UN MODELO DE ANÁLISIS DIDÁCTICO DE PROCESOS DE … Font Rubio.pdf · 5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de estudio. Estos niveles son el resultado de un trabajo

Font, V & Rubio, N. (2014). Un modelo de anàlisis didáctico de procesos de instrucción

matemàtica. Caminhos da Educação Matemática em Revista. 7(1), 11-31.

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UN MODELO DE ANÁLISIS DIDÁCTICO DE PROCESOS DE

INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA

Vicenç Font1, Universidad de Barcelona

Norma Rubio, Pontificia Universidad Católica del Perú

Resumen

En este artículo se presenta un modelo teórico para el análisis de procesos de enseñanza

y aprendizaje de las matemáticas. Este modelo se ha elaborado para describir (¿qué ha

ocurrido aquí?), explicar (¿por qué ha ocurrido?) y valorar (¿qué se podría mejorar?)

procesos de estudio matemático en el aula. El principal resultado esperado de la

aplicación del modelo es llegar a una valoración fundamentada de la idoneidad didáctica

de procesos de instrucción.

Palabras clave

Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, enfoque ontosemiótico, prácticas de aula,

objetos y procesos matemáticos, normas, idoneidad didáctica.

Abstract

In this paper we present a theoretical model for the analysis of processes of teaching

and learning mathematics. We have constructed the model in order to describe (what

has happened here?), explain (why has it happened?) and value (what could be

improved?) classroom mathematical study processes. The main expected result from the

application of the model is a grounded valorization about the didactical sustainability

of study processes that have been carried out in the mathematics classroom.

Key words

Teaching and learning of mathematics, onto-semiotic approach, classroom practices,

mathematical objects and processes, norms, didactical sustainability.

1 Dirección de contacto: Vicenç Font; Universitat de Barcelona, Facultat d’Educació. Departament de

Didàctica de les Ciències Experimentals i la Matemàtica. Campus Vall d'Hebron. Passeig de la Vall

d'Hebrón, 171. 08035 Barcelona. Tel 93 403 50 35. E-mail: [email protected]; Fax 93 403 50 13.

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1. INTRODUCCIÓN

En Coll y Sánchez (2008), se discuten aspectos básicos a tener en cuenta en el

desarrollo de modelos para el análisis de la interacción y práctica educativa en el aula.

Hemos seguido este trabajo en la organización del presente escrito teórico sobre un

modelo para el estudio de procesos de enseñanza y aprendizaje en matemáticas. Se trata

de un modelo elaborado para describir, explicar y valorar procesos de instrucción

matemática. En primer lugar, presentamos herramientas para una didáctica descriptiva y

explicativa que sirva para responder “¿qué ha ocurrido aquí y por qué?”. En segundo

lugar, presentamos herramientas para una didáctica valorativa que sirva para responder

“¿qué se ha hecho mal y cómo se debería mejorar?”. Entendemos que el estudio de

aspectos descriptivos y explicativos de una situación didáctica es necesario para poder

argumentar valoraciones fundamentadas. Este modelo resume y sintetiza un conjunto de

artículos que han utilizado (y desarrollado) el enfoque ontosemiótico del conocimiento

y la instrucción matemática –EOS (Badillo, Figueiras, Font y Martínez, 2013;

Contreras, García y Font, 2012; D’Amore, Font y Godino, 2007; Font y Contreras,

2008; Font, Godino y Gallardo, 2013; Godino, Batanero y Font, 2007 y 2008; Godino,

Contreras y Font, 2006; Godino, Font y Wilhelmi, 2006; Godino, Font, Wilhelmi y

Castro, 2009; Pochulu y Font, 2011; Rubio, 2012).

2. ¿QUÉ ANALIZAMOS?

Desde el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática se

proponen cinco niveles para el análisis didáctico de procesos de estudio:

1) Análisis de los tipos de problemas y sistemas de prácticas.

2) Elaboración de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos.

3) Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas.

4) Identificación del sistema de normas y metanormas.

5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de estudio.

Estos niveles son el resultado de un trabajo de síntesis teórica de análisis parciales

consolidados en el área de didáctica de la matemática. Por ejemplo, el nivel 4 se

propone para integrar aspectos de análisis de normas desarrollados desde el enfoque

sociocultural en educación matemática (Font y Planas, 2008; Yackel y Cobb, 1996).



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El primer nivel de análisis explora las prácticas matemáticas realizadas en un proceso de

estudio matemático. Este primer nivel se puede entender como la narración que haría un

profesor para explicar a otro profesor lo que ha sucedido desde el punto de vista

matemático. El segundo nivel de análisis se centra en los objetos y procesos

matemáticos que intervienen en la realización de las prácticas, así como los que

emergen de ellas. La finalidad de este nivel es describir la complejidad ontosemiótica de

las prácticas matemáticas como factor explicativo de los conflictos semióticos

anecdóticos o consustanciales a su realización.

El tercer nivel de análisis didáctico está orientado, sobre todo, a la descripción de los

patrones de interacción y relación con los aprendizajes. Dado que el estudio de las

matemáticas tiene lugar usualmente bajo la dirección de un profesor y en interacción

con otros estudiantes, el análisis didáctico debe progresar desde la situación problema y

las prácticas matemáticas necesarias para su resolución (nivel 1), a las configuraciones

de objetos y procesos matemáticos que posibilitan dichas prácticas (nivel 2), que a su

vez debe progresar hacia el estudio de las configuraciones didácticas y su articulación

secuencial en trayectorias didácticas (nivel 3). Estas configuraciones y trayectorias están

condicionadas y soportadas por una trama de normas y metanormas, que no sólo

regulan la dimensión epistémica de los procesos de estudio (niveles 1 y 2), sino también

otras dimensiones de estos procesos (cognitiva, afectiva, etc.). El cuarto nivel de análisis

pretende estudiar esta trama de normas y metanormas.

Los cuatro primeros niveles de análisis son herramientas para una didáctica descriptiva-

explicativa. El quinto nivel se centra en la valoración de la idoneidad didáctica. Este

nivel se basa en los cuatro análisis previos y es una síntesis orientada a la identificación

de mejoras potenciales del proceso de estudio en nuevas implementaciones.

