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Font, V & Rubio, N. (2014). Un modelo de anàlisis didáctico de procesos de instrucción
matemàtica. Caminhos da Educação Matemática em Revista. 7(1), 11-31.
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UN MODELO DE ANÁLISIS DIDÁCTICO DE PROCESOS DE
INSTRUCCIÓN MATEMÁTICA
Vicenç Font1, Universidad de Barcelona
Norma Rubio, Pontificia Universidad Católica del Perú
Resumen
En este artículo se presenta un modelo teórico para el análisis de procesos de enseñanza
y aprendizaje de las matemáticas. Este modelo se ha elaborado para describir (¿qué ha
ocurrido aquí?), explicar (¿por qué ha ocurrido?) y valorar (¿qué se podría mejorar?)
procesos de estudio matemático en el aula. El principal resultado esperado de la
aplicación del modelo es llegar a una valoración fundamentada de la idoneidad didáctica
de procesos de instrucción.
Palabras clave
Enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, enfoque ontosemiótico, prácticas de aula,
objetos y procesos matemáticos, normas, idoneidad didáctica.
Abstract
In this paper we present a theoretical model for the analysis of processes of teaching
and learning mathematics. We have constructed the model in order to describe (what
has happened here?), explain (why has it happened?) and value (what could be
improved?) classroom mathematical study processes. The main expected result from the
application of the model is a grounded valorization about the didactical sustainability
of study processes that have been carried out in the mathematics classroom.
Key words
Teaching and learning of mathematics, onto-semiotic approach, classroom practices,
mathematical objects and processes, norms, didactical sustainability.
1 Dirección de contacto: Vicenç Font; Universitat de Barcelona, Facultat d’Educació. Departament de
Didàctica de les Ciències Experimentals i la Matemàtica. Campus Vall d'Hebron. Passeig de la Vall
d'Hebrón, 171. 08035 Barcelona. Tel 93 403 50 35. E-mail: [email protected]; Fax 93 403 50 13.
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Font, V & Rubio, N. (2014). Un modelo de anàlisis didáctico de procesos de instrucción
matemàtica. Caminhos da Educação Matemática em Revista. 7(1), 11-31.
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1. INTRODUCCIÓN
En Coll y Sánchez (2008), se discuten aspectos básicos a tener en cuenta en el
desarrollo de modelos para el análisis de la interacción y práctica educativa en el aula.
Hemos seguido este trabajo en la organización del presente escrito teórico sobre un
modelo para el estudio de procesos de enseñanza y aprendizaje en matemáticas. Se trata
de un modelo elaborado para describir, explicar y valorar procesos de instrucción
matemática. En primer lugar, presentamos herramientas para una didáctica descriptiva y
explicativa que sirva para responder “¿qué ha ocurrido aquí y por qué?”. En segundo
lugar, presentamos herramientas para una didáctica valorativa que sirva para responder
“¿qué se ha hecho mal y cómo se debería mejorar?”. Entendemos que el estudio de
aspectos descriptivos y explicativos de una situación didáctica es necesario para poder
argumentar valoraciones fundamentadas. Este modelo resume y sintetiza un conjunto de
artículos que han utilizado (y desarrollado) el enfoque ontosemiótico del conocimiento
y la instrucción matemática –EOS (Badillo, Figueiras, Font y Martínez, 2013;
Contreras, García y Font, 2012; D’Amore, Font y Godino, 2007; Font y Contreras,
2008; Font, Godino y Gallardo, 2013; Godino, Batanero y Font, 2007 y 2008; Godino,
Contreras y Font, 2006; Godino, Font y Wilhelmi, 2006; Godino, Font, Wilhelmi y
Castro, 2009; Pochulu y Font, 2011; Rubio, 2012).
2. ¿QUÉ ANALIZAMOS?
Desde el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática se
proponen cinco niveles para el análisis didáctico de procesos de estudio:
1) Análisis de los tipos de problemas y sistemas de prácticas.
2) Elaboración de las configuraciones de objetos y procesos matemáticos.
3) Análisis de las trayectorias e interacciones didácticas.
4) Identificación del sistema de normas y metanormas.
5) Valoración de la idoneidad didáctica del proceso de estudio.
Estos niveles son el resultado de un trabajo de síntesis teórica de análisis parciales
consolidados en el área de didáctica de la matemática. Por ejemplo, el nivel 4 se
propone para integrar aspectos de análisis de normas desarrollados desde el enfoque
sociocultural en educación matemática (Font y Planas, 2008; Yackel y Cobb, 1996).
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matemàtica. Caminhos da Educação Matemática em Revista. 7(1), 11-31.
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El primer nivel de análisis explora las prácticas matemáticas realizadas en un proceso de
estudio matemático. Este primer nivel se puede entender como la narración que haría un
profesor para explicar a otro profesor lo que ha sucedido desde el punto de vista
matemático. El segundo nivel de análisis se centra en los objetos y procesos
matemáticos que intervienen en la realización de las prácticas, así como los que
emergen de ellas. La finalidad de este nivel es describir la complejidad ontosemiótica de
las prácticas matemáticas como factor explicativo de los conflictos semióticos
anecdóticos o consustanciales a su realización.
