Transcript
Page 1: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore-casting of air pollution levels

Sujit K. Sahu�

University of Southampton, UK

Kanti V. MardiaUniversity of Leeds, UK

Summary. Short-term forecasts of air-pollution levels in big cities are now reported in newspapers and other media outlets. Studies indicate that even short-term exposure to high lev-els of an air pollutant called atmospheric particulate matter (PM) can lead to long-term healtheffects. Data are typically observed at fixed monitoring stations throughout a study region ofinterest at different time points. Statistical spatio-temporal models are appropriate for mod-elling these data. In this article we consider short term forecasting of these spatio-temporalprocesses using a Bayesian Kriged-Kalman filtering model. The spatial prediction surface ofthe model is built using the well known method of Kriging for optimum spatial prediction andthe temporal effects are analysed using the models underlying the Kalman filtering method.The full Bayesian model is implemented using MCMC techniques which enable us to obtainthe optimal Bayesian forecasts in time and space. A new cross-validation method based on theMahalanobis distance between the forecasts and observed data is also developed to assessthe forecasting performance of the implemented model.

Keywords: Bending Energy; Gibbs Sampler; Kalman Filter; Kriging; Markov chain Monte Carlo;Spatial Temporal Modelling; State-Space Model.

1. Introduction������������� ������������������������������� �����!"���#%$�&���'���$)(�����*+�,�����-�.������*/�0��*+���1%!"$%#%�1/������#����������*+2�&������$3������14 %���,��5�����*+$�67���!"58$�����1�#��)���9��&����:���;��*+�.6<58$�1+14&%��*4$��=#�������>,?@5�����*+$�67���!,58$�����1�#������A����*+����*+�!B���@ C$�������D�E$������EF@���;��> '�>"#%*+������.�,!B��5�5�*4��'C����#G���E$���$�!"*/�H!"$���*I��$���*4��'A$�JK������1���.�������"5���*+���>L JM����H�����N5���*4!B���� D*+���������.����*+�,������1+ %�.*+��';�.&����,#������;�����O��$P��!,$@$����"����#�5����#%*/�Q����*+!"�N�R�$�1+&%��*+$��$�J��.$�!,�;�����5�$������SR)����*/����1+��K$)R���N�"�E�������*4�3��5��)��*+��1T#%$�!B��*+�T>U ��������*4�WV0XY�Y�Z@["����#]\S$@$%#���1+1;����#_^`����#�*+�]V.XY�Y�Z�[,$��%����*4���#a!"$%#%�1/��Jb$��9��5��)��*4$�6c���!"58$�����1#��)����>`���W�G#%*/���&����.*+$��d5���5���,^G����#%*+�WeEfPg)h+iaV0XY�Y�j�[;���kR��l*4������$%#%&���#m�`�$�!���*4���#m��5�5���$������(N��*/���G����� :���1+1on;��*4'��#@6�nD��1+!B���Cp�1I����lVcnDnDq�[S!"$%#%�141+*4��'�>lrN���E����D5���5�����P(N*I����*4�:����*+�P����$���#Jb����!"�(K$���s`*4���E1+&�#%�9?%������t$`����#m\S&������*;V0X�Y�Y�Y�uwv�x�x�x�[Qu�?�����$�&�#]efPg)h4iyVcv�x�x�Xk[Qu�n; @��*/��s@*/#%*+�D����#z�$�&������1TV.XY�Y�Y�[Eu�{_*+s�1+�|����# U ��������*+�PV0XY�Y�Y�[Qu�{_*+s@14�"eEf�g)h+i-V0X�Y�Y�j�[Qu�}O��$)(N�`eEf�g�h4i-V7v�x�x�x�[Eu�~-1+1+���$�JM�����#3\S1/������� GVcv�x�x���[Qu�����#9n;����N����#3^`����#%*/�9V7v�x�x�v�[E>n;���������#;^`����#�*+�DV7v�x�x�v�[�5���$)R@*+#%����&���*Ip���#D��5�5���$������-��$-�.5��)��*+$�67���!"5�$�����1)!,$%#%�141+*+��'�������$�&�'������� &����|$�J�#���*4JM������#��)$��O�$������1+����*+$��"*+�l�.5����E�S����#8�k$�����*+!,� ��$,����E$�!"!"$%#��)���|��5��)��*+��18�$�����*+�@&�*I�0 �>q�$�� #%��*IJM�SJb&����E��*+$����u8����� C���kR��H�!"5������.*/�.��#3�����H&����H$�JO�.$9���1+1+�#C5���*+���E*+5���1�n;��*4'�*4��'�Jb&����Q��*4$����u�Q�o�k��0���0�`����_�.�������������%�)���@���Q�����.���)��A��=�"��0�����P��0�������=�� �¡O¢.�,£O¤���¥k��¦0���§�7¨©��ª����«��0�@��D¬��0��¤������«��0����D¬��0��¤�����­ ®E¯D®Q°�±��@£K¤��§�0�Q²H³N��¤�´k²����

E-mail: [email protected]

Page 2: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

2 S. K. Sahu and K. V. Mardia����#`Jb$��D�E$������1/�)��*4$����N����� C���kR���#�*+���E&������#C�����"&�����$�JO��p����.�S$���#���;^`����s�$)RC�.����&��Q��&�����*4�=��*+!"��E$�!H��*+���#"(N*4���9�.5�����*/��1���14&�����*4��'�>�µ-����-(K�|��#�$�5%�o$����-$�J¶�����*4�K�0���������'�*4������&%�K*4�9�;Jb&�1+18}��k ����.*/���Jb����!"�(K$���s8>{=�S(O$���s�������-(N*4���A�D5���$@������(N��*/����*/�O�$�����*+�@&�$�&���*4�A�.5����E� ����#B#%*/���E���E��� *4����*+!,��>�·����|&���6#%���1+ �*+��';�.5��)��*/��1%#%��*4JM��*/�w!"$@#��1+14��#H�@ D������5���*+���*45���1%n;��*+'�*+��'-Jb&����Q��*4$���������#P��������*4!"�N�E$�!"5�$��������)�N$����.���R��#���*I�����*/��!"$@#��1+14��#l�@ ��,R����Q��$���������#%$�!,6<(K��14s,5���$%�E����>�·����;#� �����!"*+�S������#�$�!,67(���1+s5���$@�����B!"$%#%�1/�l�.��$%�������0��*+�A�������#_����#¸�����G�����&�14��*+��'y}��k ����.*/���a������1+ @��*/�B����.�����*/��1+14 W14����#�����$nD��1+!B���"p�14�����*+��'P(N��*/����*/�o���E$�!"5�&����)��*4$�����1�!"�E����$@#B��$�������1+ %�.�-#� �����!"*+�-��*+!"� �����*4���o#�������u@������> '�>�^`����#%*/�CeEf�g)h4i V0X�Y�Y�j�[Q>����C��#�#%*I��*4$��Tu%�����D5���$�58$����#�!"$%#%�1+�-�����S5�������������#l*+�C�,��*4�����������*+���1Jb����!"�(K$���sDJb$�1+14$)(N*+��'P{_*+s@14�"eEfog�h4i-V.XY�Y�j�[E>�·���*/�K��1+14$)(-�������|*+���14&���*+$���$�J¶��¹ �@&�'�'���º������!»*+�B������.5��)��*/��1�5������;$�JO�����B!"$%#%�17>�·����B!"$%#%�1�*/�;p������#ª����#:&��.��#`Jb$��DJb$��������.��*+��'A*4�d�A&���*4p��#ª�$�!,65�&%���)��*+$�����1�Jb����!"�(O$���s`&��.*+��'G^`����s�$)RG������*4�m^C$������ U ����1+$mV�^ U ^ U [D!"�E����$%#��>`·����l^ U ^ U!"�E����$@#��N���5�1/���E� �����;������s�$�J�nD��14!B���lp�14�����*+��'B&���*4��'B�,������#%$�!,67(���1+s"!,$%#%�1T*+�9��*4!"��>·���� 5�1+����$�JT�����S���!"��*4��#%��O$�J¶����*+��������*/�E1+�|*/�K���oJb$�1+14$)(-�>����3?@��E��*+$��3vD(K� #%�������*+���|�����;#�������.���&����#�*4�,����*+���.��&�#% �>�?@���Q��*+$��B�;#%�������*+�����w�����|��*4�����������*+���1@}K�k ����*+����nDnDqC!"$%#%�1c>���!"5�$��.��������E$�!,5�&%������*+$�����1�#%�E����*+1+� �����P#%*/���&������#A*+�G?@��E��*+$��CZ�>K���G?%��Q��*4$��G¼"(K�D�����&����3��$B�����H������1+ %�.*/��$�J�����P#��)���"���E�-#%�������*+����#A*4�`?@���Q��*+$��Cv%>�·����S5���58��N���#��N(N*4���C�"#%*+���E&�����*4$��T>2. New York city air pollution data·���*/�w���.��*+�14�O*+�w!"$���*4R)�����#H�@ �����������#D��$S#%�R��14$�5H�E$����������w}��k ����*+���;�$�!"5�&%���)��*4$�����1@!"�E����$%#%$�146$�'� ,*+!"5�1+�!"�����*+��'�½��EF%*+��1+� ��*+�����������*/���1�!"$%#%�1/�OJb$����.��$��.�K�����!¾Jb$���������0��*4��'H$�J���5��)��*4$�6c���!"58$�����15���$@�����.���>o���C��@R@*4��$���!"�������1¶!"$���*I��$���*4��'B����#35����#%*/�Q��*4$��A5���$���14�!B�N*I� *+�N$�JM����`#%���*4���#9��$B5����6#%*/�Q�������|#%�58���#%�����R)����*+����1+��u���> '�>�58$�1+14&���*+$��"14�R��1cu�����*4�%J���141%�����>4u�Jb$���p�R��-#��k %��$�������!,$��0���;(K��s*4�C��#%R)�������>·����D¿��@R@*4��$���!"�������1ÁÀ���$�����Q��*4$��9~|'�����E GVc¿oÀ¶~ [O*+�l�����DÂ-��*4����#C?����������$�Jw~|!,���*/���!"$���*4��$���)��!,$��.5������*+��5����.��*+�&�1+�����,!B�)�.����D1+����S�������ªv�> ¼lö!Ä*+�ª�.*+Å�"s@��$)(N�=���;Ào^Gv�> ¼�>,·���*/�DÀo^=v%>§¼�*/�$����;$�Jw��*IFA5���*+!B���� ���*+�N5�$�141+&%���������N����#A*+�N�,!"*IF@��&����D$�J�p����D5�������*/�E1+��N����#l'������$�&����E$�!"58$�&���#���.&����"������&�145�����o#�*4$kF%*/#%�PVc? LSÆ [�����#"��*I����$�'���,$kF%*/#%�DV�Ç LSÈ [Q>�������������0��*+��������1+ @��*+��'Sp����-5����.��*+�14����.&����9����ÀO^Gv%>§¼H�$�!"��OJb��$�!É�����SJ����E�K�����)������$���� 5�������*/�E1+��K���*4��',1+����K�������Cv%>§¼Pö!Ê*+�3#%*+��!"�E���������D�.!B��1+1����$�&�'��A��$�'��E�-*+����$B�����P1+&���'��|����#C����C���&��.�DR)����*+$�&��-�����1I���C5���$���1+�!B�>�?@��$��.��6c�����!Jb$��������.��*+��'�$�JwÀO^Gv%>§¼�14�R��1/��*/�K�����;Jb$%�E&��N$�J������P�&���������-������*/�E1+��>·����-#��)��� ���E��(K�N������14 %���O������K*/�w������ÀO^Gv%>§¼S�E$����E�����������*+$��H#��)���S$����.���R��#��)�NX�¼|!"$���*4��$���*+��'�0���)��*4$�����*+�������|�*I�0 ,$�J¶Ç-�(WË�$���s,#%&���*4��';������p����.�o��*+���-!"$���������$�J8�����| �����ov�x�x�v%>w·����-#������D�����$��������R���#3$������*+�G�R���� A��������,#��k %�S����#=#%&���*4��'l�����Hp����.�S��*4���"!"$�������� ��������,(O����,Y�X��2�&���1+1+ �.5����E��#"#��k %�> L &%�o$�JÁ��������PX��Ì�¼,V7Í�Xk¼¶Î:Y�X�[�#��)���;58$�*+�����|X�v�ÌS(K����N!"*+���.*+��'D$����.���R)����*+$�����(N��*+���(O�S����s��S��$,�8�D!"*+����*4��'B�$�!"5�1+�E���14 A�)�N������#%$�!3>ÏT�E��Ð�VcÑÒ�Ó.Ô.[�#����$����N�����|$����.���R��#"Ào^=v%>§¼;�E$����E�����������*+$��"14�R��1��)�K�.*4���SÑÒT����#B�)�O��*+!"�|Ô�(N������Õ ÍÖX�Ó×××EÓ�Ø=����#AÔ�ÍÖX�Ó×××Ó.ÙP>�µ-����;(K�;���kR��;Ø3ÍÖX�¼,����#lÙ]ÍÚY�X�>q�*+'�&�����X��.��$)(-�N������14$%�����*+$����-$�J������,�.*4�����-�@&�!��������#ªXD��$`Xk¼%>N·����Dp����.�-��������P!"$���*4��$���*+��'�.*4�����������|*+�l�����D}O��$���FB�������P$�JT����� U *4�0 �u���*I����KZ�u�¼�����#9Ì������S*+�9}K��$@$�s�1+ @�Tu@�.*4�����|Û@u%j�u%Y,����#GXx�����;�����H$������-*+�`^`�������)�.�����Tu8����#A��������*4����PX�X�u�X�v"����#ªX�B�����D*+�:Ü &������u�����#31+���0��14 l�����,�.*4�����XZ"����#:Xk¼������S*+�C?@���)����3�0��1+����#¶>�·�������;p�R��S�8$���$�&�'������E$����.��*4��&%���;�����P�*I�0 �$�J�Ç|�(ÝË�$���sÁ>·��������*/�H�E$�����*+#%�������1+�"��5�����*+$�67���!"58$�����1�R)����*/�)��*4$����;*4�m�������.�l#��)����>Aqw*+'�&����9vA5���$)R@*+#���;������.*4���67(N*/���H�8$kF�6<5�1+$����|$�Jo�����,#�������>P·����"5�14$��;����$)(-�|������� �����B�.*4�����PÛ�����#Gj9*4�:^`�������)�������:�����������|!"$����S5�$�141+&%����#B�������A$���������>�·����;�E$����E��������)��*+$��l14�R��1/�K�)�-�.*4�����KZ�u�¼H����#lÌ�*+�A}K��$�$�s@14 @��������.*+!"*41/����>Bµ-$)(K�R����uÁ�����BR)����*/�)��*+$����D�)�P�.*4�����BXZC����#yXk¼A�����,��$��H��*4!"*+1+���u���1I����$�&�'��=����� =�����"$��

Page 3: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

Map of New York City

Fig. 1. Fifteen monitoring sites in New York City.

�����D����!"�D*/�.1/����#T>�^`$����;#�*+���E&�����*4$��9���'�����#%*4��'P����*+��p�'�&����;*+��'�*4R���A���14$)(D>{=�DJb$���!B��141+ l*+�@R���.��*+'������;�����H��5��)��*+��1TR)����*+����*+$��3&���*4��'����C�!"5�*+��*/���1TR)����*4$�'�����!Ê$�J�������#��)����>{=�-p����.�O���!"$)R��������|���!"58$�����1��������#��o�@ H����s@*4��'D�����|p����0��#%*IÞÁ�������E���Jb$��O������"��*4!"�S�.���*+���Jb��$�!�����GX�¼3��*I����>A·������H*/�P(K�B$��%����*+�Tu�ßHV�Ñ Ò Ó�Ô.[HÍàÐ�VcÑ Ò Ó.Ô�áâX�[Kã¸Ð�VcÑ Ò Ó.Ô.[SJb$��PÔHÍäX�Ó×××EÓ.ÙåãÚX�����#Õ Í©X�Ó×××EÓ.Ø�>K·����D��*4!"�H�����*4���N5�1+$����N$�Jw������#%*IÞÁ�������E�H#������CV���$�� ����$)(N��[��$��%p���!"�#9�����)�N��������(O����;��$l!,$����;���!"58$�����1T�Þ8���Q���u8��&%�-��������P(K����P�,Jb�(æ$�&%��14*+����>K·����HRk����*/�)��*4$��35������.����-*4�3����������.&�1I��*4��'"#������,ßHV�Ñ Ò Ó.Ô.[;Vb(N*4����$�&%�N�����D$�&%��14*+�����[O����9���D�F@58��E����#l��$"���kR��;����*+����lJb��$�!ÊR)����*+����*+$��#%&��S��$���5����E��>·�$�&���#%����.������#l�����H�8����kR�*+$�&��N$�J����C*/�.$�����$�5�*/�D����#A�.������*+$������� 95���$@�����-ç¾V�Ñ�Ó.Ô.[-(O�D&����D�����R)����*4$�'�����!É#%�Ep����#A�@ vkè�V�é@[�ÍÚê�ë�ì)ç¾V�Ñ)íkÓ�Ô.[wãªç¾VcÑ Æ Ó.Ô.[�î ÆQï(N�������é3*/� �����"#%*/�0����������8�E�0(K���`�����B�.5�����*/��1�1+$@��)��*4$���� Ñ)íH����#=Ñ Æ >H·�����#�*I��*4$�����1+14 3R)����*+$�'�����!B������K���1/�E&�1/�)���#��@ P'���$�&�5�*4��' �����N5�$�����*4��14��R)��1+&����$�JÁé;*+����$D��*+���u�����#��@ H�$�!"5�&%��*4��'S$�����R)��1+&��N�@ ����s�*+��'|����������!"5�14���kR������'���$�JTìßHVcÑkí�Ó.Ô.[�ãDßHV�Ñ Æ Ó.Ô.[�î Æ R)��14&�����Jb$���(N��*/���P�����K#%*/�.�������E��é �8�E�0(K����Ñ)í����#AÑ Æ 14*+���(N*4����*+�`�,'�*+R���9��*+�T>oµ|�����u%(K�P��#%$�5%�-�"�.1+*4'�����1+ l#%*4Þ8�������-5���$%�E��#%&�����>�·����;���0��*4!B�)���$�J�è�Vcé�[OJb$��-���A$��������R���#l#%*/�0��������D$�J�éB*+�-'�*+R���A�@ Áðñè�V�é@[oÍ Xv�VbÙ¸ãWXk[ ò�ó

íô õö í ìßHVcÑ í Ó.Ô.[�ã:ßHV�Ñ Æ Ó.Ô.[�î

Æ Ó�����.&�!,*+��'"�����)� ��������P*/�-��$�!"*+���.*+��'�$��������Rk����*+$����>�{=�����!"$)R��S������!"*+���.*+��'�$��������Rk����*+$����NJb��$�!�����D����$)R��;��&�!à����#3��#k÷0&��0�N�����P#%���$�!"*4���)��$��N����$���#%*+��'�1+ �>

Page 4: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

4 S. K. Sahu and K. V. Mardia

020

4060

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

øù ú�ûüý§þ ÿþý��

��*4����

Fig. 2. Boxplot of the data at 15 sites.

