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République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement supérieur et de La Recherche

Scientifique

Université : Hassiba BENBOUALI de CHLEF

Faculté : Sciences

Département : Physique

Domaine : ST-SM

TOME 1:

VIBRATIONS

Rappels de Cours

Problèmes posés aux concours d’entrée aux

Grandes Ecoles Scientifiques

Module : Physique 03

Niveau : 2ième Année Licence

Présenté par :Dr Fouad BOUKLI HACENE

Année Universitaire : 2014 /2015


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DEDICACES

Je dédie ce travail en signe de respect et de reconnaissance à:

Mes chers parents pour tous les sacrifices qu'ils ont consentis,

pour tous les encouragements ainsi que pour leur soutient moral et

matériel qui m'a permis d’achever ce travail.

Je le dédie également à:

Ma très chère femme et mes chers enfants

Mes chers frères et sœurs

Mes oncles et tantes

Toute ma famille et mes proches


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Sommaire

Avant propos

Nomenclature

Sommaire

TOME 1 : VIBRATIONS

Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations. 1

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté. 9

Chapitre 3 : Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté 38

Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé à un degré de liberté. 50

Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté. 82

Références bibliographiques


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Nomenclature

)t ( p Coordonnées généralisées

T E Energie totale du système

c E Energie Cinétique du système

c E Energie Cinétique moyenne du système

p E Energie potentielle su système

L Lagrangien du système

S Action du système

exe F

Forces extérieures appliquées au système

exe M

Moments extérieurs appliqués au système

0 Pulsation propre du mouvement libre

A Amplitude

Déphasage

0T Période propre du mouvement libre

k Constante de raideur du ressort

C Constante de torsion

J Moment d’inertie

R Rayon d’un disque

m Masse d’un système

i x Coordonnées du système

V

Vitesse du déplacement


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Masse volumique

l Longueur du ressort

0l Longueur du ressort à vide

0 P Pression du gaz à l’équilibre

0V Volume du gaz à l’équilibre

dx Tranche d’élément entre les positions x et x+dx

apC Capacité électrique

ind L Capacité électrique

q Charge qui circule dans le circuit

)t ( u Tension d’alimentation

fr f

Force de frottement

Coefficient de frottement

Facteur d’amortissement

Pseudo Pulsation du mouvement faiblement amorti

T Pseudo Période du mouvement faiblement amorti

)t ( f Force extérieure appliquée au système

Pulsation Force extérieure appliquée au système

)t ( p g Solution générale du mouvement force

)t ( p p Solution particulière

r Pulsation de résonance du mouvement forcé

21 , Pulsation de coupure en régime forcé

Bande passante


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Q Facteur de qualité

Z ~

Impédance

Masse linéique de la corde

Masse surfacique

T Tension de la corde

Tension linéaire

E Constante de Young

w Longueur d’onde

0k Vecteur d’onde

V Vitesse de propagation

s Coefficient de compressibilité


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Avant propos

Ce document a été destiné aux étudiants de deuxième année des filièresscientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il

répond au programme officiel du module « Vibrations et Ondes mécaniques »

enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la

matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations

et de propagation des ondes mécaniques avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divisé en deux Tomes, vibrations et ondes mécaniques

réparties en Huit chapitres.

Le premier tome comporte cinq sections. La première porte sur l’utilisation du

formalise de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude

des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté

est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti

qui prend en compte les forces de frottements de viscosité proportionnelles à la vitesse

du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au

quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations aux plusieurs degrés de

liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées

dans les cinq chapitres.

Le deuxième tome du programme est consacré aux problèmes d’ondes

mécaniques. Cette partie contient trois chapitres. Le premier introduit les généralités

des phénomènes liés à la propagation des ondes mécaniques. Le deuxième chapitretraite la propagation des ondes mécaniques dans différents les solides. Le dernier

chapitre est consacré à la propagation des ondes mécaniques dans les fluides.

Dr Fouad BOUKLI HACENE


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1Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations


TOME 1

VIBRATIONS

Chapitre 1:

Généralités sur les oscillations


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Rappels théoriques

La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement

autour de sa position d’équilibre.

Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui

se répètent : les battements du cœur, le mouvement d'une balançoire, le

mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Tous ces

mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.

Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se

renouvellent toujours dans le même ordre. Prenez à titre d'exemple le cycle à

quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre

étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant

un cycle moteur.

On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque

cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période.

Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la

mécanique est celui d'un objet qui se déplace de sa position d'équilibre et y

revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.

Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement

oscillatoire. Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un

pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de

mouvements oscillatoires.

Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus

complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un

amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle

mécanique", est décomposé à la figure 1.1 en plusieurs sous-systèmes "masse-

ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les

jambes ou les pieds.


10/147



Figure 1.1 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.

Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes

physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle

représentatif pour étudier les oscillations comme suit, figure 2.1 :

Figure 2.1: Schéma masse-ressort

F(t) s’appelle la force de rappel qui est proportionnelle à l’allongement x(t) . La

constante k est appelée la constante de raideur.


11/147



Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, figure 3.1 :

Figure 3.1 : Configurations pour le système masse-ressort

La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :

En parallèle, on a la figure 4.1 :

Figure 4.1 : Ressorts en parallèles

La raideur équivalente est la somme des raideurs k 1 et k 2 telle que :21 k k k eq

En série, on a la figure 5.1 :


12/147



Figure 5.1 : Ressorts en séries

La raideur équivalente pour les constantes k 1 et k 2 telle que :

21

111

k k k eq

Un système physique oscillant est repéré par la coordonnée généralisée p qui est

définit par l’écart par rapport à la position d’équilibre stable.

