3 34 4 2 33 32 22 3 2 .
b aa a b a ab a b
a b− − +
� �� ���"����(� 4 4 4 416 81 625 ;a a a a+ + − ������(�( ) ( )3 39 8 27 16 .x y y x− − −
/���)'������ . dhe 0,0 Rnba ∈≥≥ ����#
� n n na b a b⋅ = ⋅ ������������� .n
nn
a a
bb=
��
�� ( ) ( ) ( )4 3 63 4 12 12 122 2 2 2 2 2x x x x x x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )4 3 6 13 1212 122 2 2 2 .x x x x+ += = =
)�� ( ) 4 633 2 3 3 2 2 6
9 62 : 2a b
a b a b ab a b aa b
⋅ = =
2 2 2 6 66 65 6
1 12 2 2 2 .
aa a a a a a
a aa= = = =
� ������#����1
3 5 15;3
��� ��2 3 2
9 : 2 ;27 2 3
⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�������� 32 12 4 ;a x x
a⋅ ����)�� 3 62 34 : 2 .a a
� � ������#����� ( )23 2 ; ��� �� ( )3
2 .a b
������������ ( )2 3 23 3 3 32 2 2 2 2 2 ;= ⋅ = ⋅ =
������"����������"�������������)'�������������� � �� � ( )1 1
.
m mm m n mn n n na a a a a⋅⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠���� ���
N�����'�����������������'���������������������������������������'������'�����������������������������"���������������� � ��
( ) Nnmaaa n mmn ∈>= ,,0,
� ������#���� ( )25 ; �������� �� ( )2
3 23 ;x �����������3
.a
abb
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
� ������#���� 3 ;a b⋅ ������ �� 3 42 2 2 ;x x x⋅ ⋅ ��������� 3 2: ;a a ������)�� 33 2 3 3 22 : .a b a b ab a b
N����������������"������������������������ �/�����������������������������������"����������������������������� ����������"�������������������������������������������������������"�������������
��������
������#���� 3 729 ; �������� �� 4 3 .ab
�������� �� ( ) ( ) ( )1
1 1 122 84 43 3 3 3 34 8 .ab ab ab ab ab
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
������"��������������"���������)'�������������� � �� � ( )1
1 1 1
.n
n m m m nn m m na a a a a⋅⋅⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� /�������������������� ������������� 3 664 64.=
�� ( ) ( ) ( ) ( )31 33 32 2 2 2 6 3 32 2 .a b a b a b a b a b a b b
⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
��
���� ���
N����� ���������������������������������������� ����������������������� ���"������� ����������� � ��
.,;0, Rnmaaa nmm n ∈>= ⋅
�� ������#���� 3 8; ������ �� 3 43 5 2 ;x y ��������� 3 2 .x x
������������� 3 3 63 4 43 2 2 2 2 .x x x x x x= ⋅ = =
�� ������#���� 2 2 2 ; ��� �� 3 2 3 ;a a⋅ ������ 3 3 2 .a a a⋅
�� ���
� �(� 2 7 3 7;⋅ ����(� 8 18;⋅ ���%(� 3 2 6.⋅ ⋅
6������������������������� ( )1 10 :−
� �(� 5 ;a a⋅ ����(� 3 27 ;x x⋅
%(� 33 5 42 25 3 5 .a a⋅
� �(� 3 ;a a⋅ ���(� 2 33 42 3 ;x x y y⋅ ⋅
%(� 3 42 2 2 .x x x⋅ ⋅
� �(� 48 : 3; ��(� 33 54 : 2; ��%(� 2 3 29 : 2 .
75 2 3
⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �(� 3 4 : 2; ���(� 35 8 : 2; ����%(� 62 1 3
1 : 3 .3 3 8
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �(� 5 : ;a a ������(� 3 32 23 : ;a a ����%(�3
4 3 427 : .3
aa
� �(� 3 2: ;a a ���(� 3 62 34 : 2 ;a a ����%(� 52 23 : .a a a
�(�1
2 6 27 2 3 2 12 3 3;3
⎛ ⎞+ − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
�(� ( )5 50 10 18 25 98 : 5 2.− +
�(� ( )72 38 ;a b �����(�4
42 3
;3 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
����%(� ( )23 23 ;x
(�( )22 3 .+
(� ( )63 2 3 ;a b �����(
53
;a b
abb a
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� �(� 3 3 ; �������(� 3 4 3 ;a ������%(� 4 ;a a
(� 3 : ;x xy y xy ������(� 3 3 2 .a a a⋅
/����������������������������������������������'����������������������"�������������������������'�����������
��
��%���������������������������
��������
( ), 0 .m m k
kn n k
⋅= ≠⋅
( )2 , 0 .a a a a a⋅ = = >
( ), 0 .n na a a= >
� + ������� ������ �� �����10
2� ���
����5 2 ���������������������������
$����������������������'����#
10 :1, 41421 7,07108...;= 5 1, 41421 7, 07105.⋅ =
$����������������������������'��������������������'�������������������,
-�������10
5 2,2
= ⋅ �� � �� �����������������������������'�������������������������������
�"������������������������������������
���� ���
0���'���������������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������� � �� ������
� N�������������������������#�����4
;3
����� ��3
12;
4�������
2 2
.a b
a b
−+
��/��� 3 23 4 2 ,= �������� ������� ������ n na a= ������������������"����������� 3 2.
���( )
( )2 22 2 2 2
2
a b a ba b a b a b
a b a b a b a b
− ⋅ +− − += ⋅ = =+ + + +
( )( ) ( ) .a b a b a b
a b a ba b
− + += − +
+
/���������#�3 3 3
33 33 32 3
12 12 2 12 2 12 26 2.
24 22 2
⋅ ⋅= ⋅ = = =
6����� �����#� ( )2a b a b a b+ ⋅ + = + �������� ( )( )2 2 .a b a b a b− = − +
���������$���"������������������#����2
4 4 3 4 3 4 3.
33 3 3 3= ⋅ = =
!����������������������������������������������������
!��������������������������)�����������������������������'������������������������������'����������"�����������������������������������������
:������� �� ���� ������ ��%����� ����� ��� >
��
���� ,n m< �������������������������������'������������������������� ����������������������
� N�������������������������#�����5
;3 2
��� ��3
5;
49������
2 2
3
4;
2
a b
a b
−−
���)��3
4.
16
���2
5 5 2 5 2 5 2;
63 2 3 2 2 3 2= ⋅ = =
��3 3
3 33 2
5 5 7 5 7;
749 77= ⋅ = )��
3 2 33
33 3 34 2
4 4 4 2 4 44.
2 216 2 22 2= = ⋅ = =
⋅
���( )
( )( )
2
7 3 2 7 3 27 7 3 23 2;
73 2 3 2 3 2 9 2
− −−= ⋅ = = = −+ + − −
��( )
( ) ( )2 2
6 5 36 6 5 3
5 3 5 3 5 3 5 3
++= ⋅ = =− − + −
( ) ( )6 5 33 5 3 .
2
+= +
� N�������������������������#�������5 3
;5 3
−+
������� ��2 3 2
.4 2 3 3
++
��������� ��0�������������"����������� 4 2 3 3,− ����
( )( ) ( ) ( )2 24 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 .+ − = − �6��#��
2 3 2 2 3 2 4 2 3 3
4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3
+ + −= ⋅ =+ + −
( ) ( )2 2
8 6 6 9 4 4 3 6
4 2 3 3
− + − =− ( ) ( )
( )2 2
2 2
5 6 25 6 18 86 2.
32 274 2 3 3
−− + = = −−−
��������
( )( ) 2 2;a b a b a b− + = −
��������� .n n n nn m n m n m n m
n n n n nm m n m m n m n
A A B A B A B A B
BB B B B B
− − − −
− + −= ⋅ = = =
��������
���( )( )
( ) ( )2
2
2
32 2 2 23
3 3 3
24 42 2 .
2 2 2
a ba b a ba b a b
a b a b a b
−− −= ⋅ = + −− − −
����������/����( )( ) ( )223 2 3 2 3 2 ,+ − = − ����#
� N�������������������������� ( ), ,n m
An m
B> �������������������������������������"� ������
��������������������������������������������������
( )( ) ( )22 ;a b a b a b− + = −
( )( ) ( ) ( )2 2;a b a b a b− + = −
� N�������������������������#
���7
;3 2+
������� ��6
.5 3−
��
� �(�3
3;
18������ ��
4
6;
8��������
4 3;
a
a�������)��
5 3.
b
b
� �(� 1;
1
b
b
−−
������ ��2 2
;a b
a b
−+
����������3
.a b
a b
−−
� �(� 2;
2 2−��� ��
12;
3 3+������ 5
;2 3 2+
)�� 2 3;
2 3
−+
�������� 3 2 2 3;
3 2 2 3
+−
������ ;x y y x
x y
−−
'��2
.3 5−
�� ���
� �(� 20;
3 5������ ��
4;
8�������� 33
;11
�������)��3
4.
2
N�������������������������#
� �(�2
;b
b������ ��
25;
a
a��������
3 2
2;
4
x
x������)��
4 3
2.
x
x
������������%�����
��������
:������������ �� �� �������%����� ����� ��� ����� %������������ �� ���%����� ����� ��� ���� �� >
������ �������� 2, 3, 5 ?
) � �� �� �� �%����� � ���� ��� � ����� ������� �%��� �"���� ��� ��$���� �������$����� �������� ����$���� � � �� �� ����� ��� ����������� ��%��� ��� ��� �%��� ���%����� ����� ��� �
� � (�������������������������������������������"�� ���,
���1
;2
����� �� 3; ��������� 2 4 ;x y− ������)�� 2 ;a+
���3
;x y
xy
−�����������
4;
5��������'��
12 35 .a bc−
!�����������������������'������������������K������������������������������������������������������������������������������
� /�������������������������������������������#
��� 2 2;x x− − �������� �� 2 31 ;x x+ − ���������� ( )131 1 ?x x+ − +
��� 2x ��������������������)���������������� � �� � ( ), ,x∈ −∞ +∞ ������� 2x − �������������������
2 0, 2,x x− ≥ ≥ �� � �� � [ )2, .x∈ +∞ �/������ );,2[),2[),( +∞=+∞∩+∞−∞∈x
��� 1x + �������������� 1,x ≥ − ������� ( )1
331 1x x+ = + ���������������)������������
�
���
3;
1 2+ ����������� ��11 3
;3 5 2 3+ ������������ ;
a
a a− �������)��2 24
.2
a b
a b
−+
!���������������������������������
/�������� [ )1, .x ∈ − +∞
N�������������������������#
��
� (�������������������������������������������������������#
��� ;x x− ������ �� 33 ;x x− − �����������2
.3
x
x
−+
���� ����� ��� ��� ���������&������� ���$ ��(
�����������������������������������������������������������������������������"����������������
� (���������������������������������������������������#
��� 3 81; ������ �� 5 32; �������� 7 4; ������)�� 3 63 ?x y
�� 5 32 2;= ����)�� 3 6 23 ,x y xy= �����������������������������������
� (�������������������������������������������������������� 2x y+ ����������������������������
���������/��� 1, 4x y= = ���������� 2x y+ ��������������������� 1 2 4 9 3.+ ⋅ = = �/��� 4,x =
.�������������������������������'����������������������������������������������� �0���'�������������������������������� ����������"����������������������������
� 0����������������#������� 233 ;a a a a a⋅ ⋅ ���������� �� 2 31 54 ;x x x
x x+ +
���1 1
;2 3 2 3
++ −
���������)��5 1 5 1
;5 1 5 1
− +++ −
������������������� .a b
a b a b+
+ −
�� 2 3 2 21 5 1 54 2
xx x x x x x x
x x x x x
⋅+ + = + + ⋅ =⋅
( )2 1 52 7 ;x x x x x x x
x x+ ⋅ + ⋅ = +
�� ���
� :�������� ��� �� �������������� ��$�� ��� ���"
�(� 2;x + �������(� 22 1;x x+ − + ������%(� 3 5 ;x x− + − ������ (�1
;2
x
x
−+
��������(�2
.3
x
x
+−
� :���� ������ ��� �� � ���������������� �� ������� �� ��%����� "
�(� ;x x− �������(�5 5;x− ������%(� 22 ;x x− ������ (� 3 233 ;x x− ⋅ �������(� 3 38 ?x x−
�
�(� 5 52 3 ;x x⋅ ���(� 3 32 2 ;a b ab⋅ ��%(� 8 : 16; �� (� 3 32 4
36 : 2 ;3 3
���(� 3 : ;a b ab � (�( )332 4 ;− ���(� 3 2 6 .x x x⋅
)�� �������� �� ������ �������%�����%���� ���� ��������� �� ���%����� "
� �(� 60 3 135 10 15;− + ��(�2 75 3 48 5 12 2 3.+ − −
2"����� ���� 233a a a a a⋅ ⋅ = 33 6 6 663 4 4 5 3 12 2.a a a a a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
6����������������������������������������������������������������������������'������������������������������������
)�� ������� �� �� ( )4 6 :−
6y = ����#� 4 2 6 16 4,+ ⋅ = = ����
��
����������������������������$��%�
�(���������� � ��D�������D= �(������ �� ���� 343− ������� 7;−%(��� ���� 3 8− �������������= (������ �������� �;:�������4>
:���� ������ ������� � ������������� ��"�
3��%������� ������������������ ���"���(� 32 3 ;x x+ + ������(� 22 2 ?x x− − +�
�� ������ ��� ��� �� �"���(� 3 53 25 2 64 32;− − + − ������(�2 1
0,5 3 39 8 125 .− +�
�� ��� �%��� �� ��������"���(�
31 12 2 2: ;x x x
−⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
������(�
2212 1 322 : .a b a b−⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
�
������ ���������������������������"���(�1
23 ; ������(�21322 ;a b �����%(�
1
22 3 .x y+�
������ ���������� �� �� ���%������������"���(� 4 2; ���(� 3 4; ���%(� 3 22 ;ab �� (� 232 .x x y−�
�� �������� �� ���������������������� "���(� 3 2 2 26 4, , ;x xy x y ����(� 82 5 34, , .a a b a b�
G��������������������������������� 3 42, 3, 3.
������ ��������������� ������"��(� 200; ��������(� 5 73 8 ;x y ��������%(�6
53
.y x
x y
�� ������ ��� ��� �� �"��(�3 8 128 200;− + ��������(� 2 2 23 6 ;x y x y⋅ ��������%(� 2 34 : .a b ab��
�(�( )3 2 2 8 2;+ ⋅ ��������(�( )3 4 4 3 2 25 5 5: .x y x y x y−��
�� ��� �%��� �� ��������� ( )11 12 :−
�(� 3 3 ;a a ���������(� 23 ;x x y⋅ ����������%(�( )23 2 2 .a b ab⋅��
:����� ���� �� � ������������ �� ������� �� ��%����� "
�(� ;x x− ����(� 3 32 ;x x− ����%(�3 5;x x− ����� (� 3 38 ?x x−
��
G�%������$�� ��� ���� ���� ���"��(�26
;4 3−
���������(�5 3
;5 3
−+
���������%(�
2 2
.x y
x y
−+��
)�� ������� �� �� ( )15 4 126 11 .
6 1 6 2 3 6
⎛ ⎞+ − ⋅ +⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠��
3 2 6.
10 7 3 7 4 10− +
− − +�(� ;
a b a b
a b a b
− +−+ −
������(�5 3 2 2
: .1 11 1
x x x x
x xx x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −− +⎝ ⎠
� �
�
��������������#�������
� �� ���� ( )1
31 1x x+ − − ������������� ����������������������� �����"
�(�( )1, ;+ ∞ �������(�[ )1, ;+ ∞ ������%(�[ )1, ;− + ∞ ������ (�( )1, .− + ∞ :
� 0� �� ��� �� ��2
38 ������"��(�=H=�������(�:==������%(�H=������ (�7� :
� 3������������������� �� �� 3a a ������ ���� ���"��(� 6 ;a ����(� 6 3 ;a ���%(� 3 ;a ���� (� 3 2 .a :
� 0� �� ��� �� ���
211 2a a−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟
⎝ ⎠������"��(� 1;a− �������(� 2 ;a− ������%(��=������ (���� :
� ����� �� ��%����� ��� �� ���� ���"��(� 22 ;x x ����(� 22 ;x x ���%(� 33 8;− ���� (� 3 38 .x x− :
� ��� �������������� ����� ��������������������� ������� ��$�������� ����$����� nx a= ���������������������%���� �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� ��������� 7
� .������ ����%������%����� �� n a ���� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
G����� �������� ������� �IIIIIIIIIIIIIIIII�� �� ���������������������������$�����������������
����� � ��� 7
*���� ������������������������������������� ���������������� ������������ ��%� ���� ������ ���� �
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
�� �� ���"��21
0,5 3236 25 8 .− + 4
�� �� ���"��
21 3 3 1
2 2 2 21
2 .2
a b a b⎛ ⎞
⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
4
�� �� ���"��1
3 36 2 25 9 .3
a a a− + 4
�� �� ���"���(� 3 35 42 25 3 5 ;a a⋅ ������(� 3 2 34 : 2 .a a 4
�� �� ���"�� 2 2 23 3 .x x y y xy⋅ 4
�� G�%������$�� ��� ���� ���� ���"�����(�20
;5 5+
������(�3 2
.3 2 2 3−
=
��
�����* �������#����#�
2"������ ����������������� �6������������
����������������������������� �$ ����������� �����������������������
!���������������������������������� $������������������
/��������"��������������������������
$ ������������ ���������������������� ��������� ��������������
-����� �� ������� ��� ������������
.����������������������� ���'����
�
��
��
�
��
�
�
�
�
.��������������������� � ���
����
�)��
�)��
�
�
��)��
#$%&�'()('�*�)*&$�
�
;��������� ������ �����������������������&7K8��9��5�������� �� C8L��������������������� ���������������� ��
� �%��� ����� ��� ��� ������$����������������������������������������������� �����������������
������
M �%�������$���� �����������������������>
�������� ��J�N������������ �������������� ���������������������������������������3���� ������� .52 N∉− �3 �
����� ������ � � �$�������� ���$�� � ��� ������ x a b+ = � ��� %����� ���� ����� � $������ � ����!� )�� ������� ����� ���$�� �
6 3, 3 1x x+ = + = � ���
O����� � ����� ����������������� ������������ ������ �����������������������������$�� �� ��� �@��� �� ������
� �������;��������� ���������� ������������ ������ ����������� ������� ��� �<���*�� �������<7K����#5��#9�#8��@��8��9�
5�����L�
�������������������������������������������2 3.x = �.��������� �������������"�������� �������
����������������
�������������"������������������ ����������'������ax b= �����������������"��������2���������������������������������� ��������2 �� � �� ������������������������������"������������������������
/������ ��������2��"���������� ������������������������1����
2"�������� �������2 3x = ���1�������32=x
�"������ ���#���������������(#���������������#����#��
.0,,/⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≠∈= bZba
b
aQ
�������2 3x = �������"��������2,�
������� 2 3x = �������"��������1,�
������������������������������������������������ 2 3,x = �� � �� ���� �������������"�������� �������
���������������
���������������������"���������� ������������'������ ( 0)nx a a= > ��������������'������������������
��������������������������� ������������������������������������� .� �0�����������������
2 1,41421356 ,= � � 3,141592654 ,π = � � 3 1,7320508 ,= � ����
Q��� ������������������������������ �������������������������������� ����������������
���������������������N �.��������� .JQR �=
�
�)��
�
0�����"���������� ������������������� ������������������������������������������������������������
���������� ���������������� ������
0������� �����������"������ �����#
��� 3 5;x + = ����� �� 3 1;x + = ��� 2 3 0;x − = ���)��� 2 5;x = ��� 2 1 0?x + =
������������� Nx ∈= 2 ,2 �.��������� ����������"������������������� .RQZN ⊂⊂⊂ �������"�����
������#�2��1�����N
/����������������������������"�������������� ����������������������� ��/�������"������"��������������
�������������������������#
+�� ��������������������K����� ������������*
,�� �������������������������� �������������������������������� 1;−/���� ���������� ��� ��������'���������������� ������������������������������� �������������
���������������������������������������� ���������������������������� ������
�������������������������������������������������������� � �� � 2 1.def
i = −
-�������� .RQZN ⊂⊂⊂
� /
��� .2
3 ,
2
3Qx ∈= � ����������"�������������N
���������� 2 1 0x + = ��������"�������� ��������������������� �/�������� ������������������'�������
��'����� 2 1,x = − ��������������������������������������������"���
1������������������������������������������'����'����������������������������������� ���� �����
�������������������������� 1,− �� � �� � 2 1.def
i = −
���� ���
�� ,2- ,231 Zx ∈−=−= � ����������"��������2�������������1�����N����������������G������� N∈− 2
)��1 25, 5; 5, 5x x= = − − ∈� ����� .5,5 Q∈−
��������������������������������������������������� ��������������"����������������������� ����������������"���������������'������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�
!��������������������������������������������������������������"����#
��� ( ) ( )Re 4, Im 2;z z= = − �� ( ) ( )Re 0, Im 3;z z= =��� ( ) ( )Re 2, Im 0;z z= = )�� ( ) ( )Re 0, Im 0.z z= =
������������� 4 2 ;z i= − ������ �� 0 3 3 ;z i i= + = ��� 2 0 2;z i= + = )�� 0 0 0.z i= + =
/����������������������� z a bi= + �����������������#
����� ( )Im 0,z b= = � ������� Raaiaz ∈=+= ,0 !/���� ����� ���� ��� )��� ����� ����� ������ � ������ ����
����������� � �� � .QR ⊂ �/������������������������"�������� ���������������������������������������
�
(�����������������������"��������)�����������������������������������#
��� 2 3 ;i+ �� 4 2 ;i− ����� �����)�� 3 .i
�
���� ���
�������������� z a bi− = − − ��������������� ����������������� .z a bi= +�������������� z a bi= − �������������������������������� z a bi= + ����
�����������__
.z
�������� ��� ( ) ( ) ;z a b i a b i a b i z= + = − = + =
��� ( ) ( ) ( ) .z a bi a bi a bi z− = − − = − + = − − = −
!������������������������������������������"�������������#
��� 4 2 ;z i= − ���� �� 0 3 3 ;z i i= + = ��� 2 0 2;z i= + = )�� 0 0 0.z i= + =
������������������������������������ 4 2 ,z i− = − + ���������������������"����������__
4 2 ;z i= +
�� 0 3 3z i i− = − = − �����__
3 ;z i= − ��� 2 0 2z i− = − − = − �����__
2;z = ����)�� 0 0 0z i− = − = �����__
0 0 0.z i= − =
����� ,z a bi= + �0��"����#����� ;z z= = ������������ �� ( )__
.z z− = −
�
�
� !�� ( )Re 0,z a= = ��������� 0 ;z bi bi= + = ��������� 0,b ≠ ��������� bi ����������������������
$�"������������������'����0 0, 1 , 0 , 0 ,i i i a i a bi bi⋅ = ⋅ = + = + =
� � �� � 0 ,1 , 0 , 0i i a i bi+ + ��������������������� 0, , , ,i a bi �����������
N�������������������������������"������������������"���*������ ��� a ������������������
��"���� | | .a i ��.������������� 0 : | | .a a a i< =/������� ����� 4 4 2 ,i i− = = 1 1 .i i− = =
�
�� ���
� :������ �%����������������� �� ���������$�� �����
$������ "
�(� 10 5;x − = �(� 5 2;x + =%(�4 5 0;x + = (� 2 7.x =
� ����������������� ������� �����������"
�(� ( ) ( )Re 3, Im 12;z z= − =
�(� ( ) ( )Re 10, Im 0;z z= =
%(� ( ) ( )Re 2, Im 3;z z= =
(�� ( ) ( )Re 0, Im 4.z z= = −
� ��� � 2 5 ,z i= − ������#
�(� ;z ������������(�( ).z−
� ������� ������ ���� ��� ��� �������� �� � ��
����������������"
�(�2 3 ;i+ ����(� 32 32 ;i− − ���%(�7= �� (�I4 �
� ������� � ���� �� � �� � �������� � ��� �����
���� ��"
�(�1 3 ;i− ����(�3 32 ;i− �%(�5 ;i ���� (�=
���������������������������������������� ��� �������������������������������������
.���������������� ���� ��������� ��������������������������������� ����� ��� ��� ����� ����
���������"������������� ��� ���� �
/������������������������������� ������ 2 3 ?x i yi+ = +
��������������������������������������������������������������
���� ���
/����������������������������� ������ ( ) ( )2 2 3 2 ?x y i+ + − = +
���������������������������������������������2 3 1
.2 2 4
x x
y y
+ = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− = =⎩ ⎩
��
!��������������"���#������ 9;− ��� �� 49.−
�
�
0����������#������ 81;− ��� �� 144.−
3�� %����� ����� ����� �� ��� ����� ��� ������ �������$�� "
��(�6 2 4 ;xi y i+ = +�(� ( )5 6 2 ;x i i yi+ + = +%(�3 12 12 ;x xi y iy i+ − = + − (��3 3 12 4 ?x yi xi y i+ + − = −
0������ ��������������� ��� �����'�����
������ ���� ������� �� ��� ������
��������
���� ���
���������������������
�����������������������������
������������������������������'������������
�����#
�������
���������������������������������8��������
����
���������������������������������������8��������
���������������������������������������#
��� 1 2 3z i= + �� 2 3 2 ;z i= − ��� �� 1 4 2z i= − ����� 2 2 ;z i= ���� 1 3 6z i= − ����� 2 5.z =
������� ������ ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 5 ,z z i i i i+ = + + − = + + + − = +
���������������������������������������#
�
�
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 5 ;z z i i i i− = + − − = − + − − = − +
�� ( ) ( ) ( )1 2 4 2 2 4 0 2 2 4,z z i i i+ = − + = + + − + = � ( ) ( ) ( )1 2 4 2 2 4 0 2 2 4 4 ;z z i i i i− = − − = − + − − = −
��� ( ) ( )1 2 3 6 5 3 5 6 8 6 ,z z i i i+ = − + = + − = − �� ( ) ( )1 2 3 6 5 3 5 6 2 6 .z z i i i− = − − = − − = − −
�
��� 1 12 32z i= + ����� 2 13 22 ;z i= − ������������ �� 1 4 12z i= + ����� 2 8 .z i= −
E���������� 1 22 3 , 8z i z i= + = − ����� 3 3 4 .z i= − �/�����������������������#
��� 1 2 2 1;z z z z+ = + ����������� �� ( ) ( )1 2 3 1 2 3 .z z z z z z+ + = + +�
.�������� ����������������������������������������������������� ������ ��� ������� ������ �������
�����������������������������"�����������������������������"�����������������������
����������������������������������������������������������������������'�������������������������������
�������������� �����������������������������������������������"�����'������������������������"�������
�������������� �������������"�������������������
����� ���� ����������������� ���
2 1.def
i = −
��������
:����������� ���� �� ����� �%������������� � ������
14 12 ?i−
:������������������� ��� ����������� �������
4 11 ?z i= +
3������������������������������ ��"
���2 6
;3 9
= ����������(�4 6
.2 4
=
� ����������� ���������������#����#�� �)��
�
������� ����� 1 2 2 12 5 ;z z i z z+ = − = + ����� �� ( ) ( ) ( )1 2 3 2 5 3 4 5 9z z z i i i+ + = − + − = − ����
( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 3 12 5 9 .z z z i i i+ + = + + − = − �.��������� ���� ������ ��������� ��� ����� ������ �������
1 2 2 1z z z z+ = + ����� ( ) ( )1 2 3 1 2 3 .z z z z z z+ + = + +
O��������� ���������� �������������������������������������������������������� � �� ����
)'�������������������������������������#
1 2 2 1z z z z+ = + ����� ������� � ��������
( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + + ���� ��������� ����
������� �
.4)22()33()23()23(
Re,6)22()33()23()23(
iiizz
iiizz
−=−−+−=+−−=−
∈=+−++=++−=+
�� ���������������
/��� )'������ ����� ��������� ,z a bi= + � �����_
2z z a+ = ������ ����� ������ ������ ������_
2z z bi− = ��������������"���
/������������������ 1 6 3z i= − ����� 2 1z i= − ����������������� �����
1 2 1 2 ?z z z z+ = +
������� �� ( ) ( )1 2 6 3 1 7 4 7 4z z i i i i+ = − + − = − = + ����� ( ) ( )__ __
1 2 6 3 1 7 4 .z z i i i+ = + + + = + �.������������
�������������������������
������� z z+ ����� ,z z− ����� 3 2 .z i= −�
�
�� ����������������
��������������������������������������������� 1 2 1 2 .z z z z+ = +
������#��� 4 1 25.− + − − −
������� �� 4 1 25 2 5 2 .i i i i− + − − − = + − = −
!�������������� �� �
6���� ����������������������)'�������������������
����������������������������#����#�(�������������#����#��
��������
:������������������� ����������������������3 5 ?i−
:������������� �������� ���7��4���87��
���� ���
����� 1z a bi= + ������ 2 ,z c di= + ������������������������������������'������������������#
(������������������������������� 1 3 4z i= + ����� 2 3 5 .z i= −
�������������������������������� 1 1z i= − ����� 2 2 .z i= +
( )( ) ( ) ( )1 2 .z z a bi c di ac bd ad bc i⋅ = + + = − + +
�
��������� ( )( ) 21 2 3 4 3 5 9 15 12 20 9 15 12 20 29 3 .z z i i i i i i i i⋅ = + − = − + − = − + + = −
�
�� ���
� �
�
�� ���� ������� � �� � ���������� � �����
���� ��"
�(� 1 4 3z i= + ��� � 2 4 8 ;z i= −
�(� 1
2 5
3 4z i= − ��� � 2
1 3;
6 8z i= −
%(� 1 2 3z i= + ��� � 2 3 2 2 3 .z i= −
)���� ���� �� zzzz −+ dhe ���
�(�� 10 ;z i= + �������(�2 3
;4 7
z i= −
%(� 3 5 .z i= −
)������ ����������� ����$����
1 2 1 2,z z z z+ = + ���� � 1 23 6 , 3 5 .z i z i= − = +
�
�
��� � 1 3 4z i= + � �� � 2 7 8 ,z i= − � ���� �� ������ �
���������$����________ __ __
1 2 1 2.z z z z− = −
�� ���"
�(�� 25 36 64 100;− − − + − +
�(� 625 121 324 16.− + − − − + −
� ��� ����� ������ ��� ��� �����'�����
�������������������������?��������������������� ����� �����������
1z a bi= + ����� 2z c di= + ������������������
������"������������������� �������'������#
( )( ) ( ) ( )2 .a bi c di ac adi cbi bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = − + +
�)��
�
E���������� 1 22 3 , 8z i z i= + = − ������� 3 3 4 .z i= − �/����������#
�����⋅��
������
��⋅��
�������
��⋅��
���⋅��
��9��
��⋅���
��⋅��
�������������
�����
���⋅��
��9��
�⋅������
��⋅��
�
��������� 1 2 2 116 24 ;z z i z z⋅ = − + = ⋅ � 1 2 3( ) (24 16 ) (3 4 ) 72 96 48 64 8 144 ;z z z i i i i i⋅ ⋅ = − ⋅ − = − − − = −
/���� ������������������������������������� �����������������������������������������������������
� � �� ������������������������������� ����������⋅��
���⋅��
��9��
��⋅���
��⋅��
�� ����
1 2 3 1 3 2 3( ) (2 5 ) (3 4 ) 14 23 ; (18 ) ( 32 24 ) 14 23z z z i i i z z z z i i i+ ⋅ = − ⋅ − = − − ⋅ + ⋅ = + + − − = − −
�
1 2 3( ) (2 3 ) ( 32 24 ) 64 48 96 72 8 144 .z z z i i i i i⋅ ⋅ = + ⋅ − − = − − − + = −
6�������� �������������������)'�������������������,
.���������������������������������������� �����������������⋅����9���⋅��������⋅����
���� ���
O������������������� �������������������������������������������������������� � �� ��������
��������������)'����������������������������������
���⋅����������⋅��������� ������� � ���������
����⋅�����⋅����9����⋅�����⋅���������� ��������� ���� F������������ ����������������������������������� �������������������� ������ ��������
����������� ���������� � �� �����)'���������������������������������������
����⋅������������9����⋅��������⋅���������������������⋅�����9����⋅��������⋅�������� ������ ���� ����
���������� 2 2 2 2 2( )( ) ,z z a bi a bi a abi abi b i a b⋅ = + − = − + − = + ���� Rba ∈+ 22 �
������� z z⋅ ����������������
���� ���
/���)'�������������������� ,z a bi= + �������� z z⋅ ��������������� �N����������������������
������������������������������������������������� ������������������� �.��������
� �
2 2| | .z z z a b= ⋅ = +
������������� 2 21 1 1 2;i+ = + = ��� �� 2 22 2 1 5;i− = + = ������ 2 24 3 4 3 25 5.i− = + = =
����������������������������#�����1 ;i+ ������� �� 2 ;i− ����������� 4 3 .i−�
�
�������������������������'�����������������������������������������������������������������������������≠������.��������������������������������������������������������������������
�����������������������������"������������������������������ 1
2
z
z��������������� 2
2
z
z���������������������
��������'�������������� �/�������
12 2 2 2
2
( )( ) ( ) ( ).
z a b i a b i c d i a b i c d i a c b d a d b c i
z c d i c d i c d i c d c d
+ + − + − + + − += = ⋅ = =+ + − + +
���� ���
������������������������������������ ≠����������������������������������������'������������������#
12 2 2 2
2
.z a c b d a d b c
iz c d c d
+ − += ++ +
(������������#������3
;2 3
i
i
−+ ��������� ��
2 3;
3 4
i
i
+− ������������
2 3.
3 4
i
i
+−
������������ 2 2
3 3 2 3 6 9 2 3 3 11 3 11;
2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13
i i i i i ii
i i i
− − − − − − −= ⋅ = = = −+ + − +
�
�� 2 2
2 3 2 3 3 4 6 8 9 12 6 17 6 17;
3 4 3 4 3 4 3 4 25 25 25
i i i i i ii
i i i
+ + + + + − − += ⋅ = = = − +− − + +
���2 2
2 3 2 3 2 3 4 2 6 9 1 2 6 1 2 6.
5 5 52 3 2 3 2 3 ( 2) ( 3)
i i i i ii
i i i
+ + + + − − + −= ⋅ = = = +− − + +
0��"�����������������������������������������
������������������������ �����
1 2 1 2 .z z z z⋅ = ⋅
��������
�
1 2 1 2(6 3 ) (1 ) 6 6 3 3 3 9 3 9 ; (6 3 ) (1 ) 6 6 3 3 3 9 .z z i i i i i i z z i i i i i⋅ = − ⋅ − = − − − = − = + ⋅ = + ⋅ + = + + − = +
/���� �������������������������������������� ����������'��������� ������������������������������� � �� ������������������������������������������� ������������������
�� ����������������
�������������������)'������������������������������ 1 2 1 2 .z z z z⋅ = ⋅
�
�
(�����������������������"����������������������3 3
.3 3
i iz
i i
− += ++ −
���������3 3 3 3 3 3 9 2 1 9 2 1 8 2 8 2 16 8
.3 3 3 3 3 3 9 1 9 1 10 10 10 5
i i i i i i i i i i
i i i i i i
− + − − + + − − + − − ++ = ⋅ + ⋅ = + = + = =+ − + − − + + +
.��������� ( )Re 8/ 5,z = ������� ( )Im 0.z =
-��������������������������������������������������������������������������������������K����������������������������������"���������������
�������( )( )( )2 3 2 3 2 3 .i i i− − −
����������( )( )( ) ( )( ) ( )( )22 3 2 3 2 3 4 6 6 9 2 3 5 12 2 3i i i i i i i i i− − − = − − + − = − − − =
�
210 15 24 36 46 9 .i i i i= − + − + = − −
���� ���
/���)'��������������������������)'���������������������'������������'��������#
�����herë
...n
n zzzz ⋅⋅⋅=
(�����'����� ni ������������"���������)������������������
���������/������"��������������������#
1 ,i i=2 1,i = −3 2 1 ,i i i i i= ⋅ = − ⋅ = −4 3 2 1,i i i i i i= ⋅ = − ⋅ = − =
5 4 1 ,i i i i i= ⋅ = ⋅ =( )6 4 2 1 1 1,i i i= ⋅ = ⋅ − = −
8 4 4 4 1i i i i= ⋅ = = ����
��
�� ������#������ 2;z � ��� 3,z ������ 1 2 .z i= −
������������ 2 2(1 2 )(1 2 ) 1 4 4 3 4 ;z i i i i i= − − = − + = − − ��� �� 3 2 ( 3 4 )(1 2 ) 11 2 .z z z i i i= ⋅ = − − − = − +
7 4 3 3 ,i i i i i= ⋅ = = −
/������"�������"���������������4
1 3 2 3 41, 1, , 1,
ii i i i i i i
i i− − − −= = = = − = − = = �����
/��� 0,n = �����������'���� 0 1.def
i =
/���)��������������������� { }, 1, , 1ni i i∈ − − ����������������� ( )4 0 3 ,n k r r= + ≤ ≤ ��������4 .n k r ri i i+= =
��� �
��
�� ���
�
�
�
�������� ������� ���� ������ �� �����
����������������������"
�(� 1 2 5z i= + ��� � 2 1 9 ;z i= −�(� 1 2 6z i= − ��� � 2 3 ;z i= −
%(� iziz 3223 dhe 32 21 −=+=
�� ������������ ����������� ��"
�(� 10 2 ;z i= − ����������(� 1 4 ;z i= −%(� 3 5 .z i= −
)��� ��� ����������� ����$����
1 1
2 2
,z z
z z
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
��� � 1 21 2 , 3 4 .z i z i= − = +
�� �������������"
�(��( )32 5 ;i+ ��(�( )4
2 6 ;i− �%(� 3( 2 3 ) .i+:������� ��� ��������������������������� "
�(���������� ������� ������������)������ ��
<����������$�� �� ��������� �����$������ �"
��($��#�86�7�@=������(�$��C�86�7�@�
�
����'����"�������#������������#����#�
��������
!����������������������%������� ������������
��������������� � ������ � ��������������� � ���
:��������������� ����� �!��"��� �#�
� +��� ����� ��������� ���� ������ �����������������������������������������������
.��������� ������� ������������ ������
�������������������������������������������
)'�����������"����������������������
��������������"�������� Rba ∈, ��/����������
����������������������������������������)'���
���"����������������������� �������������������)��)'�� � ���"������� � ������� ��� ��������� �� ����
������������������!
������������'��#�����( )21 ;i+ �� ( )8
1 .i−
������������ ( ) ( )( )2 21 1 1 1 2 ;i i i i i i i+ = + + = + + + =
��
�� ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )4 48 2 4
1 1 1 1 2 16.i i i i i− = − = − − = − =
/������� ����� 35 4 8 3 3 35 4 9 1 1; .i i i i i i i i⋅ + − − ⋅ += = = − = = =
/������� ����� 3 2 (3, 2);z i= − = −5 (0,5); 3 (3,0).z i z= = = = �F���������
(2,3) 2 3 ; (1,0) 1; (0,2) 2 .z i z z i= = + = = = =
�
1−
2−
:
7
4
1−2−
3− : 7 4
!
"
#
��
/������������������������������ ����������� �����������������������������'������������
-�����������������������������������������
��� �������������������� ��������������������
��"���������������������������� ��� �������������������� ������
�
�"�������������)���)'������"�������( ),a b ���������������������������� ( ),M a b ���������'�������������
����������������)������� ( ),N x y ���������'�������������������������������������)'������"�������
������������( ), ,x y �� � �� ����������������������������������������������������)'�����������"�������
������������������������"�����'��������������
/��������������������'������������������������������������������������������������������
�������������������������'������������ �6������������������)������������������������������������������� ( ),M a b � "�� ���'����������������������������� )������� ( ),N x y � �� ���'���� ���������� �
��������������������������������������������
!���������������������������
1 2 3 (2,3),z i= + =
2 1 (1, 1),z i= − = −
3 3 (3, 0),z = =
4 3 (0, 3).z i= − = −
���� ���
N��'��������������������������������������������������������������������$���� ��������� ��������������'������������� ������������� ������������������������� ����������
/�����������'������������������������������������� ����������� ����������� �-����������������������������������������� �������������������������������'����������������
P������������������������������������������������������������ ��� �����������������������������������
�������� ��� ������������������"������������� �� ������� � �� ��������������� �/����������� ������� ��
�
������� �
1−
2−
3−
4−
:
7
4
H
1−2−3−4− : 7 4 H
( )1 2,3M
1 2 3z i= +
( )2 1, 1M −2 1z i= −
( )3 3,0M3 3z =
( )4 0, 3M −
4 3z i= −
�
-������'��������������������'������������������������� ���������������� ( ),M a b ������
��������� ��������� ���������������� .OM→
/���)����������������������������������������"�����'����������)�������"�����'����������
���������������������������������������������'����������������������������������������������������
����������������������������������������
/�����������'������������������������������#
(2, 2),a→ = ( 2,1),b
→ = − (1, 0)c→ = ����� (0, 2).d
→ = −(��������������������������������������������,
������� ��N����� ������� a→
� �� ��������� ���� 1 2 2 ,z i= +
������� b→
������������ 2 2 ,z i=− + � c→ ����� � 3 1,z = ������
d→
���� 4 2.z i=−
�
6������������������������������������������������� �$�"��������)�������"�����'�������������������
��������������������������������
�
-���� ��� ����� ������ ��� ��� ����� �� ������
������������������������������"�����������
��������������������������� ������������)'��������"���������� ��������� #����������������
��������� ������
�"������������������ ������ �������������������
�����������������������������������������
��� � ���� �������� �� ��������� '��� �� �����
������������)'������"��������� ��������#� #�������������������������'����������������
���� ���
/���������'�����������������������������������������������������������"�������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������
�������������������'����������������
1−
2−
3−
4−
:
7
4
H
1−2−3−4− : 7 4 H
( )1 2,2M
1 2 2z i= +
( )2 2,1M −2 2z i= − +
a→
b→
c→
d→
3 1z =
4 2z i= −
������� ��
1−
2−
3−
4−
:
7
4
H
1−2−
3−4− : 7 4 H
( )1 2,3M
1 2 3z i= +
( )3 2, 3M − −
3 2 3z i= − −
( )2 2, 3M −
2 2 3z i= −
��
�� ���
�
�
�
�
3��������������������� ����������������� ��"
���9�78H ������9�:�I ������9�7�= ���� ������9�4� �
:���������������� ������%��������� ���������
��������� ��������������� � ���'9�8(��'#9�5(�
'#9�#5(��'4�@(��'@�9(����� �����������������������
���� ���
:����� $ �� ��������������������� ����� ��
������#�� ��������C�� �������#����� �������������� ��������������������� ���
:����������� ���$��� ������ ��� � ��� ����������
������ ���� ��� ��� �������� � $ � � �����
( )3, 1x + − ��� � ( )2,1 .y+
��������
0 ������������ ��� � ����� ���� ������ ���������
��� ��������
� ����������� ���������������#����#�������������������#������
��������� a b→→ − ���������%����� ����� �� ����� a
→�
�������� � ������ � �������� ��� � ������ ,b→
� �������
( ).a b a b→ →→ →− = + −
�� �����������������
������ ��
������� ���
���������
�� ����������������������������������� �����������
������ ��!������������������������������������������������������������������������
������
�������������������������������������������
� +���������������������������������
������������)'�������"����������������
����� ��� ������ � '����� ������ ��������� ���
������������������)'�����������"��������� �������
���'����#
� �������� ����������� ��������
?�������� ( ),OM a c b d= + +→
����������������������������
���������������������� � �� 1 2 .OM OM OM= +→ → →
?������
�������������������������������� ��������������������
���"���������������"����
$�� ( )1 ,OM a b=→
� �� �������� ������ ������
��������� ��� ����� ��������� ���� ������ ��
( )2 ,OM c d=→
������������������������������
������������
�
�
��
��
'
()*+ �
�
�
�
�
a→
b→
a→
b→
ab
→→ + a
b→
→ +
�
�������� �������'������������������������������������������)'�����������"��������� �����������
'����#�� �������� ����������� ��������
� �����������������������
���������������������������������������������������������
�������������������������������������������
G����������������������������������� �������#����$��� �����������������������������������
�������������������������������������
/���)'�������������������������������
����������������������������������
������� ��!�����������������������������������������������������������
���������������������� ��������������������������������� �$���������������
��������������'���������������������������������������
������������
��#���������������������������
��������
������ ����� ����� �� ��������������������� ������������������ ���� ���������� �������� ����$ ���� �$ ��� ����
������� ��!�����������������������������������������������
�������������������������������������������"�������������
���������������������������� �/�����������������������������
!���������'����������������������#
���������������������������������������������������������������������������������������
�
�
���'�����������������������'����������������������������� �/������
������ �� �������� ��������� ������ ���������� �� ������ ���������� ��� �
���������������������������� 1z ����� 2z ������������������������"�����
�����������"����
.�����������������������������OM→
���������� ������������� 1 2 ( , ).z z a c b d+ = + +
$������������������������������� ������
�� ����������������� �/������������������'�������������������
���������� ,OM→
�� � �� ��������� ������ ( , ),M OR RM ����
2; .OR OQ QR OQ OP a c RM RN NM RN PM b d= + = + = + = + = + = +
��"�� �������������������������������������__
.z
�
�
�
�
a−
b−
1−
2−
:
7
4
H
1− : 7 4 H
��
��
� ��8�� � �
�
��
E�� ��� ����� 1OM→
� ���������������������� ��������������� ���������
2OM→
� ������ ������� ��������� � ����� ��������� � �� �?������
1 2 2 1,OM OM M M− =→ → →
����������� 2 1M M→
��������������������� �1�
���'���������������������������������������������������������
�������������������������������� �/��� 1 2 1 2( ),z z z z− = + − �������
1OM→
�����K�� �����"�������������������������������� 2,OM→
����
�/����������������������������������� ����� ��
�������������'����������
1 2; ,ON M R a c NM RM d b= = − = = −������������ ������������ 2 1M M
→� ���� OM
→���� ��� ��� ������� � �� � OM
→������ ������������� ��������
1 2.z z−
$�� � ���� �� ���������� ���������� ��� ������� ��������� �����
������������������������������� ���
�����#���
�
������� ��/���� 1 2 1 2( ),z z z z− = + − ��������� �������������������
������������� ��#�
����#�C����/��������������������������������������������
���������������������� �������������������������������������� �$���������������
��������������'���������������������������������������#
������
����������������#���������������������������������
. � $�������� � ������ �� � ������ � ��� �����
���� �������� ���� ���������� ����������������
����� "
�(��������������� ��������������(�������������� �����������%(����������� ������������ (��
�������� ��
��������
�(� .8
3
6
1 dhe
4
5
3
221 iziz −=−=
(����������� ���
������
. � $�������� � ������ �� � ������ � ��� �����
���� �������� ���� �� , dhe zzzz −+ ���
�(��������������(�2 3
;4 7
z i= −
%(� 3 5 .z i= −!������������������ ����� ������ ��������
��������� ����������� �������������� ����
������ ��������� ��������������>
�� ���
� �
1−
2−
3−
:
7
4
H
1− : 7 4��
�
�I
������ ��−��
�
�
�
�
+
�*
��
��
'
(1z
2z
2z−
�$
������� 1 2( ) .OM OM OM+ − =→ → →
�
��������
3�� ������ ����� ���� ��� ,z a bi= + �������
z z⋅ ������ ����� ����G����� ���� � � ����� ����
������ ��� � | |z ��� ���� ����������� ��� ������#
��� � ����������� ����
*�� �������2 2| | .z z z a b= ⋅ = +
:������������� ����������� ��� 1 3 4 .z i= +
����������������������������������
5���������������� 2 2 0,a b+ ≥ ���������������'������������������������������������������������
���"������ � �� � | | 0.z ≥ �$�"��������� 2 2| | 0z a b= + = ������������������������������ � �� �������
����������������������/��"�������"������������������������������������������������
� 2 2| | ,OM a b= +→
� � �� �"��������������������������������������������������������
������������������������������
����������������������������� 1 2 .i− +
��������� 2 21 2 ( 1) 2 5.i− + = − + =
���������������� � �� ������������������������������������������� 2 2 2| | 0 | | .x x x x= + = =
���� ���
$������)����������������������������������� ������
�
E��������������������������������������� �(�����������������#����������������⋅����������1
2
.z
z�
���������!��������������������#����
⋅��������������⋅��������������������� 1
2
2 3 3 2 13.
3 2 3 2 13
z i i ii
z i i
+ += ⋅ = =− +
/������� 2 2 2 21 2| | 2 3 13; 3 2 3 2 13;z z i= + = = − = + =
2 2 2 211 2
2
12 5 12 5 13; 0 1 1.z
z z i iz
⋅ = + = + = = = + =
�����������������������#����#�� �
�
�| |z
�
�
�
��
E�������������������)'������������������� �6������������������ ������#
1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅
����������/��� | | ,z z z= ⋅ �/��'���������2| | .z z z= ⋅
/���� 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ,z z z z z z z z z z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ���� � ���� �� ������ ������������������������ '�����#
2 2 21 2 1 1 2 2 1 2| | | | | | .z z z z z z z z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ �/������� 1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅
��������������������������������� 1 2 1 2| | | | | |z z z z⋅ = ⋅ ����������1 1
2 2
| |.
| |
z z
z z=
.��������������������������������������������)'�����������������������������
-������������������������������������������� �������
�
/���)'�����������������������������������≠�� ����"�����1 1
2 2
| |.
| |
z z
z z=
���������/��� 11 2
2
,z
z zz
= ⋅ ����� ���������������������������������������������� 1 11 2 2
2 2
.z z
z z zz z
= ⋅ = ⋅
/����������������������������������������������� ����������������
���� ���
/���)'�����������������������������
�������������� ������#
1 2 1 2| | | | | |z z z z⋅ = ⋅ ����������������1 1
2 2
| |,
| |
z z
z z= ������≠ 0��
�
���� ���
/���)'���������������������������)'�������������������������� .nnz z=
-������������������������"�������������������������������"��������������������������������
�������� �/�������� 1 2 1 2 .n nz z z z z z⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅� �
��������9��
��9�� � � �9��
��9������������ �����������'����� .
nnz z=
E������������������������������������ �(��������������������������#������������������������������"
/��������������������#� 1 2 1 2 1 2| | | |, | |, | | | | .z z z z z z− + −� .
��
���������� 2 2 2 21 26 8 6 8 10; 4 3 4 3 5.z i z i= + = + = = − = + =
������
������������������������������������������
�����
�������������������������������� �0��
2 2 2 21 2 1 210 5 10 5 5 5; 2 11 2 11 5 5.z z i z z i+ = + = + = − = + = + =
.������������������#����������������� �������������������
-������������������������������������������
��������������� ������#
1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + �������� 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +
.������'�����������������������������������������)'����������������������������
����������������
���� ��������#
�
���������!������#� 1 1 2 2; ;z OM z OM= =
/���� 1 2OM MΔ ����� 1 2 1 2,OM OM M M< + �� � �� � 1 2 1 2,OM OM M M− < ����� 1 2 1 2.M M OM OM< + �/���
������ 1 2 1 2 1 1 ,OM OM M M OM M M− < < + �� � �� � 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− < − < +
1 2z z OM+ = � ���� 1 2 2 1.z z M M− = �.���� ��� ������ �� "�������� ��
)'��������� ������ ��� ��� ���������� ��������� �������� ���"������� �
������������� �/���������������� � ����� 1 1 .OM OM M M< + /��
2 1 ,OM M M= ����
1 2 ,OM OM OM< + �� � � 1 2 .OM OM OM− <
.��������� 1 2 1 1 ,OM OM OM OM M M− < < + � � ��
1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− < + < +
1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + ������1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +
0���� ����������������������%< &���� ����������������% =&�������������������� ������
�� ���
�������
���� ���
/���)'��������������������������������������������� ������#
:������������� ������ ����� ��"
��(���������������(�������������%(���������� (��������������(������������������� (���������
�� ���
�
� J��������������������������� ��
����������� ���
�������� ������ "
1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + �������� 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +
�(���������(�������%(���⋅������� (�1
2
;z
z������(� 2
4
1
.z
z
$�
�
��
�
��
��
:������������� ����������� ��"
�(�3
64
(1 2 )(1 2 ) ;
(1 )
iz i
i
−= ⋅ ++
�(�2
3 4
(1 3 ).
(1 2 ) (1 5 )
iz
i i
−=− ⋅ −
:������������� ����������� ��#
�(�2
2
(2 );
(1 )
iz
i
−=+
������(�5
1 3;
(2 4 )
iz
i
+=−
$���5
6.
(3 )
iz
i=
+
�:��������������� �������� �2
Re( ) ,2
z = ����
| | 3.z =
� �
!��������������� ���������� �� "
�(�������� ����� ��������������=
�(��������� ����� �������������>
����������������������������$��%��
�� ������ ��� ��� �� �"��(� 2 3 20;i i i i+ + + +� �(� 2 3 20
1 1 1 1.
i i i i+ + + +�
�� ������������� ����������� ������ ������� ������� "
�(�����9�H84 ���
��9�:�4 * �(� 1 22 3 5 , 3 2 5 5 .z i z i= + = −
����������������� ������� �����������"��(�G '�(7�#8@�����'�(799=
�(�N����9�#:D7���R����97I* %(�N����977I���R����9�#4* (�N����9:���R����9�#:
�� �������������������� �� ����� ������ ������� ������� "
�(�����9�:�4 �����9�78H * �(� 1 23 2 2 , 3 2 3 .z i z i= − = −
�� � �����$������� �%������������� ����������� �����������"
�(��7�8� ��* �(��:��H ��* ����%(� 2( 3 3 ) .i+
)�� ������� �� �"��(�� 22 3(2 ) (4 ) (1 ) ;
6 8
ii i i
i
− + + ⋅ − − −+
�(�3
2
(1 2 ) (3 3 ) 5.
(3 4 )
i i i
i
+ + + ⋅−
� )6*
� )6*
� )6*
� )6*
� )6*
� )6*
?�������������������� �������9�:��7 �:��������������� ������������ �����������N���⋅����9��H���
1
7Im .
5
z
z
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
� )6*
3�������������� ����$����"�( ) ( )6 6
3 3 128.i i− + + = − )6*
���������� ��������H�7 ����
��487 ����
��:�4 ����
���H���
��H ����������������������� ���� "
�(�� ��������������= �(�� � $ �� ����
)
. �$�������� ������� ��� ������ ��������� ����� ������ ������������� ����������� ������ ����9�:8
�� ����9��78H
�� )
. �$�������� ������� ��� ������ ��������� ����� ������ ����������� ������ ����9�:84 ����
��9��:�H ����
���9�7�I
�� )
��
��������������#������
�������� ������������������������9�7���4 ������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIII�
0� �� �������������������"��(� := �(�:= ������%(� = (�� �
����������9� �84 ���� ���
��9�:��� ��������������������� ��� ��� ����� �������"
�(���9�:�����9�:= �������(���9�4�����9�:=������%(���9��4�����9�:= �������� (����9�4�����9��:�
��� � 1 1 1 2 2 2,z a b i z a b i= + = + ��� � 3 3 3 ,z a b i= + ����� �"
( )1 2 3Re ____________,z z z+ + = ���� � ( )1 2 3Im ____________.z z z+ + =
�� ����7 ⋅P�78I �8�:� �S������� ���������� "
�(�7 ⋅�78I �8�:� �=�������(�7 ⋅�78I �87 ⋅�:� �=���������%(�7 ⋅�48H �= ��� (���78I �87 ⋅�:� ��
.������������������ ������������ �������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�
)�� ������� �� ��8 8(1 ) (1 )
(1 ) (2 3 )
i iz
i i
+ − −=+ − −
��� ��������� ������������ �����
:�������������������������� ������������� 74z z⋅ = ��� �� ���� ��� � �� ��� ��������� �����
�����������
.��������������������� �������������� � $ �� ������������������� ��������"
�(�� �������� $ �� �����= �������(����������� � $ �� �����=%(�������� � $ �� ������
��� �N�����9��H��� �R�����9�4������ ����������� �����������"
�(���H�4 = ��(����H�4 =���������%(�����H84 = �������� (�����H84 �
. � ���������������� ����������� ����������������� ��>
. � ����������������������������������������������� ����� �������� ���>
:������������� ����������� ��������� �( )
( )
5
24
3.
32 3
4
iz
i i
−=
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
:� )6*
� )6*
:
� )6*
:
� )6* :
� )
:
� )6* :
� )6*
:
)6* :
) :
�� ) :
�� )6* I
�� )6*I
�� ) I
. �$�������� ������� ��� ������ ���� ������������� ����������� ������ ��������������� �����:�H
�� )I
�
�����+ ��������#������
6��������� ������������ E�������� �����������������
2"�������� �������������������� ������� �
2"�������� ������������������������
.�����������"��������
������� �������
2 ����� ���������������
�
�
��
�
���
�
�
�
.��������������������������'���� ��
�
E��������������"��������������'���������� ������������ �
�
2 �����'�����������-���� ��
.���������������������� ����
���� ��� �������� ���� �
1 2
bx x
a+ = − 1 2
cx x
a⋅ =
2 0ax bx c+ + =
2
2
4
2
b b acx
a
− − −=2
1
4
2
b b acx
a
− + −=
#$%&�'()('�*�)*&$�
�
(��������'�������� ������#
��� 25 6 4 0;x x− + = �� 25 2 0;x x− + = ��� ( )22 2 3 1 0.x x− + − =
#��������� �������#�����(������� ���������#�������
��������� /����� 2 21
2 3 5, 42
x x x x+ − − +
�
��������������������������������������� ������ 2 0ax bx c+ + = ��������#
2 3 0, 3 5 0,x y+ = − = � �� ���"����� 0ax b+ =���� �����������������������������
������ ������ ������������������ ���� ���������
23 4 5, 2 3x xy xy x+ + + − �������������������������
��������
���� �� ���"������ 2ax bx c+ + � ������ ������
��������� ��� �������� ��������� ��� � � �� � ������� ����
����������������� ������������������'����� ������������
/��� ���� ����� 2 23 4 1 0, 5 2 3 0x x x x− + = + − =���� ��������������
���� ���
�������������� 2 0,ax bx c+ + = ������������������������������ ��������������������������
��������� 0a ≠ ����������������� ����������� ����������
$������� ������ ������ ����������� �� ������ ������ ������ �� �� ������ � ��� � /��� ���� ����� � ��� �����23 5 4 0,x x− − = � 23x ��������������������� 5x− ������������������������� 4− ����������� �������� ������
�����������'�������� �������������
/������� ����� ������ 23 2 0x x− + = ����'���������#� 3, 1a b= = − ����� 2.c =
( )2
2
2 2 3 1 0
0.
x x
a x b x c
− + − =
+ + =
2
2
5 6 4 0
0
x x
a x b x c
− + =+ + =
2
2
2 5 0
0
x x
a x b x c
− + + =+ + =
�� � ��
5, 6, 4;a b c= = − = 1, 2, 5;a b c= − = = ( )2, 2 3 , 1.a b c= = − + = −
-��������'������������������������������������������������������
(��������'�������� ������#�
��� 23 5 6 0;x x− + − = �� 22 15 0;
3 2x x− − + = ��� 23
0,5 0,1 0.2
x x− + =
6����� 0a ≠ ����������������� ��������������� 0,a = ��������� ��������������������� �/������� ����
�������� 2 20 3 4 0, 0 5 6 0x x x x⋅ − + = ⋅ + − = ���������������
�
� 6����� 0 ,,, ≠∈ aRcba ������������������'������������������������ ��� ������������
(��������'�������� ������#
��� 23 4 0;x x+ = �� 22 5 0;x + = ��������� 25 0.x =�
������������ 3, 4,a b= = ��������������"������������ 0;c = �� �� 2,a = ��������������"�����������
0b = ����� 5;c = ����� 5, 0, 0.a b c= = =
(��������'�������� ������#
��� ( ) 23 1 2 3 0;x− − = �� ( )22 3 3 1 0;x x+ − = ��� 23 0.x =
�
���� ���
����� 0b ≠ ����� 0c ≠ ��"�������� 0a ≠ ����������� ������ 2 0ax bx c+ + = ������������������� ��� ���
�����������'��������� 2 20, 0; 0, 0ax bx b ax c c+ = ≠ + = ≠ ��������� 2 0ax = ������
����������� �������� ���� �
�����������������'�������������������� �������� 2 0ax bx c+ + = ����������������������������������
�� ����������������������� ������������� ������������������� �� ������� �����
/��������������� ����������������������������������������������������������������
/������� ����� ������( ) ( )22 2 3 2 0, 2k x k x k p k− + + − + = ≠ ������� ���������������������������������
���'���������#� ( )2, 2 3a k b k= − = + ����� 2 .c k p= − +
(�������������������������� ������ ( ) ( )22 1 3 2 5 0m x m x m− − + − + = ��������#����������*
��������� 2 0;ax c+ = ������������������� 2 0.ax bx+ =�
���������6��'�������� ����������#� ( )2 1, 3 2 , 5.a m b m c m= − = − + = − +
����������������������� 0,a ≠ �� � �� � 2 1 0,m − ≠ �������������1
.2
m ≠
��0�� ��������������������������������������������� 0,b = �� � �� � ( )3 2 0.m− + = �/���������������
2,m = − ����� ������������ ( )( ) ( )22 2 1 2 5 0,x⋅ − − − − + = �� � �� � 25 7 0.x− + =
���������������� 0,c = �� � �� � 5 0,m− + = ������������� 5,m = ������� ������������ 29 21 0.x x− =
/����������������������������� ������ ( ) 23 4 2 0k x x k+ + − + = ������#
���������*������������ ��������� 2 0?ax bx+ =�
�
� ������� 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ �������������������� �������� ������������� �$���������������
���������� ����������������'������������"������� �/����������������)��� �������������������
���������'����������"�������
0���'����� ��������'����������"���������������������'����������#
��� ( )2 1 3;x x x− = − �� ( )( ) ( )3 2 1 3 ;x x x x− + = −
�
���( )22
2;2 3
x xx −− + = )�� ( ) ( )2 23 10 1 2 .x x− = − −
���������1���������'�������� ��������'����������"�����������������������������������������������
�����������"������
��� ( ) 2 2 22 1 3 2 2 3 2 2 3 0 2 3 3 0;x x x x x x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ − − = = ⇔ − + =
2, 3, 3.a b c= = − =
���( ) ( ) ( )2 222
2 | 6 3 2 2 2 12 2 18 0;2 3
x xxx x x x x
−− + = ⋅ ⇔ − + − = ⇔ − − =
2, 1, 18.a b c= = − = −
)�� ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 10 1 2 6 9 10 1 4 4 5 10 0 2 0;x x x x x x x x x x− = − − ⇔ − + = − − + ⇔ − = ⇔ − =
1, 2, 0.a b c= = − =
��������������������� 1a = ��������������������������������������� ����������������������������
�� 2 0.x px q+ + = �/������� ����� ������ 22 6 5 0x x− + − = ����������������'������������������
������������������������'������� � �� ���� 2,− ��������#
� ( )2 22 6 5 0 / : 2 3 2,5 0.x x x x− + − = − ⇔ − + = �$�"�������� 3, 2,5.p q= − =
!����������'����������������� �����#
��� 23 6 5 0;x x− + = ������� �� ( ) ( )( )2 3 1 2 0;x x x x− + − + = ���������� ( ) ( )( )22 3 1 2 7.x x x− + − + =
��������
3�� 3,x = � ���$���� 2 6 0x − = ����� ������ � ������������
���������%������� �����������{ }6, 1, 1, 3, 3, 8− − −������������ 2 5 6x x− − ������������������ �$ ��
� 5���������� ������������2 2 3 0.x x− − =
����� { }2, 1,1, 2,3 ,x ∈ − − �?������� ������������� �� � ������������� ������������������������� �����
��������������
$�������������������������������� 1x = − ����� 3x = � ������������� ��������������������
�
���� ���
-��������������������������������� ������ 2 0ax bx c+ + = �������� ��������������������������
��������������������� ������
�� !���������������������#�1
1, , 0, 1, 23
− − ���������"�������� ������� 23 2 1 0.x x− − =
�� /������������������������������������������"�������� ������
� ( ) 22 2 3 0?k x kx k− − + − =���������$��������������������� ����������������( ) 22 2 2 2 3 0k k k− ⋅ − ⋅ + − = ⇔
4 8 4 3 0 5 0 5.k k k k k⇔ − − + − = ⇔ − − = ⇔ = − �.������������� 5k = − � ������������������
'������� 27 10 8 0,x x− + + = ��� � �� � 27 10 8 0,x x− − = ������� 2x = ���������"����������
�� 5���������� ������( ) 2 12 1 3 2 0, .
2m y y m m− − + − = ≠ �(���������������������������"��������
���������������#����� 1;y = ������ �� 2.y = −
�
�� ���
:���� �����$�� � ������������������� "
�(� 23 2 5 0;x x− + = �(� 25 0;x x− =
%(� 20 3 3 0;x x⋅ + − = �������� (� 220;
3x− =
�(�( ) ( )21 2 3 4 0k x k x− + − + = ��� 1?k =
� :������� ��%� ������������ �+�������$����"
�(� 23 2 3 0;x x− + = ���(� 2 2 3;x x− =%(� 28 ;x x= ���� (� 26 0;x = �����(� 22 3 0;x− − = (�( ) 22 3 2 0.k x kx k− + − + =
� /��� ���� ������ ��� ��������� � � �� ���$���
( ) ( )22 3 2 1 0k x k x k− + + − + = ������"
�(���� �=����������(�����=
%(���������� 2 0;ax bx+ = (���������� 2 0;ax c+ =�(���������� 2 0?x px q+ + =
� /�������������������������������$��������������
���� �������"
�(�( ) ( ) 23 1 2 1 5 ;m y m y m− − + =
�(� ( ) ( )22 1 2 3 0?my m y m y− + − + =
� /��� ���� ������ ��� ��������� � �� ���$���
( ) ( )23 2 1 2 1p t p t p− − + = − �������� ��"
�(�������������������� 2 0;ax c+ =�(��������������������� 2 0?ax bx+ =
)������� ���������� ���������� ����$�����( )6 8 :−
� �(� ( )2 3 5;x x x+ = −�(�( )( )3 2 3 ;x x x− + = −%(�( )( ) ( )( )3 2 1 2 2 1 .x x x x− + = + −
� �(�( )( )2 12 1
1;3 2
x xx − +− + =
�(� ( )( )22 3 0.
3
xx x
− − + + =
�(�( )22 3 1
5 0;2 3
x x− +− − =
�(�( ) ( ) ( )3 3 21 2 2 .x x x+ − + = +
?����� ������ ���$���� 22 3 1 0.x x− + = � 3���
��������� ������� �1 1
0,1, ,2 2
− ���������$������
�� /��� ���� ������ ��� ��������� � ��� ���$���
( ) ( )22 2 3 5 0k t k t+ + − − = ����$������ "
�(� 1;t = − ����(� 1;t = %(�1
?2
t =
����$�����
�
�"�������� ���������#������������������
��������
;��$�� ����� ����������������"2 0;ax =2 0, 0;ax bx b+ = ≠2 0, 0.ax c c+ = ≠
3��$��������� ���������� ���������$� ��"
( )22 3 2 3 ;x x x x− = − ��� ( )( )2 4 2 2 .x x x− = − +
G����� ���� ��������� ��������������������� ���
3���� �������� 4 2 ; 25 5 .i i− = − =
�
2"����� ������( )( )2 3 2 0.x x+ − =
���������/����"�������� ���������������� �����
������������������'����������'�����������������
��������������������������������� ��� �������
�����������������������������������������������
��� ������������
/���������#
( )( )2 3 2 0 2 3 0x x x+ − = ⇔ − = ����� 2x − ⇔
3
2x⇔ = − � ���� 2.x = � .��������� �"������� �
����������
� (������"��������� ������#
��� ( )( )2 3 5 0;x x+ + = ���������� �� ( )( )( )2 1 3 3 4 0;x x x+ − − = ������������� 25 6 0.x x+ =
� � 2"����� ������������������������#���� 2 0;ax bx+ = ������� �� 2 0.ax =
������������������� 2 0ax bx+ = ����� ������������������������ ��������������
6��#���8��9D�⇔ ����8��9D⇔ �9D�������8�9D⇔ �9D������9a
b− �.����������"�������� ������������
1 20, .b
x xa
= = −
�� ����� 0,b = � �������� ������ 2 0ax bx+ = � ����� �� ������ 2 0ax = � �"������� �� � ��� ���� ���
1 2
00, 0,x x
a= = − = �� � �� � 1 2 0.x x= = ���������������������� 1 2 0x x= = �����������������'������
������� 2 0.ax =
3����������������� �!��� �"�������$ ������ ���
� ������� ������ ���� �������$ ����������
0 ose 00 ==⇔=⋅ BABA
0���"������ �������������������������
���"������"�����������
� 1 2
3, 2.
2x x= − =
� 2"����� �����#����� 22 3 0;x x− = �������� �� ( )22 4;x − = ����������� ( )( )2 2 3 6.x x− − =
�
�
���� ���
2"��������� �������� 2 0, 0, 0ax bx a b+ = ≠ ≠ ������� 1 20, .b
x xa
= = −
� (������"��������� ������#
��� ( )( )5 3 3 0;x x− + = ���������� �� ( )( )2 3 3 9;x x x− + = − �������������( )2 1 1 4
.2 3 3
x x x x− − −− =
� � 2"����� �����#�� 2 0, 0, 0.ax c a c+ = ≠ ≠
���������� 2 2 20 .c
ax c ax c xa
+ = ⇔ = − ⇔ = − ��$�"����������#
��������� 0c
a− > �������������������������������������������� ����������������������������
��������� 0c
a− < ���������������������������������������������������� �������������������
������������������������#� 1 2, ,c c
x xa a
= − = − − ����� � �� ���� 1/ 2 .c
xa
= ± −
� 2"����� �����#����� 23 12 0;x − = �� ������������ 22 50 0.x + = ����������������� ( )22 3 12 ;x x− =
������������$�����������#�� 23 12 0,x − = �� � �� � 2 4;x = �� 1 22, 2.x x= = −
$�����������# 23 12 0,x − = � � �� 2 4 0;x − = �( )( )2 2 0;x x− + = � 2 0x − = ����� 2 0;x + = � 1 22, 2.x x= = −
��������
22 3 0x x− =
( )2 3 0x x − =
�9D�����7��49D
1 2
30, .
2x x= =
�� � 2 4 4 4x x− + =
( )4 0x x − =
�9D�������H9D
1 20, 4.x x= =
�� 22 3 4 6 6x x x− − + =
( )2 7 0x x − =�9D������7��<9D
1 2
70, .
2x x= =
2"��������� �������� 2 0ax = ������ 1 2 0.x x= =
���������
� 22 50 0,x + =22 50,x = −
2 25,x = −
1 25 , 5 .x i x i= = −
( )22 3 12 ,x x+ =
24 12 9 12 ,x x x+ + =
24 9,x = − ��� 2 9,
4x = −
9,
4x = ± − ���� 1 2
3 3, .
