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UNIVERSIT DE MONTRAL
DTERMINATION DES FRQUENCES NATURELLES DE STRUCTURES
SUBMERGES PAR LA MTHODE D'INTERACTIONS FLUIDE-
STRUCTURE BIDIRECTIONNELLE
FRDRICK DOMPIERRE
DPARTEMENT DE GNIE MCANIQUE
COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL
MMOIRE PRSENT EN VUE DE LOBTENTION
DU DIPLME DE MATRISE S SCIENCES APPLIQUES
(GNIE MCANIQUE)
AVRIL 2010
Frdrick Dompierre, 2010.
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UNIVERSIT DE MONTRAL
COLE POLYTECHNIQUE DE MONTRAL
Ce mmoire intitul:
DTERMINATION DES FRQUENCES NATURELLES DE STRUCTURES SUBMERGES
PAR LA MTHODE D'INTERACTIONS FLUIDE-STRUCTURE BIDIRECTIONNELLE
prsent par : DOMPIERRE Frdrick
en vue de lobtention du diplme de : Matrise s sciences appliques
a t dment accept par le jury dexamen constitu de :
M. GARON Andr, Ph. D., prsident
M. PELLETIER Dominique, Ph. D., membre et directeur de recherche
M. PETTIGREW Michel, Post-Grad. Dipl., membre et codirecteur de recherche
M. REGGIO Marcelo, Ph. D., membre
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RSUM
La prsente recherche vise l'valuation de la viabilit d'utilisation d'une mthode numriquercemment rendue disponible dans un logiciel commercial pour la prdiction du comportement
dynamique de roues de turbine hydraulique en fonctionnement au stade de conception.
Contrairement aux mthodes de prdiction classiques, cette mthode temporelle intgrant la
simulation des interactions fluide-structure permet d'inclure l'effet de l'coulement, de la
turbulence et de la viscosit du fluide agissant sur le comportement dynamique de la roue. cet
gard, une prdiction plus juste permet d'assurer une fiabilit accrue de cette composante
essentielle la gnration d'hydrolectricit.
L'objectif principal de la recherche est la validation de la mthode numrique propose pour la
prdiction du comportement dynamique de structures submerges. Cette mthode fait intervenir
deux solveurs distincts. Le premier rsout le systme associ au domaine structurel et le second,
le systme associ au domaine fluide. La rsolution est ralise de faon squentielle et le
transfert de donnes d'change assure le couplage. Pour valider cette faon de faire, une
mthodologie est d'abord dveloppe partir des fonctions logicielles disponibles. Dans un
premier temps, celle-ci est applique des cas test faisant intervenir des structures submerges
dans l'eau stagnante dont les frquences naturelles sont connues pour fin de validation. Aucun
coulement moyen n'est donc impliqu. Aussi, leur gomtrie est simple et permet une mise en
uvre relativement aise. Par la suite, la mthodologie est applique la prdiction des
frquences naturelles d'une roue de turbine en fonctionnement. Ce cas de figure intgre les effets
associs l'coulement.
La mthode numrique utilise permet de raliser des simulations temporelles exclusivement. La
mthodologie envisage est donc restreinte cette contrainte. Concernant les cas test en eau
stagnante, un dplacement initial est impos la structure puis elle est libre de vibrer dans le
fluide. L'analyse du dplacement d'un point attach la structure en vibration libre dont
l'amplitude est significative permet de dduire les frquences naturelles des modes excits. Cette
analyse consiste en l'ajustement d'un modle simple de sinusodes amorties au signal brut
provenant du logiciel. Les frquences naturelles sont des paramtres directement dtermins lors
de l'ajustement.
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Le premier cas de validation considr est celui d'un cylindre infiniment long et rigide vibrant
selon un degr de libert de translation dans un espace annulaire rempli d'eau. Ce cas possde une
solution thorique issue de la thorie potentielle pour fin de comparaison. La frquence naturelle
en fonction du degr de confinement est dtermine par des simulations adoptant diffrents
rayons extrieurs au niveau de l'anneau de fluide. Ce cas test permet la validation du logiciel
quant la prdiction de l'effet de l'eau et du confinement sur la rponse dynamique du cylindre.
Le second cas de validation considr est celui d'une plaque d'acier encastre par l'une de ses
extrmits et libre de vibrer dans l'eau selon ses diffrents modes de vibration. Ce cas est plus
complexe que celui du cylindre puisqu'il est tridimensionnel et fait intervenir la dformation
lastique de la structure. Ce cas possde des mesures exprimentales fiables de frquencesnaturelles. Il permet la validation du logiciel par rapport l'effet de l'eau sur la rponse
dynamique de la plaque en fonction des diffrents modes de vibration tudis.
Finalement, le dernier cas de simulation consiste en une roue de turbine de type Francis en
fonctionnement. Un domaine reprsentant une portion importante de la turbine est modlis dans
le but de minimiser l'effet des conditions limite imposes sur la roue l'tude. La simulation en
fluide seule est d'abord valide par des mesures ralises lors de l'essai sur turbine modle rduit.
Par la suite, des analyses modales de la roue de turbine seule avec diffrentes rsolutions etconditions limite permettent de vrifier la cohrence des rsultats pour la portion mcanique du
calcul. Une simulation transitoire drive de l'analyse modale est btie pour servir d'intrant la
simulation couple. Une fois la vrification des simulations fluide et solide effectue, la
simulation en interactions fluide-structure est lance. Au dpart, aucun chargement n'est appliqu
la roue et les champs de pression issus de la rsolution du domaine fluide sont imposs de faon
impulsive. La roue est alors soumise une rponse transitoire faisant intervenir plusieurs modes
dont la torsion, le soulvement et d'autres modes de degrs suprieurs. Ces modes sont amortis et
une rponse stationnaire est atteinte par la suite. Cette rponse confirme l'excitation d'un mode
thorique attendu pour une turbine possdant cette configuration particulire. Tous les modes
dtermins sont compars avec ceux obtenus par une mthode valide au niveau de la prdiction
des frquences naturelles de roues en eau stagnante, soit la mthode acoustique. Les
dplacements moyens pris diffrents points de contrle sont aussi compars avec ceux issus
d'un calcul mcanique statique classique galement pour fin de validation.
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ABSTRACT
This research aims to assess the viability of using a numerical method recently made available incommercial software for the prediction the dynamic behaviour of hydraulic turbine runners in
operation at design stage. Unlike conventional prediction methods, this temporal method
integrating the simulation fluid-structure interactions can take into account the effect of the
surrounding flow, turbulence and fluid viscosity acting on the dynamic behaviour of the runner.
In this regard, a more accurate prediction ensures the increasing of reliability of this essential
component for the hydraulic power generation.
The main goal of this research is the validation of the numerical method proposed for theprediction of the dynamic behaviour of submerged structures. This method involves two separate
solvers. The first one solves the system associated with structural portion and the second solves
the fluid portion. The resolution is achieved sequentially by transferring exchange data ensuring
the coupling. To validate this approach, a methodology is first developed from the software
available features. The first step is to apply the methodology to test cases whose submerged
natural frequencies are known for validation purpose. The vibration of these simple systems is
carried out in still water, no mean flow is therefore involved. Also, their geometry is simple and
can be modelled relatively easily. Subsequently, the methodology is applied for the prediction of
natural frequencies of a turbine runner under operation conditions. This simulation incorporates
the effects associated with the flow.
The numerical method used allows to perform time-dependant simulations only. The proposed
methodology is then limited to this constraint. For the test cases in still water, an initial
displacement is imposed on the structure and it is to vibrate freely in the fluid. The analysis of
displacement of a point attached to the structure whose amplitude is significant allows to deduce
the natural frequencies of the modes involved in the resulting free vibration. This analysis
consists in the best fitting a simple model of damped sinusoids to the raw signal provided by the
software. The natural frequencies are parameters directly determined during the best fit.
The first validation test case considered is an infinitely long and rigid cylinder vibrating in a
translation degree of freedom through an annular space filled with water. This case possesses a
theoretical solution from the potential theory for validation purpose. By its nature, the geometry
can be reduced to a two-dimensional modelling and allows the use of relatively small mesh sizes
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while having an acceptable resolution. The natural frequency depending on the degree of
confinement is determined by several simulations adopting different external radii for the fluid
annulus. This test case allows the validation of the software concerning the effect of water
confinement on the dynamic response of the cylinder.
The second validation test case considered is a steel plate embedded by one of its free ends and
free to vibrate according to its different vibration modes. This case is more complex than the
cylinder test case since it involves three-dimensional elastic deformation of the structure. This
case has reliable experimental measurements of natural frequencies. It allows the validation of
the software for the effect of water on the dynamic response in regard of its different vibration
modes.
