Sistem LTI sebagai filter
Karakteristik filter ideal Low Pass Filter (LPF) High Pass Filter (HPF) Band Pass Filter (BPF) Transformasi LPF HPF Digital resonator Notch filter Comb filter All-pass filter Digital sinusoidal filter
Karakteristik filter ideal
)(X)(H)(Y
)(H Weighting function
Spectral shaping function
Filter
Sistem LTI)(X
)(H )(Y
)n(x)n(h
)n(y
)n(x)n(h)n(y
Constant gain pada passband
Filter Ideal :
Zero gain pada stopband
Respon fasa linier
lainnya0
Ce)(H 21
nj o
onje)(CX
)(X)(H)(Y
)nn(Cx)n(y o
on)(
Prinsip dasar penempatan pole-zero pada bidang z :
Penguatan frekuensi pole di dekat lingkaran satu
Filter stabil semua pole harus di dalam lingkaran satu
Koefisien filter nyata pole kompleks harus konjugate
Pengurangan frekuensi zero di dekat lingkaran satu
N
1k
1k
M
1k
1k
ok
N
1kk
kM
0kk
)zp1(
)zz1(b
za1
zb)z(H
1)(Hb oo
Low Pass Filter (LPF)
9,0aaz1
b)z(H
1o
1
1,0a1b1)(H0 ooo
ae
eb)(H
az
zb)z(H
j
j
o1o1
9,0e
e1,0
ae
eb)(H
j
j
j
j
o1
0MN9,0p0z
cos8,181,1
1,0
sinj)9,0(cos
e1,0)(H
j
1
)cos8,181,1log(1020
cos8,181,1log201,0log20)(HdB1
9,0cos
sintg)(H 1
1
9,0e
e1,0)(H
j
j
1
05,02
a1b9,0a
az1
z1b)z(H o1
1
o2
ae
1eb)(H
az
1zb)z(H
j
j
o2o2
0MN9,0p1z
cos8,181,1
cos2205,0
sinj)9,0(cos
sinj)1(cos05,0)(H2
9,0cos
sintg
1cos
sintg)(H 11
2
9,0e
1e05,0)(H
j
j
2
)(H1
)(H2
Contoh Soal 8.1
Tentukan respon frekuensi dari LPF dua pole :
Jawab :
21o
)az1(
b)z(H
2j
2jo
)ae(
eb)(H
2
2o
)az(
zb)z(H
dengan : 2
14/H1)0(H
2
2o2
o )a1(b1)a1(
b)0(H
a4/sinj4/cos
)a1()(H
)ae(
eb)(H
2
2j
2jo
21
a2a21
)a1(
25,0j)a25,0(
)a1()(H
2
2
2
2
2
22
a2a1
)a1(
2
1)(H
2
1)(H
46,0b32,0aa2a12)a1( o22
2j
2j
)32,0e(
e46,0)(H
cos32,0cos
2sintg22)(H 1
2
22 )cos64,01024,1(
46,0
sinj)32,0(cos
46,0)(H
High Pass Filter (HPF)
9,0aaz1
z1
2
a1)z(H
1
1
3
9,0e
1e05,0)(H
j
j
3
9,0p1z 9,0e
1e05,0)(H
j
j
3
cos8,181,1
cos2205,0
sinj)9,0(cos
sinj)1(cos05,0)(H3
9,0cos
sintg
1cos
sintg)(H 11
3
9,0e
1e05,0)(H
j
j
3
Band Pass Filter (BPF)
2
1
9
4H
•Harus ada satu atau lebih pole konjugate
•Terletak di dekat lingkaran satu
•Didekat frekuensi tengah pass band
Contoh Soal 8.2
Rancang BPF dua pole dengan frekuensi tengah /2, berharga nol pada frekuensi 0 dan 2, serta :
Jawab :
)jrz)(jrz(
)1z)(1z(G)z(H
1z,1z,rep 212
j
12
)rz(
)1z(G)z(H
22
2
1r1
G2
2H
r1
2G
2H
1e2)re(
)1e(G)(H
22
2j22j
2j
9
8sinj
9
8cose
9
4
)re(
)1e(
2
r1
)re(
)1e(G)(H
2j
22j
2j2
22j
2j
2
r1G1
r1
G2 2
2
98
sinj)r9
8(cos
98
sinj)19
8(cos
2
r1
9
4H
2
2
98
sinj)r9
8(cos
98
sinj)19
8(cos
2
r1
9
4H
2
2
2
1
)9
8cosr2r1(
98
cos22
4
)r1(
9
4H
24
222
7,0rr88,1r1)r1(94,1 22422
)7,0z(
)1z(15,0
)z7,01(
)z1(15,0)z(H
2
2
2
2
)7,0e(
)1e(15,0)(H
2j
2j
Transformasi LPF HPF>
)(H)(H lphp
)n(h)1()n(h
)n(h)1()n(h)e()n(h
hpn
lp
lpn
lpnj
hp
2
Frekuensi rendah
20
Frekuensi tinggi
M
0kk
N
1kk )kn(xb)kn(ya)n(y
N
1k
k)(jk
M
0k
k)(jk
lp
ea1
eb)(H
N
1k
kjk
M
0k
kjk
lp
ea1
eb)(H
N
1k
kjk
k
M
0k
kjk
k
hp
ea)1(1
eb)1()(H
M
0kk
kN
1kk
k )kn(xb)1()kn(ya)1()n(y
Koefisien pada suku ganjil diganti tandanya
Contoh Soal 8.3
