Ondelettes complexes pour l'analyse des lois d'échellesloiseau/presentations/presentation_P... · 2014. 6. 25. · Ondelettes complexes pour l'analyse des lois d'échelles. Introduction

IntroductionEstimation de regularite locale avec les ondelettes reelles

Introduction de la transformation en ondelettes complexesEstimation des parametres de loi d’echelle

Conclusion et perspectives

Ondelettes complexes pour l’analyse des loisd’echelles

Patrick LOISEAUsous la direction de Patrice ABRY, Pierre BORGNAT et

Paulo GONCALVES

Laboratoire de physique de l’Ecole Normale Superieure de Lyon

Mardi 5 septembre 2006

P. LOISEAU Ondelettes complexes pour l’analyse des lois d’echelles




Introduction

Objectif : mettre a profit la transformation en ondelettescomplexes pour estimer la regularite ponctuelle d’un signal

Applications potentielles en traffic routier, fracture, mesure desurfaces . . .

Une methode consiste a utiliser une representation localetemps-echelle

Transformation en ondelettes continue ⇒ Trop couteuxTransformation en ondelettes discrete ⇒ Probleme lie a lalocalite

Une solution a ce probleme : transformation en ondelettescomplexes





Introduction










Introduction










Introduction










1 Estimation de regularite locale avec les ondelettes reellesRegularite ponctuelle et singulariteLa transformation en ondelettes continueLa transformation en ondelettes discrete

2 Introduction de la transformation en ondelettes complexesLa transformation en ondelettes complexesEstimation de regularite ponctuelle avec la transformationcomplexeDemarche adoptee dans la suite

3 Estimation des parametres de loi d’echelleLe mouvement Brownien Fractionnaire (fBM)Estimation de la regularite locale d’un fBMEstimation de regularite locale variable



















Regularite ponctuelle et singulariteLa transformation en ondelettes continueLa transformation en ondelettes discrete

Regularite ponctuelle et singularite : definitions

Regularite locale : generalise la differentiabilite

Exposant de Holder :

h(t0) = Sup{α/f ∈ Cα(t0)}

avec f ∈ Cα(t0) si |t−t0| ≤ δ, alors |f (t)−P(t−t0)| ≤ C |t−t0|α

Singularite cusp : X (t) = |t − t0|α ⇒ h(t0) = α






La transformation en ondelettes continue I : definitions

Transformation de Fourier : inadaptee a l’etude de signauxnon stationnaires a cause de son caractere global

Transformation en ondelette : representation dans un espacetemps-echelle a deux dimensions : cX (a, t) = 〈X , ψa,t〉ψa,t(u) = 1√

aψ0(

u−ta ) : translate-dilate d’une fonction mere

ψ0 localisee et oscillante ⇒ ondelette

Energie du signal dans une echelle a autour du temps t






La transformation en ondelettes continue II : utilisationpour l’estimation de singularite

Decroissance des coefficients a travers les echelles :|cX (a, t)| ∼ a(h(t)+ 1

2), a → 0

Pente dans un diagramme log-echelle

Illustration avec un cusp

Abandon de la transformation continue








2), a → 0











2), a → 0



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

5

10

15

20

25

30

35Cusp d’exposant 0.3

t

X ⇒

0 2 4 6 8 10 12 14−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6Diagramme log-echelle

log2(a)

log 2|c X

(a,t

0)|









2), a → 0



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

0

5

10

15

20

25

30

35Cusp d’exposant 0.3

t

X ⇒

0 2 4 6 8 10 12 14−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6Diagramme log-echelle

log2(a)

log 2|c X

(a,t

0)|

Abandon de la transformation continueP. LOISEAU Ondelettes complexes pour l’analyse des lois d’echelles





La transformation en ondelette discrete I : definition

Calcul des coefficient sur un ensemble restreint de points(a = 2j , t = 2jk)

Algorithme pyramidale (Mallat) ⇒ rapide, peu couteux

Grille dyadique









Grille dyadique









Grille dyadique

j+2

j+1

j

j−1

j−2

d(j, k)









Grille dyadique

j+2

j+1

j

j−1

j−2

d(j, k)









Grille dyadique

j+2

j+1

j

j−1

j−2

d(j, k)






La transformation en ondelettes discrete II : probleme denon invariance par translation temporelle

Probleme : non-invariance par translation temporelle

Coefficients en ondelettes a une echelle fixee









2040 2045 2050 20550

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal : dirac de taille N = 4 096 centre en N2 + 1