Finally, the last simulation consists of a Francis turbine runner under operation condition. A
domain representing a significant portion of the turbine is modeled in order to minimize the effect
of boundary conditions imposed on the considered runner. The fluid simulation alone is first
validated by measurements made on the model test turbine. Subsequently, a modal analysis of the
turbine runner without any fluid contribution allows to validate the mechanical portion of the
calculation. A mesh convergence analysis ensures a good accuracy of the solid portion of the
simulation. Once the verification of fluid and solid simulations performed, the simulationincluding the fluid-structure interactions is launched. Initially, no load is applied to the runner
and pressure fields provided by the resolution of the fluid domain are imposed impulsively. The
runner is then subjected to a transient response involving several vibration modes including
torsion, uprising and other higher degree vibration modes. Thereafter, these modes are damped
and a steady response is reached. This response confirms the excitation of a theoretical vibration
mode for a turbine with this particular configuration. All determined vibration modes are
compared with those calculated by a validated method including fluid-structure interactions
namely the acoustic method. Finally, the mean displacements taken at different checkpoints are
compared with a typical static mechanical calculation also for validation purpose.
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1.2.3 Effets de la prsence du fluide sur la rigidit du systme en vibration..................17
1.2.4 Effets du confinement ............................................................................................18
1.2.5 Effets d'une surface libre du fluide.........................................................................19
1.2.6 Effets d'un coulement primaire.............................................................................19
1.3 Mthodes de dtermination des frquences naturelles de structures submerges..........21
1.3.1 Mthodes analytiques .............................................................................................21
1.3.2 Mthodes exprimentales .......................................................................................23
1.3.3 Mthodes numriques ............................................................................................231.4 Applicabilit des mthodes de prdiction au problme actuel .......................................26
1.5 Conclusion......................................................................................................................26
CHAPITRE 2 CADRE THORIQUE CONCERNANT LES MTHODES NUMRIQUES
UTILISES............. ...................................................................................................................... 28
2.1 Mcanique des fluides incompressibles .........................................................................28
2.1.1 quations de base et mthodes numriques ...........................................................28
2.1.2 Mthodes des volumes finis ...................................................................................30
2.1.3 Erreurs rencontres lors de l'utilisation de la mthode des volumes finis..............33
2.2 Mcanique des solides lastiques linaire......................................................................34
2.2.1 quations de base rgissant la mcanique des solides linaire ..............................34
2.2.2 Mthodes des lments finis ..................................................................................36
2.2.3 Erreurs rencontres lors de l'utilisation de la mthode des lments finis .............40
2.3 Interactions fluide-structure ...........................................................................................41
2.4 Conclusion......................................................................................................................44
CHAPITRE 3 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS DU CYLINDRE
CONFIN......................................................................................................................................45
3.1 Mise en contexte et but vis ...........................................................................................45
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3.2 Description du cas test du cylindre et mthodologie utilise.........................................46
3.3 Modlisation...................................................................................................................47
3.3.1 Modlisation du domaine structurel.......................................................................48
3.3.2 Modlisation du domaine fluide.............................................................................50
3.4 Rsultats .........................................................................................................................52
3.5 Post-traitement du signal ................................................................................................56
3.6 Analyse de convergence.................................................................................................57
3.7 Comparaison des rsultats de la mthode numrique avec ceux issus de formulationsthoriques ...................................................................................................................................59
3.8 Note sur le temps de calcul ............................................................................................61
3.9 Discussion et conclusion ................................................................................................62
CHAPITRE 4 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS DE LA PLAQUE
ENCASTRE SUBMERGE.......................................................................................................63
4.1 Mise en contexte et but vis ...........................................................................................63
4.2 Description du cas test et mthodologie utilise ............................................................64
4.3 Modlisation...................................................................................................................67
4.3.1 Modlisation du domaine structurel.......................................................................67
4.3.2 Modlisation du domaine fluide.............................................................................72
4.4 Rsultats .........................................................................................................................76
4.5 Post-traitement du signal ................................................................................................80
4.6 Analyse de convergence.................................................................................................83
4.7 Comparaison des rsultats de la mthode numrique avec les rsultats exprimentaux84
4.8 Note sur le temps de calcul ............................................................................................87
4.9 Discussion et conclusion ................................................................................................88
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CHAPITRE 5 MTHODES ET RSULTATS POUR LE CAS D'UNE ROUE DE TURBINE
HYDRAULIQUE EN FONCTIONNEMENT..............................................................................91
5.1 Mise en contexte et but vis ...........................................................................................91
5.2 Description du cas de la roue de turbine et mthodologie .............................................92
5.3 Sources dexcitation vibratoire pour une roue de turbine hydraulique ..........................94
5.3.1 Thorie lie l'interaction rotor-stator...................................................................95
5.4 Modlisation gomtrique..............................................................................................97
5.5 Modlisation et rsultats de la portion structurelle seule du calcul................................99
5.5.1 tude de convergence de l'analyse modale de la roue complte..........................100
5.5.2 Effets de la condition limite d'encastrement sur les frquences naturelles ..........105
5.5.3 Effets de l'tat de contrainte de la roue sur ses frquences naturelles..................107
5.5.4 Effets des conditions limite de priodicit sur les frquences naturelles .............108
5.5.5 Modle structurel utilis pour le calcul incluant les interactions fluide-structure110
5.5.6 Conclusion pour la simulation de la structure seule.............................................111
5.6 Modlisation et rsultats de la portion fluide seule du calcul ......................................112
5.6.1 Point de fonctionnement de la turbine pour la simulation fluide .........................113
5.6.2 Maillages du domaine fluide ................................................................................113
5.6.3 Conditions limite..................................................................................................115
5.6.4 Conditions initiales...............................................................................................118
5.6.5 Choix du pas de temps .........................................................................................118
5.6.6 Modle de turbulence ...........................................................................................119
5.6.7 Critres de convergence .......................................................................................119
5.6.8 Rsultats et discussions pour la simulation en fluide seule..................................119
5.6.9 Note sur le temps de calculs .................................................................................125
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5.6.10 Conclusions de la section traitant de la simulation de la turbine Francis en fluide
seule......................................................................................................................................125
5.7 Simulation fluide-structure pour le cas de la roue de turbine ......................................126
5.7.1 Conditions limite..................................................................................................126
5.7.2 Conditions initiales...............................................................................................127
5.7.3 Critres de convergence .......................................................................................127
5.7.4 Rsultats pour la simulation en interactions fluide-structure ...............................128
5.7.5 Note sur le temps de calcul ..................................................................................136
5.8 Conclusion....................................................................................................................137
CONCLUSIONS ET RECOMMANDATIONS CONCERNANT L'ENSEMBLE DU PROJET
..................................................................................................................................................... 139
BIBLIOGRAPHIE ...................................................................................................................... 142
ANNEXES .................................................................................................................................. 147
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LISTE DES TABLEAUX
Tableau 3.1: Proprits de l'acier standard.....................................................................................47
Tableau 3.2: Proprits de l'eau......................................................................................................47
Tableau 3.3: Nombre de nuds des maillages solide du cas du cylindre confin.........................48
