UNIVERSIDAD DE SONORA - lic.mat.uson.mxlic.mat.uson.mx/tesis/028_Tesis_Carolina_Espinoza.pdf · Carolina Espinoza Villalva Directora de Tesis: ... a los profesores Eduardo Tellechea,

UNIVERSIDAD DE SONORA

Division de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Matematicas

Teoremas de Estructura y Factorizacion para Funciones

Holomorfas en el Disco Unitario

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciada en Matematicas

Presenta:

Carolina Espinoza Villalva

Directora de Tesis: Dra. Martha Dolores Guzman Partida

Hermosillo, Sonora, Mexico, 22 de Junio de 2011

ii

SINODALES

Dra. Martha Dolores Guzman PartidaUniversidad de Sonora.

Dr. Jesus Adolfo Minjarez SosaUniversidad de Sonora.

M.C. Marysol Navarro BurruelUniversidad de Sonora.

Dr. Jorge Rivera NoriegaUniversidad Autonoma del Estado de Morelos.

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Dedicatoria

A Dios, eres la principal razonpor la que estoy aquı.

A mis padres, Ana Berta y Salvador, que

han sabido llevarme por el camino correcto.

A Abel, por que me has acompanado siempre.

A mis hermanos, Salvador, Ana Karina y Roman.

v

vi

Agradecimientos

Faltan palabras, tiempo y espacio para agradecer a todas las personas que hanhecho posible la realizacion de este trabajo. Empezare por el mas importante, Dios,nunca me has dejado sola Senor y es gracias a ti que he logrado todo esto.

Agradezco profundamente a mi mama, por todo su amor, comprension y apoyo,jamas lograre pagar lo que ha hecho por mi madre. A mi padre, que en su silenciosiempre me ha demostrado lo orgulloso que esta de mi y de su familia. Confieso quesiempre he sentido un gran orgullo por ustedes y una profunda admiracion. A mihermano Salvador y mi hermanito Roman, gracias por tu apoyo nino. Karina, deboagradecer tus palabras de aliento y la ayuda que siempre he recibido de ti.

Abel, no tengo palabras para expresar lo agradecida que estoy contigo, hemoscrecido juntos y siempre has estado a mi lado, agradezco a Dios que te pusiera en micamino.

No puedo dejar de mencionar a mis amigos y companeros en especial Yury, Azu-cena, Felipe, Luis y Marla. Luis, gracias por toda la ayuda, se que lograras lo que tepropongas. Marla, siempre estuviste ahı para escucharme, me has apoyado academicay personalmente, eres parte de mi familia.

A mi Directora de Tesis, tutora y profesora, Dra. Martha Guzman. Gracias porguiarme en este camino, por mostrarme la belleza del Analisis Matematico y por todoel tiempo dedicado no solo a la preparacion y revision de este trabajo, sino por sus

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viii

excelentes clases y el apoyo brindado durante la Licenciatura. Ha sido una bendicionpara mi conocerla y un gran honor trabajar con usted. Siento una gran admiracion ycarino por usted.

Muchas gracias a mis sinodales, Dr. Jesus Adolfo Minjarez Sosa, M.C. MarysolNavarro Burruel y Dr. Jorge Rivera Noriega por el tiempo dedicado a la revision deesta tesis.

A los profesores del Departamento de Matematicas, en particular, quiero agradecera los profesores Eduardo Tellechea, Silvia Ibarra, Carlos Robles, Teresa Robles y denuevo a Adolfo Minjarez y Marysol Navarro por sus ensenanzas y calidad humana.

Por ultimo, agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologıa por el apoyorecibido para la realizacion de esta tesis como becaria del proyecto “Mecanismos dePromedios en Sistemas de Evolucion Clasicos y Cuanticos” (Ref. no. 55463).

Carolina Espinoza VillalvaHermosillo, Sonora

Junio de 2011

Indice general

Introduccion 3

1. Funciones Subarmonicas 7

1.1. El Principio del Maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Algunas Funciones Subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3. Espacios de Hardy Hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Teorema de Factorizacion de F. Riesz 31

2.1. La Funcion Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2. Teorema de Factorizacion de F. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3. Algunas Desigualdades Clasicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. La Funcion Conjugada 61

3.1. La Desigualdad de Marcel Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2. El Operador Funcion Conjugada en L1([−π, π]) . . . . . . . . . . . . . 67

3.3. El Operador Funcion Conjugada como Integral Singular . . . . . . . . 78

1

2 INDICE GENERAL

4. Hp como Espacio Lineal 85

4.1. El Dual de Hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2. Teorema de Factorizacion Canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Conclusiones 113

Apendice 115

Bibliografıa 139

Introduccion

La teorıa de los espacios de Hardy Hp tiene sus orıgenes en los descubrimientoshechos hace 80 o 90 anos por grandes matematicos como G.H. Hardy, J.E. Littlewood,I.I. Privalov, los hermanos Riesz, V. Smirnov y G. Szego, por citar solo algunos. Lamayorıa de los resultados presentados en ese entonces, corresponden a las propiedadesde las funciones que constituyen dichos espacios.

La historia comienza cuando en 1915, Hardy publica el artıculo The mean value ofthe modulus of an analytic function, en el cual demuestra su Teorema de Convexidad.En 1923, F. Riesz introduce la clase de funciones Hp, usando la letra H en honora Godfrey Harold Hardy. Despues de probar su Teorema de Factorizacion, F. Rieszestuvo en condiciones de demostrar que toda funcion F ∈ Hp tiene lımites radialescasi en todas partes y que log |F (eit)| pertenece a L1 a menos que F (z) ≡ 0. Fue hastafinales de los anos 40’s que los espacios de Hardy fueron tratados como espacios deBanach, gracias al trabajo realizado por A. E. Taylor en el artıculo New proofs of sometheorems of Hardy by Banach space methods. El Teorema de Factorizacion Canonicapresentado en este trabajo, se debe a V. Smirnov y fue A. Beurling quien acuno losterminos funcion interior y funcion exterior para las funciones que satisfacen ciertascondiciones en la factorizacion dada por el Teorema de Factorizacion Canonica.

Los poderosos metodos de la variable compleja han sido de gran importanciaen el desarrollo de esta teorıa, sin embargo, el estudio de los espacios de Hardy no

3

4 Introduccion

se ha reducido solo al disco unitario del plano complejo, tambien se han definidoestos espacios para el semiplano superior y posteriormente, se logro extender Hp alsemiespacio superior Rn+1

+ , utilizando en este caso tecnicas de variable real. Es enefecto, la variable compleja, algunos resultados estandares de Teorıa de la Medida ydel Analisis Funcional, la herramienta utilizada para desarrollar los temas presentadosen este trabajo.

Existen varias formas de abordar el estudio de los espacios de Hardy, en estecaso, nos enfocaremos a los espacios Hp definidos en el disco unitario. El texto constade cuatro capıtulos organizados de la siguiente manera: en el Capıtulo 1 definimosa las funciones subarmonicas y demostramos algunos resultados sobre este tipo defunciones, tales como el Principio del Maximo. Posteriormente, introducimos a losespacios Hp y presentamos propiedades basicas de las funciones que pertencen aestos espacios.

En el Capıtulo 2, caracterizamos a las funciones en Hp, para 1 < p ≤ ∞, como lasintegrales de Poisson de funciones en Lp([−π, π]) con coeficientes de Fourier cero parafrecuencias negativas. En este Capıtulo tambien examinamos el comportamiento en lafrontera de las funciones en Hp y probamos el Teorema de Factorizacion de F. Riesz,el cual nos permite demostrar que toda funcion en Hp tiene lımites radiales casi entodas partes. Obtuvimos tambien la representacion de Poisson y de Cauchy para lasfunciones en Hp con p ≥ 1, y como aplicacion de esta representacion demostramos elfamoso Teorema de los hermanos Frigyes y Marcel Riesz.

En el tercer Capıtulo definimos al operador funcion conjugada y como consecuen-cia de la Desigualdad de Marcel Riesz, obtenemos que dicho operador es continuo enLp([−π, π]) siempre que 1 < p <∞. Estudiamos tambien el comportamiento de esteoperador en L1([−π, π]) y observamos que es posible identificar a Hp para p ≥ 1, conun subespacio cerrado de Lp([−π, π]). Finalizamos este Capıtulo, comentando comodefinir al operador funcion conjugada como una integral singular.

En el ultimo Capıtulo estudiamos algunas propiedades de Hp como espacio vec-torial topologico y calculamos su espacio dual cuando 1 < p <∞. Para finalizar esteCapıtulo, demostramos un Teorema de Factorizacion Canonica, el cual nos permiteconstruir conjuntos densos en Hp.

Aunque la notacion utilizada en el desarrollo de esta teorıa es en general estandar,es importante mencionar ciertos detalles para que la lectura de este trabajo sea clara ysencilla. Usaremos las palabras region y dominio para designar a un conjunto abiertoy conexo, escribiremos P (f) para referirnos a la integral de Posisson de la funcionf ∈ Lp([−π, π]). Denotaremos por Σn−1 a la esfera unitaria en Rn y por |Σn−1| a sumedida de Lebesgue. En ocasiones escribiremos D para referirnos al disco unitario en

Introduccion 5

el plano complejo.

Con el objetivo de complementar la informacion presentada en el cuerpo de estetrabajo, se incluye un apendice sobre funciones armonicas y con el fin de que el lectorpueda, si ası lo desea, profundizar mas sobre los topicos desarrollados en el texto,hemos incluıdo una Bibliografıa basica sobre estos temas.

6 Introduccion

1Capıtulo

Funciones Subarmonicas

En esta seccion estudiaremos las propiedades de las funciones subarmonicas yconstruiremos algunos ejemplos de ellas. Estas funciones nos permitiran definir losespacios de Hardy en el disco unitario y presentar algunos resultados sobre los ele-mentos que constituyen a estos espacios.

Definicion 1.1. Sea Ω ⊂ Rn un conjunto abierto y sea v : Ω → [−∞,∞) unafuncion. Diremos que v es semicontinua superiormente en el conjunto Ω si para todoα ∈ R, el conjunto x ∈ Ω : v(x) < α es abierto.

Puede verse facilmente que la definicion anterior es equivalente a la siguienteafirmacion: para cada x0 ∈ Ω y para cada ε > 0 existe una vecindad U de x0 tal quev(x) < v(x0) + ε para todo x ∈ U .

Tambien se puede mostrar que una funcion v es semicontinua superiormente enΩ si y solo si para todo x0 ∈ Ω se tiene que

lım supx→x0

v(x) ≤ v(x0).

Es importante notar que al igual que en el caso de la continuidad, la semicon-tinuidad es una propiedad puntual. Cuando la condicion anterior se verifica para unpunto x0 ∈ Ω, decimos que v es semicontinua superiormente en x0. Es claro que to-da funcion continua es semicontinua superiormente. Si A es cerrado, tambien χA es

7

8 Funciones Subarmonicas

semicontinua superiormente. En ocasiones, escribiremos v es s.c.s. en lugar de v essemicontinua superiormente.

Definamos ahora a las funciones subarmonicas.

Definicion 1.2. Sea v una funcion definida en un conjunto Ω ⊂ Rn con valores en[−∞,∞). Decimos que v es subarmonica en Ω si se satisfacen las siguientes condi-ciones:

i) v es semicontinua superiormente en Ω

ii) ∀x0 ∈ Ω ∃r(x0) tal que Br(x0)(x0) ⊂ Ω y ∀0 < r < r(x0) se verifica

v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ

Observacion 1.3. Si v : Ω → [−∞,∞) es semicontinua superiormente, entoncespara todo K ⊂ Ω compacto existe MK ∈ R tal que v(x) ≤MK ∀x ∈ K.

En efecto, sea Kj = x ∈ K : v(x) ≥ j con j ∈ N. Claramente Kj es cerrado,pues v es semicontinua superiormente y como K es compacto, se sigue que Kj escompacto para toda j ∈ N. Ademas Kj+1 ⊂ Kj ∀j ∈ N.

Dado que∞⋂j=1

Kj = x ∈ K : v(x) = +∞ = ∅

se sigue que Kj = ∅ para algun j ∈ N, es decir, v(x) < j para todo x ∈ K.

Gracias a la observacion anterior, es posible asignar un significado a las integralesque aparecen en la Definicion 1.2. Cada una de estas integrales esta definida como laintegral de la parte positiva de la funcion v(x0 + rσ) menos la integral de la partenegativa de dicha funcion. Esta integral tiene sentido, pues la integral de la partepositiva es finita, ya que es la integral de una funcion acotada en una conjunto demedida finita. En vista de lo anterior, las integrales en la Definicion 1.2 pueden serun numero real o −∞. Mas tarde mostraremos que ninguna de estas integrales puedeser −∞ a menos que v sea identicamente igual a −∞ y por tanto, v es integrablesobre la esfera.

Observacion 1.4. Si v es subarmonica, la Definicion 1.2 y el Lema de Fatou implicanque lım sup

x→x0x∈Ω

v(x) ≥ v(x0). Por consiguiente

lım supx→x0x∈Ω

v(x) = v(x0).

Funciones Subarmonicas 9

Daremos ahora una caracterizacion bastante util para la semicontinuidad superior.

Proposicion 1.5. La funcion v es semicontinua superiormente en Ω si y solo si paratodo subconjunto compacto K ⊂ Ω, v es el lımite en K de una sucesion decrecientede funciones continuas.

Demostracion. (⇐) Observemos primero que si v = ınfα∈Λ

vα donde cada vα es semi-

continua superiormente, entonces v es semicontinua superiormente, pues ∀β ∈ R elconjunto x ∈ Ω : v(x) < β =

⋃α∈Λx ∈ Ω : vα(x) < β es abierto en Ω.

Si v|K = lım vn donde vn ↓ v y cada vn es continua, entonces v = ınfn∈N

vn.

Como cada vn es semicontinua superiormente en K, v tambien lo es. Luego, v essemicontinua superiormente en todo compacto K de Ω, por tanto v es semicontinuaen Ω.

(⇒) Sea K ⊂ Ω compacto y sea ε > 0 suficientemente pequeno de tal modo queK este cubierto por una coleccion finita de bolas

Bε(x

(ε)j )nj=1

con x(ε)j ∈ K ∀j =

1, . . . , n.

Seaφ

(ε)j

nj=1

una particion de la unidad sobre K subordinada al cubrimientoBε(x

(ε)j )nj=1

, esto es ∀j ∈ N:

i) φ(ε)j : Ω→ [0, 1] es continua y con soporte compacto.

ii) sop φ(ε)j ⊂ Bε(x

(ε)j ).

iii)n∑j=1

φ(ε)j (x) = 1 ∀x ∈ K.

Sea m(ε)j = supv(ξ) : ξ ∈ Bε(x(ε)

j ) y consideremos la funcion continua

ψ(ε)(x) =n∑j=1

m(ε)j φ

(ε)j (x) ∀x ∈ K.

Consideremos una sucesion (εn)∞n=1 tal que εn ↓ 0 y construyamos sus correspon-dientes funciones ψ1, ψ2, . . ..

Ahora definamos u1 = ψ1, u2 = mınψ2, u1, . . . , uj = mınψj , uj−1, . . .. Ob-servemos que cada uj es continua y ademas u1 ≥ u2 ≥ · · · . Mostraremos que ∀x ∈ Kv(x) = lım

n→∞un(x).


Notemos primero que ψp ≥ v(x) ∀p ∈ N y ∀x ∈ K, pues si Jp es el conjunto deındices j tales que x ∈ Bεp(x

(εp)j ) entonces

ψp − v(x) =n∑j=1

(m(εp)j − v(x))φ(εp)

j (x)

=∑j∈Jp


j (x) +∑j /∈Jp


j (x)

=∑j∈Jp


j (x)

≥ 0

pues sop φ(εp)j ⊂ Bεp(x

(εp)j ) y v(x) ≤ m

(εp)j = supv(ξ) : ξ ∈ Bεp(x

(εp)j ). Se sigue

de los comentarios anteriores que un(x) − v(x) ≥ 0 ∀x ∈ K y ∀n ∈ N, lo cual puedeprobarse por induccion.

Ahora, como mınmına, b, c = mına, b, c, tenemos que

uq(x)− v(x) = mın1≤p≤q

ψp(x)− v(x) ≤ ψq(x)− v(x) =∑j∈Jq

(m(εq)j − v(x))φ(εq)

j (x).

Como v(x) es s.c.s., dado ε > 0 ∃U vecindad de x tal que v(t) < v(x) + ε ∀t ∈U . Ası podemos elegir n0 de forma que 2εn0 < d(x, ∂U), en consecuencia ∀q ≥ n0

tendremos que Bεq(x(εq)j ) ⊂ U y

m(εq)j − v(x) = supv(ξ) : ξ ∈ Bεq(x

(εq)j ) − v(x) ≤ v(x) + ε− v(x) = ε ∀j

lo cual implica que ∀q ≥ n0

uq(x)− v(x) ≤ ε∑j∈Jq

φ(εq)j (x) ≤ ε

n∑j=1

φ(εq)j (x) = ε.

Concluimos que v(x) = lımn→∞

un(x).

1.1. El Principio del Maximo

Sabemos que toda funcion armonica es continua en su dominio de armonicidad,ademas estas funciones se caracterizan por satisfacer la Propiedad del Valor Medio,por consiguiente toda funcion armonica con valores reales es subarmonica. Comoconsecuencia de la Propiedad del Valor medio, se puede establecer el Principio del

1.1 El Principio del Maximo 11

Maximo para funciones armonicas el cual nos permite demostrar la unicidad de lasolucion al problema clasico de Dirichlet en dominios acotados de Rn. Curiosamente,este mismo principio se satisface para funciones subarmonicas y lo unico que necesi-tamos para demostrarlo, es la desigualdad que aparece en la Definicion 1.2.

Teorema 1.6 (Principio del Maximo). Sea v una funcion subarmonica en la regionΩ ⊂ Rn. Entonces v no puede alcanzar su valor maximo en Ω a menos que v seaconstante.

Demostracion. Supongamos que ∃ξ ∈ Ω tal que v(ξ) = supv(x) : x ∈ Ω = m y seaA = x ∈ Ω : v(x) = m. Notese que A 6= ∅ pues ξ ∈ A, aun mas, A es cerrado puesla semicontinuidad superior de v implica que el conjunto Ω\A = x ∈ Ω : v(x) < mes abierto.

Tambien A es abierto, pues si x0 ∈ A, existe r0 > 0 tal que Br0(x0) ⊂ Ω, mas aunBr0(x0) ⊂ A:

Si existiera y ∈ Br0(x0) ∩ (Ω\A), necesariamente v(y) < m. Como v es semicon-tinua superiormente en y, para ε = m − v(y) > 0 sabemos que existe δ > 0 tal queBδ(y) ⊂ Br0(x0) y ∀z ∈ Bδ(y) se satisface que

v(z) < v(y) + ε = m.

Tomemos ahora r′ < r0 de tal forma que Br′(x) ∩Bδ(y) 6= ∅, entonces

m = v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + r′σ)dσ < m

lo cual es absurdo. Por lo anterior debe cumplirse que Br0(x0) ⊂ A.

Tenemos entonces que A 6= ∅ es abierto y cerrado en Ω y como Ω es conexo,concluimos que A = Ω, es decir v es constante.

Como consecuencia del Principio del Maximo obtenemos el siguiente

Corolario 1.7. Sea Ω un dominio acotado en Rn y sea v : Ω → [−∞,∞) s.c.s. enΩ y subarmonica en Ω. Entonces v tiene un maximo en Ω y lo alcanza en ∂Ω (y soloen ∂Ω si v no es constante).

Demostracion. Como Ω es compacto, sabemos que v es acotada superiormente en Ω;sea M = sup

ξ∈Ω

v(x), entonces ∃x0 ∈ Ω tal que v(x0) = M . Si no fuese ası, para todo

x ∈ Ω tendrıamos v(x) < M . Luego para cada x ∈ Ω ∃tx ∈ R tal que v(x) < tx < M .


Sea εx = tx − v(x) > 0, entonces existe Ux vecindad de x tal que

v(z) < v(x) + εx = tx ∀z ∈ Ux

Como el conjunto Ω es compacto, existe un numero finito de puntos x1, x2, . . . , xktales que Ω ⊂

⋃ki=1 Uxi , y ası ∀x ∈ Ω

v(x) < max1≤i≤k

txi < M

lo cual contradice que M es el supremo de v(x) : x ∈ Ω. Por tanto, existe un puntox0 ∈ Ω donde v alcanza su valor maximo.

Si v es constante ya terminamos, si no, el Teorema 1.6 asegura que x0 /∈ Ω yası x0 ∈ Ω\Ω = ∂Ω.

Utilizaremos el Principio del Maximo para establecer una caracterizacion para lasfunciones subarmonicas, la cual representa una mejor justificacion para el nombreque reciben dichas funciones. Durante la prueba de este Teorema, utilizaremos unatecnica a la cual recurriremos varias veces en resultados subsiguientes.

Teorema 1.8. Sea v : Ω → [−∞,∞) semicontinua superiormente en el conjuntoabierto Ω. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:

i) v es subarmonica.

ii) Para todo conjunto abierto y acotado G tal que G ⊂ Ω y toda funcion u convalores en R, continua en G, armonica en G tal que v(x) ≤ u(x)∀x ∈ ∂G, setiene que v(x) ≤ u(x)∀x ∈ G.

Demostracion. i) ⇒ ii) Haremos la prueba por casos. Supongamos que v es sub-armonica en Ω y que u satisface las hipotesis de ii):

Caso 1: Si G es conexo, entonces la funcion v − u es s.c.s. en G, subarmonica enG y (v − u)(x) ≤ 0 para todo x ∈ ∂G. Se sigue del Corolario 1.7 que

(v − u)(x) ≤ 0 ∀x ∈ G.

Caso 2: Si G es disconexo, consideremos Gii∈I las componentes conexas de G,las cuales forman una particion de G en subconjuntos conexos maximales y ademas∂G =

⋃i∈I ∂Gi.

Luego, v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ ∂Gi y para todo i ∈ I. Por el caso anterior, tenemos quev(x) ≤ u(x) ∀x ∈ Gi y para todo i ∈ I. Por tanto v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ G.


ii) ⇒ i) Supongamos que ii) es valido. Sea x0 ∈ Ω y r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω.Probaremos que

v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ.

Como v es semicontinua superiormente en Ω y ∂Br(x0) es compacto, existe unasucesion de funciones continuas (uj)∞j=1 que converge a v en ∂Br(x0).

Consideremos a la solucion al problema de Dirichlet en Br(x0) con funcion fronterauj , la cual denotaremos tambien por uj para aligerar la notacion. Dicha funcion escontinua en la Br(x0) y armonica en Br(x0).

Como v(x) ≤ uj(x) ∀x ∈ ∂Br(x0) y para toda j ∈ N, se sigue de ii) que

v(x) ≤ uj(x) ≤ uj(x) ∀x ∈ Br(x0) ∀j ∈ N.

Observemos tambien que como uj+1 es subarmonica ∀j ∈ N y uj+1(x) ≤ uj(x)∀x ∈ Br(x0), podemos usar que i)⇒ ii)para obtener

uj+1(x) ≤ uj(x) ∀x ∈ Br(x0) ∀j ∈ N.

Aplicando el Teorema de Convergencia Monotona obtenemos

v(x0) ≤ lımj→∞

uj(x0) = lımj→∞

1|Σn−1|

∫|Σn−1|

uj(x0 + rσ)dσ

=1

|Σn−1|

∫|Σn−1|

lımj→∞

uj(x0 + rσ)dσ

=∫

|Σn−1|

v(x0 + rσ)dσ.

Como v es semicontinua superiormente en Ω, lo anterior implica que v es sub-armonica en Ω.

Observacion 1.9. Notese que en la demostracion anterior, probamos que si v essubarmonica en Ω, entonces

v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ

se verifica cuando Br(x0) ⊂ Ω. Esto es mas fuerte que lo supuesto en la Definicion1.2, donde la desigualdad se verifica para radios r < r(x0) suficientemente pequenosdependiendo del punto x0 ∈ Ω.


La caracterizacion obtenida en la Proposicion 1.5 nos proporciona tecnicas muyutiles para trabajar con funciones subarmonicas.

Proposicion 1.10. Sea v una funcion subarmonica en el dominio Ω ⊂ Rn y supon-gamos que v no es identicamente igual a −∞. Entonces si Br(x0) ⊂ Ω tenemos

1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ > −∞

Demostracion. Sea

A =

x ∈ Ω :1

|Σn−1|

∫Σn−1

v(x+ rσ)dσ = −∞ para algun r > 0 tal que Br(x) ⊂ Ω

Veremos que A = ∅.

Observemos que si x0 ∈ Ω y Br(x0) ⊂ Ω, podemos encontrar una sucesion defunciones continuas (uj)∞j=1 que converge a v en ∂Br(x0).

Consideremos de nuevo a uj extendida como funcion armonica en Br(x0), continuaen Br(x0). Luego ∀x ∈ Rn tal que ||x|| < 1 se tiene

v(x0 + rx) ≤ lımj→∞

uj(x0 + rx)

= lımj→∞

1|Σn−1|

∫Σn−1

P (x, s)uj(x0 + rs)ds

=1

|Σn−1|

∫Σn−1

P (x, s) lımj→∞

uj(x0 + rs)ds

=1

|Σn−1|

∫Σn−1

P (x, s)v(x0 + rs)ds

donde P (x, s) es el nucleo de Poisson y la segunda desigualdad se sigue del Teoremade Convergencia Monotona.

Ahora, si x0 ∈ A, entonces existe r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω y

1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ = −∞.

Luego si Mx = sups∈Σn−1

P (x, s) tenemos∫Σn−1

P (x, s)v(x0 + rs)ds ≤Mx

∫Σn−1

v(x0 + rs)ds = Mx(−∞) = −∞.


De los comentarios anteriores se sigue que v(y) = −∞ ∀y ∈ Br(x0). Tomandoρ > 0 de tal forma que Bρ(y) ⊂ Br(x0) se tiene

1|Σn−1|

∫Σn−1

v(y + ρs)ds = −∞.

Ası Br(x0) ⊂ A y A es abierto en Ω.

Tambien Ω\A es abierto en Ω, pues si x0 ∈ Ω\A y Br(x0) ⊂ Ω entonces A ∩Br(x0) = ∅. Si no, ∃y ∈ A ∩Br(x0) y ∃δ > 0 tal que∫

Σn−1

v(y + δσ)dσ = −∞.

Igual que antes obtenemos que v(z) = −∞ ∀z ∈ Bδ(y). Podemos tomar 0 < r′ < r

de tal forma que v(x0 + r′σ) = −∞ donde σ pertenece a un conjunto abierto I ⊂Σr′(x0). Luego ∫

Σn−1

v(x0 + r′σ)dσ =∫

Σr′ (x0)\I

vdσ +∫I

vdσ = −∞

y por tanto, x0 ∈ A, lo cual es imposible pues x0 ∈ Ω\A. Ası Br(x0) debe estarcontenido en Ω\A. Puesto que x0 ∈ Ω\A era arbitrario, hemos probado que Ω\A esabierto y por tanto A es cerrado en Ω.

Como Ω es conexo, se sigue que A = Ω o A = ∅. Si A = Ω, tendrıamos que paratodo x ∈ Ω ∃ r > 0 tal que

∫Σn−1

v(x + rσ)dσ = −∞, e igual que antes, obtenemosque v(z) = −∞ ∀z ∈ Br(x). Lo anterior, implica que v(z) = −∞ ∀z ∈ Ω, lo cual noes posible por hipotesis.

Por lo expuesto hasta aquı, debe pasar que A = ∅, es decir, si Br(x) ⊂ Ω entonces∫Σn−1

v(x+ rσ)dσ > −∞

Con el resultado anterior, quedo demostrado el comentario que hacıamos en laObservacion 1.3 sobre la integrabilidad de v sobre la esfera. La siguiente proposicionasegura que la integral de una funcion subarmonica en esferas de radio r es crecientecon respecto a r.


Proposicion 1.11. Sea v una funcion subarmonica en BR(0) ⊂ Rn. Entonces lafuncion

m(r) =1

|Σn−1|

∫Σn−1

v(rσ)dσ

es una funcion creciente en el intervalo [0,R).

Demostracion. Sean r1, r2 ∈ [0, R) tales que r1 < r2. Como v es semicontinuasuperiormente en BR(0) sabemos que existe una sucesion de funciones continuasu1 ≥ u2 ≥ ... que converge a v en ∂Br2(0).

Para cada j denotemos tambien por uj a la solucion al problema de Dirichlet enBr2(0) con dato uj , la cual es una funcion continua en Br2(0) y armonica en Br2(0).

Entoncesm(r1) =

1|Σn−1|

∫Σn−1

v(r1σ)dσ

≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

uj(r1σ)dσ

= uj(0)

=1

|Σn−1|

∫Σn−1

uj(r2σ)dσ.

Haciendo j →∞ y usando el Teorema de Convergencia Monotona obtenemos:

m(r1) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(r2σ)dσ = m(r2)

Observacion 1.12. En la definicion 1.2 es posible sustituir la condicion ii) por:ii)’ Para cada x0 ∈ Ω y cada r > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω se tiene que

v(x0) ≤ 1|Br(x0)|

∫Br(x0)

v(x)dx.