{=�P&��.�;�����D'��$@#��E��*/�D#%*/�0��������D����0(O���A�0(K$B14$%�����*+$�����(N*4���C'�*4R���A1+����*4��&�#������íS����#�� Æ ����#14$���'�*4��&�#%����¶í,����#�� Æ V��$��@R���.���#C��$3����#%*+������[Q>"·����"'��$%#%���*/��#�*+�.�������E��u�é�uT*+�S������#%*/�0��������B�)������P��&���J�����S$�J������H¿O�������3�E$����.*/#%����#A���N�"��5�������D$�Jw����#%*+&���æÍÚÌ���Û%X s@*+14$�!,�������>�{=�D&��.�;�����Jb$���!H&�1/� #�Í]Ì���Û@X:������$��EV��[;Vbs@!�[Ó(N������ ©Í]�.*+��V���í[%��*4��V � Æ [�áy�E$��V���í[%�E$��V � Æ [%�$��V��¶íKã�� Æ [Q×

q�*+'�&����;�P5���$)R@*+#���K�P5�1+$���$�JT�����S��.��*+!"������#�R)����*4$�'�����! ñèwVcé�[K��'���*+���.�Ké�>�·����S��*4���S��&�!H�8��SXZ�����O�8���A$�!"*4�.���#BJb��$�!¾����*/�O5�14$��K�8����&���� *4�N�E$�������*+���#��0(O$�$�&%��14 @*+��'��F@�����!"�|$����.���R)����*+$����O$��z�&�����XxB����#ªX��������#A�������.�H��*4'��C$��������R)�)��*4$����-#%*/�0��$�������#A�����P'���������1T1+*4�������|�������#C�����C*4�3�����R)����*4$�'�����!¾5�1+$��>�{:�P������1+1¶�����&����9��$"����*+�N*/���.&��;1/�)����N*+�9�����P������1+ @��*/��?%��Q��*4$��3¼�> v�>·����OR)����*+$�'�����!Ý5�1+$��NV�qw*+'�&����O��[�����$)(-�������K5�����������o$�J��0����$���'|1+*+������w��5��)��*+��1�R)����*/�)��*4$����>�·�����.$�14*/#`1+*+���B*4�=����*+�Sp�'�&����,*/�S�����,�!"5�*4��*/���1�1+$@����Sp���Vc?�6�À�1+&��SJb&����E��*+$�������������[���$A�����"��.��*+!B�)���#R)����*4$�'�����!3>�·����-R)����*+$�'�����!Ö5�1+$��O#%$@������$��O�.��$)(¸�P�14������p���*I���|������'��N����#B�;p���*I��� ��*41+17>wµ|$)(O�R����u�,p���*4���P������'��D����#3�,p���*I���H�.*+1+1�����3���H�����3*IJ������Dp�R��D�F@�����!"�DR)����*4$�'�����!ÉR)��1+&���NJb$��|#%*/�.�������E�R)��1+&���T����$)R�����xK(O�����*+'���$����#¶>�·�����#%$������#;1+*+����*+� ������5�1+$���*+�Á������1+$@����Áp��T��$�������R)����*+$�'�����!]�)JM�������!"$)R�*+��';��������-p�R��|�F������!"�-R)��1+&���>�·����|&���#%���14 @*+��'D�����$������*/���1�R)����*4$�'�����!»�$��������.58$���#%*4��';��$�����P#�$��.���#A1+*4���D#%$@���N*4��#%*+��)��� �����D5�����������;$�J��Hp���*I���P�.*+1+1�����#A��p���*4���D������'���>Ç-$�����u@��$)(K�R����u)�������O�����|5�14$��.����#�R)����*+$�'�����!B�������N��$H�8�|�������)���#B���O�EF%5�1+$����)��$��� D��$@$�1+�O(N�����������3!B��*+�a$��%÷0���Q��*4R��9*/�,��$d����$)(Ê�����35������.����E�3$�JS��5��)��*+��1NRk����*/�)��*4$�����*4�¸�����`#��)����>a·�������3�EF@65�1+$����)��$��� S����#H�!"5�*+��*/���1�R)����*+$�'�����!"���.��$�&�1/#P��$����8���$��%Jb&��.��#D(N*I���P�����N^`�)��t����;J���!"*+14 �Vc^`�)��t����Tu

Page 5: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 5

••••

••••••••••

•••

•• ••••

•••

••

••

•••

•••

••

• ••

•••

•••

• •••

• ••

• •

distance

vario

gram

0 10 20 30

02

46

810

12

Fig. 3. The variogram of the differenced data after removing the site 14. The solid line is an em-pirical loess fit; and the dotted line is also an empirical loess fit after removing five extreme pointscorresponding to distance values more than 30.

XY�j�Ì�[O$�J��$)R)����*+�����E�SJb&����E��*+$���� �����.&�!,��#A*4�G?@���Q��*4$��`��>+X;Jb$��-�����P1/�)������|R)����*+����1+���(N��*/���`��5�58����*4�A�H1+$)(K���671+�R��1���*4����������@ ,$�J�!"$%#%�1Á��&�*41/#%*+��'�>�·����S1/�)������KR)����*/����1+��o��������;�����|��$��-����!"� ���O�����#%*4Þ8�������E��#9#������,58$�*+�����NßHVcÑ�Ó�Ô.[K�������>o?@��P?@��E��*+$��`¼%>§vHJb$��N!"$����S#�*+���E&�����*4$��9���'�����#%*4��'H����*+�>·������8$kF@675�14$���� *4�:q�*+'�&����Bvl��1+��$l*+��#%*/����������������*+�;�9R���� 31/����'��H$��������R��#3R)��14&��,5����������S���������9��*I����>�q�&��.������N*+�@R���.��*+'�����*+$��Tu%����Dqw*4'�&����SZ�u��.��$)(-�o�����)�N�����;1+����'�� $��������Rk����*+$��A�)�-������9��*I���(K���OJb$��-z�&�14 3ÛP(N��*+���3(����O�����;p����.�-#��k �$�Jw!"$���*4��$���*+��'B�)JM����������Pz�&�1+ �Z,p����(K$���sB�E�1+���������*+$����>·�������D1/����'��;$��������R)�)��*4$����N�����P��1/�.$B�����9��$��8�P5�$��.*4��*+R��14 A�.s��(K�#¶u��.��;�����P�8$kF%5�1+$��-$�J������H#������Jb$��"z�&�14 yÛ35�14$��.����#m*+�Wqw*+'�&����A¼�>:���y�����3����!"��p�'�&����������9�8$kF%5�14$���$�JN�����3#��)���`Jb$��,z�&�1+ ªZG*/���1/�.$B5������.������#AJb$�� �E$�!"5�����*+��$����>-·���*/�-5�14$��S����$)(-�N�����H5����������E�P$�J����'��)��*+R��P��s��(N������NJb$��-�����Ào^Gv�> ¼��E$����E��������)��*+$��3#������"$��Cz�&�1+ lZ�>OÀ��������5��u�����*/�-*/����$B���D�F@58��E����#AJb$��N58$�1+14&%��*4$��`#��)���"$���;���'�&�1/����#��k ���*4����-��*+'��"1+�R��1+�o$�J¶�E$����E�����������*+$��B����"$���1+ ��8�-�F@58��E����#,��$P$%��&��o���O�SJb�(_��*I����>���A���@ ������� ����*/�N�.$��.�N$�Jw#%*4Þ8�������E���K*4�3$����.���R��#BR)����*/�)��*+$����O(N*+1+1T�)ÞÁ��Q�������D�.5�����*/��1¶5����#�*+�E��*+$����u�.��P?@��E��*+$��C¼%>§vH(N������S(K�;���kR��;���58$�������#������P�.5��)��*/��1¶5�����#%*+�E��*+$������8$����AJb$��-z�&�14 lZ"����#3z�&�14 AÛ%>·����N5�����������K$�J���������NR���� D1/����'��K$��������R)�)��*4$����w!"��s����w�����-#������S��$��%6<�.������*+$������� ;*+�,��*+!,�-����#(N*41+1O���&����B5���$���1+�!B�D*+�d!"$%#%�1+14*+��'`&��.*+��'3������#�*I��*4$�����1����'���������*+$��:�������#:!"�E����$%#��>C·����9�.��$��.��6�����!äJb$���������0��*4��'A!"$%#%�1/�D(K�,5���$�5�$��.�"������B�����"��$���6<�.������*+$������� `����#=�����B�����G��$C������#%�2�&������Jb$��������D�����*+���P#��)����u�����H?@���Q��*+$��`¼�>�^C$����$)R����u�$�&��-!"$%#%�1+14*+��'B��5�5���$������9������P#%$@�����$��-����2�&�*4���

Page 6: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

6 S. K. Sahu and K. V. Mardia

24.1

22.5

23.8

24.2

22.7

23

24

32.5

23.8

24.2

23

22.6

28

22.7

Map on the 4th of July

78.2

80

79

86.4

80.7

81.3

79.4

85.8

77.6

81.6

79.1

76.1

84.5

82.5

Map on 7th of July

Fig. 4. The raw data for July 4 and 7.

Page 7: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 7�EF%5�1+*+�*I�D!"$%#%�1+1+*4��'3$�JO�����B1+����'���$��������Rk����*+$����,VMJb$��D�EF���!"5�1+��u�&���*4��'C���=*+��#%*/�����$��D�$)Rk����*/�)���HJb$�������D#��k %��(N*4���31/����'��S$��������R)�)��*+$�����[E>

2426

2830

32

July4

7678

8082

8486

July7

Fig. 5. The box plots of the data for July 4 and 7.

?@$�!"�|�F%5�14$�������$��� �14*+������o!"$%#%�1/�op��.���#B��$H�8$����B�����S���k(a#��)���H�.����K����#B*4���o���������0Jb$���!B�)��*4$�����.&�'�'����0���#¸�����)�C*4�A*/�A����.����A��$¸!,$%#%�1S�����ª��2�&������=��$@$��l���������0Jb$���!B�)��*4$��]$�JH�����ª#��)���m(N��*/�������$�&�����'��#ª��$���!B��14*4�0 �>y?@!"*4���âeEf,g)h4iåVcv�x�x���[P��1+��$:���5�$��.�"�.*+!"*41/���,p���#�*4��'��>Wµ-����E�EJb$��.���Tuo(K�!"$@#��1¶�����P��2�&������;��$@$��N$�Jw�����P#��)����>�µ-$)(K�R����u�(K�D!B��s�� �����D5����#%*/�Q��*4$����N$��l�����P$���*+'�*+����1¶�����1+�Jb$��N������� $�J��$�!"!H&���*+��)��*+��',��$,�����D5������Q��*I��*4$�������>·����N¿oÀ¶~W&��.�K!"$��.��1+ D14*+�����������'�������.*+$��D!"$%#%�1+�w��$|Jb$���������.�w�����NÀo^=v%>§¼N1+�R��1+�>�^`$@#��1/���������#$��A�E1/�����.*4p������*+$��A����#l���'�������.*+$��B�������;V U ~ r�·-[������S��1+��$H&����#A��$�!"�E��*4!"��u�����S��> '�>�� ���u%^C*+1+14������#"^`����� $�����1+#3V7v�x�x�v�[E>�?@$�!"�N�EF%5�1/��������$��� PR)����*/����1+��u���> '�>�5�����*45�*I���)��*+$���u����!"5��������&�����u�(N*4��#%6�.58���#3����#A��$�14*/#��k l�����;&����#A*+�9�����*+�-!"$%#%�1/�>oµ-$)(K�R����u���������P�����D�.�R������181+*+!,*4������*+$����-*4�A�����*+���5�5���$������T>w·����D!B��*+�A#%���k(N������s@�O����*+���;#%&��;��$,�����SJ����Q�N�����)����e�����e! " $# %'&)(*%,+�eEh� .-�g/&0&1%�f32�e�4� e5+ g)f�#6 87Eg9-Ef:%/�$#Mh<;=7!%'�>+�g�f<g)?A@�# -5@ag/��eB-5%/�$��eEh4g�f<e5+)#8&� �C�g�-�e3g/&D+`f�#8("e>C·������F@5�1+�����)��$��� GR)����*+����1+������B���S&����#B*+��$�&��K������1+ %�.*/�o����(K�1+1�58�������5�����$H�����������|!"$%#%�1�p�����*+��'�u@��&%��(K� #%$���$��K*4���14&�#%�����$��.�|������-�8����&����|�.$�!"�-$�JÁ�����|�EF%5�1/�����)��$��� �R)����*+����14���o�����������!B���1+R������$����-5�����#%*+�E����#"p����0����$$��%����*+�lJb$���������0���O$�J�ÀO^Gv%>§¼%>?@!"*I���GeEf�g)h4i|Vcv�x�x���[�������1+ %�.�NÀo^=v%>§¼|#������ Jb$���Ç|$������ U ����$�1+*+����u�?@$�&%��� U ����$�14*+���S����#"\S�$���'�*+�&���*4��'B��5����E*4p��D!"$%#%�1/��Jb$��|�.5��)��*/��1T����#9���!,58$�����1��EÞÁ��Q���>K·���� 9&����D(O��s@14 9#%&�!"!"*4���N��$B!"$%#%�1�����3��*4!"�C�Þ8���Q�9����#¸*4���$���5�$��������3�d�.5��)��*/��1��������#¸!"$@#��1-&���*+��'ª����*+�%6<5�1/�)���`��5�1+*4����>Ý?@��C��> '�>^`����#%*/�l����#=\S$@$%#���1+1-V0X�Y�Y���[�Jb$��;!,$����,$��G����*+�:5�1+�����B��5�14*+�����>,^C$����$)R����u������ C���kR���*+���14&�#��#�E$)R)����*/�)�����u���> '�>-1/����#�&��.�H*4�C�����*+�S!,$%#%�1���$l#%*/�����*+!"*4���)��������0(O���G�$������������)��*4$��314�R��1/�-*+�C�����R)���.�N���������$)R������#��@ B�����;��������D�.���)����>3. The KKF model·����,'���������1w!,$%#%�1�(O�,5���$�58$����H������,*+� Jb$��S��5��)��*4$�6c���!"58$�����1�#��)���l����$���#%�#C���;ØW�.*4�����SÑ Ò Ó Õ ÍX�Ó×××Ó.Ø�Ó¶$)R���D�958���*+$@#:$�JKÙ»�2�&���1+1+ G�.5����E��#=��*+!,�B58$�*+�����>�ÏT��=E õ ÍäV�FHV�Ñ)íkÓ.Ô.[EÓ×××Ó$FPVcÑ,G8Ó�Ô.[.[IH#%���$����S�����DØÁ6<#�*4!"����.*+$�����1¶$��������R)�)��*4$��lR����Q��$��N�)�N��*4!"�D58$�*+���NÔ$��Ô�ÍÖX�Ó×××EÓ�ÙP>

