· Web viewDeterminar que capital podemos tomar en préstamo durante 6 años, a una tasa anual efectiva de 15%, si disponemos de anualidades de Bs. 1.775.967,11 para la cancelación

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO

“DAVID AUSUBEL”SEMIPRESENCIAL

TECNOLOGÍA EN:

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

ESPECIALIDAD: CONTABILIDAD Y AUDITORIA

MATEMATICAS FINANCIERAS II

AUTOR: M.Sc. VINICIO NICOLALDE MORETA

QUITO - ECUADOR

Octubre 2011

1

ÍNDICE

TEMA PAG.

INTRODUCCIÓN 4

CONTENIDOS 5

COMPETENCIA GENERAL 6

UNIDAD I: COMPETENCIA ESPECÍFICA 7

ORIENTACIONES DE ESTUDIO 7

CAPITALIZACIÓN SIMPLE 7

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 9

ANUALIDADES 11

DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN 11

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS 12

MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD 13

FORMULAS DE ANUALIDADES 15

PAGO PERIÓDICO, PLAZO, TASA DE INTERÉS 16(MEDIANTE INTERPOLACIÓN)

ANUALIDADES ANTICIPADAS: VALOR FUTURO, PRESENTE 21

ANUALIDADES DIFERIDAS: VALOR PRESENTE, RENTA 24

UNIDAD II: COMPETENCIA ESPECÍFICA 32


II. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN 32

SISTEMA DE AMORTIZACIÓN 32

CÁLCULO DE LOS VALORES DE LAS AMORTIZACIONES 32

ELABORACIÓN TABLA DE AMORTIZACIÓN 33

INTERÉS EN EL VALOR DE UN BIEN ADQUIRIDO 33

2

FONDOS DE AMORTIZACIÓN 34

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN 38

UNIDAD III: COMPETENCIA ESPECÍFICA 44


III. BONOS 44

INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES 44

PRECIOS DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES 45

COMPRA A PREMIO O DESCUENTO 47

EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO 48

PROBLEMAS PROPUESTOS 49

BIBLIOGRAFÍA 53

3

INTRODUCCIÓN:

Las Matemáticas Financieras es una derivación de la matemática aplicada

que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el

tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de

evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.

Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o

ingeniería económica.

Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra

en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a

registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público,

que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una

inversión. Con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los

instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje,

garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en

que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a

interés.

Con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados

en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios

económicos.

Con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven

problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen

empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas

financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuanto a

inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien

a toda la población.

Con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el

cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de

los equipos industriales de producción. Con la informática, que permite

4

optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos,

inversiones y negociaciones.

Con la sociología, las matemáticas financieras trabaja con inversiones y

proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas

produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor

calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con

activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos

otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos

fundamentales de las matemáticas financieras.

Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente

práctica, su estudio está íntimamente ligado a la resolución de problemas y

ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de los

negocios.

CONTENIDOS:

1 UNIDAD I (breve repaso sobre: capitalización simple y compuesta); ANUALIDADES.

1.1Capitalización Simple

1.2Capitalización Compuesta

1.3Anualidades (acumulación compuesta de una serie uniforme).

1.3.1 Definiciones y clasificación.

1.3.2 Anualidades ciertas ordinarias.

1.3.3 Monto (valor futuro) y valor presente de una anualidad.

1.3.4 Formulas de anualidades.

1.3.5 Pago periódico, plazo, tasa de interés (mediante interpolación).

1.3.6 Anualidades Anticipadas: Valor Futuro, Valor Presente

1.3.7 Anualidades Diferidas: Valor Presente, Renta

5

2 UNIDAD II AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION.

2.1 Sistema de amortización.

2.1.1 Cálculo de los valores de las amortizaciones.

2.1.2 Elaboración tabla de amortización.

2.1.3 Interés en el valor de un bien adquirido.

2.1.4 Extinción de deudas consolidadas.

2.2Fondos de amortización.

2.2.1 Tabla del fondo de amortización.

3 UNIDAD III BONOS.

3.1Introducción y definiciones.

3.2Precios del bono en una fecha de pago de intereses.

3.3Compra a premio o descuento.

3.4 El precio cotizado de un bono.

COMPETENCIA GENERAL:

Que los estudiantes conozcan y dominen los factores que entran en juego en el

cálculo: de capitalización simple, el descuento simple, la capitalización

compuesta, las anualidades, las amortizaciones, los fondos de amortización y

los bonos, y suministrarles las herramientas matemáticas para que manejen

estos factores y los apliquen en la solución de problemas frecuentes en el

campo financiero.

6

UNIDAD I

COMPETENCIA ESPECÍFICADomina la base conceptual y aplica elementos matemáticos financieros de

anualidades.

ORIENTACIONES DE ESTUDIOPor tratarse de una Unidad introductoria con temas de repaso, inicialmente, se

recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los factores que

intervienen en la capitalización simple y compuesta, así como también con los

principios de matemáticas financieras para resolver toda clase de problemas de

acumulación compuesta de series uniformes o anualidades.

Deben llegar a conocer y dominar las fórmulas para resolver toda clase de

anualidades. Se desarrollarán ejercicios de aplicación en clase y se enviarán

problemas propuestos para su resolución en casa.

I. BREVE REPASO SOBRE CAPIALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA; ANUALIDADES

En todas las actividades financieras se acostumbra a pagar un rédito por el uso

del dinero prestado. Toda persona o empresa que obtiene un préstamo queda

obligada a pagar un rédito (renta de capital) o interés, por el uso del dinero

tomado en préstamo. En general el dinero genera dinero, acumulando valores

que varían con el tiempo; el análisis de las causas de la acumulación del dinero

con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas.

Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en

préstamo.

1.1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE (Interés Simple)

El interés o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo,

depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la

cantidad de dinero prestada y con el tiempo de duración del préstamo.

7

Para el cálculo del Monto o capital final, se utiliza la siguiente fórmula:

Cn = Co (1+n* i)

Cn = Monto o Capital final

Co = Capital inicial

i = tasa de interés

n = número de períodos o tiempo

El Monto de Interés ganado o pagado se obtiene por la diferencia entre el

Capital final menos el Capital inicial:

I = Cn – Co

De la primera fórmula se despeja cualquier incógnita que se desee calcular, de

acuerdo a los datos conocidos, así tenemos:

Para calcular el Valor o capital inicial: Co= Cn1+n∗i

Para calcular la tasa de interés: i¿

CnCo

−1

n

Para calcular el tiempo: n¿

CnCo

−1

i

Ejemplo:

1.- Una persona necesita $ 10.500 y para obtenerlos firma un pagaré a 90 días

con la tasa de descuento bancario del 14%. Calcular el valor del pagaré

firmado.

