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Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias
ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES
Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias
I. Variables Aleatorias Discreta
1.1. Distribución dicotómica y binomial
pXPXXPppqXPXXPp
=====⇒=−======⇒=
)1()( 1x1)0()(0x
111
000
ppppXpXpXXEk
iii =+−=+==∑
=
·1)1·(0···)( 11001
[ ] qpppppxEXEXVar ·)1·()()()( 222 =−=−=−=
ppppXpXpXXEk
iii =+−=+== ∑
=
·1)1·(0···)( 221
210
20
1
22
Bernoulli o Dicotómica, B(1, p) • Experimento aleatorio con sólo 2 posibles resultados:
1.1. Distribución dicotómica y binomial
– Éxito con valor X = 1 y p = probabilidad de éxito – Fracaso con valor X = 0 i q = 1 – p = probabilidad de fracaso
• Función de cuantía:
• Esperanza matemática:
• Varianza:
10y 0 xo 1con x )1·()( ii1 ≤≤==−== − pppxXP ii xx
i
pXE =)(
qpXVar ·)( =
1.1. Distribución dicotómica y binomial
5,0)1()( carasacar 1x
5,05,011)0()(cruzsacar 0x
11
1
00
0
========
=−==−=======
pXPXXPp
qpXPXXPp
5,0·1)1·(0··)( 1100 ==+−=+= ppppXpXXE
[ ] 25,0)5,01·(5,0)1·()()()( 22 =−=−=−= ppxEXEXVar
5,0·1)1·(0··)( 221
210
20
2 ==+−=+= ppppXpXXE
EJEMPLO: X = sacar cara al lanzar una moneda
1.1. Distribución dicotómica y binomial
Binomial, B(n, p) • Repetición de un experimento de Bernoulli n veces. • Repeticiones son Independientes entre si. • La probabilidad de éxito constante
•Función de cuantía: Si xi el número de éxitos obtenidos
10 in 1,..., 0,con x )1()( i ≤≤=−
== − ppp
xn
xXP ii xnx
ii
1.1. Distribución dicotómica y binomial
pnppppXEXEXEXE
XXXXEXE
nn
nn
·...)()(....)()(
)....()(
121
121
=++++==++++=
=++++=
−
−
qpnqpqpqpqpXVXVXVXV
XXXXVXV
nn
nn
····...··)()(....)()(
)....()(
121
121
=++++==++++=
=++++=
−
−
1.1. Distribución dicotómica y binomial
• Función de distribución: • Esperanza matemática: • Varianza: • Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley Binomial
n0 si ;)1()()( 00
00
0
≤≤−
=≤= −
=∑ xpp
xn
xXPxF ii xnxx
ix i
pnXE ·)( =
qpnXVar ··)( =
),( i ),( 2211 pnBXpnBX ≈≈
)(XX 21 X+= ),( 21 pnnBX +≈
1.1. Distribución dicotómica y binomial Xi P(10;0,1) P(10;0,3) P(10;0,5) P(10;0,7)0 0,34868 0,02825 0,00098 0,000011 0,38742 0,12106 0,00977 0,000142 0,19371 0,23347 0,04395 0,001453 0,05740 0,26683 0,11719 0,009004 0,01116 0,20012 0,20508 0,036765 0,00149 0,10292 0,24609 0,102926 0,00014 0,03676 0,20508 0,200127 0,00001 0,00900 0,11719 0,266838 0,00000 0,00145 0,04395 0,233479 0,00000 0,00014 0,00977 0,1210610 0,00000 0,00001 0,00098 0,02825
Repeticiones 10 10 10 10Probabilidad 0,1 0,3 0,5 0,7
P(10;0,1)
0,00000
0,05000
0,10000
0,15000
0,20000
0,25000
0,30000
0,35000
0,40000
0,45000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(10;0,3)
0,00000
0,05000
0,10000
0,15000
0,20000
0,25000
0,30000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(10;0,5)
0,00000
0,05000
0,10000
0,15000
0,20000
0,25000
0,30000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(10;0,7)
0,00000
0,05000
0,10000
0,15000
0,20000
0,25000
0,30000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.1. Distribución dicotómica y binomial
Xi P(Xi) F(Xi)0 0,46329123 0,463291231 0,36575623 0,829047462 0,1347523 0,963799763 0,03073298 0,994532744 0,00485258 0,999385325 0,00056188 0,999947196 4,9287E-05 0,999996487 3,3352E-06 0,999999828 1,7554E-07 0,999999999 7,1858E-09 110 2,2692E-10 111 5,4287E-12 112 9,5241E-14 113 1,1568E-15 114 8,6975E-18 115 3,0518E-20 1
Función Cuantía: B(15;0,05)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Función Distribución: B(15;0,05)
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1.2. Distribución de Poisson
Poisson, P(λ) •Número de sucesos que ocurren por unidad de observación •Es estable, ya que produce un número medio de sucesos constante - igual al valor del parámetro λ - que ocurren en un intervalo dado.
