Normes sur les Incertitudes de Mesure

• XP X 07-020 appelé GUM : Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure

• NF X07-001 appelé VIM : Vocabulaire International des termes fondamentaux et généraux de Métrologie

• NF ISO 5725 : Exactitude (justesse et fidélité) des résultats et méthodes de mesure.

Michel TERRISSOLLAboratoire PLAsmas et Conversion d’Energie

GUM : Guide for the expression of

Uncertainties

Measurements

NF: ENV 13005

Incertitudes sur les Xi → quelle incertitude sur Y ?

X1

X2

Xi

YExpérience

ou Calcul

Incertitude-types sur les Xi

Incertitude-type de type A : obtenue à partir d'une densité de probabilité observée,théorique ou déduite d'une distribution d'effectif

Incertitude-type de type B : obtenue à partir d'une densité de probabilité supposée,fondée sur des degrés de croyance (scientifique !)

∫∞

∞−

== ηηη d)()( YgYEy

ηηη dygYVARyu Yc22 ))(()()( −== ∫

∞

∞−

( ) pgy

yY =∫ ηη d

max

min

ξ et η sont le valeurs possibles de X et Y

gX et gY densités de probabilité(PDF)

en général p= 0.95

L’intervalle de variation à p% de confiance, est défini par :

Problème : comment obtenir la PDF de Y ?

Incertitude-type composée sur Y

),...,,...,( 1 Ni XXXfY =

),...,,...( 1 Nif ξξξη =

Modélisation

,d,...,)d,...,(),...,(d)( 111 NNNY ξξξξfξξggy ∫∫∞

∞−

∞

∞−

== Xηηη

NNNc ξξyξξfξξgyu d...d)),...,()(,...,()( 12

112 −= ∫

∞

∞−X

On peut calculer y et uc(y) sans connaître gY

Mais difficultés pour la PDF du vecteur gX

Pour l’intervalle de confiance, il faudra alors admettre le type Gaussien de g(y)

( ) ( )∑=

−+≅N

iiiiNi xcxxxf

1 1 ,...,,... ξη

( )iii

i

ni xX

XXXfc =∀

∂∂

= ,...,

1

∑∑∑∑∑−

= +=== =

+==1

1 11

22

1 1

2 )(),()(2)(),()(N

i

N

ijjjjiii

N

jii

N

i

N

jjjiic cxuxxrxucxuccxxucyu

Connue sous le nom de Loi de Propagation des Incertitudes

Linéarisation

Coefficient de corrélation

( )sNsss ξξf ,2,1, ,...,, ξη =

Monte Carlo (1)

( ) .1)(VarE-E)(

E

2

1

1

1

21222

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−≅==

≅=

∑∑

∑

=

−

=

=

−

M

ss

M

ss

-c

M

ss

MMYYYyu

MYy

ηη

η

A partir des PDF des entrées Xi, on calcule par échantillonnage la PDF de Y

N valeurs d’entréeM tirages d’échantillons ηS

Monte Carlo (2)

( ) ( )MyuYu c

c ≅E devaleur

( ) ( ) 1et 11minmax

min +⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

= sss

s kFkFηηηηKk

( ) ( )k FMηg kY 11~ −=

( )( ) ( )kFηgu kYc

1

1~ =

( ) yUyUpg kk

k

kkky −=−== +−

=∑ max,min, ,et ,~max

min

ηηη

( ) ( ) ( )∑∑==

−−

==m

c

m

MMmu

Mm

1

2minmin,

2

min2

1min,min 1

et μ

μμ

μ ηηηηη

K intervalles

321 XXXY +−=

-2 0 20

0.2

0.4g X

i( ξi)

-1 0 1ξi / u( xi)

-2 0 20

0.5

1

G Xi(ξ i)

0 100 200 300Bin number kbin

0

5

10

g Y( k

)

0

103

g Y( k

)

←M=1000←M=1000 M=1000000→M=1000000→

η = f ξ1 ξ2 ξ2( , , ) kbin = (η- offset) factor

Intervalle de -1.75 à +1.75 par pas de 0.01 (350 points)

Si on ne possède pas de modèle, cette norme permet d’estimer justesse et fidélité d’une méthode d’essai.

En pratique, elle est appliquée lorsqu’on ne sait ou ne veut ou ne peut modéliser le processus de mesure.

Cette norme n’est applicable qu’aux méthodes de mesure formalisées qui offrent un résultat de mesure continu.