On définit q le nombre de degré de liberté par le nombre de mouvements

indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations

différentielles du mouvement.

L’énergie cinétique d’un système mécanique s’écrit sous la forme :

2

ii

1n

c pm2

1 E

L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir de développement

limité de Taylor sous la forme:

... p p

E

6

1 p

p

E

2

1 p

p

E )0( E E

3

0 p3

p

3

2

0 p2

p

2

0 p

p

p p

La valeur p=0 correspond à la position d’équilibre du système

caractérisée par :

0

p

E 0 p

i

p


13/147



Il existe deux types d’équilibre :

Equilibre stable, représenté par la figure 6.1 :

Dans ce cas la, La condition nécessaire est que :

0 p

E 0 p2

p2

Figure 6.1: Equilibre stable

Equilibre instable représenté par la figure 7.1 :

Dans ce cas la, La condition nécessaire est que

0 p

E 0 p2

p

2

Figure 7.1: Equilibre instable


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Le mouvement oscillatoire est dit linéaire si cet écart est infinitésimal. A cet

effet l’énergie potentielle prend la forme quadratique en fonction de l’écart par

rapport à la position d’équilibre représentée comme suit:

2

02

2

2

1 p

p

E E p

p

p

La constante2

2

p

E p

est appelée la constante de rappelle.

Ainsi ; la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement

et opposée au mouvement telle que:

p p

E t F p p

02

2

)(

L’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminée

par trois méthodes :

Prin cipe de la conservation d’ énergi e totale :

0tan

dt

dE teCons E E E T pcT

Où T E est appelée l’énergie totale du système.

L a loi dynamique de Newton :

i

1n

ii am F

Où ia

est appelée l’accélération des composantes du système.

M éthode de L agrange -Euler :

tetanCons E E ) p L(p, pc

Où L est le Lagrangien du système.

Dans le cas d’un système dit conservatif, on a les forces dérivent d’un

potentiel.


15/147



On définit l’action du système comme la sommation, entre l’intervalle du

temps, 10 t ,t le long du trajet du système, de la différence entre l'énergie

cinétique et l'énergie potentielle.

1

0

t

t

)dt p L(p,

La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle. Cette

méthode aboutit aux équations d'Euler-Lagrange qui donnent des chemins sur

lesquels l'action est minimale.

En appliquant le principe de moindre action, 0 , on obtient

l’équation d’Euler- Lagrange pour un système conservatif comme suit :

n ,1i0 ) p

L )

p

L(

dt

d

ii

L’équation du mouvement pour un système dissipati f (non conservatif ) peut

être déterminée comme suit :

Système en translati on :

n ,1i F ) p

L )

p

L(

dt

d ext

ii

Où ext F

sont les forces extérieures appliquées au système.

Système en rotati on

n ,1i M ) p

L )

p

L(

dt

d ext

ii

Où ext M

sont les moments extérieurs appliqués au système.

Dans ce cas les forces ne dérivent pas d’un potentiel.


16/147

9Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté


Chapitre 2 :

Mouvement oscillatoire libre à un degré de

liberté


17/147



Rappels théoriques

Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée

généralisée p qui est l’écart par rapport à l’équilibre stable.

On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle suivante :

0 )t ( p )t ( p 2

0

Où ω0 est appelée la pulsation propre du système.

On définit la période propre T 0 comme suit :

0

0

2T

La solution de cette équation différentielle est de forme sinusoïdale tel que :

)t cos( A )t ( p 0

Où A représente l’amplitude des oscillations et ϕ est le déphasage. Les constantes A et

ϕ sont déterminées par les conditions initiales suivantes :

0

0

p )0t ( p

p )0t ( p

A- Réponse de la position B- Réponse de la vitesse

Figure 1.2 : Mouvement oscillatoire libre


18/147



Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la

position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et

l’énergie potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée

généralisée p.

En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.

Quelques exemples d’applications:

Ressort :

Figure 2.2 : Mouvement oscillatoire d’un ressort

Le vecteur de position est égal à :

i xvi xmo

L’énergie cinétique s’écrit :

22c xm

2

1mv

2

1 E

L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:

2 p kx

2

1 E

Alors, le Lagrangien du système est de la forme:

22

21

21 kx xm E E L pc


19/147



L’équation de mouvement est de la forme :

kx x

L xm

x

L0

x

L )

x

L(

dt

d

D’ou

0 x xm0kx xm 20

La pulsation propre est égale :

m

k 20

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 t At x

Pendule simple :

Figure 3.2 : Mouvement Oscillatoire d’un pendule simple

Le vecteur de position s’exprime comme suit:

sinl y

cosl xv

cosl y

sinl xmo

D’où :

2222 l y xv


222c ml

2

1mv

2

1 E

Pour l’énergie potentielle on a:

cosmgl E p


20/147



Alors, le Lagrangien du système s’écrit :

cosmgl ml 2

1 E E L 22 pc

L’équation de mouvement pour des petites oscillations, est :

sinmgl L

ml L

0 L

) L

( dt

d 2

D’ou :

sin

0mgl ml 2

Donc l’équation du mouvement s’exprime comme suit :

00l

g 20

La pulsation propre est égale à :

l

g 20

La solution de l’équation différentielle est de la forme :

)cos()( 0 t At x

Système de tor sion :

Un corps rigide de moment d’inertie J 0 oscille autour d’un axe avec une

constante de torsion k t

Figure 4.2 : Mouvement oscillatoire de torsion


20c J

2

1 E


21/147



Pour l’énergie potentielle on a :

2t p k

2

1 E

Le Lagrangien du système s’écrit alors:

2t

20 pc k

2

1 J

2

1 E E L

L’équation différentielle s’écrit :

t 0 k L

J L

0 L

) L

( dt

d

D’où :

0 J

k

0

t

La pulsation propre s’écrit alors :

0

t 20

J

k


)t cos( A )t ( 0

Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de

torsion reportés dans la figure 5.2.