En efecto: supongamos que ii) se satisface, entonces ∀s ∈ (0, r]

v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + sσ)dσ.


Multiplicando ambos lados por sn−1 e integrando de cero a r con respecto a s

obtenemosrn

nv(x0) ≤ 1

|Σn−1|

r∫0

sn−1

∫Σn−1

v(x0 + sσ)dσds,

lo cual implica

v(x0) ≤ n

rn|Σn−1|

∫Br(x0)

v(x)dx =1

|Br(x0)|

∫Br(x0)

v(x)dx.

Recıprocamente, si ii)’ se cumple, entonces para cualquier abierto G ⊂ Ω tal queG ⊂ Ω y cualquier x0 ∈ G, existe r(x0) > 0 tal que Br(x0)(x0) ⊂ Ω y ∀ 0 < r < r(x0)se verifica

v(x0) ≤ 1|Br(x0)|

∫Br(x0)

v(x)dx.

Con la condicion anterior, es posible mostrar de la misma forma que en el Teorema1.6 y el Corolario 1.7 que v satisface el Principio del Maximo.

Ahora si G ⊂ Ω es un conjunto abierto y acotado tal que G ⊂ Ω y u : G → R esuna funcion continua en G, armonica en G tal que v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ ∂G, quisieramosmostrar que v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ G.

Si v es constante en G, por el Principio del Mınimo para funciones armonicastendremos que v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ G.

Si v no es constante en G, entonces v − u solo puede alcanzar su maximo en lafrontera de G. Ası, existe y0 ∈ ∂G tal que (v − u)(y0) = max

x∈G(v − u)(x), lo cual

implica que (v − u)(x) ≤ (v − u)(y0) ≤ 0 ∀x ∈ G. Por lo anterior tenemos quev(x) ≤ u(x) ∀x ∈ G.

De esta manera, v satisface b) del Teorema 1.8 por lo cual v es una funcionsubarmonica y se satisface ii).

Proposicion 1.13. Sea v una funcion continua no negativa en un conjunto abiertoΩ tal que v es de clase C2 en el abierto Ω0 = x ∈ Ω : v(x) > 0. Supongamostambien que ∆v ≥ 0 sobre Ω0. Entonces v es subarmonica en todo Ω.

Demostracion. Sea ξ0 ∈ Ω0 y r > 0 tal que Br(ξ0) ∈ Ω0. Para s ∈ [0, r] definamos lafuncion

f(s) =1

|Σn−1|

∫Σn−1

v(ξ0 + sσ)dσ


la cual es diferenciable en [0, r] y ademas es creciente en [0, r] pues ∀s ∈ [0, r]

f ′(s) =1

|Σn−1|sn−1

∫Bs(ξ0)

∆v ≥ 0.

Luego

v(ξ0) = f(0) ≤ f(r) =1

|Σn−1|

∫Σn−1

v(ξ0 + rσ)dσ.

Como tomamos ξ0 ∈ Ω0 arbitrario y v es s.c.s. en Ω0 hemos probado que v essubarmonica en Ω0.

Solo falta considerar los puntos x0 ∈ Ω donde v(x0) = 0. Sea x0 ∈ Ω\Ω0 y sear > 0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Deseamos mostrar que ∀r′ ∈ (0, r)

v(x0) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + r′σ)dσ. (1.1)

Sea u una funcion armonica en Br′(x0), con r′ ∈ (0, r), que coincide con v en ∂Br′(x0).Para demostrar (1.1) es suficiente probar que v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ Br′(x0), pues de serası, tendremos que

v(x0) ≤ u(x0) =1

|Σn−1|

∫Σn−1

u(x0 + r′σ)dσ =1

|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + r′σ)dσ.

Supongamos que v(x1)− u(x1) > 0 para algun x1 ∈ Br′(x0) y sea

M = maxv(x)− u(x) : x ∈ Br′(x0) > 0.

Sea A = x ∈ Br′(x0) : v(x)− u(x) = M. Notemos que A es un subconjunto deΩ0 pues si x ∈ A, entonces v(x) = u(x) + M ≥ M > 0. Ademas, como v − u es unafuncion continua tenemos que A es un subconjunto cerrado y no vacıo de Br′(x0).

Tambien A es abierto en Br′(x0), pues si x ∈ A entonces x ∈ Br′(x0)∩Ω0. ComoBr′(x0)∩Ω0 es un conjunto abierto, ∃ρ > 0 tal que Bρ(x) ⊂ Br′(x0)∩Ω0. Puesto quev − u es subarmonica en Br′(x0) ∩ Ω0 sabemos que ∀s ∈ (0, ρ)

M = v(x)− u(x) ≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

(v − u)(x+ sσ)dσ ≤M

lo cual implica que v− u = M en Bρ(x0) y ası Bρ(x0) ⊂ A. Como A 6= ∅ es abierto ycerrado en Br′(x0), se sigue que A = Br′(x0). En particular, para x0 tendrıamos que

M = v(x0)− u(x0) = −u(x0) ≤ 0

lo cual es absurdo pues M > 0. Ası v(x) ≤ u(x) ∀x ∈ Br′(x0) y v es subarmonica.

1.2 Algunas Funciones Subarmonicas 19

1.2. Algunas Funciones Subarmonicas

En esta seccion demostraremos algunos resultados que nos permitiran construirun ejemplo de una funcion subarmonica, la cual nos sera de gran utilidad para iniciarcon el estudio de los espacios Hp.

Teorema 1.14. Sea v una funcion subarmonica en Ω y sea Φ una funcion crecientey convexa en R. Entonces la funcion Φ v tambien es una funcion subarmonica(Debemos definir Φ(−∞) de forma que Φ sea continua y ası la composicion siempretenga sentido).

Demostracion. Mostraremos primero que Φ v es semicontinua superiormente. Seat ∈ R, observemos que (Φ v)−1[−∞, t) = v−1(Φ−1[−∞, t)).

Como Φ es una funcion creciente y continua sabemos que Φ−1([−∞, t)) = [−∞, s)o Φ−1([−∞, t)) = ∅. En cualquier caso, como v es s.c.s. v−1(Φ−1[−∞, t)) es un con-junto abierto.

Tomemos ahora Br(x0) ⊂ Ω. Como Φ es creciente y es convexa, usando la desi-gualdad de Jensen obtendremos

Φ(v(x0)) ≤ Φ

1|Σn−1|

∫Σn−1

v(x0 + rσ)dσ

≤ 1|Σn−1|

∫Σn−1

(Φ v)(x0 + rσ)dσ.

Es un hecho conocido que una funcion u definida en un conjunto simplementeconexo, es armonica si y solo si es la parte real de una funcion holomorfa en dichoconjunto. Supongamos ahora que F (z) es una funcion holomorfa que no tiene ceros,y consideremos la funcion log(F (z)), la cual podemos definir localmente como unafuncion analıtica, entonces log |F (z)| = Relog(F (z)). De esta manera, si F (z) esholomorfa y no tiene ceros, la funcion log |F (z)| es armonica.

Sin embargo, cuando F (z) no esta exenta de ceros, es necesario realizar un pocomas de trabajo para obtener un resultado analogo. Por esta razon, necesitaremosmostrar el siguiente:

Lema 1.15.

π∫−π

log |1− eit|dt = 0.


Demostracion. Notemos que la funcion 1−z es holomorfa y no tiene ceros en el discounitario D, por lo cual log |1 − z| es armonica en D y tiene la propiedad del valormedio. Ası ∀ r ∈ [0, 1)

π∫−π

log |1− reit|dt = 0.

Observese que si |t| ≤ π/3 entonces 1/2 ≤ cos t ≤ 1. Luego, si 0 < r < 1

|1− reit| =√

1 + r2 − 2r cos t ≤√

1 + r2 − r =√

1 + r(r − 1) ≤ 1

y ası| log |1− reit|| = − log |1− reit|

= log1

|1− reit|

= log1√

1 + r2 − 2r cos t

≤ log1

| sen t|.

Ahora sea α ∈ (0, 1) y sea Bα ∈ R+ tal que (1/Bα)|t|α ≤ | sen t|. Dado que ellogaritmo es una funcion creciente y que log x < x si x > 0, tendremos

log1

| sen t|≤ log

Bα|t|α

<Bα|t|α

Ası, si |t| ≤ π/3 tendremos que | log |1− reit|| ≤ Bα|t|−α.

Observemos ahora que si |t| ≥ π/3 entonces −1 ≤ cos t ≤ 1/2 y por consiguiente√1 + r2 − r ≤

√1 + r2 − 2r cos t ≤ 1 + r < 2.

Pero√r2 − r + 1 =

√(r − 1/2)2 + 3/4 ≥

√3/2 ≥ 1/2 y ası

− log 2 = log12≤ log |1− reit| ≤ log 2

i.e. | log |1− reit|| ≤ log 2 si |t| ≥ π/3.

Por tanto, tenemos que | log |1− reit|| ≤ f(t) ∀0 < r < 1, donde f(t) = Bα|t|−α si|t| < π/3 y f(t) = log 2 si π/3 ≤ |t| ≤ π. Como f es integrable en [−π, π] se sigue delTeorema de Convergencia Dominada que

0 = lımr→1

π∫−π

log |1− reit|dt =

π∫−π

lımr→1

log |1− reit|dt =

π∫−π

log |1− eit|dt.

1.2 Algunas Funciones Subarmonicas 21

Una de las consecuencias del Teorema de Taylor para funciones holomorfas esque si F (z) es holomorfa y no identicamente cero en un conjunto abierto que con-tiene al disco cerrado Dr(z0), entonces el conjunto de ceros de F (z) en Dr(z0) esfinito. Ademas, los ceros de F (z) en Dr(z0) no pueden ser de orden infinito (ver [12],Prop. 3.2.9 y Cor. 3.2.10, p. 212). En virtud de los comentarios anteriores, no hayambiguedad al establecer el siguiente resultado:

Teorema 1.16 (Formula de Jensen). Sea F(z) una funcion analıtica en DR(0) talque F (0) 6= 0. Para r ∈ (0, R), sean z1, z2, ..., zn los ceros de F (z) en Dr(0) listadostantas veces como sus multiplicidades. Entonces

log |F (0)|+n∑j=1

logr

|zj |=

12π

π∫−π

log |F (reit)|dt.

Demostracion. Supongamos que z1, z2, . . . , zm ∈ Dr(0), zm+1, zm+2, . . . , zn ∈ ∂Dr(0)y definamos la siguiente funcion

G(z) = F (z)m∏j=1

r2 − zzjr(z − zj)

n∏j=m+1

zjz − zj

.

Observese que G(z) esta bien definida, pues los terminos (z−zj) que se encuentranen el denominador se cancelaran con los correspondientes (z− zj) que se obtienen dela factorizacion de F (z).

Notese tambien que G(z) es holomorfa en Dr+ε(0) para algun ε > 0 y nunca escero en dicho disco. Por lo anterior podemos asegurar que la funcion log |G(z)| esarmonica en Dr+ε(0) y satisface la Propiedad del Valor Medio, por tanto

log |G(0)| = 12π

π∫−π

log |G(reit)|dt.

Pero, como |zj | = r para j = m+ 1, . . . , n se tiene que

log |G(0)| = log |F (0)|+m∑j=1

logr

|zj |= log |F (0)|+

n∑j=1

logr

|zj |.

Observemos tambien que∣∣∣∣ r2 − reitzjr(reit − zj)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣r − eitzjreit − zj

∣∣∣∣ = 1


y que para j = m+ 1, . . . , n∣∣∣∣ zjreit − zj

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ reitj

r(eit − eitj )

∣∣∣∣ =1

|1− ei(t−tj)|.

Por consiguiente

|G(reit)| = |F (reit)|n∏

j=m+1

1|1− et−tj |

y finalmente

log |F (0)|+n∑j=1

logr

|zj |=

12π

π∫−π

log |G(reit)|dt

=1

2π

π∫−π

log |F (reit)|dt+n∑

j=m+1

12π

π∫−π

log1

|1− ei(t−tj)|dt

=1

2π

π∫−π

log |F (reit)|dt−n∑

j=m+1

12π

π∫−π

log |1− ei(t−tj)|dt

=1

2π

π∫−π

log |F (reit)|dt

donde la penultima desigualdad se sigue del Lema 1.15.

Como corolario a este resultado, se obtiene de forma inmediata un sin fin de ejem-plos de funciones subarmonicas. Basta con tener una funcion holomorfa no identica-mente cero en un conjunto abierto del plano complejo para obtener en principio unafuncion subarmonica, a decir, log |F (z)| y en virtud del Corolario 1.14 podemos com-poner dicha funcion con una funcion convexa y creciente para obtener de nuevo unafuncion subarmonica.

Corolario 1.17. Sea F (z) una funcion holomorfa y no identicamente cero en un con-junto abierto Ω ⊂ C. Entonces las funciones log |F (z)|, log+ |F (z)| = maxlog |F (z)|, 0y |F (z)|a para cualquier 0 < a <∞ son subarmonicas en Ω.

Demostracion. Probaremos primero que log |F (z)| es subarmonica y como las fun-ciones log+ |F (z)| y |F (z)|a resultan de componer log |F (z)| con las funciones cre-cientes y convexas maxt, 0 y eat, por el Corolario 1.14 obtendremos nuestro resul-tado.

1.3 Espacios de Hardy Hp 23

Observese que tanto |F (z)| como log t son funciones continuas, por consiguiente,log |F (z)| es una funcion continua que toma valores en [−∞,∞).

Supongamos ahora que Dr(z0) ⊂ Ω, entonces

log |F (z0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F (z0 + reit)|dt

lo cual es claro si F (z0) = 0. Si F (z0) 6= 0 simplemente aplicamos la Formula deJensen a la funcion z 7→ F (z0 + z) la cual es holomorfa en Dr+ε(0) para algun ε > 0y no se anula en z = 0.

Con lo anterior queda demostrado que log |F (z)| es subarmonica.

1.3. Espacios de Hardy Hp

Si F (z) es holomorfa en el disco unitario, para cada r ∈ [0, 1) podemos definir

m0(F, r) = e1

2π

∫ π−π log+ |F (reit)|dt

mp(F, r) =

12π

π∫−π

|F (reit)|pdt

1/p

m∞(F, r) = sup−π≤t≤π

|F (reit)|

entonces, para cada F ∈ H(D) y cada 0 ≤ p ≤ ∞, mp(F, r) es una funcion crecientede r en [0, 1).

En efecto: para 0 ≤ p < ∞ log+ |F (z)| y |F (z)|p son funciones subarmonicas ypor la Proposicion 1.11 m0 y mp son funciones crecientes de r.

Para p =∞ si r1 < r2 el Teorema del Modulo Maximo asegura que

supπ≤t≤π

|F (r1eit)| = sup

Dr1 (0)

|F (z)| ≤ supDr2 (0)

|F (z)| = supπ≤t≤π

|F (r2eit)|

es decir: m∞(F, r1) ≤ m∞(F, r2).

La observacion anterior, debida a Hardy es el punto de partida en la teorıa deespacios de Hardy Hp introducida por Frigyes Riesz.

Definicion 1.18. Si 0 < p ≤ ∞ definimos Hp(D) como la familia de funciones

Hp = F ∈ H(D) : ||F ||Hp = sup0≤r<1

mp(F, r) <∞.


Para p = 0, definimos la clase Nevanlinna N como

N = F ∈ H(D) : sup0≤r<1

m0(F, r) <∞.

Observacion 1.19. Si 0 0 entonces log(xp) ≤ xp ∀x > 0,por lo cual log x ≤ 1

pxp ∀x > 0 y por consiguiente log+ x ≤ 1

pxp ∀x > 0.

Ası, si F ∈ Hp

12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt ≤ 12pπ

π∫−π

|F (reit)|pdt ≤ 1p||F ||pHp <∞

lo cual implica que F ∈ N .

Observacion 1.20. En el Capıtulo 2 de [3], se demuestra que una funcion F analıticaen el disco unitario pertenece a la clase N si y solo si F es el cociente de dos funcionesanalıticas acotadas. En la prueba, es de vital importancia el hecho de que

∫log+ |F |

es acotada. Lo anterior justifica de cierta forma el uso de log+ en la definicion de laclase Nevanlinna.

Proposicion 1.21. Sea F ∈ N tal que F (0) 6= 0, entonces

sup0≤r<1

12π

π∫−π

| log |F (reit)||dt <∞.

Demostracion. Por la Formula de Jensen sabemos que

−∞ < log |F (0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F (reit)|dt

.

Por consiguiente

12π

π∫−π

log− |F (reit)|dt ≤ 12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− log |F (0)|.


Finalmente

12π

π∫−π

|log|F (reit)||dt =1

2π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt+1

2π

π∫−π

log− |F (reit)|dt

≤ 1π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− log |F (0)|

≤ K − log |F (0)|

donde K = 2 sup0≤r<1

12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt es finito pues F ∈ N .

Teorema 1.22. Supongamos que F ∈ N y F no es identicamente cero. Sean zj losceros de F listados tantas veces como sus multiplicidades. Entonces∑

j

(1− |zj |) <∞.

Demostracion. Supongamos que |z1| ≤ |z2| ≤ . . . y que F (0) 6= 0. Por la Formula deJensen tenemos que ∀r ∈ (0, 1)

log |F (0)|+∑|zj |≤r

logr

|zj |=

12π

π∫−π

log |F (reit)|dt

≤ 12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt

≤M

donde M ∈ R+ es independiente de r, pues F ∈ N .

Dado n ∈ N podemos encontrar r ∈ (0, 1) suficientemente cerca de 1 tal que|zn| ≤ r. Consecuentemente |zj | ≤ r para j = 1, 2, . . . , n y ası, para n fijo

log |F (0)|+n∑j=1

logr

|zj |≤ log |F (0)|+

∑|zj |≤r

logr

|zj |≤M.

De lo anterior, se sigue que ∀r ∈ (0, 1)

n∑j=1

log1|zj |≤M − log |F (0)| − n log r


y haciendo r → 1 tenemos ∀n ∈ Nn∑j=1

log1|zj |≤M − log |F (0)|.

Consecuentemente∞∑j=1

log1|zj |≤M − log |F (0)|.

Y notando que 0 ≤ 1− |zj | ≤ log 1|zj | , obtenemos que∑

j

(1− |zj |) <∞.

Teorema 1.23. Sea (zj)∞j=1 una sucesion de numeros complejos en D1(0)\0 talque

∑∞j=1(1− |zj |) <∞. Sea k ∈ N, entonces el producto de Blaschke

B(z) = zk∞∏j=1

zj − z1− zzj

|zj |zj

converge uniformemente en cada subconjunto compacto del disco unitario a una fun-cion B ∈ H∞ cuyos ceros son precisamente los z′js mas un cero de orden k en z = 0.

Demostracion. Si demostramos que

∞∑j=1

∣∣∣∣1− zj − z1− zzj

|zj |zj

∣∣∣∣ (1.2)

converge uniformemente en subconjuntos compactos del disco unitario, tendremosque

B(z) = zk∞∏j=1

zj − z1− zzj

|zj |zj

converge uniformemente en cada subconjunto compacto del disco unitario y ademasB(z) ∈ H(D) (Ver [12], Teo. 7.1.15, p. 411).

Supongamos que |z| ≤ r < 1, entonces∣∣∣∣1− zj − z1− zzj

|zj |zj

∣∣∣∣ = (1− |zj |)∣∣∣∣ zj + z|zj |zj − z|zj |2

∣∣∣∣ ≤ (1− |zj |)1 + r

1− r.

Como la serie∑∞

j=1(1− |zj |) <∞, la serie (1.2) converge uniformemente si |z| ≤ r.


Falta ver que |B(z)| ≤ M para alguna M > 0 y para toda z ∈ D. Para ello,observemos que para cada z0 ∈ D la transformacion Tz0 : D → C tal que

Tz0(z) =z − z0

1− zz0

es continua en D, holomorfa en D y ademas Tz0(D) ⊂ D. Luego, podemos escribir

B(z) = zk∞∏j=1

|zj |zjTzj (z)

y notar que |B(z)| = |z|k∏∞j=1 |Tzj (z)| ≤ 1. Ası basta tomar M = 1 para concluir

que B(z) ∈ H∞(D).

Observacion 1.24. Como B(z) ∈ H∞, el Teorema de Fatou asegura que B(z) tienelımites no tangenciales en casi todo punto de la frontera de D (ver Apendice ). Es-cribiremos

B(eit) = lımzN.T.→ eit

B(z).

En general, si para alguna funcion F definida en D se sabe que existe el valorfrontera no tangencial en eit lo denotaremos por F (eit).

Si F ∈ Hp con p ≥ 1 es posible mostrar que F es una integral de Poisson ypor tanto F (eit) existe para casi toda t. Para ver una demostracion, puede verse elApendice . Mas adelante extenderemos este resultado para cualquier p > 0.

Para finalizar este capıtulo, demostraremos el siguiente teorema sobre el productode Blaschke que aparece en el Teorema 1.23.

Teorema 1.25. Sea B(z) el producto de Blaschke que aparece en el Teorema 1.23.Entonces |B(eit)| = 1 para casi toda t y

lımr→1

12π

π∫−π

log |B(reit)|dt = 0. (1.3)

Demostracion. Como B(z) es holomorfa en D, log |B(z)| es subarmonica y la inte-gral en (1.3) es una funcion creciente de r, por lo cual sabemos que el lımite en(1.3) existe. Del Teorema 1.23 tambien sabemos que |B(z)| ≤ 1 ∀z ∈ D, por lo quelog(1/|B(reit)|) ≥ 0 ∀r ∈ [0, 1). Usando el Lema de Fatou obtenemos

π∫−π

log(

1|B(eit)|

)dt ≤ lım

r→1

π∫−π

log(

1|B(reit)|

)dt,


equivalentemente

lımr→1

π∫−π

log |B(reit)|dt ≤π∫−π

log |B(eit)|dt ≤ 0. (1.4)

Si probamos que el lımite en (1.4) tambien es mayor o igual que cero, habremosterminado, pues tendrıamos que

π∫−π

log |B(eit)| = 0

o equivalentementeπ∫−π

log∣∣∣∣ 1B(eit)

∣∣∣∣ = 0

y como log |1/B(eit)| ≥ 0 obtendremos que log |1/B(eit)| = 0 para casi toda t, de locual se sigue que |B(eit)| = 1 para casi toda t.

Veamos que el lımite es mayor o igual que cero:

Para cada n ∈ N definamos

Bn(z) = zkn∏j=1

zj − z1− zzj

|zj |zj.

Notese que Bn(z) es continua en D y holomorfa en D, por tanto es analıtica yacotada en D. Ası Bn(eit) existe para casi toda t.

Como el lımite no tangencial existe, podemos calcularlo radialmente. Si z = reit

y hacemos r → 1 entonces

|Bn(z)| = rkn∏j=1

|zj − reit||1− reitzj |

→n∏j=1

|zj − eit||1− eitzj |

= 1.

Ası |Bn(eit)| = 1 para casi toda t. Ademas |Bn(reit)| → 1 uniformemente en t

cuando r → 1. Por consiguiente

lımr→1

12π

π∫−π

log∣∣∣∣ B(reit)Bn(reit)

∣∣∣∣ dt = lımr→1

12π

π∫−π

log |B(reit)|dt− 12π

π∫−π

log |Bn(reit)|dt

= lım

r→1

12π

π∫−π

log |B(reit)|dt.


Pero por el Corolario 1.17, para toda r ∈ [0, 1)

12π

π∫−π

log∣∣∣∣ B(reit)Bn(reit)

∣∣∣∣ dt ≥ log∣∣∣∣ B(0)Bn(0)

∣∣∣∣= log

∞∏j=n+1

|zj |

=∞∑

j=n+1

log |zj |.

Ası para toda n ∈ N se tiene

∞∑j=n+1

log |zj | ≤ lımr→1

12π

π∫−π

log |B(reit)|dt.

Por otro lado, como∑∞

j=1(1− |zj |) <∞ sabemos que lımr→1|zj | = 1. Como |zj | > 0

se sigue que δ = ınfj∈N|zj | > 0.

Luego para toda j ∈ N

0 < log |zj |−1 < |zj |−1 − 1 = |zj |−1(1− |zj |) < δ−1(1− |zj |).

Lo cual implica que 0 <∑∞

j=1 log |zj |−1 < ∞ y por tanto∑∞

j=n+1 log |zj |−1 → 0si n→∞.

Concluimos que

lımr→1

12π

π∫−π

log |B(reit)|dt = 0.


2Capıtulo

Teorema de Factorizacion de F. Riesz

En el Capıtulo anterior, se introdujo el espacioHp consistente de todas la funcionesF holomorfas en el disco unitario para las cuales se satisface

sup0≤r<1

12π

π∫−π

|F (reit)|pdt

1/p

= lımr→1

12π

π∫−π

|F (reit)|pdt

1/p

<∞ (2.1)

si 0 < p <∞ y si p =∞

sup0≤r<1

[sup−π≤t≤π

|F (reit)|]<∞. (2.2)

Tambien denotamos por ‖F‖Hp a los supremos en (2.1) y (2.2).

Observese que para 1 ≤ p ≤ ∞ y F,G ∈ H(D) la desigualdad de Minkowski nosdice que ∀r ∈ [0, 1)

mp(F +G, r) ≤ mp(F, r) +mp(G, r).

Haciendo r → 1 obtenemos

‖F +G‖Hp ≤ ‖F‖Hp + ‖G‖Hp .

Como ‖ · ‖Hp es homogenea y ‖F‖Hp = 0 implica que F = 0, hemos demostradoque (Hp, ‖ · ‖Hp) es un espacio vectorial normado para 1 ≤ p ≤ ∞.

31

32 Teorema de Factorizacion de F. Riesz

Si 0 < p < 1, ‖ · ‖Hp no satisface la desigualdad del triangulo. Sin embargo, secumple que

‖F +G‖pHp ≤ ‖F‖pHp + ‖G‖pHp .

Ası (F,G) 7→ ‖F −G‖pHp es una metrica invariante en Hp. Tambien es claro que‖ · ‖pHp es p-homogenea, es decir ‖αF‖pHp = |α|p‖F‖pHp . Por lo tanto, para 0 < p < 1Hp tambien es un espacio vectorial y ‖ · ‖pHp es una p-norma en Hp.

Enseguida estudiaremos algunas de las propiedades de las funciones que consti-tuyen al espacio Hp. En capıtulos posteriores investigaremos la estructura de Hp

como espacio vectorial metrico.

Se sabe que en los espacios Lp el caso p = 2 ocupa un lugar muy especial, puesa pesar de que el Teorema de Riesz-Fisher asegura que para 1 ≤ p ≤ ∞ el espa-cio Lp es de Banach, L2 es el unico que posee la propiedad de ser un espacio deHilbert. Son precisamente las propiedades de L2 como espacio de Hilbert, la clave enla demostracion de la siguiente proposicion.

Proposicion 2.1. Denotemos por P (f) a la integral de Poisson de la funcion f ,entonces

H2 = P (f) : f ∈ L2([−π, π]) tal que f(j) = 0 ∀j < 0.

Demostracion. Tomemos F (z) ∈ H2 con serie de Taylor F (z) =∑∞

j=0 ajzj . Luego,

la funcion t 7→ F (reit) tendra serie de Fourier∑∞

j=0 ajrjeijt.

Como∑n

j=0 ajrjeij· → F (rei·) en la norma ‖ · ‖2 cuando n→∞, se sigue que∥∥∥∥∥∥

n∑j=0

ajrjeij·

∥∥∥∥∥∥2

→∥∥F (rei·)

∥∥2

= m2(F, r)

cuando n→∞. Pero como ein·∞n=0 es un conjunto ortonormal en L2([−π, π]) tene-mos que

n∑j=0

|aj |2r2j =

∥∥∥∥∥∥n∑j=0

a2jrjeij·

∥∥∥∥∥∥2

2

→ m22(F, r)

cuando n→∞. Por consiguiente m22(F, r) =

∑∞j=0 |aj |2r2j y ası

‖F‖2H2 = lımr→1

m2(F, r) = lımr→1

∞∑j=0

|aj |2r2j =∞∑j=0

|aj |2.

En resumen, hemos obtenido que F ∈ H2 ⇔∑∞

j=0 |aj |2 <∞. Pero por el Teoremade Riesz-Fisher, si

∑∞j=0 |aj |2 <∞, existe una funcion f ∈ L2([−π, π]) cuya serie de

Fourier es∑∞

j=0 ajeijt. Ademas la integral de Poisson de f sera

Teorema de Factorizacion de F. Riesz 33

12π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt =1

2π

π∫−π

∑k∈Z

r|k|eik(θ−t)f(t)dt

=∞∑

k=−∞r|k|eikθ

12π

π∫−π

f(t)e−iktdt

=∞∑k=0

akrkeikθ

= F (reiθ).

Ası, hemos demostrado que si F es una funcion en H2 entonces F es la integral dePoisson de alguna funcion f ∈ L2([−π, π]) cuyos coeficientes de Fourier aj son ceropara frecuencias negativas.