3. ¿CÓMO ANALIZAMOS?

En Font y Contreras (2008); Font, Godino y Contreras (2008); Godino, Bencomo, Font

y Wilhelmi (2006); Godino, Contreras y Font (2006); Font y Godino (2006); Godino,

Font y Wilhelmi (2006); Pochulu y Font (2011); Contreras, García y Font (2012) y

Badillo, Figueiras, Font y Martínez (2013) aplicamos niveles de análisis de nuestro

modelo para describir, analizar y valorar procesos de estudio A continuación



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describimos brevemente aspectos teóricos que anteceden la aplicación de los cuatro

primeros niveles.

3.1 Prácticas matemáticas

Suponemos que el aprendizaje de las matemáticas consiste en aprender a realizar una

práctica actuativa (de lectura y producción de textos) y, sobre todo, una práctica

discursiva (de reflexión sobre la práctica actuativa) que puede ser reconocida como

matemática por un interlocutor experto. Desde esta perspectiva, entendemos el discurso

del profesor como un componente de su práctica profesional. Dicha práctica tiene como

objetivo generar, en el estudiante, un tipo de práctica actuativa y una práctica discursiva

sobre ella que el profesor pueda considerar como matemática. De acuerdo con esto,

consideramos la práctica matemática como cualquier acción o manifestación (lingüística

o de otro tipo) llevada a cabo en la resolución de problemas matemáticos y en la

comunicación de soluciones a otras personas a fin de validarlas y generalizarlas a otros

contextos y problemas (Godino y Batanero, 1994).

La relatividad socioepistémica y cognitiva de los significados, entendidos como

sistemas de prácticas, y su uso en el análisis didáctico lleva a introducir en el EOS la

siguiente tipología de significados de la Figura 1. Con relación a los significados

institucionales y respecto a un proceso de estudio específico, se proponen los siguientes

tipos:

- Pretendido: sistema de prácticas en la planificación del proceso de estudio.

- Implementado: sistema de prácticas en la actuación docente efectiva.

- Evaluado: sistema de prácticas del docente en la evaluación de aprendizajes.

- Referencial: sistema de prácticas de referencia en la elaboración del significado

pretendido.

Respecto de los significados personales se proponen los siguientes tipos:

- Global: sistema de prácticas personales relativas a un objeto matemático que el

sujeto es capaz de manifestar potencialmente.

- Declarado: sistema de prácticas expresadas a propósito de las pruebas de

evaluación, incluyendo las correctas e incorrectas institucionalmente.



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- Logrado: sistema de prácticas manifestadas y conformes con la pauta

institucional establecida.

En el análisis del cambio de los significados personales que tiene lugar en un proceso de

estudio interesa tener en cuenta los significados logrados iniciales o previos de los

estudiantes y los logrados que finalmente alcanzan. En la parte central de la Figura 1 se

indican las relaciones dialécticas entre enseñanza y aprendizaje, que suponen el

acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales. La enseñanza

implica la participación del estudiante en la comunidad de prácticas que soporta los

significados institucionales y el aprendizaje supone la apropiación por el estudiante de

dichos significados.

Figura 1: Tipos de significados institucionales y personales

El primer nivel de análisis pretende identificar prácticas matemáticas realizadas en el

proceso de estudio analizado (significado implementado). Este primer nivel de análisis

se puede entender como la narración que haría un profesor para explicar a otro profesor

lo que ha sucedido desde el punto de vista matemático. Para poder analizar el

significado implementado es necesario contextualizarlo en el proceso que va del

significado de referencia al significado evaluado



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3.2 Objetos y procesos matemáticos

El agente necesita conocimientos básicos para la realización de una práctica matemática

y para la interpretación de sus resultados como satisfactorios. Si consideramos los

componentes del conocimiento para la realización y evaluación de la práctica que

permite resolver una situación problema (e.g., plantear y resolver un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas) vemos el uso de lenguajes, verbales y simbólicos. Estos

lenguajes son la parte ostensiva de una serie de conceptos, proposiciones y

procedimientos que intervienen en la elaboración de argumentos para decidir si las

acciones simples que componen la práctica, y ella en tanto que acción compuesta, son

satisfactorias. Así, cuando un agente realiza y evalúa una práctica matemática activa un

conglomerado formado por situaciones problema, lenguajes, conceptos, proposiciones,

procedimientos y argumentos, articulado en la configuración de la Figura 2 (Font y

Godino, 2006).

Figura 2. Configuración de objetos

La Figura 2 (hexágono interior de la Figura 3) informa sobre la estructura de la

actividad matemática en un episodio de clase. Si además interesa el funcionamiento

(como interactúan los objetos) en una perspectiva temporal y dinámica, conviene

utilizar la tipología de procesos propuesta por el EOS, que emergen de las siguientes

dimensiones duales (ver decágono de la Figura 3): personal/institucional,

unitaria/sistémica expresión/contenido, ostensiva/no-ostensiva y extensiva/intensiva.

Estas dimensiones pueden analizarse desde una perspectiva de producto-proceso.

En Font y Contreras (2008) y Font, Godino y Contreras (2008) se detallan los procesos

matemáticos de la Figura 3: generalización-particularización, institucionalización-



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personalización, representación-significación, descomposición-reificación, idealización-

materialización (asociados a las cinco dimensiones duales) y comunicación, definición,

enunciación, argumentación, algoritmización y problematización (asociados a los

objetos matemáticos). Esta lista es una selección de procesos relevantes en la actividad

matemática. Otros procesos, también relevantes, como los de comprensión,

modelización o resolución de problemas, pueden entenderse como mega-procesos que

incluyen algunos de los tipos anteriores. Aplicamos estos tipos para conocer los

procesos activados en el proceso de estudio.