22/147



Figure 5.2 : mouvement oscillatoire de torsion d’un pont


23/147



Applications

Pr obl ème 1:

Soient les systèmes mécaniques suivants :

o Une poulie de masse M , de moment d’inertie J , et de rayon R, suspendue au

point O par un ressort de raideur k . Le fil inextensible glisse sur la poulie sans

frottement relié par une masse m, figure 6.2

o Un système de bras rigidement liés et tournant dans le plan de la figure autour

du point fixe O. A l’équilibre le bras L3 est vertical, figure 7.2.o Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de

sections S 1, S 3 reliés par un autre cylindre de section S 2 et de longueur B qui

contient un liquide de masse volumique . Le système est équivalent à un

ressort de raideur k e et de masse M e. A l’équilibre le liquide a la hauteur H ,

figure 8.2.

Figure 6.2: Mouvement oscillatoire de la polie


24/147



Figure 7.2: Mouvement oscillatoire du bras

Figure 8.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube

Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté.

L’énergie cinétique, l’énergie potentielle. En déduire le Lagrangien.

L’équation différentielle du mouvement.

La période propre.


25/147



Solutions :

Figure 6.2:

La figure 6.2-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 6.2-b

représente l’état du système en mouvement.

Les paramètres, ( X 01 , X 02) et ( X 1 , X 2) représentent respectivement les positions

des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.

Le nombre de degré de liberté :

La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:

En équilibre :

) X X ( R X Dl 010201

En mouvement :

) X X ( R X Dl 121

Apres l’égalité des deux équations, on obtient :

dépendants sont x , x x2 x 2112

Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui représenté par x 1 .


26/147



Le Lagrangien est :

L’énergie cinétique s’exprime:

22

21

21c xm

2

1 J

2

1 x M

2

1 E

Pour l’énergie potentielle:

21 p kx

2

1 E

Le Lagrangien s’écrit alors :

21

212 pc

kx

2

1 x )

R

J m2 M (

2

1 E E L

L’équation différentielle s’exprime comme suit:

0 x )

R

J m4 M

k ( x0

x

L )

x

L(

dt

d 1

2

111

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0 x x0 x )

R

J m4 M

k ( x 1

2011

2

1

Avec :

2

20

R

J m4 M

k

La période propre T 0 :

2

O

R

J m4 M

k

2T


27/147



Figure 7.2:


On définit les petits déplacements comme suit :

dépendants sont x , x , xl x ,l x ,l x 321332211

Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ

Le Lagrangien du système :

Pour l’énergie cinétique on a :

2233

2222

2211

2ii

1i

c l m2

1l m

2

1l m

2

1 xm

2

1 E

L’énergie potentielle s’exprime:

cos gl mkl 2

1kl

2

1 E 33

222

221 p


cos gl m )l ( k 2

1l m

2

1 E E L 33

22

1i

i

3

1i

2i

2ii pc


28/147



L’équation différentielle est de la forme:

00 )

l m

mgl kl kl ( 0

L )

L(

dt

d 203

1i

2ii

121

22

Avec :

3

1i

2ii

121

222

0

l m

mgl kl kl

La période propre T 0 :

1i

2

ii

12122

O

l mmgl kl kl

2T

Figure 8.2:


29/147




On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U

D’où,

sdépendante sont x x x scoordonnéeles xS xS xS 321332211 ,,

Donc le nombre de degré de liberté est égal a , qui est représenté par x 1 .

Le Lagrangien du système:

A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente du système:

21e

3

1i

2iic x M

2

1 xm

2

1 E

D’où :

332211

21e

3

1

2

11

21

hS m , BS m ,hS m

Avec

x M )S

S

S

S

h

B1( hS x

Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :

)S S

S S

h B1( hS M

3

1

2

11e

On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie potentielle, on a alors :

13

1131111e

21e p x )

S

S 1( ghS ) x x( g S P S xk F xk

2

1 E

Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente du système

comme suit :

3

11e S

S

1( ghS k

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

21e

21e

1i

2ii

2ii

1i

pc

xk 2

1 x M

2

1 xk

2

1 xm

2

1 L

E E L

L’équation différentielle est de la forme :

0 x x0 x ) M

k ( x 12011

e

e1


30/147



La pulsation propre ω0 est égale à :

)S

S

S

S

h

B1( hS

)S

S 1( ghS

M

k

3

1

2

11

3

11

e

e20

Pr obl ème 2:

On modélise le mouvement d’un baffe d’une radio par un résonateur d’HELMOTZ,

présenté comme un gaz parfait de pression P 0 , de volume V 0 à l’équilibre thermique,

enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans frottement

suivant l’axe Ox comme le montre la figure (9.2)ci-dessous :

Figure 9.2 : Modélisation physique du mouvement d’un baffe-Résonateur

d’Helmholtz

L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi

fondamentale de la dynamique.

En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.


