UNIVERSIDAD DE SONORA

DIVISION DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Programa de Posgrado en Matematicas

K-Teorıa

T E S I S

Que para obtener el grado academico de:

Maestro en Ciencias

(Matematicas)

Presenta:

Dante Rafael Teran Ramırez

Directores de tesis:

Dr. Jesus F. Espinoza

Dr. Rafael R. Ramos

Hermosillo, Sonora, Mexico Agosto de 2014

Agradecimientos

Quisiera dedicar esta tesis para el futuro venturoso de mi vida, a la version 2.0de mi ser Dante Rafael Teran Quintana, espero brindarte tanta luz como la quese me brindo en este trabajo. Tambien quiero agradecer a mi prometida AriadnaQuintana Leal por desvelarse conmigo, corregir ortografıa, decirme que existen maspalabras que conectivos logicos, y ser la que me mantiene cuerdo.

Existen dos personas en especial que tienen un rol importante, y estas sonmis padres Francisco Jose Teran Cruz y Marıa Teresa Ramirez Vejar, a los cualesles debo mi curiosidad que sin ella no me hubiera interesado indagar mas sobrelos tema que se me han presentado en la vida, y un caso particular es esta tesis.Tambien se encuentran mis hermanos; Miguel Angel que siempre esta para darmeuna palmadita en el lomo y decirme “ahı te vas...”. A Leonardo que siempreesta haciendo preguntas de cosas que no entiendo para que este actualizado. AFrancisco Jose por hacer ruido de vez en cuando y apoyarme en varios proyectos.

Deseo extender un agradecimiento muy especial a mis directores Dr. Jesus Fran-cisco Espinoza Fierro y al Dr. Rafael Roberto Ramos Flores por apoyarme en misestudios, mandarme fuera de la ciudad para tener una mejor formacion como ma-tematico. A darme las herramientas para crecer en el area de topologıa algebraica.Tambien agradecer los raytes a mi casa al Dr. Jesus, y tenerme mucha pacienciadesde la licenciatura y empujarme a terminar este trabajo y considerarme en futurosproyectos. Tambien esta el Dr. Daniel Juan Pineda, quien fue mi tutor en mi estanciaen Morelia Michoacan.

Por ultimo quiero agradecer mis amigos Jesus Alfonso Anzaldo Lopez y CarlosFernando Alarcon Suarez que siempre estan conmigo y si caıgo estan para hecharmeuna mano... y aveces hecharme el brazo. A Manuel Gil, Alberto Maytorena, JesusLizarraga, Yessenia Linan, Daniel Rubio, Brenda Inustroza, Alvaro Reyes, DanielaGriselle Tellez, Raissa Talavera, Michelle Valencia, Gerardo Rodriguez, Martın Vejar,Los comandos del Oeste, Victor Becerril, Jesus Tadeo Ibarra, Enrique Rodrıguez,Sergio Guzman y todas las personas que estan en mi entorno muchas gracias.

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Sinodales

Dr. Guillermo Davila RasconDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

Dr. Jesus Francisco Espinoza FierroDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

Dr. Juan Loreto HernandezFacultad de Ciencias,Universidad Autonoma de San Luis Potosı

Dr. Rafael Roberto Ramos FigueroaDepartamento de Matematicas,Universidad de Sonora

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Indice general

Introduccion VII

1. Haces vectoriales 11.1. Cuasi-haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. Teorema de pegado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4. Cociclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5. El haz tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.6. Operaciones con haces vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.7. Secciones sobre un haz vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2. Teorıa de homotopıa de haces vectoriales 772.1. Homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2. Espacio de proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.3. Sistemas dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4. La Grassmaniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3. El grupo de Grothendieck y K-teorıa 1213.1. Construccion de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2. Representabilidad de la K-teorıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4. Periodicidad de Bott 1554.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1554.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.3. La cuasifibracion de Bott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644.4. El Teorema de Dold-Thom y periodicidad de Bott . . . . . . . . . . . . 170

Bibliografıa 183

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Introduccion

La K-teorıa (topologica compleja) es una rama de la topologıa algebraica, quea groso modo se puede interpretar como el estudio del algebra lineal sobre espa-cios topologicos. Alexander Grothendieck (1928 - ) desarrollo el concepto algebraicode lo que hoy es llamado K-teorıa, el cual utilizo para establecer el Teorema deGrothendieck-Riemann-Roch, donde utilizo la palabra “klasses” del aleman, parareferirse a cierto tipo de elementos involucrados y es aqui donde nace el grupo deK-teorıa con el nombre actual. En este trabajo Grothendieck utilizo diversos concep-tos de geometrıa algebraica, tales como variedades algebraicas y gavillas, y medianteuna construccion universal asocio un grupo de clases de isomorfismos. Siguiendo estamisma idea M. Atiyah (1929 -) y F. Hirzebruch (1927 - 2012) publicaron en 1959(cf. [4]) la construccion de Grothendieck aplicada al monoide de clases de isomor-fismos de haces vectoriales sobre un espacio topologico. Esta construccion es lo queactualmente se llama el grupo de K-teorıa topologica real o compleja, segun el cam-po donde se considere la fibra de tales haces vectoriales. En este artıculo Atiyah yHirzenbruch demuestran que la K-teorıa topologica satisfase todos los axiomas deEileleber-Steenrod para una teorıa de cohomologıa (cf. [13]), excepto el axioma dela dimension, lo cual la convierte en una teorıa de cohomologıa generalizada.

Mas precisamente, una teorıa de cohomologıa generalizada es una familia defuntores contravariantes F ii∈Z definidos de la categorıa de espacios topologicos conpunto base (Top∗) a la categorıa de grupos abelianos (Ab), junto con equivalenciasnaturales,

F q ∶ Top∗ Ð→Ab y sq ∶ F q S Ð→ F q−1

esta ultima es llamada isomorfismo de suspension, donde S ∶ Top∗ Ð→ Top∗ es elfuntor que asocia a un espacios punteados (X,x0) su suspension reducida (∑X,∗),que satisface los siguientes axiomas

1. Homotopıa: Las funciones homotopicas inducen las mismas funciones en coho-mologıa. Esto es, si f ≃ g ∶ (X,x0)Ð→ (Y, y0) entonces

f∗ = g∗ ∶ kq(Y, y0)Ð→ kq(X,x0)

para toda q ∈ Z.

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2. Exactitud: Para cada pareja de espacios con punto base (X,A) se tiene lasiguiente sucesion exacta

kq(X ∪CA,∗) j∗Ð→ kq(X,x0)i∗Ð→ kq(A,x0)

donde i ∶ (A,x0) Ð→ (X,x0) es la inclusion y j ∶ (X,x0) Ð→ (X ∪CA,∗) es lainclusıon canonica en el cono de i.

Existe una propiedad mas incluida en la lista de axiomas de Eilenberg-Steenrod,este es el axioma de la dimension, que en el caso de la cohomologıa establece quekq(∗) = 0 para el espacio que consta de un solo punto, y kq(S0) = 0 si q ≠ 0 en elcaso reducido. Cuando se satisface este ultimo axioma se llama teorıa de cohomologıaordinaria. Como comentabamos anteriormente Atiyah y Hirzebruch demstraron en[4] que el funtor

(X,x0)Ð→ K(X)

satisface los axiomas antes mencionados.Posteriormente al trabajo de Atiyah y Hirzebruch en la decada de los 60, bajo la

direccion del primero Grame Segal desarrollo el correspondiente grupo de K-teorıapara espacios con la accion de un grupo, la cual se conoce con el nombre de K-teorıa equivariante, y fue utilizada por Atiyah y Singer para establecer y demostrar elTeorema del Indice Atiyah-Singer, que generaliza entre otros resultados el Teorema deGrothendieck-Riemann-Roch. En 1970 M. Karoubi, bajo la direccion de P. Donovandesarrollo en su tesis doctoral el caso de K-teorıa con coeficientes locales, la cualactualmente es llamada K-teorıa torcida. Recientemente la K-teorıa se ha convertidoen una area de investigacion muy activa debido a la infusion de ideas y problemasprovenientes de fısica teorica principalmente teorıa de cuerdas, gracias al trabajo deEdward Witten (cf. D-Branes And K-Theory 1998) quien relaciono la carga de unaD-brana con un elemento en K-teorıa del espacio tiempo.

Entre otras aplicaciones, la K-teorıa facilito la demostracion de teoremas talescomo la estructura de H-espacio sobre esferas, el problema de campo vectoriales sobreesferas, entre otros (cf. [16]).

El objetivo de este trabajo es presentar un panorama general del funtor de K-teorıa topologica mediante un desarrollo completo y detallado de los elementos invo-lucrados de tal manera que sea accesible a un estudiante de nivel universitario connociones de algebra lineal, topologia y teorıa de grupos. En la literatura existente esusual que los autores omitan gran cantidad de detalles para la construccion de ideasde esta misma, de modo que en este trabajo se busca contribuir al esclarecimento detales aspectos tecnicos.

En el capıtulo uno se introducen los fundamentos de la teorıa de haces vectoria-les, iniciamos con la definicion de un cuasi-haz vectorial el cual esquematicamenteconsiste de una familia de espacios vectoriales parametrizada por los puntos de unespacio topologico llamado espacio base. Posteriormente requerimos que un cuasi hazsatisfaga la condicion de trivialidad local lo cual lo convierte en un haz vectorial. Enla seccion 1.3 analisamos las condiciones bajo las cuales es posible contruir nuevos

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INDICE GENERAL

haces a partir de haces dados y proporcionamos el ejemplo de de la construccion deun haz vectorial sobre la esfera de dimension n dados haces sobre sus emisferios (su-perior e inferior) que coinciden en el ecuador. En la seccion 1.4 establecemos variosresultados tecnicos que seran de utilidad en el capıtulo 2, posteriormente se desmues-tra que el haz tangente asociado a una variedad diferenciable es un haz vectorial.Utizando las operaciones de suma directa y producto tensorial de espacios vectoria-les, se establecen las correspondientes operaciones con haces vectoriales, concluımosel capıtulo con el estudio de espacio de secciones de un haz vectorial y analizamos enparticular dicho espacio para el caso del haz tangene.te sobre la esfera de dimensionn.

En la primera parte de capıtulo dos, vemos que dado un haz vectorial E sobreX y una proyeccion p ∶ E Ð→ E, es posible construir un haz vectorial nuevo sobre Xmediante el kernel de la proyeccion, y representamos al espacio de clases de isomor-fismos de haces vectoriales de rango n sobre X (Φn(X)) en terminos del colımite delos espacios de proyeccion de rango n.

En el capıtulo 3 vemos la construccion del grupo de Grothendieck del monoidede clases de isomorfismos de haces vectoriales, luego establecemos la definicion de K-teorıa reducida y concluimos el capıtulo con la construccion de un espacio clasificanteBU , y demostramos que este es un representante del funtor de K-teorıa, es decir

KC(X) ≅ [X,BU] .

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Capıtulo 1

Haces vectoriales

En este capıtulo se desarrolla una breve recopilacion de lo que es el estudiode haces vectoriales. Primero definiremos el haz vectorial para posteriormente verpropiedades como el Teorema de Pegado. Dado un espacio topologico X un hazvectorial se puede pensar como la union ajena de la familia de espacios vectorialesExx∈X donde Ex es el espacio vectorial asociado al punto x ∈X.

1.1. Cuasi-haces vectoriales

Definicion 1.1.1. Un cuasi-haz vectorial ζ es una terna ζ = (E,π,X) sobre unespacio topologico X tal que

1. Para cada x ∈ X, tenemos un espacio vectorial sobre k ∈ R,C de dimensionfinita Ex.

2. El espacio total E = ⊔x∈X

Ex tiene una topologıa que induce la topologıa usual en

Ex, con x ∈ X. Es decir, tomando una base v1, ..., vn para Ex con vi ∈ k yla base canonica e1, ..., en de kn con k = R,C, tenemos una biyeccion quemanda una base a la otra (por el Teorema de la dimension en algebra lineal([14], p. 68 ). Usando esta biyeccion podemos dotar a Ex de una topologıa(la de kn). Se puede probar que la topologıa de Ex no depende de la base quetomemos.

3. La funcion proyeccion π ∶ E = ⊔x∈X

Ex Ð→X es continua.

Adoptaremos la siguiente notacion

1. E es llamado el espacio total.

2. X es el espacio base.

3. Ex = π−1(x) es la fibra de ζ sobre x.

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Capıtulo 1

Figura 1.1: Cuasi-haz Vectorial

Ejemplo 1.1.2. Sea X = S1 = x = (x1, x2) ∈ R2∣ ∥ (x1, x2) ∥= 1, consideremos unpunto x ∈ S1 y el siguiente conjunto

Ex = ex ∈ S1 ×R2∣⟨x, e⟩R2 = 0 donde ex ∶= (x, e) ∈ S1 ×R2.

Ası se tiene que E = ⊔x∈X Ex ⊂ S1 × R2 y consideremos la proyeccion natural ρ ∶S1 ×R2 Ð→ R2 continua. Definimos el cuasi-haz vectorial ζ = (X,ρ∣E,E), donde ρ∣Ees la restriccion de ρ en el subespacio E, la cual es continua. Para ver que E es uncuasi-haz primero tenemos que demostrar que Ex es un espacio vectorial para cadax. Dado que Ex es complemento ortogonal en R2 del vector x tenemos que Ex essubespacio vectorial de R2 [17], con suma y producto por escalar

+ ∶ Ex ×Ex Ð→ Ex

((x, e1), (x, e2)) z→ (x, e1 + e2)⋅ ∶ R ×Ex Ð→ Ex

λ ⋅ (x, e) z→ (x,λe)

.Veamos que E ⊂ S1×R2 tiene una topologıa que induce la topologıa usual de Ex ⊂ R2.Como E tiene la topologıa de subespacio heredada de la topologıa producto de S1×R2

se cumple que Ex = x ×R ⊂ x ×R2 ⊂ S1 ×R2 donde R = e ∈ R∣⟨x, e⟩ = 0 es unarecta en R2 que pasa por el origen ortogonal a x. Ası Ex ≅ R ≅ R tiene la topologıausual y coincide con la topologıa heredada de S1 ×R2.

Ejemplo 1.1.3. Sea ζ = (E,ρ,X) un cuasi-haz vectorial, y consideremos para cadax ∈X un subespacio vectorial de Ex elegido arbitrariamente Fx ⊂ Ex. Construimos el

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Haces vectoriales

cuasi-haz vectorial ζ ′ = (F, ρ∣F ,X), donde F = ⊔x∈X Fx, y ρ∣F ∶ F Ð→X la restriccionde ρ a F , que es continua.

1. Para cada x ∈X tenemos que (ρ∣F )−1(x) = Fx, es un espacio vectorial.

2. Como F tiene la topologıa de subespacio heredada por E, esta va a coincidircon la topologıa de Fx para cada x ∈X.

3. ρ∣F es continua ya que es la restriccion de la funcion continua ρ ∶ E Ð→X.

Por lo tanto ζ ′ = (F, ρ∣F ,X) es un cuasi-haz vectorial.

Ejemplo 1.1.4. Sea Sn = x ∈ Rn+1∣ ∥ x ∥= 1. Tomamos x ∈ Sn, y consideremos lafamilia de espacios vectoriales

Ex = ex ∈ Sn ×Rn+1∣⟨x, e⟩Rn+1 = 0

con suma y productos definidos como en el ejemplo anterior.Entonces ζ = (Sn, ρ,E) es un cuasi-haz vectorial, con E = ⊔x∈X Ex ⊂ Sn × Rn+1 yρ ∶ E Ð→ Sn definido por p(x, e) = x.De la misma manera como en el Ejemplo 1.1.2, tenemos que ζ = (X,ρ,E) es cuasi-hazvectorial.

Definicion 1.1.5. Sea ζ = (E,π,X) y ζ ′ = (E′, π′,X ′) dos cuasi-haces vectoriales.Un morfismo general de ζ y ζ ′ es una pareja de funciones continuas (f, g), conf ∶X Ð→X ′ y g ∶ E Ð→ E′ tales que

(1) El siguiente diagrama conmuta

Eg //

π

E′

π′

Xf // X ′

(2)La funcion gx ∶ Ex Ð→ E′f(x)

es k-lineal. (ver figura 1.1.5)

Observacion. 1.1.6. De la conmutatividad del diagrama (1) se tiene que para cadaex ∈ Ex, f π(ex) = π′ g(ex). Luego, g(ex) ∈ (π′)−1(f π(ex)) = (π′)−1(f(x)) lo cualimplica que la restriccion de la funcion g ∶ E Ð→ E′ a cada fibra es dada por unafuncion entre fibras. La condicion (2) establece que dicha restriccion es k-lineal, esdecir, gx ∶= g∣Ex ∶ Ex Ð→ E′

f(x)es k-lineal.

La coleccion de cuasi-haces vectoriales forman una categorıa cuyos morfismos sonlos morfismos generales. Si consideramos solo la coleccion de cuasi-haces vectorialessobre un mismo espacio base X, tenemos una subcategorıa cuyos morfismos sonde la forma (f, g) donde f ∶ X Ð→ X y g ∶ E Ð→ E′ con f = IdX . Denotaremospor E ′(X) a la categorıa de cuasi-haces vectoriales sobre X, si queremos ser masespecificos podemos denotarlo por E ′

k(X) o E ′C(X) o E ′

R(X), dependiendo del campoque utilicemos.

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Capıtulo 1

Figura 1.2: Morfismo general

Ası tenemos el siguiente diagrama conmutativo

E

π @@@@@@@@g // E′

π′~~||||||||

X

En este caso denotaremos un morfismo (IdX , g) solo por g.

Definicion 1.1.7. Un morfismo general de cuasi-haces vectoriales (f, g) ∶(E,π,X) Ð→ (E′, π′,X ′) es un isomorfismo de cuasi-haces vectoriales siexiste un morfismo general (u′, f ′) ∶ (E′, π′,X ′) Ð→ (E,π,X) tal que f ′ f = 1X ,f f ′ = 1X′ y g′ g = 1E, g g′ = 1E′.

Definicion 1.1.8. Sea ζ = (E,π,X) un cuasi-haz vectorial. Se dice que ζ es uncuasi-haz vectorial trivial si E es isomorfo a X ×V para algun espacio vectorialV .

Consideremos el espacio vectorial V de dimension n, por un conocido teorema dealgebra lineal ([14], p. 98) V es isomorfo a kn, usando este isomorfismo dotamos a Vcon topologıa natural de kn.

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Haces vectoriales

Definicion 1.1.9. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

(x, v) // (x, gx(v))

X × V g //

π##GGGGGGGGG X × V ′

π′yyssssssssss

X

Se dice que g es morfismo de haces triviales si,

1. g es continua

2. La funcion inducida por la restriccion gx ∶ V Ð→ V es lineal para cada x ∈X.

Ası definimos la funcion

g ∶X Ð→ L (V,V ′)x z→ gx

que es una aplicacion entre espacios topologicos, asumiendo que L (V,V ′) tiene latopologıa natural dada por un isomorfismo L (V,V ′) ≅ kdimV ⋅dimV ′

.

Teorema 1.1.10. 1. Sea g ∶X ×V Ð→X ×V ′ un morfismo de haces triviales, lafuncion g ∶X Ð→L (V,V ′) anteriormente definida es continua.

2. Sea h ∶ X Ð→ L (V,V ′) una funcion continua. Entonces es posible definir unmorfismo de cuasi-haces vectoriales.

h ∶X × V Ð→ X × V ′

(x, v) z→ (x,h(x)(v))

Demostracion. Sean V y V ′ espacios vectoriales sobre un campo k y sean B =e1, e2, ..., en y B′ = η1, η2, ..., ηp las respectivas bases de los espacios vectoriales.Para cada x ∈X tenemos que

gx ∶ V Ð→ V ′

es una transformacion lineal que es posible definir en las bases, ası para cada j =1, ..., n existen escalares αij(x) tal que gx(ej) = ∑p

i=1αij(x)ηi, de esta manera (αij)es la matriz de representacion asociada a la transforacion lineal gx y tenemos unisomorfismo natural de espacios vectoriales que depende de B y B′

ϕB,B′ ∶ L (V,V ) Ð→ Mn×p(k)gx z→ (αij(x))

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Capıtulo 1

Usaremos este isomorfismo natural de espacios vectoriales para darle una topologıaa L (V,V ′). Por otra parte tenemos para cada j = 1, ..., n la inclusion µj ∶ X Ð→X × V definida por µj(x) = (x, ej) para cada x ∈ X. Notemos que µj es continuapara cada j ya que X × V tiene la topologıa producto. Tambien consideremos laproyeccion natural κ ∶X×V ′ Ð→ V ′ definida por κ(x, v′) = v′. Como V ′ es un espaciovectorial de dimension p existe un isomorfismo γ de V ′ con kp donde un elementov′ = λ1η1 + λ2η2 + ... + λpηp en V ′ lo manda a (λ1, λ2, ..., λp) ∈ kp. Consideremos lasiguiente composicion de funciones

Xµj // X × V g // X × V ′ κ // V ′

νi // k

x // (x, ej) // (x, gx(ej)) // gx(ej) // αij(x)donde νi ∶ V ′ Ð→ k es la composicion de γ con la proyeccion ρi ∶ kp Ð→ k en la i-esimaentrada. Por lo tanto la funcion

X Ð→ k

x z→ αij(x)

es continua para cada ij, entonces la funcion

X Ð→ Mn×p(k)x z→ (αij(x))

es continua. Dado que g es la composicion de funciones continuas

X //Mn×p(k)(ϕB,B′)−1//L (V,V ′)

x // (αij(x)) // gx

tenemos que g ∶X Ð→L (V,V ′) es continua.

Sea h ∶X Ð→L (V,V ′) continua, y sea

h ∶X × V Ð→ X × V ′

(x, v) z→ (x,h(x)(v))

Entonces h esta dada por la composicion de funciones

X × V((IdX×h)∆)×IdV

// X ×L (V,V ′) × VId×ev

// X × V ′

(x, v) // (x,h(x), v) // (x,h(x)(v))

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Haces vectoriales

Donde ∆ ∶ X Ð→ X × X es la funcion diagonal y ev ∶ L (V,V ′) × V Ð→ V ′ es elhomomorfismo evaluacion el cual es continuo, pues se tiene el siguiente diagramaconmutativo

L (V,V ′) × V ev //

≅ϕB,B′×ϕB

V ′

≅ϕB′

Mn×p(k) × kn // kp

(A,x) // Ax

por lo tanto ev es composicion de funciones continuas. Tambien (IdX ×h)∆ ∶X Ð→X ×L (V,V ′) dada por (IdX × h) ∆(x) = (x,h(x)) es continua. Por lo tanto h escomposicion de funciones continuas y por lo tanto es continua.

Definicion 1.1.11. Sea ζ = (E,π,X) un cuasi-haz vectorial y X ′ ⊂ X un subespa-cio. Definimos el cuasi-haz restriccion como la terna (π−1(X ′), π∣π−1(X′),X ′), verfigura 1.1.11.

El cuasi-haz restriccion es efectivamente un cuasi-haz vectorial. En efecto

1. Para cada x ∈X ′ se tiene que (π∣π−1(X′))(x) = Ex es un espacio vectorial, pueslo es para cada x ∈X.

2. El espacio π−1(X ′) = ⊔x∈X′ Ex induce la topologıa usual en Ex, pues E =⊔x∈X Ex la induce.

3. La restriccion de la funcion π en π−1(X ′) es continua, pues π es continua.

Definicion 1.1.12. Sea f ∶ X ′ Ð→ X una funcion continua y sea ζ = (E,π,X) uncuasi-haz vectorial sobre X. Definimos el cuasi-haz inducido por f (“pull back”)como

f∗(ζ) = (f∗(E), π′,X ′)

donde

f∗(E) =X ′ ×X E = (x′, e) ∈X ′ ×E∣f(x′) = π(e)

es llamado el producto fibrado entre X ′ y E, y π′ ∶ X ′ ×X E Ð→ X ′ es la restriccionde la proyeccion κ ∶X ′ ×E Ð→X ′.

Se sigue de la definicion que para cada x′ ∈ X la fibra f∗(E)x′ es isomorfa a lafibra Ef(x′). En efecto, sea x′ ∈X ′, entonces

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Capıtulo 1

Figura 1.3: Cuasi-haz restriccion

f∗(E)x′0 = (π′)−1(x′0) = (x′, e) ∈X ′ ×X E∣π′(x′, e) = x′0= (x′, e) ∈X ′ ×X E∣x′ = x′0= (x′, e) ∈X ′ ×E∣x′ = x′0 y f(x′) = π(e)= (x′0, e) ∈X ′ ×E∣f(x′0) = π(e)= (x′0, e) ∈ x′0 ×E∣f(x′0) = π(e)= x′0 × e ∈ E∣f(x′0) = π(e)= x′0 × π−1(f(x′0)) = x′0 ×Ef(x′0)

ası esquematicamente tenemos el siguiente diagrama conmutativo

(x′, e) // e

(x′, e)_

X ×X Eπ′

pr2 // E

π

x′ X ′

f // X

donde pr2 es la proyeccion en la segunda componente.El cuasi-haz vectorial inducido es un cuasi-haz vectorial ya que:

(1) Para cada x′ ∈ X ′ se tiene que f∗(E)x′ es un espacio vectorial, ya quef∗(E)x′ ≅ Ef(x′).

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Haces vectoriales

(2) Se tiene que f∗(E)x tiene la topologıa natural pues f∗(E)x′ = x′ ×Ef(x′) ⊆X ×X E ⊆X ×E.

(3) π′ es continua pues es restriccion de la proyeccion X ′ ×E Ð→X ′.

Lema 1.1.13. Sea f ∶ X ′ Ð→ X una funcion continua entre espacios topologicosy ζ = (E,π,X) un cuasi-haz vectorial sobre X, entonces f induce un funtor f∗ ∶E ′(X)Ð→ E ′(X ′) entre la categorıa de cuasi-haces vectoriales sobre X a la categorıade cuasi-haces vectoriales sobre X ′.

Demostracion.

De la definicion tenemos que para cada cuasi-haz vectorial ζ = (E,π,X) ∈ E ′(X)la funcion f induce un cuasi-haz vectorial f∗(ζ) = (f∗(E), π′,X ′) ∈ E ′(X ′). Seanζ1 = (E,π,X) y ζ2 = (F,π′,X) dos cuasi-haces vectoriales sobreX, sea α ∶ E Ð→ F unmorfismo general, entonces podemos definir un morfismo general f∗(α) ∶ f∗(E) Ð→f∗(F ) definido en las fibras como (f∗(α))x′ = αf(x′), Esquematicamente tenemos

f∗(E)

f∗(π) ##GGGGGGGG

f∗α // f∗(F )

f∗(π′)wwwwwwwwE

π????????α // F

π′

X ′f // X

Ası f∗(α) ∶ f∗(E) Ð→ f∗(F ) es el morfismo f∗(α) = IdX′ ×X α donde por definicionIdX′ ×X α es restriccion de IdX′ × α ∶X ′ ×E Ð→X ′ × F al subconjunto X ′ ×X E conIdX′ ∶ X ′ Ð→ X ′ la identidad y ası IdX′ ×X α es continua. Solo tenemos que ver queesta bien definida. Sea (x′, e) ∈X ′ ×X E, entonces

f∗(α)(x′, e) = IdX′ ×X α(x′, e)= (IdX′ × α)(x′, e)= (x′, αf(x′)(e))= (x′, α(e))

donde π(e) = f(x′) = π(α(e)) ya que α es un morfismo general,ası (x′, α(e)) ∈ f∗(E)x′ esta bien definida.

Sea g ∶ Y Ð→X, entonces tenemos el siguiente diagrama

(f g)∗(E)

(fg)∗((PPPPPPPPPPPPPP

≅ // g∗(f∗(E))g∗(f∗(π))

f∗(E)f∗(π)

E

π

Z

g // Yf // X

donde

9

Capıtulo 1

g∗(f∗(E)) = g∗(Y ×X E)= Z ×Y (Y ×X E)= Z ×Y (y, u) ∈ Y ×E∣f(y) = π(e)= (z, (y, u)) ∈ Z × (Y ×E)∣f(y) = π(e) y g(z) = f∗(π)(y, u)= (z, (y, u)) ∈ Z × (Y ×E)∣f(y) = π(e) y g(z) = y= (z, (g(z), u)) ∈ Z × (Y ×E)∣f(g(z)) = π(e)≅ (z, u) ∈ Z ×E∣(f g)(z) = π(e)= (f g)∗(E)

por lo tanto (f g)∗ = g∗ f∗ y tambien se cumple que Id∗ = Id.

10

Haces vectoriales

1.2. Haces vectoriales

Un haz vectorial es un cuasi-haz vectorial que es localmente isomorfo a un haztrivial.

Definicion 1.2.1. Sea ζ = (E,π,X) un cuasi-haz vectorial sobre X. Entonces deci-mos que ζ es localmente trivial o un haz vectorial si para cada x ∈X existe unabierto U ⊂X , con x ∈ U tal que ζ ∣U es isomorfo a un cuasi-haz trivial.

Mas explicitamente, la ultima condicion de la Definicion 1.2.1 se expresa como sesigue: Existe un espacio vectorial V de dimension finita y existe un homeomorfismoφ ∶ U × V Ð→ π−1(U) tal que el siguiente diagrama conmuta

U × V

ρ""EEEEEEEEE

φ

≅// π−1(U) ⊂ E

π∣π−1(U)yyssssssssss

U

donde ρ ∶ U × V Ð→ U es la proyeccion en la primera entrada y tenemos que φy ∶V Ð→ Ey es lineal para cada y ∈ U .Llamaremos a U dominio de trivializacion del haz vectorial ζ. Una cubierta abier-ta (Ui)i∈I de X donde cada Ui es dominio de trivializacion se llama cubierta detrivializacion.

Ejemplo 1.2.2. Veamos que el Ejemplo 1.1.4, E = TSn =(y, v) ∈ Sn ×Rn+1∣⟨y, v⟩ = 0 es un haz vectorial. Sea x0 ∈ Sn y Ux0 =y ∈ Sn∣⟨y, x0⟩ ≠ 0 una vecindad de x0. Notemos que Ux0 es abierto ya que⟨−,−⟩ ∶ Sn × Rn+1 Ð→ R es continua, entonces la restriccion ⟨−, x0⟩ ∶ Sn Ð→ R escontinua, ası la imagen inversa de un cerrado es cerrado, y tenemos que ⟨−, x0⟩−1(0)es cerrado. Como Ux0 = Sn − ⟨−, x0⟩−1(0) entonces Ux0 es abierto en Sn.

Sea P0 = x0⊥ y φ ∶ TSn∣Ux0 Ð→ Ux0 × P0 dada por (y, v) φz→ (y,w) donde w =v − ⟨x0, v⟩ ⋅ x0 es la proyeccion ortogonal de v en P0

Definimos ψ ∶ Ux0 × P0 Ð→ TSn∣Ux0 por (y,w) ψz→ (y,w + ⟨y,w⟩

⟨x0,y⟩x0). Es facil verificar

que los mofismos de cuasi-haces vectoriales φ y ψ son inversas uno del otro. Por lotanto, TSn es localmente trivial.

Ejemplo 1.2.3. Sea V un espacio vectorial de dimension finita sobre un campo k.Sea P (V ) el espacio proyectivo asociado a V , esto es

P (V ) = (V − 0)/ ∼

con la siguiente relacion de equivalencia x ∼ y si y solo si existe λ ∈ k − 0 tal quex = λy. Construiremos un haz vectorial E sobre P (V ). Consideremos P (V ) × Vcon la topologıa producto y π ∶ P (V ) × V Ð→ P (V ) la proyeccion natural. SeaE = (D,e) ∈ P (V ) × V ∣D ∈ P (V ) y e ∈D ∪ 0 ⊂ P (V ) × V . Ası la restriccion

11

Capıtulo 1

π = π∣E ∶ E Ð→ P (V ) es continua.

Notemos que ED = π−1(D) = e ∈D∪0 ⊆ V , ası la fibra ED tiene dim ED = 1 yE = ⊔D∈P (V )ED, donde ED =D∪0 tiene la topologıa natural, ya que es subespaciode V . Ası (E,π,P (V )) es cuasi-haz vectorial.

Ahora veamos que (E,π,P (V )) es localmente trivial. Damos a V un producto in-terno, lo cual siempre es posible porque V es un espacio vectorial de dimension finita.O bien podemos suponer sin perdida de generalidad que V = Rn+1 o Cn+1 con el pro-ducto interno canonico. Sea D0 ∈ P (V ) un punto cualquiera en P (V ) esto es, unarecta en V . Denotemos por UD0 el conjunto de puntos en P (V ), que visto comorectas en V no son ortogonales a D0, es decir,

UD0 = ∆ ∈ P (V )∣⟨∆,D0⟩ ≠ 0

donde ⟨∆,D0⟩ denota el producto interno de cualesquiera representantes de clase de∆ y D0 respectivamente, observemos que el conjunto UD0 esta bien definido, (auncuando ⟨∆,D0⟩ no lo esta), pues

⟨λx,λy⟩ = λ⟨x,λy⟩= λλ⟨x, y⟩= ∣λ∣2 ⟨x, y⟩

ası para λ ≠ 0 tenemos que ⟨x, y⟩ = 0 si y solo si ⟨λx,λy⟩ = 0.Veamos que UD0 es abierto en P (V ). Sea p ∶ V − 0 Ð→ P (V ) ∶= (V − 0)/ ∼ laproyeccion natural, entonces

p−1(UD0) = e ∈ V − 0 ∣⟨e,D0⟩ ≠ 0= (V − 0) − e ∈ V − 0 ∣⟨e,D0⟩ = 0

12

Haces vectoriales

Notemos que e ∈ V − 0 ∣⟨e,D0⟩ = 0 es cerrado en V − 0 porque es imageninversa del cero de la funcion continua ⟨−,D0⟩ ∶ V − 0 Ð→ k. Por lo tanto UD0 esabierto.

Sea φ ∶ EUD0= π−1(UD0) Ð→ UD0 × (D0 ∪ 0) definida por (∆, e) z→ (∆, e′) con

e ∈ ∆ ∪ 0 y e′ es la proyeccion ortogonal de e sobre D0. Es facil probar que φ escontinua, invertible y con inversa continua.

Definicion 1.2.4. Un morfismo general de haces vectoriales (f, g) ∶ (E,π,X) Ð→(E′, π′,X ′) es un isomorfismo de haces vectoriales si existe un morfismo ge-neral (u′, f ′) ∶ (E′, π′,X ′)Ð→ (E,π,X) tal que f ′ f = 1X , f f ′ = 1X′, g′ g = 1E yg g′ = 1E′.

Ejemplo 1.2.5. Podemos dar un haz isomorfo al del ejemplo anterior en el casode que k = R. Ası V es un espacio vectorial sobre R con dim V = n + 1 < ∞.Recordemos que al identificar los subespacios lineales en Rn+1 con los puntos dondeestos intersectan a Sn ⊂ Rn+1, tenemos una relacion de equivalencia sobre Sn dadapor la identificacion antıpoda x ∼ −x. No es difıcil ver que el correspondienre espaciocociente es homeomorfo a P (Rn+1), esto es

P (Rn+1) = Rn+1 − 0 / ∼ ≅ Sn/ −x,xEsta presentacion del espacio proyectivo real de dimension n nos permitira establecerde manera mas explıcita el espacio total del haz de lineas canonico sobre P (Rn+1).Sea F = Sn ×R/ (x, t), (−x,−t) y π′ ∶ Sn ×R/ (x, t), (−x,−t) Ð→ P (V ) dada por

(x, t)z→D−x,x donde Dx,−x es la recta que pasa por x y −x para x ∈ Sn.Veamos que F es un cuasi-haz sobre P (V ). Sea f ∶ F Ð→ E ⊂ P (V ) × V definido

como (x, t) z→ (Dx,−x, tx). Notemos que tx ∈ D−x,x, ası efectivamente tenemosque (D−x,x, tx) ∈ E. Ası tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Sn ×R/ (x, t), (−x,−t) f //

π′ ))RRRRRRRRRRRRRRRE ⊂ P (V ) × V

πwwppppppppppp

P (V )donde a nivel de elementos se ve como:

(x, t) f //

π′ $$HHHHHHHHHH(Dx,−x, tx)

πxxqqqqqqqqqqq

Dx,−x

Para ver que f es continua, notemos que

Sn ×R(x, t), (−x,−t)

Ð→ P (V ) × V

(x, t) z→ (D−x,x, tx)

13

Capıtulo 1

es continua y la imagen de esta funcion esta contenida en E. Ası la funcion f es larestriccion de esta funcion a su imagen y ası f es continua.Ademas f

(x,t) ∶ F(x,t) Ð→ Ef(x,t) es lineal. Entonces f es un morfismo de cuasi-hacesvectoriales.

Por otra parte definimos g ∶ E Ð→ F como (Dx,−x, v)z→ (x, t) donde t ∈ R tal quetx = v, es decir, t = ⟨v, x⟩ pues ⟨v, x⟩ = ∥v∥ ⋅ ∥x∥ ⋅ cos(θ) pero como v ∈Dx,−x tenemosque ⟨v, x⟩ = ∥v∥ ⋅ cos(θ) = ± ∥v∥.

Tenemos que P (V ) × V Ð→ Sn × R/ (x, t), (−x,−t) definido por (Dx,−x, v) z→(x, ⟨v, x⟩) es continua. Por lo tanto g es continua ya que es la restriccion a E de estafuncion continua. Ademas gDx,−x ∶ ED−x,x Ð→ F

(x,t) es lineal.Tambien notemos que f g = Id y que g f = Id. Por lo tanto f es un isomorfismo decuasi-haces vectoriales y por lo tanto F es un haz vectorial, donde la propiedad deque F es localmente trivial es heredada de E mediante el isomorfismo de cuasi-haces.

Ejemplo 1.2.6. Sea V = Cn+1 con el producto interno usual. Entonces

P (V ) = Cn+1 − 0x ∼ y⇔ y = λx para algun λ ∈ C

≅ (z1, . . . , zn+1) ∈ Cn+1∣ ∥(z1, . . . , zn+1)∥ = 1x ∼ y⇔ y = λx para algun λ ∈ C con ∣λ∣ = 1

pues para x, y ∈ Cn+1 tales que ∣∣x∣∣ = ∣∣y∣∣ = 1 y tales que x = λy se tiene que ∣λ∣ = 1.

P (V ) ≅ S2n+1

x ∼ y⇔ y = λx para algun λ ∈ C con ∣λ∣ = 1

donde zk = xk + iyk para k = 1, . . . , n. Tambien podemos identificar de manera similarel haz vectorial E del Ejemplo 1.2.3 con el haz vectorial

F = S2n+1 ×C(x, t) ∼ (λx,λt) con ∣λ∣ = 1, λ ∈ C

.

14

Haces vectoriales

Nota. Si k = R lo llamamos haz vectorial real, y si k = C lo llamaremos haz vectorialcomplejo.

Definicion 1.2.7. El haz vectorial ζ = (E,π,X) es llamado haz vectorial trivialsi es isomorfo al haz producto X × V con V un espacio vectorial sobre un campo k.

Sea Ek(X) la categorıa de haces vectoriales sobre el campo k con base X.

Lema 1.2.8. Sea f ∶ X ′ Ð→ X una funcion continua, entonces f∗ define un funtorde E (X) a E (X ′).

Demostracion. Basta probar que si ζ = (E,π,X) es localmente trivial entoncesf∗(ζ) = (f∗(E), f∗(π),X ′) es localmente trivial. Sea x ∈X ′ y sea U una vecindad def(x), tal que η = ζ ∣U es localmente trivial, esto es, E∣U ≅ U × V donde V un espaciovectorial. Por definicion f∗(E∣U) = f−1(U)×U E∣U ≅ f−1(U)×U U × V , ası tenemos elsiguiente diagrama

f∗(E∣U) = f−1(U) ×U U × Vf∗(π)∣f−1(U)

E∣U ≅ U × Vπ∣U

f−1(U)f ∣f−1(U) // U

x // f(x)

Por definicion f−1(U)×U U ×V = (x′, (x, v)) ∈ f−1(U) ×U × V ∣π(x, v) = f(x′), perosabemos que π(x, v) = x entonces f(x′) = x. Ası definimos

ϕ ∶ f∗(E∣U) Ð→ f−1(U) × V(x′, f(x′), v) z→ (x′, v)

que es continua por ser restriccion de una funcion continua, y su inversa

ϕ′ ∶ f−1(U) × V Ð→ f∗(E∣U)(x′, v) z→ (x′, f(x′), v)

es tambien continua.De modo que f∗(ζ) es localmente trivial y por lo tanto f ∶X ′ Ð→X induce un funtorde E (X) a E (X ′).

Corolario 1.2.9. Sea X ′ un subespacio de X y ζ = (E,π,X) un haz vectorial sobreX. Entonces ζ ∣X′ es un haz vectorial sobre X ′.

Demostracion. Tomar la inclusion f = ι ∶ X ′ Ð→ X en el Lema 1.2.8 y usamos elhecho de que ι∗(ζ) = ζ ∣X′ .

15

Capıtulo 1

Proposicion 1.2.10. Sean E y F dos haces vectoriales sobre X y g ∶ E Ð→ F unmorfismo de haces vectoriales tal que gx ∶ Ex Ð→ Fx es biyectiva para cada x ∈ X,entonces g es un isomorfismo de haces vectoriales.

Demostracion. Sea h ∶ F = ⊔x∈X Fx Ð→ E = ⊔x∈X Ex definido como hx(v) ∶= g−1x (v)

para toda v ∈ Fx y x ∈ X. Solo tenemos que demostrar que h es continua para verque h es inversa de g.

Sea U vecindad de x tal que U es un dominio de trivializacion para E y F , sea

β ∶ EU≅Ð→ U ×M y γ ∶ FU

≅Ð→ U × N los isomorfismos correspondientes, dondeM y N son espacios vectoriales. Definimos g0 ∶ U ×M Ð→ U × N definido por lacomposicion

U ×M β−1

≅//

g0

77EU // g∣U // // FUγ

≅// U ×N

Por el Teorema 1.1.10, la funcion inducida g0 ∶ U Ð→L (M,N) es continua. Defini-mos h0 ∶ U Ð→ Iso(N,M) como h0(x) = (g(x))−1 la cual es continua pues esta dadapor la composicion de funciones continuas

Xg0 // Iso(M,N) ( )−1 // Iso(N,M)

x // g0(x) // (g0(x))−1

Utilizando el Teorema 1.1.10 tenemos que el morfismo inducido h0 ∶ U ×N≅Ð→ U ×M

es continuo y considerando el diagrama

U ×N h0 // U ×M(β)−1

FUhU //

γ

OO

EU

tenemos que hU = β−1 h0 γ. Por lo tanto h es continua y g es un isomorfismo.

Lema 1.2.11. Sea ζ = (E,π,X) un haz vectorial. Si definimos la suma como

s ∶ E ×X E Ð→ E

(e, e′) z→ e + e′

y el producto por

p ∶ k ×E Ð→ E

(λ, e) z→ λ ⋅ e

entonces s y p son continuas.

16

Haces vectoriales

Demostracion. Solo basta probar el lema para E =X × V . Para p tenemos que

p ∶ k × (X × V ) Ð→ X × V(λ, (x, v)) z→ (x,λ ⋅ v)

donde se define la multiplicacion por escalar en la segunda entrada y la identidaden la primera, por lo tanto p es continua. Notemos que si E = X × V , entoncesE ×X E ≅X × V × V ya que

E ×X E = (e′, e) ∈ E ×E∣π(e′) = π(e)= (e′, (x, v)) ∈ E × (X × V )∣π(e′) = π((x, v)) donde π((x, v)) = x= (e′, (π(e′), v)) ∈ E × (X × V )≅ (e′, v) ∈ E × V = E × V= (X × V ) × V

ası la suma s es dada por

s ∶ E ×X E ≅X × V × V Ð→ X × V(x, e′, e) z→ (x, e′ + e)

la cual es continua.

Definicion 1.2.12. El rango de un haz vectorial ζ = (E,π,X) esta dado por lafuncion localmente constante

r ∶X Ð→ Nx z→ dim Ex

El rango de ζ es n ∈ N si r(x) = n para toda x ∈X.

Lema 1.2.13. Cuando el espacio base X es conexo por trayectorias, el rango decualquier haz vectorial definido sobre X es constante.

Demostracion.Sean U1 y U2 dos dominios de trivializacion tales que U1 ∩ U2 ≠ ∅ entonces existen

isomorfismos ϕU1 ∶ U1 × kl1≅Ð→ EU1 y ϕU2 ∶ U2 × kl2

≅Ð→ EU2 . Sea x ∈ U1 ∩U2 entonces

tenemos los isomorfismos ϕU1 ∣x ∶ x × kl1≅Ð→ Ex y ϕU2 ∣x ∶ x × kl2

≅Ð→ Ex,ası tenemos que x × kl1 ≅ x × kl2 , por lo tanto kl1 ≅ kl2 de aqui l1 = l2.

17

Capıtulo 1

Sean x0, x1 ∈ X y sea γ ∶ [0,1] Ð→ X una trayectoria continua con γ(0) = x0 yγ(1) = x1. Si ζ es un haz vectorial sobre X, existe una cubierta abierta de X formadapor dominios de trivializacion de ζ. Sea Uii∈I tal cubierta. Luego, como Im γ ⊂ Xes un conjunto compacto podemos sustraer una cubierta finita de Im γ, digamosUi1 , Ui2 , ..., UiN. El Lema se sigue iterando el razonamiento anterior, iniciando concualquier abierto que contenga a x0 y otro abierto cuya interseccion sea no vacıa.Repetimos este proceso hasta incluir algun abierto que contenga a x1.

18

Haces vectoriales

1.3. Teorema de pegado

Definicion 1.3.1. Una coleccion Aαα∈Λ de subconjuntos de un espacio topologicoX es localmente finita si para cada x ∈ X existe una vecindad Wx de x tal queWx ∩Aα ≠ ∅ para a lo mas un numero finito de ındices α ∈ Λ.

Teorema 1.3.2. Sean ζ = (E,π,X) y ζ ′ = (E′, π′,X) dos haces vectoriales sobre lamisma base X. Consideremos:

1. una cubierta abierta Uii∈I de X. (Respectivamente una cubierta localmentefinita de cerrados.)

2. una coleccion de morfismos αi ∶ ζ ∣Ui Ð→ ζ ′∣Ui tal que

αi∣Ui∩Uj = αj ∣Ui∩Uj .

Entonces existe un unico morfismo α ∶ ζ Ð→ ζ ′ tal que α∣Ui = αi.Demostracion. Primero identificamos EUi y E′

Uicomo subconjuntos de E y E′ res-

pectivamente. Sea e ∈ E, definimos α(e) ∶= αi(e) para e ∈ EUi y por la segundahipotesis esta definicion es independiente de la eleccion de i ∈ I. Dado que

EUii∈I = π−1(Ui)i∈Ies una cubierta abierta (o localmente finita de cerrados) de E, entonces por unLema de pegado [19] α es continua. Ademas αx ∶ Ex Ð→ E′

x es lineal ya que parae ∈ Ex ⊂ EUi para alguna i ∈ I, ası αx(e) = (αi)x(e). Mas aun α es un morfismogeneral.

Veamos la unicidad. Sea α ∶ E Ð→ E′ tal que α∣Ui = αi para toda i ∈ I (i.e. α∣π−1(Ui) =αi para toda i ∈ I). Sea e ∈ E entonces e ∈ π−1(Ui) = EUi para alguna i ∈ I. Ası α(e) =α∣π−1(Ui)(e) = αi(e) = α(e).

Teorema 1.3.3. Sea Uii∈I una cubierta abierta de un espacio topologico X (res-pectivamente una cubierta de cerrados localmente finita en un espacio paracom-pacto X). Sea ζi = (Ei, πi, Ui) un haz vectorial sobre Ui para cada i ∈ I y sean

gji ∶ ζi∣Ui∩Uj≅Ð→ ζj ∣Ui∩Uj isomorfismos de haces vectoriales que satisfacen la siguiente

condicion de compatibilidad

gki∣Ui∩Uj∩Uk = gkj ∣Ui∩Uj∩Uk gji∣Ui∩Uj∩UkEntonces existe un unico haz vectorial ζ = (E,π,X) sobre X e isomorfismos gi ∶ζi

≅Ð→ ζ ∣Ui tales que el siguiente diagrama conmuta

ζi∣Ui∩Ujgji //

gi∣Ui∩Uj

≅

$$IIIIIIIIIζj ∣Ui∩Uj

gj ∣Ui∩Uj

≅

zzttttttttt

ζ ∣Ui∩Uj

19

Capıtulo 1

Demostracion. Como gii ∶ Ei∣Ui∩Ui Ð→ Ei∣Ui∩Ui por la condicion de compatibilidadtenemos que

gii∣Ui∩Ui∩Ui = gii∣Ui∩Ui∩Ui gii∣Ui∩Ui∩Uipero Ei∣Ui∩Ui = Ei y ası gii ∶ Ei Ð→ Ei es tal que

gii = gii gii⇒ g−1

ii gii = g−1ii gii gii

⇒ IdUi = gii

Usando que gii = IdUi obtenemos que

gki∣Ui∩Uk gik∣Ui∩Uk = gkk∣Ui∩Uk = Id∣Ui∩Uk

entonces gki∣Ui∩Uk = (gik∣Ui∩Uk)−1.

