UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID - …webserver.dmt.upm.es/zope/DMT/docencia/mecanica-de-fluidos-ii-eia… · 3.4. ransitoriosT en el ujo de líquidos en conductos . . . . .

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONÁUTICOS

MOVIMIENTOS A ALTOS NÚMEROS DE REYNOLDS

F. J. Higuera A. Liñán

M. Rodríguez

ENERO DE 2012

Índice general

1. Capa límite laminar 4

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible . . . . . . . . . 71.2.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite . . . . . . . . . . 81.2.4. Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma . . . . . . 101.2.5. Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite . . 12

1.3. Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1. Succión/soplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Soluciones de Falkner-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5. Capa límite térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1. Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corriente uniforme 201.5.2. Capa límite térmica sobre una cuña . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6. Capa límite bidimensional compresible y estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . 221.6.1. Convección forzada. Temperatura de recuperación . . . . . . . . . . . . . 241.6.2. Convección forzada. Analogía de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6.3. Convección libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3.1. Número de Prandtl grande Pr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.6.3.2. Número de Prandtl pequeño Pr 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.3.3. Número de Prandtl de orden unidad Pr ∼ 1 . . . . . . . . . . . 271.6.3.4. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.6.3.5. Placa plana vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2. Introducción a los movimientos turbulentos 30

2.1. Origen de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2. Escalas de la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.3. Valores medios. Ecuaciones de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.1. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2. Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.3. Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.4. Ecuación de la energía cinética media y turbulenta . . . . . . . . . . . . . 33

2.4. Viscosidad turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.1. Teoría del camino de mezcla de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2. Modelos de turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5. Flujos turbulentos esbeltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6. Turbulencia libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1

ÍNDICE GENERAL 2

2.6.1. Estela (bidimensional) lejana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6.2. Chorro (bidimensional) lejano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. Movimiento turbulento en conductos 40

3.1. Movimiento turbulento de un líquido en un conducto innitamente largo. Ley dela pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.1. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.1.2. Regiones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3. Efecto de la rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.4. Tubos de sección no circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.5. Caso de ujo de gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Ecuaciones del movimiento en conductos de sección variable . . . . . . . . . . . . 463.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2.1. Ecuación de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2.2. Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2.3. Ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.4. Coeciente de fricción y ujo de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Movimiento estacionario en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.1. Movimiento estacionario de líquidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3.2. Movimiento estacionario de un gas en un conducto con efectos de la fricción

dominantes y temperatura de la pared constante . . . . . . . . . . . . . . 543.3.3. Movimiento estacionario de un gas en un conducto de sección constante

aislado térmicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.4. Transitorios en el ujo de líquidos en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.2. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2.1. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4.2.2. Solución estacionaria con α = α0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.3. Transitorios originados por el cierre o apertura de la válvula . . . . . . . . 633.4.4. Leyes lineales de apertura o cierre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.4.1. Apertura lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.4.2. Cierre lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.5. Caso más general. Ley de cierre potencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.6. Sobrepresión generada en el cierre rápido de válvulas (tv t0). Golpe de

ariete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.7. Efectos de la compresibilidad del líquido y de la dilatabilidad del conducto 68

3.4.7.1. Ecuaciones y solución general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.7.2. Cierre de la válvula en tiempos tv ∼ L/c . . . . . . . . . . . . . . 703.4.7.3. Cierre lento (θv 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.7.4. Límite Π0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.7.5. Cierre instantáneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.7.6. Apertura de la válvula en tiempos tv ∼ L/c . . . . . . . . . . . . 74

3.4.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ÍNDICE GENERAL 3

4. Capa límite turbulenta 78

4.1. Introducción a la capa límite turbulenta bidimensional e incompresible . . . . . . 784.2. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3. Zonas del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3.1. Zona del defecto de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3.2. Zona cercana a la pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.3.3. Zona de acoplamiento de ambas soluciones. Región logarítmica . . . . . . 81

4.4. Perl de velocidades cerca de la pared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5. Capas límites en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.5.1. Capa límite sin gradiente de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.5.1.1. Análisis simplicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6. Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Capítulo 1

Capa límite laminar

1.1. Introducción

En los movimientos a altos números de Reynolds los efectos viscosos son despreciables en laecuación de cantidad de movimiento. Del mismo modo, los efectos de conducción, en la ecuaciónde la energía, son despreciables si el producto del Reynolds por el Prandtl es grande. Las ecua-ciones resultantes son las ecuaciones de Euler. Esta simplicación lleva implícito el despreciar lostérminos de mayor orden en las derivadas de la velocidad y de la temperatura, de modo que alas ecuaciones de Euler no se le pueden imponer todas las condiciones de contorno.

Como consecuencia de lo anterior, las condiciones de contorno en el movimiento de un uidoideal en presencia de una pared se reducen a decir que la velocidad es tangente a la pared (sino hay paso de masa a través de dicha pared) y no se puede imponer ninguna condición a latemperatura del uido en contacto con la pared. Sin embargo, dentro de la aproximación de unuido como medio continuo, se sabe que la velocidad de un uido en contacto con una pared esigual a la velocidad de la pared, y que la temperatura del uido debe coincidir con la temperaturade la pared (si a través de dicha pared no hay paso de masa, y en la supercie no hay reacciónquímica ni evaporación ).

Figura 1.1: Capa límite adherida al perl.

Para poder imponer todas las condicionesde contorno, es necesario que los términos vis-cosos y de conducción de calor sean tan impor-tantes como los convectivos. Sin embargo, sise utiliza la longitud característica ` del movi-miento, el número de Reynolds ρU`/µ es muygrande y estos términos serían despreciables.Es evidente, por tanto, que cerca de las pare-des (donde se deben imponer las condicionesde contorno) la velocidad U (y también la tem-peratura) sufre variaciones del orden de ellamisma en distancias δ `. El orden de mag-

nitud de δ se determina de la condición de que los efectos viscosos (y los de conducción de calor)sean tan importantes como los convectivos en esta región delgada, ya que estos términos debencontar para poder imponer las condiciones de contorno. Esta zona, donde los efectos viscosos sonimportantes, se denomina capa límite.

El primero en indicar la existencia de una zona en la que los efectos viscosos son importantes,

4

CAPÍTULO 1. CAPA LÍMITE LAMINAR 5

a pesar de que el Reynolds del movimiento sea alto, fue Prandtl en 19041. La idea de Prandtl deuna región donde los efectos viscosos son importantes, claricó multitud de fenómenos que hastaentonces no habían obtenido explicación satisfactoria. En particular explicó el porqué la teoríade uidos ideales (altos números de Reynolds) proporciona buenos resultados cuando se quieredeterminar la sustentación, o fuerza normal a la dirección de la corriente incidente, sobre unobstáculo, y sin embargo esta teoría es incapaz de determinar la resistencia (o componente de lafuerza en la dirección de la corriente incidente). También explicó el fenómeno del desprendimientode la capa límite en cuerpos romos (en general con gradientes adversos de presión), y comoconsecuencia, la existencia de una resistencia de forma, que no depende de la viscosidad pero escausada por ella.

Figura 1.2: Estela aguas abajo de un cilindro circular.

En los cuerpos fuselados la capa límite nose desprende más que en la parte nal del cuer-po (como en el caso del perl de la gura 1.1),formando una estela muy delgada que puedetratarse como una supercie de discontinuidadtangencial. En este caso, la resistencia es prác-ticamente toda ella debida a los esfuerzos vis-cosos en la pared. Sin embargo, en un cuerporomo (gura 1.2), la capa límite se desprendegenerando una estela amplia, en este caso lafuerza de resistencia es del orden de la presióndinámica (ρU2) por el área frontal. Esta fuer-za, aunque originada por el desprendimiento

de la capa límite, y por lo tanto por la viscosidad, no depende de dicha viscosidad.

Figura 1.3: Perl con capa límite desprendida.

En un cuerpo fuselado en la que la corrien-te no está sucientemente alineada con su geo-metría, puede desprenderse la corriente comoen el caso de un cuerpo romo. Este es el ca-so del perl de gura 1.1 cuando el ángulo deataque es elevado (véase gura 1.3).

En el movimiento de los uidos alrededorde cuerpos o en presencia de paredes, si el nú-mero de Reynolds es muy alto, hay una capalímite, de espesor δ, en las proximidades de lapared y una región exterior donde los efectosviscosos y de conducción de calor son despre-

ciables. En esta región exterior, las ecuaciones se reducen a las de Euler a las que no se les puedenimponer todas las condiciones de contorno. La solución de Euler proporciona una velocidad tan-gente a la pared y que varía a lo largo de ella. Esta región exterior de Euler se denomina asíporque es la corriente que se ve en el exterior de la capa límite.

1Prandtl, L., Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Proc. III Intern. Math. Congress, Heidel-berg (1904).La traducción al español puede encontrarse en Versión Crítica en Español del Trabajo de Ludwig Prandtl

sobre el Movimiento de Fluidos con Viscosidad muy Pequeña, Ingeniería Aeronáutica y Astronáutica, Nº 328,Julio 1992, por M. Rodríguez y R. Martínez-Val.


1.2. Obtención de las ecuaciones de la capa límite

Para la obtención de las ecuaciones de la capa límite se va a considerar, por simplicidad, queel ujo es bidimensional e incompresible. Anticipando que la capa límite es una región delgada entorno a la supercie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadascurvilíneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa límite, basadas en una familia de curvasparalelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordenadas, x es ladistancia medida sobre la supercie del cuerpo desde su borde de ataque o desde el punto deremanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. las coordenadas (x, y) no son cartesianas,excepto si la supercie del cuerpo es plana, pero se comportan como tales a todos los efectos siy es pequeña frente al radio de curvatura < de la supercie, que se supondrá del orden de lalongitud característica del cuerpo: < ∼ `.

En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del uido, ` es la longitudcaracterística del cuerpo, δ es el espesor característico de la capa límite, vc el valor característicode la velocidad transversal a la capa y 4δp el orden de magnitud de las variaciones transversalesde presión. los valores de δ, vc y 4δp deben determinarse a partir de los balances entre losórdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidadlongitudinal debe variar a través de la capa límite desde cero en la supercie del cuerpo a lavelocidad de deslizamiento ue (x) proporcionada por la solución exterior no viscosa de Euler. Lavelocidad de deslizamiento es del orden de la velocidad U de la corriente libre, de modo queu ∼ U en la capa límite. Las variaciones longitudinales de presión son 4`p ∼ ρU2, impuestaspor la solución exterior.

1.2.1. Análisis de los órdenes de magnitud

Analizando la ecuación de la continuidad

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.1)

se obtieneU

`∼ vc

δ⇒ vc ∼ U

δ

` U, (1.2)

de modo que las velocidades transversales en la capa límite son muy pequeñas comparadas conlas longitudinales.

Las estimaciones de órdenes de magnitud en la ecuación de cantidad de movimiento según xpermite obtener la estimación del espesor δ de la capa límite

u∂u

∂x+ v

∂u

∂yU2

`∼ Uvc

δ

= −1

ρ

∂p

∂x4xpρ`

+ ν

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)ν U`2ν U

δ2

. (1.3)

Con la estimación de la velocidad característica transversal vc dada en la ecuación (1.2), losdos términos convectivos de la ecuación (1.3) son del mismo orden y del orden de U2/`. A suvez, la difusión de cantidad de movimiento por efectos viscosos a lo largo de la capa límite esdespreciable frente a la difusión transversal a la misma, de modo que los términos viscosos son delorden de νU/δ2. Dado que en la capa límite los efectos viscosos deben ser tan importantes comoel que más, el orden de magnitud del espesor de la capa límite debe ser tal que U2/` ∼ νU/δ2,lo que proporciona

δ ∼√ν`

U∼ `√

ν

U`∼ `√

Re `, (1.4)


que al ser el número de Reynolds de la corriente grande, el espesor resulta pequeño frente altamaño característico `.

Otro resultado que pone de maniesto la ecuación (1.3) es que las variaciones longitudinalesde la presión impuestas sobre la capa límite por la solución exterior no viscosa (de Euler), en laque 4`p ∼ ρU2, hacen que el término −1

ρ∂p∂x sea tan importante como los términos convectivos.

Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del uido tantoen la capa límite como fuera de ella.

Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capalímite, se analiza la ecuación de cantidad de movimiento según el eje y

u∂v

∂x+ v

∂v

∂yUvc`∼ v2

cδ

+O(U2

<

)U2

`

= −1

ρ

∂p

∂y4δpρδ

+ ν

(∂2v

∂x2+∂2v

∂y2

)ν vc`2ν vc

δ2

, (1.5)

donde se ha incluido el orden de magnitud O(U2

<

)de los términos debidos a la curvatura del

cuerpo que pueden llegar a ser importantes en la ecuación, incluso en el caso de curvaturasmoderadas < ∼ `. Los dos primeros términos del primer miembro de (1.5) son del mismo ordenv2cδ ∼

U2

`δ` ∼

√νU3

`3, que a su vez es el mismo orden de magnitud que el término de difusión viscosa

transversal en esta misma ecuación ν vcδ2 ∼

√νU3

`3. Estos tres términos son despreciables frente

al término de la curvatura, del orden de U2

` , con lo que el término de presiones, tan importantecomo el que más, resulta

4δp ∼ ρU2 δ

` ρU2 ∼ 4`p. (1.6)

Este resultado indica que la presión en la capa límite no varía transversalmente a la misma y es,por tanto, igual a la presión impuesta por la corriente exterior de Euler

p (x, y) = pe (x) , (1.7)

lo que simplica considerablemente el problema a resolver, ya que la presión deja de ser unaincógnita en el estudio de la evolución de la capa límite.

Del análisis de los órdenes de magnitud de las ecuaciones de continuidad y cantidad demovimiento se ha visto que el espesor característico de la capa límite y la velocidad característicatransversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capalímite, y que la presión, que ahora es un dato, varía únicamente a lo largo de la capa límite y noa través de ella.

1.2.2. Ecuaciones de la capa límite bidimensional incompresible

De acuerdo con las estimaciones de órdenes de magnitud realizadas, el sistema de ecuacionesque describe el movimiento de un líquido en la capa límite son la ecuación de la continuidad (1.1)junto con la ecuación de cantidad de movimiento

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpedx

+ ν∂2u

∂y2. (1.8)

Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coor-denada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobrela pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa. En cambio, las


ecuaciones de capa límite únicamente presentan derivadas primeras de la velocidad transversalv, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición de contorno v = 0 sobre lapared. Es de esperar que lejos de la pared, ya en la región exterior a la capa límite, la veloci-dad transversal v no tienda al valor correspondiente de la corriente exterior. Las condiciones decontorno se reducen a

en y = 0 : u = v = 0; en y →∞ : u = ue (x) . (1.9)

Además de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condición inicial,en el origen de la capa límite, que proporcione el perl inicial de velocidades

en x = 0 : u = u0 (y) . (1.10)

Por último, la presión exterior pe (x) que actúa sobre la capa límite, está relacionada con lavelocidad de deslizamiento a través de la ecuación de cantidad de movimiento según la pared

ueduedx

= −1

ρ

dpedx

. (1.11)

1.2.3. Algunas propiedades de las ecuaciones de la capa límite

El problema denido por las ecuaciones (1.1) y (1.8) y las condiciones de contorno (1.9) y(1.10) es parabólico, a diferencia de las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son elípticas.Este cambio se debe a que la presión ha dejado de ser una incógnita y a que la difusión viscosa alo largo de la capa límite se ha despreciado frente a la difusión transversal. En estas condicionesla coordenada longitudinal juega el papel de un pseudo tiempo, según el cual la informaciónúnicamente puede propagarse hacia valores crecientes de x.

Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de la capalímite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, ya que el problema puede resolverse comosi se tratase de un problema unidimensional de evolución. Existen situaciones de interés en lasque la evolución de la capa límite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a travésde la corriente exterior no viscosa y vuelven a inuir sobre el ujo de la capa límite aguas arribadel punto donde tales perturbaciones se originaron.2

Una propiedad de la capa límite es que sus soluciones no dependen del número de Reynolds.Esto se ve adimensionalizando las magnitudes en la forma

u =u

U, v =

v√Re

`, x =

x

`, y =

y√Re

`, p =

p

ρU2, (1.12)

de modo que las ecuaciones (1.1) y (1.8) toman la forma

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.13)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dpe

dx+∂2u

∂y2, (1.14)

con las condiciones de contorno siguientes

y = 0 : u = v = 0; y →∞ : u = ue (x) ; x = 0 : u = u0 (y) . (1.15)

2Dichos casos no pueden ser estudiados mediante las ecuaciones de la capa límite presentadas en la secciónanterior, y se hace necesario emplear teorías más avanzadas tales como la teoría de capa límite interactiva.


Puede verse que este problema no depende de la viscosidad del uido, sino únicamente de de laforma del cuerpo en torno al cual se forma la capa límite, que se maniesta indirectamente através de la velocidad de deslizamiento adimensional ue (x).

Las ecuaciones (1.1) y (1.8) pueden reducirse a una ecuación diferencial única mediante laintroducción de la función de corriente Ψ de modo que se satisface idénticamente la ecuación dela continuidad (u = ∂Ψ/∂y = Ψy, v = −∂Ψ/∂x = −Ψx) y la ecuación (1.8) toma la forma

ΨyΨxy −ΨxΨyy = −1

ρ

dpedx

+ νΨyyy. (1.16)

En términos de la función de corriente, las condiciones de contorno (1.9) y (1.10) se escribencomo

Ψ (x, 0) = Ψy (x, 0) = 0, Ψy (x,∞) = ue (x) , Ψy (0, y) = u0 (y) . (1.17)

La resolución de la ecuación (1.16) con las condiciones de contorno (1.17) proporciona las carac-terísticas más importantes de la solución: el perl de velocidades u = Ψy (x, y), el coeciente derozamiento en la pared τp = µ (∂u/∂y)y=0 = µΨ (x, 0) y el espesor δ de la capa límite. Puestoque la región exterior se alcanza de un modo asintótico, existe una arbitrariedad intrínseca enla denición del espesor de la capa límite. Se puede eliminar esta arbitrariedad buscando unadenición con un trasfondo físico. La denición más conocida y útil de las existentes es la delllamado espesor de desplazamiento δ∗. El espesor de desplazamiento se dene como la distanciaδ∗que habría que desplazar la pared sólida hacia el interior de la capa límite para que, supuestoque el uido se mueva con la velocidad exterior, pase por la sección disponible el mismo gastoque pasa por la capa límite original, esto es

ˆ ∞0

ρudy =

ˆ ∞δ∗

ρuedy, (1.18)

o bien

δ∗ =

ˆ ∞0

(1− u

ue

)dy. (1.19)

Otra denición del espesor de la capa límite, de interés en ciertas aplicaciones, es el espesorde cantidad de movimiento δ∗∗. Se dene el espesor de cantidad de movimiento como la distanciaδ∗+δ∗∗que debe desplazarse la pared hacia el interior del uido para que, supuesto que se muevecon la velocidad exterior ue, pase por la sección disponible un ujo de cantidad de movimientoigual al que pasa por la capa límite original

ˆ ∞0

ρu2dy =

ˆ ∞δ∗+δ∗∗

ρu2edy. (1.20)

Teniendo en cuenta (1.19) de (1.20) se obtiene3

δ∗∗ =

ˆ ∞0

u

ue

(1− u

ue

)dy. (1.21)

3Es fácil demostrar que para una capa límite compresible, los espesores son

δ∗ =

ˆ ∞0

(1− ρu

ρeue

)dy, δ∗∗ =

ˆ ∞0

ρu

ρeue

(1− u

ue

)dy.


1.2.4. Separación de la capa límite. Resistencia de fricción y de forma

La solución del problema (1.1, 1.8, 1.9 y 1.10) determina la distribución de velocidad enla capa límite. Esta solución puede desarrollar una singularidad y dejar de existir aguas abajode un cierto punto, cuando el gradiente de presión que actúa sobre la capa límite es adverso(dpe/dx > 0). Esta singularidad se puede identicar con la separación de la capa límite y,cuando ocurre, es esencial determinar su posición, pues de ella depende la estructura del ujoexterior y la distribución de presión sobre el cuerpo. En las guras 1.2 y 1.3 se muestran dos casosen los que la capa límite, incapaz de afrontar el gradiente de presiones adverso impuesto por lacorriente exterior, se separa de la supercie del cuerpo y modica sustancialmente la soluciónexterior no viscosa. El resultado, a primera vista paradójico, es que el cálculo del fallo de laaproximación de capa límite es el elemento más importante de la solución del problema obtenidocon esta aproximación.

Figura 1.4: Efecto del gradiente de presiones en la evolución de la capa límite.

El ujo en la capa límite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que, o bienacelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dpe/dx < 0; due/dx > 0), o bien la frena(gradiente de presiones adverso: dpe/dx > 0; due/dx < 0). Particularizando la ecuación decantidad de movimiento (1.8) en la pared (y = 0) se tiene(

∂2u

∂y2

)y=0

=1

µ

dpedx

. (1.22)

Si el gradiente de presiones es nulo, el perl de velocidades presenta un punto de inexión enla pared como se muestra en la gura 1.4 (b). En la gura 1.4 (a) se observa que este punto deinexión desaparece cuando el gradiente de presiones es favorable dpe/dx < 0. Si en cambio lacapa límite se encuentra con gradientes de presiones adversos (dpe/dx > 0), el signo de ∂2u

∂y2 debecambiar entre la pared y el exterior de la capa límite, por lo que habrá al menos un punto deinexión en el interior del uido como se observa en las guras 1.4 (c), (d) y (e). Esto hace a lacapa límite más susceptible de volverse inestable, porque un punto de inexión de la velocidaddentro del uido equivale a un valor extremo de la vorticidad (ω ' −∂u

∂y ) a una cierta distancia dela pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante una distancia suciente, se alcanza


un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, como se muestra en la gura 1.4(d),

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= 0. (1.23)

El punto sobre la supercie del cuerpo en el cual se alcanza (1.23) recibe el nombre de punto de

separación o desprendimiento de la capa límite, y es de gran relevancia para el estudio de ujosa altos números de Reynolds. En la en la gura 1.4 (e) la corriente ya está desprendida.

Conviene resaltar que la posición del punto de separación es independiente del número deReynolds (en tanto en cuanto la capa límite se mantenga laminar), y únicamente depende de laforma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones de capa límite mostradaanteriormente.

Cuando la capa límite se desprende (véase guras 1.2 y 1.3), la diferencia de presiones entreaguas arriba y aguas abajo del cuerpo (en la zona desprendida) es del orden de ρU2, y la fuerzade resistencia del cuerpo es del orden de esta diferencia de presiones por el área frontal del cuerpoAF . Esta es la denominada resistencia de forma DF

DF ∼ ρU2AF . (1.24)

Esta resistencia de forma no depende de la viscosidad, pero sin embargo está originada porella, ya que la determinación del punto de separación depende de la viscosidad. Pero los efectosviscosos también tienen una contribución directa a la fuerza de resistencia ya que, al ser losefectos viscosos importantes en la capa límite, estos ejercerán un esfuerzo de fricción sobre lapared y por tanto proporcionan también una contribución a la resistencia, que denominaremosde fricción DV . Esta resistencia es del orden del esfuerzo en la pared τp por el área del cuerpomojada por el uido Am.

El esfuerzo de fricción en la pared está dado por

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

, (1.25)

y cuyo orden de magnitud es

τp ∼ µU

δ∼ ρU2

√Re

, (1.26)

de modo que la fuerza de fricción es del orden

DV ∼ τpAm ∼ρU2Am√

Re. (1.27)

La relación entre la resistencia de forma y la de fricción es

DV

DF∼ AmAF

1√Re

. (1.28)

Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza de resistenciaejercida sobre un cuerpo romo (Am ∼ AF ) es mucho menor que la resistencia de forma.

En el caso particular de un cuerpo aerodinámico en el que la corriente está adherida (véasegura 1.1), la resistencia es prácticamente debida a la viscosidad. Si se compara la resistencia,por unidad de longitud, del perl de la gura 1.1, que es del orden de

DP ∼ρU2c√Re

, (1.29)


con la resistencia, también por unidad de longitud, del cilindro de la gura 1.2, del orden de

DC ∼ ρU2R, (1.30)

es necesario que la cuerda c del perl sea√Re veces el radio R del cilindro.

1.2.5. Efecto de la succión y soplado en el desprendimiento de la capa límite

Como se ha visto anteriormente, cuando el gradiente de presiones es adverso, la capa límitese puede separar de la supercie del cuerpo, alterando signicativamente la solución exterior ycon ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy ecaz de evitar, o al menosretrasar, el desprendimiento de la capa límite consiste en succionar a través de la pared la capalímite más próxima a ella, en la cual las velocidades son bajas y, por tanto, más sensible a losgradientes de presión adversos.

Figura 1.5: Canal convergente divergente. En la foto

superior se muestra el chorro desprendido. En la foto in-

termedia hay una succión en la pared superior. En la foto

inferior hay succión en ambas paredes.

Si en la pared hay una velocidad normal vsdistinta de cero (debida a la succión o al so-plado) la ecuación de cantidad de movimiento(1.8) particularizada en la pared (y = 0) tomala forma

µ

(∂2u

∂y2

)y=0

=dpedx

+ ρvs

(∂u

∂y

)y=0

. (1.31)

En la ecuación (1.31) puede observarse que lavelocidad vs hace el mismo papel que un gra-diente adverso de presiones si es positiva (so-plado), mientras que si es negativa (succión)hace el papel de un gradiente favorable. Así,si se tiene un gradiente adverso de presionesy una velocidad de succión adecuada, puedeconseguirse que la capa límite no se despren-da..

En la gura 1.5 (debida a Prandtl) semuestra un canal convergente divergente. Lacorriente se desprende en forma de chorro acausa del gradiente adverso de presiones en laparte divergente, como puede observarse en lafoto superior de la gura. Cuando se introdu-ce una succión en una de las paredes (foto in-termedia) la corriente queda adherida a ella yse desprende de la otra. Cuando la succión serealiza en ambas paredes, la corriente se que-da adherida y sólo se desprende aguas abajocuando desaparece la succión.


1.3. Capa límite sobre una placa plana. Solución de Blasius

El ejemplo más sencillo de capa límite laminar es el correspondiente a la capa que se formasobre una placa plana semiinnita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme de valorU . Al igual que se ha venido haciendo en los apartados anteriores, se va a suponer que la densidady la viscosidad del uido son constantes.