31/147



Solutions :

En appliquant la méthode des forces on obtient :

1i

rapi xm P S

Ox:Sur am F P am F

Puisque l’opération est adiabatique, on a:

SxV

P P

V

V

P

P tetanconsc PV

0

0

00

L’équation différentielle s’écrit alors :

0 x x0 x )mV

S P ( x 20

0

20

La pulsation propre est de la forme :

mV

S P

0

2

02

0

La solution générale est de la forme:

)t cos( A )t ( x 0

Pr obl ème 3:

Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de

longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans les figures 10.2 : A-B-C

comme suit:


32/147



(A) (B) (C)

Figure 10.2 : Couplage Pendule simple-Ressort

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (10.2):

Le Lagrangien.


La pulsation propre et la solution générale.

Interpréter les résultats.

Solutions :

Figure (10.2) :

Système A :Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :

a x

Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de

liberté est égale à 1, représenté la variable θ


33/147



L’énergie cinétique :

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinl y

cosl xmoV

cosl y

sinl xmo m


222mc ml

2

1mV

2

1 E

L’énergie potentielle s’exprime comme suit :

a xaveccosmgl kx2

1 E

2 p


cosmgl )a( k 2

1ml

2

1 E E L 222 pc

L’équation différentielle du mouvement est :

0 )ml

mgl ka( 0

L )

L(

dt

d 2

2


2

22

0ml

mgl ka


)t cos( A )t ( 0


34/147



Système B :

L’énergie cinétique

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinl y

cosl xmoV

cosl y

sinl xmo

m

D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1 E

L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :

a xaveccosmgl kx2

1 E 2 p


cosmgl )a( k 2

1ml

2

1 E E ) ,( L 222 pc


0 )ml

mgl ka( 0

L )

L(

dt

d 2

2

La pulsation propre est :

2

22

0 ml

mgl ka


35/147




)t cos( A )t ( 0

Système C:

L’énergie cinétique

sinl y

cosl xmoV

cosl y

sinl xmo m

D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1 E

L’énergie potentielle s’écrit :

2 p kx

2

1 E


222 pc ) sina( k

2

1ml

2

1 E E L


0ml

ka0

L )

L(

dt

d 2

2

La pulsation propre est :


36/147



2

220

ml

ka


)t cos( A )t ( 0

Pr obl ème 4:

On considère un fléau constitué d’une tige métallique de masse négligeable, de

longueur l portant deux masses m et M , tournant sans frottement autour de son axe au

point fixe O comme le montre la figure 11.2 A l’équilibre la barre est horizontale.

(A) Etat d’équilibre (B) Etat en mouvement

Figure 11.2 : Modèle physique du Fléau

Déterminer:

La condition d’équilibre et l’allongement du ressort.

Le Lagrangien du système

L’équation différentielle du mouvement,

La pulsation propre et la période propre.

La solution générale avec les conditions initiales suivantes :

0 )0t ( x et 0*

v )0t ( x


37/147



Appl ication num érique :

On prend : m=M=1Kg, k=20N/m

Solutions :

Le Lagrangien :

On a les déplacements infinitésimaux comme suit :

dépandants sont x , x4

l 3 x ,

4

l x 2121

On a donc un seul degré de liberté représenté par θ .

L’énergie cinétique s’exprime :

4

l 3 x ,

4

l xavec )l

4

3( M

2

1 )l

4

1( m

2

1 x M

2

1 xm

2

1 E

21

222

2

2

1c

L’énergie potentielle s’écrit :

22 p )

4

l ( k

2

1 )

4

l ( k

2

1 E


222 pc )

4

l ( k )l

4

3( M

2

1 )l

4

1( m

2

1 E E L

D’où :

222

)4

l ( k )m M 9(

16

l

2

1 ) ,( L

L’équation différentielle du mouvement :

0 M 9m

k 20

L )

L(

dt

d

Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T 0 sont de la

forme :

M 9m

k 2

2T et

M 9m

k 2O

20


)t cos( A )t ( 0


38/147



Pr obl ème 5 :

En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,

de longueur l de moment d’inertie J 0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de

torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On

appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes

identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 12.2.

Figure 12.2 : Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion

Déterminer le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre et la solution générale

Solutions :



4

l m2 J J avec J

2

1 E

2

02

c


39/147




2 p D

2

1 E


22 pc D

2

1 J

2

1 E E L

L’équation du mouvement est de la forme:

00 J

D0

L )

L(

dt

d 20


J

D20

La solution générale est de la forme :

)t cos( A )t ( 0

Pr obl ème 6 :

Soit un disque de masse M , de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre

O, l’autre au point A distant de ( R/2) du point O se glissant sans frottement suivant

l’axe Ox comme le montre la figure 13.2 :

Figure 13.2 : Mouvement oscillatoire d’un disque

Etablir le Lagrangien du système.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale


40/147



Solutions :

Figure 13.2-a : Etat d’équilibre

Figure 13.2-b : Etat en mouvement

Le degré de liberté :

On a le déplacement infinitésimal comme suit

dépendants sont , x R x

Le système a un seul degré de liberté représenté par x



R xavec x M 2

1 J

2

1 E

22c

L’énergie potentielle s’exprime :


41/147



22 p )

2

R x( k

2

1 ) x( k

2

1 E

Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :

222

kx4

1321 x )

R J M (

21 ) x , x( L

L’équation différentielle s’écrit sous la forme :

0 x x0 x

R

J M

k 4

13

x0 x

L )

x

L(

dt

d 20

2


2

20

R

J M

k 4

13

La solution générale s’écrit alors :

)t cos( A )t ( x 0

Pr obl ème 7 :

Soit un système électrique ( Lind , C ap) en série représenté dans la figure 14.2 comme

suit :

Figure 14.2 : Circuit L.C Libre

A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du mouvement.

