i

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES

INFORMÁTICA

Desarrollo de guía matemática como refuerzo académico mediante las Tics y Tacs en los

estudiantes del segundo año de BGU del Colegio Nacional “Amazonas” en el periodo

lectivo 2018- 2019.

Trabajo de titulación (modalidad presencial) previo a la obtención del Título de Licenciado

en Ciencias de la Educación Mención Informática.

AUTOR: Morán Miranda Alexander Estuardo

Quito, 2020

PORTADA

TUTOR: MSc. William Pateroy Carrera Estévez

ii

CERTIFICACIÓN DE AUTORÍA INTELECTUAL

Yo, MORÁN MIRANDA ALEXANDER ESTUARDO, en calidad de autor y titular de

los derechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación “DESARROLLO DE GUÍA

MATEMÁTICA COMO REFUERZO ACADÉMICO MEDIANTE LAS TICs Y

TACs EN LOS ESTUDIANTES DEL SEGUNDO AÑO DE BGU DEL COLEGIO

NACIONAL “AMAZONAS” EN EL PERIODO LECTIVO 2018- 2019”, modalidad

presencial, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA

SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a

favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita, intransferible y no

exclusiva para el uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo

a mi favor todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la norma citada.

Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la digitalización

y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de conformidad a lo

dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma de

expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la responsabilidad por

cualquier reclamo que pudiera presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de

toda responsabilidad.

______________________________

Alexander Estuardo Morán Miranda

C.C.1750248757

E-mail: hellalex97@gmail.com

iii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Grado, presentado por MORÁN MIRANDA

ALEXANDER ESTUARDO, para optar por el Grado de Licenciatura en Ciencias de la

Educación, mención Informática; cuyo título es: “DESARROLLO DE GUÍA

MATEMÁTICA COMO REFUERZO ACADÉMICO MEDIANTE LAS TICs Y

TACs EN LOS ESTUDIANTES DEL SEGUNDO AÑO DE BGU DEL COLEGIO

NACIONAL “AMAZONAS” EN EL PERIODO LECTIVO 2018- 2019”, considero que

el mencionado Trabajo de Grado reúne los requisitos y méritos suficientes para ser sometido

a la presentación pública y evaluación por parte del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 30 días del mes de enero de 2020

_______________________________

MSc. William Pateroy Carrera Estévez

DOCENTE - TUTOR

C.C.170509180-7

iv

DEDICATORIA

A mis padres Daniel Morán (QEPD) Y Ángela Miranda por ser el pilar fundamental en todo

lo que soy, en toda mi educación, tanto académica, como de la vida, por su incondicional

apoyo perfectamente mantenido a través del tiempo.

Todo este trabajo ha sido posible gracias a ellos.

A mis hermanos por estar siempre presentes, compartiendo buenos y malos momentos que

hemos superado con felicidad a lo largo de nuestras vidas.

A mi compañera de vida Piedad, que con su incondicional apoyo y dedicación conseguimos

este triunfo.

A mis amigos que hemos compartido tantos momentos académicos, sociales e inolvidables,

que nos apoyamos mutuamente en nuestra formación profesional y que hasta

ahora, seguimos siendo amigos.

Finalmente, a mis maestros, aquellos que marcaron cada etapa con profesionalismo del

camino universitario, y demás personas importantes en mi círculo social que me apoyan y

desean éxitos cada día, Gracias.

Alexander Estuardo Morán Miranda

v

AGRADECIMIENTO

Agradezco a la Universidad Central del Ecuador, que por intermedio de la Facultad de

Filosofía, Letras y Ciencias de la Educación y la Carrera de Informática abrió las puertas

de este prestigioso templo del saber para formar un profesional académico.

A mi familia en especial a mis padres por todo el apoyo incondicional en todos los

momentos de mi vida.

A mi esposa que la amo con todo mi corazón.

A mis maestros que con profesionalismo y responsabilidad han aportado conocimientos que

fueron la base para poder cumplir este logro, y serán fundamentales para el desarrollo de

muchas metas más.

Al MSc. William Carrera por su apoyo para el desarrollo de esta investigación, su basto

conocimiento guió el camino para el cumplimiento de este logro.

En fin, agradezco a todas las personas que forman parte de mi círculo social, y me apoyan

y desean éxitos día a día.

Alexander Estuardo Morán Miranda

vi

ÍNDICE DE CONTENIDOS

PORTADA .................................................................................................................. i

CERTIFICACIÓN DE AUTORÍA INTELECTUAL................................................................ ii

APROBACIÓN DEL TUTOR ........................................................................................ iii

DEDICATORIA .......................................................................................................... iv

AGRADECIMIENTO ................................................................................................... v

ÍNDICE DE CONTENIDOS .......................................................................................... vi

ÍNDICE DE TABLAS ................................................................................................... xi

ÍNDICE DE FIGURAS ................................................................................................ xiv

ÍNDICE DE ANEXOS ................................................................................................. xix

RESUMEN ................................................................................................................ xx

ABSTRACT .............................................................................................................. xxi

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 1

CAPÍTULO I ............................................................................................................... 3

EL PROBLEMA........................................................................................................... 3

1.1 Planteamiento del Problema ......................................................................................3

1.1.1. Formulación del problema ................................................................................................ 5

1.2. Preguntas directrices ............................................................................................5

1.3 Objetivos ...................................................................................................................6

vii

1.3.1 Objetivo General. ....................................................................................................................... 6

1.3.2 Objetivos específicos. ................................................................................................................. 6

1.4 Justificación ...............................................................................................................7

CAPÍTULO II .............................................................................................................. 9

MARCO TEÓRICO ...................................................................................................... 9

2.1 Antecedentes .............................................................................................................9

2.2 Fundamentación Teórica .......................................................................................... 11

2.2.1 Las TICs y TACs en la educación de la matemática. .................................................................. 11

2.2.1.1 Definición de las TICs. ....................................................................................................... 12

2.2.1.2 Definición de las TACs....................................................................................................... 12

2.2.1.3 Incidencia de las TICs y TACs en la matemática................................................................ 13

2.2.1.4 Integración de las TICs y TACs como refuerzo académico. ............................................... 14

2.2.2 Didáctica de la matemática. ..................................................................................................... 15

2.2.2.1 Proceso de enseñanza aprendizaje en matemática. ........................................................ 15

2.2.2.2 Herramientas tecnológicas para la enseñanza de la matemática. ................................... 17

2.2.2.3 Aprendizaje significativo de matemática. ........................................................................ 18

2.2.2.4 Refuerzo académico de matemática. ............................................................................... 21

2.2.3 Guía didáctica matemática. ...................................................................................................... 22

2.2.3.1 Funciones de las guías didácticas ..................................................................................... 23

2.2.4 Programa de Matemáticas. Segundo de Bachillerato General Unificado (Colegio Amazonas)24

2.3 Fundamento Legal. ................................................................................................... 27

2.3.1 LA CONSTITUCIÓN DEL ECUADOR. (APROBADA EN MONTECRISTI 2008) ................................ 27

2.3.2 LA LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN INTERCULTURAL (LOEI) ..................................................... 28

2.3.3 LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN SUPERIOR (LOES) ................................................................... 29

viii

2.3.4 CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS CREATIVIDAD E

INNOVACIÓN ........................................................................................................................................... 30

2.4 Caracterización de variables ..................................................................................... 30

2.5 Definición de términos básicos ................................................................................. 31

CAPÍTULO III ........................................................................................................... 33

METODOLOGÍA ...................................................................................................... 33

3.1 Diseño de la investigación ........................................................................................ 33

3.1.1 Procedimiento a Seguir ............................................................................................................ 33

3.2 Población y Muestra ................................................................................................. 34

3.3 Técnicas e Instrumentos ........................................................................................... 35

3.3.1 Investigación documental. ....................................................................................................... 35

3.3.1.1 Técnica. ............................................................................................................................. 35

3.3.1.2 Instrumentos. ................................................................................................................... 36

3.3.1.2.1 Ficha Bibliográfica (libro). ......................................................................................... 36

3.3.1.2.2 Ficha de Información Electrónica. ............................................................................ 36

3.3.2 Investigación de campo. ........................................................................................................... 36

3.3.2.1 Técnica. ............................................................................................................................. 36

3.3.2.1 Instrumentos. ................................................................................................................... 36

3.4 Validez y confiabilidad de los instrumentos ............................................................... 37

CAPÍTULO IV ........................................................................................................... 39

RESULTADOS .......................................................................................................... 39

4.1. Resultados de la Encuesta ....................................................................................... 39

ix

4.2. Conclusiones y Recomendaciones ............................................................................ 60

4.2.1 Conclusiones. ........................................................................................................................... 60

4.2.2 Recomendaciones. ................................................................................................................... 61

CAPÍTULO V ............................................................................................................ 62

PROPUESTA TECNOLÓGICA ..................................................................................... 62

5.1. Presentación ........................................................................................................... 63

5.2. Objetivos ................................................................................................................ 64

5.2.1 Objetivo General. ..................................................................................................................... 64

5.2.2 Objetivos específicos. ............................................................................................................... 64

5.3. Justificación ............................................................................................................ 65

5.4. Desarrollo Detallado de la Propuesta ....................................................................... 66

5.4.1. Unidad 1: Algebra y funciones ................................................................................................ 66

5.4.1.1. Función ............................................................................................................................ 66

5.4.1.2. Progresiones aritméticas ............................................................................................... 173

5.4.1.3. Progresiones geométricas ............................................................................................. 178

5.4.2. Unidad 2: Funciones trigonométricas ................................................................................... 186

5.4.2.1. Medida de ángulo .......................................................................................................... 186

5.4.2.2. Funciones trigonométricas ............................................................................................ 190

5.4.2.3. Uso de las TIC para graficar funciones ........................................................................... 202

5.4.3. Unidad 3: Matrices y determinantes ..................................................................................... 212

5.4.3.1. Matrices ......................................................................................................................... 212

5.4.3.2. Operaciones con matrices ............................................................................................. 216

5.4.3.3. Matriz inversa ................................................................................................................ 222

5.4.4. Unidad 4 Cónicas ................................................................................................................... 249

x

5.4.4.1. Circunferencia ............................................................................................................... 250

5.4.4.2. La parábola .................................................................................................................... 256

5.4.4.3. Elipse ............................................................................................................................. 269

5.4.4.4. Hipérbola ....................................................................................................................... 270

5.4.5. Unidad 5: Estadística y probabilidad ..................................................................................... 273

5.4.5.1. La estadística ................................................................................................................. 273

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................... 309

ANEXOS ............................................................................................................... 312

xi

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1. Fases del aprendizaje significativo (Shuell, 1990) .......................................... 19

Tabla 2. Población ......................................................................................................... 35

Tabla 3. Técnica e instrumento (I. documental) ............................................................ 35

Tabla 4. Técnica e instrumento (I. de campo) ............................................................... 36

Tabla 5 Coeficiente Alfa de Cronbach .......................................................................... 37

Tabla 6. Resumen de procesamiento de casos ............................................................... 38

Tabla 7. Estadísticas de fiabilidad ................................................................................. 38

Tabla 8. Uso de métodos tradicionales. ......................................................................... 39

Tabla 9. Enseñanza participativa. .................................................................................. 41

Tabla 10. Uso de texto especializado. ............................................................................ 42

Tabla 11. Macro-destrezas. ............................................................................................ 43

Tabla 12. Debate académico. ......................................................................................... 44

Tabla 13. Evaluaciones constantes. ............................................................................... 45

Tabla 14. Actividades mediante TICs. ........................................................................... 46

Tabla 15. Proceso académico en laboratorios. ............................................................... 47

Tabla 16. Fuentes de consultas externas. ....................................................................... 48

Tabla 17. Herramientas informáticas. ............................................................................ 49

Tabla 18. Retroalimentación. ......................................................................................... 50

Tabla 19. Clases de refuerzo. ......................................................................................... 51

Tabla 20. Clases de refuerzo académico. ....................................................................... 52

Tabla 21. Recursos aptos. .............................................................................................. 53

Tabla 22. Herramientas motivadoras. ............................................................................ 54

xii

Tabla 23. Complementar aprendizaje mediante Tic. ..................................................... 55

Tabla 24. Tutorías virtuales. .......................................................................................... 56

Tabla 25. Refuerzo académico mediante herramientas Tic. .......................................... 57

Tabla 26. Uso de herramientas para resolver problemas. .............................................. 58

Tabla 27. TICs como refuerzo académico. .................................................................... 59

Tabla 28 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 ..................................................... 84

Tabla 29 Tabla de valores de las variables 𝑥 y 𝑑 ........................................................... 87

Tabla 30 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 .................................................. 90

Tabla 31 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2 .............................................. 99

Tabla 32 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 1 .......................................... 101

Tabla 33 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ............................................... 148

Tabla 34 Tabla de valores de la función f(x) = 2x − 1 .............................................. 151

Tabla 35 Equivalencia de grados y radianes ................................................................ 188

Tabla 36 Funciones trigonométricas ............................................................................ 191

Tabla 37 Tabla de frecuencias ejemplo ....................................................................... 274

Tabla 38 Ejemplo camiones vendidos ......................................................................... 275

Tabla 39 Ingresando la frecuencia absoluta ................................................................. 275

Tabla 40 Ingreso de la frecuencia absoluta acumulada ............................................... 276

Tabla 41 Ingreso de frecuencia relativa ....................................................................... 277

Tabla 42 Ingreso de frecuencia relativa acumulada ..................................................... 278

Tabla 43 Ingreso de la frecuencia porcentual .............................................................. 279

Tabla 44 Ingreso de la frecuencia porcentual acumulado ............................................ 280

Tabla 45 Ejercicio duración de llamadas ..................................................................... 282

xiii

Tabla 46 Altura de jugadores ....................................................................................... 289

Tabla 47 Tiempo en resolver un examen ..................................................................... 290

Tabla 48 Edad de estudiantes ....................................................................................... 290

Tabla 49 Edad de un grupo de personas ...................................................................... 291

Tabla 50 Tabla de datos: media ejercicio 1 ................................................................ 292

Tabla 51 Tabla de datos: media ejercicio 2. ................................................................ 292

Tabla 52 Datos ejemplo moda: datos agrupados ......................................................... 293

Tabla 53 Tabla de datos: moda ejercicio 1 .................................................................. 294

Tabla 54 Tabla de datos: moda ejercicio 2 .................................................................. 294

Tabla 55 Edad de clientes: ejemplo rango ................................................................... 295

Tabla 56 Altura de jugadores: varianza ejemplo ......................................................... 295

Tabla 57 Tabla de datos: varianza ejercicio 1 .............................................................. 296

xiv

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Uso de métodos tradicionales. ....................................................................... 39

Figura 2. Enseñanza participativa .................................................................................. 41

Figura 3. Uso de texto especializado. ............................................................................ 42

Figura 4. Macro-destrezas. ............................................................................................ 43

Figura 5. Debate académico. ......................................................................................... 44

Figura 6. Evaluaciones constantes. ................................................................................ 45

Figura 7. Actividades mediante TICS. .......................................................................... 46

Figura 8. Proceso académico en laboratorios. ............................................................... 47

Figura 9. Fuentes de consultas externas. ....................................................................... 48

Figura 10. Herramientas informáticas. .......................................................................... 49

Figura 11. Retroalimentación. ....................................................................................... 50

Figura 12. Clases de refuerzo. ....................................................................................... 51

Figura 13. Clases de refuerzo académico. ..................................................................... 52

Figura 14. Recursos aptos. ............................................................................................. 53

Figura 15. Herramientas motivadoras. .......................................................................... 54

Figura 16. Complementar aprendizaje mediante TICs. ................................................. 55

Figura 17. Tutorías virtuales. ......................................................................................... 56

Figura 18. Refuerzo académico mediante herramientas TICs. ...................................... 57

Figura 19. Uso de herramientas para resolver problemas. ............................................ 58

Figura 20. TICS como refuerzo académico. .................................................................. 59

Figura 21 Producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 ............................................................................ 67

Figura 22 Relación y= 2x .............................................................................................. 68

xv

Figura 23 Relación niño - edad ...................................................................................... 68

Figura 24 Relación 𝑦 = 𝑥 + 2 ....................................................................................... 70

Figura 25 Ejemplo de función ....................................................................................... 71

Figura 26 Interfaz de la herramienta Fooplot ................................................................ 72

Figura 27 Insertar función en herramienta Fooplot ....................................................... 73

Figura 28 Gráfico de la función f(x)= 2x ...................................................................... 73

Figura 29 Ejemplo de relación 1 .................................................................................... 74

Figura 30 Ejemplo de relación 2 .................................................................................... 74

Figura 31 Función creciente .......................................................................................... 77

Figura 32 Función decreciente ...................................................................................... 77

Figura 33 Función constante .......................................................................................... 78

Figura 34 Función simétrica par .................................................................................... 79

Figura 35 Función simétrica impar ................................................................................ 80

Figura 36 Ceros de la función ........................................................................................ 81

Figura 37 Punto mínimo de una función ....................................................................... 82

Figura 38 Punto máximo de una función ....................................................................... 83

Figura 39 Grafico de la función lineal ........................................................................... 84

Figura 40 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 .................................................................. 85

Figura 41 Grafico de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥 ................................................................ 88

Figura 42 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 ............................................................... 91

Figura 43 Gráfico de la función afín ............................................................................. 98

Figura 44 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2 ........................................................... 99

Figura 45 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 1 ....................................................... 102

xvi

Figura 46 Opciones de Mathway ................................................................................. 107

Figura 47 Interfaz de la herramienta Mathway............................................................ 107

Figura 48 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

............................................. 108

Figura 49 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

.......................... 111

Figura 50 Gráfico de la función potencia negativa impar 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙 ............................. 119

Figura 51 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟏 ................................................................ 119

Figura 52 Gráfico de la función potencia negativa par 𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟐 ................................. 122

Figura 53 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙−𝟐 ............................................................. 122

Figura 54 Gráfico de la función raíz cuadrada ............................................................ 129

Figura 55 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟏 ........................................................... 129

Figura 56 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒 ........................................................... 132

Figura 57 Gráfico de la función valor absoluto ........................................................... 138

Figura 58 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| .......................................................... 138

Figura 59 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5| ........................................................ 141

Figura 60 Función sobreyectiva .................................................................................. 148

Figura 61 Gráfica de la función sobreyectiva 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 ...................................... 149

Figura 62 Función biyectiva ........................................................................................ 150

Figura 63 Gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 ........................................................ 151

Figura 64 Composición de funciones .......................................................................... 160

Figura 65 Gráfico de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1 ................................. 162

Figura 66 Gráfica de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2| ................................. 164

Figura 67 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 ......................................................... 170

xvii

Figura 68 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =2𝑥−3

4 ................................................ 170

Figura 69 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =2𝑥−3

4 ................................................. 171

Figura 70 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =𝑥−3

𝑥+4 ................................................... 171

Figura 71 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =8𝑥+2

𝑥−2 ................................................ 172

Figura 72 Gráfico de un ángulo ................................................................................... 186

Figura 73 Gráfico de un Radian .................................................................................. 187

Figura 74 Gráfico del periodo de una función ............................................................. 191

Figura 75 Gráfico de la amplitud de una función ........................................................ 192

Figura 76 Gráfico de la función 𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠2𝑥. .......................................................... 193

Figura 77 Función seno ............................................................................................... 195

Figura 78 Función coseno ............................................................................................ 196

Figura 79 Función Tangente ........................................................................................ 197

Figura 80 Función Cosecante ...................................................................................... 198

Figura 81 Función Secante .......................................................................................... 199

Figura 82 Función Cotangente .................................................................................... 200

Figura 83 Función Seno y Cosecante .......................................................................... 201

Figura 84 Función Coseno y Secante .......................................................................... 201

Figura 85 Función Tangente y Cotangente .................................................................. 202

Figura 86 Ingreso de funciones para trasladar en Geogebra ....................................... 203

Figura 87 Desplazamiento vertical de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ...................................... 204

Figura 88 Ingreso de funciones para desplazar en Geogebra ...................................... 205

Figura 89 Desplazamiento horizontal de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 .................................. 206

xviii

Figura 90 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥 .................................................................. 207

Figura 91 Gráfico del reflejo vertical función 𝑔(𝑥) = −√𝑥 ......................................... 207

Figura 92 Gráfico del reflejo horizontal función 𝑔(𝑥) = √−𝑥 ..................................... 208

Figura 93 Regla de Sarrus ........................................................................................... 224

Figura 94 Interfaz de la herramienta matriz calculator ................................................ 224

Figura 95 Calculadora de determinante ....................................................................... 225

Figura 96 Matriz de orden 5 ........................................................................................ 225

Figura 97 Cálculo de la determinante .......................................................................... 226

Figura 98 Solución del sistema, las 3 rectas se cortan en un punto 𝑝 = 97; 227....... 239

Figura 99 Gráfico de la cónica .................................................................................... 249

Figura 100 Gráfico de la circunferencia en el cono ..................................................... 250

Figura 101 Gráfico de la circunferencia ...................................................................... 251

Figura 102 Interfaz de trabajo de Symbolab ............................................................... 252

Figura 103 Circunferencia con centro en origen con 𝑟 = 4 ........................................ 252

Figura 104 Circunferencia con centro (3,7) y 𝑟 = 4 ................................................. 254

Figura 105 Elementos de la parábola .......................................................................... 257

Figura 106 Gráfica de la parábola con foco 𝐹: (3,0) y directriz 𝑥 = −3 ................... 259

Figura 107 Gráfico de la parábola con ecuación 𝑥2 = 16𝑥 ....................................... 263

Figura 108 Gráfica de la parábola con vértice (ℎ, 𝑘) .................................................. 265

Figura 109 Gráfico de parábola con vértice (−5,1) y pasa por punto −3,5. .............. 266

Figura 110 Gráfico de la elipse .................................................................................... 270

Figura 111 Gráfico de la hipérbola .............................................................................. 270

xix

ÍNDICE DE ANEXOS

ANEXO A Autorización para realizar la investigación ............................................... 312

ANEXO B. Operacionalización de variables ............................................................... 313

ANEXO C Validación del instrumento ....................................................................... 315

ANEXO D Encuestas para estudiantes ........................................................................ 318

ANEXO E Evidencia de las encuestas ......................................................................... 321

ANEXO F URKUND .................................................................................................. 324

xx

TÍTULO: Desarrollo de guía matemática como refuerzo académico mediante las TICs y

Tacs en los estudiantes del segundo año de BGU del Colegio Nacional “Amazonas” en el

periodo lectivo 2018- 2019.

Autor: Alexander Estuardo Morán Miranda

Tutor: MSc. William Pateroy Carrera Estévez

RESUMEN

El proyecto tecnológico fue realizado con el objetivo de desarrollar una guía didáctica que

refuerce el aprendizaje de la matemática en los estudiantes del segundo de bachillerato del

Colegio Amazonas, ubicado en la ciudad de Quito, empleando tecnologías de información y

comunicación (TICs) y las tecnologías de aprendizaje y conocimiento (TACs). En el aspecto

teórico se expone acerca de la integración de las herramientas tecnologías en la matemática

y la funcionalidad del uso de guías didácticas como recurso en el proceso de enseñanza –

aprendizaje. La metodología que se empleó es de enfoque cuantitativo no experimental y un

nivel descriptivo. Debido a ello, se aplicó una encuesta a los estudiantes, en la cual se

evidenció que no poseen los recursos didácticos innovadores que permitan un aprendizaje

significativo. Por esta razón, con el uso de la guía matemática en el refuerzo académico

permite al estudiante autonomía de aprendizaje y un nivel educativo de calidad que se refleja

en las evaluaciones cuantitativas.

PALABRAS CLAVES: HERRAMIENTAS INFORMATICAS / GUÍA MATEMÁTICA /

REFUERZO ACADÉMICO / PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

xxi

TITLE: Development of a mathematical guide as academic reinforcement through the TICs

and Tacs in the students of the second year of BGU of the National School “Amazonas” in

the 2018-2019 school period.

Author: Alexander Estuardo Morán Miranda

Tutor: MSc. William Pateroy Carrera Estévez

ABSTRACT

The technological project was carried out with the objective of developing a didactic guide

that reinforces the learning of mathematics in the students of the second year of the

baccalaureate of the Amazon school, located in the city of Quito, using information and

communication technologies (ICT) and technologies of learning and knowledge (TACs). In

the theoretical aspect it is exposed about the integration of technological tools in

mathematics and the functionality of the use of didactic guides as a resource in the teaching

- learning process. The methodology used is a non-experimental quantitative approach and

a descriptive level. Because of this, a survey was applied to the students, in which it was

evidenced that they do not possess the innovative teaching resources that allow meaningful

learning. For this reason, with the use of the mathematical guide in academic reinforcement,

it allows the student autonomy of learning and a quality educational level that is reflected in

the quantitative assessments.

KEY WORDS: INFORMATIC TOOLS / MATHEMATICAL GUIDE / ACADEMIC

REINFORCEMENT / LEARNING TEACHING PROCESS

1

INTRODUCCIÓN

En el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en los estudiantes que están a

la vanguardia de las nuevas tecnologías y al acceso de la información, existe un cierto grado

de ineficiencia al cumplir los objetivos de aprendizaje, ya que ciertos factores como la

metodología, recursos o las técnicas de aprendizajes no están acordes al estudiante del siglo

XXI y afectan al desarrollo de conocimientos, destrezas y habilidades.

La presente investigación se refiere al desarrollo de una guía matemática como refuerzo

académico que se define como un recurso técnico adicional para el estudiante que optimiza

el desarrollo del proceso de aprendizaje. La característica principal de la guía académica es

que el estudiante se convierte en el protagonista principal de su propio aprendizaje y

realimenta sus conocimientos.

Para analizar esta problemática es necesario mencionar sus causas. Una de ellas se da por

cierto que, en la enseñanza los estudiantes no siempre llegan al nivel esperado de

rendimiento académico, además, la poca práctica en la resolución de problemas o el uso de

metodologías tradicionales también pueden afectar.

En este contexto, la investigación de esta problemática se centra en la aplicación de

herramientas informáticas para desarrollar una guía académica que correlaciona los

contenidos educativos del segundo BGU del colegio Amazonas y las TICs permitiendo

complementar el aprendizaje significativo.

Para realizar el estudio, se utilizó la encuesta como técnica de recolección de datos, que

consta de veinte preguntas dirigida a los señores estudiantes y con los resultados obtenidos

se realizaron los análisis e interpretaciones correspondientes.

2

Por consiguiente, el propósito de esta investigación es integrar herramientas informáticas

en el desarrollo de actividades académicas mediante una guía didáctica como refuerzo para

el mejoramiento del aprendizaje significativo mediante la correlación de la guía con las

necesidades de aprendizaje de los estudiantes de segundo de bachillerato del colegio

Amazonas.

En el marco de estas circunstancias, el trabajo de investigación se estructuró en seis

capítulos:

Capítulo I: Se relaciona con el planteamiento del problema, formulación de objetivos y

justificación.

Capítulo II: Describe el marco referencial con sus bases teóricas, los antecedentes, la

fundamentación legal, la caracterización de variables y la definición de términos básicos.

Capítulo III: Se detalla el marco metodológico, con el diseño de la investigación,

población y muestra, los procedimientos a realizar e instrumentos para la recolección de los

datos.

Capítulo IV: Consta el análisis, interpretación de resultados y se proyectan las

conclusiones con sus respectivas recomendaciones.

Capítulo V: Desarrollo de la propuesta.

Finalmente, se presenta la bibliografía y anexos.

3

CAPÍTULO I

EL PROBLEMA

1.1 Planteamiento del Problema

¿La utilización de la guía matemática reforzará académicamente el aprendizaje

significativo en los estudiantes de segundo del BGU del colegio Amazonas?

En la actualidad la forma de enseñar y aprender la matemática se mantiene igual que

décadas anteriores y desde el punto de vista pedagógico se mantienen las mismas

metodologías, técnicas y recursos en el desarrollo de actividades académicas o en la

resolución de problemas, limitando al estudiante a ser un espectador en el proceso de

enseñanza aprendizaje como Mariño (2005) afirma “La manera tradicional de adelantar

la educación matemática posee como supuestos básicos la ignorancia y la pasividad del

educando” (pág. 1). Lo cual se interpreta como un aprendizaje memorístico y repetitivo que

no está acorde a la realidad actual del estudiante en el cual la incidencia de las nuevas

tecnologías y el acceso a grandes cantidades de información influyen en el día a día.

Por lo tanto, la educación debe integrar estas nuevas tecnologías, sin embargo, no es solo

aplicar herramientas informáticas en el aula, ya que “Las TICS pueden llegar a jugar un

papel muy importante en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, pero si

se utilizan correctamente” (Real, 2011, pág. 3). Se debe tomar ciertos aspectos antes de

aplicar las herramientas como a quien va dirigido, dónde y cómo se aplicará y el propósito

de su aplicación para no convertirlo en una distracción o algo frustrante para el estudiante o

el docente. “Lo relevante debe ser siempre lo educativo, no lo tecnológico. Las TICS no

tienen efectos mágicos sobre el aprendizaje, ni generan automáticamente innovación

4

educativa” (Pere, 2013, pág. 12). La planificación, los recursos y estrategias que integre el

docente promueven el verdadero aprendizaje.

Por consiguiente, es de conocimiento general que la matemática socialmente tienen cierto

nivel de complejidad o el nivel de rendimiento académico no es el esperado en la mayoría

de los casos, en Latinoamérica y en Ecuador específicamente no existe cierto nivel de

competitividad con otras naciones ya que según las Pruebas del Programa para la Evaluación

Internacional de Alumnos (PISA), cuyos resultados en 2017 muestran que dentro de los 20

primeros países no se encuentra Ecuador o algún país de Latinoamérica, por lo tanto, afirma

la premisa anterior.

En este orden de ideas, se puede identificar las causas y efectos de la problemática

Causas:

Falta de incorporación de metodologías, técnicas y recursos que satisfaga las expectativas

de los estudiantes de acuerdo a la realidad de nuestro medio.

Falta de una eficaz incorporación de las herramientas tecnológicas en el proceso de

enseñanza aprendizaje.

Falta de un sistema educativo riguroso y competente acorde a la realidad de los

estudiantes.

Efectos:

Falta de interés de aprendizaje

Bajo rendimiento y desempeño académico

Mala calidad de la educación y deficiente infraestructura educativa en especial material

didáctico.

5

El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática en todos los niveles se transforma,

atravesando grandes cambios, permitiendo establecer nuevas estrategias para mejorar el

aprendizaje significativo.

En este contexto, En el colegio Nacional Amazonas se plantea la utilización de la guía

matemática como recurso didáctico desarrollado mediante herramientas informáticas para el

refuerzo académico de los estudiantes del segundo de bachillerato con la finalidad de

complementar el proceso académico áulico permitiendo desarrollar destrezas, habilidades y

capacidades.

El presente proyecto incorpora dos elementos principales, primero el desarrollo de una

guía didáctica y por otro lado el refuerzo académico del aprendizaje de la matemática en los

estudiantes del segundo de BGU del colegio Amazonas los cuales en sinergia solucionan

ciertos efectos descritos anteriormente.

1.1.1. Formulación del problema

¿De qué forma el uso de una guía matemática como recurso didáctico fortalece el

aprendizaje significativo en los estudiantes de segundo del BGU del colegio “Amazonas” en

el periodo lectivo 2018-2019?

1.2. Preguntas directrices

¿Cómo se podría mejorar el proceso de enseñanza - aprendizaje de la matemática?

¿Para qué integrar herramientas tecnológicas en el proceso de enseñanza- aprendizaje de

la matemática?

¿Cuál es la importancia de la implementación de una guía matemática?

¿Por qué una guía matemática serviría como refuerzo académico?

6

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo General.

Desarrollar una guía matemática como refuerzo académico mediante las Tecnologías de

información y comunicación (TICS) y las Tecnologías de aprendizaje y conocimiento (TAC)

para el mejoramiento del aprendizaje significativo de la matemática en los estudiantes del

segundo de bachillerato del colegio Amazonas en el periodo 2018-2019.

1.3.2 Objetivos específicos.

Integrar herramientas informáticas en el desarrollo de actividades académicas

mediante una guía didáctica para el mejoramiento del proceso de enseñanza

aprendizaje de la matemática.

Reforzar el aprendizaje de la matemática mediante actividades resueltas de

manera planificada para los estudiantes del segundo de bachillerato del colegio

Amazonas.

Relacionar la guía matemática con los objetivos de aprendizaje de los estudiantes

de segundo de bachillerato del colegio Amazonas de una forma eficiente y eficaz.

7

1.4 Justificación

La incidencia de las nuevas tecnologías en el proceso de formación académica tiene un

rol fundamental, ya que, beneficia con un sin número de recursos didácticos a disposición

del docente, sin embargo, no todas las actividades académicas están en sinergia con las

nuevas tecnologías creando una carencia de aprendizaje significativo.

Por lo tanto, la importancia de esta investigación radica en complementar el desarrollo

académico áulico, mejorando el aprendizaje significativo de los estudiantes mediante el

efectivo desarrollo de una guía didáctica, la cual incorpora las tecnologías de información y

comunicación (TICS) y las tecnologías de aprendizaje y conocimiento (TACs), permitiendo

reforzar las necesidades de aprendizaje de los estudiantes.

Para fundamentar estas afirmaciones y tomarlas como válidas en la sociedad educativa y

de información se hace referencia a lo que Ávalos (2010) expresa:

La incorporación en el ámbito de las escuelas de dispositivos tecnológicos como cámaras

digitales, pantallas digitales interactivas, notebooks y netbooks, conexiones de banda

ancha inalámbrica, etc., debe ser acompañada de una formación sistemática acerca de

cómo utilizar e integrar pedagógicamente al currículo las tecnologías de información y

comunicación (TICS). Los docentes deben realizar un uso pedagógico de estos recursos

para que los alumnos logren nuevas habilidades sobre sus aplicaciones, que les permitan

superar el acceso intuitivo e instrumental que hacen de ellas. (pág. 1)

Por consiguiente, los beneficiarios son los estudiantes de segundo año de bachillerato

general unificado del colegio nacional “Amazonas” en el periodo lectivo 2018-2019, con el

desarrollo de conocimientos, capacidades, destrezas y habilidades en el ámbito matemático

8

e informático eficazmente mediante el uso de una guía didáctica que refuerza y complementa

el aprendizaje significativo.

Esta investigación contribuye a profundizar el aprendizaje autónomo y potenciar las

capacidades del estudiante ya que la guía didáctica hace responsable al estudiante de su

propio aprendizaje. Fundamentándonos en el artículo 2 referente a los artículos de la Ley

Orgánica de Educación Intercultural (L.O.E.I.) párrafo h) “Interaprendizaje y

multiaprendizaje”.

Se espera que el desarrollo de este nuevo recurso signifique un impacto positivo en el

rendimiento académico de los estudiantes del colegio Amazonas.

9

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1 Antecedentes

A nivel internacional se reseña los siguientes antecedentes:

(Riveros, Mendoza, y Castro, 2011)en el artículo “Las tecnologías de la información y la

comunicación en el proceso de instrucción de la matemática” de la revista Quórum

Académico en la universidad de Zulia, Venezuela explican que la integración de las

tecnologías de información y comunicación (TICS) en la matemática se fundamenta en el

conocimiento teórico y práctico tanto en los recursos didácticos a utilizar como su aplicación

adecuada, además que facilita en el estudiante un desarrollo lógico matemático apropiado,

pero a la vez satisface sus necesidades educativas.

En la cual concluyen que, en el adecuado uso de las tecnologías de información y

comunicación, el estudiante puede explorar alternativas y aplicar diferentes formas de

comprensión de procesos matemáticos y a su vez resolver problemas.

Lo cual corrobora el primer objetivo de la investigación sobre la integración de las

herramientas informáticas en el proceso de enseñanza aprendizaje, en el cual las TICS es

uno de los principales elementos de la guía matemática para el refuerzo académico de la

matemática.

(Castillo S. , 2008) En el artículo “Propuesta pedagógica basada en el constructivismo

para el uso óptimo de las TICS en la enseñanza y el aprendizaje de la matemática” de la

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa afirma que la

incorporación de las TICS apoya el proceso de enseñanza aprendizaje y las transforma como

recursos didácticos que beneficia el aprendizaje significativo de la matemática.

10

La misma concluyó que mediante la implementación las TICs en el área del aprendizaje

y la enseñanza de las matemáticas permite al estudiante ser responsable de su propio

aprendizaje y definir el adecuado rol de la tecnología como soporte al proceso de aprendizaje

significativo.

(Cuicas Ávila , Chourio, Carniel, y Álvarez Vargas , 2007) en la revista electrónica

"Actualidades Investigativas en Educación" en el artículo “El software matemático como

herramienta para el desarrollo de habilidades del pensamiento y mejoramiento del

aprendizaje de las matemáticas” de la universidad de Costa Rica explican que mediante la

aplicación de estrategias basadas en el uso del software matemático los estudiantes mejoran

los conocimientos teóricos prácticos, además, el software como herramienta sirve para

graficar, resolver y generar procedimientos que permitan comprender mejor las

generalizaciones matemáticas bajo una metodología constructivista.

En la cual concluyen que el uso del software matemático es beneficioso para el proceso

de enseñanza aprendizaje de la matemática provocando cambios significativos en el

ambiente de aula, con clases más dinámicas, participativas y centradas en el estudiante.

A nivel nacional se reseña el siguiente antecedente:

(Ortiz Herrera y Armijos Cabrera, 2015) en su tesis de posgrado “Guía de matemática

para el proceso de enseñanza aprendizaje de segundo año del bachillerato en ciencias”

explica que, es necesario elaborar guías didácticas de matemática ya que sirve de apoyo al

docente y al estudiante contribuyendo a la formación de calidad y pertinencia en el proceso

de enseñanza y aprendizaje de la matemática.

11

El cual el trabajo citado concluye que el uso de una guía matemática permite a los

estudiantes adquirir destrezas y habilidades matemáticas en concordancia con las

necesidades de aprendizaje.

Corroborando el tercer objetivo de la investigación de correlacionar la guía

matemática con las necesidades de aprendizaje de los estudiantes de una forma eficiente y

eficaz.

2.2 Fundamentación Teórica

2.2.1 Las TICs y TACs en la educación de la matemática.

El avance tecnológico de la sociedad moderna requiere que la educación este a la

vanguardia de las nuevas tecnologías, es por ello que la educación de la matemática y otras

asignaturas del currículo se ve en la necesidad de implementar nuevas formas de percibir el

proceso de enseñanza aprendizaje mediante la aplicación de las tecnologías de información

y comunicación (TICs) en conjunto de las tecnologías del aprendizaje y conocimiento (TACs)

con el fin de mejorar la calidad de los programas educativos.

Estas nuevas tecnologías no es la solución directa a los problemas de enseñanza

aprendizaje de la matemática, sin embargo, nos brinda herramientas para facilitarlo.