La solución correspondiente a las ecuaciones de Euler, que determinan la corriente exterior

es trivial ya que el ujo ideal no resulta afectado por la presencia de la placa, de modo que lasolución es

u = U, v = 0, p = p∞. (1.32)

Figura 1.6: Flujo incompresible alrededor de una placa

plana a ángulo de ataque nulo y a un Reynolds de 104.

Este resultado concuerda bastante biencon lo observado en la realidad. en la gura1.6 se muestra el ujo alrededor de una placaplana de longitud nita y a un número de Rey-nolds elevado. Las líneas de corriente casi no sedeectan a su paso por la placa. Tan sólo muycerca de la placa aparece una zona afectadaque resulta ser muy delgada en comparacióncon la longitud de la placa: Estas zonas sonlas capas límites que se forman sobre ambascaras de la placa.

El movimiento dentro de estas capas lími-tes viene descrito por la ecuación (1.16) perosin gradiente de presiones, ya que la presiónexterior es pe = p∞, de modo que la ecuaciónqueda

ΨyΨxy −ΨxΨyy = νΨyyy, (1.33)

con las condiciones de contorno

x = 0 : Ψy = U ; y = 0 : Ψ = Ψy = 0; y →∞ : Ψy = U. (1.34)

El problema planteado no admite solución analítica, pero puede simplicarse considerable-mente viendo que la ecuación y condiciones de contorno admiten solución de semejanza. Enefecto, la ecuación (1.33) y las condiciones (1.34) pueden reescribirse en la forma

∂ (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

∂2 (Ψ/√ν)

∂x∂ (y/√ν)− ∂ (Ψ/

√ν)

∂x

∂2 (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

2 =∂3 (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

3 , (1.35)

x = 0 :∂ (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

= U ;y√ν

= 0 :Ψ√ν

=∂ (Ψ/

√ν)

∂ (y/√ν)

= 0;y√ν→∞ :

∂ (Ψ/√ν)

∂ (y/√ν)

= U,

(1.36)de modo que la solución es de la forma

Ψ√ν

= F

(x,

y√ν, U

), (1.37)

y el análisis dimensional proporciona

Ψ√2νUx

= f

(y

√U

2νx

), (1.38)


donde el factor numérico 2 se ha introducido por conveniencia. Llamando

η = y

√U

2νx, (1.39)

la solución es de la forma

Ψ =√

2νUx f (η) ; u = U f′(η) ; v =

√νU

2x

(ηf′ − f

). (1.40)

Sustituyendo el valor de Ψ, dado en (1.38), en función de η, dado en (1.39), en la ecuación(1.34) se obtiene la ecuación diferencial

d3f

dη3+ f

d2f

dη2= 0, f (0) = f

′(0) = 0, f

′(∞) = 1. (1.41)

Figura 1.7: Solución de semejanza de Blasius para la capa límite sobre una placa plana semiinnita alineada

con una corriente uniforme.

La solución de este problema diferencial no lineal, que ha de obtenerse numéricamente, resultaser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno aparece parámetroalguno. La solución de este problema fue dada por Blasius en 19084 . En la gura 1.7 se muestrala solución de (1.41) donde puede observarse que el valor de f

′′(0) = 0,4696 y que el valor de

limη→∞

[η − f (η)] = 1,217. Estos valores se utilizarán a continuación.

Conocida la solución, se puede determinar el espesor de desplazamiento

δ∗ (x) =

ˆ ∞0

(1− u

U

)dy =

√2νx

U

ˆ ∞0

(1− f ′

)dη =

√2νx

U[η − f ]η→∞ =

1,721 x√Rex

, (1.42)

4Paul Richard Heinrich Blasius (1883 1970). THE BOUNDARY LAYERS IN FLUIDS WITH LITTLEFRICTION, NACA-TM-1256 (1950), traducción inglesa de Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung,Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band 56, Heft 1, 1908.


donde Rex = Ux/ν. El esfuerzo de fricción que el uido ejerce sobre la placa, que en este casoes el único responsable de la fuerza sobre el cuerpo, se obtiene de

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= µU

√U

2νxf′′

(0) =0,4696√

2µU

√U

νx=

0,332ρU2

√Rex

, (1.43)

que puede expresarse en forma del coeciente de fricción local

cf =τp

12ρU

2=

0,664√Rex

. (1.44)

El lector puede mostrar que el espesor de cantidad de movimiento es

δ∗∗ =0,664x√Rex

. (1.45)

En el caso en que la placa plana sea de longitud nita L, los resultados obtenidos siguensiendo válidos para x < L.

1.3.1. Succión/soplado

La capa límite de una placa plana con succión o soplado sigue siendo autosemejante si lavelocidad de succión/soplado es de la forma

vy=0 = v∗ωU

√ν

Ux, (1.46)

donde v∗ω es el parámetro adimensional de succión/soplado constante. En estas condiciones,la ecuación a resolver sigue siendo la ecuación (1.41), donde hay que cambiar la condición decontorno f (0) = 0 por la condición f (0) = −

√2v∗ω, ya que en este caso la velocidad (v)y=0 =√

νU2x

(η dfdη − f

)η=0

= −√

νU2x f (0).

Figura 1.8: Solución de semejanza de las ecuaciones de

la capa límite sobre una placa plana, a través de la cual se

aplica una succión/soplado de la forma vy=0 = v∗ωU√

νUx

.

A diferencia de la solución de Blasius queestá libre de parámetros, en el caso de suc-ción/soplado hay un parámetro libre v∗ω. En lagura (1.8) se muestran varias soluciones ob-tenidas para diferentes valores de este paráme-tro. Para valores negativos de v∗ω, que corres-ponden a la succión y es equivalente a un gra-diente favorable de presiones, se puede ver quela capa límite se vuelve más delgada. Apar-te de hacer que ésta se vuelva más robustafrente al fenómeno de separación, el estrecha-miento tiene el efecto, a veces no deseable, deaumentar el esfuerzo de fricción en la pared(τp = µ (du/dy)y=0) por ser mayor el gradien-te de velocidad. En el extremo opuesto, paravalores positivos de v∗ω, equivalente a un gra-diente adverso de presión, que corresponden alsoplado, se puede ver en la gura (1.8) que la

capa límite se vuelve más gruesa y aparece un punto de inexión en el perl de velocidades


longitudinales u, lo que hace que la capa límite sea menos robusta frente a la transición a laturbulencia. Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción enla pared disminuyen. Si el soplado es lo sucientemente intenso, es posible llegar a anular el valorde τp, lo que provoca la separación de la capa límite. Esto sucede para el valor crítico v∗ω = 0,619.

1.4. Soluciones de Falkner-Skan

Figura 1.9: Conguración de una cuña y su corriente

exterior.

Para determinadas soluciones de velocida-des de deslizamiento ue (x), y por tanto de pre-siones exteriores pe (x), es posible seguir en-contrando soluciones de semejanza de las ecua-ciones de la capa límite. Estas soluciones, des-cubiertas por Falkner y Skan en 1931, y poste-riormente calculadas numéricamente por Har-tree en 1937, representan las capas límites quese forman sobre cuñas como la representadaen la gura 1.9. El ujo potencial alrededorde una cuña de ángulo πβ da lugar a una dis-tribución de velocidades de deslizamiento a lolargo de la pared de la forma

ue (x) = Axm, (1.47)

donde el exponente m y el ángulo β de la cuña están relacionados mediante la expresión

β =2m

m+ 1. (1.48)

Figura 1.10: Conguracio-nes límites correspondientes

a una placa plana y a un

punto de remanso.

Cuando m = 0 es β = 0 y el ángulo de la cuña es nulo y de laecuación (1.47) se obtiene ue (x) = A = constante, que es la corrienteexterior a una placa plana. Cuandom = 1 se tiene β = 1 y el ángulo dela cuña es π y la velocidad exterior es ue (x) = Ax , que corresponde ala corriente en el entorno de un punto de remanso (véase gura 1.10).

De acuerdo con (1.47), el gradiente de presiones está dado por

1

ρ

dpedx

= −ueduedx

= −mu2e

x, (1.49)

de modo que es favorable cuando m > 0 y adverso cuando m < 0.El gradiente de presiones es favorable cuando 0 ≤ m ≤ ∞ lo que im-plica 0 ≤ β ≤ 2. Cuando −∞ ≤ β ≤ 0 se tiene −1 ≤ m ≤ 0 y elgradiente de presiones es adverso pero, como se verá más adelante,no existe solución cuando β = −0,1988 que corresponde al desprendi-miento (m = −0,09043).

Utilizando el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa límite sobre unacuña admite solución de semejanza en términos de las variables

η = y

√ue (x)

(2− β) νx, Ψ =

√(2− β) νxue (x) f (η) . (1.50)


Las componentes de la velocidad son

u = ue (x) f (η) ; v =

√νue (x)

(2− β)x

[(1− β) η

df

dη− f (η)

], (1.51)

donde la expresión de Ψ (dada en (1.50)) y la de v (dada en (1.51)) coinciden con los respectivosvalores de la solución de Blasius, dados en (1.40), cuando β = 0.

Sustituyendo las variables (1.50), junto con (1.49) en la ecuación (1.16) se obtiene el siguienteproblema para la función f (η)

d3f

dη3+ f

d2f

dη2+ β

[1−

(df

dη

)2]

= 0, f (0) = f′(0) = 0, f

′(∞) = 1. (1.52)

Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa límite sobre unaplaca plana, y de hecho se reduce a él en el caso β = 0. Al igual que sucede con la ecuaciónde Blasius, la solución de (1.52) ha de obtenerse numéricamente, aunque en este caso habrá quecalcular toda una familia de soluciones en función del parámetro β.

Una vez conocida la función f (η), se puede determinar el esfuerzo en la pared y los distintosespesores de la capa límite. El esfuerzo en la pared es

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= ρu2e (x) f

′′(0, β)

√m+ 1

2Rex, (1.53)

donde Rex = xue(x)ν es el número de Reynolds basado en la distancia x a lo largo de la pared y

en la velocidad exterior ue (x) dada en (1.47). El coeciente de fricción es

cf (x) =τp

12ρu

2e (x)

=

√2 (m+ 1)

Rexf′′

(0, β) =2f′′

(0, β)√(2− β)Rex

. (1.54)

El espesor de desplazamiento está dado por

δ∗ = x

√2− βRex

limη→∞

[η − f (η)]

, (1.55)

y el de cantidad de movimiento por

δ∗∗ = x

√2− βRex

f′′

(0, β)− β limη→∞

[η − f (η)]

1 + β

. (1.56)

Como puede observarse en las ecuaciones (1.54), (1.55) y (1.56) además de conocer la soluciónf (η), son necesarios los valores de f

′′(0, β) y de lim

η→∞[η − f (η)] para poder determinar el coe-

ciente de fricción y los espesores de la capa límite. En la Tabla 1.1 se dan los valores de estasmagnitudes en función de β.

En la gura 1.11 se recogen varios perles de velocidad (f′(η, β) para diferentes valores de

β. Tal como se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre elcomportamiento de la capa límite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientesde presión favorables, hacen que la capa límite se vuelva más delgada y dan lugar a perles develocidades carentes de punto de inexión. En cambio, valores negativos de β, que se correspondencon gradientes de presión adversos, hacen que el perl de velocidades longitudinales u presente unpunto de inexión, lo cual hace a la capa límite más susceptible a volverse inestable. Finalmente,para el valor especial de β = −0,198 el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de lapared.


Figura 1.11: Perles de velocidad de Falkner-Skan en función de β.

1.5. Capa límite térmica

β f′′

(0, β) limη→∞

[η − f (η)]

-0.198 0 2.3587

-0.15 0.2166 1.6467

-0.05 0.4004 1.3125

0 0.4696 1.2169

0.05 0.5312 1.1418

0.1 0.5871 1.0803

0.2 0.6868 0.9840

0.4 0.8545 0.8527

0.6 0.9959 0.7641

0.8 1.1203 0.6988

1 1.2326 0.6481

1.25 1.3603 0.5980

1.5 1.4772 0.5582

1.75 1.5857 0.5253

2 1.6872 0.4978

Cuadro 1.1: Valores de las constantes

determinadas de la solución.

Considerando el ujo bidimensional e incompresible, co-mo hasta ahora, la ecuación de la energía es

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= k

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)+ Φv, (1.57)

donde c es el calor especíco del líquido, k su conductividadtérmica y Φv la disipación viscosa.

En un movimiento a altos números de Reynolds, se havisto que los efectos viscosos son despreciables en la mayorparte del campo uido, excepto en una capa delgada cercanaa la pared (capa límite) donde los efectos viscosos y convec-tivos son del mismo orden, para poder imponer la condiciónde contorno de velocidad nula relativa a la pared . En el casode la ecuación de la energía sucede algo similar con la tempe-ratura: hay que imponer la condición de que la temperaturade la pared y del uido coinciden, y esto no es posible si nocuentan la conductividad térmica. Los efectos de conducciónquedan relegados a una capa delgada denominada capa lí-mite térmica de espesor δT ` si el producto del númerode Reynolds por el de Prandtl es grande frente a la unidad.Para la obtención del orden de magnitud de la capa límite


térmica, se estima el orden de cada uno de los términos de la ecuación (1.57)

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)ρcU∆T

`∼ ρcvc∆T

δ

= k

(∂2T

∂x2+∂2T

∂y2

)k∆T`2 k∆T

δ2T

+ Φv

µ(Uδ )2, (1.58)

donde los dos términos convectivos son del mismo orden como consecuencia de (1.2). El términomás importante de la disipación viscosa es µ (∂u/∂y)2, de ahí el orden de magnitud µ (U/δ)2 dela ecuación (1.58). Si se compara el término más importante de la conducción k∆T/δ2

T con eltérmino convectivo ρcU∆T/`, el orden de magnitud de δT es

δT`∼

√k

ρcU`∼

√k

µc

µ

ρU`∼ 1√

RePr, (1.59)

donde Pr = µc/k es el número de Prandtl. Al producto Pe = RePr se le denomina número dePeclet. El orden de magnitud de la disipación viscosa comparado con el término de conducción(o el convectivo, ya que ambos son del mismo orden) es

µU2/δ2

k∆T/δ2T

∼ µc

k

U2

c∆T

(δTδ

)2

∼ U2

c∆T. (1.60)

El cociente U2/c∆T es, para los líquidos, un número muy pequeño frente a la unidad5. La relaciónentre el espesor de la capa límite térmica y la viscosa es

δTδ∼ 1√

Pr, (1.61)

de modo que si el número de Prandtl es de orden unidad, como ocurre en el caso de los gases, losespesores de ambas capas son del mismo orden. Cuando el número de Prandtl es muy grande,lo que ocurre en líquidos en los que la viscosidad cinemática, ν = µ/ρ, es mucho mayor que ladifusitividad térmica, α = k/ρc, la relación (1.61) indica que el espesor de la capa térmica esmucho menos que el de la viscosa. Lo que ocurre físicamente es que al ser ν α, la capacidaddel uido para transportar cantidad de movimiento es mucho mayor que para transportar calor,por lo que los efectos viscosos asociados a la presencia de la pared penetran en el uido unadistancia mucho mayor que los térmicos, asociados también a la presencia de la pared. Dado queδT δ, la velocidad en la capa límite térmica no es del orden de U , sino que es del orden deUy/δ ∼ UδT /δ y en ese caso la estimación de δT dada en (1.59) no es correcta, ya que el términoconvectivo sería del orden de ρU (δT /δ) c∆T/` y el de conducción del orden de k∆T/δ2

T , y surelación, que debe ser de orden unidad, proporciona

ρUcδ3T

k`δ∼ 1, ⇒

(δT`

)3

∼ Re−3/2Pr−1,δTδ∼ Pr−1/3. (1.62)

En el caso contrario, cuando el número de Prandtl sea mucho menor que la unidad, lo quecorresponde al caso de metales líquidos, se obtiene el resultado opuesto. En este caso, Pr 1, alser δT δ, la capa límite térmica está prácticamente toda ella en la región no viscosa, de modoque la velocidad puede aproximarse por ue.

5Con una diferencia de temperaturas de 10 K, el denominador es del orden de 104 (m/s)2, mientras que lasvelocidades en los líquidos son del orden del m/s, de modo que este número es del orden de 10−3 ó 10−4.


El ujo de calor en la pared dado por qp = −k (∂T/∂y)y=0, es del orden qp ∼ k∆T/δT , de

modo que el número de Nusselt Nu = qp`/k∆T ∼ `/δT ∼√RePr salvo en el caso en que δT δ

, para el que se obtiene Nu ∼ Re1/2Pr1/3.Resumiendo lo anterior, la ecuación de la energía en la capa límite térmica se reduce a

ρc

(u∂T

∂x+ v

∂T

∂y

)= k

∂2T

∂y2, (1.63)

a integrar con las condiciones de contorno

T = Tp en y = 0; T = Te en y →∞; T = Ti (y) en x = 0. (1.64)

La condición de contorno en y = 0 se sustituye por ∂T/∂y = 0, si la pared está aislada térmica-mente.

1.5.1. Capa límite térmica sobre una placa plana paralela a una corrienteuniforme

Si se considera el problema de Blasius en el que la corriente uniforme U está a la temperaturaT∞ y la placa a la temperatura Tp, sigue existiendo solución de semejanza y la ecuación de laenergía (1.63) puede escribirse en la forma

d2θ

dη2+ Pr f (η)

dθ

dη= 0, (1.65)

donde

θ =T − T∞Tp − T∞

, (1.66)

y tanto η como f (η) son las dadas en (1.39) y (1.38) respectivamente. Las condiciones de contornopara la ecuación (1.65) son θ (0) = 1 y θ (∞) = 0. La solución al problema planteado es debidaa Pohlhausen (1921)

θ =

´∞η

exp

(−Pr

´ η0 fdη

)dη´∞

0

exp

(−Pr

´ η0 fdη

)dη, (1.67)

con (dθ

dη

)η=0

= −[ˆ ∞

0exp

(−Pr

ˆ η

0fdη

)]dη

−1

, (1.68)

que permite determinar el ujo de calor en la placa, que está dado por

qp = −k(dT

dy

)y=0

= −k (Tp − T∞)

√U

2νx

(dθ

dη

)η=0

, (1.69)

que en forma adimensional es

Nu =qp x

k (Tp − T∞)= −

√1

2Rex

(dθ

dη

)η=0

, (1.70)

donde Nu es el número de Nusselt y Rex = Ux/ν.En la Tabla 1.2 se dan los valores de − (dθ/dη)η=0 en función del número de Prandtl, y que

son necesarios para determinar el número de Nusselt. En el rango de valores de 0,1 ≤ Pr ≤ 10000el número de Nusselt puede aproximarse por la relación

Nu = 0,332Re1/2x Pr1/3. (1.71)


Figura 1.12: Distribuciones de temperatura adimensional para distintos valores del número de Prandtl.

Pr −(dθdη

)η=0

Pr −(dθdη

)η=0

0.001 0.0245 1 0.46960.01 0.0730 10 1.02970.03 0.1195 100 2.22310.1 0.1981 1000 4.78990.3 0.3037 10000 10.320

Cuadro 1.2: Valores de (dθ/dη)η=0 en función del nú-

mero de Prandtl.

En la gura 1.12 se muestra la distribuciónde temperaturas en función de η, para diferen-tes valores del número de Prandtl.

1.5.2. Capa límite térmica sobre una cuña

En el caso de las soluciones de semejanza de Falkner-Skan, también existe solución de seme-janza para la ecuación de la energía, que sigue siendo la misma dada en (1.65) y con las mismascondiciones de contorno, pero para este caso el número de Nusselt está dado por

Nu = G (Pr, β)

√2xue (x)

(2− β) ν, (1.72)

siendo

G (Pr, β) =

[ˆ ∞0

exp

(−Pr

ˆ η

0fdη

)]dη

−1

, (1.73)

que también puede escribirse en la forma

Nu =qp x

k (Tp − T∞)= −

√Rex

2− β

(dθ

dη

)η=0

. (1.74)


Cuadro 1.3: Valores de − (dθ/dη)η=0 en función de β y del número de Prandtl.

Recuérdese que η y f (η, β) están denidas en (1.50) y que Rex es aquí Rex = xue (x) /ν.En la Tabla 1.3 se muestran los valores de (dθ/dθ)η=0 en función de β y del número de

Prandtl, que determinan el número de Nusselt (1.74).

1.6. Capa límite bidimensional compresible y estacionaria

Los órdenes de magnitud estimados para las ecuaciones del ujo incompresible en la capalímite, siguen siendo válidos para el caso compresible, sin embargo se van a incluir los términoscorrespondientes a las fuerzas másicas ~fm que son importantes cuando se quiere estudiar laconvección libre. Las ecuaciones son

∂ (ρu)

∂x+∂ (ρv)

∂y= 0, (1.75)

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −∂p

∂x+ ρfmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

), (1.76)

0 = −∂p∂y

+ ρfmy, (1.77)

ρu∂h0

∂x+ ρv

∂h0

∂y=

∂

∂y

(k∂T

∂y

)+

∂

∂y

(µu∂u

∂y

)+ ρufmx, (1.78)

donde h0 = h + 12

(u2 + v2

)≈ h + 1

2u2 es la entalpía de remanso y h = cpT la entalpía. Las

componentes de las fuerzas másicas según los ejes x e y son fmx y fmy respectivamente.Si se descompone la presión en dos sumandos p = ph+pm, uno ph debido al campo hidrostático

(∇ph = ρ∞ ~fm), que corresponde al campo de presiones de un medio en reposo con densidad ρ∞constante, y la otra pm asociada al movimiento, la ecuación (1.76) puede reescribirse en la forma

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −∂pm

∂x+ (ρ− ρ∞) fmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

), (1.79)

mientras que la ecuación (1.77) se reduce a

0 = −∂pm∂y

+ (ρ− ρ∞) fmy. (1.80)


En esta última ecuación, el incremento transversal de pm es: ∆ypm ∼ (ρ− ρ∞) fmyδ; mientrasque de (1.79) se obtiene: ∆xpm ∼ (ρ− ρ∞) fmx`

6. La relación entre ambos incrementos de presiónes ∆ypm/∆xpm ∼ δ/` 1 y en primera aproximación la ecuación (1.80) se reduce a decir quela presión pm no varía con y, de modo que pm = pme (x). La ecuación (1.79) toma la forma nal

ρu∂u

∂x+ ρv

∂u

∂y= −dpme

dx+ (ρ− ρ∞) fmx +

∂

∂y

(µ∂u

∂y

). (1.81)

Las condiciones de contorno para integrar las ecuaciones (1.75), (1.78) y (1.81) son

en y = 0 : u = 0; v = 0 (o v = vs si succion/soplado); h0 = hp (o∂T

∂y= 0 si pared aislada),

(1.82)En y →∞ : u = ue (x) ; h0 = h0e, (1.83)

En x = 0 : u = ui (y) ; h0 = hoi, (1.84)

donde vs es la velocidad de succión o soplado y hp es la entalpía a la temperatura de la pared.La velocidad ue y la entalpía de remanso h0e en la corriente exterior satisfacen las ecuaciones

ρeueduedx

= −dpmedx

+ (ρe − ρ∞) fmx, (1.85)

ρeuedh0e

dx= ρeuefmx. (1.86)

La importancia relativa de las fuerzas de otabilidad (ρe − ρ∞) fmx frente a los de inercia enla ecuación (1.81) viene dada por el número adimensional

(ρ− ρ∞) fmx`

ρ∞u2e

∼ [(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`3

ν2

(ν

ue`

)2

∼ Gr

Re2, (1.87)

donde Gr = [(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`3/ν2 es el número de Grashof.7 Las fuerzas de otabilidad son

despreciables y la convección se denomina forzada cuando Gr/Re2 1, y en este caso las fuerzasmásicas no juegan ningún papel. Por el contrario, cuando ue

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞ las fuerzas

de otabilidad son dominantes y son las responsables del movimiento del uido. En este casola velocidad en la capa límite no es del orden ue, sino que es del orden de

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞.

Para que exista capa límite es necesario que el Reynolds basado en la longitud característica `sea alto, pero dado que la velocidad característica no es ue sino que es

√(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞, el

número de Reynolds es

`√

(ρ− ρ∞) fm`/ρ∞ν

∼√

[(ρ− ρ∞) /ρ∞] fm`3

ν2∼√Gr, (1.88)

y el espesor de la capa límite es δ/` ∼ Gr −1/4. Cuando esto ocurre la convección se denominalibre o natural.

6El término de presiones es del orden citado si la convección natural es importante. En ese caso la velocidadcaracterística sería tal que ρu2

c ∼ (ρ− ρ∞) fmx` y el espesor de la capa límite viscosa es del orden de

δ

`∼ 1√

Re∼√√√√√ µ

ρ`

√∣∣∣ ρ−ρ∞ρ ∣∣∣ fmx` 1.

7La denición clásica del número de Grashof es

Gr =β∆T fm`

3

ν2,

donde se ha sustituido [(ρ− ρ∞) /ρ∞] = −β∆T , siendo β el coeciente de expansión térmica.


1.6.1. Convección forzada. Temperatura de recuperación

Como se ha visto, en la convección forzada los efectos de las fuerzas másicas son despreciables.La ecuación (1.78) de la energía puede eliminarse el trabajo de las fuerzas másicas y escribirseen la forma

ρu∂h0

∂x+ ρv

∂h0

∂y=

∂

∂y

(µ∂h0

∂y

)+

1− PrPr

∂

∂y

[µ∂

∂y

(h0 −

1

2u2

)], (1.89)

donde Pr = µcp/k es el número de Prandtl. Cuando el número de Prandtl es igual a la unidad,la ecuación (1.89) anterior toma la forma simplicada

ρu∂h0

∂x+ ρv

∂h0

∂y=

∂

∂y

(µ∂h0

∂y

). (1.90)

Cuando la pared está aislada térmicamente, la condición de ujo de calor nulo en la pared setraduce en (∂h0/∂y)y=0 = 0, ya que [u (∂u/∂y)]y=0 = 0 por ser u (x, 0) = 0. La solución de (1.90)con las condiciones (∂h0/∂y)y=0 = 0 y (h0)y→∞ = h0e es h0 = h0e. Esto signica que la entalpíaa la temperatura de la pared coincide con la entalpía de remanso de la corriente exterior, quetraducido a temperaturas es

Tp = T0e = Te

(1 +

γ − 1

2M2e

), (1.91)

donde Te (x) es la temperatura y Me (x) el número de Mach de la corriente exterior.Debido a que el número de Prandtl es un poco menor que la unidad, la ecuación (1.89) indica

que la temperatura de la pared va a ser un poco menor que la de remanso exterior

Tp = Te

(1 + <γ − 1

2M2e

), (1.92)

donde < es el factor de recuperación, función del número de Prandtl, que es menor que la unidadpero próximo a uno. El factor de recuperación es una medida del incremento de temperatura dela pared con respecto a la temperatura de la corriente exterior debido al término dinámico, yaque (1.92) puede también escribirse en la forma Tp − Te = <

(u2e/2cp

).