Tableau 3.4: Paramtres de la simulation mcanique temporelle du cas du cylindre confin.......49
Tableau 3.5: Paramtres des maillages utiliss pour le domaine fluide du cas du cylindre confin
................................................................................................................................................51
Tableau 3.6: Critres d'arrt pour la simulation du cas du cylindre confin intgrant lesinteractions fluide-structure....................................................................................................52
Tableau 3.7: Caractristiques du calculateur utilis.......................................................................61
Tableau 4.1: Dimensions des plaques considres pour l'tude.....................................................64
Tableau 4.2: Nomenclature utilise pour l'identification des modes des plaques encastres ........65
Tableau 4.3: Rsolution des maillages structurels de la plaque 2 pour l'analyse de convergence
des frquences naturelles calcules dans le vide....................................................................68Tableau 4.4: Frquences naturelles simules dans le vide pour le cas de la plaque encastre et
comparaison avec les valeurs mesures .................................................................................70
Tableau 4.5: Comparaison entre les frquences naturelles dans le vide de la plaque 2 (Vu)
rapporte aux dimensions de la plaque 14 de Linholm avec celles de la plaque 14 de
Lindholm ................................................................................................................................71
Tableau 4.6: Paramtres de la simulation mcanique temporelle pour le cas de la plaque encastre
................................................................................................................................................72
Tableau 4.7: Caractristiques des maillages fluide structurs utiliss pour l'analyse de
convergence des simulations intgrant les interactions fluide-structure pour le cas de la
plaque 2 encastre et submerge ............................................................................................73
Tableau 4.8: Caractristiques du maillage fluide non-structur utilis pour la plaque 2 encastre et
submerge...............................................................................................................................74
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Tableau 4.9: Critres d'arrt pour la simulation intgrant les interactions fluide-structure pour le
cas de la plaque encastre submerge ....................................................................................75
Tableau 4.10: Frquences naturelles calcules par la mthode bidirectionnelle avec maillages
fluide structurs pour le cas test de la plaque en comparaison avec les mesures
exprimentales........................................................................................................................85
Tableau 4.11: Comparaison des rsultats obtenus pour le cas de la plaque 2 encastre et
submerge par les maillages fluide structur (Gambit) et non-structur (ICEM)..................87
Tableau 4.12: Caractristiques du calculateur utilis pour les calculs...........................................88
Tableau 5.1: Caractristiques de l'interaction rotor-stator lies au nombre de directrices et nombred'aubes de la roue de turbine Francis considre ...................................................................96
Tableau 5.2: Analyse de convergence des frquences naturelles dans le vide pour la roue de
turbine Francis complte ......................................................................................................101
Tableau 5.3: Nomenclature utilise pour les diffrents modes de la roue de turbine Francis .....105
Tableau 5.4: Frquences naturelles dans le vide calcules pour les diffrentes conditions limite
considres pour la roue de turbine Francis complte .........................................................107
Tableau 5.5: Frquences naturelles dans le vide calcules avec et sans prcontrainte pour la roue
de turbine Francis complte .................................................................................................108
Tableau 5.6: Frquences naturelles dans le vide compares pour la roue de turbine Francis
complte et le secteur correspondant un cinquime du domaine ......................................109
Tableau 5.7: Paramtres de la simulation mcanique temporelle de la roue de turbine Francis .110
Tableau 5.8: Caractristiques du point de fonctionnement choisi ...............................................113
Tableau 5.9: Paramtres du maillage grossier de la turbine Francis tudie ...............................114
Tableau 5.10: Paramtres du maillage fin de la turbine Francis tudie......................................114
Tableau 5.11: Critres de convergence appliqus la simulation fluide de la turbine Francis
tudie ..................................................................................................................................119
Tableau 5.12: Rsultats du calcul fluide de la turbine Francis utilisant un maillage de 615 844
nuds et un pas de temps de 0,00025 seconde ....................................................................120
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Tableau 5.13: Caractristiques du calculateur utilis...................................................................125
Tableau 5.14: Ressources ncessaires pour les calculs raliss pour le domaine fluide seulement
..............................................................................................................................................125
Tableau 5.15: Critres de convergence appliqus la simulation en interaction fluide-structure
pour le cas de la roue Francis...............................................................................................127
Tableau 5.16: Comparaison des donnes hydrauliques obtenues pour la simulation en fluide seule
et intgrant les interactions fluide-structure.........................................................................128
Tableau 5.17: Comparaison entre les dplacements statiques obtenus par la mthode incluant les
interactions fluide-structure et un calcul statique classique.................................................129
Tableau 5.18: Comparaison entre les frquences naturelles de la roue Francis calcules dans le
vide et dans l'eau par la mthode acoustique et par la mthode bidirectionnelle.................136
Tableau 5.19: Paramtres de la simulation en interactions fluide-structure et ressources
informatiques ncessaires.....................................................................................................136
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LISTE DES FIGURES
Figure 1-1: Schma d'un systme oscillant un degr de libert ....................................................9
Figure 1-2: Amplitude normalise de la rponse du systme un degr de libert en vibration
harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence
naturelle..................................................................................................................................12
Figure 1-3: Schma d'un systme oscillant deux degrs de libert en vibration force..............14
Figure 1-4: Amplitudes normalises de la rponse du systme deux degrs de libert en
vibration harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la
premire frquence naturelle..................................................................................................14
Figure 1-5: Systme un degr de libert comportant une contribution de rigidit ajoute due la
prsence du fluide...................................................................................................................18
Figure 1-6: Solide section variable..............................................................................................22
Figure 2-1: Dfinition du volume de contrle partir de maille du domaine fluide .....................31
Figure 2-2: Volume reprsentant une portion infinitsimale d'un solide contraint........................34
Figure 2-3: lments quadratiques utiliss pour les simulations structurelles...............................37
Figure 2-4: Itrations de Newton-Raphson ( Kn reprsente la matrice jacobienne de la matrice
de rigidit l'itration n de Newton-Raphson) ................................................................40
Figure 2-5: Schma de rsolution bidirectionnelle des interactions fluide-structure (les solveurs
peuvent tre interchangs dpendamment de la nature du phnomne simul) ....................42
Figure 2-6: Interpolation des donnes d'change entre les domaines fluide et solide....................43
Figure 3-1: Schma reprsentant la gomtrie du cas test du cylindre confin .............................46
Figure 3-2: Tranche reprsentant la modlisation quasi-2D du cas du cylindre confin...............48
Figure 3-3: Maillages utiliss pour le domaine structurel du cas du cylindre confin...................48
Figure 3-4: Condition initiale de dplacement impose pour le cas du cylindre confin ..............49
Figure 3-5: Dplacement du cylindre seul en vibration libre en fonction du temps ......................50
Figure 3-6: Maillages utiliss pour le domaine fluide du cas du cylindre confin ........................51
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Figure 3-7: Signal du dplacement en fonction du temps calcul par la mthode bidirectionnelle
pour le cas du cylindre confin avec Dext= 1030 mm et maillages solide et fluide fins........53
Figure 3-8: Graphique des rsidus RMS associs la rsolution du domaine fluide en fonction du
nombre de pas de temps pour le cas du cylindre confin avec Dext= 1030 mm et maillages
solide et fluide fins.................................................................................................................54
Figure 3-9: Champs de vitesse et de pression calculs dans le fluide pour le cas du cylindre
confin avec Dext= 2000 mm et maillages solide et fluide fins.............................................55
Figure 3-10: Modle de sinusode amortie ajust pour le signal du cylindre confin avec Dext=
1030 mm et maillages solide et fluide fins.............................................................................57
Figure 3-11: Analyse de convergence de la frquence naturelle pour le cylindre confin avec D ext
= 2000 mm .............................................................................................................................58
Figure 3-12: Analyse de convergence du taux d'amortissement pour le cylindre confin avec D ext
= 2000 mm .............................................................................................................................58
Figure 3-13: Reprsentation schmatique du cylindre confin......................................................59
Figure 3-14: Masse hydrodynamique normalise par la masse du cylindre confin en fonction du
rapport des rayons intrieur et extrieur.................................................................................60
Figure 3-15: Taux d'amortissement calcul pour le cas du cylindre confin en fonction du rapport
des rayons intrieur et extrieur .............................................................................................61
Figure 4-1: Description schmatique de la gomtrie de la plaque encastre et du rservoir d'eau
dans lequel elle est submerge ...............................................................................................64
Figure 4-2: Visualisation des premiers modes de vibration de la plaque encastre.......................65
Figure 4-3: Maillage structurel de la plaque 2 (32x16)..................................................................67
Figure 4-4: Convergence des frquences naturelles dans le vide en fonction de la rsolution
(nombre de maillages du ct a ) pour la plaque 2............................................................68