Figura 3. Representación ontosemiótica del conocimiento matemático

3.3 Interacciones y conflictos

Fijada una situación problema y haciendo uso de una tecnología, el profesor y los

estudiantes emprenden una secuencia de actividades en interacción con el fin de lograr

que los alumnos sean capaces de resolver esa situación y otras relacionadas. Llamamos

configuración didáctica a la secuencia interactiva que tiene lugar a propósito de una

situación problema. Concebimos esta configuración didáctica como un sistema abierto a

la interacción con otras configuraciones de la trayectoria didáctica de la que forma

parte. Una configuración didáctica se compone de una configuración epistémica, esto

es, una situación problema, lenguajes, conceptos, proposiciones, procedimientos y



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argumentos, que pueden estar a cargo del profesor, de los estudiantes o bien distribuirse

entre ambos. Asociada a una configuración epistémica hay una configuración docente y

otra discente en interacción. El docente puede desempeñar, por ejemplo, las funciones

de asignación, motivación, recuerdo, interpretación, regulación y evaluación, mientras

que el discente puede desempeñar las funciones de exploración, comunicación,

validación, recepción y autoevaluación.

La herramienta configuración didáctica permite realizar un análisis detallado de los

procesos de instrucción matemática. Conviene, sin embargo, partir de configuraciones

didácticas teóricas de referencia. Por ello, describimos cuatro tipos teóricos, que

designamos como configuraciones adidáctica, magistral, dialógica y personal.

(Brousseau, 1997) propone una manera de organizar el trabajo del profesor y el de los

alumnos a propósito de un saber matemático pretendido, que se considera óptima en

términos del aprendizaje de los alumnos y que da lugar, en su forma ideal, a una

configuración teórica adidáctica. La secuencia de situaciones adidácticas de

exploración, formulación y validación por parte del profesor, y la situación didáctica de

institucionalización concretan el papel del estudiante en interacción con el medio

(profesor, conocimientos pretendidos, recursos materiales y cognitivos...).

La configuración teórica magistral se basa en la manera tradicional de enseñar

matemáticas con exposición, seguida de ejercicios de aplicación de los contenidos

presentados. Primero se introduce el componente discursivo del significado de los

objetos matemáticos y se deja la responsabilidad de dar sentido al discurso a los

estudiantes por medio de ejemplos, ejercicios y aplicaciones. Se trata de una decisión

topogenética: “primero, yo, el profesor, te doy las reglas generales, después tú las

aplicas”. En este tipo de configuración hay exploración, formulación y validación, pero

son responsabilidad del estudiante o se activan en momentos puntuales de evaluación.

Una variante intermedia entre los tipos anteriores puede definirse cuando el profesor se

encarga de la formulación y validación, mientra que los alumnos se responsabilizan de

la exploración. La institucionalización tiene lugar mediante un diálogo entre el docente

y los alumnos, quienes han tenido ocasión de asumir la tarea, familiarizarse con ella y

posiblemente de esbozar alguna técnica de solución. En este caso, hablamos de

configuración teóricas dialógicas.



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Otro tipo teórico de configuración didáctica se tiene cuando el estudiante resuelve la

situación problema sin intervención directa del docente. Esto ocurre cuando los alumnos

resuelven ejercicios propuestos por el profesor o incluidos en el libro de texto. Se trata

de un tipo de configuración en la que predomina el estudio personal y que

denominamos configuración didáctica personal.

En los vértices del cuadrado de la Figura 4 (Godino, Contreras y Font, 2006),

representamos los cuatro tipos de configuraciones teóricas. Las configuraciones reales

que acontecen pueden representarse mediante puntos interiores del cuadrado y estar más

o menos próximas a estas configuraciones teóricas. A lo largo de un proceso de estudio,

las configuraciones didácticas reales oscilarán en torno a los tipos teóricos.

BA

D C

MAGISTRAL A-DIDÁCTICA

PERSONALDIALÓGICA

Figura 4. Configuraciones didácticas teóricas

En cada proceso de estudio, se produce una trayectoria de configuraciones didácticas,

que a su vez se descompone en trayectorías más específicas, cuyo análisis lleva a la

comprensión global de la trayectoria didáctica en su conjunto. Las seis trayectorias

específicas que consideramos pueden agruparse en tres: trayectoria epistémica,

instruccional (docente, mediacional y discentes) y cognitiva-afectiva (cognitivas y

emocionales).

Trayectoria epistémica: distribución temporal de prácticas, objetos y procesos

(significado institucional implementado).

Trayectoria docente: distribución de las acciones docentes en la instrucción.

Trayectorias discentes: distribución de las acciones de los alumnos.

Trayectoria mediacional: distribución de los recursos tecnológicos utilizados

(libros, apuntes, manipulativos, software, etc.).

Trayectorias cognitivas: cronogénesis de significados personales de los alumnos.

Trayectorias emocionales: distribución temporal de los estados emocionales de los

alumnos con relación a los objetos matemáticos y al proceso de estudio.



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Dada la gran diversidad de interacciones didácticas ocurridas en cualquier proceso de

estudio e influenciadas por las trayectorias mencionadas, a veces conviene centrarse en

las interacciones en torno a conflictos de tipo semiótico de fácil identificación –en el

sentido de ser fácilmente triangulable su identificación. Un conflicto semiótico es

cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por

dos agentes (personas o instituciones). Si la disparidad se produce entre significados

institucionales hablamos de conflictos semióticos epistémicos, mientras que si ocurre

entre prácticas que forman el significado personal de una misma persona hablamos de

conflictos semióticos cognitivos. Cuando la disparidad se produce entre las prácticas

(discursivas y actuativas) de dos personas en interacción comunicativa (alumno-alumno

o alumno-profesor) hablamos de conflictos semióticos interaccionales.

3.4 Normas y metanormas

En Godino, Conteras y Font (2006), junto con las facetas epistémica, mediacional,

emocional y cognitiva, para analizar los procesos de instrucción matemática en relación

con las trayectorias respectivas, se destaca la faceta interaccional (respecto a las

trayectorias docente y discentes y las interacciones entre profesor y alumnos orientadas

a fijar y negociar significados) y la ecológica (respecto al sistema de relaciones con el

entorno social, político, económico... que soporta y condiciona el proceso de estudio).