Co = 10.500

n = 3 meses

i = 14% /12 = 1,17%= 0,0117

8

Cn = Co (1+n* i)

Cn = 10.500 (1+ 3 * 0,0117)

Cn = 10.500 (1+ 0,0351)

Cn = 10.500 (1,0351)

Cn = 10.868,55

1.2.- CAPITALIZACIÓN COMPUESTA (Interés Compuesto)

En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses

permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada

intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al

capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el

siguiente intervalo o período de tiempo, y así sucesivamente, se dice que los

intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.

En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada

final de período, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.

Período de capitalización.- es el intervalo de tiempo convenido en la

obligación, para capitalizar los intereses.

Tasa de interés compuesto.- es el interés fijado por período de capitalización.

Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto, es el valor

del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los

intereses.

Ejemplo:

1.- Se adquiere una deuda de $ 1.000 a 5 años de plazo al interés del 10 % con

capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben

capitalizarse. A continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda

el capital acumulado al final de cada período, que en este caso es anual.

9

Numero de

períodos

Capital al inicio de

período

Interés en el

período

Capital más intereses

a final de período

1 1.000,00 100,00 1.100,00

2 1.100,00 110,00 1.210,00

3 1.210,00 121,00 1.331,00

4 1.331,00 133,10 1.464,10

5 1.464,10 146,41 1.610,51

Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:

Cn = Co (1+n* i)

Cn = 1.000 (1+ 5 * 0,10)

Cn = 1.000 (1+ 0,50)

Cn = 1.000 (1,50)

Cn = 1.500

Valor Final (Cn) a interés compuesto = 1.610,51

FÓRMULAS:Para calcular el Monto o Valor Futuro Cn

Cn=Co(1+i)n

Para calcular el Valor Presente Co

Co= Cn(1+i)n

Para calcular el Monto del Interés II=Cn−Co

Para calcular la tasa de interés i

i= n√ CnCo - 1

10

Para calcular la duración n

n= logCn−logColog(1+i)❑

Ejemplo:

2.- Calcular el Valor Futuro de un depósito de $ 6.000, al 9% anual de interés

compuesto, capitalizable semestralmente, durante 14 años 6 meses.

Co = 6.000

i = 9% /2 = 4,5% semestral = 0,045

n = 14 años 6 meses = 29 semestres

Cn=Co(1+i)n

Cn=6.000(1+0,045)29

Cn=6.000(3,58)❑

Cn=21.480❑

1.3.- ANUALIDADES (ACUMULACIÓN COMPUESTA DE UNA SERIE UNIFORME).

1.3.1 Conceptos y clasificación

Una Anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales

de tiempo. Ejemplos de anualidades son abonos semanales, pagos de renta

mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de

intereses sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida, etc.

Intervalo de pago.- El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la

anualidad se conoce como intervalo de pago.

11

Plazo de la anualidad.- El tiempo contado desde el principio del primer

intervalo de pago hasta el final del último intervalo de pago se conoce como

plazo de la anualidad.

Renta.- Es el valor de cada pago periódico. La suma de todos los pagos

hechos en un año se conoce como renta anual; en consecuencia, una renta

anual de $2000 pagaderos trimestralmente significa el pago de $500 cada 3

meses.

Tasa de una anualidad.- es el tipo de interés fijado.

CLASIFICACIÓN

Según el tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: Anualidades

Ciertas y Anualidades Eventuales o Contingentes.

Anualidadades Ciertas.- son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se

conocen por estar estipuladas en forma concreta.

Anualidades Eventuales o contingentes son aquellas en las que el primer

pago ó el último, es decir, la fecha inicial ó la fecha final dependen de algún

suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse.

Una serie predeterminada de pagos periódicos forman una anualidad cierta; ya

que los pagos periódicos de primas en el seguro de vida terminan al ocurrir la

muerte del asegurado, éstos forman una anualidad contingente.

Anualidades Perpetuas o perpetuidades.- éstas son una variación de las

anualidades ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.

Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan

las anualidades Ordinarias o vencidas y las anualidades Anticipadas.

1.3.2.- Una anualidad cierta ordinaria o Vencida es aquella en la cual los

pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer

pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo al final del

segundo intervalo de pago y, así sucesivamente.

12

Una anualidad es Anticipada si el pago se efectúa al principio del periodo de

pago.

Anualidades Inmediatas.- son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar

o terminar el primer período.

Anualidades Diferidas.- son aquellas en las que se estipula que el primer

pago debe efectuarse transcurrido cierto número de períodos.

ANUALIDADES CIERTAS

ORDINARIAS O VENCIDAS ANTICIPADAS

Inmediatas Inmediatas

Diferidas Diferidas

Perpetuas inmediatas Perpetuas inmediatas

Perpetuas diferidas Perpetuas diferidas

ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES

Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma

de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y numero de

periodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés.

Anualidades Simples.- son aquellas cuyo período de pago coincide con el

período de capitalización.

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS

1.3.3.- MONTO O VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD. Consideremos una anualidad ordinaria de $ 1000 anuales,

durante 4 años, al 5%.

1000 1000 1000 1000

13

0 1 2 3 4 periodos de interés

A S

El monto (S) de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los

distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Puesto que el

primer pago gana intereses 3 años, el segundo pago 2 años, el tercero 1 año y

el cuanto coincide con el término del plazo, tenemos que:

S = 1000(1,05) 3 + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) + 1000

O, invirtiendo el orden,

S = 1000 + 1000(1,05) + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) 3

S = 1000(1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625)

S = 1000(4,310125) = $4310,12

El valor presente (A) de una anualidad es la suma de los valores presentes

de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo, por tanto,

A=1000( 1(1,05 )1 )+1000( 1

(1,05 )2 )+1000( 1(1,05 )3 )+1000( 1

(1,05 )4 )

A=1000( 11,05 )+1000( 1

1,1025 )+1000( 11,157625 )+1000( 1

1,21550625 )

A = $3545,95

Es conveniente que el estudiante represente cada anualidad en una línea de

tiempo tomando como unidad de medida el periodo de interés. No es necesario

marcar todos Los períodos de interés; sin embargo, el principio del plazo

(representado por 0 en la escala), el término del plazo (n, en la escala) y

algunos de los períodos de interés, deben mostrarse.