Consideremos la union ajena ⊔i∈I Ei a la cual le daremos la topologıa de la unionajena. Definimos E ∶= ⊔i∈I Ei/ ∼ con la topologıa cociente donde ei ∼ ej si y solo sigji(ei) = ej con ei ∈ Ei y ej ∈ Ej.

Veamos que ∼ es una relacion de equivalencia.

1. Reflexividad. ei ∼ ei ya que gii(ei) = Id(ei) = ei. Por lo tanto es reflexiva.

2. Simetrıa. Si ei ∼ ej entonces gji(ei) = ej, consideremos (gji)−1 = gij. Tenemosque

gij(ej) = gij(gji(ei)) = eientonces ej ∼ ei, por lo tanto es simetrica.

3. Transitividad. Supongamos que ei ∼ ej y ej ∼ ek, es decir que gji(ei) = ejy gkj(ej) = ek, entonces por la condicion de compatibilidad de la hipotesistenemos que

gki(ei) = (gkj gji)(ei) = gkj(gji(ei)) = gkj(ej) = ek

ası ei ∼ ek. Por lo tanto ∼ es una relacion de equivalencia.

Definimos π′ ∶ ⊔i∈I Ei Ð→ X por π′∣Ei ∶= πi ∶ Ei Ð→ Ui para toda i ∈ I. Es facilverificar que π′ es continua. Consideremos ρ ∶ ⊔i∈I Ei Ð→ ⊔i∈I Ei/ ∼ la proyeccionnatural con respecto a la identificacion anterior. Definamos π = π′ ρ−1, ası

⊔i∈I Eiρ //

π′

⊔i∈I Ei/ ∼

π=π′ρ−1xxqqqqqqqqqqq

X

20

Haces vectoriales

Por el Teorema de Transgresion ([12], p. 132) basta probar que que π′ es 1−valuaday tendremos que π es continua.Sea e ∈ E, ası e ∈ Ei0 para alguna i0 ∈ I. Entonces e ∈ (Ei0)x para algun x ∈ Ui0 ,ası ρ−1(e) = gji0(e)j∈I y dado que gji0 es un isomorfismo de haces vectoriales,tenemos el siguiente diagrama conmutativo

Ei0 ∣Ui0∩Ujgji0

≅//

π′∣=πi0 ∣ &&LLLLLLLLLLEj ∣Ui0∩Uj

πj ∣=π′∣yyrrrrrrrrrr

Ui0 ∩Uj

a nivel de elementos tenemos

e //

======== gji0(e)

xxxxxxxx

x

ası πj(gji0(e)) = x para toda j ∈ I cuando tenga sentido. Por lo tanto π′(gji0(e)) = x,es decir, π′ es 1−valuada y ası π es continua.Sea x0 ∈X, demos a π−1(x0) estructura de espacio vectorial. Tenemos que

Ex0 = π−1(x0) = (π′ ρ−1)−1(x0) = ρ (π′)−1(x0)

como π′∣Ei = πi ∶ Ei Ð→ Ui, nos queda ρ (π′)−1(x0) = ρ (⊔i∈Γ π−1i (x0)) donde Γ es

el conjunto Γ = i ∈ I ∣x0 ∈ Ui, ası

ρ (π′)−1(x0) = ρ (⊔i∈Γ

π−1i (x0)) = ρ (⋃

i∈Γ

(Ei)x0) =⋃i∈Γ

ρ ((Ei)x0)

por lo tanto Ex0 = ⋃i∈Γ ρ((Ei)x0). Por otra parte como consecuencia de las hipotesistenemos el siguiente diagrama conmutativo

(Ei)x0gji

≅//

πi ##HHHHHHHHH(Ej)x0

πjvvvvvvvvv

x0

entonces ρ ((Ei)x0) = ρ ((Ej)x0) para toda i, j ∈ Γ, por lo tanto Ex0 = ρ((Ei)x0)para toda i ∈ Γ, es decir, todas las fibras de x0, (Ei)x0 se identifican entre si, por loque por nuestra definicion de relacion de equivalencia tenemos que para cada i ∈ Γel homeomorfismo ρ∣(Ei)x0 ∶ (Ei)x0 Ð→ Ex0 ⊂ E definido por e z→ e, de esta maneraEx0 tiene la topologıa natural.

Dado cualquier i ∈ Γ usaremos este homeomorfismo para definir una estructura deespacio vectorial en Ex0 . Sean e, e′ ∈ Ex0 entonces e ∼ ei1 y e′ ∼ ei2 para algun par de

elementos ei1, ei2 ∈ (Ei)x0 . Para λ ∈ k definimos e+λ ⋅ e′ = ei1 + λ ⋅ ei2 ∈ Ex0 . Veamos que

21

Capıtulo 1

esta definicion no depende de i ∈ Γ elegido. Sea j ∈ Γ con e ∼ ej1 y e′ ∼ ej2 para algunpar de elementos ej1, e

j2 ∈ (Ej)x0 , por transitividad tenemos que ei1 ∼ e

j1 y ei2 ∼ e

j2, es

decir que (gji)x0(ei1) = ej1 y (gji)x0(ei2) = e

j2 entonces

e + λ ⋅ e′ = ej1 + λ ⋅ ej2

= (gji)x0(ei1) + λ ⋅ (gji)x0(ei2)= (gji)x0(ei1 + λ ⋅ ei2) pues gii es lineal

= ei1 + λ ⋅ ei2 por definicion de la relacion de equivalencia.

Sean x0, y0 ∈ X con x0 ≠ y0 entonces la interseccion de las fibras Ex0 y Ey0 es vacıapues no hay elemento de (Ei)x0 que este relacionado con algun elemento de (Ej)y0porque los isomorfismos (gji)x0 van de (Ei)x0 en (Ej)x0 , y por lo tanto E = ⊔x∈X Ex.

Procederemos ahora a definir los isomorfismos gi ∶ Ei Ð→ EUi que enuncia el teorema.Sea

gi ∶ Ei Ð→ π−1(Ui) ≡ EUie z→ e

notemos que gi es continua, pues ρ ∶ ⊔i∈I Ei Ð→ E definido por e z→ e es continua,entonces la restriccion ρ∣Ei ∶ Ei Ð→ E es continua. Dado que

ρ(Ei0) = ρ( ⊔x∈Ui0

(Ei0)x)

= ⋃x∈Ui0

ρ((Ei0)x)

= ⋃xUi0

Ex pues ρ((Ei0)x) = Ex

= EUi0

Por lo tanto la restriccion de ρ a Ei, es exactamente la funcion continua gi ∶ Ei Ð→EUi . Aun mas tenemos que gi es sobreyectiva ya que la imagen de ρ es todo EUi .Veamos que es gi inyectiva, supongamos que gi(e) = gi(e′) donde e, e′ ∈ Ei, ası te-nemos que ρ(e) = ρ(e′) entonces e = e′, es decir, e ∼ e′ con e, e′ ∈ Ei, por lo tantogii(e) = Id(e) = e′ ası e = e′. Veamos que gi ∶ Ei Ð→ EUi es abierta, lo cual es necesariopues no hemos probamos que E es un haz vectorial, con lo anteriormente demostradosolo tenemos que E es un cuasi-haz vectorial. Sea A ⊂ Ei un conjunto abierto en Eilo que implica que A es abierto en ⊔i∈I Ei. Dado que gi(A) = ρ(A) y dado que ρes una funcion abierta por ser identificacion tenemos que gi(A) es abierto en E ypor lo tanto gi(A) es abierto en EUi . Ahora veamos que para toda x ∈ X la funcion(gi)x ∶ (Ei)x Ð→ Ex es lineal. Para e1, e2 ∈ (Ei)i y λ ∈ k tenemos que

22

Haces vectoriales

gi(e1 + λe2) = e1 + λ ⋅ e2

= e1 + λ ⋅ e2 por definicion

= gi(e1) + λ ⋅ gi(e2).

Por lo tanto gi ∶ Ei Ð→ EUi es un isomorfismo de cuasi-haces vectoriales. Ademastenemos el siguiente diagrama conmutativo

Ei∣Ui∩Ujgji //

gi∣

''

Ej ∣Ui∩Uj

gj ∣

vv

e //

""FFFFFFFFF gji(e)4

yyttttttttt

e = gij(e)

E∣Ui∩Uj

Solo falta ver que E es localmente trivial, lo analizaremos en dos casos.Caso 1: La cubierta Uii∈I es una cubierta abierta de X.Sea x ∈ X, entonces x ∈ Ui para algun i ∈ I y sea V abierto de X tal que V ⊆ Ui y

tal que Ei∣V es trivial. Como para cada i ∈ I tenemos el isomorfismo gi ∶ Ei≅Ð→ EUi

entonces, tenemos el isomorfismo gi∣V ∶ Ei∣V≅Ð→ EV . Por lo tanto EV es localmente

trivial y ası E es un haz vectorial.

Caso 2: La cubierta Uii∈I es una cubierta de cerrados localmente finita en unespacio paracompacto y Hausdorff X. Por hipotesis la topologıa de cada Ui esinducida por X.Dado x0 ∈ X entonces para una vecindad abierta B de x0, se tiene que B intersectaa lo mas un numero finito de elementos de la cubierta cerrada, digamos U1, ..., Up,donde pueden ocurrir dos casos: x0 ∈ Ui o x0 ∉ Ui con i = 1, ..., p, asi reasignamos eti-quetas considerando las colecciones N = Un1 , .., Uns ∣ tal que x ∉ Uni con i = 1, .., ry S = Us1 , .., Ust tal que x ∈ Uj con j = 1, .., t.

Consideremos la coleccion N . Dado que X es paracompacto entonces X es normaly dado que por hipotesis los Ui son cerrados en X, para cada Uni existe un abiertoAni en X tal que x0 ∈ Ani y Ani ∩Uni ≠ ∅.

Por otra parte, consideremos la coleccion S. Dado que para cada j = 1, ..., t tenemosque x0 ∈ Usj y Usj es el espacio base de un haz, entonces existe un abierto Bsi en Usicon x0 ∈ Bsi y tal que Bsi es trivializable. Dado que por hipotesis la cubierta Uii∈Itienen la topologıa relativa inducida por X, entonces Bsi = Usi ∩Asi con Asi abierto

23

Capıtulo 1

en X.

Sea B = (As1∩...∩Ast)∩(An1∩...∩Anr)∩B entonces x0 ∈ B, notemos que B es abiertoen X, ademas intersecta a lo mas una coleccion finita Ui1 , ..., Uip de la coleccion

Uii∈I y la coleccion B∩Ui1 , ..., B∩Uip es trivializable en Ui1 , ..., Uip respectivamente.

Dado a que X es paracompacto, entonces X es regular, de este modo existe un abiertoZ en X con x0 ∈ Z tal que Z ⊂ Z ⊆ B. Sea V = Z, entonces V es cerrado en X, dondeV intersecta a lo mas una coleccion finita de Ui1 , ..., Uip de la coleccion Uii∈I dondeV ∩Ui1 , ..., V ∩Uip son cerrados trivializables con x0 ∈ Z ⊂ V y Z abierto.Por simplicidad renombraremos a Ui1 , ..., Uip por U1, ..., Up. Sea Vj = Uj ∩V para toda

j = 1, ..., p, ası tenemos los isomorfismos γj ∶ Ej ∣Vj≅Ð→ Vj ×kn. Por la primera parte de

la prueba tenemos que gj ∶ Ej≅Ð→ E∣Uj es un isomorfismo de cuasi-haces vectoriales,

entonces gj ∣V ∩Uj ∶ Ej ∣V ∩Uj Ð→ E∣V ∩Uj es un isomorfismo de cuasi-haces vectoriales,ası definimos el isomorfismo de cuasi haces vectoriales αj ∶= γj (gj ∣Vj)−1 ∶ E∣Vj Ð→Vj × kn.Supongamos sin perdida de generalidad que x0 ∈ V1 y consideremos el isomorfismoα1 ∶= γ1 (g1∣V1)−1 ∶ E∣V1 Ð→ V1 × kn, definiremos a continuacion un morfismo αr porinduccion sobre r extendiendo a α1 donde

αr ∶ E∣V1∪...∪Vr Ð→ (V1 ∪ ... ∪ Vp) × kn

con V1 ∪ ... ∪ Vr = V . Supongamos que αr−1 ∶ E∣V1∪...∪Vr−1 Ð→ (V1 ∪ ... ∪ Vr−1) × knesta definido y αr−1∣V1 = α1. Sea U = V1 ∪ ... ∪ Vr−1, entonces con esta notacionαr−1 ∶ E∣U Ð→ U × kn. Queremos definir αr ∶ E∣U∪Vr Ð→ (U ∪ Vr) × kn para esto basta

definir un morfismo Vr × kn ≅ E∣VrÐ→αr Vr × kn que extienda al morfismo (U ∩ Vr) ×

kn ≅ E∣U∩VrÐ→αr−1 (U ∩ Vr) × kn. Dado que αr−1∣U∩Vr ∶ E∣U∩Vr Ð→ (U ∩ Vr) × kn, y

E∣U∩Vr ≅ (U ∩ Vr) × kn, entonces por la observacion 1.1.6 αr−1∣U∩Vr es un morfismoentre haces triviales. Ası basta definir una funcion continua

βr ∶ Vr Ð→L (kn, kn) ≅ kn2

tal que extiende a la funcion continua αr−1∣Vr∩U ∶ Vr ∩ U Ð→ L (kn, kn) ≅ kn2. Pero

esto es posible por que Vr ∩U es cerrado en Vr y por el Lema de extension de Tietze([19], p. 219).Sea α ∶ E∣V Ð→ V ×kn el nuevo morfismo obtenido. Ası α extiende al isomorfismo decuasi-haces α1, es decir que α∣V1 = α1.Ahora demostraremos que existe un abierto W de X, con w0 ∈ W tal que α∣W ∶E∣W Ð→W × kn es un isomorfismo y ası tendremos que E es localmente trivial.Consideremos para cada j = 1, ..., p la restriccion del morfismo α a Vj,

α∣Vj ∶ E∣Vj Ð→ Vj × kn

como E∣Vj ≅ Vj × kn , α∣Vj es un isomorfismo entre haces triviales y ası por laobservacion 1.1.10 tenemos definida la funcion continua βj = α∣Vj ∶ Vj Ð→L (kn, kn)

24

Haces vectoriales

es continua. Dado que Iso(kn, kn) ≅ A ∈Mn×n(k)∣detA ≠ 0, tenemos que Iso(kn, kn)es abierto en L (kn, kn), por lo tanto Wj ∶= βj

−1(Iso(kn, kn)) ⊆ Vj es abierto enVj para toda j = 1, ..., p y por construccion (α∣Wj

) ∶ Wj Ð→ Iso(kn, kn) induce elisomorfismo (α∣Wj

) ∶ E∣WjÐ→≅ Wj × kn.

Sea

W = x ∈ V ∣αx ∶ Ex Ð→ x × kn es isomorfismo

=P

⋃j=1

x ∈ Vj ∣αx ∶ Ex Ð→ x × kn es isomorfismo

=p

⋃j=1

Wj

Notemos que como α1 ∶ E∣V1 Ð→ V1 × kn es isomorfismo y x0 ∈ V1, entonces V1 =W1.Por lo tanto W es abierto en V , con x0 ∈ W y con α∣W ∶ E∣W Ð→ W × kn unisomorfismo. Tomando W ∶= W ∩Z (Vimos que x0 ∈ Z ⊂ V con Z abierto y Z = V ),tenemos que W es abierto en X y α∣W es isomorfismo.Veamos que el haz obtenido es unico salvo isomorfismos. Consideremos ζ ′ =(E′, π′,X) otro haz vectorial y sea g′i ∶ Ei

≅Ð→ E′∣Ui isomorfismos tales que hacenconmutar el siguiente diagrama

Ei∣Ui∩Ujgji //

g′i∣00

Ej ∣Ui∩Uj

g′j ∣nnE′∣Ui∩Uj

Sea αi ∶= g′i g−1i ∶ EUi Ð→ E′

Ui. Para gji ∶ Ei∣Ui∩Uj

≅Ð→ Ej ∣Ui∩Uj , en Ui∩Uj tenemos que

gji = g′−1j g′i = g−1

j gi, entonces g′i g−1i = g′j g−1

j , es decir αi = αj en Ui ∩ Uj. Por elTeorema 1.3.2 existe un unico α ∶ E Ð→ E′ tal que α∣Ui = αi para toda i ∈ I. Esto es,exite un unico α ∶ E Ð→ E′ tal que

Egi

≅g′i

≅ !!DDDDDDDD

E∣Ui α∣Ui

≅ // E′∣Ui

Ejemplo 1.3.4. Consideremos Sn la esfera unitaria de dimension n, tomandoU1 = Sn+ el hemisferio superior de la esfera y U2 = Sn− el hemisferio inferior de laesfera. Ası tenemos una cubierta cerrada U1, U2 de Sn con Sn+ ∩ Sn− = Sn−1.

Sea f ∶ Sn−1 Ð→ GLp(k) ⊆ L (kp, kp) una funcion continua. Aplicaremos el Teorema1.3.3 para probar que existe un haz Ef sobre Sn naturalmente asociado a f : Por

25

Capıtulo 1

el Teorema 1.1.10 tenemos que f ∶ Sn−1 × kn ≅Ð→ Sn−1 × kn es un isomorfimo, es

decir f ∶ E1∣U1∩U2

≅Ð→ E2∣U1∩U2 . El haz Ef lo obtenemos al pegar los haces trivialesE1 = Sn+ ×kp y E2 = Sn− ×kp con funciones de transicion g11 = IdSn+ , g22 = IdSn− y g21 = f .

⋆

1.4. Cociclos

Definicion 1.4.1. Sea (G, ⋅) un grupo topologico y X un espacio topologico. UnG-cociclo en X es una pareja que consiste en una cubierta abierta Uii∈I de Xy funciones continuas gji ∶ Ui ∩ Uj Ð→ G tales que gki(x) = gkj(x) ⋅ gji(x) parax ∈ Ui ∩Uj ∩Uk, denotado por (Ui, gji).

Para usos practicos tomaremos G = GLn(k).

Definicion 1.4.2. Sean dos cociclos (Ui, gji) y (Vr, hsr). Se dice que los cociclosson equivalentes si existen funciones continuas gri ∶ Ui ∩ Vr Ð→ GLn(k), tales quegsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 = hsr(x) para toda x ∈ (Ui ∩Uj) ∩ (Vr ∩ Vs)

Primero notemos que para todo x ∈ Ui se cumple que

gii(x) ⋅ gii(x) = gii(x)⇒ gii(x) = Id

Mas aun gji(x) = (gij(x))−1 pues

Id = gii(x) = gij(x) ⋅ gji(x)⇒ gji(x) = (gij(x))−1

Veamos que efectivamente la relacion anterior es una relacion de equivalencia.

Reflexividad. Sea (Ui, gji) un cociclo. Definimos gri ∶ Ui∩Ur Ð→ GLn(k) por gri (x) =gri(x) para toda x ∈ Ui ∩Ur. Sea x ∈ (Ui ∩Uj) ∩ (Ur ∩Us), entonces

gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 = gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri(x))−1

= gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ gir(x)= gsr(x)

26

Haces vectoriales

ası (Ui, gji) ∼ (Ui, gji) y por lo tanto es reflexiva.

Simetrıa. Sean (Ui, gji), (Vr, hsr) dos cocılclos sobre X con (Ui, gji) ∼ (Vr, hsr),entonces existen funciones continuas gri ∶ Ui ∩ Vr Ð→ GLn(k), tales quegsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 = hsr(x) para toda x ∈ (Ui ∩ Uj) ∩ (Vr ∩ Vs). Despejandotenemos que gji(x) = (gsj(x))−1 ⋅ hsr(x) ⋅ gri (x) para toda x ∈ (Ui ∩ Uj) ∩ (Vr ∩ Vs).Ası definimos gjs ∶ Vs ∩Uj Ð→ GLn(k) por gjs(x) = (gsj(x))−1 y gir ∶ Vr ∩Ui Ð→ GLn(k)por gir(x) = (gri (x))−1 las cuales son continuas por ser GLn(k) grupo topologico.De esta manera tenemos que gji(x) = gjs(x) ⋅ hsr(x) ⋅ (gir(x))−1. Por lo tanto(Vr, hsr) ∼ (Ui, gji), es decir, es simetrica.

Transitividad. Sean (Ui, gji), (Vr, hsr), (Wu, lvu) tres cociclos sobre X con (Ui, gji) ∼(Vr, hsr) y (Vr, hsr) ∼ (Wu, lvu). Como (Ui ∼ gji) ∼ (Vr, hsr) entonces existen funcionescontinuas gri ∶ Ui ∩ Vr Ð→ GLn(k) tales que

gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 = hsr(x) (1.1)

para toda x ∈ (Ui ∩Uj) ∩ (Vr ∩ Vs).Por otra parte como (Vr, hsr) ∼ (Wu, lu,v) entonces existen funciones continuas hur ∶Vr ∩Wu Ð→ GLn(k), tales que

hvs(x) ⋅ hsr(x) ⋅ (hur (x))−1 = lvu(x) (1.2)

para toda x ∈ (Vs ∩ Vr) ∩ (Wu ∩Wv). Supongamos que i = j en 1.1 entonces

hsr(x) = gsi (x) ⋅ gii(x) ⋅ (gri (x))−1 = gsi (x) ⋅ (gri (x))−1 (1.3)

para x ∈ Ui ∩Vr ∩Vs. Por otra parte, tambien supongamos que u = v en 1.2, entoncestenemos que hus(x) ⋅ hsr(x) ⋅ (hur (x))−1 = luu(x) = Id, y despejando

hsr(x) = (hus(x))−1 ⋅ hur (x) (1.4)

para toda x ∈ Vr ∩ Vs ∩Wu. Ası de (1.3) y (1.4)

gsi (x) ⋅ (gri (x))−1 = (hus(x))−1 ⋅ hur (x)

entonces se cumple que

hus(x) ⋅ gsi (x) = hur (x) ⋅ gri (x) (1.5)

(1.6)

para toda x ∈ (Vr ∩ Vs) ∩ (Ui ∩Wu). Haciendo variar r en todos los elementos de lacubierta Vr, definimos otra funcion continua lui ∶ Ui∩Wu Ð→ GLn(k) por lui ∣Vr(x) =

27

Capıtulo 1

hur (x) ⋅ gri (x) con x ∈ Vr ∩ (Ui ∩ Wu), hemos visto que esta bien definida en lasintersecciones Vr ∩ Vs por 1.5, entonces lui esta bien definida y es continua. Ademastenemos que

lvj (x) ⋅ gji(x) ⋅ (lui (x))−1 = (hvs(x) ⋅ gsj(x)) ⋅ gji(x) ⋅ (hur (x) ⋅ gri (x))−1

= hvs(x) ⋅ gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 ⋅ (hur (x))−1

= hvs(x) ⋅ hsr(x) ⋅ (hur (x))−1 por 1.1

= lvu(x) por 1.2

para toda x ∈ (Ui ∩ Uj) ∩ (Vs ∩ Vr) ∩ (Wu ∩Wv) y como esto es valido en cualquierVr ∩ Vs entonces es valido en todo Ui ∩Uj ∩Wu ∩Wv. Ası

lvj (x) ⋅ gji(x) ⋅ (lui (x))−1 = lvu(x)para toda x ∈ (Ui ∩ Uj) ∩ (Wu ∩Wv), haciendo cumplir la transitividad de ∼. Por lotanto ∼ es una relacion de equivalencia.

Denotamos por H1(X,G) el conjunto de clases de equivalencia de cociclos de X aG bajo la relacion de equivalencia anterior. Notemos que H1(X,G) depende con-travariantemente en la primera entrada y covariante en la segunda. Mas precisa-mente, sea f ∶ X Ð→ Y una funcion continua y Ui, gij ∈ H1(Y,G). Tenemos quef−1(Ui) es una cubierta abierta de X, ası definimos g′ji ∶ f−1(Ui) ∩ f−1(Uj) Ð→ Gpor g′ji(x) = (gji f)(x), obteniendo el G-cociclo (f−1(U), gji f) como ilustra elsiguiente diagrama:

X //

f

H1(X,G) (f−1(Ui), gji f)

Y // H1(Y,G)

OO

(Ui, gji)_

OO

Por otro lado, dados G1,G2 grupos topologico y X un espacio topologico y un ho-momorfismo continuo h ∶ G1 Ð→ G2, para un cociclo Ui, gij ∈H1(X,G1), definimosel cociclo Ui, h gij ∈H1(X,G2), como lo ilustra el siguiente diagrama:

G1//

h

H1(X,G1)

(Ui, gji)_

G2

// H1(X,G2) (Ui, h gji)

Teorema 1.4.3. Sea φkn(X) el conjunto de clases de isomorfismos de haces k-vectoriales de rango n sobre el espacio topologico X. Entonces existe un isomorfismonatural de φkn(X) al conjunto H1(X,GLn(k)).

Demostracion. Sea ζ = (E,π,X) un haz vectorial y sea Uii∈I una cubierta abiertade trivilizacion de X, entonces existen isomorfismos

ϕi ∶ Ui × kn≅Ð→ EUi

(x, v) z→ (ϕi)x(v)

28

Haces vectoriales

ası, (ϕi)x ∶ kn≅Ð→ Ex. Sea gji ∶ Ui∩Uj Ð→ GLn(k) definido por gji(x) = (ϕj)−1

x (ϕi)x.Definimos

h ∶ φkn(X) Ð→ H1(X,GLn(k))ζ = (E,π,X) z→ [(Ui, gji)]

Primero veamos que (Ui, gji) es un cociclo. Para toda x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk tenemosque gkj(x) ⋅ gji(x) = (ϕk)−1

x (ϕj)x (ϕj)−1x (ϕi)x = (ϕk)−1

x (ϕi)x = gki(x), por lotanto (Ui, gji) es un cociclo. Ahora veamos que h esta bien definida, esto es, la clasede cocıclos (Ui, gji) en H1(X,GLn(k)) no depende de la cubierta de trivializacionque tomemos y los ϕi. Sea (Vr, hsr) otro cociclo asociado a la cubierta abierta detrivializacion Vrr∈R junto con ψr ∶ Vr × kn Ð→ EVr . Sean gri ∶ Ui ∩ Vr Ð→ GLn(k)definidas por gri (x) = (ψr)−1

x (ϕi)x y x ∈ (Ui ∩Uj) ∩ (Vr ∩ Vs), entonces

gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1 = (ψs)−1x (ϕj)x (ϕj)−1

x (ϕi)x ((ψr)−1x (ϕi)x)−1

= (ψs)−1x (ϕi)x ((ϕi)x)−1 (ψr)x

= (ψs)−1x (ψr)x

= hsr(x)

por lo tanto h ∶ φkn(X)Ð→H1(X,GLn(k)) esta bien definida.

Sea (Ui, gji) ∈ H1(X,GLn(k)), donde gji ∶ Ui ∩ Uj Ð→ GLn(k) ⊆ L (kn, kn), por elTeorema 1.1.10 induce un isomorfismo general de haces vectoriales

gji ∶ (Ui ∩Uj) × kn Ð→ (Ui ∩Uj) × kn

(x, v) z→ (x, gji(x)(v))

Notemos que

gkj gji(x, v) = gkj(x, gji(x)(v))= (x, gkj(x) ⋅ gji(x)(v))= (x, gki(x)(v))= gki(x, v)

Entonces por el Teorema 1.3.3 tenemos que existe un haz vectorial E sobre X eisomorfismos gi ∶ Ui × kn Ð→ EUi , tales que el siguiente diagrama conmuta

(Ui ∩Uj) × kn = Ei∣Ui∩Ujgji //

gi∣Ui∩Uj ))RRRRRRRRRRRRRREj ∣Ui∩Uj = (Ui ∩Uj) × kn

gj ∣Ui∩Ujuullllllllllllll

E∣Ui∩Uj

(1.7)

29

Capıtulo 1

Entonces definimos

h′ ∶H1(X,GLn(k)) Ð→ φkn(X)[(Ui, gji)] z→ [E]

Veamos que h′ esta bien definida. Supongamos que (Ui, gji) ∼ (Vr, hsr) entoncesexisten morfismos gri ∶ Ui ∩ Vr Ð→ GLn(k) tal que hsr(x) = gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1

para toda x ∈ (Ui ∩ Uj) ∩ (Vr ∩ Vs). Sabemos que el cociclo (Vr, hsr) induce u hazvectorial F al aplicarle el Teorema de Pegado a los haces triviales Fr = Vr × kny morfismos hsr ∶ (Vr ∩ Vs) × kn Ð→ (Vr ∩ Vs) × kn. Ademas existen isomorfismoshr ∶ Fr Ð→ FVr tales que hacen conmutar el siguiente diagrama

Fr∣Vr∩Vshsr //

hr %%KKKKKKKKKKFs∣Ui∩Uj

hsyysssssssss

F ∣Vr∩Vs

(1.8)

Consideremos los isomorfismos gri ∶ Ei∣=Ui∩Vr = Ui ∩ Vr × kn Ð→ Fr∣=Ui∩Vr = Ui ∩ Vr × kninducidos por gri ∶ Ui ∩Vr Ð→ GLn(k). Sea α ∶ E Ð→ F el unico isomorfismo de hacesque hace conmutar el siguiente diagrama para cara (i, r)

Ei∣Ui∩Vr ≅

gri //

gi∣Ui∩Vr

Fr∣Ui∩Vrhr ∣Ui∩Vr

EUi∩Vrα∣Ui∩Vr //___ F ∣Ui∩Vr

esto es, α∣Ui∩Vr = hr∣Ui∩Vr gri (gi∣Ui∩Vr)−1. Si demostramos que α esta bien definidoacabamos, puesto que la inversa de α se obtiene intercambiando los papeles de E yF . Sea x ∈ (Ui ∩Ur)∩ (Vr ∩Vs). Dado que por hipotesis (Vr, hsr) ∼ (Ui, gji) se cumpleque

hsr(x) = gsj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (gri (x))−1

y despejando tenemos que

hsr(x) ⋅ gri (x) ⋅ gij(x) = gsj(x).

Por otra parte, del diagrama 1.7 se cumple que

gij = g−1i gj (1.9)

y de 1.8 se cumple que

hsr = h−1s hr. (1.10)

30

Haces vectoriales

De esta manera de 1.9 y 1.10 se tiene que

(h−1s hr) gri (g−1

i gj) = gsj⇒ hr gri g−1

i = hs gsj g−1j

en (Ui ∩ Ur) ∩ (Vr ∩ Vs). Ası α∣(Ui∩Vr) = hr gri g−1i = hs gsj g−1

j = α∣(Uj∩Vs). Porel Teorema 1.3.2 existe un unico homomorfimo de haces vectoriales α ∶ E Ð→ F .Dado que α es isomorfismo entonces E ≅ F , es decir, pertenecen a la misma clase[E] = [F ]. Por lo tanto h′ esta bien definida, y ası h h′ = Id y h′ h = Id.

Teorema 1.4.4. Sean (Ui, gji) y (Ui, hji) dos cociclos relativos a la misma cubiertaabierta Uii∈I (respectivamente una cubierta de cerrados localmente finita en un es-pacio paracompacto X y Hausdorff). Entonces los haces asociados E y F de (Ui, gji)y (Ui, hji) respectivamente son isomorfos si y solo si existen funciones continuasλi ∶ Ui Ð→ GLn(k) tal que hji(x) = λj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (λi(x))−1 para toda x ∈ Ui ∩Uj.En particular el haz E es trivial si y solo si gji(x) = λj(x) ⋅ (λi(x))−1, para unacoleccion adecuada de los λi.

Demostracion. De la definicion de cociclo tenemos que gji ∶ Ui ∩Uj Ð→ GLn(k) escontinua con la siguiente propiedad

gki(x) = gkj(x) ⋅ gji(x)

Por el Teorema 1.1.10 para cada i, j existen los isomorfismos de haces gji ∶ Ui ∩Uj ×kn Ð→ Ui ∩ Uj × kn donde (x, v) z→ (x, g(x)(v)). Si denotamos Ei = Fi = Ui × knentonces

gji ∶ Ei∣Ui∩Uj Ð→ Ej ∣Ui∩Ujes una familia de isomorfismos que cumple que gki∣Ui∩Uj∩Uk = gkj ∣Ui∩Uj∩Uk gji∣Ui∩Uj∩Uk .

Por lo tanto se cumplen las hipotesis del Teorema 1.3.3, ası existe un haz E sobre

X e isomorfismos gi ∶ Ei≅Ð→ E∣Ui tales que hacen conmutar el siguiente diagrama

Ei∣Ui∩Ujgji //

gi∣Ui∩Uj %%KKKKKKKKKEj ∣Ui∩Uj

gj ∣Ui∩Ujyysssssssss

E∣Ui∩Uj

para toda i, j ∈ I.

De manera analoga construımos para el cociclo (Ui, hji) los isomorfismos de hacesvectoriales asociados

hji ∶ Fi∣Ui∩Uj Ð→ Fj ∣Ui∩Uj

31

Capıtulo 1

cumplen que hki∣Ui∩Uj∩Uk = hkj ∣Ui∩Uj∩Uk hji∣Ui∩Uj∩Uk . Ası existe un haz vectorial F

sobre X e isomorfismos hi ∶ Fi≅Ð→ F ∣Ui , tales que hacen conmutar el siguiente dia-

grama

Fi∣Ui∩Ujhji //

hi∣Ui∩Uj %%JJJJJJJJJFj ∣Ui∩Uj

hj ∣Ui∩Ujyyttttttttt

F ∣Ui∩Ujpara toda i, j ∈ I.

(⇒) Supongamos que se tiene un isomorfismo α ∶ E ≅Ð→ F . Sea λi ∶ Ei Ð→ Fi elisomorfismo de haces vectoriales triviales dado por la composicion

Ui × kn ≡ Eigi

≅//

λi

66E∣Uiα∣Ui // F ∣Ui

h−1i // Fi ≡ Ui × kn

ası λi = h−1i α∣Ui gi. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo

E∣Ui∩Ujα∣Ui∩Uj // F ∣Ui∩Uj

Ej ∣Ui∩Uj

gj ∣Ui∩UjeeKKKKKKKKKK

λj ∣Ui∩Uj // Fj ∣Ui∩Uj

hj ∣Ui∩Uj99sssssssss

Ei∣Ui∩Uj

gi∣Ui∩Uj

OO

λi∣Ui∩Uj

//gji

99ssssssssssFi∣Ui∩Uj

hjieeKKKKKKKKK

hi∣Ui∩Uj

OO

Es claro que la parte superior del diagrama anterior conmuta. Demostraremos quela parte inferior del diagrama conmuta. Tenemos que

h−1ji λj ∣Ui∩Uj gji = (h−1

i ∣Ui∩Uj hj ∣Ui∩Uj) (h−1j ∣Ui∩Uj α∣Ui∩Uj gj ∣Ui∩Uj) (g−1

j ∣Ui∩Uj gi∣Ui∩Uj)= h−1

i α∣Ui∩Uj gi= λi∣Ui∩Uj

y despejando hji = λj ∣Ui∩Uj gji(λi∣Ui∩Uj)−1, entonces hji(x) = λj(x) ⋅gji(x) ⋅(λi(x))−1

para toda x ∈ Ui ∩Uj.

(⇐). La expresion hji(x) = λj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (λi(x))−1 implica que (Ui, gji) ∼ (Ui, hji).Recordemos que h ∶H1(X,GLn(k))Ð→ φkn esta bien definida en cociclos equivalentesque tienen asociados haces isomorfos.

32

Haces vectoriales

Demostremos que el haz asociado E a un cociclo (Ui, gji) es trivial si y solo sigji(x) = (λj(x))−1λi(x).

(⇒) Supongamos que E ≅ X × kn de la primera parte de la prueba, si E ≅ F conF = X × kn tenemos que hji(x) = λj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (λi(x))−1 donde E es el haz vecto-rial asociado al cociclo (Ui, gji) y F es el haz vectorial asociado al cociclo (Ui, hji).Notemos que definiendo hji ∶ Ui∩Uj Ð→ GLn(k) como xz→ Id para toda i, j ∈ I, ob-tenemos un cociclo (Ui, Id = hji). Ademas el haz asociado a este cociclo es F =X ×knpues sea

hi ∶ Ui × kn ≡ Fi Ð→X × kn∣Ui ≡ Ui × kn

tal que hi = Id para toda i ∈ I. Entonces

Fi∣Ui∩UjId=hji //

Id=hi∣Ui∩Uj ((RRRRRRRRRRRRRRFj ∣Ui∩Uj

Id=hj ∣Ui∩Ujvvlllllllllllll

F ∣Ui∩Uj =X × kn∣Ui∩Uj

Por el Teorema 1.3.3 el haz asociado al cociclo (Ui, hji = Id) es F =X × kn, entoncesId(x) = λj(x) ⋅ gji(x) ⋅ (λi(x))−1, despejando tenemos gji(x) = (λj(x))−1λi(x).(⇐) Supongamos que gji(x) = (λj(x))−1λi(x) para toda x ∈ Ui ∩Uj entonces Id(x) =λj(x)⋅gji(x)⋅(λi(x))−1, ası (Ui, gji) ∼ (Ui, hji = Id), pero ya vimos que el haz asociadoa (Ui, hji = Id) es F =X × kn por lo tanto E ≅X × kn.

Ejemplo 1.4.5. Retomemos el Ejemplo 1.3.4 tomando X = Sn. Tenemos que U1 =Sn+, U2 = Sn− y U1∩U2 = Sn−1. Sea f ∶ Sn−1 Ð→ GLn(k) continua, determina un haz Ef .

Sea

g12 = f ∶ Sn−1 × kn Ð→ Sn−1 × kn

la funcion inducida por f utilizando el Teorema 1.1.10. Aplicaremos el Teorema1.4.4 al ejemplo 1.3.4. Sea λ ∶ E1 = Sn+ × kp Ð→ E2 = Sn+ × kp cualquier automorfismo,

33

Capıtulo 1

entonces λ induce un isomorfismo de haces vectoriales µ ∶ E1∣Sn−1 Ð→ E2∣Sn−1 dondeµ ∶= λ∣Sn−1 . Por el Teorema 1.1.10 existe µ ∶ Sn−1 Ð→ GLn(k) y ası

fµ ∶ Sn−1 Ð→ GLn(k)x z→ f(x)µ(x)

Usando la notacion del ejemplo 1.3.4, demostraremos que Ef y Efµ son haces vec-toriales isomorfos. Notemos que el siguiente diagrama conmuta

Sn+ × kpλ−1 //

f

Sn+ × kp

fµ

Sn− × kpId // Sn− × kp

(1.11)

donde las flechas punteadas denotan morfismos definidos en Sn−1. Sea λ1 = λ ∶ Sn+ Ð→GLp(k) y λ2 = Id ∶ Sn− Ð→ GLp(k) las funciones inducidas. El diagrama 1.11 induceel siguiente diagrama conmutativo para cada x ∈ Sn+ ∩ Sn− ≡ Sn−1

kp(λ(x))−1 //

f(x)

kp

(fµ)(x)

kpId=λ2(x)

// kp

(1.12)

En efecto, 1.12 conmuta. Sea x ∈ Sn+ ∩ Sn− entonces

(fµ)(x) ⋅ (λ(x))−1 = f(x) ⋅ µ(x) ⋅ (λ(x))−1

= f(x) ⋅ λ(x) ⋅ (λ(x))−1

= f(x)

de este modo tenemos que f(x) = λ2(x) ⋅ (fµ)(x) ⋅ (λ1(x))−1 para toda x ∈ Sn+ ∩ Sn−.Haciendo U1 = Sn+ y U2 = Sn− y para cociclos (U1, U2 , g21 = f ∶ U1 ∩ U2 Ð→ GLp(k))y (U1, U2 , h21 = fµ ∶ U1 ∩ U2 Ð→ GLp(k)) en X = Sn existen funciones continuasλ1 ∶ U1 Ð→ GLp(k) y λ2 ∶ U2 Ð→ GLp(k) tal que g21(x) = λ2(x) ⋅ h21(x) ⋅ (λ1(x))−1.Por el Teorema 1.4.4 los haces asociados Ef y EFµ a dichos cociclos son isomorfos,esto es, Ef ≅ Efµ.

De manera similar se puede probar que Ef ≅ Eνf donde ν es un automorfismo deE2∣Sn−1 , el cual puede extenderse a un automorfismo de E2.

Ejemplo 1.4.6. Ahora consideremos f0, f1 ∶ Sn−1 Ð→ GLp(k) funciones con-tinuas tales que f0 es homotopica f1, es decir, existe una funcion continuaH ∶ Sn−1 × I Ð→ GLp(k) tal que H(x,0) = f0(x) y H1(x,1) = f1(x) para todox ∈ Sn−1. Sea α = Sn−1 Ð→ GLp(k) definida por α(x) = (f1(x))−1 ⋅ f0(x).

34

Haces vectoriales

Afirmacion: α ∼ Id. En efecto, definimos β ∶ Sn−1 × I Ð→ GLp(k) como β(x, t) =(f1(x))−1 ⋅H(x, t), entonces

β(x,0) = (f1(x))−1 ⋅H(x,0) = (f1(x))−1 ⋅ f0(x) = α(x)β(x,1) = (f1(x))−1 ⋅H(x,1) = (f1(x))−1 ⋅ f1(x) = Id(x) = x

Parametricemos ahora el hemisferio superior Sn+ de Sn escribiendo cada w ∈ Sn+ porw = v ⋅Cos(θ) + en+1 ⋅ Sen(θ) donde v ∈ Sn−1 y 0 ≤ θ ≤ π

2 , (note que Sen(θ) ≤ 1).

Figura 1.4: Parte superior de la esfera Sn

Usamos β para definir γ ∶ Sn+ Ð→ GLp(k) dado por la composicion de estas dosfunciones

Sn+g // Sn−1 × I β // GLp(k)

w // (v,Sen θ) // β(v,Sen(θ))

Esta funcion γ esta bien definida y es continua, incluso en θ = π2 , pues β(x, t) converge

a Id uniformemente en x ∈ Sn−1 cuando t tiende a 1, es decir

limt→1β(x, t) = Id para toda x ∈ Sn−1.

Veamos que g es continua para toda w ≠ en+1. Sea ρ ∶ Rn+1 Ð→ Rn la proyeccionortogonal definida por (x1, ..., xn, xn+1)z→ (x1, ..., xn,0) entonces Cos(θ) = ∥ρ(w)∥ =√

⟨ρ(w), ρ(w)⟩. Ası Sen(θ) = +√

1 −Cos2(θ) = +√

1 − ⟨ρ(w), ρ(w)⟩. Por otra parte

v = ρ(w)

∥ρ(w)∥para toda w ≠ Sn+−en+1. Por lo tanto g(w) = ( ρ(w)

∥ρ(w)∥,√

1 − ⟨ρ(w), ρ(w)⟩) =(v,Sen(θ)), la cual es continua para toda w ∈ Sn+ − en+1.Cuando w → en+1 entonces Sen(θ) → 1, entonces lım

w→en+1γ(w) = lım

w→en+1β(v,Sen(θ)) =

Id.

35

Capıtulo 1

Afirmacion: Los haces vectoriales Ef0 ≅ Ef1α son isomorfos. Note primero que α =γ∣Sn−1 pues si w ∈ Sn+ entonces w = v ⋅ 1 + en+1 ⋅ 0 = v. Ası

γ(w) = γ(v)= β(v,0)= f−1

1 (v) ⋅H(v,0)= f−1

1 (v) ⋅ f0(v)

y ası α = γ∣Sn−1 . Ademas γ ∶ Sn+ Ð→ GLp(k) induce un automorfismo γ ∶ Sn+ Ð→ Sn+.Notemos que f0 = f1 ⋅ α pues si w ∈ Sn−1 entonces w = v ⋅ 1 + en+1 ⋅ 0 = v, ası

f1(x) ⋅ α(x) = f1(x) ⋅ ((f1(x))−1f0(x)) = f0(x)

y utilizando el ejemplo 1.4.5 tenemos que Ef0 = Ef1⋅α ≅ Ef1 .

Consideremos las clases de homotopıa de las funciones f ∶ (Sn−1, e)Ð→ (GLp(k), Id)tales que f(e) = Id con e = (1,0, ...,0), ası [f] ∈ [(Sn−1, e), (GLp(k), Id)], donde pordefinicion [(Sn−1, e), (GLp(k), Id)] = πn−1(GLp(k), Id) el n − 1 grupo de homotopıa.Por la discusion anterior, si g ∼ f relativo a e entonces Ef ≅ Eg por lo tanto elmapeo

πn−1(GLp, Id) Ð→ φkp(Sn)[f] z→ [Ep]

esta bien definido.Antes de continuar, haremos algunas observaciones. Sea G un grupo topologico y Ge

la componente conexa por trayectorias de G que contiene la identidad e. Se pruebaque Ge es subgrupo de G y ademas Ge es invariante. Las componentes conexas portrayectorias de G se obtienen al transladar Ge por g ⋅Ge para algun g ∈ G, mas aunen un grupo topologico G se cumple que Ge es subgrupo normal de G y es cerrado,ası G/Ge es un grupo. Definimos π0(G,e) = G/Ge y consideremos la accion

G ×G Ð→ G

(g, g′) z→ g ⋅ g′ ⋅ g−1

donde e permanece fijo para todo g ∈ G pues (g, e)z→ g ⋅ e ⋅ g−1 = e. Para cada g ∈ Gfijo tenemos una accion dada por

⋆ ∶ G × πn(G,e) Ð→ πn(G,e)(g, [f]) z→ [g ⋅ f ⋅ g−1]

donde g ⋅ f ⋅ g−1 ∶ (Sn,∗) Ð→ (G,e) con x z→ g ⋅ f(x) ⋅ g−1 y ∗ punto fijo de Sn. Noteademas que (g ⋅f ⋅g−1)(∗) = g ⋅f(∗)⋅g−1 = g ⋅e⋅g−1 = e, por lo tanto [g ⋅f ⋅g−1] ∈ πn(G,e).Veamos que ⋆ accion esta bien definida, sean f ∼ h representantes de [f] en πn(G,e),

36

Haces vectoriales

entonces existe H ∶ (Sn,∗) × I Ð→ (G,e) tal que H(x,0) = f(x), H(x,1) = h(x),H(∗, t) = e. Definiendo F (x, t) = g ⋅H(x, t) ⋅ g−1 se tiene que

F (x,0) = g ⋅ f(x) ⋅ g−1F (x,1) = g ⋅ h(x) ⋅ g−1F (∗, t) = g ⋅H(∗, t) ⋅ g−1 = e

entonces [g ⋅ f ⋅ g−1] = [g ⋅ h ⋅ g−1], y por lo tanto ⋆ esta bien definida. Solo nos faltaver que ⋆ es una accion.

1. Sea e ∈ G, entonces para toda [f] ∈ πn(G,e) se tiene que

e ⋆ [f] = [e ⋅ f ⋅ e−1] = [f]

.

2. Sea g1, g2 ∈ G entonces

(g1 ⋅ g2) ⋆ [f] = [(g1 ⋅ g2) ⋅ f(g1 ⋅ g2)−1]= [g1 ⋅ g2 ⋅ f(g2)−1 ⋅ (g1)−1]= g1 ⋆ [g2 ⋅ f(g2)−1]= g1 ⋆ (g2 ⋆ [f])

Por lo tanto ⋆ es una accion.

La accion anterior induce una accion del cociente G/Ge en el n-esimo grupo dehomotopia πn(G,e) definida por

∶ G/Ge × πn(G,e) Ð→ πn(G,e)(a, [f]) z→ a [f] = [a ⋅ f ⋅ a−1]

Veamos que esta bien definida, sean g0, g1 ∈ G/Ge en la misma componente conexa portrayectorias de G entonces g0 [f] = g1 [f] para toda [f] ∈ πn(G,e). Sea g ∶ [0,1]Ð→ Guna trayectoria tal que g(0) = g0 y g(1) = g1, entonces se tiene una homotopıah ∶ (G,e) × I Ð→ G dada por h(g, t) = g(t) ⋅ g ⋅ (g(t))−1 tal que

h(g,0) = g(0) ⋅ g ⋅ (g(0))−1 = g0 ⋅ g ⋅ g−10

h(g,1) = g(1) ⋅ g ⋅ (g(1))−1 = g1 ⋅ g ⋅ g−11

h(e, t) = g(t) ⋅ e ⋅ (g(t))−1 = e

Sea [f] ∈ πn(G,e), entonces f ∶ (Sn,∗)Ð→ (G,e). Definimos H ∶ (Sn,∗)×I Ð→ (G,e)por H(x, t) = h(f(x), t), entonces

H(g,0) = g0 ⋅ g ⋅ g−10

H(g,1) = g1 ⋅ g ⋅ g−11

37

Capıtulo 1

H(e, t) = h(f(∗), t) = h(e, t) = e

ası [g0 ⋅ f(x) ⋅ g−10 ] = [g1 ⋅ f(x) ⋅ g−1

1 ], es decir, g0 [f] = g1 [f]. En particular todos loselementos de Ge actuan trivialmente en πn(G,e).En un caso particular, cuando (G,e) = (GLn(k), Id), entonces con lo anterior hemosprobrado

∶ π0(GLp(k), Id) × πn−1(GLp(k), Id) Ð→ πn−1(GLp(k), Id)(a, [f]) z→ [a ⋅ f ⋅ a−1]

esta bien definida, y por lo tanto tenemos que Ef ≅ Ea⋅f ⋅a−1 . Sea

πn−1(GLp(k), Id)π0(GLp(k), Id)

= π0(GLp(k), Id) [f]∣[f] ∈ πn−1(GLp(k), Id)

el conjunto de orbitas. Entonces la funcion

Λ ∶πn−1(GLp(k), Id)π0(GLp(k), Id)

Ð→ φkp(Sn)

(π0(GLp(k), Id), [f]) z→ [Ef ]

esta bien definida.