La más importante organización mundial de educación matemática El Nacional Council

of Teachers of Mathematics (NCTM), señala entre sus principios las guías, herramientas y

la tecnología “Un programa de matemáticas de excelencia integra el uso de herramientas

matemáticas y tecnología como recursos esenciales para ayudar a los estudiantes a aprender

y hacer sentido de las ideas matemáticas, razonar matemáticamente y comunicar su

pensamiento matemático.” (2014, pág. 5) En el cual claramente destaca la importancia de

12

integrar las nuevas tecnologías como herramientas de soporte en la educación de la

matemática.

2.2.1.1 Definición de las TICs.

Las tecnologías de la información y comunicación es un conjunto de herramientas que

nos permita almacenar, gestionar y transmitir la información para automatizar procesos a

beneficio de las personas. Moya (2013) afirma que:

Las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TICs), son un conjunto de tecnologías

desarrolladas que están a disposición de las personas, con la intención de mejorar la calidad de

vida y que nos permiten realizar distintas gestiones con la información que manejamos o a la que

tenemos acceso, de manera que además de gestionarla (recibirla-emitirla-procesarla), la podemos

almacenar, recuperar y manipular, es decir, agregar contenidos, etc., esto en cuanto a acciones.

(pág. 2)

Las TICs están en constantes cambios, la información y el conocimiento son efímeros

debido a la rapidez de los avances científicos y a la innovación que nos permite generar

nuevas realidades según (casabero,1998) citado por (Belloch, pág. 1).

En líneas generales podríamos decir que las nuevas tecnologías de la información y

comunicación son las que giran en torno a tres medios básicos: la informática, la

microelectrónica y las telecomunicaciones; pero giran, no sólo de forma aislada, sino lo

que es más significativo de manera interactiva e interconexionadas, lo que permite

conseguir nuevas realidades comunicativas.

2.2.1.2 Definición de las TACs.

Para definir las Tecnologías del aprendizaje y conocimiento debemos comprender que las

nuevas tecnologías han hecho una verdadera revolución en la información, llevando a

generar una sobreinformación y debido a esta, no es suficiente almacenarla o transmitirla,

13

más bien es necesario transformarla en conocimientos para desarrollar la capacidad de

obtener soluciones innovadoras a los problemas.

Lozano (2011) “estas se hallan destinadas a un uso más formativo y global de los medios

técnicos, que permita tanto al estudiante como al docente enriquecer su experiencia y

favorecer una visión más completa y activa del aprendizaje” (Citado en Trigo y Moreno,

2017, pág. 90)

En este contexto, es posible decir que las Tecnologías del Aprendizaje y del Conocimiento

o TACs es el manejo y transformación de la información en conocimiento, la cual el usuario

posee las capacidades necesarias para convertir el conocimiento en herramientas para su

propio beneficio en la resolución de problemas o necesidades de aprendizaje.

Además, a causa del crecimiento constante de conocimiento, las TACs permite gestionar

este conocimiento de manera sincrónica o asincrónica a nivel mundial y el aprendizaje

formal y no formal conviven con las TICs, actualizándose constantemente.

2.2.1.3 Incidencia de las TICs y TACs en la matemática.

Las nuevas tecnologías y su incidencia en la matemática han tenido un gran impacto a fin

de mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje; es bien sabido que las herramientas

tecnológicas nos permiten automatizar procesos y obtener resultados rápidamente, sin

embargo, en el aprendizaje de la matemática no solo basta con usar software que realicen

todo el proceso de adquisición de conocimientos, como las calculadoras gráficas, los

software de cálculo simbólico, los programas de geometría dinámica o los paquetes

estadísticos. En el aprendizaje de la matemática el estudiante debe posee ciertas capacidades

y destrezas previamente para que conjuntamente con las herramientas tecnológicas se genere

un aprendizaje significativo de la matemática.

14

Estas tecnologías en el aula de clase son esenciales al igual que fuera de ellas ya que nos

ofrecen experiencias matemáticas beneficiosas siempre y cuando su aplicación sea la

adecuada y no dependa el estudiante completamente de ellas. (Infante, Quintero, y Logreira,

2010) explican que estas experiencias matemáticas pueden ser fructíferas siempre que se

conozca las necesidades de aprendizaje de los estudiantes y como aprovechen la tecnología

para crear espacios en los que se pueda construir un conocimiento matemático más amplio

y potente.

2.2.1.4 Integración de las TICs y TACs como refuerzo académico.

Antes de referirnos a la integración de las TICs y TACs en el refuerzo académico debemos

estar claro en que consiste este último, según el Ministerio de Educación del Ecuador (2016)

Es un conjunto de estrategias planificadas que complementan, consolidan o enriquecen la acción

educativa ordinaria que se concretan en la adopción de una serie de medidas de atención a la

diversidad diseñadas por el docente y dirigidas a aquellos alumnos que presentan, en algún

momento o a lo largo de su año escolar, bajos procesos de aprendizaje o determinadas necesidades

educativas que requieren una atención más individualizada a fin de favorecer el logro de las

destrezas con criterio de desempeño de cada año. (pág. 13)

Bajo esta premisa, el refuerzo académico permite complementar las necesidades

educativas de los estudiantes que no se concretan en el proceso de enseñanza aprendizaje, lo

cual retroalimenta los conocimientos mediante estrategias específicas o material didáctico

para un autoaprendizaje o mediante tutorías docente.

En este contexto, las TICs y TACs al ofrecer un sin número de herramientas didácticas

para el proceso de enseñanza aprendizaje, el docente puede beneficiarse de estas

herramientas para planificar y desarrollar material didáctico que permita complementar este

15

proceso de aprendizaje poco satisfactorio para ciertos estudiantes que no concretaron su

conocimiento en el contenido dado y desean un aprendizaje significativo.

En este sentido, es interesante implementar la tecnología educativa en todo el proceso

educativo modificando las mecánicas estrategias de enseñanza de la matemática, generando

un óptimo aprendizaje, el cual se evidencia en las evaluaciones, calificaciones cuantitativas

y en la motivación del estudiante al ser activo participativo en la construcción del

conocimiento.

2.2.2 Didáctica de la matemática.

La didáctica de la matemática es una disciplina que se deriva de la didáctica o el “arte de

enseñar” como lo introdujo Comenio en su obra “Didáctica Magna”, sin embargo, en la

actualidad ciertos autores como Guy Brousseau, Gérard Vergnaud e Yves Chevallard de la

escuela francesa de la didáctica de la matemática de 1970 la consideran ciencia autónoma,

es decir, para Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didáctica es la ciencia que se interesa por

la producción y comunicación del conocimiento. Saber qué es lo que se está produciendo en

una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica. (Cruz, 199, pág. 1)

Por lo tanto, la didáctica se puede definir como todo aquello que sirva para enseñar y

busca alcanzar los objetivos de aprendizajes a través de métodos, técnicas y recursos.

En la educación de la matemática, la didáctica se encarga de estudiar el proceso de

enseñanza aprendizaje, proporcionando al docente las técnicas para que el estudiante

construya el conocimiento mediante una adecuada planificación, elaboración y uso de

estrategias, técnicas y recursos.

2.2.2.1 Proceso de enseñanza aprendizaje en matemática.

16

El proceso de enseñanza aprendizaje es la sinergia del proceso de enseñanza y el proceso

de aprendizaje que se desarrolla en el aula de clase o en cualquier espacio necesario para la

formación académica del estudiante.

A continuación, se describirán en que consiste cada uno de ellos.

El proceso de enseñanza es la transmisión de conocimientos, ideas, saberes, contenidos o

habilidades, en la cual el docente mantiene una relación con el estudiante para acompañar el

aprendizaje. El docente debe tomar en cuenta los contenidos, estrategias, metodologías y

recursos que se aplicarán dependiendo de las necesidades educativas del estudiante para una

eficaz enseñanza y que la formación educativa sea integral.

El proceso de aprendizaje es más complejo ya que posee ciertas fases o etapas

entrelazadas para su eficaz desarrollo según (Pozo y Monereo, 1999) citado en (Yánez M,

2016) son nueve:

Motivación

Interés

Atención

Adquisición

Comprensión e interiorización

Asimilación

Aplicación

Transferencia

Evaluación

Es fundamental seguir este proceso de aprendizaje que a su vez con una continua y

constante retroalimentación en la formación académica se transforma en un aprendizaje

17

significativo, sin embargo, es idóneo comprender que el aprendizaje es personal y los

estudiantes tienen necesidades educativas y objetivos de aprendizaje diferentes.

En este contexto, el proceso de enseñanza aprendizaje es un “sistema de comunicación

intencional que se produce en un marco institucional y en el que se generan estrategias

encaminadas a provocar el aprendizaje” (Contreras, 1990:23) citado en (Benítez, 2007, pág.

32). Y en su desarrollo inciden una serie de variables como el docente, el estudiante, los

contenidos, metodologías, estrategias y recursos que interrelacionados alcanzan un óptimo

resultado.

Por consiguiente, en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática está

involucrada la didáctica porque brinda los métodos y recursos para el desarrollo de los

procesos educativos, como afirma Godino (2011): “La Didáctica de las Matemáticas debe

aportar conocimientos descriptivos y explicativos de los procesos de enseñanza y

aprendizaje de contenidos específicos que ayuden a comprender dichos procesos.” (pág. 1)

Finalmente, el proceso de enseñanza aprendizaje en la educación moderna y en la

matemática ha ido modificándose por la incidencia de las TICs que brindan un sin número

de herramientas tecnológicas que facilitan y automatizan procesos educativos para llegar al

conocimiento y aprendizaje significativo.

2.2.2.2 Herramientas tecnológicas para la enseñanza de la matemática.

Las herramientas tecnológicas son la variedad de software o hardware que apoyan al

desarrollo de diferentes actividades, dado que la tecnología ha sido uno de los pilares

fundamentales en el progreso de varios aspectos sociales, es inevitable que las herramientas

tecnológicas estén inmersas en la educación y apoyen significativamente a desarrollar los

procesos de enseñanza-aprendizaje.

18

“En este contexto, el uso de las herramientas tecnológicas dinamiza el flujo de entrada de

información capturada, su transformación en conocimiento, recirculación y la salida en

forma de conocimiento explícito” (Cabezas, 2014, pág. 8). Por lo que la aplicación de las

herramientas tecnológicas en el ámbito educativo y más aún en la matemática, ayuda al

estudiante no solo en el proceso de aprendizaje, sino también, en el raciocinio de los

contenidos a estudiar.

En el aprendizaje de la matemática, el estudiante necesita conocer y adaptar las

herramientas tecnológicas como recurso didáctico que facilite la profundización de los

conocimientos generados en el aula de clase o la comprensión de temas complejos en su

formación académica. Ya que en el proceso del aprendizaje matemático las ideas concretas

son sustituidas por ideas abstractas, y para su eficaz aprendizaje es necesario reproducir,

aplicar, ejemplificar, analizar y crear nuevos conceptos, al ejecutar este proceso y una

construcción progresiva del mismo se genera un aprendizaje procedimental en el cual las

herramientas tecnológicas son eficaces para consolidar este aprendizaje (Alvites, 2017). Este

proceso de enseñanza aprendizaje en la matemática es secuencial de contenidos y es

fundamental dominar los conceptos bases, desarrollando un razonamiento matemático

lógico para integrar adecuadamente los conocimientos y los recursos en la resolución de

problemas y actividades educativas.

Desde esta perspectiva, las herramientas informáticas benefician al estudiante con la

actividades rutinarias y repetitivas como calcular o graficar problemas, permitiendo una

máxima organización y comprensión de los procesos implicados.

2.2.2.3 Aprendizaje significativo de matemática.

19

Se ha mencionado en repetidas ocasiones sobre el aprendizaje, el proceso de enseñanza

aprendizaje o el auto aprendizaje del estudiante, sin embargo, ¿A qué hace referencia el

aprendizaje significativo?, para Ausubel (1976, 2002) (como se citó en Rodríguez, 2011),

autor de la teoría del aprendizaje significativo, lo define como el proceso según el cual se

relaciona un nuevo conocimiento o una nueva información con la estructura cognitiva de la

persona que aprende y los conocimientos que ya posee. En otras palabras, este aprendizaje

es la conexión de la experiencia y la nueva información que asocia el estudiante en el proceso

de enseñanza aprendizaje.

¿Cómo se logra un aprendizaje significativo?

Para Rodríguez (2011) “la consecución de un aprendizaje significativo supone y reclama

dos condiciones esenciales:

Actitud potencialmente significativa de aprendizaje de quien aprende, es decir,

que haya predisposición para aprender de manera significativa.

Presentación de un material potencialmente significativo.” (pág. 32)

Por lo expuesto, es fundamental que el estudiante posea un alto interés en aprender los

contenidos y los conocimientos previos que posea, por lo tanto, los recursos y estrategias

didácticas que utilice el docente deben estar acorde a la realidad del estudiante.

¿Por qué es necesario que el estudiante logre un aprendizaje significativo?

Porque nos ofrece ventajas y destrezas que el estudiante desarrollará poco a poco en el

proceso académico, las cuales el estudiante obtiene mediante una serie de actividades que

modifican la forma de construir su conocimiento, a continuación, se detalla en la siguiente

tabla las fases por la que el estudiante logra un aprendizaje significativo.

Tabla 1. Fases del aprendizaje significativo (Shuell, 1990)

Fase Inicial Fase Intermedia Fase Final

20

Hechos o partes de

información que están

aislados

conceptualmente.

Memoriza hechos y usa

esquemas preexistentes

(aprendizaje por

acumulación).

El procedimiento es

global:

Escaso

conocimiento

específico del

dominio (esquema

preexistente).

Uso de estrategias

generales

independientes del

dominio.

Uso de

conocimientos de

otro dominio.

La información

adquirida es concreta y

vinculada al contexto

específico (uso de

estrategias de

aprendizaje).

Ocurre en forma simple

de aprendizaje.

Condicionamiento.

Aprendizaje verbal.

Estrategias

mnemónicas.

Gradualmente se va

formando una visión

globalizada del dominio.

Uso del conocimiento

previo.

Analogías con otro

dominio.

Formación de

estructuras a partir de las

partes de información

aisladas.

Comprensión más

profunda de los

contenidos por

aplicarlos a situaciones

diversas.

Hay oportunidad para la

reflexión y recepción de

realimentación sobre la

ejecución.

Conocimiento más

abstracto que puede ser

generalizado a varias

situaciones (menos

dependientes del

contexto específico).

Uso de estrategias de

procedimiento más

sofisticadas.

Organización.

Mapeo cognitivo.

Mayor integración de

estructuras y esquemas.

Mayor control

automático en

situaciones (cubra

abajo).

Menor consciente. La

ejecución llega a ser

automática,

inconsciente y sin tanto

esfuerzo.

El aprendizaje que

ocurre en esta fase

consiste en:

Acumulación de

nuevos hechos a los

esquemas

preexistentes

(dominio).

Incremento de los

niveles de

interrelación entre

los elementos de las

estructuras

(esquemas).

Manejo hábil de

estrategias específicas

de dominio.

Fuente: (Rivera Muñoz, 2004)

Elaborado por: Alexander Morán

¿Cuál es la importancia del aprendizaje significativo de la matemática?,

21

La importancia que el estudiante logre un aprendizaje significativo en la matemática

radica en la influencia de la matemática misma en la sociedad

El aprendizaje de la Matemática es uno de los pilares más importantes ya que además de

enfocarse en lo cognitivo, desarrolla destrezas importantes que se aplican día a día en

todos los entornos, tales como el razonamiento, el pensamiento lógico, el pensamiento

crítico, la argumentación fundamentada y la resolución de problemas. (Ministerio de

Educación, pág. 1)

Por lo tanto, se afirma que el aprendizaje de la matemática es algo implícito en las

personas, que nos permite realizar las actividades cotidianas desde lo básico a lo más

complejo, a su vez en el proceso educativo es fundamental que el estudiante desarrolle las

bases y destrezas de la matemática porque al ser una ciencia exacta y formal trabaja con un

currículo concatenado, que interrelaciona los contenidos y principios matemáticos

necesarios para cumplir los objetivos educativos.

2.2.2.4 Refuerzo académico de matemática.

En el proceso de enseñanza de la matemática es natural que el estudiante cometa errores

en la asimilación de los contenidos por cierta complejidad en la forma que se realiza,

dificultando su aprendizaje, evidenciándose directamente en el rendimiento académico, por

lo tanto, es fundamental complementar esas falencias de aprendizaje mediante estrategias

que permitan fortalecer esas lagunas de conocimiento.

En este contexto, el refuerzo académico es el plus que permite perfeccionar dicho proceso

pedagógico, y se puede definir como describe Oliva (2015) “Toda acción conducida

pedagógicamente, hacia la implementación de un apoyo académico en aquellos estudiantes

que debido a las diversas capacidades de aprendizaje, demandan un conocimiento extra

22

escolar más elaborado, complejo y científico, a fin de elevar su rendimiento académico” (pág.

15). Por lo cual el propósito de promover este refuerzo en la matemática mediante

herramientas tecnológicas es de mejorar el nivel académico y paralelamente las habilidades

y destrezas del estudiante con una guía que ayuda a consolidar su auto aprendizaje.

Por consiguiente, “La necesidad de un refuerzo educativo que propicie un apoyo escolar

transitorio deriva principalmente de la necesidad de modificar los hábitos de estudio y de

incorporar nuevos métodos y herramientas de aprendizaje” (Oliva, 2015, pág. 13). De

acuerdo al nivel de requerimiento del estudiante o estudiantes que va dirigido para superar

las falencias que obstruyen conseguir el aprendizaje significativo y el nivel académico

esperado.

2.2.3 Guía didáctica matemática.

La guía matemática es un recurso o material didáctico en el proceso educativo, en el cual

el estudiante desarrolla de manera autónoma, convirtiéndose en el actor principal de su

aprendizaje, mejorando sus conocimientos mediante la integración y desarrollo de

actividades planificadas y altamente estructuradas para un aprendizaje de calidad.

Pues bien, las guías didácticas o guías de estudios como mencionan algunos autores han

sido utilizadas desde hace varios años por los estudiantes que reciben una educación a

distancia, siendo esta un documento en el cual consta toda la planificación del curso a realizar,

por tanto, se considera un recurso primordial en el proceso de enseñanza aprendizaje que

motiva al estudiante a cumplir con sus objetivos educativos.

Consecuentemente, la guía didáctica al ser un recurso esencial no debería estar solo en

propuestas referidas a estudios a distancia, porque hoy también se viene exigiendo en los

entornos presenciales y pueden ser desarrollados a través de sistemas convencionales o en

23

sistemas digitales (Aretio, 2019). Sin embargo, la forma de utilizar dicho recurso y los

beneficios o fracasos que se logre generar depende de la metodología y estrategias del

docente en el desarrollo del proceso educativo presencial.

Entonces, la alternativa de integrar la guía didáctica en el proceso educativo y

específicamente en la matemática es mediante el refuerzo académico, ya que el estudiante

consigue un aprendizaje en un ambiente escolar presencial y a su vez lo perfecciona con un

auto aprendizaje que conlleva a un mejor desarrollo educativo.

2.2.3.1 Funciones de las guías didácticas

Las guías didácticas permiten al estudiante guiar su aprendizaje, trabajar en equipo,

desarrollar actividades, retroalimentar sus conocimientos entre otros beneficios al ser un

recurso organizado y sistemático.

Además, García Hernández y Blanco (2014) define tres funciones fundamentales:

1. Función de orientación: ofrece al estudiante una Base Orientadora de la Acción

(BOA), para realizar las actividades planificadas en la guía. Es importante

significar en este sentido, que la BOA trae como resultado el aprendizaje de

conocimientos con alto nivel de generalización, pues implica asimilar contenidos

concretos sobre la base de orientaciones y esquemas generales.

2. Especificación de las tareas: delimita actividades a realizar, y se especifica en los

problemas a resolver. Estos se concretan en las tareas docentes orientadas para

realizar el trabajo independiente.

3. Función de autoayuda o autoevaluación al permitir al estudiante una estrategia de

monitoreo o retroalimentación para que evalúe su progreso. (pág. 169)

24

2.2.4 Programa de Matemática. Segundo de Bachillerato General Unificado (Colegio

Amazonas)

A continuación, se detallan los contenidos estructurados por unidades de la matemática

del segundo de bachillerato, basados en el currículo vigente del Ministerio de Educación del

Ecuador.

Unidad 1: Algebra y funciones

Función

o Concepto de función

o Propiedades de las funciones

o Función sobreyectiva

o Función biyectiva

o Operaciones con funciones

o Función Inversa

Progresiones aritméticas

Progresiones geométricas

o Termino general de una progresión geométrica

o Suma de los n términos de una progresión geométrica

Producto de los n términos de una progresión geométrica

Unidad 2: Funciones trigonométricas

Medida de ángulo

o Medidas en el Sistema Internacional

o Equivalencia entre grados y radianes

Las funciones trigonométricas

25

o Gráfica de la curva trigonométrica seno

o Gráfica de la curva trigonométrica coseno

o Gráfica de la curva trigonométrica tangente

o Gráfica de la curva trigonométrica cosecante

o Gráfica de la curva trigonométrica secante

o Gráfica de la curva trigonométrica cotangente

o Relación gráfica de las funciones seno y cosecante

o Comparación de las características de las funciones seno y cosecante

o Comparación gráfica de las funciones coseno y secante

o Comparación de las características de las funciones coseno y secante

o Comparación gráfica de las funciones tangente y cotangente

o Comparación de las características de las funciones tangente y cotangente

Uso de las TICs para graficar funciones

o Transformaciones e interpretación de funciones

Unidad 3: Matrices y determinantes

Matrices numéricas

o Concepto

o Representación

o Igualdad

o Tipos de matrices

Operaciones con matrices

o Adición de matrices

o Multiplicación de una matriz por un número real

26

Matriz identidad

Matriz inversa

o Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición

o Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordán

Aplicaciones de matrices y determinantes

Unidad 4: Cónicas

La circunferencia

o Ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen

o Ecuación canónica de la circunferencia con centro en (h, k)

La parábola

o Ecuación canónica de la parábola con vértice (0, 0) y eje de simetría x

o Ecuación canónica de la parábola con vértice (0, 0) y eje de simetría y

o Ecuación canónica de la parábola con vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje

Y

Unidad 5: Estadística y probabilidad

La estadística

o La recolección de datos y su interpretación

o Tabla de frecuencia para datos no agrupados

o Medidas de tendencia central para datos no agrupados

o Media aritmética

o Mediana

o Moda

o Desviación media para datos no agrupados (DM)

27

o La Varianza para datos no agrupados ( σ2)

o Desviación típica para datos no agrupados (σ)

o Medidas de tendencia central para datos agrupados

o Media aritmética para datos agrupados

o Mediana para datos agrupados (Me)

o Moda para datos agrupados (Mo)

Experimentos aleatorios

o Espacio muestral

o Operaciones con sucesos

o Probabilidad

o Probabilidad condicionada

o Teorema de Bayes

2.3 Fundamento Legal.

La presente investigación se apoya en el siguiente fundamento legal: Constitución del

Ecuador, Ley Orgánica de Educación Intercultural (LOEI), Ley Orgánica de Educación

Superior (LOES), Ley de Gestión Ambiental y El Código Orgánico de la Economía Social

de los Conocimientos Creatividad e Innovación.

2.3.1 LA CONSTITUCIÓN DEL ECUADOR. (APROBADA EN MONTECRISTI

2008)

Art. 16, numeral 2. Todas las personas, en forma individual o colectiva, tienen derecho

a: El acceso universal a las tecnologías de información y comunicación.

Art. 18, numeral 2. Todas las personas, en forma individual o colectiva, tienen derecho

a: Acceder libremente a la información generada en entidades públicas, o en las privadas que

manejen fondos del Estado o realicen funciones públicas. No existirá reserva de información

28

excepto en los casos expresamente establecidos en la ley. En caso de violación a los derechos

humanos, ninguna entidad pública negará la información.

Art. 26.- La educación es un derecho de las personas a lo largo de su vida y un deber

ineludible e inexcusable del Estado.

Art. 343.- El sistema nacional de educación tendrá como finalidad el desarrollo de

capacidades y potencialidades individuales y colectivas de la población para la realización

del buen vivir

Art. 347, numeral 8. Será responsabilidad del estado: El acceso universal a las

tecnologías de información y comunicación.

Art. 350.- El sistema de educación superior tiene como finalidad la formación académica

y profesional con visión científica y humanista; la investigación científica y tecnológica; la

innovación, promoción, desarrollo y difusión de los saberes y las culturas; la construcción

de soluciones para los problemas del país, en relación con los objetivos del régimen de

desarrollo.

Sección octava

Ciencia, tecnología, innovación y saberes ancestrales

Art. 385.- El sistema nacional de ciencia, tecnología, innovación y saberes ancestrales,

en el marco del respeto al ambiente, la naturaleza, la vida, las culturas y la soberanía, tendrá

como finalidad:

1. Generar, adaptar y difundir conocimientos científicos y tecnológicos.

2. Recuperar, fortalecer y potenciar los saberes ancestrales.

3. Desarrollar tecnologías e innovaciones que impulsen la producción nacional,

eleven la eficiencia y productividad, mejoren la calidad de vida y contribuyan a la

realización del buen vivir.

2.3.2 LA LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN INTERCULTURAL (LOEI)

TÍTULO I

DE LOS PRINCIPIOS GENERALES

CAPÍTULO ÚNICO

DEL ÁMBITO, PRINCIPIOS Y FINES

29

Art.2. – Principios. -La actividad educativa se desarrolla atendiendo a los siguientes

principios generales, que son los fundamentos filosóficos, conceptuales y constitucionales

que sustentan, definen y rigen las decisiones y actividades en el ámbito educativo:

h) Interaprendizaje y multiaprendizaje. -Se considera al interaprendizaje y

multiaprendizaje como instrumentos para potenciar las capacidades humanas por medio de

la cultura, el deporte, el acceso a la información y sus tecnologías, la comunicación y el

conocimiento, para alcanzar niveles de desarrollo personal y colectivo

Art. 3. - Fines de la educación.

t) La promoción del desarrollo científico y tecnológico

Art. 6. – Obligaciones

j) Garantizar la alfabetización digital y el uso de las tecnologías de la información y

comunicación en el proceso educativo, y propiciar el enlace de la enseñanza con las

actividades productivas o sociales

m) Propiciar la investigación científica, tecnológica y la innovación, la creación artística,

la práctica del deporte, la protección y conservación del patrimonio cultural, natural y del

medio ambiente, y la diversidad cultural y lingüística

2.3.3 LEY ORGÁNICA DE EDUCACIÓN SUPERIOR (LOES)

Art. 8.- Fines de la Educación Superior. -La educación superior tendrá los siguientes fines:

a) Aportar al desarrollo del pensamiento universal, al despliegue de la producción

científica, de las artes y de la cultura y a la promoción de las transferencias e innovaciones

tecnológicas

30

i) Impulsar la generación de programas, proyectos y mecanismos para fortalecer la

innovación, producción y transferencia científica y tecnológica en todos los ámbitos del

conocimiento

Art. 13.- Funciones del Sistema de Educación Superior. - Son funciones del Sistema de

Educación Superior:

b) Promover la creación, desarrollo, transmisión y difusión de la ciencia, la técnica,

la tecnología y la cultura.

2.3.4 CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS

CONOCIMIENTOS CREATIVIDAD E INNOVACIÓN

Art. 3, numeral 2.- Promover el desarrollo de la ciencia, la tecnología, la innovación y

la creatividad para satisfacer necesidades y efectivizar el ejercicio de derechos de las

personas, de los pueblos y de la naturaleza

Art.8, numeral 15 - La entidad rectora del Sistema Nacional de Ciencia, Tecnología,

Innovación y Saberes Ancestrales, tiene las siguientes atribuciones y deberes: Promover el

flujo de información y transferencia de tecnología entre los actores del Sistema Nacional de

Ciencia, Tecnología, Innovación y Saberes Ancestrales.

2.4 Caracterización de variables

Variable independiente:

Guía matemática

Es un instrumento con orientación técnica para el estudiante, que optimiza el desarrollo

del proceso enseñanza aprendizaje de la matemática.

Variable dependiente:

Refuerzo académico

31

Estrategias planificadas para fortalecer la adquisición de aprendizajes esperados en la

lección, unidad y grado respectivo mejorando los resultados académicos.

2.5 Definición de términos básicos

1. Clase magistral: Transmisión de información o conocimiento por parte del

docente dirigido al estudiante de forma unidireccional.

2. Enseñanza participativa: Participación directa de los estudiantes en el proceso

de enseñanza- aprendizaje.

3. Recurso didáctico: Material o herramienta que apoya el proceso de enseñanza

aprendizaje.

4. Herramienta informática: Software o programa que facilita el trabajo en la

resolución de tareas.

5. Debate académico: Diálogo formal en el desarrollo de clase, de carácter

argumentativo, en el que dos o más personas exponen su punto sobre un

determinado tema.

6. TICs: Tecnologías de información y comunicación son un conjunto de

herramientas que nos permita almacenar, gestionar y transmitir la información.

7. TACs: Tecnologías de aprendizaje y conocimiento es la forma de transformar la

información en conocimiento.

8. Retroalimentación: Reorientación de las acciones del docente o del estudiante

para lograr un objetivo, alineando el esfuerzo y las actividades con un resultado.

9. Refuerzo académico: Conjunto de actividades dirigidas a estudiantes para

mejorar o consolidar su aprendizaje.

32

10. Tutoría educativa: Acción docente de orientación con el propósito de participar

en la formación integral del estudiante potenciando su desarrollo académico y

personal.

11. Proceso de enseñanza aprendizaje: Transmisión de conocimientos, ideas,

saberes, contenidos o habilidades.

12. Rendimiento académico: Evaluación de los conocimientos del estudiante,

normalmente medida en calificaciones.

13. Guía: Dirige u orienta para cumplir un propósito

14. Guía matemática: Recurso o material didáctico en el proceso educativo, en el

cual el estudiante desarrolla de manera autónoma.

15. Aprendizaje: Adquisición de conocimientos por medio de estudio o experiencia

16. Aprendizaje significativo: Aprendizaje que relaciona un nuevo conocimiento de

la persona que aprende y los conocimientos que ya posee.

33

CAPÍTULO III

METODOLOGÍA

3.1 Diseño de la investigación

En esta investigación se adoptó un enfoque cuantitativo, ya que, se tomó técnicas e

instrumentos cuantitativas para el análisis e interpretación de datos.

En ese contexto, el enfoque cuantitativo según explica (Fernández, Hernández, y Baptista,

2006) , “[…] usa la recolección de datos para probar hipótesis, con base en la medición

numérica y el análisis estadístico, para establecer patrones de comportamiento y probar

teorías”. (pág. 15)

El nivel de estudio se enmarcó dentro de una investigación de carácter descriptivo. A tal

efecto, Danhke (citado por Fernández, etc al., 2006), señala que “los estudios descriptivos

buscan especificar las propiedades, las características y los perfiles importantes de personas,

grupos, comunidades o cualquier otro fenómeno que se someta a un análisis” (pág. 117). En

definitiva, permiten medir la información recolectada para luego describir, analizar e

interpretar sistemáticamente las características del fenómeno estudiado con base en la

realidad del escenario planteado.

Finalmente, el estudio se enmarcó bajo la modalidad de Proyecto Tecnológico conocido

también como Propuesta tecnológica. Se considera esta modalidad diagnosticando

inicialmente el objeto de estudio para posterior atendiendo los resultados del mismo, el cual,

se desarrolló una guía didáctica para reforzar el aprendizaje significativo de la matemática.

3.1.1 Procedimiento a Seguir

El procedimiento se realizó mediante parámetros desarrollados linealmente con

retroalimentación constante. Se detallan a continuación:

34

Revisión bibliografía preliminar del fenómeno de estudio.

Elaboración del plan de investigación.

Desarrollo de la operacionalización de variables.

Identificación de las técnicas e instrumentos de investigación.

Elaboración del instrumento.

Validación y fiabilidad del instrumento.

Determinación de la población y muestra.

Aplicación de instrumentos de investigación.

Tabulación de los resultados.

Representación de los resultados en tablas o figuras con índices.

Análisis e interpretación de resultados.

Redacción de conclusiones en base a los resultados.

Redacción de recomendaciones.

Diseño de la propuesta metodológica (Guía didáctica matemática).

Presentación del informe escrito, presentación de la propuesta.

3.2 Población y Muestra

“Se considera población como un conjunto de individuos, o más general, de elementos,

con una característica observable" (Farell, Egaña, y Fernandez, 2003)

Por lo tanto, la población de estudio de esta investigación se conformó por los estudiantes

del segundo de bachillerato general unificado de los paralelos B, C y D del colegio nacional

Amazonas, además del docente implicado en la investigación.

Debido que la población no superó a los 200 individuos, el respectivo instrumento se

aplicó a toda la población estudiantil de dichos paralelos.

35

Tabla 2. Población

Paralelos N° Estudiantes N° Docentes

B 33

1 C 33

D 32

98 1

Población Total: 99

Fuente: Colegio Nacional Amazonas.

Elaborado por: Alexander Morán

3.3 Técnicas e Instrumentos

Las técnicas e instrumentos que se aplicaron en la investigación son las siguientes.

3.3.1 Investigación documental.

La técnica de investigación documental se basa en la revisión, tratamiento e interpretación

de bibliografía como textos, documentos, artículos entre otros medios que integren

información referente al tema de investigación.

Tabla 3. Técnica e instrumento (I. documental)

TÉCNICAS INSTRUMENTOS

Recogida y análisis documental Ficha Bibliográfica

Ficha de Información Electrónica

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

3.3.1.1 Técnica.

Recogida y análisis documental.

(Castillo L. , 2005) define la recogida y análisis documental como “un conjunto de

operaciones encaminadas a representar un documento y su contenido bajo una forma

diferente de su forma original, con la finalidad posibilitar su recuperación posterior e

36

identificarlo”. (Pág. 1). Permitiendo procesar y sistematizar la información obtenida en base

a los objetivos de la investigación.

3.3.1.2 Instrumentos.

3.3.1.2.1 Ficha Bibliográfica (libro).

Ficha destinada a anotar meramente los datos bibliográficos de un libro o artículo.

3.3.1.2.2 Ficha de Información Electrónica.

Es un recurso didáctico que contiene datos bibliográficos básicos sobre información

extraída electrónicamente o consultada a través del internet.

3.3.2 Investigación de campo.

La investigación de campo se basa en extraer datos e información directamente de la

realidad u objeto de estudio a través del uso de técnicas de recolección como la encuesta.

Tabla 4. Técnica e instrumento (I. de campo)

TÉCNICA INSTRUMENTO

Encuesta dirigida a estudiantes. Cuestionario

Elaborado por: Alexander Morán

3.3.2.1 Técnica.

En la investigación se aplicó la encuesta ya que es una técnica de recogida de datos

concreta, particular y práctica que permite estructurar y cuantificar los datos encontrados

para posterior mediante el análisis e interpretación generalizar los resultados a toda la

población estudiada (Kuznik, Hurtado, y Espinal, 2010).

3.3.2.1 Instrumentos.

Cuestionario.

37

Es un instrumento de investigación que consiste en una serie de preguntas y otras

indicaciones con el propósito de obtener información específica de los involucrados en la

investigación.

3.4 Validez y confiabilidad de los instrumentos

Previo a la aplicación del instrumento de recolección de datos, se procedió a validarlos

adecuadamente por tres expertos catedráticos en el área de matemática y nuevas tecnologías

para conocer si es factible y van de acuerdo con el tema de investigación.

Validadores

MSc. Víctor Zapata

MSc. Juan Cadena

MSc. Luis Zapata

Por lo cual, después de un exhaustivo análisis y revisión, aprobaron el instrumento

determinando que está acorde a la población y tema de investigación.

Confiabilidad

(Welch y Comer, 1988) la confiabilidad del instrumento se la estima mediante el alfa de

Cronbach, la cual asume que los ítems miden un mismo constructo y que están altamente

correlacionados (Gutiérrez, Gil, Prieto, y Díaz, 2017).

Para evaluar los coeficientes de Alfa de Cronbach, (Chavez y Rodríguez, 2017) formulan

la siguiente tabla.

Tabla 5 Coeficiente Alfa de Cronbach

Intervalo coeficiente alfa de Cronbach Valoración de fiabilidad

[𝟎; 𝟎, 𝟓[

[𝟎, 𝟓; 𝟎, 𝟔[

Inaceptable

Pobre

38

[𝟎, 𝟔; 𝟎, 𝟕[

[𝟎, 𝟕; 𝟎, 𝟖[

[𝟎, 𝟖; 𝟎, 𝟗[

[𝟎, 𝟗; 𝟏]

Cuestionable

Aceptable

Bueno

Excelente

Fuente: (Chavez y Rodríguez, 2017)

Elaborado por: Alexander Morán

En este contexto, se realizó la encuesta a la población especificada de 98 estudiantes del

2do de BGU y mediante el software estadístico SPSS, se realizó el respectivo análisis de

fiabilidad, obteniendo el siguiente resultado:

Tabla 6. Resumen de procesamiento de casos

N %

Casos Válido 98 100,0

Excluido 0 ,0

Total 98 100,0

Fuente: SPSS Statistics 23

Elaborado por: Alexander Morán

Tabla 7. Estadísticas de fiabilidad

Alfa de Cronbach N de elementos

,735 20

Fuente: SPSS Statistics 23

Elaborado por: Alexander Morán

Donde en función de la tabla 7, en relación al coeficiente del Alfa de Cronbach arrojado

por el SPSS es de 0.735, determinando así que el instrumento aplicado a los estudiantes

corresponde a una confiabilidad aceptable según los niveles de confiabilidad.

Por lo tanto, el instrumento aplicado en los estudiantes del colegio Amazonas es

confiable, ya que los resultados medidos han sido coherentes en grado de correlación y

permite continuar con el análisis e interpretación de resultados.

39

CAPÍTULO IV

RESULTADOS

4.1. Resultados de la Encuesta

Pregunta 1. El docente utiliza métodos tradicionales (clase magistral) para el proceso de

enseñanza - aprendizaje de matemática.

Tabla 8. Uso de métodos tradicionales.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 8 8,2 8,2 8,2

CASI NUNCA 3 3,1 3,1 11,2

A VECES 41 41,8 41,8 53,1

CASI SIEMPRE 26 26,5 26,5 79,6

SIEMPRE 20 20,4 20,4 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 1. Uso de métodos tradicionales.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 8 y figura 1, en relación a la pregunta con el uso de métodos

tradicionales como la clase magistral del docente para el proceso de enseñanza aprendizaje,

40

se puede observar que: Siempre con un 20 %; Casi Siempre 27%, A Veces 42%, Casi Nunca

3% y Nunca 8%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente de matemática aún

utiliza métodos tradicionales para el proceso de enseñanza aprendizaje, por lo cual, se puede

deducir que no utiliza metodologías modernas para innovar el desarrollo de sus clases.

41

Pregunta 2. Utiliza el docente una enseñanza participativa en las clases de matemática.

