358
Naum Celakoski Verica Bakeva Borivoje Miladinoviq Jovo Stefanovski ARSIMI I MESËM PROFESIONAL PËR TË GJITHA DREJTIMET

Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���������� ��� ��������

��� ������ �� ��� ���������������

��������������������� ��

��������������������

Page 2: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�������

���������

����������� ��� ����������� �������������������������������� ������ ����������������������������������

������� ����������� ���������������������������� ���� �� ������������ ������ �������

���������������������� ����������� ���� � ������������� ���������� �

!���� ���� ������������������������� ���� � ���������������� �����������������"

� ���� ����������� ������������#�� �� $�����������%�����������#� ������������� ������� #& �����

� ��������������� � ����� ��'������ ���� (

������#� �������� �� ������� �����#���������� � �#�������

�� ������������� #� � ������������#����� ���� ������� � ����� �'����"���$� ����� ����(�

������ �� ������� �����

!���� ����������������� ��� ���������� ���%������� ������� ����������� ������

) �� ����� ����%���������������������� ������ ���� � ��������� �������� �'����� �(������������������%����

�� �������� ������������ ������������ ������� ������� �������������������

* �������� ����� ����������� ������������� �������� ���� � ����� ������������ ��� ���������������� ����� ��

� ��� ��� ����� ���� ���� ��

+������������� ���������� ����� ��!���� ����������� ��������� �������� � ������� ��,���������������

������� � ��������������������������"

�������� *�� ���������� ����������� ���������������� ��� ������� ��� ���������� ����� �� ����������

-���������� ������������������ �������� � ���� ���

. �������� ����������������� ���������������� ���'�%��� (��������������������� ���� ���� �

� ����

� � �� � ����

� � �� � ����

. �������� ����������������������� � ���� �� ���� �� ������������/��$�����������������������

���������� �� ��������� ����������

. �������� ��������� ���� ��� �� �������%�������� ����������������� �

. �������� ����������������������������������� ��������������

���� ��������������$�����������$����� ���������������� ���������� � ������ ����������������

����������� ���� � ������� ������������� ������������ ��� ����%��������������� � ����

!���� ������������������ ������� ����������������������

) �� ��� ������ ������������������������ ������$�� ��� �$������ ���������������� ���� �

� �� �������������������������������������� ��������� �������� ���������������� ����������������������������������

*����������$������ ��������������������������������� ��������

Page 3: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

������ ������������� ���������������������������

�������������������������������������������� ���������������������������������������

����������������������������������������������������������������������

������� ��������� � ����������������������������� �������������������������������

������������������ �������������� � �� ����������������������������

������������������ �������������� � ��!���� ��� �������� �������������������������������������

������������� �� ����������������� � ���������� ���������������������������������������

�������� �� �������� ���������� �������������������������������������

"���������������������������!�������������������������������������

��

����

��

��

��

"��������� � ��������������������������� ��

���� ��� �������� ���� �

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 4: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��������������������������������������� !�

��������

23 4 2; 4 2 6,5 9 :3⋅ + − ⋅ + �������� �� ���� �� �

2 333 2; 5 ; ; 3 2 1;

2 4

yx x a b x y z+ − − + −

4 1; 2

1

xx

x

−+

�������� �� �� ������� �

����� �� �� ���������� ���������� ��

������ ����� � 2x ����������� �� ������� �

�� �� � 2 32 43 2; 5 ; ;

2 3 3

yx x a b+ − �����

���� �� ��������������� �������������

0� � �� �� ������������� ������� ������� �

�1�� ���������� ���������� ������2

,3

�����

������ �

4 1

1

x

x

−+

��������� �� ��%����� ���� �� �

�� �� ��� ����������� ������� �������������

� � ( ) ( ) ( ), ,A x B x C x � ���

� ���������������������������������������

�����������������������������������

����� ( ), ,...,A x y z ����� ( ), ,...,B x y z ���������

�������� ��� ������ ���� ����� ����� � ���� �

���������� ��� ��� ����� �� � �������� �����

( ) ( ), ,..., , ,...,A x y z B x y z= ������

������������� ��

����� ( )A x � ���� ( )B x � ���� ��������� ��� �����

���������������������������������������� �

�������������������� ������ ( ) ( )A x B x=

������������������������������ ����������

!������������������������������������������� ����������"�� �������#������������������������������������������

������������������������

$������������������% ���������"�� ��&����������'����������������% �����&

� (������������ �������������������������������������������������������������#

��� 2 3 5;x x− = + ��3 2;x y− = ����������� 3 2 4;x y z− + = )�� 2 8 ;x x x− = +��� 6;x xy− = ��� 3 2 2 5 0.x x y− − =

���������������������� ��������������������������������*�)��������������������������������������������������������������������� �$�������������������#��������)�*����������������������#� ������������*������������������������ ��������

�������� ���������������������� �����������

���������������������������������������������������������� ���� ������������������������

���� ���

+��� ��������������������������������������������������������������������������������������

(��������� �������������������+����������,

-���������� �����������������������������������������

Page 5: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

.�� ������������������� ���������� ������������������������'�������� ��������������������"�������

+��������������������������������� ������ ( ) ( )A x B x= �������� ����������������������������

���������������������������� �����

/������� ����� 4x = ��������"�������� ������� 2 8 ,x x x− = + ����� 24 4 8 4− = + ������� ������������������

0��"���������� 2x = − ��������"����������

0���"��������� �����������������������������"������"�������������� � �� ������������� ���������������������������� �����

1������"����� ��������������������������������������������������������������� ��������������������

/������� ��������'����������������������������������������������� ������������������������� ���������

����������"�����������������������������

2��������� ������������������ �������������������������������������������������������'����

��� �������������� �0���'������������������ ��������������������� �������������������

�����������������������������

������������������������� ������� ( ) ( )A x B x= �������������������������������������� ( )P x ���

�����������'������������"������������������������������������������'������ ��������������������

��������������� � ��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).A x B x A x P x B x P x= ⇔ + = +

/���������������������#

������+����������� ������������ ������������� �������������������������������� �����������

������������������������������

��������������������������� �������������������������� ���������������������������������

� � �� �����������

0����������������������������"����������� ������������������������������������������"������"��������� ��������

� 2"����� �����#�����3 4 2 5;x x− = + �� ( )( ) 22 3 2.x x x− − = +

������������$��� ������#�+���������������"������������������������� ������������������������������������������������������������

3 4 2 5 3 2 5 4 9,x x x x x− = + ⇔ − = + ⇔ = ����� 9x = ��������"�������� ��������������

Page 6: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� 2"����� �����#

��� ( ) ( )5 3 2 2 3 ;x x+ = + �� ( ) ( ) ( )2 1 3 1 4 1 1;x x x+ + − = + +

��� ( )( ) 21 2 2 2;x x x x− + + = + )�� ( ) ( )21 3 2.x x x− = − +

���������������������� ������� ( ) ( )A x B x= ���������������������������������������������( )0p ≠ �������������� ( )P x ���������'�����������������������������������������������������������

�������������������'������ ������������������ ��������������� � ��

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).A x B x A x P x B x P x= ⇔ ⋅ = ⋅

/������������������)�,������'���������"������"����������� ������������#

����������������������� ������� ( ) ( )A x B x= �������������� 1,− ���������������������������

����������������

��������������������� ��� ������� ( ) ( )A x B x= ����������������������������������� �����

��������� �����������!3-/���������������������'������ �����������������

� 2"����� �����#����� ( ) ( )3 2 4 2 3 2 3;x x x− − + = + ������������ ��3 1 2 2

.4 3 6

x x x− + +− =

��������

��3 1 2 2

4 3 6

x x x− + +− = ���� � ��������������������������2.3'4�5�6(789�

( ) ( ) ( )3 3 1 4 2 2 2x x x⇔ − − + = + �����������������

9 3 4 8 2 4x x x⇔ − − − = + ��������� ��������������� ������

9 4 2 4 3 8x x x⇔ − − = + +

3 15 /: 3x⇔ =

���������� ����� �������

�������������������� ����������� ������� !�!��!��4�����

�������������"���������������)������������������� ���

5x⇔ = ��������"�������� ������

�� ( )( ) 22 3 2x x x− + = + �������� ��������� �"������ ���� �������� ��� ����"� ������������

#� ( ) ( )A x B x= ���������"��� ����������� ��� �!2 23 2 6 2x x x x⇔ + − − = + ��������� ������ ����� �������� ���� ����� �������������������� !

3 2 6 2x x⇔ − − = ��������� ���������

3 2 2 6,x x⇔ − = +8x⇔ = �������������������������!

��� ��� ����������)�+����)�,��� �������������������������� ������������������������������������� ��

������ ������ �� ����������� ��� ��� ��� ����� ���� ����� ��� ������� ���� ���� ���� ���� ������ ����� �

����� �����

Page 7: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��������

) ��� ���� ,ax b+ ������� �������� ����� ���� ���#��� ��%� ����

:������� ��%� ������ ��� ����� ������� �$"

��� 2 4;x − ��������� ��1

3 .2

ax −

;��$���� 3 2x x− = ������� ��� ������ ����$���23 4 5x x+ = ������������

� � 5���������� �����

( )( ) 22 1 2 2 3.x x x− + = +6����� ���������� �� �������� ���� ��� "������������ �������������������� ������

���������( )( ) 22 1 2 2 3x x x− + = + ⇔2 22 4 2 2 3x x x x⇔ + − − = + ⇔

3 5 0.x⇔ − =

���� ���

������� 0ax b+ = �������'������������ �������������������� ����������������������������*������������������������������'������������������������������������������������

� 2"����� �����#�����2 2 3

1;3 6

x xx

− −− = + ������������ �� ( )( ) ( )3 2 3 .x x x x− − = −

+��� �����������������������'����������'����������"�������

�����������������������

� $��� ������ �������������� ����������������������������������� ����� ���"����� ������������� ������#���� ;5 dhe

65

62

43 =−=−−−

xxxx ������������������������ �����7���87�9���87��������9�7

2"����� �����#�����3

2 1;2

xx

−− + = ������� �� ( )3 2 3 4 ;x x+ = + ���������� ( )2 6 2 3 .x x− = −

�������

���3

2 1/ 22

xx

−− + = ⋅

2 4 3 2x x⇔ − + − =

3 9x⇔ =3.x⇔ =

�� ( )3 2 3 4x x+ = +

3 2 3 12x x⇔ + = +3 3 12 2x x⇔ − = −0 10.x⇔ ⋅ =

��� ( )2 6 2 3x x− = −

2 6 2 6x x⇔ − = −2 2 6 6x x⇔ − = −0 0.x⇔ ⋅ =

������2"�������� ������������������ 3.x = ���������� ���������"���������������������������������

��������������"�������������� ��� ������������ �2"�������� ������������������)'��������������������

����)������������������������ �������������������� �/������� ������ 0ax b+ = �������"������������

����"����������������������������������

Page 8: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�(�10 2 4;x − = �(�� 7 9 4 3 8 ;x x x x− − = − −

%(�2

1;3

xx

− = + ��� (� ( )( )23 3 2 1 8.x x x− − + =

<����������$�� ��( )3 6 :−

�(� ( ) ( )22 2 2;x x x− = + −

�(�( ) ( )2 21 1 4;x x+ − − =

�(� 3 2 42;

3 2

x x− −− =

�(�14 1 2 3 3 4

.15 5 3

x x x− − −+ =

�(�4 3 3 1 5 1 1

;2 4 3 2

x x x− − +− = +

�(�2 2 9 2

.3 2 3

x xx

− +− − =

:�����%���� �����$�� � �������������$������ ���

� �� ������������ $������ �� �� %���� ���$��������

�� ���� �"

�(� ( )3 6 5 2 ;x x x− = − −

�(� ( )2 3 2 4;x x− + = −

%(� ( )6 77 6 1 ;x x+ = − − ������ (�1 5

1 .5 5

xx

++ =

3��%������� ����������������$���

( ) 23 3 :m x m m− = −

�(����$������ ����� �� =

�(������������������ =

%(����������������$������ >

���� ���

������������ 0 :ax b+ =

������� 0a ≠ �����"��������������� ;b

xa

= −

������ 0a = ����� 0b ≠ ��������"��������� � �� ������������������������������*

������� 0a = ����� 0b = ��������������0 0,x⋅ = ������"������������)��������������� � �� ��������'�������"�����

/������������� �������������"���������������������"�����#����� ( )3 3 2 1 ;x x x− = − −

�� ( )2 3 4 2;x x− + = − ����������� ( )6 7 6 1 ;x x x+ = − − )��2 1 1

1 .2 3

xx

− − = −

�� ���

�(�8 3 4 5 4;⋅ − = ⋅ ������������(��0 5 0 5;⋅ = −

%(�( ) ( )5 3 15;− ⋅ − = − (��15 9 5 3

.6 2

− −=

3����%�������$����������������"�

:���� �����$�� � ������� ������ �� "�

�(� 2 23 12x x x+ = + ��� � 3 12;x =

�(� 22 6x x= ��� � 2 6;x =

%(� 83 5

x x+ = ��� � 15?x =

Page 9: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

������������������������������

��������

���������������������� ��������$������������ ��"

� ����������������� ��������������� ���

��������������������������������������������$���

��������� ��"���� ��'���$�������������������(������

'���$���������������������(������� �'���$�������������

���� ��(� ����

����� ������ ��� ��� �������� � �� � ��������� ��� ��

�������� �%������������ ����$����"

�(�3 2 6;x − = �(�2 3;x y+ =%(� 2 2 3;x x= + (� 2 3 0.x xy+ − =

� � !�����������������������������

����� ��� ���������� � ����������� �� ���� ��������������������������#

2"��������� �����������)'���������"��������:��:;����7��:<����4��:=��� ���:;��:���"���������:;�"�����

19,x y+ = ���� , .x y ∈�

-�������)'�����:��:;�������:;��:������������ ��� �����

� � �� � ( ) ( )1,18 18,1 .≠

��������'����� 19x y+ = ����������������������������

���� ���

�������������� ,ax by c+ = �������������������������������������������������������������������������

������������������������������������'������������ ���������������������������� ������������� ���������� �������������������������������� ����� ������

+���)'������"�������������������� ( )0 0,x y ������������ ������ ax by c+ = �������� �������������������� 0 0ax by c+ = ����������������� �������������� �������� ������������)'�����������"�������������������������������������� ������

0���������+� �����������"�������������� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,18 , 2,17 , 3,16 , 4,15 ,..., 18,1 .M =

� /�����)'������"������#�������( )4, 6 ;− ������ ��( )5,3 ����������"�������� ������

12 10.

3x y− =

��������� �������������������������������������� �/��� 5x = ����� 3y = �����1

2 5 6 10,3

⋅ − ⋅ = �� � ��

8 10,= ��������������� ������������������������ ������ �.���������)'�� ( )5,3 �����������"�������

������

� (��������'�������� ������#����� 2 3 5;x y− = ��1

0.2

x y+ =

���������������������� ,ax by c+ = �������� 2, 3, 5.a b c= = − = �� �� 1,a = �1

, 0.2

b c= =

�����������������������:> �!���"���������������,

Page 10: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

2 31/ 6

3 2

x x y− ++ = ⋅

( ) ( )2 2 3 3 6x x y⇔ − + + =

4 6 3 3 6x x y⇔ − + + =4 3 3 6 6x x y⇔ + + = +

7 3 12.x y⇔ + =

���� ��������������������������2.3( )3,2 6.=

I kryejmë operacionet e shënuara.

I grupojmë anëtarët e barazimit.

I mbledhim monomet e ngjashëm.

� !����������'���������������������������������� �����#

��� 2 3 3 4;x y x y+ − = + − �������� �� ( )( )3 2 1 ;x y xy− − − = ������������ ( )( )1 3 4 3 .x y x− − = −

�������������� 2 3 3 4 2 3 4 3 2 1;x y x y x x y y x y+ − = + − ⇔ − + − = − + ⇔ − = −

�� ( )( )3 2 1 2 3 6 1 2 3 5 2 3 5.x y xy xy x y xy x y x y− − − = ⇔ − − + − = ⇔ − − = − ⇔ + =

� � (������"��������� �������4 6x y+ = ����� { }2, 3, 2 .y ∈ − −

���������/��� 2y = �����4 2 6 4 6 2 4 4 1.x x x x+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = �.���������)'���� �����������"�����

+��� ����������������������'���������� ��������������������� ���������������� ,ax by c+ = ��������������������)�+�����)�,�������������������

��������

!���������� � ���������� �������� �������� ��� �����$�� �� ������ �� >

� .�� ������������������������������������������ ����������� ���������

������ �����'���� ���� ������� ��� ��� ����� ���"�������

� 0���'���������'������������ ������2 3

1.3 2

x x y− ++ =

��������

��� ( )( )1 3 4 3 3 3 4 3 1.x y x xy x y x xy y− − = − ⇔ − − + = − ⇔ − =

��������������������������������������������������'����� .ax by c+ =

12 , 3

4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

��������"�������� ������

(������"�������� ����������� 2.y = − �2"������������������������������������"�������� ������ +��

���'���,

-��������� �������������ax by c+ = ���������������������������������������������������������������������������������������������������������� � �� �����������������"�������� ������

�� ������ �/��� 3y = − ����� ( ) 9 14 3 6 4 6 3 2 ,

4 4x x x+ − = ⇔ = + ⇔ = = ����������)'�

Page 11: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� (����� �����������"����������� �������7��8���9�4* ., Ryx ∈

���������2"������)'����������������������������� �/������� ���� 2.x = �?����������

2 2 3 3 4 1,y y y⋅ + = ⇔ = − ⇔ = − �����)'��( )2, 1− �����������"�������� ������

/��� 1,x = − � ( )2 1 3 3 2 5,y y y⋅ − + = ⇔ = + ⇔ = �����( ) ( ), 1,5x y = − ��������"�������� ������

������"�������������������)'������������������ � �� ���9��� Rk ∈ ��������� 2 3 3 2 ,k y y k+ = ⇔ = − ����

�����������"����������� ���������������7���94�9@���4�7���� Rk ∈ A

���� ���

������������ax by c+ = ������'����������"���������#

+�� 0a ≠ ����� 0b ≠ ��������������������,�� 0.a b c= = =

������������������"���������"���������������������������������� �/������� ���������� 1y = − ����

( )2 1 3 2 3 1 2,x x x+ − = ⇔ = + ⇔ = �����)'��( ) ( ), 2, 1x y = − ��������"�������� ������ �������"������

������������)'������������������ � �� ������ Rn ∈ ��������

�3

2 3 2 3 ,2

nx n x n x

−+ = ⇔ = − ⇔ = ����� �����������"����������� ������������

{ }3(2 3) ,

2

nN x y n n R

−⎛ ⎞+ = = ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

������������"�������� ��������� �������2 3x y+ = ������������������������������������������� ������

��)'�����������"��������������� ��� ����

(����� �����������"����������� ������#

��� 4 2;x y− = � �� ( ) ( )2 1 2 1 ;x y x− + = + ������ ( )2 3 2 1 ;x y y+ − = + ���)�� 2 3 2 .x y x y− = + −��������

+��� ��������������������'����� .ax by c+ =

�� ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 0 3 0 3.x y x x y x x x y x y x y− + = + ⇔ − − = + ⇔ − − = + ⇔ ⋅ − = ⇔ ⋅ + = −

-������� 0, 1, 3,a b c= = = − ������������������������������ � �� �B9�� Rk ∈ ���������������������� 0 0x⋅ =������� 3,y = − ����� �����������"���������������9@����4�C Rk ∈ A

)�� 2 3 2 2 2 3 0 0 3.x y x y x x y y x y− = + − ⇔ − − + = ⇔ ⋅ + ⋅ = �-���� ��� 0, 3,a b c= = = � ���� �����

�������"�������� � �� � .M = ∅

����� 0,a b= = ������� 0,c ≠ ��������� �������������"�����

Page 12: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

�(� 5 3;x y+ = − ������������(�� 7 10;y x− =%(�9 2 ;y= ����������� (�3 5 0;x − =�(� 22 3 4;x y− = ������������ (� 4?x xy− =

:���� �����$�� � �������������������$������ ���

�������������"

?��������������$����2 3 4.x y+ = �:���� �� ��� �

�����������������$������ � ����$�������������"�

�(�( )1, 1 ; ���������(�( )1, 2 ;− ��������%(� ( )3, 1 ;− (�( )5, 2 ;− �����(�( )1, 2 ?−

!�������� �� ���$�� � � ������ � ��� ������

��������� �'��� ����� �("

�(� ( )3 2 3;x y x+ = −�(� ( )( )3 2 3 ;x y xy+ + − =

%(� ( ) ( )3 2 4 ;x y x− = −

(�3

2 ;4 3

x y x yx

+ +− = +

�(� ( ) ( ) 12 1 3 1 .

2x y x+ − + = +

��������

y ax b= + ���� �� ��������� ��� ������������� �

����������'�� ����� ���(����� ����� ������������

���

0�$������������ �����������

2 1.y x= − +

,���������������������� ��������� ���$�

� (����� �����������"����������

������� 2 0,x y+ − =���������������������"��'�����������������������������������

��������� ���������������������������������

2 0 2 2.x y x y y x+ − = ⇔ + = ⇔ = − + ��������9��� Rk ∈ ��������� 2,y k= − + ������"�������� ������

������ ��������������79D�9@��� �87�� � Rk ∈ A

/������� ��������� ( )1: 1 2 1 2 3,k y= − = − − + = + = �����)'��( )1, 3− ��������"�����*

���� 0 : 0 2 2,k y= = + = �����)'��( )0, 2 ��������"�����

-���� ������ ������ 2 0x y+ − = � ������ �������� '����� ����

2y x= − + �"��'���������������������������������

1−2−3−

1−2− 8 9

8

95

5@

� 1− � �

� � �

+'������������������ ��������� ���������"��������� ����������������������

���������������������"��'�������'������ 2.y x= − +

6�������������������������"��'���� ���'������a c

y xb b

= − + ����� 0b ≠ � �����"��������� ������

,ax by c+ = ����� .a c

ax by c y xb b

+ = ⇔ = − +

�� -�����"��'�����'���������������������������� �����#

��� 2 4;x y− = ������� �� 2 0;x y+ = ���������� ( )2 2 4;x y x− = + ������)�� ( )3 3 1 .x y y+ = +(����� �����������"�����������)������������ ����������������

Page 13: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

?��������������$����2 3.x y− = �:�����$������ ��

���$�������� "

�(� 1;x = �(� 2;x = −%(� 1;y = ���������������� (� 2.y =

:���������������� �$������ � �������$�����"�

�(� 2 3;x y+ = �(�1

3;2

x y− =

%(� ( )2 1 3;x y+ − = (� ( )2 3 3 1 ;x y y− = −

������� ���������������������������������

��������

;��$���� 2 5x y+ = ����������$������ ��� ������

��������

*�����$�� ���� � �� �������������������� ������ ��

��� ���������������������������������$������� ���������

��������������$������ � �

!��� ������ �������������� � �� ( )0 0,x y ��� ��

���$���ax by c+ = �������������$������ �����������

0 0ax by c+ = ���� ��$������ � ����$�����

� E��������� 1 1 1a x b y c+ = ����

2 2 2a x b y c+ = ����� ������������������

�����������

���� ���

$�������������������� ���������������������������������������������������� ������ ��������������������������������������������

��������� �� ��� ��������� ������ ��� ������������������������������������������"���������� ���������������� ���� ���������������������������� ������������

+����������������� �����������������������������������������������������������������������������

��'�����1 1 1

2 2 2

,a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

�����������'������������ ��������������������������� �/���������

�����������������������������������������������������������������������'������������������������������

�����������������������

F����������������������������� �����������������'���������������'�����������������������������)�+�)�,�����������������������������������#

���������������� ������������������������ ���������������������'������������� ��������

�������������� ������������

�(� ( )2 2 2 2 .x y x− − + =

0�$������������ ���������������%������� ����$����"�

�(�2 1;x y+ = �(�3 6 0;x y− + =

%(�2 4 8 0;x y+ − = (�2 3 0;x − =�(� 2 0.y + =

Page 14: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

+���)'������"��������������������( )0 0,x y ������������ �������������������������� �������������

��� ��� ����� 1 0 1 0 1a x b y c+ = ����� 2 0 2 0 2a x b y c+ = �������������������� ���

� /�����)'������"�������( )2,3− ����������"������������������ ���������#

���5

;2 2 1

x y

x y

− = −⎧⎨ + = −⎩

��2 4

;3 5 9

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

���2 3 3

5 1.

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

���������$��������������� 2x = − ����� 3y = ���)�������������������������������#

��� ( )2 3 5 5 5 5 5

;2 2 2 3 1 4 6 1 2 1

− − = −⎧ − = − − = −⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ − + ⋅ = − − + = − = −⎪ ⎩ ⎩⎩

�� ( )2 2 3 4 2 6 4 4 4

;3 2 5 3 9 6 15 9 9 9

− + ⋅ =⎧ − + = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ − + ⋅ = − + = =⎪ ⎩ ⎩⎩

���( )2 2 3 3 3 4 9 3 13 3

2 15 1 13 1.2 5 3 1

⋅ − − ⋅ =⎧ − − = − =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + = =− + ⋅ =⎪ ⎩ ⎩⎩

.���������)'��( )2,3− ��������"����������������

� �/���)'��( )2,3− �����������"������������������

��������������,

� !������������'����������"���������������������'�����#

����( )( )2 3 2

;2 3

x y xy

x y

− + = −⎧⎪⎨

+ =⎪⎩ ���

( )

22

3 21

3 2 .2

x y xx

x y x

−⎧ − =⎪⎪⎨⎪ − + =⎪⎩

���( )( )2 3 2 3 2 6 2 3 2 6 2 3 2 4

2 3 2 3 2 3.2 3

x y xy xy x y xy x y x y

x y x y x yx y

− + = −⎧ + − − = − − = − − =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = + = + =+ =⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩

��

( )

( )( )

22 2 2 6 2 3 11 2 03 2

10 6 1.1 6 2 2 13 2

2

x y xx x y x x x y

x yx y xx y x

−⎧ − =⎪ − − ⋅ =⎧ + =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ − =− + ⋅ = ⎩⎪⎪ ⎩− + =⎪⎩

6��'���������#� 1 1 1 2 2 23, 2, 4, 2, 1, 3.a b c a b c= = − = = = =

6��'���������#� 1 1 1 2 2 211, 2, 0, 10, 6, 1.a b c a b c= = = = = − =

� !������'�������������������� �������#

���

13 2

2 ;

22

x y

xx y

⎧ − = +⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

��

( )( ) ( )2

31

2 3

1 1 2 1 .

x y yx

x x y x

− −⎧ + = −⎪⎨⎪ − + − = −⎩

��������

Page 15: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� 5����������������� ��������#�����2 1

;1

x y

x y

+ = −⎧⎨ + =⎩

������� ��3 5

;2 3 4

x y

x y

− = −⎧⎨ + = −⎩

����������3 5

2 3 4.

x y

x y

− = −⎧⎨ + =⎩

/�����)'��( )1,2− ���������"����������

0���"�����������������������������������������"������"�����������

.����������������� ��������������������������������������������� ���������� ��������� ��� ���������"�������

� G�����������������2 4

3 5 6

x y

x y

+ =⎧⎨ = +⎩

�������2 4

3 5 6.

x y

x y

= −⎧⎨ − =⎩

���/�����)'�� ( )2,0 ����������"����������������������� ��������

��!������� �����������������������'����������"������� �+�������,�!������������,

���� ���

������������'������������������������������������ ����������������������'���������������

������������'������ ,x k

y p

=⎧⎨ =⎩

���������)'������"������� ( ) ( ), ,x y k p= ��������"����������������������

� 2"������������� ��������#����������( )3 2 2 3

;2

x y x y

y

− = − +⎧⎪⎨

=⎪⎩��������������� ��� ( )

3

3 2 5 3.

x

y x

=⎧⎪⎨ − = +⎪⎩

2"����� ����( )3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2 2 3 3

2 2 2,2

x y x y x y x y x x y y x

y y yy

− = − +⎧ − = − + − − + = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨= = ==⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩

�����"���������������������)'�� ( ) ( ), 3,2 .x y =

��3 3 3

3 5 3 9 3 9 15 8.

x x x

y y y

= = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− ⋅ = = + =⎩ ⎩ ⎩

.����������"���������������������)'�� ( ) ( ), 3,8 .x y =

� 2"������������� ��������#���������� ( )2

;2 3 2 6

y

x y

=⎧⎪⎨ − + =⎪⎩

��������������� ���( )( )

3 1 2 3

2 2 1 4.

x y y

x y x

− − = −⎧⎪⎨

+ − = −⎪⎩

Page 16: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

������ ��������������� ����� ���� ����$�� �

( )1 4 :−

�(�2 5 2

;3 2

x y y x

x y

− + = −⎧⎨ − = +⎩

�(��5 2 3

2 4 5 .

x y x

x y x y

− + = +⎧⎨ − − = − +⎩

�(� ( ) ( )2 3 5

;3 2 2 3

x y y x

x y

− = − −⎧⎪⎨ − = +⎪⎩

�(��( )

( )2 3 5

3 2 4 2 5.

x y y x

x y x y

⎧ + = − +⎪⎨

+ = − −⎪⎩

�(�2

2 3 ;

02 3

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

������������(��1

;6 92 3 4

x y

x y

⎧ − = −⎪⎨⎪ − =⎩

%(�15

36

.5 5

x yx

y xy

+⎧ + =⎪⎪⎨ −⎪ − =⎪⎩

�(�( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 1 1;

1 2 3 2

x y x y

x x x y

⎧ − + − = + −⎪⎨

− − − = − +⎪⎩

�(��( ) ( ) ( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2

2 1 2

3 2 2 3 .

y y x y

x y x y x y

⎧ + − − = −⎪⎨

+ − = − + + +⎪⎩

A�������� �� ��������$�� � ���� � �� ������

���������������������( )5 7 :−

� ������ ��������� �������=H����� ��������������

������HD�

� ������47� $���� � � ��� ������ ������� ������ ��

��� �������������������$�� ��� �B����� ���������

5������ ������� ������������

� ������������ ���������� ����������!"#�������I7��

��� �������������������� �� �������:;��

3����� ������� ��������������"

�(�( )3,2 �$������ � ����� ����2 3

;5

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

�(�( )2,1− �$������ � ����� ���

2 3;

2 0

x y

x y

+ = −⎧⎨ + =⎩

%(�1 2

,2 3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�$������ � ����� ���

1

62 3 1.

x y

x y

⎧ − = −⎪⎨⎪ + =⎩

:�����$������ �� ����� ����������$�� � �( )9 10 :−

�(�2 3 0

;3

x y

y

− + =⎧⎨ =⎩

�(�2 3 2

;2

x y x y

x

+ = + −⎧⎨ =⎩

�(�( )2 3 2

;5 0

x y x y

x y

⎧ + = − −⎪⎨

+ − =⎪⎩

�(�

( )( ) 2

2 1

3 2 6

2 1 2.

x y xx

x y x x

−⎧ − =⎪⎨⎪ − + = −⎩

��

Page 17: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"������������������ �������������������������������������

��������� �

��� �%���������$��� ������ ����������$�� � ���� �

$��������� ��� ����$������� ��� � ������ ���� ���

����� ������ ��������������� ������ ���� �����������

:����� ��������� � � �������$�� � ������ ������ ��>

3���� � � ����� �� ������� ( ) ( ), 3,1x y = � �� �����

$������ � ������ ���

2 1

2 7

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

������ ( )2 1

2 2 1 7.

x y

y y

= +⎧⎪⎨ + + =⎪⎩

G���������������#

���2 5

;3 1

x y

x y

+ =⎧⎨ − = −⎩

��������� �� ( )5 2

3 5 2 1.

y x

x x

= −⎧⎪⎨ − − = −⎪⎩

/��������)'�� ( ) ( ), 2,1x y = ����������"�������)������������������������ ��������

�����������������

<����� ����$�����2 3x y+ = �����"

�(��������������=������(���������������$��������������� 2x = ����� 1y = ���)������������������������������#

���2 2 1 5 5 5

;2 3 1 1 1 1

⋅ + = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− ⋅ = − − = −⎩ ⎩

�� ( ) ( )1 5 2 2 1 5 4 1 1

2 3 5 2 2 1 2 3 5 4 1 1 1.

= − ⋅ = −⎧ ⎧ =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − ⋅ = − − − = − − = −⎪ ⎪ ⎩⎩ ⎩

1������)'������"������� ( )2,1 ��������"����������������������

!������� ������������������������� �!"���������������#

��������������������������������������������� � �� � 2 5 5 2 .x y y x+ = ⇔ = −

0�� ������������������������������������������������������������������������ 5 2x− ����'��������� ��������������

$�����������'�����'������������������������������������������������������������������������#

)��-����������������� ��������������������������������������� ���������������������������

2 ���� � ������ ��������"����� �"������� ��� ������� ��� ��������� ������ �� ��������� ���� �� ���� ������������

������������������ ������������������������������������������������������������������� � ������������������ ����������'��������� ������������������������'���������������������������������������������

Page 18: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

!������ ����������������������'�����������

$��� �����������������������������������������������������������������'���������������� 1,−��������������������������#

( )3 2 1 23 2 6 3 2 6 2 3 5 5

2 1 2 1 2 1 2 12 1

y yx y y y y y y

x y x y x y x yx y

− − =⎧− = − − = − = + =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − = − = − = −= −⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎩⎩

1 1

2 1 1 1.

y y

x x

= =⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨= ⋅ − =⎩ ⎩ 2"����������������������)'��( ) ( ), 1,1 .x y =

� 2"������������� ���������2 3 1

3 2 8.

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

���������6��'���������)�������������������������������������������������� 1,− �������������������������

����������������������������������������� �����������������#

1 3 1 31 3

2 3 1 2 1 3 2 22

3 2 8 3 2 8 1 3 3 93 9 4 163 2 8 2 8 / 2

2 2

y yyx xx y x y x

x y x y y yy yy y

− −⎧ ⎧ −= = ⎧⎪ ⎪+ = = − =⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = − = − −⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ − − =⋅ − = − = ⋅ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎩

( )1 3 11 3 1 32

2 2 21.

13 16 3 1 1

y yxx x xy

y y y

− ⋅ −⎧− −⎧ ⎧ == = ⎧=⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ = −⎩⎪ ⎪ ⎪− = − = − = −⎩ ⎩ ⎩

/��������"������������

( ) ( ), 2, 1 .x y = −

� 2"������������� ��������������2 5

;3 2 7

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

��2 3 2

4 5 10.

x y

x y

− =⎧⎨− + = −⎩

� 2"������������� ����������

( )( )1 3 4

22.

3 2 6

x y xy

x x y y x

− + = +⎧⎪⎨ − + −− = −⎪⎩

��������

!���������������������'����������"����������������������"��������'����������������������������'����������"�������

( )( )( ) ( )

1 3 4 3 3 4 3 4 32 2 2 3 2 6 2 4 3 3 122 / 6

3 2 6

x y xy xy x y xy x yx x y y x x x y y x x x y y x

− + = +⎧ + − − = +⎧ − = +⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + − − − + = − − ⋅ − − − = − −− = − ⋅ ⎪ ⎩⎩⎪⎩

� 2"������������� ���������3 2

2 1.

x y

x y

− =⎧⎨ − = −⎩

��������

Page 19: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

3 7 3 7 3 2 7 3

2 3 3 12 4 4 8 2 2.

x y x y x x

x x x y y y y y

− = − = − = =⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨− + − − = − + − = − = =⎩ ⎩ ⎩ ⎩

.����������"����������������������)'�� ( ) ( ), 3,2 .x y =

� (������"��������������#�����

1

3 6 6 ;5

42 5

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + = −⎪⎩

������� ��

4 2

3 2 61 1

.2 3

x y y

x y

− +⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪⎩

�������������������������'��������������������� �������������������������������������������������� �����������������������0 x k⋅ = ������0 ),y k⋅ = ���� Rk ∈ J@DA������������ �������������"������������������� ���������������������������������� � �� ������������������������������������

� 2"������������� ��������#�������������2 3

;2 5

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

������� ��3 2 4

6 4 8.

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

������������2 3 3 2 3 2 3 2

2 5 3 2 2 5 0 5 3 0 2.

x y x y x y x y

x y y y y y

+ = = − = − = −⎧ ⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − + = ⋅ = − ⋅ =⎩ ⎩ ⎩ ⎩

�������0 2y⋅ = ��������"�����������������������������"�������� � �� �������������������

��

4 24 2

3 2 4 33

6 4 8 4 20 0.6 4 8

3

yyx

x y x

x y yyy

−⎧ −= ⎧⎪+ = =⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = −⎩ ⎪ ⎪ ⋅ =⋅ + = ⎩⎪⎩�������0 0y⋅ = ������'����������"�����

�� � �� ������9�� Rk ∈ �3

24 kx

−= ������"������������ { }Rkkk

yx ∈⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −= /,

324

),(

������ ���� ������������������������������� ���� ��������������� � ������ 0 0x⋅ = ������ 0 0),y⋅ =���������� �����������'����������"������������������� ������������������������������������������ � �� ����������������� ���

���� ���

!��������� ������������������������������������#�����������"��������������*������������'����������"�������� � �� �����������������������*���������������"�������� � �� ������������������������������������

�� ���<����� �� �� ������ �$���������������� ����� ����$�� � "

�(�2 3 4

;2

x y x

y

− = −⎧⎨ =⎩

�(��3

3 2.

x

y x y

=⎧⎨ − = +⎩

� �(�2 3

;2 1

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩

�(��3 2 7 0

2 1 0.

x y

x y

− + =⎧⎨ + + =⎩

Page 20: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�(�3 4 5

;4 2 3

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

�(��5 2 2 0

3 4 10 0.

x y

x y

− − =⎧⎨ − + =⎩

�(�

51

3 2 ;1

2

x y

xy

+⎧ + =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩

������

1 1

3 2 33 3

2 .4 2

x y x y

x yy

+ + −⎧ − =⎪⎪⎨ − −⎪ − =⎪⎩

�(�

2 7

4 2 4 ;2 4 2 7

3 5 5

x y x y

x x y

− −⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ + = −⎪⎩

�(�2 4

;3 6 12

x y

x y

− =⎧⎨− + = −⎩

�����(��2 3

4 2 5.

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

�"������������������ ���������������������������#��$%����������#�������

��������

������I��� � 5;− � 12− ��� �:7=�4�I��� � 3,5− �����

����������������

��������������� ����������� �����������>

3���� ������� �������( ) ( ), 2,0x y = ���������$������

����� � �

3 2 6

2 2

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

������ ( )3 2 6

3 2 2 6 2.

x y

x y x y

+ =⎧⎪⎨ + + − = +⎪⎩

��� � a b= ��� � ,c d= ����� � .a c b d+ = +

������ ��������� ������������������ ����������

$ ������� ������ ( )5 5 0; 12 12 0.+ − = − + =.������7��������������������������������� 2 ;x− ��

5x− ������������������������I��

� � !��������������� ��������

5 3 11

3 5

x y

x y

− =⎧⎨− + =⎩

���� ( )5 3 11

5 3 3 11 5.

x y

x y x y

− =⎧⎪⎨ − + − + = +⎪⎩

0��"�����)'�� � ���"������� ( ) ( ), 4,3x y = �������"����������������������

$������������� 4x = ����� 3y = ��"������������������)'�� ( )4,3 ��������"���������������������

-���� �������������������������

�������������������������������������������

�����������������������������������'��������� ������������������������������������������ ���������

������������������������������������������������������������#

���� a b= ����� ,c d= ��������� .a c b d+ = +$�����������'�����������'������������ ����������������������������������������������������

��������������#

)��.��!������ ��������� 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

��������������������������� ��������

( )1 1 1

1 1 2 2 1 2 ,

a x b y c

a x b y k a x b y c kc

+ =⎧⎪⎨ + + + = +⎪⎩ �����������)'�������������������������������

�����������������������������������

�(�� ( ) ( )2 3 3 2

2 5 2 3 2 1.

x y

x y y x x

+ = −⎧⎪⎨ − − + = +⎪⎩

Page 21: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

!������ �������������������������'����������"�������

6��'������������������������������������������������������#

( )

14 3 24 3 2 4 3 2 4 3 5 2 44

4 3 4 5 2 84 5 8 2 10 55.

x yx y x y x x

x y x yx y y yy

⎧− =⎧− = − = − ⋅ = =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− + − + = +− + = = =⎪⎩ ⎩ ⎩⎩ ⎪ =⎩

2"���������������������)'��( ) 1, 4 ,5 .

4x y ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

� $��� �������������������'�������������������"������������� ��������#

���3 5 19

;2 5 6

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

��2 1

3 9.

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

��������� ������������������� �

6��'������������������������������������������������������

!������ ����������������������'����������"�������

� 2"������������� ���������5

3 2 4.

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

����������������� �����������������������������������������"��������������������'����������������������������������������������������� �/�����������������#

( )2 6 2 10 11

6.6

y y

xx

− ⋅ − − = −⎧ =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = −= −⎪ ⎩⎩ 2"������������������ ���������������)'�� ( ) ( ), 6,11 .x y = −

( )5 / 2 2 2 10 2 2 10 2 2 10

3 2 4 2 2 3 2 10 4 63 2 4

x y x y x y x y

x y x y x y xx y

+ = ⋅ −⎧ − − = − − − = − − − = −⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − − + + = − + = −+ =⎪ ⎩ ⎩ ⎩⎩

-���������������������"���������� �������������������������� 3.−2"����������������������

� $��� ��������������������'�������������������"������������� ��������#

���2 6 3

;3 2 6

x y

x y

+ =⎧⎨ + = −⎩

��0,5 0,2 3

0.

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

2 �������������������"������"��������������������� ����������������������� �������������� ���� ������� �

� (������"������������������ ���������4 3 2

4 5 8

x y

x y

− =⎧⎨− + =⎩

����������������'�����������������

����������������

Page 22: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� $��������������'�������������������"������������� ���������

1

2 3 31 2 2

.3 2 3

x y

x y

⎧ − =⎪⎪⎨ − −⎪ + =⎪⎩���������������

!���������������'��������'�������������������#

( ) ( )

1/ 6 3 2 2 3 2 22 3 3

2 1 3 2 41 2 2 2 3 12./ 6

3 2 3

x yx y x y

x yx y x y

⎧ − = ⋅⎪ − =⎧ − =⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + − =− − + =⎪ ⎩⎩⎪ + = ⋅⎪⎩

��������������������������������������������������������'�����#

30 329 6 6

3 2 2 / 3 9 6 6 9 6 6 13 132 3 12 / 2 4 6 24 9 6 4 6 6 24 30 30

.13 13

y yx y x y x y

x y x y x y x yx x

⎧ ⎧⋅ − = =⎪ ⎪− = ⋅ − = − =⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = ⋅ + = − + + = +⎩ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩

�"����������������������)'��( ) 30 32, , .

13 13x y

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

2"�������������������������� ���������������� 2,− ������������������

� $���������������'�������������������"�������������� ��������#

���( )( )( )( )

1 3 2;

5 3 2

x y xy

x y xy

− + = +⎧⎪⎨

+ − = +⎪⎩ ��

4 2

3 2 61 1

.2 3

x y y

x y

− +⎧ + =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪⎩

!������� ���������1

2 2

mx y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

��"��������������������'�����������������

��������

�������������������������� �������������

/��������������������������������������������������������������������������������������

( ) ( )( )

11/ 1 1/ 11

2 12 22 2 2 1 2

mx ymx y mx ymx y

m xx yx y mx y x y

+ =+ = ⋅ − − − = − ⋅ −⎧ ⎧ ⎧− − = −⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ − =+ =+ = − − + + = − +⎪ ⎪ ⎪⎩⎩ ⎩ ⎩

( )1 2 2

1 12 2 2, 2 0 , 2.

1 1 1

2 2 2

m mm y y y

m m mm m

x x xm m m

−⎧ ⎧ ⎧⋅ + = = − =⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪− − −⇔ − ≠ ⇔ ⇔ ≠⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪= = =⎪ ⎪ ⎪− − −⎩ ⎩ ⎩

Page 23: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"���������������������)'�� ( ) 1 2 2, , ,

2 2

mx y

m m

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟− −⎝ ⎠����� 2.m ≠

/������������������������� 2 0,m− ≠ �� � �� � 2?m ≠����� 2,m = ��������� ������( )2 1m x− = ��������������0 1x⋅ = �����������"�������������������������

2m = ��������"�������� � �� �����������������

> 2"������������� ���������6

,2

ax y

x y a

+ =⎧⎨ + =⎩

��������������������

�� ���

<����� � ���� ���� � ���$�� � �� �� ������

�� ��%� ���� �����������"

�(�2 3

;5 4

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

�(��3 4 1

;2 3

x y

x y

+ = −⎧⎨ − =⎩

%(�2 5

2 1.

x y

x y

− = −⎧⎨− + =⎩

�(�3 2 9

;2

x y

x y

= −⎧⎨ = +⎩

�������(��15 23 10 0

3 4 2 0.

x y

x y

+ + =⎧⎨ + + =⎩

�(�( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 2 2 5;

4 3 7 4 0

x y x y

x y x y

⎧ − + = − +⎪⎨

+ − − + − =⎪⎩

�(��( )( )( )( )

2

2

3 1 4 5

3 2 3 3 14 15.

x x x y

x x x y

⎧ + − = + +⎪⎨

+ − = − +⎪⎩

�(�2

2 3 ;

02 3

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

�(��1

6 9 ;5 4 1

159 6 3

x y

x y

⎧ − = −⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩

%(�

6 52

86

1.8

x y

x y

+⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩

�(�

2 1 3 22

5 4 ;3 1 3 2

05 4

x y

x y

− +⎧ + =⎪⎪⎨ + +⎪ − =⎪⎩

�(� �( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2

2

1 2 1 2 1

1 3 3.

x y x

y y y x

⎧ − + − = − −⎪⎨

− − − + =⎪⎩

�(�( ) ( ) ( ): 3 2 : 4

;2 5 9

x x y y

y x

⎧ + = − +⎪⎨

− =⎪⎩

�(� �( ) ( )1 : 2 1: 2

: 3: 4.

x y

x y

⎧ − + =⎪⎨

=⎪⎩

�(�5

;2 3

ax y a

x y a

+ =⎧⎨ + =⎩

�(��2 5

;3

ax ay

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

� <����� ����� ���� ����$�� � ��� ��������$������ �

�������������� ������������#

%(�1.

x y k

kx y

+ =⎧⎨ + =⎩

Page 24: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"������"��$#�������������� ����������������������������������

,���������������������� �� y ax b= + ����������������

},/),{( baxyRxyxG +=∈=

!��� ��� �� ������� �� ���$����� ��� ��� � ��� ��

�������>

!������$������ ��� ����������������$C��7������

0≠a �� � 0b ≠ %������������������ ��

2 1y x= − ������������������� ������ �������������

������������������$�����

� �

1−1−D

: :1−

3−

@8

2−

1−2− 9

( )2 1R y x= −

!��� ��� ���� ����������� � ���� � ��� �������� ��

���$�������� ��� ������������������������$��>

� + �������������������������������"��'�������'�������������

������������������ �����������������2 1

4.

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

$�� �����������������������������'�����������

2 1y x= − + �������������������� 4.y x= +� �

1−D:

:

� �

2−D

7H

F��'������� ����������������������������

��������

1−

88

2−

1−2−9

954

����

������������"����������� ������������������������������ ���������������������������������)�������������������

��������� �����������"������������ �������������������������������)���������������������

/��� ( )1,3M − �������������������������������������������������������������������������������������

�������������"�������������� ��������

/�������)'��( ) ( ), 1,3x y = − ��������"�������������������������� ����������������

1��"��'����������"���������������� ��������������������������������������#

��������������"��'�����'���������������������� ����������������*��������������������������������������������������������������������

, 2"�����"��'������������� ��������#

���2

;2 1

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

��2 5

;3 2 4

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

���3 2

2 1.

x y

x y

− =⎧⎨ − = −⎩

�4

Page 25: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

���� ���$������������������"#��� �=#�� ������ � ��� ���������� =#������ ��

���� ��� ��������$�� � ���� � �� ��������������

������$������ �����������������������������������

�������� � ����������� ����$�� �� �����

/ F��'������"������������� ��������#

���2 5

;1

x y

x y

+ =⎧⎨ − = −⎩

��3 2

3 5.

x y

x y

+ =⎧⎨ + = −⎩

���2 3

;2 4 6

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

����������������

���1 5

.2 2

y x= − +�

1−1

22

� �

� �

1.y x= + �

2−

� �

1− � 1−81−

2−

9

�� �

( )1, 2M

F��'�������'������������������� ������������������������������� ����������� ������������������

( )1,2 ,M �����"���������������������)'�� ( ) ( ), 1,2 .x y =

��2

.3

xy

−=�

1−2

3

� �

� �

5.

3

xy

− −=�

2−5

3−

� �

1− 3−

1−81−

2−

��

��

48

3−

F��'�������'�������������������� ���������������������������������� ��������������������������"�����

���1 3

.2 2

y x= − + �

1−3

2

� �

� �

3−3

2

� �

� �

2 6

4 4y x= − + ⇔

1 3.

2 2y x⇔ = − + 1−

81−3−

9

1 2p p≡

F��'�������'������������������� ����������������������������������������'����������"������

� � �� � }.23

21

,/),{( +−=∈= xyRxyxM

Page 26: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

-��������"������������������ �����������������������������������������������������������'���������������������������������������������������������������#

���1 2

,1 1

≠−

�� � �� � 1 1

2 2

,a b

a b≠ �����������"��������������*

��1 3 2

,1 3 5

= ≠−

�� � �� � 1 1 1

2 2 2

,a b c

a b c= ≠ ��������������"�����*

���1 2 3

,2 4 6

= = �� � �� � 1 1 1

2 2 2

,a b c

a b c= = ������������'����������"�����

���� ���

!������ ���������1 1 1

2 2 2

:a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

������"����������������� � �� ������������������������ 1 1

2 2

;a b

a b≠

���������"�������� � �� ����������������������� 1 1 1

2 2 2

;a b c

a b c= ≠

�������'����������"�������� � �� ���������������������� 1 1 1

2 2 2

.a b c

a b c= =

- $���������������'�������������������������������������� ��������#

���3 2

;2 1

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩

��2 2

;2 3

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

���2 3 4

6 9 12.

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

��������� ��� ���#� 1 1 1 2 2 23, 1, 2, 1, 2, 1,a b c a b c= = − = = = = − � ���� 1 1

2 2

a b

a b≠ �� � � �� �

3 1.

1 2

−≠

.���������������� �������������"��������������

��� 1 1 1

2 2 2

a b c

a b c= ≠ ��� � �� �

1 2 2.

1 2 3

−= ≠−

�.���������������� ����������������"�����

��� 1 1 1

2 2 2

,a b c

a b c= = �� � �� �

2 3 4 1,

6 9 12 3= = = ������������ ��������������'����������"�����

. 5����������������� ��������#����2

;2 2 4

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

������� ��2 3

;4 2 1

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

����������3

2 0.

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

$���������������'������������������������������������������ �/��"�"�����'���������������"������"��'������������

Page 27: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

0 (����������������������������������������� ��������#

���( )1 3

2 3 1

kx k y

x y k

+ + =⎧⎪⎨

+ = −⎪⎩����������"��������������*

��( )( )1 2 5 7

2 4 8

k x y

k x y

+ + =⎧⎪⎨

+ + =⎪⎩��������������"�����* ���

5 3

10 8

x y k

x my

+ =⎧⎨ + =⎩

�������������������

��������������

���!���������"������������������� 1 1

2 2

,a b

a b≠ �� � �� �

1.

2 3

k k +≠ �/���������������

( )3 2 1k k≠ + ����� 3 2 2,k k− ≠ �� � �� � 2.k ≠

��!������������"���������� 1 1 1

2 2 2

,a b c

a b c= ≠ �� � �� �

1 2 5 7.

2 4 8

k

k

+ = ≠+

�/����1 2 5

2 4

k

k

+ =+

����

( ) ( )4 1 2 5 2 ,k k+ = + �� � �� ��97

��!�������������������������� 1 1 1

2 2 2

,a b c

a b c= = �� � �� �

5 3.

10 8

k

m= = �/����

5 3

10 m= ����� 6,m = ���

�����5

10 8

k= ����� 4.k =

/�����������"������������������������������������ 110Av = ���C� ������������������������������"�������������������������������� 60Bv = ���C� �����������"��������������������������������������������"������������������������������,�/��"�"�����������"��'����

1 )

��������� ������������������� ��!��������

E������������������������������������������������������������������ �/����������������������������������"�

110 ,As t= ⋅ ������������� 60 .Bs t= ⋅ �/����������� 85,A Bs s+ = �� � ��

110 60 85t t+ = ��������1

,2

t = �����1

110 55.2As = ⋅ = �.�����������������������������������

1

2������������

����������"�����II��������������!

������� � � �������������� 0 ,s s v t= ± ⋅ ������������������� '������������ ��������������������� ��������������������� �/���������#

110A Ax v t t= ⋅ = 85 60 .Bx t= −���

��

� � �

������

� �

���

1

4�

��

Page 28: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

-���� ��� "��'���� �� '�������� ��� �������� ����������� � 6��������� �� ����������� ��� ����� �������������������������������������"��������������������������� � ��

1

2t = ������������� 55As = ����

�� ���

,���������$����� ����� ���� ����$�� � �( )1 2 :−

�(�3

;2 3

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

�(��3 2

;2 3

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

%(�0

2.

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

+

�(�1;

1

x y

x

+ =⎧⎨ = −⎩

�(��2 3

;2 3

y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

%(�2

3.

x

y

=⎧⎨ = −⎩

,

. �� ������ ����� � ��� $������ �� ���� %���� �

���� � � � ��� ���$��� � ��� ������ ������ %������

�������������� ����%�����"

/

�(�1

;2

x y

x y

+ =⎧⎨ + = −⎩

�(��2 1

;2 4 2

x y

x y

− + =⎧⎨ − = −⎩

%(�

2 3

1 5.

2 2

x y

x y

+ =⎧⎪⎨ − =⎪⎩

. ����������� � ��� ��%� ���� ����������������

%���� ������ � � �������$�� � ���������%��������

�%�������� ������������"

-

�(�4 6 3

;6 9 4,5

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

�(��2 3 4

;4 6 5

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

%(�4 6 7

8 12 15.

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

:������� ��� ���� �������� 0≠a �����%����

���� ��������$�� � �4

:2 3

x my

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

.

�(��������$������ =

�(����$������ ����� �� =�������������%�����$������ ��

���� ����

3��%������� �������� ���������� ��������$�� �

2 3

5

x y

x ay a

− =⎧⎨ + = +⎩

������������%�����>

0

?��������������� �������$�� � �3

2 3.

x ky m

x y

− =⎧⎨ + =⎩

�3�

%������� �������� ��� ����� ������� ����������"

1

�(����� ��������$������ =

�(��������$������ =

%(����������������$������ >

�����

"

88@

BB

1

2

1

4

������

DB

110

As

t=

8560

Bs

t

=−

!

Page 29: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� ��������������� ���������������������������������

!������������� ���������������������������������������������'�����#�%!�����������������������������������������������"�����������������������������������������������������������&

30

5.2 3

x y

x y

+ =⎧⎪⎨ − =⎪⎩

������������� ��������������������

/��������)'�� ( ) ( ), 18,12x y = ����������"�����

�������������������������������������������

��������

�"����������������������������"��������������������������������� �����"�������������������������������������������"���������������������� �������������������������������� �/�����������������������������������������������������������"���������������������������"������������ ����

+ ������������������������������������������������'������������������� ������ �������������������������������������������������������������������'������������7������ ����� �(����������������,

�����������������E��������������������������������

/���������������������������������� ( ) ( ): 2x y x y+ − = ������ �������� � �� � ( )2 8.x y x y+ = − +

/����������������������������������� : 2x y = ������ ��������� � �� � 2 2.x y= +

/��� ���� �������� �� '��������������� �"������ �� ��������� ��� '����������������� �"������ �� ��� ������� � �'���������������� ��������#

( ) ( )2 2 2 22 2 2 10 2 22

2 8 2 2 3 83 8 10 10.

x y x yx y x x

x y x y y yx y y y

= + = +⎧ ⎧= + = ⋅ + =⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨+ = − + − + + =− + = = =⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩⎩ ⎩

�"���������������������)'��( ) ( ), 22,10 .x y =

/��������������"�������������������� ��������������������������������"�������������������������������

�����#�/���� 22 :10 2= ������ ������������ ( ) ( )22 10 : 22 10 32 :12 2+ − = = ������ ������������������

�����������������������������������������������

, �� ���������'������������������������������ ������)���'����������"��I��������������������K�"��4����������������)���'����������"��=�������������������"���������� �!��'�������� � ��������������,

������� ������ � �������'�������������������������#

5 3 5 3 4

6 1 6 1 23.

x y x y x

x y x y y

⋅ = − − = − =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ = + − = =⎩ ⎩ ⎩

�2"���������������������)'�� ( ) ( ), 4, 23 .x y =

Page 30: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

0 & ���� ����������������������������������"������������'������������������������ ��"������������������������)����������������������'���������������"������'��������,

. * �������������������������B������������������'��������������������������������������������������� ���������������������������������B���������������������'���������������������������������������������������� �!�����������������������������B���������������������������'�����,

������� �.�������������"�������� �����������"�������B������� �E����������������������B�������������

���B�����������������������'������������������#

( )( )

15 5 15 5 66 3 264 81

3 2 285 21.12 8 12 8 57

x y x y x

x y yx y

⋅ + ⋅ = + ⋅⎧ + = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = =⋅ + ⋅ = + ⋅ ⎩ ⎩⎪⎩

.�������������B���������������������'����������

/ ��������������������������� � �������"�"�#�%/������������������������������������������������������4���������������4���������������������& !���������� � ����������������,

����������������� ����������������������������������������� �?����������#

( )( )

5 5 5 5 20 45

3 6 13.3 3 3

x y x y x

x y yx y

− = −⎧ − = − =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− = =+ = + ⎩ ⎩⎪⎩

�����#�/����������� � �������������������������������13 5 8− = �����������5 8 40.⋅ = �/���������� � ������������45 3 48,+ = ������������13 3 16,+ = �����3 16 48.⋅ = �.������������ � ��������������������������������

�����#������H��'�����������"��I�������������������������"�������� 4 5 20⋅ = ����������������K�"��

23 20 3− = ������ �����������)���'�����������"���=���������������������������� 4 6 24⋅ = ������������

��"���������� �/������� � �����H�'���������74������

������� �E������������������������ ������������������������������� �?����������"�������������� ��������������

��������������( ) 5 63,x y− ⋅ = ���������������������������� ( ) 3 63.x y+ ⋅ = �/�����������������"�������

- ) �������������������������������������������������������� ���������������������� �F�����������"����������������������������������������� �!�������������������� �����������������������������������������������,

�������������������� ������

�������( )( )

5 63,

3 63

x y

x y

− ⋅ =⎧⎪⎨

+ ⋅ =⎪⎩�������)'��( ) ( ), 16,8;4,2 .x y = �.���������������������������� ������

Page 31: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������� �E�����������������������"�������'��������������������'�������� �?������������

� ���������������1 1 0,4

0,7 1,2 0,1 1 7 12 10 0,6.

x y x y x

x y x y y

+ = + = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⋅ + ⋅ = ⋅ + = =⎩ ⎩ ⎩

�� ���

�������������� ���������� �������7;����� � �

���������������B�� ������������� ����������

$��� ����������������6�� ������������� �������

���������� ����� ��� ����� �������B��:����� ��������

����>

+

������ � ������ � ��� ���� ����� ��������� ������ �

��������� � �::����� ������� ��������� �� ����� �

�����7<������ ������������� �����������������

������ ������� � ������� � �������� �� ��� �����

���������:�������������������������>

,

����������� ��������&��������� ����������� ����

7D�� �� ��3�� ��������� �����������&������� �4

�������� ��� ��������� ������������������9�����

�����&������������5D������������� �� �����&����

�������������������>

/

������� ����$�����������������4<��� ���3���7��� ���������� ���:D�� ����� ��� ���� ����$�������� ����

��������� �������$�>

-

0 �� ��!��"� �� �#� �� �� ��� � ����� ��� ��

�������������� �������������� ��!��� �". )

2"������������)'��( ) ( ), 0,4;0,6 .x y = �!�����������"�������������������0, 4� �����0,6 .�

������;D��� �3 ��� �����!�����#���� ������ �������

�������$�� ��� ������ID���C������������������ ���

������������������ ������������������ � ��� �����"��� �����������������$�� ��� ������4D���C���3�������� �������� ���� ���� ���������� � ��� �����!���� ��������������������������>�<������ �������

����������

*��������$�� �%� ���� � ����� ������� ��:DH������$������ ��������������$�� ���������

0 )

���I�#�;����� �������$����� ����� �����ID��������

������������������� ������������ ������������������

������$����� ������>

+���$��� � ���� �� ���� ��� � ������ ���

���$�� �� 1 2y t= + ��� � 2 ,x t= + �����������

���� ������ ������ ������� ����������� �������(�:��������$����� �����$� ��� ( ).y y x=�(�0�$���� ��� ��� �� � ����$� �� ��� ������

������������$��%(�:������$����� ��������� ��� ��� 0.t = (�%������� �������� �����$� ��

1 )

���������� � ���� ��4I�� ��������������

��� � �� ���� �H;� � ���� �� ��������� ��

��������� ��������� ������ ��������������

��������������� ���������������7=D��"��$� � ������� �� ����HD� � ���� �� �������>� ',����

�$� � ������������ �� ������� ������������

� ������������&������������������������(

2 *

����� ���� ��$������� ���� ����������<=L��� ���� ��� � � ���� �� ��� ������;;L��� ���������� ������ �� ��� �����������

��� ���� ��� ������������������������� ��%��

��:D�I��"�����������������;HL���� ��>

3 *

*������������������ ��������������:7������3���I������������������������������������ ��� ������� ���������:<�I�������3�������������������� ���� �� ��������>

+4 *

Page 32: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

3����� ����� ( )3, 2A − �������� ������������� ���������������������� ����$����"

�(�2 8;x y− = �(� 2 1.x y+ =0

������ ���������� ���������� ����� ���� ����$�� � "�������(�

25

3 ;1

22

x y

x y

⎧ + =⎪⎪⎨⎪ − =⎪⎩

�(�

( )( )

3 3 5

3 6 22 3 .

x y x yy

x y xy

− −⎧ − = −⎪⎨⎪ − + =⎩

1

����������������������������$��%�

?��������������$����2 3 5.x y− = �:���� �� ��� � �������������������$�������� ����$�������������>+

�(�( )4,1 ; �(�1

,2 ;2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

%(�( )1, 1 ;− (�( )1,1 .−

:������� ��� ����� ���������������� �����( )2, 3− ����� ���$������ � ����$����

( )2 1 3 1.k x y− + =,

?��������������$����3 2 6.x y+ = �:������� ��� ����"

�(������� � 3;y = �(������� � 2.x = −/

:���������������� �$������ � �������$����"��(�2 1;x y+ = − �(�2 1.2

yx y− = +-

0�$������������ ���������������%������� ����$����"

�(�2 1 0;x y+ + = �(� 2 1 0;x y− − = %(� 2 0.y + =.

������$���� �������� ������������ ��:7DDDD ����������������� ��� �������� �������

�� �� � �:D�IL����� � � � ������:7L����

�������������� ���$���������� ��� ��:4;DD ����!���� ���� � ��� ��� ����� ��� ������

������>

++ *

���� ����� � ����� �� ��� ���� � ���� � ��

% %��� ��"� E���������� ��� ��� ��� �F>

G % %��� ���������� "�E��� ������ID��������

���� �� ������� � ��� ��� � ��� ��� � ��� ��

$��$���������� �������;D������������� ���

4D������������������� ���� �� F�����������

�� ������� ���������� ��>

+, *

��������%������������� �������� ���������� ����

������ ���%��8@H����� ��� ���8BH�������� ����

� � �� ����������� ��������������������������

������ ��� ���%��89H>

+/ &

����� �������������� ���� ����������<�#H������ �����������D�I=��"������������������

� ���>

+- &

����� �������������������������� �����������

�������� ����� ������3 �� �������������������

+. �

<DD������� ���������� ����%�������������ID�������

������ ��� ������ ��:���� ���������������� ��ID��"���� ��� � �� ������� ��� ���� �� � �� ��������

�� �$�� ��:ID��"�������������� ��������������� �

:I������ �������������� ���� ����������>

Page 33: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

?��������������� ��������$�� � �2 3

3 2.

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩

�:���� �� ��� � ���� �������������$������ � >2

�(�( )1,1 ;− �(�( )1, 1 ;− %(�( )5,1 .−

<����� ����� ���� ����$�����( )9 11 :−

5 57

33 24 0

xy

x y

−⎧ − =⎪⎨⎪ + − =⎩

��� �� ������ �$������������3

2 4

2 5

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

� �� �� ����������� �++

. ����������� ���� ��%� ���� �������$�� � �����%���� ������ � � �������$�� � ����$������ ����� �� "

�(�2 4 4

;2 2

x y

x y

− =⎧⎨ − = −⎩

�(�2 4 4

;2 2

x y

x y

− =⎧⎨ + =⎩

%(�2 4 4

2 2.

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

+,

:�������� ������������������� ��������$� � �( )2 3 1

:5

k x y

kx y

⎧ − + =⎪⎨

− =⎪⎩+/

�(����� ���$������ ����� �� = �(��������� ���$������ �

�� ������������ ���� ������ ��������������=������������,��������� ����������;4L���������� � �����

��������77L��������� ����������� �� ����������� ��������������� ������������� ��;�I���������������� ���������������� � ����� �� ������ �>

+- &

����� �������=IDD�� ��������� ��������������7D�� ������������������ ������������ � ���� ��7;� ����������������3 ��������� ����� ����:DL����� � ����������� �:=L��*�� �������������������

HD�� ������������������� ������������ID�� ����������������� �����������������4>HD�� ��������������������������� ��������������������������� ��� �����>

+. *

( )2 2

1 2

3 4 6

2 3

x y x y

x y x

+ + −⎧ − =⎪⎨⎪ − + =⎩

��� �� ������ ��� ��%� ���� ������������+4

��������������#�������

+ !������� ������( )2, y �������$������ � ����$�����2 3x y+ = ���� ���������"

:�(�:=��������(� 1;− ������%(� 7− =������� (�I�

, !������� ������( ) ( ), 1,2x y = − �������$������ � ����$�����2 3 4x ky− = ���� ��� �� ���� �����������"

�(�:=��������(�7=��������%(� 1;− ������ (�D� :

Page 34: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

- ���� ��������$�� � �2 3 1

3 1

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩

������"���(������������=���(����%�����=����%(���%������:

. ���� ��������$�� � �6 2

3 1

kx y

x y

+ =⎧⎨ + = −⎩

���������������������� ���� ����������"

�(� 2;k = �(� 2;k ≠ %(� 1;k = − (� 3.k = :

0 ��� ����������� ��������� � ����%�������� ����$�� �� ����� ���� 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

������ ������� �

���� ��������"���(���%�����=��������(����%�����=��������%(������������� :

1 *�� ���$�� � ��� � � � � ��� ��� �������� ����� ������ ��� ��� � ����� ��������� ��� $������ � IIIIIIIIIIIIIIII�

7

2 ;��$������� ��ax by c+ = �������$������ ���� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

3 ;��������� �$������ � �������$����� 2 1x y− + = ������� { }.M = 7

+4 ��� ��������� ����$�� � �������� ������ ������� ��$������ � ����� ���������

� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�7

++ ���� ��������$�� � � 1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ =⎧⎨ + =⎩

����������������$������ ���� ��� ��%� �����

�������� �������� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

+, ���� ����$�������������� ���������� �2 3

2.2 3

x x yx

− +− = −4

+- . �� ������ ��� ��%� ���� ������������$����� ����� ���� ����$�� � �

5

2 1.

4 2 2

x y x

x y x y

+ = −⎧⎪⎨ − −+ =⎪⎩ 4

+. J�������������������������������������������� ���������������I����� ������� �����������������

������������������� ������������� ����������������H4��:��������������� 4

+/ ���� ���������� ���������� ����� ���� ����$�� � �( )( )( ) ( )2 2 2 2

2 3

1 1 .

x y xy

x y x y

⎧ − + =⎪⎨

− + + = +⎪⎩ 4

+0 ;����� ����������$������ ��� �� ��������� ��������� ��:ID��������� ������� � � � ����������7������� ���������� ���������������� ��� ����������� ���������5�����:������� �������� ��������� ��� �������

�������

4

/ <������ � ����� ����������$�� � �2 4

2 3

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

������� ������� ������"

�(�( )2,1 ;− �(�( )2, 1 ;− %(�( )2, 1 ;− − (�( )2,1 . :

Page 35: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

6��������������

M����������"��������������� -����� �� �������

0���'�������������

$ ������������ ������ �������

N�������������������� �������

!����������������

��

��

�����& ��������

.��������������������������'����� ��

.���������������������� � ��!������������������'����������������������� ��

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 36: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

(�������������������������"��������� ������#����� 3 27;x = ��� �� 6 64;x = ������� 2 49?x =

0���������������������������������������� ������������������"�������������������������������

������ .nx a=

� (���������������"��������� ������#

��� 3 64;x = − ������� �� 3 64;x = ���������� 5 32;x = − �������)�� 3 125.x =

������������ 4,x = − ����� ( )34 64;− = − �����)�� 5,x = ����� 35 125.=

��������

3���79��� }2,1,0,1,2{ −−∈n �%������� ��� �������� .nx a=

:������ �%���� �������$�� ��������%���������� ���

�>

#�����������������

� � !����������������������� 216 cm . �(�����"��������

���������������

� -����� � ��� �� � ������ 3125cm . � (����"�������������������� �

!������������������ ������������������'�������%9������������������� �����������������������

'������� 3.V a=1��������������"������������������������������"�������������������� �������������"����� �����

2 16,a = ������������� ������ 3 125.a =

2"�������� ������ 2 16a = ������� 4a = ����� 4,a = − ��������"�������� ������� 3 125a = ������� 5.a =/������� �������������� 4 cm,a = ������� �������� �������� 5cm.a =

/����"������� 4a = − ��� ������� 2 16a = �����������"�������������������������� ( )24 16?− =

2"�������� ������� 3 27x = ������� 3,x = ����� 33 27;= ��"�������� ������� 3 27x = − ������� 3,x = − ����

( )33 27.− = −

/����"��������� ������� nx a= �����������������������������������������������������

� �� � �/���)�������������������������)���������������������������������������������������

�������"�������� ������� .nx a=

Page 37: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���� ���

/���)�������������������)������������������� Nkkn ∈+= ,12 �������������������������������������2 1 .kx a+ =

.��������������������������������������"������������������������������������"�������� ������nx a= ���������������������������� .n a

����������5����!���� 3 27 ����������������������������������������� 3 27 3= ����� 33 27;=

����� ( )2n n ≥ ������� ������������������������������������������������������������������������

�������������������������

$��������������������������� n a ����������������

������� 5 32− ���������������������������� 32,− ������� 5 32 2− = − ������ ( )52 32.− = −

2"�������� ������� 2 9x = ������� 3x = ����� 3,x = − ����� 23 9= ����� ( )23 9.− = �2"��������� ������

2 25x = ����� 5x = ����� 5.x = −

���� ���

/���)������������� 0a > �����)���������������)'�� Nkkn ∈= ,2 ����������������������������� x− ����

������������ ( )22 .kkx x a= − =

.������������� 0a > ����� Nkkn ∈= ,2 � ������ 2kx a= ��������"������ �������� ����������������� ��

������� �2"����������������������� ,n a ��������"�������"����������������� .n a−

����� 0a ≥ ����� 2,n = ������������������ 2 a ����������� ,a ���������B��������������������������

����������5�������� 2 16x = ������������������������������������������������� �N�����������������

16, ��������������"����������� 16,− �� � �� � 16 4x = = ����� 16 4.x = − = −

��������"�������������������������)'������ 0,a > ���������������������������������������"��������

��������� .nx a= �?����������������������������������

Page 38: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

����������� 2 4,x = − ��� �� 4 81x = − �������"�������� �������� ?�

���� ���

N��������������"�������������������)'����������������"������������������'������� �������

�������������

� (�������������������������������������#����� 9 8;− ������ �� 12 0; ��������� 16 256;− ������)�� 4 16 ?−

� !�������#����� 5 52 ; ����� �� 3 32 ; �������� ( )33 2 ;− �����)�� ( )22 ?−

����* ���* ��� ( )3 3 33 33 2 2 2 2;− = − = − = − ���)�� ( )22− ������������������������������������������

( )22 4 2.− = = �/���� ( )2

2 4,− = �������� ( )22− ��������������� ( )2 22 2 2.− = =

!����������������������������������#

��� 3 8 2= ����� 32 8;= �� 3 64 4− = − ����� ( )34 64;− = −

��� 5 1 1− = − ����� ( )51 1;− = −

)�� 49 7,= ����� 27 49= �����<�����������������

���"������������������ �����

����� 0,a < ��������� 0,a− > ��������� 2 1,n k k= + ∈� ����� 2 1 2 1 .k ka a+ += − −

����������5���� 5 32 2− = − ����� 5 32 2,− = − �� � �� � 5 532 32,− = − ����� ( )5 52 2 32;− = − = −

�� 3 3125 125 5;− = − = − ��� 7 71 1 1− = − = − ����

/��� 2 0x ≥ ����� 4 0x ≥ �����)������������������������ ����������������� ��������N��� � �� ����������

4− ����� 4 81− ����������������� �/���������������������������������������������� ���������N

����������������

��"���������������������� ( ) ( )4 24 4 24 3 3 3, 5 5 5− = = − = = ����

-�������� ( ) ( ) ( )2 4 242 | 2 | 2, 3 | 3 | 3, 5 | 5 | 5,− = − = − = − = − = − = �� � �� ����� ,Ra ∈ ��������� 2 | | .a a= ���

���"��������������������������������)'����������� | | .n na a=

����� 0,a = �������������������������������������� �� � �� � 0 0n = ����� 0 0n = ����������������

����������������� 0na = �

Page 39: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���� ���

⎩⎨⎧

=çift.numër është nëse ,

numër tek është nëse ,

na

naan n

� (����������������������#����� ( )55 7 ;− ���� �� 3 39 ; ������� ( )44 4 ;− ����)�� 6 63 .

!�������#�� ( ) ( )2 334 , 5 ? �����������/��� ( ) ( )

2 24 2 4,= = �������� ( )2

4 4.=

/����������������������� ( ) ( )3 73 75 5, 15 15= = ����

����������6�( )55 5 5,− = − ������������� ( )2

3 3,− ≠ − ����� 3− ������������

������"����������� n a ����������������������� ( ) .n

n a a=

�� ���

:����� ������ ������� � ��������������"

�(������;���������������� � :==�(������;���������������� � �=H=%(������ � ���� �47�������7=

:����� ���� �� � ������������������������"�

�(� 9;− �������(� 5 1;− ������%(� 5 32;− ������ (� 4 16;−

��(� 6 0; ������ (� 25 ?−

3��%������� ����������� ��������������� ���"�

�(� 1;x − �������(� 3 5;x − ������%(� 4 6 2 ;x−

(� 5 1 ;x− �������(� 6 2 1?x +

�� ���"

�(� 121; �������(� 3 64; ������%(� 3 64;− ����� (� 4 81.

�� ���"

�(�1 1

2 3 25 4 ;4 16

+ −

�(� 3 4169 125 16;− − +

%(� 3 58 36 32.− − − −

:����� �����$�� � �����������������������"

�(� 23 3;= �������(� ( )23 3;− = − ������%(� ( )2

3 3;− =

(� ( )33 4 4;− = − ��������(� ( )44 6 | 6 |;− = −

(� ( )33 1 1?− =

3��%������� ����������� �������������������$���"

�(� 2 ;a a= �����������(� 3 3 ;a a=

%(� ( )22 2;x x− = −

(� ( )44 1 |1 | ?x x− = −

(������ � ���� � 32− �������7=�(������ �������� �;:������� 3?−

Page 40: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

�� ���� RmRaam ∈∈ ,, ���� �������

����� +∈ Rm �������2për ,... ≥⋅⋅= maaaa

m

m�����

��� 1 .a a=��� � ,0 dhe 0 ≠= am ����� �� 0 1 .

d e fa =

��� � −∈ Rm ��������� 0 dhe , ≠∈−= aRkkm

����� ��1

.defm k

ka a

a−= =

� .���� �� �"������� ������ ���� '�����

���"����������������������������"����

���"���� ��� ������������� ���� ��������� ����

���"����������������������������������'���������"���

�����������

0�������������������������"������������������

'���������'�����'���������"���������������

Mbaj mend!

����� +∈ Ra ����� Rn

m ∈ ����� NnRm ∈∈ , ��������������

.def

mn mna a=

!���������'�������#�11 3

3 32 2 34 4 2; 4 4 64 8; 27 27 3.= = = = = = =

� ������#������ 0,59 ; ������ ��2

38 ; ���������1

3125 ; ������)�� 0,50,01 .

����� 1,m = ���������1

,nna a= �����1

1

1 11: .n

nn

m aa

a

−= − = =

� !���������'��������������������'��#

���1249 ; �� 0,5100 ;− ���

2

3 ;a )��2

3 ;x−

���21

32 ;a b⋅

����������������1

249 49;= ���������2

3 23 ;a a= �������)��2

32 3 23

1 1;x

xx

−= = ���

21

32 3 2 .a b a b⋅ = ⋅

/�������m

na ���������!������ �������������������

$�'��������"������������%���(�����������������

���������� ��2

23 38 8 4;= = �������)��1

0,5 20,01 0,01 0,01 0,1.= = =

Page 41: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������������1

3 38 8 2,= = �����������1 2

3 6= �����

2

6 6 2 68 8 64 2.= = = �.���������1 2

3 68 8= ����

O������������'������"��������������������������������������������������"�������������������������

�����������������'������"��������������������������������

� 6������������������������#

������������������� ��3

2

3 13 1 3 2 6 1141,5 114 24 2 4 4: ;x x x x x x x

⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠+ +

−⋅ = = = =

���2

3

2 231 13 31 122 2 1

.a a a a aa

⎛ ⎞⋅ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

− −+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

/���)�� +∈ Rba, �����)��� Rq

p

n

m ∈, ���� NqnRpm ∈∈ , ;, ����#

0 0 01 . ; 2 . : ; 3 . ;

p

qp p p p m pm mm m mq n q q n q n qn n na a a a a a a a

+ −⋅⋅⎛ ⎞

⋅ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 0. ; 5 . .4

mmm mm nnn nn

mn

a aa b a b

bb

⎛ ⎞⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

P���� ��������� ��� ����� ������ �������� ��������������� ������� �m

n���������������������� �/��

���� �����3 6 9

...4 8 12

= = = �/����'��������������������'����m

na �������������������������������������

��� ���������m

n������������������"������������'���� �/���������#

NknRmRaaaa nk mkkn

km

n

m

∈∈∈== +⋅⋅

,,,,

� 6������������������������#

���2 13 2 ;a a⋅ ���� ��

3 11,54 2 : ;x x x−⋅ ������

21 32 ;a a

−⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

��)��

123 234 .x a

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

���1 1

2 2 2: ;x x x−

⋅ ��

211 3

2 32 ;x y x⎛ ⎞

⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ( )21

0,5 0,532 : .x xy x y⎛ ⎞

⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

N������������'����������������'��������������

Page 42: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

!��������"��������������������������������#���� 3 44, 3, 2; ���� �� 2 23 5, , .x xy x y

&������������ �� ������ � �������������� ���������������������������������������� ����������������� ���� ������� ��� ���� � ����� ��� ���

��������

, 0.m m k

kn n k

⋅= ≠⋅

���������������������������������"

:, 0.

:

m m kk

n n k= ≠

, 0.m

n m na a a= >

21 1 332 2 23 , , 2 .a a b

� 6������������������������ 3 8 ����� 6 64.

3 8 2,= ����� 32 8;= � 6 66 64 2 2.= =

.���������������� 3 8 ����� 6 64 �������������������#3 68 64 2,= = �� � �� � 3 63 62 2 .=

� N������ 33, 2 ����� 42

3��"�������#�����4* ��H

� 2"����������������#����� 5 2 ;a ������ �� 3 2 ;a b ��������� 4 2 3 ,ab c ������ 0, 0, 0.a b c> > >

� !��������"��������������������������������#���� 3 42, 2, 2; ������ �� 34 3 26 , , 2 .a a ab

���������N�������������������"��������������������������������������'���������"������� �����������"������

���!3-/ ( )2,3,4 12,= ����

���� ���

��������"������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������"����������� 0a > ����� Nknm ∈,, ��������

���� .n kn m m ka a⋅ ⋅=

�������� .m m k

n kn m m kn n ka a a a⋅

⋅ ⋅⋅= = =

������ ������ ����� �������������� �

��������������������3

3 3 92 3 61 3 3 1 3 3 1242 2

3 3 3 ; 2 2 ; .3 3

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

2"����� ��(� 5 5 2 102 2 2 4 ;a a a⋅ ⋅= = ����� (� ( )23 62 2 4 26 .a b a b a b= =

2 6 6 122 2 64,⋅= =3 4 43 122 2 16,⋅= =

4 3 34 122 2 8;⋅= =

��!3-/ ( )6,4,3 12,= ����

12 26 ,a a=3 44 123 3 3 9 ,a a a⋅ ⋅= =

( )4 4 43 122 2 83 42 2 2 .ab ab a b⋅= =

Page 43: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� 6������������������������ 9 68 ����� 3 28 .

( ) ( )6 999 6 3 18 2 29 98 2 2 2 2 4;= = = = = ( ) ( )2 33 2 3 2 23 38 2 2 2 4.= = = =

.���������������� 9 68 ����� 3 28 ��������������������� � �� � 9 36 28 8 .=

+�������������������� 3 dhe 3,3 6 312 6 �����������'���������"�����������������������������

���������$�� � ����m

n m na a= � ���#�36 1

612 6 3 612 23 3 , 3 3 , 3 3= = = � � /���6 3 1

,12 6 2

= = � ���� ��36 1612 23 3 3 ,= = �� � �� � 612 6 33 3 3.= =

�� 0�������������#�����12 8 ;a �� 24 18 ;a ��� 8 2 4 .a b

��� 12:2 6 6:2 312 8 8:2 4 4:2 2a a a a a= = = = ������ 12:4 312 8 8:4 2 ;a a a= =

�� 24:624 418 18:6 3 ;a a a= = ���-�����/$/ ( )8,2,4 2,= ������ 8 42 4 2 .a b ab=

�� 0�������������#����� 6 4 ;a ��4 28 ;x y ��� 6 4 86 .x y z

������"����������#������� 0a > ����� Nknm ∈,, ��������

���� ���

��������"��������������������"�������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������

��������� ������������������� ��

�������������� n ma ����"�����������������������������������"������������������������������� � �� ����

,m n p= ⋅ �������������)��� 0,a ≥ � .n nm n p pa a a⋅= =

���� 2 22 , | | ,kn m k p pn k a a a⋅= = = �����)��� Ra ∈ �

���� ( )2 12 12 1, ,k pk pn mn k a a a+ ⋅+= + = = �����)��� Ra ∈

����������#� 6 35 5 125;= = ��� ( ) ( )6 3 3

9 33 1 1 1 14 4 64; .

2 2 2 8⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − − = − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��������:

: : : .m k m

n k nm k mn k na a a a= = = �������� ������ ����� �����������������

: : .n kn m m ka a=

0��������������������������������������������������������

Page 44: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� 0����������������#����� 54 4 5, ;x x �� ( )33 2 ;x − ��� 2 4 4.x x− +��������������

���⎪⎩

⎪⎨⎧

<−=

>=

0për ,

0për ,0

0për ,4 4

xx

x

xx

x �� � �� � 44 | | .x x=

�� ( )33 2 2,x x− = − �����)��� Rx ∈

��� ( )22 4 4 2 | 2 |x x x x− + = − = − =

�� 6�������������#����� ,5 dhe 8 66 �� ,3 dhe 4 43 ��� ,11 dhe 5 3

���������/������������������������������"�������������������������������������������������������������������������

���� 6 68 5,> ����8 5;>

�� N�������������������������#����� 3 3 310, 8, 43; �������� �� 3 63, 6, 37.

�� ���

� <�� ���� �5����������"

�(� 3 2; ����(� 2 ;a ���%(� 3 22 ;a b ��� (� 2 34 3 .a b

)�� ������������( )9 11 :−

�(� 3 62 ; �����(� 8 64; �����%(� 5 32; ����� (� 0,01.

�(�!3-/�( ) 12 433,4 12, 4 4 ,= = ��� 12 34 3 3 ,= ����� 4 34 3> �������� 3 44 3;>

� :������� ��� �������"

�(�329 ; ����(�

124 ;

−���%(�

1249 ; ��� (� 1,516 ; ����(�

238 .

