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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y
MATEMÁTICA
CONSEJO DE POSGRADO
Metodología de Enseñanza del Método de Elementos Finitos
para estudiantes de ingeniería
Trabajo de Titulación previo a la obtención del Título de Magíster en
Docencia Matemática Universitaria
AUTOR: Ing. Marlon Fabricio Tacco Cedeño
TUTOR: Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño
Quito, 2018
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, Marlon Fabricio Tacco Cedeño, en calidad de autor y titular de los derechos
morales y patrimoniales del trabajo de titulación, Metodología de Enseñanza del
Método de Elementos Finitos para estudiantes de ingeniería, modalidad
Presencial, de conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA
SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la
Universidad Central del Ecuador, una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva
para el uso no comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a
mi favor todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa
citada.
Así mismo autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la
digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual, de
conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su forma
de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la
responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa y
liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Firma: _______________________
Marlon Fabricio Tacco Cedeño
CC. 1711807071
Dirección electrónica: [email protected]
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR
En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación, presentado por MARLON FABRICIO
TACCO CEDEÑO, para optar por el Grado de Magíster en Docencia Matemática
Universitaria; cuyo título es: METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE
ELEMENTOS FINITOS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, considero que dicho trabajo
reúne los requisitos mínimos y suficientes para ser sometido a la presentación pública y
evaluación por parte del tribunal examinador que se designe.
En la ciudad de Quito, a los 13 días del mes de julio del 2018.
__________________________________________________
Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño DOCENTE - TUTOR CC. 1712454063
iv
DEDICATORIA
A mi esposa Celeste y mis hijas Ana Paula y Valentina, quienes me inspiran e inyectan
de ánimo y fuerza de voluntad para seguir adelante con proyectos de vida como este,
por su invaluable paciencia y comprensión, sabiendo que todo sacrificio tiene su
recompensa, aprendiendo que las mejores cosas, se consiguen luchando; sin olvidar la
sencillez y humildad que se debe tener al momento de aceptar equivocaciones o
simplemente pedir la ayuda de una mano amiga, pero siempre tener en alto valores y
principios que nos ayuden siempre a ser mejores personas.
Para ellas dedico este trabajo, que, en definitiva; se traduce en el amor y la entrega
que debemos tener para desarrollar cualquier actividad que demande sacrificio en
nuestras vidas y así alcanzar el éxito que tanto anhelamos.
v
AGRADECIMIENTOS
A Dios, quien ha sido mi soporte y testigo de muchas noches de trabajo, de constantes
quejas silenciosas, por ser un camino difícil en el que muchas veces sentí desfallecer y
con ganas de claudicar.
A mis padres, por haberme enseñado a ser responsable y luchar hasta el final, sin pasar
por encima de nadie; sino más bien tratando siempre de conseguir las cosas, con
paciencia y trabajo, siendo amable y cordial.
A Juan Carlos García, mi jefe a quien considero y respeto, por ser la persona que me
inculca siempre a asumir retos y no quedarme estático, siempre ir hacia adelante,
buscando ser mejor en lo que hago, por ayudarme a tener espacio de tiempo en mi
trabajo y poder culminar este proyecto tan importante en mi vida.
A mi amigo Mario Cueva, quien de una forma u otra es el responsable de que me
encuentre inmerso en el mundo de la Matemática, un mundo realmente fascinante.
A mi amigo Carlos Jacho, por ser una persona incondicional y ayudarme siempre que lo
he necesitado.
A todos los profesores de la maestría, quienes demostraron ser tolerantes y
considerados, para que ahora pueda conseguir esta meta tan anhelada.
A Guillermo Albuja, mi tutor, quien acertadamente propuso este trabajo para que lo
pueda desarrollar en el tiempo previsto.
A mis compañeros de maestría, en especial a Hiraín Alvarez, quienes estuvieron
dispuestos a darme su ayuda siempre que lo necesité.
En definitiva, a toda mi familia y amigos, que, durante estos tres años, estuvieron
prestos a apoyarme y darme fuerzas para no abandonar el camino.
vi
Contenido DERECHOS DE AUTOR .................................................................................................................. ii
CERTIFICADO DEL TUTOR ............................................................................................................ iii
ANÁLISIS URKUND ....................................................................................................................... iv
DEDICATORIA ............................................................................................................................... v
AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................... vi
LISTA DE FIGURAS Y TABLAS ......................................................................................................... x
RESUMEN .................................................................................................................................... xi
ABSTRACT................................................................................................................................... xii
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 1
CAPITULO 1 ........................................................................................... 2
ASPECTOS GENERALES ................................................................................................................. 2
1.1 PRESENTACIÓN DE PROBLEMA .......................................................................................... 2
1.2 METODOLOGÍA PROPUESTA .............................................................................................. 2
1.2.1 Formulación del Problema .......................................................................................... 2
1.2.2 Desarrollo de la metodología ...................................................................................... 3
1.2.3 Soluciones teórica y experimental de la ecuación de calor ......................................... 3
1.3 Justificación ........................................................................................................................ 3
1.4 Objetivos ............................................................................................................................ 4
1.4.1 Objetivo General ......................................................................................................... 4
1.4.2 Objetivos específicos ................................................................................................... 4
CAPITULO 2 ........................................................................................... 5
ECUACIÓN DE CALOR Y SU DEDUCCIÓN ....................................................................................... 5
2.1 Transmisión de Calor .......................................................................................................... 5
2.1.1 Por Conducción ........................................................................................................... 5
2.1.2 Por Radiación............................................................................................................... 6
2.1.3 Por Convección ............................................................................................................ 6
2.2 Contexto Histórico de la Ecuación de Calor ........................................................................ 8
2.3 Ecuación de Calor Unidimensional ................................................................................... 10
2.4 Relación de la Ecuación de Calor con la ley de Fick .......................................................... 11
2.5 Solución analítica de la Ecuación de Calor ........................................................................ 13
2.5.1 La Ecuación de Calor por Variables Separables (Series de Fourier)............................ 13
2.5.2 Ejercicio de aplicación ............................................................................................... 18
2.6 La Transformada de Fourier ............................................................................................. 20
vii
2.7 Existencia y Unicidad de la Solución ................................................................................. 25
2.8 Aplicación de la Transformada de Fourier ........................................................................ 32
CAPITULO 3 .......................................................................................... 36
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................. 36
3.1 Historia ............................................................................................................................. 36
3.2 Cómo se usó del Método de Elementos Finitos en la época de Arquímedes ................... 36
3.3 Estructura del Método de Elementos Finitos ................................................................... 39
3.4 Por qué resulta mejor utilizar el Método de Elementos Finitos ....................................... 41
3.5 Observaciones para trabajar con el Método de Elementos Finitos .................................. 41
3.6 Símbolo variacional .......................................................................................................... 43
CAPÍTULO 4 .......................................................................................... 45
FORMULACION DEBIL EN PROBLEMAS CON VALORES DE FRONTERA ........................................ 45
4.1 Formulación débil ............................................................................................................. 45
4.2 Construcción de la Formulación Débil .............................................................................. 46
4.2.1 Discretización del tiempo .......................................................................................... 47
4.3 Formulación de Galerkin .................................................................................................. 48
4.4 Funciones lineales por partes ........................................................................................... 51
4.5 Ensamblaje de la matriz de elementos finitos .................................................................. 55
4.6 Ejercicio de Aplicación ...................................................................................................... 56
4.6.1 Problema Tipo. Método de Elementos Finitos .......................................................... 56
4.7 Algoritmo de elementos finitos ........................................................................................ 66
CAPÍTULO 5 .......................................................................................... 69
RESULTADOS Y COMPARACIONES .............................................................................................. 69
5.1. Errores de aproximación ................................................................................................. 69
5.2 Error absoluto (ErrA) ........................................................................................................ 69
5.3 Error cuadrático medio (Ecm)........................................................................................... 70
5.4 Error medio cuadrático relativo (Emcr) ............................................................................ 70
5.5 Gráficas y errores obtenidos ............................................................................................ 70
CAPÍTULO 6 .......................................................................................... 73
6.1 Conclusiones .................................................................................................................... 73
6.2 Recomendaciones ............................................................................................................ 73
Bibliografía ................................................................................................................................. 74
Bibliografía virtual ...................................................................................................................... 75
Biografía del Autor ..................................................................................................................... 76
viii
LISTA DE TABLAS
Tabla 5.1 Errores calculados con distintos m fijo ......................................................... 72
Tabla 5.2 Errores calculados con distintos n fijo ........................................................... 72
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 Representación del convenio del signo ........................................................ 6
Figura 2.2 Formas de transmisión de calor ..................................................................... 7
Figura 2.3 Principio del máximo para la ecuación de calor .........................................30
Figura 2.4 Solución analítica en Series y Transformada de Fourier ............................... 35
Figura 3.1 Radio del círculo............................................................................................ 37
Figura 3.2 Noción de mallado ........................................................................................ 37
Figura 3.3 Relación del arco con la sección de un elemento finito ...............................38
Figura 3.4 Estructura de un elemento finito ................................................................. 40
Figura 3.5 Malla discretizada en suelos ........................................................................ 40
Figura 4.1 Elemento lineal unidimensional .................................................................. 53
Figura 5.1 Solución general de la función ejemplo con series de Fourier .................... 71
Figura 5.2: Solución numérica y analítica de la ecuación ejemplo ................................ 71
x
TITULO: Metodología de enseñanza del método de elementos finitos para estudiantes
de ingeniería
Autor: Marlon Fabricio Tacco Cedeño
Tutor: Guillermo Alexis Albuja Proaño
RESUMEN El presente trabajo, desarrolla una metodología para la enseñanza del Método de
Elementos Finitos para estudiantes de ingeniería, usando como aplicación la Ecuación
de Calor Unidimensional, de esta manera explicar de una forma más didáctica
conceptos como: Series de Fourier, Transformada de Fourier, Formulación Débil,
Discretización de Dominio y otros los cuales serán contemplados en el mismo. Este
método tiene injerencia en distintos campos de la Ingeniería, por ejemplo: Industrial,
Mecánica, Automotriz, etc., así como también en la Física.
Al respecto existen algunos libros y trabajos de tesis que han desarrollado el Método
de Elementos Finitos en distintas aplicaciones, pero con un alto nivel matemático, cuyo
aprendizaje, no resulta muy sencillo de comprender. Como sabemos, la ingeniería,
trata simplemente de aplicar la teoría expuesta de una forma práctica y objetiva,
muchas veces, descuidando ciertas definiciones matemáticas que, de una u otra
forma, son de real interés para abordar temas matemáticos más profundos.
En definitiva, se pretende describir de una forma sencilla, la manera en la que trabaja
el Método de Elementos Finitos, aplicado particularmente a la Ecuación de Calor
Unidimensional, contemplando aspectos teóricos esenciales ya mencionados y
describiendo pasos fundamentales para entenderlo con mayor facilidad.
PALABRAS CLAVE: METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA/ MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS/
ECUACIÓN DE CALOR UNIDIMENSIONAL/ SERIES DE FOURIER/ TRANSFORMADA DE
FOURIER/ FORMULACIÓN DÉBIL/ DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO/CÁLCULO DE
ERRORES.
xi
TITLE: Teaching method of the finite elements method for engineering students
Author: Marlon Fabricio Tacco Cedeño
Tutor: Guillermo Alexis Albuja Proaño
ABSTRACT
The present work develops a methodology for the Unidimensional Heat Equation,
making use of the Finite Elements Method, with which it is intended to explain in a
more didactic way the application of this method, for Engineering students; since this
method has interference in different fields of Engineering, for example: Industrial,
Mechanical, Automotive, etc., as well as in Physics.
In this regard there are some books and thesis that have developed this Finite Element
Method in different applications, but with a high mathematical level, whose learning is
not very attractive for engineers. As we know, engineering simply tries to apply the
exposed theory in a practical and objective way, often neglecting certain mathematical
definitions that in one way or another are of real interest to address deeper
mathematical issues.
Based on the above, this paper aims to describe in a simple way, the way in which the
Finite Element Method works, applied particularly to the One-dimensional Heat
Equation, contemplating certain essential theoretical issues and describing
fundamental steps to understand easily, the way he works.
KEY WORDS: TEACHING METHODOLOGY/ FINITE ELEMENT METHOD/
UNIDIMENSIONAL HEAT EQUATION/ FOURIER SERIES/ FOURIER TRANSFORMED/
WEAK FORMULATION/ DOMAIN DISCRETION/MISTAKES CALCULATION.
xii
CERTIFICACIÓN DE LA TRADUCIÓN DEL RESUMEN
Certifico que la traducción del resumen del trabajo investigativo titulado Metodología de
enseñanza del Método de Elementos Finitos para estudiantes de Ingeniería, cuyo autor es el
Ing. Marion Fabricio Tacco Cedeño, fue realizada en su totalidad por mi persona, además debo
indicar que estoy autorizada para hacerlo ya que poseo la suficiencia en el idioma inglés.
Quito a 04 de Octubre del 2018
Msc, ANDREA ROSERO M. COD, 1004-09*695818
Lcda. Andrea de los Ángeles Rosero Morales, MG, MSc.
C.C: 171385011-1
1
INTRODUCCIÓN
En algunas universidades del país, seguramente se tiene una materia donde se
abordan los métodos numéricos como una herramienta para poder resolver múltiples
problemas que se enmarcan en sistemas de ecuaciones que no pueden ser resueltas
por métodos tradicionales y que usan para ello cálculos aproximados, sino por
Métodos Numéricos, que dan una buena aproximación de la solución teórica, la cual
nos lleva a tener un muy buen criterio de solución real.
Veremos que el Método de Elementos Finitos (MEF), como parte de “Los Métodos
Numéricos”, tiene una potencialidad considerable respecto a otros métodos, para
obtener resultados de una forma muy precisa. Justamente este trabajo profundizará
directamente en la forma de trabajar del método, su estructura y operatividad,
tomando como ejemplo la Ecuación de Calor en una dimensión.
De esta manera se puede establecer el siguiente contenido por capítulos, para que así
el lector tenga un panorama claro de lo que contempla este trabajo y obtener del
mismo, el material que considere necesario.
En síntesis, el trabajo desarrollado a continuación, tiene la siguiente distribución:
Capítulo 1: Presentación del problema, metodología propuesta, objetivos de la investigación
y justificación
Capítulo 2: Definiciones de la ecuación de Calor, tipos de transmisión del Calor y sus
ecuaciones, deducción de la Ecuación de Calor, a partir del método de Separación de
Variables lo cual conduce a Series de Fourier y Transformada de Fourier. Existencia y
unicidad de las soluciones
Capítulo 3: El método de Elementos Finitos, su estructura, elementos usados para su
aplicación.
Capítulo 4: Se desarrolla la formulación débil del problema con valores de frontera, su
concepción, formulación de Galerkin, ensamblado de matrices de elementos finitos,
ejercicio de aplicación y algoritmo para el elemento finito.
Capítulo 5: Resultados, cálculo del error generado por el MEF con respecto a las
soluciones teóricas que se obtienen en series de Fourier y su transformada.
Comparación con las soluciones teóricas
Capítulo 6: Conclusiones y Recomendaciones
2
CAPITULO 1
ASPECTOS GENERALES
1.1 PRESENTACIÓN DE PROBLEMA Dado que en este campo se han desarrollado algunos métodos para trabajar
Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, el problema radica en desarrollar una
metodología más sencilla utilizando el Método de Elementos Finitos (MEF), para la
enseñanza a estudiantes de ingeniería de las distintas universidades del país; usando la
Ecuación de Calor Unidimensional, como aplicación. Metodología que en definitiva sea
de cierta forma, más didáctica que las encontradas en libros, tesis, o apuntes virtuales.
Por otro lado, es sumamente importante considerar que este tema requiere que los
estudiantes tengan conocimientos previos de: Cálculo, Algebra, Física, Mecánica y
Termodinámica.
Cuando se hace énfasis en la Ecuación de Calor Unidimensional, es porque la
metodología será desarrollada en base al estudio de la transmisión de calor a través de
un cuerpo donde la dimensión que se considera es la longitud en “x”, luego se debe
pensar, en una varilla, un fino tubo, una cadena, etc.
El hecho de hacerlo en una dimensión, permitirá entender de mejor manera el
comportamiento del fenómeno de transferencia de calor, el cual a su vez será
analizado en un programa computacional, para definir las similitudes.
1.2 METODOLOGÍA PROPUESTA
1.2.1 Formulación del Problema Describiendo algunas definiciones y conceptos de la transmisión de calor, nuestro
problema radica, fundamentalmente en realizar una explicación práctica de la
estructura del Método de Elementos Finitos, sus principales elementos y cómo estos
se enlazan para poder obtener resultados muy precisos de fenómenos naturales, en
este caso la transmisión de calor en una varilla de longitud L, la cual requiere del
análisis de la Ecuación de Calor Unidimensional. Para ello se tomará como referencia
los resultados obtenidos de manera teórica mediante Series de Fourier y su
transformada.
3
1.2.2 Desarrollo de la metodología El desarrollo de este trabajo utiliza fundamentalmente, los siguientes métodos:
Método Investigativo.- Logra afianzar conocimientos, obteniendo información
relevante del fenómeno tratado, características teóricas, relación de las variables
involucradas y resultados analíticos, que proveen una base sólida para el desarrollo del
conocimiento.
Método Experimental.- Permite desarrollar experimentos, algoritmos , pruebas, etc.;
todos estos, mecanismos experimentales en los que se pueden controlar variables y
definir parámetros, de lo cual se obtienen resultados con aproximación real a los
teóricos.
1.2.3 Soluciones teórica y experimental de la ecuación de calor El cálculo de soluciones teóricas, debe contemplar los distintos parámetros
involucrados, siendo en muchas ocasiones un dominio muy complejo en el cual resulta
complicado obtener soluciones exactas; en este entorno al poder ajustar ecuaciones a
resoluciones analíticas exactas, resulta un campo muy interesante poder realizar la
solución de las mismas con métodos experimentales con ayuda, por ejemplo de los
Métodos Numéricos los cuales nos proporcionan métodos que se pueden implementar
en algoritmos computacionales, para lograr una solución bastante aproximada a la
real.
1.3 Justificación El presente trabajo tiene como finalidad, implementar una metodología de enseñanza
de la ecuación de calor unidimensional, haciendo uso específico del Método de
Elementos Finitos, mismo que para facilidad de escritura en algunas facetas de este
proyecto lo abreviaremos con las letras “MEF”. En realidad, existen algunos métodos
para resolver la ecuación de calor, tales como: separación de variables, método de
diferencias finitas, método explícito, método implícito que, de una forma u otra, estos
dos últimos, llegan a enlazarse con el de diferencias finitas; y el de elementos finitos el
cual será objeto de este proyecto.
Cuando se habla de soluciones aproximadas, los estudiantes que han recibido un curso
formal de Métodos Numéricos, es muy probable que sepan que el MEF, tiene que ver
con ésta área de la Matemática, pero para aquellos que no lo han recibido, vale la
pena comentarles que la mayoría de ecuaciones que reflejan el comportamiento de los
distintos fenómenos que se encuentran en nuestro entorno, tienen soluciones que son
aproximadas por métodos numéricos ya que resulta imposible hacerlo mediante
métodos analíticos y que además involucran en muchos casos no sólo una o dos
variables, sino muchas variables llegando a formarse un sistema de ecuaciones de
dimensiones insospechadas por nuestro entendimiento.
4
Por ello resulta muy interesante desarrollar esta metodología, utilizando un método
que determina una buena aproximación de la solución teórica. De esta manera
definiremos conceptos involucrados en la ecuación objeto de este proyecto, el interés
de estudio, forma de la ecuación, etc; luego pasaremos a la definición del método de
Elementos Finitos, su historia, su terminología, axiomas o teoremas usados en el
mismo, un ejemplo práctico aplicado a la solución de la ecuación de calor y realizar una
breve comparación de resultados con la solución teórica de la misma.