Ligadas a estas facetas, consideramos normas epistémicas, cognitivas, interaccionales,

mediacionales, afectivas y ecológicas, que permiten atender a:

Las matemáticas susceptibles de ser enseñadas y aprendidas en una institución.

La construcción y comunicación de nociones, procesos y significados matemáticos.

Las interacciones docente-discente y discente-discente.

El uso de recursos humanos, materiales y temporales.

La afectividad de las personas que intervienen en el proceso de estudio.

La relación con el entorno en el que se desarrolla el proceso de instrucción.

Las normas que regulan los procesos de estudio matemáticos se pueden categorizar

desde otros puntos de vista complementarios (D’Amore, Font y Godino, 2007; Godino,

Font, Wilhelmi y Castro, 2009): según las fases de desarrollo de dichos procesos

(diseño, planificación, implementación y evaluación), el grado de coerción de las



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normas (las que se presentan como verdades necesarias, como 2+2=4; convenciones de

cumplimiento obligatorio, como la prioridad de operaciones; convenios basados en

hábitos culturales, como los que rigen algunas interacciones en el aula; etc.), el origen

de las normas (administración educativa, sociedad, escuela, aula, disciplina).

Figura 5: Dimensión normativa y tipos de normas

Contemplamos también una dimensión metanormativa de los procesos de instrucción.

En dicha dimensión, prestamos especial atención a las normas metaepistémicas y las

metacognitivas. El profesor quiere que los alumnos se apoyen en una configuración

epistémica previa (o configuración metaepistémica) para realizar unas prácticas

matemáticas de las que se obtendrá una configuración epistémica emergente. Por otra

parte, el profesor pretende que sus alumnos personalizen las configuraciones

epistémicas en configuraciones personales previas (o configuraciones metacognitivas).

Normas epistémicas

Llamamos faceta epistémica de la dimensión normativa (o normas epistémicas, para

abreviar) al conjunto de normas que determinan la actividad matemática que es posible

desarrollar en una institución. Las normas epistémicas regulan los contenidos

matemáticos, el tipo de situaciones adecuadas para su aprendizaje y las representaciones

que se utilizan para los distintos contenidos. En la terminología del EOS, las normas

epistémicas determinan las configuraciones epistémicas y las prácticas matemáticas que

dichas configuraciones posibilitan.

Para describir la actividad matemática de un proceso de estudio, se contempla una

ontología formada por situaciones problema, lenguajes, conceptos, proposiciones,



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procedimientos y argumentos. Estos seis tipos de objetos se articulan formando

configuraciones epistémicas (Figura 2) y estas configuraciones informan de las

condiciones epistémicas para dicha actividad (configuración previa) o de los indicadores

de su resultado (configuración emergente). Si además de la estructura del proceso de

estudio interesa analizar su génesis y funcionamiento, es necesario examinar los

procesos matemáticos asociados señalados en la Figura 3.

La herramienta configuración epistémica permite ver la estructura de los objetos y

procesos que posibilitan la práctica matemática. Las normas epistémicas son un tipo

específico de objetos de las configuraciones epistémicas (definiciones, procedimientos,

técnicas...) que regulan la práctica matemática en un marco institucional e informan

sobre qué matemáticas se deben aprender. Si nos fijamos, por ejemplo, en las

situaciones problema, es necesario que el alumno pueda responder a preguntas del tipo,

¿qué es un problema? ¿cuándo se ha resuelto? ¿qué reglas conviene seguir para

resolverlo?, etc. Las respuestas no son absolutas, sino relativas a la institución. De

manera similar, si nos fijamos en los argumentos, el alumno necesita saber qué son y

cuándo se considera válido un argumento en la clase de matemáticas.

En general, las configuraciones epistémicas llevan asociadas un sistema de normas, que

pueden ser compartidas (configuración metaepistémica) o personales de los estudiantes

involucrados en los procesos de estudio correspondientes. Cuando son compartidas,

hablamos de normas metaepistémicas, a veces denominadas normas sociomatemáticas

(Font y Planas, 2008) y se utilizan para valorar la práctica matemática de los estudiantes

y del profesor. Las configuraciones metaepistémicas se generan y, sobre todo, se

mantienen durante un largo periodo de tiempo (e.g., un curso o una etapa educativa) y

coexisten con la sucesión de distintas configuraciones epistémicas. Su carácter implícito

explica la ruptura entre niveles educativos. Por ejemplo, las configuraciones

metaepistémicas relacionadas con la demostración en matemáticas explican en parte el

fracaso escolar en el cambio de nivel educativo de los estudiantes.

Normas cognitivas

Para que la apropiación de significados institucionales sea posible, el referente son las

ciencias que dicen cómo aprenden los sujetos y cómo se les tiene que enseñar. Nos

referimos a la psicología, la pedagogía y, en especial, la didáctica de las matemáticas, en



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tanto que disciplina específica para la descripción de los procesos de construcción y

comunicación de nociones, procesos y significados matemáticos. Estas ciencias han

generado un cuerpo de conocimientos del cual se derivan normas, que llamamos

cognitivas, cuyo seguimiento permite conseguir que los alumnos aprendan lo que se les

enseña. Dichas normas suponen que el alumno debe aprender y que la institución

escolar debe hacer lo posible para ello, asegurando que el alumno tiene los

conocimientos previos necesarios y que lo que se enseña está en su zona de desarrollo

próximo, entre otros aspectos.

Como resultado del aprendizaje los alumnos pueden generar sus interpretaciones de las

reglas matemáticas, cuya validez será necesario explicitar y discutir en clase a fin de

superar posibles conflictos cognitivos. Algunos alumnos resuelven tareas aritméticas

aplicando reglas de su propia invención, tales como: no se puede dividir a por b a

menos que a sea mayor que b; no se puede restar a de b a menos que a sea menor que b;

cuando se multiplican dos números, el resultado es mayor que ambos números; o

cuando se suman dos números el resultado es mayor que cada uno de los sumandos.