� �� ���"���(�

1 20,52 31 1 8

2 ;4 4 27

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �� ���"���(�2 1 113 3 3;a a a

−⋅ ⋅ ���(�

11132 : ;b b b−⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� ������������������������"

�(�14 ;x �����(�

11322 ;a b ����%(�

21323 .a b

� ������������������������"

�(� 4 3 ;a ��(� 4 2 32 ;a b �%(� 3 2 ;b a⋅ � (� 32 2 .a a+

�(� 0,5 0,25 0,75 036 81 16 5,6 .+ − −

%(�

65

13

4152: : .x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

%(�!3-/�( )2,3 6,= ����� 6 3 65 5 125,= = ���� �6 23 611 11 121,= = ���������� 35 11.>

���������������� �� ���������������������� �( )7 8 :−

⎪⎩

⎪⎨⎧

<<−−−===−

>>−−=

2për d.m.th. 02për ),2(

2për d.m.th. 2për ,02

2për d.m.th. 02për ,2

xxx

xxx

xxx

�( ,6 dhe 2,3 63 �����(� , dhe , 8 243 2 ababa

%(� ,3 dhe ,2 8 54 36 2 yxxy

�( , dhe 6 54 3 aa ����( , dhe 2 6 53 2 abx

%(� ,3 dhe 2 6 23 2 baba

�� �(� 4 2 ;x �����(� 6 4 ;x �����%(� 6 3 ;x ����� (�12 8 .x

�(�12 6 3 ;a b �(� 4 2 225 ;a b

%(� 2 281 ;x y (� 12 9 364 .a b

��

Page 45: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�����$���������������

��������

G������ 3 2a ������� �������������������� �� �� �

������%������

A���$�"

�(�( )2;a b⋅ �(�( )2

: ;a b �%(�( )23 ;a b⋅ � (�( )

34: .a b

� + /��������������������#

!"������������������� ����������������������������������� �.���������������������������������

���������������������������������������� ��� ������������������������������������������������������

���������������

� ������#���� 3 8 64;⋅ ���� �� 38

.64

� ������#���� ( )3 27 64 125;⋅ − ⋅ � �� 532

.243

� )�� ������� �� �"���(� 9 6 33 ;x y z ����(�

63

36 3

8.

27

a b

x y

������������� 339 6 3 9 6 3 3 23 3 .x y z x y z x y z= ⋅ ⋅ =

� /������������������������������������������ �������#

��� ( ) 3 33 2 2;x x x x+ = ⋅ + ������� ��4

42 4 2

?1 1

x x

x x=

+ +

���/���)��� Rx ∈ �����������������"�����������������������������'���������)������������

��/�� 0,x ≥ �����������������"�������������������)'�������������'�����������������������"������ � �� ����������������������������������� ��� ������������

( )1 11

;n nn n nnab ab a b a b= = ⋅ = ⋅ Nnba

b

a

b

a

b

a

b

an

n

n

nnn ∈>≥==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛= ,0,0,1

11

6�����������"�������������������������� ����������������������

������"���������#

6�������"������������������������������������������������������������������������

��� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ ������ ��100 100

.25 25

=

��������������

Page 46: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� � 0����������������#������ 216 ;a b ��5 3

5 .32

x y

��������

��� 2 216 16 4 ;a b a b a b= ⋅ ⋅ = ��35 55 3 5

3555

.32 232

x yx y xy

⋅= =

0���'����������������������������"������������������� �������������������������

� �B������������������������������������#

��� 8; ����� �� 3 192; ��������� 4 11 ;a ������)�� 3 7 572 ;a b ��������� 24 16.a +

���������� ( )2 2 24 16 4 4 2 4.a a a+ = + = +

(����������������������B�������������������������,

E��������������� .n ma ������ m n> ����� ,m np r= + ��������� .np r npm ra a a a+= = ⋅ �/���������������

.n n nm np r p ra a a a a= ⋅ = ⋅

�B�����������������������������������#���� 4 35 ;a ������ �� 7 145 .x y

������������ 4 435 8 3 ,a a a= ⋅ ����� 35 8 4 3.= ⋅ +

� !������� ������ 212 2 3 2 3= ⋅ = ����������������������������

-���������������7�������'������������������������ � �� � 22 3 2 3 12.= ⋅ =

6�����'������������� ��������������� �����������������������

����� ( )0, 0 ,nA α β α β= ⋅ > > ��������� .nn nn n n nA α β α β α β= ⋅ = ⋅ =

����� 0, 0,α β> > ��������� .nnnα β α β= ⋅

�� M������������������������������#

����������)��22 27 4 27

3 .3 4 9 4

x a x aax

x x⋅ = ⋅ =

/�����������B�������������������������������������������������"���������������������������������������� ��� �����������"������������

������������� 3 28 2 2 2 2 2;= = ⋅ = ��� 4 4 411 8 3 2 3 ;a a a a a= ⋅ = ⋅

��� 3 2 ;x x⋅ ��������� ��2

4 ;a b

b a⋅ �������������� 3

13 ;

9a

a⋅ ������������)��

2 27.

3 4

x a

x⋅

Page 47: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� /����������������������������������������#

��� 3 5 ����� 4 3; ������ �� 32 3 ����� 3 25; ��������� 42 10⋅ ����� 43 2.⋅

���� ���

!���������'�����������������������������������'��������������"��������������������������������'�������'�����������������������������������

0���'����������������������������������������������������������������������������#����������������������������������������������'�������������������� �?�������'������������������� ����������������������������������������������������

������"������'��������������������������������������������������������

/������� ������������ 3 52 422 2, 3 , 4 ,

3ax a b a ���������������'�����������

���� ���

������������������'���������������#:� �!����������������������� ������������������������������� 7� ��!����������������������� �����������������������B������������������������� 4� �0��"�������������������"���������������������������������������������� ������

�� /������������� 18, �� �� ( )13 1, 0 ,a a a

a≠ ≠ ���� 2 242a a b ����������'�����������,

������������ 18 ������������'����������������� 218 2 3= ⋅ ����� �����������������������B�������������������������

��!�������������������������1

a����� �������������������������������

��� 4 2 22a a b ������������'�������������������"�������������������"���������������������������

���������������� �������7��� � �� ������������������������������"������������"�������������

�� !���������'����������������������#���� 48; ������ ��1

;2

���������3

2 .xx

��� 48 16 3 4 3;= ⋅ = ������ ��1 2 1

2;2 4 2

= = ��������� 2 2

3 3 3 32 2 2 2 2 3 .

x x xx x x x x

x x x x x

⋅= = = =⋅

����������������������'����������'���������������'���������������������������������� �?��

�������������� �������"������������������#� 23 32 2 2 3 .x x x

x x⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

������������� 2 23 5 3 5 45; 4 3 4 3 48.= ⋅ = = ⋅ = ��/��� 45 48,< �������� 3 5 4 3.<

��������

Page 48: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���� ���

.��������� ������ �������� '��������������������������������������'������������������ ����������

�� ���

� �� ���"��(� 16 121;⋅ ������(� ( )3 8 27 64;⋅ − ⋅

%(� 2 285 84 ;− ������� (� 519

7 .32

� �� ���"��(� 2 4 ;x y⋅ ������(� 8 124 81 ;x y

%(�15

510

32.

x

y

��&��������$� ��������� ������������"

��(� 108; ���(� 3 5 454 ;x y ��%(�3 5

4

12.

a b

c

� A���������$� ���������� ����� ������"

�(�3 2; ����(� 42 3

;3 2

���%(�1

;aa

���� (�3

2 .2

xxy

y

� 3���� �����������������������"

��(� 33 32 dhe 22 ���(� 33 27 dhe 55

�%(� 33 32 dhe 23

� �������������������� ����������"

�(�1

5 ;3

��(� 3 54; �%(� 2 53 ;a b � (�12

;abab

�(�1 1

2 ;2 7

+ � (� 3 24 8 ;a a− ��(�2

1.

a b

b a a−

� ����������� ���������������

��������

:���������������������������>

:������������� ��%� �������������"2 22 ; ; 0,25 ?a b xy y−

��������� ���������>

� � !������������'�����������#

��� 2 32

24 ;a

a⋅ ���� �� 8; ���������

1;

2�������)�� 250a

����������������

��� 2 2 2 3 33 32 2

2 2 14 4 4 2 4 2 ;

aa a a a a a

a a a a

⋅⋅ = = ⋅ ⋅ = ⋅⋅

�� 2 2; ���������1

2;2

������)�� 5 2.a

!����������������������������������������������������������'��������������������������� ������������

���������������'���������������#� 3 2 45 ; 7 ; 3 2a a b ab⋅ ⋅ ⋅ ������������������I��<������4

6��'���������������������������������'��������������������������������+�����������������H���7������

21�����I�

Page 49: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� 0��"��������������"����������#����� 8 ����� 32; ����� ��2

3�����

16 ;

6��������

2

a�����

2.

a

8 4 2 2 2,

32 16 2 4 2;

= ⋅ =

= ⋅ =

� 0��"��������������"����������#���� 3 16 ����� 3 54; � ��1 3

2 4+ �����

8 1;

9 3− ����

x

y����� .

y

x

��������

������ �� ��������������� ���������$�������������

� ���� ��� �������

�������������������� ������������

� �

1 12 1 .

2 2ab ab ab− +

0����������������1

2 3 3 3 1 3.2

− +

��������$��� ��������������� ��������#

1 1 12 3 3 3 1 3 2 3 1 3 3.

2 2 2⎛ ⎞− + = − + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

6������'�������������������������� ���������

����#��� ���������� �������������������"������

� ������������#�����5 5 7 20 2 45;+ − �� 3 3 33 5 8 27 .a a a+ −

���������+�������������������������������������������������������� �?��������������'��������'����

���������������������������������������"������

��� 5 5 7 20 2 45 5 5 7 4 5 2 9 5+ − = + ⋅ − ⋅ = ( )5 5 7 2 5 2 3 5 5 14 6 5 13 5;+ ⋅ − ⋅ = + − =

�� 3 33 33 3 3 33 5 8 27 3 5 2 3a a a a a a+ − = + − = 3 3 3 33 5 2 3 10 .a a a a+ ⋅ − =

� 0�����������������#����� 3 23 4;a b a

a b+ �� ( )3 3 3 3125 8 27 64 .x x x x− − −

/������� �����������#� 3 3 3 32 2 2 2 214 2 , 2 , 2 2 , 2

2a b ab ab b ab ab⋅ ⋅ ��������"������

6��'�������������������������������#� 2 14 , , 2 , 1.

2a b b

��������

2

2 2 3 6 16,

3 3 3 3 3

1 1 6 16 6 6 6 6;

6 6 6 6

⋅= = =⋅

⋅= = ⋅ =⋅

���1

22 2

aa= �����

2 12 .a

a a=

��������� �� ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 3125 8 27 64 5 2 3 4 5 2 3 4 4 .x x x x x x x x x x− − − = − − + = − − + =

�� �

Page 50: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

� 3��������������������� �����"���� ,8 dhe 2 ���� �� ,98 dhe 50,18 ������ . dhe , 3 2232

32

−− yxx

y

y

x

� �� ���"��(�8 2 6 2 8 18;− + − ���(�1

25 0,2 2 1 3 20;4

+ − ��%(� 6 6 94 4 2 9 3 8;− −

(�1

12 27 48;2

− + ���(�1 1

32 0,5 2 27 .3 8

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�������)��������)�$�'�����������������������

� + /�������������������� �����#����� 64 25 64 25;⋅ = ⋅ ���� ��100 100

.2525

=

!"������������������� �������������������� �6������������������������)'�������������� � ��

( )1 1 1

n n nn n na b a b ab ab⋅ = ⋅ = = ���������

1 1

1 .n n n

nn

n

a a a a

b bbb

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

������"�������������������������"�����#

6����"����������������'����

� ������#����� 2 3;⋅ �� 5 52 2 ;x x⋅ ��� 3 2 25 5: .x y x y

������������ ( )3 2 2 3 2 25 5 55: : .x y x y x y x y xy= =

����������� ������������ ���������������� ���������� ��� ����� ���"���� ��� ������ �/��������������������������������������������������������������������������������"�������������

��� �

� ������#����� 12 3;⋅ �������� �� 3 2 32 25 3 15 ;a a⋅ ����������� 48 : 3;

)��3

4 3 427 : ;3

aa ����������� ( )( )3 2 3 2 .− +

� �� ���"����(�2 36 3 25 2 9 ;a a a− + ������������(�4

3 34 4 2 33 32 22 3 2 .

b aa a b a ab a b

a b− − +

� �� ���"����(� 4 4 4 416 81 625 ;a a a a+ + − ������(�( ) ( )3 39 8 27 16 .x y y x− − −

/���)'������ . dhe 0,0 Rnba ∈≥≥ ����#

� n n na b a b⋅ = ⋅ ������������� .n

nn

a a

bb=

Page 51: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ( ) ( ) ( )4 3 63 4 12 12 122 2 2 2 2 2x x x x x x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

( ) ( )4 3 6 13 1212 122 2 2 2 .x x x x+ += = =

)�� ( ) 4 633 2 3 3 2 2 6

9 62 : 2a b

a b a b ab a b aa b

⋅ = =

2 2 2 6 66 65 6

1 12 2 2 2 .

aa a a a a a

a aa= = = =

� ������#����1

3 5 15;3

��� ��2 3 2

9 : 2 ;27 2 3

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�������� 32 12 4 ;a x x

a⋅ ����)�� 3 62 34 : 2 .a a

� � ������#����� ( )23 2 ; ��� �� ( )3

2 .a b

������������ ( )2 3 23 3 3 32 2 2 2 2 2 ;= ⋅ = ⋅ =

������"����������"�������������)'�������������� � �� � ( )1 1

.

m mm m n mn n n na a a a a⋅⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠���� ���

N�����'�����������������'���������������������������������������'������'�����������������������������"���������������� � ��

( ) Nnmaaa n mmn ∈>= ,,0,

� ������#���� ( )25 ; �������� �� ( )2

3 23 ;x �����������3

.a

abb

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

� ������#���� 3 ;a b⋅ ������ �� 3 42 2 2 ;x x x⋅ ⋅ ��������� 3 2: ;a a ������)�� 33 2 3 3 22 : .a b a b ab a b

N����������������"������������������������ �/�����������������������������������"����������������������������� ����������"�������������������������������������������������������"�������������

��������

������#���� 3 729 ; �������� �� 4 3 .ab

�������� �� ( ) ( ) ( )1

1 1 122 84 43 3 3 3 34 8 .ab ab ab ab ab

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

������"��������������"���������)'�������������� � �� � ( )1

1 1 1

.n

n m m m nn m m na a a a a⋅⋅⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� /�������������������� ������������� 3 664 64.=

�� ( ) ( ) ( ) ( )31 33 32 2 2 2 6 3 32 2 .a b a b a b a b a b a b b

⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Page 52: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���� ���

N����� ���������������������������������������� ����������������������� ���"������� ����������� � ��

.,;0, Rnmaaa nmm n ∈>= ⋅

�� ������#���� 3 8; ������ �� 3 43 5 2 ;x y ��������� 3 2 .x x

������������� 3 3 63 4 43 2 2 2 2 .x x x x x x= ⋅ = =

�� ������#���� 2 2 2 ; ��� �� 3 2 3 ;a a⋅ ������ 3 3 2 .a a a⋅

�� ���

� �(� 2 7 3 7;⋅ ����(� 8 18;⋅ ���%(� 3 2 6.⋅ ⋅

6������������������������� ( )1 10 :−

� �(� 5 ;a a⋅ ����(� 3 27 ;x x⋅

%(� 33 5 42 25 3 5 .a a⋅

� �(� 3 ;a a⋅ ���(� 2 33 42 3 ;x x y y⋅ ⋅

%(� 3 42 2 2 .x x x⋅ ⋅

� �(� 48 : 3; ��(� 33 54 : 2; ��%(� 2 3 29 : 2 .

75 2 3

⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �(� 3 4 : 2; ���(� 35 8 : 2; ����%(� 62 1 3

1 : 3 .3 3 8

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �(� 5 : ;a a ������(� 3 32 23 : ;a a ����%(�3

4 3 427 : .3

aa

� �(� 3 2: ;a a ���(� 3 62 34 : 2 ;a a ����%(� 52 23 : .a a a

�(�1

2 6 27 2 3 2 12 3 3;3

⎛ ⎞+ − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

�(� ( )5 50 10 18 25 98 : 5 2.− +

�(� ( )72 38 ;a b �����(�4

42 3

;3 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

����%(� ( )23 23 ;x

(�( )22 3 .+

(� ( )63 2 3 ;a b �����(

53

;a b

abb a

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� �(� 3 3 ; �������(� 3 4 3 ;a ������%(� 4 ;a a

(� 3 : ;x xy y xy ������(� 3 3 2 .a a a⋅

/����������������������������������������������'����������������������"�������������������������'�����������

Page 53: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��%���������������������������

��������

( ), 0 .m m k

kn n k

⋅= ≠⋅

( )2 , 0 .a a a a a⋅ = = >

( ), 0 .n na a a= >

� + ������� ������ �� �����10

2� ���

����5 2 ���������������������������

$����������������������'����#

10 :1, 41421 7,07108...;= 5 1, 41421 7, 07105.⋅ =

$����������������������������'��������������������'�������������������,

-�������10

5 2,2

= ⋅ �� � �� �����������������������������'�������������������������������

�"������������������������������������

���� ���

0���'���������������������������������������������������������������������������������'����������������������������������������������� � �� ������

� N�������������������������#�����4

;3

����� ��3

12;

4�������

2 2

.a b

a b

−+

��/��� 3 23 4 2 ,= �������� ������� ������ n na a= ������������������"����������� 3 2.

���( )

( )2 22 2 2 2

2

a b a ba b a b a b

a b a b a b a b

− ⋅ +− − += ⋅ = =+ + + +

( )( ) ( ) .a b a b a b

a b a ba b

− + += − +

+

/���������#�3 3 3

33 33 32 3

12 12 2 12 2 12 26 2.

24 22 2

⋅ ⋅= ⋅ = = =

6����� �����#� ( )2a b a b a b+ ⋅ + = + �������� ( )( )2 2 .a b a b a b− = − +

���������$���"������������������#����2

4 4 3 4 3 4 3.

33 3 3 3= ⋅ = =

!����������������������������������������������������

!��������������������������)�����������������������������'������������������������������'����������"�����������������������������������������

:������� �� ���� ������ ��%����� ����� ��� >

Page 54: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���� ,n m< �������������������������������'������������������������� ����������������������

� N�������������������������#�����5

;3 2

��� ��3

5;

49������

2 2

3

4;

2

a b

a b

−−

���)��3

4.

16

���2

5 5 2 5 2 5 2;

63 2 3 2 2 3 2= ⋅ = =

��3 3

3 33 2

5 5 7 5 7;

749 77= ⋅ = )��

3 2 33

33 3 34 2

4 4 4 2 4 44.

2 216 2 22 2= = ⋅ = =

���( )

( )( )

2

7 3 2 7 3 27 7 3 23 2;

73 2 3 2 3 2 9 2

− −−= ⋅ = = = −+ + − −

��( )

( ) ( )2 2

6 5 36 6 5 3

5 3 5 3 5 3 5 3

++= ⋅ = =− − + −

( ) ( )6 5 33 5 3 .

2

+= +

� N�������������������������#�������5 3

;5 3

−+

������� ��2 3 2

.4 2 3 3

++

��������� ��0�������������"����������� 4 2 3 3,− ����

( )( ) ( ) ( )2 24 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3 .+ − = − �6��#��

2 3 2 2 3 2 4 2 3 3

4 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3

+ + −= ⋅ =+ + −

( ) ( )2 2

8 6 6 9 4 4 3 6

4 2 3 3

− + − =− ( ) ( )

( )2 2

2 2

5 6 25 6 18 86 2.

32 274 2 3 3

−− + = = −−−

��������

( )( ) 2 2;a b a b a b− + = −

��������� .n n n nn m n m n m n m

n n n n nm m n m m n m n

A A B A B A B A B

BB B B B B

− − − −

− + −= ⋅ = = =

��������

���( )( )

( ) ( )2

2

2

32 2 2 23

3 3 3

24 42 2 .

2 2 2

a ba b a ba b a b

a b a b a b

−− −= ⋅ = + −− − −

����������/����( )( ) ( )223 2 3 2 3 2 ,+ − = − ����#

� N�������������������������� ( ), ,n m

An m

B> �������������������������������������"� ������

��������������������������������������������������

( )( ) ( )22 ;a b a b a b− + = −

( )( ) ( ) ( )2 2;a b a b a b− + = −

� N�������������������������#

���7

;3 2+

������� ��6

.5 3−

Page 55: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� �(�3

3;

18������ ��

4

6;

8��������

4 3;

a

a�������)��

5 3.

b

b

� �(� 1;

1

b

b

−−

������ ��2 2

;a b

a b

−+

����������3

.a b

a b

−−

� �(� 2;

2 2−��� ��

12;

3 3+������ 5

;2 3 2+

)�� 2 3;

2 3

−+

�������� 3 2 2 3;

3 2 2 3

+−

������ ;x y y x

x y

−−

'��2

.3 5−

�� ���

� �(� 20;

3 5������ ��

4;

8�������� 33

;11

�������)��3

4.

2

N�������������������������#

� �(�2

;b

b������ ��

25;

a

a��������

3 2

2;

4

x

x������)��

4 3

2.

x

x

������������%�����

��������

:������������ �� �� �������%����� ����� ��� ����� %������������ �� ���%����� ����� ��� ���� �� >

������ �������� 2, 3, 5 ?

) � �� �� �� �%����� � ���� ��� � ����� ������� �%��� �"���� ��� ��$���� �������$����� �������� ����$���� � � �� �� ����� ��� ����������� ��%��� ��� ��� �%��� ���%����� ����� ��� �

� � (�������������������������������������������"�� ���,

���1

;2

����� �� 3; ��������� 2 4 ;x y− ������)�� 2 ;a+

���3

;x y

xy

−�����������

4;

5��������'��

12 35 .a bc−

!�����������������������'������������������K������������������������������������������������������������������������������

� /�������������������������������������������#

��� 2 2;x x− − �������� �� 2 31 ;x x+ − ���������� ( )131 1 ?x x+ − +

��� 2x ��������������������)���������������� � �� � ( ), ,x∈ −∞ +∞ ������� 2x − �������������������

2 0, 2,x x− ≥ ≥ �� � �� � [ )2, .x∈ +∞ �/������ );,2[),2[),( +∞=+∞∩+∞−∞∈x

��� 1x + �������������� 1,x ≥ − ������� ( )1

331 1x x+ = + ���������������)������������

���

3;

1 2+ ����������� ��11 3

;3 5 2 3+ ������������ ;

a

a a− �������)��2 24

.2

a b

a b

−+

!���������������������������������

/�������� [ )1, .x ∈ − +∞

N�������������������������#

Page 56: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� (�������������������������������������������������������#

��� ;x x− ������ �� 33 ;x x− − �����������2

.3

x

x

−+

���� ����� ��� ��� ���������&������� ���$ ��(

�����������������������������������������������������������������������������"����������������

� (���������������������������������������������������#

��� 3 81; ������ �� 5 32; �������� 7 4; ������)�� 3 63 ?x y

�� 5 32 2;= ����)�� 3 6 23 ,x y xy= �����������������������������������

� (�������������������������������������������������������� 2x y+ ����������������������������

���������/��� 1, 4x y= = ���������� 2x y+ ��������������������� 1 2 4 9 3.+ ⋅ = = �/��� 4,x =

.�������������������������������'����������������������������������������������� �0���'�������������������������������� ����������"����������������������������

� 0����������������#������� 233 ;a a a a a⋅ ⋅ ���������� �� 2 31 54 ;x x x

x x+ +

���1 1

;2 3 2 3

++ −

���������)��5 1 5 1

;5 1 5 1

− +++ −

������������������� .a b

a b a b+

+ −

�� 2 3 2 21 5 1 54 2

xx x x x x x x

x x x x x

⋅+ + = + + ⋅ =⋅

( )2 1 52 7 ;x x x x x x x

x x+ ⋅ + ⋅ = +

�� ���

� :�������� ��� �� �������������� ��$�� ��� ���"

�(� 2;x + �������(� 22 1;x x+ − + ������%(� 3 5 ;x x− + − ������ (�1

;2

x

x

−+

��������(�2

.3

x

x

+−

� :���� ������ ��� �� � ���������������� �� ������� �� ��%����� "

�(� ;x x− �������(�5 5;x− ������%(� 22 ;x x− ������ (� 3 233 ;x x− ⋅ �������(� 3 38 ?x x−

�(� 5 52 3 ;x x⋅ ���(� 3 32 2 ;a b ab⋅ ��%(� 8 : 16; �� (� 3 32 4

36 : 2 ;3 3

���(� 3 : ;a b ab � (�( )332 4 ;− ���(� 3 2 6 .x x x⋅

)�� �������� �� ������ �������%�����%���� ���� ��������� �� ���%����� "

� �(� 60 3 135 10 15;− + ��(�2 75 3 48 5 12 2 3.+ − −

2"����� ���� 233a a a a a⋅ ⋅ = 33 6 6 663 4 4 5 3 12 2.a a a a a a a a a a⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

6����������������������������������������������������������������������������'������������������������������������

)�� ������� �� �� ( )4 6 :−

6y = ����#� 4 2 6 16 4,+ ⋅ = = ����

Page 57: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

����������������������������$��%�

�(���������� � ��D�������D= �(������ �� ���� 343− ������� 7;−%(��� ���� 3 8− �������������= (������ �������� �;:�������4>

:���� ������ ������� � ������������� ��"�

3��%������� ������������������ ���"���(� 32 3 ;x x+ + ������(� 22 2 ?x x− − +�

�� ������ ��� ��� �� �"���(� 3 53 25 2 64 32;− − + − ������(�2 1

0,5 3 39 8 125 .− +�

�� ��� �%��� �� ��������"���(�

31 12 2 2: ;x x x

−⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

������(�

2212 1 322 : .a b a b−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

������ ���������������������������"���(�1

23 ; ������(�21322 ;a b �����%(�

1

22 3 .x y+�

������ ���������� �� �� ���%������������"���(� 4 2; ���(� 3 4; ���%(� 3 22 ;ab �� (� 232 .x x y−�

�� �������� �� ���������������������� "���(� 3 2 2 26 4, , ;x xy x y ����(� 82 5 34, , .a a b a b�

G��������������������������������� 3 42, 3, 3.

������ ��������������� ������"��(� 200; ��������(� 5 73 8 ;x y ��������%(�6

53

.y x

x y

�� ������ ��� ��� �� �"��(�3 8 128 200;− + ��������(� 2 2 23 6 ;x y x y⋅ ��������%(� 2 34 : .a b ab��

�(�( )3 2 2 8 2;+ ⋅ ��������(�( )3 4 4 3 2 25 5 5: .x y x y x y−��

�� ��� �%��� �� ��������� ( )11 12 :−

�(� 3 3 ;a a ���������(� 23 ;x x y⋅ ����������%(�( )23 2 2 .a b ab⋅��

:����� ���� �� � ������������ �� ������� �� ��%����� "

�(� ;x x− ����(� 3 32 ;x x− ����%(�3 5;x x− ����� (� 3 38 ?x x−

��

G�%������$�� ��� ���� ���� ���"��(�26

;4 3−

���������(�5 3

;5 3

−+

���������%(�

2 2

.x y

x y

−+��

)�� ������� �� �� ( )15 4 126 11 .

6 1 6 2 3 6

⎛ ⎞+ − ⋅ +⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠��

3 2 6.

10 7 3 7 4 10− +

− − +�(� ;

a b a b

a b a b

− +−+ −

������(�5 3 2 2

: .1 11 1

x x x x

x xx x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟− −− +⎝ ⎠

� �

Page 58: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��������������#�������

� �� ���� ( )1

31 1x x+ − − ������������� ����������������������� �����"

�(�( )1, ;+ ∞ �������(�[ )1, ;+ ∞ ������%(�[ )1, ;− + ∞ ������ (�( )1, .− + ∞ :

� 0� �� ��� �� ��2

38 ������"��(�=H=�������(�:==������%(�H=������ (�7� :

� 3������������������� �� �� 3a a ������ ���� ���"��(� 6 ;a ����(� 6 3 ;a ���%(� 3 ;a ���� (� 3 2 .a :

� 0� �� ��� �� ���

211 2a a−⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠������"��(� 1;a− �������(� 2 ;a− ������%(��=������ (���� :

� ����� �� ��%����� ��� �� ���� ���"��(� 22 ;x x ����(� 22 ;x x ���%(� 33 8;− ���� (� 3 38 .x x− :

� ��� �������������� ����� ��������������������� ������� ��$�������� ����$����� nx a= ���������������������%���� �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� ��������� 7

� .������ ����%������%����� �� n a ���� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

G����� �������� ������� �IIIIIIIIIIIIIIIII�� �� ���������������������������$�����������������

����� � ��� 7

*���� ������������������������������������� ���������������� ������������ ��%� ���� ������ ���� �

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

�� �� ���"��21

0,5 3236 25 8 .− + 4

�� �� ���"��

21 3 3 1

2 2 2 21

2 .2

a b a b⎛ ⎞

⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

4

�� �� ���"��1

3 36 2 25 9 .3

a a a− + 4

�� �� ���"���(� 3 35 42 25 3 5 ;a a⋅ ������(� 3 2 34 : 2 .a a 4

�� �� ���"�� 2 2 23 3 .x x y y xy⋅ 4

�� G�%������$�� ��� ���� ���� ���"�����(�20

;5 5+

������(�3 2

.3 2 2 3−

=

Page 59: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�����* �������#����#�

2"������ ����������������� �6������������

����������������������������� �$ ����������� �����������������������

!���������������������������������� $������������������

/��������"��������������������������

$ ������������ ���������������������� ��������� ��������������

-����� �� ������� ��� ������������

.����������������������� ���'����

��

��

��

.��������������������� � ���

����

�)��

�)��

��)��

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 60: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

;��������� ������ �����������������������&7K8��9��5�������� �� C8L��������������������� ���������������� ��

� �%��� ����� ��� ��� ������$����������������������������������������������� �����������������

������

M �%�������$���� �����������������������>

�������� ��J�N������������ �������������� ���������������������������������������3���� ������� .52 N∉− �3 �

����� ������ � � �$�������� ���$�� � ��� ������ x a b+ = � ��� %����� ���� ����� � $������ � ����!� )�� ������� ����� ���$�� �

6 3, 3 1x x+ = + = � ���

O����� � ����� ����������������� ������������ ������ �����������������������������$�� �� ��� �@��� �� ������

� �������;��������� ���������� ������������ ������ ����������� ������� ��� �<���*�� �������<7K����#5��#9�#8��@��8��9�

5�����L�

�������������������������������������������2 3.x = �.��������� �������������"�������� �������

����������������

�������������"������������������ ����������'������ax b= �����������������"��������2���������������������������������� ��������2 �� � �� ������������������������������"������������������������

/������ ��������2��"���������� ������������������������1����

2"�������� �������2 3x = ���1�������32=x

�"������ ���#���������������(#���������������#����#��

.0,,/⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈= bZba

b

aQ

�������2 3x = �������"��������2,�

������� 2 3x = �������"��������1,�

������������������������������������������������ 2 3,x = �� � �� ���� �������������"�������� �������

���������������

���������������������"���������� ������������'������ ( 0)nx a a= > ��������������'������������������

��������������������������� ������������������������������������� .� �0�����������������

2 1,41421356 ,= � � 3,141592654 ,π = � � 3 1,7320508 ,= � ����

Q��� ������������������������������ �������������������������������� ����������������

���������������������N �.��������� .JQR �=

�)��

Page 61: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

0�����"���������� ������������������� ������������������������������������������������������������

���������� ���������������� ������

0������� �����������"������ �����#

��� 3 5;x + = ����� �� 3 1;x + = ��� 2 3 0;x − = ���)��� 2 5;x = ��� 2 1 0?x + =

������������� Nx ∈= 2 ,2 �.��������� ����������"������������������� .RQZN ⊂⊂⊂ �������"�����

������#�2��1�����N

/����������������������������"�������������� ����������������������� ��/�������"������"��������������

�������������������������#

+�� ��������������������K����� ������������*

,�� �������������������������� �������������������������������� 1;−/���� ���������� ��� ��������'���������������� ������������������������������� �������������

���������������������������������������� ���������������������������� ������

�������������������������������������������������������� � �� � 2 1.def

i = −

-�������� .RQZN ⊂⊂⊂

� /

��� .2

3 ,

2

3Qx ∈= � ����������"�������������N

���������� 2 1 0x + = ��������"�������� ��������������������� �/�������� ������������������'�������

��'����� 2 1,x = − ��������������������������������������������"���

1������������������������������������������'����'����������������������������������� ���� �����

�������������������������� 1,− �� � �� � 2 1.def

i = −

���� ���

�� ,2- ,231 Zx ∈−=−= � ����������"��������2�������������1�����N����������������G������� N∈− 2

)��1 25, 5; 5, 5x x= = − − ∈� ����� .5,5 Q∈−

��������������������������������������������������� ��������������"����������������������� ����������������"���������������'������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Page 62: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

!��������������������������������������������������������������"����#

��� ( ) ( )Re 4, Im 2;z z= = − �� ( ) ( )Re 0, Im 3;z z= =��� ( ) ( )Re 2, Im 0;z z= = )�� ( ) ( )Re 0, Im 0.z z= =

������������� 4 2 ;z i= − ������ �� 0 3 3 ;z i i= + = ��� 2 0 2;z i= + = )�� 0 0 0.z i= + =

/����������������������� z a bi= + �����������������#

����� ( )Im 0,z b= = � ������� Raaiaz ∈=+= ,0 !/���� ����� ���� ��� )��� ����� ����� ������ � ������ ����

����������� � �� � .QR ⊂ �/������������������������"�������� ���������������������������������������

(�����������������������"��������)�����������������������������������#

��� 2 3 ;i+ �� 4 2 ;i− ����� �����)�� 3 .i

���� ���

�������������� z a bi− = − − ��������������� ����������������� .z a bi= +�������������� z a bi= − �������������������������������� z a bi= + ����

�����������__

.z

�������� ��� ( ) ( ) ;z a b i a b i a b i z= + = − = + =

��� ( ) ( ) ( ) .z a bi a bi a bi z− = − − = − + = − − = −

!������������������������������������������"�������������#

��� 4 2 ;z i= − ���� �� 0 3 3 ;z i i= + = ��� 2 0 2;z i= + = )�� 0 0 0.z i= + =

������������������������������������ 4 2 ,z i− = − + ���������������������"����������__

4 2 ;z i= +

�� 0 3 3z i i− = − = − �����__

3 ;z i= − ��� 2 0 2z i− = − − = − �����__

2;z = ����)�� 0 0 0z i− = − = �����__

0 0 0.z i= − =

����� ,z a bi= + �0��"����#����� ;z z= = ������������ �� ( )__

.z z− = −

� !�� ( )Re 0,z a= = ��������� 0 ;z bi bi= + = ��������� 0,b ≠ ��������� bi ����������������������

$�"������������������'����0 0, 1 , 0 , 0 ,i i i a i a bi bi⋅ = ⋅ = + = + =

� � �� � 0 ,1 , 0 , 0i i a i bi+ + ��������������������� 0, , , ,i a bi �����������

N�������������������������������"������������������"���*������ ��� a ������������������

��"���� | | .a i ��.������������� 0 : | | .a a a i< =/������� ����� 4 4 2 ,i i− = = 1 1 .i i− = =

Page 63: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�� ���

� :������ �%����������������� �� ���������$�� �����

$������ "

�(� 10 5;x − = �(� 5 2;x + =%(�4 5 0;x + = (� 2 7.x =

� ����������������� ������� �����������"

�(� ( ) ( )Re 3, Im 12;z z= − =

�(� ( ) ( )Re 10, Im 0;z z= =

%(� ( ) ( )Re 2, Im 3;z z= =

(�� ( ) ( )Re 0, Im 4.z z= = −

� ��� � 2 5 ,z i= − ������#

�(� ;z ������������(�( ).z−

� ������� ������ ���� ��� ��� �������� �� � ��

����������������"

�(�2 3 ;i+ ����(� 32 32 ;i− − ���%(�7= �� (�I4 �

� ������� � ���� �� � �� � �������� � ��� �����

���� ��"

�(�1 3 ;i− ����(�3 32 ;i− �%(�5 ;i ���� (�=

���������������������������������������� ��� �������������������������������������

.���������������� ���� ��������� ��������������������������������� ����� ��� ��� ����� ����

���������"������������� ��� ���� �

/������������������������������� ������ 2 3 ?x i yi+ = +

��������������������������������������������������������������

���� ���

/����������������������������� ������ ( ) ( )2 2 3 2 ?x y i+ + − = +

���������������������������������������������2 3 1

.2 2 4

x x

y y

+ = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨− = =⎩ ⎩

��

!��������������"���#������ 9;− ��� �� 49.−

0����������#������ 81;− ��� �� 144.−

3�� %����� ����� ����� �� ��� ����� ��� ������ �������$�� "

��(�6 2 4 ;xi y i+ = +�(� ( )5 6 2 ;x i i yi+ + = +%(�3 12 12 ;x xi y iy i+ − = + − (��3 3 12 4 ?x yi xi y i+ + − = −

Page 64: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

0������ ��������������� ��� �����'�����

������ ���� ������� �� ��� ������

��������

���� ���

���������������������

�����������������������������

������������������������������'������������

�����#

�������

���������������������������������8��������

����

���������������������������������������8��������

���������������������������������������#

��� 1 2 3z i= + �� 2 3 2 ;z i= − ��� �� 1 4 2z i= − ����� 2 2 ;z i= ���� 1 3 6z i= − ����� 2 5.z =

������� ������ ( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 5 ,z z i i i i+ = + + − = + + + − = +

���������������������������������������#

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 1 5 ;z z i i i i− = + − − = − + − − = − +

�� ( ) ( ) ( )1 2 4 2 2 4 0 2 2 4,z z i i i+ = − + = + + − + = � ( ) ( ) ( )1 2 4 2 2 4 0 2 2 4 4 ;z z i i i i− = − − = − + − − = −

��� ( ) ( )1 2 3 6 5 3 5 6 8 6 ,z z i i i+ = − + = + − = − �� ( ) ( )1 2 3 6 5 3 5 6 2 6 .z z i i i− = − − = − − = − −

��� 1 12 32z i= + ����� 2 13 22 ;z i= − ������������ �� 1 4 12z i= + ����� 2 8 .z i= −

E���������� 1 22 3 , 8z i z i= + = − ����� 3 3 4 .z i= − �/�����������������������#

��� 1 2 2 1;z z z z+ = + ����������� �� ( ) ( )1 2 3 1 2 3 .z z z z z z+ + = + +�

.�������� ����������������������������������������������������� ������ ��� ������� ������ �������

�����������������������������"�����������������������������"�����������������������

����������������������������������������������������������������������'�������������������������������

�������������� �����������������������������������������������"�����'������������������������"�������

�������������� �������������"�������������������

����� ���� ����������������� ���

2 1.def

i = −

��������

:����������� ���� �� ����� �%������������� � ������

14 12 ?i−

:������������������� ��� ����������� �������

4 11 ?z i= +

3������������������������������ ��"

���2 6

;3 9

= ����������(�4 6

.2 4

=

� ����������� ���������������#����#�� �)��

Page 65: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

������� ����� 1 2 2 12 5 ;z z i z z+ = − = + ����� �� ( ) ( ) ( )1 2 3 2 5 3 4 5 9z z z i i i+ + = − + − = − ����

( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 3 12 5 9 .z z z i i i+ + = + + − = − �.��������� ���� ������ ��������� ��� ����� ������ �������

1 2 2 1z z z z+ = + ����� ( ) ( )1 2 3 1 2 3 .z z z z z z+ + = + +

O��������� ���������� �������������������������������������������������������� � �� ����

)'�������������������������������������#

1 2 2 1z z z z+ = + ����� ������� � ��������

( ) ( )1 2 3 1 2 3z z z z z z+ + = + + ���� ��������� ����

������� �

.4)22()33()23()23(

Re,6)22()33()23()23(

iiizz

iiizz

−=−−+−=+−−=−

∈=+−++=++−=+

�� ���������������

/��� )'������ ����� ��������� ,z a bi= + � �����_

2z z a+ = ������ ����� ������ ������ ������_

2z z bi− = ��������������"���

/������������������ 1 6 3z i= − ����� 2 1z i= − ����������������� �����

1 2 1 2 ?z z z z+ = +

������� �� ( ) ( )1 2 6 3 1 7 4 7 4z z i i i i+ = − + − = − = + ����� ( ) ( )__ __

1 2 6 3 1 7 4 .z z i i i+ = + + + = + �.������������

�������������������������

������� z z+ ����� ,z z− ����� 3 2 .z i= −�

�� ����������������

��������������������������������������������� 1 2 1 2 .z z z z+ = +

������#��� 4 1 25.− + − − −

������� �� 4 1 25 2 5 2 .i i i i− + − − − = + − = −

!�������������� �� �

6���� ����������������������)'�������������������

Page 66: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

����������������������������#����#�(�������������#����#��

��������

:������������������� ����������������������3 5 ?i−

:������������� �������� ���7��4���87��

���� ���

����� 1z a bi= + ������ 2 ,z c di= + ������������������������������������'������������������#

(������������������������������� 1 3 4z i= + ����� 2 3 5 .z i= −

�������������������������������� 1 1z i= − ����� 2 2 .z i= +

( )( ) ( ) ( )1 2 .z z a bi c di ac bd ad bc i⋅ = + + = − + +

��������� ( )( ) 21 2 3 4 3 5 9 15 12 20 9 15 12 20 29 3 .z z i i i i i i i i⋅ = + − = − + − = − + + = −

�� ���

� �

�� ���� ������� � �� � ���������� � �����

���� ��"

�(� 1 4 3z i= + ��� � 2 4 8 ;z i= −

�(� 1

2 5

3 4z i= − ��� � 2

1 3;

6 8z i= −

%(� 1 2 3z i= + ��� � 2 3 2 2 3 .z i= −

)���� ���� �� zzzz −+ dhe ���

�(�� 10 ;z i= + �������(�2 3

;4 7

z i= −

%(� 3 5 .z i= −

)������ ����������� ����$����

1 2 1 2,z z z z+ = + ���� � 1 23 6 , 3 5 .z i z i= − = +

��� � 1 3 4z i= + � �� � 2 7 8 ,z i= − � ���� �� ������ �

���������$����________ __ __

1 2 1 2.z z z z− = −

�� ���"

�(�� 25 36 64 100;− − − + − +

�(� 625 121 324 16.− + − − − + −

� ��� ����� ������ ��� ��� �����'�����

�������������������������?��������������������� ����� �����������

1z a bi= + ����� 2z c di= + ������������������

������"������������������� �������'������#

( )( ) ( ) ( )2 .a bi c di ac adi cbi bdi ac bd ad bc i+ + = + + + = − + +

�)��

Page 67: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

E���������� 1 22 3 , 8z i z i= + = − ������� 3 3 4 .z i= − �/����������#

�����⋅��

������

��⋅��

�������

��⋅��

���⋅��

��9��

��⋅���

��⋅��

�������������

�����

���⋅��

��9��

�⋅������

��⋅��

��������� 1 2 2 116 24 ;z z i z z⋅ = − + = ⋅ � 1 2 3( ) (24 16 ) (3 4 ) 72 96 48 64 8 144 ;z z z i i i i i⋅ ⋅ = − ⋅ − = − − − = −

/���� ������������������������������������� �����������������������������������������������������

� � �� ������������������������������� ����������⋅��

���⋅��

��9��

��⋅���

��⋅��

�� ����

1 2 3 1 3 2 3( ) (2 5 ) (3 4 ) 14 23 ; (18 ) ( 32 24 ) 14 23z z z i i i z z z z i i i+ ⋅ = − ⋅ − = − − ⋅ + ⋅ = + + − − = − −

1 2 3( ) (2 3 ) ( 32 24 ) 64 48 96 72 8 144 .z z z i i i i i⋅ ⋅ = + ⋅ − − = − − − + = −

6�������� �������������������)'�������������������,

.���������������������������������������� �����������������⋅����9���⋅��������⋅����

���� ���

O������������������� �������������������������������������������������������� � �� ��������

��������������)'����������������������������������

���⋅����������⋅��������� ������� � ���������

����⋅�����⋅����9����⋅�����⋅���������� ��������� ���� F������������ ����������������������������������� �������������������� ������ ��������

����������� ���������� � �� �����)'���������������������������������������

����⋅������������9����⋅��������⋅���������������������⋅�����9����⋅��������⋅�������� ������ ���� ����

���������� 2 2 2 2 2( )( ) ,z z a bi a bi a abi abi b i a b⋅ = + − = − + − = + ���� Rba ∈+ 22 �

������� z z⋅ ����������������

���� ���

/���)'�������������������� ,z a bi= + �������� z z⋅ ��������������� �N����������������������

������������������������������������������������� ������������������� �.��������

� �

2 2| | .z z z a b= ⋅ = +

������������� 2 21 1 1 2;i+ = + = ��� �� 2 22 2 1 5;i− = + = ������ 2 24 3 4 3 25 5.i− = + = =

����������������������������#�����1 ;i+ ������� �� 2 ;i− ����������� 4 3 .i−�

Page 68: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�������������������������'�����������������������������������������������������������������������������≠������.��������������������������������������������������������������������

�����������������������������"������������������������������ 1

2

z

z��������������� 2

2

z

z���������������������

��������'�������������� �/�������

12 2 2 2

2

( )( ) ( ) ( ).

z a b i a b i c d i a b i c d i a c b d a d b c i

z c d i c d i c d i c d c d

+ + − + − + + − += = ⋅ = =+ + − + +

���� ���

������������������������������������ ≠����������������������������������������'������������������#

12 2 2 2

2

.z a c b d a d b c

iz c d c d

+ − += ++ +

(������������#������3

;2 3

i

i

−+ ��������� ��

2 3;

3 4

i

i

+− ������������

2 3.

3 4

i

i

+−

������������ 2 2

3 3 2 3 6 9 2 3 3 11 3 11;

2 3 2 3 2 3 2 3 13 13 13

i i i i i ii

i i i

− − − − − − −= ⋅ = = = −+ + − +

�� 2 2

2 3 2 3 3 4 6 8 9 12 6 17 6 17;

3 4 3 4 3 4 3 4 25 25 25

i i i i i ii

i i i

+ + + + + − − += ⋅ = = = − +− − + +

���2 2

2 3 2 3 2 3 4 2 6 9 1 2 6 1 2 6.

5 5 52 3 2 3 2 3 ( 2) ( 3)

i i i i ii

i i i

+ + + + − − + −= ⋅ = = = +− − + +

0��"�����������������������������������������

������������������������ �����

1 2 1 2 .z z z z⋅ = ⋅

��������

1 2 1 2(6 3 ) (1 ) 6 6 3 3 3 9 3 9 ; (6 3 ) (1 ) 6 6 3 3 3 9 .z z i i i i i i z z i i i i i⋅ = − ⋅ − = − − − = − = + ⋅ = + ⋅ + = + + − = +

/���� �������������������������������������� ����������'��������� ������������������������������� � �� ������������������������������������������� ������������������

�� ����������������

�������������������)'������������������������������ 1 2 1 2 .z z z z⋅ = ⋅

Page 69: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

(�����������������������"����������������������3 3

.3 3

i iz

i i

− += ++ −

���������3 3 3 3 3 3 9 2 1 9 2 1 8 2 8 2 16 8

.3 3 3 3 3 3 9 1 9 1 10 10 10 5

i i i i i i i i i i

i i i i i i

− + − − + + − − + − − ++ = ⋅ + ⋅ = + = + = =+ − + − − + + +

.��������� ( )Re 8/ 5,z = ������� ( )Im 0.z =

-��������������������������������������������������������������������������������������K����������������������������������"���������������

�������( )( )( )2 3 2 3 2 3 .i i i− − −

����������( )( )( ) ( )( ) ( )( )22 3 2 3 2 3 4 6 6 9 2 3 5 12 2 3i i i i i i i i i− − − = − − + − = − − − =

210 15 24 36 46 9 .i i i i= − + − + = − −

���� ���

/���)'��������������������������)'���������������������'������������'��������#

�����herë

...n

n zzzz ⋅⋅⋅=

(�����'����� ni ������������"���������)������������������

���������/������"��������������������#

1 ,i i=2 1,i = −3 2 1 ,i i i i i= ⋅ = − ⋅ = −4 3 2 1,i i i i i i= ⋅ = − ⋅ = − =

5 4 1 ,i i i i i= ⋅ = ⋅ =( )6 4 2 1 1 1,i i i= ⋅ = ⋅ − = −

8 4 4 4 1i i i i= ⋅ = = ����

��

�� ������#������ 2;z � ��� 3,z ������ 1 2 .z i= −

������������ 2 2(1 2 )(1 2 ) 1 4 4 3 4 ;z i i i i i= − − = − + = − − ��� �� 3 2 ( 3 4 )(1 2 ) 11 2 .z z z i i i= ⋅ = − − − = − +

7 4 3 3 ,i i i i i= ⋅ = = −

/������"�������"���������������4

1 3 2 3 41, 1, , 1,

ii i i i i i i

i i− − − −= = = = − = − = = �����

/��� 0,n = �����������'���� 0 1.def

i =

/���)��������������������� { }, 1, , 1ni i i∈ − − ����������������� ( )4 0 3 ,n k r r= + ≤ ≤ ��������4 .n k r ri i i+= =

��� �

Page 70: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

�������� ������� ���� ������ �� �����

����������������������"

�(� 1 2 5z i= + ��� � 2 1 9 ;z i= −�(� 1 2 6z i= − ��� � 2 3 ;z i= −

%(� iziz 3223 dhe 32 21 −=+=

�� ������������ ����������� ��"

�(� 10 2 ;z i= − ����������(� 1 4 ;z i= −%(� 3 5 .z i= −

)��� ��� ����������� ����$����

1 1

2 2

,z z

z z

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

��� � 1 21 2 , 3 4 .z i z i= − = +

�� �������������"

�(��( )32 5 ;i+ ��(�( )4

2 6 ;i− �%(� 3( 2 3 ) .i+:������� ��� ��������������������������� "

�(���������� ������� ������������)������ ��

<����������$�� �� ��������� �����$������ �"

��($��#�86�7�@=������(�$��C�86�7�@�

����'����"�������#������������#����#�

��������

!����������������������%������� ������������

��������������� � ������ � ��������������� � ���

:��������������� ����� �!��"��� �#�

� +��� ����� ��������� ���� ������ �����������������������������������������������

.��������� ������� ������������ ������

�������������������������������������������

)'�����������"����������������������

��������������"�������� Rba ∈, ��/����������

����������������������������������������)'���

���"����������������������� �������������������)��)'�� � ���"������� � ������� ��� ��������� �� ����

������������������!

������������'��#�����( )21 ;i+ �� ( )8

1 .i−

������������ ( ) ( )( )2 21 1 1 1 2 ;i i i i i i i+ = + + = + + + =

��

�� ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )4 48 2 4

1 1 1 1 2 16.i i i i i− = − = − − = − =

/������� ����� 35 4 8 3 3 35 4 9 1 1; .i i i i i i i i⋅ + − − ⋅ += = = − = = =

/������� ����� 3 2 (3, 2);z i= − = −5 (0,5); 3 (3,0).z i z= = = = �F���������

(2,3) 2 3 ; (1,0) 1; (0,2) 2 .z i z z i= = + = = = =

1−

2−

:

7

4

1−2−

3− : 7 4

!

"

#

Page 71: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/������������������������������ ����������� �����������������������������'������������

-�����������������������������������������

��� �������������������� ��������������������

��"���������������������������� ��� �������������������� ������

�"�������������)���)'������"�������( ),a b ���������������������������� ( ),M a b ���������'�������������

����������������)������� ( ),N x y ���������'�������������������������������������)'������"�������

������������( ), ,x y �� � �� ����������������������������������������������������)'�����������"�������

������������������������"�����'��������������

/��������������������'������������������������������������������������������������������

�������������������������'������������ �6������������������)������������������������������������������� ( ),M a b � "�� ���'����������������������������� )������� ( ),N x y � �� ���'���� ���������� �

��������������������������������������������

!���������������������������

1 2 3 (2,3),z i= + =

2 1 (1, 1),z i= − = −

3 3 (3, 0),z = =

4 3 (0, 3).z i= − = −

���� ���

N��'��������������������������������������������������������������������$���� ��������� ��������������'������������� ������������� ������������������������� ����������

/�����������'������������������������������������� ����������� ����������� �-����������������������������������������� �������������������������������'����������������

P������������������������������������������������������������ ��� �����������������������������������

�������� ��� ������������������"������������� �� ������� � �� ��������������� �/����������� ������� ��

������� �

1−

2−

3−

4−

:

7

4

H

1−2−3−4− : 7 4 H

( )1 2,3M

1 2 3z i= +

( )2 1, 1M −2 1z i= −

( )3 3,0M3 3z =

( )4 0, 3M −

4 3z i= −

Page 72: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

-������'��������������������'������������������������� ���������������� ( ),M a b ������

��������� ��������� ���������������� .OM→

/���)����������������������������������������"�����'����������)�������"�����'����������

���������������������������������������������'����������������������������������������������������

����������������������������������������

/�����������'������������������������������#

(2, 2),a→ = ( 2,1),b

→ = − (1, 0)c→ = ����� (0, 2).d

→ = −(��������������������������������������������,

������� ��N����� ������� a→

� �� ��������� ���� 1 2 2 ,z i= +

������� b→

������������ 2 2 ,z i=− + � c→ ����� � 3 1,z = ������

d→

���� 4 2.z i=−

6������������������������������������������������� �$�"��������)�������"�����'�������������������

��������������������������������

-���� ��� ����� ������ ��� ��� ����� �� ������

������������������������������"�����������

��������������������������� ������������)'��������"���������� ��������� #����������������

��������� ������

�"������������������ ������ �������������������

�����������������������������������������

��� � ���� �������� �� ��������� '��� �� �����

������������)'������"��������� ��������#� #�������������������������'����������������

���� ���

/���������'�����������������������������������������������������������"�������������������������� ���������������������������������������������������������������������������������������

�������������������'����������������

1−

2−

3−

4−

:

7

4

H

1−2−3−4− : 7 4 H

( )1 2,2M

1 2 2z i= +

( )2 2,1M −2 2z i= − +

a→

b→

c→

d→

3 1z =

4 2z i= −

������� ��

1−

2−

3−

4−

:

7

4

H

1−2−

3−4− : 7 4 H

( )1 2,3M

1 2 3z i= +

( )3 2, 3M − −

3 2 3z i= − −

( )2 2, 3M −

2 2 3z i= −

Page 73: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

3��������������������� ����������������� ��"

���9�78H ������9�:�I ������9�7�= ���� ������9�4� �

:���������������� ������%��������� ���������

��������� ��������������� � ���'9�8(��'#9�5(�

'#9�#5(��'4�@(��'@�9(����� �����������������������

���� ���

:����� $ �� ��������������������� ����� ��

������#�� ��������C�� �������#����� �������������� ��������������������� ���

:����������� ���$��� ������ ��� � ��� ����������

������ ���� ��� ��� �������� � $ � � �����

( )3, 1x + − ��� � ( )2,1 .y+

��������

0 ������������ ��� � ����� ���� ������ ���������

��� ��������

� ����������� ���������������#����#�������������������#������

��������� a b→→ − ���������%����� ����� �� ����� a

→�

�������� � ������ � �������� ��� � ������ ,b→

� �������

( ).a b a b→ →→ →− = + −

�� �����������������

������ ��

������� ���

���������

�� ����������������������������������� �����������

������ ��!������������������������������������������������������������������������

������

�������������������������������������������

� +���������������������������������

������������)'�������"����������������

����� ��� ������ � '����� ������ ��������� ���

������������������)'�����������"��������� �������

���'����#

� �������� ����������� ��������

?�������� ( ),OM a c b d= + +→

����������������������������

���������������������� � �� 1 2 .OM OM OM= +→ → →

?������

�������������������������������� ��������������������

���"���������������"����

$�� ( )1 ,OM a b=→

� �� �������� ������ ������

��������� ��� ����� ��������� ���� ������ ��

( )2 ,OM c d=→

������������������������������

������������

��

��

'

()*+ �

a→

b→

a→

b→

ab

→→ + a

b→

→ +

Page 74: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�������� �������'������������������������������������������)'�����������"��������� �����������

'����#�� �������� ����������� ��������

� �����������������������

���������������������������������������������������������

�������������������������������������������

G����������������������������������� �������#����$��� �����������������������������������

�������������������������������������

/���)'�������������������������������

����������������������������������

������� ��!�����������������������������������������������������������

���������������������� ��������������������������������� �$���������������

��������������'���������������������������������������

������������

��#���������������������������

��������

������ ����� ����� �� ��������������������� ������������������ ���� ���������� �������� ����$ ���� �$ ��� ����

������� ��!�����������������������������������������������

�������������������������������������������"�������������

���������������������������� �/�����������������������������

!���������'����������������������#

���������������������������������������������������������������������������������������

���'�����������������������'����������������������������� �/������

������ �� �������� ��������� ������ ���������� �� ������ ���������� ��� �

���������������������������� 1z ����� 2z ������������������������"�����

�����������"����

.�����������������������������OM→

���������� ������������� 1 2 ( , ).z z a c b d+ = + +

$������������������������������� ������

�� ����������������� �/������������������'�������������������

���������� ,OM→

�� � �� ��������� ������ ( , ),M OR RM ����

2; .OR OQ QR OQ OP a c RM RN NM RN PM b d= + = + = + = + = + = +

��"�� �������������������������������������__

.z

a−

b−

1−

2−

:

7

4

H

1− : 7 4 H

��

��

� ��8�� � �

Page 75: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

E�� ��� ����� 1OM→

� ���������������������� ��������������� ���������

2OM→

� ������ ������� ��������� � ����� ��������� � �� �?������

1 2 2 1,OM OM M M− =→ → →

����������� 2 1M M→

��������������������� �1�

���'���������������������������������������������������������

�������������������������������� �/��� 1 2 1 2( ),z z z z− = + − �������

1OM→

�����K�� �����"�������������������������������� 2,OM→

����

�/����������������������������������� ����� ��

�������������'����������

1 2; ,ON M R a c NM RM d b= = − = = −������������ ������������ 2 1M M

→� ���� OM

→���� ��� ��� ������� � �� � OM

→������ ������������� ��������

1 2.z z−

$�� � ���� �� ���������� ���������� ��� ������� ��������� �����

������������������������������� ���

�����#���

������� ��/���� 1 2 1 2( ),z z z z− = + − ��������� �������������������

������������� ��#�

����#�C����/��������������������������������������������

���������������������� �������������������������������������� �$���������������

��������������'���������������������������������������#

������

����������������#���������������������������������

. � $�������� � ������ �� � ������ � ��� �����

���� �������� ���� ���������� ����������������

����� "

�(��������������� ��������������(�������������� �����������%(����������� ������������ (��

�������� ��

��������

�(� .8

3

6

1 dhe

4

5

3

221 iziz −=−=

(����������� ���

������

. � $�������� � ������ �� � ������ � ��� �����

���� �������� ���� �� , dhe zzzz −+ ���

�(��������������(�2 3

;4 7

z i= −

%(� 3 5 .z i= −!������������������ ����� ������ ��������

��������� ����������� �������������� ����

������ ��������� ��������������>

�� ���

� �

1−

2−

3−

:

7

4

H

1− : 7 4��

�I

������ ��−��

+

�*

��

��

'

(1z

2z

2z−

�$

������� 1 2( ) .OM OM OM+ − =→ → →

Page 76: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��������

3�� ������ ����� ���� ��� ,z a bi= + �������

z z⋅ ������ ����� ����G����� ���� � � ����� ����

������ ��� � | |z ��� ���� ����������� ��� ������#

��� � ����������� ����

*�� �������2 2| | .z z z a b= ⋅ = +

:������������� ����������� ��� 1 3 4 .z i= +

����������������������������������

5���������������� 2 2 0,a b+ ≥ ���������������'������������������������������������������������

���"������ � �� � | | 0.z ≥ �$�"��������� 2 2| | 0z a b= + = ������������������������������ � �� �������

����������������������/��"�������"������������������������������������������������

� 2 2| | ,OM a b= +→

� � �� �"��������������������������������������������������������

������������������������������

����������������������������� 1 2 .i− +

��������� 2 21 2 ( 1) 2 5.i− + = − + =

���������������� � �� ������������������������������������������� 2 2 2| | 0 | | .x x x x= + = =

���� ���

$������)����������������������������������� ������

E��������������������������������������� �(�����������������#����������������⋅����������1

2

.z

z�

���������!��������������������#����

⋅��������������⋅��������������������� 1

2

2 3 3 2 13.

3 2 3 2 13

z i i ii

z i i

+ += ⋅ = =− +

/������� 2 2 2 21 2| | 2 3 13; 3 2 3 2 13;z z i= + = = − = + =

2 2 2 211 2

2

12 5 12 5 13; 0 1 1.z

z z i iz

⋅ = + = + = = = + =

�����������������������#����#�� �

�| |z

Page 77: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

E�������������������)'������������������� �6������������������ ������#

1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅

����������/��� | | ,z z z= ⋅ �/��'���������2| | .z z z= ⋅

/���� 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2| | ,z z z z z z z z z z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ���� � ���� �� ������ ������������������������ '�����#

2 2 21 2 1 1 2 2 1 2| | | | | | .z z z z z z z z⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ �/������� 1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅

��������������������������������� 1 2 1 2| | | | | |z z z z⋅ = ⋅ ����������1 1

2 2

| |.

| |

z z

z z=

.��������������������������������������������)'�����������������������������

-������������������������������������������� �������

/���)'�����������������������������������≠�� ����"�����1 1

2 2

| |.

| |

z z

z z=

���������/��� 11 2

2

,z

z zz

= ⋅ ����� ���������������������������������������������� 1 11 2 2

2 2

.z z

z z zz z

= ⋅ = ⋅

/����������������������������������������������� ����������������

���� ���

/���)'�����������������������������

�������������� ������#

1 2 1 2| | | | | |z z z z⋅ = ⋅ ����������������1 1

2 2

| |,

| |

z z

z z= ������≠ 0��

���� ���

/���)'���������������������������)'�������������������������� .nnz z=

-������������������������"�������������������������������"��������������������������������

�������� �/�������� 1 2 1 2 .n nz z z z z z⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅� �

��������9��

��9�� � � �9��

��9������������ �����������'����� .

nnz z=

E������������������������������������ �(��������������������������#������������������������������"

/��������������������#� 1 2 1 2 1 2| | | |, | |, | | | | .z z z z z z− + −� .

Page 78: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���������� 2 2 2 21 26 8 6 8 10; 4 3 4 3 5.z i z i= + = + = = − = + =

������

������������������������������������������

�����

�������������������������������� �0��

2 2 2 21 2 1 210 5 10 5 5 5; 2 11 2 11 5 5.z z i z z i+ = + = + = − = + = + =

.������������������#����������������� �������������������

-������������������������������������������

��������������� ������#

1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + �������� 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +

.������'�����������������������������������������)'����������������������������

����������������

���� ��������#

���������!������#� 1 1 2 2; ;z OM z OM= =

/���� 1 2OM MΔ ����� 1 2 1 2,OM OM M M< + �� � �� � 1 2 1 2,OM OM M M− < ����� 1 2 1 2.M M OM OM< + �/���

������ 1 2 1 2 1 1 ,OM OM M M OM M M− < < + �� � �� � 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− < − < +

1 2z z OM+ = � ���� 1 2 2 1.z z M M− = �.���� ��� ������ �� "�������� ��

)'��������� ������ ��� ��� ���������� ��������� �������� ���"������� �

������������� �/���������������� � ����� 1 1 .OM OM M M< + /��

2 1 ,OM M M= ����

1 2 ,OM OM OM< + �� � � 1 2 .OM OM OM− <

.��������� 1 2 1 1 ,OM OM OM OM M M− < < + � � ��

1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− < + < +

1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + ������1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +

0���� ����������������������%< &���� ����������������% =&�������������������� ������

�� ���

�������

���� ���

/���)'��������������������������������������������� ������#

:������������� ������ ����� ��"

��(���������������(�������������%(���������� (��������������(������������������� (���������

�� ���

� J��������������������������� ��

����������� ���

�������� ������ "

1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | |z z z z z z− ≤ + ≤ + �������� 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | | .z z z z z z− ≤ − ≤ +

�(���������(�������%(���⋅������� (�1

2

;z

z������(� 2

4

1

.z

z

$�

��

��

Page 79: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

:������������� ����������� ��"

�(�3

64

(1 2 )(1 2 ) ;

(1 )

iz i

i

−= ⋅ ++

�(�2

3 4

(1 3 ).

(1 2 ) (1 5 )

iz

i i

−=− ⋅ −

:������������� ����������� ��#

�(�2

2

(2 );

(1 )

iz

i

−=+

������(�5

1 3;

(2 4 )

iz

i

+=−

$���5

6.

(3 )

iz

i=

+

�:��������������� �������� �2

Re( ) ,2

z = ����

| | 3.z =

� �

!��������������� ���������� �� "

�(�������� ����� ��������������=

�(��������� ����� �������������>

����������������������������$��%��

�� ������ ��� ��� �� �"��(� 2 3 20;i i i i+ + + +� �(� 2 3 20

1 1 1 1.

i i i i+ + + +�

�� ������������� ����������� ������ ������� ������� "

�(�����9�H84 ���

��9�:�4 * �(� 1 22 3 5 , 3 2 5 5 .z i z i= + = −

����������������� ������� �����������"��(�G '�(7�#8@�����'�(799=

�(�N����9�#:D7���R����97I* %(�N����977I���R����9�#4* (�N����9:���R����9�#:

�� �������������������� �� ����� ������ ������� ������� "

�(�����9�:�4 �����9�78H * �(� 1 23 2 2 , 3 2 3 .z i z i= − = −

�� � �����$������� �%������������� ����������� �����������"

�(��7�8� ��* �(��:��H ��* ����%(� 2( 3 3 ) .i+

)�� ������� �� �"��(�� 22 3(2 ) (4 ) (1 ) ;

6 8

ii i i

i

− + + ⋅ − − −+

�(�3

2

(1 2 ) (3 3 ) 5.

(3 4 )

i i i

i

+ + + ⋅−

� )6*

� )6*

� )6*

� )6*

� )6*

� )6*

?�������������������� �������9�:��7 �:��������������� ������������ �����������N���⋅����9��H���

1

7Im .

5

z

z

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

� )6*

3�������������� ����$����"�( ) ( )6 6

3 3 128.i i− + + = − )6*

���������� ��������H�7 ����

��487 ����

��:�4 ����

���H���

��H ����������������������� ���� "

�(�� ��������������= �(�� � $ �� ����

)

. �$�������� ������� ��� ������ ��������� ����� ������ ������������� ����������� ������ ����9�:8

�� ����9��78H

�� )

. �$�������� ������� ��� ������ ��������� ����� ������ ����������� ������ ����9�:84 ����

��9��:�H ����

���9�7�I

�� )

Page 80: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������������#������

�������� ������������������������9�7���4 ������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIII�

0� �� �������������������"��(� := �(�:= ������%(� = (�� �

����������9� �84 ���� ���

��9�:��� ��������������������� ��� ��� ����� �������"

�(���9�:�����9�:= �������(���9�4�����9�:=������%(���9��4�����9�:= �������� (����9�4�����9��:�

��� � 1 1 1 2 2 2,z a b i z a b i= + = + ��� � 3 3 3 ,z a b i= + ����� �"

( )1 2 3Re ____________,z z z+ + = ���� � ( )1 2 3Im ____________.z z z+ + =

�� ����7 ⋅P�78I �8�:� �S������� ���������� "

�(�7 ⋅�78I �8�:� �=�������(�7 ⋅�78I �87 ⋅�:� �=���������%(�7 ⋅�48H �= ��� (���78I �87 ⋅�:� ��

.������������������ ������������ �������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�

)�� ������� �� ��8 8(1 ) (1 )

(1 ) (2 3 )

i iz

i i

+ − −=+ − −

��� ��������� ������������ �����

:�������������������������� ������������� 74z z⋅ = ��� �� ���� ��� � �� ��� ��������� �����

�����������

.��������������������� �������������� � $ �� ������������������� ��������"

�(�� �������� $ �� �����= �������(����������� � $ �� �����=%(�������� � $ �� ������

��� �N�����9��H��� �R�����9�4������ ����������� �����������"

�(���H�4 = ��(����H�4 =���������%(�����H84 = �������� (�����H84 �

. � ���������������� ����������� ����������������� ��>

. � ����������������������������������������������� ����� �������� ���>

:������������� ����������� ��������� �( )

( )

5

24

3.

32 3

4

iz

i i

−=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

:� )6*

� )6*

:

� )6*

:

� )6* :

� )

:

� )6* :

� )6*

:

)6* :

) :

�� ) :

�� )6* I

�� )6*I

�� ) I

. �$�������� ������� ��� ������ ���� ������������� ����������� ������ ��������������� �����:�H

�� )I

Page 81: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�����+ ��������#������

6��������� ������������ E�������� �����������������

2"�������� �������������������� ������� �

2"�������� ������������������������

.�����������"��������

������� �������

2 ����� ���������������

��

���

.��������������������������'���� ��

E��������������"��������������'���������� ������������ �

2 �����'�����������-���� ��

.���������������������� ����

���� ��� �������� ���� �

1 2

bx x

a+ = − 1 2

cx x

a⋅ =

2 0ax bx c+ + =

2

2

4

2

b b acx

a

− − −=2

1

4

2

b b acx

a

− + −=

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 82: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

(��������'�������� ������#

��� 25 6 4 0;x x− + = �� 25 2 0;x x− + = ��� ( )22 2 3 1 0.x x− + − =

#��������� �������#�����(������� ���������#�������

��������� /����� 2 21

2 3 5, 42

x x x x+ − − +

��������������������������������������� ������ 2 0ax bx c+ + = ��������#

2 3 0, 3 5 0,x y+ = − = � �� ���"����� 0ax b+ =���� �����������������������������

������ ������ ������������������ ���� ���������

23 4 5, 2 3x xy xy x+ + + − �������������������������

��������

���� �� ���"������ 2ax bx c+ + � ������ ������

��������� ��� �������� ��������� ��� � � �� � ������� ����

����������������� ������������������'����� ������������

/��� ���� ����� 2 23 4 1 0, 5 2 3 0x x x x− + = + − =���� ��������������

���� ���

�������������� 2 0,ax bx c+ + = ������������������������������ ��������������������������

��������� 0a ≠ ����������������� ����������� ����������

$������� ������ ������ ����������� �� ������ ������ ������ �� �� ������ � ��� � /��� ���� ����� � ��� �����23 5 4 0,x x− − = � 23x ��������������������� 5x− ������������������������� 4− ����������� �������� ������

�����������'�������� �������������

/������� ����� ������ 23 2 0x x− + = ����'���������#� 3, 1a b= = − ����� 2.c =

( )2

2

2 2 3 1 0

0.

x x

a x b x c

− + − =

+ + =

2

2

5 6 4 0

0

x x

a x b x c

− + =+ + =

2

2

2 5 0

0

x x

a x b x c

− + + =+ + =

�� � ��

5, 6, 4;a b c= = − = 1, 2, 5;a b c= − = = ( )2, 2 3 , 1.a b c= = − + = −

-��������'������������������������������������������������������

(��������'�������� ������#�

��� 23 5 6 0;x x− + − = �� 22 15 0;

3 2x x− − + = ��� 23

0,5 0,1 0.2

x x− + =

6����� 0a ≠ ����������������� ��������������� 0,a = ��������� ��������������������� �/������� ����

�������� 2 20 3 4 0, 0 5 6 0x x x x⋅ − + = ⋅ + − = ���������������

Page 83: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� 6����� 0 ,,, ≠∈ aRcba ������������������'������������������������ ��� ������������

(��������'�������� ������#

��� 23 4 0;x x+ = �� 22 5 0;x + = ��������� 25 0.x =�

������������ 3, 4,a b= = ��������������"������������ 0;c = �� �� 2,a = ��������������"�����������

0b = ����� 5;c = ����� 5, 0, 0.a b c= = =

(��������'�������� ������#

��� ( ) 23 1 2 3 0;x− − = �� ( )22 3 3 1 0;x x+ − = ��� 23 0.x =

���� ���

����� 0b ≠ ����� 0c ≠ ��"�������� 0a ≠ ����������� ������ 2 0ax bx c+ + = ������������������� ��� ���

�����������'��������� 2 20, 0; 0, 0ax bx b ax c c+ = ≠ + = ≠ ��������� 2 0ax = ������

����������� �������� ���� �

�����������������'�������������������� �������� 2 0ax bx c+ + = ����������������������������������

�� ����������������������� ������������� ������������������� �� ������� �����

/��������������� ����������������������������������������������������������������

/������� ����� ������( ) ( )22 2 3 2 0, 2k x k x k p k− + + − + = ≠ ������� ���������������������������������

���'���������#� ( )2, 2 3a k b k= − = + ����� 2 .c k p= − +

(�������������������������� ������ ( ) ( )22 1 3 2 5 0m x m x m− − + − + = ��������#����������*

��������� 2 0;ax c+ = ������������������� 2 0.ax bx+ =�

���������6��'�������� ����������#� ( )2 1, 3 2 , 5.a m b m c m= − = − + = − +

����������������������� 0,a ≠ �� � �� � 2 1 0,m − ≠ �������������1

.2

m ≠

��0�� ��������������������������������������������� 0,b = �� � �� � ( )3 2 0.m− + = �/���������������

2,m = − ����� ������������ ( )( ) ( )22 2 1 2 5 0,x⋅ − − − − + = �� � �� � 25 7 0.x− + =

���������������� 0,c = �� � �� � 5 0,m− + = ������������� 5,m = ������� ������������ 29 21 0.x x− =

/����������������������������� ������ ( ) 23 4 2 0k x x k+ + − + = ������#

���������*������������ ��������� 2 0?ax bx+ =�

Page 84: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� ������� 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ �������������������� �������� ������������� �$���������������

���������� ����������������'������������"������� �/����������������)��� �������������������

���������'����������"�������

0���'����� ��������'����������"���������������������'����������#

��� ( )2 1 3;x x x− = − �� ( )( ) ( )3 2 1 3 ;x x x x− + = −

���( )22

2;2 3

x xx −− + = )�� ( ) ( )2 23 10 1 2 .x x− = − −

���������1���������'�������� ��������'����������"�����������������������������������������������

�����������"������

��� ( ) 2 2 22 1 3 2 2 3 2 2 3 0 2 3 3 0;x x x x x x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ − − = = ⇔ − + =

2, 3, 3.a b c= = − =

���( ) ( ) ( )2 222

2 | 6 3 2 2 2 12 2 18 0;2 3

x xxx x x x x

−− + = ⋅ ⇔ − + − = ⇔ − − =

2, 1, 18.a b c= = − = −

)�� ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 10 1 2 6 9 10 1 4 4 5 10 0 2 0;x x x x x x x x x x− = − − ⇔ − + = − − + ⇔ − = ⇔ − =

1, 2, 0.a b c= = − =

��������������������� 1a = ��������������������������������������� ����������������������������

�� 2 0.x px q+ + = �/������� ����� ������ 22 6 5 0x x− + − = ����������������'������������������

������������������������'������� � �� ���� 2,− ��������#

� ( )2 22 6 5 0 / : 2 3 2,5 0.x x x x− + − = − ⇔ − + = �$�"�������� 3, 2,5.p q= − =

!����������'����������������� �����#

��� 23 6 5 0;x x− + = ������� �� ( ) ( )( )2 3 1 2 0;x x x x− + − + = ���������� ( ) ( )( )22 3 1 2 7.x x x− + − + =

��������

3�� 3,x = � ���$���� 2 6 0x − = ����� ������ � ������������

���������%������� �����������{ }6, 1, 1, 3, 3, 8− − −������������ 2 5 6x x− − ������������������ �$ ��

� 5���������� ������������2 2 3 0.x x− − =

����� { }2, 1,1, 2,3 ,x ∈ − − �?������� ������������� �� � ������������� ������������������������� �����

��������������

$�������������������������������� 1x = − ����� 3x = � ������������� ��������������������

Page 85: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���� ���

-��������������������������������� ������ 2 0ax bx c+ + = �������� ��������������������������

��������������������� ������

�� !���������������������#�1

1, , 0, 1, 23

− − ���������"�������� ������� 23 2 1 0.x x− − =

�� /������������������������������������������"�������� ������

� ( ) 22 2 3 0?k x kx k− − + − =���������$��������������������� ����������������( ) 22 2 2 2 3 0k k k− ⋅ − ⋅ + − = ⇔

4 8 4 3 0 5 0 5.k k k k k⇔ − − + − = ⇔ − − = ⇔ = − �.������������� 5k = − � ������������������

'������� 27 10 8 0,x x− + + = ��� � �� � 27 10 8 0,x x− − = ������� 2x = ���������"����������

�� 5���������� ������( ) 2 12 1 3 2 0, .

2m y y m m− − + − = ≠ �(���������������������������"��������

���������������#����� 1;y = ������ �� 2.y = −

�� ���

:���� �����$�� � ������������������� "

�(� 23 2 5 0;x x− + = �(� 25 0;x x− =

%(� 20 3 3 0;x x⋅ + − = �������� (� 220;

3x− =

�(�( ) ( )21 2 3 4 0k x k x− + − + = ��� 1?k =

� :������� ��%� ������������ �+�������$����"

�(� 23 2 3 0;x x− + = ���(� 2 2 3;x x− =%(� 28 ;x x= ���� (� 26 0;x = �����(� 22 3 0;x− − = (�( ) 22 3 2 0.k x kx k− + − + =

� /��� ���� ������ ��� ��������� � � �� ���$���

( ) ( )22 3 2 1 0k x k x k− + + − + = ������"

�(���� �=����������(�����=

%(���������� 2 0;ax bx+ = (���������� 2 0;ax c+ =�(���������� 2 0?x px q+ + =

� /�������������������������������$��������������

���� �������"

�(�( ) ( ) 23 1 2 1 5 ;m y m y m− − + =

�(� ( ) ( )22 1 2 3 0?my m y m y− + − + =

� /��� ���� ������ ��� ��������� � �� ���$���

( ) ( )23 2 1 2 1p t p t p− − + = − �������� ��"

�(�������������������� 2 0;ax c+ =�(��������������������� 2 0?ax bx+ =

)������� ���������� ���������� ����$�����( )6 8 :−

� �(� ( )2 3 5;x x x+ = −�(�( )( )3 2 3 ;x x x− + = −%(�( )( ) ( )( )3 2 1 2 2 1 .x x x x− + = + −

� �(�( )( )2 12 1

1;3 2

x xx − +− + =

�(� ( )( )22 3 0.

3

xx x

− − + + =

�(�( )22 3 1

5 0;2 3

x x− +− − =

�(�( ) ( ) ( )3 3 21 2 2 .x x x+ − + = +

?����� ������ ���$���� 22 3 1 0.x x− + = � 3���

��������� ������� �1 1

0,1, ,2 2

− ���������$������

�� /��� ���� ������ ��� ��������� � ��� ���$���

( ) ( )22 2 3 5 0k t k t+ + − − = ����$������ "

�(� 1;t = − ����(� 1;t = %(�1

?2

t =

����$�����

Page 86: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�"�������� ���������#������������������

��������

;��$�� ����� ����������������"2 0;ax =2 0, 0;ax bx b+ = ≠2 0, 0.ax c c+ = ≠

3��$��������� ���������� ���������$� ��"

( )22 3 2 3 ;x x x x− = − ��� ( )( )2 4 2 2 .x x x− = − +

G����� ���� ��������� ��������������������� ���

3���� �������� 4 2 ; 25 5 .i i− = − =

2"����� ������( )( )2 3 2 0.x x+ − =

���������/����"�������� ���������������� �����

������������������'����������'�����������������

��������������������������������� ��� �������

�����������������������������������������������

��� ������������

/���������#

( )( )2 3 2 0 2 3 0x x x+ − = ⇔ − = ����� 2x − ⇔

3

2x⇔ = − � ���� 2.x = � .��������� �"������� �

����������

� (������"��������� ������#

��� ( )( )2 3 5 0;x x+ + = ���������� �� ( )( )( )2 1 3 3 4 0;x x x+ − − = ������������� 25 6 0.x x+ =

� � 2"����� ������������������������#���� 2 0;ax bx+ = ������� �� 2 0.ax =

������������������� 2 0ax bx+ = ����� ������������������������ ��������������

6��#���8��9D�⇔ ����8��9D⇔ �9D�������8�9D⇔ �9D������9a

b− �.����������"�������� ������������

1 20, .b

x xa

= = −

�� ����� 0,b = � �������� ������ 2 0ax bx+ = � ����� �� ������ 2 0ax = � �"������� �� � ��� ���� ���

1 2

00, 0,x x

a= = − = �� � �� � 1 2 0.x x= = ���������������������� 1 2 0x x= = �����������������'������

������� 2 0.ax =

3����������������� �!��� �"�������$ ������ ���

� ������� ������ ���� �������$ ����������

0 ose 00 ==⇔=⋅ BABA

0���"������ �������������������������

���"������"�����������

� 1 2

3, 2.

2x x= − =

� 2"����� �����#����� 22 3 0;x x− = �������� �� ( )22 4;x − = ����������� ( )( )2 2 3 6.x x− − =

Page 87: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���� ���

2"��������� �������� 2 0, 0, 0ax bx a b+ = ≠ ≠ ������� 1 20, .b

x xa

= = −

� (������"��������� ������#

��� ( )( )5 3 3 0;x x− + = ���������� �� ( )( )2 3 3 9;x x x− + = − �������������( )2 1 1 4

.2 3 3

x x x x− − −− =

� � 2"����� �����#�� 2 0, 0, 0.ax c a c+ = ≠ ≠

���������� 2 2 20 .c

ax c ax c xa

+ = ⇔ = − ⇔ = − ��$�"����������#

��������� 0c

a− > �������������������������������������������� ����������������������������

��������� 0c

a− < ���������������������������������������������������� �������������������

������������������������#� 1 2, ,c c

x xa a

= − = − − ����� � �� ���� 1/ 2 .c

xa

= ± −

� 2"����� �����#����� 23 12 0;x − = �� ������������ 22 50 0.x + = ����������������� ( )22 3 12 ;x x− =

������������$�����������#�� 23 12 0,x − = �� � �� � 2 4;x = �� 1 22, 2.x x= = −

$�����������# 23 12 0,x − = � � �� 2 4 0;x − = �( )( )2 2 0;x x− + = � 2 0x − = ����� 2 0;x + = � 1 22, 2.x x= = −

��������

22 3 0x x− =

( )2 3 0x x − =

�9D�����7��49D

1 2

30, .

2x x= =

�� � 2 4 4 4x x− + =

( )4 0x x − =

�9D�������H9D

1 20, 4.x x= =

�� 22 3 4 6 6x x x− − + =

( )2 7 0x x − =�9D������7��<9D

1 2

70, .

2x x= =

2"��������� �������� 2 0ax = ������ 1 2 0.x x= =

���������

� 22 50 0,x + =22 50,x = −

2 25,x = −

1 25 , 5 .x i x i= = −

( )22 3 12 ,x x+ =

24 12 9 12 ,x x x+ + =

24 9,x = − ��� 2 9,

4x = −

9,

4x = ± − ���� 1 2

3 3, .

2 2x i x i= = −

��

Page 88: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

/������������������������������ ������ ( ) 22 4 3 0k x k− + − = �����������������������,

����������������������������� 2 0ax c+ = �������'����� 2 4a k= − ����� 3.c k= +

����������������������������������������������������������������

/�������������������� ��������� .3

2 ose

3

2

03

042 ose

03

042

⎩⎨⎧

−≥<

⎩⎨⎧

−≤>

⇔⎩⎨⎧

≥+<−

⎩⎨⎧

≤+>−

k

k

k

k

k

k

k

k

!������������������"������������������������������ [ )3, 2 .k ∈ − �.��������� �����������������������

��������������� [ )3, 2 .k ∈ −

�� ���

�(�( )( )2 5 3 0;x x− − =

:�����$������ �� ����$�����( )1 7 :−

� �(� ( ) ( )2 5 4 0;x x x x− − + = ��(�( )22 9 0.x − − =

� �(� 22 0;x− = �(�( ) 22 2 0.x− =

� �(� 2 147 0;

3x x− = �(� 22 5 0;x x+ =

%(� 23 27 0.x x+ =

� �(� 22 32 0;x − = �(� 21 30;

3 4x − =

%(� 2 24 25 0.x b− =

� �(� ( ) ( )2 3 10 2 5 ;x x x− + = +�(� ( ) ( )3 2 2 16.x x x x x− + − = −

� �(�( ) ( )2 25 16 2 3 10 ;x x x− − = − −

�(�( )22 2 2 33 5 5 8

.2 4 3

xx x x −− +− =

/��������������������������������$�� ������������

������� �������� �� "

�(�( ) 22 1 0;k x− + = ���(�( ) 21 3 0?k x k+ + − =

/��� ����� ������ ��� ��������� � ��� ���$���

( )2 22 2 8 0k x kx− + + = ������� �������� 2?x =−

�� ) ����$���� 2 23 5 4 0x x m+ + − = �%�������� ���

����� � 1 0x = �����������$������ � ������3���� ���

����������%�����$������ ���� ���������$�����

�(�3 5

2 1 0.2 4

x x⎛ ⎞⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

(������"��������� ������#

��� 22 18 0;x − = ���������� �� ( )( )1 2 ;x x x− + = ���������������������������������� ( )22 1 2 4 .x x− = −����

���� ���

���� 1/ 2 ,c

xa

= ± − ������� 0;c

a− ≥

2"��������� ������� 2 0, 0ax c a+ = ≠ ����#

���� 1/2 ,c

x ia

= ± ������� 0.c

a− <

���� 1/ 2 ,c

xa

= ± − ������� 0;c

a− ≥

���������� 0,c

a− < ���������� �������������"�����������

����

Page 89: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

:�������������������$����� ���������������>

3�����������������������$�� �"

�( ( )22 4 4 2 ;x x x− + = − ��(

22 1 1

;4 2

x x x⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

3�����������������������$�� �2 2 8 0x x− − = ��������������� �������

3, 2, 0, 1, 4.− −

�"�������� ���������#���������������

�������� � � 2 ����������������������������#

�� 2 6x x+ − * � 2 2 3x x+ −

������������ 2 26 3 2 6x x x x x+ − = + − − =

( ) ( ) ( )( )3 2 3 3 2 .x x x x x= + − + = + −

��.����������������������������������������������

����������������� �����:��������'�����#%(�

2 22 1

.2 2

b b bx x x

a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⋅ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( )22 22 3 2 1 1 3 1 4x x x x x+ − = + + − − = + − =

( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 3 .x x x x= + − + + = − +

2 2 23 9 8 3 1

0 02 4 2 2

x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + − = ⇔ + − = ⇔⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�3 1 3 1

02 2 2 2

x x⎛ ⎞⎛ ⎞+ − + + = ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

� ������� 2 3 2 0x x+ + = ��"���������������#

����������� ���������������*����������� ����������������������������������������

���������������

��� ( ) ( )2 23 2 0 2 2 0 2 2 0x x x x x x x x+ + = ⇔ + + + = ⇔ + + + = ( )( )2 1 0,x x⇔ + + =

� 2 0x + = ����� 1 0,x + = ��� � �� � 2x = − ������ 1.x =−

��?��������������������������������3

2 ,2

x ⋅ ��������

2 22 2 3 3 3

3 2 0 2 2 02 2 2

x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + = ⇔ + ⋅ ⋅ + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�2

3 92 0

2 4x

⎛ ⎞⇔ + − + = ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )1 2 0x x⇔ + + = �⇔ � 1x = − ����� 2x = − �������"����������� 1 21, 2.x x= − = −

� +����������K����������������������)�������������������������������������#

��� 2 2 ;x x+ �� 2 4 ;x x− ��� 2 ?b

x xa

+

� 2"����� ��������������������� 2 0, 0.ax bx c a+ + = ≠

Page 90: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���� ���

2"��������� ��������� 2 0, 0ax bx c a+ + = ≠ ����������������'������

��2

1/ 2

4.