Solutions :


42/147



La loi des mailles :

ind Lap

L

i

i jL Z avec0C

q )t ( i Z 0V

ind ind

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0C

q

dt

)t ( di L

apind

L’équation différentielle devient alors :

dt

dq )t ( iavec0 )t ( q

C

1q L

ap

ind

On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :

0 )t ( kx xm0 )t ( qC

1q L

apind

D’où :

k c

1

)t ( x )t ( q

m L

ap

ind

La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :

apind

2

0C L

1


43/147



Problèmes supplémentaires

Pr obl ème 8 :

Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la

suspension.

Figure 15.2 : Fréquence propre des plots anti-vibratiles

Pr obl ème 9:

Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l 0. La figure 16.2

représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant

l’axe Ox

Figure 16.2: Mouvement oscillatoire transversal

Déterminer:

Le Lagrangien du système.


La pulsation propre, la période propre et la solution générale.


44/147



Pr obl ème 10:

On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une

charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus

lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que

parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,

nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,

les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les

quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 17.2:

Figure 17.2 : Mouvement Oscillatoire du plasma

En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du

mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.


45/147

38Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté


Chapitre 3 :

Mouvement amorti à un degré de liberté


46/147



Rappels théoriques

En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans

ce chapitre on doit tenir compte l’influence de la force de frottement visqueuse de type

V f fr

sur les oscillations du système. Ce type de mouvement est appelé

mouvement amorti.

On définit l’oscillation amorti comme suit :

0 )t ( p )t ( p2 )t ( p 20

Avec

m

k et

m2 20

Où est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement. La résolution de

cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors :

0r 2r 202

On calcule le discriminent

’

et on obtient alors :20

2'

Il existe trois types de solutions :

Cas oùle système est fortement amorti : 0

La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit :

20

22 ,1

t r 2

t r 1

r

e Ae A )t ( p 21

Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0t ( p

)0t ( p

On dit que le système a un mouvement apériodique.


47/147



Figure 1.3: Mouvement amorti apériodique

Cas où l ’ amortissement est cr iti que : 0

La solution de l’équation est de la forme :

r r r

e ) At A( )t ( p

21

t r

21

Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0t ( p ),0t ( p

Figure 2.3: Mouvement amorti critique

Cas où l’ amortissement est faibl e : 0


220

t avec )t cos( Ae )t ( p


48/147



Où A et sont des constantes à déterminer par les conditions initiales :

)0t ( p

)0t ( p

Figure 3.3: Mouvement oscillatoire amorti

On définit la pulsation du système comme suit:

220

On définit la période du système T appelé pseudo-période comme suit :

2T

On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance de

l’amplitude à une seule période du système comme suit:

)T t ( p

)t ( p Ln

Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des

forces de frottement.

0W E dW dt )t ( p )t ( dE r f T r f 2

T


49/147



Applications

Pr obl ème 1 :

On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante :

0kx x xm.

Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du

corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s.

Donc on a : t =0, x=0 et 0

v x

Calculer la période propre du système,

Sachant que : m=150g et k =3.8N/m.

Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.

Résoudre dans ce cas l’équation différentielle.

Calculer le pseudo-période du mouvement.

Calculer le temps mt au bout duquel la première amplitude m x est atteinte. En

déduire m x .

Calculer la vitesse d’une pseudo-période.

Solutions :

L’équation du mouvement amorti est de forme :

20

20

..

m

k et

m

2avec0 x x2 x0kx x xm

La période propre du système est T0:

s25.1

m

k

2T

s / rad 5m

k

O

0


50/147



L’équation différentielle du mouvement se transforme en :

21

Avec

021'

0r 2r

220

20

2'

20

2

Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti.

La résolution de cette équation différentielle est de forme :

)t cos( Ae )t ( x t

En appliquant les conditions initiales :

20cos0 x ,0t

2avec

v Av x ,0t 00

La solution finale sera exprimée comme suit :

t sinev

)t ( x )t cos( Ae )t ( x t 0t

La figure 2.1 représente le mouvement oscillatoire amorti.

Figure 4.3 : Mouvement oscillatoire amorti

La pseudo-période se calcule :

s37 .12

T

Le temps de la première amplitude mt


51/147



Il faut que :

Arctg

t 0dt

)t ( dx )t t ( x mt t m m

D’où :

4

T s25.0t m

Pr obl ème 2 :

Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 5.3 et 6.3 come suit :

figure 5.3 : Mouvement oscillatoire amorti enrotation

Figure 6.3 : Mouvement oscillatoireamorti en translation

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système :

Le Lagrangien


La pulsation propre

La solution générale pour un faible amortissement.


52/147



Solutions :

Figure 5.3 :

Le Lagrangien :


222c ml

2

1mv

2

1 E

Pour l’énergie Potentielle on a:

2

l sin

2

l xaveccosmgl kx

2

12 E 2 p

Le Lagrangien s’écrit sous la forme :

cosmgl )2

l ( k ml

2

1 E E L 222 pc

Après calcule, l’équation différentielle est égale à :

0ml

mgl )2

l ( k 2

m M

L )

L(

dt

d 2

2

ext

D’ou :

2

2

20

20

ml

mgl )2

l ( k 2

,m

2

02

Avec

La solution générale est pour un faible amortissement est de la forme:

)t cos( Ae )t ( t

Figure 6.3 :

Le Lagrangien :

L’énergie cinétique on a:

22c xm

2

1mv

2

1 E

L’énergie Potentielle s’écrit :

22 p ) x( k

21kx

21 E


53/147




22

pc kx xm2

1 E E L

On obtient l’équation différentielle du mouvement après calcul comme suit :

0 xm

k 2 x

m x F

L )

L(

dt

d ext

D’où

m

k 2 ,

m2

0 x x2 x

Avec20

20

La solution générale pour un faible amortissement est de la forme :

)t cos( Ae )t ( x t

Pr obl ème 3 :

On considère un système mécanique amorti, oscillant autour d’un axe passant par O

représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un

ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 7.3:

Figure 7.3 : Mouvement oscillatoire amorti


Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.