2 2x i x i= = −
��
/������������������������������ ������ ( ) 22 4 3 0k x k− + − = �����������������������,
����������������������������� 2 0ax c+ = �������'����� 2 4a k= − ����� 3.c k= +
����������������������������������������������������������������
/�������������������� ��������� .3
2 ose
3
2
03
042 ose
03
042
⎩⎨⎧
−≥<
⎩⎨⎧
−≤>
⇔⎩⎨⎧
≥+<−
⎩⎨⎧
≤+>−
k
k
k
k
k
k
k
k
!������������������"������������������������������ [ )3, 2 .k ∈ − �.��������� �����������������������
��������������� [ )3, 2 .k ∈ −
�
�� ���
�(�( )( )2 5 3 0;x x− − =
:�����$������ �� ����$�����( )1 7 :−
� �(� ( ) ( )2 5 4 0;x x x x− − + = ��(�( )22 9 0.x − − =
� �(� 22 0;x− = �(�( ) 22 2 0.x− =
� �(� 2 147 0;
3x x− = �(� 22 5 0;x x+ =
%(� 23 27 0.x x+ =
� �(� 22 32 0;x − = �(� 21 30;
3 4x − =
%(� 2 24 25 0.x b− =
� �(� ( ) ( )2 3 10 2 5 ;x x x− + = +�(� ( ) ( )3 2 2 16.x x x x x− + − = −
� �(�( ) ( )2 25 16 2 3 10 ;x x x− − = − −
�(�( )22 2 2 33 5 5 8
.2 4 3
xx x x −− +− =
/��������������������������������$�� ������������
������� �������� �� "
�(�( ) 22 1 0;k x− + = ���(�( ) 21 3 0?k x k+ + − =
/��� ����� ������ ��� ��������� � ��� ���$���
( )2 22 2 8 0k x kx− + + = ������� �������� 2?x =−
�� ) ����$���� 2 23 5 4 0x x m+ + − = �%�������� ���
����� � 1 0x = �����������$������ � ������3���� ���
����������%�����$������ ���� ���������$�����
�(�3 5
2 1 0.2 4
x x⎛ ⎞⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
(������"��������� ������#
��� 22 18 0;x − = ���������� �� ( )( )1 2 ;x x x− + = ���������������������������������� ( )22 1 2 4 .x x− = −����
���� ���
���� 1/ 2 ,c
xa
= ± − ������� 0;c
a− ≥
2"��������� ������� 2 0, 0ax c a+ = ≠ ����#
���� 1/2 ,c
x ia
= ± ������� 0.c
a− <
���� 1/ 2 ,c
xa
= ± − ������� 0;c
a− ≥
���������� 0,c
a− < ���������� �������������"�����������
����
�
:�������������������$����� ���������������>
3�����������������������$�� �"
�( ( )22 4 4 2 ;x x x− + = − ��(
22 1 1
;4 2
x x x⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
3�����������������������$�� �2 2 8 0x x− − = ��������������� �������
3, 2, 0, 1, 4.− −
�"�������� ���������#���������������
�������� � � 2 ����������������������������#
�� 2 6x x+ − * � 2 2 3x x+ −
������������ 2 26 3 2 6x x x x x+ − = + − − =
( ) ( ) ( )( )3 2 3 3 2 .x x x x x= + − + = + −
��.����������������������������������������������
����������������� �����:��������'�����#%(�
2 22 1
.2 2
b b bx x x
a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )22 22 3 2 1 1 3 1 4x x x x x+ − = + + − − = + − =
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 3 .x x x x= + − + + = − +
2 2 23 9 8 3 1
0 02 4 2 2
x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + − = ⇔ + − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�3 1 3 1
02 2 2 2
x x⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + + = ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
� ������� 2 3 2 0x x+ + = ��"���������������#
����������� ���������������*����������� ����������������������������������������
���������������
��� ( ) ( )2 23 2 0 2 2 0 2 2 0x x x x x x x x+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ( )( )2 1 0,x x⇔ + + =
� 2 0x + = ����� 1 0,x + = ��� � �� � 2x = − ������ 1.x =−
��?��������������������������������3
2 ,2
x ⋅ ��������
2 22 2 3 3 3
3 2 0 2 2 02 2 2
x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = ⇔ + ⋅ ⋅ + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�2
3 92 0
2 4x
⎛ ⎞⇔ + − + = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )1 2 0x x⇔ + + = �⇔ � 1x = − ����� 2x = − �������"����������� 1 21, 2.x x= − = −
� +����������K����������������������)�������������������������������������#
��� 2 2 ;x x+ �� 2 4 ;x x− ��� 2 ?b
x xa
+
� 2"����� ��������������������� 2 0, 0.ax bx c a+ + = ≠
�
���� ���
2"��������� ��������� 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ ����������������'������
��2
1/ 2
4.
2
b b acx
a
− ± −=
� 2"����� ������������#����� 2 12 0;x x+ − = ����� �� 2 2 1x x= + ������ ������'�����������'����
������������6��'������ 1, 1, 12a b c= = = − �����������������'������
2
1/ 2
4
2
b b acx
a
− ± −= ���������� 1/ 2
1 1 48,
2x
− ± += �� � �� � 1 23, 4.x x= = −
��E��������"��������� ������������� 2 2 1 0,x x− − = ��������� 1, 2, 1a b c= = − = − ����
1/ 2
2 4 4 2 8,
2 2x
± + ±= = �� � �� � 1/ 2
2 2 2,
2x
±= ������ 1 21 2, 1 2.x x= − = +
� $��� ������'�������������"�������� ����������������"���� �������#
��� 27 0;x = �� 22 8 0;x − = ��� 27 4 0;x x− = )�� 22 5 12 0.x x+ − =
����������������������������������������� 2 0,b c
x xa a
+ + = �� � �� � 2 .b c
x xa a
+ = −
0������������� ����������'��������������
2
2
b
a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������'������ �����
2 22 2 ,
2 2 2
b b b cx x
a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�� � �� � ������2 2
2
4.
2 4
b b acx
a a
−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠�/�������"�������
������� 2 0ax c+ = �����2
2
4,
2 4
b b acx
a a
−+ = ± �����2 2
1 2
4 4,
2 2
b b ac b b acx x
a a
− + − − − −= = ����
�"������������������� ������� 2 0.ax bx c+ + = �0������"���������� ����������������
M������������"�������� ���������������������������������� �����������������"�������� ��������������������
�������
���'�������2
1/ 2
4.
2
b b acx
a
− ± −=
�
����� 0,b c= = ����������"��������� �������������������������� 2 0ax = ����� 1 20, 0.x x= =
����� 0b = �����������"��������� �������������������������� 2 0ax c+ = ����� 1/ 2 .c
xa
= ± −
����� 0,c = ����������"��������� �������������������������� 2 0ax bx+ = ����� 1 20, .2
bx x
a= = −
��������
7, 0,a b c= = = ����
2
1/ 2
4,
2
b b acx
a
− ± −=
1/ 2
0,
2 7x =
⋅ �� � ��
1 2 0.x x= =
�� 2, 0, 8,a b c= = = −
( )1/ 2
4 2 8,
2 2x
± − ⋅ ⋅ −=
⋅
1/ 2
64 8,
4 4x
± ±= =
1 22, 2.x x= = −
� 7, 4, 0,a b c= = − =
( )2
1/ 2
4 4 4 7 0,
2 7x
± − − ⋅ ⋅=
⋅
1/ 2
4 16,
14x
±=
1 2
4 4 4 4 4, 0.
14 7 14x x
+ −= = = =
��
-����������� ������'�����������#
?��������������$���� ( ) 21 1 0.k x kx− − + = �:����
�� ��� � �� �� �� 2 4 ,b ac− ��� ������ � �� �+� ����
�� ��%� ����� ����$��������������
��������������2
1/ 2
4.
2
b b acx
a
− ± −=
!�������� ����������� 2 4b ac− � �������������� � � �� � 2 4D b ac= − � ���� ����������������� �� �
�������������������'������� 1/ 2 2
b Dx
a
− ±= ��������"����������'��������������������"����������� ������
������
��������
:������� ������ �� ������ �� �2 4 ,b ac− ���� �������� �+�������� ��%� ������
���$����� 2 4 3 0.x x− + =
� 2"��������� �������������
)0;,,(,02 ≠∈=++ aRcbacbxax �
������������'������
�%�� ������������� ����������+����������'���������������� ������������������������������������
�"��������� ��������'���������2
1/ 2
4.
2
b b acx
a
− ± −=
,���������������������'��������������������������������������������������������"������������������������
��������������������� 2 4 ,D b ac= − ����������������'��������'������� 1/ 2 .2
b Dx
a
− ±=
�
��#���������"�������� �������#�����
��������
�� ���� 2 4D b ac= − � ��� �� �������������
���$���������� 2 0.ax bx c+ + =:������������������� ����$����"
�(� 22 3 4 0;x x− + = ��������(� 2 4 0.x + =
� � (������"��������� �������������������������������������������#
��� 2 4 3 0;x x− + =
�� 2 4 4 0;x x− + =
��� 2 4 5 0.x x− + =
����������#� ������ ( )2 3 2 6 0x x− + + = ��������"��������������������������������
����������� � �� � ( ) ( ) ( )2 2 22 4 3 2 4 6 3 2 6 2 4 6D b ac= − = + − = + + − =
( ) ( ) ( )2 2 2
3 2 6 2 3 2 .= − + = − �.������������������'������� 1/ 2 2
b Dx
a
− ±= ����
( )1/ 2
3 2 3 2,
2x
+ ± −= �� � �� � 1 23, 2.x x= =
�(� 26 2 0;x x+ − = ������(� 24 12 9 0;x x− + =
%(� 2 4 13 0.x x− + =
�� ���
�
� �(� 26 7 2 0;z z− + =
�(� ( ) ( )3 3 2 5 0.y y y y+ + − − =
<����� ����$����( )1 6 :−
� �(� 22 3 0;x x− = ���������(� 24 25 0;x − =
%(� 24 1 0.x + =
� �(�( )( )2 2 3 6;x x− − =�(�( )( ) ( )2
3 2 2 3 10.x x x x+ − + + = +
� �(�( )4 7 5 4
3 ;2 4 6
x x x x+ −− = −
�(�( )2 3
1.4 3
x x x− −− =
� �(�( )( ) ( )( )5 2 8 1 3 1 4 1 9;x x x x− − − + − =
�(� ( )21 7 33 .
3 4
x xx
+ −− = −
� 3��%������� ���������������"
�(� 2 7 5x x− + ������ ��I=
�(� 2 3 7x x+ − � ��� �� �� ��� ��������� � ������
2 1?x −
�(� 2 2 2 1 0;x x− − =
�(� ( )2 7 5 35 0.x x− + + =
<����� ����$�����( )8 9 :−
�(� 2 25 6 0;x a x a− + =�(� 2 2 22 0;x m x m n− + − =%(� ( )2 1 1 0.ax a x− + + =
���� ������ 2 3i− � �� � 2 3i+ � ����� �������� ���������������
���� ��������"�� 4; 2 ?−
�
+�������� 0,D > ����������"��������� ������������������������������������������
,�������� 0,D = ��"��������� ����������������������������������� ��� ������� � �� � �����
��������������'����
������"����������� 0,D ≥ ����������"��������� ���������������������������
/�������� 0,D < ��������� �������������"�����������
��������
��� 16 4 1 5 4 0;D = − ⋅ ⋅ = − <
���� ���
� /����"������ ������������������������"���������������#
��� 2 5 7 0;x x− + = �� 2 8 16 0;x x+ + = ��� 2 4 0.x x− + + =
� -�����������������������������������������"����������� ��������#
��� 2 2 0;x x m− − = �� ( ) 22 2 3 0.m x x− + + =
������������P��������������������� ������ � ( ) ( )22 4 4 4 ,D m m= − − ⋅ − = + ���������������#
1/ 2
4 2,
2 2
b Dx
a
− ± ±= =
�� 16 4 1 4 0;D = − ⋅ ⋅ =
1/ 2
4 0,
2x
±= �� � ��
��� 216 4 1 3 4 2 0;D = − ⋅ ⋅ = = >��������������"�����
�����
0��������������������"���������� �����������������������������������������������������������������������
��������� ��� ��������������������������
������������ ( )25 4 1 7 25 28 3 0,D = − − ⋅ ⋅ = − = − < ���������� ����������������������
�� 28 4 1 16 0,D = − ⋅ ⋅ = ���������� Rxx ∈21, ������ 1 2.x x=
��� ( )21 4 1 4 17 0,D = − ⋅ − ⋅ = > ���������� Rxx ∈21, ������ 1 2.x x≠
:��������������������������� 0,D > �� � �� � 4 4 0, 1,m m+ > > − ����� ( )1, ;m∈ − +∞
7��������������� ��� ��������� 0,D = �� � �� � 4 4 0, 1;m m+ = = −
4������������������������ 0,D < �� � �� � 4 4 0, 1,m m+ < < − ������������� ( ), 1 .m∈ −∞ −
Rxx ∈21, ���� 1 2.x x=1 22, 2;x x= =
Rxx ∈21, ����� 1 2.x x≠
� � � 1 23, 1;x x= =
0D =
1m = −1 2x x= ∈�
1 0m D< − ⇒ < 1 0m D> − ⇒ >
1 2 1 2, ,x x x x≠ ∈�
-�������������"��'�����������������
��������"�����������
�
� ����������������#���� 22 3 7 0x x+ + = ������������ �� 23 4 1 0x x− + = �����'�������'����������������
���������'������������������������������������������������
�<����� ����$����"����(� 2 8 15 0 ;x x− + =
�� ���
�
3����$����������$�� ���%������������ �$������ � "
�(� 2 12 0;x x+ − = �(� 24 12 9 0;x x− + =%(��$��#�6$C�9B�7�@�
�
:�������� �������������������$�������� ����������
���������
�(� 2 3 0;x x k+ + = ������(� 23 2 3 0;x kx− + =%(� ( )2 2 3 2 3 0.x k x k+ − + − =
�
3��%������� �������� ���������$������������ �� ��������� "
�(� 2 2 3 0;x x k− + = ����(� 22 8 6 0;x x k− + + =
%(� ( )2 2 3 2 0?kx k x k− + + − =
�
���������������"��������������#��$%��������� �������#�����
��������
;��$���� 2 3 4 0x x− + = � ������ ������ ��� ���������� �
� (����������������������������������
������� 22 3 5 0.x x+ − =
:��������� �,�������$����2 4 3 0.x x+ − =
<����� ����$����� 22 3 5 0.x x+ − =
���� �(� 2 2 5 0;x x+ + = ��������%(� 2 10.
4x x− + =
:�������� �������������������$������������ ��
����� �� "
�(�( ) 22 4 1 0;m x x− − − =�(� 2 2 0;x x m+ + =%(� ( )2 2 3 1 0.mx m x m+ − + − =
�
3��%������� �������� ����������$�������� �������
�� "
�(� 2 22 3 0;x ax a a− + − + =�(�( ) 21 2 2 0?a x x− − − =
�
3��%������� �������� ��������������������� �������
������"
�(� 2 6 1 0;mx x+ + =�(� 2 8 9 0?mx x m− + =
�
0�������� ����� �������%������������ ������
������$����"
�(� 2 2 3 0;x x k− + − = �����(� 23 8 5 0;kx x+ − =%(�( ) ( )21 2 2 3 0.k x k x k− + + + − =
���������( )2
1/ 2
3 3 4 2 5,
2 2x
− ± − ⋅ ⋅ −=
⋅�� � ��
1 2
51, ,
2x x= = − ���� 1 2
5 31 ,
2 2x x
⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
��� 1 2
5.
2x x⋅ = −
������������������������'������������������ 2 3 50,
2 2x x+ − = ����������'���������
3 5, .
2 2p q= = − �-������#� 1 2
3,
2x x+ = − �� � �� � 1 2 ,x x p+ = − �������� 1 2
5.
2x x q⋅ = = −
�
�����������������'����������������� ( )1 2 1 21 , 2 3.x x p m x x q m+ = − = − + ⋅ = = − +
���������������������������� ������� 2 0, 0,ax bx c a+ + = ≠ ���������������'�������
M����������-�������� ��������'������������ 2 0x px q+ + = ����#
� 1 2x x p+ = − ���������� 1 2 .x x q⋅ =
� (����������������������������������� ������� 2 0, 0.ax bx c a+ + = ≠
���������P����������������2 2
1 2
4 4,
2 2
b b ac b b acx x
a a
− + − − − −= = ������"��������� �������
����2 2
1 2
4 4
2 2
b b ac b b ac bx x
a a a
− + − − − −+ = + = − ���2 2
1 2
4 4.
2 2
b b ac b b ac cx x
a a a
− + − − − −⋅ = ⋅ =
���� ���
� /�����"������ �����#���� 23 4 5 0x x− + = ���������� ��� ( )2 1 2 3 0,x m x m+ + − + = ������������
��������������������
��������� ������������������� ��!������������6��'�������� ����������� 3, 4a b= = −
� /�����������������
������������ 1 2 1 2, .x x p x x q+ = − ⋅ = �-�����������
�������
�������"��������
������� 2 0.x px q+ + =
���������/���� 1 2x x p+ = − ����� ( )1 2 ,p x x= − + ����� ��������������'�����������
( )21 2 1 2 0.x x x x x x− + + ⋅ = �/�������������#� ( )2
1 1 2 1 1 2 0x x x x x x− + ⋅ + ⋅ = ����2 2
1 1 1 2 1 2 0,x x x x x x− − ⋅ + ⋅ = �� � �� ���������.�������������������� �������������������� �����
����������������� � �� �����������"�������� ������ �������������"����������"�����"�����������������
��������������� �$���������������������������������#
?�������������� ������ � �
1 2
bx x
a+ = − �������������� 1 2 .
cx x
a⋅ =
���� 5,c = ����� 1 2 1 2
4 4 5, ;
3 3 3
b cx x x x
a a
−+ = − = − = ⋅ = =
� �� ������������ ���������"��������� ������� 2 0ax bx c+ + = ������������������� 1 2
bx x
a+ = − ����
1 2 .c
x xa
⋅ =
����� �������������������� 2 0,x px q+ + = ��������� 1 2 1 2, .x x p x x q+ = − ⋅ =
�
���1 2
1 1;
x x+ �� 1 2
2 1
;x x
x x+ ��� 2 2
1 2 2 12 3 2 3 .x x x x− + −
� $��� ������'�������������-������������������������)'�����������"�������������������� ��� ��������
���������#
��������������� 2 7 12 0;x x− + = �������� 4− ����� 2 7 12 0;x x+ − = ����1 2± ����� 2 2 1 0.x x− − =
����������������������������"��������� ��������������������������'����������-���
��� 1 2 1 27; 12.x x p x x q+ = − = ⋅ = = �/��� ( )3 4 7 7+ = − − = ������ 3 4 12,⋅ = ���������������������������
������� 2 7 12 0.x x− + =
� E�����������������
����������� ������� 2 0.x px q+ + = �-���������� 2 2 2
1 2 2 .x x p q+ = −
��� � �����!�������� 2 21 2x x+ ��������������������������������������� ��� �.���������������� ����� 1 22x x
���� ( )22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 .x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + − �!����'������������-�������� 1 2x x p+ = −
���� 1 2 ,x x q⋅ = ����� ( )22 2 21 2 2 2 .x x p q p q+ = − − = −
� E��������������������"��������� ������� 23 2 6 0.x x− + = �/�����"������ �������������������
��������)����������������������#
���������!����'������������-�������#� 1 2
2 2
3 3x x
−+ = − = ����� 1 2
62.
3x x⋅ = = �+�������������������������
�����������������'�����������������������K����� �������������� 1 2x x+ �����������
��� 2 1
1 2 1 2
21 1 13 ;
2 3
x x
x x x x
++ = = =⋅
���������� ��( )22 2
1 2 1 21 2 1 2
2 1 1 2 1 2
2x x x xx x x x
x x x x x x
+ −++ = = =⋅ ⋅
�
22
2 2163
.2 9
⎛ ⎞ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ = −
��� ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 22 3 2 3 2 3x x x x x x x x− + − = + − + =
2 32 362 3 12.
3 9 3⎛ ⎞⋅ − ⋅ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠
$ ��������'������ ( )22 21 2 1 2 1 22 ,x x x x x x+ = + −
1 2.x x⋅
� � ��� 2 2 21 2 2 .x x p q+ = −
�
���������!���������������������������������������"���������� ������� 2 0,x px q+ + = ���
( )1 2 ,p x x= − + � 1 2.q x x= ⋅
M����� �����������������������������������������
�
;��$����� ������������� ��������������� ���
%��������� �,"
�� ����
�(� 23 6 5 0;x x− + =�(� ( )2 2 5 0.mx m x m− + − =
� ���������������� �0� ���������$����"
�(� 22 7 5 0;x x− + = ��������(� 2 5 0;x x− =%(� 22 4 0;x + = (�( ) ( )22 2 3 1 0;m x m x− − + + =�(� 22 3 0.mx x m− + − =
� . ��������� �������� ����0� �������������� � ����������� ������������������$������ � ����$�����������"
�(��9���� ��6��$��#�D$C�89�7�@=
�(�#5���� ��B����$��#�9$�#�8B�7�@=
%(�#9���� ��Q���$��#�R$C�84�7�@=
(� 23 dhe 23 −+ ��$��C�6$C�Q�7�@�
� �����$�����������������
��������
1 23, 4x x= = ������$ ��� ���������2 7 12,x x− + ��� ( )( )2 7 12 3 4 .x x x x− + = − −
� 0���������������� ���������� ������
����������������#�������������������
����������������������������������������������� ������
���
0���������������������������������������
�
� *�� ��������$����������� �0� ����$����� ����$����"
�(� 2 8 15 0;x x+ + = �������(� 2 8 15 0;x x− + =
%(� 2 7 12 0;x x+ + = ����� (� 22 7 5 0.x x− + =
� . �$�������� �������� ����0� ����%�������� ������� ��������� ���������$����"
�(�$��#�B$C��7�@����� �$�7#9=
�(�9�$���C��$�#�8�7�@=���� ��2
31 =x
%(�$��#�9�$C��7�@����� ��$�7��'��
� 3�� %����� �� �� ��� ��� ������������ � ���$����2 6 3 0x x k+ − + = � ����������������
� 1 2 0?x x− =
� :�������� ������ ��������� ������ � ����� � ��
���$���� ( )2 2 1 5 0x m x+ + − = ����� ��� ��������
� �4��3���� ��� ������������%����������� ����$�����
*�� ����� �$����������$�����%������� ��� ��� �� "
�(� 2 21 2 1 2 ;x x x x+ �(�
1 2
3 3;
x x+
%(� 2 21 2 ;x x+ (� 2 2
1 2
1 1.
x x+
1 24, 3x x= = − ������$ ��� ����$����2 12 0.x x− − =
3�����������������������$���
( )( ) 24 3 12.x x x x− + = − −
������������� ( )2 2 2 1 0.mx m x− + + = �(�������������������������
�������������������� ������������������������������ 2 21 2 1 2 4.x x x x⋅ + ⋅ =
�
��� 1 2
2, 0,5;
3x x= − = �� 1 23 2, 3 2;x x= − = +
��� 1 2 15 4 , ;x i x x= − = )�� 1 2, .x a b x a b= + = −
M����� �������������������'����������������������������#�
��������� �� ( ) ( ) ( )( )1 2 1 23 2 3 2 6, 3 2 3 2 7,p x x q x x= − + = − − + + = − = ⋅ = − + = ����� �����
������ 2 6 7 0;x x− + = ���� ( ) ( )( ) 25 4 5 4 10, 5 4 5 4 25 16 41,p i i q i i i= − − + + = − = − + = − = ����� �����
������ 2 10 41 0.x x− + =
M����� �������������������������������� 1 22, 7.x x= = −�
��������������������������������'������ 2 0,x px q+ + = ���� ( )1 2 1 2, .p x x q x x= − + = ⋅
.����������������������������������� ( )( ) ( )2 7 5, 2 7 14,p q= − + − = = ⋅ − = − ����� ��������������������
2 5 14 0.x x+ − =
���� ���
����������� 1 2,x x ��������������� ����������������������� �������������'�����
��2 0,x px q+ + = ( )1 2 1 2, .p x x q x x= − + = ⋅
����� ( )1 2p x x= − + ����� 1 2q x x= ⋅ ����������������� ������ 2 0x px q+ + = ��"��������������������
1 2, ,x x �����������'������ ������ ( )21 2 1 2 0,x x x x x x− + + ⋅ = �� � �� ������� �����
( )( )1 2 0.x x x x− − =
.������������������� 1 2,x x �������������� ����������������������� �������������'���������������
� ������ ������� ( )( )1 2 0.x x x x− − = �/������� ��������� 1 23, 7x x= = − �������������� ��������������
�������� ������������ ( )( )3 7 0,x x− + = �� � �� � 2 4 21 0.x x+ − =
/������������������������������������������ ������� 2 12 0x x k− + = ����������������������������
������,
�
���������/���� 1 22x x= ⋅ ����� 1 2 12x x+ = �������� 2 22 12,x x+ = �� � �� � 2 4,x = ����� 1 2 4 8.x = ⋅ =
/���� 1 2q x x= ⋅ ����� q k= �������� 4 8 32.k = ⋅ =
/���� 2 21 2 1 2 4x x x x+ = ����� ( )1 2 1 2 4,x x x x+ = �������������������'������ �����
1 2 24
m
m m
+⋅ = ����� 24 2 2 0,m m− − = �� � �� � 22 1 0,m m− − = ��������������������� 1m = �����1
.2
m = −
&��������#������������������ ��������� ��� !�!��!�������(����������� ������������� 1x �� 2x �������
��(���"� ��������������� ���� � �������������������������������������������������������"������
�������!
���������!����'������������-�������#�( )
1 2 1 2
2 2 2 2 1; , 0.
m mx x x x m
m m m
− + ++ = − = ⋅ = ≠
A�������$��������� ������� ��������� ����%���������������������� ��������,����� "
�(� 5, 6;p q= − = ����������(�1 2
, ;2 3
p q= =
%(�1
1, 2 .2
p q= − = −
�� ���
�
�(�#5��� �9=������(�B��� �#4=�����%(�#6��� �#8��
) �� �����( )2 6− ���������$��������� �������
�������� ����%���������"
�( ;32
dhe 21 − �( ;
21
dhe 43− %(� ;
4
1 1- dhe
3
2−�
�(� ;2
31 dhe
231 +−
�(�9#5����� �9C5�=��%(� ;3
21 dhe
3
21 ii +−
� ����
�(� ;34 dhe 3 −− ���(� ;5 dhe 2−
%(� ;25 dhe 2-5 +
� ����
�(� ; dhe a
b
b
a��������(� ; dhe
ba
b
ba
a
−+�
A�������$��������� ��� ��%� ���� ����� � ������� ������ ���������� ����������"
�(�3 2 3;− ������3 2 ;i− ������2
.3 i+
� ����
3��%������� �������� ���������������� ����$����22 3 2 0x x k− + − = � ������ � � � ����� � ������ �
�� ��>
:����� ��� ������ ��� � ������ � ���$����2 4 0x x m− + = � ��������� ��%�����
�� 2 21 2 12.x x+ =
:�������� ������� ����$����
� ( )2 1 3 0,x m x m− + + + = ������������������� ����
���������� ����� ����� �� ��� ���
��
���
� ����� �������#������
���'����������������������������������������"������������������������������������������������"�����
�� ���������������� �������������� ��� ���"�����������"������������ ��������� ������ ��������
�������
� ��������� �������������� ���������������������������������
��������������� ������������������� �?�������� �������������������� 65 ,x− ������������������������������
'�������� ������ ( )65 966,x x− ⋅ = � ������������ 2 65 966 0,x x− + = � �"������ �� ��� ���� �����
1 242, 23.x x= = �.���������� �������������������������������
� !���������'�������������������'���������� ���������������������������������������������
������������'�������������������������������������'��������� �(��������������,
����������������'��������������������������������'����������������������� 9 ,x− ������������������������
'������������������( )9 x x− ����� ( )9 .x x− �!�������������������������#
( ) ( )9 9 2268,x x x x− ⋅ − = ������������� ( )( ) ( )10 9 10 9 2268,x x x x⋅ − + ⋅ + − = �� � �� � 2 9 18 0,x x− + =
�"�������������������� 1 23, 6.x x= = ����������'���������������������������� �&��������6������'��������
������������������������'�����������������'������������� �/������� ����� 79 10 7 9.= ⋅ +
� 0�������������������������"�������"������������������������������������������� �����������,
������������������"�������"��������������������������� ����������������'������
�( )3
.2n
n nD
−= �/��������������������������
( )37 ,
2
n nn
−= �� � �� � 2 17 0.n n− = �2"������
������� ���������� 1 20, 17.n n= = �/���������������������������������� ���
��������
3��%�������� ���������������������������������������
����� ��� ��������� �
�203( ) ( )( )21, 1 1 1 .x x x x− − = − +
�203( )2 4, 2, 3x x x− + − =
( )( )( )2 2 3 .x x x= − + −
:������203���� 2 22 1, 1.x x x+ − −
2"�������� �������������������������"�������
������������������������'�������������������
�������������������
� 2"����� �����#
���( )2 10
3 8;1
xx
x
+= +
+���������� ��
15 81.
5x x+ =
−
���
���������������������������������������������������� ������������������� ����������������� ������� �����������������������'�������������������������������������������)��������������� �����
�����������������������������
������������������������������'�������� 1 0,x + ≠ �� � �� ����� 1,x ≠ − ����� ���������������'���������
-9(J@�:A ������������������������!3-/�����������������������������#
( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 103 8 / 1 , 2 10 3 8 1 , 3 4 0.
1
xx x x x x x x
x
+= + ⋅ + + = + + + − =
+
N�������� ����������'��������� 1 21, 4,x x= = − ��������������������� �������������������������������������
�"��������� ��������������
��������������������'��������� 0, 5,x x≠ ≠ �� � �� �-9(J@D�IA ������������������������
!3-/ ( ) ( ), 5 5 ,x x x x− = − ����� ( ) ( ) ( )15 81/ 5 , 15 5 8 5 ,
5x x x x x x
x x+ = ⋅ − − + = −
−�� � ��
2 28 75 0.x x− + = �2"��������� ����������'��������� 1 23, 25,x x= = ����
3 D∈ ����� 25 .D∈
� 2"����� �����#����2 3 3 5
;1 2 1
x x
x x
− −=+ −
��2
6 2 2.
1 1 1
x
x x x
−− =− − +
��������
����������������� �0� ���������$���������>
3�����$����� 22 3 4 0x x− + = �� ��"
1 2
3
2
bx x
a+ = − = ���� �� 1 2 2.
cx x
a⋅ = =
� 0����������� 2 7 12x x− +� ������������������������
��������� 2 27 12 3 4 12x x x x x− + = − − + =
( ) ( ) ( )( )3 4 3 3 4 .x x x x x= − − − = − −-������� 1 23, 4x x= = �������������������������
�������
�������������
��������������������������� ( )2 0, 0, 0 ,ax bx c a b c+ + ≠ ≠ ≠ ��������
1 2 1 2, ,b c
x x x xa a
+ = − ⋅ = ����� 2 2 b cax bx c a x x
a a⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )21 2 1 2a x x x x x x− + ⋅ + ⋅ =
( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 , 0.a x x x x x x a x x x x a= − − − = − − ≠⎡ ⎤⎣ ⎦
� 2 �������������������������#����� 22 3 5;x x− − ����� �� 2 5 6.x x− +
���
������������R�����������������������#��( )
1/ 2
3 9 4 2 5 3 7,
2 2 4x
± − ⋅ ⋅ − ±= =⋅
1 2
5, 1,
2x x= = − ����� ( ) ( )( )2 5
2 3 5 2 1 2 5 1 .2
x x x x x x⎛ ⎞− − = − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ( )( )2
21/ 2 1 2
5 5 4 6, 3, 2; 5 6 3 2 .
2x x x x x x x
± − ⋅= = = − + = − −
���� ���
0����������� 2ax bx c+ + �� ��������������������������������'����������
( )( )21 2 , 0,ax bx c a x x x x a+ + = − − ≠ �������������������������������
2"����� ������2
2
2 3 40.
3 2 2 4
x x x
x x x
− + −− =− + −
��������� � ����������
+��P���������� ���������������������#� ( )( )21 23 2 , 1;x x x x x x a− + = − − =
( )( ) ( )21/ 2 1 2
3 9 4 2, 2, 1; 3 2 2 1 ; 2 4 2 2 .
2x x x x x x x x x
± − ⋅= = = − + = − − − = −
,�� !3-/ ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 ,2 2 2 2 1 .x x x x x− − − = − −
/��������������������'��������� 2, 1,x x≠ ≠ �� � �� �.9NJ@:�7A
-�������������������������!3-/�� ( )( ) ( ) ( )( )2 2 3 4
0 / 2 1 2 ,2 1 2 2
x x xx x
x x x
− + +− = ⋅ − −− − −
( ) ( )( )2 2 3 2 4 1 0.x x x x− + ⋅ − + − = �/������"�������'������ ������ 2 7 10 0x x− + = ��"�����������
�������� 1 25, 2.x x= = �/���2 ,D∉ ��"�������� ������������������� 5.x =
!�������������� ���������������������������������������� �E��"�������������� �����������
�������������������������7����������������������� �������������� �(����������������������������
���������E���������������������������������������� �?�������15 x+ ������������������� �������������������
��������������15 x− ���� �������������� �/���� s v t= ⋅ �������� ( ) 172 15 x t= + ����� ( ) 272 15 .x t= −
/������������� 1
72
15t
x=
+����� 2
72.
15t
x=
−�/���� 2 1 2t t− = �����
72 722.
15 15x x− =
− +
)
���
/���������������������������'������ ������ ( ) ( ) ( )( )72 15 72 15 2 15 15 ,x x x x+ − − = + − �� � ��
������ 2 72 225 0x x+ − = ��"��������������������� 1 23, 75.x x= = −
/������������������������������ ��6���������� 75x = − ��������"�������� �����������������������"�������
��������������������������������������"�����
�� & .����������������������������������� ��� ���������������� ����������������'��������������������������������������������'�����10 � ���������������������������'���� �����������������)�����������������������������������������������������������������������������
���������E���������������������������������� ��?������������������������������������10 .x− �/�����������������
�� ������ 1
0,8 100,p
x
⋅= � ������ ��� ������� �� ����� ������ 2
0,6 100.
10p
x
⋅=−
� /���� ������� 1 2 10p p− = � ���
0,8 100 0,6 10010.
10x x
⋅ ⋅− =−
�/�������������������������'������ ������ 2 24 80 0x x− + = ��"���������������
���� 1 220, 4.x x= = �2"������ 1 20x = �����������"�������������������������������"�����������������������
10 .� �/�������������������������������������� 4 ,� ���������������������10 4 6 .− =� � �
�� /���������������������������'������������������������������������������������������ �?�����
�������������������'�������������������������������� �/��������������������� ���
�����������������"����"����������������� �!���������������'�����������������������������
�������,
���������!��������������������������!����������������������������� �?�������� 15,100
S x⋅ = �� � ��
100 15.S
x
⋅= �.�������������������'���������������1500
x������ ����'������������������������� ����
�� ������� ��� ������1500 1500
15 85 100x x
+ + = + � ����� � ��� '��� ��� ���� ��� ����� �� ��� �����
1500 1500100 100
100
x
x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���������������������������������������� �/��������'������ �����
1500 100 1500 100420,
100
x x x
x x
+ ++ ⋅ = �� � �� � �����
2 305 1500 0x x− + = ��"�������������������� 1 25, 300.x x= = �/�������������������������������������
����������'�����������1500
3005
= ������
/��� 2 300x = �������������������"���������������,
*
���
� ������#8��� �5������������ ����$����� 2 2 3 0.x x− − = �������$��������� ������ ���� ����$����"
�(�( )( )1 3 0;x x− + = �������(�( )( )1 3 0;x x+ + = �����%(�( )( )1 3 0;x x+ − = ����� (�( )( )1 3 0.x x− − =
� <����� ����$����"����(� 2 4 0;x − = ��������(� 2 0;x bx+ = ��������%(� 2 1 0.x − =
� :�����$������ �� ����$����"��(� 2 25 3 9 7 ;x x x x− = + �(� 2 214 0.
5x x− − =
�� ���
� ������:74�$���� � ���������� �����������������
%���� �������4<:D�
� ,��������� ������� ��������� ��������������I�����>����� �:4�����3��%�������������������������� ����
��$���� �� ������� ���� ������������� ��� �������
����� ���>
� ������ � ������ � ��� ��� ����� � ������ ��
�������������������=;I��:������������������>
� -����� ����������������������� ����� ���������
����� �������� ��"
�(�� ���������������������������=
�(�� ������������ �������������������=
%(�� ������������� �����������������>
� <����� ����$����"
�(�2 3 3 5
;1 2 1
x x
x x
− −=+ −
����(�2
6 2 2.
1 1 1
x
x x x
−− =− − +
� ,��� ���&����� ���� ������� ��� ��� ������ ����
=DDD�� ������� ����������������������������� �
*�� ���� ������������������������ ������� ����
�������� �� ������:ID�� ���������&��������������>
� ���������� ������� ������������� �<���������� ���������������������������������� ����� �����
�������� ���;�������3���������� ������� ���� � ����� ����� �� ������������� �������� �������
�� ����B������������� ������������>
����� ����������� ��=ID���� ���������� ������
���� ����� ����� ����� ������� ����%�����������:I���C�� ��� ��� � � �� ������� � � ���� ��� ���� :����
�� �������� �������� ��� �
����������������������������$��%�
� ;��$����( ) 21 3 1 0k x kx− − + = ������������� ������� "
�(� 0;k ≠ �(� 0;k = %(� 1;k ≠ (� 1.k =
� ;��$��������� 2 1 0x k− + = ����$������ � �� ���� � ___________.k ∈
� ������ �$������ � �������$���������� 24 8 5 0x x− + = ������"
�(� 8;− �(� 2;− %(�7= (�;�
� + ����� ����������$������ �� ����$���������� 2 0.x px q+ + = �-��� ���� �� �1 2
1 1
x x+ ������"
�(� ;p
q�(� ;
q
p%(� ;
p
q− (� .
q
p−
���
:������������ �$������ � �������$���������"
�(� 2 8 15 0;x x− + = �(� 2 10 25 0;x x− + = %(� 2 2 9 0.x x− + =
A�������$��������$������ �� ����%���������"��(� 1 25, 9;x x= − = − �������(� 1 2
5 3, .
8 4x x= = −
�� :������� ��� ���� ���� ������������������$�������� ����������� 2 0 :ax bx+ =
�(� 2 3 2 6 0;x mx m+ + − = �����������(� ( )2 2 3 1 0?x m x m+ − + − =
�� 3��%������� ��������� ���������$�����������������������"
�(� 2 10 0;x x m+ + = �(� 2 6 0?mx x m+ + =
�� <����� ����$����"������(�8
6;xx
+ = �(�8 6
1.1 1x x
− =− +
�� ������ ������� ����� ������ �������� ������������������������7I:��:������������������>
�� *���������� ������ �����������������4D�������� ���� �$��� ���������������=�������������������� �������������
����%������������ �� ����� ����� �� ������� �� �����������>
�� ���������������������$������!��� �"���� ����� �������� �� �� ���������$�������3�������������������� �� �� �
������� ���� ����������������!����� ���� ��� �� ����������������"� ������������� �� �� �����������;���
������� ����������������!>
�� ������ �� ���������� ��� ���������� %��� ������ �����������������������40001
200��������:������ ��������
�� ���� �������������� ������� ����������������% ����)��������� ���������% ����������� ���� ��������
����� ��� ����������� ���% ���������������� ���� ���� ������������ ����������������% ��� �� ����
:��������������� ������������% ��� ���� ����������� �� � ������ �3�������� �
�
�
�
��������������#�������
� ;��$����( ) 23 5 4 0k x kx− − = ������������������� ��� �� ���� �����������" :
�(�3
;5
�����������(�3
;5
− ����������%(�5
;3
���������� (�5
.3
−
� ;��$�������� ( )2 1 2 2 0x k x k− + + − = ��������$������ �$ ����� � ______.k = 7
���
� ���������� � ( )10m
m≠ ������$������ �������$���������"������(� 2 1
0;x mxm
+ + =
�(�2 1
0;x x mm
− + = ������%(� ( )2 2 1 0;mx m x m− + + = ������ (� ( )2 2 1 0.x m x m+ + + =:
<����� ����$�����( )6 7 :−
� ���������� ( )( )2
3 2 2 10;x x x− + = − �( ) ( )( )2
1 2 1 1 5 3.x x x x+ = − − + +
� �(�2
3 0;8
xx− = ����������(�
2 25 7 2 90.
4 2
x x x x+ −− =
<����� ���$����"����(� 24 4 1 0;x x− + = �(� 2 13 12 0.x x+ + =
7
7
7
:������������ �$������ � �������$����"
�(� 23 2 1 0;x x+ + = ���������(� 24 12 9 0;x x− + = ���������%(� 2 3 0.x x+ − = 4
�� A�������$��������$������ �� ����%���������"���(� 1 216, 1;x x= = − ��������(� 1 2
1 2, .
2 5x x= = 7
<����� ����$������%��������� ��"��
�(�15 8
1 ;5x x
− =−
�(�1 3
1 ;2 2x x
− =− +
���������%(� 2
5 8.
2 2 4
x
x x x+ =
− + −H
�� ������:HH�$���� � ������������$� ��������� ����%���� ��������4D�
�� ������ ������������ ������������������������� ���� ��� � ���� ������������������ ����������������
� � ���������� �� �������� ��������������89@�����>
4
4
� ;��$����������$��C��$C��7�@� )0 dhe ,,( ≠∈ aRcba ��������$������ � �� ���� ���������������-������
IIIIIIIIIIIIIIIII� 7
� ��� ������$������ � ����$���������� 2 6 0x kx+ − = ������� 2,x = ����� ��$�������� �����������"
��(� 3;− �����������(� 2;− ����������%(�7=���������� (�4�:
�� :������� ��� ���� �������������������������� �$������ � �������$������������������ ���� �������� � � ��"
�(� 2 36 0;x mx+ + = �(� 2 3 5 0.x x m− + =4
4
�� �
���
�����, $��#����#�����(��� ������#�����
6���������'������������
F��'����'�����
( ) ( )2f x a x α β= − + ���������������������
F��'����'�����
( ) 2f x ax bx c= + + �������������������������
G� �������������� ����������������������������
���
��
��
��
��
�
�
.��������������������������'����� ����������������������������������� ���
�
-�������'������������� �������������������
.���������������������� ����������� ���
F��'����'������ ( ) 2f x ax=���� ( ) 2f x ax c= + �
���� ��� �������� ���� �
#$%&�'()('�*�)*&$�
�
��
!"������ �������� ��� '������� ������'����� ��� ��� ����� ����� ��"������������ "��'���� �� ����� ���� ����������������������������
��� 2 , 2 2;y x y x= = +
�� 2, 2.y x y x= + = − +
��������������
���F��'��� � '������ ����� ������ ������� /�������������������������'�������������������������� �/�������������������� �����"�����)'����������������������������������������������������������� �/�����������������"��'��
#���������$��#�����#������
��������
:���� ���������� � 1
2 5,y x yx
= − = ���
2y x x= − ������������,
:����� ( ) ( )0 , 1f f ����2
3f
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠����
( ) 3 4.f x x= −��� �������� �������������� ��������������>
� � ��������������������������������"��'�����'����������#
� ��-��������������
-����� �������� �� ���� ��� '�������� �������������� ��� ������������"��'�������������� ��������� ��� ������� ����� ���
( )0,2 .A
"�� ����������
�
��
����
� �
� �
� �
�
2x +
2x− +
� �
� �
� �
2
y
x= −
+
2
yx=+
�
�
'@�9(
%�
&�
M����� ( ) ,f x ax b= + ������������������������������������������������������� �����������
�����'����������-�9(�F��'����'����������������� �������� },,)(,/),{( RbabaxxfyRxyxGf ∈+==∈=
���������"������������������'���������������������� ��
22
yx
=+
�
�
'@�9(
2y
x=
��
:������� ��� ( ) ( ) ( )0 , 1 , 3f f f �
���������� ( ) 2 2 .f x x x= −
+ � ��� � ��� ( ) 2 1.f x x= + � 3������� ��� ���� ���
����� �������������������"
( )( ) ( )( ) ( )( )1, 1 , 0, 0 , 1, 1 .f f f− −
/������� �� �������� '����
( ) 2f x x= �����
� { }2, 1,0,1, 2 .fD = − − �(����� �����������������
���'�����
���������M����������������� �������������#
��������� �� �������� ��� '������ �����
{ }1,0,4, ,fV = ����������������� ����������������
��������������������������"��'���
�������� � �
F��'����'������������ �������
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4 ,fG = − − � �����
"������������ ������ ������������ ����� �� ����� ��
��������"���������������
�
�
)1−2− : 7
( )1,1( )1,1−
( )2,4− ( )2,4
�
��2− 1− � � �� � � � �
M���������������'�������� ( ) 2 ,f x ax bx c= + + ���������������������������������������� 0a ≠������ ��������� �� ��� � M����� �� ��� �� �����'���� � ������ -�9( � ������ ����� �� ���� ��
( ) 2f x ax bx c= + + ����������� 2 .y ax bx c= + + �F��'����'������������������� �������
� }0,,,/),{( 2 ≠++=∈= acbxaxyRyxyxGf
���� ���
��������
:������������������� �� ( ) ,f x ax b= + ����
( )0 2f = ��� � ( )2 0.f =:����������� ������ ���������������
� ( ) 22 3 ,f x x x c= − + ���� � ( )0 5.f =
5����������'����
( ) 2 .f x ax bx c= + +(���������'�������������������
( ) ( ) ( )0 0, 3 45, 2 20.f f f= = =
���������!��������������������������'��������������
0
9 3 0 45 ,
4 2 0 20
c
a b
a b
=⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
���"��������������������#������
��������������� �5����������'����� ( ) 25 .f x x=
� �
:�������������������� ( ) 2 ,f x x bx c= + + ����������"��'��������K����� ������� ( )2,0A ����
( )3,0 .B −
�
���
5����������'����� 2.y x= ������� ���������������������'��������
���������0� �������������������#
�
����� 0,b c= = ���������'�����������������'����� ( ) 2 , 0.f x ax a= ≠
����� 1a = �'������'��������������������������������'����� 2.y x=
{ }0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 0,5; 0,5; 1,5; 1,5x ∈ − − − − − �������������������������������"��'������������
�����������"������ �/����������������������"�������������"��'���
�
��
D : 1− 2−7 4 3−
D : : H H > >
D�I :�I0,5− 1,5−
D�7I D�7I 7�7I 7�7I
/������ ����������������������� ( ) ( )0,0 , 1,1 , ( ) ( )2,4 , 2,4 ,− �
( )1,5;2,25− ��������������"��'�������'������ 2;y x= ��������
'���������������������������������"���������
-��������#����������������������"��'�������'���������
'������������������������������'�������������������
������"����������������'�����
0�������������������������������������"����������'����
���"����������( ) 2, ,x y y x= ����� R∈x ������"��'��� �6�����
����������������'��������������������������������� ��
�������������������
M���������������� ( )0,0O ��������������������������"��'���
���������������'������ ����
/���)������� ( ),M x y ���������� ����
� } dhe /),{( 2 Dxxyyx ∈= ������� ���� ( ),M x y′ − � ����
��������� ����������������������������������� ������
()!�*'��� !�* �&)!�*'�'�!'��*+'! ��)!��,�* ������ �������
���� ���
������� � � ��
�
������� � � �
�������
�
�
��
�
( ),M x y′ −
���
��� ����������� ���� ���������������$������������
����������� ( ) 1,f x ax= − ���� "
:������������������� �� ( ) ,f x ax b= + ���� "
�(� ( ) ( )0 1, 1 1;f f= − = −�(� ( ) ( )1 2, 2 0.f f= =
:���� ���������� � ������������������������
����"
�(� ( ) 25 2 ;f x x x= + − �������(� ( ) ( )1 ;f x x x= −%(� ( ) 2 3;f x x x= − ����������� (� ( ) 23 ?f x x=
�� ���
�
�
�
�(�1
1, 2, ;2
a a a= = =
�(�1
1, 2, .2
a a a= − = − = −
:����� ����������� � �� �� � ��� ����������
( ) 2 2 ,f x x x= − ���� "
�(� .}2,1,0,1,2{ RDf ⊂−−=
�(� .]2,2[ RD f ⊂−=
�
?����� ������ ���������� ( ) 22 5 3.f x x x= − +:�������� ��"
�(� ( )0 ;f ����(� ( )1 ;f ���%(� ( )2 ;f − ��� (� ( )1,5 .f
�
?��������������������� ( ) 2 .f x x=8(�3������ ���� ����
�
9(�0�$������������ ������������
5(�*�� � �������$����������� ��������������������
���������� ��"
�(�����.��4�������.��7����(�.��7������.�:�%(�����.����������.���������� � 1 2 0;x x< < (�����.����������.���������� � 1 20 .x x< <
3− 2− 1− 0,5− D D�I : 47�
��
:�������� ����������������������� �� ����������
( ) 2 4f x x mx= + + ���������������"
�(� ( )1,2 ; ����(�( )1,2 ;− ���%(�( )3, 2 .−
�
3��%������� �������� ������������� ������������
����"
�(� ( ) ( ) 22 2 5;f x m x x= + + −�(� ( ) ( )22 2 3;f x x m x= + − +%(� ( ) ( )2 24 3 1 ?f x m x x m= − + + −
?����� ������ ��������� ( ) 22 .f x x bx c= − + +:��������� �+����� "�(� ( ) ( )0 2, 1 3;f f= =�(� ( ) ( )1 3, 2 6.f f− = = −
:����� ���������� ( ) 2 ,f x ax bx c= + + � ���
( ) ( )1 6, 1 2f f− = = ��� � ( )2 3.f =��
:���������������� ( ),f x ����
( ) 21 3 2.f x x x+ = − +��
0�� ���� �������������
( ) 2f x x x c= + + ��� �� ( ) 21 .f c c− =��
���
"��$#���$��#����� ( ) 2f x ax= ����� ( ) 2f x ax c= +�
��������
������ ���������������������� 2 ?y x=
:����� ���$�������������������� ����'��������������(��
�������� ?},/),{( 2 Rxxyyx ∈=
:�����������������������������
Rxxy ∈= ,2 >
-����� "��'��� �� )������� ����'�������#
� �
��� ( ) ( ) ( )2 2 21, 2 , ;
2f x x f x x f x x= = = ����
�� ( ) ( )2 22 , 2 ;f x x f x x= = − � ��� ������� �����
�������� �+�������,
������������M������������������� ��������������#
�
��
���
21
2x
2− 1− � � �
� � � � �
� � �
��1
2
1
2�
!��������������������� ������'����������������
"��'�����������'"����
-���������������������� ��� ������ �����
��������"������������"�������� ����
�����
� �
!"������ ������� ��� ���� ���������� ����������� ��
���'������'���������������������������������
���������������������������������
����� 1,a > �����������������������������������'��������������������������������������������������
������������"���������� � �� �"��'����'�������'������������� ������
��M������������������� �������
�
���
����
�� �� � � �
� � �
� �� � �� �
������� � � �
�
�
��
��
��
1
2a =
1a =2a =
�
���
���������'��������������������"��'����
-���� ��� �������� �� ������ �� ���� �� ���� ����� ��
������� �6������"�����"��'����'������ 22y x= − �����
���'�����������"��'�������'������ 22y x= ������'�����
����������� ������
-���� ��� '������� 22y x= � � ���� 22y x= − � � ���
������������������� ������
F��'����'������ 2 , 0y ax a= ≠ �������������������
����������� ��� �/������������������"��'��������� 0a > ��
�����������������������������"��'��������� 0a < �������
����������� �������������"���������'���������������
����� 0,a > � �������� � ���� ���� ������ ������� "�� �����
��������� ����������������� 0,a < ������������� ���������
���������"���������"������� �������
���� ���
/���'����� 2 , 0y ax a= ≠ ����#�� ( ) ( ),f x f x− = ��������������������������"��'�����'�����������
���� ���������������� ������
?����� ������ ���� ( )2,1M � ��� ��������� � ���� ���
����������������$�������
��������
. �������%������ ������������ ����������������� �������������������� ����
�
�
�
� ( )2,1M
:����������������� ����� ������ ��
������#
�(����#���5������������
�(����#���H�������������
-����� "��'��� �� )������� ����'�������#
� �
( ) ( )2 2, 2f x x g x x= = + ����� ( ) 2 3h x x= − ��
������ �� ������ ��������� ���� ����� ���� �����
��������������"��'�����
���������!������ ���� ������������������'�������
������������������ ����������
�
D
1−2−
:
7�I
4
( ) 2f x x= ( ) 2 2f x x= + ( ) 2 3f x x= −
�
�
�
����
�
� 2 6+ =� 2 3+ =� 2 2+ =� 2 3+ =
���� 2 8,25+ = 2 11+ =
� 3 1− =� 3 2− = −� 3 3− = −
���� 3 3,25− =� 3 2− = −
3 6− =
2a =
2a = −
���
�
��
�� � �����
���
6�������K���������������������'���������������� ( ) 2f x x= ����� ( ) 2 2,g x x= + ������������������������)��
��������������������������� ( )g x ����� ��������������������� ( ).f x
�������������"��������� ( )h x ���� ������'������������� ( ).f x
6������� "��'��� � '������ ( ) 2 2g x x= + ����� ��
'��������������������� � �� ����������������"��'���
���� ( ) 2 ,f x x= ��������������������� ���� }/),{( 2 Rxxx ∈ �
����������7��������������������
/�������"��'����'�����
( ) 2 2g x x= + ����������� ��������������������������
��������� ������ �/���������������"��'�������������
( )0, 2 �������������������������� ����
/��� "��'��� �� '������ ( ) 2 3h x x= − � �����
���'����������"�#�"��'������������� ����������������
����������4�������������������������� ( )0, 3− ����
������������ ���������������
-������"��'������'�������� 212
2y x= − + ����� 21 3
2 2y x= − − �������������������������������
�����������������������������������������������
�
�
D
1−2−
:
7
20,5 x− 20,5 2x− + 20,5 1,5x− −2−
0,5−D0,5−2−
D
:�I
:�I
7
D
3,5−2−
1,5−2−
3,5−
��������
F��'����'������ ( ) 2f x ax c= + ����������� ������������ ( )0,T c ������'�������������������
���� ����� 2y ax= ����� c ������������������������� �������� ����� 0,c > ���������� c �������
�"���������� ������������ 0.c <����������� ���������������� ������
���� ���
������ � � � �
��
�
�
�
22
yx
=+
23
yx
=−
2y
x=
32−
212
2y x= − +
21
2y x= −
21 3
2 2y x= − −
���
/�� ������ 0,a > �������������� ( )0,T c �����������������������"��'��� �.������������� 0,x = � ( )f x c=
�������������������"������'����� �/���������������� ���������������������'������������ [ ), .fV c= ∞
���� 0,a < �������������������������������������"��'��� �.��������� 0,x = � ( )f x c= ������������������
��������'����� �/������� ���������������������'������������ ( ], .fV c= −∞
-���/��������������������������'�����������������������������������������"��������������������� � ��
� 0����������������������'������ ( ) 2 , 0.f x ax c a= + ≠
+��M����������������'������������"������������������ � �� � RDf =
,��6��������� ����������������� ( )0, .T c
������-������ miny c= ������ 0,x =
�����.�� ��� maxy c= ����� 0.x =
+�� RD f =
,��3
0, .2
T ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ -��F��'����'������������������������������
���������������
G��������'������� 22 1y x= − ����� 22 2.y x= +���-�����"��'�����)������������'��������������������"��'�������'������ 22 .y x= ��!���������������������'�������
!���������������'������21 3
.2 2
y x= − −
���������F��'����'��������������������������������������������������������#
�
.
/��1
0,2
a = − < ����������'�����������������
max
3
2y = − ����� 0.x =
0�$������������ ��������� � ����������( )1 3− ��������������
���� ������������"
�� ���
� �(� 2 2 212 , , ;
2y x y x y x= − = − = −
�(� 2 2 21, 2 , ;
2y x y x y x= = =
� 2 2 22 1, 2 1, 2 3.y x y x y x= − + = − − = − +
�2 2 21 1 1 3
2, 3, .2 2 2 2
y x y x y x= − = + = +
.������������� ���������������� ������
���
0�$������������ ��������� � � ( )4 6 ,− ���������%����
�������� ����������� � �� �� � �� � �� ��� ��� � � ��
�������� ����� ��������� � "
� �(� 2 2;y x= − + �(� 2 3.y x= −
� �(� 22 4;y x= − �(� 213.
2y x= − +
� �(� 23 1;
2 2y x= + �(� 23
3.2
y x= − −
� :���������������� ( ) 2 ,f x ax c= + ���� "
�(� ( ) ( )0 2, 2 0;f f= =
�(�1 3
1, 3.2 2
f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:������������������������ "
( ) ( ) ( )3 3 5, 0 4.f f f− = = = −
:������������������������ ����� ��������� � �����
������������������������ 2y ax= �����"��(�$�������
��9=����(�$���������4>
�� 3������������� ����%�������� ���� ��������������� �
������� 2 1,y ax= − ������������ ��������"
�(� 2 ;y ax= ����(� 2 2;y ax= + ���%(� 2 5?y ax= −
"��$#����$��#����� ( )2y a x α β= − +�
?��������������� ( )2,1M �� ����� ����������������
��$�����
��������
. � ������%������ � ������� ��� �������������������������������������� ���"
�
�
�
�( )2,1M
:����������������� ����� ������ ���
-����� "��'��� �� )������� ����'�������
� �
( ) ( ) ( )22 , 2f x x g x x= = + ���� ( ) ( )23h x x= −
����������������������������������������������
��������"��'����
���������!������ ���� �������������������'������
�������������������� ����������
�(����#���4���������������(����#���:����������������
A��������� 2 , 0y ax bx c a= + + ≠ � �� � Rcba ∈,,��� ����������������
3������������������� ����� �������������� "
�(� ( )22 1 ;y x= −
�(� ( )2 22 1;y x x= − + + −%(� ( )2
3 1 2.y x= − +
� �� �������� ��������
�� � � ��
�� � � ��
� � �
� � �
� � �� �
���
F��'����'�����
( )23y x= − � ������ '����� ��
����������������� ����� 2y x=����� ���������������������4����
�������������������������������
���������������������� ��������
������������������ ������
F��'����'������ ( ) ( )2f x a x α= − ����������� ������������������ ( ),0 ,T α ��������������'�����
������������������� ����� ( ) 2f x ax= ������ ���������������� α ���������������� 0,α > ����� α����������������� 0.α <���������������������� ����� ( ) ( )2
f x a x α= − ��������������� ,x α= �������������������������
���� ��������������������������� ��������������
���� ���
-�����"��'�����'���������� ( ) ( )211 ;
2f x x= − − ����� �� ( )21
2 .2
y x= − +
-�����"��'�����'������ 22 4 2y x x= − + − �����������������������
���������M������������'����������'������������ ( )22 1 .y x= − − �M���������� ���
����'����� 22y x= − ����������������"��'�������
�
�
F��'����� � '������ ( )22 1y x= − − � ��� ��� '��������
��������������� ����� 22y x= − ������ �����������������������������
� 2− 1− � � �
�8− 2− 2− 8−22x−
F��'����'������ ( )22y x= + �������'�������������������"��'��������'������ 2y x= ������ �����
�������������������
-�������������'�����#
+�� RD f = ,�� ( )1,0 .T
/�� 2 0,a = − < �'���������������� max 0y = ����
1.x =
-�� ( ],0 .fV = −∞
.�������������������������������� 1.x =
��
��������
������������������������������ ����������������
������%������ ��������������� ( ), :M x y �����������
9�����������5������>
�������������� ���������������������"
�(� ( )2
1 ;y a x α= − ���(� 22 ,y ax c= +
������������������������ 2 ?y ax=
� 0����������������������������"��'���
'��������������'�����
� ( )2.y a x α β= − +
.��������������"��'�����'�����
�2
1 32.
2 2y x
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
� 2− 1− � � �
� �21
2x
1
2�
1
2
���������!������������ ������� ����������������
'������ 21
1,
2y x= �����������������������
'���������� �������������������"��'������������
������%���� ������������&���������
/������ �� ��������� "��'��� �� '�����
2
2
1 3
2 2y x
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠�������������������"��'������
'������ 21
1
2y x= ������ ���������������������
3
2�������������������� �������%���������������&
��������
���'����������������������������� �������������������������������� �����������'������"��'�����'�����
21 3
22 2
y x⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
������ �������%�������������������&���������
-�������"��'�����'������������������������ �������������������������������3
,2 ,2
T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����������
������������������������ �������������1
0.2
a = >
!��� ( ) ( )2f x a x α β= − + ������������������������'������������
F��'������������������ ��� �6���������� ��������������� ( ), ,T α β ������� ���������������������� ����
��������������� .x α=
���� ���
2
13
2
22
yx⎛
⎞=
−+
⎜⎟
⎝⎠
2
21
32
2
y
x⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
21
1
2y x=
��
-�����"��'�����'������ ( )22 3 4.y x= − +
���������.��������������'������������� ( )2y a x α β= − + �������� 3, 4,α β= = ���������������
( )3, 4 .T
M�����2
1 12y x= �������������� ������������"��'����
����������������
�
�
���
2− 1− � � �
� � �
#
/����������"��'��������������������������4����
( )3 ,α = �������'����"��'��������������������
����������������� ������������������� ( )4 ,β =������������'������"��'�����'�������������
�� ���
� :������������ ��������"
�(� ( )25 2 ;y x= − ����������(� ( )21
3 ;2
y x= − +
%(� ( )21 2;y x= − + ����� (� ( )2
2 3 2.y x= − + −
� 0�$������������ �����������"
�(� ( ) ( )22 3 ;f x x= + �����(� ( ) ( )21
2 ;2
f x x= −
%(� ( )2
1 3.
2 2f x x
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
� 0�$������������ �����������"
�(� ( )213 ;
2y x= − + �����(� ( )2
2 1 ;y x= − +
%(�2
3 1.
2 2y x
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
� 0�$������������ � �������� � ���� ����������� ���� �
���������"
�(� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 2 , 3 ;f x x f x x f x x= = − = +
�(� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 2 , 3 ;f x x f x x f x x= − = − − = − +
� 0�$������������ �����������"
�(� ( )23 4;y x= − − − �����(� ( )21
2 1;2
y x= − + −
%(� 2 2 4.y x x= − +
� :��������������������� ���� ������� ��� ��� ��� �
����������������%������� �����������"
�(� ( ) ( )213 ;
2f x x= − ��������(� ( )2
2 3 ;y x= − +
%(� ( )232 3.
2y x= − +
� 3������������� ����%�������� ���� �����$�� ���� �
������� ( )22 1 ,y x= − ������������ ��������"
�(� 22 ;y x=�(� ( )2
2 3 ;y x= + �����%(� ( )22 4 ?y x= −
���%�������� ��� ��������������� �����$�� ���� �
������� ( )22 3 ,y x= − ������������ ��������"
�(� ( )22 3 3;y x= − + �(� ( )2
2 3 5;y x= − −%(� ( )2
2 1 4?y x= + +
���
:��������� �α �����������
( )2y a x α= − ���� �������������������"
�(� ( )1, 4M − ��� � ������������������� ( )3,0 ;T�(� ( )4,1M − ��� � �������������������� ( )2,0 .T −
�� :�����������������������������%��������������� ������
����� �� �������������� ��������� �����������"
��(� ( ) 21;
2f x x= −
�(� ( ) 22 5;f x x= − ����%(� ( ) ( )22 2 .f x x= +
0���'������� �� '����������
'����� 22 4 6y x x= − +�������������������"��'���������
"��$#���$��#����� ( ) 2f x ax bx c= + +
� �
��������
���� ����$����� 2 0ax bx c+ + = � �� ���������
0,a ≠ �� ��"� 2 0,b c
x xa a
+ + = ��������
2 22
2 20,
4 4
b b b cx x
a a a a+ + − + =
��� � � �������� � ��� �%�������� ��������� �����2
.2
bx
a⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A���������� 2 4y x x= − � ���������������������
( )2.y a x α β= − +
��������
6��'���� �� ������� ������� �� B������ ����
���������������� ( )22 2 3 .y x x= − +
.�� �������� �� ����� ��� ���������� �� �������
�������������������������������#
( ) ( )22 2 22 2 1 1 3 , 2 1 2 ,y x x y x⎡ ⎤= − + − + = − +⎣ ⎦ �� � �� � ( )22 1 4.y x= − + �/���������������
1, 4,α β= = ������������������ ( )1, 4 .T
0���'���������'����������������'����� 2y ax bx c= + + ���������������������������������
"��'������������ � �� ����� ����
�
��������
6��'�������B��������������������������� 2 .b c
y a x xa a
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
?����������b
xa
�������������������������������������� 2 .2
b bx x
a a= ⋅
.������������������ ��������������
2
2
b
a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�����2 2
2 2 ,2 2 2
b b b cy a x x
a a a a
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠� � �� �
2 24.
2 4
b ac by a x
a a
−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�/��������������'����� ( )2
y a x α β= − + ����
24, .
2 4
b ac b
a aα β −= − =
���
,��6��������� ������������24
, .2 4
b ac bT
a a
⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎝ ⎠
/��#$��% $����� $$�� ��� &'�� ($� �)'**)'�� � %+���� ���� ��$ $� 2y ax bx c= + + ��(� % $�(�
�� ���'��2 24
,2 4
b ac by a x
a a
−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�� � �� � ( )2
.y a x α β= − +
���� ���
+��F��'����'������ 2y ax bx c= + + ����������� ���
-��+���'���������������������������'����������
-�����"��'�����'������ 2 2 3.y x x= − −
���������6��'��������'������������������ 1, 2a b= = − ����� 3,c = − ����������2
b
aα = − =
/��������������������� ����� ����� 2y ax bx c= + + ������������������������������������ �������
������������ �?����������������� ��������������������������� �������� �������������������
21
2
−= − = �����( ) ( )22 4 3 24 12 4
44 4 1 4
ac b
aβ
⋅ − − −− − −= = = = −⋅
�������������������� ( )1, 4 .T −
�
/��� �������������������������������������� 1.x =P������������������������������ �������� ������������������������� 0x = ����
20 2 0 3 3.y = − ⋅ − = − �.����������������������������� ( )0, 3 .A − �F��'����������������������������
������������������������������ ������������ ����
R������������������������������� �������� �����������
���� 0y = ����#
21/ 2
2 4 122 3 0, ,
2x x x
± +− − = = �� � ��
1 23, 1,x x= = − ���������������� ( ) ( )13,0 , 1,0 .B B −
-������������������������ �����������������������������
��������������������� ������ ������ 2 0ax bx c+ + = ���
����"������������������������������ ������������� ����
���������������������������������������������������������
���)'�������"������������������������"����
F��'�������������������������
���
F��'�����'���������������������������������������������������"��'�������'������� 2.y x=
M������������������'����������'����������
�������� ( )21 4,y x= − −
���� 1, 4.α β= = −
M������������������������� �������#
/��� �������������������������������������� ��������
������������� ( )1 .α =
/��� ����������� ( )21y x= − � �� ������������������
���� ( )4β = − � ����� ������ ��� �� ���������"����
6������ ���� ���� �� '����� ������ "��'��� � '�����2 2 3.y x x= − −
�
��
2− 1− � � �
� � � � �
-�����"��'�����'����������������������������������������������� ����#
��� 21 52 ;
2 2y x x= − + + �� 22 4 3.y x x= + +
�
������������6��'����������1 5
, 2, .2 2
a b c= − = =
22
1 54 2
2 4 92 22, ,
1 12 4 22 42 2
b ac b
a aα β
⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠= − = − = = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
������������������9
2, .2
T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
/��������� ����������/��� 0x = ����� ( ) 50 ,
2f = ����������������������
50, .
2A⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
/��������� ������ �/��� 0y = ����� 21 52 0
2 2x x− + + = ����� 2 4 5 0,x x− − = ����� 1 21, 5.x x= − =
�/��� ���������� ��������������� ( )1,0B − ����� ( )5,0 .C
/��� 1
54,
2A ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠����������������������
50,
2A⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠��� ������������������ 2,x = ������������� ����� �
��������������� ����
()2
1y
x=
−
2y x=
( )21 4y x= − −
���
10,
2a = − < ����� ���������������������������� � ��
"���������"������� �������
F��'�������������������������
��6��'���������� 2, 4, 3.a b c= = =24 4 2 3 4
1, 1,2 2 4 2
α β ⋅ ⋅ −= − = − = =⋅ ⋅
������� ( )1,1 .T −
/��� 0x = ����� ( )0 3,f = ��������� ( )0,3A ������
������������� �������� ������
/���������� ������ �������22 4 3 0x x+ + = � ��� ��� �"������ ������ ���
8 0.D = − < �.�������������� ������������� ����
�
/�������������������"��'���������������������������
����������� �/��� 3x = − ����
( ) ( ) ( ) ( )23 2 3 4 3 3 9, 3,9 ;f B− = ⋅ − + ⋅ − + = −
���� 1x = ����� ( ) ( )1 9, 1,9 .f C=2 0,a = > ����� �������������������������������
F��'�������������������������
�� ���
� :������������ ���������"
�(� 23 6 2;y x x= − + �������(� 22 8 ;y x x= − +
%(� 213 1.
2y x x= − +
� ������ ���������������������������� "
�(� ( ) 2 2 ;f x x x= − �����(� ( ) 212 2;
2f x x x= − +
%(� ( ) 2 5 4;f x x x= − + �� (� ( ) 22 4 .f x x x= − −
� 0�$���� �������� � ����������� ��� ������ ��� �����
������� "
�(� ( )22 3;y x= − + ���������(� ( )2
2 4;y x= − + +
%(� ( )21 31 .
2 2y x= − +
� 0�$������������ ������������� ��������� ���������
�������������� 2 ,y ax= ���� "
�(� 2 2 ;y x x= − �����������(� 22 4 ;y x x= − −
%(� 212 8.
2y x x= + +
� 0�$������������ ������������� ��������� �����
����� ����� ����� "
�(� ( ) 2 3 ;f x x x= − + �������(� ( ) 22 2 4;f x x x= + −%(� ( ) 2 2 5.f x x x= − + +
� 0�$������������ �����������"
�(� 2 4 4;y x x= − + �������(�21
4;2
y x x= − − +
%(� 2 2 3.y x x= − +
�
������ � � ���
�
�
� �
�� �
�
�
����� � � � �
���
1x = − ������� ��������������������� ����
���
� 3��%������� ���������� �,������ ( )4, 7T − ��������� ��
���������������� 2 ?y x px q= + +
3������� ( )2y a x α= − � ������ ���� ����
( )1, 1M − ��� � ������������������� ( )3,0 .T �:�����
���� � .α
3������� ( )22y a x β= + + � ������ ���� ����
( )4,1M − ��� � ������������������� ( )2, 3 .T − −:����������� � .β
�� 3������� ( )2y a x α β= − + � ������ ���� ����
( )3, 1M − ��� � ������������������� ( )4,2 .T �:�����
,a α ��� � .β
:������� ����������������������������
!���������������'������������
�������������������������$
+��#���� � ���$�%�������� M����� ������� �����
�����'������������"������������������ � �� � RD f =
��������$��#�����#�����
��������
1�� �%������ �������������������������������
��9�����8�+,
213.
2y x= −
� �
,�������������������M����������������'�����������2 24
,2 4
b ac by a x
a a
−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠����������
���� ����������� ( )24
, ; , .2 4
b ac bT
a aα β α β −= − =
M���������������������������������������"��������������������������������������������'�����
/��� 0a > � ���� ���� ������ �� ������ "�� �������������� ��������������������
/��� 0a < ����� ������������������"���������"�������� ������������������������
/���� �� $��� � � � %��$�������
2
min
4
4
ac by
a
−= ����� .2
bx
a= −
2
max
4
4
ac by
a
−= ����� .2
bx
a= −
���
(�����������������������'������� 22 4 5.y x x= − − −
���������/��� 2 0,a = − < ����� ������������������"���������"������� �������������'���������������2
max
4
4
ac by
a
−= �����2
bx
a= − ��� � �� � max 3y = − ����� 1.x = −
/�����������������������������'����� 2 2 5y kx x= − − ��������������� ��� �������� 2?−
-��&��$���� ��� �� ����%��$���������-������������������������� �����������������������'��������������
������������� .fV
0���������/� ������������������������ ( ], 2 .fV = −∞ −
(������������������������� ���������������������'������������
214 .
2y x x= −
�
�
���������M�������������������� 0k < ��2
max
42,
4
ac by
a
−= = − �������������( )4 5 4
2,4
k
k
− −= − �����
��� 20 4 8 ,k k− − = − �� � �� �1
.3
k = −
����� [ )0, , ,fa V β> = + ∞ ��������� ( ]0, , .fa V β< = −∞
�
���������6��'����1
0,2
a = > ����� �������������������"����������������� �������������'�������
������ ( )2
min 8 0 ,4
by c
a
−= = − = ����� 4.x =
������������������������� [ )8, .fV = − +∞
.��� ���� �%��$��������2�������'���������������������������������������"����������������������� �2����
���'�����������"��������� �������������������������2�������'����������������������"������ ��������
���������������"��'������� ������
(�������������'�����#
��� 22 3 2;y x x= + − �� 2 4 4;y x x= − + ��� 22 2 5.y x x= − +
2"������������ �������� �+�������,
����� �������������������������������������������������"��'����'������� 2y ax bx c= + + �����
���� �������
�
������������/���� 0y = �������� 22 3 2 0.x x+ − = �2"����������� 1/ 2
3 9 16,
2 2x
− ± +=⋅
�� � ��
1 2
1, 2.