2

b b acx

a

− ± −=

� 2"����� ������������#����� 2 12 0;x x+ − = ����� �� 2 2 1x x= + ������ ������'�����������'����

������������6��'������ 1, 1, 12a b c= = = − �����������������'������

2

1/ 2

4

2

b b acx

a

− ± −= ���������� 1/ 2

1 1 48,

2x

− ± += �� � �� � 1 23, 4.x x= = −

��E��������"��������� ������������� 2 2 1 0,x x− − = ��������� 1, 2, 1a b c= = − = − ����

1/ 2

2 4 4 2 8,

2 2x

± + ±= = �� � �� � 1/ 2

2 2 2,

2x

±= ������ 1 21 2, 1 2.x x= − = +

� $��� ������'�������������"�������� ����������������"���� �������#

��� 27 0;x = �� 22 8 0;x − = ��� 27 4 0;x x− = )�� 22 5 12 0.x x+ − =

����������������������������������������� 2 0,b c

x xa a

+ + = �� � �� � 2 .b c

x xa a

+ = −

0������������� ����������'��������������

2

2

b

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������'������ �����

2 22 2 ,

2 2 2

b b b cx x

a a a a⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�� � �� � ������2 2

2

4.

2 4

b b acx

a a

−⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠�/�������"�������

������� 2 0ax c+ = �����2

2

4,

2 4

b b acx

a a

−+ = ± �����2 2

1 2

4 4,

2 2

b b ac b b acx x

a a

− + − − − −= = ����

�"������������������� ������� 2 0.ax bx c+ + = �0������"���������� ����������������

M������������"�������� ���������������������������������� �����������������"�������� ��������������������

�������

���'�������2

1/ 2

4.

2

b b acx

a

− ± −=

Page 91: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

����� 0,b c= = ����������"��������� �������������������������� 2 0ax = ����� 1 20, 0.x x= =

����� 0b = �����������"��������� �������������������������� 2 0ax c+ = ����� 1/ 2 .c

xa

= ± −

����� 0,c = ����������"��������� �������������������������� 2 0ax bx+ = ����� 1 20, .2

bx x

a= = −

��������

7, 0,a b c= = = ����

2

1/ 2

4,

2

b b acx

a

− ± −=

1/ 2

0,

2 7x =

⋅ �� � ��

1 2 0.x x= =

�� 2, 0, 8,a b c= = = −

( )1/ 2

4 2 8,

2 2x

± − ⋅ ⋅ −=

1/ 2

64 8,

4 4x

± ±= =

1 22, 2.x x= = −

� 7, 4, 0,a b c= = − =

( )2

1/ 2

4 4 4 7 0,

2 7x

± − − ⋅ ⋅=

1/ 2

4 16,

14x

±=

1 2

4 4 4 4 4, 0.

14 7 14x x

+ −= = = =

��

-����������� ������'�����������#

?��������������$���� ( ) 21 1 0.k x kx− − + = �:����

�� ��� � �� �� �� 2 4 ,b ac− ��� ������ � �� �+� ����

�� ��%� ����� ����$��������������

��������������2

1/ 2

4.

2

b b acx

a

− ± −=

!�������� ����������� 2 4b ac− � �������������� � � �� � 2 4D b ac= − � ���� ����������������� �� �

�������������������'������� 1/ 2 2

b Dx

a

− ±= ��������"����������'��������������������"����������� ������

������

��������

:������� ������ �� ������ �� �2 4 ,b ac− ���� �������� �+�������� ��%� ������

���$����� 2 4 3 0.x x− + =

� 2"��������� �������������

)0;,,(,02 ≠∈=++ aRcbacbxax �

������������'������

�%�� ������������� ����������+����������'���������������� ������������������������������������

�"��������� ��������'���������2

1/ 2

4.

2

b b acx

a

− ± −=

,���������������������'��������������������������������������������������������"������������������������

��������������������� 2 4 ,D b ac= − ����������������'��������'������� 1/ 2 .2

b Dx

a

− ±=

Page 92: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��#���������"�������� �������#�����

��������

�� ���� 2 4D b ac= − � ��� �� �������������

���$���������� 2 0.ax bx c+ + =:������������������� ����$����"

�(� 22 3 4 0;x x− + = ��������(� 2 4 0.x + =

� � (������"��������� �������������������������������������������#

��� 2 4 3 0;x x− + =

�� 2 4 4 0;x x− + =

��� 2 4 5 0.x x− + =

����������#� ������ ( )2 3 2 6 0x x− + + = ��������"��������������������������������

����������� � �� � ( ) ( ) ( )2 2 22 4 3 2 4 6 3 2 6 2 4 6D b ac= − = + − = + + − =

( ) ( ) ( )2 2 2

3 2 6 2 3 2 .= − + = − �.������������������'������� 1/ 2 2

b Dx

a

− ±= ����

( )1/ 2

3 2 3 2,

2x

+ ± −= �� � �� � 1 23, 2.x x= =

�(� 26 2 0;x x+ − = ������(� 24 12 9 0;x x− + =

%(� 2 4 13 0.x x− + =

�� ���

� �(� 26 7 2 0;z z− + =

�(� ( ) ( )3 3 2 5 0.y y y y+ + − − =

<����� ����$����( )1 6 :−

� �(� 22 3 0;x x− = ���������(� 24 25 0;x − =

%(� 24 1 0.x + =

� �(�( )( )2 2 3 6;x x− − =�(�( )( ) ( )2

3 2 2 3 10.x x x x+ − + + = +

� �(�( )4 7 5 4

3 ;2 4 6

x x x x+ −− = −

�(�( )2 3

1.4 3

x x x− −− =

� �(�( )( ) ( )( )5 2 8 1 3 1 4 1 9;x x x x− − − + − =

�(� ( )21 7 33 .

3 4

x xx

+ −− = −

� 3��%������� ���������������"

�(� 2 7 5x x− + ������ ��I=

�(� 2 3 7x x+ − � ��� �� �� ��� ��������� � ������

2 1?x −

�(� 2 2 2 1 0;x x− − =

�(� ( )2 7 5 35 0.x x− + + =

<����� ����$�����( )8 9 :−

�(� 2 25 6 0;x a x a− + =�(� 2 2 22 0;x m x m n− + − =%(� ( )2 1 1 0.ax a x− + + =

���� ������ 2 3i− � �� � 2 3i+ � ����� �������� ���������������

���� ��������"�� 4; 2 ?−

Page 93: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

+�������� 0,D > ����������"��������� ������������������������������������������

,�������� 0,D = ��"��������� ����������������������������������� ��� ������� � �� � �����

��������������'����

������"����������� 0,D ≥ ����������"��������� ���������������������������

/�������� 0,D < ��������� �������������"�����������

��������

��� 16 4 1 5 4 0;D = − ⋅ ⋅ = − <

���� ���

� /����"������ ������������������������"���������������#

��� 2 5 7 0;x x− + = �� 2 8 16 0;x x+ + = ��� 2 4 0.x x− + + =

� -�����������������������������������������"����������� ��������#

��� 2 2 0;x x m− − = �� ( ) 22 2 3 0.m x x− + + =

������������P��������������������� ������ � ( ) ( )22 4 4 4 ,D m m= − − ⋅ − = + ���������������#

1/ 2

4 2,

2 2

b Dx

a

− ± ±= =

�� 16 4 1 4 0;D = − ⋅ ⋅ =

1/ 2

4 0,

2x

±= �� � ��

��� 216 4 1 3 4 2 0;D = − ⋅ ⋅ = = >��������������"�����

�����

0��������������������"���������� �����������������������������������������������������������������������

��������� ��� ��������������������������

������������ ( )25 4 1 7 25 28 3 0,D = − − ⋅ ⋅ = − = − < ���������� ����������������������

�� 28 4 1 16 0,D = − ⋅ ⋅ = ���������� Rxx ∈21, ������ 1 2.x x=

��� ( )21 4 1 4 17 0,D = − ⋅ − ⋅ = > ���������� Rxx ∈21, ������ 1 2.x x≠

:��������������������������� 0,D > �� � �� � 4 4 0, 1,m m+ > > − ����� ( )1, ;m∈ − +∞

7��������������� ��� ��������� 0,D = �� � �� � 4 4 0, 1;m m+ = = −

4������������������������ 0,D < �� � �� � 4 4 0, 1,m m+ < < − ������������� ( ), 1 .m∈ −∞ −

Rxx ∈21, ���� 1 2.x x=1 22, 2;x x= =

Rxx ∈21, ����� 1 2.x x≠

� � � 1 23, 1;x x= =

0D =

1m = −1 2x x= ∈�

1 0m D< − ⇒ < 1 0m D> − ⇒ >

1 2 1 2, ,x x x x≠ ∈�

-�������������"��'�����������������

��������"�����������

Page 94: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� ����������������#���� 22 3 7 0x x+ + = ������������ �� 23 4 1 0x x− + = �����'�������'����������������

���������'������������������������������������������������

�<����� ����$����"����(� 2 8 15 0 ;x x− + =

�� ���

3����$����������$�� ���%������������ �$������ � "

�(� 2 12 0;x x+ − = �(� 24 12 9 0;x x− + =%(��$��#�6$C�9B�7�@�

:�������� �������������������$�������� ����������

���������

�(� 2 3 0;x x k+ + = ������(� 23 2 3 0;x kx− + =%(� ( )2 2 3 2 3 0.x k x k+ − + − =

3��%������� �������� ���������$������������ �� ��������� "

�(� 2 2 3 0;x x k− + = ����(� 22 8 6 0;x x k− + + =

%(� ( )2 2 3 2 0?kx k x k− + + − =

���������������"��������������#��$%��������� �������#�����

��������

;��$���� 2 3 4 0x x− + = � ������ ������ ��� ���������� �

� (����������������������������������

������� 22 3 5 0.x x+ − =

:��������� �,�������$����2 4 3 0.x x+ − =

<����� ����$����� 22 3 5 0.x x+ − =

���� �(� 2 2 5 0;x x+ + = ��������%(� 2 10.

4x x− + =

:�������� �������������������$������������ ��

����� �� "

�(�( ) 22 4 1 0;m x x− − − =�(� 2 2 0;x x m+ + =%(� ( )2 2 3 1 0.mx m x m+ − + − =

3��%������� �������� ����������$�������� �������

�� "

�(� 2 22 3 0;x ax a a− + − + =�(�( ) 21 2 2 0?a x x− − − =

3��%������� �������� ��������������������� �������

������"

�(� 2 6 1 0;mx x+ + =�(� 2 8 9 0?mx x m− + =

0�������� ����� �������%������������ ������

������$����"

�(� 2 2 3 0;x x k− + − = �����(� 23 8 5 0;kx x+ − =%(�( ) ( )21 2 2 3 0.k x k x k− + + + − =

���������( )2

1/ 2

3 3 4 2 5,

2 2x

− ± − ⋅ ⋅ −=

⋅�� � ��

1 2

51, ,

2x x= = − ���� 1 2

5 31 ,

2 2x x

⎛ ⎞+ = + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

��� 1 2

5.

2x x⋅ = −

������������������������'������������������ 2 3 50,

2 2x x+ − = ����������'���������

3 5, .

2 2p q= = − �-������#� 1 2

3,

2x x+ = − �� � �� � 1 2 ,x x p+ = − �������� 1 2

5.

2x x q⋅ = = −

Page 95: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�����������������'����������������� ( )1 2 1 21 , 2 3.x x p m x x q m+ = − = − + ⋅ = = − +

���������������������������� ������� 2 0, 0,ax bx c a+ + = ≠ ���������������'�������

M����������-�������� ��������'������������ 2 0x px q+ + = ����#

� 1 2x x p+ = − ���������� 1 2 .x x q⋅ =

� (����������������������������������� ������� 2 0, 0.ax bx c a+ + = ≠

���������P����������������2 2

1 2

4 4,

2 2

b b ac b b acx x

a a

− + − − − −= = ������"��������� �������

����2 2

1 2

4 4

2 2

b b ac b b ac bx x

a a a

− + − − − −+ = + = − ���2 2

1 2

4 4.

2 2

b b ac b b ac cx x

a a a

− + − − − −⋅ = ⋅ =

���� ���

� /�����"������ �����#���� 23 4 5 0x x− + = ���������� ��� ( )2 1 2 3 0,x m x m+ + − + = ������������

��������������������

��������� ������������������� ��!������������6��'�������� ����������� 3, 4a b= = −

� /�����������������

������������ 1 2 1 2, .x x p x x q+ = − ⋅ = �-�����������

�������

�������"��������

������� 2 0.x px q+ + =

���������/���� 1 2x x p+ = − ����� ( )1 2 ,p x x= − + ����� ��������������'�����������

( )21 2 1 2 0.x x x x x x− + + ⋅ = �/�������������#� ( )2

1 1 2 1 1 2 0x x x x x x− + ⋅ + ⋅ = ����2 2

1 1 1 2 1 2 0,x x x x x x− − ⋅ + ⋅ = �� � �� ���������.�������������������� �������������������� �����

����������������� � �� �����������"�������� ������ �������������"����������"�����"�����������������

��������������� �$���������������������������������#

?�������������� ������ � �

1 2

bx x

a+ = − �������������� 1 2 .

cx x

a⋅ =

���� 5,c = ����� 1 2 1 2

4 4 5, ;

3 3 3

b cx x x x

a a

−+ = − = − = ⋅ = =

� �� ������������ ���������"��������� ������� 2 0ax bx c+ + = ������������������� 1 2

bx x

a+ = − ����

1 2 .c

x xa

⋅ =

����� �������������������� 2 0,x px q+ + = ��������� 1 2 1 2, .x x p x x q+ = − ⋅ =

Page 96: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���1 2

1 1;

x x+ �� 1 2

2 1

;x x

x x+ ��� 2 2

1 2 2 12 3 2 3 .x x x x− + −

� $��� ������'�������������-������������������������)'�����������"�������������������� ��� ��������

���������#

��������������� 2 7 12 0;x x− + = �������� 4− ����� 2 7 12 0;x x+ − = ����1 2± ����� 2 2 1 0.x x− − =

����������������������������"��������� ��������������������������'����������-���

��� 1 2 1 27; 12.x x p x x q+ = − = ⋅ = = �/��� ( )3 4 7 7+ = − − = ������ 3 4 12,⋅ = ���������������������������

������� 2 7 12 0.x x− + =

� E�����������������

����������� ������� 2 0.x px q+ + = �-���������� 2 2 2

1 2 2 .x x p q+ = −

��� � �����!�������� 2 21 2x x+ ��������������������������������������� ��� �.���������������� ����� 1 22x x

���� ( )22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 .x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + − �!����'������������-�������� 1 2x x p+ = −

���� 1 2 ,x x q⋅ = ����� ( )22 2 21 2 2 2 .x x p q p q+ = − − = −

� E��������������������"��������� ������� 23 2 6 0.x x− + = �/�����"������ �������������������

��������)����������������������#

���������!����'������������-�������#� 1 2

2 2

3 3x x

−+ = − = ����� 1 2

62.

3x x⋅ = = �+�������������������������

�����������������'�����������������������K����� �������������� 1 2x x+ �����������

��� 2 1

1 2 1 2

21 1 13 ;

2 3

x x

x x x x

++ = = =⋅

���������� ��( )22 2

1 2 1 21 2 1 2

2 1 1 2 1 2

2x x x xx x x x

x x x x x x

+ −++ = = =⋅ ⋅

22

2 2163

.2 9

⎛ ⎞ − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠ = −

��� ( ) ( )2 2 2 21 2 2 1 1 2 1 22 3 2 3 2 3x x x x x x x x− + − = + − + =

2 32 362 3 12.

3 9 3⎛ ⎞⋅ − ⋅ − = =⎜ ⎟⎝ ⎠

$ ��������'������ ( )22 21 2 1 2 1 22 ,x x x x x x+ = + −

1 2.x x⋅

� � ��� 2 2 21 2 2 .x x p q+ = −

Page 97: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���������!���������������������������������������"���������� ������� 2 0,x px q+ + = ���

( )1 2 ,p x x= − + � 1 2.q x x= ⋅

M����� �����������������������������������������

;��$����� ������������� ��������������� ���

%��������� �,"

�� ����

�(� 23 6 5 0;x x− + =�(� ( )2 2 5 0.mx m x m− + − =

� ���������������� �0� ���������$����"

�(� 22 7 5 0;x x− + = ��������(� 2 5 0;x x− =%(� 22 4 0;x + = (�( ) ( )22 2 3 1 0;m x m x− − + + =�(� 22 3 0.mx x m− + − =

� . ��������� �������� ����0� �������������� � ����������� ������������������$������ � ����$�����������"

�(��9���� ��6��$��#�D$C�89�7�@=

�(�#5���� ��B����$��#�9$�#�8B�7�@=

%(�#9���� ��Q���$��#�R$C�84�7�@=

(� 23 dhe 23 −+ ��$��C�6$C�Q�7�@�

� �����$�����������������

��������

1 23, 4x x= = ������$ ��� ���������2 7 12,x x− + ��� ( )( )2 7 12 3 4 .x x x x− + = − −

� 0���������������� ���������� ������

����������������#�������������������

����������������������������������������������� ������

���

0���������������������������������������

� *�� ��������$����������� �0� ����$����� ����$����"

�(� 2 8 15 0;x x+ + = �������(� 2 8 15 0;x x− + =

%(� 2 7 12 0;x x+ + = ����� (� 22 7 5 0.x x− + =

� . �$�������� �������� ����0� ����%�������� ������� ��������� ���������$����"

�(�$��#�B$C��7�@����� �$�7#9=

�(�9�$���C��$�#�8�7�@=���� ��2

31 =x

%(�$��#�9�$C��7�@����� ��$�7��'��

� 3�� %����� �� �� ��� ��� ������������ � ���$����2 6 3 0x x k+ − + = � ����������������

� 1 2 0?x x− =

� :�������� ������ ��������� ������ � ����� � ��

���$���� ( )2 2 1 5 0x m x+ + − = ����� ��� ��������

� �4��3���� ��� ������������%����������� ����$�����

*�� ����� �$����������$�����%������� ��� ��� �� "

�(� 2 21 2 1 2 ;x x x x+ �(�

1 2

3 3;

x x+

%(� 2 21 2 ;x x+ (� 2 2

1 2

1 1.

x x+

1 24, 3x x= = − ������$ ��� ����$����2 12 0.x x− − =

3�����������������������$���

( )( ) 24 3 12.x x x x− + = − −

Page 98: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

������������� ( )2 2 2 1 0.mx m x− + + = �(�������������������������

�������������������� ������������������������������ 2 21 2 1 2 4.x x x x⋅ + ⋅ =

��� 1 2

2, 0,5;

3x x= − = �� 1 23 2, 3 2;x x= − = +

��� 1 2 15 4 , ;x i x x= − = )�� 1 2, .x a b x a b= + = −

M����� �������������������'����������������������������#�

��������� �� ( ) ( ) ( )( )1 2 1 23 2 3 2 6, 3 2 3 2 7,p x x q x x= − + = − − + + = − = ⋅ = − + = ����� �����

������ 2 6 7 0;x x− + = ���� ( ) ( )( ) 25 4 5 4 10, 5 4 5 4 25 16 41,p i i q i i i= − − + + = − = − + = − = ����� �����

������ 2 10 41 0.x x− + =

M����� �������������������������������� 1 22, 7.x x= = −�

��������������������������������'������ 2 0,x px q+ + = ���� ( )1 2 1 2, .p x x q x x= − + = ⋅

.����������������������������������� ( )( ) ( )2 7 5, 2 7 14,p q= − + − = = ⋅ − = − ����� ��������������������

2 5 14 0.x x+ − =

���� ���

����������� 1 2,x x ��������������� ����������������������� �������������'�����

��2 0,x px q+ + = ( )1 2 1 2, .p x x q x x= − + = ⋅

����� ( )1 2p x x= − + ����� 1 2q x x= ⋅ ����������������� ������ 2 0x px q+ + = ��"��������������������

1 2, ,x x �����������'������ ������ ( )21 2 1 2 0,x x x x x x− + + ⋅ = �� � �� ������� �����

( )( )1 2 0.x x x x− − =

.������������������� 1 2,x x �������������� ����������������������� �������������'���������������

� ������ ������� ( )( )1 2 0.x x x x− − = �/������� ��������� 1 23, 7x x= = − �������������� ��������������

�������� ������������ ( )( )3 7 0,x x− + = �� � �� � 2 4 21 0.x x+ − =

/������������������������������������������ ������� 2 12 0x x k− + = ����������������������������

������,

���������/���� 1 22x x= ⋅ ����� 1 2 12x x+ = �������� 2 22 12,x x+ = �� � �� � 2 4,x = ����� 1 2 4 8.x = ⋅ =

/���� 1 2q x x= ⋅ ����� q k= �������� 4 8 32.k = ⋅ =

Page 99: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

/���� 2 21 2 1 2 4x x x x+ = ����� ( )1 2 1 2 4,x x x x+ = �������������������'������ �����

1 2 24

m

m m

+⋅ = ����� 24 2 2 0,m m− − = �� � �� � 22 1 0,m m− − = ��������������������� 1m = �����1

.2

m = −

&��������#������������������ ��������� ��� !�!��!�������(����������� ������������� 1x �� 2x �������

��(���"� ��������������� ���� � �������������������������������������������������������"������

�������!

���������!����'������������-�������#�( )

1 2 1 2

2 2 2 2 1; , 0.

m mx x x x m

m m m

− + ++ = − = ⋅ = ≠

A�������$��������� ������� ��������� ����%���������������������� ��������,����� "

�(� 5, 6;p q= − = ����������(�1 2

, ;2 3

p q= =

%(�1

1, 2 .2

p q= − = −

�� ���

�(�#5��� �9=������(�B��� �#4=�����%(�#6��� �#8��

) �� �����( )2 6− ���������$��������� �������

�������� ����%���������"

�( ;32

dhe 21 − �( ;

21

dhe 43− %(� ;

4

1 1- dhe

3

2−�

�(� ;2

31 dhe

231 +−

�(�9#5����� �9C5�=��%(� ;3

21 dhe

3

21 ii +−

� ����

�(� ;34 dhe 3 −− ���(� ;5 dhe 2−

%(� ;25 dhe 2-5 +

� ����

�(� ; dhe a

b

b

a��������(� ; dhe

ba

b

ba

a

−+�

A�������$��������� ��� ��%� ���� ����� � ������� ������ ���������� ����������"

�(�3 2 3;− ������3 2 ;i− ������2

.3 i+

� ����

3��%������� �������� ���������������� ����$����22 3 2 0x x k− + − = � ������ � � � ����� � ������ �

�� ��>

:����� ��� ������ ��� � ������ � ���$����2 4 0x x m− + = � ��������� ��%�����

�� 2 21 2 12.x x+ =

:�������� ������� ����$����

� ( )2 1 3 0,x m x m− + + + = ������������������� ����

���������� ����� ����� �� ��� ���

��

Page 100: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ����� �������#������

���'����������������������������������������"������������������������������������������������"�����

�� ���������������� �������������� ��� ���"�����������"������������ ��������� ������ ��������

�������

� ��������� �������������� ���������������������������������

��������������� ������������������� �?�������� �������������������� 65 ,x− ������������������������������

'�������� ������ ( )65 966,x x− ⋅ = � ������������ 2 65 966 0,x x− + = � �"������ �� ��� ���� �����

1 242, 23.x x= = �.���������� �������������������������������

� !���������'�������������������'���������� ���������������������������������������������

������������'�������������������������������������'��������� �(��������������,

����������������'��������������������������������'����������������������� 9 ,x− ������������������������

'������������������( )9 x x− ����� ( )9 .x x− �!�������������������������#

( ) ( )9 9 2268,x x x x− ⋅ − = ������������� ( )( ) ( )10 9 10 9 2268,x x x x⋅ − + ⋅ + − = �� � �� � 2 9 18 0,x x− + =

�"�������������������� 1 23, 6.x x= = ����������'���������������������������� �&��������6������'��������

������������������������'�����������������'������������� �/������� ����� 79 10 7 9.= ⋅ +

� 0�������������������������"�������"������������������������������������������� �����������,

������������������"�������"��������������������������� ����������������'������

�( )3

.2n

n nD

−= �/��������������������������

( )37 ,

2

n nn

−= �� � �� � 2 17 0.n n− = �2"������

������� ���������� 1 20, 17.n n= = �/���������������������������������� ���

��������

3��%�������� ���������������������������������������

����� ��� ��������� �

�203( ) ( )( )21, 1 1 1 .x x x x− − = − +

�203( )2 4, 2, 3x x x− + − =

( )( )( )2 2 3 .x x x= − + −

:������203���� 2 22 1, 1.x x x+ − −

2"�������� �������������������������"�������

������������������������'�������������������

�������������������

� 2"����� �����#

���( )2 10

3 8;1

xx

x

+= +

+���������� ��

15 81.

5x x+ =

Page 101: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���������������������������������������������������� ������������������� ����������������� ������� �����������������������'�������������������������������������������)��������������� �����

�����������������������������

������������������������������'�������� 1 0,x + ≠ �� � �� ����� 1,x ≠ − ����� ���������������'���������

-9(J@�:A ������������������������!3-/�����������������������������#

( ) ( ) ( ) ( )( ) 22 103 8 / 1 , 2 10 3 8 1 , 3 4 0.

1

xx x x x x x x

x

+= + ⋅ + + = + + + − =

+

N�������� ����������'��������� 1 21, 4,x x= = − ��������������������� �������������������������������������

�"��������� ��������������

��������������������'��������� 0, 5,x x≠ ≠ �� � �� �-9(J@D�IA ������������������������

!3-/ ( ) ( ), 5 5 ,x x x x− = − ����� ( ) ( ) ( )15 81/ 5 , 15 5 8 5 ,

5x x x x x x

x x+ = ⋅ − − + = −

−�� � ��

2 28 75 0.x x− + = �2"��������� ����������'��������� 1 23, 25,x x= = ����

3 D∈ ����� 25 .D∈

� 2"����� �����#����2 3 3 5

;1 2 1

x x

x x

− −=+ −

��2

6 2 2.

1 1 1

x

x x x

−− =− − +

��������

����������������� �0� ���������$���������>

3�����$����� 22 3 4 0x x− + = �� ��"

1 2

3

2

bx x

a+ = − = ���� �� 1 2 2.

cx x

a⋅ = =

� 0����������� 2 7 12x x− +� ������������������������

��������� 2 27 12 3 4 12x x x x x− + = − − + =

( ) ( ) ( )( )3 4 3 3 4 .x x x x x= − − − = − −-������� 1 23, 4x x= = �������������������������

�������

�������������

��������������������������� ( )2 0, 0, 0 ,ax bx c a b c+ + ≠ ≠ ≠ ��������

1 2 1 2, ,b c

x x x xa a

+ = − ⋅ = ����� 2 2 b cax bx c a x x

a a⎛ ⎞+ + = + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )21 2 1 2a x x x x x x− + ⋅ + ⋅ =

( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 , 0.a x x x x x x a x x x x a= − − − = − − ≠⎡ ⎤⎣ ⎦

� 2 �������������������������#����� 22 3 5;x x− − ����� �� 2 5 6.x x− +

Page 102: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������������R�����������������������#��( )

1/ 2

3 9 4 2 5 3 7,

2 2 4x

± − ⋅ ⋅ − ±= =⋅

1 2

5, 1,

2x x= = − ����� ( ) ( )( )2 5

2 3 5 2 1 2 5 1 .2

x x x x x x⎛ ⎞− − = − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ( )( )2

21/ 2 1 2

5 5 4 6, 3, 2; 5 6 3 2 .

2x x x x x x x

± − ⋅= = = − + = − −

���� ���

0����������� 2ax bx c+ + �� ��������������������������������'����������

( )( )21 2 , 0,ax bx c a x x x x a+ + = − − ≠ �������������������������������

2"����� ������2

2

2 3 40.

3 2 2 4

x x x

x x x

− + −− =− + −

��������� � ����������

+��P���������� ���������������������#� ( )( )21 23 2 , 1;x x x x x x a− + = − − =

( )( ) ( )21/ 2 1 2

3 9 4 2, 2, 1; 3 2 2 1 ; 2 4 2 2 .

2x x x x x x x x x

± − ⋅= = = − + = − − − = −

,�� !3-/ ( )( ) ( )( ) ( )( )2 1 ,2 2 2 2 1 .x x x x x− − − = − −

/��������������������'��������� 2, 1,x x≠ ≠ �� � �� �.9NJ@:�7A

-�������������������������!3-/�� ( )( ) ( ) ( )( )2 2 3 4

0 / 2 1 2 ,2 1 2 2

x x xx x

x x x

− + +− = ⋅ − −− − −

( ) ( )( )2 2 3 2 4 1 0.x x x x− + ⋅ − + − = �/������"�������'������ ������ 2 7 10 0x x− + = ��"�����������

�������� 1 25, 2.x x= = �/���2 ,D∉ ��"�������� ������������������� 5.x =

!�������������� ���������������������������������������� �E��"�������������� �����������

�������������������������7����������������������� �������������� �(����������������������������

���������E���������������������������������������� �?�������15 x+ ������������������� �������������������

��������������15 x− ���� �������������� �/���� s v t= ⋅ �������� ( ) 172 15 x t= + ����� ( ) 272 15 .x t= −

/������������� 1

72

15t

x=

+����� 2

72.

15t

x=

−�/���� 2 1 2t t− = �����

72 722.

15 15x x− =

− +

)

Page 103: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/���������������������������'������ ������ ( ) ( ) ( )( )72 15 72 15 2 15 15 ,x x x x+ − − = + − �� � ��

������ 2 72 225 0x x+ − = ��"��������������������� 1 23, 75.x x= = −

/������������������������������ ��6���������� 75x = − ��������"�������� �����������������������"�������

��������������������������������������"�����

�� & .����������������������������������� ��� ���������������� ����������������'��������������������������������������������'�����10 � ���������������������������'���� �����������������)�����������������������������������������������������������������������������

���������E���������������������������������� ��?������������������������������������10 .x− �/�����������������

�� ������ 1

0,8 100,p

x

⋅= � ������ ��� ������� �� ����� ������ 2

0,6 100.

10p

x

⋅=−

� /���� ������� 1 2 10p p− = � ���

0,8 100 0,6 10010.

10x x

⋅ ⋅− =−

�/�������������������������'������ ������ 2 24 80 0x x− + = ��"���������������

���� 1 220, 4.x x= = �2"������ 1 20x = �����������"�������������������������������"�����������������������

10 .� �/�������������������������������������� 4 ,� ���������������������10 4 6 .− =� � �

�� /���������������������������'������������������������������������������������������ �?�����

�������������������'�������������������������������� �/��������������������� ���

�����������������"����"����������������� �!���������������'�����������������������������

�������,

���������!��������������������������!����������������������������� �?�������� 15,100

S x⋅ = �� � ��

100 15.S

x

⋅= �.�������������������'���������������1500

x������ ����'������������������������� ����

�� ������� ��� ������1500 1500

15 85 100x x

+ + = + � ����� � ��� '��� ��� ���� ��� ����� �� ��� �����

1500 1500100 100

100

x

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���������������������������������������� �/��������'������ �����

1500 100 1500 100420,

100

x x x

x x

+ ++ ⋅ = �� � �� � �����

2 305 1500 0x x− + = ��"�������������������� 1 25, 300.x x= = �/�������������������������������������

����������'�����������1500

3005

= ������

/��� 2 300x = �������������������"���������������,

*

Page 104: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ������#8��� �5������������ ����$����� 2 2 3 0.x x− − = �������$��������� ������ ���� ����$����"

�(�( )( )1 3 0;x x− + = �������(�( )( )1 3 0;x x+ + = �����%(�( )( )1 3 0;x x+ − = ����� (�( )( )1 3 0.x x− − =

� <����� ����$����"����(� 2 4 0;x − = ��������(� 2 0;x bx+ = ��������%(� 2 1 0.x − =

� :�����$������ �� ����$����"��(� 2 25 3 9 7 ;x x x x− = + �(� 2 214 0.

5x x− − =

�� ���

� ������:74�$���� � ���������� �����������������

%���� �������4<:D�

� ,��������� ������� ��������� ��������������I�����>����� �:4�����3��%�������������������������� ����

��$���� �� ������� ���� ������������� ��� �������

����� ���>

� ������ � ������ � ��� ��� ����� � ������ ��

�������������������=;I��:������������������>

� -����� ����������������������� ����� ���������

����� �������� ��"

�(�� ���������������������������=

�(�� ������������ �������������������=

%(�� ������������� �����������������>

� <����� ����$����"

�(�2 3 3 5

;1 2 1

x x

x x

− −=+ −

����(�2

6 2 2.

1 1 1

x

x x x

−− =− − +

� ,��� ���&����� ���� ������� ��� ��� ������ ����

=DDD�� ������� ����������������������������� �

*�� ���� ������������������������ ������� ����

�������� �� ������:ID�� ���������&��������������>

� ���������� ������� ������������� �<���������� ���������������������������������� ����� �����

�������� ���;�������3���������� ������� ���� � ����� ����� �� ������������� �������� �������

�� ����B������������� ������������>

����� ����������� ��=ID���� ���������� ������

���� ����� ����� ����� ������� ����%�����������:I���C�� ��� ��� � � �� ������� � � ���� ��� ���� :����

�� �������� �������� ��� �

����������������������������$��%�

� ;��$����( ) 21 3 1 0k x kx− − + = ������������� ������� "

�(� 0;k ≠ �(� 0;k = %(� 1;k ≠ (� 1.k =

� ;��$��������� 2 1 0x k− + = ����$������ � �� ���� � ___________.k ∈

� ������ �$������ � �������$���������� 24 8 5 0x x− + = ������"

�(� 8;− �(� 2;− %(�7= (�;�

� + ����� ����������$������ �� ����$���������� 2 0.x px q+ + = �-��� ���� �� �1 2

1 1

x x+ ������"

�(� ;p

q�(� ;

q

p%(� ;

p

q− (� .

q

p−

Page 105: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

:������������ �$������ � �������$���������"

�(� 2 8 15 0;x x− + = �(� 2 10 25 0;x x− + = %(� 2 2 9 0.x x− + =

A�������$��������$������ �� ����%���������"��(� 1 25, 9;x x= − = − �������(� 1 2

5 3, .

8 4x x= = −

�� :������� ��� ���� ���� ������������������$�������� ����������� 2 0 :ax bx+ =

�(� 2 3 2 6 0;x mx m+ + − = �����������(� ( )2 2 3 1 0?x m x m+ − + − =

�� 3��%������� ��������� ���������$�����������������������"

�(� 2 10 0;x x m+ + = �(� 2 6 0?mx x m+ + =

�� <����� ����$����"������(�8

6;xx

+ = �(�8 6

1.1 1x x

− =− +

�� ������ ������� ����� ������ �������� ������������������������7I:��:������������������>

�� *���������� ������ �����������������4D�������� ���� �$��� ���������������=�������������������� �������������

����%������������ �� ����� ����� �� ������� �� �����������>

�� ���������������������$������!��� �"���� ����� �������� �� �� ���������$�������3�������������������� �� �� �

������� ���� ����������������!����� ���� ��� �� ����������������"� ������������� �� �� �����������;���

������� ����������������!>

�� ������ �� ���������� ��� ���������� %��� ������ �����������������������40001

200��������:������ ��������

�� ���� �������������� ������� ����������������% ����)��������� ���������% ����������� ���� ��������

����� ��� ����������� ���% ���������������� ���� ���� ������������ ����������������% ��� �� ����

:��������������� ������������% ��� ���� ����������� �� � ������ �3�������� �

��������������#�������

� ;��$����( ) 23 5 4 0k x kx− − = ������������������� ��� �� ���� �����������" :

�(�3

;5

�����������(�3

;5

− ����������%(�5

;3

���������� (�5

.3

� ;��$�������� ( )2 1 2 2 0x k x k− + + − = ��������$������ �$ ����� � ______.k = 7

Page 106: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ���������� � ( )10m

m≠ ������$������ �������$���������"������(� 2 1

0;x mxm

+ + =

�(�2 1

0;x x mm

− + = ������%(� ( )2 2 1 0;mx m x m− + + = ������ (� ( )2 2 1 0.x m x m+ + + =:

<����� ����$�����( )6 7 :−

� ���������� ( )( )2

3 2 2 10;x x x− + = − �( ) ( )( )2

1 2 1 1 5 3.x x x x+ = − − + +

� �(�2

3 0;8

xx− = ����������(�

2 25 7 2 90.

4 2

x x x x+ −− =

<����� ���$����"����(� 24 4 1 0;x x− + = �(� 2 13 12 0.x x+ + =

7

7

7

:������������ �$������ � �������$����"

�(� 23 2 1 0;x x+ + = ���������(� 24 12 9 0;x x− + = ���������%(� 2 3 0.x x+ − = 4

�� A�������$��������$������ �� ����%���������"���(� 1 216, 1;x x= = − ��������(� 1 2

1 2, .

2 5x x= = 7

<����� ����$������%��������� ��"��

�(�15 8

1 ;5x x

− =−

�(�1 3

1 ;2 2x x

− =− +

���������%(� 2

5 8.

2 2 4

x

x x x+ =

− + −H

�� ������:HH�$���� � ������������$� ��������� ����%���� ��������4D�

�� ������ ������������ ������������������������� ���� ��� � ���� ������������������ ����������������

� � ���������� �� �������� ��������������89@�����>

4

4

� ;��$����������$��C��$C��7�@� )0 dhe ,,( ≠∈ aRcba ��������$������ � �� ���� ���������������-������

IIIIIIIIIIIIIIIII� 7

� ��� ������$������ � ����$���������� 2 6 0x kx+ − = ������� 2,x = ����� ��$�������� �����������"

��(� 3;− �����������(� 2;− ����������%(�7=���������� (�4�:

�� :������� ��� ���� �������������������������� �$������ � �������$������������������ ���� �������� � � ��"

�(� 2 36 0;x mx+ + = �(� 2 3 5 0.x x m− + =4

4

�� �

Page 107: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����, $��#����#�����(��� ������#�����

6���������'������������

F��'����'�����

( ) ( )2f x a x α β= − + ���������������������

F��'����'�����

( ) 2f x ax bx c= + + �������������������������

G� �������������� ����������������������������

���

��

��

��

��

.��������������������������'����� ����������������������������������� ���

-�������'������������� �������������������

.���������������������� ����������� ���

F��'����'������ ( ) 2f x ax=���� ( ) 2f x ax c= + �

���� ��� �������� ���� �

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 108: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

!"������ �������� ��� '������� ������'����� ��� ��� ����� ����� ��"������������ "��'���� �� ����� ���� ����������������������������

��� 2 , 2 2;y x y x= = +

�� 2, 2.y x y x= + = − +

��������������

���F��'��� � '������ ����� ������ ������� /�������������������������'�������������������������� �/�������������������� �����"�����)'����������������������������������������������������������� �/�����������������"��'��

#���������$��#�����#������

��������

:���� ���������� � 1

2 5,y x yx

= − = ���

2y x x= − ������������,

:����� ( ) ( )0 , 1f f ����2

3f

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠����

( ) 3 4.f x x= −��� �������� �������������� ��������������>

� � ��������������������������������"��'�����'����������#

� ��-��������������

-����� �������� �� ���� ��� '�������� �������������� ��� ������������"��'�������������� ��������� ��� ������� ����� ���

( )0,2 .A

"�� ����������

��

����

� �

� �

� �

2x +

2x− +

� �

� �

� �

2

y

x= −

+

2

yx=+

'@�9(

%�

&�

M����� ( ) ,f x ax b= + ������������������������������������������������������� �����������

�����'����������-�9(�F��'����'����������������� �������� },,)(,/),{( RbabaxxfyRxyxGf ∈+==∈=

���������"������������������'���������������������� ��

22

yx

=+

'@�9(

2y

x=

Page 109: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

:������� ��� ( ) ( ) ( )0 , 1 , 3f f f �

���������� ( ) 2 2 .f x x x= −

+ � ��� � ��� ( ) 2 1.f x x= + � 3������� ��� ���� ���

����� �������������������"

( )( ) ( )( ) ( )( )1, 1 , 0, 0 , 1, 1 .f f f− −

/������� �� �������� '����

( ) 2f x x= �����

� { }2, 1,0,1, 2 .fD = − − �(����� �����������������

���'�����

���������M����������������� �������������#

��������� �� �������� ��� '������ �����

{ }1,0,4, ,fV = ����������������� ����������������

��������������������������"��'���

�������� � �

F��'����'������������ �������

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,4 , 1,1 , 0,0 , 1,1 , 2,4 ,fG = − − � �����

"������������ ������ ������������ ����� �� ����� ��

��������"���������������

)1−2− : 7

( )1,1( )1,1−

( )2,4− ( )2,4

��2− 1− � � �� � � � �

M���������������'�������� ( ) 2 ,f x ax bx c= + + ���������������������������������������� 0a ≠������ ��������� �� ��� � M����� �� ��� �� �����'���� � ������ -�9( � ������ ����� �� ���� ��

( ) 2f x ax bx c= + + ����������� 2 .y ax bx c= + + �F��'����'������������������� �������

� }0,,,/),{( 2 ≠++=∈= acbxaxyRyxyxGf

���� ���

��������

:������������������� �� ( ) ,f x ax b= + ����

( )0 2f = ��� � ( )2 0.f =:����������� ������ ���������������

� ( ) 22 3 ,f x x x c= − + ���� � ( )0 5.f =

5����������'����

( ) 2 .f x ax bx c= + +(���������'�������������������

( ) ( ) ( )0 0, 3 45, 2 20.f f f= = =

���������!��������������������������'��������������

0

9 3 0 45 ,

4 2 0 20

c

a b

a b

=⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩

���"��������������������#������

��������������� �5����������'����� ( ) 25 .f x x=

� �

:�������������������� ( ) 2 ,f x x bx c= + + ����������"��'��������K����� ������� ( )2,0A ����

( )3,0 .B −

Page 110: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

5����������'����� 2.y x= ������� ���������������������'��������

���������0� �������������������#

����� 0,b c= = ���������'�����������������'����� ( ) 2 , 0.f x ax a= ≠

����� 1a = �'������'��������������������������������'����� 2.y x=

{ }0; 1; 1; 2; 2; 3; 3; 0,5; 0,5; 1,5; 1,5x ∈ − − − − − �������������������������������"��'������������

�����������"������ �/����������������������"�������������"��'���

��

D : 1− 2−7 4 3−

D : : H H > >

D�I :�I0,5− 1,5−

D�7I D�7I 7�7I 7�7I

/������ ����������������������� ( ) ( )0,0 , 1,1 , ( ) ( )2,4 , 2,4 ,− �

( )1,5;2,25− ��������������"��'�������'������ 2;y x= ��������

'���������������������������������"���������

-��������#����������������������"��'�������'���������

'������������������������������'�������������������

������"����������������'�����

0�������������������������������������"����������'����

���"����������( ) 2, ,x y y x= ����� R∈x ������"��'��� �6�����

����������������'��������������������������������� ��

�������������������

M���������������� ( )0,0O ��������������������������"��'���

���������������'������ ����

/���)������� ( ),M x y ���������� ����

� } dhe /),{( 2 Dxxyyx ∈= ������� ���� ( ),M x y′ − � ����

��������� ����������������������������������� ������

()!�*'��� !�* �&)!�*'�'�!'��*+'! ��)!��,�* ������ �������

���� ���

������� � � ��

������� � � �

�������

��

( ),M x y′ −

Page 111: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��� ����������� ���� ���������������$������������

����������� ( ) 1,f x ax= − ���� "

:������������������� �� ( ) ,f x ax b= + ���� "

�(� ( ) ( )0 1, 1 1;f f= − = −�(� ( ) ( )1 2, 2 0.f f= =

:���� ���������� � ������������������������

����"

�(� ( ) 25 2 ;f x x x= + − �������(� ( ) ( )1 ;f x x x= −%(� ( ) 2 3;f x x x= − ����������� (� ( ) 23 ?f x x=

�� ���

�(�1

1, 2, ;2

a a a= = =

�(�1

1, 2, .2

a a a= − = − = −

:����� ����������� � �� �� � ��� ����������

( ) 2 2 ,f x x x= − ���� "

�(� .}2,1,0,1,2{ RDf ⊂−−=

�(� .]2,2[ RD f ⊂−=

?����� ������ ���������� ( ) 22 5 3.f x x x= − +:�������� ��"

�(� ( )0 ;f ����(� ( )1 ;f ���%(� ( )2 ;f − ��� (� ( )1,5 .f

?��������������������� ( ) 2 .f x x=8(�3������ ���� ����

9(�0�$������������ ������������

5(�*�� � �������$����������� ��������������������

���������� ��"

�(�����.��4�������.��7����(�.��7������.�:�%(�����.����������.���������� � 1 2 0;x x< < (�����.����������.���������� � 1 20 .x x< <

3− 2− 1− 0,5− D D�I : 47�

��

:�������� ����������������������� �� ����������

( ) 2 4f x x mx= + + ���������������"

�(� ( )1,2 ; ����(�( )1,2 ;− ���%(�( )3, 2 .−

3��%������� �������� ������������� ������������

����"

�(� ( ) ( ) 22 2 5;f x m x x= + + −�(� ( ) ( )22 2 3;f x x m x= + − +%(� ( ) ( )2 24 3 1 ?f x m x x m= − + + −

?����� ������ ��������� ( ) 22 .f x x bx c= − + +:��������� �+����� "�(� ( ) ( )0 2, 1 3;f f= =�(� ( ) ( )1 3, 2 6.f f− = = −

:����� ���������� ( ) 2 ,f x ax bx c= + + � ���

( ) ( )1 6, 1 2f f− = = ��� � ( )2 3.f =��

:���������������� ( ),f x ����

( ) 21 3 2.f x x x+ = − +��

0�� ���� �������������

( ) 2f x x x c= + + ��� �� ( ) 21 .f c c− =��

Page 112: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

"��$#���$��#����� ( ) 2f x ax= ����� ( ) 2f x ax c= +�

��������

������ ���������������������� 2 ?y x=

:����� ���$�������������������� ����'��������������(��

�������� ?},/),{( 2 Rxxyyx ∈=

:�����������������������������

Rxxy ∈= ,2 >

-����� "��'��� �� )������� ����'�������#

� �

��� ( ) ( ) ( )2 2 21, 2 , ;

2f x x f x x f x x= = = ����

�� ( ) ( )2 22 , 2 ;f x x f x x= = − � ��� ������� �����

�������� �+�������,

������������M������������������� ��������������#

��

���

21

2x

2− 1− � � �

� � � � �

� � �

��1

2

1

2�

!��������������������� ������'����������������

"��'�����������'"����

-���������������������� ��� ������ �����

��������"������������"�������� ����

�����

� �

!"������ ������� ��� ���� ���������� ����������� ��

���'������'���������������������������������

���������������������������������

����� 1,a > �����������������������������������'��������������������������������������������������

������������"���������� � �� �"��'����'�������'������������� ������

��M������������������� �������

���

����

�� �� � � �

� � �

� �� � �� �

������� � � �

��

��

��

1

2a =

1a =2a =

Page 113: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���������'��������������������"��'����

-���� ��� �������� �� ������ �� ���� �� ���� ����� ��

������� �6������"�����"��'����'������ 22y x= − �����

���'�����������"��'�������'������ 22y x= ������'�����

����������� ������

-���� ��� '������� 22y x= � � ���� 22y x= − � � ���

������������������� ������

F��'����'������ 2 , 0y ax a= ≠ �������������������

����������� ��� �/������������������"��'��������� 0a > ��

�����������������������������"��'��������� 0a < �������

����������� �������������"���������'���������������

����� 0,a > � �������� � ���� ���� ������ ������� "�� �����

��������� ����������������� 0,a < ������������� ���������

���������"���������"������� �������

���� ���

/���'����� 2 , 0y ax a= ≠ ����#�� ( ) ( ),f x f x− = ��������������������������"��'�����'�����������

���� ���������������� ������

?����� ������ ���� ( )2,1M � ��� ��������� � ���� ���

����������������$�������

��������

. �������%������ ������������ ����������������� �������������������� ����

� ( )2,1M

:����������������� ����� ������ ��

������#

�(����#���5������������

�(����#���H�������������

-����� "��'��� �� )������� ����'�������#

� �

( ) ( )2 2, 2f x x g x x= = + ����� ( ) 2 3h x x= − ��

������ �� ������ ��������� ���� ����� ���� �����

��������������"��'�����

���������!������ ���� ������������������'�������

������������������ ����������

D

1−2−

:

7�I

4

( ) 2f x x= ( ) 2 2f x x= + ( ) 2 3f x x= −

����

� 2 6+ =� 2 3+ =� 2 2+ =� 2 3+ =

���� 2 8,25+ = 2 11+ =

� 3 1− =� 3 2− = −� 3 3− = −

���� 3 3,25− =� 3 2− = −

3 6− =

2a =

2a = −

���

��

�� � �����

Page 114: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

6�������K���������������������'���������������� ( ) 2f x x= ����� ( ) 2 2,g x x= + ������������������������)��

��������������������������� ( )g x ����� ��������������������� ( ).f x

�������������"��������� ( )h x ���� ������'������������� ( ).f x

6������� "��'��� � '������ ( ) 2 2g x x= + ����� ��

'��������������������� � �� ����������������"��'���

���� ( ) 2 ,f x x= ��������������������� ���� }/),{( 2 Rxxx ∈ �

����������7��������������������

/�������"��'����'�����

( ) 2 2g x x= + ����������� ��������������������������

��������� ������ �/���������������"��'�������������

( )0, 2 �������������������������� ����

/��� "��'��� �� '������ ( ) 2 3h x x= − � �����

���'����������"�#�"��'������������� ����������������

����������4�������������������������� ( )0, 3− ����

������������ ���������������

-������"��'������'�������� 212

2y x= − + ����� 21 3

2 2y x= − − �������������������������������

�����������������������������������������������

D

1−2−

:

7

20,5 x− 20,5 2x− + 20,5 1,5x− −2−

0,5−D0,5−2−

D

:�I

:�I

7

D

3,5−2−

1,5−2−

3,5−

��������

F��'����'������ ( ) 2f x ax c= + ����������� ������������ ( )0,T c ������'�������������������

���� ����� 2y ax= ����� c ������������������������� �������� ����� 0,c > ���������� c �������

�"���������� ������������ 0.c <����������� ���������������� ������

���� ���

������ � � � �

��

22

yx

=+

23

yx

=−

2y

x=

32−

212

2y x= − +

21

2y x= −

21 3

2 2y x= − −

Page 115: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/�� ������ 0,a > �������������� ( )0,T c �����������������������"��'��� �.������������� 0,x = � ( )f x c=

�������������������"������'����� �/���������������� ���������������������'������������ [ ), .fV c= ∞

���� 0,a < �������������������������������������"��'��� �.��������� 0,x = � ( )f x c= ������������������

��������'����� �/������� ���������������������'������������ ( ], .fV c= −∞

-���/��������������������������'�����������������������������������������"��������������������� � ��

� 0����������������������'������ ( ) 2 , 0.f x ax c a= + ≠

+��M����������������'������������"������������������ � �� � RDf =

,��6��������� ����������������� ( )0, .T c

������-������ miny c= ������ 0,x =

�����.�� ��� maxy c= ����� 0.x =

+�� RD f =

,��3

0, .2

T ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ -��F��'����'������������������������������

���������������

G��������'������� 22 1y x= − ����� 22 2.y x= +���-�����"��'�����)������������'��������������������"��'�������'������ 22 .y x= ��!���������������������'�������

!���������������'������21 3

.2 2

y x= − −

���������F��'����'��������������������������������������������������������#

.

/��1

0,2

a = − < ����������'�����������������

max

3

2y = − ����� 0.x =

0�$������������ ��������� � ����������( )1 3− ��������������

���� ������������"

�� ���

� �(� 2 2 212 , , ;

2y x y x y x= − = − = −

�(� 2 2 21, 2 , ;

2y x y x y x= = =

� 2 2 22 1, 2 1, 2 3.y x y x y x= − + = − − = − +

�2 2 21 1 1 3

2, 3, .2 2 2 2

y x y x y x= − = + = +

.������������� ���������������� ������

Page 116: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0�$������������ ��������� � � ( )4 6 ,− ���������%����

�������� ����������� � �� �� � �� � �� ��� ��� � � ��

�������� ����� ��������� � "

� �(� 2 2;y x= − + �(� 2 3.y x= −

� �(� 22 4;y x= − �(� 213.

2y x= − +

� �(� 23 1;

2 2y x= + �(� 23

3.2

y x= − −

� :���������������� ( ) 2 ,f x ax c= + ���� "

�(� ( ) ( )0 2, 2 0;f f= =

�(�1 3

1, 3.2 2

f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

:������������������������ "

( ) ( ) ( )3 3 5, 0 4.f f f− = = = −

:������������������������ ����� ��������� � �����

������������������������ 2y ax= �����"��(�$�������

��9=����(�$���������4>

�� 3������������� ����%�������� ���� ��������������� �

������� 2 1,y ax= − ������������ ��������"

�(� 2 ;y ax= ����(� 2 2;y ax= + ���%(� 2 5?y ax= −

"��$#����$��#����� ( )2y a x α β= − +�

?��������������� ( )2,1M �� ����� ����������������

��$�����

��������

. � ������%������ � ������� ��� �������������������������������������� ���"

�( )2,1M

:����������������� ����� ������ ���

-����� "��'��� �� )������� ����'�������

� �

( ) ( ) ( )22 , 2f x x g x x= = + ���� ( ) ( )23h x x= −

����������������������������������������������

��������"��'����

���������!������ ���� �������������������'������

�������������������� ����������

�(����#���4���������������(����#���:����������������

A��������� 2 , 0y ax bx c a= + + ≠ � �� � Rcba ∈,,��� ����������������

3������������������� ����� �������������� "

�(� ( )22 1 ;y x= −

�(� ( )2 22 1;y x x= − + + −%(� ( )2

3 1 2.y x= − +

� �� �������� ��������

�� � � ��

�� � � ��

� � �

� � �

� � �� �

Page 117: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

F��'����'�����

( )23y x= − � ������ '����� ��

����������������� ����� 2y x=����� ���������������������4����

�������������������������������

���������������������� ��������

������������������ ������

F��'����'������ ( ) ( )2f x a x α= − ����������� ������������������ ( ),0 ,T α ��������������'�����

������������������� ����� ( ) 2f x ax= ������ ���������������� α ���������������� 0,α > ����� α����������������� 0.α <���������������������� ����� ( ) ( )2

f x a x α= − ��������������� ,x α= �������������������������

���� ��������������������������� ��������������

���� ���

-�����"��'�����'���������� ( ) ( )211 ;

2f x x= − − ����� �� ( )21

2 .2

y x= − +

-�����"��'�����'������ 22 4 2y x x= − + − �����������������������

���������M������������'����������'������������ ( )22 1 .y x= − − �M���������� ���

����'����� 22y x= − ����������������"��'�������

F��'����� � '������ ( )22 1y x= − − � ��� ��� '��������

��������������� ����� 22y x= − ������ �����������������������������

� 2− 1− � � �

�8− 2− 2− 8−22x−

F��'����'������ ( )22y x= + �������'�������������������"��'��������'������ 2y x= ������ �����

�������������������

-�������������'�����#

+�� RD f = ,�� ( )1,0 .T

/�� 2 0,a = − < �'���������������� max 0y = ����

1.x =

-�� ( ],0 .fV = −∞

.�������������������������������� 1.x =

Page 118: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

������������������������������ ����������������

������%������ ��������������� ( ), :M x y �����������

9�����������5������>

�������������� ���������������������"

�(� ( )2

1 ;y a x α= − ���(� 22 ,y ax c= +

������������������������ 2 ?y ax=

� 0����������������������������"��'���

'��������������'�����

� ( )2.y a x α β= − +

.��������������"��'�����'�����

�2

1 32.

2 2y x

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

� 2− 1− � � �

� �21

2x

1

2�

1

2

���������!������������ ������� ����������������

'������ 21

1,

2y x= �����������������������

'���������� �������������������"��'������������

������%���� ������������&���������

/������ �� ��������� "��'��� �� '�����

2

2

1 3

2 2y x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠�������������������"��'������

'������ 21

1

2y x= ������ ���������������������

3

2�������������������� �������%���������������&

��������

���'����������������������������� �������������������������������� �����������'������"��'�����'�����

21 3

22 2

y x⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

������ �������%�������������������&���������

-�������"��'�����'������������������������ �������������������������������3

,2 ,2

T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����������

������������������������ �������������1

0.2

a = >

!��� ( ) ( )2f x a x α β= − + ������������������������'������������

F��'������������������ ��� �6���������� ��������������� ( ), ,T α β ������� ���������������������� ����

��������������� .x α=

���� ���

2

13

2

22

yx⎛

⎞=

−+

⎜⎟

⎝⎠

2

21

32

2

y

x⎛⎞

=−

⎜⎟

⎝⎠

21

1

2y x=

Page 119: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

-�����"��'�����'������ ( )22 3 4.y x= − +

���������.��������������'������������� ( )2y a x α β= − + �������� 3, 4,α β= = ���������������

( )3, 4 .T

M�����2

1 12y x= �������������� ������������"��'����

����������������

���

2− 1− � � �

� � �

#

/����������"��'��������������������������4����

( )3 ,α = �������'����"��'��������������������

����������������� ������������������� ( )4 ,β =������������'������"��'�����'�������������

�� ���

� :������������ ��������"

�(� ( )25 2 ;y x= − ����������(� ( )21

3 ;2

y x= − +

%(� ( )21 2;y x= − + ����� (� ( )2

2 3 2.y x= − + −

� 0�$������������ �����������"

�(� ( ) ( )22 3 ;f x x= + �����(� ( ) ( )21

2 ;2

f x x= −

%(� ( )2

1 3.

2 2f x x

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

� 0�$������������ �����������"

�(� ( )213 ;

2y x= − + �����(� ( )2

2 1 ;y x= − +

%(�2

3 1.

2 2y x

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

� 0�$������������ � �������� � ���� ����������� ���� �

���������"

�(� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 2 , 3 ;f x x f x x f x x= = − = +

�(� ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 , 2 , 3 ;f x x f x x f x x= − = − − = − +

� 0�$������������ �����������"

�(� ( )23 4;y x= − − − �����(� ( )21

2 1;2

y x= − + −

%(� 2 2 4.y x x= − +

� :��������������������� ���� ������� ��� ��� ��� �

����������������%������� �����������"

�(� ( ) ( )213 ;

2f x x= − ��������(� ( )2

2 3 ;y x= − +

%(� ( )232 3.

2y x= − +

� 3������������� ����%�������� ���� �����$�� ���� �

������� ( )22 1 ,y x= − ������������ ��������"

�(� 22 ;y x=�(� ( )2

2 3 ;y x= + �����%(� ( )22 4 ?y x= −

���%�������� ��� ��������������� �����$�� ���� �

������� ( )22 3 ,y x= − ������������ ��������"

�(� ( )22 3 3;y x= − + �(� ( )2

2 3 5;y x= − −%(� ( )2

2 1 4?y x= + +

Page 120: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

:��������� �α �����������

( )2y a x α= − ���� �������������������"

�(� ( )1, 4M − ��� � ������������������� ( )3,0 ;T�(� ( )4,1M − ��� � �������������������� ( )2,0 .T −

�� :�����������������������������%��������������� ������

����� �� �������������� ��������� �����������"

��(� ( ) 21;

2f x x= −

�(� ( ) 22 5;f x x= − ����%(� ( ) ( )22 2 .f x x= +

0���'������� �� '����������

'����� 22 4 6y x x= − +�������������������"��'���������

"��$#���$��#����� ( ) 2f x ax bx c= + +

� �

��������

���� ����$����� 2 0ax bx c+ + = � �� ���������

0,a ≠ �� ��"� 2 0,b c

x xa a

+ + = ��������

2 22

2 20,

4 4

b b b cx x

a a a a+ + − + =

��� � � �������� � ��� �%�������� ��������� �����2

.2

bx

a⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠A���������� 2 4y x x= − � ���������������������

( )2.y a x α β= − +

��������

6��'���� �� ������� ������� �� B������ ����

���������������� ( )22 2 3 .y x x= − +

.�� �������� �� ����� ��� ���������� �� �������

�������������������������������#

( ) ( )22 2 22 2 1 1 3 , 2 1 2 ,y x x y x⎡ ⎤= − + − + = − +⎣ ⎦ �� � �� � ( )22 1 4.y x= − + �/���������������

1, 4,α β= = ������������������ ( )1, 4 .T

0���'���������'����������������'����� 2y ax bx c= + + ���������������������������������

"��'������������ � �� ����� ����

��������

6��'�������B��������������������������� 2 .b c

y a x xa a

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

?����������b

xa

�������������������������������������� 2 .2

b bx x

a a= ⋅

.������������������ ��������������

2

2

b

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�����2 2

2 2 ,2 2 2

b b b cy a x x

a a a a

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠� � �� �

2 24.

2 4

b ac by a x

a a

−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�/��������������'����� ( )2

y a x α β= − + ����

24, .

2 4

b ac b

a aα β −= − =

Page 121: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

,��6��������� ������������24

, .2 4

b ac bT

a a

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎝ ⎠

/��#$��% $����� $$�� ��� &'�� ($� �)'**)'�� � %+���� ���� ��$ $� 2y ax bx c= + + ��(� % $�(�

�� ���'��2 24

,2 4

b ac by a x

a a

−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠�� � �� � ( )2

.y a x α β= − +

���� ���

+��F��'����'������ 2y ax bx c= + + ����������� ���

-��+���'���������������������������'����������

-�����"��'�����'������ 2 2 3.y x x= − −

���������6��'��������'������������������ 1, 2a b= = − ����� 3,c = − ����������2

b

aα = − =

/��������������������� ����� ����� 2y ax bx c= + + ������������������������������������ �������

������������ �?����������������� ��������������������������� �������� �������������������

21

2

−= − = �����( ) ( )22 4 3 24 12 4

44 4 1 4

ac b

⋅ − − −− − −= = = = −⋅

�������������������� ( )1, 4 .T −

/��� �������������������������������������� 1.x =P������������������������������ �������� ������������������������� 0x = ����

20 2 0 3 3.y = − ⋅ − = − �.����������������������������� ( )0, 3 .A − �F��'����������������������������

������������������������������ ������������ ����

R������������������������������� �������� �����������

���� 0y = ����#

21/ 2

2 4 122 3 0, ,

2x x x

± +− − = = �� � ��

1 23, 1,x x= = − ���������������� ( ) ( )13,0 , 1,0 .B B −

-������������������������ �����������������������������

��������������������� ������ ������ 2 0ax bx c+ + = ���

����"������������������������������ ������������� ����

���������������������������������������������������������

���)'�������"������������������������"����

F��'�������������������������

Page 122: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

F��'�����'���������������������������������������������������"��'�������'������� 2.y x=

M������������������'����������'����������

�������� ( )21 4,y x= − −

���� 1, 4.α β= = −

M������������������������� �������#

/��� �������������������������������������� ��������

������������� ( )1 .α =

/��� ����������� ( )21y x= − � �� ������������������

���� ( )4β = − � ����� ������ ��� �� ���������"����

6������ ���� ���� �� '����� ������ "��'��� � '�����2 2 3.y x x= − −

��

2− 1− � � �

� � � � �

-�����"��'�����'����������������������������������������������� ����#

��� 21 52 ;

2 2y x x= − + + �� 22 4 3.y x x= + +

������������6��'����������1 5

, 2, .2 2

a b c= − = =

22

1 54 2

2 4 92 22, ,

1 12 4 22 42 2

b ac b

a aα β

⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟− ⎝ ⎠= − = − = = = =⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

������������������9

2, .2

T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

/��������� ����������/��� 0x = ����� ( ) 50 ,

2f = ����������������������

50, .

2A⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

/��������� ������ �/��� 0y = ����� 21 52 0

2 2x x− + + = ����� 2 4 5 0,x x− − = ����� 1 21, 5.x x= − =

�/��� ���������� ��������������� ( )1,0B − ����� ( )5,0 .C

/��� 1

54,

2A ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠����������������������

50,

2A⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠��� ������������������ 2,x = ������������� ����� �

��������������� ����

()2

1y

x=

2y x=

( )21 4y x= − −

Page 123: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

10,

2a = − < ����� ���������������������������� � ��

"���������"������� �������

F��'�������������������������

��6��'���������� 2, 4, 3.a b c= = =24 4 2 3 4

1, 1,2 2 4 2

α β ⋅ ⋅ −= − = − = =⋅ ⋅

������� ( )1,1 .T −

/��� 0x = ����� ( )0 3,f = ��������� ( )0,3A ������

������������� �������� ������

/���������� ������ �������22 4 3 0x x+ + = � ��� ��� �"������ ������ ���

8 0.D = − < �.�������������� ������������� ����

/�������������������"��'���������������������������

����������� �/��� 3x = − ����

( ) ( ) ( ) ( )23 2 3 4 3 3 9, 3,9 ;f B− = ⋅ − + ⋅ − + = −

���� 1x = ����� ( ) ( )1 9, 1,9 .f C=2 0,a = > ����� �������������������������������

F��'�������������������������

�� ���

� :������������ ���������"

�(� 23 6 2;y x x= − + �������(� 22 8 ;y x x= − +

%(� 213 1.

2y x x= − +

� ������ ���������������������������� "

�(� ( ) 2 2 ;f x x x= − �����(� ( ) 212 2;

2f x x x= − +

%(� ( ) 2 5 4;f x x x= − + �� (� ( ) 22 4 .f x x x= − −

� 0�$���� �������� � ����������� ��� ������ ��� �����

������� "

�(� ( )22 3;y x= − + ���������(� ( )2

2 4;y x= − + +

%(� ( )21 31 .

2 2y x= − +

� 0�$������������ ������������� ��������� ���������

�������������� 2 ,y ax= ���� "

�(� 2 2 ;y x x= − �����������(� 22 4 ;y x x= − −

%(� 212 8.

2y x x= + +

� 0�$������������ ������������� ��������� �����

����� ����� ����� "

�(� ( ) 2 3 ;f x x x= − + �������(� ( ) 22 2 4;f x x x= + −%(� ( ) 2 2 5.f x x x= − + +

� 0�$������������ �����������"

�(� 2 4 4;y x x= − + �������(�21

4;2

y x x= − − +

%(� 2 2 3.y x x= − +

������ � � ���

� �

�� �

����� � � � �

���

1x = − ������� ��������������������� ����

Page 124: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� 3��%������� ���������� �,������ ( )4, 7T − ��������� ��

���������������� 2 ?y x px q= + +

3������� ( )2y a x α= − � ������ ���� ����

( )1, 1M − ��� � ������������������� ( )3,0 .T �:�����

���� � .α

3������� ( )22y a x β= + + � ������ ���� ����

( )4,1M − ��� � ������������������� ( )2, 3 .T − −:����������� � .β

�� 3������� ( )2y a x α β= − + � ������ ���� ����

( )3, 1M − ��� � ������������������� ( )4,2 .T �:�����

,a α ��� � .β

:������� ����������������������������

!���������������'������������

�������������������������$

+��#���� � ���$�%�������� M����� ������� �����

�����'������������"������������������ � �� � RD f =

��������$��#�����#�����

��������

1�� �%������ �������������������������������

��9�����8�+,

213.

2y x= −

� �

,�������������������M����������������'�����������2 24

,2 4

b ac by a x

a a

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠����������

���� ����������� ( )24

, ; , .2 4

b ac bT

a aα β α β −= − =

M���������������������������������������"��������������������������������������������'�����

/��� 0a > � ���� ���� ������ �� ������ "�� �������������� ��������������������

/��� 0a < ����� ������������������"���������"�������� ������������������������

/���� �� $��� � � � %��$�������

2

min

4

4

ac by

a

−= ����� .2

bx

a= −

2

max

4

4

ac by

a

−= ����� .2

bx

a= −

Page 125: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

(�����������������������'������� 22 4 5.y x x= − − −

���������/��� 2 0,a = − < ����� ������������������"���������"������� �������������'���������������2

max

4

4

ac by

a

−= �����2

bx

a= − ��� � �� � max 3y = − ����� 1.x = −

/�����������������������������'����� 2 2 5y kx x= − − ��������������� ��� �������� 2?−

-��&��$���� ��� �� ����%��$���������-������������������������� �����������������������'��������������

������������� .fV

0���������/� ������������������������ ( ], 2 .fV = −∞ −

(������������������������� ���������������������'������������

214 .

2y x x= −

���������M�������������������� 0k < ��2

max

42,

4

ac by

a

−= = − �������������( )4 5 4

2,4

k

k

− −= − �����

��� 20 4 8 ,k k− − = − �� � �� �1

.3

k = −

����� [ )0, , ,fa V β> = + ∞ ��������� ( ]0, , .fa V β< = −∞

���������6��'����1

0,2

a = > ����� �������������������"����������������� �������������'�������

������ ( )2

min 8 0 ,4

by c

a

−= = − = ����� 4.x =

������������������������� [ )8, .fV = − +∞

.��� ���� �%��$��������2�������'���������������������������������������"����������������������� �2����

���'�����������"��������� �������������������������2�������'����������������������"������ ��������

���������������"��'������� ������

(�������������'�����#

��� 22 3 2;y x x= + − �� 2 4 4;y x x= − + ��� 22 2 5.y x x= − +

2"������������ �������� �+�������,

����� �������������������������������������������������"��'����'������� 2y ax bx c= + + �����

���� �������

������������/���� 0y = �������� 22 3 2 0.x x+ − = �2"����������� 1/ 2

3 9 16,

2 2x

− ± +=⋅

�� � ��

1 2

1, 2.

2x x= = − �.���������"��'����'������������ ���������������

1,0

2A⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠����� ( )2,0 .B −

Page 126: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E���������������'������������ 2y ax bx c= + + ���������������� 2 4D b ac= − ������������������� ������

������� 2 0.ax bx c+ + =

���� ���

+������ 0,D > ���������'������������������������ � �� ����� ���� 2y ax bx c= + + ������� ��������������

,������� 0,D = ����������������'������������� ,2

bx

a= − �� � �� ����� ����������� �������������

, 0 .2

bT

a⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

/������� 0,D < ���������'������������������������� �� ����� �������������������� ������������ ����

/����������������������,�"��'����'�������������� ( ) 2f x x px q= + + ������� �������� ��������

����� ( )1,0A ����� ( )3,0 ?B

� �'� ��� �%��$������� 2 .y ax bx c= + +

��������

?����� ������ ���������

1,y x= − �������������%����

������������������$�����

������

������

������

1x = �������$ �� ������������

0,y > ���� � ( )1, .x∈ + ∞

0,y < ���� � ( ),1 .x∈ −∞

0�������������������'���������������������

�������������������������������'����������

��������������������"���

(�������������'������������

� ( ) 2 2 3.f x x x= − −�

��������

6��������� ����������� ( )1, 4 .T −

/���� 0,y = �� � �� � 2 2 3 0x x− − = �������� 1 21, 3,x x= − = ����

���� ���������� �������������� ( ) ( )1,0 , 3,0 .−

$�������������������������"��'�����'�����������������

����������������

-���������#� ( ) 0f x > ����� ( ) ( ), 1 3, ,x ∈ −∞ − + ∞� ������

( ) 0f x < ���� ( )1, 3 .x ∈ −(1, 4)T −

����������

Page 127: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

(�������������'�����#���� 2 2 3;y x x= + + ����� �� 22 6 .y x x= − −

������������6��������� ����������� ( )1,2 .T − �/���� 0y = ����� ������ 2 2 3 0x x+ − = ����������

������������� � �� ����� ������������� ������������ 8 0.D = − </��� 0, 3,x y= = ��������� ���������� ������������

( )0,3 .A � /��� ( )1 2,3A − � ������ �������� ��� ���

( )0,3A ��������������������� 1.x = −F��'������������������������������#����������

6��'���� 1 0,a = > ��������� ���������������������������

�����

/����������������'���������������������)�������������

� � ��

0y > �����)��� ( ), .x ∈ −∞ + ∞

���������������������'���������������������������������������������#�%-�����"��'������

��������������'������������ KK

!���������������,

��������

+��(�����'������������'����������'�����

,��(���������������� ����

/��(����� ����������� ����

-��(�������������������� �������� ��������

����������

$��������������������������������"��'����'�������������������������#

.��-����������������'�����

0����������������������-�����'�����

1��!�������'�����

-�����"��'����������������������'������ 2 4 3.y x x= − +

�:

�������������� �

+��M������������'���������� .fD = ���������

,��6��������� ( ),T α β ������24

2, 12 4

b ac b

a aα β −= − = = = − ��� � ��

( )2, 1 ,T − ������� ( )22 1.y x= − −

-�/��� 0, 3;x y= = ����� 1 20, 1, 3;y x x= = = � ( ) ( ) ( )0,3 , 1,0 , 3,0 .A B C

/������������� �������������������� 2.x =

.�� min1 0, 1a y= > = − ����� 2.x =

0�� [ )1, .fV = − + ∞

1�� ( ) 0f x > ����� ( ) ( ),1 3, ,x∈ −∞ +∞� ������� ( ) 0f x < ����� ( )1,3 .x ∈

!� !

����� � �

Page 128: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

� :������� ��� ��� � ��������������"

�(� ( ) 2 8 13;f x x x= − +�(� ( ) 2 10 21;f x x x= − + −

%(� ( ) 212 .

2f x x x= −

� :���������������� ��� �� ��������������"

�(� ( ) 22 3 ;f x x x= − +

�(� ( ) 212 1;

2f x x x= + − ����%(� ( ) 22 3.f x x= −

� :�����$ ��� �����������"

�(� ( ) 2 7 ;f x x x= −�(� ( ) 2 2 15;f x x x= − − +%(� ( ) 22 4 2;f x x x= + + (� ( ) 22 3 5.f x x x= − + −

� ?��������������������� ( ) 22 .f x x bx c= + + �:����

���� �+����� � 1 22, 3x x= = − ������$ ����������������

� ?��������������������� ( ) 2 3 .f x ax x c= + + �:����

���� �+����� � 1 1x = − �������$ �� ��������������

��� � ( )2 0.f =

:������� ����� ������������( )6 7 :−

� �(� ( ) 22 7 3;f x x x= − +�(� ( ) 22 1;f x x x= − +%(� ( ) 2 2 5.f x x x= − + −

� �(� 2 6 9;y x x= − + − ������(� 22 6 ;y x x= −%(� 24 4 1.y x x= + +

���%�������� ����������� ���������������"

�(� 2 4 5;y x x= − − ����(� 25 3 2;y x x= − −%(� 23 ?y x x= −

0�$������������ �������������� �%������ ����� ����"

�(� ( ) 2 6;f x x x= − + +�(� ( ) 22 4 ;f x x x= +%(� ( ) 2 4.f x x= −

�� 3��%������� ���������� ���2

2

6 2x x− + +����� �������������>�:���� ������� ��

3�� %����� �� �� ��� { }1,3,5,0x ∈ − � �����$���2 1 0x x+ − > ����������������������� ��>

2"������� ������������

� 2 3 10 0.x x− − <������� �G� ���������"����������� ���������

������������������������������ �/�������������

���#

�� ��������#�������

��������

3������� a b⋅ ��������$�������� ������������$� ����������$������� ��������� ��������������

����.

0

0 ose

0

00

⎩⎨⎧

<<

⎩⎨⎧

>>

⇔>⋅b

a

b

aba

� �

!���������$������ � ������$����>

:�������������������$������ � ������$����

5 0?x − >

( )1/ 2

3 9 4 10,

2x

± − ⋅ −= ����� 1 25, 2.x x= = −

/������ ( )( )21 2ax bx c a x x x x+ + = − − � ���

( )( )2 3 10 2 5 ,x x x x− − = + − ������� �����������

( )( )2 5 0.x x+ − <

Page 129: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

6��������������������������� . 5

2 ose

5

2

05

02 ose

05

02

⎩⎨⎧

>−<

⎩⎨⎧

<−>

⇔⎩⎨⎧

>−<+

⎩⎨⎧

<−>+

x

x

x

x

x

x

x

x

2"����������������������������� ( )1 2,5 ,M = − ���������������� 2 ,M = ∅ ������"���������� ��������������

������ ( ) ( )1 2 2,5 2,5 .M M M= = − ∅ = −� �

!����������"������"������������ �����������'����������"��'�����'��������������

2"���������� �������������� 2 3 10 0x x− − < ������������������������������������������'�����������2 3 10y x x= − − � '��� ������ �"����

��������7 �

2�������'���������� 1 22, 5.x x= − =

6��'���������������������������������������� �����������������

"������������������ �������

/����"��'�������B�����������������"��������������������'������������"������ � �� �"��'��������������

������ �/������� 2 3 10 0x x− − < ����� ( )2, 5 .x∈ −

G� ������ ( )2 , , 0,ax bx c+ + > ≥ < ≤ ���� 0,, ≠∧∈ aRcba ������������������� ���

���� ���

(������"�������������������� �������( )2

1 31 .

4 2

x x− −≤ −�

���������/������"��������'�������� ����� 2 4 3 0.x x− + ≤/��� 11 0, 4 0, 1,a D x= > = > = � 2 3.x = � /����� �� � ���� ����� �����

����������������

/��������"������������ { }1,2,3 .M =

2"������ �������#

��� 2 6 9 0;x x− + > �� 2 6 9 0;x x− + ≤ ��������� 2 2 5 0;x x+ + < ����)�� 2 2 5 0.x x− + + <�

(�����'������������'�������'������ ( ) 23 2 .f x x x= − −

���������N������������������������������������������������������������������������������������"���

23 2 0x x− − ≥ ����� [ ]3,1 ,x ∈ − � [ ]3,1 .fD = −

/�������'����������������������'���������� �����������"����������

�� ������� 23 2 0.x x− − > �6��#

( )1 0, 4 4 3 1 16 0,a D= − < = − ⋅ ⋅ − = > � 1 21, 3;x x= = −

Page 130: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

(�����'������������'�������'�����#

��� ( ) 2 9;f x x= − �� ( ) 2 3 7.f x x x= − +

(������������������������������������������������� ( )2 2 2x k x k− − + − �������������������

���������0�������������������������������������������� 0,D ≥ �� � �� � 2 4 0.b ac− ≥ �$�

������������� 2 8 12 0.k k− + ≥ �2����������������� 1 22, 6.k k= =

���������

����������� =7

4 ���������

/��� 1 0,a = > � ���� ��� ���� ���� ��������� ������ �����

F��'�������������������������� �/���������������#

2 8 12 0k k− + ≥ ����� ( ] [ ), 2 6, .k ∈ −∞ +∞�

/������������������������������������������� ( ] [ ), 2 6, .k ∈ −∞ +∞�

�� ���

� �(� 2 16 0;x − < ������������(� 2 4 0;x − ≥%(� 225 0;x− > ���������� (� 2 1 0.x − ≥

<������������$�� ������ �( )1 6 :−

� �(� 2 2 15 0;x x− − ≤ ������(� 2 2 0;x x− >%(� 2 3 4 0.x x+ + >

� �(� 22 3 0;x x− + ≥ ������(� 2 2 3 0;x x− − + <%(� 2 3 4 0.x x− + + ≤

� �(� 22 2 1;x x x− + ≤ −�(� ( ) 22 3 3 .x x x x− + > −

� �(�( )25 0;x + ≥ ����������(�( )2

5 0;x + >%(�( )2

5 0;x + ≤ ��������� (�( )25 0.x + <

� �(�( )( )2 2 3 0;x x− + ≥�(� ( ) ( )2

2 1 3 .x x x+ ≤ −

� :������������ ������$������������������"

�(� ( ) 22 ;f x x x= −�(� ( ) 2 9;f x x= − ������%(� ( ) 236 .f x x= −

<����� ������$�������� � ��� ������������$�������"

�(�2

0;3 2

x

x

− ≥−

����(�2 1

0;2

x

x

− <+

���%(�3

0.2

x

x

− ≤+

3��%������� �������� ����������$���

( ) ( )21 2 1 2 5 0k x k x k+ − − + − = ����$ �� �� >

�� 3��%������� �������� �������������

( ) 23 2 2k x kx k− + + ������������ ���$ �� �� >

Page 131: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����������������������������$��%��

�(�3

;yx

= �(� 2 3;y x= − ��������������%(� ( )1 ;y x x= − �(� ( )3

0 ?x

y xx

= ≠

:���� ������ ��������� � ����������� "�

,������������������������������������������������������������IIIIIIIIIIIIIIIII��

A����� ������$������������������������ 22 3y x= + ������� ______________.fD =�

���������������� ( )23 2y x= − + ��������������"

�(� ( )3,0 ;T − ����������(� ( )2, 3 ;T − ���������%(� ( )2,0 ;T − ��������� (� ( )2, 3 .T − −

;����������� ���������������� ( )2y a x α β= − + �������� ���$��IIIIIIIIIIIIIIIIIII��

A�������������� 2y ax bx c= + + ���������������� ������������ � _______ .x α= =�

0�$������������ ����������������� ( ) 2 ,f x x c= + ���� "����(� 1;c = ������(� 4.c = −�

:���������������� ������������������������%������� ����������������"

�(� ( )25 1 4;y x= − + �(� ( )2

3 2 3.y x= − + −

0�$������������ ������������������"��(� ( )22 1;y x= − − ��������(� ( )21

2 2.2

y x= − − +

3������� ( )2y a x α β= − + ���������������������� ������������������������:����� , , ,a α β ���� "

�(� ( ) ( )4, 1 , 2,1 ;M T− �(� ( ) ( )1, 1 , 1, 5 .M T− − −

��

������ ����������������� �����������"������������(� ( ) 22 4 4;f x x x= + + �(� ( ) 2 2 .f x x x= −��

0�$������������� �����������"�����(� ( ) 22 6;f x x= − + ����(� ( ) 213.

4f x x x= + −��

0�$��������������� �%������ ����� �������������� 2 2 3.y x x= − + +��

:������� ��� ��� � �������������"��(� ( ) 2 3 ;f x x x= − ������(� ( ) 23 6 8.f x x x= − − +��

:���������������� ��� �� ��������������"��(� ( ) 2 2 1;f x x x= − + − ������(� ( ) ( )2 3 .f x x x= +��

<������������$�� ������ "

�(� 2 6 0;x x+ − < ����������(� 26 1 0;x x+ − ≤ ���������%(� 2 16 0.x − ≥

��

Page 132: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������������#������

� 0� �� ������������ ( ) 2 1f x x x= − + ��� 1x = − ������"��(� 3;− �����(� 1;− ����%(�:=���� (�4� :

� ;��������� ��� �� �/���������������� 23 5y x= − ������� ____________.fV = 7

� ;����������� ��������������� ( )22 3y x= − + �������� ���$�� ��%������� ����$����"

�(� 3;x = − ��������(� 2;x = − �������%(� 2;x = ������� (� 3.x = :

� *�� ��� ����������� 2 3 5y x x= + − ������������ 2min 3 5.y α α= − − �-����������� ������"��(� ;x α= −

�(� 5;x = − ��������%(� ;x α= �������� (� 3.x = :

� �������� ( ) ( )2f x a x α β= − + � ��� �� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

������������������� ( ) 2f x ax bx c= + + ��������������%�������������������� ����� ( ), .T α β

� ,������������������������ 22 4 3y x x= − + � � �������������������"

�(�( )6, 4 ;− ���������(�( )0,0 ; ��������%(�( )0,2 ; �������� (�( )0,3 .

��� � ( ),T α β ���������������������������������������������������� 2 ,y ax bx c= + + ����� ���� ��

( )f α �������������������������� ( ) ____________.f α =

7

:

7

� ���������������� 212 3

2y x x= + − ����������"

7�(� ( )2,5 ;− �������(� ( )2, 5 ;− ��������%(�( )2,5 ; ��������� (�( )2, 5 .− −

:���������������������� ( ) 2f x ax c= + ���� "

�(� ( )0 2f = ��� � ( )2 0;f = �(�1

12

f⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

��� 3 11

.2 5

f⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

4

�� 0�$������������ �����������"���(� ( ) ( )22 1 2;f x x= − + + ������(� ( ) ( )2

1 2.f x x= + − 4

�� :��������� �β ��������������� ( )22 ,y a x β= − + ����������������������������������������� ( )1 0, 2M − ���

( )2 2,2 .M 4

�� 0�$������������ �����������"���(� ( ) 2 4 ;f x x x= − ��������(� ( ) 22 4 6.f x x x= − + + 7

�� <����� ������$����"���(� 22 3 0;x x− > ��������(� 2 5 6 0.x x− − + ≤ 7

�� :������� ����� ������������ ( ) 212 .

