1 9 6 1 IRE
O N ELECTRONIC
COMPUTERS
7 7 7
C o o r r e s p o n d e n c e
R a p i d
T e c h n i q u e o f
Manual o r Ma-
w h e r e
r i = a 5 ,
i f
N ,
= N 5 ,
a l s o
6 = q - p .
w h i c h i n v o l v e s t h e s o l u t i o n o f
a s e t o f l i n e a r
c h i n e
B i n a r y - t o - D e c i m a l I n t e g e r
i n e q u a l i t i e s . T h i s n o t e d e s c r i b e s
a n o t h e r
Ni=
( r i - q
+
a i _ - i
+ r i
p )
- P i - '
c o m p u t a t i o n a l
a l g o r i t h m ,
v a l i d f o r p o i n t s
C o n v e r s i o n
U s i n g
D e c i m a l
i - 2
w h o s e c o o r d i n a t e s may t a k e
o n v a l u e s
f r o m
R a d i x A r i t h m e t i c *
+
L
a i . p i
e i t h e r a
c o n t i n u o u s
o r d i s c r e t e
s e t ,
w h i c h
o
i n v o l v e s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e
e x i s t e n c e
O f t e n o n e h a s t h e p r o b l e m
o f c o n v e r t i n g
i - 2 o f a n o n - n e g a t i v e
s o l u t i o n t o a s e t o f l i n e a r
l a r g e
b i n a r y i n t e g e r s t o t h e i r
d e c i m a l e q u i v -
N =
( r i
- P
+ a i
l ) - p i -
+
E
a s
p i .
e q u a l t i e s .
a l e n t w i t h o u t t h e a i d o f a m a c h i n e o r c o n v e r -
0
T h e
a l g o r i t h m t o b e d e s c r i b e d d e p e n d s
s i o n t a b l e s . T h e n o n e u s u a l l y
a t t a c k s
t h e
T h i s
f i n a l s t a t e m e n t e x p r e s s e s o n e i t e r a - o n t h e f o l lo w in g t h e o r e m a n d i t s c o r o l l a r y .
p r o b l e m
b y e x p a n d i n g
t h e s e r i e s ; a d d i n g i n t i o n o f t h e w e l l - k n o w n
t e c h n i q u e u t i l i z i n g
t h e
b i n a r y o r o c t a l
c o e f f i c i e n t s , m u l t i p l y i n g e x p a n s i o n
p r o p e r t i e s o f t h e known
s e r i e s .
T h e o r e m :
T w o
s e t s
o f p o i nt s a re l i n e a r l y
b y t w o o r e i g h t ,
r e s p e c t i v e l y , s t a r t i n g w i t h
More r i g i d
p r o o f s a re l e f t t o t h e r e a d e r . s e p a r a t e d i f a n d o n l y i f
t h e i r
c o n v e x h u l l s
t h e m o s t
s i g n i f i c a n t
a n d p r o c e e d i n g t o t h e
E x a m p l e :
a r e n o n - i n t e r s e c t i n g . 2
l e a s t s i g n i f i c a n t
d i g i t .
U t i l i z i n g
t h i s
s e r i e s
e x p a n s i o n
a n o t he r t e ch ni q ue
c a n b ed e v e l - B i n a r y n u m b e r 7
1 1 , 1 1 0 , 1 0 1 , 0 0 0 , 0 1 1 , 1 0 1 , 0 0 1 .
P r o o f : Th e
" i f "
p a r t i s a known r e s u l t
o f
o p e d w h i c h
i s
s i m p l e r a n d y i e l d s a r e s u l t
i n
O c t a l n u m b e r 7 6 5 0 3 5 1 .
72
= 1 4 3
A
l i n e a r
a l g e b r a .
To
p r o v e
t h e
" o n l y
i f , "
a s -
r e l a t i v e l y
s h o r t o r d e r . ( T h e a u t h o r n o t e s
1 s t i t e r a t i o n
- 1 4
s u m e t h a t
t h e c o n v e x
h u l l s o f t h e
l i n e a r l y
t h a t
h e
i s
n o t t h e o r i g i n a t o r ,
b u t t o h i s 1 s t i t e r a t i o n 6 2 5 0 3 5 1 .