2x x= = − �.���������"��'����'������������ ���������������
1,0
2A⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠����� ( )2,0 .B −
���
E���������������'������������ 2y ax bx c= + + ���������������� 2 4D b ac= − ������������������� ������
������� 2 0.ax bx c+ + =
���� ���
+������ 0,D > ���������'������������������������ � �� ����� ���� 2y ax bx c= + + ������� ��������������
,������� 0,D = ����������������'������������� ,2
bx
a= − �� � �� ����� ����������� �������������
, 0 .2
bT
a⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
/������� 0,D < ���������'������������������������� �� ����� �������������������� ������������ ����
�
/����������������������,�"��'����'�������������� ( ) 2f x x px q= + + ������� �������� ��������
����� ( )1,0A ����� ( )3,0 ?B
�
� �'� ��� �%��$������� 2 .y ax bx c= + +
��������
?����� ������ ���������
1,y x= − �������������%����
������������������$�����
�
�
�
�
������
������
������
1x = �������$ �� ������������
0,y > ���� � ( )1, .x∈ + ∞
0,y < ���� � ( ),1 .x∈ −∞
0�������������������'���������������������
�������������������������������'����������
��������������������"���
(�������������'������������
� ( ) 2 2 3.f x x x= − −�
��������
6��������� ����������� ( )1, 4 .T −
/���� 0,y = �� � �� � 2 2 3 0x x− − = �������� 1 21, 3,x x= − = ����
���� ���������� �������������� ( ) ( )1,0 , 3,0 .−
$�������������������������"��'�����'�����������������
����������������
-���������#� ( ) 0f x > ����� ( ) ( ), 1 3, ,x ∈ −∞ − + ∞� ������
( ) 0f x < ���� ( )1, 3 .x ∈ −(1, 4)T −
����������
���
(�������������'�����#���� 2 2 3;y x x= + + ����� �� 22 6 .y x x= − −
������������6��������� ����������� ( )1,2 .T − �/���� 0y = ����� ������ 2 2 3 0x x+ − = ����������
������������� � �� ����� ������������� ������������ 8 0.D = − </��� 0, 3,x y= = ��������� ���������� ������������
( )0,3 .A � /��� ( )1 2,3A − � ������ �������� ��� ���
( )0,3A ��������������������� 1.x = −F��'������������������������������#����������
6��'���� 1 0,a = > ��������� ���������������������������
�����
/����������������'���������������������)�������������
� � ��
0y > �����)��� ( ), .x ∈ −∞ + ∞
���������������������'���������������������������������������������#�%-�����"��'������
��������������'������������ KK
!���������������,
��������
+��(�����'������������'����������'�����
,��(���������������� ����
/��(����� ����������� ����
-��(�������������������� �������� ��������
����������
$��������������������������������"��'����'�������������������������#
.��-����������������'�����
0����������������������-�����'�����
1��!�������'�����
-�����"��'����������������������'������ 2 4 3.y x x= − +
�:
�������������� �
+��M������������'���������� .fD = ���������
,��6��������� ( ),T α β ������24
2, 12 4
b ac b
a aα β −= − = = = − ��� � ��
( )2, 1 ,T − ������� ( )22 1.y x= − −
-�/��� 0, 3;x y= = ����� 1 20, 1, 3;y x x= = = � ( ) ( ) ( )0,3 , 1,0 , 3,0 .A B C
/������������� �������������������� 2.x =
.�� min1 0, 1a y= > = − ����� 2.x =
0�� [ )1, .fV = − + ∞
1�� ( ) 0f x > ����� ( ) ( ),1 3, ,x∈ −∞ +∞� ������� ( ) 0f x < ����� ( )1,3 .x ∈
�
�
!� !
����� � �
�
��
�� ���
� :������� ��� ��� � ��������������"
�(� ( ) 2 8 13;f x x x= − +�(� ( ) 2 10 21;f x x x= − + −
%(� ( ) 212 .
2f x x x= −
� :���������������� ��� �� ��������������"
�(� ( ) 22 3 ;f x x x= − +
�(� ( ) 212 1;
2f x x x= + − ����%(� ( ) 22 3.f x x= −
� :�����$ ��� �����������"
�(� ( ) 2 7 ;f x x x= −�(� ( ) 2 2 15;f x x x= − − +%(� ( ) 22 4 2;f x x x= + + (� ( ) 22 3 5.f x x x= − + −
� ?��������������������� ( ) 22 .f x x bx c= + + �:����
���� �+����� � 1 22, 3x x= = − ������$ ����������������
� ?��������������������� ( ) 2 3 .f x ax x c= + + �:����
���� �+����� � 1 1x = − �������$ �� ��������������
��� � ( )2 0.f =
:������� ����� ������������( )6 7 :−
� �(� ( ) 22 7 3;f x x x= − +�(� ( ) 22 1;f x x x= − +%(� ( ) 2 2 5.f x x x= − + −
� �(� 2 6 9;y x x= − + − ������(� 22 6 ;y x x= −%(� 24 4 1.y x x= + +
���%�������� ����������� ���������������"
�(� 2 4 5;y x x= − − ����(� 25 3 2;y x x= − −%(� 23 ?y x x= −
0�$������������ �������������� �%������ ����� ����"
�(� ( ) 2 6;f x x x= − + +�(� ( ) 22 4 ;f x x x= +%(� ( ) 2 4.f x x= −
�� 3��%������� ���������� ���2
2
6 2x x− + +����� �������������>�:���� ������� ��
3�� %����� �� �� ��� { }1,3,5,0x ∈ − � �����$���2 1 0x x+ − > ����������������������� ��>
2"������� ������������
� 2 3 10 0.x x− − <������� �G� ���������"����������� ���������
������������������������������ �/�������������
���#
�� ��������#�������
��������
3������� a b⋅ ��������$�������� ������������$� ����������$������� ��������� ��������������
����.
0
0 ose
0
00
⎩⎨⎧
<<
⎩⎨⎧
>>
⇔>⋅b
a
b
aba
� �
!���������$������ � ������$����>
:�������������������$������ � ������$����
5 0?x − >
( )1/ 2
3 9 4 10,
2x
± − ⋅ −= ����� 1 25, 2.x x= = −
/������ ( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − − � ���
( )( )2 3 10 2 5 ,x x x x− − = + − ������� �����������
( )( )2 5 0.x x+ − <
��
�
�
6��������������������������� . 5
2 ose
5
2
05
02 ose
05
02
⎩⎨⎧
>−<
⎩⎨⎧
<−>
⇔⎩⎨⎧
>−<+
⎩⎨⎧
<−>+
x
x
x
x
x
x
x
x
2"����������������������������� ( )1 2,5 ,M = − ���������������� 2 ,M = ∅ ������"���������� ��������������
������ ( ) ( )1 2 2,5 2,5 .M M M= = − ∅ = −� �
!����������"������"������������ �����������'����������"��'�����'��������������
2"���������� �������������� 2 3 10 0x x− − < ������������������������������������������'�����������2 3 10y x x= − − � '��� ������ �"����
��������7 �
2�������'���������� 1 22, 5.x x= − =
6��'���������������������������������������� �����������������
"������������������ �������
/����"��'�������B�����������������"��������������������'������������"������ � �� �"��'��������������
������ �/������� 2 3 10 0x x− − < ����� ( )2, 5 .x∈ −
G� ������ ( )2 , , 0,ax bx c+ + > ≥ < ≤ ���� 0,, ≠∧∈ aRcba ������������������� ���
���� ���
(������"�������������������� �������( )2
1 31 .
4 2
x x− −≤ −�
���������/������"��������'�������� ����� 2 4 3 0.x x− + ≤/��� 11 0, 4 0, 1,a D x= > = > = � 2 3.x = � /����� �� � ���� ����� �����
����������������
/��������"������������ { }1,2,3 .M =
2"������ �������#
��� 2 6 9 0;x x− + > �� 2 6 9 0;x x− + ≤ ��������� 2 2 5 0;x x+ + < ����)�� 2 2 5 0.x x− + + <�
(�����'������������'�������'������ ( ) 23 2 .f x x x= − −
���������N������������������������������������������������������������������������������������"���
�
�
23 2 0x x− − ≥ ����� [ ]3,1 ,x ∈ − � [ ]3,1 .fD = −
/�������'����������������������'���������� �����������"����������
�� ������� 23 2 0.x x− − > �6��#
( )1 0, 4 4 3 1 16 0,a D= − < = − ⋅ ⋅ − = > � 1 21, 3;x x= = −
���
(�����'������������'�������'�����#
��� ( ) 2 9;f x x= − �� ( ) 2 3 7.f x x x= − +
(������������������������������������������������� ( )2 2 2x k x k− − + − �������������������
�
�
���������0�������������������������������������������� 0,D ≥ �� � �� � 2 4 0.b ac− ≥ �$�
������������� 2 8 12 0.k k− + ≥ �2����������������� 1 22, 6.k k= =
���������
����������� =7
4 ���������
/��� 1 0,a = > � ���� ��� ���� ���� ��������� ������ �����
F��'�������������������������� �/���������������#
2 8 12 0k k− + ≥ ����� ( ] [ ), 2 6, .k ∈ −∞ +∞�
/������������������������������������������� ( ] [ ), 2 6, .k ∈ −∞ +∞�
�� ���
� �(� 2 16 0;x − < ������������(� 2 4 0;x − ≥%(� 225 0;x− > ���������� (� 2 1 0.x − ≥
<������������$�� ������ �( )1 6 :−
� �(� 2 2 15 0;x x− − ≤ ������(� 2 2 0;x x− >%(� 2 3 4 0.x x+ + >
� �(� 22 3 0;x x− + ≥ ������(� 2 2 3 0;x x− − + <%(� 2 3 4 0.x x− + + ≤
� �(� 22 2 1;x x x− + ≤ −�(� ( ) 22 3 3 .x x x x− + > −
� �(�( )25 0;x + ≥ ����������(�( )2
5 0;x + >%(�( )2
5 0;x + ≤ ��������� (�( )25 0.x + <
� �(�( )( )2 2 3 0;x x− + ≥�(� ( ) ( )2
2 1 3 .x x x+ ≤ −
� :������������ ������$������������������"
�(� ( ) 22 ;f x x x= −�(� ( ) 2 9;f x x= − ������%(� ( ) 236 .f x x= −
<����� ������$�������� � ��� ������������$�������"
�(�2
0;3 2
x
x
− ≥−
����(�2 1
0;2
x
x
− <+
���%(�3
0.2
x
x
− ≤+
3��%������� �������� ����������$���
( ) ( )21 2 1 2 5 0k x k x k+ − − + − = ����$ �� �� >
�� 3��%������� �������� �������������
( ) 23 2 2k x kx k− + + ������������ ���$ �� �� >
���
�����������������������������$��%��
�(�3
;yx
= �(� 2 3;y x= − ��������������%(� ( )1 ;y x x= − �(� ( )3
0 ?x
y xx
= ≠
:���� ������ ��������� � ����������� "�
,������������������������������������������������������������IIIIIIIIIIIIIIIII��
A����� ������$������������������������ 22 3y x= + ������� ______________.fD =�
���������������� ( )23 2y x= − + ��������������"
�(� ( )3,0 ;T − ����������(� ( )2, 3 ;T − ���������%(� ( )2,0 ;T − ��������� (� ( )2, 3 .T − −
�
;����������� ���������������� ( )2y a x α β= − + �������� ���$��IIIIIIIIIIIIIIIIIII��
A�������������� 2y ax bx c= + + ���������������� ������������ � _______ .x α= =�
0�$������������ ����������������� ( ) 2 ,f x x c= + ���� "����(� 1;c = ������(� 4.c = −�
:���������������� ������������������������%������� ����������������"
�(� ( )25 1 4;y x= − + �(� ( )2
3 2 3.y x= − + −
0�$������������ ������������������"��(� ( )22 1;y x= − − ��������(� ( )21
2 2.2
y x= − − +
3������� ( )2y a x α β= − + ���������������������� ������������������������:����� , , ,a α β ���� "
�(� ( ) ( )4, 1 , 2,1 ;M T− �(� ( ) ( )1, 1 , 1, 5 .M T− − −
��
������ ����������������� �����������"������������(� ( ) 22 4 4;f x x x= + + �(� ( ) 2 2 .f x x x= −��
0�$������������� �����������"�����(� ( ) 22 6;f x x= − + ����(� ( ) 213.
4f x x x= + −��
0�$��������������� �%������ ����� �������������� 2 2 3.y x x= − + +��
:������� ��� ��� � �������������"��(� ( ) 2 3 ;f x x x= − ������(� ( ) 23 6 8.f x x x= − − +��
:���������������� ��� �� ��������������"��(� ( ) 2 2 1;f x x x= − + − ������(� ( ) ( )2 3 .f x x x= +��
<������������$�� ������ "
�(� 2 6 0;x x+ − < ����������(� 26 1 0;x x+ − ≤ ���������%(� 2 16 0.x − ≥
��
���
��������������#������
� 0� �� ������������ ( ) 2 1f x x x= − + ��� 1x = − ������"��(� 3;− �����(� 1;− ����%(�:=���� (�4� :
� ;��������� ��� �� �/���������������� 23 5y x= − ������� ____________.fV = 7
� ;����������� ��������������� ( )22 3y x= − + �������� ���$�� ��%������� ����$����"
�(� 3;x = − ��������(� 2;x = − �������%(� 2;x = ������� (� 3.x = :
� *�� ��� ����������� 2 3 5y x x= + − ������������ 2min 3 5.y α α= − − �-����������� ������"��(� ;x α= −
�(� 5;x = − ��������%(� ;x α= �������� (� 3.x = :
� �������� ( ) ( )2f x a x α β= − + � ��� �� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
������������������� ( ) 2f x ax bx c= + + ��������������%�������������������� ����� ( ), .T α β
� ,������������������������ 22 4 3y x x= − + � � �������������������"
�(�( )6, 4 ;− ���������(�( )0,0 ; ��������%(�( )0,2 ; �������� (�( )0,3 .
��� � ( ),T α β ���������������������������������������������������� 2 ,y ax bx c= + + ����� ���� ��
( )f α �������������������������� ( ) ____________.f α =
7
:
7
� ���������������� 212 3
2y x x= + − ����������"
7�(� ( )2,5 ;− �������(� ( )2, 5 ;− ��������%(�( )2,5 ; ��������� (�( )2, 5 .− −
:���������������������� ( ) 2f x ax c= + ���� "
�(� ( )0 2f = ��� � ( )2 0;f = �(�1
12
f⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
��� 3 11
.2 5
f⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
4
�� 0�$������������ �����������"���(� ( ) ( )22 1 2;f x x= − + + ������(� ( ) ( )2
1 2.f x x= + − 4
�� :��������� �β ��������������� ( )22 ,y a x β= − + ����������������������������������������� ( )1 0, 2M − ���
( )2 2,2 .M 4
�� 0�$������������ �����������"���(� ( ) 2 4 ;f x x x= − ��������(� ( ) 22 4 6.f x x x= − + + 7
�� <����� ������$����"���(� 22 3 0;x x− > ��������(� 2 5 6 0.x x− − + ≤ 7
�� :������� ����� ������������ ( ) 212 .
2f x x x= − + 7
�� :������������ ������$�������������������"
�(� ( ) 2 12;f x x x= + − ���������(� ( ) 216 .f x x= − H
���
�����- �������������������������"�������#
/���� �/��������������������'��
!����������������������
/����� �/������������������� ���'��
!��������������� ��������
!���������������������
6� �/��������������� ���'���
!��������������� ����
!������������������������"����
���:H4
���:H= ���:=;
���:=H
���:=D
���:I=�
�
�
�
�
��
.��������������������������'����� ���:<7
��!����������������������������"���� ���:ID
�
(��� �/����������������� ���'�� ���:I4
.���������������������� ����:<4�
���� ��� �������� ���� �
#$%&�'()('�*�)*&$�
:4H
:4<
���
�����(������������������������$���
��������
�����$�������������������$��� �� ����� ����� �
1��������$��� ������!�����$�� � %��� ���������� �
� ����%���������� ����$��>
:����������� � �� ���$������� �%������ � ������� ���
�$���>
:������������������������ ��������� ������� �����$���>
� ������������������������������������������
?�������������"��������������'�������������'������ ����� ��� ���� ������ ����� �������������� 0������ �� ������"�������������� ����� ����� ���������� ���������������������������������
!������������������'�����������'������� � �� �%��'�&�������������������!��� �������������� ������������������������������������������
0��)����������������������������������������������������)������������� �����������������������'��������
��
� ?��������������#������ *����� ������*�����������,��/��,
��������������������������������������������������������'���������
(����������������������/����������������������������������������������������,
$���������%�������&������������%��������������&
� ������ � ������ �������� � ��'����� ��� ��
����������������������������������������
���'��������������������'�����������������������"�����������
"�� ��� ���� ��� ��� ������� ��� )������ ����� ��
��������������
!
"
#
#�
!�
"�
� �� ���
�/ /
�
* +
,
��
"�
,�
��
Σ
1Σ+�
�
���
0�����'��������������������'������������������������������������������!���������*����"�����'���������������� �����������!�������������������� ��������� ����������� ��� �������������������"���������������� ��� ������������������
E��"������������ �������������� �������������
!�"��������������������������������������������������������������������������'�������������������
����������������������������������������������
, ����������������������������������������
0������� ��������#������.���������������.������*����������������#���
� ���
� ����
0������������������ ���������#���������������.�������.������ �!�������������������,
��������������������������������������������
!��'�������������������������������,
+'���� ������ ����������������� �� ���� ������ ������� ��� ������
�����������,
!�"�����.����������"������������� �P��������������������������������"��������������
������������������������������������������� ����������������������������������� �������������� ������������������������������������������
!�������������������������������������������������������������,
/�������������� ��������������������������������������"������������������������
/ ���(���������������������������'���������������������������"����, ��!�����������������'�����������������������������,�����������������'���������������������������������������������������������������������"������'�������������������������,
����������������� �����������������"��������������������'������� ��������������� ������������
���������������������������������������� ���� ������ ���������������
-��������������������������'����Σ ����������������������������#
(��������������������Σ ������������������� ���������������'" ���*
���������������������Σ �����������������������������������������'" � �*
����������������������Σ ���������������������'���������������'" ���*
(���������������� ������Σ ���������������������������������������������� ������'" �)�
�
��
* +
,
�
*�
+�
,�
��
���
+'���������������������#
����������������������������������)'�������������������� ����*
�����������"����������������������*
������������"�����������������������*
)���������������������������������,
-������"������������������������������ �?�����������"���������������
��"�������������������
- (�����"������������"�������������������������� 8cm, 6 cma b= = ����� 24cm.c =
���������0��"��������������"��������������#�������� ��� �������������������������������������������
���"������������������
2 2 2
1 1 .BD BD DD= + �/���2 2 2BD a b= + �����
2 21 ,DD c= �'��������
2 2 2 2 ,d a b c= + + �� � ��
2 2 2 .d a b c= + +
.��������
2 2 28 6 24 676 26cm.d = + + = =
. (�������"��������� �����������$�
0 E��"��������������������������������������������$������$���������$� �����������������������������������������
��������� !������� ����� � M����� ������� ��� � ������� �����������"���� �E��"������������������������������������"�������
���� ABCΔ ������������������������������ �!����������������
������������'���������3����#
�� � ��
�
��
*
+,
*�
+�
,�
�
�
�
)�
.
�
�
�
�
�����.cm 3618918S ;18)17109(
21
)(21
s ,))()((
2=⋅⋅⋅==++=
++=−−−=
s
cbacsbsassS
���
1 0������� �������������������������������������������$������$���������$� �������������������������������������������
�� ���
������ �'�(������������������� ���������� ��>���
���� ������ ����� � ����������� �����������>+
������� �������� ������� � ������� � ������ �������"�(��$���� ����� =
�(��$������������ =
%(��$���� ����� >
,
*���������� ��$������� ��������������� ������
7I�������� ������������ ���� ������� ��������7D����:�������������� ��$����
/
3��� ��� �������� ������������ �$��� ��4�����I����� �<�I�����:��������������� ��������� ���������
-
�(����������� �������� �����$��������������� >
�(�!���� �� ��$����������������� ����������������:���������������� ��������� � �����$����
.
;�$�� ��$�������� ���� ��������� �:7������ �:=������ ���� �� ���� �� � ������� � ���� �
��� � �����$����
0
������ � ��� �� ����� � ��� �$���� ��� �����
������������ � ������ � ��������� � �)���� ���
������� � ��� � ��������� ��������
1
������������ �� ���$���������������������� �����
������!����������������������� � �� �����������
���������������"
�(�� � �� ���������� ������$���������� =
�(���������������$���������� >
2
��������� ��:����0�$���� � �� ����������������
���� ���� ������� � ��� ��$��� �� � ����� ����
��������� �� � � � � ��� ��$��� �� ���� 3������ %����
������� � � ��
3
�����������������������
��������
�� ��������������
3��� ������
G����
�
�
�
�
)� $�
�
�
�
2121
ddS =
hba
S ⋅+=2
) ��������
�
�
+
�
α
αsin21
bcS =ahS21=
�
+
� � �
�
))()(( csbsassS −−−=4
32aS =
haS ⋅=
��
� !��������������������������� ���������#���� ���������������������������������������'������������������� ���������������������"�������
!������������������ ����������'������������������������������������
���� ���
!�����!����������������������'������
������������������� ������������ �������������������'�������������������������� �������������������������������
+ ����������������������������"��������������������������� ����
5 cma = ���������������� 12 cm.s =���������%�9�7"�8��*�"�9���*���9�H��*�%�9�7���8�H����/�������������������������������#
���� ,125452 2 ⋅⋅+⋅=S ����%�9�7>D�����
, !�������'��������������������������%����#��������������������������* ���� ����������*���������������"�����"���������������������� ������������������/
���������M���������������������������������"���� �/��� ������������
��������"��������K��"������������������*���������������������������
���� ����������������������� 1 1 1.A B CΔ �/�����#
/ /����������������������������������������������������������
��� ���� 1 1 18cm, 10cm, 14cm,a b c= = = �������"��������
������ ������ ������ � 30cm.s = �������� ������������� � ��
�����
( )1 1 1 1 1 1 ,M a s b s c s a b c s= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ ���� � �� � ,1 sPM ⋅=����������������������������������� ��/���������������������� ��� �������������#
���� ���
!������������ ������������������������������� ��� ���������������������������������������������������"�������������������������
,1 sPM ⋅=
��
�
�
�
+
��
��+�
�
!�
"� #
�
�������%�9�7"�8����
���������������������� ,96030)14108( 21 cmsPM =⋅++=⋅=
��
/�������������������������������������"���������������������������������������������������������������� ���
/������������������������ �����������������������#
,HPM ⋅=
�������������������� ���������/����������������������
- ��������������� ���������������� ��� � ���"�������� ������� ���� 1 8cmd = ����� 2 6cm.d = �(����
���������������������������������������������� 10cm.H =2 2
2 2 2 21 24 ; 4 3 25, 5cm; = 4 5 10 = 200cm .2 2
d dM a H a a M
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = + = + = = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��������
:������������������� � �� ������ �����������>
:����������������������� ����������������� �%����������
�������>
:����� ��������� � ������� � � ��� �$���
5cm, 3cm, 6cm.a b c= = =3�� ��� ���� �� ��� � � ����� � ��� ����������� ���
���� ��������� ����������� ���� ������������ ���
��������������� �� ��� ��������� ��
�����$���������������������$���� ���$������� �
�� ������������ ��� �������������������
��������������$�������� ��� ��>
� $����������������������������������
��������������������������
E������������������� ���� ������ ��������������������������� ���������������������
��'������������'��������
.����������������������������������"��������
���������������)���������K����������������
���������-������������������� ���� �������������������������������#
-�����-���������������������� ��
0�������������������������������� ��� ���� ��
������������������������������������������������ ���������������������������������� ��� �����������������������������������������
��
/��������������������������������� ���������"��������������������������������������"�������
��
!����������������� ���������������!0����������� ����������������������������������������������
������������������������ ����������������������
. �������������������������������� 4cm, 2cm, 3cm.a b c= = =
���
���������-��������� ��������������������������������������
4 2 8a b⋅ = ⋅ = ����������� ������$� ������ ���)����������
�������������������������� ����������$���������'�������������
������� ��=������������� �0�����������;������������� �0�
���������� 3c = �������������������������������������"�������
( ) ( )4 2 3 24a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = � ���� �������� � /������� ������
������������� ;V a b c= ⋅ ⋅ �����������
����������� ( )3 34 2 3 cm 24 cm .V = ⋅ ⋅ =
M������������������������������������
V a b c= ⋅ ⋅
������ �� ������ ������� ������������������� � ���� ������ ���� )'����������������� ����
�!�������������"������������������������� �
= 0��"�������������� ����������������������'������� 3.V a=
���� ���
-�����-���������������������� ��� ���������������������� ������������������/����������
.V B H= ⋅
!���������������'�������������������"������������������������"����������0���� �� �������������������������������� ����������
��������� ��)������� ��'������ ������������������� ������� �� ��� ����,��������� ��� ���� ���������
+ � ��� ���.���� ��������������� ���.��� �� ������ � �� ����� . ����� �� + ��� ����� ���� ��� �� ���������� ������
���� ��� �� �� �� ������� ����� �� ���������
.��������������)'�����������������������
����������������������������������������������
( )H c= ����������� ��� ��� ����� ( )B ab= � ��
������������������������������'������'������
�����������-�����������������#
.V B H= ⋅
�
�
+
"�
�
+
���
< ������������������������������������������ ���� 10cm.a = �/������������"�����������������������
������� ���� ���"���������������'��������������������������"��������� ������������ ������
16cm.s = ����������������������
������� �)������������ ����� ���������������� ������������������
����������������������������������"����� ����'�������������������
������������������'��� ���������������������������������..�����
���'������������������� ����.�12������� CTC1∠
/���������-���������������������������/����������*�����������������������������"�����.11�.�������������������������������"������������
/���� 1CTCΔ ����� 0sin 45 ,H
s= �� � �� �
2,
16 2
H = ����� 8 2 cm.H = �/������
2 310 8 2, 800 2 cm .V B H V= ⋅ = ⋅ =
; 0������������������������������������"�����$������������"���������������������������$� ����$��������$� ������������������
������� �-�����-� � ������� ��� ������������ ��� ��������� �������
'������
����������������������������������������������������"�������������������������������
1 ,V B s= ⋅
���������� EFGΔ ��������������������������������� �F���������� ����������������"�����������������������
�������� � � �� � 13cm, 14cm, 15cm,a b c= = = � ���� ��������� �� ,EFGΔ � � ����� '�������� ���3����
������ 21 21 8 7 6 84cm .B = ⋅ ⋅ ⋅ = �.��������� 384 20 1680cm .V = ⋅ =
> 0 /���������������������������������������������������������������������*�������������������� ������������������� ��������������������� ����������������
=
:D
7�I7�I
������� �-��������������������������������������������� ����������� ���������
����������� 1300 m.H = �!������� ����������
�10 6
,2
B h+= ⋅ ���� 2 2 22,5 2 ,h = − �� � �� � 1,5m,h = ����
2 38 1,5 12m ; 12 1300 15600 m .B V B H= ⋅ = = ⋅ = ⋅ =
# -
&1���
�
��
2
�
-�
&�1�
#�
�
+ ��
&
1 3
�
=
:D
7�I7�I
7
���
:: $ ������� �����'�������������������������������������������� ����
�� ���
3�����% ���� ��������������$������ ��������
���������� �� ���������� ���������:���$������ ���
:���>
:
:D P ������'���������������������������� ������ ������������������ �+�����������������"����������"���������$����������������$� �!������������� �����'���,
���������+����������������'�����������������������������$������$��������$����������������������#3300 25 2 15000cm .⋅ ⋅ = �/��� 3 31,5m 1500000cm ,= � ���� ��� 1500000 :15000 100,= � � � �� � '������
����������������
2 m, 1,5ma b= = � ���� ������� 1,8m,H = � ��
������������2
3����������� �!�����"�������������
��� �����������"��������#
��0������� �����1������,
( )3 3 322 m 1,5 m 1,2 m 3,6 m 3,6 1000 dm 3600 dm .
3V a b H= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = �.��������������� ��
���������������1������
) � �� ���$�� ���������$���� �����������7I����
7>������ �4=�������� �������������:=7D�����
�� ���������������� ��� ���������� ��$����
7
�� ������������� ���������� ��$������� �����
����������� ��������� �:I�������� ������������
������� ������ �������:7����
4
;�$�� ������$��������������� ��������� �:;����� �7H�������� � ������ ��������������� ���
������ ��� ��������� � ������� ���$������ ���
��������� ���������� ���$����
H
) � �� ���$�����������$���� �����������4�����I����� �<�������� ������ ���������������;�������%���
� �������� ���$�������������� ���=D����� ���
��������� ��$����
I
O�������� �������������7�;����� ����������HD����������� �$���7=DD��� �������*�� ��� ��
:���������������� ������ �HDD��� ��������������������������>
= 0
���� ��� ������ � � � � � ��� ������
� � � �ID������ �� � � � �� �������� ���< $*P
1234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678
2
3H
/
�
1212
1212
12
1212
11
1212
1212
11
12
1212121111112121212121212121212111212
111212121212121212
111212121211121212121111121212121212
1111212121211
1112
1112121112121212
11121211121211121211111212
1112121112121212
��������� �� ���� �����ID��"�� ����� ���������� �� �������� ������%������������
; 0*P
� ��� ����� �������� ���$�������������� ���
%����� ������ 4D� ���� ��� � ����� ��� ��� �& �
( )336 36dm=� ���������
�(� ������� � � � � ������ � � ������ � �� ���
����� ����� ��������IL��� ������ ��� � � �
�������>
�(����� ��������������� � � �����
:����� � � ���������HDD�� ���>
�4=D������������4<�I����� ��� ���������$���7I���
��� ���������������������I������ ���� ���:���
���������7ID��"� �� ��>���� ����������������
� �� ��������� ������� ����������B� ��>
���
������(�������������������������$���
��������
�����$������������������������� �������
%
!
" #
-&
!�������� ���������$������ � �������� ��������� �
����� >
) � ������� �%!��� �%"����������� ����������%!���
%#�>
� ��������������������������'������������������������������������'����������
������������������������������������ ������
!���������������������������������������!�
������������������������������ �������������
���������
E��"������������'������� ����������� �� ������
�������������������/ ���������#� .H SO=
%
! "
#- 2
$
!���� ������ ��� ������ ������� �����#� ����������� ������������
��������������
/������ ���������������� ����� � ������*� ���� �������� ���������
������'�������� ��0��������'����������������������������� ��� ����
������� � �������������
���� ���
/������ �����������������������������������"�������������������������������� ��� ����������������
����������������������
: ������������������������������������"�����������������!��.� ���+'�������������������'���������������������������������, ��+������������������������"�������������!����� �������������������"����,
E���������'�����������������������������"������� ������������������
��������� �������������
+'������������������������#����������&�����������/�������������� �����,
%!"#-&�
�-���� SONΔ ���������������������������2
2 2.2
ah H
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠�
%
! "
'
%
$
-
2 �
�
���
7 ���!���������������"������������������� �����������������������"����, ��+�������������)�������"������������������������ ��� ��������������������������������"����,
� /����������������������'��������#
(� ������� �������� ���� ���'��� ������ ����������� ���
��������������"��������'" ���*
(������������������������'������������������������������'����������������"�����������'" � �
/�����������������������������������
+���/�������������������������������������������������"�����������������
,���/������������������� ������������������������"������
/���!�������������������������������������� ������������������������������"��������������������
��������������
4 E������������������������� 18 cm,H = ��������������� ������������������ 2675 cm .Q = �������
���"�������� �����"������������������������������������ 21 75 cm ?Q =
���������-����������������������������������������������� �/�����
�����������������������������������
!����������/�����#2 2
1 1: : ,Q Q H H= ���� 1 1H SO= ����� .H SO=
6���������� 2 21 175 : 675 :18 , 6 cm,H H= = ����
1 1 18 6 12 cm.OO H H= − = − = �.���������������������������"��
���$������� ����
/�������������������"�������������� ���������������������������������������������������
0�����������������������.����.�������������������"���
H 0����� ���������������������������������� 6 2 cm,a = ��������������������� 8cm.H = �����������
������������������������������� 21 18 cm .Q = �(�����"��������������������������������������������
���������������������
%
!
"
#
#�!
�
"�
$
��
�� �
0������������#
���
I ������������������������������������"������������������!��.������������ ���������"�������� ��������������/����������&��������������������α ���������������������� ����������β ��������
���������������� ���� �+'������������������������������������������������,
/���� 2 2 2: , 2.ABC d a a d aΔ = + =
/����2
2 2: , .2 sin
a HSOT h H h
α⎛ ⎞Δ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
/����2
2 2: , .2 sin
d HSOB s H s
β⎛ ⎞Δ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
� � � � �
222
222
2 d.m.th.
2 : ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=Δ a
sha
hsSTC
= 0����� ����������������������"����������������������� 28 cm,a = ������������������������ 20 cm.s =�������������3��������������"�������������������&
�� ���
+������� ������������ �������������� ������
9cm,H = ���� �� �������$��������� 12cm.a =�� ����������� � � ����� � �������������������
3cmr = � ��������
:
������ � ��$��� ��� ���� � ����� � ������:ID� ����
������ ����� � ����� � �������IH���������
������������� ���� ��������:H������� ������������
���������
7
3�������� ����� �� �� � �� ���$����=�����::����� �:I���������� ��� ������������������� �
� ���$����������������� ���� ������������� ���
������� � � ��
4
) �������$����������������� ������������������
������ � 5cm,a = ���� � � ���������� ��������
��$�������������� ��=D����� ����������� � � �
�������� ����������� �
H
����� ���������� ���'� ���������$��(��2�'��������(�
��'��� ��(�� �������� � ��������������� �%����
���������� � �������� ��� � ����� ������ '��
� %�� ��("
�(� 18, 15, ?a h H= = =�(� 10, 12, ?a H h= = =%(� 21, 29, ?H h a= = =
I
:������������ � � ����������� ��������������
��������������� �� �� ���� ���$��������� �� �������������������β �� ���$��� ����������
=
���������-���������������������������������#
, , ,ABC SOT SOB STCΔ Δ Δ Δ ������ ���#
0���������/��"���������'�������"�����������
βα
! "
�
#-
� 2
a
�
%
��
2
$2
d
;�$�� ���������� ������������������ ��� � �
����� ����������������������� ���$����) ��������
���������� �������������� ( )6dms = ��� ������
����� ��HI��� ���$������ ����������� ���$���
<
/���
���
E����� ��������������������������������)�������� '����� ��� �)'������� ������� ������ ���������'���������)'��������������������������������������������������������������� ��������������� ��� �����������#���������������������������� ��� �������������� ��������������������
�������������������������
��������
:����� ������ ����� � � ������� ������� '������������� �(� ����������� >
!��������������������� � ������������� �������������� �����>
� *������� �� ��� ������� �����'������ �
�������������������'������������
���� ���
!�����%�����������������������'��������%�9�"�8��
������������������� ������������� �������������������'�����������������������#��������������
: /�����������"���������������������� ����� 12 cma = ������������� 8 cm.h = �������#������������
�������*������� �����������������������
������������!������� ����������� 2 2144 cm ;B a= =
�������������������� 24 2 12 8 192 cm ;2
ahM = ⋅ = ⋅ ⋅ =
��/����2
2 22 2: 100; 10 cm.2
aSTC s ST TC h s
⎛ ⎞Δ = + = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
7 $ ������ �� ��� ��� ����� ������ ������� �� ���"����� ��������������� ����� �� ���� 5m,a = � �����
�����������'�����������������"������ �!���������������� ������������ �����������������������������������������������,
��������
0�������/����$������ ���� ��� ��������� ,V B H= ⋅������������������� ������������/�������������������������
����� ���� �������������������>
� 1�����'������'�������������������������
�������������������������������������
��������������� ����
������
# -
&1
%
�
��
�������������������������%�9�"�8���9�44=���
���
�����������'������������������ ������������������������#������������� ����������������������������
���������������'����������������� ����������������������������������������� ���������������� �����
������
6��� ������ ���"�� ��� ������
������������������������������"��
�����������������
/��� ������ � � ������� ������ �
��� ��������� ,B H⋅ ����������#
���� ���
-�����-������������������������� ��� �������������������������������������������/����
������������� ������� � ��
1.
3V B H= ⋅
6����"������������������������������������������������������������������ �����
4 �����������������������������"����������������������"����
16 cmd = ���� �������������������� 17 cm.s =�
2
2
d���������2
21; 128 cm ;
3 2
dV B H B= ⋅ = =
22 2 31
289 64 225, 15 cm; 128 15, 640 cm .2 3
dH s H V V
⎛ ⎞= − = − = = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
H ����������������������������������� ��������$� ����$� ����$������������� 20 cm.H =
I �������������������������������������� ���� 16 cma = ����� 6 cm,b = �������������������������
�����������"���������� �������������������������$�� �(������������������ �����������
��
��������
!������������������������������������������!.�12�� ��������������������������������������������������������������������������������������������"������
�
2
# -
&1
�
%
-���� ��� '����� �� �������� ������� )'�� ���� )'�� ���� ����������
���������������������� �/������
2 2 ,2 2
a bah bhM = ⋅ + ⋅
���&������������������ ,CDSΔ �������&������������������ DESΔ ������������������
/����1
,3
V a b H= ⋅ ⋅ � � �� �1
128 16 63
H= ⋅ ⋅ ⋅ ����� 4cm.H =
/�������������������������!������#2
2 2 2 24 3 25,2a
bh H
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠������������ :SOTΔ
22 2 2 24 8 80.
2b
ah H
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠. � �� 5cmah = ���� 4 5 cm,bh =
���� ( ) 2 216 5 6 4 5 80 24 5 cm 133,7 cm .a bM a h b h= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ≈
= ����������������������� ������������������������ ������"����� 1 16dm,d = � 2 12dm,d = �������
�������"�����"���������������� 218dm ,Q = ������������������������������������������"������
< (���������������������������"�������������������������� ������������������������������������������������������������� ����
�$
%
� 2
�
� �
�
�3
2
av =
���������6��#�4
3332
2aBBBMBS ⋅==+=+= ������
1 3,
3 2
aTO = ⋅ �������&��������������������� ������� 2 ,M B= �� � ��
�����2 3 3
3 2 ; .2 4 3
ah a ah⋅ = ⋅ = �.���������
2 22 2 2
2 3 3,
3 6 3 12 4
a a a a aH
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
����
.2
aH = �6�������
433 2a
S = ��������2 31 3 3
, .3 4 2 24
a a aV V= ⋅ ⋅ =
12341234123412341234123412341234123412341234123412341234123412341234123412341234
'
2
# -
&1
�
%
$
����
21 1 3.
3 3 4
aV B H H= ⋅ = ⋅ ⋅ �E�������/��������������������
�������������%$�����������#22 2 .H h TO= − /������
��"�����$����������������������������������� ������ � ��
��
�� ���
�� ����������� ������������ ��������������� "
�(�� ����������:I������ �������� ���$���7I=����=
�(�� �� ����������4<������ ���� ����4I����
:
+������� ���������� ������������� ����� �
��� � ��������4�#�H�' ��������������$�(�����
������ � � ����������� �������� ������� ���$��
��7DD������:�������������"������$���
7
�� ���� ������� ����� � ��� �������� ��� �����
� ������ � � ������� 4 cmH = � �� � ��� ��
8 cm.h =
4
�������������$�� ����%������������ �����������
������ 32 cma = ��� � 10 cm,b = � ��� � ��$��
���������������� � ��� ��������� � �� ������������
:7;D�������� ���������������� �������������
H
�� �����������%��� ����������/� ��� � � �� ���� ��
������� �� ���"
�(�=���=�������(���
I
��� ���������� ��� ���� ���� � ����� ��
��������� ����� ��������� ����%����������
:I� �� �� ��� � ��$�� ������ � �������
����� ����� ����� ���I�I������ ����� ��$�
<�4�������� ���� ��� ��������������� �
�����'� �������� %���� ��������;�>�"C���(�
= 0��P
���� ������������������������������
������������������������������������
��������������� �'����$�(�� �� ����
��$���4��� �� � �������7���� ��� �:���
��������;DD�� ���>
< P��$
�� ���������� ������������� ����� ����
��� ����� ��� �������� ��� ������ ����#
����� �� �� ���� ���$��� 3,4 cma = ���
� ���� ������ 7,5 cm,s = � ��� � � ������
� %���� � ���� �����������:D�I:�"C���>
; 0��P
!����� � ��� ������ � �������� ��� �����
��������� �� �� ���� ���$���I������� ������
����� ����� ������� ��� ���$���������HI��
���%���� � � �� ������� �� ���� �$���
<D������ �:HD���� ����� ���� ������ ���� ��
������ �� ��������� �������������� ������
��� ���������� ��:DL� ������������ �����>
> 0
- ��� � %����� � ��� ������ � �$���� ��
������ �������������� � � ���� � ��$��
8 ma = ��� ���������4������� ����� ���
� ���������� ����������� � ����������� ������������������ ��������� ����%����������H������(��������� ���& ��� ������ �� �������� ����� ����������� �����������4�I����������>����(����� ��������������������� ����� �������� �:DL ������������������������� ��������� ����� � ��� �� �������������� ���� �������� ��>
:D P��$
���
����������������������������%��"����
��������
!��������� � ���� � � ��������>
!����������������������� ��� ����������$���� � ��
��� � � ���������>
������ ��� $������������� ���$������ �������������� �������+������"
�
�
�
+ +
2
a bx
−=
�
hba
S ⋅+=2
22 .
2
a bh c
−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠
� /������������������"������������������������������������������������ ����������� �����������������
/������������������������������������������������ �������������������"���
0�� ������ ��� ������ ��������� ������
����������!12"�����������������������������
1�2�"����������������� ����������������
��������������������������"�������������
12"1�2�"�
��������������������������� �������������
���������������������"���
E��"���������������'������������������������ ������������� ��������������������"���������������
����/
M�������������������� �����������!� ���������������������� �����������!������������������������
��"���
+'�������������������������������'�����������������������������"���,
+������������������������������"�������������������,
���� ���
!�����!����������������"����������������'������
%�"�"�8��
������������������������� ������������� �������������������'������������������������� ��������������������������������������"����
&
1
3
&�
1�
3�
2
�
&
1
3
&�
1�
3�
%
��
���
: �����������������������������"����������"���������������������������� ������ 16cma = ����
1 6cma = ������������ 12 cm.H =
%�"�"�8�*� ���������������������
2 2256 cm ;B a= = 2 21 1 36 cm ,B a= = � ������ ��
������ '����� ������� ���� �������� ���������� ��
������������� ������������'" ��������
��������
14 ,2
a aM h
+= ⋅ ⋅
���&��������������������������
0�������� ����������������������������������������������������"����������������������������"������
��� ��������������������������������� ����� �/���� 1TNTΔ ����#
2 22 2 22 2 21
1 1
16 612 169, 13 cm.
2 2
a ah TT TN NT H h
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
6������� 216 64 13 572 cm ,
2M
+= ⋅ ⋅ = ������%�;=H����
7 0�����������������������������"����������������������"��������� 18 ma = ����
1 5, 4 m,a = ������������������������ 10,5 m.s = ���������������������������
��������
:����������� ����� � � � ���� � ������������>
������������������"� �������������$���"����� � �
��� � ������������� >
. � �����������������������������������>
� 0��"����������'������������������
�����������������������"��������������
/����������"�������������������������������
����������%�������&*���������������������������
������������������
-�����/���������������"������������ ��� �����������������
�����������������������%�����&�������������������������������������
( ) 1
1 1,
3 3V B H x B x= ⋅ + − ⋅ � � �� ( )1
1.
3V B H B B x= ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ *������
"
"�
2
!���������������������������������������������������������������#
�/����������������������� �����
�
1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234
&�
1
�
3
$
0
0� 3
�
1�
��
�
�
��
��
��
�2
$
��
�
$�
�
12112121211212
111212111212
1112121212
11
121211121211121211111212
1212
12
1212
1212
1212
1212
1212
12
1212
1212
12
1212
12
12121212
123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345
123456123456123456123456123456123456123456
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890'
12
1212
12
1212
12
1212
1212
12
1212
1212
���
( )2 21: :B B H x x= + ���� ( )1: : ,B B H x x= + �� � �� �
( )1 11
11
.H B B BH B
xB BB B
⋅ += =
−−.�����������������������������������������'������ *������� '��������
( )1 1 .3
HV B B BB= ⋅ + +
4 !�������� ������������������������"�����������$�����������$����������������������������%��������&���������$� ������������������������������"���
���������/���� ( )2 21: : ,B B H x x= + �� � �� ������ 2 2294 :150 28 : x= ����� 20 cm,x = ����
28 20 8 cm.H = − = �6������� ( ) 31294 150 294 150 8 218 8, 1744 cm .
3V V= + + ⋅ ⋅ = ⋅ =
H !�������� ������������������������"�������� 236 cmB = ����� 21 16 cm ,B = ��������������������
������ 5 cm.H = ��������������-��������������������������������-
������������%��������&
�� ���
�� ����������� ������������ ���������������
���%������� �� � �� ���$���4D������ �:H������
�������:I����
:
:������������ ������������ ���������������
���%������� �� � �� ���$�� ��:D������ �;������
��� ������� �������������������$����� ����� ����
������� ��=D��
7
:������������ ������� ������� ��������������
������������������ ����%������� �� � ������$��
12 dma = ��� � 1 8 dma = ��� ��������� 2 dm.H =
4
�� ������������� ������������%���������� �������
� ��$�� � ����� 2128 cmB = � �� � 21 72 cm ,B =
��� ��������� ��������������� �E�������F������
:7����
H
�� ������������� ������������ ���������������
���%��������� �������� ���$�� ������<7�������
:;��������� ������� � � ���������� ������
HI�����
I
+������� � �������� � ����� � ��� %������ �����
20 cm.H = �� � �� ���������$������� 40 cm,a =37 cmb = ��� � 13 cm,c = ���� � �� �������$��
�� ������������756�%��
����������������>
=
A����� ���� �� � ����� ��� ������ � ��
������ ������������ ������� �����
< 0��P
���� ��� ��� � � � �� ������� ��������
��� ��������������� ����%�������� �� � ���
; P
���%������� ��������:�I����) � �� ���$�� ������7���� �:���� � �(� �������� ��� ������ ���� '� ������
� %���� � �� �����������<�7�"C���(>����(���������
�������� ����� ���������� � ������� ��
��������D�I� ��>
��$�� � 12 dma = � �� � 1 30 dma = � '��$�����
���� ������� ������(��������������� ��� ����1
��������� ��� �������������������:HDHDD�� �����(����������� ������ ���� ��� � �������� ��������
��������7I�� ������ �:��������������������
:��"��� ��>
�(���������� ��� ���� ��>
%(��������� � � �������������������� �� �����
���� ���'�����$������������� (>
���
*�� ��������� ����������� ��� �� ������ ����������������������� ��������������� ����%��������
�& ��:DD�� ���������,� ������������������� ���7�I������� �������� ���$��7�7���������� ������ ��� ��� ���
���>
> $
%���(�����������%������������$���
��������
���� ���� �������� �������� �� ���� ������������
%���������������� �����"����$ ������ ����� �$��� ���
������ �� �������� �� ���� ������������ �%��������
� �����������'��������������������� 0��������������������������'����������
�������"��������
E�������������#�������������������������������������������������#���������������������������������������'������������������������������
0������������������������%��������&������������������������� �����������������������������������������������'"������
�������������������������������������������������������'���������������������������������!����������� .���������������������������� �������������'��������������������������������������������������������������� �����������'�����������
0�������������'��������������������'����� Σ ����� 1,Σ ����������������'�����������������������'" � �
N�������������������'�������������������������'������Σ ����� 1,Σ �������������������������������'��������'������������������������� � �� �'���������������"�������������������������������� ����� ���������������������������������������
���'"���������������������������������������������
# �
#
��
�
�
��#�
Σ
1Σ
#
��
�
#�/
��� ��
���
/�������#
�����������������������*
������������'����������������'������������� �������������������!����������*
����������������������������������������������������������� *
���"������������ �������������� ��������������������/*
��"����##�������'���������'�������������������������������� �������������� �����
(�����������'��������������������������
��������������������� ����������������������� ����
����������������
/������������������ ������� ����
: .�������������� �����������������������������#��+�� �����*�������,�� ������*/��������������� ������ �(��� ������������������������������� $��� �������������������������/�������,
��������
������������� ��� �����$���� �%������ � ���� � �
�$���>
!��������������� � ���������� ����� ���$������� ���>
� /��������������������'��#
)���������������������������� �������������������������'" ���*
)������������� ����������������������������� ����'" � �
���� ���
: �+���������������������������������'��������
��������������������� ������������
7 �+���������� ���������������������������������
��������������������� ��� ����������������
���������������������������
7 (�����������$���� �������������������������������� 6 cmH = �������"��������������� �������
7,5 cm.d =
1234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121212111121212111112121211111111111121211212121212
121212121211
1121111
11
11
11111111
11
11
1111
�� �1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123456789
1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234
1234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678�
��
11212
11112
1212121212
1212
1212
121212
12
1212
1212
1212
1212
1212
1212
12121212
1212
1212
1212
���
���������!����������#�2 2 2
1 1
1; ,
2r AB AB AB BB= = − �� � ��
( )2 2 2 2 22 7,5 6 20, 25, 2 4,5, 2, 25 cm.r d H r r= − = − = = =
4 /������ �����������������������������������������%97I����������������������������������
���� ���
(����������� �������������������������������� � �� ��������� ������������ ��� ����������������
�������������������������
H (�������������� 14cmH = �������������������'�������������� �������������������"�����$������
���������������������������������$�� ���������������� ����
��������� !����� �� ����� ������ 2 .B r π= � /��� ������� ������ ������������ ���
'"��������������.�12����� ���� 14 cmH = ����
,t CD= � ��� ��� ���� 14 84, 6 cm.t t⋅ = = �N����� r OF= � ��� ����� ��� ��
�����������������������������������2"��������������������
.��������� 225 cm .B π= 4 5 cm,bh =
� 4 cm, = 3 cm;2
tOG GF= = �� 2 2 24 3 25,r = + = �� 5 cm.r =
I E�������������������������$������������������ �������������$� ��������������������������������
������������ ����������������������������"�����$���������
� ����� ������� ��� ������������ ������
'����������������������������'����������
������������� ������� ���������������%����������������&
�������������������������������������������'��
�������������������������'" ��������'" � �
12345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345
�#
-
&
�)
1 123412341234�
�
123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
12345678901234567890123123456789012345678901231234567890123456789012312345678901234567890123123456789012345678901231234567890123456789012312345678901234567890123
2
! "
"�
��
!�
1112121112121212111212
11121211121211121211
#�
�
#�
Σ
1Σ
��
)�
)�
��
�
���
0������������������������)��������������������� � �� ��������������'�������������� ������������������������
�������������� ������������)���������� ���������� � �� ��������������'�������������������������������
��� ���������������� ���������� ���'" � �
$���������%����&������������%��������������������&��������������������������
�� ���
������������������ ��������� ����� � �������� ���
%��������� � $ �<�I������ ��������7D���>
:
!������� ���� ��������� � �%����������������
� ���������� �����>�')��� �������� ��%������
� ��������� �����"���$��� �%������������ �������� �
� ������� ���������������������(
7
:�������� ��������7H������ ����� ���HD��������� ��� ������������ ��� ��������� �%��������������
��� ����������������� ������������� ��������
� ��� ��������
4
:�������� �������������%����������������������� ������
�� �������������� � ��������� ��� � ����$�� >
����������� ������ �
H
:������������������������� ����$������� �����
� ����� �'������������ �� ��$��������� ����������
��� �������$�� ����%�������(�� �� ���� ���$���=����� ��������;�����:������������ � � ��������
���%��������
I
) � %�������� � �������4���� ������ � ��������
��� ��� ������� ��������������� ����%����������
4H�����:����� $ �� ���$������%��������
=
�������%����������� ������� ����������������� �����
�������� �������� ��� ������$��� ����������
������ ���������� ���� ��:7D���+������� �%�������
������:D�������� ��������� ���������� ��� ��������
� �������� 2 cm.d = ��� ����������� � � ��
<
������ ���$������%����������������������������
��� � �������� ���� : 4.π �:����������������� �
�������� � ���� � �������� �
;
����������������%����
��������
����� ����������� ��� ��� ��������� ������� �
���������� ��� �������������� � ������� �� ���
����������� ������� ����>
!��� ������� � ���������� ����� �� ������� ��� #
������������� ���������� ����������� ����������
� ������������ ����������������������� �>
3 �� ���*��� �������%� ������� ��� �� � $ ���� ���� ��� ��������"
*97�π, %9��π
��� �*������� �� �������$������� �2���������������
�$�������� ������������������������� � ��$���>
���
� 6����������������������������������'����������������"����������������������������
��������������
/����������������������������� ����$���������������� ������������������ ��������������
������������
��������������������������������2����������������� �����������������
�����"������ ������
0���������������������� ��������� �������������������������������������
���� ���������������������'��������� �������'������������������������"�������
�������������������������� ��!�������������������������� ������������
������ ��������������'������"��������������������������������������������"��
��������������������� ����������� �/�����������"�����������������������
�������������������������������������#
�� !������������������������������������ �������������������"�������������������������
���"���������������������������������
-������������������������� �����������������"����������������������������"��������
���������������
��
.��������'����������������������B�����'���������������������'�������������������������
!������������������������������������������������������*���� ������������������2������������� � ��
*�2��������������������������������������"���� ������������������2��� � �� � .B H⋅
6�������� ��������� ���������������������"�������� �������������%�����������'&������������������
����������"������������������� 2 ,rπ �������������"�"�� 2 .r π �/������
��������������������������
�����������������
2 ,M r Hπ=
2 .V r Hπ=
!�����%����������������� ��� ������������������������������ ������������������������#�%97"8�
/��� 2B rπ= ����� 2 ,M rHπ= �������������������������������'������'������
%97π��87π�2�� � � �� %97π����2�
: 5������������������������ ��� �����:�������� �������7�I��� �-���������������������������������������
��
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234
123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
�
�
�
rP π2=
������� �����������'����������������������������"����������������������'��������)������������� ������
������'������������������
6�������%����������&������'����������������� �N��������������� ���������
������������� �������������������������������'������������ �/������
(��������������H�����������������������7H����� �!����������������� ����,
� ����������������������������������������������������������������������
4 ��������������������������������� ����� 6cmr = ��������������������� ��������� 2180 cm .Q =
����������� .cm252)156(62 cm;1512
1802
H ,2 );(2 2πππ =+⋅====⋅=+= Sr
QHrQHrrS
H !�������������������������������������������������������������������B��������������'� �����
���������7H�����������������������������<I����������������� ��������������������:DL�������,
I .��������������������� 10cma = ����� 6cmb = ������������������� ���������������� �������
�������������������������������������'����
1234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456
�������������
a H=
b r=���������0������������'���������������������������������
6 cmr b= = ������������ 10 cm.H a= = �.��������
.cm192)106(62)(2 2πππ =+⋅=+= HrrS2 2 36 10 360 cm .V r Hπ π π= = ⋅ ⋅ =
= 0 0���� ������"�����:7I�������������IDD�" �������������������������������������'������ �����������;�>�"C���
< P��$ ����'�)���'�������������������������;D���������������:�I���������� ����������'�� �!�
��������������"���������'�����'�)�����1� ��'����������ID������,
������� ��-�������'�)������� 2 ; 4 dm, 15 dm;V r H r Hπ= = =316 15 753,982 dm ,V π= ⋅ ⋅ ≈ ���������������������'�)�����������'�������� 754� ��'��
P�������������'����������� 754 50 37700⋅ = ������
2
.22cmS ;cm7,155,214,322
:cm3,62 ,cm14,31 ,222
2222
≈=⋅⋅≈=≈≈⋅==+=
rHM
BrBMBS
πππ
7
���
; 0 N�����������'��������������B��:DDD���������������������������������7I�� ���!�������������������������, ��!���������� � �������������������������� ����������������������������� ����������������������������ID���,
���� �� ��-���������������������������������������������� ����������������2��� � �� �����������2
�����������'��������� �������������������'�������������������������������#� 2 .V r Hπ= ��/���
����������������������������'�������� 2 .M r Hπ= �
�� ���
3 ���������� ���$����( )20cm= �������������� ���
��������� �%����������� �����������*������$���
:
6�������������������������������:������"�������H�I�� �!�� ������ '����� ��������� ����������'������������������������������;��"C�4,
7 )
!�������'���������������B��������������������������7�������"������=�����������������'������'���������D�;I�"C���,
4 P��$
����� �������������� ������������������
�� ����<����� ����� ������� �������:�7���� ���������� ������4D�����. ����� ��
�������������������������������>
H 0��$
)��������������%��������� ����� ���=D����� � ��������=�H��� ��� �� ��� ����� �� ��
���������$������� ������������������ �
������������� �������������� ����������� ��
������ ������������� ��>
I 0��$
�������������'�����������������������:I��������������� ��� �����H��������� �������������� ���!�� �������� ������ ��� �� ������ ����������:�����������������:�:<���", ��!�������������������������������:��"��������������:7������,
= $��P
/������������'��������������������� ����� ��� ��� ���� ������ 7;� ���� �����"�������������H�I����������"��������������� ������� ��� ����������� ������� �������� ���������� �!�������� ������������������������������� �����,
< 0��$
F������������������������������7��������������������������HHD����������"�����:�I���������������������'�����������������<�;�"C��� ���-������������ ���������� ���"�����"���������������������������'�������������� ����������������"��� ���!���"�"���������������������������"�������� ����� ����'����� �� "���� ��������'����� ����� � %����'���� �� ��������&�� �������:� �"� "��������� ��"�������H���,
; 0��P
���
#��(�����������#����������$��
��������
123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234
���� ���� �������� ��� ��� �
��� ����� �� �� ���������������
������ ����� � �� � ��� � ����
������ �������
�������� �����������%������� >
!��� ������ �� � ������� ��� � ��� ������ �� ������
������ ��%������� >
� 0����"������������'������������ � ��
����������'�����������������"������
���������������������������� ��������� � ����
������������������$�������'���Σ ���������!���������������� .Σ
0������������������������"�����������4����������
���������"��������������%4 ��0����������������
4�������������������������� � �� �"�������������
%4�%��������������������������&�������������������
������������
�������������� '������ ��� ����'���� �� ���� ������ �������!��������� �F�������������� �������� �����
������ ����� ��������'����������������������� ������� ����������!� �����������������������!�� ������ �� ����'���������
/����� ����������� ����'�������� ��������������� ����'��������������� ���'����������������� � �
����'�������������������������������������������
N��������������������������������'�����������������%(������� ������
����� �����%$� ������������ ��� ������������� �����
'����������������������� ���'" ���*�������������������������������������� ��'" � �
$�����������%���&�����������������%����������� �&�����������������������������
4� )
%
�
Σ
�� �
�)
� 2
%
�
�)
%
E��"���������������������� ������������������������"����%$���������� ���������� �+�����"��������
������������������������������!�����)'����������#������������������������ ����������������� ������������ ���� �0��"�����"�������������������������� ��� ����������������
�������'����������
� �
/��'�������������������������������� ��� ���������������� �F����������������
������������������������������������������'��������������"��� ( )1s ����
���'������������������ ( )2 .s
���������������������� ������2���������������"������������'����������������
���������������
2 2 2.r H s+ =
: E������� �� ��� ��� ������ 4D����� ������ ���'�������������4H��� �!���������������� ����,
6������ ��� '������ �������� ��������� �
��������������������������������������������'"
�������������������������������� ���������
������ ������������������������'" � �
7 0��������� �������������������>����������������<�����"�� ���������������������������� ��������
������� ���������������"���� ���������������'����
2 2 2 2 2; 9 7 32; 32 cm .B r r Bπ π= = − = =
��������
!��������������� � � �� �%��������� �����>
:���� � ���� ����� � ����� �%���� � ������� ��
%������>
���������� � ����� � ����� � �� �������>
� /�������������������'��������#
�� ��� ��� � �� ���� ���'��� ������ ���������� ���������*
����������� ������������'������������� ���������
/������� ��������� ��� ���� ����� ����� ��� ���� ��
���������������������'" ������������������� �������
����������������'" � �
+'������������������������������������� �������
������,
!������������������������� ����������������,
��
)
%
�
��
-
�
)
*
�
-
)� �
� �
���
�� �
�
*)
.
, �)
�� �
���
4 6����������������������������'��� 1Σ ������������ ��� ���������������������������������"����#
��� 1 1 1 1: : : ;ST ST SO SO TO T O= = ����� ��2 22 2
1 1: : .r r SO SOπ π =
������� ��!���������������������������������������������$%�������$�%
?����������"�����������,������� ���������������������������������� � ��
������ ������������
/��� 1 1 1,r TO r T O= = ����� ������ 1 1 1: :TO T O SO SO= ����������������������������2 22 2
1 1: :r r SO SO= �����2 22 2
1 1: : ,r r SO SOπ π = �� � �� �������������� �������� �
��������'�������������������������������#
���"��������������� ������������"���������������������������������
2 2
1 1: : ,B B SO SO=
$�������������������������������������������������������������������
� �� �����������������������'����������������������� ������������#
��� F�����������������������������������������������������������
��� !������� �����������������������������������������������������������"������������������������
�����
6������������������������������������
H !������� �������������������� 254 cm ,B = �������������������������������������"���� 1 8 cmH =���������������������� 2
1 24 cm .B = �(�������������2�������
������� ��!����,�������� 2 21 1: :B B H H= �'���������
2 21
1
54 812,
24
B HH
B
⋅ ⋅= = = � 12 cm.H =
I �������������)������������ ������������������������� 20 cmH = �����"���������� 25 cm.s =
6��������� ��������������������������������� ��� ������� � ��
2s r= �������$����������
+'�������������������������������� �������������� ��� ����,
= �������������3����������� ��������������� ��� ��������������������������������*97H���
-
� �
� ����
1Σ
)
)5�
2s r=
� �
������� ��/����*97H������ � �� � 3 24 cm,s = �'��������� 8 cm,s = ����� 22
cm3164
3 == sS
< (�����������������������2���������������� �������������������������������������������'�������������"���:4��������������������:I����������������������<���
������� ��/������ ������������������� �����'��������������������� SAB���������� �!����������)�������������������������������������
3����#
( )( )( ) 1 21 2
2 14 13 152 , 21,
2 2
r s sQ s s r s s s s s
+ + + += − − − = = =
221 7 8 6 84, 84dm .Q Q= ⋅ ⋅ ⋅ = = �/����2
2
r HQ
⋅= �������
8412 dm.
7
QH
r= = =
�� ���
������������������� ( )2 12cmr = ����������� ���������������������������������������������������������������� ��������������)����������
:
0��������� ���������� ���������� ����������� ( )5 2 cms = ������������������������������ ���������������)������������ �����������������'����
7
G���������� ��������������$�����������������
���������� � �������� ������� .π ��� ����������
α � ���� ��� %����� ��������������� �� � ������ ������$���
4
�������������)������������ ����������������� ������ ( )15cmr = ���� "���������� ������������� ����������� 030 .α =
H
E�������������������:I��������������������������� ��������������>D���� �(���������������
I
E�������������������:;�������������� ����������=������������������������������������������������� 216 cm .π �(����� ���"�������������������� ��� �(�����������������'�������������������%���&�������%�����������&,
=
E���������������������2 �����������"���2�
����������� ��� ���� ������ ��� �������� ���'������������� ���������������������%
�����������
����������������������� ����,
<
G $��� ���$��������������������� ( )6cm .r = ����
�������� ����������������������7�#�:�' �������
������$�(�������� �������������� ��� ���$���
�� �����������"����� � �����������
;
:�������������� ����������� ���� � $ �I������
������ ������ � ������� ��������������������
���� � �� ����� �;������ ���� �������=�����:���
�������� ���������������� ��������� >
>
123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890
)�*
-
12345123451234512345
1212
1212
1212
121212121212121212
1111 112
1212
/��
��
1
11
12
12
12
11
11
1212
1212
12
11
1111111212121212111111212121212
���
����������������#����
��������
���������� ��� ����������������� �%����������
� ��� ������������ ������� ����>
/������� � ����� ��� �������� ��� ���"����� � �������������*97H������������������ 5 cm.nh =!�����������������������,
� 6������������������������������'����������������"�����������������
0�����������������������'������������������������ �����������
������������"������ ������
0���������� ��� ���� �� ������ ��� ����� ��� �������� �� ���
��'������� � ���� �� �� ������� �� ���� ��'������ ��� �� ����� '����
�������������������"�������� �������������������������������������
���'������ �����������
+��� ����������������*�� ��� ����� ������� �������� �
�� ��
����������� �����������,
�������������� ��������������%�'������"�������&�������������� �������������������������'������"�
���'���������������������������%����&������������������� ����������� �/����������K�������������
��������������
�� !������������������������������������� ��������������������"����������������������
������*�������������������"��������)���������� ������
-������������������������������������������������ ���������������������"��������������
�����������/��*�������������������"����������������������
��
��� ���������������������B������'�������������������������������������'�����������������������
!����������������������������"������ ���������� ���������������������������� ���������'��������
�����#
nnn hPM ⋅=21
�
���*����������������� �������������
�������������������������
/����������������������������� ����$���
���������� �������������������� �����������
��� ���������������������������������������
12345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234
123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012
12345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789
123456712345671234567123456712345671234567123456712345671234567
1234123412341234$�
�2�
%
� �
α
2 rπ
$
�
6���������'��������� � �� �������%�����������'&���*�������"������������ �������������� � �� � rPn π2→ �
������ ,nh s→ ����
nnn hPM ⋅=21
rsrs ππ =→ 221
/��������������������������������������������'�������������
.M rsπ=
: ������������������������������������ 8 cmr = ������������ 15 cm.H =
������� �� 2 2 2 2 2 2; 8 15 289; 17 cm; 8 17 136 cm .M r s s r H s Mπ π π= = + = + = = = ⋅ ⋅ =
���� ���
!�����!���������������������������������� ����������������������� #
%9π��8π��� � � � �� � %9π������
7 ����������������������������� 30 cmH = ��������'������ 34 cm.s =
����������%9π������*� .cm16 ;2563034 22222 ==−=−= rHsr
.cm8005016)3416(16 2πππ =⋅=+⋅=S
4 E���������������������:�H�������������������� ����������� 9,6π ��� �������������������
��������������������������$��������'������������������������"����������������������������������� ����������������������������� �������� ���� ������������������� ���������������"�����������������'������������
.��������'���������'�����������"����������������������������"����
���������������α ��������������#�2
rad.r
s
πα =
��������
���������� ��� ������������ ������� ��%�������>
!�� ������ ������ � ����������� �������2� ���������"��� ����,
�M��������������������������������
�'������������������"�����������������
���
!������������������������������������������������ �������������%�'������"����&�����������
������������������������"������������
%�����������'& �/����������������������������������1
,3
B H⋅ �������"�����
"�� 2 ,rπ ������������������������
21.
3V r Hπ=
�$�������'������������������������������������������� �
H �������������/����������������� 7 cmr = ������������������ 2175 cm .M π=
2 2 2 21; ; , 175 7 , 25 cm;
3V r H H s r M rs s sπ π π π= = − = = ⋅ ⋅ =
2 225 7 576 24cm,H = − = = � ���� 2 317 24, 392 cm .
3V Vπ π= ⋅ ⋅ =
I ����B���'��������������������������������������������� ��� ����
��������������������� ��� �������������� 236 cm .π
������� �����/��� 2s r= ����� 2 2 2 24 3,H s r r r r= − = − = ����#
� 23)2()( rrrrsrrS πππ =+=+= �� � � 2 2 31 1 33 .
3 3 3V r H r r rπ π π= = ⋅ = �.�������#
23 rS π= *�� .33 3rV π=
/������ ��� �����������'�������
�� 33;
3V rπ= �/���� 2cm36π=S ��� � �� � 23 36rπ π= ����� 2 3 cm,r = ����
( )333
2 3 24 cm .3
V π π= ⋅ =
= �����������������������������"������������������������������7��������������������������������
�������� �����������:�=���
� �
�� ���
���)'����������������������������������������� �� ����� ��� ����������'������ �� � �����������,��0�����������������������7�#�:,
:
$ ����������������������'���������� E���������� �������������7�I����������������������=�� �!��'������������������������������� �����������'��������� '����� �� ������������� ���������D�;�������:�I����������� ������� ���� :DL������ ������� ����������,
7 P��$
�������������'��������������������4�7���������������������� �����:I�:��������� ��������� ����� �������� �������� �!�������� ������ ��"���� ���� :������������������:=D������,
4 P��$
���)'�������������������������������������������������� ��� �������������������� ���������������������=;��������:�4=��,
H
!�� ����������� �� ���� ��� ����� ������"������� ������ ��� ����� 4� ��� ���������������'�������"�����������:D�I:"C����,
I 0
!���������� ������������ �����'����������� ������������ � ����� ������ :7������������'�������������:D��,
= $
���� � ����� � � �����%����������� �������������
����$������������������� ����%���������� ��� �� ����
���$���������� ����%���������:�������� ��������
���� �� ��������� � � � ��� � � ��� � ��������
����� � ������� ������%��������������� ���� �������
�����������
<
�������������������������� � $ � 4cmr = ���
6cms = �������������� �� �� ������������
5 � ����>
;
6�� ��� �������������� ��� ������������������ �������������� ������������������ ��������� ������������������=��� �(������� ������%� ���� � �� ������/� ��� ���� ����"��������
>
) �������������� ����� ���� � � 15cma = � ��
20cmb = � ������� �� ��� ���� ��$������ ���
��������� ���������� �������������������������
:D
.����� ��� ������������ 7D� "��� ��� �� ��� ����� ��� ����� �� '����� ��� ��� /�������� ��������)���"��� ����������>�I��������� ����������"��� �����������7�� $������:���� �����������:�I� � �!����������� ����� �������� ���� ��� ��������������������,
:: 0
/��'��������������"��� �������� ������>� ���������������������:7��� �(������������������� ���� ������� �������� ������ ������������������� �������� �� ��� ���� ���� ���'������� �����
:7
��
����������������#�������%��"����
�������� ������$�����������������������!��������"���$����������� � �#������ ��������� ����� �� �������� ������>
)
+
,
-
!��������� � ���� � ����� ��� ������ � � ������ � �����>�� ���� ������� � �� $��� ��������� �
��$� 14 cm, 8 cma b= = ��� ����� 5 cm.c =
0����������������������������������
��������������������������������������
� �������������������������������������� ��������
�������
/���������������'������������� �����������������������������������������$������������ �/����������������������������������������������������������������������"���
���������������������������������������������"������������������������������������������ �����
���������� ������"������������ ���������� ��������������"�����������������������'������������� �����
������������ �������������� �����������������"���
+���������� ��������������������������� ���������
6�����"�����������'��������������������������������������������
���������������"��������������������$-&$��������������������
�������� ���������������� ���������������������������������#-&1��
(������"�����"����������������'������� �����������������"������'���������'����������,
: �������������)������������ ��������������������"���������������� ������ 111 cm, 5 cmr r= =�����"����������"����������� 10 cm.s =
123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567
�
123456789123456789123456789123456789
��
�
��
)
)�
� /123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567
�
123456789123456789123456789123456789
��
�
��
)
)�
� /
�� �
1234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901
+
.
�
�
,
)�
)
123451234512345
1234512345123451234512345
�
�
�
�
��������� ( )22 2 2 211
2 2; 10 6 64,
2
r rQ H H s r r
+= ⋅ = − − = − =
( ) 218 cm; 16 8, 128 cm .H Q r r H Q= = + ⋅ = ⋅ =
�
��
/
�
1r r−
� �
7 E������������������"����������:7�������������� �������
���������������<��������������������������� �������������
:D;���� ���������������� �������������"��
����� ����/����������������"�������"�����������������������
������������� ������������������������������� ���������
��������
!��������������������������"��������$%�������$�%��������� �!���������������� ����� ���������� ��� �����������������"������, $
%
$���
�
. �%������������������������ ��� ���� �"
�(������� ������������%�����=
�(����������������������%�����>
� !����� �� ���� ��� ��"���� ������ �
��� ��������������������������
� ������������������������'�����������#
!9�8��8$�
��� 2 ,B rπ= � 21 1B rπ= � ���� ������� �� ������
��������������������������
4 !������������������������"���������������������������������������������������������������
.��������'������������������������������������������������"��������������������������������
�������������'��������
-
� �
��
)
)�
�
��
��
���������!����������������������"�����
( )1 1 1 1 1 1 1 1,M r ST r ST r s s r s r s r s r sπ π π π π π π= ⋅ − ⋅ = + − = + − � � � ��
( )1 1.M r s r r sπ π= + − ⋅ �0�����������%$������%$������������"�����������
���������� ��������������������������������������������
�������� 11
1
.s r
sr r
⋅=−
�.������������������������� �������'���
������������������������������������������������1
1 1
,s sr
r s
+=
�������'������ ( ) 11 1
1
,s r
M r s r r r s r sr r
π π π π= + − ⋅ = +−
�� � �� ( )1 .M r r sπ= +
���� ���
!����������������"�����%9&8"�8������������������
�������
���������������������'������
%�π���π����π6���
����� �� � �� � � �%9�8�
��8��8�
����
$
$�
���
1234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456
�
$
$�11 2 rP π=
2 rP π=
H �������������!�������������"�������'���������������������������� ����������������� ���������������
������������������ 14cm, 8cm,a b= = ��������������������� 4cm.h =
�
��
�
�
1r r−
������� ��%9�8���8��8������� ��� 17cm, 4cm,r r= =
( )2 2 2 21 3 4 5cm;s r r h= − + = + = �%9π�<�8H�::�I���%9:7Dπ���
!���'�����������������������"���������%���� ��������&����
����������������'������������������
?���������������"���%�������� �������������������&����% ���&
*97�*�97�����%������&�������
.)(2 1
1 MsrrsPP =⋅+=⋅+ π
I ����������������������������������������������������%�������������"����������������� �������:D
�������I��������������'�������������<���
= ������������������������"��������� 120cm, 13cmr r= = ����� 24cm.H =
� -���������������"������������������������� ��� ��������������
���������������������������������������������
< �B����'��������������������������/�������������"�����������������
���������������� �������������������2
������� ��-���������
( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1.
3 3 3 3 3 3V r SO r SO r H H r H r H r r Hπ π π π π π= ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅
/����"��������������������������%$������%$��������#�� 1
1 1
,H Hr
r H
+= ��������� 11
1
,r H
Hr r
=−
���� � ( )( )2 11 1
1
1 1,
3 3
r HV r H r r r r
r rπ π= + − + ⋅
−� � � ��
( )2 21 1 .
3
HV r r r r
π= + +
��� ��� ��-��������������������������"���������������������������������'������
-
� �
��
)
)�
��
/
��
���
; !���������"����������������������������'����������������"���������������� ���������������
����D�;�������:�>������������������������:��,
���������� ( )2 21 1 1; 0,95 m, 0,4 m, 1 m;
3
HV r r r r r r H
π= + + = = =
( ) 34,520,9025 0,16 0,38 1,4425 , 1,51 m .
