25
A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore- casting of air pollution levels Sujit K. Sahu University of Southampton, UK Kanti V. Mardia University of Leeds, UK Summary. Short-term forecasts of air-pollution levels in big cities are now reported in news papers and other media outlets. Studies indicate that even short-term exposure to high lev- els of an air pollutant called atmospheric particulate matter (PM) can lead to long-term health effects. Data are typically observed at fixed monitoring stations throughout a study region of interest at different time points. Statistical spatio-temporal models are appropriate for mod- elling these data. In this article we consider short term forecasting of these spatio-temporal processes using a Bayesian Kriged-Kalman filtering model. The spatial prediction surface of the model is built using the well known method of Kriging for optimum spatial prediction and the temporal effects are analysed using the models underlying the Kalman filtering method. The full Bayesian model is implemented using MCMC techniques which enable us to obtain the optimal Bayesian forecasts in time and space. A new cross-validation method based on the Mahalanobis distance between the forecasts and observed data is also developed to assess the forecasting performance of the implemented model. Keywords: Bending Energy; Gibbs Sampler; Kalman Filter; Kriging; Markov chain Monte Carlo; Spatial Temporal Modelling; State-Space Model. 1. Introduction E-mail: [email protected]

A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore-casting of air pollution levels

Sujit K. Sahu�

University of Southampton, UK

Kanti V. MardiaUniversity of Leeds, UK

Summary. Short-term forecasts of air-pollution levels in big cities are now reported in newspapers and other media outlets. Studies indicate that even short-term exposure to high lev-els of an air pollutant called atmospheric particulate matter (PM) can lead to long-term healtheffects. Data are typically observed at fixed monitoring stations throughout a study region ofinterest at different time points. Statistical spatio-temporal models are appropriate for mod-elling these data. In this article we consider short term forecasting of these spatio-temporalprocesses using a Bayesian Kriged-Kalman filtering model. The spatial prediction surface ofthe model is built using the well known method of Kriging for optimum spatial prediction andthe temporal effects are analysed using the models underlying the Kalman filtering method.The full Bayesian model is implemented using MCMC techniques which enable us to obtainthe optimal Bayesian forecasts in time and space. A new cross-validation method based on theMahalanobis distance between the forecasts and observed data is also developed to assessthe forecasting performance of the implemented model.

Keywords: Bending Energy; Gibbs Sampler; Kalman Filter; Kriging; Markov chain Monte Carlo;Spatial Temporal Modelling; State-Space Model.

1. Introduction������������� ������������������������������� �����!"���#%$�&���'���$)(�����*+�,�����-�.������*/�0��*+���1%!"$%#%�1/������#����������*+2�&������$3������14 %���,��5�����*+$�67���!"58$�����1�#��)���9��&����:���;��*+�.6<58$�1+14&%��*4$��=#�������>,?@5�����*+$�67���!,58$�����1�#������A����*+����*+�!B���@ C$�������D�E$������EF@���;��> '�>"#%*+������.�,!B��5�5�*4��'C����#G���E$���$�!"*/�H!"$���*I��$���*4��'A$�JK������1���.�������"5���*+���>L JM����H�����N5���*4!B���� D*+���������.����*+�,������1+ %�.*+��';�.&����,#������;�����O��$P��!,$@$����"����#�5����#%*/�Q����*+!"�N�R�$�1+&%��*+$��$�J��.$�!,�;�����5�$������SR)����*/����1+��K$)R���N�"�E�������*4�3��5��)��*+��1T#%$�!B��*+�T>U ��������*4�WV0XY�Y�Z@["����#]\S$@$%#���1+1;����#_^`����#�*+�]V.XY�Y�Z�[,$��%����*4���#a!"$%#%�1/��Jb$��9��5��)��*4$�6c���!"58$�����1#��)����>`���W�G#%*/���&����.*+$��d5���5���,^G����#%*+�WeEfPg)h+iaV0XY�Y�j�[;���kR��l*4������$%#%&���#m�`�$�!���*4���#m��5�5���$������(N��*/���G����� :���1+1on;��*4'��#@6�nD��1+!B���Cp�1I����lVcnDnDq�[S!"$%#%�141+*4��'�>lrN���E����D5���5�����P(N*I����*4�:����*+�P����$���#Jb����!"�(K$���s`*4���E1+&�#%�9?%������t$`����#m\S&������*;V0X�Y�Y�Y�uwv�x�x�x�[Qu�?�����$�&�#]efPg)h4iyVcv�x�x�Xk[Qu�n; @��*/��s@*/#%*+�D����#z�$�&������1TV.XY�Y�Y�[Eu�{_*+s�1+�|����# U ��������*+�PV0XY�Y�Y�[Qu�{_*+s@14�"eEf�g)h+i-V0X�Y�Y�j�[Qu�}O��$)(N�`eEf�g�h4i-V7v�x�x�x�[Eu�~-1+1+���$�JM�����#3\S1/������� GVcv�x�x���[Qu�����#9n;����N����#3^`����#%*/�9V7v�x�x�v�[E>n;���������#;^`����#�*+�DV7v�x�x�v�[�5���$)R@*+#%����&���*Ip���#D��5�5���$������-��$-�.5��)��*+$�67���!"5�$�����1)!,$%#%�141+*+��'�������$�&�'������� &����|$�J�#���*4JM������#��)$��O�$������1+����*+$��"*+�l�.5����E�S����#8�k$�����*+!,� ��$,����E$�!"!"$%#��)���|��5��)��*+��18�$�����*+�@&�*I�0 �>q�$�� #%��*IJM�SJb&����E��*+$����u8����� C���kR��H�!"5������.*/�.��#3�����H&����H$�JO�.$9���1+1+�#C5���*+���E*+5���1�n;��*4'�*4��'�Jb&����Q��*4$����u�Q�o�k��0���0�`����_�.�������������%�)���@���Q�����.���)��A��=�"��0�����P��0�������=�� �¡O¢.�,£O¤���¥k��¦0���§�7¨©��ª����«��0�@��D¬��0��¤������«��0����D¬��0��¤�����­ ®E¯D®Q°�±��@£K¤��§�0�Q²H³N��¤�´k²����

E-mail: [email protected]

Page 2: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

2 S. K. Sahu and K. V. Mardia����#`Jb$��D�E$������1/�)��*4$����N����� C���kR���#�*+���E&������#C�����"&�����$�JO��p����.�S$���#���;^`����s�$)RC�.����&��Q��&�����*4�=��*+!"��E$�!H��*+���#"(N*4���9�.5�����*/��1���14&�����*4��'�>�µ-����-(K�|��#�$�5%�o$����-$�J¶�����*4�K�0���������'�*4������&%�K*4�9�;Jb&�1+18}��k ����.*/���Jb����!"�(K$���s8>{=�S(O$���s�������-(N*4���A�D5���$@������(N��*/����*/�O�$�����*+�@&�$�&���*4�A�.5����E� ����#B#%*/���E���E��� *4����*+!,��>�·����|&���6#%���1+ �*+��';�.5��)��*/��1%#%��*4JM��*/�w!"$@#��1+14��#H�@ D������5���*+���*45���1%n;��*+'�*+��'-Jb&����Q��*4$���������#P��������*4!"�N�E$�!"5�$��������)�N$����.���R��#���*I�����*/��!"$@#��1+14��#l�@ ��,R����Q��$���������#%$�!,6<(K��14s,5���$%�E����>�·����;#� �����!"*+�S������#�$�!,67(���1+s5���$@�����B!"$%#%�1/�l�.��$%�������0��*+�A�������#_����#¸�����G�����&�14��*+��'y}��k ����.*/���a������1+ @��*/�B����.�����*/��1+14 W14����#�����$nD��1+!B���"p�14�����*+��'P(N��*/����*/�o���E$�!"5�&����)��*4$�����1�!"�E����$@#B��$�������1+ %�.�-#� �����!"*+�-��*+!"� �����*4���o#�������u@������> '�>�^`����#%*/�CeEf�g)h4i V0X�Y�Y�j�[Q>����C��#�#%*I��*4$��Tu%�����D5���$�58$����#�!"$%#%�1+�-�����S5�������������#l*+�C�,��*4�����������*+���1Jb����!"�(K$���sDJb$�1+14$)(N*+��'P{_*+s@14�"eEfog�h4i-V.XY�Y�j�[E>�·���*/�K��1+14$)(-�������|*+���14&���*+$���$�J¶��¹ �@&�'�'���º������!»*+�B������.5��)��*/��1�5������;$�JO�����B!"$%#%�17>�·����B!"$%#%�1�*/�;p������#ª����#:&��.��#`Jb$��DJb$��������.��*+��'A*4�d�A&���*4p��#ª�$�!,65�&%���)��*+$�����1�Jb����!"�(O$���s`&��.*+��'G^`����s�$)RG������*4�m^C$������ U ����1+$mV�^ U ^ U [D!"�E����$%#��>`·����l^ U ^ U!"�E����$@#��N���5�1/���E� �����;������s�$�J�nD��14!B���lp�14�����*+��'B&���*4��'B�,������#%$�!,67(���1+s"!,$%#%�1T*+�9��*4!"��>·���� 5�1+����$�JT�����S���!"��*4��#%��O$�J¶����*+��������*/�E1+�|*/�K���oJb$�1+14$)(-�>����3?@��E��*+$��3vD(K� #%�������*+���|�����;#�������.���&����#�*4�,����*+���.��&�#% �>�?@���Q��*+$��B�;#%�������*+�����w�����|��*4�����������*+���1@}K�k ����*+����nDnDqC!"$%#%�1c>���!"5�$��.��������E$�!,5�&%������*+$�����1�#%�E����*+1+� �����P#%*/���&������#A*+�G?@��E��*+$��CZ�>K���G?%��Q��*4$��G¼"(K�D�����&����3��$B�����H������1+ %�.*/��$�J�����P#��)���"���E�-#%�������*+����#A*4�`?@���Q��*+$��Cv%>�·����S5���58��N���#��N(N*4���C�"#%*+���E&�����*4$��T>2. New York city air pollution data·���*/�w���.��*+�14�O*+�w!"$���*4R)�����#H�@ �����������#D��$S#%�R��14$�5H�E$����������w}��k ����*+���;�$�!"5�&%���)��*4$�����1@!"�E����$%#%$�146$�'� ,*+!"5�1+�!"�����*+��'�½��EF%*+��1+� ��*+�����������*/���1�!"$%#%�1/�OJb$����.��$��.�K�����!¾Jb$���������0��*4��'H$�J���5��)��*4$�6c���!"58$�����15���$@�����.���>o���C��@R@*4��$���!"�������1¶!"$���*I��$���*4��'B����#35����#%*/�Q��*4$��A5���$���14�!B�N*I� *+�N$�JM����`#%���*4���#9��$B5����6#%*/�Q�������|#%�58���#%�����R)����*+����1+��u���> '�>�58$�1+14&���*+$��"14�R��1cu�����*4�%J���141%�����>4u�Jb$���p�R��-#��k %��$�������!,$��0���;(K��s*4�C��#%R)�������>·����D¿��@R@*4��$���!"�������1ÁÀ���$�����Q��*4$��9~|'�����E GVc¿oÀ¶~ [O*+�l�����DÂ-��*4����#C?����������$�Jw~|!,���*/���!"$���*4��$���)��!,$��.5������*+��5����.��*+�&�1+�����,!B�)�.����D1+����S�������ªv�> ¼lö!Ä*+�ª�.*+Å�"s@��$)(N�=���;Ào^Gv�> ¼�>,·���*/�DÀo^=v%>§¼�*/�$����;$�Jw��*IFA5���*+!B���� ���*+�N5�$�141+&%���������N����#A*+�N�,!"*IF@��&����D$�J�p����D5�������*/�E1+��N����#l'������$�&����E$�!"58$�&���#���.&����"������&�145�����o#�*4$kF%*/#%�PVc? LSÆ [�����#"��*I����$�'���,$kF%*/#%�DV�Ç LSÈ [Q>�������������0��*+��������1+ @��*+��'Sp����-5����.��*+�14����.&����9����ÀO^Gv%>§¼H�$�!"��OJb��$�!É�����SJ����E�K�����)������$���� 5�������*/�E1+��K���*4��',1+����K�������Cv%>§¼Pö!Ê*+�3#%*+��!"�E���������D�.!B��1+1����$�&�'��A��$�'��E�-*+����$B�����P1+&���'��|����#C����C���&��.�DR)����*+$�&��-�����1I���C5���$���1+�!B�>�?@��$��.��6c�����!Jb$��������.��*+��'�$�JwÀO^Gv%>§¼�14�R��1/��*/�K�����;Jb$%�E&��N$�J������P�&���������-������*/�E1+��>·����-#��)��� ���E��(K�N������14 %���O������K*/�w������ÀO^Gv%>§¼S�E$����E�����������*+$��H#��)���S$����.���R��#��)�NX�¼|!"$���*4��$���*+��'�0���)��*4$�����*+�������|�*I�0 ,$�J¶Ç-�(WË�$���s,#%&���*4��';������p����.�o��*+���-!"$���������$�J8�����| �����ov�x�x�v%>w·����-#������D�����$��������R���#3$������*+�G�R���� A��������,#��k %�S����#=#%&���*4��'l�����Hp����.�S��*4���"!"$�������� ��������,(O����,Y�X��2�&���1+1+ �.5����E��#"#��k %�> L &%�o$�JÁ��������PX��Ì�¼,V7Í�Xk¼¶Î:Y�X�[�#��)���;58$�*+�����|X�v�ÌS(K����N!"*+���.*+��'D$����.���R)����*+$�����(N��*+���(O�S����s��S��$,�8�D!"*+����*4��'B�$�!"5�1+�E���14 A�)�N������#%$�!3>ÏT�E��Ð�VcÑÒ�Ó.Ô.[�#����$����N�����|$����.���R��#"Ào^=v%>§¼;�E$����E�����������*+$��"14�R��1��)�K�.*4���SÑÒT����#B�)�O��*+!"�|Ô�(N������Õ ÍÖX�Ó×××EÓ�Ø=����#AÔ�ÍÖX�Ó×××Ó.ÙP>�µ-����;(K�;���kR��;Ø3ÍÖX�¼,����#lÙ]ÍÚY�X�>q�*+'�&�����X��.��$)(-�N������14$%�����*+$����-$�J������,�.*4�����-�@&�!��������#ªXD��$`Xk¼%>N·����Dp����.�-��������P!"$���*4��$���*+��'�.*4�����������|*+�l�����D}O��$���FB�������P$�JT����� U *4�0 �u���*I����KZ�u�¼�����#9Ì������S*+�9}K��$@$�s�1+ @�Tu@�.*4�����|Û@u%j�u%Y,����#GXx�����;�����H$������-*+�`^`�������)�.�����Tu8����#A��������*4����PX�X�u�X�v"����#ªX�B�����D*+�:Ü &������u�����#31+���0��14 l�����,�.*4�����XZ"����#:Xk¼������S*+�C?@���)����3�0��1+����#¶>�·�������;p�R��S�8$���$�&�'������E$����.��*4��&%���;�����P�*I�0 �$�J�Ç|�(ÝË�$���sÁ>·��������*/�H�E$�����*+#%�������1+�"��5�����*+$�67���!"58$�����1�R)����*/�)��*4$����;*4�m�������.�l#��)����>Aqw*+'�&����9vA5���$)R@*+#���;������.*4���67(N*/���H�8$kF�6<5�1+$����|$�Jo�����,#�������>P·����"5�14$��;����$)(-�|������� �����B�.*4�����PÛ�����#Gj9*4�:^`�������)�������:�����������|!"$����S5�$�141+&%����#B�������A$���������>�·����;�E$����E��������)��*+$��l14�R��1/�K�)�-�.*4�����KZ�u�¼H����#lÌ�*+�A}K��$�$�s@14 @��������.*+!"*41/����>Bµ-$)(K�R����uÁ�����BR)����*/�)��*+$����D�)�P�.*4�����BXZC����#yXk¼A�����,��$��H��*4!"*+1+���u���1I����$�&�'��=����� =�����"$��

Page 3: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1112

13

14

15

Map of New York City

Fig. 1. Fifteen monitoring sites in New York City.