54/147



Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du

mouvement avec les conditions initiales suivantes :

0 )0t ( ,0 )0t (

Solutions :

Le Lagrangien :

Le système a un seul degré de liberté représenté par θ


222c ml

2

1mv

2

1 E


2

l sin

2

l xaveckx

2

1 E 2 p

Le Lagrangien s’écrit :

222 pc )

2

l ( k

2

1ml

2

1 E E L

L’équation différentielle est :

0ml

4

l k

m M

L )

L(

dt

d 2

2

ext

D’où :

2

2

20

20

ml

4

l k

,m

2

02

Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme :

)t cos( Ae )t ( t

Avec les conditions initiales , on a

0

0

A ,2

,0 ,0t

avec

Alors, la solution générale s’écrit :

t sine )t ( t 0


55/147



Pr obl ème 4:

Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l , de masse négligeable et

plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse

dont le coefficient de frottement est comme le montre la figure 8.3 comme suit :

Figure 8.3 : Mouvement oscillatoire amorti du pendule


Déterminer l’équation du mouvement.

Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle.

Applicati on numérique :

Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale ue ne

doit pas atteindre pour que le système oscille.

On prend la valeur de égale à 10N.s/m :Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur.

Solutions :


Le système a un seul de gré de liberté représenté par θ

L’énergie cinétique s’exprime :

22c ml

2

1 E


56/147



Pour l’énergie potentielle on a :

cosmgl E p

D’ou le Lagrangien s’écrit comme suit :

cosmgl ml 2

1 E E ) ,( L 22 pc

L’équation différentielle est :

l g ,

m2

Avec

02

2

0

2

0

La solution générale est :

)t cos( Ae )t ( t

La valeur maximale de max :

m / s. N 94.8l

g m20 max202

Le temps τ :

s28.04ln

e4

1 Ae

t )t (


57/147

50Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté


Chapitre 4 :

Mouvement Oscillatoire forcé à un degré de

liberté


58/147



Rappels théoriques

On définit une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une forceextérieure.

On définit l’équation du mouvement forcé en présence de la force de frottement

comme suit :

)t ( f )t ( p )t ( p2 )t ( p 20

Avec

m

k

et m2 2

0

Où f(t) est appelée la fonction excitation extérieure. Cette équation est linéaire de

second ordre non homogène à coefficients constant.

La solution p(t) de l’équation différentielle qui présente la réponse du système à

l’action extérieure, est la somme de deux thermes :

)t ( p )t ( p )t ( p p g

Où )t ( p g et )t ( p p représentent respectivement la solution générale la solution particulière.

Il faut signaler qu’au début du mouvement p(t) représente le régime

transitoire. Au fil du temps la solution homogène )t ( p g devient négligeable

devant la solution particulière )t ( p p qui définit le régime permanant. Ainsi,

la solution totale dans ce cas, est de la forme :

)t ( p )t ( p p

La figure 1.4 montre la superposition des deux régimes :


59/147



Figure 1.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent

Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type :

t j

00 e f t cos f )t ( f

La solution totale s’écrit alors comme suit :

)t cos( A )t ( p )t ( p p

Où A représente l’amplitude de la solution totale et le déphasage. On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe :

)t ( j

p Ae )t ( p )t ( p

Avec

)t ( j Ae j )t ( p

)t ( j2 Ae )t ( p

Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :

j2

f Ae

20

2

0 j

En module :

22220

2

0

4 )(

f A

En phase :

20

2

2 Artg


60/147



L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par :

0d

Ad

Il existe deux pulsations :

220r 2

0

A-Réponse de l’amplitude B-Réponse de la phase

Figure 2.4 : Réponse du système en régime forcé

On appelle r la pulsation de résonance.On définit ainsi :

La largeur de la bande passante :

12

Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement :

12

r Q


61/147



Applications

Pr obl ème 1:

Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et

un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude a de

forme t cosa x s représenté dans la figure 3.4 comme suit:

Figure 3.4 : Modélisation d’un mouvement sismique

Quelle est la réponse du système. Justifier le résultat.

Solutions : Le Lagrangien du système :

L’énergie cinétique s’écrit:

22c xm

2

1mv

2

1 E

L’énergie potentielle s’exprime:

2 s p ) x x( k

21 E

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

2

s

2 ) x x( k 2

1 xm

2

1 L

L’équation différentielle est de forme :

t cosm

a )t ( x

m

k )t ( x F

L )

L(

dt

d ext


62/147



D’où :

m

k

em

a R )t ( x )t ( x

avec20

t je

20

La solution de cette équation est de la forme :

)t ( j

p Ae )t ( x )t ( x

En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la

réponse comme suit :

2

0

2

m

a

)( A

Le système présente une singularité au point 0 comme le montre la figure

4.4:

0lorsque )( A

Figure 4.4 : Phénomène de résonance

Singularité à la fréquence propre du système

L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille avec la

pulsation propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce

cas la de mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieurs du

système qui se traduit par une force de frottement visqueuse.


63/147



Pr obl ème 2 :

Une machine mécanique de masse m est excitée par l’intermédiaire des supports de

suspension de raideur k et un amortisseur de coefficient de frottement comme le

montre la figure 5.4 :

Figure 5.4 : Excitation de la masse par le support vibrant

On suppose que le support possède un déplacement harmonique de la forme :

t cos B )t ( y

Déterminer le Lagrangien du système. Etablir l’équation différentielle du mouvement.