1.3.4.- Formulas de Anualidades

14

S= R [ (1 + i ) n -1] =(MONTO) Valor futuro i A = R [ (1 + i ) n -1] = Valor presente i (1+i) n

En donde:

R = el pago periódico de una anualidad,

i = la tasa de interés por período de interés,

n = el número de intervalos de pago = el número de períodos de interés,

S = el monto o valor futuro de la anualidad,

A = el valor presente de la anualidad.

Ejemplos:

Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.

a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8% anual, capitalizable semestralmente.

R = 2000

i = 8 % anual = 4 % semestral = 0,04

n = 8 ½ años = 17 semestres

S = 2000[(1 + 0,04) 17 -1] = 47.395,07 valor futuro 0,04

A = 2000[ (1 + 0,04) 17 -1 ] = 24.331,34 valor presente 0,04(1 + 0,04)17

b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.

R = 4000

i = 7,3 % anual = 0,073

n = 6 años

S = 4000[(1 + 0,073) 6 -1] = 28.830,35 valor futuro

15

0,073

A = 4000 [(1 + 0,073) 6 -1 ] = 18.890,85 valor presente 0,073(1 + 0,073)6

c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% anual, con capitalización mensual.

R = 200

i = 8 % anual = 0,67 mensual = 0,0067

n = 3 años 4 meses = 40 meses

S = 200 [(1 + 0,0067) 40 – 1 ] = 9.133,50 valor futuro 0,0067

A = 200 [(1+ 0,0067) 40 – 1 ] = 7.001,81 valor presente 0,0067(1+ 0,0067)40

1.3.5.- CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA.-

Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos para

lograr determinado resultado; así por ejemplo: ¿cuál es el pago mensual que

debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de

años?; ¿qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en un fondo

de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo?; ¿con qué cuotas

periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la

tasa de interés?

Se pueden plantear dos problemas, según se conozca el Valor Futuro por

cancelar en fecha futura o el Valor Presente por cancelar, mediante pagos

periódicos.

a) Cálculo de la Renta cuando se conoce el Valor Futuro

R=S i(1+i )n−1❑

16

El factor i

(1+ i)n−1❑ recibe el nombre de factor del fondo de amortización, que

corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro ascenderá

a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por período de pago.

Ejemplo:

Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones

que abona el 10 % anual, convertible trimestralmente, para acumular $ 50.000

al cabo de 5 años.

S = 50.000

i = 10 % /4 = 2,5 % = 0,025

n = 5 años * 4 = 20 trimestres

R=S i(1+i )n−1❑

R=50.000 0,025(1+0,025 )20−1❑

R=50.000 0,025(1,63862 )−1

R=50.000 0,0250,63862

R=1.957,35

b) Cálculo de la Renta cuando se conoce el Valor Presente

R=A i (1+i )n

(1+i )n−1❑

El factor i (1+i )n

(1+ i)n−1❑ recibe el nombre de factor de amortización, que

corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de

una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por período de pago.

17

Ejemplo:

Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de

$ 100.000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo, con un interés del

9% capitalizable semestralmente.

A = 100.000

i = 9% /2 = 4,5% = 0,045

n = 8 años = 16 semestres

R=A i (1+i )n

(1+i )n−1❑

R=100.000 0,045 (1+0,045 )16

(1+0,045 )16−1❑

R=100.000 0,045 (2,02237015 )❑

(2,02237015 )❑−1❑

R=100.000 0,091006661,02237015

R=100.000(0,08901537)

R=8.901,54

CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA.-Mediante interpolación

Ejemplos:

1.- Una compañía de Seguros ofrece, por un pago inmediato de $ 90.000, una

renta anual de $ 5.000 pagadera durante 30 años, al comprador o a sus

herederos. ¿qué tasa de interés abona esta compañía?

A partir de la fórmula: R (1+i)n−1i(1+i)n =A

18

Se tiene:

(1+i)n−1i(1+i)n = A

R

A = 90.000

R = 5.000

n = 30

Factor de Valor Presente (1+i)n−1i(1+i)n = 90.000

5.000 = 18

Para encontrar valores del Factor de Valor Presente, entre los cuales se halle

comprendido el valor 18,000000 se busca en la Tabla VI (correspondiente a

valores del Factor de Valor Presente FVP), en la línea correspondiente a n=30

Estos valores son:

Para i 4%, n 30 = 17,29203330; i = 0,04

Para i 312%, n 30 = 18,39204541; i = 0,035

Obsérvese que al aumentar i , disminuyen los valores del FVP

Para el valor dado FVP, i %, n 30 = 18, se calcula i por interpolación:

a 0,035 corresponde 18, 39204541 a i corresponde 18,000000

a 0,040 corresponde 17,29203330 a 0,040 corresponde 17,29203330

____________________________________________________________

−0,005 es a 1,10001211 como i−0,040 es a 0,70796670

−0,0051,10001211

= i−0,0400,70796670

i−0,040=(−0,005 )(0,70796670)

1,10001211

i=0,040−0,003218

i=0,036782

i=3,67 %

19

2.- Una persona ha depositado al final de cada mes $ 1.000 en una cuenta de

ahorros; al cabo de 5 años, tiene en su cuenta la suma de $ 70.542 ¿qué tasa

de interés promedio ha ganado?

A partir de la fórmula: R (1+i)n−1i

=S

Se tiene:

(1+i)n−1i

= sR

S = 70.542

R = 1.000

n = 5 * 12 = 60 meses

Factor de Valor Futuro (1+i)n−1i = 70.542

1.000 = 70,542

Para encontrar valores del Factor de Valor Futuro, entre los cuales se halle

comprendido el valor 70,542000 se busca en la Tabla V (correspondiente a

valores del Factor de Valor Futuro FVF), en la línea correspondiente a n=60

Estos valores son:

Para i 12%, n 60 = 69,77003051; i = 0,005

Para i 712%, n 60 = 71,59290165; i = 0,00583

Obsérvese que al aumentar i , aumentan los valores del FVF

Para el valor dado FVF, i %, n 60 = 70,542 se calcula i por interpolación:

a 0,00583 corresponde 71,59290165 a i corresponde 70,542000

a 0,005 corresponde 69,77003051 a 0,005 corresponde 69,77003051

____________________________________________________________

0,00083 es a 1,82287114 como i−0,005 es a 0,77196949

0,000831,82287114

= i−0,0050,77196949

i−0,005=(0,00083 )(0,77196949)

1,82287114

i=0,005+0,00035

20

i=0,00535

i=0,53 % (mensual )

ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS

1.3.6.- Anualidades AnticipadasUna anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o

vencen al principio del período de pago.