Tabla 9. Enseñanza participativa.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 2 2,0 2,0 2,0

CASI NUNCA 9 9,2 9,2 11,2

A VECES 24 24,5 24,5 35,7

CASI SIEMPRE 26 26,5 26,5 62,2

SIEMPRE 37 37,8 37,8 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 2. Enseñanza participativa

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 9 y figura 2, en relación a la pregunta con el uso de una enseñanza

participativa por parte del docente, se puede observar que: Siempre con un 38%; Casi

Siempre 27%, A Veces 24%, Casi Nunca y Nunca con un porcentaje acumulado del 11%

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente utiliza una enseñanza

participativa, empleada de forma didáctica para el proceso de enseñanza aprendizaje de la

matemática.

42

Pregunta 3. Con que frecuencia el docente utiliza el texto especializado de matemática para

el desarrollo de la clase.

Tabla 10. Uso de texto especializado.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 22 22,4 22,4 22,4

CASI NUNCA 23 23,5 23,5 45,9

A VECES 35 35,7 35,7 81,6

CASI SIEMPRE 13 13,3 13,3 94,9

SIEMPRE 5 5,1 5,1 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 3. Uso de texto especializado.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 10 y figura 3, en relación a la pregunta con el uso de un texto

especializado por el docente, se puede observar que: Siempre con un 5 %; Casi Siempre

13%, A Veces 35%, Casi Nunca 23% y Nunca 22%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente utiliza poco un texto

especializado de matemática, se puede deducir que el docente posee un amplio dominio de

conocimientos de su cátedra o no aplica de forma didáctica el texto especializado de

matemática para el desarrollo de clase.

43

Pregunta 4. El docente utiliza información y diferentes conocimientos del estudiante para

comprender, interpretar y resolver problemas de matemática (macro destreza).

Tabla 11. Macro-destrezas.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 6 6,1 6,1 6,1

CASI NUNCA 12 12,2 12,2 18,4

A VECES 21 21,4 21,4 39,8

CASI SIEMPRE 38 38,8 38,8 78,6

SIEMPRE 21 21,4 21,4 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 4. Macro-destrezas.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 11 y figura 4, en relación a la pregunta con las macro destrezas, se

puede observar que: Siempre con un 21 %; Casi Siempre 39%, A Veces 21%, Casi Nunca

12% y Nunca 6%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente utiliza las macro

destrezas y conocimientos previos de los estudiantes de forma didáctica para mejorar la

comprensión y aprendizaje significativo de la matemática.

44

Pregunta 5. Mejora su oportunidad de conocimiento si el docente utiliza el debate

académico como medio de enseñanza de matemática.

Tabla 12. Debate académico.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 11 11,2 11,2 11,2

CASI NUNCA 14 14,3 14,3 25,5

A VECES 34 34,7 34,7 60,2

CASI SIEMPRE 22 22,4 22,4 82,7

SIEMPRE 17 17,3 17,3 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 5. Debate académico.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 12 y figura 5, en relación a la pregunta con el uso del debate

académico por parte del docente, se puede observar que: Siempre con un 17 %; Casi Siempre

22%, A Veces 34%, Casi Nunca 14% y Nunca 11%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente utiliza frecuentemente

el debate académico de forma didáctica para el proceso de enseñanza aprendizaje en la

asignatura matemática.

45

Pregunta 6. ¿Cree que las evaluaciones constantes permiten identificar a tiempo sus

deficiencias en la matemática a fin de mejorarlas?

Tabla 13. Evaluaciones constantes.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 13 13,3 13,3 13,3

CASI NUNCA 8 8,2 8,2 21,4

A VECES 31 31,6 31,6 53,1

CASI SIEMPRE 16 16,3 16,3 69,4

SIEMPRE 30 30,6 30,6 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 6. Evaluaciones constantes.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 13 y figura 6, en relación a la pregunta con las evaluaciones

constantes que identifican las necesidades de aprendizaje, se puede observar que: Siempre

con un 30 %; Casi Siempre 16%, A Veces 32%, Casi Nunca 8% y Nunca 13%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que las evaluaciones constantes si

permiten identificar las deficiencias o necesidades de aprendizaje de la matemática de los

estudiantes a tiempo a fin de mejorarlas mediante un refuerzo académico u otras actividades

o estrategias.

46

Pregunta 7. El docente desarrolla actividades de aprendizaje utilizando las tecnologías de

información y comunicación (TICs) como recurso de enseñanza de la matemática.

Tabla 14. Actividades mediante TICs.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 12 12,2 12,2 12,2

CASI NUNCA 29 29,6 29,6 41,8

A VECES 34 34,7 34,7 76,5

CASI SIEMPRE 13 13,3 13,3 89,8

SIEMPRE 10 10,2 10,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 7. Actividades mediante TIC.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 14 y figura 7, con las actividades que desarrolla el docente mediante

Tics, se puede observar que: Siempre con un 10 %; Casi Siempre 13%, A Veces 34%, Casi

Nunca 30% y Nunca 12%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente no desarrolla

actividades mediante Tics empleadas de forma didáctica frecuentemente como recurso de

enseñanza de la matemática.

47

Pregunta 8. Con que frecuencia utilizan laboratorios de informática para el desarrollo

académico áulico de la matemática mediante el uso de las TIC.

Tabla 15. Proceso académico en laboratorios.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 44 44,9 44,9 44,9

CASI NUNCA 22 22,4 22,4 67,3

A VECES 13 13,3 13,3 80,6

CASI SIEMPRE 14 14,3 14,3 94,9

SIEMPRE 5 5,1 5,1 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 8. Proceso académico en laboratorios.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 15 y figura 8, en relación a la pregunta del proceso académico

desarrollado en laboratorios, se puede observar que: Siempre con un 5 %; Casi Siempre 14%,

A Veces 13%, Casi Nunca 22% y Nunca 45%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que no existe un acceso adecuado

para los estudiantes a los laboratorios para el proceso de enseñanza aprendizaje de la

matemática mediante el uso de las Tics.

48

Pregunta 9. Cuando el docente envía tarea, usted utiliza fuentes de consultas externas como

guías y textos de matemática físicos o digital para desarrollarlo.

Tabla 16. Fuentes de consultas externas.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 8 8,2 8,2 8,2

CASI NUNCA 26 26,5 26,5 34,7

A VECES 27 27,6 27,6 62,2

CASI SIEMPRE 17 17,3 17,3 79,6

SIEMPRE 20 20,4 20,4 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 9. Fuentes de consultas externas.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 16 y figura 9, en relación a la pregunta con el uso de fuentes

matemáticas de consultas externas, se puede observar que: Siempre con un 20 %; Casi

Siempre 17%, A Veces 28%, Casi Nunca 26% y Nunca 8%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que los estudiantes utilizan fuentes

de consultas externas de matemática con regular frecuencia para desarrollar las actividades

enviadas por el docente permitiéndoles una mejor eficiencia al desarrollarlas.

49

Pregunta 10. Con que frecuencia usted utiliza software educativo de matemática como

apoyo para mejorar las actividades o tareas enviadas por el docente.

Tabla 17. Herramientas informáticas.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 35 35,7 35,7 35,7

CASI NUNCA 15 15,3 15,3 51,0

A VECES 26 26,5 26,5 77,6

CASI SIEMPRE 13 13,3 13,3 90,8

SIEMPRE 9 9,2 9,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 10. Herramientas informáticas.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 17 y figura 10, en relación a la pregunta con el uso software

educativo de matemática como apoyo para desarrollar actividades, se puede observar que:

Siempre con un 9%; Casi Siempre 13%, A Veces 27%, Casi Nunca 15% y Nunca 36%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que los estudiantes con poca

frecuencia utilizan software matemático que puede mejorar en la compresión y desarrollo de

sus tareas.

50

Pregunta 11. El docente realiza retroalimentación de temas anteriores cuando trata temas

nuevos de matemática.

Tabla 18. Retroalimentación.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 14 14,3 14,3 14,3

CASI NUNCA 15 15,3 15,3 29,6

A VECES 19 19,4 19,4 49,0

CASI SIEMPRE 19 19,4 19,4 68,4

SIEMPRE 31 31,6 31,6 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 11. Retroalimentación.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 18 y figura 11, en relación a la pregunta si el docente realiza

retroalimentación a los estudiantes, se puede observar que: Siempre con un 32 %; Casi

Siempre 19%, A Veces 19%, Casi Nunca 15% y Nunca 14%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente con frecuencia realiza

retroalimentación de forma didáctica de temas tratados en el proceso de enseñanza

aprendizaje a fin de que los estudiantes comprendan eficientemente temas nuevos y puedan

complementar sus necesidades de aprendizaje de matemática.

51

Pregunta 12. Con que frecuencia usted asiste a clases de refuerzo académico de matemática.

Tabla 19. Clases de refuerzo.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 14 14,3 14,3 14,3

CASI NUNCA 26 26,5 26,5 40,8

A VECES 28 28,6 28,6 69,4

CASI SIEMPRE 19 19,4 19,4 88,8

SIEMPRE 11 11,2 11,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 12. Clases de refuerzo.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 19 y figura 12, en relación a la pregunta de asistencia a clases de

refuerzo por parte de los estudiantes, se puede observar que: Siempre con un 11 %; Casi

Siempre 19%, A Veces 27%, Casi Nunca 27% y Nunca 14%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que los estudiantes de forma regular

asisten a clases de refuerzo académico matemático a fin de complementar sus conocimientos

que en el proceso de enseñanza aprendizaje no lograron adquirir y mejorar su aprendizaje

significativo.

52

Pregunta 13. ¿Cuándo usted recibe clases de matemática como refuerzo académico mejora

sus conocimientos y calificaciones?

Tabla 20. Clases de refuerzo académico.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 10 10,2 10,2 10,2

CASI NUNCA 16 16,3 16,3 26,5

A VECES 25 25,5 25,5 52,0

CASI SIEMPRE 30 30,6 30,6 82,7

SIEMPRE 17 17,3 17,3 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 13. Clases de refuerzo académico.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 20 y figura 13, en relación a la pregunta de la eficacia de las clases

de refuerzo académico matemático, se puede observar que: Siempre con un 17%; Casi

Siempre 30%, A Veces 26%, Casi Nunca 16% y Nunca 10%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que la mayoría de los estudiantes al

recibir clases de refuerzo académico matemático mejoran sus conocimientos y

calificaciones, por lo cual el refuerzo académico es fundamental para complementar los

aprendizajes significativos del estudiante.

53

Pregunta 14. Los recursos (materiales, tecnológicos) utilizados por el docente son

adecuados para reforzar sus conocimientos de matemática.

Tabla 21. Recursos aptos.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 15 15,3 15,3 15,3

CASI NUNCA 12 12,2 12,2 27,6

A VECES 33 33,7 33,7 61,2

CASI SIEMPRE 28 28,6 28,6 89,8

SIEMPRE 10 10,2 10,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 14. Recursos aptos.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 21 y figura 14, en relación a la pregunta con la disponibilidad de

recursos aptos que posee el docente, se puede observar que: Siempre con un 10%; Casi

Siempre 28%, A Veces 34%, Casi Nunca 12% y Nunca 15%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente tiene cierta

disponibilidad de recursos aptos (materiales y tecnológicos) para emplearlos de forma

didáctica en el proceso de refuerzo académico matemático.

54

Pregunta 15. El docente utiliza técnicas y herramientas motivadoras a fin de reforzar el

aprendizaje significativo de matemática.

Tabla 22. Herramientas motivadoras.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 4 4,1 4,1 4,1

CASI NUNCA 25 25,5 25,5 29,6

A VECES 23 23,5 23,5 53,1

CASI SIEMPRE 21 21,4 21,4 74,5

SIEMPRE 25 25,5 25,5 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 15. Herramientas motivadoras.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 22 y figura 15, en relación a la pregunta con el uso técnicas y

herramientas motivadoras por el docente, se puede observar que: Siempre con un 26%; Casi

Siempre 21%, A Veces 23%, Casi Nunca 25% y Nunca 4%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente regularmente utiliza

técnicas y herramientas motivadoras de forma didáctica para reforzar el aprendizaje

significativo de matemática de los estudiantes.

55

Pregunta 16. Con que frecuencia el docente utiliza herramientas informáticas para

complementar el aprendizaje de matemática.

Tabla 23. Complementar aprendizaje mediante Tic.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 19 19,4 19,4 19,4

CASI NUNCA 27 27,6 27,6 46,9

A VECES 20 20,4 20,4 67,3

CASI SIEMPRE 22 22,4 22,4 89,8

SIEMPRE 10 10,2 10,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 16. Complementar aprendizaje mediante Tic.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 23 y figura 16, en relación a la pregunta con el uso de herramientas

informáticas que posee el docente, se puede observar que: Siempre con un 10%; Casi

Siempre 22%, A Veces 20%, Casi Nunca 28% y Nunca 19%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente tiene cierta deficiencia

en el uso de las herramientas informáticas para complementar el aprendizaje de la

matemática, por lo tanto, el estudiante no utiliza con frecuencia software matemático en las

actividades académicas o de refuerzo académico.

56

Pregunta 17. El docente realiza tutorías virtuales a través de plataformas educativas online

para reforzar el aprendizaje de matemática.

Tabla 24. Tutorías virtuales.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 54 55,1 55,1 55,1

CASI NUNCA 21 21,4 21,4 76,5

A VECES 12 12,2 12,2 88,8

CASI SIEMPRE 8 8,2 8,2 96,9

SIEMPRE 3 3,1 3,1 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 17. Tutorías virtuales.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 24 y figura 17, en relación a la pregunta si el docente realiza tutorías

virtuales a través de plataformas educativas, se puede observar que: Siempre con un 3%;

Casi Siempre 8%, A Veces 12%, Casi Nunca 21% y Nunca 55%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente no realiza tutorías

virtuales a través de plataformas educativas online para reforzar el aprendizaje de

matemática en los estudiantes, por lo tanto, se afirma que el refuerzo académico se realiza

presencialmente.

57

Pregunta 18. Con que frecuencia el docente utiliza herramientas tecnológicas de matemática

para reforzar temas tratados en clase.

Tabla 25. Refuerzo académico mediante herramientas Tic.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 27 27,6 27,6 27,6

CASI NUNCA 25 25,5 25,5 53,1

A VECES 28 28,6 28,6 81,6

CASI SIEMPRE 12 12,2 12,2 93,9

SIEMPRE 6 6,1 6,1 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 18. Refuerzo académico mediante herramientas Tic.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 25 y figura 18, en relación a la pregunta del refuerzo académico

mediante herramientas Tic, se puede observar que: Siempre con un 6 %; Casi Siempre 12%,

A Veces 29%, Casi Nunca 26% y Nunca 28%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que el docente utiliza con poca

frecuencia herramientas tecnológicas de matemática o no las emplea de forma didáctica para

reforzar temas tratados en clase y el estudiante pueda mejorar sus conocimientos mediante

el refuerzo académico.

58

Pregunta 19. Con que frecuencia usted utiliza herramientas tecnológicas para resolver

problemas o ejercicios propuestos de matemática.

Tabla 26. Uso de herramientas para resolver problemas.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 9 9,2 9,2 9,2

CASI NUNCA 26 26,5 26,5 35,7

A VECES 29 29,6 29,6 65,3

CASI SIEMPRE 24 24,5 24,5 89,8

SIEMPRE 10 10,2 10,2 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 19. Uso de herramientas para resolver problemas.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 26 y figura 19, en relación a la pregunta con el uso de herramientas

para resolver problemas por el estudiante, se puede observar que: Siempre con un 10%; Casi

Siempre 24%, A Veces 30%, Casi Nunca 27% y Nunca 9%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que con cierta frecuencia el estudiante

utiliza herramientas informáticas para resolver problemas o ejercicios propuestos de

matemática a fin de facilitar la comprensión de problemas complejos o automatizar procesos

y mejorar sus conocimientos.

59

Pregunta 20. ¿Considera usted que el uso de las tecnologías de información y comunicación

(TICs) como refuerzo académico de matemática mejoran la calidad de educación?

Tabla 27. TICs como refuerzo académico.

Frecuencia Porcentaje Porcentaje

válido

Porcentaje

acumulado

Válido NUNCA 6 6,1 6,1 6,1

CASI NUNCA 8 8,2 8,2 14,3

A VECES 17 17,3 17,3 31,6

CASI SIEMPRE 30 30,6 30,6 62,2

SIEMPRE 37 37,8 37,8 100,0

Total 98 100,0 100,0

Nota. Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 20. TIC como refuerzo académico.

Fuente: Resultados de encuesta

Elaborado por: Alexander Morán

Análisis e interpretación

En función de la tabla 27 y figura 20, en relación a la pregunta con el uso de las Tic como

refuerzo académico, se puede observar que: Siempre con un 38%; Casi Siempre 30%, A

Veces 17%, Casi Nunca 8% y Nunca 6%.

De acuerdo al análisis realizado se puede interpretar que la mayoría de los estudiantes

consideran que las tecnologías de información y comunicación empleados de forma

didáctica permiten estar a la vanguardia de una educación de calidad y mejora el refuerzo

académico de matemática.

60

4.2. Conclusiones y Recomendaciones

4.2.1 Conclusiones.

De acuerdo a la investigación realizada se puede concluir lo siguiente:

1. Se puede deducir que la metodología de enseñanza que el docente utiliza permite

al estudiante desarrollar y construir sus conocimientos matemáticos hasta cierto

grado de comprensión, sin embargo, el docente no está a la vanguardia de las

nuevas tecnologías que ayudan a complementar el conocimiento teórico práctico

de una forma más didáctica e innovadora.

2. El docente no cuenta con los recursos necesarios para poder implementar este

tipo de herramientas en el proceso de enseñanza aprendizaje; es por ello que, el

estudiante se ve en la necesidad de aplicarlo en sus propios hogares con poca

frecuencia y motivación ya que estas herramientas pueden mejorar en el

desarrollo y compresión de sus tareas logrando un aprendizaje significativo.

3. Se puede apreciar el gran interés de los estudiantes de complementar sus

necesidades de aprendizaje mediante la integración de las herramientas

informáticas.

4. El refuerzo académico y la retroalimentación es fundamental para lograr los

objetivos de aprendizaje de los estudiantes ya que consideran que al recibir clases

de refuerzo académico matemático optimizan y mejoran sus conocimientos y

calificaciones.

5. El uso de herramientas tecnológicas o software matemático como refuerzo

académico, favorece un aprendizaje más integral de la matemática, ya que

61

complementa el conocimiento teórico con el práctico siendo así ésta determinante

en el aprendizaje significativo de los estudiantes.

6. El uso de una guía didáctica como refuerzo académico dentro del proceso de

enseñanza aprendizaje permitirá afianzar el aprendizaje de la matemática

mediante actividades resueltas de forma planificada y la inserción de

herramientas de las nuevas tecnologías.

4.2.2 Recomendaciones.

1. Es fundamental integrar las herramientas tecnológicas como recurso didáctico en

el desarrollo académico de la matemática, lo cual favorece directamente al

estudiante a llegar a un nivel de comprensión y aprendizaje apto para la actual

sociedad del conocimiento.

2. Es indispensable que los docentes manejen recursos tecnológicos educativos que

les permita fortalecer sus métodos de enseñanza.

3. Es recomendable que se aplique de forma constante software matemático, ya que

afianza los conocimientos previos y optimiza procesos de compleja comprensión

motivando al estudiante en temas que para ellos son aburridos, siendo una

herramienta eficiente en el proceso de enseñanza aprendizaje.

4. Es significativo el uso de una guía didáctica o texto especializado como refuerzo

académico para los estudiantes en el aprendizaje de la matemática ya que serán

los principales actores del desarrollo de su propio conocimiento de una forma

eficiente y eficaz.

62

CAPÍTULO V

PROPUESTA TECNOLÓGICA

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE FILOSOFÍA,

LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN CARRERA DE PEDAGOGÍA DE LAS

CIENCIAS EXPERIMENTALES DE LA INFORMÁTICA

Desarrollo de guía matemática como refuerzo académico mediante las TICS y TACS

en los estudiantes del segundo año de BGU del colegio nacional “Amazonas” en el

periodo lectivo 2018- 2019.

Autor: Morán Miranda Alexander Estuardo

C.C. 175024875-7

Email: aemoran@uce.edu.ec

Tutor: MSc. William Pateroy Carrera Estévez

Quito, 2020

63

5.1. Presentación

Institución: Colegio Fiscal Mixto Amazonas.

Ubicación: Lauro Guerrero y Cbo. Luis Iturralde

Beneficiarios: Docentes del área de matemática y estudiantes del segundo año de B.G.U.

Responsable: Alexander Morán

Una guía didáctica educativa en el colegio Amazonas de la ciudad de Quito, permitirá

reforzar los conocimientos de los estudiantes mediante la autonomía e independencia de

seguir su aprendizaje en un proceso de refuerzo académico, facilitando el desarrollo de

conocimientos, la participación y un aprendizaje interactivo de los contenidos de la

matemática mediante el uso de las tecnologías de información y comunicación (TICs) y las

tecnologías de aprendizaje y conocimiento (TACs).

Para el desarrollo de la guía didáctica se utilizó principios del modelo constructivista en

el cual el estudiante es el actor principal de su aprendizaje, asimismo, el recurso didáctico

está de forma sistemática y organizada con los contenidos específicos del currículo, el cual

pertenece a la institución educativa previamente planificado para el año lectivo, que permite

generar un alto impacto en el mejoramiento del rendimiento académico en el proceso de

enseñanza aprendizaje debido a que se reforzará los contenidos dados por el docente.

Además, la guía matemática como recurso sistemático didáctico brinda al estudiante

momentos claves para un óptimo refuerzo académico de su aprendizaje ya que según afirma

García Hernández y Blanco (2014):

Las guías didácticas como mediadoras del aprendizaje, tienen la potencialidad de incluir

estrategias para el desarrollo de la autonomía del estudiante en las orientaciones para el

estudio, que comprenden cinco momentos fundamentales:

64

1. La orientación del estudio del contenido de la unidad de aprendizaje.

2. Las actividades de orientación.

3. Las actividades de sistematización.

4. Las actividades de retroalimentación.

5. Las actividades de autoevaluación. (pág. 171)

Consecuentemente, a estos momentos o actividades se integran adecuadamente las

herramientas de las nuevas tecnologías que estimulan y despierten la motivación del

estudiante por aprender la matemática.

5.2. Objetivos

5.2.1 Objetivo General.

Desarrollar una guía matemática como refuerzo académico mediante las Tecnologías de

información y comunicación (TICs) y las Tecnologías de aprendizaje y conocimiento

(TACs) para el mejoramiento del aprendizaje significativo de la matemática en los

estudiantes del segundo de bachillerato del colegio Amazonas en el periodo 2018-2019.

5.2.2 Objetivos específicos.

Integrar herramientas informáticas en el desarrollo de actividades académicas

mediante una guía didáctica para el mejoramiento del proceso de enseñanza

aprendizaje de la matemática.

Reforzar el aprendizaje de la matemática mediante actividades resueltas de

manera planificada para los estudiantes del segundo de bachillerato del colegio

Amazonas.

65

Correlacionar la guía matemática con las necesidades de aprendizaje de los

estudiantes de segundo de bachillerato del colegio Amazonas de una forma

eficiente y eficaz.

5.3. Justificación

La incidencia de las nuevas tecnologías en el proceso de formación académica tiene un

rol fundamental, ya que, beneficia con un sin número de recursos didácticos a disposición

del docente, sin embargo, no todas las actividades académicas están en sinergia con las

nuevas tecnologías creando una carencia de aprendizaje significativo.

Integrar efectivamente herramientas informáticas en el desarrollo de actividades

académicas, mediante una guía didáctica para un proceso de enseñanza aprendizaje activo

participativo que permita al estudiante estar en constante refuerzo del aprendizaje de la

matemática.

Por lo expuesto, el desarrollo de la guía matemática radica en la necesidad del estudiante

de resolver problemas de aprendizaje que se han dificultado en el proceso educativo. Por lo

cual, mediante el refuerzo académico pueden solucionar dichas necesidades de aprendizaje,

permitiendo con este recurso didáctico complementar el desarrollo académico áulico,

mejorando el aprendizaje significativo y el rendimiento académico de los estudiantes.

Para fundamentar estas afirmaciones y tomarlas como válidas en la sociedad educativa y

de información se hace referencia a lo que Ávalos (2010) expresa:

La incorporación en el ámbito de las escuelas de dispositivos tecnológicos como cámaras

digitales, pantallas digitales interactivas, notebooks y netbooks, conexiones de banda

ancha inalámbrica, etc., debe ser acompañada de una formación sistemática acerca de

cómo utilizar e integrar pedagógicamente al currículo las tecnologías de información y

66

comunicación (TIC). Los docentes deben realizar un uso pedagógico de estos recursos

para que los alumnos logren nuevas habilidades sobre sus aplicaciones, que les permitan

superar el acceso intuitivo e instrumental que hacen de ellas. (pág. 1)

Consecuentemente, la guía matemática contribuye a profundizar el aprendizaje autónomo

y potenciar las capacidades del estudiante ya que hace responsable al estudiante de su propio

aprendizaje. Fundamentándonos en el artículo 2 referente a los artículos de la Ley Orgánica

de Educación Intercultural (L.O.E.I.) párrafo h) “Interaprendizaje y multiaprendizaje”.

Se espera que el desarrollo de este nuevo recurso signifique un impacto positivo en el

rendimiento académico de los estudiantes del colegio Amazonas.

5.4. Desarrollo Detallado de la Propuesta

5.4.1. Unidad 1: Algebra y funciones

5.4.1.1. Función

“Para comprender el concepto de una función es necesario recordar lo que es el producto

cartesiano y la relación matemática” (Pérez, La guia , 2010).

Producto cartesiano

Definición. - 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ 𝑦 ∈ 𝐵}

Dados dos conjuntos 𝐴 y 𝐵 se llama producto cartesiano al conjunto formado por todos

los pares ordenados posibles (𝑥, 𝑦) tales que 𝑥 pertenece al primer conjunto 𝐴 e 𝑦 pertenece

al segundo conjunto 𝐵.

Ejemplo

Dados el conjunto 𝐴 = {5,10} y el conjunto 𝐵 = {5,10,15,20}

El producto cartesiano de 𝐴 por 𝐵, es:

𝐴 × 𝐵 = {(5,5); (5,10); (5,15); (5,20); (10,5); (10,10); (10,15); (10,20)}

67

Gráficamente:

Par ordenado. - es un conjunto de dos elementos 𝑥, 𝑦, al elemento 𝒙 se lo denomina

primera componente y al elemento 𝒚 segunda componente. Se representa (𝑥, 𝑦).

Relación

Definición. – Si entre los elementos del conjunto 𝐴 y los elementos del conjunto 𝐵 se

aplica una relación 𝑅, se obtiene un conjunto 𝐶 tal que:

𝐴 𝑹 𝐵 = 𝐶 𝐶 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ 𝑦 ∈ 𝐵 ; 𝑥 𝑅 𝑦}

Una relación es un subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 , si entre los pares

ordenados se consideran solamente aquellos, que en el primer elemento del par está

vinculado con el segundo por alguna condición o propiedad.

Ejemplo.

Encontrar la relación en el producto cartesiano 𝐴 × 𝐵 anterior, agregamos la siguiente

condición 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 2𝑥}

Solución

Tomando el producto

𝐴 × 𝐵 = {(5,5); (5,10); (5,15); (5,20); (10,5); (10,10); (10,15); (10,20)}

𝐴 × 𝐵

(5,5) (5,10) (5,15)

(5,20) (10,5) (10,10)

(10,15) (10,20)

× =

Figura 21 Producto cartesiano 𝐴 × 𝐵

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

5

10

5 10

15 20

𝐴 𝐵

68

La relación está formada por los pares ordenados de 𝐴 × 𝐵 en la cual, entre los pares

ordenados el segundo elemento es el doble del primero.

𝑅 = {(5,10); (10,20)}

Gráficamente:

Figura 22 Relación y= 2x

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

2. En el producto cartesiano del conjunto 𝐴 de niños: {𝐽𝑢𝑎𝑛; 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜; 𝐿𝑢𝑐𝑎𝑠} por el

conjunto 𝐵 de números {10; 12; 14; 16}, ocurre que Juan tiene 10 años, Mateo tiene 14 y

Lucas 16. Encontrar la relación niño – edad.

Solución

𝐴 = {(𝐽𝑢𝑎𝑛, 10); (𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜, 14); (𝐿𝑢𝑐𝑎𝑠, 16)}

Gráficamente:

Figura 23 Relación niño - edad

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

𝑦 = 2𝑥

5

10

10

20

𝐴 𝐵

𝑛𝑖ñ𝑜 − 𝑒𝑑𝑎𝑑

Juan

Mateo

Lucas

10

12

14

16

𝐴 𝐵

𝑅

69

Dominio de la relación

Definición. - El dominio de una relación es el conjunto formado por los elementos del

conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada.

Notación:

𝐷𝑜𝑚(𝑅)

𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝑥 / (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}

Rango de la relación

Definición. - El rango o recorrido de una relación es el conjunto formado por los

elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto

de partida.

Notación:

𝑅𝑔(𝑅)

𝑅𝑔(𝑅) = {𝑦 / (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ}

Ejemplo

En los conjuntos 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {4,5,6,7} ; la relación está determinada por la

condición 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑥 + 2}, encontrar el dominio y rango de la relación.

Solución

Calculando el producto cartesiano

𝐴 × 𝐵 = {(1,4); (1,5); (1,6); (1,7); (2,4); (2,5); (2,6); (2,7); (3,4); (3,5); (3,6); (3,7)}

A continuación, la relación está formada por los pares ordenados de 𝐴 × 𝐵 en la cual,

cumplan con la condición 𝑅 = {(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 𝑥 + 2}

𝑅 = {(2,4); (3,5)}

Donde:

70

Dominio Rango

El dominio es: 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {2,3}

El rango es: 𝑅𝑔(𝑅) = {4,5}

Gráficamente:

Figura 24 Relación 𝑦 = 𝑥 + 2

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Función

Definición. – Sea 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos no vacíos. Una función de 𝐴 en 𝐵 es un

subconjunto del producto cartesiano 𝐴 × 𝐵, si a cada elemento 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde uno y

sólo un elemento 𝑦 ∈ 𝐵, tal que (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓.

Notación:

𝑓: 𝐴 → 𝐵

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Donde:

𝑥 = Variable independiente. – cuyo valor no está condicionado por ningún otro valor

𝑓(𝑥) = Variable dependiente, cuyo valor está condicionado por el valor que toma 𝑥

Nota: una función siempre es una relación, sin embargo, una relación no siempre se

considera una función.

Dominio de la función

𝑦 = 𝑥 + 2

2

3

4

5

𝐴 𝐵

71

Definición. – El dominio de una función 𝑓(𝑥) es el conjunto de valores que toma la

variable 𝑥 para los que la función está definida.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑦 ∈ 𝐵 ⋀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}

Rango de la función

Definición. - El rango o recorrido de una función 𝑓(𝑥) es el conjunto de todos los valores

que 𝑓 toma.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∶ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}

Ejemplo

En el siguiente diagrama determinar si la relación es función y encontrar el dominio y el

rango

Figura 25 Ejemplo de función

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

La figura si es función porque a cada elemento del conjunto 𝐴 le corresponde uno y solo

un elemento del conjunto 𝐵, entonces la relación 𝐴 𝑅 𝐵 es función.

Donde:

El dominio es 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = {𝐽𝑢𝑎𝑛, 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑜, 𝐿𝑢𝑐𝑎𝑠}

El rango es 𝑅𝑎𝑛(𝑅) = {10,14,16}

𝑛𝑖ñ𝑜 − 𝑒𝑑𝑎𝑑

Juan

Mateo

Lucas

10

12

14

16

𝐴 𝐵

72

Gráfica de una función

La gráfica de una función se la puede definir como el conjunto de los puntos (𝑥, 𝑦) en un

plano cartesiano.

Ejemplo.

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 donde 𝑥 ∈ ℝ

Para graficar una función utilizaremos un software en línea llamado Footplot el cual nos

permite representar gráficas y exportarlas en imagen de una forma sencilla, encontraremos

esta herramienta en el siguiente enlace http://fooplot.com/?lang=es, una vez ingresado

encontraremos la interfaz amigable de la herramienta

Figura 26 Interfaz de la herramienta Fooplot

Fuente: imagen tomada de http://fooplot.com/?lang=es

En la cual en el lateral derecho podremos insertar nuestra función y nuestras coordenadas

o puntos como se muestra en la figura

73

Figura 27 Insertar función en herramienta Fooplot

Fuente: imagen tomada de http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Finalmente, obtenemos nuestra gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥

Figura 28 Gráfico de la función f(x)= 2x

Fuente: imagen tomada de http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios Propuestos

1. Defina con sus propias palabras lo que entiende por par ordenado.

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙

74

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………

2. En los siguientes diagramas indique cuál de las relaciones es función y ¿Por qué?

Figura 30 Ejemplo de relación 2

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

3. De los siguientes conjuntos 𝐷 = {2,4,6,8}, 𝐸 = {3,6,9}, 𝐹 = {5,10,15}, 𝐺 = {2,3,4},

𝐻 = {4,16}, 𝐼 = {7,17}

Grafique en el plano cartesiano los siguientes productos cartesianos:

a) 𝐷 × 𝐹

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

. Figura 29 Ejemplo de relación 1

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

80

100

160

200

50

𝑋 𝑌

𝐴

𝐵

𝐶

1

2

3

4

𝐿 𝑀

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………….

75

b) 𝐸 × 𝐺

c) 𝐻 × 𝐼

d) 𝐼 × 𝐸

e) 𝐻 × 𝐷

4. Dados los conjuntos 𝐴 = {3,6,9} y 𝐵 = {4,1,3,7} ; encontrar el dominio, rango y

graficar en el plano cartesiano la relación que está determinada por la condición 𝑅 =

{(𝑥, 𝑦): 𝑦 > 𝑥}

5. Dados los conjuntos 𝐴 = {3,6,9} y 𝐵 = {4,1,3,7} ; encontrar el dominio, rango y

graficar en el plano cartesiano la relación que está determinada por la condición 𝑅 =

{(𝑥, 𝑦): 𝑦 < 𝑥}

6. Dados los conjuntos 𝐴 = {1,2,3} y 𝐵 = {3,4,5,6,7}; encontrar el dominio, rango y

graficar en el plano cartesiano la relación que está determinada por la condición 𝑅 =

{(𝑥, 𝑦): 𝑦 = 2𝑥 + 1}

Función Real

Definición. - Se llama función real de variable real 𝑓: 𝐴 → ℝ a la correspondencia de 𝐴 ⊂

ℝ 𝑒𝑛 ℝ que a todo 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde uno y sólo un elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥).

Notación:

𝑓: 𝐴 → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Dominio de la función real

Definición. – El dominio de una función real 𝑓(𝑥) es el conjunto de valores que toma la

variable 𝑥 para los que la función está definida.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∶ 𝑦 ∈ 𝐵 ⋀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}

76

Rango de la función real

Definición. - El rango o recorrido de una función real 𝑓(𝑥) es el conjunto de todos los

valores que 𝑓 toma.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = {𝑦 ∈ 𝐵 ∶ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓}

Gráfico de la función real

Para representar gráficamente una función real se debe encontrar los pares ordenados y

se lo realiza mediante la sustitución de los valores en 𝑥, lo cual se llama evaluación de la

función.

Propiedades de las funciones

Continuidad

Definición. - Una función puede ser continua si se puede representar todo su dominio

mediante un solo trazo de manera continua, de tal manera que:

Una función es continua si en su gráfica para los valores de (𝑥) dentro de un intervalo

[𝑎, 𝑏], se dibuja en un solo trazo, sin ningún corte, ni interrupciones.

Monotonía

Definición. - Es el aumento o la disminución del valor que tiene la función en todo su

dominio, dentro de esta propiedad tenemos función creciente, decreciente y constante

Función creciente

Definición. - La función es creciente sí y solo sí:

∀𝑥1, 𝑥2 ∈]𝑎, 𝑏[ tal que 𝑥1 < 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

Una función es creciente, si mientras aumentan los valores de (𝑥) , también tienden

aumentan los valores correspondientes a (𝑦).

Gráfico

77

Figura 31 Función creciente

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Función decreciente

Definición. - La función es decreciente sí y solo sí:

∀𝑥1, 𝑥2 ∈]𝑎, 𝑏[ tal que 𝑥1 < 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

Una función es decreciente, si mientas aumentan los valores de (𝑥), disminuye los valores

que corresponde a (𝑦).

Gráfico

Figura 32 Función decreciente

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Función constante

Definición. - La función es constante sí y solo sí:

𝒚 = 𝒇(𝒙)

Es creciente

𝒚 = 𝒇(𝒙)

Es decreciente

78

𝑥1 𝑦 𝑥2 del domino, tal que 𝑥1 < 𝑥2, entonces 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

Una función es constante, si mientras aumentan los valores del dominio, se mantiene el

mismo valor en el recorrido o rango, es decir, el valor de 𝑦.

Gráfico

Figura 33 Función constante

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Simetría o Paridad

Definición. - La simetría de las funciones hace referencia a los intervalos del dominio,

existe dos clases de simetría: la función par e impar

Función par

Definición. - Una función es par si cumplen que las imágenes del opuesto de un elemento

(−𝑥) y la imagen de este elemento (𝑥) coinciden, tal que:

𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , es decir, que vale lo mismo en el punto (𝑥) y en su opuesto

(−𝑥).

Gráfico

𝒇(𝒙), Es creciente y decreciente

simultáneamente

79

Figura 34 Función simétrica par

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Ejemplo

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2

Determinar si es par

Solución

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par.

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2

𝑓(−𝑥) = (−𝑥)4 + 2

𝑓(−𝑥) = 𝑥4 + 2

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función es par.

Función impar

Definición. - Una función es impar si al sustituir la variable independiente (𝑥) por (−𝑥),

la variable dependiente adquiere los valores opuestos, tal que:

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) , es decir, que si el punto (𝑥, 𝑦) está en la gráfica

entonces el punto (−𝑥, −𝑦) también lo está.

80

Gráfico

Figura 35 Función simétrica impar

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Ejemplo

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥3

Determinar si es impar

Solución

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar.

𝑓(𝑥) = 𝑥3

𝑓(−𝑥) = (−𝑥)3

𝑓(−𝑥) = −𝑥3

−𝑓(𝑥) = −(𝑥3)

−𝑓(𝑥) = −𝑥3

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función es impar.

Ceros de la función

81

Definición. - Es el valor del dominio (𝑥) cuya imagen es igual a cero, es decir, 𝑓(𝑥) =

0, donde el punto de intersección de la gráfica con el eje 𝑥 tiene coordenadas (𝑥, 0).

Gráfico

Figura 36 Ceros de la función

Fuente: imagen tomada de http://matematica.cubaeduca.cu

Ejemplo

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 3

Hallar los ceros de la función

Solución

Reemplazamos 𝑓(𝑥) = 0 en la función.

𝑦 = −3𝑥 + 3

0 = −3𝑥 + 3

3𝑥 = 3

𝑥 =3

3

𝑥 = 1 Raíz o cero

Se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 3 corta al eje de las abscisas en el

punto (0; 1), por lo tanto, existe un cero en la función.