Teorema 1.4.7. La funcion Λ ∶ πn−1(GLp(k),Id)π0(GLp(k),Id)

Ð→ φkp(Sn) es inyectiva.

Para la demostracion de este teorema utilizaremos el siguiente:

Teorema 1.4.8. Sea f ∶ X Ð→ X es continua y nulhomotopica si y solo si, f seextiende al cono F ∶ CX Ð→X por F (x,0) = f(x) ([12])

Demostracion. Ses f, g ∶ (Sn−1, e) Ð→ (GLp(k), Id) continuas (f(e) = g(e) = Id),con e = (1,0, ...,0) tales que Ef = Eg, ademas utilizando el Teorema 1.1.10 f, g

inducen los isomorfismo de haces vectoriales f , g ∶ Sn−1 × kp Ð→ Sn−1 × kp. Por elTeorema 1.4.4 existe λ1 ∶ Sn+ Ð→ GLp(k) y λ2 ∶ Sn− Ð→ GLp(k) tal que g(x) =λ2(x)f(x)(λ1(x))−1 para toda x ∈ Sn−1, entonces g = λ2 ⋅ f ⋅ (λ2)−1. Tenemos elsiguiente diagrama conmutativo

Sn+f

λ1 // Sn+g

Sn−λ2 // Sn−

donde las flechas punteadas denotan morfismo definidos unicamente en Sn−1. Seanβ1 = λ1∣Sn−1 y β2 = λ2∣Sn−1 entonces g(x) = β2(x) ⋅ f(x) ⋅ (β1(x))−1 para toda x ∈ Sn−1.Dado a que β1 ∶ Sn−1 Ð→ GLp(k) se extiende al cono mediante λ1 ∶ Sn+ Ð→ GLp(k),entonces β1 es nulhomotopica. Analogamente, β2 es nulhomotopica.

38

Haces vectoriales

Por otra parte, β2(e) ⋅ f(e) ⋅ (β1(e))−1 = g(e) entonces β1(e) = β2(e). Sea a = β1(e) =β2(e) ∈ GLp(k). Ası β1, β2 son homotopicas a las mismas funciones constante a ∶Sn−1 Ð→ GLp(k) donde a(x) = a para toda x ∈ Sn−1, entonces

g(x) = β1(x) ⋅ f(x) ⋅ (β2(x))−1 ≅ a ⋅ f ⋅ a−1

Sea h ∶ Sn−1 × I Ð→ GLp(k) la homotopıa entre g(x) y a ⋅ f ⋅ a−1, esto es, h(x,0) =g(x) y que h(x,1) = a ⋅ f(x) ⋅ a−1. Definimos l ∶ Sn−1 × I Ð→ GLp(k) por l(x, t) =h(x, t)(h(e, t))−1, ası

l(x,0) = h(x,0) ⋅ (h(e,0))−1 = g(x)(g(e))−1 = g(x)l(x,1) = h(x,1) ⋅ (h(e,1))−1 = a ⋅ f(x) ⋅ a−1

l(e, t) = h(e, t) ⋅ (h(e, t))−1 = Id

entonces [a ⋅ f(x) ⋅ a−1] ∼ [g] es decir, a [f] = [g] para alguna a ∈ π0(GLn(k), Id).Ası [f] ∼ [g], esto es [f], [g] ∈ π0(GLn(k), Id) [f]. Entonces [f] ∼ [g] y por lo tantoΛ es inyectiva.En realidad Λ es biyeccion, posteriormente demostraremos la sobreyectividad.

Observacion. 1.4.9. GLp(C) ≅ U(p) × Rp2 donde U(p) =A ∈ GLp(C)∣A ⋅At = Id.([22], p. 302).

Teorema 1.4.10. Sea B ∈ GLp(C), entonces existen matrices unicas M yU tales que M ∈ T +(p) y U ∈ U(p) y B = M ⋅ U , donde T +(p) =A ∈Mp×p(C)∣Aij = 0 para toda i < j y Aii > 0, esto es, T +(p) es el conjunto de ma-trices de p × p tales que arriba de la diagonal principal tiene puros ceros y en ladiagonal principal tiene todas sus entradas positivas.

Demostracion. Sea

B =⎛⎜⎜⎜⎝

β1

β2

⋮βp

⎞⎟⎟⎟⎠∈ GLp(C)

entonces el conjunto β1, ..., βp es linealmente independiente, entonces utilizamosel proceso de ortogonalizacion Gram-Schmidt [?] para obtener una base ortogonalα1, ..., αp de Cp con

αk = βk −∑j<k

⟨βk, αj⟩∥αj∥2 αj

Sea Ckj = ⟨βk,αj⟩

∥αj∥2 , entonces U es la matriz cuyos renglones son α1

∥α1∥, ...,

αp∥αp∥

, es decir,

U =⎛⎜⎜⎝

α1

∥α1∥

⋮αp

∥αp∥

⎞⎟⎟⎠

39

Capıtulo 1

y

M =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−1∥αk∥

Ckj si j < k1

∥αk∥si j = k

0 si j > k

ası M ∈ T +(p).

Por el Teorema 1.4.10 tenemos que GLp(C) ⊆ M ⋅U ∣M ∈ T +(p), U ∈ U(p).Recıprocamente si M ∈ T +(p), U ∈ U(p) entonces M ⋅U es invertible, pues det(M) =M11...Mpp > 0, ası M es invertible y GLp(C) = M ⋅U ∣M ∈ T +(p), U ∈ U(p).

Lema 1.4.11. T +(p) ≅ Rp2

Demostracion. Por definicion

T +(p) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

x11 0 . . . 0x12 x22 . . . 0⋮ ⋮ . . . ⋮x1p x2p . . . xpp

⎞⎟⎟⎟⎠∣xji ∈ C y xii > 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

donde tenemos p(p+1)2 variables en T +(p). Ası

T +(p) ≅ Cp(p+1)

2−p × (0,∞)p

≅ Cp(p+1)

2−p ×Rp

= (R ×R)p(p+1)

2−p ×Rp

= Rp(p+1)−2p ×Rp

= Rp2+p−2p+p

= Rp2

Lema 1.4.12. GLp(C) ≅ T +(p) ×U(p)

Demostracion. Tenemos que la funcion

Mp×p(C) ×Mp×p(C) Ð→ Mp×p(C)(A,B) z→ A ⋅B

es continua, entonces la restriccion

T +(p) ×U(p) Ð→ Mp×p(C)(M,U) z→ M ⋅U

40

Haces vectoriales

es continua. Como M ⋅U ∈ GLp(C) al tomar la restriccion en la imagen, tenemos quela funcion

α ∶ T +(p) ×U(p) Ð→ GLp(C)(M,U) z→ M ⋅U

es continua.

La inversa de la funcion α es continua. Utiliando el Teorema 1.4.10, dada B ∈ GLp(C)existen matrices unicas M ∈ T +(p) y U ∈ U(p) tales que B =M ⋅U . Ası la funcion

GLp(C) Ð→ T +(p) ×U(p)B z→ (M,U)

es continua. Por lo tanto GLp(C) ≅ T +(p) ×U(p).

Corolario 1.4.13. GLp(C) ≅ T +(p) ×Rp2.

Ejemplo 1.4.14. Veamos el caso en el que p = 1. Por el corolario anterior tenemosque GL1(C) ≅ U(1) ×R donde

U(1) = z ∈ GL1(C)∣zzt = 1= z ∈ GL1(C)∣zz = 1= z ∈ GL1(C)∣ ∣z∣ = 1= S1

ası tenemos que GL1(C) ≅ S1 ×R. Entonces π0(GL1(C)) = π0(S1 ×R) = 1. Tambienque

π1(GL1(C)) = π1(S1 ×R)= π1(S1) × π1(R)≅ Z

Por lo tanto π1(GL1(C)) ≅ Z.

Lema 1.4.15. Sea O(p) = A ∈ GLp(R)∣A ⋅At = Id el conjunto de las matrices or-

tonormales con coeficientes en R, entonces GLp(R) ≅ O(p) ×Rp(p+1)

2 .

Demostracion. Primero demostraremos que GLp(R) ≅ T +(p) × O(p). Usando elTeorema 1.4.10, dada B ∈ GLp(R) existen matrices unicas M ∈ T +(p) y U ∈ U(p)tales que B = M ⋅ U . Dado que B tiene entradas en R, tenemos que T +(p) =A ∈Mp×p(R)∣Aij = 0 para toda i < j y Aii > 0. Como en el caso GLp(C), se puededemostrar de la misma manera que

41

Capıtulo 1

T +(p) ×O(p) Ð→ GLp(R)(M,U) z→ M ⋅U

es un isomorfismo. Ademas

T +(p) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎛⎜⎜⎜⎝

x11 0 . . . 0x12 x22 . . . 0⋮ ⋮ . . . ⋮x1p x2p . . . xpp

⎞⎟⎟⎟⎠∣xji ∈ R y xii > 0

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎭

donde T +(p) tiene p(p+1)2 entradas libres. Ası T +(p) ≅ R

p(p+1)2

−p × (0,∞)p ≅ Rp(p+1)

2−p ×

Rp ≅ Rp(p+1)

2 . Por lo tanto GLp(R) ≅ O(p) ×Rp(p+1)

2 .

Notemos que O(p) tiene al menos dos componentes. Sea A ∈ O(p), entonces A ⋅At =Id lo que implica que 1 = det(Id) = (det(A))2 con det(A) ∈ R, de aqui tenemosque det(A) = 1 o det(A) = −1. Por lo tanto O(p) = A ∈ GLp(R)∣det(A) = 1 ⊔A ∈ GLp(R)∣det(A) = −1 = det−1(1) ⊔ det−1(−1). Ası O(p) se expresa como launion de dos cerrados ajenos, y ası se tiene que O(p) tiene al menos dos componentesconexas. (Se prueba en [22] Teorema 3.67, pag 130 que O(p) tiene exactamente doscomponentes conexas).

Ejemplo 1.4.16. Consideremos la funcion Λ anteriormente definida, (posteriormen-te veremos que es biyeccion)

Λ ∶πn−1(GLp(k), e)π0(GLp(k), e)

Ð→ φkp(Sn)

(π0(GLp(k), e), [f]) z→ [Ef ]

Tenemos que π0(GLp) ≅ π0(U(p)×Rp) ≅ π0(U(p)) utilizando el Teorema 3.6.7 de [22]que nos dice que U(p) es conexo por trayectorias. Entonces π0(U(p)) ≅ 1, ademaspor 1.4.7 se tiene que

φkp(Sn) ≅πn−1(GLp(k), e)π0(GLp(k), e)

≅πn−1(GLp(k), e)

1≅ πn−1(U(p) ×Rp)≅ πn−1(U(p)) × πn−1(Rp)= πn−1(U(p))

Ası φCp (Sn) ≅ πn−i(U(p)).

Por otra parte tenemos una fibracion local trivial

42

Haces vectoriales

U(p) Ð→ U(p + 1)Ð→ S2p+1

A z→ (A 00 1

)

induce una sucesion exacta de homotopıa

. . . // πi+1(S2p+1) // πi(U(p)) // πi(U(p + 1)) // πi(S2p+1) // . . .

En [1] se explica que πj(Sr) = 0 para toda j < r, y que para i + 1 < 2p + 1, es decirpara p > i

2 tenemos que la sucesion exacta anterior se ve de la forma

0 // πi(U(p)) // πi(U(p + 1)) // 0

entonces πi(U(p)) ≅ πi(U(p + 1)) para toda p > i2 , ası

colimm→∞πi(U(m)) ≅ πi(U(p))de modo que φC

p ≅ πi(U(p)) ≅ colimm→∞πi(U(m)). Sea r = i+ 1, despejando i = r − 1.Tambien se prueba que

colimm→∞πn−1(U(m)) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si n es par

Z si n es impar

Por lo que el problema de clasificacion de haces vectoriales complejos de rango psobre una esfera Sr, para φkp(Sr) esta completamente resuelta para p > r−1

2 . El casop ≤ r−1

2 es desconocido en general.

Ejemplo 1.4.17. Por otra parte, en analisemos el caso real. Del Lema 1.4.15 se

tiene que GLp(R) ≅ O(p) ×Rp(p+1)

2 entonces πi(GLp(R)) ≅ πi(O(p)) y π0(GLp(R)) ≅π0(O(p)) ≅ Z2 debido a que O(p) tiene dos componentes conexas por trayectorias.Ası tenemos el siguiente isomorfismo

φRp (Sn) ≅

πn−1(GLpR)π0(GLpR)

≅ πn−1(O(p))π0(O(p))

ademas, consideremos la fibracion local trivial

O(p) Ð→ O(p + 1)Ð→ Sp

A z→ (A 00 1

)

43

Capıtulo 1

que induce la siguiente sucesion exacta larga

. . . // πi+1(Sp) // πi(O(p)) // πi(O(p + 1)) // πi(Sp) // . . .

Sabemos que πi+1(Sp) = 0 para toda p > i + 1, entones πi(O(p)) ≅ πi(O(p + 1)) paratoda p > i + 1 y por lo tanto πi(O(p)) ≅ colimm→∞πi(O(m)). Ası

φRp (Si0+1) ≅ πn−1(O(p))

π0(O(p))≅ πi(O(p))≅ colimm→∞πi(O(m))

para toda p > i0+1, por lo tanto φRp (Si0+1) ≅ colimm→∞πi(O(m)), donde en el capıtulo

tres de [16] demuestran que

colimm→∞πi(O(m)) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Z2 si i ≡ 0 o 1(mod 8)Z si i ≡ 3(mod 8)0 otro caso

Solo nos falta ver que πi−1(O(p))π0(O(p)) ≅ πi(O(p)) para toda p > i + 1.

Caso p impar. Como p es impar −Id = −1, entonces π0(O(p)) = Id,−Id, ası para[f] ∈ πi(O(p)) tenemos que

π0(O(p)) ⋅ [f] = Id,−Id ⋅ [f]= Id ⋅ [f] ,−Id ⋅ [f]= [f] , [−Id ⋅ f ⋅ (−Id)−1]= [f] , [f] = [f]

Por lo tanto las orbitas constan exactamente de un solo punto, es decir, π0(O(p)) ≅ Z2

actua trivialmente en πi(O(p)).

Caso p. Tenemos el siguiente isomorfismo ϕ∗ ∶ πi(O(p)) ≅Ð→ πi(O(p + 1)) donde

ϕ ∶ O(p) Ð→ O(p + 1)

A z→ (A 00 1

)

ası por definicion ϕ∗([f]) = [ϕ f],

(Si, e) f // (O(p), Id) ϕ // (O(p + 1), Id)

44

Haces vectoriales

El isomorfismo ϕ∗ es compatible con la accion de π0(O(p)), π0(O(p + 1)), es decir

que para a ∈ π0(O(p)) tenemos que ϕ∗(a [f]) = ϕ∗(a)ϕ∗([f]). En efecto, vemosque ϕ∗(a [f]) = ϕ∗([a ⋅ f ⋅ a−1]) = [ϕ(a ⋅ f ⋅ a−1)] donde

a ⋅ f ⋅ a−1 ∶ (Si, e) Ð→ (O(p), Id)x z→ a ⋅ f(x) ⋅ a−1

esto es ϕ(a ⋅ f ⋅ a−1)(x) = ϕ(a ⋅ f(x) ⋅ a−1).Notemos que

ϕ(a ⋅ f(x) ⋅ a−1) = (a ⋅ f(x) ⋅ a−1 0

0 1)

= (a 00 1

) ⋅ (f(x) 00 1

) ⋅ (a 00 1

)−1

= ϕ(a) ⋅ ϕ(f(x)) ⋅ (ϕ(a))−1

ası

[ϕ(a ⋅ f ⋅ a−1)] = [ϕ(a) ⋅ ϕ(f(x)) ⋅ (ϕ(a))−1]

= ϕ∗(a) [ϕ(f)]= ϕ∗(a) ϕ∗([f])

Entonces como ϕ∗(O(p) [f]) = ϕ∗(O(p))ϕ∗([f]) ⊆ π0((O(p+1)))ϕ∗([f]) implicaque ϕ∗(O(p) [f]) = π0((O(p + 1)))ϕ∗([f]). Ası ϕ∗ manda clases a clases y es

biyectiva punto por punto. Notemos que πi(O(p))π0(O(p)) ≅ πi(O(p)) pues p > i + 1, entonces

p+1 > i+1 y como p es par, tenemos que p+1 es impar, ası caemos en el caso anterior.Por lo tanto

πi(O(p))π0(O(p))

≅ πi(O(p + 1))π0(O(p + 1))

≅ πi(O(p + 1))≅ πi(O(p))

para p > i + 1. Concluimos que

φRp (Si+1) ≅ πi(O(p))

π0(O(p))= πi(O(p))= colimm→∞πi(O(m))

El problema de lasificacion de haces vectoriales sobre R de rango p sobre Sn esta com-pletamete resuelto para p > n y el caso para p ≤ n sigue abierto en general.

45

Capıtulo 1

1.5. El haz tangente

En esta seccion primero definiremos la suspencion de un espacio topologico. Poste-riormente introduciremos la definicion de variedad diferenciable y, utilizando herra-mientas anteriormente mostradas construiremos un haz vectorial sobre esta, llamadohaz tangente.

Definicion 1.5.1. Sea X un espacio topologico paracompacto. Dandole la topologıacociente, definimos la suspension S′(X) = X × [−1,1] / ∼ donde (x,−1) ∼ (y,−1) y(x,1) ∼ (y,1) para todo x, y ∈X.

Es facil ver que ∼ es una relacion de equivalencia. Consideremos la proyeccion naturalη ∶ X × [−1,1] Ð→ X × [−1,1]/ ∼. Denotamos por C+(X) a la imagen de la proyec-cion η restringida a la parte superior del cilindro, es decir C+(X) = Im η∣X×[0,1].Del mismo modo definimos C−(X) = Im η∣[−1,0]. De esta manera tenemos queS′(X) = C+(X) ∪ C−(X). Utilizando el argumento para descomponer Sn−1 delEjemplo 1.4.6, se sigue que S′(Sn−1) es homeomorfo a Sn.

Figura 1.5: Suspension S′(X)

Sea f ∶ X Ð→ GLp(k) una funcion continua, entonces es posible definir un hazvectorial Ef sobre S′(X). Sean E1 = C+(X) × kp y E2 = C−(X) × kp haces triviales

sobre C+(X) y C−(X) respectivamente, con una funcion de transicion g21 = f ∶X × kp Ð→ X × kp, donde f es la funcion inducida definida en el Teorema 1.1.10 yg12 = (g21)−1. Utilizando el Teorema 1.3.3 (Teorema de pegado) tenemos que existeun unico haz vectorial Ef sobre S′(X) = C+(X) ∪C−(X).

Lema 1.5.2. Para funciones homotopicas f0, f1 ∶ X Ð→ GLp(k), se cumple que Ef0es isomorfo a Ef1.

Se demuestra utilizando los mismos argumentos que se tienen en el Ejemplo 1.4.5.

Sea e ∈ X un punto distinguido. Denotamos por [(X,e), (GLp(k), Id)] al conjuntode clases de homotopıa de funciones continuas f ∶ X Ð→ GLp(k) tales que f(e) = Id

46

Haces vectoriales

Figura 1.6: Haz vectorial Ef sobre S′(X)

o bien por [X,GLp(k)]∗ cuando sea claro cuales son los puntos bases de dichosespacios.A continuacion daremos la definicion de variedad diferenciable, partiendo de un es-pacio topologico o variedad topologica.

Definicion 1.5.3. Sea M un espacio topologico y U un conjunto abierto de M . Unacarta n-dimensional sobre M es una aplicacion continua e inyectica ϕ ∶ U Ð→ Rn

cuya imagen ϕ(U) es abierto en Rn.

Al conjunto U , dominio de la carta ϕ, se le denomina entorno coordenado ya quetodos los puntos de U tienen asignadas coordenadas via ϕ. En efecto, si pri ∶ Rn Ð→ Rdenota la proyeccion en la i-esima coordenada, entonces se definen funciones coorde-nadas asociadas a la carta (U,ϕ) por αi = pri ϕ ∶ U Ð→ R. Entonces las coordenadasde un punto x ∈ U en la carta ϕ son (α1(x), ..., αn(x)).Cuando queremos cubrir un espacio topologico M mediante una coleccion de cartas(Ui, ϕi)i∈I de tal manera que ⋃i∈I Ui = M , estas necesitan cumplir la siguienterelacion de compatibilidad.

Definicion 1.5.4. Dos cartas n-dimensionales (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj) sobre M son com-patibles si Ui ∩ Uj = ∅, o bien si Ui ∩ Uj ≠ ∅ entonces los conjuntos ϕi(Ui ∩ Uj) yϕj(Ui ∩ Uj) son abiertos en Rn y las funciones θji ∶= ϕj ϕ−1

i y θij = ϕi ϕ−1j son

difeomormismos de clase Cm para m ≥ 1. Denotaremos por Aji ∶= ϕi(Ui ∩ Uj) yAij ∶= ϕj(Ui ∩Uj).

Con esto podemos dar la definicion de estructura diferenciable.

Definicion 1.5.5. Un atlas diferenciable n-dimensional sobre un conjunto M esuna familia de cartas A = (Ui, ϕi)i∈I satisfaciendo lo siguiente:

1. La familia de subconjuntos Uii∈I es una cubierta abierta de M , esto es,

⋃i∈I Ui =M .

47

Capıtulo 1

Figura 1.7: Condicion de compatibilidad de una estructura diferenciable

2. Para todo par de indices i, j ∈ I las cartas (Ui, ϕi) y (Uj, ϕj) son compatibles.

Diremos que un atlas A determina una estructura diferenciable sobre M si esmaximal para las condiciones anteriores.

Proposicion 1.5.6. Cualquier atlas diferenciable sobre un espacio topologico M sepuede completar a un atlas maximal de manera unica, es decir, todo atlas diferen-ciable sobre un conjunto esta contenido en exactamente un atlas maximal. ([6],p.54)

Ası pues, para definir una estructura diferenciable no necesitamos especificar un atlasmaximal sobre M , sino simplemente un atlas diferenciable. Utilizando la compatibi-lidad de las cartas es facil probar la siguiente relacion de equivalencia.

Definicion 1.5.7. Sean A y B dos atlas diferenciables sobre un conjunto M . Losatlas son equivalentes si y solo si, A ,B ⊆ C , donde C es otro atlas diferenciable deM .

Definicion 1.5.8. Una variedad diferenciable de dimension n es un par (M,A )formado por un espacio topologico M y una estructura diferenciable A de M .

A continuacion daremos una definicion equivalente a la de estructura diferenciable.

Una estructura diferenciable de dimension n es un espacio topologico M juntocon una familia de funciones inyectivas gi ∶ Ui ⊂ Rn Ð→Mi∈I donde Ui es un abiertoen Rn, tales que

1. ⋃i∈I gi(Ui) =M

2. Para cualquier par de subindices i, j ∈ I con gi(Ui) ∩ gj(Uj) = W ≠ ∅ el con-junto g−1

i (W ) y g−1j (W ) son conjuntos abiertos en Rn y el mapeo g−1

j gi esdiferenciable.

48

Haces vectoriales

3. La familia (Ui, gi) es maximal a las condiciones anteriores.

Observacion. 1.5.9. En la definicion anterior, gi(Ui)i∈I es una cubierta abier-ta de M satisfaciendo la primera condicion de la definicion 1.5.5. La condicion decompatibilidad y de maximalidad siguen siendo las mismas.

Ejemplo 1.5.10. (El espacio proyectivo P n(R)). Denotaremos por P n(R) alconjunto de lıneas rectas en Rn+1 tales que pasan por el origen (0,0, ...,0) ∈ Rn+1,esto es P n(R) es el conjunto de “direcciones” en Rn.

Daremos a P n(R) una estructura diferenciable utilizando la definicion anterior. Sea(x1, x2, ..., xn+1) ∈ Rn+1, por definicion P n(R) es el cociente de Rn+1 − 0 con lasiguiente relacion de equivalencia

(x1, ..., xn+1) ∼ (λx1, ..., λxn+1)donde λ ∈ R con λ ≠ 0. Denotaremos los puntos de P n(R) de la forma [x1, ..., xn+1].Ademas si xi ≠ 0, entonces

[x1, ..., xn+1] = [x1

xi, ...,

xi−1

xi,1,

xi+1

xi]

Definimos los subconjuntos V1, ..., Vn+1 ⊆ P n(R) por

Vi = [x1, ..., xn+1] ∈ P n(R)∣xi ≠ 0

para i = 1, ..., n + 1. Geometricamente Vi es el conjunto de lıneas rectas en Rn+1 quepasan a traves del origen y no pertenecen al hiperplano (x1, ..., xn) ∈ Rn+1∣xi = 0.

Vamos a mostrar que los subconjuntos Vi’s son vecindades coordenadas, donde lascoordenadas en Vi son

y1 = x1

xi⋮

yi−1 = xi−1

xi

yi = xi+1

xi⋮

yn = xn+1

xi

Definimos una funcion continua αi ∶ Rn Ð→ Vi dada por αi(y1, ..., yn) =[y1, ..., yi−1,1, yi, ..., yn], de modo que αi es continua. Mostraremos que la fa-milia Rn, αi es una atlas diferenciable de P n(R). Claramente αi es biyectiva ytenemos que ⋃n+1

i=1 αi(Rn) = P n(R) ya que αi(Rn) = Vi y ⋃n+1i=1 Vi = P n(R).

49

Capıtulo 1

Veamos que α−1i (Vi ∩ Vj) es un abierto en Rn y que α−1

j αi es diferenciable coni, j = 1, .., n + 1. Si i > j entonces x−1

i (Vi ∩ Vj) esta en Rn. Notemos que Vi ∩ Vj =(x1, ..., xn+1)∣xi ≠ 0, xj ≠ 0, con esto definimos

y1 = x1

xi⋮

yi−1 = xi−1

xiy0 = 1

yi = xi+1

xi⋮

yn = xn+1

xi

de modo que α−1i (Vi ∩ Vj) = (y1, .., yj, ..., yn) ∈ Rn∣yj ≠ 0. Notemos que α−1

i (Vi ∩ Vj)es abierto en Rn, ya que con la topologıa producto, la imagen de αi en cada entradaes R excepto en la j-esima entrada donde su imagen es R − 0, el cual es unsubconjunto abierto de R.

Veamos que α−1j αi es un difeomorfismo. Sin perdida de generalidad, supongamos

que j < i entonces

α−1j αi(y1, ..., yn) = α−1

j ([y1, ..., yi−1,1.yi, ..., yn])

= α−1j ([y1

yj, ...,

yj−1

yj,1,

yj+1

yj, ...,

yi−1

yj,

1

yj,yiyj, ...,

ynyj

])

= (y1

yj, ...,

yj−1

yj,1,

yj+1

yj, ...,

yi−1

yj,

1

yj,yiyj, ...,

ynyj

)

ası α−1j αi(y1, ..., yn) = (y1yj , ...,

yj−1yj,1,

yj+1yj, ..., yi−1yj ,

1yj, yiyj , ...,

ynyj). Definamos las funcio-

nes fk ∶ Rn Ð→ R con k = 1, ..., n como

50

Haces vectoriales

f1(y1, ..., yn) = y1

yj⋮

fj−1(y1, ..., yn) =yj−1

yj

fj(y1, ..., yn) =yj+1

yj⋮

fi−1(y1, ..., yn) = y1

yj

fi(y1, ..., yn) =yj−1

yj⋮

fn(y1, ..., yn) = ynyj

con yj ≠ 0, entonces fk es continua para k = 1, ..., n haciendo α−1j αi un difeomorfis-

mo. Por lo tanto Rn+1, αi es una variedad diferenciable de P (Rn).

⋆

Sea A un conjunto abierto en Rn, definimos TA ∶= A×kn el haz vectorial trivial sobreA. Sean A,B subconjuntos abiertos de Rp y una funcion f ∶ AÐ→ B diferenciable declase Cm para m ≥ 1, entonces podemos asociarle a f un morfismo general de hacesvectoriales Tf ∶ TAÐ→ TB que haga conmutar el siguiente diagrama

TATf //

TB

A

f // B

definido fibra a fibra por (Tf)x(v) = dfx(x)(v), donde dfx es el diferencial en X.

Sea A = (Ui,Ai, ϕ) un atlas de M . Definiremos el haz tangente TM sobre Mpegando los haces triviales TUi = Ui ×Rn. Sea ϕi ∶ Ui ×Rn Ð→ Ai ×Rn el isomorfismode TUi a TAi definido por ϕi(x, v) = (ϕi(x), v). Veamos que αi es continua. SeanAi0 ⊂ A abierto y R ⊂ Rn abierto entonces

ϕ−1i (Ai0 ×R) = (x,u) ∈ Ui ×Rn∣ϕi(x, v) = (y, u) con (y, u) ∈ Ai0 ×R

= (x,u) ∈ Ui ×Rn∣(ϕi(x), v) = (y, u) con (y, u) ∈ Ai0 ×R= ϕ−1

i (Ai0) ×R

51

Capıtulo 1

como ϕi es continua entonces ϕ−1i (Ai0) es abierto, ademas ϕ−1(Ai0 × R) es abierto

en Ui ×Rn ya que R es abierto en Rn. Ahora probemos que ϕi es biyectiva.

Inyectividad. Sean (x, v), (y, u) ∈ Ui × Rn con ϕi(x, v) = ϕi(y, u), entonces(ϕi(x), v) = (ϕi(y), u) como ϕ es biyectiva x = y y ademas v = u, ası (x,u) = (y, v).Por lo tanto ϕi es inyectiva.

Sobreyectividad. Sea (y, v) ∈ Ai × Rn como ϕi es biyectiva existe x ∈ Ui tal queϕi(x) = y, ası ϕi(x,u) = (ϕ(x), u) = (y, u). Por lo tanto ϕi es sobreyectiva.

Definamos las funciones de transicion gji ∶ TUi Ð→ TUj. Consideremos el siguientediagrama

TUi∣Ui∩Ujϕi∣Ui∩Uj //

gji

TAi∣AjiTθij

TUj ∣Ui∩Uj ϕj ∣Ui∩Uj// TAj ∣Aij

donde (Tθji)x(v) = (θ′ji(x))(v), ya que θji = ϕ−1j ϕ es diferenciable. Como θki(x) =

θkj(θji(x)) para x ∈ ϕi(Ui ∩Uj ∩Uk), y por la regla de la cadena se tiene que Tθki =Tθkj Tθji cuando nos restringimos en ϕi(Ui ∩Uj ∩Uk). Definimos gji ∶ TUi∣Ui∩Uj Ð→TUj ∣Ui∩Uj como gji = (ϕj ∣Ui∩Uj)−1Tθjiϕi∣Ui∩Uj y como ϕi, ϕj y Tθji son isomorfismosentonces, gji es un isomorfismo que define las funciones de transicion para TM . Vemosque cumplen con las condiciones de cociclo, pues

gii = (ϕi)−1 Tθii ϕi= (ϕi)−1 IdTAi ϕi= IdTUi

y ademas

gki = (ϕk∣Ui∩Uj∩Uk)−1 Tθki ϕi∣Ui∩Uj∩Uk= (ϕk∣Ui∩Uj∩Uk)−1 Tθkj Tθji ϕi∣Ui∩Uj∩Uk= (ϕk∣Ui∩Uj∩Uk)−1 Tθkj ϕj ∣Ui∩Uj∩Uk (ϕj ∣Ui∩Uj∩Uk)−1 Tθji ϕi∣Ui∩Uj∩Uk= gkj gji

entonces gji son funciones de transicion.

Veamos que esta definicion no depende sobre que atlas A escojamos. Sea B =(Vr,Br, ψr) un atlas equivalente con funciones de transicion hsr ∶ TVs Ð→ TVr enVr∩Vs. Como A y B son atlas equivalentes existen funciones σri ∶= ψrϕ−1

i ∶ Ai Ð→ Br

que hacen conmutar el siguiente diagrama

52

Haces vectoriales

Ui

IdUi∩Vr

≅

ϕi∣Ui∩Vr // Ai

≅σri

Vr ≅

ψr ∣Ui∩Vr // Br

(1.13)

Ademas, estas inducen los isomorfismos Tσri ∶ TAi Ð→ TBr. Definimos el isomorfis-mo gri ∶ TUi∣Ui∩Vr Ð→ TVr∣Ui∩Vr por gri ∶= (ψr∣Ui∩Vr)−1 Tσri ϕi, de modo que haceconmutar el siguiente diagrama

TUiϕi∣Ui∩Vr //

gri TAi

Tσri

TVrψr ∣Ui∩Vr // TBr

(1.14)

Ası tenemos que (TUi, gji) y (TVr, hsr) son dos cociclos, ademas utilizando los dia-gramas 1.13 y 1.14 se obtiene el siguiente diagrama es conmutativo

TUrgri //

hsr

TVr

gji

TUj gsj

// TVs

esto es, hsr = gsj gji (gri )−1, entonces (TUi, gji) ∼ (TVr, hsr). Utilizando el Teorema1.4.3, (TUi, gji) y (TVr, hsr) estan en la misma clase en H1(M,GLp(k)) entoncesestan en la misma clase de isomorfismo en φpk(M). Por lo tanto, dada una variedaddiferenciable M de clase Cm es posible construir un unico haz vectorial TM llamadohaz tangente de M .

1.5.1. Funtorialidad del haz tangente

Veamos que la construccion del haz tangente es funtorial, esto es, dada una varie-dad diferenciable de (M,A ) con A = (Ui, ϕi)i∈I es posible asociarle haz vectorialTM sobre M y para una funcion continua entre variedades f ∶ M Ð→ N exista unmorfismo general Tf ∶ TM Ð→ TN . Mas aun, demostraremos que T es un funtorcovariante.

Definicion 1.5.11. Sean (M,A ) y (N,B) variedades diferenciales de clase Cm conA = (Ui,Ai, ϕi) atlas de M y B = (Vr,Br, ψr) atlas de N . Sea f ∶ M Ð→ N unafuncion continua. Decimos que f es de clase Cα, con 1 ≤ α ≤ m si para toda i ∈ I,toda x ∈ Ui y para f(x) ∈ Vr para algun r, la funcion f ri = ψr f ϕ−1

i es diferenciablede clase Cα en una vecindad de ϕ(x) que sea lo suficientemente pequena para queψr f ϕ−1

i tenga sentido.

53

Capıtulo 1

Queremos definir un morfismo general Tf ∶ TM Ð→ TN . Sea f ∶ M Ð→ N unafuncion continua de clase Cα, entonces la funcion f ri = ψr f ϕ−1

i es diferenciable declase Cα en una vecindad de ϕ(x) y hace conmutar el siguiente diagrama

Uiϕi∣Ui //

f ∣Ui

Ai

fri ∣ϕ(Ui)

Vrψr ∣f(Ui)

// Br

(1.15)

Ademas, cumple la siguiente identidad

f sj = (ψs ψ−1r ) (ψr f ϕ−1

i ) (ϕi ϕ−1j ) = θNsr f ri θMij

con θMji ∶ Ai Ð→ Aj y θNsr ∶ Br≅Ð→ Bs los difeomorfismos locales de las variedades

M y N , respectivamente. Ademas, f ri induce una funcion continua Tf ri ∶ TAi∣Ui Ð→TBr∣Ui donde para cada fibra de x ∈ Ui se define (Tf ri )x(v) = (f ri )′(x)(v). DefinimosTf ∣Ui ∶ TM Ð→ TN como la composicion

TUiϕi∣Ui //

Tf ∣Ui TAi

Tfri ∣ϕi(Ui)

TVr TBr(ψr ∣f(Ui))

−1oo

Ası tenemos el siguiente diagrama conmutativo

TUiϕi //

Tf ∣Ui∩Uj

AiT θMji //

Tfri

TAj

Tfsj

TUjϕjoo

T ∣Ui∩Uj

TVrψr // TBr

TθNsr // TBs TVsψsoo

donde Tf sj = TθNsr Tf ri (θMji )−1. Utilizando el Teorema 1.3.2, esto define un unicomorfismo general Tf ∶ TM Ð→ TN .

Veamos que el funtor T covariante. Sea (P,C ) otra variedad diferenciable con atlasC = (Wk,Ck, γk) y g ∶ N Ð→ P un mapeo diferenciable, veamos que T (gf) = TgTf .Tenemos los siguientes diagramas conmutativos

Uiϕi //

f ∣Ui

g∣Vrf ∣Ui

$$

Ai

fri

gkr fri

yy

Vrψr //

g∣Vr

Br

gkr

Wk γk// Ck

54

Haces vectoriales

TUiϕi //

Tf

T (gf)

$$

TAi

Tfri

T (gkr fri )

zz

TVrψr //

Tg

TBr

Tgkr

TWk γk

// TCk

para x ∈ Ui, f(x) ∈ Vr y (g f)(x) ∈Wk. Veamos que el siguiente diagrama conmuta

TAiθMji //

Tfri

T (gkr fri )

$$

TAj

Tfsj

T (glsfsj )

zz

TBrθNsr //

Tgkr

TBs

Tgls

TCkθPlk

// TBl

Tenemos que ver que para x ∈ Ui∩Uj, f(x) ∈ Vr ∩Vs y (g f)(x) ∈Wk ∩Wl se cumpleque Tgkr Tf ri = T (gkr f ri ). Utilizando la regla de la cadena, a nivel de fibras tenemosque

(T (gkr f ri ))x(v) = ((gkr f ri )′(x))(v)= ((gkr )′((f ri )(x)) (f ri )′(x))(v)= ((Tgkr )fri (x) (Tf

ri )x)(v)

= (Tgkr Tf ri )x(v)

por lo tanto T (g f) = Tg Tf .

55

Capıtulo 1

1.6. Operaciones con haces vectoriales

Denotaremos por E a la categorıa de espacios vectoriales de dimension finita yE (X) denotara la categorıa de haces vectoriales sobre X. Si queremos ser masespecificos podemos denotarlo por Ek(X) o EC(X) o ER(X), dependiendo del campoque utilicemos.

El proposito de esta seccion es, dado un funtor continuo ϕ ∶ E Ð→ E asociarle unfuntor ϕ′ ∶ E (X) Ð→ E (X) de tal manera que podamos tener mas herramientas yejemplos de haces vectoriales.

Definicion 1.6.1. Un funtor ϕ ∶ E Ð→ E se dice continuo, si para cada par de objetos(M,N) en E0 el mapeo natural ϕM,N ∶ E (M,N) Ð→ E (ϕ(M), ϕ(N)) es continuo,respecto a la topologıa usual de espacios vectoriales de dimension finita.

Ejemplo 1.6.2. Definamos ϕ ∶ E Ð→ E por ϕ(M) = M ⊕M . Veamos que ϕ escontinua. Sean M y N espacios vectoriales con β = e1, ..., em y β′ = e′1, ..., e′n susrespectivas bases y sea f ∈ L (M,N), entonces f tiene una representacion matricialdada por las bases β y β′, como

f(e1) = α11e′1 + α21e

′2 + ... + αn1e

′n

f(e2) = α12e′1 + α22e

′2 + ... + αn2e

′n

⋮f(em) = α1me

′1 + α2me

′2 + ... + αnme′n

entonces

[f]β′β =

⎛⎜⎜⎜⎝

α11 α12 . . . α1n

α21 α22 . . . α2n

⋮ ⋮ ⋮αm1 αm2 . . . αmn

⎞⎟⎟⎟⎠

Como nuestro funtor esta definido por ϕ(M) = M ⊕ M , definimos las ba-ses β ⊕ β = ((e1,0), ..., (em,0), (0, e1), ..., (0, em)) para M ⊕ M y β′ ⊕ β′ =((e′1,0), ..., (e′n,0), (0, e′1), ..., (0, e′n)) para N ⊕N . Tenemos que ϕ(f) = f ⊕ f

Mϕ //

f

M ⊕Mf⊕f

N ϕ// N ⊕N

56

Haces vectoriales

donde

[f ⊕ f]β′⊕β′β⊕β =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

α11 α12 . . . α1n 0 0 ... 0α21 α22 . . . α2n 0 0 ... 0⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

αm1 αm2 . . . αmn 0 0 ... 00 0 ... 0 α11 α12 . . . α1n

0 0 ... 0 α21 α22 . . . α2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 ... 0 αm1 αm2 . . . αmn

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

Ası ϕ(f) se puede ver como una funcion ψ ∶ Rnm Ð→ R(n+n)(m+m), que se describecon funciones ψi,j ∶ Rnm Ð→ R con i = 1..., n + n, j = 1, ...,m +m donde

ψij(α11, . . . , α1n, α21, . . . , α2n, . . . , αm1, . . . , αmn) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

αij si 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤mαij si n + 1 ≤ i ≤ n + n y m + 1 ≤ j ≤m +m0 en otro caso

como cada ψij es continua, tenemos que ϕM,N es continua. Por lo tanto ϕ es unfuntor continuo.

⋆

Ejemplo 1.6.3. Del mismo modo que el ejemplo anterior se puede demostrar queϕ(M) =M ⊗M es un funtor continuo.

⋆

Nuestro proposito a continuacion es: dado un funtor continuo ϕ ∶ E Ð→ E , asociarleun funtor ϕ′ = ϕ(X) ∶ E (X)Ð→ E (X), que coincida con ϕ cuando X = x0.

Si E es un haz vectorial sobre X con proyeccion π ∶ E Ð→X, definiremos E′ = ϕ′(E)como la union disjunta ⊔x∈X ϕ(Ex) con proyeccion π′ ∶ ϕ′(E)Ð→X. En el siguientelema daremos a ϕ′(E) una topologıa.

Lema 1.6.4. Sean U y V abiertos en X y sea β ∶ EU Ð→ U ×M y γ ∶ EV Ð→ V ×Ndominios de trivializacion de U y V respectivamente. Sean β′ ∶ E′

U Ð→ U × ϕ(M) yγ′ ∶ E′

V Ð→ V × ϕ(N) las biyecciones inducidas por el funtor continuo ϕ′. Si damosa E′

U y E′V las topologıas inducidas por estas biyecciones, las topologıas coinciden en

E′U ∩E′

V = E′U∩V y E′

U∩V es abierto en E′U y en E′

V .

Demostracion. Primero veamos que las funciones inducidas por β y γ son biyec-ciones. Sea β′ ∶ E′

U Ð→ U × ϕ(M) definida fibra a fibra por β′x = ϕ(βx) ∶ Ex z→x × ϕ(M) ası

57

Capıtulo 1

β′ ∶ EU Ð→ U × ϕ(M)Ex z→ x × ϕ(M)

Inyectividad. Sean Ex y Ey tal que β′(Ex) = β′(Ey), entoncesx × ϕ(M) = y × ϕ(M) ası x = y. Por lo tanto Ex = Ey.

Sobreyectividad. Sea (u, v) ∈ U × ϕ(M). Como u ∈ U , entonces su fibra Eu estal que β′(Eu) = u × ϕ(M), en particular (u, v) ∈ u × ϕ(M). Por lo tanto β′ essobreyectiva.

Tenemos que β′ es biyeccion, y por argumentos similares se prueba que γ′ esbiyeccion.

Consideremos el siguiente diagrama

EU∩Vβ∣U∩V // (U ∩ V ) ×M

s

EU∩Vγ∣U∩V

// (U ∩ V ) ×N

donde s = γ∣U∩V (β∣U∩V )−1, la cual es continua, entonces por el Teorema 1.1.10tenemos la siguiente funcion continua

s ∶ U ∩ V Ð→ L (M,N)x z→ sx

Por otro lado, definimos δ ∶ U ∩ V Ð→L (ϕ(M), ϕ(M)) por δ = ϕM,N s,

U ∩ V s //

δ ((PPPPPPPPPPPPP L (M,N)ϕM,N

L (ϕ(M), ϕ(M))

Notemos que δ es continua, ya que es composicion de funciones continuas y por elTeorema 1.1.10 existe δ ∶ (U ∩ V ) × ϕ(M) Ð→ (U ∩ V ) × ϕ(N) continua que haceconmutar el siguiente diagrama

E′U∩V

β′∣U∩V // (U ∩ V ) × ϕ(M)

δ

E′U∩V γ′∣U∩V

// (U ∩ V ) × ϕ(N)

ya que

58

Haces vectoriales

δ(β′∣U∩V ) = δ(ϕMN(β∣U∩V ))= ϕM,N(γ∣U∩V (β∣U∩V )−1)(ϕM,N(β∣U∩V ))= ϕM,N(γ∣U∩V (β∣U∩V )−1 β∣U∩V )= ϕM,N(γ∣U∩V )= γ′∣U∩V .

De la misma manera se puede definir δ−1, de tal manera que la topologıa de E′U y

E′V coinciden en E′

U ∩ E′V = E′

U∩V . Ademas por la biyeccion tenemos que E′U∩V es

abierto en E′U y E′

V .

Teorema 1.6.5. Sea ϕ ∶ E Ð→ E un funtor continuo, entonces existe un morfismogeneral ϕ′ ∶ E (X)Ð→ E (X) definido por ϕ′(E) = ⊔x∈X ϕ(Ex).

Demostracion. Primero definiremos una topologıa en E′ = ϕ′(E). Sea Uii∈I unacubierta abierta X y sean βi ∶ EUi Ð→ Ui ×M dominios de trivializacion de E paracada i ∈ I. Sabemos que βi induce una biyeccion β′i ∶ E′

UiÐ→ Ui×ϕ(M). Le asociamos

a E′ la siguiente topologıa: A ⊂ E′ es abierto si y solo si A ∩E′Ui

es abierto en E′Ui

para toda i ∈ I. Veamos que es una topologıa.

1. Tenemos que ∅ y E′ esta en la topologıa pues ∅ es abierto en EUi para todai ∈ I y E′ ∩EUi = EUi es abierto en EUi para toda i ∈ I.

2. Sean Ajj∈J una coleccion finita de subconjuntos abiertos en E′, entonces paracada j ∈ J se tiene que Aj ∩EUi es abierto en EUi para cada i ∈ I. Tenemos quepara cada i ∈ I se cumple que ⋃j∈J Aj ∩ EUi es abierto en EUi y por lo tanto

⋃j∈J Aj es abierto en E′.

3. Sean Ajtj=1 una coleccion de subconjuntos abiertos en E′, entonces para cadaj = 1, ..., t se tiene que Aj ∩EUi es abierto en EUi para cada i ∈ I. Tenemos quepara cada i ∈ I se cumple que ⋂tj=1Aj ∩ EUi es abierto en EUi y por lo tanto

⋂tj=1Aj es abierto en E′.

Por lo tanto tenemos una topologıa para E′.

Veamos que esta topologıa no depende de la cubierta que tomemos. Sea Vrr∈R otracubierta abierta de X y ψr ∶ EVr Ð→ Vr ×Nr otra trivializacion , ası

EU∩Vϕi∣U∩V // (U ∩ V ) ×Mi

s

EU∩Vψr ∣U∩V

// (U ∩ V ) ×Nr

59

Capıtulo 1

donde s = ψr∣U∩V (ϕi∣U∩V )−1 entonces existe δ ∶ (Ui×Vr)×ϕ(Mi)Ð→ (Ui×Vr)×ϕ(Nr),del mismo modo podemos definir δ−1 la cual tambien sera continua,ası (Ui ∩ Vr) × Mi ≅ (Ui ∩ Vr) × Nr. Con esto van a coincidir las topologıas enUi ∩Vr. De este modo, la topologıa de E′ no dependera de la cubierta que tomemos.Tenemos que E′ es localmente trivial ya que EUi ≅ Ui × ϕ(Mi) por definicion.

Para terminar de definir el funtor ϕ′ tenemos que definir f ′ = ϕ′(f) ∶ ϕ′(E)Ð→ ϕ′(F )cuando f ∶ E Ð→ F es morfismo de haces vectoriales. Como fx ∶ Ex Ð→ Fx es unafuncion lineal entre espacios vectoriales, al aplicar el funtor ϕEx,Fx ∶ E (Ex)Ð→ E (Fx)a la funcion fx induce una funcion lineal f ′x = ϕ(fx) ∶ ϕ(Ex) Ð→ ϕ(Fx). De estemodo definimos f ′ = ϕ′(f) ∶ ϕ′(E)Ð→ ϕ′(F ) en cada fibra por la funcion f ′x = ϕ(fx)inducida por el funtor ϕ. Para ver que f ′ es continua consideremos el siguientediagrama

EUβ

≅//

f ∣U

U ×Mg

FU

δ

≅// U ×N

donde g = δ f ∣U β−1 ∶ U ×M Ð→ U ×N , entonces por el Teorema 1.1.10 existe unafuncion continua

g ∶ U Ð→ L (M,N)u z→ gu

aplicando el funtor ϕM,N tenemos

Ug //

h ''NNNNNNNNNNNNN L (M,N)ϕM,N

L (ϕ(M), ϕ(M))

donde h es continua, la cual por el Teorema 1.1.10 induce un morfismo continuoh ∶ U × ϕ(M)Ð→ U × ϕ(N), ası tenemos que

E′U

β′

≅//

f ′∣U

U × ϕ(M)

h

F ′U

δ′≅// U × ϕ(N)

donde f ′∣U = (δ′)−1 hβ′. Por lo tanto f ′∣U es continua en cada vecindad, y se sigueque f ′ es continua.