3 3 3V V
π π= + + = ⋅ ≈ ≈ �.��������� ������� ��� B�� �����
1510� ���"
> ����������������������������������"�������������� 4,8 cm,H = ��������� ����������������2100 cmB π= ����� 1: 5 : 4.r r =
�� ���
N������� ������������������"�������� 7dmr =���� 1 4dm.r = ������������������������������ ��� ��"���� ���� "���������� �� ��� ��������������������'������� ���������������=D�
:
)� $������� ����� ���$�� 14cm, 9cma b= =��� ������������������� 12cm,c = �������� �� ��
��������� ��� ������� �� ���� ������� � ������ ��
%���������������������
7
�� ����������� ����������%������� � $ ������$��
>������ �=�������� ��������� ������� � �;����
4
) �����������%������ $ �� ���$�� ������:�����I����� ����� ����������I�����:����� $ �� �%�������
�� ������������ ��������������%������
H
3� ��� � ����� ������������������:I�I��� ���
���� ���� ����������� � �77������ �7;�����O�
��� �� ������� ���������� � ����� �����$��
������� � � �� ��� � �� � ��� � � �
���������� �������:�������������������������
� ��� ������� ��������
I $
0������ �������������� ����7D��������:7�������������H;����������������������� ��������������� ����������������������������������'����
=
���� '"������� '����� ������� ��� ��"����������������� ������=�H��������H����������'������4�<����������� ������������ ���!���������������'"����, ��!���������������������������� '"������� :� "� ��� ������� <ID� ������� ����������������'���������������:>�4�"C���,
< P
����"������������� �����������������������'����������������"����������������� ������7H��������HD���������������4I��� ���!�����������B��"�����, ��!��������������������������� ������������������ID�"���������������������������� :IL� "�� �������� �� ��������� ������ �����,
; 0
G $ �� ���$�� �������������%�������� ����� � �
������������88�"�4�"�9B����� ��������������� 3181 cm .π�� ����������� ����������%������
>
���
����������������������������$��%���
: .�"�������� ���������������������"����������������������"������� 6 2 cm,a = ���������"�������'�����������������"������� 8cm.b = ��������"�������������"���������������
7 ) ����������������$������� ��������� 20cmb = ��� �� �������� ���$�������������� 045 .α = �:��������������� �$����
4 ) �������$�������$������� ������������������������� 3m,a = ���� ������������ ���� ������� ������� 6m.d =�� ������������� ��$����
H 0��$ N�����������'���������������������������:I����=�������7�I�� �/������������������ �������������������������� 25� �������������,
I ���%������������ �������������������������������������� ������ � ���� ��������� ���������������:I����
������ ���$���������:;��������� ������� � � ��������;����>
= E�����������������������"�����������������:H�����������������������������"����������� 2112 2 cm .�������"��������������������������������� ����
< �������������������'�����������������������������"�����"����������������������� ������:�;�����������������H�:��
; P��$ /����:7�;������������������ ��� ����� ��������� '����� �������������� ���"����� ������������������������ �����:D�7H����� ����������������� ������������������ �!�����������#��������2������������������������/���������,
:D �����������������������������"����������������������"����������"������������������>������������������ �����������<��������I���
> ) � �� ���$�� ������������� ���� ������� ����� ����%�����������=������ �:7�������� ����������������:����
�� ���"���(������������� =������(���������� ������������%������
:: !��������������� �����������������������������������7HD��������������������������:=��� �(������������ ����
:7 �������������������������������� ����������"���H���������������������������������������������������:7D� ��������������)����������������������"���� ������������������������������� 5 3 cm.
:4 0 ��$���%��������� ������� �������������4�I����� ������������� �::�����:���������� ������������ ��� ������
����������$�����'�������������$�(�
:H 0 0��������������������������������'�������������������HD������������� ��������������:4����������������������������:7�� ���!���������� ������������"������, ��!��������������������������������������������������H�I��,
���
:I F������������������������������������ ����������������=D�����������"�������:D��� �������������)����������� �������
:= +������� ����������������/�����%�������������� ����$��������������� ������ ���� ���������� ��� ���$�����
��������*����� � ����� � �������� ���������� ����� �������� �� �������*� ���$��>
:< ������ ������������ ������������ #��� � � �������7ID�������� � �� �������$���������7;�7;������ �������������
�������� ������ �
:; P��$ 6������ ���������'������������������������� ������������������ �������������������������#������������������������������7�I�������������� �����������:;�;I������������������������������H�I�����������:���� ���������4D��"�����:����� ����������IDDD������
:> $ !�����������B�������������'����������������"������������������ ��������77��������HD���������������4I���,
7D ) �����������%�������������������� 63dm,H = ����� ���������� 65dms = ��� ������������ ������� 226 m .M π=�� ���� $ �� ���$�� �
��������������#��������
: ��� �� �����������$������ ������ ������� �������� �����$������ �"
�(�7�� �=����������(�H�� �=���������%(�=�� �=�������� (�:7�� �� :
7 ��� �� �������$����������������� ��������������� �$������ ���� �� ������ ������������$������� ����
� ������� ��������������������������$������ ���"
�(�7�� �=����������(�� �� �� �������=���������%(������� �� �������=�������� (�<�� �� :
4 3 ��������� � �����%������������������ ������� ����%�����������)�������� ���$��������"
:���(�)=�������(� ;
2
Q����%(� ;
4
Q���� (�
3.
2
Q
H ������ � � �������� ��������%�������� ��������=�����������4=������0����������%�������������"
�(� 2216 dm ;π �������(� 254 dm ;π ������%(� 236 dm ;π ������� (� 218 dm .π :
I !������������� ��� ����������� 48π ��� �/��'���������������������"����#
���:7���*������� ��:=���*������������H���*���������)��;��� :
���
���Q +������� ��$�������� ������� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII������ �
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� � � �%���� ����� ����$��� 7
���D 3 ������ � � ����������������� � ������� ��� �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
��� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� � �� ���� 7
���R ������ ���$�������������� ����������� � ������������ � �������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
� �� � IIIIIIIIIIIIIIIIII� � �� IIIIIIIIIIIIIIII� � 7
:D !��� � ������� � ����������%�����������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII���$��� ����%����
����� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�� �� ������
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� ��� ������ ��� %������7
:: 3 �������� � ������������������7���� ���������� ��� $�������������� ���$��H�����
;������� ������7�>����������������������&� ����������������������> 4
:7 (�������������2�����������%������������������"����������������������� ����
��������������� 4,5dm,a = ������������������� 367,50dm .V =4
:4 !���������������������������������������������������7DL������������������7IL,4
:H E�"������������������� ��������������������� 12cm, 18cmr H= = ����������������������������������������� �����:D��� �.����������������������������"���������,
4
:I ���������� � � ��& ��15,1 ,� ���� ����� �������������� ������ �������������������:;������ �47����
�� ���"
�(������������ ������� ������>
�(��������� � � ��������� ����������� ����������� ��� ��������������:7L������ � � ��� �����>4
���6 N�������������������"��������:�������7������������������������4�� �-������������������#
��� 37 m ;π ������� ��>���*������������:I���*���������)�� 321 m .π :
���
!�����������������������������������������������������������������������������
-�������������������"���������
!���������'����������"�������������)'���������� ��� '�������� ��"�����������������������"�����
0������� �� �������
2 �������������������������� �������
.��������������������������'�����
.���������� ������������
���
��
��
�����
���
���
���
�
�
�
�
�
��
2"���������������������������� ���
0������� �� ����� �
/����'����'����������"����������"�����������"�������������������� ���������
�����. �"�����������#������������������ �
#$%&�'()('�*�)*&$�
�
....sin
a
α=
α
���
���������#����������#�������������������������
��������
��� ��$����� ������ ������� �����
110α °= α�
*
)
,������ ���$���$!��� �$"������������ ��������
<���� �� ����� � ���������������������� ������ ����
������α ������������������ �� ��
∠ �)*788@���� �∠ *)�788@�
� ��� ����� ����� ��� �K� �����'�����
'���������"�����������������������
)�������������������������� �����������'�������������"������������������������������������'������������
�����������'�������������������������������������������������������� �������������������������������
����
���������������"���������������O?��������������������������������������������������������������������
��������������� ��������������� ����������������� ���
���������������������������������#
�� � � � � � � � ��
!
"
$ '
�$
$ )
*
����������������� ��������������� �������
G������� ������ ����� � ���� ��� �� ������ �� �����
������������� ����%����������� ���������� � $ ��
������ ��� �
1rad 57 17 ’44,8";= °
180 ; 2 360 ; 90 ; 60 ; 30 .2 3 6
π π ππ π= ° = ° = ° = ° = °
F���������������"�������������������������������������������������������������"�������������������������"�������������������
(�����������������������������������������������������������������
0�����������"��������������$*��������������������������������������'������������������������������������
����������∠ �)07C56@�756@�79π88@� �-�� �� �ECF�������� ��������������!�
/������������������!$"������������'�������
'"����������������������)'������"��������$!��$"�
���� ���
6��� ������� ����� ������������ ���� '�������
�� � �� � ���� ����� ��� ������� ������ ������ ���� ��
� ����� �� � �� �� ���� ��� ������ ������ ���� ��������������������� ���
D�� ���� 4=D�� ��� ����� "����� � ���� �������� �
��"��������'��������������������������������
���
����� "����������������� ������������ �� ����� �� �������� ��
����������������������������������������������������"��� ���
��������������������������"���
∠ �)*7α9�:7D9��3
2π
"
$ !
����� �����(��(�(��'�(�� ��(�%*�����'�(��($���(��'��'� $�'��+$� ������
+ -���������������������#���� 30 ;° �� ��120 ;° ����� 210 ;° ��)�� 270 ;° �����310 .°
$ !
"
'
$ �*
$
)
� �� � � � � � )�
�������
��������
���� ��� ������������$�� � ����� ������� ��� �������������
!�������!����������������%������� ������������ �������������� ������� �������������� � ����������
$ �
�
�
�
!�����
⎫⎪⎬⎪⎭
}
���������R
���������R-
���������RR
���������RRR
6����������������K������������������'�������
(��+�)'���'��(���� ��(��(��+� )�(��(��� �������(� $�'��+$�,(�%�� &'���'�$$ �+**�����'����$$'�&��(���(�%�**������
� , -����������#�=D���:ID���7HD�����
4:I��������������������$��
������������������������������'�����������������
�������������������� � �� �'����������������������
���������������� �������
6������������������� � �� ���������������� ��������������������������������� ∠ �)*
�76@�=�∠ �)*
�78B@�=�∠ �)*
�794@�=�∠ �)*
�758B�
-������������������� � �� ��������'��������������� 60° �����������������������������150° ��������������������������
$
��������
��
6�������� 60° ����������������������������������150° ���������������������������������� 240°������������������������������������� 315° ��������������������������
/ (���������������������������������������������������#
������������* ������������* ��������������* )�����������/
- !�����������������������������������#
���������������������������������������������������������"��������������������������������������
��������������*
����������������������������������������������������������"�����������������������������������
�������������������*
0������������������������������������������������'������������������������� 1,r = ���"���������
����������
������������������������'�����������������������������������
��������������������������� ������������������������������������������������������������������� �-������������������� ������
)'�������������"��������������������������������������������������
����α �������������������������������������� �����������������������������������������������������������
���������α ������������� 00 ����� 0360 �������������������������
����� ��������� ���� ����������� ��� �������� �����������
����������������������
/������� ������������������������������������������������� �����������������������#
( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , 1,0A B C − ����� ( )0, 1 .D −
���� ���
-��� ������������ ������ �� '���� �� ����������� ���� ��������� "������ �� ������ ����� ��� ���� ������� ����
������"�����������������������������������������'����������������������������������������������
���������������� ���������������������������������������������������"���������������������������
���������������������������������� ������������������� ������
�
�
�
�
'�
!
"
#
-
'
α$
��
��������
α
β
!
"
#
�+
�
) � ��$������ ABCΔ � ������ ����� ����� ;�����
,AC b BC a= = � �������� ������� � AB c= ������
���� ��$�� �� ����������
hipotenuza
;epërballshm e katetasin =α
hipotenuza;pranshme e kateta
cos =α
� -��������������"�����������������
�K������'������'���������"��������
�����)'���������
E��������������α ������������������������������
� ��� � ����� �� ���� ���� ��������� �� ���� ���
��������� ( ), .M x yα α
/���� xOM MΔ �6��#� sin ;1
xM M yy
OMα
αα = = = � cos .1
xOM xx
OMα
αα = = =
/������ ���������� �� ����� �� ��� � ��� ������ � ��� � ����� α � �� ���� ���� ��������� ��"��������� ���
( )cos ,sin .M α α
���� ���
*�����������)'����������������� ��� ����������������������������������������������������
�����������"����������� � �� �sin .yαα =)�������������)'����������������� ��� ��������� ������������������������������������������
�����������"����������� � �� �cos .xαα =
/���������'�����������'�������sinα �����cosα ������'���������)������� ,α 0 00 360 .α≤ ≤
�$
�
α}⎫⎪⎬⎪⎭
sin
α
cosα ��
( ),M x yα α
1r
=
. .������������������������������"�����������'�����������������������������'�������� sinα���� cosα ���������α ������#�������*���� ������*�����������
��
���������-���������������������� ��� �������������������� ��������������������������"��������
��� /��� ���� 030 ,α = � ���� ( )0,86;0,5 ,M � ��������0 0sin 30 0,5; cos30 0,86.= =
��/������� 0120 ,α = ����� ( )0,5;0,86 ,N − ����
� 0 0cos120 0,5; sin120 0,86.= − =���/������� 0315 ,α = �������������������������
� ( )0,71; 0,71 ,P − ���������� 0cos315 0,71,= ������
� 0sin 315 0,71.= −
0 (��������������'�������� sinα ����� cosα ����������α ������#������*���� ����*������������*)������*������������
��������
+ ����� ���������������� ����������� ( ), .M x y
-������� 0x > ���� ��������������������������R���
R-�������� 0x < ���� ��������������������������RR�� �RRR�
M������� 0y > ���� ���������������������������R
�� �RR�������� 0y < ���� �������������������������
RRR��� �R-
���%�������������� �� ������"
� ( ) ( ) ( )3, 2 , 2, 3 , 3, 1M N P− − − − ��� ( )3,2 .Q
� .������"��������������������������������
'���������"���������sinα �����cosα
���������������������������������������"���
1 (�������������'������sinα �����cosα��������α ������#������*����� ������*������������*����)������
���6��� 060α = ����������������������������
���������������������������������������������
������� � � �� � 0x > � ���� 0,y > � ��������0cos 60 0> ����� 0sin 60 0.>
��6��� 0135α = ����������������������������� 0, 0,x y< > � � �� � 0cos120 0,< ������� 0sin120 0.>���6����������������� 0270α = �������������������"�������� ����������������� ( )0, 1M − ����������������
��������������������������������"�������� �.�������� 0cos 270 0,= ������� 0sin 270 1 0.= − <
2 (������������������"�������������#
��� sin 0;α < ���� �� sin 0α > ����� cos 0;α < ������� sin 0α < ����� cos 0.α <
!������ �� '�������� � ��"��������� ���� ��
����������������������� ��� sinαcosα
++ − −
− −++
� �� ��� �/
�$
�
'
*
( )0,86;0,5M
30°���� �
�
1−
1−
���
���������-����������������������������"������
���#
-*'$��'�%+���� �'�'�$')��(���*�'����*'� )�(�$')���)(��$$'�& $'��$�4 � �'�$��'�)�(��+�$��(�($%($�(�
��
�� ���
0�$����������� ��� ����� :α�(�=I�=�����������(�::D�=���������%(�:;D�= (�7>D�=����������(�4=D��
+
���%������������������������"�(�;I�=�����������(�:<I�=���������%(�7;D�= (�:;I�=��������(�4I>��>
,
��� � 00 90 ,α< < �����%������������������������"
�(� 090 ;α+ �����������(� 0180 ;α− ���������%(� 090 ;α− (� 0270 ;α− ���������(� 0360 ?α−
/
) ����� �������� ������������������������������"
( ) ( ) ( ) ( )1,3 ; 2, 3 ; 2,0 ; 0, 3A B C D− − − ���
( )1, 5 .E − − �0�$�������������� �������������������
��������������� �����������%�����������������
������� ������ � ����������>
-
:������� ��� ��������� � ��������� ��� � sinα�� �cos ,α ���� ����������������������α ����������
����"
�(� ( )3,0 ;A ����������(� ( )3,0 ;B − ���������%(� ( )0,2 ;C
(� ( )0, 3 ;D − �������(� ( )1,0 .E −
.
��� �� ���� ����� ��� � ��$���� ����� ���
������� ��� ��� �%������� ��� ��������� � �sinα�� �cosα ���������� :α�(�HI�=�����������(�:ID�=����������%(�7:D�=���������� (�77I�=
�(�4:D�=�������� (�4=D��
0
:������� ����� �������������� �%�������� ��� ����"
�(� 0sin 35 ; �������(� 0cos125 ; ������%(� 0sin170 ;
(� 0cos 250 ; ���(� 0cos300 ; ����� (� 0sin 320 .
1
:������� ����� ��� �� �"
�(� 0 0sin130 cos 210 ;⋅ � � � � �(� 0 0sin 30 cos180 ;⋅
%(� 0 0sin 90 cos100 ;⋅ �������� (�0 0
0 0
sin 309 sin 90;
cos 205 cos180
⋅⋅
�(�0 0
0 0
sin120 cos100.
cos 200 cos 300
⋅⋅
2
���%��������������� �� �������� ,α ��� "
�(�sin cos 0;α α⋅ < �����������(�cos sin 0?α α⋅ >
3
��� � 00 90 ,α< < �%������� ����� ��� �� �"
�(� ( )0sin 180 ;α+
�(� ( )0cos 360 ;α−
%(� ( ) ( )0 0cos 90 sin 90 ;α α+ ⋅ +
(� ( ) ( )0 0cos 180 sin 270 .α α+ ⋅ +
+4
��
���"��������#����"���������/$������#����
��������
+ ����� ������� ������� ������� �+����� ��$�� �� �������������� ����
�������� �� ������� ��� �������� α � � � � ��������
����� �������������������� ��������������� ���
��� ������������ ����������������������� tg .a
bα =
��������� ���������������������α �� �� ��������
����� ���� ������ ����� �� ��� ���� ��� ����� � ��
��� ��������������� �����������������������
� ������ �� ����� �����'����� '������
��"�����������"�����������"������
�������"���������������������������� �������������
�����������'������'���������"�����������"��
��������������������������
� ctg .b
aα =
sin costg , ctg ,
cos sin
α αα αα α
= =
��� �α ����������������������
E��������������α ������������������������������
���������������������������������"����������
���� ������������� ( ), .M x yα α
���� ���
+������������)'���������� ( )0 090 , 270α α α≠ ≠ �������� ��� ���������������������������
� �������������� ���������������������������������������������α ��������������������"��������
� � �� �� tg , 0.y
xx
αα
α
α = ≠)� ������������)'���������� ( )0 0 0, 0 , 180 , 360α α α α≠ ≠ ≠ �������� ��� ���������������
� �������������������������� ���������������������������������������������α �����������������
��"������������ � �� ��ctg , 0.x
yy
αα
α
α = ≠
/���������'��������'����������������������������)'����������( )sin , cosy xα αα α= = �������
0 0sintg , 90 , 270 ,
cos
αα α αα
= ≠ ≠ ������������� 0 0 0cosctg , 0 , 180 , 360 .
sin
αα α α αα
= ≠ ≠ ≠
-�������������� ,y
xα
α
�������������x
yα
α
����������������������������� ������������������� �������
������������������������������������������������������������������
�
�
xα
yα
( ),M x yα α }}
��
0�"�����������������������"�����������������������������
���������� ����������������������������������������� �����
���� ���������������� ������ ������
0�"������������������������"���������������������������������������� ��������� ���������������������������������� ��������������������������� ���� ������
/������ ������������"�������������������� ( )1, .y
6������������#�������α �������������� ������������������
������������������������� ���������"������������������
���������������������������"�����
/���� xOM MΔ ����#� tg .x
x
M M y
xOMα
α
α = = �/����"������������� OATΔ ���� xOM MΔ ����� ,x
x
M MAT
OA OM=
�� � �� �1
yAT
xα
α
= ������������� .y
ATx
α
α
= ��/���� tgy
xα
α
α = �����y
ATx
α
α
= ����� tg ,ATα = �� � �� � tgα
������� ��� ��������������������������������������������������������� ����������"���
���� ���
+��������)'���������� )270 dhe 90( 00 ≠≠ ααα �������������������������������������������������
α ���������������������� ���������"������ � ��
tg .tyα =
�������������������#������� ��������"���
� ������������"�������������������������������'���������"������)�'�������������������
��������
/������ �������������"����������������������� ���
�������������������#������� ����������"���
�$
�
!
( )1,T AT
�
�
1−
( ),M x yα α
α⎫⎬⎭
⎫⎪⎬⎪⎭
xα
yα
xM
( )1,P y
/���� xOM MΔ ����� ctg .x
x
OM x
M M yα
α
α = = �/����"������������� xOM MΔ ����� OTBΔ ����
,x
x
OM BT
MM OB= �� � �� � .
1
x BTBT
yα
α
= = �/���� ctgx
yα
α
α = �����x
BTy
α
α
= ��������� ctg .BTα =
$$
� ( ), 1T B T
( ),M x yα α
α⎫⎪⎬⎪⎭
⎫⎬⎭
xα
yα
xM
"( ),1N x
6������������#�������α �������������� �������� ������������������������������������ ������
����"���������������������������������������������"�����
��
��6����������������� 45α = ° ������� �����������"���������� ( )1,1 ,M ������������������� �
���������������� ���� 1,r = �����ctg 45 1.° =���/������� ( )1120 , 0,57;1 ,Mα = ° − ����� ctg120 0,57.° = − ���)�� tg 210 0,57.° = ������ ctg 270 0.° =
, $�������������������������"���������������������'������������������������������'�����#
��� ctg 90 ;° �� tg 45 ;° ��� tg150 ;° )�� ctg 240 ;° ��� tg 315 ;° ��� ctg 315 .°
-��������������'�������� αctgtg dhe �������������������������������������������������"���
!�������'������� αctgtg dhe �������������������������������������������� � �� �������������������
��������������������������������� ���������"������������������������"���
���� ���
M����� tgα �������������� ctgα ����������������'�����������������������������������������
����������� ��������������������� �������
���� ���
)� ��������)'���������� ( )0 , 180 , 360α α α α≠ ° ≠ ° ≠ ° �������� ����������������������������
�������������������������������� �����������"������ � �� �ctg .txα =
�$
�( )0,1B
45°
( )1,1M
( )2 1;0,57M
( )1 0,57;1M −
( )3 0, 1M −
( )1,0A
120°210°
270°
+ (�������������#
��� tg ;0° �� ctg 45 ;° ��� tg135 ;°)�� ctg120 ;° ��� tg 210 ;° ��� ctg 270 .°
���������-�����������������������������'������������� (������������������������������������������������������� ����� �� ���� ����� �� ��"����� ������������ ����� �����"���
���6����������������� 0α = ° ������� ���������"��������� ( )1,0 ,A ���������������'���� tg 0 0.° =
.���������ctgα �������� ��� ��������� ����������������������������������α �������� �����������"���
��
/ (������������������������������������������������������#
��� tg130 ;° �� tg 220 ;° ��� ctg 300 ;° )�� ctg 200 ;°��� tg 320 : ctg120 ;° ° ���� ctg 220 tg 60 .° ⋅ °
����� ��������������������"������������'��������"����������)����������
sinαcosα
++ − −
− −++
����������
tgαctgα
�����������
( )90 ,180α ∈ ° °������������
( )180 ,270α ∈ ° °����������0
( )270 ,360α ∈ ° °
++
−−
++
−−
- (�����������������������#
��� sin120 ctg130 ;° ⋅ ° �� tg 200 cos320 ;° ⋅ ° ���sin100 cos 200
.tg 300 ctg150
° ⋅ °° ⋅ °
������������6�����:7D������:4D������������������������������ sin120 0, ctg130 0,° > ° <��� sin120 ctg130 0;°⋅ ° < �������������� ���"7DD�TD�����47D�TD������"7DD�����47D�
. 0���������������������������#������ tg cos 0;α α⋅ > �� �� ctg sin 0;α α⋅ < ����� ?0sin
<⋅α
αα ctgtg
�� ���
:������� ��� ������������� ��������� ������� ���
������� ��� "
�(� tg60 ;° �(�ctg150 ;° ��%(� tg180 ;° (� tg 240 ;° �(�ctg300 .°
+
:������� ����� �������������� �%�������� ��� ����"
�(� tg70 ;° �(�ctg30 ;° %(� tg150 ;° (�ctg 225 ;° �(� tg350 .°
,
:������� ����� ��������"
�(�sin15 tg150 ;° ⋅ ° �(�cos100 ctg100 ;° ⋅ °%(� tg 200 sin300 .° ⋅ °
/
��� � 0 90 ,α< < ° �%������� ����� ��� �� �"
�(� ( ) ( )sin 180 tg 180 ;α α° − ⋅ +
�(� ( ) ( )cos 180 ctg 360 ;α α° + ⋅ ° −
%(� ( ) ( )( )
sin 270 cos 180;
tg 270
α αα
° − ⋅ −° −
(�( ) ( )
( )tg 180 cos 270
.ctg 180
α αα
+ ° ⋅ + °° −
-
) �%�������������� �� ����������� "
�(� tg sin 0;α α⋅ < �(�cos ctg 0;α α⋅ >
%(�sin tg
0?ctg
α αα⋅ >
.
),90(0 00∈α
��
0���������� � ������� ��� ������ 1 1 1,OM M M OM= = = ����� 1
1 1 11 .
2 2 2y MMα = = ⋅ =
/��� xOM xα= ����������������� 1 ,OM MΔ �����3 1 3 3
.2 2 2
OMxα
⋅ ⋅= = =
/�����#�1 3
sin 30 , cos30 .2 2
° = ° = �/���������'�������'����������"α�������"α������)'��������������#
.330sin
30cos30 kurse
3
3
30cos
30sin30
0
00
0
00 ======
α
α
α
α
y
xctg
x
ytg
, $�� ����� �� ����� ��������� ��"��������� ������ ������� ��� '�������� ��"��������
sin , cos , tgα α α ����� ctg ,α ����#����� 060 ;α = ������ �� 045 .α =
��������������������"�������#��
��������
!��������"��(�������=���(���������=��%(����� ���=
(������� ������ �����������>
+������� �� ��������������������� ���������������
3.
2
ah =
� + (����� ������� �� '�������� ��"���������������4D��HI������=D�
��������.�������������"����������������������������
��"��������
6��� 30 ,6
πα α⎛ ⎞= ° =⎜ ⎟⎝ ⎠�����������������R
�������� ������������������� ( ), .M x yα α$
��
( ),M x yα α
�
�30°30° ��
1r =
!���������'�������'�����������"�����������)'�������������� sin ,yαα = ������� cos .xαα =
/ ������#�������� 2sin 30 cos 60 tg 45 ;° − ° + ° ��3cos30 sin 60 tg 60 .° + ° − °
��� 0 0 0 1 1 32sin 30 cos60 tg 45 2 1 ;
2 2 2− + = ⋅ − + = � ��� 0 0 0 3 3
3cos30 sin 60 tg 60 3 3 3.2 2
+ − = ⋅ + − =
- (�������������������������������#������ 3sin 45 cos 45 2 tg 45 ;°⋅ ° − °
��������
�� cos180 2sin 60 ctg30 ;° − ° + ° � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���tg tg sin
,ctg cos tg
2
π α απ α α
− ⋅
+ ⋅� ���� .
3
πα =
��
��������
3�� ������� � ��������α� � � � ��������� ����� ���
�� �������$�� �"
�(� 2 2sin cos 1;α α+ =
�(�sin cos
tg , ctg ;cos sin
α αα αα α
= =
%(� tg ctg 1,α α⋅ =��� %����� ��� �� �������� ��� �� � ������� ��� ��������������� ���� � ��
� . -������� ��� ���� )'������ ��������� �������#
��� 2 2sin cos 1;α α+ =
�� { }sintg , 90 ,270 ;
cos
αα αα
= ∉ ° °
��� { }cosctg , 0 ,180 ,360 ;
sin
αα αα
= ∉ ° ° °
)�� { }tg ctg ,90 ,180 ,270 ,360 .α α α⋅ =1, ∉ 0° ° ° ° °
���������E��������������α�)'���������������D������4=D�
��
�
αxα
yα
1r =
$
���E���������� ( ),M x yα α ��������������������������������α��
���� ���� ��������� ��"���������� ���� sin ,yαα = � �����
cos .xαα = �/���� xOMMΔ ����#
( ) ( ) 22 2,y x OMα α+ = �� � �� � ( ) ( )2 2
sin cos 1,α α+ = ����
2 2sin cos 1.α α+ =
��/���������'���� tg ,y
xα
α
α = �������
���/���������'����ctg ,x
yα
α
α = �������
)��sin cos
tg ctg 1,cos sin
α αα αα α
⋅ = ⋅ = �� � ��
-��������������������������"��������������������"��������������)'���������������������������������'����'������
/���� 2 2sin cos 1,α α+ = ����
. �����������5
cos , 180 27013
α α= − ° < < ° ���������������� sin , tg , ctg .α α α
sintg ;
cos
ααα
=
cosctg ;
sin
ααα
=
tg ctg 1.α α⋅ =
/���� tg ctg 1,α α⋅ = ���������"α�������"α�������������������'����������������'�����'����������������
�� � ��
2 2 2 2cos 1 sin , sin 1 cos .α α α α= − = −
1 1tg ; ctg .
ctg tgα α
α α= =
�
���������/���� 2 2sin cos 1,α α+ = � ����2
2 2 2 5 25 144sin 1 cos ; sin 1 1 ,
13 169 169α α α ⎛ ⎞= − = − − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
� ���
144 12sin ,
169 13α = − = − ������ 0 0180 270α< < ����� sin 0α < �*
sin 12 5 12tg : ,
cos 13 13 5
ααα
⎛ ⎞= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠�������
5ctg .
12α =
����� ����3������� ���������������������� �� ��������������� ������������ ��������� � ��+ � ������������ ��� �� 7������� �� �������� � 8����9� ���� 8� ���9� ����� �������� ����� ����� �������� ��� .���� �� � ��������� ��� ������ �� ��������
1 (��������������'����������������"�������������#
���8 3
sin , ,2 ;17 2
πα α π⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠���� �� ( )3
sin , 90 ,180 ;2
α α= ∈ ° ° �������1 3
cos , .2 2
πα π α= − < <
2 E����������3
tg , 90 180 .4
α α= − ° < < ° �(���������������'����������������"��������
���������/���� tg ctg 1,α α⋅ = �����1
ctg ,tg
αα
= �� � �� �4
ctg .3
α = −
������������������������� 2 2sin cos 1α α+ = ���������������� 2cos 0,α ≠
����α
ααα
ααα
22
22
2
2
2
cos
1 tgd.m.th.
cos
1
cos
cos
cos
sin ==+ ��������������������� 22
1cos ,
1 tgα
α=
+
22
1 16cos
2531
4
α = =⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
�����4
cos .5
α = − �/���� 2 2sin cos 1α α+ = �����2
2 4 3sin 1 , sin .
5 5α α⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠
α1r =$ !
�
2
1tg
α
+
⎫⎪⎬⎪⎭
tgα����� ������ ����� ������ �� '������ tgα � ���� ctg ,α � �������'������� � �α� ���� ���α����� ��� ����������� '�������� ����������#
2 2
tg 1sin ; cos
1 tg 1 tg
αα αα α
= =± + ± +
3 �����������24 3
ctg , ,7 2
πα π α= < < �������������������������10cos 5sin
.7ctg 6 tg
α αα α
+−
$��� ����������������������������"���������������������������������������
/������������������������������������'��������������������
�
+4 0����������������#�������3
2
sin sin;
cos
α αα
− ��
sin sin.
1 cos cos 1
α αα α
−+ −
������������( )23 2
2 2 2
sin 1 sinsin sin sin cossin .
cos cos cos
α αα α α αα α α
−− ⋅= = =
��( ) ( )( )( ) 2 2
sin 1 cos sin 1 cossin sin sin sin 2sin 2sin 2.
1 cos cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin sin
α α α αα α α α α αα α α α α α α α α
− + +− = + = = = =
+ − + − + − −
������������������������� ���� � ��������� ���$ �?�����������������α �����������������������������
���������������������������� ����������������'����
++ -�������������#
��� ( ) ( )2 2sin cos sin cos 2;α α α α− + + = �� 2 2 2 2tg sin tg sin ;α α α α− = ⋅
��� 2 2
1 sin 1.
1 sin cos cos
αα α α
+ =+
���������$��� �����������������������������������'������������"�� �������#
��( )2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2
sin 1 cossin sin sin cos sin sintg sin sin tg sin .
cos cos cos cos
α αα α α α α αα α α α αα α α α
−− ⋅ ⋅− = − = = = = ⋅
��� ( )( ) ( )( )2 2
1 sin 1 sin 1 sin sin 1.
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin cos
α α α αα α α α α α α α
− ++ = + = =+ − + − + − +
�� ���
�� ������ ��� ��� �� �"
�(�2sin 30 cos60 tg 45 ;° ⋅ ° − °�(� tg60 sin 30 ctg30 ;° ⋅ ° − °
%(� 2 2 2tg sin ctg ;3 6 3
π π π+ − � (�tg 45 cos
.3
sin cos2 3
ππ π° −
+
+
:������� ������ �� ������ �� �"
�(�2sin2
1 cos2
αα−
��� ;6
πα = ��(tg ctg
1 cos
α αα
⋅+
��� .3
πα =
,
:������� ��� ��������� � ��� ��������� ��� ����� "
�(�3 3
sin , , ;2 2
πα α π⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
�(�20
cos , .29 2
πα α π= − < <
/
�
3 3tg , 2 ;
3 2
πα α π= − < <
�
9ctg , .
40 2
πα α π= − < <
-
�� ������ ��� ��� �� �
3cos sin,
3ctg 4tg
α αα α
+−
��� �3
sin , 90 180 .5
α α= ° < < °
.
)�� ������� �� �"���(�21 sin
;sin cos
αα α−
⋅
�(�2sin cos 1
;sin 1
α αα
− ++
%(�2 2
2
tg 1 tg 1.
tg 1 1 tg
α αα α
− −−+ −
0
�������(�������������'�����������������#
�������
�� �
��
0�� ��� �� ���� ������� ����� ������� �� �� ���
� ����������������"
�(�1 sin cos
;cos 1 sin
α αα α
− =+
�(� 2 2 2 2ctg cos ctg cos ;α α α α− = ⋅
%(�2
22
1 tg1 2sin ;
1 tg
α αα
− = −+
(� 2tgsin .
tg ctg
α αα α
=+
1 0�� ����� ���� ���"
�(� ( )( )1 sin cos tg 1 cos 1 tg ;α α α α α+ + + = + +
�(�sin cos 1
;1 ctg 1 tg sin cos
α αα α α α
+ =+ + +
%(�tg sin
1 cos ;tg
α α αα
− = −
(�2
2
tg ctg 11.
1 tg ctg
α αα α
−⋅ =−
2
��������$��#���������"�������#����/$������#��������"�����
��������
) � ��� ��� ����� ������ �� ��� � �������� � � ����#
��� ��� ���4D���HI���� �=D��
�� ���� � ��������������������� ������ ����������
������������������ ���
sin a
tg a
1
23
2
2
2
3
33
:
cos a 3
22
2
1
2
ctg a 3
:
3
3
4D� HI� =D�
sin a
tg a
cos a
ctg a
������ �������� �������������
+−+
++
+
−−
−−
−
++
+−−
� + (����� ������� �� '�������� ���
"����������������������:7D��
�����'�������������������
���������-������ �� ��������� ��� �K� �����������
��������������"��������
0 0 3sin120 sin 60 .
2= =
}}⎫⎪⎬⎪⎭
⎫⎪⎬⎪⎭
�
$
120°60°
� &
cos120° cos60°
sin60°si
n12
0°
0ctg 600ctg1200tg 60
0tg120
6���������������������������������������������������������������"���������������������� �?�������������������������� ��������� � �� ������������� ��� ���������
��
/��������������������� ��������� ��������� ��������������� �������� ����� ���� ������������� � ��
0 0 1cos120 cos 60 .
2= − = −
M������� 0tg120 ����� 0tg 60 , ������������� 0ctg120 ����� 0ctg 60 , �"������������������������������������
������������ 0 0tg120 tg 60 3,= − = − ������� 0 0 3ctg120 ctg 60 .
3= − = −
/��� 0 0 0120 180 60 ,= − ����#
( )0 0 0 0 3sin120 sin 180 60 sin 60 ,
2= − = = ��� ( )0 0 0 0 1
cos120 cos 180 60 cos 60 ,2
= − = − = −
( )0 0 0 0tg120 tg 180 60 tg 60 3= − = − = − ������� ( )0 0 0 0 3ctg120 ctg 180 60 ctg 60 .
3= − = − = −
(���������������������������������������������������������������������������������������������
:;D��α������π−α���:;D�8α������π+α�*�4=D��α������7π−α���4=D�8α������7π+α�����α ������������"������
� � �� � 0 0 00 90 0 .2
πα α⎛ ⎞< < < <⎜ ⎟⎝ ⎠�/������� ����� 0 0 0150 180 30= − ����
0 0 0 0150 ; 240 180 606
ππ= − = + ����� 02403
ππ= + ����
, ������� 0 0 0 0cos 210 , sin 210 , tg 210 , ctg 210 .
6������������������������������������������������������ 0 0 0210 180 30 .= +
30°210°
sin
210°
⎫⎪⎬⎪⎭
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
cos210°
⎫⎪⎬⎪⎭
cos30°
⎫⎪⎬⎪⎭
sin30 °
&
�
���������/���� �������������������������������'���������������������������������������������
���������� � �� � ( )0 0 0 0 3cos 210 cos 180 30 cos30 ,
2= + = − = −
( )0 0 0 0 1sin 210 sin 180 30 sin 30 ,
2= + = − = −
( ) ( )( )
0 0 00 0 0 0
00 0
sin 180 30 sin 30 3tg 210 tg 180 30 tg 30 ,
cos30 3cos 180 30
+ −= + = = = =−+
( )0 0 0 0ctg 210 ctg 180 30 ctg 30 3.= + = =
��
���� ���
( )( )( )
0
0
0
sin 180 sin
sin 180 sin
sin 360 sin
α α
α α
α α
− =
+ = −
− = −
( )( )( )
0
0
0
cos 180 cos
cos 180 cos
cos 360 cos
α α
α α
α α
− = −
+ = −
− =
( )( )( )
0
0
0
tg 180 tg
tg 180 tg
tg 360 tg
α α
α α
α α
− = −
+ =
− = −
���α ������������"�������� � �� � 0 0 00 90 0 .2
πα α⎛ ⎞< < < <⎜ ⎟⎝ ⎠
/���� �������������'������������'������� �����������������"����
F�����������������'��������"�������������������������������� 0180 ᱠ����� 0360 ᱠ����'��������
��������"������ ,α �'�����"�����������������������������% + &�����% −&������������������������
'����������������������������������������������������������
/������� ����
( )0 0 0 0ctg 340 ctg 360 20 ctg 20= − = − ����������R-�� 0ctg 340 0< �*
( )0 0 0 0 3cos150 cos 180 30 cos30 ;
2= − = − = − �������� ( )0 0 0 0sin160 sin 180 20 sin 20 .= − =
/ 0��������������������������� 0 00 90 :α< <
��� ( ) ( ) ( )0 0 0tg 180 tg 360 sin 180 ;α α α− − − + + ��������� ��( ) ( )( ) ( )
0 0
0 0
cos 180 sin 180.
cos 360 sin 180
α αα α
− + −
− + +
������������ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0tg 180 tg 360 sin 180 tg tg sin sin ;α α α α α α α− − − + + = − − − − = −
��( ) ( )( ) ( )
( )0 0
0 0
cos 180 sin 180 cos sincos sin1.
cos sin cos sincos 360 sin 180
α α α αα αα α α αα α
− + − − −− += = = −− −− + +
( )0 0 0 0tg135 tg 180 45 tg 45 1= − = − = − ��������������������������������RR������ 0tg135 0< �*
( )( )( )
0
0
0
ctg 180 ctg ,
ctg 180 ctg ,
ctg 360 ctg ,
α α
α α
α α
− = −
+ =
− = −
��
��������
*������ ������� ����%���� �������>D����� ������
���� � ����
3�� ������������������� ,α ����������� � ���������090 .α−
( ) ( )( ) ( )
0 0
0 0
sin cos 90 , cos sin 90 ,
tg ctg 90 , ctg tg 90 .
α α α α
α α α α
= − = −
= − = −
0 0 0 0sin 30 cos 60 , tg 50 ctg 40 .= =
� ����� α � ������ ���� � "������� �������
�������������������������������������
0902
πα α⎛ ⎞± ±⎜ ⎟⎝ ⎠� ��� 0 3
270 .2
πα α⎛ ⎞± ±⎜ ⎟⎝ ⎠/������� ����
0 0 0 0 0 0120 90 30 , 210 270 60 ,= + = −0 0 0315 270 45= + ����
- (�������������� '�������� ��"������������������������� ��������������� ���"����������������0 090 30 .+
��������� 0�� ���� ��������� ��"��������� ���� ��������� �����0 0 0120 90 30= + �������� �/����������������������������������
��������������� y xOM ON= ����� .x xOM N N=
/���� 0 0sin120 0, cos120 0,> < �������#
0 0 3sin120 cos30 ;
2y xOM ON= = = =
0 0 1cos120 sin 30 ;
2x xOM N N= − = − = − = −
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
sin120 cos30 cos120 sin 30 3tg120 ctg 30 3; ctg120 tg 30 .
cos120 sin 30 sin120 cos30 3
−= = = − = − = = = − = −−
-���������������������� ������ 090 ᱠ����� 0270 ,ᱠ���������"�����������������'���������������
��'����������������"������α ��� � �� ������������������������������������"���������"������
�����������
( )0 0 0 0tg 240 tg 270 30 ctg 30 3,= − = = ����� 0tg 240 0.>
/������� ����� ( )0 0 0 0 3cos150 cos 90 60 sin 60 ,
2= + = − = − ����� 0cos150 0;<
!��������������
���������������������� 090 ᱠ����� 0270 ,ᱠ���������"�����������������'������������������'����
�����������"������α �����������% + &�����%−&���������������������������'������������������
����������������������������������������
30°120°
&
�
xMxN
⎫⎪⎬⎪⎭
sin30°
⎫⎪⎬⎪⎭
cos30°
⎫⎪⎬⎪⎭
cos120°
⎫⎪⎬⎪⎭
sin
120°
�
)
�
�
���������������������������������������#
��
. (����������#�������� 0sin 330 ; ���������� �� 0cos 225 ; �������������3
tg .4
π
���������-���������������������������������������������'�����������������)'�������������"�����
6�������������������� 0 0360 30− ����� 0 0270 60 .+ �$�"������������������������������������������
������������
��� ( )0 0 0 0 1sin 330 sin 360 30 sin 30
2= − = − = − ����� ( )0 0 0 0 1
sin 330 sin 270 60 cos 60 ;2
= + = − = −
�� ( )0 0 0 0 2cos 225 cos 270 45 sin 45 ;
2= − = − = − ����� ( )0 0 0 03
tg tg135 tg 90 45 ctg 45 1.4
π = = + = − = −
0 N����������������"�����������'������ sin , cos , tg , ctg ,α α α α ���������α ������#
�������* ������* �������
��� ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0cos115 cos 90 25 sin 25 ; sin115 sin 180 65 sin 65 .= + = − = − =
1 /����������������������������'�����#
��� 0tg150 ; �� 0ctg 210 ; ��� 0sin 225 ; ������)��4
cos .3
π
2 M������� 0 0 0 0sin 75 , cos35 , tg83 , ctg 23 ���������������� '������������������ ������������������
3 0�����������������( )00 90 :α< <
( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0sin 75 sin 90 15 cos15 ; ctg 23 ctg 90 67 tg 67 .= − = = − =
��� ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0sin 90 cos 180 tg 270 ctg 360 ;α α α α+ + + + − + −
��( ) ( )
( )cos sin
;1 tg 2
π α π απ α
− + −+ −
���( ) ( )
( )( )( )
0 0 0
0 0
sin 360 sin 90 tg 270.
cos tg 90 ctg 90
α α αα α α
− + −⋅ ⋅
+ +
������������ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0sin 90 cos 180 tg 270 ctg 360α α α α+ + + + − + − =
( ) ( )cos cos ctg ctg 0;α α α α= + − + + − =
��( ) ( )
( ) ( )cos sin cos sin cos sin
cos ;cos sin1 tg 2 1 tg
cos
π α π α α α α α αα απ α αα
− + − − + − += = = −−+ − + −
���( ) ( )
( )( )( )
0 0 0
0 0
sin 360 sin 90 tg 270 sin cos ctg sincos .
cos cos ctg tg tgtg 90 ctg 90
α α α α α α α αα α α α αα α
− + − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − = −− −+ +
��
:������� ��� ������������������� ���"��(� 0cos135 ; ������(� 0ctg240 ; �����%(� 0tg315 .:
�� ���
:������� ��� ��� �� �"��(� 0 0 0 0sin330 cos210 tg225 ctg150 ;+ − −
�(�5 5 5 7
sin tg ctg ctg ;6 3 6 4
π π π π+ − − %(�3 7 5 11
2 tg 2ctg cos sin .4 4 3 6
π π π π− + −
7
�� ������ ��� ��� �� �"4
�(� .3
2sin nëse ,
2sinsin22sinsin2 πααααα =
+−
�(� .2
0 ,2
,5
3sin nëse ,
cos
sin παπβαααβ
αβ <<=+=+
−ctg
tg
)�� �������� �� �� ( )4 7 :−
�(� 0 0 0 02sin 40 cos130 sin160 cos110 ;+ − − �����(� 0 0 0 0 0 0sin160 cos110 sin 250 cos340 tg110 tg340 .⋅ + ⋅ + ⋅H
( ) ( )( ) ( )
2 0 2 0
0
2 0 2 0
cos 360 sin 270, 0 90 .
tg 90 ctg 270
α αα
α α− + +
< <+ ⋅ +
I
( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 0
0 0
sin 360 tg 90 ctg 270.
cos 360 tg 180
α α αα α
− ⋅ + ⋅ −
− ⋅ +=
( )( )
0 0 0 0
0 0 0 0
sin 180 ctg130 cos320 sin 90.
cos 90 sin140 ctg50 cos180
αα
+ ⋅ ⋅ ⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅<
0�� ����� ���� ����( )8 10 :−
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0
cos 270 sin 180 tg 90sin .
tg 270 ctg 90 sin 90
α α αα
α α α
+ ⋅ − ⋅ −=
+ ⋅ − ⋅ −;
( ) ( )( ) ( )
sin cos cos 22
cos .ctg tg
ππ α α π αα
π α π α
⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ = −+ ⋅ −
>( ) ( )( ) ( )
0 0
0 0
cos 180 tg 180tg .
cos 270 tg 270
α αα
α α+ ⋅ −
=− ⋅ +
:D
:D -�������������� ( ) ( )2 2
3sin sin cos cos 2 2.
2 2
π πα π α α π α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�������� ( ) ( )2 2
3sin sin cos cos 2
2 2
π πα π α α π α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )2 2 2 22sin 2cos 2 sin cos 2 1 2.α α α α= + = + = ⋅ =
2 2 2 2cos 2sin cos sin sin 2sin cos cosα α α α α α α α= + ⋅ + + − + =
[ ] [ ]2 2cos sin sin cosα α α α= + + − + =
��
�"�����������#��������#����������
��������
)�� $����� �� � ��������� ����� ���� ��� ������ ��
%����� ������������ � � �� � � ������� � �� "�������
�� ����� �
3��� ��������������� �����!"#������$������ ��"
α
β�
�
+
# !
"
11
2 2 2a b c+ =
090α β+ =
sin , cos , tg , ctg .a b a b
c c b aα α α α= = = =
�2"����������������������������������
���"������������������
+ 2"����� ���������� ���������� ���� �������#���������� 36,5c = �$�� �������
033 25 .α ′=
���������/���� ABCΔ ��������������#
sin ,a
cα = ����� 0sin 36,5 sin 33 25 , 36,5 0,5507 20,10055 20,10a c aα ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈ �$�
cos ,b
cα = ������� 0cos 36,5 cos33 25 36,5 0,83468 30, 46610 30, 47.b c α ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈
0 0 0 090 , 90 33 25 56 35 .β α β ′ ′= − = − =
��� ��� ��0�������������+��������������� 2 2 2b c a= − ���������� tg ,b a β= ⋅ ����� ��������������
��.��������� ������� �� ������������ ������ �� ����.�����*��� ���� ����,��� �������� �� ��������� ���� �
+���������� �������� �� ������(����� �� ���.�� ���� �� ���.�������� �/������ 0sin 33 25′ � �� +������
��� � ���������� ��� ����������:
:����� ���� � ����� ��"*+� ���� �� α � �� ��������� ��� ��������
7 �1�� ��33.25 → �"*+� sin→ �����'������� ����� �.��������� 0sin 33 25 0,55072.′ =
'���� �� ��������� � ���� ���"*+� ���+ �� � ,��� ���� � ��������� ��� ����������������0
0 0 0 0 02533 25 33 33 0, 41666 33, 41666 sin
60⎛ ⎞′ = + = + = →⎜ ⎟⎝ ⎠
����'������� �����
7 2"����������������������������� 13, 2b = ����� 040 45 .β ′=
4 2"����������������������������� 43,5 cm, 62, 4 cm.b c= =
.��������� 0sin 33 25 0,55072.′ =
*
�
��
α� +
1
β
��
���������/���� ABCΔ ��������������������:�����#� 2 2 262,4 43,5 2001,51;a = − = � 2001,51,a =� � �� � 44,73824 44,74 cm.a = ≈
043,5cos 0,69712, 45 48 .
62, 4
b
cα α ′= = = = ��
0 0 090 45 48 44 12 .β ′ ′= − =
0�� �� α � �� +������� ��� ����������:
1cos 0,69712 2 cos 2nd nd DMSα −= → → → → �����'������ 045 48 13 .′ ′′ ����������� 045 48 13 .α ′ ′′=
����������� ���� ��+����������������������� ����� �����'���� ����������� ��������� !� 6,�������������� �� ���������� �� ��������� ���� ���� ��� ������;�� ������
( )0 0 0 045,8096045 45 0,8096045 45 0,8096045 60 45 48,21645′ ′= + = + ⋅ = + =
( )0 0 045 48 0, 216715 60 45 48 12,976 45 48 13 .′′′ ′ ′′ ′ ′′= + ⋅ = =
H 2"���������������������������� 35 cm, 42 cm.a b= =
2"������������������������������������������"������������������������"��"����������'��������
�������������������
I ���������������������������������"��������������������� 28,5 cm,d = �����������������"�������
'���������"������������ 065 30 .ϕ ′=
������� ������������������� ����������������������������
�*97��8�� �/���O�����������������������"��������'"����
?������� Ê.45322
0==∠ ϕNOC
/���� 2: cos ,2
2
aa
ONCd d
ϕΔ = = ����� cos2
a dϕ= =
028,5 cos32 45 28,5 0,84104; 23,97 cm;a′= ⋅ = ⋅ = 2sin ,2
2
bb
d d
ϕ = = ������ 15,42 cm,b =
= (�������������������������� ������������� ���� 18,6 cma = �������������������� 037 40 .γ ′=
�������*97�74�><8:I�H7�9<;�<;��� � 0sin 28,5 sin 32 45 ;2
b dϕ ′= = ⋅
+
*�
,
�
�
&
2b
2a
) 234234234ϕ
�
< (�������������������������������������������
��������� 0 0tg37 40 , 13,5 tg 37 40 ,13,5
hh′ ′= = ⋅
13,5 0,7719 10, 42 m,h = ⋅ = � �����
2,5 12,92 m.H h= + = �.��������� ���������
������������12,92 m.
�(� 015 cm, 38 ;a β= =�(� 025 cm, 35 40 .b α ′= =
:
�� ���
<����� �� ��������������� ����( )1 5 :−
�(� 027 cm, 40 50 ;c α ′= =�(� 063 cm, 65 30 .c β ′= =
�
�(� 25 cm, 13 cm;c b= =�(� 23 cm, 35 cm.a b= =
�
�(� : 12 :13, 15 cm;b c a= =�(� : 21: 20, 58 cm.a b c= =
�
�(� cm.12 ,cm63 2 ==Δ bS
�(� cm.40 ,cm180 2 ==Δ bS
�
:���������� �� �� �������������������� ���$��
48 cma = ��� ������� 30 cm.b ==
�������� �������� ��������������:I�7�������;�H�����������������������:D�I��� �(�������������������
<
(������������������������ ���7D��������=������������������:4��������:I���
;
* ��� �%����������������� ���������� �$�������� ���
������7D������������������ �������������������� ��II�>
>
OB����� � '� ����� ����� ������� ��� ������ ����"���<=����������������������������������������������������7;� �(���������������B�����
:D
����������������
��������
������ � %������� � �������� ������ � ���������
�������������� � ������� �� � ��������� ������ �
�������
.21
21
21
cba hchbhaS ⋅=⋅=⋅=
� : ������� ������ �� ABCΔ � ���
��������� ����
+
�
β
� *+�
��
12,5, 16, 2a c= = ��������� 050 26 .β ′=������� ��!����������������������������������#
chcS ⋅=21
� /���� 1 :CC BΔ � sin , sin ,cc
hh a
aβ β= = � ���
βsin2
1 ⋅⋅= caS � � �� .cm05,78Ê2650sin2,165,1221 20 =⋅⋅⋅=S
37 40Ê°
⎫⎪⎬⎪⎭
9�B� �
85�B��
�
�
� *
+
��
�+�
α
180α
°−
� �
������"���������������������������������������� ��� ��������"��������������)'��������� ���������
���������������������������
M���������������������������������������������"���������
������ �/���� ( )01 : sin 180 ,ch
ACCb
αΔ − = �� � ��
( )0sin 180 sin ,ch b bα α= ⋅ − = ⋅ ���
.sin21 αbcS ⋅=
������������������B����������'������ .sin2
1 γ⋅⋅⋅= baS
/����� .sin21
sin21
sin21 γαβ bccbcaS ⋅=⋅=⋅= �-�����#
sin sina c b cβ α⋅ = ⋅ � ���� sin sinc b a bα γ⋅ = ⋅ � ����sin sin
a b
α β= � ���� ,
sin sin
c a
γ α= � � � ���
.sin sin sin
a b c
α β γ= = �6�� ��������������������
+��������������� ������������������������������������������������������������������
� � ��
.sin sin sin
a b c
α β γ= =
0��������������� �������������������� ���� �������#
:��2"�������������������������������������� ���������������
7��2"������������������������������������ ����������������������������� ��������������������
/����)����������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������� ���#� , , ; , , ; , , ; , ,a b c a R b c b a c R a b cα β α+ + − + + ����
��������
,�����$������ ������ ������������� ������������
� "
) � %������ � �������� ������� ���������� �������
����� ������������������
, 2"�������������������������#0 063, 25 cm, 37 20 , 85 30 .a α β′ ′= = =
���
2"����� �/���� 0180α β γ+ + = �������� ( )0180 ,γ α β= − + �� � �� � 057 10 .γ ′= �$��� �����
���������������sin sin sin
a b c
α β γ= = ����� , sin ,
sin sin sin
a b ab β
α β α= = ⋅
00
63,25 63, 25sin 85 30 , 0,99668, 103,95 cm.
sin 37 20 0,60645b b b′= ⋅ = ⋅ =
′������+������������������
�������������� �/����sin sin
a c
α γ= �������� 063,25
sin sin 57 10 ,sin 0,60645
ac γ
α′= ⋅ = ⋅
87,63 cm.c =$���������� �������� ��� ����������� �������� ������� �������������"��� ���:;D��������� �����������
"�����������"��������������
4 2"������������������#� 0 020,6, 47 30 , 80 25 .a β γ′ ′= = =
��������
��� ����������������������� ��������������������
���������� ������ ��� �������������������� ��������
�%������
��� ����������������������� ��������������������
��� ��� ������� ���� �� � ��������� ���� �����
����� ����������%��������������������� �����������
� �������$������ �����$������ ��� ��������� ���$������ �
��� 012, 15, 55 30 ;a b β ′= = = �� 04, 13, 14 15 ;a c α ′= = =��� 05, 3, 45 .b c γ= = =
������� �����/����sin sin
a b
α β= �������
sin sin ,b aα β= � � � ����sin
sin ,a
b
βα =
012 sin 55 30 12 0,824126sin , sin 0,65930,
15 15α α
′⋅ ⋅= = = � ���� 041 14 .α ′=
( ) ( )0 0 0 0 0180 , 180 41 14 55 30 , 83 16 .γ α β γ γ′ ′ ′= − + = − + = �/����sin sin
a c
α γ= �������
0
0
12 sin83 16 12 0,9931sin , , 18,08.
sin sin 41 14 0,65913
ac c cγ
α′⋅ ⋅= ⋅ = = =
′
��/����sin sin
a c
α γ= ��������
0sin 13 sin14 15sin sin , sin 0,799998,
4
ca c
a
αγ α γ′⋅⋅ = ⋅ = = =
� ����
053 8 .γ ′=
� H 2"�������������������������#
/����������� ( )0sin 180 sinα α− = ������������������� 01 180α α= − =
0 0 0180 41 14 138 46 ,′ ′= − = ���������� 1sin sin .α α= �6��� 1α �������������������������������������
������������� 1 ,α β> ������� a b< ��������������������� �.��������������������"��������������
���
6��� ,γ α> ���������� ,c a> ���������� ( )0sin 180 sinγ γ− = ������������ 01 180γ γ= − ������������
������"������� � �� 0 0 0 01 180 180 53 8 126 52 .γ γ ′ ′= − = − = �/��� 1γ α> �������������� ,c a> ���������
��������������"�����
/��� ( ) ( )0 0 0 0 0 053 8 , 180 180 14 15 53 8 , 112 37 .γ β α γ β′ ′ ′ ′= = − + = − + = /����sin sin
a b
α β= ����
0
0
sin 4 sin112 37, , 15.
sin sin14 15
ab b b
βα
′⋅= = =′
/�� ( )0 0 01 1 1126 52 , 180 38 53 ,γ β α γ′ ′= = − + = �
01
1 0
sin 4 sin 38 53 4 0,627710,19.
sin sin14 15 0,2462
ab
βα
′⋅ ⋅= = = =′
/�������������"���������������������� 0 015, 112 37 , 53 8 ,b β γ′ ′= = = �������������#
0 01 1 110,19, 38 53 , 126 52 .b β γ′ ′= = =
6���������������������� ���� 4 cm, 13 cma c= = ��������� 014 .α = �!���"���������������,
���/����sin sin
b c
β γ= �������� sin sin ,c bβ γ= �����
0sin 5 sin 45sin 1,1785 1.
3
b
c
γβ ⋅= = = > �.��������
����"����������� [ ]sin 1,1 .α ∈ −
1����� ����������������������"������������������������������������������� ���� 5 cm, 3 cmb c= =�������� 045 .γ =
I 2"������������������#����� 0 012, 77 , 55 30 ;a α γ ′= = = �� 045, 53, 53 48 ;a b α ′= = = ����������������������� 06, 4, 60 ,b c γ= = =
+
*
�
)
%
)�
α
α
2a
= -������� ��� ��� ��� ���������� ���� ������ �� ��� ��������������� �� �������� ��� ����� ��������� ��
���������������������������������� �����
���������E���������������������������������������������������������)'������������������.����������
2sin ,2
aa
R Rα = = �� � �� � 2 sin .a R α= ��������������"�
�������������� 2 sinb R β= ����� 2 sin .c R γ= �/���������������
0��"�����������������������������������������������������
2 .sin sin sin
a b cR
α β γ= = =
/��������������������������������'����������� α2=∠BOC �
� � �� � α=∠ OCO1 ����������������������.�������#
���
)
*�
+
*�
α
γ
�
�
���
< 2"�����������������.����#�� 8,125, 13, 12.bR a h= = =
���������/������������������.����#�sin ,bh
aγ =
012sin 0,92308, 67 22 .
13γ γ ′= = =
/��� 2sin sin sin
a b cR
α β γ= = = ����#� 2 ,
sin
aR
α= �� � ��
013sin 0,8, 53 7 ; 2 ,
2 2 8,125 sin
a cR
Rα α
γ′= = = = =
⋅� � ���
02 sin 2 8,125 sin 67 22 , 15.c R cγ ′= = ⋅ ⋅ =
( ) ( )0 0 0 0 0180 , 180 53 7 67 22 59 31 ;β α γ β ′ ′ ′= − + = − + =
02 , 2 sin 2 8,125 sin 59 31 14.sin
bR b R β
β′= = = ⋅ ⋅ =
2"���������������!"#����������� ����������
�� �������� "
�(� 0 017, 48 20 , 56 36 ;a α β′ ′= = =
�(� 0 012, 77 , 57 34 .b α γ ′= = =
:
�� ���
2"���������������!"#����������� ���������
�� ��������������������� ���� "
�(� 012, 15, 48 35 ;a b β ′= = =
�(� 025,4, 15,8, 74 ;b c γ= = =
%(� 014,5, 18, 48 30 .a c α ′= = =
7
2"���������������!"#���������"
�(� 016, 9,53, 23 30 ;a c γ ′= = =
�(� 05,7, 9,5, 72 .a c α= = =
4
2"����� ����������!"#� ��� � ����� �����"
04,8, 7,2, 85 45 .b c γ ′= = =
H
2"���������������!"#����������� "
�(� 0 025, 70 , 85 ;R α β= = =
�(� 08, 13, 48 36 .R a β ′= = =
I
2"����� ����������!"#� ��� ������� �
�� 23, 31, 28;R a b= = =
��� 7 3, 24, 12 3.cR b h= = =
=
�� ���� �� ���� �� � ������� � ��� �������
!"#-���� "08, 13, 60 .AB BD α= = =
<
���
����������#������
��������
8������������� ���������!"#�� ���������������������� �+�9������������� ��������!"#�� �������������������� �+��� ������ .α* ���� �������$������ ���� �������� ����������������
| | .b c a b c− < < +* ���� �������������������$������ �
� : (������������������������!"#
�����������������#
20 cm, 13 cm, 21 cm.a b c= = =
*�
+
+�
�
�
�
α
� �
$ c x−
������� ��!���������������������������������
'���������3������������'������
.2
chcS
⋅=
E���������� 1 .AC x= �?������� 1 ,C B c x= − ���������� 1AC CΔ ����� 2 2 2 ,ch b x= − ������������ 1CC BΔ ���
( )22 2 .ch a c x= − − �/������������
( )2 2 2 2 22 ,b x a c cx x− = − − + � � �� � 2 2 2 2b a c cx= − + ����
2 2 2 2 2 221 13 20, 5,
2 2 21
c b ax x
c
+ − + −= = =⋅
� ���� 2 2 213 5 ,ch = −
2 144,ch = � � � �� � .cm 1261221.21
;12 2=⋅== Shc
0�������������������������� ������ 2 2 2 2 .b a c cx= − +
/��� 1 , cos ,x
AC Cb
αΔ = �� � �� � cos ,x b α= ����� 2 2 2 2 cos ,b a c cb α= − + ��������������
� *
+
��
�+�
α
180α
°−
� �
2 2 2 2 cos .a b c bc α= + −
6�� �����������������������α ��������"������� � �� � 0 090 180 .α< <
E���������� 1 .C A x= �?������� 1C B x c= + �'" ��/���� 1C ACΔ ���#
2 2 2 ,ch b x= − ������������ 1C BCΔ ����� ( )22 2 .ch a x c= − + �/���������
( )2 2 2 2 22 ,a x cx c b x− + + = − � � � �� � 2 2 2 2 .a b c cx= + +
/���� ( ) ( )0 011 : cos 180 , cos 180 .
C A xC AC x b
b bα αΔ − = = = −
/���� ( )0cos 180 cosα α− = − �������� cos ,x b α= − ����
2 2 2 2 cos .a b c bc α= + − 6��"�������������������
�
���
� �� �� �$���������6�������������� ������������������������� ��� ���������������
���������������� ������������������"������������'������������������������� ���������
�������������������������������� � �� 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos , 2 cos .a b c bc b a c ac c a b abα β γ= + − = + − = + −
-��������� ����������������������������B���������������������
���������������������������������������������������������� ���� 090 ,β = ��������2 2 2 02 cos90 ,b a c ac= + − ������������� 2 2 2 ,b a c= + ����� 0cos90 0.= �.�������������������������
��������������������������������
0����������������� �������"������"��������������������������������������#
: �2"����������������������������������� ������������������������
7 �2"��������������������������������������� ���������
$��� ������������������������������������������"�������������������������������������������������
��������������������������������������
7 2"�����������������.�����������#�� 017, 22, 56 35 .a c β ′= = =
���������5�������������� ,β ���������������� ����� �6��#� 2 2 2 2 cos ,b a c ac β= + −2 2 2 0 217 22 2 17 22 cos56 35 , 298 484 748 0,550723, 361,05877 19.b b b′= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ = =
��������������������� �������������������������������� 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − �������
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos , cos , cos .2 2 2
b c a a c b a b c
bc ac abα β γ+ − + − + −= = =
2 2 2 2 2 2019 22 17 556
cos , cos , cos , cos 0,66507177, 48 18 .2 2 19 22 836
b c a
bcα α α α α+ − + − ′= = = = =
⋅ ⋅2 2 2 2 2 2
017 19 22 166cos 0,25697; 75 6 .
2 2 17 19 646
a b c
abγ α+ − + − ′= = = = =
⋅ ⋅
��� ��� ��*��� +�� � � �� �� ����� ��� ���� 6���� ��� �� ����� ����� ����� �� ��� �� ���;�� ���� +�� � �� �
���������� �� �������� ����� �� ��.�������� ���� ������� �� � ��� �
4 2"�����������������.�����������#
��� 042,5, 52, 4, 110 25 ;b c α ′= = = �� 015, 23, 60 .b a γ= = =
���
H 2"�����������������.�����������#
��� 17, 15, 8;a b c= = = �� 13, 2 17, 2 23.a b c= = =
���������G��������������� ����#
��2 2 2 2 2 217, 2 13,2 23 295,84 174,24 529 58,92
cos 0,129756871,2 2 17, 2 13,2 454,08 454,08
a b c
abγ + − + − + − −= = = = = −
⋅ ⋅���
097 27 .γ ′= �6���α ��������������������������������� �/����sin sin
a c
α γ= �������
00sin 13,2 sin 97 27 13,2 0,991558
sin 0,569068, 34 41 .23 23
a
c
γα α′⋅ ⋅ ⋅ ′= = = = =
6���β ��������������������������� 0180 ,α β γ+ + = ���� ( )0180 ,β α γ= − +0 0 0180 132 48 , 47 12 .β β′ ′= − =
I 2"����� ������������.� ��� ��������
��� 17, 12, 9;a b c= = = �� 2,3, 1,7, 1,5.a b c= = =
= 2"�����������������.������������ 14, 12a c= = ����������������� 10.ct =
���������0���������.��.��������������������� ����� ,2
ca ����� ,ct �����
22 2
2cos ,
22
c
ca t
ca
β
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠=⋅ ⋅
2 2 2014 6 10
cos 0,785714, 38 12 .2 14 6
β β+ − ′= = =⋅ ⋅
/��� :ABCΔ � 2 2 2 2 cos 75,952; 8,72.b a c ac bβ= + − = =
2 2 20cos 0,11486; 83 24 .
2
b c a
bcα α+ − ′= = =
( )0 0180 58 24 .γ α β ′= − + =11
1
22
11
!
#�
"
#
� �
+
β
���
� ����������������������������#������
0�"�������� � �������������������� '���������� ���"����� �������� ����� ��"������� �������� ������ �
���������������������"��������� ���������"��������� ������ �0����������������������������"������ ���
����"���������������'����
: ���������"�������������������� ���� 70, 80a b= = ���������������������� 0120 .α =
:�������������������������� �� ������� ���������
!"#����� "
�(� 05, 7, 60 ;a c β= = =
�(� 013, 8, 120 .a b γ= = =
:
�� ���
2"����� ����������!"#� �
�(� 017, 15, 35 40 ;a b γ ′= = =
�(� 013,5, 15, 54 40 .b c α ′= = =
7
�(� 12, 13, 5;a b c= = =
�(� 13,5, 17, 21.a b c= = =4
2 2 034, 7, 120 .a b c γ+ = = =H
16, 13, 11.bb c t= = =I
3�� ��������������������� ����������� ��������
���� �����������!"#����� "
�(� 020, 15, 60 ;a b c β+ = = =
�(� 030, 33, 120 .c a b γ− = = =
=
3�� � ���� � ������������� �� ���� ������� α � ��
� ����������!"#�� ��� � ����� �� ������ � ��� ���
�$������ ��%����"
�(� 2 2 2 ;a b c bc= + −
�(� 2 2 2 2.a b c bc= + +
<
�� �������������� ����������������������� ���������
!"#����� "
�(� 08, 6, 60 ;a c β= = =
�(� 012,3, 18,5, 57 30 .b c α ′= = =
;
�� �������� ���� �������� ���� ��������!"#-�
��� "
17, 5, 6.a b d= = =
>
�� ���� ���� �� � �������� ��� �� $��� � � ��$�
10, 3a b= = ��� ������ 5, 4.c d= =:D
���
!
" -
#
�
�
α
�
�
������� ��E�� ��� �����21
0 ,,120 dBDdACABC ===∠ �$��� ������ � ��������� ��
����������#
( )2 2 2 0 2 2 2 0 01 12 cos120 ; 70 80 2 70 80 cos 180 60 ;d a b ab d= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ −
( )2 01 4900 6400 2 70 80 cos 60 ;d = + − ⋅ ⋅ ⋅ −
21 1
14900 6400 2 70 80 16900; 16900 130.
2d d= + + ⋅ ⋅ ⋅ = = =
!�����!������������������ ;120sin21
2 ;2 0abSSS ABC ⋅=⋅=
.74,4849866,08070 =⋅⋅=S �/����212
1ddS = �������� 2
14849,74 130 ,
2d= ⋅ ⋅ �� � ��
2 74,61.d =
7 ����������������������������������� 8AB = ����� 5AC = ���������'������������������� �(�������������������������
=D�
(
$! "
#
��
+
������� ��N�������������������������������������������������������
��.������� .4
a b cR
P
⋅ ⋅= �!������� ABCΔ ������� ;60sin21 0⋅⋅= cbS
.31023
5821 =⋅⋅=S ����������������������������������������
������������������#� 2 2 2 02 cos 60 ;a b c b c= + − ⋅ ⋅
2 2 2 15 8 2 5 8 49,
2a = + − ⋅ ⋅ ⋅ = �� � � 49 7.a = = �/�������
7 5 8 7 3.
34 10 3R
⋅ ⋅= =⋅
4 .���)������������������������������������������������������������������������������������
����������������'�������������������� �0������������������������������������������)�������"����
�������������������������������������������������)��������������'������������������� �����
)���������������������������������������������������������������������������������������)�����
����,
��
8@B�
B@�
!
"#
����
9B�
������� �/���� ABCΔ ����#
,25)50105(180 0000 =+−=∠C ����"�������������)��������
����� ������ 1 70,AB s v= = ⋅ � ������ �� ��� ����
2 2 ,AC s v t= = ⋅ �������������������������������)��������
���� �$��� ��������������������������#
������ ��E����������!�����������������"�����#������������������������)�����������������������������������
1 20 0 0
.sin 25 sin 50 sin105
s s BC= = �/���� 1 20 0sin 25 sin 50
s s= �������� 012 0
sin 50 ,sin 25
ss = ⋅ �� � ��
02 0
70sin 50 ,
sin 25
vvt = ⋅ ����� 2
700,766044 126,88
0, 422618t = ⋅ = ����� �.���������)�����������������
�����������������������������:7=����������I4�������
H (���������������'������ F→
����������������������'������� 1F→
����� 2F→
������������������'����������
.������ ��R�� ������'������ 1F
→����� 2F
→���������"�����������������"����
N�����������'������������ F→
�������������������������������� .OB
/���� OABΔ � ��� � ���� �� ��������� �� ������� ��������#
( )2 2 2 01 2 1 2| | | | | | 2 | | | | cos 180 .F F F F F α
→ → → → →= + − ⋅ ⋅ ⋅ −
$
"#
F→
1F→
2F→
α!