El tercer nivel de análisis didáctico está orientado, sobre todo, a la descripción de los
patrones de interacción y relación con los aprendizajes. Dado que el estudio de las
matemáticas tiene lugar usualmente bajo la dirección de un profesor y en interacción
con otros estudiantes, el análisis didáctico debe progresar desde la situación problema y
las prácticas matemáticas necesarias para su resolución (nivel 1), a las configuraciones
de objetos y procesos matemáticos que posibilitan dichas prácticas (nivel 2), que a su
vez debe progresar hacia el estudio de las configuraciones didácticas y su articulación
secuencial en trayectorias didácticas (nivel 3). Estas configuraciones y trayectorias están
condicionadas y soportadas por una trama de normas y metanormas, que no sólo
regulan la dimensión epistémica de los procesos de estudio (niveles 1 y 2), sino también
otras dimensiones de estos procesos (cognitiva, afectiva, etc.). El cuarto nivel de análisis
pretende estudiar esta trama de normas y metanormas.
Los cuatro primeros niveles de análisis son herramientas para una didáctica descriptiva-
explicativa. El quinto nivel se centra en la valoración de la idoneidad didáctica. Este
nivel se basa en los cuatro análisis previos y es una síntesis orientada a la identificación
de mejoras potenciales del proceso de estudio en nuevas implementaciones.
3. ¿CÓMO ANALIZAMOS?
En Font y Contreras (2008); Font, Godino y Contreras (2008); Godino, Bencomo, Font
y Wilhelmi (2006); Godino, Contreras y Font (2006); Font y Godino (2006); Godino,
Font y Wilhelmi (2006); Pochulu y Font (2011); Contreras, García y Font (2012) y
Badillo, Figueiras, Font y Martínez (2013) aplicamos niveles de análisis de nuestro
modelo para describir, analizar y valorar procesos de estudio A continuación
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describimos brevemente aspectos teóricos que anteceden la aplicación de los cuatro
primeros niveles.
3.1 Prácticas matemáticas
Suponemos que el aprendizaje de las matemáticas consiste en aprender a realizar una
práctica actuativa (de lectura y producción de textos) y, sobre todo, una práctica
discursiva (de reflexión sobre la práctica actuativa) que puede ser reconocida como
matemática por un interlocutor experto. Desde esta perspectiva, entendemos el discurso
del profesor como un componente de su práctica profesional. Dicha práctica tiene como
objetivo generar, en el estudiante, un tipo de práctica actuativa y una práctica discursiva
sobre ella que el profesor pueda considerar como matemática. De acuerdo con esto,
consideramos la práctica matemática como cualquier acción o manifestación (lingüística
o de otro tipo) llevada a cabo en la resolución de problemas matemáticos y en la
comunicación de soluciones a otras personas a fin de validarlas y generalizarlas a otros
contextos y problemas (Godino y Batanero, 1994).
La relatividad socioepistémica y cognitiva de los significados, entendidos como
sistemas de prácticas, y su uso en el análisis didáctico lleva a introducir en el EOS la
siguiente tipología de significados de la Figura 1. Con relación a los significados
institucionales y respecto a un proceso de estudio específico, se proponen los siguientes
tipos:
- Pretendido: sistema de prácticas en la planificación del proceso de estudio.
- Implementado: sistema de prácticas en la actuación docente efectiva.
- Evaluado: sistema de prácticas del docente en la evaluación de aprendizajes.
- Referencial: sistema de prácticas de referencia en la elaboración del significado
pretendido.
Respecto de los significados personales se proponen los siguientes tipos:
- Global: sistema de prácticas personales relativas a un objeto matemático que el
sujeto es capaz de manifestar potencialmente.
- Declarado: sistema de prácticas expresadas a propósito de las pruebas de
evaluación, incluyendo las correctas e incorrectas institucionalmente.
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- Logrado: sistema de prácticas manifestadas y conformes con la pauta
institucional establecida.
En el análisis del cambio de los significados personales que tiene lugar en un proceso de
estudio interesa tener en cuenta los significados logrados iniciales o previos de los
estudiantes y los logrados que finalmente alcanzan. En la parte central de la Figura 1 se
indican las relaciones dialécticas entre enseñanza y aprendizaje, que suponen el
acoplamiento progresivo entre significados personales e institucionales. La enseñanza
implica la participación del estudiante en la comunidad de prácticas que soporta los
significados institucionales y el aprendizaje supone la apropiación por el estudiante de
dichos significados.
Figura 1: Tipos de significados institucionales y personales
El primer nivel de análisis pretende identificar prácticas matemáticas realizadas en el
proceso de estudio analizado (significado implementado). Este primer nivel de análisis
se puede entender como la narración que haría un profesor para explicar a otro profesor
lo que ha sucedido desde el punto de vista matemático. Para poder analizar el
significado implementado es necesario contextualizarlo en el proceso que va del
significado de referencia al significado evaluado
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3.2 Objetos y procesos matemáticos
El agente necesita conocimientos básicos para la realización de una práctica matemática
y para la interpretación de sus resultados como satisfactorios. Si consideramos los
componentes del conocimiento para la realización y evaluación de la práctica que
permite resolver una situación problema (e.g., plantear y resolver un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas) vemos el uso de lenguajes, verbales y simbólicos. Estos
lenguajes son la parte ostensiva de una serie de conceptos, proposiciones y
procedimientos que intervienen en la elaboración de argumentos para decidir si las
acciones simples que componen la práctica, y ella en tanto que acción compuesta, son
satisfactorias. Así, cuando un agente realiza y evalúa una práctica matemática activa un
conglomerado formado por situaciones problema, lenguajes, conceptos, proposiciones,
procedimientos y argumentos, articulado en la configuración de la Figura 2 (Font y
Godino, 2006).