El factor de recuperación para una capa límite laminar sin gradiente de presiones varíaaproximadamente como < ≈

√Pr y apenas varía con el número de Mach (véase Shapiro, 1954,

p 1056). Cuando la capa límite es turbulenta el factor de recuperación puede aproximarse por< ≈ 1− 66 (1− Pr) cf , donde cf es el coeciente de fricción (véase Shapiro, 1954, p 1099).

1.6.2. Convección forzada. Analogía de Reynolds

En la capa límite de una placa plana la corriente exterior es uniforme, de modo que ue esconstante, lo mismo que la presión y la temperatura. Por lo tanto dpe/dx = 0 y h0e también esconstante. Si la placa está a temperatura constante Tp (hp = cpTp) y si el número de Prandtl esla unidad, la ecuación (1.90) de la energía puede escribirse en la forma

ρu∂θ

∂x+ ρv

∂θ

∂y=

∂

∂y

(µ∂θ

∂y

), (1.93)

donde

θ =h0 − hph0e − hp

. (1.94)


Las condiciones de contorno para la ecuación (1.93) son

θ = 0 en y = 0; θ = 1 en y →∞. (1.95)

La ecuación de cantidad de movimiento (1.76) sin gradiente de presiones y utilizando lavariable χ = u/ue, toma la forma

ρu∂χ

∂x+ ρv

∂χ

∂y=

∂

∂y

(µ∂χ

∂y

), (1.96)

que debe integrarse con las condiciones

χ = 0 en y = 0; χ = 1 en y →∞. (1.97)

Como puede verse, la ecuación (1.93) y las condiciones de contorno (1.95) para θ son idénticasa la ecuación (1.96) y a las condiciones de contorno (1.97) para χ . Como consecuencia lassoluciones deben ser θ (x, y) ≡ χ (x, y).8

El ujo de calor en la placa está dado por

qp = −k(∂T

∂y

)y=0

= − kcp

(h0e − hp)(∂θ

∂y

)y=0

, (1.98)

mientras que el esfuerzo en la pared es

τp = µ

(∂u

∂y

)y=0

= µue

(∂χ

∂y

)y=0

=1

2cfρeu

2e, (1.99)

donde cf es el coeciente de fricción.De la ecuación (1.98) se obtiene(

∂θ

∂y

)y=0

=cpqp

k (hp − h0e),

y de la ecuación (1.99) se tiene (∂χ

∂y

)y=0

=1

2cfρeueµ

,

y de la igualdad de ambas derivadas se deduce

1

2cf =

qpρeue (hp − h0e)

= St, (1.100)

donde St es el número de Stanton y donde se ha hecho uso de la igualdad Pr = µcp/k = 1.La analogía de Reynolds indica que el número de Stanton es igual a la mitad del coeciente defricción.9

El ujo de calor en la pared toma la forma

qp =1

2cfρeue

(hp − he −

1

2u2e

). (1.101)

8También sería necesario que θi (y) ≡ χi (y).9Obsérvese que si la energía cienética es muy pequeña comparada con la térmica, el número de Stanton puede

escribirse como

St =qp

ρeue (hp − h0e)=

qp`

k (Tp − Te)k

µcp

µ

ρeue`=

Nu

PrRe,

de modo que el número de Nusselt es el producto del número de Stanton, por el Reynolds y por el Prandtl.


1.6.3. Convección libre

Al estudiar el equilibrio mecánico de un uido en un campo gravitatorio, si la distribuciónde temperaturas no satisface determinadas condiciones, el equilibrio mecánico no es posible yaparecen corrientes en el uido que tienden a mezclarlo, uniformizando la temperatura al au-mentar considerablemente la transferencia de calor. Esta situación, gobernada por las fuerzas deotabilidad se denomina convección libre o natural. Cuando los efectos viscosos y de conducciónde calor quedan concentrados en capas delgadas (capa límite viscosa y térmica respectivamente),en el exterior de la capa viscosa la velocidad es prácticamente nula y la presión uniforme. Puestoque la presión se conserva igual a la exterior a través de la capa, los incrementos de presión sonnulos o muy pequeños frente a la propia presión. En estas condiciones, la diferencia de densidadeses proporcional a la diferencia de temperaturas, de modo que

ρ− ρ∞ρ∞

= −β (T − T∞) , (1.102)

donde β es el coeciente de expansión térmica, que para un gas perfecto es β = 1/T .El espesor de la capa límite térmica se estima de la ecuación (1.78) haciendo que el término

convectivo sea del mismo orden que el de conducción

ρuccp∆T

`∼ k∆T

δ2T

, (1.103)

de modo que (δT`

)2

∼ k

µcp

ν

uc`∼ 1

Pr

1

Re. (1.104)

1.6.3.1. Número de Prandtl grande Pr 1

Si el número de Prandtl es grande, la capa donde los efectos térmicos son apreciables espequeña frente a la capa viscosa, pero los efectos de otabilidad son sólo importantes en estacapa, ya que en ella se producen los cambios de temperatura. De acuerdo con la ecuación decantidad de movimiento (1.81) el término de otabilidad debe ser del orden del viscoso evaluadoen dicha capa térmica, esto es

β∆T fmx ∼νucδ2T

, (1.105)

lo que proporciona el valor característico de la velocidad

uc ∼ β∆T fmxδ2T

ν, (1.106)

y sustituyendo el valor de δT dado en (1.104) se obtiene

uc ∼√β∆T fmx`

Pr. (1.107)

Sustituyendo el valor uc de (1.107) en (1.104) se obtiene el espesor de la capa límite térmica enla forma

δT`∼(

1

PrGr

)1/4

, (1.108)


donde el número de Grashof es Gr =(β∆T fm`

3)/ν2. El espesor de la capa límite viscosa es del

orden de 1/√Re, que con el valor de uc dado en (1.107), toma la forma

δ

`∼(Pr

Gr

)1/4

δT`. (1.109)

Nótese que muy cerca de la pared, a distancias del orden de δT las fuerzas de inercia, del ordende ρu2

c/` ∼ β∆T fmx/Pr, son despreciables frente a las de otabilidad, del orden de β∆T fmx.El ujo de calor en la pared es

qp ∼ k∆T

δT∼ k∆T

`

`

δT∼ k∆T

`(PrGr)1/4 , (1.110)

de modo que el número de Nusselt es

Nu ∼ qp`

∆T∼ (PrGr)1/4 ∼ Ra1/4, (1.111)

donde Ra = PrGr es el numero de Rayleigh.

1.6.3.2. Número de Prandtl pequeño Pr 1

Cuando el número de Prandtl es Pr 1, la capa térmica es grande frente a la viscosa,de modo que la otabilidad está actuando fuera de la capa viscosa. En este caso, el términoconvectivo y de otabilidad son del mismo orden, de modo que

uc ∼√β∆T fm`, (1.112)

siendo el espesor de la capa viscosa δ/` ∼ (1/Gr)1/4 y el de la capa límite térmica del orden

δT /` ∼(

1/√Pr)

(1/Gr)1/4 δ/`.

El ujo de calor en la pared está dado por

qp ∼ k∆T

δT∼ k∆T

`

`

δT∼ k∆T

`Pr 1/2Gr 1/4, (1.113)

y el Nusselts es

Nu ∼ qp`

∆T∼ Pr 1/2Gr 1/4. (1.114)

1.6.3.3. Número de Prandtl de orden unidad Pr ∼ 1

Cuando el Prandtl es de orden unidad, la capa límite viscosa y térmica tienen espesorescomparables. En la ecuación de cantidad de movimiento los términos convectivo, otabilidad yviscoso son del mismo orden, de modo que la velocidad característica es uc ∼

√β∆T fmx` y los

espesores son δ/` ∼ δT /` ∼ Gr −1/4. El ujo de calor en la pared es qp ∼ k (∆T/`)Gr 1/4 y elnúmero de Nusselt es Nu ∼ Gr 1/4.

1.6.3.4. Ecuaciones

Las ecuaciones que gobiernan la capa bidimensional de convección libre de un uido en tornoa un obstáculo , a temperatura diferente de la del medio, y en ausencia de convección forzadase obtienen a partir de la de continuidad (1.75), cantidad de movimiento (1.81) y de la energía(1.78). En esta última ecuación la disipación viscosa comparada con la conducción es del orden


de Pr u2c/cp∆T , que para números de Prandtl grandes se traduce en fmx`/ (cp/β) ∼ 10−4 1

(para gases y mucho menor para líquidos) y para números de Prandtl pequeños o de ordenunidad es del orden de Pr fmx`/ (cp/β) 1. Como consecuencia de ello, la disipación viscosaes despreciable. El trabajo de las fuerzas másicas comparado con la conducción es del orden defmx`/cp∆T que, para ` ∼ 1 m y ∆T ∼ 10 K, el cociente anterior es del orden de 10−3, quetambién es un número pequeño frente a la unidad y el trabajo de las fuerzas másicas también esdespreciable. La comparación entre la energía cinética y térmica por unidad de masa es del ordende u2

c/cp∆T que, de acuerdo con lo expresado anteriormente, es muy pequeño y en la ecuaciónde la energía se puede suponer h0 ≈ h = cpT y, en el caso de los líquidos, el trabajo mecánicode la presión u (dpm/dx)también es despreciable. Si a todo lo anterior añadimos ∆T/T∞ 1,la densidad de los gases se puede considerar constante, de modo que las ecuaciones se reducen a

∂u

∂x+∂v

∂y= 0, (1.115)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dpmedx− β (T − T∞) fmx + ν

∂2u

∂y2, (1.116)

u∂ (T − T∞)

∂x+ v

∂ (T − T∞)

∂y= α

∂2T

∂y2, (1.117)

donde α = k/ρcp es la difusitividad térmica.

1.6.3.5. Placa plana vertical

En el caso de una placa plana vertical semi-innita dpme/dx = 0, y si la temperatura de laplaca varía de la forma

Tp (x)− T∞ = Axn,

existe solución de semejanza10 con las variables de semejanza

Ψ =[ν2gβAxn+3

]1/4f (η) ,

η = y

[gβAxn−1

ν2

]1/4

,

θ (η) =T (x, y)− T∞Tp (x)− T∞

,

donde Ψ es la función de corriente. Con estas variables, las ecuaciones (1.115), (1.116) y (1.117)se reducen a

d3f

dη3+ (n+ 3) f

d2f

dη2− n+ 1

2

(df

dη

)2

+ θ = 0, (1.118)

1

Pr

d2θ

dη2+n+ 3

4fdθ

dη− nθ df

dη= 0, (1.119)

ecuaciones que hay que integrar con las condiciones de contorno

f (0) = f′(0) = 0 ; θ (0) = 1, (1.120)

f (∞) = 0 ; θ (∞) = 0. (1.121)

10También existe solución de semejanza cuando la temperatura de la placa es de la forma Tp (x)−T∞ = Aemx.


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Capítulo 2

Introducción a los movimientosturbulentos

2.1. Origen de la turbulencia

En ujos que originalmente son laminares, la turbulencia aparece a causa de inestabilidadesa altos números de Reynolds. El ujo laminar en un tubo se hace turbulento cuando el númerode Reynolds (basado en la velocidad media y el diámetro del tubo) alcanza un valor próximo a2000. La capa límite laminar en una placa sin gradiente de presiones se hace turbulenta cuandoel número de Reynolds Uδ∗/ν ≈ 600, siendo δ∗el espesor de desplazamiento y U la velocidad dela corriente exterior a la capa límite.

Matemáticamente los detalles de la transición de ujo laminar a turbulento no son bastantebien entendidos. Gran parte de la teoría de inestabilidad del ujo laminar es teoría linealizada,válida para pequeñas perturbaciones, lejos de los altos niveles de uctuación de un ujo turbu-lento. Además, casi toda la teoría de ujos turbulentos es teoría asintótica, bastante aproximadaa muy altos números de Reynolds, pero no lo es tanto y es incompleta a números de Reynoldsno tan altos.

Los experimentos muestran que la transición se inicia, normalmente, por un mecanismo pri-mario de inestabilidad que en casos sencillos es bidimensional. La inestabilidad primaria producemovimientos secundarios que generalmente son tridimensionales y ellos mismos se hacen inesta-bles. Una secuencia de esta naturaleza genera intensas perturbaciones tridimensionales y locali-zadas (los denominados spots turbulentos). Estos spots crecen rápidamente, mezclándose unoscon otros, formando un ujo turbulento desarrollado. En otros casos la turbulencia se originapor inestabilidades que generan torbellinos los cuales se hacen, a su vez, también inestables.

Los ujos turbulentos siempre aparecen a altos números de Reynolds, son tridimensionalescon altos niveles de uctuación con torbellinos de amplios rangos de tamaño y frecuencia; ysiempre son disipativos. La turbulencia necesita un continuo aporte de energía.

2.2. Escalas de la turbulencia

Los torbellinos de tamaño más grande en un movimiento turbulento escalan con el tamañotransversal del ujo. Con los tamaños y velocidades típicas de estos torbellinos el número deReynolds es muy alto y los efectos disipativos de la viscosidad no cuentan. Solamente en escalasmuy pequeñas y velocidades también pequeñas, generadas a causa de la no linealidad de lasecuaciones, los efectos viscosos pueden ser importantes para disipar la energía asociada a los

30

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN A LOS MOVIMIENTOS TURBULENTOS 31

torbelinos grandes.Los torbellinos más grandes están caracterizados por la velocidad ∆U y la longitud L tal

que el número de Reynolds (∆U)L/ν 1. La frecuencia de estos torbellinos es fL ∼ ∆U/L.La energía, por unidad de masa y tiempo, asociada a estos torbellinos y que ha de disiparse esε ∼ (∆U)3 /L.

La energía se transere a escalones intermedios de velocidad característica v` y tamaño ca-racterístico `, tales que `v`/ν 1, además

v3`

`∼

(∆U)3

L→ v` ∼ ∆U

(`

L

)1/3

∆U,

y

f` ∼v``

∼∆U

L

(L

`

)2/3

∼ fL

(L

`

)2/3

fL.

En la escala de Kolmogorov de velocidad vη y tamaño característico η, es donde se disipa laenergía, de modo que ηvη/ν ∼ 1. Además

vη ∼ ∆U( ηL

)1/3; fη ∼ fL

(L

η

)2/3

y, por lo tanto,ηvην

∼L∆U

ν

( vη∆U

)( ηL

)∼ Re

( ηL

)4/3∼ 1,

de modo queL

η∼ Re3/4; vη ∼ ∆U ×Re−1/4; fη ∼ fL ×Re1/2.

Si se quiere mallar un volumen de dimensión característica L y capturar la disipación viscosa,hay que hacer una malla de tamaño característico η (y con algo de resolución η/3). Por lo tantoel número de celdas será tal que

número de celdas ∼(L

η/3

)3

∼ 27

(L

η

)3

∼ 27×Re9/4.

Para un número de Reynolds del orden de 104 se obtiene un número de celdas del orden de 1010

(diez mil millones de celdas) y con Re ∼ 105 son necesarias del orden de varios billones de celdas.

2.3. Valores medios. Ecuaciones de Reynolds

En un movimiento turbulento, una magnitud uida cualquiera ϕ (~x, t) se escribe en la forma:ϕ (~x, t) = Φ (~x, t) + ϕ′ (~x, t), donde Φ (~x, t) es el valor medio de ϕ (~x, t) y ϕ′ (~x, t) su uctuación.Por denición ϕ′ = 0. El valor medio se dene como

Φ = ϕ =1

T

ˆ t+T/2

t−T/2ϕdt.

La energía cinética es

1

2vivi =

1

2(Vi + v′i)(Vi + v′i) =

1

2ViVi +

1

2v′iv′i = K + k,


donde K = 12ViVi es la energía cinética media y k = 1

2v′iv′i la energía cinética de las uctuaciones

turbulentas.

La intensidad de la turbulencia es:√v′iv′i =√

2k; mientras que el nivel de turbulencia es:√v′iv′i√

ViVi=√

kK .

Para escribir la ecuaciones de Reynolds del movimiento de un uido incompresible suponemos

vi = Vi + v′i ; p = P + p′ ; T = T + T ′.

2.3.1. Ecuación de la continuidad

La ecuación de la continuidad para los valores instantáneos, para un uido incompresibe, es

∂vi∂xi

= 0,

y tomando valores medios se tiene

∂vi∂xi

=∂(Vi + v′i)

∂xi=∂Vi∂xi

= 0,

de modo que la ecuación de la continuidad es la misma para los valores medios que para losvalores instantáneos.

∂Vi∂xi

= 0. (2.1)

2.3.2. Ecuación de la cantidad de movimiento

Promediando la ecuación de cantidad de movimiento se obtiene

ρ∂Vi∂t

+ ρ∂ (ViVj)

∂xj= − ∂P

∂xi+

∂

∂xj

(µ∂Vi∂xj− ρv′iv′j

), (2.2)

donde el término v′iv′j proviene del promedio

vivj = (Vi + v′i)(Vj + v′j

)= ViVj + v′iv

′j .

A las cantidades −ρv′iv′j , que modican los esfuerzos viscosos µ∂Vi/∂xj , se les denominaesfuerzos aparentes de Reynolds y aparecen como nuevas incógnitas en las ecuaciones para de-terminar las magnitudes medias.

2.3.3. Ecuación de la energía

La ecuación de la energía, despreciando la disipación viscosa, toma la forma

ρc∂T

∂t+ ρc

∂(ViT

)∂xi

=∂

∂xi

(k∂T

∂xi− ρcT ′v′i

), (2.3)

donde el término T ′v′i proviene de promediar

viT = (Vi + v′i)(T + T ′

)= ViT + v′iT

′.

A la las cantidades −ρcT ′v′i se les denomina ujo de calor aparente de Reynolds. Tambiénaparecen como nuevas incógnitas para la determinación del ujo medio.


2.3.4. Ecuación de la energía cinética media y turbulenta

Para el caso estacionario, la ecuación (2.2) puede escribirse en la forma

ρVj∂Vi∂xj

=∂τij∂xj

, (2.4)

siendo τij = −Pδij + 2µSij − ρv′iv′j y con Sij = 1

2

(∂Vi∂xj

+∂Vj∂xi

). La ecuación para la energía

cinética media se obtiene multiplicando (2.4) por Vi, resultando

ρVi∂K

∂xi= Vi

∂τij∂xj

=∂ (Viτij)

∂xj− τij

∂Vi∂xj

,

pero

τij∂Vi∂xj

= τijSij = 2µSijSij − ρv′iv′jSij = Φv − ρv′iv′jSij ,

de modo que la ecuación para la energía cinética del movimiento medio queda

ρVi∂K

∂xi=∂ (Viτij)

∂xj+ ρv′iv

′jSij − Φv. (2.5)

La ecuación de la energía cinética turbulenta se obtiene promediando la ecuación de la energíacinética instantánea y restándole la energía cinética del movimiento medio (2.5). Se obtiene

ρVi∂k

∂xi=

∂

∂xi

(−p′v′i −

1

2v′iv′jv′j + 2µv′js

′ij

)− ρv′iv′jSij − 2µs′ijs

′ij , (2.6)

siendo s′ij = 12

(∂v′i∂xj

+∂v′j∂xi

).

En las ecuaciones (2.5 y 2.6) puede observarse el traspaso de energía desde la corriente media

−(−ρv′iv′jSij

)a los torbellinos de las escalas intermedias +

(−ρv′iv′jSij

). Esta energía es del

orden de ρε.

2.4. Viscosidad turbulenta

−v′iv′j = νTSij . (2.7)

Para la evaluación del ujo de calor turbulento se tiene

−T ′v′i = αT∂T

∂xi, (2.8)

donde αT es la difusitividad térmica turbulenta. El número de Prandtl turbulento, PrT = αT /νT ,se toma con frecuencia igual a la unidad, de modo que αT ≈ νT . Tanto νT como αT tienendimensiones de velocidad por longitud, de modo que se trata de denir la velocidad y longitudapropiadas al movimiento turbulento, para obtener el valor de νT

νT = C × [V ]× [L] . (2.9)

La teoría del camino de mezcla de Prandtl es uno de los primeros intentos de la determinaciónde la viscosidad turbulenta,


2.4.1. Teoría del camino de mezcla de Prandtl

La teoría del camino de mezcla de Prandtl supone que la uctuación ϕ′ de una magnitudmedia Φ está dada por

ϕ′ (y) ∼ Φ (y1)− Φ (y2) ∼ −∆y

(dΦ

dy

)y2

,

siendo ϕ = Φ + ϕ′, de esta forma se tiene

u′ ∼ −∆ydU

dy;√u′ 2 = `1

∣∣∣∣dUdy∣∣∣∣ ,

y en consecuencia

−u′v′ = −√u′ 2`2

dU

dy= `2

∣∣∣∣dUdy∣∣∣∣ dUdy ,

de modo que

−u′v′ = νTdU

dy,

siendo

νT = `2∣∣∣∣dUdy

∣∣∣∣ .La longitud ` depende del problema. Para ujos cercanos a una pared suele ser la distancia a

la pared; para corrientes libres es el diámetro del chorro o la estela, etc. La hipótesis de semejanzade Kármàn proporciona una estimación de la longitud ` en la forma

` = κ

∣∣∣∣ dU/dyd2U/dy2

∣∣∣∣ ,donde κ ≈ 0,4.

2.4.2. Modelos de turbulencia

Los modelos de turbulencia utilizados en la práctica son los modelos algebraicos, en los quela viscosidad turbulenta se modeliza mediante ecuaciones algebraicas, por lo que no es necesariointegrar ninguna ecuación adicional. Están basados en la teoría de mezcla de Prandtl, pero muchomás elaborado. Uno de los más utilizado es el de Baldwing-Lomax.

Los modelos de una ecuación se caracterizan porque la velocidad típica es√k, la velocidad

asociada a la energía cinética turbulenta. En este caso νT = `√k, y la longitud ` se toma análoga

a la de los modelos algebraicos.. Estos modelos se denominan de una ecuación porque es necesariointegrar una ecuación diferencial adicional, la que proporciona k, que es una versión simplicadade la (2.6).

En los modelos de dos ecuaciones, el más popular es el denominado modelo k − ε. En estemodelo la velocidad es

√k y la longitud es k3/2/ε, de modo que

νT = Ck2

ε.

Estos modelos se caracterizan porque es necesario integrar dos ecuaciones diferenciales más, unapara la energía cinética turbulenta, k, y otra para la disipación, ε.

Los modelos anteriores suponen, en cada punto e instante, un valor único de νT , lo que presu-pone la no existencia de direcciones privilegiadas, lo que es válido para la viscosidad molecular,


pero no siempre lo es en los movimientos turbulentos. Como consecuencia de esto se empiezan autilizar otros tipos de modelos que denen un valor diferente de νT para cada esfuerzo.

Con la simulación directa de las ecuaciones no sería necesaria ninguna hipótesis sobre laturbulencia, pero eso implica llegar a tamaños como los de la escala de Kolmogorov, impracticabletodavía en aplicaciones industriales. Los modelos denominados Large Eddy Simulation (LES),representan un estado intermedio entre la simulación directa y los modelos clásicos de turbulencia.Se resuelve exactamente hasta las escalas más pequeñas que es posible numéricamente, que sonlas más afectadas por las condiciones de contorno, y se hacen hipótesis sobre las escalas menores.

2.5. Flujos turbulentos esbeltos

Consideremos el caso bidimensional estacionario de un líquido para el ujo medio en el que lasvariables uidas son U (x, y), V (x, y)) y P (x, y). Si el ujo es esbelto supondremos que la longitudcaracterística, L, en la dirección del eje x es muy grande frente a la longitud característica, δ, enla dirección del eje y. La ecuación de la continuidad toma la forma

∂U

∂x+∂V

∂y= 0;

U

L∼V

δ; V ∼ U

δ

L U.

La ecuación de cantidad de movimiento según el eje x es

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y︸︷︷︸+∂

∂x

(u′2)

︸︷︷︸+∂

∂y

(u′v′

)︸︷︷︸ = −1

ρ∂P∂x+ ν

∂2U

∂x2︸︷︷︸+ ν∂2U

∂y2︸︷︷︸U2

Lu′ 2

Lu′ 2

δνUL2

νUδ2

dado que δ L, la ecuación anterior se reduce a

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y+

∂

∂y

(u′v′

)= −1

ρ

∂P

∂x+ ν

∂2U

∂y2, (2.10)

donde u′v′ ∼ U2 (δ/L) U2.La ecuación de cantidad de movimiento según y queda

U∂V

∂x+ V

∂V

∂y︸︷︷︸+∂

∂x

(u′v′

)︸︷︷︸+

∂

∂y

(v′2)

︸︷︷︸ = −1ρ∂P∂y + ν

∂2V

∂x2︸︷︷︸+ ν∂2V

∂y2︸︷︷︸V 2

δu′2

Lu′ 2

δνVL2

νVδ2

reduciéndose a

−1

ρ

∂

∂y

(P + ρv′2

)= U

∂V

∂x+ V

∂V

∂y− ν ∂

2V

∂y2∼V 2

δ. (2.11)

De (2.11) se tiene ∆δ

(P + ρv′2

)∼ ρV 2 y de (2.10) se tiene ∆LP ∼ ρU2, de modo que

∆δ

(P + ρv′2

)∆LP

∼(V

U

)2

∼(δ

L

)2

1,

lo que nos permite sustituir la ecuación de cantidad de movimiento según y por

∂

∂y

(P + ρv′2

)≈ 0; P + ρv′2 = Pe(x);

∂P

∂x=dPedx− ρ∂v

′2

∂x,


que llevado a (2.10) toma la forma

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y+

∂

∂y

(u′v′

)= −1

ρ

dPedx

+ ν∂2U

∂y2, (2.12)

ya que∂v′2

∂x ∂

∂y

(u′v′

).