N2 + 1

⇒

110 120 130 140−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Coefficients en ondelette a l’echelle 4









2040 2045 2050 20550

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Signal : dirac de taille N = 4 096 centre en N2 − 2

N2 − 2

⇒

110 120 130 140−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2Coefficients en ondelette a l’echelle 4






La transformation en ondelettes discrete III : estimation desingularites

Decroissance des coefficients a travers les echelles :|d(j , k(j , t0))| ∼ 2j(h(t0)+

12), j → 0










12), j → 0










12), j → 0



0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8

Cusp d’exposant 0.3 centre en N2 + 1

j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|








12), j → 0



0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8


j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|

0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8


j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|





La transformation en ondelettes complexesEstimation de regularite ponctuelle avec la transformation complexeDemarche adoptee dans la suite

La transformation en ondelettes complexes

Premiere idee : transformation de Hilbert de l’ondelette

⇒ support non fini, pas de recontruction parfaite

Dual-Tree (Kingsbury) : condition Hilbert approchee par deuxfiltres conjointement synthetises








Ondelette de Daubechies de régularité 2

⇒ support non fini, pas de recontruction parfaiteDual-Tree (Kingsbury) : condition Hilbert approchee par deuxfiltres conjointement synthetises

























Premiere idee : transformation de Hilbert de l’ondeletteOndelette de Daubechies de régularité 2

⇒









Premiere idee : transformation de Hilbert de l’ondeletteOndelette de Daubechies de régularité 2

⇒

Zoom


































Estimation de regularite ponctuelle avec la transformationcomplexe


Illustration avec l’analyse d’un cusp

















0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8

j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|


Partie réellePartie imaginaireModule









0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8

j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|



0 2 4 6 8 10 12 14−4

−2

0

2

4

6

8

j

log 2|d

(j,k

(j,t

0))|








Demarche adoptee dans la suite

Leaders (Jaffard)

j+2

j+1

j

j−1

j−2

l(j, k)

Methode

Synthese d’une realisation de signal test de regularite connueTransformation en ondelettes ⇒ differents jeux de coefficientsRegression lineaire ⇒ h(t) sur une realisationMoyennes d’ensemble sur plusieurs realisations (100) pourcaracteriser les estimateurs







Leaders (Jaffard), Transformee continue dyadique

Methode









Qshift DaubechiesDWT Leaders DWT Leaders CDWT

partie reelle × × × × ×partie imaginaire × × × × ×

Methode










partie reelle × × × × ×

Methode










partie reelle × × × × ×module Hilbert × × × × ×

module DT × × − − −

Methode










partie reelle × × × × ×module Hilbert/DT × × × × ×

Methode










partie reelle × × × × ×module Hilbert/DT × × × × ×

Methode






Le mouvement Brownien Fractionnaire (fBM)Estimation de la regularite locale d’un fBMEstimation de regularite locale variable

Mouvement Brownien fractionnaire I : definition et utilitee

Mouvement Brownien fractionnaire : auto-similaire (H) aacroissements stationnaires, gaussien ⇒ unique

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Mouvement Brownien Fractionnaire, H=0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−4

−3

−2

−1

0

1

2Mouvement Brownien Fractionnaire, H=0.2

Regularite ponctuelle constante : h(t) = H

Synthese rapide de longs signaux

⇒ Utilisation pour caracteriser les performances des estimateurslocaux de h(t)






Mouvement Brownien fractionnaire II : coefficients enondelettes

stationnaires (acroissements stationnaires)

gaussiens centres en zeros (ondelettes reelles)

variance en 2j(2h+1)

log2|d(j , k)| : variance constante a travers les echelles

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000échelle 3

DW

T

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000échelle 4

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000

3000

lead

ers

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000

1500

Histogrammes des coefficients en ondelette. H = 0.7

Ondelette Qshift Ondelette Daubechies

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000

1500échelle 3

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

200

400

600échelle 4

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000






Mouvement Brownien fractionnaire II : coefficients enondelettes

stationnaires (acroissements stationnaires)

gaussiens centres en zeros (ondelettes reelles)

variance en 2j(2h+1)