�����D����!"�D*/�.1/����#T>�^`$����;#�*+���E&�����*4$��9���'�����#%*4��'P����*+��p�'�&����;*+��'�*4R���A���14$)(D>{=�DJb$���!B��141+ l*+�@R���.��*+'������;�����H��5��)��*+��1TR)����*+����*+$��3&���*4��'����C�!"5�*+��*/���1TR)����*4$�'�����!Ê$�J�������#��)����>{=�-p����.�O���!"$)R��������|���!"58$�����1��������#��o�@ H����s@*4��'D�����|p����0��#%*IÞÁ�������E���Jb$��O������"��*4!"�S�.���*+���Jb��$�!�����GX�¼3��*I����>A·������H*/�P(K�B$��%����*+�Tu�ßHV�Ñ Ò Ó�Ô.[HÍàÐ�VcÑ Ò Ó.Ô�áâX�[Kã¸Ð�VcÑ Ò Ó.Ô.[SJb$��PÔHÍäX�Ó×××EÓ.ÙåãÚX�����#Õ Í©X�Ó×××EÓ.Ø�>K·����D��*4!"�H�����*4���N5�1+$����N$�Jw������#%*IÞÁ�������E�H#������CV���$�� ����$)(N��[��$��%p���!"�#9�����)�N��������(O����;��$l!,$����;���!"58$�����1T�Þ8���Q���u8��&%�-��������P(K����P�,Jb�(æ$�&%��14*+����>K·����HRk����*/�)��*4$��35������.����-*4�3����������.&�1I��*4��'"#������,ßHV�Ñ Ò Ó.Ô.[;Vb(N*4����$�&%�N�����D$�&%��14*+�����[O����9���D�F@58��E����#l��$"���kR��;����*+����lJb��$�!ÊR)����*+����*+$��#%&��S��$���5����E��>·�$�&���#%����.������#l�����H�8����kR�*+$�&��N$�J����C*/�.$�����$�5�*/�D����#A�.������*+$������� 95���$@�����-ç¾V�Ñ�Ó.Ô.[-(O�D&����D�����R)����*4$�'�����!É#%�Ep����#A�@ vkè�V�é@[�ÍÚê�ë�ì)ç¾V�Ñ)íkÓ�Ô.[wãªç¾VcÑ Æ Ó.Ô.[�î ÆQï(N�������é3*/� �����"#%*/�0����������8�E�0(K���`�����B�.5�����*/��1�1+$@��)��*4$���� Ñ)íH����#=Ñ Æ >H·�����#�*I��*4$�����1+14 3R)����*+$�'�����!B������K���1/�E&�1/�)���#��@ P'���$�&�5�*4��' �����N5�$�����*4��14��R)��1+&����$�JÁé;*+����$D��*+���u�����#��@ H�$�!"5�&%��*4��'S$�����R)��1+&��N�@ ����s�*+��'|����������!"5�14���kR������'���$�JTìßHVcÑkí�Ó.Ô.[�ãDßHV�Ñ Æ Ó.Ô.[�î Æ R)��14&�����Jb$���(N��*/���P�����K#%*/�.�������E��é �8�E�0(K����Ñ)í����#AÑ Æ 14*+���(N*4����*+�`�,'�*+R���9��*+�T>oµ|�����u%(K�P��#%$�5%�-�"�.1+*4'�����1+ l#%*4Þ8�������-5���$%�E��#%&�����>�·����;���0��*4!B�)���$�J�è�Vcé�[OJb$��-���A$��������R���#l#%*/�0��������D$�J�éB*+�-'�*+R���A�@ Áðñè�V�é@[oÍ Xv�VbÙ¸ãWXk[ ò�ó

íô õö í ìßHVcÑ í Ó.Ô.[�ã:ßHV�Ñ Æ Ó.Ô.[�î

Æ Ó�����.&�!,*+��'"�����)� ��������P*/�-��$�!"*+���.*+��'�$��������Rk����*+$����>�{=�����!"$)R��S������!"*+���.*+��'�$��������Rk����*+$����NJb��$�!�����D����$)R��;��&�!à����#3��#k÷0&��0�N�����P#%���$�!"*4���)��$��N����$���#%*+��'�1+ �>

Page 4: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

4 S. K. Sahu and K. V. Mardia

020

4060

80

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

øù ú�ûüý§þ ÿþý��

��*4����

Fig. 2. Boxplot of the data at 15 sites.

{=�P&��.�;�����D'��$@#��E��*/�D#%*/�0��������D����0(O���A�0(K$B14$%�����*+$�����(N*4���C'�*4R���A1+����*4��&�#������íS����#�� Æ ����#14$���'�*4��&�#%����¶í,����#�� Æ V��$��@R���.���#C��$3����#%*+������[Q>"·����"'��$%#%���*/��#�*+�.�������E��u�é�uT*+�S������#%*/�0��������B�)������P��&���J�����S$�J������H¿O�������3�E$����.*/#%����#A���N�"��5�������D$�Jw����#%*+&���æÍÚÌ���Û%X s@*+14$�!,�������>�{=�D&��.�;�����Jb$���!H&�1/� #�Í]Ì���Û@X:������$��EV��[;Vbs@!�[Ó(N������ ©Í]�.*+��V���í[%��*4��V � Æ [�áy�E$��V���í[%�E$��V � Æ [%�$��V��¶íKã�� Æ [Q×

q�*+'�&����;�P5���$)R@*+#���K�P5�1+$���$�JT�����S��.��*+!"������#�R)����*4$�'�����! ñèwVcé�[K��'���*+���.�Ké�>�·����S��*4���S��&�!H�8��SXZ�����O�8���A$�!"*4�.���#BJb��$�!¾����*/�O5�14$��K�8����&���� *4�N�E$�������*+���#��0(O$�$�&%��14 @*+��'��F@�����!"�|$����.���R)����*+$����O$��z�&�����XxB����#ªX��������#A�������.�H��*4'��C$��������R)�)��*4$����-#%*/�0��$�������#A�����P'���������1T1+*4�������|�������#C�����C*4�3�����R)����*4$�'�����!¾5�1+$��>�{:�P������1+1¶�����&����9��$"����*+�N*/���.&��;1/�)����N*+�9�����P������1+ @��*/��?%��Q��*4$��3¼�> v�>·����OR)����*+$�'�����!Ý5�1+$��NV�qw*+'�&����O��[�����$)(-�������K5�����������o$�J��0����$���'|1+*+������w��5��)��*+��1�R)����*/�)��*4$����>�·�����.$�14*/#`1+*+���B*4�=����*+�Sp�'�&����,*/�S�����,�!"5�*4��*/���1�1+$@����Sp���Vc?�6�À�1+&��SJb&����E��*+$�������������[���$A�����"��.��*+!B�)���#R)����*4$�'�����!3>�·����-R)����*+$�'�����!Ö5�1+$��O#%$@������$��O�.��$)(¸�P�14������p���*I���|������'��N����#B�;p���*I��� ��*41+17>wµ|$)(O�R����u�,p���*4���P������'��D����#3�,p���*I���H�.*+1+1�����3���H�����3*IJ������Dp�R��D�F@�����!"�DR)����*4$�'�����!ÉR)��1+&���NJb$��|#%*/�.�������E�R)��1+&���T����$)R�����xK(O�����*+'���$����#¶>�·�����#%$������#;1+*+����*+� ������5�1+$���*+�Á������1+$@����Áp��T��$�������R)����*+$�'�����!]�)JM�������!"$)R�*+��';��������-p�R��|�F������!"�-R)��1+&���>�·����|&���#%���14 @*+��'D�����$������*/���1�R)����*4$�'�����!»�$��������.58$���#%*4��';��$�����P#�$��.���#A1+*4���D#%$@���N*4��#%*+��)��� �����D5�����������;$�J��Hp���*I���P�.*+1+1�����#A��p���*4���D������'���>Ç-$�����u@��$)(K�R����u)�������O�����|5�14$��.����#�R)����*+$�'�����!B�������N��$H�8�|�������)���#B���O�EF%5�1+$����)��$��� D��$@$�1+�O(N�����������3!B��*+�a$��%÷0���Q��*4R��9*/�,��$d����$)(Ê�����35������.����E�3$�JS��5��)��*+��1NRk����*/�)��*4$�����*4�¸�����`#��)����>a·�������3�EF@65�1+$����)��$��� S����#H�!"5�*+��*/���1�R)����*+$�'�����!"���.��$�&�1/#P��$����8���$��%Jb&��.��#D(N*I���P�����N^`�)��t����;J���!"*+14 �Vc^`�)��t����Tu

Page 5: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 5

••••

••••••••••

•••

•• ••••

•••

••

••

•••

•••

••

• ••

•••

•••

• •••

• ••

• •

distance

vario

gram

0 10 20 30

02

46

810

12

Fig. 3. The variogram of the differenced data after removing the site 14. The solid line is an em-pirical loess fit; and the dotted line is also an empirical loess fit after removing five extreme pointscorresponding to distance values more than 30.

XY�j�Ì�[O$�J��$)R)����*+�����E�SJb&����E��*+$���� �����.&�!,��#A*4�G?@���Q��*4$��`��>+X;Jb$��-�����P1/�)������|R)����*+����1+���(N��*/���`��5�58����*4�A�H1+$)(K���671+�R��1���*4����������@ ,$�J�!"$%#%�1Á��&�*41/#%*+��'�>�·����S1/�)������KR)����*/����1+��o��������;�����|��$��-����!"� ���O�����#%*4Þ8�������E��#9#������,58$�*+�����NßHVcÑ�Ó�Ô.[K�������>o?@��P?@��E��*+$��`¼%>§vHJb$��N!"$����S#�*+���E&�����*4$��9���'�����#%*4��'H����*+�>·������8$kF@675�14$���� *4�:q�*+'�&����Bvl��1+��$l*+��#%*/����������������*+�;�9R���� 31/����'��H$��������R��#3R)��14&��,5����������S���������9��*I����>�q�&��.������N*+�@R���.��*+'�����*+$��Tu%����Dqw*4'�&����SZ�u��.��$)(-�o�����)�N�����;1+����'�� $��������Rk����*+$��A�)�-������9��*I���(K���OJb$��-z�&�14 3ÛP(N��*+���3(����O�����;p����.�-#��k �$�Jw!"$���*4��$���*+��'B�)JM����������Pz�&�1+ �Z,p����(K$���sB�E�1+���������*+$����>·�������D1/����'��;$��������R)�)��*4$����N�����P��1/�.$B�����9��$��8�P5�$��.*4��*+R��14 A�.s��(K�#¶u��.��;�����P�8$kF%5�1+$��-$�J������H#������Jb$��"z�&�14 yÛ35�14$��.����#m*+�Wqw*+'�&����A¼�>:���y�����3����!"��p�'�&����������9�8$kF%5�14$���$�JN�����3#��)���`Jb$��,z�&�1+ ªZG*/���1/�.$B5������.������#AJb$�� �E$�!"5�����*+��$����>-·���*/�-5�14$��S����$)(-�N�����H5����������E�P$�J����'��)��*+R��P��s��(N������NJb$��-�����Ào^Gv�> ¼��E$����E��������)��*+$��3#������"$��Cz�&�1+ lZ�>OÀ��������5��u�����*/�-*/����$B���D�F@58��E����#AJb$��N58$�1+14&%��*4$��`#��)���"$���;���'�&�1/����#��k ���*4����-��*+'��"1+�R��1+�o$�J¶�E$����E�����������*+$��B����"$���1+ ��8�-�F@58��E����#,��$P$%��&��o���O�SJb�(_��*I����>���A���@ ������� ����*/�N�.$��.�N$�Jw#%*4Þ8�������E���K*4�3$����.���R��#BR)����*/�)��*+$����O(N*+1+1T�)ÞÁ��Q�������D�.5�����*/��1¶5����#�*+�E��*+$����u�.��P?@��E��*+$��C¼%>§vH(N������S(K�;���kR��;���58$�������#������P�.5��)��*/��1¶5�����#%*+�E��*+$������8$����AJb$��-z�&�14 lZ"����#3z�&�14 AÛ%>·����N5�����������K$�J���������NR���� D1/����'��K$��������R)�)��*4$����w!"��s����w�����-#������S��$��%6<�.������*+$������� ;*+�,��*+!,�-����#(N*41+1O���&����B5���$���1+�!B�D*+�d!"$%#%�1+14*+��'`&��.*+��'3������#�*I��*4$�����1����'���������*+$��:�������#:!"�E����$%#��>C·����9�.��$��.��6�����!äJb$���������0��*4��'A!"$%#%�1/�D(K�,5���$�5�$��.�"������B�����"��$���6<�.������*+$������� `����#=�����B�����G��$C������#%�2�&������Jb$��������D�����*+���P#��)����u�����H?@���Q��*+$��`¼�>�^C$����$)R����u�$�&��-!"$%#%�1+14*+��'B��5�5���$������9������P#%$@�����$��-����2�&�*4���

Page 6: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

6 S. K. Sahu and K. V. Mardia

24.1

22.5

23.8

24.2

22.7

23

24

32.5

23.8

24.2

23

22.6

28

22.7

Map on the 4th of July

78.2

80

79

86.4

80.7

81.3

79.4

85.8

77.6

81.6

79.1

76.1

84.5

82.5

Map on 7th of July

Fig. 4. The raw data for July 4 and 7.

Page 7: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 7�EF%5�1+*+�*I�D!"$%#%�1+1+*4��'3$�JO�����B1+����'���$��������Rk����*+$����,VMJb$��D�EF���!"5�1+��u�&���*4��'C���=*+��#%*/�����$��D�$)Rk����*/�)���HJb$�������D#��k %��(N*4���31/����'��S$��������R)�)��*+$�����[E>

2426

2830

32

July4

7678

8082

8486

July7

Fig. 5. The box plots of the data for July 4 and 7.

?@$�!"�|�F%5�14$�������$��� �14*+������o!"$%#%�1/�op��.���#B��$H�8$����B�����S���k(a#��)���H�.����K����#B*4���o���������0Jb$���!B�)��*4$�����.&�'�'����0���#¸�����)�C*4�A*/�A����.����A��$¸!,$%#%�1S�����ª��2�&������=��$@$��l���������0Jb$���!B�)��*4$��]$�JH�����ª#��)���m(N��*/�������$�&�����'��#ª��$���!B��14*4�0 �>y?@!"*4���âeEf,g)h4iåVcv�x�x���[P��1+��$:���5�$��.�"�.*+!"*41/���,p���#�*4��'��>Wµ-����E�EJb$��.���Tuo(K�!"$@#��1¶�����P��2�&������;��$@$��N$�Jw�����P#��)����>�µ-$)(K�R����u�(K�D!B��s�� �����D5����#%*/�Q��*4$����N$��l�����P$���*+'�*+����1¶�����1+�Jb$��N������� $�J��$�!"!H&���*+��)��*+��',��$,�����D5������Q��*I��*4$�������>·����N¿oÀ¶~W&��.�K!"$��.��1+ D14*+�����������'�������.*+$��D!"$%#%�1+�w��$|Jb$���������.�w�����NÀo^=v%>§¼N1+�R��1+�>�^`$@#��1/���������#$��A�E1/�����.*4p������*+$��A����#l���'�������.*+$��B�������;V U ~ r�·-[������S��1+��$H&����#A��$�!"�E��*4!"��u�����S��> '�>�� ���u%^C*+1+14������#"^`����� $�����1+#3V7v�x�x�v�[E>�?@$�!"�N�EF%5�1/��������$��� PR)����*/����1+��u���> '�>�5�����*45�*I���)��*+$���u����!"5��������&�����u�(N*4��#%6�.58���#3����#A��$�14*/#��k l�����;&����#A*+�9�����*+�-!"$%#%�1/�>oµ-$)(K�R����u���������P�����D�.�R������181+*+!,*4������*+$����-*4�A�����*+���5�5���$������T>w·����D!B��*+�A#%���k(N������s@�O����*+���;#%&��;��$,�����SJ����Q�N�����)����e�����e! " $# %'&)(*%,+�eEh� .-�g/&0&1%�f32�e�4� e5+ g)f�#6 87Eg9-Ef:%/�$#Mh<;=7!%'�>+�g�f<g)?A@�# -5@ag/��eB-5%/�$��eEh4g�f<e5+)#8&� �C�g�-�e3g/&D+`f�#8("e>C·������F@5�1+�����)��$��� GR)����*+����1+������B���S&����#B*+��$�&��K������1+ %�.*/�o����(K�1+1�58�������5�����$H�����������|!"$%#%�1�p�����*+��'�u@��&%��(K� #%$���$��K*4���14&�#%�����$��.�|������-�8����&����|�.$�!"�-$�JÁ�����|�EF%5�1/�����)��$��� �R)����*+����14���o�����������!B���1+R������$����-5�����#%*+�E����#"p����0����$$��%����*+�lJb$���������0���O$�J�ÀO^Gv%>§¼%>?@!"*I���GeEf�g)h4i|Vcv�x�x���[�������1+ %�.�NÀo^=v%>§¼|#������ Jb$���Ç|$������ U ����$�1+*+����u�?@$�&%��� U ����$�14*+���S����#"\S�$���'�*+�&���*4��'B��5����E*4p��D!"$%#%�1/��Jb$��|�.5��)��*/��1T����#9���!,58$�����1��EÞÁ��Q���>K·���� 9&����D(O��s@14 9#%&�!"!"*4���N��$B!"$%#%�1�����3��*4!"�C�Þ8���Q�9����#¸*4���$���5�$��������3�d�.5��)��*/��1��������#¸!"$@#��1-&���*+��'ª����*+�%6<5�1/�)���`��5�1+*4����>Ý?@��C��> '�>^`����#%*/�l����#=\S$@$%#���1+1-V0X�Y�Y���[�Jb$��;!,$����,$��G����*+�:5�1+�����B��5�14*+�����>,^C$����$)R����u������ C���kR���*+���14&�#��#�E$)R)����*/�)�����u���> '�>-1/����#�&��.�H*4�C�����*+�S!,$%#%�1���$l#%*/�����*+!"*4���)��������0(O���G�$������������)��*4$��314�R��1/�-*+�C�����R)���.�N���������$)R������#��@ B�����;��������D�.���)����>3. The KKF model·����,'���������1w!,$%#%�1�(O�,5���$�58$����H������,*+� Jb$��S��5��)��*4$�6c���!"58$�����1�#��)���l����$���#%�#C���;ØW�.*4�����SÑ Ò Ó Õ ÍX�Ó×××Ó.Ø�Ó¶$)R���D�958���*+$@#:$�JKÙ»�2�&���1+1+ G�.5����E��#=��*+!,�B58$�*+�����>�ÏT��=E õ ÍäV�FHV�Ñ)íkÓ.Ô.[EÓ×××Ó$FPVcÑ,G8Ó�Ô.[.[IH#%���$����S�����DØÁ6<#�*4!"����.*+$�����1¶$��������R)�)��*4$��lR����Q��$��N�)�N��*4!"�D58$�*+���NÔ$��Ô�ÍÖX�Ó×××EÓ�ÙP>