Recıprocamente, si F = P (f) con f ∈ L2([−π, π]) y f(j) = 0 ∀j < 0, entonces

F (reiθ) =1

2π

π∫−π

(∑k∈Z

r|k|eik(θ−t)

)f(t)dt

=∑k∈Z

r|k|eikθ1

2π

π∫−π

f(t)e−iktdt

=∞∑k=0

akrkeikθ

lo cual implica que F ∈ H(D). Como ∀r ∈ [0, 1)

12π

π∫−π

|F (reit)|2dt ≤M

concluimos que F ∈ H2.

La proposicion anterior es valida tambien para 1 < p ≤ ∞. Sin embargo, lastecnicas que utilizaremos para esta demostracion distaran mucho de aquellas uti-lizadas en el caso p = 2, pues como mencionabamos anteriormente, para p 6= 2 elespacio Lp([−π, π]) ya no es un espacio de Hilbert.

Proposicion 2.2. Para 1 < p ≤ ∞, las funciones en Hp son las integrales de Poissonde funciones en Lp([−π, π]) cuyos coeficientes de Fourier son cero para frecuenciasnegativas.


Demostracion. Sea F ∈ Hp con 1 < p ≤ ∞ y sea∑∞

j=0 ajzj su representacion en

serie de Taylor.

Como F es armonica y ‖F‖Hp < ∞, sabemos que existe f ∈ Lp([−π, π]) tal queF = P (f) (ver Apendice ). Aun mas, sabemos que F (z) → f(t) si z N.T.→ eit, i.e.F (eit) = f(t) para casi toda t.

Tambien para 1 < p <∞ sabemos queπ∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt→ 0 (2.3)

si r → 1 y si F ∈ H∞ tenemos que F (reit) → F (eit) cuando r → 1 en la topologıadebil-* de L∞([−π, π]).

Queremos mostrar que la serie de Fourier de f(t) = F (eit) es∑∞

j=0 ajeijt.

Cuando 1 < p < ∞ se sabe que ‖ · ‖1 ≤ ‖ · ‖p, de esto y de (2.3) se sigue que∫ π−π |F (reit)− F (eit)|dt cuando r → 1.

Puesto que e−int es acotada para toda n ∈ N, se tiene que cuando r → 1π∫−π

F (reit)e−intdt→π∫−π

F (reit)e−intdt

y ası los coeficientes de Fourier de F (reit) son

cn =1

2π

π∫−π

F (eit)e−intdt = lımr→1

12π

π∫−π

F (reit)e−intdt

= lımr→1

12π

π∫−π

∞∑j=0

ajrjeijt

e−intdt

= lımr→1

∞∑j=0

ajrj 12π

π∫−π

ei(j−n)tdt

= lımr→1

anrn = an

si n ≥ 0 y cn = 0 si n < 0. Por tanto, la serie de Fourier de f(t) = F (eit) es∑∞j=0 aje

ijt.

Cuando p =∞ sabemos que ∀g ∈ L1([−π, π])π∫−π

g(t)F (reit)dt→π∫−π

g(t)F (eit)dt

2.1 La Funcion Frontera 35

si r → 1. En particular, si tomamos g(t) = e−int tendremos que

π∫−π

F (reit)e−intdt→π∫−π

F (eit)e−intdt.

De la misma forma que en caso anterior, obtenemos que∑∞

j=0 ajeijt es la serie de

Fourier de F (eit).

El recıproco se sigue de forma analoga al caso p = 2.

2.1. La Funcion Frontera

A lo largo de esta seccion, estudiaremos el comportamiento de las funciones deHp cuando nos acercamos a la frontera del disco. Para iniciar, veamos lo que hastaeste momento podemos decir sobre esta situacion y la representacion en terminos dela funcion frontera.

Teorema 2.3. Sea F ∈ Hp con 1 < p ≤ ∞

i) Para casi toda t, el lımite

F (eit) = lımzN.T.→

F (z)

existe, la funcion f(t) = F (eit) pertenece a Lp([−π, π]) y F = P (f).

ii) Si 1 < p <∞ entonces∫ π−π |F (reit)− F (eit)|pdt→ 0 si r → 1.

iii) Si p = ∞ entonces F (reit) → F (eit) en la topologıa debil-* de L∞([−π, π]) sir → 1.

iv) Para cada 1 < p ≤ ∞ se tiene ‖F‖Hp = ‖f‖p.

v) F es la integral de Cauchy de su funcion frontera, es decir:

F (z) =1

2πi

∫|ξ|=1

F (ξ)ξ − z

dξ.

Demostracion. Solo debemos mostrar iv) y v) (ver Apendice ). Si 1 < p < ∞ de ii)se sigue que si r → 1 entonces

π∫−π

|F (reit)|pdt→π∫−π

|F (eit)|pdt.


Consecuentemente ‖F‖Hp = lımr→1

mp(F, r) = ‖f‖p.

Cuando p =∞ tenemos que para casi todo t0 ∈ [−π, π]

|f(t0)| = lımr→1|F (reit0)| ≤ lım

r→1

(sup

t∈[−π,π]|F (reit)|

)= lım

r→1m∞(F, r)

= ‖F‖H∞ .

Tambien |F (z)| ≤ ‖f‖∞ ∀z ∈ D (ver Apendice ), y en consecuencia ‖F‖H∞ =supz∈D|F (z)| ≤ ‖f‖∞.

Por tanto ‖f‖p = ‖F‖Hp para toda p ∈ (1,∞].

Ahora solo resta mostrar v): para toda z ∈ D y cualquier r ∈ [0, 1), el Teoremade Cauchy asegura que

F (rz) =1

2πi

∫|ξ|=1

F (rξ)ξ − z

dξ

=1

2π

π∫−π

F (reit)eit

eit − zdt

tomando lımite cuando r tiende a uno en ambos lados y usando ii) si 1 < p < ∞ yiii) si p =∞ obtenemos

F (z) = lımr→1

12π

π∫−π

F (reit)eit

eit − zdt

=1

2π

π∫−π

F (eit)eit

eit − zdt,

que es lo que querıamos demostrar.

Si (ar)0≤r<1 es una red, definimos

lım supr→1

ar = ınfr∈[0,1)

sups≥r

as

lım infr→1

ar = supr∈[0,1)

ınfs≥r

as

Demostraremos ahora el siguiente resultado para las funciones en la clase Nevan-linna:


Teorema 2.4. Sea F una funcion en N no identicamente cero. Entonces

lım supr→1

π∫−π

| log |F (reit)||dt <∞.

Por tanto, si F (eit) = lımr→1

F (reit) existe para casi toda t (el cual efectivamente

existe para 1 ≤ p ≤ ∞), entonces

π∫−π

| log |F (eit)||dt <∞

y consecuentemente F (eit) puede anularse solamente en un conjunto de medida cero.

Demostracion. Supongamos primero que F (0) 6= 0, entonces

−∞ < log |F (0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F (reit)|dt

=1

2π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− 12π

π∫−π

log− |F (reit)|dt

de lo anterior se sigue que

0 ≤ 12π

π∫−π

log− |F (reit)|dt ≤ sup0≤r<1

12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− log |F (0)|

y este supremo es finito puesto que F ∈ N . Consecuentemente

12π

π∫−π

| log |F (reit)||dt ≤ 2 sup0≤r<1

12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− log |F (0)| = C <∞.

Si F (0) = 0 escribamos F (z) = zkH(z), donde H(0) 6= 0 y k es la multiplicidaddel cero de F en z = 0. Entonces

−∞ < log |H(0)| ≤ 12π

π∫−π

log |H(reit)|dt

=1

2π

π∫−π

log |F (reit)|dt− k log r


y procediendo de forma analoga al caso anterior, obtenemos

12π

π∫−π

| log |F (reit)||dt ≤ sup0≤r<1

12π

π∫−π

log+ |F (reit)|dt− log |H(0)| − k log r

lo cual esta uniformemente acotado para r > 1/2.

En cualquier caso, hemos probado que el lımite superior

lım supr→1

π∫−π

| log |F (reit)||dt

es finito.

Estudiaremos ahora el comportamiento de F ∈ Hp para 0 < p ≤ 1. Para p = 1 sesabe que si F ∈ H1, existe una medida de Borel µ sobre [−π, π] tal que

F (reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t).

Ademas, si definimos G(θ) =∫ θ

0 dµ(t) y θ1 es uno de los puntos donde G′(θ) existey es finita, entonces F (z) → G′(θ1) cuando z tiende no tangencialmente a eθ1 (Lademostracion de estos comentarios puede verse en el Apendice ).

Lo anterior implica la existencia de la funcion frontera de F ∈ H1. A pesar deello, aun no sabemos si F tiene que ser necesariamente la integral de Poisson de sufuncion frontera, como sucede para p > 1. Para p < 1 ni siquiera sabemos si F (eit)existe.

Proposicion 2.5. Si F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞ y F no tiene ceros en D, entonces Ftiene una funcion frontera no tangencial F (eit) la cual pertenece a Lp([−π, π]).

Demostracion. Ya hemos demostrado este resultado para 1 ≤ p ≤ ∞ aun cuandoF tiene ceros en D. Mas adelante veremos que la hipotesis de que F no tenga cerostambien puede omitirse para 0 < p < 1.

Supongamos que F ∈ Hp, con 0 < p < 1, y que F no tiene ceros en D. Dado queF no se anula en D, podemos escribir F (z) = G(z)2 para alguna G ∈ H(D). Luego,|G(z)|2p = |F (z)|p ∀z ∈ D y se sigue que G ∈ H2p. Ademas ‖G‖2H2p = ‖F‖Hp .


Si 1/2 ≤ p < 1, entonces 2p ≥ 1, y por i) del Teorema 2.3, sabemos que existelımr→1

G(z) = G(eit) para casi toda t y pertenece a L2p([−π, π]). Se sigue que F (eit)

tambien existe y pertenece a Lp([−π, π]) pues

F (eit) = lımN.T.

z→eitF (z) = lım

N.T.

z→eitG2(z) = G2(eit).

Si ahora 1/4 ≤ p ≤ 1/2, entonces 2p ≥ 1/2 y podemos aplicar el argumentoanterior usando la existencia del lımite no tangencial para 1/2 ≤ q < 1.

Procediendo de forma inductiva, se obtiene el resultado.

De nueva cuenta, extenderemos un resultado que ya habıamos probado para lasfunciones en Hp con 1 < p ≤ ∞ a las funciones en Hp con 0 < p ≤ 1 que notienen ceros en el disco unitario. Posteriormente probaremos que esta proposicionsigue siendo valida cuando F tiene ceros en D.

Proposicion 2.6. Si F ∈ Hp con 0 1 aun cuando F

tiene ceros en D, de manera que solo debemos probar el caso 0 1 y que

‖G(reit)−G(eit)‖2p ≤ ‖G(reit)‖2p + ‖G(eit)‖2p≤ ‖G‖H2p + ‖G‖H2p

= 2‖G‖H2p .


Luego

π∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt =

π∫−π

|G2(reit)−G2(eit)|pdt

=

π∫−π

|G(reit) +G(eit)|p|G(reit)−G(eit)|pdt

≤

π∫−π

|G(reit) +G(eit)|2pdt

1/2 π∫−π

|G(reit)−G(eit)|2pdt

1/2

≤ 2p‖G‖pH2p

π∫−π

|G(reit)−G(eit)|2p

1/2

y como el resultado es valido para p > 1 tenemos que si r → 1

π∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt ≤ 2p‖G‖pH2p

π∫−π

|G(reit)−G(eit)|2p

1/2

−→ 0.

Igual que en la proposicion anterior podemos proceder inductivamente para probarel resultado.

Como corolario de la proposicion anterior obtenemos la representacion de Poissony de Cauchy para la funciones en H1.

Corolario 2.7. Si F ∈ H1 y F nunca es cero en D entonces

i) F = P (f) con f(t) = F (eit).

ii) F (z) = 12πi

∫|ξ|=1

F (ξ)ξ − z

dξ.

Demostracion. Debido a la Proposicion 2.6, la prueba de ii) sera identica a la de v)en el Teorema 2.3, por lo cual la omitiremos.

Para i) observese que la Proposicion 2.6 implica que si r → 1 entonces

π∫−π

ϕ(t)F (reit)dt→π∫−π

ϕ(t)F (eit)dt

2.2 Teorema de Factorizacion de F. Riesz 41

para toda funcion ϕ(t) acotada en [−π, π]. En particular si (rn)∞n=1 es una sucesionde reales positivos tal que rn ↑ 1 y Fn(t) = F (rneit), tendremos que ∀ϕ(t) acotada

lımn→∞

π∫−π

ϕ(t)Fn(t)dt =

π∫−π

ϕ(t)F (eit)dt. (2.4)

Puesto que la funcion Fn(z) = F (rnz) es armonica en D(0, 1/rn), tiene la siguienterepresentacion de Poisson (Ver [6], p. 4):

F (rnreiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)Fn(t)dt. (2.5)

Notese que si tomamos lımite cuando n→∞ en (2.5), el lado izquierdo convergea F (reiθ) y por (2.4) el lado derecho converge a 1

2π

∫ π−π Pr(θ − t)F (eit)dt. Ası

F (reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)F (eit)dt.

2.2. Teorema de Factorizacion de F. Riesz

En la seccion anterior logramos extender ii) y parte de i) del Teorema 2.3 a lasfunciones en Hp, con 0 < p ≤ 1, que no tienen ceros en D. Ahora bien, sabemos queno todas las funciones en Hp estan exentas de ceros en el disco unitario y obtenerresultados analogos al Teorema 2.3 para funciones arbitrarias en Hp para cualquier p,podrıa parecer muy difıcil. Sin embargo, el matematico hungaro Frigyes Riesz (1880-1956) hizo la observacion fundamental de que los ceros no importan ya que podemosfactorizarlos, y como resultado de su comentario, obtenemos el siguiente Teorema yvarias consecuencias que nos permitiran estudiar mas a fondo el comportamiento enla frontera de las funciones en los espacios de Hardy.

Teorema 2.8. Sea F ∈ N no identicamente cero y sea B el producto de Blaschkeformado con los ceros de F . Entonces F (z) = B(z)H(z) donde H no tiene ceros enD y pertence a la clase Nevanlinna. Ademas ‖H‖N = ‖F‖N y si F ∈ Hp, entoncesH ∈ Hp y ‖H‖Hp = ‖F‖Hp.

Demostracion. Sea F ∈ N no identicamente cero y sean zj∞j=1 los ceros de F listadostantas veces como sus multiplicidades. Por el Teorema 1.22 sabemos que la serie


∑∞j=1(1− |zj |) converge y de acuerdo al Teorema 1.23, el producto de Blaschke B(z)

formado con los ceros de F es una funcion holomorfa y acotada que tiene exactamentelos mismos ceros que F . Ademas |B(eit)| = 1 para casi toda t.

Por todo lo anterior, es posible escribir F = B ·H con H analıtica y sin ceros enD.

Recordemos que |B(reit)| ≤ 1 y ası

π∫−π

log+ |H(reit)|dt ≤π∫−π

log+ |F (reit)|dt+

π∫−π

log1

|B(reit)|dt

=

π∫−π

log+ |F (reit)|dt−π∫−π

log |B(reit)|dt.

Si tomamos lımite cuando r → 1 obtendremos que ‖H‖N ≤ ‖F‖N , pues por elTeorema 1.25 la segunda integral tiende a cero.

Por otro lado |F (z)| ≤ |H(z)| ∀z ∈ D, por ser |B(z)| ≤ 1 para toda z ∈ D. Luego,‖F‖N ≤ ‖H‖N y consecuentemente ‖H‖N = ‖F‖N .

Supongamos ahora que F ∈ Hp. Para cada n ∈ N sea Bn(z) igual que en elTeorema 1.25 y definamos Hn(z) = F (z)/Bn(z).

Sabemos que |Bn(reit)| converge uniformemente en t a 1 cuando r tiene a uno yası, si p <∞

‖Hn‖pHp = lımr→1

12π

π∫−π

∣∣∣∣ F (reit)Bn(reit)

∣∣∣∣p dt= lım

r→1

12π

π∫−π

[∣∣∣∣ F (reit)Bn(reit)

∣∣∣∣p − |F (reit)|p]dt+ ‖F‖pHp

= ‖F‖pHp .

Si p =∞ tenemos

‖Hn‖H∞ = lımr→1

m∞(F/Bn, r)

≤ lımr→1

supt∈[−π,π]

(|F (reit)||Bn(reit)|

− |F (reit)|)

+ lımr→1

m∞(F, r)

= ‖F‖H∞ .

Pero |F (z)| ≤ |Hn(z)| ∀z ∈ D implica que ‖F‖H∞ ≤ ‖Hn‖H∞ .


En consecuencia ‖F‖Hp = ‖Hn‖Hp ∀n ∈ N y para cualquier p.

Notemos ahora que para r fijo, |Hn(reit)| converge de forma creciente a |H(reit)|cuando n→∞. De manera que si p <∞ podemos aplicar el Teorema de ConvergenciaMonotona para obtener

mp(H, r) = lımn→∞

mp(Hn, r) ≤ lımn→∞

‖Hn‖Hp = ‖F‖Hp

y tomando lımite cuando r tiende a uno se tiene que ‖H‖Hp ≤ ‖F‖Hp . Tambien‖H‖Hp ≥ ‖F‖Hp , puesto que |F (z)| ≤ |H(z)| ∀z ∈ D.

Si p =∞, para cualquier t ∈ [−π, π] y ∀r ∈ [0, 1)

|H(reit)| = lımn→∞

|Hn(reit)| ≤ lımn→∞

‖Hn‖H∞ = ‖F‖H∞.

Esto implica que m∞(H, r) ≤ ‖F‖H∞ y consecuentemente ‖H‖H∞ ≤ ‖F‖H∞ . Perode nuevo, dado que |F (z)| ≤ |H(z)| ∀z ∈ D, se tiene que ‖H‖H∞ ≥ ‖F‖H∞ .

En cualquier caso hemos probado que si F ∈ Hp, entonces H ∈ Hp y

‖F‖Hp = ‖H‖Hp .

Como consecuencia de este teorema de factorizacion se tienen los siguientes coro-larios:

Corolario 2.9. Si F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, entonces F = F1 · F2 donde ‖F1‖H2p =‖F2‖H2p = ‖F‖1/2Hp .

Demostracion. Sea F (z) = B(z)H(z) la factorizacion dada por el Teorema 2.8. ComoH(z) no tiene ceros en D, podemos escribir H(z) = G2(z) con

‖G‖2pH2p = ‖H‖pHp = ‖F‖pHp .

Luego, sera suficiente escribir F1 = B ·G y F2 = G, pues

‖F2‖H2p = ‖G‖H2p = ‖F‖1/2Hp

y usando el Teorema anterior para F1(z) = B(z)G(z) tendremos

‖F1‖H2p = ‖G‖H2p = ‖F‖1/2Hp .


Corolario 2.10. Sea F ∈ Hp con 0 < p ≤ ∞, entonces F = F1 − F2 donde F1 y F2

son funciones en Hp, no se anulan en D y ‖Fj‖Hp ≤ ‖F‖Hp para j = 1, 2.

Demostracion. De nuevo escribamos F = B ·H y tomemos

F1 =(

1 +B

2

)H

F2 =(

1−B2

)H

Como H no tiene ceros en D y |B(z)| < 1 en D, sabemos que Fj no tiene cerosen D para j = 1, 2. Ademas

|Fj(z)| ≤|H(z)|

2+|B(z)H(z)|

2≤ |H(z)| ∀z ∈ D

por lo cual ‖Fj‖Hp ≤ ‖H‖Hp = ‖F‖Hp para j = 1, 2.

Nuestro siguiente objetivo es abodar el problema de la existencia y comportamien-to de la funcion frontera para una funcion arbitraria en Hp con cualquier valor dep. En la seccion anterior examinamos el comportamiento en la frontera de funcionessin ceros en D, ahora, el Teorema de factorizacion 2.8 nos permitira extender losresultados obtenidos a funciones arbitrarias en Hp.

Teorema 2.11. Sea F ∈ Hp con 0 < p ≤ ∞. Entonces

i) El lımite no tangencialF (eit) = lım

N.T.

z→eitF (z)

existe para casi toda t y la funcion F (eit) pertenece a Lp([−π, π]).

ii) lımr→1

π∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt = 0.

iii) ‖F‖Hp = lımr→1

12π

π∫−π

|F (reit)|p1/p

=

12π

π∫−π

|F (eit)|pdt

1/p

.

Demostracion. i) Supongamos que F no es identicamente cero. En virtud del Teore-ma 2.8 podemos escribir F (z) = B(z)H(z), donde B(z) es el producto de Blaschkeformado con los ceros de F y H(z) es una funcion holomorfa que no se anula en D

tal que ‖H‖Hp = ‖F‖Hp .


Notese que B y H poseen lımites no tangenciales para casi todo punto frontera,pues B es acotada y H no tiene ceros en D. La existencia de estos lımites provee laexistencia de un lımite no tangencial para F , a saber

lımN.T.

z→eitF (z) = F (eit) = B(eit)H(eit).

Mas aun, |F (eit)| = |H(eit)| para casi toda t, puesto que |B(eit)| = 1 casi en todaspartes. En consecuencia F (eit) pertence a Lp([−π, π]), dado que H(eit) ∈ Lp([−π, π]).

ii) Notemos que

π∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt =

π∫−π

|B(reit)H(reit)−B(eit)H(eit)|pdt

=

π∫−π

|B(reit)[H(reit)−H(eit)]−H(eit)[B(eit)−B(reit)]|pdt

≤ Cp

π∫−π

|B(reit)[H(reit)−H(eit)]|pdt+

π∫−π

|H(eit)[B(eit)−B(reit)]|pdt

≤ Cp

π∫−π

|H(reit)−H(eit)|pdt+

π∫−π

|H(eit)[B(eit)−B(reit)]|pdt

.

La primera integral tiende a cero cuando r tiende a uno por la Proposicion 2.6. Lasegunda integral tambien tiende a cero por el Teorema de Convergencia Dominada,dado que |B(reit)| ≤ |B(eit)| = 1 ∀r ∈ [0, 1) y H(eit) ∈ Lp([−π, π]).

iii) Para p > 1 la igualdad se tiene por el Teorema 2.3. Solo queda mostrar el casop ≤ 1. Por el inciso ii) tenemos

π∫−π

|F (reit)|pdt ≤π∫−π

|F (reit)− F (eit)|pdt+

π∫−π

|F (eit)|pdt

≤ 2πε+

π∫−π

|F (eit)|pdt

siempre y cuando r sea suficientemente cercano a uno. De esta manera, ∀ε > 0 severifica

‖F‖pHp ≤ ε+1

2π

π∫−π

|F (eit)|pdt


y en consecuencia ‖F‖Hp ≤[

12π

∫ π−π |F (eit)|pdt

]1/p.

Por otro lado, el Lema de Fatou implica 12π

π∫−π

|F (eit)|pdt

1/p

=

12π

π∫−π

lımr→1|F (eit)|pdt

1/p

≤ lımr→1

12π

π∫−π

|F (reit)|pdt

1/p

= ‖F‖Hp

Concluimos pues que ‖F‖Hp =[

12π

∫ π−π |F (eit)|pdt

]1/p.

Corolario 2.12. Sea F ∈ Hp para algun 0 p. Si p > 1, entonces F = P (f) donde f(t) = F (eit) yademas

12π

π∫−π

|F (reit)|qdt ≤ 12π

π∫−π

|f(t)|qdt ∀r ∈ [0, 1)

lo cual implica que F pertenece a Hq.

Supongamos ahora que p ≤ 1 y sea F (z) = B(z)H(z) la factorizacion dada por elTeorema 2.8. Tomemos n ∈ N de tal forma que 1 < np y escribamos H(z) = Gn(z),con G una funcion holomorfa que no se anula en D.

Dado que |H(z)|p = |G(z)|np ∀z ∈ D, se sigue que ‖G‖npHnp = ‖H‖pHp = ‖F‖pHp .Ademas, la funcion frontera satisface |G(eit)|n = |H(eit)| = |F (eit)|.

Puesto que F (eit) ∈ Lq([−π, π]), se sigue que G(eit) pertence a Lnq([−π, π]). Porel caso anterior, tenemos que G ∈ Hnq y ası F ∈ Hq.

Demostraremos ahora el siguiente resultado, el cual es una extension del Corolario2.7 a todo el espacio H1.

Corolario 2.13. Cada F ∈ H1 es la integral de Poisson y la integral de Cauchy desu funcion frontera F (eit).


Demostracion. Sea F ∈ H1 y tomemos 0 < s < 1. Sabemos que para z = reit ∈ D setiene

F (sreiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)F (seit)dt.

Si hacemos s→ 1 y usamos ii) del Teorema 2.11 se obtiene

F (reit) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)F (eit)dt

que es la representacion de Poisson de F ∈ H1

Para obtener la representacion de Cauchy observese que para 0 < s < 1

F (sz) =1

2πi

∫|ξ|=1

F (sξ)ξ − z

dξ =1

2πi

π∫−π

F (seit)eit

eit − zdt.

Si nuevamente hacemos s→ 1 y usamos ii) del Teorema 2.11 tendremos

F (z) =1

2πi

∫|ξ|=1

F (ξ)ξ − z

dξ =1

2πi

π∫−π

F (eit)eit

eit − zdt.

Lema 2.14. Sea F ∈ H1, entonces la funcion

G(z) =1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[F (eit)]dt

es analıtica en D y su derivada es

G′(z) =1

2π

π∫−π

2eitRe[F (eit)](eit − z)2

dt.

Demostracion. Sea z0 ∈ D y tomemos ε > 0, entonces existe δ > 0 tal que∣∣∣∣ 1(eit − z)(eit − z0)

− 1(eit − z0)2

∣∣∣∣ < ε1π

∫ π−π |Re[F (eit)]|dt

(2.6)


siempre que |z − z0| < δ. De esta manera∣∣∣∣∣∣G(z)−G(z0)z − z0

− 12π

π∫−π

2eitRe[F (eit)](eit − z0)2

dt

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣ 12π

π∫−π

[2eit(z − z0)

(eit − z)(eit − z0)− 2eit(z − z0)

(eit − z0)2

]Re[F (eit)]z − z0

dt

∣∣∣∣∣∣≤ 1π

π∫−π

∣∣∣∣ 1(eit − z)(eit − z0)

− 1(eit − z0)2

∣∣∣∣ |Re[F (eit)]|dt

≤ ε1π

∫ π−π |Re[F (eit)]|dt

1π

π∫−π

|Re[F (eit)]|dt

= ε

siempre y cuando |z − z0| < δ. Por tanto

G′(z0) =1

2π

π∫−π

2eitRe[F (eit)](eit − z0)2

dt.

Corolario 2.15. Si F ∈ H1, entonces para toda z ∈ D

F (z) =1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[F (eit)]dt+ iIm[F (0)].

Demostracion. Observemos primero que si z = reiθ

Re

[eit + z

eit − z

]= Re

[eit + z

eit − z

(e−it − ze−it − z

)]= Re

[1− zeit + ze−it − |z|2

|eit − z|2

]=

1− |z|2

|eit − z|2

= Pr(θ − t).

Sea G(z) como en el Lema anterior, entonces la parte real de G(z) es

12π

π∫−π

Pr(θ − t)Re[F (eit)]dt = Re[F (z)].


Dado que G(z) y F (z) son funciones analıticas en D, cuyas partes reales coincidenpara todo z ∈ D, su diferencia es una funcion constante en el disco unitario (Ver [16],problema 13, Cap. 1).

Puesto que G(0) = 12π

∫ π−π Re[F (eit)]dt ∈ R, se sigue que

G(0) = Re[G(0)] = Re[F (0)].

En consecuencia

F (z)−G(z) = F (0)−G(0) = F (0)−Re[F (0)] = Im[F (0)].

Finalmente

F (z) = G(z) + iIm[F (0)] =1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[F (eit)]dt+ iIm[F (0)].

La representacion de Poisson para funciones en H1 sera de mucha utilidad parademostrar algunos resultados en capıtulos posteriores, pero por el momento, podemospresentar una aplicacion de esta representacion en la demostracion de un famosoteorema debido a los hermanos Frigyes y Marcel Riesz.

Teorema 2.16. Sea µ una medida de Borel en [−π, π] cuyos coeficientes de Fourierse anulan para todas las frecuencias negativas, esto es

π∫−π

eijtdµ(t) = 0 ∀j ∈ N.

Entonces µ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, es decir,dµ(t) = f(t)dt para alguna f ∈ L1([−π, π]).

Demostracion. Denotemos por aj los coeficientes de Fourier de µ y sea F la integralde Poisson de µ, entonces

F (reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t) =1

2π

π∫−π

∞∑k=−∞

r|k|eik(θ−t)dµ(t)

=∞∑

k=−∞r|k|eikθ

12π

π∫−π

e−iktdµ(t)

=∞∑k=0

akrkeikθ.


Resulta entonces, que F (z) =∑∞

k=0 akzk es una funcion holomorfa en D.

Por otra parte, dado que ∀r ∈ [0, 1)π∫−π

|F (reit)|dt ≤π∫−π

d|µ|(t)

vemos que F ∈ H1. Denotemos por f(t) al lımite no tangencial de F (z). De acuerdocon el Corolario 2.13 F = P (f), ademas, por el Teorema 2.11 se tiene que f ∈L1([−π, π]).