log2|d(j , k)| : variance constante a travers les echelles

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000échelle 3

DW

T

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000échelle 4

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000

3000

lead

ers

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000

1500

Histogrammes des coefficients en ondelette. H = 0.7


−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000

1500échelle 3

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

200

400

600échelle 4

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

1000

2000

−4 −2 0 2 4

x 10−3

0

500

1000

−18−16−14−12−10 −80

500

1000échelle 3

DW

T

−18−16−14−12−10 −80

500

1000échelle 4

−18−16−14−12−10 −80

500

1000

1500

lead

ers

−18−16−14−12−10 −80

500

1000

1500

Histogrammes du log2| · | des coefficients en ondelette. H = 0.7


−18−16−14−12−10 −80

200

400

600

800échelle 3

−18−16−14−12−10 −80

500

1000échelle 4

−18−16−14−12−10 −80

500

1000

1500

−18−16−14−12−10 −80

500

1000

1500






Estimation de la regularite locale I : observation

estimation en chaque point : h(t) =∑j2

j1wj log2|d(j , k)|

j1 = 3, j2 = 6

−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800DWT

−2 −1 0 1 2 30

500

1000

1500leaders

Histogrammes des h(t). H = 0.7


−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800DWT

−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800

1000

1200

1400leaders

Ecarts typesQshift Daubechies

DWT 0.716 0.7210.426 0.436

Leaders 0.225 0.2280.200 0.202

leaders : variabilite faible






Estimation de la regularite locale I : observation

estimation en chaque point : h(t) =∑j2

j1wj log2|d(j , k)|

j1 = 3, j2 = 6

−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800DWT

−2 −1 0 1 2 30

500

1000

1500leaders

Histogrammes des h(t). H = 0.7


−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800DWT

−2 −1 0 1 2 30

200

400

600

800

1000

1200

1400leaders

Ecarts typesQshift Daubechies

DWT 0.716 0.7210.426 0.436

Leaders 0.225 0.2280.200 0.202

leaders : variabilite faibleP. LOISEAU Ondelettes complexes pour l’analyse des lois d’echelles





Estimation de la regularite locale II : origine de lareduction de variance

h(t) =∑j2

j1wj log2|d(j , k)|

⇒ var(h(t)) =(∑

(i ,j) ρi jwiwj

)σ2︸︷︷︸

var(log2|d(j ,k)|)







h(t) =∑j2

j1wj log2|d(j , k)|

⇒ var(h(t)) =(∑

(i ,j) ρi jwiwj

)σ2︸︷︷︸

var(log2|d(j ,k)|)

0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

DWT

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2leaders

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

Etude de l’ecart type de h(t)


0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

DWT

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2leaders

[3; 4] [3; 5] [3; 6]







0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

DWT

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2leaders

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

Etude de l’ecart type de h(t)


0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

DWT

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

0 1 2 3 4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2leaders

[3; 4] [3; 5] [3; 6]

Reduction de variance sur lescoefficients∑

(i,j)

ρr eellei j wi wj

(σ

r eelle)2→

∑(i,j)

ρr eellei j wi wj

(σ

module)2

Introduction de correlations∑

(i,j)

ρr eellei j wi wj

(σ

module)2→

∑(i,j)

ρmodulei j wi wj

(σ

module)2






Estimation de regularite locale variable

Mouvement Brownien Multifractionnaire : variation douce deH(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9variation douce de H

t

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1Mouvement Brownien Multifractionnaire

t

X

Estimation de H : regression lineaire sur [3; 6]








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


t

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


t

X


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CDWT, Daubechies, partie reelle

t

Hes

tim

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

CDWT, Daubechies, module

t

Hes

tim

e








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


t

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


t

X


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

DWT, Qshift, partie reelle

t

Hes

tim

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

DWT, Qshift, module

t

Hes

tim

e








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


t

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


t

X


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leaders, Qshift, partie reelle

t

Hes

tim

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leaders, Qshift, module

t

Hes

tim

e








0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8


t

H

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

−1.5

−1

−0.5

0

0.5


t

X


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leaders, Qshift, partie reelle

t

Hes

tim

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leaders, Qshift, module

t

Hes

tim

e

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Leaders, Qshift, module, 1 realisation

t

Hes

tim

e





Conclusion

Dual-Tree et transformation de Hilbert simple : equivalentspour l’analyseondelettes complexes ⇒ reduction de variance de l’estimationdont l’origine est comprisechoix de l’ondelette et de la plage de regression en fonction desbesoinsutilisation des leaders adaptee pour l’etude de regularite locale

Perpectives

mBM a appronfondir : lissage sur une realisationutilisation des ondelettes complexes pour l’analysemultifractale : estimation des moments negatifs sans avoirrecours aux leaders





Transformation en ondelettes complexes I : les arbres

IEEE SIGNAL PROCESSING MAGAZINE [130] NOVEMBER 2005

when the Hilbert transform is built into the wavelet transform

as in the dual-tree implementation, the Hilbert transform scales

with the wavelet scale, as desired.