Page 8: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

8 S. K. Sahu and K. V. MardiaL JM�����u���p����.�|�.���5A*+�A!"$%#%�141+*4��'��.5�����*+$�67���!,58$�����1¶#������,*/�K��$�������&�!"�;�,��*+�����������*/���18!"$%#%�1E õ ÍKJ õ á�L õ V0Xk[(N������.J õ ÍàV M9V�Ñ)íkÓ�Ô.[QÓ×××ÓIM�VcÑ,G¶Ó�Ô.[.[NH�*/�;���=&���$����.���R��#3��&%�P���E*+�����*4p����1+14 3!"�����*4��'�Jb&�1�5���$%�E����V���*4'�����1M[�����#=L õ *+�O�;(N��*4���N��$�*+���N5���$@�����>w·��@&���(K�-�����.&�!"�������)�������|�E$�!"5�$����������$�JOL õ ������*7> *7> #T>��$���!B��1Á������#%$�!ÊR)����*+����1+���(N*4���3!"����3Å���$,����#A&���s@��$)(N�ARk����*/�����E��P ÆQ >����3'��$��.������*/�0��*+��u��������������$��������!"�K�����|$�JM����ls@��$)(N�l���O�l¹ �@&�'�'���O�EÞÁ��E�º+>�~Ý��������*4�l��58��E*4p��S�E$������1/�)��*4$����0����&��E��&����-Jb$��LP����l��1/��$H�8�S�$�����*+#�����#¶>�µ-$)(K�R����u�(K� ������&�!"�S��58��E*4p��S�0����&��Q��&������o*+������� ���EF@�K1+�R��18$�J�!"$%#%�1��*+����������� �>D·�����5���*+$��;#%*/�0����*+��&%��*4$��GJb$��SR ÆQ ÍÉX/T/P ÆQ */�S������&�!"�#C��$3���������,'���!"!B�l#%*/�.����*4��&���*+$��(N*I���G������58�P5�������!,�����SUA����#C���)���P5�������!,�����SVk>-{:��������&�!"�D�����)�WUlÍXV Íæx�× x�x�XP��$B�������|�����'���!,!B�D#%*/�.����*4��&���*+$���������!"����`X|����#"Rk����*/�����E�DXx�x�x�>�·���� �����.&�14��*+��'D5���*+$��O#�*+�.����*4��&%��*+$��B�����������#%���*+������14�S5���$�58����0 B�����)�-*4�-*+��5���$�58��N��&%�|#%*4Þ8&�����>·����`�.5����E�6c��*4!"�C5���$%�E�����YJ õ */�"����$�&�'����B��$d���3�����G��&�! $�JS5�������!"�E����*/�A�� %�0���!B�)��*+�3�$�!,65�$���������u[Z õ uw����#ª���:*/�.$�����$�5�*/����*+!,�B��$�!"$�'�����$�&��;��5��)��*+��1�5���$%�����D#%���$�����#=�@ ]\ õ >�·��@&��D(K������.&�!,�S�����)� J õ Í^Z õ á_\ õ Vcv�[(N������P�����,�����$��N�����!`\ õ */� ������&�!"�#3��$l�8��Å���$l!"����=\;��&�����*+���C(N*I���=�$)Rk����*/�����E�P!B�)����*4Fbadc(N��*/���9�������1+�!"������ P�VcÑÒ�Ó�Ñ!e�[�Í U $)R V MlV�Ñ�Ò.Ó�Ô.[QÓ�M�VcÑ$e�Ó�Ô.[.[ V���[Jb$�� Õ Ó�f3ÍàX�Ó×××EÓ�Ø�>�·����B2�&�������*I�0 ]P�VcÑ Ò Ó�Ñ e [ *+�S�����B�E$)R)����*+�����E�PJb&����Q��*4$��=$�Jo�����B�.5�����*/��1�5���$%�E������$,���D��5����E*4p��#91/�)����>�·����D�$�!"5�$���������O$�J[Z õ �����S&�����5����E*4p��#A���K(K�1+1¶����#9(N*41+1¶�8�;#�*+���E&������#�*+������;Jb$�141+$)(N*+��',��&�������E��*+$����>·����;!,$%#%�141+*+��'���*4�����������*+��SV0Xk[K����#=Vcv�[K����� &��.��#l(N����l*4�N*+�N#����*4���#���$,5�����#%*/�Q�������D��!"$�$����5���$@�����gM�V�Ñ�Ó.Ô.[ ���)������S�������:�����"$����.���R��#`��$�*/�. C5���$%�E�����hFHV�Ñ�Ó.Ô.[Qu��.��,��> '�>H{_*+s@14������# U �������*4�V0X�Y�Y�Y�[Q>�·���� A��1/�.$,58$�*+���-$�&%�N�����)�-*4�-*+����$��|#%���*+������14� ��$��$���14������|�����;�0(O$"��2�&��)��*+$����O*+����$E õ ÍiZ õ áj\ õ á�L õ × VbZ@[·���*/��1+���0�O�2�&��)��*4$��B��1/�.$P#%�p������o���"*+�%6<�!k��E*+����O����#"$�JM����B&��%6<*/#%�����*4p�����14�N5�������!"�E�����*+���)��*4$��Tu�������> '�>�\S�14J�����#ªefNg)h4i V0X�Y�Y�¼�[�Jb$��N$�������N�F%��!"5�14���>3.1. Models for the spatial covariance{=�P������&�!"�S�������������P�$)Rk����*/�����E� Jb&����Q��*4$��3���14$���'��K��$"�����P^`����t����lJ���!"*+14 GVc^`�)��t����Tu¶X�Y�j�Ì�[P�V�Ñ Ò Ó�Ñ e [�Í^P Æc Xv�l ó í5m V�n�[ V�o�é Òpe [Nq l V�o�é Òpe [QÓ]osr¸x�Ó5n�tÝX�Ó Vc¼�[(N������3é�Òpe3*/�,�����A'��$%#%���*/�A#�*+�.�������E�3�8�E�0(K���a��*I����BÑ�ÒS����#¸Ñ$e�u3q l VNu [�*/�,�����C!"$%#%*4p��#¸}K����.�1Jb&����E��*+$��A$�J�����$���#ls�*+��#A����#9$�J�$���#%���n�u@����;��> '�>�}K���'���DeEfOg�h¶Vcv�x�x�Xk[Q>�q�$���$�&���*41+14&��0��������*+$��l(K�����s���nlÍæXD����#l�E$�����*+#%��N�.�R������18R)��1+&���KJb$���oT>�{:�D����$@$����|�����;5�������*/�E&�1/����oA&���*+��'B�H5����#�*+�E��*+R��!"$@#��1�����$�*/�E�"�E��*4�����*+$��T>P{:�"��.��*+!B�)���YP Æc &��.*+��'3^ U ^ U !"�E����$%#��>�·�������"������!B���� C58$�����*4��1+�5�������!"�����*+�K����#"���!"*4675�������!"�E����*/��!"$%#%�1/��Jb$����$)R)����*+�����E�K$�JÁ*+��$�����$�5�*/�O��5��)��*+��1%5���$@�����.���u�����N��> '�>¿o��s��������#C\S�14J�����#:V.XY�Y�Û�[o(N������D�"}��k ����*/���l!"$%#%�1�����$�*/�E�;�.��&�#% 9�������8���35������.������#T>���:$�&��P}��k ����.*/���:�.���&�5Tu��A5���*4$��P#%*+�.����*+��&%��*+$��:Jb$��hP Æc !�&��0�P�8����5����E*4p��#¶>9µ-����B(K�"������&�!"��������hR Æc Í XvT/P Æc Jb$�1+14$)(-�D������'���!"!B�A5���*+$���#%*+�.����*+��&%��*+$��ª(N*4���d5�������!"�E�������U:����#�V)>l{:�B����s��

Page 9: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 9U,ÍwVNÍÝx�× x�x�X;��$"�������N�����P'���!"!B�"#%*+�.����*+��&%��*+$��3������!"����ªXP����#ARk����*/�����E�"Xx�x�x�>��<�|����$�&�1+#A�8���$����#l�������-$�&��-����$�*/�E�D�kR�$�*+#��o�����P#%�EJ���&�1I�-*+!"5���$�58��N5���*4$��-#%*/�0����*+��&%��*4$��Tu�����!,�14 �ux V P Æc [�ÍâX/T/P Æc Ó�P Æc r¸x�Ó�������&��.�-����*/�K!"�k ,1+���#B��$H*+!"5���$�58��o58$��.�����*+$��K#%*/�0����*+��&%��*4$����o(N��*+����(K$�&�1+#B�8� #�*<k��E&�1I�K��$�R����*4Jb *4�A5������E��*/�E��u�����D��> '�>�}O���'���PefKg)h+i|V7v�x�x�X�[K����#A\S�1IJ�����#3����#3?%���@&dV0X�Y�Y�Y�[Q>3.2. Principal Kriging functions·����ª�. %�.���!B����*/�=�$�!"5�$�������B� õ *+�3������&�!"�#_��$W�R�$�14R��=���3�¸�0��$%�������.��*/�C��*4!"�ªR)���� �*+��'W14*+�������E$�!H��*+���)��*4$��B$�J���$�!"�-$�5%��*+!B��1Á�.5�����*/��1�Jb&����E��*+$����>�·������� �����N����s���"��$���� �����|5���*4���E*+5���1Án;��*+'�*+��'Jb&����E��*+$�����Jb$�1+1+$)(N*4��':n;����B����#W^`����#%*/�yVcv�x�x�v�[P����#y^G����#%*+�¸eEfHg�h4iåV0X�Y�Y�j�[Q>m\S*+R���¸�=��������*4�s@��$)(N�d�E$)R)����*+�����E�,Jb&����Q��*+$���u�������&��@��*/�����#ª1+*+������P5����#%*/�Q��*4$��d$�J������9�.5�����*/��1O5���$%�����D*+�����141+�#¹ n;��*+'�*+��'�º+>S·����,5���*+���E*+5���1wn;��*4'�*4��'�Jb&����E��*+$����;������&��.��#G���|�����,$�5%��*4!B��1���5��)��*+��1wJb&����Q��*4$����S&�58$��(N��*/���l�����P#% @����!"*/� ���!"58$�����1¶�Þ8���Q���N����s��;5�1+���E��>�·���&��K�����;p����.�K�����!à$�J[Z õ */��'�*+R���9�@

y]z õ Í {|~}ôe ö íO���I� e,� õ e�Ó×××EÓ }ôe ö íD����� e,� õ e��� H(N������A�����C!B������*IF�y */�"Ø]ÎB�_(N*4��� Õ f����a�1+�!"���� � ��� e uOJb$�� Õ Í X�Ó×××EÓ.Ø�Ó�faÍ X�Ó×××EÓ��a����#z õ Í V�� õ í�Ó×××Ó"� õ } [ H >y·����3����$�*/�E�A$�J��¸*+�B#�*+���E&������#m1/�)����B�)�,�����A���#W$�J-����*+�B����E��*+$��T>W·�����E$�14&�!"����$�J�y �����-#%�E�����!,*+����#"�� �5���*4���*45���1�p��1/#���*+��n;��*+'�*+��'P��5�����-����#Yz õ */�o�S���!"5�$�����1��.���)���R����Q��$���(N��*+���AR)����*4����*4�A��*4!"��>·����"!"������*IF)y 2�&�������*Ip���� ��������5��)��*+��1��E$�!"58$�������;*+�=�����"!"$%#%�1���(N����ª!H&�14��*+5�1+*4��#G�@ C�����#% @����!"*/�P��*4!"�B�E$�!"5�$��������z õ uT*4�S5���$)R@*/#%��S����*4!"�"R)���� @*4��'A1+*4�������;�E$�!H��*+���)��*4$��G$�J������B��5��)��*+��1���'�������.*+$����.&���J�����N#%����E��*4�8�#��@ D�����-�E$�1+&�!"����$�J1yd>�·����-�$�1+&�!"�����E$����.*/�.��$�J��0(K$D�.�����$�JÁ��5��)��*+��1�������#=p��1+#��>C·����Bp����.�����E�H$�J�3�$�1+&�!"���P�E$��������58$���#=��$3�����9�$����.�������u�1+*+�����������#:2�&���#%���)��*/�Jb&����E��*+$���� $�Jo�$�$���#�*4�������H#�*4!"����.*+$����uÁ���k �>|q�$�� �F%��!"5�14��u�*4Jd�"Íâ������#`é9ÍâvB�����Hp����0�;�E$�1+&�!"�����B���S����$�����"��$H�8�.�"�E$��������5�$���#%*+��';��$D����� �$����.�������o�������#,p��1/#l����#,����� �������*+��O*4�B�����|$��������0(O$C�$�1+&�!"���H����ª��������s���m���;������� ����#_M;6��E$@$���#%*+���)����;$�JK������1+$%��)��*4$����D(N�������#��)���3���kR�������3$����.���R��#¶>�·���*/��Ø:ÎB�P!B������*IFl*/�-#%���$����#A�@ ��Ö*+�A�����;Jb$�141+$)(N*+��'B#%*+���E&�����*4$��T>·����"���!"��*4��*4��'Y�Aã��lp��1/#��D�����"����$�����ª��� �������.5�����*/��1�#%*+����Q��*4$����S���1+����*+R��,��$C���:������&�!"�#�E$)R)����*/������P�0����&��E��&�����>;·����"#%*+�����Q��*+$���� ������$��%����*+���#`���-Jb$�141+$)(-�>S~ ����&�!"��u8Jb$�� �����,5�&���58$�����|$�J#%�R��1+$�5�*+��'D�����|5���*+���E*+5���1�Jb&����Q��*+$����u@�����)�O�����;#��)���H�����|�$�1+14���Q���#"Jb$��O$���14 "$����-��*4!"�S5�$�*4���,������&���������.&�k"F3Ô�*+� �.&�5�5����������#3*+�3�����DJb$�1+14$)(N*+��'�#%*/���E&����.*+$���>�Ï��E�gadcA����#s� H a ó íc �¾���H��$��%6���*4��'�&�1/���!B�)����*/�E��>�~ ����&�!"�������)�3EyÍÖV�FHV�Ñ)íE[EÓ×××Ó$FPVcÑ,G�[�[ H Jb$�141+$)(-�w�����N!H&�14��*+R)����*+��������$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��(N*I���3!,�����3����#9R)����*+�����E�;'�*4R���A�� ê�V�Eo[OÍ���� Ó �E$)RÁV�EO[oÍwadc�Ó

(N��*/���C*+� ���.*+!"5�1+*Ip���#3R������*4$��3$�J������HJb&�1+1�!"$%#%�1w�E$����.*/#%�����#9*+�C����*+� ������*/�E1+��>NÂ-��#%�� ����*/�-!"$%#%�1V�����#9��½����-5���*4$��K$��A�����D5�������!"�E������[O�����D5����#%*/�Q��*4R��;!,�����9Jb$��-�"��*I���PÑ;*+�ê�V�FHV�Ñk[�� a c ÓI��[OÍK��V�Ñk[ H6� � á��DV�Ñk[ H �� V�Ì�[

(N������h��V�Ñk[N*/�N�����9V �"ΪXk[�R����Q��$��-$�J��������#Ap��1+#`���-�����H�.*4���,Ñ��D��*/�N�����H�����14*/���)��*+$��3����#s�DV�Ñk[�ÍV P�VcÑ�Ó�Ñkí[QÓ×××ÓIP�V�Ñ�Ó�Ñ�G�[.[NH��� Í���� H a ó íc �h� ó í � H a ó íc Ó ����#B©Íwa ó íc ãja ó íc � � ×