On pose les constantes suivantes :

0

20

m2et

m

k

On cherche une solution de la forme :

)t cos( A )t ( x

Déterminer le rapport des modules d’amplitudes B AT en fonction des

paramètres, ω0 et ω.

On pose la variable suivante :

0

r

Tracer la courbe T(r)

Interpréter les résultats.


64/147



Solutions :

Le mouvement du système est schématisé dans la figure 6.4 comme suit :

Figure 6.4 : Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)

Le Lagrangien du système s’écrit :


2c xm

2

1 E

Pour L’énergie potentielle on a :2

p ) y x( k 2

1 E

D’ou le Lagrangien du système s’écrit :

22 ) y x( k 2

1 xm

2

1 ) x , x( L

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

)]t ( y )t ( x[ )]t ( y )t ( x[ k )t ( xm F x

L )

x

L(

dt

d ext

D’ou :

)t ( ky )t ( y )t ( kx )t ( x )t ( xm

La solution de l’équation différentielle:


65/147



En posant les constantes :

0

20

m2et

m

k

L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :

)t ( y )t ( y2 )t ( x )t ( x2 )t ( xm 200200

On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :

t j Be Ret cos B )t ( y

On chercher des solutions de la forme :

)t ( j Ae Re )t cos( A )t ( x L’équation du mouvement devient alors :

B )2 j( Ae )2 j( 200 j2

002

Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:

2

1

20

220

2

20

2

0 )2( )(

)2(

B

AT

En posant la constante :

0

r

,

La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit:

2

1

222

2

)r 2( )1r (

1 )r 2(

B

AT


66/147



Figure 7.4 : Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la

pulsation réduite

On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution stationnaire.

Pr obl ème 3:

Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind , C ap et alimente par une source

de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité t cos2i )t ( i 0 comme le

montre la figure 8.4 ci-dessous.

Figure 8.4 : Circuit R.L.C en parallèle


67/147



Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de , i0 , et des paramètres du circuit.


apind

2

0C L

1 ,0

x

Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit :

0ap RC Q

Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de R, i0 , Q et x.

Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x à

déterminer.

Représenter sommairementmaxu

u ) x( f en fonction de x.

Que retrouve t- on ?

Calculer la largeur de la bande passante.

Solutions : La tension complexe u du système est de forme :

)t ( i Z ~

)t ( u équi

D’ou le courant est égale a :

équi Z ~

)t ( u )t ( i

Soit équi Z ~

l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle

qui se calcule comme suit :

Avec :

ind ap

équi jL

1 jC

R

1

Z ~

1

D’ou la tension est égale à :

) L

1C ( jR1

)t ( Ri )t ( uoù' d

ind ap

Le module de la tension s’écrit alors :


68/147



22

0

) x

1 x( Q1

2 Ri )t ( u

On constate que :1 xlorsque2 Riuu 0max

Le schéma de la fonctionmaxu

u ) x( f est représenté dans la figure 9.4

comme suit :

22max ) x

1 x( Q1

1

u

u ) x( f

On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire :

Résonance1 x si1 ) x( f

Figure 9.4 : Phénomène de résonnance en tension dans le circuit R.L.C

en parallèle

La bande passante se calcule comme suit :

12 x x x

En résolvant l’équation paramétrique suivante :

22

) x

1

x( Q1

1

2

1


69/147



Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient

alors:

RC

1où' d x0

Pr obl ème 4:

On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind , C ap en série

et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité t cosu )t ( u 0 comme

le montre la figure 10.4 ci-dessous.

Figure 10.4 : Circuit R.L.C en Série

Déterminer l’impédance totale du système.

En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des

paramètres R, Lind , C ap et ω.

Etudier les variations du module de courant en fonction de ω

Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.

Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du

circuit R, Lind , C ap et ω.

Donner une explication pour le fonctionnement de ce système.


70/147



Solutions :

Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit :

Figure 10.4-a : Circuit RLC en série équivalent

L’impédance équivalente totale est égale à :

)C

1 L( j R Z

~

apind éq

Le module du courant s’écrit :

2

apind

2

0

éq

0

)C

1 L( R

u

Z ~

)t ( u )( I

Les variations du module du courant sont :

Le module du courant maximum est égale à :

R

u I 0max0

Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire :

0C

1 L

apind

On obtient alors la valeur de r

apind

0r C L

1

Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance

et de la capacité.


71/147



La figure 11.4 représente l’allure I 0 en fonction de ω

Figure 11.4 : Phénomène de résonance en courant

dans le circuit R.L.C en série

La bande passante est définit :

12

En résolvant l’équation paramétrique suivante:

2

apind

2

0max0

)C

1 L( R

u

2

I

On obtient :

ind 12

L

R

Le facteur de qualité s’écrit

R

L

Q 0ind 0

L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de

résonances pour différentes stations de radio.

Pr obl ème 5:

On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend

un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,


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la figure 12.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement.

Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable.

Figure 12.4 : Modélisation d’un sismomètre

Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k . La constante de frottement est . On

précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système

mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives av et

bv , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i )vv( ab

et

en point B une force i )vv( aa

où i

est le vecteur unitaire.

Partie A :

Le support est immobile par rapport au repère (R0 ).

Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.

Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position

d’équilibre.

Que devient cette équation quand on pose x=x0+X .On pose les constantes suivantes :


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m

k 20 , C f avec km4 f

2

c .

Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :

0 x x x

...

Calculer α* et β * en fonction de λ et ω0.