Figure 4-5: Erreur sur les frquences naturelles calcules par rapport l'exprience de Lindholm
et al. (1965) pour la plaque 2 avec dimensions originales et modifies.................................69
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Figure 4-6: Topologie utilise pour les maillages fluide structurs pour le cas de la plaque
encastre submerge...............................................................................................................73
Figure 4-7: Coupe du maillage fluide structur utilis pour les simulations du cas de la plaque
encastre submerge...............................................................................................................74
Figure 4-8: Coupe du maillage fluide non-structur utilis pour la plaque 2 encastre et
submerge...............................................................................................................................75
Figure 4-9: Signal du dplacement calcul pour le cas test de la plaque encastre submerge
(Plaque 2, mode 3) .................................................................................................................76
Figure 4-10: Solution initiale pour les domaines structurel et fluide dans le cas de la plaque 2encastre submerge vibrant librement selon le mode 3........................................................77
Figure 4-11: Champ de vitesse dans l'coulement fluide gnr par le mouvement de la plaque 2
encastre submerge vibrant librement selon le mode 3 (le dplacement est exagr pour fins
de visualisation)......................................................................................................................79
Figure 4-12: Contours de pression dans l'coulement fluide gnrs par le mouvement de la
plaque 2 encastre submerge vibrant librement selon le mode 3.........................................79
Figure 4-13: Modle de sinusodes amorties ajust pour le cas test de la plaque encastre
submerge (Plaque 2, mode 3) ...............................................................................................81
Figure 4-14: Convergence des frquences naturelles calcules par rapport aux frquences
mesures pour le cas de la plaque 2 en fonction des maillages prsents au Tableau 4.7.....83
Figure 4-15: Masses ajoutes de diffrentes plaques ayant un rapport a/b = 1 dduites de
l'exprimentation de Lindholm et al. (1965) et Vu et al. (2007)............................................86
Figure 5-1: Schma des champs de vitesse causant l'interaction rotor-stator pour une turbinehydraulique.............................................................................................................................95
Figure 5-2: Domaine structurel correspondant au cinquime de la roue de turbine Francis tudie
................................................................................................................................................99
Figure 5-3: Domaines structurel et fluide correspondant au cinquime de la turbine Francis
tudie ....................................................................................................................................99
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xix
Figure 5-4: Maillage structurel de la roue Francis complte utilis pour l'analyse modale.........100
Figure 5-5: Visualisation des modes de la roue de type Francis (partie 1) ..................................102
Figure 5-6: Visualisation des modes de la roue de type Francis (partie 2) ..................................103
Figure 5-7: Visualisation des modes de la roue de type Francis (partie 3) ..................................104
Figure 5-8: Conditions limite C.L.1 et C.L.2 imposes sur le plateau d'accouplement de la roue de
turbine Francis complte pour l'analyse modale ..................................................................106
Figure 5-9: Maillage structurel utilis pour l'analyse incluant les interactions fluide-structure par
la mthode bidirectionnelle..................................................................................................109
Figure 5-10: Coupe du maillage fluide de la turbine Francis tudie au niveau de l'axe
distributeur ...........................................................................................................................115
Figure 5-11: Schma reprsentant les conditions limite imposes au distributeur de la turbine
Francis tudie......................................................................................................................116
Figure 5-12: Courbes de couple aux aubes de la turbine Francis tudie en fonction du temps .121
Figure 5-13: Graphique de convergence de la variation maximale de couple aux aubes (pic pic)
en fonction de la rsolution spatiale et temporelle...............................................................122
Figure 5-14: Contours de pression dans un plan horizontal au dessus de la ceinture de la roue de
turbine Francis tudie .........................................................................................................123
Figure 5-15: Schma montrant le positionnement des prises de pression l'entrefer .................124
Figure 5-16: Fluctuations de pression aux prises de pression A et B en comparaison avec la
mesure sur turbine modle rduit pour le calcul en fluide seul............................................124
Figure 5-17: Fluctuations de pression aux prises de pression A et B en comparaison avec lamesure sur turbine modle rduit pour le calcul en interactions fluide-structure ................129
Figure 5-18: Localisation des points d'enregistrement des dplacements pour la roue Francis ..131
Figure 5-19: Signaux des dplacements totaux de la roue Francis calculs pour les premiers
instants de la simulation intgrant les interactions fluide-structure .....................................132
Figure 5-20: Signaux des dplacements totaux de la roue Francis calculs pour la phase
stationnaire de la simulation intgrant les interactions fluide-structure...............................133
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xx
Figure 5-21: Dplacement dynamique radial de la ceinture en fonction du temps......................134
Figure 5-22: Dplacement dynamique total de la roue Francis pour la phase stationnaire de la
simulation intgrant les interactions fluide-structure en comparaison avec le dplacement du
mode 5ND-1 fourni par l'analyse modale dans le vide ........................................................135
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xxi
LISTE DES SIGLES ET ABRVIATIONS
a,b Amplitudes, dimensions
[ ]B Matrice d'opration des drives spatiales
c Vitesse du son, constante d'amortissement
cc Constante d'amortissement critique
C Constante quelconque
Crigidit Constante de rigidit
[ ]C Matrice d'amortissement
d Dplacement
D Module du dplacement, dimension caractristique, diamtre, diamtre de sortie
roue
D(ti) Dplacement calcul par le logiciel
{ }d Degr de libert de dplacement aux noeuds
{ }id Forme du mode i
E Module d'lasticit
nE Erreur sur les variables d'change
f Frquence
F Force
F0 Module de la force
)(tF Force d'excitation
{ })(tF Vecteur des forces d'excitation
G Module de cisaillement
Facteur de masse ajoute adimensionnel
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xxii
xy Variations d'angle entre les facettesxety
H Chute, hauteur
i Incrment
k Constante de rappel, nombre de diamtres nodaux
maillageK Fonction de rigidit des mailles fluide
[ ]K Matrice de rigidit
Kn Matrice jacobienne de la matrice de rigidit l'itration n
L Longueur caractristique
m Masse, nombre entier li l'interaction rotor-stator
[ ]M Matrice de masse
mh Masse ajoute (ou masse hydrodynamique)
s
hm Masse ajoute par unit de longueur
n Normale, nombre entier li l'interaction rotor-statorN Vitesse de rotation
[ ]N Matrice des fonctions de forme
N11 Vitesse unitaire
n_dir Direction normale
P Champ de pression
p' Variations de pression
P Pression moyenne
Pmass Rsidu sur l'quation de continuit
Q Dbit
Q11 Dbit unitaire
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xxiv
dZ Nombre de directrices
Dformation
Paramtre li au taux d'amortissement
Quantit quelconque vhicule dans l'coulement
Champ de donnes de transfert appliqu
*n Champ de donnes de transfert calcul l'itration n
Densit
Taux d'amortissement
Contrainte
Cisaillement
eff Diffusivit effective
Viscosit dynamique
Viscosit cinmatique
Module de Poisson
Frquence d'excitation
n Frquence naturelle
d Frquence naturelle amortie
viden _ Frquence naturelle dans le vide
submergen _ Frquence naturelle de la structure submerge
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xxv
LISTE DES ANNEXES
Annexe 1 Programmes MATLAB........................................................................................147
Annexe 2 CommandesANSYSpour l'imposition des conditions initiales............................149
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1
INTRODUCTION
Ce chapitre d'introduction a pour but de situer le projet de matrise dans son contexte industriel.Pour ce faire, une section d'introduction gnrale et sommaire aux turbines hydrauliques de type
Francis est d'abord prsente. Elle permet au lecteur de se familiariser aux concepts de base et au
vocabulaire lis au domaine. Par la suite, la dfinition du problme industriel duquel a merg le
projet de recherche est pose. Les objectifs poursuivis sont ensuite dfinis puis la mthodologie
propose pour la rsolution du problme est expose. Ce chapitre se termine par la prsentation
du plan du mmoire, faisant la description sommaire de chacun des chapitres.
Turbines gnrales
Pour bien circonscrire le problme industriel qui a initi ce projet de matrise, une brve
introduction au fonctionnement d'une turbine hydraulique est ncessaire.
Une turbine hydraulique est un ouvrage mcanique dont le but est la conversion de l'nergie
contenue dans un coulement d'eau en nergie mcanique. Cette nergie est gnralement utilise
pour entraner un alternateur pour la production d'lectricit.
Les composantes principales d'une turbine de type Francis sont montres aux Figures I-1 et I-2.
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3
Les principales composantes du groupe turbine-alternateur de type Francis ainsi que leurs
fonctions sont dcrites ci-dessous:
Barrage: Ouvrage servant au contrle du dbit d'un cours d'eau. Il cre un obstacle sur la rivire
qui permet d'obtenir une diffrence entre les niveaux amont et aval du rservoir. Il emmagasine
l'nergie potentielle.
Conduite force: Canal qui s'tend du rservoir la bche spirale dont le rle est d'alimenter la
turbine en eau.
Bche spirale: Composante ayant gnralement une forme de colimaon qui reoit l'eau de la
conduite force. Sa conception est telle qu'elle dirige l'eau le plus uniformment possible dans le
distributeur et transforme l'nergie de la chute en nergie cintique de rotation.
Distributeur: Anneau situ l'intrieur de la bche spirale qui possde gnralement un jeu
d'aubes fixes appeles avant-directrices et un jeu d'aubes orientables appeles directrices. Ces
dernires permettent d'ajuster le dbit et l'angle de l'coulement fourni la roue.
Roue de type Francis: Pice matresse responsable de la conversion de l'nergie contenue dans
l'eau en nergie mcanique. Il s'agit d'une pice tournante dont l'admission d'eau se fait
radialement avec une composante de vitesse circonfrentielle. L'coulement est redress dans laroue pour ne laisser qu'une composante essentiellement axiale en sortie. Le moment cintique
absorb par les aubes de la roue produit un couple mcanique l'arbre de la turbine.
Aspirateur: Diffuseur coud en aval de la roue dont le rle est de rcuprer l'nergie cintique
toujours disponible dans l'coulement. Il permet de rduire la pression statique en sortie de roue.
Arbre: Composante liant rigidement la roue et l'alternateur. L'arbre est gnralement support par
des paliers guide et de bute. Son rle est de transmettre le couple gnr par la roue
l'alternateur.
