Third Edition MECHANICS OF MATERIALS - Muhendislikmuhendis.kafkas.edu.tr/doc/personel-dosyalari/mukavemet-hafta-6-7... · MECHANICS OF MATERIALS dition Beer

MECHANICS OF

MATERIALS

Third Edition

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

CHAPTER

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

3Burulma

Fatih Alibeyoğlu


MECHANICS OF MATERIALS

Th

irdE

ditio

n

Beer • Johnston • DeWolf

Burulma

• Döndürme momenti etkisi altında dairesel kesitli

parçalar burulmaya zorlanır.



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Uygulamada birçok makine elemanı parçası

burulmaya zorlanır.

Buhar türbininden elektrik jeneratörüne

Elektrik motorundan takım tezgahına

Otomobil motorundan tekerlek aksına



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• A buhar türbini ve B elektrik

şaftından oluşan sistemde;

• T burulma momenti üreten

elektrik motoruna şaft

tarafından T’ eşit ve ters

yönlü bir etki oluşturacaktır.



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• A ve B de eşit ve zıt yönlü T ve T ’

torklarına maruz kalan AB

şaftından, eksene dik geçen keyfi

bir C kesiti aldığımızda;

AC parçası BC üzerine şaftın

yarıçapına dik dF kesme

kuvvetleriyle etki eder.

dF kuvvetinin şaft eksenine dikuzaklığı ρ ile gösterilecek olursa;

dF = τ .dA



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Uygulanan bir tork şaft eksenine dik

yüzeylerde kayma gerilmeleri meydana

getirir.

• Dairesel bir milin üzerine eksene paralel

şerit levhalar yerleştirilip burulma

momentine maruz bırakılırsa; levhaların

birbirlerine göre yaptığı kayma

görülebilir.

Şaft Ekseni



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Dairesel kesitli şaftlar ile

dairesel olmayan kesitli

şaftları kıyaslayacak olursak;

• Dairesel kesitli şaftın enineve düzlemsel kesitinin

bozulmadığını görürüz.

• Karesel kesitli şaft ise

burkulur. Düzlemleri bozulur.

• Bundan dolayı hareket

ileten mekanizmalarda

dairesel kesitli şaftlar

kullanılır.



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Bir ucu ankastre mesnetli T torkuuygulanan dairesel kesitli şaftı

inceleyecek olursak;

• Serbest ucun φ(phi) açısı kadar

döndüğünü gözlemleyebiliriz.

• Kuvveti artırırsak açı artar. Demek kiT- φ arasında orantı vardır.

• Eğer L uzunluğunu artırırsak açının

da artacağını gözlemleyebilir.

Demek ki L- φ arasında orantıvardır.



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Çok küçük açılar için AA’ yayının uzunluğu

• AA’= Lγ ya da AA’= ρφ

• Demek ki dairesel şaftta kayma şekil

değiştirmesi şaft eksenine olan mesafeyle

doğrusal olarak değişir.

• Eğer c=ρ olursa şaft yüzeyinde maksimum

kayma şekil değiştirmesi gözlemlenir.



Th

irdE

ditio

n


Burulma



Th

irdE

ditio

n


Burulma



Th

irdE

ditio

n


Burulma



Th

irdE

ditio

n


Burulma

Maksimumum tork

Minimum kayma gerilmesi



Th

irdE

ditio

n


Burulma

Sünek malzemelerin hasarında kayma gerilmeleri, gevrek malzemelerin

hasarında ise çekideki normal gerilmeler daha etkilidir.



Th

irdE

ditio

n


Burulma

BC şaftı iç ve dış çapları sırasıyla 90 ve 120

mm olan boşluklu bir şafttır. AB ve CD d

çaplı içi dolu şaftlardır. Yükleme şartı için;

a) BC şaftındaki maksimum ve minimum

kayma gerilmelerini,

b) AB ve CD şaftlarının kayma gerilmesi 65

MPa olduğuna göre bu şaftların çapını

belirleyiniz?



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• AB şaftı için

• BC şaftı için

• Max kayma gerilmesi



Th

irdE

ditio

n


Burulma

• Minumum Kayma gerilmesi

• Bu şaftların ikisi de

• T=6kN.m τ𝑒𝑚=65 Mpa

• Şaftların yarıçapını c ile

gösterirsek



Th

irdE

ditio

n


Elastik Bölgede Burulma Açısı

• Maksimum kayma şekil değiştirmesi ile

kayma gerilmesi arasındaki ifadeyi

hatırlarsak ;

• Elastik bölgeyi incelediğimiz için

• φ (rad ) cinsinden bulunur.

• Tork veya mil kesiti değişirse toplam

dönme açısı her bir kısmın dönme

açısının toplamına eşit olur.



Th

irdE

ditio

n


Elastik Bölgede Burulma Açısı



Th

irdE

ditio

n


Soru

• 2 ͦ lik burulma açısı oluşması

için şaftın uç kısmına

uygulanması gereken tork ne

olmalıdır?