π α−
2 2 21 2 1 2| | | | | | 2 | | | | cos .F F F F F α
→ → → → →= + + ⋅ ⋅ ⋅
I �����������������������������2������������������������������������;D�� �/���������!��������������
����������'���������������������������������������������������������������������� 039 30 ,′������������������������������������� 031 30 .′ �(���������������������
����� ���
����������������α ��������� ��� ���$������$�����
�� �������� ���$���� � �%������$��� ����������������
��� ��� ���� � ���$��� ���$����� � ��� �� $����� � � ��������
������ α � �� ������ �� � ���$��� � ���$����� � ��
������� ���$��� ��� ������ ���� � ���$��� ���$�����
��� ��$����� �� � �� �������
α
α
��
���������/���� ADBΔ ����� 0sin 31 30 ,H
c′ =
� � �� � 0sin 31 30 ,H c ′= ⋅ ���������� ADCΔ ���
0 0 090 39 30 50 30 .γ ′ ′= − = � /���� :ABCΔ
0
0 0
80 80 sin50 30, , 443,5
sin sin8 sin8
cc c
γ′⋅= = = ���
���� 0443,55 sin 31 30 , 231,55H H′= ⋅ = ���
= ?�������'�����������������!�"������"���������������"����4DD�����������"�������������������
������������ �P���'������������������������������HD���C� �?�����������������������������������
4D����� �������������������������������������'����������������������������������������'�������
�����
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
1234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456
58�5@/!
;D��
2
-
"
#
+
γ
D�
α090 α−
HI�
v→ � ����
v→
� ��������Rv
→
!"
< &
'
%
HI�
������� ����������'������������������������������
���'������������������������=DD���C� �/�����������
����������'��������������������������������������
������������"������������ ������������������������
�����������������#
2 2 2 02 cos 45 ,A V R V Av v v v v= + − ⋅ ⋅
2 2 2 2240 600 2 40 600 , 1600 360000 33941,
2A Av v= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − � ������ 572, 41Av = � �����
/��������� ���������������������������� ( )2 2 2 02 cos 90 ,V A R A Rv v v v v α= + − ⋅ ⋅ − �� � ��
2 2 2 2 sin ,V A R A Rv v v v v α= + − ⋅ ⋅ � ����2 2 2 686059
sin 0,998787,2 686892
A R V
A R
v v v
v vα + −= = = � ������ 087 10 .α ′=
�� ���
: �� ������������� � �� ���� ����� ���������
� � �� �� ������"
�(� 0116, 19, 120 ;a d β= = =
�(� 0112,3 31, 73 20 .b d α ′= = =
7 �� �������������� ������ �+��� ���� ��������
�� $���!"#-���� "� 13, 3,a b= = � 082 25α ′=�� �
046 40 .β ′=4 0�� ���� �������������� ����� ��������� ������
�������� ���������� �"
( )2 2 2 21 2 2 .d d a b+ = +
H F�������� �� ������ ��� ������ "�� �������� ������������ ���������� ���� 45at = ��� ���
30bt = �� ������������������������
I .��'����� 1 25F→
= ������� 2 17F→
= ����������
��������������������������������!������098 48 .α ′= �(�������������������������������
��������������������'��������)�����������
'��������������
���
����������������������������$��%��
���� �"�4 7 5
, , , ,3 3 6 4 6
π π π π π��� �
5
3
� ��������������:
:������� ����� ��� �� �� ( )2 3 :−
�(� 0tg72 ; ����������(� 0ctg352 ; ���������%(�5
sin ;6
������� (�
7cos .
4
π7
�(� 0 0sin120 cos120 ; ����������(� 0 7sin130 cos ;
6
�������%(�
3 5ctg tg ;
4 3
π π��������� (� 0 0tg 250 tg100 .4
)�� ������� �� ����� � 02
πα< < � ( )4 5 :−
�(� ( ) ( )0 0sin 180 cos 180 ;α α+ − � � � � � � �(� ( ) ( )0 0sin 180 tg 270 ;α α− − � � � � � � ��� ( ) 3ctg cos .
2
ππ α α⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠H
�(�( ) ( )
( )0 0
0
sin 270 tg 180;
cos 270
α αα
− ⋅ +
+���������������(�
( ) ( )( )
0 0ctg 90 cos 90.
3sin tg +
2
α απ α π α
+ ⋅ −
⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
I
�� ������ ��� ����� ��( )6 7 :−
�(� 0 0 02sin 30 cos60 sin 90 ;+ �����������(� tg ctg + cos ;6 3
π π π− ����������%(�4ctg 2sin 3cos .2 2
π π π− −=
�(�
0
0
cos30 cos3 ;
cos cos606
π
π
+
−�(�
sin cos3 6 .
tg ctg3 6
π π
π π
+
+<
:������� ��� ��������� � ��� ��������� ��� ���� "���(�8 3
sin , ;17 2
πα π α= − < <
�(� 0 020cos , 270 360 ;
21α α= < < � � � %(� 0 03
tg , 90 180 ;3
α α= − < < � � � � (�2 5 3
ctg , 2 .15 2
πα α π= − < <
;
= ) ���������������������������� 036 52α ′= �������
� ���������� ���� � ���� 220 N.Q = �. � ���
��% ���� ������ �� ��� ����� ��������� ���� �
��������� ���������������� ���������>
< -���"����"����������� ��"��������������:=;�I� �������'��������������� ��"������������������������������������ 024 18 ,α ′= ������������ �� ���� 08 12 .β ′= � (����� ���"����������������
; ������������������������������������"��������>7<������������������������ ������������������������������� 042 37 ,α ′= ���������������������� 039 54 .β ′= �(��������������������
> 3 �������-����������� �������:H���� �����������
��� �������� �� � $��� � ������� ���� ������044 25 ,α ′= � �� ������� �� ���� �� ��������� ��
�� ���� �� ��� �����(��:����� ��������� ����� �
���� �?��� �(����� � 18BC = ����
���
��������������#�������
)�� ������������� �� ���� ���������������� ��� �� ������������ ������ ����"
�(� 3 2sin sin cos ;α α α+ �����������(� 4 2 2cos sin cos ;α α α+ ����������%(�2 4
2 4
sin sin;
cos cos
αα α
−−
(�2
sin 1;
cos 1 sin
αα α
++
��������������(�( ) ( )2 21 tg 1 tg ;α α+ + − �������� (�
21 cos sin.
1 cos
β ββ
+ −+
:D
0�� ����� ���� ���"
�(� 2 2 2 4sin sin cos cos 1;α α α α+ + = ��������������(� 2tgsin ;
tg ctg
α αα α
=+
���������������%(�1+ tg
tg ;1 ctg
α αα
=+
(�2 2sin sin
2;1 cos 1 cos
α αα α
+ =+ −
��������������������������������(�cos ctg
ctg .sin 1
β β ββ− =
−
::
�(� 0cos 210 ; �����������(�3
sin ;4
��������%(� 0tg 225 ; ���������� (�
11ctg .
6
π:7
�� ������ ��� ��� �� � ���������$���������������( )12 13 :−
�(� 0 0 0 0sin 210 cos150 tg60 ctg135 ;⋅ ⋅ ⋅ �����������(� 0 0 0 0sin120 2cos240 tg240 ctg330 .− + +:4
0�� ����� ���� ������� � 00 :2
πα< <
�(� ( ) ( ) ( )0 0 0sin 180 cos 270 tg 180 tg ;α α α α− + − − + =
�(�( ) ( ) ( )
( ) ( )0 0 0
0 0
cos 270 sin 270 tg 270cos .
sin 180 ctg 180
α α αα
α α
− ⋅ + ⋅ −=
− ⋅ +
:H
<����� �� ����������!"#����������� "
�(� 0 012,5, 43 25 , 65 40 ;a α β′ ′= = = ���������������(� 0 012, 48 , 64 .R α β= = =:I
<����� �� ����������!"#����������� "
�(� 027, 13,2, 67 25 ;a b γ ′= = = ��������������������(� 30, 20, 25.a b c= = =:=
*����������%��������������� ��� ������������� ��:D����� ���������� ���������������������������I������ �<����
:������������ ���� ����� $ �������������������������������������� � �� ���� ������������� ���
:<
�� ������ ��� ����� �"
�(�3cos sin
,3ctg 4 tg
α αα α
+−
���� �3
sin , ;5 2
πα α π= < < ���(�3cos 8sin
,5ctg 6tg
α αα α
−−
���� � 0 05tg , 90 180 .
12α α= − < <
>
:: 0sin120 ������"������(�3
;2
− �(�1
;2
− %(�2
;2
(�3
.2
���
< ) ������ ��� �������� ��� �������� �� ������������������IIIIIIIIIIIIIIIII����������������%����
����� ������� ��������� � �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
; )���� ���� ������� ��� �������� ��� ���������� ���������� � ��� ���� ���$���� �������������
��� �� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
> ��������� �� ������������� ������ ��� �������� ��� ���������$�������� �������������������������������
IIIIIIIIIIIIIIIII� �� � ���������� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
:D J����$���� sin tg 0α α⋅ < � ������ �� ������ ��� � �����α � ������ ��� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�� � ��
���������IIIIIIIIIIIIIIIIIII����������� ��� �������� ��� � 7
:: ,������"� E;������ � � ���������� ����� � ��%����� �� � �������� �� ���� � � ��� �������F� ��� �
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7
:7 + ����� ���5 3
cos .13 2
πα π α⎛ ⎞= − < <⎜ ⎟⎝ ⎠��� ������ ��� �sin , tg , ctg .α α α 4
:4 �� ������ ��� ��� �� �"���(�0
0
2sin 2sin30;
tg ctg 45
ππ
−−
������(� 0 0 0sin150 cos240 tg315 .+ − =
:H 0�� ����� ���� �����( ) ( )
( )0 0
0
sin 270 tg 180tg .
cos 360
α αα
α− ⋅ +
= −−
4
:I <����� � � ����������!"#� ��� ������� "� 023,5, 12,5, 37 30a R γ ′= = = � �� � %����� �������%� ��� ���������� 4
:= :����� ���������� � ���� ����� �� ��� ���� �����%����� ��� 035 m, 48 m, 100 .AC BC ϕ= = = 4
! "
#ϕ
12345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901
=3
sin cos2
π π− ������"��(� 2;− ����������(�D*���������%(�:*��������� (�7 :
70cos210 �����"����������(�
3;
2− �(�
1;
2− %(�
2;
2− (�
1.
2:
45
tg3
�����"�������������(�
3;
3− �(� 3;− %(� 1;− (�
3.
2:
H ��� �α ��������������������������� �� ( )0sin 180 α+ ������"�(� sin ;α �(� cos ;α %(� sin ;α− � (� cos .α− :
I ��� �α ��������������������������� ��3
cos2
π α⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠������"���(� sin ;α− �(� cos ;α− %(� sin ;α (� cos .α :
���
()
...n
ab+
=
���� #�� �����#�
0���%��� ��� ������� �������������������������������
0���%��� ���������� ��������������������������������
3 ����%��� ��������������������������������������������������
�������%��� ��������������������������������������������������
*����� ���������������������������������������������
A������ ���������������������������������������������������
7:H
7:I
77:
77I
74H
77>�
�
�
�
�
�
�
* ������������ ��� ���%������������������������������������������������������������� 74;
�
* ������� ������������������������������������������� 7HD
#$%&�'()('�*�)*&$�
���
E������������� �������������������� �+������������������������������������ A A× ��������������������������� ��������������� ���� ����������
E�� ��� ������� ������������ ������� �!�� �������� ��� ������� ������ ,A A× ������������� ��� )'��� �����"��������( ),a b ��������������������������������������� ����������,
��������
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 .A B× =
����� { }1,2,3 ,A = ����������������������������� .A A× �!����������������������������,
������� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 .A A× =
������������������ A A× ���������>�� 23 3 3= ⋅ = �
��� �$����(�������
P�������������������)'������������������ ����������������"���������������������
��������'������������������������������������)'������������������ ��������������������������������������"���������������
/����������������������������������������� A A× ������� 2.n n n⋅ =
����%������������������
��������
/���������������� ���������!�����"������
������� A B× ������� �������������"����
)'�����������"�������� ( ), ,a b ���� a A∈ ����
,b B∈ � � ��
� + (����� ������� ,A B×
���� { }1,2,3A = ����� { }3,4 .B =
,
���� ���
}. dhe /),{( BbAabaBA ∈∈=×
���� ���
���������"���������������������������������������������������������������������2nV ������
������� ��� ��������2 2.nV n=
E������������ ������������� �/��������������������'��������� ,A A A× × ������� ������������"��������������������"���������( )1 2 3, , ,a a a ���� 1 2 3, , .a a a A∈ ��� � ��
( ){ }1 2 3 1 2 3, , | , , .A A A a a a a a a A× × = ∈
���
�����������×���×���� �� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��� ��� � ������������ A A A× × ������������� 32 2 2 2= ⋅ ⋅ = �
E���������� { }, .A c d= �!�������� �������� A A A A× × × ���'������� ����� �!���������������
������,
������� �����������������2�� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � ��
�����!������� �������������������������������)�������������������������������������� A A A× ×��������������� ���������� ��� ���� � � �� � ���$�����4
���������"�����������������������������������������������������4�������������3nV �����������
������� ��� ��������3 3.nV n=
E���������� { }1,2 .A = �!����������'������� ������������������������ .A A A× × �!���������������
����� ������,
/
���� ���
�/��������������� ...A A A× × × ������������������������'������������� �����������������"��������
����������������"��������( )1 2, ,..., ,ka a a ���� 1 2, ,..., ka a a ���������������� ����������*����������
( ){ }1 2 1 2... , ,..., | , ,..., .k kA A A a a a a a a A× × × = ∈
-
������������������������ � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � ��3
����������������������������������� 416 2 .= �-�������������������������������� ���������
�������������������������������� �����������������������������
���� ���
������������� �����������������������������)����������������������������������� ...A A A× × ×���������������������'��������������������������������� ����� ��������� ���� �����������
���������"��������������������������������������������������������������������knV ������
������� ��� �������� .k knV n=
�� � ��������� � ��� ����������������������������"������������������������� ���������������������
����� �/�������������������������������������������������� � �� ���������������������������������
������������������������
��� �
���
!������������'������������'������������'����� �� �� ��,�(�����������,
������� �
-���� ��� ������ �� ��� ��'��� ��� ������� ������ ��'��� ������ � ��������� �/������������ ���� ���������� �����������'��������������������������������������
+������������'��������������������������������������� � �� ������������������������������������
/������������������"�����������������'����������� ���������������'����� �� �� ������������������������
����"����������������������������������������������������������� � �� 3 34 4 64.V = =
?�������� ����
�����!��������������'�����������'��������������'������ � � � � � � ,
� !������������'�����������'����,
����!���������������������'��������'�����������)'�,
������� �� ����������������������������'����� ���� ��������������������������� ����������� ����������H
�����������������4 49 9 6561.V = =
����������������������������������'��������'��� ��������������������������������������������������
���������������������������������������� ������������������3 39 9 729.V = =
N�����������"������������������������������������������������������������������������������������������� � �� ������������������������������������������������������������'�������������������
�(��'������'��(��+�)'�&(���$��� ����'�($�($��)'�� ����&�$+)�(���*��&'��$'�)'���(�&�+�
�$��� ������������������ ����&�$+)�(��������
.
0
������������������)'������� ���������'���)'� ����������������'����������������'��������'������
����������������������������������������������������������������������������������������� ������������
���������������������� 3 39 9 729.V = =
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
���� ���
���
�����������������������'������������������������'��������'������������������������
.�������������������'�����������������������������������'�����)'��� � ���������������)����"�����������'����)'���������������'���������������������������������������������������� 3 3
9 9 729V = = �����
6���������������"���������)'����������������������'��������'���������������'������ � � � � � � �����������
3 394 4 9 4 729 2916.V⋅ = ⋅ = ⋅ =
�� ���
� J���� ������ ����������� { }, , ,A a b c d= � ��
{ }1,2,3 .B = �A������������ ��� ������ .A B×
� ?��������������������� { }, .A a b= �����������������
���%��� ��� ������� �����������B� �� � � �� �
��������������!�
� ������������������������������� �� �������� ���%�������������� ���������D��� �7>
� :����������� ���������������� ������������ ������%������������������ ��� ��������:��4��H��=��� �Q�
��������������������������� ����� ��� �����$��
����� �� � 8@� ��� >� '3�� ��� ���� �$�������� 5
�������"�:�S���������� ������������7S���������� �������
������D�S������(
�
� �������� �� ��5����� ��������������� ���������
����� ��4���������� ������������ ����������� �
�� ����������� ���������>
� ��� ��� � �� � ���� ��� ����� ��� ���� ���
���������� ����������6��� �$�����������������
�������������� ������ �����>�'!��������������
����� ��������� ���������� � �(
������������I�� ���������������� �����4���������
������ >�'��������������������� ���� �� �� ���
������� ���(
����� ������ �� � �� � � ��� ������� ��� �2;-
���� �� ��B������� ����� ��������������� �
��6��� ���� ���� ����"�������������������������
�����������������������������������������������
�������������������� ������ �>�'���������������
� ��� % �������������$�� ������2;-��� ��������
������96�(
����%������������������
��� �!������������������ ��� � � �� ������ �� ��� � � ��� ������������� ... ,A A A× × × ����!������ ����� ������������� ������%����� ������� � ��� � � �� � ������������
��������
��
� + (��������������'������������'��������������'������ �� �� ��,��!�����������������,
�������
��������'�������������������#
���������"���������������������'����������'������ � � ��������"�������'�������������������
������������
������������
������������
������������
������������
������������
/����������� ���'������ ��� )������������������������������������������������������������ ��� ����� ������ ���� � ���"�������� ��'�������������������'����������������������������������'��������)��������������������'������
���� ���
-��������������������������������������������������"��������������������������������������������
���������� ��������������� ���� ����������
1�����������������������"���������������������������������������������������������������������
������������������������������� .k n≤
�E������������ ���������������������������������������'������������� �+��������������� �����������������������������������������'������� � 4 �������� 1 2, ,..., .ka a a A∈ ���������"�������������������������������������������������������������������� k
nV ����������������������������
P��������������������)'������������������ ������������"����������������
/���)��������������"����������������������������������������������������������"��������������������������� 1n − �/������������������������������������������� 1n − ���������������
.��������������'�������������������"�������� ( )1n n − ������
/����"���������������������������� 2n − ��������)����������������������� 2n − ����������������
/����������������'�������������������"�������� ( )( )1 2n n n− − �����������
$���������'������������������"����������"����������������������������������������"������������������������������������������������������������������
( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1 .knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −
��
.��������'��������������������������� ( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − �����������'�������
������������#
!��������������'�������������'��������������'�����������'������������������������������ ����������'���������������,
������� ���/��������������������� �����������'�������������������������"�����������������������'�������������������� �����������'���������������������������"��������������������������������������������������������
���� ���
/�������������������������������������%�U'�������&���������������� !.n
.����������� ( ) ( )! 1 2 ... 2 1,n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ������ 2,3, .n = � ���/�������� 0! 1,def= �����1! 1.
def=
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 ... 1 2 1 !.
1 ... 2 1 !k
n
n n n n k n k nV
n k n k n k
⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= =
− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −�
���� ���
���������"��������������������������������������������������������������( )n k≤ ����������������
���'������#
� ( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ���������
( )!
.!
kn
nV
n k=
−
,
( )4
9
9! 9!9 8 7 6 3024.
9 4 ! 5!V = = = ⋅ ⋅ ⋅ =
−
������� �
!�������������'�����������'��������������'�����������'����������������������������� �����������'���������������,
/
.��������������"�������������"�B�����'����������/������� �����������������������������'�����������������������'���� �/�������������������������������"����������������������������������������������������������I��� ����������������������������������'����������
���������"������������������������������������������������������
/������� �����2! 2 1, 3! 3 2 1, 4! 4 3 2 1= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ����
������������������������������'�����������������'�������������������������'������������������
��������������������������������������������������� ����������"����������������������� 49 3024.V =
( )5
10
10! 10!30240.
10 5 ! 5!V = = =
−
���
����������������������������������'���������������������)������������"�������'�� �E�������������������������������������������������B������������������"���������������������������������������� �����������������������������������������'������������������'����)'�,
������� �
.��������������'�������������������'�������"�������� 5 410 9 30240 3024 27216V V− = − = �����
������'���������'�������������
H
$��)���������������H����������������������������������'������������������������������������������������������H �/������������������������������������������������ �����������'��#7��H��=�����;
���������������'����������'��������'�����������������������������������������������;���'����������
2� � � � � � 3���( )
38
8!336
8 3 !V = =
−������
���������������'����������'��������'���H��������������������������������������������������;���'����������"������������44=������ ������������'��������������������'����������'�����������"����'����=�����;
.�������������"��������H������������"�����������'��������������'�����������������������������
)����"���������������'�������������������������������������������������������44=������ �/���������
��������"�����������������������'�����)'�������'������������������'�������������'����:�����>���
�������� 384 4 336 1344.V⋅ = ⋅ =
!������������'�����������������������'��������������'�����4�����<����#�����'�������������������* ����������� �����������'���������������,
.
�� ���
: �� ���"���(�5!; �������(�7!; ������%(�10!
.2!
7 �� ����� ��(� 312;V � � � � ��(� 5
15.V
4 <����� ����$�����������������������"
�(� 2 72;nV = �(�339 5 ;nnV V⋅ = ⋅
%(� 10 9 89 ;n n nV V V+ = ⋅ ���������� (��2 25 .n nV V⋅ =
H ������������ ���%�������Q����� ��������������B� ������������������������������� ��������� �� ����>
I �������������� ������ �������������4���� � ��� ������� ���� ��������������� ��� ��������� ��R������� ��������������������������������� ����� ������ �������������� � ��� ��� �������� �� ���������������� >
= ������������������������������� � ���������������� �������� ���������� ����%������������� �=<>
< ��� � � ��%��� � � � �������� ������ ��� ����� � �� 89� ����� �� ��� � ��� � � ��%���� ���� � ���� ������� � ������� ��������>
; �����������������B����$���� �D��� ���3��������������% ����$���$�� ��������������������������������������� �������������� �� ��� �������% >
���
�������%�����
��������
+��� ������ ������� ��� ���������� ����� ����������������������������)��������������������������������������������������������=
���� ���
-����������������������������������������������������� �������������������� ��� ���� � � ��
M��������"��������������������������������������������� �� ��������� 7
���������������������� � ������� ��������
-���� ��� ������������ ���� �������� ������������ � ��� � ������� �������"��'���� F���������� ������ � ��� ����� ��� ���� ��������������������=����������������'������)����������������������������
��� ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ���
/����������� ���� ����� ���)��� �������������������� �������� ����"������������������������ ���������� ��� ���������� �� ������ � ��������������� ��� ������������� ������������ �������� ������������������������������������������������
��� �
������������������������������������������������������������������'������
!12...)1( d.m.th. , nnnPVP nn
nn =⋅⋅⋅−⋅==
���� ���
������������������������������������������ !.nP n=
(������������������'����������'��
������������������'������
������� ��-������������������'�����������������������"��������������������������������4������������������
� ������������������ 33
3!6.
(3 3)!V = =
−?����������������#
����������������������������������
� :
�����������������,
���
������� ��������'���������������������������������������H������������� ����� ������������������ 4 4! 24.P = =
��� ������������� ��� ������� H� � ��� ��� �������� �� ��� ��'�� ���� �������� �� � ����� ������ ����������,
����������������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������������������������<�'������������������������,
4
H
������� ��6����'��������������������������)���'��������������'���"��������� �N������������������
������������������'������������������������������������������������������ �/����������������������
���������������� 7 7! 5040.P = =
��� ����)����
���!��������������'����������'���������������������'��������������'�����4��H��I�����=,
��!������������'�����������'���H,
���0���������������H���������'�����������������4���'���������,
������������"�������������������'��������������������������������'�����4��H��I�����=������������������
��������"������������������������������������H������������� � �� � 4 4! 24.P = =
���������'���H�'�����������������������������������������������������������������'���������������������
�������������� 3 3! 6.P = =
��������'������H�����������������������4��������������������������������������������������������������'��
����������� 2 2! 2.P = =
(������������������7H4�������������'���������������������� �� �� �� �' �%�,
I
0
������� ��-�����������������������'������������������������� ������������������� ��� ������������
���������������'���������)������������=����������������������� ����������"���������������������
������ 6 6! 720.P = = �.������������)����������'�������������:7D����������� �6������������'������:7D
��������������������������'������:7D���������������������������������������������������������
�������:7:�����7HD�����+�'������:7D����������������������� �.����������������������������'������
+�����������������7H: �?����������'% �/���������������%' ���'�%
/��������������������������'�%
���
�������������������������������"������������������������������������������������� � � ��
����������120
20.6
= ?�����������#
����������������������������������������������������������������������������������������
���������"��������������������������������������������������������*�����:�V�:������������
�������������'������
( ) !,1,...,1 .
!n
nP k
k=
���� ���
E��������������� �������� { }1 2, ,..., .mA a a a= �.��������������������������������������������������
��������������������������������������������������� � ������������ ���������� 1 2 ... .mk k k n+ + + =
��������"��������������������������������������"��������������������������������� !.nP n=
/������������������������������������ 1 1 !;kP k= ��������������������������������� 2 2 !,kP k= ���� �������
������������������������������ !.mk mP k=
������������������������������'������������������"�������� !nP n= ����������������������
���"����������� 1 2! ! ... !mk k k⋅ ⋅ ⋅ �����
!�������������������������������� � � �� �� � <
���������-���� ��� � ����������������� ������� ������ �������� ���"�����������������������������
������������������������������������������������� ��� ����
/����������������������������������������������������������������������� ����������������� ���
��������"��������������������������������������"��������������������������������� 5 5! 120.P = =/�������������������4����������� 3 3! 6P = = �����������������������������������������������������������
�� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� ���� ��
���
���!�������"��������'������������'��������������'�����7��I�����>��������'���7����������4��������'���I����������7���������������'���>�������, ���!��������������������'����������I,����!��������������������'���������7I,
>
���������������������"����������������"��������'����������� ���������4���������������������������
������������� ( )6
6!3, 2,1 60.
3! 2!1!P = =
��������������������������'����������I��������������������������������������������4��������:
������������:������� ��������������������� ( )5
5!3,1,1 20.
3!1!1!P = =
��� ( )4
4!2,1,1 12.
2!1!1!P = =
:D ���������������������������������������������� ��������H���������������������������������
�������������������������������������������������������������������,
������� ��-�������������������������������������� ��� ����
�
�
�
�
�
�
1�����'��������"����������������������������'������'���������������������������������������������������������������"��������������������������������������
���������"�������������������������������������*��9�4W9�=
�-���������������������������������������������� �������������:�W������ �/����������������'������
����������������������������������������������"���������������������
���� ���
����
��V��
������������������������������� �+���������������������������������
������������
�������
�������������
���������� ��
�����������
������ ( )1 2 ... mk k k n+ + + = �������� ���������� ����������
�� ���� � � �� ����������� 1 2( , , , )mk k k� �����������������������������������������'������
������� �� �6��� '��������;� �������������� ������������������/�� �N�����P���������"���������� ��������?
���������4���������������������E����������7����� �/������������������������������������������
!�������������������������������'�������������������������'������/?N?EPE?,;
( )8
8!1,1,1,3, 2 3360.
1!1!1! 3! 2!P = =
������������������������� ( )1 21 2
!, ,..., .
! ! ... !n mm
nP k k k
k k k=
⋅ ⋅ ⋅
���
�� ���
: /�����������������������������������������I������� �����������������������������������������������������������������������������������������,
7 ��������������������)'������������������<��������� ��� ����� ��� ����������� ���� �����������=���������"������������������������� ������������������������������������������������� ���� �������� "������� ����� ���������������,
4 . � ��������� ������������ � ����� ������' ���� ��
������� ��� ������ � �� ���(������������� ����
���������������������� ����������������������� ���
������ ����������� �����������>
H ��� ������ ��� ������ ������ ��� ����� �� �
�������� �����������+�;?G>
I (����� ����� ������� ���������� I7� � �����������������'������ER�5N���������������'�������� '������ ����� ��������� ��� ��'� ���� ���������������������'����
= ��� ������ ��� ������ ������ ��� ����� �� �
�������� ����������"
�(�.-)1.-)��-=���(��M.;��-)MG��->
< !�������"��������'������������'�������������'�����:��4��4��4��H��I,
; ������������������������� ����������H���������7����������� �4������ ����R������� ���������� ���������
���� ��������������>
> ) ����� ��6� ����� �� ����������� ������� �
� ������������������������� ���� ����������
���������� ��������������������� ������ ������
��������������� ������������� ���>
�������� ����� ����������� �����������������������"��4������������#
5���������� ������� { }, , , .A a b c d= �(��������"������� ��������������������������"������������
+���� ���������������������������� ������������������������������������������������� �������������� ���� ����������
+������ ������������������������������������������� ������������ ����������������
#�� ��%�����
� :
{ } { } { }, , , , , , , ,a b c a b d a c d �����{ }, , .b c d
���� ���
��� �
6����������������������������������� �������������������������� �6��������������� �����{ }, ,a b c
����{ }, ,b a c ���������� ��������������
N�����������"������������������������� ������$������������������������������������������������������������������������� ��������������
���
/�����������������������������������'������������������� ����������<��������� ����������������
��� ������"����������#
4
����� �� � ������� ��
���������"������������ ����������������������������������������������������������� knC ����
������������'������
!�� ��������������������������������������������������������������������������"�� ������������������������� ����������� ����"���������������)�������,
7
N������������������������ ������������������������������ ����������������'����������������������������������������� �����'������������ ��������������������I���������������������4
��������'����������������������������#�N���������6���������F��"�� �����0����������3������������� �
'����������� �����
.�����������������"��������� ����������������������������������������"������������ ����
������������������I���������������������4�������:D
���� ���
,k
k nn
k
VC
P= ����� ��� ��� ( )
!.
! !kn
nC
k n k=
−
�����0���������7�������������������#
����������������������������4����������������� ���������@N�6�F�/�3A������� 35 5 4 3 60,V = ⋅ ⋅ = �����
���������������������������������� ���������@N�6�FA������� 3 3! 6.P = =
6�������"������������������ ���������@N�6�F�/�3A��"�������� �������@N�6�FA������������� ��������������'�������=������������������������������������� ������ � �� ��������������������
I�������������������4������� 36 ( )P= �������������������������� ������������I�������������
�������4
-���������������� ������� 35 10C = �'������������������������� 3
5V ��������������� 3.P
�����������������'���������������������������
������)���"��*
��� ������������������������������������*
�����������������������������������"������������,
6�����������������"�����
�������@N�6�FA�@N�6�0A�@N�6�3A�@N�F�0A�@N�F�3A�@N�0�EA�@6�F�0A�@6�F�3A�@6�0�3A�@F�0�3A
���
������� �� �0��"����� �������� �� ���� ������� ��"� ��� ������� ������� ��� ������ �� ���������� �������� � �
���������� � �� � �����'������������ �����
����������������'�������"��������������� ����������:H�������������������<�����
��������������� ( )714
14!3432
7! 14 7 !C = =
−����������������������'�����������
����������������������������������������������4�������������������������������������������H �/����=
����������������"������4��� 36
6!20
3! 3!C = = ����������������� �/���)����"����������4����������H������
�����"��������;���������"�������� 48
8!70
4! 4!C = = ������ �/������������������"�����������"�����������
�������������� 3 46 8 20 70 1400.C C⋅ = ⋅ =
������������������������������=�����������������������#
��������=�����������:��������������������������( ) ( )
6 18 6
8! 6!28 6 168
6! 8 6 ! 1! 6 1 !C C⋅ = ⋅ = ⋅ =
− −�*
���������������������������������������"����������������������� 78 8C = �
/������������������"���������������������������������������=������������� 6 1 78 6 8 168 8 176.C C C⋅ + = + =
0��"����� .k n kn nC C −=
������� ���! !
.!( )! ( )!( ( ))!
k n kn n
n nC C
k n k n k n n k−= = =
− − − −
/���)����������������������������������� ������#
( ) ( ) ( )( )
( )0 1 1 !! ! !
1, 1, .0! 0 ! ! ! 1! 1 ! 1 !
nn n n
n nn n nC C C n
n n n n n n
⋅ −= = = = = = =
− − − −
H
���� ���
��������� ������� knC ������������ ,
n
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���B�����%��� ��&*�.���������� ,kn
nC
k
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠�� .k n≤
��
������� ���N����������������������������������������������������������������� �����'������������� ����
�����I�������������������4 ���������������������������� ����������������������������������������U
��� �����������������
��� 35
5!10.
3!(5 3)!C = =
− �� 3 3 3
5 5 3 1 7
7!35.
3!4!C C C+ −= = = =
�������
�������������������������������������������� �!�� ��������������������"�����������������'������������� ���������������������������������������������������������,�(����������� �����,
+���"�������������������"�� ��������������������������������������������������������������
$���������� ���������� � �� �� �� � � �� � ��� $����� �
������"����� ������������������������������� ���������������������������������� ������
������������� �� �������� ��� ������� ��� �������� �� ������������$� ������ �� ������������� �����������
���������������������������� ���������������������������
� I
+��� �������������������������"���������4������� �F�������������������#
N�N�N���������N�N�3�����������N�3�3���������3�3�3
���������"���������"������������������ ������������H
���� ���
���������"�������� ���������������������������������������������������������������������knC
����������������'������
1
1,k k
n n k
n kC C
k+ −
+ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
/�����������������������#� 3 3 32 2 3 1 4 4.C C C+ −= = =
�������� ������������������������������)���������������������������������� �!���������������������
������������"������������������ �������#
������"��������������������������������������������*
������������������������������������������������,
=
��
�� ���
: !����������"�������� �����������������������=���������������������H������������������ ��������� { }, , , , , .A a b c d e f=
7 �� ���"���(� 26 ;C �(� 6
10C
%(� 2 46 5 ;C C⋅ (�
91248
.C
C
4 ��� ��������� ����� <� � ��������� ��� �"�������4,
H ��� ��������� ��� �������������� ����� 7H������� ��� '������� ��� "�������� "�� :7������,
I ������������:=�B��������7D�B����������������������������������������)����������������;�B��������:D�B����,
= ,��������� ���� ������������$����������������
$�� ��� ���������� ����� ������������������� �����
�������������� ��� $�� �� ����������� � �� � ��
������ ������ ������� ������������� ������%������
����� >
< �����������������;�B��������������"��������������H,
; !�� ��� ����� �� �����<� ����� 4<� ������ ����"�����������"�������'�����"���,
> !����������"�������� ��������������������� ������� H� ����� ���������� ��� ��������
{ }, , .A a b c=
:D ����������������������"���������������#������������������������������������������� ����� �������������������'�������� ���������I���������#�������"�����������������"���������������* ����� �������������������������������"������������,
���������������#�� ������
��������
!��������"�����%����� ����%������������%���>
G��������' ������(� � � � �� � �� ��������%��� �����
������ ���������� ������ �� �����%��� ���� � ��#
��%��� ���������� �� � � ��� ������� ���������� �
/�� �������������"������"������������������
��������� �����������������������������������
����"��� ���� ����� ������� ���� ������
������ ����� '����� "����� �"������� ��� �������
�������
/��"�"����������������������������'���������������������"�������������������������"���
���
������ ������� ��������� � � � �� � �
�������� ��������� � � �� �
� ��������� � ��������� � ����������� �
������� �� � � �� �� ������� �� � � �� �� ������� �� � � �� ��
3 ����%��� �
������
3 ����%��� �
������
0���%��� �
������
0���%��� �
������
�������%��� �
������
�������%��� �
������
�� �
�� �
�� � �� � �� �
.������������������������"��������������������������������������������� ���������������������������������������������������
!�������������������������#�%N������������������������������������,&
��������"�"���������%G�&���������������������'���������� �����'������������� ����
��������"�"���������%/�&��������������������������������������������������������������"������������������"��������������������
���������������"����������������������� �����'���������������������������������������������
���������������������������������:7�����������"������4,:
������� ��N��������������������������������������,�G�W
���
������� ���N���������������������������������������������������������������B�������������������
�������� �.��������� �����'�������������������������������������
?�����������������������������������B��������������������������7��4��H��I �����������������
������������������#
������"����������������������������*
��B����!�������"�����������������������B����"������������"�����B������������������������
��������*
���B��������������������H��������I,
.��������� �����'������������ ���� �P�������������������������������������������"������������
�����������������������������������������"�������� �������������������������:7��������������������
4 �?�����������
312
12!220.
3!(12 3)!C = =
−
7
����������������H�������������������H�B����������� �����'��������������������������������������H��������
����������������� 4 4! 24.P = =
��1�������������������������������B����!������������"��������������������������B����"�������
������������������������
!������ �������������H�������@7��4��H��IA��"�������� ������������7������#����������������������B����
!�������������������" �������� ������������7�������������� ���������H��������������������
��� �������������������������H���������������������7 �?�����������
24
4!6.
2!2!C = =
/���)����"����������������������������������!�����"���������������������������������B���������������
2 2! 2P = = ��������
/������������������"������������B��������������������������������������B�������������� 24 2 6 2 12.C P⋅ = ⋅ =
�����������"�����B��������������������H��������I������������������"�������������������������������
���������������������������7������������H�����I������������H��� � �� �������������
�4 42 2 16.V = =
���
��������
�����������������������HI���������� �!�������"����������������)������������������������)���������"�������������� �!����������������������,
/���������������=����������������������������������� �/������� �����'����������������������������������=����������
���������"������������������������������������������������������������������������������ � ��
6 6
6! 6!(2,1,3) (1, 4,1) 90.
2!1!3! 1!4!1!P P+ = + =
H
N��������������������������������������,
G�������)����������������������������������"�������������"�������������� �.��������� �����'��������
��� ������������������������������7
������������������������������������������������� 2 45.nC = �/������������
!45
2!( 2)!
n
n=
−�����
( 1)45
2
n n − = ��� � �� � 2 90 0.n n− − = �.���������'������ �������������������
�"���������������� 1/ 2
1 1 4 90 1 19,
2 2n
± + ⋅ ±= = �� � �� � 1 210, 9.n n= = − �2"��������������������������
����������������������������������������"��� �.�����������������"������������������������
�����������:D
!���������"����������������� �����������'�����D��:��7 �0����������������������"����������������������
D���������������������
I
���������$���������������������'���������������������#
.�����'������������������"������������'�� ������������ �������������������������=������� �!���
���"���������������������������������������������'�����<������������"���������������������
�������������������"� ���������������������"������������������'������������4��������������
������U������������������ ���U���������,
4
���7�'������:���������4���� ��* ��:�'������H���������:���� ��
-���������������������������������������������� �N�������������������'�������� ������ �������
�����������������������������
���
������� ���.���������������������� �����'����������"���������������� ���������������4���'����������������������
���������������������������4���������������������= �������������"��������������������'���������D�������
������������������������#����������������'�������D*�������������������������������������������������
����������D��:��7 �/������������������������ ������ 5 53 3 243V = = ������
������� ��0������������� ���������������������������������� ������������)���������������"��������������
������'��������"�������"�������������"����� �������������������� �+�����������������������������
������������������� ���������:D���������������������7���������������������������������������������
����������������������������"������������ ����
!����"��������������������������������������,=
���������"�����������"����������� ����������������� 210
10!45.
2!8!C = = �/�������������������:D� ����
�������"�����������������
210 10 45 10 35.C − = − =
�� ���
: /���� ����� ��'����� ���� ���� '������� ������������'���� ���!��������������'������������'������, ��0��������������������'�����������������,���!��� �����������'���������������������������4,)��!��'����������� �����������'����������,
7 ����������������������������������������� ��
86� $ ���%��� �������������������������� �
� �� ���� �' ������ ���� ������� �����$��(>
4 !�� � ����������� ��� �������� '����� ������'�����D�:�7�V�>������������:�7�4�H������������'�����������������#��������������������* �����)'�������������,
H ) � �� ���� � ��� ���$�� ����� �� ��� �������� ��
����������������� ������������� "
�(����� ��� ��������������������������� ���=
�(������$�����%���������� �����������������������>
I /���� ������ �������� ���� ����� ������� ��'���"��'��B�������������������� �/�������������� ���������� �����"������� �4 ���� ����������������"���������������������������"�����������,
= ��������� ���������� ��� �� ��>������ �����%���� �<������������ ����������� �9���������������������
����������������������� ��$�� ����� �4� ������
����� ��������������� ���� ����� ���������������
�������������������>
���
( )( ) ( )( )
( )( )
1 ! 1 !1 1
1 ! 1 !1 ! 1 1 !
n nn n
k k k n kk n k
− −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )1 ! 1 ! 1 !( ) !
1 ! .1 ! ! ! 1 ! !( )! ! ! ! !
nn n n nk n k nn
kk n k k n k k n k k n k k n k
− − − ⎛ ⎞+ −= + = − = = = ⎜ ⎟− − − − − − − ⎝ ⎠
/��� )����� ( )0,1,2,...n = � ++�!�*'� �� �� �� ���
��� �������������'���������� ���� ,n
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
����
0,1, 2,..., .k n=
/������������������������ �������������������
�����������)������'����� ���������������
��������'����������������������������������
���
$�������� �����
��������
/��� )��� ����� ������� ��� ��� ������ ���� ���� ������#
�����1 1
1
n n n
k k k
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
-���� �������������������������H���������������� ����� �/��������������������������"������� .k n kn nC C −=
����� � ��� ������� ��� ���������� ����� �����������������������������
!,
!( )!kn
n nC
k k n k
⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠
� ���� ��� � � ��� � ��
� /���)�����������������������
1��������������������������� ����������������������������� ������������������'������������������
������������������������ �/������#
0 11; 1; .0 1
nn n n
n n nC C C n
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
n
k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠����9D��:�V����������$� %��� �������������
���������������������#
/����'����������� �����������'����������
�� ���������������� �� $�����������$����
) ;n n
ik n k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⁄ ⁄ ⁄ ⁄
����
��
0
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1
1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3
0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3
1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⁄ ��� ���� ����� ������� ��������
���
����������������'�������� ����������������/���������'��������'����
⁄ ⁄ ⁄ � � �� �� � �
� � � �
����
� � ��
�
�
�
� �
�� �� ���
�� �� �� ��
6��'��������������������������������"������������'�������������������������� ��� ������� � �� ����'�����
����������������������������������������������������������������������� ���� �?�����������������
��������
���)��������������'���������������'����������� ��� ��������:
-������������������/������������� ���������
( )01, 0;a b a b+ = + ≠
��������
( )3 3 2 2 33 3 ;a b a a b ab b+ = + + +
( )4 4 3 2 2 3 44 6 4 ;a b a a b a b ab b+ = + + + + � ��� �
� �"������ �����������������'�������
��������������#
M����� �� � �������� �� '����� ��� ���� �����
�����
����������������������������������:����
��������'������ ���
M������)���������������� ��� ��������'���
�� ���
( )2 2 22 ;a b a ab b+ = + +
( )1;a b a b+ = +
��� ���� ����� ������� ����������� ������� ���
���
6��'�������� ����������������������������B�����������������"�������������������������/������
M���������#
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 4 3 2
( 2) 5 2 10 2 10 2 5 2 2
10 40 80 80 32.
x x x x x x
x x x x x
+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += + + + + +
/������������������������������������������������������� 1n+ ���������������������������/������
.����������������������'�������� ������������������������������/��������������������������#
0 0( ) 1
0a b
⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 1 1( )
0 1a b a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2 22 2 2( )
0 1 2a b a ab b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 3 2 2 33 3 3 3( )
0 1 2 3a b a a b ab b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠���
$���������'�������������'��������'�������
� ������������ ����a b+ ������������� � ��
���'�������� �������������������������
/������
6���'������������������"�����������������B�����'������������ ��������� ( )na b+ ������)�����������������
/���)������������������������������ �����#
6���'�������������%������ �������������%������ �!������
���� ���
1 2 2( ) .0 1 2
n n n n n k k nn n n n na b a a b a b a b b
k n− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� �
���������� 5 5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 5 5( 2) 2 2 2 2 2 .
0 1 2 3 4 5x x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
$��� ������'����������� �����������������( )52 .x +:
/������� ��������'���������� �������( )3a b+
"����� �� ���� �� �������� ��� ����������� ��
/������
���
��������
/������������������������������������������ .0 1
n n n
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�
!,
!( )!
n n
k k n k
⎛ ⎞=⎜ ⎟ −⎝ ⎠
��������'�������������������� .n n
k n k
⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
7
0��'��������� ���� 1 2 2( ) ,0 1 2
n n n n n k k nn n n n na b a a b a b a b b
k n− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
� �
�������������������� �M������ 2 ,0 1
n n n n
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� ����������������'����������������
�����������������/�������������7�
��������
(����������������������� �������'�������� ���� 6( ) .x x+
���� ���
/���)������������������������������� �������� 2 .0 1
nn n n
n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�
4
-���������������������������'������ ����6
,0
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������6
,1
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�������������6
.2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.��������������������������������� ( )26 2 4 5
3
615 15 .
2T x x x x x−⎛ ⎞
= = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ���
0��� �������'��������8����������8�:��������������������8�:��������������������������� ��� ������
1 , 0,1, , .n k kk
nT a b k n
k−
+⎛ ⎞
= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠
�
(������������������� �������'�������� ����
12
2
1x
x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
������������"��� H
����������������������������������������������'�������� ���
��
(����������'���������������������� ��������������� I
������� ��/�������������9����8������������� �������'�������������� �����������������#
�13 3 3 3 10 313 13
( ) ( 1) .3 3
a b a b−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠�.������������'���������������������
13 12 11286.
3 2 1
⋅ ⋅− = −⋅ ⋅
�� ���
: ��� ( )62 3 ;x y+ �� ( )7
3 ;x y− ����4
4 .2
xy⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
7 ���5
1;x
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 8( ) .x x+
4 (��������'������������������� �������'������� ���#
��� ( )12;x y+ � �� ( )12
2 ;x y+ ���� ( )122 3 .x y−
H (��������'���������������� �������'����
���� ����8
3.x
x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠
I �� ����������� ������������� ��%� ���� ������������ "
�(� ( )3;x y+ �����(� ( )12
.x y+
= �� ��%� ����������� �$������������������������7=H�:������� ��%� ����������
< (��������������������� �������� �����
22
12
n
yy
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠
;!��������������'������������������� �����
��2
2
2n
xx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������><�
(��������'����������
�����������������������������$��%�
: ��������������������������� ����� ������������� �5� ��� ����������������� ���5������ ������������������ ��
� ��������������>
7 ������������������������������� ���������������� ���������������� �� ����%����������� ������ �� �����������������
��� ����� >
������� ��6������������������������������������������ 12 12 2 12 3
1 2
12 12 121.
kk k k k
kT x x xk k kx
− − − −+
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�������������������������:7���4��9�D��� � �� ���9�H �/���������������� 5
12495.
4T
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
<���� ��������� ����������� �$�������������������
��������( )1 2 :−
���������������"��������'���������� ���������:D7H
��
H ��������������6�� �� ������������������������������� �"
�(�6�������= �(����������= %(�D��������'9�������������������(>
I ������������5��� ���� �5����$��������������� �����6�� �� �������� ��������������� ��������� ������ �� ��� ����
�$���� �� �>
= ������������������� �������� ��������������������� ��� �9����� ��5�� �� ��4������� ��� �6���������� >
��� ���� ������� �>
< 3 ��4� ��� � ������������ ���� �����$�� �� ��� ��������������������������������������������� ��$�� ���������
�(���������������������������%�������5� ��D� ����� =
�(�������������� ��������� �� ��9�� ���� ��8���=
%(���������������������� �������� ��������%��������������������������>
; �����������9@������3 ���� �6������ ������ ��$��� ���������3����������� �$�� �� ��%��������������� �����%���� ���
������������������� ������ ���$������ ��������������������������� � ������ ���$����������� ����� ���$�� ������
�%�������������>
> 3������� ��D�������� �����������86� ��������������������������������� �� �����������������"
�(� �������������� ������������������ �������=
�(����������� ���������� �������������������������������� �������>
:D :���������������%���������� �� ��$�� �$�����������������9
2
32 .x
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
:: ������ ��� ��%� ���� ������������������$�������������������������������������������� �:������� ��%� ���������
:7 �(�:������������� ���������� �$������������������( )10
2 ;x +
�(�:������������� �� ����� �$������������������
14
.a
xx
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
4 ����������������������������������� �� �������� �@�8�5�B�Q�D�R�� ����%�������������������������� �>
:H :������������� � ����� �$�����������������"��(�7
12 ;
2x
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������(�( )8
22 .a b+
:4 :������������� ���������� �$�����������������"���(�
111
2 3 ;3
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�����(�
14
3
5
111 .
11
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
���
��������������#������
: +����������������������������������������� ���������!�9@:�7�4�H�IA�������4������#�(������������� �������������!= �(� ���� � �������� ��� � � � �� � =
%(�� �� � �������� �� � � �� � ���������������!�
7 + ����� ���!�9@����+A��� �"�9@:�7�4�HA��G ��������� ��� ����%��������������������������� ���������*"�(�:�4�= ������(���7���= %(�����7�=��������� (��+�:�= �������(����+��
4 ����������������������������������;���������������������4������#���44=* ��HD47D* ���I:7
H ) �%����� ����� ���� ������ ����������� ���������� ���������' ������(�� � � � �� � "
�(��������%��� �= �(� ����%��� �= %(�����%��� �>
I ����������������� ���������� ���������������������������������������12
;5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
��12
;4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ��12
.6
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= ����� � ���������� ��� ���������� ����� �� ���������� ��� � ������� �� ������������ '������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
< /�������������������������������� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
; 6�� ������������������������ ���������� ���������� �� ������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
> ����� � ��� �������������������� ����� �� ���������� ��� ������� �� ������������ '������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
:D !��������'���������'�������� ������8���
:: ������������������������������� �� ��I��������� � ����� % � ������ $ �������������� ��7=����������� ����� ������� ��4������� �������� ���������� ����������� �������������������� �>
:7 ���������������������������R���������!��������� � �������� ����� ����������������%���������������� ���
������ ���������� ����� ����5�����������4����� ������ �9�������>
:4 �������%�������� ��������� ���� �� ���� �������������4�������� �4����� ������������������������� �$�� �����������������$�� �� ��4� ����� �����%���� ����������5����� >
:H (��������'������������������ �������� �����4����I��
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
I
I
I
I
���
���� "�����������������#�
�"����������������������� "����
�����������"���������������� �"������������������� O������������"��������� ����������
/����'��������� "������
-����� �� "�����
F��������������
N������������������"��������������������
���
���
��
���
���
���
��
:
7
4
H
I
=
<
/������������������������� ��
;
/��������������������������������������"��������������������� ���
>
/���������������������������"����� �� ��� ���������������
:D
$����������� ��::
$�������������� ��:7
$���������������������������������������������
:4
.��������������������������'����� �
:H
.���������������������� ��:I
� ���
�
�
�
�
�
�
�
����
����
����
����
����
�
#$%&�'()('�*�)*&$�
���
��
���
H �N����������������������������������������B����� ������������� ���������������� ���������� �?���������������� ���������� � ���B����� ������ ������� ���������� ���� %B���� ��� '���� � �����&����
0,1,2,...,100.i =
+����������������������������������������������������������'�������������������������������
���������%�����&�����%���& �$����������������������������������������� �������������������������������������'������������������������������#�%��'����������������������������������������&
����%��'������������������������������������&
,����������B�������:DD�Y(������������������'�������B���� �6���������� ������������������B������
��������������������������������������������������%���B����&
4 ��������������������������������������'� ��������������������"���������������������������������
������������������������������������������� �.����������������������������������������������������
������������������#�%������������������"���&�����%���������������������"���&
,��������� �������)����������� ���������������������������������!�+����������������������������������������!������������������������������������!�
�"�����������������������������������������'� �������# �� �� �.�4
��������������������������������������������������������������������������������� ��������������
������������������������������������������������������������������� � ����� ����������������
����������������������������"��������������������������������������������� ���� � � ����� �
+����������������������,�!��������������������������������������������,
�"������������������������"�����
�
!���������������� ����������������
���� ���
!��������������������������������� ����:��7��4�����H,:
�
���
0������������������������������������������������� �E��������������;��������"��:DDD
������������������������ ��� ����
$�� ( )in A ������������������������������������������������������������������"������� �N��������������
���������������������������������������� ���#
� 7
0��)��������������������������������"������!#�%��������������&
� ( )in A( )in A
n
: ID7 D�ID7
7 IDH D�IDH
4 H>7 D�H>7
H IDD D�IDD
I I:D D�I:D
= H>D D�H>D
< H>4 D�H>4
; ID> D�ID>
�����( )in A
n��������%� $� ���� ���� �����"������!���������� �������������������������"��� ������
�����'���������������������������������$�� ������ �����$ �����"�������!*���������������*�!�
���� ���
-������������������������������������������������������������������������"�������!����������
��"���D��������������������� � �� � ( )0 .n A n≤ ≤ �/����������0 ( )
,n A n
n n n≤ ≤ �����
( )0 1.
n A
n≤ ≤ �$����
������'����������'������������������"�������!�������"���������������D�����:�����������"�����������������"�������!���������������D�����:
0������������'�����������������������������( )
,in A
n
��������������������������������������������
������ ������������ 1000.n =-��������� ���"��������������������������� �����'��
�������D�I �/�������������������������������
�����������������������������������'�����������
�������������D�I
���
0K��������������������������������"��������������������
���P������������������������������� �
!���������"������#
!�#�������������������:�����=����
!�#��������������<
��P���������������B���������������"�����������
�������I��������� ����� �!���������"������#��#�������B���������� �����������#�������B�����������
���P���������������������"�����������B�������������� �!���������"������#
+���������������������"������������������,
� 4
#�#�B����������������������:�����I���������������#�#��B�����������������:7
�������� �"���������� ���������.����������"�����)����������������������������������������"��������� �������.����������������������"��������������������������
!����� ������������������������������������������"���������������������"�����)������������
��������������
!���� � ��������� �����������������������������������"�����������������������������
"����������������������������������
.���������!���"
������#
������"����������"������������!
���"
������#
��− "������������������������������
������
�������������������%�����������������������:�����7����������)���"���������������������������%�
����������� � � ���������
6�����7��"������� ����������������������������:�"���������������������7
,��M��������������������"�������!��������������)�����������������������������������
: �P���������%�����������������������������������������������������������*
/���"��������������!����������������������%������������ ���������������'������������������'��
�����������"����������#
0���������������������������������������7��"�������������������"�������!#�%��������������&�������D�I �?
�����������������������"��� �������'���������������������������������� �������������
F���������������������������� ����������������������"�������!
�������������������������'���������� ��� ����
���
P������������������������������� � �G��� ���H� ���� ����� ID� ��������� ���� ������ "�������������������������������"������#
!"������� �� ����� ��������������� �������7=""������� �� ����� ��������������� ������� ����
1�� �� ������������� ���� �� ���� ���������� �I7� ����G ���$��B�� �� ���8@@� �� �� �� ��3��� ��
��� �� � ��������������� ��� ����� � � ������
��� � ������� ��������:�����%��������������� �����
%�������������� ��� �� �%��� ����� ��������� � "
!"������ ��� ���� �������:D=""������ ��� ���� ��� ������� ���
�� ���
: 7
�"�������� �"����������������)������������������ ������ �������� ��� � ��������������������"�������
������������������������������ �/�������'������������������"�����������"���������� 1,n
n= ��������
"��������������������������0
0,n
= �����)�'���������������������
0���������������������������������� � �.��������"������������������������������������������
��������#
!#���������������)'�* "#������������������������������������4*
&�#��������������:* &�#��������������7*���������������&�#��������������4*
&�#��������������H* &#��������������I*���������������&�#��������������=
-�������������������"��������&���&���&���&���&�����&��"�����������
�"������!���������������������������������"��������&���&
������&
���������"������"����������������������
"������&�������������������"������&� ��.���������"������!��������� �����������"�������&���&������&��
������"������"��������� �����������"�������&������&�
���#�������"�����������������(�"���������������
�
:
�"������������"�������&���&
���&
���&
���&
�����&
������������� ����������"����������� ��/�����������"�����
������������� � � � ��� ��"���������������������K�������������� ���&���������:�7�
��������
�
���
P������������������������������������������������������������� �(����� ����������"����������������
������� �������������"��������������������������'�������Z�9�@&���&
��VA����
&��9����������&��9����������������� ��������������"�������������'��� �9�7�4�V��"���������������
},,...,,{1
stemanumrinumrinumriEi
i ���� ����� ��−
=
������������������������������������ �:��������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������� ��������� ����������"�������
���������������� �����������'������
(����� ����������"������������������������������������������������������������������������"������������"�����������������������
H
I
������� ������������������������������������"������������������������������∈�[ID�7IDS�����ID��������������
�������������7ID��������������������������������������� �0��� ����������"�����������������������
��'������Z�9�@��\���∈�[ID��7IDSA�9�[ID��7IDS ���������������Z��������������������������Z������� ��������
��'������
���� ���
!���� � � � ��� �����������������������������������)����������"������������������ ��������
��"����������� �/��������"�����)��������������������������������������������������"���������������
����������� ���"�����"�������� ������������ ���������������������������� ��$���� ������ �
� � ��� ����������������Z
(����� ����������"������������������������������������������� �
������� ��F�����)����������������������������������������������������������"��������&���&���&���&���&
����&���������� ����������"���������������������������������������������������Z�9�@&���&���&���&���&�
&�A
7
(����������� ������������"�����������������������������������������������������
������� ��F������������������������������������������������%���������������&�����%�����������������&
����������������������������%����&�����%�����&� �/����������������� ��������������������������������
��� ��������������������������������������)'���������"��������������������������������������������
����������������������������������������������������������� �$��'������������ ����������"�������
�������������������#
Z�9�@�������������������������������������������������������A
4
���
/�������� ���������������������������������������������������������� ����������"������������������
������������ ���������'���������������'������
0���������������������������������������������������������������������� ����������"�������������������������'������
0���������:����'����������"������!��������������������������"��������&���&
������&
���������"������"
����������������������������"������&�������������������"������&
�
/����������"�������!�����"�����������������������������!�9�@&���&
���&
�A��"�9�@&
���&
�A �0������������
"�������!�����"����������������� ������������ ������������"������������������Z
-����������� � �������)'������� ��������� ������������"����������������� �5�.�������������"����������� ������!� ����������������������������������"��������������������������
�������� ����������������������"�����������������
�
���� ���
�������������������������������������������������������"������##�������������������������������
�������� ���"������#���������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������ � ��
#�9�@�������������������������������������������A
=
P������������������������������� ��� �0�������������� ����������"��������������������
�����"��������������#
!#������������ �����������������)'�*
"#������ ���������������������)'�������������������������
������� �������������"���������������������������������������������� ����������)'�����������"������������
������������������������� �������������������U����������� ����������������∈@:�7�4�H�I�=A �/���������
Z�9�@�������\������∈�@:�7�4�H�I�=AA��� � �� �Z�9�@:�7�4�H�I�=A×@:�7�4�H�I�=A
/���"������!��'���������#� ( ) { }{ }, | , 2, 4,6 ,A x y x y= ∈ �������'�������� �������
!�9�@�7��7����7��H����7��=����H��7����H��H����H��=����=��7����=��H����=��=�A�
����������"������"����#� ( ) { } { }{ }, | 2, 4, 6 , 1, 3, 5 ,B x y x y= ∈ ∈ ����
"�9�@�7��:����7��4����7��I����H��:����H��4����H��I����=��:����=��4����=��I�A
<
��
�"���������"�������������"��������������������������������� � �� �)���"����������������������������
�������������� � �/���������������������Z ���"�������������������������������������������������
��������������������������������������"���������������������������������������������� ��/���������
"�����������������������������������∅
1�� �� ���� ���� �� ��� ��� �� � ��� �� ��
��� ������3��������� ������ ���� �������� �������� � ������� ������������� ������� �� ����� ���
������������ ������ ����������� �������� �� ��
���� ��� )�� ������ �� ���������� � ����� �
� � ��� �
�� ���
:
�������������I�������������������:�����I �����������������������B�����"������������������������������������������������B������������������� ��������"�����������������������B����������������������� ���������"�����������������
7
!�������H����� ���"����������������������
����������������������������������������
�� ��� � ������ ��� �������� ���� ����� � 0�
������������ ����������"�����������������
���������"��������������#
!#���������������������������������������
����*
"#�������� ����"�����������'��������*
##� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� ��� ��
�������
4
P�������������������������������� ��� 0�������������� ����������"����������������������������"��������������#���!#��������� �����������������������)'�������������������������*"#������������� ��������������������*##��������������������������� ���������)'�*-#��������� ��������������������������������*&#������������� ���������������������������*1#� ��� ��� ���� �� ��� ��������� ��� ������ ���������
H
��� ��� �� ���� ��� ������� "����� '�������������� <�;�>�:D ����� ������� ��������������"������ �� ������ ���� ���� � 0�� �������� �������� �� "�������� ���������� ���� ����"��������������#!#�����������������������������)'�*"#�����������������������������)'������������������������*##����������"����������������������������������)'����������������������������*-#���������������������������������7<
I
��
��������� ������������� ����� ��� � ������ "������ �� ���� ��������� �������� ���� ������ �������� ��� ��
�������������������"����������������?���"�������������������������� ����������"�����������������
������������������ ��������� ���"������������������ ���"������ ����������"����������/������ ���
"������������������������������� A B� ��������
P������������������������������� � �R������������"������#
!#���������������������"�������� ��� ��������4*
"#������������������������������������4*
##���������������������������H
0���������������������������!�������"�������������"���������!�������#
������� ���"�������!��"�����#������������������������#�!�9�@&���&���&�A��"�9�@&���&�A�����#�9�@&��&�A
�"������ A B� ������������������������������������������������"�������� ��� ��������4������������������������
���4������������� { }3 .A B E=� ��"������ A B� �����������������������������������������������"�������
��� ��������4�������� ���������H���������������������� �.���������"������� !�����#�������� ��
��������������������� � �� � .A B = ∅�
�����%���������"���������������
��������
������� � � ��� ��������� �� � �� �� ����� ������
������ ��� %��������� ����������������$���� � ����
����� � �� ��� 3�������� ������ ��� ���$���� ��
�� �� ���������� ��������� �� ��������������
� � ��� �
/�����������������������������������"�����
!#� %��������� ����� ������ � ����� ��� 4&�� �
� ������������Z
���� ���
7
��������������������������"������������������������ :�7�4�H 0�������� ������ �� ����'���� �����'�����������������'����������������������������'��� � (��� ������ �������� �� "�����������������Z���������������������,
� : P������������������������������������������������������������I7
R���������"������#
�����!#�����������������������������:D*
�����"#�����������������������
6��� ��� ��� ��������� "������##� � ��������� ��������
����:D,
/�������� �� ������ "������ ������ ��� ��������
�����������"���������!������",
�������� �� �-������ ��� "������#� � ��� ��� ��������
�������� ���� ������ �������� ���� ��� ��� �������
����������������"�������!�����"
�����
�
���
��������"������!�����"�������� ��� �������������������� �������� ���� ���������� � ������$�
�������������������������������� � �� � .A B = ∅�
���� ���
'���� ������ � �!�����"��������"�����������������������������������������������������������������
����������������"��������!�����" �?���"�������������������������� ����������"���������������������
���������� ����������������������"�������!�����"�������"
!����������"��������!�����"��������������"�������������������� .A B�
/��������"�������!�����"����������������������������������������������������� .A B+
6�����������������������������������������"��������!�����"�����������������������������������������
"������!������������"������"����������������"�����������������
(�������������"��������!�����"������������"��������!������#������!��"�����#������"���������
�����'����������������7
��������
�"������ A C� ���������������������������������������������������������4�����������������������
��������H �F��������������������7�������������"�������!�����#������������ �/��������������������������
'������ { }1 2 3 5 6, , , , .A C E E E E E+ =
!����� �$����������"�������!�������"�����������������������������������������������������������
"�������! ��6���"������������������ A ������������"��������������������"������� A �����������������
� ������������"���������������������������������"�������!��������������Z
/���)���"������!�����#�� , .A A A A= ∅ = Ω� �
���� ���
�����"�������!�����"��������������������������������������������������"��������������������������
���������������"������� A B� ������������������������������"������!������������"������" �/��������
����� ������ ���� ������ �� ��� "�������� ��'���������� ����� .A B+ �.��������� ,A B A B+ = � � ���
.AB = ∅
4
�"�������!��"�����#������������������#�!�9�@&���&
���&
�A��"�9�@&
���&
�A�����#�9�@&
��&
�A ��"������ A B�
�������� ������ �������������������� ���"��� ���4���������� � ��������������������4������������ ��������������������������#
{ }1 2 3 6, , , .A B E E E E=�
���� ���
���
(�����"��������������������"��������!�����"��������������:
������� �� �"������!� � ��� ��� ��� ���������� ���� ��������� ����� ����� "�������� &���&
� ����&
��� ������
{ }4 5 6, , ,A E E E= ����������������� { }1 2 4 5, , , .B E E E E=
H
�"������!������� (�"������"������������!�⊆�"��������"��������������������"������!��������������
"������"
0�������������������������������������������������� �E���������
!#�����������������������*���������":���������������������������
�"�������������������������������"��������������������������"������!���������������"������"��� � ��
����������������'������������"������!����������"������"�
�����!�⊆�"������"�⊆�!��������������"�������!�����"��������������������
/������������������������������������������������ �!��������������"�����#
!#��������������������������*����������������������������"#���������������������������
/����������"�������!��"�� , .A B A B� �
���� ���
I
���� ���
=
6�����������2������������� ��������������3 �����2������������� �������������� ��������������3�
-���������!�����"������������� ����������������!�⊆�"
/���"�������������������� ����������� ������������"�������������������������������������������
�����������������"�������������"����������������������������� ������ �����������������������������
����K���'���������������"��
E"�������� ����#
( ) ,A B C AB AC=� �
( ) .A B C AC BC=� �
+��� �� �* �.������"
,A B A B=� �
.A B A B=� �
��������
���
0�������������������"���������������������������������"��������������'����������������:��� � ��
�#���������������������"�������� ��� ����������=�������#������������������������������������4�
������� ����������!�J�"��"��������!�����"����������������������������������������"�������� ��� �������
4�������������������������4 �/�����������!�J�"���@&���&�A�
<
������������������K����"���������������'���������������������������������������������"�����
'���� ������ � �!���!��V��!��������"�����������������������������������������������������������������
����������������"��������!���!��V��!�
6���"����������������� 1 2 ,nA A A� � �� ������� ����������������"�������������������������������
������������"��������������������������������)�������������"��������!���!��V��!�
���������������� � � �!���!
��V��!
��������"�������������������������������������������������������
��������������"�����"��������!���!��V��!�
6���"����������������� 1 2 nA A A� �� ������!��!�V!���������� ����������������"�����������������
��������������� ������������"�������������������������������)�������������"�������� �!���!
��V��!
�
0������������"�������������� �!���������"�������!���!
������!
�����������������������������������������
��"������������������������������������������������� �$����������������"����������������������
�����"��������������#
""������������ �����������=
#"������ ����� �� ������������=
-"������������������������� �������=
&"��������������������������������=
1"������������������������ ��������������=
3"�� ��� ���������� �� ���������������������
�"������"�����������������������������������"�������!���!
������!
������������� �/����������"�9�!
�!
�!
�
��������
�
���� ���
;
!��)������������� � �!�����"������������!�J�"����� AB ��������"��������������������������������������
���������������������������"������!������������������"������"��� � �� ��������������������"������!����
"������������������"�������"
���� ���
���
�"������#� ��� ������������ ���������������� ������ "��"������� !���!�� ����!��� � � �� � �����������
"������������������������������ 1 2 3.C A A A=
�"������-����������������������������������"��������!���!������!������� 1 2 3.D A A A= � � �/�����������
1 2 3.E A A A= � �
0�������������"������1�����������������������������"������&�����������������������������"�������1��
������������������"�������& �.���������1�9�&
�"������3�������������������������������"�������!������!������� 1 2G A A= �
������� ����� ��'������� �� ����������� ��� "��������!��"�� ����#
��� "������-����� ��� ������������ �
( ) ( )1 2 3 4 1 2 .D A B B B B C C= � � � � � � ��"����� D ���������������������������'����������"������.��$��"���
6������� ( ) ( )1 2 3 4 1 2 ,D A B B B B C C= � � � � � � ���� .A B A B=� �
�������������������H�������������������7���� � �R��������������"�����#
!#����������������"���*"� #����������������������������"������9:��7��4��H*
#� #���� ���������������"������ 1, 2.j =
�"������-#�������������"������������������������������������"�����������������������������
������������������������� � �0������������"�������-����� D �����������"��������!��"������#
�
>
*�������������� �*����������������������)����
���� �� ��4������� ���������������$������ �
��������A��� ������������������������������� ���
������ � $�������� ���$� '9"9(� ��� �� ����� � ���
� ������ ��)�������� ������������ "
,"�����������������=
�"������������������*=
."����� �� �� ������ � ����
�� ���
: P��������� ������ �� ������� �� ����������� ��"�������!
���!
������!
����������
��������� �� ������� ����������� ��� ������ �������� ���� ��� �������� ����������� � .���� ��'������������� "������ ��� ����������� ����"��������������
"#�������������������������������������*
##��������������������������������������
����*
-#������������������������������*
&#�������������������������������������*
1#������������������������������������*
3#����������������������������������*
2#����������������������������������������
7
���
!������������������� ������ � � � � ��� ���������
� �� �� �� ����� ������>
!�������������� � ��������� �� �� ����� ������>
��������� �����>
���#�$���#��#��"������
��������
�/������������������������������������
����"��� �������'�������������������
"���������������!�������"������������������"������
!� ���� ���� ����������� � ������� ����������� �
���������� ��� "�������! � 1�� ��� ��������� "����
����������� �� "������� !� ������ �� ��������� ��
��������� ����� ��� � ����� � ������ ��
����������������)�������������������������������
���� ����� "��� ������� '��������� �������� ��
"�������!
�������������������������ID����������������"�������!����������4D����������������'�����������������"�������?������������������������,
:������� ��������/�������� �� �%�� ����� � ������ �
��� �����>
����B��������� �����"��������������� ��������� �$��!������������"���������B����������"����������� �� �9�:�7�4 �$���������������"���������������������������"�����#"#�B�������K��"�������"������������*##�B����������"����������������������*-#�B����������"����������������������*&#�B����������"�������������������������*1#�B����������K��"������������������*3#�B�������������"���������������
P��������� ������ �� �"������� �� �������������������������������� �R�������������"�����#!#��������������������������������������������"���*"#����"�����������������������"��� �$��)���������� ��� ����������"�����#
�����!� � �"*�������� ����!"*���������� A *��������)��� B ,
4 H
1��������������������������������������������������������������"��������������������������
�������������"���������������"����������������������������
�
���
E����������Z9@&��&��V�&�A������� ����������"�������������������������������������� �!���������������� �� 4 ������������������������������D�����:��� � �� �D�≤��
��≤�:����������
����8��
��8�V8��
�9: �E�����������
���"�����������"����������������&
��� 9:�7� ��
6������������������������������������������������'���������������������"�������������� �/�������
'���������������������"����������"���������'�������������������"����������"��������)'��������� �����
������������������"�������:
.�����������������������'������������������"�������������������������D�����:������"����������������
�����������#
: �0 ( ) 1,P A≤ ≤ �����)'������"������!*
7 � ( ) 1,P ٠= �� � �� �"�������"�����������"����������:
F�������"������������������������������������������������������������������������������������������
�"����������������
!�����������9�*�&
��������� �9�:��7�V���
E������������"������������������������������������������������� �E���������� ������� �������� ������
��5����� ������������"����������������� �� � �� ��������������'����� � { }1 2, ,..., ,
ki i iA E E E= ������≤��
/������� �����������������������������'� ����7L�������������������'������������������������"����������
�����������������'����������2
0,02.100
=
���$�%�������F�������"�������!���������������"����������"������������������������� ������"�����! �6�����������������
( )1 2
... .ki i iP A p p p= + + + ��:��
������ ������ ����������"������������������Z9@&��&
��&
��&
�A���������� ����������H����������������"�����
��"�����������������������#
�*�&��9D�7*�*�&
��9D�4*�����*�&
��9D�:���������*�&
��9D�H
�����"������!9@&��&
��&
�A����������"���������������
*�!�9*�&��8*�&��8*�&��9D�78D�48D�H9D�>��������"�������"�������"9@&��&�A������
�*�"�9*�&��8*�&
��9D�48D�H9D�<
���
.1
...11
...)(
herë
21 n
k
nnnpppAP
k
iii k=+++=+++=
�� ��� ��
������ �����������������������������������������������������������"� �:D��>��;�����<���� ����
��������������������� ���������"�������������������������������:D��������"�����D�:������������>
�#�����������������������������;����*�����������#���������������'�������������;�����
F�����)������������������������%������������� ��������������]������������������������� �������
�������"�����������������#
���1�#�������������������������:D����*�����1
�#�������������������������>����*
�����1�#�������������������������;����*��������1
�#�������������������������<����*
�����1�#��� ��������������������������
��������
:
�������"�����D�7������;��������"�����D�4���������<��������"�����D�4���������������� ���������D
��������"�����D�: ���������������������������������������������"��������������"�������#
0���"�������!�����"�������������������������������#
.���������������������������������������'�������"���������������
E����������5���21� 1� 4 1�3� ����������������'���������"�������������������������������
���"����������"�������������������"�������� ��� ������������������ � �� � ��� 9��������
�� ��)���� �� 4 ����/�������������������4����������������1
,ipn
= ��������"����������� �� 4 �� �/�������������
{ }1 2, ,...,
ki i iA E E E= �������"������������������"�����������������
.��������� ����������"������������������Z�9�@&���&���&���&���&A�������������������������������������
���9�*�&
���9�D�:����
��9�*�&
���9�D�7����
��9�*�&
���9�D�4����
��9�*�&
���9�D�4������
�9�*�&
��9�D�:
�����������������'�����"�������:�������"��������"������������������������#
�������������������� ����� ����� ����� � ������������������� ����� ����� ��
����21� �1
� �1
�3����������21
� �1
�3
�
���
E����������Z�9�@&���&���V��&�A� ����������������'���������"��������������������������������
)��������������������"�������� ��� ������������������� � �� �*�&���9�:�C����� �9�:��7�V��� �������!������
"���������������������������������������������������� ������"�������������������������"����
��"�������!������������� ( ) .k
P An
=
6�������������������������������������"�����
���� ���
6�������'����������� �����������������"���������������������"�������� ��� ���� ������������������
����������������������������������� �/������� ������������������������������������� ������"���������
������� �/����������������"������������ ����������������������������)���'�������� ��������������������
"�������� ��� ������� � �� �"�����������������1������"�������� ��� ������������������������� �� 4 ������
���������������1
�������
0���������������������'����������"������������������������"���������"�������������������� � ��
�����������������Z �.�����������������9�\�Z�\��� � �� ��������������������������Z �+���"�����
����������������� ��������������7���� ����������8��� ������������������������� ��"����
���������������������"������������������������������ �������"������!��� � �� ���9�\�!�\�����)���"�����
���������� �����!���� ��� ������������ ��7���� �� ���������8� ���� ��������� �� "�������! ������������
�����'����������"�������"������������������������!��������� ��� ����������������������������������
������������������������"�������!����������������"����������������������������������������
������� � ��
( ) | |.
| |
AP A =
Ω
0�����������"�����"������������������ �����'�����������)'�
������� ���������������������������������� ��� ����������"�����������������
Z�9�@&���&���&���&���&��&�A������&��������"�����#�������������� �� �9�:��7�V��= ��"������!#���������������)'��
����������������������!�9�@&���&���&�A �.�������������������������������������������������"������
!�������4����������������"�����������������"���������������������������������= �/��������������
�����'�������������"�����������"�������"�������!�����#
7
( ) 30,5.
