Variables Aleatorias Bidimensionales 1

1ESTADISTICA IIESTADISTICA II((523218)523218)

Prof. Francisco Pradenas P.

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE ESTADISTICA

2 Semestre de 2014

VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES

2En diversos experimentos aleatorios se deseaestudiar el comportamiento simultneo de dosvariables aleatorias.

Algunos casos especficos pueden ser lossiguientes:

La ofertaoferta y demandademanda de un producto en uncierto perodo de tiempo.El costocosto dede mantencinmantencin anualanual de unamaquinaria industrial, segn el nmeronmero dedeunidadesunidades que la componen.

El rendimientorendimiento acadmicoacadmico de un alumno enuna asignatura, de acuerdo al tiempotiempo diariodiariodede estudioestudio.

3Definicin de VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

Sea W un espacio muestral asociado a unexperimento aleatorio. Sean X = X(w) e Y = Y(w)dos funciones que asignan a cada resultadowW un nmero real.

Se le llama al par (X,Y) una variable aleatoriabidimensional, si X e Y definen una variablealeatoria con una cierta distribucin deprobabilidades.

4Definicin de VARIABLE ALEATORIA BIDIMENSIONAL

Si X e Y son variables aleatorias discretas,entonces al par (X,Y) se le llama variablealeatoria bidimensional discreta.

Si X e Y son variables aleatoriascontinuas, entonces al par (X,Y) se lellama variable aleatoria bidimensionalcontinua.

5VARIABLES ALEATORIAS

BIDIMENSIONALES DISCRETAS

Se dice que (X,Y) es una variable aleatoriabidimensional discreta, si los posibles valoresque asume su recorrido forman un conjunto depares (xi,yj) finito o infinito numerable; coni=1,2,...,n,... y j=1,2,...,m,...

La distribucin de probabilidades conjunta de(X,Y) est dada por:

p(x,y) = P(X = x,Y = y) ; " (x,y) RX,Y IR2



La funcin de probabilidades conjunta, p(x,y),cumple con las siguientes condiciones:

YX,R y)(x, ; 0 y)p(x, a) "

1y)p(x, b)X YRx Ry

=

=Ay)(x,

y)p(x,P(A)

Si A es un subconjunto del recorrido de (X,Y),entonces:



La funcin de distribucin bidimensional de(X,Y) se define por:

v)p(u, y)Y,x P(Xy)F(x,xu yv

==

8Supongamos que un trabajador debe evaluar susantecedentes laborales cada 2 aos, obteniendo1, 2 3 puntos si es evaluado como regular,bueno o sobresaliente, respectivamente. Lasprobabilidades de obtener tales conceptos encualquiera de los aos son las siguientes:

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

P(regular) = P(1 punto) = 1/6

P(bueno) = P(2 puntos) = 1/2

P(sobresaliente) = P(3 puntos) = 1/3

9X: Puntaje obtenido por el trabajador el primerao de evaluacin.

Y: Puntaje obtenido por el trabajador el segundoao de evaluacin.

Se definen las siguientes variables aleatorias:

El puntaje obtenido en cualquier perodo deevaluacin es independiente del otro perodo.

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

10

RX,Y = RX RY

p(1,1) = P(X = 1,Y = 1) = 1/61/6 = 1/36

p(1,2) = P(X = 1,Y = 2) = 1/61/2 = 1/12

p(1,3) = P(X = 1,Y = 3) = 1/61/3 = 1/18

RX = {1 , 2, 3} RY = {1 , 2, 3}

RX,Y={(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}

X: Puntaje obtenido por el trabajador el primer ao deevaluacin.