En sıntesis P (µ) = F (reit) = P (f), esto es

∞∑j=−∞

ajr|j|eijθ =

12π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt

=1

2π

π∫−π

∞∑k=−∞

r|k|eik(θ−t)f(t)dt

=∞∑

k=−∞

12π

π∫−π

e−iktf(t)dt

r|k|eik(θ).

De lo anterior se concluye que aj = 12π

∫ π−π e

−ijtf(t)dt ∀j ∈ Z, esto es, las medidasf(t)dt y dµ(t) tienen los mismos coeficientes de Fourier. Por tanto f(t)dt = dµ(t) (ver[10], Corolario de la p. 35).

Corolario 2.17. Sea F ∈ H1 y supongase que su funcion frontera F (eit) coincidecasi en todas partes con una funcion de variacion acotada. Entonces F (z) puedeser extendida a una funcion continua en D y F (eit) es una funcion absolutamentecontinua.

Demostracion. Si demostramos que F (eit) coincide casi en todas partes con una fun-cion absolutamente continua h, habremos terminado: como F = P (h), se sigue queF (reit)→ h(t) uniformemente en t cuando r → 1 y esto implica la continuidad de Fen D.

Supongamos que F (eit) = f(t) para casi toda t, con f(t) una funcion de variacionacotada. El espacio de funciones normalizadas de variacion acotada en [−π, π] esta for-mado por funciones k ∈ BV [−π, π] tales que k(−π) = 0 y k(t+) = k(t) ∀t ∈ (−π, π).Puesto que f ∈ BV [−π, π], existe una unica funcion g ∈ NBV [−π, π] tal que

π∫−π

ϕ(t)f(t)dt =

π∫−π

ϕ(t)g(t)dt ∀ϕ ∈ C([−π, π]).


De hecho, dicha funcion esta definida como

g(t) =

0 si t = −π

f(t+)− f(−π) si − π < t < π

f(π)− f(−π) si t = −π.

Como f es de variacion acotada, su conjunto de puntos de discontinuidad es a losumo numerable y consecuentemente f(t+) = f(t) para casi toda t ∈ [−π, π]. Luego,tenemos que g(t) = f(t)− f(a) para casi toda t en [−π, π].

Tambien existe una correspondencia biyectiva entre el espacio de medidas de Borelde variacion finita en [−π, π] y el espacio NBV [−π, π] (Ver [9], Teo. 19.48 p. 331 o [1],Teo. 13.2 p.226): dada k ∈ NBV [−π, π] existe una medida de Borel µ : B([−π, π])→C tal que µ(a, t] = k(t) − k(a). Recıprocamente, dada µ una medida de Borel devariacion finita, la funcion k(t) =

∫ t−π dµ(s) es una funcion en NBV [−π, π].

Por tanto, f(t) = C + g(t) donde g(t) =∫ t−π dµ(s) para casi toda t y para alguna

medida de Borel µ en [−π, π].

Por otra parte, si F (z) =∑∞

k=0 akzk entonces ∀j ∈ N

π∫−π

F (reit)eijtdt =

π∫−π

( ∞∑k=0

akrkeikt

)eijtdt

=∞∑k=0

akrk

π∫−π

ei(j+k)tdt

= 0.

De esta manera, podemos integrar por partes para calcular los coeficientes de Fourier


con frecuencias negativas de µ:

12π

π∫−π

eijtdµ(t) =1

2πeijtg(t)

∣∣π−π −

ij

2π

π∫−π

eijtg(t)dt

=1

2πg(π)(eijπ − e−ijπ) +

Cij

2π

π∫−π

eijtdt− ij

2π

π∫−π

eijtF (eit)dt

= − ij2π

π∫−π

eijtF (eit)dt

= lımr→1

−ij2π

π∫−π

F (reit)eijtdt

= 0.

Con lo anterior, hemos demostrado que los coeficientes de Fourier de µ corres-pondientes a frecuencias negativas son cero y por el Teorema de los hermanos Riesz,sabemos que dµ(t) = k(t)dt para alguna funcion k(t) integrable en [−π, π].

Ası g(t) =∫ t−π k(s)ds y por tanto g(t) es absolutamente continua. Luego, tambien

f(t) es absolutamente continua y se sigue el resultado.

2.3. Algunas Desigualdades Clasicas

A lo largo de esta seccion demostraremos algunas desigualdades clasicas comola desigualdad de Hardy y la desigualdad de Fejer-Riesz. Ademas, estableceremosalgunas relaciones entre el espacio H1 y un subespacio de L1[−π, π].

Teorema 2.18 (Desigualdad de Hardy). Sea F (z) =∑∞

j=0 ajzj una funcion en H1.

Entonces existe una constante C independiente de F tal que

∞∑j=0

|aj |j + 1

≤ C‖F‖H1 .

Demostracion. Primero demostraremos el resultado con la hipotesis adicional de queaj ≥ 0 para toda j. Posteriormente, demostraremos que para cada F existe unafuncion G(z) =

∑∞j=0Ajz

j tal que ‖G‖H1 ≤ ‖F‖H1 y |aj | ≤ Aj para toda j =0, 1, 2, . . ., con lo cual habremos terminado.

2.3 Algunas Desigualdades Clasicas 53

Supongamos pues, que los coeficientes aj de F son no negativos y para cada z ∈ Ddefinamos u(z) = Im[log(1−z)], donde hemos elegido la rama principal del logaritmo.

Notese que u(z) es una funcion armonica en D que satisface −π/2 < u(z) < π/2,ya que −π < arg(z) < π.

Puesto que la expansion en serie de Taylor de log(1− z) es∞∑j=1

(−1)j−1

j(−z)j = −

∞∑j=1

zj

j

tenemos la siguiente expresion para u(z):

u(reit) =12i

[log(1− reit)− log(1− reit)

]=

12i

− ∞∑j=0

(rjeijt)j

+∞∑j=0

(rje−ijt)j

=i

2

∞∑j=0

(rjeijt)j

+∞∑j=0

(rje−ijt)−j

=i

2

∞∑j=−∞j 6=0

r|j|eijt

j.

Ası, para r < 1 tenemos

12π

π∫−π

F (reit)u(reit)dt =1

2π

π∫−π

∞∑j=0

ajrjeijt

i

2

∞∑k=−∞k 6=0

r|k|eikt

k

dt

=1

2π

π∫−π

i

2

∞∑k=1

ak−k

rkr|−k|dt

=−i2

∞∑k=1

akkr2k

y dado que aj ≥ 0 tendremos que

∞∑k=1

akkr2k = 2

∣∣∣∣∣∣ 12π

π∫−π

F (reit)u(reit)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ π‖F‖H1 .

Haciendo r tender a uno obtenemos∞∑k=1

akk≤ π‖F‖H1 .


Como F (z) es la integral de Cauchy de su funcion frontera (Corolario 2.13), sabe-mos que

a0 = F (0) =1

2π

π∫−π

F (eit)dt =

∣∣∣∣∣∣ 12π

π∫−π

F (eit)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ ‖F‖H1

y ası∞∑j=0

ajj + 1

= a0 +∞∑j=1

ajj + 1

≤ a0 +∞∑j=1

ajj≤ (1 + π)‖F‖H1 .

Veamos ahora como obtener G para demostrar el caso general. Sabemos que pode-mos escribir F = F1 ·F2 con ‖F1‖H2 = ‖F1‖H2 = ‖F‖1/2

H1 . Sean∑∞

j=0 bjzj y∑∞

j=0 cjzj

la expresion en series de F1 y F2, respectivamente y definamos G1(z) =∑∞

j=0 |bj |zj

y G2(z) =∑∞

j=0 |cj |zj . La caracterizacion dada en el Proposicion 2.1 implica que

‖G1‖H2 =

∞∑j=0

|bj |21/2

= ‖F1‖H2

‖G2‖H2 =

∞∑j=0

|cj |21/2

= ‖F2‖H2

Definamos ahora G(z) = G1(z)G2(z), la desigualdad de Holder asegura que Gpertence a H1, ademas

‖G‖H1 ≤ ‖G1‖H2‖G2‖H2 = ‖F1‖H2‖F2‖H2 = ‖F‖H1 .

Observemos tambien que la expansion en serie de Taylor de G(z) es∑∞

j=0Ajzj con

Aj =∑j

k=0 |bk||cj−k|, y como aj =∑j

k=0 bkcj−k, es claro que |aj | ≤ Aj ∀j = 0, 1, 2, ....

Por todo lo expuesto hasta aquı, podemos concluir que

∞∑j=0

|aj |j + 1

≤∞∑j=0

Ajj + 1

≤ (1 + π)‖G‖H1 ≤ (1 + π)‖F‖H1 .

El Teorema 2.11 implica que el mapeo H1 → L1([−π, π]) tal que F (z) 7→ f(t) =F (eit) es una isometrıa lineal. Por medio de esta isometrıa, podemos identificar a H1

con un subespacio de L1([−π, π]) el cual denotaremos tambien por H1. No habra am-biguedades al llamar a estos espacios de la misma forma, por la manera en que hemos


distinguido a las funciones holomorfas escribiendolas con letras mayusculas y sus fun-ciones frontera con letras minusculas o como F (eit). Notese tambien, que podemospasar del espacio H1 de funciones holomorfas al subespacio de L1([−π, π]), tomandoel lımite radial de nuestra funcion analıtica. Recıprocamente, para pasar del subes-pacio de L1([−π, π]) a H1, solamente necesitamos calcular la integral de Poisson dela funcion frontera para recuperar a nuestra funcion holomorfa. Lo anterior tambiensera util cuando estudiemos a Hp en general, como subespacio de Lp([−π, π]).

Observese que si F (z) =∑∞

j=0 ajzj ∈ H1, los coeficientes de Fourier de f(t) =

F (eit) seran f(j) = aj si j = 0, 1, 2, . . . y f(j) = 0 si j < 0. De esta manera, podemosescribir la desigualdad de Hardy de la siguiente forma:

∞∑j=0

|f(j)|j + 1

≤ C‖f‖1.

En L1([−π, π]) tambien podemos definir el subespacio ReH1 como

ReH1 = g ∈ L1([−π, π]) : g = Re[f ] para alguna f ∈ H1.

Para establecer la desigualdad de Hardy en terminos de funciones en ReH1 nece-sitamos de la siguiente

Proposicion 2.19. Si g ∈ ReH1, entonces existe una unica funcion F (z) ∈ H1 talque Re[F (eit)] = g(t) y F (0) ∈ R.

Demostracion. Dado que g ∈ ReH1, existe G(z) ∈ H1 tal que g = Re[G(eit)]. Por elCorolario 2.15

G(z) =1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[G(eit)]dt+ iIm[G(0)].

Definamos F (z) = G(z)−iIm[G(0)], entonces F (z) cumple con las condiciones de-seadas, pues F (eit) = G(eit)−iIm[G(0)] y esto implica que Re[F (eit)] = Re[G(eit)] =g(t) y F (0) = G(0)− iIm[G(0)] = Re[G(0)] ∈ R.

Tambien F es unica, pues si G y F son funciones en H1 tales que Re[G(eit)] =


Re[F (eit)] = g(t) y F (0), G(0) ∈ R, por el Corolario 2.15 tendremos que

G(z) =1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[G(eit)]dt

=1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zg(t)dt

=1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zRe[H(eit)]dt

= F (z)

y por tanto G(z) = F (z).

Gracias a esta Proposicion, se tiene una correspondencia biyectiva entre ReH1 ylas funciones F (z) ∈ H1 tales que F (0) es real. En virtud de lo anterior, para cadag ∈ ReH1 podemos definir ‖g‖ReH1 = ‖F‖H1 .

Calculemos ahora los coeficientes de Fourier de g ∈ ReH1. Si F (z) =∑∞

j=0 ajzj

es la funcion en H1 con F (0) ∈ R que corresponde a g(t), entonces

g(j) =1

2π

π∫−π

Re[F (eit)]e−ijtdt

= lımr→1

12π

π∫−π

Re[F (reit)]e−ijtdt

= lımr→1

12π

π∫−π

12

( ∞∑k=0

akrkeikt +

∞∑k=0

akrke−ikt

)e−ijtdt

= lımr→1

12π

π∫−π

12

∑k≥0

akrkei(k−j)t +

∑k≤0

a−krkei(k−j)t

dt

y ası

g(j) =

a−j

2 si j < 0a0 si j = 0aj2 si j > 0.

Por tanto, podemos ver a la desigualdad de Hardy en terminos de los coeficientes


de Fourier de cualquier g ∈ ReH1:

∞∑j=−∞j 6=0

∣∣∣∣ g(j)j

∣∣∣∣ =∞∑j=1

|aj |j≤ C‖F‖H1 = C‖g‖ReH1 .

Por ultimo, observemos que ReH1 es un subespacio propio de ReL1([−π, π]). Parademostrarlo, construiremos una funcion f que pertenece a ReL1([−π, π]) cuya serie∑j∈Z\0

|f(j)|j

es infinita y por tanto, dicha funcion no puede pertenecer a ReH1.

Recordemos que si (aj)∞j=0 es una sucesion convexa que converge a cero, entonces

a0

2+∞∑j=1

aj cos(jt) (2.7)

converge excepto posiblemente en t = 0, a una funcion integrable no negativa f(t)cuya serie de Fourier es (2.7) (Ver [17], Cap. V).

Observemos ahora que la sucesion ( 1log j )

∞j=2 es convexa y converge a cero, por lo

cual

f(t) =∞∑j=2

cos(jt)log j

es una funcion en ReL1([−π, π]).

Sin embargo, f(t) /∈ ReH1: los coeficientes de Fourier de f son 1log j si j > 1 y

cero si j ≤ 2, ademas

lımj→∞

j∫2

dt

t log t= +∞

y por el criterio de la integral tenemos que

∞∑j=2

|f(j)|j

=∞∑j=2

1j log j

= +∞.

En el Capıtulo 3 demostraremos que ReHp = ReLp([−π, π]) para 1 < p < ∞.Aunque no lo probaremos aquı, la desigualdad de Hardy es una extension a p = 1 dela desigualdad de Paley, la cual establece que para f ∈ Lp([−π, π]) con 1 < p ≤ 2 setiene

∞∑j=−∞

|f(j)|p

|j|2−p≤ Cp‖f‖pp.


Para finalizar este Capıtulo, demostraremos la siguiente desigualdad, que resultade interes porque compara la integral en el segmento [−1, 1] con la integral en elcırculo de un elemento de Hp.

Teorema 2.20 (Desigualdad de Fejer-Riesz). Sea F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, entonces

1∫−1

|F (x)|pdx ≤ 12

π∫−π

|F (eit)|pdt.

Demostracion. Demostraremos primero el caso p = 2: tomemos 0 < r < 1 y aplique-mos el Teorema de Cauchy a la funcion holomorfa F (z)F (z), sobre el segmento [−r, r]seguido del semicırculo reiθ : 0 ≤ θ ≤ π. Obtendremos entonces

r∫−r

|F (x)|2dx+ ir

π∫0

F (reit)F (re−it)eitdt = 0

y en consecuencia

0 ≤r∫−r

|F (x)|2dx = −irπ∫

0

F (reit)F (re−it)eitdt

≤ rπ∫

0

|F (reit)||F (re−it)|dt

≤

π∫0

|F (reit)|2dt

1/2 π∫0

|F (re−it)|2dt

1/2

=

π∫0

|F (reit)|2dt

1/2 0∫−π

|F (reit)|2dt

1/2

≤ 12

π∫0

|F (reit)|2dt+

0∫−π

|F (reit)|2dt

≤ 1

2

π∫−π

|F (eit)|2dt.

Finalmente, haciendo r → 1 tenemos1∫−1

|F (x)|2dx ≤ 12

π∫−π

|F (eit)|2dt.


Para demostrar el caso general, escribamos F (z) = B(z)H(z) donde B(z) es el pro-ducto de Blaschke formado con los ceros de F y H ∈ Hp no tiene ceros en D y‖H‖Hp = ‖F‖Hp .

Para z ∈ D definamos la funcion holomorfa K(z) = logH(z) y sea G(z) = ep2K(z).

Entonces|G(z)|2 = |eK(z)|p = |H(z)|p

y por tanto ‖G‖2H2 = ‖H‖pHp = ‖F‖pHp . Consecuentemente

1∫−1

|F (x)|pdx ≤1∫−1

|H(x)|pdx =

1∫−1

|G(x)|2dx

≤ 12

π∫−π

|G(eit)|2dt =2π2‖G‖2H2

=2π2‖F‖pHp =

12

π∫−π

|F (eit)|pdt.


3Capıtulo

La Funcion Conjugada

Se sabe que en una region simplemente conexa Ω, una funcion u con valores reales,es armonica si y solo si existe una funcion F holomorfa en Ω tal que Re[F (z)] = u(z).De lo anterior, tambien podemos concluir que toda funcion armonica en Ω tieneun conjugado armonico, a saber, v(z) = Im[F (z)]. En virtud de las ecuaciones deCauchy-Riemann, este conjugado armonico estara determinado de manera unica salvouna constante aditiva.

Ahora bien, si f es una funcion integrable en [−π, π], su integral de Poisson u =P (f), resulta ser una funcion armonica (Consultar Apendice ). Podemos entoncesdenotar por v al conjugado armonico de u determinado por la condicion v(0) = 0 yestudiar el lımite

lımr→1

v(reit). (3.1)

Observemos primero, que el lımite en (3.1) efectivamemente existe: si escribimosf = f+ − f− podemos restringir nuestra atencion al caso f ≥ 0, lo cual implica queu ≥ 0 y la existencia del lımite se seguira del siguiente Teorema.

Teorema 3.1. Sea F (z) una funcion holomorfa en D tal que Re[F (z)] ≥ 0 para todaz ∈ D. Entonces, F tiene lımites no tangenciales casi en todo punto frontera.

Demostracion. Para cada z ∈ D, definamos G(z) = [1 + F (z)]−1. Dado que

1 ≤ Re[1 + F (z)] ≤ |1 + F (z)|

61

62 La Funcion Conjugada

se tiene que |G(z)| ≤ 1 ∀z ∈ D y por tanto G ∈ H∞.

De acuerdo con el Teorema de Fatou

lımN.T.

z→eitG(z) = G(eit)

existe y es distinto de cero para casi toda t. Pero F (z) = G−1(z)− 1 y por tanto

lımN.T.

z→eitF (z) = F (eit)

existe casi en todas partes y es igual a G−1(eit)− 1.

Ahora es posible dar la siguiente definicion sin ningun tipo de ambiguedades:

Definicion 3.2. Sea f(t) una funcion 2π-periodica integrable en [−π, π]. Sea u(reit)su integral de Poisson y sea v(reit) el conjugado armonico de u determinado de ma-nera unica por la condicion v(0) = 0. Definimos la funcion conjugada de f como

f(t) = lımr→1

v(reit).

3.1. La Desigualdad de Marcel Riesz

En esta seccion demostraremos el Teorema de Marcel Riesz, el cual establece queel operador funcion conjugada (f 7→ f) es acotado en Lp([−π, π]) para p ∈ (1,∞). Eloperador funcion conjugada tambien se conoce como la Transformada de Hilbert enel cırculo. El siguiente Teorema sera pieza clave en la prueba del Teorema de MarcelRiesz:

Teorema 3.3. Para cada p ∈ (1, 2] existe una constante Cp tal que para cada funcionF (z) = u(z) + iv(z) holomorfa en D, con u(z) > 0 en D, v real valuada y v(0) = 0,la desigualdad

π∫−π

|v(reit)|pdt ≤ Cp

π∫−π

|u(reit)|pdt

se satisface para toda r ∈ (0, 1).

Demostracion. Dado que Re[F (z)] > 0, podemos escribir F (z) = |F (z)|eiϕ(z) dondeϕ(z) = arg(F (z)). Podemos escribir tambien u(z) = |F (z)| cosϕ(z) y v(z) = |F (z)| senϕ(z).

3.1 La Desigualdad de Marcel Riesz 63

Si demostramos que existen constantes positivas Cp y Dp para las cuales se verifica

| sen θ|p ≤ Cp| cos θ|p −Dp cos(pθ) si |θ| < π

2(3.2)

el Teorema quedarıa probado, puesπ∫−π

|v(reit)|pdt =

π∫−π

|F (reit)|p| sen(ϕ(reit))|pdt

≤ Cp

π∫−π

|F (reit)|p| cos(ϕ(reit))|pdt−Dp

π∫−π

|F (reit)|p cos(pϕ(reit))dt

= Cp

π∫−π

|u(reit)|pdt−Dp

π∫−π

Re[F p(reit)]dt

= Cp

π∫−π

|u(reit)|pdt− 2πDpRe[F p(0)]

≤ Cp

π∫−π

|u(reit)|pdt.

Probemos ahora (3.2): elijamos δ de modo que π/2 < p(π/2 − δ). Entonces siπ/2− δ < |θ| < π/2 tendremos

π

2 0 suficientemente grande tal que

para π/2− δ < |θ| < π/2 se satisfaga

| sen θ|p < Dp(− cos |pθ|) ≤ K| cos θ|p −Dp cos(pθ)

donde K es cualquier constante positiva.

Veamos que hacer cuando |θ| ≤ π2 − δ: en este caso, tenemos que

0 < sen δ = cos(π

2− δ) ≤ cos |θ| = cos θ.

Ası, podemos elegir Cp > 0 suficientemente grande, de manera que 1 ≤ Cp(sen δ)p−Dp. Luego

| sen θ|p < 1 ≤ Cp(sen δ)p −Dp

≤ Cp| cos θ|p −Dp cos(pθ).


En resumen, hemos probado que si |θ| < π2 , existen constantes Cp y Dp tales que

| sen θ|p ≤ Cp| cos θ|p −Dp cos(pθ)

y por tanto, el Teorema queda demostrado.

Como Corolario obtenemos el acotamiento del operador Lp([−π, π])→ Lp([−π, π])tal que f 7→ f .

Corolario 3.4 (Desigualdad de Marcel Riesz). Para cada 1 < p < ∞, existe unaconstante Bp tal que

π∫−π

|f(t)|pdt ≤ Bp

π∫−π

|f(t)|pdt

para toda f ∈ Lp([−π, π]).

Demostracion. Probaremos primero el Corolario para f ∈ Lp([−π, π]) con p ∈ (1, 2].Debido a que

|α− β|p ≤ max1, 2p−1(|α|p + |β|p)

bastara probar el resultado para aquellas funciones que solo toman valores reales. Masaun, la linealidad del operador funcion conjugada nos permitira asumir que f ≥ 0,no identicamente cero.

Denotemos por u a la integral de Poisson de f y por v a su conjugado armonicoque satisface v(0) = 0. Dado que f(t) = lım

r→1v(reit), el lema de Fatou implica que

π∫−π

|f(t)|pdt ≤ lım infr→1

π∫−π

|v(reit)|pdt

≤ Cp lım infr→1

π∫−π

|u(reit)|pdt

≤ Cp

π∫−π

|f(t)|pdt

donde la segunda desigualdad se sigue del Teorema 3.3. Lo anterior, prueba la des-igualdad de Marcel Riesz para 1 < p ≤ 2.

Pasemos ahora al caso 2 < p < ∞. Denotemos por p′ al exponente conjugado dep, claramente 1 < p′ < 2. De nuevo, denotemos por u a la integral de Poisson de f ypor v al conjugado armonico de u que se anula en cero.

3.1 La Desigualdad de Marcel Riesz 65

Notese que para r < 1, gracias al Teorema de Representacion de Riesz, podemosescribir

π∫−π

|v(reit)|pdt = sup

∣∣∣∣∣∣π∫−π

v(reit)g(t)dt

∣∣∣∣∣∣ : g ∈ Lp′([−π, π]), 2π‖g(t)‖p′ ≤ 1

. (3.3)

Afirmamos que para toda g ∈ Lp′([−π, π]) con 2π‖g(t)‖p′ ≤ 1

π∫−π

v(reit)g(t)dt = −π∫−π

u(reit)g(t)dt. (3.4)

En efecto: supongamos que g ≥ 0. Sea h = P (g) y denotemos por w(z) al conjugadoarmonico de h que se anula en cero. Observese que para 0 < s < 1 se tiene

π∫−π

[v(rseit)h(seit) + u(rseit)w(seit)]dt = 0 (3.5)

ya que v(rz)h(z) +u(rz)w(z) es una funcion armonica (es la parte imaginaria de unafuncion holomorfa) que se anula en cero.

Como p′ ∈ (1, 2], podemos aplicar el Teorema 3.3 a la funcion holomorfa h(z) +iw(z) para obtener

π∫−π

|w(reit)|p′dt ≤ Cp′π∫−π

|h(reit)|p′dt

y puesto que h esta uniformemente en Lp′([−π, π]), tambien lo hace w, aun mas

h = P (g) pues lıms→1

w(seit) = g(t).

Tenemos entonces que h(seit) converge a g(t) y w(seit) converge a g(t) cuando stiende a uno en Lp

′([−π, π]). De (3.5) se sigue que si s→ 1, entonces

0 =

π∫−π

[v(rseit)h(seit) + u(rseit)w(seit)]dt −→π∫−π

[v(reit)g(t) + u(reit)g(t)]dt

pues u(rseit) y v(rseit) convergen uniformemente en t a u(reit) y v(reit), respectiva-mente, y ademas las cuatro funciones son acotadas.

Lo anterior implica la afirmacion en (3.4):

π∫−π

v(reit)g(t)dt = −π∫−π

u(reit)g(t)dt.


Observemos ahora que∣∣∣∣∣∣π∫−π

u(reit)g(t)dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ π∫−π

|u(reit)|p1/p π∫

−π

|g(t)|p′1/p′

≤

π∫−π

|f(t)|p1/p π∫

−π

|g(t)|p′1/p′

≤ B1/p′

p′

π∫−π

|f(t)|p1/p π∫

−π

|g(t)|p′1/p′

≤ B1/p′

p′

π∫−π

|f(t)|p1/p

.

De lo anterior y en virtud de (3.3) y (3.4) tenemos que π∫−π

|v(reit)|pdt

1/p

≤ B1/p′

p′

π∫−π

|f(t)|pdt

1/p

.

Finalmente, usando el Lema de Fatou tendremos π∫−π

|f(t)|pdt

1/p

≤ B1/p′

p′

π∫−π

|f(t)|pdt

1/p

con lo cual queda demostrado el corolario.

Aunque no lo demostraremos en este trabajo, es importante mencionar que unaconsecuencia de la Desigualdad de Marcel Riesz es la convergencia en norma ‖ · ‖p dela serie de Fourier de f ∈ Lp([−π, π]) a f (Ver [10], p.49).

Corolario 3.5. Si F ∈ Hp, con 1 < p <∞, entonces para cada 0 ≤ r < 1 se satisface 12π

π∫−π

|Im[F (reit)]|pdt

1/p

≤ B1/pp

12π

π∫−π

|Re[F (reit)]|pdt

1/p

+ |Im[F (0)]|.

Demostracion. Sea u = Re[F ] y sea v el conjugado armonico de u que se anula encero. Es claro que

Im[F (z)] = v(z) + Im[F (0)].

3.2 El Operador Funcion Conjugada en L1([−π, π]) 67

Para s < 1 fijo, podemos escribir

u(rseiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)Re[F (seit)]dt

v(rseiθ) = Im[F (rseit)]− Im[F (0)].

Notese que la funcion conjugada de u(seit) es v(seit) = Im[F (seit)]− Im[F (0)] ypor la desigualdad de Marcel Riesz 1

2π

π∫−π

|Im[F (reit)]− Im[F (0)]|pdt

1/p

≤ B1/pp

12π

π∫−π

|Re[F (reit)]|pdt

1/p

.

De donde se sigue que 12π

π∫−π

|Im[F (reit)]|pdt

1/p

− |Im[F (0)]| ≤ B1/pp

12π

π∫−π

|Re[F (reit)]|pdt

1/p

.

3.2. El Operador Funcion Conjugada en L1([−π, π])

La Desigualdad de Marcel Riesz no puede extenderse a L1([−π, π]) ni a L∞([−π, π]),sin embargo, en L1([−π, π]) podemos demostrar resultados sobre el comportamientodel operador funcion conjugada. Por el momento daremos una formula para calcularel conjugado armonico de u = P (f) cuando f es real valuada.

Sabemos que si u es una funcion armonica en D(0, R) que toma valores reales,entonces tiene una representacion en series como u(reiθ) =

∑j∈Z ajr

|j|eijθ, la cualconverge uniformemente en compactos de D(0, R).

Nuestro objetivo es encontrar v(reiθ), el conjugado armonico de u(reiθ) tal quev(0) = 0. El conjugado armonico v, debe satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∂v

∂θ= r

∂u

∂ry∂v

∂r=−1r

∂u

∂θ.

Por consiguiente

∂v

∂θ= r

∑j∈Zj 6=0

|j|ajr|j|−1eijθ =∑j∈Zj 6=0

|j|ajr|j|eijθ


y consecuentemente

v(reiθ) = −i∑j∈Zj 6=0

|j|jajr|j|eijθ + ψ(r). (3.6)

Tambien tenemos∂v

∂r= −1

r

∑j∈Zj 6=0

ijajr|j|eijt. (3.7)

Derivando con respecto a r en (3.6) e igualando a (3.7) se obtiene

−i∑j∈Zj 6=0

|j|j|j|ajr|j|−1eijθ + ψ′(r) = −

∑j∈Zj 6=0

ijajr|j|−1eijθ

y de lo anterior, se concluye que ψ(r) = C. Como v(0) = 0, se tiene que C debe sercero y entonces

v(reiθ) = −i∑j∈Z

sgn(j)ajr|j|eijθ

donde sgn(0) = 0.