Figura 2. Configuración de objetos
La Figura 2 (hexágono interior de la Figura 3) informa sobre la estructura de la
actividad matemática en un episodio de clase. Si además interesa el funcionamiento
(como interactúan los objetos) en una perspectiva temporal y dinámica, conviene
utilizar la tipología de procesos propuesta por el EOS, que emergen de las siguientes
dimensiones duales (ver decágono de la Figura 3): personal/institucional,
unitaria/sistémica expresión/contenido, ostensiva/no-ostensiva y extensiva/intensiva.
Estas dimensiones pueden analizarse desde una perspectiva de producto-proceso.
En Font y Contreras (2008) y Font, Godino y Contreras (2008) se detallan los procesos
matemáticos de la Figura 3: generalización-particularización, institucionalización-
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personalización, representación-significación, descomposición-reificación, idealización-
materialización (asociados a las cinco dimensiones duales) y comunicación, definición,
enunciación, argumentación, algoritmización y problematización (asociados a los
objetos matemáticos). Esta lista es una selección de procesos relevantes en la actividad
matemática. Otros procesos, también relevantes, como los de comprensión,
modelización o resolución de problemas, pueden entenderse como mega-procesos que
incluyen algunos de los tipos anteriores. Aplicamos estos tipos para conocer los
procesos activados en el proceso de estudio.
Figura 3. Representación ontosemiótica del conocimiento matemático
3.3 Interacciones y conflictos
Fijada una situación problema y haciendo uso de una tecnología, el profesor y los
estudiantes emprenden una secuencia de actividades en interacción con el fin de lograr
que los alumnos sean capaces de resolver esa situación y otras relacionadas. Llamamos
configuración didáctica a la secuencia interactiva que tiene lugar a propósito de una
situación problema. Concebimos esta configuración didáctica como un sistema abierto a
la interacción con otras configuraciones de la trayectoria didáctica de la que forma
parte. Una configuración didáctica se compone de una configuración epistémica, esto
es, una situación problema, lenguajes, conceptos, proposiciones, procedimientos y
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argumentos, que pueden estar a cargo del profesor, de los estudiantes o bien distribuirse
entre ambos. Asociada a una configuración epistémica hay una configuración docente y
otra discente en interacción. El docente puede desempeñar, por ejemplo, las funciones
de asignación, motivación, recuerdo, interpretación, regulación y evaluación, mientras
que el discente puede desempeñar las funciones de exploración, comunicación,
validación, recepción y autoevaluación.
La herramienta configuración didáctica permite realizar un análisis detallado de los
procesos de instrucción matemática. Conviene, sin embargo, partir de configuraciones
didácticas teóricas de referencia. Por ello, describimos cuatro tipos teóricos, que
designamos como configuraciones adidáctica, magistral, dialógica y personal.
(Brousseau, 1997) propone una manera de organizar el trabajo del profesor y el de los
alumnos a propósito de un saber matemático pretendido, que se considera óptima en
términos del aprendizaje de los alumnos y que da lugar, en su forma ideal, a una
configuración teórica adidáctica. La secuencia de situaciones adidácticas de
exploración, formulación y validación por parte del profesor, y la situación didáctica de
institucionalización concretan el papel del estudiante en interacción con el medio
(profesor, conocimientos pretendidos, recursos materiales y cognitivos...).
La configuración teórica magistral se basa en la manera tradicional de enseñar
matemáticas con exposición, seguida de ejercicios de aplicación de los contenidos
presentados. Primero se introduce el componente discursivo del significado de los
objetos matemáticos y se deja la responsabilidad de dar sentido al discurso a los
estudiantes por medio de ejemplos, ejercicios y aplicaciones. Se trata de una decisión
topogenética: “primero, yo, el profesor, te doy las reglas generales, después tú las
aplicas”. En este tipo de configuración hay exploración, formulación y validación, pero
son responsabilidad del estudiante o se activan en momentos puntuales de evaluación.
Una variante intermedia entre los tipos anteriores puede definirse cuando el profesor se
encarga de la formulación y validación, mientra que los alumnos se responsabilizan de
la exploración. La institucionalización tiene lugar mediante un diálogo entre el docente
y los alumnos, quienes han tenido ocasión de asumir la tarea, familiarizarse con ella y
posiblemente de esbozar alguna técnica de solución. En este caso, hablamos de
configuración teóricas dialógicas.
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Otro tipo teórico de configuración didáctica se tiene cuando el estudiante resuelve la
situación problema sin intervención directa del docente. Esto ocurre cuando los alumnos
resuelven ejercicios propuestos por el profesor o incluidos en el libro de texto. Se trata
de un tipo de configuración en la que predomina el estudio personal y que
denominamos configuración didáctica personal.
En los vértices del cuadrado de la Figura 4 (Godino, Contreras y Font, 2006),
representamos los cuatro tipos de configuraciones teóricas. Las configuraciones reales
que acontecen pueden representarse mediante puntos interiores del cuadrado y estar más
o menos próximas a estas configuraciones teóricas. A lo largo de un proceso de estudio,
las configuraciones didácticas reales oscilarán en torno a los tipos teóricos.
BA
D C
MAGISTRAL A-DIDÁCTICA
PERSONALDIALÓGICA
Figura 4. Configuraciones didácticas teóricas
En cada proceso de estudio, se produce una trayectoria de configuraciones didácticas,
que a su vez se descompone en trayectorías más específicas, cuyo análisis lleva a la
comprensión global de la trayectoria didáctica en su conjunto. Las seis trayectorias
específicas que consideramos pueden agruparse en tres: trayectoria epistémica,
instruccional (docente, mediacional y discentes) y cognitiva-afectiva (cognitivas y
emocionales).