Extremos de una función

𝒚 = 𝒇(𝒙)

82

Definición. – Se denomina extremos de una función a los valores máximos o mínimos,

que toma una la función en un punto situado, ya sea dentro de una región en particular de la

curva

o en el dominio de la función en su totalidad.

Punto mínimo

Definición. - Es aquel punto de la función para el que se cumple que los puntos que se

encuentran a su derecha e izquierda tiene imágenes mayores que la de él.

Gráfico

Figura 37 Punto mínimo de una función

Fuente: imagen tomada de http://matematica.cubaeduca.cu

Dónde:

𝑥0 = es el valor donde se alcanza el mínimo

𝑦0 = es el valor mínimo

𝑃 = es el punto mínimo.

Punto máximo

Definición. - Es aquel punto de la función para el que se cumple que los puntos que se

encuentran a su derecha e izquierda tiene imágenes menores que la de él.

Gráfico

𝒚 = 𝒇(𝒙)

83

Figura 38 Punto máximo de una función

Fuente: imagen tomada de http://matematica.cubaeduca.cu

Dónde:

𝑥0 = es el valor donde se alcanza el máximo

𝑦0 = es el valor máximo

𝑃 = es el punto máximo.

Función lineal

Definición. - Se llama función lineal a la función de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙, donde 𝑎 es una

constante diferente de cero.

Notación:

𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función lineal, es una línea recta no

vertical que pasa por el origen.

𝒚 = 𝒇(𝒙)

84

Figura 39 Grafico de la función lineal

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Dominio y rango de la función lineal

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ

𝑅𝑔𝑓 = ℝ

Ejemplos

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 7𝑥

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Para realizar la gráfica de la función mediante la herramienta informática, es suficiente

con obtener dos puntos o coordenadas, realizando una tabla de valores como muestra a

continuación.

Tabla 28 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

𝑓(𝑥) = 7𝑥 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(1) = 7(1) = 7 1 7

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙

85

𝑓(−1) = 7(−1) = −7 −1 −7

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Una vez obtenida nuestra tabla de valores ingresamos los puntos y la función en la

herramienta informática fooplot, generando la siguiente figura.

Figura 40 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Podemos observar en la gráfica que el dominio y el rango de la función son los números

reales, es decir:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

Analizando el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 , podemos observar que la función es

monótona creciente, ya que en el intervalo de ]−∞; +∞[ va hacia arriba, cuando recorremos

el intervalo de izquierda a derecha, es decir, 𝑓(𝑥) es creciente porque 𝑎 > 0, 7 > 0

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙

86

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = 7𝑥

0 = 7𝑥

0

7= 𝑥

0 = 𝑥 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 corta al

eje de abscisas en un punto, en el origen (0,0), por lo tanto existe un cero en la función.

Nota.- En las funciones lineales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 siempre existe un cero ya que la

gráfica pasa solo por el origen. .

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

Las funciones lineales no tienen máximos ni mínimos porque el dominio son los números

reales, 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = 7𝑥

𝑓(−𝑥) = 7(−𝑥)

𝑓(−𝑥) = −7𝑥

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = −7𝑥

87

−𝑓(𝑥) = (−1)(7𝑥)

−𝑓(𝑥) = −7𝑥

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función es impar.

Un automóvil en promedio consume un galón de gasolina por cada 45 km en la ciudad,

determinar.

a) La expresión que relaciona la cantidad de gasolina con la distancia recorrida.

b) Gráfica de la función

c) Dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

Solución

Datos:

𝑥 = 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎

𝑑 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑘𝑚

realizando una tabla de valores para identificar la relación entre las variables

Tabla 29 Tabla de valores de las variables 𝑥 y 𝑑

𝑥 0 1 2 3 4

𝑑 0 45 90 135 180

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Como por cada galón de gasolina se recorre 45 km. Entonces la expresión es igual a:

𝑑 = 45𝑥

𝑓(𝑥) = 45𝑥

Gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

Ingresamos la función en la herramienta informática fooplot y los puntos de la tabla,

generando la siguiente figura.

88

Figura 41 Grafico de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Podemos observar en la gráfica que el dominio y el rango de la función son los números

reales.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

Analizando el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥, podemos observar que la función es

monótona creciente, ya que en el intervalo de ]−∞; +∞[ va hacia arriba, cuando recorremos

el intervalo de izquierda a derecha, es decir, 𝑓(𝑥) es creciente porque 𝑎 > 0, 45> 0

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = 45𝑥

0 = 45𝑥

𝒚 (𝒈𝒂𝒍𝒐𝒏𝒆𝒔)

𝒙 (𝒌𝒎)

89

0

45= 𝑥

0 = 𝑥 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥 corta al

eje de abscisas en un punto, en el origen (0,0), por lo tanto existe un cero en la función.

Nota.- En las funciones lineales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 siempre existe un cero ya que la

gráfica pasa solo por el origen. .

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

Las funciones lineales no tienen máximos ni mínimos porque el dominio son los números

reales, 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = 45𝑥

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = 45𝑥

𝑓(−𝑥) = 45(−𝑥)

𝑓(−𝑥) = −45𝑥

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = −45𝑥

−𝑓(𝑥) = (−1)(45𝑥)

−𝑓(𝑥) = −45𝑥

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

90

Por lo tanto, la función es impar.

Sea la función 𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Para realizar la gráfica de la función mediante la herramienta informática, es suficiente

con obtener dos puntos o coordenadas, realizando una tabla de valores como muestra a

continuación.

Tabla 30 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

𝑓(𝑥) = −2𝑥 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(1) = −2(1) = −2 1 −2

𝑓(−1) = −2(−1) = 2 −1 2

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Una vez obtenida nuestra tabla de valores ingresamos los puntos y la función en la

herramienta informática fooplot, generando la siguiente figura.

91

Figura 42 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Podemos observar en la gráfica que el dominio y el rango de la función son los números

reales, es decir:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

Analizando el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥, podemos observar que la función es

monótona decreciente, ya que en el intervalo de ]−∞; +∞[ va hacia abajo, cuando

recorremos el intervalo de izquierda a derecha, es decir, 𝑓(𝑥) es decreciente porque 𝑎 < 0,

−2 < 0

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = −2𝑥

𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙

92

0 = −2𝑥

0

−2= 𝑥

0 = 𝑥 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 corta al

eje de abscisas en un punto, en el origen (0,0), por lo tanto existe un cero en la función.

Nota.- En las funciones lineales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 siempre existe un cero ya que la

gráfica pasa solo por el origen. .

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

Las funciones lineales no tienen máximos ni mínimos porque el dominio son los números

reales, 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = −2𝑥

𝑓(−𝑥) = −2(−𝑥)

𝑓(−𝑥) = 2𝑥

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = 2𝑥

−𝑓(𝑥) = (−1)(−2𝑥)

−𝑓(𝑥) = 2𝑥

93

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función es impar.

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −17𝑥

a) Realizar una tabla de valores

𝑓(𝑥) = −17𝑥 𝑥 𝑓(𝑥)

b) Graficar en el plano cartesiano

c) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

94

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) =1

2𝑥

a) Realizar una tabla de valores

𝑓(𝑥) =1

2𝑥

𝑥 𝑓(𝑥)

b) Graficar en el plano cartesiano

c) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) =2

5𝑥

a) Realizar una tabla de valores

95

𝑓(𝑥) =2

5𝑥

𝑥 𝑓(𝑥)

b) Graficar en el plano cartesiano

c) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

Un estudiante en promedio gasta un dólar por cada día que asiste a clases, determinar.

96

a) La expresión que relaciona la cantidad de dinero gastado con los días que asiste a

clases.

b) Gráfica de la función

c) Dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

97

Un atleta en promedio consume medio litro de agua por cada 2 km que recorre en una

carrera, determinar

a) La expresión que relaciona la cantidad de agua bebida con la distancia recorrida

en la carrera.

b) Gráfica de la función

c) Dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

98

Función afín

Definición. - Se llama función afín a la función de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃, donde 𝑎 es una

constante diferente de cero.

Notación:

𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función afín, es una línea recta no

vertical que corta al eje de las 𝑥, en el punto (0, 𝑏).

Figura 43 Gráfico de la función afín

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Dominio y rango de la función afín

El dominio y rango de la función afín son todos los números reales.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃

99

Ejemplos

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 7𝑥 +2

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Realizando una tabla de valores como muestra a continuación.

Tabla 31 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(1) = 7(1) + 2 = 7 + 2 = 9 1 9

𝑓(−1) = 7(−1) + 2 = −7 + 2 = −5 −1 −5

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Una vez obtenida nuestra tabla de valores ingresamos los puntos y graficamos.

Figura 44 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

El dominio y el rango de la función son los números reales.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙 + 𝟐

100

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

Analizando el gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2, podemos observar que la función es

monótona creciente, ya que en el intervalo de ]−∞; +∞[ va hacia arriba, cuando recorremos

el intervalo de izquierda a derecha, es decir, 𝑓(𝑥) es creciente porque 𝑎 > 0, 7 > 0.

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = 7𝑥 + 2

0 = 7𝑥 + 2

−2 = 7𝑥

−2

7= 𝑥 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2 corta al

eje de abscisas en el punto (−2

7; 0), por lo tanto existe un cero en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

Las funciones afín no tienen máximos ni mínimos porque el dominio son los números

reales, 𝐷𝑜𝑚((𝑓𝑥)) = ℝ, por lo que su gráfica es una recta.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 2

𝑓(−𝑥) = 7(−𝑥) + 2

𝑓(−𝑥) = −7𝑥 + 2

101

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = −7𝑥 + 2

−𝑓(𝑥) = (−1)(7𝑥 + 2)

−𝑓(𝑥) = −7𝑥 − 2

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Sea la función 𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙 -1

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Realizando una tabla de valores como muestra a continuación.

Tabla 32 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(1) =1

2(1) − 1 =

1

2− 1 = −

1

2 1 −0,5

𝑓(−1) =1

2(−1) − 1 = −

1

2− 1 = −

3

2

−1 −1.5

Fuente: Elaborado por Alexander Morán

Graficando:

102

Figura 45 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) =

1

2𝑥 − 1

Fuente: imagen creada en http://fooplot.com/?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

El dominio y el rango de la función son los números reales.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

Analizando el gráfico de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1, podemos observar que la función es

monótona creciente, ya que en el intervalo de ]−∞; +∞[ va hacia arriba, cuando recorremos

el intervalo de izquierda a derecha, es decir, 𝑓(𝑥) es creciente porque 𝑎 > 0, 1

2> 0.

Ceros de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 =1

2𝑥 − 1

0 =1

2𝑥 − 1

𝒇(𝒙) =𝟏

𝟐𝒙 − 𝟏

103

−1 =1

2𝑥

−1

11

2

= 𝑥

−2 = 𝑥 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1 corta al

eje de abscisas en el punto (−2; 0), por lo tanto existe un cero en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

Las funciones afín no tienen máximos ni mínimos porque el dominio son los números

reales, 𝐷𝑜𝑚𝑓 = ℝ.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par.

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) =1

2𝑥 − 1

𝑓(−𝑥) =1

2(−𝑥) − 1

𝑓(−𝑥) = −1

2𝑥 − 1

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = −1

2𝑥 − 1

104

−𝑓(𝑥) = (−1) (1

2𝑥 − 1)

−𝑓(𝑥) = −1

2𝑥 + 1

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥)

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 3

a) Realizar una tabla de valores

𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 3 𝑥 𝑓(𝑥)

b) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

c) Graficar en el plano cartesiano

105

Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −3

2𝑥 −

2

5

a) Realizar una tabla de valores

𝑓(𝑥) = −3

2𝑥 −

2

5 𝑥 𝑓(𝑥)

b) Graficar en el plano cartesiano

c) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

106

Función a trozos

Definición. - Se llama función a trozos a las funciones que tienen una definición diferente

en cada tramo en la que se encuentra la variable independiente 𝑥.

Notación

𝑓: ℝ → ℝ

𝑓(𝑥) = {𝑓1(𝑥), 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑎

𝑓2(𝑥), 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑎

Dominio y rango de la función a trozos

El dominio en una función definida a trozos es la unión de los diferentes subdominios

asociados a cada una de las ramas.

𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑓1 ∪ 𝐷𝑜𝑚𝑓2 ∪ … ∪ 𝐷𝑜𝑚𝑓𝑛

El rango o recorrido en una función definida a trozos es la unión de los diferentes sub

recorridos asociados a cada una de las ramas.

𝑅𝑔𝑓 = 𝑅𝑔𝑓1 ∪ 𝑅𝑔𝑓2 ∪ … ∪ 𝑅𝑔𝑓𝑛

Ejemplos

Sea la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Para analizar la función definida por partes y su respectiva gráfica utilizaremos un

software en línea llamado Mathway, en el cual contiene muchas opciones para resolver

problemas como se muestra en la figura.

107

Figura 46 Opciones de Mathway

Fuente: imagen tomada de https://www.mathway.com/es/Algebra

Esta herramienta la encontraremos en el siguiente

enlace https://www.mathway.com/es/Algebra, una vez ingresado encontraremos la interfaz

de trabajo.

Figura 47 Interfaz de la herramienta Mathway

Fuente: imagen tomada de https://www.mathway.com/es/Algebra

Una vez ingresado en nuestra herramienta online procedemos a ingresar nuestra función

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

y en las opciones escogemos Gráfico y aceptamos.

108

Automáticamente obtenemos la gráfica de la función

Figura 48 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

El dominio y el rango de la función podemos determinarlo analizando el gráfico o con la

herramienta.

Si 𝑓1(𝑥) = 𝑥2 − 3 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; 3]

Si 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 + 2 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) =]3; +∞[

Por lo tanto, el dominio de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; 3] ⋃ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) =]3; +∞[

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

Si 𝑓1(𝑥) = 𝑥2 − 3 su rango es:

𝑅𝑔(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; −3]

Si 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 + 2 su rango es:

𝒇(𝒙)

109

𝑅𝑔(𝑓2(𝑥)) =]8; +∞[

Por lo tanto, el rango de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠:

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑅𝑔(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; −3] ⋃ 𝑅𝑔(𝑓2(𝑥)) =]8; +∞[

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = [−3; +∞[

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

] − ∞; 3] la función es decreciente

[3; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0 en las dos ramas de la función

Para 𝑥 ≤ 3

𝑦 = 𝑥2 − 3

0 = 𝑥2 − 3

3 = 𝑥2

±√3 = 𝑥

𝑥 = √3 ; 𝑥 = −√3 Raíces o Ceros

Para 𝑥 > 3

𝑦 = 2𝑥 + 2

−2 = 2𝑥

−2

2= 𝑥

−1 = 𝑥

110

Cómo el valor de 𝑥 = −1 no es mayor que tres, por lo tanto no existe ceros

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) =

{𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

corta al eje de abscisas en los puntos (√3; 0) y (−√3; 0), por lo tanto

existe dos ceros en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Analizando el gráfico y mediante la herramienta determinamos que el mínimo en los

puntos (0; −3).

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

𝑓(−𝑥) = {(−𝑥)2 − 32(−𝑥) + 2

𝑓(−𝑥) = { 𝑥2 − 3−2𝑥 + 2

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = { 𝑥2 − 3−2𝑥 + 2

−𝑓(𝑥) = {(−1)(𝑥2 − 3)(−1)(2𝑥 + 2)

111

−𝑓(𝑥) = {−𝑥2 + 3)−2𝑥 − 2

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥),

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Sea la función: 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway,

Figura 49 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

El dominio y el rango de la función podemos determinarlo analizando el gráfico o con la

herramienta.

Si 𝑓1(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 su dominio es:

𝒇(𝒙)

112

𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; −2[

Si 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 + 2 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) = [−2; 0]

Si 𝑓3(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 2 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓3(𝑥)) =]0; +∞[

Por lo tanto, el dominio de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; −2[ ⋃ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) = [−2; 0] ⋃𝐷𝑜𝑚(𝑓3(𝑥)) =

]0; +∞[

𝑫𝒐𝒎(𝒇(𝒙)) = ℝ

Si 𝑓1(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2 su rango es:

𝑅𝑔(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; 8]

Si 𝑓2(𝑥) = 2𝑥 + 2 su rango es:

𝑅𝑔(𝑓2(𝑥)) = [−2; 2]

Si 𝑓3(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 2

𝑅𝑔(𝑓3(𝑥)) =] − 2; +∞[

Por lo tanto, el rango de 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠:

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑅𝑔(𝑓1(𝑥)) =] − ∞; 8] ⋃ 𝑅𝑔(𝑓2(𝑥)) = [−2; 2]⋃ 𝑅𝑔(𝑓3(𝑥)) =] − 2; +∞[

𝑹𝒈(𝒇(𝒙)) = ℝ

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

113

] − ∞; −2[ la función es creciente

[−2; 0] la función es creciente

]0; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Analizando la gráfica se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 32𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 3

corta al eje de abscisas en tres puntos, la herramienta muestra que los puntos son:

(−19

6; 0)

(−1; 0)

(1

2; 0)

por lo tanto, existe tres ceros en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Analizando el gráfico y mediante la herramienta determinamos que la función no posee

extremos.

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2, 𝑠𝑖 𝑥 < −2

2𝑥 + 2, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 0

2𝑥2 + 2𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2

2𝑥 + 22𝑥2 + 2𝑥 − 2

114

𝑓(−𝑥) = {

(−𝑥)3 + 2(−𝑥)2 − 3(−𝑥) + 22(−𝑥) + 2

2(−𝑥)2 + 2(−𝑥) − 2

𝑓(−𝑥) = {−𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2

−2𝑥 + 22𝑥2 − 2𝑥 − 2

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = {−𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2

−2𝑥 + 22𝑥2 − 2𝑥 − 2

−𝑓(𝑥) = {

(−1)(𝑥3 + 2𝑥2 − 3𝑥 + 2)(−1)(2𝑥 + 2)

(−1)(2𝑥2 + 2𝑥 − 2)

−𝑓(𝑥) = {−𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 2

−2𝑥 − 2−2𝑥2 − 2𝑥 + 2

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥),

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝑓(𝑥) = {3𝑥2 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 < 1𝑥 − 12, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

115

b) Graficar en el plano cartesiano

Sea la función 𝑓(𝑥) = {3𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝑥2 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

116

Sea la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 27, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

2𝑥2 + 4, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

Sea la función 𝑓(𝑥) = {𝑥3 + 6𝑥2 − 3𝑥 + 6, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

3, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 4

𝑥2 + 𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 4

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

117

b) Graficar en el plano cartesiano

Sea la función 𝑓(𝑥) = {2𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 − 2, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

4𝑥2 + 3𝑥 − 2, 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 24𝑥 + 3, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

118

Función potencia entera negativa

Definición. - Se llama función potencia entera negativa a la función de la forma 𝒚 =

𝒂𝒙−𝒏, donde 𝑎 y 𝑛 son números reales diferente de cero.

Notación:

𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−𝑛

𝑎, 𝑛 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, 𝑛 ≠ 0

Función potencia entera negativa impar

Definición. - Son funciones donde el exponente 𝒏 de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 es un

número impar negativo, cuya forma queda 𝒚 =𝟏

𝒙𝒏,tiene las asíntotas vertical en el eje 𝑥 = 0

y horizontal en el eje 𝑦 = 0, es decir, nunca corta a los ejes de coordenadas.

Dominio y rango de la función potencia entera negativa impar

El dominio son los números reales diferentes de 0.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

El recorrido son los números reales diferentes de 0, independiente del valor que tome 𝑎.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función potencia entera negativa

impar, es una curva que se conoce como hipérbola, equilátera.

Si 𝑎 < 0, la gráfica estará en el segundo y cuarto cuadrante. La función es creciente.

Si 𝑎 > 0,la gráfica estará en el primer y tercer cuadrante. La función es decreciente.

119

Figura 50 Gráfico de la función potencia negativa impar 𝒇(𝒙) =

𝟏

𝒙

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Ejemplo

Sea la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 51 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙−𝟏

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙

𝒇(𝒙) =𝟑

𝒙

120

El dominio y el rango de la función ya están determinados los cuales son:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

𝑎 = 3

Como 𝑎 > 0, la función es decreciente.

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

Como la gráfica nunca corta el eje de las abscisas o eje 𝑥, no existe ceros.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

No posee punto máximo ni mínimo porque tiende al infinito

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

𝑓(𝑥) = 3𝑥−1

𝑓(−𝑥) =3

−𝑥

𝑓(−𝑥) = −3

𝑥

𝑓(−𝑥) = −3𝑥−1

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = −3𝑥−1

−𝑓(−𝑥) = −3𝑥−1

𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥),

121

Por lo tanto, la función es impar.

Función potencia entera negativa par

Definición. - Son funciones donde el exponente 𝒏 de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 es un

número negativo par, cuya forma queda 𝒚 =𝟏

𝒙𝒏, tiene las asíntotas vertical en el eje 𝑥 = 0 y

horizontal en el eje 𝑦 = 0, es decir, nunca corta a los ejes de coordenadas.

Dominio y rango de la función potencia entera negativa par

El dominio son los números reales diferentes de 0.

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

El rango o recorrido depende del valor que tome 𝑎:

Si 𝑎 < 0, El rango son todos los números reales negativos.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ−

Si 𝑎 > 0, El rango son todos los números reales positivos.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ+

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función potencia entera negativa

par, es una curva que se conoce como hipérbola.

Si 𝑎 < 0, la gráfica estará en el tercer y cuarto cuadrante.

Si 𝑎 > 0, la gráfica estará en el primer y segundo cuadrante.

122

Figura 52 Gráfico de la función potencia negativa par 𝒇(𝒙) =

𝟏

𝒙𝟐

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Ejemplo

Sea la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 53 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = −𝟒𝒙−𝟐

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

𝒇(𝒙) =𝟏

𝒙𝟐

𝒇(𝒙) = −𝟒

𝒙𝟐

123

El dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ − {0}

El rango es:

𝑎 = −4

𝑎 < 0, por lo tanto, el rango son todos los números reales negativos.

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ−

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

] − ∞; 0[ la función es decreciente

]0; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

Como la gráfica nunca corta el eje de las abscisas o eje 𝑥, no existe ceros.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

No posee punto máximo ni mínimo porque tiende al infinito

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

Analizamos si la función es par o impar

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

𝑓(𝑥) = −4𝑥−2

𝑓(−𝑥) = −4

(−𝑥)2

𝑓(−𝑥) = −4

𝑥2

𝑓(−𝑥) = −4𝑥−2

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

124

Por lo tanto, la función es par.

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙−𝟑

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

125

Sea la función 𝒇(𝒙) = −𝟔𝒙−𝟓

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

126

Sea la función 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙−𝟒

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

127

Sea la función 𝒇(𝒙) = −𝟏𝟐𝒙−𝟐

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

128

Función raíz cuadrada

Definición. - Se llama función raíz cuadrada a la función de la forma 𝒚 = √𝒙

Notación:

𝑓: [0; +∞[ → [0; +∞[

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = √𝑥

Dominio y rango de la función raíz cuadrada

Definición. - El dominio y rango son los números reales positivos incluido el 0.

𝐷𝑜𝑚((𝑓𝑥)) = ∀𝑥 ∈ [0; +∞[

𝐷𝑜𝑚((𝑓𝑥)) = ℝ+ + {0}

𝑅𝑔((𝑓𝑥)) = ∀𝑦 ∈ [0; +∞[

𝑅𝑔((𝑓𝑥)) = ℝ+ + {0}

La variable x, solo puede tomar valores mayores o iguales que cero, dado que dentro de

una raíz cuadrada no podemos tener valores negativos.

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función raíz cuadrada es la mitad

de una parábola, con un eje de simetría horizontal, es decir, paralelo al eje de las abscisas o

eje de las 𝑥.

129

Figura 54 Gráfico de la función raíz cuadrada

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Ejemplos

Sea la función 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟏

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 55 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟏

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Para calcular el dominio debemos calcular los valores que toma la variable 𝑥, en el cual

𝑥 ≥ 0, porque no podemos trabajar con raíces cuadradas con números negativos

Por lo tanto, el dominio es:

𝒇(𝒙) = √𝒙

𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙 − 𝟏

130

2𝑥 − 1 ≥ 0

2𝑥 ≥ 1

𝑥 ≥1

2

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = [1

2; +∞[

Para calcular el rango debemos calcular los valores que toma la variable 𝑦,

Por lo tanto, el rango es:

𝑥 ≥1

2 condición del dominio

2𝑥 ≥ 1 desarrollamos la desigualdad para obtener 𝑓(𝑥)

2𝑥 − 1 ≥ 0 Agregamos la raíz en la desigualdad

√2𝑥 − 1 ≥ 0 La expresión es igual a 𝑦

𝑦 ≥ 0 Remplazamos

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = [𝑜; +∞[

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en el siguiente

intervalo:

[1

2; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = √2𝑥 − 1

0 = √2𝑥 − 1

02 = (√2𝑥 − 1)2

0 = 2𝑥 − 1

131

2𝑥 = 1

𝑥 =1

2 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 corta al

eje de abscisas en el punto (1

2; 0), por lo tanto existe un cero en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

𝑓(−𝑥) = √2(−𝑥) − 1

𝑓(−𝑥) = √−2𝑥 − 1

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = √−2𝑥 − 1

− 𝑓(𝑥) = −√2𝑥 − 1

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥),

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Sea la función 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

132

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 56 Gráfico de la función 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Para calcular el dominio debemos calcular los valores que toma la variable 𝑥, en el cual

𝑥 ≥ 0, porque no podemos trabajar con raíces cuadradas con números negativos

Por lo tanto, el dominio es:

𝑥2 − 4 ≥ 0 Valor de la raíz que debe ser mayor o igual a cero

𝑥2 − 22 ≥ 0 Factorizamos

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) ≥ 0 Diferencia de cuadrados

𝑥1 ≥ 2 Encontramos los intervalos del dominio

𝑥2 ≤ −2

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) =] − ∞; −2] ∪ [2; +∞[

Para calcular el rango debemos calcular los valores que toma la variable 𝑦,

Por lo tanto, el rango es:

𝑥2 − 4 ≥ 0 Desarrollamos la desigualdad para obtener 𝑓(𝑥)

√𝑥2 − 4 ≥ √0 Agregamos la raíz en la desigualdad

√𝑥2 − 4 ≥ 0 La expresión es igual a 𝑦

𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟒

133

𝑦 ≥ 0 Remplazamos

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = [0; +∞[

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

] − ∞; −2] la función es decreciente

[2; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

𝑦 = √𝑥2 − 4

0 = √𝑥2 − 4

02 = (√𝑥2 − 4)2

0 = 𝑥2 − 4

0 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 2)

𝑥 + 2 = 0 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 2 𝑥 = −2 Raíces o Ceros

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4 corta al

eje de abscisas en los puntos (−2; 0), (2; 0). Por lo tanto, existe dos ceros en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

134

𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4

𝑓(−𝑥) = √(−𝑥)2 − 4

𝑓(−𝑥) = √𝑥2 − 4

𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función es par.

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 6

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

Sea la función 𝑓(𝑥) = √−2𝑥 + 2 − 3

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

135

b) Graficar en el plano cartesiano

Sea la función 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 16

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

136

Sea la función 𝑓(𝑥) = √3𝑥2 + 2

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

137

Función valor absoluto

Definición. - Se llama función valor absoluto a la función de la forma 𝒚 = |𝒙|

Notación:

𝑓: ℝ → ℝ

𝑓(𝑥) = {𝑥 ; 𝑥 ≥ 0

−𝑥 ; 𝑥 < 0

𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥|

Dominio y rango de la función valor absoluto

Definición. - El dominio son los números reales.

Si 𝑓1(𝑥) = 𝑥 donde 𝑥 ≥ 0 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) = [0; +∞[

Si 𝑓2(𝑥) = −𝑥 donde 𝑥 < 0 su dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) =] − ∞; 0[

Por lo tanto, el dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓1(𝑥)) = [0; +∞[ ⋃ 𝐷𝑜𝑚(𝑓2(𝑥)) =] − ∞; 0[

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

El rango son los números reales positivos incluido el 0

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ∀𝑦 ∈ [0; +∞[

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ+ + {0}

Gráfico

La representación gráfica en el plano cartesiano de la función valor absoluto

está formado por las bisectrices del primer y segundo cuadrante, ya que los valores de 𝑓 no

son negativos.

138

Figura 57 Gráfico de la función valor absoluto

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Ejemplos

Sea la función 𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟒|

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 58 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

El dominio es todos los reales:

𝒇(𝒙) = |𝒙|

𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟒|

139

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

Para calcular el rango debemos calcular los valores que toma la variable 𝑦,

Por lo tanto, el rango es:

𝑥 ∈ ℝ Condición de dominio que pertenece a los reales

2𝑥 ∈ ℝ Desarrollamos para obtener 𝑦

2𝑥 − 4 ∈ ℝ Valores que toma 𝑥 ≥ 0

|2𝑥 − 4| ≥ 0 Sustituimos 𝑦

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = [𝑜; +∞[

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4|

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en el siguiente

intervalo:

] − ∞; 2] la función decrece

[2; +∞[ la función crece

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4|

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

Para 𝑥 ≥ 0

𝑦 = 2𝑥 − 4

0 = 2𝑥 − 4

−2𝑥 = −4

𝑥 =−4

−2

𝑥1 = 2 Raíz o Cero

Para 𝑥 < 0

𝑦 = −2𝑥 + 4

140

0 = −2𝑥 + 4

2𝑥 = 4

𝑥 =4

2

𝑥2 = 2 Raíz o Cero

Como el valor de 𝑥2 = 2 no es menor a cero, por lo tanto no existe ceros.

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| corta al

eje de abscisas en el punto (2; 0), por lo tanto existe un cero en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4|

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4|

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

Reemplazamos 𝑥 = −𝑥

𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4|

𝑓(−𝑥) = |2(−𝑥) − 4|

𝑓(−𝑥) = |−2𝑥 − 4|

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = |−2𝑥 − 4|

− 𝑓(𝑥) = |(−1)(2𝑥 − 4)|

− 𝑓(𝑥) = |−2𝑥 + 4)|

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥),

La función no es impar.

141

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

Sea la función 𝒇: ]𝟎; 𝟑] → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |−𝟑𝒙 + 𝟓|

Graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos

y paridad.

Solución

Graficando en la herramienta Mathway

Figura 59 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5| Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

La zona marcada con verde pertenece a la gráfica delimitada por los intervalos de la

función 𝑓: ]0; 3] → ℝ

El dominio esta dado en los intervalos:

𝐷𝑜𝑚𝑓 = ∀𝑥 ∈ ]0; 3]

El rango es:

𝑥 ∈ ]0; 3]

0 < 𝑥 ≤ 3

𝒇(𝒙) = | − 𝟑𝒙 + 𝟓|

142

0 > −3𝑥 ≥ −9

5 > −3𝑥 + 5 ≥ −4

0 ≤ 𝑦 < 5

𝑅𝑔𝑓 = ∀𝑦 ∈ [0; 5]

Monotonía de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5|

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en el siguiente

intervalo:

]5;5

3] la función decrece

[5

3; 3] la función crece

Ceros de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5|

remplazamos 𝑓(𝑥) = 0

Para 𝑥 ≥ 0

𝑦 = |−3𝑥 + 5|

0 = |−3𝑥 + 5|

|0| = |−3𝑥 + 5|

0 = −3𝑥 + 5

3𝑥 = 5

𝑥1 =5

3 Raíz o Cero

Para 𝑥 < 0

𝑦 = 3𝑥 − 5

0 = 3𝑥 − 5

−3𝑥 = −5

143

𝑥 =−5

−3

𝑥2 =5

3 Raíz o Cero

Como el valor de 𝑥2 =5

3 no es menor a cero, por lo tanto no existe ceros.

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5| corta al

eje de abscisas en el punto (5

3; 0), por lo tanto existe un cero en la función.

Extremos de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5|

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función 𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5|

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

𝑓(𝑥) = |−3𝑥 + 5|

𝑓(−𝑥) = |−3(−𝑥) + 5|

𝑓(−𝑥) = |3𝑥 + 5|

𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

𝑓(−𝑥) = |3𝑥 + 5|

−𝑓(𝑥) = |(−1)(−3𝑥 + 5)|

−𝑓(𝑥) = |(3𝑥 − 5)|

𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥),

La función no es impar.

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es una función que no es par ni impar.

144

Ejercicios Propuestos

Sea la función 𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |−𝟓𝒙 − 𝟐|

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

145

Sea la función 𝒇: [−𝟐; 𝟕[ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 + 𝟕|

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

146

Sea la función 𝒇: ℝ → ℝ

𝒙 → 𝒚 = 𝒇(𝒙) = |𝒙𝟐 − 𝟒|

a) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

147

Función inyectiva

Definición. – Sea una función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, se dice que 𝑓 es inyectiva si cumple la siguiente

condición:

∀𝑥𝑎, 𝑥𝑏 ∈ 𝐴, 𝑥𝑎 ≠ 𝑥𝑏 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥𝑎) ≠ 𝑓(𝑥𝑏)

Esta definición también se puede expresar como 𝑓 es inyectiva, si

∀𝑥𝑎, 𝑥𝑏 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥𝑎) = 𝑓(𝑥𝑏) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏

Ejemplo

Sea la función: 𝑓(𝑥) = 𝑥 −1 ; 𝑥 ∈ ℝ

Determinar si la función es inyectiva

Solución

Para comprobar que 𝑓(𝑥) es inyectiva se cumple:

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 = 𝑥2

Donde:

𝑓(𝑥1) = 𝑥1 − 1 ; 𝑓(𝑥2) = 𝑥2 − 1

Como

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

𝑥1 − 1 = 𝑥2 − 1

𝑥1 − 1 + 1 = 𝑥2

𝑥1 = 𝑥2

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es inyectiva

Función sobreyectiva

Definición. - Sea una función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, se dice que 𝑓 es sobreyectiva si cumple la

siguiente condición:

148

∀𝑦 ∈ 𝐵; ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Para demostrar que una función es sobreyectiva, debemos probar que:

𝑦0 ∈ 𝐵; ∃ 𝑥0: 𝑓(𝑥0) = 𝑦0

Gráfico:

Figura 60 Función sobreyectiva

Fuente: Elaborado por Alexander

Ejemplo

Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

Determinar si la función es sobreyectiva

Solución

Elaboramos una tabla de valores

Tabla 33 Tabla de valores de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(0) = 0 + 1 = 1 0 1

𝑓(1) = 1 + 1 = 2 1 2

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Una vez obtenida nuestra tabla de valores, ingresamos los puntos en la herramienta

informática generando la siguiente figura

𝑓

1

2

3

4

𝑎

𝑏

𝑐

𝐴 𝐵

149

Figura 61 Gráfica de la función sobreyectiv 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1a

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Podemos visualizar que esta función es sobreyectiva, cada valor resultado tiene al menos

un valor de origen, es decir, que el codominio es igual al recorrido, cumpliéndose la

condición 𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝐵

Analíticamente

Codominio: ] − ∞ + ∞[

Rango 𝑓:

𝑦 = 𝑥 + 1

𝑦 − 1 = 𝑥

Rango = 𝑦 ∈ ℝ

Rango = Codominio

ℝ = ℝ

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es sobreyectiva

Función biyectiva

𝒇(𝒙) = 𝒙 + 𝟏

150

Definición. - Sea una función de 𝐴 𝑒𝑛 𝐵, se dice que 𝑓 es biyectiva, si es inyectiva y

sobreyectiva.

Gráfico

Figura 62 Función biyectiva

Fuente: Elaborado por Alexander

Ejemplo

Sea la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 −1

Determinar si 𝑓(𝑥) es biyectiva

Solución

Se debe probar que:

i. 𝑓 es inyectiva

ii. 𝑓 es sobreyectiva

Para comprobar que 𝑓(𝑥) es inyectiva se cumple:

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥1 = 𝑥2

Donde:

𝑓(𝑥1) = 2𝑥1 − 1 ; 𝑓(𝑥2) = 2𝑥2 − 1

Como

𝑘

1

2

3

4

10

20

30

40

𝐶 𝐷

151

𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

2𝑥1 − 1 = 2𝑥2 − 1

2𝑥1 − 1 + 1 = 2𝑥2

2𝑥1 = 2𝑥2

𝑥1 =2

2𝑥2

𝑥1 = 𝑥2

Por lo tanto, 𝑓(𝑥) es inyectiva

Elaboramos una tabla de valores para verificar si es sobreyectiva

Tabla 34 Tabla de valores de la función f(x) = 2x − 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑥 𝑓(𝑥)

𝑓(3) = 2(3) − 1 = 5 3 5

𝑓(2) = 2(2) − 1 = 3 2 3

𝑓(1) = 2(1) − 1 = 1 1 1

𝑓(0) = 2(0) − 1 = −1 0 −1 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Una vez obtenida nuestra tabla de valores, ingresamos los puntos en la herramienta

informática generando la siguiente figura

Figura 63 Gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏

152

Según la gráfica podemos determinar que el domino, el codominio y el recorrido

pertenecen a los números reales.

El codominio y recorrido de 𝑓coinciden, por lo que la función es biyectiva, ya que, es

inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejercicios Propuestos

Evaluar y graficar las siguientes funciones determinando si son biyectiva.

Sea la función: 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

………………………….………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

….

153

Sea la función: 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑

Sea la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟕

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

………………….

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

…………………………………………

154

Operaciones con funciones

Definición. – A partir de una o varias funciones podemos obtener nuevas funciones

mediante la operación entre ellas.