2f x x x= − + 7

�� :������������ ������$�������������������"

�(� ( ) 2 12;f x x x= + − ���������(� ( ) 216 .f x x= − H

Page 133: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����- �������������������������"�������#

/���� �/��������������������'��

!����������������������

/����� �/������������������� ���'��

!��������������� ��������

!���������������������

6� �/��������������� ���'���

!��������������� ����

!������������������������"����

���:H4

���:H= ���:=;

���:=H

���:=D

���:I=�

��

.��������������������������'����� ���:<7

��!����������������������������"���� ���:ID

(��� �/����������������� ���'�� ���:I4

.���������������������� ����:<4�

���� ��� �������� ���� �

#$%&�'()('�*�)*&$�

:4H

:4<

Page 134: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����(������������������������$���

��������

�����$�������������������$��� �� ����� ����� �

1��������$��� ������!�����$�� � %��� ���������� �

� ����%���������� ����$��>

:����������� � �� ���$������� �%������ � ������� ���

�$���>

:������������������������ ��������� ������� �����$���>

� ������������������������������������������

?�������������"��������������'�������������'������ ����� ��� ���� ������ ����� �������������� 0������ �� ������"�������������� ����� ����� ���������� ���������������������������������

!������������������'�����������'������� � �� �%��'�&�������������������!��� �������������� ������������������������������������������

0��)����������������������������������������������������)������������� �����������������������'��������

��

� ?��������������#������ *����� ������*�����������,��/��,

��������������������������������������������������������'���������

(����������������������/����������������������������������������������������,

$���������%�������&������������%��������������&

� ������ � ������ �������� � ��'����� ��� ��

����������������������������������������

���'��������������������'�����������������������"�����������

"�� ��� ���� ��� ��� ������� ��� )������ ����� ��

��������������

!

"

#

#�

!�

"�

� �� ���

�/ /

* +

,

��

"�

,�

��

Σ

1Σ+�

Page 135: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0�����'��������������������'������������������������������������������!���������*����"�����'���������������� �����������!�������������������� ��������� ����������� ��� �������������������"���������������� ��� ������������������

E��"������������ �������������� �������������

!�"��������������������������������������������������������������������������'�������������������

����������������������������������������������

, ����������������������������������������

0������� ��������#������.���������������.������*����������������#���

� ���

� ����

0������������������ ���������#���������������.�������.������ �!�������������������,

��������������������������������������������

!��'�������������������������������,

+'���� ������ ����������������� �� ���� ������ ������� ��� ������

�����������,

!�"�����.����������"������������� �P��������������������������������"��������������

������������������������������������������� ����������������������������������� �������������� ������������������������������������������

!�������������������������������������������������������������,

/�������������� ��������������������������������������"������������������������

/ ���(���������������������������'���������������������������"����, ��!�����������������'�����������������������������,�����������������'���������������������������������������������������������������������"������'�������������������������,

����������������� �����������������"��������������������'������� ��������������� ������������

���������������������������������������� ���� ������ ���������������

-��������������������������'����Σ ����������������������������#

(��������������������Σ ������������������� ���������������'" ���*

���������������������Σ �����������������������������������������'" � �*

����������������������Σ ���������������������'���������������'" ���*

(���������������� ������Σ ���������������������������������������������� ������'" �)�

��

* +

,

*�

+�

,�

��

Page 136: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

+'���������������������#

����������������������������������)'�������������������� ����*

�����������"����������������������*

������������"�����������������������*

)���������������������������������,

-������"������������������������������ �?�����������"���������������

��"�������������������

- (�����"������������"�������������������������� 8cm, 6 cma b= = ����� 24cm.c =

���������0��"��������������"��������������#�������� ��� �������������������������������������������

���"������������������

2 2 2

1 1 .BD BD DD= + �/���2 2 2BD a b= + �����

2 21 ,DD c= �'��������

2 2 2 2 ,d a b c= + + �� � ��

2 2 2 .d a b c= + +

.��������

2 2 28 6 24 676 26cm.d = + + = =

. (�������"��������� �����������$�

0 E��"��������������������������������������������$������$���������$� �����������������������������������������

��������� !������� ����� � M����� ������� ��� � ������� �����������"���� �E��"������������������������������������"�������

���� ABCΔ ������������������������������ �!����������������

������������'���������3����#

�� � ��

��

*

+,

*�

+�

,�

)�

.

�����.cm 3618918S ;18)17109(

21

)(21

s ,))()((

2=⋅⋅⋅==++=

++=−−−=

s

cbacsbsassS

Page 137: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

1 0������� �������������������������������������������$������$���������$� �������������������������������������������

�� ���

������ �'�(������������������� ���������� ��>���

���� ������ ����� � ����������� �����������>+

������� �������� ������� � ������� � ������ �������"�(��$���� ����� =

�(��$������������ =

%(��$���� ����� >

,

*���������� ��$������� ��������������� ������

7I�������� ������������ ���� ������� ��������7D����:�������������� ��$����

/

3��� ��� �������� ������������ �$��� ��4�����I����� �<�I�����:��������������� ��������� ���������

-

�(����������� �������� �����$��������������� >

�(�!���� �� ��$����������������� ����������������:���������������� ��������� � �����$����

.

;�$�� ��$�������� ���� ��������� �:7������ �:=������ ���� �� ���� �� � ������� � ���� �

��� � �����$����

0

������ � ��� �� ����� � ��� �$���� ��� �����

������������ � ������ � ��������� � �)���� ���

������� � ��� � ��������� ��������

1

������������ �� ���$���������������������� �����

������!����������������������� � �� �����������

���������������"

�(�� � �� ���������� ������$���������� =

�(���������������$���������� >

2

��������� ��:����0�$���� � �� ����������������

���� ���� ������� � ��� ��$��� �� � ����� ����

��������� �� � � � � ��� ��$��� �� ���� 3������ %����

������� � � ��

3

�����������������������

��������

�� ��������������

3��� ������

G����

)� $�

2121

ddS =

hba

S ⋅+=2

) ��������

+

α

αsin21

bcS =ahS21=

+

� � �

))()(( csbsassS −−−=4

32aS =

haS ⋅=

Page 138: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� !��������������������������� ���������#���� ���������������������������������������'������������������� ���������������������"�������

!������������������ ����������'������������������������������������

���� ���

!�����!����������������������'������

������������������� ������������ �������������������'�������������������������� �������������������������������

+ ����������������������������"��������������������������� ����

5 cma = ���������������� 12 cm.s =���������%�9�7"�8��*�"�9���*���9�H��*�%�9�7���8�H����/�������������������������������#

���� ,125452 2 ⋅⋅+⋅=S ����%�9�7>D�����

, !�������'��������������������������%����#��������������������������* ���� ����������*���������������"�����"���������������������� ������������������/

���������M���������������������������������"���� �/��� ������������

��������"��������K��"������������������*���������������������������

���� ����������������������� 1 1 1.A B CΔ �/�����#

/ /����������������������������������������������������������

��� ���� 1 1 18cm, 10cm, 14cm,a b c= = = �������"��������

������ ������ ������ � 30cm.s = �������� ������������� � ��

�����

( )1 1 1 1 1 1 ,M a s b s c s a b c s= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + ⋅ ���� � �� � ,1 sPM ⋅=����������������������������������� ��/���������������������� ��� �������������#

���� ���

!������������ ������������������������������� ��� ���������������������������������������������������"�������������������������

,1 sPM ⋅=

��

+

��

��+�

!�

"� #

�������%�9�7"�8����

���������������������� ,96030)14108( 21 cmsPM =⋅++=⋅=

Page 139: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/�������������������������������������"���������������������������������������������������������������� ���

/������������������������ �����������������������#

,HPM ⋅=

�������������������� ���������/����������������������

- ��������������� ���������������� ��� � ���"�������� ������� ���� 1 8cmd = ����� 2 6cm.d = �(����

���������������������������������������������� 10cm.H =2 2

2 2 2 21 24 ; 4 3 25, 5cm; = 4 5 10 = 200cm .2 2

d dM a H a a M

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = + = + = = ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��������

:������������������� � �� ������ �����������>

:����������������������� ����������������� �%����������

�������>

:����� ��������� � ������� � � ��� �$���

5cm, 3cm, 6cm.a b c= = =3�� ��� ���� �� ��� � � ����� � ��� ����������� ���

���� ��������� ����������� ���� ������������ ���

��������������� �� ��� ��������� ��

�����$���������������������$���� ���$������� �

�� ������������ ��� �������������������

��������������$�������� ��� ��>

� $����������������������������������

��������������������������

E������������������� ���� ������ ��������������������������� ���������������������

��'������������'��������

.����������������������������������"��������

���������������)���������K����������������

���������-������������������� ���� �������������������������������#

-�����-���������������������� ��

0�������������������������������� ��� ���� ��

������������������������������������������������ ���������������������������������� ��� �����������������������������������������

��

/��������������������������������� ���������"��������������������������������������"�������

��

!����������������� ���������������!0����������� ����������������������������������������������

������������������������ ����������������������

. �������������������������������� 4cm, 2cm, 3cm.a b c= = =

Page 140: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���������-��������� ��������������������������������������

4 2 8a b⋅ = ⋅ = ����������� ������$� ������ ���)����������

�������������������������� ����������$���������'�������������

������� ��=������������� �0�����������;������������� �0�

���������� 3c = �������������������������������������"�������

( ) ( )4 2 3 24a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = � ���� �������� � /������� ������

������������� ;V a b c= ⋅ ⋅ �����������

����������� ( )3 34 2 3 cm 24 cm .V = ⋅ ⋅ =

M������������������������������������

V a b c= ⋅ ⋅

������ �� ������ ������� ������������������� � ���� ������ ���� )'����������������� ����

�!�������������"������������������������� �

= 0��"�������������� ����������������������'������� 3.V a=

���� ���

-�����-���������������������� ��� ���������������������� ������������������/����������

.V B H= ⋅

!���������������'�������������������"������������������������"����������0���� �� �������������������������������� ����������

��������� ��)������� ��'������ ������������������� ������� �� ��� ����,��������� ��� ���� ���������

+ � ��� ���.���� ��������������� ���.��� �� ������ � �� ����� . ����� �� + ��� ����� ���� ��� �� ���������� ������

���� ��� �� �� �� ������� ����� �� ���������

.��������������)'�����������������������

����������������������������������������������

( )H c= ����������� ��� ��� ����� ( )B ab= � ��

������������������������������'������'������

�����������-�����������������#

.V B H= ⋅

+

"�

+

Page 141: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

< ������������������������������������������ ���� 10cm.a = �/������������"�����������������������

������� ���� ���"���������������'��������������������������"��������� ������������ ������

16cm.s = ����������������������

������� �)������������ ����� ���������������� ������������������

����������������������������������"����� ����'�������������������

������������������'��� ���������������������������������..�����

���'������������������� ����.�12������� CTC1∠

/���������-���������������������������/����������*�����������������������������"�����.11�.�������������������������������"������������

/���� 1CTCΔ ����� 0sin 45 ,H

s= �� � �� �

2,

16 2

H = ����� 8 2 cm.H = �/������

2 310 8 2, 800 2 cm .V B H V= ⋅ = ⋅ =

; 0������������������������������������"�����$������������"���������������������������$� ����$��������$� ������������������

������� �-�����-� � ������� ��� ������������ ��� ��������� �������

'������

����������������������������������������������������"�������������������������������

1 ,V B s= ⋅

���������� EFGΔ ��������������������������������� �F���������� ����������������"�����������������������

�������� � � �� � 13cm, 14cm, 15cm,a b c= = = � ���� ��������� �� ,EFGΔ � � ����� '�������� ���3����

������ 21 21 8 7 6 84cm .B = ⋅ ⋅ ⋅ = �.��������� 384 20 1680cm .V = ⋅ =

> 0 /���������������������������������������������������������������������*�������������������� ������������������� ��������������������� ����������������

=

:D

7�I7�I

������� �-��������������������������������������������� ����������� ���������

����������� 1300 m.H = �!������� ����������

�10 6

,2

B h+= ⋅ ���� 2 2 22,5 2 ,h = − �� � �� � 1,5m,h = ����

2 38 1,5 12m ; 12 1300 15600 m .B V B H= ⋅ = = ⋅ = ⋅ =

# -

&1���

��

2

-�

&�1�

#�

+ ��

&

1 3

=

:D

7�I7�I

7

Page 142: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

:: $ ������� �����'�������������������������������������������� ����

�� ���

3�����% ���� ��������������$������ ��������

���������� �� ���������� ���������:���$������ ���

:���>

:

:D P ������'���������������������������� ������ ������������������ �+�����������������"����������"���������$����������������$� �!������������� �����'���,

���������+����������������'�����������������������������$������$��������$����������������������#3300 25 2 15000cm .⋅ ⋅ = �/��� 3 31,5m 1500000cm ,= � ���� ��� 1500000 :15000 100,= � � � �� � '������

����������������

2 m, 1,5ma b= = � ���� ������� 1,8m,H = � ��

������������2

3����������� �!�����"�������������

��� �����������"��������#

��0������� �����1������,

( )3 3 322 m 1,5 m 1,2 m 3,6 m 3,6 1000 dm 3600 dm .

3V a b H= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = �.��������������� ��

���������������1������

) � �� ���$�� ���������$���� �����������7I����

7>������ �4=�������� �������������:=7D�����

�� ���������������� ��� ���������� ��$����

7

�� ������������� ���������� ��$������� �����

����������� ��������� �:I�������� ������������

������� ������ �������:7����

4

;�$�� ������$��������������� ��������� �:;����� �7H�������� � ������ ��������������� ���

������ ��� ��������� � ������� ���$������ ���

��������� ���������� ���$����

H

) � �� ���$�����������$���� �����������4�����I����� �<�������� ������ ���������������;�������%���

� �������� ���$�������������� ���=D����� ���

��������� ��$����

I

O�������� �������������7�;����� ����������HD����������� �$���7=DD��� �������*�� ��� ��

:���������������� ������ �HDD��� ��������������������������>

= 0

���� ��� ������ � � � � � ��� ������

� � � �ID������ �� � � � �� �������� ���< $*P

1234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678123456789012345678901234567890121234567812345678901234567890123456789012123456781234567890123456789012345678901212345678

2

3H

/

1212

1212

12

1212

11

1212

1212

11

12

1212121111112121212121212121212111212

111212121212121212

111212121211121212121111121212121212

1111212121211

1112

1112121112121212

11121211121211121211111212

1112121112121212

��������� �� ���� �����ID��"�� ����� ���������� �� �������� ������%������������

; 0*P

� ��� ����� �������� ���$�������������� ���

%����� ������ 4D� ���� ��� � ����� ��� ��� �& �

( )336 36dm=� ���������

�(� ������� � � � � ������ � � ������ � �� ���

����� ����� ��������IL��� ������ ��� � � �

�������>

�(����� ��������������� � � �����

:����� � � ���������HDD�� ���>

�4=D������������4<�I����� ��� ���������$���7I���

��� ���������������������I������ ���� ���:���

���������7ID��"� �� ��>���� ����������������

� �� ��������� ������� ����������B� ��>

Page 143: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������(�������������������������$���

��������

�����$������������������������� �������

%

!

" #

-&

!�������� ���������$������ � �������� ��������� �

����� >

) � ������� �%!��� �%"����������� ����������%!���

%#�>

� ��������������������������'������������������������������������'����������

������������������������������������ ������

!���������������������������������������!�

������������������������������ �������������

���������

E��"������������'������� ����������� �� ������

�������������������/ ���������#� .H SO=

%

! "

#- 2

$

!���� ������ ��� ������ ������� �����#� ����������� ������������

��������������

/������ ���������������� ����� � ������*� ���� �������� ���������

������'�������� ��0��������'����������������������������� ��� ����

������� � �������������

���� ���

/������ �����������������������������������"�������������������������������� ��� ����������������

����������������������

: ������������������������������������"�����������������!��.� ���+'�������������������'���������������������������������, ��+������������������������"�������������!����� �������������������"����,

E���������'�����������������������������"������� ������������������

��������� �������������

+'������������������������#����������&�����������/�������������� �����,

%!"#-&�

�-���� SONΔ ���������������������������2

2 2.2

ah H

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠�

%

! "

'

%

$

-

2 �

Page 144: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

7 ���!���������������"������������������� �����������������������"����, ��+�������������)�������"������������������������ ��� ��������������������������������"����,

� /����������������������'��������#

(� ������� �������� ���� ���'��� ������ ����������� ���

��������������"��������'" ���*

(������������������������'������������������������������'����������������"�����������'" � �

/�����������������������������������

+���/�������������������������������������������������"�����������������

,���/������������������� ������������������������"������

/���!�������������������������������������� ������������������������������"��������������������

��������������

4 E������������������������� 18 cm,H = ��������������� ������������������ 2675 cm .Q = �������

���"�������� �����"������������������������������������ 21 75 cm ?Q =

���������-����������������������������������������������� �/�����

�����������������������������������

!����������/�����#2 2

1 1: : ,Q Q H H= ���� 1 1H SO= ����� .H SO=

6���������� 2 21 175 : 675 :18 , 6 cm,H H= = ����

1 1 18 6 12 cm.OO H H= − = − = �.���������������������������"��

���$������� ����

/�������������������"�������������� ���������������������������������������������������

0�����������������������.����.�������������������"���

H 0����� ���������������������������������� 6 2 cm,a = ��������������������� 8cm.H = �����������

������������������������������� 21 18 cm .Q = �(�����"��������������������������������������������

���������������������

%

!

"

#

#�!

"�

$

��

�� �

0������������#

Page 145: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

I ������������������������������������"������������������!��.������������ ���������"�������� ��������������/����������&��������������������α ���������������������� ����������β ��������

���������������� ���� �+'������������������������������������������������,

/���� 2 2 2: , 2.ABC d a a d aΔ = + =

/����2

2 2: , .2 sin

a HSOT h H h

α⎛ ⎞Δ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

/����2

2 2: , .2 sin

d HSOB s H s

β⎛ ⎞Δ = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

� � � � �

222

222

2 d.m.th.

2 : ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+=Δ a

sha

hsSTC

= 0����� ����������������������"����������������������� 28 cm,a = ������������������������ 20 cm.s =�������������3��������������"�������������������&

�� ���

+������� ������������ �������������� ������

9cm,H = ���� �� �������$��������� 12cm.a =�� ����������� � � ����� � �������������������

3cmr = � ��������

:

������ � ��$��� ��� ���� � ����� � ������:ID� ����

������ ����� � ����� � �������IH���������

������������� ���� ��������:H������� ������������

���������

7

3�������� ����� �� �� � �� ���$����=�����::����� �:I���������� ��� ������������������� �

� ���$����������������� ���� ������������� ���

������� � � ��

4

) �������$����������������� ������������������

������ � 5cm,a = ���� � � ���������� ��������

��$�������������� ��=D����� ����������� � � �

�������� ����������� �

H

����� ���������� ���'� ���������$��(��2�'��������(�

��'��� ��(�� �������� � ��������������� �%����

���������� � �������� ��� � ����� ������ '��

� %�� ��("

�(� 18, 15, ?a h H= = =�(� 10, 12, ?a H h= = =%(� 21, 29, ?H h a= = =

I

:������������ � � ����������� ��������������

��������������� �� �� ���� ���$��������� �� �������������������β �� ���$��� ����������

=

���������-���������������������������������#

, , ,ABC SOT SOB STCΔ Δ Δ Δ ������ ���#

0���������/��"���������'�������"�����������

βα

! "

#-

� 2

a

%

��

2

$2

d

;�$�� ���������� ������������������ ��� � �

����� ����������������������� ���$����) ��������

���������� �������������� ( )6dms = ��� ������

����� ��HI��� ���$������ ����������� ���$���

<

/���

Page 146: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E����� ��������������������������������)�������� '����� ��� �)'������� ������� ������ ���������'���������)'��������������������������������������������������������������� ��������������� ��� �����������#���������������������������� ��� �������������� ��������������������

�������������������������

��������

:����� ������ ����� � � ������� ������� '������������� �(� ����������� >

!��������������������� � ������������� �������������� �����>

� *������� �� ��� ������� �����'������ �

�������������������'������������

���� ���

!�����%�����������������������'��������%�9�"�8��

������������������� ������������� �������������������'�����������������������#��������������

: /�����������"���������������������� ����� 12 cma = ������������� 8 cm.h = �������#������������

�������*������� �����������������������

������������!������� ����������� 2 2144 cm ;B a= =

�������������������� 24 2 12 8 192 cm ;2

ahM = ⋅ = ⋅ ⋅ =

��/����2

2 22 2: 100; 10 cm.2

aSTC s ST TC h s

⎛ ⎞Δ = + = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

7 $ ������ �� ��� ��� ����� ������ ������� �� ���"����� ��������������� ����� �� ���� 5m,a = � �����

�����������'�����������������"������ �!���������������� ������������ �����������������������������������������������,

��������

0�������/����$������ ���� ��� ��������� ,V B H= ⋅������������������� ������������/�������������������������

����� ���� �������������������>

� 1�����'������'�������������������������

�������������������������������������

��������������� ����

������

# -

&1

%

��

�������������������������%�9�"�8���9�44=���

Page 147: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����������'������������������ ������������������������#������������� ����������������������������

���������������'����������������� ����������������������������������������� ���������������� �����

������

6��� ������ ���"�� ��� ������

������������������������������"��

�����������������

/��� ������ � � ������� ������ �

��� ��������� ,B H⋅ ����������#

���� ���

-�����-������������������������� ��� �������������������������������������������/����

������������� ������� � ��

1.

3V B H= ⋅

6����"������������������������������������������������������������������ �����

4 �����������������������������"����������������������"����

16 cmd = ���� �������������������� 17 cm.s =�

2

2

d���������2

21; 128 cm ;

3 2

dV B H B= ⋅ = =

22 2 31

289 64 225, 15 cm; 128 15, 640 cm .2 3

dH s H V V

⎛ ⎞= − = − = = = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

H ����������������������������������� ��������$� ����$� ����$������������� 20 cm.H =

I �������������������������������������� ���� 16 cma = ����� 6 cm,b = �������������������������

�����������"���������� �������������������������$�� �(������������������ �����������

Page 148: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

!������������������������������������������!.�12�� ��������������������������������������������������������������������������������������������"������

2

# -

&1

%

-���� ��� '����� �� �������� ������� )'�� ���� )'�� ���� ����������

���������������������� �/������

2 2 ,2 2

a bah bhM = ⋅ + ⋅

���&������������������ ,CDSΔ �������&������������������ DESΔ ������������������

/����1

,3

V a b H= ⋅ ⋅ � � �� �1

128 16 63

H= ⋅ ⋅ ⋅ ����� 4cm.H =

/�������������������������!������#2

2 2 2 24 3 25,2a

bh H

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠������������ :SOTΔ

22 2 2 24 8 80.

2b

ah H

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠. � �� 5cmah = ���� 4 5 cm,bh =

���� ( ) 2 216 5 6 4 5 80 24 5 cm 133,7 cm .a bM a h b h= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + ≈

= ����������������������� ������������������������ ������"����� 1 16dm,d = � 2 12dm,d = �������

�������"�����"���������������� 218dm ,Q = ������������������������������������������"������

< (���������������������������"�������������������������� ������������������������������������������������������������� ����

�$

%

� 2

� �

�3

2

av =

���������6��#�4

3332

2aBBBMBS ⋅==+=+= ������

1 3,

3 2

aTO = ⋅ �������&��������������������� ������� 2 ,M B= �� � ��

�����2 3 3

3 2 ; .2 4 3

ah a ah⋅ = ⋅ = �.���������

2 22 2 2

2 3 3,

3 6 3 12 4

a a a a aH

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

����

.2

aH = �6�������

433 2a

S = ��������2 31 3 3

, .3 4 2 24

a a aV V= ⋅ ⋅ =

12341234123412341234123412341234123412341234123412341234123412341234123412341234

'

2

# -

&1

%

$

����

21 1 3.

3 3 4

aV B H H= ⋅ = ⋅ ⋅ �E�������/��������������������

�������������%$�����������#22 2 .H h TO= − /������

��"�����$����������������������������������� ������ � ��

Page 149: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

�� ����������� ������������ ��������������� "

�(�� ����������:I������ �������� ���$���7I=����=

�(�� �� ����������4<������ ���� ����4I����

:

+������� ���������� ������������� ����� �

��� � ��������4�#�H�' ��������������$�(�����

������ � � ����������� �������� ������� ���$��

��7DD������:�������������"������$���

7

�� ���� ������� ����� � ��� �������� ��� �����

� ������ � � ������� 4 cmH = � �� � ��� ��

8 cm.h =

4

�������������$�� ����%������������ �����������

������ 32 cma = ��� � 10 cm,b = � ��� � ��$��

���������������� � ��� ��������� � �� ������������

:7;D�������� ���������������� �������������

H

�� �����������%��� ����������/� ��� � � �� ���� ��

������� �� ���"

�(�=���=�������(���

I

��� ���������� ��� ���� ���� � ����� ��

��������� ����� ��������� ����%����������

:I� �� �� ��� � ��$�� ������ � �������

����� ����� ����� ���I�I������ ����� ��$�

<�4�������� ���� ��� ��������������� �

�����'� �������� %���� ��������;�>�"C���(�

= 0��P

���� ������������������������������

������������������������������������

��������������� �'����$�(�� �� ����

��$���4��� �� � �������7���� ��� �:���

��������;DD�� ���>

< P��$

�� ���������� ������������� ����� ����

��� ����� ��� �������� ��� ������ ����#

����� �� �� ���� ���$��� 3,4 cma = ���

� ���� ������ 7,5 cm,s = � ��� � � ������

� %���� � ���� �����������:D�I:�"C���>

; 0��P

!����� � ��� ������ � �������� ��� �����

��������� �� �� ���� ���$���I������� ������

����� ����� ������� ��� ���$���������HI��

���%���� � � �� ������� �� ���� �$���

<D������ �:HD���� ����� ���� ������ ���� ��

������ �� ��������� �������������� ������

��� ���������� ��:DL� ������������ �����>

> 0

- ��� � %����� � ��� ������ � �$���� ��

������ �������������� � � ���� � ��$��

8 ma = ��� ���������4������� ����� ���

� ���������� ����������� � ����������� ������������������ ��������� ����%����������H������(��������� ���& ��� ������ �� �������� ����� ����������� �����������4�I����������>����(����� ��������������������� ����� �������� �:DL ������������������������� ��������� ����� � ��� �� �������������� ���� �������� ��>

:D P��$

Page 150: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������������������%��"����

��������

!��������� � ���� � � ��������>

!����������������������� ��� ����������$���� � ��

��� � � ���������>

������ ��� $������������� ���$������ �������������� �������+������"

+ +

2

a bx

−=

hba

S ⋅+=2

22 .

2

a bh c

−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

� /������������������"������������������������������������������������ ����������� �����������������

/������������������������������������������������ �������������������"���

0�� ������ ��� ������ ��������� ������

����������!12"�����������������������������

1�2�"����������������� ����������������

��������������������������"�������������

12"1�2�"�

��������������������������� �������������

���������������������"���

E��"���������������'������������������������ ������������� ��������������������"���������������

����/

M�������������������� �����������!� ���������������������� �����������!������������������������

��"���

+'�������������������������������'�����������������������������"���,

+������������������������������"�������������������,

���� ���

!�����!����������������"����������������'������

%�"�"�8��

������������������������� ������������� �������������������'������������������������� ��������������������������������������"����

&

1

3

&�

1�

3�

2

&

1

3

&�

1�

3�

%

��

Page 151: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

: �����������������������������"����������"���������������������������� ������ 16cma = ����

1 6cma = ������������ 12 cm.H =

%�"�"�8�*� ���������������������

2 2256 cm ;B a= = 2 21 1 36 cm ,B a= = � ������ ��

������ '����� ������� ���� �������� ���������� ��

������������� ������������'" ��������

��������

14 ,2

a aM h

+= ⋅ ⋅

���&��������������������������

0�������� ����������������������������������������������������"����������������������������"������

��� ��������������������������������� ����� �/���� 1TNTΔ ����#

2 22 2 22 2 21

1 1

16 612 169, 13 cm.

2 2

a ah TT TN NT H h

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = + = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

6������� 216 64 13 572 cm ,

2M

+= ⋅ ⋅ = ������%�;=H����

7 0�����������������������������"����������������������"��������� 18 ma = ����

1 5, 4 m,a = ������������������������ 10,5 m.s = ���������������������������

��������

:����������� ����� � � � ���� � ������������>

������������������"� �������������$���"����� � �

��� � ������������� >

. � �����������������������������������>

� 0��"����������'������������������

�����������������������"��������������

/����������"�������������������������������

����������%�������&*���������������������������

������������������

-�����/���������������"������������ ��� �����������������

�����������������������%�����&�������������������������������������

( ) 1

1 1,

3 3V B H x B x= ⋅ + − ⋅ � � �� ( )1

1.

3V B H B B x= ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ *������

"

"�

2

!���������������������������������������������������������������#

�/����������������������� �����

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

&�

1

3

$

0

0� 3

1�

��

��

��

��

�2

$

��

$�

12112121211212

111212111212

1112121212

11

121211121211121211111212

1212

12

1212

1212

1212

1212

1212

12

1212

1212

12

1212

12

12121212

123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345123456789012345

123456123456123456123456123456123456123456

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890'

12

1212

12

1212

12

1212

1212

12

1212

1212

Page 152: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

( )2 21: :B B H x x= + ���� ( )1: : ,B B H x x= + �� � �� �

( )1 11

11

.H B B BH B

xB BB B

⋅ += =

−−.�����������������������������������������'������ *������� '��������

( )1 1 .3

HV B B BB= ⋅ + +

4 !�������� ������������������������"�����������$�����������$����������������������������%��������&���������$� ������������������������������"���

���������/���� ( )2 21: : ,B B H x x= + �� � �� ������ 2 2294 :150 28 : x= ����� 20 cm,x = ����

28 20 8 cm.H = − = �6������� ( ) 31294 150 294 150 8 218 8, 1744 cm .

3V V= + + ⋅ ⋅ = ⋅ =

H !�������� ������������������������"�������� 236 cmB = ����� 21 16 cm ,B = ��������������������

������ 5 cm.H = ��������������-��������������������������������-

������������%��������&

�� ���

�� ����������� ������������ ���������������

���%������� �� � �� ���$���4D������ �:H������

�������:I����

:

:������������ ������������ ���������������

���%������� �� � �� ���$�� ��:D������ �;������

��� ������� �������������������$����� ����� ����

������� ��=D��

7

:������������ ������� ������� ��������������

������������������ ����%������� �� � ������$��

12 dma = ��� � 1 8 dma = ��� ��������� 2 dm.H =

4

�� ������������� ������������%���������� �������

� ��$�� � ����� 2128 cmB = � �� � 21 72 cm ,B =

��� ��������� ��������������� �E�������F������

:7����

H

�� ������������� ������������ ���������������

���%��������� �������� ���$�� ������<7�������

:;��������� ������� � � ���������� ������

HI�����

I

+������� � �������� � ����� � ��� %������ �����

20 cm.H = �� � �� ���������$������� 40 cm,a =37 cmb = ��� � 13 cm,c = ���� � �� �������$��

�� ������������756�%��

����������������>

=

A����� ���� �� � ����� ��� ������ � ��

������ ������������ ������� �����

< 0��P

���� ��� ��� � � � �� ������� ��������

��� ��������������� ����%�������� �� � ���

; P

���%������� ��������:�I����) � �� ���$�� ������7���� �:���� � �(� �������� ��� ������ ���� '� ������

� %���� � �� �����������<�7�"C���(>����(���������

�������� ����� ���������� � ������� ��

��������D�I� ��>

��$�� � 12 dma = � �� � 1 30 dma = � '��$�����

���� ������� ������(��������������� ��� ����1

��������� ��� �������������������:HDHDD�� �����(����������� ������ ���� ��� � �������� ��������

��������7I�� ������ �:��������������������

:��"��� ��>

�(���������� ��� ���� ��>

%(��������� � � �������������������� �� �����

���� ���'�����$������������� (>

Page 153: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

*�� ��������� ����������� ��� �� ������ ����������������������� ��������������� ����%��������

�& ��:DD�� ���������,� ������������������� ���7�I������� �������� ���$��7�7���������� ������ ��� ��� ���

���>

> $

%���(�����������%������������$���

��������

���� ���� �������� �������� �� ���� ������������

%���������������� �����"����$ ������ ����� �$��� ���

������ �� �������� �� ���� ������������ �%��������

� �����������'��������������������� 0��������������������������'����������

�������"��������

E�������������#�������������������������������������������������#���������������������������������������'������������������������������

0������������������������%��������&������������������������� �����������������������������������������������'"������

�������������������������������������������������������'���������������������������������!����������� .���������������������������� �������������'��������������������������������������������������������������� �����������'�����������

0�������������'��������������������'����� Σ ����� 1,Σ ����������������'�����������������������'" � �

N�������������������'�������������������������'������Σ ����� 1,Σ �������������������������������'��������'������������������������� � �� �'���������������"�������������������������������� ����� ���������������������������������������

���'"���������������������������������������������

# �

#

��

��#�

Σ

#

��

#�/

��� ��

Page 154: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/�������#

�����������������������*

������������'����������������'������������� �������������������!����������*

����������������������������������������������������������� *

���"������������ �������������� ��������������������/*

��"����##�������'���������'�������������������������������� �������������� �����

(�����������'��������������������������

��������������������� ����������������������� ����

����������������

/������������������ ������� ����

: .�������������� �����������������������������#��+�� �����*�������,�� ������*/��������������� ������ �(��� ������������������������������� $��� �������������������������/�������,

��������

������������� ��� �����$���� �%������ � ���� � �

�$���>

!��������������� � ���������� ����� ���$������� ���>

� /��������������������'��#

)���������������������������� �������������������������'" ���*

)������������� ����������������������������� ����'" � �

���� ���

: �+���������������������������������'��������

��������������������� ������������

7 �+���������� ���������������������������������

��������������������� ��� ����������������

���������������������������

7 (�����������$���� �������������������������������� 6 cmH = �������"��������������� �������

7,5 cm.d =

1234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121234567890121212111121212111112121211111111111121211212121212

121212121211

1121111

11

11

11111111

11

11

1111

�� �1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123456789

1234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

1234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678123456781234567812345678�

��

11212

11112

1212121212

1212

1212

121212

12

1212

1212

1212

1212

1212

1212

12121212

1212

1212

1212

Page 155: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���������!����������#�2 2 2

1 1

1; ,

2r AB AB AB BB= = − �� � ��

( )2 2 2 2 22 7,5 6 20, 25, 2 4,5, 2, 25 cm.r d H r r= − = − = = =

4 /������ �����������������������������������������%97I����������������������������������

���� ���

(����������� �������������������������������� � �� ��������� ������������ ��� ����������������

�������������������������

H (�������������� 14cmH = �������������������'�������������� �������������������"�����$������

���������������������������������$�� ���������������� ����

��������� !����� �� ����� ������ 2 .B r π= � /��� ������� ������ ������������ ���

'"��������������.�12����� ���� 14 cmH = ����

,t CD= � ��� ��� ���� 14 84, 6 cm.t t⋅ = = �N����� r OF= � ��� ����� ��� ��

�����������������������������������2"��������������������

.��������� 225 cm .B π= 4 5 cm,bh =

� 4 cm, = 3 cm;2

tOG GF= = �� 2 2 24 3 25,r = + = �� 5 cm.r =

I E�������������������������$������������������ �������������$� ��������������������������������

������������ ����������������������������"�����$���������

� ����� ������� ��� ������������ ������

'����������������������������'����������

������������� ������� ���������������%����������������&

�������������������������������������������'��

�������������������������'" ��������'" � �

12345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345123451234512345

�#

-

&

�)

1 123412341234�

123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234

12345678901234567890123123456789012345678901231234567890123456789012312345678901234567890123123456789012345678901231234567890123456789012312345678901234567890123

2

! "

"�

��

!�

1112121112121212111212

11121211121211121211

#�

#�

Σ

��

)�

)�

��

Page 156: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0������������������������)��������������������� � �� ��������������'�������������� ������������������������

�������������� ������������)���������� ���������� � �� ��������������'�������������������������������

��� ���������������� ���������� ���'" � �

$���������%����&������������%��������������������&��������������������������

�� ���

������������������ ��������� ����� � �������� ���

%��������� � $ �<�I������ ��������7D���>

:

!������� ���� ��������� � �%����������������

� ���������� �����>�')��� �������� ��%������

� ��������� �����"���$��� �%������������ �������� �

� ������� ���������������������(

7

:�������� ��������7H������ ����� ���HD��������� ��� ������������ ��� ��������� �%��������������

��� ����������������� ������������� ��������

� ��� ��������

4

:�������� �������������%����������������������� ������

�� �������������� � ��������� ��� � ����$�� >

����������� ������ �

H

:������������������������� ����$������� �����

� ����� �'������������ �� ��$��������� ����������

��� �������$�� ����%�������(�� �� ���� ���$���=����� ��������;�����:������������ � � ��������

���%��������

I

) � %�������� � �������4���� ������ � ��������

��� ��� ������� ��������������� ����%����������

4H�����:����� $ �� ���$������%��������

=

�������%����������� ������� ����������������� �����

�������� �������� ��� ������$��� ����������

������ ���������� ���� ��:7D���+������� �%�������

������:D�������� ��������� ���������� ��� ��������

� �������� 2 cm.d = ��� ����������� � � ��

<

������ ���$������%����������������������������

��� � �������� ���� : 4.π �:����������������� �

�������� � ���� � �������� �

;

����������������%����

��������

����� ����������� ��� ��� ��������� ������� �

���������� ��� �������������� � ������� �� ���

����������� ������� ����>

!��� ������� � ���������� ����� �� ������� ��� #

������������� ���������� ����������� ����������

� ������������ ����������������������� �>

3 �� ���*��� �������%� ������� ��� �� � $ ���� ���� ��� ��������"

*97�π, %9��π

��� �*������� �� �������$������� �2���������������

�$�������� ������������������������� � ��$���>

Page 157: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� 6����������������������������������'����������������"����������������������������

��������������

/����������������������������� ����$���������������� ������������������ ��������������

������������

��������������������������������2����������������� �����������������

�����"������ ������

0���������������������� ��������� �������������������������������������

���� ���������������������'��������� �������'������������������������"�������

�������������������������� ��!�������������������������� ������������

������ ��������������'������"��������������������������������������������"��

��������������������� ����������� �/�����������"�����������������������

�������������������������������������#

�� !������������������������������������ �������������������"�������������������������

���"���������������������������������

-������������������������� �����������������"����������������������������"��������

���������������

��

.��������'����������������������B�����'���������������������'�������������������������

!������������������������������������������������������*���� ������������������2������������� � ��

*�2��������������������������������������"���� ������������������2��� � �� � .B H⋅

6�������� ��������� ���������������������"�������� �������������%�����������'&������������������

����������"������������������� 2 ,rπ �������������"�"�� 2 .r π �/������

��������������������������

�����������������

2 ,M r Hπ=

2 .V r Hπ=

!�����%����������������� ��� ������������������������������ ������������������������#�%97"8�

/��� 2B rπ= ����� 2 ,M rHπ= �������������������������������'������'������

%97π��87π�2�� � � �� %97π����2�

: 5������������������������ ��� �����:�������� �������7�I��� �-���������������������������������������

Page 158: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234

123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234123456789012345678901234

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

rP π2=

������� �����������'����������������������������"����������������������'��������)������������� ������

������'������������������

6�������%����������&������'����������������� �N��������������� ���������

������������� �������������������������������'������������ �/������

(��������������H�����������������������7H����� �!����������������� ����,

� ����������������������������������������������������������������������

4 ��������������������������������� ����� 6cmr = ��������������������� ��������� 2180 cm .Q =

����������� .cm252)156(62 cm;1512

1802

H ,2 );(2 2πππ =+⋅====⋅=+= Sr

QHrQHrrS

H !�������������������������������������������������������������������B��������������'� �����

���������7H�����������������������������<I����������������� ��������������������:DL�������,

I .��������������������� 10cma = ����� 6cmb = ������������������� ���������������� �������

�������������������������������������'����

1234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456

�������������

a H=

b r=���������0������������'���������������������������������

6 cmr b= = ������������ 10 cm.H a= = �.��������

.cm192)106(62)(2 2πππ =+⋅=+= HrrS2 2 36 10 360 cm .V r Hπ π π= = ⋅ ⋅ =

= 0 0���� ������"�����:7I�������������IDD�" �������������������������������������'������ �����������;�>�"C���

< P��$ ����'�)���'�������������������������;D���������������:�I���������� ����������'�� �!�

��������������"���������'�����'�)�����1� ��'����������ID������,

������� ��-�������'�)������� 2 ; 4 dm, 15 dm;V r H r Hπ= = =316 15 753,982 dm ,V π= ⋅ ⋅ ≈ ���������������������'�)�����������'�������� 754� ��'��

P�������������'����������� 754 50 37700⋅ = ������

2

.22cmS ;cm7,155,214,322

:cm3,62 ,cm14,31 ,222

2222

≈=⋅⋅≈=≈≈⋅==+=

rHM

BrBMBS

πππ

7

Page 159: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

; 0 N�����������'��������������B��:DDD���������������������������������7I�� ���!�������������������������, ��!���������� � �������������������������� ����������������������������� ����������������������������ID���,

���� �� ��-���������������������������������������������� ����������������2��� � �� �����������2

�����������'��������� �������������������'�������������������������������#� 2 .V r Hπ= ��/���

����������������������������'�������� 2 .M r Hπ= �

�� ���

3 ���������� ���$����( )20cm= �������������� ���

��������� �%����������� �����������*������$���

:

6�������������������������������:������"�������H�I�� �!�� ������ '����� ��������� ����������'������������������������������;��"C�4,

7 )

!�������'���������������B��������������������������7�������"������=�����������������'������'���������D�;I�"C���,

4 P��$

����� �������������� ������������������

�� ����<����� ����� ������� �������:�7���� ���������� ������4D�����. ����� ��

�������������������������������>

H 0��$

)��������������%��������� ����� ���=D����� � ��������=�H��� ��� �� ��� ����� �� ��

���������$������� ������������������ �

������������� �������������� ����������� ��

������ ������������� ��>

I 0��$

�������������'�����������������������:I��������������� ��� �����H��������� �������������� ���!�� �������� ������ ��� �� ������ ����������:�����������������:�:<���", ��!�������������������������������:��"��������������:7������,

= $��P

/������������'��������������������� ����� ��� ��� ���� ������ 7;� ���� �����"�������������H�I����������"��������������� ������� ��� ����������� ������� �������� ���������� �!�������� ������������������������������� �����,

< 0��$

F������������������������������7��������������������������HHD����������"�����:�I���������������������'�����������������<�;�"C��� ���-������������ ���������� ���"�����"���������������������������'�������������� ����������������"��� ���!���"�"���������������������������"�������� ����� ����'����� �� "���� ��������'����� ����� � %����'���� �� ��������&�� �������:� �"� "��������� ��"�������H���,

; 0��P

Page 160: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

#��(�����������#����������$��

��������

123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

���� ���� �������� ��� ��� �

��� ����� �� �� ���������������

������ ����� � �� � ��� � ����

������ �������

�������� �����������%������� >

!��� ������ �� � ������� ��� � ��� ������ �� ������

������ ��%������� >

� 0����"������������'������������ � ��

����������'�����������������"������

���������������������������� ��������� � ����

������������������$�������'���Σ ���������!���������������� .Σ

0������������������������"�����������4����������

���������"��������������%4 ��0����������������

4�������������������������� � �� �"�������������

%4�%��������������������������&�������������������

������������

�������������� '������ ��� ����'���� �� ���� ������ �������!��������� �F�������������� �������� �����

������ ����� ��������'����������������������� ������� ����������!� �����������������������!�� ������ �� ����'���������

/����� ����������� ����'�������� ��������������� ����'��������������� ���'����������������� � �

����'�������������������������������������������

N��������������������������������'�����������������%(������� ������

����� �����%$� ������������ ��� ������������� �����

'����������������������� ���'" ���*�������������������������������������� ��'" � �

$�����������%���&�����������������%����������� �&�����������������������������

4� )

%

Σ

�� �

�)

� 2

%

�)

%

E��"���������������������� ������������������������"����%$���������� ���������� �+�����"��������

������������������������������!�����)'����������#������������������������ ����������������� ������������ ���� �0��"�����"�������������������������� ��� ����������������

�������'����������

Page 161: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� �

/��'�������������������������������� ��� ���������������� �F����������������

������������������������������������������'��������������"��� ( )1s ����

���'������������������ ( )2 .s

���������������������� ������2���������������"������������'����������������

���������������

2 2 2.r H s+ =

: E������� �� ��� ��� ������ 4D����� ������ ���'�������������4H��� �!���������������� ����,

6������ ��� '������ �������� ��������� �

��������������������������������������������'"

�������������������������������� ���������

������ ������������������������'" � �

7 0��������� �������������������>����������������<�����"�� ���������������������������� ��������

������� ���������������"���� ���������������'����

2 2 2 2 2; 9 7 32; 32 cm .B r r Bπ π= = − = =

��������

!��������������� � � �� �%��������� �����>

:���� � ���� ����� � ����� �%���� � ������� ��

%������>

���������� � ����� � ����� � �� �������>

� /�������������������'��������#

�� ��� ��� � �� ���� ���'��� ������ ���������� ���������*

����������� ������������'������������� ���������

/������� ��������� ��� ���� ����� ����� ��� ���� ��

���������������������'" ������������������� �������

����������������'" � �

+'������������������������������������� �������

������,

!������������������������� ����������������,

��

)

%

��

-

)

*

-

)� �

� �

���

�� �

*)

.

, �)

�� �

Page 162: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

4 6����������������������������'��� 1Σ ������������ ��� ���������������������������������"����#

��� 1 1 1 1: : : ;ST ST SO SO TO T O= = ����� ��2 22 2

1 1: : .r r SO SOπ π =

������� ��!���������������������������������������������$%�������$�%

?����������"�����������,������� ���������������������������������� � ��

������ ������������

/��� 1 1 1,r TO r T O= = ����� ������ 1 1 1: :TO T O SO SO= ����������������������������2 22 2

1 1: :r r SO SO= �����2 22 2

1 1: : ,r r SO SOπ π = �� � �� �������������� �������� �

��������'�������������������������������#

���"��������������� ������������"���������������������������������

2 2

1 1: : ,B B SO SO=

$�������������������������������������������������������������������

� �� �����������������������'����������������������� ������������#

��� F�����������������������������������������������������������

��� !������� �����������������������������������������������������������"������������������������

�����

6������������������������������������

H !������� �������������������� 254 cm ,B = �������������������������������������"���� 1 8 cmH =���������������������� 2

1 24 cm .B = �(�������������2�������

������� ��!����,�������� 2 21 1: :B B H H= �'���������

2 21

1

54 812,

24

B HH

B

⋅ ⋅= = = � 12 cm.H =

I �������������)������������ ������������������������� 20 cmH = �����"���������� 25 cm.s =

6��������� ��������������������������������� ��� ������� � ��

2s r= �������$����������

+'�������������������������������� �������������� ��� ����,

= �������������3����������� ��������������� ��� ��������������������������������*97H���

-

� �

� ����

)

)5�

2s r=

Page 163: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� �

������� ��/����*97H������ � �� � 3 24 cm,s = �'��������� 8 cm,s = ����� 22

cm3164

3 == sS

< (�����������������������2���������������� �������������������������������������������'�������������"���:4��������������������:I����������������������<���

������� ��/������ ������������������� �����'��������������������� SAB���������� �!����������)�������������������������������������

3����#

( )( )( ) 1 21 2

2 14 13 152 , 21,

2 2

r s sQ s s r s s s s s

+ + + += − − − = = =

221 7 8 6 84, 84dm .Q Q= ⋅ ⋅ ⋅ = = �/����2

2

r HQ

⋅= �������

8412 dm.

7

QH

r= = =

�� ���

������������������� ( )2 12cmr = ����������� ���������������������������������������������������������������� ��������������)����������

:

0��������� ���������� ���������� ����������� ( )5 2 cms = ������������������������������ ���������������)������������ �����������������'����

7

G���������� ��������������$�����������������

���������� � �������� ������� .π ��� ����������

α � ���� ��� %����� ��������������� �� � ������ ������$���

4

�������������)������������ ����������������� ������ ( )15cmr = ���� "���������� ������������� ����������� 030 .α =

H

E�������������������:I��������������������������� ��������������>D���� �(���������������

I

E�������������������:;�������������� ����������=������������������������������������������������� 216 cm .π �(����� ���"�������������������� ��� �(�����������������'�������������������%���&�������%�����������&,

=

E���������������������2 �����������"���2�

����������� ��� ���� ������ ��� �������� ���'������������� ���������������������%

�����������

����������������������� ����,

<

G $��� ���$��������������������� ( )6cm .r = ����

�������� ����������������������7�#�:�' �������

������$�(�������� �������������� ��� ���$���

�� �����������"����� � �����������

;

:�������������� ����������� ���� � $ �I������

������ ������ � ������� ��������������������

���� � �� ����� �;������ ���� �������=�����:���

�������� ���������������� ��������� >

>

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

)�*

-

12345123451234512345

1212

1212

1212

121212121212121212

1111 112

1212

/��

��

1

11

12

12

12

11

11

1212

1212

12

11

1111111212121212111111212121212

Page 164: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������#����

��������

���������� ��� ����������������� �%����������

� ��� ������������ ������� ����>

/������� � ����� ��� �������� ��� ���"����� � �������������*97H������������������ 5 cm.nh =!�����������������������,

� 6������������������������������'����������������"�����������������

0�����������������������'������������������������ �����������

������������"������ ������

0���������� ��� ���� �� ������ ��� ����� ��� �������� �� ���

��'������� � ���� �� �� ������� �� ���� ��'������ ��� �� ����� '����

�������������������"�������� �������������������������������������

���'������ �����������

+��� ����������������*�� ��� ����� ������� �������� �

�� ��

����������� �����������,

�������������� ��������������%�'������"�������&�������������� �������������������������'������"�

���'���������������������������%����&������������������� ����������� �/����������K�������������

��������������

�� !������������������������������������� ��������������������"����������������������

������*�������������������"��������)���������� ������

-������������������������������������������������ ���������������������"��������������

�����������/��*�������������������"����������������������

��

��� ���������������������B������'�������������������������������������'�����������������������

!����������������������������"������ ���������� ���������������������������� ���������'��������

�����#

nnn hPM ⋅=21

���*����������������� �������������

�������������������������

/����������������������������� ����$���

���������� �������������������� �����������

��� ���������������������������������������

12345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234123456789012341234567890123412345678901234

123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012123456789012

12345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789123456789012345678912345678901234567891234567890123456789

123456712345671234567123456712345671234567123456712345671234567

1234123412341234$�

�2�

%

Page 165: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� �

α

2 rπ

$

6���������'��������� � �� �������%�����������'&���*�������"������������ �������������� � �� � rPn π2→ �

������ ,nh s→ ����

nnn hPM ⋅=21

rsrs ππ =→ 221

/��������������������������������������������'�������������

.M rsπ=

: ������������������������������������ 8 cmr = ������������ 15 cm.H =

������� �� 2 2 2 2 2 2; 8 15 289; 17 cm; 8 17 136 cm .M r s s r H s Mπ π π= = + = + = = = ⋅ ⋅ =

���� ���

!�����!���������������������������������� ����������������������� #

%9π��8π��� � � � �� � %9π������

7 ����������������������������� 30 cmH = ��������'������ 34 cm.s =

����������%9π������*� .cm16 ;2563034 22222 ==−=−= rHsr

.cm8005016)3416(16 2πππ =⋅=+⋅=S

4 E���������������������:�H�������������������� ����������� 9,6π ��� �������������������

��������������������������$��������'������������������������"����������������������������������� ����������������������������� �������� ���� ������������������� ���������������"�����������������'������������

.��������'���������'�����������"����������������������������"����

���������������α ��������������#�2

rad.r

s

πα =

��������

���������� ��� ������������ ������� ��%�������>

!�� ������ ������ � ����������� �������2� ���������"��� ����,

�M��������������������������������

�'������������������"�����������������

Page 166: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

!������������������������������������������������ �������������%�'������"����&�����������

������������������������"������������

%�����������'& �/����������������������������������1

,3

B H⋅ �������"�����

"�� 2 ,rπ ������������������������

21.

3V r Hπ=

�$�������'������������������������������������������� �

H �������������/����������������� 7 cmr = ������������������ 2175 cm .M π=

2 2 2 21; ; , 175 7 , 25 cm;

3V r H H s r M rs s sπ π π π= = − = = ⋅ ⋅ =

2 225 7 576 24cm,H = − = = � ���� 2 317 24, 392 cm .

3V Vπ π= ⋅ ⋅ =

I ����B���'��������������������������������������������� ��� ����

��������������������� ��� �������������� 236 cm .π

������� �����/��� 2s r= ����� 2 2 2 24 3,H s r r r r= − = − = ����#

� 23)2()( rrrrsrrS πππ =+=+= �� � � 2 2 31 1 33 .

3 3 3V r H r r rπ π π= = ⋅ = �.�������#

23 rS π= *�� .33 3rV π=

/������ ��� �����������'�������

�� 33;

3V rπ= �/���� 2cm36π=S ��� � �� � 23 36rπ π= ����� 2 3 cm,r = ����

( )333

2 3 24 cm .3

V π π= ⋅ =

= �����������������������������"������������������������������7��������������������������������

�������� �����������:�=���

Page 167: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� �

�� ���

���)'����������������������������������������� �� ����� ��� ����������'������ �� � �����������,��0�����������������������7�#�:,

:

$ ����������������������'���������� E���������� �������������7�I����������������������=�� �!��'������������������������������� �����������'��������� '����� �� ������������� ���������D�;�������:�I����������� ������� ���� :DL������ ������� ����������,

7 P��$

�������������'��������������������4�7���������������������� �����:I�:��������� ��������� ����� �������� �������� �!�������� ������ ��"���� ���� :������������������:=D������,

4 P��$

���)'�������������������������������������������������� ��� �������������������� ���������������������=;��������:�4=��,

H

!�� ����������� �� ���� ��� ����� ������"������� ������ ��� ����� 4� ��� ���������������'�������"�����������:D�I:"C����,

I 0

!���������� ������������ �����'����������� ������������ � ����� ������ :7������������'�������������:D��,

= $

���� � ����� � � �����%����������� �������������

����$������������������� ����%���������� ��� �� ����

���$���������� ����%���������:�������� ��������

���� �� ��������� � � � ��� � � ��� � ��������

����� � ������� ������%��������������� ���� �������

�����������

<

�������������������������� � $ � 4cmr = ���

6cms = �������������� �� �� ������������

5 � ����>

;

6�� ��� �������������� ��� ������������������ �������������� ������������������ ��������� ������������������=��� �(������� ������%� ���� � �� ������/� ��� ���� ����"��������

>

) �������������� ����� ���� � � 15cma = � ��

20cmb = � ������� �� ��� ���� ��$������ ���

��������� ���������� �������������������������

:D

.����� ��� ������������ 7D� "��� ��� �� ��� ����� ��� ����� �� '����� ��� ��� /�������� ��������)���"��� ����������>�I��������� ����������"��� �����������7�� $������:���� �����������:�I� � �!����������� ����� �������� ���� ��� ��������������������,

:: 0

/��'��������������"��� �������� ������>� ���������������������:7��� �(������������������� ���� ������� �������� ������ ������������������� �������� �� ��� ���� ���� ���'������� �����

:7

Page 168: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

����������������#�������%��"����

�������� ������$�����������������������!��������"���$����������� � �#������ ��������� ����� �� �������� ������>

)

+

,

-

!��������� � ���� � ����� ��� ������ � � ������ � �����>�� ���� ������� � �� $��� ��������� �

��$� 14 cm, 8 cma b= = ��� ����� 5 cm.c =

0����������������������������������

��������������������������������������

� �������������������������������������� ��������

�������

/���������������'������������� �����������������������������������������$������������ �/����������������������������������������������������������������������"���

���������������������������������������������"������������������������������������������ �����

���������� ������"������������ ���������� ��������������"�����������������������'������������� �����

������������ �������������� �����������������"���

+���������� ��������������������������� ���������

6�����"�����������'��������������������������������������������

���������������"��������������������$-&$��������������������

�������� ���������������� ���������������������������������#-&1��

(������"�����"����������������'������� �����������������"������'���������'����������,

: �������������)������������ ��������������������"���������������� ������ 111 cm, 5 cmr r= =�����"����������"����������� 10 cm.s =

123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567

123456789123456789123456789123456789

��

��

)

)�

� /123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567123456789012345678901234567

123456789123456789123456789123456789

��

��

)

)�

� /

�� �

1234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901123456789012345678901234567890112345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901

+

.

,

)�

)

123451234512345

1234512345123451234512345

��������� ( )22 2 2 211

2 2; 10 6 64,

2

r rQ H H s r r

+= ⋅ = − − = − =

( ) 218 cm; 16 8, 128 cm .H Q r r H Q= = + ⋅ = ⋅ =

��

/

1r r−

Page 169: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� �

7 E������������������"����������:7�������������� �������

���������������<��������������������������� �������������

:D;���� ���������������� �������������"��

����� ����/����������������"�������"�����������������������

������������� ������������������������������� ���������

��������

!��������������������������"��������$%�������$�%��������� �!���������������� ����� ���������� ��� �����������������"������, $

%

$���

. �%������������������������ ��� ���� �"

�(������� ������������%�����=

�(����������������������%�����>

� !����� �� ���� ��� ��"���� ������ �

��� ��������������������������

� ������������������������'�����������#

!9�8��8$�

��� 2 ,B rπ= � 21 1B rπ= � ���� ������� �� ������

��������������������������

4 !������������������������"���������������������������������������������������������������

.��������'������������������������������������������������"��������������������������������

�������������'��������

-

� �

��

)

)�

��

��

���������!����������������������"�����

( )1 1 1 1 1 1 1 1,M r ST r ST r s s r s r s r s r sπ π π π π π π= ⋅ − ⋅ = + − = + − � � � ��

( )1 1.M r s r r sπ π= + − ⋅ �0�����������%$������%$������������"�����������

���������� ��������������������������������������������

�������� 11

1

.s r

sr r

⋅=−

�.������������������������� �������'���

������������������������������������������������1

1 1

,s sr

r s

+=

�������'������ ( ) 11 1

1

,s r

M r s r r r s r sr r

π π π π= + − ⋅ = +−

�� � �� ( )1 .M r r sπ= +

���� ���

!����������������"�����%9&8"�8������������������

�������

���������������������'������

%�π���π����π6���

����� �� � �� � � �%9�8�

��8��8�

����

$

$�

Page 170: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

1234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456123456789012345678901234567890121234561234567890123456789012345678901212345612345678901234567890123456789012123456

$

$�11 2 rP π=

2 rP π=

H �������������!�������������"�������'���������������������������� ����������������� ���������������

������������������ 14cm, 8cm,a b= = ��������������������� 4cm.h =

��

1r r−

������� ��%9�8���8��8������� ��� 17cm, 4cm,r r= =

( )2 2 2 21 3 4 5cm;s r r h= − + = + = �%9π�<�8H�::�I���%9:7Dπ���

!���'�����������������������"���������%���� ��������&����

����������������'������������������

?���������������"���%�������� �������������������&����% ���&

*97�*�97�����%������&�������

.)(2 1

1 MsrrsPP =⋅+=⋅+ π

I ����������������������������������������������������%�������������"����������������� �������:D

�������I��������������'�������������<���

= ������������������������"��������� 120cm, 13cmr r= = ����� 24cm.H =

� -���������������"������������������������� ��� ��������������

���������������������������������������������

< �B����'��������������������������/�������������"�����������������

���������������� �������������������2

������� ��-���������

( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1.

3 3 3 3 3 3V r SO r SO r H H r H r H r r Hπ π π π π π= ⋅ − ⋅ = + − ⋅ = + − ⋅

/����"��������������������������%$������%$��������#�� 1

1 1

,H Hr

r H

+= ��������� 11

1

,r H

Hr r

=−

���� � ( )( )2 11 1

1

1 1,

3 3

r HV r H r r r r

r rπ π= + − + ⋅

−� � � ��

( )2 21 1 .

3

HV r r r r

π= + +

��� ��� ��-��������������������������"���������������������������������'������

-

� �

��

)

)�

��

/

��

Page 171: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

; !���������"����������������������������'����������������"���������������� ���������������

����D�;�������:�>������������������������:��,

���������� ( )2 21 1 1; 0,95 m, 0,4 m, 1 m;

3

HV r r r r r r H

π= + + = = =

( ) 34,520,9025 0,16 0,38 1,4425 , 1,51 m .

3 3 3V V

π π= + + = ⋅ ≈ ≈ �.��������� ������� ��� B�� �����

1510� ���"

> ����������������������������������"�������������� 4,8 cm,H = ��������� ����������������2100 cmB π= ����� 1: 5 : 4.r r =

�� ���

N������� ������������������"�������� 7dmr =���� 1 4dm.r = ������������������������������ ��� ��"���� ���� "���������� �� ��� ��������������������'������� ���������������=D�

:

)� $������� ����� ���$�� 14cm, 9cma b= =��� ������������������� 12cm,c = �������� �� ��

��������� ��� ������� �� ���� ������� � ������ ��

%���������������������

7

�� ����������� ����������%������� � $ ������$��

>������ �=�������� ��������� ������� � �;����

4

) �����������%������ $ �� ���$�� ������:�����I����� ����� ����������I�����:����� $ �� �%�������

�� ������������ ��������������%������

H

3� ��� � ����� ������������������:I�I��� ���

���� ���� ����������� � �77������ �7;�����O�

��� �� ������� ���������� � ����� �����$��

������� � � �� ��� � �� � ��� � � �

���������� �������:�������������������������

� ��� ������� ��������

I $

0������ �������������� ����7D��������:7�������������H;����������������������� ��������������� ����������������������������������'����

=

���� '"������� '����� ������� ��� ��"����������������� ������=�H��������H����������'������4�<����������� ������������ ���!���������������'"����, ��!���������������������������� '"������� :� "� ��� ������� <ID� ������� ����������������'���������������:>�4�"C���,

< P

����"������������� �����������������������'����������������"����������������� ������7H��������HD���������������4I��� ���!�����������B��"�����, ��!��������������������������� ������������������ID�"���������������������������� :IL� "�� �������� �� ��������� ������ �����,

; 0

G $ �� ���$�� �������������%�������� ����� � �

������������88�"�4�"�9B����� ��������������� 3181 cm .π�� ����������� ����������%������

>

Page 172: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������������������$��%���

: .�"�������� ���������������������"����������������������"������� 6 2 cm,a = ���������"�������'�����������������"������� 8cm.b = ��������"�������������"���������������

7 ) ����������������$������� ��������� 20cmb = ��� �� �������� ���$�������������� 045 .α = �:��������������� �$����

4 ) �������$�������$������� ������������������������� 3m,a = ���� ������������ ���� ������� ������� 6m.d =�� ������������� ��$����

H 0��$ N�����������'���������������������������:I����=�������7�I�� �/������������������ �������������������������� 25� �������������,

I ���%������������ �������������������������������������� ������ � ���� ��������� ���������������:I����

������ ���$���������:;��������� ������� � � ��������;����>

= E�����������������������"�����������������:H�����������������������������"����������� 2112 2 cm .�������"��������������������������������� ����

< �������������������'�����������������������������"�����"����������������������� ������:�;�����������������H�:��

; P��$ /����:7�;������������������ ��� ����� ��������� '����� �������������� ���"����� ������������������������ �����:D�7H����� ����������������� ������������������ �!�����������#��������2������������������������/���������,

:D �����������������������������"����������������������"����������"������������������>������������������ �����������<��������I���

> ) � �� ���$�� ������������� ���� ������� ����� ����%�����������=������ �:7�������� ����������������:����

�� ���"���(������������� =������(���������� ������������%������

:: !��������������� �����������������������������������7HD��������������������������:=��� �(������������ ����

:7 �������������������������������� ����������"���H���������������������������������������������������:7D� ��������������)����������������������"���� ������������������������������� 5 3 cm.

:4 0 ��$���%��������� ������� �������������4�I����� ������������� �::�����:���������� ������������ ��� ������

����������$�����'�������������$�(�

:H 0 0��������������������������������'�������������������HD������������� ��������������:4����������������������������:7�� ���!���������� ������������"������, ��!��������������������������������������������������H�I��,

Page 173: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

:I F������������������������������������ ����������������=D�����������"�������:D��� �������������)����������� �������

:= +������� ����������������/�����%�������������� ����$��������������� ������ ���� ���������� ��� ���$�����

��������*����� � ����� � �������� ���������� ����� �������� �� �������*� ���$��>

:< ������ ������������ ������������ #��� � � �������7ID�������� � �� �������$���������7;�7;������ �������������

�������� ������ �

:; P��$ 6������ ���������'������������������������� ������������������ �������������������������#������������������������������7�I�������������� �����������:;�;I������������������������������H�I�����������:���� ���������4D��"�����:����� ����������IDDD������

:> $ !�����������B�������������'����������������"������������������ ��������77��������HD���������������4I���,

7D ) �����������%�������������������� 63dm,H = ����� ���������� 65dms = ��� ������������ ������� 226 m .M π=�� ���� $ �� ���$�� �

��������������#��������

: ��� �� �����������$������ ������ ������� �������� �����$������ �"

�(�7�� �=����������(�H�� �=���������%(�=�� �=�������� (�:7�� �� :

7 ��� �� �������$����������������� ��������������� �$������ ���� �� ������ ������������$������� ����

� ������� ��������������������������$������ ���"

�(�7�� �=����������(�� �� �� �������=���������%(������� �� �������=�������� (�<�� �� :

4 3 ��������� � �����%������������������ ������� ����%�����������)�������� ���$��������"

:���(�)=�������(� ;

2

Q����%(� ;

4

Q���� (�

3.

2

Q

H ������ � � �������� ��������%�������� ��������=�����������4=������0����������%�������������"

�(� 2216 dm ;π �������(� 254 dm ;π ������%(� 236 dm ;π ������� (� 218 dm .π :

I !������������� ��� ����������� 48π ��� �/��'���������������������"����#

���:7���*������� ��:=���*������������H���*���������)��;��� :

Page 174: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���Q +������� ��$�������� ������� ��IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII������ �

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� � � �%���� ����� ����$��� 7

���D 3 ������ � � ����������������� � ������� ��� �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

��� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� � �� ���� 7

���R ������ ���$�������������� ����������� � ������������ � �������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

� �� � IIIIIIIIIIIIIIIIII� � �� IIIIIIIIIIIIIIII� � 7

:D !��� � ������� � ����������%�����������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII���$��� ����%����

����� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�� �� ������

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� ��� ������ ��� %������7

:: 3 �������� � ������������������7���� ���������� ��� $�������������� ���$��H�����

;������� ������7�>����������������������&� ����������������������> 4

:7 (�������������2�����������%������������������"����������������������� ����

��������������� 4,5dm,a = ������������������� 367,50dm .V =4

:4 !���������������������������������������������������7DL������������������7IL,4

:H E�"������������������� ��������������������� 12cm, 18cmr H= = ����������������������������������������� �����:D��� �.����������������������������"���������,

4

:I ���������� � � ��& ��15,1 ,� ���� ����� �������������� ������ �������������������:;������ �47����

�� ���"

�(������������ ������� ������>

�(��������� � � ��������� ����������� ����������� ��� ��������������:7L������ � � ��� �����>4

���6 N�������������������"��������:�������7������������������������4�� �-������������������#

��� 37 m ;π ������� ��>���*������������:I���*���������)�� 321 m .π :

Page 175: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

!�����������������������������������������������������������������������������

-�������������������"���������

!���������'����������"�������������)'���������� ��� '�������� ��"�����������������������"�����

0������� �� �������

2 �������������������������� �������

.��������������������������'�����

.���������� ������������

���

��

��

�����

���

���

���

��

2"���������������������������� ���

0������� �� ����� �

/����'����'����������"����������"�����������"�������������������� ���������

�����. �"�����������#������������������ �

#$%&�'()('�*�)*&$�

....sin

a

α=

α

Page 176: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���������#����������#�������������������������

��������

��� ��$����� ������ ������� �����

110α °= α�

*

)

,������ ���$���$!��� �$"������������ ��������

<���� �� ����� � ���������������������� ������ ����

������α ������������������ �� ��

∠ �)*788@���� �∠ *)�788@�

� ��� ����� ����� ��� �K� �����'�����

'���������"�����������������������

)�������������������������� �����������'�������������"������������������������������������'������������

�����������'�������������������������������������������������������� �������������������������������

����

���������������"���������������O?��������������������������������������������������������������������

��������������� ��������������� ����������������� ���

���������������������������������#

�� � � � � � � � ��

!

"

$ '

�$

$ )

*

����������������� ��������������� �������

G������� ������ ����� � ���� ��� �� ������ �� �����

������������� ����%����������� ���������� � $ ��

������ ��� �

1rad 57 17 ’44,8";= °

180 ; 2 360 ; 90 ; 60 ; 30 .2 3 6

π π ππ π= ° = ° = ° = ° = °

F���������������"�������������������������������������������������������������"�������������������������"�������������������

(�����������������������������������������������������������������

0�����������"��������������$*��������������������������������������'������������������������������������

����������∠ �)07C56@�756@�79π88@� �-�� �� �ECF�������� ��������������!�

/������������������!$"������������'�������

'"����������������������)'������"��������$!��$"�

���� ���

6��� ������� ����� ������������ ���� '�������

�� � �� � ���� ����� ��� ������� ������ ������ ���� ��

� ����� �� � �� �� ���� ��� ������ ������ ���� ��������������������� ���

D�� ���� 4=D�� ��� ����� "����� � ���� �������� �

��"��������'��������������������������������

Page 177: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����� "����������������� ������������ �� ����� �� �������� ��

����������������������������������������������������"��� ���

��������������������������"���

∠ �)*7α9�:7D9��3

"

$ !

����� �����(��(�(��'�(�� ��(�%*�����'�(��($���(��'��'� $�'��+$� ������

+ -���������������������#���� 30 ;° �� ��120 ;° ����� 210 ;° ��)�� 270 ;° �����310 .°

$ !

"

'

$ �*

$

)

� �� � � � � � )�

�������

��������

���� ��� ������������$�� � ����� ������� ��� �������������

!�������!����������������%������� ������������ �������������� ������� �������������� � ����������

$ �

!�����

⎫⎪⎬⎪⎭

}

���������R

���������R-

���������RR

���������RRR

6����������������K������������������'�������

(��+�)'���'��(���� ��(��(��+� )�(��(��� �������(� $�'��+$�,(�%�� &'���'�$$ �+**�����'����$$'�&��(���(�%�**������

� , -����������#�=D���:ID���7HD�����

4:I��������������������$��

������������������������������'�����������������

�������������������� � �� �'����������������������

���������������� �������

6������������������� � �� ���������������� ��������������������������������� ∠ �)*

�76@�=�∠ �)*

�78B@�=�∠ �)*

�794@�=�∠ �)*

�758B�

-������������������� � �� ��������'��������������� 60° �����������������������������150° ��������������������������

$

��������

Page 178: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

6�������� 60° ����������������������������������150° ���������������������������������� 240°������������������������������������� 315° ��������������������������

/ (���������������������������������������������������#

������������* ������������* ��������������* )�����������/

- !�����������������������������������#

���������������������������������������������������������"��������������������������������������

��������������*

����������������������������������������������������������"�����������������������������������

�������������������*

0������������������������������������������������'������������������������� 1,r = ���"���������

����������

������������������������'�����������������������������������

��������������������������� ������������������������������������������������������������������� �-������������������� ������

)'�������������"��������������������������������������������������

����α �������������������������������������� �����������������������������������������������������������

���������α ������������� 00 ����� 0360 �������������������������

����� ��������� ���� ����������� ��� �������� �����������

����������������������

/������� ������������������������������������������������� �����������������������#

( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , 1,0A B C − ����� ( )0, 1 .D −

���� ���

-��� ������������ ������ �� '���� �� ����������� ���� ��������� "������ �� ������ ����� ��� ���� ������� ����

������"�����������������������������������������'����������������������������������������������

���������������� ���������������������������������������������������"���������������������������

���������������������������������� ������������������� ������

'�

!

"

#

-

'

α$

Page 179: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

α

β

!

"

#

�+

) � ��$������ ABCΔ � ������ ����� ����� ;�����

,AC b BC a= = � �������� ������� � AB c= ������

���� ��$�� �� ����������

hipotenuza

;epërballshm e katetasin =α

hipotenuza;pranshme e kateta

cos =α

� -��������������"�����������������

�K������'������'���������"��������

�����)'���������

E��������������α ������������������������������

� ��� � ����� �� ���� ���� ��������� �� ���� ���

��������� ( ), .M x yα α

/���� xOM MΔ �6��#� sin ;1

xM M yy

OMα

αα = = = � cos .1

xOM xx

OMα

αα = = =

/������ ���������� �� ����� �� ��� � ��� ������ � ��� � ����� α � �� ���� ���� ��������� ��"��������� ���

( )cos ,sin .M α α

���� ���

*�����������)'����������������� ��� ����������������������������������������������������

�����������"����������� � �� �sin .yαα =)�������������)'����������������� ��� ��������� ������������������������������������������

�����������"����������� � �� �cos .xαα =

/���������'�����������'�������sinα �����cosα ������'���������)������� ,α 0 00 360 .α≤ ≤

�$

α}⎫⎪⎬⎪⎭

sin

α

cosα ��

( ),M x yα α

1r

=

. .������������������������������"�����������'�����������������������������'�������� sinα���� cosα ���������α ������#�������*���� ������*�����������

Page 180: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���������-���������������������� ��� �������������������� ��������������������������"��������

��� /��� ���� 030 ,α = � ���� ( )0,86;0,5 ,M � ��������0 0sin 30 0,5; cos30 0,86.= =

��/������� 0120 ,α = ����� ( )0,5;0,86 ,N − ����

� 0 0cos120 0,5; sin120 0,86.= − =���/������� 0315 ,α = �������������������������

� ( )0,71; 0,71 ,P − ���������� 0cos315 0,71,= ������

� 0sin 315 0,71.= −

0 (��������������'�������� sinα ����� cosα ����������α ������#������*���� ����*������������*)������*������������

��������

+ ����� ���������������� ����������� ( ), .M x y

-������� 0x > ���� ��������������������������R���

R-�������� 0x < ���� ��������������������������RR�� �RRR�

M������� 0y > ���� ���������������������������R

�� �RR�������� 0y < ���� �������������������������

RRR��� �R-

���%�������������� �� ������"

� ( ) ( ) ( )3, 2 , 2, 3 , 3, 1M N P− − − − ��� ( )3,2 .Q

� .������"��������������������������������

'���������"���������sinα �����cosα

���������������������������������������"���

1 (�������������'������sinα �����cosα��������α ������#������*����� ������*������������*����)������

���6��� 060α = ����������������������������

���������������������������������������������

������� � � �� � 0x > � ���� 0,y > � ��������0cos 60 0> ����� 0sin 60 0.>

��6��� 0135α = ����������������������������� 0, 0,x y< > � � �� � 0cos120 0,< ������� 0sin120 0.>���6����������������� 0270α = �������������������"�������� ����������������� ( )0, 1M − ����������������

��������������������������������"�������� �.�������� 0cos 270 0,= ������� 0sin 270 1 0.= − <

2 (������������������"�������������#

��� sin 0;α < ���� �� sin 0α > ����� cos 0;α < ������� sin 0α < ����� cos 0.α <

!������ �� '�������� � ��"��������� ���� ��

����������������������� ��� sinαcosα

++ − −

− −++

� �� ��� �/

�$

'

*

( )0,86;0,5M

30°���� �

1−

1−

���

���������-����������������������������"������

���#

-*'$��'�%+���� �'�'�$')��(���*�'����*'� )�(�$')���)(��$$'�& $'��$�4 � �'�$��'�)�(��+�$��(�($%($�(�

Page 181: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

0�$����������� ��� ����� :α�(�=I�=�����������(�::D�=���������%(�:;D�= (�7>D�=����������(�4=D��

+

���%������������������������"�(�;I�=�����������(�:<I�=���������%(�7;D�= (�:;I�=��������(�4I>��>

,

��� � 00 90 ,α< < �����%������������������������"

�(� 090 ;α+ �����������(� 0180 ;α− ���������%(� 090 ;α− (� 0270 ;α− ���������(� 0360 ?α−

/

) ����� �������� ������������������������������"

( ) ( ) ( ) ( )1,3 ; 2, 3 ; 2,0 ; 0, 3A B C D− − − ���

( )1, 5 .E − − �0�$�������������� �������������������

��������������� �����������%�����������������

������� ������ � ����������>

-

:������� ��� ��������� � ��������� ��� � sinα�� �cos ,α ���� ����������������������α ����������

����"

�(� ( )3,0 ;A ����������(� ( )3,0 ;B − ���������%(� ( )0,2 ;C

(� ( )0, 3 ;D − �������(� ( )1,0 .E −

.

��� �� ���� ����� ��� � ��$���� ����� ���

������� ��� ��� �%������� ��� ��������� � �sinα�� �cosα ���������� :α�(�HI�=�����������(�:ID�=����������%(�7:D�=���������� (�77I�=

�(�4:D�=�������� (�4=D��

0

:������� ����� �������������� �%�������� ��� ����"

�(� 0sin 35 ; �������(� 0cos125 ; ������%(� 0sin170 ;

(� 0cos 250 ; ���(� 0cos300 ; ����� (� 0sin 320 .

1

:������� ����� ��� �� �"

�(� 0 0sin130 cos 210 ;⋅ � � � � �(� 0 0sin 30 cos180 ;⋅

%(� 0 0sin 90 cos100 ;⋅ �������� (�0 0

0 0

sin 309 sin 90;

cos 205 cos180

⋅⋅

�(�0 0

0 0

sin120 cos100.

cos 200 cos 300

⋅⋅

2

���%��������������� �� �������� ,α ��� "

�(�sin cos 0;α α⋅ < �����������(�cos sin 0?α α⋅ >

3

��� � 00 90 ,α< < �%������� ����� ��� �� �"

�(� ( )0sin 180 ;α+

�(� ( )0cos 360 ;α−

%(� ( ) ( )0 0cos 90 sin 90 ;α α+ ⋅ +

(� ( ) ( )0 0cos 180 sin 270 .α α+ ⋅ +

+4

Page 182: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���"��������#����"���������/$������#����

��������

+ ����� ������� ������� ������� �+����� ��$�� �� �������������� ����

�������� �� ������� ��� �������� α � � � � ��������

����� �������������������� ��������������� ���

��� ������������ ����������������������� tg .a

bα =

��������� ���������������������α �� �� ��������

����� ���� ������ ����� �� ��� ���� ��� ����� � ��

��� ��������������� �����������������������

� ������ �� ����� �����'����� '������

��"�����������"�����������"������

�������"���������������������������� �������������

�����������'������'���������"�����������"��

��������������������������

� ctg .b

aα =

sin costg , ctg ,

cos sin

α αα αα α

= =

��� �α ����������������������

E��������������α ������������������������������

���������������������������������"����������

���� ������������� ( ), .M x yα α

���� ���

+������������)'���������� ( )0 090 , 270α α α≠ ≠ �������� ��� ���������������������������

� �������������� ���������������������������������������������α ��������������������"��������

� � �� �� tg , 0.y

xx

αα

α

α = ≠)� ������������)'���������� ( )0 0 0, 0 , 180 , 360α α α α≠ ≠ ≠ �������� ��� ���������������

� �������������������������� ���������������������������������������������α �����������������

��"������������ � �� ��ctg , 0.x

yy

αα

α

α = ≠

/���������'��������'����������������������������)'����������( )sin , cosy xα αα α= = �������

0 0sintg , 90 , 270 ,

cos

αα α αα

= ≠ ≠ ������������� 0 0 0cosctg , 0 , 180 , 360 .

sin

αα α α αα

= ≠ ≠ ≠

-�������������� ,y

α

�������������x

α

����������������������������� ������������������� �������

������������������������������������������������������������������

( ),M x yα α }}

Page 183: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

0�"�����������������������"�����������������������������

���������� ����������������������������������������� �����

���� ���������������� ������ ������

0�"������������������������"���������������������������������������� ��������� ���������������������������������� ��������������������������� ���� ������

/������ ������������"�������������������� ( )1, .y

6������������#�������α �������������� ������������������

������������������������� ���������"������������������

���������������������������"�����

/���� xOM MΔ ����#� tg .x

x

M M y

xOMα

α

α = = �/����"������������� OATΔ ���� xOM MΔ ����� ,x

x

M MAT

OA OM=

�� � �� �1

yAT

α

= ������������� .y

ATx

α

α

= ��/���� tgy

α

α = �����y

ATx

α

α

= ����� tg ,ATα = �� � �� � tgα

������� ��� ��������������������������������������������������������� ����������"���

���� ���

+��������)'���������� )270 dhe 90( 00 ≠≠ ααα �������������������������������������������������

α ���������������������� ���������"������ � ��

tg .tyα =

�������������������#������� ��������"���

� ������������"�������������������������������'���������"������)�'�������������������

��������

/������ �������������"����������������������� ���

�������������������#������� ����������"���

�$

!

( )1,T AT

1−

( ),M x yα α

α⎫⎬⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

xM

( )1,P y

/���� xOM MΔ ����� ctg .x

x

OM x

M M yα

α

α = = �/����"������������� xOM MΔ ����� OTBΔ ����

,x

x

OM BT

MM OB= �� � �� � .

1

x BTBT

α

= = �/���� ctgx

α

α = �����x

BTy

α

α

= ��������� ctg .BTα =

$$

� ( ), 1T B T

( ),M x yα α

α⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎬⎭

xM

"( ),1N x

6������������#�������α �������������� �������� ������������������������������������ ������

����"���������������������������������������������"�����

Page 184: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��6����������������� 45α = ° ������� �����������"���������� ( )1,1 ,M ������������������� �

���������������� ���� 1,r = �����ctg 45 1.° =���/������� ( )1120 , 0,57;1 ,Mα = ° − ����� ctg120 0,57.° = − ���)�� tg 210 0,57.° = ������ ctg 270 0.° =

, $�������������������������"���������������������'������������������������������'�����#

��� ctg 90 ;° �� tg 45 ;° ��� tg150 ;° )�� ctg 240 ;° ��� tg 315 ;° ��� ctg 315 .°

-��������������'�������� αctgtg dhe �������������������������������������������������"���

!�������'������� αctgtg dhe �������������������������������������������� � �� �������������������

��������������������������������� ���������"������������������������"���

���� ���

M����� tgα �������������� ctgα ����������������'�����������������������������������������

����������� ��������������������� �������

���� ���

)� ��������)'���������� ( )0 , 180 , 360α α α α≠ ° ≠ ° ≠ ° �������� ����������������������������

�������������������������������� �����������"������ � �� �ctg .txα =

�$

�( )0,1B

45°

( )1,1M

( )2 1;0,57M

( )1 0,57;1M −

( )3 0, 1M −

( )1,0A

120°210°

270°

+ (�������������#

��� tg ;0° �� ctg 45 ;° ��� tg135 ;°)�� ctg120 ;° ��� tg 210 ;° ��� ctg 270 .°

���������-�����������������������������'������������� (������������������������������������������������������� ����� �� ���� ����� �� ��"����� ������������ ����� �����"���

���6����������������� 0α = ° ������� ���������"��������� ( )1,0 ,A ���������������'���� tg 0 0.° =

.���������ctgα �������� ��� ��������� ����������������������������������α �������� �����������"���

Page 185: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/ (������������������������������������������������������#

��� tg130 ;° �� tg 220 ;° ��� ctg 300 ;° )�� ctg 200 ;°��� tg 320 : ctg120 ;° ° ���� ctg 220 tg 60 .° ⋅ °

����� ��������������������"������������'��������"����������)����������

sinαcosα

++ − −

− −++

����������

tgαctgα

�����������

( )90 ,180α ∈ ° °������������

( )180 ,270α ∈ ° °����������0

( )270 ,360α ∈ ° °

++

−−

++

−−

- (�����������������������#

��� sin120 ctg130 ;° ⋅ ° �� tg 200 cos320 ;° ⋅ ° ���sin100 cos 200

.tg 300 ctg150

° ⋅ °° ⋅ °

������������6�����:7D������:4D������������������������������ sin120 0, ctg130 0,° > ° <��� sin120 ctg130 0;°⋅ ° < �������������� ���"7DD�TD�����47D�TD������"7DD�����47D�

. 0���������������������������#������ tg cos 0;α α⋅ > �� �� ctg sin 0;α α⋅ < ����� ?0sin

<⋅α

αα ctgtg

�� ���

:������� ��� ������������� ��������� ������� ���

������� ��� "

�(� tg60 ;° �(�ctg150 ;° ��%(� tg180 ;° (� tg 240 ;° �(�ctg300 .°

+

:������� ����� �������������� �%�������� ��� ����"

�(� tg70 ;° �(�ctg30 ;° %(� tg150 ;° (�ctg 225 ;° �(� tg350 .°

,

:������� ����� ��������"

�(�sin15 tg150 ;° ⋅ ° �(�cos100 ctg100 ;° ⋅ °%(� tg 200 sin300 .° ⋅ °

/

��� � 0 90 ,α< < ° �%������� ����� ��� �� �"

�(� ( ) ( )sin 180 tg 180 ;α α° − ⋅ +

�(� ( ) ( )cos 180 ctg 360 ;α α° + ⋅ ° −

%(� ( ) ( )( )

sin 270 cos 180;

tg 270

α αα

° − ⋅ −° −

(�( ) ( )

( )tg 180 cos 270

.ctg 180

α αα

+ ° ⋅ + °° −

-

) �%�������������� �� ����������� "

�(� tg sin 0;α α⋅ < �(�cos ctg 0;α α⋅ >

%(�sin tg

0?ctg

α αα⋅ >

.

),90(0 00∈α

Page 186: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

0���������� � ������� ��� ������ 1 1 1,OM M M OM= = = ����� 1

1 1 11 .