Page 8: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

8 S. K. Sahu and K. V. MardiaL JM�����u���p����.�|�.���5A*+�A!"$%#%�141+*4��'��.5�����*+$�67���!,58$�����1¶#������,*/�K��$�������&�!"�;�,��*+�����������*/���18!"$%#%�1E õ ÍKJ õ á�L õ V0Xk[(N������.J õ ÍàV M9V�Ñ)íkÓ�Ô.[QÓ×××ÓIM�VcÑ,G¶Ó�Ô.[.[NH�*/�;���=&���$����.���R��#3��&%�P���E*+�����*4p����1+14 3!"�����*4��'�Jb&�1�5���$%�E����V���*4'�����1M[�����#=L õ *+�O�;(N��*4���N��$�*+���N5���$@�����>w·��@&���(K�-�����.&�!"�������)�������|�E$�!"5�$����������$�JOL õ ������*7> *7> #T>��$���!B��1Á������#%$�!ÊR)����*+����1+���(N*4���3!"����3Å���$,����#A&���s@��$)(N�ARk����*/�����E��P ÆQ >����3'��$��.������*/�0��*+��u��������������$��������!"�K�����|$�JM����ls@��$)(N�l���O�l¹ �@&�'�'���O�EÞÁ��E�º+>�~Ý��������*4�l��58��E*4p��S�E$������1/�)��*4$����0����&��E��&����-Jb$��LP����l��1/��$H�8�S�$�����*+#�����#¶>�µ-$)(K�R����u�(K� ������&�!"�S��58��E*4p��S�0����&��Q��&������o*+������� ���EF@�K1+�R��18$�J�!"$%#%�1��*+����������� �>D·�����5���*+$��;#%*/�0����*+��&%��*4$��GJb$��SR ÆQ ÍÉX/T/P ÆQ */�S������&�!"�#C��$3���������,'���!"!B�l#%*/�.����*4��&���*+$��(N*I���G������58�P5�������!,�����SUA����#C���)���P5�������!,�����SVk>-{:��������&�!"�D�����)�WUlÍXV Íæx�× x�x�XP��$B�������|�����'���!,!B�D#%*/�.����*4��&���*+$���������!"����`X|����#"Rk����*/�����E�DXx�x�x�>�·���� �����.&�14��*+��'D5���*+$��O#�*+�.����*4��&%��*+$��B�����������#%���*+������14�S5���$�58����0 B�����)�-*4�-*+��5���$�58��N��&%�|#%*4Þ8&�����>·����`�.5����E�6c��*4!"�C5���$%�E�����YJ õ */�"����$�&�'����B��$d���3�����G��&�! $�JS5�������!"�E����*/�A�� %�0���!B�)��*+�3�$�!,65�$���������u[Z õ uw����#ª���:*/�.$�����$�5�*/����*+!,�B��$�!"$�'�����$�&��;��5��)��*+��1�5���$%�����D#%���$�����#=�@ ]\ õ >�·��@&��D(K������.&�!,�S�����)� J õ Í^Z õ á_\ õ Vcv�[(N������P�����,�����$��N�����!`\ õ */� ������&�!"�#3��$l�8��Å���$l!"����=\;��&�����*+���C(N*I���=�$)Rk����*/�����E�P!B�)����*4Fbadc(N��*/���9�������1+�!"������ P�VcÑÒ�Ó�Ñ!e�[�Í U $)R V MlV�Ñ�Ò.Ó�Ô.[QÓ�M�VcÑ$e�Ó�Ô.[.[ V���[Jb$�� Õ Ó�f3ÍàX�Ó×××EÓ�Ø�>�·����B2�&�������*I�0 ]P�VcÑ Ò Ó�Ñ e [ *+�S�����B�E$)R)����*+�����E�PJb&����Q��*4$��=$�Jo�����B�.5�����*/��1�5���$%�E������$,���D��5����E*4p��#91/�)����>�·����D�$�!"5�$���������O$�J[Z õ �����S&�����5����E*4p��#A���K(K�1+1¶����#9(N*41+1¶�8�;#�*+���E&������#�*+������;Jb$�141+$)(N*+��',��&�������E��*+$����>·����;!,$%#%�141+*+��'���*4�����������*+��SV0Xk[K����#=Vcv�[K����� &��.��#l(N����l*4�N*+�N#����*4���#���$,5�����#%*/�Q�������D��!"$�$����5���$@�����gM�V�Ñ�Ó.Ô.[ ���)������S�������:�����"$����.���R��#`��$�*/�. C5���$%�E�����hFHV�Ñ�Ó.Ô.[Qu��.��,��> '�>H{_*+s@14������# U �������*4�V0X�Y�Y�Y�[Q>�·���� A��1/�.$,58$�*+���-$�&%�N�����)�-*4�-*+����$��|#%���*+������14� ��$��$���14������|�����;�0(O$"��2�&��)��*+$����O*+����$E õ ÍiZ õ áj\ õ á�L õ × VbZ@[·���*/��1+���0�O�2�&��)��*4$��B��1/�.$P#%�p������o���"*+�%6<�!k��E*+����O����#"$�JM����B&��%6<*/#%�����*4p�����14�N5�������!"�E�����*+���)��*4$��Tu�������> '�>�\S�14J�����#ªefNg)h4i V0X�Y�Y�¼�[�Jb$��N$�������N�F%��!"5�14���>3.1. Models for the spatial covariance{=�P������&�!"�S�������������P�$)Rk����*/�����E� Jb&����Q��*4$��3���14$���'��K��$"�����P^`����t����lJ���!"*+14 GVc^`�)��t����Tu¶X�Y�j�Ì�[P�V�Ñ Ò Ó�Ñ e [�Í^P Æc Xv�l ó í5m V�n�[ V�o�é Òpe [Nq l V�o�é Òpe [QÓ]osr¸x�Ó5n�tÝX�Ó Vc¼�[(N������3é�Òpe3*/�,�����A'��$%#%���*/�A#�*+�.�������E�3�8�E�0(K���a��*I����BÑ�ÒS����#¸Ñ$e�u3q l VNu [�*/�,�����C!"$%#%*4p��#¸}K����.�1Jb&����E��*+$��A$�J�����$���#ls�*+��#A����#9$�J�$���#%���n�u@����;��> '�>�}K���'���DeEfOg�h¶Vcv�x�x�Xk[Q>�q�$���$�&���*41+14&��0��������*+$��l(K�����s���nlÍæXD����#l�E$�����*+#%��N�.�R������18R)��1+&���KJb$���oT>�{:�D����$@$����|�����;5�������*/�E&�1/����oA&���*+��'B�H5����#�*+�E��*+R��!"$@#��1�����$�*/�E�"�E��*4�����*+$��T>P{:�"��.��*+!B�)���YP Æc &��.*+��'3^ U ^ U !"�E����$%#��>�·�������"������!B���� C58$�����*4��1+�5�������!"�����*+�K����#"���!"*4675�������!"�E����*/��!"$%#%�1/��Jb$����$)R)����*+�����E�K$�JÁ*+��$�����$�5�*/�O��5��)��*+��1%5���$@�����.���u�����N��> '�>¿o��s��������#C\S�14J�����#:V.XY�Y�Û�[o(N������D�"}��k ����*/���l!"$%#%�1�����$�*/�E�;�.��&�#% 9�������8���35������.������#T>���:$�&��P}��k ����.*/���:�.���&�5Tu��A5���*4$��P#%*+�.����*+��&%��*+$��:Jb$��hP Æc !�&��0�P�8����5����E*4p��#¶>9µ-����B(K�"������&�!"��������hR Æc Í XvT/P Æc Jb$�1+14$)(-�D������'���!"!B�A5���*+$���#%*+�.����*+��&%��*+$��ª(N*4���d5�������!"�E�������U:����#�V)>l{:�B����s��

Page 9: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 9U,ÍwVNÍÝx�× x�x�X;��$"�������N�����P'���!"!B�"#%*+�.����*+��&%��*+$��3������!"����ªXP����#ARk����*/�����E�"Xx�x�x�>��<�|����$�&�1+#A�8���$����#l�������-$�&��-����$�*/�E�D�kR�$�*+#��o�����P#%�EJ���&�1I�-*+!"5���$�58��N5���*4$��-#%*/�0����*+��&%��*4$��Tu�����!,�14 �ux V P Æc [�ÍâX/T/P Æc Ó�P Æc r¸x�Ó�������&��.�-����*/�K!"�k ,1+���#B��$H*+!"5���$�58��o58$��.�����*+$��K#%*/�0����*+��&%��*4$����o(N��*+����(K$�&�1+#B�8� #�*<k��E&�1I�K��$�R����*4Jb *4�A5������E��*/�E��u�����D��> '�>�}O���'���PefKg)h+i|V7v�x�x�X�[K����#A\S�1IJ�����#3����#3?%���@&dV0X�Y�Y�Y�[Q>3.2. Principal Kriging functions·����ª�. %�.���!B����*/�=�$�!"5�$�������B� õ *+�3������&�!"�#_��$W�R�$�14R��=���3�¸�0��$%�������.��*/�C��*4!"�ªR)���� �*+��'W14*+�������E$�!H��*+���)��*4$��B$�J���$�!"�-$�5%��*+!B��1Á�.5�����*/��1�Jb&����E��*+$����>�·������� �����N����s���"��$���� �����|5���*4���E*+5���1Án;��*+'�*+��'Jb&����E��*+$�����Jb$�1+1+$)(N*4��':n;����B����#W^`����#%*/�yVcv�x�x�v�[P����#y^G����#%*+�¸eEfHg�h4iåV0X�Y�Y�j�[Q>m\S*+R���¸�=��������*4�s@��$)(N�d�E$)R)����*+�����E�,Jb&����Q��*+$���u�������&��@��*/�����#ª1+*+������P5����#%*/�Q��*4$��d$�J������9�.5�����*/��1O5���$%�����D*+�����141+�#¹ n;��*+'�*+��'�º+>S·����,5���*+���E*+5���1wn;��*4'�*4��'�Jb&����E��*+$����;������&��.��#G���|�����,$�5%��*4!B��1���5��)��*+��1wJb&����Q��*4$����S&�58$��(N��*/���l�����P#% @����!"*/� ���!"58$�����1¶�Þ8���Q���N����s��;5�1+���E��>�·���&��K�����;p����.�K�����!à$�J[Z õ */��'�*+R���9�@

y]z õ Í {|~}ôe ö íO���I� e,� õ e�Ó×××EÓ }ôe ö íD����� e,� õ e��� H(N������A�����C!B������*IF�y */�"Ø]ÎB�_(N*4��� Õ f����a�1+�!"���� � ��� e uOJb$�� Õ Í X�Ó×××EÓ.Ø�Ó�faÍ X�Ó×××EÓ��a����#z õ Í V�� õ í�Ó×××Ó"� õ } [ H >y·����3����$�*/�E�A$�J��¸*+�B#�*+���E&������#m1/�)����B�)�,�����A���#W$�J-����*+�B����E��*+$��T>W·�����E$�14&�!"����$�J�y �����-#%�E�����!,*+����#"�� �5���*4���*45���1�p��1/#���*+��n;��*+'�*+��'P��5�����-����#Yz õ */�o�S���!"5�$�����1��.���)���R����Q��$���(N��*+���AR)����*4����*4�A��*4!"��>·����"!"������*IF)y 2�&�������*Ip���� ��������5��)��*+��1��E$�!"58$�������;*+�=�����"!"$%#%�1���(N����ª!H&�14��*+5�1+*4��#G�@ C�����#% @����!"*/�P��*4!"�B�E$�!"5�$��������z õ uT*4�S5���$)R@*/#%��S����*4!"�"R)���� @*4��'A1+*4�������;�E$�!H��*+���)��*4$��G$�J������B��5��)��*+��1���'�������.*+$����.&���J�����N#%����E��*4�8�#��@ D�����-�E$�1+&�!"����$�J1yd>�·����-�$�1+&�!"�����E$����.*/�.��$�J��0(K$D�.�����$�JÁ��5��)��*+��1�������#=p��1+#��>C·����Bp����.�����E�H$�J�3�$�1+&�!"���P�E$��������58$���#=��$3�����9�$����.�������u�1+*+�����������#:2�&���#%���)��*/�Jb&����E��*+$���� $�Jo�$�$���#�*4�������H#�*4!"����.*+$����uÁ���k �>|q�$�� �F%��!"5�14��u�*4Jd�"Íâ������#`é9ÍâvB�����Hp����0�;�E$�1+&�!"�����B���S����$�����"��$H�8�.�"�E$��������5�$���#%*+��';��$D����� �$����.�������o�������#,p��1/#l����#,����� �������*+��O*4�B�����|$��������0(O$C�$�1+&�!"���H����ª��������s���m���;������� ����#_M;6��E$@$���#%*+���)����;$�JK������1+$%��)��*4$����D(N�������#��)���3���kR�������3$����.���R��#¶>�·���*/��Ø:ÎB�P!B������*IFl*/�-#%���$����#A�@ ��Ö*+�A�����;Jb$�141+$)(N*+��'B#%*+���E&�����*4$��T>·����"���!"��*4��*4��'Y�Aã��lp��1/#��D�����"����$�����ª��� �������.5�����*/��1�#%*+����Q��*4$����S���1+����*+R��,��$C���:������&�!"�#�E$)R)����*/������P�0����&��E��&�����>;·����"#%*+�����Q��*+$���� ������$��%����*+���#`���-Jb$�141+$)(-�>S~ ����&�!"��u8Jb$�� �����,5�&���58$�����|$�J#%�R��1+$�5�*+��'D�����|5���*+���E*+5���1�Jb&����Q��*+$����u@�����)�O�����;#��)���H�����|�$�1+14���Q���#"Jb$��O$���14 "$����-��*4!"�S5�$�*4���,������&���������.&�k"F3Ô�*+� �.&�5�5����������#3*+�3�����DJb$�1+14$)(N*+��'�#%*/���E&����.*+$���>�Ï��E�gadcA����#s� H a ó íc �¾���H��$��%6���*4��'�&�1/���!B�)����*/�E��>�~ ����&�!"�������)�3EyÍÖV�FHV�Ñ)íE[EÓ×××Ó$FPVcÑ,G�[�[ H Jb$�141+$)(-�w�����N!H&�14��*+R)����*+��������$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��(N*I���3!,�����3����#9R)����*+�����E�;'�*4R���A�� ê�V�Eo[OÍ���� Ó �E$)RÁV�EO[oÍwadc�Ó

(N��*/���C*+� ���.*+!"5�1+*Ip���#3R������*4$��3$�J������HJb&�1+1�!"$%#%�1w�E$����.*/#%�����#9*+�C����*+� ������*/�E1+��>NÂ-��#%�� ����*/�-!"$%#%�1V�����#9��½����-5���*4$��K$��A�����D5�������!"�E������[O�����D5����#%*/�Q��*4R��;!,�����9Jb$��-�"��*I���PÑ;*+�ê�V�FHV�Ñk[�� a c ÓI��[OÍK��V�Ñk[ H6� � á��DV�Ñk[ H �� V�Ì�[

(N������h��V�Ñk[N*/�N�����9V �"ΪXk[�R����Q��$��-$�J��������#Ap��1+#`���-�����H�.*4���,Ñ��D��*/�N�����H�����14*/���)��*+$��3����#s�DV�Ñk[�ÍV P�VcÑ�Ó�Ñkí[QÓ×××ÓIP�V�Ñ�Ó�Ñ�G�[.[NH��� Í���� H a ó íc �h� ó í � H a ó íc Ó ����#B©Íwa ó íc ãja ó íc � � ×

