Une visite guidée dans le monde des

ondelettes

plan Introduction

Au royaume de Fourier

SFT

CWT

DWT

Applications

Introduction

Pourquoi une transformée ?

Optimiser la description des signaux pour extraire les informations désirées

Au royaume de Fourier

Toute fonction peut être représentée par une somme de sinusoïdes

Comment on peut le faire M.Fourier?!!!

La transformée de Fourier

dvevFtf

dtetfvF

vti

vti

2

2

)()(

)()(Analyse

Synthèse

Le Succès

• Propriétés très intéressantes

• Algorithme très rapide

Limitations :La stationnarité

•Signal déterministe

il peut se décomposer en une somme d'ondes sinusoïdales éternelles

•Signal aléatoire

ses propriétés statistiques (moments) ne varient pas au cours du temps

La non-stationnarité

C’est une « non-propriété » : elle n’est définie que par son contraire!!!!!!!!!!!!!!!!!

La physique et Fourier : limitations

• Caractère globaleExemple : morceau musical

• Interprétation physique difficile

Réalité physique Pas de signal en dehors d’un certain support : zéro statique

FourierZéro dynamiqueInterférence d’une infinité de sinusoïdes Contribution résultante nulle

Signal transitoire

Il est ou le« la »?!!!

Inégalité de Heisenberg-Gabor

41

vt

Des classes de solutions

Gabor

transformées en ondelettes

Transformée de Fourier à fenêtre ou T. de

Gabor

dvdbtGbvSFTtf

dtebtgtfdttgtfbvSFT

Rbv

vtibv

)(),()(

)()()(*)(),(

2

,

2,

Avec g(t)=e-t²

Interprétation : SFT comme filtrage

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0

B B B B BB

SF

T

devGFdttgtfbvSFTbvi

bv)(2*

,)()()(*)(),(

temps

fréquenceBanc de filtre uniforme

Ondelettes : classification

Transformées redondantes

transformée continue

trame d’ondelettes

paquet d’ondelttes

Transformées non redondantes

analyse multirésolution :base orthonormée

analyse multirésolution :base bi-orthogonale

paquet d’ondelttes

Transformée en ondelettes continue : cdt. d’admissibilité

• Condition suffisante d’admissibilité pour une ondelette réelle :

0)( dtt

avec aR+, bR

a

bt

atba 1)(,

•Atome de base

Transformée en ondelettes continue

dtttfbaC baf

)()(),( ,*

a

b

abfdt

a

bt

atfbaC f

** 1*)(

1)(),(

Notée généralement CWT

CWT: interprétation comme filtrage

f0 2f0 4f0 8f0

B 2B 4B 8B

CW

T

B

fQ

f0 2f0 3f0 4f0 5f0 6f0

SFT

CWT

temps

B B B B BB

SF

T

fréquence

CWT: réelle ou complexe

réelleOndelettes réelles

détection des transitions brutales d’un signal

complexeOndelettes analytique

voir l’évolution temporelle des composantes fréquentielles

DWT :Analyse multirésolution

Signal construit par raffinement successiveApproximation+détail

)2(2)( 2/, ktt jjkj

•Le père : f. d’échelle (t) •La mère: l’ondelette (t)

ktt jjkj 22)( 2/

,

dtttxkja kj )()(),( ,

Coefficients Approximation à l’échelle j

kj

kj

d

dtttxbaW

,

, )()(),(

Coefficients de détail à l’échelle j

kkjjj tkjatxtf )(),()()( , )()( ,, tdtg

kkjkjj

Approximation + détail

f.b.orth f.b.orth

Rappel : bases orthonormales

• uV1, V1V0

Tel que W1 est le complémentaire orthogonale de V1

u

Pv1u

Pw1 uV0

V1

u u 11 wv PPu

Rappel : bases orthonormales

• Soit {v1,v2,…,vn} une base dans l’espace V,tout vecteur (fonction)peut être écrit comme:

j difficile à déterminer sauf pour une base orthonormale

• On peut écrire alors :

j

jjvw

jj vw,

nn

jjj

vvwvvwvvw

vvww

,,,

,

2211

Analyse multirésolution

[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

Supposons qu’on se donne une fonction f appartenant à L([0,1]), discrétisée sur 8 valeurs :

Analyse multirésolution

On voudrait exploiter une éventuelle corrélation entre valeurs voisinesMoyennant les paires de valeurs voisines

[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

[2 6.5 13 18]moyenne

[–1 –1.5 –2 –2]

Perte d’information

2+(– 1) = 1, 2 – (– 1) = 3,6.5+(– 1.5) = 5, 6.5 – (– 1.5)= 8 ,………………….

Analyse multirésolution

Résolution Moyenne détail

8421

[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

[2 6.5 13 18][4.25 15.5]

[9.875] 

 

[–1 –1.5 –2 –2][–2 .25 –2.5]

[–5.625]

[9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2]

moyenne

moyenne

moyenne

différence

différence

différence

[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

Analyse multirésolutionOn peut considérer la fonction précédente comme une fonction sur [0,1] constante par morceaux sur les intervalles : I3,k = [2-3k, 2-3(k + 1)[, k = 0, . . . , 2-3 - 1. En notant

φ (x) = I0,1(x) et φj,k(x) = φ (2jx - k), la fonction s’écrit :f (x) = 1φ3,0(x) + 3φ3,1(x) + 5φ3,2(x) +8 φ3,3(x) +11φ3,4(x) + · · ·

15φ3,5(x) + 16φ3,6(x) + 20 φ3,7(x).