60

Haces vectoriales

1.6.1. Multifuntores continuos

Definicion 1.6.6. Sean C y C ′ dos categorıas. El producto cartesiano entrecategorıas C × C ′ consiste en parejas (A,A′), donde A ∈ C ,A′ ∈ C ′ y morfismosdados por

C ×C ′((A,A′), (B,B′)) = C (A,B) ×C ′(A′,B′)

Definicion 1.6.7. Sea C una categorıa, definimos la categorıa opuesta C o cuyosobjetos son los mismos que C , y C 0(A,B) = C (B,A).

Definicion 1.6.8. Sea C un producto de categorıas C 1, ...,C n y D cualquier cate-gorıa. Un multifuntor ϕ ∶ C Ð→ D satisface lo siguiente:

1. Para cada A ∈ C0, existe ϕ(A) ∈ D0,

2. Para cada α ∈ C (A,B), existe ϕ(α) ∈ D(ϕ(A), ϕ(B)),

3. Existe una funcion ψ ∶ 1, ..., n Ð→ id, op, donde id es el funtor identidad,y op es el funtor opuesto, con

C ∶= ψ(1)(C 1) ×⋯ × ψ(n)(C ) y αi ∶= ψ(i)(αi)

para cada morfismo αi ∈ C i1 con i = 1, ..., n, tal que el funtor ϕ ∶ C Ð→ D dado

por

ϕ(A) = F (A) y F (α1, ..., αn) = ϕ(α1, ..., αn)

es un funtor covariante.

Se dice que este es un multifuntor continuo si la funcion C (A,B) Ð→D(ϕ(A), ϕ(B)) es continua.

Consideremos ϕ ∶ E × E Ð→ E un funtor continuo, y queremos definir ϕ′ ∶ E (X) ×E (X)Ð→ E (X). Sean E y F haces vectoriales sobre X, entonces definimos

ϕ′(E,F ) = ⊔x∈X

ϕ(Ex, Fx).

Con esto, podemos obtener una generalizacion del Lema 1.6.4 como se enuncia acontinuacion.

Lema 1.6.9. Sean E y F haces vectoriales sobre X. Sean U y V abiertos de X yconsideremos β ∶ EU Ð→ U ×M y γ ∶ EV Ð→ V ×N trivializaciones de E sobre U yV respectivamente, tambien consideremos β′ ∶ FU Ð→ U ×M ′ y γ′ ∶ FV Ð→ V ×N ′

trivializaciones de F sobre U y V . Sean

ϕ′(β, γ) ∶ ϕ(EU , FV )Ð→ U × ϕ(M,M ′)ϕ′(β, γ) ∶ ϕ(FU , FV )Ð→ U × ϕ(N,N ′)

61

Capıtulo 1

las biyecciones inducidas por las fibras

(Ex, Fx)ϕ //

(βx,γx)

ϕ(Ex, Fx)ϕ(βx,γx)

(M,N) ϕ// ϕ(M,N)

Si damos a ϕ′(EU , FU) y ϕ′(EV , FV ) las topologıas inducidas por estas biyecciones te-nemos que las dos topologıas coinciden en ϕ′(EU , FU)∩ϕ′(EV , FV ) = ϕ′(EU∩V , FU∩V )y ademas son abiertos en ϕ′(EV , FV ) y en ϕ′(EU , FU).

La demostracion es similar a la del Lema 1.6.4.

Utilizando el Lema 1.6.9 podemos asociarle una topologıa a ϕ′(E,F ) la cual esinducida por la biyeccion con ⊔x∈X ϕ(Ex, Fx). Mas aun para cada fibra en x ∈ Xtenemos que (ϕ′(E,F ))x = ϕ(Ex, Fx) es un espacio vectorial, de este modo tenemossiguiente resultado.

Teorema 1.6.10. Sea ϕ ∶ E ×E Ð→ E un funtor continuo, entonces existe un funtorϕ′ ∶ E (X) × E (X)Ð→ E (X) definido por ϕ′(E,F ) = ⊔x∈X ϕ(Ex, Fx).

Se demuestra de la misma manera que el Teorema 1.6.5.

Ejemplo 1.6.11. Sean E y F haces vectoriales sobre X con proyecciones π ∶ E Ð→Xy π′ ∶ F Ð→X. Tenemos que el funtor ϕ ∶ E ×E Ð→ E definido por ϕ(M,N) =M⊕Nes continuo, ası tenemos un morfismo general ϕ′ ∶ E (X) × E (X) Ð→ E (X) definidopor ϕ′(E,F ) = ⊔x∈X(Ex ⊕ Fx).

Veamos que el haz vectorial E ⊕ F es igual a E ×X F . Tenemos que

E ×X F = (e, e′) ∈ E × F ∣π(e) = π′(e′)= ⊔

x∈X

(Ex × Fx)

= ⊔x∈X

(Ex ⊕ Fx)

= E ⊕ F

ası tenemos definido el haz E ⊕ F sobre X. Este haz es llamado el haz suma deWhitney para los haces E y F sobre X.

Debido a que la suma directa para espacios vectoriales se satisfacen que E⊕F ≅ F⊕Ey (E⊕, F⊕) ⊕ G ≅ E ⊕ (F ⊕ G) para E,F y G espacios vectoriales, es decir, lasuma directa para espacios vectoriales satisface la conmutatividad y la asocia-tividad. Entones estas propiedades son heredadas para la suma de Whitney, esdecir, para E,F,G ∈ E (X) se cumple que E⊕F ≅ F ⊕E y (E⊕F )⊕G ≅ E⊕(F ⊕G).

62

Haces vectoriales

⋆

Ejemplo 1.6.12. Sea ϕ ∶ Ek × Ek Ð→ Ek definido por ϕ(M,N) = M ⊗k N . Comoϕ es continuo, tenemos que existe ϕ(X)(E,F ) = E ⊗ F = ⊔x∈X Ex ⊗k Fx, llamadoproducto tensorial de E y F . De igual manera tenemos que E ⊗ F ≅ F ⊗ E,(E ⊗ F )⊗G ≅ E ⊗ (F ⊗G).

⋆

Ejemplo 1.6.13. Sean E ∈ E (X) y F ∈ E (Y ). Definimos la suma externa deWhitney de E y F como el haz vectorial E⊞F enX×Y , donde E⊞F = π∗1(E)⊕π∗1(E)con π1 ∶X×Y Ð→X y π2 ∶X×Y Ð→ Y , con fibras definidas por (E⊞F )(x,y) = Ex⊕Fx.

⋆

63

Capıtulo 1

1.7. Secciones sobre un haz vectorial

Sea ζ = (E,π,X) un haz vectorial. Una una seccion es una funcion continua

s ∶X Ð→ E

tal que π s ∶X Ð→X es la aplicacion identidad.

Figura 1.8: Seccion de un haz vectorial

Ejemplo 1.7.1. Un caso trivial es tomar la funcion

s ∶X Ð→ E

x z→ s(x) = 0 ∈ Ex

donde 0x es el neutro del espacio vectorial Ex. Esta es llamada seccion trivial oseccion cero.

⋆

Sea ζ = (E,π,X) un haz vectorial y sea s una seccion

s ∶X Ð→ E

x z→ s(x) ∈ Ex

64

Haces vectoriales

Si U es un dominio de trivializacion de X via φ ∶ E∣U≈Ð→ U ×M , para x ∈ X existe

un morfimo U Ð→ U ×M definido como x z→ (x, s1(x)) donde s1 = φ s ∶ U Ð→Mtal que hace conmutar el siguiente dirgrama

E∣Us

φ // U ×M

Uφ′

::vv

vv

v

Luego si E =X ×M es el haz trivial se define la seccion como

s ∶X Ð→ E

x z→ (x, s1(x))

donde s1 ∶ X Ð→ M es una funcion continua. Recıprocamente, dada una funcioncontinua s1 ∶X Ð→M , podemos construir la seccion

s ∶X Ð→ X ×Mx z→ (x, s1(x))

la cual es continua porque en la primera entrada es la identidad de X y en la segundaes la funcion s1.

Definicion 1.7.2. Consideremos un conjunto de n secciones continuas del haz vecto-rial E sobre X, esto es, si ∶X Ð→ E∣ si es una seccion continuani=1. Las seccionesson llamadas linealmente independientes si s1(x), ..., sn(x) son linealmente in-dependientes en cada punto x ∈X.

Ejemplo 1.7.3. Consideremos el haz vectorial E = S1 ×R sobre S1. Veamos cuantassecciones linealmente independientes puede tener el haz vectorial E. Sea

s ∶ S1 Ð→ S1 ×Rz z→ (z, s1(z))

donde s1(z) ≠ 0 para toda z ∈ S1. Esta seccion es linealmente independiente ya queEz ≈ R y estamos tomando un vector s1(z) ∈ R . Ahora consideremos s′ ∶ S1 Ð→ S1×Rdonde z z→ (z, s2(z)), ahora tenemos s1(z), s2(z) ∈ Ez, pero este es un espaciovectorial de dimension uno, asi que s1(z), s2(z) es linealmente dependiente y estehaz vectorial solo puede tener una seccion linealmente independiente.

⋆

Observacion. 1.7.4. Consideremos s1, s2, ..., sn secciones continuas del haz vectorialE sobre X, y consideremos la siguiente funcion continua

65

Capıtulo 1

α ∶X × kn Ð→ E

(x,λ1, ..., λn) z→n

∑i=1

λisi(x)

donde x ∈ X y λ1, ..., λn ∈ k y la suma esta en el espacio vectorial Ex. Si el rango deE es igual a n, entonces α es un isomorfismo de haces ya que α es continua y paracada x ∈X

αx ∶ kn≈Ð→ Ex

es un isomorfismo.

De igual manera si α ∶ X × kn Ð→ E es un isomorfismo, tenemos los isomorfismosαx ∶ kn Ð→ Ex para cada x ∈ X. Como kn es un espacio vectorial de dimensionn, entonces existen u1, ..., un ∈ kn vectores linealmente independientes que son unabase. Sabemos que Ex tiene dimension n, ası αx(u1), ..., αx(un) son base de Expara cada x ∈ X. Ası definimos las funciones si ∶ X Ð→ E donde si(x) = αx(ui)para i = 1, ..., n y x ∈ X, mas aun, son continuas ya que α es continua. Tambienπ si = Id para cada i = 1, ..., n, entonces si es seccion de E. El conjunto s1, ..., snes linealmente independiente, ya que s1(x), ..., sn(x) = αx(u1), ..., αx(un) y estees linealmente independiente para cada x ∈X.

Ejemplo 1.7.5. Sea Sn la n-esfera unitaria en Rn+1, y sea TSn =(x, v) ∈ Sn ×Rn+1∣⟨x, v⟩ = 0 el haz tangente con proyeccion π = pr1∣TSn ∶ Sn ×Rn+1 Ð→ Sn. A demas, como dimR(⟨x⟩) = 1 se tiene que dimR(⟨x⟩⊥) = n y por lotanto TxSn ≅ Rn. Una seccion sobre TxSn es de la forma

s ∶ Sn Ð→ TSn

x z→ (x, v)

donde v ∈ TxSn y ⟨v, x⟩ = 0.

⋆

Existen diferentes herramientas para saber cuantas secciones linealmente indepen-dientes de TSn se pueden definir. Si deseamos estudiar el numero de seccioneslinealmente independientes sobre Sn podemos utilizar herramientas de geometrıadiferencial tales como el Teorema de Poncare-Hopf y la caracterıstica de Euler. Paraello veremos dos casos.

Caso n par. Del capıtulo 2 de [15] se se sigue que la caracterıstica de Euler de laesfera Sn es

66

Haces vectoriales

χ(Sn) =n

∑k=0

(−1)kdimHk(Sn,Z)

donde Hk(Sn,Z) es el k-esimo grupo de homologıa. Como Hk(Sn,Z) = 1 para k = 0, ny Hk(Sn,Z) = 0 para k ≠ 0, n se tiene que

n

∑k=0

(−1)kdimHk(Sn,Z) = 1 + (−1)n

= 2 ya que n es par.

Por otro lado, cada seccion s ∶ Sn Ð→ TSn define un campo vetorial ya que a cadapunto x ∈ Sn le asociamos un vector v ∈ TxSn ⊆ Rn tal que ⟨x, v⟩ = 0. Utilizando elTeorema de Poincare-Hopf ([15]) se tiene

∑ indxi(s) = χ(Sn) = 2 ≠ 0

de modo que existe x ∈ Sn tal que s(x) = 0, entonces no existen secciones linealmenteindependientes en TSn para n par.

Caso n impar. Como n es impar entonces n = 2m−1 para algun m ∈ Z, ademas comoSn = S2m−1 ⊂ R2m se tiene que cualquier x ∈ Sn es de la forma x = (x1, x2, ..., x2m).Siempre es posible construir una seccion linealmente independiente de TSn. Entoncesconsideremos la siguiente funcion continua

s ∶ Sn Ð→ TSn

x = (x1, x2, . . . , x2m) z→ (x, v)

donde v = (x2,−x1, x4,−x3, . . . , x2m,−x2m−1) ∈ Ex. Notemos que ⟨x, v⟩ = 0, ya que

⟨x, v⟩ = x1x2 − x1x2 + ... + x2m−1x2m − x2m−1x2m

= 0

De modo que v ∈ TxS2m−1 con v ≠ 0, para toda x ∈ S2m−1, entonces s es una seccionlinealmente independiente sobre TSn.

Ejemplo 1.7.6. Caso n = 1. Sea x = x1 + ix2 ∈ S1, vemos que

s ∶ S1 Ð→ TS1

x1 + ix2 z→ (x1 + ix2, ix2 − x1)

es una seccion sobre TS1. En efecto, sea x1 + ix2 ∈ S1 entonces

(π s)(x1 + ix2) = π(x1 + ix2, ix2 − x1)= x1 + ix2

67

Capıtulo 1

esto es, π s = IdS1 y tambien tenemos que

⟨x1 + ix2, ix2, x1⟩ = ix1x2 − ix1x2

= 0.

Por lo tanto s es una seccion no nula para S1.

⋆

Ejemplo 1.7.7. Caso n = 3. Sea x = x1 + ix2 + jx3 + kx4 ∈ S3, y consideremos lassecciones

s1(x) = ix = −x2 + ix1 − jx3 + kx4

s2(x) = jx = −x3 + ix4 + jx1 − kx2

s3(x) = kx = −x4 − ix3 + jx2 + kx1

donde es facil verificar que s1, s2, s3 son linealmente independientes. Ası tenemostres secciones linealmente independientes sobre S3.

⋆

Sea ρ(n) = numero de secciones linealmente independientes en Sn. De resultados delcapıtulo 5 de [16] se obtiene la siguiente tabla

n 1 2 3 4 5 7 9 10ρ(n) 1 0 3 0 1 7 1 0

ası que tenemos que α ∶ Sn × kn Ð→ TSn es un isomorfimo para n = 1,3,7.

1.7.1. Espacio de secciones

Definicion 1.7.8. Sea ζ = (E,π,X) un haz vectorial. Denotamos por

Γ(X,E) = s ∶X Ð→ E∣π s = IdX , s es continua

el espacio de secciones de E.

Tenemos que Γ(X,E) es un k-espacio vectorial definiendo la suma para s, f ∈ Γ(X,E)como

(s + f)(x) = s(x) + f(x)y el producto para s ∈ Γ(X,E) y λ ∈ k como

(λs)(x) = λs(x)

68

Haces vectoriales

Ejemplo 1.7.9. Consideremos X = S1 y E = S1 ×R un haz trivial, tenemos que

Γ(X,E) ≅ Map(S1,R)

donde Map(S1,R) es el espacio de funciones continuas f ∶ S1 Ð→ R, o bien, esequivalente a una funcion f ∶ [−π,π]Ð→ R que es 2 π-periodica.

⋆

Sea ι ∶ Y Ð→X una funcion continua, entonces tenemos una aplicacion k-lineal

Γ(X,E) Ð→ Γ(Y, ι∗(E))(s ∶X Ð→ E) z→ (s ∶ Y Ð→ Y ×X E)

(y z→ (y, (s ι)(y)))

Consideremos ι ∶ Y Ð→ X la inclusion. En este caso ι∗(E) = E∣Y ası tenemos unaaplicacion

Γ(X,E) Ð→ Γ(Y,E∣Y )(s ∶X Ð→ E) z→ (s = s∣Y ∶ Y Ð→ E∣Y )

Notemos que la aplicacion no siempre es sobreyectiva, esto se ejemplifica como sigue.

Ejemplo 1.7.10. Consideremos X = R, E = R × R el haz trivial y Y = R − 0.Entonces una aplicacion

F ∶ Γ(R,R ×R)Ð→ Γ(R − 0 ,R − 0 ×R)que es equivalente a dar una aplicacion F ′ ∶ Map(R,R) Ð→ Map(R − 0 ,R). Con-sideremos f(x) = 1/x con f ∈ Map(R − 0 ,R) y notemos que no existe funcioncontinua g ∈ Map(R,R) tal que F ′(g) = f ya que f no esta definida en 0.

⋆

Teorema 1.7.11. Si X es paracompacto y Y ⊂X es un subespacio cerrado, entoncesla aplicacion restriccion

η ∶ Γ(X,E)Ð→ Γ(Y,E∣Y )

es sobreyectiva.

Esta demostracion la veremos en tres partes:

1. Si E es un haz trivial, es decir, E =X ×M ;

2. Si E es isomorfo a un haz trivial, esto es, E ≅X ×M ;

3. Caso El caso general.

69

Capıtulo 1

Demostracion.Caso E es un haz trivial. Sea E = X ×M , entonces tenemos que Γ(X,X ×M) ≅Map(X,M), ası para una seccion s ∈ Map(X,M) es de la forma s(x) = (x, s1(x)).Recordemos el Teorema de Tietze

Teorema 1.7.12. Si X es un espacio topologico normal y f ∶ Y Ð→ M es unafuncion continua donde Y ⊂ X cerrado. Entonces existe una funcion continua F ∶X Ð→M tal que F (a) = f(a) para toda a ∈ Y .

Como X es paracompacto y Hausdorff, entonces X es normal. Para una funcioncontinua f ∶ Y Ð→ M tenemos que existe una funcion F ∶ X Ð→ M continua. Demodo que para una seccion s ∈ Γ(Y,Y ×M), definida por x z→ (x, s1(x)), existeS ∈ Γ(X,X ×M) tal que S(x) = (x, s1(x)) para toda x ∈ Y . Por lo tanto η essobreyectiva.

Caso E es isomorfo a un haz trivial. Supongamos ϕ ∶ E Ð→X×M es un isomorfismo,entonces tenemos un isomorfismo

ϕ′ ∶ Γ(X,E)Ð→ Γ(X,X ×M)

De tal manera que el siguiente diagrama es conmutativo

Γ(X,E) ϕ′

≅//

Γ(X,X ×M)

s //_

(ϕ s)_

s∣Y // ϕ s∣Y = (ϕ s)∣Y

Γ(Y,EY )(ϕ∣Y )′

≅ // Γ(Y,Y ×M)

Utilizando el caso anterior, sea f ∈ Γ(X,EY ) vemos que para (ϕ∣Y )′(f) ∈ Γ(Y,Y ×M)existe F ∈ Γ(X,X ×M) tal que F (x) = (ϕ∣Y )′(f)(x) = (ϕ∣Y f)(x) para toda x ∈ Y .Ası (ϕ′)−1(F ) ∈ Γ(X ×E) y cumple que

(ϕ′)−1(F )(x) = (ϕ−1 F )(x)= ϕ−1 (ϕ∣Y f)(x)= f(x)

para toda x ∈ Y . Por lo tanto η es sobreyectiva.Caso general. Sea Uii∈I una cubierta de trivializacion para ζ. Debido a que X esparacompacto podemos suponer que Uii∈I es localmente finita. Ası tenemos queE∣Ui ≅ Ui ×M para cada i ∈ I. Debido a que X es normal existe Vii∈I una cubierta

70

Haces vectoriales

abierta de X tal que V i ⊂ Ui, de esta manera definimos Ti = V i ∩ Y para cada i ∈ I.

Sea t ∶ Y Ð→ E∣Y una seccion. Veremos que a partir de una seccion t restringida acada Ti definiremos secciones si sobre V i ⊇ Ti.

Como V i ⊂ Ui se tiene que E∣V i es isomorfo a un haz trivial. Luego como Ti = V i ∩Yes cerrado, existe una seccion si ∶ V i Ð→ E∣V i tal que

si∣Ti=V i∩Y = t∣Tipor el segundo inciso. Como esto se cumple para cada i ∈ I, tenemos una familia desecciones si ∶ V i Ð→ E∣V i .

Sea αi ∶X Ð→ [0,1]i∈I una particion de la unidad subordinada a la cubierta Vii∈I ,es decir que,

supp(αi) = x ∈X ∣αi(x) ≠ 0 ⊆ ViDonde para cada x ∈X existe una vecindad en que solo un numero finito de αi’s sondiferentes de cero y

∑i∈I

αi(x) = 1

Sea s′i ∶X Ð→ E dado por

s′i(x) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

αi(x)si(x) si x ∈ V i

0 si x ∉ V i

las cuales son continuas y no identicamente cero en un numero finito de Vi’s. Defini-mos s ∶X Ð→ E una seccion de ζ por

s(x) =∑i∈I

s′i(x)

La continuidad se sigue del hecho de que para cada x ∈ X hay una cantidad finitade Vi’s donde s′i son no identicamente cero, es decir, la suma sobre un numero finitode terminos.

Ademas, para x ∈ Y

s(x) = ∑i∈I

αi(x)si(x)

= ∑i∈I

αi(x)t(x)

= t(x)∑i∈I

(αi(x))

= t(x)

71

Capıtulo 1

Teorema 1.7.13. Los funtores

E opk (X) × Ek(X) Ð→ Vect

(E,F ) z→ Hom(E,F )(E,F ) z→ Γ(X,Hom(E,F ))

son isomorfos.

Demostracion. Veamos que Hom(E,F ) ≅Ð→ Γ(X,Hom(E,F )). Sea α ∈Hom(E,F ), entonces tenemos el siguiente diagrama