Alternateur: Dispositif permettant de convertir l'nergie mcanique fournie par la roue de turbine
en nergie lectrique.
Une attention particulire est porte dans cette section la roue de turbine de type Francis
puisqu'elle fait l'objet d'une analyse approfondie dans ce mmoire. Celle-ci est gnralement
ralise partir de pices en acier inoxydable coules, usines puis mcano-soudes. Ses pices
principales sont le plafond, l'aubage et la ceinture. Le plafond est la pice suprieure qui assure le
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4
transfert du couple gnr par les aubes l'arbre. C'est par le plafond que la roue est accouple
l'arbre. Les aubes, quant elles, possdent une gomtrie complexe maximisant le rendement de
la turbine tout en minimisant la cavitation. Vu son importance conomique cruciale, la gomtrie
des aubes est gnralement une donne hautement confidentielle. Le nombre d'aubes d'une roue
Francis est impair la plupart du temps. Ce nombre fait partir intgrante du design. Finalement, la
ceinture est une pice annulaire servant solidariser l'aubage. Son rle est essentiellement
structurel. La Figure I.3 prsente les principales composantes de la roue Francis.
Figue I-3: Principales composantes d'une roue de type Francis
Les labyrinthes correspondent aux jeux existants entre la roue (partie tournante) et les flasques
(partie fixe). Sur une roue Francis, ils sont localiss au niveau du diamtre suprieur du plafondet au niveau de la ceinture, gnralement en amont du bord d'attaque des aubes. Ces jeux doivent
tre minimiss puisque l'coulement d'eau dans les labyrinthes ne produit aucun travail
contribuant au couple l'arbre. Ce volume d'eau est considr comme une perte.
Dfinition du problme
Comme c'est le cas pour plupart des machines mcaniques, les composantes de turbine sont
soumises des variations de chargement de toutes sortes. Ce cyclage doit tre connu pour la
prdiction de la vie en fatigue de ces lments.
Vu son rle primordial dans le processus de conversion de l'nergie, la roue est la pice
mcanique la plus critique au niveau oprationnel dune centrale. La justesse de la prdiction de
la vie en fatigue de cette composante est donc cruciale. En ce sens, la caractrisation des forces
statiques et dynamiques agissant sur la roue est ncessaire. Par la suite, une analyse prenant en
compte la rponse dynamique de la roue ce chargement doit tre ralise.
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Les sources d'excitation sont multiples pour la roue. En voici quelques-unes:
-Interactions rotor-stator
-Alle de Von Karman au bord de fuite de l'aubage
-Pulsation due la prsence d'une torche instationnaire dans l'aspirateur
-Vibration engendre par la ligne d'arbre
-Variation du couple rsistif produit par l'alternateur
-Prsence d'un balourd d un mauvais quilibrage de la roue
Si la roue prsente un comportement rsonant par rapport une excitation donne, l'effet peuttre dvastateur au niveau de la vie en fatigue. En effet, lorsque la rsonance se produit, une
amplification dynamique importante de l'excitation est ressentie au niveau de la structure.
Physiquement, la composante acquiert de l'nergie vibratoire chaque cycle de l'excitation sans
pouvoir l'vacuer efficacement. Cette nergie n'arrive quitter le systme uniquement que par
l'action des forces d'amortissement. Si l'amortissement est faible, cette accumulation d'nergie est
considrable et entrane gnralement une destruction rapide de la composante.
Fondamentalement, la rsonance se produit lorsque plusieurs conditions sont satisfaites.Premirement, il doit exister une excitation dynamique possdant une frquence qui approche
l'une des frquences naturelles de la roue. En deuxime lieu, cette excitation doit possder une
compatibilit gomtrique avec le mode excit. Pour tre en mesure de prdire le phnomne au
stade de la conception, la caractrisation de l'excitation et des frquences naturelles en
fonctionnement de la composante est donc essentielle. Les frquences naturelles, qui sont le sujet
principal du prsent mmoire, sont particulirement difficiles prvoir, considrant le nombre
important de paramtres qui les influencent. La prsence d'eau autour de la roue est la principale
source de difficult au niveau de la prdiction. La masse d'eau vibrant avec la structure, altrant
ainsi les frquences naturelles, varie normment d'un mode de vibration l'autre. Les domaines
solide et fluide sont donc intimement lis pour former un systme vibratoire complexe. Ce
couplage fort doit alors tre pris en compte lors de la modlisation.
De plus, les problmes vibratoires sont de plus en plus prsents dans le domaine des turbines
hydrauliques. Pour des raisons essentiellement conomiques, lindustrie affiche une tendance la
rduction de la quantit dacier ncessaire la fabrication des roues. Cette mesure apporte deux
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effets pervers sur le plan mcanique. Son premier effet se manifeste par une augmentation de
ltat de contrainte gnral de la composante, augmentant aussi le risque de rupture
catastrophique en service. Une autre consquence qu'a cette rduction de la quantit de matriau
requis se manifeste par une rduction globale de la rigidit de la roue menant la rduction des
frquences naturelles en fonctionnement. Ces dernires approchent de plus en plus les frquences
dexcitation hydrauliques existantes. Il en dcoule un risque accru de rsonance et donc de
rupture catastrophique. Il existe donc un intrt majeur pour le dveloppement dune mthode de
prdiction prcise du comportement dynamique de ces structures.
Mthodologie
L'objectif de ce projet de matrise est d'valuer la faisabilit d'utilisation d'une mthode
numrique rcemment rendue disponible pour la prdiction du comportement dynamique de
roues de turbine hydraulique en fonctionnement. Cette mthode temporelle fait intervenir le
bouclage d'un solveur d'coulement fluide et d'un solveur mcanique. Pour chaque itration, des
donnes sont transfres entre les deux modules pour raliser la simulation incluant les
interactions fluide-structure.
L'objectif final est ambitieux de par les nombreux paramtres prsents (complexit gomtrique,prsence de confinement, effet de l'coulement, conditions limite, etc...). De ce fait, l'approche
gnrale concernant l'valuation de la faisabilit de l'utilisation de la mthode numrique est
d'abord la recherche de cas acadmiques simples suffisamment documents pour servir de cas de
validation. Cette approche permet l'isolation de certains paramtres d'analyse afin d'en dterminer
leurs effets propres. Il permet galement de raliser des simulations avec une bonne rapidit de
mise en uvre et de rsolution. Lorsque la caractrisation des premiers paramtres est ralise,
l'intgration des nouveaux paramtres de modlisation peut tre faite avec confiance.
Le premier cas test soumis au logiciel est celui d'un cylindre infiniment rigide de longueur infinie
vibrant en translation dans un espace annulaire rempli d'eau. Ce cas permet la ralisation de
simulations pseudo-bidimensionnelles rduisant de beaucoup la taille du calcul. Ce cas permet
l'tablissement d'un fil conducteur au niveau de la viabilit de la mthode. Il permet galement
une tude de sensibilit relative de paramtres tel que l'effet de confinement, les critres de
convergence, le pas de temps, la discrtisation spatiale, l'interpolation des donnes de transfert et
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ce dans un temps de calcul raisonnable. Il permet galement la validation du logiciel puisque ce
problme possde une solution analytique drive de la thorie potentielle.
Le second cas test est celui de diffrentes plaques encastres vibrant librement dans un rservoir
rempli d'eau stagnante. Cette fois, le cas test est tridimensionnel et permet de prendre en compte
l'effet du type mode de vibration sur l'altration des frquences naturelles. Ce cas test a fait
lobjet de mesures exprimentales extensives ralises par Lindholm et al. (1965) et par Vu et al.
(2007). Ces mesures permettent la validation des rsultats obtenus par calculs.
Finalement, la mthodologie est applique une roue de turbine hydraulique en fonctionnement.
Cette fois, les effets dus l'coulement et au confinement sont pris en compte ainsi que la
rotation de la roue et l'effet de l'acclration gravitationnelle. Les simulations des domaines fluide
et solide sont vrifies de faon indpendante et exhaustive avant de procder au couplage. Pour
la portion fluide du domaine, il existe des mesures ralises sur turbine modle rduit permettant
de valider l'approche. Malheureusement, aucune valeur de comparaison pour la rponse
dynamique de la roue submerge n'existe actuellement. Toutefois, les frquences naturelles de la
roue obtenues par la mthode bidirectionnelle sont compares celles obtenues par la mthode
acoustique. Celle-ci a fait l'objet de nombreux cas de validation, notamment au niveau de roues
de turbine submerges dans l'eau stagnante (Escaler et al. (2008), Lais et al. (2008), Vialle et al.(2008)).