Page 10: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

10 S. K. Sahu and K. V. Mardia·�������"�����H!"�E����$%#��D�kR)��*+1+����14�HJb$��D��*4��'�&�1/���ha c (N��*+���ª�����H���2�&�*+����#CJb$�� ����*+�%675�1+�����"�.5�1+*+����u�����n;����N����#A^`����#%*/�9V.XY�Y�Z�[E>��<Jw�����;��*4���DÑD�E$�*4���*+#���K(N*I���C���@ B5�������*/�E&�1+����Ñ�Ò0u Õ ÍæX�Ó×××Ó�Ø�u@������9*4�*+�������� B��$B����;�����)�������P���8$)R��;5����#%*/�Q��*4R��S!"�����A����#%&��E���K��$BÐ8V�Ñk[������EF%58��E���#T>·�����!B�)����*4F�ä*/�Ds@��$)(N�d���D�����b2�e�&1+'#8&��ªe!&Áe!���';](Bg)f��$#<��uw����B��> '�>A}K$@$�s%�.���*4�aV0X�Y�j�Y�[S(N��$!"$���*+R)�)���#B*4���K&����-Jb��$�! ����� �.��&�#% B$�J¶����*+�l5�1+����� ��5�1+*4����> U $�����*+#%��o����� ��58��Q������18#���E$�!"5�$��.*4��*+$��$�J[�u ©Íi ;ê=  H Ó¡.¢ Ò ÍK£ Ò ¢ Ò Ó(N������W åÍÖV�¢�í�Ó×××EÓ"¢AG�[o����#BêÖÍÚ#%*/��'�V�£)í)Ó×××Ó"£vG�[Qu@����#B(K�|������&�!"�N(N*I����$�&��O1+$�����$�J¶'���������14*4�0 �������|�������*4'���@R)��1+&��� �����P*+�G��$��%6<#���E������.*+��'B$���#%��u1£�íDͤu�u,u�Í¥£/¦DÍâx�§i£/¦N¨�í�©ªu,u�uO©i£vGÁ>S�<�*+�-����� B��$BR����*4Jb B�������SÉ���)��*/�.p�����âÍÝx�>o·��@&��������P�E$�1+&�!"���N$�J[� ����3���D����$�&�'����-$�J����K������*+'����R���E��$����K�����.$%�E*/�)���#l(N*I���9�����D�@&�1+1T�*+'����R)��14&����u�£ í Ó×××ÓI£ ¦ >~-�@ "$��������R)�)��*+$��BR���E��$��3��������8�S���5������.������#B���o�H14*+������K�$�!���*4���)��*+$��B$�J¶�����S�*+'���@R���E��$����¢�ÒH�.*+���E�`�����`1/�)������9���E��Jb$���!B���d������*+�>Ý����#%���#¶u-�.&�5�5�$��.�`�������>�]ͬ« GÒ ö í�­ Ò ¢wÒDJb$��9��&�*I������1+��E$����0��������� ­ Ò�>�Ç-$)(Ú�����D5�����#%*+�E��*+R��;!"����:VcÌ�[K���#%&����K��$��VcÑ�[ H � Gô Ò ö í ­ Ò ¢ Ò á GôÒ ö ¦N¨�í ­ Ò £ Ò �DVcÑ�[ H ¢ Ò ×·��@&��N�����H5����#�*+�E��*+R��P!"����`*/�|�B1+*4������S�E$�!H��*+���)��*4$��C$�J����������������#3p��1/#��g®�í)VcÑ�[EÓ×××EÓ5®'¦�VcÑ�[|����#�����SØ�ã)��C1�$#8&D-!# C�g)h0¯��$#<��#8&��S754�&1-f�# %'&� �£ Ò �DVcÑ�[ H ¢ Ò ×%·�������|Jb&����Q��*4$����N�.5����������D�.5����E�S$�Jw��1+1Án;��*+'�6*4��'y�.$�14&���*+$����9(N*I���]$����.���R)�)��*4$����l���l�����GØâ'�*4R���]��*I����uN�����ª��5����E*4p��#a�������#ap��1+#��u|����#a������E$)R)����*+$�'�����!3>�{:�H�.����1+1T&����D�����P�����!B�N5���*4���E*+5���1�n;��*+'�*+��',Jb&����Q��*4$����|����#A5���*4���*45���1Tp��1/#��N*+�������6��������'������1+ B�������EJb$��.���9*+�A����*/�-������*/�E1+��>·����C�.!B��1+1+��,�*+'���@R)��1+&����H$�JW �����A������$%�E*/�)����#d(N*4���¸1+����'��E6������1+���.5�����*/��1�R)����*+����*+$��ÚV�'�1+$�����1Jb�����&������[S����#=�����B1+����'���;�*+'����R)��14&����D#%����E��*+���"1+$@���1o��5�����*/��1�R)����*+����*+$��T>B·���*/�P����ª���B*+�%Jb������#Jb��$�!Ö������J����E���������������N'�14$�����1@�������#�p��1/#��O#%����E��*4�8�#,�@ D�����|�E$�14&�!,����$�JO�Ý�����K�����-�*+'���@R���E��$�����E$��������5�$���#%*+��' ��$;�����-Å���$;�*+'���@Rk��14&����$�JDl>�?%��-��1/��$;n;����o����#B^`����#�*+�"Vcv�x�x�v�[w����#"^`����#�*+��efg)h4iSV.XY�Y�j�[oJb$��|!,$����D#%�����*41/�N*+�9����*/�-���'�����#T>����A5������Q��*/�E��u%Jb$��N!"$%#%�1T����#%&��E��*+$��Tu�(K�D!B�k 9����$@$��.���$,(O$���sB(N*4���=�,ãb��§WØ�ã��D5���*4���E*+5���1ÁJb&����Q��*+$����>�·��@&��K(N����l�����;Rk��14&���N�)�K�����S$��������R��#9�.*4����������-��$��8� 5�����#%*+�E����#¶u%(O�S����$@$����-�����°�Hã]�P�$�1+&�!"���K$�JAy ��$,���g£ Ò adc�¢ Ò Ó Õ Í^�oáWX�Ó×××EÓ ��×@µ|����������D!B������*IF>y */������s���3��� y Í©V ��Ó"£/¦�¨�í�adc�¢[¦�¨wí)Ó×××ÓI£ } adc�¢ } [E× V7Û�[���A�����P���2�&��1T(O�P������141¶*+141+&��.�����)���;�����P����$�*+��;$�JD�`����#B��*4�C5����.��*+�&�1/�����EF���!"5�1+��u�*+���E1+&�#%*+��'"���������.�±�lÍ^�|Jb$���(N��*/���B��$D5���*4���E*+5���18n;��*+'�*+��'SJb&����E��*+$����O����������s���"*+�"�����-!"$%#%�1c>�·����-!"$%#%�1�(N*4���$���1+ B58$�1+ ���$�!"*+��1+�;V�(N*I����$�&%�N�����;5���*4���*45���1Áp��1+#���[K����� $�JM����9&����#9*+�9�����;14*4���������&�����u%����;��> '�>w������.5��)��*+$�67���!"5�$�����1�!"$%#%�1���#%$�5%���#G�� G?�������t$9����#=\S&������*-V.XY�Y�Y�[E>;Ào��*+���*45���1wn;��*+'�*+��'�Jb&����Q��*+$�������kR�����$�!"�N��#%R)��������'�����$)R����$���14 D58$�1+ @��$�!"*/��1@�0 @5����������#HJb&����Q��*4$�����(N��*/���"*+�w�����-����.�OJb$��O�9Í��@>·���� l'���$)(]14�����N2�&�*/��s@14 ��������A58$�1+ @��$�!"*/��1/��$�&%���.*/#%�S�����P#%$�!B��*+�A$�Jw�����P#�������>3.3. Dynamic temporal trend models^C$���*4R)�����#=�@ C$�&��D�F���!"5�1+��u¶������"(K�,�$������������)����$��:��!"$�$�����*+��'3����#:����$����.67�����! Jb$���������.��*+��'*4�:�����"���!,58$�����1O#%$�!B��*+�T>l~É�.������#�����#=5���$@��#%&����"*+�ª��&����d����.���;*+�D��$`��#�$�5%�H�A������#%$�! (���1+s�0���)���E6��.5����E���0 @5��"Jb$���!�&�1+����*+$��=Jb$��D���!"58$�����1��E$�!"5�$���������u�����B��> '�>l?�����$�&�#aefSg�h4i:Vcv�x�x�Xk[S����#}��������÷0��"ef�g�h4i Vcv�x�x���[Q>w{=�;����&��-�����.&�!,��ðz õ Í�z õ ó íoá_² õ Ó V�j�[

Page 11: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 11(N������"�����h��6�#%*+!,�����*4$�����1������$��;�����!³² õ */�H������&�!"�#=��$G������$���!"��141+ G#%*/�.����*4��&����#ª(N*4���d!"�����Å���$d����#¸�$)R)����*+�����E�3!B�)����*4FKa3´@×K·�$m�$�!"5�1+�E���`�����C!"$%#%�1+1+*4��'y��*4�����������*4���"(O�`��&�5�58$����3�������z¶µ¸·º¹mV�x�Ó"»°¼�½@[�����#a(N*4���Ú�d1/����'��CR)��14&��G$�J�»°¼¶>©µ|����)½y#����$�����������=*+#������*4�0 W!B������*IFa$�J��5�5���$�5���*/�)���|$���#%��>�?@��;{=���0� ����#Aµ|������*+��$��:V0XY�Y�Û�[�Jb$��N!,$����;$��A#% @����!"*+�S��*4!"�P�����*4���O!"$%#%�1+�>{=�P������&�!"�S�������S¾ ´ Íwa ó í´ �����K�����D{_*/���������-5���*4$���#�*+�.����*4��&%��*+$��Tu��������-*+�u¾�´g·Ýç } V7v'U�´@Ó�v9V$´)[(N������ v�U ´ */������� ������&�!"�#"5���*+$��o#��'��������$�J¶Jb�����#%$�! V�t��8[o����#¿V ´ *+�O�Ps@��$)(N�"5�$��.*4��*+R��S#%�Ep���*I���!B�)����*4FÁu���$l���"�.58��*Ip��#C1/�)�����>-{=�"���k l�����)�gÀ �����-�����H{_*/�.�������S#%*/�0����*+��&%��*4$��=ç } V Á=Ó"�;[|*4J�*I���#%����.*4�0 �*/��5���$�5�$��.��*4$�����18��$ � �Y� ÂÃ Æ � ÄÅ� íÆ�Æ Â ó } ó í�Ç £ ó íÆ ��� ÆÉÈ È Ç*IJgÄ]*/���B�yÎs�_58$���*4��*+R��`#%�p���*4���`!B�)����*4F¶uK����C��> '�>Ú^`����#%*/�_eEf"g)h4i¾V.XY@Û)Y�uO5���'��Cj�¼�[E>©V�µ|��������V � [l*/�B�����`��������`$�JP�d!B������*IF � >§[ ·�$m$��%����*+�]#%*4Þ8&����G��&%�95���$�58��95���*4$��l#%*/�0����*+��&%��*4$����l(K�����$@$����¶U�´;Íj�DT�v%>�·���*/�O������&�!"5%��*+$��l!"��s���������� 5���*+$��K#%*+�.����*+��&%��*+$����o(K$������B�����;����!,� �@&�!H�8��K$�J$��������R)�)��*4$����-���|�����,�$��������.58$���#�*4��'�#�*4!"����.*+$����u¶����#G*+� $�JM����=&��.��#C*+�G!H&�1I��*I6<R)����*+�����H}��k ����.*/���!"$@#��1+14*+��',Jb����!"�(K$���s8>�·����D!B������*IFCv�V$´H*+�-����$�����9��$B�8�Px�> x�XS��*+!"��������D*+#������*4�0 l!B�)����*4F¶>�·���*/���'���*+�9�E$�!"��KJb��$�!É�����D����2�&�*4���!"����N$�Jw������&�!"*4��'B#%*4ÞÁ&��.�D5���*+$��N#%*/�0����*+��&%��*4$����>~-����14��������)��*+R��K��$;�����|������&�!"5%��*4$��,$�JÁ�.��$%�������0��*+�O�������#"*+����$P�E$�����*+#%���#%�E�����!"*4��*/�.��*/�N5�$�14 @��$�6!"*+��1T�������#C!"$@#��1/�>Sq�$��S�EF���!,5�14��u�(K������`������&�!"��z õ ÍÉV.X�Ó.ÔQÓ�Ô Æ Ó×××Ó.Ô } ó í [Q>;·���*+� 58$�1+ ���$�!"*+��1�������#A!"$%#%�1�*+�N��$�� ���K½��EF%*+��14�P���������H�0��$%�������.��*/� �������#A!"$%#%�1KV�j�[E>Oµ|�����D(O�P#%$B��$��|�E$�����*+#%�������;58$�1+ @��$�!"*/��1Á�������#9!"$%#%�1��)�-��1+17u�����#A��1+(��k @�K(K$���sB(N*I���A�����P�.��$%�������0��*+� �������#l!"$%#%�1OV�j�[E>~-�"����$��� @!"$�&������EJb�����O�������E$�!"!"������#D�����)��Jb��$�!©�|½�&�*/#,#% @����!"*/��w5������58��Q��*4R���u)�����N���8$)R��������#%$�!�6<(���1+sA!"$%#%�1o�������$��D�8�"Jb&�1+14 l÷0&��0��*Ip��#:Jb$��P����!"$���5������*/�"�. %�.���!"�>B���:J����E�u�^G����#%*+�ªefg)h4i V0X�Y�Y�j�[o���kR�� ����s���9�����P�0���)���D��2�&��)��*4$��:Vcj�[O$�Jw�����;Jb$���!z õ Í�Ê�z õ ó í�áj² õ(N*I���G&���s���$)(N�`���������.*4��*+$��=!"������*IF]Ê">H·�������,�����,�.$�!,�,*/#%�����*4p�����*41+*4�0 C5���$���1+�!B�S(N*I���`����*+�D��5%65���$������=���;#%*/���&������#G�@ `n;����;����#:^`����#%*/�GVcv�x�x�v�[-Jb$��D�l'���������1ÅÊ ����#=�l'���������1w�$)R)����*+�����E�!B�)����*4F�Jb$���² õ >O·���� A����$)(Ú�������|*I� *+�-��&�k��E*+����N��$������.&�!"�;�����)�-�����D1/����'���.�N�*+'����R)��14&��D$�J[Ê»*/�14�����K�������A$����D*4�3������$�1+&%���SR)��14&��P����#l�����D!B�)����*4F>y */��$�JwJb&�141�������sÁ>���G$�&��S}��k ����.*/���C���E��&�5`������*/#%�����*Ip8����*+14*4�0 35���$���1+�!B�S����G���,�����.$�14R��#3�@ `������&�!"*4��'l5���$�5���5���*4$��-#%*+�.����*+��&%��*+$����-�8$����3Jb$��¶Ê¾����#Bz õ >Kµ|$)(O�R���u�(K�D!"$%#%�1�(N*I���3�����H����$�*/�E�hÊ©Íw½�(N��*+���3*/�!"$���*+R)�)���#A�@ ������D�����#l��$�#%�R��1+$�53!"$%#%�1/��Jb$��-����$��.��6c�����!ÉJb$��������.��*+��'�>�^C$����$)R���u�����*+�-����$�*/�E��kR�$�*+#��Á*+����&���!,$�&���������14��5���$���14�!B�T*+�P^ U ^ U �E$���R����'�����E�NVb(N��*+���D(K�����kR�������$�&����������#�[¶����*/�.*+��'#%&�����$-�����o(K���s */#%�����*Ip�����*+14*4�0 ;$�J@�����O5�������!"�������¶&���#%����.&�kB�*4�����1+ ;#�*IÞÁ&����o5���*4$���#%*/�0����*+��&%��*4$����>4. Computations

4.1. The joint posterior distribution·�$"$��%����*4�9������÷0$�*4���-58$��.�����*+$��N#%*/�0����*+��&%��*4$��3(O�;������1418�����)�FPVcÑÒ.Ó.Ô.[�� MlVcÑÒ�Ó.Ô.[�·^¹ � M9V�Ñ�Ò.Ó�Ô.[QÓ"P ÆQ � Ó Õ ÍâX�Ó×××Ó.Ø�Ó.Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�Ù-Ó(N������ J õ ÍÖV�MlV�Ñ)íkÓ�Ô.[QÓ"MlV�Ñ Æ Ó�Ô.[QÓ×××ÓIM�VcÑ,GÁÓ�Ô.[.[ H ·^¹ V�Z õ Ó5adc%[ÁÓ.Ô�ÍæX�Ó×××EÓ.Ù|Ó

Page 12: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

12 S. K. Sahu and K. V. Mardia*4��#%�58���#������1+ �>�q�&��.�������u�(K�;���kR��D������&�!"�#l���������VcÑ�Ó�Ô.[�Í }ôe ö íO��� e�� õ e�Ó V�Y�[����#�z õ ·�¹mV z õ ó í�Ó5a ´ [OJb$��NÔ�ÍÖX�Ó×××Ó.ÙÝ����#Bz µ ·^¹mVcx�Ó"» ¼ ½�[E>ÏT�E�Ë3#%���$����;�����;Jb$�1+1+$)(N*4��',�EF%����&��.��*+R��D�.��-$�Jw5�������!"�E������ðV���[B�����D�����$���5������E*/�.*+$��95�������!"�������u�R Æc ÍâX/T/P Æc u�R ÆQ ÍâXvT/P ÆQ u�����#Vb��[l�����D1+��������-5���$%�E�����u�J õ Ó�Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�ÙPuV��[l�����P#% @����!"*/�;5�������!"�������u�z õ Ó.Ô�ÍâX�Ó×××EÓ�ÙÝ����#l�����*+�N5�����*+��*4$��9!B������*IF�¾h´;Íwa ó í´ uV�#�[l�����D!"*+���.*+��'B#�������uDFSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[OJb$��-��141TÑH����#9ÔoJb$��N(N��*/���sFHV�Ñ�Ó.Ô.[K*/��!"*+���.*+��'�u·����D14$�'�6<14*+s��14*+��$@$%#BJb&����Q��*+$��AJb$��������D��*+�����������*/���18!"$%#%�1¶*+�N'�*4R���A�@ 8ð

14$�'�V�®�V � í Ó×××ÓI� ò � Ë�[�[ÎÍ Ø¶Ùv 1+$�'8V�R ÆQ [�ã R ÆQv òô õö í V�� õ ã�Ï õ [ H V�� õ ãbÏ õ [

ã Ù v 1+$�'S� a c ��ã Xv òô õö í V Ï õ ã_Z õ [ H a ó íc V�Ï õ ã_Z õ [¶×

·�����÷0$�*+���-5�$��0�����*4$��N#%�����*4�0 l*/�N$��%����*+���#Tu%&�5%��$9����$���!"��14*/��*4��'"�E$����.��������u����K�����D5���$@#�&��Q�-$�J���������8$)R���1+*4s��1+*4��$@$%#,Jb&����E��*+$��l����#,�����-5���*4$��o#%*/�0����*+��&%��*4$�����Jb$��������-5�������!"��������*+�"����� !"$@#��17>w·������*+�u x V�ËA� �@í)Ó×××ÓI� ò [�Í^®�V ��í�Ó×××ÓI� ò � Ë�[ x V8Ë8[ V0X�x�[(N������ x V8Ë�[H#%���$�����������5���*+$��H#�*+�.����*4��&%��*+$��m������&�!"�#=Jb$��P�����95�������!"�E������;*4��Ëd�F%��5%�HJb$��D�����!"*+���.*+��'B#������¿FSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[E>4.2. The full conditional distributions{=��#%���*+R��O�����KJb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1%#%*+�.����*+��&%��*+$���������#��#DJb$���\S*4����������!,5�14*+��'S&���#%��w�8$����H�����N���8$)R��!"$@#��1/�u��.��N��> '�> U �������������#"n;$����CV.XY�Y�Z�[�Jb$��O�.*+!"*41/�������1/�E&�1/�)��*4$�����*4���.�������6<��5������!,$%#%�1+�>�·����Jb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��3$�JAR ÆQ */�K�����D'���!"!B�"#%*+�.����*+��&%��*+$��A(N*4���C5�������!,�����°U;ádÙ|ØAT�v�����#V�á Xv òô õ

