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LGEBRA | N2PAMER CATLICA NIVELACIN 2014-II 1

ECUACIONES: ECUACIN LINEAL, SISTEMA LINEALY ECUACIN CUADRTICA

LGEBRA

ACADEMIAS

DESARROLLO DEL TEMA

sistema de ecuaciones

linealesA. Defnicin

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales,

con dos o ms variables o incgnitas, que se verifican

en forma simultnea slo para un determinado conjunto

de valores que toman dichas variables, denominado

conjunto solucin(C.S). As por ejemplo:

2x +y =10 xy =8

Ambas ecuaciones tienen como soluciones x =6; y =2

Comprubalo!

1. Mtodos de resolucin A continuacin veremos diversos mtodos para

encontrar la solucin, si la hay, de un sistema

de dos ecuaciones con dos incgnitas. Engeneral, cualquier sistema puede resolverse por

cualquiera de los mtodos descritos, pero en la

prctica, dependiendo de la forma que tengan las

ecuaciones, ser mas fcil aplicar un mtodo que

los otros, por ello es bueno que dominemos todos

y saber sacarle provecho a cada uno de ellos en los

casos particulares. Estos mtodos son:

1. Mtodo de igualacin.

2. Mtodo de sustitucin.

3. Mtodo de reduccin.

a. Mtodo de igualacin Consiste en despejar de ambas ecuaciones

UNA DE LAS INCGNITAS, para luegoIGUALARLAS.

Los pasos a seguir son:

1 Despejamos una de las variables de las dos

ecuaciones.

2 Igualamos dichas ecuaciones y resolvemos para

encontrar el valor de la variable que queda.

3 Sustituimos el valor de esta variable en

alguna de las ecuaciones del primer paso y

resolvemos para obtener el valor de la otra

variable.

4 Comprobamos la solucin sustituyendo los

valores en ambas ecuaciones.

Ejemplo:

3x +2y =16...........(1) x y =2 ............(2)

Solucin: De la ecuacin (1) despejamos "x": x =(162y)/3 De la ecuacin (2) despejamos "x": x =y +2

Igualando las dos ecuaciones obtenemos:(162y)/3 =y +2162y =3y +6

2y3y =6165y =10

y =2

Ahora sustituimos este valor en la ecuacin (2)

x2 =2

x =4 C.S. ={4; 2}

b. Mtodo de sustitucin Consiste en despejar una incgnita de UNA DE

LAS ECUACIONESy luego SUSTITUIRestaexpresin en la otra ecuacin.


1 Despejamos una de las variables de una de

las dos ecuaciones.

2 Sustituimos esta expresin en la otra

ecuacin y resolvemos para encontrar el

valor de la variable que queda.

3 Sustituimos el valor de esta variable en la

ecuacin del primer paso y resolvemos para

obtener el valor de la otra variable.



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ECUACIONES: ECUACIN LINEAL, SISTEMA LINEAL Y ECUACIN CUADRTICA

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Ejemplo:

2x +y =4 ..............(1) x +y =2 ..............(2)

Solucin: De la ecuacin (1) despejamos "y": y =42x Esta expresin la reemplazamos en la ecuacin (2)

y efectuamos:

x +(42x) =2x +42x =2

x =2

x =2


2 +y =2

y =0 C.S. ={2; 0}

c. Mtodo de reduccin Consiste en IGUALARlos coeficientes de una

de las incgnitas en las dos ecuaciones para

luego ELIMINARLOSmediante la suma o restade ambas ecuaciones.


1 Multiplicamos las ecuaciones por los valores

que hagan que ambas ecuaciones tengan el

coeficiente de una de las variables iguales,

excepto tal vez por el signo.2 Se suman o se restan las ecuaciones para

eliminar esa variable.

3 Se resuelve la ecuacin resultante para

encontrar el valor de la variable que queda.

4 Se sustituye el valor obtenido en cualquiera

de las ecuaciones originales, para encontrar

el valor de la otra variable.



Ejemplo:

3x +2y =12...........(1)4x3y =1 ...........(2)

Solucin: Multiplicamos la ecuacin (1) por 3 y la ecuacin

(2) por 2

(3x + 2y =12).3(4x3y =1).2

Sumamos las ecuaciones resultantes:

9x +6y =36

8x6y =217x =34

x =2


3(2) +2y =126 +2y =12

2y =6

y =3

2C.S. ={2; 3}

ecuaciones cuadrticas o de

2do. grado

FORMA GENERAL

ax2+bx +c =0; a 0

Donde:

ax2

: Trmino cuadrtico. bx : Trmino lineal.

c : Trmino independiente.