Qualité d’une ME : exactitude = fidélité +justesse

Norme NF ISO 5725

Utilisation de la norme NF ISO 5725

Exemple pour essais interlaboratoires utilisant le

même processus de mesure

FIDELITE

Reproductibilité• laboratoires différents • opérateurs différents• matériels différents• même méthode• pièces ou échantillons

identiques• délais variables

Essais interlaboratoires

Répétabilité• même laboratoire • même opérateur• même matériel• même méthode• pièces ou échantillons

identiques• court intervalle de temps

Essai intralaboratoire

Variance de reproductibilité = variance de répétabilité + variance interlaboratoires

sR2 = sr

2 + sL2

Répétabilité et reproductibilité correspondent aux deux extrêmes de la fidélité.

La dispersion est minimale en conditions de répétabilité et maximale en conditions de reproductibilité. Entre les deux existent des fidélités intermédiaires.

Exemple : A l’intérieur d’un même laboratoire, plusieurs opérateurs peuvent effectuer des mesures.

FIDELITE INTERMEDIAIRE

ESSAIS INTERLABORATOIRES

Laboratoires Mesures Moyennelaboratoire

Dispersionlaboratoire

1 y11........ y1n y1 s1

i yi1......... yin yi si

p yp1....... ypn yp sp

Elimination des valeurs aberrantes sur :- les moyennes (test de Grubbs)- les dispersions (test de Cochran)

- : moyenne des pour les valeurs retenues- calcul écarts-types de répétabilitésr et de reproductibilité sR

ypy

PRINCIPE DU TEST DE COCHRAN

Le test de Cochran permet de détecter les valeurs aberrantes en terme de dispersion.

La statistique C du test est :

où smax est l’écart-type le plus élevé de l’ensemble.Si la valeur C comparée aux valeurs limites du test de Cochran (données dans les tables) montre que smax est aberrant, on supprime la valeur et le test est reconduit sur les valeurs restantes.

Remarques :• Le test ne porte que sur les dispersions les plus fortes (et non pas les plus faibles)• L’hypothèse sous-jacente est la normalité. Attention aux rejets excessifs.• Si plusieurs si aberrants pour un même laboratoire à différents niveaux, il faut envisager de rejeter toutes les données de ce laboratoire.

∑=

= p

iis

sC

1

2

2max

Tables de Cochran

0,06750,08890,13080,14460,16160,18330,21190,25130,30930,40310,5813144

0,08790,11440,16550,18200,20220,22780,26120,30660,37200,47480,660236

0,11080,14290,20320,22260,24620,27560,31350,36450,43660,54660,734116

0,13570,17360,24390,26590,29260,32590,36820,42410,50170,61670,80109

0,14220,18150,25410,27680,30430,33840,38170,43870,51750,63330,81598

0,15010,19110,26660,29010,31850,35350,39800,45640,53650,65300,83327

0,16020,20340,28230,30670,33620,37260,41840,47830,55980,67710,85346

0,17350,21950,30290,32860,35950,39740,44470,50650,58950,70710,87725

0,19210,24190,33110,35840,39100,43070,48030,54410,62870,74570,90574

0,22050,27580,37330,40270,43770,48000,53210,59810,68410,79770,93923

0,27050,33460,44500,47750,51570,56120,61610,68380,76790,87090,97502

0,38940,47090,60200,63850,67980,72710,78080,84120,90650,96690,99851

20151098765432de s²j

variancesdeNombred° liberté

Valeurs limites de C à 5% de risque

PRINCIPE DU TEST DE GRUBBS

Le test de Grubbs permet de détecter les valeurs aberrantes en terme de moyenne.

On calcule la statistique G du test :

• pour la moyenne la plus élevée :

• pour la moyenne la plus faible :

avec :

syyG −

= max

∑=

−−

=p

ii yy

ps

1

2)(1

1

syyG min−

=

3,3362,95650

3,2922,91445

3,2402,86640

3,1782,81135

3,1032,74530

3,0092,66325

2,8842,55720

2,8542,53219

2,8212,50418

2,7852,47517

2,7472,43316

2,7052,40915

2,6592,37114

2,6072,33413

2,5502,28512

2,4852,23411

2,4102,17610

2,3232,1109

2,2212,0328

2,0971,9387

1,9441,8226

1,7491,6725

1,4921,4634

1,1551,1533

1%5%moyennes

Risque nb de

Valeurs limites de G

au risque considéré

Tables de Grubbs

PRINCIPE DU TEST DE GRUBBS (2)

• Si la comparaison des valeurs de G avec les valeurs limites du test montre que la moyenne la plus faible ou la moyenne la plus forte est aberrante, on supprime les données relatives à cette moyenne aberrante et le test est reconduit sur les valeurs restantes.• Si aucune des deux moyennes extrêmes n’est aberrante, il faut appliquer le test double de Grubbs qui permet de détecter si les deux plus grandes ou les deux plus petites moyennes sont aberrantes. •Le test de Grubbs peut être également appliqué à un résultat unique d’un laboratoire suspecté grâce à l’utilisation du test de Cochran.