• G=77x 109Pa



Th

irdE

ditio

n


Soru

• AD yatay şaftı D noktasından

ankastre mesnete bağlanmıştır

ve şekilde gösterildiği gibi

torklara maruz kalmıştır. CD

kısmına 0.6 m uzunluğunda 44

mm çapında delik açılmıştır. Bu

durumda A noktasındaki

burulma açısı ne olur?

(G=77 GPa)



Th

irdE

ditio

n


Çözüm• AB kesitini alalım çünkü B noktasından sonra

Tork ve kesit kalınlığı değişmektedir.

• BC kesitini ayıralım çünkü C noktasından

sonra kesit değişmektedir(C’den sonra içi boş

mil vardır ) fakat tork(2000+250 Nm) sabittir.

• Polar atalet momentlerini bulacak olursak



Th

irdE

ditio

n


Soru

• A noktasındaki burulma açısı



Th

irdE

ditio

n


• Bir ucu sabit millerde

dönme açısı sabit ucun

dönmesine eşit

olduğunu gördük eğer

bir milin iki ucu da

dönüyorsa burulma açısı

bir ucun diğer uca göre

dönmesine(farkına ) eşit

olacaktır.



Th

irdE

ditio

n


Örnek

• Şekilde verilen sistemde 𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵olduğuna göre ve E noktasından T

torku uygulanırsa BE şaftının E

ucundaki dönme açısını bulunuz.

ÇÖZÜM

• Öncelikle dişliler birbirine eşit ve zıt

yönlü kuvvet uygulayacaktır. AD

şaftında F kuvveti BE şaftında F’

kuvvetleri oluşacaktır. Bu durumda

𝑟𝐴 = 2 𝑟𝐵 olduğundan

𝑇𝐴𝐷=2T(Kuvvetler eşit, AD nin çapı

diğerinin iki katı, Moment=Kuvvet x

Dik uzaklık)

• A şaftının dönme açısı A dişlisinin

dönme açısı şaftın burulma açısına

eşit olacaktır çünkü D ucu sabittir.



Th

irdE

ditio

n


Çözüm

• A dişlisindeki dönme açısı:

• CC’ ve CC’’ yaylarının eşit olması

gerektiğinden

BE şaftının dönme açısını bulacak olursak;



Th

irdE

ditio

n


Soru

• İçi dolu iki çelik şaft dişlilere

bağlanmıştır. Her bir şaft için G= 77

GPa ve emniyetli kayma gerilmesi

55 MPa olduğuna göre AB şaftının

a) A ucuna uygulanabilecek en

büyük 𝑇0 torkunu;

b) AB şaftının A ucunun dönmesiyle

oluşan açıyı belirleyiniz.



Th

irdE

ditio

n


Çözüm

• Statik Denge Şartlarından :

B dişlisi için Σ𝑀𝐵=0; F(22 mm)- 𝑇0 =0

C dişlisi için Σ𝑀𝐶=0; F(60 mm)- 𝑇𝐶𝐷 =0

𝑇𝐶𝐷= 2.73 𝑇0Dişlilerin çevresel hareketi eşit olduğundan

𝑟𝐵𝜙𝐵 = 𝑟𝐶𝜙𝐶 𝜙𝐵 = 𝜙𝐶𝑟𝐶

𝑟𝐵=2.73𝜙𝐶

𝑻𝟎 Torku , AB Şaftı için

𝑇0=𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm

τ =𝑇𝐴𝐵 𝑐

𝐽=

𝑇0(9.5 𝑥 10−3 𝑚)

12𝜋(9.5 𝑥 10

−3𝑚 )4= 55 𝑀𝑃𝑎

𝑇0=74.1 N.m

CD şaftı için

𝑇𝐶𝐷=2.73𝑇𝐴𝐵 ve c=9.5 mm 𝜏𝑒𝑚 = 55 𝑀𝑃𝑎

τ =𝑇𝐶𝐷 𝑐

𝐽=2.73𝑇0(12.5 𝑥 10

−3 𝑚)

12𝜋(12.5 𝑥 10

−3𝑚 )4= 55𝑀𝑃𝑎

𝑇0=61.8 N.m𝑇0=61.8 N.m değeri seçilir



Th

irdE

ditio

n


Çözüm

• Dönme Açıları

AB Şaftı

CD şaftının D ucu sabit olduğu için φ𝐶/𝐷 = φ𝐶

φ𝐴/𝐵 =𝑇𝐴𝐵 𝐿

𝐽𝐺=

(61.8 𝑁.𝑚 )(0.6 𝑚)

12𝜋(9.5 𝑥 10

−3𝑚 )4(77𝑥 109𝑃𝑎)

= 0.0376 𝑟𝑎𝑑 = 2.16 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒CD Şaftı

φ𝐶/𝐷 =𝑇𝐶𝐷 𝐿

𝐽𝐺=

(168.7 𝑁.𝑚 )(0.9 𝑚)

12𝜋(12.5 𝑥 10

−3𝑚 )4(77𝑥 109𝑃𝑎)

