Vibrations de flexion des poutres

N. Rmy-Martin, D. Royer, N. Trappler

Rsum : on propose une ralisation en Mathematica de programmes pour le calcul des rgimes vibratoires libres depoutres homognes. Mots-cls : poutre, vibration, rgime libre, mode propre, dforme.

Abstract : a Mathematica implementation is put forward in order to compute the vibratory behaviour of homogeneousbeams. Keywords : beam, vibration, free vibrations, eigen mode, blucking.

Introduction

Nous nous proposons de raliser un programme permettant de trouver les modes propres des vibrations de flexion d'unepoutre homogne. Nous verrons par ailleurs que cette dtermination se fera en introduisant quelques hypothsessimplificatrices. Ds lors le problme consiste en la rsolution d'une quation aux drives partielles. Nous verrons que larsolution du problme se fait grce la connaissance des conditions aux limites. La dmarche adapte amne deuxpossibilits de dtermination des solutions : le calcul exact ou approch. Des rencontres avec des mcaniciens et desspcialistes de Mathematica ont permis de dterminer l'ergonomie souhaitable du programme. La ralisation estsimplifie par le langage symbolique de Mathematica avec lequel on programme directement des formulesmathmatiques.

Etude prliminaire : modlisation de la poutre

Lors de l'tude d'une poutre en flexion, divers paramtres interviennent, ceux-ci pouvant tre lis au matriau utilis ainsiqu'aux dimensions de la poutre. Le module de Young (E) et la masse volumique (r) sont les caractristiques propres aumatriau. La section (S), le moment quadratique (I) et la longueur de la poutre (L) sont les paramtres gomtriques prendre en compte pour la rsolution du problme. Rappelons la dfinition du moment quadratique :

I= S y2 dS

Figure 1 : calcul du moment quadratique

x

y

G

y

xy

2002.Vibroflexion.nb 1

Mouvement de flexion

Considrons une poutre vibrant en rgime libre dans son plan. L'quation de mouvement fait intervenir de nombreuxparamtres : l'altitude de la fibre neutre au point d'abscise x l'instant t note y[x,t]. l'effort tranchant T ainsi que l'effort extrieur par unit de longueur Tex ; dans l'tude en rgime libre l'effort extrieurest nul : Tex = 0. le moment flchissant M. la pente de la fibre neutre due au moment flchissant (y).

Figure 2 : quilibre d'un lment de la poutre

x

y

x x+dx

-T -M T+ T x

dx M+ M x

dx

W@xD

Appliquons les thormes gnraux de la dynamique un lment infinitsimal dx de la poutre. Cela nous conduit deux quations.

Fext = M gHtLSoit : -T + HT + T x dxL = rSdx

2 w t2

!HxL = dHtLSoit : -! + H! + ! x L + T2 dx + HT + T x dxL dx2 = rIdx

2 y t2

Aprs simplification on obtient le systme suivant rsoudre.

9 rS 2 w t2 =

T x

rI 2 y t2 =

M x + T

Il nous faut maintenant utiliser les relations classiques de la rsistance des matriaux.

y x =MEI et y -

TaSG = w x

Dans les cas usuels, certains termes de ces quations peuvent tres ngligs; il s'agit de rI 2 y t2 qui reprsente l'effet

d'inertie en rotation et de TaSG qui reprsente l'effet de cisaillement. Une fois ces simplifications opres, on dit que l'onrsout le problme d'une poutre d'Euler-Bernouilli. Aprs limination entre T, M et y on obtient : M x = -T donc T x = -

2 M2 x et M = EI 2 w2 x , soit en supposant la section et le module de Young constants le long de la poutre :

EI 4 w4 x + rS

2 w t2 = 0

2002.Vibroflexion.nb 2

Rsolution

Pour rsoudre cette quation aux drives partielles d'ordre quatre, on utilise la technique de sparation des variables (xet t). On pose alors w@x, tD = @xD.B@tD. En fait sachant que l'on traite un problme de vibration, on supposera B[t] tre unefonction sinusodale de pulsation w. Ainsi l'quation devient :

EI d4 W Hx Ldx4

- rSw2 W HxL = 0

Pour simplifier les calculs on pose un changement de variable qui consiste remplacer H rSEI L par c. On cherche dessolutions de la forme : Y (x, t) = W(x).cos (wt). L'quation devient : W H4L HxL - cw2 WHxL = 0. Enfin, on pose a4 = c w2 .Le but est de trouver une fonction de variable x et de paramtre a telle que : W H4L HxL = a4 WHxL autrement dit, de rsoudreune quation differentielle d'ordre 4 coefficient constant.

f@x_, a_D := HW@xD . Flatten@DSolve@8W''''@xD - a^4 * W@xD 0

equ = 8f@0, aD, Tangent@0, aD, Moment@L, aD, CuttingEffort@L, aD< . a * L l8C@1D + C@2D + C@4D, -C@2D + C@3D + C@4D,

-l C@2D + l C@4D - C@1D Cos@lD - C@3D Sin@lD, --l C@2D + l C@4D - C@3D Cos@lD + C@1D Sin@lD