On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0 X .

Déterminer X pour t= 0.2s.

Partie B :

On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé

d’un mouvement sinusoïdale verticale t sinb x1 par rapport au repère (R0 ),

comme le montre la figure 13.4. On suppose que b est positif.

Figure 13.4 : Système est en mouvement forcé

Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0 ).

Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante :

t sinbC X x Avec

t sin H x x x...

Déterminer H et C , que représente X ?


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Etudier la solution en régime permanent

)t sin( B )t ( X

Avec B positif.

Calculer le rapport b B et tan en fonction de λ et 0 .

Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ( ).

On suppose que λ=0.5 :

Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1 , 1b

B est inférieur à

10-2. Calculer dans ce cas μ1.

En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur d’amplitude.

Solutions :

Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0 ).

A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit :

)al (

k

mg x0 F 0

1i

i

L’équation différentielle du mouvement est de forme :

En appliquant la loi dynamique

xmg ))al ( x( k xm

D’ou

X x X xoù' d

Alors :0kX X X m

La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors :

200

200

2 Avec

0 X X 2 X

La résolution de cette équation différentielle :


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22

0

22

0

2

00

2

15.0

)1(

0r 2r

La solution est de la forme :

2

00

t

1

X B X A Avec

)t sin Bt cos A( e )t ( X 0

Le système a un mouvement amorti.

La valeur de X est : X=0.15m

Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0 ).

La relation dynamique du mouvement :

t sinb X x xet x X xoù' d

) x x( mg ))al ( x x( k xm

211

11

L’équation du mouvement devient alors :

b H Avec

t sinb X X 2 X

2

2200

La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est :

)t sin( B )t ( X )t ( X p

En notation complexe on aura la forme suivante :

)2

t ( j

p Be )t ( X ~

)t ( X ~

En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors :

0

2222

2

Avec

1

2tan

)2( )1(

b B

Les variations de B=f(μ) :


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2

1 si

21

10

0d

dB2

mm

Ainsi, on peut distinguer deux cas :

2

1

Amortissement faible Résonance

2

1 Amortissement important

On peut en déduire que :

b B

0 B0

Pour =0.5, on aura :

05.7 où' d 101 )1(

si101b

B

2 pour b15.1 B B

12

21

21

21

12

mmax

On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la

pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude.

Pr obl ème 6:

On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, figure 14.4, représentée par une

masse m placée dans un potentiel élastique du type : 22

1kx E p

Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de

frottement est α.

Figure 14.4 : Modèle physique d’un amortisseur


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Parti A : :

Dans le cas des oscillations libres

Déterminer le Lagrangien du système. Etablir l’équation du mouvement.

En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes :

x(t=0)=0 et 0v )0t ( x .

PartieB:

On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées

sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme :

t cos f )t ( f 0

On admet que la vitesse du mobile est de forme : )t cos( v )t ( v 0

Établir l’équation du mouvement.

Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.

Déterminer l’impédance mécanique complexe définit comme rapport entre la

force appliquée et la vitesse du mobile.

Comparer le résultat avec le système électrique.

Solutions :

Modelibre :

Le Lagrangien du système s’écrit :

Pour l’énergie cinétique on a :

2c xm

2

1 E

Et pour l’énergie cinétique on a

2

p kx

2

1 E


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Alors, le lagrangien du système s’écrit :

22kx

2

1 xm

2

1 L

L’équation du mouvement :

m

k avec0 x x0kx xm

20

20

La solution générale est de la forme :

t sinv

)t ( x 00

0

M ode forcé:

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme:

)t ( f kx x xm

D’où

m

k

m2

avecm

)t ( f x x2 x

20

20

C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.

La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est :

)t ( j

e p Ae R )t cos( A )t ( x )t ( x

Soient A l’amplitude de la solution et son argument.

En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, On obtient

Le module d’amplitude suivant :

2220

2

0

)2( )(

m

f

)( A

Et la phase du mouvement comme suit :

20

2

2tan

Les variations de )( A sont déterminées par :

22r 20

d )( dA


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Cette pulsation est appelée pulsation de résonance.

l’impédance complexe est définit comme suit :

)t ( v )t ( f Z ~mécani

En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient:

)k

m( j Z ~

mécani

Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit:

)C

1 L( j R Z

~

)t ( i

)t ( u Z ~

apind électriélectri

On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système

électrique comme suit :

ap

ind

C

1k

Lm

R

Pr obl ème 7:

Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est

nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un

système de suspension.

Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer

parallèlement à l’axe vertical Oz . La suspension le reliant au châssis est modélisée par

un ressort de longueur à vide l 0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur

exerçant sur le moteur une force de freinage z fr u z f

Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g


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Figure 15.4 : Etude les vibrations d’un moteur

Mode A :

Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.

Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au

point m.

Mode B : Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre et puis on le

laisse évoluer librement.

Déterminer le Lagrangien du système.

Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t).


m

k 2

0

et0m2

Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0,

on suppose que ν


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M ode C :

Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force

supplémentaire de forme : z 0 ut cos F )t ( F

Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)

En régime permanent, on cherche des solutions de la forme

)t cos( V )t ( etV )t cos( z )t ( z 00 Donner l’expression de la grandeur ieV V 0

Exprimer l’amplitude V 0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F 0 /m.

Donner l’allure de V 0 (ω).

Appl icati on num érique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse

m=10kg . On dispose de deux ressorts de raideurs k 1=4 106 n/m et k 2=10

6 n/m.

lequel faut il choisir pour réaliser la suspension ?

Solutions :

Mode A :

Le

Documents

tome-1_vibrations (1).pdf