Transformarea conforma liniara in plan

Introducere

Transformarea conforma liniara in plan reprezinta modicarea de scara,translatiile si rotatiile unui sistem de coordinate arbitrar fata de un sistem de coordinate fix. Forma generala:

Pentru a transforma coordonatele plane ale unor puncte(x,y) dinstrun sistem arbitrar intr-un alt system(de referinta) vor trebui determinati cei patru paramatri ai transformarii:a0,b0,a1,b1. Avind in vedere ca pentru un punct(avind coordonatele in ambele sisteme)pentru fiecare punct se pot scrie doua ecuatii,pentru doua puncte vor rezulta 4 ecuatii cu 4 necunoscute:

sau,matriceal:

Punctele trebuie sa fie cit mai departate,deoarece daca punctele sint apropiate, rezultind cite doua linii ale matricei coeficientilor aproape egale si desi determinanrul nu va fi zero,al va avea o valoare foarte mica (in raport elementele matricei) iar sistemul va fi rau conditionat(avind mai multe solutii posibile,pe un anumit interval si care vor satisface destul de bine sistemul). Deoarece insa sint marimi masurate(afectate de erori) si chiar o singura coordonata gresita ar

putea conduce la rezultate gresite,va trebui a[plicata metoda patratelor minime ( =min,sau in notatie

Gauss =min,adica suma patratelor erorilor-respectiv corectiilor-sa fie minima),pentru un numar de puncte n>2.Sistemul rezultat va avea(matriceal)urmatoarea forma:

sau,A * P - L = V(2n,4)(4,1) (2n,1) (2n,1)

unde A este matricea coeficientilor P este vectorul parametrilor transformarii L este vectorul termenilor liberi (s-a presupus de asemenea ca marimile masurate au pondere egala)Conditia de minim( =min) conduce la urmatorul sistem de ecuatii normale:((4,2n)(2n,4)(4,1)(4,2n)(2n,1)adica N * P = M (4,4)(4,1)(4,1)sau,dezvoltat:

unde prima linie rezulta prin inmultirea primei coloane a matricei A cu ea insasi,apoi cu a doua,cu a treia si cu a patra(produs scalar)etc. si avind in vedere ca matricea N este simetrica,vectorul termenilor liberi normalizati rezulta prin inmultirea succesiva a vectorului L cu cele 4 coloane ale matricei A (produs scalar). Solutia matriceala a sistemului ve fi data de relatia:

Se poate obtine insa si o solutie simplificata,utilizind coordonate reduse la centrul d egreutate.Insumind primele relatii pentru cele n puncte si impartind la n se obtine:

si similar:

Notind cu

Coordonatele centrelor de greutate G si g in cele doua sisteme (G si g fiind puncte corespondente),relatiile anterioare devin:

Scazind aceste relatii din cele corespunzatoare fiecarui punct,se obtine:

si similar etc.

Notind ni ,1Rezulta: Respectiv

sau matriceal

adica: L = A * P (2n,1)(2n,2)(2,1)observind ca translatiile ( au fost eliminate din aceasta etapa de calcul. Sistemul de ecuatii normale, (2.2n)(2n,2)(2,1)(2,2n)(2n,1) sau N * P = M (2,2) (2,1) (2,1)se obtine prin procedeul descris anterior:

de unde rezulta direct parametrii si :

Translatiile si se pot obtine acum pe baza relatiilor:

Cu ajutorul acestor valori se pot determina coordonatele calculate:

Daca numarul puntelor ar fi fost n=2,atunci ,pentru n>2 se pot obtine corectiile:

pe baza carora se poate calcula eroarea medie patratica:

δ0=

Calculele1)Datele initiale

Varianta 17Nr X Y x y1 467.967 782.236 10.861 45.4812 492.869 784.425 35.481 41.1503 495.050 759.510 31.140 16.5194 470.146 757.331 6.519 20.8615 3.591 34.0706 24.070 48.4097 38.400 27.9308 17.930 13.591

2)Calcularea centrelor de greutate

Xg 481.508Yg 770.8755xg 21.00025yg 31.00275

(467.967+492.869+495.050+470.146)/4=481.508

(782.236+784.425+759.510+757.331)/4=770.8755

xg=(10.861+35.481+31.140+6.519)/4=21.00025yg=(45.481+41.150+16.519+20.861)/4=31.00275

3)Determinarea

1 -13.541 1 -10.1393

X 2 11.361 2 14.48075

X 3 13.542 3 10.13975

X 4 -11.362 4 -14.48131 11.3605 1 14.478252 13.5495 2 10.147253 -11.3655 3 -14.48384 -13.5445 4 -10.1418

1=467.967-481.508=-13.541

1=782.236-770.8755=11.3605

1=10.861-21.00025=-10.1393

1=45.481-31.00275=14.47825

4)Calcularea

[Xx] 603.6598[Yy] 603.9503[Yx] 161.9179[Xy] -161.675[x*2] 625.0176[y*2] 625.2205

[Xx]= (-13.541)*(-10.1393)+ 11.361*14.48075+13.542*10.13975+(-11.362)*( -14.4813)= 603.6598

5)Determinarea a1,b1

a1=(603.6598+603.9503)/( 625.0176+625.2205)= 0.965904099

b1=(161.9179-(-161.675))/( 625.0176-625.2205)= 0.258825399

a1 0.965904099b1 0.258825399

6)Determinarea translatiilor a0,b0

a0=481.508-21.00025*0.965904099+31.00275*0.258825399=469.2480716

b0=770.8755-21.00025*0.258825399-31.00275*0.965904099

a0 469.2480716b0 735.4944186

7)Calculul coordonatelor

X1=469.2480716+0.965904099*10.861-0.258825399*45.481=467.9671Y1=735.4944186+0.258825399*10.861-0.965904099*45.481=782.2358

8)Determinarea neinchiderilor pe coordonate

Vx1=467.9671-467.967=0.000118 Vy1=782.2358-782.236=-0.00019Vx2=492.8686-492.869=-0.00035 Vy2=784.4248-784.425=-0.00024Vx3=495.0508-495.050=0.000788 Vy3=759.51-759.510=1.14E-05Vx4=470.1454-470.146=-0.00056 Vy4=757.3314-757.331=0.000427

9)Calcularea erorii medii patratice

δ0=

δ0= =0.00058

δ0 0.00058

X1 467.9671   Y1 782.2358X2 492.8686   Y2 784.4248X3 495.0508   Y3 759.51X4 470.1454   Y4 757.3314X5 463.8985   Y5 769.3322X6 479.9679   Y6 788.4828X7 499.1098   Y7 772.411X8 483.049   Y8 753.2628

Vx1 0.000118 Vy1 -0.00019Vx2 -0.00035 Vy2 -0.00024Vx3 0.000788 Vy3 1.14E-05Vx4 -0.00056 Vy4 0.000427