6P A = =
��
������������������I���� ����������H����� �/��������������B���������������������� �0����������
"����������������������B�������������� �����
P���������"������!#� ����B����������������� ����� ���������������������������������������
� � �� ���������"���������"������������������������ 29
936,
2C
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠�����������������������������
���������������"������!����� 25
510.
2C
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠�.���������"��������������������"�������!������
��������
4
( ) 100,2778.
36P A = =
���������������������� ������'���������������� �������������� ��� ���� �� ���� ������ ::����:7 �0�����������"��������������"�������#!#�������'������������::*"#�������'������������:7
G��� ����� I� ��"�������� "������ 7�4�H�<�>�������� � 0�� ��������� "����� ����� �����"���������������������"�����������������������������������������
�� ���
: ��������������:D���������������������I���� ������4����������7�"��� �� �N��������������"���������� ���� �0�����������"����� ��� ���"����� ������������ �����
7 ������ ������ ��� HD�B���� ����� ��� ������ :D���� ��� ������������ �6����� ������ �� ��"��������"��7D�B��� �0�����������"���������������"���������"��I�B������������������
4 ������� :�7�4�H�I� ���� �������� I� ������ ��������� �N��������������"����������"����4������������������������������������������ 0�����������"��������'��������������
H
I
������ ������� ��<�������� ��HD�Z��I�������� �
=D�Z��� �4�������� ��:DD�Z��3���� ���������
� ������������������������� ��������� ���� ������
������� ��:;D�Z>
=
.������� ��������������������������������'� 0�����������"��������������"�������#!#������ �������"��������"�������������������������������������*":���� ���'����������������������������������9�7�4�V�:D
<
��
/���)���"��������!��������� ��������� ��������
���"������������������Z����������D�≤�\!\�≤�\Z\
/���������| |
0 1,| |
A≤ ≤Ω
� � �� ( )0 1.P A≤ ≤
/���"�������"�����������"����Z�����| |
( ) 1.| |
PΩΩ = =Ω
E��������� },...,,{ dhe },...,,{2121 mk jjjiii EEEBEEEA == �����"������������� �.��������� .A B = ∅�
?��������������������������"��������� { }1 2 1 2, ,..., , , ,...,
k mi i i j j jA B E E E E E E+ = ����� ����8���"�����
��������� �/���"�������������#
( ) ( ) ( ).k m k m
P A B P A P Bn n n
++ = = + = +
/���"�������"��������������������∅�����0
( ) 0,P∅
∅ = = =Ω Ω
����������"���������������������
��������� �������"��������������������������
��� ������� ��� �K� ����������� ������������������"�����
�
��������"������
��������������$�������������������>
�������������������B������������ �8@����$�����������
����������&� ����������������� �����������&� ����
��$�>
��������
:���������� ���� ���/�������������� ������ ����������>
.���������"����������������������������'�������������"�������������������������������:�����7�����
��������������
: �/���)���"���������� ( )0 1;P A≤ ≤
4 ������!�����"��������"������������������������ ( ) ( ) ( ).P A B P A P B+ = +
7 � ( ) 1; ( ) 0;P PΩ = ∅ =
/���"�����*�������������������������#
���� ���
������������������H���� �������I�������4������������;���������� �/����������������B������������ �0�
���������"�������������B������������� ��������������
:
�
���
������� ��R������������"������#���#������ �������B������*���#�����������B������
-����4�����������"����������������������#
/���"��������������"��������'�����#�4 3
( ) , ( ) .20 20
P A P B= =
�"������%����� �������B���������������&�������������������"��������������!���������������#
( ) 4 3 7( ) ( ) .
20 20 20P A B P A P B+ = + = + =
H �������� ��� �4 ���������"����������������������
������������4�������������������������4���6�����
/���������������������I7������������������������������ �0�����������"���������������������������������
����"��������� ��� ��������H
������� ��E�����!�#������������������������������ �� �9�:��7��4��H �/����)����������������"��H�����������
�"�������!���!���!���!��������������������������������H������"�������"�������!�8�!�8�!�8�!�����#
�����"������!����������"������"��� � �� !�⊆�"���������\!\�≤�\"\�����| | | |
,| | | |
A B≤Ω Ω
����������������*�!��≤�*�"�
I ���������⊆ ������������������≤������
7
4( ) , 1,2,3,4.
52iP A i= =
1 2 3 4
4 4 4 4 16 4( ) .
52 52 52 52 52 13P A A A A+ + + = + + + = =
/��� ,A A+ = ٠�������������7�����4�������� ( )( ) ( ) 1,P A P A P+ = ٠= �������'��������������#
= �/���"�������"����������������� A ����"���������������!�����
( ) ( )1 .P A P A= −
/���������������������I7������������������������ �0�����������"�����������������������������������
���������:
4
���
������� � F�������"��������#�����������������������������:��������4
( ) .52
P A = ��"�����
� � � � � � � �4 48 12
( ) 1 ( ) 1 .52 52 13
P A P A= − = − = =
%�����������������������������������:&�������������������"����� � ,A ����������������=��'��������
< �F��������������������"��������)'������������������������������������������������
E���������!�����"����"�������������������������������������������������������
A B� ������� ��� ����� | | | | | | | | .A B A B A B= + −� � �/�����������������������������"����#
��������������������:DD����������� �/���������HD�'�����"������4D�'����'��"������������:I��������
���"����� �N����������"��������������� �0�����������"��������������"�������#
������� ��.���K��������������"�����#�!#���������"�������'�����"��������
1#���������"�������'����'��"����
"#����������������"�����'��"�* ##���������������"������"����*
-#���������"����������������������"����* &#���������"����������������"����
( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB= + −�
H
/������������������������������������������
( ) ( )40 300, 4; 0,3
100 100P A P F= = = = ����� ( ) 15
0,15.100
P AF = =
/�����������"���������"��������������������������������������������������������������������'��"����
?������������'��������������������������������'�����'��"������ ������������������������������"�����
6�����������������������������������
'��"�����������30 15 15.− = �/���������� ( ) 150,15.
100P B = =
( ) ( )1 1 0,55 0,45.P E P D= − = − =
?���"��������������������������������"���������� �40 15 25,− = ����� ( ) 250, 25.
100P C = =
�"������-������������������� ,D A F= � ��������������'��������������<�����#
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 4 0,3 0,15 0,55.P D P A F P A P F P AF= = + − = + − =�
���'������������������ ,E D= ������������'��������������=�����
���
������ � ��� ��� ��� :DD� ����� ��� ���������������� :����� :DD �E���� ��� '������ ���� ������������� �������������������������������H��������I �!��������"�������"�������#� � �!#� "����� ������� ������ �������� ��� '������ �
��������*���"#�"����� ��������������������������'��������
������������������
����������������������:DD���������������HD'�����"������4D�'����'��"������7=�"���������:I�'�����"���������'��"������:D�'�����"�������� "���������� I� '���� '��"����� ���"����������������4�'��������"���� ��N���������"������� "���� ����� ���� ���'��������� � 0����������"��������������"�������#���"#��������'�����"����* ��##��������'�����"���������'��"����*���-#��������'����������������"����*)��&#��������'����������������"����*���2#����'�������"�����������������������������������'���������"����*���0#��������������"���������'��"��������������������"�����'����"��������*'���#�������������������������'�����������"�����
: H
�����!�����"�����"����������������������
*�!�8�"��9�*�!��8�*�"�
5������������� ���"������������������ ���"�������!� ����������������� �������� ���������������� ���"������"
/�������� '�������������������������"������"����������"��������������������"�������! � �/������
������������������������'�����������������������"������������� �+���$������ ���"�������!���������
"�������"�����������������"������!����������������"������" �6����"�����������������������*�!�\�"�
"������#��������
��������
E���������� ����������"����������������
Z�9�@&���&
��V��&
�A���*�&
���9�:C�������)��� �9�:�
7�V��� ��!��������"�������"����������������!���
���� ����"���������������,
!���������������"�������������������
���"����������������������������������������������"�������������"������������ �0������������
�����"�����#
!#������� ����*
"#��������������
�� ���
E����������*�!��9�D�4���*�"��9�D�H��������*�!"�9�D�:
0�����������"�������"�������� ,A B� A B ���
.A B
7
0�����������"�������"�������!"�����
*�!�9D�=���*�"�9D�4�� ( ) 0,7.P A B =�
4
�
���
$����������������������'������"�����������������������'���������������������������������������
�����������"����������������� �/�������� ��� ������������ ������������� ��� ����������������������
"�������!�����" �E������������"����������������������������������������"������"����������!"�������
�����������������������������������"������!"��?�������( )( )
n AB
n B�������'���������������������������
+���$������ ���"�������!�����������"������*�"��T�D�������'��������#
( ) ( )( )| ,
P ABP A B
P B=
����������$������ ���"�������"����������!�������*�!��T�D������ ( ) ( )( )
| .P AB
P B AP A
=
����"�������!��������������"������" ��6���
������������������������������������( )( )
( )
( )( )( ) ,
n ABn AB P ABn
n Bn B P B
n
= ≈
���*�!"��������"������������������"��������!�����"
���� ���
P������������ ������������������ � �0�����������"�����������������������������)'������������
�������������������������������������������"�������� ��� ��������H
�������� 0K��������������"�����#���#���������������������)'�*
�#���������������������������"�������� ��� ��������H����������������"����������������������������������
�����)'�����������������������H �F�������"������������������������#
( ) ( )4 2 2 1; .
6 3 6 3P B P AB= = = =
���'����"����� ( )|P A B �����������'��������"�������������������������#
( ) ( )( )
113| .
2 23
P ABP A B
P B= = =
/����'�������������"������������������������������"����������������������"�������
:
���
( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | .P AB P A P B A P B P A B= =
������������������H���� ����������4����� �/��������������������������������������������������������
����� �0�����������"�������������������������������������� �����
���� ���
7
������� ��0K���������"��������!�#��������������������������'���������� �������!�#��������������������������'����
����� ����� �P����������"�������"�������!�!� �!���������������������������� ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1| .P A A P A P A A=
���������������������������"�����=��������������������4�������� ����� �/���������
M�����������"���������������������"������������������"������������������������������������
�������������#
/�������� ( )1
4,
7P A = �������"����� ( )2 1
3 1| ,
6 2P A A = = ���������������������� �������
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1
4 1 2| .
7 2 7P A A P A P A A= = ⋅ =
�
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1... | | ... | ... .n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A−=
������������������H���� ����������I����� �E�������������"��������������������������������������������
���B������������ ����� �0�����������"�����������������������������H�����
���������������
4
E�������������������������H���������������4���������������������������������������������������������������� −������� ����� ������!��������"������������������������������������ ����������������� �� �9:��7��4��H�����������
���������"�������"������� 1 2 3 4.A A A A �!������������������������#
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3| | | .P A A A A P A P A A P A A A P A A A A=
/�������� ( )1
5.
9P A = ����������������������������������������������������������������������"�����H����������
�����"��������;����������� ( )2 1
4 1| .
8 2P A A = =
���
��������������������������������'������������������������������������4����������������"���������<����������
( )3 1 2
3| .
7P A A A = ����'����"��4����������������������������������7���������������H��������� ����������
( )4 1 2 3
4 2| .
6 3P A A A A = =
6������� � ( )1 2 3 4
5 1 3 2 50,0794.
9 2 7 3 63P A A A A = ⋅ ⋅ ⋅ = =
�� ���
: 3 ���������� �� � �%������ �� ��� ���������������
������8�� ���ID�����������������$�� ���������)�%����� ��������� � � ��� � � ��� ���� ������� ��
��� ���� ��� ��������� �������� ����� ��� �5�
7 /�����������������I7�������������������������� 0�����������"���������������������������"������I��������������������������������������"������������
/���� ��� ����� ����� I7� ������ ���������� �������������������� �0�����������"�������������������������������������D����������������������������������������������4
4
H /���� ���������%�9�@:�7�V��7DA�����������������������"��������������� �0����������"���������������������������������)'����������������������������������������4
F����������������������������������"��������������������7C4 ������������������� ������������������������'������������������������������ �F�������������������������������������������D�I �0�����������"������������������������������ �������������� '����� ��� ������� �������������������
��������� �� ���������������� ����������������
���� � ������������������������ ������� ����$�� ���
����������
�(�)��%����� ��������� ������������������� �� ��
������ ���
�(�)��%����� �������� ������������ ���� ��� ���������
%����� �������������������� ����
I
=
/���"������!� ����� ��� ������ � �����
�����"�������"�����
���������������"���������������������
�������� ���������$�� �������������� � ������ ��!�� ������
"����� ���������������� � ������ ��"�� �������!>��������������
6��� ��� ��� ������ ��� ��������� �� "������� �"���� �
�������"�����������������"������!
�
���
0������������������������������������������������������������������� �/������� �����������������
�� ����������"����"������#
!#������ ����������������"���������������"#������ �����������������������
?��������������� �������'����������������������������
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )| ,
P AB P A P BP B A P B
P A P A= = =
����!�����"������"����������������� �$��������������������������"����#
� �� �����"�����������������������������������������������
�����������������
�������������������������!�����"�����"�������������������������������������������������������� �
�������
/��������������������������������������������������������������������������������������������������
������������'���
/��������������������������������������������� �0K�����������������"�����#
�#��������������������������������������������*�����������#�������������������������"����
6�����������"��������������������������������
��������
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 13 1 1 1 1, , .
52 13 52 4 52 13 4P A P B P AB P A P B= = = = = = ⋅ = ⋅
.���������������������������������������������������������������"������������������������������������
�����������������������������������������������������������"��������������������������������������������
�����������"����
:
�����"�����������������������������"�������� ������������
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )|
| ,P AB P A B P B P A P B
P B A P BP A P A P A
= = = =
������������������������������"�����������������������������"�������� ��?�������������������������������
������� ���������� ����������������������������������������������
���
.����������"����������������������������������������� ��F��������������������������������������
������� � ������������� ��0�����������"������������������������������������������������
������� ���R���������"��������!#���������������������������*
"#��������������������������� �/�����������������������������������������!�����"�����"���������������������
����������������"�������������������������������� �/��������*�!��9�D�<��������*�"��9�D�> �P����������"������
"������� .A B� �6��#
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB= + − =� ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B+ − = 0,7 0,9 0,7 0,9 0,97.+ − ⋅ =
7
/���"�������!�����"��������������:����������������������������� �6����������������������)'����
���"��������!����� ;B � A �����"*�� A ����� .B
������� ��/������������:����� .41
5213
)( dhe 131
524
)( ==== BPAP
�"������ A B �����������������������������������������I�������������"���� �P��������4������������������
���������"����������� ( ) ( ) ( )3 1 3.
52 13 4P AB P A P B= = ⋅ =
.���������!�����B �����"����������������� �/������������ AB �������"�����#���������������������������"����
����������������������������������������������I �6��:7����������������������������"����� �/���������
���'���� A B �������"�����#���������������������������������������� ��������������"���� �$�����������������
����������� ( ) ( ) ( )36 12 3.
52 13 4P A B P A P B= = ⋅ = �/��������������� A ����� B �����"�����������������
( ) ( ) ( )12 12 1,
52 13 4P AB P A P B= = ⋅ = �� � �� ������"������� A ����������������������
4
�����������������"������������������������������������������������)'���#
!����� B *� A �����"*�� A ����� .B �
6�����������������������"������������������"�����������������������������"����� �
���� ���
��
�"�������!���!
��V��!
�����������������������������������)'�������"���������������������7��≤���≤���
��������)'�������"������������������� ��^�� ��^�V�^� �����
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
... ... .k ki i i i i iP A A A P A P A P A=
.�������������!���!
���V��!
������"�������������������������������"������������������������'��������
��������������"����������"������������)������ � ��
��������4�����������������4������
�"��������������������������"���������"������������"����������������������
!���!
���!
��V��"
���"
���"
��V�����������������������������"�������!
���!
���!
���V� 1 2 3, , ,...B B B
���� ���
������������������=���� ����������7����� �E����������������������������"�����������������������
��� �0�����������"������������� ����������������������������������������������������������
������� ����������������������������� ��� ����������'���������� ������� ����� � 4�/�������)����������������
��������������������������������������)��� ������������������"���������� ����������������������� � ��
"�������!������� � 4 ���������������� �/������������
������������� ������� ( ) 1/ 4iP A = ����������� �� �� 4�/���
�����
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 1 3 3.
4 4 4 4 256P A A A A P A P A P A P A= = ⋅ ⋅ ⋅ =
H
�� ���
: 0������������"������������������� �F�������������������������D�=*�D�<�����D�I������������� 0�����������"�����������������������������������������������
7 *���� ��������������������������%����,���������� ��� �����������%�����������D�=����� ��������D�<��)�%����� �������� ����� ������ � "!#������������ ���� ������ � �����������%����="#��������������� ���� ������ � �����������%����=##�%�������� ��������������=-#�������� ���� ������ ����� �����������%����=&#��������������� ���� ������ ����� ����������%�����
4 F����������������������������������������������������D�< �.�������"������������������������������ ��� ������ ����� ������ D�4; � 0�����������
H �������������� ��H���������,������ ��������������� ��� � ��� � � ������ � �� ���� � �������� �������� �������D�:*�D�4*�D�7��� �D�:�������������)�� %����� �� ������ � � ������ ������ ���� ��� �� ����� � ��� �� ��� ������ ������� ��� � ����������������������������������� ���� ����
I 3��������� ���������������� �E��������������������� ����������������������������������� �������� �R��������������"�����#!#�����������������7�������������4*"#�����������������4�������������7*##������������������*������-#������������������*&#�8����������������7*1#�8�����������������4 0���������#��� � ���"�����)'������"���������������� ��������������* ������"������������������������������������*���"���������������������������������������,
��
!�������������������������������������������������'���������������������������#
F�����)���������������������������� ������������� ������������������������������������������������������������������������ ������� �/������� �������� �������������"�����'���������!������������������������)��������������������������������������#�����������������������������������"�������������"��������������� ��������������������������� ����������� ���������������������������������������������#���������������������������������������������������'���������'��������������
������������ ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������� �6����������������� �������������������
/�������������������������������������������������������'����� �/�������������������� � �������������� ���������������"������������������������������������� ����������"������������������
0������ ������������������������������%'��������!����&���������#�������������������������"�������������"��������������� ���������������������%������� ����������� ����������&����������#�����������������������������������������������
$����������������������������'������������������"�������������������������������������������������������"������������������������������������������������� �������������������"�������)������������������������"���������������
!�����������������$������� �����$�������� �-���������������������������������������� !�������������������#��������������������������������������B�������������������������������������� ������������������������ ����� �!��������������������"��������������"���������������
!����������������������� �������$� � ����� ������� ��� � �������������������$� ������������������������ �����������'����������� ������������������� �/������� ��������������������B����������������������������������:��7��4��H��I��� � �� ����������������� ������������'��������@:�7�4�H�IA ��������������������� ���� ��������������������������������������������� ����������������������� �6�������������� �����������������������������������������
�������)������)��#������
�: � �����������������������������*
���������������������������������*
�����������������������"���������������"���������� ������������������������������������������������������������������� ��������������"���������������������� �����������������������
7
4
���
���
?��������������������������������[:�7IDS���������������"���������:����������������������'��������������������������7ID�������������������������������������� �5�������������������)����������������������������"����� ���������� �/���������������������"����������������������� ���������� ���"������������������;D����"�����������������������74I���"����
F�����������������������������������"�����������������������"���������������������������������������� ������������������������������'������������������������ ����������� � �� ������������������ � �� ������
��������� ��������� ������������� ��"��������������� ����� ������ �������� '������� ��������� � � �� ����������������������������������������"�������������������������������������������'����������������� � �� ���� ����������������
��������������������������� ��������������������������
$��������������"��������������������������������������������������������"��������������"���������� ���������������������"����"���������������������������������������������'�����
/��������"��������������������������������������������"����������������������������������������������'����������������������������������������������"���������������
/��'����������������������������� ����������������������������������������������������� �1����������������������������������������������������������� � ����� � �� ��������������������������������� �1���������������������������������)������������������������������������������� ��� ������������������������ /��������"���������)������������������������������������������������
!���"�������������������"��������������������������������������"� ��������� �0���������������������� �������
�������������������������"������������������� �������������������������������������������������
���� ���
/��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������
���� ���
P�������������'������������"������������������������������������ ��� ����������������������� ����� ������ ��������
���
N������?�������%�����������&����������������������������������������� ����������"����������������������������������!3�?�������:>4= �6���������������M �N�����������? �E���
:
/����"��������������������������������������������������'�� �6�����������"����������������������������"������������������"����������������������������������� �N�����������������������������������'������������"���� ������������������� � ����������������� ����������������������������"������? �E��� N��������������"����������������������������"�������������"� ������ �6��������"� ���,
����������������� ����������� �������"� �� �!�����������������������������������������������'������������������������� �P������������������������"�"������������������������������������������������������������������������"�"��������������������"���������������� ���������E���
�"�����������������������"������������������������������ �������������H���������������������������������"�"������������ �!��������������������������������������������������'������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� �6���������������������������������������������������������������'���������������������������������
!���������������������"������������������������'����������������"�����������������
�� ���
: )�������������������������������������������������������� ��������3�� ���%����� ������ ������ � ����������������� ����� �%���������������� "��%�� ���������������������������'�����(��� � ����
7 ?�������������������5���2� �� �� ��3��:������������������������������ ����������� �$ ����� ������������� ���������9����%�������������� �������� ������� ������� � ������������� >
4 N������������������������������������������ ��� ����������� ��� ��� ����������� ������� �1�������������������������������������������������������� �����������������������������'� �����"������:DD������������������������� �� ����� ��� ����������� ��� �������� ������ ����(��������������������������������, ��������������������������������,���!���������������������������������������������,
������������������������ ���� �� � ����������������� � $���� ��� ���������� �%��������%����������������� ���������
����� ����������������������� ���������������� ������� ������������� ���������
������������������������������������������"������������
��������
������ ��� ��� ����������� � �%������������� ����������� �� �� ������ >
������ ��������� � � �� � ���� �$ ���>
���
���
E�����������������������������B������"�����������& �5��������������������������������������'��������������������� ��� ���������� ����������@:�7�4�H�IA �����'�������������
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ���
$������������������������������������B������ � �� ��������:�����������������������������7���������������������I�B������ � �� �����7����������I�������4����������4�������H����������H����������I���������=�����
���������������������I������ �1���������������������������������"���������������������������������B���������K������������������������"��������������'������������������ �$������������������������'�����������#
������������������������������������������������%� $� ����� �����������������������������������������������
�
����������������������������������������������� aa
np
n= �������%� $� ���� ���� ��� ������� ���� ,
������������������������
/������������������������������������ �����'��������������������'����#
���� ���
M�������� ������ ��������������������������������� ������������ �������
�� ���"��)'������������ ��
�������������� ��� ������������������������������������⋅:DDL����"��������������������������
������� ��� ����������������
5����������������'�������������'��������������������������������� ����������������� �� �%� $� ��� ���� � � �� �� �������
0� �� ���������A �� �%�
A �� �%�� �����
: 7 20,1
20=
7 I 50, 25
20=
4 4 30,15
20=
H H 40, 2
20=
I = 60,3
20=
M������������'�����������������������������
���� ���
!������������������������������������������������������������������������ �?������#
��������� 1 2 ;rn n n n+ + + =�
���������0 1, 1,2, , ;ip i r≤ ≤ = �
�������� 1 2 1.rp p p+ + + =�
F����� �� ������ � ������� ������ �� ��� "����'���������� ��������� ��� ����� �� ��� ������������������������������ 1�������������������������� �������������
� �0 ,in n≤ ≤ ���0 1,in
n≤ ≤ ���������0 1.ip≤ ≤
� :
���
1 2 1 21 2 1,r r
r
n n n n n n np p p
n n n n n
+ + ++ + + = + + + = = =�� �
��� ���� ��� �� ������ ��� '�������������� ��� ���� � ��������� ��� ��������"��'��� ��� ��� ������� "����������
������� �������������������������������������� ����������������������������� ������'������������������������������'���������������������������'�������������������%� $� ��� ������� ��������������������������������������� ����������������������������� ������'��������������������������������������'���������������������������'������������������%� $� ��� � ����
������������������������"���'�����������������"���'������������������������������'����#
3����������� �� �%�� 3����������� �� �%�� � �����
$�����������������'�������������������������������������������"�����������������������������"����������������� �5������������������������������������ ��������0�����"������������������������)��������������������������������������"��������������������������� �����)�������������������������D�����:
.���������������������� ,ii
np
n= ���#
�������������������"������������� ��
���� ���
��
:D
74HI=<
: 7 4 H I
D�DID
D�:DD�:ID�7DD�7ID�4DD�4I
: 7 4 H I
%�
/���������������������������������������������������������������B������������������������������������������B�������������������������������������"���������������B������������������
$����������"������������ ��������'��������������'������������������������������������ �������������� ���� � � �� ���
���
������'���������������� ���������������������������������������� �N��������������"������
4D�����������������������������������'������������������� ���� �������������������'�������
���������#:�7�I�4�D�D�:�:�7�I�<�:�:�H�H�<�D�:�4�7�=�I�7�;�D�D�:�:�7�D
/����������������������� ����������������������������
7
�� ���
+ �������"�E�������������������� ��� ����������F������
���$����B@�� ��� �
:��4��:��=��7��=��H��=��4��4��H��4��4��:��H��:��H��I��4��I�H��:��:��:��I��H��4��7��:��H��=��H��4��7��7��7��4��=��:��7�7��4��I��4��:��4��=��7��H��:
3�� �$ ������ ��������������������� ������������������� � � ����
, �������"�E������������ �� �������������������F�
0�$���� �������������������������������5@��� ��� �
7:��:=��:;��:<��77��7D��:<��:>��:>��7D�:=��7D��7D��77��7:��:=��:<��7D��7:��77�:I��:>��:=��7D��:;��:;��:>��7D��:<��:=
4 �������"�E�������������� ����������������� ��
������������� F��0������ �������������� ������
��4������ �
7��:��D��:��4��:��:��D��7��:��7��:��D��D��D��:��:��7��7��4�7��7��4��:��:��:��D��D��7��:��7��:��D��D��7��:��:��:��D��:
H �������"� E����� �� ���� � � � � ����� � ����� �
� ������������������ � ������89�� ���������85F�
0������ �������������� ������� ��4D������ �7H��7I��7>��7;��7<��7<��7;��7<��4D��7I�7I��7=��7=��7>��7;��7I��4D��7>��7;��7;�7H��7;��7>��4D��4D��7I��7=��7=��7<��7I
��������������#��������������"������������������������������
��������
������������� � ���� � � �������� � �$ �������� ��� �� �%��'� ������(� ������� ����� � � ��������� ������� ���
���
)�� ���� � �%����������������� �� �%����� �� �� �%��� ����� ���������� ������� �� �� �������������� �$ ���
��� ����� ��� �� �� �%���
0� ��� ���� �������� �� �%�� �������������� ��� ������������ �� �%�� ��� �� ������������ �� �%�� � ����� �
���
���
�������� � �� �������������)'����������������� ���������2� � ��� ���3��1������������������������������� '����������������������������� �������� ���������� �����"�������ID�B����������������������������������������'�������� ��5�����'�����������������#
����������������'����������)������������������������������������������������������������������"��'����������������'��������������������������������� �/���������"��'���������������������������'����"�����������������������������������'���������������
D
:
7
4
H
I
4D 4I HD HI ID II =D =I <D <I ;D ;I >D >I :DD
� � �� �� �� �� �� � � ���� �� � �� �� � �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ��� �� �� �� � � �� �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��
����������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������"����������������������������
���������������������������"�����������������������������������������������������������������������"������������������������������������ �/��"�"������������#
%!���������������������������������������������������������"����������������&����������������������� $����������������������������������������������������������������������������������������'��������#
; 1 3,211 log ; 5 log .r n r n r n≈ ≈ + ⋅ ≈ ⋅
$����������������"�������������'���������������
R�������������������������"����������������������������������������������������������������������������������������
E���������������������%�������������B�����������������������'��������& �0��������� �������������B����������������:�7� �:DD���� �.����������������������������:DD
� :
���
6�'��������������������������'�������������������������������"���������������������������������������������"����� � ������������������������������������������������)����������������������������"������������������������ ��� ����
P�������������������������������������������� �����������������������������������K���������
�����������������<������ 7 50.≈
���������������������������������������'������������������� �����������������"����������������������������������������"���������������������������������������������"��������������������������� � �� ��������������� �/�������������������"���������������������������������'��������������������������������������� �������������"�������������
-������������"����������������������47��������������������>> �.������"��������'����������������������
�����������������4D����������'���������������������'������������������������:DD �F�����������"�����������
����������������������������������������'������� �������������������������������������������
6����������������������K������������������������#�[4D�HD���[HD��ID���[ID�=D���[=D�<D���[<D�;D���[;D�>D���[>D�:DD�
0���������������'����������������������������������'����������������������������������"������� ����������� �5����� �� ���������������� ��� "������������ �� ����������� ��� ������������ ����������'��� �$���������������"����������������������������������������������������
0������������������'������������'�����������������)��������������������� �M����������)������������������������������������������������������ �������������������������'�����������������'���������'����������)����������������������������������������������������������
-������ �� '���������� ��� �������� �� ���"�� �
'�������������������������������������'�������
� )��� ������� ������� � ���� � �� � /��"���� �
'��������������'��������������������������'����#
3����������� �������
7D
H=;:D:7
�� �� �� �� �� �� �
A �� �%���� ���� A �� �%�� �����
:D[ )30, 40 D�7
;[ )40,50 D�:=
;[ )50, 60 D�:=
;[ )60, 70 D�:=
<[ )70,80 D�:H
H[ )80,90 D�D;
I[ )90,100 D�:
�!��
D�� �� �� �� �� �� �
�!��
�!��
�!��
�!�
3����������� �������� �����
���
/��������������������������������"���������������� �� �������� ������ �� �����������'������������������������������"���������� ��� ��������������� ��� ������ ���������� � /��������� � )��� ������� [����"������������������������������ ��� ����������������������������������������������"������������������
6������������������[4D�HD�����:D��������������� �����������������������������������������������������:D��� ��������[HD�ID�������������������������;�����������������������;������������� �3���"�������������������������������������������
�
D�� �� �� �� �� �� �
�
�
�
��
���
2������������ �������
�"���������������������������������"��������������������
/��������"�������������������������������������������������������������������B������������������������������������� �������� ������� ���� ������ � ��� �������B�����������������������������"�����������7�� ��� �7�� ��������7�� ��� ���
�!��
D�� �� �� �� �� �� �
�!�
�!��
�!�
�!��
���
2������������ �������� �����
��� � ��� � �� � � �� � �� � � � � � � ��� ���� � ��� � �� � � � �� � ��� � � � � �� � ��� �� � �� � �� � � �� � ��� � � � �� ��� �� � ��� � ��� � � � �� � �� � � � � �� � �� �
0�� ����������������������������
������� �������������������������������� �����'������������������������� �F����������������������������
)���������������������������������������� � �� �'����������)�����������������������������������:
-������������"����������������������D�:��������������������7I�I
�����������������"���'����������'��������������������������������������������������:���������������HD������
�����������������������������������"��������������������������� �����������������/�������"���������������
�������B��������'������'���� �/�������������������������������������������������������������B���
��������'������������������������"�������������������������� �����������������������HD��������
�������������"���������� 6 40≈ �������
� 7 F�����������������������"���������������"������������������������"������������HD����������������'�����������������#
��
6�'�������������������������������D����������'��
'�����������7< �?�������"������������������������
�����H�I �.������������������������������)������
����� ���������� ��������� ������ ������� ����
������������������������������������������ �������
'���������
A �� �%�A �� �%�� �����
:D[ )0; 4,5 D�7
;[ )4,5; 9 D�:=
;[ )9;13,5 D�:=
;[ )13,5;18 D�:=
<[ )18; 22,5 D�:H
H[ )22,5; 27 D�D;
��� ����
3���"���� � �������� ��������������� �����������
/��������"�������������������������������������������������������������������������������������������������������D�����H�I����� �/����������������������� ������������������"���������� � ��������� ��� ��� ����� �������� ��������������������
7D
H=;:D:7
� �!� ��!� �� ��!� ��
:H
:=
:;
O�������� ��������� � � ������ �$ ��������������������������
7;I��4H:��7>D��4DH��4:;��7;4��7;=��4DD��4:I��47=�4:7��477��4D<��7;>��7>I��7>7��4D=��4:D��4DD��7>:�7>>��4D<��4:D��44:��47<��4:>��7>;��7;;��7;:��4D4�4DI��44:��444��4HD��4D>��4:>��7;=��7><��7>D��4:D�4:H��474��4:<��47>��7;<��4DD��4DI��4:I��4::��7;>
D�H���D�I���4�I���4�H���H�7���7�<���I�I���4�7���7�>���4�47�H���H�=���H�H���D�4���D�:���4�7���H�4���=�4���4�7���7�74�7���4�=���H�7���D�I���:�4���:�<���:�D���7�:���7�>���7�=
=4H��=4<��=7>��IHI��II=��<;D��=I;��IH<��=4>��<>D�;:D��I:H��I>4��=:D��=:>��<;>��<D4��<H7��=7;��I>>�=44��<:D��<I=��<7H��I4;��=H4��=HD��<:7��;DD��<7I�I>:��=D>��=44��<D:��<I4��;D7��=4>��=77��<;:��<4>
7�4���4�H���H�7���4�I���4�:���7�>���7�H���4�7���4�H���H�74�H���4�>���H�D���4�;���4�<���4�7���7�<���7�>���4�D���4�;7�H���7�<���7�;���4�H���4�7���4�:���4�7���H�:���4�=���4�>4�;���H�:���7�;���7�=���4�7���4�>���4�I���H�4���H�>���4�I
�� ���
: �������"�EA������� � �������'���$/�(F��J���� ���$������ ����ID�%��� �� ��
!���#�%!������������������������������������� ����C���& � 5����� ����� ����� �� ������������ ��� ��� ���������� �� HD� ����� ������������
7
4 �������"�E����� ��� �$�������������� ����
����� �'�����(F��?����������������� �$ ������
��������5@�
H �������"� E.���� � ������� � ��� ��������� '����������(F��?����������� �$ ����� ��HD������� ������������
��
�����������#��
$����������� �� ��� ��������� �� ���� ��'�����������������"�������������"���
�����"���������������������������������������������������������������������������
.������� �� ��������������� ������������������������������� ������� ������������������ ��������������������������������� � �� ������� ��� 4 ����������������������������������������������������������������������������
/�����������������������������������������O���������"�����������������7D������ ��������� �����
�������������������"�����������'������������������������"���������������"�������#
�� �� � ��� ��� � �� �� ��� ���� �� �� � �� ��� �� ��� ��� ��
������� ���������������'��������������������������������#
��������
������������'������������'��������������������������������� �$�"���������������������'����������������� ���� ����������� � �� ��� ������� ����� ������������� ������ �� ��������� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ����� ��� ��� �������� ����"���� �� ��������������������������������������
���� ���
:
20
1(190 169 189 200 201 188 184 197 174 185
20192 195 180 199 178 165 187 164 162 194)
184,65.
x = + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +=
1 21
1 1( ) .
n
n ii
x x x x xn n =
= + + + = ∑�
!��������� ���������������������'������������'����������������,
+���������'���������������)���������'��������������� �� ���������� ��� �������� �� �� ����������������������������,
���
��
-���������������������������������������������������������������������������:;H�=I �.������������
���������������������"�������������������������������������������������������������������������
/�����������������������������������������������������"��� ���������������������������������������
�����������
������������������������������� �������'�������������������'�������������������������������������������'����
�����������
��V��
�������������������������������������������������������������������
�������������
�
���������8��
��8�V�8��
� 9����������������������������������������������������'������#
� 1 1 2 21
1 1( ) .
k
k k i ii
x n x n x n x n xn n =
= + + + = ∑�
�
��������
0����������� ���������������"����������������B����� �����RR���������������������������7I�B������������������������������������� �������'���������
������� �� �!�������������� � B������ "������������ ������ �� �
���������������������������������������
� � ��
: 7
7 4
4 H
H =
I :D
�� �
�
: 7
7 4
4 H
H =
I :D
7
=
:7
7H
ID
7I >HΣ
1 in x⋅
7
/������������������������������������������������������������ ������� ��� ��� ��������� ������ ����������������� ���������������� ��������� ��������������������������������������
(�����������������������'������������������������� ������������� ������'���������
6������������������������
25
943,76.
25x = =
��
��������������������������������������������������"������������������������������������������'����������������������������������������"���������������� ���������������������������������
�
-��������������������'�����'�����������������'�����������)�������������������������
�������������������������������������������'����������'����������������������������������������������������������������������'������
�����������������������������"��������������������������� ix� �������������������� �� �9�:�7� ���
������'��������������������������������������������������'���� nx� ������������������������������
'������#
� 1 1 2 21
1 1( ) .
k
n k k i ii
x n x n x n x n xn n =
= + + + = ∑� � � � ��
�����������������������������������"��������������������������������������������������������#
G���
����������������
<� � �� ; ;� � �� > >� � �� :D :D� � �� :: ::� � �� :7 :7� � �� :4
: I > :; :7 I
0���������������'����������"������������������������
���� ���
4
������� �������������������������� �������� ���
����������������� �
50
52510,5.
50x = =�
.������������"������������������������������
����'�������������������
ix�
[ )7,8 <�I
;�I
>�I
:D�I
<�I
H7�I
;I�I
:;>
Σ I7I
1 in x⋅ ���
:
I
>
:;
ID
[ )8,9
[ )9,10
[ )10,11
::�I :4;:7[ )11, 12
:7�I =7�II[ )12, 13
��� ����
��
�� ���
: ?����� ��������������������� � � ����%���������
������������������ ������� �������98������ ��J���
������������� �"
�����$����� ������������������� ������������������������������ ������� ����B@�'����������������"
������������
��������������
IDD − :DDD :DDD − :IDD :IDD − 7DDD 7DDD − 7IDD 7IDD − 4DDD
: H 47 :D 4
:<;����:>I����74<����7H4����:I7����:D4����4DH7HI����7;<����:I=����:H=����:>D����7II����747:HI����:<=����:74����7II����7DH����:<D����:>;)��%����� �������� ������������� � � ����%���������
������������������������������� �
)��%����� ������������������������� ������������� ��������$����
5�������������������������������������������������� �G���'�����������������#����#�������:=;����:<=����:;D����:=I����:=D����:<;����:<>����:=>����:;=����:<=�����#�������:I=����:=;����:<D����:IH�����:<I���:;D����:=H����:I>����:;I����:H;����:I>����:<:
)��%����� ����������� ���� � ��� �� ��� ����$�� ����� �� ���������� ���� � ������������
?���������� ���� �4D�������� �������������������������� ����������
7�4���4�H���H�7���4�I���4�:���7�>���7�H���4�7���4�H���H�74�H���4�>���H�D���4�;���4�<���4�7���7�<���7�>���4�D���4�;7�H���7�<���7�;���4�H���4�7���4�:���4�7���H�:���4�=���4�>
��������������� ���� � �������� ������������>
7 ?��������������$������� �9@�������� ����������
���������������J��������������� $����� �'�������("
:I=< :;<= :>;< 7D47 :>;<7:II :>;< :>=I :=H4 :;=I7DHI 7:4H :I;> :;>D 7:4H:=<; :><D :;=I :;I4 :;>D
)��%����� ������$�������� ���� � ���������� �
4
H
I
������������������
��� ��� ��� 4 �
�������� �$ �������������� ��������
�������%����� ��� ������������� ���>
��������
. ������� ��������������� ����� ��� ����������� ���� 5����������������������#� :
�� �� � � ��� �� �� ��
�)��
��
����������������������������������������������������"��������'�����#
���������������������������������������������
$�����������������������"��������������������������� � �� ����������"�����������������������������"���������� ��� ����������������"������������������������������� ��� �����������������
+�����������������������������������������������)'�,
5�������������������#
:H 4H 7I 7; 4> :: H: 7= 74 ID
$�����"���������������������������������"�������'�����#
::�����:H�����74�����7I�����,0�����,2�����4H�����4>�����H:�����ID
������������������������������������)'�������������������������"�������������7=�����7;
-����������������������������������������������"������� (1) (2) ( ) ,nx x x≤ ≤ ≤� ���� ( )ix �������������
����������������� ���������������������� �-���������������������"�������������������������������
���������"�������������������������������������������"���������� ��� ������������"��������������������
������������������ ��� ���������������������������� ���
���������������������������������������9�7��8�:�����������������������������������"������������
������������������������������������ � �� �� ( 1)kMe x +=
��������������������������������)'������9�7������������������������������������"������������
���������� ��������������������������������������������������� � �� � ( ) ( 1) .2
k kx xMe ++
=
��������������������������������������������������
7
���� ���
0�������������������������� '������������������������� '����������������#��
� 4 (�����������������������������������'����������������������� � �� ���������������
�������,
7H 4: 7> 7; 7> := 4D 7= 74�������� ���?��������������7> �?������������������������������������"�������������������"���������
��
������������������������������������������������������������������������������ �/������� ����
:�7�7�7�4�4�4�4�4�H�I�= ����������4
:�7�H�I�<�>�:D ����������
:�7�7�7�4�4�4�H�H�H�I�=�< ������������7��4�����H
!���������������%����� ������������'��������������������������������& ���������������"�������7I�����"���������������������� ���������� ����������7I�������������#����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������0������������������������������������������
����������0� ������'������������������������������������'����#
/������ �����������������������'�������������������������������������� �����
P����������������������������⋅������������������������������������������������
H
4��4��H��=��7��=��H��=��4��4��H��4��4��:��H��:��H��I��4��I�H��:��:��:��H��H��4��7��:��H��=��H��4��7��7��7��4��=��:��7�7��4��I��4��7��4��=��7��H��:
������7I��:D��:;��:4��77��7D��:<��:>��:>��7D�������:=��7D��7D��77��74��:=��:<��7D��7:��77�������:I��7D��:=��7D��:;��7H��:>��7D��:<��:I
7��:��D��:��4��:��:��D��7��:��7��:��D��D��D��:��:��7��7��4�7��7��4��:��:��:��D��D��7��:��7��:��D��D��7��:��:��:��D��:
3�� �$ ������ ������� � ���������������������%����� ��� �������� ������'��� � �$�����(�
������D��:��7��H��4��:��D��D��D��4��:��:��:��:��:�������7��:��7��7��7��4��H��D��D��D��:��H��7��D��:
�� ���
: !���#�%������������������'����������� �& �������������ID�������
7 �������"�E�������������� ����������������� ��������������� F��0�$���� ��������� ���� ������ ��4@������
4 �������#�%������������������������������& 0�$���� ��������� �����������������4D������
HH �������#�%������B�����������"���������������������& �0�$���� ��������� ����������������4D����
$���� ���������������������������������������������������������'�������������������
���� ���
ix �� �� �� �� �� �� �� �� � � �� �� �� �� ��
in � � � � � � � � � � � � � � ��
��
��
P���������R�# ��9�:� �
�9�7� �
�9�4� �
�9�H� �
9�I*
P���������RR�# ��9�4� �
�9�4� �
�9�4� �
�9�4� �
9�4
$��������������������������������������������������������������������� 5 5 3x y= = �������������
���������9�4�9���� �/����"������������������������������ ���"����� ���������"������� ������ ���
������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������ ��/��"������'����������������������������������
������������������������'"���
���������������������������������������#���������
��������
. ������� ������ �� ����������������� ������������� ����
���%����� �����>
� : G��������������������������������������������������������������#
/�����������������������������'������������������������������������"������������������������� �.���������'�����������������������������#���"��������������������������������������������������
-���� ���� ��� ����� �� ���������� ���� ���������� �� ����� ������ ������� �������� ���������� ��
������������������"�������������������������������������
:
D
7
4
H
I
: 7 4 H I
:
D
7
4
H
I
: 7 4 H I
6���������������������������������������������������"�������� max min 5 1 4,xr x x= − = − = ��������������������
������� max min 3 3 0.yr y y= − = − = �.���������"������������������������������������������������������������
�����������H�����������������������������������D����������� ���"����� max min ,y y= ����� ���"������������ ��
����������������� ��� ����
���� ���
�
��
-���������"��������"����������"��������������������D�������������������������������������������������������� ��� ������� � �� ��������"�������������������������������� ��� ����������������
/��������������������������������������"����������������������������������������� �1��������������������������������������������
"��� ������� 2ns ����������������������������V������������������������"��������������������������
��������������������������������������������������������'������#
.�������������������������������������� ��� ��������7*������������������������������D���������
���������������'�������������"�������������������������������� ��� ���������������������� � �� ���
���"������������������� ��� ����������������
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2
1 1 12 .
n n n n n
n i n i i n n i n i ni i i i i
n n
i n n n i ni i
s x x x x x x x x x xn n n n n
x x x n x x xn n n
= = = = =
= =
= − = − + = − ⋅ +
= − ⋅ + ⋅ ⋅ = −
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑
�
���� ���
2 2
1
1( ) .
n
n i ni
s x xn =
= −∑
/�������������������������������������:���������������#
2 2 2 2 2 25
1 10( ) (1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 2,
5 5xs ⎡ ⎤= − + − + − + − + − = =⎣ ⎦
����������������������������������������
2 2 2 2 2 25
1 0( ) (3 3) (3 3) (3 3) (3 3) (3 3) 0.
5 5ys ⎡ ⎤= − + − + − + − + − = =⎣ ⎦
/�������������������������������������'�����������������'��������������'��������������������������������#
������������������������������������� ��
� 4 �
���������������������������'������#
2 2 2
1
1.
n
n i ni
s x xn =
= −∑
���� ���
��
������������������������������� �������'����������������������������������� ������������'������������������'���������������������������������������'����
����������
��V��
���������������������������������������������������������������������
�������������
�
���������8����8�V�8��� 9������������������������������������������������'������#
�2 2
1
1( ) ,
k
n i i ni
s n x xn =
= −∑
������������������������������������������������������������������������������'������#
22 2
1
1.
k
n i i ni
s n x xn =
= −∑
���� ���
���������������������������"������������������������������������������������������������������ ������� ���
0��������������������������"���������������B�������������RR
����������������������������7I�B������������������������������
������� �������'���������
������� ���0���� �����������������'������������������������������������������
����������������������������'�������������������
7 � � ��
: 7
7 4
4 H
H =
I :D
� � ��
: 7
7 4
4 H
H =
I :D
: 7
Σ 7I
H =
> :7
:= 7H
7I ID
>H
7
:7
4=
>=
7ID
4>=
� �� ����� �����
� 0��������������������������������
� 251
1 943,76,
25
k
i ii
x n xn =
= = =∑ ������
�����������������������������
2 2 2
1
1 k
n i i ni
s n x xn =
= − =∑21
396 3,76 1,7024.25
= ⋅ − =
�����������������������������������"������������������������������������������ ������������������'�����������������������������"���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'����������'���������������������������������������������������������������������������'������
�
-�����������'�����������������'�����������������'�����������)������������������������
�����������������������������"���������������������������� ix� ���������������������������� � ��� �
������ '�������� �� ���� ������� ������ ��� �������� ������ �� ����'����2ns� � �� ��������� ��������������
'������#
2 2
1
1( )
k
n i i ni
s n x xn =
= −∑� � � � ���� �22 2
1
1,
k
n i i ni
s n x xn =
= −∑� � �
��� nx� �������������������'����������������������������������
������'� ���������� �������������������������������������� �/��������������'������������ ��������� ������'�������#
0�� ��������� ����'������� ��������������������������������������������������'� ���
������� ��!��������� ���
���� ���
4
��� ���� [ )20,30 [ )30, 40 [ )40, 50 [ )50, 60
�� �� �� �� ��
��� ����1x� 2
1in x�
[ )20,30 �� �� ��� ��� �����
[ )30, 40 �� �� ���� ���� ����
[ )40,50 �� �� ���� �� �����
[ )50, 60 �� �� ���� ���� �����
Σ ��� ��� �����
�� 1in x�
-�����������'����������������������
����������������
1001
1 385038,5.
100
k
i ii
x n xn =
= = =∑� �
/����������������������������������������������������
" �������������������������������������������������������������������������������������
0���������7���������������������������������� 2 1,7024,ns = ���������������������������������������
1,7024 1,3.ns = =
�
���� ���
/���������������'���������������������������������������#
2 2 2
1
1 k
n i i ni
s n x xn =
= − =∑� � �
21159500 38,5 112,75.
100= ⋅ − =
21x�
�
�� ���
0�������������"����������������������������������������:�����I�"�������:D�������������:�����H"�������::
:
����������������������������$��%���
:
P������������������������������������������������������"��������������������������������:�7�4�H�I�=�< ����4����������"���<D���������������������������������������"��� �����������������������������������������"�������#
!#�����������������������������������������������I*"#������������������������������������������������ ��� ��������4*##���������������������������������
�������������������������������������� ������������������������������������� ����+� �0������������� ���������������������������������������������
�������������H����������������:��7��4�����H ���������������������������������������"��������������������� �0�������� ����������������������������������: �0�������������� ���������"���������������������������������������
P�����������������������������������������������������I7������ �6�����:D����������"���HD����������� /���)���������������"���������������������������������������������� �(�����"��������������� �����������������"�������#
!#�������������������������'��������:D*"#��������������������������������������������������"����������������������
7
4
H
�� ������������� �%����� �� ����������� ���������������������� �������� �� �%������)�������� �����������
������ � � � � ��� ��� ����������� ������������� "
!#�����"����������������������������"�����*"#�����������������������������*##��������"�����"�������������������������������������*-#��������"��������������������������������
I
0�� ���� '"���� ������ ����� ������ ��������� �����������������������������������������' R�'���������"�����#�!#����������������*������"�#���������������������9:�7�4 $�������"���������������������"������#����������������������������������������������������
=
��
��
��
�
������������ ��:D����������������������������������=����������"��������H�������������"��� �/����������"����������������I�� ����� �0�����������"���������������������4����������"���
<
�������������"��������;��������� �������������� �F����������������������������� �����������:IC7; 0�������������������������� ����������������
;
P
P
*
P
P
P
P
P
��
)��%����� ��������� �� �$�� ����� ���������� � ����������������������������� ���������������������������
0������������������������������������������������������ �!��������"��������������"�����������������������������������������������'������������������������������������,
>
:D
������������ �����������I7�������� �E�������������������������������" �0�����������"�������������"�������#
!#��������������������������������������������*"#�������������������������������������������������������������������������'���
+��� �������� ��������"������� �6� ��������������:DDD��� ����� ��� ����������������������$� �0�����������"���������� ���"���������������������������7� �������"��������
3��������� � �0�����������"�������#����������������������������������������������������������������������������������������I*������ ������������������������)'��������������������������������������������������������4
�������������:7������������� �/���)��������������"��4�������������������������� ������������������������ �0�����������"��������"��H����������"�������������������������
::
:7
:4
M� �������������� ����/�������������������������������������� ��������������� ����������������/�����HD< �/�������������� ���������� ���� �"�������7ID� ������ ��� ��� ������� ���������������������:DD���
�� (�����������������������������, � (�����������������������������������������������������,�����+���'�������������������������������������������:DD�������7ID�������� �������
�"������,
������"����������������HD�B�������������������������������� ��+�������"���������������:�����:D �5�����'�����������������#
< > ; ; H 4 7 7 : :D> > ; :D : 7 : 4 H II I = ; > :D > ; ; 7: 7 4 I ; > :D ; < I
���0������������������������������ ������'��������������������������������������"������'���������������'���������������� ��0����������������������������������������������������������� �����������0�������������"��������������������������������������������
:H
:I .���������������������������������������������#�����'������������!�������������� �����:7������������������"�=��������������� ���������������������� �!�������!�'��������������������������������" �!����������������������������������������������;#H������������! �?������������'�������K��������������������"���������'����������������������� �6����������'����,
:=
<
P
P
P
P
P
P
P
P $
P $
*
��
$������4D���������������������"���������'�������������������#��;= :D: ::7 �<I �>; :D4 ;> ��>> :DD ��;I��>; ��>I :D7 ::: ::> ��;< ;; ��>I ��>= :D7::7 :D; :7D �>= �>4 ��;; >7 :DD :D: :DI
�(�)������� ������������ ������������� ���� �� �� �%�� �� �������������� ��� ���������������$���� �
�������� �� ��� �� �%�� ��� �� �� �%��� ����� �
�(�)���� ���� ��� ������� ������ �������� ������� � �$ ���������������
%(�����������)���� ���� ����������� $������� �� ����������������������� �$ �����
:;
:> ���������������%���������������������� ���������������������� �������������������� ������G $����� �� ����� �
��������������������� ��"
[ )15,50 [ )50,85 [ )85,120 [ )120,155 [ )155,190 [ )190,225 [ )225,260 [ )260,295����� ����������'���(
:DA �� �%� :I :; 7> 4D 77 :< >
�(�)������� ������������ �������� ���������� �� �� �� �%�� �
�(�)���� ���� ���� ��� ������������ �������� ������������� �$ �����
%(�����������)���� ���� ���� ��� �������������� $�������� �� ���������������
7D ) ��� ����&���������������$������ �� ��� �������� ���� ��������� �������� ���� �������$������
� ����� �������������������������� ��"
�(�)������� ������������ �������� ��������� �� �� �� �%�� ��� �� �� �%�� � ����� �
�(�)���� ���� ���� ��� ������������ �������� ����
%(������������)���� ���� ���� ��� �������������� $�������� �� ����������������������� �$ �����
[ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20, 25 [ )25,30����� �$������ ���'���(
A �� �%� :I > < I H
��������������#��������
�"������ A B� ������������������������������������������������������������"������#
���!�����"* ��!�����"* ��� ; dhe BA )��������"������!�����������"������"
F�������"�����������"����Z����������:* ��:C4* ���D* )����������������������� F����������������*�!\"������"�������!������������"����������������'������#
���( )
;( )
P AB
P A��� ��
( );
( )
P AB
P B������� ( ) ( );P AB P B ��)�� ( ) ( ).P A P B
::
7:
:
4
��� ���������� � �$ ������������ ������ � �$ �������������������� (1) (2) (2 )nx x x≤ ≤ ≤� ������ �
� ������������������������#����� ( ) ;nx �� ( 1) ;nx + ������� ( ) ( 1) ;2
n nx x ++������)�� ( 1) ( ) .
2n nx x+ −
H
:
P $
P
P $
P
P 2
P
P
P
P
P $
��
;��������� ������ � � � � ��� ��� �� �� ����� �������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�
�����������������������������������
���������������������������������������������
��"��������������������#��������*�������� ����
�� ��
���C7*����������
��* )���
�� � �
��
I:
=:
F�����������������)'���������"��������!�����"�������������������������������������������� '������#� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
����� ������� ��������������������� ��� �� ������� � IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�!����������������>�3����$�������� ������������ �$ ������
<:
:;
> :
:���������������������� ����� $�������� �� ������������������������ �$ ����>:D :
$���������������"�������������'������������'��� �F���������������������������������D ;������'��������D >������������'����D < �R���������"������#&
�#�$������������������������* ���������&
�#�$���������������'�������*
&�#�$���������������'���
$����������������"������������������������"�������!�"�#�����-����������������������������������"������������#!#�$���������K�������������������*������������������"#�$����������� ��"����������������*##�$���������������������������������*��������-#�$�����������������������������
::
I
E���������!�����"�"������������������*�!�9:C7��*�"�9:CI��������*�!\"�9D ���0����������� ( ).P A B� ��������� ���!�����"�������"�����������������,
:7 I
/�������������������!������������������������������������������������"���������������� ���������� ����������������� ���� ���� ������"�"����� ��� '������ � �����������������#
��I ��> ��< ; ��= :D :4 ��> ��H �:��; ��< ��< = ��I ��H ��7 :D :7 :::4 :7 �:: > ��> �:D ��: ��7 ��7 �4��> ��; ��< H ��I ��= ��7 ��4 ��4 �H��I ��> ��; < :D ��> ��= ��; ��H �:
���0������������������������������ �������� �� �%�� ����� ������������$���� �������� � �� �� �%�� ��� �� �� �%��� ����� �
�(�)���� ���� ��� ������� ������ �������� ������ � �$ ���������������
%(������������)���� ���� ������������ $������� �� ����������������������� �$ �����
:4
I
����������� ����������������� ��%� ��������� � �� �%������H;D��&����� �������������� ������ ��)���� ���� �"�(�� ������� ������ ��������������������� �$ ��������������=
�(�������������� $������� �� ����������������������� �$ �����
:H
"�#�$����������%�&'��$�� <D <H <; ;7 ;= >D >H >; :D7 :D= ::D ::H ::; :77 :7=
(������$� H > := 7; HI == ;I <7 IH 4; 7< :; :: I 7
I
P
P
P
P
P $
P
P
P
P $
P�$
P
P
��
$���������)����� 6���������������������
0�� ���������� �� �������������� ������������"����������������������� ����������
(�������������������������������� ��"���
.��������������������������'�����
��
��
���
���
����� ���������/�����
�
�
�
�
.��������������������� � ����
�
#$%&�'()('�*�)*&$�
��
���������/�����(�#���������������������
$���������)����������������"������������� �?�������������������������������)������������
'������������"������������'�������������"�������������������������������������������������
�������������������������������������������"������������'���������������
/��������������������������������������)�������������������������������� � �� � ������"�������������������
������������������ �E�"�������������������)��������'�������������������������������������������
������������������������� ������������
��������
3��������'H(������� ��������� ��� ��������������� �
��������( ) 11% .
100A A=��
A��������������������������� ����������������E����������F�
BH� ��6@�������5
60 3.100
⋅ =
3������( )000 �������� ���������� ��� ���������������
��������8H� ��- .1000
1A=
BH� ��6@�������5
60 0,3.1000
⋅ =
: ��������������������������������������������� 0
0032 .
!��'����������������������������������������7IDDDD� ���,
������� ��������'��������������������� 00032
/����7IDDDD��� � �� �32
250000 8000.1000
⋅ =
4 ��������"������������7ID�"���� 000350 ����
000420 ���"���������������������������������
!��"����������������"����������"�����������������,
������� ��?����� 000350 ������7ID��� � �� �
350250 87,5
1000⋅ = �"*���"����
420250 105
1000⋅ = �"�������
F��������������������������������"����������� �����������)�������������������������������������
��������������������)��������������"����������)����������������������������������������������������)����
���� ���
N������ �������������� ���������� ��� ������� ��� )����� ��� ��"���� ��������� �� ���"�������� �����
������������� �� ����� ��� .����
( )250 87,5 105 57,5− + = �"����
7 ���������"������������7�I��"����4IL� �����H7L����������� �!�����"�������� ���������������������"���,
��
/��������������������������)�������������������������#������������"����
.����������������"�������������� ��� �����������������������������)����������:DDD���������� ��� ����
�������"���� �/������� ������������������������������� 000850 , ������������:DDD������������"�������
;ID������������������������������)����
������������������������������������������������������������ ��������������!����
11 car .
24= �/������� �����������������������������:;���������������������7H�������������������:;������
�����������������������������7HC:;
/����������������"��������������"����������������� ��� ���������'�������"��������_�"������������
����_���������1
1 dwt .240
=
�������������"���������������������������������� ��������'�������"�����"����������������"�������������
1 car = 4 gr, �������1 dwt = 24 gr. �/������� ������������"�������������������77I��_��������������
��7HD������������"��������77I������������"�������������������������������7HDC77I
���������������������?����������������������� ��11 ����� �������������������"����������������������
����������� �� 1 ����� ��������
/��������������������������������"��������'�������������������������������������������77�$%+��������������77��������� ������������������������������777��_��������������7HDC777��
-���� �������������� �������� �� ����������� ��� ���� �������� ����� ���� +������ ��� ����� � ��� �� �����
�������� ��� � � �� �� ������� ��� ��� ��� ����� ������� �� ������ �������� ��� � � ������
���� ���
$������������������������������������"���������"������������������������������������������
�����������������������������������������������������"����������������������������������
��"������������
/����������������������������������������������������������������"������'���������������#
%������&
%Z�����&
������'��������"�����"������������������������������������
��������������"�����������
������'�������"�����<�������������������������������������
��������������"�����������
$������������������������������������������������������"������������������������������"���������
�������������������������������������������"������������
1!������������!�����������
11����������!� �
!���������� �
��
H (��������������������������������������������(� �
������� ��!�����:��7��������� ������� ������������������������ ����������� :� ��������7�"������� ���
���������� � �� �������������������������� 22car 1car 2gr 23car 2gr,+ = �������������������
���������������7HC74�I
�2
23 23,5car.4
= �.�����������7H�������������������������74�I������������������������
I (������������������#
������������������������D��4*�������� ������������"��������������:D��=
= (�����������������������������"�������������Z:D��=
������� ��!����Z:D��=����"������������"������������������������������������������"����������������
:D������������=�"�� �/���������#
18222dwt 10dwt 6gr 221dwt 24gr 10dwt 6gr 211dwt 18gr 211 dwt 211,75dwt,
24− = − = = =
����:�����������7H�"�� �6�����������������������7HD��������������������"������������������7::�<I�������������
�����������7HDC7::�<I
< !����������������������������� ����������������������#
���Z7��4*������������ ��Z4��:*������������������D��7,
������� �����!���������������������������������������7�����4�"����������������������������������
�����������#�1
22car 2car 3gr 21car 4gr 2car 3gr 19car 1gr 19 car 19, 25car.4
− = − = = = �.��������
���7H����������:>�7I���������������������7HC:>�7I�
; !���������������������"�����������������"������������������#
����:I��:7*������������ ��Z:I��:7*�����������������ZD��7D,
����������� !� B15,,12+ � ����� 222dwt 15dwt 12gr 237 dwt 12gr+ + = �����12
237 237,5dwt.24
=
.��������������������������������� ����������"���������������������� ��
�� ���
: ����������������������������#����:��:*��������� ���D��4*������������:��D :������������������ $ ������������� �� �������
����
7 !����������������"�������������������������������������#���Z4��7*��������� ��Z:D��4*�����������Z<��D
��
4 ���� ��������� �������������������� ����� ���� ��
� ���������"
�(��I��7D=����������(��:7��:7*��������%(��:D��I,
H �� � ��������������� $ ������������� �� ����
������ ������������ ��� "
�(�ZI��:D=����������(�Z:7��:;*��������%(�Z=��7D
I 3������������������ ����� �������������� � ���
���������������� �
= 3������������������ ����� ����������� ����� �
������������������� ��
�������������������������������������������"�����������������������������������
��������
�������������� ������� ���������������"
��������� :DDD����������������������������������%����������������������������������*��
3�������������� ��� ���������������%�������� ����������������� ���� ������"
�����������%���������"����
��:DDD������������"���� ���"�"������������
���"�"����������*����������������
1000p S P⋅ = ⋅�� : 1000 :p P S=
� .������"��������������I�����=�"������������������"������'������� 11!�
�������������������������� 000
222 1000925 .
240p
⋅= =
1��!�
: !��������������������������������������������������������������(� ��
���������!��������������������������������������������������������� � �� ���������������
122 1,,1 23, ,1 23 23,25car.
4+ = = = �.������������7H���������������������74�7I�����������������������������
: 23, 25 1000 : 24,p = � ���� 000
23,25 1000968,75 .
24p
⋅= =
7H������������"����
:DDD������������"����
74�7I�����������������������
����"�"������������
������������ ,/ 7,91624
10002200
0=⋅=p ������
��������������������
�
7 (����������������������������������������"��������������:D��:7
4 (��������������������������������������"�����������������������08*����1+�
���������/��������������������������#
20225dwt 20gr 225 dwt 225,83dwt; 240/225,83.
24= = �/�����#
��7HD������������"����
:DDD������������"����
77I�;4������������"��������������
���"�"������������
/���� : 225,83 1000 : 240p = ��������� 000
225,83 1000940,96 .
240p
⋅= =
-��������������������������� ��"����� ������������ ���)������ '������������������������� ��"�������� ��
��������������:DDD
H (���������������������������������������"������������5�� ���
���������!����������������������������������������"����������������������������������������������
9222 12,,15 221,, 24 12, ,15 209,,9 209dwt 9gr 209 209,375dwt.
24− = − = = = = �/������
000
209,3751000 872,40 .
240p = ⋅ =
�F����� ���������� ��� �������������� ���������� ��� )����� �������� �"������ ���� ������ ����
�����������������������'���������������������������������"���������� ��������������������������������������
I ������������������������������� 000975 . �6���������������������������������"����
�������� ��7H������������"����
��:DDD������������"����
������������������������
><I�����������������������
: 975 24 :1000P = ����� 1000 975 24,P ⋅ = ⋅ �� � �� �975 24
23, 4car 23car 0, 4car1000
P⋅= = = + =
23car 0, 4 4gr 23car 1,6gr.= ⋅ = �.�����������������������:�����:�=�"��������������������������� � ��
�����������������:��:�=�����7HC74�H
/������� ������������������������������7HC77�I����������������������� 000
22,51000 937,5 .
24⋅ =
�
= !������"���������������������� 000802,5 . �!������������������������������������
��7HD������������"����
��:DDD������������"����
�������������"��������������
;D7�I������������"��������������
��������
:802,5 240 :1000,P = � � � �� �802,5 240
192,60dwt.1000
P⋅= = �.��������� �� 7HD� ������ ��� ��"����� ��
192,6 192dwt 0,6 24 gr 192 dwt 14 gr= + ⋅ = �����������"�������������� �!��������������������������
������������"����������������� 222dwt 192dwt 14gr 221dwt 24gr 192dwt 14gr− = − =
-����� ���� ������ ����� ������������� ������� �� ��"������ �������� ������������� �"����� '������ ���
����������������������������������������������������������������������������"���
< ����������"�������������������"��������H;D�"��������� ��HID�1���"������������� �!��������
�������"���������������������������
���������/�������������������������������� 000
450 1000937,5 .
480
⋅ = �/�������������"����������
937,5240 225dwt
1000⋅ = ��������� �!������������� 225dwt 222dwt 3dwt− = ��������������"��������
������������������������(� ��
�� ���
: � ����� ������ ����������"�(�ZI��7=����������(��:��7*��������%(�7:����
�� ����( )1 2− ������������������� "
7 � ����� ������ ����������"�(�74I��_��:D�"�=����������(��;��I*��������%(�Z:4��7D
4 ����� ��������� ���������������"
�(� 000815 ; ����������(� 0
00940 ; ��������%(� 000956, 25 .
�� � ��������������������������� $ �
H � ��������� ��� ���������������"
�(� 000825 ; ����������(� 0
00900 ; ��������%(� 000956, 25 .
�� � ������������� ��������������������� $ �
I ������� ����� �������������������� "
�(� 000980 ; ����������(� 0
00900 ; ��������%(� 000850 .
�� � ������������� ��������������������� $
�� �%������� ����� �� �����
= ������� ���� ��� �������������������� "
�(� 000945 ; ����������(� 0
00925 ; ��������%(� 000800 .
�� � ������������� ��������������������� $
�� �%������� ����� �� �����
< ������������� ����������:7D�"��� �������::I�"�����������:����������������� �� �������"
�(����������� =��������(������������ $ �
; ������������� ����������:ID�"��� ��������>D�"�����������:����������������� �� ��������������
���� $ �
> � ��������� ��� ����������=DD�"��� �������IID�"�����������:����������������� �� �������"
�(����������� =���������(������������ $ �
29dwt 10gr= �������������������Z7>��:D�����7HDC:>7�=
���
���%�#���������������������������������"����
�/����������������������������������������"�������������������������"������������������������
���"������������"����������������������
(�����������������������������������������������������������������������������������
: !��"�����������������������������������������������������4ID�"������������������ 000820 ?
�������� ��4ID�"����"���
��:DDD�"���"���
*�"�������������
;7D�"�������������
:820 350 :1000P = �����350 820
2871000
P⋅= = �1��������������
7 !����"���������������������������"��������������=DD�"����������������� 000900 ?
�������� ��=DD�"����"���
��:DDD�"���"���
*�"���"�������������
>DD�"���"�������������
: 900 600 :1000P = �����600 900
5401000
P⋅= = �1����"�������������
4 !��"�������������������������������"�������������:7D�"�����������������7DH��_�,
H !��"�����������������������������������������=7D�"�����������������ZH��4,
��������� !��� � ���� ��������� ������������ ��� ����� ����� ���� ������� � /������������ �� ��� �����
22 4, ,3 21, , 4 4, ,3 17, ,1 17, 25car.− = − = = �.��������� ��7H������� ��� ��"��������:<�7I������� ��� ���� ��
������ �/���������#
��=7D�"����"���
��7H�������"���
*�"�������������
:<�7I�����������������
:17, 25 620 : 24P = �����620 17,25
445,62524
P⋅= = �1��������������
-����������������������������������"����'������������������������"�������������������������������������
�������������"�����
���
� /����������������� ������ ��"���������� ��������������� ������������������������������� � �
��"����
I (���������������������������������������������������� 000800 ��������� �����1�������������
��������������������� ����������"��������������������������������������������!�����
��"�������!�1
��:DDD�"���"���
H;D�"�������������
;DD�"�������������
:1000 480 :800S = � ��480 1000
600800
S⋅= = �1�
= �����������"����������������������� 000800 ��������� ������1���"������������� �(�����������
�������
� �����������"�����������������������5�� ����������� �����1���"������������� �(���������
����������
%
7HD
���"�"����H;D
7D:�44
: 240 480 : 201,33S = � ����480 240
572,19201,33
S⋅= = � 1�
-�����������������"����'����������������������������������������������������������������"�����������
��������������:DDD��7H�����7HD��������������������������������������������������������"�����������������
�������������������������
; ������������������������������������������"�����#�4D�"������������������� 000900 ; ����ID�"������
������������ 000920 ; �:����������������� ( )1troz 31,1035 g ;= ��>�;I=I�"� ����
������#
���������������������������������������������������*
�������������������"����������������������������������"����*
���������� �����������������������������������������������"������������� 000780 .
����������� $���������"������� �������������������$�������������������
4D�"������������������� 000900 30 0,9 27⋅ = �"
ID�"������������������� 000920 ; 50 0,92 46⋅ = �"
���������/������������������������"�����������8
221,, 24 20, ,16 201, ,8 201 201,33dwt.24
− = = =
4:�:D4I�"����������� 4:�:D4I�"
>�;I=I�"� ���� D�"
:7D�>=�"����"��� �����������:DH�:D4I�"
���
�� 000
104,10351000 860,64
120,96p = ⋅ = �������
104,103524 20,65car.
120,96⋅ =
.������������ ��������� 0000 �����������������������"��������"��������������������������������������
��������
:7D�>=�"����"���
��"����"��������
���������������;=D�=H
���������������<;D
��
:120,96 860,64 : 780x = � � �120,96 860,64
133,46780
x⋅= = �1�� �.��������� ���� �� ��"���� '���
�����133, 46 120,96 12,5− = �1� ����������������"�������������������������������� 000780 .