Dentro de la aproximación de ujos esbeltos, podemos considerar la turbulencia libre, que semuestra a continuación y la capa límite turbulenta, que se mostrará más adelante.

2.6. Turbulencia libre

En la turbulencia libre, la presión exterior es constante, de modo que dPe/dx ≈ 0. Además hayausencia de paredes, por lo que el término viscoso ν

(∂2U/∂y2

) ∂

(−u′v′

)/∂y. Las ecuaciones

de continuidad y cantidad de movimiento toman la forma

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; U

∂U

∂x+ V

∂U

∂y=

∂

∂y

(−u′v′

).

2.6.1. Estela (bidimensional) lejana

En la estela de un cuerpo simétrico, la velocidad media diere de la corriente uniformeexterior a la estela, U∞, en una cantidad U muy pequeña frente a U∞. Además las velocidadesde uctuación turbulenta son también del orden de U . Resumiendo se tiene

U = U∞ + U ; U U∞ ; u′v′ ∼ U2.

De la ecuación de la continuidad se estima el orden de magnitud de la velocidad transversal

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; V ∼ U

δ (x)

x.

Conocido el orden de magnitud de V , se obtiene el orden de magnitud de cada uno de los términosde la ecuación de cantidad de movimiento

U∞∂U

∂x︸︷︷︸U∞Ux

+ U∂U

∂x+ V

∂U

∂y︸︷︷︸U2

x

=∂

∂y

(−u′v′

)︸︷︷︸,

U2

δ(x)

dado que U/U∞ 1, la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a

U∞∂U

∂x=

∂

∂y

(−u′v′

), (2.13)

y para que ambos términos sean comparables, es necesario que

δ (x)

x∼ U

U∞. (2.14)

Multiplicando (2.13) por dy e integrando a través de la estela se tiene

d

dx

ˆ +∞

−∞Udy =

ˆ +∞

−∞d(−u′v′

)= 0,


ya que −u′v′ → 0 en y → ±∞. De acuerdo con la ecuación anterior se deduce que´ +∞−∞ Udy es

una constante, que se escribe comoˆ +∞

−∞Udy = − D

ρU∞= −I. (2.15)

De las relaciones (2.14) y (2.15) se deducen las escalas de δ (x) y de U (x, 0)

δ (x) ∼√

Ix

U∞; U (x, 0) ∼

√IU∞x

. (2.16)

De acuerdo con las escalas anteriores, se buscan soluciones autosemejantes en la forma

U (x, y) = −us (x) f (η) , (2.17)

−u′v′ = u2s (x) g (η) , (2.18)

donde us (x), η y δ (x) están dados por

δ (x) = a

√Ix

U∞; us (x) = b

√IU∞x

; η =y

δ (x), (2.19)

con a y b constantes que hay que determinar. Sustituyendo los valores de U (x, y) y de −u′v′,dados en (2.17) y en (2.18) junto con (2.19), la ecuación (2.13) se reduce a

f + ηdf

dη=

2b

a

dg

dη. (2.20)

En la ecuación (2.20) hay dos incógnitas: la velocidad adimensional f (η) y el esfuerzo aparentede Reynolds (también adimensional) g (η), por lo que es necesario un modelo de turbulencia.Utilizando la viscosidad turbulenta νT = usδ/RT , donde RT es una constante, los esfuerzos deReynolds se pueden escribir como

−u′v′ = −νT∂U

∂y= −νTus

δ

df

dη= u2

sg (η) ; g (η) = − νTusδ

df

dη= − 1

RT

df

dη.

de modo que la ecuación (2.20) se reduce a

f + ηdf

dη+d2f

dη2= 0,

donde el factor que multiplica a la derivada segunda 2b/aRT se elige igual a la unidad. Lascondiciones de contorno para la ecuación anterior son

f (∞) = f (−∞) = 0,

y la solución es

f = exp

(−η

2

2

).

La condición (2.15) proporciona

ˆ +∞

−∞Udy = −I ⇒

ˆ +∞

−∞fdη =

√2π,


pero esta integral es, a su vez ˆ +∞

−∞fdη =

I

usδ=

1

ab.

Las relaciones

ab =1√2π

y2b

aRT= 1,

determinan a y b ya que RT ≈ 12,5 es un valor experimental.. El resultado es a = 0,25 y b = 1,58.En la estela de un cilindro circular los valores experimentales muestran que U = −usf (η)

para x > 80 diámetros y −u′v′ = u2sg (η) para x > 200 diámetros.

2.6.2. Chorro (bidimensional) lejano

∂U

∂x+∂V

∂y= 0 ; U

∂U

∂x+ V

∂U

∂y=

∂

∂y

(−u′v′

);ˆ ∞−∞

U2dy =M

ρ= m,

ya que

ˆ ∞−∞

(U∂U

∂x+ V

∂U

∂y

)dy ≡

ˆ ∞−∞

[∂U2

∂x+∂ (UV )

∂y

]dy =

d

dx

ˆ ∞−∞

U2dy =

ˆ ∞−∞

d(−u′v′

)= 0.

De las ecuaciones se tiene

V ∼ Uδ

x;

U2

x∼u′ 2

δ⇒

√u′ 2

U∼√δ

x; U2δ ∼ m.

Con δ ∼ x se tiene Umax ∼√m/x. Utilizando la función de corriente

U =∂ψ

∂y; V = −∂ψ

∂x,

buscamos soluciones de semejanza de la forma

δ = ax ; ψ = b√mxF (η) ;

(−u′v′

)=m

xG (η) ; η =

y

δ.

Por lo tanto

U =∂ψ

∂y=b

a

√m

x

dF

dη; V = −∂ψ

∂x= b

√m

x

(−1

2F + η

dF

dη

);

∂U

∂x= − b

ax

√m

x

(1

2

dF

dη+ η

d2F

dη2

);∂U

∂y=

b

a2x

√m

x

d2F

dη2;

U∂U

∂x+ V

∂U

∂y= − b2m

2a2x2

[(dF

dη

)2

+ Fd2F

dη2

]= − b2m

2a2x2

d

dη

(FdF

dη

);

∂

∂y

(−u′v′

)=

m

ax2

dG

dη

b2

2a

d

dη

(FdF

dη

)= −dG

dη

Modelo de turbulencia

−u′v′ = νT∂U

∂y; νT =

us (x) δ (x)

RT; us (x) = U (x, 0) =

b

a

(dF

dη

)η=0

√m

x,



∂y=b2F ′ (0)m

a2RTx

d2F

dη2=m

xG (η) ; G (η) =

b2F ′ (0)

a2RT

d2F

dη2,

d

dη

(FdF

dη+d2F

dη2

)= 0 con

2F ′ (0)

aRT= 1 y con F (0) = F ′′ (0) = 0 y F ′ (∞) = 0.

Integrando una vez se tiene

FdF

dη+d2F

dη2= 0,

llegándose a

F (η) =√

2tanh(η/√

2)

; F ′ (η) = sech2(η/√

2)

=4(

e η/√

2 + e−η/√

2)2 .

Dado que F ′ (0) = 1 se tiene a = 2/RT ≈ 0,078 (RT ≈ 25,7). Por otro lado se tiene

ˆ ∞−∞

U2dy = m ⇒ˆ ∞−∞

(dF

dη

)2

dη =a

b2,

pero, dado que F ′ (η) es conocida, se tiene

ˆ ∞−∞

(dF

dη

)2

dη =4√

2

3=

a

b2⇒ b ≈ 0,203.

En resumen se tiene

δ (x) ≈ 0,078x ; us (x) = U (x, 0) ≈ 2,60

√m

x; ψ ≈ 0,203

√mxF (η) ; η =

y

δ (x).

Capítulo 3

Movimiento turbulento en conductos

3.1. Movimiento turbulento de un líquido en un conducto inni-

tamente largo. Ley de la pared

3.1.1. Ecuaciones

Supongamos un tubo innitamente largo de sección circular y radio R, por el que discurre unlíquido de densidad ρ y viscosidad µ en régimen turbulento. El campo de velocidades está dadopor

eje x : U + u′ ; eje r : v′r ; eje θ : v′θ , (3.1)

donde a la velocidad media U en la dirección del eje x se le superponen las velocidades deagitación turbulenta ~v.

Debido a que el movimiento es en la dirección del eje x (unidireccional para los valoresmedios), las componentes Vr y Vθ de la velocidad media son nulas y además u′, v′r y v′θ sonindependientes de x. Los valores medios de la velocidad tampoco dependen de θ y v′rv

′θ = 0, lo

que nos indica que u′iu′j no depende de θ.

Las ecuaciones que determinan el movimiento son

∂ (rU)

∂x= 0 ⇒ U = U (r) , (3.2)

−1

ρ

∂p

∂x− 1

r

∂(ru′v′r

)∂r

+ν

r

∂

∂r

(r∂U

∂r

)= 0, (3.3)

−1

ρ

∂p

∂r− 1

r

∂(rv′2r

)∂r

+v′2θr

= 0. (3.4)

Multiplicando (3.4) por dr e integrándola entre 0 y r se tiene

−pρ−ˆ r

0

1

r

∂(rv′2r

)∂r

dr +

ˆ r

0

v′2θrdr = −p (x, 0)

ρ= −p0 (x)

ρ. (3.5)

Derivando (3.5) con respecto a x se tiene

∂p

∂x=dp0

dx⇒ p (x, r) = p0 (x) + Φ (r) , (3.6)

40

CAPÍTULO 3. MOVIMIENTO TURBULENTO EN CONDUCTOS 41

y llevando este resultado a (3.3) se obtiene

−1

ρ

dp0

dx− 1

r

d(ru′v′r

)dr

+ν

r

d

dr

(rdU

dr

)= 0, (3.7)

ya que tanto U como u′v′r no dependen más que de r.De (3.7) se obtiene que dp0/dx = constante y por lo tanto se puede integrar con respecto a

r para dar

− r2

2ρ

dp0

dx− ru′v′r + νr

dU

dr= 0, (3.8)

que dividiendo por r y particularizando en la pared r = R, se reduce a

−R2

dp0

dx= −µ

(dU

dr

)r=R

= τf = ρu2∗ =

1

2CfρU

20 =

λ

8ρU2

0 , (3.9)

donde u∗ es la velocidad de fricción, U0 = Q/πR2 y Q es el gasto volumétrico

Q = U0πR2 =

ˆ R

0U (r) 2πrdr. (3.10)

El coeciente Cf es el coeciente de fricción que puede expresarse en forma del coeciente defricción de Darcy λ = 4Cf . La velocidad de fricción u∗, denida como u∗ =

√τf/ρ, puede

expresarse en la forma u∗ = U0

√λ/8 = U0

√Cf/2. Sustituyendo en (3.8) el valor de dp0/dx

dado en (3.9) en función de u∗ se tiene

ru2∗

R− u′v′r + ν

dU

dr= 0. (3.11)

En (3.11) U es del orden de U0, mientras que u′v′r es del orden de u2∗ según muestra la experiencia.

Utilizando las variables adimensionales

f =U

U0; g =

u′v′ru2∗

; y = 1− r

R, (3.12)

la ecuación (3.11) toma la forma

1− y − g −(νU0

Ru2∗

)df

dy= 0. (3.13)

La ecuación (3.13) es una ecuación diferencial de primer orden para determinar f (f = 0en y = 0) pero, como en todos los movimientos turbulentos, aparece una incógnita más, losesfuerzos turbulentos g. Por lo tanto será necesario recurrir a resultados experimentales paracerrar el problema.

3.1.2. Regiones del movimiento

Estamos analizando el movimiento turbulento en tubos, de modo que el número de ReynoldsU0R/ν 1. Además, en un movimiento turbulento completamente desarrollado, el número deReynolds multiplicado por el coeciente de fricción también es grande(

u∗U0

)2 U0R

ν=λ

8

U0R

ν 1, (3.14)


como se demuestra experimentalmente. (En efecto, cuando el número de Reynolds es el valor másbajo correspondiente al movimiento turbulento en un tubo (≈4000), el coeciente de fricción enun tubo liso es λ ≈ 0,04, y u2

∗R/νU0 ≈ 20.Con la hipótesis anterior la ecuación (3.13) se reduce a

1− y − g = 0, (3.15)

que cumple la condición en el centro del tubo (r = 0 ó y = 1) donde g = 0, pero no la cumpleen la pared (r = R ó y = 0) donde se obtiene g = 1 y debe ser g = 0, ya que allí se anulan lasuctuaciones de la velocidad. La distribución de g que nos proporciona la ecuación (3.15) es laindicada en la gura 3.1.

Figura 3.1: Distribución radial de esfuerzos tur-bulentos.

Vemos que la solución falla a distancias ypequeñas (cerca de la pared) donde g sufre va-riaciones de orden unidad.

Para y ∼ 1 vemos que g ∼ 1, lo que quieredecir que u′v′r ∼ u2

∗ U20 , como ya habíamos

adelantado, ya que λ 1. Como en esta zonalos efectos viscosos no cuentan, las diferenciasde velocidad U con respecto a U0 van a ser delorden de las uctuaciones de velocidad, u′ ∼v′r ∼ u∗ U0, de los torbellinos grandes queson arrastrados por la corriente. Por lo que enesta región tendremos

f =U

U0= 1 +

u∗U0F (y) , (3.16)

denominada ley del defecto de velocidades.Para valores y 1 los efectos viscosos han

de contar, puesto que en caso contrario no conseguiríamos anular la velocidad en la pared. Ademásla solución válida en el núcleo central nos dice que g → 1, por lo que las uctuaciones de velocidadsiguen siendo del orden de u∗ como lo conrman los resultados experimentales.

La ecuación (3.11) reescrita en función de la variable y toma la forma

u2∗ (1− y)− u′v′r − ν

dU

d (Ry)= 0, (3.17)

que para valores pequeños de y (y 1 ) queda

u2∗ − u′v′r − ν

dU

d (Ry)= 0, (3.18)

lo que nos indica que U ∼ u∗ y la longitud característica es ν/u∗, ya que los efectos viscososdeben contar en esta zona. Por lo tanto (3.18) toma la forma

1− g − dH

dη= 0, (3.19)

con η = yRu∗/ν1 y H = U/u∗, que debe integrarse con la condición H = 0 en η = 0 (donde

también es g = 0).

1A la cantidad η = yRu∗/ν también se le denomina y+ en la literatura.


Supuesto conocido g = g (η) tal que g (0) = 0 y g (∞)→ 1, la ecuación (3.19) proporciona

H (η) = η −ˆ η

0g (η) dη. (3.20)

El empalme de la solución (3.16) con la solución (3.20) proporciona el valor de u∗ o suequivalente Cf o λ. Existe una región intermedia (denominada zona logarítmica) en la que ambassoluciones de U (r) empalman, ya que la ecuación (3.19) para η →∞ se reduce a g = 1; mientrasque la ecuación (3.15), para y → 0, se reduce también a g = 1. En esta región intermedia tantolas funciones como sus derivadas han de coincidir. La ecuación (3.16) en la región intermedia es(el subíndice i indica región intermedia)

Ui = U0 + u∗Fi (y) , (3.21)

mientras que (3.20) en la región intermedia es

Ui = u∗Hi (η) . (3.22)

La igualdad de derivadas implica

u∗dFidy

= u∗dHi

dη

dη

dy, (3.23)

y como dη/dy = Ru∗/ν = 1/δ, (3.23) toma la forma

dFidy

=1

δ

dHi

dη. (3.24)

Multiplicando ambos miembros de (3.24) por y y teniendo en cuenta que η = y/δ se obtiene

ydFidy

= ηdHi

dη, (3.25)

de modo que se puede escribir

ydFidy

=1

κ; η

dHi

dη=

1

κ, (3.26)

donde κ ≈ 0,41 es la constante universal de Kármàn. La solución de (3.26) proporciona

Fi =1

κlny + C1 ; Hi =

1

κlnη + C2, (3.27)

que es la forma de las funciones F y H en la región intermedia denominada logarítmica.Sustituyendo Fi y Hi de (3.27) en (3.21) y (3.22) respectivamente, e igualando ambas se

obtiene

U0 + u∗

(1

κlny + C1

)= u∗

(1

κlnη + C2

), (3.28)

y reescribiendo ambas en la misma variable (por ejemplo y) se llega a

U0 + u∗C1 = u∗1

κln

(Ru∗ν

)+ u∗C2. (3.29)

Dividiendo la ecuación (3.29) por u∗ y teniendo en cuenta que u∗/U0 =√λ/8, se llega a√

8

λ=

1

κln

(RU0

ν

√λ

8

)+ C2 − C1. (3.30)

La ecuación (3.30) determina el coeciente de fricción de Darcy λ, para tubos lisos, en funcióndel número de Reynolds RU0/ν y de dos constantes, la de Kármàn κ y C2 −C1, que para tubosde sección circular toma el valor C2 − C1 ≈ 2.


3.1.3. Efecto de la rugosidad

Cuando el tubo es rugoso con altura media de grano h R, el problema cambia sólo enla zona interior, ya que en el núcleo central seguimos teniendo la ley del defecto de velocidadesindependiente del número de Reynolds y de la rugosidad relativa h/R. De acuerdo con la ecuación(3.18), válida para valores pequeños de y (y 1 ), la solución será de la forma

U = Ψ (u∗, ν, Ry, h) , (3.31)

y el análisis dimensional proporciona

U

u∗= Ψ1

(u∗Ry

ν,u∗h

ν

), (3.32)

que escrita en la variables η y H toma la forma

H = Ψ1

(η,u∗h

ν

), (3.33)

por lo que en la región de empalme se tendrá

Hi =1

κlnη + C3

(u∗h

ν

), (3.34)

que se diferencia de la dada en (3.27) en que la constante C2 es ahora C3 función de λ (a travésde u∗) y del número de Reynolds basado en h. Sustituyendo (3.34) en (3.22) y el valor de F1,dado en (3.27), en (3.21) e igualando ambas, se llega a una relación análoga a (3.30)√

8

λ=

1

κln

(RU0

ν

√λ

8

)+ C3

(u∗h

ν

)− C1, (3.35)

con la diferencia de que C3−C1 es ahora función de λ, a través de u∗, y del número de Reynoldsbasado en h, de modo que queda una relación general de la forma

λ = Λ

(U0R

ν,h

R

), (3.36)

que es desconocida, puesto que no se conoce C3 (u∗h/ν).Cuando ν/u∗ h, la rugosidad es muy pequeña comparada con el espesor de la capa viscosa

y estamos en el límite de los tubos lisos ya estudiados, y en este caso C3 (u∗h/ν) → C2 porqueu∗h/ν → 0. Sin embargo, cuando ν/u∗ h, no tiene sentido hablar de la capa viscosa de espesorν/u∗, ya que no existe por ser ν/u∗h 1. En este último caso conviene reescribir la ecuación(3.32) en la forma

U

u∗= Ψ2

(Ry

h,ν/u∗h

)= Ψ2

(η,ν/u∗h

), (3.37)

siendo ahora η = Ry/h. En la región de empalme se obtiene

Hi =1

κlnη + C4

(ν/u∗h

)→ 1

κlnη + C4 (0) , (3.38)

ya que ν/u∗h→ 0. Procediendo como en los dos casos anteriores, se obtiene, nalmente,√8

λ=

1

κln

(R

h

)+ C4 (0)− C1, (3.39)


Figura 3.2: Diagrama de Moody. Coeciente de fricción de Darcy λ en función del número deReynolds Re = U0D/ν, para distintos valores de la rugosidad reletiva ε = h/D.

donde C4 − C1 ≈ 4,92 para tubos de sección circular.La ecuación (3.39) proporciona el coeciente de fricción de Darcy en función de la rugosidad

relativa h/R, y no depende del número de Reynolds. Este es el caso correspondiente a movimientosa muy altos números de Reynolds (movimiento turbulento completamente desarrollado) en losque el coeciente de fricción no depende de la viscosidad pero si depende de la rugosidad relativa.

Cuando h ∼ ν/u∗, el coeciente de fricción es función del número de Reynolds y de larugosidad relativa, tal como se indica en la ecuación (3.36). Se puede obtener una relación querecupera la ecuación (3.30) para los tubos lisos en el límite u∗h/ν → 0, y la relación (3.39) en ellímite opuesto. Esta relación es√

8

λ= 4,92− 2,46ln

(h

R+ 3,28

ν

U0R

√8

λ

), (3.40)

muy similar a la de Colebrook que se cita en la literatura.El coeciente de fricción de Darcy, λ, en función del número de Reynolds basado en el

diámetro D del tubo, Re = U0D/ν, y de la rugosidad relativa, ε = h/D, se da en la gura 3.2y se denomina diagrama de Moody. Una aproximación explícita que aproxima bien el diagramade Moody en el intervalo 3000 < Re < 108 es

λ = 1,325

ln

(ε

3,7+

5,74

Re0,9

)−2

, (3.41)

denominada ecuación de Swamee-Jain.


3.1.4. Tubos de sección no circular

Cuando el tubo no es de sección circular el valor del coeciente de fricción va a ser el mismoque en el caso circular debido a que λ está determinado esencialmente de lo que ocurre cerca dela pared, como hemos visto anteriormente, y allí la pared puede considerarse localmente plana,perdiendo memoria de la forma de la sección. Sin embargo es necesario utilizar una longitud quehaga el papel del diámetro en el caso de los tubos circulares.

Esta longitud es el diámetro equivalente D = 4rh. La magnitud rh se denomina radio hidráu-lico y se dene como el cociente entre el área A de la sección ocupada por el uido dividida porel perímetro mojado por el uido `; rh = A/`.

Obsérvese que el radio hidráulico de una sección circular es la mitad del radio geométrico,rh = πR2/2πR = R/2. La utilización del diámetro equivalenteD = 4A/`, se justica al establecerel equilibrio de fuerzas en un tramo de tubo de longitud ∆x y área A

(p1 − p2)A = τf∆x` ;A

`

p1 − p2

∆x=λ

8ρU2

0 , (3.42)

que coincide con la ecuación (3.9) sin más que cambiar R/2 por A/`.

3.1.5. Caso de ujo de gases

Para el ujo de gases en conductos se puede utilizar el coeciente de fricción de Darcycuando el régimen es subsónico. En realidad el coeciente de fricción de Darcy λ sería función deun parámetro más en el caso de gases, el número de Mach. Sin embargo la experiencia indica queesta dependencia es despreciable en régimen subsónico. Esto se puede justicar por el hecho deque el coeciente de fricción depende esencialmente de la estructura del ujo en las proximidadesde la pared donde el número de Mach es bajo y su efecto es despreciable.

En el régimen supersónico lo anterior no es válido porque las ondas que se generan afectan ala zona de empalme (denominada logarítmica anteriormente) cambiando la estructura del ujocon respecto al caso subsónico y haciéndola dependiente del número de Mach.

3.2. Ecuaciones del movimiento en conductos de sección variable

3.2.1. Introducción

En esta sección se obtienen las ecuaciones que permiten determinar el ujo no estacionariode uidos en conductos de sección variable. Dadas ciertas condiciones iniciales para el uido enel conducto y otras de contorno a la entrada y salida, se trata de determinar en cada instante ladistribución de velocidades y variables de estado a lo largo del mismo. La geometría del conductose supone conocida, pero se retendrá el efecto de variación del área con el tiempo a causa delas sobrepresiones. Este efecto es particularmente importante cuando es necesario retener losefectos de compresibilidad en los líquidos (golpe de ariete). Las ecuaciones que permiten resolvereste problema son aquellas que expresan la conservación de la masa, cantidad de movimiento yenergía a lo largo del conducto.

Para el estudio se hacen las siguientes suposiciones:1) No hay variaciones bruscas de sección ni de dirección del conducto. Esto excluye el caso de

ensanchamientos, estrechamientos, codos, etc., que se considerarán como pérdidas localizadas.2) El radio hidráulico de la sección, rh = A/`, cociente entra el área de la sección A y el

perímetro `, es pequeño frente al radio de curvatura del conducto y frente a su longitud L. Sirh L, la ecuación de la continuidad muestra que las velocidades en el sentido transversal son


pequeñas frente a la velocidad longitudinal, con lo que el movimiento es esencialmente segúnla línea media del tubo. La anterior suposición (rh L) también permite mostrar que lasvariaciones transversales de presión son despreciables frente a las longitudinales, de modo quelas ecuaciones transversales de cantidad de movimiento proporcionan que la presión (o la presiónmotriz en el caso de los líquidos) es uniforme en la sección.

3) Se supone que el movimiento es turbulento y, como consecuencia de ello tanto la velocidadcomo la temperatura son uniformes en la sección, excepto en una delgada capa límite cerca delas paredes.

Al ser la presión y la temperatura uniformes en la sección, lo son todas las variables termo-dinámicas, que sólo variarán a lo largo del conducto y con el tiempo. Como la velocidad tambiénes uniforme en la sección, las ecuaciones del movimiento pueden integrarse transversalmente ymantener el carácter diferencial a lo largo del conducto.

3.2.2. Ecuaciones del movimiento

De acuerdo con lo expresado anteriormente, se aplicarán los principios de conservación dela masa, cantidad de movimiento y energía a un volumen de control limitado por dos seccionestransversales del tubo, situadas a una distancia 4s , y la pared lateral del tubo entre ellas, talcomo se muestra en la gura 3.3. A la hora de determinar las ecuaciones, se hace tender a cero4s.

3.2.2.1. Ecuación de la continuidad

Figura 3.3: Volumen de control.