Ejemplo:5x23x +7 =0

Toda ecuacin de segundo grado o cuadrtica posee dos

soluciones o races, a las que generalmente se les asignalos smbolos x1 y x2 respectivamente; de modo que el

conjunto solucin (C.S)de toda ecuacin de segundo gradoes { x1; x2 }

De la ecuacin ax2

+ bx + c = 0(forma estndar), sededucen otras formas de ecuaciones cuadrticas:

Si b =0, tenemos la ecuacin ax2+c =0 Si c =0, tenemos la ecuacin ax2+bx =0 Si b 0 y c 0, tenemos la ecuacin ax2+bx +c =0

Resolucin de ecuaciones cuadrticas

1. Ecuaciones de la forma ax2+ c = 0

Se despeja x2 y se aplica la propiedad de la raz

cuadrada, esto es:

Si: x2=c, c 0, entonces x = c

Ejemplos:

Resolver : 2x218 =0 Despejando : 2x2=18

x2=9 x = 3

Resolver : 4x2100 =0

Despejando : 4x2=100x2=25

x = 5

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EJERCICIOS DE CLASE

Nivel I

1. Resolver:2x3

+3x5

=9x15

+40

A. 40 C. 60

B. 50 D. 80

2. Luego de resolver: (x2)(x4) =5x(x4)

da como respuesta x1x2, siendo

x1x2.

A. 16 C. 1/2

B. 1/16 D. 2

3. Resolver:

2x5

3

5x34

+2 + 23

=0

A. 1 C. 3

B. 2 D. 4

4. Hallar el valor de x que satisfacela ecuacin:

3x8

+4x 9

4+ 7

80= 7

10+

12x 516

+2x 3

20

A.31

7

C.32

5B.

327

D.337

5. Calcule el valor de x en:

x +nn

+x +mm

=1

A. m C. mnmn

B. n D. mnn

6. Si c.b 0. a +1b

=1 y b +1c=1,

halla el valor de (abc).

A. 1/2 C. 2B. 1 D. 1

Nivel II

7. Halle x2en 2x

+x2

+2x =x; xC

A. 4

3 C. x C

B. 34

D. 3

8. Si la ecuacin paramtrica en "x"presenta infinitas soluciones calcule el

valor de a +b, en ax +1=2x +b2A. 2 C. 3B. 2 D. 2

9. Si:

b

a

xndx =xn+1

n +1 Iba=

bn+1

n +1

an+1

n +1,

halla el valor de y en la ecuacin

4

2x3dx =y +2.

A. 60 C. 56

B. 58 D. 54

10. Resolver la ecuacin lineal

ax+ 2 bb

bx+ 2 a

a=

1b

1a

;

a > b > 0 y halle x1A. a +b C. ab

B. 1a +b

D. a

11. Resuelve:

12x+1+

13y1

=56

22x+1+

33y1

=2

da como respuesta (x +y).A. 5/6 C. 11/6

B. 7/3 D. 5/3

12. Resuelve la ecuacin en "x" ax +b2=a2+bx / a b

A. {ab}B. {a +b}C. {ba}D. {2a}

13. Dada la ecuacin

x12+2x26 +3x312

=4x420

cuyo conjunto solucin es

a5

.

Halla el valor de "a".

A. 3 C. 4

B. 5 D. 6

14. Resuelve:

3x +5y =9

3x +7z =8

5y +7z =7

Da como respuesta xyz.A. 1/5 C. 4/7

B. 3/7 D. 7/3

15. Resuelve la siguiente ecuacin en"x"

axb3

b+bxa

3

a=2(abx);

a > 0 > b.A. {ab} C. {a}

B. {ab} D. {b}

16. Resolver:

ab

JKL1 a

x

NOP+ b

a

JKL1 b

x

NOP=1

A. ab C. a2ab+b2

B. a +b D. a2+b2

Nivel III

17. Resolver:

5x3

+2x +6 x x

34x

9=450 000

A. 90 000 C. 950 000B. 80 000 D. 9500

18. Resolver:(x1)(x2)+(x1)(x3)=2(x2)(x3)

A. 1 C. 7/3

B. 6/7 D. 3/7

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