Page 10: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

10 S. K. Sahu and K. V. Mardia·�������"�����H!"�E����$%#��D�kR)��*+1+����14�HJb$��D��*4��'�&�1/���ha c (N��*+���ª�����H���2�&�*+����#CJb$�� ����*+�%675�1+�����"�.5�1+*+����u�����n;����N����#A^`����#%*/�9V.XY�Y�Z�[E>��<Jw�����;��*4���DÑD�E$�*4���*+#���K(N*I���C���@ B5�������*/�E&�1+����Ñ�Ò0u Õ ÍæX�Ó×××Ó�Ø�u@������9*4�*+�������� B��$B����;�����)�������P���8$)R��;5����#%*/�Q��*4R��S!"�����A����#%&��E���K��$BÐ8V�Ñk[������EF%58��E���#T>·�����!B�)����*4F�ä*/�Ds@��$)(N�d���D�����b2�e�&1+'#8&��ªe!&Áe!���';](Bg)f��$#<��uw����B��> '�>A}K$@$�s%�.���*4�aV0X�Y�j�Y�[S(N��$!"$���*+R)�)���#B*4���K&����-Jb��$�! ����� �.��&�#% B$�J¶����*+�l5�1+����� ��5�1+*4����> U $�����*+#%��o����� ��58��Q������18#���E$�!"5�$��.*4��*+$��$�J[�u ©Íi ;ê=  H Ó¡.¢ Ò ÍK£ Ò ¢ Ò Ó(N������W åÍÖV�¢�í�Ó×××EÓ"¢AG�[o����#BêÖÍÚ#%*/��'�V�£)í)Ó×××Ó"£vG�[Qu@����#B(K�|������&�!"�N(N*I����$�&��O1+$�����$�J¶'���������14*4�0 �������|�������*4'���@R)��1+&��� �����P*+�G��$��%6<#���E������.*+��'B$���#%��u1£�íDͤu�u,u�Í¥£/¦DÍâx�§i£/¦N¨�í�©ªu,u�uO©i£vGÁ>S�<�*+�-����� B��$BR����*4Jb B�������SÉ���)��*/�.p�����âÍÝx�>o·��@&��������P�E$�1+&�!"���N$�J[� ����3���D����$�&�'����-$�J����K������*+'����R���E��$����K�����.$%�E*/�)���#l(N*I���9�����D�@&�1+1T�*+'����R)��14&����u�£ í Ó×××ÓI£ ¦ >~-�@ "$��������R)�)��*+$��BR���E��$��3��������8�S���5������.������#B���o�H14*+������K�$�!���*4���)��*+$��B$�J¶�����S�*+'���@R���E��$����¢�ÒH�.*+���E�`�����`1/�)������9���E��Jb$���!B���d������*+�>Ý����#%���#¶u-�.&�5�5�$��.�`�������>�]ͬ« GÒ ö í�­ Ò ¢wÒDJb$��9��&�*I������1+��E$����0��������� ­ Ò�>�Ç-$)(Ú�����D5�����#%*+�E��*+R��;!"����:VcÌ�[K���#%&����K��$��VcÑ�[ H � Gô Ò ö í ­ Ò ¢ Ò á GôÒ ö ¦N¨�í ­ Ò £ Ò �DVcÑ�[ H ¢ Ò ×·��@&��N�����H5����#�*+�E��*+R��P!"����`*/�|�B1+*4������S�E$�!H��*+���)��*4$��C$�J����������������#3p��1/#��g®�í)VcÑ�[EÓ×××EÓ5®'¦�VcÑ�[|����#�����SØ�ã)��C1�$#8&D-!# C�g)h0¯��$#<��#8&��S754�&1-f�# %'&� �£ Ò �DVcÑ�[ H ¢ Ò ×%·�������|Jb&����Q��*4$����N�.5����������D�.5����E�S$�Jw��1+1Án;��*+'�6*4��'y�.$�14&���*+$����9(N*I���]$����.���R)�)��*4$����l���l�����GØâ'�*4R���]��*I����uN�����ª��5����E*4p��#a�������#ap��1+#��u|����#a������E$)R)����*+$�'�����!3>�{:�H�.����1+1T&����D�����P�����!B�N5���*4���E*+5���1�n;��*+'�*+��',Jb&����Q��*4$����|����#A5���*4���*45���1Tp��1/#��N*+�������6��������'������1+ B�������EJb$��.���9*+�A����*/�-������*/�E1+��>·����C�.!B��1+1+��,�*+'���@R)��1+&����H$�JW �����A������$%�E*/�)����#d(N*4���¸1+����'��E6������1+���.5�����*/��1�R)����*+����*+$��ÚV�'�1+$�����1Jb�����&������[S����#=�����B1+����'���;�*+'����R)��14&����D#%����E��*+���"1+$@���1o��5�����*/��1�R)����*+����*+$��T>B·���*/�P����ª���B*+�%Jb������#Jb��$�!Ö������J����E���������������N'�14$�����1@�������#�p��1/#��O#%����E��*4�8�#,�@ D�����|�E$�14&�!,����$�JO�Ý�����K�����-�*+'���@R���E��$�����E$��������5�$���#%*+��' ��$;�����-Å���$;�*+'���@Rk��14&����$�JDl>�?%��-��1/��$;n;����o����#B^`����#�*+�"Vcv�x�x�v�[w����#"^`����#�*+��efg)h4iSV.XY�Y�j�[oJb$��|!,$����D#%�����*41/�N*+�9����*/�-���'�����#T>����A5������Q��*/�E��u%Jb$��N!"$%#%�1T����#%&��E��*+$��Tu�(K�D!B�k 9����$@$��.���$,(O$���sB(N*4���=�,ãb��§WØ�ã��D5���*4���E*+5���1ÁJb&����Q��*+$����>�·��@&��K(N����l�����;Rk��14&���N�)�K�����S$��������R��#9�.*4����������-��$��8� 5�����#%*+�E����#¶u%(O�S����$@$����-�����°�Hã]�P�$�1+&�!"���K$�JAy ��$,���g£ Ò adc�¢ Ò Ó Õ Í^�oáWX�Ó×××EÓ ��×@µ|����������D!B������*IF>y */������s���3��� y Í©V ��Ó"£/¦�¨�í�adc�¢[¦�¨wí)Ó×××ÓI£ } adc�¢ } [E× V7Û�[���A�����P���2�&��1T(O�P������141¶*+141+&��.�����)���;�����P����$�*+��;$�JD�`����#B��*4�C5����.��*+�&�1/�����EF���!"5�1+��u�*+���E1+&�#%*+��'"���������.�±�lÍ^�|Jb$���(N��*/���B��$D5���*4���E*+5���18n;��*+'�*+��'SJb&����E��*+$����O����������s���"*+�"�����-!"$%#%�1c>�·����-!"$%#%�1�(N*4���$���1+ B58$�1+ ���$�!"*+��1+�;V�(N*I����$�&%�N�����;5���*4���*45���1Áp��1+#���[K����� $�JM����9&����#9*+�9�����;14*4���������&�����u%����;��> '�>w������.5��)��*+$�67���!"5�$�����1�!"$%#%�1���#%$�5%���#G�� G?�������t$9����#=\S&������*-V.XY�Y�Y�[E>;Ào��*+���*45���1wn;��*+'�*+��'�Jb&����Q��*+$�������kR�����$�!"�N��#%R)��������'�����$)R����$���14 D58$�1+ @��$�!"*/��1@�0 @5����������#HJb&����Q��*4$�����(N��*/���"*+�w�����-����.�OJb$��O�9Í��@>·���� l'���$)(]14�����N2�&�*/��s@14 ��������A58$�1+ @��$�!"*/��1/��$�&%���.*/#%�S�����P#%$�!B��*+�A$�Jw�����P#�������>3.3. Dynamic temporal trend models^C$���*4R)�����#=�@ C$�&��D�F���!"5�1+��u¶������"(K�,�$������������)����$��:��!"$�$�����*+��'3����#:����$����.67�����! Jb$���������.��*+��'*4�:�����"���!,58$�����1O#%$�!B��*+�T>l~É�.������#�����#=5���$@��#%&����"*+�ª��&����d����.���;*+�D��$`��#�$�5%�H�A������#%$�! (���1+s�0���)���E6��.5����E���0 @5��"Jb$���!�&�1+����*+$��=Jb$��D���!"58$�����1��E$�!"5�$���������u�����B��> '�>l?�����$�&�#aefSg�h4i:Vcv�x�x�Xk[S����#}��������÷0��"ef�g�h4i Vcv�x�x���[Q>w{=�;����&��-�����.&�!,��ðz õ Í�z õ ó íoá_² õ Ó V�j�[

Page 11: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 11(N������"�����h��6�#%*+!,�����*4$�����1������$��;�����!³² õ */�H������&�!"�#=��$G������$���!"��141+ G#%*/�.����*4��&����#ª(N*4���d!"�����Å���$d����#¸�$)R)����*+�����E�3!B�)����*4FKa3´@×K·�$m�$�!"5�1+�E���`�����C!"$%#%�1+1+*4��'y��*4�����������*4���"(O�`��&�5�58$����3�������z¶µ¸·º¹mV�x�Ó"»°¼�½@[�����#a(N*4���Ú�d1/����'��CR)��14&��G$�J�»°¼¶>©µ|����)½y#����$�����������=*+#������*4�0 W!B������*IFa$�J��5�5���$�5���*/�)���|$���#%��>�?@��;{=���0� ����#Aµ|������*+��$��:V0XY�Y�Û�[�Jb$��N!,$����;$��A#% @����!"*+�S��*4!"�P�����*4���O!"$%#%�1+�>{=�P������&�!"�S�������S¾ ´ Íwa ó í´ �����K�����D{_*/���������-5���*4$���#�*+�.����*4��&%��*+$��Tu��������-*+�u¾�´g·Ýç } V7v'U�´@Ó�v9V$´)[(N������ v�U ´ */������� ������&�!"�#"5���*+$��o#��'��������$�J¶Jb�����#%$�! V�t��8[o����#¿V ´ *+�O�Ps@��$)(N�"5�$��.*4��*+R��S#%�Ep���*I���!B�)����*4FÁu���$l���"�.58��*Ip��#C1/�)�����>-{=�"���k l�����)�gÀ �����-�����H{_*/�.�������S#%*/�0����*+��&%��*4$��=ç } V Á=Ó"�;[|*4J�*I���#%����.*4�0 �*/��5���$�5�$��.��*4$�����18��$ � �Y� ÂÃ Æ � ÄÅ� íÆ�Æ Â ó } ó í�Ç £ ó íÆ ��� ÆÉÈ È Ç*IJgÄ]*/���B�yÎs�_58$���*4��*+R��`#%�p���*4���`!B�)����*4F¶uK����C��> '�>Ú^`����#%*/�_eEf"g)h4i¾V.XY@Û)Y�uO5���'��Cj�¼�[E>©V�µ|��������V � [l*/�B�����`��������`$�JP�d!B������*IF � >§[ ·�$m$��%����*+�]#%*4Þ8&����G��&%�95���$�58��95���*4$��l#%*/�0����*+��&%��*4$����l(K�����$@$����¶U�´;Íj�DT�v%>�·���*/�O������&�!"5%��*+$��l!"��s���������� 5���*+$��K#%*+�.����*+��&%��*+$����o(K$������B�����;����!,� �@&�!H�8��K$�J$��������R)�)��*4$����-���|�����,�$��������.58$���#�*4��'�#�*4!"����.*+$����u¶����#G*+� $�JM����=&��.��#C*+�G!H&�1I��*I6<R)����*+�����H}��k ����.*/���!"$@#��1+14*+��',Jb����!"�(K$���s8>�·����D!B������*IFCv�V$´H*+�-����$�����9��$B�8�Px�> x�XS��*+!"��������D*+#������*4�0 l!B�)����*4F¶>�·���*/���'���*+�9�E$�!"��KJb��$�!É�����D����2�&�*4���!"����N$�Jw������&�!"*4��'B#%*4ÞÁ&��.�D5���*+$��N#%*/�0����*+��&%��*4$����>~-����14��������)��*+R��K��$;�����|������&�!"5%��*4$��,$�JÁ�.��$%�������0��*+�O�������#"*+����$P�E$�����*+#%���#%�E�����!"*4��*/�.��*/�N5�$�14 @��$�6!"*+��1T�������#C!"$@#��1/�>Sq�$��S�EF���!,5�14��u�(K������`������&�!"��z õ ÍÉV.X�Ó.ÔQÓ�Ô Æ Ó×××Ó.Ô } ó í [Q>;·���*+� 58$�1+ ���$�!"*+��1�������#A!"$%#%�1�*+�N��$�� ���K½��EF%*+��14�P���������H�0��$%�������.��*/� �������#A!"$%#%�1KV�j�[E>Oµ|�����D(O�P#%$B��$��|�E$�����*+#%�������;58$�1+ @��$�!"*/��1Á�������#9!"$%#%�1��)�-��1+17u�����#A��1+(��k @�K(K$���sB(N*I���A�����P�.��$%�������0��*+� �������#l!"$%#%�1OV�j�[E>~-�"����$��� @!"$�&������EJb�����O�������E$�!"!"������#D�����)��Jb��$�!©�|½�&�*/#,#% @����!"*/��w5������58��Q��*4R���u)�����N���8$)R��������#%$�!�6<(���1+sA!"$%#%�1o�������$��D�8�"Jb&�1+14 l÷0&��0��*Ip��#:Jb$��P����!"$���5������*/�"�. %�.���!"�>B���:J����E�u�^G����#%*+�ªefg)h4i V0X�Y�Y�j�[o���kR�� ����s���9�����P�0���)���D��2�&��)��*4$��:Vcj�[O$�Jw�����;Jb$���!z õ Í�Ê�z õ ó í�áj² õ(N*I���G&���s���$)(N�`���������.*4��*+$��=!"������*IF]Ê">H·�������,�����,�.$�!,�,*/#%�����*4p�����*41+*4�0 C5���$���1+�!B�S(N*I���`����*+�D��5%65���$������=���;#%*/���&������#G�@ `n;����;����#:^`����#%*/�GVcv�x�x�v�[-Jb$��D�l'���������1ÅÊ ����#=�l'���������1w�$)R)����*+�����E�!B�)����*4F�Jb$���² õ >O·���� A����$)(Ú�������|*I� *+�-��&�k��E*+����N��$������.&�!"�;�����)�-�����D1/����'���.�N�*+'����R)��14&��D$�J[Ê»*/�14�����K�������A$����D*4�3������$�1+&%���SR)��14&��P����#l�����D!B�)����*4F>y */��$�JwJb&�141�������sÁ>���G$�&��S}��k ����.*/���C���E��&�5`������*/#%�����*Ip8����*+14*4�0 35���$���1+�!B�S����G���,�����.$�14R��#3�@ `������&�!"*4��'l5���$�5���5���*4$��-#%*+�.����*+��&%��*+$����-�8$����3Jb$��¶Ê¾����#Bz õ >Kµ|$)(O�R���u�(K�D!"$%#%�1�(N*I���3�����H����$�*/�E�hÊ©Íw½�(N��*+���3*/�!"$���*+R)�)���#A�@ ������D�����#l��$�#%�R��1+$�53!"$%#%�1/��Jb$��-����$��.��6c�����!ÉJb$��������.��*+��'�>�^C$����$)R���u�����*+�-����$�*/�E��kR�$�*+#��Á*+����&���!,$�&���������14��5���$���14�!B�T*+�P^ U ^ U �E$���R����'�����E�NVb(N��*+���D(K�����kR�������$�&����������#�[¶����*/�.*+��'#%&�����$-�����o(K���s */#%�����*Ip�����*+14*4�0 ;$�J@�����O5�������!"�������¶&���#%����.&�kB�*4�����1+ ;#�*IÞÁ&����o5���*4$���#%*/�0����*+��&%��*4$����>4. Computations

4.1. The joint posterior distribution·�$"$��%����*4�9������÷0$�*4���-58$��.�����*+$��N#%*/�0����*+��&%��*4$��3(O�;������1418�����)�FPVcÑÒ.Ó.Ô.[�� MlVcÑÒ�Ó.Ô.[�·^¹ � M9V�Ñ�Ò.Ó�Ô.[QÓ"P ÆQ � Ó Õ ÍâX�Ó×××Ó.Ø�Ó.Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�Ù-Ó(N������ J õ ÍÖV�MlV�Ñ)íkÓ�Ô.[QÓ"MlV�Ñ Æ Ó�Ô.[QÓ×××ÓIM�VcÑ,GÁÓ�Ô.[.[ H ·^¹ V�Z õ Ó5adc%[ÁÓ.Ô�ÍæX�Ó×××EÓ.Ù|Ó

Page 12: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

12 S. K. Sahu and K. V. Mardia*4��#%�58���#������1+ �>�q�&��.�������u�(K�;���kR��D������&�!"�#l���������VcÑ�Ó�Ô.[�Í }ôe ö íO��� e�� õ e�Ó V�Y�[����#�z õ ·�¹mV z õ ó í�Ó5a ´ [OJb$��NÔ�ÍÖX�Ó×××Ó.ÙÝ����#Bz µ ·^¹mVcx�Ó"» ¼ ½�[E>ÏT�E�Ë3#%���$����;�����;Jb$�1+1+$)(N*4��',�EF%����&��.��*+R��D�.��-$�Jw5�������!"�E������ðV���[B�����D�����$���5������E*/�.*+$��95�������!"�������u�R Æc ÍâX/T/P Æc u�R ÆQ ÍâXvT/P ÆQ u�����#Vb��[l�����D1+��������-5���$%�E�����u�J õ Ó�Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�ÙPuV��[l�����P#% @����!"*/�;5�������!"�������u�z õ Ó.Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�ÙÝ����#l�����*+�N5�����*+��*4$��9!B������*IF�¾h´;Íwa ó í´ uV�#�[l�����D!"*+���.*+��'B#�������uDFSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[OJb$��-��141TÑH����#9ÔoJb$��N(N��*/���sFHV�Ñ�Ó.Ô.[K*/��!"*+���.*+��'�u·����D14$�'�6<14*+s��14*+��$@$%#BJb&����Q��*+$��AJb$��������D��*+�����������*/���18!"$%#%�1¶*+�N'�*4R���A�@ 8ð

14$�'�V�®�V � í Ó×××ÓI� ò � Ë�[�[ÎÍ Ø¶Ùv 1+$�'8V�R ÆQ [�ã R ÆQv òô õö í V�� õ ã�Ï õ [ H V�� õ ãbÏ õ [

ã Ù v 1+$�'S� a c ��ã Xv òô õö í V Ï õ ã_Z õ [ H a ó íc V�Ï õ ã_Z õ [¶×

·�����÷0$�*+���-5�$��0�����*4$��N#%�����*4�0 l*/�N$��%����*+���#Tu%&�5%��$9����$���!"��14*/��*4��'"�E$����.��������u����K�����D5���$@#�&��Q�-$�J���������8$)R���1+*4s��1+*4��$@$%#,Jb&����E��*+$��l����#,�����-5���*4$��o#%*/�0����*+��&%��*4$�����Jb$��������-5�������!"��������*+�"����� !"$@#��17>w·������*+�u x V�ËA� �@í)Ó×××ÓI� ò [�Í^®�V ��í�Ó×××ÓI� ò � Ë�[ x V8Ë8[ V0X�x�[(N������ x V8Ë�[H#%���$�����������5���*+$��H#�*+�.����*4��&%��*+$��m������&�!"�#=Jb$��P�����95�������!"�E������;*4��Ëd�F%��5%�HJb$��D�����!"*+���.*+��'B#������¿FSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[E>4.2. The full conditional distributions{=��#%���*+R��O�����KJb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1%#%*+�.����*+��&%��*+$���������#��#DJb$���\S*4����������!,5�14*+��'S&���#%��w�8$����H�����N���8$)R��!"$@#��1/�u��.��N��> '�> U �������������#"n;$����CV.XY�Y�Z�[�Jb$��O�.*+!"*41/�������1/�E&�1/�)��*4$�����*4���.�������6<��5������!,$%#%�1+�>�·����Jb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��3$�JAR ÆQ */�K�����D'���!"!B�"#%*+�.����*+��&%��*+$��A(N*4���C5�������!,�����°U;ádÙ|ØAT�v�����#V�á Xv òô õ