2 2 2y MMα = = ⋅ =

/��� xOM xα= ����������������� 1 ,OM MΔ �����3 1 3 3

.2 2 2

OMxα

⋅ ⋅= = =

/�����#�1 3

sin 30 , cos30 .2 2

° = ° = �/���������'�������'����������"α�������"α������)'��������������#

.330sin

30cos30 kurse

3

3

30cos

30sin30

0

00

0

00 ======

α

α

α

α

y

xctg

x

ytg

, $�� ����� �� ����� ��������� ��"��������� ������ ������� ��� '�������� ��"��������

sin , cos , tgα α α ����� ctg ,α ����#����� 060 ;α = ������ �� 045 .α =

��������������������"�������#��

��������

!��������"��(�������=���(���������=��%(����� ���=

(������� ������ �����������>

+������� �� ��������������������� ���������������

3.

2

ah =

� + (����� ������� �� '�������� ��"���������������4D��HI������=D�

��������.�������������"����������������������������

��"��������

6��� 30 ,6

πα α⎛ ⎞= ° =⎜ ⎟⎝ ⎠�����������������R

�������� ������������������� ( ), .M x yα α$

��

( ),M x yα α

�30°30° ��

1r =

!���������'�������'�����������"�����������)'�������������� sin ,yαα = ������� cos .xαα =

/ ������#�������� 2sin 30 cos 60 tg 45 ;° − ° + ° ��3cos30 sin 60 tg 60 .° + ° − °

��� 0 0 0 1 1 32sin 30 cos60 tg 45 2 1 ;

2 2 2− + = ⋅ − + = � ��� 0 0 0 3 3

3cos30 sin 60 tg 60 3 3 3.2 2

+ − = ⋅ + − =

- (�������������������������������#������ 3sin 45 cos 45 2 tg 45 ;°⋅ ° − °

��������

�� cos180 2sin 60 ctg30 ;° − ° + ° � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���tg tg sin

,ctg cos tg

2

π α απ α α

− ⋅

+ ⋅� ���� .

3

πα =

Page 187: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

3�� ������� � ��������α� � � � ��������� ����� ���

�� �������$�� �"

�(� 2 2sin cos 1;α α+ =

�(�sin cos

tg , ctg ;cos sin

α αα αα α

= =

%(� tg ctg 1,α α⋅ =��� %����� ��� �� �������� ��� �� � ������� ��� ��������������� ���� � ��

� . -������� ��� ���� )'������ ��������� �������#

��� 2 2sin cos 1;α α+ =

�� { }sintg , 90 ,270 ;

cos

αα αα

= ∉ ° °

��� { }cosctg , 0 ,180 ,360 ;

sin

αα αα

= ∉ ° ° °

)�� { }tg ctg ,90 ,180 ,270 ,360 .α α α⋅ =1, ∉ 0° ° ° ° °

���������E��������������α�)'���������������D������4=D�

��

αxα

1r =

$

���E���������� ( ),M x yα α ��������������������������������α��

���� ���� ��������� ��"���������� ���� sin ,yαα = � �����

cos .xαα = �/���� xOMMΔ ����#

( ) ( ) 22 2,y x OMα α+ = �� � �� � ( ) ( )2 2

sin cos 1,α α+ = ����

2 2sin cos 1.α α+ =

��/���������'���� tg ,y

α

α = �������

���/���������'����ctg ,x

α

α = �������

)��sin cos

tg ctg 1,cos sin

α αα αα α

⋅ = ⋅ = �� � ��

-��������������������������"��������������������"��������������)'���������������������������������'����'������

/���� 2 2sin cos 1,α α+ = ����

. �����������5

cos , 180 27013

α α= − ° < < ° ���������������� sin , tg , ctg .α α α

sintg ;

cos

ααα

=

cosctg ;

sin

ααα

=

tg ctg 1.α α⋅ =

/���� tg ctg 1,α α⋅ = ���������"α�������"α�������������������'����������������'�����'����������������

�� � ��

2 2 2 2cos 1 sin , sin 1 cos .α α α α= − = −

1 1tg ; ctg .

ctg tgα α

α α= =

Page 188: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���������/���� 2 2sin cos 1,α α+ = � ����2

2 2 2 5 25 144sin 1 cos ; sin 1 1 ,

13 169 169α α α ⎛ ⎞= − = − − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���

144 12sin ,

169 13α = − = − ������ 0 0180 270α< < ����� sin 0α < �*

sin 12 5 12tg : ,

cos 13 13 5

ααα

⎛ ⎞= = − − =⎜ ⎟⎝ ⎠�������

5ctg .

12α =

����� ����3������� ���������������������� �� ��������������� ������������ ��������� � ��+ � ������������ ��� �� 7������� �� �������� � 8����9� ���� 8� ���9� ����� �������� ����� ����� �������� ��� .���� �� � ��������� ��� ������ �� ��������

1 (��������������'����������������"�������������#

���8 3

sin , ,2 ;17 2

πα α π⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠���� �� ( )3

sin , 90 ,180 ;2

α α= ∈ ° ° �������1 3

cos , .2 2

πα π α= − < <

2 E����������3

tg , 90 180 .4

α α= − ° < < ° �(���������������'����������������"��������

���������/���� tg ctg 1,α α⋅ = �����1

ctg ,tg

αα

= �� � �� �4

ctg .3

α = −

������������������������� 2 2sin cos 1α α+ = ���������������� 2cos 0,α ≠

����α

ααα

ααα

22

22

2

2

2

cos

1 tgd.m.th.

cos

1

cos

cos

cos

sin ==+ ��������������������� 22

1cos ,

1 tgα

α=

+

22

1 16cos

2531

4

α = =⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

�����4

cos .5

α = − �/���� 2 2sin cos 1α α+ = �����2

2 4 3sin 1 , sin .

5 5α α⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

α1r =$ !

2

1tg

α

+

⎫⎪⎬⎪⎭

tgα����� ������ ����� ������ �� '������ tgα � ���� ctg ,α � �������'������� � �α� ���� ���α����� ��� ����������� '�������� ����������#

2 2

tg 1sin ; cos

1 tg 1 tg

αα αα α

= =± + ± +

3 �����������24 3

ctg , ,7 2

πα π α= < < �������������������������10cos 5sin

.7ctg 6 tg

α αα α

+−

$��� ����������������������������"���������������������������������������

/������������������������������������'��������������������

Page 189: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

+4 0����������������#�������3

2

sin sin;

cos

α αα

− ��

sin sin.

1 cos cos 1

α αα α

−+ −

������������( )23 2

2 2 2

sin 1 sinsin sin sin cossin .

cos cos cos

α αα α α αα α α

−− ⋅= = =

��( ) ( )( )( ) 2 2

sin 1 cos sin 1 cossin sin sin sin 2sin 2sin 2.

1 cos cos 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos sin sin

α α α αα α α α α αα α α α α α α α α

− + +− = + = = = =

+ − + − + − −

������������������������� ���� � ��������� ���$ �?�����������������α �����������������������������

���������������������������� ����������������'����

++ -�������������#

��� ( ) ( )2 2sin cos sin cos 2;α α α α− + + = �� 2 2 2 2tg sin tg sin ;α α α α− = ⋅

��� 2 2

1 sin 1.

1 sin cos cos

αα α α

+ =+

���������$��� �����������������������������������'������������"�� �������#

��( )2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2

sin 1 cossin sin sin cos sin sintg sin sin tg sin .

cos cos cos cos

α αα α α α α αα α α α αα α α α

−− ⋅ ⋅− = − = = = = ⋅

��� ( )( ) ( )( )2 2

1 sin 1 sin 1 sin sin 1.

1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin cos

α α α αα α α α α α α α

− ++ = + = =+ − + − + − +

�� ���

�� ������ ��� ��� �� �"

�(�2sin 30 cos60 tg 45 ;° ⋅ ° − °�(� tg60 sin 30 ctg30 ;° ⋅ ° − °

%(� 2 2 2tg sin ctg ;3 6 3

π π π+ − � (�tg 45 cos

.3

sin cos2 3

ππ π° −

+

+

:������� ������ �� ������ �� �"

�(�2sin2

1 cos2

αα−

��� ;6

πα = ��(tg ctg

1 cos

α αα

⋅+

��� .3

πα =

,

:������� ��� ��������� � ��� ��������� ��� ����� "

�(�3 3

sin , , ;2 2

πα α π⎛ ⎞= − ∈⎜ ⎟⎝ ⎠

�(�20

cos , .29 2

πα α π= − < <

/

3 3tg , 2 ;

3 2

πα α π= − < <

9ctg , .

40 2

πα α π= − < <

-

�� ������ ��� ��� �� �

3cos sin,

3ctg 4tg

α αα α

+−

��� �3

sin , 90 180 .5

α α= ° < < °

.

)�� ������� �� �"���(�21 sin

;sin cos

αα α−

�(�2sin cos 1

;sin 1

α αα

− ++

%(�2 2

2

tg 1 tg 1.

tg 1 1 tg

α αα α

− −−+ −

0

�������(�������������'�����������������#

�������

�� �

Page 190: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

0�� ��� �� ���� ������� ����� ������� �� �� ���

� ����������������"

�(�1 sin cos

;cos 1 sin

α αα α

− =+

�(� 2 2 2 2ctg cos ctg cos ;α α α α− = ⋅

%(�2

22

1 tg1 2sin ;

1 tg

α αα

− = −+

(� 2tgsin .

tg ctg

α αα α

=+

1 0�� ����� ���� ���"

�(� ( )( )1 sin cos tg 1 cos 1 tg ;α α α α α+ + + = + +

�(�sin cos 1

;1 ctg 1 tg sin cos

α αα α α α

+ =+ + +

%(�tg sin

1 cos ;tg

α α αα

− = −

(�2

2

tg ctg 11.

1 tg ctg

α αα α

−⋅ =−

2

��������$��#���������"�������#����/$������#��������"�����

��������

) � ��� ��� ����� ������ �� ��� � �������� � � ����#

��� ��� ���4D���HI���� �=D��

�� ���� � ��������������������� ������ ����������

������������������ ���

sin a

tg a

1

23

2

2

2

3

33

:

cos a 3

22

2

1

2

ctg a 3

:

3

3

4D� HI� =D�

sin a

tg a

cos a

ctg a

������ �������� �������������

+−+

++

+

−−

−−

++

+−−

� + (����� ������� �� '�������� ���

"����������������������:7D��

�����'�������������������

���������-������ �� ��������� ��� �K� �����������

��������������"��������

0 0 3sin120 sin 60 .

2= =

}}⎫⎪⎬⎪⎭

⎫⎪⎬⎪⎭

$

120°60°

� &

cos120° cos60°

sin60°si

n12

0ctg 600ctg1200tg 60

0tg120

6���������������������������������������������������������������"���������������������� �?�������������������������� ��������� � �� ������������� ��� ���������

Page 191: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/��������������������� ��������� ��������� ��������������� �������� ����� ���� ������������� � ��

0 0 1cos120 cos 60 .

2= − = −

M������� 0tg120 ����� 0tg 60 , ������������� 0ctg120 ����� 0ctg 60 , �"������������������������������������

������������ 0 0tg120 tg 60 3,= − = − ������� 0 0 3ctg120 ctg 60 .

3= − = −

/��� 0 0 0120 180 60 ,= − ����#

( )0 0 0 0 3sin120 sin 180 60 sin 60 ,

2= − = = ��� ( )0 0 0 0 1

cos120 cos 180 60 cos 60 ,2

= − = − = −

( )0 0 0 0tg120 tg 180 60 tg 60 3= − = − = − ������� ( )0 0 0 0 3ctg120 ctg 180 60 ctg 60 .

3= − = − = −

(���������������������������������������������������������������������������������������������

:;D��α������π−α���:;D�8α������π+α�*�4=D��α������7π−α���4=D�8α������7π+α�����α ������������"������

� � �� � 0 0 00 90 0 .2

πα α⎛ ⎞< < < <⎜ ⎟⎝ ⎠�/������� ����� 0 0 0150 180 30= − ����

0 0 0 0150 ; 240 180 606

ππ= − = + ����� 02403

ππ= + ����

, ������� 0 0 0 0cos 210 , sin 210 , tg 210 , ctg 210 .

6������������������������������������������������������ 0 0 0210 180 30 .= +

30°210°

sin

210°

⎫⎪⎬⎪⎭

⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

cos210°

⎫⎪⎬⎪⎭

cos30°

⎫⎪⎬⎪⎭

sin30 °

&

���������/���� �������������������������������'���������������������������������������������

���������� � �� � ( )0 0 0 0 3cos 210 cos 180 30 cos30 ,

2= + = − = −

( )0 0 0 0 1sin 210 sin 180 30 sin 30 ,

2= + = − = −

( ) ( )( )

0 0 00 0 0 0

00 0

sin 180 30 sin 30 3tg 210 tg 180 30 tg 30 ,

cos30 3cos 180 30

+ −= + = = = =−+

( )0 0 0 0ctg 210 ctg 180 30 ctg 30 3.= + = =

Page 192: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���� ���

( )( )( )

0

0

0

sin 180 sin

sin 180 sin

sin 360 sin

α α

α α

α α

− =

+ = −

− = −

( )( )( )

0

0

0

cos 180 cos

cos 180 cos

cos 360 cos

α α

α α

α α

− = −

+ = −

− =

( )( )( )

0

0

0

tg 180 tg

tg 180 tg

tg 360 tg

α α

α α

α α

− = −

+ =

− = −

���α ������������"�������� � �� � 0 0 00 90 0 .2

πα α⎛ ⎞< < < <⎜ ⎟⎝ ⎠

/���� �������������'������������'������� �����������������"����

F�����������������'��������"�������������������������������� 0180 ᱠ����� 0360 ᱠ����'��������

��������"������ ,α �'�����"�����������������������������% + &�����% −&������������������������

'����������������������������������������������������������

/������� ����

( )0 0 0 0ctg 340 ctg 360 20 ctg 20= − = − ����������R-�� 0ctg 340 0< �*

( )0 0 0 0 3cos150 cos 180 30 cos30 ;

2= − = − = − �������� ( )0 0 0 0sin160 sin 180 20 sin 20 .= − =

/ 0��������������������������� 0 00 90 :α< <

��� ( ) ( ) ( )0 0 0tg 180 tg 360 sin 180 ;α α α− − − + + ��������� ��( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

cos 180 sin 180.

cos 360 sin 180

α αα α

− + −

− + +

������������ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0tg 180 tg 360 sin 180 tg tg sin sin ;α α α α α α α− − − + + = − − − − = −

��( ) ( )( ) ( )

( )0 0

0 0

cos 180 sin 180 cos sincos sin1.

cos sin cos sincos 360 sin 180

α α α αα αα α α αα α

− + − − −− += = = −− −− + +

( )0 0 0 0tg135 tg 180 45 tg 45 1= − = − = − ��������������������������������RR������ 0tg135 0< �*

( )( )( )

0

0

0

ctg 180 ctg ,

ctg 180 ctg ,

ctg 360 ctg ,

α α

α α

α α

− = −

+ =

− = −

Page 193: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������

*������ ������� ����%���� �������>D����� ������

���� � ����

3�� ������������������� ,α ����������� � ���������090 .α−

( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

sin cos 90 , cos sin 90 ,

tg ctg 90 , ctg tg 90 .

α α α α

α α α α

= − = −

= − = −

0 0 0 0sin 30 cos 60 , tg 50 ctg 40 .= =

� ����� α � ������ ���� � "������� �������

�������������������������������������

0902

πα α⎛ ⎞± ±⎜ ⎟⎝ ⎠� ��� 0 3

270 .2

πα α⎛ ⎞± ±⎜ ⎟⎝ ⎠/������� ����

0 0 0 0 0 0120 90 30 , 210 270 60 ,= + = −0 0 0315 270 45= + ����

- (�������������� '�������� ��"������������������������� ��������������� ���"����������������0 090 30 .+

��������� 0�� ���� ��������� ��"��������� ���� ��������� �����0 0 0120 90 30= + �������� �/����������������������������������

��������������� y xOM ON= ����� .x xOM N N=

/���� 0 0sin120 0, cos120 0,> < �������#

0 0 3sin120 cos30 ;

2y xOM ON= = = =

0 0 1cos120 sin 30 ;

2x xOM N N= − = − = − = −

0 0 0 00 0 0 0

0 0 0 0

sin120 cos30 cos120 sin 30 3tg120 ctg 30 3; ctg120 tg 30 .

cos120 sin 30 sin120 cos30 3

−= = = − = − = = = − = −−

-���������������������� ������ 090 ᱠ����� 0270 ,ᱠ���������"�����������������'���������������

��'����������������"������α ��� � �� ������������������������������������"���������"������

�����������

( )0 0 0 0tg 240 tg 270 30 ctg 30 3,= − = = ����� 0tg 240 0.>

/������� ����� ( )0 0 0 0 3cos150 cos 90 60 sin 60 ,

2= + = − = − ����� 0cos150 0;<

!��������������

���������������������� 090 ᱠ����� 0270 ,ᱠ���������"�����������������'������������������'����

�����������"������α �����������% + &�����%−&���������������������������'������������������

����������������������������������������

30°120°

&

xMxN

⎫⎪⎬⎪⎭

sin30°

⎫⎪⎬⎪⎭

cos30°

⎫⎪⎬⎪⎭

cos120°

⎫⎪⎬⎪⎭

sin

120°

)

���������������������������������������#

Page 194: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

. (����������#�������� 0sin 330 ; ���������� �� 0cos 225 ; �������������3

tg .4

π

���������-���������������������������������������������'�����������������)'�������������"�����

6�������������������� 0 0360 30− ����� 0 0270 60 .+ �$�"������������������������������������������

������������

��� ( )0 0 0 0 1sin 330 sin 360 30 sin 30

2= − = − = − ����� ( )0 0 0 0 1

sin 330 sin 270 60 cos 60 ;2

= + = − = −

�� ( )0 0 0 0 2cos 225 cos 270 45 sin 45 ;

2= − = − = − ����� ( )0 0 0 03

tg tg135 tg 90 45 ctg 45 1.4

π = = + = − = −

0 N����������������"�����������'������ sin , cos , tg , ctg ,α α α α ���������α ������#

�������* ������* �������

��� ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0cos115 cos 90 25 sin 25 ; sin115 sin 180 65 sin 65 .= + = − = − =

1 /����������������������������'�����#

��� 0tg150 ; �� 0ctg 210 ; ��� 0sin 225 ; ������)��4

cos .3

π

2 M������� 0 0 0 0sin 75 , cos35 , tg83 , ctg 23 ���������������� '������������������ ������������������

3 0�����������������( )00 90 :α< <

( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0sin 75 sin 90 15 cos15 ; ctg 23 ctg 90 67 tg 67 .= − = = − =

��� ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0sin 90 cos 180 tg 270 ctg 360 ;α α α α+ + + + − + −

��( ) ( )

( )cos sin

;1 tg 2

π α π απ α

− + −+ −

���( ) ( )

( )( )( )

0 0 0

0 0

sin 360 sin 90 tg 270.

cos tg 90 ctg 90

α α αα α α

− + −⋅ ⋅

+ +

������������ ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0sin 90 cos 180 tg 270 ctg 360α α α α+ + + + − + − =

( ) ( )cos cos ctg ctg 0;α α α α= + − + + − =

��( ) ( )

( ) ( )cos sin cos sin cos sin

cos ;cos sin1 tg 2 1 tg

cos

π α π α α α α α αα απ α αα

− + − − + − += = = −−+ − + −

���( ) ( )

( )( )( )

0 0 0

0 0

sin 360 sin 90 tg 270 sin cos ctg sincos .

cos cos ctg tg tgtg 90 ctg 90

α α α α α α α αα α α α αα α

− + − −⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − = −− −+ +

Page 195: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

:������� ��� ������������������� ���"��(� 0cos135 ; ������(� 0ctg240 ; �����%(� 0tg315 .:

�� ���

:������� ��� ��� �� �"��(� 0 0 0 0sin330 cos210 tg225 ctg150 ;+ − −

�(�5 5 5 7

sin tg ctg ctg ;6 3 6 4

π π π π+ − − %(�3 7 5 11

2 tg 2ctg cos sin .4 4 3 6

π π π π− + −

7

�� ������ ��� ��� �� �"4

�(� .3

2sin nëse ,

2sinsin22sinsin2 πααααα =

+−

�(� .2

0 ,2

,5

3sin nëse ,

cos

sin παπβαααβ

αβ <<=+=+

−ctg

tg

)�� �������� �� �� ( )4 7 :−

�(� 0 0 0 02sin 40 cos130 sin160 cos110 ;+ − − �����(� 0 0 0 0 0 0sin160 cos110 sin 250 cos340 tg110 tg340 .⋅ + ⋅ + ⋅H

( ) ( )( ) ( )

2 0 2 0

0

2 0 2 0

cos 360 sin 270, 0 90 .

tg 90 ctg 270

α αα

α α− + +

< <+ ⋅ +

I

( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0

sin 360 tg 90 ctg 270.

cos 360 tg 180

α α αα α

− ⋅ + ⋅ −

− ⋅ +=

( )( )

0 0 0 0

0 0 0 0

sin 180 ctg130 cos320 sin 90.

cos 90 sin140 ctg50 cos180

αα

+ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅<

0�� ����� ���� ����( )8 10 :−

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0 0

cos 270 sin 180 tg 90sin .

tg 270 ctg 90 sin 90

α α αα

α α α

+ ⋅ − ⋅ −=

+ ⋅ − ⋅ −;

( ) ( )( ) ( )

sin cos cos 22

cos .ctg tg

ππ α α π αα

π α π α

⎛ ⎞+ + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠ = −+ ⋅ −

>( ) ( )( ) ( )

0 0

0 0

cos 180 tg 180tg .

cos 270 tg 270

α αα

α α+ ⋅ −

=− ⋅ +

:D

:D -�������������� ( ) ( )2 2

3sin sin cos cos 2 2.

2 2

π πα π α α π α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�������� ( ) ( )2 2

3sin sin cos cos 2

2 2

π πα π α α π α⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( )2 2 2 22sin 2cos 2 sin cos 2 1 2.α α α α= + = + = ⋅ =

2 2 2 2cos 2sin cos sin sin 2sin cos cosα α α α α α α α= + ⋅ + + − + =

[ ] [ ]2 2cos sin sin cosα α α α= + + − + =

Page 196: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"�����������#��������#����������

��������

)�� $����� �� � ��������� ����� ���� ��� ������ ��

%����� ������������ � � �� � � ������� � �� "�������

�� ����� �

3��� ��������������� �����!"#������$������ ��"

α

β�

+

# !

"

11

2 2 2a b c+ =

090α β+ =

sin , cos , tg , ctg .a b a b

c c b aα α α α= = = =

�2"����������������������������������

���"������������������

+ 2"����� ���������� ���������� ���� �������#���������� 36,5c = �$�� �������

033 25 .α ′=

���������/���� ABCΔ ��������������#

sin ,a

cα = ����� 0sin 36,5 sin 33 25 , 36,5 0,5507 20,10055 20,10a c aα ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈ �$�

cos ,b

cα = ������� 0cos 36,5 cos33 25 36,5 0,83468 30, 46610 30, 47.b c α ′= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ≈

0 0 0 090 , 90 33 25 56 35 .β α β ′ ′= − = − =

��� ��� ��0�������������+��������������� 2 2 2b c a= − ���������� tg ,b a β= ⋅ ����� ��������������

��.��������� ������� �� ������������ ������ �� ����.�����*��� ���� ����,��� �������� �� ��������� ���� �

+���������� �������� �� ������(����� �� ���.�� ���� �� ���.�������� �/������ 0sin 33 25′ � �� +������

��� � ���������� ��� ����������:

:����� ���� � ����� ��"*+� ���� �� α � �� ��������� ��� ��������

7 �1�� ��33.25 → �"*+� sin→ �����'������� ����� �.��������� 0sin 33 25 0,55072.′ =

'���� �� ��������� � ���� ���"*+� ���+ �� � ,��� ���� � ��������� ��� ����������������0

0 0 0 0 02533 25 33 33 0, 41666 33, 41666 sin

60⎛ ⎞′ = + = + = →⎜ ⎟⎝ ⎠

����'������� �����

7 2"����������������������������� 13, 2b = ����� 040 45 .β ′=

4 2"����������������������������� 43,5 cm, 62, 4 cm.b c= =

.��������� 0sin 33 25 0,55072.′ =

*

��

α� +

1

β

Page 197: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���������/���� ABCΔ ��������������������:�����#� 2 2 262,4 43,5 2001,51;a = − = � 2001,51,a =� � �� � 44,73824 44,74 cm.a = ≈

043,5cos 0,69712, 45 48 .

62, 4

b

cα α ′= = = = ��

0 0 090 45 48 44 12 .β ′ ′= − =

0�� �� α � �� +������� ��� ����������:

1cos 0,69712 2 cos 2nd nd DMSα −= → → → → �����'������ 045 48 13 .′ ′′ ����������� 045 48 13 .α ′ ′′=

����������� ���� ��+����������������������� ����� �����'���� ����������� ��������� !� 6,�������������� �� ���������� �� ��������� ���� ���� ��� ������;�� ������

( )0 0 0 045,8096045 45 0,8096045 45 0,8096045 60 45 48,21645′ ′= + = + ⋅ = + =

( )0 0 045 48 0, 216715 60 45 48 12,976 45 48 13 .′′′ ′ ′′ ′ ′′= + ⋅ = =

H 2"���������������������������� 35 cm, 42 cm.a b= =

2"������������������������������������������"������������������������"��"����������'��������

�������������������

I ���������������������������������"��������������������� 28,5 cm,d = �����������������"�������

'���������"������������ 065 30 .ϕ ′=

������� ������������������� ����������������������������

�*97��8�� �/���O�����������������������"��������'"����

?������� Ê.45322

0==∠ ϕNOC

/���� 2: cos ,2

2

aa

ONCd d

ϕΔ = = ����� cos2

a dϕ= =

028,5 cos32 45 28,5 0,84104; 23,97 cm;a′= ⋅ = ⋅ = 2sin ,2

2

bb

d d

ϕ = = ������ 15,42 cm,b =

= (�������������������������� ������������� ���� 18,6 cma = �������������������� 037 40 .γ ′=

�������*97�74�><8:I�H7�9<;�<;��� � 0sin 28,5 sin 32 45 ;2

b dϕ ′= = ⋅

+

*�

,

&

2b

2a

) 234234234ϕ

Page 198: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

< (�������������������������������������������

��������� 0 0tg37 40 , 13,5 tg 37 40 ,13,5

hh′ ′= = ⋅

13,5 0,7719 10, 42 m,h = ⋅ = � �����

2,5 12,92 m.H h= + = �.��������� ���������

������������12,92 m.

�(� 015 cm, 38 ;a β= =�(� 025 cm, 35 40 .b α ′= =

:

�� ���

<����� �� ��������������� ����( )1 5 :−

�(� 027 cm, 40 50 ;c α ′= =�(� 063 cm, 65 30 .c β ′= =

�(� 25 cm, 13 cm;c b= =�(� 23 cm, 35 cm.a b= =

�(� : 12 :13, 15 cm;b c a= =�(� : 21: 20, 58 cm.a b c= =

�(� cm.12 ,cm63 2 ==Δ bS

�(� cm.40 ,cm180 2 ==Δ bS

:���������� �� �� �������������������� ���$��

48 cma = ��� ������� 30 cm.b ==

�������� �������� ��������������:I�7�������;�H�����������������������:D�I��� �(�������������������

<

(������������������������ ���7D��������=������������������:4��������:I���

;

* ��� �%����������������� ���������� �$�������� ���

������7D������������������ �������������������� ��II�>

>

OB����� � '� ����� ����� ������� ��� ������ ����"���<=����������������������������������������������������7;� �(���������������B�����

:D

����������������

��������

������ � %������� � �������� ������ � ���������

�������������� � ������� �� � ��������� ������ �

�������

.21

21

21

cba hchbhaS ⋅=⋅=⋅=

� : ������� ������ �� ABCΔ � ���

��������� ����

+

β

� *+�

��

12,5, 16, 2a c= = ��������� 050 26 .β ′=������� ��!����������������������������������#

chcS ⋅=21

� /���� 1 :CC BΔ � sin , sin ,cc

hh a

aβ β= = � ���

βsin2

1 ⋅⋅= caS � � �� .cm05,78Ê2650sin2,165,1221 20 =⋅⋅⋅=S

37 40Ê°

⎫⎪⎬⎪⎭

9�B� �

85�B��

Page 199: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

� *

+

��

�+�

α

180α

°−

� �

������"���������������������������������������� ��� ��������"��������������)'��������� ���������

���������������������������

M���������������������������������������������"���������

������ �/���� ( )01 : sin 180 ,ch

ACCb

αΔ − = �� � ��

( )0sin 180 sin ,ch b bα α= ⋅ − = ⋅ ���

.sin21 αbcS ⋅=

������������������B����������'������ .sin2

1 γ⋅⋅⋅= baS

/����� .sin21

sin21

sin21 γαβ bccbcaS ⋅=⋅=⋅= �-�����#

sin sina c b cβ α⋅ = ⋅ � ���� sin sinc b a bα γ⋅ = ⋅ � ����sin sin

a b

α β= � ���� ,

sin sin

c a

γ α= � � � ���

.sin sin sin

a b c

α β γ= = �6�� ��������������������

+��������������� ������������������������������������������������������������������

� � ��

.sin sin sin

a b c

α β γ= =

0��������������� �������������������� ���� �������#

:��2"�������������������������������������� ���������������

7��2"������������������������������������ ����������������������������� ��������������������

/����)����������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������� ���#� , , ; , , ; , , ; , ,a b c a R b c b a c R a b cα β α+ + − + + ����

��������

,�����$������ ������ ������������� ������������

� "

) � %������ � �������� ������� ���������� �������

����� ������������������

, 2"�������������������������#0 063, 25 cm, 37 20 , 85 30 .a α β′ ′= = =

Page 200: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

2"����� �/���� 0180α β γ+ + = �������� ( )0180 ,γ α β= − + �� � �� � 057 10 .γ ′= �$��� �����

���������������sin sin sin

a b c

α β γ= = ����� , sin ,

sin sin sin

a b ab β

α β α= = ⋅

00

63,25 63, 25sin 85 30 , 0,99668, 103,95 cm.

sin 37 20 0,60645b b b′= ⋅ = ⋅ =

′������+������������������

�������������� �/����sin sin

a c

α γ= �������� 063,25

sin sin 57 10 ,sin 0,60645

ac γ

α′= ⋅ = ⋅

87,63 cm.c =$���������� �������� ��� ����������� �������� ������� �������������"��� ���:;D��������� �����������

"�����������"��������������

4 2"������������������#� 0 020,6, 47 30 , 80 25 .a β γ′ ′= = =

��������

��� ����������������������� ��������������������

���������� ������ ��� �������������������� ��������

�%������

��� ����������������������� ��������������������

��� ��� ������� ���� �� � ��������� ���� �����

����� ����������%��������������������� �����������

� �������$������ �����$������ ��� ��������� ���$������ �

��� 012, 15, 55 30 ;a b β ′= = = �� 04, 13, 14 15 ;a c α ′= = =��� 05, 3, 45 .b c γ= = =

������� �����/����sin sin

a b

α β= �������

sin sin ,b aα β= � � � ����sin

sin ,a

b

βα =

012 sin 55 30 12 0,824126sin , sin 0,65930,

15 15α α

′⋅ ⋅= = = � ���� 041 14 .α ′=

( ) ( )0 0 0 0 0180 , 180 41 14 55 30 , 83 16 .γ α β γ γ′ ′ ′= − + = − + = �/����sin sin

a c

α γ= �������

0

0

12 sin83 16 12 0,9931sin , , 18,08.

sin sin 41 14 0,65913

ac c cγ

α′⋅ ⋅= ⋅ = = =

��/����sin sin

a c

α γ= ��������

0sin 13 sin14 15sin sin , sin 0,799998,

4

ca c

a

αγ α γ′⋅⋅ = ⋅ = = =

� ����

053 8 .γ ′=

� H 2"�������������������������#

/����������� ( )0sin 180 sinα α− = ������������������� 01 180α α= − =

0 0 0180 41 14 138 46 ,′ ′= − = ���������� 1sin sin .α α= �6��� 1α �������������������������������������

������������� 1 ,α β> ������� a b< ��������������������� �.��������������������"��������������

Page 201: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

6��� ,γ α> ���������� ,c a> ���������� ( )0sin 180 sinγ γ− = ������������ 01 180γ γ= − ������������

������"������� � �� 0 0 0 01 180 180 53 8 126 52 .γ γ ′ ′= − = − = �/��� 1γ α> �������������� ,c a> ���������

��������������"�����

/��� ( ) ( )0 0 0 0 0 053 8 , 180 180 14 15 53 8 , 112 37 .γ β α γ β′ ′ ′ ′= = − + = − + = /����sin sin

a b

α β= ����

0

0

sin 4 sin112 37, , 15.

sin sin14 15

ab b b

βα

′⋅= = =′

/�� ( )0 0 01 1 1126 52 , 180 38 53 ,γ β α γ′ ′= = − + = �

01

1 0

sin 4 sin 38 53 4 0,627710,19.

sin sin14 15 0,2462

ab

βα

′⋅ ⋅= = = =′

/�������������"���������������������� 0 015, 112 37 , 53 8 ,b β γ′ ′= = = �������������#

0 01 1 110,19, 38 53 , 126 52 .b β γ′ ′= = =

6���������������������� ���� 4 cm, 13 cma c= = ��������� 014 .α = �!���"���������������,

���/����sin sin

b c

β γ= �������� sin sin ,c bβ γ= �����

0sin 5 sin 45sin 1,1785 1.

3

b

c

γβ ⋅= = = > �.��������

����"����������� [ ]sin 1,1 .α ∈ −

1����� ����������������������"������������������������������������������� ���� 5 cm, 3 cmb c= =�������� 045 .γ =

I 2"������������������#����� 0 012, 77 , 55 30 ;a α γ ′= = = �� 045, 53, 53 48 ;a b α ′= = = ����������������������� 06, 4, 60 ,b c γ= = =

+

*

)

%

)�

α

α

2a

= -������� ��� ��� ��� ���������� ���� ������ �� ��� ��������������� �� �������� ��� ����� ��������� ��

���������������������������������� �����

���������E���������������������������������������������������������)'������������������.����������

2sin ,2

aa

R Rα = = �� � �� � 2 sin .a R α= ��������������"�

�������������� 2 sinb R β= ����� 2 sin .c R γ= �/���������������

0��"�����������������������������������������������������

2 .sin sin sin

a b cR

α β γ= = =

/��������������������������������'����������� α2=∠BOC �

� � �� � α=∠ OCO1 ����������������������.�������#

Page 202: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

)

*�

+

*�

α

γ

���

< 2"�����������������.����#�� 8,125, 13, 12.bR a h= = =

���������/������������������.����#�sin ,bh

aγ =

012sin 0,92308, 67 22 .

13γ γ ′= = =

/��� 2sin sin sin

a b cR

α β γ= = = ����#� 2 ,

sin

aR

α= �� � ��

013sin 0,8, 53 7 ; 2 ,

2 2 8,125 sin

a cR

Rα α

γ′= = = = =

⋅� � ���

02 sin 2 8,125 sin 67 22 , 15.c R cγ ′= = ⋅ ⋅ =

( ) ( )0 0 0 0 0180 , 180 53 7 67 22 59 31 ;β α γ β ′ ′ ′= − + = − + =

02 , 2 sin 2 8,125 sin 59 31 14.sin

bR b R β

β′= = = ⋅ ⋅ =

2"���������������!"#����������� ����������

�� �������� "

�(� 0 017, 48 20 , 56 36 ;a α β′ ′= = =

�(� 0 012, 77 , 57 34 .b α γ ′= = =

:

�� ���

2"���������������!"#����������� ���������

�� ��������������������� ���� "

�(� 012, 15, 48 35 ;a b β ′= = =

�(� 025,4, 15,8, 74 ;b c γ= = =

%(� 014,5, 18, 48 30 .a c α ′= = =

7

2"���������������!"#���������"

�(� 016, 9,53, 23 30 ;a c γ ′= = =

�(� 05,7, 9,5, 72 .a c α= = =

4

2"����� ����������!"#� ��� � ����� �����"

04,8, 7,2, 85 45 .b c γ ′= = =

H

2"���������������!"#����������� "

�(� 0 025, 70 , 85 ;R α β= = =

�(� 08, 13, 48 36 .R a β ′= = =

I

2"����� ����������!"#� ��� ������� �

�� 23, 31, 28;R a b= = =

��� 7 3, 24, 12 3.cR b h= = =

=

�� ���� �� ���� �� � ������� � ��� �������

!"#-���� "08, 13, 60 .AB BD α= = =

<

Page 203: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������#������

��������

8������������� ���������!"#�� ���������������������� �+�9������������� ��������!"#�� �������������������� �+��� ������ .α* ���� �������$������ ���� �������� ����������������

| | .b c a b c− < < +* ���� �������������������$������ �

� : (������������������������!"#

�����������������#

20 cm, 13 cm, 21 cm.a b c= = =

*�

+

+�

α

� �

$ c x−

������� ��!���������������������������������

'���������3������������'������

.2

chcS

⋅=

E���������� 1 .AC x= �?������� 1 ,C B c x= − ���������� 1AC CΔ ����� 2 2 2 ,ch b x= − ������������ 1CC BΔ ���

( )22 2 .ch a c x= − − �/������������

( )2 2 2 2 22 ,b x a c cx x− = − − + � � �� � 2 2 2 2b a c cx= − + ����

2 2 2 2 2 221 13 20, 5,

2 2 21

c b ax x

c

+ − + −= = =⋅

� ���� 2 2 213 5 ,ch = −

2 144,ch = � � � �� � .cm 1261221.21

;12 2=⋅== Shc

0�������������������������� ������ 2 2 2 2 .b a c cx= − +

/��� 1 , cos ,x

AC Cb

αΔ = �� � �� � cos ,x b α= ����� 2 2 2 2 cos ,b a c cb α= − + ��������������

� *

+

��

�+�

α

180α

°−

� �

2 2 2 2 cos .a b c bc α= + −

6�� �����������������������α ��������"������� � �� � 0 090 180 .α< <

E���������� 1 .C A x= �?������� 1C B x c= + �'" ��/���� 1C ACΔ ���#

2 2 2 ,ch b x= − ������������ 1C BCΔ ����� ( )22 2 .ch a x c= − + �/���������

( )2 2 2 2 22 ,a x cx c b x− + + = − � � � �� � 2 2 2 2 .a b c cx= + +

/���� ( ) ( )0 011 : cos 180 , cos 180 .

C A xC AC x b

b bα αΔ − = = = −

/���� ( )0cos 180 cosα α− = − �������� cos ,x b α= − ����

2 2 2 2 cos .a b c bc α= + − 6��"�������������������

Page 204: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� �� �� �$���������6�������������� ������������������������� ��� ���������������

���������������� ������������������"������������'������������������������� ���������

�������������������������������� � �� 2 2 2 2 2 2 2 2 22 cos , 2 cos , 2 cos .a b c bc b a c ac c a b abα β γ= + − = + − = + −

-��������� ����������������������������B���������������������

���������������������������������������������������������� ���� 090 ,β = ��������2 2 2 02 cos90 ,b a c ac= + − ������������� 2 2 2 ,b a c= + ����� 0cos90 0.= �.�������������������������

��������������������������������

0����������������� �������"������"��������������������������������������#

: �2"����������������������������������� ������������������������

7 �2"��������������������������������������� ���������

$��� ������������������������������������������"�������������������������������������������������

��������������������������������������

7 2"�����������������.�����������#�� 017, 22, 56 35 .a c β ′= = =

���������5�������������� ,β ���������������� ����� �6��#� 2 2 2 2 cos ,b a c ac β= + −2 2 2 0 217 22 2 17 22 cos56 35 , 298 484 748 0,550723, 361,05877 19.b b b′= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − ⋅ = =

��������������������� �������������������������������� 2 2 2 2 cosa b c bc α= + − �������

2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos , cos , cos .2 2 2

b c a a c b a b c

bc ac abα β γ+ − + − + −= = =

2 2 2 2 2 2019 22 17 556

cos , cos , cos , cos 0,66507177, 48 18 .2 2 19 22 836

b c a

bcα α α α α+ − + − ′= = = = =

⋅ ⋅2 2 2 2 2 2

017 19 22 166cos 0,25697; 75 6 .

2 2 17 19 646

a b c

abγ α+ − + − ′= = = = =

⋅ ⋅

��� ��� ��*��� +�� � � �� �� ����� ��� ���� 6���� ��� �� ����� ����� ����� �� ��� �� ���;�� ���� +�� � �� �

���������� �� �������� ����� �� ��.�������� ���� ������� �� � ��� �

4 2"�����������������.�����������#

��� 042,5, 52, 4, 110 25 ;b c α ′= = = �� 015, 23, 60 .b a γ= = =

Page 205: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

H 2"�����������������.�����������#

��� 17, 15, 8;a b c= = = �� 13, 2 17, 2 23.a b c= = =

���������G��������������� ����#

��2 2 2 2 2 217, 2 13,2 23 295,84 174,24 529 58,92

cos 0,129756871,2 2 17, 2 13,2 454,08 454,08

a b c

abγ + − + − + − −= = = = = −

⋅ ⋅���

097 27 .γ ′= �6���α ��������������������������������� �/����sin sin

a c

α γ= �������

00sin 13,2 sin 97 27 13,2 0,991558

sin 0,569068, 34 41 .23 23

a

c

γα α′⋅ ⋅ ⋅ ′= = = = =

6���β ��������������������������� 0180 ,α β γ+ + = ���� ( )0180 ,β α γ= − +0 0 0180 132 48 , 47 12 .β β′ ′= − =

I 2"����� ������������.� ��� ��������

��� 17, 12, 9;a b c= = = �� 2,3, 1,7, 1,5.a b c= = =

= 2"�����������������.������������ 14, 12a c= = ����������������� 10.ct =

���������0���������.��.��������������������� ����� ,2

ca ����� ,ct �����

22 2

2cos ,

22

c

ca t

ca

β

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠=⋅ ⋅

2 2 2014 6 10

cos 0,785714, 38 12 .2 14 6

β β+ − ′= = =⋅ ⋅

/��� :ABCΔ � 2 2 2 2 cos 75,952; 8,72.b a c ac bβ= + − = =

2 2 20cos 0,11486; 83 24 .

2

b c a

bcα α+ − ′= = =

( )0 0180 58 24 .γ α β ′= − + =11

1

22

11

!

#�

"

#

� �

+

β

Page 206: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ����������������������������#������

0�"�������� � �������������������� '���������� ���"����� �������� ����� ��"������� �������� ������ �

���������������������"��������� ���������"��������� ������ �0����������������������������"������ ���

����"���������������'����

: ���������"�������������������� ���� 70, 80a b= = ���������������������� 0120 .α =

:�������������������������� �� ������� ���������

!"#����� "

�(� 05, 7, 60 ;a c β= = =

�(� 013, 8, 120 .a b γ= = =

:

�� ���

2"����� ����������!"#� �

�(� 017, 15, 35 40 ;a b γ ′= = =

�(� 013,5, 15, 54 40 .b c α ′= = =

7

�(� 12, 13, 5;a b c= = =

�(� 13,5, 17, 21.a b c= = =4

2 2 034, 7, 120 .a b c γ+ = = =H

16, 13, 11.bb c t= = =I

3�� ��������������������� ����������� ��������

���� �����������!"#����� "

�(� 020, 15, 60 ;a b c β+ = = =

�(� 030, 33, 120 .c a b γ− = = =

=

3�� � ���� � ������������� �� ���� ������� α � ��

� ����������!"#�� ��� � ����� �� ������ � ��� ���

�$������ ��%����"

�(� 2 2 2 ;a b c bc= + −

�(� 2 2 2 2.a b c bc= + +

<

�� �������������� ����������������������� ���������

!"#����� "

�(� 08, 6, 60 ;a c β= = =

�(� 012,3, 18,5, 57 30 .b c α ′= = =

;

�� �������� ���� �������� ���� ��������!"#-�

��� "

17, 5, 6.a b d= = =

>

�� ���� ���� �� � �������� ��� �� $��� � � ��$�

10, 3a b= = ��� ������ 5, 4.c d= =:D

Page 207: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

!

" -

#

α

������� ��E�� ��� �����21

0 ,,120 dBDdACABC ===∠ �$��� ������ � ��������� ��

����������#

( )2 2 2 0 2 2 2 0 01 12 cos120 ; 70 80 2 70 80 cos 180 60 ;d a b ab d= + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ −

( )2 01 4900 6400 2 70 80 cos 60 ;d = + − ⋅ ⋅ ⋅ −

21 1

14900 6400 2 70 80 16900; 16900 130.

2d d= + + ⋅ ⋅ ⋅ = = =

!�����!������������������ ;120sin21

2 ;2 0abSSS ABC ⋅=⋅=

.74,4849866,08070 =⋅⋅=S �/����212

1ddS = �������� 2

14849,74 130 ,

2d= ⋅ ⋅ �� � ��

2 74,61.d =

7 ����������������������������������� 8AB = ����� 5AC = ���������'������������������� �(�������������������������

=D�

(

$! "

#

��

+

������� ��N�������������������������������������������������������

��.������� .4

a b cR

P

⋅ ⋅= �!������� ABCΔ ������� ;60sin21 0⋅⋅= cbS

.31023

5821 =⋅⋅=S ����������������������������������������

������������������#� 2 2 2 02 cos 60 ;a b c b c= + − ⋅ ⋅

2 2 2 15 8 2 5 8 49,

2a = + − ⋅ ⋅ ⋅ = �� � � 49 7.a = = �/�������

7 5 8 7 3.

34 10 3R

⋅ ⋅= =⋅

4 .���)������������������������������������������������������������������������������������

����������������'�������������������� �0������������������������������������������)�������"����

�������������������������������������������������)��������������'������������������� �����

)���������������������������������������������������������������������������������������)�����

����,

Page 208: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

8@B�

B@�

!

"#

����

9B�

������� �/���� ABCΔ ����#

,25)50105(180 0000 =+−=∠C ����"�������������)��������

����� ������ 1 70,AB s v= = ⋅ � ������ �� ��� ����

2 2 ,AC s v t= = ⋅ �������������������������������)��������

���� �$��� ��������������������������#

������ ��E����������!�����������������"�����#������������������������)�����������������������������������

1 20 0 0

.sin 25 sin 50 sin105

s s BC= = �/���� 1 20 0sin 25 sin 50

s s= �������� 012 0

sin 50 ,sin 25

ss = ⋅ �� � ��

02 0

70sin 50 ,

sin 25

vvt = ⋅ ����� 2

700,766044 126,88

0, 422618t = ⋅ = ����� �.���������)�����������������

�����������������������������:7=����������I4�������

H (���������������'������ F→

����������������������'������� 1F→

����� 2F→

������������������'����������

.������ ��R�� ������'������ 1F

→����� 2F

→���������"�����������������"����

N�����������'������������ F→

�������������������������������� .OB

/���� OABΔ � ��� � ���� �� ��������� �� ������� ��������#

( )2 2 2 01 2 1 2| | | | | | 2 | | | | cos 180 .F F F F F α

→ → → → →= + − ⋅ ⋅ ⋅ −

$

"#

F→

1F→

2F→

α!

π α−

2 2 21 2 1 2| | | | | | 2 | | | | cos .F F F F F α

→ → → → →= + + ⋅ ⋅ ⋅

I �����������������������������2������������������������������������;D�� �/���������!��������������

����������'���������������������������������������������������������������������� 039 30 ,′������������������������������������� 031 30 .′ �(���������������������

����� ���

����������������α ��������� ��� ���$������$�����

�� �������� ���$���� � �%������$��� ����������������

��� ��� ���� � ���$��� ���$����� � ��� �� $����� � � ��������

������ α � �� ������ �� � ���$��� � ���$����� � ��

������� ���$��� ��� ������ ���� � ���$��� ���$�����

��� ��$����� �� � �� �������

α

α

Page 209: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���������/���� ADBΔ ����� 0sin 31 30 ,H

c′ =

� � �� � 0sin 31 30 ,H c ′= ⋅ ���������� ADCΔ ���

0 0 090 39 30 50 30 .γ ′ ′= − = � /���� :ABCΔ

0

0 0

80 80 sin50 30, , 443,5

sin sin8 sin8

cc c

γ′⋅= = = ���

���� 0443,55 sin 31 30 , 231,55H H′= ⋅ = ���

= ?�������'�����������������!�"������"���������������"����4DD�����������"�������������������

������������ �P���'������������������������������HD���C� �?�����������������������������������

4D����� �������������������������������������'����������������������������������������'�������

�����

123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345

1234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456123456789012345678901234561234567890123456789012345612345678901234567890123456

58�5@/!

;D��

2

-

"

#

+

γ

D�

α090 α−

HI�

v→ � ����

v→

� ��������Rv

!"

< &

'

%

HI�

������� ����������'������������������������������

���'������������������������=DD���C� �/�����������

����������'��������������������������������������

������������"������������ ������������������������

�����������������#

2 2 2 02 cos 45 ,A V R V Av v v v v= + − ⋅ ⋅

2 2 2 2240 600 2 40 600 , 1600 360000 33941,

2A Av v= + − ⋅ ⋅ ⋅ = + − � ������ 572, 41Av = � �����

/��������� ���������������������������� ( )2 2 2 02 cos 90 ,V A R A Rv v v v v α= + − ⋅ ⋅ − �� � ��

2 2 2 2 sin ,V A R A Rv v v v v α= + − ⋅ ⋅ � ����2 2 2 686059

sin 0,998787,2 686892

A R V

A R

v v v

v vα + −= = = � ������ 087 10 .α ′=

�� ���

: �� ������������� � �� ���� ����� ���������

� � �� �� ������"

�(� 0116, 19, 120 ;a d β= = =

�(� 0112,3 31, 73 20 .b d α ′= = =

7 �� �������������� ������ �+��� ���� ��������

�� $���!"#-���� "� 13, 3,a b= = � 082 25α ′=�� �

046 40 .β ′=4 0�� ���� �������������� ����� ��������� ������

�������� ���������� �"

( )2 2 2 21 2 2 .d d a b+ = +

H F�������� �� ������ ��� ������ "�� �������� ������������ ���������� ���� 45at = ��� ���

30bt = �� ������������������������

I .��'����� 1 25F→

= ������� 2 17F→

= ����������

��������������������������������!������098 48 .α ′= �(�������������������������������

��������������������'��������)�����������

'��������������

Page 210: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������������������$��%��

���� �"�4 7 5

, , , ,3 3 6 4 6

π π π π π��� �

5

3

� ��������������:

:������� ����� ��� �� �� ( )2 3 :−

�(� 0tg72 ; ����������(� 0ctg352 ; ���������%(�5

sin ;6

������� (�

7cos .

4

π7

�(� 0 0sin120 cos120 ; ����������(� 0 7sin130 cos ;

6

�������%(�

3 5ctg tg ;

4 3

π π��������� (� 0 0tg 250 tg100 .4

)�� ������� �� ����� � 02

πα< < � ( )4 5 :−

�(� ( ) ( )0 0sin 180 cos 180 ;α α+ − � � � � � � �(� ( ) ( )0 0sin 180 tg 270 ;α α− − � � � � � � ��� ( ) 3ctg cos .

2

ππ α α⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠H

�(�( ) ( )

( )0 0

0

sin 270 tg 180;

cos 270

α αα

− ⋅ +

+���������������(�

( ) ( )( )

0 0ctg 90 cos 90.

3sin tg +

2

α απ α π α

+ ⋅ −

⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

I

�� ������ ��� ����� ��( )6 7 :−

�(� 0 0 02sin 30 cos60 sin 90 ;+ �����������(� tg ctg + cos ;6 3

π π π− ����������%(�4ctg 2sin 3cos .2 2

π π π− −=

�(�

0

0

cos30 cos3 ;

cos cos606

π

π

+

−�(�

sin cos3 6 .

tg ctg3 6

π π

π π

+

+<

:������� ��� ��������� � ��� ��������� ��� ���� "���(�8 3

sin , ;17 2

πα π α= − < <

�(� 0 020cos , 270 360 ;

21α α= < < � � � %(� 0 03

tg , 90 180 ;3

α α= − < < � � � � (�2 5 3

ctg , 2 .15 2

πα α π= − < <

;

= ) ���������������������������� 036 52α ′= �������

� ���������� ���� � ���� 220 N.Q = �. � ���

��% ���� ������ �� ��� ����� ��������� ���� �

��������� ���������������� ���������>

< -���"����"����������� ��"��������������:=;�I� �������'��������������� ��"������������������������������������ 024 18 ,α ′= ������������ �� ���� 08 12 .β ′= � (����� ���"����������������

; ������������������������������������"��������>7<������������������������ ������������������������������� 042 37 ,α ′= ���������������������� 039 54 .β ′= �(��������������������

> 3 �������-����������� �������:H���� �����������

��� �������� �� � $��� � ������� ���� ������044 25 ,α ′= � �� ������� �� ���� �� ��������� ��

�� ���� �� ��� �����(��:����� ��������� ����� �

���� �?��� �(����� � 18BC = ����

Page 211: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������������#�������

)�� ������������� �� ���� ���������������� ��� �� ������������ ������ ����"

�(� 3 2sin sin cos ;α α α+ �����������(� 4 2 2cos sin cos ;α α α+ ����������%(�2 4

2 4

sin sin;

cos cos

αα α

−−

(�2

sin 1;

cos 1 sin

αα α

++

��������������(�( ) ( )2 21 tg 1 tg ;α α+ + − �������� (�

21 cos sin.

1 cos

β ββ

+ −+

:D

0�� ����� ���� ���"

�(� 2 2 2 4sin sin cos cos 1;α α α α+ + = ��������������(� 2tgsin ;

tg ctg

α αα α

=+

���������������%(�1+ tg

tg ;1 ctg

α αα

=+

(�2 2sin sin

2;1 cos 1 cos

α αα α

+ =+ −

��������������������������������(�cos ctg

ctg .sin 1

β β ββ− =

::

�(� 0cos 210 ; �����������(�3

sin ;4

��������%(� 0tg 225 ; ���������� (�

11ctg .

6

π:7

�� ������ ��� ��� �� � ���������$���������������( )12 13 :−

�(� 0 0 0 0sin 210 cos150 tg60 ctg135 ;⋅ ⋅ ⋅ �����������(� 0 0 0 0sin120 2cos240 tg240 ctg330 .− + +:4

0�� ����� ���� ������� � 00 :2

πα< <

�(� ( ) ( ) ( )0 0 0sin 180 cos 270 tg 180 tg ;α α α α− + − − + =

�(�( ) ( ) ( )

( ) ( )0 0 0

0 0

cos 270 sin 270 tg 270cos .

sin 180 ctg 180

α α αα

α α

− ⋅ + ⋅ −=

− ⋅ +

:H

<����� �� ����������!"#����������� "

�(� 0 012,5, 43 25 , 65 40 ;a α β′ ′= = = ���������������(� 0 012, 48 , 64 .R α β= = =:I

<����� �� ����������!"#����������� "

�(� 027, 13,2, 67 25 ;a b γ ′= = = ��������������������(� 30, 20, 25.a b c= = =:=

*����������%��������������� ��� ������������� ��:D����� ���������� ���������������������������I������ �<����

:������������ ���� ����� $ �������������������������������������� � �� ���� ������������� ���

:<

�� ������ ��� ����� �"

�(�3cos sin

,3ctg 4 tg

α αα α

+−

���� �3

sin , ;5 2

πα α π= < < ���(�3cos 8sin

,5ctg 6tg

α αα α

−−

���� � 0 05tg , 90 180 .

12α α= − < <

>

:: 0sin120 ������"������(�3

;2

− �(�1

;2

− %(�2

;2

(�3

.2

Page 212: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

< ) ������ ��� �������� ��� �������� �� ������������������IIIIIIIIIIIIIIIII����������������%����

����� ������� ��������� � �IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

; )���� ���� ������� ��� �������� ��� ���������� ���������� � ��� ���� ���$���� �������������

��� �� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

> ��������� �� ������������� ������ ��� �������� ��� ���������$�������� �������������������������������

IIIIIIIIIIIIIIIII� �� � ���������� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

:D J����$���� sin tg 0α α⋅ < � ������ �� ������ ��� � �����α � ������ ��� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�� � ��

���������IIIIIIIIIIIIIIIIIII����������� ��� �������� ��� � 7

:: ,������"� E;������ � � ���������� ����� � ��%����� �� � �������� �� ���� � � ��� �������F� ��� �

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� 7

:7 + ����� ���5 3

cos .13 2

πα π α⎛ ⎞= − < <⎜ ⎟⎝ ⎠��� ������ ��� �sin , tg , ctg .α α α 4

:4 �� ������ ��� ��� �� �"���(�0

0

2sin 2sin30;

tg ctg 45

ππ

−−

������(� 0 0 0sin150 cos240 tg315 .+ − =

:H 0�� ����� ���� �����( ) ( )

( )0 0

0

sin 270 tg 180tg .

cos 360

α αα

α− ⋅ +

= −−

4

:I <����� � � ����������!"#� ��� ������� "� 023,5, 12,5, 37 30a R γ ′= = = � �� � %����� �������%� ��� ���������� 4

:= :����� ���������� � ���� ����� �� ��� ���� �����%����� ��� 035 m, 48 m, 100 .AC BC ϕ= = = 4

! "

12345678901234567890123456789011234567890123456789012345678901

=3

sin cos2

π π− ������"��(� 2;− ����������(�D*���������%(�:*��������� (�7 :

70cos210 �����"����������(�

3;

2− �(�

1;

2− %(�

2;

2− (�

1.

2:

45

tg3

�����"�������������(�

3;

3− �(� 3;− %(� 1;− (�

3.

2:

H ��� �α ��������������������������� �� ( )0sin 180 α+ ������"�(� sin ;α �(� cos ;α %(� sin ;α− � (� cos .α− :

I ��� �α ��������������������������� ��3

cos2

π α⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠������"���(� sin ;α− �(� cos ;α− %(� sin ;α (� cos .α :

Page 213: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

()

...n

ab+

=

���� #�� �����#�

0���%��� ��� ������� �������������������������������

0���%��� ���������� ��������������������������������

3 ����%��� ��������������������������������������������������

�������%��� ��������������������������������������������������

*����� ���������������������������������������������

A������ ���������������������������������������������������

7:H

7:I

77:

77I

74H

77>�

* ������������ ��� ���%������������������������������������������������������������� 74;

* ������� ������������������������������������������� 7HD

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 214: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E������������� �������������������� �+������������������������������������ A A× ��������������������������� ��������������� ���� ����������

E�� ��� ������� ������������ ������� �!�� �������� ��� ������� ������ ,A A× ������������� ��� )'��� �����"��������( ),a b ��������������������������������������� ����������,

��������

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,3 , 3,4 .A B× =

����� { }1,2,3 ,A = ����������������������������� .A A× �!����������������������������,

������� �� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , 3,3 .A A× =

������������������ A A× ���������>�� 23 3 3= ⋅ = �

��� �$����(�������

P�������������������)'������������������ ����������������"���������������������

��������'������������������������������������)'������������������ ��������������������������������������"���������������

/����������������������������������������� A A× ������� 2.n n n⋅ =

����%������������������

��������

/���������������� ���������!�����"������

������� A B× ������� �������������"����

)'�����������"�������� ( ), ,a b ���� a A∈ ����

,b B∈ � � ��

� + (����� ������� ,A B×

���� { }1,2,3A = ����� { }3,4 .B =

,

���� ���

}. dhe /),{( BbAabaBA ∈∈=×

���� ���

���������"���������������������������������������������������������������������2nV ������

������� ��� ��������2 2.nV n=

E������������ ������������� �/��������������������'��������� ,A A A× × ������� ������������"��������������������"���������( )1 2 3, , ,a a a ���� 1 2 3, , .a a a A∈ ��� � ��

( ){ }1 2 3 1 2 3, , | , , .A A A a a a a a a A× × = ∈

Page 215: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����������×���×���� �� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � �� ��� � ��� ��� � ������������ A A A× × ������������� 32 2 2 2= ⋅ ⋅ = �

E���������� { }, .A c d= �!�������� �������� A A A A× × × ���'������� ����� �!���������������

������,

������� �����������������2�� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � ��

�����!������� �������������������������������)�������������������������������������� A A A× ×��������������� ���������� ��� ���� � � �� � ���$�����4

���������"�����������������������������������������������������4�������������3nV �����������

������� ��� ��������3 3.nV n=

E���������� { }1,2 .A = �!����������'������� ������������������������ .A A A× × �!���������������

����� ������,

/

���� ���

�/��������������� ...A A A× × × ������������������������'������������� �����������������"��������

����������������"��������( )1 2, ,..., ,ka a a ���� 1 2, ,..., ka a a ���������������� ����������*����������

( ){ }1 2 1 2... , ,..., | , ,..., .k kA A A a a a a a a A× × × = ∈

-

������������������������ � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � �� ��� � � ��3

����������������������������������� 416 2 .= �-�������������������������������� ���������

�������������������������������� �����������������������������

���� ���

������������� �����������������������������)����������������������������������� ...A A A× × ×���������������������'��������������������������������� ����� ��������� ���� �����������

���������"��������������������������������������������������������������������knV ������

������� ��� �������� .k knV n=

�� � ��������� � ��� ����������������������������"������������������������� ���������������������

����� �/�������������������������������������������������� � �� ���������������������������������

������������������������

��� �

Page 216: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

!������������'������������'������������'����� �� �� ��,�(�����������,

������� �

-���� ��� ������ �� ��� ��'��� ��� ������� ������ ��'��� ������ � ��������� �/������������ ���� ���������� �����������'��������������������������������������

+������������'��������������������������������������� � �� ������������������������������������

/������������������"�����������������'����������� ���������������'����� �� �� ������������������������

����"����������������������������������������������������������� � �� 3 34 4 64.V = =

?�������� ����

�����!��������������'�����������'��������������'������ � � � � � � ,

� !������������'�����������'����,

����!���������������������'��������'�����������)'�,

������� �� ����������������������������'����� ���� ��������������������������� ����������� ����������H

�����������������4 49 9 6561.V = =

����������������������������������'��������'��� ��������������������������������������������������

���������������������������������������� ������������������3 39 9 729.V = =

N�����������"������������������������������������������������������������������������������������������� � �� ������������������������������������������������������������'�������������������

�(��'������'��(��+�)'�&(���$��� ����'�($�($��)'�� ����&�$+)�(���*��&'��$'�)'���(�&�+�

�$��� ������������������ ����&�$+)�(��������

.

0

������������������)'������� ���������'���)'� ����������������'����������������'��������'������

����������������������������������������������������������������������������������������� ������������

���������������������� 3 39 9 729.V = =

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

���� ���

Page 217: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����������������������'������������������������'��������'������������������������

.�������������������'�����������������������������������'�����)'��� � ���������������)����"�����������'����)'���������������'���������������������������������������������������� 3 3

9 9 729V = = �����

6���������������"���������)'����������������������'��������'���������������'������ � � � � � � �����������

3 394 4 9 4 729 2916.V⋅ = ⋅ = ⋅ =

�� ���

� J���� ������ ����������� { }, , ,A a b c d= � ��

{ }1,2,3 .B = �A������������ ��� ������ .A B×

� ?��������������������� { }, .A a b= �����������������

���%��� ��� ������� �����������B� �� � � �� �

��������������!�

� ������������������������������� �� �������� ���%�������������� ���������D��� �7>

� :����������� ���������������� ������������ ������%������������������ ��� ��������:��4��H��=��� �Q�

��������������������������� ����� ��� �����$��

����� �� � 8@� ��� >� '3�� ��� ���� �$�������� 5

�������"�:�S���������� ������������7S���������� �������

������D�S������(

� �������� �� ��5����� ��������������� ���������

����� ��4���������� ������������ ����������� �

�� ����������� ���������>

� ��� ��� � �� � ���� ��� ����� ��� ���� ���

���������� ����������6��� �$�����������������

�������������� ������ �����>�'!��������������

����� ��������� ���������� � �(

������������I�� ���������������� �����4���������

������ >�'��������������������� ���� �� �� ���

������� ���(

����� ������ �� � �� � � ��� ������� ��� �2;-

���� �� ��B������� ����� ��������������� �

��6��� ���� ���� ����"�������������������������

�����������������������������������������������

�������������������� ������ �>�'���������������

� ��� % �������������$�� ������2;-��� ��������

������96�(

����%������������������

��� �!������������������ ��� � � �� ������ �� ��� � � ��� ������������� ... ,A A A× × × ����!������ ����� ������������� ������%����� ������� � ��� � � �� � ������������

��������

Page 218: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� + (��������������'������������'��������������'������ �� �� ��,��!�����������������,

�������

��������'�������������������#

���������"���������������������'����������'������ � � ��������"�������'�������������������

������������

������������

������������

������������

������������

������������

/����������� ���'������ ��� )������������������������������������������������������������ ��� ����� ������ ���� � ���"�������� ��'�������������������'����������������������������������'��������)��������������������'������

���� ���

-��������������������������������������������������"��������������������������������������������

���������� ��������������� ���� ����������

1�����������������������"���������������������������������������������������������������������

������������������������������� .k n≤

�E������������ ���������������������������������������'������������� �+��������������� �����������������������������������������'������� � 4 �������� 1 2, ,..., .ka a a A∈ ���������"�������������������������������������������������������������������� k

nV ����������������������������

P��������������������)'������������������ ������������"����������������

/���)��������������"����������������������������������������������������������"��������������������������� 1n − �/������������������������������������������� 1n − ���������������

.��������������'�������������������"�������� ( )1n n − ������

/����"���������������������������� 2n − ��������)����������������������� 2n − ����������������

/����������������'�������������������"�������� ( )( )1 2n n n− − �����������

$���������'������������������"����������"����������������������������������������"������������������������������������������������������������������

( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1 .knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

Page 219: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

.��������'��������������������������� ( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − �����������'�������

������������#

!��������������'�������������'��������������'�����������'������������������������������ ����������'���������������,

������� ���/��������������������� �����������'�������������������������"�����������������������'�������������������� �����������'���������������������������"��������������������������������������������������������

���� ���

/�������������������������������������%�U'�������&���������������� !.n

.����������� ( ) ( )! 1 2 ... 2 1,n n n n= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ������ 2,3, .n = � ���/�������� 0! 1,def= �����1! 1.

def=

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 ... 1 2 1 !.

1 ... 2 1 !k

n

n n n n k n k nV

n k n k n k

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= =

− ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ −�

���� ���

���������"��������������������������������������������������������������( )n k≤ ����������������

���'������#

� ( ) ( ) ( )( )1 2 ... 1knV n n n n k= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ���������

( )!

.!

kn

nV

n k=

,

( )4

9

9! 9!9 8 7 6 3024.

9 4 ! 5!V = = = ⋅ ⋅ ⋅ =

������� �

!�������������'�����������'��������������'�����������'����������������������������� �����������'���������������,

/

.��������������"�������������"�B�����'����������/������� �����������������������������'�����������������������'���� �/�������������������������������"����������������������������������������������������������I��� ����������������������������������'����������

���������"������������������������������������������������������

/������� �����2! 2 1, 3! 3 2 1, 4! 4 3 2 1= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ����

������������������������������'�����������������'�������������������������'������������������

��������������������������������������������������� ����������"����������������������� 49 3024.V =

( )5

10

10! 10!30240.

10 5 ! 5!V = = =

Page 220: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������������������������'���������������������)������������"�������'�� �E�������������������������������������������������B������������������"���������������������������������������� �����������������������������������������'������������������'����)'�,

������� �

.��������������'�������������������'�������"�������� 5 410 9 30240 3024 27216V V− = − = �����

������'���������'�������������

H

$��)���������������H����������������������������������'������������������������������������������������������H �/������������������������������������������������ �����������'��#7��H��=�����;

���������������'����������'��������'�����������������������������������������������;���'����������

2� � � � � � 3���( )

38

8!336

8 3 !V = =

−������

���������������'����������'��������'���H��������������������������������������������������;���'����������"������������44=������ ������������'��������������������'����������'�����������"����'����=�����;

.�������������"��������H������������"�����������'��������������'�����������������������������

)����"���������������'�������������������������������������������������������44=������ �/���������

��������"�����������������������'�����)'�������'������������������'�������������'����:�����>���

�������� 384 4 336 1344.V⋅ = ⋅ =

!������������'�����������������������'��������������'�����4�����<����#�����'�������������������* ����������� �����������'���������������,

.

�� ���

: �� ���"���(�5!; �������(�7!; ������%(�10!

.2!

7 �� ����� ��(� 312;V � � � � ��(� 5

15.V

4 <����� ����$�����������������������"

�(� 2 72;nV = �(�339 5 ;nnV V⋅ = ⋅

%(� 10 9 89 ;n n nV V V+ = ⋅ ���������� (��2 25 .n nV V⋅ =

H ������������ ���%�������Q����� ��������������B� ������������������������������� ��������� �� ����>

I �������������� ������ �������������4���� � ��� ������� ���� ��������������� ��� ��������� ��R������� ��������������������������������� ����� ������ �������������� � ��� ��� �������� �� ���������������� >

= ������������������������������� � ���������������� �������� ���������� ����%������������� �=<>

< ��� � � ��%��� � � � �������� ������ ��� ����� � �� 89� ����� �� ��� � ��� � � ��%���� ���� � ���� ������� � ������� ��������>

; �����������������B����$���� �D��� ���3��������������% ����$���$�� ��������������������������������������� �������������� �� ��� �������% >

Page 221: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�������%�����

��������

+��� ������ ������� ��� ���������� ����� ����������������������������)��������������������������������������������������������=

���� ���

-����������������������������������������������������� �������������������� ��� ���� � � ��

M��������"��������������������������������������������� �� ��������� 7

���������������������� � ������� ��������

-���� ��� ������������ ���� �������� ������������ � ��� � ������� �������"��'���� F���������� ������ � ��� ����� ��� ���� ��������������������=����������������'������)����������������������������

��� ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ���

/����������� ���� ����� ���)��� �������������������� �������� ����"������������������������ ���������� ��� ���������� �� ������ � ��������������� ��� ������������� ������������ �������� ������������������������������������������������

��� �

������������������������������������������������������������������'������

!12...)1( d.m.th. , nnnPVP nn

nn =⋅⋅⋅−⋅==

���� ���

������������������������������������������ !.nP n=

(������������������'����������'��

������������������'������

������� ��-������������������'�����������������������"��������������������������������4������������������

� ������������������ 33

3!6.

(3 3)!V = =

−?����������������#

����������������������������������

� :

�����������������,

Page 222: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� ��������'���������������������������������������H������������� ����� ������������������ 4 4! 24.P = =

��� ������������� ��� ������� H� � ��� ��� �������� �� ��� ��'�� ���� �������� �� � ����� ������ ����������,

����������������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������������������������<�'������������������������,

4

H

������� ��6����'��������������������������)���'��������������'���"��������� �N������������������

������������������'������������������������������������������������������ �/����������������������

���������������� 7 7! 5040.P = =

��� ����)����

���!��������������'����������'���������������������'��������������'�����4��H��I�����=,

��!������������'�����������'���H,

���0���������������H���������'�����������������4���'���������,

������������"�������������������'��������������������������������'�����4��H��I�����=������������������

��������"������������������������������������H������������� � �� � 4 4! 24.P = =

���������'���H�'�����������������������������������������������������������������'���������������������

�������������� 3 3! 6.P = =

��������'������H�����������������������4��������������������������������������������������������������'��

����������� 2 2! 2.P = =

(������������������7H4�������������'���������������������� �� �� �� �' �%�,

I

0

������� ��-�����������������������'������������������������� ������������������� ��� ������������

���������������'���������)������������=����������������������� ����������"���������������������

������ 6 6! 720.P = = �.������������)����������'�������������:7D����������� �6������������'������:7D

��������������������������'������:7D���������������������������������������������������������

�������:7:�����7HD�����+�'������:7D����������������������� �.����������������������������'������

+�����������������7H: �?����������'% �/���������������%' ���'�%

/��������������������������'�%

Page 223: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�������������������������������"������������������������������������������������� � � ��

����������120

20.6

= ?�����������#

����������������������������������������������������������������������������������������

���������"��������������������������������������������������������*�����:�V�:������������

�������������'������

( ) !,1,...,1 .

!n

nP k

k=

���� ���

E��������������� �������� { }1 2, ,..., .mA a a a= �.��������������������������������������������������

��������������������������������������������������� � ������������ ���������� 1 2 ... .mk k k n+ + + =

��������"��������������������������������������"��������������������������������� !.nP n=

/������������������������������������ 1 1 !;kP k= ��������������������������������� 2 2 !,kP k= ���� �������

������������������������������ !.mk mP k=

������������������������������'������������������"�������� !nP n= ����������������������

���"����������� 1 2! ! ... !mk k k⋅ ⋅ ⋅ �����

!�������������������������������� � � �� �� � <

���������-���� ��� � ����������������� ������� ������ �������� ���"�����������������������������

������������������������������������������������� ��� ����

/����������������������������������������������������������������������� ����������������� ���

��������"��������������������������������������"��������������������������������� 5 5! 120.P = =/�������������������4����������� 3 3! 6P = = �����������������������������������������������������������

�� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� ���� �� �� �� �� ���� ��

Page 224: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���!�������"��������'������������'��������������'�����7��I�����>��������'���7����������4��������'���I����������7���������������'���>�������, ���!��������������������'����������I,����!��������������������'���������7I,

>

���������������������"����������������"��������'����������� ���������4���������������������������

������������� ( )6

6!3, 2,1 60.

3! 2!1!P = =

��������������������������'����������I��������������������������������������������4��������:

������������:������� ��������������������� ( )5

5!3,1,1 20.

3!1!1!P = =

��� ( )4

4!2,1,1 12.

2!1!1!P = =

:D ���������������������������������������������� ��������H���������������������������������

�������������������������������������������������������������������,

������� ��-�������������������������������������� ��� ����

1�����'��������"����������������������������'������'���������������������������������������������������������������"��������������������������������������

���������"�������������������������������������*��9�4W9�=

�-���������������������������������������������� �������������:�W������ �/����������������'������

����������������������������������������������"���������������������

���� ���

����

��V��

������������������������������� �+���������������������������������

������������

�������

�������������

���������� ��

�����������

������ ( )1 2 ... mk k k n+ + + = �������� ���������� ����������

�� ���� � � �� ����������� 1 2( , , , )mk k k� �����������������������������������������'������

������� �� �6��� '��������;� �������������� ������������������/�� �N�����P���������"���������� ��������?

���������4���������������������E����������7����� �/������������������������������������������

!�������������������������������'�������������������������'������/?N?EPE?,;

( )8

8!1,1,1,3, 2 3360.

1!1!1! 3! 2!P = =

������������������������� ( )1 21 2

!, ,..., .

! ! ... !n mm

nP k k k

k k k=

⋅ ⋅ ⋅

Page 225: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� ���

: /�����������������������������������������I������� �����������������������������������������������������������������������������������������,

7 ��������������������)'������������������<��������� ��� ����� ��� ����������� ���� �����������=���������"������������������������� ������������������������������������������������� ���� �������� "������� ����� ���������������,

4 . � ��������� ������������ � ����� ������' ���� ��

������� ��� ������ � �� ���(������������� ����

���������������������� ����������������������� ���

������ ����������� �����������>

H ��� ������ ��� ������ ������ ��� ����� �� �

�������� �����������+�;?G>

I (����� ����� ������� ���������� I7� � �����������������'������ER�5N���������������'�������� '������ ����� ��������� ��� ��'� ���� ���������������������'����

= ��� ������ ��� ������ ������ ��� ����� �� �

�������� ����������"

�(�.-)1.-)��-=���(��M.;��-)MG��->

< !�������"��������'������������'�������������'�����:��4��4��4��H��I,

; ������������������������� ����������H���������7����������� �4������ ����R������� ���������� ���������

���� ��������������>

> ) ����� ��6� ����� �� ����������� ������� �

� ������������������������� ���� ����������

���������� ��������������������� ������ ������

��������������� ������������� ���>

�������� ����� ����������� �����������������������"��4������������#

5���������� ������� { }, , , .A a b c d= �(��������"������� ��������������������������"������������

+���� ���������������������������� ������������������������������������������������� �������������� ���� ����������

+������ ������������������������������������������� ������������ ����������������

#�� ��%�����

� :

{ } { } { }, , , , , , , ,a b c a b d a c d �����{ }, , .b c d

���� ���

��� �

6����������������������������������� �������������������������� �6��������������� �����{ }, ,a b c

����{ }, ,b a c ���������� ��������������

N�����������"������������������������� ������$������������������������������������������������������������������������� ��������������

Page 226: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/�����������������������������������'������������������� ����������<��������� ����������������

��� ������"����������#

4

����� �� � ������� ��

���������"������������ ����������������������������������������������������������� knC ����

������������'������

!�� ��������������������������������������������������������������������������"�� ������������������������� ����������� ����"���������������)�������,

7

N������������������������ ������������������������������ ����������������'����������������������������������������� �����'������������ ��������������������I���������������������4

��������'����������������������������#�N���������6���������F��"�� �����0����������3������������� �

'����������� �����

.�����������������"��������� ����������������������������������������"������������ ����

������������������I���������������������4�������:D

���� ���

,k

k nn

k

VC

P= ����� ��� ��� ( )

!.

! !kn

nC

k n k=

�����0���������7�������������������#

����������������������������4����������������� ���������@N�6�F�/�3A������� 35 5 4 3 60,V = ⋅ ⋅ = �����

���������������������������������� ���������@N�6�FA������� 3 3! 6.P = =

6�������"������������������ ���������@N�6�F�/�3A��"�������� �������@N�6�FA������������� ��������������'�������=������������������������������������� ������ � �� ��������������������

I�������������������4������� 36 ( )P= �������������������������� ������������I�������������

�������4

-���������������� ������� 35 10C = �'������������������������� 3

5V ��������������� 3.P

�����������������'���������������������������

������)���"��*

��� ������������������������������������*

�����������������������������������"������������,

6�����������������"�����

�������@N�6�FA�@N�6�0A�@N�6�3A�@N�F�0A�@N�F�3A�@N�0�EA�@6�F�0A�@6�F�3A�@6�0�3A�@F�0�3A

Page 227: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� �� �0��"����� �������� �� ���� ������� ��"� ��� ������� ������� ��� ������ �� ���������� �������� � �

���������� � �� � �����'������������ �����

����������������'�������"��������������� ����������:H�������������������<�����

��������������� ( )714

14!3432

7! 14 7 !C = =

−����������������������'�����������

����������������������������������������������4�������������������������������������������H �/����=

����������������"������4��� 36

6!20

3! 3!C = = ����������������� �/���)����"����������4����������H������

�����"��������;���������"�������� 48

8!70

4! 4!C = = ������ �/������������������"�����������"�����������

�������������� 3 46 8 20 70 1400.C C⋅ = ⋅ =

������������������������������=�����������������������#

��������=�����������:��������������������������( ) ( )

6 18 6

8! 6!28 6 168

6! 8 6 ! 1! 6 1 !C C⋅ = ⋅ = ⋅ =

− −�*

���������������������������������������"����������������������� 78 8C = �

/������������������"���������������������������������������=������������� 6 1 78 6 8 168 8 176.C C C⋅ + = + =

0��"����� .k n kn nC C −=

������� ���! !

.!( )! ( )!( ( ))!

k n kn n

n nC C

k n k n k n n k−= = =

− − − −

/���)����������������������������������� ������#

( ) ( ) ( )( )

( )0 1 1 !! ! !

1, 1, .0! 0 ! ! ! 1! 1 ! 1 !

nn n n

n nn n nC C C n

n n n n n n

⋅ −= = = = = = =

− − − −

H

���� ���

��������� ������� knC ������������ ,

n

k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���B�����%��� ��&*�.���������� ,kn

nC

k

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠�� .k n≤

Page 228: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������� ���N����������������������������������������������������������������� �����'������������� ����

�����I�������������������4 ���������������������������� ����������������������������������������U

��� �����������������

��� 35

5!10.

3!(5 3)!C = =

− �� 3 3 3

5 5 3 1 7

7!35.

3!4!C C C+ −= = = =

�������

�������������������������������������������� �!�� ��������������������"�����������������'������������� ���������������������������������������������������������,�(����������� �����,

+���"�������������������"�� ��������������������������������������������������������������

$���������� ���������� � �� �� �� � � �� � ��� $����� �

������"����� ������������������������������� ���������������������������������� ������

������������� �� �������� ��� ������� ��� �������� �� ������������$� ������ �� ������������� �����������

���������������������������� ���������������������������

� I

+��� �������������������������"���������4������� �F�������������������#

N�N�N���������N�N�3�����������N�3�3���������3�3�3

���������"���������"������������������ ������������H

���� ���

���������"�������� ���������������������������������������������������������������������knC

����������������'������

1

1,k k

n n k

n kC C

k+ −

+ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

/�����������������������#� 3 3 32 2 3 1 4 4.C C C+ −= = =

�������� ������������������������������)���������������������������������� �!���������������������

������������"������������������ �������#

������"��������������������������������������������*

������������������������������������������������,

=

Page 229: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

: !����������"�������� �����������������������=���������������������H������������������ ��������� { }, , , , , .A a b c d e f=

7 �� ���"���(� 26 ;C �(� 6

10C

%(� 2 46 5 ;C C⋅ (�

91248

.C

C

4 ��� ��������� ����� <� � ��������� ��� �"�������4,

H ��� ��������� ��� �������������� ����� 7H������� ��� '������� ��� "�������� "�� :7������,

I ������������:=�B��������7D�B����������������������������������������)����������������;�B��������:D�B����,

= ,��������� ���� ������������$����������������

$�� ��� ���������� ����� ������������������� �����

�������������� ��� $�� �� ����������� � �� � ��

������ ������ ������� ������������� ������%������

����� >

< �����������������;�B��������������"��������������H,

; !�� ��� ����� �� �����<� ����� 4<� ������ ����"�����������"�������'�����"���,

> !����������"�������� ��������������������� ������� H� ����� ���������� ��� ��������

{ }, , .A a b c=

:D ����������������������"���������������#������������������������������������������� ����� �������������������'�������� ���������I���������#�������"�����������������"���������������* ����� �������������������������������"������������,

���������������#�� ������

��������

!��������"�����%����� ����%������������%���>

G��������' ������(� � � � �� � �� ��������%��� �����

������ ���������� ������ �� �����%��� ���� � ��#

��%��� ���������� �� � � ��� ������� ���������� �

/�� �������������"������"������������������

��������� �����������������������������������

����"��� ���� ����� ������� ���� ������

������ ����� '����� "����� �"������� ��� �������

�������

/��"�"����������������������������'���������������������"�������������������������"���

Page 230: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������ ������� ��������� � � � �� � �

�������� ��������� � � �� �

� ��������� � ��������� � ����������� �

������� �� � � �� �� ������� �� � � �� �� ������� �� � � �� ��

3 ����%��� �

������

3 ����%��� �

������

0���%��� �

������

0���%��� �

������

�������%��� �

������

�������%��� �

������

�� �

�� �

�� � �� � �� �

.������������������������"��������������������������������������������� ���������������������������������������������������

!�������������������������#�%N������������������������������������,&

��������"�"���������%G�&���������������������'���������� �����'������������� ����

��������"�"���������%/�&��������������������������������������������������������������"������������������"��������������������

���������������"����������������������� �����'���������������������������������������������

���������������������������������:7�����������"������4,:

������� ��N��������������������������������������,�G�W

Page 231: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� ���N���������������������������������������������������������������B�������������������

�������� �.��������� �����'�������������������������������������

?�����������������������������������B��������������������������7��4��H��I �����������������

������������������#

������"����������������������������*

��B����!�������"�����������������������B����"������������"�����B������������������������

��������*

���B��������������������H��������I,

.��������� �����'������������ ���� �P�������������������������������������������"������������

�����������������������������������������"�������� �������������������������:7��������������������

4 �?�����������

312

12!220.

3!(12 3)!C = =

7

����������������H�������������������H�B����������� �����'��������������������������������������H��������

����������������� 4 4! 24.P = =

��1�������������������������������B����!������������"��������������������������B����"�������

������������������������

!������ �������������H�������@7��4��H��IA��"�������� ������������7������#����������������������B����

!�������������������" �������� ������������7�������������� ���������H��������������������

��� �������������������������H���������������������7 �?�����������

24

4!6.

2!2!C = =

/���)����"����������������������������������!�����"���������������������������������B���������������

2 2! 2P = = ��������

/������������������"������������B��������������������������������������B�������������� 24 2 6 2 12.C P⋅ = ⋅ =

�����������"�����B��������������������H��������I������������������"�������������������������������

���������������������������7������������H�����I������������H��� � �� �������������

�4 42 2 16.V = =

Page 232: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������

�����������������������HI���������� �!�������"����������������)������������������������)���������"�������������� �!����������������������,

/���������������=����������������������������������� �/������� �����'����������������������������������=����������

���������"������������������������������������������������������������������������������ � ��

6 6

6! 6!(2,1,3) (1, 4,1) 90.

2!1!3! 1!4!1!P P+ = + =

H

N��������������������������������������,

G�������)����������������������������������"�������������"�������������� �.��������� �����'��������

��� ������������������������������7

������������������������������������������������� 2 45.nC = �/������������

!45

2!( 2)!

n

n=

−�����

( 1)45

2

n n − = ��� � �� � 2 90 0.n n− − = �.���������'������ �������������������

�"���������������� 1/ 2

1 1 4 90 1 19,

2 2n

± + ⋅ ±= = �� � �� � 1 210, 9.n n= = − �2"��������������������������

����������������������������������������"��� �.�����������������"������������������������

�����������:D

!���������"����������������� �����������'�����D��:��7 �0����������������������"����������������������

D���������������������

I

���������$���������������������'���������������������#

.�����'������������������"������������'�� ������������ �������������������������=������� �!���

���"���������������������������������������������'�����<������������"���������������������

�������������������"� ���������������������"������������������'������������4��������������

������U������������������ ���U���������,

4

���7�'������:���������4���� ��* ��:�'������H���������:���� ��

-���������������������������������������������� �N�������������������'�������� ������ �������

�����������������������������

Page 233: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� ���.���������������������� �����'����������"���������������� ���������������4���'����������������������

���������������������������4���������������������= �������������"��������������������'���������D�������

������������������������#����������������'�������D*�������������������������������������������������

����������D��:��7 �/������������������������ ������ 5 53 3 243V = = ������

������� ��0������������� ���������������������������������� ������������)���������������"��������������

������'��������"�������"�������������"����� �������������������� �+�����������������������������

������������������� ���������:D���������������������7���������������������������������������������

����������������������������"������������ ����

!����"��������������������������������������,=

���������"�����������"����������� ����������������� 210

10!45.