Veamos ahora que sucede cuando u = P (µ) con µ una medida de Borel en [−π, π].Sabemos que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t).

Como Pr(θ − t) =∑

j∈Z r|j|eij(θ−t), se sigue que

u(reiθ) =∑j∈Z

ajr|j|eijθ

donde aj es el coeficiente de Fourier de µ correspondiente a la frecuencia j. En con-secuencia

v(reiθ) = −i∑j∈Z

sgn(j)ajr|j|eijθ

=1

2π

π∫−π

−∑j∈Z

isgn(j)r|j|eij(θ−t)dµ(t).

Denotemos por Qr(θ) a la serie −∑

j∈Z isgn(j)ajr|j|eiθ. Es sencillo ver que

Qr(θ) =2r sen θ

1− 2r cos θ + r2.


Por consiguiente, tendremos que

v(reiθ) =1

2π

π∫−π

Qr(θ − t)dµ(t) =1

2π

π∫−π

2r sen(θ − t)1− 2r cos(θ − t) + r2

dµ(t). (3.8)

Proposicion 3.6. La funcion Qr(θ) definida anteriormente, se llama Nucleo dePoisson Conjugado y tiene las siguientes propiedades:

i) Qr(θ) es una funcion impar.

ii) Qr(θ) ≤ 0 si θ ∈ [−π, 0] y Qr(θ) ≥ 0 si θ ∈ [0, π].

iii)

π∫−π

Qr(θ)dθ = 0.

iv) lımr→1

π∫−π

|Qr(θ)|dθ =∞.

Demostracion. El inciso i) se tiene porque sen θ es impar y cos θ es par, ii) es validoporque el numerador en Qr(θ) siempre es mayor que cero, sen θ ≤ 0 en [−π, 0] ysen θ ≥ 0 en [0, π]. El inciso iii) se sigue trivialmente de i).

Finalmente, de ii) y ii) se tiene que∫ π−π |Qr(θ)|dθ = 2

∫ π0 Qr(θ)dθ. Pero

lımr→1

2

π∫0

Qr(θ)dθ = lımr→1

2 log(1− 2r cos θ + r2)∣∣π0

= lımr→1

4 log1 + r

1− r=∞.

Observacion 3.7. La proposicion anterior, nos permitira mostrar que el operadorfuncion conjugada no es acotado en L1([−π, π]):

Para 0 ≤ r < 1 , consideremos las funciones f(t) = Pr(t) = 1−r2

1−2r cos t+r2 las cualespertenecen a L1([−π, π]). Consideremos tambien la medida dµ(t) = f(t)dt.


El conjugado armonico de u = P (f) es

v(seiθ) = −i∑j∈Z

sgn(j)

12π

π∫−π

e−ijtPr(t)dt

s|j|eijθ= −i

∑j∈Z

sgn(j)

12π

π∫−π

∑k∈Z

r|k|eit(k−j)dt

s|j|eijθ= −i

∑j∈Z

sgn(j)r|j|s|j|eijθ

=2rs sen θ

1− 2sr cos θ + (sr)2.

Por tanto Pr(θ) = lıms→1

v(seiθ) = Qr(θ).

Recordemos ahora que para toda r ∈ [0, 1) se tiene∫ π−π |Pr(t)|dt =

∫ π−π Pr(t)dt =

2π. Ahora bien, si el operador funcion conjugada fuera acotado en L1([−π, π]), exis-tirıa una constante M > 0 tal que

‖f‖1 ≤M‖f‖1 ∀f ∈ L1([−π, π]).

En particular, se tendrıa que

‖Qr‖1 ≤M‖Pr‖1 = M ∀r ∈ [0, 1)

lo cual contradice iv) en la Proposicion 3.6.

Observacion 3.8. El operador funcion conjugada tampoco es continuo en L∞([−π, π]):

Si lo fuera, tendrıamos que ∼t: (L∞([−π, π]))∗ → (L∞([−π, π]))∗ tambien serıaacotado. Como L1([−π, π]) se encuentra isometricamente inmerso en el dual de L∞([−π, π]),lo anterior implicarıa la continuidad del operador funcion conjugada en L1([−π, π]),pero por la observacion 3.7 esto no es posible.

Las observaciones anteriores nos impiden extender el Corolario 3.4 a los casosp = 1 y p =∞. Sin embargo, tenemos un resultado sustituto para el caso p = 1:

Teorema 3.9 (Kolmogorov). El operador funcion conjugada es de tipo debil (1,1),es decir, existe C > 0, tal que para cada f ∈ L1([−π, π]) y cada λ > 0, la medida deLebesgue del conjunto

Eλ = t ∈ [−π, π] : |f(t)| > λ


satisface

|Eλ| ≤C

λ

π∫−π

|f(t)|dt.

De esta manera, |Eλ| tiende a cero si λ tiende a infinito.

Demostracion. Supongamos primero que f ≥ 0 con ‖f‖1 = 1 y fijemos λ > 0.Consideremos ahora a la funcion ϕ(z) = z−iλ

z+iλ , entonces ϕ(z) es holomorfa en z ∈ C :Re[z] > 0. Mas aun, ϕ(z) es conforme en dicho conjunto, pues ϕ′(z) = 2iλ

(z+iλ)2 6= 0.

Notemos ahora que ϕ(z) transforma el semiplano Re[z] > 0 en el semiplanoIm[z] < 0: si z = x+ iy, entonces

ϕ(x+ iy) =x2 + y2 − λ2 − 2ixλ

x2 + (y + λ)2. (3.9)

Si hacemos que x tienda a cero en (3.9), tendremos que ϕ(z) tendera a y−λy+λ , por

lo que deducimos que la frontera de ϕ(z ∈ C : Re[z] > 0) es el eje real. Ademas,si tomamos z0 = λ, tendremos que ϕ(z0) ∈ z ∈ C : Im[z] < 0, como ϕ(z) es unmapeo conforme, podemos concluir que ϕ(z ∈ C : Re[z] > 0) = z ∈ C : Im[z] < 0(Consultar [12], p. 322).

Podemos determinar a la funcion arg(z) de forma que para z ∈ z ∈ C : Im[z] <0 se tenga −π < arg(z) < 0. En z ∈ C : Re[z] > 0, definamos hλ(z) = 1 +1π argϕ(z).

Notese que hλ(z) armonica, pues es la parte imaginaria de una funcion holomorfa.Ademas 0 < hλ(z) < 1 ∀z ∈ z ∈ C : Re[z] > 0.

Afirmamos que las curvas de nivel de hλ(z) son arcos de cırculos que pasan por±iλ.

En efecto: si hλ(z) = k, entonces

argz − iλz + iλ

= π(k − 1).

De manera que z−iλz+iλ representa una semirecta con argumento π(k − 1), digamos que

z − iλz + iλ

= teiθk t > 0, θk = π(k − 1).

La expresion anterior implica que

z = iλ

[1 + teiθk

1− teiθk

]. (3.10)


Ası, z es la imagen de la semirecta real positiva bajo la transformacion de Mobiusiλ[

1+teiθk

1−teiθk

]y por tanto, los puntos z se encuentran sobre una recta o un cırculo (Ver

[12], Prop. 5.2.3 p. 330). Observemos que la expresion en (3.10) no corresponde a laparametrizacion de una recta, por lo que necesariamente los puntos z correspondena un arco de cırculo. Cada uno de los cırculos mencionados anteriormente pasan por±iλ.

En particular, para k = 1/2 tendremos θk = π/2 y z = λ[

2t1+t2

+ i1−t21+t2

]. Como

∣∣∣∣ 2t1 + t2

+ i1− t2

1 + t2

∣∣∣∣ = 1

y Re[z] = 2t1+t2

> 0, estamos en el semicırculo λeit : −π/2 < t < π/2. Ası,hλ(z) = 1/2 si y solo si Re[z] > 0 y |z| = λ. Luego, Re[z] > 0 y |z| ≥ λ implican quehλ(z) ≥ 1/2.

Tambien es conveniente observar que

hλ(1) = 1 +1π

arg1− iλ1 + iλ

= 1 +1π

arg(

1− λ2

1 + λ2− i 2λ

1 + λ2

)= 1− 1

πarctan

2λ1− λ2

= 1− 2π

arctanλ

=2π

(π

2− arg λ)

≤ 2π

1λ

donde la ultima desigualdad se sigue de las siguientes afirmaciones: como lımx→∞

x(π/2−arctanx) = 0, ∃M > 0 tal que x ≥ M implica que π/2 − arctanx < 1/x. Si parax > 0 definimos G(x) = 1/x+ arctanx− π/2, tendremos que G′(x) < 0 ∀x > 0 y portanto G(x) es decreciente en R+. Luego G(x) ≥ G(M) > 0 si 0 < x < M , pero estoimplica que 1/x+ arctanx− π/2 = G(x) > 0 ∀x ∈ R+.

Denotemos ahora por u a la integral de Poisson de f y sea v el conjugado armonicode u determinado por la condicion v(0) = 0. Puesto que u(z) ≥ 0 ∀z ∈ D, podemosconsiderar la funcion armonica no negativa hλ(u(z) + iv(z)) y por la Propiedad delValor Medio tendremos que

12π

π∫−π

hλ(u(reit) + iv(reit))dt = hλ(u(0)) = hλ(1) ≤ 2π

1λ.


La tercera igualdad, se tiene por que u(0) = 12π

∫ π−π P0(t)f(t)dt = 1.

Por otra parte, si |v(reit)| > λ, entonces |u(reit)+iv(reit)| > λ y consecuentementehλ(u(reit) + iv(reit)) > 1/2.

De esta forma, si definimos el conjunto Aλ = t ∈ [−π, π] : |v(reit)| > λ ten-dremos

12π

12|Aλ| ≤

12π

∫Aλ

hλ(u(reit) + iv(reit))dt ≤ 2π

1λ

y ası |Aλ| ≤ 8λ .

Tomemos ahora una sucesion (rj)∞j=1 en (0, 1) tal que rj ↑ 1. Como f(t) =lımr→1

v(reit), sabemos que |f(t)| > λ si y solo si ∃J ∈ N tal que |v(rjeit)| > λ ∀j ≥ J ,

pero esto es equivalente a que t ∈ ∪∞k=1∩∞j=kθ : |v(rjeiθ)| > λ.Luego, |Eλ| = | ∪∞k=1 ∩∞j=kθ : |v(rjeiθ)| > λ| y como ∩∞j=kθ : |v(rjeiθ)| > λ es

creciente, se sigue que

|Eλ| = lımk→∞

| ∩∞j=k θ : |v(rjeiθ)| > λ| ≤ 8λ

=8λ‖f‖1 =

4λ

12π

π∫−π

|f(t)|dt.

Con esto queda probada la desigualdad de Kolmogorov para el caso f ≥ 0 conC = 4.

Ahora bien, si f es real, podemos escribir f = f+ − f− y observar que

|t : |f(t)| > λ| ≤ |t : |f+(t)| > λ/2|+ |t : |f−(t)| > λ/2|

≤ C

λ‖f+‖1+ ≤ C

λ‖f−‖1

≤ 2Cλ‖f‖1.

Basta usar la linealidad del operador funcion conjugada para mostrar el caso‖f‖1 6= 1 y el caso en que f(t) toma valores en los complejos.

Aun cuando el operador funcion conjugada no es continuo en L1([−π, π]), es aco-tado de L1([−π, π]) en Lp([−π, π]) para p ∈ (0, 1), para demostrarlo, necesitamos delsiguiente

Lema 3.10. Para cada f ∈ Lp([−π, π]), con 0 λ| y λ es mayor que cero.


Demostracion. Observemos primero que mf (λ) = |t ∈ [−π, π] : |f(t)| > λ| =∫ π−π χ(λ,∞)(|f(t)|)dt. Tambien notemos que ∀t ∈ [−π, π]

|f(t)|pdt =

|f(t)|∫0

pup−1du =

∞∫0

pup−1χ(0,|f(t)|)(u)du.

Finalmente, usando el Teorema de Fubini obtenemos

π∫−π

|f(t)|pdt =

π∫−π

∞∫0

pup−1χ(0,|f(t)|)(u)du

dt=

∞∫0

pup−1

π∫−π

χ(0,|f(t)|)(u)dt

du=

∞∫0

pup−1

π∫−π

χ(u,∞)(|f(t)|)dt

du=

∞∫0

pup−1mf (u)du.

Podemos ahora demostrar el siguiente resultado:

Corolario 3.11. Para cualquier f ∈ L1([−π, π]) y para toda p ∈ (0, 1) se verifica

12π

π∫−π

|f(t)|pdt

1/p

≤ C(1− p)−1/p

[1

2π|f(t)|dt

]

donde C es la misma constante que aparece en el Teorema (3.9).

Demostracion. Tomemos λ0 = C2π

∫ π−π |f(t)|dt con C como en el Teorema 3.9. En-


tonces usando el Lema anterior tenemos

π∫−π

|f(t)|pdt = p

∞∫0

λp−1|Eλ|dλ

= p

λ0∫0

λp−1|Eλ|dλ+ p

∞∫λ0

λp−1|Eλ|dλ

≤ 2πp

λ0∫0

λp−1dλ+ p

∞∫λ0

λp−2C

π∫−π

|f(t)|dt

dλ

= 2πλp0 +2πpλ0λ

p−10

1− p

=2πλp01− p

=2π

1− p

C2π

π∫−π

|f(t)|dt

p

y consecuentemente 12π

π∫−π

|f(t)|pdt

1/p

≤ C(1− p)−1/p

π∫−π

|f(t)|dt.

Gracias al corolario anterior podremos demostrar que el conjugado armonico dela integral de Poisson de una funcion f en L1([−π, π]) tambien cuenta con una repre-sentacion como integral de Poisson, en este caso, de la funcion conjugada de f . Estarepresentacion nos permitira estudiar a los subespacios Hp y ReHp en Lp([−π, π])para 1 ≤ p ≤ ∞.

Corolario 3.12. Sea f ∈ L1([−π, π]) tal que f ∈ L1([−π, π]) y sea u = P (f).Denotemos por v al conjugado armonico de u determinado por la condicion v(0) = 0,entonces v = P (f).

Demostracion. Como el operador funcion conjugada es lineal, podemos suponer quef ≥ 0. De esta manera, tendremos que u = P (f) sera armonica y no negativa. Luego,existe una funcion F holomorfa en D tal que u = Re[F ].


Para cada r ∈ (0, 1) consideremos las funciones u(reit) y v(reit) donde v(reit)es la funcion conjugada de u(reit). Aplicando el corolario anterior a estas funcionesobtenemos que ∀r ∈ (0, 1) y toda p ∈ (0, 1) 1

2π

π∫−π

|v(reit)|pdt

1/p

≤ C(1− p)−1/p

π∫−π

|u(reit)|dt.

Esto implica que

supr∈(0,1)

12π

π∫−π

|v(reit)|pdt

1/p

<∞.

Tambien

supr∈(0,1)

12π

π∫−π

|u(reit)|pdt

1/p

<∞

pues ∀r ∈ (0, 1) y ∀p ∈ (0, 1)

12π

π∫−π

|u(reit)|pdt ≤ 12π

π∫−π

|u(reit)|dt ≤ 12π

π∫−π

|f(t)|dt.

El hecho de que ambos supremos sean finitos, asegura que la funcion holomorfau+ iv pertence a Hp ∀p ∈ (0, 1) y por el Teorema 2.11 existe su funcion frontera, masaun,

lımr→1

(u(reit) + iv(reit)) = f(t) + if(t) ∈ L1([−π, π]).

Ahora bien, como la funcion frontera de u+iv pertence a L1([−π, π]), el Corolario2.12 afirma que u + iv ∈ H1 y ası u + iv = P (f) + iP (f). Se sigue entonces quev = P (f).

En la Seccion 2.3 del Capıtulo 2 estudiamos a H1 como subespacio de L1([−π, π]),siendo este subespacio la imagen de H1 bajo la isometrıa

H1 → L1([−π, π])

F (z) 7→ F (eit).

Definimos tambien al espacio ReH1, el cual consta de las funciones frontera queson la parte real de funciones en H1. De forma analoga podemos ver a Hp y ReHp


para 1 ≤ p ≤ ∞, como subespacios de Lp([−π, π]) y con lo que hasta ahora hemosestudiado sobre el operador funcion conjugada, daremos una descripcion de estosespacios en terminos de la funcion conjugada.

Teorema 3.13. Si 1 ≤ p ≤ ∞ entonces

i) Hp = f + if + ic : f ∈ ReLp([−π, π]), c ∈ R y ReHp = ReLp([−π, π]) cuando1 < p <∞.

ii) H1 = f + if + ic : f ∈ ReL1([−π, π]), f ∈ L1([−π, π]), c ∈ R y ReH1 ⊂ReL1([−π, π]).

iii) H∞ = f + if + ic : f ∈ ReL∞([−π, π]), f ∈ L∞([−π, π]), c ∈ R y ReH∞ ⊂ReL∞([−π, π]).

Demostracion. Sea F (eit) ∈ Hp con 1 ≤ p ≤ ∞ y sea F (z) la funcion holomorfa enHp correspondiente a F (eit). Si denotamos por u(z) a la parte real de F (z), entoncesIm[F (z)] = v(z) + Im[F (0)], donde v(z) es el conjugado armonico de u(z) que seanula en cero. Llamemos

f(t) = lımr→1

u(reit) = Re[F (eit)]

f(t) = lımr→1

v(reit) = Im[F (eit)]− c

con c = Im[F (0)]. De esta manera, podemos escribir F (eit) = f(t) + if + ic. Hemosmostrado que toda funcion en Hp, para 1 ≤ p ≤ ∞, tiene la forma f + if + ic paraalguna funcion f ∈ ReLp([−π, π]) con f(t) ∈ Lp([−π, π]) y alguna constante c ∈ R.

Recıprocamente, sea f ∈ ReLp([−π, π]) con 1 ≤ p ≤ ∞ tal que f ∈ Lp([−π, π])(para p ∈ (1,∞) no es necesario pedir esta condicion, pues la Desigualdad de MarcelRiesz asegura que f ∈ Lp([−π, π]) siempre que f ∈ Lp([−π, π])). Denotemos por u ala integral de Poisson de f y por v al conjugado armonico de u tal que v(0) = 0. Comof ∈ Lp([−π, π]) ⊂ L1([−π, π]), el Corolario 3.12 afirma que v = P (f). Ası u+iv ∈ Hp

y en consecuencia su funcion frontera f + if ∈ Hp.

El argumento en el parrafo anterior tambien implica que para 1 < p < ∞ReLp([−π, π]) ⊂ ReHp y puesto que ReHp esta contenido en ReLp([−π, π]), se con-cluye que ReLp([−π, π]) = ReHp.

Que la contencion es propia en ii) lo demostramos cuando definimos al espacioReH1 en los cometarios hechos despues de demostrar la Desigualdad de Hardy. Ahora,si la contencion no fuera propia en iii), esto implicarıa el acotamiento del operadorfuncion conjugada en L∞([−π, π]), lo cual sabemos que es imposible.


3.3. El Operador Funcion Conjugada como Integral Sin-

gular

Hasta ahora, hemos definido y calculado a la funcion conjugada como un lımitedesde el interior del disco unitario. Para finalizar con nuestra discusion sobre el o-perador funcion conjugada, veremos como definirlo ya no desde el interior del disco,sino en su frontera como una integral singular.

Al iniciar el Capıtulo definimos f = lımr→1

v(reit) y de acuerdo a la formula (3.8)

v(reit) =1

2π

π∫−π

Qr(t)f(θ − t)dt

=1

2π

π∫0

−Qr(t)f(θ + t)dt+1

2π

π∫0

Qr(t)f(θ − t)dt

=1

2π

π∫0

Qr(t)[f(θ − t)− f(θ + t)]dt.

Pero si r → entonces

r sen t1− 2r cos t+ r2

−→ sen t2(1− cos t)

=1

2 tan t/2.

Ademas, si 0 < t < π, entonces 0 < t/2 < π/2 y∣∣∣∣ rsent

1− 2r cos t+ r2

∣∣∣∣ =2r sen( t2) cos( t2)

1 + r2 − 2r(cos2( t2)− sen2( t2))

=2r sen( t2) cos( t2)

(1− r)2 + 4r sen2( t2)

≤2r sen( t2) cos( t2)

4r sen2( t2)

≤ 1tan | t2 |

≤ 2| t2 |

donde la ultima desigualdad se tiene por que tan | t2 | ≥ |t2 |. De lo anterior, se sigue

que siπ∫

0

|f(θ − t)− f(θ + t)|t

dt <∞ (3.11)

3.3 El Operador Funcion Conjugada como Integral Singular 79

el Teorema de Convergencia Dominada asegura que

f(θ) = lımr→1

v(reiθ) =1π

π∫0

f(θ − t)− f(θ + t)2 tan( t2)

dt. (3.12)

Cabe mencionar que la condicion en (3.12) se satisface si por ejemplo, f ′(θ) existe,pues

lımt→0

|f(θ − t)− f(θ + t)|t

= 0

y |f(θ−t)−f(θ+t)|t es integrable en [α, π] ∀α > 0.

Observese tambien que si f ′ es continua en una intervalo (a, b), entonces v(z) sepuede extender continuamente al arco eit : a < t < b. En efecto: Sea [α, β] cualquiersubintervalo cerrado de (a, b) y tomemos θ ∈ [α, β]. Para ε = 1, ∃δ > 0 tal que si0 < t < δ se tiene ∣∣∣∣f(θ + t)− f(t)

t

∣∣∣∣ < 1 + |f ′(θ)|∣∣∣∣f(θ − t)− f(t)t

∣∣∣∣ < 1 + |f ′(θ)|

y de esta manera si 0 < t < δ∣∣∣∣f(θ + t)− f(θ − t)t

∣∣∣∣ < 2(1 + f ′(θ)) ≤ 2(1 +M)

donde M es la cota de f ′ en [α, β].

Por otra parte, sabemos que la funcion f(θ+t)−f(θ−t)t en integrable en intervalos

de la forma [η, π], siempre que η > 0. Por todo lo anterior, podemos afirmar quef(θ+t)−f(θ−t)

t ∈ L1([0, π]) y usar el Teorema de Convergencia Dominada para obtener

lımr→1

12π

π∫0

r sen t1− 2r cos t+ r2

[f(θ − t) + f(θ + t)]dt =1π

π∫−π

f(θ − t)− f(θ + t)2 tan t

2

dt.

Ademas, esta convergencia es uniforme en θ ∈ [α, β]. Ası, podemos definir f(θ) =lımr→1

v(reiθ) = v(eiθ).Entonces

|v(eiθ)− v(eiθ0)| ≤ |v(eiθ)− v(r0eiθ)|+ |v(r0e

iθ)− v(r0eiθ0)|+ |v(r0e

iθ0)− v(eiθ0)| ≤ ε

si r0 es suficientemente cercano a uno y |θ − θ0| < δ(ε).

Definicion 3.14. Sea f una funcion definida en [a, b].


i) Diremos que un punto c ∈ [a, b] es un punto sigular de f , si esta es continuaexcepto en c y ademas f crece sin cota en dicho punto.

ii) Diremos que la integral∫ ba f(t)dt es singular si ninguno de los siguientes lımites

existe

lımδ→0

c−δ∫a

f(t)dt, lımδ→0

b∫c+δ

f(t)dt.

iii) Cuando el lımite

lımδ→0

c−δ∫a

f(t)dt+

b∫c+δ

f(t)dt

existe, es llamado el Valor Principal de Cauchy de la integral singular y sedenota como p.v.

∫ ba f(t)dt.

Definicion 3.15. Sea f ∈ L1([−π, π]). Diremos que θ esta en el Conjunto de Lebesguede f si

lımh→0

1h

h∫−h

|f(θ + t)− f(θ − t)|dt = 0.

Es posible probar que casi toda θ pertenece al conjunto de Lebesgue de f , paraver una demostracion, consultese [11] p.19.

Cuando trabajamos con funciones arbitrarias en L1([−π, π]), pedir que f ′(θ) ex-ista se convierte en una condicion muy fuerte. Lo anterior nos lleva a preguntarnos¿Que sucederıa si la condicion (3.11) no se cumpliera? En tal caso, la integral queaparece en (3.12) no serıa absolutamente convergente.

En el siguiente teorema aseguraremos la validez de (3.12) para cualquier funcionen L1([−π, π]) y para casi toda θ, siempre y cuando interpretemos a nuestra integralen el sentido de Valor Principal de Cauchy.

Teorema 3.16. Sea f ∈ L1([−π, π]), entonces

f(θ) = p.v.1

2π

π∫−π

f(θ − t)tan( t2)

dt

para toda θ en el Conjunto de Lebesgue de f , y en consecuencia, para casi toda θ.


Demostracion. Sea θ un punto en el Conjunto de Lebesgue de f . Mostraremos que

σ(r) = v(reiθ)− 1π

∫1−r<|t|<π

f(θ − t)2 tan( t2)

dt

tiende a cero cuando r tiende a uno.

Notemos primero que

σ(r) =1

2π

∫|t|<1−r

Qr(t)f(θ − t)dt+1π

∫1−r<|t|<π

[12Qr(t)−

12 tan( t2)

]f(θ − t)dt

=1

2π

∫|t|<1−r

Qr(t)[f(θ − t)− f(θ)]dt+1π

∫1−r<|t|<π

[12Qr(t)−

12 tan( t2)

][f(θ − t)− f(θ)]dt.

La segunda igualdad se tiene por que tan t y el Nucleo de Poisson Conjugado sonfunciones impares. Observemos ahora que∣∣∣∣∣∣∣

12π

∫|t|<1−r

Qr(t)[f(θ − t)− f(θ)]dt

∣∣∣∣∣∣∣ ≤1π

∫|t|<1−r

|r sen t|1− 2r cos t+ r2

|f(θ − t)− f(θ)|dt

≤ 1π(1− r)

1−r∫−(1−r)

|f(θ − t)− f(θ)|dt

y esta ultima expresion tiende a cero cuando r tiende a uno, puesto que θ esta en elConjunto de Lebesgue de f .

Por otra parte∣∣∣∣∣∣∣∫

1−r<|t|<π

[12Qr(t)−

12 tan( t2)

][f(θ − t)− f(θ)]dt

∣∣∣∣∣∣∣esta acotado por

∫1−r<|t|<π

∣∣∣∣12Qr(t)− 1tan( t2)

∣∣∣∣ |f(θ − t)− f(θ)|dt. (3.13)


Pero ∣∣∣∣ r sen t1− 2r cos t+ r2

− 1tan( t2)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ r sen t(1− r)2 + 4r sen2( t2)

− sen t4 sen2( t2)

∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣ −(1− r)2 sen t4 sen2( t2)

[(1− r)2 + 4r sen2( t2)

]∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣2(1− r)2 sen( t2) cos( t2)

4 sen2( t2)4r sen2( t2)

∣∣∣∣≤ (1− r)2

|8r sen3( t2)|.

Ahora bien, como 1−r2 < | t2 | <

π2 y existe una constante 0 < K < 1 tal que

K|t| < sen | t2 | < | sen( t2)|, si r > 1/2, podemos encontrar C > 0 tal que

18r| sen3( t2)|

≤ C

|t|3.

De los comentarios anteriores se sigue que (3.13) es menor o igual que

C(1− r)2

∫1−r<|t|<π

|f(θ − t)− f(θ)||t|3

dt

siempre que r > 1/2.

Estudiaremos ahora el comportamiento de la integral que corresponde al intervalo(1−r, π), pues la integral sobre (−π, r−1) se comportara de forma analoga. Integrandopor partes obtendremos

(1− r)2

π∫1−r

|f(θ − t)− f(t)|t3

dt =(1− r)2

1t3

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

∣∣∣π1−r

+ 3(1− r)2

π∫1−r

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

dtt4

=(1− r)2

π3

π∫0

|f(θ − t)− f(θ)|dt− 11− r

1−r∫0

|f(θ − t)− f(t)|dt

+ 3(1− r)2

π∫1−r

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

dtt4.

Cuando r tiende a uno, las dos primeras integrales tienden a cero, dado que θ esta enel Conjunto de Lebesgue de f . Analicemos la tercera integral: fijemos ε > 0 y tomemos


δ > 0 de tal forma que si 0 < t < δ se tenga

1t

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds < ε.

Con esta eleccion de δ tendremos

3(1− r)2

δ∫1−r

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

dtt4≤ 3(1− r)2

δ∫1−r

εdt

t3

= − 32δ2

ε(1− r)2 +32ε

≤ 32ε.

Finalmente, si r es suficientemente cercano a uno, se tiene

3(1− r)2

π∫δ

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

dtt4≤ 3(1− r)2

π∫δ

t∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

dtδ4

≤ 3π(1− r)2

δ4

π∫0

|f(θ − s)− f(θ)|ds

< ε.

Con lo anterior queda demostrado nuestro teorema.