Cabe anotar que no se propone una comparación de resultados con otros métodos
utilizados, ya que eso está fuera del alcance de este proyecto, que lo único que tiene
como objetivo, es tratar de mostrar de una manera más didáctica la aplicación del MEF
en la solución de la ecuación de calor (unidimensional) y comparar los resultados con
la teoría. Además, se aspira desarrollar un algoritmo (programa) computacional que
nos permita aplicar el Método de Elementos Finitos a la solución de la ecuación de
calor.
1.4 Objetivos
1.4.1 Objetivo General Resolver la ecuación de calor unidimensional por el método de elementos finitos (MEF)
1.4.2 Objetivos específicos a. Elaborar un modelo numérico de la ecuación de calor unidimensional para el método de elementos finitos (MEF)
b. Elaborar el programa computacional para el modelo elaborado de la ecuación de calor unidimensional, en MATLAB
c. Comparar resultados numéricos teóricos, con el programa del modelo numérico (MEF) desarrollado con datos experimentales
5
CAPITULO 2
ECUACIÓN DE CALOR Y SU DEDUCCIÓN
2.1 Transmisión de Calor Las leyes de la Termodinámica, tratan la transferencia de energía únicamente de
sistemas que se encuentran en equilibrio determinando la cantidad de energía que se
transmite de un sistema a otro, pero no contempla la rapidez (velocidad), con la que se
realiza tal transferencia. Esta transferencia de calor se realiza de tres formas
básicamente:
2.1.1 Por Conducción Esta es la manera más simple de transferencia, ya que contempla la transmisión de
calor de un cuerpo que se encuentra a una temperatura mayor que otro, sin que esto
implique transferencia de materia entre ellos.
Un ejemplo sencillo, resulta cuando se calienta uno de los extremos de una barra y si
no se tiene ningún agente externo que modifique esta condición, el calor se irá
transmitiendo hacia el otro extremo de la barra que se encuentra a menor
temperatura.
2.1.1.1 Ecuación de calor por Conducción
En términos muy simples, se dice que el calor transmitido por conducción, por la
unidad de tiempo, es proporcional a la variación de temperatura en la dirección del
flujo de calor, multiplicado por el área de la sección en la cual se realiza tal
transferencia, recordemos que en este caso se transfiere calor, desde la zona de mayor
temperatura a la de menor temperatura. De esta forma, la ecuación que describe este
fenómeno, es como sigue:
𝑞𝑘 = −𝑘𝐴
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Ley de conducción de calor de Fourier
Donde:
𝑞𝑘 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑜
𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑜
𝑑𝑇 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
𝑑𝑥
6
[15] Figura 2.1 Representación del convenio del signo
2.1.2 Por Radiación Este fenómeno de transporte de calor, se genera incluso sin que los cuerpos se
encuentren en contacto o compartiendo fluidos intermedios que lo propicien, basta
que uno de los cuerpos se encuentre a una temperatura bastante elevada, para que
irradie calor al otro u otros que se encuentran a menor temperatura.
Un ejemplo muy simple, es el de un panadero el cual se encuentra cerca del horno y
empieza a sudar cuando éste genera calor debido a la alta temperatura que irradia,
más aún si la habitación donde se encuentran, tiene poca ventilación.
2.1.2.1 Ecuación de calor por Radiación
Como el fenómeno ya fue explicado, se puede entonces decir que la ecuación que rige
este tipo de transmisión de calor, viene dada de manera general, de la siguiente forma:
𝑞𝑟 = 𝜎𝐴𝑇4
Donde 𝜎, es la constante de Stefan – Boltzmann, así 𝜎 = 5,67 × 10−8 𝑊/𝑚2𝑘4
2.1.3 Por Convección Este fenómeno de transferencia de calor tiene que ver con el intercambio de fluidos
(gas o líquido) de una zona a otra. Este tipo de transmisión se puede dar básicamente
de dos formas:
Forzada: el aire caliente de una habitación se desplaza a otra zona por un aparato de
ventilación.
Natural: el propio fluido extrae calor de la zona caliente y cambia su densidad
haciendo que se desplace hacía la zona más fría donde cede su calor.
7
La siguiente imagen, muestra claramente el comportamiento de los tres fenómenos
antes descritos, sin duda alguna cada uno, ha sido explicado de forma que entiendan el
100% de los lectores
[15] Figura 2.2 Formas de transmisión de calor
Ahora bien, resulta importante revisar las ecuaciones que se generan en las distintas
formas de transmitir el calor, no sin antes recalcar que se hace una descripción de las
mismas de una manera muy sencilla descartando condiciones y parámetros que
engloban una mayor profundidad y que más adelante, resulte necesario hacer un
estudio más detallado; así podemos definir las siguientes ecuaciones:
2.1.3.1 Ecuación de calor por Convección
Recordemos que cuando se da la transferencia de calor por convección, existen dos
tipos: una de manera libre o natural y la otra de manera forzada; pero en ambos casos,
la ecuación que rige este fenómeno, viene dada de la siguiente manera:
𝑞𝑐 = ℎ𝑐 𝐴 (𝑇𝑠 − 𝑇𝑓,∞)
Ley de enfriamiento de Newton
Donde:
𝑞𝑐 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜
ℎ𝑐 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑐𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜
𝑇𝑠 = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
𝑇𝑓,∞ = 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑢𝑟𝑏𝑎𝑑𝑜, 𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
8
Cabe anotar que el coeficiente de calor por convección, depende la densidad,
viscosidad y velocidad del fluido, así como también de sus propiedades térmicas.
2.2 Contexto Histórico de la Ecuación de Calor Ya hemos mencionado que el estudio de la Ecuación de Calor, requiere conocimientos
previos de Física y Termodinámica, lo que hace de ella, un tema súper interesante de
abordar dadas sus distintas aplicaciones en el campo de la Física y Termodinámica que
involucran a distintas ramas de la ingeniería, donde el recurso Matemático es
imprescindible, esto involucra el estudio y comprensión sobre todo de temas como:
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO’s), Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP’s),
Series de Fourier, Análisis Real y Complejo. Temas que se verán desarrollados de una
forma u otra durante este trabajo.
Con el estudio que hicieron grandes Físicos y Matemáticos de los siglos XVIII y XIX, se
pudo determinar y definir conceptos acerca de la Ecuación de Calor, estudiando
primero la ecuación de antecesora, la Ecuación de Onda o de la Cuerda Vibrante, la
cual estima una función 𝑦(𝑥, 𝑡), que representa en el plano cada punto considerado en
el eje 𝑥, a través del tiempo; este hecho se traduce en el sentido de que si la cuerda
sea cual sea su longitud, se encuentra fija en ambos extremos, al hacerla vibrar, genera
una sucesión infinita de puntos que se van marcando durante el tiempo que ésta vibre,
estos puntos se representaban en el plano generando una función continua, la cual en
el tiempo inicial sería: 𝑦(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥).
La solución de esta ecuación, data a inicios de siglo XVIII y quienes trabajaron en ello,
fueron matemáticos nombrados como es el caso de Johann Bernoulli (1667-1748),
quien en 1727 propuso una solución que, siendo parcialmente correcta, carecía de la
generalidad necesaria. Luego el matemático francés Jean Le Rond D’Alembert, en 1746
propuso la siguiente solución, que es una ecuación en derivadas parciales:
𝜕2𝑦
𝜕𝑡2 = 𝑎 2 𝜕
2��
𝜕𝑥2
Donde a, es una constante que depende de las características de la cuerda.
Leonhard Euler, matemático suizo, presentó sus aportes por el año de 1749, en los
cuales estaba de acuerdo en gran medida, con el trabajo que realizó D’Alembert, pero
quiso generalizar la solución, haciendo notar que la función 𝑓(𝑥), podría ser en ciertos
puntos discontinua, es decir continua a trozos e inclusive no diferenciable. El trabajo
de D’Alembert no se enmarca en cuestiones físicas sino más bien tiene un carácter
matemático; es así que los físicos y matemáticos de la época continuaron trabajando
9
𝐶𝑜𝑠 (
para hallar una solución más satisfactoria. En 1753 D. Bernoulli presentó otra solución
a la Ecuación de la Cuerda, de la forma:
∞
𝑦(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏
𝜋𝑘𝑎𝑡 𝜋𝑘𝑥 ) 𝑠𝑒𝑛 ( )
𝑘 𝐿 𝐿
𝑘=1
Según Bernoulli la cuerda oscila simultáneamente con varias frecuencias, por esta
razón, tal oscilación lo hizo suponer que la descripción de la misma, se podría ajustar a
funciones senoidales y cosenoidales, lo cual pudo demostrar, llegando a plantear la
solución arriba descrita que permite desarrollar funciones en series trigonométricas.
Desde el punto de vista físico, ésta solución representó de mejor forma los fenómenos
físicos, que la de D’Alembert. Con esta ecuación es posible explicar los distintos
armónicos que se producen en la vibración de las cuerdas de los instrumentos
musicales. De todas formas, a pesar del correcto trabajo que hizo Bernoulli,
D’Alembert y Euler, se rehusaban a admitir que una función general pudiera ser
expresada en términos de series infinitas de funciones trigonométricas. Gracias a su
persistencia y empeño en seguir trabajando en este tipo de funciones, pudo dejar un
legado para que más tarde su trabajo sea reconsiderado por Fourier y Dirichlet, en
cuyos trabajos constan las bases analíticas que demuestran la posibilidad de dichas
expansiones. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue quien dio inicio al estudio
de la transferencia del calor en sólidos y fue él, quien dedujo la llamada Ecuación del
Calor, que consiste en una Ecuación en Derivadas Parciales (EDP) cuya forma en tres
dimensiones es:
𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
𝜕𝑡 = 𝛼 (
𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2
+ 𝜕𝑧2
)
donde 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) representa la temperatura en cada punto del interior del sólido en
cada instante de tiempo y α la constante de conductividad térmica que depende del
material. Al igual que Bernoulli, Fourier al presentar sus resultados en 1807 a la
Academia de Ciencias de París, no tuvo buena aceptación y recibió muchas críticas,
entre ellas la falta de rigurosidad en los fundamentos analíticos, a pesar que los
resultados coincidían con las observaciones experimentales. Además propuso expandir
en series trigonométricas una función arbitraria 𝑓(𝑥), la cual podía desarrollarse como:
∞
( ) 1
𝑓 𝑥
= 2 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑘𝐶𝑜𝑠(𝑘𝑥) + 𝑏𝑘𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑥)
𝑛=1
10
Y pudo calcular los coeficientes 𝑎𝑘 y 𝑏𝑘; los cuales se conocen en la actualidad como
Series de Fourier. Si bien toda la idea de la expansión en series trigonométricas no fue
de Fourier, ya que como vimos, fue un legado de Daniel Bernoulli; el mérito real de
Fourier fue encontrar el modelo matemático correcto para la conducción del calor,
poder desarrollar el Método de Separación de Variables para resolver una EDP y
encontrar su solución mediante la aplicación de series trigonométricas. A pesar de las
críticas que recibió, los miembros de la Academia de París se vieron obligados a
reconocer su trabajo; el cual incluso ganó un premio para ser publicado, lo cual no fue
posible sino hasta 1807, en las Memorias de la Academia de 1826. Sin duda alguna,
Fourier es uno de los matemáticos aplicados más grande de la historia, gracias a su
Teoría Analítica del Calor, la cual es considerada como la base de la Física Teórica.
2.3 Ecuación de Calor Unidimensional Empecemos mencionando que la Ecuación de Calor, básicamente se trata de una
ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), la cual implica ciertos conocimientos
propios que ya describimos anteriormente; vale la pena anotar que cuando hablamos
de la Ecuación de Calor Unidimensional, la solución de la misma se la puede enmarcar
en el campo del Análisis Real, pero cuando se la aborda desde el punto bi y tri
dimensional, estaremos parados en el campo del Análisis Complejo.
Para tener presente el concepto de lo que representa una Ecuación Diferencial en
derivadas Parciales, se puede hacer la relación directa con las Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias (EDO), que se definen como lineales, cuando aparecen tanto la variable
independiente como sus derivadas, elevadas a la primera potencia. En definitiva, se
establece que la forma general de una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales,
lineal de segundo orden es:
𝜕𝑢2 𝜕𝑢2
𝜕𝑢2 𝜕𝑢 𝜕𝑢
𝐴 𝜕𝑥2 + 𝐵
𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝐶
𝜕𝑦2 + 𝐷 𝜕𝑥
+ 𝐸 𝜕𝑦
+ 𝐹𝑢 = 𝐺
Resulta un ejercicio interesante, revisar la deducción de la Ecuación de Calor
Unidimensional, para ello, consideremos una varilla delgada de longitud L, ubicada
sobre el eje de las abscisas y 𝒖 = (𝒙, 𝒕), la función de temperatura en cualquier punto
de la misma y en cualquier instante t, se define que la temperatura es la misma en
todos los puntos de una sección transversal A, dependiendo únicamente de la posición
en x. Se toma en cuenta un elemento comprendido entre las secciones: 𝒙 y (𝒙 + ∆𝒙)
y una varilla que tiene las siguientes características:
Es una varilla aislada; es decir no tiene fuentes de calor en su interior, ni escapa
calor al medio
11
𝒌
Es homogénea, tiene densidad "𝝆", constante
Calor específico "𝒄 "y conductividad térmica "𝒌", constantes
La cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un elemento de masa
“𝑚” en una cantidad “∆𝑢” viene dada por:
𝑄 = 𝑚 𝑐 ∆𝑢 = 𝜌 𝐴 ∆𝑥 𝑐 ∆𝑢 2.1
La cantidad de calor que se transmite al elemento, es:
𝑄 = −𝑘 𝐴 𝜕𝑢
= −𝑘𝑢
(𝑥, 𝑡) 2.2
𝑡
y el flujo de calor saliente:
𝜕𝑥 𝑥
𝑄𝑡 = −𝑘 𝐴 𝑢𝑥 (𝑥 + 𝛥𝑥, 𝑡)
Entonces el flujo neto en el pedazo de varilla considerado será:
𝑘 𝐴 [𝑢𝑥(𝑥 + 𝛥𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥 (𝑥, 𝑡)] 2.3
De esta forma si se deriva la ecuación 2.1 y se iguala a 2.3, resulta:
𝑘 [𝑢𝑥(𝑥 + 𝛥𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥 (𝑥, 𝑡)] = 𝑢
𝜌 𝑐 ∆𝑥 𝑡
Teniendo en cuenta que a 𝜶 = 𝝆 𝒄
se lo conoce como el coeficiente de “difusividad
térmica” y si se considera que la variación en 𝑥, tiende a cero, se obtiene a la Ecuación
de Calor Unidimensional:
𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢
𝜕𝑡 = 𝛼 (
𝜕𝑥2 + 𝜕𝑦2) 2.4
2.4 Relación de la Ecuación de Calor con la ley de Fick La ecuación anterior también suele representarse así:
𝜕𝑇
= 𝛼∇2𝑇 2.5 𝜕𝑡
en donde T(x, y, z, t) representa la distribución de temperatura en un medio como una
función del espacio y del tiempo, y α es un parámetro positivo que depende de las
12
propiedades del medio y que da una medida de la facilidad con la que el calor se puede
transmitir a través de él.
Además del fenómeno de transferencia de calor, existen otros fenómenos físicos que
se encuentran gobernados por ecuaciones similares a la ecuación 2.5, tal es el caso de
la ley de difusión, la cual de manera muy simple se describe con el clásico ejemplo en
el que se inyecta tinta en un recipiente en equilibrio hidrostático; es decir, el que se
produce en un fluido en el que las fuerzas del gradiente vertical de presión y la
gravedad están en equilibrio. En un fluido hidrostático no hay aceleración vertical
neta.
Microscópicamente, en el recipiente existe un gran número de moléculas de agua,
cada una de las cuales no están en reposo sino que se mueven aleatoriamente debido
a sus continuas colisiones con moléculas vecinas, con una rapidez promedio que
depende de la temperatura. Como se mencionó, si se deposita una gota de tinta con la
jeringuilla en el centro de la masa de agua; en el momento de depositar la gota (si la
sustancia se ha elegido adecuadamente) se podrá observar claramente la región
ocupada por la nueva sustancia, con una frontera nítida que la separa del resto del
volumen de agua. Sin embargo, con una rapidez que depende de la sustancia elegida,
esa frontera se irá difuminando y la sustancia coloreada va invadiendo toda la región
que inicialmente sólo contenía agua pura, hasta que finalmente la tinta se habrá
extendido por todo el volumen de manera homogénea, lo cual se manifiesta en una
coloración uniforme del líquido.
De esta forma, al igual que el agua, la gota de tinta es una nueva sustancia que
contiene un enorme número de moléculas, las cuales se mueven también
aleatoriamente, las colisiones de las moléculas de tinta con las moléculas de agua que
las rodean por todas partes hacen que aquellas mantengan una distribución isótropa
de velocidades en cualquier punto del líquido.
La relación cuantitativa entre la cantidad de flujo neto y las variaciones de
concentración de un punto a otro viene expresada por la denominada ley de Fick:
𝑗 = −𝐷𝛻𝑛
en donde n(r, t) representa la concentración de moléculas, j(r, t) el flujo neto en ese
punto, definido como el número de moléculas que atraviesan un área unidad por
unidad de tiempo, y D es un parámetro que depende del tipo de moléculas inyectadas
y que se llama coeficiente de difusión. Este coeficiente da una medida de la facilidad
con la que las moléculas de una especie (tinta) pueden moverse a través de las de la
otra especie (agua.) Esta ley empírica, que tiene un amplio rango de validez, fue
propuesta originalmente en 1855 por el fisiólogo alemán, Adolf Fick (1829-1901). Esta
interacción molecular, en la cual se excluyen problemas más complejos como
reacciones químicas u otros eventos, en las que el número de moléculas ni se crean, ni
13
se destruyen, sólo se difunden de un medio a otro, se denomina “ley de conservación”
la cual se expresa matemáticamente como la ley de continuidad.
𝜕𝑛/𝜕𝑡 + 𝛻 · 𝑗 = 0
Luego si se relaciona la ley de Fick con la ley de continuidad, se obtiene la ecuación de
difusión:
𝜕𝑛 = 𝐷∇2𝑛
𝜕𝑡
Como se puede observar, Matemáticamente, se trata de la misma ecuación diferencial
lineal en derivadas parciales de segundo orden que la que describe la conducción del
calor en medios materiales. En realidad, es coincidencia pues, si se analiza desde un
punto de vista microscópico, la conducción térmica consiste esencialmente un
fenómeno de difusión, pero no de materia sino de energía.
2.5 Solución analítica de la Ecuación de Calor Aunque podrían existir más formas de resolver de forma analítica la ecuación de calor,
el presente trabajo, desarrolla, las dos más conocidas: por separación de variables que
nos conduce a series de Fourier y con el uso de la transformada de Fourier.
2.5.1 La Ecuación de Calor por Variables Separables (Series de
Fourier) Como punto de referencia, resulta interesante desarrollar la solución de esta ecuación
con condiciones iniciales y condiciones de frontera. Las condiciones iniciales denotan la
distribución de temperatura en la varilla en el instante 𝑡 = 0, así para el caso
unidimensional tendría la forma 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥); las condiciones de frontera se
refieren a las restricciones que deben cumplir: la función de temperatura o sus
derivadas, en los bordes o extremos (frontera) de la región. Para el caso
unidimensional se tiene, por ejemplo:
𝑢(0, 𝑡) = 𝑇 (𝜕𝑢) = 0
{ 1 { 𝜕𝑥 𝑥=0
𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑇2 (𝜕𝑢) = 0 𝜕𝑥 𝑥=𝐿
14
De esta forma el problema nos lleva a resolver una EDP, con condiciones iniciales y
condiciones de frontera, lo cual en resumen constituye un problema con valores de
frontera.