Función de Cuantía
,...2,1,0;!
)( === − xex
xXPx
λλ
1.2. Distribución de Poisson Características poblacionales • Valor Esperado • Varianza
λ=)(XE
λ=)(XVar
Función de Distribución
,..2,1,0;!
)()(0
000 ==≤= ∑
=
− xei
xXPxFx
i
iλλ
1.2. Distribución de Poisson Su representación gráfica:
1.2. Distribución de Poisson
Propiedad reproductiva:
)( i )( 2211 λλ PXPX ≈≈
)(XX 21 X+= )( 21 λλ +≈ PX
1.2. Distribución de Poisson
Xi P(Xi) F(Xi)0 0,47236655 0,472366551 0,35427491 0,826641472 0,13285309 0,959494563 0,03321327 0,992707834 0,00622749 0,998935325 0,00093412 0,999869456 0,00011677 0,999986217 1,2511E-05 0,999998728 1,1729E-06 0,999999899 9,7739E-08 0,9999999910 7,3304E-09 111 4,998E-10 112 3,1238E-11 113 1,8022E-12 114 9,6545E-14 115 0 1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Función Cuantía: P(0,75)
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Función Distribución: P(0,75)
Estadística II 1. Modelos de distribución de variables aleatorias
II. Variables Aleatorias Continuas
1.3. Distribución de Uniforme
Uniforme, U [a,b] Toma valores equiprobables en un intervalo definido [a; b], siendo a < b.
Función de densidad:
≤≤
−=contrariocaso
bxaabxf
0
1)(
1.3. Distribución de Uniforme Función de distribución: ( ) ( )
( )
>
≤≤−−
<
=
bxsi
bxasiabax
axsi
xF
1
0
1.3. Distribución de Uniforme Características poblacionales • Valor Esperado
22))·((·1
2·1
22·1
2·1
·1·1·)·(·)(
22222
baabbaab
abab
abab
xab
dxxab
dxab
xdxxfxXE
b
a
b
a
b
a
b
a
+=
−+
−=
=
−−
=
−
−=
−
=
=−
=−
== ∫∫∫
2)( baXE +=
1.3. Distribución de Uniforme • Varianza 12
)()(2abXV −
=
( )[ ] ( )
[ ] ( ) ( )
12)(...