4Capıtulo

Hp como Espacio Lineal

Hasta ahora solo hemos estudiado las propiedades de las funciones que constituyena los espacios Hp, a continuacion, examinaremos algunas de las propiedades queposeen estos espacios vistos como espacios vectoriales topologicos.

Al inicio del Capıtulo 2 comentamos que para p ≥ 1, la funcion ‖ · ‖Hp defineuna norma en Hp. Lo anterior no sucede si 0 < p < 1, sin embargo, ‖ · ‖pHp es unacuasinorma y en consecuencia (F,G) 7→ ‖F−G‖pHp es una distancia en Hp, invariantebajo traslaciones y compatible con su estructura vectorial.

Definamos ahora la funcion

Np(F ) =

‖F‖Hp si p ≥ 1‖F‖pHp si p < 1

y estudiemos a Hp como espacio lineal metrico con la distancia d(F,G) = Np(F −G).

Definicion 4.1. Un Espacio Vectorial Topologico (EVT) es un espacio vectorial Xcon una topologıa tal que, con respecto a esta topologıa, las funciones

i) + : X ×X 7→ X tal que (x, y) 7→ x+ y

ii) · : K×X → X tal que (α, x) 7→ αx

son continuas.

85

86 Hp como Espacio Lineal

Es sencillo demostrar que todo espacio normado, es una espacio vectorial topologi-co con la topologıa inducida por su norma.

Supongamos que X es un espacio vectorial y P es una familia de seminormas enX. Sea T la topologıa en X que tiene como sub-base a los conjuntos de la formax : p(x− x0) < ε, donde p ∈P, x0 ∈ X y ε > 0. De esta manera, un subconjuntoU de X sera abierto si y solo si para cada x0 ∈ U existen p1, . . . , pk en P y ε1, . . . , εktales que ∩kj=1x ∈ X : pj(x − x0) < εj ⊆ U . No es difıcil mostrar que X con estatopologıa es un EVT.

Definicion 4.2. Un Espacio Localmente Convexo (ELC) es un EVT cuya topologıaesta definida por una familia de seminormas P tal que ∩p∈Px : p(x) = 0 = 0.

Definicion 4.3. Sea X un espacio vectorial y A ⊆ X. Diremos que A es balanceadosi αx ∈ A siempre que x ∈ A y |α| ≤ 1.

Observese que si A es balanceado, entonces 0 ∈ A. Tambien puede demostrarse lasiguiente caracterizacion para Espacios Localmente Convexos.

Proposicion 4.4. Sea X un EVT y sea U la coleccion de todos los subconjuntos deX que son abiertos, convexos y balanceados. Entonces X es localmente convexo si ysolo si U es una base para el sistema de vecindades de cero.

Para profundizar mas en este tema, puede consultarse el Capıtulo IV en [2]. Nues-tro siguiente objetivo es probar que para 0 < p < 1, el espacio Hp no es localmenteconvexo. Para lograrlo, mostraremos primero que para estos mismos valores de p, losespacios Lp([−π, π]) tampoco son localmente convexos.

Lema 4.5. Para 0 < p < 1, Lp([−π, π]) no es localmente convexo.

Demostracion. Si Lp([−π, π]), con 0 < p < 1, fuera localmente convexo, tendrıamosque la bola unitaria B1 = f ∈ Lp([−π, π]) : ‖f‖p < 1, la cual es una vecindad decero, deberıa contener una vecindad convexa de cero, digamos V . Dicha vecindad,debera contener a su vez, una bola Bε = f ∈ Lp([−π, π]) : ‖f‖p < ε, para algunε > 0.

Para cada k ∈ N, dividamos el intervalo [−π, π] en k subintervalos de iguallongitud, I1 = [α1, β1], I2 = [α2, β2], . . . , Ik = [αk, βk]. Tomemos ak de forma que

Hp como Espacio Lineal 87

apk = k(p+ 1) ε2 , y para cada j = 1, 2, . . . , k definamos la funcion

fj(t) =

0 si −π ≤ t ≤ αj2ak

βj−αj (t− αj) si αj ≤ t < αj+βj2

ak si t = αj+βj2

2akαj−βj (t− βj) si

αj+βj2 < t ≤ βj

0 si βj < t ≤ π

la cual toma el valor ak en el centro de [αj , βj ], es lineal en lo que queda de Ij y cerofuera de dicho intervalo. Ademas

12π

π∫−π

|fj(t)|pdt =ε

2< ε.

Para cada k ∈ N definamos gk de la siguiente manera:

gk(t) =k∑j=1

λjfj(t)

con λj ≥ 0 y∑k

j=1 λj = 1. Entonces

12π

π∫−π

|gk(t)|pdt =k∑j=1

λpj2π

π∫−π

|fj(t)|pdt

=k∑j=1

λpjε

2.

Si elegimos

λj =1

j1/p∑km=1

1m1/p

tendremos que λj ≥ 0 y

k∑j=1

λpj =

k∑j=1

1j1/p

−p k∑j=1

1j.

Como la expresion anterior tiende a infinito cuando k → ∞, podemos escoger ksuficientemente grande, de tal forma que

12π

π∫−π

|gk(t)|pdt =k∑j=1

λpjε

2> 1. (4.1)


Lo anterior prueba que Lp([−π, π]) no puede ser localmente convexo, pues f1, . . . , fkpertencen a Bε, pero gk, que es una combinacion convexa de ellas, no pertenece aV .

Teorema 4.6. Para 0 < p < 1, Hp no es localmente convexo.

Demostracion. Igual que antes, si Hp fuera localmente convexo, la bola unitaria B1 =F ∈ Hp : Np(F ) < 1 deberıa contener alguna vecindad convexa de cero, digamosV .

Fijemos k ∈ N y notemos que las funciones fj construidas en la demostraciondel Teorema anterior, son el lımite uniforme de polinomios trigonometricos. Es decir,dada δ > 0, para cada j es posible encontrar

hj(t) =mj∑

l=−mj

ajleilt

de tal forma que para cada t ∈ [−π, π]

|hj(t)− fj(t)| < δ

Definamos qj(t) = eimjthj(t), entonces para t ∈ [−π, π]

|qj(t)− eimjtfj(t)| = |eimjt||hj(t)− fj(t)| < δ (4.2)

Observemos tambien que, si λj e Ij son como en el Teorema anterior

12π

π∫−π

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣p

dt =k∑j=1

12π

∫Ij

|λjfj(t)|p dt

=k∑j=1

12π

∫Ij

∣∣∣∣∣k∑l=1

λlfl(t)

∣∣∣∣∣p

dt

=1

2π

π∫−π

∣∣∣∣∣k∑l=1

λlfl(t)

∣∣∣∣∣p

dt > 1

donde la ultima desigualdad se sigue de (4.1). Sea ahora Qj(z) =mj∑

l=−mj

ajlzl+mj ,


entonces Qj(eit) = qj(t) y por (4.2)

‖Qj‖pHp =1

2π

π∫−π

|qj(t)|pdt ≤ δp +1

2π

π∫−π

|fj(t)|pdt

≤ δp +ε

2< ε

si δ es suficientemente pequeno. Ahora bien, sabemos que∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjqj(t)−k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjt(hj(t)− fj(t))

∣∣∣∣∣∣ ≤k∑j=1

λjδ = δ

y usando que |ap − bp| ≤ |a− b|p si a ≥ 0, b ≥ 0 y 0 < p < 1, se tiene que

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣p

−

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjqj(t)

∣∣∣∣∣∣p

≤

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣p

−

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjqj(t)

∣∣∣∣∣∣p∣∣∣∣∣∣

≤

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjqj(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣p

≤

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)−

k∑j=1

λjqj(t)

∣∣∣∣∣∣p

≤ δp.

De lo anterior obtenemos∥∥∥∥∥∥k∑j=1

λjQj(t)

∥∥∥∥∥∥p

Hp

=1

2π

π∫−π

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjqj(t)

∣∣∣∣∣∣p

dt

≥ 12π

π∫−π

∣∣∣∣∣∣k∑j=1

λjeimjtfj(t)

∣∣∣∣∣∣p

− δp dt

≥ 1

si δ es suficientemente pequeno.

En sıntesis, hemos construido una combinacion convexa de elementos de Bε queno pertenece a V . Por lo anterior, Hp no puede ser Localmente Convexo.


Continuaremos ahora buscando mas propiedades de Hp como EVT.

Teorema 4.7. Si F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞ y z ∈ D, entonces

|F (z)| ≤ (1− |z|)−1/p‖F‖Hp .

Demostracion. Supongamos que F no es identicamente cero y escribamos F (z) =B(z)H(z), donde B(z) es el producto de Blaschke formado con los ceros de F en D,H(z) es una funcion holomorfa que no se anula en D y ademas ‖H‖Hp = ‖F‖Hp .

Consideremos la funcion analıtica A(z) = logH(z) y la funcion G(z) = epA(z).Notese que |G(z)| = |H(z)|p ∀z ∈ D y en consecuencia ‖G(z)‖H1 = ‖H‖pHp =‖F‖pHp <∞.

Como G(z) ∈ H1, G es la integral de Cauchy de su funcion frontera:

G(z) =1

2π

∫|ξ|=1

G(ξ)dξξ − z

.

Luego|F (z)|p ≤ |H(z)|p = |G(z)|

≤ 11− |z|

12π

π∫−π

|G(eit)|dt

=‖G‖H1

1− |z|=‖F‖pHp

1− |z|.

Observacion 4.8. Si 1 ≤ p, la Proposicion 2.2 implica que la imagen de Hp bajo laisometrıa

Hp → Lp([−π, π])

F (z) 7→ F (eit)

es f ∈ Lp([−π, π]) : f(j) = 0 ∀j < 0. Notese que este conjunto es cerrado y puestoque Lp([−π, π]) es completo, se sigue que Hp tambien es un espacio completo.

La completez de los espacios Hp para cualquier valor de p se seguira del Teoremaanterior.

Corolario 4.9. Hp es un espacio completo para toda 0 < p ≤ ∞.


Demostracion. Observemos que si F ∈ Hp y K ⊂ D es un conjunto compacto,entonces

supz∈K|F (z)| ≤ sup

z∈K(1− |z|)−1/p‖F‖Hp .

Ası, si (Fj)∞j=1 es una sucesion de Cauchy en Hp, esta convergera uniformementeen subconjuntos compactos de D a una funcion holomorfa, digamos F . Ademas

12π

π∫−π

|Fj(reit)− F (reit)|pdt = lımk→∞

12π

π∫−π

|Fj(reit)− Fk(reit)|pdt

≤ lım supk→∞

‖Fj − Fk‖pHp

< ε

(4.3)

si j es suficientemente grande. De lo anterior, se sigue que Fj −F ∈ Hp y puesto queFj ∈ Hp, obtenemos que F ∈ Hp. De (4.3) tambien se sigue que Fj → F en Hp sij → ∞. Como (Fj)∞j=1 ⊂ Hp era una sucesion de Cauchy arbitraria, concluimos queHp es completo.

En vista del Corolario anterior, es posible ver a Hp como un subespacio cerradode Lp([−π, π]), para cualquier 0 < p <∞.

Proposicion 4.10. Para 0 < p < ∞, Hp es el subespacio cerrado mas pequeno deLp([−π, π]) que contiene a las funciones eijt : j ≥ 0.

Demostracion. Por el Corolario anterior sabemos que Hp es un subespacio cerradode Lp([−π, π]) y es claro que contiene a eijt : j ≥ 0.

Consideremos ahora a U , un subespacio cerrado de Lp([−π, π]) que contiene aeijt : j ≥ 0. Demostraremos que Hp ⊆ U .

Sea F ∈ Hp y sea∑∞

j=0 ajzj su expresion en serie de Taylor. Se sabe que F (reit)→

F (eit) en la norma ‖ · ‖p si r → 1.

Por otra parte, para r fijo,∑k

j=1 ajzj → F (reit) en Lp([−π, π]) cuando k → ∞.

Siendo U un conjunto cerrado y∑k

j=1 ajrjeijt elemento de U para cada r ∈ (0, 1), se

sigue que las funciones F (reit) pertenecen a U .

De nuevo, como U es cerrado, el lımite de F (reit) cuando r → 1 tambien es unelemento de U , es decir, F (eit) ∈ U . Por tanto, Hp ⊂ U .


4.1. El Dual de Hp

Hemos mostrado que para 0 < p < 1, los espacios Hp no son localmente con-vexos. Los primeros espacios no localmente convexos examinados, fueron los espaciosLp([0, 1]) con 0 0 tal que f ∈ Lp([0, 1]) :∫ 10 |f(t)|pdt < ε ⊂ V .

Si g es cualquier funcion en Lp([0, 1]), dado k ∈ N, es posible dividir al intervalo[0, 2π] en k subintervalos I1, I2, . . . , Ik de forma que para j = 1, 2, . . . , k∫

Ij

|g(t)|pdt =1k

1∫0

|g(t)|pdt.

De esta manera, si k es suficientemente grande, tendremos que∫Ij

|kg(t)|pdt = kp−1

1∫0

|g(t)|pdt < ε.

Es decir, para k suficientemente grande, las funciones kgχIj pertencen a V . Enconsecuencia, la combinacion convexa g =

∑kj=1 k

−1(kgχIj ) tambien pertenece a V .Como g ∈ Lp([0, 1]) era arbitraria, hemos mostrado que V = Lp([0, 1]).

Ahora, si ϕ ∈ (Lp([0, 1]))∗, para cada ε > 0 el conjunto ϕ−1(D(0, ε)) es unavecindad abierta y convexa de cero en Lp([0, 1]). Luego, esta vecindad debe coincidircon Lp([0, 1]). Por tanto, |ϕ(f)| < ε ∀f ∈ Lp([0, 1]) y para todo ε > 0. De lo anterior,se concluye que ϕ = 0.

A pesar de que los espacios Hp con p ∈ (0, 1) no son localmente convexos, susespacios duales cuentan con una cantidad suficiente de funcionales lineales continuos.En el libro Theory of Hp Spaces, de Peter L. Duren, se presentan los siguientesresultados sobre el espacio dual de Hp para p < 1:

Definicion 4.11. Sea ϕ una funcion con valores en los complejos. Diremos que ϕ esuna funcion de la clase Lipchitz Λα, 0 < α ≤ 1 si existe una constante C > 0 tal que

|ϕ(x)− ϕ(y)| ≤ C|x− y|α.

Diremos que ϕ es de clase Λ∗ si existe una constante A tal que

|ϕ(x+ h)− 2ϕ(x) + ϕ(x− h)| ≤ Ah

4.1 El Dual de Hp 93

para toda x y para toda h > 0.

Observacion 4.12. Si β < α es claro que Λ1 ⊂ Λ∗ ⊂ Λβ ⊂ Λα.

Antes de dar una representacion para los funcionales lineales en Hp, p < 1, intro-duciremos la siguiente notacion: denotemos por A a la clase formada por las funcionesanalıticas en D y continuas en D. Escribiremos F ∈ Λα para indicar que F ∈ A y sufuncion frontera F (eit) pertence a la clase Λα, 0 < α ≤ 1. Similarmente, por F ∈ Λ∗entenderemos que F ∈ A y F (eit) ∈ Λ∗. El espacio dual de Hp quedara completa-mente determinado por el siguiente Teorema:

Teorema 4.13. A cada funcional lineal acotado φ en Hp, 0 < p < 1, le correspondeuna unica funcion G ∈ A tal que

φ(F ) = lımr→1

12π

π∫−π

F (reit)G(e−it)dt ∀ F ∈ Hp. (4.4)

Si (n + 1)−1 < p < n−1, con n ∈ N, entonces G(n−1) ∈ Λα, donde α = 1p − n.

Recıprocamente, para cualquier G con G(n−1) ∈ Λα, el lımite en (4.4) existe para todaF ∈ Hp y define un funcional lineal acotado.

Si p = (n+ 1)−1, entonces Gn−1 ∈ Λ∗; recıprocamente, cualquier G con G(n−1) ∈Λ∗ define, por medio de (4.4), un funcional lineal acotado en Hp.

Curiosamente, el Teorema de Hahn-Banach, falla en los espacios Hp, con p < 1,pues es posible demostrar que existe un subespacio propio de Hp y un funcional linealdefinido en el, que no puede ser extendido continuamente a Hp.

La demostracion de estos resultados no se encuentra a nuestro alcance por elmomento, por tal motivo, no es presentada en este trabajo. Sin embargo, puede leersemas sobre este tema en el Capıtulo 7 de [3].

Para p ≥ 1, sabemos que (Lp([−π, π]))∗ es isometricamente isomorfo a Lp′([−π, π]),

donde p y p′ son exponentes conjugados. Por lo anterior, es natural esperar que eldual de Hp, con este mismo rango de valores de p, sea Hp′ . Dedicaremos esta secciona demostrar la afirmacion anterior.

Teorema 4.14. Si 1 ≤ p < ∞ y p′ es el exponente conjugado de p, definamosHp′(0) = f ∈ Hp′ :

∫ π−π f(t)dt = 0, entonces

(Hp)∗ ∼= Lp′([−π, π])/Hp′(0).


Demostracion. La isometrıa entre Lp′([−π, π]) y (Lp([−π, π]))∗ esta dada de la si-

guiente forma: f 7→ Λf , donde

Λf (g) =1

2π

π∫−π

f(t)g(t)dt ∀g ∈ Lp([−π, π]).

En vista de lo anterior, a cada f ∈ Lp′([−π, π]) podemos asociarle el funcional

Λf ∈ (Hp)∗ tal que

Λf (F ) =1

2π

π∫−π

F (eit)f(t)dt

el cual se obtiene restringiendo el funcional Λf ∈ (Lp([−π, π]))∗ a Hp. Ademas

|Λf (F )| ≤ ‖F‖Hp‖f‖p′

lo cual implica que ‖Λf‖ ≤ ‖f‖p′ . De esta manera

Lp′([−π, π])→ (Hp)∗

f 7→ Λf(4.5)

es un mapeo lineal y continuo.

El Teorema de Hahn-Banach establece que dado Λ ∈ (Hp)∗ es posible encontraruna extension lineal y continua de Λ a Lp([−π, π]), digamos Λ, tal que ‖Λ‖(Hp)∗ =‖Λ‖(Lp([−π,π]))∗ . Aun mas, el Teorema de Representacion de Riesz, asegura que Λ = Λgpara alguna g ∈ Lp′([−π, π]). Por tanto, el mapeo (4.5) es un mapeo sobre, cuyo nucleoes

N0 = f ∈ Lp′([−π, π]) :1

2π

π∫−π

F (eit)f(t)dt = 0 ∀F ∈ Hp.

Siendo Hp el subespacio cerrado de Lp([−π, π]) mas pequeno que contiene a eijt :j ≥ 0, N0 coincide con

B = f ∈ Lp′([−π, π]) : f(−j) =1

2π

π∫−π

eijtf(t)dt = 0 ∀j ≥ 0.

En efecto, supongamos que f ∈ B. Dada cualquier F ∈ Hp existe una sucesion(Fk)∞k=1 en el subespacio generado por eijt : j ≥ 0, la cual converge a F . Luego,como Λf es continua en Hp

Λf (F ) = lımk→∞

Λf (Fk) = 0.


Ası, Λf (F ) = 0 ∀F ∈ Hp y f ∈ N0. Consecuentemente, B ⊂ N0. La otra con-tencion se sigue trivialmente.

Notese ahora que B = f ∈ Hp′ :∫ π−π f(t)dt = 0 = Hp′(0) y por tanto, el nucleo

del mapeo (4.5) es Hp′(0). En consecuencia

Lp′([−π, π])/Hp′(0)→ (Hp)∗

f +Hp′(0) 7→ Λf

es un isomorfismo, aun mas, es un isomorfismo isometrico:

Para cualquier extension Λ de Λf a Lp([−π, π]), se tiene que ‖Λf‖(Hp)∗ ≤ ‖Λ‖(Lp([−π,π]))∗ .Pero el Teorema de Hahn-Banach asegura que existe una extension lineal continua deΛf a Lp([−π, π]) que conserva la norma de Λf , de modo que

‖Λf‖(Hp)∗ = ınf‖Λ‖(Lp([−π,π]))∗ : Λ ∈ (Lp([−π, π]))∗ y Λ∣∣Hp = Λf

= ınf‖Λg‖(Lp([−π,π]))∗ : Λg∣∣Hp = Λf y g ∈ Lp

′([−π, π])

= ınf‖g‖p′ : Λg∣∣Hp = Λf y g ∈ Lp

′([−π, π])

donde la segunda igualdad se sigue del Teorema de Representacion de Riesz. Ahorabien, como Λg

∣∣Hp = Λf si y solo si g − f ∈ Hp′(0), la norma de Λf se puede calcular

como

ınf‖g‖p′ : g − f ∈ Hp′(0).

O bien,

‖Λf‖(Hp)∗ = ınf‖f − h‖p′ : h ∈ Hp′(0) = ‖f +Hp′(0)‖

Calcularemos ahora el dual del espacio Hp(0), utilizando esencialmente el mismoprocedimiento que en el teorema anterior.

Teorema 4.15. Si 1 ≤ p <∞ y 1/p+ 1/p′ = 1, entonces

(Hp(0))∗ ∼= Lp′([−π, π])/Hp′ .

Demostracion. Igual que antes, consideremos la asociacion

Lp′([−π, π])→ (Hp(0))∗

f 7→ Λf


de nuevo, este mapeo es sobreyectivo y su nucleo es

N0 = f ∈ Lp′([−π, π]) :1

2π

π∫−π

f(t)g(t)dt = 0 ∀ g ∈ Hp(0)

= f ∈ Lp′([−π, π]) :1

2π

π∫−π

f(t)g(t)dt = 0 ∀ g ∈ Hp tal que

π∫−π

g(t)dt = 0

= f ∈ Lp′([−π, π]) :1

2π

π∫−π

f(t)eijtdt = 0 ∀j ∈ N

= f ∈ Lp′([−π, π]) : f(−j) = 0 ∀j ∈ N

= Hp′ .

De lo anterior, tenemos que

Lp′/Hp′ → (Hp(0))∗

f +Hp′ 7→ Λf

es un isomorfismo de espacios normados, aun mas, es un isomorfismo isometrico, pues

‖Λf‖(Hp(0))∗ = ınf‖ϕ‖(Lp([−π,π]))∗ : ϕ ∈ (Lp([−π, π]))∗ y ϕ∣∣Hp(0)

= Λf

= ınf‖g‖p′ : g ∈ Lp′([−π, π]) y g − f ∈ Hp′

= ınf‖f − h‖p′ : h ∈ Hp′

= ‖f +Hp′‖.

Observacion 4.16. El espacio Hp′(0) tiene un complemento topologico en Lp′([−π, π]),

excepto para p′ =∞.

Veamos:

Si f ∈ Lp′([−π, π]) tiene la serie de Fourier

∑j∈Z aje

ijt, su integral de Poissonsera

u(reit) =1

2π

π∫−π

∑j∈Z

r|j|eij(t−s)f(s)ds

=∑j∈Z

ajr|j|eijt.


Si v es el conjugado armonico de u, con v(0) = 0, entonces

v(reit) = −i∑j∈Z

sgn(j)ajr|j|eijt. (4.6)

Tambien se tiene que v = P (f), puesto que f ∈ Lp′([−π, π]) ⊂ L1([−π, π]) y f ∈

Lp′([−π, π]) ⊂ L1([−π, π]). De esta forma

v(reit) =1

2π

π∫−π

∑j∈Z

r|j|eij(t−s)f(s)ds =∑j∈Z

12π

π∫−π

e−ijsf(s)ds

r|j|eijtde esto y (4.6), se sigue que ˆ

f(j) = −isgn(j)aj y que la serie de Fourier de f es∑j∈Z−isgn(j)ajeijt.

Para cada f ∈ Lp′([−π, π]) definamos A(f) = 12(f + if − f(0)). La desigualdad

de Marcel Riesz asegura que existe una constante Bp′ tal que ‖f‖p′ ≤ Bp′‖f‖p′ . Conesto, tendremos que A(f) sera acotado, pues

‖A(f)‖ ≤ 12

(‖f‖p′ + ‖f‖p′ + |f(0)|)

≤(2 +Bp′)

2‖f‖p′ .

Ademas, los coeficientes de Fourier de A(f) son

12π

π∫−π

12

(f(t) + if(t)− f(0))e−ijtdt =

0 si j ≤ 0aj si j > 0.

De esta forma

A(Lp′([−π, π])) = f ∈ Lp′([−π, π]) : f(j) = 0 ∀ j ≤ 0 = Hp′(0)

es decir, A es la proyeccion de Lp′([−π, π]) sobre Hp′(0).

Observemos ahora que la serie de Fourier de la funcion f −A(f) es

∑j≤0

ajeijt =

∞∑j=0

a−je−ijt.


Definamos F (z) =∑∞

j=0 a−jzj y notemos que

P (f −A(f))(reiθ) =1

2π

π∫−π

[f(t)−A(f)(t)]∑j∈Z

r|j|eij(θ−t)dt

=∑j∈Z

r|j|eijθ

12π

π∫−π

[f(t)−A(f)(t)]e−ijtdt

=∑j≤0

ajr|j|eijθ

= F (re−iθ)

es decir, P (f −A(f))(z) = F (z). Luego, F ∈ Hp′ , pues ∀r ∈ [0, 1)

π∫−π

|F (reit)|p′dt =

π∫−π

|F (re−it)|p′dt ≤π∫−π

|f(t)−A(f)(t)|p′dt.

Puesto que F (e−it) y f(t)−A(f)(t) tienen los mismos coeficientes de Fourier, setiene que

f(t) = A(f)(t) + F (e−it).

Ahora escribamos G(z) =∑∞

j=0 a−jzj , y observemos que

P(f −A(f)

)(reiθ) =

12π

π∫−π

[f(t)−A(f)(t)]∑j∈Z

r|j|eij(θ−t)dt

=∑j∈Z

r|j|eijθ

12π

π∫−π

[f(t)−A(f)(t)]e−ijtdt

=∞∑j=0

a−jr|j|eijθ

= G(reiθ).

Es decir, G(z) = P(f −A(f)

)(z). En consecuencia, G ∈ Hp′ , ademas, F (e−it) =

G(eit) yf(t) = A(f) +G(eit).

Definamos Hp′ = h(t) : h ∈ Hp′ y (Hp′)− = h(−t) : h ∈ Hp′. Observese queHp′(0) ∩Hp′ = 0, pues si f ∈ Hp′(0) ∩Hp′ , entonces f(−j) = 0 ∀j = 0, 1, 2, . . . y


f(j) ∀j ∈ N y necesariamente f = 0. De forma analoga se tiene que Hp′(0)∩(Hp′)− =0.

Por lo expuesto hasta aquı, podemos afirmar que Lp′([−π, π]) es la suma directa

algebraica de Hp′(0) y Hp′ y de Hp′(0) y (Hp′)−. Ahora bien, puesto que Hp′ es unsubespacio cerrado de Lp

′([−π, π]), podemos escribir a este ultimo como suma directa

topologica de las siguientes formas:

Lp′([−π, π]) = Hp′(0)⊕Hp′

Lp′([−π, π]) = Hp′(0)⊕ (Hp′)−.

Observacion 4.17. Tambien es posible expresar la descomposicion en suma directade Lp

′([−π, π]) como

Lp′([−π, π]) = Hp′ ⊕Hp′(0)

Lp′([−π, π]) = Hp′ ⊕ (Hp′(0))−.

Para probar esto, basta observar que una funcion f(t) pertence a Lp′([−π, π]) si

y solo si f(t) tambien pertence a Lp′([−π, π]). Ademas, en virtud de la continuidad

del operador conjugacion, se sabe que si V es un subespacio cerrado de Lp′([−π, π]),

entonces V tambien es cerrado en Lp′([−π, π]). En vista de lo anterior, se tiene

Lp′([−π, π]) = Lp′([−π, π]) = Hp′(0)⊕Hp′ = Hp′(0)⊕Hp′ .

De forma analoga, notando que f(t) ∈ Lp′([−π, π]) si y solo si f(−t) ∈ Lp′([−π, π])y que si V es cerrado en f(t) ∈ Lp′([−π, π]), tambien V − lo es, se obtiene

Lp′([−π, π]) = (Lp

′([−π, π]))− = (Hp′(0))− ⊕ ((Hp′)−)− = (Hp′(0))− ⊕Hp′ .

Vale la pena mencionar que la proyeccion de Lp′([−π, π]) sobre Hp′ es el opera-

dor acotado B(f) = 12(f + if + f(0)): si f ∈ Lp

′([−π, π]) tiene la serie de Fourier∑

j∈Z ajeijt, los coeficientes de Fourier de B(f) seran

12π

π∫−π

12

(f(t) + if(t) + f(0))e−ijtdt =

0 si j < 0aj si j ≥ 0.

En vista de lo anterior, la serie de Fourier de B(f) serıa∑∞

j=0 ajeijt, la cual representa

la serie de Fourier de una funcion en Hp′ .

Observacion 4.18. El primer teorema del isomorfismo (ver [5]) y las descomposi-ciones en suma directa topologica dadas en las observaciones anteriores, dan lugar alos siguientes isomorfismos topologicos:


i) Lp′([−π, π])/Hp′(0) ∼= Hp′ .

ii) Lp′([−π, π])/Hp′ ∼= Hp′(0).