Sólo para tener una idea clara de lo que buscamos al desarrollar la solución de la
Ecuación de Calor mediante el método de Elementos Finitos, se presenta en esta
sección, un desarrollo resumido de la solución de la Ecuación de Calor con condiciones
de frontera homogénea y no homogénea (sólo visto de una forma superficial y cuya
resolución queda de ejercicio para el lector), en el primer caso por el método de
separación de variables y en el segundo caso usando una sustitución para luego hacer
separación de variables.
Con condiciones homogéneas
𝑢(𝑥, 𝑡), es la función que representa la temperatura en una varilla de longitud L, en
cuyos extremos la temperatura es cero. De esta manera se tiene lo siguiente:
𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑡
= 𝛼 𝜕𝑥2 0 < 𝑥 < 𝐿 𝑡 > 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 𝑡 > 0
{ 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿
Se puede obtener una solución analítica de este problema, aplicando el método de
separación de variables, como sigue:
( ) ′ ′′
𝑋′′ 𝑇′ 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑋𝑥𝑇𝑡 ⇒ 𝑋𝑇 = 𝑘𝑋
𝑇 ⇒ 𝑋
= 𝑘𝑇
= 𝜆
Luego reemplazando se tiene:
𝑘 𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡)
𝑋′′(𝑥) = 𝑇′(𝑡)
= 𝜆 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
𝑋(𝑥) 𝑇(𝑡)𝑘
De aquí se tiene que:
𝑋′′(𝑥) = 𝜆 𝑦
𝑇′(𝑡) = 𝑘λ
𝑋(𝑥) 𝑇(𝑡)
15
𝑋′′(𝑥) − 𝜆 𝑋(𝑥) = 0
Se asume: 𝑟2 − 𝜆 = 0 por lo que se debe considerar tres casos:
i) 𝜆 > 0
𝑟2 − 𝜆 = 0
𝑟2 = 𝜆
𝑟 = ±√𝜆
La solución general sería:
𝑋(𝑥) = 𝐴𝑒√𝜆𝑥 + 𝐵𝑒−√𝜆𝑥
Aplicando la condición 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 quedaría:
𝑢(0, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋(0) = 0
𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 ⇒ 𝑋(𝐿) = 0
Luego:
𝑋(0) = 𝐴 + 𝐵 = 0
𝑋(𝐿) = 𝐴𝑒√𝜆𝐿 + 𝐵𝑒−√𝜆𝐿
Resolviendo este sistema de ecuaciones, se obtiene una solución trivial por lo que:
ii) 𝜆 = 0
𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 × 𝑇(𝑡) = 0
𝑟2 − 𝜆 = 0
𝑟2 = 0
𝑟 = 0
Así:
𝑋(𝑥) = 𝐴 + 𝐵𝑥
𝑋(0) = 𝐴 = 0
𝑋(𝐿) = 𝐴 + 𝐵𝐿 = 0
16
Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
𝐴 = 0 𝑦 𝐵 = 0 Solución trivial
Luego:
𝑋(𝑥) = 0 ⇒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 × 𝑇(𝑡) = 0
iii) 𝜆 < 0
𝑟2 = 𝜆
𝑟 = ±√𝜆𝑖
𝑋(𝑥) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (√−𝜆𝑥) + 𝐵 𝑆𝑒𝑛 (√−𝜆𝑥)
De esta manera se debe obtener los valores de A y B a partir de las condiciones de frontera
𝑋(0) = 𝐴 = 0 → 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜
𝑋(𝑥) = 𝐴 𝐶𝑜𝑠 (√−𝜆𝐿) + 𝐵 𝑆𝑒𝑛 (√−𝜆𝐿) = 0
𝐵 𝑆𝑒𝑛(√−𝜆𝐿) = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝐵 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙
Entonces:
𝑆𝑒𝑛 (√−𝜆𝐿) = 0
√−𝜆𝐿 = 𝑎𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛(0)
√−𝜆𝐿 = 𝜋 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑆𝑒𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑖𝑐𝑜
√−𝜆𝐿 = 𝑛𝜋 , ∀𝑛 ≥ 1
√−𝜆 = 𝑛𝜋
𝐿
𝑛𝜋 2
−𝜆 = ( 𝐿
)
𝑛𝜋 2
Reemplazando en 𝑋(𝑥):
𝜆 = − ( 𝐿
) ; ∀𝑛 ≥ 1
𝑋(𝑥) = 𝐵 𝑆𝑒𝑛 [(𝑛𝜋
) 𝑥] 𝐿
Luego:
17
𝑛
𝑇′(𝑡)
𝑘 𝑇(𝑡) = 𝜆 ⇒ 𝑇′(𝑡) = 𝜆 𝑘 𝑇(𝑡)
Se asume que:
𝑇(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡 ⇒ 𝑟 − 𝜆 𝑘 = 0
⇒ 𝑟 = 𝜆 𝑘 = − (𝑛𝜋 2
𝐿 ) 𝑘
Entonces se puede tener:
𝑛𝜋 2
𝑇(𝑡) = 𝐶 𝑒−( 𝐿 ) 𝑘 𝑡
Como: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) las constantes 𝐵 𝑦 𝐶 se pueden ver como una constante nueva la
cual la podemos notar como 𝐴𝑛 = 𝐵 × 𝐶, de esta forma se tiene:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑆𝑒𝑛 [(𝑛𝜋
𝐿
𝑛𝜋 2
) 𝑥] 𝑒−( 𝐿 ) 𝑘𝑡
, ∀𝑛 ≥ 1
La ecuación 2.6 es lo que llamamos la aproximación con Series de Fourier
Con condiciones no homogéneas
Adelantemos el hecho de que, con condiciones de frontera no homogéneas, no se
puede resolver por método de separación de variables; es decir, la temperatura se
mantiene constante pero diferente de cero, por tanto, se tiene lo siguiente:
𝜕𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑡
= 𝛼 𝜕𝑥2 0 < 𝑥 < 𝐿 , 𝑡 > 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑇1 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑇2 𝑡 > 0
{ 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 < 𝑥 < 𝐿
La alternativa de solución que se propone es la siguiente:
( ) ( ) ( )
𝜕𝑢 𝜕2𝑈 2 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑈 𝑥, 𝑡 + 𝛹 𝑥 ⇒
𝜕𝑡 = 𝛼 (
𝜕𝑥2 + 𝛹 (𝑥))
2.6 𝑛𝜋 2
) 𝑥] 𝑒−(
𝐿 ) 𝑘𝑡
𝐿
𝑛𝜋 ∞
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛 [(
𝑛=1
18
0
Para que esta última EDP tome la forma estándar de la ecuación de calor:
𝛹2(𝑥) = 0 ⇒ 𝛹(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Las contantes A y B, se obtienen de las condiciones de frontera, por lo que resulta:
( ) 𝑇2 − 𝑇1
𝛹 𝑥 = ( 𝐿
) 𝑥 + 𝑇1 2.7
De esta manera para hallar 𝑼(𝒙, 𝒕), se resuelve el problema con condiciones de
frontera homogéneas, como la parte anterior, es decir análoga a 2.6 y podemos luego
usar en 2.7, así:
2 ∞ 𝐿 𝑛 𝜋
𝑛𝜋 2
𝑛 𝜋
𝑈(𝑥, 𝑡) = ∑ [∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥) 𝑑𝑥] 𝑒−𝛼( 𝐿
) 𝑡 𝑆𝑒𝑛 (
𝑥) 𝐿 𝐿 𝐿 𝑛=1
Y
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑈(𝑥, 𝑡) + (𝑇2 − 𝑇1
) 𝑥 + 𝑇
2.8
𝐿 1
Esta última parte se considera como ejercicio para el lector, si desea realizar su
respectiva deducción.
2.5.2 Ejercicio de aplicación 1. Una varilla de longitud L, coincide con el eje X en el intervalo cerrado [0, 𝐿] tal que
la temperatura en los extremos de la varilla se mantiene constante a 0 °𝐶, en
cualquier instante y la temperatura inicial de toda la varilla está dada por la función
𝑓(𝑥) = 𝑥(𝐿 − 𝑥). Determinar la temperatura de la varilla en cualquier instante
t,cuyas condiciones son las siguientes:
𝜕𝑢 𝜕𝑢2
𝜕𝑡 = 𝑘
𝜕𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝑦 𝑡 > 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 ; 𝑡 > 0 {𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝐿 − 𝑥) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Utilizamos la segunda condición y la ecuación 2.6:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝐿 − 𝑥)
Entonces:
∞
𝑥(𝐿 − 𝑥) = ∑ 𝐴𝑛 𝑆𝑒𝑛 [(
𝑛=1
𝑛𝜋
𝐿
𝑛𝜋 2
) 𝑥] 𝑒−(
𝐿 ) 𝑘𝑡
19
0
0
Ahora: 2 𝐿
( )
𝑛𝜋
𝐴𝑛 = 𝐿 ∫ 𝑥 𝐿 − 𝑥 𝑆𝑒𝑛 [(
𝐿 ) 𝑥] 𝑑𝑥
Si: 𝐼 = ∫𝐿 𝑥(𝐿 − 𝑥)𝑆𝑒𝑛 [(𝑛𝜋) 𝑥] 𝑑𝑥 = ∫
𝐿(𝑥𝐿 − 𝑥2)𝑆𝑒𝑛 [(𝑛𝜋) 𝑥] 𝑑𝑥
0 𝐿 0 𝐿
Se aplica la integración por partes para resolver 𝑰 :
𝑢 = 𝑥𝐿 − 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑆𝑒𝑛 [(
𝑛𝜋) 𝑥] 𝑑𝑥 𝐿
𝑑𝑢 = 𝐿 − 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = − 𝐿
𝑛𝜋
𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥]
Luego:
𝐿(𝑥𝐿 − 𝑥2) 𝑛𝜋 𝐿 𝐿(𝐿 − 2𝑥) 𝑛𝜋 𝐼 = −
𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥] + ∫
𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥] 𝑑𝑥
Nuevamente por partes:
𝐿2 − 2𝐿𝑥
𝑛𝜋
𝑢 = 𝑛𝜋
𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠 [( 𝐿
) 𝑥] 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = − 2𝐿
𝑑𝑥 𝑣 = 𝐿
𝑛𝜋 𝑆𝑒𝑛 [( ) 𝑥]
𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝐿
Si se une a lo anterior se tiene:
𝑥2𝐿 − 𝑥𝐿2 𝑛𝜋 𝐿3 − 2𝐿2𝑥 𝑛𝜋 𝐿 2𝐿2 𝑛𝜋 𝐼 =
𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥] +
(𝑛𝜋)2 𝑆𝑒𝑛 [( 𝐿
) 𝑥] + ∫ (𝑛𝜋)2 𝑆𝑒𝑛 [(
𝐿 ) 𝑥] 𝑑𝑥
Luego se procede a evaluar en los extremos de la integral, de donde se obtiene:
𝑥2𝐿 − 𝑥𝐿2 𝑛𝜋 𝐿3 − 2𝐿2𝑥 𝑛𝜋 2𝐿3 𝑛𝜋 𝐿 𝐼 = [
𝑛𝜋 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥] +
(𝑛𝜋)2 𝑆𝑒𝑛 [( 𝐿
) 𝑥] − (𝑛𝜋)3 𝐶𝑜𝑠 [(
𝐿 ) 𝑥]] |
0
0
20
(
2𝐿3
( ) 2𝐿3
𝐼 = − (𝑛𝜋)3 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜋 +
(𝑛𝜋)3
2𝐿3
[
( )]
𝐼 = (𝑛𝜋)3
1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜋
Por lo tanto: 2 2𝐿3
[
( )] 𝐴𝑛 =
𝐿 {(𝑛𝜋)3
1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜋 }
4𝐿2
[
( )]
𝐴𝑛 = (𝑛𝜋)3
1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝜋
Quedando como resultado que:
∞
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑
𝑛=1
4𝐿2
(𝑛𝜋)3
[1 − 𝐶𝑜𝑠(𝑛𝜋)] 𝑆𝑒𝑛 [
𝑛𝜋
𝐿
𝑛𝜋 2
) 𝑥] 𝑒−( 𝐿 ) 𝑘𝑡
2.9
La ecuación anterior se la denomina: Solución Característica, y es la solución que utiliza el
resultado de la Separación de Variables la cual nos arroja una solución en Series de Fourier.
2.6 La Transformada de Fourier Otra de las formas en que se puede resolver la ecuación de calor, es mediante la
Transformada de Fourier, para lo cual debemos primero introducir la idea de la
Integral de Fourier, misma que tiene una forma similar a la de las series de Fourier
descritas anteriormente; la idea de una serie de Fourier es representar una función
definida en intervalos finitos. De esta manera si f y f’ son continuas en dichos
intervalos, la serie de Fourier, representa esta función en el intervalo y converge a una
extensión periódica de f, fuera del intervalo; con lo que se justifica que las series de
Fourier, se asocian únicamente con funciones periódicas. Por otro lado, se deduce en
una forma no tan rigurosa, la forma de representar ciertas clases de funciones no
periódicas en intervalos infinitos o semi infinitos.
De la Serie de Fourier a la Integral de Fourier
Supongamos una función f definida en el intervalo (−𝐿, 𝐿); si usamos las integrales de
los coeficientes vistos anteriormente, la serie de Fourier de f en el intervalo es:
1 𝐿 1 ∞ 𝐿 𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝐿
𝑛𝜋 𝑛𝜋 𝑓(𝑥) =
2𝐿 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 +
𝐿 ∑ [(∫ 𝑓(𝑡)𝐶𝑜𝑠
𝐿 𝑡 𝑑𝑡) 𝐶𝑜𝑠
𝐿 𝑥 + (∫ 𝑓(𝑡)𝑆𝑒𝑛
𝐿 𝑡 𝑑𝑡) 𝑆𝑒𝑛
𝐿 𝑥]
−𝐿 𝑛=1 −𝐿 −𝐿
21
2𝜋
𝑛𝜋 𝜋
Si hacemos que: 𝛼𝑛 =
convierte en: 𝐿
, ∆𝛼 = 𝛼𝑛+1 − 𝛼𝑛 = 𝐿, entonces la ecuación anterior se
( ) 1 𝐿
𝑓 𝑥 = (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡) ∆𝛼 −𝐿
1 ∞ 𝐿
+ 𝜋 ∑ [(∫ 𝑓(𝑡)𝐶𝑜𝑠𝛼𝑛𝑡 𝑑𝑡) 𝐶𝑜𝑠𝛼𝑛𝑥 𝑛=1 𝐿
−𝐿
+ (∫ 𝑓(𝑡)𝑆𝑒𝑛𝛼𝑛 𝑡 𝑑𝑡) 𝑆𝑒𝑛𝛼𝑛𝑥] ∆𝛼 −𝐿
Si se amplía el intervalo (-L, L) haciendo que 𝐿 → ∞. Puesto que 𝐿 → ∞ implica que
∆𝛼 → 0, el límite de la ecuación anterior tiene la forma lim ∆𝛼→0
∞ 𝑛=1 𝐹(𝛼𝑛)∆𝛼, que
sugiere la definición de la integral ∫∞ 𝐹(𝛼) 𝑑𝛼. Por lo que si ∫
∞ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡, existe, el
0 −∞
límite del primer término de la ecuación anterior es cero, entonces el límite de la suma
se convierte en:
( )
1 ∞ ∞
( ) ∞
( )
𝑓 𝑥 = 𝜋 ∫ [(∫ 𝑓 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑡 𝑑𝑡) 𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑥 + (∫ 𝑓 𝑡
𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑡 𝑑𝑡) 𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥] 𝑑𝛼 0 −∞ −∞
La ecuación anterior es lo que se conoce como la Integral de Fourier de f en (−∞, ∞),
lo siguiente muestra la estructura básica de la Integral de Fourier, que recuerda la de
una serie de Fourier:
( )
1 ∞
( ) ] 𝑓 𝑥 =
𝜋 ∫ [𝐴(𝛼)𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑥 + 𝐵 𝛼 𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝛼
∞
𝐴(𝛼) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑥 𝑑𝑥 −∞
∞
𝐵(𝛼) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝑥 −∞
∑
0
22
−∞
} (
De estas dos últimas expresiones, podemos decir, que 𝐴(𝛼) corresponde a la función
par en el intervalo (−∞, ∞) y 𝐵(𝛼) corresponde a la función impar en el intervalo
(−∞, ∞).
La Integral de Fourier nos conduce a un grupo de integrales especiales, llamadas
Transformadas de Fourier; para este caso, vamos a considerar las siguientes:
Transformada de Fourier:
∞
𝔉{𝑓(𝑥)} = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥 = 𝐹(𝛼) −∞
2.10
Transformada Inversa de Fourier:
𝔉−1{𝐹(𝛼)
1 ∞
= 2𝜋
∫ 𝐹
𝛼)𝑒−𝑖𝛼𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)
2.11
Para la existencia de la Transformada de Fourier, se debe comprobar que 𝔉{1},
𝔉𝑠{1}, 𝑦 𝔉𝑐{1} no existen. Se requiere para la existencia, que f sea absolutamente
integrable en el intervalo adecuado y que f y f’ sean continuas por tramos en todo
intervalo finito.
Como el objetivo en este punto es aplicar la Transformada de Fourier en la Ecuación
de Calor, dadas ciertas condiciones de frontera, es importante analizar las
transformadas de las derivadas. Luego suponemos una f continua y absolutamente
integrable en el intervalo (−∞, ∞) y que f’ es continua a trozos en todo intervalo
finito. Si 𝑓(𝑥) → 0 cuando 𝑥 → ±∞, integrando por partes se tiene:
∞
𝔉{𝒇′(𝒙)} = ∫ 𝒇′(𝒙)𝒆𝒊𝜶𝒙𝒅𝒙 −∞
∞
= 𝑓(𝑥)𝑒𝑖𝛼𝑥 | −∞
∞
− 𝑖𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑖𝛼𝑥 𝑑𝑥 −∞
∞
= −𝑖𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥 −∞
Esto es:
𝔉{𝒇′(𝒙)} = −𝑖𝛼𝐹(𝛼)
23
Así mismo, con las hipótesis adicionales de que f´ es continua en (−∞, ∞) y f´´ es
continua a trozos en todo intervalo finito y que 𝑓´(𝑥) → 0 cuando 𝑥 → ±∞, se tiene
que:
𝔉{𝑓′′(𝑥)} = (−𝑖𝛼)2 𝔉{𝑓(𝑥)} = −𝛼2𝐹(𝛼) 2.12
Lo que se puede notar es que las transformadas seno y coseno, no son adecuadas para
transformar la primera derivada (o en realidad cualquier derivada de orden impar). Se
demuestra con facilidad que:
𝔉𝑠{𝑓′(𝑥)} = −𝛼𝔉𝑐{𝑓(𝑥)} 𝑦 𝔉𝑐{𝑓′(𝑥)} = 𝛼𝔉𝑠{𝑓(𝑥)} − 𝑓(0)
La dificultad es evidente ya que la transformada de 𝑓′(𝑥) no se expresa en forma de la
transformada integral original.