Plan du mmoire
Le mmoire comprend cinq chapitres. Le premier chapitre prsente d'abord un cadre thorique
entourant le phnomne de vibration de structures submerges. Ce chapitre est articul en trois
volets. Le premier rappelle les bases de la thorie de la vibration classique. Le second met en
perspective les principaux mcanismes impliqus dans la vibrations de structures submerges.Finalement, une revue bibliographique permet de mettre en vidence les principales mthodes de
prdiction des frquences naturelles de structures submerges et leur contexte historique.
Le second chapitre retrace la thorie rattache aux calculs numriques d'coulement fluide
(couramment appele CFD, acronyme de computational fluid dynamics) et la mthode des
lments finis. Ces deux mthodes sont implmentes respectivement dans les deux solveurs de
base du module d'interactions fluide-structure bidirectionnel de ANSYS. la fin de ce chapitre,
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CHAPITRE 1 VIBRATION DE STRUCTURES SUBMERGES ET
MTHODES DE PRDICTIONPour bien situer le problme de la caractrisation des frquences naturelles de structures
submerges, un bref rappel thorique concernant les concepts de base de la thorie de la vibration
simpose. Par la suite, les principaux mcanismes par lesquels la prsence dun fluide lourd
influence le comportement dynamique dune structure submerge seront exposs. Finalement,
une revue bibliographique des diffrentes mthodes de prdiction sera ralise en mettant en
perspective leur aspect historique et en comparant le niveau de prcision atteint.
1.1 Rappel des concepts de base de la vibration
Le but de cette section est de poser les bases thoriques et les quations fondamentales de la
vibration qui sont utilises dans ce mmoire de matrise.
1.1.1 Systmes un degr de libert
Le modle de vibration de base pour un systme en oscillation harmonique est compos d'une
masse, d'un ressort et d'un amortisseur. La Figure 1-1 illustre ce modle. Son lment de masse
est libre de se dplacer en translation selon l'axe X.
Figure 1-1: Schma d'un systme oscillant un degr de libert
Le ressort est linaire, c'est--dire que sa force de rappel est proportionnelle selon la constante
k au dplacement de la masse m et la force gnre par l'amortisseur est proportionnelle
la vitesse par la constante d'amortissement c .
En accord avec la deuxime loi de Newton, la vibration libre d'un tel systme est dcrite par
l'quation (1.1).
0=++ kxxcxm &&& (1.1)
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La vibration libre est amorce par des conditions initiales de dplacement, de vitesse, et
d'acclration. Lorsqu'il n'y a aucune force d'amortissement, le systme vibre indfiniment selon
sa frquence naturelle dcrite par l'quation (1.2).
m
kn =
(1.2)
La constante d'amortissement critique dun systme correspond la valeur limite du paramtre
c pour laquelle le systme perturb se stabilise vers sa position dquilibre sans oscillation. La
constante d'amortissement critique est dcrite par l'quation (1.3).
kmcc 2= (1.3)
En pratique, la notion de taux d'amortissement est souvent utilise. Il s'agit du rapport entre la
constante d'amortissement du systme et la constante d'amortissement critique (quation (1.4)).
cc
c=
(1.4)
Lorsque le taux d'amortissement est suprieur l'unit, aucune oscillation n'est possible et la
masse se dplace simplement vers sa position d'quilibre. Lorsque le taux d'amortissement est
infrieur l'unit, le dplacement pour le systme un degr de libert adopte un comportement
oscillant et revt la forme dcrite l 'quation (1.5).
[ ])cos()sin( tbtaex ddt += (1.5)
o a et b sont des amplitudes, 21 = nd reprsente la frquence
naturelle amortie et n= .
Si la valeur du taux damortissement est faible, la frquence naturelle amortie est trs prs de lafrquence naturelle du systme sans amortissement. Dans ce cas, une approximation acceptable
du taux d'amortissement utilise en pratique est dcrite l'quation (1.6).
d
(1.6)
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La vibration force se produit lorsque qu'un terme )(tF non-nul excite le systme
prcdemment introduit. L'quation (1.7) reprsente la seconde loi de Newton applique au
systme un degr de libert en vibration force.
)(tFkxxcxm =++ &&& (1.7)
La force )(tF est de type harmonique si elle possde la forme pose l'quation (1.8).
)cos()(0
tFtF = (1.8)
La solution correspondant au dplacement de la masse en fonction du temps pour le systme un
degr de libert en vibration force harmonique et en rgime permanent est dcrite par l'quation
(1.9).
=2
222
0
1
2
arctansin
21
/
n
n
nn
tkF
x
(1.9)
L'amplitude normalise de la rponse du systme pour diffrents taux d'amortissement en
fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence naturelle est prsente la
Figure 1-2.
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Figure 1-2: Amplitude normalise de la rponse du systme un degr de libert en vibration
harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la frquence naturelle
Lorsque la frquence dexcitation est infiniment faible, la force excitatrice peut tre considre
comme statique. Le systme sadapte en se dformant de sorte que le ressort reprenne la force
0F . C'est pourquoi la valeur de l'amplitude de rponse normalise atteint l'unit pour une
frquence d'excitation nulle. Lorsque la frquence augmente pour approcher la frquencenaturelle, la rponse augmente de faon spectaculaire, particulirement si le taux d'amortissement
est faible. De l'nergie vibratoire est alors accumule dans le systme et ne peut en sortir que par
l'action des forces d'amortissement. Ce phnomne est appel rsonance. Il s'agit d'un tat
mcaniquement indsirable pour une structure puisqu'elle est soumise des cycles amenant
souvent la propagation de dfauts sous forme de fissures. De plus, l'tat de contrainte
dynamique qui est le moteur de cette propagation subit une amplification similaire l'amplitude
de dplacement. Gnralement, il rsulte de la rsonance une rupture catastrophique peu aprs la
mise en service de l'quipement concern, d'o l'importance de bien connatre le comportement
dynamique des composantes en fonctionnement. Le design peut alors tre adapt pour viter le
phnomne. Finalement, lorsque la frquence d'excitation dpasse de 50% la frquence naturelle,
l'amplification dynamique est rduite drastiquement. Cette dernire tend vers 0 lorsque le rapport
de la frquence d'excitation sur la frquence naturelle devient trs grand.
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1.1.2 Systmes degrs de libert multiples
Pour pouvoir reprsenter des structures relles et complexes, la thorie de base de la vibration
doit tre gnralise pour des systmes comportant plusieurs degrs de libert. Pour arriver
cette fin, l'quation dcrivant la seconde loi de Newton pour un tel systme peut tre crite sous
la forme matricielle (quation (1.10)).
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { })(tFxKxCxM =++ &&& (1.10)
En ngligeant le terme d'amortissement et supposant une solution telle que dcrite l'quation
(1.11), les frquences naturelles peuvent tre dtermines par l'quation (1.12).
{ } { } )sin( tXx = (1.11)
o { }X est un vecteur contenant les amplitudes de dplacement de chacun des degrs
de libert.
[ ] [ ] 02 = MK
(1.12)
Le systme possde autant de frquences naturelles que de degrs de libert. chaque frquence
naturelle est associ un mode propre de vibration. Un mode est un tat de vibration qui possde
une configuration de dplacement particulire. Chacun des modes est indpendant des autres
lorsque l'amortissement du systme est proportionnel. Cette particularit est appele
orthogonalit des modes (Thomson et al. (1998)). Les modes propres sont dtermins en
rinjectant chacune des frquences naturelles i
et en rsolvant pour le dplacement
(quation (1.13)).
[ ] [ ][ ]{ } 02 = ii XMK (1.13)
La forme des modes propres { }iX fournit l'amplitude relative entre les diffrents degrs de
libert. Lorsqu'en vibration libre, l'imposition de conditions initiales de dplacement arbitraires
une structure fait intervenir un ou plusieurs de ses modes propres. Ce dplacement initial peut
tre dcompos en une combinaison linaire des modes propres. La proportion de chacun de ces
modes dans la rponse de la structure dpend de la contribution de ceux-ci dans le dplacement
initial.
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Lorsqu'un systme plusieurs degrs de libert est en vibration force, comme pour le cas du
systme un degr de libert, il existe une amplification dynamique importante lorsque la
frquence d'excitation approche une frquence naturelle. La Figure 1-3 prsente un systme
simple en vibration force deux degrs de libert.
Figure 1-3: Schma d'un systme oscillant deux degrs de libert en vibration force
L'amplitude normalise de la rponse des deux masses du systme en fonction du rapport entre la
frquence d'excitation et la frquence naturelle est prsente la Figure 1-4.