Trayectoria epistémica: distribución temporal de prácticas, objetos y procesos
(significado institucional implementado).
Trayectoria docente: distribución de las acciones docentes en la instrucción.
Trayectorias discentes: distribución de las acciones de los alumnos.
Trayectoria mediacional: distribución de los recursos tecnológicos utilizados
(libros, apuntes, manipulativos, software, etc.).
Trayectorias cognitivas: cronogénesis de significados personales de los alumnos.
Trayectorias emocionales: distribución temporal de los estados emocionales de los
alumnos con relación a los objetos matemáticos y al proceso de estudio.
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Dada la gran diversidad de interacciones didácticas ocurridas en cualquier proceso de
estudio e influenciadas por las trayectorias mencionadas, a veces conviene centrarse en
las interacciones en torno a conflictos de tipo semiótico de fácil identificación –en el
sentido de ser fácilmente triangulable su identificación. Un conflicto semiótico es
cualquier disparidad o discordancia entre los significados atribuidos a una expresión por
dos agentes (personas o instituciones). Si la disparidad se produce entre significados
institucionales hablamos de conflictos semióticos epistémicos, mientras que si ocurre
entre prácticas que forman el significado personal de una misma persona hablamos de
conflictos semióticos cognitivos. Cuando la disparidad se produce entre las prácticas
(discursivas y actuativas) de dos personas en interacción comunicativa (alumno-alumno
o alumno-profesor) hablamos de conflictos semióticos interaccionales.
3.4 Normas y metanormas
En Godino, Conteras y Font (2006), junto con las facetas epistémica, mediacional,
emocional y cognitiva, para analizar los procesos de instrucción matemática en relación
con las trayectorias respectivas, se destaca la faceta interaccional (respecto a las
trayectorias docente y discentes y las interacciones entre profesor y alumnos orientadas
a fijar y negociar significados) y la ecológica (respecto al sistema de relaciones con el
entorno social, político, económico... que soporta y condiciona el proceso de estudio).
Ligadas a estas facetas, consideramos normas epistémicas, cognitivas, interaccionales,
mediacionales, afectivas y ecológicas, que permiten atender a:
Las matemáticas susceptibles de ser enseñadas y aprendidas en una institución.
La construcción y comunicación de nociones, procesos y significados matemáticos.
Las interacciones docente-discente y discente-discente.
El uso de recursos humanos, materiales y temporales.
La afectividad de las personas que intervienen en el proceso de estudio.
La relación con el entorno en el que se desarrolla el proceso de instrucción.
Las normas que regulan los procesos de estudio matemáticos se pueden categorizar
desde otros puntos de vista complementarios (D’Amore, Font y Godino, 2007; Godino,
Font, Wilhelmi y Castro, 2009): según las fases de desarrollo de dichos procesos
(diseño, planificación, implementación y evaluación), el grado de coerción de las
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normas (las que se presentan como verdades necesarias, como 2+2=4; convenciones de
cumplimiento obligatorio, como la prioridad de operaciones; convenios basados en
hábitos culturales, como los que rigen algunas interacciones en el aula; etc.), el origen
de las normas (administración educativa, sociedad, escuela, aula, disciplina).
Figura 5: Dimensión normativa y tipos de normas
Contemplamos también una dimensión metanormativa de los procesos de instrucción.
En dicha dimensión, prestamos especial atención a las normas metaepistémicas y las
metacognitivas. El profesor quiere que los alumnos se apoyen en una configuración
epistémica previa (o configuración metaepistémica) para realizar unas prácticas
matemáticas de las que se obtendrá una configuración epistémica emergente. Por otra
parte, el profesor pretende que sus alumnos personalizen las configuraciones
epistémicas en configuraciones personales previas (o configuraciones metacognitivas).
Normas epistémicas
Llamamos faceta epistémica de la dimensión normativa (o normas epistémicas, para
abreviar) al conjunto de normas que determinan la actividad matemática que es posible
desarrollar en una institución. Las normas epistémicas regulan los contenidos
matemáticos, el tipo de situaciones adecuadas para su aprendizaje y las representaciones
que se utilizan para los distintos contenidos. En la terminología del EOS, las normas
epistémicas determinan las configuraciones epistémicas y las prácticas matemáticas que
dichas configuraciones posibilitan.
Para describir la actividad matemática de un proceso de estudio, se contempla una
ontología formada por situaciones problema, lenguajes, conceptos, proposiciones,
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procedimientos y argumentos. Estos seis tipos de objetos se articulan formando
configuraciones epistémicas (Figura 2) y estas configuraciones informan de las
condiciones epistémicas para dicha actividad (configuración previa) o de los indicadores
de su resultado (configuración emergente). Si además de la estructura del proceso de
estudio interesa analizar su génesis y funcionamiento, es necesario examinar los
procesos matemáticos asociados señalados en la Figura 3.
La herramienta configuración epistémica permite ver la estructura de los objetos y
procesos que posibilitan la práctica matemática. Las normas epistémicas son un tipo
específico de objetos de las configuraciones epistémicas (definiciones, procedimientos,
técnicas...) que regulan la práctica matemática en un marco institucional e informan
sobre qué matemáticas se deben aprender. Si nos fijamos, por ejemplo, en las
situaciones problema, es necesario que el alumno pueda responder a preguntas del tipo,
¿qué es un problema? ¿cuándo se ha resuelto? ¿qué reglas conviene seguir para
resolverlo?, etc. Las respuestas no son absolutas, sino relativas a la institución. De
manera similar, si nos fijamos en los argumentos, el alumno necesita saber qué son y
cuándo se considera válido un argumento en la clase de matemáticas.