ESSAIS INTERLABORATOIRES

∑

∑

=

=

−

−= p

iij

p

iijij

rj

n

sns

1

1

2

2

)1(

)1(

sp

n y ydj ij ij ji

p2 2

1

11

=−

−∑=

( )

VARIANCE DE REPETABILITE

VARIANCE INTERLABORATOIRES

∑

∑

=

== p

iij

p

iijij

j

n

yny

1

1

MOYENNEPour le niveau j :

j

rjdjLj n

sss

222 −=

VARIANCE DE REPRODUCTIBILITE

222LjrjRj sss +=n

pn

n

nj ij

i

p iji

p

iji

p=−

∑ −∑

∑

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

=

=

11 1

2

1

1

ESSAIS INTERLABORATOIRES

p

ss

p

ii

r

∑== 1

2

∑=

−+−

−=

p

iriR s

nnyy

ps

1

22 1)(1

1

REPETABILITE

REPRODUCTIBILITE

p

yy

p

ii∑

== 1

MOYENNE

Lorsque le nombre de laboratoires est p et qu’ils effectuent le même nombre de répétitions n :

NORMES NF ISO 5725 + FD X 07-021EXPRESSION DE L’INCERTITUDE

1/ Le laboratoire a participé à des essais interlaboratoires

• Il peut utiliser l’écart-type de reproductibilité comme estimateur de l’incertitude.

uc(y) = sR

Dans ce cas, il s’agit certainement d’un majorant de l’incertitude de celaboratoire.

• Les fidélités intermédiaires communes ou spécifiques peuvent être utilisées lorsqu’elles ont été déterminées. L’estimateur de l’incertitude est alors l’écart-type de fidélité intermédiaire.

uc(y) = si

NORMES NF ISO 5725 + FD X 07-021 EXPRESSION DE L’INCERTITUDE

2/ Le laboratoire n’a pas participé à des essais interlaboratoires

• Des résultats d’essais interlaboratoires ont été publiés pour cette méthodeLe laboratoire peut utiliser les résultats des ces essais interlaboratoires, s’il peut justifier qu’il emploie la même méthode et le même modèle statistique d’analyse.

• Aucun résultat d’essais interlaboratoires n’a été publié pour cette méthodeLe laboratoire peut estimer l’incertitude par une fidélité intermédiaire déterminée sur ses propres résultats d’essais et en se conformant à la partie 3 de l’ISO 5725.

NORMES NF ISO 5725COMPARAISON DE RESULTATS

r : limite de répétabilité r = 2,8sr

R : limite de reproductibilité R= 2,8sR

Ces limites servent à comparer deux résultats d’essais uniques entre eux.

• Dans des conditions de répétabilité, si la différence absolue des résultats est inférieure à r, ils sont acceptés.

• Dans des conditions de reproductibilité, si la différence absolue des résultats est inférieure à R, ils sont acceptés.

Sinon, ils sont suspects.

NORMES NF ISO 5725COMPARAISON DE RESULTATS

Type de comparaison Différence critique Valeurs àcomparer

Deux résultats d’essai dans unmême laboratoire

r y y1 2−

Deux résultats d’essai dans deuxlaboratoires

R y y11 12−

Deux groupes de mesure n1 et n2dans un même laboratoire 2 8 1

21

21 2, s

n nr +y y1 2−

Deux groupes de mesure n1 et n2dans deux laboratoires ( , ) ( , ) ( )2 8 2 8 1 1

21

22 2

1 2s s

n nR r− − −y y11 12−

Comparaison avec une valeur deréférence µ0 pour un laboratoire

ayant obtenu n résultats

12

2 8 2 8 12 2( , ) ( , ) ( )s s nnR r−− y − μ0

Comparaison avec une valeur deréférence µ0 pour p laboratoires

ayant obtenu ni résultats

12

2 8 2 8 1 1 12 2

ps s

p nR ri

( , ) ( , ) ( )− − ∑ y − μ0

AMELIORATION DU PROCESSUS DE MESURE

• Bien souvent l’estimation de l’incertitude permet d’améliorer le processus de mesure en mettant en évidence les sources d’erreur les plus importantes : les composantes les plus élevées de l’incertitude.

• S’il y a incompatibilité entre la valeur de l’incertitude et le besoin de la mesure, il faut alors changer le processus de mesure (principe de mesure, mode opératoire, instruments, qualification des opérateurs, conditions d’environnement, etc.) pour diminuer les erreurs puis calculer à nouveau l’incertitude.