E

@@@@@@@@α // F

~~~~~~~~~~

X

Demostremos que α es continua y que para cada x ∈ X, αx ∶ Ex Ð→ Fx es lineal.Consideremos s ∈ Γ(X,Hom(E,F )), entonces s(x) ∈ Hom(E,F )x ≅ Hom(Ex, Fx),por lo tanto s(x) ∶ Ex Ð→ Fx es lineal, ası tenemos que

Hom(E,F ) Ð→ Γ(X,Hom(E,F ))(α ∶ E Ð→ F ) z→ (s ∶X Ð→ Hom(E,F ))

xz→ s(x) = αx ∶ Ex Ð→ Fx

Mostremos que s ∶X Ð→ Hom(E,F ) es continua. Sea U un dominio de trivializacionpara E y F , consideremos el siguiente diagrama

U ×M g //___ U ×N

E∣U

≅β

OO

α∣U // F ∣U

≅ γ

OO

con g ∶ U ×M Ð→ U ×N definido por g = γ α∣U β−1. Por el Teorema 1.1.10 existe g ∶U Ð→L (M,N) continua. De modo que podemos identificar g con s∣U(x) = (x, g(x))la cual es continua.

Hom(E,F ) //

U ×L (M,N)

U

s

66llllllll

El recıproco es analogo.

Proposicion 1.7.14. Sean E y F haces sobre X y Y , con Y ⊂ X cerrado y para-compacto tal que el siguiente diagrama conmuta

72

Haces vectoriales

E∣YαY //

!!BBBBBBBBF ∣Y

||||||||

Y

donde αY es un morfismo de haces vectoriales. Entonces existe α ∶ E Ð→ F tal queα∣Y = αY .( α es una extension de αY a X).

Demostracion. Utilizando el Teorema 1.7.13 y por hipotesis Y ⊂ X es cerrado,para x ∈ Γ(Y,Hom(E∣Y , F ∣Y )) ≅ Hom(E∣Y , F ∣Y ). Entonces por el Teorema 1.7.11existe α ∈ Γ(X,Hom(E,F )) ≅ Hom(E,F ), donde α∣Y = αY .

La condicion de que Y sea cerrado en X es necesaria ya que puede ocurrir lo siguiente.

Ejemplo 1.7.15. Consideremos X = S1, Y = S1−1, y consideramos el haz vectorialE = S1 ×R/ ∼ sobre S1 (la banda de Mobius), donde (1, x) ∼ (1,−x) para toda x ∈ R.Tambien consideremos F = S1 ×R como haz vectorial sobre X. Notemos que existeun isomorfismo αY ∶ E∣Y Ð→ F ∣Y dado por α(x, y) = (x, y) tal que hace conmutar elsiguiente diagrama

E∣YαY //

!!BBBBBBBBF ∣Y

||||||||

Y

pero no existe un isomorfismo α ∶ E Ð→ F . Si suponemos que existe un isomorfismoα ∶ E Ð→ F , para (1, x) ∈ S1 ×R/ ∼ se tiene que

α(1, x) = α((1, x2) + (1, x

2))

= α((1, x2) + (1,−x

2)) ya que (1, x

2) ∼ (1,−x

2)

= α(1,0) = 0

Esto ocurre para toda (1, x) ∈ S1 × R/ ∼ con x ∈ R. Por lo tanto no existe unisomorfismo α ∶ S1 ×R/ ∼Ð→ S1 ×R ya que S1 − 1 es abierto en S1.

⋆

Proposicion 1.7.16. Sea X un espacio paracompacto y Hausdorff, Y ⊂ X cerradoy sean E y F haces vectoriales definidos sobre X. Supongamos que αY ∶ E∣Y Ð→ F ∣Yes un isomorfismo, entonces existe un abierto V de Y tal que

α∣V ∶ E∣V Ð→ F ∣V

es un isomorfismo.

73

Capıtulo 1

Demostracion. Definimos

V = x ∈X ∣αx ∶ Ex≅Ð→ Fx es isomorfismo

donde αx = (αY )x, entonces Y ⊆ V ya que para toda x ∈ Y se tiene que αx es unisomorfismo.

Mostremos que V es abierto en X, sea x ∈ V , entonces existe Wx abierto tal que esdominio de trivializacion, es decir, E∣Y ≅ F ∣Y ≅Wx × kn. De modo que tenemos

Wx × knβx //___ Wx × kn

E∣Wx

≅ ϕ

OO

α∣Wx // F ∣Wx

≅ψ

OO

donde β = ψ α∣Wx (ϕ)−1. Por el Teorema 1.1.10 existe

βx ∶Wx Ð→L (kn, kn)

continua. Por lo tanto

V ∩Wx = v ∈Wx∣βx(x) ∈ Iso(kn, kn)= (βx)−1(Iso(kn, kn))

como Iso(kn, kn) es abierto y βx es continua, tenemos que V ∩Wx es abierto en Wx.Como Wx es abierto en X, tenemos que V ∩Wx es abierto en X para cada x ∈ X.Por lo tanto V = ⋃x∈V Wx ∩ V es abierto en X.

Finalmente α∣V ∶ E∣V Ð→ F ∣V es isomorfismo donde la continuidad se da por larestriccion al abierto V . Como es biyectiva fibra a fibra tenemos que α∣Y = αY .

Proposicion 1.7.17. Sea X un espacio topologico paracompacto, α ∶ E Ð→ F unmorfismo entre haces vectoriales E y F sobre X. Si αx ∶ Ex Ð→ Fx es sobreyectivapara cada x ∈ X, entonces existe un morfismo β ∶ F Ð→ E tal que α β ∶ F Ð→ F esla identidad.

Demostracion. Sea x ∈X y sea U un dominio de trivializacion para E y F , entoncestenemos el siguiente diagrama

U ×N θ //___ U ×M

E∣U

≅

OO

α∣U

ϕ// FU

≅ψ

OO

74

Haces vectoriales

donde θ = ψ α∣U (ϕ)−1, entonces por el Teorema 1.1.10 existe θ ∶ U Ð→L (M,N)continua. De modo que para x ∈ U se tiene que θ(x) ∶ M Ð→ N es sobreyectiva.Ası podemos reescribir

M = N ⊕Ker θ(x)

luego, para y ∈ U , tenemos que

θ(y) ∶ N ⊕Ker θ(x) Ð→ N

(nk) z→ (θ1(y) θ2(y))(

nk)

donde (θ1(y) θ2(y)) es la matriz asociada a la transformacion θ(y) y θ1, θ2 funcionescontinuas.Observemos que si y = x se tiene que θ1(x) = Id y θ2(x) = 0.

Luego como θ1 ∶ U Ð→ Aut(N) ⊂ End(N) es continua, definimos

Vx = θ−11 (Aut(N)) ⊂ U

el cual es abierto. Sea θ′x ∶ Vx Ð→ E (N,M) representado por

(θ1(y)−1

0)

la cual es continua, de modo que tenemos

Vx ×Nθ′x // Vx ×M

F ∣Vx

≅ψ

OO

β∣Vx // E∣Vx

≅ ϕ

OO

donde α∣Vx β∣Vx = Id∣F ∣Vx.

Variando x ∈ X, tomamos una cubierta abierta localmente finita Vi de X y susrespectivos morfismos

βVi ∶ F ∣Vi Ð→ E∣Vrtal que

α∣Vi β∣Vi = Id∣F ∣Vi.

Sea (ηi) una particion de la unidad subordinada a Vi y

β ∶ F Ð→ E

e z→ ∑i∈I, e∈Ex

ηi(x)βi(e)

75

Capıtulo 1

donde ηi(x)βi(e) es continua, y para cada x ∈ X la suma es finita, entonces β escontinua.

Ademas

(α β)(e) = ∑i∈I

ηi(x)(α βi)(e)

= ∑i∈I

ηi(x)e

= e

Proposicion 1.7.18. Sea E un haz vectorial sobre un espacio compacto X. Entoncesexiste un haz vectorial E′ tal que E ⊕E′ es isomorfo a un haz trivial.

Demostracion. Sea Uiri=1 una cubierta abierta finita de X tal que EUi ≈ Ui×kni ysea ηi una particion de la unidad asociada a Uiri=1. De acuerdo con la observacion1.7.4 existen ni secciones linealmente independientes s1

i , s2i , ...s

nii de EUi .

Consideremos las extensiones ηis1i , ..., ηis

nii donde

ηisi(x) = ηi(x)si(x) si x ∈ Ui0 si x ∉ Ui

con j = 1, ..., ni. Las cuales son continuas y tenemos que ver que sean linealmenteindependientes en EVi , donde Ui ⊃ Vi = η−1(0,1], para i = 1, ..., r.

Tenemos que ∑nij=1 λj(ηis

ji)(x) = ∑ni

j=1 λjηi(x)sji(x) con λi ∈ k, es linealmente

independiente en EVi , ya que s1i , s

2i , ...s

nii es linealmente independiente.

Sea αji = ηisji ∶ X Ð→ E. Entonces los vectores αji (x) generan a Ex como espacio

vectorial y por observacion 1.7.4 tenemos el morfismo

α ∶ T =X × kn Ð→ E

con n = ∑ri=1 ni, tal que αx ∶ Tx Ð→ Ex es sobreyectivo en cada x ∈X. De acuerdo con

la Proposicion 1.7.17 existe un morfismo β ∶ E Ð→ T tal que α β = IdE. Notemosque p = β α es una proyeccion ya que

(β α) (β α) = β (α β) α= β IdE α= β α

Sea E′ el kernel de p. Como E (X) es una categorıa aditiva (Se demostrara masadelante en Lema3.1.11) y E ≈ Ker (1 − p) entonces T = E ⊕E′

76

Capıtulo 2

Teorıa de homotopıa de hacesvectoriales

2.1. Homotopıa

Sean A1,A2, ...,An conjuntos, definimos la proyeccion natural en la i-esima en-trada por

pri ∶ A1 ×A2 × ... ×Ai × ... ×An Ð→ Ai

(a1, a2, ..., ai, ..., an) z→ ai

notemos que si A1,A2, ...,An son espacios topologicos y A1 × A2 × ... × Ai × ... × Antiene la topologıa producto, la proyeccion natural en la i-esima entrada es una funcioncontinua.

Teorema 2.1.1. Sea X un espacio compacto y sea E un haz vectorial sobre X × Icon proyeccion π ∶ E Ð→X × I, donde I = [0,1]. Sean

αt ∶X Ð→ X × Ix z→ (x, t)

y

κ ∶X × I Ð→ X

(x,u) z→ x

ası para cada t ∈ I tenemos un haz vectorial E0 = α∗0(E) sobre X. De las hipotesisse sigue que existe Et = α∗t (E) = (x, e) ∈X ×E ∣ αt(x) = π(x) para toda t ∈ [0,1].

Et = α∗t (E)pr1∣Et

E

π

X αt

// X × I

Entonces los haces vectoriales E0 = α∗0(E) y E1 = α∗1(E) son isomorfos donde α∗t (E)es el haz vectorial inducido por αt ∶X Ð→X × I definido en 1.1.12.

77

Capıtulo 2

Demostracion. Demostraremos que κ∗(Et0)∣X×t0 ≅ E∣X×t0. Para cada t0 ∈ Itenemos el siguiente diagrama

κ∗(Et0)pr2∣κ∗(Et0 ) //

pr1∣κ∗(Et0 )

Et0pr1∣Et0

// E

π

X × I κ // X αt0

// X × I

donde Et0 = (x, e) ∈X ×E∣αt0(x) = π(x). Entonces

κ∗(Et0) = ((x,u), (x′, e)) ∈ (X × I) ×Et0 ∣ κ(x,u) = pr1(x′, e)= ((x,u), (x′, e)) ∈ (X × I) ×Et0 ∣ x = x′= ((x,u), (x, e)) ∈ (X × I) ×Et0= ((x,u), (x, e)) ∈ (X × I) × (X ×E) ∣ π(e) = αt0(x)= ((x,u), (x, e)) ∈ (X × I) × (X ×E) ∣ π(e) = (x, t0) ∶= A≅ ((x,u), e) ∈ (X × I) ×E ∣ π(e) = (x, t0) ∶= B

Veamos que este ultimo es isomorfismo, esto es, A ≅ B. Se tiene que

α = pr1 × pr2 × pr3 ∶ (X × I) × (X ×E) Ð→ (X × I) ×E((x,u), (x′, e)) z→ ((x,u), e)

es continua, entonces α∣A ∶ A Ð→ (X × I) × E es continua. Dado que α(A) ⊆ Btenemos que α′ ∶= α∣A ∶ AÐ→ B es continua.

Por otra parte

β = pr1 × pr2 × pr1 × pr3 ∶ (X × I) ×E Ð→ (X × I) × (X ×E)((x,u), e) z→ ((x,u), (x, e))

es continua, entonces β∣B ∶ B Ð→ (X×I)×(X×E) es continua. Dado a que β(B) ⊆ Atenemos que β′ ∶= β∣B ∶ B Ð→ A es continua. Ası β′ α′ = Id y α′ β′ = Id, entoncesA ≅ B.

Tomando la restriccion en X × t0 nos queda que

κ∗(Et0)∣X×t0 = ((x,u), e) ∈ (X × I) ×E ∣ π(e) = (x, t0) ∣t0= ((x, t0), e) ∈ (X × t0) ×E ∣ π(e) = (x, t0)

= (π(e), e) ∈ (X × t0) ×E def∶= C

La proyeccion

σ = pr3 ∶ (X × t0) ×E Ð→ E

((x, t0), e) z→ e

78

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

es continua, entonces la restriccion σ∣C ∶ C × E Ð→ E es continua. Dado queσ(C) ⊆ E∣X×t0 tenemos que σ′ ∶= σ∣C ∶ C Ð→ E × t0 es continua.

Por otra parte, consideremos la funcion continua

τ = π × Id ∶ E Ð→ (X × I) ×Ee z→ (π(e), e)

Dado que π(e) es de la forma (x, t0) para toda x ∈ X entonces τ(E∣X×t0) ⊂ C,ası τ ′ = τ ∣E∣X×t0

∶ E∣X×t0 Ð→ C es continua. Notemos que τ ′ σ′ = Id y σ′ τ ′ = Id,

de modo que E∣X×t0 ≅ C y por lo tanto κ∗(Et0)∣t0 = E∣X×t0.Sabemos que X×I es compacto, en particular es paracompacto y tenemos que X×tes cerrado en X × I, ademas tenemos un isomorfismo de haces κ∗(Et0)∣X×t0

≅Ð→E∣X×t0, entonces por la Proposicion 1.7.16 existe una vecindad abierta V en X × Icon X × t ⊆ V tal que

E∣V≅Ð→ κ∗(Et)∣V .

Notemos que V contiene un conjunto de la forma X × U donde U es una vecindadde t ∈ I. Como V es abierto, se puede expresar como union de abiertos, ası V =⋃j∈J(Uj × Vj) donde Uj es abierto en X y Vj es abierto en I para cada j ∈ J . ComoX × t es compacto, y

X × t ⊆ V = ⋃j∈J

(Uj × Vj)

entonces existe una subcubierta finita Uj × Vjnj=1 tal que V ⊇ Uj × Vjnj=1 ⊇X×t.Sea V ′ = ⋂nj=1 Vi, entonces V ′ es abierto en I y ademas

X × t ⊆n

⋃j=1

Uj × V ′ ⊆n

⋃j=1

(Uj × Vj) ⊆ V

por lo tanto V ′ es una vecindad de t ∈ I, ası dado t0 ∈ I existe una vecindad V ′ de t0tal que

κ∗(E)∣X×V ′ ≅ E∣X×V ′

Notemos que para cada t0 ∈ I fijo existe una vecindad U de t0 tal que Eu0 ≅ Et0 paracada u0 ∈ U .

En efecto, para cada u0 ∈ U tenemos el diagrama conmutativo

Eu0pr2

≅//

pr1

E∣X×u0pr2

≅//

π

κ∗(Et0)∣X×u0≅ //

pr1

Et0

pr1

Xαu0 // X × u0 X × u0 κ // X

note que los morfismos pr2 son isomorfismos pues

Eu0 = (x, e) ∈X ×E∣π(e) = (x,u0)≅Ð→ E∣X×u0

79

Capıtulo 2

y

κ∗(Et0)∣X×u0 = ((x,u0), (x, e)) ∈ (X × u0) ×Et0≅Ð→ Et0

Tenemos que Eu0 ≅ Et0 para todo u ∈ U donde t0 ∈ U y dado que I es compacto yconexo por lo tanto E0 ≅ E1.

Teorema 2.1.2. Sea X un espacio compacto y sea f0, f1 ∶X Ð→ Y funciones conti-nuas y homotopicas. Si E es un haz sobre Y entonces los haces f∗0 (E) y f∗1 (E) sonisomorfos.

Demostracion. Por hipotesis tenemos que existe F ∶ X × I Ð→ Y tal que F (x,0) =f0(x) y F (x,1) = f1(x) para toda x ∈X. Definamos ft = F αt donde

αt ∶X Ð→ X × Ix z→ (x, t)

de tal manera que F α0 = f0 y F α1 = f1. Consideremos el siguiente diagramaconmutativo

F ∗(E)

// E

X × I F // Y

por el Teorema 2.1.1 se tiene que

α∗0(F ∗(E)) ≅ α∗1(F ∗(E))(F α0)∗(E) ≅ (F α1)∗(E)

f∗0 (E) ≅ f∗1 (E).

Teorema 2.1.3. Utilizando la notacion del Teorema 2.1.1 tenemos que los haces Ey κ∗(E0) son isomorfos, esquematicamente

κ∗(E0)

≅

""// E0

//

E

d

X × I κ

// X α0

// X × I

x // (x,0)

80

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Demostracion. Sea

p ∶ (X × I) × I Ð→ X × I((x, t), u) z→ (x, tu)

tenemos los siguientes diagramas conmutativos

E′ = p∗(E)pr1

pr2 // E

π

(X × I) × I p

// X × I

y

E0 = α∗0(E)pr1

// E

π

X α0

// X × I

donde

E′ = (((x, t), u), e) ∈ ((X × I) × I) ×E ∣ π(e) = p(x, t, u)= (((x, t), u), e) ∈ ((X × I) × I) ×E ∣ π(e) = (x, tu)

y

E0 = (x, e) ∈X ×E ∣ α0(e) = π(e)= (x, e) ∈X ×E ∣ (x,0) = π(e)

Considerando el siguiente pull back

α∗0(E′)pr1

// E′

X × I

α0

// (X × I) × I

(x,u) α0 // ((x,u),0)

donde

α∗0(E′) = (x′, u′), ((x, t, u), e) ∈ (X × I) × (((X × I) × I) ×E) ∣ (x′, u′,0) = (x, t, u), π(e) = (x, tu)= (x′, t), ((x, t,0), e) ∈ (X × I) × (((X × I) × I) ×E) ∣ π(e) = (x, t0) = (x,0)= (x, t, e) ∈X × I ×E) ∣ π(e) = (x,0)

81

Capıtulo 2

Consideramos el siguiente diagrama

κ∗(E0) //

E0 = (x′, e) ∈X ×E∣π(e) = (x,0)pr1

X × I κ // X

Entonces nos queda que

κ∗(E0) = ((x,u), (x′, e)) ∈ (X × I) × (X ×E) ∣ π(e) = (x,0) y κ(x,u) = pr1(x′, e)= ((x,u), (x′, e)) ∈ (X × I) × (X ×E) ∣ π(e) = (x,0) y x = x′= ((x,u), (x, e)) ∈ (X × I) × (X ×E) ∣ π(e) = (x,0)≅ ((x,u, e)) ∈X × I ×E ∣ π(e) = (x,0)

por lo tanto

κ∗(E0) = α∗0(E′) (2.1)

Por otra parteα∗1(E′)

pr1

// E

X × I

α1

// (X × I) × I

(x,u) α1 // ((x,u),1)

donde un elemento en α∗1(E′) es de la forma ((x′, u′), (x, t, u, e)) ∈ (X×I)×(X×I×I×E) con π(e) = (x, tu) y ((x′, u′),1) = (x, tu), de aqui tenemos que x′ = x,u′ = t, u = 1,entonces

α∗1(E′) = ((x, t), (x, t,1, e)) ∈ (X × I) × (X × I × I ×E)∣π(e) = (x, t)= (x, t, e) ∈X × I ×E∣π(e) = (x, t)= (π(e), e) ∈ (X × I) ×E∣π(e) = (x, t)≅ E

ası

α∗1(E′) ≅ E (2.2)

Utilizando el Teorema 2.1.1 se tiene que α∗0(E′) ≅ α∗1(E′); luego, de (2.1) y (2.2)tenemos que

E ≅ κ∗(E).

Observacion. 2.1.4. Notemos que dado que κ α0 = Id tenemos en general que(π α0)∗(E) = Id∗(E) = E.

82

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Teorema 2.1.5. Si X es contraıble y compacto entonces cualquier haz sobre X estrivial.

Demostracion. Sea x0 ∈ X, ι ∶ X Ð→ x0 y ρ ∶ x0 Ð→ X. Dado que X escontraıble tenemos que Id ∶ X Ð→ X y ρ ι ∶ X Ð→ X son homotopicas. Entoncespor el Teorema 2.1.2,

E ≅ Id∗(E) ≅ (ρ ι)∗(E) ≅ ι∗ ρ∗(E).

Considerando el siguiente diagrama conmutativo

ρ∗(E) //

E

x0 // ι // X

donde ρ∗(E) ≅ Ex0 , ademas Ex0 es isomorfo a un haz trivial x0×M , con M algunespacio vectorial.

Por otra parte ι∗(ρ∗(E)) es trivial. En efecto, debido que el siguiente diagrama esconmutativo

ι∗(ρ∗)(E) //

ρ∗(E)π

X // x0

tenemos que

ι∗(ρ∗(E)) = (x, v) ∈X × ρ∗(E) ∣ ι(x) = π(v)= (x, v) ∈X × ρ∗(E) ∣ x0 = x0= X × ρ∗(E)

por lo tanto E es un haz vectorial trivial.

En la seccion 4 se definio y se demostro en el Teorema 1.4.7 que

Λ ∶πn−1(GLp(k), Id)π0(GLp(k), Id)

Ð→ φkp(Sn)

(π0(GLp(k), Id), [f]) z→ [Ef ]

es un morfirsmo inyectivo. Ahora, generalizaremos este resultado para la suspensionde un espacio topologico X. Recordemos que la suspencion de X se define comoS′(X) = X×[−1,1]

X×−1∪X×1 y

83

Capıtulo 2

C+(X) = X × [0,1]X × 1

C−(X) = X × [−1,0]X × −1

donde S′(X) = C+(X) ∪ C−(X) y X × 0 = C+(X) ∩ C−(X). Note que C+(X) yC−(X) son cerrados en S′(X) pues π−1(C+(X)) =X × [1,0].Sea f ∶X Ð→ GLp(k) una funcion continua, entonces podemos definir un haz vecto-rial Ef sobre S′(X) pegando los haces triviales E1 = C+(X) × kp y E2 = C−(X) × kpcon la funcion de transicion g21 = f .

Para esta generalizacion debemos ver algunos resultados que anteriormente aborda-mos para el caso de la esfera unitaria. Ahora, utilizaremos un espacio topologico Xy su suspension para dichas generalizaciones. Sea λ ∶ C+(X) × kp Ð→ C+(X) × kpun automorfismo de haces vectoriales, entonces λ induce un isomorfismo de hacesvectoriales

µ ∶ E1∣X×0 Ð→ E1∣X×0

donde µ = λ∣X×0.

Lema 2.1.6. Los haces vectoriales Ef y Efµ son isomorfos.

Recuerde que f ∶ X × 0 Ð→ GLp(k) continua induce g21 ∶ f ∶ (X × 0) × kp Ð→(X × 0) × kp isomorfismo de haces vectoriales.

Demostracion. Sea λ1 = λ ∶ C+(X) Ð→ GLp(k) y Id ∶ E2 Ð→ E2, note que tenemosel diagrama conmutativo

E1

f

λ−1 // E1

fµ

E2Id // E2

donde las lineas punteadas denotan morfismos definidos solo sobre X×0. En efecto,el diagrama conmuta pues para (x,0) ∈X × 0 tenemos que

fµ λ−1((x,0), v) = fµ µ−1((x,0), v)= f((x,0), v)= Id f((x,0), v)

esto es, fµλ−1 = Idf para toda ((x,0), v) ∈ (X×0)×kp, entonces Idfµλ−1 = f ,ya que fµ ∶X × 0Ð→ GLp(k) esta definida por fµ(x,0) = f(x,0)µ(x,0).

84

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Note que f(x,0) = Id(x,0)(f(x,0)µ(x,0))(λ(x,0))−1 para cada (x,0) ∈ X × 0 =C+(X) ∩C−(X). En efecto, tenemos que

f(x, v) = (x, f(x)(v)) = Id (f µ)λ−1(x, v) = Id (f µ)(x,λ−1x (v))

= Id f µ(x,λ−1x (v))

= Id f(x,µx λ−1x (v))

= Id (x, f(x) µx λ−1x (v))

= (x, Idx f(x) µx λ−1x (v))

= (x, Id f(x) µ(x)(λ−1(v)))

entonces f(x)(v) = Idf(x) µ(x)(λ−1(x)) para todo x ∈X ×0 = C+(X)∩C−(X),y esto ocurre si y solo si f(x) = λ2(x) ⋅ f(x)µ(x)(λ1(x))−1 para toda x ∈ X × 0.Utilizando el Teorema 1.4.4 tenemos que Ef ≅ Efµ.

Dado un automorfismo λ ∶ C+(X) Ð→ C+(X) y considerando la restriccion µ =λ∣X×0, hemos probado que existen funciones

λ1 ∶ C+(X)Ð→ GLp(k)λ2 ∶ C+(X)Ð→ GLp(k)

tales que f(x) = g21(x) = λ2(x)(fµ(x))(λ1(x))−1 para toda x ∈ C+(X) ∩ C−(X).Entonces por el Teorema 1.4.4 los haces vectoriales Ef y Efµ son isomorfos.De la misma manera se puede probar que Ef es isomorfo a Eνf donde ν es unautomorfismo de E2∣Sn−1 el cual puede extenderse a un automorfismo de E2.

Lema 2.1.7. Sean f0, f1 ∶ X × 0 Ð→ GLp(k) funciones continuas tales que f0 eshomotopica a f1, entonces Ef0 ≅ Ef1Demostracion. Como f0, f1 ∶X × 0Ð→ GLp(k) son homotopicas, entonces existeH ∶ (X ×0)× I Ð→ GLp(k) continua tal que H((x,0),0) = f0(x,0) y H((x,0),1) =f1(x,0). Sea

α ∶X × 0 Ð→ GLp(k)(x,0) z→ (f1(x,0))−1 ⋅ f0(x,0)

Observemos que α es homotopica a la identidad, pues si definimos

β ∶ (X × 0) × I Ð→ GLp(k)β((x,0), t) Ð→ (f1(x,0))−1 ⋅H((x,0), t)

tenemos que

β((x,0),0) = (f1(x,0))−1 ⋅H((x,0),0)= (f1(x,0))−1 ⋅ f0(x,0)= α(x,0)

85

Capıtulo 2

y

β((x,0),1) = (f1(x,0))−1 ⋅H((x,0),1)= (f1(x,0))−1 ⋅ f1(x,0)= Id

por lo tanto α ∼ Id. Definimos ahora

γ ∶ C+(X) Ð→ GLp(k)(x, t) z→ β((x,0), t)

Note que γ esta bien definida y es continua pues si consideramos

γ′ ∶X × [0,1] Ð→ GLp(k)(x, t) z→ β((x,0), t)

tal que γ′(x,1) = β((x,0),1) = Id, tenemos que γ′(X × 1) = Id. Entonces tenemosel siguiente diagrama conmutativo

(x, t)_

X × I

γ′

π // X × IX × 1

γ′π−1=γ

||yyyyyyyyyyyyyyyyyy

β((x,0), t) GLp(k)

donde la fibra es 1-valuada, ası γ es continua. Note ahora que α = γ∣X×0 puesγ(x,0) = β((x,0),0) = α(x,0), por lo tanto α = γ∣X×0. Tambien, notemos quef0 = f1 ⋅ α pues

(f1 ⋅ α)(x,0) = f1(x,0) ⋅ α(x,0)= f1(x,0) ⋅ (f1(x,0))−1 ⋅ f0(x,0)= f0(x,0)

De modo que Ef0 = Ef1⋅α, entonces utilizando el Lema 2.1.6 tenemos que Ef0 = Ef1⋅α ≅Ef1 , pues α es la restriccion a X × 0 = C+(X)∩C−1(X) de γ ∶ C+(X)Ð→ GLp(k).

Hemos probado que si f0, f1 ∶ X × 0 Ð→ GLp(k) son homotopicas entonces Ef0 ≅Ef1 . Si restringimos nuestra atencion a las funciones f ∶ X Ð→ GLp(k) tales quef(e) = Id, entonces [f] ∈ [(X,e), (GLp(k), Id)] y por el Lema 2.1.7 si f ∼ g relativoa e entonces Ef ≅ Eg.

86

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Por lo tanto la funcion

[(X,e), (GLp(k), Id)] Ð→ Φkp(S′(X))

[f] z→ Ef

esta bien definida.

Antes de continuar haremos algunas observaciones:

Sea G un grupo topologico y G1 la componente por trayectorias de G que contieneal elemento neutro 1 de G. Tenemos la accion

G ×G Ð→ G

(g, g′) z→ g ⋅ g′ ⋅ g−1

Notemos que el neutro 1 ∈ G permanece fijo para toda g ∈ G ya que

(g,1)z→ g ⋅ 1 ⋅ g−1 = 1.

Se tiene una accion

∶ G × [(X,e), (G,1)] Ð→ G × [(X,e), (G,1)](g, [f]) z→ [g ⋅ f ⋅ g−1]

donde

g ⋅ f ⋅ g−1 ∶X Ð→ GLp(k)x z→ g ⋅ f(x) ⋅ g−1

note ademas que (g ⋅ f ⋅ g−1)(e) = g ⋅ f(x) ⋅ g−1 = g ⋅ 1 ⋅ g−1 = 1. Por lo tanto[g ⋅ f ⋅ g−1] ∈ [(X,e), (G,1)].

Veamos que la accion esta bien definida. Sean f ∼ h representantes en[(X,e), (G,1)] entonces existe H ∶ (H,e) × I Ð→ (G, I) tal que H(x,0) = f(x),H(x,1) = h(x) yH(e, t) = 1. Con esto definimos F (x, t) = g⋅H(x, t)⋅g−1 ∶ (X,e)×I Ð→(G,1). Tenemos que

F (x,0) = g ⋅ f(x) ⋅ g−1

F (x,1) = g ⋅ h(x) ⋅ g−1

F (e, t) = g ⋅H(e, t) ⋅ g−1 = g ⋅ 1 ⋅ g−1

por lo tanto [g ⋅ f ⋅ g−1] = [g ⋅ h ⋅ g−1]. Es facil ver que es una accion.

87

Capıtulo 2

Lema 2.1.8. Definimos π0(G,1) = G/G1, entonces la accion anterior induce lasiguiente accion

π0(G,1) × [(X,e), (G,1)] Ð→ [(X,e), (G,1)]a [f] z→ [a ⋅ f ⋅ a−1]

Demostracion. Para ver esto, note que si g0, g1 estan en la misma componenteconexa por trayectorias de G, entonces g0 f = g1 f para toda [f] ∈ [(X,e), (G,1)].En efecto, sea g(t) ∶ [0,1] Ð→ G una trayectoria tal que g(0) = g0 y g(1) = g1,entonces se tiene una homotopıa

h ∶ (G,1) × I Ð→ (G,1)(g, t) z→ g(t) ⋅ g ⋅ (g(t))−1

tal que

h(g,0) = g(0) ⋅ g ⋅ (g(0))−1 = g0 ⋅ g ⋅ g−10

h(g,1) = g(1) ⋅ g ⋅ (g(1))−1 = g1 ⋅ g ⋅ g−11

h(1, t) = g(t) ⋅ 1 ⋅ (g(t))−1 = 1

Sea [f] ∈ [(X,e), (G,1)] entonces f ∶ (X,e)Ð→ (G,1), definimos

H ∶ (X,e) × I Ð→ (G,1)(x, t) z→ h(f(x), t)

tal que

H(x,0) = h(f(x),0) = g0 ⋅ f(x) ⋅ g−10

H(x,1) = h(f(x),1) = g1 ⋅ f(x) ⋅ g−11

H(e, t) = h(f(e), t) = h(1, t) = 1

Por lo tanto g0 [f] = [g0 ⋅ f ⋅ g−10 ] = [g1 ⋅ f ⋅ g−1

1 ] = g1 [f] en [(X,e), (G,1)].

Hemos probado que

π0(G,e) × [(X,e), (G,1)] Ð→ [(X,e), (G,1)]a [f] z→ [a ⋅ f ⋅ a−1]

es una accion donde (a ⋅ f ⋅ a−1)(x) = a ⋅ f(x) ⋅ a−1. Si hacemos G = GLp(k) tenemosla accion

π0(GLp(k), Id) × [(X,e), (GLp(k), Id)] Ð→ [(X,e), (GLp(k), Id)]a [f] z→ [a ⋅ f ⋅ a−1]

donde (a ⋅ f ⋅ a−1)(x) = a ⋅ f(x) ⋅ a−1.

88

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Note que Ef ≅ Ea⋅f ⋅a−1 . En efecto, tenemos que

a ⋅ f ⋅ a−1 ∶ (X,e) Ð→ (GLp(k), Id)f ∶ (X,e) Ð→ (GLp(k), Id)

Definimos

λ1 ∶ C+(X)Ð→ GLp(k) tal que λ1(x, t) = a para todo (x, t) ∈ C+(X)λ2 ∶ C−(X)Ð→ GLp(k) tal que λ2(x, t) = a para todo (x, t) ∈ C−(X)

Entonces h21(x, t) ∶= a ⋅ f(x, t) ⋅ a−1 = λ1(x, t) ⋅ f(x, t) ⋅ λ1(x, t) para todo

λ1(x, t) ∈ C+(X) ∩ C−(X) = X × 0. Entonces, utilizando el Teorema 1.4.4se tiene que Ef ≅ Ea⋅f ⋅a−1 para toda a ∈ π0(GLp(k)).

Este ultimo isomorfismo nos dice que todos los elementos de la orbita π0(GLp(k), Id)[f] son enviados a [Ef ], la clase de isomorfismo de Ef .Sea

[(X,e), (GLp(k), Id)]π0(GLp(k), Id)

= π0(GLp(k), Id) [f] ∣ [f] ∈ [(X,e), (GLp(k), Id)]

el conjunto de orbitas. Entonces tenemos una funcion bien definida

Λ ∶[(X,e), (GLp(k), Id)]

π0(GLp(k), Id)Ð→ Φk

p(S′(X))

π0(GLp(k), Id) [f] z→ [Ef ]

Teorema 2.1.9. La funcion Λ ∶πn−1(GLp(k), e)π0(GLp(k), e)

Ð→ φkp(S′(X)) es biyectiva.

Demostracion. Veamos que la funcion Λ es inyectiva. Sean f, g ∶ (X,e) Ð→(GLp(k), Id) continuas tales que Ef ≅ Eg, entonces f , g ∶ X × kp Ð→ X × kp son iso-morfismos de haces vectoriales. Por el Teorema 1.4.4, existe λ1 ∶ C+(X) Ð→ GLp(k)y λ2 ∶ C−(X) Ð→ GLp(k) tales que λ2(x, t) ⋅ f(x, t) ⋅ (λ1(x, t))−1 = g(x, t) para to-

do (x, t) ∈ C+(X) ∩ C−(X) = X × 0. Utilizando el Teorema 1.1.10 se sigue queλ2 ⋅ f ⋅ (λ1)−1 = g de modo que tenemos el siguiente diagrama conmutativo

C+(X) λ1 //

f

C+(X)g

C−(X)λ2

// C−(X)

donde las flechas punteadas denotan morfismos que son unicamente definidos sobreX × 0.

89

Capıtulo 2

Sean β1 = λ1∣X×0 y β2 = λ2∣X×0 entonces g(x,0) = β2(x,0) ⋅ f(x,0) ⋅ (β1(x,0))−1.Note que β1, β2 ∶ X × 0 Ð→ GLp(X) son funciones continuas homotopicas auna funcion constante pues β1 = λ1∣X×0 ∶ C+(X) Ð→ GLp(X) y β2 = λ2∣X×0 ∶C−(X) Ð→ GLp(X), entonces Im β1 ⊆ λ1(C+(X)) es conexa por trayectorias yIm β2 ⊆ λ2(C−(X)) tambien es conexa por trayectorias.Como Im β1 y Im β2 son componentes conexas en GLp(k) con β1(e,0) = β2(e,0),entonces Im β1 ∩ Im β2 ≠ ∅, por lo tanto Im β1 y Im β2 estan contenidas en lamisma componente conexa por trayectorias. Con esto tenemos que Im β1 y Im β2

son homotopicas a la aplicacion constante a ∶X × 0Ð→ GLp(k) dada por a(x,0) =a ∈ GLp(k), entonces

g(x,0) = β2(x,0) ⋅ f(x,0) ⋅ (β1(x,0))−1 ∼ a ⋅ f(x,0) ⋅ a−1

Sea h ∶ (X × 0)× I Ð→ GLp(k) la homotopıa entre g(x,0) y a ⋅ f(x,0) ⋅a−1, esto es,

h((x,0),0) = g(x,0)h((x,0),1) = a ⋅ f(x,0) ⋅ a−1

Definimos la homotopıa

l ∶ (X × 0) × I Ð→ GLp(k)((x,0), t) z→ h((x,0), t) ⋅ (h((e,0), t))−1

entonces se cumple:

l((x,0),0) = h((x,0),0) ⋅ (h((e,0),0))−1 = g(x,0) ⋅ (g(e,0))−1 = g(x,0) ⋅ Id = g(x,0)

y

l((x,0),1) = h((x,0),1) ⋅ (h((e,0),1))−1 = a ⋅ f(x,0) ⋅ a−1 ⋅ (a ⋅ f(e,0) ⋅ a−1)−1

= a ⋅ f(x,0) ⋅ a−1 ⋅ (a ⋅ Id ⋅ a−1)−1

= a ⋅ f(x,0) ⋅ a−1

ademas

l((e, t),0) = h((e,0), t) ⋅ (h((e,0), t))−1 = Id

De esta manera, tenemos que l ∶ (X × 0) × I Ð→ GLp(k) es una homotopıaentre g y a ⋅ f ⋅ a−1, ası [a ⋅ f ⋅ a−1] = [g] en [(X,e), (GLp(k), Id)], es decir,

a [f] = [g] para algun a ∈ π0(GLp(k), Id) = GLp(k)(GLp(k))Id

. Entonces [f] ∼ [g], esto es

[f], [g] ∈ π0(GLp(k), Id) [f], por lo tanto [f] = [g].

Veamos que λ es sobreyectiva, para ello basta probar que cualquier haz vectorialsobre S′(X) es isomorfo a un haz de la forma Ef donde f ∶ (x, e)Ð→ (GLp(k), Id).

90

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Sea E un haz vectorial sobre S′(X), debido a que X × [−1,1] es compacto, C+(X)y C−(X) son compactos, entonces C+(X) y C−(X) son contraıbles donde E∣C+(X) yE∣C−(X) son haces triviales.

Sean E1 = C+(X) y E2 = C+(X) con isomorfismos g1 ∶ E1 Ð→ EC+(X) yg2 ∶ E2 Ð→ EC−(X) y definimos g21 ∶ E1∣C+(X)∩C−(X) Ð→ E2∣C+(X)∩C−(X) por g21 =(g1∣C+(X)∩C−(X)) (g2∣C+(X)∩C−(X))−1. Utilizando el Teorema 1.3.3, sea F el haz quese obtiene al identificar E1 y E2 vıa g21, entonces dicho haz hace conmutar los si-guientes diagramas

E1g11=Id //

g1

≅

AAAAAAA E1

≅

g1~~

F

E2g22=Id //

g2

≅

AAAAAAA E2

≅

g2~~

F

E1∣C+(X)∩C−(X)

g21 //

g1

≅

((RRRRRRRRRRRRRE2∣C+(X)∩C−(X)

≅

g2vvlllllllllllll

F ∣C+(X)∩C−(X)

donde g1 ∶ E1 Ð→ F y g2 ∶ E2 Ð→ F son los isomorfismos dados por el Teorema 1.3.3.Notemos que el haz E hace conmutar los siguientes diagramas

E1g11=Id //

g1

≅

AAAAAAA E1

≅

g1~~

E

E2g22=Id //

g2

≅

AAAAAAA E2

≅

g2~~

E

E1∣C+(X)∩C−(X)

g21 //

g1

≅

((RRRRRRRRRRRRRE2∣C+(X)∩C−(X)

≅

g2vvlllllllllllll

E∣C+(X)∩C−(X)

Entonces, por unicidad tenemos que E ≅ F . Por lo tanto E se obtiene al identificarE1 y E2 vıa la funcion g21.

Sea f ∶ X Ð→ GLp(k) definido por f(x) = g21(x)(g21(e))−1 con f(e) =g21(e)(g21(e))−1 = Id, entonces [f] ∈ [(X,e), (GLp(k), Id)]. Tenemos que g21 ∶X × 0 Ð→ GLp(k) tiene una extension g21 ∶ C+(X) Ð→ GLp(k), entonces porel Lema 2.1.7 Ef ≅ Eg21⋅g1(e) ≅ Eg21 , por lo tanto E ≅ Ef , ası Λ es sobreyectiva.

91

Capıtulo 2

Teorema 2.1.10. Sea E un haz vectorial sobre X y p una proyeccion de E, esdecir, un endomorfismo p ∶ E Ð→ E tal que p2 = p, entonces el cuasi-haz vectorialKer p = ⊔x∈X Ker px con la topologıa inducida por E es localmente trivial.

Demostracion. Sin perdida de generalidad sea E = X × M un haz vectorialtrivial. Sea x0 ∈ X y sea f ∶ X Ð→ L (M,N) una funcion lineal dada porf(x) = Id − px − px0 + 2px0 px.

Notemos que px0 f(x) = f(x) px pues el siguiente diagrama conmuta

L (M,M)f(x)

px //L (M,M)f(x)

L (M,M)px0 //L (M,M)

En efecto, tenemos que

px0 f(x) = px0 (Id − px − px0 + 2px0 px)= px − px0 px − p2

x0 + 2p2x0 px

= px − px0 px − px0 + 2px0 px= px0 px

Por otra parte

f(x) px = (Id − px − px0 + 2px0px) px= px − p2

x − px0 px + 2px0 p2x

= px − px − px0 px + 2px0 px= px0 px

por lo tanto el diagrama anterior induce el siguiente diagrama

(x, v)_

// (x, px(v))_

X ×M p //

f

X ×Mf

X ×MId×px0 // X ×M

(x, f(x)(v)) // (x, px0f(x)(v)) = (x, f(x)px(v))

ası tenemos que

92

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

0 // Ker p //

X ×M p //

f

X ×Mf

0 // X ×Ker px0 // X ×MId×px0

// X ×M

Notemos que f(x0) = Id−px0 −px0 +2px0 px0 = Id por lo tanto f(x0) ∈ Iso(M,M) porla Proposicion 1.7.16 existe una vecindad Vx0 tal que f(x) ∈ Iso(M,M) para todax ∈ Vx0 entonces f ∣Vx0 ∶ Vx0 ×M Ð→ Vx0 ×M es un isomorfismo, ası

0 // Ker p //

≅

Vx0 ×Mp //

f ∣V0

Vx0 ×MfV0

0 // Vx0 ×Ker px0 // Vx0 ×M Id×px0

// Vx0 ×M

Sea x ∈ Ker p∣Vx0 entonces f p(x) = 0, por conmutatividad de los diagramas tenemos

que (Id×px0) f(x) = 0, entonces f(x) ∈ Ker (Id×px0), y por lo tanto f(Ker p∣Vx0) ⊆Ker (Id × px0)∣Vx0 .

Analogamente f−1(Ker (Id × px0)∣Vx0)s ⊆ Ker p∣Vx0 . Por lo tanto

Ker p∣Vx0 ≅ Ker (Id × px0)∣Vx0

Corolario 2.1.11. Sea X un espacio topologico, E un haz vectorial sobre X y p ∶E Ð→ E una proyeccion. Entonces Im p es un haz vectorial.

Demostracion. Veamos que Id − p ∶ E Ð→ E es una proyeccion.

(Id − p)2 = (Id − p) (Id − p)= Id − p − p + p2

= Id − p − p + p= Id − p

sabemos que Im p = Ker (Id − p), por el teorema anterior tenemos que Im p es unhaz vectorial.

Observacion. 2.1.12. Sea E un haz sobre X y p ∶ E Ð→ E proyeccion, tenemosque Ex = Im px ⊕ Im (Id − p) entonces

E = Im p⊕ Im (Id − p)

Proposicion 2.1.13. Sean p y p′ proyecciones del haz vectorial E con base X, talesque Im p = Im p′ y sean p y p′ las proyecciones de E ⊕E definido por p = p ⊕OE yp′ ∶ p′ ⊕OE. Entonces existe δ ∶ E ⊕E Ð→ E ⊕E automorfismo de haces isotopico ala identidad tal que p′ = δ p δ−1.

93

Capıtulo 2

Demostracion. Sean

E1 = Im p

E2 = Im (Id − p)E′

1 = Im p′

E′2 = Im (Id − p′)

Entonces E ⊕ E = (E1 ⊕ E2) ⊕ (E′1 ⊕ E′

2). Por hipotesis existe un isomorfismo α ∶E1 Ð→ E′

1, el cual induce el siguiente isomorfismo δ ∶ E ⊕E Ð→ E ⊕E definido porla fibra como

δx =⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 −α−x 00 1 0 0αx 0 0 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

δx

⎛⎜⎜⎜⎝

e1xe2xe′1xe′2x

⎞⎟⎟⎟⎠

=⎛⎜⎜⎜⎝

−α−1x (e′1x)e2x

αx(e1x)e′2x

⎞⎟⎟⎟⎠

Notemos que δ esta bien definida pues (−α−1x (e′1x), e2x,αx(e1x), e′2x) ∈ E1x ⊕ E2x ⊕

E′1x ⊕E′

2x con −α−1x (e′1x) ∈ E1x, e2x ∈ E2x, αx(e1x) ∈ E′

1x y e′2x ∈ E′2x . Aun mas δ es

invertible con inversa

δ−1x =

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 α−1x 0

0 1 0 0−αx 0 0 0

0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

Notemos para las funciones p y p′ tienen la siguiente descomposicion matricial

p =⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

p′ =⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

94

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Calculando

δpδ′ =⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 −α−x 00 1 0 0αx 0 0 00 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 α−1x 0

0 1 0 0−αx 0 0 0

0 0 0 1

⎞⎟⎟⎟⎠

=⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 0αx 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

=⎛⎜⎜⎜⎝

0 0 0 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎠

= p′

Si nos fijamos en el factor E1 ⊕E′1 de E1 ⊕E′

1 ⊕E2 ⊕E′2 tenemos el automorfismo

δ′ = (0 −α−1

α 0)

= (1 −α−1

0 1)(1 0α 1

)(1 −α−1

0 0)

Sea

H ∶ E1 ⊕E′1 × I Ð→ E1 ⊕E1

((e1, e2), t) z→ (1 −tα−1

0 1)( 1 0tα 1

)(1 −tα−1

0 0)

calculando tenemos que

H((e1, e2),0) = (1 00 1

)(1 00 1

)(1 00 1

)(e1

e2) = (e1

e2)

H((e1, e2),1) = (1 −α−1

0 1)(1 0α 1

)(1 −α−1

0 0)(e1

e2) = δ′ (e1

e2)

Cada matriz que representa a H esta bien definida y son isomorfismos con inversa

(1 −tα−1

0 1)−1

= (1 tα−1

0 1)

( 1 0tα 1

)−1

= ( 1 0−tα 1

)

(1 −tα−1

0 0)−1

= (1 tα−1

0 0)

95

Capıtulo 2

Ademas si (e1, e2) ∈ E1 ⊕E′1 tenemos que

(1 −tα−1

0 1)(e1

e2) = (e1 − tα(e2)

e2) ∈ E1 ⊕E′

1

( 1 0tα 1

)(e1

e2) = ( e1

tα(e2) + e1) ∈ E1 ⊕E′

1

(1 −tα−1

0 0)(e1

e2) = (e1 − tα(e2)

e2) ∈ E1 ⊕E′

1

por lo tanto Ht es isomorfismo para toda t ∈ I.

2.2. Espacio de proyecciones

Demos a Hom(kN , kN) la topologıa natural inducida por la biyeccionHom(kN , kN) ≅ kN2

. Sea

Projn(kN) = q ∈ Hom(kN , kN) ∣ q2 = q y dim(q(kN)) = n

Ası Projn(kN) tiene la topologıa de subespacio inducida por Hom(kN , kN).

Sea g ∶ Y Ð→ Projn(kN) ⊂ L (kN , kN) continua, por el Teorema 1.1.10 existe unmorfismo de haces g ∶ Y × kN Ð→ Y × kN continuo.Veamos que p = g es una proyeccion. Calculando tenemos

g(g(y, k)) = g(y, g(y)(k))= (y, g(y)g(y)(k))= (y, g(y)(k))= g(y, k)

entonces Im p ⊆ Y ×X es un haz vectorial sobre Y . Notemos que Im p tiene rangoconstante ya que para y ∈ Y tenemos

Im py = p(y ×KN)= g(y ×KN)= (y × g(y)(KN))

donde g(y) ∈ Projn(kN). Entonces dim Im py = n. Denotemos ζg ∶= Im g.

Lema 2.2.1. Si f ∶ X Ð→ Y funcion continua entre espacios topologicos, entoncesζgf = f∗(ζg).

96

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Demostracion. Esquematicamente tenemos que

Xf //

gf %%JJJJJJJJJJ Y

g

Projn(kN)

Vemos que ζgf = Im (g f) donde tenemos que

g f(X ⊕ kN) = (g f)(x, e) ∣ (x, e) ∈X × kN= (x, (g f)(x)(e)) ∣ (x, e) ∈X × kN= (x, (g(f(x))(e))) ∣ (x, e) ∈X × kN

por otro lado tenemos que f∗(ζg) = f∗(Im g)

f∗(ζg) = (x, e) ∈ E × ζg ∣ π(e) = f(x)= (x, (y, g(y)(e))) ∈X × (Y × kN) ∣ (y, e) ∈ Y × kN y f(x) = y= (x, (f(x), g(f(x))(e))) ∈X × (Y × kN) ∣ (f(x), e) ∈ Y × kN= (x, (f(x), (g f)(x)(e))) ∈X × (X × kN) ∣ (x, e) ∈X × kN= (x, g(x)(e)) ∈X × kN ∣ (x, e) ∈X × kN

por lo tanto ζgf = Im (g f) ≅ f∗(Im g) = f∗(ζg).

En particular Y = Projn(kN) y g = Id ∶ Projn(kN)Ð→ Projn(kN), entonces

g ∶ Projn(kN) × kN Ð→ Projn(kN) × kN

(p, v) z→ (p, Id(p), v) = (p, p(v))

y ası Im IdProjn(kN ) = Im g ⊆ Projn(kN) × kN define ζn,N = Im IdProjn(k

N ).Consideremos

Xf // Im IdProjn(k

N )

IdProjn(kN ) // Projn(kN)

Aplicando el Lema 2.2.1 tenemos que

Im (f) = Im ( (IdProjn(kN )) f) = f∗(Im IdProjn(k

N )) = f∗(ζn,N)En resumen si f ∶ X Ð→ Projn(kN) es continua, entonces ζf = f∗(ζn,N), donde

ζn,N = Im IdProjn(kN ). Ademas como X es compacto entonces por el Teorema 2.1.2

implica que, salvo isomorfismo de haces vectoriales, el haz ζf depende solo de laclase de homotopıa de f ∶ X Ð→ Projn(kN). Por lo tanto tenemos una funcion biendefinida

Cn,N ∶ [X,Projn(kN)] Ð→ φkn(X).[f] z→ [ζf ]

97

Capıtulo 2

2.3. Sistemas dirigidos

Definicion 2.3.1. Sea C una categorıa. Un sistema dirigido es una familia deobjetos Aii∈I en C0 y morfismos fj,i ∶ Ai Ð→ Aj para i ≤ j en C1 tal que

1. fi,i = Id ∶ Ai Ð→ Ai

2. fk,i = fk,j fj,i

Se denota por ⟨Ai, fj,i⟩.

Para este trabajo utilizaremos el conjunto de ındices I = N.

Definicion 2.3.2. El lımite directo (o colımite) de ⟨Ai, fj,i⟩ es un objeto X ∈ Cjunto con morfismos Φi ∶ Ai Ð→X tales que Φi = Φj fj,i, el cual cumple la siguientepropiedad universal: Para cualquier ⟨Y,Ψi⟩ tal que Ψi = Ψj fj,i, existe un unicomorfismo u ∶X Ð→ Y tal que u Φi = Ψi para toda i ∈ N.

Ai

Ψi

**

Φi @@@@@@@

fj,i // Aj

Ψj

tt

Φj~~

X

u

Y

Ejemplo 2.3.3. Consideremos la categorıa de conjuntos Conj donde los morfismosson inclusiones. Sea Aii∈I una familia de conjuntos y consideremos las inlusionesfi+1,i ∶ Ai Ð→ Ai+1, esto es,

A1

f2,1 // A2

f3,2 // A3

f3,4 // . . .

Definimos fk,j ∶ Aj Ð→ Ak por fk,j ∶= fk,k−1 ...fi+1,i, ası tenemos un sistema dirigido⟨Ai, fj,i⟩i∈I en la categorıa Conj. El lımite directo (o colımite) del sistema dirigidoanterior es

⋃i∈NAiAi ∼ fj,i(Ai)

.

⋆

Para buscar mas ejemplos de sistemas dirigidos y colımites puede consultar [1].

Consideramos Projn(kn) ≤ GLn(k) el subespacio vectorial de las proyecciones q ∶kn Ð→ kn. Para cada M ≥ N tenemos la funcion

ι′M,N ∶ Projn(kN) Ð→ Projn(kM)q z→ ρ⊕OM−N

Q z→ (Q 00 0M−N

)

98

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

donde Q es la representacion matricial de la proyeccion q. Notemos que ι′M,N escontinua pues la funcion

MN×N(k) Ð→ MN×N(k)

A z→ (A 00 0M−N

)

es continua, entonces tomando la restriccion en Projn(kN) tenemos que

ι′M,N ∶ Projn(kN) Ð→ Projn(kM)

A z→ (A 00 0M−N

)

es continua y ademas si A ∈ Projn(kN) entonces

(A 00 0M−N

) ∈ Projn(kM)

de tal manera que ιM,N es inyectiva (inclusion canonica).

Consideremos la familia [X,Projn(kN)]N∈N, tenemos que ι′M,N induce la funcion

ιM,N ∶ [X,Projn(kN)] Ð→ [X,Projn(kM)][f ∶X Ð→ Projn(kN)] z→ [ι′M,N f ∶X Ð→ Projn(kN)]

Veamos que ι′M,N esta bien definida. Sean f, g ∶ X Ð→ Projn(kN) tales que f ∼ g,entonces existe H ∶X × I Ð→ Projn(kN) continua tal que H(x,0) = f(x) y H(x,1) =g(x) para toda x ∈X. Sea F ∶X × I Ð→ Projn(kM) dada por F (x, t) = ι′M,N H(x, t)

X × I H //

F &&LLLLLLLLLLL Projn(kN)ι′M,N

wwooooooooooo

Projn(kM)tenemos que

F (x,0) = ι′M,N H(x,0)= ι′M,N f(x)= (ι′M,N f)(x)

para toda x ∈X. Por otro lado tenemos que

F (x,1) = ι′M,N H(x,1)= ι′M,N g(x)= (ι′M,N g)(x)

para toda x ∈X. Ası ι′M,N f ∼ ι′M,N g, por lo tanto ιM,N esta bien definida.

Ahora veamos que ⟨[X,Projn(kN)] , ιM,N⟩ es un sistema dirigido.

99

Capıtulo 2

1. Por definicion tenemos que ιN,N = Id.

2. Para N,M,P ∈ N, tenemos que

(ιP,M ιM,N) [f] = [(ι′P,M ι′M,N) f]= [ι′P,M (f ⊕OM−N)]= [f ⊕ 0M−N ⊕ 0P−M]= [f ⊕ 0P−N]= ιM,N([f])

Por lo tanto es un sistema dirigido.

Ahora consideremos Z el conjunto

Z = colimN∈N [X,Projn(kN)] = ⊔N∈N [X,Projn(kN)]ιM,N([f]) ∼ [f]

y para cada n ∈ N definimos las funciones

φN ∶ [X,Projn(kN)] Ð→ Z

[f] z→ π jN([f]) = [f]

donde jN ∶ [X,Projn(kN)]Ð→ ⊔N∈N [X,Projn(kN)] y π ∶ ⊔N∈N [X,Projn(kN)]Ð→ Zla proyeccion

[X,Projn(kN)] jN // ⊔N∈N [X,Projn(kN)] π // Z

tenemos que el siguiente diagrama conmutativo

[X,Projn(kN)]

φN&&MMMMMMMMMMMM

ιM,N // [X,Projn(kM)]

φMxxpppppppppppp

Z

pues

φM ιM,N([f]) = ιM,N([f]) = [f]= φN([f])

Probaremos que Z,φNN∈N es el colımite del sistema dirigido[X,Projn(kN , ιM,N)]N∈N. Sea Y,ψMM∈N tal que ψM ιM,N = ψN . Ası debe

100

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

de existir u ∶ Z Ð→ Y que haga conmutar el siguiente diagrama

[X,Projn(kN)]

--

φN&&NNNNNNNNNNNN

ιM,N // [X,Projn(kM)]

φMxxpppppppppppp

ψM

qq

Z

u

Y

Sea [f] ∈ Z, ası [f] ∈ [X,Projn(kN)] para alguna N ∈ N. Para que u haga conmutar

el diagrama es necesario que se cumpla que u([f]) ∶= ψN [f].

Veamos que u esta bien definida y es unico. Sean [f] ∈ [X,Projn(kN)] y [g] ∈[X,Projn(kM)] con M,N ∈ N, sin perdida de generalidad suponemos que M < N ,entonces ιM,N([f]) = [g]. Por otra parte

u([g]) = ψM([g])= ψM ιM,N([f])= ψN([f])