En general, las configuraciones epistémicas llevan asociadas un sistema de normas, que
pueden ser compartidas (configuración metaepistémica) o personales de los estudiantes
involucrados en los procesos de estudio correspondientes. Cuando son compartidas,
hablamos de normas metaepistémicas, a veces denominadas normas sociomatemáticas
(Font y Planas, 2008) y se utilizan para valorar la práctica matemática de los estudiantes
y del profesor. Las configuraciones metaepistémicas se generan y, sobre todo, se
mantienen durante un largo periodo de tiempo (e.g., un curso o una etapa educativa) y
coexisten con la sucesión de distintas configuraciones epistémicas. Su carácter implícito
explica la ruptura entre niveles educativos. Por ejemplo, las configuraciones
metaepistémicas relacionadas con la demostración en matemáticas explican en parte el
fracaso escolar en el cambio de nivel educativo de los estudiantes.
Normas cognitivas
Para que la apropiación de significados institucionales sea posible, el referente son las
ciencias que dicen cómo aprenden los sujetos y cómo se les tiene que enseñar. Nos
referimos a la psicología, la pedagogía y, en especial, la didáctica de las matemáticas, en
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tanto que disciplina específica para la descripción de los procesos de construcción y
comunicación de nociones, procesos y significados matemáticos. Estas ciencias han
generado un cuerpo de conocimientos del cual se derivan normas, que llamamos
cognitivas, cuyo seguimiento permite conseguir que los alumnos aprendan lo que se les
enseña. Dichas normas suponen que el alumno debe aprender y que la institución
escolar debe hacer lo posible para ello, asegurando que el alumno tiene los
conocimientos previos necesarios y que lo que se enseña está en su zona de desarrollo
próximo, entre otros aspectos.
Como resultado del aprendizaje los alumnos pueden generar sus interpretaciones de las
reglas matemáticas, cuya validez será necesario explicitar y discutir en clase a fin de
superar posibles conflictos cognitivos. Algunos alumnos resuelven tareas aritméticas
aplicando reglas de su propia invención, tales como: no se puede dividir a por b a
menos que a sea mayor que b; no se puede restar a de b a menos que a sea menor que b;
cuando se multiplican dos números, el resultado es mayor que ambos números; o
cuando se suman dos números el resultado es mayor que cada uno de los sumandos.
Tirosh, Stavy y Tsamir (2001) han desarrollado la teoría de las “reglas intuitivas” para
analizar respuestas inapropiadas de los estudiantes, estas investigadoras han hallado que
los estudiantes tienden a reaccionar a una amplia variedad de tareas científicamente no
relacionadas, aplicando tres reglas intuitivas: “más A – más B”, “misma A – misma B”,
y “todo puede ser dividido inacabablemente”. Estas reglas intuitivas son normas
cognitivas que no corresponden con normas epistémicas de la actividad matemática.
Hablamos de configuración cognitiva para referirnos a la herramienta que controla el
grado de apropiación por el alumno de la configuración epistémica correspondiente al
significado institucional implementado. La herramienta configuración cognitiva permite
describir la estructura de los objetos que han posibilitado la práctica matemática del
alumno, mientras que el par configuración cognitiva y prácticas realizadas lleva a
determinar el significado personal declarado en las pruebas de evaluación. De hecho, la
evaluación sumativa puede definirse como el proceso educativo por el cual se valora el
grado de adecuación entre las configuraciones cognitivas logradas y las configuraciones
epistémicas implementadas. Algunos de los constituyentes de las configuraciones
cognitivas de los alumnos se pueden considerar como normas que regulan su
comportamiento matemático; dichas normas personales (o cognitivas) pueden concordar
o no con las normas epistémicas correspondientes.
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Normas interactivas
Los modos de interacción entre docente y discentes, para el logro de los objetivos de
enseñanza y aprendizaje, están sujetos a reglas, hábitos, tradiciones, compromisos y
convenios. Las normas interactivas (o la faceta interactiva de la dimensión normativa de
los procesos de estudio) regulan los modos de interacción entre las personas que
intervienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Las secuencias de interacciones por una parte están sujetas a reglas y, por otra, generan
pautas de actuación. De la misma manera que la realización de una pauta no tiene
sentido si no es con referencia a otras pautas anteriores y posteriores en el tiempo, las
interacciones en el aula tampoco se hallan aisladas de otros procesos del mismo tipo que
se desarrollan fuera de ella (familia, grupo de amigos, cursos anteriores, etc.). Muchas
interacciones del aula han sido gestadas en interacciones producidas en otros contextos.
Un ejemplo de cómo los patrones de interacción en el aula están con frecuencia
condicionados (normados) por agentes externos al sistema didáctico son los dispositivos
“clase de teoría”, “clase de prácticas”, “sesiones de tutoría”, etc.
Las interacciones didácticas pretenden conseguir el aprendizaje de los alumnos de la
manera más autónoma posible, en términos de apropiación de significados por medio de
la participación en una comunidad de prácticas que permite identificar los conflictos
semióticos y pone los medios adecuados para resolverlos. Los patrones de interacción
de tipo dialógico y de trabajo cooperativo tienen potencialmente mayor idoneidad
interaccional que los de tipo magistral y trabajo individual, puesto que los estudiantes
muestran su relación con los objetos matemáticos y el profesor obtiene indicadores de
dicha relación. Estos indicadores pueden permitir al profesor valorar la relación de los
estudiantes con los objetos matemáticos y determinar la intervención más adecuada
(según las restricciones matemático-didácticas asociadas a la situación). Las normas
interactivas determinan el tipo de interacción didáctica y, de ellas, a menudo emergen
nuevas normas epistémicas, metaepistémicas y cognitivas.