6 2 - 2
= 1 2 4 s e p a r a t e d s e t s
S
a n d
S 2 i n t e r s e c t . T h e r e t h e n
k n o w l e d g e
t h i s t e c h n i q u e h a s n o t b e e n
p r e - A
e x i s t s
a t
l e a s t one
p o i n t p
w h i c h i a
convex
v i o us l y p ub li s he d. )
Th e t e c h n i q u e s e e m s
2 n d
i t e r a t i o n
-124
c o m b i n a t i o n
o f
a s e t o f p o i n t s f r o m
S I
a n d
n o v e l a n d w o r t h t h e a t t e n t i o n o f
PGEC
2 n d i t e r a t i o n 5 0 1 0 3 5 1 .
5 0 1
- 2
= 1 0 0 2
a l s o o f a s e t o f
p o i n t s f r o m S 2 . I t c a n
b e
r e a d e r s . Th e
f o l l o w i n g d e s c r i b e
t h e
3 r d i t e r a t i o n
- 1 0 0 2
s h o w n 4 t h a t
i f
e a c h
p o i n t a s e t
o f p o i n t s
p r o c e s s :
3 r d i t e r a t i o n 4 0 0 8 3 5 1 .
4 0 0 8 - 2
= 8 0 1 6 s a t i s f i e s a l i n e a r i n e q u a l i t y ,
t h e n a l l c o n v e x
I ) O r g a n i z e
t h e b i n a r y
d i g i t s
i n g r o u p s
4 t h i t e r a t i o n -
A
c o m b i n a t i o n s o f t he s e p o in t s a l s o o b e y
t h e
o f
t h r e e , i n s e r t i n g
o n e o r t w o z e r o s a t
h
i t e r a t i o n
-
8 0 1 6
i n e q u a l i t y .
S i n c e
t h e r e e x i s t s
a
h y p e r p l a n e
m o s t s i g n i f i c a n t
e n d
i f r e q u i r e d .
4 t h
i t e r a t i o n
3 2 0 6 7 5 1 . 3 2 0 6 7 - 2 = 6 4 1 3 4 s e p a r a t i n g S I a n d
S 2 , t h i s d e t e r m i n e s a n
i n -
Convert each t h r e e b i t gr o up t o
i t s 5 t h
i t e r a t i o n -
A
equality s a t i s f i e d
by points
of S i , bu t no t
by
2 )
o t
eale
6 4 1 3 4
p o i n t s o f S 2 . T h e n , s i n c e p
i s
a c o n v e x c o m -
o c t a l
e q u i v a l e n t .
5 t h
i t e r a t i o n 2 5 6 5 4 1 1 .
2 5 6 5 4 1 - 2 = 5 1 3 0 8 2
b i n a t i o n o f a s e t o f
p o i n t s f r o m S i , p
m u s t
3 )
S e l e c t m o s t
s i g n i f i c a n t
o c t a l
d i g i t
a n d
A.
..
d o u b l e ,
u s i n g r a d i x
t e n
a r i t h m e t i c .
6 t h i t e r a t i o n -
5 1 3 0 8 2 s a t i s f y t h i s i n e q u a l i t y . S i n c e
p i s a
c o n v e x
4 ) S h i f t r e s u l t o f p r e v i o u s s t e p r i g h t o n e 6 t h i t e r a t i o n 2 0 5 2 3 2 9 .
e n d , d e s i r e d d e c i m a l
c o m b i n a t i o n o f p o i n t s
f r o m S 2 , p m u s t f a i l
t o
p o s i t i o n a n d
s u b t r a c t f r o m o p e r a n d .
n u m b e r .
