Transition vers la turbulence

dans les ecoulements de cisaillement:

Problemes actuels

Reference:

P. Manneville,

Instabilities, Chaos and Turbulence

2nd edition

Imperial College Press, 2010

niveau M1/M2 et +

Reynolds(1842–1912)

1883: An experimental investigation of the circumstances which determine

whether the motion of water shall be direct or sinuous and the law of

resistance in parallel channels. Phil. Trans. R. Soc. 174, 935–982

2008: 125eme anniversaire ⇒ Phil. Trans. R. Soc. A 367 2009, 449–. . .

premieres etudes formelles de stabilite d’ecoulements

; Helmholtz, Kelvin (∼ 1870) Rayleigh (1880). . .

1

ecoulement ; U , L

fluide de viscosite cinematique νU(y)

zy

x

; τa = L/U τv = L2/ν

comparer ; former le rapport τv/τa ≡ R nombre de Reynolds

R� 1 ; τv court ; dissipation dominante ; laminaire

R� 1 ; τa court ; cisaillement dominant ; turbulent

laminaire → turbulent ? ; ?? stabilite ??

limite ν → 0 ; critere de Rayleigh: point d’inflexion

∃ yc t.q. U ′′(yc) s’annule et change de signe

(!! CN non S d’instabilite)

2

ecoulements typiques: cisaillement “libre” (i.e. “loin des parois”)

vs. ecoulement “de paroi” (vis. monotone sans point d’inflexion)

U1

U2

y U(y) y U(y)U8

; instabilite mecanique de type Kelvin–Helmholtz

couche de melange, mais aussi sillage et jets

; ecoulements a point d’inflexion

effet de la viscosite ; retarde l’instabilite

3

couche limite, mais aussi ecoulement de Poiseuille (tube ou plan)

; pas de point d’inflexion

effet de la viscosite contre-intuitif ; instabilite a R eleve

; ondes de Tollmien–Schlichting

equations de Navier–Stokes

∂tv + v ·∇v = −∇p+R−1∇2v

∇ · v = 0

de la forme generale

ddtX = L(R)X +NL(X,X)

non-linearite ; non unicite des solutions, coexistence possible

bifurcations ; theorie des systemes dynamiques

transition vers la turbulence

; cascade de bifurcations, Landau (1944) vs. Ruelle–Takens (1971)

; notion de chaos deterministe

4

aparte: bifurcation super-critique et sous critique

0

0

r

Xf

0

0

r

Xf

transition globalement super-critique

; extension du cas super-critique ; approche “par perturbation”

; chaque regime bifurque reste proche du regime bifurquant

sinon ?

; toujours plus delicat, vis. racine d’un polynome de degre > 2

5

retour a la transition vers la turbulence dans les ecoulements

� avec point d’inflexion

; transition progressive (globalement super-critique)

� sans point d’inflexion

; pas d’instabilite mecanique (KH) a R petit

; instabilite visqueuse a R grand (TS, perturb. infinitesimales)

cas extremes ; Rc =∞ pour

– ecoulement de cisaillement simple (Couette plan)

– ecoulement dans un tube de section circulaire/carree

; transition directe observee a R modere

sensibilites aux perturbations d’amplitude finie

lift-up ;

amplification transitoire

de l’energie

operateur de stabilite

lineaire non-normal

U(y)U(y,z)

x

y

z

6

deux exemples paradigmatiques:

– ecoulement dans un tuyau rectiligne de section circulaire

(Pipe Flow = PF), cf. Reynolds (1883)

stabilite lineaire: Salwen et al. (1981)

– ecoulement de cisaillement simple (Plane Couette Flow = PCF)

stabilite lineaire: Romanov (1973)

� non-linearite ; transition directe vers la turbulence a R modere

� sous-criticalite ; coexistence laminaire-turbulent

principale difference: dimensionnalite effective

– PF ; 1D, experimentalement plus facile mais advection vers l’aval

– PCF ; 2D, numeriquement plus simple (c.l.p., “stress-free”)

PCF plus academique que PF mais sert de prototype pour

– ecoulement de Poiseuille plan (canal)

– ecoulement de Couette de torsion (entre disques tournants)

– ecoulement de couche limite

– . . .