ö í V � õ ã�Ï õ [ H V � õ ã�Ï õ [Q×·����,Jb&�1+1��E$���#%*I��*4$�����1�#�*+�.����*4��&%��*+$��:$�J3Ï õ */�S�����"!H&�1I��*4R)����*/�)���,��$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��_¹mV�Ðh� õ Ó0Ð�[(N������ Ð ó í Í�R ÆQ ½SáÑa ó íc ����#>� õ Í�R ÆQ � õ á¸a ó íc Z õ ×·����HJb&�141��$���#%*4��*+$�����1�#%*/�0����*+��&%��*4$��G$�JdR Æc */� �����"'���!"!B�l#%*/�0����*+��&%��*4$��G(N*4���:5�������!"�������¶UHáÙ-ØAT�vH����# V�á Xv òô õö í V�Ï õ ã�Z õ [ H Ð ó í V Ï õ ã_Z õ [QÓ(N������¿Ð Òpe ÍäV�o�é Ò�e [Nq l V�o�é Òpe [E>l·���*/�P�E$��)÷0&�'�������#%*/�.����*4��&���*+$��ª*+�P$��%����*+���#=&���*4��'3�����BJ����Q���ð�V0Xk[adc�Í�P Æc Ðâ(N������¶Ðå*+��Jb����N$�J�P Æc ����#3V7v�[±y */��*+��R)����*/��������$lV�*c> ��>wJb����N$�J�[�P Æc >�·���*/��1/���.�o�E1/��*+!»*/�

Page 13: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 135���$)R��#l���OJb$�1+14$)(-�>�Ç-$����S�������������;!B�)����*/�E��� � ����#��»�����|Jb����;$�JÅP Æc u�©Í�R Æc V�Ð ó í ã�Ð ó í � � [E>·����S�*+'���@R)��1+&����o$�JÅ»(N*41+1¶���gR Æc !H&�1I��*45�1+�;$�J������S�*+'����R)��14&����K$�JÅÐ ó í ãbÐ ó í � � Vb(N��*/���l*/�OJb����$�JAP Æc [E>�·����S!H&�14��*+5�1+*4��R Æc �������1/�K$�&%��(N����9Jb$���!"*4��'�y �������&��.�S$�JT�����;5����E6<!H&�14��*+5�1+*+��)��*+$��9�@ adc�> ·����;Jb&�1+1��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��3$�JÅz õ */��¹mV�Ð õ � õ Ó1Ð õ [K(N������Ð ó íõ Í^½�T�» ¼ Ḿ ´ Ó � õ Í�¾ ´ z õ ¨�í�Ó (N����3Ô�Í]xÐ ó íõ Í^y H a ó íc yÊáWv�¾ ´ Ó³� õ ÍKy H a ó íc Ï õ Ḿ ´ V�z õ ó í�ájz õ ¨�í[QÓ (N����CxY§WÔd§¸ÙÐ ó íõ Í^y H a ó íc yÊḾ�´@Ó � õ ÍKy H a ó íc Ï õ Ḿ�´'z õ ó í Ó (N����3Ô�Í_Ù|×}K14$%��sG&�58#�����*+��':$�J-��1+1o�����>z õ Ó.Ô�Í X�Ó×××EÓ.ÙÊ����m��1+��$`�8�9�E$�����*+#%�����#d���H(O�1417>Gµ-$)(K�R����u�����*/�(N*41+1¶!"����A�.��$�����'�� ����#9*4�@R������*+$��l$�J0�3ÎlÙå#%*+!,�����*4$�����1¶!B�)����*/�E���>�~|1I����$�&�'��l�����D!B�)����*/�E���O(N*+1+1���3�.����&��Q��&�����#d������#@6�#%*+��'�$�����1O!"������*+���u���#�#�*I��*4$�����1K5���$�'�����!"!"*+��'`�EÞÁ$�����(N*+1+1K�8�3����2�&�*4���#:��$*4!"5�1+�!"����D�����"��1+$@��sG&�58#��)��*+��'C!"�E����$%#��> U $�!"5�$�������0(N*/�.�"&�5Á#�����*+��'�uw���;*+!,5�14�!,������#:�������u(N*41+1¶(K$���s"p����D(N����9�����P�.���)����N�����;��$�����*4'���14 A�E$������1/�)���#¶>^C*+����*4��'A#��)����uÁ#%���$�����#C�@ )FSÌ�V�Ñ�Ó.Ô.[Eu8�����,����!,5�14��#C�)� �������G^ U ^ U *I������)��*4$��C&��.*+��'l������Jb&�1+1�E$���#%*4��*+$�����1Á#�*+�.����*4��&%��*+$��s¹mV�MlV�Ñ�Ó.Ô.[EÓIP ÆQ [Q>4.3. Forecasting·����D58$��.�����*+$��-5����#�*+�E��*+R��P#%*/�0����*+��&%��*4$����-�����D&����#A��$B!B��s��P�.���5`��������#A5����#%*/�Q��*4$����PVbJb$��������0����[E>·����"XE6��0���53��������#lJb$��������.��#%*/�.����*4��&���*+$��3*+�-'�*+R���9�@ �ux V � ò ¨wí�� ��í�Ó×××Ó"� ò [oÍ^Ò x V � ò ¨�í9� Ë�[ x V8ËÅ� ��í)Ó×××Ó"� ò [%é'ËTÓ V0X�X�[(N������C�����G1+*4s��1+*4��$�$%#a�����! x V � ò ¨�í9� Ë�[�*+�9$�������*+����#aJb��$�! �����=��*4�����������*+���1-!"$%#%�1"V0Xk[Q> ·����ê�V�E ò ¨�í�� ��í)Ó×××Ó"� ò [�&���#%��������N#%����.*4�0 �V0X�X�[�5���$)R@*+#%���T�����N$�5���*+!"��1ÁXE6��0���5"��������#DJb$���������0�w&���#%���;��2�&�������#P�����$���14$����wJb&����Q��*4$��T>����,$���#���w��$P��5�5���$kF@*+!B�)���Kê�V�E ò ¨�í � � í Ó×××EÓI� ò [w(K�N#%���k(¸����!"5�14���E Æ e Çò ¨�í Jb��$�! x V�� ò ¨�í9� Ë Æ e Ç [T����#;Jb$���!å�����K����!,5�14�K�kR������'���> L ������w*4����������0��*4��'|�.&�!,!B���� S!"�����&�����uJb$��-�F���!"5�1+�D�����,Y�¼�ÓÉ5����#�*+�E��*+R��D*+�������R)��1/�u8�����P$��%����*+���#3�@ 3��5�5���$�5���*/�)���1+ �&���*4��'B�����,����!"5�14���� Æ e Çò ¨�í u��.�� Jb$��N�EF���!"5�1+�P\S�14J�����#ªV.XY�Y�Ì�[E>?@&�5�58$����P�����)�S(O�H�����H��$��S$���1+ 3*4����������0���#3*+�mXE6��.���5`�������#35����#%*/�Q��*4$����|��&%�S��1+��$�*+�)Ô�6��0���5��������#A5����#%*/�Q��*4$����-(N������hÔ�rÖXD*/�|�B58$���*4��*+R��P*+�����'����>�{=�P$��%����*4�3�����H5�����#%*+�E��*+R��P#%*/�.����*4��&���*+$��V0X�X�[Qu���&%�w������������o#% @����!,*/��5�������!"�E������u���> '�>¶�����dz õ uk������p����.������!"5�1+�#SJb��$�!Ý�����*4�w#%*+�.����*+��&%��*+$�����.58��*Ip��#3�@ l�����P!"$%#%�17uÁ�.��P�2�&�����*+$��dV�j�[Q>-Â|��*+��'B��������DJb$���(K����#AR)��1+&����-$�J������P5�������!,�������N(K�����!"5�14�bE Æ e Çò ¨�Õ Jb��$�! �����G1+*4s��1+*4��$�$%#¶>æ·������.�`1/���.�9����!"5�1+��������3������Ý�kR������'��#m��$m$��%����*4�a�������.��*+!B�)����#�Jb$���������0���>·�����$�&�'���$�&%�9�����ª5���5���9(K�:������&�!"�`�����)�3�����=!"�����Ý����#]R)����*/������G$�JP�����_Ô�6<�.���5Ú��������#Jb$��������.�D#�*+�.����*4��&%��*+$��d�F@*/�.�>C·���*/�H������&�!"5%��*+$��ª*/�PR���� =��������$�������1+�,*+�d$�&��H�.���&�5m��*+���E��(K�������5���*4!B����*+14 B*+���������.����#l*+�3!B��s@*4��'"����$��.�������!àJb$��������.���>�{:�P����9&����D$�������-��&�!"!B���� B!"�����&�����u��> '�> �����,!"�#%*/���=*IJo�����,!"������ ��������$�� p���*4����>P^`$����$)R���u�*4�:�.&����G�.*4��&��)��*+$���� ^ U ^ U ����!"5�14���#%���k(N�ªJb��$�! ������Jb$���������0��#�*+�.����*4��&%��*+$��W!"�k ª#%��*IJM�,��$=*4��p���*4���ARk��14&���H���������� ª'�*4R@*+��'G���y�����1+ *4��#%*+��)��*4$��9$�J�5���$���1+�!B�>�·���*+��!B�k �����5�58��A*IJw�����D!,$%#%�1¶*+�N�,R���� B5�$@$���p��K��$"�����D#�������>�?%$�!"�Jb&���������O��������s@�o$��B!"$%#%�18R)��1+*+#�*I�0 B����$�&�1/#B�8�|58���Jb$���!"�#"�8�EJb$����-p�����1+14 "��������#%$���*+��'D����� �E&���������!"$@#��1/��*4�31+*4�&A$�J����(Ý$�����>·����=5�����#%*+�E��*+R��G#�*+�.����*4��&%��*+$�� V0X�Xk[B*/�l&��.��#_��$W$��%����*+�Ú��*4!�&�1I�������$�&��lJb$��������.����Jb$��3��1+1|�����!"$���*4��$�����#C�.*4����� ���;���� 9Jb&%��&�������*+!"��58$�*+���uÁÔWrÝÙP>;?@&�5�58$����P�����)�;*4�S*/� #����*4���#3��$l5����#�*+�E� ����������.58$����.�A�)���.$�!"�9&���!,$���*4��$����#¸��*I����"�)�����@ d'�*4R���m��*4!"�358$�*+���BÔ�(N������9Ô,����W�8�314�������������

Page 14: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

14 S. K. Sahu and K. V. Mardia�2�&���1���$GÙP>G·�����!"�����$%#%$�14$�'� =Jb$��H$��%����*4��*4��'`�����95�����#%*/�Q��*+R��9#%*+�.����*+��&%��*+$��W�)�H$����l5����.��*+�&�1/���&���!"$���*I��$����#"�.*4���N*/��'�*4R���"���14$)(��������|�EF@������.*+$��,Jb$���!"$����O�������B$����-��*I���N*+���.������*+'�����Jb$���(K����#�����#$��@R@*4$�&��>·�$"5����#%*/�Q�-���N���9&���!"$���*4��$�����#9��*I����u�ÑD���k �u@(K�S&��.�D�,5����#%*/�Q��*4R��S#%*/�.����*4��&���*+$��A14*+s��BV0X�X�[O(N*4�������� Jb$�1+1+$)(N*4��',!"$%#%*Ip8��)��*4$����o��$"����$�&����KJb$��K�����S��5��)��*+��1¶�E$������1/�)��*+$������8�E�0(K���l�����;�����5�$�������K�)��.*4���DÑP����#A�)�N�����D!,$���*4��$����#9�.*4�����u�Ñ í Ó�Ñ Æ Ó×××EÓ�Ñ G >{=�=p����0�A$��%����*+�_�����:�.5��)��*/��1;�E$)R)����*/������C!B�)����*4F�aÌc $�JP$���#%��lØdá XG&���*+��'d�����:������&�!"�#�E$)R)����*+$�'�����! V���[Q>�·������-*+�u a Ìc Í×Ö adc aNí Æ V�Ñk[a H í Æ VcÑ�[ØP�V�Ñ�Ó�Ñk[BÙ Ó(N������haNí Æ V�Ñk[K*+�K�����;ØÁ6<#%*+!"�����*+$�����18R���E��$���(N*4���A�1+�!"������P�V�Ñ Ò Ó�Ñ�[Eu Õ ÍÖX�Ó×××EÓ�Ø�>�}K���.��#�$��l�����Ø9áÝXH��5��)��*+��1�1+$%��)��*4$����SÑkí�Ó�Ñ Æ Ó×××Ó�Ñ,GÁÓÁ����#`ÑH(K��#����*4R��D�����3VbØ9áÝXk[NÎ*�=!"������*IF]ybÌP&���*4��'=V7Û�[(N������;(O�;���5�1/����.adcB�� BaÌc >�Ï��E�N&��N5����.��*I��*4$��l�����D!B�)����*4F>ybÌ;���KJb$�1+14$)(-�ðy Ì Í Ö ybÌíybÌÆ Ù(N�������ybÌí */�NØ=Î=�`����#>ybÌÆ *+�;XDÎ=��>�{:�D��$)(Ú���kR�� �������Ö J õMlVcÑ�Ó�Ô.[ Ù ·�¹ � y Ì z õ Ó5a Ìc � ×&���*4��'P�����-!"$%#%�18������&�!"5%��*+$��`V7v�[E>wq���$�!©����*+�O!H&�1I��*4R)����*/�)���|��$���!B��1�#%*/�.����*4��&���*+$��B(K�-$��%����*+�"�������MlVcÑ�Ó�Ô.[�� Ë¿·^¹ � y ÌÆ z õ áÑa H í Æ V�Ñk[Ia ó íc V J õ ã�y Ìí z õ [QÓ�P�VcÑ�Ó�Ñ�[�ãja H í Æ V�Ñk[Ia ó íc a í Æ VcÑ�[ � V0Xkv�[&���*4��'B�.������#�����#9!,�����$%#��>�Ç-$)(Ý&���*4��',�����D!"$@#��1�������&�!"5%��*+$��ªV0Xk[K(O�;���kR��|�����)�FHV�Ñ�Ó.Ô.[,� Ë¿·�¹mV�M�V�Ñ�Ó.Ô.[EÓIP ÆQ [QÓ(N������*M�V�Ñ�Ó.Ô.[ Jb$�141+$)(-�"V0Xkv�[S�E$���#%*4��*+$�����141+ `$��bËT>BÇ-$)(©�����B5����#�*+�E��*+R��B#%*/�0����*+��&%��*4$��ª���P�.*4���BÑB*/�'�*+R���l�@ x V�Ð8V�Ñ�Ó.Ô.[�� ��í)Ó×××Ó"� ò [oÍ^Ò x V�Ð8V�Ñ�Ó.Ô.[�� Ë�[ x V�ËA� �@í)Ó×××ÓI� ò [%é�ËT× V0X���[�<J;(K�C(K����9��$dJb$��������.�"�����`��!"$�$����_5���$%�E�����YJ õ ���l���a&���!"$���*I��$����#a�.*4���`Ñ�u�(O�C&��.�3������E$���#%*4��*+$�����18#%*/�.����*4��&���*+$���$�JAM�V�Ñ�Ó.Ô.[O#%�����*+1+�#�*+�=V.X�v�[Q>�·���� �kR������'��N$�J�����!"5�1+��K#%���k(N��Jb��$�!»����*/��E$���#%*4��*+$�����1T#%*+�.����*+��&%��*+$��A*/�������D���0��*4!B�����#lJb$��������.�N$�J������P��!,$@$����35���$@�����3J õ ���|�.*4���DÑ�>�<J����(Ú#��)���P(K���� �kR)��*+1/����1+�|(K�S��������E6<��&��B�����S�����*+���S^ U ^ U *+!"5�14�!"���������*+$��3����#B5�����#%*+�E�$��������R)�)��*4$����S(N��*+���m�����,Jb&%��&�����*4�ª��*4!"��>9µ-$)(K�R����u¶��������������B!"���@ =��5�5���$kF%*+!B�)��*+$��=!"�E����$@#��&���*4��'"*+!"5�$��.��������P����!,5�14*+��'"(N��*/���3����3�8�P&����#3����(K�1+1cu��.��;Jb$��N�EF���!,5�14�;�����H������*/�E1+�;�@ l����(N*4�eEf�g)h4i Vcv�x�x�v�[�Jb$��|#%�����*41/�>

4.4. Assessing the forecasts^`���@ m'�����5���*/���1-#%*+��'���$��0��*+�A!"�E����$%#��������3&����#¸��$d5���.Jb$���! #�*+��'���$��0��*+�3��������s�*+��'d����#W!"$%#%�1R)��1+*+#�����*+$��Tu��.��S��> '�>O^`����#�*+�Cef�g�h4i;V0X�Y�Y�j�[Q>o?@�R������1¶Rk��14*/#�����*+$��C�0���)��*+�.��*/��-�����D��1+��$B�kRk��*41/����14�D����

Page 15: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 15��> '�> U ������$�1¶����# U ������.*+�BV0XY�Y�Ì�[Q>�·���� 9!"��s��S&����D$�J������;Jb$�1+1+$)(N*4��',��������D�0���)��*/�.��*/��ðU rSí�V�Ú e [ Í V.XvT'ÔO[ « ò ¨�Õõ

ö ò ¨�ídÛ FPVcÑ$e�Ó�Ô.[wã ñFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�ÜV.XvT/ÔK[ Û « ò ¨�Õõ

ö ò ¨�í ñP ÆÝ V�Ñ e Ó.Ô.[ Ü �Þ Ó

U r Æ V�Ú!e�[ Í ßàá V.XvT'ÔO[�« ò ¨�Õõö ò ¨wí�Û FPVcÑ$e�Ó�Ô.[�ã ñFDV�Ñ!e�Ó.Ô.[�Ü Æ

V0X/T/ÔK[�« ò ¨�Õõö ò ¨�í ì ñP ÆÝ V�Ñ e Ó.Ô.[Qî â<ãä �Þ Ó

U r¶å�V�Ú e [ Í æ�V0X/T/ÔK[ ò ¨�Õôõ ö ò ¨�í Û FHV�Ñ e Ó.Ô.[�ã ñFDVcÑ e Ó�Ô.[ Ü Æ$ç �Þ Ó(N������ ñFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�*/�������-5����#%*/�Q��*4$��B$�JAFHV�Ñ!e�Ó.Ô.[�����# ñP ÆÝ V�Ñ!e�Ó.Ô.[�*+������� !,��������2�&�������5�����#%*/�Q��*+$��B�����$���>·�����C*4�|*/�-����$�!"!"���#%��#9������� �.&�!,!B���� A�0���)��*/�.��*/��-�8�P&����#A��$��E$�!,5������;�����P!"$%#%�1+�u���> '�>K$����!B�k �p���#`������!"������-$�J�����������$)R��;��������,�0���)��*+�.��*/��>N{_����GJb$��������.���-�����H����&���������u������H!"������$�J U r í�V�Ú e [Qu U r Æ V�Ú e [P����$�&�1+#ª�8�9�14$��.�"��$`Å���$=����#ª$�����uw�����.58��E��*+R��14 D�������l!"����d$�J U r�å�V�Ú e [5���$)R�*/#%�����B¹ '�$@$%#%�������o$�J¶5����#%*/�Q��*4$��Tº�����#B*4�O*/�o�F%5����Q����#B��$P���;��!"��141�(N����95����#%*/�Q���#BR)��1+&����o������E1+$����|��$"�����;����&��SR)��14&����>Ç-$����"�������D������Jb$��������0��� ñFPVcÑ e Ó�Ô.[QuTJb$��PÔ;;ÙaáæX�Ó×××EÓ�Ùaá�Ôâ#%�5����#ª$��:$����E6�����$�������;����#����*/�lJ����Q�A*+�9*+'���$�����#W(N����Ý��&�!"!B���� ¸�.������*/�0��*+��l�����CJb$���!"��#_$�JD�����`��*4!"�E6��kR������'���#¸�.������*/�0��*+��U r í)V�Ú e [Qu U r Æ V�Ú e [K����# U r�å�V�Ú e [Q>�·�$,$)R�����E$�!,�-����*/��(O�;��#�$�5%�K�����;(K�*+'�������#l#%*/�.�������E�S����0(O��������SJb$���������.���N����#l�����P���Q��&���1¶$����.���R)�)��*4$����>wÏ��E�

è Í {é| E ò ¨�í>>>E ò ¨êÕ ��ë�#%���$����o���������E��$�J�$����.���R)�)��*4$����¶Jb$���(N��*+���P(K���.��s;R)��1+*+#�����*+$��T>wÇ-$����������)��(K�o���kR��o$����.���R��#D#������E í Ó×××Ó$E ò ¨�Õ ��&%�|(K�;���kR��S&����#A$���1+ �E í Ó×××Ó5E ò ��$,p��-�����;!"$@#��1�����#A$��%����*+�l�����DR)��1+*+#�����*+$��Jb$��������.�OJb$��è=>�Ï��E��ì ��í�� #%���$����S�����D$��������R���#l#�������>Â|��*4��'3�����B*+!,5�14�!,������#d^ U ^ U uT(K��#%���k(~è Æ e Ç Ó�fGÍäX�Ó×××Ó�ê Vb(N�������ê */�P�A1+����'��"5�$��.*46��*+R��;*+�����'���Q[O����!"5�1+��KJb��$�!à�����;Jb$���������0�-#%*/�0����*+��&%��*4$�� x V�ìd� � í Ó×××EÓ"� ò [Q×�·����;p����.�-5�������'�����5���*+�?@��E��*+$��AZ�> �"#%�E����*+1+����$)(Ú��$�#%���k(_��������P����!"5�14���>�Ç|$)(îèäÍ Xêðïôe ö í è Æ e Ç Óå����# ña¸Í XêÝã¸Xñïôe ö íò è Æ e Ç ã îèBó ò è Æ e Ç ã îè�ó H Ó&��@��*/�����#%1+ "��.��*+!"����� �����;!"����lR���Q��$�������#������D�$)Rk����*/�����E�-!B�)����*4F�$�J������SJb$��������.�K#%*/�.����*4��&���*+$��x V�ìd� � í Ó×××ÓI� ò [Qu)�����58��Q��*4R��1+ �>�·����o���'�$%#%*/�E*4�0 S5���$�5���.��*4���T$�J%������^ U ^ U ��*4!�&�1/�)��*+$�����1+'�$���*4����!B�'�&�������������K�����)�O�����;���8$)R��N���0��*4!B�)����O�E$��@R����'�����$P����� ����&��-!"����l����#B�E$)R)����*+�����E�N!B������*IF"$�J¶�����Jb$��������.��#%*/�.����*4��&���*+$��3(N����3ê *+�-1+����'���>Â-��#%��w��&�*4������14�O���'�&�1/����*4�0 �E$���#%*4��*+$�����(N��*/���P'�&������������������ �!"5%��$���*+����$���!"��14*4�0 ;����#;Jb$��w��!B��1+1R)��1+&����$�JSÔ|u������A5����#%*/�Q��*4R��9#%*/�.����*4��&���*+$�� x V ìd� ��í�Ó×××Ó"� ò [H����m�8�3��5�5���$kF%*4!B�����#m�� :�����9Ø�Ô�6#%*+!,�����*4$�����1Á��$���!B��1¶#%*/�.����*4��&���*+$��A(N*I���A!"����� îèÄ����#9�E$)R)����*/������|!B�)����*4F ña >�Â|��*+��'"(O�141467s@��$)(N�5���$�58�����*+��K$�J�!H&�14��*+R)����*+�����;��$���!B��1¶#%*/�.����*4��&���*+$��Tu�(K�;���kR���uô Æ ÍÖV èàã îèC[ H ña ó í V è ã îè3[d·�õ ÆG�Õ Ó���5�5���$kF%*4!B�)���1+ �> V0XZ�[

Page 16: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

16 S. K. Sahu and K. V. Mardia

Table 1. Values of the predictivemodel choice criterion for differ-ent values of ö and ÷ .÷ö ø'ù ú ø'ù û ø�ù üû ®!ý ü'ù ú ®$ý ü'ù þ ®$ý þ�ù þü ®!ý ø�ù ú ®®$ÿ ù � ®®E¯ ù ®ÿ ®�®Q¯ ù û ®®!ý ù ú ®® û9ù û¯ ® ø,ø�ù þ � ÿ ù ¯ � ¯ ù þþ ® ø���ù ¯ ® ø�ú�ù ü ® ø,û9ù ý

·����|��5�5���$kF@*+!B�)��*4$��"����*/�����#%&��|��$D�����-J����Q�������)�3è */��$���1+ ,��5�5���$kF@*+!B�)���1+ H!H&�1I��*4R)����*/�)���N��$���!"��1Jb$����.!B��1418R)��1+&���O$�JêÔmJb$����.��$��.��6c�����!©Jb$���������0��*4��'�>wÇ|&�!"���*+���1�÷0&��.��*4p������*+$��BJb$��o����*+����5�5���$kF@*+!B�)6��*+$��A*+�-5���$)R@*/#%�#l*4�`?@���Q��*4$��C¼�> ��>L &��N5���$�58$����#9Rk��14*/#�����*+$��3�0���)��*/�.��*/���*/�������D$��������R��#lR)��1+&��;$�J±ô Æ '�*+R���l�@ �uô Æ��í�� ÍÖV ì �,í�� ã îè`[ H ña ó í V�ì ��í�� ã îè`[Q× V0Xk¼�[U 14������14 �u�ô Æ�,í�� (N*+1+1�*4���E���������*IJÁ��������-������1+����'��K#%*/���E���5������E*+����8�E�0(K���������NJb$���������.���������#�$��,�����!"$@#��17u îèä����#"����� $��������R���#"#��)����u�ì �,í�� >�·���&��dô Æ��í�� ������8�|���EJb������#,��$P����� �����$����E��*+���1�R)��14&����$�JT�����Wõ Æ #%*/�0����*+��&%��*4$��l(N*4���lØ�Ô¸#%�'������O$�J�Jb����#%$�!A>�Ç|$����;��1/��$P�����)�ô Æ��í�� *+�O�����S^G������1+����$���*/�#%*/�0��������S(N����A�����P#�*+�.����*4��&%��*+$�����$�JÅè �,í�� ����# îè ���kR��|�����P�E$�!,!"$��A�$)Rk����*/�����E�S!"������*IF ña >5. The New York City data example

5.1. Model choice{=�D���E��&����9��$B�����P�EF���!"5�1+�P#%*/���&����.��#9*+�A�����H��������$%#%&��Q��*+$���>o{:�Dp����0�|����$@$��.�S�����P5�������!"�������[�����#]o=&���*+��'B�����PJb$�1+1+$)(N*4��'l(O�141467s@��$)(N�35����#�*+�E��*+R��H!"$%#%�1�����$�*+��H�E��*I�����*4$��TuÁ�.��P��> '�>|Ï���&�#G����#����������*+!ÄV0X�Y�Y�¼�[Ê��¥»�»æÍ ô ��� FPVcÑ�Ó�Ô.[ ��í�� ãªê¥��FHV�Ñ�Ó.Ô.[ ¦0��¬ ��� Æ á���� � FHV�Ñ�Ó.Ô.[ ¦0��¬ ����Ó(N������������ ��&�!"!"����*+$��B*/������s���B$)R������1+1������|ضÙa$��������R)�)��*4$������EF��E�5%��Jb$��������|!"*+����*4��'D$�����u@����#FPVcÑ�Ó�Ô.[ ¦0��¬ *+�;�BJb&���&����"$��������R)�)��*+$��`�$��������.58$���#%*4��'B��$]FPVcÑ�Ó�Ô.[-&���#%��S�����,������&�!"�#G!"$@#��17>P·������.��*+!B�)����#lR)��14&����K$�J������DÀo^ UNU �����|���58$�������#�*+�3·w����14�,X�>�·����;!"$%#%�1¶(N*4���Y�lÍÝÛH����#�oAÍ_x�× Z*+�K��������$H�8�-�����S�����0��!"$@#��1Á����#B�������EJb$������l(O� (O$���s,(N*I���B����*+�K!"$%#%�17>�·����-������1+� ��1+��$�����$)(-��������N�����D!"$%#%�1�����$�*/�E�D���*4�����*+$��A*+����$��-'��������1+ l�������*I��*4R��S��$"�����P����$�*/�E�;$�J�oC��!,$���',�����DR)��14&�����E$����.*/#%�����#¶>l{:�l���kR��B��1/�.$`�$�!"5�&%���#:������!"$@#��1O����$�*/�E���E��*4�����*+$��:Jb$��YoyÍ x�קv3����#ªx�>+X�>3q�$������$��.� R)��1+&���o�����S�E��*I�����*4$��BR)��1+&���O(O���� ��*+'�������������������|R)��14&����O�$��������.58$���#%*4��'D��$�������BR)��14&�� $�J�3���5�$��.���#9*4�A�����;������14��>·����D����$�����9Rk��14&��S$�J[oAÍ_x�× Z"�E$��������5�$���#��o��$B���3��5�5���$kF%*+!"����� ������'��S$�JKXx�!,*+1+���*+�A��5��)��*+��1#%�58���#%�����l��*4����"�����9�E$)R)����*4$�'�����!ä#%����k %�S��$Gx�> x�¼lJb$���oyÍÊx�× Z`����#ªé=Í Xx�>l·����l����$�*/�E�"$�J�CÍ»Û,*/� �����C��$��8�"���8$�&%�|����14J������,!B�)F%*4!�&�! ��&�!H�8��S$�J�5���*4���E*+5���1�p��1/#�� 5�$�����*4��14��>|{:��������1+1Jb&���������N�EF���!"*+���S�����P����$�*+��;�� l!,$���*4��$���*+��',�����P�$�!"5�$����������$�J±zåJb$��N����*+��$�5%��*+!B��1T!"$%#%�1c>5.2. Analysis·��������0��*4!B�)����D$�J�P ÆQ ����#_P Æc &���#%��H�����9����$�����ª!"$%#%�1K������x�> x���¼�Ì3����#dx�> x�XkÛ�v�uT�����5����Q��*+R��14 �>·����H�.������#�����#3#%�R@*/�)��*4$����-�����P���0��*4!B�)���#A��$�����x�> x�x���v,����#Cx�> x�x�Z�Ì�u%�����.58��E��*+R��14 �>�·����H^ U ^ U