ö í V � õ ã�Ï õ [ H V � õ ã�Ï õ [Q×·����,Jb&�1+1��E$���#%*I��*4$�����1�#�*+�.����*4��&%��*+$��:$�J3Ï õ */�S�����"!H&�1I��*4R)����*/�)���,��$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��_¹mV�Ðh� õ Ó0Ð�[(N������ Ð ó í Í�R ÆQ ½SáÑa ó íc ����#>� õ Í�R ÆQ � õ á¸a ó íc Z õ ×·����HJb&�141��$���#%*4��*+$�����1�#%*/�0����*+��&%��*4$��G$�JdR Æc */� �����"'���!"!B�l#%*/�0����*+��&%��*4$��G(N*4���:5�������!"�������¶UHáÙ-ØAT�vH����# V�á Xv òô õö í V�Ï õ ã�Z õ [ H Ð ó í V Ï õ ã_Z õ [QÓ(N������¿Ð Òpe ÍäV�o�é Ò�e [Nq l V�o�é Òpe [E>l·���*/�P�E$��)÷0&�'�������#%*/�.����*4��&���*+$��ª*+�P$��%����*+���#=&���*4��'3�����BJ����Q���ð�V0Xk[adc�Í�P Æc Ðâ(N������¶Ðå*+��Jb����N$�J�P Æc ����#3V7v�[±y */��*+��R)����*/��������$lV�*c> ��>wJb����N$�J�[�P Æc >�·���*/��1/���.�o�E1/��*+!»*/�

Page 13: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 135���$)R��#l���OJb$�1+14$)(-�>�Ç-$����S�������������;!B�)����*/�E��� � ����#��»�����|Jb����;$�JÅP Æc u�©Í�R Æc V�Ð ó í ã�Ð ó í � � [E>·����S�*+'���@R)��1+&����o$�JÅ»(N*41+1¶���gR Æc !H&�1I��*45�1+�;$�J������S�*+'����R)��14&����K$�JÅÐ ó í ãbÐ ó í � � Vb(N��*/���l*/�OJb����$�JAP Æc [E>�·����S!H&�14��*+5�1+*4��R Æc �������1/�K$�&%��(N����9Jb$���!"*4��'�y �������&��.�S$�JT�����;5����E6<!H&�14��*+5�1+*+��)��*+$��9�@ adc�> ·����;Jb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��3$�JÅz õ */��¹mV�Ð õ � õ Ó1Ð õ [K(N������Ð ó íõ Í^½�T�» ¼ Ḿ ´ Ó � õ Í�¾ ´ z õ ¨�í�Ó (N����3Ô�Í]xÐ ó íõ Í^y H a ó íc yÊáWv�¾ ´ Ó³� õ ÍKy H a ó íc Ï õ Ḿ ´ V�z õ ó í�ájz õ ¨�í[QÓ (N����CxY§WÔd§¸ÙÐ ó íõ Í^y H a ó íc yÊḾ�´@Ó � õ ÍKy H a ó íc Ï õ Ḿ�´'z õ ó í Ó (N����3Ô�Í_Ù|×}K14$%��sG&�58#�����*+��':$�J-��1+1o�����>z õ Ó.Ô�Í X�Ó×××EÓ.ÙÊ����m��1+��$`�8�9�E$�����*+#%�����#d���H(O�1417>Gµ-$)(K�R����u�����*/�(N*41+1¶!"����A�.��$�����'�� ����#9*4�@R������*+$��l$�J0�3ÎlÙå#%*+!,�����*4$�����1¶!B�)����*/�E���>�~|1I����$�&�'��l�����D!B�)����*/�E���O(N*+1+1���3�.����&��Q��&�����#d������#@6�#%*+��'�$�����1O!"������*+���u���#�#�*I��*4$�����1K5���$�'�����!"!"*+��'`�EÞÁ$�����(N*+1+1K�8�3����2�&�*4���#:��$*4!"5�1+�!"����D�����"��1+$@��sG&�58#��)��*+��'C!"�E����$%#��> U $�!"5�$�������0(N*/�.�"&�5Á#�����*+��'�uw���;*+!,5�14�!,������#:�������u(N*41+1¶(K$���s"p����D(N����9�����P�.���)����N�����;��$�����*4'���14 A�E$������1/�)���#¶>^C*+����*4��'A#��)����uÁ#%���$�����#C�@ )FSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[Eu8�����,����!,5�14��#C�)� �������G^ U ^ U *I������)��*4$��C&��.*+��'l������Jb&�1+1�E$���#%*4��*+$�����1Á#�*+�.����*4��&%��*+$��s¹mV�MlV�Ñ�Ó.Ô.[EÓIP ÆQ [Q>4.3. Forecasting·����D58$��.�����*+$��-5����#�*+�E��*+R��P#%*/�0����*+��&%��*4$����-�����D&����#A��$B!B��s��P�.���5`��������#A5����#%*/�Q��*4$����PVbJb$��������0����[E>·����"XE6��0���53��������#lJb$��������.��#%*/�.����*4��&���*+$��3*+�-'�*+R���9�@ �ux V � ò ¨wí�� ��í�Ó×××Ó"� ò [oÍ^Ò x V � ò ¨�í9� Ë�[ x V8ËÅ� ��í)Ó×××Ó"� ò [%é'ËTÓ V0X�X�[(N������C�����G1+*4s��1+*4��$�$%#a�����! x V � ò ¨�í9� Ë�[�*+�9$�������*+����#aJb��$�! �����=��*4�����������*+���1-!"$%#%�1"V0Xk[Q> ·����ê�V�E ò ¨�í�� ��í)Ó×××Ó"� ò [�&���#%��������N#%����.*4�0 �V0X�X�[�5���$)R@*+#%���T�����N$�5���*+!"��1ÁXE6��0���5"��������#DJb$���������0�w&���#%���;��2�&�������#P�����$���14$����wJb&����Q��*4$��T>����,$���#���w��$P��5�5���$kF@*+!B�)���Kê�V�E ò ¨�í � � í Ó×××EÓI� ò [w(K�N#%���k(¸����!"5�14���E Æ e Çò ¨�í Jb��$�! x V�� ò ¨�í9� Ë Æ e Ç [T����#;Jb$���!å�����K����!,5�14�K�kR������'���> L ������w*4����������0��*4��'|�.&�!,!B���� S!"�����&�����uJb$��-�F���!"5�1+�D�����,Y�¼�ÓÉ5����#�*+�E��*+R��D*+�������R)��1/�u8�����P$��%����*+���#3�@ 3��5�5���$�5���*/�)���1+ �&���*4��'B�����,����!"5�14���� Æ e Çò ¨�í u��.�� Jb$��N�EF���!"5�1+�P\S�14J�����#ªV.XY�Y�Ì�[E>?@&�5�58$����P�����)�S(O�H�����H��$��S$���1+ 3*4����������0���#3*+�mXE6��.���5`�������#35����#%*/�Q��*4$����|��&%�S��1+��$�*+�)Ô�6��0���5��������#A5����#%*/�Q��*4$����-(N������hÔ�rÖXD*/�|�B58$���*4��*+R��P*+�����'����>�{=�P$��%����*4�3�����H5�����#%*+�E��*+R��P#%*/�.����*4��&���*+$��V0X�X�[Qu���&%�w������������o#% @����!,*/��5�������!"�E������u���> '�>¶�����dz õ uk������p����.������!"5�1+�#SJb��$�!Ý�����*4�w#%*+�.����*+��&%��*+$�����.58��*Ip��#3�@ l�����P!"$%#%�17uÁ�.��P�2�&�����*+$��dV�j�[Q>-Â|��*+��'B��������DJb$���(K����#AR)��1+&����-$�J������P5�������!,�������N(K�����!"5�14�bE Æ e Çò ¨�Õ Jb��$�! �����G1+*4s��1+*4��$�$%#¶>æ·������.�`1/���.�9����!"5�1+��������3������Ý�kR������'��#m��$m$��%����*4�a�������.��*+!B�)����#�Jb$���������0���>·�����$�&�'���$�&%�9�����ª5���5���9(K�:������&�!"�`�����)�3�����=!"�����Ý����#]R)����*/������G$�JP�����_Ô�6<�.���5Ú��������#Jb$��������.�D#�*+�.����*4��&%��*+$��d�F@*/�.�>C·���*/�H������&�!"5%��*+$��ª*/�PR���� =��������$�������1+�,*+�d$�&��H�.���&�5m��*+���E��(K�������5���*4!B����*+14 B*+���������.����#l*+�3!B��s@*4��'"����$��.�������!àJb$��������.���>�{:�P����9&����D$�������-��&�!"!B���� B!"�����&�����u��> '�> �����,!"�#%*/���=*IJo�����,!"������ ��������$�� p���*4����>P^`$����$)R���u�*4�:�.&����G�.*4��&��)��*+$���� ^ U ^ U ����!"5�14���#%���k(N�ªJb��$�! ������Jb$���������0��#�*+�.����*4��&%��*+$��W!"�k ª#%��*IJM�,��$=*4��p���*4���ARk��14&���H���������� ª'�*4R@*+��'G���y�����1+ *4��#%*+��)��*4$��9$�J�5���$���1+�!B�>�·���*+��!B�k �����5�58��A*IJw�����D!,$%#%�1¶*+�N�,R���� B5�$@$���p��K��$"�����D#�������>�?%$�!"�Jb&���������O��������s@�o$��B!"$%#%�18R)��1+*+#�*I�0 B����$�&�1/#B�8�|58���Jb$���!"�#"�8�EJb$����-p�����1+14 "��������#%$���*+��'D����� �E&���������!"$@#��1/��*4�31+*4�&A$�J����(Ý$�����>·����=5�����#%*+�E��*+R��G#�*+�.����*4��&%��*+$�� V0X�Xk[B*/�l&��.��#_��$W$��%����*+�Ú��*4!�&�1I�������$�&��lJb$��������.����Jb$��3��1+1|�����!"$���*4��$�����#C�.*4����� ���;���� 9Jb&%��&�������*+!"��58$�*+���uÁÔWrÝÙP>;?@&�5�58$����P�����)�;*4�S*/� #����*4���#3��$l5����#�*+�E� ����������.58$����.�A�)���.$�!"�9&���!,$���*4��$����#¸��*I����"�)�����@ d'�*4R���m��*4!"�358$�*+���BÔ�(N������9Ô,����W�8�314�������������

Page 14: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

14 S. K. Sahu and K. V. Mardia�2�&���1���$GÙP>G·�����!"�����$%#%$�14$�'� =Jb$��H$��%����*4��*4��'`�����95�����#%*/�Q��*+R��9#%*+�.����*+��&%��*+$��W�)�H$����l5����.��*+�&�1/���&���!"$���*I��$����#"�.*4���N*/��'�*4R���"���14$)(��������|�EF@������.*+$��,Jb$���!"$����O�������B$����-��*I���N*+���.������*+'�����Jb$���(K����#�����#$��@R@*4$�&��>·�$"5����#%*/�Q�-���N���9&���!"$���*4��$�����#9��*I����u�ÑD���k �u@(K�S&��.�D�,5����#%*/�Q��*4R��S#%*/�.����*4��&���*+$��A14*+s��BV0X�X�[O(N*4�������� Jb$�1+1+$)(N*4��',!"$%#%*Ip8��)��*4$����o��$"����$�&����KJb$��K�����S��5��)��*+��1¶�E$������1/�)��*+$������8�E�0(K���l�����;�����5�$�������K�)��.*4���DÑP����#A�)�N�����D!,$���*4��$����#9�.*4�����u�Ñ í Ó�Ñ Æ Ó×××EÓ�Ñ G >{=�=p����0�A$��%����*+�_�����:�.5��)��*/��1;�E$)R)����*/������C!B�)����*4F�aÌc $�JP$���#%��lØdá XG&���*+��'d�����:������&�!"�#�E$)R)����*+$�'�����! V���[Q>�·������-*+�u a Ìc Í×Ö adc aNí Æ V�Ñk[a H í Æ VcÑ�[ØP�V�Ñ�Ó�Ñk[BÙ Ó(N������haNí Æ V�Ñk[K*+�K�����;ØÁ6<#%*+!"�����*+$�����18R���E��$���(N*4���A�1+�!"������P�V�Ñ Ò Ó�Ñ�[Eu Õ ÍÖX�Ó×××EÓ�Ø�>�}K���.��#�$��l�����Ø9áÝXH��5��)��*+��1�1+$%��)��*4$����SÑkí�Ó�Ñ Æ Ó×××Ó�Ñ,GÁÓÁ����#`ÑH(K��#����*4R��D�����3VbØ9áÝXk[NÎ*�=!"������*IF]ybÌP&���*4��'=V7Û�[(N������;(O�;���5�1/����.adcB�� BaÌc >�Ï��E�N&��N5����.��*I��*4$��l�����D!B�)����*4F>ybÌ;���KJb$�1+14$)(-�ðy Ì Í Ö ybÌíybÌÆ Ù(N�������ybÌí */�NØ=Î=�`����#>ybÌÆ *+�;XDÎ=��>�{:�D��$)(Ú���kR�� �������Ö J õMlVcÑ�Ó�Ô.[ Ù ·�¹ � y Ì z õ Ó5a Ìc � ×&���*4��'P�����-!"$%#%�18������&�!"5%��*+$��`V7v�[E>wq���$�!©����*+�O!H&�1I��*4R)����*/�)���|��$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��B(K�-$��%����*+�"�������MlVcÑ�Ó�Ô.[�� Ë¿·^¹ � y ÌÆ z õ áÑa H í Æ V�Ñk[Ia ó íc V J õ ã�y Ìí z õ [QÓ�P�VcÑ�Ó�Ñ�[�ãja H í Æ V�Ñk[Ia ó íc a í Æ VcÑ�[ � V0Xkv�[&���*4��'B�.������#�����#9!,�����$%#��>�Ç-$)(Ý&���*4��',�����D!"$@#��1�������&�!"5%��*+$��ªV0Xk[K(O�;���kR��|�����)�FHV�Ñ�Ó.Ô.[,� Ë¿·�¹mV�M�V�Ñ�Ó.Ô.[EÓIP ÆQ [QÓ(N������*M�V�Ñ�Ó.Ô.[ Jb$�141+$)(-�"V0Xkv�[S�E$���#%*4��*+$�����141+ `$��bËT>BÇ-$)(©�����B5����#�*+�E��*+R��B#%*/�0����*+��&%��*4$��ª���P�.*4���BÑB*/�'�*+R���l�@ x V�Ð8V�Ñ�Ó.Ô.[�� ��í)Ó×××Ó"� ò [oÍ^Ò x V�Ð8V�Ñ�Ó.Ô.[�� Ë�[ x V�ËA� �@í)Ó×××ÓI� ò [%é�ËT× V0X���[�<J;(K�C(K����9��$dJb$��������.�"�����`��!"$�$����_5���$%�E�����YJ õ ���l���a&���!"$���*I��$����#a�.*4���`Ñ�u�(O�C&��.�3������E$���#%*4��*+$�����18#%*/�.����*4��&���*+$���$�JAM�V�Ñ�Ó.Ô.[O#%�����*+1+�#�*+�=V.X�v�[Q>�·���� �kR������'��N$�J�����!"5�1+��K#%���k(N��Jb��$�!»����*/��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��A*/�������D���0��*4!B�����#lJb$��������.�N$�J������P��!,$@$����35���$@�����3J õ ���|�.*4���DÑ�>�<J����(Ú#��)���P(K���� �kR)��*+1/����1+�|(K�S��������E6<��&��B�����S�����*+���S^ U ^ U *+!"5�14�!"���������*+$��3����#B5�����#%*+�E�$��������R)�)��*4$����S(N��*+���m�����,Jb&%��&�����*4�ª��*4!"��>9µ-$)(K�R����u¶��������������B!"���@ =��5�5���$kF%*+!B�)��*+$��=!"�E����$@#��&���*4��'"*+!"5�$��.��������P����!,5�14*+��'"(N��*/���3����3�8�P&����#3����(K�1+1cu��.��;Jb$��N�EF���!,5�14�;�����H������*/�E1+�;�@ l����(N*4�eEf�g)h4i Vcv�x�x�v�[�Jb$��|#%�����*41/�>

4.4. Assessing the forecasts^`���@ m'�����5���*/���1-#%*+��'���$��0��*+�A!"�E����$%#��������3&����#¸��$d5���.Jb$���! #�*+��'���$��0��*+�3��������s�*+��'d����#W!"$%#%�1R)��1+*+#�����*+$��Tu��.��S��> '�>O^`����#�*+�Cef�g�h4i;V0X�Y�Y�j�[Q>o?@�R������1¶Rk��14*/#�����*+$��C�0���)��*+�.��*/��-�����D��1+��$B�kRk��*41/����14�D����

Page 15: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 15��> '�> U ������$�1¶����# U ������.*+�BV0XY�Y�Ì�[Q>�·���� 9!"��s��S&����D$�J������;Jb$�1+1+$)(N*4��',��������D�0���)��*/�.��*/��ðU rSí�V�Ú e [ Í V.XvT'ÔO[ « ò ¨�Õõ

