VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL (1)

8/22/2019 VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL (1)

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UNIDAD EDUCATIVA APELLIDOS: ___________________INSTITUTO CECILIO ACOSTA NOMBRES: ___________________

MATEMTICA CURSO: _____ SECC: _____ N ____

RELACIONES DE ORDEN

Las relaciones de Orden matemticamente hablando, tienen como principio fundamental lacomparacin de dos cantidades numricas.

Si tenemos dos nmeros cualesquiera a y b, slo es posible establecer entre ellos al siguientecomparacin:

1.- Si poseen el mismo nmero de unidades, son iguales, y se escribe: a = b. Tambin podemosdecir que dos nmeros son iguales, si su diferencia es igual cero: a - b = 0.

2.- Si uno de ellos posee ms unidades que el otro, decimos que son desiguales o diferentes y seescribe: a b.

a) Si uno de ellos, por ejemplo a posee ms unidades que otro nmero b, se dice quees mayor, y lo escribimos: a > b. Tambin, cuando su diferencia es un nmero realpositivo: a - b > 0.

b) Si por el contrario a posee menos unidades que otro nmero b, decimos que: a esmenor que b y lo escribimos: a < b. De igual, si su diferencia es igual a un nmero realnegativo: a - b < 0.

En conclusin, Para ello, se utilizan las siguientes expresiones:( )( )

( )

""

QUE"IGUAL"QUE""

QUEMENOR

MAYOR

Un nmero real es mayor que otro, si en la Recta Real (Recta numrica) est ubicado a la derecha

En general:a0c

1

b


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Sean a y b dos nmeros reales dados ( )bya , decimos que a es mayor queb, si a est situado a la derecha de b sobre la Recta Numrica.

Se denota as: a > b y se lee: a es mayor que b.

Anlogamente podemos establecer:

Dados dos nmeros reales a y b ( )bya , decimos que: a es menor que b, siest ubicado a la izquierda de b.

Se denota as: a < b y se lee: a es menor que b.

CONCLUSIONES:

En una Recta Numrica podemos concluir:

1.- Si un punto (nmero real) est a la derecha de otro (punto numrico), su coordenada esmayor.

2.- Si un punto (nmero real) est a la izquierda de otro ( punto numrico), su coordenada esmenor.

EJEMPLOS:

RELACIN ES: MAYOR O IGUAL QUE

Dados dos nmeros reales a y b, decimos que el nmero real a es mayor o igual que b, si se

cumple alguna de las siguientes dos condiciones:

S a b se cumple que:

"baigualesa":Segunda

"bquemayoresa":Primera

Estas dos condiciones se denotan as: ba

RELACIN: ES MENOR O IGUAL QUE

Cuando una de las tres posibilidades no se cumple, necesariamente tiene que verificarse una de lasotras dos. As:

Si a no es igual a b, necesariamente: a > b a < b ( 1 )

Si a no es mayor que b, necesariamente: a = b a < b, lo cual se escribe: ba ( 2 )

Si a no es menor que b, necesariamente: a = b a > b, lo cual reescribe: ba ( 3 )

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Para expresar que un nmero no es igual a otro se usa el signo , que es el signo = cruzado poruna raya inclinada de derecha a izquierda; para indicar que no es mayor que otro, se emplea el signo />, ypara sealar que no es menor que otro se utiliza el signo / y b a < b S a > b, necesariamente: a = b a < b ( a b )

S a < b, necesariamente: a = b a > b ( a b )

Vemos que el signo ( no es igual ) equivale al doble sigo > < ( mayor o menor que ); el signo/> (no mayor) equivale al doble sino (menor o igual que ) y el signo /< ( no menor ) equivale al doblesigno (mayor o igual que)

LEYES DE LA IGUALDAD

Las Leyes o caracteres de la Igualdad, son tres:

1) Ley Reflexiva Identidad: Todo nmero Real es igual a si mismo.

aRaaa =a

2) Ley Simtrica: Si un nmero Real a es igual a otro nmero Real b, este es igual alprimero.

aRbbRaSbaabb ==a

3) Ley Transitiva: Si un nmero Real a es igual a otro nmero Real b y este igual a untercer nmero Real c, entonces el primero y el tercero son iguales.

cRacRbbRacb,acacbb ===a

LEYES DE LA DESIGUALDAD

En las desigualdades no existe la Ley Reflexiva de Identidad; ya que es imposible que unnmero Real a sea mayor o menor que l mismo. As, que es imposible que:

a > a que a < a.