Page 17: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 17������*+���wJb$����������.�-�0(O$;5�������!,��������(K����N!"$���*4��$�����#H��$P#%�E����E�o5�$�����*+��14�N5���$���14�!B��*4���$��@R����'�������>µ-$)(K�R����u���$���&����A5���$���1+�!B��(K����|Jb$�&���#A*4�A�����P�E&���������N*4!"5�1+�!"������)��*+$���>{=�35�1+$��"�����3^ U ^ U ���0��*4!B�)����"$�JS� õ í Jb$��B��1+1KR)��14&����"$�JSÔH��1+$���':(N*4���W�����`Y�¼9Ó �E���#�*4��1+�*4�������Rk��1+�,*+�_q�*+'�&����CÌ�>]?@*+����9�����3p����0���$�1+&�!"�¸$�J|�����C!B�)����*4F¸y�*/�B�:&���*4��R����Q��$��u3� õ í9(N*+1+1��.��*+!B�)���������9!,�����d$�JN�����l��*+!,�A�.���*+��H$��������R���#ª�)�P�����9#%*4ÞÁ�������,��*I����>G·�$G�.��B����*+��(O�l5�14$�������B!"�����:��*+!"�l�.���*+��;$��%����*4���#:�@ =�kR������'�*+��'������������5�$�������Jb��$�! ��1+1������l�.*4�����D*+�=�����l����$���#5������1o$�J-q�*+'�&����lÌ�>`~|�H�EF%5����Q���#ª�������0(K$C5�1+$�����*+�ª�����l�0(O$`5������1+�H14$@$�s=R@*4����&���141+ =�����A����!,��>·���*/�w÷0&��0��*Ip����$�&��N5����R@*4$�&����E1/��*+!É�������������D!"$%#%�1�Vcj�[K���5%��&������K�����;!B��*+�l���!"58$�����1T�.����&��Q��&������5����������K*+�A�����P#��)����>·����|5�1+$����o$�JÁ�����S���!B��*+��*4��'H�.*4FB�E$�!"58$����������$�Jêz õ ��14$���'D(N*4���������*+�OY�¼9Ó»�E���#�*4��1+�-*+�������R)��1/���5�58����B*4�]qw*+'�&����=Û@>Ý���a�����`p�'�&����C(K�C���kR��C��1/��$d5�14$��.���#_�ª��$���*+Å$�������1N1+*4���`�)�lÅ���$=��$y���������`��*+'���*4p�������E�3$�J|�����]� õ Ò�Ó Õ Í v%Ó×××Ó�Û`Jb$��"�����C�����*4���C������'��A$�J;ÔQ>]·����`����$���#¸����#W����*4��#�E$�!,58$���������*� õ Æ ����#Ñ� õ å �����3�����y��$d���`��*+'���*4p�������,Jb$�����1+1NR)��1+&���B$�J ÔQ>]·����C���!B��*4��*+��'ªZ�E$�!,58$���������������D�.*+'���*Ip�������N�)�-#%*4Þ8�������N��*4!"������&%�|�����;��$��-��*4'���*4p�������KJb$��-��141¶R)��14&�����$�JwÔQ>�·�����0(O$B�$�!"5�$����������� õ� ����#B� õ�� �����D�.*+'���*4p�������NJb$��N$���14 A�,Jb�(æR)��1+&���-$�J�ÔQ>O·����P5�14$��|��1/�.$B����$)(-��������D��$����"$�Jo�������.�R���ª�E$�!"5�$���������S$�J°z õ ����=�8�B���!"$)R���#3��$C$��%����*4�ª�l!"$����"5�������*4!"$���*4$�&��!"$@#��1T���N��141T�����D�E$�!"5�$���������|�����S��*4'���*4p�������-����1+����0�NJb$��-�.$�!"�SR)��14&�����$�J�ÔQ>·����A��*+!,�`�����*+��,5�1+$�����$�J|�����3���k( �����.*/#%&���1+�u������`#%*4Þ8�������E���"����0(O���W�����C$����.���R��#m����#������p������#Tu������H'�*4R���=*4�:q�*+'�&����"j�>H~ �;�EF%58��Q���#¶uÁ�����"�����.*/#%&���1�5�14$����;#%$A��$��P����$)(Ö���@ `��5��)��*+��1$��;���!"5�$�����1�5����.��������>A·�����5�1+$��DJb$��H�.*4���GXZ�u���$)(K�R���u��.��$)(-�;��*4'��d�����.*/#%&���1�Rk��14&���;Jb$��Hz�&����XxA����#¸X���>B~|�D!"�����*4$����#=5����R@*+$�&���14 G*4�d?@��E��*+$��mvl�������.�"�0(K$3$��������R)�)��*4$����;������$�&%��1+*4����D����#�E$����.��2�&������1+ A������p������#=!"$%#%�1�����$)(-�S�.$�!,��1+����sC$�J�p��SJb$��|����������0(O$A$��������R)�)��*4$����>;{:�����kR����1/�.$B�F���!"*4���#A�����HR)����*4$�'�����!É$�J������Hp��.���#CR)��1+&����|���-(K���|#%$����DJb$��|������#��)���B*4�=q�*+'�&����P������#����*/�K14$@$�s��#�R���� B�.*+!"*41/���O��$"qw*4'�&����S��>�·���*+�K*/�O�F%5����Q����#9��*+���E� �����S!"$%#%�1Á5���$)R@*+#%���O��R���� "'�$�$%#p��N��$,�����P#��)����u����N�.&�'�'����0���#9�� ������P����$)R�� �����*+#�&���1¶5�1+$����>{=�N��$)(¸���E��&�������$;�����N5����E&�1+*/����*I�0 �$�J8�����-#������D����5�14$��.���#,*4�Bqw*+'�&����NZ�>w{=�-��5�����*/��1+14 P5�����#%*+�E������B1+�R��1O$�JK�����������58$������B$��dÌ�v�¼914$%�����*+$����P$��ª1+����#:Jb$���z�&�1+ GZ`����#yÛ@>AÇ-$����B�����)�P���������������.5��)��*/��1�5�����#%*+�E��*+$����H����#ª�����"��$��D���!"58$�����1�Jb$���������.���>l^C$����$)R���u¶��$C���$����.67R)��14*/#��)��*4$��G*/�H#%$�����������>o{=�D&����P��1+1¶�����H#�������Jb$��-!"$%#%�1¶p��.��*4��'l����#9������C(K�;5�����#%*/�Q� ���N�����D���(Ý1+$%�����*+$����N&��.*+��'������}��k ����*+���G5����#%*/�Q��*4R���#%*/�0����*+��&%��*4$��aV.X��[Q>9Ç|$����"�������H(O�B���2�&�*+���������B!B�)����*4F�y Ì ��$`$��%����*4�����*/�;5����#%*/�Q��*4R��B#%*+�.����*+��&%��*+$���>�µ-����"(O�,p����.�P$��%����*+�G�����B!B�)����*4FbybÌAV�Ì�Z�x9Î:Û�[ Jb$��P��1+1�������Ì�Z�x�.*4������V.X�¼�!,$���*4��$���*+��'9��*I����;����#`Ì�v�¼B1+$@��)��*4$����-Jb$�� 5�����#%*+�E��*+$�����[ ����#3������:&�����ybÌí V.X�¼BÎ=Û�[NJb$��!"$@#��1Áp�����*+��'�����#A&�����ybÌÆ VcÌ�v�¼�Î`Û�[OJb$��N5�����#%*/�Q��*+$��A5�&���58$�����>·����S�0(O$"�.5��)��*/��1¶5�����#%*+�E��*+$��A�.&���J������K������l(N*4���CÌ�Z�xP5����#�*+�E��*+$����DVc�)�������"Xk¼P!"$���*I��$����#l����#Ì�v�¼,&���!"$���*4��$�����#C�.*4������[|�����P1+*4��������14 A*+�������5�$�1+������#C����#3�����H5�14$��.����#C*+�Gqw*4'�&�����Y�>|·�����5�1+$��|Jb$��z�&�14 `ZC����$)(-�S�0(K$A��$��P�.58$����D$����,�������:*4�d^`���������.�����d����#=*4�m?����)����ª�0�.1/����#¶>�·�������,�0(O$3��$���.58$�������1/��$:���!B��*4�¸$��_z�&�14 _Û@u���&%��!"$����C��$��l�.58$����B�!"���'��A$��_z�&�1+ aÛ=58$�����*4��1+ y�8����&����3$�J�������)JM����.6<�EÞÁ��E�-$�J������Hz�&�14 9ZBp����(K$���s��E�1+���������*+$����>O·���*/�-���E6<���Jb$����E��K�����DJ����Q�-�����)�-��������P�����#%*4Þ8�������S�.5�����*/��1�5��)����������-��� #%*4Þ8������� 1+$@��)��*4$����-����#C�)� #%*4ÞÁ�������|��*4!"�H58$�*+�����>N~©�E$�!"5�����*+��$������0(O���:�������������#=������#��)���35�14$����D*+�mqw*4'�&����,Z`����$)(-�S�����)�D��������B*+�H�3R���� `'�$�$%#ª��'�����!"��������0(O���9�����D!"$%#%�1T5����#%*/�Q��*4$����N����#l�����D$��������R���#l#�������>·����=�.������#�����#_#%�R�*/�)��*4$�����$�JD�����=5����#%*/�Q��*4$����9�����G5�14$��.���#_*+�Úqw*4'�&����mXx�>©·����=�.������#�����##%�R@*/�)��*4$����o�����S�.!B��1+1+��OJb$��O�����S14$%��)��*+$����o(N��*/���9����� ������o��$P����� $��������R��#l�.*4�����>�~|�K�F@58��E����#l�'�$@$%#S5�����#%*/�Q��$��T�.��$�&�1/#;���O����1+����$N5�����#%*+�E���8�E�.�����Jb$��T�����o��*I����¶(N��*+���P�������14$��.����$N�����o$��������R)�)��*+$���.*4�����K�������A�����P��*I�����(N��*/���C�����|J����-�k(K�k �>{_�� G*+�S�����"5�����#%*/�Q��*+$��=!B��5=Jb$��Dz�&�14 `ZA!H&����G1+*4'�������S�������=����������!"��Jb$��Dz�&�14 =Û��Ý·���*+�S*/��EF%5�1/��*+���#=�@ `�����B�0(K$`#%*IÞÁ�������D�0 @58��D$�JKR)����*/�)��*+$����;*4�ª������#��)���AJb$��D�0(K$C#��k %�uw�.���qw*4'�&����l¼�>·����9#��)���CJb$��"z�&�1+ ªZG�������`14$���'G1+�EJM�"������#ª����*41K(N��*+14�l�����3#��)���CJb$���z�&�14 yÛC�����,�`1+$���'G��*+'����

Page 18: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

18 S. K. Sahu and K. V. Mardia

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

24

68

Alpha 1 plot

site

mea

ns

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

24

68

Site means plot

Fig. 6. Marginal posterior means and 95% credible intervals of ����� . The second panel plots themean observed time series. The time unit is three days.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Alpha 2 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

Alpha 3 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

Alpha 4 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.2

0.0

0.2

Alpha 5 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.4

-0.2

0.0

0.2

Alpha 6 plot

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

Alpha 7 plot

Fig. 7. Marginal posterior means and 95% credible intervals of ����� for ��� ý������ ���.¯ , to be read row-wise. The horizontal line at zero is superimposed to see significance of the states. The time unit isthree days.

Page 19: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 19

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 4

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3Site 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 11

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 12

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 13

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

-10

12

3

Site 15

Fig. 8. The time series plots of the residuals from 15 sites. The time unit is three days.

Page 20: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

20 S. K. Sahu and K. V. Mardia

25 30 35

Predicted map on the 4th of July

75 80 85 90

Predicted map on 7th of July

Fig. 9. The model predicted maps for July 4 and 7. These predictions should be compared with theobserved data plotted in Figure 4.

Page 21: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 21

1 3 5 7

sd of predictions: 4th of July

2 4 6 8 10

sd of predictions: July 7th

Fig. 10. The standard deviation of the predicted maps for July 4 and 7.

Page 22: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

22 S. K. Sahu and K. V. Mardia������#G����*+1c>9·������.!B��141o#��)���AR)��1+&����D*4�:������1+$���'31+�EJM�H������#=����*41����kR��"*4��½�&�����E�#=�����B5����#%*/�Q���#�.&��.J����E�,Jb$��Pz�&�1+ GZ3��$C�8�B1+*4'�������D*+�m�E$�14$�&��u�����#=�����B1+����'��"#��)���AR)��1+&����D*4�:������1+$���'3��*4'����;����*+1���kR��S*+�%½�&�����E��#l�����P��&��.J����E�SJb$��-z�&�1+ AÛP��$B�8�P#�����s���>

5.3. Cross-validation{=�A�EF���!,*+���l�����A�E��$����06<R)��1+*+#�����*+$��d�.���)��*+�.��*/��ô Æ 5���$�5�$��.��#ª*4�a?@��E��*+$��mZ�> Z�>:~ ���Jb�������������EF@65�������.��#H�E$����E����������'�����#%*+��'-�����-���� @!"5%��$���*/�O��$���!"��1%��5�5���$kF%*4!B����*+$�������#��������������-���. @!"5%��$���*/�õ Æ ��5�5���$kF%*+!"����*+$��,Jb$��ô Æ '�*+R���B*4�:V0XZ�[Q>�{:�S��#�#%������������*+���E$����E������K���oJb$�1+14$)(-�>w{=�S$���1+ B�E$��%6�.*/#%��O�E��$����.67R)��1+*/#��)��*4$���Jb$��O$���� ����#"�0(K$P��*4!"� �.���5��K*4�9��#%R)�����E� ��*+���E�|�����S!B��*+��!"$���*+R)�)��*4$���������*+�K����$����.67�����! Jb$��������.��*+��'P$�J��.5��)��*+$�67���!"5�$�����1�5���$%�E�������>wq�$��O�����,XE6��0���5l�������#B5����#%*/�Q��*4$����3ô Æ(N*41+1w���"��5�5���$kF%*+!"�����14 �õ Æ 6<#%*/�.����*4��&����#G(N*I���yXk¼�#%�'������|$�J�Jb�����#%$�!ä����#3Jb$�� �����"v)6<�.���5G��������#ô Æ (N*+141¶���kR��D��x"#%�'������K$�J�Jb����#%$�! ��5�5���$kF@*+!B�)���1+ �>{=�����0��*4!B����� îè ����# ña©&���*4��'dX�x�u x�x�xA^ U ^ U ����!"5�1+��DJb��$�!Ä������5����#%*/�Q��*4R���#%*/�0����*+��&%��*4$����$�Jw�����D$����D����#Cv)6<�.���5A�������#l5����#�*+�E��*+$����>o?@&������2�&������1+ �u�(K�P#%���k(©Xx�x�x�*4��#%�58���#�����-������#%$�!����!"5�14���u�Ð Æ e Ç Ó�fyÍ X�Ó×××EÓX�x�x�x�uwJb��$�! �����3�E$��������58$���#%*+��'`5�����#%*+�E��*+R��3#%*/�0����*+��&%��*4$����"����#mJb$���!�����"�.���)��*+�.��*/�Yô Æ *4�:������G����.��>HÇ-$������������S�����"����!,5�14���S�����>&1%�fS+/��g'?±&�75�I%'( f8@�elg5C�C1�"%��9#8("g�f<e(�4%hIf�#"!)g/�$#�g�f<e.&1%'�$("g�hÅ+/#6 Qf��$# 2!4%f�# %/&Ái

10 20 30 40

0.0

0.02

0.04

0.06

0.08

Chi-sqare with df= 15

p-value= 0.85

10 20 30 40 50 60

0.0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Chi-sqare with df= 30

p-value= 0.21

Fig. 11. The #%$ approximation of &'$ . The first plot is for the 1-step ahead forecasts and the secondplot is for 2-step ahead forecasts. The p-value in each plot is the P-value of the Kolmogorov-Smirnovgoodness-of-fit test.

Page 23: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 23·���� ��*+�.��$�'�����! $�JT�����"Xx�x�xhô Æ R)��1+&���K����#������;#%����.*4�0 B$�J������ �����$����E��*+���11õ Æ #%*+�.����*+��&%��*+$���������"5�14$��.���#ª*+�mq�*+'�&����CX�X�>9·�����5�1+$����H�.��$)(»�����)�P�����l#������3��*/�0��$�'�����! *4�d�������d����.�B*/�P�3R���� '�$@$%#9��5�5���$kF%*4!B�)��*4$��l$�Jw�����P�E$��������58$���#%*+��'������$����E��*+���1�õ Æ #%*+�.����*+��&%��*+$���>O^C$����$)R����u���$�����;�����'�$@$%#%�������.67$�JM6cp��;(K�B��&��:�����ln;$�14!"$�'�$���$)R�6�?%!,*+����$)R9'�$@$@#�������06<$�JM67p��;�����0��&��.*+��'3�����`Xx�x�x3��*4!�&%61+������#=R)��14&����>9·����B5%6<Rk��14&��B$�JK�����B����.�P*+�Hx�> j�¼lJb$��D�����CXE6��.���5d�������#G5����#�*+�E��*+$��d����#ªx�> v�X�Jb$�������Cvk6��.���5¸��������#y5�����#%*/�Q��*+$����>y·�������9��*+'��¸5%6<R)��1+&���,*+��#%*/��)���l�����)�"�����C#%*+�.����*+��&%��*+$�����$�J|�����$��������R���#�ô Æ R)��1+&����H����d���9����s���ª��$`�8�l�����9�$��������.58$���#%*4��'9�����$������*/���1�õ Æ #%*/�0����*+��&%��*4$���������E1/��*+!"�#9*4�dV0XZ�[E>Ç-$)(](K�;�R)��1+&��)���|�����;Jb$��������.��*+��'H58���Jb$���!B������ $�J������;!,$%#%�1¶&���*4��'*ô Æ��í�� ���K'�*+R���9*4�dV.X�¼�[E>Â|��*4��'P�����S�&���������K!,$%#%�18�����gô Æ�,í�� R)��1+&���������PX)Û@>�Û;(N*4���GXk¼P#%�'��������$�J�Jb����#%$�!¾Jb$��O�����,XE6��0���5��������#9Jb$��������.���-����#C��Û%> Y�(N*I���`��x�#%�'�������N$�J�Jb����#�$�! Jb$��-�����,v)6<�.���5`��������#AJb$���������.���>N·�������R)��1+&���N�14������14 B*+��#%*/������;�����)�N�����D!,$%#%�1¶*+�NJb$��������0��*4��'H�����P#��)���,(O�1417>6. Discussion��������*+�����.��*+�14� (O�S���kR�� 5���$�58$����#��,}��k ����*/���B!"$%#%�18Jb$���������1+ @��*+��'���5��)��*4$�6c���!"58$�����1�#��)����>�·����5���$�58$����#m!"$%#%�1N�����"�8���W*+!"5�14�!"�������#W*+�a�GJb&�141|}��k ����*+���y�.���&�5a&���*+��':^ U ^ U >�{:�A���kR��*4!"5�1+�!"������#������S!"$@#��1/�O*+�9�,��*4!�&�1+����*+$����F���!"5�1+�,Vc#%$%�E&�!"������#�*+�9���l&���5�&���1+*+������#����������*/���1���5�$��.��R�����.*+$��"$�J8�����|�E&���������o������*/�E1+�N�@ P�����|����!"�|��&%����$�����[�(N��*+���BR)��1+*/#��)���#"$�&���^ U ^ U �E$%#%��>µ-$)(K�R����u�(K�D#%$B��$��N5����������������D�EF���!"5�1+�;������;Jb$��������P����s��S$�Jw�����R@*I�0 �>·����"5���*+���*45���1�n;��*+'�*+��'�Jb&����Q��*4$����;&����#=*4�G�����"5���$�58$����#G!,$%#%�1������H�����.*/� Jb&����E��*+$����;(N��*/��������H$�5%��*+!B��1wJb$��D��5��)��*+��1w5�����#%*+�E��*+$����;��14$�����>P·����"�E$�!"5������)��*4R��H!"$%#%�1/�S&��.*+��'A5�$�14 @��$�!"*+��1��0 @58����'�������.$�����#%$;��$���&��.�����������$�5%��*4!B��1�Jb&����Q��*4$���������#¶u��������K!B�k P5���$)R@*/#%��14����������E&��������KJb$��������.������5����E*/��1+14 �Jb$��N�EF@������5�$�1+����*+$��T>{=�����kR�����5�5�14*+�#ª$�&��P!"$%#%�1K$��:�����9��*4�P58$�1+1+&%��*+$��m#�������uw����#ª&���*4��'G���(É�E��$����.67R)��1+*/#��)��*4$��!"�E����$@#��|(K�H���kR��H����$)(N�3������� �����,!,$%#%�1�*/�S��#%��2�&��)���HJb$��S�.��$��.��6c�����!àJb$���������0��*4��'�> Ç|$����H�������$�&���&��.�N$�JÁ}��k ����.*/����5����#%*/�Q��*4R���#������*I��*4����Jb$��O�.5�����*/��1%5����#�*+�E��*+$�����!B��s����$�&���!"�E����$%#�$�5%��*+!B��1�*+������-������.�N$�J8{_*+s@14�|����# U ��������*+�;V.XY�Y�Y�[E>�·����N5���$�5�$��.��#H!"$%#%�1/��(K$���sD�R���"(N����"�����N�@&�!������$�J�.*4�����������o!"$%#%����)���1+ D1+����'���u)��14����$�&�'������w�EF%58��Q���#H�����N�$�!"5�&%���)��*+$������8��$�!"��!,$����O*4���������*4R��K�������� �@&�!H�8��O$�J���*I����O*4�������������>�·���� (O�1418s@��$)(N����#�Rk��������'����$�J¶�����|Jb&�1+14 B*+!"5�14�!"�������#�^ U ^ U!"�E����$@#��u%��$)(K�R����u�÷0&��0��*IJb l�����*4�|&��.�SJb$��-�.!B��1+1¶��$,!"$%#%��������D#��)�������E���>Acknowledgements·����|��&%����$�����(O$�&�1+#"1+*+s��N��$D��������sBz�$����Bn;����O����#�rN*/��������#B?@!"*I���BJb$��O���1+5%Jb&�1Á#%*/���&����.*+$����>�·������&%����$�������������sY�S�kR@*+#lµ-$�1+1/����#B$�J�¿oÀ¶~]Jb$��K5���$)R�*/#%*+��'D����� #�������������� ���1+��$D��������s,����� ��#%*4��$���u%��������.$%�*+�����S�#%*4��$��-����#l�0(O$"���EJb������OJb$��N!B���@ ����1+5%Jb&�1��$�!"!"������N����#3�.&�'�'����0��*4$����>References~-1+1+���$�JM�uê��>Tz�>T����# U >T~P>�\S1/�����8� mVcv�x�x���[Q>,~ 1+��������H\;��&�����*+���=^`����s�$)R3������#%$�!,67p��1/#`!"$%#%�1Jb$��-�.5��)��*+$����!"58$�����1Á����*4��J���1+1T#%*+����'�'����'��)��*+$���>�(dC9C8hp#�e5+*)�f�g)f�#6 Qf�# -! ,+�-�u�Z�j�Û/.�Z�Y�j�>}��������÷0���u�?¶>4u���>@\;��!,���!B���Tu�����#�~H>@\S�1IJ�����#`Vcv�x�x���[Q>T?@5��)��*/��1ÁÀ���$%�E������^`$@#��1+14*+��'DJb$��KÂ|��*4R)����*46�����H����#`^C&�1I��*4R)����*/�)���=�| @����!"*+�,?@5��)��*+��1A�S�)����> ·��������*+���1����5�$��.��u1� *4R@*/�.*+$��G$�Jo}K*4$��0���)��*+�.��*/��uÂ|��*+R������*I�0 B$�J�^C*+�������.$�����>