Transformada Seno de Fourier
Asumamos que f y f’ son continuas, f es absolutamente integrable en el intervalo
[0, ∞) y f’’ es continua a trozos en todo intervalo finito. Si 𝑓 → 0 𝑦 𝑓′ → 0 cuando
𝑥 → ∞, entonces:
∞
𝔉𝑠{𝑓′′(𝑥)} = ∫ 𝑓′′(𝑥)𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝑥 0
∞
= 𝑓′(𝑥)𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥 | 0
∞
− 𝛼 ∫ 𝑓′(𝑥)𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑥 𝑑𝑥 0
∞
= −𝛼 [𝑓(𝑥)𝐶𝑜𝑠 𝛼𝑥 | 0
∞
+ 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑆𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝑥] 0
= 𝛼 𝑓(0) − 𝛼2𝔉𝑠{𝑓(𝑥)}
De esta manera: 𝔉𝑠{𝑓′′(𝑥)} = −𝛼2𝐹(𝛼) + 𝛼𝑓(0)
Transformada Coseno de Fourier
Bajo las mismas aseveraciones que condujeron al resultado de la ecuación para la
Transformada de Senos, se puede ver que la transformada coseno de Fourier para
𝑓′′(𝑥) sería:
24
𝜕𝑢
𝔉𝑐{𝑓′′(𝑥)} = −𝛼2𝐹(𝛼) − 𝑓′(0)
Así, la gran pregunta es ¿cómo se sabe, ¿cuál transformada utilizar en determinado
problema de valores en la frontera? Se debe tener claro que para utilizar una
transformada de Fourier, el dominio de la variable que se va a eliminar debe ser
(−∞, ∞). Entonces para usar la transformada, seno o coseno, el dominio de al menos
una de las variables del problema debe ser [0, ∞). Al final, el factor determinante para
elegir entre una de estas dos transformadas, es el que la condición de frontera se
especifique en cero.
En nuestro caso unidimensional, se va a suponer, sin necesidad de volver a
mencionarlo que tanto 𝑢 como 𝜕𝑥
, tienden a cero cuando 𝑥 → ±∞. En realidad, ésta
no es una gran restricción ya que se cumple en la mayoría de aplicaciones. A
continuación, veamos un ejemplo de la Transformada de Fourier.
Ejemplo:
𝜕𝑢 𝜕2𝑢
Resolver la ecuación de calor 𝜕𝑡
= 𝑘 𝜕𝑥2 , −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑡 > 0, 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑎 𝑎:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓(𝑥) = {𝑢0 , |𝑥| < 1
0, |𝑥| > 1
Solución:
Ya que el problema, propone el dominio de 𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (−∞, ∞), se podría
interpretar, como encontrar la temperatura 𝑢(𝑥, 𝑡) en una varilla infinita, por lo que
usaremos la transformada de Fourier 2.10, ya antes citada de lo que se define:
∞
𝔉 {𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑒𝑖𝛼𝑥𝑑𝑥 = 𝑈(𝛼, 𝑡)} −∞
Si transformamos la ecuación diferencial parcial y utilizamos la ecuación 2.12:
𝜕2𝑢 𝜕𝑢 𝔉 {𝑘
𝜕𝑥2 } = 𝔉 { 𝜕𝑡
}
Se obtiene: −𝑘𝛼2𝑈(𝛼, 𝑡) = 𝜕𝑈 𝑜 𝜕𝑈 + 𝑘𝛼2𝑈(𝛼, 𝑡) = 0 𝜕𝑡 𝜕𝑡
Resolviendo la última ecuación se obtiene 𝑈(𝛼, 𝑡) = 𝑐𝑒−𝑘𝛼2𝑡 , de esta forma la
transformada de la condición inicial, es:
25
𝛼
𝔉{𝑢(𝑥, 0)}
∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −∞
𝑖𝛼𝑥
1
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢0𝑒 −1
𝑖𝛼𝑥
𝑑𝑥 = 𝑢0
𝑒𝑖𝛼 − 𝑒−𝑖𝛼
𝑖𝛼
De esta manera 𝑈(𝛼, 0) = 2𝑢0 𝑆𝑒𝑛 𝛼. Si se aplica esta condición a la solución 𝑈(𝛼, 𝑡) se
obtiene 𝑈(𝛼, 0) = 𝑐 = (2𝑢0𝑠𝑒𝑛 𝛼)/𝛼, por lo que:
Siendo la integral inversa:
𝑈(𝛼, 𝑡) = 2𝑢0 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝛼 𝑒−𝑘𝛼
2𝑡
𝑈(
𝑥, 𝑡) =
𝑢0 ∫
𝜋
∞ 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝛼 𝑒
−𝑘𝛼2𝑡
𝑒−𝑖𝛼𝑥
𝑑𝛼
−∞
Esta última expresión, se puede simplificar un poco utilizando la fórmula de Euler
𝑒−𝑖𝛼𝑥 = cos 𝛼𝑥 − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 y teniendo en cuenta que:
∞ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 ∫
𝛼 𝑒
−𝑘𝛼2𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝛼𝑥 𝑑𝛼 = 0
−∞
Dado que el integrando es una función impar de 𝛼 , se tiene finalmente que:
𝑢(
𝑥, 𝑡) =
𝑢0 ∫
𝜋
∞ 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼𝑥
𝛼 𝑒
−𝑘𝛼2𝑡
𝑑𝛼
−∞
2.7 Existencia y Unicidad de la Solución Otra forma de representar a la ecuación de calor es la siguiente:
𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 𝐹(𝑥, 𝑡)
Ya se había mencionado que esta ecuación, se podía generalizar para dos o más
dimensiones, donde la segunda derivada, se reemplaza por su respectivo Laplaciano,
así:
𝑢𝑡 − 𝑘∆𝑢 = 𝐹(𝑥, 𝑡), 𝑥 ∈ ℝ𝑛, 𝑡 > 0
En la forma más general, se plantea el problema de conocer la variación futura de la
temperatura en una varilla de longitud infinita, que para el caso de estudio tendrá un
valor finito, luego se asume la condición inicial en 𝑡 = 0, conocida la temperatura
inicial en todos los puntos de la misma, es decir:
26
𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥)
Visto de esta manera, la condición inicial no es suficiente si queremos tener garantía
de la unicidad de la solución, tampoco se puede imponer la derivada temporal al dato
inicial 𝑢𝑡(𝑥, 0), ya que por sí sola la ecuación de calor, daría que 𝑢𝑥𝑥(𝑥, 0) =
𝑓´´(𝑥). Cuando se aplica la Transformada de Fourier a la variable que representa el
espacio se puede obtener una solución del problema de valores iniciales, asumiendo
que 𝑢(𝑥, 𝑡) admite transformada 𝑈(𝑘, 𝑡), se convierte en una ecuación sencilla de
integrar,
2
𝑈𝑡 + 𝑤𝑘2𝑈 = 0 ⇒ 𝑈(𝑘, 𝑡) = 𝐴(𝑘)𝑒−𝑤𝑘 𝑡
cuya solución depende de una función arbitraria 𝐴(𝑘); por lo que se puede observar
que la ecuación de calor se descompone en ondas planas de frecuencia k, mismas que
se amortiguan con un factor exponencial decreciente en el tiempo.
Al invertir la transformada de Fourier, se tiene:
( ) 1
∞ ( ) −𝑤𝑘
2𝑡 +𝑖𝑘𝑥 𝑢 𝑥, 𝑡 = ∫ 𝐴 𝑘 𝑒 𝑑𝑘,
√2𝜋 −∞
Con lo que se puede determinar 𝐴(𝑘) a partir de los datos iniciales, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥),
luego:
( ) ( ) 1 ∞
(
) 𝑖𝑘𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥, 0 = ∫ 𝐴 𝑘 𝑒 𝑑𝑘 √2𝜋 −∞
que resulta ser la transformada de Fourier de f, la cual sustituida en la expresión de u,
nos da la solución del problema de valores iniciales para la varilla infinita
( ) 1 ∞ ∞
−𝑤𝑘2𝑡 +𝑖𝑘(𝑥−𝑦)
𝑢 𝑥, 𝑡 = 2𝜋
∫ 𝑑𝑘 ∫ 𝑑𝑦 𝑓(𝑦)𝑒 −∞ −∞
𝑖(𝑥−𝑦)
Completando cuadrados, es decir; haciendo el cambio de variable 𝑧 = 𝑘√𝑤𝑡 − 2√𝑤𝑡 ,
27
−∞
1 ∞ −𝑧2
∞
−(𝑥−𝑦)2 1 ∞
−(𝑥−𝑦)2
∫ 𝑑𝑧 𝑒 ∫ 𝑑𝑦 𝑓(𝑦)𝑒 4𝑤𝑡 = ∫ 𝑓(𝑦)𝑒 4𝑤𝑡 𝑑𝑦 2𝜋√𝑤𝑡 −∞ −∞ 2√𝜋𝑤𝑡 −∞
Si se considera el valor de la integral gaussiana:
∞
∫ 𝑒−𝑥2 𝑑𝑥 = √𝜋
−∞
Se puede llegar al siguiente teorema:
Teorema: El problema de valores iniciales 𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑡 > 0, 𝑥 ∈
ℝ, tiene solución:
1 ∞ −
(𝑥−𝑦)2
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑓(𝑦)𝑒 4𝑤𝑡 𝑑𝑦, 2√𝜋𝑤𝑡 −∞
Si la integral converge; entonces la convergencia está garantizada si f es continua a
trozos y crece más despacio que la exponencial cuadrática 𝑒𝑥2
cuando 𝑥 → ±∞. Esta
solución de valores iniciales no es en general única; para garantizar la unicidad es
necesario añadir una hipótesis adicional, que sea positiva 𝑢(𝑥, 𝑡) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 >
0, o acotada, es decir; que existen constantes 𝑀, tales que:
|𝑢(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝑀𝑒𝑎|𝑥|2
, ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 ∈ ℝ
Ejemplo: Hallar la solución de la ecuación 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 > 0, que verifica
𝑢(𝑥, 0) = 𝑥.
El dato inicial es 𝑓(𝑥) = 𝑥, por tanto con el cambio de variable 𝑧 = (𝑦 − 𝑥)/2√𝑤𝑡 ,
1 ∞ −
(𝑥−𝑦)2
1 ∞
−𝑧2
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑦 𝑒 2√𝜋𝑤𝑡 −∞
4𝑤𝑡 𝑑𝑦 = √𝜋
∫ (2√𝑤𝑡 𝑧 + 𝑥) 𝑒 𝑑𝑧
28
𝑤𝑡 = 𝑥 − √
𝜋 [𝑒
∞ 2
] | −∞
= 𝑥
no siendo de otra manera ya que 𝑢𝑥𝑥 = 0 = 𝑢𝑡 , para una función tan sencilla.
Núcleo Integral
Se llama Núcleo Integral de la ecuación de calor, al integrando de la solución del
problema de Cauchy,
𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒
(𝑥−𝑦)2
4𝑤𝑡
∞ , 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ,
2√𝜋𝑤𝑡 −∞
interpretándose como el producto de la convolución del dato inicial 𝑓(𝑥) con el núcleo
integral 𝐾(𝑥, 0, 𝑡) y que presenta las siguientes propiedades:
𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡) es una función positiva de clase 𝐶∞ (más aún, es analítica) para
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ, 𝑡 > 0. La consecuencia importante es que de haber
discontinuidades del dato inicial, estas se suavizan para 𝑡 > 0, basta que f sea
integrable y no necesariamente continua, la función que se deriva es 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡),
no así con la ecuación de la cuerda vibrante, en cuyo caso la o las
discontinuidades se expanden.
Se comprueba fácilmente que para 𝑡 > 0, 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡), es la solución de la
ecuación de calor
𝐾 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒
(𝑥−𝑦)2
4𝑤𝑡 (𝑥 − 𝑦)2 1
( ) 𝑒
(𝑥−𝑦)2
4𝑤𝑡
(𝑥 − 𝑦)
𝑡 ( 2√𝜋𝑤𝑡 4𝑤𝑡2
− 2𝑡
) , 𝐾𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑡 = 2√𝜋𝑤𝑡 2𝑤𝑡
𝐾 (𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑒
(𝑥−𝑦)2
4𝑤𝑡 (𝑥 − 𝑦)2 1 −
) = 𝐾𝑡(𝑥, 𝑦, 𝑡)
𝑥𝑥 ( 2√𝜋𝑤𝑡 4𝑤2𝑡2 2𝑤𝑡 𝑤
𝐾(𝑥, 𝑥0, 𝑡) para un dato inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝛿(𝑥 − 𝑥0), es la solución de la
ecuación de calor
−𝑧
−
− −
−
29
∫ −∞
∞
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝛿(𝑦 − 𝑥 ) 𝑑𝑦 = 𝐾 (𝑥, 𝑥 , 𝑡) =
𝑒
(𝑥−𝑥0)2
4𝑤𝑡
−∞ 0 0
2√𝜋𝑤𝑡
La ecuación modeliza de manera idealizada, la conducción de calor, ya que su
velocidad es infinita. Toda la varilla se ve afectada por lo que sucede en el punto 𝑥0 en
cualquier instante posterior a 𝑡 = 0. Esto quiere decir que si tenemos en el instante
inicial un punto de la varilla a temperatura infinita mientras el resto de la varilla está a
temperatura nula, se observa que un instante después la temperatura de la varilla
sigue una distribución gaussiana de temperaturas de varianza 𝜎2 = 2𝑤𝑡.
Hay que comprender que toda la recta real, representa el dominio para problemas de
valores de frontera (Problemas de Cauchy), ya que el valor de la solución 𝑢(𝑥, 𝑡)
depende de la integral del dato inicial 𝑓(𝑥) a lo largo de toda la recta.
∞ 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 = 1; con el cambio de variable 𝑧 = (𝑦 − 𝑥)/2√𝑤𝑡,
1 ∞ −
(𝑥−𝑦)2
1 −𝑧2
∫ 𝑒 4𝑤𝑡 𝑑𝑦 = 𝑒 𝑑𝑧 = 1 2√𝜋𝑤𝑡 −∞ √𝜋
La igualdad anterior concuerda en que el dato inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) = 1 es una
solución constante de la ecuación de calor, 𝑢(𝑥, 𝑡) = 1. Lo que permite acotar la
solución del problema de Cauchy, utilizando:
∞ ∞
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑓(𝑦)𝑑𝑦 ≤ sup 𝑓(𝑥) ∫ 𝐾(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑑𝑦 = sup 𝑓(𝑥) −∞ 𝑥∈ℝ −∞ 𝑥∈ℝ
lo mismo sería para el valor ínfimo:
ínf 𝑓(𝑥) ≤ 𝑢(𝑥, 𝑡) ≤ sup 𝑓(𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑡 ≥ 0 𝑥∈ℝ 𝑥∈ℝ
lo cual establece que 𝑢(𝑥, 𝑡) toma valores dentro del mismo rango que el dato
inicial
Por lo anterior se procede a usar el Principio del Máximo para llegar a demostrar la
unicidad.
−
30
PRINCIPIO DEL MÁXIMO
Al igual que para la ecuación de Laplace, el principio del máximo también existe para la
ecuación de calor y nos ayuda a solventar la unicidad de soluciones de la misma.
Teorema: Sea 𝑢(𝑥, 𝑡) una función continua en el rectángulo cerrado �� = [0, 𝐿] ×
[0, 𝑇], tal que 𝑢𝑡, 𝑢𝑥𝑥 son continuas en el intervalo abierto 𝛺 = (0, 𝐿) × (0, 𝑇), donde
satisface 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 < 0, entonces u alcanza su valor máximo en 𝑡 = 0 𝑜 𝑥 =
0 𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 𝐿
Figura 2.3: Principio del máximo para la ecuación de calor
De esta manera es claro que el máximo se puede alcanzar en el dato inicial o en los
extremos. Denotaremos por 𝛿𝛺 los tres lados inferiores del rectángulo ��. Es decir, el
borde 𝛿𝛺 excepto el segmento (0, 𝐿) de la recta 𝑡 = 𝑇. Con esta notación el teorema
afirma:
máx 𝑢 = máx 𝑢 𝛺 𝛿𝛺
Como 𝑢 es una función continua en un conjunto compacto, tiene un máximo. El
teorema se demuestra por reducción al absurdo:
Inicialmente para 𝛺휀 ≔ [0, 𝐿] × [0, 𝑇 − 휀], ya que en la recta 𝑡 = 𝑇 no se tiene
garantizada la diferencialidad. Se asume entonces que 𝑢 tiene un máximo local en
(𝑥0, 𝑡0) en 𝛺휀. Por la condición de extremo local
𝑢𝑡 = (𝑥0, 𝑡0) = 0 = 𝑢𝑥(𝑥0, 𝑡0)
Y por la condición del máximo local
𝑢𝑥𝑥 = (𝑥0, 𝑡0) ≤ 0
Lo cual implica en particular
31
𝑢𝑡(𝑥0, 𝑡0) − 𝑤𝑢𝑥𝑥(𝑥0, 𝑡0) ≥ 0
Lo cual contradice la hipótesis inicial, 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 < 0 𝑒𝑛 𝛺휀. Es claro que el máximo
local no puede existir. Luego resulta imposible encontrar el valor máximo de 𝑢 en el
segmento (0, 𝐿) de la recta 𝑡 = 𝑇 − 휀. Supongamos que se alcanzará en un punto
(𝑥0, 𝑇 − 휀), 𝑥0 ∈ (0, 𝐿). Sería así mismo un máximo local de 𝑢(𝑥, 𝑇 − 휀) y por tanto:
𝑢𝑥(𝑥0, 𝑇 − 휀) = 0, 𝑢𝑥𝑥 = (𝑥0, 𝑇 − 휀) ≤ 0
Además, fijado 𝑥0, la función 𝑢𝑡(𝑥0, 𝑡) debería ser creciente en un entorno del
máximo, con lo cual 𝑢𝑡(𝑥0, 𝑇 − 휀) ≥ 0. Todo esto contradice nuevamente la hipótesis
de entrada, ya que
𝑢𝑡(𝑥0, 𝑇 − 휀) − 𝑤𝑢𝑥𝑥(𝑥0, 𝑇 − 휀) ≥ 0
Por lo que dicho máximo no puede existir; quedando como única posibilidad que el
máximo se halle en 𝛿𝛺휀. Por lo tanto se ha demostrado que:
máx 𝑢 = máx 𝑢 ≤ máx 𝑢 ≤ máx 𝑢, ∀휀 > 0 𝛺휀 𝛿𝛺휀 𝛿𝛺 𝛺
Luego al ser 𝛿𝛺휀 un subconjunto de 𝛿𝛺 y, el máximo en 𝛿𝛺 es, similar al de
𝛿𝛺휀 , pero puede ser mayor, al incluir más puntos. De manera que si 휀 → 0, por ser
𝑢(𝑥, 𝑡)una función continua, se tiene:
máx 𝑢 ≤ máx 𝑢 ≤ máx 𝑢 𝛺 𝛿𝛺 𝛺
Con lo que se concluye la igualdad
máx 𝑢 = máx 𝑢 �� 𝛿𝛺
El resultado anterior nos muestra que la ecuación de calor no tiene simetría, y que las
condiciones de 𝑡 cuando este transcurre, son distintas a cuando 𝑡 = 0. Lo cual denota
32
que este proceso ya no tiene regreso, esto es propio de fenómenos, como la
transmisión de calor o la difusión, que tienen una dirección temporal clara.
Este sencillo resultado se puede mostrar mejor, con una condición menos restrictiva
en la parte inhomogénea de la ecuación de calor.