2!8!C = = �/�������������������:D� ����

�������"�����������������

210 10 45 10 35.C − = − =

�� ���

: /���� ����� ��'����� ���� ���� '������� ������������'���� ���!��������������'������������'������, ��0��������������������'�����������������,���!��� �����������'���������������������������4,)��!��'����������� �����������'����������,

7 ����������������������������������������� ��

86� $ ���%��� �������������������������� �

� �� ���� �' ������ ���� ������� �����$��(>

4 !�� � ����������� ��� �������� '����� ������'�����D�:�7�V�>������������:�7�4�H������������'�����������������#��������������������* �����)'�������������,

H ) � �� ���� � ��� ���$�� ����� �� ��� �������� ��

����������������� ������������� "

�(����� ��� ��������������������������� ���=

�(������$�����%���������� �����������������������>

I /���� ������ �������� ���� ����� ������� ��'���"��'��B�������������������� �/�������������� ���������� �����"������� �4 ���� ����������������"���������������������������"�����������,

= ��������� ���������� ��� �� ��>������ �����%���� �<������������ ����������� �9���������������������

����������������������� ��$�� ����� �4� ������

����� ��������������� ���� ����� ���������������

�������������������>

Page 234: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

( )( ) ( )( )

( )( )

1 ! 1 !1 1

1 ! 1 !1 ! 1 1 !

n nn n

k k k n kk n k

− −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )1 ! 1 ! 1 !( ) !

1 ! .1 ! ! ! 1 ! !( )! ! ! ! !

nn n n nk n k nn

kk n k k n k k n k k n k k n k

− − − ⎛ ⎞+ −= + = − = = = ⎜ ⎟− − − − − − − ⎝ ⎠

/��� )����� ( )0,1,2,...n = � ++�!�*'� �� �� �� ���

��� �������������'���������� ���� ,n

k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

����

0,1, 2,..., .k n=

/������������������������ �������������������

�����������)������'����� ���������������

��������'����������������������������������

���

$�������� �����

��������

/��� )��� ����� ������� ��� ��� ������ ���� ���� ������#

�����1 1

1

n n n

k k k

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

-���� �������������������������H���������������� ����� �/��������������������������"������� .k n kn nC C −=

����� � ��� ������� ��� ���������� ����� �����������������������������

!,

!( )!kn

n nC

k k n k

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

� ���� ��� � � ��� � ��

� /���)�����������������������

1��������������������������� ����������������������������� ������������������'������������������

������������������������ �/������#

0 11; 1; .0 1

nn n n

n n nC C C n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

n

k

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠����9D��:�V����������$� %��� �������������

���������������������#

/����'����������� �����������'����������

�� ���������������� �� $�����������$����

) ;n n

ik n k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

����

��

0

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⁄ ��� ���� ����� ������� ��������

Page 235: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������'�������� ����������������/���������'��������'����

⁄ ⁄ ⁄ � � �� �� � �

� � � �

����

� � ��

� �

�� �� ���

�� �� �� ��

6��'��������������������������������"������������'�������������������������� ��� ������� � �� ����'�����

����������������������������������������������������������������������� ���� �?�����������������

��������

���)��������������'���������������'����������� ��� ��������:

-������������������/������������� ���������

( )01, 0;a b a b+ = + ≠

��������

( )3 3 2 2 33 3 ;a b a a b ab b+ = + + +

( )4 4 3 2 2 3 44 6 4 ;a b a a b a b ab b+ = + + + + � ��� �

� �"������ �����������������'�������

��������������#

M����� �� � �������� �� '����� ��� ���� �����

�����

����������������������������������:����

��������'������ ���

M������)���������������� ��� ��������'���

�� ���

( )2 2 22 ;a b a ab b+ = + +

( )1;a b a b+ = +

��� ���� ����� ������� ����������� ������� ���

Page 236: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

6��'�������� ����������������������������B�����������������"�������������������������/������

M���������#

5 5 4 3 2 2 3 4 5

5 4 3 2

( 2) 5 2 10 2 10 2 5 2 2

10 40 80 80 32.

x x x x x x

x x x x x

+ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += + + + + +

/������������������������������������������������������� 1n+ ���������������������������/������

.����������������������'�������� ������������������������������/��������������������������#

0 0( ) 1

0a b

⎛ ⎞+ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 1 1( )

0 1a b a b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 2 22 2 2( )

0 1 2a b a ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 3 2 2 33 3 3 3( )

0 1 2 3a b a a b ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠���

$���������'�������������'��������'�������

� ������������ ����a b+ ������������� � ��

���'�������� �������������������������

/������

6���'������������������"�����������������B�����'������������ ��������� ( )na b+ ������)�����������������

/���)������������������������������ �����#

6���'�������������%������ �������������%������ �!������

���� ���

1 2 2( ) .0 1 2

n n n n n k k nn n n n na b a a b a b a b b

k n− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �

���������� 5 5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 5 5( 2) 2 2 2 2 2 .

0 1 2 3 4 5x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

$��� ������'����������� �����������������( )52 .x +:

/������� ��������'���������� �������( )3a b+

"����� �� ���� �� �������� ��� ����������� ��

/������

Page 237: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������

/������������������������������������������ .0 1

n n n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

!,

!( )!

n n

k k n k

⎛ ⎞=⎜ ⎟ −⎝ ⎠

��������'�������������������� .n n

k n k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

0��'��������� ���� 1 2 2( ) ,0 1 2

n n n n n k k nn n n n na b a a b a b a b b

k n− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �

�������������������� �M������ 2 ,0 1

n n n n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� ����������������'����������������

�����������������/�������������7�

��������

(����������������������� �������'�������� ���� 6( ) .x x+

���� ���

/���)������������������������������� �������� 2 .0 1

nn n n

n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

4

-���������������������������'������ ����6

,0

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������6

,1

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�������������6

.2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.��������������������������������� ( )26 2 4 5

3

615 15 .

2T x x x x x−⎛ ⎞

= = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

���� ���

0��� �������'��������8����������8�:��������������������8�:��������������������������� ��� ������

1 , 0,1, , .n k kk

nT a b k n

k−

+⎛ ⎞

= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(������������������� �������'�������� ����

12

2

1x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

������������"��� H

����������������������������������������������'�������� ���

Page 238: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

(����������'���������������������� ��������������� I

������� ��/�������������9����8������������� �������'�������������� �����������������#

�13 3 3 3 10 313 13

( ) ( 1) .3 3

a b a b−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠�.������������'���������������������

13 12 11286.

3 2 1

⋅ ⋅− = −⋅ ⋅

�� ���

: ��� ( )62 3 ;x y+ �� ( )7

3 ;x y− ����4

4 .2

xy⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

7 ���5

1;x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 8( ) .x x+

4 (��������'������������������� �������'������� ���#

��� ( )12;x y+ � �� ( )12

2 ;x y+ ���� ( )122 3 .x y−

H (��������'���������������� �������'����

���� ����8

3.x

x⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

I �� ����������� ������������� ��%� ���� ������������ "

�(� ( )3;x y+ �����(� ( )12

.x y+

= �� ��%� ����������� �$������������������������7=H�:������� ��%� ����������

< (��������������������� �������� �����

22

12

n

yy

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠

;!��������������'������������������� �����

��2

2

2n

xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������><�

(��������'����������

�����������������������������$��%�

: ��������������������������� ����� ������������� �5� ��� ����������������� ���5������ ������������������ ��

� ��������������>

7 ������������������������������� ���������������� ���������������� �� ����%����������� ������ �� �����������������

��� ����� >

������� ��6������������������������������������������ 12 12 2 12 3

1 2

12 12 121.

kk k k k

kT x x xk k kx

− − − −+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�������������������������:7���4��9�D��� � �� ���9�H �/���������������� 5

12495.

4T

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

<���� ��������� ����������� �$�������������������

��������( )1 2 :−

���������������"��������'���������� ���������:D7H

Page 239: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

H ��������������6�� �� ������������������������������� �"

�(�6�������= �(����������= %(�D��������'9�������������������(>

I ������������5��� ���� �5����$��������������� �����6�� �� �������� ��������������� ��������� ������ �� ��� ����

�$���� �� �>

= ������������������� �������� ��������������������� ��� �9����� ��5�� �� ��4������� ��� �6���������� >

��� ���� ������� �>

< 3 ��4� ��� � ������������ ���� �����$�� �� ��� ��������������������������������������������� ��$�� ���������

�(���������������������������%�������5� ��D� ����� =

�(�������������� ��������� �� ��9�� ���� ��8���=

%(���������������������� �������� ��������%��������������������������>

; �����������9@������3 ���� �6������ ������ ��$��� ���������3����������� �$�� �� ��%��������������� �����%���� ���

������������������� ������ ���$������ ��������������������������� � ������ ���$����������� ����� ���$�� ������

�%�������������>

> 3������� ��D�������� �����������86� ��������������������������������� �� �����������������"

�(� �������������� ������������������ �������=

�(����������� ���������� �������������������������������� �������>

:D :���������������%���������� �� ��$�� �$�����������������9

2

32 .x

x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

:: ������ ��� ��%� ���� ������������������$�������������������������������������������� �:������� ��%� ���������

:7 �(�:������������� ���������� �$������������������( )10

2 ;x +

�(�:������������� �� ����� �$������������������

14

.a

xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

4 ����������������������������������� �� �������� �@�8�5�B�Q�D�R�� ����%�������������������������� �>

:H :������������� � ����� �$�����������������"��(�7

12 ;

2x

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�������(�( )8

22 .a b+

:4 :������������� ���������� �$�����������������"���(�

111

2 3 ;3

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠�����(�

14

3

5

111 .

11

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 240: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������������#������

: +����������������������������������������� ���������!�9@:�7�4�H�IA�������4������#�(������������� �������������!= �(� ���� � �������� ��� � � � �� � =

%(�� �� � �������� �� � � �� � ���������������!�

7 + ����� ���!�9@����+A��� �"�9@:�7�4�HA��G ��������� ��� ����%��������������������������� ���������*"�(�:�4�= ������(���7���= %(�����7�=��������� (��+�:�= �������(����+��

4 ����������������������������������;���������������������4������#���44=* ��HD47D* ���I:7

H ) �%����� ����� ���� ������ ����������� ���������� ���������' ������(�� � � � �� � "

�(��������%��� �= �(� ����%��� �= %(�����%��� �>

I ����������������� ���������� ���������������������������������������12

;5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

��12

;4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���� ��12

.6

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ����� � ���������� ��� ���������� ����� �� ���������� ��� � ������� �� ������������ '������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

< /�������������������������������� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

; 6�� ������������������������ ���������� ���������� �� ������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

> ����� � ��� �������������������� ����� �� ���������� ��� ������� �� ������������ '������XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

:D !��������'���������'�������� ������8���

:: ������������������������������� �� ��I��������� � ����� % � ������ $ �������������� ��7=����������� ����� ������� ��4������� �������� ���������� ����������� �������������������� �>

:7 ���������������������������R���������!��������� � �������� ����� ����������������%���������������� ���

������ ���������� ����� ����5�����������4����� ������ �9�������>

:4 �������%�������� ��������� ���� �� ���� �������������4�������� �4����� ������������������������� �$�� �����������������$�� �� ��4� ����� �����%���� ����������5����� >

:H (��������'������������������ �������� �����4����I��

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

I

I

I

I

Page 241: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���� "�����������������#�

�"����������������������� "����

�����������"���������������� �"������������������� O������������"��������� ����������

/����'��������� "������

-����� �� "�����

F��������������

N������������������"��������������������

���

���

��

���

���

���

��

:

7

4

H

I

=

<

/������������������������� ��

;

/��������������������������������������"��������������������� ���

>

/���������������������������"����� �� ��� ���������������

:D

$����������� ��::

$�������������� ��:7

$���������������������������������������������

:4

.��������������������������'����� �

:H

.���������������������� ��:I

� ���

����

����

����

����

����

#$%&�'()('�*�)*&$�

���

��

Page 242: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

H �N����������������������������������������B����� ������������� ���������������� ���������� �?���������������� ���������� � ���B����� ������ ������� ���������� ���� %B���� ��� '���� � �����&����

0,1,2,...,100.i =

+����������������������������������������������������������'�������������������������������

���������%�����&�����%���& �$����������������������������������������� �������������������������������������'������������������������������#�%��'����������������������������������������&

����%��'������������������������������������&

,����������B�������:DD�Y(������������������'�������B���� �6���������� ������������������B������

��������������������������������������������������%���B����&

4 ��������������������������������������'� ��������������������"���������������������������������

������������������������������������������� �.����������������������������������������������������

������������������#�%������������������"���&�����%���������������������"���&

,��������� �������)����������� ���������������������������������!�+����������������������������������������!������������������������������������!�

�"�����������������������������������������'� �������# �� �� �.�4

��������������������������������������������������������������������������������� ��������������

������������������������������������������������������������������� � ����� ����������������

����������������������������"��������������������������������������������� ���� � � ����� �

+����������������������,�!��������������������������������������������,

�"������������������������"�����

!���������������� ����������������

���� ���

!��������������������������������� ����:��7��4�����H,:

Page 243: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0������������������������������������������������� �E��������������;��������"��:DDD

������������������������ ��� ����

$�� ( )in A ������������������������������������������������������������������"������� �N��������������

���������������������������������������� ���#

� 7

0��)��������������������������������"������!#�%��������������&

� ( )in A( )in A

n

: ID7 D�ID7

7 IDH D�IDH

4 H>7 D�H>7

H IDD D�IDD

I I:D D�I:D

= H>D D�H>D

< H>4 D�H>4

; ID> D�ID>

�����( )in A

n��������%� $� ���� ���� �����"������!���������� �������������������������"��� ������

�����'���������������������������������$�� ������ �����$ �����"�������!*���������������*�!�

���� ���

-������������������������������������������������������������������������"�������!����������

��"���D��������������������� � �� � ( )0 .n A n≤ ≤ �/����������0 ( )

,n A n

n n n≤ ≤ �����

( )0 1.

n A

n≤ ≤ �$����

������'����������'������������������"�������!�������"���������������D�����:�����������"�����������������"�������!���������������D�����:

0������������'�����������������������������( )

,in A

n

��������������������������������������������

������ ������������ 1000.n =-��������� ���"��������������������������� �����'��

�������D�I �/�������������������������������

�����������������������������������'�����������

�������������D�I

Page 244: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0K��������������������������������"��������������������

���P������������������������������� �

!���������"������#

!�#�������������������:�����=����

!�#��������������<

��P���������������B���������������"�����������

�������I��������� ����� �!���������"������#��#�������B���������� �����������#�������B�����������

���P���������������������"�����������B�������������� �!���������"������#

+���������������������"������������������,

� 4

#�#�B����������������������:�����I���������������#�#��B�����������������:7

�������� �"���������� ���������.����������"�����)����������������������������������������"��������� �������.����������������������"��������������������������

!����� ������������������������������������������"���������������������"�����)������������

��������������

!���� � ��������� �����������������������������������"�����������������������������

"����������������������������������

.���������!���"

������#

������"����������"������������!

���"

������#

��− "������������������������������

������

�������������������%�����������������������:�����7����������)���"���������������������������%�

����������� � � ���������

6�����7��"������� ����������������������������:�"���������������������7

,��M��������������������"�������!��������������)�����������������������������������

: �P���������%�����������������������������������������������������������*

/���"��������������!����������������������%������������ ���������������'������������������'��

�����������"����������#

0���������������������������������������7��"�������������������"�������!#�%��������������&�������D�I �?

�����������������������"��� �������'���������������������������������� �������������

F���������������������������� ����������������������"�������!

�������������������������'���������� ��� ����

Page 245: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

P������������������������������� � �G��� ���H� ���� ����� ID� ��������� ���� ������ "�������������������������������"������#

!"������� �� ����� ��������������� �������7=""������� �� ����� ��������������� ������� ����

1�� �� ������������� ���� �� ���� ���������� �I7� ����G ���$��B�� �� ���8@@� �� �� �� ��3��� ��

��� �� � ��������������� ��� ����� � � ������

��� � ������� ��������:�����%��������������� �����

%�������������� ��� �� �%��� ����� ��������� � "

!"������ ��� ���� �������:D=""������ ��� ���� ��� ������� ���

�� ���

: 7

�"�������� �"����������������)������������������ ������ �������� ��� � ��������������������"�������

������������������������������ �/�������'������������������"�����������"���������� 1,n

n= ��������

"��������������������������0

0,n

= �����)�'���������������������

0���������������������������������� � �.��������"������������������������������������������

��������#

!#���������������)'�* "#������������������������������������4*

&�#��������������:* &�#��������������7*���������������&�#��������������4*

&�#��������������H* &#��������������I*���������������&�#��������������=

-�������������������"��������&���&���&���&���&�����&��"�����������

�"������!���������������������������������"��������&���&

������&

���������"������"����������������������

"������&�������������������"������&� ��.���������"������!��������� �����������"�������&���&������&��

������"������"��������� �����������"�������&������&�

���#�������"�����������������(�"���������������

:

�"������������"�������&���&

���&

���&

���&

�����&

������������� ����������"����������� ��/�����������"�����

������������� � � � ��� ��"���������������������K�������������� ���&���������:�7�

��������

Page 246: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

P������������������������������������������������������������� �(����� ����������"����������������

������� �������������"��������������������������'�������Z�9�@&���&

��VA����

&��9����������&��9����������������� ��������������"�������������'��� �9�7�4�V��"���������������

},,...,,{1

stemanumrinumrinumriEi

i ���� ����� ��−

=

������������������������������������ �:��������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������� ��������� ����������"�������

���������������� �����������'������

(����� ����������"������������������������������������������������������������������������"������������"�����������������������

H

I

������� ������������������������������������"������������������������������∈�[ID�7IDS�����ID��������������

�������������7ID��������������������������������������� �0��� ����������"�����������������������

��'������Z�9�@��\���∈�[ID��7IDSA�9�[ID��7IDS ���������������Z��������������������������Z������� ��������

��'������

���� ���

!���� � � � ��� �����������������������������������)����������"������������������ ��������

��"����������� �/��������"�����)��������������������������������������������������"���������������

����������� ���"�����"�������� ������������ ���������������������������� ��$���� ������ �

� � ��� ����������������Z

(����� ����������"������������������������������������������� �

������� ��F�����)����������������������������������������������������������"��������&���&���&���&���&

����&���������� ����������"���������������������������������������������������Z�9�@&���&���&���&���&�

&�A

7

(����������� ������������"�����������������������������������������������������

������� ��F������������������������������������������������%���������������&�����%�����������������&

����������������������������%����&�����%�����&� �/����������������� ��������������������������������

��� ��������������������������������������)'���������"��������������������������������������������

����������������������������������������������������������� �$��'������������ ����������"�������

�������������������#

Z�9�@�������������������������������������������������������A

4

Page 247: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/�������� ���������������������������������������������������������� ����������"������������������

������������ ���������'���������������'������

0���������������������������������������������������������������������� ����������"�������������������������'������

0���������:����'����������"������!��������������������������"��������&���&

������&

���������"������"

����������������������������"������&�������������������"������&

/����������"�������!�����"�����������������������������!�9�@&���&

���&

�A��"�9�@&

���&

�A �0������������

"�������!�����"����������������� ������������ ������������"������������������Z

-����������� � �������)'������� ��������� ������������"����������������� �5�.�������������"����������� ������!� ����������������������������������"��������������������������

�������� ����������������������"�����������������

���� ���

�������������������������������������������������������"������##�������������������������������

�������� ���"������#���������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������ � ��

#�9�@�������������������������������������������A

=

P������������������������������� ��� �0�������������� ����������"��������������������

�����"��������������#

!#������������ �����������������)'�*

"#������ ���������������������)'�������������������������

������� �������������"���������������������������������������������� ����������)'�����������"������������

������������������������� �������������������U����������� ����������������∈@:�7�4�H�I�=A �/���������

Z�9�@�������\������∈�@:�7�4�H�I�=AA��� � �� �Z�9�@:�7�4�H�I�=A×@:�7�4�H�I�=A

/���"������!��'���������#� ( ) { }{ }, | , 2, 4,6 ,A x y x y= ∈ �������'�������� �������

!�9�@�7��7����7��H����7��=����H��7����H��H����H��=����=��7����=��H����=��=�A�

����������"������"����#� ( ) { } { }{ }, | 2, 4, 6 , 1, 3, 5 ,B x y x y= ∈ ∈ ����

"�9�@�7��:����7��4����7��I����H��:����H��4����H��I����=��:����=��4����=��I�A

<

Page 248: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"���������"�������������"��������������������������������� � �� �)���"����������������������������

�������������� � �/���������������������Z ���"�������������������������������������������������

��������������������������������������"���������������������������������������������� ��/���������

"�����������������������������������∅

1�� �� ���� ���� �� ��� ��� �� � ��� �� ��

��� ������3��������� ������ ���� �������� �������� � ������� ������������� ������� �� ����� ���

������������ ������ ����������� �������� �� ��

���� ��� )�� ������ �� ���������� � ����� �

� � ��� �

�� ���

:

�������������I�������������������:�����I �����������������������B�����"������������������������������������������������B������������������� ��������"�����������������������B����������������������� ���������"�����������������

7

!�������H����� ���"����������������������

����������������������������������������

�� ��� � ������ ��� �������� ���� ����� � 0�

������������ ����������"�����������������

���������"��������������#

!#���������������������������������������

����*

"#�������� ����"�����������'��������*

##� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� ��� ��

�������

4

P�������������������������������� ��� 0�������������� ����������"����������������������������"��������������#���!#��������� �����������������������)'�������������������������*"#������������� ��������������������*##��������������������������� ���������)'�*-#��������� ��������������������������������*&#������������� ���������������������������*1#� ��� ��� ���� �� ��� ��������� ��� ������ ���������

H

��� ��� �� ���� ��� ������� "����� '�������������� <�;�>�:D ����� ������� ��������������"������ �� ������ ���� ���� � 0�� �������� �������� �� "�������� ���������� ���� ����"��������������#!#�����������������������������)'�*"#�����������������������������)'������������������������*##����������"����������������������������������)'����������������������������*-#���������������������������������7<

I

Page 249: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������� ������������� ����� ��� � ������ "������ �� ���� ��������� �������� ���� ������ �������� ��� ��

�������������������"����������������?���"�������������������������� ����������"�����������������

������������������ ��������� ���"������������������ ���"������ ����������"����������/������ ���

"������������������������������� A B� ��������

P������������������������������� � �R������������"������#

!#���������������������"�������� ��� ��������4*

"#������������������������������������4*

##���������������������������H

0���������������������������!�������"�������������"���������!�������#

������� ���"�������!��"�����#������������������������#�!�9�@&���&���&�A��"�9�@&���&�A�����#�9�@&��&�A

�"������ A B� ������������������������������������������������"�������� ��� ��������4������������������������

���4������������� { }3 .A B E=� ��"������ A B� �����������������������������������������������"�������

��� ��������4�������� ���������H���������������������� �.���������"������� !�����#�������� ��

��������������������� � �� � .A B = ∅�

�����%���������"���������������

��������

������� � � ��� ��������� �� � �� �� ����� ������

������ ��� %��������� ����������������$���� � ����

����� � �� ��� 3�������� ������ ��� ���$���� ��

�� �� ���������� ��������� �� ��������������

� � ��� �

/�����������������������������������"�����

!#� %��������� ����� ������ � ����� ��� 4&�� �

� ������������Z

���� ���

7

��������������������������"������������������������ :�7�4�H 0�������� ������ �� ����'���� �����'�����������������'����������������������������'��� � (��� ������ �������� �� "�����������������Z���������������������,

� : P������������������������������������������������������������I7

R���������"������#

�����!#�����������������������������:D*

�����"#�����������������������

6��� ��� ��� ��������� "������##� � ��������� ��������

����:D,

/�������� �� ������ "������ ������ ��� ��������

�����������"���������!������",

�������� �� �-������ ��� "������#� � ��� ��� ��������

�������� ���� ������ �������� ���� ��� ��� �������

����������������"�������!�����"

�����

Page 250: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������"������!�����"�������� ��� �������������������� �������� ���� ���������� � ������$�

�������������������������������� � �� � .A B = ∅�

���� ���

'���� ������ � �!�����"��������"�����������������������������������������������������������������

����������������"��������!�����" �?���"�������������������������� ����������"���������������������

���������� ����������������������"�������!�����"�������"

!����������"��������!�����"��������������"�������������������� .A B�

/��������"�������!�����"����������������������������������������������������� .A B+

6�����������������������������������������"��������!�����"�����������������������������������������

"������!������������"������"����������������"�����������������

(�������������"��������!�����"������������"��������!������#������!��"�����#������"���������

�����'����������������7

��������

�"������ A C� ���������������������������������������������������������4�����������������������

��������H �F��������������������7�������������"�������!�����#������������ �/��������������������������

'������ { }1 2 3 5 6, , , , .A C E E E E E+ =

!����� �$����������"�������!�������"�����������������������������������������������������������

"�������! ��6���"������������������ A ������������"��������������������"������� A �����������������

� ������������"���������������������������������"�������!��������������Z

/���)���"������!�����#�� , .A A A A= ∅ = Ω� �

���� ���

�����"�������!�����"��������������������������������������������������"��������������������������

���������������"������� A B� ������������������������������"������!������������"������" �/��������

����� ������ ���� ������ �� ��� "�������� ��'���������� ����� .A B+ �.��������� ,A B A B+ = � � ���

.AB = ∅

4

�"�������!��"�����#������������������#�!�9�@&���&

���&

�A��"�9�@&

���&

�A�����#�9�@&

��&

�A ��"������ A B�

�������� ������ �������������������� ���"��� ���4���������� � ��������������������4������������ ��������������������������#

{ }1 2 3 6, , , .A B E E E E=�

���� ���

Page 251: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

(�����"��������������������"��������!�����"��������������:

������� �� �"������!� � ��� ��� ��� ���������� ���� ��������� ����� ����� "�������� &���&

� ����&

��� ������

{ }4 5 6, , ,A E E E= ����������������� { }1 2 4 5, , , .B E E E E=

H

�"������!������� (�"������"������������!�⊆�"��������"��������������������"������!��������������

"������"

0�������������������������������������������������� �E���������

!#�����������������������*���������":���������������������������

�"�������������������������������"��������������������������"������!���������������"������"��� � ��

����������������'������������"������!����������"������"�

�����!�⊆�"������"�⊆�!��������������"�������!�����"��������������������

/������������������������������������������������ �!��������������"�����#

!#��������������������������*����������������������������"#���������������������������

/����������"�������!��"�� , .A B A B� �

���� ���

I

���� ���

=

6�����������2������������� ��������������3 �����2������������� �������������� ��������������3�

-���������!�����"������������� ����������������!�⊆�"

/���"�������������������� ����������� ������������"�������������������������������������������

�����������������"�������������"����������������������������� ������ �����������������������������

����K���'���������������"��

E"�������� ����#

( ) ,A B C AB AC=� �

( ) .A B C AC BC=� �

+��� �� �* �.������"

,A B A B=� �

.A B A B=� �

��������

Page 252: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0�������������������"���������������������������������"��������������'����������������:��� � ��

�#���������������������"�������� ��� ����������=�������#������������������������������������4�

������� ����������!�J�"��"��������!�����"����������������������������������������"�������� ��� �������

4�������������������������4 �/�����������!�J�"���@&���&�A�

<

������������������K����"���������������'���������������������������������������������"�����

'���� ������ � �!���!��V��!��������"�����������������������������������������������������������������

����������������"��������!���!��V��!�

6���"����������������� 1 2 ,nA A A� � �� ������� ����������������"�������������������������������

������������"��������������������������������)�������������"��������!���!��V��!�

���������������� � � �!���!

��V��!

��������"�������������������������������������������������������

��������������"�����"��������!���!��V��!�

6���"����������������� 1 2 nA A A� �� ������!��!�V!���������� ����������������"�����������������

��������������� ������������"�������������������������������)�������������"�������� �!���!

��V��!

0������������"�������������� �!���������"�������!���!

������!

�����������������������������������������

��"������������������������������������������������� �$����������������"����������������������

�����"��������������#

""������������ �����������=

#"������ ����� �� ������������=

-"������������������������� �������=

&"��������������������������������=

1"������������������������ ��������������=

3"�� ��� ���������� �� ���������������������

�"������"�����������������������������������"�������!���!

������!

������������� �/����������"�9�!

�!

�!

��������

���� ���

;

!��)������������� � �!�����"������������!�J�"����� AB ��������"��������������������������������������

���������������������������"������!������������������"������"��� � �� ��������������������"������!����

"������������������"�������"

���� ���

Page 253: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�"������#� ��� ������������ ���������������� ������ "��"������� !���!�� ����!��� � � �� � �����������

"������������������������������ 1 2 3.C A A A=

�"������-����������������������������������"��������!���!������!������� 1 2 3.D A A A= � � �/�����������

1 2 3.E A A A= � �

0�������������"������1�����������������������������"������&�����������������������������"�������1��

������������������"�������& �.���������1�9�&

�"������3�������������������������������"�������!������!������� 1 2G A A= �

������� ����� ��'������� �� ����������� ��� "��������!��"�� ����#

��� "������-����� ��� ������������ �

( ) ( )1 2 3 4 1 2 .D A B B B B C C= � � � � � � ��"����� D ���������������������������'����������"������.��$��"���

6������� ( ) ( )1 2 3 4 1 2 ,D A B B B B C C= � � � � � � ���� .A B A B=� �

�������������������H�������������������7���� � �R��������������"�����#

!#����������������"���*"� #����������������������������"������9:��7��4��H*

#� #���� ���������������"������ 1, 2.j =

�"������-#�������������"������������������������������������"�����������������������������

������������������������� � �0������������"�������-����� D �����������"��������!��"������#

>

*�������������� �*����������������������)����

���� �� ��4������� ���������������$������ �

��������A��� ������������������������������� ���

������ � $�������� ���$� '9"9(� ��� �� ����� � ���

� ������ ��)�������� ������������ "

,"�����������������=

�"������������������*=

."����� �� �� ������ � ����

�� ���

: P��������� ������ �� ������� �� ����������� ��"�������!

���!

������!

����������

��������� �� ������� ����������� ��� ������ �������� ���� ��� �������� ����������� � .���� ��'������������� "������ ��� ����������� ����"��������������

"#�������������������������������������*

##��������������������������������������

����*

-#������������������������������*

&#�������������������������������������*

1#������������������������������������*

3#����������������������������������*

2#����������������������������������������

7

Page 254: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

!������������������� ������ � � � � ��� ���������

� �� �� �� ����� ������>

!�������������� � ��������� �� �� ����� ������>

��������� �����>

���#�$���#��#��"������

��������

�/������������������������������������

����"��� �������'�������������������

"���������������!�������"������������������"������

!� ���� ���� ����������� � ������� ����������� �

���������� ��� "�������! � 1�� ��� ��������� "����

����������� �� "������� !� ������ �� ��������� ��

��������� ����� ��� � ����� � ������ ��

����������������)�������������������������������

���� ����� "��� ������� '��������� �������� ��

"�������!

�������������������������ID����������������"�������!����������4D����������������'�����������������"�������?������������������������,

:������� ��������/�������� �� �%�� ����� � ������ �

��� �����>

����B��������� �����"��������������� ��������� �$��!������������"���������B����������"����������� �� �9�:�7�4 �$���������������"���������������������������"�����#"#�B�������K��"�������"������������*##�B����������"����������������������*-#�B����������"����������������������*&#�B����������"�������������������������*1#�B����������K��"������������������*3#�B�������������"���������������

P��������� ������ �� �"������� �� �������������������������������� �R�������������"�����#!#��������������������������������������������"���*"#����"�����������������������"��� �$��)���������� ��� ����������"�����#

�����!� � �"*�������� ����!"*���������� A *��������)��� B ,

4 H

1��������������������������������������������������������������"��������������������������

�������������"���������������"����������������������������

Page 255: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E����������Z9@&��&��V�&�A������� ����������"�������������������������������������� �!���������������� �� 4 ������������������������������D�����:��� � �� �D�≤��

��≤�:����������

����8��

��8�V8��

�9: �E�����������

���"�����������"����������������&

��� 9:�7� ��

6������������������������������������������������'���������������������"�������������� �/�������

'���������������������"����������"���������'�������������������"����������"��������)'��������� �����

������������������"�������:

.�����������������������'������������������"�������������������������D�����:������"����������������

�����������#

: �0 ( ) 1,P A≤ ≤ �����)'������"������!*

7 � ( ) 1,P ٠= �� � �� �"�������"�����������"����������:

F�������"������������������������������������������������������������������������������������������

�"����������������

!�����������9�*�&

��������� �9�:��7�V���

E������������"������������������������������������������������� �E���������� ������� �������� ������

��5����� ������������"����������������� �� � �� ��������������'����� � { }1 2, ,..., ,

ki i iA E E E= ������≤��

/������� �����������������������������'� ����7L�������������������'������������������������"����������

�����������������'����������2

0,02.100

=

���$�%�������F�������"�������!���������������"����������"������������������������� ������"�����! �6�����������������

( )1 2

... .ki i iP A p p p= + + + ��:��

������ ������ ����������"������������������Z9@&��&

��&

��&

�A���������� ����������H����������������"�����

��"�����������������������#

�*�&��9D�7*�*�&

��9D�4*�����*�&

��9D�:���������*�&

��9D�H

�����"������!9@&��&

��&

�A����������"���������������

*�!�9*�&��8*�&��8*�&��9D�78D�48D�H9D�>��������"�������"�������"9@&��&�A������

�*�"�9*�&��8*�&

��9D�48D�H9D�<

Page 256: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

.1

...11

...)(

herë

21 n

k

nnnpppAP

k

iii k=+++=+++=

�� ��� ��

������ �����������������������������������������������������������"� �:D��>��;�����<���� ����

��������������������� ���������"�������������������������������:D��������"�����D�:������������>

�#�����������������������������;����*�����������#���������������'�������������;�����

F�����)������������������������%������������� ��������������]������������������������� �������

�������"�����������������#

���1�#�������������������������:D����*�����1

�#�������������������������>����*

�����1�#�������������������������;����*��������1

�#�������������������������<����*

�����1�#��� ��������������������������

��������

:

�������"�����D�7������;��������"�����D�4���������<��������"�����D�4���������������� ���������D

��������"�����D�: ���������������������������������������������"��������������"�������#

0���"�������!�����"�������������������������������#

.���������������������������������������'�������"���������������

E����������5���21� 1� 4 1�3� ����������������'���������"�������������������������������

���"����������"�������������������"�������� ��� ������������������ � �� � ��� 9��������

�� ��)���� �� 4 ����/�������������������4����������������1

,ipn

= ��������"����������� �� 4 �� �/�������������

{ }1 2, ,...,

ki i iA E E E= �������"������������������"�����������������

.��������� ����������"������������������Z�9�@&���&���&���&���&A�������������������������������������

���9�*�&

���9�D�:����

��9�*�&

���9�D�7����

��9�*�&

���9�D�4����

��9�*�&

���9�D�4������

�9�*�&

��9�D�:

�����������������'�����"�������:�������"��������"������������������������#

�������������������� ����� ����� ����� � ������������������� ����� ����� ��

����21� �1

� �1

�3����������21

� �1

�3

Page 257: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E����������Z�9�@&���&���V��&�A� ����������������'���������"��������������������������������

)��������������������"�������� ��� ������������������� � �� �*�&���9�:�C����� �9�:��7�V��� �������!������

"���������������������������������������������������� ������"�������������������������"����

��"�������!������������� ( ) .k

P An

=

6�������������������������������������"�����

���� ���

6�������'����������� �����������������"���������������������"�������� ��� ���� ������������������

����������������������������������� �/������� ������������������������������������� ������"���������

������� �/����������������"������������ ����������������������������)���'�������� ��������������������

"�������� ��� ������� � �� �"�����������������1������"�������� ��� ������������������������� �� 4 ������

���������������1

�������

0���������������������'����������"������������������������"���������"�������������������� � ��

�����������������Z �.�����������������9�\�Z�\��� � �� ��������������������������Z �+���"�����

����������������� ��������������7���� ����������8��� ������������������������� ��"����

���������������������"������������������������������ �������"������!��� � �� ���9�\�!�\�����)���"�����

���������� �����!���� ��� ������������ ��7���� �� ���������8� ���� ��������� �� "�������! ������������

�����'����������"�������"������������������������!��������� ��� ����������������������������������

������������������������"�������!����������������"����������������������������������������

������� � ��

( ) | |.

| |

AP A =

Ω

0�����������"�����"������������������ �����'�����������)'�

������� ���������������������������������� ��� ����������"�����������������

Z�9�@&���&���&���&���&��&�A������&��������"�����#�������������� �� �9�:��7�V��= ��"������!#���������������)'��

����������������������!�9�@&���&���&�A �.�������������������������������������������������"������

!�������4����������������"�����������������"���������������������������������= �/��������������

�����'�������������"�����������"�������"�������!�����#

7

( ) 30,5.

6P A = =

Page 258: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������������������I���� ����������H����� �/��������������B���������������������� �0����������

"����������������������B�������������� �����

P���������"������!#� ����B����������������� ����� ���������������������������������������

� � �� ���������"���������"������������������������ 29

936,

2C

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠�����������������������������

���������������"������!����� 25

510.

2C

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠�.���������"��������������������"�������!������

��������

4

( ) 100,2778.

36P A = =

���������������������� ������'���������������� �������������� ��� ���� �� ���� ������ ::����:7 �0�����������"��������������"�������#!#�������'������������::*"#�������'������������:7

G��� ����� I� ��"�������� "������ 7�4�H�<�>�������� � 0�� ��������� "����� ����� �����"���������������������"�����������������������������������������

�� ���

: ��������������:D���������������������I���� ������4����������7�"��� �� �N��������������"���������� ���� �0�����������"����� ��� ���"����� ������������ �����

7 ������ ������ ��� HD�B���� ����� ��� ������ :D���� ��� ������������ �6����� ������ �� ��"��������"��7D�B��� �0�����������"���������������"���������"��I�B������������������

4 ������� :�7�4�H�I� ���� �������� I� ������ ��������� �N��������������"����������"����4������������������������������������������ 0�����������"��������'��������������

H

I

������ ������� ��<�������� ��HD�Z��I�������� �

=D�Z��� �4�������� ��:DD�Z��3���� ���������

� ������������������������� ��������� ���� ������

������� ��:;D�Z>

=

.������� ��������������������������������'� 0�����������"��������������"�������#!#������ �������"��������"�������������������������������������*":���� ���'����������������������������������9�7�4�V�:D

<

Page 259: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/���)���"��������!��������� ��������� ��������

���"������������������Z����������D�≤�\!\�≤�\Z\

/���������| |

0 1,| |

A≤ ≤Ω

� � �� ( )0 1.P A≤ ≤

/���"�������"�����������"����Z�����| |

( ) 1.| |

PΩΩ = =Ω

E��������� },...,,{ dhe },...,,{2121 mk jjjiii EEEBEEEA == �����"������������� �.��������� .A B = ∅�

?��������������������������"��������� { }1 2 1 2, ,..., , , ,...,

k mi i i j j jA B E E E E E E+ = ����� ����8���"�����

��������� �/���"�������������#

( ) ( ) ( ).k m k m

P A B P A P Bn n n

++ = = + = +

/���"�������"��������������������∅�����0

( ) 0,P∅

∅ = = =Ω Ω

����������"���������������������

��������� �������"��������������������������

��� ������� ��� �K� ����������� ������������������"�����

��������"������

��������������$�������������������>

�������������������B������������ �8@����$�����������

����������&� ����������������� �����������&� ����

��$�>

��������

:���������� ���� ���/�������������� ������ ����������>

.���������"����������������������������'�������������"�������������������������������:�����7�����

��������������

: �/���)���"���������� ( )0 1;P A≤ ≤

4 ������!�����"��������"������������������������ ( ) ( ) ( ).P A B P A P B+ = +

7 � ( ) 1; ( ) 0;P PΩ = ∅ =

/���"�����*�������������������������#

���� ���

������������������H���� �������I�������4������������;���������� �/����������������B������������ �0�

���������"�������������B������������� ��������������

:

Page 260: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� ��R������������"������#���#������ �������B������*���#�����������B������

-����4�����������"����������������������#

/���"��������������"��������'�����#�4 3

( ) , ( ) .20 20

P A P B= =

�"������%����� �������B���������������&�������������������"��������������!���������������#

( ) 4 3 7( ) ( ) .

20 20 20P A B P A P B+ = + = + =

H �������� ��� �4 ���������"����������������������

������������4�������������������������4���6�����

/���������������������I7������������������������������ �0�����������"���������������������������������

����"��������� ��� ��������H

������� ��E�����!�#������������������������������ �� �9�:��7��4��H �/����)����������������"��H�����������

�"�������!���!���!���!��������������������������������H������"�������"�������!�8�!�8�!�8�!�����#

�����"������!����������"������"��� � �� !�⊆�"���������\!\�≤�\"\�����| | | |

,| | | |

A B≤Ω Ω

����������������*�!��≤�*�"�

I ���������⊆ ������������������≤������

7

4( ) , 1,2,3,4.

52iP A i= =

1 2 3 4

4 4 4 4 16 4( ) .

52 52 52 52 52 13P A A A A+ + + = + + + = =

/��� ,A A+ = ٠�������������7�����4�������� ( )( ) ( ) 1,P A P A P+ = ٠= �������'��������������#

= �/���"�������"����������������� A ����"���������������!�����

( ) ( )1 .P A P A= −

/���������������������I7������������������������ �0�����������"�����������������������������������

���������:

4

Page 261: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������� � F�������"��������#�����������������������������:��������4

( ) .52

P A = ��"�����

� � � � � � � �4 48 12

( ) 1 ( ) 1 .52 52 13

P A P A= − = − = =

%�����������������������������������:&�������������������"����� � ,A ����������������=��'��������

< �F��������������������"��������)'������������������������������������������������

E���������!�����"����"�������������������������������������������������������

A B� ������� ��� ����� | | | | | | | | .A B A B A B= + −� � �/�����������������������������"����#

��������������������:DD����������� �/���������HD�'�����"������4D�'����'��"������������:I��������

���"����� �N����������"��������������� �0�����������"��������������"�������#

������� ��.���K��������������"�����#�!#���������"�������'�����"��������

1#���������"�������'����'��"����

"#����������������"�����'��"�* ##���������������"������"����*

-#���������"����������������������"����* &#���������"����������������"����

( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB= + −�

H

/������������������������������������������

( ) ( )40 300, 4; 0,3

100 100P A P F= = = = ����� ( ) 15

0,15.100

P AF = =

/�����������"���������"��������������������������������������������������������������������'��"����

?������������'��������������������������������'�����'��"������ ������������������������������"�����

6�����������������������������������

'��"�����������30 15 15.− = �/���������� ( ) 150,15.

100P B = =

( ) ( )1 1 0,55 0,45.P E P D= − = − =

?���"��������������������������������"���������� �40 15 25,− = ����� ( ) 250, 25.

100P C = =

�"������-������������������� ,D A F= � ��������������'��������������<�����#

� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 4 0,3 0,15 0,55.P D P A F P A P F P AF= = + − = + − =�

���'������������������ ,E D= ������������'��������������=�����

Page 262: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������ � ��� ��� ��� :DD� ����� ��� ���������������� :����� :DD �E���� ��� '������ ���� ������������� �������������������������������H��������I �!��������"�������"�������#� � �!#� "����� ������� ������ �������� ��� '������ �

��������*���"#�"����� ��������������������������'��������

������������������

����������������������:DD���������������HD'�����"������4D�'����'��"������7=�"���������:I�'�����"���������'��"������:D�'�����"�������� "���������� I� '���� '��"����� ���"����������������4�'��������"���� ��N���������"������� "���� ����� ���� ���'��������� � 0����������"��������������"�������#���"#��������'�����"����* ��##��������'�����"���������'��"����*���-#��������'����������������"����*)��&#��������'����������������"����*���2#����'�������"�����������������������������������'���������"����*���0#��������������"���������'��"��������������������"�����'����"��������*'���#�������������������������'�����������"�����

: H

�����!�����"�����"����������������������

*�!�8�"��9�*�!��8�*�"�

5������������� ���"������������������ ���"�������!� ����������������� �������� ���������������� ���"������"

/�������� '�������������������������"������"����������"��������������������"�������! � �/������

������������������������'�����������������������"������������� �+���$������ ���"�������!���������

"�������"�����������������"������!����������������"������" �6����"�����������������������*�!�\�"�

"������#��������

��������

E���������� ����������"����������������

Z�9�@&���&

��V��&

�A���*�&

���9�:C�������)��� �9�:�

7�V��� ��!��������"�������"����������������!���

���� ����"���������������,

!���������������"�������������������

���"����������������������������������������������"�������������"������������ �0������������

�����"�����#

!#������� ����*

"#��������������

�� ���

E����������*�!��9�D�4���*�"��9�D�H��������*�!"�9�D�:

0�����������"�������"�������� ,A B� A B ���

.A B

7

0�����������"�������"�������!"�����

*�!�9D�=���*�"�9D�4�� ( ) 0,7.P A B =�

4

Page 263: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

$����������������������'������"�����������������������'���������������������������������������

�����������"����������������� �/�������� ��� ������������ ������������� ��� ����������������������

"�������!�����" �E������������"����������������������������������������"������"����������!"�������

�����������������������������������"������!"��?�������( )( )

n AB

n B�������'���������������������������

+���$������ ���"�������!�����������"������*�"��T�D�������'��������#

( ) ( )( )| ,

P ABP A B

P B=

����������$������ ���"�������"����������!�������*�!��T�D������ ( ) ( )( )

| .P AB

P B AP A

=

����"�������!��������������"������" ��6���

������������������������������������( )( )

( )

( )( )( ) ,

n ABn AB P ABn

n Bn B P B

n

= ≈

���*�!"��������"������������������"��������!�����"

���� ���

P������������ ������������������ � �0�����������"�����������������������������)'������������

�������������������������������������������"�������� ��� ��������H

�������� 0K��������������"�����#���#���������������������)'�*

�#���������������������������"�������� ��� ��������H����������������"����������������������������������

�����)'�����������������������H �F�������"������������������������#

( ) ( )4 2 2 1; .

6 3 6 3P B P AB= = = =

���'����"����� ( )|P A B �����������'��������"�������������������������#

( ) ( )( )

113| .

2 23

P ABP A B

P B= = =

/����'�������������"������������������������������"����������������������"�������

:

Page 264: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

( ) ( ) ( ) ( ) ( )| | .P AB P A P B A P B P A B= =

������������������H���� ����������4����� �/��������������������������������������������������������

����� �0�����������"�������������������������������������� �����

���� ���

7

������� ��0K���������"��������!�#��������������������������'���������� �������!�#��������������������������'����

����� ����� �P����������"�������"�������!�!� �!���������������������������� ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1| .P A A P A P A A=

���������������������������"�����=��������������������4�������� ����� �/���������

M�����������"���������������������"������������������"������������������������������������

�������������#

/�������� ( )1

4,

7P A = �������"����� ( )2 1

3 1| ,

6 2P A A = = ���������������������� �������

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1

4 1 2| .

7 2 7P A A P A P A A= = ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1... | | ... | ... .n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A A−=

������������������H���� ����������I����� �E�������������"��������������������������������������������

���B������������ ����� �0�����������"�����������������������������H�����

���������������

4

E�������������������������H���������������4���������������������������������������������������������������� −������� ����� ������!��������"������������������������������������ ����������������� �� �9:��7��4��H�����������

���������"�������"������� 1 2 3 4.A A A A �!������������������������#

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3| | | .P A A A A P A P A A P A A A P A A A A=

/�������� ( )1

5.

9P A = ����������������������������������������������������������������������"�����H����������

�����"��������;����������� ( )2 1

4 1| .

8 2P A A = =

Page 265: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������������������������������'������������������������������������4����������������"���������<����������

( )3 1 2

3| .

7P A A A = ����'����"��4����������������������������������7���������������H��������� ����������

( )4 1 2 3

4 2| .

6 3P A A A A = =

6������� � ( )1 2 3 4

5 1 3 2 50,0794.

9 2 7 3 63P A A A A = ⋅ ⋅ ⋅ = =

�� ���

: 3 ���������� �� � �%������ �� ��� ���������������

������8�� ���ID�����������������$�� ���������)�%����� ��������� � � ��� � � ��� ���� ������� ��

��� ���� ��� ��������� �������� ����� ��� �5�

7 /�����������������I7�������������������������� 0�����������"���������������������������"������I��������������������������������������"������������

/���� ��� ����� ����� I7� ������ ���������� �������������������� �0�����������"�������������������������������������D����������������������������������������������4

4

H /���� ���������%�9�@:�7�V��7DA�����������������������"��������������� �0����������"���������������������������������)'����������������������������������������4

F����������������������������������"��������������������7C4 ������������������� ������������������������'������������������������������ �F�������������������������������������������D�I �0�����������"������������������������������ �������������� '����� ��� ������� �������������������

��������� �� ���������������� ����������������

���� � ������������������������ ������� ����$�� ���

����������

�(�)��%����� ��������� ������������������� �� ��

������ ���

�(�)��%����� �������� ������������ ���� ��� ���������

%����� �������������������� ����

I

=

/���"������!� ����� ��� ������ � �����

�����"�������"�����

���������������"���������������������

�������� ���������$�� �������������� � ������ ��!�� ������

"����� ���������������� � ������ ��"�� �������!>��������������

6��� ��� ��� ������ ��� ��������� �� "������� �"���� �

�������"�����������������"������!

Page 266: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

0������������������������������������������������������������������� �/������� �����������������

�� ����������"����"������#

!#������ ����������������"���������������"#������ �����������������������

?��������������� �������'����������������������������

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )| ,

P AB P A P BP B A P B

P A P A= = =

����!�����"������"����������������� �$��������������������������"����#

� �� �����"�����������������������������������������������

�����������������

�������������������������!�����"�����"�������������������������������������������������������� �

�������

/��������������������������������������������������������������������������������������������������

������������'���

/��������������������������������������������� �0K�����������������"�����#

�#��������������������������������������������*�����������#�������������������������"����

6�����������"��������������������������������

��������

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 13 1 1 1 1, , .

52 13 52 4 52 13 4P A P B P AB P A P B= = = = = = ⋅ = ⋅

.���������������������������������������������������������������"������������������������������������

�����������������������������������������������������������"��������������������������������������������

�����������"����

:

�����"�����������������������������"�������� ������������

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )|

| ,P AB P A B P B P A P B

P B A P BP A P A P A

= = = =

������������������������������"�����������������������������"�������� ��?�������������������������������

������� ���������� ����������������������������������������������

Page 267: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

.����������"����������������������������������������� ��F��������������������������������������

������� � ������������� ��0�����������"������������������������������������������������

������� ���R���������"��������!#���������������������������*

"#��������������������������� �/�����������������������������������������!�����"�����"���������������������

����������������"�������������������������������� �/��������*�!��9�D�<��������*�"��9�D�> �P����������"������

"������� .A B� �6��#

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB= + − =� ( ) ( ) ( ) ( )P A P B P A P B+ − = 0,7 0,9 0,7 0,9 0,97.+ − ⋅ =

7

/���"�������!�����"��������������:����������������������������� �6����������������������)'����

���"��������!����� ;B � A �����"*�� A ����� .B

������� ��/������������:����� .41

5213

)( dhe 131

524

)( ==== BPAP

�"������ A B �����������������������������������������I�������������"���� �P��������4������������������

���������"����������� ( ) ( ) ( )3 1 3.

52 13 4P AB P A P B= = ⋅ =

.���������!�����B �����"����������������� �/������������ AB �������"�����#���������������������������"����

����������������������������������������������I �6��:7����������������������������"����� �/���������

���'���� A B �������"�����#���������������������������������������� ��������������"���� �$�����������������

����������� ( ) ( ) ( )36 12 3.

52 13 4P A B P A P B= = ⋅ = �/��������������� A ����� B �����"�����������������

( ) ( ) ( )12 12 1,

52 13 4P AB P A P B= = ⋅ = �� � �� ������"������� A ����������������������

4

�����������������"������������������������������������������������)'���#

!����� B *� A �����"*�� A ����� .B �

6�����������������������"������������������"�����������������������������"����� �

���� ���

Page 268: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�"�������!���!

��V��!

�����������������������������������)'�������"���������������������7��≤���≤���

��������)'�������"������������������� ��^�� ��^�V�^� �����

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2

... ... .k ki i i i i iP A A A P A P A P A=

.�������������!���!

���V��!

������"�������������������������������"������������������������'��������

��������������"����������"������������)������ � ��

��������4�����������������4������

�"��������������������������"���������"������������"����������������������

!���!

���!

��V��"

���"

���"

��V�����������������������������"�������!

���!

���!

���V� 1 2 3, , ,...B B B

���� ���

������������������=���� ����������7����� �E����������������������������"�����������������������

��� �0�����������"������������� ����������������������������������������������������������

������� ����������������������������� ��� ����������'���������� ������� ����� � 4�/�������)����������������

��������������������������������������)��� ������������������"���������� ����������������������� � ��

"�������!������� � 4 ���������������� �/������������

������������� ������� ( ) 1/ 4iP A = ����������� �� �� 4�/���

�����

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 4

1 1 1 3 3.

4 4 4 4 256P A A A A P A P A P A P A= = ⋅ ⋅ ⋅ =

H

�� ���

: 0������������"������������������� �F�������������������������D�=*�D�<�����D�I������������� 0�����������"�����������������������������������������������

7 *���� ��������������������������%����,���������� ��� �����������%�����������D�=����� ��������D�<��)�%����� �������� ����� ������ � "!#������������ ���� ������ � �����������%����="#��������������� ���� ������ � �����������%����=##�%�������� ��������������=-#�������� ���� ������ ����� �����������%����=&#��������������� ���� ������ ����� ����������%�����

4 F����������������������������������������������������D�< �.�������"������������������������������ ��� ������ ����� ������ D�4; � 0�����������

H �������������� ��H���������,������ ��������������� ��� � ��� � � ������ � �� ���� � �������� �������� �������D�:*�D�4*�D�7��� �D�:�������������)�� %����� �� ������ � � ������ ������ ���� ��� �� ����� � ��� �� ��� ������ ������� ��� � ����������������������������������� ���� ����

I 3��������� ���������������� �E��������������������� ����������������������������������� �������� �R��������������"�����#!#�����������������7�������������4*"#�����������������4�������������7*##������������������*������-#������������������*&#�8����������������7*1#�8�����������������4 0���������#��� � ���"�����)'������"���������������� ��������������* ������"������������������������������������*���"���������������������������������������,

Page 269: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

!�������������������������������������������������'���������������������������#

F�����)���������������������������� ������������� ������������������������������������������������������������������������ ������� �/������� �������� �������������"�����'���������!������������������������)��������������������������������������#�����������������������������������"�������������"��������������� ��������������������������� ����������� ���������������������������������������������#���������������������������������������������������'���������'��������������

������������ ����������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������� �6����������������� �������������������

/�������������������������������������������������������'����� �/�������������������� � �������������� ���������������"������������������������������������� ����������"������������������

0������ ������������������������������%'��������!����&���������#�������������������������"�������������"��������������� ���������������������%������� ����������� ����������&����������#�����������������������������������������������

$����������������������������'������������������"�������������������������������������������������������"������������������������������������������������� �������������������"�������)������������������������"���������������

!�����������������$������� �����$�������� �-���������������������������������������� !�������������������#��������������������������������������B�������������������������������������� ������������������������ ����� �!��������������������"��������������"���������������

!����������������������� �������$� � ����� ������� ��� � �������������������$� ������������������������ �����������'����������� ������������������� �/������� ��������������������B����������������������������������:��7��4��H��I��� � �� ����������������� ������������'��������@:�7�4�H�IA ��������������������� ���� ��������������������������������������������� ����������������������� �6�������������� �����������������������������������������

�������)������)��#������

�: � �����������������������������*

���������������������������������*

�����������������������"���������������"���������� ������������������������������������������������������������������� ��������������"���������������������� �����������������������

7

4

���

Page 270: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

?��������������������������������[:�7IDS���������������"���������:����������������������'��������������������������7ID�������������������������������������� �5�������������������)����������������������������"����� ���������� �/���������������������"����������������������� ���������� ���"������������������;D����"�����������������������74I���"����

F�����������������������������������"�����������������������"���������������������������������������� ������������������������������'������������������������ ����������� � �� ������������������ � �� ������

��������� ��������� ������������� ��"��������������� ����� ������ �������� '������� ��������� � � �� ����������������������������������������"�������������������������������������������'����������������� � �� ���� ����������������

��������������������������� ��������������������������

$��������������"��������������������������������������������������������"��������������"���������� ���������������������"����"���������������������������������������������'�����

/��������"��������������������������������������������"����������������������������������������������'����������������������������������������������"���������������

/��'����������������������������� ����������������������������������������������������� �1����������������������������������������������������������� � ����� � �� ��������������������������������� �1���������������������������������)������������������������������������������� ��� ������������������������ /��������"���������)������������������������������������������������

!���"�������������������"��������������������������������������"� ��������� �0���������������������� �������

�������������������������"������������������� �������������������������������������������������

���� ���

/��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������

���� ���

P�������������'������������"������������������������������������ ��� ����������������������� ����� ������ ��������

Page 271: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

N������?�������%�����������&����������������������������������������� ����������"����������������������������������!3�?�������:>4= �6���������������M �N�����������? �E���

:

/����"��������������������������������������������������'�� �6�����������"����������������������������"������������������"����������������������������������� �N�����������������������������������'������������"���� ������������������� � ����������������� ����������������������������"������? �E��� N��������������"����������������������������"�������������"� ������ �6��������"� ���,

����������������� ����������� �������"� �� �!�����������������������������������������������'������������������������� �P������������������������"�"������������������������������������������������������������������������"�"��������������������"���������������� ���������E���

�"�����������������������"������������������������������ �������������H���������������������������������"�"������������ �!��������������������������������������������������'������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� �6���������������������������������������������������������������'���������������������������������

!���������������������"������������������������'����������������"�����������������

�� ���

: )�������������������������������������������������������� ��������3�� ���%����� ������ ������ � ����������������� ����� �%���������������� "��%�� ���������������������������'�����(��� � ����

7 ?�������������������5���2� �� �� ��3��:������������������������������ ����������� �$ ����� ������������� ���������9����%�������������� �������� ������� ������� � ������������� >

4 N������������������������������������������ ��� ����������� ��� ��� ����������� ������� �1�������������������������������������������������������� �����������������������������'� �����"������:DD������������������������� �� ����� ��� ����������� ��� �������� ������ ����(��������������������������������, ��������������������������������,���!���������������������������������������������,

������������������������ ���� �� � ����������������� � $���� ��� ���������� �%��������%����������������� ���������

����� ����������������������� ���������������� ������� ������������� ���������

������������������������������������������"������������

��������

������ ��� ��� ����������� � �%������������� ����������� �� �� ������ >

������ ��������� � � �� � ���� �$ ���>

���

Page 272: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

E�����������������������������B������"�����������& �5��������������������������������������'��������������������� ��� ���������� ����������@:�7�4�H�IA �����'�������������

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� ���

$������������������������������������B������ � �� ��������:�����������������������������7���������������������I�B������ � �� �����7����������I�������4����������4�������H����������H����������I���������=�����

���������������������I������ �1���������������������������������"���������������������������������B���������K������������������������"��������������'������������������ �$������������������������'�����������#

������������������������������������������������%� $� ����� �����������������������������������������������

����������������������������������������������� aa

np

n= �������%� $� ���� ���� ��� ������� ���� ,

������������������������

/������������������������������������ �����'��������������������'����#

���� ���

M�������� ������ ��������������������������������� ������������ �������

�� ���"��)'������������ ��

�������������� ��� ������������������������������������⋅:DDL����"��������������������������

������� ��� ����������������

5����������������'�������������'��������������������������������� ����������������� �� �%� $� ��� ���� � � �� �� �������

0� �� ���������A �� �%�

A �� �%�� �����

: 7 20,1

20=

7 I 50, 25

20=

4 4 30,15

20=

H H 40, 2

20=

I = 60,3

20=

M������������'�����������������������������

���� ���

!������������������������������������������������������������������������ �?������#

��������� 1 2 ;rn n n n+ + + =�

���������0 1, 1,2, , ;ip i r≤ ≤ = �

�������� 1 2 1.rp p p+ + + =�

F����� �� ������ � ������� ������ �� ��� "����'���������� ��������� ��� ����� �� ��� ������������������������������ 1�������������������������� �������������

� �0 ,in n≤ ≤ ���0 1,in

n≤ ≤ ���������0 1.ip≤ ≤

� :

Page 273: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

1 2 1 21 2 1,r r

r

n n n n n n np p p

n n n n n

+ + ++ + + = + + + = = =�� �

��� ���� ��� �� ������ ��� '�������������� ��� ���� � ��������� ��� ��������"��'��� ��� ��� ������� "����������

������� �������������������������������������� ����������������������������� ������'������������������������������'���������������������������'�������������������%� $� ��� ������� ��������������������������������������� ����������������������������� ������'��������������������������������������'���������������������������'������������������%� $� ��� � ����

������������������������"���'�����������������"���'������������������������������'����#

3����������� �� �%�� 3����������� �� �%�� � �����

$�����������������'�������������������������������������������"�����������������������������"����������������� �5������������������������������������ ��������0�����"������������������������)��������������������������������������"��������������������������� �����)�������������������������D�����:

.���������������������� ,ii

np

n= ���#

�������������������"������������� ��

���� ���

��

:D

74HI=<

: 7 4 H I

D�DID

D�:DD�:ID�7DD�7ID�4DD�4I

: 7 4 H I

%�

/���������������������������������������������������������������B������������������������������������������B�������������������������������������"���������������B������������������

$����������"������������ ��������'��������������'������������������������������������ �������������� ���� � � �� ���

Page 274: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

������'���������������� ���������������������������������������� �N��������������"������

4D�����������������������������������'������������������� ���� �������������������'�������

���������#:�7�I�4�D�D�:�:�7�I�<�:�:�H�H�<�D�:�4�7�=�I�7�;�D�D�:�:�7�D

/����������������������� ����������������������������

7

�� ���

+ �������"�E�������������������� ��� ����������F������

���$����B@�� ��� �

:��4��:��=��7��=��H��=��4��4��H��4��4��:��H��:��H��I��4��I�H��:��:��:��I��H��4��7��:��H��=��H��4��7��7��7��4��=��:��7�7��4��I��4��:��4��=��7��H��:

3�� �$ ������ ��������������������� ������������������� � � ����

, �������"�E������������ �� �������������������F�

0�$���� �������������������������������5@��� ��� �

7:��:=��:;��:<��77��7D��:<��:>��:>��7D�:=��7D��7D��77��7:��:=��:<��7D��7:��77�:I��:>��:=��7D��:;��:;��:>��7D��:<��:=

4 �������"�E�������������� ����������������� ��

������������� F��0������ �������������� ������

��4������ �

7��:��D��:��4��:��:��D��7��:��7��:��D��D��D��:��:��7��7��4�7��7��4��:��:��:��D��D��7��:��7��:��D��D��7��:��:��:��D��:

H �������"� E����� �� ���� � � � � ����� � ����� �

� ������������������ � ������89�� ���������85F�

0������ �������������� ������� ��4D������ �7H��7I��7>��7;��7<��7<��7;��7<��4D��7I�7I��7=��7=��7>��7;��7I��4D��7>��7;��7;�7H��7;��7>��4D��4D��7I��7=��7=��7<��7I

��������������#��������������"������������������������������

��������

������������� � ���� � � �������� � �$ �������� ��� �� �%��'� ������(� ������� ����� � � ��������� ������� ���

���

)�� ���� � �%����������������� �� �%����� �� �� �%��� ����� ���������� ������� �� �� �������������� �$ ���

��� ����� ��� �� �� �%���

0� ��� ���� �������� �� �%�� �������������� ��� ������������ �� �%�� ��� �� ������������ �� �%�� � ����� �

���

Page 275: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�������� � �� �������������)'����������������� ���������2� � ��� ���3��1������������������������������� '����������������������������� �������� ���������� �����"�������ID�B����������������������������������������'�������� ��5�����'�����������������#

����������������'����������)������������������������������������������������������������������"��'����������������'��������������������������������� �/���������"��'���������������������������'����"�����������������������������������'���������������

D

:

7

4

H

I

4D 4I HD HI ID II =D =I <D <I ;D ;I >D >I :DD

� � �� �� �� �� �� � � ���� �� � �� �� � �� � �� �� �� �� �� � �� �� �� �� ��� �� �� �� � � �� �� �� ��� �� �� �� � �� �� ��

����������������������������������������������������������������������������������������"������������������������������"����������������������������

���������������������������"�����������������������������������������������������������������������"������������������������������������ �/��"�"������������#

%!���������������������������������������������������������"����������������&����������������������� $����������������������������������������������������������������������������������������'��������#

; 1 3,211 log ; 5 log .r n r n r n≈ ≈ + ⋅ ≈ ⋅

$����������������"�������������'���������������

R�������������������������"����������������������������������������������������������������������������������������

E���������������������%�������������B�����������������������'��������& �0��������� �������������B����������������:�7� �:DD���� �.����������������������������:DD

� :

Page 276: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

6�'��������������������������'�������������������������������"���������������������������������������������"����� � ������������������������������������������������)����������������������������"������������������������ ��� ����

P�������������������������������������������� �����������������������������������K���������

�����������������<������ 7 50.≈

���������������������������������������'������������������� �����������������"����������������������������������������"���������������������������������������������"��������������������������� � �� ��������������� �/�������������������"���������������������������������'��������������������������������������� �������������"�������������

-������������"����������������������47��������������������>> �.������"��������'����������������������

�����������������4D����������'���������������������'������������������������:DD �F�����������"�����������

����������������������������������������'������� �������������������������������������������

6����������������������K������������������������#�[4D�HD���[HD��ID���[ID�=D���[=D�<D���[<D�;D���[;D�>D���[>D�:DD�

0���������������'����������������������������������'����������������������������������"������� ����������� �5����� �� ���������������� ��� "������������ �� ����������� ��� ������������ ����������'��� �$���������������"����������������������������������������������������

0������������������'������������'�����������������)��������������������� �M����������)������������������������������������������������������ �������������������������'�����������������'���������'����������)����������������������������������������������������������

-������ �� '���������� ��� �������� �� ���"�� �

'�������������������������������������'�������

� )��� ������� ������� � ���� � �� � /��"���� �

'��������������'��������������������������'����#

3����������� �������

7D

H=;:D:7

�� �� �� �� �� �� �

A �� �%���� ���� A �� �%�� �����

:D[ )30, 40 D�7

;[ )40,50 D�:=

;[ )50, 60 D�:=

;[ )60, 70 D�:=

<[ )70,80 D�:H

H[ )80,90 D�D;

I[ )90,100 D�:

�!��

D�� �� �� �� �� �� �

�!��

�!��

�!��

�!�

3����������� �������� �����

Page 277: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

/��������������������������������"���������������� �� �������� ������ �� �����������'������������������������������"���������� ��� ��������������� ��� ������ ���������� � /��������� � )��� ������� [����"������������������������������ ��� ����������������������������������������������"������������������

6������������������[4D�HD�����:D��������������� �����������������������������������������������������:D��� ��������[HD�ID�������������������������;�����������������������;������������� �3���"�������������������������������������������

D�� �� �� �� �� �� �

��

���

2������������ �������

�"���������������������������������"��������������������

/��������"�������������������������������������������������������������������B������������������������������������� �������� ������� ���� ������ � ��� �������B�����������������������������"�����������7�� ��� �7�� ��������7�� ��� ���

�!��

D�� �� �� �� �� �� �

�!�

�!��

�!�

�!��

���

2������������ �������� �����

��� � ��� � �� � � �� � �� � � � � � � ��� ���� � ��� � �� � � � �� � ��� � � � � �� � ��� �� � �� � �� � � �� � ��� � � � �� ��� �� � ��� � ��� � � � �� � �� � � � � �� � �� �

0�� ����������������������������

������� �������������������������������� �����'������������������������� �F����������������������������

)���������������������������������������� � �� �'����������)�����������������������������������:

-������������"����������������������D�:��������������������7I�I

�����������������"���'����������'��������������������������������������������������:���������������HD������

�����������������������������������"��������������������������� �����������������/�������"���������������

�������B��������'������'���� �/�������������������������������������������������������������B���

��������'������������������������"�������������������������� �����������������������HD��������

�������������"���������� 6 40≈ �������

� 7 F�����������������������"���������������"������������������������"������������HD����������������'�����������������#

Page 278: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

6�'�������������������������������D����������'��

'�����������7< �?�������"������������������������

�����H�I �.������������������������������)������

����� ���������� ��������� ������ ������� ����

������������������������������������������ �������

'���������

A �� �%�A �� �%�� �����

:D[ )0; 4,5 D�7

;[ )4,5; 9 D�:=

;[ )9;13,5 D�:=

;[ )13,5;18 D�:=

<[ )18; 22,5 D�:H

H[ )22,5; 27 D�D;

��� ����

3���"���� � �������� ��������������� �����������

/��������"�������������������������������������������������������������������������������������������������������D�����H�I����� �/����������������������� ������������������"���������� � ��������� ��� ��� ����� �������� ��������������������

7D

H=;:D:7

� �!� ��!� �� ��!� ��

:H

:=

:;

O�������� ��������� � � ������ �$ ��������������������������

7;I��4H:��7>D��4DH��4:;��7;4��7;=��4DD��4:I��47=�4:7��477��4D<��7;>��7>I��7>7��4D=��4:D��4DD��7>:�7>>��4D<��4:D��44:��47<��4:>��7>;��7;;��7;:��4D4�4DI��44:��444��4HD��4D>��4:>��7;=��7><��7>D��4:D�4:H��474��4:<��47>��7;<��4DD��4DI��4:I��4::��7;>

D�H���D�I���4�I���4�H���H�7���7�<���I�I���4�7���7�>���4�47�H���H�=���H�H���D�4���D�:���4�7���H�4���=�4���4�7���7�74�7���4�=���H�7���D�I���:�4���:�<���:�D���7�:���7�>���7�=

=4H��=4<��=7>��IHI��II=��<;D��=I;��IH<��=4>��<>D�;:D��I:H��I>4��=:D��=:>��<;>��<D4��<H7��=7;��I>>�=44��<:D��<I=��<7H��I4;��=H4��=HD��<:7��;DD��<7I�I>:��=D>��=44��<D:��<I4��;D7��=4>��=77��<;:��<4>

7�4���4�H���H�7���4�I���4�:���7�>���7�H���4�7���4�H���H�74�H���4�>���H�D���4�;���4�<���4�7���7�<���7�>���4�D���4�;7�H���7�<���7�;���4�H���4�7���4�:���4�7���H�:���4�=���4�>4�;���H�:���7�;���7�=���4�7���4�>���4�I���H�4���H�>���4�I

�� ���

: �������"�EA������� � �������'���$/�(F��J���� ���$������ ����ID�%��� �� ��

!���#�%!������������������������������������� ����C���& � 5����� ����� ����� �� ������������ ��� ��� ���������� �� HD� ����� ������������

7

4 �������"�E����� ��� �$�������������� ����

����� �'�����(F��?����������������� �$ ������

��������5@�

H �������"� E.���� � ������� � ��� ��������� '����������(F��?����������� �$ ����� ��HD������� ������������

Page 279: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�����������#��

$����������� �� ��� ��������� �� ���� ��'�����������������"�������������"���

�����"���������������������������������������������������������������������������

.������� �� ��������������� ������������������������������� ������� ������������������ ��������������������������������� � �� ������� ��� 4 ����������������������������������������������������������������������������

/�����������������������������������������O���������"�����������������7D������ ��������� �����

�������������������"�����������'������������������������"���������������"�������#

�� �� � ��� ��� � �� �� ��� ���� �� �� � �� ��� �� ��� ��� ��

������� ���������������'��������������������������������#

��������

������������'������������'��������������������������������� �$�"���������������������'����������������� ���� ����������� � �� ��� ������� ����� ������������� ������ �� ��������� ��� ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ��� ����� ��� ��� �������� ����"���� �� ��������������������������������������

���� ���

:

20

1(190 169 189 200 201 188 184 197 174 185

20192 195 180 199 178 165 187 164 162 194)

184,65.

x = + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + +=

1 21

1 1( ) .

n

n ii

x x x x xn n =

= + + + = ∑�

!��������� ���������������������'������������'����������������,

+���������'���������������)���������'��������������� �� ���������� ��� �������� �� �� ����������������������������,

���

Page 280: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

-���������������������������������������������������������������������������:;H�=I �.������������

���������������������"�������������������������������������������������������������������������

/�����������������������������������������������������"��� ���������������������������������������

�����������

������������������������������� �������'�������������������'�������������������������������������������'����

�����������

��V��

�������������������������������������������������������������������

�������������

���������8��

��8�V�8��

� 9����������������������������������������������������'������#

� 1 1 2 21

1 1( ) .

k

k k i ii

x n x n x n x n xn n =

= + + + = ∑�

��������

0����������� ���������������"����������������B����� �����RR���������������������������7I�B������������������������������������� �������'���������

������� �� �!�������������� � B������ "������������ ������ �� �

���������������������������������������

� � ��

: 7

7 4

4 H

H =

I :D

�� �

: 7

7 4

4 H

H =

I :D

7

=

:7

7H

ID

7I >HΣ

1 in x⋅

7

/������������������������������������������������������������ ������� ��� ��� ��������� ������ ����������������� ���������������� ��������� ��������������������������������������

(�����������������������'������������������������� ������������� ������'���������

6������������������������

25

943,76.

25x = =

Page 281: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��������������������������������������������������"������������������������������������������'����������������������������������������"���������������� ���������������������������������

-��������������������'�����'�����������������'�����������)�������������������������

�������������������������������������������'����������'����������������������������������������������������������������������'������

�����������������������������"��������������������������� ix� �������������������� �� �9�:�7� ���

������'��������������������������������������������������'���� nx� ������������������������������

'������#

� 1 1 2 21

1 1( ) .

k

n k k i ii

x n x n x n x n xn n =

= + + + = ∑� � � � ��

�����������������������������������"��������������������������������������������������������#

G���

����������������

<� � �� ; ;� � �� > >� � �� :D :D� � �� :: ::� � �� :7 :7� � �� :4

: I > :; :7 I

0���������������'����������"������������������������

���� ���

4

������� �������������������������� �������� ���

����������������� �

50

52510,5.

50x = =�

.������������"������������������������������

����'�������������������

ix�

[ )7,8 <�I

;�I

>�I

:D�I

<�I

H7�I

;I�I

:;>

Σ I7I

1 in x⋅ ���

:

I

>

:;

ID

[ )8,9

[ )9,10

[ )10,11

::�I :4;:7[ )11, 12

:7�I =7�II[ )12, 13

��� ����

Page 282: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

�� ���

: ?����� ��������������������� � � ����%���������

������������������ ������� �������98������ ��J���

������������� �"

�����$����� ������������������� ������������������������������ ������� ����B@�'����������������"

������������

��������������

IDD − :DDD :DDD − :IDD :IDD − 7DDD 7DDD − 7IDD 7IDD − 4DDD

: H 47 :D 4

:<;����:>I����74<����7H4����:I7����:D4����4DH7HI����7;<����:I=����:H=����:>D����7II����747:HI����:<=����:74����7II����7DH����:<D����:>;)��%����� �������� ������������� � � ����%���������

������������������������������� �

)��%����� ������������������������� ������������� ��������$����

5�������������������������������������������������� �G���'�����������������#����#�������:=;����:<=����:;D����:=I����:=D����:<;����:<>����:=>����:;=����:<=�����#�������:I=����:=;����:<D����:IH�����:<I���:;D����:=H����:I>����:;I����:H;����:I>����:<:

)��%����� ����������� ���� � ��� �� ��� ����$�� ����� �� ���������� ���� � ������������

?���������� ���� �4D�������� �������������������������� ����������

7�4���4�H���H�7���4�I���4�:���7�>���7�H���4�7���4�H���H�74�H���4�>���H�D���4�;���4�<���4�7���7�<���7�>���4�D���4�;7�H���7�<���7�;���4�H���4�7���4�:���4�7���H�:���4�=���4�>

��������������� ���� � �������� ������������>

7 ?��������������$������� �9@�������� ����������

���������������J��������������� $����� �'�������("

:I=< :;<= :>;< 7D47 :>;<7:II :>;< :>=I :=H4 :;=I7DHI 7:4H :I;> :;>D 7:4H:=<; :><D :;=I :;I4 :;>D

)��%����� ������$�������� ���� � ���������� �

4

H

I

������������������

��� ��� ��� 4 �

�������� �$ �������������� ��������

�������%����� ��� ������������� ���>

��������

. ������� ��������������� ����� ��� ����������� ���� 5����������������������#� :

�� �� � � ��� �� �� ��

�)��

Page 283: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

����������������������������������������������������"��������'�����#

���������������������������������������������

$�����������������������"��������������������������� � �� ����������"�����������������������������"���������� ��� ����������������"������������������������������� ��� �����������������

+�����������������������������������������������)'�,

5�������������������#

:H 4H 7I 7; 4> :: H: 7= 74 ID

$�����"���������������������������������"�������'�����#

::�����:H�����74�����7I�����,0�����,2�����4H�����4>�����H:�����ID

������������������������������������)'�������������������������"�������������7=�����7;

-����������������������������������������������"������� (1) (2) ( ) ,nx x x≤ ≤ ≤� ���� ( )ix �������������

����������������� ���������������������� �-���������������������"�������������������������������

���������"�������������������������������������������"���������� ��� ������������"��������������������

������������������ ��� ���������������������������� ���

���������������������������������������9�7��8�:�����������������������������������"������������

������������������������������������ � �� �� ( 1)kMe x +=

��������������������������������)'������9�7������������������������������������"������������

���������� ��������������������������������������������������� � �� � ( ) ( 1) .2

k kx xMe ++

=

��������������������������������������������������

7

���� ���

0�������������������������� '������������������������� '����������������#��

� 4 (�����������������������������������'����������������������� � �� ���������������

�������,

7H 4: 7> 7; 7> := 4D 7= 74�������� ���?��������������7> �?������������������������������������"�������������������"���������

Page 284: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������������������������������������������������������������������������������ �/������� ����

:�7�7�7�4�4�4�4�4�H�I�= ����������4

:�7�H�I�<�>�:D ����������

:�7�7�7�4�4�4�H�H�H�I�=�< ������������7��4�����H

!���������������%����� ������������'��������������������������������& ���������������"�������7I�����"���������������������� ���������� ����������7I�������������#����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������0������������������������������������������

����������0� ������'������������������������������������'����#

/������ �����������������������'�������������������������������������� �����

P����������������������������⋅������������������������������������������������

H

4��4��H��=��7��=��H��=��4��4��H��4��4��:��H��:��H��I��4��I�H��:��:��:��H��H��4��7��:��H��=��H��4��7��7��7��4��=��:��7�7��4��I��4��7��4��=��7��H��:

������7I��:D��:;��:4��77��7D��:<��:>��:>��7D�������:=��7D��7D��77��74��:=��:<��7D��7:��77�������:I��7D��:=��7D��:;��7H��:>��7D��:<��:I

7��:��D��:��4��:��:��D��7��:��7��:��D��D��D��:��:��7��7��4�7��7��4��:��:��:��D��D��7��:��7��:��D��D��7��:��:��:��D��:

3�� �$ ������ ������� � ���������������������%����� ��� �������� ������'��� � �$�����(�

������D��:��7��H��4��:��D��D��D��4��:��:��:��:��:�������7��:��7��7��7��4��H��D��D��D��:��H��7��D��:

�� ���

: !���#�%������������������'����������� �& �������������ID�������

7 �������"�E�������������� ����������������� ��������������� F��0�$���� ��������� ���� ������ ��4@������

4 �������#�%������������������������������& 0�$���� ��������� �����������������4D������

HH �������#�%������B�����������"���������������������& �0�$���� ��������� ����������������4D����

$���� ���������������������������������������������������������'�������������������

���� ���

ix �� �� �� �� �� �� �� �� � � �� �� �� �� ��

in � � � � � � � � � � � � � � ��

��

Page 285: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

P���������R�# ��9�:� �

�9�7� �

�9�4� �

�9�H� �

9�I*

P���������RR�# ��9�4� �

�9�4� �

�9�4� �

�9�4� �

9�4

$��������������������������������������������������������������������� 5 5 3x y= = �������������

���������9�4�9���� �/����"������������������������������ ���"����� ���������"������� ������ ���

������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������ ��/��"������'����������������������������������

������������������������'"���

���������������������������������������#���������

��������

. ������� ������ �� ����������������� ������������� ����

���%����� �����>

� : G��������������������������������������������������������������#

/�����������������������������'������������������������������������"������������������������� �.���������'�����������������������������#���"��������������������������������������������������

-���� ���� ��� ����� �� ���������� ���� ���������� �� ����� ������ ������� �������� ���������� ��

������������������"�������������������������������������

:

D

7

4

H

I

: 7 4 H I

:

D

7

4

H

I

: 7 4 H I

6���������������������������������������������������"�������� max min 5 1 4,xr x x= − = − = ��������������������

������� max min 3 3 0.yr y y= − = − = �.���������"������������������������������������������������������������

�����������H�����������������������������������D����������� ���"����� max min ,y y= ����� ���"������������ ��

����������������� ��� ����

���� ���

Page 286: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

-���������"��������"����������"��������������������D�������������������������������������������������������� ��� ������� � �� ��������"�������������������������������� ��� ����������������

/��������������������������������������"����������������������������������������� �1��������������������������������������������

"��� ������� 2ns ����������������������������V������������������������"��������������������������

��������������������������������������������������������'������#

.�������������������������������������� ��� ��������7*������������������������������D���������

���������������'�������������"�������������������������������� ��� ���������������������� � �� ���

���"������������������� ��� ����������������

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

1 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2

1 1 12 .

n n n n n

n i n i i n n i n i ni i i i i

n n

i n n n i ni i

s x x x x x x x x x xn n n n n

x x x n x x xn n n

= = = = =

= =

= − = − + = − ⋅ +

= − ⋅ + ⋅ ⋅ = −

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

���� ���

2 2

1

1( ) .

n

n i ni

s x xn =

= −∑

/�������������������������������������:���������������#

2 2 2 2 2 25

1 10( ) (1 3) (2 3) (3 3) (4 3) (5 3) 2,

5 5xs ⎡ ⎤= − + − + − + − + − = =⎣ ⎦

����������������������������������������

2 2 2 2 2 25

1 0( ) (3 3) (3 3) (3 3) (3 3) (3 3) 0.

5 5ys ⎡ ⎤= − + − + − + − + − = =⎣ ⎦

/�������������������������������������'�����������������'��������������'��������������������������������#

������������������������������������� ��

� 4 �

���������������������������'������#

2 2 2

1

1.

n

n i ni

s x xn =

= −∑

���� ���

Page 287: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

������������������������������� �������'����������������������������������� ������������'������������������'���������������������������������������'����

����������

��V��

���������������������������������������������������������������������

�������������

���������8����8�V�8��� 9������������������������������������������������'������#

�2 2

1

1( ) ,

k

n i i ni

s n x xn =

= −∑

������������������������������������������������������������������������������'������#

22 2

1

1.

k

n i i ni

s n x xn =

= −∑

���� ���

���������������������������"������������������������������������������������������������������ ������� ���

0��������������������������"���������������B�������������RR

����������������������������7I�B������������������������������

������� �������'���������

������� ���0���� �����������������'������������������������������������������

����������������������������'�������������������

7 � � ��

: 7

7 4

4 H

H =

I :D

� � ��

: 7

7 4

4 H

H =

I :D

: 7

Σ 7I

H =

> :7

:= 7H

7I ID

>H

7

:7

4=

>=

7ID

4>=

� �� ����� �����

� 0��������������������������������

� 251

1 943,76,

25

k

i ii

x n xn =

= = =∑ ������

�����������������������������

2 2 2

1

1 k

n i i ni

s n x xn =

= − =∑21

396 3,76 1,7024.25

= ⋅ − =

�����������������������������������"������������������������������������������ ������������������'�����������������������������"���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������'����������'���������������������������������������������������������������������������'������

Page 288: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

-�����������'�����������������'�����������������'�����������)������������������������

�����������������������������"���������������������������� ix� ���������������������������� � ��� �

������ '�������� �� ���� ������� ������ ��� �������� ������ �� ����'����2ns� � �� ��������� ��������������

'������#

2 2

1

1( )

k

n i i ni

s n x xn =

= −∑� � � � ���� �22 2

1

1,

k

n i i ni

s n x xn =

= −∑� � �

��� nx� �������������������'����������������������������������

������'� ���������� �������������������������������������� �/��������������'������������ ��������� ������'�������#

0�� ��������� ����'������� ��������������������������������������������������'� ���

������� ��!��������� ���

���� ���

4

��� ���� [ )20,30 [ )30, 40 [ )40, 50 [ )50, 60

�� �� �� �� ��

��� ����1x� 2

1in x�

[ )20,30 �� �� ��� ��� �����

[ )30, 40 �� �� ���� ���� ����

[ )40,50 �� �� ���� �� �����

[ )50, 60 �� �� ���� ���� �����

Σ ��� ��� �����

�� 1in x�

-�����������'����������������������

����������������

1001

1 385038,5.