Tirosh, Stavy y Tsamir (2001) han desarrollado la teoría de las “reglas intuitivas” para

analizar respuestas inapropiadas de los estudiantes, estas investigadoras han hallado que

los estudiantes tienden a reaccionar a una amplia variedad de tareas científicamente no

relacionadas, aplicando tres reglas intuitivas: “más A – más B”, “misma A – misma B”,

y “todo puede ser dividido inacabablemente”. Estas reglas intuitivas son normas

cognitivas que no corresponden con normas epistémicas de la actividad matemática.

Hablamos de configuración cognitiva para referirnos a la herramienta que controla el

grado de apropiación por el alumno de la configuración epistémica correspondiente al

significado institucional implementado. La herramienta configuración cognitiva permite

describir la estructura de los objetos que han posibilitado la práctica matemática del

alumno, mientras que el par configuración cognitiva y prácticas realizadas lleva a

determinar el significado personal declarado en las pruebas de evaluación. De hecho, la

evaluación sumativa puede definirse como el proceso educativo por el cual se valora el

grado de adecuación entre las configuraciones cognitivas logradas y las configuraciones

epistémicas implementadas. Algunos de los constituyentes de las configuraciones

cognitivas de los alumnos se pueden considerar como normas que regulan su

comportamiento matemático; dichas normas personales (o cognitivas) pueden concordar

o no con las normas epistémicas correspondientes.



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Normas interactivas

Los modos de interacción entre docente y discentes, para el logro de los objetivos de

enseñanza y aprendizaje, están sujetos a reglas, hábitos, tradiciones, compromisos y

convenios. Las normas interactivas (o la faceta interactiva de la dimensión normativa de

los procesos de estudio) regulan los modos de interacción entre las personas que

intervienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Las secuencias de interacciones por una parte están sujetas a reglas y, por otra, generan

pautas de actuación. De la misma manera que la realización de una pauta no tiene

sentido si no es con referencia a otras pautas anteriores y posteriores en el tiempo, las

interacciones en el aula tampoco se hallan aisladas de otros procesos del mismo tipo que

se desarrollan fuera de ella (familia, grupo de amigos, cursos anteriores, etc.). Muchas

interacciones del aula han sido gestadas en interacciones producidas en otros contextos.

Un ejemplo de cómo los patrones de interacción en el aula están con frecuencia

condicionados (normados) por agentes externos al sistema didáctico son los dispositivos

“clase de teoría”, “clase de prácticas”, “sesiones de tutoría”, etc.

Las interacciones didácticas pretenden conseguir el aprendizaje de los alumnos de la

manera más autónoma posible, en términos de apropiación de significados por medio de

la participación en una comunidad de prácticas que permite identificar los conflictos

semióticos y pone los medios adecuados para resolverlos. Los patrones de interacción

de tipo dialógico y de trabajo cooperativo tienen potencialmente mayor idoneidad

interaccional que los de tipo magistral y trabajo individual, puesto que los estudiantes

muestran su relación con los objetos matemáticos y el profesor obtiene indicadores de

dicha relación. Estos indicadores pueden permitir al profesor valorar la relación de los

estudiantes con los objetos matemáticos y determinar la intervención más adecuada

(según las restricciones matemático-didácticas asociadas a la situación). Las normas

interactivas determinan el tipo de interacción didáctica y, de ellas, a menudo emergen

nuevas normas epistémicas, metaepistémicas y cognitivas.

La realización efectiva de un proceso de estudio puede implicar cambios en las

interacciones respecto a los patrones previstos, los cuales dependen del “paradigma

educativo” asumido. En un modelo constructivista social el profesor busca buenas

situaciones y crea un medio en el que el alumno construya el conocimiento trabajando



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cooperativamente con sus compañeros. En un modelo de enseñanza expositivo, el

profesor asume el papel de presentar los contenidos y los estudiantes de retenerlos.

Normas mediacionales

La enseñanza y el aprendizaje se apoyan en el uso de medios técnicos (libros,

ordenadores...) y se distribuyen en el tiempo, que también es un medio. El uso de ambos

tipos de medios está gobernado por reglas que condicionan los procesos de estudio.

Designamos este sistema de reglas como normas mediacionales.

En la escuela debe haber aulas, espacios físicos donde se reúnen grupos de alumnos con

un profesor; todavía hoy debe haber pizarra, tiza, borrador, y cada vez más

retroproyector, ordenador, pantalla de proyección, pizarra interactiva; en algunos

niveles el profesor debe tener materiales manipulativos y programas informáticos; los

alumnos deben con frecuencia tener un libro de texto. El uso apropiado de estos

recursos está sujeto a reglas técnicas que el profesor debe conocer y que requiere, por

parte de los alumnos, la apropiación de configuraciones y normas epistémicas

específicas de los tipos de problemas abordables con estos artefactos. Esta apropiación

requiere la implementación de procesos de instrumentación (Artigue, 2002) que

conviertan tales artefactos en instrumentos de la actividad matemática.

Lo mismo puede decirse del uso de los espacios de un centro educativo, considerados

también como medios. Ciertos conceptos geométricos y métricos pueden requerir para

su desarrollo adecuado de un macroespacio, como el patio del colegio. Si el uso de

ciertos espacios está restringido en el centro por las normas mediacionales, esto puede

suponer una limitación para el aprendizaje matemático.

En cuanto al tiempo, su gestión es básicamente responsabilidad del profesor, aunque

una parte del tiempo de estudio está bajo la responsabilidad de los estudiantes. La

duración de las clases está regulada casi de manera rígida por la institución, como

también el tiempo asignado al desarrollo total del programa de estudio en cada curso.



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Normas afectivas

Otra dimensión normativa en los procesos de estudio se refiere a la afectividad. En el

caso de las matemáticas “se supone que el problema más importante para la

investigación sobre la afectividad hacia las matemáticas es la comprensión de las

relaciones entre afecto y cognición” (Zan y otros, 2006, p. 117). Se dice que el alumno

debe estar motivado, tener una actitud positiva, no tener fobia a las matemáticas. Del

profesor se dice que debe motivar a los estudiantes, elegir contenidos interesantes y

crear un clima afectivo en la clase propicio para el aprendizaje. Éstas son cláusulas

genéricas de la faceta afectiva de la dimensión normativa, que sin embargo no indican el

tipo de acciones y decisiones didácticas que pueden estar al alcance del profesor.