Anualidades simples ciertas anticipadas:ANUALIDADES VENCIDAS

1 2 n-2 n-1 n

0

1 2 3 n-1 n

ANUALIDADES ANTICIPADAS

Cálculo del Valor Futuro de las Anualidades simples ciertas anticipadas:Sea el diagrama de una anualidad anticipada de R por período

Š

−1 0 1 2 n-2 n-1 n

R R R R R R

Obsérvese que al agregar un último pago R se obtiene el valor futuro de una

anualidad vencida de R por período, pagadera durante n+1 períodos; restando

a éste valor el último pago R, el cual se había agregado, se obtiene el valor

futuro de una anualidad anticipada de R por período, pagadero durante n

períodos.

Para calcular el Valor Futuro se utiliza la siguiente fórmula:

21

Š=R[(1+i )n+1−1

i−1]

Ejemplo:

Una compañía deposita al inicio de cada año $ 20.000 en una cuenta de

ahorros que abona el 7 % de interés. ¿a cuánto ascenderán los depósitos al

cabo de 5 años?

0 1 2 3 4 5

20000 20000 20000 20000 20000 ŠR R R R R

R = 20.000

i = 7 %

n = 5

Š=R[ (1+i )n+1−1i

−1]

Š=20.000[(1+0,07 )5+1−1

0,07−1]

Š=123.065,81

Cálculo del Valor Presente de las Anualidades simples ciertas anticipadas:Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n períodos se

suprime el primer pago R, se tiene una anualidad vencida de R por período,

pagadero durante n-1 períodos.

Ä Š

0 1 2 n-1 n

22

R R R R R

Para calcular el Valor Presente se utiliza la siguiente fórmula:

Ä=R[(1+i )n−1−1i (1+i )n−1 +1]

Ejemplo:

Una compañía alquila un terreno en $ 4.000 mensuales y propone al propietario

pagar el alquiler anual a principio de año, con la tasa del 12 % convertible

mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual.

R = 4.000

i = 12 % /12 = 1 % mensual

n = 12

Ä=R[ (1+i )n−1−1i (1+i )n−1 +1]

Ä=4.000[ (1+0,01 )12−1−10,01 (1+0,01 )12−1 +1]

Ä=45.470,51

1.3.7.- Anualidades DiferidasUna Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza después de

transcurrido un intervalo.

Intervalo de aplazamiento.- es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o

fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago.

Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que

corresponde a un período de pago.

Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuará el primer pago de una

anualidad vencida de $ R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría:

k

23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A R R R R R R R

K = fecha inicial de la Anualidad Vencida

Tiempo diferido = 3 períodos semestrales

Tiempo de plazo de la anualidad = 7 períodos

Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad

Las anualidades diferidas se analizan como ordinarias vencidas

Ejemplo:

Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del 5to

año, cuando se requerirán $ 300 anuales para reparaciones. Se estima que de

ahí en adelante, se necesitarán $300 al final de cada año en los próximos 20

años. Hallar el Valor Presente del mantenimiento del puente, sobre la base de

3 %.

k

0 1 2 3 4 5 6 24

300 300 300

Segunda Primera

Fecha Focal Fecha Focal

Se observa en la gráfica que los gastos inician hasta finales del año 5. Se

considera el año 4 como la Fecha Focal a partir de la cual encontraremos el

primer valor presente, o sea, será la Primera Fecha Focal para los 20 pagos de

$ 300 anuales. Encontrando el Valor Presente en esta primera fecha focal,

encontraremos el Valor Presente en la Segunda Fecha Focal.

Primera Fecha Focal:

Datos: R = 300

n = 20

i = 3 % = 0,03

24

Valor Presente en el año 4 :

A=R 1−1 /(1+i)n

i

A=300 1−1 /(1+0,03)20

0,03

A=4.624,50

Llevando estos 4.624,50 a la Fecha Focal 2:

Segunda Fecha Focal:

A=4.624,50 1(1+i)n

A=4.624,50 1(1+0,03)4

A=4.108,80

Combinando las dos fórmulas anteriores tenemos:

A=R 1−1 /(1+i)n

i1

(1+i)k

En donde k = período de gracia ó tiempo diferido

Cálculo de la Renta o Anualidad

Para el cálculo de la anualidad R (ó Renta) se despeja el valor de R de la

fórmula del Valor Presente

25

R= A1−1/(1+i)n

i1

(1+i)k

Ejemplo:

Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 20.000 en un fondo

universitario que abona el 8 % a fin de que al cumplir 18 años comience a

recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios

durante 4 años. Hallar el costo de los estudios.

k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A R R R R

20.000

A = 20.000

i = 8 %

K = 5

n = 4

R= A1−1/(1+i)n

i1

(1+i)k

R= 20.0001−1/(1+0,08)4

i1

(1+0,08)5

R=8.872,41

Ejercicios resueltos:

26

Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes

condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante

2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la

última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% anual, con capitalización

mensual.

R = 1000

i = 9 % anual = 0,09/12 = 0,0075 mensual


A = 1.000[(1+ 0, 0075) 30 – 1 ] = 26.775,08 0,0075(1+ 0, 0075)30

2.500 1 = 1.983,09

(1+0,0075)31

26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.

¿Cuál es el valor de contado de un equipo industrial comprado con el siguiente

plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con

un último pago de $2.500, si se carga el 12% anual, con capitalización

mensual?

27

R = 1600

i = 12 % anual = 0,12/12 = 0,01 mensual


A = 1.600 [(1+ 0,01) 30 – 1 ] = 41.292,33 0,01(1+ 0,01)30

2.500 1 = 1.836,44

(1+0,01)31

41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta

Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima

que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el

rendimiento del dinero es del 8%.

A = 8.000.000[1 – (1+ 0, 08) -10 ] =53.680.651,19 respuesta. 0,08

En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habrá activos

recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas

las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.

28

1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23

53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8

694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta

En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que

abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,

aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a

disposición de ella a los 18 años.

S = 1.500 [(1 + 0, 08) 11 -1] =24.968,23 0,0824.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16

S = 3.000[(1 + 0, 08) 7 -1] =26.768,41 0,08

1.500(1 + 0,08)18= 5994,02

42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta

Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el

6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al

cabo de 20 años.

29

0,06 /12 =0,005 tasa mensual

S = 100[(1 + 0, 005) 240 -1] =46.204,09 Respuesta. 0,005

• Problemas propuestos

1. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias.

(a) $400 anuales durante 12 años al 2 ½%

(b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente.

(c) $500 trimestrales durante 8 años 9 meses al 6% convertible

trimestralmente.