THE DUAL-TREE CWT

As shown in the previous section, the development of an invert-

ible analytic wavelet transform is not as straightforward as

might be initially expected. In particular, the FB structure illus-

trated in Figure 24 that is usually used to implement the real

DWT does not lend itself to analytic wavelet transforms with

desirable characteristics.

DUAL-TREE FRAMEWORK

One effective approach for implementing an analytic wavelet

transform, first introduced by Kingsbury in 1998, is called

the dual-tree CWT [54], [55], [57]. Like the idea of

positive/negative post-filtering of real subband signals, the

idea behind the dual-tree approach is quite simple. The dual-

tree CWT employs two real DWTs; the

first DWT gives the real part of the

transform while the second DWT gives

the imaginary part. The analysis and

synthesis FBs used to implement the

dual-tree CWT and its inverse are

illustrated in Figures 7 and 8.

The two real wavelet transforms use

two different sets of filters, with each

satisfying the PR conditions. The two

sets of filters are jointly designed so

that the overall transform is approxi-

mately analytic. Let h0(n), h1(n) denote

the low-pass/high-pass filter pair for the

upper FB, and let g0(n), g1(n) denote

the low-pass/high-pass filter pair for the

lower FB. We will denote the two real

wavelets associated with each of the two

real wavelet transforms as ψh(t) and

ψg(t). I n a d d i t i o n t o s a t i s f y i n g

t h e PR conditions, the filters are

designed so that the complex wavelet

ψ(t) := ψh(t) + j ψg(t) is approxi-

mately analytic. Equivalently, they are

designed so that ψg(t) is approximately

the Hilbert transform of ψh(t) [denoted

ψg(t) ≈ H{ψh(t)}].

Note that the filters are themselves

real; no complex arithmetic is required

for the implementation of the dual-tree

CWT. Also note that the dual-tree CWT

is not a critically sampled transform; it is

two times expansive in 1-D because the

total output data rate is exactly twice the

input data rate.

The inverse of the dual-tree CWT is as

simple as the forward transform. To invert

the transform, the real part and the imaginary part are each

inverted—the inverse of each of the two real DWTs are used—to

obtain two real signals. These two real signals are then averaged

to obtain the final output. Note that the original signal x(n) can

be recovered from either the real part or the imaginary part alone;

however, such inverse dual-tree CWTs do not capture all the

advantages an analytic wavelet transform offers.

If the two real DWTs are represented by the square matrices

Fh and Fg, then the dual-tree CWT can be represented by the

rectangular matrix

F =[

Fh

Fg

].

If the vector x represents a real signal, then wh = Fh x repre-

sents the real part and wg = Fg x represents the imaginary

part of the dual-tree CWT. The complex coefficients are given

by wh + j wg. A (left) inverse of F is then given by

[FIG8] Synthesis FB for the dual-tree CWT.

[FIG7] Analysis FB for the dual-tree discrete CWT.

h0(n)

h1(n) 2

2

h0(n)

h1(n) 2

2

h0(n)

h1(n) 2

2

h0(n)

h1(n) 2

2

g0(n)

g1(n) 2

2

g0(n)

g1(n) 2

2

g0(n)

g1(n) 2

2

g0(n)

g1(n) 2

2

2

2

2

2

20.5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

h1(n)˜

h1(n)˜

h1(n)˜

h1(n)˜

g0(n)˜

g0(n)˜

g0(n)˜

g0(n)˜

g1(n)˜

g1(n)˜

g1(n)˜

g1(n)˜

h0(n)˜

h0(n)˜

h0(n)˜

h0(n)˜





Transformation en ondelettes complexes I : conditions pourla synthese des filtres

Analyse multiresolution :H0(z)H0(z

−1) + H0(−z)H0(−z−1) = 2

Theoreme de Mallat-Meyer (ondelette) : H1(z) = z−1H0(z−1)

Paire d’ondelettes en quadrature : G0(ω) = H0(ω)e−jω

2 oug0(n) = h0(n − 0.5)

MAIS Reponse impulsionnelle infinie pour un filtre

⇒ G0(ω) ≈ H0(ω)e−jω

2 ou g0(n) ≈ h0(n − 0.5)

Qshift : condition supplementaire : g0(n) = h0(N − 1− n)


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Ondelettes complexes pour l'analyse des lois d'échellesloiseau/presentations/presentation_P... · 2014. 6. 25. · Ondelettes complexes pour l'analyse des lois d'échelles. Introduction