7

• phenomenologie du PF� coexistence ; turbulent slugs (bouchons turbulents)

Coles (1962), compilation de resultats de Lindgren (1957–60)

� elucidation du regime transitionnel ; Wignansky et al. (1973):turbulent puffs (bouffees turbulentes)recemment: Mullin et al. (1995–. . . ), Hof et al. (2006–. . . ); puffs seulement transitoiresdifficulte ; advection vers l’aval ; affaire a suivre

8

• phenomenologie de l’ecoulement de cisaillement simple; considerer d’abord l’ecoulement de Couette cylindrique

r2r1

1

2

r1/r2 = η

R1 = r21ω1/ν

R2 = r22ω2/ν

� ω2 = 0 ; Taylor

� ω1 = 0 ; stable

� contra-rotatif ;

turbulence spirale

Coles (1962)R2

Rayleigh-stabledomain

counter-rotating co-rotating

featurelessturbulence

tran

sitio

nal

regi

mes

spiral turbulence

azimuthalCouette flow

R1

interm. spir.

d’apres Andereck et al (1986)

courbure + rotation

(R1, R2) ; (Rm, R)

R = 21+η

(R1 − ηR2)

Rm = 1+η4η

(R1 + ηR2)

; cisaillement plan

400 300 200 100 0 1001000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Rm

R=0.883

ST

IS

FT

AZVF

400 300 200 100 0 1001000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Rm

R=0.983

ST

IS

FT

AZVF

100 50 0 50 1001000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Rm

R

ST

IS

FT

LF

=1 (pCf)

9

approches theoriques

; regime transitionnel au dela de la stabilite lineaire

• recherche de solutions non-triviales exactesNagata (1990), Clever & Busse (1992), . . .

• analyse du mecanisme d’auto-entretien de la turbulence

� reduction a la taille minimaleMinimal Flow Unit = MFU, Jimenez & Moin (1991)

� Self-Sustaining Process =SSP, Hamilton, Kim & Waleffe (1995)

10

; support d’une approche en termes de systemes dynamiques

� orbites periodiques instables (Unstable Periodic Orbit = UPO)

– PCF: Kawahara & Kida (2001), . . .

– PF: ondes propagatives, Faisst & Eckhardt (2003) . . .

� dynamique non-lineaire et chaos

interpretation des transitoires:

UPOs ⇒ varietes stables/instables “squelette” de la dynamique

; enchevetrement homocline (Poincare, 1890)

11

aparte: chaos transitoire ; temps de vie: distribution de Poisson

� enchevetrement

homocline

stable ∩ instable

F

U

S

S U

U

H0

H1

H2

U

F

U

S

� reduction

; iteration

tent map

; transitoire:

echappement ;

distrib. exponent.

decroissante

seuil ?

1

0 1Xk

r > 2 1 < r < 2

Xk Xk+1

Xk+1

12 233 3 3

; travaux recents

12

• Pipe Flow

� effondrement d’un puff: Peixinho & Mullin (2005)

puff decay 1900↘ 1500

statistique des temps de vie:[1− P (td > τ)

]∝ exp(−τ/τd(R))

seuil? τd(R) ∝ (Rc −R)−α? ∝ exp(aR)? ∝ exp(exp(aR))?

Avila et al (2011) Hof et al. (2008)

; controverse ; divergence super-exponentielle (Hof et al., 2008)

13

� puff splitting ; propage la turbulence

; Avila et al (2011):

competition decay vs. splitting ; ∃ seuil bien defini Rg ≈ 2040

� transition puff → slug (mecanisme type KH)puff, R = 2000 (Duguet, 2010)slug, R = 3000 (Duguet, 2010)slug, R = 4500 (Duguet, 2010)slug, R = 6000 (Duguet, 2010)

14

• ecoulement de cisaillement simpley

x

Ub

2h

Ub

R = Uh/ν

experimentalement (Saclay, 1992–2002)

R200 300 400 500

turbulence homogèneéc. de Couetteturbulence!transitoire

Rg ≅ 325

turbulence en bandes (entretrenue)

≅ 415≅ 280

� R < Rg

; spots turbulents de

duree de vie finie

(Bottin, 1998; 280× 2× 70)

� R > Rg ; bandes turbulentes obliques

(Prigent, 2001; 770× 2× 340)

15

MFU: `x × 2× `z, Waleffe (2003) ; `x ∼ 12, `z ∼ 4

a comparer a λx ∼ 110 et λz ∼ 45–80 (fonction de R)

et dimensions Lx ∼ 250–700, Lz ∼ 100–300

⇒ Lx,z � λx,z � `x,z

illustration numerique ; Duguet et coll. (2010)

Lx = 800, Lz = 356 video: R = 330, cond. init. = bruit

bien resolu ⇒ tres realiste mais numeriquement tres lourd

alleger ? ; Barkley & Tuckerman (2005–. . . ) ; domaine incline,

Lx′ = 10, allonge Lz′ = 120

economique mais orientation gelee

16

ma contribution ; alleger autrement; preserver le qualitatif et ceder sur le quantitatif; DNS avec abaissement raisonne de la resolution ; OK!; ChannelFlow (http://www.channelflow.org/index.html)

schema Fourier (x) × Chebyshev (y) × Fourier (z) de-aliase

bon compromis: Nx = Lx, Ny = 15, Nz = 3Lzsur PC de bureau ; domaine typique Lx = 432, Ly = 2, Lz = 256