Figure 1-4: Amplitudes normalises de la rponse du systme deux degrs de libert en
vibration harmonique force en fonction du rapport entre la frquence d'excitation et la premire
frquence naturelle
Les structures relles possdent un nombre infini de degrs de libert et par consquent, un
nombre infini de modes propres. Il est noter que les modes simples et de basse frquence
relative sont gnralement plus risque en terme de rsonance. Ceux-ci possdent gnralement
moins d'amortissement que les modes de degrs suprieurs, gnrant une rsonance plus
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importante si une excitation gomtriquement compatible possde une frquence au voisinage
d'une frquence naturelle. En effet, pour provoquer la rsonance, une compatibilit gomtrique
entre l'excitation et le mode dont la frquence naturelle concide est ncessaire (Pulpitel et al.
(2009)). Dans le cas des roues de turbines hydrauliques, la forme des champs d'excitation est
gnralement simple, excitant alors des modes de degrs infrieurs.
1.2 Mcanismes par lesquels un fluide lourd affecte la dynamique de
systmes en vibration
Cette section a pour objectif de prsenter l'effet global qua la prsence d'un fluide lourd sur un
systme en vibration. L'effet du fluide sur chacun des termes de l'quation de base de la vibration(quation 1.1) est expliqu pour une bonne comprhension du phnomne. Une attention
particulire est porte quant l'altration des frquences naturelles.
1.2.1 Effets de la prsence du fluide sur la masse du systme en vibration
La masse ajoute se dfinit comme l'effet apparent de la prsence du fluide rapport sur la masse
de la structure. Il s'agit de forces exerces par le domaine fluide en phase avec le terme de force
inertielle de la structure (Blevins (1995)). Lorsquun systme vibre dans leau, la masse ajoute
joue gnralement un rle prpondrant par rapport aux autres contributions. Pour un systme
un degr de libert submerg dans un fluide, la frquence naturelle est dcrite par l'quation
(1.14).
h
submergenmm
k
+=_
(1.14)
o hm reprsente la masse ajoute ou masse hydrodynamique.
La masse ajoute dpend fortement du rapport entre les densits du matriau de la structure et du
fluide. Pour une structure d'acier vibrant dans l'air, ce rapport est de l'ordre de 10000 et l'effet du
fluide est ngligeable. Par contre, lorsque l'eau est considre, le rapport est plutt de l'ordre de
10 et l'effet de masse ajoute peut tre majeur. Dans le cas d'une roue de turbine hydraulique, la
masse ajoute peut facilement dpasser la masse structurelle propre (Liang et al. (2006)). Aussi,
lorsque la structure est confine, l'effet de masse ajoute peut tre amplifi (voir Section 1.2.4).
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Il est noter que pour un systme complexe, la valeur de la masse ajoute dpend de la gomtrie
de la structure et du mode de vibration (voir Section 4.7). Aussi, la rpartition de masse ajoute
ntant gnralement pas proportionnelle la distribution de la masse de la structure propre, la
forme des modes peut tre lgrement altre par la prsence du fluide (Lindholm et al. (1965)).
Puisque la dtermination analytique de la masse ajoute nest pas triviale pour une structure
complexe submerge en vibration (voir Section 1.3), elle peut tre dduite exprimentalement
pour une structure gomtrie donne. Supposant que le fluide n'a que des effets inertiels, la
masse ajoute peut tre dduite partir de la mesure des frquences naturelles dans lair et dans
le fluide par l'quation (1.15).
= 1
2
_
_
submergen
airn
h mm
(1.15)
La masse ajoute est essentiellement indpendante de la frquence et de lamplitude pour les
applications courantes. Les composantes de turbine hydraulique ne font pas exception cette
rgle. Aussi, la masse ajoute est indpendante du matriau structurel considr.
Pour une gomtrie et un mode de vibration donns, lquation (1.16) correspond une loi
dhomologie pour transposer la frquence naturelle selon diffrents matriaux, fluides et facteurs
d'chelle S .
11
22
2
1
2
1 1
FS
FS
E
E
Sf
f
+
+=
(1.16)
o 1
1
1
1
F
Sh
M
M
= est le facteur de masse ajoute adimensionnel.
Dans la littrature traitant de la dynamique de composantes de turbine hydraulique submerges,la valeur de la masse ajoute est rarement prsente explicitement. En fait, il est plutt dusage de
prsenter les valeurs du rapport de rduction des frquences (FRR) formul lquation
(1.17).
viden
submergenFRR
_
_
=
(1.17)
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Ce choix de prsentation des rsultats est sans doute d au fait que dans cette industrie, lintrt
est port directement sur les frquences naturelles en vue dviter tout risque de rsonance. En ce
sens, le FRR peut savrer plus rvlateur que la masse ajoute dun point de vue pratique.
Toutefois, le FRRnest rutilisable directement que si la gomtrie, le matriau et le fluide sont
conservs. Sinon, la transposition doit tre faite par l'quation (1.16).
1.2.2 Effets de la prsence du fluide sur l'amortissement du systme en
vibration
Lorsqu'une structure est en vibration dans un fluide stagnant sans confinement, les forces
d'amortissement dues au cisaillement du fluide sont relativement faibles pour autant quel'amplitude des dplacements structurels demeure petite (Brennen (1982)). En effet, si l'amplitude
atteint l'ordre de grandeur de la dimension caractristique de la structure, des phnomnes
complexes dans l'coulement, comme le dcrochage, peuvent survenir (Brennen (1982)). Ceux-ci
peuvent alors gnrer un amortissement accru. Aussi, si la frquence de vibration est trs faible,
les forces visqueuses peuvent devenir importantes par rapport aux forces d'inertie. Dans tous les
cas, la magnitude des forces lies l'amortissement fluide sur une structure vibrant dans un fluide
stagnant dpend de la gomtrie considre et de la viscosit du fluide.
Dans le contexte de la recherche prsente dans ce mmoire, la vibration de structure d'acier dans
l'eau est considre. titre d'exemple, Liang et al. (2006) ont mesur un taux d'amortissement de
0.5 1% lors de la vibration d'une roue de turbine hydraulique l'chelle modle rduit selon
diffrents modes propres. Fritz (1972) a quant lui mesur un taux d'amortissement de l'ordre de
1% pour une cylindre faiblement confin en vibration dans l'eau. Mulcahy (1980) a mesur un
taux d'amortissement de 2% pour un tube d'changeur de chaleur faiblement confin dans l'eau.
Pour sa part, le confinement peut produire une amplification majeure des forces d'amortissement.Cet aspect est trait la Section 1.2.4.
1.2.3 Effets de la prsence du fluide sur la rigidit du systme en vibration
Une contribution du fluide la rigidit globale du systme en vibration est possible lorsque le
fluide est contenu dans une enceinte ferme et que le mouvement vibratoire tend altrer son
volume. Le fluide est alors comprim et fournit une force qui est fonction du dplacement du
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systme. La Figure 1-5 montre le schma d'un systme un degr de libert prsentant un effet
de rigidit ajoute.
Figure 1-5: Systme un degr de libert comportant une contribution de rigidit ajoute due la
prsence du fluide
Une application technique tirant profil du phnomne de rigidit ajoute est le ressort air. Dans
le cas de composantes de turbine submerges en fonctionnement, la contribution de rigidit du
fluide est peu prs nulle et n'est donc pas considre.
1.2.4 Effets du confinement
Une structure submerge en vibration est confine lorsque des parois solides se trouvent
proximit. Le confinement est d'autant plus grand que l'espace entre la structure et les parois
solides est faible. Son effet est senti sur les termes inertiel et d'amortissement du systme en
vibration.
Lorsque le confinement est lev, l'effet de masse ajoute augmente. Ce phnomne peut paratre
paradoxal puisque le volume de fluide impliqu est plus faible que lorsque la vibration est
ralise dans un rservoir de grande taille. Par contre, le trajet moyen d'une particule d'eau se
trouve allong par le confinement, augmentant du coup l'nergie cintique transmise au fluide.
Cette nergie cintique supplmentaire amplifie la masse ajoute (Brennen (1982)).
D'autre part, puisque le confinement fait intervenir des vitesses plus grandes du fluide et plus de
parois solides, les effets visqueux sont galement accrus. La portion du taux d'amortissement lie
la contribution visqueuse provenant du fluide tend augmenter drastiquement avec la rduction
du jeu entre la structure et les parois solides. Dans certaines applications, comme les changeurs
de chaleur, le jeu entre les tubes de mtal et les chicanes est si faible qu'un effet de film fluide
cras gnre la majeure partie de l'amortissement du systme global.