ö ò ¨�ídÛ FPVcÑ$e�Ó�Ô.[wã ñFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�ÜV.XvT/ÔK[ Û « ò ¨�Õõ

ö ò ¨�í ñP ÆÝ V�Ñ e Ó.Ô.[ Ü �Þ Ó

U r Æ V�Ú!e�[ Í ßàá V.XvT'ÔO[�« ò ¨�Õõö ò ¨wí�Û FPVcÑ$e�Ó�Ô.[�ã ñFDV�Ñ!e�Ó.Ô.[�Ü Æ

V0X/T/ÔK[�« ò ¨�Õõö ò ¨�í ì ñP ÆÝ V�Ñ e Ó.Ô.[Qî â<ãä �Þ Ó

U r¶å�V�Ú e [ Í æ�V0X/T/ÔK[ ò ¨�Õôõ ö ò ¨�í Û FHV�Ñ e Ó.Ô.[�ã ñFDVcÑ e Ó�Ô.[ Ü Æ$ç �Þ Ó(N������ ñFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�*/�������-5����#%*/�Q��*4$��B$�JAFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�����# ñP ÆÝ V�Ñ!e�Ó.Ô.[�*+������� !,��������2�&�������5�����#%*/�Q��*+$��B�����$���>·�����C*4�|*/�-����$�!"!"���#%��#9������� �.&�!,!B���� A�0���)��*/�.��*/��-�8�P&����#A��$��E$�!,5������;�����P!"$%#%�1+�u���> '�>K$����!B�k �p���#`������!"������-$�J�����������$)R��;��������,�0���)��*+�.��*/��>N{_����GJb$��������.���-�����H����&���������u������H!"������$�J U r í�V�Ú e [Qu U r Æ V�Ú e [P����$�&�1+#ª�8�9�14$��.�"��$`Å���$=����#ª$�����uw�����.58��E��*+R��14 D�������l!"����d$�J U r�å�V�Ú e [5���$)R�*/#%�����B¹ '�$@$%#%�������o$�J¶5����#%*/�Q��*4$��Tº�����#B*4�O*/�o�F%5����Q����#B��$P���;��!"��141�(N����95����#%*/�Q���#BR)��1+&����o������E1+$����|��$"�����;����&��SR)��14&����>Ç-$����"�������D������Jb$��������0��� ñFPVcÑ e Ó�Ô.[QuTJb$��PÔ;;ÙaáæX�Ó×××EÓ�Ùaá�Ôâ#%�5����#ª$��:$����E6�����$�������;����#����*/�lJ����Q�A*+�9*+'���$�����#W(N����Ý��&�!"!B���� ¸�.������*/�0��*+��l�����CJb$���!"��#_$�JD�����`��*4!"�E6��kR������'���#¸�.������*/�0��*+��U r í)V�Ú e [Qu U r Æ V�Ú e [K����# U r�å�V�Ú e [Q>�·�$,$)R�����E$�!,�-����*/��(O�;��#�$�5%�K�����;(K�*+'�������#l#%*/�.�������E�S����0(O��������SJb$���������.���N����#l�����P���Q��&���1¶$����.���R)�)��*4$����>wÏ��E�

è Í {é| E ò ¨�í>>>E ò ¨êÕ ��ë�#%���$����o���������E��$�J�$����.���R)�)��*4$����¶Jb$���(N��*+���P(K���.��s;R)��1+*+#�����*+$��T>wÇ-$����������)��(K�o���kR��o$����.���R��#D#������E í Ó×××Ó$E ò ¨�Õ ��&%�|(K�;���kR��S&����#A$���1+ �E í Ó×××Ó5E ò ��$,p��-�����;!"$@#��1�����#A$��%����*+�l�����DR)��1+*+#�����*+$��Jb$��������.�OJb$��è=>�Ï��E��ì ��í�� #%���$����S�����D$��������R���#l#�������>Â|��*4��'3�����B*+!,5�14�!,������#d^ U ^ U uT(K��#%���k(~è Æ e Ç Ó�fGÍäX�Ó×××Ó�ê Vb(N�������ê */�P�A1+����'��"5�$��.*46��*+R��;*+�����'���Q[O����!"5�1+��KJb��$�!à�����;Jb$���������0�-#%*/�0����*+��&%��*4$�� x V�ìd� � í Ó×××EÓ"� ò [Q×�·����;p����.�-5�������'�����5���*+�?@��E��*+$��AZ�> �"#%�E����*+1+����$)(Ú��$�#%���k(_��������P����!"5�14���>�Ç|$)(îèäÍ Xêðïôe ö í è Æ e Ç Óå����# ña¸Í XêÝã¸Xñïôe ö íò è Æ e Ç ã îèBó ò è Æ e Ç ã îè�ó H Ó&��@��*/�����#%1+ "��.��*+!"����� �����;!"����lR���Q��$�������#������D�$)Rk����*/�����E�-!B�)����*4F�$�J������SJb$��������.�K#%*/�.����*4��&���*+$��x V�ìd� � í Ó×××ÓI� ò [Qu)�����58��Q��*4R��1+ �>�·����o���'�$%#%*/�E*4�0 S5���$�5���.��*4���T$�J%������^ U ^ U ��*4!�&�1/�)��*+$�����1+'�$���*4����!B�'�&�������������K�����)�O�����;���8$)R��N���0��*4!B�)����O�E$��@R����'�����$P����� ����&��-!"����l����#B�E$)R)����*+�����E�N!B������*IF"$�J¶�����Jb$��������.��#%*/�.����*4��&���*+$��3(N����3ê *+�-1+����'���>Â-��#%��w��&�*4������14�O���'�&�1/����*4�0 �E$���#%*4��*+$�����(N��*/���P'�&������������������ �!"5%��$���*+����$���!"��14*4�0 ;����#;Jb$��w��!B��1+1R)��1+&����$�JSÔ|u������A5����#%*/�Q��*4R��9#%*/�.����*4��&���*+$�� x V ìd� ��í�Ó×××Ó"� ò [H����m�8�3��5�5���$kF%*4!B�����#m�� :�����9Ø�Ô�6#%*+!,�����*4$�����1Á��$���!B��1¶#%*/�.����*4��&���*+$��A(N*I���A!"����� îèÄ����#9�E$)R)����*/������|!B�)����*4F ña >�Â|��*+��'"(O�141467s@��$)(N�5���$�58�����*+��K$�J�!H&�14��*+R)����*+�����;��$���!B��1¶#%*/�.����*4��&���*+$��Tu�(K�;���kR���uô Æ ÍÖV èàã îèC[ H ña ó í V è ã îè3[d·�õ ÆG�Õ Ó���5�5���$kF%*4!B�)���1+ �> V0XZ�[

Page 16: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

16 S. K. Sahu and K. V. Mardia

Table 1. Values of the predictivemodel choice criterion for differ-ent values of ö and ÷ .÷ö ø'ù ú ø'ù û ø�ù üû ®!ý ü'ù ú ®$ý ü'ù þ ®$ý þ�ù þü ®!ý ø�ù ú ®®$ÿ ù � ®®E¯ ù ®ÿ ®�®Q¯ ù û ®®!ý ù ú ®® û9ù û¯ ® ø,ø�ù þ � ÿ ù ¯ � ¯ ù þþ ® ø���ù ¯ ® ø�ú�ù ü ® ø,û9ù ý

·����|��5�5���$kF@*+!B�)��*4$��"����*/�����#%&��|��$D�����-J����Q�������)�3è */��$���1+ ,��5�5���$kF@*+!B�)���1+ H!H&�1I��*4R)����*/�)���N��$���!"��1Jb$����.!B��1418R)��1+&���O$�JêÔmJb$����.��$��.��6c�����!©Jb$���������0��*4��'�>wÇ|&�!"���*+���1�÷0&��.��*4p������*+$��BJb$��o����*+����5�5���$kF@*+!B�)6��*+$��A*+�-5���$)R@*/#%�#l*4�`?@���Q��*4$��C¼�> ��>L &��N5���$�58$����#9Rk��14*/#�����*+$��3�0���)��*/�.��*/���*/�������D$��������R��#lR)��1+&��;$�J±ô Æ '�*+R���l�@ �uô Æ��í�� ÍÖV ì �,í�� ã îè`[ H ña ó í V�ì ��í�� ã îè`[Q× V0Xk¼�[U 14������14 �u�ô Æ�,í�� (N*+1+1�*4���E���������*IJÁ��������-������1+����'��K#%*/���E���5������E*+����8�E�0(K���������NJb$���������.���������#�$��,�����!"$@#��17u îèä����#"����� $��������R���#"#��)����u�ì �,í�� >�·���&��dô Æ��í�� ������8�|���EJb������#,��$P����� �����$����E��*+���1�R)��14&����$�JT�����Wõ Æ #%*/�0����*+��&%��*4$��l(N*4���lØ�Ô¸#%�'������O$�J�Jb����#%$�!A>�Ç|$����;��1/��$P�����)�ô Æ��í�� *+�O�����S^G������1+����$���*/�#%*/�0��������S(N����A�����P#�*+�.����*4��&%��*+$�����$�JÅè �,í�� ����# îè ���kR��|�����P�E$�!,!"$��A�$)Rk����*/�����E�S!"������*IF ña >5. The New York City data example

5.1. Model choice{=�D���E��&����9��$B�����P�EF���!"5�1+�P#%*/���&����.��#9*+�A�����H��������$%#%&��Q��*+$���>o{:�Dp����0�|����$@$��.�S�����P5�������!"�������[�����#]o=&���*+��'B�����PJb$�1+1+$)(N*4��'l(O�141467s@��$)(N�35����#�*+�E��*+R��H!"$%#%�1�����$�*+��H�E��*I�����*4$��TuÁ�.��P��> '�>|Ï���&�#G����#����������*+!ÄV0X�Y�Y�¼�[Ê��¥»�»æÍ ô ��� FPVcÑ�Ó�Ô.[ ��í�� ãªê¥��FHV�Ñ�Ó.Ô.[ ¦0��¬ ��� Æ á���� � FHV�Ñ�Ó.Ô.[ ¦0��¬ ����Ó(N������������ ��&�!"!"����*+$��B*/������s���B$)R������1+1������|ضÙa$��������R)�)��*4$������EF��E�5%��Jb$��������|!"*+����*4��'D$�����u@����#FPVcÑ�Ó�Ô.[ ¦0��¬ *+�;�BJb&���&����"$��������R)�)��*+$��`�$��������.58$���#%*4��'B��$]FPVcÑ�Ó�Ô.[-&���#%��S�����,������&�!"�#G!"$@#��17>P·������.��*+!B�)����#lR)��14&����K$�J������DÀo^ UNU �����|���58$�������#�*+�3·w����14�,X�>�·����;!"$%#%�1¶(N*4���Y�lÍÝÛH����#�oAÍ_x�× Z*+�K��������$H�8�-�����S�����0��!"$@#��1Á����#B�������EJb$������l(O� (O$���s,(N*I���B����*+�K!"$%#%�17>�·����-������1+� ��1+��$�����$)(-��������N�����D!"$%#%�1�����$�*/�E�D���*4�����*+$��A*+����$��-'��������1+ l�������*I��*4R��S��$"�����P����$�*/�E�;$�J�oC��!,$���',�����DR)��14&�����E$����.*/#%�����#¶>l{:�l���kR��B��1/�.$`�$�!"5�&%���#:������!"$@#��1O����$�*/�E���E��*4�����*+$��:Jb$��YoyÍ x�קv3����#ªx�>+X�>3q�$������$��.� R)��1+&���o�����S�E��*I�����*4$��BR)��1+&���O(O���� ��*+'�������������������|R)��14&����O�$��������.58$���#%*4��'D��$�������BR)��14&�� $�J�3���5�$��.���#9*4�A�����;������14��>·����D����$�����9Rk��14&��S$�J[oAÍ_x�× Z"�E$��������5�$���#��o��$B���3��5�5���$kF%*+!"����� ������'��S$�JKXx�!,*+1+���*+�A��5��)��*+��1#%�58���#%�����l��*4����"�����9�E$)R)����*4$�'�����!ä#%����k %�S��$Gx�> x�¼lJb$���oyÍÊx�× Z`����#ªé=Í Xx�>l·����l����$�*/�E�"$�J�CÍ»Û,*/� �����C��$��8�"���8$�&%�|����14J������,!B�)F%*4!�&�! ��&�!H�8��S$�J�5���*4���E*+5���1�p��1/#�� 5�$�����*4��14��>|{:��������1+1Jb&���������N�EF���!"*+���S�����P����$�*+��;�� l!,$���*4��$���*+��',�����P�$�!"5�$����������$�J±zåJb$��N����*+��$�5%��*+!B��1T!"$%#%�1c>5.2. Analysis·��������0��*4!B�)����D$�J�P ÆQ ����#_P Æc &���#%��H�����9����$�����ª!"$%#%�1K������x�> x���¼�Ì3����#dx�> x�XkÛ�v�uT�����5����Q��*+R��14 �>·����H�.������#�����#3#%�R@*/�)��*4$����-�����P���0��*4!B�)���#A��$�����x�> x�x���v,����#Cx�> x�x�Z�Ì�u%�����.58��E��*+R��14 �>�·����H^ U ^ U