Tampoco existe la Ley Simtrica el carcter reciproco. Si un nmero Real a es mayor que otronmero Real b, este ltimo no puede ser mayor que el primero, sino menor. As, siendo que:

a > b no se verifica que b < a, sino que b < a.

Lo anterior nos dice que: si se invierten los miembros de una desigualdad, cambia el sentido dela desigualdad. As:

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Para invertir la desigualdad: 5 < 7 hay que escribir: 7 > 5

LEYES DE LAS DESIGUALDADES MAYOR Y MENOR QUE

Ley Transitiva de las desigualdades

1) S un nmero Real a es mayor que otro nmero Real b y este es mayor que un terceroc, entonces el primero ( a ) es mayor que el tercero ( c ).

cyb,acacbb >>>a cRacbbR Ra

2) S un nmero Real a es menor que otro nmero Real b y este menor que un tercero c,entonces se cumple que: El primero ( a ) es menor que el tercero ( c ).


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2) S se multiplica ambos miembros de una desigualdad por un mismo nmero Realpositivo, la desigualdad no se altera.

a) Sea la desigualdad: 27 >

3237 >

621 >b) Dada la desigualdad: 85 Mayor que< Menor que

Menor o igual que mayor o igual que

INECUACIONES

Son desigualdades en donde existe o existen una o ms cantidades desconocidasllamadas INCGNITAS y que slo se verifica para determinados valores de ella ( s )(INCGNITA( S ))

Resolver una inecuacin, es calcular los valores de la INCGNITA que al sustituirlaen la inecuacin dada, la transforma en una desigualdad del mismo sentido que de lainecuacin dada.

Para resolver las inecuaciones, se utilizan los mismos artificios de clculo matemticousados en la resolucin de las ecuaciones. Slo existe una diferencia y es cuando laincgnita est multplicada por un nmero Real negativo, que al pasar dividiendo, ladesigualdad cambia de sentido.

PROPIEDADES DE LAS INECUACIONES:

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1.- Si un nmero est sumando en un miembro, pasa para el otro miembro restando.

x + 3 > 6 x > 6 - 3 x > 3 x (3,).

2.- Si un nmero est restando en un miembro, pasa para el otro miembro sumando.

)[3,x35885 + xxx

3.- Si un nmero positivo est multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembrodividiendo.

4

3,x

4

334 xx

4.- Si un nmero negativo est multiplicando en un miembro, pasa para el otro miembrodividiendo, y cambia el sentido de la desigualdad.

4

5-,x

4

554

xx

Los resultados de las inecuaciones se expresan en forma de intervalo, conjunto ygrficamente.

EJERCICIOS:

Determina la solucin de las siguientes inecuaciones:

4)53

11

2

3x3)4-x8>5-x42)2023)1 ++ xx

2

1-x37)

3

158

3

4x6)5

2

13)5

+

+ xx

4

6-x2-x8x5

3

7-x311)

3

4-x5

2

5-x6-

2

5-x710)

4

8-x5

2

9-x3-

2

7-x)9

+

>>

VALOR ABSOLUTO DE UN NMERO REAL

El Valor Absoluto de un nmero Real es siempre positivo, y es igual a la figura del nmero.

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=

=

)0x(negativo"esx""sx-

)0x(positivoesx""sx

)0x(ceroaigualesx""s0

x

El valor absoluto de un nmero Real, se representa ubicando el nmero Real entre dos barrasverticales, la cual se lee: Valor absoluto de

El valor absoluto, tambin se considera como la distancia que existe desde el origen (punto cero dela Recta Real) tanto a un nmero Real positivo como negativo.

Observa la Recta numrica representada en la figura dada a continuacin. Si medimos la distanciaque existe entre: 0 y 3, encontramos que es igual a la distancia que existe entre: 0 y - 3

. . .