Observacion 4.19. Los Teoremas 4.14, 4.15 y la observacion anterior, nos permitenreestablecer los isomorfismos

Lp′([−π, π])/Hp′(0) ∼= (Hp)∗

Lp′([−π, π])/Hp′ ∼= (Hp(0))∗

del siguiente modo si 1 < p <∞:

(Hp)∗ ∼= Hp′ .

El isomorfismo esta dado como ΛG(F ) = 12π

∫ π−π F (eit)G(e−it)dt para toda F ∈

Hp y G ∈ Hp′. O bien, esta dado por ΛG(F ) = 12π

∫ π−π F (eit)G(eit)dt. Tambien

(Hp(0))∗ ∼= Hp′(0).

Cabe mencionar que que H∞(0) no es un espacio complementario en L∞([−π, π]).De ser ası, tendrıamos que el operador funcion conjugada deberıa ser acotado enL∞([−π, π]), y por dualidad, tendrıamos la continuidad de este operador en L1([−π, π]).

4.2. Teorema de Factorizacion Canonica

El Teorema de Factorizacion de Riesz, demostrado en el Capıtulo 2, ha sido piezaclave en el estudio del comportamiento en la frontera del disco de las funciones enHp. Dicho Teorema establece que dada una funcion F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, esposible factorizarla como F = BH, donde B es el producto de Blaschke formado conlos ceros de F en el disco unitario, H ∈ H(D) no se anula en D y ‖F‖Hp = ‖H‖Hp .En esta seccion, encontraremos una factorizacion mas fina para F ∈ Hp, la cual nospermitira construir conjuntos densos en Hp.

Definicion 4.20. Se dice que una medida ν es singular con respecto a la medida deLebesgue λ, si existe una particion medible A,B de R tal que ν esta concentradaen A y λ esta concentrada en B.

Observacion 4.21. Si denotamos por δ a la medida de Dirac concentrada en cero,tendremos que δ es singular con respecto a la medida de Lebesgue λ. Para mostraresto, basta tomar la particion Q,R\Q y notar que δ esta concentrada en Q y λ enQc.

4.2 Teorema de Factorizacion Canonica 101

El siguiente teorema nos sera util para encontrar la nueva factorizacion de lasfunciones en Hp.

Teorema 4.22 (de Descomposicion de Lebesgue). Sea µ una medida de Borel enR, entonces existen medidas µac y µsing tales que µac es absolutamente continuacon respecto a la medida de Lebesgue, µsing es singular con respecto a la medida deLebesgue y

µ = µac + µsing.

Esta representacion es unica.

Puede consultarse la demostracion de este resultado en la pagina 326 de [9]. Enun-ciaremos ahora nuestro nuevo teorema de factorizacion:

Teorema 4.23 (de Factorizacion Canonica). Sea F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞ noidenticamente cero, entonces

F (z) = eicB(z)e−1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zdσ(t)

e1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zlog |F (eit)|dt

donde B(z) es el producto de Blaschke formado con los ceros de F , c es una constantereal y σ es una medida singular no negativa.

Demostracion. Si escribimos F (z) = B(z)H(z), sabemos que H(z) ∈ Hp ⊂ N nuncaes cero, y el Teorema 1.21 asegura que

lım supr→1

π∫−π

| log |H(reit)||dt <∞.

Si (rj)∞j=1 es una sucesion de numeros reales no negativos tal que rj ↑ 1, entonces

lım supj→∞

π∫−π

log+ |H(rjeit)|dt ≤ lım supr→1

π∫−π

log+ |H(reit)|dt <∞.

De modo que (∫ π−π log+ |H(rjeit)|dt)∞j=1 es una sucesion acotada de numeros reales

no negativos. De forma analoga, se obtiene que (∫ π−π log− |H(rjeit)|dt)∞j=1 es tambien

una sucesion acotada no negativa.

Por lo expuesto hasta aquı, tenemos que (log+ |H(rjeit)|)∞j=1 y (log− |H(rjeit)|)∞j=1

son sucesiones acotadas en L1([−π, π]) →M([−π, π]). En otras palabras, ambas suce-siones se encuentran en el interior de una bola cerrada de M([−π, π]) = (C[−π, π])∗.


El Teorema de Banach-Alaoglu afirma que dicha bola es debilmente-* compactay dado que C[−π, π] es separable, se sigue que esta bola es metrizable en la topologıadebil-*. Ası, existe una subsucesion de (rj)∞j=1, (la cual denotaremos de la mismamanera para aligerar la notacion), que converge de forma creciente a 1, y medidasµ1, µ2 ∈M([−π, π]) tales que

π∫−π

g(t) log+ |H(rjeit)|dt→π∫−π

g(t)dµ1(t)

π∫−π

g(t) log− |H(rjeit)|dt→π∫−π

g(t)dµ2(t)

cuando j →∞ para toda g ∈ C[−π, π]. En particular, si g(t) = 1 se tiene

lımj→∞

π∫−π

log+ |H(rjeit)|dt =

π∫−π

dµ1(t)

lımj→∞

π∫−π

log− |H(rjeit)|dt =

π∫−π

dµ2(t).

Demostraremos ahora que

dµ1(t) = log+ |H(eit)|dt.

Para ello, basta probar que lımj→∞

π∫−π

log+ |H(rjeit)|dt =

π∫−π

log |H(eit)|dt.

Si p ≥ 1, usamos que

| log+ |H(rjeit)| − log+ |H(eit)|| ≤ ||H(rjeit)| − |H(eit)||≤ |H(rjeit)−H(eit)|

y como Hp ⊂ H1, cuando j → ∞ se tiene∫ π−π | log+ |H(rjeit)| − log+ |H(eit)|dt ≤∫ π

−π |H(rjeit)−H(eit)|dt→ 0.

Ahora, si 0 < p < 1

| log+ |H(rjeit)| − log+ |H(eit)|| ≤ 1p||H(rjeit)|p − |H(eit)|p|

≤ 1p|H(rjeit)−H(eit)|p


y entonces lımj→∞

π∫−π

| log+ |H(rjeit)|−log+ |H(eit)||dt = 0, pues∫ π−π |H(rjeit)−H(eit)|pdt→

0 cuando j →∞.

Observemos ahora que las funciones z 7→ logH(rjz) pertenecen a H1, pues

sup0≤r<1

π∫−π

| log |H(rjreit)||dt <∞

sup0≤r<1

π∫−π

| arg[H(rjreit)]|dt ≤ π(2π) <∞

y por el Corolario 2.15

logH(rjz) = i argH(0) +1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zlog |H(rjeit)|dt

= ic+1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zlog+ |H(rjeit)|dt−

12π

π∫−π

eit + z

eit − zlog− |H(rjeit)|dt.

Haciendo j tender a infinito se obtiene

logH(z) = ic+1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zlog+ |H(eit)|dt− 1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zdµ2(t).

Pero por el Teorema de Descomposicion de Lebesgue sabemos que dµ2(t) = g(t)dt+dσ(t) donde g ≥ 0 es integrable y σ es una medida singular no negativa.

De forma que

logH(z) = ic+

π∫−π

eit + z

eit − zk(t)dt−

π∫−π

eit + z

eit − zdσ(t)

donde k(t) = log+ |H(eit)| − g(t) es integrable. De aquı, si z = reiθ se tiene

log |H(z)| = Re[logH(z)] =1

2π

π∫−π

Re

[eit + z

eit − z

][k(z)dt− dσ(t)]

=1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)[k(t)dt− dσ(t)],


es decir, log |H(z)| = P (k(t)dt− dσ(t)). Por consiguiente

log |H(eit)| = d

dt

t∫0

k(s)ds−t∫

0

dσ(s)

= k(t)− d

dt

t∫0

dσ(s)

= k(t)

pues σ es singular con respecto a la medida de Lebesgue.

Como |F (eit)| = |H(eit)| para casi toda t ∈ [−π, π], podemos escribir

logF (z)B(z)

= ic+1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zlog |F (eit)|dt− 1

2π

π∫−π

eit + z

eit − zdσ(t)

y en consecuencia

F (z) = eicB(z)e−1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zdσ(t)

e1

2π

∫ π−π

eit+z


.

En adelante, usaremos la siguiente notacion

IF (z) = eicB(z)e−1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zdσ(t)

EF (z) = e1

2π

∫ π−π

eit+z


y llamaremos a IF y EF los factores interior y exterior de F , respectivamente.

Proposicion 4.24. Si F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, entonces

i) EF ∈ Hp y ‖EF ‖Hp = ‖F‖Hp.

ii) |IF (z)| ≤ 1 en D y |IF (eit)| = 1 para casi toda t ∈ [−π, π].

Demostracion. La primera parte de i) se tiene por que

|EF (z)|p =∣∣∣∣e 1

2π

∫ π−π

eit+z


∣∣∣∣p= e

p 12π

∫ π−π Re

[eit+z

eit−z

]log |F (eit)|dt

= eP (log |F (eit)|p)

≤ P (|F (eit)|p).


La segunda parte de i) se tiene porque

|EF (eiθ)| = lımr→1|EF (reiθ)|

= lımr→1

e1

2π

∫ π−π Re

[eit+z

eit−z

]log |F (eit)|dt

= lımr→1

elog |F (reiθ)|

= lımr→1|F (reiθ)|

= |F (eiθ)|.

Para la primera parte de ii), solo hay que observar que

|IF (z)| = |B(z)|e−1

2π

∫ π−π Pr(θ−t)dσ(t) ≤ e−P (σ) ≤ 1

pues P (σ) ≥ 0. La segunda parte de ii) se sigue imediatamente de i). Se concluyetambien que IF ∈ H∞.

Definicion 4.25. Diremos que una funcion F ∈ Hp es una funcion interior si EF =1; diremos que F es exterior si IF es constante.

Corolario 4.26. Las funciones interiores son precisamente aquellas funciones F ∈H∞ tales que |F (eit)| = 1.

Demostracion. Si EF = 1, es trivial que F ∈ H∞ y |F (eit)| = |EF (eit)| = 1. Ahora

bien, si |F (eit)| = 1, entonces log |F (eit)| = 0 y EF (z) = e1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zlog |F (eit)|dt =

1.

Corolario 4.27. Si F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, y no es identicamente cero, entonces

log |F (0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F (eit)|dt (4.7)

y la igualdad se verifica si y solo si F es una funcion exterior.

Demostracion. Por el Teorema de Factorizacion Canonica se tiene

|F (0)| = |B(0)|e−1

2π

∫ π−π dσ(t)e

12π

∫ π−π log |F (eit)|dt ≤ e

12π

∫ π−π log |F (eit)|dt,

de donde se sigue (4.7). La igualdad se satisface si y solo si∫ π−π dσ(t) = 0 y |B(0)| = 1:

Por el Teorema del Modulo Maximo sabemos que |B(0)| = 1 si y solo si B(z) =1 ∀ z ∈ D. Tambien

∫ π−π dσ(t) = 0 si y solo si σ = 0. De manera que la igualdad se

satisface si y solo si IF es constante, es decir, si F es una funcion exterior.


El siguiente Teorema es una aplicacion del Corolario anterior.

Teorema 4.28. Supongamos que F ∈ Hp y F−1 ∈ Hp para alguna 0 < p ≤ ∞.Entonces F es una funcion exterior.

Demostracion. Si aplicamos el corolario anterior a F y F−1, tendremos

log |F (0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F (eit)|dt,

− log |F (0)| = log |F−1(0)| ≤ 12π

π∫−π

log |F−1(0)|dt = − 12π

π∫−π

log |F (0)|dt,

lo cual implica que log |F (0)| = 12π

∫ π−π log |F (eit)|dt. Por el corolario anterior, con-

cluimos que F es una funcion exterior.

Teorema 4.29. Sea (Fj)∞j=1 una sucesion de funciones exteriores en Hp decrecienteen modulo para todo z ∈ D. Supongamos que (Fj)∞j=1 converge uniformemente enconjuntos compactos de D a una funcion F (z). Entonces F es una funcion exterior,siempre que F no sea identicamente cero.

Demostracion. Observese primero que F es una funcion holomorfa en D, por ser ellımite uniforme en conjuntos compactos de D, de una sucesion de funciones holomorfasen el disco. Ademas F ∈ Hp, pues |F (z)| ≤ |F1(z)| ∀ z ∈ D.

En virtud del Corolario 4.7, para cada j ∈ N podemos escribir

log |Fj(0)| = 12π

π∫−π

log |Fj(eit)|dt

=1

2π

π∫−π

log+ |Fj(eit)|dt−1

2π

π∫−π

log− |Fj(eit)|dt.

Como |Fj(z)| ≤ |F1(z)| ∀ z ∈ D y ∀ j ∈ N, se sigue que |Fj(eit)| ≤ |F1(eit)| y enconsecuencia

0 ≤ log+ |Fj(eit)| ≤ log+ |F1(eit)| ∈ L1([−π, π]).

Usando el Teorema de Convergencia Dominada tenemos

lımj→∞

12π

π∫−π

log+ |Fj(eit)|dt =1

2π

π∫−π

log+ |F (eit)|dt.


Para (log− |Fj(eit)|)∞j=1, usamos que log−(t) es decreciente y por tanto

0 ≤ log− |Fj(eit)| ≤ log |Fj+1(eit)| ∀ j ∈ N.

Aplicando el Teorema de Convergencia Monotona a la sucesion (log− |Fj(eit)|)∞j=1

obtenemos

lımj→∞

12π

π∫−π

log− |Fj(eit)|dt =1

2π

π∫−π

log− |F (eit)|dt.

Por tanto1

2π

π∫−π

log |F (eit)|dt = lımj→∞

12π

π∫−π

log |Fj(eit)|dt

= lımj→∞

log |Fj(0)|

= log |F (0)|

y F es una funcion exterior.

Teorema 4.30. Sea F ∈ Hp, con 0 < p ≤ ∞, no identicamente cero, tal queRe[F (z)] ≥ 0 para toda z ∈ D. Entonces F es una funcion exterior.

Demostracion. Construiremos una sucesion de funciones exteriores, decreciente enmodulo que converge uniformemente en D a nuestra funcion F .

Para cada j ∈ N definamos Fj(z) = F (z) + 1/j, entonces Fj ∈ Hp ∀ j ∈ Hp y Fjes una funcion exterior, ya que F−1

j ∈ H∞ ⊂ Hp. Ademas, Fj → F uniformementeen D cuando j → ∞ y (Fj)∞j=1 es decreciente en modulo. Por el Teorema anterior,concluimos que el lımite de (Fj)∞j=1 es una funcion exterior.

Teorema 4.31. Sea K(z) el cociente de dos funciones exteriores y supongamos queK(eit) pertence a Lp([−π, π]) para 0 < p ≤ ∞. Entonces K ∈ Hp.

Demostracion. ComoK(z) es el cociente de dos funciones exteriores, podemos escribir

K(z) =EF (z)EG(z)

= e1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zlog|F (eit)||G(eit)|

dt

salvo una constante multiplicativa. Notese que K(z) es holomorfa en D, pues es elcociente de dos funciones holomorfas que no se anulan en D. Ahora, si p <∞, usandola desigualdad de Jensen, obtenemos

|K(z)|p = eP (log |K(eit)|p) ≤ P (|K(eit)|p).


De lo anterior se sigue que K ∈ Hp. Si p =∞, sabemos que

|K(z)| = eP (log |K(eit)|) ≤ P (|K(eit)|)

y de nuevo, podemos concluir que K(z) ∈ H∞.

A continuacion desarrollaremos una tecnica para construir conjuntos densos enlos espacios Hp. Antes de iniciar, necesitamos recordar una consecuencia del famosoTeorema de Hahn-Banach:

“Sea X un espacio normado y Z un subespacio de X. Sea xo ∈ X tal que δ =d(x0, Z) > 0, entonces existe T ∈ X∗ tal que ‖T‖X∗ = 1, T (x0) = δ y T (z) = 0 paratodo z ∈ Z”.

Para construir nuestros conjuntos densos, necesitaremos de los siguientes lemas:

Lema 4.32. Sea X un espacio normado, U un subespacio de X y sea g = 0 en U .Si toda extension continua de g a X es cero, entonces U es denso en X.

Demostracion. Si U no fuera denso en X, entonces existirıa y ∈ X tal que d =d(y, U) ≥ 0 y por el Teorema de Hahn-Banach existirıa una funcional Λ ∈ X∗ tal que‖Λ‖X∗ = 1, Λ(y) = d y Λ(z) = 0 ∀ z ∈ U .

Ası, Λ serıa una extension no cero y continua de g a X, lo cual contradice nuestrashipotesis. Dicha contradiccion viene de suponer que U no es denso en X, por tanto,U debe ser denso.

Lema 4.33. Sea F ∈ Hp, con p ≤ 1, una funcion exterior. Si K ∈ Hp′ y se cumpleque

π∫−π

EF (eit)eijtK(eit)dt = 0 ∀ j = 0, 1, 2 . . . (4.8)

entonces para toda G ∈ Hp se verifica

π∫−π

G(eit)K(eit)dt = 0.

Demostracion. Si (4.8) se satisface, los coeficientes de Fourier de la funcion h(t) =EF (eit)e−itK(eit) correspondientes a frecuencias negativas son cero. Como h pertencea L1([−π, π]), existe H ∈ H1 tal que

EF (eit)K(eit) = eitH(eit)

= eitIH(eit)EH(eit).


Consecuentemente, |EH(eit)/EF (eit)| = |K(eit)| ∈ Lp′([−π, π]). El Teorema 4.31 afir-ma que EH(z)/EF (z) pertence a Hp′ . Si denotamos por S(z) a este ultimo cociente,tendremos que K(eit) = eitIH(eit)S(eit) y ∀ G ∈ Hp

π∫−π

G(eit)K(eit)dt =

π∫−π

G(eit)IH(eit)S(eit)eitdt = 0.

La ultima integral es cero porque representa el coeficiente de Fourier correspondientea la frecuencia −1 de una funcion en H1.

Teorema 4.34. Sea F ∈ Hp, con 0 < p < ∞, una funcion exterior. Sea P =P (z) =

∑kj=0 a

(k)j zj : a(k)

j ∈ C ∀ j = 0, 1, 2, . . . , k, k ∈ N el espacio de polinomioscon coeficientes en C. Entonces F · P = F (z)P (z) : P ∈ P ⊂ Hp es denso en Hp.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que F = EF . Probare-mos primero el caso p ≥ 1:

Sabemos que EF ·P es una subespacio de Hp y que a su vez Hp es una subespaciocerrado de Lp([−π, π]). A cada K(eit) ∈ Hp′ podemos asociarle el funcional continuoφK : EF · P→ C tal que

φK(EF (eit)eijt) =1

2π

π∫−π

EF (eit)eijtK(eit)dt.

Observese que cualquier extension de φK a Hp tendra la forma

φK(G(eit)) =1

2π

π∫−π

G(eit)K(eit)dt.

Si tomamos K ∈ Lp′([−π, π]) de forma que

12π

π∫−π

EF (eit)eijtK(eit)dt = 0 ∀ j ≥ 0

tendremos definido un funcional lineal continuo φK que se anula en EF · P y por elLema 4.33 toda extension de φK a Hp debe ser cero. Usando el Lema 4.32, podemosconcluir que EF (z) · P es denso en Hp.

Para el caso 0 0, queremos encontrar P ∈ Ptal que ‖H − EFP‖pHp < ε.

Como F (z) = EF (z) ∈ Hp no tiene ceros en D, existe una funcion holomorfa A(z)tal que EF (z) = A2(z). Notemos que A(z) pertence a H2p y es una funcion exterior,ya que

log |A(0)| = 12

log |F (0)| = 12π

π∫−π

12

log |F (eit)|dt =1

2π

π∫−π

log |A(eit)|dt.

Aun mas A(z) = EA(z) pues

A(z) = E1/2F (z) = e

12

12π

∫ π−π

eit+z


= e1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zlog |F (eit)|1/2dt

= e1

2π

∫ π−π

eit+z

eit−zlog |A(eit)|dt

= EA(z).

Ahora, para la misma H ∈ Hp, podemos encontrar R ∈ P tal que |H(z)−R(z)| <ε/3 y ası ‖H −R‖pHp < ε/3.

Como R ∈ P, se sigue que R ∈ H2p. Puesto que EA(z) es una funcion exterior enH2p y 2p > 1, podemos encontrar una polinomio Q ∈ P tal que ‖R−EAQ‖pH2p < ε/3.Lo anterior implica que ‖R− EAQ‖pHp < ε/3, pues p < 2p.

Elijamos ahora δ < (ε/3)1/p

‖EF ‖p/2Hp

, entonces existe P ∈ P tal que ‖Q − EAP‖H2p < δ.

De esta forma

‖EAQ− EFP‖pHp =1

2π

π∫−π

|EA(eit)[Q(eit)− EA(eit)P (eit)]|pdt

≤

12π

π∫−π

|EA(eit)|2p1/2 1

2π

π∫−π

|Q(eit)− EA(eit)P (eit)|2p1/2

= ‖EF ‖p/2Hp ‖Q− EAP‖pH2p

≤ ε/3.

Por lo expuesto hasta aquı, podemos ver que

‖H − EFP‖pHp ≤ ‖H −R‖pHp + ‖R− EAQ‖pHp + ‖EAQ− EFP‖pHp < ε

con lo cual queda demostrado el resultado.


Corolario 4.35. Si F ∈ Hp, con 0 < p <∞, entonces la cerradura en Hp del espacioF · P es IF ·Hp.

Demostracion. Notemos primero que IF · Hp ⊂ Hp es un subespacio cerrado deLp([−π, π]), pues es la imagen de Hp bajo la isometrıa G 7→ IFG. Vemos que estafuncion es en efecto, una isometrıa:

‖IFG‖pHp =1

2π

π∫−π

|IF (eit)G(eit)|pdt =1

2π

π∫−π

|G(eit)|pdt = ‖G‖pHp .

Observese tambien que F ·P ⊂ IF ·Hp: si P ∈ P, entonces FP = IF (EFP ) ∈ IF ·Hp.En consecuencia

F · P ⊂ IF ·Hp = IF ·Hp ⊂ Hp.

Si denotamos por (F · P)Hp a la cerradura de F · P en Hp, entonces ∀ F ∈ Hp

(F · P)Hp = F · P ∩Hp = F · P.

Tambien sabemos que EF · P = Hp y ası

F · P = IF · EF · P = IF · EF · P = IF ·Hp.


Conclusiones

Hemos caracterizado a las funciones en Hp, con p > 1, como integrales de Poissonde funciones en Lp([−π, π]) con coeficientes de Fourier cero para frecuencias negativas.

Gracias al Teorema de Factorizacion de Riesz, hemos logrado probar que todafuncion en Hp tiene lımites radiales casi en todas partes, mas aun, este lımite radiales una funcion en Lp([−π, π]), cuya norma ‖ · ‖p coincide con la norma ‖ · ‖Hp de sufuncion original. Hemos encontrado ası, una isometrıa entre estos espacios, y la formade pasar de uno a otro es tomar lımite cuando r → 1. Si p ≥ 1, podemos regresar aHp por medio de la integral de Poisson. De esta manera, identificamos a Hp con unsubespacio cerrado de Lp([−π, π]).

El estudio del operador funcion conjugada, nos ha permitido hacer la identifi-ciacion anterior aun mas clara, pues hemos visto que para p ≥ 1, Hp = f + if + ic :f ∈ ReLp([−π, π]), f ∈ Lp y c ∈ R y no solo eso, tambien mostramos que ReHp

coincide con ReLp([−π, π]) cuando 1 < p <∞, no ası para p = 1 y p =∞.

Tambien encontramos que el espacio dual de Hp, cuando 1 < p <∞, es, como erade esperarse, el espacio Hp′ , donde p y p′ son exponentes conjugados. Para 0 < p < 1observamos que al igual que Lp([−π, π]), Hp no es localmente convexo. A pesar deno haberlo demostrado en este trabajo, se sabe que el espacio dual de Hp para estemismo rango de valores de p, consta de una cantidad suficiente de funcionales lineales,a diferencia del espacio dual de Lp([−π, π]), formado solamente por el funcional lineal

113

114 Conclusiones

cero. Todo lo anterior, nos permite concluir, al menos cuando 0 < p < 1, que losespacios Hp son, vıa estos argumentos, buenos sustitutos de los espacios Lp([−π, π]).

Ahora bien, el estudio de los espacios de Hardy no termina aquı, aun quedanmuchos topicos que tratar, pues los temas desarrollados en este trabajo solo cubren laparte basica de la Teorıa clasica de espacios Hp. Como se menciono en la introduccion,es posible definir estos espacios en el semiplano superior, en Rn+1

+ o mejor aun, esposible hacer un estudio similar a la teorıa clasica de espacios de Hardy considerandoahora funciones que toman valores en un espacio de Banach. Aun existe trabajo querealizar sobre estos espacios y estoy segura de que en el futuro, me gustarıa continuarcon el estudio de esta Teorıa.

Apendice

115

Apendice A

Funciones Armonicas

Definicion .36. Sea Ω un dominio en Rn y sea u : Ω→ C un funcion. Diremos queu es armonica en Ω si u ∈ C2(Ω) y ∆u(x) = 0 para todo x ∈ Ω.

Existe una relacion natural entre las funciones armonicas y las funciones holo-morfas en el plano complejo, pues toda funcion analıtica es una funcion armonicacon valores en C. Tambien es posible demostrar que una funcion con valores reales,definida en un conjunto simplemente conexo del plano complejo, es armonica si y solosi es la parte real de una funcion holomorfa.

Si u es una funcion armonica con valores reales definida en el disco D(0, R),entonces es posible encontrar una representacion en series para u, la cual convergeuniformemente en subconjuntos compactos de D(0, R).

Veamos: sabemos que existe una funcion F , analıtica en D(0, R) tal que u(z) =Re[F (z)] para todo z ∈ D(0, R). Como F es holomorfa en D(0, R), puede represen-tarse como una serie de potencias en el disco, digamos que

F (z) =∞∑k=0

ckzk.

Notando que u(z) = 12

[F (z) + F (z)

]y escribiendo z = reiθ con r = |z| y θ = arg(z)

117

118

obtenemos una representacion en series para u

u(reiθ) =∞∑

k=−∞akr|k|eikθ (9)

donde

ak =

c−k

2 si k < 0Re[c0] si k = 0ck2 si k > 0.

Ademas la convergencia es uniforme en subconjuntos compactos de D(0, R).

Si R > 1, tendremos que la serie en (9) convergera uniformemente. Ası, si consid-eramos la funcion t→ u(eit), para t ∈ [−π, π], veremos que sus coeficientes de Fourierseran 1

2π

∫ π−π e

−ijt [∑∞k=−∞ ake

ikt]dt = aj ∀ j ∈ Z.

Sustituyendo esta expresion para aj en (9) y usando la convergencia uniforme dela serie obtenemos

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

u(eit)

[ ∞∑k=−∞

r|k|eik(θ−t)

]dt.

Cuando 0 ≤ r < 1, la serie∑∞

k=−∞ r|k|eikt converge uniformemente en t.

Proposicion .37. La funcion Pr : [−π, π]→ R tal que

Pr(t) =∞∑

k=−∞r|k|eikt =

1− r2

1− 2r cos t+ r20 ≤ r < 1

se llama Nucleo de Poisson para el disco unitario y tiene las siguientes propiedades:

i) Es continua, positiva y periodica en t, con perıodo de 2π.

ii)1

2π

π∫−π

Pr(t)dt = 1 ∀ r ∈ [0, 1).

iii) Para cualquier 0 < δ < π se tiene que supδ≤|t|≤π

Pr(t)→ 0 si r → 1.

Demostracion. Es claro que Pr(t) es continuo y positivo, y como cos t es 2π-periodico,Pr(t) tambien lo es. Para ii) observese que

12π

π∫−π

Pr(t)dt =1

2π

π∫−π

∞∑k=−∞

r|k|eikt = dt

∞∑k=−∞

r|k|1

2π

π∫−π

eiktdt = 1.

119

Por ultimo, para iii), basta observar que 1 − 2r cos δ + r2 ≤ 1 − 2r cos |t| + r2 para|t| ≥ δ, y que g(r) = 1− 2r cos δ + r2 tiene un mınimo en r = cos δ, por lo cual

1− r2

1− 2r cos t+ r2≤ 1− r2

1− 2r cos δ + r2≤ 1− r2

1− cos δ.

Proposicion .38. Si u es una funcion armonica real, definida en el disco D(0, R)con R > 1, entonces para 0 ≤ r < 1 y θ ∈ [−π, π]

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)u(eit)dt.

Demostracion. Es consecuencia de los comentarios anteriores.

Mostraremos ahora que la representacion de Poisson es valida para una clase masamplia de funciones armonicas en el disco unitario.

Teorema .39. Sea u una funcion armonica en D tal que

sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|pdt <∞ (10)

para algun 1 < p <∞. Entonces existe una funcion f ∈ Lp([−π, π]) tal que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt.

Ası, u es la integral de Poisson de alguna funcion f ∈ Lp([−π, π]).