La realización efectiva de un proceso de estudio puede implicar cambios en las
interacciones respecto a los patrones previstos, los cuales dependen del “paradigma
educativo” asumido. En un modelo constructivista social el profesor busca buenas
situaciones y crea un medio en el que el alumno construya el conocimiento trabajando
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cooperativamente con sus compañeros. En un modelo de enseñanza expositivo, el
profesor asume el papel de presentar los contenidos y los estudiantes de retenerlos.
Normas mediacionales
La enseñanza y el aprendizaje se apoyan en el uso de medios técnicos (libros,
ordenadores...) y se distribuyen en el tiempo, que también es un medio. El uso de ambos
tipos de medios está gobernado por reglas que condicionan los procesos de estudio.
Designamos este sistema de reglas como normas mediacionales.
En la escuela debe haber aulas, espacios físicos donde se reúnen grupos de alumnos con
un profesor; todavía hoy debe haber pizarra, tiza, borrador, y cada vez más
retroproyector, ordenador, pantalla de proyección, pizarra interactiva; en algunos
niveles el profesor debe tener materiales manipulativos y programas informáticos; los
alumnos deben con frecuencia tener un libro de texto. El uso apropiado de estos
recursos está sujeto a reglas técnicas que el profesor debe conocer y que requiere, por
parte de los alumnos, la apropiación de configuraciones y normas epistémicas
específicas de los tipos de problemas abordables con estos artefactos. Esta apropiación
requiere la implementación de procesos de instrumentación (Artigue, 2002) que
conviertan tales artefactos en instrumentos de la actividad matemática.
Lo mismo puede decirse del uso de los espacios de un centro educativo, considerados
también como medios. Ciertos conceptos geométricos y métricos pueden requerir para
su desarrollo adecuado de un macroespacio, como el patio del colegio. Si el uso de
ciertos espacios está restringido en el centro por las normas mediacionales, esto puede
suponer una limitación para el aprendizaje matemático.
En cuanto al tiempo, su gestión es básicamente responsabilidad del profesor, aunque
una parte del tiempo de estudio está bajo la responsabilidad de los estudiantes. La
duración de las clases está regulada casi de manera rígida por la institución, como
también el tiempo asignado al desarrollo total del programa de estudio en cada curso.
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Normas afectivas
Otra dimensión normativa en los procesos de estudio se refiere a la afectividad. En el
caso de las matemáticas “se supone que el problema más importante para la
investigación sobre la afectividad hacia las matemáticas es la comprensión de las
relaciones entre afecto y cognición” (Zan y otros, 2006, p. 117). Se dice que el alumno
debe estar motivado, tener una actitud positiva, no tener fobia a las matemáticas. Del
profesor se dice que debe motivar a los estudiantes, elegir contenidos interesantes y
crear un clima afectivo en la clase propicio para el aprendizaje. Éstas son cláusulas
genéricas de la faceta afectiva de la dimensión normativa, que sin embargo no indican el
tipo de acciones y decisiones didácticas que pueden estar al alcance del profesor.
La principal motivación intrínseca hacia el estudio de las matemáticas parece estar en la
elección de los tipos de situaciones problema, las cuales deben reunir características
específicas, que variarán en función del nivel educativo y el contexto de enseñanza y
aprendizaje. Además, el “modelo instruccional” implementado en la clase –tipos de
configuraciones y trayectorias didácticas– condiciona las oportunidades de aprendizaje
autónomo de los alumnos, y por tanto, su autoestima y compromiso con el estudio.
Una regla afectiva es que el profesor debe buscar o inventar situaciones matemáticas
que pertenezcan al campo de intereses a corto y medio plazo de los estudiantes. Como la
experiencia personal de resolver un problema favorece la autoestima del resolutor, otra
cláusula afectiva se refiere a la creación de las condiciones para que el alumno acepte la
responsabilidad de resolver problemas. Brousseau (1997) describe este proceso como la
devolución del problema al alumno y es la base de los modelos instruccionales de tipo
socio-constructivista. Chevallard, Bosch y Gascón (1997) atribuyen en parte la falta de
motivación de los alumnos a la enseñanza actual, que no legitima su actividad y, por
tanto, no hace que se sientan responsables de las respuestas que dan a los problemas que
el profesor plantea. Las respuestas no les “afectan” puesto que no son partícipes ni de la
construcción ni de la comunicación de los significados; una vez dada una respuesta, se
desvinculan de ella esperando el mensaje de éxito o de fracaso del profesor.
Normas ecológicas
En una perspectiva global sobre las normas que regulan los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas no podemos prescindir de las que relacionan la escuela
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con la sociedad. Tener en cuenta la faceta ecológica de la dimensión normativa implica
buscar información sobre el entorno social, político y económico de la escuela, ya que
éste influye sobre el tipo de prácticas matemáticas que se van a realizar en el aula.
Las normas ecológicas tienen como principal objetivo conseguir dos tipos de
competencias en los alumnos. Por una parte, la sociedad encarga a la escuela que
eduque a sus ciudadanos y los comprometa con su comunidad, fomentando la asunción
de los valores de una sociedad democrática, los derechos de todos y los deberes cívicos.