•On peut re-écrire alors

f (x) = 2 φ2,0(x) + 6.5 φ2,1(x) + 13 φ2,2(x) + 18 φ2,3(x) + · · ·

(-1)ψ2,0(x) + (-1.5) ψ2,1(x) + (-2) ψ2,2(x) + (-2) ψ2,3(x)

où : ψ(x) = I[0,1/2[(x) - I[1/2,1[(x)[9.875 –5.625 –2 .25 –2.5 –1 –1.5 –2 –2]

moyenne

moyenne

moyenne

différence

différence

différence

[ 1 3 5 8 11 15 16 20 ]

V0

V1

V2

V3

(t)

(t)

Analyse multirésolution• V0 le sous-espace vectoriel de L2([0, 1[) engendré par les

fonctions constantes sur [0, 1[

• Vj l’espace vectoriel des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles Ij,k, k = 0, 2j – 1

• V0 V1 V2 V3

• Pour chaque Vj, la famille{ φ j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} forme une base , et est orthogonale.

• la famille {j,k, k = 0, . . . , 2j - 1} est une base de l’espace vectoriel Wj supplémentaire orthogonal de Vj dans Vj+1.

Analyse multirésolution• une analyse multirésolution de L2(R) est une famille M=VjjZ de sous

espaces vectoriels fermés emboîtés · · · V-2 V-1 V0 V1 V2 · · · , [1] telle que

[2] 

jZ, f (x) Vj , f (2x) Vj+1 [3]• Il existe une fonction V0 telle que :

[4]

{k, k Z} est une base “stable” de V0, c’est à dire que :

 

0et 2

Zjj

Zjj VLV

Zk

k kxxfRLfV )()(:)(20

Vj=Vj+1Wj+1

Algorithme de Mallat

)2(][2)( ktkhtk

(t) dans V0 V1

La clef : équations aux deux échelles

dtkttkh )2()(2][

)2(][2)( ktkgtk

dtkttkg )2()(2][

(t) dans V1

Le père

La mère

avec

avec

)(][2)( ,1, tkht kjk

kj

)(][2)( ,1, tkgt kjk

kj

Algorithme de Mallat: décomposition

• Relation entre l’approximation au niveau j+1 et l’approximation et le détail au niveau j

m

mjkjm

mjkj mkgadmkhaa ]2[et ]2[~

,1,

~

,1,

1-niveau de décomposition

h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n]~ ~

~Haj+1,k

G~

2

2

aj,k

dj,k

~

dtttxkja kj )()(),( ,

)(][2)( ,1, tkht kjk

kj

j<=0

dtttxd kjkj )()( ,,

)(][2)( ,1, tkgt kjk

kj

Algorithme de Mallat: reconstitution

)(,, tdk

kjkj

kkjkj tkjaa )(),( ,,1

Par projection de cette égalité sur j+1,k ,on trouve

2

2

G

H

+aj,k

dj,k

aj+1,k

mkj

mkjkj dmkgtmkha ,,,1 )2()()2(

Analyse multirésolution

h[n]: Reconstruction, filtre passe-bas

g[n]: Reconstruction, filtre passe-haut

h[n]: Decomposition, filtre passe-bas

g[n]: Decomposition, filtre passe-haut

~

~

h[n]=h[-n], et g[n]=g[-n]~ ~

][)1(]1[ ngnLh n Filtre QMF

Analyse multirésolution

G

H

2

2 G

H

2

2

2

2

G

H

+

2

2

G

H

+

x[n]x[n]

Decomposition Reconstruction

~

~ ~

~

n

high kngnxky ]2[][][~

n

low knhnxky ]2[][][~

k

high kngky ]2[][

k

high kngky ]2[][

Analyse multirésolution: construction

• Choisir une famille de base orthonormée de fonctions d’échelle

• Déterminer le filtre h• Vérifier la convergence de

l’analyse avec l’algo. en cascade

• Définir le filtre g à partir de h et déduire l’ondelette associée à l’aide de l’algorithme en cascade

• Choisir h (passe bas) (orthogonal)

• Algo. en cascade pour vérifier la convergence

• Construire g à partir de h

Remarque : L’analyse est discrète mais l’ondelette et la fonction d’échelle restent continuent

Ondelettes :

Deux degrés de liberté :

• Le choix de Le choix de l’ondelettel’ondelette

• Le Le nombrenombre de niveaux de de niveaux de décompositiondécomposition

Ondelettes : le choix

utile pour la compression , suppression des signaux

dtttm )(•nombre de moments nuls

Le lien entre un polynôme et un signal quelconque : série de Taylor

Tout polynôme d’ordre m MM nombre de moments nuls

Mm

mmtctx

0

)( dj0DWT

Ondelettes : le choix

• Support :quantifie resp. la localisation en

temps et en fréquence

Support compact

Support noncompact

En temps En fréquence

Bande étroite

Bande limitée non étroite

Filtre FIR Filtre IIRDaubechies, Symlets, Coiflets, etc.

Meyer

Ondelettes : le choix

•Régularité•Plus le nombre de moments nuls augmente plus l’ondeltte est régulière

Utile pour obtenir des signaux ou images reconstruits lisses et réguliers

•Meilleurs sont les propriétés de reconstruction

esthétisme

Ondelettes : le choix

• SymétrieUtile pour éviter le déphasage

(filtres à phase linéaire) •Ondelettes orthogonales

+Support compact

O. asymétriques

•Ondelettes biorthogonales

O. symétriques

Ondelettes : propriétés principales et classification

Ondelettes à filtres Ondelettes sans filtres

A support compact A support non compact

réelles complexes

Orthogonales Biortho-gaunales

orthogaunales gaus,

mexh,

morl

cgau, shan, fbsp, cmor

db, haar, sym,coif

bior meyr,dmeyr,btlm

Applications :

Une rampe+un bruit colore(ARMA)

db3

Discontinuité dans le signal

db1 Chapeau mexicain

Variante : transformée de Stokwell

Ondelette de Morlet