Corolario 1. Principio fuerte del máximo: Sea 𝑢(𝑥, 𝑡) una función continua en el
rectángulo cerrado �� = [0, 𝐿] × [0, 𝑇], tal que ut, uxx son continuas en el rectángulo
abierto 𝛺 = (0, 𝐿) × (0, 𝑇), donde satisface 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 ≤ 0, entonces u alcanza su
valor máximo en 𝑡 = 0 o 𝑥 = 0 o en 𝑥 = 𝐿
Definimos 𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 휀𝑡, siendo 휀 > 0. Como:
𝑣𝑡 − 𝑤𝑣𝑥𝑥 = 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 − 휀 < 0
Podemos aplicar el teorema anterior a 𝑣(𝑥, 𝑡) y concluir
máx 𝑢 = máx (𝑣 + 휀𝑡) ≤ 휀𝑇 + máx 𝑣 = 휀𝑇 + máx 𝑣 ≤ 휀𝑇 + máx 𝑢 ≤ 휀𝑇 + máx 𝑢 �� 𝛺 �� 𝛿𝛺 𝛿𝛺 ��
Y el límite de 휀 → 0, se obtiene el resultado buscado,
máx 𝑢 ≤ máx 𝑢 ≤ máx 𝑢 �� 𝛿𝛺 ��
Se puede ver que la acotación de 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥, sólo afirma que el máximo se alcanza en
𝛿𝛺, pero no excluye que se puede igualar en el interior o en 𝑡 = 𝑇. Si 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 = 0,
podemos aplicar el resultado anterior tanto a 𝑢 como a −𝑢. Y como el máximo de −𝑢
es el mínimo de 𝑢, tenemos:
Corolario 2. Sea 𝑢(𝑥, 𝑡) una función continua en el rectángulo cerrado �� = [0, 𝐿] ×
[0, 𝑇], tal que 𝑢𝑡, 𝑢𝑥𝑥 son continuas en el rectángulo abierto 𝛺 = (0, 𝐿) × (0, 𝑇),
donde satisface 𝑢𝑡 − 𝑤𝑢𝑥𝑥 = 0, entonces 𝑢 alcanza sus valores máximo y mínimo en
𝑡 = 0 o 𝑥 = 0 o en 𝑥 = 𝐿.
2.8 Aplicación de la Transformada de Fourier Para el ejercicio que habíamos realizado en la sección 2.5.2, cuyas condiciones eran las
siguientes:
33
𝜕𝑢 𝜕𝑢2
𝜕𝑡 = 𝑘
𝜕𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝑦 𝑡 > 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 ; 𝑡 > 0 {𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(𝐿 − 𝑥) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Se pide resolver para 𝑘 = 1 y 𝐿 = 1, mediante la Transformada de Fourier.
De esta manera recordemos que la forma de la Transformada de Fourier es:
1 ∞ −
(𝑥−𝑦)2
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝑓(𝑦)𝑒 4𝑘𝑡 𝑑𝑦 , 2.13 4√𝜋𝑘𝑡 −∞
Luego si 𝑘 = 1 y 𝐿 = 1, se tiene:
𝜕𝑢 𝜕𝑢2
𝜕𝑡 = 𝑘
𝜕𝑥2 ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑦 𝑡 > 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0 ; 𝑡 > 0 {𝑢(𝑥, 0) = 𝑥(1 − 𝑥) ; 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿
Utilizando los datos del problema en la ecuación 2.13 tenemos:
1 ∞ 2
−(𝑥−𝑦)2
𝑢(𝑥, 𝑡) = ∫ (𝑦 − 𝑦 )𝑒 4𝑡 𝑑𝑦
√4𝜋𝑡 −∞
Realizando un cambio de variable:
𝑧 = 𝑦 − 𝑥
√4𝑡
𝑑𝑧 =
1 √4𝑡
𝑑𝑦
𝑦 = 𝑧√4𝑡 + 𝑥 𝑑𝑦 = √4𝑡 𝑑𝑧
+∞ 1 2 ∫ [(𝑧√4𝑡 + 𝑥) − (𝑧√4𝑡 + 𝑥)
√4𝜋𝑡
] 𝑒
−𝑧2
√4𝑡 𝑑𝑧
=
1
√𝜋
−∞
+∞
∫ [𝑧√4𝑡 + 𝑥 − 𝑧24𝑡 − 2𝑧𝑥√4𝑡 – 𝑥2] 𝑒−𝑧2 𝑑𝑧
−∞
+∞ +∞ +∞ +∞ +∞
= 1
√𝜋 [ ∫ 𝑧√4𝑡 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧 + ∫ 𝑥 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧 − ∫ 𝑧24𝑡 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧 − ∫ 2𝑧𝑥√4𝑡 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧 − ∫ 𝑥2 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧]
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞
2.14
=
34
2
Si se sabe que el valor de la integral Gaussiana:
+∞
∫ 𝑒−𝑥2
−∞
𝑑𝑥 = √𝜋
Realizando las integrales respectivas, tenemos:
+∞
𝑒−𝑧
2
+∞ ∫ 𝑧√4𝑡 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧 = −
2 −∞
√4𝑡 | = 0 −∞
+∞
∫ 𝑥
−∞
+∞
+∞
𝑒−𝑧2 𝑑𝑧 = 𝑥 ∫ 𝑒−𝑧
2
−∞
+∞
𝑑𝑧 = 𝑥√𝜋
∫ 𝑧24𝑡 𝑒−𝑧2 𝑑𝑧 = 4𝑡 ∫ 𝑧2 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧
−∞ −∞
= 4𝑡 (1 √𝜋 erf(𝑧) − 2𝑧𝑒−𝑧
2 ) |+∞
4 −∞
= 4𝑡 √𝜋
2
+∞ +∞
∫ 2𝑧𝑥√4𝑡 𝑒−𝑧2 𝑑𝑧 = 2𝑥√4𝑡 ∫ 𝑧 𝑒−𝑧
2 𝑑𝑧
−∞ −∞
𝑒−𝑧2 +∞
= 2𝑥√4𝑡 (– ) | −∞
= 2𝑥√4𝑡 (0) = 0
+∞
∫ 𝑥2
−∞
+∞
𝑒−𝑧2 𝑑𝑧 = 𝑥2 ∫ 𝑒−𝑧
2
−∞
𝑑𝑧 = 𝑥2√𝜋
De esta manera al reemplazar los resultados de las integrales individuales en 2.14, se
tiene:
= 1
√𝜋
[0 + 𝑥√𝜋 − 4𝑡 √𝜋
− 0 − 𝑥2√𝜋] = 𝑥 − 2𝑡 − 𝑥2 2.15 2
35
La solución en series de Fourier 2.10 y la transformada de Fourier 2.15, se
representan en la siguiente gráfica:
Aproximacion de Fourier para f(x) = x-x2
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 2.4 : Solución analítica: en Series y Transformada de Fourier
Serie de Fourier
Transformada de Fourier
36
CAPITULO 3
MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
3.1 Historia Aunque el nombre de Elementos Finitos, se formaliza en la década de los 40, su uso
conceptual data desde siglos atrás, en el antiguo Egipto se utilizaba el método de
discretizado para calcular el volumen de las pirámides; en otra parte del mundo,
Arquímedes, utilizaba el mismo método para calcular una variedad de volúmenes y
superficies. Así mismo en el continente asiático, el matemático chino Lui Hui (300 d.C.),
utilizó un polígono regular de 3072 lados para realizar cálculos de longitudes de
circunferencia, con lo que obtenía aproximaciones muy cercanas al número 𝝅.
La necesidad de resolver problemas complejos y la elasticidad de análisis estructural
en ingeniería civil y aeronáutica, permiten el desarrollo formal del Método de
Elementos Finitos, cuando en 1941 Alexander Hrennikoff y 1943 Richard Courant, con
el uso de métodos totalmente diferentes pero con una sola esencia, la malla de
discretización de un dominio en sub dominios dan los primeros pasos para desarrollar
el método tal como se lo presenta hoy en día.
Hrennikoff propuso la discretización de un dominio mediante una analogía de red,
introdujo el uso del método de armazón, en el cual, un medio elástico plano se
representó como un conjunto de barras y vigas, mientras que Courant, propuso tal
discretización, mediante sub regiones triangulares las cuales se irían ensamblando
posteriormente, esto condujo al principio de mínima energía potencial para el
ensamblaje de las sub regiones triangulares. La propuesta de Courant, era evolutiva a
partir de una serie de resultados anteriores para ecuaciones en derivadas parciales
(EDP’s), desarrollados por Rayleigh, Ritz y Galerkin.
La presentación formal del Método de Elementos Finitos se le atribuye a Kelsey en
1960 y a Turner, Clough, Martin y Topp en 1956. En sí el término elemento finito fue
introducido por Clough en 1960.
3.2 Cómo se usó del Método de Elementos Finitos en la
época de Arquímedes Aunque resulta trivial, es interesante ver como los matemáticos antiguos realizaron el
cálculo de la longitud de una circunferencia usando el método que hoy conocemos
como Método de Elementos Finitos, lo cual consistió en lo siguiente:
37
Se planteó el problema de calcular el perímetro de un círculo de radio R
Figura 3.1: Radio del círculo
En segunda instancia, procedieron a colocar lo que se conoce con el nombre de
mallas, estas mallas podían ser uniformes y no uniformes, pero siempre sería mejor
utilizar mallas uniformes por facilidad de cálculo. En el ejemplo la malla uniforme
presenta un polígono regular de 5 lados, los cuales, lógicamente por ser regular,
tiene la misma dimensión en todos sus lados y otra malla no uniforme donde los
lados del polígono son de distinta magnitud.
Malla Uniforme Malla no uniforme
Figura 3.2: Noción de mallado
Básicamente, el trazado de polígonos era con el objetivo de ir cubriendo la región
circular con un mayor número de lados, los cuales eran considerados como elementos
finitos, los vértices de estos polígonos representan los nodos que mantienen la
conexión de un elemento a otro y de esta forma se podía aproximar el cálculo a la
medida que hoy en día conocemos. En síntesis este proceso se conoce como
discretización del dominio.
Ahora bien, era de vital importancia, resolver el cálculo de la longitud de uno de
estos elementos finitos (para nuestro ejemplo “los lados del polígono”), ya que
R
38
2
luego se presumía que el valor total del cálculo aproximado, era la suma de las
longitudes de todos los elementos involucrados; este proceso adoptó el nombre de
ensamblaje. A partir de la figura mostrada a continuación:
Sc
Figura 3.3: Relación del arco con la sección de un elemento finito
Donde hc es la longitud del elemento seleccionado, R el radio del círculo, Sc el arco
de circunferencia y 𝜃 el ángulo subtendido por el segmento de recta, consideremos
que 𝜃 < 𝜋. Realizando los cálculos apropiados se tiene:
ℎ𝑐 = 2 𝑅 𝑆𝑒𝑛 (1 𝜃) 3.1
La ecuación anterior se le llama “ecuación elemento”, en base a esta ecuación se
puede determinar el perímetro del círculo (circunferencia), realizando un ensamble
de todas las partes, en este caso de todos los lados considerados (𝑛 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠), se tendría:
𝑛
𝑃𝑛 = ∑ ℎ𝑐
𝑐=1
De lo anterior se establece que Pn es la aproximación del perímetro real y hces la
2𝜋
misma para todos los elementos de la malla, entonces: 𝜃 =
𝜋
𝑃𝑛 = 𝑛 (2 𝑅 𝑆𝑒𝑛 𝑛
)
𝑛 y así se tiene:
Por otro lado es importante conocer el error de la aproximación y notar que
cuando 𝑛 → ∞, Pnse aproxima al perímetro real, en este sentido el error de
aproximación viene dado por la diferencia entre la longitud de arco y la longitud
del elemento seleccionado así:
𝐸𝑐 = |𝑆𝑐 − ℎ𝑐|
𝜃hc
R
39
1
luego se sabe que 𝑆𝑐 = 𝑅𝜃, por lo que el error para un elemento de la malla estaría
dado por:
𝐸 = 𝑅 |2𝜋 𝜋
𝑐 𝑛 − 2𝑆𝑒𝑛
𝑛|
de esta manera el error total, está dado por la multiplicación de 𝐸𝑐 por n, teniendo:
𝜋 𝐸 = 2𝑅 (𝜋 − 𝑛 𝑆𝑒𝑛
𝑛) = 2 𝜋 𝑅 − 𝑃𝑛
Se muestra entonces que cuando 𝑛 → ∞, Etiende a cero; haciendo 𝑥 =
𝑛setiene:
Y si:
𝜋 𝑃𝑛 = 2 𝑅 𝑛 𝑆𝑒𝑛 (
𝑛) = 2 𝑅
𝑆𝑒𝑛 𝜋 𝑥
𝑥
lim 𝑃 = lim (2 𝑅
𝑆𝑒𝑛 𝜋 𝑥) = lim (2𝜋 𝑅
𝐶𝑜𝑠 𝜋𝑥) = 2𝜋𝑅
𝑛→∞ 𝑛
𝑥→0 𝑥 𝑥→0 1
Se puede ver que cuando 𝑛 → ∞, el error global tiende a cero y así se produce la
convergencia y así se demuestra que la circunferencia de un círculo se puede
aproximar tanto como queramos mediante un número finito de funciones lineales, es
presumible entonces que cuando mayor es el número de elementos usados, menor es
el error de aproximación.
3.3 Estructura del Método de Elementos Finitos Como se puede observar en la siguiente figura, el MEF, realiza un seccionamiento del
dominio global del objeto en estudio, para obtener partes más pequeñas, las cuales se
hallan relacionadas mediante nodos, los cuales pueden ser adyacentes al ser parte del
mismo elemento o simplemente estar en la frontera, para ser parte de más elementos;
recordemos que este particionamiento del dominio, es lo que se conoce con el nombre
de discretización. Al conjunto de nodos en los cuales se considera su adyacencia, se lo
conoce como malla.
40
[19] Figura 3.4: Estructura de un elemento finito
Los cálculos se realizan sobre la malla o zona de discretización, con programas
computacionales generadores de mallas; las relaciones de adyacencia o conectividad,
determinan incógnitas generadas en cada nodo y llamadas grados de libertad. A su vez
el conjunto de relaciones entre las incógnitas y sus nodos se pueden escribir en forma
de un sistema de ecuaciones lineales, las cuales representan la llamada matriz de
rigidez. Este es un sistema de ecuaciones muy singular ya que el número de ecuaciones
es proporcional al número de nodos.
El método del elemento finito requiere ser programado en computadora, para poder
realizar cálculos complicados de la difusión, deformación, etc.; que son fenómenos
físicos y termodinámicos inmersos en distintos campos de la ingeniería, debido a ese
factor, es muy usado y aparte permite administrar dominios muy complejos.
[19] Figura 3.5: Malla discretizada en Suelos
Por su connotación, el método es fácilmente adaptable a muchos problemas físicos y
termodinámicos (pueden existir otros fenómenos), pero debido a la dificultad de
encontrar para estos fenómenos, las soluciones analíticas, se convierte una alternativa
práctica de cálculo.
La convergencia que presenta este método a la hora del cálculo es muy significativa,
esto último se convierte en una propiedad base del método.
41
3.4 Por qué resulta mejor utilizar el Método de Elementos
Finitos El principal problema que presentan los métodos tradicionales como por ejemplo el de
Rayleigh-Ritz, Galerkin o de mínimos cuadrados, que se diferencian uno del otro al
seleccionar la forma de la integral, las funciones de peso y funciones de aproximación,
es que justamente cuando se usan estas funciones de aproximación para problemas
con dominio arbitrario, son difíciles de construir. En cambio el método de elementos
finitos, plantea un procedimiento sistemático para la derivación de funciones de
aproximación, en regiones más pequeñas de la región principal.
El método de elementos finitos tiene a saber tres características importantes, que lo
destacan frente a los otros métodos:
Como su nombre lo indica, este método representa en subregiones que tienen una
geometría más simple, a lo que llamamos elementos finitos, la región global del
problema a resolver, el cual puede tener una geometría muy compleja
La segunda idea crucial, se basa en la continuidad de una función ya que ésta se
puede representar como una combinación lineal de polinomios algebraicos lo cual
permite derivar sobre cada función de aproximación en cada elemento finito
se obtienen relaciones algebraicas entre los coeficientes no determinados (valores
nodales) satisfaciendo las ecuaciones que rigen, a menudo en un sentido de
integral pesada, sobre cada elemento
De esta manera el método de elementos finitos, puede verse como una aplicación
rápida de los métodos de Rayleigh-Ritz o residuo pesado; las funciones de
aproximación son vistas de forma general, como polinomios algebraicos y a los
coeficientes no determinados como los valores de la solución de un número finito de
puntos llamados nodos, en la frontera e interior del elemento.
Las funciones de aproximación se derivan usando los conceptos de la teoría de la
interpolación. Así, el grado de las funciones de interpolación depende del número de
nodos en el elemento y del orden de la ecuación diferencial a resolverse.
3.5 Observaciones para trabajar con el Método de
Elementos Finitos 1. Uno puede discretizar un dominio, dependiendo de su forma, en una malla de más de un
tipo de elemento. Por ejemplo en la aproximación de un dominio irregular, uno puede usar
una combinación de rectángulos y triángulos.
2. Si más de un tipo de elemento es usado en la representación del dominio, uno de cada clase
será aislado y sus ecuaciones desarrolladas.
42
3. Las ecuaciones que rigen, son generalmente ecuaciones diferenciales. En la mayoría de los
casos las ecuaciones no pueden resolverse sobre un elemento, por dos razones. Primero, no
permiten la solución exacta. De aquí que los métodos variacionales entren en juego. Segundo,
las ecuaciones discretas obtenidas en los métodos variacionales no pueden resolverse
independientemente de los elementos restantes debido a que el ensamble de los elementos
está sujeto a cierta continuidad, frontera y/o condiciones iniciales.
4. Hay dos diferencias principales en la forma de la solución aproximada usada en el método
del elemento finito y la que se usa en el método variacional clásico (por ejemplo: método
variacional aplicado al dominio total). Primero, en lugar de representar la solución 𝑢 como una
combinación lineal (𝑢 = Σ𝑗, 𝑐𝑗, ɸ𝑗) en términos de parámetros arbitrarios 𝑐𝑗 como en los
métodos variacionales, en el método del elemento finito la solución es representada a
menudo como una combinación lineal (𝑢 = Σ𝑗, 𝑐𝑗, 𝛹𝑗) en términos de los valores 𝑢𝑗 de 𝑢 (y
posiblemente sus derivadas) en los puntos nodales. Segundo, las funciones aproximadas en el
método del elemento finito son por lo regular polinomios que se resuelven usando la teoría de
interpolación. Sin embargo, el método del elemento finito no está restringido, al uso de
aproximaciones, que son combinaciones lineales de valores nodales 𝑢𝑗 y funciones
interpolaciones 𝛹𝑗 que son polinomios algebraicos. Uno puede usar, en adición a valores
nodales, variables sin nodo (como en el método Rayleigh-Ritz) para representar la
aproximación de una función.
5. El número y localización de los nodos en un elemento depende de: a)La geometría del
elemento. b)El grado de aproximación polinomial. c) La forma integral de las ecuaciones.
Mediante la representación de la solución requerida en términos de sus valores en los nodos,
uno obtiene la solución aproximada en los nodos.
6. El ensamble de elementos, en un caso general, está basado en la idea de que la solución (y
posiblemente sus derivadas para ecuaciones de mayor orden) es continua en las fronteras de
elemento y otro.
7. En general, el ensamble del elemento finito está sujeto a la frontera y/o condiciones
iniciales. Las ecuaciones discretas asociadas con la malla del elemento finito, se resuelven
solamente después de que se imponen la frontera y/o las condiciones iniciales
8. Hay tres fuentes de error en la solución de elemento finito: a) Las debidas a la aproximación
del dominio. b) Las debidas a la aproximación de la solución. c) Las debidas al cálculo
numérico. La estimación de estos errores, en general, no es materia sencilla. Sin embargo bajo
ciertas condiciones, pueden estimarse para un elemento y problema dado.