La principal motivación intrínseca hacia el estudio de las matemáticas parece estar en la

elección de los tipos de situaciones problema, las cuales deben reunir características

específicas, que variarán en función del nivel educativo y el contexto de enseñanza y

aprendizaje. Además, el “modelo instruccional” implementado en la clase –tipos de

configuraciones y trayectorias didácticas– condiciona las oportunidades de aprendizaje

autónomo de los alumnos, y por tanto, su autoestima y compromiso con el estudio.

Una regla afectiva es que el profesor debe buscar o inventar situaciones matemáticas

que pertenezcan al campo de intereses a corto y medio plazo de los estudiantes. Como la

experiencia personal de resolver un problema favorece la autoestima del resolutor, otra

cláusula afectiva se refiere a la creación de las condiciones para que el alumno acepte la

responsabilidad de resolver problemas. Brousseau (1997) describe este proceso como la

devolución del problema al alumno y es la base de los modelos instruccionales de tipo

socio-constructivista. Chevallard, Bosch y Gascón (1997) atribuyen en parte la falta de

motivación de los alumnos a la enseñanza actual, que no legitima su actividad y, por

tanto, no hace que se sientan responsables de las respuestas que dan a los problemas que

el profesor plantea. Las respuestas no les “afectan” puesto que no son partícipes ni de la

construcción ni de la comunicación de los significados; una vez dada una respuesta, se

desvinculan de ella esperando el mensaje de éxito o de fracaso del profesor.

Normas ecológicas

En una perspectiva global sobre las normas que regulan los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las matemáticas no podemos prescindir de las que relacionan la escuela



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con la sociedad. Tener en cuenta la faceta ecológica de la dimensión normativa implica

buscar información sobre el entorno social, político y económico de la escuela, ya que

éste influye sobre el tipo de prácticas matemáticas que se van a realizar en el aula.

Las normas ecológicas tienen como principal objetivo conseguir dos tipos de

competencias en los alumnos. Por una parte, la sociedad encarga a la escuela que

eduque a sus ciudadanos y los comprometa con su comunidad, fomentando la asunción

de los valores de una sociedad democrática, los derechos de todos y los deberes cívicos.

Por otra parte, la escuela tiene que conseguir una formación inicial de profesionales

competentes para su futuro ejercicio profesional. Por ello, al tomar decisiones sobre las

metas del proceso educativo se han de tener presente los sectores sociales no

relacionados directamente con esta situación educativa pero sí afectados por ella.

Las normas ecológicas tienen que ver con los contenidos que se van a enseñar ya que

los significados pretendidos en las directrices curriculares tratan de contribuir a la

formación socio-profesional de los estudiantes. El cumplimiento de los programas es

otra norma que condiciona el trabajo del profesor puesto que los aprendizajes logrados

constituyen el punto de partida de los estudios en cursos posteriores. La obligación de

asegurar un nivel de conocimientos y de informar de él a la sociedad están en el origen

de la obligación del profesor de hacer evaluaciones sumativas que informen del nivel de

logro matemático alcanzado por los estudiantes. Si bien la obligación de realizar una

evaluación sumativa puede considerarse una norma ecológica, el tipo de evaluación

elegido por el profesor implica normas de otras facetas.

Skovsmose (1999) ha puesto el acento en la faceta ecológica de las normas con su

programa de investigación denominado “Educación Matemática Crítica”. Este enfoque

propone una agenda de investigación para el estudio de la relación entre educación

matemática y democracia. La teoría crítica pone de relieve la preparación de los

alumnos para la ciudadanía; la introducción de las matemáticas como herramienta de

análisis crítico de hechos socialmente relevantes; la atención a los intereses de los

alumnos; la consideración de los conflictos culturales vinculados a todo proceso de

instrucción; la importancia a la comunicación en el aula, entendida como el conjunto de

relaciones interpersonales que son la base de la vida democrática; etc.



18

Metanormas

Contemplamos también una dimensión metanormativa de los procesos de instrucción.

En dicha dimensión se consideran tres grandes bloques: las normas metaepistémicas, las

metainstruccionales y las metacognitivas. La Figura 6 ilustra estos bloques.

El profesor quiere que los alumnos se apoyen en una configuración epistémica previa

para realizar unas prácticas matemáticas de las que se obtendrá una configuración

epistémica emergente; dicha realización estará regulada por la configuración

metaepistémica (que, como ya se ha dicho, coexiste con otras configuraciones

epistémicas que se van sucediendo a lo largo del tiempo). Para ello, implementará una

configuración instruccional que, a su vez, también estará regulada por una

configuración metainstruccional. Por otra parte, el profesor pretende que sus alumnos

personalizen las configuraciones epistémicas en configuraciones personales, las

configuraciones metaepistémicas en metacognición metamática y las configuraciones

instruccionales en metacognición didáctica.

Figura 6. Componentes de la dimensión metanormativa



19

4. ¿PARA QUÉ ANALIZAMOS?

La introducción en el EOS de la noción de significado referencial y la adopción de

postulados socio-constructivistas para el aprendizaje, permiten formular criterios de

idoneidad para las distintas facetas implicadas en un proceso de estudio matemático y,

consecuentemente, fundamentar una didáctica valorativa. La valoración de la idoneidad

didáctica corresponde al quinto nivel de análisis didáctico de nuestro modelo. Godino,

Bencomo, Font y Wilhelmi (2006) proponen seis criterios de fundamentación para una

didáctica valorativa:

Idoneidad epistémica: grado de representatividad de los significados implementados

(o pretendidos), respecto de significados referenciales.

Idoneidad cognitiva: grado de proximidad de los significados implementados (o

pretendidos) respecto a la zona de desarrollo potencial de los alumnos, y proximidad

de los significados personales logrados a los implementados (o pretendidos).

Idoneidad interaccional: grado de eficacia de los modos de interacción en relación

con la detección y resolución de conflictos de significado y la facilitación de la

autonomía en el aprendizaje.

Idoneidad mediacional: grado de disponibilidad y adecuación de los recursos

materiales y temporales en el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje.