Y: Puntaje obtenido por el trabajador el segundo ao deevaluacin.

p(x,y) = P(X = x,Y = y) ; " (x,y) RX,Y IR2




EJEMPLO 1EJEMPLO 1

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RX,Y={(1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3); (3,1); (3,2); (3,3)}

p(3,1) = P(X = 3,Y = 1) = 1/31/6 = 1/18

p(3,2) = P(X = 3,Y = 2) = 1/31/2 = 1/6

p(3,3) = P(X = 3,Y = 3) = 1/31/3 = 1/9

p(2,1) = P(X = 2,Y = 1) = 1/21/6 = 1/12

p(2,2) = P(X = 2,Y = 2) = 1/21/2 = 1/4

p(2,3) = P(X = 2,Y = 3) = 1/21/3 = 1/6




EJEMPLO 1EJEMPLO 1

12

La distribucin de probabilidades conjunta de(X,Y) se puede resumir en la siguiente tabla:

YX 1 2 31 1/36 1/12 1/182 1/12 1/4 1/63 1/18 1/6 1/9

YX,R y)(x, ; 0 y)p(x, a) "> 1y)p(x, b)X YRx Ry

=

Se cumple que:

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES MARGINALES DISCRETAS

La distribucin de probabilidades marginal deuna variable aleatoria (X,Y), discreta, es aquellaobtenida cuando no se considera el efecto de laotra variable aleatoria, y por lo tanto es posibleestudiar el comportamiento individual de algunade ellas.

La distribucin de probabilidades marginal secalcula a partir de la distribucin deprobabilidades conjunta, p(x,y), de la variablealeatoria (X,Y)

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES MARGINALES DISCRETAS

a) La distribucin de probabilidades marginal deX, se define por:

XRy

X R x ; y)p(x,x)P(X(x)pY

"===

b) La distribucin de probabilidades marginal deY, se define por:

YRx

Y Ry ; y)p(x,y)P(Y(y)pX

"===

15

Del ejemplo 1, se tienen las siguientes distribucionesde probabilidades marginales:

Y

X 1 2 3 pX(x)1 1/36 1/12 1/18 6/362 1/12 1/4 1/6 18/363 1/18 1/6 1/9 12/36

pY(y) 6/36 18/36 12/36

EJEMPLO EJEMPLO 22

16

VARIABLES ALEATORIAS

BIDIMENSIONALES CONTINUAS

Se dice que (X,Y) es una variable aleatoriabidimensional continua, si su recorridoasume valores en un conjunto infinito nonumerable del plano IR2.

En este caso, la funcin de densidad deprobabilidades conjunta de (X,Y) es unafuncin real f(x,y) definida sobre IR2.

17



La funcin de densidad de probabilidadesconjunta, f(x,y), cumple con las siguientescondiciones:

2YX, IRR y)(x, ; 0 y)f(x, a) "

1y)dxdyf(x, b)

YX,R =

=A

y)dxdyf(x,P(A)

:entonces Y),(X, de recorrido del osubconjuntun esA Si

18



La funcin de distribucin bidimensional dela variable aleatoria bidimensional continua(X,Y), se define por:

v)dudvf(u,y)Y,x P(Xy)F(x,xu yv

==

19

Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensionalcontinua con funcin de densidad deprobabilidades conjunta:

2y0 , 1x0 ; 3

yxxy)f(x, 2

20

EJEMPLO EJEMPLO 33

21

Del grfico anterior se comprueba que f(x,y) > 0,"(x,y)RX,Y={(x,y) IR2 / 0

22

Calculamos P(X < Y), si (X,Y) ~ 2y0 , 1x0 ; 3xyxy)f(x, 2

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES MARGINALES CONTINUAS

La distribucin de probabilidades marginal deuna variable aleatoria (X,Y), continua, es aquellaobtenida cuando no se considera el efecto de laotra variable aleatoria, y por lo tanto es posibleestudiar el comportamiento individual de algunade ellas.

La distribucin de probabilidades marginal secalcula a partir de la distribucin deprobabilidades conjunta, f(x,y), de la variablealeatoria (X,Y)

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES MARGINALES CONTINUAS

a) La distribucin de probabilidades marginal deX, se define por:

XR

X R x ; dy y)f(x,(x)f

Y

"=

b) La distribucin de probabilidades marginal deY, se define por:

YR

Y Ry ; dx y)f(x,(y)f

X

"=

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Consideremos la funcin de densidad deprobabilidades conjunta del ejemplo 3:

2y0 , 1x0 ; 3xyxy)f(x, 2

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