9. La exactitud y convergencia de la solución del elemento finito depende de la ecuación
diferencial, su forma integral y el elemento usado. Exactitud se refiere a la diferencia entre la
solución exacta y la solución de elemento finito, mientras la convergencia se refiere a la
exactitud conforme el número de elementos en la malla se incremente.
10. Para problemas dependientes del tiempo, se sigue una formulación en dos etapas. En la
primera, las ecuaciones diferenciales son aproximadas mediante el método del elemento finito
para obtener una serie de ecuaciones diferenciales en tiempo. En la segunda, las ecuaciones
43
diferenciales en tiempo se resuelven exactamente o aún más aproximadas por métodos
variacionales o métodos de diferencia finita para obtener ecuaciones algebraicas, las cuales se
resuelven para los valores nodales.
11. Cuando las condiciones de continuidad de ensamble se reemplazan por las condiciones de
contacto, el método se conoce como el método del elemento discreto (MED). En el método del
elemento discreto, elementos individuales pueden tener movimientos finitos
(desplazamientos y rotaciones).
3.6 Símbolo variacional Si se considera la función 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑢′), para un valor fijo de la variable
independiente 𝑥 , 𝐹 depende de 𝑢 y 𝑢’. El cambio de 𝛼𝑣 en 𝑢, donde 𝛼 es una
constante y 𝑣 una función, es conocida como la variación de 𝑢 y se representa así:
𝛿𝑢 = 𝛼𝑣
El operador 𝛿 se llama el símbolo variacional. La variación 𝛿𝑢 de una función,
representa un cambio admisible en la función 𝑢(𝑥) en un valor fijo de la variable
independiente 𝑥. Si 𝑢 es especificada en un punto, generalmente en la frontera, la
variación de 𝑢 es cero, ello debido a que el valor especificado de 𝑢 no puede variarse.
En ese sentido, la variación de una función de 𝑢 debería satisfacer la forma
homogénea de las condiciones de frontera para 𝑢. La variación 𝛿𝑢 en 𝑢 es un cambio
virtual. Asociado con este cambio en 𝑢 (ejemplo 𝑢 teniendo a 𝑢 + 𝛼𝑢), hay un cambio
en 𝐹. De manera similar con la diferenciación total de una función de dos variables, la
primera variación de 𝐹 en 𝑢 está definida por:
𝛿𝐹 = 𝜕𝐹
𝛿𝑢 + 𝜕𝐹
𝜕𝑢′
𝜕𝑢 𝜕𝑢′
Luego la similitud entre lo anterior y la diferenciación total de 𝐹:
𝑑𝐹 = 𝜕𝐹
𝑑𝑥 + 𝜕𝐹
𝑑𝑢 + 𝜕𝐹
𝑑𝑢′
𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑢′
Como 𝑥 no varía durante la variación de 𝑢 hacia 𝑢 + 𝛿𝑢, 𝑑𝑥 = 0 y la similitud entre
𝜕𝐹 𝑦 𝑑𝐹 llega a ser evidente, 𝛿 actúa como un operador diferencial con respecto a las
variables dependientes. Se puede verificar que las leyes de variación de sumas,
productos, relaciones, potencias, y así sucesivamente son completamente análogas a
las leyes de diferenciación correspondientes, por ejemplo si 𝐹1 = 𝐹1(𝑢) y 𝐹2 =
𝐹2(𝑢) entonces:
44
2
1. 𝛿(𝐹1 ± 𝐹2) = 𝛿𝐹1 ± 𝛿𝐹2
2. 𝛿(𝐹1𝐹2) = 𝐹2𝛿𝐹1 + 𝐹1𝛿𝐹2
3. 𝛿 (
𝐹1) = 𝐹2𝛿𝐹1 − 𝐹1𝛿𝐹2
𝐹2 𝐹2
4. 𝛿[𝐹1]𝑛 = 𝑛 (𝐹1)𝑛−1 𝛿𝐹1
45
0
0
0
CAPÍTULO 4
FORMULACION DEBIL EN PROBLEMAS CON
VALORES DE FRONTERA
Una vez detalladas las observaciones que deben considerarse para trabajar con el MEF y sabiendo que la Ecuación de Calor, es una ecuación en derivadas parciales de tipo parabólico; en las siguientes secciones se desarrolla la formulación débil de una manera didáctica.
4.1 Formulación débil
La formulación débil se debe realizar en un espacio de funciones adecuado para luego
verificar la existencia de su solución; de esta manera la formulación débil, en el
intervalo [0, 𝐿], se deduce contemplando [17]:
1. Que la solución 𝑢, de la ecuación existe
2. Se multiplica los términos de la ecuación, por una función de prueba 1 𝑣, donde
𝑣 ∈ 𝐶∞([0, 𝐿]), y se integra ambos lados de la igualdad
3. Se aplica la integración por partes y las condiciones de frontera, de manera que
se obtenga una expresión con el menor número de derivadas posible.
4. Se cambia el espacio 𝑣 ∈ 𝐶∞([0, 𝐿]) por 𝑉, 𝑣 ∈ 𝑉, ya que 𝑉 es el espacio de
funciones más grande
5. También definir el espacio de funciones 𝑈 tal que 𝑢 ∈ 𝑈
6. Para el espacio de funciones 𝑈 y 𝑉, el espacio de Hilbert 2 [16] , definidos en
[0, 𝐿]
7. Las integrales obtenidas se encuentran definidas en este espacio
8. Se impone las condiciones de frontera para toda 𝑢 ∈ 𝑈
Sea 𝛺 = [0, 𝐿] ∈ ℝ, al realizar la formulación débil, se puede garantizar la existencia
de la solución,3 llamada solución débil de la ecuación original, la solución de esta
última se la conoce como la solución fuerte.
Sea la ecuación de calor:
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝑘𝑢𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿, 0 < 𝑡 < 𝑏, 4.1
1El conjunto de las funciones continuas diferenciables 𝐶∞(𝛺) (existen todas sus derivadas en
𝛺), es el espacio 𝐶∞(𝛺) = {𝑣 ∈ 𝐶∞(𝛺): 𝑣 = 0 𝑒𝑛 𝛤 ⊂ 𝜕𝛺}
46
0
0
4.2 Construcción de la Formulación Débil con la condición inicial:
𝑢(𝑥, 0) = ℎ(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿, 𝑡 = 0, 4.2
y las siguientes condiciones de frontera
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 ≤ 𝑏, 4.3
En donde 𝑘 es la constante de difusividad térmica de de la ecuación de calor, luego
empezamos multiplicando la ecuación 4.1 por la función de prueba 𝑣 ∈ 𝐶∞([0, 𝐿])
𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)𝑣(𝑥) − 𝑘𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)
y al integrar los términos de esta igualdad:
∫𝐿 𝑢𝑡𝑣(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑘 ∫
𝐿 𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝐿 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 , 4.4
0 0 0
aplicando el método de integración por partes al segundo término de la lado izquierdo
de la igualdad anterior, se reduce el orden de derivación obteniendo:
𝐿 − ∫ 𝑢𝑥𝑥𝑣
(𝑥 )𝑑𝑥 = −𝑢𝑥𝑣(𝑥) |
𝐿
𝐿 + ∫ 𝑢𝑥𝑣
′(𝑥
)𝑑𝑥 = ⋯
0 0 0
𝐿
… = −|𝑢𝑥(𝐿, 𝑡)𝑣(𝐿) − 𝑢𝑥(0, 𝑡)𝑣(0)| + ∫ 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 0
como 𝑣 ∈ 𝐶∞([0, 𝐿]), se cumple ya que 𝑣(𝐿) = 𝑣(0) = 0. Luego la última expresión
queda: − ∫
𝐿 𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝐿 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 , 4.5
0 0
De esta manera, el problema de valores de frontera dado por las ecuaciones 4.1, 4.2 y
4.3, junto a las ecuaciones 4.4 y 4.5; se puede escribir como:
2 Se define H1(𝛺) = {𝑣 ∈ 𝐿2(𝛺) | 𝑣´ ∈ 𝐿2(𝛺)} 3 Se puede utilizar el teorema de Lax Milgram, para probar la existencia de soluciones
débiles, el teorema y su demostración se lo puede ver en detalle en [13]
47
0
0
0
0
0
∫𝐿 𝑢𝑡𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘 ∫
𝐿 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝐿 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 , ∀ 𝑣 ∈ 𝐶∞([0, 𝐿])
0 0 0 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
{𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 0 < 𝑡 ≤ 𝑏
4.6
Entonces, se deben escoger los espacios de funciones más adecuados de 𝑈 y 𝑉, para
que la expresión anterior, sea la formulación débil [16], donde:
𝑢 ∈ 𝑈, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝐶∞([0, 𝐿]) ⊂ 𝑉
se define: 𝑀 = ∫𝐿 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢 ∈ 𝑈, 4.7
que es la forma bilineal, donde 𝑀: 𝑈 × 𝑉 → ℝ y también define una función bilineal
𝐹: 𝑉 → ℝ
∫𝐿 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 4.8
Considerando el tiempo continuo, la formulación matricial débil semi discreta sería:
∫𝐿 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑘 𝑀(𝑢, 𝑣) = 𝐹(𝑣), ∀ 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 ∈ 𝑈
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
{𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 0 < 𝑡 ≤ 𝑏
4.9
Al ser una formulación de tiempo continuo, no se puede resolver con programación;
por otro lado ∫𝐿 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡)𝑣(𝑥)𝑑𝑥, no siempre tiene una solución analítica. De esta
manera se hace necesario discretizar el tiempo, para poder encontrar una solución
aproximada.
4.2.1 Discretización del tiempo Para la discretización del tiempo [16] se considera:
𝑢 (𝑥, 𝑡) ≈ 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) − 𝑢(𝑥, 𝑡)
,
𝑡 ∆𝑡
Con un orden de aproximación 𝑂(∆𝑡), usando la siguiente notación:
48
0
0
{
𝑢 (𝑥, 𝑡) ≈ 𝑢(𝑥,𝑡 + ∆𝑡)− 𝑢(𝑥,𝑡)
= 𝑢𝑝− 𝑢𝑝−1 , 4.10
𝑡 ∆��
∆𝑡
donde 𝑡𝑝 = 𝑡 + ∆𝑡, 𝑡𝑝−1 = 𝑡, 𝑢𝑝 = 𝑢(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) y 𝑢𝑝−1 = 𝑢(𝑥, 𝑡), que al reemplazar
en 4.10, de la formulación 4.9, se obtiene:
𝐿 𝑢𝑝 − 𝑢𝑝−1
∫ ∆𝑡
𝑣
(𝑥
)𝑑𝑥 + 𝑘 𝑀
(𝑢, 𝑣)
= 𝐹(𝑣)
0
Esto último se puede escribir como:
1 𝐿
( )
( ) ( ) 1 𝐿
∆𝑡 ∫ 𝑢𝑝𝑣 𝑥
𝑑𝑥 + 𝑘 𝑀 𝑢, 𝑣 = 𝐹 𝑣 + ∆𝑡 ∫ 𝑢𝑚−1𝑣(𝑥)𝑑𝑥
luego, si 𝑃: 𝑈 × 𝑉 → ℝ es una forma bilineal [16], se definen:
𝑃(𝑢𝑝, 𝑣) = ∫𝐿 𝑢𝑝𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢𝑝 ∈ 𝑈 4.11
y
𝑃(𝑢𝑝−1, 𝑣) = ∫𝐿 𝑢𝑝−1𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢𝑝−1 ∈ 𝑈 4.12
Luego el resultado de la formulación discreta es:
1 𝑃(𝑢
, 𝑣) + 𝑘 𝑀(𝑢 , 𝑣) = 𝐹(𝑣) +
1 𝑃(𝑢
, 𝑣) , ∀ 𝑣 ∈ 𝑉, {��
, 𝑢
} ∈ 𝑈
∆𝑡 𝑝 𝑝 ∆𝑡 𝑝−1 𝑝 𝑝−1
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 0 < 𝑡 ≤ 𝑏
4.13
4.3 Formulación de Galerkin Sabiendo que 𝑉 es un espacio de dimensión infinita [16] y 𝑈 y 𝑉 son un mismo espacio de funciones, se debe hacer el cambio por un espacio de dimensión finita, que corresponde al espacio de los elementos finitos.
Sea 𝑉ℎ, ℎ > 0, 𝑉ℎ ⊂ 𝑉, un sub espacio de dimensión finita; la formulación de Galerkin, a partir de 4.13, en forma general se puede escribir así:
0 0
49
𝑝
𝑝
𝑝 1 1 = ∑ 𝑥 ∅
𝑆𝑒𝑎 𝑢ℎ ∈ 𝑉ℎ
{ 1 𝑃(𝑢ℎ, 𝑣ℎ) + 𝑘 𝑀(𝑢ℎ, 𝑣ℎ) = 𝐹(𝑣ℎ) + 1 𝑃(𝑢ℎ , 𝑣ℎ) , ∀ 𝑣ℎ ∈ 𝑉ℎ,
4.14
∆𝑡 𝑝 𝑝 ∆𝑡 𝑝−1
Al ser 𝑉ℎ un subespacio de dimensión finita, una base de 𝑉ℎ es:
{∅1, ∅2, ∅3, … , ∅𝑁ℎ},
Siendo 𝑁ℎ la dimensión de 𝑉ℎ, y la solución 𝑢ℎ se puede escribir como una
combinación lineal de esta base; es decir,
𝑢ℎ = 𝑥 ∅ + 𝑥2∅2 + 𝑥3∅3 + ⋯ + 𝑥𝑁ℎ∅ 𝑁ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1 𝑖 𝑖 4.15
Si 4.15 se considera para la formulación 4.14, se tiene:
𝑁ℎ 𝑁ℎ 𝑁ℎ 1 𝑃 (∑ 𝑥 ∅ , 𝑣ℎ) + 𝑘 𝑀 (∑ 𝑥 ∅ , 𝑣ℎ) = 𝐹(𝑣ℎ) +
1 𝑃 (∑ 𝑥∗∅ , 𝑣ℎ),
∆𝑡 𝑖=1
𝑖 𝑖
𝑖=1
𝑖 𝑖 ∆𝑡
𝑖 𝑖
𝑖=1
luego:
𝑁ℎ 𝑁ℎ 𝑁ℎ 1 ∑ 𝑥 𝑃(∅ , 𝑣ℎ) + 𝑘 ∑ 𝑥 𝑀(∅ , 𝑣ℎ) = 𝐹(𝑣ℎ) +
1 ∑ 𝑥∗∅ , 𝑣ℎ
∆𝑡 𝑖 𝑖
𝑖=1
𝑖 𝑖
𝑖=1 ∆𝑡 𝑖 𝑖
𝑖=1
Las expresiones anteriores sólo son posibles ya que 𝑀 y 𝑃 son formas bilineales4. Ahora para verificar la formulación 4.14, es suficiente hacerlo con las funciones de forma, llamadas funciones de prueba:
𝑣ℎ = ∅𝑗, 𝑗 = 1,2,3, … . , 𝑁ℎ 4.16
De esta manera la formulación de Galerkin 4.14, con las ecuaciones 4.15 y 4.16, se puede escribir como:
4Una aplicación 𝐴: 𝑉 × 𝑉 → ℝ es una forma bilineal si A(𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2, 𝑑1𝑤1 + 𝑑2𝑤2) = 𝑐1𝑑1𝐴(𝑣1, 𝑤1) + 𝑐1𝑑2𝐴(𝑣1, 𝑤2) + 𝑐2𝑑1𝐴(𝑣2, 𝑤1) + 𝑐2𝑑2𝐴(𝑣2, 𝑤2), ∀ 𝑐𝑖𝑑𝑖 ∈ ℝ y 𝑤𝑖𝑣𝑖 ∈ 𝑉, 𝑖 ∈ {1,2}
50
𝑆𝑒𝑎 𝑢ℎ = ∑𝑁ℎ 𝑥 ∅ , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒
𝑝 𝑖=1 𝑖 𝑖
{ 1 ∑𝑁ℎ
𝑥 𝑃(∅ , ∅ ) + 𝑘
∑𝑁ℎ
𝑥 𝑀(∅ , ∅ ) = 𝐹(∅ ) + 1 ∑𝑁ℎ 𝑥∗𝑃(∅ , ∅ )
4.17
∆𝑡 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑗 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑗 𝑗 ∆�� 𝑖=1 𝑖 𝑖 𝑗
Por otro lado la forma bilineal M, tiene la siguiente representación matricial [16]:
𝑀 = [𝑚𝑖𝑗], de dimensión (𝑁ℎ × 𝑁ℎ),
Tal que
𝑚𝑖𝑗 = 𝑀(∅𝑖, ∅𝑗) 𝑖 = 𝑗 = 1,2 3, … . . , 𝑁ℎ
En forma análoga, la forma bilineal P, tiene la representación matricial:
𝑃 = [𝑝𝑖𝑗], de dimensión (𝑁ℎ × 𝑁ℎ),
Tal que 𝑝𝑖𝑗 = 𝑃(∅𝑖, ∅𝑗) 𝑖 = 𝑗 = 1,2 3, … . . , 𝑁ℎ
Además 𝐵 = [𝑏𝑗], 𝑗 = 1,2,3, … . . , 𝑁ℎ;
Es decir:
𝑏1
𝑏1
𝑏1 𝐵 = .
.
∈ ℝ, tal que
𝑏𝑁ℎ [ ]
𝑏𝑗 = 𝐹(∅𝑗), 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁ℎ
Las últimas definiciones, nos permiten realizar una formulación matricial equivalente a 4.14 y 4.17, de la siguiente forma:
𝑆𝑒𝑎 𝑢ℎ = ∑𝑁ℎ 𝑥 ∅ , tal que
𝑝 𝑖=1 𝑖 𝑖
{
4.18 1 ∑𝑁ℎ
𝑝
𝑥 + 𝑘 ∑𝑁ℎ 𝑚 𝑥 = 𝑏 + 1 ∑𝑁ℎ
𝑝
𝑥∗ , ∀ 𝑗 = 1,2, … , 𝑁ℎ
∆𝑡 𝑖=1 𝑖𝑗 𝑖 𝑖=1 𝑖𝑗 𝑖 𝑗 ∆�� 𝑖=1 𝑖𝑗 𝑖
51
𝑝
𝑝
𝑝
También se define [16]
𝑢ℎ∗
= [𝑥 ] ∈ ℝ, 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑁ℎ 4.19 𝑝 𝑖
4.18 en notación matricial se escribe:
Sea 𝑢ℎ∗ ∈ ℝ𝑁ℎ
tal que
{ 1 𝑃𝑢ℎ
∗ + 𝑘𝑀𝑢ℎ
∗ = 𝐵 + 1 𝑃𝑢ℎ
∗ , ∀ 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑁ℎ
4.20
∆𝑡 𝑝 𝑝 ∆��
𝑝−1
La solución de 4.14 𝑢ℎ está dada por la combinación lineal de las funciones de base ∅𝑖
con el vector 𝑢ℎ∗ solución de la formulación 4.20
𝑁ℎ
𝑢ℎ = ∑ ∅ 𝑢ℎ∗;
𝑝 𝑖 𝑝
𝑖=1
Si se toma en cuenta 4.19, se tiene:
𝑁ℎ
𝑢ℎ = ∑ 𝑥 ∅ ;
4.21 𝑝 𝑖 𝑗
𝑖=1
La elección adecuada del espacio de funciones 𝑉ℎ es de suma importancia para el método. Para la explicación usaremos en este caso, el espacio de funciones lineales por partes, basado en una triangulación del dominio del problema de valor de frontera en estudio [16].
