MATEMÁTICARAPHAELL MARQUES
01 SISTEMAS LINEARES
23/06/2020
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QUESTÕES SOBRE DETERMINANTES
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SISTEMAS LINEARES
4
Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.
SISTEMAS LINEARES
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Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As três contas apresentam ligações para telefones fixo e móveis, e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos.
A tabela informa o tempo (em minuto) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, já descontado o preço da assinatura.
SISTEMAS LINEARES
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Fixo Móvel Internacional (Buenos Aires)
Valor (R$)
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40
André 8 min 5 min 5 min 14,70
SISTEMAS LINEARES
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SISTEMAS LINEARESVamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para
telefones fixos, para telefones móveis e para Buenos Aires, respectivamente:
A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20
A conta de Júlia é dada por: 14x + 4Y + 3z = 13,40
A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70
As três equações acima constituem um exemplo de sistema linear.
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SISTEMAS LINEARES
As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum.
Vamos analisar por exemplo a equação:
EQUAÇÃO LINEAR
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SISTEMAS LINEARES
As equações que obtivemos têm muitas coisas em comum.
Vamos analisar por exemplo a equação:
É uma equação de 1º grau.
Os três termos do 1º membro são de 1º grau.
O termo do segundo membro é de grau zero (independe de
qualquer variável).
Uma equação desse tipo é chamada de equação linear.
EQUAÇÃO LINEAR
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SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,
x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
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SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,
x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
b é o termo independente;
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SISTEMAS LINEARESDe maneira geral, se a1, a2, a3, ..., an, b são constantes reais e x1,
x2, x3, ..., xn são variáveis reais, uma equação linear é do tipo:
x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes;
b é o termo independente;
Note que, numa equação linear, os expoentes de todas as variáveis são sempre iguais a 1.
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SISTEMAS LINEARES
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.
14
SISTEMAS LINEARES
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
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SISTEMAS LINEARES
Chama-se sistema linear a n incógnitas um conjunto de duas ou mais equações lineares com n incógnitas.
x + 2y = 3
Sistema linear com 2 equações e 2 incógnitas (x, y).
x – y = 5
2x – y +z – t = 0
Sistema linear com 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z e t).
x – 2y + t = 03x + y – 2z = 0
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SISTEMAS LINEARES
Todo sistema linear pode ser representado na forma matricial.
2x + y = 3x – 2y = 05x + y = 0
2 1
1 –2
5 1A =
x
YX =
3
0
1B =
Matriz dos coeficientes
Matriz das incógnitas
Matriz dos termos independentes
ATENÇÃO
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SOLUÇÃO DE UM LINEARES
x + y = 52x – y = 1
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
18
SOLUÇÃO DE UM LINEARES
x + y = 52x – y = 1
(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)2.2 – 3 = 1 (V)
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
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SOLUÇÃO DE UM LINEARES
x + y = 52x – y = 1
(2, 3) é solução →2 + 3 = 5 (V)2.2 – 3 = 1 (V)
(3, 2) não é solução →3 + 2 = 5 (V)2.3 – 2 = 1 (F)
Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que
satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear.
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SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui
todos os coeficientes independentes nulos.
21
SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui
todos os coeficientes independentes nulos.
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes
nulos).
22
SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui
todos os coeficientes independentes nulos.
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes
nulos).
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0,
0, ..., 0), chamada de trivial.
23
SISTEMAS LINEARESConsideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui
todos os coeficientes independentes nulos.
Num sistema linear homogêneo, todas as equações são
homogêneas (possui todos os coeficientes independentes
nulos).
Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0, 0,
0, ..., 0), chamada de trivial.
Um sistema homogêneo pode ter outras soluções além da
trivial.
24
SISTEMAS LINEARES
O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0
Exemplo
25
SISTEMAS LINEARES
O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)–3.0 + 6.0 = 0 (V)
Exemplo
26
SISTEMAS LINEARES
O sistema linear é homogêneo.x – 2y = 0–3x + 6y = 0
(0, 0) é solução →0 – 2.0 = 0 (V)–3.0 + 6.0 = 0 (V)
(2, 1) também é solução →2 – 2.1 = 0 (V)–3.2 + 6.1 = 0 (V)
Exemplo
27
SISTEMAS LINEARES
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas
soluções são chamados sistemas equivalentes.
2x + y = 5 x – y = 1
e
28
SISTEMAS LINEARES
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas
soluções são chamados sistemas equivalentes.
2x + y = 5 x – y = 1
e x + y = 33x + y = 7
29
SISTEMAS LINEARES
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas
soluções são chamados sistemas equivalentes.
2x + y = 5 x – y = 1
e x + y = 33x + y = 7
Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
30
SISTEMAS LINEARES
Dois ou mais sistemas que tenham exatamente as mesmas
soluções são chamados sistemas equivalentes.
2x + y = 5 x – y = 1
e x + y = 33x + y = 7
Ambos os sistemas são possíveis e determinados.
A solução é a sequência (2, 1).
31
Sistema linear
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
32
Sistema linear
Tem solução?
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
33
Sistema linear
Tem solução?
Não
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
34
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
35
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
36
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
37
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
38
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Apenas uma
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
39
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
40
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
41
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
42
Sistema linear
Tem solução?
Não
Impossível (SI)
Sim
Possível (SP)Quantas?
Apenas uma
Determinado (SPD)
Infinitas
Indeterminado (SPI)
Quanto ao número de soluções, um sistema pode ser possível e
determinado, possível e indeterminado ou impossível.
43
SISTEMA DE EQUAÇÕES COM DUAS INCÓGNITAS E INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA SOLUÇÃO
Em um plano cartesiano, as equações da forma ax + by = c,
em que a e b são simultaneamente não nulos, definem uma
reta. A solução de um sistema linear de duas equações a duas
variáveis corresponde aos pontos comuns às retas
relacionadas a essas equações.
44
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Exemplo
45
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,
Exemplo
46
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7
Exemplo
47
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
Exemplo
48
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3
Exemplo
49
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4y = 3x – 5
Exemplo
50
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12 → x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)y = 3x – 5
Exemplo
51
SISTEMAS LINEARES
3x – y = 5x + y = 7
Na 1ª equação, y = 3x – 5.
Subst. na 2ª equação,x + 3x – 5 = 7 → 4x = 12
Um sistema linear pode ter uma única solução. No caso, ele é
chamado sistema possível e determinado (SPD).
→ x = 3
→ y = 3.3 – 5 → y = 4
Solução (3, 4)y = 3x – 5
Exemplo
52
SISTEMAS LINEARES
Veja a interpretação gráfica do sistema3x – y = 5x + y = 7
53
SISTEMAS LINEARES
x
y
O
Veja a interpretação gráfica do sistema3x – y = 5x + y = 7
r2
3
4r1
Retas concorrentes
54
55
56