Ubah LPF yang dinyatakan dengan persamaan beda :
)n(x1,0)1n(y9,0)n(y menjadi HPF
Jawab :
)n(x1,0)1n(y9,0)n(y
jhp e9,01
1,0)(H
jlp e9,01
1,0)(H
)(Hhp )(H lp
Digital Resonator
• Bentuk khusus dari BPF dua pole
• Sepasang pole konjugate di dekat lingkaran satu
• Magnituda besar disekitar o (frekuensi resonansi)
• Dapat ditambah satu atau dua zero
• zero di titik asal (z = 0)
• zero di z = - 1 dan z = 1
1r0rep oj2,1
2o
2
2o
221o
o
1j1jo
12
11
o
rzcosr2z
zb
zrzcosr21
b
)zre1)(zre1(
b
)zp1)(zp1(
b)z(H
oo
)pz)(pz(
zb)z(H
21
2o
)()(2)(H
)(U)(U
b)(H
21
21
o
)pe)(pe(
eb)(H
2j
1j
2jo
o2
oo 2cosr2r1)r1(b1)(H
8,0r
3/o
95,0r
)pz)(pz(
zb)z(H
21
2o
)pz)(pz(
)1z(b
)pz)(pz(
)1z)(1z(b
)zp1)(zp1(
)z1)(z1(b)z(H
21
2o
21
o
12
11
11o
)()()()()(H
)(U)(U
)(V)(Vb)(H
2121
21
21o
)pz)(pz(
)1z)(1z(b)z(H
21o
8,0r 95,0r
3/o
Notch Filter
• Kebalikan dari digital resonator
• Sepasang zero konjugate di lingkaran satu pada o
• Magnituda kecil sekali (nol) disekitar o
• Dapat ditambah dua pole konjugate
1r0rep oj2,1
oj2,1 ez
)zzcos21(b
)ze1)(ze1(b
)zz1)(zz1(b)z(H
21oo
1j1jo
12
11o1
oo
)zrzcosr21(
)zzcos21(b
)zre1)(zre1(
)ze1)(ze1(b
)zp1)(zp1(
)zz1)(zz1(b)z(H
221o
21o
o
1j1j
1j1j
o
12
11
12
11
o2
oo
oo
)zz1)(zz1(b)z(H 12
11o1
)z(H1 4/o
)zp1)(zp1(
)zz1)(zz1(b)z(H
12
11
12
11
o2
)z(H2
Comb Filter
• Notch filter yang lebih umum
• Magnituda nol pada berbagai frekuensi secara periodik
M
0k
)kn(x1M
1)n(y
Moving Average (FIR) Filter :
1
)1M(M
0k
k
z1
z1
1M
1z
1M
1)z(H
1
)1M(
z1
z1
1M
1)z(H
j
)1M(j
e1
e1
1M
1)(H
)ee(e
)ee(e
1M
1)(H
2/j2/j2/j
2/)1M(j2/)1M(j2/)1M(j
2sin
21M
sin
1M
e)(H
2/Mj
2sin
21M
sin
1M
e)(H
2/Mj
k2
1M0)(H
M,,3,2,1k,1M
k2
1
)1M(
z1
z1
1M
1)z(H
M = 10
Comb filter yang lebih umum :
M
0k
kz)k(h)z(H
M
0k
kLL
L z)k(h)z(Hzz
)L(He)k(h)(HM
0k
jkLL
5L
2L
sin
21M
Lsin
1M
e)(H
2/LMj
L
1
)1M(
z1
z1
1M
1)z(H
L
)1M(
L z1
Lz1
1M
1)z(H
L
)1M(
L z1
Lz1
1M
1)z(H
M = 10
L = 3
All Pass Filter
kz)z(H1)(H
1aza
za)z(H oN
0k
kk
N
0k
kNk
NN
11
N1N1
11NN
zaza1
zzazaa)z(H
N
0k
kk
N
0k
kNk
za
za)z(H
N
0k
kkza)z(A
)z(A
)z(Az)z(H
1N
1)z(A
)z(Az
)z(A
)z(Az)z(H)z(H)(H
1
N1N12
All Pass Filtero
o z
1pzz
p
z
+
+
2z
1z
1p
2p
oo
o
j1
j1
er
1z
rep
o
o
j2
j2
er
1z
rep
a
1z
ap
p
1z
1
1
1
1
1 z6,01
)z6,0
11(6,0
z6,01
z6,0)z(H
Single pole – single zero filter
Two pole – two zero filter
49,0r
)zrcosr21(
)zcosr2r()z(H
o
22o
2o
2
2
1
1
1 z6,01
z6,0)z(H
)zrcosr21(
)zcosr2r()z(H
22o
2o
2
2
)(H)(H 21
)(H1 )(H2
Komputasi dari fungsi respon frekuensi
N
1kk
j
M
1kk
j
)MN(joN
1k
kjk
M
1k
kjk
o
)pe(
)ze(eb
)ep1(
)ez1(b)(H
)(jkk
j)(jkk
j kk eUpeeVze
)(U)(U)(U
)(V)(V)(Vb)(H
N21
M21o
)]()([
)()()MN(b)(H
N1
M1o
Re (z)
Im (z)
je kz
kj ze
0
2/
2/
kp
kj pe
Interpretasi Geometrik
)(jkk
j ke)(Upe
Re (z)
Im (z)
kz
)(jkk
j ke)(Vze
kp
kkVkU
k
Contoh Soal 8.4
Tentukan respon frekuensi dari
Jawab :
1z8,01
1)z(H
1b1N1M8,0p0z o
8,0e
e)(Hez
j
jj
8,0z
z
)z8,01(z
z
)z8,01(
1)z(H
11
8,0cos
sintg)(H 1
22o
sin64,0cos6,1cos
1
)(V
)(Ub)(H
sinj)8,0(cos
sinjcos
8,0e
e)(H
j
j
cos6,164,1
1)(H
)()()MN(b)(H o