4.4 Funciones lineales por partes Sea [0, 𝐿], el dominio donde se define la Ecuación Diferencial Parcial (EDP); llamaremos
𝜏ℎ a la triangulación de este intervalo, en pequeños intervalos llamados elementos, los mismos que son de la forma:
𝐾𝑖 = [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1], 𝑖 = 1,2,3, … . , (𝑁ℎ − 1)
Los extremos de estos elementos se llaman vértices y se representan por:
{𝑥 }𝑁ℎ
,
de forma que 𝑖 𝑖=1
0 = 𝑥1 < 𝑥2 < 𝑥3 < ⋯ < 𝑥𝑁ℎ−1 < 𝑥𝑁ℎ = 𝐿
52
𝑝
Luego, el espacio de funciones lineales por partes, asociado a la triangulación 𝜏ℎ, se puede representar [16] como:
ℙ1(𝜏ℎ) = {𝑣 ∈ 𝐶([0, 𝐿])| 𝑣 = 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 1, ∀ 𝐾 ∈ 𝜏ℎ},
y
ℙ1(𝜏ℎ) = {𝑣 ∈ ℙ1(𝜏ℎ)| 𝑣(𝑥1) = 𝑣(𝑥
ℎ) = 0},
0
donde los elementos 𝐾𝑖 cumplen: 𝑁
𝐾𝑖 ∩ 𝐾𝑗
𝑘𝑖 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗
= { ∅ 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗 vértice común entre 𝐾𝑖 𝑦 𝐾𝑖 𝑠𝑖 𝑗 = 𝑖 + 1
y
𝑈𝑁ℎ−1 𝐾
= [0, 𝐿]
𝑖=1 𝑖
Por lo anterior, 4.14 y 4.20 toman el espacio 𝑉ℎ = ℙ1(𝜏ℎ). Esta solución, a la que
llamaremos 𝑢ℎ∗∗
, será la aproximación por elementos finitos en una partición de [0, 𝐿].
De esta manera, la ecuación matricial del sistema es:
1 𝑃𝑢ℎ
∗∗ + 𝑘𝑀𝑢ℎ
∗∗ = 𝐵 +
1 𝑃𝑢ℎ
∗∗ ,
∆𝑡 𝑝 𝑝 ∆��
𝑝−1
Que equivale a la ecuación matricial:
[ 1 𝑃 + 𝑘 𝑀] [𝑢ℎ] = [𝐵] + [ 1 𝑃] [𝑢ℎ ], 4.22 ∆𝑡 𝑝 ∆��
𝑝−1
De otro lado, 𝐾𝑖 = [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1], 𝑖 = 1,2,3, … , (𝑁ℎ − 1), es un elemento de la
triangulación 𝜏ℎ ∈ [0, 𝐿], definimos la función base ∅, tomando en cuenta lo siguiente [12]:
53
Figura 4.1: Elemento lineal unidimensional
De la figura anterior la ecuación lineal para ɸ es:
ɸ = 𝑎1 + 𝑎2𝑥, 4.23
Al determinar los valores de 𝑎1 𝑦 𝑎2, se definen:
ɸ = ɸ𝑖, 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖
y
ɸ = ɸ𝑗, 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑗, 𝑗 = 𝑖 + 1
luego las ecuaciones a desarrollar son:
ɸ𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑖 4.24
ɸ𝑗 = 𝑎1 + 𝑎2𝑥𝑗 4.25
La pendiente de esta recta al restar 4.24 y 4.25 es:
𝑎2 = ɸ𝑗 − ɸ𝑖
, 4.26 𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
Reemplazando 4.26 en 4.24 y despejando 𝑎1 se tiene:
𝑎1 = ɸ𝑖𝑥𝑗 − ɸ𝑗𝑥𝑖
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 , 4.27
54
Así 4.23 con los valores de 𝑎1 𝑦 𝑎2, queda en:
ɸ = ɸ𝑖𝑥𝑗 − ɸ𝑗𝑥𝑖
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
+ ɸ𝑗 − ɸ𝑖
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
𝑥,
Simplificando esta última expresión se tiene:
ɸ = ɸ𝑖(𝑥𝑗 − 𝑥) + ɸ𝑗(𝑥 − 𝑥𝑖)
, 𝑗 = 𝑖 + 1;
𝑥𝑗 − 𝑥𝑖
de la cual
ɸ = ɸ 𝑥𝑖+1 − 𝑥
𝑖 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
𝑥 − 𝑥𝑖 + ɸ𝑖+1 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
, 4.28
Esta última expresión, es la que se conoce como la ecuación de la forma estándar del elemento finito. Los valores nodales son multiplicados por las funciones lineales de 𝑥, las cuales llamamos funciones de forma ∅. [12]
Por tanto, las funciones de forma correspondientes son:
ɸ𝑖 =
𝑥𝑖+1 − 𝑥 , 4.29
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
ɸ𝑖+1 =
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖
, 4.30
Además de las ecuaciones 4.29 y 4.30, se puede deducir:
1 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖
ɸ𝑖(𝑥) = { 0 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑥𝑖+1
𝐸𝑥𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
Se concluye que existen dos grados de libertad por cada elemento, para el método de elementos finitos en una dimensión.
55
𝑖
𝑖
𝑖
4.5 Ensamblaje de la matriz de elementos finitos
Se utiliza una matriz de acomodo [16] Ƭ𝑖 de dimensión (2 × 𝑁ℎ), del elemento 𝐾𝑖 ∙ Ƭ𝑖, la cual tiene todos sus elementos nulos excepto en las posiciones (1, 𝑖) 𝑦 (2, 𝑖 + 1), en donde su valor es 1.
Sea 𝐴𝐾𝑖 la matriz:
𝐴𝐾𝑖 = [
𝔸(∅𝑖, ∅𝑖) 𝔸(∅𝑖, ∅𝑖+1)
𝔸(∅𝑖+1, ∅𝑖) 𝔸(∅𝑖+1, ∅𝑖+1)
] , 4.31
En donde la forma bilineal 𝔸 está definida por la ecuación 4.7 En forma análoga se tendrá para la forma bilineal 𝕄, definida por la ecuación 4.11
𝑀𝐾𝑖 = [
𝕄(∅𝑖, ∅𝑖) 𝕄(∅𝑖, ∅𝑖+1)
𝕄(∅𝑖+1, ∅𝑖) 𝕄(∅𝑖+1, ∅𝑖+1)
] , 4.32
Por otra parte: 𝐵𝐾𝑖
= [
𝔽𝐾𝑖(∅𝑖)
𝔽𝐾𝑖(∅𝑖+1)
] , 4.33
En donde la función lineal 𝔽, está definida por la ecuación 4.8. Por último se puede armar las matrices globales del sistema matricial 4.22, usando los aportes de cada elemento y acomodándolos [16] con las matrices Ƭ𝑖
𝑁ℎ−1
𝐴 = ∑ Ƭ𝑇 𝐴𝐾𝑖Ƭ𝑖, 4.34 𝑖=1
𝑁ℎ−1
𝑀 = ∑ Ƭ𝑇 𝑀𝐾𝑖Ƭ𝑖, 4.35
𝑖=1
𝑁ℎ−1
𝐵 = ∑ Ƭ𝑇 𝐵𝐾𝑖 , 4.36 𝑖=1
56
0
0
4.6 Ejercicio de Aplicación
4.6.1 Problema Tipo. Método de Elementos Finitos
Sea la EDP: 𝑢𝑡 − 𝑢𝑥𝑥 = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 1, 0 < 𝑡 < 1, 𝑓(𝑥) = 0, 4.37
Una condición inicial de 4.37 sería: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) ∙ (1 + 2cos(𝜋𝑥)), para 𝑡 = 0 y 0 < 𝑥 < 𝐿; luego se tendría como solución general de la misma:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)𝑒−𝜋2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥)𝑒−4𝜋2𝑡
De esta manera se propone realizar un mallado entre el espacio y el tiempo, para lo cual se adopta la variable 𝑛 para el espacio y 𝑚 para el tiempo. En la siguiente sección, se detalla el algoritmo construido para este problema y los resultados se muestran en el capítulo de Resultados respectivamente, para visualizar el comportamiento de la solución experimental contra la solución exacta.
A continuación se realizan los pasos descritos anteriormente que se involucran en la aplicación del método de elementos finitos.
Construcción débil Para una mejor didáctica se considerará 𝑓(𝑥) = 0. Ahora multiplicando los dos lados de la ecuación 4.37 por una función de prueba 𝑣 ∈ 𝐶∞([0,1]), e integrando ambos lados de la ecuación en el dominio [0,1], se tiene:
1 1 1
∫ 𝑢𝑡𝑣(𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 0 0 0
Integrando por partes el lado izquierdo de la última expresión, teniendo que: 𝑢 =
𝑣(𝑥), 𝑑𝑢 = 𝑣′(𝑥)𝑑𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑢𝑥𝑥𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑢𝑥 , se tiene:
1 1
1
− ∫ 𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = −𝑢𝑥𝑣(𝑥) |0
+ ∫ 𝑢𝑥𝑣
′(𝑥)𝑑𝑥 = …
0 0
1
… = −|𝑢𝑥(1, 𝑡)𝑣(1) − 𝑢𝑥(0, 𝑡)𝑣(0)| + ∫ 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥, 0
Como 𝑣 ∈ 𝐶∞([0,1]), se cumple por definición que 𝑣(1) = 𝑣(0) = 0. Por tanto, la última expresión queda:
− ∫1 𝑢𝑥𝑥𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
1 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥, 4.38
0 0
57
0
0
{
Siendo 𝑣′(𝑥) función sólo de 𝑥; entonces, el problema de valor en la frontera (PVF) dado por las ecuaciones del problema tipo, junto con las ecuaciones 4.37 y 4.38, queda:
1 1 1
∫ 𝑢𝑡𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀𝑣 ∈ 𝐶∞([0,1]) 0 0 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)(1 + 2 cos(𝜋𝑥)) = 𝑔(𝑥), para 𝑡 = 0
{𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, para 𝑥 = 0, 𝑥 = 1
4.39
Debemos escoger los espacios de Hilbert5, definidos en [0,1], 𝑉 = 𝐻1([0,1]) 𝑦 𝑈 =
𝐻1([0,1]); para garantizar que la ecuación 4.39 sea la formulación débil de 4.1
Llamamos
1
𝔸(𝑢, 𝑣) = ∫ 𝑢𝑥𝑣′(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 y 𝑢 ∈ 𝑈, 0
siendo 𝔸: 𝑈 × 𝑉 → ℝ una forma bilineal.
Se tiene además:
4.40
1
𝔽(𝑣) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉, 4.41 0
Siendo 𝔽 ∶ 𝑉 → ℝ una función lineal.
Por tanto la formulación débil, semi discreta (tiempo continuo) se puede escribir como:
1
∫ 𝑢𝑡𝑣(𝑥)𝑑𝑥 + 𝔸(𝑢, 𝑣) = 𝔽(𝑣), ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢 ∈ 𝑈 0
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), para 𝑡 = 0
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 0, 𝑥 = 1
4.42
5Todo espacio Euclidiano 𝑉, de dimensión finita, es un espacio de Hilbert [16] ya que 𝑉
se puede identificar como ℝ𝑑, para un d apropiado. El espacio de matrices cuadradas 𝑀𝑛 con el producto escalar (𝑢, 𝑣) = ∑𝑛 ∑𝑛 𝑢𝑖𝑗𝑣𝑖𝑗, donde 𝑢 = (𝑢𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛 y 𝑣 =
𝑖 𝑖
(𝑣𝑖𝑗) ∈ 𝑀𝑛 es un espacio de Hilbert.
58
3 5
5
Luego es necesario, discretizar el tiempo, procediendo de forma análoga que en el numeral 4.2 de esta sección y considerando las formas bilineales:
1
𝕄(𝑢𝑚, 𝑣) = ∫ 𝑢𝑚 𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢𝑚 ∈ 𝑈, 4.43 0
y
1
𝕄(𝑢𝑚−1, 𝑣) = ∫ 𝑢𝑚−1 𝑣(𝑥)𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 𝑦 𝑢𝑚−1 ∈ 𝑈, 4.44 0
La formulación débil discreta es finalmente:
1 𝕄(𝑢𝑚, 𝑣) + 𝔸(𝑢𝑚, 𝑣) = 𝔽(𝑣) + 1 𝕄(𝑢𝑚−1, 𝑣), ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 {𝑢𝑚, 𝑢𝑚−1} ∈ 𝑈
∆𝑡
∆𝑡
𝑢(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥), 𝑡 = 0
{𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, 0 < 𝑡 ≤ 1
4.45 Para 𝑛 = 6, 𝑚 = 19
Es necesario realizar cálculos manuales con valores de inicio, que permitan luego hacer generalizaciones para un 𝑛 cualquiera, para ello se requiere construir un algoritmo computacional, que ayude a resolver el problema planteado.
Se realiza la triangulación uniforme con seis vértices para la formulación de Galerkin:
ℎ 1 2 3 4
𝜏 = {𝑥1 = 0, 𝑥2 = 5
, 𝑥3 = 5
, 𝑥4 = 5
, 𝑥5 = 5
, 𝑥6 = 1} ;
Obteniendo 5 elementos de triangulación 𝜏ℎ:
1 1 𝐾1 = [0,
5], 𝐾2 = [
5
2 2 , ] , 𝐾 = [ 5 5
3 3 , 5
] , 𝐾4 = [5
4 4
, ] , 𝐾 = [ 5 5
, 1]
Ahora se construyen las matrices locales 𝐴𝑘𝑖 , 𝑀𝑘𝑖 𝑦 𝐵𝑘𝑖, aplicando las ecuaciones:
4.31, 4.32 y 4.33, respectivamente del numeral 4.5
Para 𝐾1 = [0, 1]
59
1
0 0
1
Las funciones de base para este elemento, aplicando las ecuaciones 4.29 y 4.30 son:
𝑥 − 𝑥 1 − 𝑥
ɸ1(𝑥) = 2 = 5 = (1 − 5𝑥) 𝑥2 − 𝑥1
ɸ (𝑥) = 𝑥 − 𝑥1
2 𝑥2 − 𝑥1
1
5
= 𝑥 − 0
= 5𝑥
5
Aplicando las ecuaciones 4.40 y 4.31, se obtiene:
1
5
𝔸𝐾1 (∅1, ∅1) = ∫ ∅′1∅′1𝑑𝑥 = ∫ (−5)(−5)𝑑𝑥 = 5
𝐾1 0
1
5
𝔸𝐾1 (∅1, ∅2) = 𝔸𝐾1
(∅2, ∅1) = ∫ ∅′1∅′2𝑑𝑥 = ∫ (−5)(5)𝑑𝑥 = −5 𝐾1 0
1
5
𝔸𝐾1 (∅2, ∅2) = ∫ ∅′2∅′2𝑑𝑥 = ∫ (5)(5)𝑑𝑥 = 5
𝐾1 0
Por tanto 𝐴𝐾 = [
5 −5] = 5 [
1 −1] ;
1 −5 5 −1 1
y la matriz de acomodo es:
R 1
0 0 0
1 0 0
0 0
0
Por último, al ensamblar el último elemento de la ecuación 4.34, se tiene:
60
1
0
0
1
K
Rt K R
1
5
1 1
1 1
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
Construyendo de forma similar a 𝐴𝐾1 la matriz local 𝑀𝐾1
, aplicando las ecuaciones 4.43
y 4.32 se tiene:
𝑀 (∅ , ∅
) = ∫ ∅ ∅
1 5 1 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 5𝑥)(1 − 5𝑥)𝑑𝑥 =
𝐾1 1 1 1 1 𝐾1 0
𝑀 (∅ , ∅
) = 𝑀
(∅ , ∅
) = ∫ ∅ ∅
1 5 1 𝑑𝑥 = ∫ (1 − 5𝑥)(5𝑥)𝑑𝑥 =
𝐾1 1 2 𝐾1 2 1 1 2 𝐾1 0
𝑀𝐾1
(∅2
, ∅2
) = ∫ ∅2∅2
𝐾
1 5 1
𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥)(5𝑥)𝑑𝑥 = 15
Así:
𝑀𝐾1 1 ] ;
Luego la matriz de acomodo es:
𝑅 = [1 0 0 0 1 0
0 0 0]
0 0 0
Ensamblando el primer elemento de la ecuación 4.35, se tiene:
1
15
30
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1 0
1
1
1
1
= [15 30 1
] = 1
[ 5
3 1
6 1
30 15 6 3
61
1
0
0
K
5
R
t K R
1
1
1 6 0 0
1 0 0
6 1
0 0 3 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0 0
0 0
0 0
0
Realizamos el montaje de la matriz 𝐵. Utilizando la definición del vector 𝐵𝐾𝑖 , ecuación
4.33, se puede construir la matriz 𝐵, aplicando la ecuación 4.41 se tiene:
1
5
𝔽𝐾1 (∅1) = ∫ 𝑓(𝑥)∅1(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (0)(1 − 5𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝐾1 0
1
5
𝔽𝐾1 (∅2) = ∫ 𝑓(𝑥)∅2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (0)(5𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝐾1 0
Por tanto: 𝐵 = [
𝔽𝐾1 (∅1)
] = [0
]
Para 𝐾2 = [1 , 2]
𝐾1 𝔽𝐾 (∅2) 0 1
5 5
Se procede de la misma forma que el elemento anterior; las funciones base para este elemento son:
𝑥 − 𝑥 2 − 𝑥
∅1(𝑥) = 2 = 5 = (2 − 5𝑥) 𝑥2 − 𝑥1
𝑥 − 𝑥
1
5
𝑥 − 1
∅2(𝑥) = 1 = 5 = (5𝑥 − 1) 𝑥2 − 𝑥1
1
5
Por tanto:
2
5
𝔸𝐾2 (∅1, ∅1) = ∫ ∅′1∅′1𝑑𝑥 = ∫ (−5)(−5)𝑑𝑥 = 5
𝐾1 1
1 3
0 5
0
0
1
0
62
2
2
0
0
5
5
K
5
1 1
5
1 2
5
2 2
2
5
𝔸𝐾2 (∅1, ∅2) = 𝔸𝐾2
(∅2, ∅1) = ∫ ∅′1∅′2𝑑𝑥 = ∫ (−5)(5)𝑑𝑥 = −5 𝐾2
1
2
5
𝔸𝐾2 (∅2, ∅2) = ∫ ∅′2∅′2𝑑𝑥 = ∫ (5)(5)𝑑𝑥 = 5,
𝐾1 1
La matriz local que se obtiene es:
𝐴𝐾 = [ 5 −5
] = 5 [ 1 −1
] ; 2 −5 5 −1 1
Así la matriz de acomodo es:
𝑅 = [0 1 0 0 0 1
0 0 0] ;
0 0 0
Y el ensamblado del segundo elemento de la ecuación 4.34 es:
Rt K R
2
5
0 0
0 1
0 1
0 0
0 0 0 0
1 0 0
1 0 0 0
0 0 0
Ahora se construye la matriz local 𝑀𝐾2 :
𝑀 (∅ , ∅
) = ∫ ∅′ ∅′
2 5 1 𝑑𝑥 = ∫ (2 − 5𝑥)(2 − 5𝑥)𝑑𝑥 =
𝐾2 1 1 𝐾1
1 15
𝑀 (∅ , ∅
) = 𝑀
(∅ , ∅
) = ∫ ∅ ∅
2
𝑑𝑥 = ∫5
(2 − 5𝑥)(5𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 1
𝐾2 1 2 𝐾2 2 1 𝐾2
1 30
𝑀 (∅ , ∅
) = ∫ ∅
2 5 1 ∅ 𝑑𝑥 = ∫ (5𝑥 − 1)(5𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ,
Por tanto:
𝐾2 2 2 𝐾1
1 15
2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
63
2
2
0
0
5
K
3
𝑀𝐾2 1 ] ;
La matriz de acomodo es entonces:
𝑅 = [0 1 0 0 0 1
0 0 0
] ;
0 0 0
Y ensamblando el segundo elemento de la ecuación 4.35, tenemos:
R
t K R
2
0 0 1 1
1 0 5 6
0
0 0
0 0 0 1
0 0 6 1
0 0 3 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0
Después al realizar el montaje de la matriz 𝐵, se tiene
2
5
𝔽𝐾2 (∅1) = ∫ 𝑓(𝑥)∅1(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (0)(2 − 5𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝐾2 1
2 5
𝔽𝐾2 (∅2) = ∫ 𝑓(𝑥)∅2(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ (0)(5𝑥 − 1)𝑑𝑥 = 0
Por tanto
𝐾2
𝐵
1
5
= [𝔽𝐾2
(∅1)] = [
0]
𝐾2
Para 𝐾𝑖 = [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1], 𝑖 = 3,4,5
𝔽2(∅2) 0
Las funciones base que se obtienen son:
Para 𝐾3 = [2 , 3] , se tiene ∅1(𝑥) = (3 − 5𝑥), ∅2(𝑥) = (5𝑥 − 2)
5 5
Para 𝐾4 = [3 , 4] , se tiene ∅1(𝑥) = (4 − 5𝑥), ∅2(𝑥) = (5𝑥 − 3) 5 5
Para 𝐾5 = [4 , 1] , se tiene ∅1(𝑥) = (5 − 5𝑥), ∅2(𝑥) = (5𝑥 − 4)
0
0
0
2
0
5
1 1 1 1
= [15 30 1
] = 1
[ 5
3 1
6 1
30 15 6 3
64
i
0
Y las matrices locales obtenidas son:
𝐴𝐾 = [ 5 −5
] = 5 [ 1 −1
] ; 𝑖 = 3,4,5 𝑖 −5 5 −1 1
𝑀𝐾𝑖 1 ] ; 𝑖 = 3,4,5
Además se puede ver que:
𝐵 = [𝔽𝐾𝑖
(∅1)] = [
0] , 𝑖 = 3,4,5
𝐾𝑖 𝔽𝐾𝑖(∅2) 0
Ya con las matrices 𝐴𝐾𝑖 , 𝑀𝐾𝑖, y 𝐵𝐾𝑖 , para 𝑖 = 1,2, … ,5; se puede ensamblar las
matrices globales 𝐴, 𝑀 𝑦 𝐵.