Por lo tanto u esta bien definida y ası Z,φM es el colımite del sistema dirigido⟨[X,Projn(kN , ιM,N)]⟩N∈N.En la seccion anterior definimos la funcion

Cn,N ∶ [X,Projn(kN)] Ð→ φkn[f] z→ [ζf ]

donde ζf = Im f = f∗(ζM,N), tal que ζn,N = Im Id es el haz inducido por la funcioncontinua

Id ∶ Projn(kN) × kN Ð→ Projn(kN) × kN

(p, v) z→ (p, Id(p)v) = (p, p(v))

Notemos que el siguiente diagrama conmuta

[X,Projn(kN)]

Cn,N

++

φN((PPPPPPPPPPPPPP

ιM,N // [X,Projn(kM)]

φMvvnnnnnnnnnnnnnn

Cn,M

ss

Z

Cn

φkn(X)

101

Capıtulo 2

a nivel de elementos tenemos

[f] ιM,N //

Cn,N

((PPPPPPPPPPPPPPP ιM,N([f]) = [ι′M,N f] = [f ⊕ 0M−N]'

ssgggggggggggggggggggg

[Im f] = [Im (f ⊕ 0M−N)]

donde

f ⊕ 0M−N ∶X Ð→ Projn(kM)

x z→ (f(x) 00 0M−N

)

Veamos que Im f ≅ Im (f ⊕ 0M−N). Tenemos que

Im f = (x, f(x)(v))∣(x, v) ∈X × kN

por otra parte

Im (f ⊕ 0M−N) = (x,(f(x) 00 0M−N

)(k1

k2)) ∣ (x,(k1

k2)) ∈X ⊕ (kN ⊕ kM−N)

= (x,(f(x)(k1)0

)) ∣ (x,(k1

k2)) ∈X ⊕ (kN ⊕ kM−N)

= Im f ⊕ (X × 0M−N) ≅ Im f

y como X×0M−N es el haz neutro tenemos que el diagrama conmuta. De esta maneratenemos

Cn ∶ Z Ð→ φkn(X)[f ∶X Ð→ Projn(kN)] z→ Cn,N([f]) = [f∗(ζn,N)]

Ahora calculemos colimNÐ→∞Projn(kN), para esto recordemos el sistema dirigidoProjn(k)N , ι′M,N

N∈Ndonde

ι′M,N ∶ Projn(kN) Ð→ Projn(kM)

Q z→ (Q 00 0M−N

)

Sabemos que ιM,N es continua y ademas es inyectiva por definicion, veamos queProjn(kN) es un subespacio topologico cerrado en Projn(kM) para toda M ≥ N .

102

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Sea π ∶ MM×M(k)Ð→MM×M(k) una funcion continua definida por

( AN×N BN×(M−N)

C(M−N)×N D(M−N)×(M−N)

)Ð→ ( 0 BN×(M−N)

C(M−N)×N D(M−N)×(M−N)

)

donde la restriccion π∣Projn(kN ) ∶ Projn(kN)Ð→ Projn(kN) es continua y

Projn(kN) = π−1 ((0 00 0

))

por lo tanto Projn(kN) es cerrado en Projn(kM) para toda M ≥ N , cumpliendoestas condiciones se sigue que colimNÐ→∞Projn(kN) = ⋃N∈N Projn(kN) existe juntocon morfismos jN ∶ Projn(kN)Ð→ ⋃N∈N Projn(kN) continuos.(cf. [1])

Consideremos el sistema dirigido ⟨[X, colimNÐ→∞Projn(kN)] , ϕN⟩ =⟨[X,⋃N∈N Projn(kN)] , ϕN⟩ con

ϕN ∶ [X,Projn(kN)] Ð→ [X, ⋃N∈N

Projn(kN)]

[f] z→ [jN f]

que hace conmutar el siguiente diagrama

[X,Projn(kN)]ιM,N //

ϕN ))TTTTTTTTTTTTTTT[X,Projn(kM)]

ϕMuujjjjjjjjjjjjjjj

[X,⋃N∈N Projn(kN)]

ya que para [f] ∈ [X,Projn(kN)] tenemos que [jN f] = [jM ιM,N f].Por la propiedad universal, debe de existir u ∶ Z Ð→ [X,⋃N∈N Projn(k)] que hagaconmutar el siguiente diagrama

[X,Projn(kN)]

ϕN ))

φN**TTTTTTTTTTTTTTTTTTT

ιM,N // [X,Projn(kM)]

φMttjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

ϕNuu

Z

u

[X,⋃N∈N Projn(kN)]

donde[f] uz→ ϕN([f]) = [jN f] .

Proposicion 2.3.4. u es biyectiva.

103

Capıtulo 2

Demostracion. Para demostrar lo anterior notemos que si X es compacto y f ∶X Ð→ ⋃N∈NRN (donde ⋃N∈NRN tiene la topologıa final inducida por ... Ð→ Rn Ð→Rn+1 Ð→ ...) entonces f(X) ⊆ RN para algun N ∈ N.Sea v ∶ [X, colimNÐ→∞Projn(kN)] Ð→ colimNÐ→∞ [X,Projn(kN)] definido por[f] z→ [f] donde f ∶ X Ð→ Projn(kN) para f(X) ⊆ Projn(kN) ⊂ ⋃N∈N Projn(kN).Veamos que v esta bien definida.

Sea f, g ∶ X Ð→ ⋃N∈N Projn(kN) tales que f ∼ g, entonces existe H ∶ X × I Ð→⋃N∈N Projn(kN) continua tal que H(x,0) = f(x) y H(x,1) = g(x). Dado que X × Ies compacto entonces Im H ⊂ Projn(kN) para alguna N ∈ N. Observamos que H ∶X ×I Ð→ Projn(kN) es continua, con H(x,0) = f(x) = f(x) y H(x,1) = g(x) = g(x).Ası v esta bien definida con v u = Id y u v = Id, por lo tanto

Z = colimNÐ→∞ [X,Projn(kN)] ≅ [X, colimMÐ→∞Projn(kN)]

Teorema 2.3.5. Para cualquier espacio topologico compacto X la funcion

Cn ∶⊔ [X,Projn(kN)]ιM,N([f]) ∼ [f]

Ð→ φkn(X)

[f] z→ [ζf ] ≡ [f∗(ζn,N)] ≡ [Im f]

es biyectiva.

Demostracion. Sobreyectividad. Sea ζ un haz sobre X. Dado que X es com-pacto por la Proposicion 1.7.18 existe un haz vectorial E′ tal que ζ ⊕E′ es un haztrivial. Mas precisamente, segun la Proposicion 1.7.18 se tiene que ζ = Ker (1 − p)para alguna proyeccion p ∶ X × kN Ð→ X × kN . Ası E′ ≅ Ker p y ζ = Im p = ζpdonde p ∶ X Ð→ Projn(kN). Entonces [p] ∈ colimNÐ→∞ [X,Projn(kN)] es tal que

Cn([p]) = [ζp] = [ζ].

Inyectividad. Sean [f0] , [f1] ∈ ⊔ [X,Projn(kN)] /ιM,N([f]) ∼ [f], tal que ζf0 = ζf1donde

f0 ∶X Ð→ Projn(kN)f1 ∶X Ð→ Projn(kN

′)para algun N,N ′ ∈ N. Ası

ζf0 = f0(x, k) ∈X × kN ∣ (x, k) ∈X × kN

ζf1 = f1(x, k) ∈X × kN ′ ∣ (x, k) ∈X × kN ′Sin perdida de generalidad, podemos suponer que N = N ′, pues si N ′ ≥ N tenemosque

Xf0 // Projn(kN)

ι′N ′,N // Projn(kN

′)

104

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

donde ι′N ′,N f0 = f1, ası se tiene que [ι′N ′,N f0] = [f1]. De modo que basta probar

que ι′N,N f0 = f0 y que ι′N,N f1 = f1 son homotopicas pues f0 ∼ f0 y f1 ∼ f1 encolimN∈N [X,Projn(kN)].

Sea p0 = f0 y p1 = f1 ası p0, p1 ∶X × kN Ð→X × kN son proyecciones tales que

Im p0 = Im f0 = ζf0 ≅ ζf1 = Im f1 = Im p1

entonces por el Teorema 2.1.13 existe un automorfismo δ ∶ (X × kN)⊕ (X × kN)Ð→(X×kN)⊕(X×kN) isotopico a la identidad y tal que p1 = δp0δ−1 donde p0 = p0⊕0Ty p1 = p1 ⊕ 0T entonces tenemos que

p1 = f1 ⊕ 0X×kN = f1 ⊕ 0X×kN = ι′2N,N f0

es homotopica ap0 = f0 ⊕ 0X×kN = f1 ⊕ 0X×kN = ι′2N,N f1.

Definicion 2.3.6.BGLn(k) ∶= colimNÐ→∞Projn(kN)

Corolario 2.3.7. Sea X un espacio topologico compacto. Entonces se tiene el si-guiente isomorfismo

[X,BGLn(k)] ≅ φkn(X)

Demostracion. Como X es compacto, vimos que

v ∶ [X, colimNÐ→∞Projn(kN)] ≅Ð→ colimNÐ→∞ [X,Projn(kN)]y por el Teorema 2.3.5 tenemos que

Cn ∶⊔ [X,Projn(kN)]ιM,N([f]) ∼ [f]

= φkn(X)

[f] z→ [Im f]

es biyectiva. Ası la biyeccion explıcita esta dada por la composicion

[X,BGLn(k)] v // colimNÐ→∞ [X,Projn(kN)] Cn // φkn(X)

[f ∶X Ð→ ⋃N∈N Projn(kN)] // [f] // ζf = [Im ˆf]

donde f ∶ X Ð→ ⋃N∈N Projn(kN) es tal que Im f ⊆ Projn(kN) para algun N ∈ N yaque X es compacto, ası f es la restriccion de f a su imagen f ∶X Ð→ Projn(kN).

105

Capıtulo 2

En resumen, la biyeccion esta dada explıcitamente por

[X,BGLn(k)] Ð→ φkn(X)[f] z→ [ζf ] = [Im f]

2.4. La Grassmaniana

Sea k el campo de los numeros complejos con el producto interno canonico, esto espara x, y ∈ kN tenemos que

⟨x, y⟩ =N

∑j=1

xj yj

Sea M un subespacio vectorial de kN , definimos

pM ∶M ⊕M⊥ Ð→ M ⊕M⊥

(x, y) z→ (x,0)

ası pM es proyeccion natural sobre M , haciendo Im pM =M y Ker pM =M⊥. Notemosque

Im (Id − pM) = (x, y) − (x,0) ∣ (x, y) ∈M ⊕M⊥= (0, y) ∈M ⊕M⊥ ≅M⊥

Proposicion 2.4.1. Sea p ∶ kN Ð→ kN una proyeccion autoadjunta tal que Im p =Msi, y solo si p es la proyeccion ortogonal sobre Im p =M .

Demostracion. Notemos que pM es autoadjunto pues

⟨pM(x1, y1), (x2, y2)⟩ = ⟨(x1,0), (x2, y2)⟩= x1x2 + 0y2

= x1x2

por otra parte

⟨(x1, y1), pM(x2, y2)⟩ = ⟨(x1, y1), (x2,0)⟩= x1x2 + y10

= x1x2

106

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

por unicidad del operador adjunto p∗M = pM . Por lo tanto pM es autoadjunto.Recıprocamente, sea p una proyeccion tal que Im p = M y p = p∗, entonces kN =Im p⊕Ker p y ası

p ∶ Im p⊕Ker p Ð→ Im p⊕Ker p

(x, y) z→ (x,0)

Solo resta ver que Ker p =M⊥.

(⊇) Sea v ∈ Ker p y m ∈M = Im p, entonces

⟨m,v⟩ = ⟨p(m), v⟩= ⟨m,p(v)⟩= ⟨m,0⟩= 0

ası v ∈M⊥. Por lo tanto Ker p ⊆M⊥.

(⊇) Sea v ∈ M⊥ entonces ⟨m,v⟩ = 0 para toda m ∈ M = Im p. Como m ∈ Im ptenemos que p(m) =m ası ⟨p(m), v⟩ = ⟨m,p(v)⟩ = 0 para toda m ∈M , ası p(v) ∈M⊥

pero p(v) ∈ M = Im p por definicion, ası p(v) ∈ M ∩M⊥ = 0, entonces p(v) = 0 yv ∈ Ker p, por lo tanto M ⊆ Ker p.

Definicion 2.4.2. La grassmaniana de dimension n se define como

Gn(kN) = M < kN ∣ dim M = n

Proposicion 2.4.3. Sea G′ = p ∈ Projn(kN) ∣ p = p∗ el subsepacio de proyeccionesautoadjuntas de Projn(kN). Entonces G′ es isomorfo a Gn(kN).

Demostracion. Definimos la funcion

ϕ ∶ p ∈ Projn(kN) ∣ p = p∗ Ð→ M < kN ∣ dim M = nq z→ Im p

y la funcion

φ ∶ M < kN ∣ dim M = n Ð→ p ∈ Projn(kN)∣p = p∗M Ð→ pM

donde pM ∶M ⊕M⊥ Ð→M ⊕M⊥ con (x, y)z→ (x,0).

107

Capıtulo 2

Veamos que ψϕ = Id. Sea q ∈ p ∈ Projn(kN) ∣ p = p∗, entonces φ(ϕ(q)) = φ(Im q) =pIm q donde

pIm q∶ Im q ⊕ (Im q)⊥ Ð→ Im q ⊕ (Im q)⊥

(x, y) z→ (x,0)

Notemos que pIm q= q, dado que

q ∶ Im q ⊕ (Im q)⊥ Ð→ Im q ⊕ (Im q)⊥

(x, y) z→ (x,0)

entonces φ ϕ = Id.

Veamos que ϕ φ = Id. Sea M ∈ Gn(kN), ası ϕ(φ(M)) = ϕ(pM) = Im pM , donde

pM ∶M ⊕M⊥ Ð→ M ⊕M⊥

(x, y) z→ (x,0)

entonces Im pM =M , por lo tanto ϕ φ = Id.

Por comodidad denotaremos tambien por Gn(kN) al subespacio de proyeccionesautoadjuntas de Projn(kN).

Definicion 2.4.4. Un operador lineal positivo es un operador lineal T ∶ V Ð→ Vtal que T = T ∗ y ⟨T (a), a⟩ > 0 para toda α ∈ V con a ≠ 0.

Lema 2.4.5. Sea V un espacio vectorial con un producto interior con dim V <∞,sea T ∶ V Ð→ V un operador lineal positivo, entonces T es invertible.

Demostracion. Sea β una base ortonormal respecto al producto interior ⟨, ⟩. SeaA = [A]β la representacion matricial de T con respecto a la base β. Dado que β

es ortonormal tenemos que ⟨a, b⟩ = [b]tβ ⋅ [a]β para toda a, b ∈ V , donde [a]β y [b]βdenota la expresion correspondiente a los vectores a, b respecto a la base β. Ası

⟨T (a), a⟩ = [a]tβ ⋅ [T (a)]β= [b]tβ ⋅ [T ]β ⋅ [a]β= [b]tβ ⋅A ⋅ [a]β

de esta manera ⟨T (a), a⟩ > 0 si y solo si [b]tβ ⋅A ⋅ [a]β > 0 para toda a ∈ V , en otras

palabras Mt⋅A⋅M para toda M ≠ 0 con M ∈ Mn×1(k). En particular tenemos que A es

invertible, ya que de no serlo existe M ∈ Mn×1(k) tal que A ⋅M = 0 ası Mt ⋅A ⋅M = 0,

lo que contradice la hipotesis de ser un operador positivo. Entonces A = [T ]β esinvertible, por lo tanto T es invertible.

108

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Lema 2.4.6. Sea T ∶ V Ð→ V un operador lineal positivo, entonces T −1 es unoperador positivo.

Demostracion. Dado que

(T −1)∗ T = (T −1)∗ T ∗

= (T T −1)∗

= (Id)∗

= Id

entonces (T −1)∗ = T −1. Por hipotesis tenemos que ⟨T (a), a⟩ > 0 para toda a ∈ V cona ≠ 0, por la observacion anterior T es invertible ası que T −1(b) ≠ 0 para toda b ∈ Vcon b ≠ 0, ası tomando T −1(b) = a tenemos que

⟨T (a), a⟩ = ⟨T (T −1(b)), T −1(b)⟩= ⟨b, T −1(b)⟩= ⟨(T −1)∗(b), b⟩= ⟨(T −1)(b), b⟩ > 0

para toda b ∈ V con b ≠ 0. Por lo tanto T −1 es un operador positivo.

A continuacion usaremos una variante del Teorema 13, pagina 341 de [17].

Teorema 2.4.7. Sea V un espacio vectorial de dimension finita y T ∶ V Ð→ V unoperador positivo. Entonces T tiene raız cuadrada positiva, es decir, existe un unicooperador positivo N tal que N2 = T.

Daremos un bosquejo de la demostracion.Demostracion. Utilizando el Teorema Espectral [17] pag. 335, T se descomponecomo

T = c1πWk+ ... + ckπWk

donde ci son los vectores propios de T , y πWies la proyeccion en el subespacio Wi

asociado al valor propio ci con i = 1, ..., k. Ası V = W1 ⊕ ... ⊕Wk pues T es normal,ademas Wi ⊥Wj para todo i, j = 1,2...., k con i ≠ j.

Por el Teorema 12 de [17], adaptado a operadores positivos, T es un operador positivosi y solo si cj > 0. Definamos

√T =

√c1πW1 + ... +

√c1πWk

entonces (√T )2 = T pues πWi

πWj= 0 para toda i ≠ j y πWi

πWi= πWi

para toda

i = 1, ..., k. Dado que√cj > 0 para toda j = 1, ..., k por el Teorema 12 de [17],

√T s

un operador positivo.

Corolario 2.4.8. Si T ∶ V Ð→ V es un operador positivo, entonces (√T )−1 es un

operador positivo.

109

Capıtulo 2

Proposicion 2.4.9. La variedad grasmaniana Gn(kN) es un retracto por deforma-cion de Projn(kN)

Demostracion. Sea ρ ∶ kN Ð→ kN una proyeccion y t0 ∈ [0,1]. Definimos ht0 ∶kN Ð→ kN como

ht0 ∶= Id + t0J∗J

donde J = 2ρ − 1.

Notemos que ht0 es un operador positivo, pues

h∗t0 = (Id + t0J∗J)∗

= Id∗ + t0(J∗J)∗

= Id + t0(J∗J∗∗)= Id + t0J∗J

O bien, utilizando la definicion tenemos que

⟨x,ht0(y)⟩ = ⟨x, (Id + t0J∗J)y⟩= ⟨x, y + t0J∗J(y)⟩= ⟨x, y⟩ + t0 ⟨x, J∗J(y)⟩= ⟨x, y⟩ + t0 ⟨J(x), J(y)⟩

por otra parte tenemos que

⟨ht0(x), y⟩ = ⟨(Id + t0J∗J)x, y⟩= ⟨x + t0J∗J(x), y⟩= ⟨x, y⟩ + t0 ⟨J∗J(x), y⟩= ⟨x, y⟩ + t0 ⟨J(x), J(y)⟩

por lo tanto h∗t0 = ht0 .

Veamos que ht es un operador positivo para toda x ∈ kn con x ≠ 0. Como ⟨ht0(x), x⟩ =⟨x,x⟩ + t0 ⟨J(x), J(x)⟩, tenemos que ⟨x,x⟩ > 0 por definicion de producto interno,t0 ≥ 0 y ⟨J(x), J(x)⟩ ≥ 0, solo nos falta probar que ⟨J(x), J(x)⟩ > 0 para toda x ≠ 0,que es equivalente a probar, que si J(x) = 0 entonces x = 0. Si J(x) = 0, entonces

0 = (2ρ − Id)(x) = (ρ − (Id − ρ))(x)= ρ(x) + (−(Id − ρ)(x))

donde ρ(x) ∈ Im ρ y (Id − ρ)(x) ∈ Im (Id − ρ), y sabemos que

kN = Im ρ⊕ Im (Id − ρ)

110

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

ya que ρ es una proyeccion. Entonces ρ(x) = 0 y (Id − ρ)(x) = 0, donde lo segundoequivale a x − ρ(x) = 0 lo que implica que x = ρ(x), ası nos queda que x = 0. Por lotanto ht0 es un operador positivo para cada t0 ∈ [0,1].

Sea

h ∶ [0,1] Ð→ MN×N(k)t Ð→ Id + tJ∗J

una funcion continua. Como h(t) es un operador positivo para cada t ∈ [0,1], utili-zando el Teorema Espectral [17] tenemos que

h(t) = c1(t)E1(t) + . . . + cl(t)El(t)

y por el Teorema 2.4.7 h(t) tiene raız cuadrada positiva

√h(t) =

√c1(t)E1(t) + . . . +

√cl(t)El(t)

Utilizando el Lema 2.4.6 y el Corolario 2.4.8 tenemos que h−1(t) y√h−1(x) son

continuas. Definimos

α ∶ [0,1] Ð→ MN×N(k)t z→

√h(t)

Sea

F ∶ Projn(kN) × I Ð→ Projn(kN)(ρ, t) z→ α(t)ρ(α(t))−1

notemos que F (ρ, t) ∈ Projn(kN) ya que

(F (ρ, t))2 = (α(t) ρ (α(t))−1)(α(t) ρ (α(t))−1)= α(t) (ρ)2 (α(t))−1

= α(t) ρ (α(t))−1

= F (ρ, t)

Para que F sea un retracto por deformacion de Projn(kN) en Gn(kN) se debe decumplir lo siguiente

1. Para toda ρ ∈ Gn(kN) se debe de tener que F (ρ, t) = ρ para toda t ∈ I.

2. Para toda ρ ∈ Projn(kN) se debe cumplir que F (ρ,0) = ρ.

3. Se debe de tener que F (ρ,1) ∈ Gn(kN) para toda ρ ∈ Projn(kN).

111

Capıtulo 2

1. Sea ρ ∈ Gn(kN), tenemos que p = p∗, ası J∗ = 2ρ∗ − Id = 2ρ − Id = J y calculando

JJ = (2ρ − Id)(2ρ − Id)= 4ρ2 − 2ρ∗ − 2ρ + Id

= 4ρ − 4ρ + Id

= Id

tenemos que

α(t) =√

Id + tJ∗J =√

Id + tJJ =√

Id + tId =√

(1 + t)Id

notemos que√

(1 + t)Id =√

(1 + t)Id ya que

√(1 + t)Id

√(1 + t)Id = (1 + t)Id

y √(1 + t)Id

√(1 + t)Id = (1 + t)Id

Ası

F (ρ, t) = α(t) ρ (α(t))−1

= (√

1 + t)Id ρ (√

1 + t)−1Id

= Id ρ Id

= ρ

entonces se cumple la primera parte.

2. Sea ρ ∈ Projn(kN) tenemos que

F (ρ,0) =√

Id + 0J∗J ρ (√

Id + 0J∗J)−1

=√

Id ρ (√

Id)−1

= Id ρ Id

= ρ

por lo tanto se cumple la segunda parte.

3. Notemos que (α(1))2 ρ (α(1))−2 = ρ∗ cuando t = 1, ya que

α(1)2 = (Id + J∗J)2

= Id + (2ρ∗ − Id)(2ρ − Id)= Id + 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ − 2ρ + Id

Ası

112

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

α(1)2 ρ = (Id + 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ − 2ρ + Id) ρ= ρ + 4ρ∗ ρ2 − 2ρ∗ρ − 2ρ2 + ρ= ρ + 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ρ − 2ρ + ρ= 2ρ∗ ρ

por otra parte

ρ∗α(1)2 = ρ∗ (Id + 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ − 2ρ + Id)= ρ∗ + 4(ρ∗)2 ρ − 2(ρ∗)2 − 2ρ∗ρ + ρ∗

= ρ∗ + 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ρ − 2ρ∗ + ρ∗

= 2ρ∗ ρ

Ası para t = 1 tenemos que

ρ∗ = (α(1))2 ρ (α(1))−2

= α(1) (α(1) ρ α(1)−1) α(1)−1

= α(1) F (ρ,1) α(1)−1

donde F (ρ,1) = (α(1))−1 ρ∗ α(1), entonces

(F (ρ,1))∗ = (α(1)−1 ρ∗ α(1))∗

= α(1)∗ ρ∗∗ (α(1)−1)∗

= α(1)∗ ρ (α(1)∗)−1

pero como α es un operador positivo, entonces es autoadjunto, ası

α(1)∗ ρ (α(1)∗)−1 = α(1) ρ (α(1))−1 = F (ρ,1)

entonces F (ρ,1) ∈ Gn(kN). Por lo tanto Gn(kN) es un retracto por deformacion deProjn(kN).

2.4.1. Una descripcion distinta

Podemos dar otra descripcion de los espacios Projn(kN) y de Gn(kN) en terminosde espacios homogeneos. Sean

GLn(k) = A ∈ Mn×n ∣ det A ≠ 0

On(k) = A ∈ GLn(k) ∣ AAt = Id

donde si queremos ser mas especıficos si k = R o C tenemos que On(k) = O(n) o U(n)respectivamente.

113

Capıtulo 2

Sea

p0 = Idkn ⊕ 0kN−n ∶ kn ⊕ kN−n Ð→ kn ⊕ kN−n

(x, y) z→ (x,0)

donde su representacion matricial es

p0 = (Idn 00 0N−n

)

Se tiene que p0 es una proyeccion y ademas

p∗0 = (Idn 00 0N−n

)t

= (Idn 00 0N−n

) = p0

por lo tanto p0 es autoadjunto.

Sea

p ∶ GLn(k) Ð→ Projn(kN)A z→ A ⋅ p0 ⋅A−1

Notemos que p esta bien definida ya que P (A) ∈ Projn(kN) pues

(p(A))2 = (A ⋅ p0 ⋅A−1)(A ⋅ p0 ⋅A−1)= A ⋅ p2

0 ⋅A−1

= A ⋅ p0 ⋅A−1

= p(A)

Definimos tambien

σ ∶ On(k) Ð→ Gn(kN)A z→ A ⋅ p0 ⋅A−1

es decir σ = p∣On(k). Notemos que σ esta bien definida pues para A ∈ On(k), pordefinicion tenemos que A−1 = At, entonces

(A ⋅ p0 ⋅A−1)∗ = (A−1)∗ ⋅ p0 ⋅A∗

= (At)t ⋅ p0 ⋅At

= A ⋅ p0 ⋅At

= A ⋅ p0 ⋅A−1

por lo tanto A ⋅ p0 ⋅A−1 ∈ Gn(kN).

114

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Proposicion 2.4.10. Las funciones p y σ inducen homeomorfismos

p ∶ GLN(k)GLn(k) ×GLN−n(k)

≅Ð→ Projn(kN)

σ ∶ ON(k)On(k) ×ON−n(k)

≅Ð→ Gn(kN)

Demostracion. Definimos la siguiente accion

∶ GLN(k) ×Projn(kN) Ð→ Projn(kN)(A,p) z→ A ⋅ p0 ⋅A−1

Notemos que esta bien definida, pues A ⋅p0 ⋅A−1 ∈ Projn(kN). La accion es continuapues es restriccion de la funcion

GLN(k) ×MN×N(k) Ð→ MN×N(k)(A,p) z→ A ⋅ p0 ⋅A−1

que es continua. Tambien cumple con la definicion de accion

1. Para p ∈ GLN×N(k)

Id p = Id ⋅ p ⋅ Id−1

= Id ⋅ p ⋅ Id= p

2. Sean A1,A2 ∈ GLN(k) y p ∈ MN×N(k), entonces

(A1 ⋅A2) p = (A1 ⋅A2) ⋅ p ⋅ (A1 ⋅A2)−1

= A1 ⋅A2 ⋅ p ⋅A−12 ⋅A−1

1

= A1 (A2 ⋅ p ⋅A−12 )

= A1 (A2 p)

Tenemos que la accion es transitiva. Sea p1, p2 ∈ Projn(kN). Tenemos que encontrarmatrices A ∈ GLn(k) tal que A ⋅ p1 ⋅A−1 = p2. Por definicion de Projn(kN) tenemosque dim(Im p1) = dim(Im p2). Sea β la base canonica de kN y sean β1, β2 basesordenadas tales que para las proyecciones p1, p2, respectivamente y su representacionmatricial con sus respectivas bases es

[p1]β1 = (Idn×n 00 0N−n

)

[p2]β2 = (Idn×n 00 0N−n

)

115

Capıtulo 2

La matriz p1 = [p1]β es semejante a la matriz [p1]β1 , y la matriz p2 = [p2]β essemejante a la matriz [p2]β2 , es decir existen matrices P1, P2 ∈ MN×N(k) invertiblestales que

P −11 ⋅ p1 ⋅ P1 = [p1]β1

P −12 ⋅ p2 ⋅ P2 = [p2]β2

Ademas tenemos que [p1]β1 = [p2]β2 es decir que P −11 ⋅ p1 ⋅ P1 = P2 ⋅ p2 ⋅ P2 despe-

jando tenemos que p2 = P2 ⋅ P −11 ⋅ p1 ⋅ P1 ⋅ P −1

2 = P2 ⋅ P −11 ⋅ p1 ⋅ (P2 ⋅ P −1

1 )−1, haciendoA = P2 ⋅P −1

1 ∈ GLn(k), tenemos que A⋅p1 ⋅A−1 = p2. Por lo tanto la accion es transitiva.

Nota. En general tenemos el isomorfismo

G/Gx0

≅Ð→ G x0

g Gx0 z→ g x0

y cuando la accion es transitiva tenemos que G x0 =X.

Aplicando lo anterior a nuestra accion con x0 = p0 ∈ Projn(kN), tenemos que

Gp0 = A ∈ GLN(k) ∣ A p0 = p0 < GLN(k)ası la biyeccion

GLn(k)≅Ð→ Projn(kN)

A Gp0 z→ A p0 = A ⋅ p0 ⋅A−1

Notemos que

Gp0 = (A1 00 A2

) ∣ (A1,A2) ∈ GLn(k) ×GLN−n(k)

En efecto, dada cualquier U ∈ GLN(k) lo podemos escribir como

U = ( An×n Bn×(N−n)

C(N−n)×n D(N−n)×(N−n))

Por definicion U ⋅ p0 ⋅U−1 = p0 y esto pasa si y solo si U ⋅ p0 = p0 ⋅U

( An×n 0C(N−n)×n 0

) = ( An×n Bn×(N−n)

C(N−n)×n D(N−n)×(N−n)) ⋅ (Idn 0

0 0N−n)

= (Idn 00 0N−n

) ⋅ ( An×n Bn×(N−n)

C(N−n)×n D(N−n)×(N−n))

= (An×n Bn×(N−n)

0 0)

116

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

entonces tenemos que C(N−n)×n = 0N−n y Bn×(N−n) = 0n×(N−n), ası U es de la forma

U = (An×n 00 D(N−n)×(N−n)

)

de esta manera establecemos la biyeccion continua que hay entre

Gp0

≅Ð→ GLn(k) ×GLN−n(k)

(An×n 00 D(N−n)×(N−n)

) z→ (An×n,D(N−n)×(N−n))

por lo tanto tenemos la biyeccion continua

p ∶ GLN(k)GLn(k) ×GLN−n(k)

Ð→ Projn(kN)

[A] z→ A p0 = A ⋅ p0 ⋅A−1

Solo resta demostrar que p es abierta. Dado q0 ∈ Projn(kN) y A0 ∈ GLN(k) tal quep(A0) = q0, es decir, A ⋅ p0 ⋅A−1 = q0, construiremos una seccion s de

p ∶ GLn(k) Ð→ Projn(kN)A z→ A ⋅ p0 ⋅A−1

en una vecindad abierta Vq0 del punto q0 tal que s(q0) = A0.

Sea

s ∶ Projn(kN) Ð→ MN×N(k)q z→ (Id − q0 − q + 2q ⋅ q0) ⋅A0

la cual es continua. Notemos que

s(q0) = (Id − q0 − q0 + 2q0 ⋅ q0) ⋅A0

= Id A0

= A0

Dado que s(q0) = A0 ∈ GLN(k) ⊂ MN×N(k) y ademas GLN(k) es abierto en MN×N ,ası GLN(k) es una vecindad abierta de A0 y como s es continua existe una vecindadabierta Vq0 de q0 ∈ Projn(kN) tal que s(Vq0) ⊆ GLN(k). Sea s la restriccion

s = s∣Vq0 ∶ Vq0 ⊂ Projn(kN)Ð→ GLN(k)

ası s esta bien definida y es continua. Veamos que s es una seccion de p en Vq0 , esdecir, demostraremos p(s(q)) = q para toda q ∈ Vq0 . Note que p(s(q)) = q se cumplepara toda q ∈ Vq0 si y solo si s(q) ⋅ p0 ⋅ (s(q))−1 para toda q ∈ Vq0 . Despejanto tenemos

117

Capıtulo 2

que s(q)⋅p0 = q ⋅s(q) para toda q ∈ Vq0 . Entonces basta demostrar que s(q)⋅p0 = q ⋅s(q)para toda q ∈ Vq0 . Por un lado tenemos que

s(q) ⋅ p0 = s(q) ⋅ p0 = (Id − q0 − q + 2q ⋅ q0) ⋅A0 ⋅ p0

= (Id −A0 ⋅ p0 ⋅A−10 − q + 2q ⋅A0 ⋅ p0 ⋅A−1

0 ) ⋅A0 ⋅ p0

= A0 ⋅ p0 −A0 ⋅ p0 ⋅A−10 ⋅A0 ⋅ p0 − q ⋅A0 ⋅ p0 + 2q ⋅A0 ⋅ p0 ⋅A−1

0 ⋅A0 ⋅ p0

= A0 ⋅ p0 −A0 ⋅ p20 − q ⋅A0 ⋅ p0 + 2q ⋅A0 ⋅ p2

0

= A0 ⋅ p0 −A0 ⋅ p0 − q ⋅A0 ⋅ p0 + 2q ⋅A0 ⋅ p0

= q ⋅A0 ⋅ p0

Por otra parte tenemos

q ⋅ s(q) = q ⋅ (Id − q0 − q + 2q ⋅ q0) ⋅A0

= (q − q ⋅ q0 − q2 + 2q2 ⋅ q0) ⋅A0

= (q − q ⋅ q0 − q + 2q ⋅ q0) ⋅A0

= q ⋅A0 − q ⋅ q0 ⋅A0 − q ⋅A0 + 2q ⋅ q0 ⋅A0

= q ⋅ q0 ⋅A0

= q ⋅A0 ⋅ p0 ⋅A−10 ⋅A0

= q ⋅A0 ⋅ p0

por lo tanto s es una seccion de p en la vecindad Vq0 . Usando lo anterior demostra-remos que

p ∶ GLN(k)GLn(k) ×GLN−n(k)

Ð→ Projn(kN)

[A] z→ A p0 = A ⋅ p0 ⋅A−1

es una funcion abierta. Sea [A] ∈ GLN(k)/Gp0 y q0 = p([A0]). Sea W cualquiervecindad abierta de [A]. Por la construccion anterior existe una vecindad Vq0 de q0

en Projn(kN) y una seccion continua s de p ∶ GLn(k) Ð→ Projn(kN), ası s ∶ Vq0 Ð→GLN(k) es tal que s(q0) = A0. Sea s la funcion dada por la composicion

Projn(kN) ⊇ Vq0sÐ→ GLN(k) πÐ→ GLN(k)/Gp0

es decir, s = π s. Notemos que p s∣Vq0 = Id, esto es, s es seccion continua de p en

la vecindad Vq0 . Por otra parte, dado que s es continua tenemos que s−1(W ) es unavecindad abierta de q0 en Projn(kN).

Notemos que [A0] ∈W ∩ s(Vq0) ⊆W y ası

p(W ) ⊇ p(W ∩ s(Vq0))= p(s(s−1(W )))= IdVq0(s

−1(W ))= s−1(W )

118

Teorıa de homotopıa de haces vectoriales

Ası, hemos demostrado que dado [A0] ∈ GLN (k)Gp0

y dada cualquier vecindad W de [A0]existe una vecindad abierta U = s−1(W ) del punto p([A0]) = q0 en Projn(kN) tal ques−1(W ) ⊆ p(W ). Por lo tanto p es abierta. La segunda parte de la demostracion se

sigue de la restriccion del homomorfismo p aON

On ×ON−n

.

119

120

Capıtulo 3

El grupo de Grothendieck yK-teorıa

3.1. Construccion de Grothendieck

Consideremos un monoide abeliano M , es decir, un conjunto con una operacionbinaria, denotada por +, que satisface las propiedades de grupo abeliano, exceptoposiblemente la existencia de inversos. Es posible asociarle un grupo abeliano S(M)a M y un homomorfismo de monoides s ∶ M Ð→ S(M), tal que tiene la siguientepropiedad universal:

Para cada grupo abeliano G y cualquier homomorfismo de monoides f ∶ M Ð→ G,hay un unico homomorfismo de grupos f ∶ S(M) Ð→ G tal que hace conmutar elsiguiente diagrama

M

f @@@@@@@@s // S(M)

f||yyyyyyyyy

G

Existen varias posibles construcciones para s y S(M), todas son equivalentes salvoisomorfismos.

1. Consideremos el producto M ×M y la siguiente relacion de equivalencia:

(m,n) ∼1 (m′, n′) si, y solo si existe p ∈M tal que m + n′ + p =m′ + n + p

entonces, definimos S(M) =M ×M/ ∼1, donde

s ∶M Ð→ S(M)m z→ [(m,0)]

Veamos que ∼1 es una relacion de equivalencia

121

Capıtulo 3

a) Sea (m,n) ∈M ×M , por ser M monoide existe un neutro e ∈M tal quem + n + e =m + n + e, entonces (m,n) ∼1 (m,n).

b) Supongamos que (m,n) ∼1 (m′, n′), entonces existe p ∈M tal que m+n′+p =m′ + n + p que es lo mismo que expresarlo como m′ + n + p =m + n′ + ppor lo tanto (m′, n′) ∼1 (m,n).

c) Supongamos que (m,n) ∼1 (m′, n′) y (m′, n′) ∼1 (m, n), entonces existenp, q ∈M tales que

m + n′ + p =m′ + n + pm′ + n + q = m + n′ + q.

Sumando ambas ecuaciones tenemos que

m + n + n′ +m′ + p + q = m + n +m′ + n′ + q + p

Como n′ +m′ + p+ q ∈M tenemos que (m,n) ∼1 (m, n). Por lo tanto ∼1 esuna relacion de equivalencia.

Veamos que S(M) es un grupo, para ello primero demostraremos que laoperacion esta bien definida. Sean (m1,m′

1) ∼1 (n1, n′1) y (m2,m′2) ∼1 (n2, n′2),

entonces existen p1, p2 ∈ M tales que m1 + n′1 + p1 = m′1 + n1 + p1 y

m2 + n′2 + p2 = m′2 + n2 + p2, sumando ambas ecuaciones tenemos que

m1 +m2 +n′1 +n′2 + p1 + p2 =m′1 +m′

2 +n1 +n2 + p1 + p2, debido a que p1 + p1 ∈Mse tiene que (m1 +m2,m′

1 +m′2) ∼1 (n1 +n2, n′1 +n′2) y por lo tanto la operacion

esta bien definida.

La asociatividad y la conmutatividad son heredadas del monoide M ×M , solotenemos que ver la existencia de inversos. Sea [(m,n)] ∈ S(M), entonces existe(n,m) ∈ S(M) tal que

[(m,n)] + [(n,m)] = [(e, e)]

por lo tanto S(M) es un grupo.

Falta ver que cumple la propiedad universal. Sea G un grupo y f ∶ M Ð→ Gun homomorfismo de monoides. Sea f definida por

f ∶ S(M) Ð→ G

[(m,n)] z→ f(m) − f(n)

122

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Veamos que f esta bien definida, sea (m,n) ∼1 (m′, n′) entonces existe p ∈Mtal que m + n′ + p =m′ + n + p, entonces

f(m + n′ + p) = f(m′ + n + p)⇒ f(m) + f(n′) + f(p) = f(m′) + f(n) + f(p)

⇒ f(m) − f(n) = f(m′) − f(n′)⇒ f([(m,n)]) = f([(m′, n′)])

Notemos que f es homomorfismo de grupos, pues

f([(m +m′, n + n′)]) = f(m +m′) − f(n + n′)= f(m) + f(m′) − (f(n) + f(n′))= f(m) − f(n) + f(m′) − f(n′)= f([(m,n)]) + f([m′, n′])

por lo tanto f es un homomorfismo. Falta ver que f es unico, sea g ∶ S(M)Ð→G otro homomorfismo que satisface el mismo diagrama

M

f @@@@@@@@s // S(M)

f||yyyyyyyyy

G

es decir, f = g s. Por hipotesis f = f s, entonces para toda m ∈M

g(s(m)) = f(s(m))⇒ g([(m,0)]) = f([(m,0)])

Por otra parte, y utilizando el hecho de que g([(m,0)]) = f([(m,0)]) tenemosque

e = g([(m,0)]) − g([(m,0)]) = f([(m,0)]) − f([(m,0)])⇒ e = g([(m,0)]) + g([(0,m)]) = f([(m,0)]) + f([(0,m)])⇒ f([(m,0)]) + g([(0,m)]) = f([(m,0)]) + f([(0,m)])

⇒ g([(0,m)]) = f([(0,m)])

Ası dado que cualquier elemento [(m,n)] ∈ S(M) se escribe como [(m,0)] +[(0, n)] tenemos que

f([(m,n)]) = f([(m,0)] + [(0, n)])= f([(m,0)]) + f([(0, n)])= g([(m,0)]) + g([(0, n)])= g([(m,0)] + [(0, n)])= g([(m,n)])

por lo tanto f es unica.

123

Capıtulo 3

2. Una segunda construccion es considerar el cociente de M ×M con la siguenterelacion de equivalencia

(m,n) ∼2 (m′, n′) si, y solo si existen p, q ∈M tal que (m,n)+(p, p) = (m′, n′)+(q, q)

con

s′ ∶M Ð→ S(M)m z→ [(m,0)]

Los detalles de esta construccion se demuestran de manera similar que la cons-truccion de ∼1.

Demostraremos que cualquier (S(M), s) que satisfaga la propiedad universal esunica salvo isomorfismos. Sea M un monoide abeliano, entonces consideremos laconstruccion S(M) junto con su homomorfismo de monoides s ∶ M Ð→ S(M). SeaS′(M) un grupo junto con un homomorfismo de monoides s′ ∶ M Ð→ S′(M) quesatisfaga la propiedad universal.

Usando la propiedad universal tenemos que existen homomorfismos de grupos

t ∶ S(M) Ð→ S′(M)q ∶ S′(M) Ð→ S(M)

tales que hacen conmutar los siguientes diagramas

Ms //

s′ ""FFFFFFFFF S(M)

tzzu uu

uu

S′(M)

(3.1)

Ms′ //

s""EEEEEEEEE S′(M)

qzzu u

uu

u

S(M)

(3.2)

Por otra parte, tenemos los siguientes diagramas conmutativos

Ms //

s""EEEEEEEEE S(M)

IdS(M)zzu uu

uu

S(M)

(3.3)

Ms′ //

s′ ""FFFFFFFFF S′(M)

IdS′(M)yyt tt

tt

S′(M)

(3.4)

donde IdS(M) y IdS′(M) son homomorfismos de grupos.

124

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Utilizando la conmutatividad de los diagramas 3.1, 3.2, 3.3 y 3.4 tenemos el siguientediagrama conmutativo

S(M)t

IdS(M)

S′(M)q

IdS′(M)

M

s

??

s′77ooooooooooooo s //

s′

''OOOOOOOOOOOOO S(M)t

S′(M)

donde q t = IdS(M) y t q = IdS′(M), por lo tanto t es un isomorfismo de grupos yS(M) ≅ S′(M).

En cada una de las construcciones anteriores, cada elemento de S(M) puede serescrito de la forma s(m) − s(n) con m,n ∈ M . En general el morfismo s no esinyectivo (Ejemplo 3.1.3).

Ejemplo 3.1.1. Sea M = N⋃0 un monoide abeliano, demostraremos queS(N⋃0) ≅ Z. Si tomamos el homomorfismo de monoides

f ∶ N ∪ 0 Ð→ Zn z→ n

tenemos que demostrar que f es una biyeccion.

N ∪ 0 s //

f##GGGGGGGGG

S(M) = (N ∪ 0) × (N ∪ 0)/ ∼1

fttjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

ZInyectividad. Sea [(m,n)] ∈ Ker f , tenemos que

f([(m,n)]) = f(m) − f(n)= m − n = 0

entonces m = n. Ası (m,n) ∼1 (0,0) pues 0 ∈ N ∪ 0 es tal que

m + 0 + 0 = n + 0 + 0.

Por lo tanto f es inyectiva.

Sobreyectividad. Sea m ∈ Z, si m ≥ 0 existe [(m,0)] ∈ S(M) tal que f([(m,0)]) =f(m) − f(0) =m. Si m ≤ 0, haciendo m = −n para algun n ∈ N ∪ 0 existe [(0, n)] ∈S(M) tal que f([(0, n)]) = f(0) − f(n) = −n = m. Ası f es sobreyectiva y por lotanto S(M) ≅ Z.

125

Capıtulo 3

⋆

Ejemplo 3.1.2. Sea M = Z − 0, un monoide abeliano donde la operacion binariaes la multiplicacion. Entonces S(M) ≅ Q − 0. En efecto, sea

f ∶ Z − 0 Ð→ Q − 0n z→ n

tenemos que demostrar que f es una biyeccion.

Z − 0 s //

f %%KKKKKKKKKKS(M) = (Z − 0) × (Z − 0)/ ∼1

fttiiiiiiiiiiiiiiiiii

Q − 0

Inyectividad. Sea [(p, q)] ∈ Ker f , tenemos que

1 = f([(p, q)]) = f(p) ⋅ (f(q))−1

= p ⋅ q−1

entonces p = q. Ası (p, q) ∼1 (1,1) pues 1 ∈ Z − 0 es tal que

p ⋅ 1 ⋅ 1 = q ⋅ 1 ⋅ 1.

Por lo tanto f es inyectiva.

Sobreyectividad. Sea pq ∈ Q − 0 con p, q ∈ Z − 0, ası

f([(p, q)]) = f(p) ⋅ (f(q))−1

= p ⋅ q−1

= p

q.

Ası f es sobreyectiva y por lo tanto S(M) ≅ Z.

⋆

Ejemplo 3.1.3. Sea M un monoide abeliano con la propiedad de que existe unelemento ∞ ∈ M tal que m +∞ = ∞ para todo m ∈ M . Entonces S(M) = 0 ya quecada elemento de S(M) se escribe de la forma s(m) − s(n), entonces

s(m) − s(n) = s(m) + s(∞) − s(n) − s(∞)= s(m +∞) − s(n +∞)= s(∞) − s(∞)= 0.

Otros casos donde el grupo de Grothendieck es igual a el grupo trivial, es consi-derando el monoide de numeros enteros con la multiplicacion (Z, ⋅), o considerar elconjunto de numeros reales positivos junto con 0, con la multiplicacion como opera-cion binaria (R+ ∪ 0 , ⋅).

126

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

⋆

Nota 3.1.4. El grupo S(M) depende funtorialmente de M . Si f ∶ M Ð→ N es unhomomorfismo de monoides, la propiedad universal permite definir un unico homo-morfismo S(f) ∶ S(M)Ð→ S(N) tal que hace conmutar el siguiente diagrama

Mf //

s

N

s′

S(M)S(f)=s′f

// S(N)

donde s′ f es homomorfismo de monoides. Mas aun S(g f) = S(g) S(f), ya quesi f ∶M Ð→ N y g ∶ N Ð→ N ′ son homomorfismos de monoides tenemos el siguientediagrama conmutativo

M

s

f // N

s′

g // N ′

s′′

S(M) S(f) //

S(gf)

99S(N) S(g) // S(N ′)

Por unicidad tenemos que S(g f) = S(g) S(f), tambien para IdM ∶ M Ð→ Mtenemos que S(IdM) = IdS(M)

Definicion 3.1.5. Una categorıa aditiva C es una categorıa con objeto cero en laque cualesquiera dos objetos poseen un producto y el conjunto de morfismos C (X,Y )es un grupo abeliano tal que la composicion

C (X,Y ) ×C (Y,Z)Ð→ C (X,Z)

es bilineal.

Definicion 3.1.6. Sean A and B categorias aditivas. Un funtor F ∶ A Ð→ Bes llamado funtor aditivo si para A,B ∈ A , la funcion FA,B ∶ A (A,B) Ð→B(F (A), F (B)) dada por FA,B(f) = F (f) es un homomorfismo de grupo. En otraspalabras, si f, g ∶ AÐ→ B son dos morfismos, entonces

F (f + g) = F (f) + F (g).

Consideremos una categorıa aditiva C , si E es un objeto en C , denotamos la clasede isomorfismos de E por E. Denotaremos por φ(C ) al conjunto de clases de isomor-fismos, y le daremos estructura de monoide definiendo la operacion E + F = E ⊕ F ,donde E ⊕ F es el producto de la categorıa.Veamos que la operacion + esta bien definida, supongamos que E ≅ E′ y F ≅ F ′

y sean θ1 ∶ E Ð→ E′, θ2 ∶ F Ð→ F ′ los respectivos isomorfismos, entonces existenmorfismos h y h′ unicos tales que los siguientes diagramas conmutan

127

Capıtulo 3

E′ i′ //

IdE′

%%

E′ ⊕ F ′ F ′j′oo

IdF ′

yy

E

θ1

OO

i // E ⊕ Fh

OO

Fjoo

θ2

OO

E′

θ−11

OO

i′ // E′ ⊕ F ′

h′OO

F ′j′oo

θ−12

OO(3.5)

Ei //

IdE

%%

E ⊕ F Fjoo

IdF

yy

E′ i′ //

θ−11

OO

E′ ⊕ F ′

h′OO

F ′j′oo

θ−12

OO

Ei //

θ1

OO

E ⊕ Fh

OO

Fjoo

θ2

OO(3.6)

Utilizando la conmutatividad de los diagramas 3.5 y 3.6, y la propiedad universaldel producto se tiene que h h′ = IdE′⊕F ′ y h′ h = IdE⊕F . Ası E ⊕F ≅ E′ ⊕F ′ y porlo tanto la operacion + esta bien definida. Mas aun, usando la propiedad universalse demuestra que E ⊕ F ≅ F ⊕E, (E ⊕ F )⊕G ≅ E ⊕ (F ⊕G) y E ⊕ 0 ≅ E donde 0es el objeto cero en C . Entonces tenemos una estructura de monoide abeliano paraφ(C ).

Definicion 3.1.7. En la situacion del ejemplo anterior, decimos que S(M), dondeM = φ(C ), es llamado el grupo de Grothendieck de C y se denota por K(C ).

Notemos que si ϕ ∶ C Ð→ C ′ es un funtor aditivo, entonces ϕ induce un homomor-fismo de monoides φ(ϕ) ∶ φ(C ) Ð→ φ(C ′). En efecto, sean E,F dos representantes

de E ∈ φ(C ), donde f ∶ E ≅Ð→ F es el isomorfismo correspondiente, entonces porfuntorialidad ϕ(f) ∶ ϕ(E)Ð→ ϕ(F ) es isomorfismo. De esta manera la funcion

φ(ϕ) ∶ φ(C ) Ð→ φ(C ′)E z→ ϕ(E)

esta bien definida.

Veamos que φ(ϕ) es un homomorfismo de monoides. Sean E,F ∈ φ(C ) se tiene que

φ(ϕ)(E ⊕ F ) = ϕ(E ⊕ F )= ϕ(E)⊕ ϕ(F )= ϕ(E) + ϕ(F )= φ(ϕ)(E) + φ(ϕ)(F )

donde la segunda igualdad se da usando la propiedad universal de producto y co-producto obteniendo que ϕ(E ⊕ F ) ≅ ϕ(E) ⊕ ϕ(F ) ([20], Capıtulo 2) y la terceraigualdad se debe a la definicion de la operacion +, la cual comprobamos antes queesta bien definida.

Usando la nota 3.1.4, tenemos que el homomorfismo de monoides φ(ϕ) ∶ φ(C ) Ð→φ(C ′) induce un homomorfismo de grupos

ϕ∗ ∶K(C )Ð→K(C ′).

128

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Sea C ′′ otra categorıa aditiva y ψ ∶ C ′ Ð→ C ′′ un funtor aditivo, entonces tenemosque (ψ ϕ)∗ = ϕ∗ ψ∗ por la nota 3.1.4.

φ(C )φ(ϕ)

//

s

φ(ψϕ)

&&φ(C ′)

φ(ψ)//

s′

φ(C ′′)

s′′

K(C ) ϕ∗ //

(ψϕ)∗

88K(C ′) ψ∗ // K(C ′′)

Ejemplo 3.1.8. Sea k un campo arbitrario y sea C una categorıa cuyos objetosson k-espacios vectoriales de dimension finita y los morfismos son funciones lineales.Entonces de la teorıa clasica de espacios vectoriales tenemos que φ(C ) ≅ N, ya quela clase de isomorfismos queda determinada por la dimension del espacio vectorial.Ası usando el Ejemplo 3.1.1 tenemos que K(C ) = Z.

⋆

Ejemplo 3.1.9. Sea C una categorıa aditiva dotada con un funtor aditivo τ ∶ C Ð→C y el isomorfismo τ + IdC ≅ τ , esto es, τ(E) ⊕ E ≅ τ(E) para todo E ∈ C0 yτ(f) ⊕ f ≅ Id para f ∈ C (A,B) donde τ(f) ⊕ f es el unico morfismo tal que elsiguiente diagrama conmuta.

τ(B) //

τ(f)

τ(B)⊕Bτ(f)⊕f

Boo

f

τ(A) // τ(A)⊕A Aoo

Entonces K(C ) = 0, ya que la identidad anterior implica s(τ(E)) + s(E) =s(τ(E)), entonces s(E) = 0, ası tenemos las mismas condiciones que el caso delEjemplo 3.1.3.

⋆

Ejemplo 3.1.10. Sea C una categorıa cuyos objetos son k-espacios vectoriales,definimos el funtor

τ ∶ C Ð→ C

E z→ E ⊕E ⊕ ...⊕E ⊕ ...

Este funtor cumple la condicion planteada en el ejemplo anterior, debido

s(τ(E))⊕ s(E) ≅ s(E ⊕E ⊕ ...⊕E ⊕ ...)⊕ s(E)≅ s(E ⊕E ⊕ ...⊕E ⊕ ...)≅ s(τ(E)).

129

Capıtulo 3

⋆

Lema 3.1.11. La categorıa de haces vectoriales sobre X, denotada por E (X), esuna categorıa aditiva donde el producto es la suma de Whitney.

Demostracion. Sean E,F,G ∈ E (X)0, entonces E ⊕F ∈ E (X)0 ya que la categorıade espacios vectoriales E es una categorıa aditiva. Consideremos las inclusiones ιE ∶E Ð→ E ⊕F y ιF ∶ F Ð→ E ⊕F y los morfismos generales f ∶ E Ð→ G y g ∶ F Ð→ G,entonces existe un unico morfismo h ∶ E ⊕ F Ð→ G que hace conmutar el siguientediagrama

G

E

f;;wwwwwwwww

ιE// E ⊕ F

h

OO

FιFoo

gccGGGGGGGGG

donde h = f ⊕ g. Por lo tanto E (X) posee un producto.

Veamos que E (X)(E,F ) es un grupo abeliano. Sean f, g ∶ E Ð→ F morfismos gene-rales, definimos la suma de morfismos generales en las fibras como

(f + g)x(e) = fx(e) + gx(e)

ası E (X)(E,F ) tiene estructura de grupo.

Sean E,F,G ∈ E (X)0, demostraremos que la composicion

E (X)(E,F ) × E (X)(F,G)Ð→ E (X)(E,G)

es bilineal. Sean f1, f2 ∈ E (X)(E,F ), g ∈ E (X)(F,G) y e ∈ Ex entonces

(gx (f1 + f2)x)(e) = gx((f1 + f2)x(e))= gx((f1)x(e) + (f2)x(e))= gx((f1)x(e)) + gx((f2)x(e))= (g f1)x(e) + (g f2)x(e)= (g f1 + g f2)x(e)

donde esta ultima igualdad se debe a que g es un morfismo general. El caso(f1 + f2) h = f1 h + f2 h se demuestra de manera analoga.

Consideremos la categorıa E (X). Denotaremos por K(X) al grupo de Grothendieckde E (X), si queremos ser mas precisos, denotaremos por Kk(X) al grupo de Grot-hendieck de la clase de isomorfismos de haces vectoriales sobre X con coeficientesen un campo k (k = R o C). El objeto principal de la K-teorıa topologica escalcular K(X) para espacios interesantes X. Observemos que la K-teorıa topologicaviene siendo un caso especial de la K-teorıa algebraica. El Teorema I.6.17 de [16]muestra que la categorıa E (X) es equivalente a P(A), la categorıa cuyos objetos

130

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

son A-modulos proyectivos finitamente generados y cuyos morfismos son funcionesA-lineales donde A es el anillo de funciones continuas sobre X. En consecuencialas construcciones de Grothendieck K(X) y K(P(A)) son isomorfas. Muchas delas tecnicas de K-teorıa algebraica estan inspiradas por las tecnicas de la K-teorıatopologica.

Para la categorıa E (X) tenemos que K(X) depende contravariantemente, esto es,si f ∶ Y Ð→ X es una funcion continua, entonces f induce un funtor f∗ ∶ E (X) Ð→E (Y ), que a su vez induce un homomorfismo de grupos K(X) Ð→ K(Y ) denotadonuevamente por f∗. Usando el Lema 1.1.13 tenemos (g f)∗ = f∗ g∗ y Id∗ = Id.