100

k

i ii

x n xn =

= = =∑� �

/����������������������������������������������������

" �������������������������������������������������������������������������������������

0���������7���������������������������������� 2 1,7024,ns = ���������������������������������������

1,7024 1,3.ns = =

���� ���

/���������������'���������������������������������������#

2 2 2

1

1 k

n i i ni

s n x xn =

= − =∑� � �

21159500 38,5 112,75.

100= ⋅ − =

21x�

Page 289: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�� ���

0�������������"����������������������������������������:�����I�"�������:D�������������:�����H"�������::

:

����������������������������$��%���

:

P������������������������������������������������������"��������������������������������:�7�4�H�I�=�< ����4����������"���<D���������������������������������������"��� �����������������������������������������"�������#

!#�����������������������������������������������I*"#������������������������������������������������ ��� ��������4*##���������������������������������

�������������������������������������� ������������������������������������� ����+� �0������������� ���������������������������������������������

�������������H����������������:��7��4�����H ���������������������������������������"��������������������� �0�������� ����������������������������������: �0�������������� ���������"���������������������������������������

P�����������������������������������������������������I7������ �6�����:D����������"���HD����������� /���)���������������"���������������������������������������������� �(�����"��������������� �����������������"�������#

!#�������������������������'��������:D*"#��������������������������������������������������"����������������������

7

4

H

�� ������������� �%����� �� ����������� ���������������������� �������� �� �%������)�������� �����������

������ � � � � ��� ��� ����������� ������������� "

!#�����"����������������������������"�����*"#�����������������������������*##��������"�����"�������������������������������������*-#��������"��������������������������������

I

0�� ���� '"���� ������ ����� ������ ��������� �����������������������������������������' R�'���������"�����#�!#����������������*������"�#���������������������9:�7�4 $�������"���������������������"������#����������������������������������������������������

=

��

��

��

������������ ��:D����������������������������������=����������"��������H�������������"��� �/����������"����������������I�� ����� �0�����������"���������������������4����������"���

<

�������������"��������;��������� �������������� �F����������������������������� �����������:IC7; 0�������������������������� ����������������

;

P

P

*

P

P

P

P

P

Page 290: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

)��%����� ��������� �� �$�� ����� ���������� � ����������������������������� ���������������������������

0������������������������������������������������������ �!��������"��������������"�����������������������������������������������'������������������������������������,

>

:D

������������ �����������I7�������� �E�������������������������������" �0�����������"�������������"�������#

!#��������������������������������������������*"#�������������������������������������������������������������������������'���

+��� �������� ��������"������� �6� ��������������:DDD��� ����� ��� ����������������������$� �0�����������"���������� ���"���������������������������7� �������"��������

3��������� � �0�����������"�������#����������������������������������������������������������������������������������������I*������ ������������������������)'��������������������������������������������������������4

�������������:7������������� �/���)��������������"��4�������������������������� ������������������������ �0�����������"��������"��H����������"�������������������������

::

:7

:4

M� �������������� ����/�������������������������������������� ��������������� ����������������/�����HD< �/�������������� ���������� ���� �"�������7ID� ������ ��� ��� ������� ���������������������:DD���

�� (�����������������������������, � (�����������������������������������������������������,�����+���'�������������������������������������������:DD�������7ID�������� �������

�"������,

������"����������������HD�B�������������������������������� ��+�������"���������������:�����:D �5�����'�����������������#

< > ; ; H 4 7 7 : :D> > ; :D : 7 : 4 H II I = ; > :D > ; ; 7: 7 4 I ; > :D ; < I

���0������������������������������ ������'��������������������������������������"������'���������������'���������������� ��0����������������������������������������������������������� �����������0�������������"��������������������������������������������

:H

:I .���������������������������������������������#�����'������������!�������������� �����:7������������������"�=��������������� ���������������������� �!�������!�'��������������������������������" �!����������������������������������������������;#H������������! �?������������'�������K��������������������"���������'����������������������� �6����������'����,

:=

<

P

P

P

P

P

P

P

P $

P $

*

Page 291: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

$������4D���������������������"���������'�������������������#��;= :D: ::7 �<I �>; :D4 ;> ��>> :DD ��;I��>; ��>I :D7 ::: ::> ��;< ;; ��>I ��>= :D7::7 :D; :7D �>= �>4 ��;; >7 :DD :D: :DI

�(�)������� ������������ ������������� ���� �� �� �%�� �� �������������� ��� ���������������$���� �

�������� �� ��� �� �%�� ��� �� �� �%��� ����� �

�(�)���� ���� ��� ������� ������ �������� ������� � �$ ���������������

%(�����������)���� ���� ����������� $������� �� ����������������������� �$ �����

:;

:> ���������������%���������������������� ���������������������� �������������������� ������G $����� �� ����� �

��������������������� ��"

[ )15,50 [ )50,85 [ )85,120 [ )120,155 [ )155,190 [ )190,225 [ )225,260 [ )260,295����� ����������'���(

:DA �� �%� :I :; 7> 4D 77 :< >

�(�)������� ������������ �������� ���������� �� �� �� �%�� �

�(�)���� ���� ���� ��� ������������ �������� ������������� �$ �����

%(�����������)���� ���� ���� ��� �������������� $�������� �� ���������������

7D ) ��� ����&���������������$������ �� ��� �������� ���� ��������� �������� ���� �������$������

� ����� �������������������������� ��"

�(�)������� ������������ �������� ��������� �� �� �� �%�� ��� �� �� �%�� � ����� �

�(�)���� ���� ���� ��� ������������ �������� ����

%(������������)���� ���� ���� ��� �������������� $�������� �� ����������������������� �$ �����

[ )5,10 [ )10,15 [ )15,20 [ )20, 25 [ )25,30����� �$������ ���'���(

A �� �%� :I > < I H

��������������#��������

�"������ A B� ������������������������������������������������������������"������#

���!�����"* ��!�����"* ��� ; dhe BA )��������"������!�����������"������"

F�������"�����������"����Z����������:* ��:C4* ���D* )����������������������� F����������������*�!\"������"�������!������������"����������������'������#

���( )

;( )

P AB

P A��� ��

( );

( )

P AB

P B������� ( ) ( );P AB P B ��)�� ( ) ( ).P A P B

::

7:

:

4

��� ���������� � �$ ������������ ������ � �$ �������������������� (1) (2) (2 )nx x x≤ ≤ ≤� ������ �

� ������������������������#����� ( ) ;nx �� ( 1) ;nx + ������� ( ) ( 1) ;2

n nx x ++������)�� ( 1) ( ) .

2n nx x+ −

H

:

P $

P

P $

P

P 2

P

P

P

P

P $

Page 292: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

;��������� ������ � � � � ��� ��� �� �� ����� �������������IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII� IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�

�����������������������������������

���������������������������������������������

��"��������������������#��������*�������� ����

�� ��

���C7*����������

��* )���

�� � �

��

I:

=:

F�����������������)'���������"��������!�����"�������������������������������������������� '������#� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

����� ������� ��������������������� ��� �� ������� � IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII�!����������������>�3����$�������� ������������ �$ ������

<:

:;

> :

:���������������������� ����� $�������� �� ������������������������ �$ ����>:D :

$���������������"�������������'������������'��� �F���������������������������������D ;������'��������D >������������'����D < �R���������"������#&

�#�$������������������������* ���������&

�#�$���������������'�������*

&�#�$���������������'���

$����������������"������������������������"�������!�"�#�����-����������������������������������"������������#!#�$���������K�������������������*������������������"#�$����������� ��"����������������*##�$���������������������������������*��������-#�$�����������������������������

::

I

E���������!�����"�"������������������*�!�9:C7��*�"�9:CI��������*�!\"�9D ���0����������� ( ).P A B� ��������� ���!�����"�������"�����������������,

:7 I

/�������������������!������������������������������������������������"���������������� ���������� ����������������� ���� ���� ������"�"����� ��� '������ � �����������������#

��I ��> ��< ; ��= :D :4 ��> ��H �:��; ��< ��< = ��I ��H ��7 :D :7 :::4 :7 �:: > ��> �:D ��: ��7 ��7 �4��> ��; ��< H ��I ��= ��7 ��4 ��4 �H��I ��> ��; < :D ��> ��= ��; ��H �:

���0������������������������������ �������� �� �%�� ����� ������������$���� �������� � �� �� �%�� ��� �� �� �%��� ����� �

�(�)���� ���� ��� ������� ������ �������� ������ � �$ ���������������

%(������������)���� ���� ������������ $������� �� ����������������������� �$ �����

:4

I

����������� ����������������� ��%� ��������� � �� �%������H;D��&����� �������������� ������ ��)���� ���� �"�(�� ������� ������ ��������������������� �$ ��������������=

�(�������������� $������� �� ����������������������� �$ �����

:H

"�#�$����������%�&'��$�� <D <H <; ;7 ;= >D >H >; :D7 :D= ::D ::H ::; :77 :7=

(������$� H > := 7; HI == ;I <7 IH 4; 7< :; :: I 7

I

P

P

P

P

P $

P

P

P

P $

P�$

P

P

Page 293: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

$���������)����� 6���������������������

0�� ���������� �� �������������� ������������"����������������������� ����������

(�������������������������������� ��"���

.��������������������������'�����

��

��

���

���

����� ���������/�����

.��������������������� � ����

#$%&�'()('�*�)*&$�

Page 294: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

���������/�����(�#���������������������

$���������)����������������"������������� �?�������������������������������)������������

'������������"������������'�������������"�������������������������������������������������

�������������������������������������������"������������'���������������

/��������������������������������������)�������������������������������� � �� � ������"�������������������

������������������ �E�"�������������������)��������'�������������������������������������������

������������������������� ������������

��������

3��������'H(������� ��������� ��� ��������������� �

��������( ) 11% .

100A A=��

A��������������������������� ����������������E����������F�

BH� ��6@�������5

60 3.100

⋅ =

3������( )000 �������� ���������� ��� ���������������

��������8H� ��- .1000

1A=

BH� ��6@�������5

60 0,3.1000

⋅ =

: ��������������������������������������������� 0

0032 .

!��'����������������������������������������7IDDDD� ���,

������� ��������'��������������������� 00032

/����7IDDDD��� � �� �32

250000 8000.1000

⋅ =

4 ��������"������������7ID�"���� 000350 ����

000420 ���"���������������������������������

!��"����������������"����������"�����������������,

������� ��?����� 000350 ������7ID��� � �� �

350250 87,5

1000⋅ = �"*���"����

420250 105

1000⋅ = �"�������

F��������������������������������"����������� �����������)�������������������������������������

��������������������)��������������"����������)����������������������������������������������������)����

���� ���

N������ �������������� ���������� ��� ������� ��� )����� ��� ��"���� ��������� �� ���"�������� �����

������������� �� ����� ��� .����

( )250 87,5 105 57,5− + = �"����

7 ���������"������������7�I��"����4IL� �����H7L����������� �!�����"�������� ���������������������"���,

Page 295: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

/��������������������������)�������������������������#������������"����

.����������������"�������������� ��� �����������������������������)����������:DDD���������� ��� ����

�������"���� �/������� ������������������������������� 000850 , ������������:DDD������������"�������

;ID������������������������������)����

������������������������������������������������������������ ��������������!����

11 car .

24= �/������� �����������������������������:;���������������������7H�������������������:;������

�����������������������������7HC:;

/����������������"��������������"����������������� ��� ���������'�������"��������_�"������������

����_���������1

1 dwt .240

=

�������������"���������������������������������� ��������'�������"�����"����������������"�������������

1 car = 4 gr, �������1 dwt = 24 gr. �/������� ������������"�������������������77I��_��������������

��7HD������������"��������77I������������"�������������������������������7HDC77I

���������������������?����������������������� ��11 ����� �������������������"����������������������

����������� �� 1 ����� ��������

/��������������������������������"��������'�������������������������������������������77�$%+��������������77��������� ������������������������������777��_��������������7HDC777��

-���� �������������� �������� �� ����������� ��� ���� �������� ����� ���� +������ ��� ����� � ��� �� �����

�������� ��� � � �� �� ������� ��� ��� ��� ����� ������� �� ������ �������� ��� � � ������

���� ���

$������������������������������������"���������"������������������������������������������

�����������������������������������������������������"����������������������������������

��"������������

/����������������������������������������������������������������"������'���������������#

%������&

%Z�����&

������'��������"�����"������������������������������������

��������������"�����������

������'�������"�����<�������������������������������������

��������������"�����������

$������������������������������������������������������"������������������������������"���������

�������������������������������������������"������������

1!������������!�����������

11����������!� �

!���������� �

Page 296: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

H (��������������������������������������������(� �

������� ��!�����:��7��������� ������� ������������������������ ����������� :� ��������7�"������� ���

���������� � �� �������������������������� 22car 1car 2gr 23car 2gr,+ = �������������������

���������������7HC74�I

�2

23 23,5car.4

= �.�����������7H�������������������������74�I������������������������

I (������������������#

������������������������D��4*�������� ������������"��������������:D��=

= (�����������������������������"�������������Z:D��=

������� ��!����Z:D��=����"������������"������������������������������������������"����������������

:D������������=�"�� �/���������#

18222dwt 10dwt 6gr 221dwt 24gr 10dwt 6gr 211dwt 18gr 211 dwt 211,75dwt,

24− = − = = =

����:�����������7H�"�� �6�����������������������7HD��������������������"������������������7::�<I�������������

�����������7HDC7::�<I

< !����������������������������� ����������������������#

���Z7��4*������������ ��Z4��:*������������������D��7,

������� �����!���������������������������������������7�����4�"����������������������������������

�����������#�1

22car 2car 3gr 21car 4gr 2car 3gr 19car 1gr 19 car 19, 25car.4

− = − = = = �.��������

���7H����������:>�7I���������������������7HC:>�7I�

; !���������������������"�����������������"������������������#

����:I��:7*������������ ��Z:I��:7*�����������������ZD��7D,

����������� !� B15,,12+ � ����� 222dwt 15dwt 12gr 237 dwt 12gr+ + = �����12

237 237,5dwt.24

=

.��������������������������������� ����������"���������������������� ��

�� ���

: ����������������������������#����:��:*��������� ���D��4*������������:��D :������������������ $ ������������� �� �������

����

7 !����������������"�������������������������������������#���Z4��7*��������� ��Z:D��4*�����������Z<��D

Page 297: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

4 ���� ��������� �������������������� ����� ���� ��

� ���������"

�(��I��7D=����������(��:7��:7*��������%(��:D��I,

H �� � ��������������� $ ������������� �� ����

������ ������������ ��� "

�(�ZI��:D=����������(�Z:7��:;*��������%(�Z=��7D

I 3������������������ ����� �������������� � ���

���������������� �

= 3������������������ ����� ����������� ����� �

������������������� ��

�������������������������������������������"�����������������������������������

��������

�������������� ������� ���������������"

��������� :DDD����������������������������������%����������������������������������*��

3�������������� ��� ���������������%�������� ����������������� ���� ������"

�����������%���������"����

��:DDD������������"���� ���"�"������������

���"�"����������*����������������

1000p S P⋅ = ⋅�� : 1000 :p P S=

� .������"��������������I�����=�"������������������"������'������� 11!�

�������������������������� 000

222 1000925 .

240p

⋅= =

1��!�

: !��������������������������������������������������������������(� ��

���������!��������������������������������������������������������� � �� ���������������

122 1,,1 23, ,1 23 23,25car.

4+ = = = �.������������7H���������������������74�7I�����������������������������

: 23, 25 1000 : 24,p = � ���� 000

23,25 1000968,75 .

24p

⋅= =

7H������������"����

:DDD������������"����

74�7I�����������������������

����"�"������������

������������ ,/ 7,91624

10002200

0=⋅=p ������

��������������������

Page 298: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

7 (����������������������������������������"��������������:D��:7

4 (��������������������������������������"�����������������������08*����1+�

���������/��������������������������#

20225dwt 20gr 225 dwt 225,83dwt; 240/225,83.

24= = �/�����#

��7HD������������"����

:DDD������������"����

77I�;4������������"��������������

���"�"������������

/���� : 225,83 1000 : 240p = ��������� 000

225,83 1000940,96 .

240p

⋅= =

-��������������������������� ��"����� ������������ ���)������ '������������������������� ��"�������� ��

��������������:DDD

H (���������������������������������������"������������5�� ���

���������!����������������������������������������"����������������������������������������������

9222 12,,15 221,, 24 12, ,15 209,,9 209dwt 9gr 209 209,375dwt.

24− = − = = = = �/������

000

209,3751000 872,40 .

240p = ⋅ =

�F����� ���������� ��� �������������� ���������� ��� )����� �������� �"������ ���� ������ ����

�����������������������'���������������������������������"���������� ��������������������������������������

I ������������������������������� 000975 . �6���������������������������������"����

�������� ��7H������������"����

��:DDD������������"����

������������������������

><I�����������������������

: 975 24 :1000P = ����� 1000 975 24,P ⋅ = ⋅ �� � �� �975 24

23, 4car 23car 0, 4car1000

P⋅= = = + =

23car 0, 4 4gr 23car 1,6gr.= ⋅ = �.�����������������������:�����:�=�"��������������������������� � ��

�����������������:��:�=�����7HC74�H

/������� ������������������������������7HC77�I����������������������� 000

22,51000 937,5 .

24⋅ =

Page 299: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

= !������"���������������������� 000802,5 . �!������������������������������������

��7HD������������"����

��:DDD������������"����

�������������"��������������

;D7�I������������"��������������

��������

:802,5 240 :1000,P = � � � �� �802,5 240

192,60dwt.1000

P⋅= = �.��������� �� 7HD� ������ ��� ��"����� ��

192,6 192dwt 0,6 24 gr 192 dwt 14 gr= + ⋅ = �����������"�������������� �!��������������������������

������������"����������������� 222dwt 192dwt 14gr 221dwt 24gr 192dwt 14gr− = − =

-����� ���� ������ ����� ������������� ������� �� ��"������ �������� ������������� �"����� '������ ���

����������������������������������������������������������������������������"���

< ����������"�������������������"��������H;D�"��������� ��HID�1���"������������� �!��������

�������"���������������������������

���������/�������������������������������� 000

450 1000937,5 .

480

⋅ = �/�������������"����������

937,5240 225dwt

1000⋅ = ��������� �!������������� 225dwt 222dwt 3dwt− = ��������������"��������

������������������������(� ��

�� ���

: � ����� ������ ����������"�(�ZI��7=����������(��:��7*��������%(�7:����

�� ����( )1 2− ������������������� "

7 � ����� ������ ����������"�(�74I��_��:D�"�=����������(��;��I*��������%(�Z:4��7D

4 ����� ��������� ���������������"

�(� 000815 ; ����������(� 0

00940 ; ��������%(� 000956, 25 .

�� � ��������������������������� $ �

H � ��������� ��� ���������������"

�(� 000825 ; ����������(� 0

00900 ; ��������%(� 000956, 25 .

�� � ������������� ��������������������� $ �

I ������� ����� �������������������� "

�(� 000980 ; ����������(� 0

00900 ; ��������%(� 000850 .

�� � ������������� ��������������������� $

�� �%������� ����� �� �����

= ������� ���� ��� �������������������� "

�(� 000945 ; ����������(� 0

00925 ; ��������%(� 000800 .

�� � ������������� ��������������������� $

�� �%������� ����� �� �����

< ������������� ����������:7D�"��� �������::I�"�����������:����������������� �� �������"

�(����������� =��������(������������ $ �

; ������������� ����������:ID�"��� ��������>D�"�����������:����������������� �� ��������������

���� $ �

> � ��������� ��� ����������=DD�"��� �������IID�"�����������:����������������� �� �������"

�(����������� =���������(������������ $ �

29dwt 10gr= �������������������Z7>��:D�����7HDC:>7�=

Page 300: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���%�#���������������������������������"����

�/����������������������������������������"�������������������������"������������������������

���"������������"����������������������

(�����������������������������������������������������������������������������������

: !��"�����������������������������������������������������4ID�"������������������ 000820 ?

�������� ��4ID�"����"���

��:DDD�"���"���

*�"�������������

;7D�"�������������

:820 350 :1000P = �����350 820

2871000

P⋅= = �1��������������

7 !����"���������������������������"��������������=DD�"����������������� 000900 ?

�������� ��=DD�"����"���

��:DDD�"���"���

*�"���"�������������

>DD�"���"�������������

: 900 600 :1000P = �����600 900

5401000

P⋅= = �1����"�������������

4 !��"�������������������������������"�������������:7D�"�����������������7DH��_�,

H !��"�����������������������������������������=7D�"�����������������ZH��4,

��������� !��� � ���� ��������� ������������ ��� ����� ����� ���� ������� � /������������ �� ��� �����

22 4, ,3 21, , 4 4, ,3 17, ,1 17, 25car.− = − = = �.��������� ��7H������� ��� ��"��������:<�7I������� ��� ���� ��

������ �/���������#

��=7D�"����"���

��7H�������"���

*�"�������������

:<�7I�����������������

:17, 25 620 : 24P = �����620 17,25

445,62524

P⋅= = �1��������������

-����������������������������������"����'������������������������"�������������������������������������

�������������"�����

Page 301: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� /����������������� ������ ��"���������� ��������������� ������������������������������� � �

��"����

I (���������������������������������������������������� 000800 ��������� �����1�������������

��������������������� ����������"��������������������������������������������!�����

��"�������!�1

��:DDD�"���"���

H;D�"�������������

;DD�"�������������

:1000 480 :800S = � ��480 1000

600800

S⋅= = �1�

= �����������"����������������������� 000800 ��������� ������1���"������������� �(�����������

�������

� �����������"�����������������������5�� ����������� �����1���"������������� �(���������

����������

%

7HD

���"�"����H;D

7D:�44

: 240 480 : 201,33S = � ����480 240

572,19201,33

S⋅= = � 1�

-�����������������"����'����������������������������������������������������������������"�����������

��������������:DDD��7H�����7HD��������������������������������������������������������"�����������������

�������������������������

; ������������������������������������������"�����#�4D�"������������������� 000900 ; ����ID�"������

������������ 000920 ; �:����������������� ( )1troz 31,1035 g ;= ��>�;I=I�"� ����

������#

���������������������������������������������������*

�������������������"����������������������������������"����*

���������� �����������������������������������������������"������������� 000780 .

����������� $���������"������� �������������������$�������������������

4D�"������������������� 000900 30 0,9 27⋅ = �"

ID�"������������������� 000920 ; 50 0,92 46⋅ = �"

���������/������������������������"�����������8

221,, 24 20, ,16 201, ,8 201 201,33dwt.24

− = = =

4:�:D4I�"����������� 4:�:D4I�"

>�;I=I�"� ���� D�"

:7D�>=�"����"��� �����������:DH�:D4I�"

Page 302: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 000

104,10351000 860,64

120,96p = ⋅ = �������

104,103524 20,65car.

120,96⋅ =

.������������ ��������� 0000 �����������������������"��������"��������������������������������������

��������

:7D�>=�"����"���

��"����"��������

���������������;=D�=H

���������������<;D

��

:120,96 860,64 : 780x = � � �120,96 860,64

133,46780

x⋅= = �1�� �.��������� ���� �� ��"���� '���

�����133, 46 120,96 12,5− = �1� ����������������"�������������������������������� 000780 .

�� ���

: !������������������4I�"����������������0

00940 . �!��"���������������������� �������,

7 M���������"������������������=�;;>�"��������������������������� �!��"��������������������'���,

4 !�� "����� ��"���� ��� ������� ���� �� ���� ��"������������� >7D� "� ���� ������������:7��:7,

H 0��'��� � ������� ������������ 000920 � �� ��

�����:=�������:������9�4:�:D4I�"� �!��"��������������������������'��,

I ���'������"�������������������Z:D��D����������:;����� �!��"�������"�������������������'��,

= !����������������������������������������������������������� ��:7D�"�������������,

< !��� � ��"�������������������� ������������ ��HDD�"���"������������� �(������������������

; ���� ���� ������ ��������� ����#� =D� "� � �����

������������ 000900 , �::D�"������������������

000960 ������=D�"��������������������ZI��:

(���������������������������������

> !���������"���������� ���������:��"���"����������������� � 0

00800 , � =ID� "� ��"���� � ��������������:I��:D� ���� IDD� "� ��"����������������ZH��= (����� ������������� �� ������� ���������������������������"����

:D !����������������� ������������������"�����#7I�"�������������������� 0

00912 ; �ID�"������������������ZI��4*� � :� ����� ��� ��� ������� ���;�<4I�"� ���� �������������������������������������"��������������������� ������� ��(����������������������������������������������������������������"���� ���!��"����� ����������������������������������������������������ZH��7,

Page 303: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

����������������������������$��%��

!�������������������� �� ��������� ��������� ���>:

. �%������������� � ��������������� $ ������������ �"��(����=������(���� ����>7

0��������������������������ZH��7 �+�����"�����������,4

!��������������������:��4 �(�����������������������������#����������"����*����������� ��������������

H

!������"���������������Z;��:I �(�����������������������������#����������"����*����������� ���������������

I

:����������������� $ �������������������� ����������� ��������� �����"

�(� 000780 ; �(� 0

00930 ; %(� 000980 .

=

:����������������� $ �������������������� ���������������������������� � ����%�����������"

�(� 000780 ; �(� 0

00930 ; %(� 000980 .

<

� ���������� ������;D�"�������=I�"������������:������������������ �� �������"

�(�����= �(������

;

� ��������� ������ ������:;D�"�������:ID�"������������:������������������ �� ��������"

�(�����= �(� ��� ���

>

:����������� �� ������������� �����������Z=��7����%����������4DD�"�����������:D

:����������� �� ����������� ������ �������������>��:7�����������IDD�"�����������::

0���������������������"����������������������������'��������������������� �������������������7D���� �!��"������������������������������� ����7;�������������������������������������������������������:�>D�",�!��������������������������)���� �������������;ID�����������:�",

:7

Page 304: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

4 !�����������������������:��7��������������������������#

����������������������������������������������:����*

���������������������������������������������:�����7"�*

�����������������������������������������������:����*

)����������������������������������������������:�����7"� :

H ������� ���� ������ �����������777��_�� ������������������� "

�(� 0001000 ; �(� 0

00950 ; %(� 000930 ; (� 0

00925 .

I !����ZI��:�����������������"������������������XXXXXXXXXXXXXX����������������������������� ���� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 7

= !�����:D��:D������������"��������"������������������XXXXXXXXXXXXXX����������������� ��"����� �������� ���� XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

< �������������"���������������������������������������"�������������"������#���1car ________ gr;= ��1dwt ________ gr.=

; ������� ���� ������ ����������� 000935 . ��� � ������������������������������ $ ��

7

7

4

> ������� �������������7DD�"����� ��:;D�"������������� ��� � �������������������� ����#����������*�������������� �����������"���� 4

:D !��������������������"���������������������������������������� ��7ID�"���"�������������, 4

��������������#�������

:: ?������������������������������#����77����*������� ��74����*����������7H����*��������)��7H�����4�"�

7 ?�"��������������������������������#����7DD��_�*�� ��77D��_�*�����77:��_��7H�"�*���)��7HD��_� :

:

Page 305: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���� ������� �����������������������������������

� 4 �� 9;x = − �� 6;x = $�4

;3

x = )� 1.x =

> ��������*&'�� '�+����*&'�� '�+$���*&'�� '�+)������*&'�� '��

� ; ����� ���,-��.�����/ Rk∈ 0+$�������,-�����/ Rk ∈ 0

: 1������'������ �)�� 7 ��� �$�� 4 �� 0,6;x = �� 1;x = − $� 2,5;x = − )� 6.x = − H �� 1;x = �� 1.x =

I �� ( ) ( )3 2 4 16 6 2 6 2 3 2 3 4 12 3 ;

3 2 9

x xx x x

− −⋅ − ⋅ = ⋅ ⇔ − − − = ⇔ = �� 2.x = − = �� 5;x = − �� 16.x = −

< �������*&'�� '�+�� 0;x = $� 11;x = )�����*����� ������������ ;

�������*�������������%%��+$� 3,m = ���������*����� ���%%'�� 0 0.x⋅ =

�� ( ) ( )3 3 ,m x m m x m− = − = 2�� 3;m ≠

: ��� �� � �

7 �� � � )�� 4 �� 3 3;x y+ = − �� 2 3 3;x y+ = − $����������!3 4 6x y xy− + = ����� ������*��%�����+

I �� ( )1, 1 ;− �� ( )2, 7 ;− − $� ( )2,1 ; )� ( )2,5;2 .

I��3��� ,y k= ��� ��� 3 2 ,x k= − 2�����������,-��4�����/ Rk ∈ 0+�� 2 6,x y− = 2������ ,x k= ��� ���

2 6,y k= − ������� ������*&'�� '�5��� ������ �,��,-�����4��/ Rk ∈ 0+$�5

2 5, ,2

xx y y

−+ = = 2������ ,x k=

���� 2 0 3x k− ⋅ = ⇔3

2 3 ,2

x x= ⇔ = 2��⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛== },,

2

3)32( RkkxM �� ( )2 2 2 2 0 2x y x x y− − + = ⇔ ⋅ − =

2,y⇔ = − 2�� ,x k= ��������,4��,-��!4��! Rk ∈ 0�

��� ������������

< ��7

;6

x = − ��� 3.x = �"���'���!���&�6���

2'����'� �� 3,x − 2���2�� 3, 3 0,x x= − = ����*����#���������� ������5�%���������*������ ����

:D ��-��.�����/ Rk ∈ 0+��-��� ���/ Rk ∈ 0+$�-��� ��/ Rk ∈ 0+)�-�����/ Rk ∈ 0�

)� ( ) ( ) ( )3 3 4 12 2x y x y x+ − + = + ⇔ 13 5 24;x y− = − �� 2 6 3.x y− =

��� ���5

,2

ky

−= �����⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −==+ },

25

,)52( Rkk

kyxM )� ( )2 3 3 1 2 0 3,x y y x y− = − ⇔ − ⋅ = 2���,�! Rk ∈ �

Page 306: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

: ��3 3 5

;1

x y

x y

− = −⎧⎨ + =⎩

��3 2

2 1.

x y

x y

− =⎧⎨ − = −⎩

7 ��3 4 5

;3 2 12

x y

x y

− = −⎧⎨ − =⎩

��5 2 5

2 5 5.

x y

x y

− =⎧⎨ + = −⎩

4 ��3 2 12

;3 2 0

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

��3 2 18

;2 3 4

x y

x y

− = −⎧⎨ − =⎩

$�4 45

4 6.

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

H ��( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2

2 2

2 1 1

1 2 3 2

x y x y

x x x y

⎧ − + − = + −⎪ ⇔⎨− − − = − +⎪⎩

( )2 2 2 2

2 2

4 4 2 1 1 2 3;

52 1 4 4 3 2

x x y y x y x y

x yx x x x x y

⎧ − + + − + = + − + =⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ − = −− + − − + = − + ⎩⎪⎩��

2 8 3

3 4 3.

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

I 3���������'���$� ��!��� ��������4

�������*���5��� ��64

40.

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

=32

5 3 .

x y

x y

+ =⎧⎨ =⎩

< 7���'��� 052 ,γ = ��� ���0 0

0

180 52

18 .

α βα β

⎧ + = −⎪⎨

− =⎪⎩

; ��8�� 3, 2x y= = ����2 3 2 3 4 3

,3 2 5 5 5

⋅ − = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨+ = =⎩ ⎩

���� ���)�#�� ( )3, 2 ����� ��*&'�� '�+��2+$�'�

> ��2 3 0 0

,3 3

x y x

y y

− + = =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= =⎩ ⎩

2��*&'�� '������������ ��)�#�� ( ) ( ), 0,3 ;x y = �� ( ) ( ), 2, 2 .x y = −

:D ��2 3 2 2

5 0

x y x y

x y

+ = − +⎧⎨ + − =⎩

2 2 3 1 1,

5 0 1 5 0 4

x y y y x x

x y y y

+ + + = = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = + − = =⎩ ⎩ ⎩

2��*&'�� '����������������*���5�

����*���5��� ��)�#�� ( ) ( ), 2,0 .x y = −

� � ��6 2 5

;4 0

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

��3 0

1.

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

� ��'+��'+$�2� � ��2+������*��������������

�� ���'�������5�%����!2���� ���������'�������5�%�����

� �� 1 2 .y x= −

1−$ @

8

5 8 1−

1 2y x= −

$

)�3

2 3 2 0 3 ,2

x x y x= ⇔ + ⋅ = ⇔ =

2�� ( ) 3, , 2 3 0 , , .

2x k k M x k k

⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈ − = = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭� �

9��'��*�3

2x = �� ��2���%�%����� �����

�� 2 0 0 2 2y x y y+ = ⇔ ⋅ + = − ⇔ = −

2�� , .x k k= ∈� ( ){ }, 2 | .M k k= − ∈�

9��'��*� 2y = − �� ��2���%�%����� ���$�

2y = −

$

1−

2−

��

3 2x

=

$

� �

< �� ( )9,2 ; �� ( )1, 1 .−

�� ��)�#�� ( ) ( ), 1,4 ;x y = ��

( )( ) 2

2 10 0

3 2 6 ,2 2 2 2

2 1 2

x y xx y y

x y xy xx y x x

−⎧ − = = =⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − = − = −⎩ ⎩⎪ − + = −⎩2��*&'�� '������������

Page 307: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

: �� ( )2, 2 ; ��5

3, .2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

7 ��1 7

, ;5 5

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠��

12, .

2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

4 ��1

1, ;2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠� �� ( )2,4 .

H �� ( ) ( )5

2 3 15 6133 2 , 3, 1 ;111

22

x yx y

xx yx

yx yy

+⎧ + + =+ = ⎧⎪ = −⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ = − −⎨ ⎨ + ⎨ = −+ = ⎩⎪ ⎪= ⎩⎪⎩

�� ( )13, 1 .− − I ��32

5, ;3

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

��� ( )1,1 .− = ��( )4 22 4 4 2

3 4 2 6 123 6 12 0 0.

x yx y x y

y yx y y

= +⎧− = = +⎧ ⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + + = −− + = − ⋅ =⎪⎩ ⎩⎩8�����'!������������*���5���

2�#���� ���*&'�� '�2�� Rkky ∈= , ����� � }/),24{(),( Rkkkyx ∈+=

�� ( )2 32 3 2 3

4 2 2 3 54 2 5 0 1.

y xx y y x

x xx y x

= −⎧− = = −⎧ ⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− − =− = ⋅ = −⎪⎩ ⎩⎩":�����������*&'�� '�!2�������*��� 0 1x⋅ = − �� ��

�2������ ���

� H �� ( )3,1 ; �� ( )10,6 . = �� ( )2,5 ;− �� ( )3, 4 .

: �� ( )1,1 ; �� ( )1, 1 ;− $� ( )1,3 . 7 �� ( )13, 15 ;− − ��2

,0 .3

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠4 �� ( )5,7 ; ��������������*&'�� '��

H �� ( )2,3 ; �� ( )6,18 ; $� ( )1,2 . I �� ( )3, 2 . ��;�������� ��������*���5��� ������5�%�������������

2

2

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

<���2�#��� ���*&'�� '��3��� ,x k= ��� ��� Rkky ∈−= ,2 2��*&'�� '��� ��

}/)2,{(),( Rkkkyx ∈−= = ��=�*��������5���5� : : ,a b c d a d b c= ⇔ ⋅ = ⋅ �������� ��������*���5�

�� ������5�%������������������*���5�( ) ( )( )4 3 2

2 5 9,

x y x y

y x

⎧ + = + −⎪⎨

− =⎪⎩*&'�� '����$�%���� ��)�#�� ( )5, 8 ;− − �� ( )6,8 .

< ��( )5 | 2 2 2 10 2 7

2 3 2 32 3

ax y a ax y a x ax a

x y a x y ax y a

⎧ + = ⋅ − − − = − − = −⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ = + =+ =⎪ ⎩ ⎩⎩2

772 12 1 ,

7 3 52 3

2 1 2 1

aaxx

aaa a a

y a ya a

⎧⎧ == ⎪⎪⎪ ⎪ −− ⇔⎨ ⎨ −⎪ ⎪+ = =⎪ ⎪−⎩ −⎩2��

2 1 0,a − ≠ ����� �2��1

.2

a ≠ 3���1

,2

a = ��� ������������ ���2������ �����6 5 5 3

,a a

x ya a

− −= = 2�� 0.a ≠ 3��� 0,a =

� 4 ��4

5, ;5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ( )2,3 . I ��3

3, ;2

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠�� ( )10, 10 .− < ��

1 13 ,5 ;

2 2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

�� ( )3, 4 .

> ��26 12

, ,2 2

a a

a a

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

2�� 2.a ≠ 3��� 2,a = ��� ���������������*&'�� '�!����� ��� ���2������ ���

Page 308: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

I ��1

, 2;1 2

mm= = −

−�� ( )1 3 8 1

, 2, , , , 2.1 2 2 2

m mm x y m

m m

+⎛ ⎞≠ ≠ − = ≠ −⎜ ⎟− + +⎝ ⎠= 8��'

1 2 3

1 5a a

−= =+ ����

( )2 5 3 ,a a− + = 2�� 2.a = − < �� .,6,21

3Rmk

k ∈−≠−≠ ��3

, 6, 9;1 2 3

k mk m

−= ≠ = − ≠

$�3

, 6, 9.1 2 3

k mk m

−= = = − =

��� �$��������������������� �������������������������� �� ������������� ���� ����$�� �

28

5 6 5

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

��"��������������������� ( ) ( ), 163,135 ,x y = 2����������������'���865� �����

:

E��������������'����������������������������'������������ ?������11

27

x y

xy yx

+ =⎧⎪⎨

+ =⎪⎩��������������������H< 7

;������ ��2��&'�&'�����852:��'��4 ( )37

.2 10 2

x y

x y

+ =⎧⎪⎨ − = −⎪⎩

��������47�������������������I����� H

4 ��>2������ ��+���2�$������+$��$�������

H ��4 6 3

,6 9 4,5

= = �2�$������+��2 3

,4 6

−≠ �$������+$�2 6 7

,8 12 12

−= ≠−

�2������ ���

: ?�*��&��#�����#�������5���2��$�����������*��������������

��3 2

;2 3 1

y x x

y x y

= − + =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − =⎩ ⎩

��3 2

1;1 3

12 2

y xx

yy x

= −⎧ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ == − + ⎩⎪⎩

$�1

2 1.

y x x

y x y

= =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨= − + =⎩ ⎩

7 �� ( ) ( )1, , 1,2 .

1

y xx y

x

= − +⎧ = −⎨ = −⎩

$� ( ) ( )2, , 2, 3 .

3

xx y

y

=⎧= −⎨ = −⎩

� 7 ?�*��&��#�����#�������5�%��������� ������������������*���5�%��������� ( )1, 3 ;− −

�� ( )2,1 ; $� ( )1,1 . I ���2�$������+���2������ ��+$��$�������

��� ������������ ���2������ ���$� ( ) ( ) ( )1 1 11

x y k x y kx y k

x y kx y k x k kkx y

+ = + =⎧ ⎧+ =⎧ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ − + = − − = −+ = ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩

⎩⎨⎧

≠≠−=∈+=

⇔1d.m.th. ,01për ,1

}0{\,1

kkx

Nkky�3��� 1,k = ��� ������������ ���%%'��

1

1

x y

x y

+ =⎧⎨ + =⎩

� ��� ���2�$������!����� ���

2���#�� ���*&'�� '��3��� ,, Nmmx ∈= ��� ��� 1 ,y m= − 2��*&'�� '��� ��)�#�� }/)1,{(),( Rmmmyx ∈−=

3y = −

$

2x

=

( )2, 3M −

$�

1−2−3−

� �

1y x= − +

$

1x

=−

( )1,2M −��

�� �

�1−1−

Page 309: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

@���*�������&������������� �� 0 ,s s vt= + 2�� 50 ,As t= ����� 80 30 .Bs t= +

8��' A Bs s= ?�'��� 4t = ��!2�� 50 4 200As = ⋅ = ���

I�����

�� �

��

���

���

��

50As

t=

8030

Bs

t

=+

� 8

��

9

@ B@ 8@@

@� 8

��

9

D@ 88@ 84@

@

D@�����������������������$�� ��� ��������������� � �����������%�������$�� ����=

�(� 2 3;y x= − ��%(�( )2,1 ; �� (� 2 2 2 2 22 1 5, 5x yv v v v= + = + = = �T��< ; 86@������ �8@@����

7�������$�����%�&�����2���!��������������:���!2��2��'10,5

0,76 0,88 10,5 0,84

x y

x y

+ =⎧⎨ ⋅ + ⋅ = ⋅⎩

#��'����>

3,5x = ��� � 7y = ��� :D 3���2�������2���5����������:��2����2��$����!�������:��2�������!

��� ���)��'���2��'�:��2���'����������:��1

,x

2��������� �1

y��2�����8�����'����A

( )12 12 12 12 60 60 12 121 1/ 5 5 1

20

5 5 17,5 5 22,5 60 270 210 30.1 1/ 12 12 7

xx y x y x y x y

y

x y y x y x y y

⎧ ⎧ ⎧ ⎧+ = + = ⋅ − − − = − + =⎪ ⎪ ⎪ ⎪ =⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ =⎩⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ + = + = ⋅ + = =⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎩

8�������2���5����������:��2����2��9@����!�������:��2��5@����� :: 4@@@@� �D@@@@������

:7 9@@� ������� �8B@��:��#��� :4 0,6� � � 0, 4 .� :H + ����� ��� 0,56x = ��������� ��������� ����-��� �� �

: 7 : 4x y = 5�'���0,56 : 7 : 4,y = ����� � 0,32y = ���7�&�����0,56 0,32 0,88+ = ���

:7 6���'9@������

� : ��� 7 $�� 4 )�� H $ � � I ��� = ��� < 1����������� ; 8�#���� ���

:> }/)12,{( Rkkk ∈+ � :D "���������2������2����� ���� :: 1 1 1

2 2 2

.a b c

a b c= =

:7 2 2 3.x y+ = :4 3 2 6

1.

x y

x y

− =⎧⎨ − =⎩

:H ( )2,1 . :I 86� �88� := ./125./5,62 hkmvhkmv lumibarka ==

: ��� 7 5� 4 �� 0;x = �� 6.y = H �� }/12,{( Rkkk ∈−− ��⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −

Rkk

k /3

24,

= ��8+��'� < ��2 3 15

;2 4

x y

x y

+ =⎧⎨ − =⎩

��3

3 2 6.

x y

x y

− = −⎧⎨ − =⎩

; ��� > ( )7,3 . :D ( )1,0 . :: ( )1, 2 .

:7 ��� :4 ��1

;2

k ≠ ��1

.2

k = :H 86���� :I 88B���2����%� �8B@�������������

Page 310: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� 7 �� 3 3 32 4 2 4 8;⋅ = ⋅ = ��1

.2

4 �� 60;− ��2

.3

− H ��2

2

2.

3

ab

x y< �� 34 3;

�� 3 5 ;x ��3

42

;a

b$� 3 23 .a

���� ��������

� H ��� ���� = �� 7;− ��R+$� | 4 | 4;− = )�5�

: ��!$�� 7 ��� �)�� 4 �� 1;x ≥ ��2��)� Rx ∈ $� 6 2 0 3;x x− ≥ ⇔ ≤ )�2��)� Rx∈ �

H ��88+��4+$� 4;− )�5� I ��1 1

2 3 5 4 15;2 4

⋅ + ⋅ − ⋅ = �� ( )13 5 2 20;− − + =

= ��!$�!)�� ���� < �� 0;a ≥ �� Ra ∈ $� 2;x ≥ )� Rx∈ �

�� 2�� )� Rx ∈ �

$� ( )2 6 2 6.− − − − = −

I �� 8 12 1616

81, 16, .81

; �� 12 12124 6 34 , 3 , 2 ; �� 30 15 10 20 12 630 30, , .x x y x y

�� �� 3 2 ;a �� 24 ;x y $� 3 2 43 .x y z �� �� 3 3 38, 10, 43; �� 6 3 6 63 27, 6 36, 37.= =

: �� 4 ;x �� 32 ;a b⋅ $�3 23

.b

a7 ��

3

4 ;a �� ( )1

2 3 42 ;a b $�2 13 2 ;b a )�

22 3 .a a+

4 �� ( )3 33

22 32 229 3 3 3 27;⋅

= = = = ��1

;2

$�Q+)�64+��1

.4

H ��1 3 9 1

;2 2 4 4

+ − = − ��@�

I ��5

3 ;a ��7

6 ;b $�$� = �� 9 33 92 2 8;= = �� 6 38 ;a $� 9 6 38 ;a b )�12 6 927 .a b

�� 4 123 9a a= � � 6 125 10 ;a a= �� 6 44x � � 6 5 ;ab $� 12 8 416a b � � 12 6 327 .a b<

�� 66 2 33 , 2 � � 6 6; �� 24 244 2 6,a b a � � 24 3 6 ;a b $� 244 4 8 18 3 1524 242 , , 3 .x y x y;

�� 22 4;= �� 8 464 8;= $� 2; )� 0,1. �� ;x �� 3 2 ;x $� ;x )� 3 2 .x:D

�� 4 2 ;a b �� 4 42 2 2 2 225 5 5 ;a b a b ab= = $�9 | |;xy )� 4 34 .a b��

: �(�5=��%(�B� 7 ��1

.10

4 ��7

6 ;a )�3 1

8 3 .x a H �� 3;x ��5 1

533 3 ;x y x y= $� 3 .x

)� 32 22 9 .a b ab ; �� 2 2 45 .xy x y :D :: �� 3 324 25;< $� 4 4160 162.<

Page 311: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 23 2 3 2 18;= ⋅ = �� 48

;27

$� ;a )� 36 .x y �� 2 22 3 2 3 12, 3 2 3 2 18,= ⋅ = = ⋅ = 2��

2 3 3 2;< �� 335 5 7 2,< 2��� 3 3625 686;< $� 3 33 2 2 3.> ��4

3;3

�� 33 2; $� 2 3 ;ab b )� 2 3 ;ab

��1 1 7 2 1 3

2 2 2 3 14;2 7 14 14 7

++ = = ⋅ = �� ( )3 2 24 8 4 2 2 2;a a a a a a− = − = − #�1

.a bb

H I

=

� 4 �� 32 2 � � 33 2; ��1

52

� �1

5;3

$�1

xyy

� �1

.xyx

= ��7 .a

��2+��2+$�2! 3 3 31 1 1

; ; .xy xy xyy x xy

⋅ �� 2; ��@=$� 3 32 2 3;− )� 3; ��17 7

2 3.4 3

+

��3 ;a �� ( )2 32 .a b ab− ⋅ �� 4 a �� 37 5 .x y−

: 7

4 H

� 4 ��6+�� 330 3;a $�4+)�5+��8�

I ��B+��8+$� 6 52 2 ;a x )� 6 8 .a

:

< ��B+�� 3 9 ;x x $�4

2.

aab

b

:: �� 8 72 ; �� ;a $� 18 13 .a ��49+��89+$�6� �� 5;a ��R$+$�5@���

�� 6 5 ;a �� 2126 ;xy x y $� 122 2 .x x ��4+��5+$�3

.5

�� 6 2; �� 15 16; $� 10.

�� 3 3; $�5� �� 6 51;a

a�� 6 8 ;a $� 5 33 .a a ��18 2 42;+ ��54� �� 82 6 5 ;ab a b ��

8;

27

�� 8 27; �� 4 ;a $� 8 5 ;a )� 5 5121;x y

y�� 18 13 .a

7

4 H I =

< ; >

$� 3 9 ;x x )� 4 6 ;a b �� 2 ;a b ��5 2 6.+

�� 5;

:D

� < �� ( )3 2 1 ;− �� 15 2;− $� ;1

a a

a

+−

)� ( )( )2 2 .a b a b+ −

: �� 4 11 44;⋅ = �� ( )2 3 4 24;⋅ − ⋅ = − $�85� ( )( )85 84 85 84 1 169 13;− + = ⋅ = )� 5 519 243 3

7 .32 32 2

= =

�� 2;xy �� 2 33 ;x y $�3

2

2.

x

y

− �� 2108 36 3 6 3 6 3;= ⋅ = ⋅ = �� 233 2 ;xy x y $�2

2

23 .

abab

c7 4

7 �� 6; ��5 4 .x H �� 6 2 3 ;a b �� 6 1 .a−

> ��5� :D �� 2;

�� 18 13 .a

= �� 4 15.−

Page 312: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 2 0, 2x x+ ≥ ≥ − �� [ )2, ;x ∈ − ∞ �� [ )2, ,x ∈ − ∞ 2��� 2 1x + �� ��2����#�*���2��)� Rx ∈ +

$� 3 0x − ≥ � � [ ]5 0, 3,5 ;x x− ≥ ∈ )� 1 0x − ≥ � � [ )2 0, 1, ;x x+ ≠ ∈ ∞ �� 2 0x + ≥ � � 3 0,x − ≠ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∩−∈

43

,3)3,[x

��+��� ��$+����+$�1

2;2

⋅ )�8+���+�� 32;− #�$��; 2�� '����$���%��� ��5����$��

��3 15; ��10 3. ��1; ��4

;ab

b a−��4�

:

7 4

H I =

: ��!��� �)�� 7 ��3

, ;2

x ⎡ ⎞∈ − +∞⎟⎢⎣ ⎠�� ( ], 2 .x ∈ −∞ + 4 ��98+��4� H �� 4 ;x ��

54 62 .a b

I �� 3; �� 3 22 ;a b $� 2 3 .x y+ = ��1

42 ; ��1

34 ; $� ( )1

2 32 ;ab )� ( )1 1

22 32 .x x y− < �� 12 8 2 412,x x y �� �

6 312 ;x y �� 8 8 84 4 2 5 3, , .a a b a b ; 34 12 12 123 27, 2 64, 3 81.= = = > ��10 2; �� 2 232 ;xy x y �$� 25 .xy

:D ��8 2; �� 56 ;x y %� 4 .b :: ��84=�� 2 25 5 .xy x y− :4 �� 6 5 ;a �� 9 412 ;x y �$� 6 5 4 .ab a b :4 ��� �)��

:H �� ( )2 4 3 ;+ �� 4 15;− $� ( )( ).x y x y+ − :I 115.−

� : $�� 7 $�� 4 ��� H )�� I ��!$!)�� = G���� � < B���'�*���� ; ��#�

> B���'����&'�� ��� :D B� ::7 5

2 21

.2

a b :7 9 .a :4 �� 330 ;a �� 6 8 .a :H 6 .xy y

:I �� 5 5;− ��3 6.+

4 �� 0x ≥ ��� ( )0, ;x ∈ + ∞ ���3 0 3x x− ≥ ⇔ ≤ �� ( ), 3 ;x ∈ −∞ −

= $�4+)�( ) ( )

( )( )

2 2

5 1 5 15 1 5 13;

5 1 5 1 5 1 5 1

− + +− ++ = =+ − − +

�� .a b

a b

+−

7 $� [ )1, .x ∈ − +∞

$� 3 0 3x x+ > ⇔ > − ��� ( )3, .x ∈ − + ∞

��4

5;3

�� 2; $�3 11; )� 32 4. �� 2 ;b �� 5 ;a a $� 3 2 ;x )� 42 .x �� 3112;

2: 7

�� 43 2; $� 4 ;a )� 5 2 .b

4

�� 1 ;b− �� ( ) ;a b a b− + $� ( )23 .a b− �� 2 2;+ �� ( )2 3 3 ;−H

$� ( )12 3 2 ;

2− )� 7 4 3;− ��5 2 6;+ �� ;xy #�

( )22

2 2 3 5 2 3 53 5.

3 5 3 5 3 5 3 5

+ += ⋅ = = +− − + −

I

Page 313: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����* �������#����#�

� � ���G '�(�7�9�����'�(�7�5=�������G '�(�7�4�����'�(�7�#9=���$��G '�(�7�9�����'�(�7�@=���)��G '�(�7�@�����'�(�7�5�

� ���,��!��∈B�@���*�����*&'�� '���% 2�2���� RQZN ⊂⊂⊂ ����

� ���7�#5�C�89�=������78@=���$��7�9�C�5�=��)��7�#4��

� � ������C��

��7�9B�C�8@������

���#��

��7�#8�C�B4�=��������

���C��

��7�4�C�4������

���#��

��7�4�C�9@��

��$7�4����7�5=�����$7�9����788=���$�8 5

; ;3 3

x y=− =− )�16 12

; .5 5

x y= =−

� �

1 2 1 26 .z z i z z+ = + = +

� � � �� 11 2

2

43 2347 13 , .

82 82

zz z i i

z⋅ = − = − + �� 1

1 22

6 820 , .

5 5

zz z i i

z⋅ = − = −

$� 11 2

2

612 6 , .

6

zz z i i

z⋅ = + = � �� 3(2 5 ) 142 65 .i i+ = − − ��

4(2 6 ) 448 1536 .i i− = + $� 3( 2 3 ) 7 2 3 3 .i i+ = − +

� �� |10 2 | 2 26.i− = �� |1 4 | 17.i− = $� 3 5 2 2 .i− = �1 1

2 2

1 2.

5 5

z zi

z z

⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

�(�G '�(�7�8�����'�(�7�−5=����(�G '�(�7�5�����'�(�7�#59=��%(�G '�(�7�@�����'�(�7�B=��� (�G '�(�7�6�����'�(�7�@�

�(�� 2 3 , 2 3 ;z i z i− = − − = − ���(� 32 32 , 32 32 ;z i z i− = + =− + ���%(� 2, 2;z z− = − = � (� 53 , 53 .z i z i− = − = −

�(�� ( )2 5 2 5 ;z i i z= + = − = ���(� ( )( ) 2 5 2 5 (2 5 ) .z i i i z− = − + = − − = − + = −

�� 1 2 1 28 5 , 11 ;z z i z z i+ = − − = �� 1 2 1 2

5 13 1 7, ;

6 8 2 8z z i z z i+ = − − = − ��$��

1 2 4 2 3 ,z z i+ = −

�� 20; 2 ;z z z z i+ = − = − ��6

1; ;7

z z z z i+ = − = $� 2 3; 2 5 .z z z z i+ = − =

1 2 1 24 12 .z z i z z− = − − = −

1 2 3 .z z i⋅ = −

�(��4 *����(��<

� �(��> *����(��:7

1 2 2 2 3 3 .z z i− = − +

�� 25 36 64 100 5 6 8 10 5 2 ;i i i− − − + − + = − − + + = + ��99��

*&'�� '��� ���1 0�� %!���,4�∈ B!@���*�����*&'�� '����2�2��� RQZN ⊂⊂⊂ ����

*&'�� '���0� ��%$� Qx ∈−−=45

,45

�@���*�����*&'�� '���0 2���� ����% )� 1 27, 7;x x= = −

7, 7 .− ∈� �@���*�����*&'�� '���� ,� �2���� �����

� �� 54 4 13 2 2 1.i i i⋅ += = = − �� 524 4 131 0 0 1.i i i⋅ += = = $� 97 4 25 3 3 .i i i i− − ⋅ += = = − )� 486 4 121 2 2 1.i i i− − ⋅ += = = −

Page 314: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ��@���*���������� ��� ����#�������9�:=������2��'����5�'���*&'�� '�����''���$�7�4���

$�7�#4!2���4���7�86� �'#4(��7�86���8��'�'4�(��7�4��⋅����7�86�⋅�'#8(�7�#86� �'#4�(��7�'#4(��⋅����786�⋅�'#8(�7�#86!5�'���

*&'�� '�������*�������8�:=�9�D!����� ����9��:='�������H ��������H �

� ��9�−:����9�−7

1−

2−

3−

4−

:

7

4

H

: 7 4 H

( )2 2,4M

2 2 4z i= +

( )3 2,1M −3 2z i= − + ( )4 3,2M

4 3 2z i= +

( )3 3, 2M −

3 3 2z i= −

( )1 1, 4M −

1 1 4z i= −

$

� �

1−

2−

3−

4−

:

7

4

H

1−2−3−4− : 7 4 H

( )1 2, 4M

1 2 4z i= +

( )4 3, 1M −

4 3z i= −

5−

6−

( )2 1, 5 ;M −

( )3 2, 6M −

3 2 6z i= −

2 1 5z i= −

1−

2−

3−

4−

:

4

H

1−2−3−4− : 7 4 H

( )1 2,1M

1 2z i= +( )2 2,3M −

2 2 3z i= − +

( )4 4,0M4 4z =

( )3 2, 3M − −3 2 3z i= − −

( )5 0,2M5 2z i=

$

$

� � ���� 1 2 1 28 , 7 .z z i z z i+ = − − =�

1−

2−

3−

4−

:

7

4

: 7 4 H

( )1 4,3M

1 4 3z i= +

( )3 8, 1M −

( )2 4, 4M −

2 4 4z i= −

$

5−

I = < ;

1 2 8z z i+ = −

( )4 0, 7M

��

��

���C���

� ��#�

� �

−��

H

I

=

<1 2 7z z i− =

Page 315: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 1 2 1 26 , 2 .z z i z z i+ = + − = − + $� 1 2 1 23 , 3 3 .z z i z z i+ = + − = − + )� 1 2 1 2, 3 .z z i z z i+ = − − =

� �� 6, 2 .z z z z i+ = − = ; ������� ��� z �� �������

��6

1, .7

z z z z i+ = − = − $� 6, 10 .z z z z i+ = − = −

� � �� | 4 3 | 5.i+ = �� | 2 | 5 .i+ = $� | 2 | 2 .i = )� | | 1 .i = �� | 2 | 2.i− = �� | 1 | 1.− =

� ��1| | 5.z = �� 2| | 10.z = $� 1 2 1 215 5 , | | 5 10.z z i z z⋅ = + ⋅ = )�

1 1

2 2

9 1 3 1 0, .

1 0 1 0 2

z zi

z z= + =

� �

�� ��'���������������

��135 5

| | .4

z = ��3

| | .81

z = � ��5

;2

��2

;800

$�1

.1000

� ���7#8@C99�=���7#8@9C9B�=���$��799B#5�=��)��78#��� �

�� 1 2 1 24 2 2 5 , 2 2 8 5 .z z i z z i+ = − − = − + �

� ��@=��@� �

� ��444 183

;50 50

i+ ������26 143

.125 125

i− −

� @���*����� ���������

���%!��������:� ����� ����������&'������ ��#�&������

�� 1 2 1 2

5 13 1 7, .

6 8 2 8z z i z z i+ = − − = − �� 1 2 1 22, 4.z z z z+ = − = −

8��$������5������%�� ����� ����:� ���������:��5���4���� ��

���%&�������������:��������

��42 1

1 2

176 468, 20.

25 25

z zi

z z= − − = 1 2

2 10 2 10, .

2 2 2 2z i z i= + = −

�� 1 2 1 25, 3 6 ;z z z z i+ = − = +

�� 11 2

2

1 114 2 , ;

2 2

zz z i i

z⋅ = − = − − ��� 1 2 6 15 ,z z i⋅ = −

1

2

5 6 3.

21 7

zi

z= − �� 4(2 ) 7 24 ; | 7 24 | 25;i i i+ = − + − + = ��� 3(1 4 ) 47 52 ;i i− = − +

| 47 52 | 17 17;i− + = ��$� 2( 3 3 ) 6 6 3 ; | 6 6 3 | 12.i i i+ = − + − + =

2 3 .z i= −

1−

2−

3−

4−

:

4

H

1−2−3−4− : 7 4 H $

( )1 4, 2M −

1 4 2z i= −

( )2 3, 2M

2 3 2z i= +

( )3 1, 3M −

3 1 3z i= −

( )5 0, 4M −

5 4z i= −

( )4 4,0M −4 4z = −

7

1−

:

7

4

H

: 7 4 H

$

I =

__z

__2z z i− =

__6z z+ =z−

Page 316: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��

��

��

1 25 7 ; 7 5 .z i z i= + = +

1 2 1 21 5 , 3 3 .z z i z z i+ = − + − = − �� 1 2 3 2 6 .z z z i+ + = − ���������3�#��������*�45������2����������

������#�%%������*�45������2����������!����������'�����'���������*�45�����2�����������?�����!#�%%������$�%���� ����#�%%�������������5�!�������������� ����#�����5��������!�� �����*�45������ ������.��.���3�#�&������.��.����� ��5������5�*�������5�'���*�*��

� $�� � $�� � ��� � ��� ���� 9�C�5��

��

=�2���� ����*�5�����2 2 2 2| | ( ) .z a b a b= + − = +

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3Re( ) ; Im( ) .z z z a a a z z z b b b+ + = + + + + = + −

1 2 1 2| | | | | | .z z z z⋅ = ⋅

2 4 4 4((1 ) ) (2 ) ( 2 ) 0.i i i− − = − − =

�� @��������� 8 8 2 4(1 ) (1 ) ((1 ) )i i i+ − − = + −

��512

| | .625

z = C&'�� '��� ��� �����#�&����

1−

2−

3−

4−

1−2−3−4− : 7 4 H

$:

5−

6−

7

4

H �

1 2 3z z z+ +

1−

2−

3−

4−

: 7 4 H $

:

7

4

H

I

=

<

;

>

( )2 1, 4M −

2 1 4z i= −

( )3 3,1M

( )1 2,5M

1 2 5z i= +

( )4 1,9M

1 2 1 9z z i− = +

1 2 3z z i+ = +1

2z z+

��

��

��

−��

12

zz

1−

2−

3−

4−

1−2−3−4− : 7 4 H

$:

5−

7��

��

4

H

−��

1

2

zz

12

zz

+

Page 317: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����+ ���������#������

� 7 ��� 3, 5, 6;a b c= − = = − ����1 2

, , 5;2 3

a b c= = − = − $�3

, 0,5, 0,1.2

a b c= = − =

� 7: ��5

2, ;3

− − ��1 4

, 3, ;2 3

− $�6

0, .5

: ��!��!)��

> 1 2

11, .

2x x= =

7 �� 3, 2, 3;a b c= = − = ���� 1, 2, 3;a b c= = − = −

H �� 3 1, 0, 2 3;a b c= − = = − ���� 2 3, 3 1, 0;a b c= = − = $� 3, 0, 0.a b c= = =

= �� 3;k ≠ − �����,�!����� ��,4�.�!�,�� < �� 2 2 1 0, 1, 2, 1.x x a b c+ − = = = = −

; �� 2 52 0;

3x x− + = ���� 2 2 2

0;3 3

x x− − = $� 2 110.

5x x− = :D 1. xose

3

1 =−=x

:7 �� 2;m = ���� 0.m =

$� 1, 8, 0;a b c= = − = ��)� 6, 0;a b c= = = �� 3, 0, 2;a b c= − = = − �� 2, 3 , 2 .a k b k c k= − = = − +

4 �� 2;k = ���� 2;k ≠ $�1

;2

k = )� 3;k = − �� 3.k = H ��1

;2

m ≠ − ���� 1.m ≠ −

I ��1

;2

p = − ����1

.2

p = = �� 22 5 5 0;x x+ + = �� 2 9 0;x − = $� 2 2 0.x x− =

< �� 23 14 0;x x+ − = �� 23 14 20 0.x x+ + = ; �� 212 38 5 0;x x− − = �� 24 13 11 0.x x+ + =

:D @���*����� ����������� 2.k ≠ − �� 0;k = �� 2;k = $�24

.5

k =

I �� 1 2

3, 3;

5x x= = − �� 1 20, 1;x x= = −

; �� 1/ 2 3;x = ± �� 1/ 2 2;x = ± $� 1/ 2

1.

2x = ± : �� 1 2

5, 3;

2x x= = �� 1 2

4 4, .

3 5x x= =

7 �������( ) ( )( )22 9 0 2 3 2 3 0.x x x− − = ⇔ − + − − =�� 1 20, 9;x x= = �� 1 25, 1.x x= = −

4 �� 1 2 0;x x= = �� 1 2 0.x x= = H ��1 2

20, ;

3x x= = �� 1 2

50, ;

2x x= = − $�� 1 20, 3.x x= = −

I �� 1/ 2 4;x = ± �� 1/ 2

3;

2x = ± $� 1/ 2

5.

2

bx = ± = �� 1 2 0;x x= = �� 1 2 4.x x= = ± < �� 1 20, 4;x x= =

; �� ( ), 2 ;k ∈ −∞ �� ( )1,3 .k ∈ − ��������7�C8��7�#5��⎩⎨⎧

>−<+

⎩⎨⎧

<−>+

.03

01 ose

03

01

k

k

k

k

> 1 20, 1.k k= = :D @���*������'�*&'�� '�*�� ( )1 0x = ���� 22

50. 4 0, 2; .

3c c m m x= = − = = ± = −

$� 1 2 0.x x= =

�� 1 20, 6.x x= = −

Page 318: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� 4 ��8+��4+$�2

.2

b

a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

: �� 1 2

2 1, ;

3 2x x= − = �� 1 2

3;

2x x= = $������*&'�� '����%��

7 �� 1 2

2 1, ;

3 2z z= = �� 1 23, 2.y y= = 4 �� 1 2

30, ;

2x x= = �� 1 2

5 5, ;

2 2x x= − = $������*&'�� '����%��

H �� 1 2

70, ;

2x x= = �� 1 23, 2.x x= − =

4 �� 48 12 ,D m= − 2��2�� 4m < ����*���������'����%�� ������:� ��!2�� 4m = ������'����%�� ���

���������!2�2�� 4m > �����*&'�� '����%��

: �� 1 25, 3;x x= = �������*�����%�� 7 �� 0,D > ���%�� ������:� ��+�� 0,D = ���%�� ������������+

: �� 21 2 1 2

3 7 3 7 3 70, , , , ;

2 2 2 2 2 2x x p q x x x x+ + = = = + = − ⋅ = �� 2 4 1 4 1

0, , ;3 3 3 3

x x p q− + = = − =

: �� 2 5 52 0, 2, ;

3 3x x p q− + = = − = �� 2 2

5 0,m

x xm

+− − = 2

, 5.m

p qm

+= − = −

I: �� 1 2

114, ;

6x x= − = �� 1 2

100, .

3x x= =

= �� 1 2

3, 1;

14x x= − = �� 1 2

255, .

12x x= = < ��2�� 0x = �� 7;x = ��2�� 3x = − �� 2.x =

; �� 1 22 3, 2 3;x x= + = − �� 1 27, 5.x x= = > �� 1 23 , 2 ;x a x a= = �� 1 2, ;x m n x m n= + = −

$� 1 2

11, .x x

a= =

$� 0,D < �����*&'�� '����%�� 4 ��9

;4

k = �� 3k = �� 3;k = − $� 6k = �� 2.k = H ��1

;3

k <

�� 2;k < $�9

.20

k > − I �� 2;m < − �� 1;m > $�9

.8

m > = �� 3;a ≥ ��1

.2

a ≥ < ��8�� 0,D = ����� �

9;m = ��2�� 0,D = ����� �4

3m = ��

4.

3m = − ; ��8�� 4k < ��*&'�� '����%�� ������:� ��!2�� 4k = ��*&'�� '�

���%�� ������������!�����2�� 4k > �����*&'�� '����%�+��2��16

15k > − �����%�� ������:� ��!2��

16

15k = − �����%�� �

�����������!2�2��16

15k < − �����*&'�� '����%�+$����%�� ������:� ��2��

1,

8k > − ���%�� ������������2��

1,

8k = − �����

����*&'�� '����%�2��1

.8

k < −

1 2 1 2

4 1, .

3 3x x x x+ = ⋅ =

7 �� 1 2 1 2

7 5, ;

2 2x x x x+ = ⋅ = �� 1 2 1 25, 0;x x x x+ = ⋅ = )� 1 2 1 2

2 3 1, ;

2 2

mx x x x

m m

++ = ⋅ =− −

�� 1 2 1 2

1 3, .

2 2

mx x x x

m m

−+ = ⋅ = 4 �� 1 25, 3;x x= − = − �� 1 23, 5;x x= = $� 1 24, 3;x x= − = − )� 1 2

51, .

2x x= =

Page 319: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

H ��8+��2+$�'+)�'� I �� 1 214, 7;x x= − = �� 2

1, 2;

6x = − $� 2 2

2, .b a x b a− = + = 6.k = −

� : �� 2 5 6 0;x x+ + = �� 2 1 20;

2 3x x− + = $� 2 5

0.2

x x+ − =

: I4 � ����

I �� 1 22, 4;x x= = �� 1 22, 1,x x= = − 2� 2 1x = − ����� ��*&'�� '�2�����������������*�������� ���

2����#�*����

7 :;� �:>��� 18− � � 19.− 4 Q�%�� ��8!4!H� �I+��2!=!;� �:D+$�'�H

I �� 1 22, 4;x x= = �� 1 2.x = � 2 1x = − ����� ��*&'�� '�2�������������� ��������2����#�*������

< 8�������2���2��9B����!�������:��2��9@������= "�2����8@�6������������ 6000 6000

150.2x x

− =−

�������15 8

1.5x x

+ =−

; 6B���2�!�������:��B@���2���������650 650

3 .15x x

+ =−

< 1 2

5, 1, 5.

2m x x= − = − = ; ���������� ( )2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

3 1 3 1 3, , ;

4 2 4 2 8p q x x x x x x x x p q− = = + = + = − ⋅ = ⋅ =

��3 9

;2

p

q

− = $� 2 72 ;

16p q− = − )�

2

2

2 7.

4

p q

q

− = −

7 �� ( )3 2 1, 3 2 6,p q= − − + = = − ⋅ = −

2 6 0;x x+ − = �� 2 20 0;x x− − = $�2 7 6 0.x x+ + = 4 �� 2 1 1

0;6 3

x x+ − = �� 2 1 30;

4 8x x+ − =

$� 2 23 50.

12 6x x+ + = H �� 2 5 3 12 0;x x− + = �� ( )2 5 2 10 0;x x− − − = $� 2 10 23 0.x x− + =

I �� 2 10;

2x x− − = �� 2 4 13 0;x x− + = $� 2 2 5

0.3 9

x x− + = ��2 2

2 1 0;a b

x xab

+− + =

���2 2

22 2 2 2

0.a b ab

x xa b a b

+− + =− −

=

< �� 2 6 3 0;x x− − = �� 2 6 13 0;x x− + = $� 2 6 20.

5 5x x− + = ;

91.

32

> �������� ( )22 2 2 21 2 1 2 1 22 2 , 2 12,x x x x x x p q p q+ = + − = − − = ����� �16 2 12,m− = 2�� 2.m =

:D 8��' 1 2 1x x m+ = + � � 1 22x x= ���� 2

1,

3

mx

+= ����� � 1

2 2.

3

mx

+= 8��' 1 2 3,x x m⋅ = + �#��'������*����

1 2 23,

3 3

m mm

+ +⋅ = + ������ � 22 5 25 0,m m− − = 2��'�� 5m = ��5

.2

m = −

Page 320: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

:I 21 13 1, 14 24 0.

8x x

x x⎛ ⎞+ ⋅ = − + =⎜ ⎟−⎝ ⎠

3 ������

:= 21 40001, 200 40001 200 0.

200x x x

x+ = − + = �1�������� ��9@@5%��� 1���� ����'���R!89� �8B���%����

� : $�� 7 8 � 4 =��5&%��� ��*��� H ��� I $� = �� 1 21, 1;x x= = − �������*&'�� '�

:7 8��' ( )30 144x x− = 5�'��� 2 30 144 0,x x− + = �����������'���94� �6�

: $ � � 4 $ � �7 [ )1, .∞ H $� I $� = $��� 1 22, 2;x x= = − � � �� 1 20, ;x x b= = −

< �� 1 2

50, ;

2x x= = − �� 1 2

45, .

5x x= = −

> �� 2 14 45 0;x x+ + = �� 2 1 150.

8 32x x+ − =

:D �� 2 6 0, 3;m m− = = ��1

.3

m = :7 �� 1 24, 2;x x= =

Q!R� �88��������3�������5&�%%���'���$�D�� ������'����'��� 2x + � � 4.x + 8��'��� ��������:����

�������3���$�� ������'������� �����'������� ��!��� ���

����'����5&�%�� �� 6,x − 2��2��' ( )22 26 30x x+ − = 5�'��� 24.x = ;:2��������'������� ���� �� 24 18,⋅ ������

$�� 1 21, 1.x x= = − ; �� 0,D > ���%�� ������:� ��+�� 0,D =

���%�� ������������+$������*&'�� '����%��

:: �� 0, 25;D m= = �� 3m = �� 3.m = −

:4

�#��'������*���� ( ) ( )2 22 2 4 251,x x x+ + + + = ����� � 2 4 77 0,x x+ − = 2��'�� 1 27, 11.x x= = − 8���

Zx ∈2 !��������������'���Q!R�� �88� :H

��������� �� 23 24 18 36 .⋅ ⋅ = @���'����������� ��56�%��

���� 1 212, 2.x x= = ?%��5����*&'�� '� 1 12,x = 2����2��&:2�������'������'�� 2��89���

:<

���%�� < �� 1 20, 24;x x= = �� 1 20, 25.x x= = − ; �� 1 2

1;

2x x= = �� 1 21; 12.x x= − = −

> �� 0,D < �����*&'�� '����%�+�� 0,D = ���%�� ������������+$� 0,D > ���%�� ������:� ���

:D �� ( ) ( ) 216 1 15, 16 1 16, 15 16 0;p q x x= − − = − = ⋅ − = − − − = �� 2 9 10.

10 5x x− + = :: �� 1 225, 3;x x= =

�� 1 20, 4;x x= = $�������� @���*������ ���*'���� ( )2 4 2x x− ≠ ± � ����� 2 3 2 0.x x+ + = B���'��

�����'����*���'��� 1 21, 2,x x= − = − 2�2��� 2 ,x D∉ *&'�� '������*������ ��5���� 1.x = −

:4 ��������7���'���$������� � ����5��D�� ���������%'���5���%��'������� ��( )1

120.2

x x −= 8��'����5�'�

�� 2 240 0,x x− − = ����� � 16.x = 9��� ���!��������������2'���86� � �����

:H @���*�����*&'�� '���������������� 0.D = �� 2 4 36 0, 12;m m− ⋅ = = ± ��9

.20

m =

Page 321: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�����, $��#����#�����(���� ������#�����

� � "���������2���5��*�5�����'��������*������ ���� �#��'��A

4 2 0 2 4 1,

9 3 0 3 9 6

b c b c b

b c b c c

+ + = − − = =⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨− + = − + = − = −⎩ ⎩ ⎩

�2��#��������� �� ( ) 2 6.f x x x= + −

� � �

1x −

11

2x −

2 1x −�

�� �

�� �

��

�� � �

1x− −

11

2x− −

2 1x− −

��

��

�� ��

��

��

��

� ����

���

���/�

�������

����

����/�

��

� ��( )0 1 2

,1 1 1

a b a

a b b

⋅ + =⎧ =⎧⎪ ⇔⎨ ⎨⋅ − + = − =⎪ ⎩⎩2�� 2 1;y x= + �� 2 4.y x= − +

� ��!��� �)�� � �� { }1,0,3,8 ;fV = − �� [ ]1, 8 .fV = − � �� ( ) 20 2 0 5 0 3 3;f = ⋅ − ⋅ + = ��@+$�98+)�@�

� 3− 2− 1− 0,5− D D�I : 47�

��

��

���� ( ) ( )3 2 ;f f− > − �� ( ) ( )2 1 ;f f− > $� ( ) ( )1 2 ;f x f x>

( ) ( )1 2 .f x f x<

� ��8��' 22 1 1 4m= + ⋅ + ���� 3;m = − �� 3;m = $� 5.m =

��

������� � � �

�� 2;m ≠ − �� Rm∈ $� 2m ≠ − � � 2.m ≠

�� 3, 2;b c= = �� 1, 4.b c= − = �� 1, 2, 3.a b c= = − = �� ��������7���'��� 1 .x t+ = D�� ��� 1,x t= −

2�� ( ) ( ) ( )2 2 21 1 3 1 2 2 1 3 3 2 5 6.f t t t t t t t t− = − − − + = − + − + + = − + 9��� ���! ( ) 2 5 6.f x x x= − +

�� ( ) ( )2 2 21 1 1 2 1 1 .f c c c c c c c c− = − + − + = − + + − =

� � ��E��#����� ��2���<������#�&������5�����'���A

8�� 22 1:y x= − �� RD f = �� ( )0, 1 ;T − �� min2 0, 1,a y= > = − 2�� 0;x =

��&��#����� ������������%�� '����� �����������5��

8�� 22 2 :y x= + �� RD f = �� ( )0,2 ;T �� min2 0, 2,a y= > = 2�� 0;x =

��&��#����� ������������%�� '����� �����������5��� �����

22 2y x= +22 1y x= −

$

> H : D�7I D D�7I : H >

Page 322: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� �� � 1±2x−

21

2x−

22x−

�1

2−

��

��

��

��

��

�� � 1±2x

21

2x

22x

�1

2

2±�

� � 1±22x−

22 1x− −

22 1x− +

� ��

��

��

��

22 3x− + �

�� ��

� ��

� � 1±21

2x

��

212

2x −

213

2x +

21 3

2 2x +

��

3

2

1

2

3

2−

7

2

7

2

� �� ( ) ( ] max0, 2 , ,2 , 2;fT V y= −∞ = �� ( ) [ ) min0, 3 , 3, , 3.fT V y− = − +∞ = − � �� ( ) [ )0, 4 , 4, ,fT V− = − +∞

min 4;y = − ���� ( ) ( ] max0,3 , ,3 , 3.fT V y= −∞ = � �� min

1 1 10, , , , ;

2 2 2fT V y⎛ ⎞ ⎡ ⎞= +∞ =⎜ ⎟ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎣ ⎠

�� ( )0, 3 ,T −

( ] max, 3 , 3.fV y= −∞ − = − � ��1

, 2;2

a c= − = ��3

2, .2

a c= = − 2 4.y x= −

�� 2 2;y ax= − �� 2 3.y ax= + �� ��8����'���%����+��2����'���%����+$�2����'���2� ���

� � ?�*��&�#�����#�������� 21

2y x= − � �* 5�����A��2���'��'����'�� ���+��2���:�'�����'����

� �� ( )2,0 ;T �� ( )3,0 ;T − $� ( )1,2 ;T )� ( )3, 2 .T − − � ��?�*��&�#�����#�������� 22y x= � �

��

$�� � �����

��

$

�� �� � � �

$

$

Page 323: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

* 5�����2��5�'�����'���+��&��#�����#�������� ( ) 21

2f x x= * 5������'�� ���2����'���+

$�&��#�����#�������� ( ) 21

2f x x= * 5������'�� ���2��

11

2�'����

� ��8����%�� ( ) 21

2f x x= − * 5�����2��5�'�����'���+��2����%�� 22y x= − * 5�����2���'�

�'�����'�'��+$�2����%�� 23

2y x= − * 5�����2��@�B�'����'�� ���� � ��?�*��2����%��

2 ,y x= �����2����'* 5�����2��9�'����'�� ���!2��������� �5�'�����'���+���'�'��������������!5����<�����

���* 5������2����%�� 2 .y x= − � ��?�*��&��#�����#�������� 2 ,y x= − �����2����'* 5�����

2������'�����'���� �������'���2� ��+��&��#�����#�������� 21

2y x= − * 5�����2��9�'���

��'���� ��'��'���2� ��+$�������� ( )22 22 4 2 1 3 2 3.y x x x x x= − + = − + + = − + 9��� ���!&��#�����

#�������� ( ) 2f x x= ���* 5������2���:�'����'�� ���� �����'���%����� � �� ( )3,0 , 3,T x =

min 0;y = �� ( ) max3,0 , 3, 0;T x y− = − = $� ( ) min2,3 , 2, 3.T x y= = � ��8���'��'����&��� '���&���5���� �����

��$+��2��������'����&��� '���&���5���� �����$+$�2���'��'����&��� '�2*���5��

���� ���$� ��8������'����&��� '�2*���5���� �����$+��2��2����'���2� ��+

$�2��������'�����'���� �������'���%����� �� 2, 3;a α= = ��1

, 2.2

a α= − = −

�� �� ( ) 21;

2f x x= �� ( ) 22 5;f x x= − + $� ( ) ( )2

2 2 .f x x= − +

� �� ( )1, 1 ;T − �� ( )2,8 ;T $�7

6, .2

T⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� ( )21 1;y x= − − �� ( )21

2 ;2

y x= − $���������

( )2

2 2 5 25 25 5 95 4 2 4 ;

2 4 4 2 4f x x x x x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − ⋅ + + − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠��)� ( )2

2 1 2.y x= − + + � ��?�*��&�#�����

#�������� 2y x= � �* 5�����2���:�'����'�� ���� �����'���%����+��2����%� 2y x= − * 5�����

2���:�'�����'���� �������'���%����+$�2����%� 21

2y x= * 5�����2���'��'����'�� ���

� �3

2�'���%����� � �������(���������� ���� ����'��#�����������A�� ( )2

1 1;y x= − +

�� ( )21 2;y x= − + + $� ( )21

2 6.2

y x= + + =����'�5�2��&'�� ��������������:��2���2�����

� 8������������������'�����%���2����%��� �2���'���2����%������ ������������5��

Page 324: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 1, 3, 0,a b y= − = = 2����2��24

, ,2 4

b ac bT

a a

⎛ ⎞−−⎜ ⎟⎝ ⎠

��%���2����%���� ��3 9

, .2 4

T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

8�� 0, 0,x y= = 2��2���4

�%��2����� ������2���� ( )0,0 . 8�� 0y = ����A

( )2 3 0, 3 0,x x x x− + = − − = ����� � 1 20, 3,x x= = 2�� ( )0,0 � � ( )3,0 '���

2���'���2����%������ ���$���"�%���� ��1 9

, ,2 2

T⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

*��'��� 1 22, 1,x x= − = �����2���'����� ������ ��2��� ( )0, 4 .−

$� ( ) ( )1 21,6 ; 1 6, 1 6, 0,5 .T x x= − = + E��#���������

#�������5�'���2���<������#�&���!� ����A���&':�����%���+���&':��

�*�*�+$��&':���*�*������2�����

� �������E��#����5�*�������� ����2���5������������������ ( )2,0T �� ����%���2����%��!

( )0,4A 2���'��2����%������ ����!����� ( )1 4,4A �� ��2���2��'2����%��<��� �������������2�������

%�� '����� ����2����%��+�� ( ) ( ) ( ) ( )1

91, , 0,4 , 2,4 , 4,0 , 2,0 .

2T A A B C

⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎝ ⎠$� ( ) ( ) ( )11,2 , 0,3 , 2,3 .T A A

8����%�����2����� ���$!���� ����� �2'��� ��%�����E��#����5�*���5���

� 8, 9.p q= − = ������� 4, 8 , 8.2

bp a p

a− = − = = −

1, 3.

2a α= = 1, 3.a β= =

�� 3, 4, 2.a α β= = =

� 4, 3.p q= − = ���������1 0 1 4

9 3 0 3 9 3.

p q p q p

p q p q q

+ + = + = − = −⎧ ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨+ + = + = − =⎩ ⎩ ⎩

� �� 4, 3;α β= + = − �� 5, 4;α β= = $� 2, 2.α β= = − � ��9 9

, , ;8 8fVβ ⎛ ⎤= = −∞⎜ ⎥⎝ ⎦

�� 3,β = −

[ )3, ;fV = − +∞ $� [ )3, 3, .fVβ = − = − +∞ � �� 1 20, 7;x x= = �� 1 25, 3;x x= − = $� 1 2 1.x x= = −

� 2, 12.b c= = − � 3, 6.a c= − = � ��C��'��� 1 2

13, ,

2x x= = 2�2��� 2 0,a = > ( ) 0f x < 2��

1,3 ,

2x

⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠����� ( ) 0f x > 2�� ( )1

, 3, ;2

x⎛ ⎞∈ −∞ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠

� �� 2 0,a = > �����*�����%�!2�� ( ) 0f x > 2�� ( ), ;x ∈ −∞ +∞

$� 1 0,a = − < �����*�����%�!2�� ( ) 0f x < 2�� ( ), .x ∈ −∞ +∞ � �� ( )1 2 3, 1 0, 0x x a f x= = = − < < 2��

}3{\Rx ∈ +�� ( )1 20, 3, 2 0, 0x x a f x= = = > < 2�� ( )0,3 ,x ∈ ����� ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ),0 3, ;x ∈ −∞ +∞�

$� ( )1 2

1, 2 0, 0

2x x a f x= = − = > > 2��

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈

21

\Rx � ��C��'��� ( )1 21, 5, 1 0, 0x x a f x= − = = > < 2��

( )1,5 ;x ∈ − �� ( )1 2

2, 1, 5 0, 0

5x x a f x= − = = > < 2��

2,1 ;

5x

⎛ ⎞∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠$� ( )1 20, 3, 3 0, 0x x a f x= = = > < 2��

$

Page 325: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

( ) ( ),0 3, .x ∈ −∞ +∞� E��#������#�������5�'���2���<������#�&�����

���� RD f = ����%��1 25

, ;2 4

T⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

���� ���� ��1

;2

x = ��2���'����� ������ ��2��� ( )0,6 ,A �����2���'����

�������$'���2���� ( )2,0B − � � ( )3,0 ;C �� max

25;

4y = �

25, ;

4fV⎛ ⎤= −∞⎜ ⎥⎝ ⎦

� ( ) 0f x > 2�� ( )2,3 ,x ∈ − ����� ( ) 0f x <

2�� ( ) ( ), 2 3, .x ∈ −∞ − +∞� ���� RDf = �� ( )1, 2 ;T − − �� 1;x = − �� ( ) ( ) ( )0,0 , 2,0 , 0,0 ;A B C− �� min 2;y = −

� [ )2, ;fV = − +∞ �� ( ) 0f x < �2��� ( )2,0 ,x ∈ − ������ ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ), 2 0, .x ∈ −∞ − +∞� $��� RD f = �� ( )0, 4 ;T −

�� 0;x = �� ( ) ( ), 2,0 , 2,0 ;A T B C≡ − �� min 4;y = − � [ )4, ;fV = − +∞ � ( ) 0f x > 2�� ( ) ( ), 2 2, ,x ∈ −∞ − +∞� �����

( ) 0f x < 2�� ( )2,2 .x ∈ −

$

� � �

$ $

�� �� $�

� � �� }3{\Rx∈ +�� 3;x = $� ;x ∈ ∅ )� ( ) ( ),1 6 1 6, .x ∈ −∞ − + +∞�

� �� ( )4,4 ;x ∈ − �� ( ) ( ), 2 2, ;x ∈ −∞ − +∞� $� ( )5,5 ;x ∈ − )� ( ] [ ), 1 1, .x ∈ −∞ − +∞� � �� [ ]3,5 ;x ∈ −

�� ( ) ( ),0 2, ;x ∈ −∞ +∞� $� ( ), .x ∈ −∞ +∞ � ��3

0, ;2

x⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

�� ( ) ( ), 3 1, ;x ∈ −∞ − +∞� $� ( ) ( ), 1 4, .x ∈ −∞ − +∞�

� �� [ )2 12 1 0, , 1, ;

2x x x ⎛ ⎤− − ≥ ∈ −∞ − +∞⎜ ⎥⎝ ⎦

� �� 2 12 5 3 0, ,3 .