Idoneidad emocional: grado de implicación del alumnado en el proceso de estudio.

Idoneidad ecológica: grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto

educativo de centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social...

Estos criterios orientan la práctica educativa, pero no aseguran el logro de su idoneidad.

Por otra parte, deben interpretarse de forma integrada en miras a una noción global de

idoneidad didáctica, en tanto que criterio sistémico de pertinencia (adecuación al

proyecto de enseñanza) de un proceso de instrucción. Un indicador empírico de esta

idoneidad didáctica global es la adaptación entre significados personales logrados por

los alumnos y significados institucionales pretendidos e implementados.

La operatividad de los criterios de idoneidad reside en la posibilidad de definir un

conjunto de indicadores observables, que permitan valorar el grado de idoneidad de

cada una de las facetas del proceso de estudio. Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi

(2007) aportan un sistema de indicadores empíricos que sirve de guía de análisis y



20

valoración de la idoneidad didáctica. A continuación presentamos un breve resumen de

estos indicadores.

La idoneidad epistémica se puede aumentar presentando a los alumnos una muestra

representativa, variada y articulada de situaciones problema (contextualizados, con

distintos niveles de dificultad...); procurando el uso de modos de expresión verbales,

gráficos, simbólicos..., y conversiones entre ellos; adecuando el lenguaje matemático y

la claridad y corrección de definiciones y procedimientos respecto al nivel educativo;

dando los enunciados básicos del tema y adecuando explicaciones, comprobaciones y

demostraciones al nivel educativo; estableciendo relaciones significativas entre

definiciones, propiedades, problemas del tema estudiado; etc.

La idoneidad cognitiva se puede aumentar asegurando que los alumnos tienen los

conocimientos previos necesarios para el estudio del tema y que los contenidos que se

pretenden enseñar son alcanzables (tienen una dificultad manejable); procurando incluir

actividades de ampliación y refuerzo; realizando una evaluación formativa durante el

proceso de estudio que garantice la apropiación de los contenidos enseñados; etc.

La idoneidad interaccional se puede aumentar si el profesor hace una presentación

adecuada del tema, con énfasis en los conceptos clave del tema; procurando reconocer y

resolver los conflictos de significado de los alumnos (interpretando correctamente sus

silencios, expresiones faciales, preguntas, etc.); utilizando recursos retóricos

argumentativos para mejorar la implicación; procurando facilitar su inclusión en la

dinámica de la clase; favoreciendo la comunicación entre estudiantes; contemplando

momentos en los que los estudiantes se responsabilizan del estudio (exploración,

formulación y validación); etc.

La idoneidad mediacional se puede aumentar usando materiales manipulativos e

informáticos; procurando que las definiciones y propiedades sean contextualizadas, por

medio de situaciones problema, modelos concretos y visualizaciones; procurando

invertir el tiempo en los contenidos más importantes del tema y en los que a priori

generan más dificultad de comprensión; etc.

La idoneidad emocional se puede aumentar seleccionando tareas de interés para los

alumnos; promoviendo la valoración de la utilidad de las matemáticas en la vida

cotidiana y profesional; promoviendo la implicación en las actividades, la

perseverancia, responsabilidad, etc.; favoreciendo la argumentación en situaciones de



21

igualdad de modo que se valore el argumento y no quien lo dice; evitando el rechazo o

miedo a las matemáticas; etc.

La idoneidad ecológica se puede aumentar revisando que los contenidos enseñados se

corresponden con las directrices curriculares; asegurando que dichos contenidos

contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes; procurando que los

contenidos que se enseñan se relacionen con otros contenidos matemáticos y de otras

disciplinas; teniendo en cuenta las fuentes de diversidad del alumnado; etc.

Aunque los cinco niveles de análisis didáctico están pensados para el desarrollo de un

análisis didáctico completo que permita describir, explicar y valorar procesos de

estudio, surgen distintas problemáticas metodológicas. Nuestro modelo presupone el

acceso a una información completa del proceso de estudio; esto no siempre es posible,

aunque puede valorarse parcialmente la idoneidad. Por ejemplo, para un episodio de

aula excesivamente breve, se puede evaluar la idoneidad interaccional del proceso de

estudio, si se mantiene una vigilancia sobre las conclusiones extraídas, pero difícilmente

se puede obtener información sobre las dimensiones epistémicas o cognitivas cuando

solo se tienen datos de unos pocos minutos.

5. REFLEXIONES FINALES

Se presenta este artículo con la finalidad última de animar a que otros investigadores y

profesionales de la educación matemática apliquen y mejoren nuestro modelo de

análisis didáctico y, eventualmente, lo contrasten con sus propios modelos para

identificar similitudes y diferencias. Con esta finalidad, hemos hecho referencia a

aspectos concretos de nuestro modelo, principalmente “¿desde dónde analizamos” y

“¿qué, cómo y para qué analizamos?”. Para acabar, nos referimos a qué tipo de prácticas

matemáticas analizamos y qué buscamos mediante nuestro análisis didáctico, aunque a

lo largo del texto ya hemos introducido comentarios respecto a estas dos cuestiones.

En primer lugar, el modelo de análisis que se ha presentado permite analizar un abanico

amplio de procesos de estudio, aunque está pensado, sobre todo, para el análisis de

procesos de estudio presenciales realizados en un aula de matemáticas de una institución

escolar. Esta institución puede ser la escuela infantil, la escuela primaria, la escuela

secundaria o bien la universidad. Los participantes en este tipo de análisis didáctico son



22

el profesor y los alumnos en interacción. Para ello, se pretende realizar un estudio global

que proporcione una visión general de las prácticas matemáticas realizadas. Aunque el

objetivo primordial no es proporcionar un análisis particular del significado personal de

los objetos matemáticos de cada estudiante, no se renuncia a caracterizar, dentro de lo

posible, el de algún alumno particular.