Por otra parte, la escuela tiene que conseguir una formación inicial de profesionales
competentes para su futuro ejercicio profesional. Por ello, al tomar decisiones sobre las
metas del proceso educativo se han de tener presente los sectores sociales no
relacionados directamente con esta situación educativa pero sí afectados por ella.
Las normas ecológicas tienen que ver con los contenidos que se van a enseñar ya que
los significados pretendidos en las directrices curriculares tratan de contribuir a la
formación socio-profesional de los estudiantes. El cumplimiento de los programas es
otra norma que condiciona el trabajo del profesor puesto que los aprendizajes logrados
constituyen el punto de partida de los estudios en cursos posteriores. La obligación de
asegurar un nivel de conocimientos y de informar de él a la sociedad están en el origen
de la obligación del profesor de hacer evaluaciones sumativas que informen del nivel de
logro matemático alcanzado por los estudiantes. Si bien la obligación de realizar una
evaluación sumativa puede considerarse una norma ecológica, el tipo de evaluación
elegido por el profesor implica normas de otras facetas.
Skovsmose (1999) ha puesto el acento en la faceta ecológica de las normas con su
programa de investigación denominado “Educación Matemática Crítica”. Este enfoque
propone una agenda de investigación para el estudio de la relación entre educación
matemática y democracia. La teoría crítica pone de relieve la preparación de los
alumnos para la ciudadanía; la introducción de las matemáticas como herramienta de
análisis crítico de hechos socialmente relevantes; la atención a los intereses de los
alumnos; la consideración de los conflictos culturales vinculados a todo proceso de
instrucción; la importancia a la comunicación en el aula, entendida como el conjunto de
relaciones interpersonales que son la base de la vida democrática; etc.
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Metanormas
Contemplamos también una dimensión metanormativa de los procesos de instrucción.
En dicha dimensión se consideran tres grandes bloques: las normas metaepistémicas, las
metainstruccionales y las metacognitivas. La Figura 6 ilustra estos bloques.
El profesor quiere que los alumnos se apoyen en una configuración epistémica previa
para realizar unas prácticas matemáticas de las que se obtendrá una configuración
epistémica emergente; dicha realización estará regulada por la configuración
metaepistémica (que, como ya se ha dicho, coexiste con otras configuraciones
epistémicas que se van sucediendo a lo largo del tiempo). Para ello, implementará una
configuración instruccional que, a su vez, también estará regulada por una
configuración metainstruccional. Por otra parte, el profesor pretende que sus alumnos
personalizen las configuraciones epistémicas en configuraciones personales, las
configuraciones metaepistémicas en metacognición metamática y las configuraciones
instruccionales en metacognición didáctica.
Figura 6. Componentes de la dimensión metanormativa
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4. ¿PARA QUÉ ANALIZAMOS?
La introducción en el EOS de la noción de significado referencial y la adopción de
postulados socio-constructivistas para el aprendizaje, permiten formular criterios de
idoneidad para las distintas facetas implicadas en un proceso de estudio matemático y,
consecuentemente, fundamentar una didáctica valorativa. La valoración de la idoneidad
didáctica corresponde al quinto nivel de análisis didáctico de nuestro modelo. Godino,
Bencomo, Font y Wilhelmi (2006) proponen seis criterios de fundamentación para una
didáctica valorativa:
Idoneidad epistémica: grado de representatividad de los significados implementados
(o pretendidos), respecto de significados referenciales.
Idoneidad cognitiva: grado de proximidad de los significados implementados (o
pretendidos) respecto a la zona de desarrollo potencial de los alumnos, y proximidad
de los significados personales logrados a los implementados (o pretendidos).
Idoneidad interaccional: grado de eficacia de los modos de interacción en relación
con la detección y resolución de conflictos de significado y la facilitación de la
autonomía en el aprendizaje.
Idoneidad mediacional: grado de disponibilidad y adecuación de los recursos
materiales y temporales en el desarrollo del proceso de enseñanza y aprendizaje.
Idoneidad emocional: grado de implicación del alumnado en el proceso de estudio.
Idoneidad ecológica: grado de adaptación del proceso de estudio al proyecto
educativo de centro, las directrices curriculares, las condiciones del entorno social...
Estos criterios orientan la práctica educativa, pero no aseguran el logro de su idoneidad.
Por otra parte, deben interpretarse de forma integrada en miras a una noción global de
idoneidad didáctica, en tanto que criterio sistémico de pertinencia (adecuación al
proyecto de enseñanza) de un proceso de instrucción. Un indicador empírico de esta
idoneidad didáctica global es la adaptación entre significados personales logrados por
los alumnos y significados institucionales pretendidos e implementados.
La operatividad de los criterios de idoneidad reside en la posibilidad de definir un
conjunto de indicadores observables, que permitan valorar el grado de idoneidad de
cada una de las facetas del proceso de estudio. Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi
(2007) aportan un sistema de indicadores empíricos que sirve de guía de análisis y
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matemàtica. Caminhos da Educação Matemática em Revista. 7(1), 11-31.
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valoración de la idoneidad didáctica. A continuación presentamos un breve resumen de
estos indicadores.
La idoneidad epistémica se puede aumentar presentando a los alumnos una muestra
representativa, variada y articulada de situaciones problema (contextualizados, con
distintos niveles de dificultad...); procurando el uso de modos de expresión verbales,
gráficos, simbólicos..., y conversiones entre ellos; adecuando el lenguaje matemático y
la claridad y corrección de definiciones y procedimientos respecto al nivel educativo;
dando los enunciados básicos del tema y adecuando explicaciones, comprobaciones y
demostraciones al nivel educativo; estableciendo relaciones significativas entre
definiciones, propiedades, problemas del tema estudiado; etc.