La ecuación de la continuidad en forma in-tegral es

d

dt

ˆΩρdΩ +

ˆΣρ~v · ~ndσ = 0, (3.43)

y como dΩ = A4s, se tiene

d

dt

ˆΩρdΩ = 4s∂ (ρA)

∂t. (3.44)

Al ser las magnitudes uniformes en la sección, las integrales de supercie toman la formaˆ

Σρ~v · ~ndσ = − (ρvA)s + (ρvA)s+4s , (3.45)

pero el segundo miembro de (3.45) puede escribirse en la forma

− (ρvA)s + (ρvA)s+4s = 4s∂ (ρvA)

∂s, (3.46)

de modo que la ecuación de la continuidad se reduce a

∂ (ρA)

∂t+∂ (ρvA)

∂s= 0. (3.47)


3.2.2.2. Ecuación de la cantidad de movimiento

En la dirección transversal al tubo ya se han utilizado las ecuaciones de cantidad de movi-miento, que sirven para estimar las variaciones de presión en una sección, que como se dijo en laintroducción, son despreciables frente a las variaciones longitudinales. A continuación se aplicarála ecuación de cantidad de movimiento proyectada según la linea media del conducto, de vectorunitario ~us. Esta ecuación es

~us ·d

dt

ˆΩρ~vdΩ +

ˆΣρ~v~v · ~ndσ

= ~us ·

−ˆ

Σp~ndσ +

ˆΣτ ′ · ~ndσ +

ˆΩρ~fmdΩ

, (3.48)

donde cada uno de los términos toma la forma

~us ·d

dt

ˆΩρ~vdΩ = 4s∂ (ρvA)

∂t,

~us ·ˆ

Σρ~v~v · ~ndσ = −

(ρv2A

)s

+(ρv2A

)s+4s = 4s

∂(ρv2A

)∂s

,

−~us ·ˆ

Σp~ndσ = (pA)s − (pA)s+4s − ~us ·

ˆΣlateral

p~ndσ = −4s∂ (pA)

∂s− ~us ·

ˆΣlateral

p~ndσ,

donde la última integral de la ecuación anterior representa la componente en la dirección de lalinea media del conducto, de la resultante de las fuerzas de presión aplicadas a la pared lateraldel tubo. Esta fuerza sería nula si el conducto fuese de sección constante. Cuando la sección esvariable se tiene

−~us ·ˆ

Σlateral

p~ndσ = p∂A

∂s4s,

en denitiva, la integral de las presiones toma la forma

−~us ·ˆ

Σp~ndσ = 4s

−∂ (pA)

∂s+ p

∂A

∂s

= −A∂p

∂s4s.

El término viscoso es

~us ·ˆ

Στ ′ · ~ndσ = ~us ·

ˆA(s)

τ ′ · ~ndσ + ~us ·ˆA(s+4s)

τ ′ · ~ndσ + ~us ·ˆ

Σlateral

τ ′ · ~ndσ,

Las dos primera integrales del segundo miembro son del orden del esfuerzo característico τcmultiplicado por el área de la sección A, mientras que la última integral es del orden de τcmultiplicado por el área lateral del tubo, del orden de L

√A, y por lo tanto, este último término

es el dominante. Según esto, se tiene

~us ·ˆ

Στ ′ · ~ndσ = ~us ·

ˆΣlateral

τ ′ · ~ndσ = −τp`4s = −τfA

rh4s,

donde τf es el esfuerzo en la pared, ` el perímetro de la sección y rh = A/` el radio hidráulico.Por último, el término de las fuerzas másicas puede escribirse como

~us ·ˆ

Ωρ~fmdΩ = ρfmsA4s,

y si las fuerzas másicas derivan del potencial U , se tiene

~us ·ˆ

Ωρ~fmdΩ = −ρA∂U

∂s4s.


Agrupando todos los términos de la ecuación de cantidad de movimiento se obtiene

∂ (ρvA)

∂t+∂(ρv2A

)∂s

= −A∂p∂s− τf

A

rh+ ρfmsA. (3.49)

Teniendo en cuenta la ecuación de la continuidad, el primer miembro de (3.49) puede escribirseen la forma

∂ (ρvA)

∂t+∂(ρv2A

)∂s

= v

∂ (ρA)

∂t+∂ (ρvA)

∂s

+ ρA

∂v

∂t+ v

∂v

∂s

= ρA

∂v

∂t+ v

∂v

∂s

,

de modo que la ecuación de cantidad de movimiento queda

ρ∂v

∂t+ ρv

∂v

∂s= −∂p

∂s−τfrh

+ ρfms, (3.50)

y si las fuerzas másicas derivan de un potencial, se tiene

ρ∂v

∂t+ ρv

∂v

∂s= −∂p

∂s−τfrh− ρ∂U

∂s. (3.51)

Como se ha visto en la sección anterior, el esfuerzo en la pared se puede escribir en la forma

τf =1

2Cfρv | v |=

λ

8ρv | v |, (3.52)

donde Cf es el coeciente de fricción y λ el coeciente de fricción de Darcy que, como se ha visto,es una función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa del conducto (véase gura 3.2).En la expresión del esfuerzo se ha escrito v | v | en lugar de v2, porque si v cambiase de signo,el esfuerzo en la pared no se opondría al movimiento. Sustituyendo el valor de τf en la ecuaciónde cantidad de movimiento, ésta queda

ρ∂v

∂t+ ρv

∂v

∂s= −∂p

∂s− λ

8rhρv | v | −ρ∂U

∂s. (3.53)

3.2.2.3. Ecuación de la energía

La ecuación de la energía en forma integral es

d

dt

ˆΩρ

(e+

1

2v2

)dΩ +

ˆΣρ

(e+

1

2v2

)~v · ~ndσ =

= −ˆ

Σp~v · ~ndσ +

ˆΣ~v · τ ′ · ~ndσ −

ˆΣ~q · ~ndσ +

ˆΩρ~fm · ~vdΩ +

ˆΩQrdΩ,

y al aplicarla al volumen de control de la gura 3.3 se tiene

d

dt

ˆΩρ

(e+

1

2v2

)dΩ = 4s ∂

∂t

ρA

(e+

1

2v2

),

ˆΣρ

(e+

1

2v2

)~v · ~ndσ = −

ρvA

(e+

1

2v2

)s

+

ρvA

(e+

1

2v2

)s+4s

=

= 4s ∂∂s

ρvA

(e+

1

2v2

).


La suma de estos dos términos, que constituyen el primer miembro de la ecuación de la energíaes, teniendo en cuenta la ecuación de la continuidad

4s ∂∂t

ρA

(e+

1

2v2

)+4s ∂

∂s

ρvA

(e+

1

2v2

)=

= ρA

∂

∂t

(e+

1

2v2

)+ v

∂

∂s

(e+

1

2v2

)4s.

Los términos anteriores están escritos para la energia total (interna más cinética), pero tambiénpueden escribirse en función de la entalpía de remanso, sin más que tener en cuenta la ecuaciónde estado h = e+ p/ρ,

∂

∂t

ρA

(e+

1

2v2

)+

∂

∂s

ρvA

(e+

1

2v2

)=

=∂

∂t

ρA

(h+

1

2v2

)+

∂

∂s

ρvA

(h+

1

2v2

)− ∂ (pA)

∂t− ∂ (pvA)

∂s,

y teniendo en cuenta la ecuación de la continudad se tiene

4s[∂

∂t

ρA

(e+

1

2v2

)+

∂

∂s

ρvA

(e+

1

2v2

)]=

= 4s[ρA

∂

∂t

(h+

1

2v2

)+ v

∂

∂s

(h+

1

2v2

)− ∂ (pA)

∂t− ∂ (pvA)

∂s

]El trabajo, en la unidad de tiempo, de las fuerzas de presión se escribe como

−ˆ

Σp~v · ~ndσ = (pvA)s − (pvA)s+4s −

ˆΣlateral

p~v · ~ndσ = −4s ∂∂s

(pvA)− p∂A∂t4s,

donde el último término de la ecuación anterior es debido a la variación del área con el tiempo,que da lugar a una velocidad normal.

El trabajo en la unidad de tiempo de las fuerzas de viscosidad son despreciables porque elnúmero de Reynolds es muy alto. El calor, en la unidad de tiempo, recibido por conducción sóloes importante el que se recibe a través de la pared del conducto, de modo que

−ˆ

Σ~q · ~ndσ = −

ˆΣlateral

~q · ~ndσ = qs`4s = qsA

rh4s,

donde qs es el calor recibido por unidad de tiempo y área a través de la pared del conducto.El trabajo en la unidad de tiempo de las fuerzas másicas esˆ

Ωρ~fm · ~vdΩ = ρvAfms4s,

y el calor recibido por radiación es ˆΩQrdΩ = QrA4s,

siendo Qr el calor recibido por unidad de volumen y tiempo. Agrupando todos los términos dela ecuación de la energía se llega a

ρA

∂

∂t

(e+

1

2v2

)+ v

∂

∂s

(e+

1

2v2

)= − ∂

∂s(pvA)− p∂A

∂t+ qs

A

rh+ ρvAfms +QrA, (3.54)


que es la ecuación de la energía total, interna e más cinética v2/2 por unidad de masa. Del mismomodo, la ecuación de la energía para la entalpía de remanso h+ v2/2 es (dividiéndola por A)

ρ

∂

∂t

(h+

1

2v2

)+ v

∂

∂s

(h+

1

2v2

)=∂p

∂t+qsrh− ρv∂U

∂s+Qr, (3.55)

donde además se ha supuesto que las fuerzas másicas derivan de un potencial, de modo quefms = −∂U/∂s.

Se puede obtener la ecuación de la entalpía estática, restando a la ecuación (3.55) la ecuaciónde la cantidad de movimiento (3.53) multiplicada por v, obteniéndose

ρ∂h

∂t+ ρv

∂h

∂s=∂p

∂t+ v

∂p

∂s+

λ

8rhρv2 | v | + qs

rh+Qr. (3.56)

Teniendo en cuenta la ecuación de estado para la entropía TdS = de+ pd(1/ρ) = dh− dp/ρ, seobtiene la ecuación de la entropía

ρT

(∂S

∂t+ v

∂S

∂s

)=

λ

8rhρv2 | v | + qs

rh+Qr. (3.57)

La ecuación (3.57) se puede escribir para líquidos. Para ello hay que tener en cuenta queTdS = de+ cdT , donde c es el calor especíco t T la temperatura. La ecuación queda

ρc∂T

∂t+ ρcv

∂T

∂s=

λ

8rhρv2 | v | + qs

rh+Qr. (3.58)

3.2.3. Condiciones iniciales y de contorno

El problema anterior plantea la solución de un sistema de tres ecauciones diferenciales deprimer orden en derivadas parciales para tres variables dependientes: la velocidad y dos variablestermodinámicas; como función de las variables independientes t y s.

Es necesario imponer condiciones iniciales asociadas a las derivadas temporales

t = 0 : T (s, 0) , ρ (s, 0) , v (s, 0) . (3.59)

Debido a que en la ecuación de la continuidad (3.47) aparecen derivadas del área del tubo con res-pecto al tiempo, y como estas variaciones temporales del área están asociadas a las sobrepresionesen su interor y a la elasticidad del material, es necesario añadir una ecuación que relacione lavariación del área con la sobrepresión, elasticidad y espesor de la pared. En una sección posteriorse hará uso de esta relación.

Las condiciones de contorno, asociadas a las derivadas con respecto a la posición a lo largodel conducto, pueden ser de la forma

s = 0 : T (0, t) , p (0, t) , v (0, t) , (3.60)

u otras equivalentes. Por ejemplo, pueden especicarse las variables termodinámicas a la entradadel conducto y la presión a la salida, en cuyo caso la velocidad sería una incógnita a determinar.Las condiciones de contorno también pueden ser especicadas como combinaciones algebráicas delas variables dependientes. Por ejemplo, si el uido accede al tubo desde un depósito (presión pdy temperatura Td) y el movimiento en la región de entrada es tal que se conservan las magnitudesde remanso, las condiciones de contorno en s = 0 son

p(0, t) = pd (t)

1 +

γ − 1

2M2 (0, t)

− γγ−1

; T (0, t) = Td (t)

1 +

γ − 1

2M2 (0, t)

−1

,


que ha de completarse con otra condición. Por ejemplo

p (L, t) = pa,

si el conducto descarga en rágimen subsónico a un recinto donde la presión es pa. Si la presión dedescarga es lo sucientemente baja, se alcanza Mach unidad en alguna sección y esta condiciónsustituye a la anterior, como ocurre en el movimiento en toberas estudiado con anterioridad.

En el caso de un uido incompresible con A = A (s), la ecuación (3.47) de la continuidad sereduce a v (s, t) = G (t) /ρA (s), es decir: dada la velocidad en un punto del conducto y la geome-tría del conducto, la velocidad en cualquier otro punto (y en el mismo instante) está determinada.Es claro, por tanto, que no se puede imponer una condición inicial arbitraria a v (s, 0), ya quedebe ser v (s, 0) = G (0) /ρA (s). Por otra parte, no aparecen derivadas con respecto al tiempode la presión. Sólamente ha de especicarse la distribución inicial de temperaturas T (s, 0) si seestá interesado en determinar T (s, t).

3.2.4. Coeciente de fricción y ujo de calor

En las ecuaciones que determinan el movimiento de uidos en conductos aparecen dos incog-nitas adicionales para las que hay que dar relaciones. Una de ellas es el esfuerzo en la pared quese puede expresar en función del coeciente de fricción de Darcy, la densidad y la velocidad talcomo se muestra en la ecuación (3.52). El coeciente de fricción λ es una función del número deReynolds y de la rugosidad relativa de la pared del tubo. La discusión de su validez para el ujode gases se ha dado en la sección anterior. Los valores numéricos se dan en la gura 3.2 y unabuena aproximación del mismo, en forma explicita, se da en la ecuación (3.41).

Para el cálculo de qs se utilizará la analogía de Reynolds (descrita anteriormente) que estableceque el número de Stanton

Sta =qs

ρv (hp − h− v2/2),

y el coeciente de fricción en la pared

Cf =τf

ρve/2=λ

4,

cumplen la condición

Sta =Cf2

=λ

8,

si las difusitividades térmica y viscosa son iguales (Prandtl y Prandtl turbulento iguales a launidad). De este resultado se obtiene

qs =λ

8ρv

(hp − h−

1

2v2

), (3.61)

donde hp es la entalpía del uido a la temperatura de la pared. Para gases perfectos laecuación anterior toma la forma

qs =λ

8ρv

cpTp −

(cpT +

1

2v2

).

Si el tubo estuviese aislado se tendría qs = 0, de modo que la temperatura de la pared seríaTp = T + v2/2cp, superior a la temperatura del gas en el tubo debido a la disipación viscosaproducida por el efecto de frenado de la pared. A esta temperatura se le llama temperatura de


recuperación. Hay ujo de calor hacia el gas del interior del conducto si la temperatura de lapared Tp > T + v2/2cp y viceversa si es menor.

Para los líquidos, el efecto de la disipación viscosa es despreciable y puede suponerse que

qs =λ

8ρvc (Tp − T ) .

Otra aproximación diferente para determinar el ujo de calor es mediante la utilización de co-rrelaciones experimentales que relacionan el número de Nusselt

Nu =qsD

k (Tp − T ),

con los números de Reynolds, Re, Prandtl, Pr, y Mach, M . Una correlación explicita entre losnúmeros de Nusselt, Reynolds y Prandtl, válida para conductos en los que su longitud referida aldiámetro es L/D > 10, a bajos números de Mach, con números de Reynolds iguales o superioresa 104 y números de Prandlt comprendidos entre 0.7 y 160, es la relación de Dittus-Boelter

Nu = 0,023Re4/5Prn,

donde n = 0,4 para el caso de calentamiento y n = 0,3 para el enfriamiento.

3.3. Movimiento estacionario en conductos

Movimiento estacionario es aquel en que no hay dependencia temporal de las magnitudes ui-das. Las ecuaciones correspondientes se obtienen haciendo ∂/∂t = 0 en el sistema de ecuacionesde la continuidad (3.47), cantidad de movimiento (3.53) y energía (3.55).

Movimiento casi estacionarios es aquel en que los términos asociados a las derivadas tempora-les son despreciables frente a los restantes términos de las ecuaciones. Por ejemplo, si los términosdominantes en las ecuaciones son los convetivos, la relación entre los términos no estacionariosy convectivos en las tres ecuaciones anteriores es

∂ (•) /∂tv∂ (•) /∂s

∼ 1/tcvc/L

∼ trtc,

donde tc es el tiempo característico de variación de las magnitudes uidas (introducido, porejemplo, con la variación temporal de las condiciones de contorno) y tr es el tiempo de residencia, otiempo típico que una particula uida tarda en recorrer el conducto. Si la relación anterior tr/tc,denominada número de Strouhal, es pequeña, los términos no estacionarios son despreciablesfrente a los convectivos en las tres ecuaciones y el movimiento resultante es casi estacionario.

3.3.1. Movimiento estacionario de líquidos

En el caso del movimiento estacionario de líquidos, la ecuación (3.47) de la continuidad sereduce

vA =G

ρ= Q, (3.62)

la ecuación (3.53) de la cantidad de movimiento queda

∂

∂s

(p+

1

2ρv2 + ρU

)= − λ

2Dv2, (3.63)


donde se ha utilizado el diámetro equivalente D = 4rh y se ha sustituido v | v |= v2, porque enun movimiento estacionario la velocidad no cambia de signo. La ecuación de la energía para loslíquidos toma la forma

∂T

∂s=

λ

2D(Tp − T ) , (3.64)

donde se ha utilizado la analogía de Reynols para determinar el ujo de calor, se ha despreciadola disipación viscosa y se ha supuesto Qr = 0.

De la ecuación de la continuidad (3.62) se obtiene v = Q/A, que llevado a la ecuación decantidad de movimiento (3.63), ésta se puede integrar para dar

p+1

2ρ

(Q

A

)2

+ ρU

=

p+

1

2ρ

(Q

A

)2

+ ρU

s=0

− Q2

2

ˆ s

0

λds

A2D,

para la integración de esta ecuación debe añadirse la relación λ = λ(ρQDµA , ε

). Particularizando

la ecuación anterior en la salida, donde la presión es pa , se obtiene una relación que permitedeterminar el caudal Q

p (s = 0)− pa +1

2ρQ2

1

A2 (0)− 1

A2 (L)

+ ρ U (0)− U (L) =

Q2

2

ˆ L

0

λds

A2D.

En el caso particular en que A sea constante, la velocidad v también lo es porque el caudal esconstante. En estas condiciones λ es constante y la ecuación anterior se reduce a

p (0)− pa + ρ U (0)− U (L) =λ

2D

(Q

A

)2

,

que junto con el valor λ = λ (Q), se determina el caudal.La ecuación de la energía (3.64) tambien se integra, si Tp es constante, para dar

T − TpT (0)− Tp

= exp

−ˆ s

0

λds

2D

.

3.3.2. Movimiento estacionario de un gas en un conducto con efectos de lafricción dominantes y temperatura de la pared constante

Cuando los efectos de la fricción son dominantes signica que el número adimensional λL/D 1, lo que ocurre en conductos de longitud L lo sucientemente grande. Se considera el ujo estacio-nario de un gas por un conducto de sección constante a un número de Reynolds lo sucientementealto para que el coeciente de fricción λ no dependa más que de la rugosidad relativa de la pareddel conducto. La ecuación de la continuidad (3.47) toma la forma

ρv =G

A,

y la de cantidad de movimiento (3.53) sin efectos de las fuerzas másicas es

ρv∂v

∂s= −∂p

∂s− λ

2Dρv2.

En esta ecuación es término convectivo es del orden de ρv2/L y el término de fricción del ordende λρv2/D y el cociente entre ambos es

ρv (∂v/∂s)

λρv2/D∼ ρv2/L

λρv2/D∼ D

λL 1.


por lo tanto la ecuación de la cantidad de movimiento se reduce a

0 =∂p

∂s+

λ

2Dρv2.

De esta ecuación se deduce que los incrementos de presión a lo largo del tubo son tales que4p ∼ λL

D ρv2, de modo que

4pp∼ λL

D

ρv2

p∼ λL

DM2,

donde M es el número de Mach. Dado que 4p/p es, a lo sumo, de orden unidad, el número deMach en el conducto va a ser como máximo M ∼

√D/λL 1. Por lo tanto, el movimiento va

a ser a muy bajos números de Mach.La ecuación de la energía (3.55) en la que se ha sustituido el ujo de calor dado por (3.61)

toma la forma

ρv∂

∂s

(h+

1

2v2

)=

λ

2Dρv

(hp − h−

1

2v2

),

y dado que el número de Mach es muy pequeño, se puede despreciar la energía cinética frente ala térmica ya que v2/h ∼M2 1. En estas condiciones, la ecuación anterior toma la forma

∂h

∂s=

λ

2D(hp − h) .

La comparación entre los órdenes de magnitud de los dos términos anteriores proporciona

∂h/∂s

λ (hp − h) /D∼ D

λL 1,

y, en primera aproximación, la ecuación de la energía indica que el gas adquiere la temperaturade la pared h = hp. Esto puede observarse de la solución exacta de la ecuación de la energía conhp constante

h− hp = (h0 − hp) exp(− λs

2D

),

donde h0 es la entalpía en s = 0. En la solución anterior, para distancias s ∼ L, el términoexponencial tiende a cero y se obtiene h = hp. Sólamente a distancias ` tales que λ`/D ∼ 1,tiene lugar el intercambio de energía, pero esta distancia es muy pequeña frente a la longitud delconducto ya que `/L ∼ D/λL 1. En la distancia ` la caída de presión es despreciable frente ala caída a lo largo del conducto, como ppuede comprobarse facilmente.

Combinando las ecuaciones de la continuidad y cantidad de movimiento escritas anteriormentese obtiene

ρ∂p

∂s= − λ

2D

(G

A

)2

.

Al ser el ujo del gas a la temperatura de la pared, que se considera constante, de la ecuaciónde estado se tiene ρ = p/RgTp que sustituido en la ecuación anterior proporciona

p∂p

∂s= − λ

2D

(G

A

)2

RgTp,

que se integra para dar

p2 = p2 (0)− λs

D

(G

A

)2

RgTp,


que proporciona la evolución de la presión a lo largo del conducto y donde p (0) es la presión ala entrada del mismo. El gasto se determina de la ecuación anterior con el valor conocido de lapresión de descarga p (L)

G

A=

√p2 (0)− p2 (L)

(λL/D)RgTp.

Conocido el gasto, la distribución de presiones se puede escribir en la forma

p =

√p2 (0)− [p2 (0)− p2 (L)]

s

L,

las densidades en la forma

ρ =

√p2 (0)− [p2 (0)− p2 (L)] sL

RgTp,

y la velocidad (o el número de Mach) en la forma

M =v√γRgTp

=

√D

γλL

√p2 (0)− p2 (L)

p2 (0)− [p2 (0)− p2 (L)] sL.

Obsérvese que el número de Mach va creciendo con s, y en la salida (s = L)es

M (L) =

√D

γλL

√p2 (0)− p2 (L)

p2 (L),

que puede dejar de ser pequeño si p (L) es lo sucientemente baja, en cuyo caso habría que hacerun análisis diferente en el tramo nal del conducto.

3.3.3. Movimiento estacionario de un gas en un conducto de sección cons-tante aislado térmicamente

Se supone el movimiento estacionario de un gas por un conducto de sección constante, aun número de Reynolds tal que el coeciente de fricción λ es constante. Las ecuaciones de lacontinuidad (3.47) y la energía (3.55) toman la forma

ρv =G

A, (3.65)

h+1

2v2 = h0, (3.66)

donde h0 es la entalpía de remanso a la entrada del tubo

h0 = h (0) +1

2v2 (0) .

Con ayuda de la ecuación de estado h = γp/ (γ − 1) ρ y las ecuaciones (3.65) y (3.66) se obtienela presión en función de la velocidad

p =γ − 1

γ

G

A

(h0

v− v

2

). (3.67)


Los valores de ρ y p en función de v, obtenidos de las ecuaciones (3.65) y (3.67) respectivamente, sesustituyen en la ecuación de cantidad de movimiento (3.53) simplicada para el caso estacionarioy sin fuerzas másicas

ρv∂v

∂s+∂p

∂s= − λ

2Dρv2. (3.68)

para dar∂

∂s

v +

γ − 1

γ

(h0

v− v

2

)= − λ

2Dv,

que es una ecuación diferencial para determinar v (s). La ecuación anterior puede escribirse enla forma [

(γ + 1)− (γ − 1)2h0

v2

]∂v

∂s= −γ λ

Dv. (3.69)

Teniendo en cuenta que el número Mach está dado por

M2 =v2

(γ − 1)h=

v2

(γ − 1) (h0 − v2/2),

lo que permite escribir la velocidad v en función del Mach M

v2

2h0=

(γ − 1)M2

2 + (γ − 1)M2. (3.70)

Sustituyendo el valor de v dado en (3.70) en la ecuación (3.69), se obtiene la ecuación de lacantidad de movimiento escrita para el número de Mach

1−M2

M4 [2 + (γ − 1)M2]

∂M2

∂s= γ

λ

2D. (3.71)

A la vista de la ecuación (3.71) puede observarse:1) Si el número de Mach M es menor que la unidad, ∂M2/∂s > 0 y M es una función

creciente de s. De (3.70) se obtiene que v es creciente con s y como consecuencia de ello y delas ecuaciones (3.65) y (3.66), la densidad ρ y la entalpía h (temperatura T ) decrecen a lo largodel conducto. Por la ecuación de estado, la presión p también será función decreciente de s. Estecomportamiento es opuesto cuando el número de Mach es mayor que uno.

2) Para M = 1, de la ecuación (3.71) se obtiene ∂s/∂M2 = 0, indicando que existe un valormáximo de s cuando el Mach es la unidad. Para una longitud L del conducto y unas condicionesde presión de remanso p0 y entalpía de remanso h0 dadas, el Mach a la entrada del conducto esM (0) < 1, y el Mach crece a lo largo del conducto hasta llegar a la sección de salida, s = L,donde la presión coincide con la exterior si M (L) < 1. Si se disminuye la presión exterior, elnúmero de Mach a la entrada crece, ya que al aumentar la diferencia de presiones el gasto crece,y también aumenta el Mach a la salida. Para un valor dado de la presión exterior, pext = p∗el número de Mach en la sección de salida se hace la unidad, M (L) = 1. Cuando la presiónexterior es pext < p∗ el número de Mach a la salida sigue siendo la unidad, la presión a la salidaes p (L) = p∗y la presión exterior se alcanza a través de ondas de expensión en el chorro exterior,en forma análoga como ocurre en las toberas que descargan a una presión exterior inferior a lade adaptación.