Sean las funciones:

𝑓: 𝐷𝑜𝑚𝑓 ⟶ ℝ ⋀ 𝑔: 𝐷𝑜𝑚𝑔 ⟶ ℝ

𝑥 ⟶ 𝑓(𝑥) ⋀ 𝑥 ⟶ 𝑔(𝑥)

Suma de funciones

Definición. - Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales definidas en un mismo intervalo, se denomina

suma de funciones 𝑓 y 𝑔 cuya notación es: (𝑓 + 𝑔), se define como (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) +

𝑔(𝑥)

Donde:

𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔

Ejemplo

Dada las funciones:

𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1

𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 4

Encontrar la función (𝑓 + 𝑔) , dominio [(𝑓 + 𝑔)(𝑥)] y calcular las imágenes de los

números 2

Solución

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) Define

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (3𝑥 + 1) + (2𝑥 − 4) Sustituye

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 5𝑥 − 3 Combina términos semejantes

Dominio es:

155

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = ℝ

Cálculo de imágenes

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 5𝑥 − 3 Define

(𝑓 + 𝑔)(2) = 5(2) − 3 Sustituye

(𝑓 + 𝑔)(2) = 10 − 3 = 7 Realiza la operación

Si procedemos a calcular las imágenes de (𝑓) y (𝑔) por separado el resultado es el mismo,

como podemos ver a continuación

(𝑓)(2)=3(2)+1=6+1=7(𝑔)(2)=2(2)−4=4−4=0

} cálculo de la imagen del número 2 para (𝑓) y (𝑔)

(𝑓 + 𝑔)(2) = 7 + 0 = 7 cálculo de la imagen para (𝑓 + 𝑔)(2)

Resta de funciones

Definición. - Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales definidas en un mismo intervalo, se denomina

resta de funciones 𝑓 y 𝑔 cuya notación es (𝑓 − 𝑔), que se define como (𝑓 − 𝑔)(𝑥) =

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

Donde:

𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔

Ejemplo

Dada las funciones:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3

156

Encontrar la función (𝑓 − 𝑔), Dominio (𝑓 − 𝑔)(𝑥)

Solución

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) Define

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 − 3) − (𝑥 + 3) Sustituye

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 − 3 − 𝑥 − 3 Distribuye

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 Combina términos semejantes

Dominio es:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = ℝ

Producto de funciones

Definición. -

Sean 𝑓 y 𝑔 funciones reales definidas en un mismo intervalo, se denomina producto de

las funciones 𝑓 y 𝑔 cuya notación (𝑓 × 𝑔), está dado por: (𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)

Donde:

𝐷𝑜𝑚(𝑓 × 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔

Ejemplo

Dada las funciones:

𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3

𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1

Encontrar la función (𝑓 × 𝑔), Dominio (𝑓 × 𝑔)(𝑥)

157

Solución

(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) Define

(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = (2𝑥 − 3)(𝑥 + 1) Sustituye

(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑥 − 3 Distribuye

(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 Combina

Dominio es:

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑓 × 𝑔)(𝑥) = ℝ

Cociente de funciones

Definición. -

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 funciones reales definidas en un mismo intervalo, se denomina cociente de las

funciones 𝑓 𝑦 𝑔, cuya notación es (𝑓

𝑔) (𝑥) ; 𝑔 ≠ 0. Está dado por:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥); 𝑔 ≠ 0

Donde:

𝐷𝑜𝑚 (𝑓

𝑔) (𝑥) = 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 − {𝑥 / 𝑔(𝑥) = 0}

Ejemplo

Dada las funciones:

𝑓(𝑥) = 12𝑥3 + 15𝑥 − 5

𝑔(𝑥) = 3𝑥

158

Encontrar la función (𝑓

𝑔) (𝑥), Dominio (

𝑓

𝑔) (𝑥)

Solución

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) Define

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

12𝑥3+15𝑥−5

3𝑥 Sustituye

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

3𝑥(4𝑥2+5𝑥−2)

3𝑥 Simplifica

(𝑓

𝑔) (𝑥) = 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 Resultado

Dominio es:

𝑓(𝑥) = 12𝑥3 + 15𝑥 − 5

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚 (𝑓

𝑔) (𝑥) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ ⋂ 𝐷𝑜𝑚(𝑔(𝑥)) = ℝ

𝐷𝑜𝑚 (𝑓

𝑔) (𝑥) = ℝ

Producto de un número real por una función

Definición. – Sean 𝑎 un número real y 𝑓 una función, se denomina producto de un

número por una función, cuya notación es (𝑎(𝑓)). Está dado como: (𝑎(𝑓))(𝑥) = [𝑎(𝑓(𝑥))]

Ejemplo

Sea la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 y 𝑎 = 8

Encontrar la función (𝑎(𝑓))

Solución

(𝑎 × 𝑓)(𝑥) = 𝑎 × 𝑓(𝑥) Define

(𝑎 × 𝑓)(𝑥) = 8(2𝑥 − 3) Sustituye

159

(𝑎 × 𝑓)(𝑥) = 16𝑥 − 24 Distribuye

Ejercicios Propuestos

1. Sea las funciones

𝑓(𝑥) = 9𝑥2 + 4𝑥 + 2

𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 6

ℎ(𝑥) = 𝑥 + 1

a) Hallar la función (𝑓 + 𝑔)(𝑥) y su dominio

b) Hallar la función (𝑔 − ℎ)(𝑥) y su dominio

c) Hallar la función (ℎ + ℎ)(𝑥) y su dominio

d) Hallar la función (𝑓 + ℎ)(𝑥) y su dominio

e) Hallar la función (ℎ × 𝑔)(𝑥) y su dominio

f) Hallar la función 𝑓

𝑔(𝑥) y su dominio

g) Hallar la función 𝑔

𝑓(𝑥) y su dominio

2. Sea las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2, 𝑔(𝑥) =𝑥+1

𝑥2−4 y 𝑎 =

7

2

a) Hallar la función (𝑓 + 𝑔)(𝑥) y su dominio

b) Hallar la función (𝑓 − 𝑔)(𝑥) y su dominio

c) Hallar la función 𝑔

𝑓(𝑥) y su dominio

d) Hallar la función (𝑓 × 𝑔) y su dominio

e) Hallar la función (𝑎(𝑔)) y su dominio

f) Hallar la función (𝑎 × 𝑓)

g) Hallar la función (𝑎 × 𝑓 × 𝑔)

Composición de funciones

160

Definición. -

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones reales de la variable real, se llama composición de funciones a

la nueva función (𝑓 ∘ 𝑔), que se lee 𝑓 compuesta 𝑔.

Notación:

(𝑓 ∘ 𝑔) = ℝ ⟶ ℝ

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))

Representación Gráfica

Figura 64 Composición de funciones

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Dominio y rango de la composición de funciones

El dominio de la función compuesta es el conjunto de todas las 𝑥 que están en el dominio

de 𝑔, tales que 𝑔(𝑥) pertenezca al dominio de 𝑓, es decir:

𝐷𝑜𝑚(𝑓∘𝑔) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑔 ⋀ 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓}

Ejemplo

Sea las funciones: 𝒇(𝒙) = √𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟏

Hallar la función compuesta, graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango,

monotonía, ceros, extremos y paridad.

Solución

161

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) Define

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥2 − 1) Se aplica 𝑔(𝑥)

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1 Remplaza

El dominio es:

𝑥2 − 1 ≥ 0

𝑥2 − 12 ≥ 0

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) ≥ 0

𝑥1 ≥ 1

𝑥2 ≤ −1

𝐷𝑜𝑚(𝑓∘𝑔) =] − ∞; −1] ∪ [1; +∞[

El rango es:

𝑥2 − 1 ≥ 0

√𝑥2 − 1 ≥ √0

√𝑥2 − 1 ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑅𝑔(𝑓∘𝑔) = [0; +∞[

Graficando en la herramienta Mathway

162

Figura 65 Gráfico de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Monotonía de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

] − ∞; −1] la función es decreciente

[1; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

Remplazamos (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 0

𝑦 = √𝑥2 − 1

0 = √𝑥2 − 1

02 = (√𝑥2 − 1)2

0 = 𝑥2 − 1

0 = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 1 = 0

𝑥 = 1 𝑥 = −1 Raíces o Ceros

𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟏

163

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

corta al eje de abscisas en los puntos (−1; 0), (1; 0). Por lo tanto, existe dos ceros en la

función.

Extremos de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = √𝑥2 − 1

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = √(−𝑥)2 − 1

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = √𝑥2 − 1

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

Por lo tanto, la función es par.

Sea las funciones: 𝒇(𝒙) = |√𝟒𝒙 − 𝟐| y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐

Hallar la función compuesta, graficar en el plano cartesiano y encontrar el dominio, rango,

monotonía, ceros, extremos y paridad.

Solución

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) Define

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥2) Se aplica 𝑔(𝑥)

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |√4(𝑥2) − 2| Remplaza

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |√22. 𝑥2 − 2| Operando

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2| Función compuesta

Graficando en la herramienta Mathway

164

Figura 66 Gráfica de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2| Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Dominio y rango de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

El dominio es todos los reales:

𝐷𝑜𝑚(𝑓∘𝑔) =] − ∞; +∞[

𝐷𝑜𝑚(𝑓∘𝑔) = ℝ

El rango es:

𝑥 ∈ ℝ

2𝑥 ∈ ℝ

2𝑥 − 2 ∈ ℝ

|2𝑥 − 2| ≥ 0

𝑦 ≥ 0

𝑅𝑔(𝑓∘𝑔) = [0; +∞[

Monotonía de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

Observando el gráfico de la función, podemos analizar la monotonía en los siguientes

intervalos:

𝒇(𝒙) = |𝟐𝒙 − 𝟐|

165

] − ∞; 1] la función es decreciente

[1; +∞[ la función es creciente

Ceros de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

𝑦 = |2𝑥 − 2|

0 = |2𝑥 − 2|

|0| = |2𝑥 − 2|

0 = 2𝑥 − 2

2𝑥 = 2

𝑥 =2

2

𝑥 = 1 Raíz o Cero

En la gráfica y calculando se puede determinar que la función (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

corta al eje de abscisas en el punto (1; 0). Por lo tanto, existe un cero en la función.

Extremos de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

No posee extremos relativos la función

Paridad de la función compuesta (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), para función par

(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = |2𝑥 − 2|

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = |2(−𝑥) − 2|

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = |−2𝑥 − 2|

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) ≠ (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

Por lo tanto, la función no es par.

Verificamos si cumple con la condición 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), para función impar

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) = |−2𝑥 − 2| − (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = −|2𝑥 − 2|

166

(𝑓 ∘ 𝑔)(−𝑥) ≠ −(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)

Por lo tanto, la función no es impar.

Ejercicios Propuestos

Sea las funciones: 𝒇(𝒙) = |√𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 + 𝟒| y 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟑

a) Hallar la función compuesta y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros,

extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

167

Sea las funciones: 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟑

a) Hallar la función compuesta y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros,

extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

168

Sea las funciones: 𝒇(𝒙) = −𝟓𝒙−𝟐 + 𝟐𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒

a) Hallar la función compuesta y encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros,

extremos y paridad.

b) Graficar en el plano cartesiano

169

Función inversa

Definición. - Sea 𝑓 una función biyectiva, una función inversa o reciproca de 𝑓(𝑥) a otra

función 𝑓−1(𝑥) que cumple la siguiente condición

𝒇(𝒂) = 𝒃, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒇−𝟏(𝒃) = 𝒂

Dominio y rango de la función inversa

𝐷𝑜𝑚𝑓−1 = 𝑅𝑔𝑓

𝑅𝑔𝑓−1 = 𝐷𝑜𝑚𝑓

Ejemplo

Analizar si la función es inversa 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 función

𝑦 = 2𝑥 + 1 cambiamos 𝑓(𝑥) y la sustituimos por (𝑦)

2𝑥 = 𝑦 + 1 despejamos la variable 𝑥

2𝑥 = 𝑦 − 1

𝑥 =𝑦−1

2 intercambiamos la variable (𝑥) por la variable (𝑦)

𝑦 =𝑥−1

2

𝑓−1(𝑥) =𝑥−1

2 Finalmente, a la variable(𝑦) la llamamos 𝑓−1(𝑥) =

𝑥−1

2

Podemos visualizar que la función inversa de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 es 𝑓−1(𝑥) =𝑥−1

2, a

continuación graficaremos en la herramienta informática para apreciar mejor el resultado.

170

Figura 67 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Figura 68 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =

𝑥−1

2

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios Propuestos

Analizar si el gráfico corresponde a la función inversa de las siguientes funciones,

determinando la inversa de cada una de ellas.

𝑓(𝑥) =2𝑥−3

4

𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟏

𝒇(𝒙) =𝒙 − 𝟏

𝟐

171

Figura 69 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =

2𝑥−3

4

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

𝒇(𝒙) =𝒙−𝟑

𝒙+𝟒

Figura 70 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =

𝑥−3

𝑥+4

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

172

𝒇(𝒙) =𝟖𝒙+𝟐

𝒙−𝟐

Figura 71 Gráfico de la función inversa 𝑓(𝑥) =

8𝑥+2

𝑥−2

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

173

5.4.1.2. Progresiones aritméticas

Progresión

Definición. -

Una progresión es una secuencia ordenada de números que puede ser finita o infinita. A

cada uno de los números se le denomina término y se le representa por 𝒂𝒏, siendo 𝒏 la

posición del término en la secuencia.

Ejemplos

Un ejemplo de progresión infinita son los números primos ya que es una secuencia infinita:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … donde el primer término es 𝑎1 = 2 y el séptimo término

es 𝑎7 = 17.

La progresión 2,4,6,8 y 10 es finita porque consta solo de cinco términos. El segundo

término es 𝑎2 = 4 y el quinto término es 𝑎5 = 10.

Progresión aritmética.

Definición. -

Una progresión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al

término que le antecede, llamado diferencia y se representa con la letra 𝑑.

Fórmula para calcular la diferencia 𝒅 = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 , es decir, se obtiene la diferencia

restando términos consecutivos.

Ejemplo

Calcular los seis primeros términos de la siguiente progresión aritmética a partir de sus

términos generales: 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 4

Solución

En la progresión aritmética se remplaza la posición del término que se desee encontrar.

174

El primer término es:

𝑎1 = (3)(1) − 4

𝑎1 = 3 − 4

𝑎1 = −1

El segundo término es:

𝑎2 = (3)(2) − 4

𝑎2 = 6 − 4

𝑎2 = 2

El tercer término es:

𝑎3 = (3)(3) − 4

𝑎3 = 9 − 4

𝑎3 = 5

El cuarto término es:

𝑎4 = (3)(4) − 4

𝑎4 = 12 − 4

𝑎4 = 8

El quinto término es:

𝑎5 = (3)(5) − 4

𝑎5 = 15 − 4

𝑎5 = 11

El sexto término es:

𝑎6 = (3)(6) − 4

𝑎6 = 18 − 4

175

𝑎6 = 14

Por lo tanto, podemos determinar que la progresión aritmética es:

−𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒, …

donde la diferencia es 𝑑 = 3 , ya que a cada término anterior se le suma tres y así

sucesivamente.

Término 𝒏 − é𝒔𝒊𝒎𝒐 de una progresión aritmética

Definición. -

Si 𝑎1 es el primer término de una progresión aritmética y 𝑑 es la diferencia, los primeros

𝑛 términos de la progresión son los siguientes:

𝑎1, 𝑎1 + 𝑑, 𝑎1 + 2𝑑, 𝑎1 + 3𝑑

Fórmula del término general:

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅

Ejemplo

Calcular el vigésimo, trigésimo quinto y el quincuagésimo término de la sucesión

−1,3,7,11,15, …

Solución

𝑎1 = −1

𝑑 =?

Como no conocemos la diferencia procedemos a remplazar los valores en nuestra formula

𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛

𝑑 = 𝑎3+1 − 𝑎3

𝑑 = 𝑎4 − 𝑎3

𝑑 = 11 − 7

176

𝒅 = 𝟒

Una vez determinada la diferencia y conociendo nuestro primer término, reemplazamos

los valores correspondientes en nuestra formula 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

El vigésimo término es:

𝑎20 = −1 + (20 − 1)4

𝑎20 = −1 + (19)4

𝑎20 = −1 + 76

𝑎20 = 75

El trigésimo quinto término es:

𝑎35 = −1 + (35 − 1)4

𝑎35 = −1 + (34)4

𝑎35 = −1 + 136

𝑎35 = 135

El quincuagésimo término es:

𝑎50 = −1 + (50 − 1)4

𝑎50 = −1 + (49)4

𝑎50 = −1 + 196

𝑎50 = 195

Las progresiones aritméticas pueden ser:

Creciente: si cada término es mayor o igual que el término anterior 𝑎𝑛+1 ≥ 𝑎𝑛

Ejemplo: 10,20,30,40,50,60, …

Decreciente: si cada término es menor que el término anterior 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛

Ejemplo: 60,50,40,30,20,10, …

177

Constante: si todos los términos son iguales 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛

Ejemplo: 10,10,10,10,10, …

Alternada: si el signo de cada término es distinto del signo del término anterior.

Ejemplo: 5, −10,15, −20,25, −30, …

Ejercicios Propuestos

Calcular los 5 primeros términos siguientes de las progresiones aritméticas donde la

diferencia es d = 7

a) 3,10,17,24, …

b) −12, −5,2,9,16, …

Calcular la diferencia de las siguientes progresiones

a) 2 ,7

2, 5,

,13

2, 8, …

b) −5,5,15,25, …

c) 3,7,11,15, …

¿Cuál es el tercer término de las siguientes progresiones aritméticas?

a) 2 ,18, 𝒂𝟑, 50, …

b) 3

2,

,11

2, 𝒂𝟑,

27

2, …

Calcular el término 𝑎12 de cada progresión:

a) 8,14,20,26, …

b) 4,10,16,22, …

c) 8,5,2, −1, …

Determinar si las progresiones son crecientes o decrecientes.

a) 4,10,16,22, …

b) 8,5,2, −1, …

178

c) 2 ,7

2, 5,

,13

2, 8, …

5.4.1.3. Progresiones geométricas

Definición. -

Una progresión es geométrica cuando cada término 𝒂𝒏 se obtiene multiplicando un

número al término que le antecede 𝒂𝒏−𝟏, llamado razón y se representa con la letra 𝑟.

Fórmula para calcular la razón 𝒓 =𝒂𝒏+𝟏

𝒂𝒏, es decir, se obtiene la razón dividiendo términos

consecutivos.

Término 𝒏 − é𝒔𝒊𝒎𝒐 de una progresión geométrica

Definición. -

Si 𝑎1 es el primer término de una progresión geométrica y 𝑟 es la razón, los primeros 𝑛

términos de la progresión son los siguientes:

𝑎1, 𝑎1. 𝑟1, 𝑎1. 𝑟2, 𝑎1. 𝑟3, … , 𝑎1. 𝑟𝑛−1

Fórmula del término general:

𝒂𝒏 = (𝒂𝟏)(𝒓𝒏−𝟏)

Ejemplo

Calcular el término general de la siguiente progresión geométrica:

2,6,8, …

Solución

En nuestra sucesión geométrica la razón es 𝑟 = 3 ya que

𝑟 =𝑎2

𝑎1 𝑟 =

6

2 𝑟 = 3

𝑟 =𝑎3

𝑎2 𝑟 =

18

6 𝑟 = 3

Por lo tanto, el término general de nuestra sucesión es:

179

𝑎𝑛 = (𝑎1)(𝑟𝑛−1)

𝑎𝑛 = (𝑎1)(3𝑛−1)

De nuestro termino general encontrado, calcular el quinto, octavo y el décimo primer

término.

Solución

𝑎1 = 2

𝑟 = 3

Como ya conocemos el primer término y la razón procedemos a remplazar los valores en

el término general de la sucesión 𝑎𝑛 = (𝑎1)(𝑟𝑛−1)

El quinto término es:

𝑎5 = (2)(35−1)

𝑎5 = (2)(81)

𝑎5 = 162

El octavo término es:

𝑎8 = (2)(38−1)

𝑎8 = (2)(2187)

𝑎8 = 4374

El décimo primer término es:

𝑎11 = (2)(311−1)

𝑎11 = (2)(59049)

𝑎11 = 118098

Para conocer si una progresión geométrica es creciente o decreciente, depende de dos

factores: el signo del primer término y el valor de la razón.

180

1) Si el primer término 𝑎1 es positivo entonces:

Si la razón es 𝑟 > 1 la sucesión es creciente

Si la razón es 0 < 𝑟 < 1 la sucesión es decreciente

2) Si el primer término 𝑎1 es negativo entonces:

Si la razón es 𝑟 > 1 la sucesión es decreciente

Si la razón es 0 < 𝑟 < 1 la sucesión es decreciente

3) Si la razón es 𝑟 = 1, la sucesión es constante y si la razón 𝑟 < 0, la sucesión es

alternada

Suma de los 𝒏 términos

Definición. -

La suma de los primeros 𝑛 términos de la progresión es:

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎1. 𝑟1 + 𝑎1. 𝑟2 + 𝑎1. 𝑟3 + ⋯ + 𝑎1. 𝑟𝑛−1

Para sumar los primeros 𝑛 términos de una sucesión geométrica, tenemos dos fórmulas

1) 𝑺𝒏 = 𝒂𝟏𝒓𝒏−𝟏

𝒓−𝟏

2) 𝑺𝒏 =(𝒂𝒏)(𝒓)−𝒂𝟏

𝒓−𝟏

Ejemplo

Calcular la suma de los 8 primeros términos de la siguiente progresión geométrica

1, −3,9, ….

Solución

Utilizamos la fórmula de la suma: 𝑆𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1

𝑟−1

Como no conocemos la razón debemos calcular

𝑟 =𝑎2

𝑎1 𝑟 =

−3

1 𝑟 = −3

181

𝑟 =𝑎3

𝑎2 𝑟 =

9

3 𝑟 = −3

Calculamos la suma

𝑆8 = 1−38−1

−3−1

𝑆8 =6561−1

−4

𝑆8 =6560

−4

𝑆8 = 1640

La suma de los 8 primeros términos de la sucesión 1, −3,9, … es 𝑆8 = 1640

Ejercicios Propuestos

Calcular la razón de las siguientes progresiones geométricas:

a) 4, 20, 100, 500, . ..

b) 5, 10, 20, 40, . ..

c) 4, 12, 36, 108, . ..

Calcular los 4 siguientes términos de las progresiones a partir de los datos dados:

a) 𝑎1 = 4, 𝑟 = 3

b) 𝑎1 = 4, 𝑟 = −2

c) 𝑎1 = −3, 𝑟 = 2

d) 𝑎1 =1

5, 𝑟 =

2

5

Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:

a) 𝑎1 = −2, 𝑟 = 2

b) 𝑎1 = 4, 𝑎2 = 16

c) 3, 9, 27, 81, . ..

182

Calcular la suma de los 6 primeros términos de las siguientes progresiones geométricas

a) 4, 20, 100, 500, . ..

b) 5, 10, 20, 40, . ..

c) 4, 12, 36, 108, . ..

Determinar si las progresiones son crecientes o decrecientes.

a) 4, 20, 100, 500, . ..

b) 64, 32, 16, 8, . ..

c) 1, −5, 25, −125, . ..

Producto de los 𝒏 términos de una progresión geométrica

Definición. -

El producto de los 𝑛 términos de una progresión geométrica es la multiplicación de los

términos consecutivos, al igual que se hace en las progresiones aritméticas.

La fórmula para calcular el producto es:

𝑷𝒏 = √(𝒂𝟏. 𝒂𝒏)𝒏

Ejemplo

Calcular el producto de los 6 primeros términos de la siguiente progresión geométrica

1, −2, 4, −8, . ..

Solución

Utilizamos la fórmula del producto: 𝑃𝑛 = √(𝑎1. 𝑎𝑛)𝑛

Como no conocemos el sexto término 𝑎6 debemos obtener primero la razón

𝑟 =𝑎2

𝑎1 𝑟 =

−2

1 𝑟 = −2

183

𝑟 =𝑎3

𝑎2 𝑟 =

4

−2 𝑟 = −2

𝑟 =𝑎4

𝑎3 𝑟 =

−8

4 𝑟 = −2

Calculamos el sexto término

𝑎 𝑛 = (𝑎1)(𝑟𝑛−1)

𝑎 6 = 1(−26−1)

𝑎 6 = 1(−25)

𝑎 6 = −32

𝑎 𝑛 = 𝑎6

Calculamos el producto

𝑃𝑛 = √(𝑎1. 𝑎𝑛)𝑛

𝑃6 = √((1)(−32))6

𝑃6 = √(16. −326

𝑃6 = √−326

𝑃6 = −323

Ejercicios Propuestos

Calcular el producto de los 8 primeros términos de las siguientes sucesiones geométricas

a) 4, 20, 100, 500, . ..

b) 5, 10, 20, 40, . ..

c) 4, 12, 36, 108, . ..

184

Evaluación de la unidad

Tema: Algebra y funciones

1. Sea la función: 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒, determinar cuáles de las siguientes expresiones son

verdaderas

a) Es una función creciente.

b) Es una función decreciente.

c) Su ordenada en el origen es -4.

d) La gráfica pasa por los puntos (1, −2)(2,0)

e) La gráfica pasa por los puntos (1,2)(2, −2)

f) No pasa por el origen de coordenadas.

2. Sea la función: 𝑓(𝑥) = {2𝑥2 + 5, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥 +1

2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

a) Graficar en el plano cartesiano

b) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

3. Sea la función: 𝑓(𝑥) = 3𝑥−3

a) Graficar en el plano cartesiano

b) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

4. Sea la función: 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 9 − 27

a) Graficar en el plano cartesiano

b) Encontrar el dominio, rango, monotonía, ceros, extremos y paridad.

5. Sea la función: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟔, determinar:

a) Monotonía de la función

b) Si es función biyectiva

185

c) La función inversa

d) Gráfico de la función

6. Calcular el término 𝒂𝟏𝟓 de cada sucesión:

d) 8,14,20,26, …

e) 4,10,16,22, …

f) 8,5,2, −1, …

7. Calcular los 𝟑 siguientes términos de las sucesiones a partir de los datos dados:

e) 𝑎1 = 5, 𝑟 = 3

f) 𝑎1 = 12, 𝑟 = −3

g) 𝑎1 = −3, 𝑟 = 5

h) 𝑎1 =2

5, 𝑟 =

2

3

8. Calcular la suma de los 𝟏𝟎 primeros términos de las siguientes sucesiones

geométricas

d) 1, 2, 4, 8, . ..

e) 5, 10, 20, 40, . ..

f) 4, 16, 64, 256, . ..

9. Calcular el producto de los 𝟖 primeros términos de las siguientes sucesiones

geométricas

a) 1, 2, 4, 8, . ..

b) 5, 10, 20, 40, . ..

c) 4, 16, 64, 256, . ..

186

5.4.2. Unidad 2: Funciones trigonométricas

5.4.2.1. Medida de ángulo

Ángulo

Definición. - Un ángulo es la porción del plano que está comprendida entre las dos

semirrectas y su punto común llamado origen.

Gráfico

Figura 72 Gráfico de un ángulo

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Medidas en el Sistema Internacional

Radian

Definición. – (𝑟𝑎𝑑) es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de una

circunferencia y cuyos lados delimitan un arco de circunferencia que tiene la misma longitud

que el radio, de tal manera que:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 =

2𝜋𝑟

𝑟= 2𝜋

Gráfico

187

Figura 73 Gráfico de un Radian

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Estas son algunas equivalencias entre grados y radianes:

0° = 0 𝑟𝑎𝑑

90° =𝜋

2 𝑟𝑎𝑑

180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑

Sistema sexagesimal.

Definición. – Es un sistema de numeración posicional que emplea como base el número

60

Medidas de ángulos: 1 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 (°) → 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 (′) → 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 (′′)

Medidas de tiempo: 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 → 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 (′) → 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 (′′)

Ejemplos

Realizar la transformación de forma compleja 2°25′30′′ a una forma simple en segundos.

Solución

Convertimos 𝟐° a minutos y posteriormente a segundos

2 × 60 = 120′

120 × 60 = 7200′′

188

Convertimos 𝟐𝟓 minutos a segundos

25 × 60 = 1500′′

Se suman todos los segundos

7200′′ + 1500′′ + 30′′ = 8730

Sistema centesimal

Definición. – Es una unidad de medida de ángulos planos, alternativa al grado

sexagesimal y al radián, el sistema centesimal divide una circunferencia en 400 partes

iguales, un ángulo recto se divide en 100 partes iguales, y a cada una de esas partes se las

denomina grado centesimal o gradián, el grado centesimal se simboliza con una (𝑔)

minúscula como superíndice del número 34𝑔

1𝑔 = 100 𝑚 El minuto (m) es la centésima parte de un grado

1 𝑚 = 100 𝑠 El segundo (s) es la centésima parte de un minuto

𝟑𝟓𝒈𝟏𝟒𝒎 𝟐𝟔𝒔 = 𝟑𝟓, 𝟏𝟒𝟐𝟔𝒈

A continuación, la equivalencia entre grados y radianes en la siguiente tabla

Tabla 35 Equivalencia de grados y radianes

GRADOS RADIANES

0° 𝑂 𝑟𝑎𝑑

90° 1

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

180° 𝜋 𝑟𝑎𝑑

270° 3

2𝜋 𝑟𝑎𝑑

360° 2𝜋 𝑟𝑎𝑑

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr, esta contiene 2π veces, tal que

360 ° = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 simplificando los valores

189

180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑 Esta equivalencia permite pasar de grados a radianes y

viceversa

Transformación de grados a radianes

Para transformar de grados a radianes se multiplican los grados por π radianes y luego se

divide por 180°.

Ejemplo

Transformar 45° 𝑎 𝑟𝑎𝑑

180° = πrad

45° = 𝑥

𝑥 =45°×𝜋𝑟𝑎𝑑

180° se multiplica los grados por radianes y se los divide por 180

𝑥 =45×𝜋𝑟𝑎𝑑

180 se simplifica medidas iguales, en este caso los grados

𝑥 =1×𝜋𝑟𝑎𝑑

4 se simplifica los valores que se puedan simplificar

𝑥 =𝜋𝑟𝑎𝑑

4 resultado de la transformación de 45° 𝑎 𝑟𝑎𝑑

Transformación de radianes a grados

Para transformar radianes a grados se debe multiplican los πradianes por 180° y luego se

divide por π radianes.

Ejemplo

Transformar 3

5𝜋𝑟𝑎𝑑 a grados

𝜋𝑟𝑎𝑑 = 180°

3

5𝜋𝑟𝑎𝑑 = 𝑥

𝑥 =3

5𝜋𝑟𝑎𝑑×180°

𝜋𝑟𝑎𝑑 se multiplica los radianes por 180° y se divide por 𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

190

𝑥 =3

5𝜋𝑟𝑎𝑑×180°

𝜋𝑟𝑎𝑑 se simplifica las unidades y los valores que se puedan

𝑥 = 180° resultado de la transformación de 3

5𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠

Ejercicios propuestos

Transformar las siguientes medidas de grados a radianes

a) 315°

b) 100°

c) −30°

d) 280°

e) 90°

f) 150°

Transformas las siguientes medidas de radianes a grados

a) 3

4𝜋𝑟𝑎𝑑

b) 8𝜋𝑟𝑎𝑑

c) 𝜋

5𝑟𝑎𝑑

d) 6

9𝜋

e) 200𝜋𝑟𝑎𝑑

f) 2𝜋𝑟𝑎𝑑

5.4.2.2. Funciones trigonométricas

Definición. – Sea 𝜃 un ángulo agudo en posición normal y 𝑃(𝑥, 𝑦)cualquier punto de su

lado final con excepción del origen. Si 𝑟 es la distancia del origen a 𝑃(𝑥, 𝑦), entonces , 𝑟 =

√𝑥2 + 𝑦2 y las funciones trigonométricas se definen como :

191

Tabla 36 Funciones trigonométricas

sen 𝜃 = 𝑦 csc 𝜃 =

1

𝑦, 𝑦 ≠ 0

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

1

𝑥 , 𝑦 ≠ 0

tan 𝜃 =𝑦

𝑥 , 𝑦 ≠ 0 cot 𝑥 =

𝑥

𝑦 , 𝑦 ≠ 0

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Función periódica

Definición. – Una función periódica 𝑓es una función tal que las imágenes de los valores

de 𝑥 se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo se le llama período y se

determina con la letra 𝑃.

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑃) = 𝑓(𝑥 + 2𝑃) = 𝑓(𝑥 + 3𝑃) = ⋯ 𝑓(𝑥 + 𝑘 ∗ 𝑃)

Siendo 𝑘 un número entero cualquiera

Periodo

Definición. – El periodo de una función trigonométrica es el valor que tarda en repetirse

y se expresa con la ecuación 2𝜋

|𝑏|

Gráfico

Figura 74 Gráfico del periodo de una función

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Amplitud.

Definición. – Amplitud es el valor de pico o valor máximo de la señal. Es el barrido que

hace la función trigonométrica sobre el eje "y".

192

𝐴𝑇 =𝑋𝑚𝑎𝑥𝑓(𝑥) − 𝑋𝑚𝑖𝑛𝑓(𝑥)

2

𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑏𝑥 𝑜 𝑦 = acos 𝑏𝑥 = |𝑎|

Gráfico

Figura 75 Gráfico de la amplitud de una función

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

Para realizar las gráficas de las funciones trigonométricas utilizaremos una herramienta

informática muy conocida llamada Geogebra, esta herramienta es un software matemático

interactivo que nos permite realizar gráficos de alta calidad entre otras operaciones

geométricas y algebraicas, usaremos esta herramienta en su versión online que está en el

siguiente enlace https://www.geogebra.org/graphing?lang=es, una vez ingresado

encontraremos la interfaz de trabajo de la herramienta como muestra en la figura.

Figura 39 Interfaz de trabajo de Geogebra

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

193

Una vez ingresado a nuestra herramienta, podemos apreciar la facilidad de uso y su

amigable interfaz, donde podemos ingresar nuestras funciones en el lateral izquierdo y

automáticamente se va generando la gráfica deseada.

Ejemplo

Mediante nuestra herramienta tecnológica geogebra podemos ingresar nuestra función y

encontrar la gráfica, determinar la amplitud y el periodo de la siguiente función.

𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠2𝑥.

Figura 76 Gráfico de la función 𝑦 = −3𝑐𝑜𝑠2𝑥.

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Solución

𝑦 = −3 cos 2𝑥

Amplitud = |𝑎| = |−3| = 3

Periodo =2𝜋

|𝑏|=

2𝜋

𝑏=

2𝜋

2= 𝜋

Ejercicios propuestos

Analiza la amplitud y periodo de las siguientes funciones:

194

a) 𝑦 =1

2𝑠𝑒𝑛 5𝑥

b) 𝑦 = −4𝑐𝑜𝑠3𝑥

c) 𝑦 =1

5𝑐𝑜𝑠6𝑥

d) 𝑦 = 5𝑠𝑒𝑛 𝑥

Función Seno

Definición. – Es una función real en la cual:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝐷𝑜𝑚 (𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔 (𝑓(𝑥)) = [−1,1]

Paridad: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 (Función impar)

Periodo: 2𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 2𝑛𝜋), 𝑛 ∈ ℤ (función periódica)

Gráfica de la función trigonométrica seno

195

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Figura 77 Función seno

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Se considera que la función seno es una función continua y a su vez derivable, esto quiere

decir que no hay saltos en la gráfica y por ende la línea de la función es una curva

Función coseno

Definición. – La función coseno es una función periódica en la cual se define

𝑓(𝑥) = cos 𝑥

𝐷𝑜𝑚 (𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔 (𝑓(𝑥)) = [−1,1]

Paridad: cos(−𝑥) = cos 𝑥 (función par)

Periodo (𝑃) = 2𝜋 cos 𝑥 = cos(𝑥 + 2𝑛𝜋) , 𝑛 ∈ ℤ

Grafica de la función trigonométrica coseno

196

𝑦 = cos 𝑥

Figura 78 Función coseno

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Nótese que la gráfica de una función par presenta simetría respecto del eje de las

ordenadas.

Función tangente

Definición. - Es una función impar y es una función periódica definida por:

𝑓(𝑥) = tan 𝑥

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = ℝ

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = ℝ − {𝜋

2+ 𝑛𝜋} , 𝑛 ∈ ℤ

Paridad: tan(−𝑥) = − tan 𝑥 (función impar)

Periodo (𝑃) = 𝜋 tan 𝑥 = tan(𝑥 + 𝑛𝜋) , 𝑛 ∈ ℤ

Gráfica función tangente

𝑦 = tan 𝑥

197

Figura 79 Función Tangente

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

La función tangente es creciente, además es continua en todos los puntos de su dominio

y presenta una discontinuidad de salto infinito en lo que no están en él.

Función cosecante

Definición. – Es la razón trigonométrica recíproca de la función seno, o también su

inverso multiplicativo definido por:

𝑓(𝑥) = csc (𝑥)

𝐷𝑜𝑚 (𝑓(𝑥)) = {𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = {𝑦 ∈ ℝ/𝑦 ≥ 1} ∪ {𝑦 ∈ ℝ ≤ −1}

Paridad: csc(−𝑥) = − csc 𝑥 (función impar)

Periodo (𝑃) = 2𝜋 csc 𝑥 = csc(𝑥 + 2𝑛𝜋) , 𝑛 ∈ ℤ

Gráfica de la función trigonométrica cosecante

𝑦 = csc 𝑥

198

Figura 80 Función Cosecante

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Función secante

Definición. – Es la razón trigonométrica recíproca de la función seno, o también su

inverso multiplicativo definido por:

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑥)

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = {𝑥 ∈ ℝ , 𝑥 ≠ 𝑛𝜋

2, 𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}

𝑅𝑔(𝑓(𝑥)) = {𝑦 ∈ ℝ , 𝑦 ≥ 1} ∪ {𝑦 ∈ ℝ, 𝑦 ≤ 1}

Paridad: sec(−𝑥) = sec 𝑥 (función par)

Periodo (𝑃) = 2𝜋 sec 𝑥 = sec(𝑥 + 2𝑛𝜋) , 𝑛 ∈ ℤ

Grafica de la Función trigonométrica secante

𝑦 = sec 𝑥

199

Figura 81 Función Secante

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Su alcance es el conjunto de todos los números menores o iguales que menos uno y todos

los números mayores o iguales que uno.

Función cotangente

Definición. – Es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso

multiplicativo definido por:

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(𝑥)

𝐷𝑜𝑚(𝑓(𝑥)) = {𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ≠ 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ}

𝑅𝑔 (𝑓(𝑥)) = ℝ

Paridad: cot(−𝑥) = − cot 𝑥 (función impar)

Periodo (𝑃) = 𝜋 cot 𝑥 = cot(𝑥 + 𝑛𝜋) , 𝑛 ∈ ℤ

Grafica de la Función trigonométrica cotangente

𝑦 = cot 𝑥

200

Figura 82 Función Cotangente

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Comparación grafica de las funciones seno y cosecante

Mediante nuestra herramienta virtual geogebra podemos visualizar gráficamente la

comparación de función seno y cosecante

201

Figura 83 Función Seno y Cosecante

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Comparación grafica de las funciones coseno y secante

Mediante nuestra herramienta virtual geogebra podemos visualizar gráficamente la

comparación de función coseno y secante como se muestra a continuación:

Figura 84 Función Coseno y Secante

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

202

Comparación grafica de las funciones tangente y cotangente

Mediante nuestra herramienta virtual geogebra podemos visualizar gráficamente la

comparación de función tangente y cotangente como se muestra a continuación:

Figura 85 Función Tangente y Cotangente

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

5.4.2.3. Uso de las TIC para graficar funciones

Mediante la herramienta Geogebra graficaremos funciones y abordaremos las

transformaciones de funciones.

Transformaciones de Funciones

Definición. –En el plano cartesiano la gráfica de una función se puede mover, es decir

que se puede desplazar, reflejar y se puede alargar o comprimir, a eso se le conoce

transformación de funciones.

Para trazar las gráficas similares se utiliza cierta transformación de funciones que afectan

de forma general a la gráfica de la función.

Las principales son las traslaciones y los reflejos, ambos pueden ser vertical u horizontal

Traslaciones

203

Definición. – Cambia la posición de la gráfica original, desplazándola hacia arriba, abajo,

derecha o izquierda.