Resp. (a) $5518,22; $4103.10 (b) $130608,98; $9362.05 (c) $22.796,04;

$13.537,80

2. B ahorra $600 cada año y los invierte al 3% c0nvertible semestralmente.

Hallar el importe de sus ahorros después de 10 años.

Resp. $13.874,20

3. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada

3 meses durante 15 años, suponiendo un interés de 5% convertible

trimestralmente.

Resp. $4203.46

4. M esta pagando $22,50 al final de cada semestre por concepto de la prima

de una póliza dotal, la cual le pagara $1,000 al término de 20 años. ¿Qué

cantidad tendría si en lugar depositara cada pago en una cuenta de ahorros

que le produjera el 3% convertible semestralmente?

Resp. $1221,03

5. ¿Que es mas conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado o

pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses.

Suponiendo interés calculados al 6% convertible mensualmente?

30

6. ¿Qué cantidad debió ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo que

produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros

semestrales de $600 cada uno, a partir del 1 de diciembre de 1950 y

terminando el 1 de diciembre de 1967?

Resp. $13.887,10

7. se estima que un terreno boscoso producirá $15.000 anuales por su

explotación en los próximos 10 años y entonces la tierra podrá venderse en

$10.000. Encontrar s valor actual suponiendo intereses al 5%

Resp. $121.965,15

8. suponiendo intereses al 5.2% convertible trimestralmente, ¿Qué pago único

inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno,

haciéndose el primero al final de tres meses?

Resp. $1354,85

9. M invierte $250 al final de cada 6 meses, en un fondo que paga el 3 ¾%,

convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo, (a) precisamente

después del 12 deposito? (b) antes del 12 deposito? (c) Precisamente antes del

15 deposito?

Resp. (a) $3.329,33, (b) $3079,33, (c) $4034,00

10. al comprar M un coche nuevo de $3750, le reciben su coche usado en

$1250. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidara

mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargándole

intereses al 6% convertible mensualmente?

Resp. $353,40

UNIDAD IICOMPETENCIA ESPECÍFICADomina la base conceptual y analítica sobre amortizaciones y fondos de

amortización.

31

ORIENTACIONES DE ESTUDIO

Por tratarse de una unidad con temas muy útiles en la aplicación práctica de las

matemáticas financieras, se recomienda a los y las estudiantes que pongan

mayor atención e interés y consulten más ejercicios y problemas de varios

autores recomendados en la bibliografía respectiva.

II. AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION.

2.1.- AMORTIZACION. Se dice que un documento que causa intereses esta

amortizado cuando todas las obligaciones contraídas (tanto capital como

intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos iguales.

Ejemplo 1.

Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a

amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3 años, el

primero con vencimiento al termino de 6 meses. Hallar el pago.

R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6 periodos de Interés 5000

Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es $5000. Por

tanto:

R a 6/,025 = 5000 y

R = 5000 i (1+i) n = $907.75 (1+i)n - 1

Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses,

mediante una serie de n pagos de R cada uno, tal como en el ejemplo 1. Cada

pago R se aplica en primer lugar para el pago del interés vencido en la fecha

del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. En consecuencia, la

32

cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el trascurso del

tiempo.

La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo

insoluto o capital Insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la

deuda original. El capital insoluto al final del plazo es O en teoría, sin embargo,

debido a la práctica de redondear al centavo más Próximo, puede variar

ligeramente de O. El capital insoluto justamente después de que se ha

efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por

hacerse.

TABLA DE AMORTIZACION. Para efectos contables es conveniente preparar

una tabla que muestre la distribución de cada pago de La amortización

respecto a los intereses que cubre y a la reducción de la deuda.

Ejemplo 2.

Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1.

(a) (b) (c) (d)

Capital InsolutoInterés vencido Capital pagado

Periodo al principio al final del Pago al final del del periodo período período

1 5,000.00 125.00 907.75 782.752 4,217.25 105.43 907.75 802.323 3,414.93 85.37 907.75 822.384 2,592.55 64.81 907.75 842.945 1,749.61 43.74 907.75 864.016 885.60 22.14 907.75 885.61

TOTALES $ 446.49 $ 5,446.50 $ 5,000.01

La tabla se llena por renglones como sigue: el capital insoluto (a) al principio

del primer periodo es la deuda original de $5000. El interés vencido (b) al final

de ese mismo periodo es 5000(0,025) = $125. El pago semestral (c) es

$907,75. De los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y

$907,75 – 125 = $782,75 se utilizan para el pago del capital (d). Al principio del

segundo periodo el capital insoluto (a) es 5000 – 782,75 = $4217,25. Al

33

termino de este periodo, el interés vencido (b) es 4217,25(0.025) = $105,43.

Del campo (c) de $907,75, Quedan 4217,25 – 802,32 = $3414,93 y así

sucesivamente.

2.2 Sistema Americano - Fondo de Amortización - Sinking Fund

En este Sistema de Amortización el deudor, durante el plazo del préstamo,

abonará al acreedor el interés simple sobre el total del capital tomado en

préstamo, en los períodos de tiempo convenido y, al mismo tiempo, deberá

depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales junto con sus intereses,

formarán el monto que reembolsará, en su vencimiento, la totalidad del capital

tomado en préstamo.

Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo del

préstamo, cubrirán únicamente los intereses del préstamo, el cual será

reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades

ingresadas al fondo de amortización.

Este sistema tiene muy poca aplicación práctica, pues el deudor, pocas veces

cumple con el compromiso de depositar en el fondo de amortización las

cantidades periódicas que formarán el monto para reembolsar el préstamo.

En este sistema nos encontramos con dos tipos de tasas, generalmente

diferente, las cuales distinguiremos por:

i = tasa de interés que produce el fondo de amortización.

r = tasa de interés del préstamo.

Anualidad para formar el Fondo y cancelar intereses.

El principal problema con que nos encontramos en este sistema será del

determinar la correspondiente anualidad que, desglosada en dos partes,

cancele los intereses correspondientes del préstamo y forme el fondo, el cual,

en la época de vencimiento, reembolse monto del préstamo.

34

La siguiente fórmula nos proporcionará la anualidad R, la cual cancelará el

interés simple del préstamo, correspondiente a un período t, que formará el

fondo de amortización (sistema americano).

Ejemplo:

Se obtiene un préstamo de Bs. 6.500.000,00 para ser reembolsado en 6 años a

una tasa efectiva anual del 15% con cancelación de intereses por anualidades

vencidas. Se exigen depósitos por anualidades vencidas que formarán Bs.