s a t i s f y t h i s i n e q u a l i t y . T h i s
i s
c o n t r a d i c t o r y ,
5 )
S e l e c t
m o s t a n d n e x t - t o - m o s t s i g -
C o n c l u s i o n :
T h e
t e c h n i q u e
d e s c r i b e d
i s
a t h e r e f o r e
S
a n d
S 2
a r e
n o t
l i n e a r l y
n i f i c a n t
d i g i t s
o f
n e w l y
f o r m e d
o p -
s i m p l e r
t h a n t h e
r e c u r s i v e
p r o c e s s
o f
a d d i n g
e r a n d l , d l o u b l e
u s i n g
r a d i l x
t e n a n t h -
m e t i c ,
a n d o r e p e a t s t e p
f o u r .
i n o c t a l c o e f f i c i e n t s a n d
m u l t i p l y i n g b y C o r o l l a r y :
I f t h e r e
e x i s t s a t l e a s t
o n e
6 )
Th e
f i n a l s u b t r a c t i o n
o c c u r s w h e n
t h e
e i g h t , because multiplication
by e i g h t i s point w h i c h
i s a c onv ex
combination
o f
s h i f t e d d u p l a t i o n
r e g i s t e r s i t s
L e a s t
m o r e c o m p l e x than
by two. The process o f
points f r o m
S i
a nd w h i c h
i s
a l s o a
c onv ex
S i g n i f i c a n t
D i g i t (LSD) u n d e r
t h e
s u b t r a c t i o n i s comparable
t o e x c e p t
combination o f p o i n t s from S 2 , then
S i
a nd
LS D o f t h e o p e r a n d Th e number
i n
that n u m b e r s with m o r e d i g i t s ar e sub-
S 2 ar e n t l i n e a r l y
separated.
L S D o f t h e
e s i r e d
e r a n d .
Sr e t
h e
r
i n
t r a c t e d .
t h e
d e s i r e d r a d i x i s
r e p r e s e n t e d
b y
t h e
O n e
m a y
n o t e
t h a t t h i s m e t h o d
i s
f e a s i b l e
A n a l g e b r a i c t e s t f o r l i n e a r s e p a r a t i o n
f i n a l
o p e r a n d ,
i . e . ,
t h e r e s u l t
o f t h e
f o r c o n v e r s i o n
o f o t h e r r a d i c e s .
H o w e v e r ,
t h e
can be o b t a i n e d from t h i s c o r o l l a r y w h i c h
f i n a l s u b t r a c t i o n .
f a c t o r , d e l t a ( 8
= q - p ) ,
may
b e a l t e r e d .
l e a d s t o a s e t
o f n+2 l i n e a r e q u a t i o n s i n
m
S u m n m a r y :
F o r e a c h
i t h
i t e r a t i o n , s e l e c t
J O H N
t .
C o r p
u n k n o w n s , w h e r e n i s t h e
d i m e n s i o n a l i t y
o f
t h e m o s t
s i g n i f i c a n t d i g i t s ,
d o u b l e ,
s h i f t
I n t e r n a t i o n a l E l e c t r c
C o r p .
t h e s p a c e , a n d
m i s t h e t o t a l
n u m b e r
o f
r i g h t
o n e
p o s i t i o n ,
a n d s u b t r a c t f r o m
o p -
P a r a m u s , N J - p o i n t s i n
S i
a n d S 2 .
I f t h e s e e q u a t i o n s
h a v e
e r a n d
t o f o r m new
o p e r a n d .
W h en LSDs o f
a
n o n - n e g a t i v e s o l u t i o n ,
t h e n t h e s e t s
a r e
s u b t r a h e n d a n d
o p e r a n d
a r e
i n
s a m e p o s i -
n o t
l i n e a r l y s e p a r a t e d .
T h i s s e t o f
l i n e a r
t i o n ,
t h e
f i n a l
o p e r a n d
i s
t h e
d e c i m a l
e q u i v a -
e q u a t i o n s
i s
d e v e l o p e d
a s
f o l l o w s .
l e n t
o f
t h e
o r i g i n a l o c t a l n u m b e r .