Traslaciones verticales

Si 𝑘 > 0

Para gráfica desplazada hacia arriba 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑘

Para gráfica desplazada hacia abajo 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑘

Ejemplo

Graficar la siguiente función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y desplazar verticalmente hacia arriba y hacia

abajo donde 𝑘 = 4

Solución

En nuestra herramienta Geogebra ingresamos nuestra función 𝑓(𝑥) = 𝑥2

En nuestra función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 asignamos el valor de 𝑘

𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑘 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑘

𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4 Desplazamiento hacia arriba

ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4 Desplazamiento hacia abajo

Una vez determinada nuestras funciones las ingresamos en la herramienta como muestra

en la figura.

Figura 86 Ingreso de funciones para trasladar en Geogebra

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

204

Dándonos como resultado la siguiente gráfica

Figura 87 Desplazamiento vertical de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Donde podemos encontrar nuestras funciones 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4 que esta desplazada arriba

y nuestra función ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 4 desplazada debajo de la función original 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Traslaciones verticales

Si 𝑘 > 0

Para gráfica desplazada hacia la derecha 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘)

Para gráfica desplazada hacia la izquierda 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘)

Ejemplo

Graficaremos la misma función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y esta vez el desplazamiento será

horizontalmente 𝑘 = 4

Solución

205

En nuestra herramienta Geogebra ingresamos nuestra función 𝑓(𝑥) = 𝑥2

En nuestra función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 asignamos el valor de 𝑘 en las siguientes expresiones

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑘) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑘)

𝑦 = 𝑓(𝑥 − 4) Desplazamiento hacia la derecha

𝑦 = 𝑓(𝑥 + 4) Desplazamiento hacia la izquierda

Una vez determinada nuestras funciones las ingresamos en la herramienta como muestra

en la figura.

Figura 88 Ingreso de funciones para desplazar en Geogebra

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Dándonos como resultado la siguiente gráfica

206

Figura 89 Desplazamiento horizontal de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Donde podemos encontrar nuestras funciones 𝑦 = (𝑥 − 4)2 que esta desplazada hacia la

derecha y nuestra función 𝑦 = (𝑥 + 4)2 desplazada hacia la izquierda de la función original

𝑓(𝑥) = 𝑥2

Reflejos.

Definición – La reflexión o volteo es la imagen de espejo de una figura. También se

puede decir que es el volteo de puntos y gráficas alrededor de los ejes.

Reflejo vertical

Para la gráfica reflejada verticalmente 𝑦 = −𝑓(𝑥)

Ejemplo

Graficar la siguiente función 𝑓(𝑥) = √𝑥 y reflejar verticalmente

Solución

En nuestra herramienta Geogebra ingresamos nuestra función 𝑓(𝑥) = √𝑥

207

En nuestra función 𝑓(𝑥) = √𝑥 obtenemos la función 𝑦 = −𝑓(𝑥)

Gráfico de la función: 𝑓(𝑥) = √𝑥

Figura 90 Gráfico de la función 𝑓(𝑥) = √𝑥

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

𝑔(𝑥) = −√𝑥 Reflejo vertical

Figura 91 Gráfico del reflejo vertical función 𝑔(𝑥) = −√𝑥

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

208

Reflejo horizontal

Para gráfica reflejada horizontalmente 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

Ejemplo

Graficar la siguiente función 𝑓(𝑥) = √𝑥 y reflejar horizontalmente

Solución

En nuestra herramienta Geogebra ingresamos nuestra función 𝑓(𝑥) = √𝑥

En nuestra función 𝑓(𝑥) = √𝑥 obtenemos la función 𝑦 = 𝑓(−𝑥)

𝑔(𝑥) = √−𝑥 Reflejo horizontal

Gráfico

Una vez determinada nuestra función la ingresamos en la herramienta y nos da como

resultado la siguiente gráfica

Figura 92 Gráfico del reflejo horizontal función 𝑔(𝑥) = √−𝑥

Fuente: imagen creada de https://www.geogebra.org/graphing?lang=es

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios propuestos

Graficar las siguientes funciones en geogebra y desplazar verticalmente en el plano

cartesiano donde 𝑘 = 6

209

a) sin 𝑥

b) cos 𝑥

c) tan 𝑥

d) csc 𝑥

e) sec 𝑥

f) cot 𝑥

Graficar las siguientes funciones en geogebra y desplazar horizontalmente en el plano

cartesiano donde 𝑘 = 10

a) sin 𝑥

b) cos 𝑥

c) tan 𝑥

d) csc 𝑥

e) sec 𝑥

f) cot 𝑥

Graficar las siguientes funciones en geogebra y reflejar verticalmente en el plano

cartesiano

a) sin 𝑥

b) cos 𝑥

c) tan 𝑥

d) csc 𝑥

e) sec 𝑥

f) cot 𝑥

Graficar las siguientes funciones en geogebra y reflejar horizontalmente en el plano

cartesiano

a) sin 𝑥

b) cos 𝑥

c) tan 𝑥

d) csc 𝑥

e) sec 𝑥

f) cot 𝑥

210

Evaluación de la unidad

Tema: Funciones trigonométricas

1. Realizar la transformación de forma compleja a forma simple en minutos y

segundos los siguientes literales.

a) 12°36′14′′

b) 60°22′15′′

c) 18°23′11′′

d) 117°32′57′′

2. Transformar los siguientes literales a unidades de orden inferior

a) 20,16°

b) 13,25°

c) 102,55°

3. Transformar las siguientes medidas de grados a radianes

g) 312°

h) 102°

i) −40°

j) 220°

k) 90°

l) 110°

4. Transformas las siguientes medidas de radianes a grados

g) 2

5𝜋𝑟𝑎𝑑

h) 12𝜋𝑟𝑎𝑑

i) 𝜋

5𝑟𝑎𝑑

211

j) 3𝜋𝑟𝑎𝑑

5. Graficar las siguientes funciones y desplazar verticalmente donde 𝒌 = 𝟑

a) 𝑦 = 4𝑥3

b) 𝑦 = 6𝑥2

c) 𝑦 = 2𝑥

6. Graficar las siguientes funciones y desplazar horizontalmente donde 𝒌 = 𝟏𝟎

g) 𝑦 = 4𝑥3

h) 𝑦 = 6𝑥2

i) 𝑦 = 2𝑥

7. Graficar las siguientes funciones y reflejar verticalmente

a) 𝑦 = 4𝑥3

b) 𝑦 = 6𝑥2

c) 𝑦 = 2𝑥

8. Graficar las siguientes funciones y reflejar horizontalmente

a) 𝑦 = 4𝑥3

b) 𝑦 = 6𝑥2

c) 𝑦 = 2𝑥

212

5.4.3. Unidad 3: Matrices y determinantes

5.4.3.1. Matrices

Definición. - Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuesto en 𝑚 filas y 𝑛

columnas.

Representación:

𝑨 = [

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑

𝒂𝟑𝟏 𝒂𝟑𝟐 𝒂𝟑𝟑

]

Donde designamos a la matriz con letras mayúsculas (𝐴, 𝐵, … ) y sus elementos con la

misma letra en minúscula (𝑎, 𝑏, … ), con un doble subíndice (𝒂𝒊𝒋), donde 𝒊 indica la fila y 𝒋

la columna a la que pertenece.

Esta es una matriz de 𝑚 filas y 𝑛 columnas, cuya notación es: 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎 × 𝒏

Orden de una matriz

Definición. – El orden de una matriz es el producto indicado de número de filas y de

columnas, su notación es 𝑚 × 𝑛

Igualdad

Definición. - Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden, es decir, que

contiene el mismo número de filas y de columnas, además, los elementos deben ser iguales

en ambas posiciones.

Ejemplo

𝐴 = [2 3 43 4 54 5 6

] 𝐵 = [2 3 43 4 54 5 6

] entonces 𝐴 = 𝐵

Tipos de matrices

Existe varios tipos de matrices, entre los más importantes se detalla a continuación.

213

Matriz rectangular

Definición. - Es la matriz que posee un distinto número de filas y de columnas, es decir,

𝑚 ≠ 𝑛.

Ejemplo

𝐶 = [1 3 57 9 8

]

Matriz fila

Definición. - Es la matriz rectangular que solo posee una fila, es decir, 𝑚 = 1, se llama

también vector fila.

Ejemplo

𝐷 = [4 6 3]

Matriz columna

Definición. - Es la matriz rectangular que solo posee una columna, es decir, 𝑛 = 1, se

llama también vector columna.

Ejemplo

𝐸 = [321

]

Matriz opuesta.

Definición. - Es la matriz que tiene todos los elementos con signo contrario a la matriz

original, es decir, 𝐴 = −𝐴.

Ejemplo

𝐴 = [2 3 −43 −4 54 5 −6

] −𝐴 = [−2 −3 4−3 4 −5−4 −5 6

]

Matriz traspuesta

214

Definición. - Es la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas de una matriz,

se representa con el subíndice 𝑡 y la dimensión es 𝑛 × 𝑚.

Ejemplo

𝐹 = [3 5 69 4 1

] 𝐹𝑡 = [3 95 46 1

]

Matriz cuadrada de orden n

Definición. - Es la matriz que tiene igual número de filas y de columnas, es decir, 𝑚 = 𝑛

y la dimensión se denomina orden.

Ejemplo

𝐴 = [2 3 43 4 54 5 6

] La matriz 𝐴 es una matriz cuadrada de orden 3, de 3 filas y 3

columnas.

En las matrices cuadradas se toma en cuenta las diagonales que la conforman, la diagonal

principal y la diagonal secundaria.

La diagonal principal es la diagonal que va desde la esquina superior izquierda, hasta la

esquina inferior derecha.

Ejemplo

𝐴 = [𝟐 3 43 𝟒 54 5 𝟔

]

La diagonal secundaria va desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior

izquierda.

𝐴 = [2 3 𝟒3 𝟒 5𝟒 5 6

]

Matriz triangular superior

215

Definición. - Es la matriz cuadrada que al menos un elemento que está por encima de la

diagonal principal es diferente de 0 y todos los elementos por debajo de la diagonal son igual

a 0.

Ejemplo

𝐴 = [𝟐 0 40 𝟒 00 0 𝟔

]

Matriz triangular inferior

Definición. - Es lo contrario de la triangular superior ya que al menos un elemento que

está por debajo de la diagonal principal es diferente de 0 y todos los elementos encima de la

diagonal son igual a 0.

Ejemplo

𝐴 = [𝟐 0 01 𝟒 02 0 𝟔

]

Matriz diagonal

Definición. - Es la matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están en la

diagonal principal son ceros.

Ejemplo

𝐴 = [𝟏 0 00 𝟐 00 0 𝟑

]

Matriz escalar

Definición. - Es la matriz diagonal en donde todos los elementos que están en la diagonal

principal son iguales.

Ejemplo

216

𝐴 = [𝟔 0 00 𝟔 00 0 𝟔

]

Matriz identidad

Definición. - Es la matriz escalar en donde todos los elementos que están en la diagonal

principal son 1.

Ejemplo

𝐴 = [𝟏 0 00 𝟏 00 0 𝟏

]

Matriz nula

Definición. - Es la matriz en donde todos los elementos son ceros, su notación es ∅

Ejemplo

∅ = [0 0 00 0 00 0 0

]

5.4.3.2. Operaciones con matrices

Adición o suma de matrices

Definición. - La suma de matrices es una operación que se realiza entre dos matrices que

tengan el mismo orden, el resultado es la matriz suma que se calcula sumando los elementos

que ocupan la misma posición.

Notación: 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗)

Ejemplo

Sumar las siguientes matrices

𝐴 = [5 3 16 4 87 0 6

] 𝐵 = [3 4 54 5 23 4 3

]

Solución

217

Sumamos todos los elementos de la matriz 𝐴 con los elementos de la misma posición de

la matriz 𝐵, es decir, 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗)

𝐴 + 𝐵 = [5 3 16 4 87 0 6

] + [3 4 54 5 23 4 3

]

𝐴 + 𝐵 = [5 + 3 3 + 4 1 + 56 + 4 4 + 5 8 + 27 + 3 0 + 4 6 + 3

]

𝐴 + 𝐵 = [8 7 6

10 9 1010 4 9

]

Sustracción o resta de matrices

Definición. - La resta de matrices es una operación que se realiza entre dos matrices que

tengan la misma dimensión, el resultado es la matriz resta que se calcula restando los

elementos que ocupan la misma posición.

Notación: 𝐴 − 𝐵 = (𝑎𝑖,𝑗 − 𝑏𝑖,𝑗)

Ejemplo

Restar las siguientes matrices

𝐴 = [5 3 16 4 87 0 6

] 𝐵 = [3 4 54 5 23 4 3

]

Solución

Restamos todos los elementos de la matriz 𝐴 con los elementos de la misma posición de

la matriz 𝐵, es decir, 𝐴 − 𝐵 = (𝑎𝑖,𝑗 − 𝑏𝑖,𝑗)

𝐴 − 𝐵 = [5 3 16 4 87 0 6

] + (−1) [3 4 54 5 23 4 3

]

𝐴 − 𝐵 = [5 − 3 3 − 4 1 − 56 − 4 4 − 5 8 − 27 − 3 0 − 4 6 − 3

]

218

𝐴 − 𝐵 = [2 −1 −42 −1 64 −4 3

]

Ejercicios Propuestos

Realizar las siguientes operaciones de las matrices a continuación

𝐴 = [−3 3 5616 67 8548 0 634

] 𝐵 = [343 4 544 55 823 4 3

] 𝐶 = [553 3 1664 435 35

7 53 6]

𝐷 = [673 4098 54248 55 2776

983 412 307] 𝐸 = [

5902 3 10960485 424 8

7 234 496]

a) 𝐴 + 𝐵 = [ ] 𝐴 − 𝐵 = [ ]

b) 𝐴 + 𝐶 = [ ] 𝐴 − 𝐶 = [ ]

c) 𝐴 + 𝐷 = [ ] 𝐴 − 𝐷 = [ ]

d) 𝐴 + 𝐸 = [ ] 𝐴 − 𝐸 = [ ]

e) 𝐵 + 𝐶 = [ ] 𝐵 − 𝐶 = [ ]

f) 𝐵 + 𝐷 = [ ] 𝐵 − 𝐷 = [ ]

g) 𝐵 + 𝐸 = [ ] 𝐵 − 𝐸 = [ ]

219

h) 𝐶 + 𝐷 = [ ] 𝐶 − 𝐷 = [ ]

i) 𝐶 + 𝐸 = [ ] 𝐶 − 𝐸 = [ ]

j) 𝐷 + 𝐸 = [ ] 𝐷 − 𝐸 = [ ]

Multiplicación de una matriz por un número real

Definición. - La multiplicación o producto de una matriz por un número real α, se calcula

multiplicando todos los elementos de la matriz por el número.

Notación: 𝛼. 𝐴 = (𝛼. 𝑎𝑖,𝑗)

Ejemplo

Calcular el producto entre:

𝐴 = [4 31 24 7

] , 3

Solución

Multiplicamos el número real con todos los elementos de la matriz 𝐴.

𝛼. 𝐴 = 3 × [4 31 24 7

]

𝛼. 𝐴 = [3 × 4 3 × 33 × 1 3 × 23 × 4 3 × 7

]

𝛼. 𝐴 = [12 93 6

12 21]

Producto de matrices

220

Definición. – Sea 𝐴 y 𝐵 dos matrices de orden 𝑚 × 𝑛 y 𝑛 × 𝑝, respectivamente, se define

su producto 𝐴 × 𝐵 como la matriz de orden 𝑚 × 𝑝.

Notación: 𝐴 × 𝐵 = (𝑚𝑖,𝑗) 1≤𝑖≤𝑚1≤𝑗≤𝑝

Propiedades

En el producto de matrices 𝐴 × 𝐵, debe el número de columnas de 𝐴 y el número de filas

de 𝐵 ser iguales.

El producto de matrices no es conmutativo, es decir, 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴.

El producto de matrices es asociativo, es decir, 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) × 𝐶

El producto de matrices es distributivo respecto a la suma, es decir, 𝐴 × (𝐵 + 𝐶) =

(𝐴 × 𝐵) + (𝐴 × 𝐶)

Ejemplo

Calcular el producto entre:

𝐴 = [4 31 2

] , 𝐵 = [1 32 4

]

Solución

Las matrices son cuadradas de orden 2, por lo cual obtendremos un matriz del mismo

orden.

𝐴 × 𝐵 = [4 31 2

] [1 32 4

]

Multiplicamos y sumamos cada elemento de la primera fila de la matriz 𝐴 con la primera

columna de la matriz 𝐵

Multiplicamos y sumamos cada elemento de la primera fila de la matriz 𝐴 con la segunda

columna de la matriz 𝐵

221

Multiplicamos y sumamos cada elemento de la segunda fila de la matriz 𝐴 con la primera

columna de la matriz 𝐵

Multiplicamos y sumamos cada elemento de la segunda fila de la matriz 𝐴 con la segunda

columna de la matriz 𝐵

𝐴 × 𝐵 = [(4 × 1) + (3 × 2) (4 × 3) + (3 × 4)(1 × 1) + (2 × 2) (1 × 3) + (2 × 4)

]

𝐴 × 𝐵 = [4 + 6 12 + 121 + 4 3 + 8

]

𝐴 × 𝐵 = [10 245 11

]

Ejercicios Propuestos

Realizar las siguientes operaciones entre matrices

a) 𝛼. 𝐴 = 12 [4 31 98 7

]

b) 𝛼. 𝐴 = 7 [4 13

12 2241 13

]

c) 𝛼. 𝐴 = −5 [4 31 24 7

]

d) 𝛼. 𝐴 = 3 [−74 33−4 246 −7

]

e) 𝐴 × 𝐵 = [7 −3

11 22] [

21 2320 24

]

f) 𝐴 × 𝐵 = [4 −35 2

13 −2] [

11 39 −120 4

]

Dadas las siguientes matrices:

222

𝐴 = [−

3

23 51

6 67 84

83 94 √48

] 𝐵 = [3 4 54 5 83 4 3

] 𝐶 = [1 −3 1

−4 −5 57 −3 −6

]

Calcular:

a) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶

b) 𝐴 + 𝐵 − 𝐶

c) 2𝐴 +1

2𝐵 − 𝐶

d) (𝐴 × 𝐵) +3

2𝐶

e) 𝐴 + 𝐶2

5.4.3.3. Matriz inversa

Definición. - La matriz inversa de una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 es la matriz 𝐴−1 de

orden 𝑛 igualmente.

Las matrices cuadradas que tienen inversa se denomina matrices regulares, llamadas así

solo si su determinante es diferente de 0 , es decir, det(𝐴) ≠ 0 ó |𝐴| ≠ 0 , si la

determinante es igual a 0 es una matriz singular y no posee inversa.

Determinante de una matriz

Definición. - La determinante de una matriz es solo para matrices cuadradas y se calcula

por varios métodos dependiendo de la dimensión de la matriz.

Determinante para matrices de orden 𝟏

Si 𝐴 es una matriz de dimensión 1 × 1, entonces la forma es 𝐴 = (𝑎), por lo tanto su

determinante es 𝐝𝐞𝐭(𝑨) = 𝒂.

Ejemplo

𝐴 = (3) → det(𝐴) = 3

Determinante para matrices de orden 𝟐

223

Si 𝐴 es una matriz de dimensión 2 × 2, entonces la forma es 𝐴 = [𝑎1,1 𝑎1,2

𝑎2,1 𝑎2,2], por lo

tanto su determinante se calcula de la siguiente manera:

𝐝𝐞𝐭 [𝒂𝟏,𝟏 𝒂𝟏,𝟐

𝒂𝟐,𝟏 𝒂𝟐,𝟐] = (𝒂𝟏,𝟏)(𝒂𝟐,𝟐) − (𝒂𝟏,𝟐𝒂𝟐,𝟏)

Es decir, se multiplica la diagonal principal y se resta con el producto de la diagonal

secundaria.

Ejemplo.

Sea la matriz: 𝐴 = [4 33 5

]

Hallar la determinante

Solución

𝑑𝑒𝑡(𝐴) = (4)(5) − (3)(3)

det(𝐴) = 20 − 9

det(𝐴) = 11

Determinante para matrices de orden 𝟑

Si 𝐴 es una matriz de dimensión 3× 3, entonces la forma es 𝐴 = [

𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3

𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3

], por

lo tanto, su determinante se puede calcular por la regla de Sarrus de la siguiente manera:

𝐝𝐞𝐭(𝐴) = [

𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3

𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3

𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3

] = (𝒂𝟏,𝟏)(𝒂𝟐,𝟐)(𝒂𝟑,𝟑) + (𝒂𝟏,𝟐)(𝒂𝟐,𝟑)(𝒂𝟑,𝟏) +

(𝒂𝟏,𝟑)(𝒂𝟐,𝟏)(𝒂𝟑,𝟐) − (𝒂𝟏,𝟑)(𝒂𝟐,𝟐)(𝒂𝟑,𝟏) − (𝒂𝟏,𝟐)(𝒂𝟐,𝟏)(𝒂𝟑,𝟑) − (𝒂𝟐,𝟑)(𝒂𝟑,𝟐)(𝒂𝟏,𝟏)

Es decir, se aumenta al lateral derecho las dos primeras columnas de la matriz y se procede

a sumar el producto de las diagonales primarias menos el producto de las diagonales

secundarias, para una mejor comprensión se representa en la siguiente figura.

224

Figura 93 Regla de Sarrus

Fuente: imagen tomada de https://matrixcalc.org/

Elaborado por: Alexander Morán

Determinante para matrices de orden 𝒎 × 𝒏

Si 𝐴 es una matriz de dimensión mayor de 3 utilizaremos una herramienta informática,

que es una calculadora de matrices llamada Matriz calculator, encontraremos esta

herramienta en el siguiente enlace https://matrixcalc.org/, una vez ingresado encontraremos

la interfaz de trabajo de la herramienta

Figura 94 Interfaz de la herramienta matriz calculator

Fuente: imagen tomada de https://matrixcalc.org/

Elaborado por: Alexander Morán

Una vez ingresado a nuestra herramienta, seleccionamos calculadora de determinantes

que se encuentra en el lateral superior izquierdo, mostrándonos esta interfaz.

225

Figura 95 Calculadora de determinante

Fuente: imagen tomada de https://matrixcalc.org/

Elaborado por: Alexander Morán

Esta calculadora nos permite ingresar matrices de la orden que necesitemos obtener

automáticamente.

Ejemplo

Ingresamos una matriz de orden 5, rellenando las celdas de la calculadora como muestra

en la figura

Figura 96 Matriz de orden 5

Fuente: imagen creada de https://matrixcalc.org/

Elaborado por: Alexander Morán

Una vez ingresado nuestra matriz de orden 5 procedemos a escoger la opción calcular

por la fórmula de Leibniz, que automáticamente nos resuelve la determinante.

226

Figura 97 Cálculo de la determinante

Fuente: imagen creada de https://matrixcalc.org/

Elaborado por: Alexander Morán

Como se puede apreciar en la figura la determinante es igual a 5884, es decir:

det(𝐴) = 5884.

La operación para calcular la determinante de una matriz de orden 4, 5 o superior es

abrumador, las operaciones se vuelven repetitivas y puede conllevar a demasiado tiempo en

resolverse, por lo tanto, la herramienta facilita y beneficia al estudiante.

Ejercicios propuestos

Calcular la determinante de las siguientes matrices para comprobar si son matrices

regulares y se pueden invertir

a) 𝐴 = [5]

b) 𝐴 = [4 33 5

]

c) 𝐴 = [44

3

23

4

5

3

]

227

d) 𝐴 = [3 12 25 23 49 12 −3

]

e) 𝐴 = [−6 12 48 13 29 17 −9

]

f) 𝐵 = [343 4 544 55 823 4 3

]

g) 𝐶 = [553 3 1664 435 35

7 53 6]

Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición

Una vez que conocemos como encontrar la determinante de una matriz para comprobar

si la matriz tiene inversa, procedemos a calcular la inversa de la matriz.

Recordemos que en una matriz 𝐴, su inversa es 𝐴−1, que cumpla la igualdad siguiente:

𝐴−1. 𝐴 = 𝐼

Donde:

𝐴 = Matriz

𝐴−1 = Matriz inversa

𝐼 = La matriz identidad

Ejemplo

Calcule la matriz inversa de la siguiente matriz

𝐴 = [1 23 7

]

Solución

Comprobamos que la matriz sea regular mediante la determinante

det(𝐴) = (𝑎1,1)(𝑎2,2) − (𝑎1,2)(𝑎2,1)

228

det(𝐴) = (1)(7) − (2)(3)

det(𝐴) = 1

Como la det(𝐴) ≠ 0 entonces si posee matriz inversa

Para determinar la matriz inversa por definición, resolvemos mediante un sistema de

ecuaciones lineales.

Asignamos a los elementos de la matriz inversa incógnitas: a, b, c, d, …

A−1 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

]

Remplazamos los valores en la igualdad de la definición 𝐴. 𝐴−1 = 𝐼

[1 23 7

] [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] = [1 00 1

]

Operando

[1𝑎 + 2𝑐 1𝑏 + 2𝑑3𝑎 + 7𝑐 3𝑏 + 7𝑑

] = [1 00 1

]

Igualamos cada elemento

1𝑎 + 2𝑐 = 1

3𝑎 + 7𝑐 = 0

1𝑏 + 2𝑑 = 0

3𝑏 + 7𝑑 = 1

Resolvemos las ecuaciones

𝑎 + 2𝑐 = 1 despejamos 𝑎

𝑎 = 1 − 2𝑐

3𝑎 + 7𝑐 = 0 remplazamos 𝑎 en la ecuación

3(1 − 2𝑐) + 7𝑐 = 0

3 − 6𝑐 + 7𝑐 = 0

229

𝒄 = −𝟑

𝑎 + 2𝑐 = 1 reemplazamos 𝑐

𝑎 + 2(−3) = 1

𝒂 = 𝟕

𝑏 + 2𝑑 = 0 despejamos 𝑏

𝑏 = −2𝑑

3𝑏 + 7𝑑 = 1 remplazamos 𝑏 en la ecuación

3(−2𝑑) + 7𝑑 = 1

−6𝑑 + 7𝑑 = 1

𝒅 = 𝟏

𝑏 + 2𝑑 = 0 reemplazamos 𝑑

𝑏 + 2(1) = 0

𝒃 = −𝟐

Resueltas las ecuaciones, la matriz inversa de 𝐴 es:

𝐀−𝟏 = [𝟕 −𝟐

−𝟑 𝟏]

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordán

Para calcular la inversa por el método de Gauss-Jordan, debemos conocer las operaciones

elementales entre sus filas, dichas operaciones podemos realizarlas y la matriz no resulta

afectada.

Operaciones elementales entre filas

1. Intercambiar filas o columnas entre sí

Se puede intercambiar una fila por otra a beneficio 𝑭𝒊 ⇄ 𝑭𝒋 donde: 𝑖, 𝑗 son el

número de la fila de la matriz

230

2. Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero

Se puede multiplicar o dividir la fila que deseemos por cualquier número. 𝒌. 𝑭𝒊 ⟶

𝑭𝒊

3. Sumar dos filas 𝑖, 𝑗, multiplicadas por dos números y el resultado ubicar a la fila

𝑖, o a la fila 𝑗

Se puede sumar y restar filas, multiplicadas por cualquier número y el resultado

colocar en la fila que nos beneficie.

𝒌. 𝑭𝒊 + 𝒏. 𝑭𝒊 ⟶ 𝑭𝒊

𝒌. 𝑭𝒋 + 𝒏. 𝑭𝒋 ⟶ 𝑭𝒋

Estas operaciones se utilizan para calcular la inversa de una matriz mediante el método

de Gauss-Jordan.

[𝑨|𝑰] ⟶ [𝑰|𝑨−𝟏]

La matriz se divide en dos partes, en la parte izquierda se coloca la matriz 𝐴 a la que

queremos calcular su inversa y en la parte derecha, se coloca la matriz identidad 𝐼

[𝐴|𝐼]

Realizando las operaciones elementales entre las filas de la matriz, tenemos que conseguir

que la matriz identidad se ubique en la parte izquierda. Una vez hecho esto, la matriz que

nos queda en la parte derecha, será la matriz inversa:

[𝐼|𝐴−1]

Ejemplo

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz regular

𝐴 = [1 0 0

−1 2 30 1 2

]

231

Solución

Ubicamos en una sola matriz, la matriz (𝐴) y la matriz (𝐼) respectivamente

[𝐴|𝐼]

[1 0 0

−1 2 30 1 2

|1 0 00 1 00 0 1

]

Comenzamos con las operaciones elementales entre las filas para conseguir que en la

parte izquierda nos quede la matriz identidad.

[𝟏 0 0

−1 2 30 1 2

|1 0 00 1 00 0 1

]

En el primer elemento de la primera columna hay un 1, como ya lo tenemos, no tenemos

que hacer nada. Por consiguiente, debemos conseguir que los elementos que están por debajo

de la posición 𝑎1,1 sean 0

[1 0 0

−𝟏 2 3𝟎 1 2

|1 0 00 1 00 0 1

]

El elemento de la posición 𝑎3,1 ya es un 0, pero el segundo no. por lo tanto sumamos la

fila 1 a la fila 2 y el resultado lo dejamos en la fila 2:

𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹2

[1 0 00 2 30 1 2

|1 0 01 1 00 0 1

]

La fila 1 y la fila 3 nos queda igual, así ya tenemos la primera columna lista.

Continuamos con la columna 2, debemos conseguir que el elemento en la posición 𝑎2,2

sea un 1:

[1 0 00 𝟐 30 1 2

|1 0 01 1 00 0 1

]

232

Intercambiamos la segunda fila con la tercera

𝐹2 ⇄ 𝐹3

[1 0 00 1 20 2 3

|1 0 00 0 11 1 0

]

Ahora debemos conseguir que el primer y tercer elemento de la segunda columna sea

igual a 0

[1 𝟎 00 1 20 𝟐 3

|1 0 00 0 11 1 0

]

Como ya el primer elemento es 0, a la fila 3 le resto dos veces la fila 2

𝐹3 − 2𝐹2 → 𝐹3

[1 0 00 1 20 0 −1

|1 0 00 0 11 1 −2

]

Continuamos a la tercera columna en donde tenemos que conseguir que el elemento en la

posición 𝑎3,3 sea un en la posición 1

[1 0 00 1 20 0 −𝟏

|1 0 00 0 11 1 −2

]

Tenemos un -1, por lo que multiplicamos la fila 3 por un −1:

(1)(𝐹3) → 𝐹3

[1 0 00 1 20 0 1

|1 0 00 0 1

−1 −1 2]

Ahora debemos conseguir que el elemento en la posición 𝑎2,3 sean igual a 0:

[1 0 00 1 𝟐0 0 1

|1 0 00 0 1

−1 −1 2]

233

Para conseguir que el segundo elemento sea un 0, a la fila 2 le resto dos veces la fila 3 y

el resultado lo colocamos en la fila 2:

𝐹2 − 2𝐹3 → 𝐹2

[1 0 00 1 00 0 1

|1 0 02 2 −3

−1 −1 2]

Finalmente, tenemos la matriz identidad a la izquierda, por lo tanto, en la parte derecha

tenemos la matriz identidad

[𝐼|𝐴−1]

[1 0 00 1 00 0 1

|𝟏 𝟎 𝟎𝟐 𝟐 −𝟑

−𝟏 −𝟏 𝟐]

A−1 = [1 0 02 2 −3

−1 −1 2]

Ejercicios propuestos

Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices cuadradas regulares mediante la

definición.

a) 𝐴 = [1 23 4

]

b) 𝐵 = [31 1236 78

]

c) 𝐶 = [12 9230 17

]

d) 𝐷 = [

1

22

3

2

1

7

]

e) 𝐸 = [22 43 33 112]

234

f) 𝐹 = [

1

72

4 √27]

g) 𝐺 = [√5123

1213 72

]

Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices cuadradas regulares mediante el

método de Gauss-Jordán.

a) 𝐴 = [1 2 30 3 21 0 1

]

b) 𝐵 = [7 1 00 1 01 0 1

]

c) 𝐶 = [1 0 30 0 21 0 1

]

d) 𝐷 = [2 2 00 2 30 0 1

]

e) 𝐸 = [0 2 11 0 11 1 0

]

Aplicaciones de matrices y determinantes

La aplicación de matrices y determinantes destaca en el álgebra lineal ya que, es muy útil

en la resolución de sistemas de ecuaciones, mediante el cálculo de la matriz inversa.

Sistemas de ecuaciones

Definición. - Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de

la forma:

{

𝒂𝟏𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟏𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟏𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟏𝒏. 𝒙𝒏 = 𝒃𝟏

𝒂𝟐𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝟐𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒏. 𝒙𝒏 = 𝒃𝟐

⋮𝒂𝒎𝟏. 𝒙𝟏 + 𝒂𝒎𝟐. 𝒙𝟐 + 𝒂𝒎𝟑. 𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒎𝒏. 𝒙𝒏 = 𝒃𝒎

235

Donde:

Es un sistema de 𝑚 ecuaciones y 𝑛 incógnitas.

𝑎𝑖𝑗 = Son los números, denominados coeficientes

𝑥𝑖 = Son las incógnitas

𝑏𝑗 = Son los términos independientes.

Expresión matricial de un sistema de ecuaciones

Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial de la forma:

[

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 ⋯ 𝒂𝟏𝒏

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 ⋯ 𝒂𝟐𝒏

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 𝒂𝒎𝟑 ⋯ 𝒂𝒎𝒏

] . [

𝒙𝟏

𝒙𝟐

⋮𝒙𝒏

] = [

𝒃𝟏

𝒃𝟐

⋮𝒃𝒎

]

Donde:

La matriz 𝑨 = [

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 ⋯ 𝒂𝟏𝒏

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 ⋯ 𝒂𝟐𝒏

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 𝒂𝒎𝟑 ⋯ 𝒂𝒎𝒏

] es la matriz coeficientes.

La matriz 𝑿 = [

𝒙𝟏

𝒙𝟐

⋮𝒙𝒏

] es la matriz de incógnitas.

La matriz 𝑩 = [

𝒃𝟏

𝒃𝟐

⋮𝒃𝒎

] es la matriz de términos independientes.

La matriz formada por 𝐴 y 𝐵, se denomina matriz ampliada del sistema.

(𝑨|𝑩) = [

𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟏𝟑 ⋯ 𝒂𝟏𝒏

𝒂𝟐𝟏 𝒂𝟐𝟐 𝒂𝟐𝟑 ⋯ 𝒂𝟐𝒏

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝒂𝒎𝟏 𝒂𝒎𝟐 𝒂𝒎𝟑 ⋯ 𝒂𝒎𝒏

|

𝒃𝟏

𝒃𝟐

⋮𝒃𝒎

]

Ejemplo

Representar el siguiente sistema de ecuaciones de forma matricial

236

{

2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0

𝑦 + 2𝑧 = 2

Solución

[2 1 21 1 10 1 2

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [202

]

La matriz ampliada es:

(𝐴|𝐵) = [2 1 21 1 10 1 2

|202

]

Tipos de sistemas de ecuaciones

Definición. - Los tipos de sistemas se clasifican dependiendo del posible número de

soluciones reales que tenga.

{𝐼𝑁𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 (𝑁𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛)

𝐶𝑂𝑀𝑃𝐴𝑇𝐼𝐵𝐿𝐸𝑆 (𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛) {𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ú𝑛𝑖𝑐𝑎) 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 (𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)

Sistemas de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas

Definición. - Es todo sistema que posee tres ecuaciones y dos incógnitas en cada

ecuación, la resolución del sistema puede ser por los métodos clásicos de resolución,

realizando un proceso y operación que consume mucho tiempo, por lo que conviene aplicar

el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar las transformaciones elementales

mencionadas anteriormente en la matriz ampliada del sistema:

(𝐴|𝐵) = [

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

𝑎31 𝑎32

|

𝑏1

𝑏2

𝑏3

]

Hasta obtener la matriz escalonada siguiente:

237

(𝐴|𝐵) = [𝑎11 𝑎12

0 𝑎22

0 0|

𝑏1

𝑏2

𝑏3

]

Nota: operaciones elementales entre filas:

1. Multiplicar o dividir una fila por un número real distinto de cero.

2. Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número real no nulo.

3. Intercambiar el lugar de dos filas entre sí

Pasos para conseguir la matriz escalonada de una matriz ampliada.

1. El elemento 𝑎21, debemos eliminarlo utilizando la fila 1

2. El elemento 𝑎31, debemos eliminarlo utilizando la fila 1 igualmente

3. El elemento 𝑎32, debemos eliminarlo utilizando la fila 2.

Una vez concluido el proceso de hallar la matriz escalonada del sistema de ecuaciones,

podemos determinar si el sistema es de: ninguna solución, solución única o infinitas

soluciones.

1. Si 𝑎22 ≠ 0, entonces existe dos posibilidades:

a) Si 𝑏3 ≠ 0, es un sistema incompatible, NO TIENE SOLUCIÓN

b) Si 𝑏3 = 0, es un sistema compatible, determinado de SOLUCIÓN ÚNICA

2. Si 𝑎22 = 0, entonces existe tres posibilidades:

a) Si 𝑏2 = 𝑏3 = 0 , es un sistema compatible, indeterminado, INFINITAS

SOLUCIONES

b) Si 𝑏2 ≠ 0, 𝑏3 = 0 o si 𝑏2 = 0, 𝑏3 ≠ 0 es un sistema incompatible, NO

TIENE SOLUCIÓN

c) Si 𝑏2 ≠ 0, 𝑏3 ≠ 0 es un sistema incompatible, NO TIENE SOLUCIÓN

Ejemplo

238

Dado el sistema de ecuaciones: {−𝑥 + 2𝑦 = 53𝑥 + 𝑦 = 7

2𝑥 + 3𝑦 = 12

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Solución

Transformamos nuestro sistema a matriz

[−1 23 12 3

] . [𝑥𝑦] = [

57

12]

La matriz ampliada es:

(𝐴|𝐵) = [−1 23 12 3

|57

12]

Operando entre filas:

𝐹2 + 3𝐹1 → 𝐹2

(𝐴|𝐵) = [−1 20 72 3

|5

2212

]

𝐹3 + 2𝐹1 → 𝐹3

(𝐴|𝐵) = [−1 20 70 7

|5

2222

]

𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹3

(𝐴|𝐵) = [−1 20 70 0

|5

220

]

Como 𝑎22 ≠ 0 y 𝑏3 = 0, es un sistema compatible de solución única

Transformando a sistema de ecuación la matriz (𝐴|𝐵):

{−𝑥 + 2𝑦 = 5

7𝑦 = 22

239

Resolvemos las ecuaciones

Donde:

𝑦 =22

7

Sustituyendo 𝑦

−𝑥 + 2𝑦 = 5

−𝑥 + 2(22

7) = 5

−𝑥 +44

7= 5

44

7− 5 = 𝑥

𝑥 =44−35

7

𝑥 =9

7

Gráfico:

Figura 98 Solución del sistema, las 3 rectas se cortan en un punto 𝑝 = (

9

7;

22

7)

Fuente: imagen creada en https://www.mathway.com/es/Algebra

Elaborado por: Alexander Morán

240

Podemos observar en el gráfico que el sistema de ecuaciones es un sistema compatible de

solución única, ya que sus graficas cortan en un solo punto 𝑝 = (9

7;

22

7).

