Unidad 3: Limites

El limite de una function f(x) en el punto es el valor al que se acerca las

imagines (y) cuando las originales las x se acercan al valor es decir el valor al

que tienden las imagines cuando las originales tienden a .

Limite de la function f(x)= en el =2

Se dice que la function f(x) tiene como limite el numero L cuando x tiende a , si

fijando un numero real, mayor que cero, existe un numero positive, dependiente del numero real talque para todos los valores de x distintos a que cumpla la

compilacion /x- /< R donde se cumplen el valor absolute de /f(x)-L/< R.

Podemos definer el concepto de limite con la sig. formula

X F(x)

1.9 3.61

1.99 3.96

1.999 3.996

1.9999 3.99960001

2 4

Limites laterales

Diremos que el limite de f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda 0 es a.

Diremos que el limite de una function f(x) cuando x tiende a a por la derecha es 1

Ejemplo: F(x) -1 si x<2 4 si x>2

Propiedades de los limites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una function

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz

Límite de un logaritmo

Tarea 1

Hallar los limites para

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

Limites infintos

En matematicas el simbolo ∞ se lee infinito y se refiere a una posicion dentro de la recta de numeros reales, no se representa

ningun numero real.Si una variable dependiente x esta creciendo indefinidamente a

través de valores positivos, se escribe x -→ ∞ (que se lee: x tiende a menos infinito).

Similarmente, cuando una funcón ƒ(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, se escribe ƒ(x) + ∞ y si decrece→

tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ - ∞

EJEMPLO:

Limites infinitesimos

DefiniciónInfinitésimos equivalentesSe dice que dos infinitésimos f(x) y g(x) son equivalentes si el limx->af(x)/g(x) = 1limx->a f(x) = 0, limx->ag(x) = 0f(x) es equivalente a g(x) <=> limx->af(x)/g(x) = 1

Varios de los límites tipo son límites de cocientes de infinitésimos y valen 1. De ahí podemos establecer las siguientes equivalencias:

1. L(1 + x) lim -------- = 1 => L(1 + x) equiv x x->0 x x->0 También: Lx equiv x - 1 (Se deduce haciendo un cambio de x->1 variable en la equivalencia 1)

2. ex - 1 lim ------- = 1 => ex - 1 equiv x x->0 x x->0

3. ax - 1 lim ------ = La (a perteneciente a R+) => ax - 1 equiv xLa x->0 x x->0

4. sen x lim ----- = 1 => sen x equiv x x->0 x x->0

5. tg x lim ---- = 1 => tg x equiv x x->0 x x->0

6. 1 - cos x 1 lim ---------- = -- => 1 - cos x equiv x2/2 x->0 x2 2 x->0

7. (1 + x)m - 1 lim ------------- = 1 => (1 + x)m - 1 equiv mx x->0 mx x->0

8. n ______ n _____ \|1 + x - 1 1 \|1 + x - 1 lim ------------- = -- => lim ------------ = 1 x->0 x n x->0 x/n n _____ => \|1 + x - 1 equiv x/n

Teoremas fundamentales de los limites

Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.

Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Sea una función definida en un intervalo tal

que .

Si y entonces .

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único. Prueba: Al final del capítulo.

Teorema 2

Si son números reales

entonces

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Como consecuencia del teorema anterior se tiene que:

a. con , en

b. con en

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Teorema 3

Si y es un número real entonces se cumple que

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

Teorema 4

Si entonces .

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites indicados.

1.

2.

Teorema 5

y son dos funciones para las que y entonces se cumple que:

Este teorema lo que nos dice es que el límite de la suma de dos funciones, es igual a la suma de los límites de cada una de las funciones.

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

Ejercicio:

Determine los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones.

Teorema 6

Si y son dos funciones para las

que y entonces se cumple

que

Es decir, el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites de cada una da las funciones.

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2. 3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los límites siguientes:

1.

2.

El teorema anterior puede extenderse a un número cualquiera finito de funciones

Corolario

Si entonces

Observe que (n factores) por lo que aplicando el teorema anterior se tiene que:

(n factores)

Ejemplos:

1.

2.

En particular, el límite de la enésima potencia de es igual a la enésima potencia del límite

de . Es decir

Ejemplos:

1.2.

Teorema 7

Si y son dos funciones para las

cuales y entonces se tiene que:

siempre

que

Prueba: Se hará posteriormente utilizando para ello un resultado sobre continuidad de funciones, y el siguiente teorema.

Teorema 8

siempre que

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos de los teoremas 7 y 8

1.

2.

3. (se aplicaron los teoremas 2 y 4)

4. (por teorema 7)

(por teorema 5)

(Por teorema 3 y corolario del teorema 6)

5.

Observe que en este ejemplo se han aplicado directamente los teoremas estudiados, sin hacer el desglose paso por paso como en el ejemplo anterior.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Teorema 9

Si si:i.

es cualquier número positivo.ii.

es impar.

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

Teorema 10

Si ,

entonces si se cumple alguna de las condiciones siguiente:

i.

es cualquier entero

positivo ( ).ii.

es un entero impar positivo.

Prueba: Al final del capítulo.

Ejemplos:

1.

2.

3.

Ejercicio:

Determine el valor de cada uno de los siguientes límites:

1.

2.

Teorema 11

Si , y son funciones tales

que para todo de

cierto entorno reducido y

además entonces

se cumple que .

Prueba: Al final del capítulo.

El teorema anterior nos dice que si para próximo a , la función está comprendida entre dos

funciones que tienden a un mismo límite , entonces también tiende a .

Gráficamente podemos tener lo siguiente:

Por ejemplo, si es una función tal que y como

entonces se tiene que .

Sea ahora una función tal que

Se tiene que

Luego

Ejercicio:

Sea una función tal que

Calcule