R = 340 R = 320 R = 290 R = 280

accepter que [Rg, Rt] s’abaisse de [325,410] a [275,350] (≈ 15%)

17

examiner le voisinage de Rg(≈ 275), en particulier:

� effondrement des bandes pour R . Rg

� croissance partant d’une poche turbulente pour R & Rg

illustrations:

video 1: (432× 256), R = 272.50, 3 bandes → laminaire

video 2: (468× 272), R = 285.00, germe → 3 bandes,

a voir:

– effondrement en 2 temps: rupture de bande puis lente regression

– croissance en competition avec rupture, nucleation de bourgeons

processus a 2 echelles:

– petite echelle le long des bandes et aux extremites

– a l’echelle de la largeur de bande: rupture/bourgeonnement

cadre theorique general ; physique statistique (Pomeau, 1986)

18

Pomeau (1986) ;

transition sous-critique ⇒ transition de phase du 1er ordre

A) coexistence ⇒ fronts

– si l’un des etats possibles est chaotique ⇒ front stochastique

– bon cadre: percolation dirigee (DP):

* 2 etats ; site actif = turbulent, site absorbant = laminaire

* site absorbant ne peut etre reactive que par contamination

* site actif peut relaxer spontanement

– extension: intermittence spatio-temporelle (STI)

* dynamique deterministe distribuee dans l’espace physique

* chaos local transitoire + couplage spatial

⇒ application evidente a la transition mais difficulte car

DP et STI ; transitions continues ; phenomenes critiques

; exposants et classes d’universalite

; selon Barkley (2011) s’appliquerait au PF pour R ≈ 2040

(cas 1D), mais qu’en est-il de PCF (cas 2D)?

19

B) nucleation (transition du 1er ordre pure et dure)

– fluctuations ⇒ germe

– croissance si germe > germe “critique”

– germe critique resultat de grandes deviations

par accumulation de petites deviations

pas incompatible avec le scenario STI qui peut etre discontinu

semble s’appliquer pour PCF:

– transition ‘T→ L’ et declin d’une bande

; nucleation d’un intervalle laminaire “critique”

– transition ‘L→ T’ et developpement d’un labyrinthe turbulent

; nucleation d’un bourgeon turbulent “critique”

cf. les videos ; a mettre sur un pied quantitatif ; en cours

de toute facon ; passer du temporel au spatio-temporel

abandonner le paradigme applique par beaucoup sur 2000–2010

20

en guise de conclusion: quelques jalons chronologiques

• fin XIX eme

– instabilite de Kelvin–Helmholtz (Kelvin, 1871; Helmholtz, 1868)

– theorie de stabilite et critere du point d’inflexion (Rayleigh, 1880)

– experience du tube, definition de R (Reynolds, 1883)

• XX eme ; hydrodynamique “classique”

– stab. lineaire des ecoul. visqueux (Orr, 1907; Sommerfeld, 1908)

– instabilite visqueuse, ondes TS (Tollmien, 1929; Schlichting, 1933)

– poches turbulentes (Emmons, 1951)

– experiences PipeFlow (Lindgren, 1957–60; Wygnansky et al. 1973)

spirale turbulente (Coles, 1962)

– stabilite lineaire ∀R, PCF (Romanov, 1973)

PipeFlow, section circulaire (Salwen et al. 1981)

& section carree (Tatsumi & Yoshimura, 1990)

– lift-up (Landahl, 1980)

21

• fin XX eme et debut XXI eme ; elargissement des perspectives

– appel aux concepts de physique statistique (Pomeau, 1986, 1998)

et de theorie des systemes dynamiques (Eckhardt et al, 1997; . . . )

– solutions exactes pour l’ecoul. de cisaill. simple (Nagata, 1990)

– stabilite non-modale, amplification de l’energie (Gustavsson,1991)

– minimal flow unit (Jimenez & Moin, 1991)

– self-sustaining process (Hamilton et al., 1995, Waleffe, 1997)

– solutions periodiques dans MFU-PCF (Kawahara & Kida, 2001; . . . )

ondes dans PipeFlow (Faisst & Eckhardt, 2003; . . . )

– bandes et spirales dans les ec. de cisail. (Prigent et al, 2001;. . . )

– decroissance des puffs et chaos transitoire (Hof et al., 2006)

– seuil pour PipeFlow (Avila et al., 2011; Barkley, 2011)

ecoulements transitionnels

empiriquement bien compris dans un tuyau cylindrique (1D)

en bonne voie pour l’ecoulement de cisaillement simple (2D)

22

mais reste a faire

analyse hydrodynamique de certains mecanismes (role de R)

geometrie et pattern formation sur fond turbulent, lien avec

la physique statistique, nucleation et transitions du premier ordre

application aux ecoulements d’interet pratique (couches limites)

merci aux organisateurs pour leur invitation

merci a mes collaborateurs, passes et presents

et . . . merci de votre attention

23