2·1·
)()·(·)()(
12)(...·1·
2
)·(·)()()(
222
2222
22
22
abbadxab
x
XEdxxfxXExEXV
abdxab
bax
dxxfXExXExEXV
b
a
b
a
b
a
b
a
−==
+
−−
=
−=−=
−==
−
+
−=
−=−=
∫
∫
∫
∫
1.3. Distribución Uniforme
0
0,05
0 10 20 30 40 50
Función Densidad: U(5;50)
0
0,25
0,5
0,75
1
0 10 20 30 40 50
Función Distribución: U(5;50)
Xi P(Xi) F(Xi)5 0,02222222 0
7,5 0,02222222 0,0555555610 0,02222222 0,11111111
12,5 0,02222222 0,1666666715 0,02222222 0,22222222
17,5 0,02222222 0,2777777820 0,02222222 0,33333333
22,5 0,02222222 0,3888888925 0,02222222 0,44444444
27,5 0,02222222 0,530 0,02222222 0,55555556
32,5 0,02222222 0,6111111135 0,02222222 0,66666667
37,5 0,02222222 0,7222222240 0,02222222 0,77777778
42,5 0,02222222 0,8333333345 0,02222222 0,88888889
47,5 0,02222222 0,9444444450 0,02222222 1
1.4. Distribución Normal
∞≤≤∞−=−−
xexfx
2
2
2)(
22
1)( σµ
πσ
∞≤≤∞−= ∫ ∞−
−−
xdxexFx
x2
2
2)(
22
1)( σµ
πσ
Función de Distribución:
1.4. Distribución Normal
Características de la D. Normal Recorrido (- ∞ , + ∞)
Simétrica respecto al E(X)= µ
Puntos inflexión “µ ± σ”
Derecha e izquierda del punto medio, es asintótica respecto a los ejes horizontales
Creciente para valores inferiores a µ
Decreciente para valores superiores a µ
1.4. Distribución Normal
La probabilidad de que la variable esté dentro de un intervalo:
1.4. Distribución Normal
1.4. Distribución Normal
σµ−
=XZ
1)(1)(0)( 2
2
2 ===
−
==−
=
−
=σσ
σσµ
σµµ
σµ XVarXVarZVarXEZE
1.4. Distribución Normal
Propiedad reproductiva: Si X1 y X2 son dos v.a. independientes que se distribuyen según una ley de Normal tal que,
X1 es N(µ1; σ2(X1)) X2 es N(µ2; σ2(X2))
X= X1+X2 X es N (µ1+µ2; σ2(X1)+σ2(X2)) X= X1-X2 X es N (µ1-µ2; σ2(X1)+σ2(X2))
1.4. Distribución Normal
DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VARIANZAVALORES ESPERADOS -2 0 2VARIANZA 5 5 5
Distribuciones normales con igual Varianza
0
0,05
0,1
0,15
0,2
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-2 0 2
1.4. Distribución Normal
DISTRIBUCIONES NORMALES CON IGUAL VALOR ESPERADOVALORES ESPERADOS 0 0 0VARIANZA 1 2 4
Distribuciones normales con igual Valor Esperado
0
0,1
0,2
0,3
0,4
-6 -4 -2 0 2 4 6
1 2 4
)1;0( 2 ==≈ σµNZ
63307,0)34,0( =≤ZP
91308,0)36,1( =≤ZP
1.4. Distribución Normal
Probabilidades de intervalos
Si X es una variable Normal de media 3 y desviación 2. Calcular la probabilidad de que tome un valor entre 4 y 6.
2417,06915,09332,0)5,0()5,1(
)5,15,0(2
362
34)64(
=−=<−<=
=<<=
−
<−
<−
=<<
ZPZP
ZPXPXPσµ
)2,3(NX → )1,0(NZ →
1.4. Distribución Normal
1.4. Distribución Normal
• Calcular “a” si X~N(200 ; σ=5), para las siguientes relaciones:
con
)1;0(
X
X
ZZ
XZ
NZ
σµσµ
−=
==≈
995,0)58,2(
99501
=≤
=≤−
ZP
,a)P(X
9,2125·58,2200· =+=+= σµ Za
99,5%
N(200,5)
200
¿...?