6.500.000,00 al finalizar el plazo del préstamo. El fondo produce una tasa

efectiva anual del 12%.

D = 6.400.000,00 r = 0,15 i = 0,12 n = 6

35

Comprobación:

Sabemos que: t = R - D r por lo tanto

t = 1.775.967,11 - 6.500.000(0,15)

t = 1.775.967,11 - 975.000

t = 800.967,11

Determinemos si con anualidades vencidas de Bs. 800.967,11 a una tasa de

12% en 6 años, formaremos un monto de Bs. 6.500.000 el cual servirá para

reembolsar el préstamo.

Aplicando la fórmula:

36

Deuda en función de Anualidad R

Sistema Americano

La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda que podemos contraer en

función de la anualidad R, tasa del préstamo, tasa del fondo y tiempo (sistema

americano).

Ejemplo:

Determinar que capital podemos tomar en préstamo durante 6 años, a una tasa

anual efectiva de 15%, si disponemos de anualidades de Bs. 1.775.967,11 para

la cancelación de los intereses periódicos anuales y formación de un fondo de

amortización que produce una tasa anual efectiva del 12%.

R = 1.775.967,11 r = 0,15 i = 0,12 n = 6

37

2.2.1Tabla para Fondo de Amortización de Préstamo Sistema Americano

Para poder seguir la situación del fondo de amortización se suele preparar un

cuadro que representa la formación de una renta de imposición. Este es muy

simple, pero requiere mucho cuidado para su preparación.

38

Como ejemplo prepararemos el cuadro de amortización del ejercicio que

hemos desarrollado en los puntos anteriores.

Cuadro de un Fondo de Amortización , para el reembolso de un préstamo por

Bs. 6.500.000 concedido el 01/03/2000 con vencimiento el 01/03/2006.

Intereses del préstamo: 15% anual. Intereses del Fondo: 12% anual efectivo.

Anualidades vencidas.

Intereses sobre Anualidad Intereses sobre TotalDesembolsos el Préstamo Destinada al El Fondo Abonado al Valores del

Fechas Anual "R" 15% anual Fondo 12% anual Fondo Fondo01/03/2001 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 - 800.967,11 800.967,11

01/03/2002 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 96.116,05 897.083,16 1.698.050,27 01/03/2003 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 203.766,03 1.004.733,14 2.702.783,42

01/03/2004 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 324.334,01 1.125.301,12 3.828.084,54

01/03/2005 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 459.370,14 1.260.337,25 5.088.421,79

01/03/2006 1.775.967,11 975.000,00 800.967,11 610.610,61 1.411.577,72 6.499.999,52

Totales 10.655.802,66 5.850.000,00 4.805.802,66 1.694.196,86 6.499.999,52

39

TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION. El crecimiento del fondo de

amortización del ejemplo 7 se muestra en la siguiente tabla:

(a) (b) (c) (d) Aumento Incremento Importe del

Periodo de interés Deposito al fondo fondo al final del período

1 0.00 592.92 592.92 592.922 8.89 592.92 601.81 1194.733 17.92 592.92 610.84 1805.574 27.08 592.92 620.00 2425.575 36.38 592.92 629.30 3054.876 45.82 592.92 638.74 1268.047 55.40 592.92 648.32 4341.938 65.13 592.92 658.05 4999.98

TOTALES $ 256.62 $ 4,743.36 $ 4,999.98

40

Al final del primer periodo se efectúa un deposito (b) de $592,92 y constituye el

incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer periodo.

Al final del segundo periodo el aumento por intereses (a) es 592,92(0,015) =

$8,89, el depósito (b) es $592.92 y el incremento en el fondo (c) es $8,89 +

$592,92 = $601,81, y el importe del fondo (d) es $592.92 + $601,81 =

$1194,73. Al final del tercer periodo, el aumento por interés (a) es

$1194,73(0,015) = $17,92, el depósito (B) ES $592,92, el incremento en el

fondo (c) es 17,92 + 592,92 = $610,84, y el importe del fondo (d) es ahora

1194,73 + 610,84 = $1805,57, y así sucesivamente.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Un comerciante pide un préstamo de $20.000 para renovar su tienda.

Acuerda amortizar su deuda, capital e intereses al 4 ½%, mediante pagos

anuales iguales por los próximos 8 años, el primero con vencimiento en un año.

Hallar, (a) el costo anual de la deuda, (b) el capital insoluto justamente después

del 6to pago, y (c) en cuanto se reduce la deuda con el 4to pago.

(a) El pago anual es R = 1 = $3032.19 A8/.045

(b) El capital insoluto justamente después del 6to pago es 3032.19 a/2/.045

=$5678,28

(c) El capital insoluto justamente después del 3er pago es 3032.19 a/5/.045

=$13.311,24. El interés vencido cuando sea hecho el 4to pago es

13.311,24(0,045) = $599,01. El 4to pago reduce la deuda en 3032,19 – 599,01

= $2433,18.

2. Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va

a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno, el primero con

vencimiento al termino de 6 meses, junto con un pago parcial final si fuera

necesario. Construir una tabla. Hallar en forma independiente el capital insoluto

justamente después del tercer pago.

41

900 a/n/,03 = 3600 y a n/,03 = 4

(a) (b) (c) (d)

Capital InsolutoInterés vencido Capital pagado

Periodo al principio al final del Pago al final del del periodo período período

1 3,600.00 108.00 900.00 792.002 2,808.00 84.24 900.00 815.763 1,992.24 59.77 900.00 840.234 1,152.01 34.56 900.00 865.445 286.57 8.60 295.17 286.57

TOTALES $ 295.16 $ 3,895.17 $ 3,600

El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario

determinar primero el pago final (parcial). De la línea de tiempo:

3600 P

0 1 2 3 4 5 periodos

de interés

900 900 900

Tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es:

P = 3600(1.03) 3 – 900 8/3/,03 = 3600(1,092727) – 900(3,09090) = $1152,01

PROBLEMAS PROPUESTOS.

1. Hallar el pago anual necesario para amortizar una de $5000 con intereses al

41/2%, en 12 años.

Resp. $548,33

2. Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de

$5000 con intereses al 4% convertible trimestralmente, en 10 años.

42

Resp. $152,28

3. Una deuda de $10.000 con intereses al 6% convertible trimestralmente está

siendo amortizada mediante pagos trimestrales iguales durante los próximos 8

años. Hallar, (a) el capital insoluto justamente después del 12 pago, (b) el

capital insoluto justamente antes del 15 pago, (c) la distribución del 20 pago

respecto al pago de interés y a la reducción del capital.