L e t
p
b e
a
p o i n t
c o n t a i n e d
i n
t h e
convex
A n a l y s i s :
h u l l s
o f
b o t h
S i
a n d
S 2
( i f
s u c h a
p o i n t
e x i s t s ) .
Then
p
m u s t
b e
a convex c o m b i n a -
a i p i
=
a , p n
+-
a , ,
.
P n -
.
t i o n o f
p o i n t s
f r o m
S
a n d a l s o o f
p o i n t s
f r o m
o Y P
=
S 2 .
L e t t h e r e
b e
mi
p o i n t s
i n S I a n d
m p o i n t s
i n S 2 . L e t C j k
r e p r e s e n t
t h e
k t h c o o r d i na te
- 1 -
A N o t e on L i n e a r S e p a r a t i o n *
o f t h e
j t h p o i n t ,
w h e r e
we
d i s t i n g u i s h
b e -
m
A
Note
on
Linear
S e p a r a t i o n *
t w e e n t h e
s e t s b y s p e c i f y i n g
t h a t t h e r a n g e
N
q
b i - q i
=
b . -
q m
+
bmi
. q m - 1
. +
.
M c N a u g h t o n 1
h a s
p o i n t e d
o u t
t he n ee d
o f
j
o v e r
S i
i s f r o m
1
t o
m i ,
a n d o v e r
S 2
i s
°
f o r
a l g o r i t h m
t o d e t e r m i n e w h e t h e r t w o
f r o m
m i ± l
t o
m ± m M 2 =
m.
T h e n t h e r e i s
+ b o . q
s e t s
o f p o i n t s i n a n n - d i m e n s i o n a l E u c l i d e a n
a s s o c i a t e d
w it h e a c h p o i n t a
n o n - n e g a t i v e
s p a c e a r e
l i n e a r l y
s e p a r a t e d , i . e . , may b e
p e r -
w h e r e
N 5 i s e q u i v a l e n t
t o N 5 . f e c t l y
s e p a r a t e d
b y a h y p e r p l a n e i n
t h e
s t a t e m e n t o n e i t e r a t i o n o f t h e r e - n - d i m e n s i o n a l s p a c e .
He s u g g e s t s a n
a l -
c ur s iv e p ro c es s d e s c r i b i n g
t h i s p r o p o s e d s o - g o r i t h m
f o r p o i n t s w i t h b i n a r y
c o o r d i n a t e s
l u l t i o n
c a n
b e e x p r e s s e d .
2 T h e c o n v e x
h u l l o f a s e t
o f p o i n t s S i s t h e
s m a l l e s t
c o n v e x s e t
c o n t a i n i n g S . I t i s t h e s e t a l l
c o n v e x
i - 2
c o m b i n a t i o n s o f s e t s f p o i n t s f r o m
S . '
N - = ( r , - q
+ a , -
_-
6 . r )
* p i - l
+
E a c E p i ,
* R e c e i v e d b y t h e PGEC, J u l y 5 , 1 9 6 1 ; r e v i s e d
3 I A .
E .
T a y l o r ,
" I n t r o d u c t i o n
t o
F u n c t i o n a l
'
m a n u s c r i p t
r e c e i v e d , A u g u s t
1 4 .
1 9 6 1 .
A n a l y s i s , "
J o h n
W i l e y
a n d S o n s , I n c . , Ne w
Y o r k ,
1 R . McNaughton, " U n a t e
t r u t h f u nc t io n s , " I R E N . Y . ;
1 9 5 8 .
T R A N S . ON ELECTRONIC COMPUTERS,
v o l . E R C - l 0 ,
P P .
4
S . I .
G a s s ,
" L i n e a r P r o g r a m m i n g , "
McGraw-
*
R e c e i v e d by t h e
PGEC,
A u g u s t 2 8 , 1 9 6 1 .
1 - 6 ; M a r c h . 1 9 6 1 .
H i l l Book C O . , I n c . , Ne w Y o r k , N .
Y . ;
1 9 5 8 .