0 99,5%
N(0,1)
2,58
1.4. Distribución Normal
X
X
ZZ
XZ
NZ
σµσµ
−=
==≈
con
)1;0(
05,0)64,1(
0502
=−≤
=≤−
ZP
,a)P(X
8,1915·64,1200· =−=+= XX Za σµ
5%
N(0,1)
0
5%
95%
N(0,1)
0
1.4. Distribución Normal
X
X
ZZ
XZ
NZ
σµσµ
−=
==≈
con
)1;0(
05,0)64,1(
0503
=≥
=≥−
ZP
,a)P(X
2,2085·64,1200· =+=+= XX Za σµ
5%
95%
N(0,1)
0
1.4. Distribución Normal
1.5. Distribución Chi-cuadrado
-Se define la variable aleatoria:
-Por definición:
+∞<< 2
)(0 nχ
niNZ
ZZZZ
i
nn
,...,3,2,1)1;0(con
...2
223
22
21
2)(
===≈
++++=
σµ
χ
1.5. Distribución Chi-cuadrado
-Gráfico de la función de densidad
1.5. Distribución Chi-cuadrado
-Características de su distribución:
-Si n > 30,
nXVnXE
Xsi n
·2)()(
2)(
==
≈ χ
)·2;(30 22)( nnNXnconXsi n ==≈⇒>≈ σµχ
1.5. Distribución Chi-cuadrado
90,0)865,4( 2)10( =≥χP
1.5. Distribución Chi-cuadrado DISTRIBUCIONES CHI-CUADRADO CON DIFERENTES GRADOS DE LIBERTADGRADOS LIBERTAD 2 4 6 10VALORES ESPERADOS 2 4 6 10VARIANZA 4 8 12 20
Distribución Chi-cuadrado con diferentes grados de libertad
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0 5 10 15 20
4 6 10
1.6. Distribución t de Student
-Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad
-Valores de la variable aleatoria:
+∞<<∞− )(nt
≈
==≈
=≈
2)(
2
)(
)1;0(
n
n
YNZ
nYZXsitX
χ
σµ
1.6. Distribución t de Student -Características de la Distribución
- Cuando n > 30
22
)(
0)()(
>−
=
=
≈
nn
nXV
XEentoncestXsi n
−==≈
>≈
2;0
30
2
)(
nnNX
aeequivalentesncontXsi n
σµ
1.6. Distribución t de Student
- Gráfico de la función de densidad
1.6. Distribución t de Student
10,0)3562,1( )12( =≥tP
1.7. Distribución F de Snedecor
-Definimos la variable aleatoria con n grados de libertad en el numerador y m grados en el denominador
-Valores de la variable:
+∞<< );(0 mnF
mn
Fm
nmn 2
)(
2)(
),( χχ
=
1.7. Distribución F de Snedecor
-Gráfico de la función de densidad
1.7. Distribución F de Snedecor
-Características de la distribución,
4)2)(4()2(2)(
22
)(
2
2
);(
>−−−+
=
>−
=
≈
mmmnmnmXV
mm
mXE
FXsi mn
1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL NUMERADORGRADOS LIBERTAD NUMERADOR 30 30 30GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 6 10 15VALORES ESPERADOS 1,50 1,25 1,15VARIANZA 2,55 0,66 0,35
Distribución F de Fisher para igual número de grados de libertad en el numerador
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6
num 30 y denom 6 num 30 y denom 10 num 30 y denom 15
1.7. Distribución F de Snedecor DISTRIBUCIONES F DE FISHER CON IGUAL GRADOS DE LIBERTAD EN EL DENOMINADORGRADOS LIBERTAD NUMERADOR 20 40 60GRADOS LIBERTAD DENOMINADOR (mínimo 5) 5 5 5VALORES ESPERADOS 1,67 1,67 1,67VARIANZA 6,39 5,97 5,83
Distribución F de Fisher para igual grados de libertad en el denominador
0
0,02
0,04
0,060,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0 1 2 3 4 5 6 7 8
num 20 y denom 5 num 40 y denom 5 num 60 y denom 5
1.7. Distribución F de Snedecor
25,0)61,1( )9;6( =≥FP
1.7. Distribución F de Snedecor
10,0)34,3( )5;8( =≥FP