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1) El valor absoluto de cero, es cero

0xssloys0x ==

00 =

2) El valor absoluto de x es igual al valor absoluto de - x x

== xxx-x

1010-10 ==

3) El valor absoluto cuando a axy0 =

3-x3x3x ===

4) El valor absoluto para todo x , y se cumple que: yxyx ++

S x = 9; y = - 7

( )

+

++

216

279

7-97-9

-3 0 3

9


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5) El valor absoluto para todo x,y se cumple que: yxyx =

S x = - 3; y = 5

=

=

=

1515

15-53

53-53-

6) El valor absoluto para todo x, yy

x

y

x:quecumplese =

S x = 18; y = - 9

=

=

=

22

2-9

18

9-

18

9-

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OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTOEJERCIOS:

Resuelve las siguientes operaciones con valor absoluto:

a) =+ 432

b) + 415-8

c)42

2445

5

d) +++ 6

1

3

1

2

1

4

1

e) 63-283 =

f) =+ 505

38

2

1

10


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g) 203.5.2

h) + 4 52543

i) ++ 452053

j) =+ 2457

3-45

4

3125

5

1

FUNCIN VALOR ABSOLUTO

La funcin Valor Absoluto es una relacin o aplicacin que va de + en , tal que a cadanmero Real le corresponde su valor absoluto.

( )

+

3) 77-x3

4) 13

x-1-2-x3

5) 12-5

x4

6) 72

15x3 +

7) 34

5-x3-x2

8) 62

x5-x

4

3x3


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2)

+

+

64-x5

1-1x

6)

+

+

45x2

31x

16


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9)

5

223-x6

5

3x2

24

x3-

2

x

10)

+>

>

5

2x

5

33-x2

2

11-

3

x1-

4

x

COORDENADAS DE UN PUNTO DADO DE LA RECTA REAL

Toda Recta es un conjunto infinitos de puntos sucesivos, es decir, uno inmediatamentedespus del otro.

Existe un punto y slo uno en la recta numrica que corresponde a un nmero real.

Existe exactamente un nmero real correspondiente a un punto dado en la recta numrica.

Estas dos proposiciones o premisas concluyen que la relacin que hace corresponder a un nmeroreal un punto sobre la recta es una funcin biyectiva.

Como se puede observar en la figura

a) La coordenada del punto A es 2 y se escribe as: A(2).

b) La coordenada del punto P es 3 y lo escritos como: P(3).

c) La coordenada del punto C es 3 y se escribe como: C(-3 ).

En donde se puede concluir que:

Cdeabscisalaes3-

Pdeabscisalaes3

Adeabscisalaes2

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CARACTERSTICAS DE LA RECTA REAL

a) Es densa: Entre dos nmeros Reales dados existe otro nmero Real, es decir, en la recta Real noexisten espacios vacos. Ejemplo: Dados los nmeros: 2, 134 y 2, 135 se puede calcular otronmero entre ellos y uno de ellos es:

13452,2

2694,

2

1352,1342,==

+

b) Es ordenada: La recta real es ordenada puesto que todo nmero situado a la derecha de otro esmayor y si est a la izquierda, es menor.

c) Es abierta: La recta real no tiene lmites ni hacia la derecha ni hacia la izquierda del cero, ellosse extienden desde + (se lee infinito por la derecha) hasta - (infinito por la izquierda).

Es de hacer notar que: + y - no son nmeros. Son solamente unos smbolos que indican que la

recta Real es infinita tanto por la derecha como por la izquierda, cosa que tambin lo indican lasflechas ubicadas en sus extremos (de la Recta Real).

La distancia entre dos puntos consecutivos de la Recta numrica siempre es la misma para todos losotros puntos de ella, y recibe el nombre de segmento unidad.

RESOLUCIN DE INECUACIONES IRRACIONALES

Las inecuaciones irracionales son aqullas que tienen la incgnita dentro del smbolo radical.

Para resolver a las inecuaciones irracionales, se debe eliminar el smbolo del radical elevando a unapotencia igual al ndice del radica a ambos miembros de la inecuacin dada.

EJERCICIOS:

1) 211-x3 =

2) 15x23 >+

3) 27x55 +

4) 317-x64

5) 1-8x77

6) 2-16x86 +

7) 53x7 =

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LO PRIMERO QUE DEBEMOS APRENDER EN LA VIDA ES A VIVIR

Gua elaborada porProf. Eulogio E, Sojo R.

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