La ecuación (3.71) se integra para dar

γ + 1

2γln

[M2 (0)

M2

] [2 + (γ − 1)M2

2 + (γ − 1)M2 (0)

]+

1

γ

1

M2 (0)− 1

M2

=λs

D, (3.72)


Figura 3.4: Distribución de presiones, p0/p, en función de la longitud adimensional del conducto,λs/D, para distintos valores del número de Mach a la entrada, M (0), o su equivalente, el gastoadimensional, g = G

√h0/p0A, dado en la ecuación (3.74). Las líneas discontínuas son las líneas

de Mach constante.

donde el número de MachM (0) , que es desconocido, se determina con la condición de la presiónen la sección de salida si M (L) < 1, o bien M (L) = 1 si pext ≤ p∗. Es necesario, por tanto,determinar el valor de p∗para una longitud dada del conducto. Para ello se dispone de la ecuación(3.67) que, escrita en función del Mach, es

p

p0=M (0)

M

[1 +

γ − 1

2M2 (0)

]− γ+12(γ−1)

[1 +

γ − 1

2M2

]− 12

, (3.73)

donde p0 es la presión de remanso a la entrada del conducto y se ha utilizado la relación G/A =ρ (0) v (0)en función del número de Mach a la entrada

g =G√h0

Ap0=γM (0)√γ − 1

[1 +

γ − 1

2M2 (0)

]− γ+12(γ−1)

. (3.74)

La ecuación (3.72), particularizada en s = L, determina el número de Mach M (0) = M∗ (0)a la entrada para tener número de Mach unidad a la salida M (L) = 1

γ + 1

2γln

(γ + 1)M2

∗ (0)

2 + (γ − 1)M2∗ (0)

+

1

γ

1

M2∗ (0)

− 1

=λL

D. (3.75)

Conocido M∗ (0) de la relación anterior (3.75), este valor se sustituye en la ecuación (3.73)particularizada en la salida M (L) = 1, y se obtiene el valor de p∗

p∗p0

=M∗ (0)√(γ + 1) /2

[1 +

γ − 1

2M2∗ (0)

]− γ+12(γ−1)

.


Una vez conocida p∗/p0, si pext/p0 > p∗/p0, el número de Mach M (L) < 1 y la presión en lasección de salida coincide con la exterior, de modo que de (3.73) se obtiene una relación entreM (0) y M (L)

pextp0

=M (0)

M (L)

[1 +

γ − 1

2M2 (0)

]− γ+12(γ−1)

[1 +

γ − 1

2M2 (L)

]− 12

,

y de la ecuación (3.72) particularizada en s = L la otra relación entreM (0) yM (L) que permiteobtener la solución

γ + 1

2γln

[M2 (0)

M2 (L)

] [2 + (γ − 1)M2 (L)

2 + (γ − 1)M2 (0)

]+

1

γ

1

M2 (0)− 1

M2 (L)

=λL

D.

Cuando pext/p0 ≤ p∗/p0 se tiene M (L) = 1, M (0) = M∗ (0) y p (L) = p∗.Conocido el Mach M (0) a la entrada, la ecuación (3.74) determina el gasto másico G, la

ecuación (3.72) determina el número de Mach a lo largo del conducto y la ecuación (3.73) juntocon (3.72) determina la presión a lo largo del conducto. La conservación de la entalpía de remansoa lo largo del conducto proporciona la entalpía

h

h0=

T

T0=

(1 +

γ − 1

2M2

)−1

.

En la gura (3.4) se da la solución gráca de las ecuaciones anteriores. Conocida la distri-bución de presiones y de los números de Mach a lo largo del conducto (3.4), la distribución detemperaturas se determina facilmente ya que se conserva la entalpía de remanso

T =h0

cp

(1 +

γ − 1

2M2

)−1

.

3.4. Transitorios en el ujo de líquidos en conductos

3.4.1. Introducción

Figura 3.5: Esquema del tubo y válvula a la sa-lida.

Cuando se estudia el movimiento de lí-quidos en tubos es corriente considerar al lí-quido como un uido incompresible, lo cualestá justicado en la mayoría de los casos de-bido a que los incrementos de presión motriznecesarios para que los efectos de compresibi-lidad sean apreciables son muy grandes frentea los que normalmente aparecen en el movi-miento, que suelen ser del orden de la presióndinámica. Sin embargo, en algunos casos losefectos de compresibilidad del líquido adquie-ren un papel esencial para la descripción dealgunos fenómenos físicos. Tal es el golpe deariete2, generado cuando se cierra rápidamen-te una válvula de un tubo. Hay casos en los que, sin producirse sobrepresiones elevadas, es

2Las primeras investigaciones sobre el golpe de ariete fueron realizadas por N. E. Joukowski y publicadas en1899 en su trabajo Water Hammer.


necesario introducir los efectos de compresibilidad para poder explicar el fenómeno físico que seproduce.

En esta lección vamos a considerar el líquido de un depósito, donde la presión motriz es P0

constante, que se descarga a la atmósfera a través de un tubo, a una cierta altura por debajo delnivel de la entrada. El tubo, de área A, tiene una válvula en la sección de salida, de modo queel área de salida, As, puede variarse con el tiempo (véase gura 3.5).

Escribiremos las ecuaciones que determinan la distribución de presiones y velocidades a lolargo del tubo y en función del tiempo, así como las condiciones iniciales y de contorno, reteniendolos efectos de compresibilidad del líquido y elasticidad del material del tubo. Como veremos,dependiendo del tiempo característico de apertura o cierre, los efectos de compresibilidad seráno no importantes. Éstos aparecen en la ecuación de continuidad, y son importantes si el tiempocaracterístico es lo sucientemente corto. Este tiempo característico, en el que intervienen losefectos de compresibilidad, va a ser el orden del de propagación de las ondas acústicas, L/c.

Empezaremos analizando los efectos no estacionarios para los casos en que el tiempo caracte-rístico, tv, de cierre o apertura es grande frente al tiempo de propagación de las ondas acústicasen el conducto. En el análisis de estos casos la densidad del líquido puede considerarse constantey el conducto rígido.

A continuación analizaremos el caso de cierre rápido de la válvula, situada a la salida delconducto. Veremos cómo en este caso se generan sobrepresiones dependientes de la ley de cierre,que tienden a innito cuando tv → 0. Estas sobrepresiones son debidas al golpe de ariete; éstees la consecuencia de anular en un tiempo muy corto toda la cantidad de movimiento que teníael líquido en el conducto antes del cierre.

Sin embargo, como veremos después, debido a los efectos de la compresibilidad del líquido yde la dilatabilidad del conducto, las sobrepresiones generadas son nitas aunque el cierre de laválvula sea instantáneo.

Debido a esos efectos las ondas de presión generadas con el cierre de la válvula se propagancon una velocidad, c, nita y, al no anularse simultáneamente la velocidad de todo el líquidodel conducto, los valores de la sobrepresión (y depresión posterior) se limitan a ρcuc, siendo ρ elvalor inicial de la densidad y uc el valor característico de la velocidad del líquido.

3.4.2. Formulación

Consideremos un conducto de sección A′ y longitud L por el que circula un líquido dedensidad ρ′, que se comporta como ideal. Supongamos que el área del tubo puede cambiar detamaño como consecuencia de las sobrepresiones generadas en el tubo, es decir

A′ = A

(1 +

p− prpE

), (3.76)

donde A es el área del tubo a la presión de referencia pr y donde la presión elástica pE = Ee/D(para conductos metálicos de pared delgada), siendo E es el módulo de elasticidad del material,e el espesor de la pared del tubo y D su diámetro. Valores típicos de E (∼ 1011 Pa) y de e/D(∼ 10−2) proporcionan valores de pE ∼ 109 Pa, por lo que (p− pr) /pE 1.

Supondremos que las partículas uidas, que conservan en el movimiento su entropía, tienenen el instante inicial la misma entropía Sr. La relación de isentropía se puede sustituir por suforma linealizada

p− pr = a2(ρ′ − ρ

)o bien ρ′ = ρ

(1 +

p− prρa2

), (3.77)

siendo ρ la densidad del líquido a la presión de referencia y a la velocidad del sonido en el líquido.Para el agua ρa2 ∼ 103 (1400)2 ∼ 2× 109 Pa, del mismo orden que pE y, también, mucho mayor


que p − pr. Por lo tanto, las variaciones de ρ′ y A′ van a ser pequeñas perturbaciones frente asus valores nominales ρ y A respectivamente.

Escribiendo la ecuación de la continuidad en forma integral, para un volumen de controllimitado por dos secciones del tubo situadas en x y x + dx y la pared lateral del mismo, seobtiene

∂ (ρ′A′)

∂t+∂ (ρ′uA′)

∂x= 0, (3.78)

donde u es la velocidad media en la sección, que coincide con la velocidad en toda la sección porconsiderar el uido como ideal. La ecuación de la cantidad de movimiento a lo largo del tubo,escrita para el mismo volumen de control, proporciona3

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+

1

ρ′∂p

∂x+∂U

dx= 0, (3.79)

donde U es el potencial de las fuerzas másicas.Teniendo en cuenta que (ρ′ − ρ) /ρ 1 y (A′ −A) /A 1, se obtiene

ρ′A′ = ρA

(1 +

p− prρc2

), (3.80)

donde1

c2=

1

a2E

+1

a2, (3.81)

la cantidad c, denida en (3.81), es la velocidad del sonido efectiva del sistema uidoelásticolíquido/conducto elástico y es más pequeño que cualquiera de los valores a ó aE =

√pE/ρ.

Sustituyendo (3.77) y (3.80) en (3.78) y (3.79) se llega a

∂p

∂t+ u

∂p

∂x+ ρc2

(1 +

p− prρc2

)∂u

∂x= 0, (3.82)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+

(1− p− pr

ρa2

)1

ρ

∂p

∂x+∂U

dx= 0. (3.83)

Dado que (p− pr) /ρc2 ∼ (p− pr) /ρa2 1, las ecuaciones (3.82) y (3.83) se reducen a

∂p

∂t+ u

∂p

∂x+ ρc2∂u

∂x= 0, (3.84)

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+

1

ρ

∂ (p+ ρU)

∂x= 0. (3.85)

Además, la comparación entre los dos últimos sumandos de la ecuación de la continuidad (3.84)proporciona

u (∂p/∂x)

ρc2 (∂u/∂x)∼ ∆p

ρc2 1, (3.86)

ya que, como hemos adelantado y veremos más adelante, a lo sumo ∆p ∼ ρcuc y por lo tanto seobtiene ∆p/ρc2 ∼ uc/c 1, porque la velocidad típica del líquido, uc, va a ser siempre muchomenor que la del sonido, c. De acuerdo con (3.86) y para potencial de las fuerzas másicas (lasgravitatorias en los casos prácticos) estacionario, la ecuación (3.84) toma la forma

∂ (p+ ρU)

∂t+ ρc2∂u

∂x= 0. (3.87)

3En una lección posterior modicaremos esta ecuación para tener en cuenta los efectos de fricción en elmovimiento turbulento en tubos.


En la ecuación (3.85) de la cantidad de movimiento, el término convectivo es nulo si ∆p ρcuc, ya que entonces la ecuación de la continuidad (3.87) se reduce a ∂u/∂x = 0. Cuando∆p ∼ ρcuc el término convectivo es del orden de uc/c despreciable frente al de presión. Enconclusión, llamando a la presión motriz P = p + ρU , las ecuaciones (3.85) y (3.87) se puedenescribir como

∂P

∂t+ ρc2∂u

∂x= 0, (3.88)

ρ∂u

∂t+∂P

∂x= 0. (3.89)

Obsérvese que las ecuaciones (3.88) y (3.89) dieren sólo de las del caso incompresible enel término ∂P/∂t de (3.88), que es el que debe retenerse para tener en cuenta el efecto decompresibilidad del líquido y el de dilatación de la pared del tubo.

3.4.2.1. Condiciones iniciales y de contorno

Como condiciones iniciales hay que dar la distribución inicial de presión motriz P =P (0, x) y la distribución inicial de velocidad u = u (0, x). Por ejemplo, si el tubo está inicialmentecerrado en su extremo nal, As (0) = 0, la distribución inicial de presión motriz es P (0, x) = P0

y la velocidad inicial es u (0, x) = 0. Por el contrario, si inicialmente el tubo está abierto en suextremo nal hasta un área As (0) = α0A, el estado inicial coincide con el estado estacionario enestas condiciones.

Como condiciones de contorno se tiene

Pe (t, 0) = P0 −1

2ρu2 (t, 0) en x = 0, (3.90)

como consecuencia de la conservación de las magnitudes de remanso en la región de entrada,por considerar el movimiento casiestacionario y la densidad igual a la inicial. Con las mismashipótesis, en la región de salida se tiene

Pf (t, L) = pa +1

2ρu2 (t, L)

(1

α2− 1

)en x = L, (3.91)

ya que la ecuación de la continuidad u (t, L)A = us (t, L)As (t), siendo α (t) = As (t) /A, y elpotencial de las fuerzas másicas se supone nulo en x = L.

3.4.2.2. Solución estacionaria con α = α0

Cuando la válvula está abierta de modo que el área de salida es As = α0A constante,la solución estacionaria se obtiene de las ecuaciones (3.88) y (3.89) anulando los términos quecontienen las derivadas con respecto al tiempo e imponiendo las condiciones de contorno (3.90)y (3.91) que, en este caso, no dependen del tiempo.

De la ecuación (3.88) se obtiene ∂u/∂x = 0, lo que proporciona u = u0 constante. La ecuación(3.89) de la cantidad de movimiento se reduce a ∂P/∂x = 0, lo que proporciona

P = P0 −1

2ρu2

0, (3.92)

donde se ha impuesto la condición de contorno (3.90). La condición de contorno (3.91) permitedeterminar la velocidad u0

P0 −1

2ρu2

0 = pa +1

2ρu2

0

(1

α20

− 1

); u0 = α0

√2 (P0 − pa)

ρ. (3.93)


La distribución de presiones (3.92) y de velocidades (3.93), serían las condiciones inicialespara el caso citado anteriormente en que la válvula está parcialmente abierta en el instanteinicial.

3.4.3. Transitorios originados por el cierre o apertura de la válvula

Supongamos ahora que el tiempo característico de apertura o cierre de la válvula en elextremo nal del tubo es tv. Este será el tiempo característico del problema y dependiendo desu orden de magnitud, los efectos de compresibilidad serán o no importantes.

Los dos términos de la ecuación (3.89) de la cantidad de movimiento son del mismo orden, demodo que los incrementos de presión motriz son del orden ∆P ∼ ρucL/tv. Llevando este valor ala ecuación (3.88) de la continuidad se obtiene

∂P/∂t

ρc2 (∂u/∂x)∼ ∆P/tvρc2uc/L

∼(L

ctv

)2

. (3.94)

De acuerdo con (3.94) los efectos de compresibilidad no cuentan si tv L/c. Supondremos acontinuación que esta última condición se cumple, en cuyo caso la ecuación de la continuidadvuelve a ser la del caso incompresible, ∂u/∂x = 0, lo que proporciona u = u (t), y (3.89) sereduce a

du

dt+

1

ρ

∂P

∂x= 0, (3.95)

ecuación que puede integrarse con respecto a x para darnos

P = −ρxdudt

+ P0 −1

2ρu2, (3.96)

donde ya se ha impuesto la condición de contorno (3.90) en x = 0. Imponiendo la condición decontorno (3.91) a la ecuación (3.96) se llega a

ρLdu

dt= P0 − pa −

1

2ρ(uα

)2. (3.97)

Si ahora llamamos v = u/u0 = u/[α0

√2 (P0 − pa) /ρ

], τ = t/tv y α (τ) = α/α0, la ecuación

(3.97) toma la forma1

δ

dv

dτ= 1− v2

α2=dv

dσ, (3.98)

dondeδ =

tvt0, (3.99)

es la relación entre el tiempo de cierre o apertura de la válvula, tv, y el tiempo característico t0asociado a la inercia del líquido en el conducto

t0 =2α0L√

2 (P0 − pa) /ρ, (3.100)

igual al producto de 2α20 por el tiempo de residencia, L/u0, en el conducto. En la ecuación (3.98)

σ = δτ es el tiempo adimensionalizado con la escala t0.La ecuación (3.98) ha de resolverse, para una ley α = α(τ) de cierre o apertura dada, con la

condición inicial, en τ = 0,

v(0) = 0 para la apertura y v(0) = 1 para el cierre. (3.101)


La presión en la llave (x = L) toma la forma

πf =P (L, t)− paP0 − pa

= 1− 1

δ

dv

dτ− α2

0v2 =

(1

α2− α2

0

)v2. (3.102)

3.4.4. Leyes lineales de apertura o cierre.

El problema puede resolverse analíticamente cuando la ley de cierre o apertura es linealen el tiempo.

3.4.4.1. Apertura lineal

Por ejemplo, si la apertura es lineal

α = τ para 0 < τ < 1 y α = 1 para τ ≥ 1. (3.103)

La solución de (3.98) en este caso es de la forma

v = mτ para 0 < τ < 1, (3.104)

dondem

δ= 1−m2 que proporciona m =

−1 +√

1 + 4δ2

2δ. (3.105)

Para τ > 1, cuando α = 1, la solución es

1 + v

1− v= Ce2δτ = Ce2σ, (3.106)

donde Ce2δ = (1 +m)/(1−m).Es fácil de deducir de (3.98) la forma que tiene la solución en los casos extremos, δ 1 de

apertura rápida y δ 1 de apertura lenta. Por ejemplo, para τ < 1 y δ → 0 se obtiene v = 0 enprimera aproximación. En segunda aproximación se tiene dv/dτ = δ lo que proporciona v = τδ,salvo términos de orden δ2. Para τ > 1, v viene dada por la ecuación (3.98)con α = 1 y con lacondición v = 0 en τ = 0 en primera aproximación. La solución es

1 + v

1− v= e2σ. (3.107)

Para δ 1 la apertura es lenta y la solución de (3.98) coincide con la solución casiestacionariav = α; es decir: u (t) = α (t)

√2 (P0 − pa) /ρ.

Obsérvese que de (3.102) para τ = 0+ se tiene

πf = v2α−2 − α2

0

= m2 =

1 + 2δ2 −√

1 + 4δ2

2δ2, (3.108)

pero para τ = 0− el líquido está en reposo en todo el tubo y P (L, 0−) = P0, de modo que πf = 1.Hay, por lo tanto, una caída instantánea desde πf = 1 en τ = 0− hasta πf = m2 en τ = 0+.Cuando se retienen los efectos de compresibilidad, para tiempos t ∼ L/c, esta caída resulta noser instantánea, como veremos más adelante.


3.4.4.2. Cierre lineal

En el caso del cierre lineal α = y = 1 − τ , la velocidad v(τ) es distinta de cero sólo paraτ < 1, y viene dada por la ecuación (3.98) que ahora es

1

δ

dv

dy= −1 +

v2

y2, (3.109)

a resolver para 0 < y < 1 con la condición inicial v = 1 en y = 1.Para obtener la solución utilícese como variable dependiente q = v/y con lo que se obtiene

dq

q2 − 1− q/δ= δ

dy

y, (3.110)

luego

δlny =

ˆ q

1

dη

η2 − 1− η/δ. (3.111)

La solución es

q =η+(1− η−)− η−(1− η+)y

√1+4δ2

1− η− − (1− η+)y√

1+4δ2, donde η± =

1±√

1 + 4δ2

2δ(3.112)

son las dos raíces de la ecuación η2−1−η/δ = 0. En los momentos nales del cierre, para y 1,q → η+ por lo que v → η+(1− τ).

Para el cierre lineal la sobrepresión πf en el instante τ = 1−, inmediatamente anterior alcierre, viene dada por la relación

πf = πf,c = η2+ =

(1 +√

1 + 4δ2)2

4δ2. (3.113)

Esta sobrepresión debe caer instantáneamente al valor 1 en τ = 1+. Nótese que πf,c tiende ainnito, como 1/δ2, cuando δ → 0. De nuevo, cuando se retienen los efectos de compresibilidad,se verá que esta presión es nita.

3.4.5. Caso más general. Ley de cierre potencial.

Para una ley de cierre de tipo potencial, α = (1 − τ)n, la velocidad v(τ) viene dada porla ecuación

1

δ

dv

dτ= 1− v2

(1− τ)2n, (3.114)

a resolver con la condición inicial v(0) = 1. El cierre de la válvula se completa en τ = 1.El punto (τ = 1, v = 0) del plano (τ, v) es un punto singular de la ecuación (3.114). Dado

que τ = 1 es el instante nal de cierre, si éste se alcanza con v 6= 0 conduce a valores innitos dedv/dτ .

Si se utiliza la variable ξ = (1− τ)n en lugar de τ , la ecuación (3.114) toma la forma

dv

dξ=δ

n

[(v

ξ

)2

− 1

]ξ(1−n)/n. (3.115)


Para n < 1, el segundo miembro de (3.115) tiende a cero cuando ξ → 0 (τ → 1), a menos quev/ξ 1 en cuyo caso (3.115) toma la forma simplicada (válida para ξ 1)

dv

dξ=δ

nv2ξ(1−3n)/n, (3.116)

cuya solución es

v =(2n− 1) ξ(2n−1)/n

δ + C1(2n− 1)ξ(2n−1)/n. (3.117)

De la solución (3.117), cuando n < 1/2, se obtiene v = v1 = 1/C1 en ξ = 0; es decir: lavelocidad en τ = 1− es distinta de cero y de valor v1, proporcionada por la solución numérica dela ecuación completa (3.114), como función de δ y n < 1/2.

Para n > 1/2 la solución (3.117) se escribe como

v =2n− 1

δξ(2n−1)/n =

2n− 1

δ(1− τ)2n−1 , (3.118)

lo que proporciona v = 0 en τ = 1 (ξ = 0). Obsérvese que para ξ → 0, tanto la solución (3.117),para n < 1/2, como la (3.118), para 1 < n < 1/2, proporcionan v/ξ 1, como se supuso en(3.116).

Para n = 1/2 la solución de (3.116) es

e−1/v = C2ξ2δ = C2 (1− τ) δ , (3.119)

que ya proporciona v = 0 para τ = 1, como ocurre para n > 1/2.Cuando n = 1 se tiene el cierre lineal cuya solución se ha dado en (3.112).Para n > 1, la ecuación (3.115) escrita como(

v

ξ

)2

− 1 =n

δ

dv

dξξ(n−1)/n → 0 para ξ → 0, (3.120)

y proporcionav = ξ = (1− τ)n para n > 1, (3.121)

que coincide con la solución casi estacionaria4 de (3.114).La sobrepresión en la llave es la dada en (3.102) que, para 1− τ 1, es

πf =v2

1

(1− τ)2nsi n <

1

2, (3.122)

πf =(2n− 1)2

δ2(1− τ)2(1−n)si

1

2< n < 1, (3.123)

πf = 1 si n > 1. (3.124)

Nótese que πf →∞ cuando (1− τ)→ 0 si n < 1. Sin embargo, la sobrepresión aguas arribade la válvula en el caso n < 1/2 sólo es capaz de decelerar v desde 1 a v1 > 0 en τ = 1−; porello, en τ = 1, encontraremos una deceleración brusca desde v1 a 0, asociada a una percusión

4En realidad el punto singular (1, 0) es de tipo nodo para n > 1; siendo la solución, para (1 − τ) 1, de laforma

v = (1− τ)n

1 + C3exp

[− 2δ

(n− 1)(1− τ)n−1

],

donde la constante C3 tendría que determinarse mediante la solución numérica del problema completo.


representada por un valor P (L, t) − pa en forma de delta de Dirac en t = tv de intensidad5

ρLu0v1.Las sobrepresión innita encontrada para (1− τ) → 0, con leyes de cierre de la forma α =

(1 − τ)n, con n < 1, muestran que en estos casos hemos de retener los efectos de la dilatacióndel conducto y de la compresibilidad del uido a la hora de describir, en los últimos instantesdel cierre, los transitorios del ujo de líquidos en conductos.

3.4.6. Sobrepresión generada en el cierre rápido de válvulas (tv t0). Golpede ariete.

Describiremos a continuación la forma asintótica de la solución de (3.98) para el cierre deválvulas con valores de δ 1 (tv t0). Utilizaremos como ejemplo el caso de cierre potencial,α = (1−τ)n, para el que describiremos analíticamente la solución y las sobrepresiones generadas.

La solución del problema (3.114) muestra dos etapas bien diferenciadas para valores pequeñosde δ. En una primera etapa, para (1− τ) ∼ 1, se tiene dv/dτ ∼ δ, lo que proporciona v = 1 enprimera aproximación, y

v = 1 + δ

ˆ τ

0

[1− 1

(1− ς)2n

]dς + · · ·, (3.125)

para la siguiente aproximación. De (3.125) se obtiene

v = 1 + δ

[τ − 1− (1− τ)1−2n

1− 2n

]+ · · ·, (3.126)

que es uniformemente válida hasta τ = 1− si 0 < n < 1/2. El resultado (3.126) conduce a

v1 = v(1−) = 1− δ 2n

1− 2n+ · · ·. (3.127)

Cuando n ≥ 1/2, el valor resultante de v, dado por los dos primeros términos del desarrollo(3.126) diverge cuando τ → 1; ó, para ser más preciso, cuando

δ

(2n− 1)(1− τ)2n−1se hace de orden unidad. (3.128)

Si reescribimos la ecuación (3.114), manteniendo v como variable dependiente, usando

Z = (1− τ)

(2n− 1

δ

) 12n−1

, (3.129)

como variable independiente, obtenemos la ecuación(1

2n− 1

)dv

dZ=

v2

Z2n−(

δ

2n− 1

) 2n2n−1

, (3.130)

que para δ 1, n > 1/2 y con Z ∼ 1 se reduce a(1

2n− 1

)dv

dZ=

v2

Z2n, (3.131)

5Obtenida de (3.97) multiplicada por dt e integrada entre t = t−v y t = t+v .


cuya solución es1

v= 1 +

1

Z2n−1; v =

Z2n−1

1 + Z2n−1(3.132)

donde se ha utilizado la condición v = 1 cuando Z → ∞, de acoplamiento con la primeraaproximación, de la solución (3.126) para la etapa anterior. La solución (3.132) describe, paran > 1/2, cómo en la segunda etapa, en los instantes nales del cierre cuando 1− τ ∼ δ/(2n−1)1/(2n−1), la velocidad cae desde su valor inicial 1, para Z 1, a 0, para Z 1.