Page 17: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 17������*+���wJb$����������.�-�0(O$;5�������!,��������(K����N!"$���*4��$�����#H��$P#%�E����E�o5�$�����*+��14�N5���$���14�!B��*4���$��@R����'�������>µ-$)(K�R����u���$���&����A5���$���1+�!B��(K����|Jb$�&���#A*4�A�����P�E&���������N*4!"5�1+�!"������)��*+$���>{=�35�1+$��"�����3^ U ^ U ���0��*4!B�)����"$�JS� õ í Jb$��B��1+1KR)��14&����"$�JSÔH��1+$���':(N*4���W�����`Y�¼9Ó �E���#�*4��1+�*4�������Rk��1+�,*+�_q�*+'�&����CÌ�>]?@*+����9�����3p����0���$�1+&�!"�¸$�J|�����C!B�)����*4F¸y�*/�B�:&���*4��R����Q��$��u3� õ í9(N*+1+1��.��*+!B�)���������9!,�����d$�JN�����l��*+!,�A�.���*+��H$��������R���#ª�)�P�����9#%*4ÞÁ�������,��*I����>G·�$G�.��B����*+��(O�l5�14$�������B!"�����:��*+!"�l�.���*+��;$��%����*4���#:�@ =�kR������'�*+��'������������5�$�������Jb��$�! ��1+1������l�.*4�����D*+�=�����l����$���#5������1o$�J-q�*+'�&����lÌ�>`~|�H�EF%5����Q���#ª�������0(K$C5�1+$�����*+�ª�����l�0(O$`5������1+�H14$@$�s=R@*4����&���141+ =�����A����!,��>·���*/�w÷0&��0��*Ip����$�&��N5����R@*4$�&����E1/��*+!É�������������D!"$%#%�1�Vcj�[K���5%��&������K�����;!B��*+�l���!"58$�����1T�.����&��Q��&������5����������K*+�A�����P#��)����>·����|5�1+$����o$�JÁ�����S���!B��*+��*4��'H�.*4FB�E$�!"58$����������$�Jêz õ ��14$���'D(N*4���������*+�OY�¼9Ó»�E���#�*4��1+�-*+�������R)��1/���5�58����B*4�]qw*+'�&����=Û@>Ý���a�����`p�'�&����C(K�C���kR��C��1/��$d5�14$��.���#_�ª��$���*+Å$�������1N1+*4���`�)�lÅ���$=��$y���������`��*+'���*4p�������E�3$�J|�����]� õ Ò�Ó Õ Í v%Ó×××Ó�Û`Jb$��"�����C�����*4���C������'��A$�J;ÔQ>]·����`����$���#¸����#W����*4��#�E$�!,58$���������*� õ Æ ����#Ñ� õ å �����3�����y��$d���`��*+'���*4p�������,Jb$�����1+1NR)��1+&���B$�J ÔQ>]·����C���!B��*4��*+��'ªZ�E$�!,58$���������������D�.*+'���*Ip�������N�)�-#%*4Þ8�������N��*4!"������&%�|�����;��$��-��*4'���*4p�������KJb$��-��141¶R)��14&�����$�JwÔQ>�·�����0(O$B�$�!"5�$����������� õ� ����#B� õ�� �����D�.*+'���*4p�������NJb$��N$���14 A�,Jb�(æR)��1+&���-$�J�ÔQ>O·����P5�14$��|��1/�.$B����$)(-��������D��$����"$�Jo�������.�R���ª�E$�!"5�$���������S$�J°z õ ����=�8�B���!"$)R���#3��$C$��%����*4�ª�l!"$����"5�������*4!"$���*4$�&��!"$@#��1T���N��141T�����D�E$�!"5�$���������|�����S��*4'���*4p�������-����1+����0�NJb$��-�.$�!"�SR)��14&�����$�J�ÔQ>·����A��*+!,�`�����*+��,5�1+$�����$�J|�����3���k( �����.*/#%&���1+�u������`#%*4Þ8�������E���"����0(O���W�����C$����.���R��#m����#������p������#Tu������H'�*4R���=*4�:q�*+'�&����"j�>H~ �;�EF%58��Q���#¶uÁ�����"�����.*/#%&���1�5�14$����;#%$A��$��P����$)(Ö���@ `��5��)��*+��1$��;���!"5�$�����1�5����.��������>A·�����5�1+$��DJb$��H�.*4���GXZ�u���$)(K�R���u��.��$)(-�;��*4'��d�����.*/#%&���1�Rk��14&���;Jb$��Hz�&����XxA����#¸X���>B~|�D!"�����*4$����#=5����R@*+$�&���14 G*4�d?@��E��*+$��mvl�������.�"�0(K$3$��������R)�)��*4$����;������$�&%��1+*4����D����#�E$����.��2�&������1+ A������p������#=!"$%#%�1�����$)(-�S�.$�!,��1+����sC$�J�p��SJb$��|����������0(O$A$��������R)�)��*4$����>;{:�����kR����1/�.$B�F���!"*4���#A�����HR)����*4$�'�����!É$�J������Hp��.���#CR)��1+&����|���-(K���|#%$����DJb$��|������#��)���B*4�=q�*+'�&����P������#����*/�K14$@$�s��#�R���� B�.*+!"*41/���O��$"qw*4'�&����S��>�·���*+�K*/�O�F%5����Q����#9��*+���E� �����S!"$%#%�1Á5���$)R@*+#%���O��R���� "'�$�$%#p��N��$,�����P#��)����u����N�.&�'�'����0���#9�� ������P����$)R�� �����*+#�&���1¶5�1+$����>{=�N��$)(¸���E��&�������$;�����N5����E&�1+*/����*I�0 �$�J8�����-#������D����5�14$��.���#,*4�Bqw*+'�&����NZ�>w{=�-��5�����*/��1+14 P5�����#%*+�E������B1+�R��1O$�JK�����������58$������B$��dÌ�v�¼914$%�����*+$����P$��ª1+����#:Jb$���z�&�1+ GZ`����#yÛ@>AÇ-$����B�����)�P���������������.5��)��*/��1�5�����#%*+�E��*+$����H����#ª�����"��$��D���!"58$�����1�Jb$���������.���>l^C$����$)R���u¶��$C���$����.67R)��14*/#��)��*4$��G*/�H#%$�����������>o{=�D&����P��1+1¶�����H#�������Jb$��-!"$%#%�1¶p��.��*4��'l����#9������C(K�;5�����#%*/�Q� ���N�����D���(Ý1+$%�����*+$����N&��.*+��'������}��k ����*+���G5����#%*/�Q��*4R���#%*/�0����*+��&%��*4$��aV.X��[Q>9Ç|$����"�������H(O�B���2�&�*+���������B!B�)����*4F�y Ì ��$`$��%����*4�����*/�;5����#%*/�Q��*4R��B#%*+�.����*+��&%��*+$���>�µ-����"(O�,p����.�P$��%����*+�G�����B!B�)����*4FbybÌAV�Ì�Z�x9Î:Û�[ Jb$��P��1+1�������Ì�Z�x�.*4������V.X�¼�!,$���*4��$���*+��'9��*I����;����#`Ì�v�¼B1+$@��)��*4$����-Jb$�� 5�����#%*+�E��*+$�����[ ����#3������:&�����ybÌí V.X�¼BÎ=Û�[NJb$��!"$@#��1Áp�����*+��'�����#A&�����ybÌÆ VcÌ�v�¼�Î`Û�[OJb$��N5�����#%*/�Q��*+$��A5�&���58$�����>·����S�0(O$"�.5��)��*/��1¶5�����#%*+�E��*+$��A�.&���J������K������l(N*4���CÌ�Z�xP5����#�*+�E��*+$����DVc�)�������"Xk¼P!"$���*I��$����#l����#Ì�v�¼,&���!"$���*4��$�����#C�.*4������[|�����P1+*4��������14 A*+�������5�$�1+������#C����#3�����H5�14$��.����#C*+�Gqw*4'�&�����Y�>|·�����5�1+$��|Jb$��z�&�14 `ZC����$)(-�S�0(K$A��$��P�.58$����D$����,�������:*4�d^`���������.�����d����#=*4�m?����)����ª�0�.1/����#¶>�·�������,�0(O$3��$���.58$�������1/��$:���!B��*4�¸$��_z�&�14 _Û@u���&%��!"$����C��$��l�.58$����B�!"���'��A$��_z�&�1+ aÛ=58$�����*4��1+ y�8����&����3$�J�������)JM����.6<�EÞÁ��E�-$�J������Hz�&�14 9ZBp����(K$���s��E�1+���������*+$����>O·���*/�-���E6<���Jb$����E��K�����DJ����Q�-�����)�-��������P�����#%*4Þ8�������S�.5�����*/��1�5��)����������-��� #%*4Þ8������� 1+$@��)��*4$����-����#C�)� #%*4ÞÁ�������|��*4!"�H58$�*+�����>N~©�E$�!"5�����*+��$������0(O���:�������������#=������#��)���35�14$����D*+�mqw*4'�&����,Z`����$)(-�S�����)�D��������B*+�H�3R���� `'�$�$%#ª��'�����!"��������0(O���9�����D!"$%#%�1T5����#%*/�Q��*4$����N����#l�����D$��������R���#l#�������>·����=�.������#�����#_#%�R�*/�)��*4$�����$�JD�����=5����#%*/�Q��*4$����9�����G5�14$��.���#_*+�Úqw*4'�&����mXx�>©·����=�.������#�����##%�R@*/�)��*4$����o�����S�.!B��1+1+��OJb$��O�����S14$%��)��*+$����o(N��*/���9����� ������o��$P����� $��������R��#l�.*4�����>�~|�K�F@58��E����#l�'�$@$%#S5�����#%*/�Q��$��T�.��$�&�1/#;���O����1+����$N5�����#%*+�E���8�E�.�����Jb$��T�����o��*I����¶(N��*+���P�������14$��.����$N�����o$��������R)�)��*+$���.*4�����K�������A�����P��*I�����(N��*/���C�����|J����-�k(K�k �>{_�� G*+�S�����"5�����#%*/�Q��*+$��=!B��5=Jb$��Dz�&�14 `ZA!H&����G1+*4'�������S�������=����������!"��Jb$��Dz�&�14 =Û��Ý·���*+�S*/��EF%5�1/��*+���#=�@ `�����B�0(K$`#%*IÞÁ�������D�0 @58��D$�JKR)����*/�)��*+$����;*4�ª������#��)���AJb$��D�0(K$C#��k %�uw�.���qw*4'�&����l¼�>·����9#��)���CJb$��"z�&�1+ ªZG�������`14$���'G1+�EJM�"������#ª����*41K(N��*+14�l�����3#��)���CJb$���z�&�14 yÛC�����,�`1+$���'G��*+'����

Page 18: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

18 S. K. Sahu and K. V. Mardia

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

24

68

Alpha 1 plot

site

mea

ns

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

24

68

Site means plot

Fig. 6. Marginal posterior means and 95% credible intervals of ����� . The second panel plots themean observed time series. The time unit is three days.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Alpha 2 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

Alpha 3 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Alpha 4 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.2

0.0

0.2

Alpha 5 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.2

0.0

0.2

Alpha 6 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

Alpha 7 plot

Fig. 7. Marginal posterior means and 95% credible intervals of ����� for ��� ý������ ���.¯ , to be read row-wise. The horizontal line at zero is superimposed to see significance of the states. The time unit isthree days.

Page 19: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 19

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3Site 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 11

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 13

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 15

Fig. 8. The time series plots of the residuals from 15 sites. The time unit is three days.

Page 20: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

20 S. K. Sahu and K. V. Mardia

25 30 35

Predicted map on the 4th of July

75 80 85 90

Predicted map on 7th of July

Fig. 9. The model predicted maps for July 4 and 7. These predictions should be compared with theobserved data plotted in Figure 4.

Page 21: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 21

1 3 5 7

sd of predictions: 4th of July

2 4 6 8 10

sd of predictions: July 7th

Fig. 10. The standard deviation of the predicted maps for July 4 and 7.

Page 22: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

22 S. K. Sahu and K. V. Mardia������#G����*+1c>9·������.!B��141o#��)���AR)��1+&����D*4�:������1+$���'31+�EJM�H������#=����*41����kR��"*4��½�&�����E�#=�����B5����#%*/�Q���#�.&��.J����E�,Jb$��Pz�&�1+ GZ3��$C�8�B1+*4'�������D*+�m�E$�14$�&��u�����#=�����B1+����'��"#��)���AR)��1+&����D*4�:������1+$���'3��*4'����;����*+1���kR��S*+�%½�&�����E��#l�����P��&��.J����E�SJb$��-z�&�1+ AÛP��$B�8�P#�����s���>

5.3. Cross-validation{=�A�EF���!,*+���l�����A�E��$����06<R)��1+*+#�����*+$��d�.���)��*+�.��*/��ô Æ 5���$�5�$��.��#ª*4�a?@��E��*+$��mZ�> Z�>:~ ���Jb�������������EF@65�������.��#H�E$����E����������'�����#%*+��'-�����-���� @!"5%��$���*/�O��$���!"��1%��5�5���$kF%*4!B����*+$�������#��������������-���. @!"5%��$���*/�õ Æ ��5�5���$kF%*+!"����*+$��,Jb$��ô Æ '�*+R���B*4�:V0XZ�[Q>�{:�S��#�#%������������*+���E$����E������K���oJb$�1+14$)(-�>w{=�S$���1+ B�E$��%6�.*/#%��O�E��$����.67R)��1+*/#��)��*4$���Jb$��O$���� ����#"�0(K$P��*4!"� �.���5��K*4�9��#%R)�����E� ��*+���E�|�����S!B��*+��!"$���*+R)�)��*4$���������*+�K����$����.67�����! Jb$��������.��*+��'P$�J��.5��)��*+$�67���!"5�$�����1�5���$%�E�������>wq�$��O�����,XE6��0���5l�������#B5����#%*/�Q��*4$����3ô Æ(N*41+1w���"��5�5���$kF%*+!"�����14 �õ Æ 6<#%*/�.����*4��&����#G(N*I���yXk¼�#%�'������|$�J�Jb�����#%$�!ä����#3Jb$�� �����"v)6<�.���5G��������#ô Æ (N*+141¶���kR��D��x"#%�'������K$�J�Jb����#%$�! ��5�5���$kF@*+!B�)���1+ �>{=�����0��*4!B����� îè ����# ña©&���*4��'dX�x�u x�x�xA^ U ^ U ����!"5�1+��DJb��$�!Ä������5����#%*/�Q��*4R���#%*/�0����*+��&%��*4$����$�Jw�����D$����D����#Cv)6<�.���5A�������#l5����#�*+�E��*+$����>o?@&������2�&������1+ �u�(K�P#%���k(©Xx�x�x�*4��#%�58���#�����-������#%$�!����!"5�14���u�Ð Æ e Ç Ó�fyÍ X�Ó×××EÓX�x�x�x�uwJb��$�! �����3�E$��������58$���#%*+��'`5�����#%*+�E��*+R��3#%*/�0����*+��&%��*4$����"����#mJb$���!�����"�.���)��*+�.��*/�Yô Æ *4�:������G����.��>HÇ-$������������S�����"����!,5�14���S�����>&1%�fS+/��g'?±&�75�I%'( f8@�elg5C�C1�"%��9#8("g�f<e(�4%hIf�#"!)g/�$#�g�f<e.&1%'�$("g�hÅ+/#6 Qf��$# 2!4%f�# %/&Ái

10 20 30 40

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

Chi-sqare with df= 15

p-value= 0.85

10 20 30 40 50 60

0.0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Chi-sqare with df= 30

p-value= 0.21

Fig. 11. The #%$ approximation of &'$ . The first plot is for the 1-step ahead forecasts and the secondplot is for 2-step ahead forecasts. The p-value in each plot is the P-value of the Kolmogorov-Smirnovgoodness-of-fit test.

Page 23: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 23·���� ��*+�.��$�'�����! $�JT�����"Xx�x�xhô Æ R)��1+&���K����#������;#%����.*4�0 B$�J������ �����$����E��*+���11õ Æ #%*+�.����*+��&%��*+$���������"5�14$��.���#ª*+�mq�*+'�&����CX�X�>9·�����5�1+$����H�.��$)(»�����)�P�����l#������3��*/�0��$�'�����! *4�d�������d����.�B*/�P�3R���� '�$@$%#9��5�5���$kF%*4!B�)��*4$��l$�Jw�����P�E$��������58$���#%*+��'������$����E��*+���1�õ Æ #%*+�.����*+��&%��*+$���>O^C$����$)R����u���$�����;�����'�$@$%#%�������.67$�JM6cp��;(K�B��&��:�����ln;$�14!"$�'�$���$)R�6�?%!,*+����$)R9'�$@$@#�������06<$�JM67p��;�����0��&��.*+��'3�����`Xx�x�x3��*4!�&%61+������#=R)��14&����>9·����B5%6<Rk��14&��B$�JK�����B����.�P*+�Hx�> j�¼lJb$��D�����CXE6��.���5d�������#G5����#�*+�E��*+$��d����#ªx�> v�X�Jb$�������Cvk6��.���5¸��������#y5�����#%*/�Q��*+$����>y·�������9��*+'��¸5%6<R)��1+&���,*+��#%*/��)���l�����)�"�����C#%*+�.����*+��&%��*+$�����$�J|�����$��������R���#�ô Æ R)��1+&����H����d���9����s���ª��$`�8�l�����9�$��������.58$���#%*4��'9�����$������*/���1�õ Æ #%*/�0����*+��&%��*4$���������E1/��*+!"�#9*4�dV0XZ�[E>Ç-$)(](K�;�R)��1+&��)���|�����;Jb$��������.��*+��'H58���Jb$���!B������ $�J������;!,$%#%�1¶&���*4��'*ô Æ��í�� ���K'�*+R���9*4�dV.X�¼�[E>Â|��*4��'P�����S�&���������K!,$%#%�18�����gô Æ�,í�� R)��1+&���������PX)Û@>�Û;(N*4���GXk¼P#%�'��������$�J�Jb����#%$�!¾Jb$��O�����,XE6��0���5��������#9Jb$��������.���-����#C��Û%> Y�(N*I���`��x�#%�'�������N$�J�Jb����#�$�! Jb$��-�����,v)6<�.���5`��������#AJb$���������.���>N·�������R)��1+&���N�14������14 B*+��#%*/������;�����)�N�����D!,$%#%�1¶*+�NJb$��������0��*4��'H�����P#��)���,(O�1417>6. Discussion��������*+�����.��*+�14� (O�S���kR�� 5���$�58$����#��,}��k ����*/���B!"$%#%�18Jb$���������1+ @��*+��'���5��)��*4$�6c���!"58$�����1�#��)����>�·����5���$�58$����#m!"$%#%�1N�����"�8���W*+!"5�14�!"�������#W*+�a�GJb&�141|}��k ����*+���y�.���&�5a&���*+��':^ U ^ U >�{:�A���kR��*4!"5�1+�!"������#������S!"$@#��1/�O*+�9�,��*4!�&�1+����*+$����F���!"5�1+�,Vc#%$%�E&�!"������#�*+�9���l&���5�&���1+*+������#����������*/���1���5�$��.��R�����.*+$��"$�J8�����|�E&���������o������*/�E1+�N�@ P�����|����!"�|��&%����$�����[�(N��*+���BR)��1+*/#��)���#"$�&���^ U ^ U �E$%#%��>µ-$)(K�R����u�(K�D#%$B��$��N5����������������D�EF���!"5�1+�;������;Jb$��������P����s��S$�Jw�����R@*I�0 �>·����"5���*+���*45���1�n;��*+'�*+��'�Jb&����Q��*4$����;&����#=*4�G�����"5���$�58$����#G!,$%#%�1������H�����.*/� Jb&����E��*+$����;(N��*/��������H$�5%��*+!B��1wJb$��D��5��)��*+��1w5�����#%*+�E��*+$����;��14$�����>P·����"�E$�!"5������)��*4R��H!"$%#%�1/�S&��.*+��'A5�$�14 @��$�!"*+��1��0 @58����'�������.$�����#%$;��$���&��.�����������$�5%��*4!B��1�Jb&����Q��*4$���������#¶u��������K!B�k P5���$)R@*/#%��14����������E&��������KJb$��������.������5����E*/��1+14 �Jb$��N�EF@������5�$�1+����*+$��T>{=�����kR�����5�5�14*+�#ª$�&��P!"$%#%�1K$��:�����9��*4�P58$�1+1+&%��*+$��m#�������uw����#ª&���*4��'G���(É�E��$����.67R)��1+*/#��)��*4$��!"�E����$@#��|(K�H���kR��H����$)(N�3������� �����,!,$%#%�1�*/�S��#%��2�&��)���HJb$��S�.��$��.��6c�����!àJb$���������0��*4��'�> Ç|$����H�������$�&���&��.�N$�JÁ}��k ����.*/����5����#%*/�Q��*4R���#������*I��*4����Jb$��O�.5�����*/��1%5����#�*+�E��*+$�����!B��s����$�&���!"�E����$%#�$�5%��*+!B��1�*+������-������.�N$�J8{_*+s@14�|����# U ��������*+�;V.XY�Y�Y�[E>�·����N5���$�5�$��.��#H!"$%#%�1/��(K$���sD�R���"(N����"�����N�@&�!������$�J�.*4�����������o!"$%#%����)���1+ D1+����'���u)��14����$�&�'������w�EF%58��Q���#H�����N�$�!"5�&%���)��*+$������8��$�!"��!,$����O*4���������*4R��K�������� �@&�!H�8��O$�J���*I����O*4�������������>�·���� (O�1418s@��$)(N����#�Rk��������'����$�J¶�����|Jb&�1+14 B*+!"5�14�!"�������#�^ U ^ U!"�E����$@#��u%��$)(K�R����u�÷0&��0��*IJb l�����*4�|&��.�SJb$��-�.!B��1+1¶��$,!"$%#%��������D#��)�������E���>Acknowledgements·����|��&%����$�����(O$�&�1+#"1+*+s��N��$D��������sBz�$����Bn;����O����#�rN*/��������#B?@!"*I���BJb$��O���1+5%Jb&�1Á#%*/���&����.*+$����>�·������&%����$�������������sY�S�kR@*+#lµ-$�1+1/����#B$�J�¿oÀ¶~]Jb$��K5���$)R�*/#%*+��'D����� #�������������� ���1+��$D��������s,����� ��#%*4��$���u%��������.$%�*+�����S�#%*4��$��-����#l�0(O$"���EJb������OJb$��N!B���@ ����1+5%Jb&�1��$�!"!"������N����#3�.&�'�'����0��*4$����>References~-1+1+���$�JM�uê��>Tz�>T����# U >T~P>�\S1/�����8� mVcv�x�x���[Q>,~ 1+��������H\;��&�����*+���=^`����s�$)R3������#%$�!,67p��1/#`!"$%#%�1Jb$��-�.5��)��*+$����!"58$�����1Á����*4��J���1+1T#%*+����'�'����'��)��*+$���>�(dC9C8hp#�e5+*)�f�g)f�#6 Qf�# -! ,+�-�u�Z�j�Û/.�Z�Y�j�>}��������÷0���u�?¶>4u���>@\;��!,���!B���Tu�����#�~H>@\S�1IJ�����#`Vcv�x�x���[Q>T?@5��)��*/��1ÁÀ���$%�E������^`$@#��1+14*+��'DJb$��KÂ|��*4R)����*46�����H����#`^C&�1I��*4R)����*/�)���=�| @����!"*+�,?@5��)��*+��1A�S�)����> ·��������*+���1����5�$��.��u1� *4R@*/�.*+$��G$�Jo}K*4$��0���)��*+�.��*/��uÂ|��*+R������*I�0 B$�J�^C*+�������.$�����>