2x x x

⎛ ⎞− − < ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠� �� }3{\Rx∈ +�� }5{\ −∈ Rx

$� 5;x = − )� .x ∈ ∅ � �� [ )3, 2, ;

2x ⎛ ⎤∈ −∞ − +∞⎜ ⎥⎝ ⎦

� �� ( )2 8 9 0, 9,1 .x x x+ − ≤ ∈ − � �� [ ]0, 2 ;fD =

�� ( ] [ ), 3 3, ;fD = −∞ − +∞� $� [ ]6,6 .fD = − ��8�� ( )( )3 3, 2 3 2 0, ,2 ;

2 2x x x x

⎛ ⎤≠ − − ≥ ∈⎜ ⎥⎝ ⎦

��2�� ( )( ) 12, 2 1 2 0, 2, ;

2x x x x

⎛ ⎞≠ − − + < ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠$�2�� ( )( ) ( ]2, 3 2 0, 2,3 .x x x x≠ − − + ≤ ∈ −

8�� ( ) ( )( )21, 4 1 4 1 2 5 0,k k k k≠ − − − − + ≥ ����� � [ ] { }2 6 0, 2,3 \ 1 .k k k− − ≤ ∈ − − �� 8��

2,

3k ≠

( )24 4 3 2 0,k k k− − < ����� � ( ) ( )2 0, ,0 1, .k k k− > ∈ −∞ +∞�

�� 6 2 23; .

2 9 18 2 11x α= = − = =

− − + +

Page 326: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� � $�� �)�� � 8����%�� � �� � ( )2,0 .− � .x α= � .2

b

a− � ; ��#�&���

�� ( )1,4 ;T �� ( )2, 3 .T − − �� �� 1, 2, 1;a α β= − = = �� 2, 1, 5.a α β= = − = −

�� �� ( )22 1 2;x + + �� ( )2

1 1.x − −

; ��#�&���

$

�2 1y x= +2 4y x= −

#�&�� #�&��

� $

#�&��

�� ; ��#�&���

$

22 6y x= − +

213

4y x x= + −

�� ; ��#�&���

�� �� min

9;

4y = − �� max 11.y = �� �� ( ],0 ;fV = −∞ ��

9, .

2fV⎡ ⎞= − +∞⎟⎢⎣ ⎠

�� �� ( )3,2 ;x ∈ − ��1 1

, ;2 3

x⎡ ⎤∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

$� ( ] [ ), 4 4, .x ∈ −∞ − +∞�

� )�� � [ )5, .− +∞ � ���� )�� � ���

� #����������� � )�� .β

�� ( ) 21 1, 2, 2;

2 2a c f x x= − = = − +

#�&��

$

�� ; ��#�&���

�� 1, 2.a β= − =

�� ( ) 28 7 8 7, , .

5 5 5 5a c f x x= = − = −

$

#�&�� #�&��

$

�� ; ��#�&���

�� �� ( ) 3,0 , ;

2x

⎛ ⎞∈ −∞ +∞⎜ ⎟⎝ ⎠� �� ( ] [ ), 6 1, .x ∈ −∞ − +∞�

�� ( ) 0f x > 2�� ( )0,4 ;x ∈ ( ) 0f x < 2�� ( ) ( ),0 4, .x ∈ −∞ +∞� �� �� ( ] [ ), 4 3, ;x ∈ −∞ − +∞� �� [ ]4,4 .x ∈ −

Page 327: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ��8���� �$��F!2�����2��#�<������$�%����#�* ��!���'���� ��������� �

� ��9��'������� ����1�2�� ��� ���$�F�8��� ����%%!2��*������������2'�����!���:�� ��������'���

����%����'��� ����*��!���'�#�<�������<������ �����'������� !2��:#�<���'������������'������'������� ��2�

'�����������������

� 5 3 cm. � D4�%��� 4; 4, 6.s t r= = = � �� 6, 5, 9, 3;t s r b= = = = �� 8, 6, 12,t s r= = =

4;b = $� 2 , 2, 3 , .t n s n r n b n= = + = = � 5 7 cm. � R�B�%�� � ���8D�����9:���� '������&��%������

&'����������������9�!�����6���&��%���'�������&'���������������� 5.a �������8��'��%���D�#�&��

� �7�4@�%��-7�R6�%��� � ;:2�����2���'������5&�%���&��%��� �� 3,Q 2�������� ���� ��90�

�������1�&'�� �������� �����&�%%��*+,�.��#�&���!����������� ��*+)�� �����!2��

��������� ��3)�� ���������'��+��� ��!3

2

aAG = � � 3.AC a=

8��'�� ,Q aH= ����� �Q

Ha

= �/�� ��%��������2��*����!2���:2�����-��

2���'�����&��%��++���#�� ��A ,21 a

QaHACS ⋅=⋅= ����� � ,31 QS = �����2��

9��'������� !���2�*�������� ���� ���������� �

��

��

��

��

����%��������&��%�A�+

�!�,

�� ���

�!�� 1 1AC AE= ��'������5����� ������� �������4

������ �5���2�� ��� ����8�� ��!2 2 2

1 1 1 1AD AA A D= + = ,252)2(2 aaa =+

2��� 1 15;AD a AC= ��������'� � ��2��'��������� ���������'��

�++�"���� ( )22 2 2 2 2

1 1 3 4 ,AC AC CC a a a= + = + = �2�� 1 2 .AC a=

�:2�����-���2��'�����&��%��,,

���A ,22 a

QaS ⋅= ����� �;

�,�G�

. 8

9 2mS =

� � ���,�����������+���,���+$� ,6323 aHaS +=

� ?������� ��������'�������%�����*��!�����%�������/�� ���������������� ��������

� "����� ���������2�$��%�������*��� ,a b c= = 2�� 3.V a a a a= ⋅ ⋅ =

�� ��

��

�����- �������������������������"�������#

Page 328: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� ��������� ��������� ��������� ��� ����������������������������������� ������������ ������� ������� ��� �����

���� ������

� ��������������� ������������ �������� ����������������������������������� �� ������������������������������� ���

� �������������������������������� ���������� ���� ��������������������������������������������������������� �

������������

� 1 2,5cm.SA = ���������!�����������������������������������������������������������������

�����������"������#������������� ( )2 272cm ,Q a= = �������������� ���������������

���������������������������� ( )1 172 :18 8 : , 2 cm .H H= = ������ SOAΔ �$�� ��%������������&

2 22 64 36, 10 cmSA H AO SA= + = + = �� ����'�������������������������'����� � 1 1: : ,SA SA H H=

( )1 10 2 : 8 2,5 cm.SA = ⋅ =

�256 cm , 2 51 cm.Q h= = ���������

1; 28 2 cm, 2 2 cm.

2Q d H d H= ⋅ = = �������

� 35 cm.H = ���������� ( ) ( )2 2

1 1 1 1 1 114; 150 : 54 14 : ; 5 : 3 14 : , 21 cm.H SO SO SO SO SO SO= + = + = + =

� 25 2 cm . � 225 3 cm . ������������������������ ������������ �������� �����������������

2 10 cm.a = � ��� 12;H = ���� 13;h = � �� 40.a = �21tg .

2a β � ( )

229dm .

4

s =

� �260 m ; 48000M = ���� � ��������� � 3

2

2 3696dm ; , 3dm.

12

QV H H

d= = = =

� ��� 2800dm ; ����� 22256cm . � 2245cm .B = ���������� ( ) 2 2: 200 7 : 3 .B B − = � 2288cm .M =

���������

2

2 2 23 1 3; ; 576, 24cm.

2 2 2

aM ah h H a a

⎛ ⎞= ⋅ = − = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� 2616cm ; 12cm,M H= =

13cm, 20cm.a bh h= = ����

.12

32 ,32 b) ,3218 ,2336

aVaScmVcmS ==== � �� ���

366cm ;V = ��������������� �� ����� � ������������� 215m .M = 3287,6g; 27,36cm , 7,1.V H≈ ≈ ≈

� ������������ � ������ ������� � ( )3243 7 643 cm ,V = ≈ � )(7,44777108162 2cmS ≈+= ���������

����� 2 2 22 15a H+ = �� �� 2 2 212a H+ = ��'��� ��&�� 9cm, 3 7 cm.a H= = � ��(�)*+) ������(�,,*) ���

� ������������� 2 0, 3,75 3 cm , 8sin 60 4 3 cm.V BH B H= = = = � 5,8 m.≈

� ��� 260dm ;≈ ����≈ ��������� �������� ���������������

� ���

Page 329: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

40≈ $2�����<�+ 23535dm .M ≈ �������2

2 22 , , 25dm, 35,4dm;2 2

a aM ah h H H h

⎛ ⎞= = + = = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

210% 3888,5dm ;M M+ ≈ �'�$2����:2����Q����&�84����7�RD�����

��

���

3

2

ax =

�� ��B��� 9@B� �����+��988�9����

���������?�%%���4��������� ��� ����5�%%����4���2��*���� �

5�%%����4���2�����������#�&����� ��2���<����I2'����������J��

���� 9@B ( )720,53 : 3,5≈ � ��������

2

2 22

36 ; 64, 8cm;

2 2

ah aM h H h

⎛ ⎞= ⋅ = + = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2192 m ;M =

210% 192 19, 2 m .⋅ = 9��� ���!2��������'����%���988�9���2�% ����

2 2

1 2 1 2 1 2

1 6 3 1 6 3

3 4 3 4

a aV V V BH BH H H= + = + = ⋅ + ⋅ ⋅ =

33 164 3 3 64 4 3, 720,53 m .

2 2V= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≈ �D�����������6��

� �,���!���������������,����!,���,�����!

�,,�!��,� !�����

2

2 21 14 , 70,56, 8,4m,2 2

a a a aM h h s h

+ −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = − = =⎜ ⎟⎝ ⎠2�� 2393,12 m .M = � 3 3160

180cm , cm .3

V V= =� �

�������?�%%���4��2����������$��&����� �� ( ) 31 380

36 16 36 16 5 cm .3 3

V = ⋅ + + ⋅ ⋅ =�

8��'

( )2 21: : ,B B H x x= + ����� � ( )2 236 :16 5 : ,x x= + ��$�� ��%��������2'����2%�������!#�� �� 10.x =

� ��,�� �$��� � �,���$�������������,����+,���$��!

21

10 864cm , 4 ;

2B M h

+= = ⋅ ⋅ 0 21cos 60 , 2cm; M = 72cm .h

h= =

� ��,���������������� 16 = 60 .2

a aM h h

+= ⋅ ⋅

G����'� �'� �2������!*&'�� 2���'�<���%���2��<���������*�5�� �

��2���������:����'�5���2����%%��4���#��'� ���$����������5�*����!2��'

����A

( )2

22 2 2

1

1 13 3 2 2 3 16,

2 2h H a a

⎛ ⎞= + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠�2�� 4dm.h =

���

�� �

13

2a

2 3

��

1

13

2a

2H =

� 3296cm .V = �������7��������2����������$��&���

� 3210dm .V = ��������8��' 272 dmB = � � 21 18dm ,B = 2�����&��%��#�� ��A 2 2 72d = ⋅ � �

�� �� 12 ,H x= − ��$%��������2'����2%�������+ 2 21: 12 : ,B B x= 2��'�� 9cm,x = 2�� 3cm.H =

Page 330: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� � �� , ;r b H a= = �� , ;r a H b= = �� , .2

br H a= = � � B6�%���5cm, 2,5cm.H r= =

� 9B�%�� � "����� � 86�%�� � =������&������))�!��)� �)

�'���<�������

��*�5����������7���'���-2���2��'��&������))�!������� ��

�'���)#����2���2��'

��*���� ��5�*��������8��'��������� ���������'���)-!��)�-� �2��'��� ��� 1,SA SA=

#�� ������*���2 2 2 2

1 1 1 ,SO OA SO O A+ = + 2��'�� 1,SO SO= ����� �-�� �������))��

��

��

� 232 3 cm . � D�%�� � ( )2 240 3 cm 70cm .≈ R@�����������

2 : 2 : 4, : 1: 2, 2 ;r rH r H H rπ π= = = ���� ���!2���'��� �������!2�����&��%��'���

��$�2���� �����%��

� � 0,96cm.r = � ���� 69���� � 2 0,76mm.r ≈ ���������� 2 125 8,9 500,rπ ⋅ ⋅ ≈

2 40,143, 0,378mm.

3,14 8,9r r≈ ≈ ≈

⋅ ��1 �%%����/���*��5������� �� 2,04m;H ≈ �� 3348 m .≈

����������� 22

100012,5m; 1000, 2,037, 2,04 m.r r H H H

π= = = ≈ ≈ ��8��#�<��������A 2

1 1000r Hπ ⋅ − =

2 313 2,04 1000 83 m ;π= ⋅ ⋅ − ≈ #����A 2 2 31 0,5 13 0,5 265, 4 m ;r π π⋅ = ⋅ ⋅ ≈ &'�� ���'������ 2��*���A 3348 m .≈

�2

2 2100cm 31,8cm .

4

aB

π π⎛ ⎞= = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

��������� 2 ;B rπ= 2�����������*���� ���,������ � 2 ,r aπ = 2��

10cm .

2

ar

π π⎛ ⎞= ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

21 2 18,d = ⋅ 112dm, 6dm,d d= = �����2��' 1 45

2

d dH

+⋅ = #�� �� 5dm.H = ?�'�!

� �� 3140400 : 25 5616 kg. 5616dm ;V= ≈

�� ( )15616 144 900 144 900 , 5616 468 , 12dm;

3H H H= + + ⋅ ⋅ = = $��,.�+,���,������+

,225292122

2122 ,

2

30124 =+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=+⋅=

aaHhhM �,����!�,�������!�,��������

( )3181cm 1m 10 h .H ≈ = �

32496cm .V = ��������� ( )1 1

1;

3V B B BB H= + + ⋅�( ) 31

72 18 72 18 5 210dm .3

V = + + ⋅ ⋅ =

( )( )( ), 45 cm,B s s a s b s c s= − − − = � 2240cmB = � ��, �$��8��'����,���

�#�� ��

.161 ,1690:)4036(:)1(1 cmaPaPa ==⋅=⋅= ������2��' 2 21 1: :B B a a= 5�'��� ( ) ( )2 2 2 2

1 1 : 240 16 :40B B a a= ⋅ = ⋅ =

238, 4 cm .=33,5m .V = ��9B�9��=��896@@����

Page 331: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� B��� 89BQ������������-7�9π�'�5/(��7�B@%���/7�4B@�%�= .21507079500100 cmS ≈⋅⋅=π �

.12578 tS ≈⋅ � B��� 86��=�� 318,85m .V ≈ � B��� R�R���=�� 2 2 ; 0,6 m,V R H r H rπ π= − = 0,9m, 7m.R H= =

� B��� @�59�����������?�%%����$�%�������� �� 2 2 30,3 6,4 1,81 m .cV r Hπ π= = ⋅ ⋅ ≈ ?�%%����

2��*����� �� 2 2 3 33 33 0,3 1,73 6,4 1,49m , 0,32m .

2 2p c pV BH r H V V= = ⋅ ≈ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ − ≈

� �� 220,5 t;≈ �� 2646000≈ ������� � 36,3%.≈ ��������� 2 , 14cm, 450cm;cV r H r Hπ= = =

( ) ( )23 2 2 2 2 3 3100

277088cm ; ; 2 , 392; 176400cm ; 100688cm ; 36,3.c p

c p p c pc

V VV V a H a a r a V V V

V

− ⋅≈ = + = = = − ≈ ≈

��3�������������� 308kg.≈ $� 1kg.≈ ��������E:2��������2�������'��

��I$�%�������$�%�����J�#�&����!2��'��$�%���������*�����5&�%�� ��I�*���*��J�8������� ���!

5�%%����&:2���� �� 1 2 ,V V V= − ��4��� ��5�%%����$�%�����������*�������� �

( )1 220mm 22cmr = = !�����4��� ��5�%%����$�%�����������*�����5&�% ( )2 200mm 20cm .r = =

E'�������&:2���� ��%��������$�%������!����� � 1,5m 150cm.H = = 9��� ���! 2 21 2V r H r Hπ π= − =

( ) ( )2 2 2 2 3 31 2 22 20 150 2 42 150 39584cm , 39,584dm ,r r H Vπ π π= − = − ⋅ = ⋅ ⋅ ≈ ≈ 2������0�&:2���� ��

7,8 308,8kg.Q V= ⋅ ≈ �� =+−+=+++=−++= )21)(21(2)21(2)22

21(22

222212212 HrrrrrrHrrrHrHrrS πππππππ

.1)/24: ,24 ,24011152422 kgkgmSmScm ≈≈≈⋅⋅= π �&':���

� 59�%�� � 2300 cm .Q = ��������� 2 2 2; 625 400 225, 15cm.Q r H r s H r= ⋅ = − = − = =

� ( )2 236cm .Q r= = ������� 2

,2

sQ = ����� ��������+ 2 22 .s r=

� ( )2

225cm .2

sQ = = � 045 .α = ��������8��' : ,B Q π=

�� 2B rπ= � � ,Q rH= ���� 2 : ,r rHπ π= 2�� : 1,r H =

����� � .r H= 9��� ���!��������� ��������'��-)����5�*�����

�� ��������� ��!2�� 045 .α =α

/

)

-

� ( )2

2375 3 cm .

3

rQ = = �������; #�:��*�5�*������2��'���:���!!����5������ 0 030 ; , tg30 ,

HQ rH

rα = = =

3.

3H r= ⋅ � 9@�%�� � 6�%�� � 1

50,45 .

5

HH H= ≈ ��������

2 221 1

1 121

5 ; , .5 5

H B HB B H

BH= = =

( )2 21

416 cm .

9B rπ π= = ��������

22 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

2 4 4; : : , : 1: , ;

3 9 9B r B B H H r r r rπ π π⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

21

4

9B rπ= ⋅

2436 16 cm .

9

π π⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 224dm , 4,8dm;Q H= = ��������� ��� ���������'��!2��� ( )22 2

1 2 2 .s s r+ =

Page 332: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

67≈ &��+5�%%�����'�&���� �� 375cm ,≈ 2�� ( ) ( )3 35000 cm : 75 cm 67≈ �&����

���,��π���+�� .26,218 dmV ≈ �������3�5�*������ ��2���<�����'�2���'��� �����

���2�����;:2������ ���,.��.�

�!��*�� ���:2�������*��!�

�� ���:2������������

$�%������!��������� ���:2������������������?�%%���4����2���� ��� ����5�%%����4

��$�%������� �5�%%����4������!����� � .V V V= +

� �

9��

1 2H r=

2s r=

��

��

��

��

�+

�*

��

��

�#

��

�+

��

�*

�)

�� �,���π$��+�,�����$�������������2��#�����2���� ��2��'

�?�%%���A ( )2 2 2 2 31 2 1 2 1 2

1 1 1 11200 cm .

3 3 3 3V V V r H r H r H H r cπ π π π π= + = + == + = =

�:���5��� ��5�*������������*���������������%�����������&� �2����*�

�� ��������� �� �������'���*+! ����� � .cr h= 8��#����'� � �'���� ��

�� �� 1 15cm,s a= = ����� � �'����� �� �� 2 20cm.s b= = 8��' :ABCΔ2 2 2 ,c a b= +

25cm,c = �����2��' ,22cchab

S ==Δ ���� ,2

25

2

2015 chS

⋅=⋅=Δ

12cm.r = ;:2����;����2������%%����� ��������������� ������:2����5�

����2��#�<�5���#������������%%�������&�����5���� ������������ ����

������8�����'-7��C�

�7π��

�Cπ��

�7π'�

�C�

�(749@π%���

� � 2 247,04 dm 147, 7 dm .π ≈ � -79@@π%��=4759@π%��=�/78B%����78Q%��

123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012123456789012345678901212345678901234567890121234567890123456789012

/�

/�

: ;s r ����������'���� � 34≈ $2��������� 2 2 2; 3 m, 15, 25; 3,9 m;M rs r s r H sπ= = = + = ≈

236,8m ;M ≈ �'�$2��� 20,8m 1,5m 1, 2 m ; 36,8 :1, 2, 30,67⋅ = ≈ 2%�� 30,67 10% 3,07⋅ ≈ $2��

� 4825≈ �������������� 2 2 2 215,1; 2, 4 m, 16, 4 m; 2, 4 4 30 m ;

2M rs r s r H s Mπ π

π= = ≈ = + = = = ⋅ ⋅ ≈

160 4825M ⋅ ≈ ������� � 1: 4. � ( )3 2 2515g 49 cm , 6 3 3 3 cm .V H≈ ≈ = − = � 330, 2 m≈ ����

� 1: 3. ��������7���'���/��� �/

�'���2'��������$�%��%��������� ���������2���'��2���%�%�!�������� ��

���*'����*����$�%����������������5�*������1��:2'��������$�%���� �������

$�%���������2��#�<������������������5�%%���A

2 21 1 2

1

3V r H r Hπ π= + � � 2 2

2 2 2

1.

3V r H r Hπ π= − 8��'��� ��� 1 2 ,V V= ����� �

2 2 2 21 2 2 2

1 1

3 3r H r H r H r Hπ π π π+ = − #�� �� 1 2 2 2

1 1,

3 3H H H H+ = − ����� �

1 2

1.

3H H= 8�����'! 1 2: 1: 3.H H =

Page 333: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 9R������� �� 3135 cm .π ��������� ?�%%����������

2'�����2���<���������'�'���#����������2����������'��!�����

1.

3V B H= ⋅ 2��' 2 2 2 2

1 2: 9 12 225,SEF s sΔ + = + =���

����

�.

�-

���

��

�)

090=∠ESF

15cm, 7,5cm,EF r= = ����� 2��' .21

21

21 HEFssS SEF ⋅⋅== ⋅Δ

����� �1 1

9 12 152 2

H⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ #�� �� 7,2cm.H = "�� ��!

2 2 317,5 7, 2 135 cm .

3 3V r H

ππ π= = ⋅ ⋅ =

�� � 9�%�� � .722 ;330 22 cmScmM ≈≈ � 21394 cm .π

35, 2cm; 390, 4 cm .s V π= = � ( )2 2 212 66 dm .M r rπ π= − = ��������� ( ) ( )1

1 10, 2 .

cos 60

r rM r r s s r rπ −

= + ⋅ = = −

� ��,���π$�� � .5,4,192 2 cmscmHcmS === π � 5dm. � ���� 34dm . � -7�986π %��

3196 cm .V π= � �� 1460g;≈ �� 1095000≈ ��������������;�2��5�*������

�����$�%��� ��2���<�����'�2���'��� ����#�&�����������*������ ��������%��!�� ���<����

�� 2 2 23,7 1,2 12,25,H = − = ����� � 3,5cm;H = 5�%%��� �� �� 324,08 cmV π= ≈

375,65cm ,≈ �����#�&������ �� 19,3 1460g,V ⋅ ≈ �����)������ �� 1095000≈ �������

�!�

�!� �!�

�� 28,7≈ � �'�+��223,35 m≈ ����<����������� ( )2 2 312 20 12 20 35 27440, 28,7 dm ;

3 3V V

π π= + + ⋅ ⋅ = ⋅ ≈

���� ���!�5��6������ 28,7� �'����"5��� ��� �2����*���� ���2��'�&�������&'���!2��

.6,40;9,35;)(;).( 22

1

22

1

211

dmScmsrrHssrrrMBS ≈≈−+=+=+= ππ � � � ���������������� � ���9@�5@���

2��B@�5�+2�����������A ( )21520,30 3,04 m .

100⋅ ≈ 9��� ���!&'�� ���'����<����%���A2���#����� �95�5B����

�!�

1r r−+,

�.128 2cmS = ������� 111 , 4 , 25 ,r k r k s k= = = 2�� =⋅+++= )))((

11srrrrS π

( )2 2 2 2121 16 15 25 512 .k k k kπ π= + + ⋅ = 8��'5�*����������$�%��� ��2���<����2���'��� ����

������$��&����A ( )22 21 ,H s r r= − − 2�� 24 .H k= 8��' ( )2 2

1 1 ,3

V H r r r rπ= ⋅ + + ⋅ ����� �

2��' ( )2 2 2181 24 121 16 443

k k k kππ = ⋅ + + #�� �� 3 1

,8

k = 2��1

2k = � � 15,5 cm, 2 cm, 12,5 cm.r r s= = =

��� 10 cm.d = � sin 10 2 cm.H b α= = � 3121,5 m .V = ��������� ,V B H= ⋅

2 233 13,5 3 m , 3 3 m.

2B a H= = = � 8��9��� �5@�������( )2225 m 225000 .V = = � � 8����

� 86�4R�%�=���9B6�%��� � 98�6���� 31, 2 m; 3, 2 m; 4,096 m .H a V= = =

.6,257 2cmS π=

Page 334: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�� 2 2 2 28, 28 25017,1 m ; 4,5 m; 17,7 m .

2 4,5

MH s r r s

rπ π π⎛ ⎞≈ = − = ≈ = = ≈⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

� 13500≈ ��������������

2 2 313 2,5 3 2 89,535 m ; 30 2686 kg 2,7 t; 2,7 5000 = 13500

3V Vπ π= ⋅ + ⋅ ⋅ ≈ ⋅ ≈ ≈ ⋅ ������� � B��� 27 � �'�+

3 38645 cm 27,1dm .V π= ≈ �� 128 dm, 12 dm.r r= = ��������� 22600 dm ;M π=

( )1 65 2600 ,r rπ π⋅ + ⋅ = � ( )2 2 21 140; 65 63r r r r+ = − = − ��� ��5�*�������!����� � 1 16;r r− =

������������*���5� 1 140, 16r r r r+ = − = ��*&'�� '�A 128 dm, 12 dm.r r= =

�� � ��� � $�� � $�� � ��� � )�� � ��� � 7��&����������'������#� �5��

%����������2�2�$���%�� ����������:��5��%��&�����������'��

�� ���2�*������� ������������������*�5����2��#����'�� �� 325200 m . �� 10 dm;H =

.25,10;5,112 2 dmhdmS == �� DQ�B�H����������2

21

25 20;

100 100V r H V r r H Hπ π ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + ⋅ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��B4����=�� 321 3 dm . ��������� 13 ,2

a aM h

+= ⋅ ⋅

( )22 2

1 1 112 dm, 6 dm,a a h H TO T O= = = + − �� ��5�*�������

11 1

31 1 3 12 3 dm, 3 dm;

3 3 2 3 2

aaTO TE T O= = = = = � 2 dm.h =

��22

31 13 3321 3 dm .

3 4 4 4

a aaH aV

⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 3109 cm .V = �������; <:��

2���'�����&��%����5�*�����4���� �����2�*������� ������*� 7 2 cm

� �5 2 cm � �%������/+ ( )22 29 6 2 9, 3 cm.H H= − = = �� Q�B�%�� �� 2120 cm ;Q =

264 cm .B π= ��������� 2 , ;B r Q t H t CDπ= = ⋅ = �#�&��! 2 8 cm,r OE= ⋅ =2

22t, 8 3 cm.

2r OE t

⎛ ⎞ = − =⎜ ⎟⎝ ⎠�� 78,5≈ ���%���� �� �� 341,5 m ;≈ �� 35,97 m .≈

�������B��*'��2������&�2����� �� ( )0,65 0,40 1,05 m .r = + =

�� 225 3 cm .Q = ��������;�2��5�*������A 0 3; sin 60 10 5 3 cm;

2Q rH H s= = ⋅ = =

0cos 60 5 cm.r s= ⋅ =

2.

3h H= �������; #�:��*��������2��2���'��2���%�%������� 2 2

1 1 1: : ; 9 ,B B H H B B= =

2��2

2 2 21 1 1 1 19 : : ; , ;

9 3

H HB B H H H H= = = 1

2.

3 3

Hh H H H H= − = − =

��

��

��

���

��

� �

���

� !

���

��

6 22

��

��

3

2 3

��

�� ��

1r r−

Page 335: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���� �"�����������#����������#��������������

� 4 �� ( )0 00 ,90 ; �� ( )0 090 ,180 ; $� ( )0 0180 , 270 ; )� ( )0 0270 ,360 . H ��4B�!99B��

�� 0 0135 , 315 . = H�������������2���2���'�5����� ��5�����������5���5�'������ �����&��������

�� 0 0sin 0 0, cos 0 1;= = �� 0 0sin 90 1, cos90 0;= = $� 0 0sin180 0, cos180 1;= = − )� 0sin 270 1,= −

0cos 270 0;= �� 0 0sin 360 0, cos360 1.= = ; �����������>>>��>?!����� � ( )0 0180 ,360 ;α ∈ �����������>>

����� � ( )0 090 ,180 ;α ∈ $����������>>>!����� � ( )0 0180 , 270 .α ∈ 7 �����������>+�����������>>+$����������>?+

)����������>>>+�����������>?� 4 �����������>>+�����������>>+$����������>+)����������>>>+�����������>?�

I �� 00α = ��� 0360 ,α = 2�� 0 0 0 0sin 0 sin 360 0, cos 0 cos360 1;= = = = �� 0 0 0180 , sin180 0; cos180 1;α = = = −

$� 0 0 090 , sin 90 1; cos90 0;α = = = )� 0 0 0270 , sin 270 1; cos 270 0;α = = − = ���'�%%'����������

< 8*���5A��!$�� ���!2���&���5A��!)�� ���� ; �� 0 0sin130 0, cos 210 0,> < 2�� 0 0sin130 cos 210 0;⋅ <

����&���5+$���&���5+)�2*���5+��2*���5� > �����������������0�!����� �

( ) ( )0 0 0 090 ,180 270 ,360 ;α ∈ � ������������������!����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 180 , 270 .α ∈ �

:D 3�&���5A��� �$�!2*���5A��� �)��

� 7 �� 0ctg 90 �����*����!2���#������� ctgα ����� ��2����#�*���2�� 090 ;α = ��8+$� 0,57;−

)�@�BQ+�� 1;− �� 1.− 4 8*���5A��!)�!��� ���+��&���5A��� �$�� H $� 0 0sin100 0, cos 200 0,> <

I $����������������!0 0 0 0sin100 0, cos 200 0, tg 300 0, ctg150 ,> < < 2��� 2�� '���5%�����&���5��

( ) ( )22 21 0, 25 1 0, 2 1,5625 1, 2 1,875 0,875 ,r H r H V V Vπ π= + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ = ⋅ = + 87,5

0,875 .100

V V= 35 cm.≈

�������?�%%���������� �� 2 312 18 2714,34 cm ,3

Vπ= ⋅ ⋅ ≈ �����5�%%����2'������$�%������<���%��&�� ��

12714,34 25 ,Hπ= 2�� 1 2714,34 : 78,54 34,56 cm.H ≈ ≈

:H

:I �� 30 cm;≈ �� 230 dm≈ ����<��

���������� ( )3 2 21 115,1 15100 cm ; 15100, 481 15100, 30 cm.

3 3V r r r r H H

π π= = + + ⋅ = ⋅ = =�

�� .26,73dmcm,8,30,949730)( ;)169(9 22222221 =≈=+=−+=++=+= SsrrHssMBS ππ

����������� �� 21226,73 3, 2 dm

100⋅ ≈ ���!&'�� ���'�� ���%�������<�A 230 dm .≈

Page 336: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� H ��1

;2

− �� 1;− $� 3.− < ��15 8 15

cos , tg , ctg ;17 15 8

α α α= = − = − ��1

cos ,2

α = −

3tg 3, ctg ;

3α α= − = − � $�

3 3sin , tg 3, ctg .

2 3α α α= − = = >

7 7 24tg , sin , cos ,

24 25 25α α α= = − = −

�����5%����� 2�� '���� ��44

.89

− : ��1

;2

− ��3

;2

−$�

35;

12)� 4.− 7 �� 2 3; ��

2.

3

4 ��1 3

cos , tg 3, ctg ;2 3

α α α= − = = ��21 20 21

sin , ctg , tg .29 21 20

α α α= = − = − H ���1

sin ,2

α = −

3cos , ctg 3;

2α α= = − ��

40 9 40sin , cos ; tg .

41 41 9α α α= = − = − I

9.

50 �� ctg ;α �� sin ;α $� tg .α

<

����

( )2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

cos 1 sincos cos cos sin cosctg cos cos cos ctg cos .

sin sin sin sin

α αα α α α αα α α α α αα α α α

−− ⋅− = − = = = ⋅ =

��2sin cos sin cos cos sin

1 sin cos tg 1 sin coscos cos

α α α α α αα α α α αα α

+ + ++ + + = + + + = =

( ) ( ) ( )( ) ( )( )cos 1 cos sin cos 1 1 cos cos sin1 cos 1 tg .

cos cos

α α α α α α αα α

α α+ + + + +

= = = + +

� = �� ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0tg115 tg 90 25 ctg 25 , ctg115 tg 180 65 ctg 65 ;= + = − = − = −

�� ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0sin 200 sin 180 20 sin 20 , cos 200 cos 180 20 cos 20 , tg 200 tg 180 20 tg 20 ,= + = − = + = − = + =

0 0ctg 200 ctg 20 ;= $� 0 0sin 320 sin 40= − �� 0 0 0 0sin 320 cos50 , cos320 cos 40= − = �� 0 0cos320 sin 50 ,=

0 0tg 320 tg 40= − �� 0 0 0 0tg 320 ctg 50 , ctg 320 ctg 40= − = − �� 0 0ctg 320 tg 50 .= − <

$�2

;2

− )�1

;2

��3

;3

− �� 3;

; 0 0 0 0cos35 sin 55 ; tg83 ctg 7 .= = : ��2

;2

− ��3

;3

$� 1.− 7 ��3 3

;2

4 ��5+��2��'2

πα β+ = 5�'���2

3 3 4cos sin , cos 1 ,

5 5 5β α α ⎛ ⎞= = = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

2�� tg ctgβ α= =��3

;2

$�8�

( ) ( )0 0 0 0180 , 270 270 ,360 .α ∈ � : ��8�Q5+�� 1,73;− $�@+)�8�Q5+�� 0,57.− 7 8*���5A��!��� �)�+

4 �� 0 0sin15 0, tg150 0,> < 2�� 0 0sin15 tg150 0;⋅ < ��2*���5+$���&���5�

H 8*���5A��!��� �$�+��&���5A)�� I ��������������������2�� ( ) ( )0 0 0 090 ,180 180 , 270 ;α ∈ � �����������������

����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 ;α ∈ � ������������������!����� � ( ) ( )0 0 0 090 ,180 180 , 270 ;α ∈ � $����������������0�!����� �

��&���5A$�� ����

����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 ;α ∈ � $����������������!����� � ( ) ( )0 0 0 00 ,90 90 ,180 .α ∈ �

( )2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2

cos 1 sincos cos cos sin cosctg cos cos cos ctg cos .

sin sin sin sin

α αα α α α αα α α α α αα α α α

−− ⋅− = − = = = ⋅ =

��

Page 337: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

4 3cos 4 tg sin 113 5, .

3 4sin 3 cos ctg 295 3

α β αα β α

−−= = = =+ +

H �� 0sin 40 ; �� ( )0 0 0 0sin 20 sin 20 cos 20 cos 20⋅ − − ⋅ +

( ) ( )0 0 2 0 2 0ctg 20 tg 20 sin 20 cos 20 1 0.+ − ⋅ − = − − + = I 22cos .α = 8� � 0ctg 40 .

� 7 017, 42; 11,37; 49 15 .c a α ′= = = H 0 054,67; 39 48 ; 50 12 .c α β′ ′= = =

= : �� 019,04, 11,72, 52 ;c b α= = = �� 054 20 , 30,77,cβ ′= =

7 �� 049 10 , 20,42, 17,65;b aβ ′= = = ��024 30 , 26,13, 57,33.a bα ′= = =17,94.a = 4 �� 058 40 , 21,35aα ′= =

031 20 ;β ′= �� 0 033 18 , 41,88, 56 42 .cα β′ ′= = = H �� 0 067 23, 22 37 , 36, 39;b cβ α ′= = = = �� 046 24 ,α ′=

043 36 , 42, 40.a bβ ′= = = I �� 0 010,5, 15,95, 41 10 , 48 50 ;a c α β′ ′= = = = �� 09, 41, 12 41 ,b c β ′= = =

077 19 .α ′= = 0 036 52 , 106 16 .α β γ′ ′= = = 1 0 071 6 , 108 54 .α β γ δ′ ′= = = = ; 7�����������2�*��

0 0 0 0 0 012 cm, 67 22 , 53 7 , 180 112 38 , 180 126 53 .h α β δ α γ β′ ′ ′ ′= = = = − = = − =

> 16,38 m.H = :D 40, 41 m.H =

� 4 052 5 , 19, 25, 25,75.b cα ′= = = I �� 047 30 , 9,08, 10,15;b cβ ′= = = �� 071 53 ,β ′=

( )0 0180 54 19 , 45,30.cγ α β ′= − + = = 8��� β α> 2��� � ,b a> ���:�����:*&'�� '�A 0 01 180 108 7 ,β β ′= − =

( )0 01 1180 18 5 ,γ α β ′= − + = ����� 1 17,31;c = $�8��'

sin sin

b c

β γ= 5�'��

06 sin 60sin 1,3 1,

cβ ⋅= = > <������ �������� ��!

���:�������*&'�� '�� : �� 075 04 , 19, 22;b cγ ′= = = �� 045 43 , 16,33, 14,15.a cβ ′= = =

7 �� 0 036 52 , 94 33 , 19,94;cα γ′ ′= = = ��9��:�������*&'�� '�!2��� sin 1;β > $� 0 068 23 , 63 7 ,γ β′ ′= =

17,27.b = 8��� γ α> � � ,c a> ���� ������:�����:*&'�� '��C&'�� '���:���� �� 0 01 180 111 37 ,γ γ ′= − =

( )0 01 1 1180 19 53 , 6,58.bβ α γ ′= − + = = 4 �� 0 042 , 114 30 , 21,75.bα β ′= = = 8���α γ> � � ,a c> ���:��

���:&'�� '� ( )0 0 0 0 01 1 1 1180 42 138 , 180 18 30 , 7,58;bα β α γ ′= − = = − + = = ��sin 1,58 1,γ = > <������ �������� ���

9��:�������*&'�� '�� H 0 041 40 , 52 35 , 5,7.aβ γ′ ′= = = I �� 025 , 2 sin 46,98, 49,81,a R bγ α= = ⋅ = =

21,13;c = ��8��' 0 02 , sin , 54 20 , 12, 77 04 , 15,6.sin 2

a aR b c

Rα α γ

α′ ′= = = = = = �� 042 22 ,α ′=0

0 037 29 , 100 09 , 45, 28;cβ γ′ ′= = = � ��� 081 47 ,β ′= 2��' 0 03sin , 60 , 38 13 , 15, 21.

2ch

c ab

α α γ ′= = = = = =

��,��!� +��,���.��+��,��!�$��

Page 338: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

4 �� 0 077,14, 30 38 , 38 57 ;a β γ′ ′= = = �� 0 020, 23, 39 55 , 80 05 .c β α′ ′= = =

I �� 0 0 0107 15 , 42 23 , 30 22 ;α β γ′ ′ ′= = = �� 0 0 091 41 , 47 37 , 40 42 .α β γ′ ′ ′= = = : �� 6,25;b = �� 18,35.c =

7 �� 0 09,98, 61 10 , 83 10 ;c β α′ ′= = = �� 0 013,15, 68 29 , 56 51 .a γ β′ ′= = = 4 ��� 0 067 23 , 90 ,α β′= =

022 37 ;γ ′= �� 0 0 086 13 , 53 53 , 39 54 .γ β α′ ′ ′= = = H 2 2 2 02 cos120 , 49 34 15,c a b ab ab= + − = − =

( )( )

22 22 2 2 20 0

2 2 2

642 64 8 534 34; 38 13 , 21 47 .

2 315 2 30 2 4 4

a ba ab b a b aa b a b

a b bab ab a ab b a bα β

⎧ + =⎧ + + = + = =⎧ ⎧+ = + = ⎧ ⎧⎪ ⎪ ′ ′⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = =⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎨− = == = − + =⎪ ⎩ ⎩− =⎩ ⎩ ⎪⎩ ⎩

I 0 0 057 25 , 71 57 , 50 38 , 14,18.aα β γ′ ′ ′= = = = = �� 13, 7.b a= = �������2 2 2 2 cos

20

b a c ac

a b

β⎧ = + −⇔⎨ + =⎩

( ) ( )22 2 020 2 20 cos60;

20

b b c b c

a b

⎧ = − + − − ⋅⎪⎨

= −⎪⎩�� 7, 37.a c= = < �� 060 ; �� 0135 . �� 7;ct = �� 10,7.ct =

> .39,29sin;Ê53122;Ê0757 00 =⋅=== αβα baS :D 0 044 24 , 34 02 .α β′ ′= = ��������C����

: �����,�!���,��!���,�����������, .340 ����,��!��!����,�� !��!����,� !���

7 4 8��' 2 2 21 2 cosd a b ab α= + − � � ( )2 2 2 0

2 2 cos 180d a b ab α= + − − 5�'�

� ( )2 2 2 21 2 2 .d d a b+ = + 8��'

22 2

2 b

ba t

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠� �

22 2

2 a

ab t

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠5�'�

( )2 2

24

2340, 48,37;5

a bt tc c

+= = =

2 22

0

2 2

3 3cos , 150 .

8t

9

a b

a b

t t c

tϕ ϕ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

I ( ) 002

01 2056),( ,Ê2834, ,04,30 =∠=∠= FRFRkNR ��#�&��

α.�

.�

0

����������������2����������� �� 1 1, .AD D DD BC�

H

8��'1sin sin

BD ABABD

α γΔ = 5�'�

00

1 1

sin 8 sin 60sin , 32 12 ,

13

AB

BD

αγ γ⋅ ⋅ ′= = =<

� *

+,

D

85�

α 1β

1γ( )0 0

1 1180 87 48 , 15.bβ α γ ′= − + = = � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .sinb

h=α

.cm3602

3158,

2315

23

15sin 2=⋅=⋅==⋅=⋅= hABSbh α

=

�,������,���.���,��!

��,��!��!"�, !��!������!���

�,#���α,���$�

Page 339: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

339

7 Prej kurse prej

vijon se

d.mth.

Prej kurse prej

CxA

A1B

9 1 2 a) b)

3 a) b) negativ; c) pozitiv; ç) negativ.

4 a) b) c) 5 a) b) 6 a) b) c) 1. 7 a)

b) 8 a) c)

9 a) b) 10 a) b) c) 1; ç) d) e)

12 a) b) c) 1; ç) 13 a) b) 15 a)

b) 16 a) b)

17

10 1 ç) 2 a). 3 b). 4 c). 5 a). 6 b). 7 Ordinata, vija trigonometrike

8 Boshti i tangensit. 9 I pari, i katërti. 10 I dyti, i treti. 11 Teorema e sinusit.

12 13 a) 1: b) 1. 15

16S=263,31

8

9

Vizatimi i detyrës 7

Page 340: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��×*7K'��8(��'��9(��'��5(��'��8(��'��9(��'��5(��'��8(��'��9(��'��5(��'�8(��'�9(��'�5(L�

��������������������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������������������������������������������������������������

�������������

��7�BN�7

89@�6N�7�Q9@� 4N�7�94� BN�7�89@� @KB>7�

K������L��K�������L��K�������L��K���� �L��K���� �L��K����� �L�K���� �L��K���� �L��K����� �L��K�� ���L�

K���� �L��K���� �L��K����� �L�K�� ���L��K�� ���L�

���� #�� �����#�

� :

7

4 3 38 8 512.V = = H 3 3

52 2 5 250.V⋅ = ⋅ = I 10 103 3 .V = = 3 3

4 4 64.V = = ��������������

� <�� ���&��'�5��������$�%����5����� < 64 4096.V = �����������'�����$��� ���&��'�

���<����%�� ��� ������� ; 54 1024.V = > ;L@DA 5 5

10 10 100000;V = = "�����A

3 3 3 326 10 26 10 17 576 000.V V = ⋅ =

� I 3 3 35 5

5!5 125; 60.

(5 3)!V V= = = =

−: ���89@=�����B@4@=��$��8�D84�4@@� 7 ���859@=�����56@�56@�

4 ���R=����6=���� �7B�� �

�788=�$������*&'�� '�� H 5

7

7!2520.

2!V = = I 4

9

9!3024.

5!V = = = 3 2

8 7V V− =

�������3���������������� ��������� �#���@� 312 1320.V =< 5

8 6720.V =;

� : 7 4 H I

= �� 10

10!(2,3, 2,1,1,1) 151200;

2!3!2!1!1!1!P = = �� 12 (2,2,2, 2,1,1,1,1,1) 29 937 600.P = < 6

6!(1,3,1,1) 120.

3!P = =

; 9

9!(4,2,3) 1260.

4!2!3!P = =

� :

���8B=������98@=��$��QB=��)��99TQ�7 4 37

735.

3C

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠H 12

24 2 704 156.C = I 8 1016 20 2 377 809 720.C C⋅ =

= 1 1 26 6 10 1620.C C C⋅ ⋅ = < 4 5 6 7 8

8 8 8 8 8 163.C C C C C+ + + + = ; 737 10 295 472.C =

����������������������������

������������������������ ����

����

> ���8=����� 5 55 9 126.C C= =:D

� : �� 4 45 5 625;V = = �� 4

5 120;V = $� 352 250;V⋅ = )� 2

55 125.V⋅ = 7 316 3360.V =

> ( )2 5 1 ! 48.⋅ − = ��������=�<��� <:�� �����'��'���!����� ���� ������'���*!

�����2����'���������'������%����'���2��'�'�����������'�%%������*���'���:���������

8! 7!294.

5! 5!= − =

Page 341: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

���99@=������8Q6@=���$��5@489D@�

7�89=��9B544� 7�8@=��#�D@64����9��7�D=�������9���7�4@R6� 7�D=�889�

�������� ��2����������*&'�� ���� 35V ���:��2���<���:��������*&'�� ���� �� �#��2�����:���!

��� 6 6! 720;P = = ������ 26 2 30;C ⋅ = ���$�� 2

8 6! 20160.C ⋅ = ��⋅�

�7�5N�⋅5N�7�56�

?����$���2��' �%���������%���� �

���QN����������8954�� <:�� �����'�� �#��+�����QNU4N�7�89@�R6@�4

�����U�

�7�4N�U5N�7�844=������"9�"�������H I 2 1 3

6 6 6 110.C C C⋅ + = = 1 3 2 22 7 2 7 91.C C C C⋅ + ⋅ =

� : ���'9$C�5�( �7�64�$ �C�BQ6$��C�986@$����C�459@$����C�4D6@$����C�9R86$���C�Q9R��=

���'$#�5�(��7$��#�98$ �C�8DR$����#�R4B$����C�9D5B$����#�B8@5$����C�B8@5$� �#�98DQ��=

$�4 4

3 2 2 3 44 2 24 128 256 .2 16

x xy x y x y xy y

⎛ ⎞− = − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠7 ��

55 3

3 5

1 10 5 15 10 ;x x x x

x x x x⎛ ⎞− = − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

�� 8 7 7 6 6 5 5 4 48 28 56 70 56 28 8 .x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + 4

H 9B9� I = < ;

: 3 4 3 42 3 2 3 648.V V = ⋅ = 7 �������3��������#�%%���� �#�����!��� ���� �#������2����2���!

2*������������ ��&'�� ���3��������#�%%���� �#��)�#�!�'������'����'���2��'� �#��5�9�4�6�D���� ���2*���������� �

�2����������2%��� ���� 24V ���:��!�����2*�����:��!�������� �� 3

5V ���:���E'�� ���'A 3 3 2 35 5 4 54 6480.V V V V⋅ + ⋅ ⋅ =

4 56

6!6 6 4320.

1!V⋅ = ⋅ = H I

= E'�� ���' 15 (2,3,4,6) 6 306 300;P = 1��A 14 (2,2, 4,6) 1 261 260.P = < �� 38 56;C = �� 2 1

4 4 24;C C⋅ =

$� 3 3 2 1 2 14 4 4 2 4 2 4 4 12 12 32.C C C C C C+ + ⋅ + ⋅ = + + + = �������=�����*&'�� ��A������ ��'+���#�����+�:��� ��'� ��'�#����

�$�%������ ����'������ ��� ���������'����2��'�:��!�:#������ ��'���� ��%%<������ ����'������ ��� ���������'����2��' �:���

�������3���)#�������2��'9@����� ������������� � !���������'��*�5�<���������2��$��� ���� �� 220 190.C =;

−84B8B9� �9R4�

8�!�2��'2���5�� ��� �����'����'��*!2�����'������2��&'�� � ��8R@*5&�% ��2�����������:�����'��*�5���$�%��������

��� �<����2��62���$�%����2��'�:��'���'�%�������3�#����������*��� �������'��*���� ����8��'����!�������������

�� �� 2 220 6 1 176.C C− + =

> �� 8 88 15 6435;C C= = �� 8 8

16 23 490 314.C C= = :D :: :7 ��86D@�$�=����7

3

3432.

a

x x

: $�� 7 $�!)�� 4 $�� H ��!$�� I ��� = !.

( )!k

n

nV

n k=

< 3����� ���������%����������� �������� �%�������;

> 1.k kn n kC C + −= :D 1 2 2( ) .

0 1 2n n n n n k k nn n n n n

a b a a b a b a b bk n

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠� �

:4 ��64

;9

�� 3 23 11 .− ⋅ :H �� 4;x �� 2 816 .a b

:: 5 4 5 426 10 26 10 .V V⋅ = ⋅ :7 9 (3,4,2) 1260.P = :4 3 1 4

4 3 4 13.C C C⋅ + = 6QB@�:H

Page 342: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� : 7

:

7

4

I

H

V�7�K'�� ���8(��'�� ���9(��'�� ���5(��'�� ���4(��'�� ���B(��'�� ���6(��'�� �������(��'������� ��(L

٠7� K'8(�'5(�'B(�'9�8(�'9�5(�'9�B(�'4�8(�'4�5(�'4�B(�'9�4�8(�'9�4�5(�� '9�4�B(�� '4�9�8(�'4�9�5(�'4�9�B(L�

3����@�2���<����� ���!������$���!��� ���A

V�7�K'8�8(��'8�@�@(��'8�@�8�8(��'8�@�8�@(��'@�8�8(��'@�8�@(��'@�@�@(��'@�@�8�8(��'@�@�8�@(L�

�7�K'8�8(��'8�@�8�8(��'8�@�8�@(��'@�8�8(��'@�@�8�8(�L=����*7K'8�@�@(��'@�8�8(��'@�8�@(��'@�@�@(L�

+7�K'8�8(��'8�@�8�8(��'@�8�8(L�

V7K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�B�6LL�����$��� ��������2���5����������2���!���S�������2���5�����������:��!��������S�����

�2���5����������������

�7�K'$����(W$��∈K9�4�6L��∈K8�5�BLL�*7�K'$����(W$����∈K8�5�BLL�

+7�K'$����(W$����∈K8�9�5�4�B�6L�$C�C�∈K4�6�D�8@�89�84�86�8DLL�

,7�K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�B�6L��$7�L7K'$�$��(�W�$��∈K8�9�5�4�B�6LL�

�7�K'$����(�W�$����∈K8�9�5�4�6LL�� F E= �

7���'����$��$����&'���&'��'�'����2���!�S&'������:���!������S&'�������������3�����@�$����&'���)�&'��'�'�2���<����� ��'������� ������ �����

Ω 7�K'$����(�W�$����∈K@�Q�D�R�8@LL=����7K'$����(�W�$����∈KD�8@LL=

*7�K'$����(�W�$∈KQ�RL�����∈KD�8@LL � K'$����(�W��∈KQ�RL��$��∈KD�8@LL��

� K'$����(�W��∈KQ�RL��$��∈KD�8@LL�����+7K'$����(�W�$��∈KD�8@L���∈KQ�RLL�

,7� K'R�R�R(�'D�R�8@(�'D�8@�R(�'R�D�8@(�'R�8@�D(�'8@�D�R(�'8@�R�D(L�

= �7�K'������� ��(��'�� �������(�'���������(L��*7K'������� ��(��'�� �������(���'�� ����� ��(L�

�� *7K'�������� ��(��'�� ��������(L���� *7V�

���� "���������������#�

1 1( ) ; ( ) .

6 2P A P B= = 1 1

( ) ; ( ) .13 4

P A P B= =

: ���%���2���<���&'��'��A����#��������#�����%'���������7�8�9�5�4�B�

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

D A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

= + + + + +

+ + + + +

E D= � 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5F A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A= + + + + +

7 � 1 2 3B A A A= �� 1 2C A A= �� 1 2 3D A A A= �� 1 2 1 3 2 3E A A A A A A= ∪ ∪ ��1 2 3 1 2 3 1 2 3F A A A A A A A A A= + + �

1 2 3 1 2 3 1 2 3G A A A A A A A A A= + + �� H D= �

Page 343: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

Ω7K'$����(W$����∈K8�9�5�4�B�6LL��WΩW7986�

�7K'8�4�6(�'8�B�B(�'8�6�4(�'9�5�6(���'9�4�B(��'9�B�4(��'9�6�5(��'5�9�6(��'5�5�B(��'5�4�4(��'5�B�5(��'5�6�9(��'4�8�6(�'4�9�B(��'4�5�4(���'4�4�5(�

'4�B�9(��'4�6�8(�'B�8�B(��'B�9�4(��'B�5�5(��'B�4�9(��'B�B�8(��'6�8�4(��'6�9�5(��'6�5�9(��'6�4�8(L����'�(79QT986���'*(79BT986�

3�����2��&'�� � ���*&'�� '�5�������� ����52��'��#�����B&'������� �� 35 10C = �3������ ���&'��'�A2��'���

��&�����5���*&'�� ���������#�� ����������� !��� ��������2���<��������� ����&'�����5���$�%���2��'�:

��&�����5��� �������� 2��'&'�����������&������ �� ������8��'����!������� ��5%��� ����&'�� ���'��D� '���A

K9�5�4L�K5�Q�RL�K4�Q�RL�8��&'������������� ��5T8@�

� 315 455C = �� ��������2��&'�� � ����������5�2��'8B%%����5���*&'�� ��5��$�%��'���� :���7���'�����&'��'�A%%�����

�� :�������&'�� ���'���M�=��������5%��� ��2��2���<��'����&'��'����'������A'���� :��9%%�������&�4@�V� �

8%%������8@@�V+��5%%����2��'�&�6@V�8��'����!���������5%��� ��2��2���<��'����&'��'�����&'�� ���'

� ���8 3!7! 1

10! 15

⋅ = *�����������D��� ��������2��&'�� � ���2*���5�����$�%��������5�������2���2��'���%����5�!

���%������������� �������N���:��!��������'�����!���N���:���

$���'����2���'��&'��������&'��'������������� B #����'���2��'�:%�5����%�������� ��#��������2952

100

( ) 0.902C

P BC

= =

1���!��'*(7@�@RD

(������'���%���������������9@�4@�6@�D@�8@@��2���5

( ) 0.05.100

P A = = �E'������&'��'���������

� ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 6; ( ) ( ) 0, 4; ( ) 1 ( ) 0,9.P A B P A P B P AB P A B P A B P AB P AB= + − = = = = − =� �

� ( ) 0, 2.P AB = >� ��'������&'��'�A�"2������*&'�� �������&%�� �!."2������*&'�� �����#���&'�� �!

� 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , .B A A A C A A A D A A A A A A E A A A F E G A A A= = = = = =� � � �

� ����� ;A B = Ω� ����� ;A B = ∅� $�� ;A B= ��������)��� ;B A=

35310

1.

12

C

C=� �

5 1510 30

2040

0, 2836.C C

C

⋅ = �2

43

5

3 3.

5

V

V

⋅ =

2 1 37 3 5 73.C C C+ = "�� ��!

73( ) 0.545.

455P A = =

3"2������*&'�� �����&'������� ������3403100

( )C

P BC

= *���3153100

( )C

P CC

= *��$�;�2������$���'�����������:��

<���'����2������:&'� ��8��������������A

\ ( ) \ ( ) \ ( ) 15 3 10 3 5 3 3 24.A F AF G AG AF G FG AFG AF G+ + + = − + − + − + = E'������������%�&������

*&'�� ��2��'�:����2�����5��� ���3243100

( )C

P DC

= *�)���������:��2�����5���$�%����'����2������'�&'� ��� ��A

W�� .�3W�7�W�W�C�W.W�C�W3W�#�W�.W�#�W�3W�#�W.3W�C�W�.3W�7�4@�C�5@�C�96�#�8B�#8@�#B�C�5�7�6R��2���3693

100

( )C

P EC

= *

����� (10 1) !(10 )!,

10!

k k k− + ⋅ − ���7�9�5�X�8@�

Page 344: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� � �

������� �'����5�1 14 4

252

( )C C

P ABC

= �� �����:�����5�������� �'�5��� ���R�������'���2��'�:���� ���4��������'����B��

*"���������� �<��2%�2'���� �������8�����'2��2����#�*�����&'������� �������A

8��'��� ��5������:�����'��(�7�9T5���������'�

���(7@�B �"��� ��&'������ ��� 1 2

2 11

( ) 3( | ) .

( ) 4

P A AP A A

P A= =

� ; �'���*"�2���2�&����������<�%%���� �#���� ���������:2��2'��'���2���!2����<�%%�����2��2'��'��������

��3���6R2�������'����2������'�&'� ��� ��'!��� ������'����58�����'�����'�&'� ��� ��'�3&�����'����!��������:����

$�%����'��������:&'� ��� ��'�!$��� �������:�����%&���2���2����� �!� ���������� ��98�9��� ���!&'�����2��'�:��98

2��������*&'�� ���:� �2��'�:��58!��$�%�������'�����'�&'� �!���*&'�� ���'����� ��A

2���<�������'���2��'���2�����5�������'�������&'� ����3973100

( )C

P MC

= ��3973100

( ) 1C

P MC

= −

\ ( ) 14G AG FG G AG FG G AG FG AFG∪ = − ∪ = − − + = ��2���3143100

( )C

P KC

= =��#��&'��'��M

2 121 31

3100

( )C C

P HC

⋅= =���3�����2�����5���$�%����'��5����&'������� ��� ��A

�1

.2

4.

13

4

195�����������"�� �����:%����5��� ��R!�*"����:%�����'���

240252

( )C

P BC

= ����*���'��4@%����������� �'���5�� 1O�� ��'���&'��'��A��"���������� �<���� ��)�#�+

( ) 3 / 20 1( | ) .

( ) 6 / 20 2

P ABP A B

P B= = = 7��'�����

"�� ��'������<�%%���$������&'��'�'�%!��7�8�9

��; �#��� �������� ���'���2��'� ���5��@�8�9�X�8@��E'���<������ ��� �#����2��2'��'��2����� ��� 1

9( )

10P A = ��2����R�� �#��

'�����&�������8��������� �!�2 1

8( | )

9P A A = ��2������������ ������2��2'��'���2���!�&�%�� � �#��2��'��$�%�5��'�����

&�������3�#���!� 3 1 2

1( | )

8P A A A = !2���2���:2��2'��'�5������ �����!�&�%���� ��D�� �#��������� ��!2�5�����'����� ��

�5�������=�*�5�����������#���%�2���2����!2��&'������&'��'���*�#�� ����'*(78T8@�����8���2�&����������� �#���� ��)�#�!

2��*&'�� 2��'� �#��5��@�9�4�6�D��3����:�����'�'����2���2����� �� 4 3 1 1( ) .

5 4 3 5P B = ⋅ ⋅ =

��"�2���2�&�������<�%%���� �#���� ��������2��2'��'����!��7�8�9�X�1�5���'�����&'��'����

����'�����5�������8������ �!��)�

2��2'��'���<�%%������� �#���*5&�% ��������� �#��5�2��'��$�%�5�*&'�� ����3&'��'��*����2���<����!����2���2�&���������

��� � �#��� �� 2��2'��'� � 2��� � � �� � �:��! 2� �� � �����! ����� � 1 2 3.B A A A= � 8�� &'���� �� ���� �&'��'� ����A

1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( | ) ( | )P B P A P A A P A A A=

Page 345: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� @�R4����������7���'����/"����������������<�%%���$����!��7�8�9�5��������,"�$����� ���2������'� ���

�<�%%����8���� 1 2 3D H H H= �� ��&'��'���/�'����&'��'���2�5�����!#�� ����� ( ) 0, 06P D = !�����

7���'����/���7�8�9�'����&'��'����'�'���������:��2���2�����D�� ����

1 2 1 2A H H H H= + �� �

�'�(�7�@�46��3&'��'��*7/��/

��� �&'������'�� ����'*(�7�@�DD���':(7�'/

�/�(7@�49�� ( ) ( ) 0,12P D P B= =

7���'����/���7�8�9�'����&'��'����'�'���������:��2���2�����1���

� 3�����"��#���������2��� ��!��7�8�9�5�4����� ���� 1 2 3 4( ) 0,4536P A A A A =

� ��1�2�5�����'������)�#�����&'��'�5�A����� �*=���� ��=���� �.=�*�� ��=�*�� �.=���� �.�����1�2�5�����'������

; ����������������5�'���A#�$��%%�����!��� �������%���� �2�� �!��������%�����5�'���A

K�*��2%�������� ������� ����'���A�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+�!�+

� ��82�%%����� ����� ����2��'��&'�� ���%�5�*��5���#���������K�*��2%����'���8@@��%�5�*����*&'�� ���

�',(7@�R4�

( ) ( ) 0,58P E P C= =

�7�'/�(���'/

�(�7�@�Q���

1 2 1 2( ) 0,38.P H H H H+ = �9��� ���!�@�5�C�@�Q'8#�(�7�@�5D��2��'��#�� �����7�@�D�

���� ����&'��'�5�A�!��� ��+!��� ����$�3&'��'�����'�����2�5��������������

�&':��� ����&�%%� ������

�!�+�!�+���!��?���'�'�A��� ��'��2���42���'��+�'����������*��2%��������:� ���

$�"���������5��

� �

@

8

9

5

4

B

6

Q

D

8 9 5 4 B 6 Q D

��

@

@�@6

8 9 5 4 B 6 Q D

%�

@�89

@�8D

@�94

@�5@

Page 346: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�?%����� ������

(������$�(������$���%���5�

@ 6

8 D

9 B

5 9

4 9

B 5

6 8

Q 9

60, 2

30=

D 8

80, 266

30=

50,167

30=

30,1

30=

20, 067

30=

10, 033

30=

10, 033

30=

20, 067

30=

20, 067

30=

?%����� ������

(������$�(������$���%���5�

8 88 @�99

9 D @�86

5 89 @�94

4 R @�8DB 4 @�@D6 6 @�89

�� �

>����5�%� (������$�(������$���%���5�

Q @�84

D @�86

8@ @�9@

88 @�99

6 @�89

6 @�89

[ )280, 289

[ )289, 298

[ )298, 307

[ )307, 316

[ )316, 325

[ )325, 334

9 @�@4[ )334, 343

8B 8 @�@5586 B @�86Q8Q 4 @�855

8D 5 @�8

8R 4 @�855

9@ Q @�95498 5 @�8

99 5 @�8

� ?%����� ������ (������$�(������$���%���5�

@ 8@ @�9B

8 8Q @�49B

9 8@ @�9B

5 5 @�@QB

?%����� ������ (������$� (������$���%���5�

?%����� ������ (������$�(������$���%���5�

94 9 @�@66Q

9B 6 @�9

96 4 @�855

9Q 4 @�855

9D 6 @�9

9R 4 @�855

5@ 4 @�855

@

9

9D@

4

6

89

D

8@

9DR 9RD 5@Q 586 59B 554 545

���&��������������

Page 347: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

� 3����$���������� �5�� �� ���������� ������!������$������������������������������� ���

V�7�K'�� ����(��'�� ����(��'�� ����(��'�� ���(��'������(��'������(��'������(��'�����(L�

� ٠7�K'8(��'9�8(��'5�8(��'4�8(��'9�5�8(��'9�4�8(��'5�9�8(��'5�4�8(��'4�9�8(��'4�5�8(��'9�5�4�8(��'9�4�5�8(��'5�9�4�8(��'5�4�9�8(��'4�9�5�8(�'4�5�9�8(L�

�� � �

� 7�����������������'��5��� ��� 10 173,3,x =

�� �

��

8����*��2%����2��'�'��5������ 226; 56,61; 7,52.x x xr s s= = = �8����*��2%����2��'5�'*�5�A

>����5�%� (������$�(������$���%���5�

4 @�8

B @�89B

84 @�5B

4 @�8

6 @�8B

Q @�8QB

[ )500, 555

[ )555, 610

[ )610, 665

[ )665, 720

[ )720, 775

[ )775,830

>����5�%� (������$�(������$���%���5�

5 @�@QB

Q @�8QB

89 @�5

88 @�9QB

6 @�8B

8 @�@9B

[ )2; 2,5

[ )2,5; 3

[ )3; 3,5

[ )3,5; 4

[ )4; 4,5

[ )4,5; 5

21 199, 71.x = 20 1905,6.x =

30 3,31.x = � 50 1850.x =�

������5�'*�5�A�� 12 165,75.y = �7���������������������%����

�� ��� 22 169,36.z =

3, 3.Me Mo= = � 1, 1.Me Mo= = � 19,5; 20.Me Mo= = � 1, 1.Me Mo= =

2201; 2777,35; 52,7.r s s= = =��� ���2588; 28628, 44; 169, 2.r s s= = =

��� 21,9; 0, 28; 0,5296.r s s= = = ���23000 500 2500; 140000; 374,166.r s s= − = = =� � �

���

237; 112,69; 10,615.y y yr s s= = = �K�*��2%���2���� ��2��'&'�� ��%����A� 238; 102,87; 10,14.z z zr s s= = =

��� 25; 2,32; 1,52.r s s= = = 23; 0,7775; 0,882.r s s= = =���

���215; 10,16; 3,187.r s s= = = ���

24; 1,5789; 1, 2565.r s s= = =

� 1 24 6( ) ; ( ) .

52 52 13P A P B= = =� � ����������������������

20 5 20 5 16 4( ) ; ( ) ; ( ) .

28 7 28 7 28 7P A P B P C= = = = = =

>����5�%� (������$�(������$���%���5�

Q @�955

D @�96Q

89 @�4

9 @�@6Q

8 @�@55

[ )1,5; 3

[ )3; 4,5

[ )6; 7,5

[ )0;1,5

[ )4,5; 6

Page 348: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

� 7���'����-�� ��'������$��������&'��'�'�!��78�9�5���6-

��� 1 2 3 1 2 3 1 2 3;B S S S S S S S S S= + +

� �

�2

28

15.

28kC

C= �(�� ������*����� 2 30 0,k k− − = *&'�� '����$�%���� ����7�6�

3�9D������2��������'����&���� ��������4�������!�� ��<��������2�������'�����'�2��'����5�9R��5@��58!2�<�����

5'��������'�<�����*���'���2��'&'�� ���'Q�������5�A9R��'����������!���'��!�2��������� ����

�� 9T ���������) �����������2���<���������' #8(N2������$����

�� ��49 4! 48!

0,00018.52!

⋅ ⋅ = ���������K�*���'��4R�%%<�2��'�&������2*�����������5������

�� R6T8@@@����������8��')��� �����������#�� ���&��D�������$�%�������&��:������&':������

�� 8TQ����������V�7�K'$��(�W�$��∈K8�9�5�4�B�6LL��WVW�7�56����>� ��'���&'��'��A��"�'���2���<�����:2���� �

1 2 3 1 2 3;C S S S S S S= + 1 2.D S S= 1 2 3.C A B B B= �

3 26 4

510

10.

21

C C

C

⋅ = 3�����%�����������2������� �� �

D#���2���*��E'������6������:�2������� ��� ���2

28

kC

C�� �2��'��� ��������:���!�� �����5'� ��

�7�4TQ���������

>�'�'���� �����������$�%��2���<�������9��� ���!&'������������� ��9' #8(NT N�

�'����<���'����'���2�����'������A2��'8�9�5�4����4R�B@�B8�B9�8��)��%%���*���'��4N��� ��'������:� �����'���5�� �4DN

��� ��'������:� ���%����5��'������2 4! 48!

0,0000074.52!

⋅ ⋅ = ��������"�����'���������'�����5����������:�%%<����

��2���������#�������

"��������� �!2��������2��&'�� � �������5�����%%��� ���R6�

*"� ����5%���5���2���<�����'�����2%�2'������ �����B����*7�K'B�B(L��*7K'8�4(��'9�5(��'5�9(��'4�8(��'4�6(��'B�B(��'6�4(L�

( ) 1 / 36( | ) 1 / 7.

( ) 7 / 36

P ABP A B

P B= = = ���� 3 / 36 1

( | ) .12 / 36 4

P A B = = ���������7���'�����"�'���2���<�����:5%���)�#�!�*"�� ����

�5%���5���2���<�����2%�2'���� ��������*7�K'9�4(��'4�9(��'6�6(L��*7K'8�9(��'8�B(��'9�8(��'9�4(��'5�5(��'5�6(��'4�9(��'4�B(��'B�8(��'B�4(�

'6�5(��'6�6(L�

�� 7���'�����"��#%'�%� �����2�����!��78�9�5�4��3&��4�%'���&'�� ��2�����2������!

����)�%'�%� �����2������8�����'! 1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )P A A A A P A P A A P A A A P A A A A= =3 3 39 6 33 3 312 12 12

1 0, 000158.C C C

C C C= ⋅ ⋅ ⋅ =

iA ��� ���&'��'������#���%'�����*�����%'��=�&'�� ���!� 2 1( ) , 1 ( ) , 1, 2,...

3 3i ip P A p P A i= = − = = =

��

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ,A A A A A A A A A A+ + ������&'������'�� ��� 4 4 112( ) 4 (1 ) .

243P D p p p= + − = ��E'��������#����*���%'���� ��

112 131( ) 1 .

243 243P D = − = �9��� ���!#������� ��%'�����*�

7���'�������&'��'�A%'�������#�������#%'�!��7�8�9�5�X�D�� ���!

3����,�2���<����%'���������#�������%'���� ��� 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5D A A A A A A A A A A A A A A= + + +

Page 349: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

��

��� 30 98,533; 98,5;x Me= =

�� ��82�%%���A��&'�� �������%����2�� �����#�������+��� 2��*������%����5��'�&���+

� ���������������5�+$����%�*������*��2%������������2��� <:�������� �������

�� ��

��� 40 5,85; 6,5; 8;x Me Mo= = = ��$��� 29; 9, 2775; 3,0459.r s s= = =

� � ��

in

n

8 4 @�8

9 B @�89B

5 5 @�@QB

4 9 @�@BB B @�89B

6 8 @�@9B

Q 9 @�@B

D D @�9

R 6 @�8B

8@ 4 @�8

>����5�%� (������$� (������$���%���5�

8 @�@55

6 @�9

8B @�B

6 @�9

9 @�@6Q

[ )81,92

[ )92,103

[ )114,125

[ )70,81

[ )103,114

8%�&���#������$�5�

@

8

9

5

4

B

6

Q

D

8 9 5 4 B 6 Q D R 8@ @

�!���

8 9 5 4 B 6 Q D R 8@

�!��

�!���

�!�

�!���

�!��

�!���

�!�

8%�&���#������$�5���%���5�

� ��

���'���A�DD��RB��R6��RD��8@@��8@8��8@9��889�

$�� 245; 101,38; 10,069.r s s= = =

@

@�8

@�9

@�5

@�4

@�B

@�6

�� �� � ��� ��� ���

L���&����������������%���5�L���&��������������

@

9

4

6

D

8@

89

84

86

�� �� � ��� ��� ���

Page 350: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��

��� 150 156,87;x =� ��$�� 2 4386; 66, 228.s s= =� � ��� 40 14,25;x =� ��5�� 2 45,6875; 6,76.s s= =� �

�� @�� ��������&'�� ��$���5���%�� '�

L���&��������������

@

B

8@

8B

9@

9B

5@

5B

�� �� �� ��� ��� � � ��� ��� � �

L���&��������������

@

9

4

6

D

8@

89

84

86

� �� �� �� �� ��

��� ��

� � ��� ��� $�� )�� �

�����2����������� �����5���&'���)����%�*��������2�����������2���<�����'�� �5�����%�4

��������'��� ������ � ( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB= + −� ( ) ( ) ( ).P AB P A P B=

@�� �������'����5����'�&'��������*�%����2��'���'�2���$���<������'������ �������������������2����� ����

<� ��22�%%����"��������������2����� ���<� ��� �����8'����22�%%����<���:��� <:���������5'� ��

<� ����*��2%���

9�5�'������������� ������'�������2��'���2��*�������

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3; ; ;A E E E B E E E C E E E E E E E E E E E E D E E E E E E E E E= = = + + + = + +��

( ) 0,8 0,9 0,7 0,504

( ) 0,2 0,1 0,3 0,006

( ) 0,8 0,9 0,3 0,8 0,1 0,7 0,2 0,9 0,7 0,8 0,9 0,7 0,902

( ) 0,8 0,1 0,3 0, 2 0,9 0,3 0,2 0,1 0,7 0,092

P A

P B

P C

P D

= ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ == ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

8��'�( )

( | ) 0,( )

P ABP A B

P B= = �5�'�����*�!"��9�D ����

1 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ;

2 5 10P A B P A P B P AB∪ = + − = − =

��� ( ) ( ) ( ),P AB P A P B≠ ����� ��*����'����&'��'���2�5������

��

Page 351: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��� 50 6,68; 7; 9.x Me Mo= = = ����$�� 212; 10,78; 3, 283.r s s= = =

�� 480 95,9667; 94; 94;x Me Mo= = = �� 256; 109,6; 10, 469.r s s= = =

�� �� � � � �in

n

8 5 @�@6

9 4 @�@D

5 5 @�@6

4 B @�8B 4 @�@D

6 4 @�@D

Q B @�8

D B @�8

R Q @�84

8@ 4 @�D

88 9 @�@4

89 9 @�@4

85 9 @�@4 8%�&���#������$�5�

@

8

9

5

4

B

6

Q

D

8 9 5 4 B 6 Q D R 8@ 88 89 85

��

������0 ���������/�����

� � @�DQB��������+8�@B���*���+@�BQB�������%�

� � 000968,75 .

� ��95�9B�%�+��99�QB�%�+$�95�%�� � ��99Q�D5+��954�B+

� ��986�BD��Y�+��9@R�9B��Y�+$�98B�8Q��Y��

� ��8D�B@�%�+��88�9B�%�+$�8B�%��

� "��� ��2���%��2��' 1000p S P⋅ = ⋅ 5�'���1000

.P

pS

⋅=

� ��8D�QB�%�+$�98�B�%��

� ��3

22car 3gr 22 22,75 car;4

= =

��9@6��Y��89���7�9@6�B��Y�+$�998��Y��4���7�998�8Q��Y��

$�959�98� � 000

221000 916,67 .

24⋅ = � 0

00925 .

�� 000687,5 ; �� 0

00979,16 ; $� 000875 . � �� 0

00980,90 ; �� 000959, 20 ; $� 0

00867,36 . � ��;�����2���%��

��������� �� ,1000

p SP

⋅= �� 24S = 2����!2��������� � 240S = 2����&'����815 24

19,56car.1000

P⋅= = 9��� ���!��

942'���!%�&�����8R�B62'�����������2������;������ ��2����� ����8R�%��9�94��!2��� ����� ����V9��8�Q6

��94T8R�B6���99�B6�%��7�99�%��9�94���+$�99�RB�%��7�99�%��5�D��� � ��8RD��Y�+��986��Y�+

$�99R�B��Y��7�99R��Y��89��� � ��95�B9�%��7�95�%��9�@D��+;8��9�@D����94T95�B9=��98�6@�%��7�98�%��9�4��+

V@��8�6���94T98�6@=��$�9@�4�%��7�9@�%��8�6��+V8��9�4����94T9@�4� � ��996�D��Y��7�996��Y��8R�9��+

��959�9B��Y�+

Page 352: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

;4��8R�9����94@T996�D=��999��Y�����&'������������!94@T999=��$�8R9��Y�+�V5@��@���94@T8R9�

� �� 000958,3 ; ��95�%�= 84�4�%����� �����VQ��9�4�����94T84�4� 0

00916,67 ; �99@��Y������ ����

V9��@�����94@T99@�

� �120 204

102g240

P⋅= = ���2������ � 630

1000 787,5g.800

P = ⋅ =

� 59�R��� � 6�58B��� � DRD�R9��� � 4BQ�D��� � 4R4�BB��� � 85@�R8��� � 459�4���

1�������������60 900 110 960 60 16,75

201, 475g1000 1000 24

⋅ ⋅ ⋅+ + = ����2�����!�������������������&

� �2����� ���� 000875,98 ����!���%�� ;������

1000 800 650 237, 42 500 217,751896,66g

1000 240 240

⋅ ⋅ ⋅+ + =

��&'�����2������=������������98B@��!�����2����� ������� �� 000882,17 ��988�Q9��Y��7�988��Y��8Q�9D���

� ��� � $�� � ��� � )�� � =����<�!B�%��� ��8��� � =������!8@��Y��8@���

� ��4��+ ��94���

�� 1���%����25 912 50 16, 25

31,1035 87,75g1000 24

⋅ ⋅+ + = ���2�����!������������%����� ��884��D4���

8����� �����2���%��� �� 000764,1 , �����2����� �������&%�*��� ��8D�54�%��7�8D�%��8�56���3���$�� �������%�&��������

��� ���2��� �����2��2����������� ���5�2�2�$���%�����A884�64 Q64�8

$ �Q9R�8Q�2��'��

:114,84 764,1: 729,17; 120,34g,x x= = 2��� ����� � ��120,34 114,84 5,5g− = ������

� ��"�����%��+��2���5�'���Y��� � ;������ ����2����� ��������<�2��4�%��9���&�

� ;������ ����2����� ������������2��8�%��5��������2����� ��������'�� ��22car 1car 3gr+ =

� �� 222dwt 8dwt 15gr 213dwt 9gr 213,375dwt;− = =

�� 000

213,3751000 889,06 .

240⋅ = � ��8DQ�9��Y�=����995�9��Y�=$�95B�9��Y�� � ��8D�Q9�%�=����99�59�%�=

$�95�B9�%��7�95�%��9�@D��� �� 000

651000 812,5 ;

80⋅ = ����

6524 19,5 car.

80⋅ = �� 0

00833,33 ��9@@��Y��

;������ ����2����� ���� 22 6,,2 15,5 car,− = �����2��' : 24 300 :15,5x = 5�'�������$���������

�� �����!��&� 8����� �������������� �� 222 9, ,12 231,5 dwt,+ = ����������� ��500 240

518,36 g.231,5

⋅ =��

�� 1,9 28 53, 2 g; 53,2 850 45220⋅ = ⋅ = �������

994�4��Y��7�994��Y��R�6��� �� 000900 ; ��98�6�%�� ��

250 240270,27 g.

222

⋅ =

./ 58,989100024

75,23ht përkatësis 23,75car,car

4

323 00

0=⋅==

������������

Page 353: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

�������������������

"

������ ���845

����������������������������$��������"#�������D5#����������D5#� ���� ���D5#����� ���������� �D4#����� �' � ������(�D4#$������ �'����(�DB#������������ �88D#�����$����89D���$���"#��� ��4#���� ����4# ������ ���B#� ���������������4#� ��������������R#�����D9���������� ������$�����4������"# ���Q8#���������Q8#���� �����8D5#������ �����8D5

������������������%������"#��� ����8B5#����������8BB# ������� ���8BB#������8BQ�#��������8BQ

���������������������������R8�� ������8B5��� $�����9DQ� ���������������9DD

���������������� �� �� ����949 �$ �����96R

����������������������� �� �� �������%������4@���������"#��� ��8@D#�����8@R

���������������� ��9RB

�����������������"#��������� �945#������ �9BQ#� �����9BR#������ �9@5�� � ������8B5

���������������� ����������9QQ

���������������������"#��� ����86@#��� ���86@#��%������86D#����������869#������86B���� �� ������������65���������8QR������ ����8D4�������%��� �"#�������� �99B#� ������� �99D����������������88@

�����������������������6Q����������894���������894� ������965�����9D4������������������� �� � � ��� �94B���������� ��"#�����$����69#���� �������������69#���� ��������������69#�����������65#�������6Q#���������� �� ��� �Q@������� �������94Q

������������������������������� �68

����������������� �%��� ��� ���������� ��"#��� �����64#$������64#�����$����66#� �������6D#����$����6R

#�������94@#������9B@����������������������� ������ � �966��� ���85#�������88@ ��������� "#%�������8B4�#�����868�$��"# �� ����85B# � ������85B#������85D������"#� ����� �845#��������� �845# � ������845# �%������844#������846 ��� ���95B ����%��� �"#�������� �998#� ������� �995�������"#��� �� �%�� �9RB#� �� �%�� ����� �9Q5����������"#���� �9RB#���� $ �9RB��������96R

�����������������9DB��������5Q�%������$���B5

�������������������"#���� ���Q8#�������Q8 ����������� ����8QR����"#���������� �56#��5Q#$ �� ����4Q#��� �������45����$����B9������������ �R5

� �%��� ��� ������ � ������"

���

Page 354: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

��������������������� ��������$�� � ���� � �����"#���%������8R#������������8R# ������ ���8B�������8QR�������"#���9RB#��� ����9RB

������������������ ��������96R�� ���"#���� ��� �B5#��%����� �B5�%����� �BB

����������������������� ����8D5� � �"#����� �85B# ���$���85B���������� ��8B4� � ��� ���������8RR� � ��� �����������9@4

���������������������� �� ��� � �894� ��"#��������� �6B#���%����� �6B#���������� �6Q

��������������������$ ��89B$�� ������������4R$�������� ����� ����������$�� � ��� � "#� ����� �$������������8Q#� ����� ��� ��%� ���� ����������9@#����� �94

Page 355: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

������ � �

*

��

��

���

�**

���

��� �� ����� ��������

��������������������� �!����������������������������������������������������

��"!#"��������������������������������������������������������������������������������������������

!�������$�� ��� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������)�

��������������$��� ��������������������������������������������������������������������������� �� ����� ��������

%�!���$!�������$�������#$��������������$�� ��� �� ����� ��������

�����!�������" ��������������&#�$���������������������������� �� ����� ��������

�&#���#��������"!�"������"��#���"�����������������������������������

������.

�����-

�����,

�����+

�����*

�����&

������

�$���!��$����� ��������������������������������������������������������������������������������������������������

�����1

&#�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

�����2

���� �����'����� ������������������������������������������������������������������������������������������������������)��

������0

�)�

����"�&#�&#������"�������&#���#����������������������������������������������

�����������������������������������������������������������������������������������������

��

��

��

���

Page 356: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

���

�������

�� �������� ���������������������������������������������� !"��# ��$�%�&�' �(�)*+�,)�&��"-�,

��(����)����.�)/�����&��0" )�� ���,��- +�-�1�� �' 2�3 � (��"��- +� )4� �� (�3���5�5�+� )4� �

������������ ��'�%�����6 )�%�-�

��������������/ ) ����7-�%�-

������ ��� ������������������� 2 )��"�,-��-�+��$8���%� (��-�+���5 )��%� (��-�

����������������'�%�����6 )�%�-�

�������������4

Page 357: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e

Me vendimin e Ministrit të arsimit dhe shkencës së Republikës së Maqedonisë numër 22-4256/1 prej 28.07.2010, lejohet përdorimi i këtij teksti.

Autorë: D-r Naum Cellakoski, D-r Verica Bakeva, Borivoje Miladinoviq, Jovo Stefanovski

MATEMATIKAPër vitin e dytë të arsmit profesional të mesëm për të gjitha drejtimet

PërkthyesMuzafer Beqiri dhe Sadulla Kamberi

Redaktor profesionalMuzafer Beqiri

Lektor gjuhësorRoland Poloska

Përpunimi kompjuterik dhe dizajniDragan Shopkoski, Milço Avramoski, Boban Avramoski

KorekturënMuzafer Beqiri

Shtypi:Grafi çki centar shpk, Shkup

Tirazhi:3.950 copë

CIP - ������������ �� �������������������� � ������������� ���������� „��. ������� ��������“, ��� ��51(075.3)

���������� � ����� ������: ������ ����!�� ���������� � ���� ������ / ���� "�������� ...[� ��.]. -��� �� : ������������ � ���������� � ����� �� #� ������ ����������, 2010. - 257 ���. : ������. ; 25 �������� : ���� "��������, $���� %�����, %������� ����������&, '��� ���*�������

ISBN 978-608-226-050-11. "��������, ���� [ ����� ]COBISS. MK-ID 8429014

Page 358: Ministry of Education and Science · 23 1/ 6 32 xxy−+ ⇔−++=22 3 3 6(xxy) ( ) ⇔−+ + =463 3 6xxy ⇔+ + =+43 3 66xx y ⇔+ =7 3 12.xy ˚2.3(3,2 6. I kryejmë operacionet e