Control System(1)

控制系統

‧清雲科技大學電機工程系

• Ya-Fu Peng• February, 2009

1

Control Systems

Control System(1) 2

內容

簡介

頻域模型頻域模型

時域模型

時間響應

互聯子系統之簡化

穩定度

穩態誤差

Control System(1) 3

從物理系統的示意圖推導數學模型

Chapter 2 Modeling in the Frequency Domain

頻域:轉移函數 Ch2

時域:狀態方程式 Ch3

Control System(1) 4

Chapter 2

為何採用頻域分析-便利性

Control System(1) 5

∫∞ −−

==0

)()()]([ dtetfsFtf stL

ωσ js +=

Chapter 2

拉氏轉換(Laplace Transform)

定義

其中

Control System(1) 6

Chapter 2

拉氏轉換表

Control System(1) 7

Chapter 2

拉氏轉換表

Control System(1) 8

Chapter 2

拉氏轉換表

Control System(1)

試求 的拉氏轉換

9

)()( tuAetf at−=

∫∞ −=

0)()( dtetfsF st

asA+

=

( )∫∞ +−=

0dteA tas ( )

∞

=

+−

+−=

0t

taseas

A

)(0as

A+

−−=

∫∞ −−=

0dteAe stat

Chapter 2

Ex:

Control System(1)

試求 的反拉氏轉換

10

( )( )23

1+

=s

sF

→ 12s

( )ttue t3−

( )ttu

( )=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+ 21

31

s-L

( ) →+ asF ( )tfe at−

Chapter 2

Ex:

Control System(1) 11

)()()()(

)()())(()(

)()()(

2

2

1

1

21

n

n

m

m

nm

psk

psk

psk

psk

pspspspssN

sDsNsF

++

+++

++

+=

++++=

=

LL

LL

Chapter 2

部分分式展開

狀況1： F(s)分母含有不同的實數根

Control System(1)

Chapter 2

部分分式展開

狀況2：F(s)分母的根為實根且重根

)()()()(

)()()()(

)()()(

1

11

1

2

1

1

21

n

nrrrr

nr

psk

psk

psk

psk

pspspssN

sDsNsF

++

+++

++

+=

+++=

=

−+− LL

L

12

Control System(1)

Chapter 2

部分分式展開

狀況3：F(s)分母的根為複數根或虛根

L

L

+++

++

+=

+++==

)()(

))(()(

)()()(

232

1

1

21

rqssksk

psk

rqsspssN

sDsNsF

13

Control System(1)

，其中

14

)(32)(32)(12)( tutytyty =+′+′′0)0()0( ==′ −− yy

ssYssYsYs 32)(32)(12)(2 =++

)0()0()()( 2 −− ′−−→′′ ysysYsty

)0()()( −−→′ yssYty

stu 1)( →

Chapter 2

Ex:

)3212(32)( 2 ++

=sss

sY

Control System(1)

( ) ( )81

421

)8()4(

)8)(4(32

)3212(32)(

321

2

++

+−=

++

++=

++=

++=

ssssk

sk

sk

sssssssY

Chapter 2

)8(1

)4(21)(

++

+−=

ssssY

)()(2)()( 84 tuetuetuty tt −− +−=

1 -L

)()21()( 84 tueety tt −− +−=

15

Control System(1)

，其中

16

6)(7)(9)(2 =+′+′′ tytyty0)0()0( ==′ −− yy

Chapter 2

練習題

Control System(1) 17

)2()2()1()2)(1(2)( 32

212 +

++

++

=++

=sk

sk

sk

sssF

( ),2

22

121 =+

=−→ss

k ( ) 212

22 −=+=

−→ssk

Chapter 2

EX:

2)1(

2)(!)12(

1

22

2

13 −=+

−=

−=

−→−→ ss sdssdFk

)2(2

)2(2

12)( 2 +

−+

−+

=sss

sY1 -L

)()222()( 22 tueteety ttt −−− −−=

Control System(1) 18

)52(

)52(3)(

2321

2

+++

+=

++=

ssksk

sk

ssssF

53

)52(3

021 =++

=→sss

k

skskss

skskssk

32

22

32

22

1

)52(533

)52(3

++++=

++++=

56 ,

53

32 −=−=⇒ kk

Chapter 2

Ex:

接著兩邊同乘分母可得：

Control System(1) 19

( )( )