La idoneidad cognitiva se puede aumentar asegurando que los alumnos tienen los
conocimientos previos necesarios para el estudio del tema y que los contenidos que se
pretenden enseñar son alcanzables (tienen una dificultad manejable); procurando incluir
actividades de ampliación y refuerzo; realizando una evaluación formativa durante el
proceso de estudio que garantice la apropiación de los contenidos enseñados; etc.
La idoneidad interaccional se puede aumentar si el profesor hace una presentación
adecuada del tema, con énfasis en los conceptos clave del tema; procurando reconocer y
resolver los conflictos de significado de los alumnos (interpretando correctamente sus
silencios, expresiones faciales, preguntas, etc.); utilizando recursos retóricos
argumentativos para mejorar la implicación; procurando facilitar su inclusión en la
dinámica de la clase; favoreciendo la comunicación entre estudiantes; contemplando
momentos en los que los estudiantes se responsabilizan del estudio (exploración,
formulación y validación); etc.
La idoneidad mediacional se puede aumentar usando materiales manipulativos e
informáticos; procurando que las definiciones y propiedades sean contextualizadas, por
medio de situaciones problema, modelos concretos y visualizaciones; procurando
invertir el tiempo en los contenidos más importantes del tema y en los que a priori
generan más dificultad de comprensión; etc.
La idoneidad emocional se puede aumentar seleccionando tareas de interés para los
alumnos; promoviendo la valoración de la utilidad de las matemáticas en la vida
cotidiana y profesional; promoviendo la implicación en las actividades, la
perseverancia, responsabilidad, etc.; favoreciendo la argumentación en situaciones de
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igualdad de modo que se valore el argumento y no quien lo dice; evitando el rechazo o
miedo a las matemáticas; etc.
La idoneidad ecológica se puede aumentar revisando que los contenidos enseñados se
corresponden con las directrices curriculares; asegurando que dichos contenidos
contribuyen a la formación socio-profesional de los estudiantes; procurando que los
contenidos que se enseñan se relacionen con otros contenidos matemáticos y de otras
disciplinas; teniendo en cuenta las fuentes de diversidad del alumnado; etc.
Aunque los cinco niveles de análisis didáctico están pensados para el desarrollo de un
análisis didáctico completo que permita describir, explicar y valorar procesos de
estudio, surgen distintas problemáticas metodológicas. Nuestro modelo presupone el
acceso a una información completa del proceso de estudio; esto no siempre es posible,
aunque puede valorarse parcialmente la idoneidad. Por ejemplo, para un episodio de
aula excesivamente breve, se puede evaluar la idoneidad interaccional del proceso de
estudio, si se mantiene una vigilancia sobre las conclusiones extraídas, pero difícilmente
se puede obtener información sobre las dimensiones epistémicas o cognitivas cuando
solo se tienen datos de unos pocos minutos.
5. REFLEXIONES FINALES
Se presenta este artículo con la finalidad última de animar a que otros investigadores y
profesionales de la educación matemática apliquen y mejoren nuestro modelo de
análisis didáctico y, eventualmente, lo contrasten con sus propios modelos para
identificar similitudes y diferencias. Con esta finalidad, hemos hecho referencia a
aspectos concretos de nuestro modelo, principalmente “¿desde dónde analizamos” y
“¿qué, cómo y para qué analizamos?”. Para acabar, nos referimos a qué tipo de prácticas
matemáticas analizamos y qué buscamos mediante nuestro análisis didáctico, aunque a
lo largo del texto ya hemos introducido comentarios respecto a estas dos cuestiones.
En primer lugar, el modelo de análisis que se ha presentado permite analizar un abanico
amplio de procesos de estudio, aunque está pensado, sobre todo, para el análisis de
procesos de estudio presenciales realizados en un aula de matemáticas de una institución
escolar. Esta institución puede ser la escuela infantil, la escuela primaria, la escuela
secundaria o bien la universidad. Los participantes en este tipo de análisis didáctico son
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el profesor y los alumnos en interacción. Para ello, se pretende realizar un estudio global
que proporcione una visión general de las prácticas matemáticas realizadas. Aunque el
objetivo primordial no es proporcionar un análisis particular del significado personal de
los objetos matemáticos de cada estudiante, no se renuncia a caracterizar, dentro de lo
posible, el de algún alumno particular.
El principal resultado esperado tras la aplicación de nuestro modelo es la valoración
fundamentada de la idoneidad de procesos de estudio implementados, mediante la
aplicación de un modelo que permite un análisis didáctico sistemático para la
descripción, explicación y valoración de episodios de clases de matemáticas. El
esfuerzo por integrar resultados sobre cuestiones descriptivas, interpretativas y
valorativas tiene que repercutir en la revisión y mejora de las prácticas educativas en
matemáticas. Por otra parte, la interpretación de resultados tiene que facilitar la
adquisición de competencias profesionales relativas a la interpretación de la propia
práctica docente y al diseño de actividades de formación del profesorado de
matemáticas. Se trata, por tanto, de un modelo pensado para ser útil para el colectivo de
profesores y profesionales interesados en reflexionar sobre la práctica docente. Aunque
algunas partes del modelo son específicas de la actividad matemática, creemos que
profesionales de otras didácticas específicas pueden adaptar aspectos del modelo actual
de modo que les resulten eficaces en el análisis de otros tipos de actividades escolares.
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