Teniendo en cuenta (3.102), (3.132) y que α = (1− τ)n, la sobrepresión al nal del conductoviene dada, para n > 1/2 en los últimos momentos del cierre cuando Z ∼ 1, por

πf =

(2n− 1)

δ

2n/(2n−1)

Z−2n

Z2n−1

1 + Z2n−1

2

. (3.133)

Así pues, πf ∼ δ−2n/(2n−1) 1 para Z ∼ 1 si δ 1.Para valores de Z 1, (3.133) toma la forma

πf

(δ

2n− 1

) 2n2n−1

= Z2(n−1), (3.134)

de manera que πf tiende a innito cuando n < 1 y Z → 0; mientras que πfδ2n/(2n−1) → 0cuando n > 1 y Z → 0. En este segundo caso, para valores sucientemente pequeños de Z ha deretenerse el último término de la ecuación (3.130), y πf no cae a cero al nal del cierre, sino alvalor 1.

Así pues, la ecuación (3.133) muestra que si n < 1, πf crece monótonamente al decrecer Z,tendiendo a innito cuando Z → 0. Sin embargo, en el caso n > 1, πf alcanza un valor máximo,πfm, en la segunda etapa del cierre, para un valor Zmax > 0 dado por

Zmax =

(n− 1

n

) 12n−1

, (3.135)

cuando v = vm = (n− 1)/(2n− 1).El valor correspondiente πfm de πf , del orden de δ−2n/(2n−1), se obtiene sustituyendo en

(3.133) Z por el valor Zmax dado por6 (3.135).

πfm =

(n− 1

2n− 1

) 2(n−1)2n−1 (n

δ

) 2n2n−1

. (3.136)

3.4.7. Efectos de la compresibilidad del líquido y de la dilatabilidad del con-ducto

En los ejemplos anteriores, el tiempo característico considerado es del orden del tiempode residencia, δ ∼ 1, o bien pequeño frente al de residencia pero grande frente a L/c. Vamos aestudiar a continuación los casos en los que los efectos de compresibilidad sean importantes porser el tiempo característico del orden de L/c.

De la ecuación (3.89) ya se vio que el orden de magnitud de los incrementos de presión sontales que ∆P ∼ ρucL/tc, siendo uc y tc la velocidad y tiempo característico respectivamente.

6Aunque éste último análisis, para simplicar su presentación, ha sido hecho sólo para el cierre con ley potencial,es obvio que cuando δ 1, el análisis es aplicable a leyes de cierre más generales; siempre que en la segundaetapa del cierre, cuando Z ∼ 1, la ley de cierre pueda aproximarse por una ley de tipo potencial.


De (3.94) se deduce que el término responsable de los efectos de compresibilidad, ∂P/∂t, cuentaen la ecuación de la continuidad (3.88) si tc ∼ L/c. Con este valor de tc se obtiene ∆P ∼ ρcuc,como ya se había adelantado.

Entonces, si los tiempos típicos del cierre de la válvula son del orden del que las ondastardan en recorrer el tubo, los efectos de compresibilidad son importantes y deben retenerse enla ecuación (3.88).

3.4.7.1. Ecuaciones y solución general

Las ecuaciones correspondientes al movimiento de líquidos con efectos de compresibilidadson la (3.88) y la (3.89), de las que se deduce que tanto u como P satisfacen la ecuación de lasondas

∂2u

∂t2− c2∂

2u

∂x2= 0, (3.137)

∂2P

∂t2− c2∂

2P

∂x2= 0. (3.138)

D'Alembert dio la solución general de (3.137) en la forma

u/c = f(x− ct) + g(x+ ct), (3.139)

donde f y g son funciones, en principio arbitrarias de sus argumentos, que deberían pertenecera C2.

La solución de (3.138) es de la misma forma, con funciones distintas de los mismos argumentos.Sin embargo, dado que han de cumplirse las ecuaciones (3.88) y (3.89), es fácil deducir que P esde la forma

(P − P0)/ρc2 = f(x− ct)− g(x+ ct). (3.140)

El lector puede comprobar, por sustitución directa que (3.139) y (3.140) satisfacen la formalinealizada (3.88)-(3.89) de las ecuaciones de Euler, cualquiera que sean f y g siempre quesean derivables una vez, aunque presenten discontinuidades para algunos de los valores de susargumentos.

Las líneas (x− ct) = c1 y (x+ ct) = c2 son, con c1 y c2 constantes, las líneas característicasde las ecuaciones de Euler linealizadas. A lo largo de estas características 2f y 2g, ó bien

u

c+P − P0

ρc2= 2f(x− ct), (3.141)

u

c− P − P0

ρc2= 2g(x+ ct), (3.142)

se mantienen constantes. Estas combinaciones lineales de u y P corresponden a la forma linea-lizada de los invariantes de Riemann7. Representan ondas de presión que se propagan, con lavelocidad del sonido c hacia la derecha, para imponer a su paso un valor constante a u/c+(P −P0)/ρc2, ó hacia la izquierda para imponer un valor constante a u/c− (P − P0)/ρc2.

Aunque (3.139) y (3.140) dan la forma general de la solución de las ecuaciones de Euler linea-lizadas, para la determinación de la forma explícita de f y g necesitamos añadir las condicionesiniciales y de contorno. Para el conducto de la gura 1, las condiciones iniciales son de la forma

t = 0 y 0 < x < L es u = uI(x) y P = PI(x) (3.143)

7Los invariantes de Riemann se verán en la lección siguiente.


Estas condiciones bastan para determinar f y g en cada punto x,

2f(x) = uI/c+ (PI − P0)/ρc2 (3.144)

2g(x) = uI/c− (PI − P0)/ρc2 (3.145)

durante un cierto intervalo de tiempo, (antes de que ese punto sea alcanzado por las ondas quesalgan en t = 0 de x = 0 ó de x = L).

Nótese que cualquier perturbación localizada en una parte del conducto, con uI 6= 0 y(PI − P0) 6= 0, se desdobla en dos ondas: f que se propaga a la derecha y g que se propagahacia la izquierda.

Cuando uno de los invariantes de Riemann es espacialmente constante (igual a cero, porejemplo), decimos que tenemos una onda simple. Así por ejemplo, si uI/c = (PI − P0)/ρc2,podemos concluir que g ≡ 0. Entonces, si el conducto es ilimitado en los dos sentidos,

u/c− (P − P0)/ρc2 = 0, (3.146)

y ademásu(x, t) = uI(x− ct). (3.147)

El dominio, en el plano (x, t), de inuencia (exclusiva) de las condiciones iniciales es reducido.Pronto intervienen las condiciones de contorno en la determinación de la solución, como veremosmás adelante.

Si escribimos las soluciones (3.139) y (3.140) en forma adimensional, utilizando como variables

θ = ct/L, x = x/L, v = u/u0 y Π = (P − P0) /ρcu0, (3.148)

éstas quedanv (θ, x) = F (θ − x) +G (θ + x− 1) , (3.149)

Π (θ, x) = F (θ − x)−G (θ + x− 1) , (3.150)

donde F y G son las funciones f y g multiplicadas por c/u0 y en la función G se ha cambiadoel argumento para que arranque de x = L (x = 1) en el instante t = 0.

3.4.7.2. Cierre de la válvula en tiempos tv ∼ L/c

Como ejemplo, consideraremos el caso de la gura 1 en el que supondremos que para t ≤ 0es α = α0 constante y que la válvula tarda en cerrarse un tiempo tv tal que θv = ctv/L ∼ 1, encuyo caso los efectos de compresibilidad son importantes.

Las condiciones iniciales para este problema son las dadas en (3.92) para la presión y el valorde la velocidad dado en (3.93), que escritas en forma adimensional son

ΠI =PI − P0

ρcu0= −u0

2c 1; esto es: ΠI = 0 y vI = 1 en θ = 0. (3.151)

Estas condiciones llevadas a (3.149) y (3.150) proporcionan

F = G = 1/2 en θ = 0 y 0 < x < 1. (3.152)

La condición de contorno (3.90) en x = 0 es, en forma adimensional,

Πe =Pe − P0

ρcu0= −u

2 (t)

2u0c∼ u0

c 1; esto es: Πe = 0 en x = 0. (3.153)


Esta condición, sustituida en (3.150), proporciona

F (θ) = G (θ − 1) , (3.154)

lo que permite escribir (3.149) y (3.150) en la forma

v (θ, x) = G (θ − x− 1) +G (θ + x− 1) , (3.155)

Π (θ, x) = G (θ − x− 1)−G (θ + x− 1) . (3.156)

La condición de contorno en x = L es la dada en (3.91) que puede escribirse como

Pf − P0 = − (P0 − pa) + (P0 − pa) v2

(1

α2− α2

0

), (3.157)

ya que P0 − pa = ρu20/2α

20. Para retener el caso en que la presión motriz en el depósito sea tal

que P0 − pa ∼ ρcu0, entonces debe ser α0 ∼[√

(P0 − pa) /ρ]/c 1 (ó α2

0 ∼ u0/c 1), y en

(3.157) sólo es despreciable el término α20 frente a 1/α2 (recuérdese que α = α/α0). En denitiva,

la condición (3.157) se reduce a

Πf = Π0

[−1 +

(vfα

)2]

en x = 1, (3.158)

donde Π0 = (P0 − pa) /ρcu0 y α = α (θ/θv).Particularizando (3.155) y (3.156) en x = 1 se tiene

vf = v (θ, 1) = G (θ − 2) +G (θ) , (3.159)

Πf = Π (θ, 1) = G (θ − 2)−G (θ) . (3.160)

Sustituyendo (3.159) y (3.160) en (3.158) se llega a la ecuación

α2 [G (θ − 2)−G (θ)] = Π0 [G (θ − 2) +G (θ)]2 − α2Π0, (3.161)

que es una ecuación en diferencias con retraso8 y que determina G (θ) en función de G (θ − 2).Para poder obtener G (θ) para todo θ, es necesario conocer G (θ − 2) para θ < 2. A través de lacondición inicial (3.152) se obtiene G (θ − 2) = 1/2 para θ < 2, de modo que la ecuación (3.161)toma la forma

α2 [1/2−G (θ)] = Π0 [1/2 +G (θ)]2 − α2Π0 para θ < 2. (3.162)

Si α es continua para θ = 0, para garantizar la continuidad de G (θ), de las dos raíces de(3.161) y (3.162) hemos de elegir las dadas por

2Π0 [G (θ) + 1/2] = −α2 +√α4 + 4α2Π0 (Π0 + 1) para θ < 2, (3.163)

2Π0 [G (θ) +G (θ − 2)] = −α2 +√α4 + 4α2Π0 [Π0 + 2G (θ − 2)] para θ > 2. (3.164)

Obsérvese que cuando θ > θv se tiene α = 0 y la condición de contorno (3.158) debe cambiarsepor vf = 0. Con vf = 0, de (3.159) se obtiene G (θ) = −G (θ − 2), el mismo valor que seobtendría de (3.163) y (3.164) con α = 0. Por lo tanto, cuando la válvula está cerrada se tiene:G (θ) = −G (θ − 2) = −1/2 para θ < 2; y G (θ) = −G (θ − 2) para θ > 2.

8Esta ecuación es una variante de la denominada ecuación de Allievi

v (θ + 2, 1) + Π (θ + 2, 1) = v (θ, 1)−Π (θ, 1) .

El lector puede comprobar que esta ecuación se obtiene a partir de (3.159) y (3.160) cambiando θ por θ + 2 ycombinando después estas nuevas ecuaciones con (3.159) y (3.160).


Figura 3.6: Plano x-θ.

Para ver más claramente como intervie-nen las condiciones iniciales, vamos a ilustrar-lo grácamente utilizando el plano x − θ dela gura 3.6. En esta gura se muestran laslíneas características AB y AC, que indicanla zona de inuencia de las condiciones inicia-les caracterizadas por el punto A. También seindica la línea característica CD, que mues-tra la inuencia en D de la condición ini-cial combinada con la condición de contornoen x = 0. La línea AB tiene por ecuaciónx − θ = xA, de modo que θB = 1 − xA ycomo 0 < xA < 1, se tiene 0 < θB < 1. Sobrela línea AB es F (θ − x) =constante, de modoque vA + ΠA = vB + ΠB, y como vA = 1 yΠA = 0 (condición inicial) se concluye

vB + ΠB = 1 para 0 < θ < 1. (3.165)

La línea AC tiene por ecuación x + θ = xA, por lo tanto θC = xA (con 0 < θC < 1). Sobre lalínea AC es constante G (θ + x− 1), de modo que vA −ΠA = vC −ΠC y como vA = 1, ΠA = 0(condición inicial) y ΠC = 0 (condición de contorno en x = 0) se concluye que vC = vA = 1. Porúltimo, la línea CD es θ − x = θC de modo que θD = θC + 1, y como 0 < θC < 1 se obtiene1 < θD < 2. Sobre la línea CD es F (θ − x) =constante y por lo tanto

vD + ΠD = 1 para 1 < θ < 2, (3.166)

que coincide con (3.165).De (3.159), (3.160) y (3.165) se obtiene

vB + ΠB = 2G (θ − 2) = 1 para 0 < θ < 1, (3.167)

y de (3.159), (3.160) y (3.166)

vD + ΠD = 2G (θ − 2) = 1 para 1 < θ < 2, (3.168)

de modo que se concluyeG (θ − 2) = 1/2 para 0 < θ < 2, (3.169)

como ya se había adelantado.La validez de la condición vf = 0 está condicionada a que los valores de la presión estática pf

no sean inferiores a la presión de vapor del líquido pv (en la práctica poco diferente de la presiónnula). Si al utilizar G (θ) = −G (θ − 2) obtenemos para la presión pf en x = L

(pf − P0)/ρcu0 = G(θ − 2)−G(θ), (3.170)

un valor menor que pv, debemos sustituir la condición G (θ) = −G (θ − 2), por

(pv − P0)/ρcu0 = G(θ − 2)−G(θ), (3.171)

permitiendo a uf tomar valores negativos, correspondientes al despegue de la columna líquidade la válvula. En la ecuación (3.170) se ha utilizado la presión estática al nal del tubo, pf , enlugar de la presión motriz, Pf , porque allí ambas coinciden.


3.4.7.3. Cierre lento (θv 1)

Si consideramos el caso en que el tiempo de cierre tv es grande frente a L/c, se deben recu-perar las ecuaciones del caso incompresible. En efecto, si utilizamos como variable independienteτ = t/tv = θ/θv, podemos escribir

G(θ) = G (τ) ; G(θ − 2) = G

(τ − 2

θv

). (3.172)

Para τ ∼ 1, y como θv 1, G (τ − 2/θv) se puede aproximar por

G

(τ − 2

θv

)= G (τ)− 2

θv

dG

dτ+ · · ·, (3.173)

y sustituyendo en (3.161) los valores de G(θ) y G(θ − 2) dados en (3.172) y (3.173), se obtiene

d(2G)

dτ= Π0θv

1−

(2G

α

)2 . (3.174)

De (3.159) se obtiene v = 2G (τ), que sustituido en (3.174) proporciona

1

δ

dv

dτ= 1−

( vα

)2, (3.175)

ya que

Π0θv =(P0 − pa)ρcu0

ctvL

=tv√

2 (P0 − pa) /ρ2α0L

=tvt0

= δ. (3.176)

La ecuación (3.175) coincide con la ecuación (3.98) del caso incompresible, como se había ade-lantado.

3.4.7.4. Límite Π0 1

Cuando Π0 → 0, de (3.161) se deduce que G (θ) = G (θ − 2) en primera aproximación, loque equivale a Πf = 0 y vf = 2G (θ). En segunda aproximación se obtiene

G (θ − 2)−G (θ) = Π0

−1 +

[2G (θ)

α

]2. (3.177)

Esta solución no es válida en las últimas etapas del cierre cuando α2 ∼ Π0 1. Entonces, de(3.161), se obtiene

G (θ − 2)−G (θ) =Π0

α2[G (θ − 2) +G (θ)]2 . (3.178)

3.4.7.5. Cierre instantáneo

Si en t = 0− es α = α0 y en t = 0+ es α = 0, θv = 0 y la condición de contorno en x = 1es vf = 0. Como se vio anteriormente, en este caso se tiene

G (θ) = −1/2 y G (θ − 2) = 1/2 para θ < 2, (3.179)

que sustituido en (3.160) proporciona

Πf = G (θ − 2)−G (θ) =1

2+

1

2= 1 para 0 < θ < 2. (3.180)


Para θ > 2 se tieneG (θ) = −G (θ − 2) , (3.181)

de modo que para 2 < θ < 4 se obtiene G (θ) = −G(θ)con 0 < θ < 2, y como de (3.179) es

G(θ) = −1/2, se tieneG (θ) = 1/2 para 2 < θ < 4, (3.182)

y por lo tantoΠf = G(θ)−G (θ) = −1 para 2 < θ < 4. (3.183)

Para el periodo 4 < θ < 6 es G (θ) = −G(θ), pero ahora con 2 < θ < 4, es decir G(θ) = 1/2y G (θ) = −1/2, proporcionando

Πf = G(θ)−G (θ) = 1 para 4 < θ < 6, (3.184)

repitiéndose el proceso en periodos θ = 4.

Figura 3.7: Presión en la llave (a) y velocidada la entrada (b) en función del tiempo, para elcierre instantáneo.

En la gura 3.7a se muestra la evolucióntemporal de la presión al nal del tubo9. Ellector puede mostrar que la velocidad a la en-trada del tubo es como la representada en lagura 3.7b.

3.4.7.6. Apertura de la válvula en

tiempos tv ∼ L/c

En el caso de una apertura desde α =0 hasta α = α0 en un tiempo tv ∼ L/c, lacondición inicial es ΠI = vI = 0, ya que ellíquido está en reposo en el tubo a la presióndel depósito P0, y la condición de contorno enx = 0 sigue siendo la dada en (3.153): Πe = 0.

La solución nal estacionaria es la da-da en (3.92) con la velocidad u0 =α0

√2 (P0 − pa) /ρ dada en (3.93). La veloci-

dad estacionaria no se alcanza hasta tiemposgrandes comparados con L/c. Durante tiem-pos del orden del de apertura, L/c, la sobre-presión es del orden de P0−pa y, por lo tanto,la velocidad es del orden de uc = (P0 − pa) /ρc u0, a menos que α0 ∼

[√(P0 − pa) /ρ

]/c 1.

Elegiremos, por tanto, las nuevas variables adimensionales

π =P − P0

ρcuc=P − P0

P0 − pay v =

u

uc=

ρuc

P0 − pa, (3.185)

de modo que las ecuaciones (3.149) y (3.150) son ahora

v (θ, x) = F (θ − x) +G (θ + x− 1) , (3.186)

9Obsérvese que en el periodo 2 < θ < 4 ya es Πf = −1, lo que representa depresiones de valor pf −pa = −ρcu0.Para que pf se anule se necesitan velocidades u0 ≈ 0,1 m/s (ρ = 103 kg/m3 y c ≈ 103 m/s), de modo que esmuy fácil alcanzar la presión de vapor del líquido en la apertura o cierre rápido de válvulas. Cuando se puedenpresentar estas depresiones, las tuberías llevan dispositivos para evitarlo, tales como válvulas de antivacío (quepresurizan la tubería permitiendo que entre aire del exterior) o calderines de expansión.


π (θ, x) = F (θ − x)−G (θ + x− 1) , (3.187)

donde las funciones F y G son ahora las dadas en (3.149) y (3.150) pero multiplicadas poru0/uc = 2α0c/

√2 (P0 − pa) /ρ.

La condición inicial sigue siendo πI = vI = 0 y la de contorno en x = 0 sigue siendo πe = 0.De la condición inicial se obtiene F = G = 0 en θ = 0 y para 0 < x < 1; y de la de contorno enx = 0 se obtiene F (θ) = G (θ − 1). Estas condiciones permiten obtener

G (θ − 2) = 0 para θ < 2, (3.188)

yvf = G (θ − 2) +G (θ) , (3.189)

πf = G (θ − 2)−G (θ) , (3.190)

en forma análoga al caso del cierre.La condición de contorno en x = 1 se escribe ahora como

πf = −1 +uccv2f

(1

α2− 1

)= −1 + v2

f

( uccα2− uc

c

)≈ −1 +

(vfα

)2

, (3.191)

con α2 (θ/θv) = cα2/uc = ρc2α2/ (P0 − pa), que retendremos para aquellos casos en que α es deorden unidad por ser α pequeño.

Sustituyendo (3.189) y (3.190) en (3.191) se llega a

α2 [G (θ − 2)−G (θ)] = −α2 + [G (θ − 2) +G (θ)]2 , (3.192)

ecuación que ha de resolverse con G (θ − 2) = 0 para θ < 2. La solución es

2G (θ) = −α2 +√α4 + 4α2 para θ < 2, (3.193)

2 [G (θ − 2) +G (θ)] = −α2 +√α4 + 4α2 [1 + 2G (θ − 2)] para θ > 2. (3.194)

Para θ 1 es α 1 y de (3.193) es G (θ)→ α; y de (3.189) y (3.190) se obtiene vf → α yπf → −α.

Cuando la relación de áreas es del orden de α0, supuesto de orden unidad, se tiene α2 ∼ρc2α2

0/ (P0 − pa) 1 y, entonces, de (3.193) se tiene G (θ) = 1 si θ < 2 y de (3.194)

G (θ) = 1 +G (θ − 2) , (3.195)

lo que proporciona vf = 2G (θ)− 1 y πf = −1, que es la presión ambiente Pf = pa.Para valores de θv = ctv/L 1 de (3.192) se obtiene, análogamente al caso del cierre,

−2α2

θv

dG

dτ= −α2 + [2G (τ)]2, (3.196)

y como 2G = v = vu0/uc, se llega a

− u0

θvuc

dv

dτ= −1 +

(u0

αuc

)2

v2, (3.197)

donde

u0

θvuc=

α0

√2(P0−pa)

ρ(ctvL

) (P0−paρc

) =2α2

0L

tvu0=t0tv

=1

δ, (3.198)


y (u0

αuc

)2

=u2

0uccu2cα

2=(α0

α

)2=

1

α2. (3.199)

Sustituyendo (3.198) y (3.199) en (3.197) se vuelve a obtener

1

δ

dv

dτ= 1−

( vα

)2, (3.200)

que coincide con la ecuación (3.98) del caso incompresible.El lector puede mostrar que para una apertura instantánea hasta α = α0 ∼ 1, la ecuación

que determina G (θ) es (3.195) con G (θ − 2) = 0 para θ < 2; y que la velocidad en la sección desalida es vf = 1 para 0 < θ < 2; vf = 3 para 2 < θ < 4; vf = 5 para 4 < θ < 6; etc. Además estasolución, para θ 1, proporciona G (θ)→ θ/2, lo que implica u→ (P0 − pa) t/ρL, que coincidecon la ecuación (3.107) del caso incompresible en el límite τ → 0 (σ → 0).

3.4.8. Conclusiones

En esta lección se han estudiado los transitorios que se producen en el movimiento delíquidos en tubos, teniendo en cuenta los efectos de compresibilidad del líquido y de dilatacióndel tubo, cuando estos son importantes.

El análisis de los transitorios es de gran importancia en instalaciones industriales. En ellas esfrecuente tener un circuito de agua con longitudes típicas del orden del kilómetro y diámetros detubo del orden del metro, por los que circula agua a velocidades del orden de los 5 m/s (tal esel caso de las centrales eléctricas de ciclo combinado). El proceso de arranque de la bomba debehacerse de un modo predeterminado ya que el tiempo asociado a las ondas acústicas y el tiempode arranque (asociado a la inercia de la bomba) son tales que los efectos de compresibilidad sonimportantes. Para evitar sobrepresiones no deseadas se dispone de válvulas cuya ley de aperturay cierre sigue una estrategia previamente diseñada mediante análisis cuyas bases se han estudiadoen esta lección.

El mismo tipo de análisis debe realizarse en el caso de una parada controlada de la bomba.Si la parada es lo sucientemente rápida, se generan depresiones en el circuito que pueden hacercolapsar la tubería. La colocación de válvulas con una ley de cierre determinada mediante elanálisis, permite evitar estas depresiones. Cuando la parada no está controlada (originada por elfallo de la corriente al motor que mueve la bomba), el análisis del problema permite determinarel valor de las depresiones producidas y dotar al circuito de sistemas de prevención (tales comoválvulas antivacío) en las zonas del circuito donde estas depresiones van a producirse.

En las centrales hidroeléctricas se alimenta una turbina hidráulica mediante una tuberíadesde la base de la presa. Un fallo que pueda deteriorar a la turbina, origina el cierre automáticodel distribuidor de la misma para aislar el rotor. Este cierre, si es lo sucientemente rápido,origina un golpe de ariete en el tubo aguas arriba de la turbina. Para evitar que el gasto se anuletan rápidamente y aliviar así el efecto del golpe de ariete, se dispone de válvulas que permitendescargar el agua al exterior sin pasar por la turbina. Estas válvulas se disparan cuando la presiónsobrepasa un valor de calibración. El análisis de transitorios de este tipo, permite determinar laley de apertura de la válvula y el nivel de la presión para que comience a abrirse, de modo quelas sobrepresiones estén dentro de los límites permisibles.

En aplicaciones aeronáuticas también se dispone de circuitos hidráulicos como el del com-bustible o para mover actuadores que, a su vez, accionan los timones y, en general, los distintossistemas de control aerodinámico del avión. En estos sistemas hidráulicos aunque los tiemposde actuación sean, en algunos casos, grandes frente al acústico, el estudio de los transitorios es


básico para asegurar la abilidad del sistema, que debe ser alta. Los transitorios en este tipo deproblemas, además de estar afectados por la apertura y cierre de válvulas, como en el ejemploexpuesto en esta lección, también intervienen las variaciones de carga en los timones, cuya diná-mica hay que incorporar al estudio, o por las variaciones de presión en la cámara de combustiónen el caso del circuito de combustible.

Además de los ejemplos prácticos citados, existe una gran variedad de sistemas donde lasideas expuestas en esta lección son de aplicación directa.