Proposicion 3.1.12. Sea C una categorıa aditiva y sea [E] = s(E) la clase delobjeto E ∈ C0 en el grupo de Grothendieck K(C ). Entonces cada elemento de K(C )se puede expresar de la forma [E] − [F ]. Mas aun [E] − [F ] = [E′] − [F ′] en K(C )si y solo si existe G ∈ C0 tal que

E ⊕ F ′ ⊕G ≅ E′ ⊕ F ⊕G

Demostracion. Sean E,F ∈ C0, por construccion del grupo de Grothendieck tene-mos que al par (E,F ) es posible expresarlo como s(E)− s(F ) = [E]− [F ]. Mas aun,

(E,F ) define el mismo elemento (E′, F

′) en K(C ), si y solo si existe G ∈ φ(C ) (esto

es G ∈ C0) tal que E+F ′+G = E′+F +G, es decir, si y solo si E⊕F ⊕G ≅ E′⊕F ′⊕G.

Corolario 3.1.13. Sean E y F objetos de C . Entonces [E] = [F ] si y solo si existeun objeto G ∈ C0 tal que E ⊕G ≅ F ⊕G.

Definicion 3.1.14. Denotaremos por θn al haz vectorial trivial de rango nsobre X, es decir, θn =X × kn.

Proposicion 3.1.15. Sea X un espacio topologico compacto, entonces cualquierelemento x ∈K(X) puede ser expresado de la forma [E]− [θn] para algun n y algunhaz vectorial E sobre X. Mas aun, [E]− [θn] = [F ]− [θp] si y solo si existe un enteroq tal que E ⊕ θp+q ≅ F ⊕ θn+q.

Demostracion. Aplicaremos la Proposicion 3.1.12 a la categorıa C = E (X). Sa-bemos que cada elemento x ∈ K(X) se escribe de la forma [E1] − [F1], donde E1

y F1 son haces vectoriales sobre X. Aplicando la Proposicion 1.7.18 existe un hazvectorial F2 tal que F1 ⊕ F2 es un haz trivial, digamos θn. Calculando

[E1] − [F1] = [E1] + [F2] − [F2] − [F1]= [E1] + [F2] − ([F2] + [F1])= [E] − [θn]

donde E = E1 ⊕ F2.

131

Capıtulo 3

Probaremos ahora la segunda parte de la proposicion.(⇒) Supongamos que [E]− [θn] = [F ]− [θp]. Por la segunda parte de la Proposicion3.1.12, existe un haz vectorial G ∈ C0 tal que E ⊕ θp ⊕G ≅ F ⊕ θn ⊕G. Utilizando elTeorema 1.7.18 existe G1 ∈ C0 tal que G⊕G1 ≅ θq para algun entero q, entonces

E ⊕ θp+q ≅ E ⊕ θp ⊕ θq≅ E ⊕ θp ⊕G⊕G1

≅ F ⊕ θn ⊕G⊕G1

≅ F ⊕ θn ⊕ θq≅ F ⊕ θn+q

y por lo tanto E ⊕ θp+q ≅ F ⊕ θn+q.

(⇐) Supongamos que existe un entero q tal que E⊕θp+q ≅ F⊕θn+q, esto es E⊕θp⊕θq ≅F ⊕ θn ⊕ θq. Usando la Proposicion 3.1.12 se tiene que [E] − [θn] = [F ] − [θp].

Corolario 3.1.16. Sean E,F ∈ E (X)0 haces vectoriales sobre X, entonces [E] = [F ]en K(X) si y solo si E ⊕ θn ≅ F ⊕ θn para algun entero n. ∎

Sabemos que el funtor K ∶ E (X)Ð→Grab es contravariante, entonces la proyeccionα′ ∶X Ð→ P = x0 con x0 ∈X induce un homomorfismo de monoides α ∶ φ(x0)Ð→φ(X), que a su vez induce un homomorfismo de grupos (α′)∗ ∶ K(P ) Ð→ K(X) ycomo Z ≅K(P ) tenemos un homomorfismo de grupos α ∶ ZÐ→K(X). Definimos laK-teorıa reducida como

K(X) = Coker (α′)∗ = K(X)Im (α′)∗

.

Si queremos ser mas especıficos denotaremos a K(X) por Kk(X) con k = R o C.

Proposicion 3.1.17. Si X ≠ ∅, entonces la siguiente sucesion es exacta

0 // Z α // K(X) β // K(X) // 0

donde β ∶ K(X) Ð→ K(X) es la proyeccion canonica de K(X) a K(X) = K(X)

Im (α′)∗ .Mas aun, la eleccion de un punto x0 ∈ X determina una escision canonica tal queK(X) ≅ Ker (K(X)Ð→K(x0) ≅ Z) y

K(X) ≅ Z⊕ K(X)

Demostracion. Sea ι ∶ x0 Ð→ X la inclusion de x0 en X. Sea α′ ∶ X Ð→ x0la proyeccion de X a x0. Tenemos el diagrama conmutativo

x0

Idx0

<<ι // X

α′ // x0

132

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Aplicando el funtor K obtenemos el diagrama conmutativo

K(x0) K(X)ι∗oo K(x0)(α′)∗oo

IdK(x0)

xx

Z

γ ≅

OO

Z

γ≅

OO

α

ffLLLLLLLLLLL

entonces

(γ−1 ι∗) α = γ−1 ι∗ (α′)∗ γ= γ−1 IdK(x0) γ= IdZ

Por lo tanto α tiene un inverso izquierdo que es γ−1 ι∗. Entonces la sucesion esexacta y se escinde, por lo tanto K(X) ≅ Z⊕ K(X).

Lema 3.1.18. Usando la notacion de la Proposicion 3.1.17, Im α es el conjunto dediferencias de clases de isomorfismo de haces vectoriales triviales, es decir,

Im α = [θn] − [θm] ∣n,m ∈ N ∪ 0 .

Demostracion. Sea (α′)∗ ∶ E (x0) Ð→ E (X) el funtor asociado a la funcion α′ ∶X Ð→ x0, dado por el pull back de la definicion 1.1.12. Sea E ∈ Im (α′)∗, entoncesprobaremos que E ≅X × kN para alguna N ∈ N.

E = (α′)∗(E′)

π′

E′

π

X

α′ // x0

En efecto, (α′)∗(E′) = E para algun haz vectorial trivial E′ = x0× kN para algunaN ∈ N, entonces

E = (α′)∗(E′) = (x, e) ∈X ×E′∣π(e) = f(x)= (x, (x0, v)) ∈X × (x0 × kN)∣π(x0, v) = x0= (x, (x0, v)) ∈X × (x0 × kN)≅ (x, v) ∈X × kN= X × kN .

Por lo tanto E ≅ X × kN . Recıprocamente, si E ∈ E (X) es tal que E ≅ X × kNpara algun N ∈ N entonces claramente E ≅ (α′)∗(x0 × kN). Por otro lado, usando

133

Capıtulo 3

el homomorfismo de monoides inducido por α′, φ(α′) ∶ φ(x0) Ð→ φ(X) tenemosque Im φ(α′) es el submonoide de clases de isomorfismo de haces vectoriales sobreX. Entonces, usando el homomorfismo de grupos inducido por la construccion deGrothendieck (α′)∗ ∶K(x0)Ð→K(X), tenemos que

Im (α′)∗ = [θn] − [θm] ∣n,m ∈ N ∪ 0 .

En particular [θn] ∈ Im (α′)∗ = Ker β para toda n ∈ N ∪ 0. Por lo tanto Ker βcontiene al conjunto de clases de isomorfismos de haces vectoriales triviales.

Proposicion 3.1.19. Sea γ ∶ φ(X)Ð→ K(X) definida por la composicion

φ(X) s // K(X) β // K(X)

donde s es el morfismo dado por la construccion de Grothendieck y β esta definidaen la proposicion anterior. Entonces γ es sobreyectiva. Mas aun γ(E) = γ(F ), si ysolo si E ⊕ θn ≅ F ⊕ θp para algun haz trivial θn y θp.

Demostracion. Sea [E] ∈ K(X). Como β es sobreyectiva existe [E] ∈ K(X) tal

que β([E]) = [E], usando la Proposicion 3.1.15 [E] = [F ] − [θn] para algun hazvectorial F y para algun un haz vectorial trivial θn con n ∈ N. Usando el hecho deque [θn] ∈ Ker β por el comentario despues del Lema 3.1.18, es decir, β([θn]) = 0,tenemos que

γ(F ) = β(s(F ))= β([F ])= β([F ]) − β([θn])= β([F ] − [θn])= β([E])= [E].

Por lo tanto γ ∶ φÐ→ K(X) es sobreyectiva.Afimar que γ(E) = γ(F ) es equivalente a afirmar que [E] − [F ] = [θp] − [θr] paraalgun par de enteros p, r. Por la Proposicion 3.1.12 esto se cumple si y solo siE ⊕ θr ⊕ θt ≅ F ⊕ θp ⊕ θt para algun entero t, entonces E ⊕ θs ≅ F ⊕ θq, con s = r + t yq = p + t.

La proposicion anterior da una conveniente definicion para K(X), es decir, K(X)es cociente de φ(X) con la relacion E ∼ F si y solo si existen enteros n, p tal queE ⊕ θn ≅ F ⊕ θp

Teorema 3.1.20. Sean X y Y espacios topologicos compactos y sean f0, f1 ∶X Ð→ Yfunciones continuas homotopicas. Entonces f0 y f1 inducen los mismos homomorfis-mos K(Y )Ð→K(X) y K(Y )Ð→ K(X).

134

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Demostracion. De acuerdo con el Teorema 2.1.2 las funciones f0 y f1 inducen hacesisomorfos f∗0 (E) ≅ f∗1 (E) para todo E ∈ E (Y ), esto es

E (Y ) Ð→ E (X)E z→ f∗0 (E) ≅ f∗1 (E)

para todo E ∈ E (Y ). Ası inducen las funciones

f∗

0 ∶ φ(Y ) Ð→ φ(X)E z→ f∗0 (E)

f∗

1 ∶ φ(Y ) Ð→ φ(X)E z→ f∗1 (E)

las cuales estan bien definidas pues f∗0 y f∗1 son funtores. Ası f∗

0(E) = f∗1(E) pues

f∗0 (E) ≅ f∗1 (E) para todo E ∈ E (Y ). En consecuencia f∗

0 = f∗1 inducen el mismohomomorfismo de grupos f∗0 = f∗1 ∶K(Y )Ð→K(X).

Por otra parte, sean α ∶ X Ð→ P y β ∶ Y Ð→ P las proyecciones de los espaciosX y Y a un punto P = x0, respectivamente. Debido a que el siguiente diagrama esconmutativo

K(Y )f∗i // K(X)

K(P )α∗

::uuuuuuuuuβ∗

ddIIIIIIIII

para i = 1,2 se tiene que f∗i (Im β∗) = Im α∗ para i = 1,2. Luego, f∗i induce unhomomorfismo de grupos

fi ∶ K(Y ) =K(Y )/Im β Ð→ K(X) =K(X)/Im α

x z→ f∗i (x)el cual esta bien definido para i = 1,2. De la primera parte de la demostracion tenemosque f∗1 = f∗2 , por lo tanto f1 = f2.

Lema 3.1.21. Sean M1 y M2 dos monoides abelianos, entonces S(M1 ⊕ M2) ≅S(M1)⊕ S(M2).

Demostracion. Sean s1 ∶ M1 Ð→ S(M1), s2 ∶ M2 Ð→ S(M2) las com-pletaciones de Grothendieck para M1 y M2 respectivamente. Veamos ques1 ⊕ s2 ∶ M1 ⊕ M2 Ð→ S(M1) ⊕ S(M2) es la completacion de Grothendieckpara M1 ⊕M2, y ası tendremos que S(M1)⊕ S(M2) ≅ S(M1 ⊕M2).

Sea G un grupo abeliano y sea f ∶ M1 ⊕M2 Ð→ G cualquier homomorfismo demonoides, entonces existen unicas h1 ∶ S(M1) Ð→ G y h2 ∶ S(M2) Ð→ G tal quehacen conmutar los siguientes diagramas

135

Capıtulo 3

M1

fι1 AAAAAAAAs1 // S(M1)

h1xxxxxxxxx

G

(3.7)

M2

fι2 AAAAAAAAs2 // S(M2)

h2xxxxxxxxx

G

(3.8)

donde ι1 ∶M1 Ð→M1 ⊕M2 y ι2 ∶M2 Ð→M1 ⊕M2 son las inclusiones canonicas.

Sean π1 ∶ S(M1) ⊕ S(M2) Ð→ S(M1) y π2 ∶ S(M1) ⊕ S(M2) Ð→ S(M2) las proyec-ciones canonicas. Sea

h ∶ S(M1)⊕ S(M2) Ð→ G

(m1,m2) z→ h1 π1(m1,m2) + h2 π2(m1,m2)

entonces h es tal que hace conmutar el siguiente diagrama

M1 ⊕M2s1⊕s2 //

f$$IIIIIIIIII S(M1)⊕ S(M2)

hwwpppppppppppp

G

(3.9)

En efecto, sea (m1,m2) ∈M1 ⊕M2 entonces

(h (s1 ⊕ s2))(m1,m2) = h(s1(m1), s2(m2))= (h1 π1 + h2 π2)(s1(m1), s2(m2))= h1 π1(s1(m1), s2(m2)) + h2 π2(s1(m1), s2(m2))= h1(s1(m1)) + h2(s2(m2))= f(ι1(m1)) + f(ι2(m2))= f(m1,0) + f(0,m2)= f(m1,m2)

Veamos que h es el unico homomorfismo que hace conmutar el diagrama 3.9. Seag ∶ S(M1) ⊕ S(m2) Ð→ G tal que tambien hace conmutar el diagrama 3.9, esto es,g (s1 ⊕ s2) = f . Notemos que g∣S(M1) ∶ S(M1)Ð→ G es tal que el siguiente diagramaconmuta

M1s1 //

fι1 AAAAAAAA S(M1)

g∣S(M1)xxxxxxxxx

G

(3.10)

es decir, g∣S(M1) = gj1 donde j1 ∶ S(M1)Ð→ S(M1)⊕S(M2) es la inclusion canonica.

136

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

En efecto, sea m1 ∈M1 entonces

g∣S(M1) s1(m1) = g j1(s1(m1))= g(s1(m1),0)= g(s1(m1), s2(0))= g (s1 ⊕ s2)(m1,0)= f(m1,0)= f ι1(m1)

por lo tanto 3.10 es un diagrama conmutativo.

Analogamente, g∣S(M2) ∶ S(M2)Ð→ G es tal que el siguiente diagrama conmuta

M2s2 //

fι2 AAAAAAAA S(M2)

g∣S(M2)xxxxxxxxx

G

(3.11)

Entonces, usando unicidad de la propiedad universal tenemos que h1 = g∣S(M1) yh2 = g∣S(M2). Dado que g puede escribirse como g = (g∣S(M1)) π1 + (g∣S(M2)) π2

tenemos que

g = h1 π1 + h2 π2 = hPor lo tanto s1⊕s2 ∶M1⊕M2 Ð→ S(M1)⊕S(M2) cumple con la propiedad universaly ası S(M1)⊕ S(M2) ≅ S(M1 ⊕M2).

Proposicion 3.1.22. Suponga que X es la union ajena de subespacios abiertosX1,X2, . . . ,Xn en X. Entonces existe una descomposicion de K(X) como productodirecto de

K(X1) ×K(X2) × . . . ×K(Xn) =K(X1)⊕K(X2)⊕ . . .⊕K(Xn)

Demostracion. Sea E un haz vectorial sobre X con proyeccion ρ ∶ E Ð→X. ComoX =X1 ⊔X2 ⊔ . . . ⊔Xn, entonces

E = ⊔x∈X

ρ−1(Ex)

= ⊔x∈X1⊔X2⊔...⊔Xn

ρ−1(Ex)

= ( ⊔x∈X1

ρ−1(Ex)) ⊔ . . . ⊔ ( ⊔x∈Xn

ρ−1(Ex))

Sean EXi = ⊔x∈Xi ρ−1(Ex) para i = 1, ..., n y definimos ρi = ρ∣Xi ∶ EXi Ð→ Xi. Masaun, en el Capıtulo 1 se demostro que la restriccion (E∣Xi , ρi,Xi) es un haz vectorial

137

Capıtulo 3

para cada i = 1, ..., n.

Por otro lado, si ((E1, ρ1,X1), ..., (En, ρn,Xn)) ∈ E (X1)×...×E (Xn), dado que Xini=1

es una cubierta abierta de X y los Xi son ajenos, esto es, Xi ∩Xj = ∅ con i ≠ j yi, j = 1, ..., n, se cumplen las condiciones de compatibilidad del Teorema 1.3.3 demanera trivial, ası E = ⊔ni=1EXi es un haz vectorial sobre X donde la proyeccionρ ∶ E Ð→X esta definida como ρ∣EXi = ρi con i = 1, ..., n.

Definamos los siguientes funtores

ϕ ∶ E (X) Ð→ E (X1) × . . . × E (Xn)

E =n

⊔i=1

EXi z→ (EX1 , ...,EXn)

y

ψ ∶ E (X1) × . . . × E (Xn) Ð→ E (X)

(EX1 , ...,EXn) z→ E =n

⊔i=1

EXi

Los funtores ϕ y ψ se definen en los morfismos de manera obvia. Veamos que efec-tivamente ϕ es un funtor. Sean E,F ∈ E (X)0 con ρ ∶ E Ð→ X y ρ′ ∶ F Ð→ X lasrespectivas proyecciones. Sea g ∶ E Ð→ F un morfismo general, entonces el siguientediagrama conmuta

Eg //

ρ @@@@@@@@ F

ρ′~~~~~~~~~~

X

esto es, ρ = ρ′ g. Usando la conmutatividad del diagrama anterior, tenemos quegi ∶= g∣EXi ∶ EXi Ð→ FXi esta bien definida. Ası definimos el morfismo general

ϕ(g) ∶ EX1 × ... ×EXn Ð→ FX1 × ... × FXn(x1, ..., xn) Ð→ (g1(x1), ..., gn(xn))

En efecto ϕ(g) es un morfismo general, ya que gi ∶ EXi Ð→ FXi es un morfimo generalpara cada i = 1, ..., n. Solo falta ver que ϕ es un funtor covariante, sean G ∈ E (X)0

con proyeccion ρ′′ ∶ G Ð→ X y h ∶ F Ð→ G un morfismo general. Consideremos elsiguiente morfismo general

ϕ(g h) ∶ E1 × ... ×En Ð→ F1 × ... × Fn(x1, ..., xn) z→ ((h g)1(x1), ..., (h g)n(xn))

138

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Notemos que para cada i = 1, ..., n tenemos que

(h g)i(xi) = (h g)∣Xi(xi)= (h∣Xi g∣Xi)(xi)= (hi gi)(xi)= hi(gi(xi))

Ası vemos que

ϕ(h g)(x1, ..., xn) = ((h g)1(x1), ..., (h g)n(xn))= (h1(g1(x1)), ..., hn(gn(xn)))= ϕ(h)(g1(x1), ..., g1(xn))= ϕ(h)(ϕ(g)(x1, ..., xn))= (ϕ(h) ϕ(g))(x1, ..., xn)

por lo tanto ϕ es un funtor covariante.De manera similar se prueba que

ψ ∶ E (X1) × . . . × E (Xn) Ð→ E (X)

(EX1 , ...,EXn) z→ E =n

⊔i=1

EXi

es un funtor covariante. Claramente ϕ ψ = Id y ψ ϕ = Id.

Sea

ϕ ∶ φ(X) Ð→ φ(X1) × ... × φ(Xn)E z→ (EX1 , ...,EXn)

el homomorfismo de monoides inducido por el funtor ϕ. Veamos que ϕ esta biendefinida, sean E,F ∈ E (X)0 tales que E ≅ F . Sea γ ∶ E Ð→ F el isomorfismo general,entonces γ∣EXi ∶ EXi Ð→ FXi es un isomorfismo general bien definido para todoi = 1, ..., n. Ası

ϕ(E) = (EX1 , ...,EXn)= (FX1 , ..., FXn)= ϕ(F )

Por lo tanto ϕ esta bien definida. Por otra parte, sea

ψ ∶ φ(X1) × ... × φ(Xn) Ð→ φ(X)(EX1 , ...,EXn) z→ E

el homomorfismo de monoides inducido por ψ. Es facil ver que ψ esta bien definida,se demuestra de manera similar que para ϕ, y ademas ϕ ψ = Idφ(X1)×...×φ(Xn) y

139

Capıtulo 3

ψ φ = Idφ(X).

Sea K(Xi) el grupo de Grothendieck de φ(Xi) junto con el homorfismo de monoidessi ∶ φ(Xi) Ð→ K(Xi) para i = 1, ..., n que es la completacion de Grothendieck paraφ(Xi). Utilizando el Lema 3.1.21 tenemos que s1 × ... × sn ∶ φ(X1) × ... × φ(Xn) Ð→K(X1)× ...×K(Xn) es la completacion de Grothendieck para el monoide φ(X1)× ...×φ(Xn). Por otra parte, sea s ∶ φ(X)Ð→K(X) el homomorfismo de monoides que esla completacion de Grothendieck para φ(X), entonces por la nota 3.1.4 tenemos elsiguiente diagrama conmutativo

φ(X)ϕ

s //

Idφ(X)

((

K(X)ϕ∗

IdK(X)

vv

φ(X1) × ... × φ(Xn)

ψ

s1×...×sn // K(X1) × ... ×K(Xn)ψ∗

φ(X) s // K(X)

donde ϕ∗, ψ∗ y Id∗φ(X) = IdK(X) son los homomorfismos de grupos inducidos por ϕ,

ψ y Idφ(X) respectivamente. Por tanto ψ∗ ϕ∗ = IdK(X). Analogamente, tenemos elsiguiente diagrama conmutativo

φ(X1) × ... × φ(Xn)

ψ

s1×...×sn //

Idφ(X1)×...×φ(Xn)

((

K(X1) × ... ×K(Xn)ψ∗

IdK(X1)×...×K(Xn)

vv

φ(X)ϕ

s // K(X)ϕ∗

φ(X1) × ... × φ(Xn)s1×...×sn // K(X1) × ... ×K(Xn)

donde Id∗φ(X1)×...×φ(Xn) = IdK(X1)×...×K(Xn) es el homomorfismo de grupos inducido porIdφ(X1)×...×φ(Xn). Por tanto, ϕ∗ ψ∗ = IdK(X1)×...×K(Xn). Por lo tanto

K(X) ≅ K(X1) ×K(X2) × . . . ×K(Xn)= K(X1)⊕K(X2)⊕ . . .⊕K(Xn)

Observacion. 3.1.23. La proposicion anterior no es valida para la K-teorıa reduci-da, K. Por ejemplo si X es la union ajena de dos puntos P1 y P2, entonces K(X) ≅ Zpero K(Pi) = 0 con i = 1,2. En efecto, tenemos que X = P1 ⊔ P2, donde

φ(X) = φ(P1)⊕ φ(P2) = N ∪ 0⊕N ∪ 0ası

140

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

K(X) =K(P1)⊕K(P2) = Z⊕Zentonces

K(X) = K(X)K(P )

= Z⊕ZZ

≅ Z

por otra parte tenemos que

K(Pi) =K(Pi)K(Pi)

= ZZ= 0

para i = 1,2.

Sea H0(X,N) el monoide abeliano de funciones localmente constantes de X a N.Consideremos para cada haz vectorial E sobre X la funcion localmente constanterE ∶X Ð→ N dada por rE(x) = dim Ex. De este modo definimos

r′ ∶ φ(X) Ð→ H0(X,N)E z→ rE

Afirmamos que r′ es un homomorfismo de monoides:Veamos que r′ esta bien definida. Supongamos que E ≅ F , entonces para toda x ∈Xtenemos

E z→ rE ∶X Ð→ Nxz→ dim Ex

F z→ rF ∶X Ð→ Nxz→ dim Fx

y como E ≅ F fibra a fibra tenemos que dim Ex = dim Fx para toda x ∈X, ası rE = rF ,y por lo tanto esta bien definida.Veamos que r′ es un homomorfismo de monoides, sean E,F ∈ φ(X) entonces

E ⊕ F = E + F z→ rE⊕F ∶X Ð→ N

donde

rE⊕F (x) = dim (E ⊕ F )x= dim Ex ⊕ Fx= dim Ex + dim Fx

= rE(x) + rF (x)

141

Capıtulo 3

Por lo tanto r′ ∶ φ(X)Ð→H0(X,N) es un homomorfismo.

Es posible extender el homomorfismo r′ de manera que r ∶ K(X) Ð→ H0(X,Z) esun homomorfismo de grupos, donde H0(X,Z) es el grupo de funciones localmenteconstantes de X a Z. Es facil ver que s(H0(X,N)) = H0(X,Z) usando el hecho deque cualquier elemento x ∈H0(X,Z) se puede expresar de la forma s(m)−s(n) paraalgun m,n ∈ H0(X,N). Ası utilizando la nota 3.1.4 obtenemos dicha extension rcomo el unico homomorfismo de grupos que hace conmutar el siguiente diagrama

φ(X)r′//

s

H0(X,N)s

K(X) r //___ H0(X,Z)

Proposicion 3.1.24. Sea r ∶K(X)Ð→H0(X,Z) la funcion definida anteriormentey definimos K ′(X) = Ker r, entonces tenemos la siguiente sucesion exacta

0 // K ′(X) ι // K(X) r // H0(X,Z) // 0

que se escinde canonicamente, donde ι ∶ K ′ Ð→ K(X)es la inclusion canonica. Masaun, si X es conexo K ′(X) y K(X) son isomorfos.

Demostracion. Sea f ∶ X Ð→ N una funcion localmente constante (esto implicaque f es continua y aun mas f es constante en cada componente conexa portrayectorias de X) y consideremos la cubierta abierta f−1(n)n∈N de X. Debidoa que X es un espacio compacto existe una subcubierta finita f−1(ni)pi=1 dondeni ∈ N para todo i = 1, ..., p. Definimos Xi = f−1(ni) para i = 1, ..., p de modo que Xes la union ajena de Xi con i = 1, ..., p, es decir, X = ⊔pi=1Xi.

Usando el Teorema 1.3.3 definimos el haz Ef como resultado de pegar de maneracanonica los haces triviales Ei =Xi × kni , de modo que Ef = ⊔pi=1Ei. De esta manerapara cada funcion f localmente constante de X a N se define un haz vectorial Efsobre X donde a nivel de fibras (Ef)x = x×kf(x), de modo que Ef = ⊔x∈X x×kf(x).

Definimos el siguiente homomorfismo de monoides

t′ ∶H0(X,N) Ð→ φ(X)f z→ Ef

Veamos que efectivamente es un homomorfismo de monoides. Sean f, g ∈ H0(X,N),entonces Ef = ⊔x∈X x×kf(x), Eg = ⊔x∈X x×kg(x) y Ef+g = ⊔x∈X x×k(f+g)(x) sonlos haces vectoriales inducidos por las funciones localmente constantes f, g y f + grespectivamente. Notemos que

142

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Ef+g = ⊔x∈X

x × k(f+g)(x)

= ⊔x∈X

x × kf(x)+g(x)

= ⊔x∈X

x × (kf(x) ⊕ kg(x))

≅ ⊔x∈X

x × kf(x) ⊕ ⊔x∈X

x × kg(x)

= Ef ⊕Eg

donde el isomorfismo del cuarto paso esta dado por

⊔x∈X

x × (kf(x) ⊕ kg(x)) Ð→ ⊔x∈X

x × kf(x) ⊕ ⊔x∈X

x × kg(x)

(x, (v, v′)) z→ ((x, v), (x, v′))

De este modo tenemos que Ef+g ≅ Ef +Eg, ası t′(f + g) = t′(f) + t′(g) teniendo quet es un homomorfismo de monoides.

Notemos que r′ t′ = Id, ya que para f ∈H0(X,N) se tiene que

(r′ t′)(f) = r′(t′(f))= r′(Ef)= rEf

donde

rEf ∶X Ð→ Nx z→ dim(Ef)x = f(x)

Por lo tanto rEf = f teniendo que r′ t′ = Id.

Usando la propiedad universal de la construccion de Grotendieck, i.e. la nota3.1.4, el homomorfismo de monoides t′ ∶ H0(X,N) Ð→ φ(X) induce un ho-momorfismo de grupos t ∶ H0(X,Z) Ð→ K(X) el cual es inverso izquierdo der ∶ K(X) Ð→ H0(X,Z) por la nota 3.1.4. Por lo tanto la sucesion del enunciado seescinde y K(X) ≅H0(X,Z)⊕K ′(X).

Si X es conexo, su imagen bajo cualquier funcion localmente constante es conexa,ası tenemos que H0(X,Z) ≅ Z.

Dado que

0 // K ′(X) ι // K(X) r // H0(X,Z)t

jj// 0

(3.12)

143

Capıtulo 3

es una sucesion exacta que se escinde tenemos que K(X) = K ′(X) ⊕ Im t, por lotanto

K(X)Im t

= K′(X)⊕ Im t

0⊕ Im t≅ K

′(X)0

⊕ Im t

Im t≅K ′(X) (3.13)

Por otra parte, recordemos que α ∶ Z Ð→K(X) esta dada por m − n z→ [θn] − [θm]y por otro lado, la composicion

Z ≅

γ// H0(X,Z) t // K(X) es tal que

n −m // rn − rm // [θn] − [θm]

donde

rn ∶X Ð→ Zx z→ n

rm ∶X Ð→ Zx z→ m

De esta manera α = t γ con γ un isomorfismo, entonces Im α = Im t y por lo tanto

K(X) = K(X)Im α

= K(X)Im t

≅K ′(X)

donde el ultimo isomorfismo se debe gracias a 3.13.

Sea φn(X) el conjunto de clases de isomorfismos de haces vectoriales de rango nsobre X y consideremos θn el haz vectorial de rango n sobre X. Utilizando la sumade Whitney, definimos

fj+1,j ∶ φj(X) Ð→ φj+1(X)E z→ E ⊕ θ1

para j ∈ N, donde E ⊕ θ1 es la clase de isomorfismo de E⊕ θ1. Esta funcion esta biendefinida ya que E ⊕ θ1 es un haz vectorial de rango j + 1. Con lo anterior tenemos lasiguiente sucesion

φ0(X)f1,0 // φ1(X)

f2,1 // ⋯fn,n−1 // φn(X)

fn+1,n // ⋯

Si m ≥ n, definimos fm,n ∶= fm,m−1 fm−1,m−2 ... fn+2,n+1 fn+1,n, de esta maneraobtenemos el sistema dirigido ⟨φn(X), fm,n⟩n∈N.

En efecto, ⟨φn(X), fm,n⟩n∈N es un sistema dirigido ya que por definicion fn,n = Idφn(X),y se cumple que fk,i = fk,j fj,i ya que para k ≥ j ≥ i

144

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

fk,j fj,i = (fk,k−1 fk−1,k−2 . . . fj+2,j+1 fj+1,j) (fj,j−1 fj−1,j−2 . . . fi+2,i+1 fi+1,i)= fk,k−1 fk−1,k−2 . . . fj+2,j+1 fj+1,j fj,j−1 fj−1,j−2 . . . fi+2,i+1 fi+1,i

= fk,i.

Por lo tanto ⟨φn(X), fm,n⟩n∈N es un sistema dirigido.

Sea

φ′(X) = colimn→∞φn(X) =∞

⊔n=1

φn/ ∼

donde [E] ∼ [F ] si y solo sı fm,n(E) = F para algun n,m ∈ N. Si queremos ser masespecıficos para un campo k (R o C) denotamos φ′k(X) = colimn→∞φkn(X).

Daremos a φ′(X) estructura de monoide. Primero definimos las funciones

φn(X) × φm(X) Ð→ φn+m(X)(E,F ) z→ E ⊕ F

De este modo definimos la suma de clases de isomorfismos en el colımite como

+ ∶ φ′(X) × φ′(X) Ð→ φ′(X)([E], [F ]) z→ [E ⊕ F ]

Veamos que la suma de clases de isomorfismos en el colımite esta bien definida. Sean

E ∈ φn(X),E′ ∈ φn′(X) con E ∼ E′y sean F ∈ φm(X), F ′ ∈ φm′(X) con F ∼ F ′

. Por

un lado tenemos que fn′,n(E) = E′y por otra parte fm′,m(F ) = F ′

. Ası

E′ + F ′ = fn′,n(E) + fm′,m(F )

= E ⊕ θn′−n + F ⊕ θm′−m

= F ⊕ θn′−n ⊕ F ⊕ θm′−m

= E ⊕ F ⊕ θ(m′+n′)−(m+n)

= fm′+n′,m+n(E ⊕ F )= fm′+n′,m+n(E + F )

por lo tanto la operacion suma esta bien definida.

Veamos que φ′(X) tiene estructura de monoide abeliano . Consideremos[E], [F ], [G] ∈ φ′(X) entonces

145

Capıtulo 3

[E] + [F ] = [E ⊕ F ]= [F ⊕E]= [F ] + [E]

por lo tanto se cumple conmutatividad. Tambien tenemos que

[E] + ([F ] + [G]) = [E] + [E ⊕ F ]

= [E ⊕ (F ⊕G)]

= [(E ⊕ F )⊕G]

= [E ⊕ F ] + [G]= ([E] + [F ]) + [G]

por lo tanto se cumple la asociatividad. Ademas [0] ∈ φ′(X) es el elemento neutro,ası hemos probado que φ′(X) tiene estructura de monoide abeliano.

Sea E ∈ φn(X) y consideremos el homomorfismo r ∶ K(X) Ð→ H0(X,Z) anterior-mente definido, entonces [E] − [θn] ∈K ′(X) = Ker r ya que

r([E]) ∶ rE ∶X Ð→ Zx z→ dimEx = n

r([θn]) ∶ rθn ∶X Ð→ Zx z→ dim(θn)x = n

Con esto, definimos el siguente homomorfismo de monoides

Λ ∶ φ′(X) Ð→ K ′(X)[E] z→ [E] − [θn]

Proposicion 3.1.25. Λ es isomorfismo.

Demostracion. Veamos que Λ esta bien definida, sean [E] = [F ] ∈ φ′(X), esto esE ∼ F con E ∈ φn(X) y F ∈ φm(X) para algun m,n ∈ N, entonces fm,n(E) = F conm ≥ n. Notemos que fm,nE = E ⊕ θm−n = F entonces

Λ([F ]) = [F ] − [θm]= [E ⊕ θm−n] − [θm]= [E] + [θm−n] − [θm]= [E] + [θm−n] − [θm−n ⊕ θn]= [E] + [θm−n] − [θm−n] − [θn]= [E] − [θn]= Λ([E])

146

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Por lo tanto Λ esta bien definida. Ahora veamos que Λ es un homomorfismo, sean[E], [F ] ∈ φ′(X), donde E ∈ φn(X) y F ∈ φm(X) para alguna m,n ∈ N, entoncesE ⊕ F ∈ φn+m(X), de modo que

Λ([E ⊕ F ]) = [E ⊕ F ] − [θn+m]= [E] + [F ] − ([θn] + [θm])= [E] − [θn] + [F ] − [θm]= Λ([E]) +Λ([F ])

Por lo tanto Λ es un homomorfismo. Solo falta ver que Λ es biyectiva.

Inyectividad. Sean [E], [F ] ∈ φ′(X) con Λ([E]) = [F ] donde E ∈ φn(X) y F ∈ φm,entonces [E] − [θn] = [F ] − [θm] en K(X). Usando la Proposicion 3.1.15 existe q enlos enteros tal que E ⊕ θm+q ≅ F ⊕ θn+q. De modo que E ⊕ θm+q = F ⊕ θn+q, por lotanto [E] = [F ].Sobreyetividad. Sea u un elemento en K ′(X) ⊆ K(X), usando la Proposicion3.1.15 u puede ser escrito de la forma [E]− [θn] para algun n ∈ N. Como [E]− [θn] ∈K ′(X) tenemos que r([E] − [θn]) = 0 de modo que dim Ex = n para toda x ∈ Xhaciendo que E ∈ φn(X). Consideremos [E] ∈ φ′(X) entonces Λ([E]) = [E]−[θn] = u,ası el homomorfismo es sobreyectivo.

Por lo tanto Λ ∶ φ′(X)Ð→K ′(X) es un isomorfismo.

3.2. Representabilidad de la K-teorıa

En el Capıtulo 2 vimos que ⟨Projn(RN), ιM,Nn ⟩n∈N es un sistema dirigido con

ιM,Nn ∶ Projn(RN) Ð→ Projn(RM)

P z→ P ⊕ 0M−N

donde su lımite directo es Zn = colimN→∞Projn(RN) = ⊔∞N=1 Projn(RN)/P ∼ ιM,N

n (P )junto con los morfismos ιNn ∶ Projn(RN)Ð→ Zn.

En el Teorema 2.4.9 se demostro que la grassmaniana Gn(RN) es un retracto pordeformacion de Projn(RN), de modo que ⟨Gn(R), ιM,N

n ⟩n∈N es un sistema dirigidoutilizando las restricciones de ιM,N

n en la grassmaniana Gn(RN).

Teorema 3.2.1. Consideremos

BO(n) = colimN→∞Gn(RN) = ⊔N∈N Gn(RN)ρ ∼ ιM,N

n (ρ)

entonces Zn es un retracto por deformacion de BO(n).

147

Capıtulo 3

Demostracion. Consideremos FNn ∶ Projn(RN) × I Ð→ Projn(RN) el retracto por

deformacion del espacio de proyecciones a la grassmaniana que se definio en elTeorema 2.4.9.

Definimos la restriccion FNn (−, t) = FN

n ∣Projn(RN )×t ∶ Projn(RN)Ð→ Projn(RN) paracada N ∈ N, ası construimos el siguiente diagrama:

Projn(RN)

ιNn

**

Projn(RM)

ιMn

tt

Projn(RN) ιM,Nn //

FNn (−,t)ggOOOOOOOOOOO

ιNn &&NNNNNNNNNNNNProjn(RM)

ιMnxxppppppppppppιMn

xxpppppppppppp

FMn (−,t)77nnnnnnnnnnn

Zn

Fn(−,t)

BO(n)

(3.14)

Para demostrar que el diagrama conmuta y que existe un homomorfismoFn(−, t) ∶ Z Ð→ BO(n) para toda t ∈ I, vamos a recordar como se defi-nio cada una de las funciones. Para ρ ∈ Projn(RN) y t ∈ I tenemos que

FNn (ρ, t) =

√hN(t) ρ (

√hN(t))−1 con hN(t) = IdN + t ⋅ J∗N (JN), donde

JN = 2ρ − IdN , ası (JN)∗ = 2ρ∗ − IdN .

Tenemos que

(JN)∗ JN = (2ρ∗ − IdN) (2ρ − IdN) = 4ρ∗ ρ − 2ρ∗ − 2ρ + IdN

ası hN(t) = IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN . Tambien ιMNn (ρ) = ρ⊕ 0M−N , esto

es, se agregan ceros a la matriz de representacion de ρ para completar una matrizde M ×M , ası las primeras N ×N entradas de la matriz asociada a ρ ⊕ 0M−N sonidenticas a las N ×N entradas de la matriz de representacion de ρ.

Volviendo a la conmutatividad del diagrama, tenemos que ver que

ιNn F (−, t)(ρ) = ιMn FMn (−, t) ιM,N

n (ρ).

Demostraremos que la matriz de representacion de FMn (−, t)(ιM,N

n (ρ)) coincide conFNn (−, t)(ρ) en sus primeras N ×N entradas. Tenemos que

FNn (ρ, t) =

√hN(t) ρ (

√hN(t))−1

=√

IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN ρ (√

IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN)−1

Por otra parte,

148

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

FMn (−, t)(ιM,N

n (ρ)) = FMn (ρ⊕ 0M−N , t)

=√hM(t) (ρ⊕ 0M−N) (

√hM(t))−1

Consideremos la siguiente representacion matricial por bloques de hM(t).

(IdN 00 IdM−N

)+4t⋅(ρ∗ 0

0 0M−N)(ρ 0

0 0M−N)−2t⋅(ρ

∗ 00 0M−N

)−2t⋅(ρ 00 0M−N

)+t⋅(IdN 00 IdM−N

)

calculando tenemos que hM(t) es igual a

(IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN 00 IdM−N + tIdM−N

)

entonces, usando la unicidad de la raız cuadrada tenemos que

√hM(t) = (

√IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN 0

0√

IdM−N + t ⋅ IdM−N)

= (√hN(t) 00

√IdM−N + t ⋅ IdM−N

)

De igual manera,

(√hM(t))−1 = ((

√IdN + 4t ⋅ ρ∗ ρ − 2t ⋅ ρ∗ − 2t ⋅ ρ + t ⋅ IdN)−1 0

0 (√

IdM−N + t ⋅ IdM−N)−1)

= ((√hN(t))−1 0

0 (√

IdM−N + t ⋅ IdM−N)−1)

teniendo esto, calculamos la matriz FMn (ρ⊕ 0M−N)

(√hN(t) 00

√IdM−N + t ⋅ IdM−N

)(ρ 00 0M−N

)((√hN(t))−1 0

0 (√

IdM−N + t ⋅ IdM−N)−1)

= (√hN(t) ρ (

√hN(t))−1 0

0 0M−N)

= (FNn (ρ, t) 0

0 0M−N)

por lo tanto FMn (−, t) (ιM,N

n (ρ)) y FNn (−, t)(ρ) coinciden en las primeras N × N

entradas, ası el diagrama 3.14 conmuta, lo que implica que para cada t ∈ I exis-te Fn(−, t) ∶ Zn Ð→ BO(n) continuo. Sea Fn ∶ Zn × I Ð→ BO(n) el retracto pordeformacion de Zn a BO(n) definido por

149

Capıtulo 3

Fn ∶ Zn × I Ð→ BO(n)(ρ, t) z→ Fn(ρ, t)

En efecto, Fn es un retracto por deformacion ya que

1. Para toda ρ ∈ BO(n) tenemos que ρ ∈ Gn(RN) para alguna N ∈ N entonces

Fn(−, t)(ρ) = ιNn FNn (ρ, t)

= ιNn (ρ)= ρ

2. Para toda ρ ∈ Zn tenemos que ρ ∈ Projn(RN) para alguna N ∈ N entonces

Fn(−,0)(ρ) = ιNn FNn (ρ,0)

= ιNn (ρ)= ρ

3. Para toda ρ ∈ Zn tenemos que ρ ∈ Projn(RN) para alguna N ∈ N entonces

Fn(−,1)(ρ) = ιNn FNn (ρ,1)

Dado que FNn (ρ,1) ∈ Gn(RN), tenemos que ιNn FN

n (ρ,1) ∈ BO(n), Por lo tantoFn es un retracto por deformacion de Zn a BO(n) para toda n ∈ N.

El resultado anterior tambien es valido para el campo los complejos, es decir,colimN→∞Projn(CN) es un retracto por deformacion de BU(n) ∶= colimN→∞Gn(CN).

Corolario 3.2.2.

[X,BO(n)] ≅ φRn(X) y [X,BU(n)] ≅ φC

n(X)

Demostracion. Del Teorema 2.3.5 y el Teorema 3.2.1 tenemos el resultado.

Consideremos la grassmaniana Gn(RN) como el conjunto de subespacios de RN dedimension n. Sea BO(n) = ⊔n∈NGn(R)/V ∼ ιM,N

n (V ) donde

ιM,Nn ∶ Gn(RN) Ð→ Gn(RM)

V z→ 0M−N ⊕ V

150

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

para M ≥ N ; y para cada n ∈ N consideremos la inclusion de la grassmaniana Gn(RN)a su colımite BO(n), ιNn ∶ Gn(RN)Ð→ BO(n).Sea gn+1,n ∶ BO(n) Ð→ BO(n + 1) definida de la siguiente manera, si V ∈ Gn(RN)entonces gn+1,n(V ) = V ⊕ ⟨eN+1⟩ donde eN+1 = (0, ...,0,1) es el ultimo vector de labase canonica de RN+1, esto es, gn+1,n esta inducida por

eN+1,Nn+1,n ∶ Gn(RN) Ð→ Gn+1(RN+1)

V z→ V ⊕ ⟨eN+1⟩

Veamos que gn+1,n esta bien definida, sean V ∈ Gn(RN) y V ′ ∈ Gn(RM) tales queV ∼ ιM,N

n (V ) = V ′ con M ≥ N , entonces

gn+1,n(V′) = V ′ ⊕ ⟨eM+1⟩

= ιM,Nn (V )⊕ ⟨eM+1⟩

= 0M−N ⊕ V ⊕ ⟨eM+1⟩

con (OM−N ⊕ V )⊕ ⟨eM+1⟩ ∈ Gn+1(RM+1).Por otra parte, gn+1,n(V ) = V ⊕ ⟨eN+1⟩ con V ⊕ ⟨eN+1⟩ ∈ Gn+1(RN+1) pero

ιM+1,N+1n+1 (V ⊕ ⟨eN+1⟩) = 0(M+1)−(N+1) ⊕ (V ⊕ ⟨eN+1⟩)

= 0M−N ⊕ (V ⊕ ⟨eN+1⟩)= (0M−N ⊕ V )⊕ ⟨eM+1⟩ ∈ Gn+1(RM+1)

Por lo tanto gn+1,n esta bien definida.

Consideremos la siguiente sucesion

BO(1)g2,1 // . . .

gn,n−1 // BO(n)gn+1,n // . . .

Sea m ≥ n, definimos gm,n ∶ BO(n)Ð→ BO(m) por gm,n = gm,m−1gm−1,m−2...gn+1,n,de modo que ⟨BO(n), gm,n⟩n∈N es un sistema dirigido.

Lema 3.2.3. La imagen de BO(n) es un encaje cerrado en BO(n+1) vıa gn+1,n paratoda n ∈ N.

Demostracion. Primero veamos que eN+1,Nn+1,n es una funcion cerrada. Para esto con-

sideremos el siguiente diagrama

Gn(RN)eN+1,Nn+1,n //

≅

Gn+1(RN+1)≅

Projn(RN) //___ Projn+1(RN+1)

151

Capıtulo 3

dondeProjn(RN) = ρ ∈ Projn(RN)∣ρ = ρ∗ .

La composicion dada por la flecha horizontal inferior esta dada por

Projn(RN) Ð→ Projn+1(RN+1)

ρ z→ (ρ 00 1

)

la cual ya vimos antes que es cerrada (se demuestra justo antes de la Proposicion2.3.4), por lo tanto eN+1,N

n+1,n es cerrada. Consideremos el siguiente diagrama

Gn(RN)eN+1,Nn+1,n //

ιN+1,Nn

Gn+1(RN+1)

ιN+2,N+1n+1

Gn(RN+1)

eN+2,N+1n+1,n // Gn+1(RN+2)

⋮

⋮

BO(n)

gn+1,n // BO(n + 1)

A es un subconjunto cerrado en BO(n) = ⊔∞N=1Gn(RN) si y solo si A ∩Gn(RN) es

cerrado para toda N ∈ N. Ası, si A es cerrado en BO(n) entonces eN+1,Nn+1,n (A∩Gn(RN))

es cerrado para toda N ∈ N pues eN+1,Nn es una aplicacion cerrada. Pero gn+1,n(A) ∩

Gn+1(RN+1) = eN+1,Nn+1,n (A ∩ Gn(RN+1)) para cada N ∈ N. Por lo tanto gn+1,n(A) es

cerrado en BO(n + 1) = ⊔∞N=1Gn+1(RN) y ası gn+1,n es cerrada.

Como ⟨BO(n), gm,n⟩n∈N es un sistema dirigido de encajes cerrados, entonces el colımi-te de BO(n) se puede expresar como

BO = ⊔n∈N BO(n)V ∼ gm,n(V )

junto con morfismos gn ∶ BO(n)Ð→ BO. (Aguilar, Gitler, Prieto [1]).

De igual manera se puede construir el sistema dirigido ⟨BU(n), gm,n⟩n∈N junto conun colımite BU.

Consideramos el sistema dirigido ⟨[X,BO(n)] , g′m,n⟩ con m ≥ n donde

g′m,n ∶ [X,BO(n)] Ð→ [X,BO(m)][f ∶X Ð→ BO(n)] z→ [gmn f ∶X Ð→ BO(m)]

152

El grupo de Grothendieck y K-teorıa

Veamos que g′m,n esta bien definida. Sean f1, f2 ∶ X Ð→ BO(n) tales que f1 ∼ f2, en-tonces existe H ∶X × I Ð→ BO(n) con H(x,0) = f1(x) y H(x,1) = f2(x). DefinamosH ′ ∶X × I Ð→ BO(m) como H ′(x, t) = gm,n H(x, t), ası

H ′(x,0) = gm,n H(x,0) = gm,n(f1(x))

H ′(x,1) = gm,n H(x,1) = gm,n(f2(x))

por lo tanto g′m,n esta definida.

Teorema 3.2.4. Tenemos un isomorfismo natural entre los funtores K ′R y [−,BO],

es decir, si f ∶ X Ð→ Y una funcion continua, entonces el siguiente diagrama con-muta

K ′R(X) ≅ // [X,BO]

K ′R(Y )

f∗OO

≅ // [Y,BO]

(−)f

OO

de modo queK ′

R(X) ≅ [X,BO]

Similarmente tenemos queK ′

C(X) ≅ [X,BU]

Demostracion. Como X es compacto tenemos que colimn→∞ [X,BO(n)] =[X, colimn→∞BO(n)] = [X,BO]. Aplicando la Proposicion 3.1.25 y el Corolario 3.2.2tenemos que

K ′R(X) ≅ φ′R(X)

= colimn→∞φRn(X)

= colimn→∞ [X,BO(n)]= [X,BO]

donde la ultima igualdad se prueba de manera analoga como lo hicimos para pro-bar que colimN→∞[X,Projn(kN)] = [X, colimN→∞Projn(kN)] para X compacto (sedemostro en la Proposicion 2.3.4). De igual manera tenemos

K ′C(X) ≅ [X,BU] .

Teorema 3.2.5. Para cada espacio compacto y conexo X se tiene los isomorfismos

KR(X) ≅ [X,Z ×BO] y KC(X) ≅ [X,Z ×BU]

donde Z tiene la topologıa discreta.

153

Capıtulo 3

Demostracion. Por la Proposicion 3.1.24 se tiene KR(X) ≅ H0(X,Z) ⊕ K ′R(X).

Ademas como X es conexo H0(X,Z) ≅ [X,Z], utilizando el Teorema 3.2.4 se tieneque

KR(X) = H0(X,Z)⊕K ′R(X)

≅ [X,Z] × [X,BO]≅ [X,Z ×BO]

De la misma manera se obtiene el isomorfismo KC(X) ≅ [X,Z ×BU].

Ejemplo 3.2.6. En el caso X = Sn es posible dar una interpretacion mas completade K(X) y en consecuencia de K(X) = Z× K(X). Vimos antes en el ejemplo 1.4.16que φC

p (Sn) ≅ πn−1(U(p)) entonces KC(Sn) = colimp→∞πn−1(U(p)) ≅ πn(U) con U =colimp→∞U(p) y donde el ultimo isomorfismo es porque πn−1(U(p)) ≅ πn−1(U(p+1))para p > n−1

2 . Aplicando la Periodicidad de Bott en el caso complejo tenemos que

φCp (Sn) = πn−1(U) =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si n es par

Z si n es impar

En el capıtulo 4 de trabajo veremos la demostracion del Teorema de la Periodicidadde Bott en el caso complejo y su aplicacion a este ejemplo.

⋆

Ejemplo 3.2.7. Del mismo modo vimos en el ejemplo 1.4.17 que φRp (Sn) ≅

πn−1(O(p)) ≅ πn−1(O) para toda p > n donde O = colimm→∞O(m).Usando la Periodicidad de Bott en el caso real [2] se tiene que

φRp (Sn) = πn−1(O) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Z2 si n ≡ 0 o 1(mod 8)Z si n ≡ 3(mod 8)0 otro caso

⋆

154

Capıtulo 4

Periodicidad de Bott

4.1. Introduccion

El Teorema de Periodicidad de Bott es un importante resultado en distintas areasde las matematicas, tales como la topologıa algebraica, el analisis funcional, entreotras. Este teorema establece una periodicidad en los grupos de homotopıa de gruposclasicos de operadores y fue inicialmente establecido por Raoul Bott (cf. [7] y [8]),teniendo un importante impacto en diversas investigaciones de la epoca tales comoK-teorıa topologica compleja y el calculo de los grupos de homotopıa estable deesferas.

En el artıculo original [8], R. Bott establece el teorema de periodicidad para losgrupos U y O de operadores unitarios y ortogonales, respectivamente. Su demostra-cion se basa esencialmente en tecnicas desarrolladas en [7] sobre teorıa de Morse.

Si como anteriormente, O(n) denota el grupo ortogonal, U(n) el grupo unitarioy SP (n) el grupo simplectico, entonces podemos formar los correspondientes gruposO, U y SP mediante el proceso estandar de tomar el colımite del sistema inducidomediante las inclusiones canonicas. El Teorema de Periodicidad de Bott, como fueestablecido originalmente, es el siguiente.

Teorema 4.1.1 (R. Bott (1957), [8]). La homotopıa estable de los grupos clasicoses periodica:

πn(U) ≅ πn+2(U)πn(O) ≅ πn+4(SP )

πn(SP ) ≅ πn+4(O) n = 0,1,2, . . . ,

donde π0 denota el grupo de componentes conexas.

Desde la presentacion de este resultado se han establecido una gran cantidad depruebas desde diversas perspectivas, ası como distintas generalizaciones. En la intro-duccion de [2] puede encontrarse un compendio bastante exhaustivo de las distintaspruebas que se han proporcionado de este teorema y la correspondiente bibliografıa.

En este capıtulo presentaremos una demostracion siguiendo las ideas de D. Mc-Duff (cf. [18]) y cuyo programa fue desarrollado por M. Aguilar y C. Prieto en [2]

155

Capıtulo 4

para el caso complejo (grupo unitario) y por M. Behrens en [5] para el caso real(grupo ortogonal).

Es importante senalar que la demostracion que incluimos aquı no es una trans-cripcion fiel de los artıculos mencionados, sino una adaptacion de ambos enfoques([2] y [5]). La demostracion que presentamos se basa en un teorema de A. Dold yR. Thom para cuasifibraciones (ver Seccion 4.4), fue utilizado originalmente por D.McDuff y posteriormente en el trabajo de Aguilar-Prieto (cf. [2]) y M. Behrens (cf.[5]).

El objetivo principal de este capıtulo es demostrar el siguiente resultado.

Teorema 4.1.2. Sea U el grupo unitario infinito y sea A ∈ U . Existe una cuasifi-bracion p ∶ E Ð→ U tal que E es contraıble y p−1(A) ≅ Z ×BU .

Llamaremos a la cuasifibracion anterior la cuasifibracion de Bott.Mostraremos a continuacion como del teorema anterior se deriva el Teorema de

Periodicidad de Bott para el grupo unitario. Las definiciones y resultados que seutilizaran a continuacion se encuentran enunciados en las secciones subsecuentes.

De la contractibilidad de E se tiene que πn(E) = 0 para n ≥ 0, y de la definicionde cuasifibracion tenemos la siguente sucesion exacta larga

⋯ // πn(Z ×BU) // πn(E) = 0 // πn(U) // πn−1(Z ×BU) // πn−1(E) = 0 // ⋯

lo cual implica queπn(U) ≅ πn−1(Z ×BU) ≅ πn−1(BU) (4.1)

para n > 1, y π1(U) ≅ Z. Por otro lado, si ΩU Ð→ PU Ð→ U es la sucesion de lazosy caminos basados sobre U , entonces aplicando el Lema 4.2.4 a la cuasifibracionde Bott Z ×BU Ð→ E Ð→ U , se sigue la existencia de una equivalencia homotopicaZ×BU ≃ ΩU . Luego, de la teorıa de clasificacion de haces es conocida la fibracion (enparticular, cuasifibracion) U Ð→ EU Ð→ BU de modo que nuevamente por el Lema4.2.4, existe una equivalencia homotopica U ≃ ΩBU . Combinando los resultadosanteriores, obtenemos