El principal resultado esperado tras la aplicación de nuestro modelo es la valoración

fundamentada de la idoneidad de procesos de estudio implementados, mediante la

aplicación de un modelo que permite un análisis didáctico sistemático para la

descripción, explicación y valoración de episodios de clases de matemáticas. El

esfuerzo por integrar resultados sobre cuestiones descriptivas, interpretativas y

valorativas tiene que repercutir en la revisión y mejora de las prácticas educativas en

matemáticas. Por otra parte, la interpretación de resultados tiene que facilitar la

adquisición de competencias profesionales relativas a la interpretación de la propia

práctica docente y al diseño de actividades de formación del profesorado de

matemáticas. Se trata, por tanto, de un modelo pensado para ser útil para el colectivo de

profesores y profesionales interesados en reflexionar sobre la práctica docente. Aunque

algunas partes del modelo son específicas de la actividad matemática, creemos que

profesionales de otras didácticas específicas pueden adaptar aspectos del modelo actual

de modo que les resulten eficaces en el análisis de otros tipos de actividades escolares.

REFERENCIAS

Artigue, M. (2002). Problemas y desafíos en educación matemática: ¿qué nos ofrece

hoy la didáctica de la matemática para afrontarlos? Educación Matemática,

16(3), 5-28.

Badillo, E.; Figueiras, L.; Font, V.; Martínez, M. (2013): Visualización gráfica y

análisis comparativo de la práctica matemática en el aula. Enseñanza de las

Ciencias, 31(3), 207-225.

Brousseau, G. (1997). The theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht:

Kluwer.

Chevallard, Y.; Bosch, M.; Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas: el eslabón perdido

entre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Barcelona: Horsori-ICE

UB.

Coll, C.; Sánchez, E. (2008). Presentación. El análisis de la interacción alumno-

profesor: líneas de investigación. Revista de Educación, 346, 15-32



23

Contreras, A., García, M. y Font, V. (2012) Análisis de un Proceso de Estudio sobre la

Enseñanza del Límite de una Función. Bolema, 26(42B), 667-690.

D’Amore, B., Font, V. y Godino, J. D. (2007). La dimensión metadidáctica en los

procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática. Paradigma, 28(2), 49-77.

Font, V. y Contreras, A. (2008). The problem of the particular and its relation to the

general in mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 69, 33-

52.

Font, V. y Godino, J. D. (2006). La noción de configuración epistémica como

herramienta de análisis de textos matemáticos: su uso en la formación de

profesores. Educaçao Matemática Pesquisa, 8(1), 67-98.

Font, V., Godino, J. D. y Contreras, A. (2008). From representations to onto-semiotic

configurations in analysing the mathematics teaching and learning processes. En

L. Radford, G. Schubring y F. Seeger (Eds.), Semiotics in Math Education:

Epistemology, Historicity, and Culture (pp. 157-173). The Netherlands: Sense

Publishers.

Font, V., Godino, J. D. y Gallardo, J. (2013). The emergence of objects from

mathematical practices. Educational Studies in Mathematics, 82, 97–124.

Font, V. y Planas, N. (2008). Mathematical practices, semiotic conflicts, and socio-

mathematical norms. Proceedings of the 32nd PME Conference. Morelia,

México (en prensa). En O. Figueras, J.L. Cortina, S. Alatorre, T. Rojano y A.

Sepúlveda (eds.), Proceedings of the Joint Conference PME32-PMENA XXX

(Vol 3, pp. 17-23). CINVESTAV: México.

Godino, J. D. y Batanero, C. (1994), Significado institucional y personal de los objetos

matemáticos, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 14(3), pp.

325-355.

Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in

mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics

Education, 39 (1-2): 127-135.

Godino, J. D., Batanero, C. y Font, V. (2008). Un enfoque ontosemiótico del

conocimiento y la instrucción matemática. Acta Scientiae. Revista de Ensino de

Ciências e Matemática, 10, 7-37.

Godino J. D., Bencomo D., Font V. y Wilhelmi M. R. (2006). Análisis y valoración de

la idoneidad didáctica de procesos de estudio de las matemáticas. Paradigma,

XXVII (2), 221–252.

Godino, J. D., Bencomo, D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2007). Pauta de análisis y

valoración de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje de

las matemáticas. Disponible en internet:

http://www.ugr.es/~jgodino/indice_eos.htm

Godino, J. D., Contreras, A. y Font, V. (2006). Análisis de procesos de instrucción

basado en el enfoque ontológico-semiótico de la cognición matemática.

Recherches en Didactiques des Mathematiques, 26 (1), 39-88.

Godino, J. D., Font, V. y Wilhelmi, M. R. (2006), Análisis ontosemiótico de una lección

sobre la suma y la resta. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, (Special Issue on Semiotics, Culture and Mathematical

Thinking), 131-155.

http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-semioticas/sintesis_eos_10marzo08.pdf

http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-semioticas/sintesis_eos_10marzo08.pdf



24

Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R. y Castro, C. (2009). Aproximación a la

dimensión normativa en didáctica de las matemáticas desde un enfoque

ontosemiótico. Enseñanza de las Ciencias, 27(1), 59–76

Pochulu, M. y Font, V. (2011). Análisis del funcionamiento de una clase de

matemáticas no significativa. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa-RELIME, 14 (3), 361-394.

Rubio, N. (2012). Competencia del profesorado en el análisis didáctico de prácticas,

objetos y procesos matemático. Tesis doctoral no publicada, Universitat de

Barcelona, España.

Skovsmose, O. (1999). Hacia una filosofía de la educación matemática crítica. Bogotá:

Una Empresa Docente.

Tirosh, D.; Stavy, R.; Tsamir, P. (2001). Using the intuitive rules theory as a basis for

educating teachers. En F. L. Lin y T. Cooney, T. (coords.) Making sense of

mathematics education (73-85). Dordrecht: Kluwer.

Yackel, E.; Cobb, P. (1996). Socio-mathematical norms, argumentation, and autonomy

in mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 458-477.

Zan, R., Brown, L. Evans, J. y Hannula, M. S. (2006). Affect in mathematics education:

An introduction. Educational Studies in Mathematics (2006) 63, 113–121.

Documents

UN MODELO DE ANÁLISIS DIDÁCTICO DE PROCESOS DE … Font Rubio.pdf · 5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de estudio. Estos niveles son el resultado de un trabajo