Capítulo 4

Capa límite turbulenta

4.1. Introducción a la capa límite turbulenta bidimensional e in-

compresible

En el movimiento turbulento en tubos hemos visto que existen varias regiones. Una regióncercana a la pared, donde los esfuerzos viscosos y turbulentos son del mismo orden. Esta regióntiene una dimensión característica del orden de ν/u∗ y la velocidad media U es del orden deu∗ denida como u∗ =

√τp/ρ, siendo τp el esfuerzo en la pared. En la zona central del tubo

la velocidad media U diere de la velocidad U0 = Q/A en cantidades del orden de u∗. Esta esla llamada zona del defecto de velocidades. Ambas zonas, la cercana a la pared y la central deltubo, empalman en la región denominada logarítmica donde los esfuerzos turbulentos son losimportantes. Los esfuerzos turbulentos −ρu′v′ son del orden de ρu2

∗ = τp en toda la región.En el caso de una capa límite turbulenta completamente desarrollada en la que u∗∆/ν 1

(donde ∆ es el espesor normalizado de la capa límite, denido más adelante), la estructura delujo es prácticamente similar. En la región cercana a la pared los esfuerzos viscosos y turbulentosson del mismo orden, la longitud característica sigue siendo ν/u∗ y la velocidad media del ordende u∗. Fuera de esta región y de la zona logarítmica, de nuevo se tiene la zona del defecto develocidades, que ocupa una región del orden del espesor de la capa límite ∆, y allí la velocidadmedia U diere de la velocidad exterior Ue en cantidades del orden de u∗.

4.2. Ecuaciones

Las ecuaciones para una capa límite turbulenta, bidimensional e incompresible son

∂U

∂x+∂V

∂y= 0, (4.1)

∂ (UU)

∂x+∂ (UV )

∂y− Ue

dUedx

=∂

∂y

(−u′v′ + ν

∂U

∂y

), (4.2)

donde el término Ue (dUe/dx) representa el gradiente de presiones siendo Ue la velocidad de lacorriente exterior, sólo función de x. Teniendo en cuenta que

UU = U (U − Ue) + UeU ; V U = V (U − Ue) + UeV, (4.3)

y con la ecuación (4.1) de la continuidad, la ecuación (4.2) de la cantidad de movimiento se puedeescribir en la forma

∂

∂x[U (U − Ue)] +

∂

∂y[V (U − Ue)] + (U − Ue)

dUedx

=∂

∂y

(−u′v′ + ν

∂U

∂y

). (4.4)

78

CAPÍTULO 4. CAPA LÍMITE TURBULENTA 79

Multiplicando (4.4) por dy e integrando entre y = 0 (donde U y V son nulas) e y → ∞(donde U = Ue) se obtiene la ecuación integral de Karman

d

dx

ˆ ∞0

[U (U − Ue)] dy +dUedx

ˆ ∞0

(U − Ue) dy = −u2∗, (4.5)

donde ˆ ∞0

(Ue − U) dy = δ∗Ue, (4.6)

y ˆ ∞0

[U (Ue − U)] dy = θU2e , (4.7)

siendo δ∗ el espesor de desplazamiento y θ el de cantidad de movimiento. Por convenienciautilizaremos el espesor normalizado ∆ tal que

u∗∆ = δ∗Ue =

ˆ ∞0

(Ue − U) dy. (4.8)

4.3. Zonas del movimiento

4.3.1. Zona del defecto de velocidades

En la zona del defecto de velocidades, la coordenada transversal es y ∼ ∆, la diferencia develocidades es U − Ue ∼ u∗ Ue y el número de Reynolds u∗∆/ν 1. Todos los términosdel primer miembro de (4.4) son del orden de u∗Ue/L, donde L es la longitud característica a lolargo de la capa límite. El término de los esfuerzos turbulentos es del orden de u2

∗/∆ y el de losviscosos del orden de νu∗/∆2 ya que ∂U/∂y = ∂ (U − Ue) /∂y ∼ u∗/∆.

La relación entre los esfuerzos viscosos y los turbulentos es del orden ν/u∗∆ 1, de modoque los esfuerzos viscosos son despreciables frente a los turbulentos.

La relación entre los términos convectivos y el gradiente de presiones del primer miembroy los esfuerzos turbulentos es del orden de (Ue/u∗) (∆/L), que es el producto de una cantidadgrande por una pequeña. Si la relación anterior fuese mucho menor que la unidad signicaría quelos esfuerzos turbulentos no varían con y. Como fuera de la capa límite son nulos, la soluciónproporcionaría −u′v′ = 0, lo que es una situación imposible. En el caso opuesto, quedaría elprimer miembro de (4.4) igual a cero. Como fuera de la capa la velocidad debe tender a Ue, lasolución sería U = Ue y no existiría la capa límite, al menos en esta región exterior. Es evidente,por tanto, que el límite distinguido es aquel que hace

u∗Ue

∼∆

L 1.

De acuerdo con lo anterior, la velocidad U ≈ Ue en primera aproximación, de modo que dela ecuación de la continuidad se tiene

∂V

∂y= −∂U

∂x≈ −dUe

dx, (4.9)

lo que permite escribir

V ≈ −ydUedx

. (4.10)


Teniendo en cuenta (4.9), (4.10) y que U ≈ Ue, la ecuación (4.4) de la cantidad de movimientose reduce a

Ue∂

∂x(U − Ue) + (U − Ue)

dUedx− ydUe

dx

∂

∂y(U − Ue) =

∂

∂y

(−u′v′

). (4.11)

Esta ecuación es lineal para el defecto de velocidades Ue−U y se denomina ecuación linealizadade la capa límite.

La solución de la ecuación (4.11) puede escribirse en la forma

U = Ue + u∗F( y

∆, x), (4.12)

que no es válida para valores pequeños de y/∆, ya que en ese caso U ya no diere poco de Uecomo se ha supuesto hasta aquí.

4.3.2. Zona cercana a la pared

En la zona cercana a la pared la velocidad U ∼ u∗ y los esfuerzos viscosos y turbulentos

son del mismo orden. Dado que ν (∂U/∂y) ∼ (νu∗/y) y −_____

u′v′ ∼ u2∗, ambos términos son del

mismo orden a distancias de la pared tales que

y+ =u∗y

ν∼ 1 y en esta zona es U+ =

U

u∗∼ 1. (4.13)

Los términos del primer miembro de (4.4) son ahora

∂

∂x[U (U − Ue)] ∼

∂

∂y[V (U − Ue)] ∼

Ueu∗L

, (4.14)

(U − Ue)dUedx

∼U2e

L, (4.15)

de modo que el término más importante es el asociado al gradiente de presiones. Dado que en elsegundo miembro se tiene

∂

∂y

(−u′v′ + ν

∂U

∂y

)∼u2∗y

∼u3∗ν, (4.16)

la relación entre el término del gradiente de presiones y los de los esfuerzos es

U2e

L

ν

u3∗∼(Ueu∗

∆

L

)(Ueu∗

)(ν

u∗∆

), (4.17)

donde el factor del primer paréntesis es de orden unidad, como se vio anteriormente. Los dosúltimos paréntesis representan el producto de un número grande por uno pequeño que, comomás adelante veremos1, se mantiene todavía pequeño. Por lo tanto, con

U2e

L

ν

u3∗∼(Ueu∗

)(ν

u∗∆

) 1, (4.18)

se concluye que el término del gradiente de presiones es también despreciable y la ecuación (4.4)en las proximidades de la pared se reduce a un balance entre los esfuerzos viscosos y turbulentos.

0 =∂

∂y

(−u′v′ + ν

∂U

∂y

), (4.19)

1Más adelante se muestra que Ueu∗

∼ ln(u∗∆ν

), de modo que Ue

u∗ν

u∗∆∼(

νu∗∆

)ln(u∗∆ν

) 1 cuando u∗∆

ν 1.


que integrada una vez proporciona

−_____

u′v′ +ν∂U

∂y=τpρ

= u2∗, (4.20)

o en forma adimensional−u′v′u2∗

+∂ (U/u∗)

∂ (yu∗/ν)= 1. (4.21)

Esta ecuación debe integrarse con las condiciones_____

u′v′ = 0 y U = 0 en y = 0. Utilizando lasvariables adimensionales denidas en (4.13) y llamando G (y+) = −u′v′/u2

∗, la ecuación (4.21) sereduce a

G+∂U+

∂y+= 1. (4.22)

La solución de (4.22) es de la forma

U+ = H (y+) , o bien U = u∗H (y+) . (4.23)

4.3.3. Zona de acoplamiento de ambas soluciones. Región logarítmica

La ecuación (4.11), para valores pequeños de y se reduce a

0 =∂

∂y

(−u′v′

), (4.24)

mientras que (4.19) para valores grandes de y+ también se reduce a la ecuación anterior. Por lotanto, ambas soluciones deben coincidir en una región en la que y/∆ 1 pero y+ 1.

Para que ambas soluciones coincidan es necesario que la derivada de la velocidad con respectoa y obtenida de la solución con el defecto de velocidades

∂U

∂y=u∗∆

∂F

∂ (y/∆), (4.25)

coincida con la derivada de la velocidad con respecto a y obtenida de la solución cercana a lapared

∂U

∂y=u2∗ν

∂H

∂y+, (4.26)

esto esu∗∆

∂F

∂ (y/∆)=u2∗ν

∂H

∂y+. (4.27)

La ecuación (4.27), con η = y/∆, también puede escribirse en la forma

η∂F

∂η= y+

∂H

∂y+. (4.28)

De (4.28) se concluye que

η∂F

∂η=

1

κy también y+

∂H

∂y+=

1

κ, (4.29)

donde κ = 0,41 es la constante universal de Karman.Las soluciones de las ecuaciones (4.29) son

F =1

κln η +A (x) , (4.30)


y

H =1

κln y+ +B. (4.31)

La solución (4.30) es el comportamiento asintótico de la ley del defecto de velocidades paraη = y/∆ 1, mientras que (4.31) es el comportamiento asintótico de la velocidad próximaa la pared cuando y+ = u∗y/ν 1. Esta región se denomina zona logarítmica por la formalogarítmica del perl de velocidades.

En (4.30) hay una función A (x) que aparece como constante de integración cuando se integracon respecto a η. El valor de A (x) depende de la corriente exterior, es decir: del gradiente depresiones de la capa límite. En (4.31) B ≈ 5,3 es una constante, ya que allí la solución sólodepende de y+, donde la dependencia con x entra a través de u∗.

Las ecuaciones (4.30) y (4.31) se han obtenido de la igualdad de las derivadas de la velocidad.Si ahora se impone la condición de igualdad de las velocidades, de (4.12) y (4.23) se obtiene

Ue + u∗

[1

κln η +A (x)

]= u∗

(1

κln y+ +B

), (4.32)

que puede escribirse en la forma

Ueu∗

=1

κln

(u∗∆

ν

)+B −A (x) =

1

κln

(Ueδ

∗

ν

)+B −A (x) , (4.33)

ya que y+/η = u∗∆/ν = Ueδ∗/ν. La relación (4.33) permite calcular el esfuerzo en la pared

(proporcional a u2∗) en función del número de Reynolds Ueδ∗/ν si la función de B − A (x) fuese

conocida2.Obsérvese que esta región logarítmica corresponde a esfuerzo turbulento constante, véase

(4.24), de modo que allí es G = 1.

4.4. Perl de velocidades cerca de la pared

La ecuación (4.19) o su equivalente (4.22) determina la velocidad en las proximidades de lapared. Para valores pequeños de y+ la ecuación (4.22) se reduce a

∂U+

∂y+= 1, (4.34)

lo que proporciona U+ = y+. Esta región es la denominada subcapa laminar. La misma ecuación(4.22) para valores grandes de y+, se reduce a G = 1 (esfuerzo turbulento constante). Paradeterminar la velocidad es necesario conocer la viscosidad turbulenta. Si suponemos que


∂y, (4.35)

con νT = `Tu∗, la ecuación (4.20) toma la forma

(`Tu∗ + ν)∂U

∂y= u2

∗, (4.36)

que puede escribirse en la forma

(1 + `+)∂U+

∂y+= 1, (4.37)

2Obsérvese que la ecuación (33) proporciona Ueu∗

∼ ln(u∗∆ν

)y por lo tanto Ue

u∗ν

u∗∆ 1 cuando u∗∆

ν 1, como

se había adelantado.


siendo `+ = `Tu∗/ν. En general `+ es una función de y+ que tiende a cero cuando y+ → 0 y`+ → κy+ para valores grandes de y+. Esto último se deduce del comportamiento asintótico en lazona logarítmica, ya que para obtener una solución que se comporte como (4.31) es necesario que`+ = κy+. Para valores intermedios de y+ la viscosidad cinemática turbulenta puede escribirseen la forma (véase referencia [1]).

`+ = κy+

(1− e−y+/C

), (4.38)

que tiene el comportamiento asintótico citado anteriormente. La constante C se determina delos resultados experimentales. La distribución de velocidades está dada por

U+ =

ˆ y+

0

dy+[1 + κy+

(1− e−y+/C

)] . (4.39)

Con C = 36,5 se obtienen La ecuación de cantidad de movimiento según y quedalos resultadosmostrados en la gura 4.1.

Figura 4.1: Velocidad en la proximidad de la pared incluyendo la subcapa laminar (hasta y+ ≈ 5),la capa de transición (5 < y+ < 40) y la capa logarítmica (y+ > 40).

El esfuerzo viscoso adimensional es ∂U+/∂y+, mientras que el esfuerzo turbulento adimen-sional es G = `+ (∂U+/∂y+). Ambos esfuerzos se han representado en la gura 4.2.


Figura 4.2: Esfuerzos adimensionales en las proximidades de la pared, hasta la zona logarítmicaincluida.

4.5. Capas límites en equilibrio

Para completar la solución del problema planteado, sería necesario resolver la ecuación linea-lizada de la capa límite, ecuación (4.11). Este es un problema complejo al que habría que añadirun modelo de viscosidad turbulenta adecuado.

Un caso más simple, pero no exento de dicultades, es aquel en el que la solución (4.12)no depende de x por separado, esto es: sólo depende de la combinación y/∆. Estas son lasdenominadas capas límites en equilibrio, en las que la solución (4.12) es de la forma3

U = Ue + u∗F (η) con η =y

∆. (4.40)

Para que esto ocurra, el gradiente de presiones en la corriente exterior debe ser de una formadeterminada, como se vera a continuación.

Sustituyendo (4.40) en (114.11) se obtiene[∆

u2∗

d

dx(Ueu∗)

]F −

[1

u∗

d

dx(Ue∆)

]ηdF

dη=dG

dη, (4.41)

donde G = −_____

u′v′ /u2∗. Es evidente que para que F y G sean sólo funciones de η, es necesario

que los coecientes entre corchetes de (4.41) sean constantes y, por lo tanto, parece que sonnecesarias dos condiciones. Sin embargo, puede verse que sólo es necesaria una condición. Paraello téngase en cuenta que los coecientes de (4.41) pueden escribirse, el de F en la forma

∆

u2∗

d

dx(Ueu∗) = 2

∆

u∗

dUedx

+U2e∆

u2∗

d

dx

(u∗Ue

), (4.42)

3Por la denición de ∆, la función F es tal que´∞

0Fdη = −1.


y el de η (dF/dη) como

1

u∗

d

dx(Ue∆) =

Ueu2∗

d

dx(u∗∆)− U2

e∆

u2∗

d

dx

(u∗Ue

). (4.43)

Para ver el orden de magnitud de los sumandos de los segundos miembros de (4.42) y (4.43)utilizamos la ecuación (4.33)

Ueu∗

=1

κln

(u∗∆

ν

)+B −A, (4.44)

donde ahora A debe ser una constante, que dependerá del gradiente de presiones, pero no de-penderá de x ya que F es sólo función de η. La derivada con respecto a x de la ecuación (4.44)proporciona

d

dx

(u∗Ue

)= − (u∗/Ue)

2

κ(

1 + u∗κUe

) d

dx[ln (Ue∆)] ∼

1

L

(u∗Ue

)2

. (4.45)

Resulta entonces que el segundo sumando de los segundos miembros de (4.42) y (4.43) es delorden de ∆/L, mientras que los primeros sumandos de ambas ecuaciones son del orden de(∆/L) (Ue/u∗), de modo que el segundo sumando, relativo al primero es del orden de u∗/Ue 1,y las ecuaciones (4.42) y (4.43) se simplican a

∆

u2∗

d

dx(Ueu∗) ≈ 2

∆

u∗

dUedx

; y1

u∗

d

dx(Ue∆) ≈

Ueu2∗

d

dx(u∗∆) . (4.46)

Por otro lado, el primer sumando de la ecuación (4.5) de Karman se puede escribir en laforma

−ˆ ∞

0U (U − Ue) dy = −

ˆ ∞0

Ue (U − Ue) dy −ˆ ∞

0(U − Ue)2 dy, (4.47)

esto es

−ˆ ∞

0U (U − Ue) dy = Ueu∗∆−

ˆ ∞0

(U − Ue)2 dy. (4.48)

El primer sumando del segundo miembro es Ueu∗∆, mientras que el segundo sumando del segundomiembro es del orden de u2

∗∆ en la zona exterior (donde U − Ue ∼ u∗ e y ∼ ∆) y del orden deU2e ν/u∗ en la zona interior (donde U ∼ u∗ y por tanto U −Ue ∼ Ue con y ∼ ν/u∗), para la zona

exterior se tiene ´∞0 (U − Ue)2 dy

Ueu∗∆∼u∗Ue 1 (4.49)

y para la zona interior

´∞0 (U − Ue)2 dy

Ueu∗∆∼

U2e ν

Ueu2∗∆

∼(Ueu∗

)(ν

u∗∆

) 1, (4.50)

que es la misma condición dada en (4.18). En consecuencia (4.48) se reduce a

−ˆ ∞

0U (U − Ue) dy ≈ Ueu∗∆, (4.51)

y la ecuación (4.5) de Karman puede escribirse como

d

dx(Ueu∗∆) + u∗∆

dUedx

= u2∗, (4.52)


o bienUeu2∗

d

dx(u∗∆) = 1− 2

∆

u∗

dUedx

. (4.53)

Si llamamos

Π = −∆

u∗

dUedx

, (4.54)

la ecuación (4.53) de Karman queda

Ueu2∗

d

dx(u∗∆) = 1 + 2Π , (4.55)

mientras que (4.46) toma la forma

∆

u2∗

d

dx(Ueu∗) = −2Π ; y

1

u∗

d

dx(Ue∆) = 1 + 2Π . (4.56)

Según lo anterior para que F sea sólo función de η, es necesario que el parámetro Π , que mideel gradiente de presiones, sea constante. Con ello la ecuación (4.41) toma la forma

−2ΠF − (1 + 2Π ) ηdF

dη=dG

dη. (4.57)

Para la integración de (4.57) es necesario relacionar G con F y η (una viscosidad turbulenta).Las condiciones de contorno son

F → 0 y G→ 0 para η →∞, (4.58)

además, la solución debe empalmar con la zona logarítmica, de modo que

ηdF

dη→ 1

κy G→ 1 para η → 0. (4.59)

Mediante la solución de (4.57) se obtiene el valor de la constante A (Π ) de la solución en laregión logarítmica dada en (4.30), cambiando A (x) por A (Π ), esto es

limη→0

F =1

κln η +A (Π ) , (4.60)

lo que proporciona u∗/Ue en función del número de Reynolds y de Π en la forma dada en (4.33)

Ueu∗

=1

κln

(u∗∆

ν

)+B −A (Π ) . (4.61)

En la ecuación (4.61) κ = 0,41, B = 5,3 y A (Π ) depende del gradiente de presiones. Enparticular, el valor correspondiente para Π = 0 es A (0) = 0,62. Los valores de A (Π ), obtenidosa través de la referencia [2], se dan en la gura 4.3.

Conocido el valor de A (Π ), las ecuaciones (4.55) y (4.61) permiten determinar la evolucióncon x de ∆ y u∗.

Ueu2∗

d

dx(u∗∆) = 1 + 2Π ;

Ueu∗

=1

κln

(u∗∆

ν

)+B −A (Π ) .


Figura 4.3: Valor de la constante A en función del parámetro del gradiente de presiones Π.

4.5.1. Capa límite sin gradiente de presiones

Cuando el gradiente de presiones es nulo (Π = 0) la ecuación (4.57) toma la forma

−ηdFdη

=dG

dη. (4.62)

Si suponemos una viscosidad cinemática turbulenta νT = `Tu∗, entonces tendremos

G =`T∆

dF

dη. (4.63)

Figura 4.4: F (η)para el caso de una capa límite sin gradiente de presiones.

Cuando η → 0 sabemos que G = 1 y dF/dη → 1/κη. Por lo tanto `T /∆ debe tender a κηcuando η → 0. En la referencia [1] se muestra que `T /∆ inicialmente es lineal con η, después


alcanza un máximo para decrecer lentamente para valores grandes de η. Vamos a suponer unaviscosidad turbulenta en la forma

`T∆

= C[1− e−κη/C

], (4.64)

cuyo comportamiento para η → 0 es el adecuado (κη) y para η →∞ tiende a la constante C.En la gura 4.4 se muestra el valor de F (η) = (U − Ue) /u∗ obtenido de la integración de la

ecuación (4.62), junto con (4.63) y (4.64) con C = 144 . En la misma gura se ha representado la

solución logarítmica para η → 0 (F → 10,41 lnη + 0,62) y los valores experimentales extraídos de

la referencia [2]. En la gura 4.5 se han representado los esfuerzos turbulentos.

Figura 4.5: Esfuerzo turbulento adimensional desde la capa logarítmica hasta el exterior de lacapa límite.

Para determinar la evolución con x del esfuerzo en la pared (u2∗) y el espesor de la capa límite

∆ se dispone de las ecuaciones (4.55) y (4.61) con Π = 0, que pueden escribirse en la forma

dRe δ∗

dRex=

1(1κ lnRe δ∗ +B −A

)2 , (4.65)

junto conu∗Ue

=1

1κ lnRe δ∗ +B −A

, (4.66)

donde Re δ∗ = Ueδ∗/ν, Rex = Uex/ν y se ha hecho uso de la igualdad Ueδ∗ = u∗∆.

La integración de la ecuación (4.65) con B −A = 4,68 se muestra en la gura 4.6.


Figura 4.6: Reynolds basado en el espesor de desplazamiento, δ∗, en función del Reynolds basadoen la distancia, x, a lo largo de la capa límite.

En la gura 4.7 se muestra el espesor de desplazamiento, referido a x, en función del ReynoldsRex. De acuerdo con la aproximación utilizada en la que la velocidad U diere de Ue en cantidadesdel orden de u∗ Ue, el espesor de desplazamiento, δ∗, y el de cantidad de movimiento, θ, soniguales en primera aproximación, ya que en (4.48) se vio que el segundo sumando del segundomiembro es despreciable frente al primero, y este segundo sumando es el que diferencia a los dosespesores citados.

Figura 4.7: Espesor de desplazamiento en función del Reynolds basado en la distancia x a lolargo de la capa límite.

En la gura 4.8 se ha representado el coeciente de fricción en función del número de ReynoldsUex/ν.


Figura 4.8: Coeciente de fricción en función del Reynolds basado en la distancia x a lo largo dela capa límite.

4.5.1.1. Análisis simplicado

Prandtl observó, con los datos experimentales de que disponía, que el perl de velocidadesen la zona exterior de la capa límite se puede aproximar por la ley potencial de velocidades

U

Ue=(yδ

)1/7para y ≤ δ y

U

Ue= 1 para y > δ. (4.67)

Mediante esta ley de velocidades se puede determinar el espesor de desplazamiento, δ∗, en funcióndel espesor δ

δ∗ =

ˆ ∞0

(1− U

Ue

)dy = δ

ˆ 1

0

(1− ξ1/7

)dξ =

δ

8, (4.68)

y el de cantidad de movimiento, θ, también en función de δ,

θ =

ˆ ∞0

U

Ue

(1− U

Ue

)dy = δ

ˆ 1

0ξ1/7

(1− ξ1/7

)dξ =

7δ

72. (4.69)

Con la solución obtenida anteriormente, mediante las ecuaciones (4.62), (4.63) y (4.64), seha representado la velocidad U/Ue en función de y/δ y el resultado se ha comparado con (67)en la gura 4.9. Se han elegido diferentes secciones a lo largo de la capa límite (distintos valoresde u∗/Ue) caracterizadas por el valor del Reynolds Rex = Uex/ν.

El perl potencial no permite obtener el coeciente de fricción, ya que no es válido cerca dela pared. Mediante la ley logarítmica se obtiene el coeciente de fricción en función del ReynoldsRe δ∗ = Ueδ

∗/ν, véase ecuación (4.66). Como δ∗ = δ/8, la ecuación (664.66) también puedeescribirse en función de Re δ = Ueδ/ν. Siguiendo la sugerencia de Prandtl, estos valores puedenajustarse mediante una ley del tipo

Cf ' aRe−1/6δ . (4.70)

En la gura 4.10 se muestra la comparación entre la correlación anterior (con a ≈ 0,02) y lasolución correspondiente a la ley logarítmica (4.67). Otro tipo de correlaciones pueden verse enla referencia [4].


Figura 4.9: Perles de velocidad U/Ue en función de y/δ en distintas secciones a lo largo de lacapa límite. Comparación con el perl potencial U/Ue = (y/δ)1/7.

Figura 4.10: Correlación del coeciente de fricción, según la ecuación (4.70) con a ≈ 0,02 ,comparado con la solución correspondiente a ley logarítmica, en función del Reynolds Reδ.

Con la ecuación integral de Karman

dθ

dx=

1

2Cf , (4.71)

el perl de velocidades (4.67) y el coeciente de fricción (4.71) se obtiene

7

72

dRe δdRex

=a

2(Re δ)

−1/6 , (4.72)

lo que proporcionaRe δ = (6aRex)6/7 , (4.73)


de modo queCf = a (Re δ)

−1/6 = a (6aRex)−1/7 ≈ 0,027Re−1/7x . (4.74)

En la gura 4.11 se comparan los valores de Cf obtenidos con (4.74) y con la ley logarítmica.

Figura 4.11: Coeciente de fricción, según la ecuación (4.74), comparado con la solución corres-pondiente a la ley logarítmica, en función del Reynolds Rex.

Como puede observarse, este método simple reproduce bien los resultados.

4.6. Referencias

[1] Stephen B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge Univ. Press, 2000.[2] Tennekes, H and J. L. Lumley, A First Course in Turbulence, The MIT Press, Massa-

chusetts, 1972.[3] White, F. M., Mecánica de Fluidos, McGraw-Hill, Madrid, 1979.[4] Schlichting, H., Boundary-Layer Theory, McGraw-Hill, New York, 1987.[5]Wilcox, D. C., Turbulence Modeling for CFD, DCW Industries, La Cañada, Ca., 1993.

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