Demostracion. Tomemos una sucesion (rj)∞j=1 de numeros reales no negativos tal querj ↑ 1 y consideremos las funciones fj : [−π, π] → R tales que fj(t) = u(rjeit).Denotemos por K al supremo en (10). Como

π∫−π

|u(rjeit)|pdt ≤ K

se tiene que (fj)∞j=1 esta contenida en una bola cerradaB de Lp([−π, π]) ∼= (Lp′([−π, π]))∗,

donde p y p′ son exponentes conjugados. Por el Teorema de Banach-Alaoglu (Con-sultar [13], p. 68-69), B es debilmente-* compacta y como Lp

′([−π, π]) es separable,

120

se sigue que dicha bola es metrizable en la topologıa debil-* (Ver [13], Teo. 3.6, p.70). Por tal motivo, es posible encontrar una subsucesion de (fj)∞j=1, la cual deno-taremos de la misma forma, que converge en la topologıa debil-* a alguna funcionf ∈ Lp([−π, π]) ∼= (Lp

′([−π, π]))∗.

Recordemos que la isometrıa entre Lp([−π, π]) y (Lp′([−π, π]))∗ esta dada por la

funcion Lp([−π, π])→ (Lp′([−π, π]))∗ tal que f 7→ Λf donde

Λf (g) =1

2π

π∫−π

g(t)f(t)dt ∀ g ∈ Lp′([−π, π]).

Por lo expuesto hasta aquı, se tiene que si j →∞

12

π∫−π

g(t)fj(t)dt −→12

π∫−π

g(t)f(t)dt ∀ g ∈ Lp′([−π, π]).

Para cada j ∈ N consideremos la funcion uj : D(0, 1/rj) → R tal que uj(z) =u(rjz), la cual es armonica en D(0, 1/rj). Puesto que 1/rj > 1, tenemos la siguienterepresentacion para uj :

uj(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)uj(eit)dt

la cual es valida para toda j ∈ N, para 0 ≤ r < 1 y −π ≤ θ ≤ π. Podemos reescribirla representacion anterior como

u(rjreiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)u(rjeit)dt

=1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)fj(t)dt.

Si hacemos j tender a infinito en la expresion anterior, el lado izquierdo tendera au(reiθ), mientras que el lado derecho tendera a 1

2π

∫ π−π Pr(θ − t)f(t)dt, puesto que

Pr(t) ∈ Lp′([−π, π]) por ser una funcion continua.

De esta forma

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt

para toda 0 ≤ r < 1, θ ∈ [−π, π] y alguna funcion f ∈ Lp([−π, π]).

121

En el resultado anterior solo consideramos el caso en el que 1 < p < ∞. Resultanatural preguntarnos que sucede cuando p = 1 y cuando p = ∞. Si modificamosla condicion (10) de manera adecuada, es posible obtener un resultado analogo alTeorema anterior para p =∞. El caso p = 1 sera tratado de forma un poco distinta.


sup0≤r<1

‖ur‖∞ <∞ (11)

donde ur(t) = u(reit). Entonces existe una funcion f ∈ L∞([−π, π]) tal que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt

para toda 0 ≤ r < 1 y θ ∈ [−π, π].

Demostracion. De nuevo tomemos una sucesion de numeros reales no negativos (rj)∞j=1

tal que rj ↑ 1 y para cada j ∈ N definamos fj(t) = u(rjeit). Denotemos por K alsupremo en (11), entonces

‖fj‖∞ = ‖urj‖∞ ≤ K

y por tanto (fj)∞j=1 esta contenida en una bola cerradaB de L∞([−π, π]) ∼= (L1([−π, π]))∗.Como L1([−π, π]) es separable, podemos usar el mismo argumento que en la de-mostracion del Teorema anterior para obtener el resultado.

Una pieza clave en la demostracion de estos Teoremas ha sido el hecho de que para1 < p ≤ ∞, se tiene que Lp([−π, π]) ∼= (Lp

′([−π, π]))∗, donde p y p′ son exponentes

conjugados. Para p = 1 necesitamos hacer algunas observaciones.

Consideremos al espacio M([−π, π]) formado por las medidas de Borel complejasen [−π, π]. Dada µ ∈M([−π, π]), la funcion |µ| definida en B([−π, π]) como

|µ|(A) = sup

∞∑i=1

|µ(Ai)| : Ai∞i=1 es una particion de A

resulta ser una medida positiva en B([−π, π]), y es llamada la variacion total de µ(Ver [14], Capıtulo 6, p.124-126).

En M([−π, π]) podemos considerar la norma ‖µ‖ = |µ|([−π, π]), con la cualM([−π, π]) es completo. Es posible mostrar que el espacio L1([−π, π]) esta inmer-so en M([−π, π]) mediante la asociacion f 7→ µf donde µf (E) =

∫E f(t)dt. Mas aun,

122

esta asociacion es una isometrıa, pues

‖µf‖ = |µf |([−π, π]) =

π∫−π

|f(t)|dt = ‖f‖1

(Consultese [15], Teo. 6.3, p.134).

Por otra parte, por el Teorema de Representacion de Riesz-Markov, se sabe queM([−π, π]) es isometricamente isomorfo al dual de C([−π, π]) (Ver [4], p.223). Con loexpuesto hasta aquı, podremos dar un resultado analogo al Teorema .39 para el casop = 1.


sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|dt <∞.

Entonces existe una medida de Borel µ sobre [−π, π] tal que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t)

para 0 ≤ r < 1 y θ ∈ [−π, π].

Demostracion. Sea (rj)∞j=1 una sucesion de numeros reales no negativos tal que rj ↑ 1y consideremos las funciones fj(t) = u(rjeit), las cuales forman una sucesion (fj)∞j=1

acotada en L1([−π, π]).

Como L1([−π, π]) se encuentra isometricamente inmerso enM([−π, π]) ∼= (C([−π, π])∗,tenemos que la sucesion (fj)∞j=1 esta contenida en una bola cerrada de (C([−π, π]))∗.Por el Teorema de Banach-Alaoglu tal bola es debilmente-* compacta y como C([−π, π])es separable, dicha bola es metrizable.

Luego, (fj)∞j=1 tiene una subsucesion, la cual denotaremos de la misma forma, queconverge en la topologıa debil-* a una medida µ ∈ (C([−π, π]))∗, es decir, si j →∞

π∫−π

g(t)fj(t)dt −→π∫−π

g(t)dµ(t)dt ∀g ∈ C([−π, π]).

Ahora, para cada j ∈ N definamos la funcion uj(z) = u(rjz), la cual es armonicaen D(0, 1/rj). Puesto que 1/rj > 1, uj tiene la siguiente representacion

uj(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)uj(eit)dt

123

la cual es valida para r ∈ [0, 1) y θ ∈ [−π, π]. Lo anterior es equivalente a

u(rjreiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)u(rjeit)dt

=1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)fj(t)dt

y haciendo j tender a infinito y usando que Pr(t) ∈ C([−π, π]) obtenemos

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t).

Definicion .42. Una identidad aproximada en [−π, π] es una familia (Φα)α∈I defunciones 2π-periodicas en L1([−π, π]), donde I es un conjunto dirigido, que satisfacelas siguientes condiciones:

i) supα∈I

12π

π∫−π

|Φα(t)|dt = K <∞.

ii)1

2π

π∫−π

Φα(t)dt = 1 ∀ α ∈ I.

iii) Para toda 0 < δ < π se tiene que∫

δ<|t|<π

|Φα(t)|dt → 0 cuando α “crece” en el

conjunto dirigido I.

Observese que el Nucleo de Poisson es una identidad aproximada en [−π, π]. Laspropiedades de (Pr)0≤r<1 nos permitiran obtener recıprocos para los Teoremas .39 y.40.

Teorema .43. Sea f ∈ Lp([−π, π]) y sea u = P (f) su integral de Poisson, es decir,

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt

124

con 0 ≤ r < 1,−π ≤ t ≤ π. Entonces u es armonica en D. Ademas, si p < ∞, paratoda r ∈ [0, 1) se satisface

π∫−π

|u(reit)|pdt ≤π∫−π

|f(t)|pdt.

Si p =∞, se tiene que |u(z)| ≤ ‖f‖∞ para toda z ∈ D.

Demostracion. Probaremos primero el caso en que f toma valores reales.

Sea∑

k∈Z akeikθ la serie de Fourier de f , entonces

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

[∑k∈Z

r|k|eik(θ−t)

]f(t)dt

=∑k∈Z

r|k|eikθ

12π

π∫−π

f(t)e−iktdt

=∑k∈Z

r|k|akeikθ.

Como f toma valores reales, a0 ∈ R y entonces

u(reiθ) = a0 +∞∑k=1

rkakeikθ +

∞∑k=1

a−krke−ikθ

= a0 +∞∑k=1

rkakeikθ +

∞∑k=1

akrke−ikθ

= Re

[2∞∑k=1

akrkeikθ + a0

]

y puesto que 2∑∞

k=1 akzk + a0 es una funcion holomorfa en D, concluimos que u es

armonica en D.

Ahora, si f toma valores en C, basta notar que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)Re[f(t)]dt+i

2π

π∫−π

Pr(θ − t)Im[f(t)]dt

y que Re[f(t)] e Im[f(t)] son funciones en Lp([−π, π]) que toman valores reales, parausar el caso anterior y concluir que u es armonica en D.

125

Para obtener las desigualdades observemos que

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)f(t)dt

=1

2π

π∫−π

Pr(t)f(θ − t)dt

y por la desigualdad integral de Minkowski tendremos que

‖u(rei·)‖p = ‖ 12π

π∫−π

f(· − t)Pr(t)dt‖p

≤ ‖f(· − t)‖p1

2π

π∫−π

Pr(t)dt

= ‖f‖p.

Para p =∞, tenemos que

|u(reiθ)| ≤ 12π

π∫−π

Pr(t)|f(θ − t)|dt

≤ 12π

π∫−π

Pr(t)‖f‖∞dt

= ‖f‖∞,

y ası, |u(z)| ≤ ‖f‖∞ ∀ z ∈ D.

Teorema .44. Sea µ una medida de Borel compleja en [−π, π] y sea u = P (µ) suintegral de Poisson. Entonces u(z) es armonica en D y para toda r ∈ [0, 1) se tiene

π∫−π

|u(reit)|dt ≤π∫−π

d|µ|(t) = ‖µ‖.

Demostracion. De nuevo, consideraremos primero el caso en que µ toma valoresreales. Sea

∑k∈Z ake

ikθ la serie de Fourier de µ, donde

ak =1

2π

π∫−π

e−iktdµ(t).

126

Entonces para 0 ≤ r < 1 y θ ∈ [−π, π]

u(reiθ) =12

π∫−π

[∑k∈Z

r|k|eik(θ−t)

]dµ(t)

=∑k∈Z

r|k|eikθ

12

π∫−π

e−iktdµ(t)

=∑k∈Z

r|k|akeikθ.

Como µ toma valores reales, a0 ∈ R y en consecuencia, podemos reescribir laexpresion anterior como

u(reiθ) = a0 +∞∑k=1

akrkeikt +

∞∑k=1

a−krke−ikt

= a0 +∞∑k=1

akrkeikt +

∞∑k=1

akrke−ikt

= Re

[a0 +

∞∑k=1

ak(reiθ)k].

Es decir, u es la parte real de una funcion holomorfa en D y consecuentemente, esarmonica en D.

Supongamos ahora que µ toma valores en C, entonces

u(reiθ) =1

2π

π∫−π

Pr(θ − t)d[Reµ(t)] +i

2π

π∫−π

Pr(θ − t)d[Imµ(t)]

y como Re[µ(t)] e Im[µ(t)] son medidas reales, por el caso anterior, u es armonica en

127

D. Ademas, usando el Teorema de Fubini tenemos

π∫−π

|u(reiθ)|dθ =

π∫−π

∣∣∣∣∣∣ 12π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣∣∣ dθ≤ 1

2π

π∫−π

π∫−π

Pr(θ − t)d|µ|(t)dθ

=1

2π

π∫−π

π∫−π

Pr(θ − t)dθ

d|µ|(t)=

π∫−π

12π

π∫−π

Pr(s)ds

d|µ|(t)=

π∫−π

d|µ|(t).

Hasta aquı, hemos probado lo siguiente:

i) Una funcion u es armonica en D y

sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|pdt <∞

para algun 1 < p <∞ si y solo si u = P (f) para alguna funcion f ∈ Lp([−π, π]).

ii) Una funcion u es armonica en D y

sup0≤r<1

‖ur‖∞ <∞

donde ur(t) = u(reit) si y solo si u = P (f) para alguna funcion f ∈ L∞([−π, π]).

iii) Una funcion u es armonica en D y

sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|dt <∞

si y solo existe una medida de Borel compleja µ sobre [−π, π] tal que u = P (µ).

128

Examinemos ahora el comportamiento de las integrales de Poisson en la frontera.

Teorema .45. Sea (Φα)α∈I una identidad aproximada en [−π, π], donde (I,≺) es unconjunto dirigido. Entonces

i) Si f ∈ Lp([−π, π]) con 1 ≤ p <∞, y fα(θ) es la convolucion

fα(θ) = (f ∗ Φα)(θ) =1

2π

π∫−π

f(θ − t)Φα(t)dt,

entonces fα → f en Lp([−π, π]).

ii) Si f es continua y 2π-periodica, entonces (fα)α∈I converge a f uniformementeen [−π, π].

Demostracion. Sea ε > 0. Observese que para cada α ∈ I se tiene que

fα(θ)− f(θ) =

π∫−π

f(θ − t)Φα(t)dt− f(θ) =

π∫−π

[f(θ − t)− f(θ)]Φα(t)dt.

Tomando norma ‖ · ‖p y usando la desigualdad de Minkowski obtenemos

‖fα − f‖p ≤1

2π

π∫−π

‖f(· − t)− f‖p|Φα(t)|dt. (12)

Puesto que (Φα)α∈I es una identidad aproximada, existe K > 0 tal que

supα∈I

12π

π∫−π

|Φα(t)|dt ≡ K <∞.

Como el espacio de funciones continuas C([−π, π]) es denso en Lp([−π, π]), existeuna funcion continua g tal que

‖f − g‖p <ε

8K.

Para cada θ ∈ [−π, π], definamos gt(θ) = g(θ − t) − g(θ). Observese que gt(θ) → 0si t → 0, pues g es continua en θ. Ademas, para toda θ ∈ [−π, π] se verifica que|gt(θ)| ≤ 2‖g‖∞, de lo cual se sigue gt ∈ Lp([−π, π]) para todo t. Usando el Teoremade Convergencia Dominada tendremos que

lımt→0‖gt‖p = 0.

129

Por tanto, existe δ > 0 tal que |t| < δ implica que ‖gt‖p < ε4K . En consecuencia, si

|t| < δ

‖f(· − t)− f‖p ≤ ‖f(· − t)− g(· − t)‖p + ‖g(· − t)− g‖p + ‖g − f‖p= 2‖f − g‖p + ‖gt‖p

≤ ε

4K+

ε

4K.

Para esa misma eleccion de δ, la expresion en (12) quedarıa como sigue

12π

δ∫−δ

‖f(· − t)− f‖p|Φα(t)|dt+1

2π

∫δ≤|t|≤π

‖f(· − t)− f‖p|Φα(t)|dt.

Pero esto es menor o igual que

ε

2K1

2π

π∫−π

|Φα(t)|dt+‖f‖pπ

∫δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt.

Ahora bien, como (Φα)α∈I es una identidad aproximada, sabemos que ∃α0 ∈ Ital que si α0 ≺ α, entonces ∫

δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt < πε

2‖f‖p.

De manera que si α0 ≺ α tendremos

‖fα − f‖p <ε

2K

supα∈I

12π

π∫−π

|Φα(t)|dt

+‖f‖pπ

π∫−π

∫δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt

<ε

2+ε

2= ε.

De donde concluimos que fα → f en Lp([−π, π]).

Ahora, si f ∈ C([−π, π]), dado que [−π, π] es compacto, tendremos que f esuniformemente continua en [−π, π]. Ası, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que

|t− s| < δ implica |f(t)− f(s)| < ε

2K.

130

Luego, para esa misma eleccion de δ tendremos

|fα(θ)− f(θ)| ≤ 12π

π∫−π

|fα(θ)− f(θ)||Φα(t)|dt

=1

2π

δ∫−δ

|fα(θ)− f(θ)||Φα(t)|dt+1

2π

∫δ≤|t|≤π

|fα(θ)− f(θ)||Φα(t)|dt

≤ ε

2K1

2π

π∫−π

|Φα(t)|dt+‖f‖∞π

∫δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt

≤ ε

2Ksupα∈I

12π

π∫−π

|Φα(t)|dt

+‖f‖∞π

∫δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt.

Tomando α0 ∈ I de manera que α0 ≺ α implique∫δ≤|t|≤π

|Φα(t)|dt < πε

2‖f‖∞

obtenemos|fα(θ)− f(θ)| < ε ∀θ ∈ [−π, π].

Por tanto, fα → f uniformemente en [−π, π].

Corolario .46. Sea f una funcion 2π-periodica en R y sea u = P (f) su integral dePoisson. Entonces

i) Si f ∈ Lp([−π, π]), con 1 ≤ p <∞, entonces lımr→1

π∫−π

|u(reit)− f(t)|pdt = 0.

ii) Si f(t) ∈ C([−π, π]), entonces u(reit)→ f(t) uniformemente en t cuando r →1.

Teorema .47. Sea (Φα)α∈I una identidad aproximada en [−π, π], donde (I,≺) es unconjunto dirigido.

i) Si f ∈ L∞([−π, π]) y fα = f ∗ Φα, entonces fα converge a f en la topologıadebil-* de L∞([−π, π]) ∼= (L1([−π, π]))∗.

ii) Si µ ∈ M([−π, π]) y fα = µ ∗ Φα, entonces fα converge a µ en la topologıadebil-* de M([−π, π]) ∼= (C([−π, π]))∗.

131

Demostracion. i) Veamos primero que fα pertence a L∞([−π, π]). Como (Φα)α∈I esuna identidad aproximada, existe K > 0 tal que

supα∈I

π∫−π

|φα(t)|dt ≡ K <∞.

Luego, ∀α ∈ I y toda θ ∈ [−π, π]

|fα(θ)| ≤ 12π

π∫−π

|f(θ − t)||Φα(t)|dt

≤ ‖f‖∞2π

π∫−π

|Φα(t)|dt

≤ ‖f‖∞K2π

.

Ası, fα es acotada y pertence a L∞([−π, π]).

Probaremos ahora i). Queremos ver que ∀ψ ∈ L1([−π, π])π∫−π

(f ∗ Φα)(θ)ψ(θ)dθ −→π∫−π

f(θ)ψ(θ)dθ.

Observese queπ∫−π

(f ∗ Φα)(θ)ψ(θ)dθ =

π∫−π

12π

π∫−π

f(t)Φα(θ − t)dt

ψ(θ)dθ

=

π∫−π

12π

π∫−π

ψ(θ)Φα(θ − t)dθ

f(t)dt

=

π∫−π

(ψ ∗ Φα)(t)f(t)dt

donde (Φα(t))α∈I = (Φα(−t))α∈I . Notese que (Φα)α∈I es tambien una identidadaproximada en [−π, π], ademas∣∣∣∣∣∣

π∫−π

(f ∗ Φα)(θ)ψ(θ)dθ −π∫−π

f(θ)ψ(θ)dθ

∣∣∣∣∣∣ ≤π∫−π

|(f ∗ Φα)(θ)ψ(θ)− f(θ)ψ(θ)|dθ

≤ ‖f‖∞

π∫−π

|(ψ ∗ Φ)(θ)− ψ(θ)|dθ

132

y esta ultima expresion tiende a cero cuando α “crece” en el conjunto I, por elTeorema .45. Concluimos pues, que fα → f en la topologıa debil-* de L∞([−π, π]).

Para ii), necesitamos ver que ∀ψ ∈ C([−π, π])

π∫−π

fα(θ)ψ(θ)dθ −→π∫−π

ψ(θ)dµ(θ).

Observemos que

π∫−π

(µ ∗ Φα)(θ)ψ(θ)dθ =

π∫−π

12π

π∫−π

Φα(θ − t)dµ(t)

ψ(θ)dθ

=

π∫−π

12π

π∫−π

ψ(θ)Φα(θ − t)dθ

dµ(t)

=

π∫−π

(ψ ∗ Φα)(t)dµ(t)

donde, de nuevo (Φα(t))α∈I = (Φα(−t))α∈I es una identidad aproximada en [−π, π].

Finalmente, como esta ultima expresion tiende a

π∫−π

ψ(t)dµ(t), el resultado queda

demostrado.

Corolario .48. i) Si f ∈ L∞([−π, π]) y u = P (f) es su integral de Poisson,entonces u(reit) converge a f en la topologıa debil-* de L∞([−π, π]).

ii) Si µ ∈ M([−π, π]) y u = P (µ) es su integral de Poisson, entonces u(reit)converge a dµ(t) en la topologıa debil-* de M([−π, π]).

Para continuar con el estudio del comportamiento en la frontera de las integralesde Poisson, introduciremos la siguiente definicion:

Definicion .49. Sea u una funcion definida en D, y sea z0 = eiθ0 ∈ ∂D. Diremosque L es el lımite no tangencial de u en z0, si para todo C > 0, u(z) converge a L

cuando z tiende a z0 permaneciendo en la region z = reiθ : |θ − θ0| < C(1− r) .

Escribiremoslım

N.T.z→ eiθ0

u(z) = L.

133

Consideremos tambien la funcion

F (θ) =

θ∫0

dµ(t)

donde µ es una medida de Borel en [−π, π]. La funcion anterior es de variacionacotada, por ser absolutamente continua, en consecuencia, F tiene derivada finitapara casi todo θ.

Teorema .50. Sea µ una medida de Borel en [−π, π] y sea

F (θ) =

θ∫0

dµ(t).

Sea θ0 uno de los puntos donde F ′(θ) existe y es finita y sea u = P (µ) la integral dePoisson de µ. Entonces u converge a F ′(θ0) cuando z tiende no tangencialmente az0 = eiθ0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que θ0 = 0, es decir,z0 = 1. Podemos asumir tambien que F ′(0) = 0.

Tomemos C > 0, mostraremos que u(reiθ) es uniformemente pequeno en θ, si|θ| < C(1− r) .

Sea ε > 0, como F ′(0) = 0, existe δ > 0 tal que |θ| < δ, implica |F (θ)| < ε|θ|.

Si restringimos nuestra atencion a las r′s tales que C(1 − r) < δ/4, para reiθ ∈reiθ : |θ| < C(1− r) tendremos

|u(reiθ)| =

∣∣∣∣∣∣ 12π

π∫−π

Pr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣∣ 12π

δ∫−δ

Pr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣∣∣+1

2π

∫δ≤|t|≤π

Pr(θ − t)d|µ|(t)

≤

∣∣∣∣∣∣ 12π

δ∫−δ

Pr(θ − t)dµ(t)

∣∣∣∣∣∣+

supδ2≤|t|

Pr(t)

12π

π∫−π

d|µ|(t)

.

Como el supremo en el segundo sumando tiende a cero cuando r → 1, solo debemos

134

preocuparnos por la primera integral. Procederemos integrando por partes. Tomemos

s =1

1− 2r cos(θ − t) + r2, v = F (t)

ds =2r sen(θ − t)dt

[1− 2r cos(θ − t) + r2]2, dv = dµ(t).

Entonces

12π

δ∫−δ

Pr(θ − t)dµ(t) =1

2πPr(θ − t)F (t)

∣∣∣δ−δ− 1π

δ∫−δ

(1− r2)r sen(θ − t)F (t)[1− 2r cos(θ − t) + r2]2

dt

= A+B.

Notese que

|A| = 12π|F (δ)Pr(θ − δ)− F (−δ)Pr(θ + δ)|

≤ 12π

sup|t|≥δ|

|F (t)|(Pr(θ + δ) + Pr(θ − δ))

≤ 12π

(sup|t|≥δ|

|F (t)|

) supδ2≤|t|

Pr(t)

.

De nuevo, como el segundo supremo tiende a cero cuando r → 1, |A| tiende a cerocuando r → 1.

Para controlar a |B|, tomaremos 0 < θ < δ/2 y descompondremos la integralsobre [−δ, δ] en integrales sobre [−δ, 0], [0, 2θ] y [2θ, δ].

Para la integral sobre [−δ, 0] usaremos que

|F (t)| < ε|t| = ε(−t) < ε(θ − t).

Entonces

1π

∣∣∣∣∣∣0∫−δ


dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ 1π

0∫−δ

(1− r2)r| sen(θ − t)|ε(θ − t)[1− 2r cos(θ − t) + r2]2

dt

=ε

π

θ+δ∫θ

(1− r2)r| sen s|s[1− 2r cos s+ r2]2

ds

=ε

π

θ+δ∫θ

(1− r2)rs sen s[1− 2r cos s+ r2]2

ds

≤ ε

π

π∫0

(1− r2)rs sen s[1− 2r cos s+ r2]2

ds.

135

Tomando

v = s, w =−1

2[1− 2r cos s+ r2]

dv = ds, dw =r sen s

[1− 2r cos s+ r2]2

e integrando por partes obtenemos que

ε(1− r2)π

−s2(1− 2r cos s+ r2)

∣∣∣π0

+

π∫0

ds

2(1− 2r cos s+ r2)

=−ε(1− r2)π2π(1 + r)2

+ε

21

2π

π∫−π

Pr(t)dt

≤ ε

2.

Para la integral sobre [0, 2θ], usaremos que |F (t)| < εt y que |θ − t| < θ:

1π

∣∣∣∣∣∣2θ∫

0


dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ 1π

2θ∫0

(1− r2)r sen(θ − t)εt[1− 2r cos(θ − t) + r2]2

dt

≤2θ∫

0

(1− r2)rθεt(1− r)4

dt

=1π

2θ∫0

(1 + r)rθεt(1− r)3

dt

≤ 1π

2θ∫0

(2θ)2ε

(1− r)3dt

=2θ3ε

π(1− r)3

≤ 8C3ε

π

pues |θ| < C(1− r).

Por ultimo, para la integral sobre [2θ, δ], usaremos que |F (t)| < εt < 2ε(t − θ),

136

entonces

1π

∣∣∣∣∣∣δ∫

2θ

(1− r2)r sen(θ − t)F (t)[1− 2r cos(θ − t)]2

dt

∣∣∣∣∣∣ ≤ 1π

δ∫2θ

(1− r2)r sen(θ − t)ε2(t− θ)[1− 2r cos(θ − t) + r2]2

dt

=2επ

δ−θ∫θ

(1− r2)rs sen s[1− 2r cos s+ r2]2

ds

=2επ

π∫0

(1− r2)rs sen s[1− 2r cos s+ r2]2

ds.

Tomamosv = t, dw =

r sen s[1− 2r cos s+ r2]2

dv = dt, w =−1

2(1− 2r cos s+ r2)

para de nuevo integrar por partes y obtener

εsr sen s(1− r2)π[1− 2r cos s+ r2]1

∣∣∣π0

+ε

2π

π∫0

Pr(s)ds =ε

2.

Ası, si |θ| < C(1− r) < δ/4, tenemos que |u(reiθ)| < Mε.

Ahora, si F ′(0) 6= 0, podemos considerar la medida dλ(t) = dµ(t) − F ′(0)dt ydefinir G(θ) =

∫ θ0 dλ(t).

Observese que G′(θ) = F ′(θ)− F ′(0) y por tanto G′(0) = 0. Por el caso anterior,

tenemos que P (λ)(z) → G′(0) = 0 cuandoN.T.z → 1= ei0, pero P (λ) = P (µ) − F ′(0),

por lo cual, podemos concluir que P (µ) tiende a F ′(0) siN.T.z → 1= ei0.

Un teorema clasico de Lebesgue establece que si f ∈ Lp([−π, π]), para p ≥ 1,entonces

d

dθ

θ∫0

f(t)dt

existe para casi toda θ y es igual a f(θ).

Corolario .51. Sea f ∈ L1([−π, π]) y sea u = P (f), entonces u(z)→ f(θ) siN.T.

z → eiθ

para casi todo θ.

137

Demostracion. Definamos F (θ) =∫ θ

0 dµ(t) =∫ θ

0 f(t)dt, entonces F ′(θ) = f(θ) para

casi toda θ, y por el Teorema anterior, u(z) = P (f) → F ′(θ) = f(θ) siN.T.

z → eiθ paracasi toda θ.

Observacion .52. i) Si u es una funcion armonica en D tal que

sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|pdt <∞

para algun 1 0 tal que |u(z)| < M ∀z ∈ D,entonces existe una funcion f ∈ L∞([−π, π]) tal que u = P (f) y

lımN.T.

z→eiθu(z) = f(θ)


iii) Si u es una funcion armonica en D tal que

sup0≤r<1

π∫−π

|u(reit)|dt <∞

entonces existe una medida de Borel µ en [−π, π] tal que u = P (µ) y

lımN.T.

z→eiθu(z) = F ′(θ)


Corolario .53 (Teorema de Fatou). Si F es una funcion holomorfa y acotada en D,entonces existe

lımN.T.

z→eiθF (z)


Demostracion. Como F es holomorfa en D, tambien es armonica en D, ademas, Fes acotada en el disco por hipotesis. Se sigue de ii) de la observacion anterior que Ftiene lımites no tangenciales para casi toda θ ∈ [−π, π].

138

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