Sistemas de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas

Definición. - Es todo sistema que posee dos ecuaciones y tres incógnitas en la ecuación,

la resolución del sistema puede ser por los métodos clásicos de resolución, realizando un

proceso y operación que consume mucho tiempo, por lo que conviene aplicar el conocido

método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Aplicar el método de Gauss consiste en realizar las transformaciones elementales

mencionadas anteriormente en la matriz ampliada del sistema:

(𝐴|𝐵) = [𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22|𝑏1

𝑏2]

Hasta obtener la matriz escalonada siguiente:

(𝐴|𝐵) = [𝑎11 𝑎12

0 𝑎22|𝑏1

𝑏2]

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones: {𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 15

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Solución

Transformamos nuestro sistema a matriz

[1 1 22 2 4

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [6

15]

La matriz ampliada es:

(𝐴|𝐵) = [1 1 22 2 4

|6

15]

Operando entre filas:

241

2𝐹1 − 𝐹2 → 𝐹2

(𝐴|𝐵) = [1 1 20 0 0

|6

−3]

Transformando a sistema de ecuación la matriz (𝐴|𝐵):

{𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

0 = −3

Como 0 ≠ −3, es un sistema incompatible. No tiene solución

Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Definición. - Es todo sistema que posee tres ecuaciones y tres incógnitas en cada

ecuación, la resolución del sistema puede ser por los métodos clásicos de resolución,

realizando un proceso y operación que consume mucho tiempo, por lo que conviene aplicar

el conocido método de Gauss para determinar el tipo de sistema.

Partiendo de la matriz ampliada del sistema:

(𝐴|𝐵) = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

𝑎21 𝑎22 𝑎23

𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

𝑏1

𝑏2

𝑏3

]

Hasta obtener la matriz escalonada siguiente:

(𝐴|𝐵) = [

𝑎11 𝑎12 𝑎13

0 𝑎22 𝑎23

0 0 𝑎33

|

𝑏1

𝑏2

𝑏3

]

Una vez concluido el proceso de hallar la matriz escalonada del sistema de ecuaciones,

podemos determinar si el sistema es de: ninguna solución, solución única o infinitas

soluciones.

1. Si se obtiene un sistema escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es

compatible determinado, tiene SOLUCIÓN ÚNICA.

2. Si se obtiene una o más filas en las que todos los elementos sean cero, es un sistema

compatible indeterminado, INFINITAS SOLUCIONES

242

3. Si se obtiene una o más filas de ceros, salvo el elemento correspondiente al término

independiente, que es distinto de cero, digamos k, entonces como la fila en cuestión

correspondería a una ecuación del tipo 0 = 𝑘 , lo que es imposible, el sistema es

incompatible, NO TIENE SOLUCIÓN.

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones: {

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 11𝑥 − 3𝑦 = −20

4𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 8

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Solución

Transformamos nuestro sistema a matriz

[2 1 −11 −3 04 2 5

] . [𝑥𝑦𝑧

] = [11

−208

]

La matriz ampliada es:

(𝐴|𝐵) = [2 1 −11 −3 04 2 5

|11

−208

]

Operando entre filas:

2𝐹2 − 𝐹1 → 𝐹2

(𝐴|𝐵) = [2 1 −10 −7 14 2 5

|11

−518

]

𝐹3 − 2𝐹1 → 𝐹3

(𝐴|𝐵) = [2 1 −10 −7 10 0 7

|11

−51−14

]

Transformando a sistema de ecuación la matriz (𝐴|𝐵):

243

{2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 11−7𝑦 + 𝑧 = −51

7𝑧 = −14

Como es un sistema de ecuaciones escalonado con coeficientes no nulos, el sistema es

compatible determinado, tiene solución única.

Resolvemos las ecuaciones

Donde:

7𝑧 = −14

𝑧 = −14

7

𝒛 = −𝟐

Sustituyendo 𝑧

−7𝑦 + 𝑧 = −51

−7𝑦 − 2 = −51

−7𝑦 = −51 + 2

𝑦 =−49

−7

𝒚 = 𝟕

Sustituyendo 𝑦 y 𝑧

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 11

2𝑥 + 7 − (−2) = 11

2𝑥 = −7 − 2 + 11

2𝑥 = 2

𝑥 =2

2

𝒙 = 𝟏

Ejercicios propuestos

244

Dado el sistema de ecuaciones {𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟖𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟑

𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟐

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Dado el sistema de ecuaciones {

𝒙 − 𝒚 = 𝟖𝟑𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔𝟗𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟒

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

245

Dado el sistema de ecuaciones {𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟐

𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟒

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Dado el sistema de ecuaciones {𝟐𝒙 + 𝒛 = 𝟐

𝟑𝒙 + 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟗

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

246

Dado el sistema de ecuaciones {

𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐𝟏𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟐𝒛 = −𝟕

𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟐

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

Dado el sistema de ecuaciones {−𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟒

−𝟐𝒙 + 𝟐𝒛 = 𝟑−𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟐

Resolver mediante el método de Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

247

Evaluación de la unidad

Tema: Matrices y determinantes

1. Realizar las siguientes operaciones de las matrices a continuación

𝐴 = [−3 3 612 73 545 0 4

] 𝐵 = [33 14 2545 15 4223 14 31

] 𝐶 = [53 3 164 35 57 3 6

]

k) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = [ ]

l) (𝐴 + 𝐶) − 𝐵 = [ ]

m) 𝐴 − 𝐶 = [ ]

n) 𝐴 × 𝐶 = [ ]

o) 3𝐴 +1

2𝐵 + 𝐶

p) 𝐴 − 𝐶 +3

2𝐵

q) 𝐴 + 𝐵2

2. Calcular la determinante de las siguientes matrices

h) 𝐴 = [7 32 14

]

i) 𝐵 = [18

4

23

4

7

3

]

j) 𝐶 = [3 22 25 3 148 12 −13

]

248

3. Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices cuadradas regulares

mediante la definición.

a) 𝐴 = [7 32 14

]

b) 𝐵 = [18

4

23

4

7

3

]

c) 𝐶 = [3 22 25 3 148 12 −13

]

4. Calcular la matriz inversa de las siguientes matrices cuadradas regulares

mediante el método de Gauss-Jordán.

f) 𝐴 = [1 1 00 2 20 0 1

]

g) 𝐵 = [5 1 00 0 12 0 1

]

h) 𝐶 = [0 0 20 1 10 0 3

]

5. Sea el sistema de ecuaciones: {

−12𝑥 + 3𝑦 = 362𝑥 − 2𝑦 = 4

−3𝑥 + 3𝑦 = 12, resolver mediante el método de

Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

6. Sea el sistema de ecuaciones: {

𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 45𝑥 − 3𝑧 = 8

2𝑥 − 4𝑦 + 8𝑧 = 4, resolver mediante el método de

Gauss y determinar qué tipo de sistema es.

249

5.4.4. Unidad 4 Cónicas

Definición. - Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (𝑥, 𝑦) , se

presentan cuando un doble cono se interseca con planos y satisfacen una ecuación completa

de segundo grado:

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸𝑥𝑦 + 𝐹 = 0

Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección determina una

circunferencia.

Si el plano no es perpendicular al eje del cono y su inclinación es tal que divide al

cono en dos partes, se determina una elipse.

Si el plano forma un ángulo dado con el eje del cono y es paralelo a un plano

tangente al cono, la curva que determina es una parábola.

Si el plano es paralelo al eje de ambos conos, las intersecciones son las dos ramas

de la curva llamada hipérbola.

Gráfico:

Figura 99 Gráfico de la cónica

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

250

5.4.4.1. Circunferencia

Definición. - Sea 𝑂 un punto del plano y sea “𝑟” un numero real positivo. Se define a la

circunferencia como el conjunto de puntos 𝑃(𝑥, 𝑦), tal que la distancia de 𝑃 a 𝑂 es igual a

“𝑟”.

Es decir que:

𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = {𝑃(𝑥, 𝑦) / 𝑑(𝑃, 𝑂) = 𝑟}

Donde:

"𝑂" Se le denomina centro de la circunferencia

"r" radio de la circunferencia

Gráficos:

Figura 100 Gráfico de la circunferencia en el cono

Fuente: imagen tomada de https://www.universoformulas.com/matematicas

251

Figura 101 Gráfico de la circunferencia

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

La circunferencia es el resultado de la intersección de un plano de forma perpendicular al

eje. Por tanto, el ángulo de inclinación ß= 90º.

Ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen

Definición. - Para hallar la ecuación estándar de la circunferencia cuando el centro de la

circunferencia es (0,0) es la siguiente:

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Como dato tenemos que

Si 𝑟 es positivo la circunferencia es real.

Si 𝑟 es negativo la circunferencia es imaginaria.

Si 𝑟 es igual a cero representa un punto.

Cuando tenemos conocimiento del valor del radio, la ecuación resulta sencilla, ya que

podemos remplazar un dato

Ejemplo

Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen, cuyo 𝑟 = 4.

Para graficar una función utilizaremos un software en línea llamado Symbolab, el cual

nos permite representar gráficas y exportarlas en imagen de una forma sencilla,

252

encontraremos esta herramienta en el siguiente enlace https://es.symbolab.com/graphing-

calculator , una vez ingresado encontraremos la interfaz de trabajo de la herramienta .

Figura 102 Interfaz de trabajo de Symbolab

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

En la cual, en el lateral izquierdo podremos insertar nuestra ecuación y visualizaremos la

gráfica como se muestra en la figura

Figura 103 Circunferencia con centro en origen con 𝑟 = 4

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

253

Finalmente realizamos las operaciones correspondientes y obtenemos la ecuación de la

circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ecuación de la circunferencia

𝑥2 + 𝑦2 = 42 Sustitución

𝑥2 + 𝑦2 = 16 Resultado

Ecuación canónica de la circunferencia con centro en (𝒉, 𝒌)

Definición. - Para hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (ℎ, 𝑘) que nos

permita encontrar el radio debemos utilizar la siguiente ecuación

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2

En el cual el centro es (ℎ, 𝑘) y el radio es 𝑟

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la circunferencia con centro en (3,7) y 𝑟 = 6, con su respectiva

gráfica

Solución

Mediante la ayuda de nuestra herramienta tecnológica symbolab podemos ingresar la

ecuación de circunferencia de centro con el punto (3,7) y 𝑟 = 6 como se muestra a

continuación

254

Figura 104 Circunferencia con centro (3,7) y 𝑟 = 4

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

Finalmente realizamos las operaciones correspondientes y encontraremos la ecuación de

la circunferencia.

(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 Definir la ecuación

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 62 Sustituir valores

(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 7)2 = 36 Ecuación de la circunferencia

Ejercicios Propuestos

Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y su radio

es

a) radio 3

b) radio 4

c) radio 5

Determinar la ecuación de las siguientes circunferencias

a) centro (2, −4) y radio 8

255

b) centro (7, −14) y radio 4

c) centro (−12,4) y radio 6

d) centro (2,2) y radio 5

e) centro (3,3) y radio 3

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (-3, 6) y radio 5

.

Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y su radio

es de 3 unidades, Graficar mediante la herramienta tecnológica symbolab

Graficar y Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es (𝟓, 𝟖) y 𝒓 =

𝟗

256

Grafica (𝒙 + 𝟒)𝟐 + (𝒙 + 𝟑)𝟐 = 𝟓 y encuentra el centro y radio

Determinar la ecuación de la circunferencia haciendo uso de la información

entregada a continuación.

Centro (8, −1) punto en la circunferencia (0,14)

Centro (−7,6), 𝑟 = √15

5.4.4.2. La parábola

Definición. – Sea 𝑙 una recta y 𝑓 un punto , la parábola se define como el conjunto de

puntos 𝑃(𝑥, 𝑦), tal que su distancia al punto 𝐹 es igual a su distancia a la recta 𝑙.

Es decir que:

𝑷𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 = {𝑷(𝒙, 𝒚) / 𝒅(𝑷, 𝑭) = 𝒅(𝒑, 𝒍)}

257

Donde:

𝑭 (𝑭𝒐𝒄𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂)

𝒍 (𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂

Los elementos importantes en la parábola son sus ejes de simetría y su vértice que

corresponde a la curvatura de la parábola en el mínimo o en el máximo.

Gráfico

Figura 105 Elementos de la parábola

Fuente: imagen tomada de https://steemit.com/

Elaborado por: Balzan R.

Elementos de la parábola

Eje de simetría: en la parábola es la recta que contiene al foco y al vértice

Vértice: es el punto de la curva que se intercepta con el eje de simetría. El vértice

queda como punto medio entre el foco y la directriz

Foco: es un punto ubicado sobre el eje de simetría, tiene la misma distancia del

vertice y la directriz

Directriz: recta perpendicular al eje de simetría que se encuentra a la misma

distancia del vértice que el foco.

258

Cuerda Focal: segmento que une dos puntos de la parábola y pasa por el foco

Lado recto: es la cuerda focal perpendicular al eje de simetría, tiene una longitud

de 4 veces la distancia del vértice al foco.

Ecuación canónica de la parábola con vértice (𝟎, 𝟎) y eje de simetría (𝑿)

Definición. - La parábola con el vértice que está en el origen y el eje coincide con el eje

de las ordenadas (𝑥), tiene una ecuación de la siguiente forma

𝑦2 = 4𝑝𝑥

Ecuación de la directriz 𝑥 + 𝑝 = 0

Ejemplo

Encontrar la ecuación de la parábola cuyo foco es 𝐹: (3,0) y su directriz es 𝑥 = −3

Solución

𝑦2 = 4𝑝𝑥 Ecuación canónica tiene simetría al eje (𝑥)

𝑦2 = 4(3)𝑥 sustituir p (distancia del vértice al foco)

𝑦2 = 12𝑥 ecuación de la parábola

Mediante la ayuda de nuestra herramienta tecnológica symbolab podemos ingresar la

ecuación de la parábola y obtenemos el siguiente gráfico

259

Figura 106 Gráfica de la parábola con foco 𝐹: (3,0) y directriz 𝑥 = −3

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios propuestos

Determinar la ecuación de la parábola que tiene los siguientes datos:

a) Directriz 𝑥 = −3 y de foco (3,0)

b) Directriz 𝑦 = 4 y de vertice (0,0)

c) Directriz 𝑥 = 2 y de vertice (−2,0)

260

Hallar la ecuación de la parábola con vértice (0,0), directriz horizontal y que la parábola

pase por los puntos (5, −4)

Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje (𝑥) pasa por el

punto 𝐴(3,6), determinar la ecuación de la parábola, y la de todos sus elementos.

Calcular la Ecuación de la parábola

Coordenadas del foco

261

Ecuación de la directriz

Gráfica de la parábola

262

Ecuación canónica de la parábola con vértice (𝟎, 𝟎) y eje de simetría (𝒀)

Definición. -

Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo), cuando se abre hacia abajo

(sentido negativo) en el eje de las ordenadas (𝑌) y está definida por :

𝑥2 = 4𝑝𝑦

Ejemplo

Determine los elementos de la parábola que tiene por ecuación 𝑥2 = 16𝑥

4𝑝𝑦 = 16𝑦 Igualar ambas ecuaciones y simplificar

4𝑝 = 16 despejar (𝑝)

𝑝 =16

4 Simplificar

𝑝 = 4 valor del parámetro

Con el valor del parámetro ya encontrado en pasos anteriores, podemos encontrar los

demás elementos de la parábola

𝑥2 = 16𝑦 Ecuación de la parábola

𝐹(0,4) Coordenadas del foco

𝑦 = −4| Ecuación de la directriz

Finalmente, con todos elementos de la parábola encontrados, procedemos a la utilización

de nuestra herramienta tecnológica, ingresando la ecuación para visualizar gráficamente

nuestra parábola

263

Figura 107 Gráfico de la parábola con ecuación 𝑥2 = 16𝑥

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios propuestos

Hallar la ecuación de la siguiente parábola

Vértice (0,0), su directriz vertical y que la parábola pase por los puntos (−2,4)

De las siguientes parábolas calcular el parámetro, el vértice, la directriz, el foco y el eje

de simetría

a) 𝒙𝟐 = −𝟔

264

b) 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎

c) 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎

d) 𝒙𝟓 − 𝟓𝒚 = 𝟎

265

Ecuación canónica de la parábola con vértice (𝒉, 𝒌) y el eje focal paralelo al eje (𝒀)

Definición. - Se muestra a continuación las coordenadas de los componentes de la

parábola con vértice (ℎ, 𝑘) , tal que (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

Gráfico

Figura 108 Gráfica de la parábola con vértice (ℎ, 𝑘)

Fuente: imagen tomada de https://steemit.com/

Elaborado por: Balzan R.

Para hallar la ecuación general de la parábola, cuando el eje focal es paralelo al eje (X),

se desarrolla el binomio y el producto de su ecuación como se muestra a continuación

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Definir

𝑦2 − 2𝑦𝑘 + 𝑘2 = 4𝑝𝑥 − 4𝑝ℎ Distribuir

𝑦2 + (−2𝑘)𝑦 + (−4𝑝)𝑥 + 𝑘2 + 4𝑝ℎ = 0 Remplazamos

𝑦2 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 + 𝑘2 + 4𝑝 = 0 Expresión de la ecuación general de la parábola

cuando está en el eje (𝑥)

Por lo contrario, si el eje focal está paralelo al eje de las (𝑌), se procede con la siguiente

expresión

(𝑥 − 𝑦)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

266

Ejemplo

Determinar la ecuación de la parábola con eje de simetría horizontal y con el vértice en

el siguiente punto (−5,1) y pasa por el punto (−3,5). Graficar la parábola

Solución

(𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ) Definir ecuación

(𝑦 − 1)2 = 4𝑝(𝑥 + 5) Remplazar el vértice (ℎ, 𝑘) = (−5,1)

(5 − 1)2 = 4𝑝(−3 + 5) Determinar (𝑝) remplazando el punto(−3,5)

42 = 4𝑝(2) Realizar las operaciones necesarias

16 = 8𝑝 Simplificar

2 = 𝑝 Valor encontrado correspondiente a (𝑝)

(𝑦 − 1)2 = 4(2)(𝑥 + 5) Remplazamos (𝑝) en la ecuación

(𝑦 − 1)2 = 8(𝑥 + 5) Ecuación de la parábola

Finalmente, gracias a nuestra herramienta tecnológica symbolab, podemos observar el

grafico de nuestra parábola ingresando la ecuación

Figura 109 Gráfico de parábola con vértice (−5,1) y pasa por punto (−3,5).

Fuente: imagen creada en https://es.symbolab.com/

Elaborado por: Alexander Morán

Ejercicios propuestos

267

De las siguientes parábolas calcular el parámetro, el vértice, la directriz, el foco y el eje

de simetría

a) (𝒚 − 𝟏)𝟐 = 𝟗(𝒙 + 𝟑)

b) (𝒚 − 𝟒)𝟐 = −𝟖(𝒙 + 𝟕)

c) 𝟔(𝒚 + 𝟓) = −𝟓(𝒙 − 𝟏)

268

Hallar la ecuación de la siguiente parábola

(𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟖𝒚(𝒚 − 𝟐)

Encontrar la ecuación general de la parábola cuyo vértice es (𝟏, −𝟏)y su recta

directriz es 𝒚 = 𝟏

Cuál de los siguientes elementos no pertenece a la parábola

a) Eje de simetría

b) Vértice

c) Foco

d) Directriz

e) Asíntotas

f) Cuerda Focal

g) Lado curvo

269

Determinar la ecuación de la parábola que tiene los siguientes datos:

d) Directriz 𝑥 = −2 y de foco (2,0)

e) Directriz 𝑥 = 4 y de vértice (−4,0)

f) Directriz 𝑦 = −6 y de foco (0,6)

g) Directriz 𝑦 = 5 y de vértice (0, −5)

De las siguientes parábolas calcular el parámetro, el vértice, la directriz, el foco y el

eje de simetría

a) 𝑥2 = 2

b) 𝑦2 = 5

c) 𝑥2 − 3𝑦 = 0

Cuál de las siguientes ecuaciones pertenece a la parábola

a) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

b) (𝑦 − 𝑘)3 = 2𝑝(𝑥 + ℎ)

c) (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)

d) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 + ℎ)

5.4.4.3. Elipse

Definición. - Sea 𝐹1 𝑦 𝐹2 dos puntos del plano y sea 𝑎 una constante positiva. La elipse

se define como el conjunto de puntos 𝑃(𝑥, 𝑦), tales que la suma de la distancia a 𝐹1, con su

distancia a 𝐹2.

Es decir que:

𝑬𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 = {𝑷(𝒙, 𝒚) / 𝒅(𝑷, 𝑭𝟏) + 𝒅(𝑷, 𝑭𝟐) = 𝟐𝒂}

Gráfico

270

Figura 110 Gráfico de la elipse

Fuente: imagen tomada de: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf

5.4.4.4. Hipérbola

Definición. - Sea 𝐹1 𝑦 𝐹2 dos puntos en el plano y sea 𝑎 una constante positiva. la

hipérbola se define como el conjunto de puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) del plano, tales que el valor absoluto

de la diferencia de su distancia a 𝐹1 con su distancia a 𝐹2 es igual a 2𝑎.

Es decir que:

𝒉𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂 = {𝑷(𝒙, 𝒚) / |𝒅(𝑷, 𝑭𝟏) − 𝒅(𝑷, 𝑭𝟐)| = 𝟐𝒂}

Gráfico

Figura 111 Gráfico de la hipérbola

Fuente: imagen tomada de: https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/781/3/1487.pdf

271

Evaluación de la unidad

Tema: Cónicas

1. Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el origen y su

radio es

d) radio 3

e) radio 4

f) radio 5

2. Determinar la ecuación de las siguientes circunferencias

f) centro (2, −4) y radio 8

g) centro (7, −14) y radio 4

h) centro (−12,4) y radio 6

i) centro (2,2) y radio 5

j) centro (3,3) y radio 3

3. Cuál de los siguientes elementos no pertenece a la parábola

h) Eje de simetría

i) Vértice

j) Foco

k) Directriz

l) Asíntotas

m) Cuerda Focal

n) Lado curvo

4. Determinar la ecuación de la parábola que tiene los siguientes datos:

h) Directriz 𝑥 = −2 y de foco (2,0)

272

i) Directriz 𝑥 = 4 y de vértice (−4,0)

j) Directriz 𝑦 = −6 y de foco (0,6)

k) Directriz 𝑦 = 5 y de vértice (0, −5)

5. De las siguientes parábolas calcular el parámetro, el vértice, la directriz, el foco

y el eje de simetría

d) 𝑥2 = 2

e) 𝑦2 = 5

f) 𝑥2 − 3𝑦 = 0

6. Cuál de las siguientes ecuaciones pertenece a la parábola

e) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)

f) (𝑦 − 𝑘)3 = 2𝑝(𝑥 + ℎ)

g) (𝑦 − 𝑘)2 = 2𝑝(𝑥 − ℎ)

h) (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 + ℎ)

7. Calcular el parámetro, el vértice, el foco, la directriz y el eje simetría de las

siguientes parábolas

a) (𝑦 − 1)2 = 6(𝑥 + 2)

b) (𝑥 + 1)2 = 2(𝑦 + 3)

c) (𝑦 − 3)2 = −8(𝑥 + 2)

273

5.4.5. Unidad 5: Estadística y probabilidad

5.4.5.1. La estadística

La recolección de datos

Definición. - La recolección de datos es una actividad que permite conseguir información

acerca de un tema o contexto específico que se desee obtener, se realiza mediante la

aplicación de diversas técnicas y herramientas como la observación, la encuesta, la entrevista,

entre otras.

Interpretación

Definición. - Es el proceso siguiente de la recolección de datos, ya que, a la información

obtenida se le da un significado, para una comprensión adecuada de la información

recopilada.

Tabla de frecuencia

Definición. - La tabla de frecuencias es una tabla donde representamos y analizamos la

información obtenida en la recolección de datos.

Datos no agrupados

Definición. -Los datos no agrupados son el conjunto de información que se presenta tal

como fue recolectada para su posterior análisis que se realiza mediante una tabulación en

una tabla de frecuencias.

La tabla de frecuencias para datos no agrupados está compuesta por los siguientes

elementos.

1. Valores de la variable.

2. Frecuencia absoluta.

3. Frecuencia acumulada.

274

4. Frecuencia relativa.

5. Frecuencia relativa acumulada.

6. Frecuencia porcentual

7. Frecuencia porcentual acumulada:

Ejemplo

Tabla 37 Tabla de frecuencias ejemplo

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

Frecuencia

Porcentual

acumulada

𝑭𝒊%

Total

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia absoluta

Definición. – La frecuencia absoluta (𝑛𝑖) de un valor 𝑋𝑖 es el número de veces que se

repite un dato.

La suma de las frecuencias absolutas de todos los elementos diferentes del conjunto debe

ser el número total de sujetos 𝑛. Si el conjunto tiene 𝑘 números (o categorías) diferentes,

entonces:

n∑ 𝑛𝑖𝑘𝑖=1 = 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑘

Ejemplo 1

2,8,1,6,3,7.9,2

𝑛𝑖 = 2 (número de veces que el dato repite)

Ejemplo 2

275

En una tienda de camiones, se registra la cantidad de camiones vendidos en el mes de

enero.

Tabla 38 Ejemplo camiones vendidos

MES DE ENERO-CAMIONES VENDIDOS

0 1 2 1 2 0 3 2 4 0

4 2 1 0 3 0 0 3 4 2

0 1 1 3 0 1 2 1 2 3

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Con los datos mencionados, crear una tabla de frecuencias.

Solución

Según los datos de camiones vendidos en el mes de enero, analizar el número de veces

que se repite cada valor de camiones vendidos:

0 = 8 veces aparece en el conjunto

1 = 7 veces aparece en el conjunto

2 = 7 veces aparece en el conjunto

3 = 5 veces aparece en el conjunto

5 = 3 veces aparece en el conjunto

Ingresamos nuestra frecuencia absoluta en la tabla y sumamos el total.

Tabla 39 Ingresando la frecuencia absoluta

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

0 8

1 7

2 7

3 5

4 3

Total 30 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia absoluta acumulada

276

Definición. - La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos

los valores inferiores o iguales al valor considerado y es representado por 𝑁𝑖.

Es decir:

𝑁𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑛2 + 𝑛𝑖

Ejemplo

Según los datos anteriormente obtenidos de los camiones vendidos en el mes de enero

encontrar la frecuencia absoluta

Para calcular la frecuencia absoluta acumulada 𝑁𝑖 debemos sumar las frecuencias

absolutas de la siguiente forma 𝑁𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑛2 + ⋯ 𝑛𝑖 entonces calculando:

𝑁1(0) = 𝑛1(0) 𝑁1(0) = 8

𝑁2(1) = 𝑛1(0) + 𝑛2(1) 𝑁2(1) = 8 + 7 𝑁2(1) = 15

𝑁3(2) = 𝑛1(0) + 𝑛2(1) + 𝑛3(2) 𝑁3(2) = 8 + 7 + 7 𝑁3(2) = 22

𝑁4(3) = 𝑛1(0) + 𝑛2(1) + 𝑛3(2) + 𝑛4(3) 𝑁4(3) = 8 + 7 + 7 + 5 𝑁4(3) = 27

𝑁5(4) = 𝑛1(0) + 𝑛2(1) + 𝑛3(2) + 𝑛4(3) + 𝑛5(4) 𝑁5(4) = 8 + 7 + 7 + 5 +

3 𝑁5(4) = 30

Obtenido los valores de la frecuencia acumulado procedemos a llenar en nuestra tabla

Tabla 40 Ingreso de la frecuencia absoluta acumulada

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

0 8 8

1 7 15

2 7 22

3 5 27

4 3 30

Total 30

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia relativa

277

Definición. – La frecuencia relativa 𝑓𝑖 de un valor de 𝑥 es igual a la frecuencia absoluta

𝑛𝑖 dividida para el total de elementos 𝑁

Es decir:

𝑓𝑖 =𝑛𝑖

𝑁

La suma de las frecuencias relativas es igual a 1, es decir que la frecuencia relativa son

valores entre 0 𝑦 1

Ejemplo

Con los datos obtenidos de la tabla de frecuencia absoluta acumulada 𝑁𝐼, encontrar la

frecuencia relativa

Para encontrar la frecuencia absoluta acumulada debemos aplicar la siguiente formula

𝑓𝑖 =𝑛𝑖

𝑁

𝑓1(0) =8

30 𝑓1(0) = 0,267

𝑓2(1) =7

30 𝑓2(1) = 0,233

𝑓3(2) =7

30 𝑓3(2) = 0,233

𝑓4(3) =5

30 𝑓4(3) = 0,167

𝑓5(4) =3

30 𝑓5(4) = 0,100

Obtenido los valores de la frecuencia relativa procedemos a llenar en nuestra tabla

Tabla 41 Ingreso de frecuencia relativa

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

0 8 8 0,267

1 7 15 0,233

2 7 22 0,233

3 5 27 0,167

278

4 3 30 0,100

Total 30 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia relativa acumulada

Definición. – La frecuencia relativa acumulada 𝐹𝑖 de un valor de 𝑥 es igual a la frecuencia

absoluta acumulada 𝑁𝑖 dividida para el total de elementos 𝑁

Es decir:

𝐹𝑖 =𝑁𝑖

𝑁

Ejemplo

Mediante la tabla anterior de frecuencia relativa, encontrar la frecuencia relativa

acumulada, calculamos la frecuencia relativa acumulada remplazando los valores en la

fórmula

𝐹𝑖 =𝑁𝑖

𝑁

𝐹1(0) =8

30 𝐹1(0) = 0,267

𝐹2(1) =15

30 𝐹2(1) = 0,500

𝐹3(2) =22

30 𝐹3(2) = 0,733

𝐹4(3) =27

30 𝐹4(3) = 0,900

𝐹5(4) =30

30 𝐹5(4) = 1

Obtenido los valores de la frecuencia relativa acumulada seguimos llenando la tabla de

frecuencias.

Tabla 42 Ingreso de frecuencia relativa acumulada

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

279

𝑭𝒊

0 8 8 0,267 0,267 1 7 15 0,233 0,500 2 7 22 0,233 0,733 3 5 27 0,167 0,900 4 3 30 0,100 1

Total 30 1 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia porcentual

Definición. - La frecuencia porcentual 𝑓𝑖% de un valor de 𝑥 es igual al producto de la

frecuencia relativa 𝑓𝑖 por 100, es decir, 𝑓𝑖% = 𝑓𝑖 × 100

Ejemplo

Con los datos de las frecuencias de la tabla anterior calcular la frecuencia porcentual

Solución

Calculamos la frecuencia relativa acumulada remplazando los valores en la fórmula

𝑓1% = 𝑓1 × 100 𝑓1% = 0,267 × 100 𝑓1% = 26,7%

𝑓2% = 𝑓2 × 100 𝑓2% = 0,233 × 100 𝑓2% = 23,3%

𝑓3% = 𝑓3 × 100 𝑓3% = 0,233 × 100 𝑓3% = 23,3%

𝑓4% = 𝑓4 × 100 𝑓4% = 0,167 × 100 𝑓4% = 16,7%

𝑓5% = 𝑓5 × 100 𝑓5% = 0,100 × 100 𝑓5% = 10,0%

Obtenido los valores de la frecuencia porcentual llenamos los valores en la tabla de

frecuencias.

Tabla 43 Ingreso de la frecuencia porcentual

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

0 8 8 0,267 0,267 26,7%

1 7 15 0,233 0,500 23,3%

280

2 7 22 0,233 0,733 23,3%

3 5 27 0,167 0,900 16,7%

4 3 30 0,100 1 10,0%

Total 30 1 100% Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Frecuencia porcentual acumulada

Definición. - La frecuencia porcentual acumulada 𝐹𝑖% de un valor de 𝑥 es igual al

producto de la frecuencia relativa acumulada 𝐹𝑖 por 100

Es decir:

𝐹𝑖% = 𝐹𝑖 × 100

Ejemplo

Con los datos de la tabla de frecuencia anterior, calcular la frecuencia porcentual

acumulada

Solución

Calculamos la frecuencia porcentual acumulada remplazando los valores en la fórmula

𝐹1% = 𝐹1 × 100 𝐹1% = 0,267 × 100 𝐹1% = 26,7%

𝐹2% = 𝐹2 × 100 𝐹2% = 0,500 × 100 𝐹2% = 50,0%

𝐹3% = 𝐹3 × 100 𝐹3% = 0,733 × 100 𝐹3% = 73,3%

𝐹4% = 𝐹4 × 100 𝐹4% = 0,900 × 100 𝐹4% = 90,0%

𝐹5% = 𝐹5 × 100 𝐹5% = 1 × 100 𝐹5% = 100,0%

Obtenido los valores de la frecuencia porcentual acumulada llenamos los valores en la

tabla de frecuencias.

Tabla 44 Ingreso de la frecuencia porcentual acumulado

Camiones

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

Frecuencia

Porcentual

acumulada

𝑭𝒊%

281

0 8 8 0,267 0,267 26,7% 26,7%

1 7 15 0,233 0,500 23,3% 50,0%

2 7 22 0,233 0,733 23,3% 73,3%

3 5 27 0,167 0,900 16,7% 90,0%

4 3 30 0,100 1 10,0% 100% Total 30 1 100%

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Finalmente, la tabla de frecuencias está realizada.

Ejercicios propuestos

En una tienda de muebles, se registra la cantidad de muebles vendidos cada día del mes

de febrero.

3; 1; 3; 1; 2; 0; 3; 4; 4; 0; 4; 5; 1; 0; 2; 0; 2; 1; 4; 1; 0; 1; 5; 3; 2; 1; 2; 2

Con los datos mencionados, crear una tabla de frecuencias.

Muebles

vendidos

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

Frecuencia

Porcentual

acumulada

𝑭𝒊%

Total

Elaborar una tabla de frecuencias a partir de las temperaturas máximas registradas en el

mes de diciembre en la ciudad de Quito

Temperaturas

282

13; 17; 19; 21; 18; 17; 18; 21; 21; 18; 18; 19; 19; 20; 20; 19; 21; 17; 16;

17; 18; 19; 22; 13; 22; 18; 20; 20; 22; 18; 17

Temperatura

máxima

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

Frecuencia

Porcentual

acumulada

𝑭𝒊%

Total

Una empresa de cobranzas telefónica registra la duración (en minutos) de las llamadas

que realiza su call center al día.

Tabla 45 Ejercicio duración de llamadas

200 204 204 203 202

203 200 202 204 210

202 204 202 200 208

203 200 210 208 208 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Completar la siguiente tabla de frecuencias

Duración

llamadas

Frecuencia

Absoluta

𝒏𝒊

Frecuencia

Acumulada

𝑵𝒊

Frecuencia

Relativa

𝒇𝒊

Frecuencia

Relativa

acumulada

𝑭𝒊

Frecuencia

Porcentual

𝒇𝒊%

Frecuencia

Porcentual

acumulada

𝑭𝒊%

283

Total

Media aritmética

Definición. – La media aritmética �̅� es el promedio de las muestras y es sólo para

variables cuantitativas. Se obtiene sumando todos los valores y se divide por el total de los

mismos, es decir que:

�̅� =𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + … + 𝒙𝒏

𝒏

Ejemplo

En un equipo de futbol, los jugadores tienen la siguiente anotación por temporada

2,8,6,3,7,5,15,17,1,14,13

Calcular la media aritmética de la anotación de goles del equipo

Solución

Aplicando la fórmula

�̅� =2+8+6+3+7+5+15+17+1+14+13

11

�̅� =91

11

�̅� = 8,2

El promedio de anotación de goles del equipo en la temporada es de 8,2

Mediana

284

Definición. –

Es el valor que está en el centro de un conjunto de datos. Existe dos condiciones para

determinarla.

1. Si el número de los valores es impar, la mediana está ubicado en el centro

Ejemplo.

De los siguientes datos 2,3,4,5,6,5,3,2,2 la mediana es 6 porque está en el centro

2,3,4,5, 𝟔, 5,3,2,2

2. Si el número de los valores es par, la mediana se obtiene tomando los dos

valores del centro y el promedio de ambos es la mediana

Ejemplo.

De los siguientes datos 2,3,4,5,6,5,3,2,2,3 la mediana es 5,5 porque los valores

que están en el centro son 2,3,4,5, 𝟔, 𝟓, 3,2,2,3, de los cuales el promedio es 5,5.

Moda

Definición. – Es el valor que más veces se repite en un conjunto de datos.