Ω2BU ≅ Ω(ΩBU) ≃ ΩU ≃ Z ×BU.

En particular,πn+2(BU) ≅ πn(Ω2BU) ≅ πn(BU),

equivalentemente por (4.1),πn+2(U) ≅ πn(U).

4.2. Preliminares

En esta seccion introducimos algunos resultados basicos sobre los funtores espaciode lazos y suspension reducida, fibraciones de Serre y Hurewicz, el concepto de cua-sifibracion y teorıa de colımites. Estos resultados seran de utilidad en las siguientessecciones.

156

Periodicidad de Bott

Espacio de lazos y suspension reducida

Dados dos espacios topologicos X e Y , denotamos por C(X,Y ) el conjunto detodas las funciones continuas f ∶X Ð→ Y . Si A ⊂X y B ⊂ Y , definimos

C(X,A;Y,B) = f ∈ C(X,Y ) ∣ f(A) ⊆ B ,

esto es, el conjunto de todas las funciones continuas de parejas.Cuando A = x0 y B = y0, el conjunto C(X,A;Y,B) corresponde precisamente

al conjunto de funciones que preservan el punto base.Otro caso particularmente importante es dado por el conjunto C(I,X) de cami-

nos libres en X con I = [0,1],

Figura 4.1: Caminos libres en X.

El conjunto C(I,0;X,x0) es llamado el conjunto de caminos basados en x0,

Figura 4.2: Conjunto de caminos basados en x0.

157

Capıtulo 4

Cuando la imagen de un camino tiene el mismo punto inicial y final, este esllamado un lazo, ası C(I, ∂I;X,x0) consiste del conjunto de todos los lazos basadosen x0.

Figura 4.3: Conjunto de lazos basados en x0.

Denotaremos por P (X,x0) el espacio de caminos basados C(I,0;X,x0) con latopologıa compacto-abierto y por Ω(X,x0) el correspondiente subespacio de lazosbasados en x0, con la topologıa relativa. Cuando no exista riesgo de confusion respectoal punto base x0 ∈ X, denotaremos los espacios anteriores simplemente por PX yΩX, respectivamente.

Iterando el proceso de “tomar el espacio de lazos”, definimos el n-esimo espaciode lazos por Ωn(X,x0) ∶= C(In, ∂In;X,x0). En particular, se tiene que Ωn(X,x0) ≅C(Sn,∗;X,x0).

No es difıcil convencerse que Ω define un funtor de la categorıa de espacios to-pologicos con punto base en sı misma. Este funtor tiene un funtor adjunto izquierdodado por la suspension reducida.

Recordemos que si X es un espacio topologico con punto base x0, la suspencionreducida (o funtor de suspension) ΣX se define como el siguiente espacio cociente,

ΣX = X × I(X × 0) ∪ (X × 1) ∪ (x0 × I)

.

Analogamente al caso no reducido, se tiene que ΣSn ≅ Sn+1.El hecho de que el funtor Σ ∶ Top∗ → Top∗ y el funtor Ω ∶ Top∗ → Top∗

satisfagan la siguiente propiedad

[ΣX,Y ]∗≅ [X,ΩY ]

∗

significa que Σ es un funtor adjunto izquierdo de Ω (cf. [1, Prop. 2.10.5]).Por otro lado, como el n-esimo grupo de homotopıa πn(X) del espacio topologico

con punto base (X,x0) satisface la propiedad

πn(X) = [Sn,X]∗= [ΣSn−1,X]

∗= [Sn−1,ΩX]

∗= πn−1(ΩX), n ≥ 1,

se sigue que πn(X) = πn−1(ΩX) = πn−2(Ω2X) = ⋯ = π0(ΩnX), n ≥ 1.

158

Periodicidad de Bott

Fibraciones de Serre y de Hurewicz

Sea C una subcategorıa de Top. Si B,E ∈ C0 y p ∈ C1(E,B), decimos que p tienela C -propiedad de levantamiento de homotopıas (C -PLH) si para todo X ∈ C0, todafuncion f ∈ C1(X,E) y toda homotopıa H ∈ C1(X×I,B) tal que H(x,0) = (pf)(x),existe una homotopıa H ∈ C1(X × I,E) tal que H(x,0) = f(x) y p H =H.

Podemos parafrasear el parrafo anterior de la siguiente manera. El morfismo ptiene la C -PLH si siempre que el siguiente cuadrado es un diagrama conmutativo enC ,

Xf //

j0

E

p

X × I

H

==

H // B

entonces existe un morfismo que hace de los triangulos inferior y superior dos dia-gramas conmutativos en C .

Definicion 4.2.1. Una funcion continua p ∶ E Ð→ B con la C -PLH es llamada unaC -fibracion. Una C -fibracion sobre la categorıa de espacios topologicos es llamadauna fibracion de Hurewicz. Si C es la categorıa de los hipercubos In (equivalentea la categorıa de los complejos CW ) la C -fibracion es llamada fibracion de Serre.

Es claro que toda fibracion de Serre es una fibracion de Hurewicz, pero no recıpro-camente, algunos ejemplos pueden encontrarse en [10] y [3].

Ejemplo 4.2.2. Si B es un espacio topologico con punto base x0 y

PB = w ∶ I Ð→ B ∣ w(0) = x0 .

Entonces q ∶ PB Ð→ B definido por w z→ w(1) es una fibracion de Hurewicz (cf. [1,p. 105]), con fibra q−1(x0) = ΩB. De modo que tenemos la siguiente sucesion

ΩB // PB // B,

y es claro que PB es contraıble.

Las fibraciones de Serre y de Hurewicz satisfacen una importante propiedad,esta es la de tener una sucesion exacta larga en homotopıa, como se establece en elsiguiente resultado.

Teorema 4.2.3. Si p ∶ E Ð→ B es una fibracion de Serre, entonces

p∗ ∶ πn(E,Fb, e)Ð→ πn(B, b), n ≥ 1

es un isomorfismo, donde b ∈ B y e ∈ Fb ∶= p−1(b). En particular, existe una sucesionexacta larga,

. . . // πn(Fb) // πn(E) // πn(B) // πn−1(Fb) // . . .

159

Capıtulo 4

La demostracion de la primera parte de este resultado puede consultarse en [1,Teo. 4.3.33]. La segunda parte del teorema (cf. [1, Cor. 4.3.34]) se sigue al reemplazarπn(E,Fb, e) por πn(B, b) en la sucesion exacta larga asociada a la pareja (E,Fb),

πn(B)

δ′

AAAAAAAAAAAAAAAA

p−1∗

. . . // πn(Fb)

i∗ // πn(E) j∗ //

j′∗

??πn(E,Fb)

p∗

OO

δ // πn−1(Fb) // . . .

donde j′∗ = p∗ j∗ y δ′ = δ p−1∗ .

Cuasifibraciones

El concepto de cuasifibracion rescata la importante propiedad de la existencia deuna sucesion exacta larga en homotopıa.

Una funcion p ∶ E Ð→ B es llamada cuasifibracion si para todo punto b ∈ B ypara todo e ∈ Fb = p−1(b) se tiene que

p∗ ∶ πn(E,Fb, e)Ð→ πn(B, b)

es un isomorfismo para cada q ≥ 0. Esto implica la existencia de una sucesion exactalarga en homotopıa

. . . // πn(Fb)i∗ // πn(E) p∗ // πn(B) δ // πn−1(Fb) // . . .

Es evidente que toda fibracion de Serre, y por lo tanto de Hurewicz, es unacuasifibracion. Nuevamente el resultado recıproco esa falso, basta tomar la proyeccioncanonica de la union de los ejes X y Y sobre el eje X.

Lema 4.2.4 (cf. [1, Prop. B.2.5]). Si p ∶ E Ð→ B es una cuasifibracion con fibraF y espacio total E contraıble, entonces existe una equivalencia homotopica debilφ ∶ F Ð→ ΩB, es decir,

φ∗ ∶ πn(F ) ≅ // πn(ΩB),

para todo n ≥ 0.

Demostracion. Sean b ∈ B, e0 ∈ F ⊂ E y e′0 ∈ ΩB ⊂ PB puntos base, dondeΩB = Ω(B, b) y PB = P (B, b). Por hipotesis E es contraıble, de modo que existeuna homotopıa H ∶ E × I Ð→ E entre la funcion constante H(e,0) = e0, y la funcionidentidad H(e,1) = e.

Consideremos las funciones p H ∶ E × I Ð→ B y e′0 ∶ E Ð→ PB, con e′0 ∶ e z→ e′0siendo la funcion constante. Luego, como q e′0(e) = q(e′0) = b y (p H) j(e) =(p H)(e,0) = p(H(e,0)) = p(e0) = b, se sigue que el cuadrado del diagrama de

160

Periodicidad de Bott

abajo es conmutativo, y por ser q ∶ PB Ð→ B una fibracion de Hurewicz, existe unahomotopıa H ∶ E × I Ð→ PB que hace conmutar el diagrama,

Ee′0 //

j0

PB

q

E × I

H

;;ww

ww

ww

ww

ww p H //

H ""FFFFFFFFF B

Ep

==

Esta homotopıa tiene la propiedad de que H(e,0) = e′0(e) = e′0 y q H = p H.Definimos la funcion ϕ ∶ E Ð→ PB por ϕ(e) = H(e,1), de modo que tenemos el

siguiente diagrama conmutativo

Eϕ //

p @@@@@@@@ PB

q

B

De hecho, la conmutatividad del diagrama se sigue por la propiedad mencionada en elparrafo anterior. En efecto, si e ∈ E entonces (q ϕ)(e) = q(H(e,1)) = (p H)(e,1) =p(H(e,1)) = p(e).

Por la conmutatividad de este ultimo diagrama, la funcion ϕ ∶ E Ð→ PB definepor restriccion una funcion entre las correspondientes fibras,

φ ∶ F Ð→ ΩB.

Veamos que esta aplicacion es la equivalencia homotopica debil establecida en ellema.

De la contractibilidad de E y PB se tiene que πn(E) = πn(PB) = 0, para todon ≥ 0. Luego, las sucesiones exactas largas en homotopıa de la cuasifibracion F Ð→E Ð→ B y la fibracion de Hurewicz ΩB Ð→ PB Ð→ B forman el siguiente digramade cuadrados conmutativos,

0 0

⋯ // πn(E) //

≅ϕ∗

πn(B) // πn−1(F ) //

φ∗

πn−1(E) //

≅ϕ∗

πn−1(B) // ⋯

⋯ // πn(PB) // πn(B) // πn−1(ΩB) // πn−1(PB) // πn−1(B) // ⋯

0 0

161

Capıtulo 4

Por lo tanto, para cada n ≥ 1, tenemos que el siguiente diagrama conmuta,

πn−1(F )

φ∗ ≅

πn(B)

≅

88rrrrrrrrrr

≅ &&LLLLLLLLLL

πn−1(ΩB)

Se sigue que φ ∶ F Ð→ ΩB es una equivalencia homotopica debil.

Colımites

Aunque ya hemos utilizado previamente el concepto de colımite, recordaremosalgunos hechos basicos que seran frecuentemente utilizados en este capıtulo. El ma-terial incluido a continuacion puede consultarse en [12, Apendice 2] y [9, Cap. III,Sec. 7].

Recordemos que un conjunto dirigido (I,≤) es un conjunto no vacıo I con unarelacion binaria, transitiva y reflexiva ≤, tal que todo par de elementos a, b ∈ I tieneuna cota superior c ∈ I, esto es, para todos a, b ∈ I existe c ∈ I tal que a ≤ c y b ≤ c.

Ejemplo 4.2.5. Sea U un espacio de Hilbert complejo separable de dimensioninfinita y sea I = W ⊂ U ∣ dimCW <∞ con V ≤ W si y solo si, V ⊆ W . Entonces(I,≤) es un conjunto dirigido, donde una cota superior para V y W es V ⊕W .

Sea (I,≤) un conjunto dirigido. Un sistema dirigido sobre I, denotado porXi, fji, es una familia de objetos (en alguna categorıa) indexados por I, yfji ∶Xi Ð→Xj es un morfismo para todo i ≤ j con las siguientes propiedades,

1. fii = IdXi es la identidad sobre Xi, y

2. fki = fkj fji para todo i ≤ j ≤ k.

El colımite del sistema dirigido Xi, fji, denotado por colimiXi, se define comoel espacio cociente de la union ajena ⊔iXi, respecto a la relacion de equivalencia ∼:para xi ∈Xi y xj ∈Xj, xi ∼ xj si y solo si, existe k ∈ I tal que fki(xi) = fkj(xj).

El morfismo canonico fi ∶ Xi → X que envıa cada elemento a su clase de equiva-lencia es llamado la proyeccion.

Previamente en este trabajo hemos manejamo la definicion equivalente de colımi-te mediante la propiedad universal: Sea Xi, fji un sistema dirigido de objetos ymorfismos en una categorıa C. El colımite de este sistema es un objeto X en C juntocon morfismos fi ∶Xi Ð→X que satisfacen fi = fj fji. La pareja (X,fi) es universal,

162

Periodicidad de Bott

es decir, si (Y, gi) satisface la propiedad anterior, entonces existe un unico morfismou ∶X Ð→ Y que hace conmutar el diagrama

Xi

fji //

fi

AAAAAAA

gi

000000000000000 Xj

gj

fj

~~

X

u

Y

para todos i, j.Un morfismo entre dos sistemas dirigidos Xi, fji y Yi, gji es una familia de

funciones hi ∶Xi Ð→ Yii∈I que hace conmutar el diagrama

Xihi //

fji

Yi

gji

Xj

hj// Yj

para todos i, j ∈ I. Un sistema dirigido Xi, fji en la la categorıa Top debe satisfacerque cada fji sea continua, y un morfismo entre sistemas dirigidos en dicha categorıadebe cumplir que cada funcion hi sea continua.

Teorema 4.2.6 ([12, Ap. 2, Teo. 1.5]). Sean Xi, fji y Yi, gji dos sistemas dirigi-dos en Top. Si hii∈I es un morfismo continuo, entonces existe una unica funcioncontinua h ∶ colim Xi Ð→ colim Yi que hace conmutar el diagrama

Xihi //

fi

Yi

gi

colim Xi

h // colim Yi

Ademas, si cada hi es una funcion inyectiva (resp. sobreyectiva, resp. homeomorfis-mo), entonces h es inyectiva (resp. sobreyectiva, resp. homeomorfismo).

La funcion h enunciada en el teorema anterior es llamada la funcion inducidapor hii∈I y usamos la notacion h = colimi hi. El siguiente resultado muestra trespropiedades importantes de la funcion inducida (cf. [12, Ap.2, Cor. 1.6] y [9, p. 207]).

Proposicion 4.2.7. Sean ϕi ∶ Xi, fji Ð→ Yi, gji y ψi ∶ Yi, gji Ð→ Zi, hjidos morfismos entre sistemas dirigidos y sean ϕ = colim (ϕi) y ψ = colim (ψi) suscorrespondientes colımites.

163

Capıtulo 4

(i) La familiaψi ϕi ∶ Xi, fjiÐ→ Zi, hji

es tambien un morfismo de sistemas dirigidos y ademas,

colim (ψi ϕi) = ψ ϕ.

(ii) Si Ai es un sistema dirigido de subconjuntos de Xi, entonces ϕi(Ai) esun sistema dirigido de subconjuntos de Yi y

colim ϕi(Ai) = ϕ(colim Ai).

(iii) Sea yi una familia de elementos tal que yi ∈ Yi para cada i ∈ I, y ademasgji(yi) = yj para i ≤ j. Entonces los conjuntos ϕ−1

i (yi) forman un sistemadirigido de subconjuntos de Xi y

colim ϕ−1i (yi) = ϕ−1(y),

donde y ∈ colimiYi es el unico elemento de tal que gi(yi) = y para cada i.

4.3. La cuasifibracion de Bott

El objetivo de esta seccion es proporcionar la construccion del espacio total E y elespacio base U de la cuasifibracion de Bott p ∶ E Ð→ U . Proporcionaremos tambienuna caracterizacion de su correspondiente fibra.

Definicion de U

Sea U un espacio vectorial complejo separable de dimension infinita, con unproducto interior hermitiano. Podemos tomar como modelo U = C∞ ∶= colimnCn.

Consideremos nuevamente el conjunto dirigido

I = V ⊂ U ∣ dimCV <∞

con V ≤W si y solo si, V ⊆W . Asociado a este conjunto dirigido tenemos el siguientesistema dirigido

U(V ⊕ V ), ιW,V V ∈Idonde U(V ⊕ V ) ∶= A ∶ V ⊕ V Ð→ V ⊕ V ∣ AA∗ = A∗A = IdV ⊕V es el grupo deoperadores unitarios sobre V ⊕ V , de tal manera que si V ≤ W entonces se tiene elhomomorfismo

ιW,V ∶ U(V ⊕ V ) Ð→ U(W ⊕W )A z→ A⊕ Id(W−V )⊕(W−V )

donde W − V representa el complemento ortogonal de V en W .

164

Periodicidad de Bott

Observacion. 4.3.1. Si dimC V = n y dimCW = m, entonces es posible factorizarcada homomorfismo ιW,V como

ιW,V ∶ U(V ⊕ V )Ð→ U(2n)Ð→ U(2m)Ð→ U(W ⊕W ),

con U(2n) = A ∈ Mn×n(C)∣A ⋅A∗ = Id, donde la flecha del centro es el encajeestandar de los grupos unitarios de matrices y las flechas de los extremos son in-ducidas por alguna isometrıa al elegir bases sobre V y W . De lo anterior se sigue lacontinuidad de ιW,V .

Definimos el grupo unitario infinito como el siguiente colımite,

U = colim→VU(V ⊕ V )

donde el colımite es tomado sobre todos los subespacios V ⊂ U de dimension finita.Cabe senalar que esta caracterizacion de U coincide con la establecida anterior-

mente en este trabajo. En efecto, como el conjunto dirigido (N,≤) con ≤ el ordenusual, induce un sistema dirigido U(n)n∈N el cual es cofinal a U(V ⊕ V )V ∈I , esdecir, dado cualquier U(V ⊕V ) con dimC V <∞ existe n ∈ N tal que U(V ⊕V ) = U(n),se sigue que (cf. [12, p. 424]),

colim→VU(V ⊕ V ) ≅ colimn→∞U(n).

Definicion de E

Para la definicion del espacio total de la cuasifibracion de Bott, consideramos elmismo conjunto dirigido que para el espacio base U y el siguiente sistema dirigido,

E(V ⊕ V ) = X ∶ V ⊕ V Ð→ V ⊕ V ∣X es lineal, ⟨Xv,u⟩ = ⟨v,Xu⟩ y σ(X) ⊂ [0,1]

donde σ(X) denota el espectro de X. Esto es, E(V ⊕V ) consta del conjunto de todoslos endomorfismos lineales hermitianos de V ⊕V cuyos valores propios pertenecen alintervalo [0,1], donde para V ⊆ W subespacios de dimension finita de U tenemoslos siguientes homomorfismos

κW,V ∶ E(V ⊕ V ) Ð→ E(W ⊕W )X z→ X ⊕ π(W−V )⊕0

donde denotamos por πS la proyecion ortogonal sobre el subespacio S. La continuidadde κW,V se deduce de un argumento completamente analogo a la Observacion 4.3.1.

Lema 4.3.2. Sea E = colim→VE(V ⊕V ) el colımite sobre todos los subespacios V ⊂ Ude dimension finita. Entonces E es contraıble.

El lema anterior se sigue del hecho de que cada espacio E(V ⊕ V ) es contraıblemediante la homotopıa ht(X) = tX con t ∈ [0,1]. Por lo tanto, E = colim→VE(V ⊕V )es tambien contraıble.

165

Capıtulo 4

Definicion de p ∶ E Ð→ U

Sea X ∈ E(V ⊕ V ). Como X es un operador hermitiano, tenemos que X∗ = X,de modo que el operador

pV (X) ∶= e2πiX =∞

∑n=0

(2πi)nn!

Xn

es un operador unitario. En efecto,

pV (X) (pV (X))∗ = (e2πiX) (e2πiX)∗ = e2πiX e−2πiX∗ = e2πiXe−2πiX = e0 = IdV ⊕V .

Analogamente (pV (X))∗pV (X) = IdV ⊕V . Ası, tenemos una aplicacion bien definida,

pV ∶ E(V ⊕ V ) Ð→ U(V ⊕ V )X z→ e2πiX

Nuevamente, la continuidad de cada aplicacion pV se sigue de la continuidad desu contraparte en el caso clasico de los grupos de matrices y factorizando pV a travesde tal proyeccion exponencial como se comenta en la Observacion 4.3.1.

Lema 4.3.3 (cf. [1, Prop. B.2.8]). Para cada subespacio V ⊂ U de dimension finita,la aplicacion pV es sobreyectiva.

Demostracion. Fijando una base para V ⊕V y siendo [A] la representacion matricialen dicha base del operador unitario A ∈ U(V ⊕ V ), podemos encontrar una matrizunitaria T tal que

T −1[A]T =⎛⎜⎜⎜⎝

e2πiλ1 0e2πiλ2

⋱0 e2πiλn

⎞⎟⎟⎟⎠

con λj ∈ [0,1], ya que los valores propios de la matriz unitaria T −1[A]T son numeroscomplejos de modulo 1.

Sea

D =⎛⎜⎜⎜⎝

λ1 0λ2

⋱0 λn

⎞⎟⎟⎟⎠

y consideremos el operador X cuya representacion matricial es dada por TDT −1.Como T es una matriz unitaria, se tiene que T −1 = T ∗ y por lo tanto,

(TDT −1)∗ = (TDT ∗)∗ = TD∗T ∗ = TDT −1,

esto es, TDT −1 es una matriz hermitiana y se sigue que X ∈ E(V ⊕ V ).Finalmente, y abusando de la notacion, tenemos

pV (X) = e2πi⋅(TDT−1) = eT (2πiD)T−1 = Te2πiDT −1 = T (T −1AT )T −1 = A.

166

Periodicidad de Bott

Lema 4.3.4. Si V ⊂ W son subespacios de dimension finita de U , entonces elsiguiente diagrama es conmutativo

E(V ⊕ V )pV //

κW,V

U(V ⊕ V )

ιW,V

E(W ⊕W )

pW // U(W ⊕W )

Demostracion. Sea X ∈ E(V ⊕ V ). Entonces,

pW κW,V (X) = pW (X ⊕ π(W−V )⊕0)= e2πi⋅(X⊕π(W−V )⊕0)

= e2πiX ⊕ e2πi⋅π(W−V )⊕0

= e2πiX ⊕ Id(W−V )⊕(W−V )

donde la ultima igualdad se tiene por el hecho de que e2πi = e0.Por otro lado,

ιW,V pV (X) = ιW,V (e2πiX)= e2πiX ⊕ Id(W−V )⊕(W−V )

De modo que se sigue la conmutatividad del diagrama.De los lemas anteriores, se sigue la existencia (cf. [12, Teo. 1.5-(2)]) de una unica

aplicacion continua y sobreyectiva p ∶ E Ð→ U tal que el diagrama

E(V ⊕ V )pV //

κV

U(V ⊕ V )

ιV

E

p // U

es conmutativo para cada subespacio V de U de dimension finita, donde κV y ιVson las proyecciones en su respectivo cociente.

Si Y ⊂ U ⊕U , definimos los conjuntos

BUn(Y ) = V ∣ V ⊆ Y,dimCV = n

para cada n ≥ 0, y BU(Y ) ∶= ⊔n∈N BUn(Y ).

Lema 4.3.5. Si V ⊂ U es un subespacio de dimension finita y A ∈ U(V ⊕ V ),entonces

p−1V (A) ≅ BU(Ker(A − IdV ⊕V )).

167

Capıtulo 4

Demostracion. Como A es un operador unitario, su descomposicion espectral es dela forma

A =∑ e2πiµjπVj ,

con ⊕j Vj = V ⊕V . Si X ∈ p−1V (A), entonces el operador X tiene la siguiente descom-

posicion espectral

X = 0 ⋅ πV0 + 1 ⋅ πV1 +∑j

µjπVj ,

con V0 ⊕ V1 ⊕⊕j Vj = V ⊕ V . Definimos

ΨV ∶ p−1V (A) Ð→ BU(Ker(A − IdV ⊕V )) (4.2)

X z→ Ker (X − IdV ⊕V )

Claramente ΨV esta bien definida ya que Ker (X − IdV ⊕V ) = V1 ⊂ V0 ⊕V1 = Ker (A−IdV ⊕V ). Ademas, su funcion inversa es dada por

Ψ−1V ∶ BU(Ker(A − IdV ⊕V )) Ð→ p−1

V (A)V ′ z→ 0 ⋅ πKer(A−IdV ⊕V )−V ′ + 1 ⋅ πV ′ +∑

j

µjπVj

Para V ⊆W ⊆ U existen inclusiones naturales

δW,V ∶ BUn(V ⊕ V ) Ð→ BUm(W ⊕W )V ′ z→ V ′ ⊕ ((W − V )⊕ 0)

Si V ′ ⊂W ⊕W , definimos

BUV ′,W = colimW ′⊇WBU (V ′ ⊕ ((W ′ −W )⊕ (W ′ −W ))) .

Por otro lado, si A ∈ U(V ⊕ V ) tiene la siguiente descomposicion espectral

A =∑ e2πiµjπVj ,

entonces X ∈ p−1V (A) tiene la forma

X = 0 ⋅ πV0 + 1 ⋅ πV1 +∑j

µjπVj ,

con V0 ⊕ V1 ⊕⊕j Vj = V ⊕ V . Si ademas V ⊂W , X ′ ∈ p−1W (ιW,V (A)) y κW,V (X) = X ′,

entonces

X ′ = 0 ⋅ πV0⊕(0⊕(W−V )) + 1 ⋅ πV1⊕((W−V )⊕0) +∑j

µjπVj ,

con [V0 ⊕ (0⊕ (W − V ))]⊕ [V1 ⊕ ((W − V )⊕ 0)]⊕ [⊕j Vj] =W ⊕W .

En la notacion anterior y de la demostracion del Lema 4.3.5, tenemos el siguientediagrama conmutativo

168

Periodicidad de Bott

p−1V (A) ΨV //

κW,V

BU(Ker(A − IdV ⊕V ))

δW,V

p−1W (ιW,V (A)) ΨW // BU(Ker(ιW,V (A) − IdW⊕W ))

En efecto,

δW,V ΨV (X) = δW,V ΨV (0 ⋅ πV0 + 1 ⋅ πV1 +∑j

µjπVj)

= δW,V (V1)= V1 ⊕ ((W − V )⊕ 0).

y

ΨW κW,V (X) = ΨW κW,V (0 ⋅ πV0 + 1 ⋅ πV1 +∑j

µjπVj)

= ΨW (0 ⋅ πV0⊕(0⊕(W−V )) + 1 ⋅ πV1⊕((W−V )⊕0) +∑j

µjπVj)

= V1 ⊕ ((W − V )⊕ 0)

Luego, como cada aplicacion ΨV es un homeomorfismo, por el Lema 4.3.5, sesigue que

Ψ ∶ p−1(A) ≅ // BUKer(A−Id),V (4.3)

por el Teorema 4.2.6 y el Corolario 4.2.7-(iii).

Finalmente como U ≅ U ⊕U , por ser un espacio de Hilbert separable de dimen-sion infinita, podemos elegir una base para U de la forma ei−∞<i<∞ y se puedecaracterizar a Z ×BU como la coleccion de todos los subespacios V ⊂ U tales queVp ⊂ V ⊂ Vq, para algunos −∞ < p ≤ q <∞ y Vk ∶= spani<k⟨ei⟩ (cf. [1, Apendice B.1] y[18, Sec. 4]). Por lo tanto, existe un homeomorfismo

Φ ∶ BUKer(A−Id),V Ð→ Z ×BU. (4.4)

De (4.3) y de (4.4) obtenemos que

p−1(A) ≅ Z ×BU.

169

Capıtulo 4

4.4. El Teorema de Dold-Thom y periodicidad de

Bott

En esta seccion demostraremos el Teorema 4.1.2, resultado principal de estecapıtulo. Para demostrar que p ∶ E Ð→ U es efectivamente una cuasifibracion se-guiremos el siguiente criterio establecido por A. Dold y R. Thom.

Teorema 4.4.1 (Dold-Thom). Sea p ∶X Ð→ Y una funcion continua y sobreyectiva.Supongamos que Y tiene una filtracion ⋯ ⊂ Fi−1Y ⊂ FiY ⊂ Fi+1Y ⊂ ⋯ tal que

DT-1. El subespacio FnY −Fn−1Y es distinguido para todo n, esto es, la restriccion

p ∣p−1(FnY −Fn−1Y )∶ p−1(FnY − Fn−1Y )Ð→ FnY − Fn−1Y

es una cuasifibracion.

DT-2. Para todo n existe una vecindad Nn de Fn−1Y en FnY y una deformacionh ∶ Nn × I Ð→ Nn tal que h(−,0) ∶ Nn Ð→ Nn es la identidad y h(−,1) ∶ Nn Ð→Nn satisface que h(Nn,1) ⊂ Fn−1Y .

DT-3. Esta deformacion es cubierta por una deformacion H ∶ p−1(Nn) × I Ð→p−1(Nn) tal que H(−,0) ∶ p−1(Nn) Ð→ p−1(Nn) es la identidad y para todoy ∈ Nn la aplicacion inducida

H(−,1) ∶ p−1(y)Ð→ p−1(h(y,1))

es una equivalencia homotopica debil.

Entonces p es una cuasifibracion.

El criterio anterior es establecido en [5, Teo. 2.1] basandose en los resultadosoriginales de A. Dold y R. Thom en [11].

Antes de iniciar la verificacion de las hipotesis para la funcion p ∶ E Ð→ U ,establecemos la siguiente filtracion para U .

Sea V ⊂ U un subespacio de dimension finita y sea

FnU(V ⊕ V ) = A ∈ U(V ⊕ V ) ∣ dimC(V ⊕ V −Ker (A − IdV ⊕V )) ≤ n ,

definimos

Bn(V ) = FnU(V ⊕V )−Fn−1U(V ⊕V ) = A ∈ U(V ⊕ V ) ∣ dimC(V ⊕ V −Ker (A − IdV ⊕V )) = n

y adoptamos la siguiente notacion

FnU ∶= colimV FnU(V ⊕ V ) ⊆ U,

Bn ∶= FnU − Fn−1U.

170

Periodicidad de Bott

4.4.1. Comprobacion de DT-1

Para la comprobacion del primer paso de DT-1 ocupamos enunciar unos resulta-dos

Lema 4.4.2. Sea G un subgrupo cerrado de un grupo de Lie B, entonces B/G tieneuna unica estructura de variedad tal que

1. BπÐ→ B/G es C∞

2. Existen secciones locales de B/G en B

Para ver la demostracion puede consultar [[22], p. 120].

Lema 4.4.3. Sea B un grupo topologico y H subgrupo cerrado de un subgrupo cerradoG de B (H ⊆ G ⊆ B) tales que π ∶ B Ð→ B/G admite secciones locales, entoncesp ∶ B/H Ð→ B/G la proyeccion natural tiene estructura de haz fibrado.

La demostracion de este lema se encuentra en [[21], p.30].

Lema 4.4.4. Sea V ⊂ U un subespacio de dimension finita y sea

Perpi,j(V ⊕ V ) = (V ′, V ′′) ∣ V ′, V ′′ ⊂ V ⊕ V, V ′ ⊥ V ′′, dimV ′ = i, dimV ′′ = j.

Entonces

P ∶ Perpi,j(V ⊕ V ) Ð→ BUi+j(V ⊕ V )(V ′, V ′′) z→ V ′ ⊕ V ′′

es una fibracion de Serre.

Demostracion. Por una parte, por definicion tenemos que

Perpi,j(V ⊕ V ) = (V ′, V ′′) ∣ V ′, V ′′ ⊂ V ⊕ V, V ′ ⊥ V ′′, dimV ′ = i, dimV ′′ = j

= U2n

Ui ×Uj ×U2n−(i+j)

Por otro lado, usando la Proposicion 2.4.10 tenemos que

BUi+j(V ⊕ V ) ≅ U2n

Ui+j ×U2n−(i+j)

.

Notemos que Ui × Uj × U2n−(i+j) Ð→ Ui+j × U2n−(i+j) es un encaje cerrado, y a su vezUi+j × U2n−(i+j) Ð→ U2n es un encaje cerrado. Usando el Lema 4.4.2 tenemos queU2n Ð→ U2n

Ui+j×U2n−(i+j)admite secciones locales, y por el Lema 4.4.3 tenemos que

P ′ = U2n

Ui ×Uj ×U2n−(i+j)

Ð→ U2n

Ui+j ×U2n−(i+j)

171

Capıtulo 4

es una fibracion, por lo tanto

P ∶ Perpi,j(V ⊕ V ) Ð→ BUi+j(V ⊕ V )

es una fibracion de Serre.

Para demostrar que los subespacios Bn son distinguidos, probaremos de hecho,que para cada n la restriccion

p ∣p−1(Bn)∶ p−1(Bn)Ð→ Bn

es una fibracion de Serre. Para ello necesitamos el siguiente resultado.

Lema 4.4.5. Si V ⊂ U es un subespacio de dimension finita y A ∈ U(V ⊕ V ),entonces para cada n, la proyeccion natural

p−1V (Bn(V ))Ð→ Bn(V ),

es una fibracion de Serre.

Demostracion. Consideremos el siguiente diagrama conmutativo,

Ikβ0 //

j0

p−1V (Bn(V ))

pV

Ik × I

β // Bn(V )

y fijemos la siguiente notacion

β0 ∶ Ik Ð→ p−1V (Bn(V )) (4.5)

τ z→ X(τ) = 0 ⋅ πW0(τ) + 1 ⋅ πW1(τ) +∑µj(τ)πVj(τ)

y

β ∶ Ik × I Ð→ Bn(V ) (4.6)

(τ, t) z→ A(τ, t) = 1 ⋅ πV1(τ,t) +∑λj(τ, t)πVj(τ,t)

El hecho de que el diagrama anterior es conmutativo significa que pV β0(τ) =β(τ,0), lo cual implica las siguientes condiciones sobre las descomposiciones espec-trales de los operadores anteriores, para cada τ ∈ Ik y t = 0,

W0(τ)⊕W1(τ) = V1(τ,0),

172

Periodicidad de Bott

Vj(τ) = Vj(τ,0),

e2πiµj(τ) = λj(τ,0) con µj(τ) ∈ (0,1).

A fin de demostrar que pV es una fibracion de Serre, debemos construır unahomotopıa β ∶ Ik × I Ð→ p−1

V (Bn(V )) tal que β(τ,0) = β0(τ) y pV β = β, esto es, unlevantamiento del diagrama anterior,

Ikβ0 //

j0

p−1V (Bn(V ))

pV

Ik × I

β //

β

::uu

uu

uu

uu

uu

Bn(V )

Por otro lado, en la notacion de (4.5) y (4.6), definimos

α0 ∶ Ik Ð→ Perpi,j(V ⊕ V )τ z→ (W1(τ), V1(τ,0) −W1(τ))

donde i = dim W1(0), y definimos tambien

α ∶ Ik × I Ð→ BUi+j(V ⊕ V )(τ, t) z→ V1(τ, t)

de modo que tenemos el siguiente diagrama conmutativo,

Ikα0 //

j0

Perpi,j(V ⊕ V )

P

Ik × I α // BUi+j(V ⊕ V )

Luego, como P es una fibracion de Serre (por el Lema 4.4.4), existe una homotopıa

α ∶ Ik × I Ð→ Perpi,j(V ⊕ V )(τ, t) z→ (W ′

1(τ, t), V1(τ, t) −W ′1(τ, t))

tal que α(τ,0) = α0(τ) y P α = α, y en particular W ′1(τ,0) =W1(τ). Definimos

β ∶ Ik × I Ð→ p−1V (Bn(V ))

(τ, t) z→ 0 ⋅ πV1(τ,t)−W ′1(τ,t)

+ 1 ⋅ πW ′1(τ,t)

+∑µj(τ)πVj(τ)

Es sencillo verificar que esta homotopıa es el levantamiento que estabamos buscandopara el diagrama original y se sigue el resultado que deseabamos demostrar.

173

Capıtulo 4

Finalmente, para probar que p ∣p−1(Bn)∶ p−1(Bn) Ð→ Bn es una fibracion de Serreusamos el hecho de que el siguiente diagrama conmutativo

Ikγ0 //

j0

p−1(Bn)

p

Ik × I

γ // Bn

se puede factorizar de la siguiente manera,

Ikβ0 //

j0

p−1V (Bn(V ))

pV

κV // p−1(Bn)

p

Ik × I

β // Bn(V ) ιV // Bn

debido a la compacidad de Ik × I y de Ik. Luego, por el Lema 4.4.5 existe un le-vantamiento β ∶ Ik × I Ð→ p−1

V (Bn(V )) y se sigue que γ ∶= κV β corresponde a unlevantamiento de γ = ιV β.

4.4.2. Comprobacion de DT-2

Antes de comprobar los puntos DT-2 y DT-3 del Teorema de Dold-Thom, mostra-remos una homotopıa entre la funcion identidad Id ∶ I Ð→ I y la funcion f ∶ I Ð→ I,definida por

f(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0 si x ∈ [0, 14]

2x − 1/2 si x ∈ (14 ,

34)

1 si x ∈ [34 ,1]

la cual utilizaremos para la comprobacion de estos ultimos puntos del teorema.

La homotopıa entre Id y f que consideraremos, para cada t ∈ [0,1], es dada por

Ht(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

0 si x ∈ [0, t4]2

2−t(x − t

4) si x ∈ ( t4 ,1 −

t4)

1 si x ∈ [1 − t4 ,1]

de donde es evidente que H0 = Id y H1 = f . Podemos ver la homotopıa como lafamilia de funciones donde la parte constante de cada termino de la famila se ex-pande linealmente respecto a t > 0. En la figura mostramos algunos terminos de la

174

Periodicidad de Bott

homotopıa.

Consideremos ahora un subespacio V ⊂ U de dimension finita y un operadorhermitiano X ∈ E(V ⊕ V ) cuya descomposicion espectral es dada por

X =∑j

νjπVj ,

con ⊕j Vj = V ⊕ V y νj el valor propio correspondiente al espacio propio Vj. En lanotacion anterior, definimos

HV ∶ E(V ⊕ V ) × I Ð→ E(V ⊕ V )

(∑j

νjπVj , t) Ð→ ∑j

Ht(νj)πVi

y denotamos por H ∶ E × I Ð→ E la correspondiente deformacion inducida en elcolımite. Analogamente, podemos definir

hV ∶ U(V ⊕ V ) × I Ð→ U(V ⊕ V )

(∑j

e2πiνjπVj , t) Ð→ ∑j

e2πiHt(νj)πVi

y sea h ∶ U × I Ð→ U la correspondiente deformacion inducida en el colımite.Procedamos ahora a la comprobacion de DT-2. Sea n fijo, V ⊂ U un subespacio

de dimension finita y consideremos la siguiente vecindad

Nn(V ) ∶=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩A = 1 ⋅ πV ′ + ∑

νj≠0,1

e2πiνjπVj ∈ FnU(V ⊕ V )RRRRRRRRRRRV ′ ⊕ ⊕

νj≠0,1

Vj = V ⊕ V, dimC ⊕νj∈[

14, 34]

Vj < n⎫⎪⎪⎬⎪⎪⎭.

Por otro lado, si A = 1⋅πV ′+∑νj≠0,1 e2πiνjπVj ∈ Fn−1U(V ⊕V ) entonces dimC⊕νj≠0,1 Vj ≤

n − 1 y se sigue quedimC ⊕

νj∈[14, 34]

Vj ≤ n − 1 < n.

175

Capıtulo 4

Por lo tanto, para cada subespacio V ⊂ U de dimension finita, se tiene que

Fn−1U(V ⊕ V ) ⊂ Nn(V ) ⊂ FnU(V ⊕ V ).

De la relacion anterior, tenemos una vecindad Nn = colim→VNn(V ) de Fn−1U enFnU .

Para comprobar que la vecindad Nn satisface las condiciones de DT-2, considere-mos la restriccion h ∣Nn×I de la deformacion h ∶ U × I Ð→ U introducida previamenteen esta seccion. Denotaremos esta restriccion tambien por h. El hecho de que h esuna deformacion de Nn se sigue del siguiente lema.

Lema 4.4.6. Para cada subespacio V ⊂ U de dimension finita y t ∈ [0,1], se satisfaceque

hV (Nn(V ), t) ⊆ Nn(V ).

Demostracion. Este resultado se sigue del hecho de que Ht ∶ I Ð→ I es una funcionno decreciente para todo t ∈ [0,1] y es estrictamente creciente (con pendiente mayoro igual que 1) en el intervalo [1

4 ,34]. En efecto, sea

A = 1 ⋅ πV ′ + ∑νj≠0,1

e2πiνjπVj ∈ Nn(V )

con V ′ ⊕⊕νj≠0,1 Vj = V ⊕ V y dimC⊕νj∈[14, 34] Vj < n. Luego, por construccion de Ht,

se tiene que νj ∈ [14 ,

34] no necesariamente implica que Ht(νj) ∈ [1

4 ,34]. Por lo tanto,

el operador

hV (A, t) = 1 ⋅ πV ′ + ∑νj≠0,1

e2πiHt(νj)πVj

tiene a lo mas la misma cantidad de valores propios en el intervalo [14 ,

34] que el

operador A; ası,

dimC ⊕Ht(νj)∈[

14, 34]

Vj ≤ dimC ⊕νj∈[

14, 34]

Vj < n,

y se sigue que hV (A, t) ∈ Nn(V ).Finalmente, en t = 0 se tiene H0 = Id y por lo tanto hV (A,0) = A para todo

A ∈ U(V ⊕ V ), de modo que h(−,0) = Id sobre U y en consecuencia sobre Nn. Elhecho de que h(Nn,1) ⊂ Fn−1U se sigue del siguiente lema, cuya demostracion siguepracticamente las mismas lıneas que la demostracion del lema anterior y por lo tantono las reproduciremos.

Lema 4.4.7. Para cada subespacio V ⊂ U de dimension finita se cumple que

hV (Nn(V ),1) ⊆ Fn−1U(V ⊕ V ).

176

Periodicidad de Bott

4.4.3. Comprobacion de DT-3

Para concluir la verificacion del Teorema de Dold-Thom, resta probar que lafuncion

H(−,1) ∶ p−1(A)Ð→ p−1(h(A,1))establecida anteriormente, induce una equivalencia homotopica debil para cada A ∈Nn. Para esto probaremos, mediante el homeomorfismo dado por (4.3),

ΨA ∶ p−1(A) ≅ // BUKer(A−Id),V ,

que la aplicacion inducida sobre tales espacios corresponde a una equivalencia ho-motopica debil.

Caracterizamos primero la aplicacion inducida por H(−,1).Sea V ⊂ U un subespacio de dimension finita y A ∈ U(V ⊕ V ) un operador

unitario tal que ιV (A) = A, cuya descomposicion espectral es dada por

A = 1 ⋅ πV1 + ∑µj≠0,1

e2πiµjπVj ,

con ⊕j Vj = V ⊕ V . Se sigue que

hV (A,1) = 1 ⋅ πV1 + ∑14<µj<

34

e2πif(µj)πVj ,

donde V1 = V1⊕µj∈(0, 14]∪[ 3

4,1) Vj y por lo tanto, HV (−,1) ∶ p−1

V (A) Ð→ p−1V (hV (A,1))

es dado explıcitamente por,

HV (−,1) ∶ 0 ⋅ πW0 + 1 ⋅ πW1 + ∑µj≠0,1

µjπVj z→ 0 ⋅ πW0⊕W0+ 1 ⋅ πW1⊕W1

+ ∑14<µj<

34

f(µj)πVj

donde W0 ⊕W1 = V1, W0 = ⊕µj∈(0, 14] Vj y W1 = ⊕µj∈[

34,1) Vj. Luego, la aplicacion

inducida en el siguiente diagrama consiste en tomar la suma directa con el subespacioW1,

p−1(A)H(−,1)

//

ΨA ≅

p−1(h(A,1))

Ψh(A,1)≅

BUKer(A−IdV ⊕V ),Vi //______ BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V )),V

En efecto, si V ⊂W , entonces tenemos el diagrama

p−1W (ιW,V (A))

HW (−,1)//

(ΨA)W ≅

p−1W (hW (ιW,V (A),1))

(Ψh(A,1))W≅

BU(Ker(ιW,V (A)−IdW⊕W )⊕((W−V )⊕(W−V )))iW //_____ BU(Ker(hW (ιW,V (A),1)−IdW⊕W )⊕((W−V )⊕(W−V )))

177

Capıtulo 4

El cual, para cada elemento X ∈ p−1W (ιW,V (A)), cuya descomposicion espectral es X =

0 ⋅πW0+1 ⋅πW1+∑µj≠0,1 µjπVj con W0⊕W1 = V1, establece la siguiente correspondencia

0 ⋅ πW0 + 1 ⋅ πW1 +∑µj≠0,1 µjπVj HW (−,1)

//_

(ΨA)W ≅

0 ⋅ πW0⊕W0+ 1 ⋅ πW1⊕W1

+∑ 14<µj<

34f(µj)πVj

_

(Ψh(A,1))W≅

W1 = Ker(X − IdW⊕W ) iW //__________ Ker(X ⊕ πW1− IdW⊕W ) =W1 ⊕ W1

y ademas,

Ker(0 ⋅ πW0⊕W0+ 1 ⋅ πW1⊕W1

+ ∑14<µj<

34

f(µj)πVj − IdW⊕W ) = Ker(X − IdW⊕W )⊕ W1.

El tercer punto del Teorema de Dold-Thom se sigue del siguiente lema.

Lema 4.4.8. En la notacion previa, la aplicacion

i ∶ BUKer(A−IdV ⊕V ),V Ð→ BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V ),V

Y z→ Y ⊕ W1

es una equivalencia homotopica debil.

Demostracion. Sea σ ∶ Sn Ð→ BUKer(A−IdV ⊕V ),V una aplicacion continua. Por lacompacidad de Sn, existen funciones continuas σW y δW , con V ⊂W ⊂ U de dimensionfinita, tales que

σ = δW σW ∶ Sn σW // BU(Ker(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V ))) δW // BUKer(A−IdV ⊕V ),V .

Luego, por la continuidad de σW existe m tal que

σW ∶ Sn Ð→ BUm(Ker(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V ))).

Por lo tanto, iW σW esta dado de la siguiente manera,

iW σW ∶ Sn Ð→ BUm+dim(W1)(Ker(hV (A,1) − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )))

x z→ σW (x)⊕ W1

Si fijamos una base para W ⊕W , podemos identificar los espacios anteriores conlas grassmannianas, esto es,

BUm(Ker(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V ))) ≅ Gm(CM)

y

BUm+dim(W1)(Ker(hV (A,1) − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V ))) ≅ Gm+dim(W1)

(CN)

178

Periodicidad de Bott

donde M = dimCKer(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )) y N = dimCKer(hV (A,1) −IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )).

Seaγr(Cs) = (Z, z) ∈ Gr(Cs) ×Cs ∣ z ∈ Z

el haz tautologico sobre Gr(Cs), el cual es un haz vectorial de rango r que correspondea restringir el haz canonico sobre Projr(Cs) (definido en el Capıtulo 2, Seccion 2) alsubespacio de proyecciones autoadjuntas, subespacio que a su vez es identificado conGr(Cs) (definido en el Capıtulo 2, Seccion 4). En terminos de este haz, se tienen lossiguientes haces sobre los espacios base mencionados anteriormente,

γm(CM)

γm+dim(W1)(CN)

Sn σW // Gm(CM) iW // Gm+dim(W1)

(CN)

Veamos ahora la relacion que guardan los haces inducidos sobre Sn por las apli-caciones iW σW y σW . Por definicion,

(iW σW )∗(γm+dim(W1)(CN)) = (x,w′) ∈ Sn × γm+dim(W1)(CN) ∣ w′ ∈ σW (x)⊕ W1

= (x,w′) ∈ Sn × γm+dim(W1)(CN) ∣ w′ = w + w1, con w ∈ σW (x) y w1 ∈ W1

Por otro lado,

σ∗W (γk(CM))⊕ (Sn × W1) = (x,w) ∈ Sn × γm(CM) ∣ w ∈ σW (x)⊕ (Sn × W1)= (x,w, w1) ∈ Sn × γm(CM) × W1 ∣ w ∈ σW (x), w1 ∈ σW (x)

Se sigue que (iW σW )∗(γm+dim(W1)(CN)) ≅ σ∗W (γk(CM))⊕ (Sn × W1). De modoque tenemos una funcion bien definida entre los monoides de las clases de isomorfismode haces vectoriales, esto es,

ΦCm(Sn) Ð→ ΦC

m+dim(W1)(Sn)

[E] z→ [E ⊕ (Sn × W1)]

Como BUm(Ker(A− IdV ⊕V )⊕ ((W −V )⊕ (W −V ))) es homeomorfo a Gm(CM),inducen un isomorfismo en sus grupos de homotopıa, esto es,

[Sn,BUm(Ker(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )))]∗≅ [Sn,Gm(CM)]

∗

Tomando el colımite en los sistemas dirigidos,

πn(BUm(Ker(A − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )))) //

πn(Sn,Gm(CM))

πn(BUm+dim(W1)

(Ker(hV (A,1) − IdV ⊕V )⊕ ((W − V )⊕ (W − V )))) // πn(Gm+dim(W1)(CN))

179

Capıtulo 4

y

πn(Gm(CM))

// ΦCm(Sn)

πn(Gm+dim(W1)

(CN)) //// ΦCm+dim(W1)

(Sn)

concluımos que la aplicacion inducida en el grupo de K-teorıa por i ∶BUKer(A−IdV ⊕V ),V Ð→ BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V ),V , corresponde a la suma con el haz tri-

vial Sn × W1,

K(Sn) Ð→ K(Sn).[E] z→ [E ⊕ (Sn × W1)]

Finalmente, el hecho de que i ∶ BUKer(A−IdV ⊕V ),V Ð→ BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V ),V esuna equivalencia homotopica debil se sigue por el siguiente diagrama conmutativo yporque el renglon inferior corresponde a la funcion identidad en el grupo de K-teorıa(Corolario 3.1.16),

πn(BUKer(A−IdV ⊕V ),V )i∗ //

=

BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V ),V

=

[Sn, BUKer(A−IdV ⊕V ),V ]∗σ↦σ⊕W1 //

≅

[Sn, BUKer(hV (A,1)−IdV ⊕V ,V ]∗

≅

K(Sn) [E]↦[E⊕(Sn×W1)]

Id// K(Sn)

Aplicacion

Finalizamos este trabajo con una aplicacion del Teorema de Periodicidad de Bottal calculo de los grupos de K-teorıa de las esferas. Esto complementa el Ejemplo 3.2.6del capıtulo anterior.

Proposicion 4.4.9. El grupo de K-teorıa de la esfera de dimension n es dado por

K(Sn) ≅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Z ×Z si n es par

Z si n es impar

180

Periodicidad de Bott

Demostracion. Del Teorema 3.2.5, se sigue que

K(Sn) ≅ [Sn,Z ×BU]= πn(Z ×BU)≅ Z × πn(BU)≅ Z × πn+1(U)

≅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Z × π1(U) si n es par

Z × π0(U) si n es impar

≅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Z ×Z si n es par

Z si n es impar

Del resultado anterior y del hecho de que Sn es un espacio compacto y conexo,se tiene

K(Sn) ≅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

Z si n es par

0 si n es impar

Otra aplicacion del Teorema de Periodicidad de Bott que es importante men-cionar es que permite extender el grupo de K-teorıa a una teorıa de cohomologıageneralizada, basta definir

K−n(X) ∶= K(ΣnX)

para n ≥ 0 y X compacto; y

Kn(X) ≅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

K0(X) si n es par

K1(X) si n es impar

El hecho de que la familia de funtores Knn∈Z es una teorıa de cohomologıa ge-neralizada es un importante resultado en topologıa algebraica que facilita en ciertosentido su calculo ya que permite la implementacion de herramientas del tipo de lasucesion de Mayer-Vietoris y sucesiones espectrales (cf. [4]). De hecho, esta fue laprimer teorıa de cohomologıa generalizada descubierta.

181

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