( )( ) ( ) 2222

22

2

21

221

53

21

153

53

21531

53

53

5256

53

53

)(

++

⋅⋅−+

++

+−+=

++

−+−+=

++

−−+=

ss

s

s

s

s

s

ss

s

ssF

tetety tt 2sin1032cos

53

53)( −− −−=

Chapter 2

1 -L

( ) )(

22232

ωω

++++

⇒++

+as

BasArqss

ksk

tAeas

asA at ωω

cos)(

)(22

−⇒++

+

tBeasB at ω

ωω sin)( 22

−⇒++

Control System(1) 20

2

24321

2

)3(3

10

)3(9

40

)2(59

5)3()3()2(

)3)(2(10)(

++

++

+−

+=

++

++

++=

++=

ssss

sk

sk

sk

sk

ssssF

ttt teeety 3323

109

40595)( −−− ++−=

Chapter 2

EX:

1 -L

Control System(1) 21

系統輸入 輸出

)(sR )(sY 0IC)()()(

=

≡sRsYsT

Chapter 2

轉移函數(Transfer Function):T(s)

n 階線性非時變微分方程

)()()(

)()()(

01

1

1

01

1

1

trbdt

trdbdt

trdb

tyadt

tydadt

tyda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

+++=

+++

−

−

−

−

−

−

L

L

)()()(

)()()(

01

1

01

1

sRbsRsbsRsb

sYasYsasYsam

mm

m

nn

nn

+++=

+++−

−

−−

L

L

L

Control System(1) 22

)()()()( 01

101

1 sRbsbsbsYasasam

mm

mn

nn

n +++=+++−

−−

− LL

Chapter 2

011

1

011

1)()()(

aasasabbsbsbsT

sRsY

nn

nn

mm

mm

++++++++

== −−

−−

L

L

)(sY

Control System(1) 23

)()(2)( trtydt

tdy=+

)()(2)( sRsYssY =+2

1)()()(

+==⇒

ssRsYsT

Chapter 2

Ex:試求轉移函數T(s)，若r(t)=1試求y(t)Sol:

25.05.01

21)()()(

+−

+=⋅+

=⋅=ssss

sRsTsY

tety 221

21)( −−=

1 -L

L

Control System(1) 24

57334

)()()(

)()34()()573()(3)(4)()(5)(7)(3)(

23

2

223

223

+++++

==⇒

++=+++⇒

++=+++

sssss

sRsYsT

sRsssYssssRssRsRssYssYsYssYs

)(3)(4)()(5)(7)(3)( 22

2

2

3

3

trdt

tdrdt

trdtydt

tdydt

tyddt

tyd++=+++

Chapter 2

Ex:試求轉移函數T(s)

Sol:

Control System(1) 25

2612

)()()( 2 ++

+==

sss

sRsYsT

)()(2)(2)(6)()()(2)(2)(6)(

)()12()()26(

2

2

2

2

trdt

tdrtydt

tdydt

tydsRssRsYssYsYs

sRssYss

+=++⇒

+=++⇒

+=++

Chapter 2

Ex:試由轉移函數T(s)求出對應的微分方程式

Sol:

Control System(1)

Chapter 2

電路之轉移函數

)()( sRIsVR =⇒電阻

)(1)( sICs

sVC =⇒電容

)()( ssLIsVL =⇒電感

)()()(Z

sIsVs =⇒阻抗

26

Control System(1)

Chapter 2

Ex:試求輸入電壓與電容電壓之轉移函數

)()(1)()( sVsIsC

sRIssLI =++

)()(1)()(0

tvdiC

tRidt

tdiLt

=++ ∫ ττL

27

Control System(1) 28

Chapter 2

11

)()(

)(1

1)(1)(

)(1

)(11)(

)()()1(

2

2

2

++=⇒

++==⇒

++=

++=⇒

=++

RCsLCssVsV

sVRCsLCs

sIsC

sV

sVRCsLCs

sCsV

sCRsL

sI

sVsIsC

RsL

C

C

11

2 ++ RCsLCs)(sV

)(sVC

Control System(1)

)()()( 2

sVsIsT =

Chapter 2

Ex:試求輸入電壓與電容上電流之轉移函數

29

Control System(1)

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−

=−+⇒ 0)(1)()]()([

)()]()([)(

22212

2111

sIsC

sIRsIsIsL

sVsIsIsLsIR

Chapter 2

30

Control System(1)

)()(1

0)(

)(1

2121

2

1

1

2 sV

CL

sCRsRRLRR

sL

sCsLRsL

sLsLRsL

sVsLR

sI++++

=

++−

−+−+

=

Chapter 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

++−

−+⇒

0)(

)()(

12

1

2

1 sVsIsI

sCsLRsL

sLsLR

)()()()(

)()(121

221

22 sV

RsLCRRsRRLCLCs

sVsIsT

++++==⇒

利用Cramer 法則

31