Ejemplo

En un equipo de futbol, los jugadores tienen la siguiente anotación por temporada

2,8,6,3,7,5,15,17,1,2,5,14,13,5

Calcular la moda

Observando el conjunto de datos se puede apreciar que el valor que más se repite es el 5

2,8,6,3,7, 𝟓, 15,17,1,2, 𝟓, 14,13, 𝟓

Ejercicios propuestos

Calcular la media aritmética, moda y mediana de los siguientes datos.

a) 2,8,6,3,7,5,15,17,1,2,5,14,13,5

285

b) 2,8,6,123,17,112,2,325,1412,1312,5

c) 8,8,8,8,82,4,84,89,1,23,89

Las edades de los estudiantes del octavo curso son

13,12,12,12,13,14,12,13,14,12,15

a) Encontrar la edad media de los estudiantes

�̅� = ?

b) Encontrar la moda y mediana de las edades de los estudiantes

Desviación media para datos no agrupados

Definición. - La desviación 𝐷𝑖 respecto a la media es la diferencia de un valor 𝑥 y la

media aritmética �̅�, es decir, 𝐷𝑖 = |𝑥 − �̅�|

La desviación media es el promedio o media aritmética de los valores absolutos respecto

a la media, es decir, 𝑫�̅� =|𝒙𝟏−�̅�|+|𝒙𝟐−�̅�|+|𝒙𝟑−�̅�|+ … +|𝒙𝒏−�̅�|

𝑵

Ejemplo

Con los siguientes datos calcular la desviación media

286

2,8,6,3,7,5,15,17,1,14,13

Solución

Calculamos primero la media aritmética

�̅� =2+8+6+3+7+5+15+17+1+14+13

11

�̅� =91

11

�̅� = 8,2

Aplicando en la fórmula

𝐷�̅� =|𝑥1−�̅�|+|𝑥2−�̅�|+|𝑥3−�̅�|+ … +|𝑥𝑛−�̅�|

𝑁

𝐷�̅� =|2−8,2|+|8−8,2|+|6−8,2|+|3−8,2|+|7−8,2|+|5−8,2|+|15−8,2|+|17−8,2|+|1−8,2|+|14−8,2|+|13−8,2|

11

𝐷�̅� =|−6,2|+|−0,2|+|−2,2|+|−5,2|+|−1,2|+|−3,2|+|6,8|+|8,8|+|−7,2|+|5,8|+|4,8|

11

𝐷�̅� =6,2−0,2−2,2−5,2−1,2−3,2+6,8+8,8−7,2+5,8+4,8

11

𝐷�̅� =13,2

11

𝐷�̅� = 1,2

La desviación media 𝐷�̅� es de 1,2

La varianza para datos no agrupados

Definición. - La varianza 𝜎2 es el promedio o media aritmética de las desviaciones

respecto a la misma media, es decir, 𝜎2 =|𝒙𝟏−�̅�|𝟐+|𝒙𝟐−�̅�|𝟐+|𝒙𝟑−�̅�|𝟐+ … +|𝒙𝑵−�̅�|𝟐

𝑵

Ejemplo

Con los siguientes datos calcular la varianza

2,8,6,3,7,5

Solución

287

Calculamos primero la media aritmética

�̅� =2+8+6+3+7+5

6

�̅� =31

6

�̅� = 5,17

Aplicando en la fórmula

𝜎2 =|𝑥1−�̅�|2+|𝑥2−�̅�|2+|𝑥3−�̅�|2+ … +|𝑥𝑁−�̅�|2

𝑁

𝜎2 =|2−5,17|2+|8−5,17|2+|6−5,17|2+|3−5,17|2+|7−5,17|2+|5−5,17|2

6

𝜎2 =|−3,17|2+|3,17|2+|−1,17|2+|−2,17|2+|2,17|2+|0,17|2

6

𝜎2 =10,05+10,05+1,37+4,71+4,71+0,029

6

𝜎2 =30,92

6

𝜎2 = 5,2

La varianza 𝜎2 es igual a 5,2

Desviación típica para datos no agrupados

Definición. - La desviación típica 𝜎 se obtiene sacando la raíz cuadrada de la varianza

𝜎2, es decir, 𝜎 = √𝜎2

Ejemplo

Con los siguientes datos calcular la desviación típica

2,8,6,3,7,7

Solución

Calculamos la varianza y para ello debemos conocer la media aritmética primero

�̅� =2+8+6+3+7+7

6

288

�̅� =33

6

�̅� = 5,5

Operando

𝜎2 =|𝑥1−�̅�|2+|𝑥2−�̅�|2+|𝑥3−�̅�|2+ … +|𝑥𝑁−�̅�|2

𝑁

𝜎2 =|2−5,5|2+|8−5,5|2+|6−5,5|2+|3−5,5|2+|7−5,5|2+|7−5,5|2

6

𝜎2 =|−3,5|2+|2,5|2+|−0,5|2+|−2,5|2+|1,5|2+|1,5|2

6

𝜎2 =12,25+12,25+0,25+6,25+2,25+2,25

6

𝜎2 =35,5

6

𝜎2 = 5,9

Una vez obtenida la varianza calculamos la desviación típica

𝜎 = √𝜎2

𝜎 = √5,9

𝜎 = 2,43

La desviación típica 𝜎 es igual a 2,43

Ejercicios propuestos

Calcular la desviación media, la varianza y la desviación típica de los siguientes datos.

a) 2,8,6,1,1,2,5

b) 12,18,16,13,17

c) 2,8,6,3,7,5,15,17,1,2,5,14,13,5

d) 286,123,171,122,325,141,213,125

e) 8,8,8,8,8,8,8

289

f) 8,9,8,8,9,8,8

g) 3

4,

3

2,

4

4,

1

2,

5

3,

5

2

Datos agrupados

Definición. - Los datos agrupados son aquellos datos que pertenecen a un tamaño

demuestra mayor a 20 o más elementos, por lo que para ser analizados requieren ser

agrupados

Media aritmética de datos agrupados

Definición. - La media en el caso de 𝑛 datos agrupados en intervalos viene dado por la

siguiente fórmula

�̅� =𝑥1. 𝑛𝑖 + 𝑥2. 𝑛𝑖 + ⋯ + 𝑥𝑛. 𝑛𝑖

𝑛=

∑ 𝑥𝑖 . 𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

Donde:

𝑥𝑖 (marca de clase)

𝑛𝑖 (frecuencia absoluta)

𝑛 al total de frecuencias

Ejemplo

La altura en 𝑐𝑚 de los jugadores de un equipo de baloncesto está en la siguiente tabla.

Calcular la media.

Tabla 46 Altura de jugadores

Intervalo Marca de clase

𝑥𝑖

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

[160,170) 165 1

[170,180) 175 2

[180,190) 185 4

[190,200) 195 3

[200,2010) 205 2

TOTAL 12 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

290

Solución

Calculamos la media aritmética para los datos agrupados sustituyéndolos en la fórmula

�̅� =𝑥1.𝑛𝑖+𝑥2.𝑛𝑖+⋯+𝑥𝑛.𝑛𝑖

𝑛=

∑ 𝑥𝑖.𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

�̅� =165∗1+175∗2+185∗4+195∗3+205∗2

𝑛=

2250

12= 187.5

Ejercicios propuestos

En la siguiente tabla se muestra los tiempos que se tardaron 79 estudiantes en resolver un

examen de matemática, calcular la media aritmética.

Tabla 47 Tiempo en resolver un examen

Tiempo(min) Marca de clase

𝒙𝒊

Frecuencia absoluta

𝒏𝒊

[32 − 44[ 38 12

[44 − 56[ 50 22

[56 − 68[ 62 36

[68 − 80[ 74 9

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

En la siguiente tabla se muestra las edades de 20 estudiantes de danza, calcular la media

aritmética.

Tabla 48 Edad de estudiantes

Edad Marca de clase

𝑥1

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

[0 − 10) 5 6

[10 − 20) 15 3

[20 − 30) 25 3

[30 − 40) 35 6

[40 − 50) 45 2 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Mediana de datos agrupados

Definición. - Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando estos están

ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por 𝑀𝑒.

291

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +

𝑛2 − 𝑁𝑖−1

𝑛𝑖. 𝐴𝑖

Donde:

𝐿𝑖 límite inferior del intervalo en el cual se encuentra la mediana.

𝑛: número de datos del estudio. Es la sumatoria de las frecuencias absolutas.

𝑁𝑖−1: frecuencia acumulada del intervalo anterior al que se encuentra la mediana.

𝐴𝑖: amplitud del intervalo en el que se encuentra la mediana.

𝑛𝑖: frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la mediana.

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestran las edades de un grupo de personas:

Tabla 49 Edad de un grupo de personas

Edad Marca de clase

𝑥1

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

Frecuencia

absoluta

acumulada

𝑁𝑖

[0 − 10) 5 3 3

[10 − 20) 15 6 9

[20 − 30) 25 7 16

[30 − 40) 35 12 28

[40 − 50) 45 3 31 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Lo primero que debemos hacer para poder calcular la mediana es identificar la clase

mediana.

Para esto tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre. 𝑛

2

Es decir

𝑛

2=

31

2= 15.5

Calculamos la media aritmética mediante la fórmula y remplazamos valores

�̅� =𝑥1.𝑛𝑖+𝑥2.𝑛𝑖+⋯+𝑥𝑛.𝑛𝑖

𝑛=

∑ 𝑥𝑖.𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

292

�̅� =5∗3+15∗6+25∗7+35∗12+45∗3

31=

835

31= 26.93

�̅� = 26.93

Calculamos la mediana 𝑀𝑒 según la formula

𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 +𝑛

2−𝑁𝑖−1

𝑛𝑖. 𝐴𝑖

𝑀𝑒 = 20 +15.5−9

7. 10

𝑀𝑒 = 20 + 9,28

𝑀𝑒 = 29.28

Ejercicios propuestos

Hallar la media y mediana de los siguientes datos

Tabla 50 Tabla de datos: media ejercicio 1

Marca de clase

𝑥1

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

Frecuencia

absoluta

acumulada

𝑁𝑖

[35 − 40) 35.5 6 3

[40 − 45) 42.5 8 9

[45 − 50) 47.5 12 16

[50 − 55) 52.7 7 28

[55 − 60) 57.5 5 31 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Mediante la siguiente tabla de distribución hallar la media

Tabla 51 Tabla de datos: media ejercicio 2.

Intervalos Marca de clase

𝑥1

Frecuencia absoluta

𝑛𝑖

[0 − 4) 2 3

[4 − 8) 6 5

[8 − 12) 10 6

[12 − 16) 14 4

[16 − 20) 18 3 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

293

Moda

Definición. - Es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En tablas de

frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. La moda se representa por

𝑀𝑜, con la siguiente fórmula

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1

𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1 + 𝑛𝑖+1. 𝐴𝑖

Donde:

𝐿𝑖: límite inferior del intervalo en el cual se encuentra la moda.

𝑛𝑖−1: frecuencia absoluta del intervalo anterior en el que se encuentra la moda.

𝑛𝑖: frecuencia absoluta del intervalo en el que se encuentra la moda.

𝑛𝑖+1: frecuencia absoluta del intervalo siguiente en el que se encuentra la moda.

𝐴𝑖: amplitud del intervalo en el que se encuentra la moda.

Ejemplo

Hallar la moda de la siguiente tabla de datos

Tabla 52 Datos ejemplo moda: datos agrupados

Edad Marca de clase

𝑥1

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

Frecuencia

absoluta

acumulada

𝑁𝑖

[0 − 10) 5 3 3

[10 − 20) 15 6 9

[20 − 30) 25 7 16

[30 − 40) 35 12 28

[40 − 50) 45 3 31 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Solución

Lo primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal de mayor frecuencia

absoluta

Aplicamos la fórmula de moda y sustituimos valores

294

𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 +𝑛𝑖−𝑛𝑖−1

𝑛𝑖−𝑛𝑖−1+𝑛𝑖+𝑛𝑖+1. 𝐴𝑖

𝑀𝑜 = 30 +12−7

12−7+12−3. 10

𝑀𝑜 = 30 +5

14. 10

𝑀𝑜 = 30 + 3.6

𝑀𝑜 = 33.6

Ejercicios propuestos

Identificar el intervalo modal y calcular la moda de la distribución estadística que viene

dada por la siguiente tabla

Tabla 53 Tabla de datos: moda ejercicio 1

Intervalo Frecuencia absoluta

𝑛𝑖

[60 − 63) 5

[63 − 66) 18

[66 − 69) 42

[69 − 72) 27

[72 − 75) 8 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Identificar el intervalo modal y calcular la moda de la distribución estadística que viene

dada por la siguiente tabla

Tabla 54 Tabla de datos: moda ejercicio 2

Marca de clase

𝑥1

Frecuencia

absoluta

𝑛𝑖

Frecuencia

absoluta

acumulada

𝑁𝑖

[35 − 40) 35.5 6 3

[40 − 45) 42.5 8 9

[45 − 50) 47.5 12 16

[50 − 55) 52.7 7 28

[55 − 60) 57.5 5 31 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Rango

Definición. – Es la diferencia entre el valor mayor y el menor de los datos.

295

𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑛𝑚𝑎𝑥 − 𝑛𝑚𝑖𝑛

Donde:

𝑛𝑚𝑎𝑥 (Valor máximo)

𝑛𝑚𝑖𝑛 (Valor mínimo)

Ejemplo

En una tienda de zapatos femeninos se consultó la edad a todas las personas que entraban

entre las 11:00 h y 14:00 h. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Tabla 55 Edad de clientes: ejemplo rango

35 32 53 11

22 68 25 65

12 21 17 19

54 33 27 32 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Rango = 68 − 11

Varianza

Definición. – Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre la media aritmética

y cada marca de clase y se la aplica con la siguiente formula

𝜎 =∑ 𝑥𝑖

2𝑛𝑖=1

𝑛− 𝑥2

Ejemplo

La altura en 𝑐𝑚 de los jugadores de un equipo de baloncesto está en la siguiente tabla,

calcular la varianza

Tabla 56 Altura de jugadores: varianza ejemplo

Intervalo Marca de clase

𝑥𝑖

Frecuencia absoluta

𝑛𝑖

[160,170) 165 1

[170,180) 175 2

[180,190) 185 4

[190,200) 195 3

296

[200,2010) 205 2

TOTAL 12

Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Solución

Para calcular la varianza debemos tener el valor de la media aritmética

�̅� =∑ 𝑥𝑖.𝑛𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛

�̅� = 187.5

Aplicamos la fórmula de varianza

𝜎 =∑ 𝑥𝑖

2. 𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑛− 𝑥2

𝜎 =1652∗1+1752∗2+1852∗4+1952∗3+2052∗2

12− 187.5

𝜎 =423500

12− 187.5

𝜎 = 132.42

Ejercicio Propuesto

Según los datos de la tabla de distribución, encontrar la varianza

Tabla 57 Tabla de datos: varianza ejercicio 1

Intervalo Frecuencia absoluta

𝑛𝑖

[60 − 63) 5

[63 − 66) 18

[66 − 69) 42

[69 − 72) 27

[72 − 75) 8 Fuente: Elaborada por Alexander Morán

Desviación estándar de datos agrupados

Definición. - La desviación estándar agrupada es la dispersión promedio de todos los

puntos de los datos alrededor de su media grupal, la desviación estándar es la raíz cuadrada

positiva de la varianza es decir que:

297

𝜎 = √∑ 𝑥𝑖

2. 𝑛𝑖𝑛𝑖=1

𝑛− 𝑥2

Ejemplo

En nuestro ejemplo anterior encontramos la siguiente varianza

𝜎 =423500

12− 187.5

𝜎 = 132.42

Solución

Para encontrar la desviación estándar aplicamos la raíz cuadrada a nuestro resultado de

varianza

𝜎 = √132.43

𝜎 = 11.50

Ejercicio propuesto

Con los siguientes datos, formular una tabla de frecuencias y encontrar la medida de

tendencia central (media aritmética �̅�, mediana 𝑀𝑒 y la moda 𝑀𝑜, además calcular el rango,

la varianza y desviación estándar para datos agrupados.

Datos

“De 55 personas 4 tienen entre 44 y 50 años” “9 de cada 55 personas tienen 22 años o

menos” “Sólo 2 de 55 personas tienen 51 años o más”

298

Espacio muestral

Definición. - En la teoría de probabilidades, el espacio muestral o espacio de

muestreo denotado como ( 𝐸, 𝑆, 𝛺, 𝑈) , consiste en el conjunto de todos los posibles

resultados de un experimento aleatorio, junto con una estructura sobre el mismo

Ejemplo

Al tirar un dado, ¿cuál sería su espacio muestral?

Solución

𝑆 = {1,2,3,4,5,6, } (conjunto de los posibles resultados)

Ejercicios

El papá de un bebé próximo a nacer quiere que su hijo se llame Juan, Camilo o Felipe. La

mamá por su parte, pretende que se llame Andrés o Pablo. Para que ambos queden felices

deciden combinar los nombres propuestos, considerando que primero irá el del papá y, luego,

el de la mamá. ¿De cuántas formas diferentes se pueden proponer un nombre para el bebé?

¿En un experimento se intenta seleccionar un digito, cuál sería su espacio muestral?

Sucesos

Definición. - Llamamos suceso elemental a cualquiera de los posibles resultados simples

del experimento aleatorio

299

Ejemplo

Al tirar un dado, ¿Cuáles serían sus sucesos elementales?

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} (posibles resultados)

Axiomas de probabilidad

Definición. - Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben

verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine

consistentemente sus probabilidades

Unión de sucesos: (𝐴 ∪ 𝐵), serán los resultados del experimento que están en 𝐴 𝑜 𝐵

Ejemplo

𝐴 = {𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜} = {2,4,6}

𝐵 = {𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} = {3,6}|

Entonces:

𝐴 ∪ 𝐵 = {2,3,4,6}

Intersección de sucesos: 𝐴 ∩ 𝐵 , serán los puntos que son de 𝐴 𝑦 𝐵

Ejemplo

𝐴 = {𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜} = {2,4,6}

𝐵 = {𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} = {3,6}

Entonces:

𝐴 ∩ 𝐵 = {6}

300

Complementación de sucesos: �̅�, son los puntos que no están en 𝐴 𝑜 𝐵

Ejemplo

𝐴 = {𝐿𝑎𝑛𝑧𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑜} = {2,4,6}

𝐵 = {𝑠𝑎𝑙𝑖𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3} = {3,6}

Entonces: �̅� = {1,3,5} 𝑦 �̅� = {1,2,4,5}

Ejemplo de operaciones con sucesos

En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos

el número que tiene.

Describe los sucesos.

𝐴 = “Obtener par”

𝐵 = “Obtener impar”

𝐶 = “Obtener número menos a 8”

¿Qué relación hay entre A y B?

¿Y entre C y D?

301

¿Cuál es el suceso A ∪ B? ¿y C ∩ D?

Probabilidad

Definición. - Dado un experimento aleatorio con un espacio de 𝑛 sucesos elementales Ω,

la probabilidad del suceso 𝐴, que designamos mediante 𝑃(𝐴), es la razon entre la cantidad

de casos favorables para la ocurrencia de 𝐴, es decir que

𝑃(𝐴) =𝑛𝐴

𝑁

Donde:

𝑛𝐴 (Cantidad de casos favorables)

Ejemplo

Calcular la probabilidad de que al tirar un dado dos veces consecutivas, la suma de los

puntos obtenidos sea no menor que 8.

Solución

Al resultado del experimento designamos con (𝑖, 𝑗)

El conjunto de sucesos elementales que describe los resultados de un experimento de este

tipo, se compone de 6 × 6 = 36 puntos de la forma (𝑖, 𝑗) como se muestra a continuación

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

302

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

Datos

El suceso 𝐴 consiste en que la suma de los puntos obtenidos sea 8 o mayor

La cantidad de estos sucesos que aplican al suceso son 15

Considerando que los 36 resultados posibles son equiprobables aplicamos la

fórmula de probabilidad

𝑃(𝐴) =15

36

𝑃(𝐴) =5

12

Ejercicios

Nuestra moneda, tiene 2 caras: cara o sello. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al

lanzar una moneda?

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado?

Se considera un experimento consistente en arrojar un dado dos veces consecutivas.

Calcular la probabilidad cuando

303

La suma de los resultados sea igual a 5

La suma de los resultados sea menor de 5

Probabilidad condicionada

Definición. - La probabilidad de que ocurra el suceso 𝐴 si ha ocurrido el suceso 𝐵 se

denomina probabilidad condicionada y se define

𝑝(𝐴|𝐵) =𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑝(𝐵) 𝑠𝑖 𝑝(𝐵) ≠ 0

Ejemplo

Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la

probabilidad de que un fumador sea hipertenso?

Solución

𝐴 = {𝑠𝑒𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜}

𝐵 = {𝑠𝑒𝑟 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟}

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑠𝑒𝑟 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜 𝑦 𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟}

Aplicamos la fórmula de probabilidad condicionada

(𝐴|𝐵) =0,10

0,50

(𝐴|𝐵) = 0,20

Ejercicio Propuesto

304

Una urna contiene 10 bolas, de las cuales 3 son rojas, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al

azar 3 bolas. Calcular la probabilidad de que la primera sea azul, y dos verdes

Teorema de Bayes

Definición. - Sea 𝐴1,𝐴2, … 𝐴𝑛un sistema completo de sucesos 𝐵,un suceso cualquiera

asociado al mismo experimento. Entonces, se cumple que:

𝑃(𝐴𝑖 / 𝐵) =𝑃(𝐴𝑖). 𝑃(𝐵 / 𝐴𝑖)

𝑃(𝐵)

Donde

𝑃(𝐴𝑖 ) (Prioridad a priori de suceso A)

𝑃(𝐵/𝐴𝑖 ) (Probabilidad condicional, Suceso que tendría que ocurrir a cada suceso A)

𝑃(𝐵) (Probabilidad total)

𝑃(𝐴𝑖 /𝐵) (Probabilidad a posteriori de un suceso A)

Ejemplo

En la carrera de informática, la probabilidad de que a un alumno seleccionado al azar le

guste el helado es del 60 %, mientras que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta

es del 36 %. Además, se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste la torta dado

que le gusta el helado es del 40 %. Calcular la probabilidad de que a un alumno le guste el

helado, dado que le gusta la torta.

305

Solución

Primero definimos los 2 eventos con los que vamos a trabajar:

ℎ : que a un alumno le guste el helado.

𝑡 : que a un alumno le guste la torta.

𝑃(ℎ) = 0,6

𝑃(𝑡) = 0,36

𝑃 = (𝑡|ℎ) = 0,4

Aplicamos el teorema de Bayes para encontrar 𝑃 = (ℎ|𝑡)

𝑃(ℎ|𝑡) =𝑃(ℎ).𝑃(𝑡|ℎ)

𝑃(𝑡)

𝑃(ℎ|𝑡) =0,6∗0,4

0,36

𝑃(ℎ|𝑡) =0,24

0,36

𝑃(ℎ|𝑡) =24

36

𝑃(ℎ|𝑡) =2

3

𝑃(ℎ|𝑡) = 0,6667

𝑃(ℎ|𝑡) = 66,67% (probabilidad de que al alumno le guste el helado, dado que le guste

la torta)

Ejercicios propuestos

En un congreso se reúnen 250 médicos de Europa, de los cuales 115 son alemanes,

65 franceses, y 70 ingleses. De estos médicos, el 75% de los alemanes, el 60% de los

franceses y el 65% de los ingleses están a favor de utilizar una nueva vacuna para la gripe.

306

Si escogemos un médico al azar, y está a favor de aplicar la vacuna, ¿cuál es la probabilidad

de que sea francés?

En un colegio, la probabilidad de que a un alumno le guste la mayonesa es de 65 %, la

probabilidad de que le guste el kétchup es de 70 %, y la probabilidad de que le guste la

mayonesa y el kétchup es de 55 %. ¿Cuál es la probabilidad de que a un alumno le guste la

mayonesa, dado que le gusta el kétchup?

307

Evaluación de la unidad

Tema: Estadística

1. La frecuencia relativa acumulada 𝑭𝒊 de un valor de 𝒙 es igual a:

a) 𝐹𝑖 =𝑁𝑖

𝑁

b) 𝐹𝑖 = 𝑁𝑖 × 𝑁

c) 𝐹𝑖 = √𝑁𝑖

𝑁

2. Elaborar una tabla de frecuencias a partir de los datos de una encuesta realizada

en 30 hogares en la que se les preguntó el número de individuos que conviven en

el domicilio habitualmente. Las respuestas obtenidas han sido las siguientes:

4,4,1,3,5,3,2,4,1,6,2,3,4,5,5,2,6,3,3,2,2,1,8,3,5,3,4,7,2,3

Individuos

conviviend

o

Frecuenci

a

absoluta

Frecuenci

a

acumulad

a

Frecuenci

a

relativa

Frecuenci

a

Relativa

acumulad

a

Frecuenci

a

porcentu

al

Frecuenci

a

Porcentu

al

acumulad

a

Total

3. Las notas de los estudiantes del segundo de bachillerato son

18,19,15,13,15,16,18,19,20,13,13,14,14,15,14,16,17,17,16,15,17,17,17,18,15,14,15

c) Encontrar el promedio de las calificaciones de los estudiantes

308

d) Encontrar la moda y mediana de las calificaciones

4. Dados los siguientes datos:

h) 1,1,2,2,2,3

i) 8,7,8,6,8,7,6,8,9,8,7,6,8,7,6,7,8,6,8,9,7

j) 120,140,130,120,120,130,120,150,120,130,130,130,140

k) 7,7,7,7,7,7,7,7

l) 3

4,

3

2,

4

4,

1

2,

5

3,

5

2,

Calcular la desviación media, la varianza y la desviación típica para datos no agrupados.

5. En la siguiente tabla se muestra los tiempos que se tardaron 69 estudiantes en

resolver un examen de matemática, calcular la media aritmética.

Tiempo(min) Marca de clase

𝒙𝒊

Frecuencia absoluta

𝒏𝒊

[32 − 44[ 38 24

[44 − 56[ 50 22

[56 − 68[ 62 23

6. Según los datos de la tabla de distribución, encontrar la varianza

Intervalo Frecuencia absoluta

𝑛𝑖

[60 − 63) 3

[63 − 66) 16

[66 − 69) 40

[69 − 72) 25

[72 − 75) 6

7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones de una baraja de 52

cartas?

309

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Alvites, C. G. (Junio de 2017). Herramientas TIC en el aprendizaje en el área de matemática: Caso

Escuela PopUP, Piura-Perú. Hamut´ay, 18-30. doi:10.21503/hamu.v4i1.1393

Aretio, L. G. (Febrero de 2019). La Guía Didáctica. 1-9. BENED. Recuperado el 11 de Diciembre de

2019, de http://e-spacio.uned.es/fez/eserv/bibliuned:23045/guia_didactica.pdf

Avalos, M. (2010). ¿Cómo trabajar con TIC en el aula? Una guía para la acción pedagógica.

(Primera ed.). Buenos Aires, Argentina: BIBLOS.

Belloch Ortí, C. (s.f.). LAS TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN (T.I.C.).

Universidad de Valencia, Valencia. Obtenido de

https://www.uv.es/bellochc/pedagogia/EVA1.pdf

Benítez, G. M. (2007). El proceso de enseñanza- aprendizaje:. NTIC, interacción y aprendizaje en la

Universidad. Obtenido de

https://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/8929/Elprocesodeensenanza.pdf

Cabezas, M. R. (4 de Noviembre de 2014). Herramientas tecnológicas como instrumentos para la

gestión del conocimiento en las organizaciones cooperativas. Santa Marta, Colombia.

Recuperado el 11 de Diciembre de 2019, de

https://pdfs.semanticscholar.org/42b7/df6535d796643f29bb1f3c1c80df7668c181.pdf?_g

a=2.195588012.1221642012.1576079128-1214899130.1576079128

Castillo, L. (2005). Analisis Documental. Obtenido de Universidad de Valencia:

https://www.uv.es/macas/T5.pdf

Castillo, S. (Junio de 2008). PROPUESTA PEDAGÓGICA BASADA EN EL CONSTRUCTIVISMO PARA EL

USO ÓPTIMO DE LAS TIC EN LA ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA.

Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa. Obtenido de

http://www.scielo.org.mx/pdf/relime/v11n2/v11n2a2.pdf

Chavez Barbosa, E., & Rodríguez Miranda, L. (2017). Análisis de confiabilidad y validez de un

cuestionario sobre entornos personales de aprendizaje (PLE). Ensayos Pedagógicos.

Recuperado el 17 de Enero de 2020, de

https://www.revistas.una.ac.cr/index.php/ensayospedagogicos/article/view/10645/1319

7

Cruz, J. A. (199). La Didáctica de las Matemáticas: una visión general. RED TELEMÁTICA

EDUCATIVA EUROPEA. Recuperado el 11 de Diciembre de 2019, de

https://www.researchgate.net/publication/283356374_La_Didactica_de_las_Matematica

s_una_vision_general

Cuicas Ávila , M. P., Chourio, E. D., Carniel, L. C., & Álvarez Vargas , Z. (2007). EL SOFTWARE

MATEMÁTICO COMO HERRAMIENTA PARA EL. Revista Electrónica "Actualidades

Investigativas en Educación, 36. Obtenido de

http://www.redalyc.org/pdf/447/44713044001.pdf

310

Educación, M. d. (s.f.). LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICA. ÁREA DE

MATEMÀTICA .

El Nacional Council of Teachers of Mathematics. (2014). Principios para la Acción. Obtenido de

https://www.nctm.org/uploadedFiles/Standards_and_Positions/Principles_to_Actions/Pt

AExecutiveSummary_Spanish.pdf

Farell, E. G., Egaña, E., & Fernandez, F. (2003). Método de la investigación científica. Cientifica

Técnica.

Fernández, C., Hernández, R., & Baptista, P. (2006). METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN.

México: McGraw-Hill. Obtenido de

https://investigar1.files.wordpress.com/2010/05/1033525612-mtis_sampieri_unidad_1-

1.pdf

García Hernández, I., & Blanco, G. d. (2014). Las guías didácticas: recursos necesarios para el

aprendizaje autónomo. EDUMECENTRO. Obtenido de

http://scielo.sld.cu/pdf/edu/v6n3/edu12314.pdf

Godino, J. D. (2011). Indicadores de idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje

de las matemáticas. XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. Obtenido

de https://www.ugr.es/~jgodino/eos/jdgodino_indicadores_idoneidad.pdf

Gutiérrez Marín, E., Gil-Madrona, P., Prieto-Ayuso, A., & Díaz-Suarez, A. (julio de 2017). Conductas

apropiadas en Educación Física y el deporte en la escuela y validación de la escala.

Conductas apropiadas en Educación Física y el deporte en la escuela y validación de la

escala, 17(2), 99-110. Recuperado el 11 de Diciembre de 2019, de

https://www.redalyc.org/pdf/2270/227052203011.pdf

Infante, P., Quintero, H., & Logreira, C. (2010). INTEGRACIÓN DE LA TECNOLOGÍA EN LA

EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Revista Electrónica de Estudios Telemáticos, 15. Obtenido de

https://www.redalyc.org/pdf/784/78415022003.pdf

Kuznik, A., Hurtado Albir, A., & Espinal Berenguer, A. (2010). El uso de la encuesta de tipo social en

Traductología. Características metodológicas. Redalyc.org, 2, 315-344. Recuperado el 11

de Diciembre de 2019, de https://www.redalyc.org/pdf/2651/265119729015.pdf

Mariño, G. (2005). LA EDUCACIÓN MATEMATICA TRADICIONAL. Decisio-CREFAL, 11. Obtenido de

http://www.germanmarino.com/phocadownloadpap/POR%20DNDE%20ANDA%20LA%20

EDUCACIN%20MATEMTICA%20DE%20JVENES%20Y%20ADULTOS.pdf

Ministerio de Educación del Ecuador. (31 de Marzo de 2011). Ley Orgánica de Educación

Intercultural No. 417. Segundo Suplemento del Registro Oficial. Obtenido de

https://www.wipo.int/edocs/lexdocs/laws/es/ec/ec023es.pdf

Ministerio de Educación del Ecuador. (2016). INSTRUCTIVO PARA LA APLICACIÓN DE LA

EVALUACIÓN ESTUDIANTIL. Quito: MinEduc. Obtenido de https://educacion.gob.ec/wp-

content/uploads/downloads/2016/07/Instructivo-para-la-aplicacion-de-la-evaluacion-

estudiantil.pdf

311

Ministerio de Educación. (s.f.). LA IMPORTANCIA DE ENSEÑAR Y APRENDER MATEMÁTICA. 1-19.

Recuperado el 11 de Diciembre de 2019, de

http://web.educacion.gob.ec/_upload/10mo_anio_MATEMATICA.pdf

Moya López, M. (2013). De las TICs a las TACs: la importancia de crear contenidos educativos.

REVISTA CIENTIFICA DE OPINIÓN Y DIVULGACIÓN, 15. Obtenido de

http://dim.pangea.org/revistaDIM27/docs/AR27contenidosdigitalesmonicamoya.pdf

Oliva, H. A. (2015). El Refuerzo Educativo. El Salvador: Instituto de Ciencia, Tecnolgía e Innovación

(ICTI). Obtenido de http://icti.ufg.edu.sv/doc/el.refuerzo.educativo.pdf

Ortiz Herrera, J. D., & Armijos Cabrera, E. A. (2015). Guía de matemática para el proceso de

enseñanza aprendizaje de segundo año del Bachillerato en Ciencias. Tesis de Posgrado,

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR, Quito. Obtenido de

http://www.dspace.uce.edu.ec/handle/25000/4508

Pere Marqués, G. (2013). Impacto de las Tic en la educación: Funciones y limitaciones. 3C TIC.

Obtenido de https://www.3ciencias.com/wp-content/uploads/2013/01/impacto-de-las-

tic.pdf

Pérez, V. (2010). Función Algebraica. La Guia. Recuperado el 17 de Diciembre de 2019, de

https://matematica.laguia2000.com/general/funcion-algebraica

Pérez, V. (17 de agosto de 2010). La guia . Recuperado el 17 de Diciembre de 2019, de

https://matematica.laguia2000.com/general/funcion-algebraica

Real Pérez, M. (2011). Las TIC en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Cevilla. Obtenido de

https://personal.us.es/suarez/ficheros/tic_matematicas.pdf

Rivera Muñoz, J. (2004). EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO Y LA EVALUACIÓN DE LOS APRENDIZAJES.

REVISTA DE INVESTIGACIÓN EDUCATIVA, 52. Recuperado el 09 de Diciembre de 2019, de

http://online.aliat.edu.mx/adistancia/dinamica/lecturas/El_aprendizaje_significativo.pdf

Riveros, V., Mendoza, M. I., & Castro, R. (2011). Las tecnologías de la información y la

comunicación en el proceso de instrucción de la matemática. Quórum Académico, 8(1),

15. Obtenido de http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=199018964007

Rodríguez, M. L. (2011). La teoría del aprendizaje significativo: una revisión aplicable en la escuela

actual. Revista Electrònica d’Investigació i Innovació Educativa i Socioeducativa, 3(11), 29-

50. Obtenido de Dialnet-LaTeoriaDelAprendizajeSignificativo-3634413.pdf

Trigo Ibáñez, E., & Moreno Verdulla, P. (2017). Las TIC y las TAC al servicio de la educación: Una

introducción a los mapas conceptuales y la toma de apuntes. REVISTA DE ESTUDIOS

SOCIOEDUCATIVOS, 89-113. Obtenido de

https://revistas.uca.es/index.php/ReSed/article/view/S.1.7N5/3686

Yánez M, P. (2016). El proceso de aprendizaje: fases y elementos fundamentales. REVISTA SAN

GREGORIO, 1, 70-78. Obtenido de http://oaji.net/articles/2016/3757-1472501941.pdf

312

ANEXOS

ANEXO A Autorización para realizar la investigación

313

ANEXO B. Operacionalización de variables

Variable Definición

Operacional

Dimensiones Indicadores Ítems Técnicas Instrumentos

Variable

independiente

Guía

matemática

Es un instrumento

con orientación

técnica para el

estudiante, que

optimiza el

desarrollo del

proceso enseñanza

aprendizaje de la

matemática.

Métodos, técnicas y

recursos para el proceso

de enseñanza

aprendizaje

La Tecnologías de

información y

comunicación (TIC) en

el proceso de enseñanza

aprendizaje.

Métodos tradicionales

(clase magistral).

Enseñanza

participativa.

Recursos materiales

(textos de matemática).

Macro destrezas.

Debate académico.

Evaluaciones

constantes.

Actividades mediante

TIC.

Desarrollo de clase en

laboratorios.

Recursos externos

(guías y textos).

Herramientas

informáticas.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

314

Variable Definición

Operacional

Dimensiones Indicadores Ítems Técnicas Instrumentos

Variable

dependiente

Refuerzo

académico

Estrategias

planificadas para

fortalecer la

adquisición de

aprendizajes

esperados en la

lección, unidad y

grado respectivo

mejorando los

resultados

académicos.

Profundización del

conocimiento y

aprendizaje

significativo.

Las Tecnologías de

información y

comunicación en el

refuerzo académico.

Retroalimentación.

Clases de refuerzo.

Mejora conocimientos.

Recursos aptos.

Herramientas

motivadoras.

Complementar

aprendizaje.

Tutorías virtuales.

Refuerzo académico

mediante herramientas

TIC.

Actividades mediante

herramientas

tecnológicas.

TIC como refuerzo

académico.

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Encuesta

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

Cuestionario

315

ANEXO C Validación del instrumento

316

317

318

DATOS INFORMATIVOS:

Edad: ________ Género: M F Otro: ___________

ANEXO D Encuestas para estudiantes

CUESTIONARIO PARA ESTUDIANTES SOBRE EL DESARROLLO DE GUÍA MATEMÁTICA

COMO REFUERZO ACADÉMICO MEDIANTE LAS TICs Y TACs EN LOS ESTUDIANTES

DEL SEGUNDO AÑO DE BGU DEL COLEGIO NACIONAL “AMAZONAS” EN EL PERIODO

LECTIVO 2018- 2019.

Presentación. - Estimado estudiante, el presente tiene como finalidad recoger toda la información

acerca del proceso de refuerzo académico de la asignatura de la matemática de los segundos años del

BGU para luego desarrollar una guía didáctica mediante las tecnologías de información y

comunicación (TIC) y las tecnologías de aprendizaje y conocimiento (TAC). Por el cual se le solicita

responder el siguiente cuestionario.

Indicaciones: Lea detenidamente cada pregunta del siguiente cuestionario y marque con una X en la

casilla que considere de acuerdo su criterio.

La escala de frecuencia consta de (5) parámetros anotados de la siguiente manera:

S Siempre = 5

CS Casi Siempre = 4

AV A Veces = 3

CN Casi Nunca = 2

N Nunca = 1

PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

PREGUNTAS OPCIONES

N(l) CN (2) AV (3) CS(4) S(5) 1 El docente utiliza métodos tradicionales

(clase magistral) para el proceso de

enseñanza - aprendizaje de matemática.

2 Utiliza el docente una enseñanza

participativa en las clases de

matemática.

3 Con que frecuencia el docente utiliza el

texto especializado de matemática para

el desarrollo de la clase.

4 El docente utiliza información y

diferentes conocimientos del estudiante

para comprender, interpretar y resolver

problemas de matemática (macro

destreza).

5 Mejora su oportunidad de conocimiento

si el docente utiliza el debate

académico como medio de enseñanza

de matemática.

319

6 ¿Cree que las evaluaciones constantes

permiten identificar a tiempo sus

deficiencias en la matemática a fin de

mejorarlas?

7 El docente desarrolla actividades de

aprendizaje utilizando las tecnologías

de información y comunicación (TIC)

como recurso de enseñanza de la

matemática.

8 Con que frecuencia utilizan

laboratorios de informática para el

desarrollo académico áulico de la

matemática mediante el uso de las TIC.

9 Cuando el docente envía tarea, usted

utiliza fuentes de consultas externas

como guías y textos de matemática

físicos o digital para desarrollarlo.

10 Con que frecuencia usted utiliza

software educativo de matemática

como apoyo para mejorar las

actividades o tareas enviadas por el

docente

PROCESO DE REFUERZO ACADEMICO

11 El docente realiza retroalimentación de

temas anteriores cuando trata temas

nuevos de matemática.

12 Con que frecuencia usted asiste a clases

de refuerzo académico de matemática.

13 ¿Cuándo usted recibe clases de

matemática como refuerzo académico

mejora sus conocimientos y

calificaciones?

14 Los recursos (materiales, tecnológicos)

utilizados por el docente son adecuados

para reforzar sus conocimientos de

matemática.

15 El docente utiliza técnicas y

herramientas motivadoras a fin de

reforzar el aprendizaje significativo de

matemática.

16 Con que frecuencia el docente utiliza

herramientas informáticas para

complementar el aprendizaje de

matemática.

320

17 El docente realiza tutorías virtuales a

través de plataformas educativas online

para reforzar el aprendizaje de

matemática.

18 Con que frecuencia el docente utiliza

herramientas tecnológicas de

matemática para reforzar temas

tratados en clase.

19 Con que frecuencia usted utiliza

herramientas tecnológicas para resolver

problemas o ejercicios propuestos de

matemática.

20 ¿Considera usted que el uso de las

tecnologías de información y

comunicación (TIC) como refuerzo

académico de matemática mejoran la

calidad de educación?

¡GRACIAS POR SU COLABORACIÓN!!!

321

ANEXO E Evidencia de las encuestas

322

323

324

ANEXO F URKUND