�� ���
: !������������������4I�"����������������0
00940 . �!��"���������������������� �������,
7 M���������"������������������=�;;>�"��������������������������� �!��"��������������������'���,
4 !�� "����� ��"���� ��� ������� ���� �� ���� ��"������������� >7D� "� ���� ������������:7��:7,
H 0��'��� � ������� ������������ 000920 � �� ��
�����:=�������:������9�4:�:D4I�"� �!��"��������������������������'��,
I ���'������"�������������������Z:D��D����������:;����� �!��"�������"�������������������'��,
= !����������������������������������������������������������� ��:7D�"�������������,
< !��� � ��"�������������������� ������������ ��HDD�"���"������������� �(������������������
; ���� ���� ������ ��������� ����#� =D� "� � �����
������������ 000900 , �::D�"������������������
000960 ������=D�"��������������������ZI��:
(���������������������������������
> !���������"���������� ���������:��"���"����������������� � 0
00800 , � =ID� "� ��"���� � ��������������:I��:D� ���� IDD� "� ��"����������������ZH��= (����� ������������� �� ������� ���������������������������"����
:D !����������������� ������������������"�����#7I�"�������������������� 0
00912 ; �ID�"������������������ZI��4*� � :� ����� ��� ��� ������� ���;�<4I�"� ���� �������������������������������������"��������������������� ������� ��(����������������������������������������������������������������"���� ���!��"����� ����������������������������������������������������ZH��7,
���
����������������������������$��%��
!�������������������� �� ��������� ��������� ���>:
. �%������������� � ��������������� $ ������������ �"��(����=������(���� ����>7
0��������������������������ZH��7 �+�����"�����������,4
!��������������������:��4 �(�����������������������������#����������"����*����������� ��������������
H
!������"���������������Z;��:I �(�����������������������������#����������"����*����������� ���������������
I
:����������������� $ �������������������� ����������� ��������� �����"
�(� 000780 ; �(� 0
00930 ; %(� 000980 .
=
:����������������� $ �������������������� ���������������������������� � ����%�����������"
�(� 000780 ; �(� 0
00930 ; %(� 000980 .
<
� ���������� ������;D�"�������=I�"������������:������������������ �� �������"
�(�����= �(������
;
� ��������� ������ ������:;D�"�������:ID�"������������:������������������ �� ��������"
�(�����= �(� ��� ���
>
:����������� �� ������������� �����������Z=��7����%����������4DD�"�����������:D
:����������� �� ����������� ������ �������������>��:7�����������IDD�"�����������::
0���������������������"����������������������������'��������������������� �������������������7D���� �!��"������������������������������� ����7;�������������������������������������������������������:�>D�",�!��������������������������)���� �������������;ID�����������:�",
:7
���
4 !�����������������������:��7��������������������������#
����������������������������������������������:����*
���������������������������������������������:�����7"�*
�����������������������������������������������:����*
)����������������������������������������������:�����7"� :
H ������� ���� ������ �����������777��_�� ������������������� "
�(� 0001000 ; �(� 0
00950 ; %(� 000930 ; (� 0
00925 .
I !����ZI��:�����������������"������������������XXXXXXXXXXXXXX����������������������������� ���� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 7
= !�����:D��:D������������"��������"������������������XXXXXXXXXXXXXX����������������� ��"����� �������� ���� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
< �������������"���������������������������������������"�������������"������#���1car ________ gr;= ��1dwt ________ gr.=
; ������� ���� ������ ����������� 000935 . ��� � ������������������������������ $ ��
7
7
4
> ������� �������������7DD�"����� ��:;D�"������������� ��� � �������������������� ����#����������*�������������� �����������"���� 4
:D !��������������������"���������������������������������������� ��7ID�"���"�������������, 4
��������������#�������
:: ?������������������������������#����77����*������� ��74����*����������7H����*��������)��7H�����4�"�
7 ?�"��������������������������������#����7DD��_�*�� ��77D��_�*�����77:��_��7H�"�*���)��7HD��_� :
:
���
���� ������� �����������������������������������
� 4 �� 9;x = − �� 6;x = $�4
;3
x = )� 1.x =
> ��������*&'�� '�+����*&'�� '�+$���*&'�� '�+)������*&'�� '��
� ; ����� ���,-��.�����/ Rk∈ 0+$�������,-�����/ Rk ∈ 0
: 1������'������ �)�� 7 ��� �$�� 4 �� 0,6;x = �� 1;x = − $� 2,5;x = − )� 6.x = − H �� 1;x = �� 1.x =
I �� ( ) ( )3 2 4 16 6 2 6 2 3 2 3 4 12 3 ;
3 2 9
x xx x x
− −⋅ − ⋅ = ⋅ ⇔ − − − = ⇔ = �� 2.x = − = �� 5;x = − �� 16.x = −
< �������*&'�� '�+�� 0;x = $� 11;x = )�����*����� ������������ ;
�������*�������������%%��+$� 3,m = ���������*����� ���%%'�� 0 0.x⋅ =
�� ( ) ( )3 3 ,m x m m x m− = − = 2�� 3;m ≠
: ��� �� � �
7 �� � � )�� 4 �� 3 3;x y+ = − �� 2 3 3;x y+ = − $����������!3 4 6x y xy− + = ����� ������*��%�����+
I �� ( )1, 1 ;− �� ( )2, 7 ;− − $� ( )2,1 ; )� ( )2,5;2 .
I��3��� ,y k= ��� ��� 3 2 ,x k= − 2�����������,-��4�����/ Rk ∈ 0+�� 2 6,x y− = 2������ ,x k= ��� ���
2 6,y k= − ������� ������*&'�� '�5��� ������ �,��,-�����4��/ Rk ∈ 0+$�5
2 5, ,2
xx y y
−+ = = 2������ ,x k=
���� 2 0 3x k− ⋅ = ⇔3
2 3 ,2
x x= ⇔ = 2��⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛== },,
2
3)32( RkkxM �� ( )2 2 2 2 0 2x y x x y− − + = ⇔ ⋅ − =
2,y⇔ = − 2�� ,x k= ��������,4��,-��!4��! Rk ∈ 0�
��� ������������
< ��7
;6
x = − ��� 3.x = �"���'���!���&�6���
2'����'� �� 3,x − 2���2�� 3, 3 0,x x= − = ����*����#���������� ������5�%���������*������ ����
:D ��-��.�����/ Rk ∈ 0+��-��� ���/ Rk ∈ 0+$�-��� ��/ Rk ∈ 0+)�-�����/ Rk ∈ 0�
)� ( ) ( ) ( )3 3 4 12 2x y x y x+ − + = + ⇔ 13 5 24;x y− = − �� 2 6 3.x y− =
��� ���5
,2
ky
−= �����⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −==+ },
25
,)52( Rkk
kyxM )� ( )2 3 3 1 2 0 3,x y y x y− = − ⇔ − ⋅ = 2���,�! Rk ∈ �
���
: ��3 3 5
;1
x y
x y
− = −⎧⎨ + =⎩
��3 2
2 1.
x y
x y
− =⎧⎨ − = −⎩
7 ��3 4 5
;3 2 12
x y
x y
− = −⎧⎨ − =⎩
��5 2 5
2 5 5.
x y
x y
− =⎧⎨ + = −⎩
4 ��3 2 12
;3 2 0
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
��3 2 18
;2 3 4
x y
x y
− = −⎧⎨ − =⎩
$�4 45
4 6.
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
H ��( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 1 1
1 2 3 2
x y x y
x x x y
⎧ − + − = + −⎪ ⇔⎨− − − = − +⎪⎩
( )2 2 2 2
2 2
4 4 2 1 1 2 3;
52 1 4 4 3 2
x x y y x y x y
x yx x x x x y
⎧ − + + − + = + − + =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ − = −− + − − + = − + ⎩⎪⎩��
2 8 3
3 4 3.
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
I 3���������'���$� ��!��� ��������4
�������*���5��� ��64
40.
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
=32
5 3 .
x y
x y
+ =⎧⎨ =⎩
< 7���'��� 052 ,γ = ��� ���0 0
0
180 52
18 .
α βα β
⎧ + = −⎪⎨
− =⎪⎩
; ��8�� 3, 2x y= = ����2 3 2 3 4 3
,3 2 5 5 5
⋅ − = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩
���� ���)�#�� ( )3, 2 ����� ��*&'�� '�+��2+$�'�
> ��2 3 0 0
,3 3
x y x
y y
− + = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩
2��*&'�� '������������ ��)�#�� ( ) ( ), 0,3 ;x y = �� ( ) ( ), 2, 2 .x y = −
:D ��2 3 2 2
5 0
x y x y
x y
+ = − +⎧⎨ + − =⎩
2 2 3 1 1,
5 0 1 5 0 4
x y y y x x
x y y y
+ + + = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = + − = =⎩ ⎩ ⎩
2��*&'�� '����������������*���5�
����*���5��� ��)�#�� ( ) ( ), 2,0 .x y = −
� � ��6 2 5
;4 0
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
��3 0
1.
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
� ��'+��'+$�2� � ��2+������*��������������
�� ���'�������5�%����!2���� ���������'�������5�%�����
� �� 1 2 .y x= −
1−$ @
�
8
5 8 1−
1 2y x= −
�
$
)�3
2 3 2 0 3 ,2
x x y x= ⇔ + ⋅ = ⇔ =
2�� ( ) 3, , 2 3 0 , , .
2x k k M x k k
⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈ − = = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭� �
9��'��*�3
2x = �� ��2���%�%����� �����
�� 2 0 0 2 2y x y y+ = ⇔ ⋅ + = − ⇔ = −
2�� , .x k k= ∈� ( ){ }, 2 | .M k k= − ∈�
9��'��*� 2y = − �� ��2���%�%����� ���$�
2y = −
�
$
1−
2−
��
3 2x
=
$
�
�
� �
< �� ( )9,2 ; �� ( )1, 1 .−
�� ��)�#�� ( ) ( ), 1,4 ;x y = ��
( )( ) 2
2 10 0
3 2 6 ,2 2 2 2
2 1 2
x y xx y y
x y xy xx y x x
−⎧ − = = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = − = −⎩ ⎩⎪ − + = −⎩2��*&'�� '������������
���
: �� ( )2, 2 ; ��5
3, .2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
7 ��1 7
, ;5 5
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠��
12, .
2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
4 ��1
1, ;2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠� �� ( )2,4 .
H �� ( ) ( )5
2 3 15 6133 2 , 3, 1 ;111
22
x yx y
xx yx
yx yy
+⎧ + + =+ = ⎧⎪ = −⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ = − −⎨ ⎨ + ⎨ = −+ = ⎩⎪ ⎪= ⎩⎪⎩
�� ( )13, 1 .− − I ��32
5, ;3
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
��� ( )1,1 .− = ��( )4 22 4 4 2
3 4 2 6 123 6 12 0 0.
x yx y x y
y yx y y
= +⎧− = = +⎧ ⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + + = −− + = − ⋅ =⎪⎩ ⎩⎩8�����'!������������*���5���
2�#���� ���*&'�� '�2�� Rkky ∈= , ����� � }/),24{(),( Rkkkyx ∈+=
�� ( )2 32 3 2 3
4 2 2 3 54 2 5 0 1.
y xx y y x
x xx y x
= −⎧− = = −⎧ ⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − =− = ⋅ = −⎪⎩ ⎩⎩":�����������*&'�� '�!2�������*��� 0 1x⋅ = − �� ��
�2������ ���
� H �� ( )3,1 ; �� ( )10,6 . = �� ( )2,5 ;− �� ( )3, 4 .
: �� ( )1,1 ; �� ( )1, 1 ;− $� ( )1,3 . 7 �� ( )13, 15 ;− − ��2
,0 .3
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠4 �� ( )5,7 ; ��������������*&'�� '��
H �� ( )2,3 ; �� ( )6,18 ; $� ( )1,2 . I �� ( )3, 2 . ��;�������� ��������*���5��� ������5�%�������������
2
2
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
<���2�#��� ���*&'�� '��3��� ,x k= ��� ��� Rkky ∈−= ,2 2��*&'�� '��� ��
}/)2,{(),( Rkkkyx ∈−= = ��=�*��������5���5� : : ,a b c d a d b c= ⇔ ⋅ = ⋅ �������� ��������*���5�
�� ������5�%������������������*���5�( ) ( )( )4 3 2
2 5 9,
x y x y
y x
⎧ + = + −⎪⎨
− =⎪⎩*&'�� '����$�%���� ��)�#�� ( )5, 8 ;− − �� ( )6,8 .
< ��( )5 | 2 2 2 10 2 7
2 3 2 32 3
ax y a ax y a x ax a
x y a x y ax y a
⎧ + = ⋅ − − − = − − = −⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = + =+ =⎪ ⎩ ⎩⎩2
772 12 1 ,
7 3 52 3
2 1 2 1
aaxx
aaa a a
y a ya a
⎧⎧ == ⎪⎪⎪ ⎪ −− ⇔⎨ ⎨ −⎪ ⎪+ = =⎪ ⎪−⎩ −⎩2��
2 1 0,a − ≠ ����� �2��1
.2
a ≠ 3���1
,2
a = ��� ������������ ���2������ �����6 5 5 3
,a a
x ya a
− −= = 2�� 0.a ≠ 3��� 0,a =
� 4 ��4
5, ;5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ( )2,3 . I ��3
3, ;2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�� ( )10, 10 .− < ��
1 13 ,5 ;
2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
�� ( )3, 4 .
> ��26 12
, ,2 2
a a
a a
⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
2�� 2.a ≠ 3��� 2,a = ��� ���������������*&'�� '�!����� ��� ���2������ ���
��
I ��1
, 2;1 2
mm= = −
−�� ( )1 3 8 1
, 2, , , , 2.1 2 2 2
m mm x y m
m m
+⎛ ⎞≠ ≠ − = ≠ −⎜ ⎟− + +⎝ ⎠= 8��'
1 2 3
1 5a a
−= =+ ����
( )2 5 3 ,a a− + = 2�� 2.a = − < �� .,6,21
3Rmk
k ∈−≠−≠ ��3
, 6, 9;1 2 3
k mk m
−= ≠ = − ≠
$�3
, 6, 9.1 2 3
k mk m
−= = = − =
��� �$��������������������� �������������������������� �� ������������� ���� ����$�� �
28
5 6 5
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
��"��������������������� ( ) ( ), 163,135 ,x y = 2����������������'���865� �����
:
E��������������'����������������������������'������������ ?������11
27
x y
xy yx
+ =⎧⎪⎨
+ =⎪⎩��������������������H< 7
;������ ��2��&'�&'�����852:��'��4 ( )37
.2 10 2
x y
x y
+ =⎧⎪⎨ − = −⎪⎩
��������47�������������������I����� H
4 ��>2������ ��+���2�$������+$��$�������
H ��4 6 3
,6 9 4,5
= = �2�$������+��2 3
,4 6
−≠ �$������+$�2 6 7
,8 12 12
−= ≠−
�2������ ���
: ?�*��&��#�����#�������5���2��$�����������*��������������
��3 2
;2 3 1
y x x
y x y
= − + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩
��3 2
1;1 3
12 2
y xx
yy x
= −⎧ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ == − + ⎩⎪⎩
$�1
2 1.
y x x
y x y
= =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − + =⎩ ⎩
7 �� ( ) ( )1, , 1,2 .
1
y xx y
x
= − +⎧ = −⎨ = −⎩
$� ( ) ( )2, , 2, 3 .
3
xx y
y
=⎧= −⎨ = −⎩
� 7 ?�*��&��#�����#�������5�%��������� ������������������*���5�%��������� ( )1, 3 ;− −
�� ( )2,1 ; $� ( )1,1 . I ���2�$������+���2������ ��+$��$�������
��� ������������ ���2������ ���$� ( ) ( ) ( )1 1 11
x y k x y kx y k
x y kx y k x k kkx y
+ = + =⎧ ⎧+ =⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − + = − − = −+ = ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩
⎩⎨⎧
≠≠−=∈+=
⇔1d.m.th. ,01për ,1
}0{\,1
kkx
Nkky�3��� 1,k = ��� ������������ ���%%'��
1
1
x y
x y
+ =⎧⎨ + =⎩
� ��� ���2�$������!����� ���
2���#�� ���*&'�� '��3��� ,, Nmmx ∈= ��� ��� 1 ,y m= − 2��*&'�� '��� ��)�#�� }/)1,{(),( Rmmmyx ∈−=
3y = −
�
$
2x
=
( )2, 3M −
$�
1−2−3−
�
� �
1y x= − +
�
$
1x
=−
( )1,2M −��
�� �
�1−1−
��
@���*�������&������������� �� 0 ,s s vt= + 2�� 50 ,As t= ����� 80 30 .Bs t= +
8��' A Bs s= ?�'��� 4t = ��!2�� 50 4 200As = ⋅ = ���
I�����
�� �
��
���
���
��
�
�
50As
t=
8030
Bs
t
=+
� 8
��
9
@ B@ 8@@
@� 8
��
9
D@ 88@ 84@
@
D@�����������������������$�� ��� ��������������� � �����������%�������$�� ����=
�(� 2 3;y x= − ��%(�( )2,1 ; �� (� 2 2 2 2 22 1 5, 5x yv v v v= + = + = = �T��< ; 86@������ �8@@����
7�������$�����%�&�����2���!��������������:���!2��2��'10,5
0,76 0,88 10,5 0,84
x y
x y
+ =⎧⎨ ⋅ + ⋅ = ⋅⎩
#��'����>
3,5x = ��� � 7y = ��� :D 3���2�������2���5����������:��2����2��$����!�������:��2�������!
��� ���)��'���2��'�:��2���'����������:��1
,x
2��������� �1
y��2�����8�����'����A
( )12 12 12 12 60 60 12 121 1/ 5 5 1
20
5 5 17,5 5 22,5 60 270 210 30.1 1/ 12 12 7
xx y x y x y x y
y
x y y x y x y y
⎧ ⎧ ⎧ ⎧+ = + = ⋅ − − − = − + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ =⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = + = ⋅ + = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎩
8�������2���5����������:��2����2��9@����!�������:��2��5@����� :: 4@@@@� �D@@@@������
:7 9@@� ������� �8B@��:��#��� :4 0,6� � � 0, 4 .� :H + ����� ��� 0,56x = ��������� ��������� ����-��� �� �
: 7 : 4x y = 5�'���0,56 : 7 : 4,y = ����� � 0,32y = ���7�&�����0,56 0,32 0,88+ = ���
:7 6���'9@������
� : ��� 7 $�� 4 )�� H $ � � I ��� = ��� < 1����������� ; 8�#���� ���
:> }/)12,{( Rkkk ∈+ � :D "���������2������2����� ���� :: 1 1 1
2 2 2
.a b c
a b c= =
:7 2 2 3.x y+ = :4 3 2 6
1.
x y
x y
− =⎧⎨ − =⎩
:H ( )2,1 . :I 86� �88� := ./125./5,62 hkmvhkmv lumibarka ==
: ��� 7 5� 4 �� 0;x = �� 6.y = H �� }/12,{( Rkkk ∈−− ��⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −
Rkk
k /3
24,
= ��8+��'� < ��2 3 15
;2 4
x y
x y
+ =⎧⎨ − =⎩
��3
3 2 6.
x y
x y
− = −⎧⎨ − =⎩
; ��� > ( )7,3 . :D ( )1,0 . :: ( )1, 2 .
:7 ��� :4 ��1
;2
k ≠ ��1
.2
k = :H 86���� :I 88B���2����%� �8B@�������������
���
� 7 �� 3 3 32 4 2 4 8;⋅ = ⋅ = ��1
.2
4 �� 60;− ��2
.3
− H ��2
2
2.
3
ab
x y< �� 34 3;
�� 3 5 ;x ��3
42
;a
b$� 3 23 .a
���� ��������
� H ��� ���� = �� 7;− ��R+$� | 4 | 4;− = )�5�
: ��!$�� 7 ��� �)�� 4 �� 1;x ≥ ��2��)� Rx ∈ $� 6 2 0 3;x x− ≥ ⇔ ≤ )�2��)� Rx∈ �
H ��88+��4+$� 4;− )�5� I ��1 1
2 3 5 4 15;2 4
⋅ + ⋅ − ⋅ = �� ( )13 5 2 20;− − + =
= ��!$�!)�� ���� < �� 0;a ≥ �� Ra ∈ $� 2;x ≥ )� Rx∈ �
�� 2�� )� Rx ∈ �
$� ( )2 6 2 6.− − − − = −
�
I �� 8 12 1616
81, 16, .81
; �� 12 12124 6 34 , 3 , 2 ; �� 30 15 10 20 12 630 30, , .x x y x y
�� �� 3 2 ;a �� 24 ;x y $� 3 2 43 .x y z �� �� 3 3 38, 10, 43; �� 6 3 6 63 27, 6 36, 37.= =
: �� 4 ;x �� 32 ;a b⋅ $�3 23
.b
a7 ��
3
4 ;a �� ( )1
2 3 42 ;a b $�2 13 2 ;b a )�
22 3 .a a+
4 �� ( )3 33
22 32 229 3 3 3 27;⋅
= = = = ��1
;2
$�Q+)�64+��1
.4
H ��1 3 9 1
;2 2 4 4
+ − = − ��@�
I ��5
3 ;a ��7
6 ;b $�$� = �� 9 33 92 2 8;= = �� 6 38 ;a $� 9 6 38 ;a b )�12 6 927 .a b
�� 4 123 9a a= � � 6 125 10 ;a a= �� 6 44x � � 6 5 ;ab $� 12 8 416a b � � 12 6 327 .a b<
�� 66 2 33 , 2 � � 6 6; �� 24 244 2 6,a b a � � 24 3 6 ;a b $� 244 4 8 18 3 1524 242 , , 3 .x y x y;
�� 22 4;= �� 8 464 8;= $� 2; )� 0,1. �� ;x �� 3 2 ;x $� ;x )� 3 2 .x:D
�� 4 2 ;a b �� 4 42 2 2 2 225 5 5 ;a b a b ab= = $�9 | |;xy )� 4 34 .a b��
: �(�5=��%(�B� 7 ��1
.10
4 ��7
6 ;a )�3 1
8 3 .x a H �� 3;x ��5 1
533 3 ;x y x y= $� 3 .x
)� 32 22 9 .a b ab ; �� 2 2 45 .xy x y :D :: �� 3 324 25;< $� 4 4160 162.<
���
�� 23 2 3 2 18;= ⋅ = �� 48
;27
$� ;a )� 36 .x y �� 2 22 3 2 3 12, 3 2 3 2 18,= ⋅ = = ⋅ = 2��
2 3 3 2;< �� 335 5 7 2,< 2��� 3 3625 686;< $� 3 33 2 2 3.> ��4
3;3
�� 33 2; $� 2 3 ;ab b )� 2 3 ;ab
��1 1 7 2 1 3
2 2 2 3 14;2 7 14 14 7
++ = = ⋅ = �� ( )3 2 24 8 4 2 2 2;a a a a a a− = − = − #�1
.a bb
−
H I
=
� 4 �� 32 2 � � 33 2; ��1
52
� �1
5;3
$�1
xyy
� �1
.xyx
= ��7 .a
��2+��2+$�2! 3 3 31 1 1
; ; .xy xy xyy x xy
⋅ �� 2; ��@=$� 3 32 2 3;− )� 3; ��17 7
2 3.4 3
+
��3 ;a �� ( )2 32 .a b ab− ⋅ �� 4 a �� 37 5 .x y−
: 7
4 H
� 4 ��6+�� 330 3;a $�4+)�5+��8�
I ��B+��8+$� 6 52 2 ;a x )� 6 8 .a
:
< ��B+�� 3 9 ;x x $�4
2.
aab
b
:: �� 8 72 ; �� ;a $� 18 13 .a ��49+��89+$�6� �� 5;a ��R$+$�5@���
�� 6 5 ;a �� 2126 ;xy x y $� 122 2 .x x ��4+��5+$�3
.5
�� 6 2; �� 15 16; $� 10.
�� 3 3; $�5� �� 6 51;a
a�� 6 8 ;a $� 5 33 .a a ��18 2 42;+ ��54� �� 82 6 5 ;ab a b ��
8;
27
�� 8 27; �� 4 ;a $� 8 5 ;a )� 5 5121;x y
y�� 18 13 .a
7
4 H I =
< ; >
$� 3 9 ;x x )� 4 6 ;a b �� 2 ;a b ��5 2 6.+
�� 5;
:D
� < �� ( )3 2 1 ;− �� 15 2;− $� ;1
a a
a
+−
)� ( )( )2 2 .a b a b+ −
: �� 4 11 44;⋅ = �� ( )2 3 4 24;⋅ − ⋅ = − $�85� ( )( )85 84 85 84 1 169 13;− + = ⋅ = )� 5 519 243 3
7 .32 32 2
= =
�� 2;xy �� 2 33 ;x y $�3
2
2.
x
y
− �� 2108 36 3 6 3 6 3;= ⋅ = ⋅ = �� 233 2 ;xy x y $�2
2
23 .
abab
c7 4
7 �� 6; ��5 4 .x H �� 6 2 3 ;a b �� 6 1 .a−
> ��5� :D �� 2;
�� 18 13 .a
= �� 4 15.−
���
�� 2 0, 2x x+ ≥ ≥ − �� [ )2, ;x ∈ − ∞ �� [ )2, ,x ∈ − ∞ 2��� 2 1x + �� ��2����#�*���2��)� Rx ∈ +
$� 3 0x − ≥ � � [ ]5 0, 3,5 ;x x− ≥ ∈ )� 1 0x − ≥ � � [ )2 0, 1, ;x x+ ≠ ∈ ∞ �� 2 0x + ≥ � � 3 0,x − ≠ ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛∩−∈
43
,3)3,[x
��+��� ��$+����+$�1
2;2
⋅ )�8+���+�� 32;− #�$��; 2�� '����$���%��� ��5����$��
��3 15; ��10 3. ��1; ��4
;ab
b a−��4�
:
7 4
H I =
: ��!��� �)�� 7 ��3
, ;2
x ⎡ ⎞∈ − +∞⎟⎢⎣ ⎠�� ( ], 2 .x ∈ −∞ + 4 ��98+��4� H �� 4 ;x ��
54 62 .a b
−
I �� 3; �� 3 22 ;a b $� 2 3 .x y+ = ��1
42 ; ��1
34 ; $� ( )1
2 32 ;ab )� ( )1 1
22 32 .x x y− < �� 12 8 2 412,x x y �� �
6 312 ;x y �� 8 8 84 4 2 5 3, , .a a b a b ; 34 12 12 123 27, 2 64, 3 81.= = = > ��10 2; �� 2 232 ;xy x y �$� 25 .xy
:D ��8 2; �� 56 ;x y %� 4 .b :: ��84=�� 2 25 5 .xy x y− :4 �� 6 5 ;a �� 9 412 ;x y �$� 6 5 4 .ab a b :4 ��� �)��
:H �� ( )2 4 3 ;+ �� 4 15;− $� ( )( ).x y x y+ − :I 115.−
� : $�� 7 $�� 4 ��� H )�� I ��!$!)�� = G���� � < B���'�*���� ; ��#�
> B���'����&'�� ��� :D B� ::7 5
2 21
.2
a b :7 9 .a :4 �� 330 ;a �� 6 8 .a :H 6 .xy y
:I �� 5 5;− ��3 6.+
4 �� 0x ≥ ��� ( )0, ;x ∈ + ∞ ���3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤ �� ( ), 3 ;x ∈ −∞ −
= $�4+)�( ) ( )
( )( )
2 2
5 1 5 15 1 5 13;
5 1 5 1 5 1 5 1
− + +− ++ = =+ − − +
�� .a b
a b
+−
7 $� [ )1, .x ∈ − +∞
$� 3 0 3x x+ > ⇔ > − ��� ( )3, .x ∈ − + ∞
��4
5;3
�� 2; $�3 11; )� 32 4. �� 2 ;b �� 5 ;a a $� 3 2 ;x )� 42 .x �� 3112;
2: 7
�� 43 2; $� 4 ;a )� 5 2 .b
4
�� 1 ;b− �� ( ) ;a b a b− + $� ( )23 .a b− �� 2 2;+ �� ( )2 3 3 ;−H
$� ( )12 3 2 ;
2− )� 7 4 3;− ��5 2 6;+ �� ;xy #�
( )22
2 2 3 5 2 3 53 5.
3 5 3 5 3 5 3 5
+ += ⋅ = = +− − + −
I
���
�����* �������#����#�
� � ���G '�(�7�9�����'�(�7�5=�������G '�(�7�4�����'�(�7�#9=���$��G '�(�7�9�����'�(�7�@=���)��G '�(�7�@�����'�(�7�5�
� ���,��!��∈B�@���*�����*&'�� '���% 2�2���� RQZN ⊂⊂⊂ ����
� ���7�#5�C�89�=������78@=���$��7�9�C�5�=��)��7�#4��
�
�
�
� � ������C��
��7�9B�C�8@������
���#��
��7�#8�C�B4�=��������
���C��
��7�4�C�4������
���#��
��7�4�C�9@��
�
��$7�4����7�5=�����$7�9����788=���$�8 5
; ;3 3
x y=− =− )�16 12
; .5 5
x y= =−
�
� �
�
1 2 1 26 .z z i z z+ = + = +
� � � �� 11 2
2
43 2347 13 , .
82 82
zz z i i
z⋅ = − = − + �� 1
1 22
6 820 , .
5 5
zz z i i
z⋅ = − = −
$� 11 2
2
612 6 , .
6
zz z i i
z⋅ = + = � �� 3(2 5 ) 142 65 .i i+ = − − ��
4(2 6 ) 448 1536 .i i− = + $� 3( 2 3 ) 7 2 3 3 .i i+ = − +
� �� |10 2 | 2 26.i− = �� |1 4 | 17.i− = $� 3 5 2 2 .i− = �1 1
2 2
1 2.
5 5
z zi
z z
⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
�(�G '�(�7�8�����'�(�7�−5=����(�G '�(�7�5�����'�(�7�#59=��%(�G '�(�7�@�����'�(�7�B=��� (�G '�(�7�6�����'�(�7�@�
�(�� 2 3 , 2 3 ;z i z i− = − − = − ���(� 32 32 , 32 32 ;z i z i− = + =− + ���%(� 2, 2;z z− = − = � (� 53 , 53 .z i z i− = − = −
�(�� ( )2 5 2 5 ;z i i z= + = − = ���(� ( )( ) 2 5 2 5 (2 5 ) .z i i i z− = − + = − − = − + = −
�� 1 2 1 28 5 , 11 ;z z i z z i+ = − − = �� 1 2 1 2
5 13 1 7, ;
6 8 2 8z z i z z i+ = − − = − ��$��
1 2 4 2 3 ,z z i+ = −
�� 20; 2 ;z z z z i+ = − = − ��6
1; ;7
z z z z i+ = − = $� 2 3; 2 5 .z z z z i+ = − =
1 2 1 24 12 .z z i z z− = − − = −
1 2 3 .z z i⋅ = −
�(��4 *����(��<
� �(��> *����(��:7
�
1 2 2 2 3 3 .z z i− = − +
�� 25 36 64 100 5 6 8 10 5 2 ;i i i− − − + − + = − − + + = + ��99��
*&'�� '��� ���1 0�� %!���,4�∈ B!@���*�����*&'�� '����2�2��� RQZN ⊂⊂⊂ ����
*&'�� '���0� ��%$� Qx ∈−−=45
,45
�@���*�����*&'�� '���0 2���� ����% )� 1 27, 7;x x= = −
7, 7 .− ∈� �@���*�����*&'�� '���� ,� �2���� �����
� �� 54 4 13 2 2 1.i i i⋅ += = = − �� 524 4 131 0 0 1.i i i⋅ += = = $� 97 4 25 3 3 .i i i i− − ⋅ += = = − )� 486 4 121 2 2 1.i i i− − ⋅ += = = −
���
� ��@���*���������� ��� ����#�������9�:=������2��'����5�'���*&'�� '�����''���$�7�4���
$�7�#4!2���4���7�86� �'#4(��7�86���8��'�'4�(��7�4��⋅����7�86�⋅�'#8(�7�#86� �'#4�(��7�'#4(��⋅����786�⋅�'#8(�7�#86!5�'���
*&'�� '�������*�������8�:=�9�D!����� ����9��:='�������H ��������H �
� ��9�−:����9�−7
�
1−
2−
3−
4−
:
7
4
H
: 7 4 H
( )2 2,4M
2 2 4z i= +
( )3 2,1M −3 2z i= − + ( )4 3,2M
4 3 2z i= +
( )3 3, 2M −
3 3 2z i= −
( )1 1, 4M −
1 1 4z i= −
�
$
� �
1−
2−
3−
4−
:
7
4
H
1−2−3−4− : 7 4 H
( )1 2, 4M
1 2 4z i= +
( )4 3, 1M −
4 3z i= −
5−
6−
( )2 1, 5 ;M −
( )3 2, 6M −
3 2 6z i= −
2 1 5z i= −
1−
2−
3−
4−
:
4
H
1−2−3−4− : 7 4 H
( )1 2,1M
1 2z i= +( )2 2,3M −
2 2 3z i= − +
( )4 4,0M4 4z =
( )3 2, 3M − −3 2 3z i= − −
( )5 0,2M5 2z i=
$
�
$
�
� � ���� 1 2 1 28 , 7 .z z i z z i+ = − − =�
1−
2−
3−
4−
:
7
4
: 7 4 H
( )1 4,3M
1 4 3z i= +
( )3 8, 1M −
( )2 4, 4M −
2 4 4z i= −
$
5−
I = < ;
1 2 8z z i+ = −
( )4 0, 7M
��
��
���C���
� ��#�
� �
−��
H
I
=
<1 2 7z z i− =
���
�� 1 2 1 26 , 2 .z z i z z i+ = + − = − + $� 1 2 1 23 , 3 3 .z z i z z i+ = + − = − + )� 1 2 1 2, 3 .z z i z z i+ = − − =
� �� 6, 2 .z z z z i+ = − = ; ������� ��� z �� �������
��6
1, .7
z z z z i+ = − = − $� 6, 10 .z z z z i+ = − = −
� � �� | 4 3 | 5.i+ = �� | 2 | 5 .i+ = $� | 2 | 2 .i = )� | | 1 .i = �� | 2 | 2.i− = �� | 1 | 1.− =
� ��1| | 5.z = �� 2| | 10.z = $� 1 2 1 215 5 , | | 5 10.z z i z z⋅ = + ⋅ = )�
1 1
2 2
9 1 3 1 0, .
1 0 1 0 2
z zi
z z= + =
� �
�
�� ��'���������������
��135 5
| | .4
z = ��3
| | .81
z = � ��5
;2
��2
;800
$�1
.1000
� ���7#8@C99�=���7#8@9C9B�=���$��799B#5�=��)��78#��� �
�� 1 2 1 24 2 2 5 , 2 2 8 5 .z z i z z i+ = − − = − + �
� ��@=��@� �
� ��444 183
;50 50
i+ ������26 143
.125 125
i− −
� @���*����� ���������
���%!��������:� ����� ����������&'������ ��#�&������
�� 1 2 1 2
5 13 1 7, .
6 8 2 8z z i z z i+ = − − = − �� 1 2 1 22, 4.z z z z+ = − = −
8��$������5������%�� ����� ����:� ���������:��5���4���� ��
���%&�������������:��������
��42 1
1 2
176 468, 20.
25 25
z zi
z z= − − = 1 2
2 10 2 10, .
2 2 2 2z i z i= + = −
�� 1 2 1 25, 3 6 ;z z z z i+ = − = +
�� 11 2
2
1 114 2 , ;
2 2
zz z i i
z⋅ = − = − − ��� 1 2 6 15 ,z z i⋅ = −
1
2
5 6 3.
21 7
zi
z= − �� 4(2 ) 7 24 ; | 7 24 | 25;i i i+ = − + − + = ��� 3(1 4 ) 47 52 ;i i− = − +
| 47 52 | 17 17;i− + = ��$� 2( 3 3 ) 6 6 3 ; | 6 6 3 | 12.i i i+ = − + − + =
2 3 .z i= −
1−
2−
3−
4−
:
4
H
1−2−3−4− : 7 4 H $
�
( )1 4, 2M −
1 4 2z i= −
( )2 3, 2M
2 3 2z i= +
( )3 1, 3M −
3 1 3z i= −
( )5 0, 4M −
5 4z i= −
( )4 4,0M −4 4z = −
7
1−
:
7
4
H
: 7 4 H
�
$
I =
�
__z
__2z z i− =
__6z z+ =z−
���
��
��
��
1 25 7 ; 7 5 .z i z i= + = +
1 2 1 21 5 , 3 3 .z z i z z i+ = − + − = − �� 1 2 3 2 6 .z z z i+ + = − ���������3�#��������*�45������2����������
������#�%%������*�45������2����������!����������'�����'���������*�45�����2�����������?�����!#�%%������$�%���� ����#�%%�������������5�!�������������� ����#�����5��������!�� �����*�45������ ������.��.���3�#�&������.��.����� ��5������5�*�������5�'���*�*��
� $�� � $�� � ��� � ��� ���� 9�C�5��
�
��
�
=�2���� ����*�5�����2 2 2 2| | ( ) .z a b a b= + − = +
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3Re( ) ; Im( ) .z z z a a a z z z b b b+ + = + + + + = + −
1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅
2 4 4 4((1 ) ) (2 ) ( 2 ) 0.i i i− − = − − =
�� @��������� 8 8 2 4(1 ) (1 ) ((1 ) )i i i+ − − = + −
��512
| | .625
z = C&'�� '��� ��� �����#�&����
1−
2−
3−
4−
1−2−3−4− : 7 4 H
$:
5−
6−
7
4
H �
1 2 3z z z+ +
1−
2−
3−
4−
: 7 4 H $
:
7
4
H
�
I
=
<
;
>
( )2 1, 4M −
2 1 4z i= −
( )3 3,1M
( )1 2,5M
1 2 5z i= +
( )4 1,9M
1 2 1 9z z i− = +
1 2 3z z i+ = +1
2z z+
��
��
��
−��
12
zz
−
1−
2−
3−
4−
1−2−3−4− : 7 4 H
$:
5−
7��
��
4
H
�
−��
1
2
zz
−
12
zz
+
���
�����+ ���������#������
� 7 ��� 3, 5, 6;a b c= − = = − ����1 2
, , 5;2 3
a b c= = − = − $�3
, 0,5, 0,1.2
a b c= = − =
� 7: ��5
2, ;3
− − ��1 4
, 3, ;2 3
− $�6
0, .5
−
: ��!��!)��
> 1 2
11, .
2x x= =
7 �� 3, 2, 3;a b c= = − = ���� 1, 2, 3;a b c= = − = −
H �� 3 1, 0, 2 3;a b c= − = = − ���� 2 3, 3 1, 0;a b c= = − = $� 3, 0, 0.a b c= = =
= �� 3;k ≠ − �����,�!����� ��,4�.�!�,�� < �� 2 2 1 0, 1, 2, 1.x x a b c+ − = = = = −
; �� 2 52 0;
3x x− + = ���� 2 2 2
0;3 3
x x− − = $� 2 110.
5x x− = :D 1. xose
3
1 =−=x
:7 �� 2;m = ���� 0.m =
$� 1, 8, 0;a b c= = − = ��)� 6, 0;a b c= = = �� 3, 0, 2;a b c= − = = − �� 2, 3 , 2 .a k b k c k= − = = − +
4 �� 2;k = ���� 2;k ≠ $�1
;2
k = )� 3;k = − �� 3.k = H ��1
;2
m ≠ − ���� 1.m ≠ −
I ��1
;2
p = − ����1
.2
p = = �� 22 5 5 0;x x+ + = �� 2 9 0;x − = $� 2 2 0.x x− =
< �� 23 14 0;x x+ − = �� 23 14 20 0.x x+ + = ; �� 212 38 5 0;x x− − = �� 24 13 11 0.x x+ + =
:D @���*����� ����������� 2.k ≠ − �� 0;k = �� 2;k = $�24
.5
k =
I �� 1 2
3, 3;
5x x= = − �� 1 20, 1;x x= = −
; �� 1/ 2 3;x = ± �� 1/ 2 2;x = ± $� 1/ 2
1.
2x = ± : �� 1 2
5, 3;
2x x= = �� 1 2
4 4, .
3 5x x= =
7 �������( ) ( )( )22 9 0 2 3 2 3 0.x x x− − = ⇔ − + − − =�� 1 20, 9;x x= = �� 1 25, 1.x x= = −
4 �� 1 2 0;x x= = �� 1 2 0.x x= = H ��1 2
20, ;
3x x= = �� 1 2
50, ;
2x x= = − $�� 1 20, 3.x x= = −
I �� 1/ 2 4;x = ± �� 1/ 2
3;
2x = ± $� 1/ 2
5.
2
bx = ± = �� 1 2 0;x x= = �� 1 2 4.x x= = ± < �� 1 20, 4;x x= =
; �� ( ), 2 ;k ∈ −∞ �� ( )1,3 .k ∈ − ��������7�C8��7�#5��⎩⎨⎧
>−<+
⎩⎨⎧
<−>+
.03
01 ose
03
01
k
k
k
k
> 1 20, 1.k k= = :D @���*������'�*&'�� '�*�� ( )1 0x = ���� 22
50. 4 0, 2; .
3c c m m x= = − = = ± = −
$� 1 2 0.x x= =
�� 1 20, 6.x x= = −
��
� 4 ��8+��4+$�2
.2
b
a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
: �� 1 2
2 1, ;
3 2x x= − = �� 1 2
3;
2x x= = $������*&'�� '����%��
7 �� 1 2
2 1, ;
3 2z z= = �� 1 23, 2.y y= = 4 �� 1 2
30, ;
2x x= = �� 1 2
5 5, ;
2 2x x= − = $������*&'�� '����%��
H �� 1 2
70, ;
2x x= = �� 1 23, 2.x x= − =
4 �� 48 12 ,D m= − 2��2�� 4m < ����*���������'����%�� ������:� ��!2�� 4m = ������'����%�� ���
���������!2�2�� 4m > �����*&'�� '����%��
: �� 1 25, 3;x x= = �������*�����%�� 7 �� 0,D > ���%�� ������:� ��+�� 0,D = ���%�� ������������+
: �� 21 2 1 2
3 7 3 7 3 70, , , , ;
2 2 2 2 2 2x x p q x x x x+ + = = = + = − ⋅ = �� 2 4 1 4 1
0, , ;3 3 3 3
x x p q− + = = − =
: �� 2 5 52 0, 2, ;
3 3x x p q− + = = − = �� 2 2
5 0,m
x xm
+− − = 2
, 5.m
p qm
+= − = −
I: �� 1 2
114, ;
6x x= − = �� 1 2
100, .
3x x= =
= �� 1 2
3, 1;
14x x= − = �� 1 2
255, .
12x x= = < ��2�� 0x = �� 7;x = ��2�� 3x = − �� 2.x =
; �� 1 22 3, 2 3;x x= + = − �� 1 27, 5.x x= = > �� 1 23 , 2 ;x a x a= = �� 1 2, ;x m n x m n= + = −
$� 1 2
11, .x x
a= =
$� 0,D < �����*&'�� '����%�� 4 ��9
;4
k = �� 3k = �� 3;k = − $� 6k = �� 2.k = H ��1
;3
k <
�� 2;k < $�9
.20
k > − I �� 2;m < − �� 1;m > $�9
.8
m > = �� 3;a ≥ ��1
.2
a ≥ < ��8�� 0,D = ����� �
9;m = ��2�� 0,D = ����� �4
3m = ��
4.
3m = − ; ��8�� 4k < ��*&'�� '����%�� ������:� ��!2�� 4k = ��*&'�� '�
���%�� ������������!�����2�� 4k > �����*&'�� '����%�+��2��16
15k > − �����%�� ������:� ��!2��
16
15k = − �����%�� �
�����������!2�2��16
15k < − �����*&'�� '����%�+$����%�� ������:� ��2��
1,
8k > − ���%�� ������������2��
1,
8k = − �����
����*&'�� '����%�2��1
.8
k < −
1 2 1 2
4 1, .
3 3x x x x+ = ⋅ =
7 �� 1 2 1 2
7 5, ;
2 2x x x x+ = ⋅ = �� 1 2 1 25, 0;x x x x+ = ⋅ = )� 1 2 1 2
2 3 1, ;
2 2
mx x x x
m m
++ = ⋅ =− −
�� 1 2 1 2
1 3, .
2 2
mx x x x
m m
−+ = ⋅ = 4 �� 1 25, 3;x x= − = − �� 1 23, 5;x x= = $� 1 24, 3;x x= − = − )� 1 2
51, .
2x x= =
��
H ��8+��2+$�'+)�'� I �� 1 214, 7;x x= − = �� 2
1, 2;
6x = − $� 2 2
2, .b a x b a− = + = 6.k = −
� : �� 2 5 6 0;x x+ + = �� 2 1 20;
2 3x x− + = $� 2 5
0.2
x x+ − =
�
: I4 � ����
I �� 1 22, 4;x x= = �� 1 22, 1,x x= = − 2� 2 1x = − ����� ��*&'�� '�2�����������������*�������� ���
2����#�*����
7 :;� �:>��� 18− � � 19.− 4 Q�%�� ��8!4!H� �I+��2!=!;� �:D+$�'�H
I �� 1 22, 4;x x= = �� 1 2.x = � 2 1x = − ����� ��*&'�� '�2�������������� ��������2����#�*������
< 8�������2���2��9B����!�������:��2��9@������= "�2����8@�6������������ 6000 6000
150.2x x
− =−
�������15 8
1.5x x
+ =−
; 6B���2�!�������:��B@���2���������650 650
3 .15x x
+ =−
< 1 2
5, 1, 5.
2m x x= − = − = ; ���������� ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
3 1 3 1 3, , ;
4 2 4 2 8p q x x x x x x x x p q− = = + = + = − ⋅ = ⋅ =
��3 9
;2
p
q
− = $� 2 72 ;
16p q− = − )�
2
2
2 7.
4
p q
q
− = −
7 �� ( )3 2 1, 3 2 6,p q= − − + = = − ⋅ = −
2 6 0;x x+ − = �� 2 20 0;x x− − = $�2 7 6 0.x x+ + = 4 �� 2 1 1
0;6 3
x x+ − = �� 2 1 30;
4 8x x+ − =
$� 2 23 50.
12 6x x+ + = H �� 2 5 3 12 0;x x− + = �� ( )2 5 2 10 0;x x− − − = $� 2 10 23 0.x x− + =
I �� 2 10;
2x x− − = �� 2 4 13 0;x x− + = $� 2 2 5
0.3 9
x x− + = ��2 2
2 1 0;a b
x xab
+− + =
���2 2
22 2 2 2
0.a b ab
x xa b a b
+− + =− −
=
< �� 2 6 3 0;x x− − = �� 2 6 13 0;x x− + = $� 2 6 20.
5 5x x− + = ;
91.
32
> �������� ( )22 2 2 21 2 1 2 1 22 2 , 2 12,x x x x x x p q p q+ = + − = − − = ����� �16 2 12,m− = 2�� 2.m =
:D 8��' 1 2 1x x m+ = + � � 1 22x x= ���� 2
1,
3
mx
+= ����� � 1
2 2.
3
mx
+= 8��' 1 2 3,x x m⋅ = + �#��'������*����
1 2 23,
3 3
m mm
+ +⋅ = + ������ � 22 5 25 0,m m− − = 2��'�� 5m = ��5
.2
m = −
���
:I 21 13 1, 14 24 0.
8x x
x x⎛ ⎞+ ⋅ = − + =⎜ ⎟−⎝ ⎠
3 ������
:= 21 40001, 200 40001 200 0.
200x x x
x+ = − + = �1�������� ��9@@5%��� 1���� ����'���R!89� �8B���%����
� : $�� 7 8 � 4 =��5&%��� ��*��� H ��� I $� = �� 1 21, 1;x x= = − �������*&'�� '�
:7 8��' ( )30 144x x− = 5�'��� 2 30 144 0,x x− + = �����������'���94� �6�
: $ � � 4 $ � �7 [ )1, .∞ H $� I $� = $��� 1 22, 2;x x= = − � � �� 1 20, ;x x b= = −
< �� 1 2
50, ;
2x x= = − �� 1 2
45, .
5x x= = −
> �� 2 14 45 0;x x+ + = �� 2 1 150.
8 32x x+ − =
:D �� 2 6 0, 3;m m− = = ��1
.3
m = :7 �� 1 24, 2;x x= =
Q!R� �88��������3�������5&�%%���'���$�D�� ������'����'��� 2x + � � 4.x + 8��'��� ��������:����
�������3���$�� ������'������� �����'������� ��!��� ���
����'����5&�%�� �� 6,x − 2��2��' ( )22 26 30x x+ − = 5�'��� 24.x = ;:2��������'������� ���� �� 24 18,⋅ ������
$�� 1 21, 1.x x= = − ; �� 0,D > ���%�� ������:� ��+�� 0,D =
���%�� ������������+$������*&'�� '����%��
:: �� 0, 25;D m= = �� 3m = �� 3.m = −
:4
�#��'������*���� ( ) ( )2 22 2 4 251,x x x+ + + + = ����� � 2 4 77 0,x x+ − = 2��'�� 1 27, 11.x x= = − 8���
Zx ∈2 !��������������'���Q!R�� �88� :H
��������� �� 23 24 18 36 .⋅ ⋅ = @���'����������� ��56�%��
���� 1 212, 2.x x= = ?%��5����*&'�� '� 1 12,x = 2����2��&:2�������'������'�� 2��89���
:<
���%�� < �� 1 20, 24;x x= = �� 1 20, 25.x x= = − ; �� 1 2
1;
2x x= = �� 1 21; 12.x x= − = −
> �� 0,D < �����*&'�� '����%�+�� 0,D = ���%�� ������������+$� 0,D > ���%�� ������:� ���
:D �� ( ) ( ) 216 1 15, 16 1 16, 15 16 0;p q x x= − − = − = ⋅ − = − − − = �� 2 9 10.
10 5x x− + = :: �� 1 225, 3;x x= =
�� 1 20, 4;x x= = $�������� @���*������ ���*'���� ( )2 4 2x x− ≠ ± � ����� 2 3 2 0.x x+ + = B���'��
�����'����*���'��� 1 21, 2,x x= − = − 2�2��� 2 ,x D∉ *&'�� '������*������ ��5���� 1.x = −
:4 ��������7���'���$������� � ����5��D�� ���������%'���5���%��'������� ��( )1
120.2
x x −= 8��'����5�'�
�� 2 240 0,x x− − = ����� � 16.x = 9��� ���!��������������2'���86� � �����
:H @���*�����*&'�� '���������������� 0.D = �� 2 4 36 0, 12;m m− ⋅ = = ± ��9
.20
m =
���
�����, $��#����#�����(���� ������#�����
� � "���������2���5��*�5�����'��������*������ ���� �#��'��A
4 2 0 2 4 1,
9 3 0 3 9 6
b c b c b
b c b c c
+ + = − − = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + = − + = − = −⎩ ⎩ ⎩
�2��#��������� �� ( ) 2 6.f x x x= + −
� � �
1x −
11
2x −
2 1x −�
�
�� �
�� �
��
�� � �
1x− −
11
2x− −
2 1x− −
�
��
��
�� ��
��
��
��
�
�
� ����
�
���
���/�
�������
����
����/�
��
� ��( )0 1 2
,1 1 1
a b a
a b b
⋅ + =⎧ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨⋅ − + = − =⎪ ⎩⎩2�� 2 1;y x= + �� 2 4.y x= − +
� ��!��� �)�� � �� { }1,0,3,8 ;fV = − �� [ ]1, 8 .fV = − � �� ( ) 20 2 0 5 0 3 3;f = ⋅ − ⋅ + = ��@+$�98+)�@�
� 3− 2− 1− 0,5− D D�I : 47�
��
��
���� ( ) ( )3 2 ;f f− > − �� ( ) ( )2 1 ;f f− > $� ( ) ( )1 2 ;f x f x>
( ) ( )1 2 .f x f x<
� ��8��' 22 1 1 4m= + ⋅ + ���� 3;m = − �� 3;m = $� 5.m =
��
������� � � �
�
�
�� 2;m ≠ − �� Rm∈ $� 2m ≠ − � � 2.m ≠
�� 3, 2;b c= = �� 1, 4.b c= − = �� 1, 2, 3.a b c= = − = �� ��������7���'��� 1 .x t+ = D�� ��� 1,x t= −
2�� ( ) ( ) ( )2 2 21 1 3 1 2 2 1 3 3 2 5 6.f t t t t t t t t− = − − − + = − + − + + = − + 9��� ���! ( ) 2 5 6.f x x x= − +
�� ( ) ( )2 2 21 1 1 2 1 1 .f c c c c c c c c− = − + − + = − + + − =
� � ��E��#����� ��2���<������#�&������5�����'���A
8�� 22 1:y x= − �� RD f = �� ( )0, 1 ;T − �� min2 0, 1,a y= > = − 2�� 0;x =
��&��#����� ������������%�� '����� �����������5��
8�� 22 2 :y x= + �� RD f = �� ( )0,2 ;T �� min2 0, 2,a y= > = 2�� 0;x =
��&��#����� ������������%�� '����� �����������5��� �����
22 2y x= +22 1y x= −
$
�
> H : D�7I D D�7I : H >
���
� �� � 1±2x−
21
2x−
22x−
�
�
�
�1
2−
��
2±
��
��
��
��
�� � 1±2x
21
2x
22x
�
�
�
�1
2
2±�
�
�
�
�
� � 1±22x−
22 1x− −
22 1x− +
�
�
� ��
2±
��
��
��
�
22 3x− + �
�� ��
� ��
� � 1±21
2x
�
�
2±
�
��
�
212
2x −
213
2x +
21 3
2 2x +
��
3
2
1
2
3
2−
7
2
7
2
� �� ( ) ( ] max0, 2 , ,2 , 2;fT V y= −∞ = �� ( ) [ ) min0, 3 , 3, , 3.fT V y− = − +∞ = − � �� ( ) [ )0, 4 , 4, ,fT V− = − +∞
min 4;y = − ���� ( ) ( ] max0,3 , ,3 , 3.fT V y= −∞ = � �� min
1 1 10, , , , ;
2 2 2fT V y⎛ ⎞ ⎡ ⎞= +∞ =⎜ ⎟ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎣ ⎠
�� ( )0, 3 ,T −
( ] max, 3 , 3.fV y= −∞ − = − � ��1
, 2;2
a c= − = ��3
2, .2
a c= = − 2 4.y x= −
�� 2 2;y ax= − �� 2 3.y ax= + �� ��8����'���%����+��2����'���%����+$�2����'���2� ���
� � ?�*��&�#�����#�������� 21
2y x= − � �* 5�����A��2���'��'����'�� ���+��2���:�'�����'����
� �� ( )2,0 ;T �� ( )3,0 ;T − $� ( )1,2 ;T )� ( )3, 2 .T − − � ��?�*��&�#�����#�������� 22y x= � �
��
$�� � �����
��
$
�
�� �� � � �
$
�
$
�
�
���
* 5�����2��5�'�����'���+��&��#�����#�������� ( ) 21
2f x x= * 5������'�� ���2����'���+
$�&��#�����#�������� ( ) 21
2f x x= * 5������'�� ���2��
11
2�'����
� ��8����%�� ( ) 21
2f x x= − * 5�����2��5�'�����'���+��2����%�� 22y x= − * 5�����2���'�
�'�����'�'��+$�2����%�� 23
2y x= − * 5�����2��@�B�'����'�� ���� � ��?�*��2����%��
2 ,y x= �����2����'* 5�����2��9�'����'�� ���!2��������� �5�'�����'���+���'�'��������������!5����<�����
���* 5������2����%�� 2 .y x= − � ��?�*��&��#�����#�������� 2 ,y x= − �����2����'* 5�����
2������'�����'���� �������'���2� ��+��&��#�����#�������� 21
2y x= − * 5�����2��9�'���
��'���� ��'��'���2� ��+$�������� ( )22 22 4 2 1 3 2 3.y x x x x x= − + = − + + = − + 9��� ���!&��#�����
#�������� ( ) 2f x x= ���* 5������2���:�'����'�� ���� �����'���%����� � �� ( )3,0 , 3,T x =
min 0;y = �� ( ) max3,0 , 3, 0;T x y− = − = $� ( ) min2,3 , 2, 3.T x y= = � ��8���'��'����&��� '���&���5���� �����
��$+��2��������'����&��� '���&���5���� �����$+$�2���'��'����&��� '�2*���5��
���� ���$� ��8������'����&��� '�2*���5���� �����$+��2��2����'���2� ��+
$�2��������'�����'���� �������'���%����� �� 2, 3;a α= = ��1
, 2.2
a α= − = −
�� �� ( ) 21;
2f x x= �� ( ) 22 5;f x x= − + $� ( ) ( )2
2 2 .f x x= − +
� �� ( )1, 1 ;T − �� ( )2,8 ;T $�7
6, .2
T⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� ( )21 1;y x= − − �� ( )21
2 ;2
y x= − $���������
( )2
2 2 5 25 25 5 95 4 2 4 ;
2 4 4 2 4f x x x x x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠��)� ( )2
2 1 2.y x= − + + � ��?�*��&�#�����
#�������� 2y x= � �* 5�����2���:�'����'�� ���� �����'���%����+��2����%� 2y x= − * 5�����
2���:�'�����'���� �������'���%����+$�2����%� 21
2y x= * 5�����2���'��'����'�� ���
� �3
2�'���%����� � �������(���������� ���� ����'��#�����������A�� ( )2
1 1;y x= − +
�� ( )21 2;y x= − + + $� ( )21
2 6.2
y x= + + =����'�5�2��&'�� ��������������:��2���2�����
� 8������������������'�����%���2����%��� �2���'���2����%������ ������������5��
���
�� 1, 3, 0,a b y= − = = 2����2��24
, ,2 4
b ac bT
a a
⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎝ ⎠
��%���2����%���� ��3 9
, .2 4
T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
8�� 0, 0,x y= = 2��2���4
�%��2����� ������2���� ( )0,0 . 8�� 0y = ����A
( )2 3 0, 3 0,x x x x− + = − − = ����� � 1 20, 3,x x= = 2�� ( )0,0 � � ( )3,0 '���
2���'���2����%������ ���$���"�%���� ��1 9
, ,2 2
T⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
*��'��� 1 22, 1,x x= − = �����2���'����� ������ ��2��� ( )0, 4 .−
$� ( ) ( )1 21,6 ; 1 6, 1 6, 0,5 .T x x= − = + E��#���������
#�������5�'���2���<������#�&���!� ����A���&':�����%���+���&':��
�*�*�+$��&':���*�*������2�����
� �������E��#����5�*�������� ����2���5������������������ ( )2,0T �� ����%���2����%��!
( )0,4A 2���'��2����%������ ����!����� ( )1 4,4A �� ��2���2��'2����%��<��� �������������2�������
%�� '����� ����2����%��+�� ( ) ( ) ( ) ( )1
91, , 0,4 , 2,4 , 4,0 , 2,0 .
2T A A B C
⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠$� ( ) ( ) ( )11,2 , 0,3 , 2,3 .T A A
8����%�����2����� ���$!���� ����� �2'��� ��%�����E��#����5�*���5���
� 8, 9.p q= − = ������� 4, 8 , 8.2
bp a p
a− = − = = −
1, 3.
2a α= = 1, 3.a β= =
�� 3, 4, 2.a α β= = =
� 4, 3.p q= − = ���������1 0 1 4
9 3 0 3 9 3.
p q p q p
p q p q q
+ + = + = − = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + = − =⎩ ⎩ ⎩
� �� 4, 3;α β= + = − �� 5, 4;α β= = $� 2, 2.α β= = − � ��9 9
, , ;8 8fVβ ⎛ ⎤= = −∞⎜ ⎥⎝ ⎦
�� 3,β = −
[ )3, ;fV = − +∞ $� [ )3, 3, .fVβ = − = − +∞ � �� 1 20, 7;x x= = �� 1 25, 3;x x= − = $� 1 2 1.x x= = −
� 2, 12.b c= = − � 3, 6.a c= − = � ��C��'��� 1 2
13, ,
2x x= = 2�2��� 2 0,a = > ( ) 0f x < 2��
1,3 ,
2x
⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠����� ( ) 0f x > 2�� ( )1
, 3, ;2
x⎛ ⎞∈ −∞ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠
� �� 2 0,a = > �����*�����%�!2�� ( ) 0f x > 2�� ( ), ;x ∈ −∞ +∞
$� 1 0,a = − < �����*�����%�!2�� ( ) 0f x < 2�� ( ), .x ∈ −∞ +∞ � �� ( )1 2 3, 1 0, 0x x a f x= = = − < < 2��
}3{\Rx ∈ +�� ( )1 20, 3, 2 0, 0x x a f x= = = > < 2�� ( )0,3 ,x ∈ ����� ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ),0 3, ;x ∈ −∞ +∞�
$� ( )1 2
1, 2 0, 0
2x x a f x= = − = > > 2��
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−∈
21
\Rx � ��C��'��� ( )1 21, 5, 1 0, 0x x a f x= − = = > < 2��
( )1,5 ;x ∈ − �� ( )1 2
2, 1, 5 0, 0
5x x a f x= − = = > < 2��
2,1 ;
5x
⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠$� ( )1 20, 3, 3 0, 0x x a f x= = = > < 2��
�
$
���
( ) ( ),0 3, .x ∈ −∞ +∞� E��#������#�������5�'���2���<������#�&�����
���� RD f = ����%��1 25
, ;2 4
T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
���� ���� ��1
;2
x = ��2���'����� ������ ��2��� ( )0,6 ,A �����2���'����
�������$'���2���� ( )2,0B − � � ( )3,0 ;C �� max
25;
4y = �
25, ;
4fV⎛ ⎤= −∞⎜ ⎥⎝ ⎦
� ( ) 0f x > 2�� ( )2,3 ,x ∈ − ����� ( ) 0f x <
2�� ( ) ( ), 2 3, .x ∈ −∞ − +∞� ���� RDf = �� ( )1, 2 ;T − − �� 1;x = − �� ( ) ( ) ( )0,0 , 2,0 , 0,0 ;A B C− �� min 2;y = −
� [ )2, ;fV = − +∞ �� ( ) 0f x < �2��� ( )2,0 ,x ∈ − ������ ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ), 2 0, .x ∈ −∞ − +∞� $��� RD f = �� ( )0, 4 ;T −
�� 0;x = �� ( ) ( ), 2,0 , 2,0 ;A T B C≡ − �� min 4;y = − � [ )4, ;fV = − +∞ � ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ), 2 2, ,x ∈ −∞ − +∞� �����
( ) 0f x < 2�� ( )2,2 .x ∈ −
$
� � �
$ $
�� �� $�
� � �� }3{\Rx∈ +�� 3;x = $� ;x ∈ ∅ )� ( ) ( ),1 6 1 6, .x ∈ −∞ − + +∞�
� �� ( )4,4 ;x ∈ − �� ( ) ( ), 2 2, ;x ∈ −∞ − +∞� $� ( )5,5 ;x ∈ − )� ( ] [ ), 1 1, .x ∈ −∞ − +∞� � �� [ ]3,5 ;x ∈ −
�� ( ) ( ),0 2, ;x ∈ −∞ +∞� $� ( ), .x ∈ −∞ +∞ � ��3
0, ;2
x⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
�� ( ) ( ), 3 1, ;x ∈ −∞ − +∞� $� ( ) ( ), 1 4, .x ∈ −∞ − +∞�
� �� [ )2 12 1 0, , 1, ;
2x x x ⎛ ⎤− − ≥ ∈ −∞ − +∞⎜ ⎥⎝ ⎦
� �� 2 12 5 3 0, ,3 .
2x x x
⎛ ⎞− − < ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠� �� }3{\Rx∈ +�� }5{\ −∈ Rx
$� 5;x = − )� .x ∈ ∅ � �� [ )3, 2, ;
2x ⎛ ⎤∈ −∞ − +∞⎜ ⎥⎝ ⎦
� �� ( )2 8 9 0, 9,1 .x x x+ − ≤ ∈ − � �� [ ]0, 2 ;fD =
�� ( ] [ ), 3 3, ;fD = −∞ − +∞� $� [ ]6,6 .fD = − ��8�� ( )( )3 3, 2 3 2 0, ,2 ;
2 2x x x x
⎛ ⎤≠ − − ≥ ∈⎜ ⎥⎝ ⎦
��2�� ( )( ) 12, 2 1 2 0, 2, ;
2x x x x
⎛ ⎞≠ − − + < ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠$�2�� ( )( ) ( ]2, 3 2 0, 2,3 .x x x x≠ − − + ≤ ∈ −
8�� ( ) ( )( )21, 4 1 4 1 2 5 0,k k k k≠ − − − − + ≥ ����� � [ ] { }2 6 0, 2,3 \ 1 .k k k− − ≤ ∈ − − �� 8��
2,
3k ≠
( )24 4 3 2 0,k k k− − < ����� � ( ) ( )2 0, ,0 1, .k k k− > ∈ −∞ +∞�
�� 6 2 23; .
2 9 18 2 11x α= = − = =
− − + +
���
� � $�� �)�� � 8����%�� � �� � ( )2,0 .− � .x α= � .2
b
a− � ; ��#�&���
�� ( )1,4 ;T �� ( )2, 3 .T − − �� �� 1, 2, 1;a α β= − = = �� 2, 1, 5.a α β= = − = −
�� �� ( )22 1 2;x + + �� ( )2
1 1.x − −
; ��#�&���
$
�2 1y x= +2 4y x= −
�
#�&�� #�&��
� $
�
#�&��
�� ; ��#�&���
$
�
22 6y x= − +
213
4y x x= + −
�� ; ��#�&���
�� �� min
9;
4y = − �� max 11.y = �� �� ( ],0 ;fV = −∞ ��
9, .
2fV⎡ ⎞= − +∞⎟⎢⎣ ⎠
�� �� ( )3,2 ;x ∈ − ��1 1
, ;2 3
x⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
$� ( ] [ ), 4 4, .x ∈ −∞ − +∞�
� )�� � [ )5, .− +∞ � ���� )�� � ���
� #����������� � )�� .β
�� ( ) 21 1, 2, 2;
2 2a c f x x= − = = − +
#�&��
�
$
�� ; ��#�&���
�� 1, 2.a β= − =
�� ( ) 28 7 8 7, , .
5 5 5 5a c f x x= = − = −
�
$
#�&�� #�&��
$
�
�� ; ��#�&���
�� �� ( ) 3,0 , ;
2x
⎛ ⎞∈ −∞ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠� �� ( ] [ ), 6 1, .x ∈ −∞ − +∞�
�� ( ) 0f x > 2�� ( )0,4 ;x ∈ ( ) 0f x < 2�� ( ) ( ),0 4, .x ∈ −∞ +∞� �� �� ( ] [ ), 4 3, ;x ∈ −∞ − +∞� �� [ ]4,4 .x ∈ −
���
�
�
� ��8���� �$��F!2�����2��#�<������$�%����#�* ��!���'���� ��������� �
� ��9��'������� ����1�2�� ��� ���$�F�8��� ����%%!2��*������������2'�����!���:�� ��������'���
����%����'��� ����*��!���'�#�<�������<������ �����'������� !2��:#�<���'������������'������'������� ��2�
'�����������������
� 5 3 cm. � D4�%��� 4; 4, 6.s t r= = = � �� 6, 5, 9, 3;t s r b= = = = �� 8, 6, 12,t s r= = =
4;b = $� 2 , 2, 3 , .t n s n r n b n= = + = = � 5 7 cm. � R�B�%�� � ���8D�����9:���� '������&��%������
&'����������������9�!�����6���&��%���'�������&'���������������� 5.a �������8��'��%���D�#�&��
� �7�4@�%��-7�R6�%��� � ;:2�����2���'������5&�%���&��%��� �� 3,Q 2�������� ���� ��90�
�������1�&'�� �������� �����&�%%��*+,�.��#�&���!����������� ��*+)�� �����!2��
��������� ��3)�� ���������'��+��� ��!3
2
aAG = � � 3.AC a=
8��'�� ,Q aH= ����� �Q
Ha
= �/�� ��%��������2��*����!2���:2�����-��
2���'�����&��%��++���#�� ��A ,21 a
QaHACS ⋅=⋅= ����� � ,31 QS = �����2��
9��'������� !���2�*�������� ���� ���������� �
�
�
��
�
��
��
��
����%��������&��%�A�+
�!�,
�� ���
�!�� 1 1AC AE= ��'������5����� ������� �������4
������ �5���2�� ��� ����8�� ��!2 2 2
1 1 1 1AD AA A D= + = ,252)2(2 aaa =+
2��� 1 15;AD a AC= ��������'� � ��2��'��������� ���������'��
�++�"���� ( )22 2 2 2 2
1 1 3 4 ,AC AC CC a a a= + = + = �2�� 1 2 .AC a=
�:2�����-���2��'�����&��%��,,
���A ,22 a
QaS ⋅= ����� �;
�,�G�
. 8
9 2mS =
� � ���,�����������+���,���+$� ,6323 aHaS +=
� ?������� ��������'�������%�����*��!�����%�������/�� ���������������� ��������
� "����� ���������2�$��%�������*��� ,a b c= = 2�� 3.V a a a a= ⋅ ⋅ =
�
�� ��
�
�
��
�
�
�����- �������������������������"�������#
���
�
�
� ��������� ��������� ��������� ��� ����������������������������������� ������������ ������� ������� ��� �����
���� ������
� ��������������� ������������ �������� ����������������������������������� �� ������������������������������� ���
� �������������������������������� ���������� ���� ��������������������������������������������������������� �
������������
� 1 2,5cm.SA = ���������!�����������������������������������������������������������������
�����������"������#������������� ( )2 272cm ,Q a= = �������������� ���������������
���������������������������� ( )1 172 :18 8 : , 2 cm .H H= = ������ SOAΔ �$�� ��%������������&
2 22 64 36, 10 cmSA H AO SA= + = + = �� ����'�������������������������'����� � 1 1: : ,SA SA H H=
( )1 10 2 : 8 2,5 cm.SA = ⋅ =
�256 cm , 2 51 cm.Q h= = ���������
1; 28 2 cm, 2 2 cm.
2Q d H d H= ⋅ = = �������
� 35 cm.H = ���������� ( ) ( )2 2
1 1 1 1 1 114; 150 : 54 14 : ; 5 : 3 14 : , 21 cm.H SO SO SO SO SO SO= + = + = + =
� 25 2 cm . � 225 3 cm . ������������������������ ������������ �������� �����������������
2 10 cm.a = � ��� 12;H = ���� 13;h = � �� 40.a = �21tg .
2a β � ( )
229dm .
4
s =
� �260 m ; 48000M = ���� � ��������� � 3
2
2 3696dm ; , 3dm.
12
QV H H
d= = = =
� ��� 2800dm ; ����� 22256cm . � 2245cm .B = ���������� ( ) 2 2: 200 7 : 3 .B B − = � 2288cm .M =
���������
2
2 2 23 1 3; ; 576, 24cm.
2 2 2
aM ah h H a a
⎛ ⎞= ⋅ = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� 2616cm ; 12cm,M H= =
13cm, 20cm.a bh h= = ����
.12
32 ,32 b) ,3218 ,2336
aVaScmVcmS ==== � �� ���
366cm ;V = ��������������� �� ����� � ������������� 215m .M = 3287,6g; 27,36cm , 7,1.V H≈ ≈ ≈
� ������������ � ������ ������� � ( )3243 7 643 cm ,V = ≈ � )(7,44777108162 2cmS ≈+= ���������
����� 2 2 22 15a H+ = �� �� 2 2 212a H+ = ��'��� ��&�� 9cm, 3 7 cm.a H= = � ��(�)*+) ������(�,,*) ���
� ������������� 2 0, 3,75 3 cm , 8sin 60 4 3 cm.V BH B H= = = = � 5,8 m.≈
� ��� 260dm ;≈ ����≈ ��������� �������� ���������������
� ���
��
40≈ $2�����<�+ 23535dm .M ≈ �������2
2 22 , , 25dm, 35,4dm;2 2
a aM ah h H H h
⎛ ⎞= = + = = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
210% 3888,5dm ;M M+ ≈ �'�$2����:2����Q����&�84����7�RD�����
�
��
�
�
���
�
�
3
2
ax =
�� ��B��� 9@B� �����+��988�9����
���������?�%%���4��������� ��� ����5�%%����4���2��*���� �
5�%%����4���2�����������#�&����� ��2���<����I2'����������J��
���� 9@B ( )720,53 : 3,5≈ � ��������
2
2 22
36 ; 64, 8cm;
2 2
ah aM h H h
⎛ ⎞= ⋅ = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2192 m ;M =
210% 192 19, 2 m .⋅ = 9��� ���!2��������'����%���988�9���2�% ����
2 2
1 2 1 2 1 2
1 6 3 1 6 3
3 4 3 4
a aV V V BH BH H H= + = + = ⋅ + ⋅ ⋅ =
33 164 3 3 64 4 3, 720,53 m .
2 2V= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ �D�����������6��
� �,���!���������������,����!,���,�����!
�,,�!��,� !�����
2
2 21 14 , 70,56, 8,4m,2 2
a a a aM h h s h
+ −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠2�� 2393,12 m .M = � 3 3160
180cm , cm .3
V V= =� �
�������?�%%���4��2����������$��&����� �� ( ) 31 380
36 16 36 16 5 cm .3 3
V = ⋅ + + ⋅ ⋅ =�
8��'
( )2 21: : ,B B H x x= + ����� � ( )2 236 :16 5 : ,x x= + ��$�� ��%��������2'����2%�������!#�� �� 10.x =
� ��,�� �$��� � �,���$�������������,����+,���$��!