Page 24: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

24 S. K. Sahu and K. V. Mardia}K���'����u�z�> L >+u��>�#%� L 1+*+R��*+����u�����#"} >@?%������t$�V7v�x�x�X�[E> L �%÷0��E��*+R��-}��k ����.*/���"������1+ @��*/��$�JT�.5��)��*/��1+1+ �$������1+������#l#�������>10�%/4��$&Ág)hA%N7;f8@�e2(S(Be��$# -�g'&3)8f<g�f�#6 Qf�# -�g�h4(W 5 �%�-!#�g�f�# %'&6587)u�X���Ì�X9.8X���ÛkZ�>}K$�$�s%�0���*+�Tu|qK>KÏo>DV0XY�j�Y�[Q>»Ào��*+���*45���1|(�����5��ð=����*+�%675�1+�����ª�.5�1+*+����A����#]�����ª#%���E$�!"58$���*I��*4$��_$�J#��EJb$���!B�)��*4$����>;:�<=<=<?>���g/&� Eg9-Ef�# %/&� �%'&A@Ng)f7f<e��$&B(S&8g�hp;v $#6 ªg/&D+6CGg�-5@�#8&8eD:$&�f<ehMhp#<��e!&D-�eBE�E)u¼�Ì�Û/.%¼�j�¼%>}K��$)(N�Tu�À�>�¿->+u�À�>�z�>��|*+'�'�14��u�^d>�¿|>�ÏT$���#Tu�����#3À�> U >�Ë�$�&���'CV7v�x�x�X�[E>O?@5����E�E67��*+!"�P���14*+�����)��*+$��9$�J����#���������*4��J���1+1Á#��)����>F(dC9C8hp#�e5+*)�f�g)f�#6 �f�# -! ,+�G)u8v�v%X9.%v)Z�X�>U ������$�1417u�?Á>�?¶>�����#AÇH> U ������.*+��V0X�Y�Y�Ì�[Q>O~Ö�E$�!,5�����*+��$��9$�J�'��$��.���)��*+�.��*/���1¶!"�E����$@#�$�1+$�'�*+���&��.��#A��$���0��*4!B�����D�.��$)(Ú(��)����N�2�&�*+R)��1+����>IHCg)f�e!�KJ e$ �%/4��"-�e! KL4%hMh4ef�#8&6M�-�u�v�Ì@Û�.�v�Û)j�>U ��������u U >�����#�rD>%n;$����`V0XY�Y�Ì�[Q> L �9\S*+�����K����!"5�14*+��'HJb$����0���)���S�.5����E�|!,$%#%�1+�>NL�# %/(BeEf��$#PO�gRQ�E)u¼�Z�X9.%¼�¼���>U ��������*+��uoÇH>|V0X�Y�Y�Z@[Q> U $�!"!,����"$��TS�~-�a��5�5���$������d��$ª�.������*/�0��*+���1-��5��)��*+��1I67���!"5�$�����1K!"$%#%�14*+��'$�J�!"�E���$���$�1+$�'�*+���1¶p��1+#��VUl�� `^m>Á?Á>¶µ ����#��$%��s3����#`z�>¶rD>�{ª��1+1+*+�>,0�%'4��$&8g�h[%N7�f�@�e�(S(Be��$# -�g'&)8f<g�f�#6 Qf�# -�g)h4(g " �%�-!#�g�f�# %'&6Q�5�u��@Û)YW.%��j�v%>�| ���uo·;>+ud��>�^C*+141+���uO����# U >�^G����� $�����1/#ÚVcv�x�x�v�[Q>y?%&�!"!"���� d$�J Ào^ Æ9X Jb$��������.��*+��'G5���$�'�����!#��R��14$�5�!"����9����#_$�58����)��*4$����"Jb$��3?%��1I�3Ï���s�� U *4�0 �u|Â-�����å#%&���*4��'m(N*4������Av�x�x�v%>Ö·��������*/���1���58$����u-?@$���$�!B�d·��������$�1+$�'� �uO������uDX��Ì�xªrN��#%(O$@$%#a{ª�k �u-?@&�*4��� U uOÀ��E����1+&�!B��u U ~ÄY�Z�¼�Y�Z�uÂS?%~P>¿o��s����u�^m>��H>�����#y~H>�¿->�\S�14J�����#ÝV0X�Y�Y�Û�[Q>m}��k ����.*/���Y�����*+$�'�����! ^`$@#��1+*4��'=Jb$��B���y�0��$�����$�5�*+�?%5��)��*+��1ÁÀo��$%�����>=0�%/4��$&Ág)h�%�7K(d���$# -!4%h�f�4���g�h[Z�L�# %)h %I��# -�g)h�g/&1+\<3&]!�#8�I%/&0("e�&�f�g)h4)8f<g�f�#6 Qf�# -$ ^-�u�Ì�x@Û�.Ì�XkÛ%>\S�14J�����#Tu�~P>�¿|>�V0X�Y�Y�Ì�[Q>%^C$%#%�1�#%�E�����!"*4������*+$��,&���*4��';����!"5�1+*4��';�����.��#H!"�����$%#��>����,{â>�rD>�\S*+14s%�u?¶>�rN*/��������#���$��TuT����#��H>�z�>�?@5�*+�'��1+����14�����V�¿O#��>§[Qu_CGg/�VO9%`!baê@�g/#8&6C)%/&�f<eca�g/�QhÉ%)#8&d@3��g9-Ef�# -�eEu5�5T>TXZ@¼/.ÁXÌ�X�>�Ï�$���#%$��Tð U ����5�!"���A����#3µ|��1417>\S�14J�����#Tu�~P>�¿->%����#A?¶>�n">%?����@&=V.XY�Y�Y�[E>��0#%�����*Ip8����*+14*4�0 �u%*+!"5���$�58���5���*4$����u%����#A\S*4�����N����!,5�14*+��'Jb$��;'���������1+*4Å�#C1+*4������;!"$%#%�1/�>e0�%/4��$&8g�h�%�7,f8@�e\(S(Be!�$# -�g'&b)�f�g)f�#6 �f�# -�g)hf(g " �%�-!#�g�f�# %'&B5hg�u�v)Z%Û�.v�¼���>\S�14J�����#TuÁ~H>8¿|>4uT?Á>Án">¶?%���@&TuÁ����#G} >ÁÀ�> U ����14*+�mV0X�Y�Y�¼�[Q>|¿�k��E*+���� 5�������!"�E����*+Å�)��*4$��AJb$��|��$���!"��11+*+������N!,*4F%�#9!"$@#��1/�>FL�# %/(BeEf��$#PO�gcQ�-�u�Z%Û)Y`.�Z�j�j�>\S$@$@#���1+1cu U >�����#"n">`H>�^G����#%*+�,V0X�Y�Y�Z�[Q> U ����1+14���'�����*4�"!H&�1I��*4R)����*/�)���N��5��)��*4$�6c���!"58$�����1@!"$@#��1+*4��'�>���i@3�I%�-�e�e"+'#8&��' )%�73f�@�eej3k4:V:Qf�@b:$&�f�e��$&8g)f�# %/&Ág)hlL�# %/(Bef��$# -ma�%/&,7Ee���e�&1-�e9Zon�g/(=#Mh�f�%'&pZrq3&�f<g'�$# %WZa�g'&8g�+�gWZsQ�t8E�-,(S4���4� QfFE�5�5hg�u�5�5�>TX .ÁXkÛ@>����(N*+�Tu@^d>%¿->+u�ÇH> U ��������*4��u�����#l\,>@z�$�������������.$��`Vcv�x�x�v�[Q>�?@5��)��*/��146�·��!,58$�����18Ç-$��%671+*+�������p�14�����*+��'�������#9$��3µ-*+�����������*+���1T?����)��*/�.��*/���1T^`$@#��1/�PVb(N*4���C#%*/���&����.*+$���[E>'>�e! QfoE�E)u�v�Z�Y`.@��x�v%>n;����u�z�>�·;>�����#3n">p�>�^`����#%*/�3V0XY�Y�Z@[Q>�·����P1+*+��sl�8�E�0(K���3n;��*+'�*+��'B����#9����*4�%6<5�1/�)���P�.5�1+*+����>����qK>%À�>@n;�1+14 CV�¿O#¶>§[Qu]@3�I%92�g92!#Mh<#Mf�;WZ=)8f<g�f�#6 Qf�# -$ Dg/&D+rqêCÁf�#8(=#6 g)f�# %/&�u%5�5T>%��v�Z`.@��v�Y�>�Ç-�(]Ë�$���s8ð�z�$����{_*+1+� �>

Page 25: A Bayesian Kriged-Kalman model for short-term fore ...sks/research/papers/stempo.pdfA Bayesian Kriged-Kalman model 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 Map of New York City Fig. 1

A Bayesian Kriged-Kalman model 25n;����uOz�>�·;>�����#Wn">��>�^`����#%*/�WV7v�x�x�v�[E>y^C$%#%�1+1+*4��'m?����������'�*+���Jb$���?@5�����*/��146<·��!"58$�����1°� ������>���m~H>�Ï��k(-�.$��:����#_�H>Å�|���*/�.$��]V�¿o#��>§[Qul)'C�g)f�#�g)hua�hp4� Qf<e��IC)%,+�eEhMhp#8&���uo5�5T>wv�XZ�.%v�v�Ì�>¶ÏT$���#%$��TðU ����5�!B���3����#9µ ��1+1c>n; @��*/��s@*/#%*+�uTÀ�> U >�����#ª~P>�\,>wz�$�&������1-V.XY�Y�Y�[E>B\S�$��.������*/�0��*+���1o��5�����E67��*+!"�,!"$%#%�1+�ðH~¾���R@*4�(D>CGg�f8@�e!(Bg)f�# -�g)h_v-e5%)h %I��;DM8E)u�Ì�¼%X .%Ì�j�Z�>Ï���&�#¶u¶À�>Á{â>T����#=z�>T\,>Á����������*+! V0X�Y�Y�¼�[Q>DÀ����#�*+�E��*+R���^`$@#��1�?@�1+��E��*+$��T>w0�%'4��$&8g�h[%N7�f�@�e'J¶%/;�g�h)8f<g�f�#6 Qf�# -�g)h%)O%,-�#�eEf�;WZNLx+zyu8v�Z@Û�.�v�Ì�v%>^`����#%*/��u�n">%�>�����# U >w\S$�$%#���141-V.XY�Y���[E>�?@5��)��*+��1I67���!"5�$�����1�������1+ %�.*/�;$�J�!H&�1I��*4R)����*/�)���"���R@*+��$��%6!"�������1%!"$���*I��$���*4��';#�������>����"\,>�À�>�À�����*+1�����# U >�rD>�r|��$BV�¿O#��>§[QupCB4%hIf�#"!)g/�$#�g�f<e{<3&|!,#8�"%/&�(Be�&�f�g)h)8f<g�f�#6 Qf�# -$ Qu%5�5�>���Z%Û�.@��j�Ì�>�~-!B�.�����#���!3ð�¿�1/�.�R�*+���>^`����#%*/��uTn">%�>4u U >�\S$@$@#���1+1cu�¿|>Tz�>Tr-�#@Jb����Tuw����#:qK>�z�>T~-1+$�����$dV0XY�Y�j�[Q>"·����Bn;��*+'���#GnD��1+!B���p�1I����PVb(N*4���C#%*/���E&����.*+$��8[Q>\>�e$ Qf^yu�v�XkÛ�.�v�¼�v%>^`����#%*/��u8n">]H>+uÁz�>Á·;>8n;����u�����#`z�>�^d>Á}K*4���� ªV0X�Y�Û�Y�[Q>}Cs4%h�f�#"!)g/�$#�g)f�e'(S&Ág)hp;v $#6 Q> Ï�$���#%$��Tð�~|���6#��!"*+�;Ào�������>^`�)��t����Tu%}S>TV0X�Y�j�Ì�[Q>l)'C�g)f�#�g)hKk�g/�$#�g�f�# %'&�>o}K���1+*4�Tðo?%5���*+��'����6~����1/��'�>?%������t$�uw}S>�����#mÏo>w\S&������*DV0X�Y�Y�Y�[Q>R�����Å&��1/���d����*+�%J���1+1O#������`������1+ %�.��#ª�@ =&���*+��'G�`}��k ����.*/�����5����E�E67��*+!"� !"$%#%�1c>F(3C�C8h<#�e"+e)8f<g�f�#6 Qf�# -$ og]Q�u���Z@¼/.%��Ì�v�>?%������t$�u8}S>Á����#`Ïo>T\S&������*�V7v�x�x�x�[E>|~»��$����.������*+$������� A!H&�1I��*+��*I���H!"$%#%�1wJb$�� ����*+�%J���1+17>\0�%/4��$&Ág)h±%�7f�@�e2(S("e��$# -�g/&c)�f�g)f�#6 �f�# -�g)h4(g 5 !%�-�#�g)f�# %/&658+)u�X�Xj�YW.ÁX�Xx�x�>?@!"*I���TuTrD>¶Ï�>+u�?Á>Tn;$�14���*4s�$)RÁu�����#GÏ�>¶µH>�> U $kFmV7v�x�x���[E>;?@5��)��*+$�6�·��!"5�$�����1�!"$%#%�141+*4��'9$�JOÀo^ ÆhX #��)���P(N*I����!"*+���.*+��'PR)��14&����>�0�%/4��$&Ág)hO%�7\v-e"%5C�@�;v 5# -�g�h|J|e! e�g'�I-5@p��( f�(Y%/ �C�@�e���e! ^E�G�Q�V��Sv�Z�[Qu�Y�x�x�Z�u#�$�*7ð4X�x�>+Xx�v�Y���v�x�x�v�z�� x�x�v�Y�XZ�>?�����$�&�#¶u�z�>�rD>+uÁÀ�>�^6�&�1+14��uÁ����#C} >Á?%������t$`V7v�x�x�X�[E>3� @����!"*/�D!"$@#��1/�NJb$��;?@5�����*+$�67���!"58$�����1�#��)����>0�%'4��$&8g)hê%N7Df�@�e2J¶%/;�g�h%)�f�g)f�#6 Qf�# -�g�h%)D%�-!#�ef�;WZ�Lx7`M�u8Ì�Û��W.@Ì�j�Y�>{=���0��u¶^d>¶����#=z�>Áµ|������*+��$��mV.XY�Y�Û�[E>oL g/;�e! $#�g/&d�A%/��e"-�g/ �f�#8&��Gg/&1+,�.;/&8g'(�# -IC]%�+�eh� Q>PÇ-�(âË�$���sÁð?%5���*+��'����>{_*4s@1+��u U >�n">�����#3ÇP> U ��������*4�BV.XY�Y�Y�[E>�~â#�*4!"����.*+$��%6<���#%&���#A��5�5���$���������$��.5����E�6c��*4!"�DnD��1+!B���p�1I�����*4��'�>_L# %'("ef��$#PO�gWZ_Q�7ku8j�X�¼W.@j�v�Y�>{_*4s@1+��u U >Tn">+u�}S>TÏ�>�^d>4u�����#:ÇP> U �������*4�3V0X�Y�Y�j�[Q>,µ-*+�����������*+���1�}��k ����*/���G��5�����E67��*+!"��!"$%#%�1/�><°&]!�#8�I%/&0("e�&�f�g)h�g'&1+^<-5%)hÉ%"�'# -�g�h�)8f<g�f�#6 Qf�# -$ *+)u�X�XkÛ/.8Xk¼)Z�>