Dans le cadre de la recherche prsente dans ce mmoire, les roues de turbine hydraulique en
fonctionnement sont considres. Pour ce cas particulier, le confinement a un effet important au
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niveau de la masse ajoute. Cette dernire varie en fonction des diffrents modes de vibration
considrs. Par contre, l'effet sur l'amortissement est faible. Le confinement le plus important se
situe au niveau des labyrinthes. Puisque la grande majorit des modes de vibration (voir Section
5.5.1) ne fait pas intervenir de dplacements importants dans ces zones, les effets de masse
ajoute et d'amortissement ajout causs par la prsence des labyrinthes sont minimes.
1.2.5 Effets d'une surface libre du fluide
Inversement leffet de confinement, la prsence dune surface libre prs de la structure en
vibration a tendance rduire la masse ajoute. Toutefois, ce comportement possde un effet
non-linaire dont la prdiction est ardue (Brennen (1982)). Essentiellement, la surface libre rduitla quantit d'eau dplace par le systme en vibration ayant par consquent tendance diminuer
la masse ajoute. Au niveau de l'amortissement, il y a une dissipation de l'nergie cause par la
formation d'ondes la surface. Cette dissipation tend accrotre le taux d'amortissement.
Pour le projet de recherche prsent dans ce mmoire, la prdiction des effets de la prsence
d'une surface libre n'a pas t aborde puisque les composantes de turbine hydraulique sont
toujours pleinement submerges lorsqu'en fonctionnement.
1.2.6 Effets d'un coulement primaire
La contribution la plus complexe qu'a la prsence d'un fluide lourd sur le comportement
dynamique d'un systme vibrant est certainement due la prsence d'un coulement primaire. Ce
dernier peut avoir un effet majeur sur l'excitation de la structure. Diffrents mcanismes
d'excitation peuvent tre en jeu.
Le phnomne de turbulence se manifeste par des variations chaotiques des champs de vitesse et
de pression dans la plupart des coulements rencontrs en ingnierie. Ces variations se produisent diffrentes chelles et sur une vaste plage de frquence. Elles se traduisent par des variations du
chargement sur la structure submerge considre pouvant causer son excitation (Roth et al.
(2009)).
Un autre phnomne fluide peut galement tre l'origine de l'excitation d'une structure dans un
coulement. Il s'agit des fluctuations de chargements dues aux lchs de tourbillons de von
Karman. Ces tourbillons asymtriques sont forms dans le sillage d'un corps par le dcrochage
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instationnaire provoqu par la sparation de l'coulement. Ils se produisent lorsque le nombre de
Strouhal (quation (1.18)) approche la valeur de 0,2.
V
fLSt=
(1.18)
o f est la frquence des lchs de tourbillons, L , une
dimension caractristique lie l'paisseur du sillage et V , la vitesse caractristique de
l'coulement.
Lorsque l'un des modes structurels est excit par ce phnomne, les lches ont tendance
s'organiser pour respecter sa forme et l'excitation est alors accrue. De plus, il existe un
accrochage entre la frquence des lchs et la frquence naturelle structurelle sur une certaine
plage de vitesse caractristique de l'coulement. Cet accrochage gnre un hystrsis. Ce
phnomne d'excitation peut tre important pour certaines composantes de turbine hydraulique en
fonctionnement et sa caractrisation reste un domaine de recherche actif (Mazzouji et al. (2006),
Papillon et al. (2006)).
Une composante submerge peut tre excite par des variations des champs de vitesse et de
pression de l'coulement. Un exemple classique est l'interaction rotor-stator qui se manifeste dans
les turbomachines. Ces fluctuations de pression perues par les composantes sont dues la
superposition de champs tournants et stationnaires. Certains designs de turbine hydraulique
causent la prpondrance du phnomne (Coutu et al. (2004). La thorie concernant ce type
d'excitation est expose la Section 5.3.1.
Un autre phnomne d'excitation par l'coulement fluide est l'instabilit fluide-lastique. Elle se
produit lorsque l'nergie absorbe par la structure lors de son dplacement sous l'effet de
l'coulement excde l'nergie dissipe par amortissement (Pettigrew et al. (1991)). ce moment,
le dplacement s'amplifie jusqu' ce que certains mcanismes de dissipation supplmentaires
apparaissent pour contrebalancer l'apport d'nergie. Ce type d'excitation fluide est inexistant dans
le cas de composantes de turbine hydraulique en fonctionnement parce que les dplacements
structurels typiques sont en pratique trop faibles.
La prsence d'un coulement primaire n'a gnralement pas une influence marque sur la masse
ajoute. Par contre, l'amortissement peut tre affect de faon significative. Pour les composantes
de turbine hydraulique, le taux d'amortissement crot gnralement avec l'augmentation de la
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vitesse caractristique de l'coulement. Par contre, cette augmentation est fonction du mode de
vibration considr (Roth et al. 2009). L'amortissement ayant un rle prpondrant dans
l'amplification dynamique de composantes submerges cause par la rsonance, sa caractrisation
reste un sujet de recherche important.
1.3 Mthodes de dtermination des frquences naturelles de structures
submerges
Le comportement dynamique des structures submerges devant tre caractris dans plusieurs
disciplines lies l'ingnierie, plusieurs mthodes de prdiction ont t dveloppes. Cette
section prsente un aperu des principales mthodes ainsi que leur contexte historique. Ce rsumse veut un simple survol des mthodes existantes et n'a rien d'exhaustif. L'objectif principal de
cette section est essentiellement de positionner dans son contexte historique la mthode de
prdiction utilise dans ce projet de matrise.
1.3.1 Mthodes analytiques
La premire mthode de prdiction du comportement dynamique de structures submerges a t
dveloppe par Lamb (1932) et fait intervenir la thorie des coulements potentiels (Munson et
al. (2006)). Ces derniers font intervenir des fluides incompressibles dont la viscosit est nulle en
coulement irrotationnel. Dans ces conditions, les quations qui rgissent les coulements fluide
se rduisent la rsolution de l'quation de Laplace sur le domaine considr. Cette
simplification permet une rsolution analytique relativement simple. C'est pour cette raison que
cette mthode ft la premire apparatre pour la prdiction du comportement dynamique de
structures submerges.
Dans un premier temps, cette mthode a t applique des sections bidimensionnelles et
indformables pour simplifier le dveloppement. En imposant une vibration harmonique en
translation d'une section quelconque dans un fluide, il est alors possible de dduire la masse
ajoute (Brennen (1982)). Cette thorie s'applique lorsque les conditions suivantes sont
respectes (Blevins (1995)):
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1)2(0
fD
(1.19)
Au fil du temps, le dveloppement a t appliqu diffrentes sections bidimensionnelles et
tridimensionnelles. Les rsultats ont t rpertoris sous forme de tables dans lesquelles se
trouvent explicitement l'expression de la masse ajoute associe au dplacement harmonique de
la section considre selon des degrs de libert de translation ou de rotation. Les tables les plus
utilises sont probablement celles de Patton (1966) et Kennard (1967).
Le niveau de prcision est relativement faible pour la prdiction du comportement dynamique
d'une structure lastique vibrant selon ses diffrents modes. Il est nanmoins possible d'obtenir un
ordre de grandeur pour la masse ajoute.
Une variante de la thorie potentielle est la thorie des bandes (Blevins (1995)). Cette mthode
permet de gnraliser l'application de la thorie potentielle pour une structure section variable
(voir Figure 1-6). Le concept de base est d'valuer la masse ajoute par la thorie potentielle
prcdemment prsente et d'intgrer la contribution de chacune des sections le long de la
structure.
Figure 1-6: Solide section variable
L'quation (1.20) montre l'application de la thorie des bandes la gomtrie de la Figure 1-6.
dxxadxMMbb
s
hh == 02
0)(
4
(1.20)
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o shM reprsente la masse ajoute par unit de longueur dtermine par la thorie
potentielle et a reprsente la largeur de la plaque qui varie selon la direction X.
Cette mthode est d'autant plus prcise que la structure est allonge puisque les effets de bout ont
une importance relative moindre (Blevins (1995)).
1.3.2 Mthodes exprimentales
Compte tenu du manque de prcision des mthodes thoriques de prdiction des frquences
naturelles de structures submerges, des mthodes exprimentales ont t ncessaires pour offrir
une meilleure prcision de la prdiction. De manire gnrale, ces expriences sont menes sur
des structures gomtrie trs simple comme des plaques ou des cylindres. Ces structures servent
d'lments de base et sont utiliss dans plusieurs applications industrielles. Ces exprimentations
permettent de caractriser les paramtres les plus influents par rapport au comportement
dynamique et de valider les autres mthodes de prdiction. De plus, les rsultats peuvent tre
appliqus des cas de figure rels par des lois d'homologie (voir Section 1.2.1).
L'une des composantes fondamentales en mcanique est la plaque. Lindholm et al. (1965) ont
ralis des mesures exhaustives de frquences naturelles sur un lot de plaques totalement et
partiellement submerges. Par la suite, ils o