21
10 864cm , 4 ;
2B M h
+= = ⋅ ⋅ 0 21cos 60 , 2cm; M = 72cm .h
h= =
� ��,���������������� 16 = 60 .2
a aM h h
+= ⋅ ⋅
G����'� �'� �2������!*&'�� 2���'�<���%���2��<���������*�5�� �
��2���������:����'�5���2����%%��4���#��'� ���$����������5�*����!2��'
����A
( )2
22 2 2
1
1 13 3 2 2 3 16,
2 2h H a a
⎛ ⎞= + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠�2�� 4dm.h =
���
�
�� �
�
�
13
2a
2 3
��
1
13
2a
2H =
� 3296cm .V = �������7��������2����������$��&���
� 3210dm .V = ��������8��' 272 dmB = � � 21 18dm ,B = 2�����&��%��#�� ��A 2 2 72d = ⋅ � �
�� �� 12 ,H x= − ��$%��������2'����2%�������+ 2 21: 12 : ,B B x= 2��'�� 9cm,x = 2�� 3cm.H =
���
� � �� , ;r b H a= = �� , ;r a H b= = �� , .2
br H a= = � � B6�%���5cm, 2,5cm.H r= =
� 9B�%�� � "����� � 86�%�� � =������&������))�!��)� �)
�'���<�������
��*�5����������7���'���-2���2��'��&������))�!������� ��
�'���)#����2���2��'
��*���� ��5�*��������8��'��������� ���������'���)-!��)�-� �2��'��� ��� 1,SA SA=
#�� ������*���2 2 2 2
1 1 1 ,SO OA SO O A+ = + 2��'�� 1,SO SO= ����� �-�� �������))��
�
��
�
�
��
� 232 3 cm . � D�%�� � ( )2 240 3 cm 70cm .≈ R@�����������
2 : 2 : 4, : 1: 2, 2 ;r rH r H H rπ π= = = ���� ���!2���'��� �������!2�����&��%��'���
��$�2���� �����%��
� � 0,96cm.r = � ���� 69���� � 2 0,76mm.r ≈ ���������� 2 125 8,9 500,rπ ⋅ ⋅ ≈
2 40,143, 0,378mm.
3,14 8,9r r≈ ≈ ≈
⋅ ��1 �%%����/���*��5������� �� 2,04m;H ≈ �� 3348 m .≈
����������� 22
100012,5m; 1000, 2,037, 2,04 m.r r H H H
rπ
π= = = ≈ ≈ ��8��#�<��������A 2
1 1000r Hπ ⋅ − =
2 313 2,04 1000 83 m ;π= ⋅ ⋅ − ≈ #����A 2 2 31 0,5 13 0,5 265, 4 m ;r π π⋅ = ⋅ ⋅ ≈ &'�� ���'������ 2��*���A 3348 m .≈
�2
2 2100cm 31,8cm .
4
aB
π π⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
��������� 2 ;B rπ= 2�����������*���� ���,������ � 2 ,r aπ = 2��
10cm .
2
ar
π π⎛ ⎞= ≈⎜ ⎟⎝ ⎠
21 2 18,d = ⋅ 112dm, 6dm,d d= = �����2��' 1 45
2
d dH
+⋅ = #�� �� 5dm.H = ?�'�!
� �� 3140400 : 25 5616 kg. 5616dm ;V= ≈
�� ( )15616 144 900 144 900 , 5616 468 , 12dm;
3H H H= + + ⋅ ⋅ = = $��,.�+,���,������+
,225292122
2122 ,
2
30124 =+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=+⋅=
aaHhhM �,����!�,�������!�,��������
( )3181cm 1m 10 h .H ≈ = �
32496cm .V = ��������� ( )1 1
1;
3V B B BB H= + + ⋅�( ) 31
72 18 72 18 5 210dm .3
V = + + ⋅ ⋅ =
( )( )( ), 45 cm,B s s a s b s c s= − − − = � 2240cmB = � ��, �$��8��'����,���
�#�� ��
.161 ,1690:)4036(:)1(1 cmaPaPa ==⋅=⋅= ������2��' 2 21 1: :B B a a= 5�'��� ( ) ( )2 2 2 2
1 1 : 240 16 :40B B a a= ⋅ = ⋅ =
238, 4 cm .=33,5m .V = ��9B�9��=��896@@����
���
� B��� 89BQ������������-7�9π�'�5/(��7�B@%���/7�4B@�%�= .21507079500100 cmS ≈⋅⋅=π �
.12578 tS ≈⋅ � B��� 86��=�� 318,85m .V ≈ � B��� R�R���=�� 2 2 ; 0,6 m,V R H r H rπ π= − = 0,9m, 7m.R H= =
� B��� @�59�����������?�%%����$�%�������� �� 2 2 30,3 6,4 1,81 m .cV r Hπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ?�%%����
2��*����� �� 2 2 3 33 33 0,3 1,73 6,4 1,49m , 0,32m .
2 2p c pV BH r H V V= = ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ − ≈
� �� 220,5 t;≈ �� 2646000≈ ������� � 36,3%.≈ ��������� 2 , 14cm, 450cm;cV r H r Hπ= = =
( ) ( )23 2 2 2 2 3 3100
277088cm ; ; 2 , 392; 176400cm ; 100688cm ; 36,3.c p
c p p c pc
V VV V a H a a r a V V V
V
− ⋅≈ = + = = = − ≈ ≈
��3�������������� 308kg.≈ $� 1kg.≈ ��������E:2��������2�������'��
��I$�%�������$�%�����J�#�&����!2��'��$�%���������*�����5&�%�� ��I�*���*��J�8������� ���!
5�%%����&:2���� �� 1 2 ,V V V= − ��4��� ��5�%%����$�%�����������*�������� �
( )1 220mm 22cmr = = !�����4��� ��5�%%����$�%�����������*�����5&�% ( )2 200mm 20cm .r = =
E'�������&:2���� ��%��������$�%������!����� � 1,5m 150cm.H = = 9��� ���! 2 21 2V r H r Hπ π= − =
( ) ( )2 2 2 2 3 31 2 22 20 150 2 42 150 39584cm , 39,584dm ,r r H Vπ π π= − = − ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ≈ 2������0�&:2���� ��
7,8 308,8kg.Q V= ⋅ ≈ �� =+−+=+++=−++= )21)(21(2)21(2)22
21(22
222212212 HrrrrrrHrrrHrHrrS πππππππ
.1)/24: ,24 ,24011152422 kgkgmSmScm ≈≈≈⋅⋅= π �&':���
� 59�%�� � 2300 cm .Q = ��������� 2 2 2; 625 400 225, 15cm.Q r H r s H r= ⋅ = − = − = =
� ( )2 236cm .Q r= = ������� 2
,2
sQ = ����� ��������+ 2 22 .s r=
� ( )2
225cm .2
sQ = = � 045 .α = ��������8��' : ,B Q π=
�� 2B rπ= � � ,Q rH= ���� 2 : ,r rHπ π= 2�� : 1,r H =
����� � .r H= 9��� ���!��������� ��������'��-)����5�*�����
�� ��������� ��!2�� 045 .α =α
/
)
-
�
�
�
� ( )2
2375 3 cm .
3
rQ = = �������; #�:��*�5�*������2��'���:���!!����5������ 0 030 ; , tg30 ,
HQ rH
rα = = =
3.
3H r= ⋅ � 9@�%�� � 6�%�� � 1
50,45 .
5
HH H= ≈ ��������
2 221 1
1 121
5 ; , .5 5
H B HB B H
BH= = =
( )2 21
416 cm .
9B rπ π= = ��������
22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 4 4; : : , : 1: , ;
3 9 9B r B B H H r r r rπ π π⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
21
4
9B rπ= ⋅
2436 16 cm .
9
π π⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 224dm , 4,8dm;Q H= = ��������� ��� ���������'��!2��� ( )22 2
1 2 2 .s s r+ =
���
67≈ &��+5�%%�����'�&���� �� 375cm ,≈ 2�� ( ) ( )3 35000 cm : 75 cm 67≈ �&����
���,��π���+�� .26,218 dmV ≈ �������3�5�*������ ��2���<�����'�2���'��� �����
���2�����;:2������ ���,.��.�
�!��*�� ���:2�������*��!�
�� ���:2������������
$�%������!��������� ���:2������������������?�%%���4����2���� ��� ����5�%%����4
��$�%������� �5�%%����4������!����� � .V V V= +
� �
9��
1 2H r=
2s r=
��
��
��
��
�+
�*
��
��
�#
��
�+
��
�*
�)
�� �,���π$��+�,�����$�������������2��#�����2���� ��2��'
�?�%%���A ( )2 2 2 2 31 2 1 2 1 2
1 1 1 11200 cm .
3 3 3 3V V V r H r H r H H r cπ π π π π= + = + == + = =
�:���5��� ��5�*������������*���������������%�����������&� �2����*�
�� ��������� �� �������'���*+! ����� � .cr h= 8��#����'� � �'���� ��
�� �� 1 15cm,s a= = ����� � �'����� �� �� 2 20cm.s b= = 8��' :ABCΔ2 2 2 ,c a b= +
25cm,c = �����2��' ,22cchab
S ==Δ ���� ,2
25
2
2015 chS
⋅=⋅=Δ
12cm.r = ;:2����;����2������%%����� ��������������� ������:2����5�
����2��#�<�5���#������������%%�������&�����5���� ������������ ����
������8�����'-7��C�
�7π��
�Cπ��
�7π'�
�C�
�(749@π%���
� � 2 247,04 dm 147, 7 dm .π ≈ � -79@@π%��=4759@π%��=�/78B%����78Q%��
�
123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012
/�
/�
�
: ;s r ����������'���� � 34≈ $2��������� 2 2 2; 3 m, 15, 25; 3,9 m;M rs r s r H sπ= = = + = ≈
236,8m ;M ≈ �'�$2��� 20,8m 1,5m 1, 2 m ; 36,8 :1, 2, 30,67⋅ = ≈ 2%�� 30,67 10% 3,07⋅ ≈ $2��
� 4825≈ �������������� 2 2 2 215,1; 2, 4 m, 16, 4 m; 2, 4 4 30 m ;
2M rs r s r H s Mπ π
π= = ≈ = + = = = ⋅ ⋅ ≈
160 4825M ⋅ ≈ ������� � 1: 4. � ( )3 2 2515g 49 cm , 6 3 3 3 cm .V H≈ ≈ = − = � 330, 2 m≈ ����
� 1: 3. ��������7���'���/��� �/
�'���2'��������$�%��%��������� ���������2���'��2���%�%�!�������� ��
���*'����*����$�%����������������5�*������1��:2'��������$�%���� �������
$�%���������2��#�<������������������5�%%���A
2 21 1 2
1
3V r H r Hπ π= + � � 2 2
2 2 2
1.
3V r H r Hπ π= − 8��'��� ��� 1 2 ,V V= ����� �
2 2 2 21 2 2 2
1 1
3 3r H r H r H r Hπ π π π+ = − #�� �� 1 2 2 2
1 1,
3 3H H H H+ = − ����� �
1 2
1.
3H H= 8�����'! 1 2: 1: 3.H H =
���
�� 9R������� �� 3135 cm .π ��������� ?�%%����������
2'�����2���<���������'�'���#����������2����������'��!�����
1.
3V B H= ⋅ 2��' 2 2 2 2
1 2: 9 12 225,SEF s sΔ + = + =���
����
�.
�-
���
��
�)
090=∠ESF
15cm, 7,5cm,EF r= = ����� 2��' .21
21
21 HEFssS SEF ⋅⋅== ⋅Δ
����� �1 1
9 12 152 2
H⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ #�� �� 7,2cm.H = "�� ��!
2 2 317,5 7, 2 135 cm .
3 3V r H
ππ π= = ⋅ ⋅ =
�� � 9�%�� � .722 ;330 22 cmScmM ≈≈ � 21394 cm .π
35, 2cm; 390, 4 cm .s V π= = � ( )2 2 212 66 dm .M r rπ π= − = ��������� ( ) ( )1
1 10, 2 .
cos 60
r rM r r s s r rπ −
= + ⋅ = = −
� ��,���π$�� � .5,4,192 2 cmscmHcmS === π � 5dm. � ���� 34dm . � -7�986π %��
3196 cm .V π= � �� 1460g;≈ �� 1095000≈ ��������������;�2��5�*������
�����$�%��� ��2���<�����'�2���'��� ����#�&�����������*������ ��������%��!�� ���<����
�� 2 2 23,7 1,2 12,25,H = − = ����� � 3,5cm;H = 5�%%��� �� �� 324,08 cmV π= ≈
375,65cm ,≈ �����#�&������ �� 19,3 1460g,V ⋅ ≈ �����)������ �� 1095000≈ �������
�!�
�!� �!�
�
�
�� 28,7≈ � �'�+��223,35 m≈ ����<����������� ( )2 2 312 20 12 20 35 27440, 28,7 dm ;
3 3V V
π π= + + ⋅ ⋅ = ⋅ ≈
���� ���!�5��6������ 28,7� �'����"5��� ��� �2����*���� ���2��'�&�������&'���!2��
.6,40;9,35;)(;).( 22
1
22
1
211
dmScmsrrHssrrrMBS ≈≈−+=+=+= ππ � � � ���������������� � ���9@�5@���
2��B@�5�+2�����������A ( )21520,30 3,04 m .
100⋅ ≈ 9��� ���!&'�� ���'����<����%���A2���#����� �95�5B����
�
�!�
�
1r r−+,
�.128 2cmS = ������� 111 , 4 , 25 ,r k r k s k= = = 2�� =⋅+++= )))((
11srrrrS π
( )2 2 2 2121 16 15 25 512 .k k k kπ π= + + ⋅ = 8��'5�*����������$�%��� ��2���<����2���'��� ����
������$��&����A ( )22 21 ,H s r r= − − 2�� 24 .H k= 8��' ( )2 2
1 1 ,3
V H r r r rπ= ⋅ + + ⋅ ����� �
2��' ( )2 2 2181 24 121 16 443
k k k kππ = ⋅ + + #�� �� 3 1
,8
k = 2��1
2k = � � 15,5 cm, 2 cm, 12,5 cm.r r s= = =
��� 10 cm.d = � sin 10 2 cm.H b α= = � 3121,5 m .V = ��������� ,V B H= ⋅
2 233 13,5 3 m , 3 3 m.
2B a H= = = � 8��9��� �5@�������( )2225 m 225000 .V = = � � 8����
� 86�4R�%�=���9B6�%��� � 98�6���� 31, 2 m; 3, 2 m; 4,096 m .H a V= = =
.6,257 2cmS π=
���
�� 2 2 2 28, 28 25017,1 m ; 4,5 m; 17,7 m .
2 4,5
MH s r r s
rπ π π⎛ ⎞≈ = − = ≈ = = ≈⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
� 13500≈ ��������������
2 2 313 2,5 3 2 89,535 m ; 30 2686 kg 2,7 t; 2,7 5000 = 13500
3V Vπ π= ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ≈ ⋅ ������� � B��� 27 � �'�+
3 38645 cm 27,1dm .V π= ≈ �� 128 dm, 12 dm.r r= = ��������� 22600 dm ;M π=
( )1 65 2600 ,r rπ π⋅ + ⋅ = � ( )2 2 21 140; 65 63r r r r+ = − = − ��� ��5�*�������!����� � 1 16;r r− =
������������*���5� 1 140, 16r r r r+ = − = ��*&'�� '�A 128 dm, 12 dm.r r= =
�� � ��� � $�� � $�� � ��� � )�� � ��� � 7��&����������'������#� �5��
%����������2�2�$���%�� ����������:��5��%��&�����������'��
�� ���2�*������� ������������������*�5����2��#����'�� �� 325200 m . �� 10 dm;H =
.25,10;5,112 2 dmhdmS == �� DQ�B�H����������2
21
25 20;
100 100V r H V r r H Hπ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��B4����=�� 321 3 dm . ��������� 13 ,2
a aM h
+= ⋅ ⋅
( )22 2
1 1 112 dm, 6 dm,a a h H TO T O= = = + − �� ��5�*�������
11 1
31 1 3 12 3 dm, 3 dm;
3 3 2 3 2
aaTO TE T O= = = = = � 2 dm.h =
��22
31 13 3321 3 dm .
3 4 4 4
a aaH aV
⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 3109 cm .V = �������; <:��
2���'�����&��%����5�*�����4���� �����2�*������� ������*� 7 2 cm
� �5 2 cm � �%������/+ ( )22 29 6 2 9, 3 cm.H H= − = = �� Q�B�%�� �� 2120 cm ;Q =
264 cm .B π= ��������� 2 , ;B r Q t H t CDπ= = ⋅ = �#�&��! 2 8 cm,r OE= ⋅ =2
22t, 8 3 cm.
2r OE t
⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠�� 78,5≈ ���%���� �� �� 341,5 m ;≈ �� 35,97 m .≈
�������B��*'��2������&�2����� �� ( )0,65 0,40 1,05 m .r = + =
�� 225 3 cm .Q = ��������;�2��5�*������A 0 3; sin 60 10 5 3 cm;
2Q rH H s= = ⋅ = =
0cos 60 5 cm.r s= ⋅ =
2.
3h H= �������; #�:��*��������2��2���'��2���%�%������� 2 2
1 1 1: : ; 9 ,B B H H B B= =
2��2
2 2 21 1 1 1 19 : : ; , ;
9 3
H HB B H H H H= = = 1
2.
3 3
Hh H H H H= − = − =
�
�
��
��
��
���
��
� �
���
� !
���
�
�
��
�
�
6 22
�
�
��
��
3
2 3
��
�� ��
1r r−
���
���� �"�����������#����������#��������������
� 4 �� ( )0 00 ,90 ; �� ( )0 090 ,180 ; $� ( )0 0180 , 270 ; )� ( )0 0270 ,360 . H ��4B�!99B��
�� 0 0135 , 315 . = H�������������2���2���'�5����� ��5�����������5���5�'������ �����&��������
�� 0 0sin 0 0, cos 0 1;= = �� 0 0sin 90 1, cos90 0;= = $� 0 0sin180 0, cos180 1;= = − )� 0sin 270 1,= −
0cos 270 0;= �� 0 0sin 360 0, cos360 1.= = ; �����������>>>��>?!����� � ( )0 0180 ,360 ;α ∈ �����������>>
����� � ( )0 090 ,180 ;α ∈ $����������>>>!����� � ( )0 0180 , 270 .α ∈ 7 �����������>+�����������>>+$����������>?+
)����������>>>+�����������>?� 4 �����������>>+�����������>>+$����������>+)����������>>>+�����������>?�
I �� 00α = ��� 0360 ,α = 2�� 0 0 0 0sin 0 sin 360 0, cos 0 cos360 1;= = = = �� 0 0 0180 , sin180 0; cos180 1;α = = = −
$� 0 0 090 , sin 90 1; cos90 0;α = = = )� 0 0 0270 , sin 270 1; cos 270 0;α = = − = ���'�%%'����������
< 8*���5A��!$�� ���!2���&���5A��!)�� ���� ; �� 0 0sin130 0, cos 210 0,> < 2�� 0 0sin130 cos 210 0;⋅ <
����&���5+$���&���5+)�2*���5+��2*���5� > �����������������0�!����� �
( ) ( )0 0 0 090 ,180 270 ,360 ;α ∈ � ������������������!����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 180 , 270 .α ∈ �
:D 3�&���5A��� �$�!2*���5A��� �)��
� 7 �� 0ctg 90 �����*����!2���#������� ctgα ����� ��2����#�*���2�� 090 ;α = ��8+$� 0,57;−
)�@�BQ+�� 1;− �� 1.− 4 8*���5A��!)�!��� ���+��&���5A��� �$�� H $� 0 0sin100 0, cos 200 0,> <
I $����������������!0 0 0 0sin100 0, cos 200 0, tg 300 0, ctg150 ,> < < 2��� 2�� '���5%�����&���5��
( ) ( )22 21 0, 25 1 0, 2 1,5625 1, 2 1,875 0,875 ,r H r H V V Vπ π= + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅ = + 87,5
0,875 .100
V V= 35 cm.≈
�������?�%%���������� �� 2 312 18 2714,34 cm ,3
Vπ= ⋅ ⋅ ≈ �����5�%%����2'������$�%������<���%��&�� ��
12714,34 25 ,Hπ= 2�� 1 2714,34 : 78,54 34,56 cm.H ≈ ≈
:H
:I �� 30 cm;≈ �� 230 dm≈ ����<��
���������� ( )3 2 21 115,1 15100 cm ; 15100, 481 15100, 30 cm.
3 3V r r r r H H
π π= = + + ⋅ = ⋅ = =�
�� .26,73dmcm,8,30,949730)( ;)169(9 22222221 =≈=+=−+=++=+= SsrrHssMBS ππ
����������� �� 21226,73 3, 2 dm
100⋅ ≈ ���!&'�� ���'�� ���%�������<�A 230 dm .≈
���
� H ��1
;2
− �� 1;− $� 3.− < ��15 8 15
cos , tg , ctg ;17 15 8
α α α= = − = − ��1
cos ,2
α = −
3tg 3, ctg ;
3α α= − = − � $�
3 3sin , tg 3, ctg .
2 3α α α= − = = >
7 7 24tg , sin , cos ,
24 25 25α α α= = − = −
�����5%����� 2�� '���� ��44
.89
− : ��1
;2
− ��3
;2
−$�
35;
12)� 4.− 7 �� 2 3; ��
2.
3
4 ��1 3
cos , tg 3, ctg ;2 3
α α α= − = = ��21 20 21
sin , ctg , tg .29 21 20
α α α= = − = − H ���1
sin ,2
α = −
3cos , ctg 3;
2α α= = − ��
40 9 40sin , cos ; tg .
41 41 9α α α= = − = − I
9.
50 �� ctg ;α �� sin ;α $� tg .α
<
����
( )2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
cos 1 sincos cos cos sin cosctg cos cos cos ctg cos .
sin sin sin sin
α αα α α α αα α α α α αα α α α
−− ⋅− = − = = = ⋅ =
��2sin cos sin cos cos sin
1 sin cos tg 1 sin coscos cos
α α α α α αα α α α αα α
+ + ++ + + = + + + = =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )cos 1 cos sin cos 1 1 cos cos sin1 cos 1 tg .
cos cos
α α α α α α αα α
α α+ + + + +
= = = + +
� = �� ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0tg115 tg 90 25 ctg 25 , ctg115 tg 180 65 ctg 65 ;= + = − = − = −
�� ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0sin 200 sin 180 20 sin 20 , cos 200 cos 180 20 cos 20 , tg 200 tg 180 20 tg 20 ,= + = − = + = − = + =
0 0ctg 200 ctg 20 ;= $� 0 0sin 320 sin 40= − �� 0 0 0 0sin 320 cos50 , cos320 cos 40= − = �� 0 0cos320 sin 50 ,=
0 0tg 320 tg 40= − �� 0 0 0 0tg 320 ctg 50 , ctg 320 ctg 40= − = − �� 0 0ctg 320 tg 50 .= − <
$�2
;2
− )�1
;2
−
��3
;3
− �� 3;
; 0 0 0 0cos35 sin 55 ; tg83 ctg 7 .= = : ��2
;2
− ��3
;3
$� 1.− 7 ��3 3
;2
−
4 ��5+��2��'2
πα β+ = 5�'���2
3 3 4cos sin , cos 1 ,
5 5 5β α α ⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
2�� tg ctgβ α= =��3
;2
$�8�
( ) ( )0 0 0 0180 , 270 270 ,360 .α ∈ � : ��8�Q5+�� 1,73;− $�@+)�8�Q5+�� 0,57.− 7 8*���5A��!��� �)�+
4 �� 0 0sin15 0, tg150 0,> < 2�� 0 0sin15 tg150 0;⋅ < ��2*���5+$���&���5�
H 8*���5A��!��� �$�+��&���5A)�� I ��������������������2�� ( ) ( )0 0 0 090 ,180 180 , 270 ;α ∈ � �����������������
����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 ;α ∈ � ������������������!����� � ( ) ( )0 0 0 090 ,180 180 , 270 ;α ∈ � $����������������0�!����� �
��&���5A$�� ����
����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 ;α ∈ � $����������������!����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 .α ∈ �
( )2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2
cos 1 sincos cos cos sin cosctg cos cos cos ctg cos .
sin sin sin sin
α αα α α α αα α α α α αα α α α
−− ⋅− = − = = = ⋅ =
��
���
4 3cos 4 tg sin 113 5, .
3 4sin 3 cos ctg 295 3
α β αα β α
−−= = = =+ +
H �� 0sin 40 ; �� ( )0 0 0 0sin 20 sin 20 cos 20 cos 20⋅ − − ⋅ +
( ) ( )0 0 2 0 2 0ctg 20 tg 20 sin 20 cos 20 1 0.+ − ⋅ − = − − + = I 22cos .α = 8� � 0ctg 40 .
� 7 017, 42; 11,37; 49 15 .c a α ′= = = H 0 054,67; 39 48 ; 50 12 .c α β′ ′= = =
= : �� 019,04, 11,72, 52 ;c b α= = = �� 054 20 , 30,77,cβ ′= =
7 �� 049 10 , 20,42, 17,65;b aβ ′= = = ��024 30 , 26,13, 57,33.a bα ′= = =17,94.a = 4 �� 058 40 , 21,35aα ′= =
031 20 ;β ′= �� 0 033 18 , 41,88, 56 42 .cα β′ ′= = = H �� 0 067 23, 22 37 , 36, 39;b cβ α ′= = = = �� 046 24 ,α ′=
043 36 , 42, 40.a bβ ′= = = I �� 0 010,5, 15,95, 41 10 , 48 50 ;a c α β′ ′= = = = �� 09, 41, 12 41 ,b c β ′= = =
077 19 .α ′= = 0 036 52 , 106 16 .α β γ′ ′= = = 1 0 071 6 , 108 54 .α β γ δ′ ′= = = = ; 7�����������2�*��
0 0 0 0 0 012 cm, 67 22 , 53 7 , 180 112 38 , 180 126 53 .h α β δ α γ β′ ′ ′ ′= = = = − = = − =
> 16,38 m.H = :D 40, 41 m.H =
� 4 052 5 , 19, 25, 25,75.b cα ′= = = I �� 047 30 , 9,08, 10,15;b cβ ′= = = �� 071 53 ,β ′=
( )0 0180 54 19 , 45,30.cγ α β ′= − + = = 8��� β α> 2��� � ,b a> ���:�����:*&'�� '�A 0 01 180 108 7 ,β β ′= − =
( )0 01 1180 18 5 ,γ α β ′= − + = ����� 1 17,31;c = $�8��'
sin sin
b c
β γ= 5�'��
06 sin 60sin 1,3 1,
cβ ⋅= = > <������ �������� ��!
���:�������*&'�� '�� : �� 075 04 , 19, 22;b cγ ′= = = �� 045 43 , 16,33, 14,15.a cβ ′= = =
7 �� 0 036 52 , 94 33 , 19,94;cα γ′ ′= = = ��9��:�������*&'�� '�!2��� sin 1;β > $� 0 068 23 , 63 7 ,γ β′ ′= =
17,27.b = 8��� γ α> � � ,c a> ���� ������:�����:*&'�� '��C&'�� '���:���� �� 0 01 180 111 37 ,γ γ ′= − =
( )0 01 1 1180 19 53 , 6,58.bβ α γ ′= − + = = 4 �� 0 042 , 114 30 , 21,75.bα β ′= = = 8���α γ> � � ,a c> ���:��
���:&'�� '� ( )0 0 0 0 01 1 1 1180 42 138 , 180 18 30 , 7,58;bα β α γ ′= − = = − + = = ��sin 1,58 1,γ = > <������ �������� ���
9��:�������*&'�� '�� H 0 041 40 , 52 35 , 5,7.aβ γ′ ′= = = I �� 025 , 2 sin 46,98, 49,81,a R bγ α= = ⋅ = =
21,13;c = ��8��' 0 02 , sin , 54 20 , 12, 77 04 , 15,6.sin 2
a aR b c
Rα α γ
α′ ′= = = = = = �� 042 22 ,α ′=0
0 037 29 , 100 09 , 45, 28;cβ γ′ ′= = = � ��� 081 47 ,β ′= 2��' 0 03sin , 60 , 38 13 , 15, 21.
2ch
c ab
α α γ ′= = = = = =
��,��!� +��,���.��+��,��!�$��
��
4 �� 0 077,14, 30 38 , 38 57 ;a β γ′ ′= = = �� 0 020, 23, 39 55 , 80 05 .c β α′ ′= = =
I �� 0 0 0107 15 , 42 23 , 30 22 ;α β γ′ ′ ′= = = �� 0 0 091 41 , 47 37 , 40 42 .α β γ′ ′ ′= = = : �� 6,25;b = �� 18,35.c =
7 �� 0 09,98, 61 10 , 83 10 ;c β α′ ′= = = �� 0 013,15, 68 29 , 56 51 .a γ β′ ′= = = 4 ��� 0 067 23 , 90 ,α β′= =
022 37 ;γ ′= �� 0 0 086 13 , 53 53 , 39 54 .γ β α′ ′ ′= = = H 2 2 2 02 cos120 , 49 34 15,c a b ab ab= + − = − =
( )( )
22 22 2 2 20 0
2 2 2
642 64 8 534 34; 38 13 , 21 47 .
2 315 2 30 2 4 4
a ba ab b a b aa b a b
a b bab ab a ab b a bα β
⎧ + =⎧ + + = + = =⎧ ⎧+ = + = ⎧ ⎧⎪ ⎪ ′ ′⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = == = − + =⎪ ⎩ ⎩− =⎩ ⎩ ⎪⎩ ⎩
I 0 0 057 25 , 71 57 , 50 38 , 14,18.aα β γ′ ′ ′= = = = = �� 13, 7.b a= = �������2 2 2 2 cos
20
b a c ac
a b
β⎧ = + −⇔⎨ + =⎩
( ) ( )22 2 020 2 20 cos60;
20
b b c b c
a b
⎧ = − + − − ⋅⎪⎨
= −⎪⎩�� 7, 37.a c= = < �� 060 ; �� 0135 . �� 7;ct = �� 10,7.ct =
> .39,29sin;Ê53122;Ê0757 00 =⋅=== αβα baS :D 0 044 24 , 34 02 .α β′ ′= = ��������C����
: �����,�!���,��!���,�����������, .340 ����,��!��!����,�� !��!����,� !���
7 4 8��' 2 2 21 2 cosd a b ab α= + − � � ( )2 2 2 0
2 2 cos 180d a b ab α= + − − 5�'�
� ( )2 2 2 21 2 2 .d d a b+ = + 8��'
22 2
2 b
ba t
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠� �
22 2
2 a
ab t
⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠5�'�
( )2 2
24
2340, 48,37;5
a bt tc c
+= = =
2 22
0
2 2
3 3cos , 150 .
8t
9
a b
a b
t t c
tϕ ϕ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
I ( ) 002
01 2056),( ,Ê2834, ,04,30 =∠=∠= FRFRkNR ��#�&��
α.�
.�
�
0
����������������2����������� �� 1 1, .AD D DD BC�
H
8��'1sin sin
BD ABABD
α γΔ = 5�'�
00
1 1
sin 8 sin 60sin , 32 12 ,
13
AB
BD
αγ γ⋅ ⋅ ′= = =<
� *
+,
�
D
85�
α 1β
1γ( )0 0
1 1180 87 48 , 15.bβ α γ ′= − + = = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .sinb
h=α
.cm3602
3158,
2315
23
15sin 2=⋅=⋅==⋅=⋅= hABSbh α
=
�,������,���.���,��!
��,��!��!"�, !��!������!���
�,#���α,���$�
339
7 Prej kurse prej
vijon se
d.mth.
Prej kurse prej
CxA
A1B
9 1 2 a) b)
3 a) b) negativ; c) pozitiv; ç) negativ.
4 a) b) c) 5 a) b) 6 a) b) c) 1. 7 a)
b) 8 a) c)
9 a) b) 10 a) b) c) 1; ç) d) e)
12 a) b) c) 1; ç) 13 a) b) 15 a)
b) 16 a) b)
17
10 1 ç) 2 a). 3 b). 4 c). 5 a). 6 b). 7 Ordinata, vija trigonometrike
8 Boshti i tangensit. 9 I pari, i katërti. 10 I dyti, i treti. 11 Teorema e sinusit.
12 13 a) 1: b) 1. 15
16S=263,31
8
9
Vizatimi i detyrës 7
���
��×*7K'��8(��'��9(��'��5(��'��8(��'��9(��'��5(��'��8(��'��9(��'��5(��'�8(��'�9(��'�5(L�
��������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������
��7�BN�7
89@�6N�7�Q9@� 4N�7�94� BN�7�89@� @KB>7�
K������L��K�������L��K�������L��K���� �L��K���� �L��K����� �L�K���� �L��K���� �L��K����� �L��K�� ���L�
K���� �L��K���� �L��K����� �L�K�� ���L��K�� ���L�
���� #�� �����#�
� :
7
4 3 38 8 512.V = = H 3 3
52 2 5 250.V⋅ = ⋅ = I 10 103 3 .V = = 3 3
4 4 64.V = = ��������������
� <�� ���&��'�5��������$�%����5����� < 64 4096.V = �����������'�����$��� ���&��'�
���<����%�� ��� ������� ; 54 1024.V = > ;L@DA 5 5
10 10 100000;V = = "�����A
3 3 3 326 10 26 10 17 576 000.V V = ⋅ =
� I 3 3 35 5
5!5 125; 60.
(5 3)!V V= = = =
−: ���89@=�����B@4@=��$��8�D84�4@@� 7 ���859@=�����56@�56@�
4 ���R=����6=���� �7B�� �
�788=�$������*&'�� '�� H 5
7
7!2520.
2!V = = I 4
9
9!3024.
5!V = = = 3 2
8 7V V− =
�������3���������������� ��������� �#���@� 312 1320.V =< 5
8 6720.V =;
� : 7 4 H I
= �� 10
10!(2,3, 2,1,1,1) 151200;
2!3!2!1!1!1!P = = �� 12 (2,2,2, 2,1,1,1,1,1) 29 937 600.P = < 6
6!(1,3,1,1) 120.
3!P = =
; 9
9!(4,2,3) 1260.
4!2!3!P = =
� :
���8B=������98@=��$��QB=��)��99TQ�7 4 37
735.
3C
⎛ ⎞= =⎜ ⎟
⎝ ⎠H 12
24 2 704 156.C = I 8 1016 20 2 377 809 720.C C⋅ =
= 1 1 26 6 10 1620.C C C⋅ ⋅ = < 4 5 6 7 8
8 8 8 8 8 163.C C C C C+ + + + = ; 737 10 295 472.C =
����������������������������
������������������������ ����
����
> ���8=����� 5 55 9 126.C C= =:D
� : �� 4 45 5 625;V = = �� 4
5 120;V = $� 352 250;V⋅ = )� 2
55 125.V⋅ = 7 316 3360.V =
> ( )2 5 1 ! 48.⋅ − = ��������=�<��� <:�� �����'��'���!����� ���� ������'���*!
�����2����'���������'������%����'���2��'�'�����������'�%%������*���'���:���������
8! 7!294.
5! 5!= − =
���
���99@=������8Q6@=���$��5@489D@�
7�89=��9B544� 7�8@=��#�D@64����9��7�D=�������9���7�4@R6� 7�D=�889�
�������� ��2����������*&'�� ���� 35V ���:��2���<���:��������*&'�� ���� �� �#��2�����:���!
��� 6 6! 720;P = = ������ 26 2 30;C ⋅ = ���$�� 2
8 6! 20160.C ⋅ = ��⋅�
�7�5N�⋅5N�7�56�
?����$���2��' �%���������%���� �
���QN����������8954�� <:�� �����'�� �#��+�����QNU4N�7�89@�R6@�4
�����U�
�7�4N�U5N�7�844=������"9�"�������H I 2 1 3
6 6 6 110.C C C⋅ + = = 1 3 2 22 7 2 7 91.C C C C⋅ + ⋅ =
� : ���'9$C�5�( �7�64�$ �C�BQ6$��C�986@$����C�459@$����C�4D6@$����C�9R86$���C�Q9R��=
���'$#�5�(��7$��#�98$ �C�8DR$����#�R4B$����C�9D5B$����#�B8@5$����C�B8@5$� �#�98DQ��=
$�4 4
3 2 2 3 44 2 24 128 256 .2 16
x xy x y x y xy y
⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠7 ��
55 3
3 5
1 10 5 15 10 ;x x x x
x x x x⎛ ⎞− = − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
�� 8 7 7 6 6 5 5 4 48 28 56 70 56 28 8 .x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + 4
H 9B9� I = < ;
: 3 4 3 42 3 2 3 648.V V = ⋅ = 7 �������3��������#�%%���� �#�����!��� ���� �#������2����2���!
2*������������ ��&'�� ���3��������#�%%���� �#��)�#�!�'������'����'���2��'� �#��5�9�4�6�D���� ���2*���������� �
�2����������2%��� ���� 24V ���:��!�����2*�����:��!�������� �� 3
5V ���:���E'�� ���'A 3 3 2 35 5 4 54 6480.V V V V⋅ + ⋅ ⋅ =
4 56
6!6 6 4320.
1!V⋅ = ⋅ = H I
= E'�� ���' 15 (2,3,4,6) 6 306 300;P = 1��A 14 (2,2, 4,6) 1 261 260.P = < �� 38 56;C = �� 2 1
4 4 24;C C⋅ =
$� 3 3 2 1 2 14 4 4 2 4 2 4 4 12 12 32.C C C C C C+ + ⋅ + ⋅ = + + + = �������=�����*&'�� ��A������ ��'+���#�����+�:��� ��'� ��'�#����
�$�%������ ����'������ ��� ���������'����2��'�:��!�:#������ ��'���� ��%%<������ ����'������ ��� ���������'����2��' �:���
�������3���)#�������2��'9@����� ������������� � !���������'��*�5�<���������2��$��� ���� �� 220 190.C =;
−84B8B9� �9R4�
8�!�2��'2���5�� ��� �����'����'��*!2�����'������2��&'�� � ��8R@*5&�% ��2�����������:�����'��*�5���$�%��������
��� �<����2��62���$�%����2��'�:��'���'�%�������3�#����������*��� �������'��*���� ����8��'����!�������������
�� �� 2 220 6 1 176.C C− + =
> �� 8 88 15 6435;C C= = �� 8 8
16 23 490 314.C C= = :D :: :7 ��86D@�$�=����7
3
3432.
a
x x
: $�� 7 $�!)�� 4 $�� H ��!$�� I ��� = !.
( )!k
n
nV
n k=
−
< 3����� ���������%����������� �������� �%�������;
> 1.k kn n kC C + −= :D 1 2 2( ) .
0 1 2n n n n n k k nn n n n n
a b a a b a b a b bk n
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �
:4 ��64
;9
�� 3 23 11 .− ⋅ :H �� 4;x �� 2 816 .a b
:: 5 4 5 426 10 26 10 .V V⋅ = ⋅ :7 9 (3,4,2) 1260.P = :4 3 1 4
4 3 4 13.C C C⋅ + = 6QB@�:H
���
� : 7
:
7
4
I
H
V�7�K'�� ���8(��'�� ���9(��'�� ���5(��'�� ���4(��'�� ���B(��'�� ���6(��'�� �������(��'������� ��(L
٠7� K'8(�'5(�'B(�'9�8(�'9�5(�'9�B(�'4�8(�'4�5(�'4�B(�'9�4�8(�'9�4�5(�� '9�4�B(�� '4�9�8(�'4�9�5(�'4�9�B(L�
3����@�2���<����� ���!������$���!��� ���A
V�7�K'8�8(��'8�@�@(��'8�@�8�8(��'8�@�8�@(��'@�8�8(��'@�8�@(��'@�@�@(��'@�@�8�8(��'@�@�8�@(L�
�7�K'8�8(��'8�@�8�8(��'8�@�8�@(��'@�8�8(��'@�@�8�8(�L=����*7K'8�@�@(��'@�8�8(��'@�8�@(��'@�@�@(L�
+7�K'8�8(��'8�@�8�8(��'@�8�8(L�
V7K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�B�6LL�����$��� ��������2���5����������2���!���S�������2���5�����������:��!��������S�����
�2���5����������������
�7�K'$����(W$��∈K9�4�6L��∈K8�5�BLL�*7�K'$����(W$����∈K8�5�BLL�
+7�K'$����(W$����∈K8�9�5�4�B�6L�$C�C�∈K4�6�D�8@�89�84�86�8DLL�
,7�K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�B�6L��$7�L7K'$�$��(�W�$��∈K8�9�5�4�B�6LL�
�7�K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�6LL�� F E= �
7���'����$��$����&'���&'��'�'����2���!�S&'������:���!������S&'�������������3�����@�$����&'���)�&'��'�'�2���<����� ��'������� ������ �����
Ω 7�K'$����(�W�$����∈K@�Q�D�R�8@LL=����7K'$����(�W�$����∈KD�8@LL=
*7�K'$����(�W�$∈KQ�RL�����∈KD�8@LL � K'$����(�W��∈KQ�RL��$��∈KD�8@LL��
� K'$����(�W��∈KQ�RL��$��∈KD�8@LL�����+7K'$����(�W�$��∈KD�8@L���∈KQ�RLL�
,7� K'R�R�R(�'D�R�8@(�'D�8@�R(�'R�D�8@(�'R�8@�D(�'8@�D�R(�'8@�R�D(L�
= �7�K'������� ��(��'�� �������(�'���������(L��*7K'������� ��(��'�� �������(���'�� ����� ��(L�
�� *7K'�������� ��(��'�� ��������(L���� *7V�
���� "���������������#�
1 1( ) ; ( ) .
6 2P A P B= = 1 1
( ) ; ( ) .13 4
P A P B= =
�
�
: ���%���2���<���&'��'��A����#��������#�����%'���������7�8�9�5�4�B�
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
D A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
= + + + + +
+ + + + +
E D= � 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5F A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A= + + + + +
7 � 1 2 3B A A A= �� 1 2C A A= �� 1 2 3D A A A= �� 1 2 1 3 2 3E A A A A A A= ∪ ∪ ��1 2 3 1 2 3 1 2 3F A A A A A A A A A= + + �
1 2 3 1 2 3 1 2 3G A A A A A A A A A= + + �� H D= �
���
Ω7K'$����(W$����∈K8�9�5�4�B�6LL��WΩW7986�
�7K'8�4�6(�'8�B�B(�'8�6�4(�'9�5�6(���'9�4�B(��'9�B�4(��'9�6�5(��'5�9�6(��'5�5�B(��'5�4�4(��'5�B�5(��'5�6�9(��'4�8�6(�'4�9�B(��'4�5�4(���'4�4�5(�
'4�B�9(��'4�6�8(�'B�8�B(��'B�9�4(��'B�5�5(��'B�4�9(��'B�B�8(��'6�8�4(��'6�9�5(��'6�5�9(��'6�4�8(L����'�(79QT986���'*(79BT986�
3�����2��&'�� � ���*&'�� '�5�������� ����52��'��#�����B&'������� �� 35 10C = �3������ ���&'��'�A2��'���
��&�����5���*&'�� ���������#�� ����������� !��� ��������2���<��������� ����&'�����5���$�%���2��'�:
��&�����5��� �������� 2��'&'�����������&������ �� ������8��'����!������� ��5%��� ����&'�� ���'��D� '���A
K9�5�4L�K5�Q�RL�K4�Q�RL�8��&'������������� ��5T8@�
�
�
� 315 455C = �� ��������2��&'�� � ����������5�2��'8B%%����5���*&'�� ��5��$�%��'���� :���7���'�����&'��'�A%%�����
�� :�������&'�� ���'���M�=��������5%��� ��2��2���<��'����&'��'����'������A'���� :��9%%�������&�4@�V� �
8%%������8@@�V+��5%%����2��'�&�6@V�8��'����!���������5%��� ��2��2���<��'����&'��'�����&'�� ���'
� ���8 3!7! 1
10! 15
⋅ = *�����������D��� ��������2��&'�� � ���2*���5�����$�%��������5�������2���2��'���%����5�!
���%������������� �������N���:��!��������'�����!���N���:���
�
$���'����2���'��&'��������&'��'������������� B #����'���2��'�:%�5����%�������� ��#��������2952
100
( ) 0.902C
P BC
= =
1���!��'*(7@�@RD
(������'���%���������������9@�4@�6@�D@�8@@��2���5
( ) 0.05.100
P A = = �E'������&'��'���������
� ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 6; ( ) ( ) 0, 4; ( ) 1 ( ) 0,9.P A B P A P B P AB P A B P A B P AB P AB= + − = = = = − =� �
� ( ) 0, 2.P AB = >� ��'������&'��'�A�"2������*&'�� �������&%�� �!."2������*&'�� �����#���&'�� �!
� 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , .B A A A C A A A D A A A A A A E A A A F E G A A A= = = = = =� � � �
� ����� ;A B = Ω� ����� ;A B = ∅� $�� ;A B= ��������)��� ;B A=
35310
1.
12
C
C=� �
5 1510 30
2040
0, 2836.C C
C
⋅ = �2
43
5
3 3.
5
V
V
⋅ =
2 1 37 3 5 73.C C C+ = "�� ��!
73( ) 0.545.
455P A = =
�
3"2������*&'�� �����&'������� ������3403100
( )C
P BC
= *���3153100
( )C
P CC
= *��$�;�2������$���'�����������:��
<���'����2������:&'� ��8��������������A
\ ( ) \ ( ) \ ( ) 15 3 10 3 5 3 3 24.A F AF G AG AF G FG AFG AF G+ + + = − + − + − + = E'������������%�&������
*&'�� ��2��'�:����2�����5��� ���3243100
( )C
P DC
= *�)���������:��2�����5���$�%����'����2������'�&'� ��� ��A
W�� .�3W�7�W�W�C�W.W�C�W3W�#�W�.W�#�W�3W�#�W.3W�C�W�.3W�7�4@�C�5@�C�96�#�8B�#8@�#B�C�5�7�6R��2���3693
100
( )C
P EC
= *
����� (10 1) !(10 )!,
10!
k k k− + ⋅ − ���7�9�5�X�8@�
���
� � �
������� �'����5�1 14 4
252
( )C C
P ABC
= �� �����:�����5�������� �'�5��� ���R�������'���2��'�:���� ���4��������'����B��
�
*"���������� �<��2%�2'���� �������8�����'2��2����#�*�����&'������� �������A
�
8��'��� ��5������:�����'��(�7�9T5���������'�
���(7@�B �"��� ��&'������ ��� 1 2
2 11
( ) 3( | ) .
( ) 4
P A AP A A
P A= =
� ; �'���*"�2���2�&����������<�%%���� �#���� ���������:2��2'��'���2���!2����<�%%�����2��2'��'��������
��3���6R2�������'����2������'�&'� ��� ��'!��� ������'����58�����'�����'�&'� ��� ��'�3&�����'����!��������:����
$�%����'��������:&'� ��� ��'�!$��� �������:�����%&���2���2����� �!� ���������� ��98�9��� ���!&'�����2��'�:��98
2��������*&'�� ���:� �2��'�:��58!��$�%�������'�����'�&'� �!���*&'�� ���'����� ��A
2���<�������'���2��'���2�����5�������'�������&'� ����3973100
( )C
P MC
= ��3973100
( ) 1C
P MC
= −
\ ( ) 14G AG FG G AG FG G AG FG AFG∪ = − ∪ = − − + = ��2���3143100
( )C
P KC
= =��#��&'��'��M
2 121 31
3100
( )C C
P HC
⋅= =���3�����2�����5���$�%����'��5����&'������� ��� ��A
�1
.2
4.
13
4
195�����������"�� �����:%����5��� ��R!�*"����:%�����'���
240252
( )C
P BC
= ����*���'��4@%����������� �'���5�� 1O�� ��'���&'��'��A��"���������� �<���� ��)�#�+
( ) 3 / 20 1( | ) .
( ) 6 / 20 2
P ABP A B
P B= = = 7��'�����
"�� ��'������<�%%���$������&'��'�'�%!��7�8�9
��; �#��� �������� ���'���2��'� ���5��@�8�9�X�8@��E'���<������ ��� �#����2��2'��'��2����� ��� 1
9( )
10P A = ��2����R�� �#��
'�����&�������8��������� �!�2 1
8( | )
9P A A = ��2������������ ������2��2'��'���2���!�&�%�� � �#��2��'��$�%�5��'�����
&�������3�#���!� 3 1 2
1( | )
8P A A A = !2���2���:2��2'��'�5������ �����!�&�%���� ��D�� �#��������� ��!2�5�����'����� ��
�5�������=�*�5�����������#���%�2���2����!2��&'������&'��'���*�#�� ����'*(78T8@�����8���2�&����������� �#���� ��)�#�!
2��*&'�� 2��'� �#��5��@�9�4�6�D��3����:�����'�'����2���2����� �� 4 3 1 1( ) .
5 4 3 5P B = ⋅ ⋅ =
��"�2���2�&�������<�%%���� �#���� ��������2��2'��'����!��7�8�9�X�1�5���'�����&'��'����
����'�����5�������8������ �!��)�
2��2'��'���<�%%������� �#���*5&�% ��������� �#��5�2��'��$�%�5�*&'�� ����3&'��'��*����2���<����!����2���2�&���������
��� � �#��� �� 2��2'��'� � 2��� � � �� � �:��! 2� �� � �����! ����� � 1 2 3.B A A A= � 8�� &'���� �� ���� �&'��'� ����A
1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( | )P B P A P A A P A A A=
���
� @�R4����������7���'����/"����������������<�%%���$����!��7�8�9�5��������,"�$����� ���2������'� ���
�
�<�%%����8���� 1 2 3D H H H= �� ��&'��'���/�'����&'��'���2�5�����!#�� ����� ( ) 0, 06P D = !�����
7���'����/���7�8�9�'����&'��'����'�'���������:��2���2�����D�� ����
1 2 1 2A H H H H= + �� �
�
�'�(�7�@�46��3&'��'��*7/��/
��� �&'������'�� ����'*(�7�@�DD���':(7�'/
�/�(7@�49�� ( ) ( ) 0,12P D P B= =
7���'����/���7�8�9�'����&'��'����'�'���������:��2���2�����1���
� 3�����"��#���������2��� ��!��7�8�9�5�4����� ���� 1 2 3 4( ) 0,4536P A A A A =
� ��1�2�5�����'������)�#�����&'��'�5�A����� �*=���� ��=���� �.=�*�� ��=�*�� �.=���� �.�����1�2�5�����'������
; ����������������5�'���A#�$��%%�����!��� �������%���� �2�� �!��������%�����5�'���A
K�*��2%�������� ������� ����'���A�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+
�
�
� ��82�%%����� ����� ����2��'��&'�� ���%�5�*��5���#���������K�*��2%����'���8@@��%�5�*����*&'�� ���
�
�',(7@�R4�
( ) ( ) 0,58P E P C= =
�7�'/�(���'/
�(�7�@�Q���
1 2 1 2( ) 0,38.P H H H H+ = �9��� ���!�@�5�C�@�Q'8#�(�7�@�5D��2��'��#�� �����7�@�D�
���� ����&'��'�5�A�!��� ��+!��� ����$�3&'��'�����'�����2�5��������������
�&':��� ����&�%%� ������
�!�+�!�+���!��?���'�'�A��� ��'��2���42���'��+�'����������*��2%��������:� ���
$�"���������5��
� �
@
8
9
5
4
B
6
Q
D
8 9 5 4 B 6 Q D
��
@
@�@6
8 9 5 4 B 6 Q D
%�
@�89
@�8D
@�94
@�5@
���
�?%����� ������
(������$�(������$���%���5�
@ 6
8 D
9 B
5 9
4 9
B 5
6 8
Q 9
60, 2
30=
D 8
80, 266
30=
50,167
30=
30,1
30=
20, 067
30=
10, 033
30=
10, 033
30=
20, 067
30=
20, 067
30=
?%����� ������
(������$�(������$���%���5�
8 88 @�99
9 D @�86
5 89 @�94
4 R @�8DB 4 @�@D6 6 @�89
�
�� �
>����5�%� (������$�(������$���%���5�
Q @�84
D @�86
8@ @�9@
88 @�99
6 @�89
6 @�89
[ )280, 289
[ )289, 298
[ )298, 307
[ )307, 316
[ )316, 325
[ )325, 334
9 @�@4[ )334, 343
8B 8 @�@5586 B @�86Q8Q 4 @�855
8D 5 @�8
8R 4 @�855
9@ Q @�95498 5 @�8
99 5 @�8
� ?%����� ������ (������$�(������$���%���5�
@ 8@ @�9B
8 8Q @�49B
9 8@ @�9B
5 5 @�@QB
?%����� ������ (������$� (������$���%���5�
?%����� ������ (������$�(������$���%���5�
94 9 @�@66Q
9B 6 @�9
96 4 @�855
9Q 4 @�855
9D 6 @�9
9R 4 @�855
5@ 4 @�855
�
@
9
9D@
4
6
89
D
8@
9DR 9RD 5@Q 586 59B 554 545
���&��������������
���
� 3����$���������� �5�� �� ���������� ������!������$������������������������������� ���
V�7�K'�� ����(��'�� ����(��'�� ����(��'�� ���(��'������(��'������(��'������(��'�����(L�
� ٠7�K'8(��'9�8(��'5�8(��'4�8(��'9�5�8(��'9�4�8(��'5�9�8(��'5�4�8(��'4�9�8(��'4�5�8(��'9�5�4�8(��'9�4�5�8(��'5�9�4�8(��'5�4�9�8(��'4�9�5�8(�'4�5�9�8(L�
�
�
�� � �
�
� 7�����������������'��5��� ��� 10 173,3,x =
�� �
��
8����*��2%����2��'�'��5������ 226; 56,61; 7,52.x x xr s s= = = �8����*��2%����2��'5�'*�5�A
>����5�%� (������$�(������$���%���5�
4 @�8
B @�89B
84 @�5B
4 @�8
6 @�8B
Q @�8QB
[ )500, 555
[ )555, 610
[ )610, 665
[ )665, 720
[ )720, 775
[ )775,830
�
>����5�%� (������$�(������$���%���5�
5 @�@QB
Q @�8QB
89 @�5
88 @�9QB
6 @�8B
8 @�@9B
[ )2; 2,5
[ )2,5; 3
[ )3; 3,5
[ )3,5; 4
[ )4; 4,5
[ )4,5; 5
21 199, 71.x = 20 1905,6.x =
30 3,31.x = � 50 1850.x =�
������5�'*�5�A�� 12 165,75.y = �7���������������������%����
�� ��� 22 169,36.z =
3, 3.Me Mo= = � 1, 1.Me Mo= = � 19,5; 20.Me Mo= = � 1, 1.Me Mo= =
2201; 2777,35; 52,7.r s s= = =��� ���2588; 28628, 44; 169, 2.r s s= = =
��� 21,9; 0, 28; 0,5296.r s s= = = ���23000 500 2500; 140000; 374,166.r s s= − = = =� � �
���
237; 112,69; 10,615.y y yr s s= = = �K�*��2%���2���� ��2��'&'�� ��%����A� 238; 102,87; 10,14.z z zr s s= = =
��� 25; 2,32; 1,52.r s s= = = 23; 0,7775; 0,882.r s s= = =���
���215; 10,16; 3,187.r s s= = = ���
24; 1,5789; 1, 2565.r s s= = =
� 1 24 6( ) ; ( ) .
52 52 13P A P B= = =� � ����������������������
20 5 20 5 16 4( ) ; ( ) ; ( ) .
28 7 28 7 28 7P A P B P C= = = = = =
>����5�%� (������$�(������$���%���5�
Q @�955
D @�96Q
89 @�4
9 @�@6Q
8 @�@55
[ )1,5; 3
[ )3; 4,5
[ )6; 7,5
[ )0;1,5
[ )4,5; 6
��
� 7���'����-�� ��'������$��������&'��'�'�!��78�9�5���6-
��� 1 2 3 1 2 3 1 2 3;B S S S S S S S S S= + +
� �
�2
28
15.
28kC
C= �(�� ������*����� 2 30 0,k k− − = *&'�� '����$�%���� ����7�6�
3�9D������2��������'����&���� ��������4�������!�� ��<��������2�������'�����'�2��'����5�9R��5@��58!2�<�����
5'��������'�<�����*���'���2��'&'�� ���'Q�������5�A9R��'����������!���'��!�2��������� ����
�� 9T ���������) �����������2���<���������' #8(N2������$����
�� ��49 4! 48!
0,00018.52!
⋅ ⋅ = ���������K�*���'��4R�%%<�2��'�&������2*�����������5������
�� R6T8@@@����������8��')��� �����������#�� ���&��D�������$�%�������&��:������&':������
�� 8TQ����������V�7�K'$��(�W�$��∈K8�9�5�4�B�6LL��WVW�7�56����>� ��'���&'��'��A��"�'���2���<�����:2���� �
1 2 3 1 2 3;C S S S S S S= + 1 2.D S S= 1 2 3.C A B B B= �
3 26 4
510
10.
21
C C
C
⋅ = 3�����%�����������2������� �� �
D#���2���*��E'������6������:�2������� ��� ���2
28
kC
C�� �2��'��� ��������:���!�� �����5'� ��
�7�4TQ���������
>�'�'���� �����������$�%��2���<�������9��� ���!&'������������� ��9' #8(NT N�
�'����<���'����'���2�����'������A2��'8�9�5�4����4R�B@�B8�B9�8��)��%%���*���'��4N��� ��'������:� �����'���5�� �4DN
��� ��'������:� ���%����5��'������2 4! 48!
0,0000074.52!
⋅ ⋅ = ��������"�����'���������'�����5����������:�%%<����
��2���������#�������
"��������� �!2��������2��&'�� � �������5�����%%��� ���R6�
*"� ����5%���5���2���<�����'�����2%�2'������ �����B����*7�K'B�B(L��*7K'8�4(��'9�5(��'5�9(��'4�8(��'4�6(��'B�B(��'6�4(L�
( ) 1 / 36( | ) 1 / 7.
( ) 7 / 36
P ABP A B
P B= = = ���� 3 / 36 1
( | ) .12 / 36 4
P A B = = ���������7���'�����"�'���2���<�����:5%���)�#�!�*"�� ����
�5%���5���2���<�����2%�2'���� ��������*7�K'9�4(��'4�9(��'6�6(L��*7K'8�9(��'8�B(��'9�8(��'9�4(��'5�5(��'5�6(��'4�9(��'4�B(��'B�8(��'B�4(�
'6�5(��'6�6(L�
�� 7���'�����"��#%'�%� �����2�����!��78�9�5�4��3&��4�%'���&'�� ��2�����2������!
����)�%'�%� �����2������8�����'! 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )P A A A A P A P A A P A A A P A A A A= =3 3 39 6 33 3 312 12 12
1 0, 000158.C C C
C C C= ⋅ ⋅ ⋅ =
iA ��� ���&'��'������#���%'�����*�����%'��=�&'�� ���!� 2 1( ) , 1 ( ) , 1, 2,...
3 3i ip P A p P A i= = − = = =
��
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ,A A A A A A A A A A+ + ������&'������'�� ��� 4 4 112( ) 4 (1 ) .
243P D p p p= + − = ��E'��������#����*���%'���� ��
112 131( ) 1 .
243 243P D = − = �9��� ���!#������� ��%'�����*�
7���'�������&'��'�A%'�������#�������#%'�!��7�8�9�5�X�D�� ���!
3����,�2���<����%'���������#�������%'���� ��� 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5D A A A A A A A A A A A A A A= + + +
��
��� 30 98,533; 98,5;x Me= =
�� ��82�%%���A��&'�� �������%����2�� �����#�������+��� 2��*������%����5��'�&���+
� ���������������5�+$����%�*������*��2%������������2��� <:�������� �������
�� ��
��� 40 5,85; 6,5; 8;x Me Mo= = = ��$��� 29; 9, 2775; 3,0459.r s s= = =
� � ��
in
n
8 4 @�8
9 B @�89B
5 5 @�@QB
4 9 @�@BB B @�89B
6 8 @�@9B
Q 9 @�@B
D D @�9
R 6 @�8B
8@ 4 @�8
>����5�%� (������$� (������$���%���5�
8 @�@55
6 @�9
8B @�B
6 @�9
9 @�@6Q
[ )81,92
[ )92,103
[ )114,125
[ )70,81
[ )103,114
8%�&���#������$�5�
@
8
9
5
4
B
6
Q
D
8 9 5 4 B 6 Q D R 8@ @
�!���
8 9 5 4 B 6 Q D R 8@
�!��
�!���
�!�
�!���
�!��
�!���
�!�
8%�&���#������$�5���%���5�
� ��
���'���A�DD��RB��R6��RD��8@@��8@8��8@9��889�
$�� 245; 101,38; 10,069.r s s= = =
@
@�8
@�9
@�5
@�4
@�B
@�6
�� �� � ��� ��� ���
L���&����������������%���5�L���&��������������
@
9
4
6
D
8@
89
84
86
�� �� � ��� ��� ���
���
��
��� 150 156,87;x =� ��$�� 2 4386; 66, 228.s s= =� � ��� 40 14,25;x =� ��5�� 2 45,6875; 6,76.s s= =� �
�� @�� ��������&'�� ��$���5���%�� '�
L���&��������������
@
B
8@
8B
9@
9B
5@
5B
�� �� �� ��� ��� � � ��� ��� � �
L���&��������������
@
9
4
6
D
8@
89
84
86
� �� �� �� �� ��
��� ��
� � ��� ��� $�� )�� �
�����2����������� �����5���&'���)����%�*��������2�����������2���<�����'�� �5�����%�4
��������'��� ������ � ( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB= + −� ( ) ( ) ( ).P AB P A P B=
@�� �������'����5����'�&'��������*�%����2��'���'�2���$���<������'������ �������������������2����� ����
<� ��22�%%����"��������������2����� ���<� ��� �����8'����22�%%����<���:��� <:���������5'� ��
<� ����*��2%���
9�5�'������������� ������'�������2��'���2��*�������
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3; ; ;A E E E B E E E C E E E E E E E E E E E E D E E E E E E E E E= = = + + + = + +��
( ) 0,8 0,9 0,7 0,504
( ) 0,2 0,1 0,3 0,006
( ) 0,8 0,9 0,3 0,8 0,1 0,7 0,2 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,902
( ) 0,8 0,1 0,3 0, 2 0,9 0,3 0,2 0,1 0,7 0,092
P A
P B
P C
P D
= ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
8��'�( )
( | ) 0,( )
P ABP A B
P B= = �5�'�����*�!"��9�D ����
1 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ;
2 5 10P A B P A P B P AB∪ = + − = − =
��� ( ) ( ) ( ),P AB P A P B≠ ����� ��*����'����&'��'���2�5������
��
���
��� 50 6,68; 7; 9.x Me Mo= = = ����$�� 212; 10,78; 3, 283.r s s= = =
�� 480 95,9667; 94; 94;x Me Mo= = = �� 256; 109,6; 10, 469.r s s= = =
�� �� � � � �in
n
8 5 @�@6
9 4 @�@D
5 5 @�@6
4 B @�8B 4 @�@D
6 4 @�@D
Q B @�8
D B @�8
R Q @�84
8@ 4 @�D
88 9 @�@4
89 9 @�@4
85 9 @�@4 8%�&���#������$�5�
@
8
9
5
4
B
6
Q
D
8 9 5 4 B 6 Q D R 8@ 88 89 85
��
������0 ���������/�����
� � @�DQB��������+8�@B���*���+@�BQB�������%�
� � 000968,75 .
� ��95�9B�%�+��99�QB�%�+$�95�%�� � ��99Q�D5+��954�B+
� ��986�BD��Y�+��9@R�9B��Y�+$�98B�8Q��Y��
� ��8D�B@�%�+��88�9B�%�+$�8B�%��
� "��� ��2���%��2��' 1000p S P⋅ = ⋅ 5�'���1000
.P
pS
⋅=
� ��8D�QB�%�+$�98�B�%��
� ��3
22car 3gr 22 22,75 car;4
= =
��9@6��Y��89���7�9@6�B��Y�+$�998��Y��4���7�998�8Q��Y��
$�959�98� � 000
221000 916,67 .
24⋅ = � 0
00925 .
�� 000687,5 ; �� 0
00979,16 ; $� 000875 . � �� 0
00980,90 ; �� 000959, 20 ; $� 0
00867,36 . � ��;�����2���%��
��������� �� ,1000
p SP
⋅= �� 24S = 2����!2��������� � 240S = 2����&'����815 24
19,56car.1000
P⋅= = 9��� ���!��
942'���!%�&�����8R�B62'�����������2������;������ ��2����� ����8R�%��9�94��!2��� ����� ����V9��8�Q6
��94T8R�B6���99�B6�%��7�99�%��9�94���+$�99�RB�%��7�99�%��5�D��� � ��8RD��Y�+��986��Y�+
$�99R�B��Y��7�99R��Y��89��� � ��95�B9�%��7�95�%��9�@D��+;8��9�@D����94T95�B9=��98�6@�%��7�98�%��9�4��+
V@��8�6���94T98�6@=��$�9@�4�%��7�9@�%��8�6��+V8��9�4����94T9@�4� � ��996�D��Y��7�996��Y��8R�9��+
��959�9B��Y�+
���
;4��8R�9����94@T996�D=��999��Y�����&'������������!94@T999=��$�8R9��Y�+�V5@��@���94@T8R9�
� �� 000958,3 ; ��95�%�= 84�4�%����� �����VQ��9�4�����94T84�4� 0
00916,67 ; �99@��Y������ ����
V9��@�����94@T99@�
� �120 204
102g240
P⋅= = ���2������ � 630
1000 787,5g.800
P = ⋅ =
� 59�R��� � 6�58B��� � DRD�R9��� � 4BQ�D��� � 4R4�BB��� � 85@�R8��� � 459�4���
1�������������60 900 110 960 60 16,75
201, 475g1000 1000 24
⋅ ⋅ ⋅+ + = ����2�����!�������������������&
� �2����� ���� 000875,98 ����!���%�� ;������
1000 800 650 237, 42 500 217,751896,66g
1000 240 240
⋅ ⋅ ⋅+ + =
��&'�����2������=������������98B@��!�����2����� ������� �� 000882,17 ��988�Q9��Y��7�988��Y��8Q�9D���
� ��� � $�� � ��� � )�� � =����<�!B�%��� ��8��� � =������!8@��Y��8@���
� ��4��+ ��94���
�� 1���%����25 912 50 16, 25
31,1035 87,75g1000 24
⋅ ⋅+ + = ���2�����!������������%����� ��884��D4���
8����� �����2���%��� �� 000764,1 , �����2����� �������&%�*��� ��8D�54�%��7�8D�%��8�56���3���$�� �������%�&��������
��� ���2��� �����2��2����������� ���5�2�2�$���%�����A884�64 Q64�8
$ �Q9R�8Q�2��'��
:114,84 764,1: 729,17; 120,34g,x x= = 2��� ����� � ��120,34 114,84 5,5g− = ������
� ��"�����%��+��2���5�'���Y��� � ;������ ����2����� ��������<�2��4�%��9���&�
� ;������ ����2����� ������������2��8�%��5��������2����� ��������'�� ��22car 1car 3gr+ =
� �� 222dwt 8dwt 15gr 213dwt 9gr 213,375dwt;− = =
�� 000
213,3751000 889,06 .
240⋅ = � ��8DQ�9��Y�=����995�9��Y�=$�95B�9��Y�� � ��8D�Q9�%�=����99�59�%�=
$�95�B9�%��7�95�%��9�@D��� �� 000
651000 812,5 ;
80⋅ = ����
6524 19,5 car.
80⋅ = �� 0
00833,33 ��9@@��Y��
;������ ����2����� ���� 22 6,,2 15,5 car,− = �����2��' : 24 300 :15,5x = 5�'�������$���������
�� �����!��&� 8����� �������������� �� 222 9, ,12 231,5 dwt,+ = ����������� ��500 240
518,36 g.231,5
⋅ =��
�� 1,9 28 53, 2 g; 53,2 850 45220⋅ = ⋅ = �������
994�4��Y��7�994��Y��R�6��� �� 000900 ; ��98�6�%�� ��
250 240270,27 g.
222
⋅ =
./ 58,989100024
75,23ht përkatësis 23,75car,car
4
323 00
0=⋅==
������������
�������������������
�
"
������ ���845
����������������������������$��������"#�������D5#����������D5#� ���� ���D5#����� ���������� �D4#����� �' � ������(�D4#$������ �'����(�DB#������������ �88D#�����$����89D���$���"#��� ��4#���� ����4# ������ ���B#� ���������������4#� ��������������R#�����D9���������� ������$�����4������"# ���Q8#���������Q8#���� �����8D5#������ �����8D5
������������������%������"#��� ����8B5#����������8BB# ������� ���8BB#������8BQ�#��������8BQ
���������������������������R8�� ������8B5��� $�����9DQ� ���������������9DD
���������������� �� �� ����949 �$ �����96R
����������������������� �� �� �������%������4@���������"#��� ��8@D#�����8@R
���������������� ��9RB
�����������������"#��������� �945#������ �9BQ#� �����9BR#������ �9@5�� � ������8B5
���������������� ����������9QQ
���������������������"#��� ����86@#��� ���86@#��%������86D#����������869#������86B���� �� ������������65���������8QR������ ����8D4�������%��� �"#�������� �99B#� ������� �99D����������������88@
�����������������������6Q����������894���������894� ������965�����9D4������������������� �� � � ��� �94B���������� ��"#�����$����69#���� �������������69#���� ��������������69#�����������65#�������6Q#���������� �� ��� �Q@������� �������94Q
������������������������������� �68
����������������� �%��� ��� ���������� ��"#��� �����64#$������64#�����$����66#� �������6D#����$����6R
#�������94@#������9B@����������������������� ������ � �966��� ���85#�������88@ ��������� "#%�������8B4�#�����868�$��"# �� ����85B# � ������85B#������85D������"#� ����� �845#��������� �845# � ������845# �%������844#������846 ��� ���95B ����%��� �"#�������� �998#� ������� �995�������"#��� �� �%�� �9RB#� �� �%�� ����� �9Q5����������"#���� �9RB#���� $ �9RB��������96R
�����������������9DB��������5Q�%������$���B5
�������������������"#���� ���Q8#�������Q8 ����������� ����8QR����"#���������� �56#��5Q#$ �� ����4Q#��� �������45����$����B9������������ �R5
� �%��� ��� ������ � ������"
���
���
��������������������� ��������$�� � ���� � �����"#���%������8R#������������8R# ������ ���8B�������8QR�������"#���9RB#��� ����9RB
������������������ ��������96R�� ���"#���� ��� �B5#��%����� �B5�%����� �BB
����������������������� ����8D5� � �"#����� �85B# ���$���85B���������� ��8B4� � ��� ���������8RR� � ��� �����������9@4
���������������������� �� ��� � �894� ��"#��������� �6B#���%����� �6B#���������� �6Q
��������������������$ ��89B$�� ������������4R$�������� ����� ����������$�� � ��� � "#� ����� �$������������8Q#� ����� ��� ��%� ���� ����������9@#����� �94
������ � �
*
��
��
���
�**
���
��� �� ����� ��������
��������������������� �!����������������������������������������������������
��"!#"��������������������������������������������������������������������������������������������
�
!�������$�� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������)�
��������������$��� ��������������������������������������������������������������������������� �� ����� ��������
%�!���$!�������$�������#$��������������$�� ��� �� ����� ��������
�����!�������" ��������������&#�$���������������������������� �� ����� ��������
�&#���#��������"!�"������"��#���"�����������������������������������
������.
�����-
�����,
�����+
�����*
�����&
������
�$���!��$����� ��������������������������������������������������������������������������������������������������
�����1
&#�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�����2
���� �����'����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������)��
������0
�)�
����"�&#�&#������"�������&#���#����������������������������������������������
�����������������������������������������������������������������������������������������
��
��
�
��
���
���
�������
�� �������� ���������������������������������������������� !"��# ��$�%�&�' �(�)*+�,)�&��"-�,
��(����)����.�)/�����&��0" )�� ���,��- +�-�1�� �' 2�3 � (��"��- +� )4� �� (�3���5�5�+� )4� �
������������ ��'�%�����6 )�%�-�
��������������/ ) ����7-�%�-
������ ��� ������������������� 2 )��"�,-��-�+��$8���%� (��-�+���5 )��%� (��-�
����������������'�%�����6 )�%�-�
�������������4
Me vendimin e Ministrit të arsimit dhe shkencës së Republikës së Maqedonisë numër 22-4256/1 prej 28.07.2010, lejohet përdorimi i këtij teksti.
Autorë: D-r Naum Cellakoski, D-r Verica Bakeva, Borivoje Miladinoviq, Jovo Stefanovski
MATEMATIKAPër vitin e dytë të arsmit profesional të mesëm për të gjitha drejtimet
PërkthyesMuzafer Beqiri dhe Sadulla Kamberi
Redaktor profesionalMuzafer Beqiri
Lektor gjuhësorRoland Poloska
Përpunimi kompjuterik dhe dizajniDragan Shopkoski, Milço Avramoski, Boban Avramoski
KorekturënMuzafer Beqiri
Shtypi:Grafi çki centar shpk, Shkup
Tirazhi:3.950 copë
CIP - ������������ �� �������������������� � ������������� ���������� „��. ������� ��������“, ��� ��51(075.3)
���������� � ����� ������: ������ ����!�� ���������� � ���� ������ / ���� "�������� ...[� ��.]. -��� �� : ������������ � ���������� � ����� �� #� ������ ����������, 2010. - 257 ���. : ������. ; 25 �������� : ���� "��������, $���� %�����, %������� ����������&, '��� ���*�������
ISBN 978-608-226-050-11. "��������, ���� [ ����� ]COBISS. MK-ID 8429014