Resp. (a) $6794,83; (b) $6295,77; (c) $69,64; $326,13

4. Una persona obtiene un préstamo de $10.000 con intereses al 31/2%, la

deuda será liquidada mediante un pago de $2.500 al termino de 4 años,

seguido de 6 pagos anuales iguales. (a) Hallar el pago periódico necesario. (b)

Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico. (c) Que

parte del último pago se aplica al pago de intereses?

Resp. (a) $1684,36; (b) $4718,96; (c) $56,96

5. Construir una tabla de para la amortización de:

(a) una deuda de $4000 con intereses al 4%, mediante 5 pagos anuales

iguales.

(b) Una deuda de $6000 con intereses al 6% convertible semestralmente,

mediante 6 pagos semestrales iguales.

6. Construir una tabla para el pago de una deuda de $200.000, en bonos de

$1000 que devengan intereses al 3%, durante un periodo de 5 años,

procurando que el costo anual sea lo más igual posible.

43

UNIDAD III

COMPETENCIA ESPECÍFICADomina la base conceptual y analítica sobre bonos, sus precios, cotizaciones y

compra.

ORIENTACIONES DE ESTUDIOSe recomienda a los y las estudiantes poner énfasis en estos temas técnicos

específicos para la especialidad, es de mucha importancia conocer los factores

que inciden en la aplicación práctica de los problemas relacionados con los

bonos. Deben consultar sobre los diferentes bonos que se negocian en las

entidades financieras locales y sus especificidades.

III. BONOS3.1 Introducción y definiciones

UN BONO.- Es una promesa escrita de pago

a) Una suma fija llamada valor de redención, en una fecha dada llamada

fecha de redención.

b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses, hasta la fecha de

redención.

La descripción completa de un bono comprende:

Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un

múltiplo de $100.

La tasa de interés. Por ejemplo, 6% pagadero el 1º de febrero y el 1º

de agosto; abreviando sería el “6%, FA”.

La fecha de redención, por ejemplo el 1º de octubre de 1985.

Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.

El valor de redención. Cuando el valor de redención y el valor

nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par. De

otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje de

44

valor nominal, omitiéndose la palabra “por ciento”. Por ejemplo, un

bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de

$1000 redimible a 105”.

Ejemplo 1Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990 a 102, estipula:

a) El pago de $500(1,02) = $510 el 1º de octubre de 1990.

b) Pagos trimestrales de $500(0.01) = $5 los días de 1º de enero, 1º

de abril, 1º de julio, y 1º octubre de cada año, desde su emisión

hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive:

3.2 PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERES.-

Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses,

adquiere el derecho de recibir ciertos pagos futuros. No recibirá el pago de

interés vencido en la fecha de la compra.

EJEMPLO 2

Un inversionista que compro el 1º de enero de 1960 un bono de $1000, 5%, EJ,

redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá.

a) $1000 el 1º de julio de 1988.

b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno, el primero con vencimiento el 1º

de julio de 1960.

Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a

su valor nominal, el inversionista ganará precisamente la tasa de interés

estipulada en el bono. Si desea obtener una tasa mayor, debe comprar el bono

a un precio más bajo que el valor nominal; si está dispuesto a ganar una tasa

menor, estará dispuesto a pagar un precio arriba del valor nominal.

45

EJEMPLO 3Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de 1997, es

comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible

semestralmente. Hallar el precio de compra P.

El comprador recibirá:

a) $1000 el 1º de septiembre de 1997

b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno, siendo el 1º de septiembre de

1962. En el siguiente diagrama vemos que:

100020 20 20 20 20 20 . . . . . .

0 1 2 3 69 70 71 3/62 9/62 3/68 9/68 9/71

P = 1000(1.025) -71 + 20 a/ 71/,025

= 1000(0.173223) + 20(33.0711) = $834.64

FORMULAS: Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea

r la tasa de interés por período de interés del bono, i la tasa del inversionista

por período y n el número de períodos de interés desde la fecha de compra

(suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) hasta la fecha

de redención. El precio de compra P está dado por:

P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i

Está formula requiere el uso de dos tablas. En el problema 3, se desarrollan las

siguientes dos fórmulas.

P = + (V- ) (1+i)-n

P = V + (Fr – Vi) a/n/i

Y ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. Su aplicación es

opcional.

46

3.3 COMPRA A PREMIO O DESCUENTO.- Se dice que un bono es comprado

a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de redención V. El

premio es P – V.

Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra P es

menor que su valor de redención V. El descuento es V – P.

EJEMPLO 4El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834.64 =

$165.36. El bono del problema 1 fue comprado a premio de (1147.28 – 1000 =

$147.28.El valor en libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono

en dicha fecha. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra

(suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es el precio de

compra; el valor en libros en la fecha de redención es el valor de redención. El

cambio de valor en libros durante la vida del bono se muestra con claridad

construyendo una tabla de inversión.

EJEMPLO 5 Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par el 1o de enero de 1967 es

comprado el 1o de julio de 1964, para que redime el 6% convertible

semestralmente. Construir una tabla de inversión.

El precio de compra del bono es: P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i P = 1000(1,03) -5 + 20 a/ 5/,03 = $954,20

El 1o de julio de 1964 el valor en libros del bono es $954,20. Al termino del

primer periodo de interés vencido sobre el valor en libros es $954,20(0,03) =

$28,63, mientras que el pago por intereses del bono es $20. Por tanto 28.63 –

20 = $8.63 del interés vencido no se cobra, por lo cual puede decir el

inversionista que tiene $8.63 más, invertidos en el bono, que lo que tenia al

principio del período. El nuevo valor en libros del bono es 954.20 + 8.63 =

$962.83.

47

Al final del segundo período de interés, el interés vencido es 962,83 (0,03) =

$28,88, el pago de intereses del bono es $20, Y el nuevo valor en libros es

962,83 + 8,88 = $971.71 y así sucesivamente.

PERÍODO VALOR EN LIBROS AL PRINCIPIO DEL

PERÍODO

INTERESES VENCIDOS SOBRE EL VALOR EN

LIBROS

PAGO DE INTERESES DEL

BONO

CAMBIO DEL VALOR EN

LIBROS

123456

954.20962.83971.71980.86990.29

1000.oo

28.6328.8829.1529.4329.71

20.oo20.oo20.oo20.oo20.oo

8.638.889.159.439.71

Totales 145.80 100,oo 45.80

El valor en libros al principio de cualquier período es simplemente el precio al

cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por

el inversionista. Puede ser calculado en forma independiente, varias veces,

como un método de comprobación de la tabla.

Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento, es costumbre

utilizar el término acumulando del descuento para llevar el valor en libros hasta

el valor de redención. Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un

bono comprado a premio.

3.4 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO.- El problema tratado anteriormente

es hallar el precio que el comprador debe pagar por un bono dado, con el

objeto que gane la tasa de interés deseada. En cierto sentido, el problema es

un tanto académico ya que no hay seguridad que un bono en particular pueda

ser comprado al precio requerido. Más importante es el problema de determinar

48

la tasa de interés que obtendrá el comprador, si compra un bono determinado a

un precio dado y lo conserva hasta su redención.

Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio cotizado”, expresado como un

porcentaje del valor nominal, sin embargo el término por ciento se omite. Por

ejemplo, un bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 97

. El precio cotizado generalmente no es el precio que paga el comprador. El

precio cotizado es lo que previamente se ha designado como valor en libros.

Será el precio de compra únicamente se ha sido cotizado en una fecha de pago

de intereses. El precio de compra (más conocido como precio neto) es el precio

cotizado más el interés redituable.

EJEMPLO 7

Un bono de $1000, 3 MS se redimirá el 1o de marzo de 1975. Hallar el precio

neto al 14 de junio de 1962, si ha sido cotizado ha 95 3/4.

El precio cotizado es $957,50; el pago de interés es $17.50 del 1o de marzo de

1962 al 14 de junio de 1962 son 105 días; el interés redituable es (17.50) =

$10.21. El precio neto es 957.40 + 10.21 = $967.71

Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable, el

precio cotizado también se conoce como precio con interés.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Un bono de $1000, 6%. EJ, redimible a la par el 1o de julio de 1988, es

comprado el 1o de julio de 1961, para ganar el 5% convertible semestralmente.

Hallar el precio de compra P.

100030 30 30 30 30 30

. . . . . . . . 0 1 2 3 53 54

P = 1000(1.025)-54 + 30 a/54/,025 = $1147,28

49

2. Un bono de $1000, 5%, MS, redimible a 102 el 1o de septiembre de 1990, es

comprado el 1o de marzo de 1962, para ganar el 4% convertible

semestralmente. Hallar el precio de compra P.

102025 25 25 25 25

. . . . . . . .

0 1 2 3 5 6 periodos 3/62 9/62 3/90 9/90 interés

P = 1020(1.02)-57 + 25 a/57/,02 = $1175.61

3- Un bono de $1000, 3 %, FA, es redimible a 105 el 1o de febrero de 1985.

Hallar el precio de compra el 1o de febrero de 1965, que reditúe 5%

convertible semestralmente, utilizando, (a) la fórmula (2), y (b) la fórmula

(3).

F = 1000, V = 1050, r = 0.0175, i = 0.025, n = 40

(a) P = + (1 +i)-n

P = + (1.025)-40

P = 700 + 350(0.37243) = $830.35

(b) P = V + (Fr – Vi) a/n/i

P = 1050 + (17.50 – 26.25) a/40/,025

P = 1050 – 8.75(25.103) = $830, 35

4. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000, 5%, FA, redimible el

1o de agosto de 1970, comprando el 1o de febrero de 1967, para que reditúe 45

convertible semestralmente.

Tenemos que P = 1030(1.02)-7 + 25 a/7/,02 = $ 1058.48

50

El valor en libros en la fecha de la compra es $1058.48. Al término del

primer período, el interés vencido sobre dicho valor en libros, a la tasa

del inversionista es 1058.48(0.02) = $ 21.17 mientras que el pago de

intereses del bono es por $25. La diferencia 25 – 21.17 = $3.83 es para

amortizar el capital; en consecuencia, al principio del segundo período,

el valor en libros del bono se reduce a 1058.48 – 3.83 = $1054.65, y así

sucesivamente.

PERÍODO VALOR EN LIBROS AL PRINCIPIO DEL

PERÍODO

INTERESES VENCIDOS SOBRE EL VALOR EN

LIBROS

PAGO DE INTERESES DEL

BONO

CAMBIO DEL VALOR EN

LIBROS

12345678

1058.481054.651050.741046.761042.691038.541034.311030.00

21.1721.0921.0120.8420.8620.7720.69

25.0025.0025.0025.0025.0025.0025.00

3.833.913.994.064.154.234.31

Como el bono fue comprado a premio, es costumbre hablar de amortizar el

capital para llevar el valor en libros al valor de redención.

5. Una deuda de $500.000 distribuida en 100 bonos de $1000, 500 bonos de

$500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible

semestralmente, será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos

semestrales lo mas iguales posible. Construir una tabla.

Si los pagos semestrales fueran iguales, cada uno seria de:

R = 1 = $55.663,26 A10/,2

No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma disponible en

cualquier periodo entre las tres denominaciones. En la tabla a continuación.

$35.000 de la suma disponible se han utilizado para redimir 10 de los bonos de

$1000 y 50 de los bonos de $500.

(a) (b) (c) (d)

Capital InsolutoInterés vencido

No. de bonos Pago

Periodo Redimidos semestral

51

$ 1,000 $ 500 $ 100 1 500,000.00 10,000.00 10 50 107 55,700.002 454,300.00 9,086.00 10 50 116 55,686.003 407,700.00 8,154.00 10 50 125 55,654.004 360,200.00 7,204.00 10 50 135 55,704.005 311,700.00 6,234.00 10 50 144 55,634.006 262,300.00 5,246.00 10 50 154 55,646.007 211,900.00 4,238.00 10 50 164 55,638.008 160,500.00 3,210.00 10 50 175 55,710.009 108,000.00 2,160.00 10 50 185 55,660.0010 54,500.00 1,090.00 10 50 195 55,590.00

Totales 56,622.00 100 500 1,500 556,622.00

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio del bono que reditúe la

tasa deseada:

Valor nominal redimible a pago de intereses redituabilidad

a) $1000 la par en 25 años 4% semestral 6% semestral

b) $500 la par en 15 años 4% semestral 5% semestral

c) $1000 105 en 10 años 5% trimestral 3% trimestral

d) $100 110 en 20 años 4% semestral 3% semestral

e) $100 la par en 5 años 5% anual 4% anual

f) $500 la par en 3 años 6% semestral 5% semestral

g) $1000 102 en 2 años 3% semestral 6% semestral

h) $500 105 en 2 años 4% semestral 5% semestral

Resp. a) $742.71; b) $447.67; c) $1209.32; d) $120.47; e) $1044.52

f) $513.77; g) $948.56; h) 510.48

2. Construir una tabla de inversión para cada uno de los casos del problema

anterior.

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