Page 24: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

24 S. K. Sahu and K. V. Mardia}K���'����u�z�> L >+u��>�#%� L 1+*+R��*+����u�����#"} >@?%������t$�V7v�x�x�X�[E> L �%÷0��E��*+R��-}��k ����.*/���"������1+ @��*/��$�JT�.5��)��*/��1+1+ �$������1+������#l#�������>10�%/4��$&Ág)hA%N7;f8@�e2(S(Be��$# -�g'&3)8f<g�f�#6 Qf�# -�g�h4(W 5 �%�-!#�g�f�# %'&6587)u�X���Ì�X9.8X���ÛkZ�>}K$�$�s%�0���*+�Tu|qK>KÏo>DV0XY�j�Y�[Q>»Ào��*+���*45���1|(�����5��ð=����*+�%675�1+�����ª�.5�1+*+����A����#]�����ª#%���E$�!"58$���*I��*4$��_$�J#��EJb$���!B�)��*4$����>;:�<=<=<?>���g/&� Eg9-Ef�# %/&� �%'&A@Ng)f7f<e��$&B(S&8g�hp;v $#6 ªg/&D+6CGg�-5@�#8&8eD:$&�f<ehMhp#<��e!&D-�eBE�E)u¼�Ì�Û/.%¼�j�¼%>}K��$)(N�Tu�À�>�¿->+u�À�>�z�>��|*+'�'�14��u�^d>�¿|>�ÏT$���#Tu�����#3À�> U >�Ë�$�&���'CV7v�x�x�X�[E>O?@5����E�E67��*+!"�P���14*+�����)��*+$��9$�J����#���������*4��J���1+1Á#��)����>F(dC9C8hp#�e5+*)�f�g)f�#6 �f�# -! ,+�G)u8v�v%X9.%v)Z�X�>U ������$�1417u�?Á>�?¶>�����#AÇH> U ������.*+��V0X�Y�Y�Ì�[Q>O~Ö�E$�!,5�����*+��$��9$�J�'��$��.���)��*+�.��*/���1¶!"�E����$@#�$�1+$�'�*+���&��.��#A��$���0��*4!B�����D�.��$)(Ú(��)����N�2�&�*+R)��1+����>IHCg)f�e!�KJ e$ �%/4��"-�e! KL4%hMh4ef�#8&6M�-�u�v�Ì@Û�.�v�Û)j�>U ��������u U >�����#�rD>%n;$����`V0XY�Y�Ì�[Q> L �9\S*+�����K����!"5�14*+��'HJb$����0���)���S�.5����E�|!,$%#%�1+�>NL�# %/(BeEf��$#PO�gRQ�E)u¼�Z�X9.%¼�¼���>U ��������*+��uoÇH>|V0X�Y�Y�Z@[Q> U $�!"!,����"$��TS�~-�a��5�5���$������d��$ª�.������*/�0��*+���1-��5��)��*+��1I67���!"5�$�����1K!"$%#%�14*+��'$�J�!"�E���$���$�1+$�'�*+���1¶p��1+#��VUl�� `^m>Á?Á>¶µ ����#��$%��s3����#`z�>¶rD>�{ª��1+1+*+�>,0�%'4��$&8g�h[%N7�f�@�e�(S(Be��$# -�g'&)8f<g�f�#6 Qf�# -�g)h4(g " �%�-!#�g�f�# %'&6Q�5�u��@Û)YW.%��j�v%>�| ���uo·;>+ud��>�^C*+141+���uO����# U >�^G����� $�����1/#ÚVcv�x�x�v�[Q>y?%&�!"!"���� d$�J Ào^ Æ9X Jb$��������.��*+��'G5���$�'�����!#��R��14$�5�!"����9����#_$�58����)��*4$����"Jb$��3?%��1I�3Ï���s�� U *4�0 �u|Â-�����å#%&���*4��'m(N*4������Av�x�x�v%>Ö·��������*/���1���58$����u-?@$���$�!B�d·��������$�1+$�'� �uO������uDX��Ì�xªrN��#%(O$@$%#a{ª�k �u-?@&�*4��� U uOÀ��E����1+&�!B��u U ~ÄY�Z�¼�Y�Z�uÂS?%~P>¿o��s����u�^m>��H>�����#y~H>�¿->�\S�14J�����#ÝV0X�Y�Y�Û�[Q>m}��k ����.*/���Y�����*+$�'�����! ^`$@#��1+*4��'=Jb$��B���y�0��$�����$�5�*+�?%5��)��*+��1ÁÀo��$%�����>=0�%/4��$&Ág)h�%�7K(d���$# -!4%h�f�4���g�h[Z�L�# %)h %I��# -�g)h�g/&1+\<3&]!�#8�I%/&0("e�&�f�g)h4)8f<g�f�#6 Qf�# -$ ^-�u�Ì�x@Û�.Ì�XkÛ%>\S�14J�����#Tu�~P>�¿|>�V0X�Y�Y�Ì�[Q>%^C$%#%�1�#%�E�����!"*4������*+$��,&���*4��';����!"5�1+*4��';�����.��#H!"�����$%#��>����,{â>�rD>�\S*+14s%�u?¶>�rN*/��������#���$��TuT����#��H>�z�>�?@5�*+�'��1+����14�����V�¿O#��>§[Qu_CGg/�VO9%`!baê@�g/#8&6C)%/&�f<eca�g/�QhÉ%)#8&d@3��g9-Ef�# -�eEu5�5T>TXZ@¼/.ÁXÌ�X�>�Ï�$���#%$��Tð U ����5�!"���A����#3µ|��1417>\S�14J�����#Tu�~P>�¿->%����#A?¶>�n">%?����@&=V.XY�Y�Y�[E>��0#%�����*Ip8����*+14*4�0 �u%*+!"5���$�58���5���*4$����u%����#A\S*4�����N����!,5�14*+��'Jb$��;'���������1+*4Å�#C1+*4������;!"$%#%�1/�>e0�%/4��$&8g�h�%�7,f8@�e\(S(Be!�$# -�g'&b)�f�g)f�#6 �f�# -�g)hf(g " �%�-!#�g�f�# %'&B5hg�u�v)Z%Û�.v�¼���>\S�14J�����#TuÁ~H>8¿|>4uT?Á>Án">¶?%���@&TuÁ����#G} >ÁÀ�> U ����14*+�mV0X�Y�Y�¼�[Q>|¿�k��E*+���� 5�������!"�E����*+Å�)��*4$��AJb$��|��$���!"��11+*+������N!,*4F%�#9!"$@#��1/�>FL�# %/(BeEf��$#PO�gcQ�-�u�Z%Û)Y`.�Z�j�j�>\S$@$@#���1+1cu U >�����#"n">`H>�^G����#%*+�,V0X�Y�Y�Z�[Q> U ����1+14���'�����*4�"!H&�1I��*4R)����*/�)���N��5��)��*4$�6c���!"58$�����1@!"$@#��1+*4��'�>���i@3�I%�-�e�e"+'#8&��' )%�73f�@�eej3k4:V:Qf�@b:$&�f�e��$&8g)f�# %/&Ág)hlL�# %/(Bef��$# -ma�%/&,7Ee���e�&1-�e9Zon�g/(=#Mh�f�%'&pZrq3&�f<g'�$# %WZa�g'&8g�+�gWZsQ�t8E�-,(S4���4� QfFE�5�5hg�u�5�5�>TX .ÁXkÛ@>����(N*+�Tu@^d>%¿->+u�ÇH> U ��������*4��u�����#l\,>@z�$�������������.$��`Vcv�x�x�v�[Q>�?@5��)��*/��146�·��!,58$�����18Ç-$��%671+*+�������p�14�����*+��'�������#9$��3µ-*+�����������*+���1T?����)��*/�.��*/���1T^`$@#��1/�PVb(N*4���C#%*/���&����.*+$���[E>'>�e! QfoE�E)u�v�Z�Y`.@��x�v%>n;����u�z�>�·;>�����#3n">p�>�^`����#%*/�3V0XY�Y�Z@[Q>�·����P1+*+��sl�8�E�0(K���3n;��*+'�*+��'B����#9����*4�%6<5�1/�)���P�.5�1+*+����>����qK>%À�>@n;�1+14 CV�¿O#¶>§[Qu]@3�I%92�g92!#Mh<#Mf�;WZ=)8f<g�f�#6 Qf�# -$ Dg/&D+rqêCÁf�#8(=#6 g)f�# %/&�u%5�5T>%��v�Z`.@��v�Y�>�Ç-�(]Ë�$���s8ð�z�$����{_*+1+� �>

Page 25: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 25n;����uOz�>�·;>�����#Wn">��>�^`����#%*/�WV7v�x�x�v�[E>y^C$%#%�1+1+*4��'m?����������'�*+���Jb$���?@5�����*/��146<·��!"58$�����1°� ������>���m~H>�Ï��k(-�.$��:����#_�H>Å�|���*/�.$��]V�¿o#��>§[Qul)'C�g)f�#�g)hua�hp4� Qf<e��IC)%,+�eEhMhp#8&���uo5�5T>wv�XZ�.%v�v�Ì�>¶ÏT$���#%$��TðU ����5�!B���3����#9µ ��1+1c>n; @��*/��s@*/#%*+�uTÀ�> U >�����#ª~P>�\,>wz�$�&������1-V.XY�Y�Y�[E>B\S�$��.������*/�0��*+���1o��5�����E67��*+!"�,!"$%#%�1+�ðH~¾���R@*4�(D>CGg�f8@�e!(Bg)f�# -�g)h_v-e5%)h %I��;DM8E)u�Ì�¼%X .%Ì�j�Z�>Ï���&�#¶u¶À�>Á{â>T����#=z�>T\,>Á����������*+! V0X�Y�Y�¼�[Q>DÀ����#�*+�E��*+R���^`$@#��1�?@�1+��E��*+$��T>w0�%'4��$&8g�h[%N7�f�@�e'J¶%/;�g�h)8f<g�f�#6 Qf�# -�g)h%)O%,-�#�eEf�;WZNLx+zyu8v�Z@Û�.�v�Ì�v%>^`����#%*/��u�n">%�>�����# U >w\S$�$%#���141-V.XY�Y���[E>�?@5��)��*+��1I67���!"5�$�����1�������1+ %�.*/�;$�J�!H&�1I��*4R)����*/�)���"���R@*+��$��%6!"�������1%!"$���*I��$���*4��';#�������>����"\,>�À�>�À�����*+1�����# U >�rD>�r|��$BV�¿O#��>§[QupCB4%hIf�#"!)g/�$#�g�f<e{<3&|!,#8�"%/&�(Be�&�f�g)h)8f<g�f�#6 Qf�# -$ Qu%5�5�>���Z%Û�.@��j�Ì�>�~-!B�.�����#���!3ð�¿�1/�.�R�*+���>^`����#%*/��uTn">%�>4u U >�\S$@$@#���1+1cu�¿|>Tz�>Tr-�#@Jb����Tuw����#:qK>�z�>T~-1+$�����$dV0XY�Y�j�[Q>"·����Bn;��*+'���#GnD��1+!B���p�1I����PVb(N*4���C#%*/���E&����.*+$��8[Q>\>�e$ Qf^yu�v�XkÛ�.�v�¼�v%>^`����#%*/��u8n">]H>+uÁz�>Á·;>8n;����u�����#`z�>�^d>Á}K*4���� ªV0X�Y�Û�Y�[Q>}Cs4%h�f�#"!)g/�$#�g)f�e'(S&Ág)hp;v $#6 Q> Ï�$���#%$��Tð�~|���6#��!"*+�;Ào�������>^`�)��t����Tu%}S>TV0X�Y�j�Ì�[Q>l)'C�g)f�#�g)hKk�g/�$#�g�f�# %'&�>o}K���1+*4�Tðo?%5���*+��'����6~����1/��'�>?%������t$�uw}S>�����#mÏo>w\S&������*DV0X�Y�Y�Y�[Q>R�����Å&��1/���d����*+�%J���1+1O#������`������1+ %�.��#ª�@ =&���*+��'G�`}��k ����.*/�����5����E�E67��*+!"� !"$%#%�1c>F(3C�C8h<#�e"+e)8f<g�f�#6 Qf�# -$ og]Q�u���Z@¼/.%��Ì�v�>?%������t$�u8}S>Á����#`Ïo>T\S&������*�V7v�x�x�x�[E>|~»��$����.������*+$������� A!H&�1I��*+��*I���H!"$%#%�1wJb$�� ����*+�%J���1+17>\0�%/4��$&Ág)h±%�7f�@�e2(S("e��$# -�g/&c)�f�g)f�#6 �f�# -�g)h4(g 5 !%�-�#�g)f�# %/&658+)u�X�Xj�YW.ÁX�Xx�x�>?@!"*I���TuTrD>¶Ï�>+u�?Á>Tn;$�14���*4s�$)RÁu�����#GÏ�>¶µH>�> U $kFmV7v�x�x���[E>;?@5��)��*+$�6�·��!"5�$�����1�!"$%#%�141+*4��'9$�JOÀo^ ÆhX #��)���P(N*I����!"*+���.*+��'PR)��14&����>�0�%/4��$&Ág)hO%�7\v-e"%5C�@�;v 5# -�g�h|J|e! e�g'�I-5@p��( f�(Y%/ �C�@�e���e! ^E�G�Q�V��Sv�Z�[Qu�Y�x�x�Z�u#�$�*7ð4X�x�>+Xx�v�Y���v�x�x�v�z�� x�x�v�Y�XZ�>?�����$�&�#¶u�z�>�rD>+uÁÀ�>�^6�&�1+14��uÁ����#C} >Á?%������t$`V7v�x�x�X�[E>3� @����!"*/�D!"$@#��1/�NJb$��;?@5�����*+$�67���!"58$�����1�#��)����>0�%'4��$&8g)hê%N7Df�@�e2J¶%/;�g�h%)�f�g)f�#6 Qf�# -�g�h%)D%�-!#�ef�;WZ�Lx7`M�u8Ì�Û��W.@Ì�j�Y�>{=���0��u¶^d>¶����#=z�>Áµ|������*+��$��mV.XY�Y�Û�[E>oL g/;�e! $#�g/&d�A%/��e"-�g/ �f�#8&��Gg/&1+,�.;/&8g'(�# -IC]%�+�eh� Q>PÇ-�(âË�$���sÁð?%5���*+��'����>{_*4s@1+��u U >�n">�����#3ÇP> U ��������*4�BV.XY�Y�Y�[E>�~â#�*4!"����.*+$��%6<���#%&���#A��5�5���$���������$��.5����E�6c��*4!"�DnD��1+!B���p�1I�����*4��'�>_L# %'("ef��$#PO�gWZ_Q�7ku8j�X�¼W.@j�v�Y�>{_*4s@1+��u U >Tn">+u�}S>TÏ�>�^d>4u�����#:ÇP> U �������*4�3V0X�Y�Y�j�[Q>,µ-*+�����������*+���1�}��k ����*/���G��5�����E67��*+!"��!"$%#%�1/�><°&]!�#8�I%/&0("e�&�f�g)h�g'&1+^<-5%)hÉ%"�'# -�g�h�)8f<g�f�#6 Qf�# -$ *+)u�X�XkÛ/.8Xk¼)Z�>


Recommended