A i1
R
t K
Ki Ri
1 1
5 0
0 0
1
0
1
1
5
0
0
1 1 1 1
= [15 30 1
] = 1
[ 5
3 1
6 1
30 15 6 3
1 1 1 1
(1 1) 1 0 0
1 (1 1) 1 0
0 1 (1 1) 1
0 0 1 (1 1)
0 0 0 1
65
1 3
3 3
0
M R K 1 3 3
3 3 0
1
3 3
𝑚−1
6
1 1
6
1 1
6 1 0
0 0
1 0
6 1
1 1
0
0 0
0 0
5 t
i
i1
Ki Ri
5 0
6
1 1 1 0
6 0 0
1
1 1
1
0 0
6
0 0 1 1
6 3
Para este caso especial, por ser 𝑓(𝑥) = 0, se tiene
0
0
5 0
𝐵 = ∑ 𝑅𝑡 𝐵 =
𝑖 𝐾𝑖
𝑖=1 0
0
[ 0 ]
Aplicando la ecuación 4.22, una vez que se conocen las matrices globales del sistema matricial, se tiene:
[ 1 𝑀 + 𝐴] 𝑢ℎ = [𝐵] +
1 [𝑀]𝑢ℎ , 4.46
∆𝑡 𝑚 ∆�� 𝑚−1
Es vital aclarar que le vector de incógnitas 𝑢ℎ , para los distintos niveles de ∆ , se 𝑚 𝑡
generan a partir de 𝑢ℎ , para 𝑡 = 0, que corresponda a la función 𝑔(𝑥); dato de este problema.
Como se puede observar, si queremos realizar el ejercicio para 𝑛 y 𝑚 grandes, definitivamente debemos hacer uso de un programa computacional; en la sección siguiente, se desarrolla el algoritmo que generaliza la solución para cualquier 𝑛 y 𝑚 .
0
6
6
66
a3 ← [ ] ;
x
←
4.7 Algoritmo de elementos finitos Datos de entrada: a, b, c, n, m
D ← a
n − 1
A ← zeros(n, n) a1 ← [2]
% Cálculo de Matriz A
for i = 1 : (n - 1) a1 ← [a1 2];
end
a2 = [-1]; for i = 1 : (n - 2)
a2 ← [a2 -1]; end
A ← A + diag(a1) + diag(a2,1) + diag (a2, -1);
A(1,1) ← 1;
A(n,n) ← 1;
𝐶
A 𝐷𝑥
* A
% Cálculo de la Matriz M
m ← zeros (n,n);
2
3
for i = 1 : (n - 1) a3 ← [a3 2/3];
end
a4 = [1/6]; for i = 1 : (n - 2)
a4 ← [a4 1/6]; end
m ← m + diag(a3) + diag(a4,1) + diag (a4, -1);
67
m(1,1) ← 1/3; m(n,n) ← 1/3;
m ← 𝐷𝑥 ∗ m;
𝐷𝑡 = 𝑏
𝑚 − 1
AA ← m + 𝐷𝑡 ∗ A;
Usol ← zeros (n,n);
x ← linspace (0, a, n);
G ← @(x) (sin (pi * x) * (1 + 2 * Cos (pi * x)));
for i = 1 : n
Usol (i, 1) ← G(x(i));
U0 (i) ← G(x(i));
End
m1 ← m
PAA ← AA(2:n-1, 2:n-1);
Pm1 ← m1(2:n-1, 2:n-1);
PU0 ← U0(2:n-1);
% Solución del sistema
for j = 2:m
PAA U ←
(Pm1∗PU0′)
P = interpol Lagrange (x, [0; U; 0]’);
P1= interpol Lagrange (x, Uexact(i, j)’);
PU0 = U’;
;
68
Usol (2:n-1, j) = U;
End Figure (3)
Surf (Usol)
xlabel (‘Tiempo’)
ylabel (‘Espacio’)
zlabel (‘Solución U’);
figure (4)
plot (x, Usol (i, n), ‘r’)
69
CAPÍTULO 5
RESULTADOS Y COMPARACIONES
5.1. Errores de aproximación
El error que puede generarse en el interior de la solución de una ecuación diferencial dada, puede atribuirse a tres fuentes básicas.
1. Error de aproximación del dominio simple, el dominio sólo es aproximado. 2. Errores de cuadratura y aritmética finita, debidos a la evaluación numérica de integrales y al cálculo numérico en una computadora.
3. Error de aproximación en la aproximación de la solución.
En los problemas de una dimensión discutidos, los dominios considerados han sido líneas rectas. Por lo tanto la aproximación del dominio no ha sido necesaria. En problemas de dos dimensiones que involucran dominios no rectangulares, errores de aproximación del dominio son introducidos en las soluciones del elemento finito. En general pueden interpretarse como errores en la especificación de los datos del problema debido a que resolvemos ahora la ecuación diferencial dada sobre un dominio modificado. Como refinemos la malla, el dominio es representado más exactamente, y, por lo tanto, los errores de aproximación de frontera se espera se aproximen a cero.
Cuando los cálculos del elemento finito se desarrollan en una computadora, errores de redondeo en el cálculo de números y errores debido a la evaluación numérica de integrales, son introducidos en la solución. En la mayoría de los problemas lineales con un número pequeño razonable de grados de libertad totales en el sistema, los errores se espera sean pequeños (o cero cuando solamente se desea exactitud en un punto decimal).
Es importante considerar los siguientes tipos de errores:
5.2 Error absoluto (ErrA) Si se tiene conocimiento de la solución analítica de un problema de valores de
frontera, es posible calcular el error cometido, calculando el error absoluto como
sigue:
𝐸𝑟𝑟𝐴 = ‖𝑆𝑒𝑥𝑎 − 𝑆‖, 5.1
70
donde 𝑆𝑒𝑥𝑎 es la solución obtenida analíticamente y S es la solución determinada
numéricamente.
5.3 Error cuadrático medio (Ecm) Este tipo de error se puede calcular mediante la siguiente fórmula [16]:
𝑁
𝐸𝑐𝑚 = √1 ∑(𝑆
− 𝑆)2
; 5.2
𝑁 𝑖=1
𝑒𝑥𝑎
Al igual que en el anterior error, 𝑆𝑒𝑥𝑎 es la solución determinada analíticamente y S la
solución determinada numéricamente y N es el número de nodos.
5.4 Error medio cuadrático relativo (Emcr) Es un error medido con respecto a la unidad y, viene dado por la siguiente fórmula:
𝑁 1 𝑆 − 𝑆 2
𝐸𝑚𝑐𝑟 = √𝑁
∑ ( 𝑒𝑥𝑎
)
𝑆𝑒𝑥𝑎 ; 5.3
Cuyas variables tienen igual significado que en las fórmulas anteriores, de la misma
forma se presentará un algoritmo en la sección correspondiente.
5.5 Gráficas y errores obtenidos Recordemos que la solución característica de la EDP planteada en el Capítulo 4 como
problema tipo es:
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)𝑒−𝜋2𝑡 + 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑥)𝑒−4𝜋2𝑡
Los parámetros utilizados para evaluar la expresión anterior son: 𝑎, 𝑏, 𝑛 y 𝑚; donde 𝑎
es la longitud, 𝑏 el tiempo, 𝑛 los puntos en que se divide la longitud y 𝑚 los puntos en
que se divide el tiempo.
Luego para 𝑎 = 1, 𝑏 = 0.5, 𝑛 = 300 y 𝑚 = 300, se tiene:
𝑖=1
71
Figura 5.1 Solución general de la función ejemplo con series de Fourier
Los valores experimentales para distintos n y m, comparados con la solución exacta y
su respectivo error, se muestran a continuación:
-3 Solución exacta vs Solución aproximada
8
7
6
5
4
3
2
1
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Variable espacial
Figura 5.2: Solución numérica y analítica de la ecuación ejemplo
Solución aproximada
Solución exacta
Solu
ció
n
x 10
72
m
n
ERROR EN NORMA
ERROR CUADRATICO MEDIO
ERROR CUADRATICO relativo
300
50 0.0219 0.0031 0.5793
100 0.0374 0.0037 0.7047
200 0.0551 0.0039 0.7384
250 0.0680 0.0039 0.7453
400 0.0787 0.0039 0.7479 Tabla 5.1: Errores calculados para m fijo
n
m
ERROR EN NORMA
ERROR CUADRATICO MEDIO
ERROR CUADRATICO relativo
300
50 0.4210 0.0243 3.9414
100 0.2070 0.0119 2.1275
200 0.1024 0.0059 1.1045
250 0.0817 0.0047 0.8901
400 0.0508 0.0029 0.5621 Tabla 5.2: Errores calculados para n fijo
73
CAPÍTULO 6
6.1 Conclusiones Una Ecuación Diferencial en Derivadas Parciales, muchas veces puede no tener
solución analítica, pero si tener solución numérica
Se puede concluir que la solución analítica de la Ecuación de Calor, tanto en
Series de Fourier como su Transformada, son prácticamente las mismas
De la misma forma, se puede decir que, gracias a una buena programación del
algoritmo, la solución analítica coincide con la solución numérica
De lo anterior se puede concluir que los resultados de errores obtenidos, son
mínimos entre la solución analítica y la numérica
Entre mejor se realice la discretizado del dominio del problema planteado,
mejor será la solución numérica obtenida, sobre todo la discretización de la
variable longitud
La exactitud de la solución numérica depende del número de elementos finitos
escogidos
Hablando del cálculo de errores, tanto el absoluto como el cuadrático,
representan significancia en su análisis
6.2 Recomendaciones Para una explicación didáctica del Método, será importante escoger una
función sencilla que permita su solución analítica, dado que luego se puede
resolver con Método de Elementos Finitos y comparar los resultados
En la parte de Hardware, se recomienda tener mínimo un equipo con
procesador Core I5, mínimo de 3ra generación con un disco de 500 GB y una
RAM de 4 GB
No hace falta particionar demasiado la variable de longitud, ni la del tiempo,
dado que las soluciones analíticas y numéricas, con pocas particiones ya tienen
una semejanza bastante aproximada.
Para el cálculo de fenómenos físicos, estructurales y otras áreas que encierran
Ecuaciones en derivadas parciales, si se puede recomendar el uso del Método
de Elementos Finitos, dado su nivel de confianza en base a los errores
obtenidos
74
Bibliografía [1] Almira, J. M. (2008). Cuerdas vibrantes y calor: la génesis del Análisis de
Fourier. Matematicalia, 4(1).
[2] Camarena Gallardo, P. (2013). A treinta años de la teoría educativa" Matemática en
el Contexto de las Ciencias". Innovación educativa (México, DF), 13(62), 17-44.
[3] Nagle, R. K., Saff, E. B., & Snider, A. D. (2001). Ecuaciones diferenciales y problemas
con valores en la frontera. Pearson Educación.
[4] Observaciones, P., Alvarez, E. G., Gaffare, M. G., Lara, E. R., Piña, G. P., Franco, G.
C., & Tenorio, C. H. NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LA
INGENIERÍA.
[5] Zill, D. G. Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores en la frontera/por
Dennis G. Zill (No. 515.35 Z5 2009.).
[6] James, G., & Burley, D. (2002). Matemáticas avanzadas para ingeniería. Pearson
Educación.
[7] Ledder, G., & Roa, M. D. C. H. (2006). Ecuaciones diferenciales: un enfoque de
modelado. McGraw-Hill.
[8] Zill, D. G., Warren, S., II, C., & Michael, R. Matemáticas avanzadas para
ingeniería/Dennis G. Zill, Warren S. Wright y Michael R. Cullen (No. 510 Z5y.).
[9] Kreider, D. L., Kuller, R. G., Ostberg, D. R., & Perkins, F. W. (1971). Introducción al
análisis lineal. Fondo Educativo Interamericano,.
[10] Krasnov M., Kiseliov A., Makarenko G., Shikin E. (1990). Curso de Matemáticas
Superiores para Ingenieros Tomo 2, Editorial Mir Moscú., Impreso en la URSS.
[11] Oñate, E., & Zárate, F. (2001). Introducción al método de los elementos
finitos. Apuntes del Curso a Distancia, Métodos Numéricos para el Cálculo y Diseño
en Ingeniería, Universidad de Cataluña, España.
[12] Lázaro Naranjo, C. (1999). Aplicaciones del método de elementos finitos a
problemas de termofluídos (Doctoral dissertation, Universidad Autónoma de
Nuevo León).
[13] Evans, L. C. (1998). Partial differential equations (providence, RI: American
mathematical society).
75
[14] Joe D. Hoffman. (2001). Numerical Methods for Engineers and Scientists, Printed
in the United States of America, CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group,
Second Edition
[15] Kreith, F., Bohn, M. S., & Manglik, R. M. (2012). Principios de transferencia de
calor. Cengage Learning Editores.
Bibliografía virtual [16] Jonathan David Galeano Vargas, (2013), Solución numérica de ecuaciones
diferenciales parciales parabólicas. En línea http://arxiv.org/pdf/1401.7619.pdf
Universidad Nacional de Colombia. Bogotá, Colombia.
[17] J. Antonio Muñoz Gómez, Pedro Gonzáles Casanova, Gustavo Rodríguez Gómez,
(2005), Métodos libre de Malla para ecuación Evolutivas. Reporte Técnico No. CCC-05-
001. En línea http://ccc.inaoep.mx/Reportes/CC-05-001.pdf
Sta. Ma, Tonantzintla. 72840, Puebla, México.
[18] Zuazua, E. (2009). Métodos numéricos de resolución de ecuaciones en derivadas
parciales. Basque Center for Applied Mathematics (BCAM), Bilbao, Spain, zuazua@
bcamath. org. http://www. bcamath. org/zuazua.
[19] http://www.ptolomeo.unam.mx:8080/xmlui/bitstream/handle/132.248.52.100/2548/011-
MPM-Cap8-Final.pdf?sequence=11
76
Biografía del Autor Marlon Fabricio Tacco Cedeño, nace en Quito – Ecuador el 05 de mayo de 1976, hijo de Pedro
Pablo Tacco Cáceres y Clara Aracely Cedeño Delgado, inicia sus estudios en el Colegio Francés
de Quito, realizando la primaria en la Academia Borja #3, luego la secundaria en el Colegio
Borja # 2 “Los Andes”, en el que consigue el título de Bachiller en Física y Matemática.
Antes de ingresar a la universidad y, decidir su futuro profesional, se vincula al ejercicio de
Boticario, gracias a que su hermana mayor, es Bioquímica Farmacéutica, quien le encarga la
responsabilidad de atender una farmacia en la cual aprende de compuestos químicos de los
medicamentos y sus distintas aplicaciones.
Luego de este año, decide ingresar a la Escuela Politécnica Nacional de Quito en el año de
1995, para cursar sus estudios de Ingeniería en Sistemas Informáticos y de Computación,
logrando obtener su título en el año 2001.
En ese año empieza su vida profesional, estableciendo una sociedad con algunos compañeros
graduados de su misma carrera, para formar la empresa Starnet S.C., que ofrecería el servicio
de Internet más barato en aquel entonces; el cual proponía un sistema innovador de redes
locales estructuradas en edificios y condominios, las cuales se administraban desde un servidor
principal ubicado en lugares estratégicos de estos sitios y, desde donde se realizaba la
distribución del servicio hacia locales o departamentos.
Lastimosamente por cuestiones personales se separa de la empresa en el año 2004 y empieza
su labor de independiente, ofreciendo sus servicios de asesoría y soporte técnico en
Administración de Redes computacionales, en distintas empresas como: Intercomex Cia. Ltda.,
Contalcoorp S.C.C., Martin Pacific C.A., López Mena Cia. Ltda, Columtrad Cia. Ltda., y
Heavytrans S.A., como parte del equipo laboral de cada una de estas empresas y en muchas
otras, ofreciendo sus servicios de manera ocasional.
En el año 2011, gracias a la motivación de su gran amigo Mario Cueva Almeida, se adentra en
el mundo de la Docencia universitaria y es acogido en el departamento de Ciencias Físicas y
Matemática de la Universidad de las Américas (UDLA), hoy Escuela de Ciencias Físicas y
Matemática, liderado por más de 20 años por el Mat. Juan Carlos García quien lo incorpora al
grupo laboral de la Escuela y quien lo motiva en el año 2015 a inscribirse en la Maestría de
Docencia Matemática Universitaria, la cual culmina en OCTUBRE del año 2018.
Sin duda alguna, en la UDLA, descubre que su vocación de enseñar, es el motor que lo impulsa
a mantenerse en la docencia, un área donde el común denominador, siempre está marcado
por el temor que casi todos los estudiantes tienen a la Matemática; sin embargo, una frase que
siempre usa con sus estudiantes, suele ser de gran ayuda, para que ellos, no tengan temor de
hacer Matemática:
“SI EL OBJETIVO DE OBTENER UN TÍTULO EN LA CARRERA QUE HAN ESCOGIDO ESTÁ MUY
CLARO, CUALQUIER OBSTÁCULO QUE TENGAN EN EL CAMINO, SIEMPRE QUE ESTUDIEN CON
AMOR Y SACRIFICIO, LO PODRÁN SOBREPASAR, Y YO ESTOY PARA AYUDARLOS A
CONSEGUIR ESE OBJETIVO, YA QUE PUEDEN ESTAR SEGUROS DE QUE NO SOY PARTE DE
ESOS OBSTÁCULOS”