= 0.0514 𝑟𝑎𝑑 = 2.95 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐𝑒

𝜙𝐵 =2.73𝜙𝐶 = 2.73 2.95 = 8.04 ͦ

𝜙𝐴 = 𝜙𝐵+ 𝜙𝐴/𝐵 = 8.04 ͦ + 2.16 ͦ



Th

irdE

ditio

n


Burulma ile Eksenel Yükleme durumunun kıyaslaması

Eksenel Kuvvet (P)

Deformasyon(Uzama- Kısalma)(δ)

Normal Gerilme(σ)

Eksenel Birim Şekil Değiştirmesi(ε)

Elastisite Modülü(E)

Burulma Momenti (Tork) (T)

Dönme Açısı(φ)

Kayma Gerilmesi(τ)

Kayma Birim Şekil Değiştirmesi(γ)

Kayma Modülü(G)



Th

irdE

ditio

n


Statikçe Belirsiz Şaftlar

• Bir şaftın mesnetlerindeki tepkiler veya iç torklar sadece statikten

bulunamıyorsa şaft statikçe belirsiz demektir.

• AB dairesel şaftı B ucundan

itibaren 125 mm boyunda 16

mm çapında delik açılmıştır.

Şaftın tüm kesit boyunca dış

çapı 22 mm dir. Bu durumda

her bir mesnetin şafta

uyguladığı torku bulunuz.



Th

irdE

ditio

n


Soru

• 𝑇𝐴 + 𝑇𝐵 = 120 𝑁.𝑚

• Bu denklemden torkları bulamayacağımız için bu

problem için statikçe belirsiz denilebilir. Bu şaftın her

iki ucu sabit olduğu için dönme açıları 0’a eşit

olacaktır.

• 𝐽1 = (1

2𝜋0.011 𝑚 )4 = 230𝑥 10−6 𝑚4)

• 𝐽1 =1

2𝜋[(0.011 𝑚 )4 − (0.008𝑚)4] = 165.6𝑥 10−6 𝑚4)

• 0.72 𝑇𝐴 = 𝑇𝐵• 1.72 𝑇𝐴=120 N.m

• 𝑇𝐴 = 69.8 𝑁.𝑚 𝑇𝐵 = 50.2 𝑁.𝑚



Th

irdE

ditio

n


Soru

• Bir çelik şaft ve bir alüminyum tüp bir

ucundan sabit bir mesnete diğer

ucundan rijit bir plakaya

bağlanmıştır. Emniyet gerilmeleri

çelik şaftta 120 Mpa ve alüminyum

tüpte 70 Mpa olduğuna göre diske

uygulanabilcek 𝑇0 maksimum

torkunu belirleyiniz. Çelik için G=77

GPa alüminyum tüp için G=27 Gpa

dır.

ÇÖZÜM:

• Tüp ve şaft rijit diske bağlandığı için ikisinin deformasyon açıları eşit

olacaktır.

• Tüp ve şaft rijit plakaya bir tork uygulayacaktır. Bunların toplamı da

toplam torka eşit olacaktır.



Th

irdE

ditio

n


Çözüm• Rijit plaka için

• Deformasyonlar: tüpün deformasyonu şaftın

deformasyonuna eşit olur.

Kayma Gerilmeleri



Th

irdE

ditio

n


Aktarma Şaftlarının Tasarımı

• Bir şaftın yerine getirmesi gereken temel koşullar:

İletilecek güç

Şaftın dönme hızını kapsar

𝜔 = 2𝜋𝑓 𝑡𝑖𝑟. 𝐵𝑖𝑟𝑖𝑚: 𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛/𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒

𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑘𝑎𝑛𝑠 𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑛𝑖𝑦𝑒𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟 𝑠𝑎𝑦𝚤𝑠𝚤 𝑠−1 𝐻𝑧

𝑃 = 𝐺üç(𝑊𝑎𝑡𝑡)(𝑁.𝑚/𝑠)

1𝑑𝑒𝑣𝑖𝑟

𝑑𝑎𝑘𝑖𝑘𝑎=

1

60𝑠−1 =

1

60𝐻𝑧



Th

irdE

ditio

n


Soru

• 3.7 kW’lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorun şaftındaki

kayma gerilmesinin 60 Mpa’yı aşmaması istendiğine göre hangi

boyutta şaft kullanılmalıdır.



Th

irdE

ditio

n


Soru

• 50 mm’lik dış çaplı çelik tüpten oluşan bir şaft , 20Hz’lik bir

frekansla dönerken 100 kW’lık güç iletmektedir. Kayma

gerilmesinin 60 Mpa’ı aşmaması gerektiğine göre kullanılması

gereken tüp kalınlığını belirleyiniz.



Th

irdE

ditio

n


Soru

• AB, BC ve CD şaftlarının her biri içi

dolu şaftlardır.

a) Maksimum kayma gerilmesinin

oluştuğu şaftı

b) Bu gerilmenin büyüklüğünü

bulunuz



Th

irdE

ditio

n


Soru

• AB alüminyum çubuğu(G=27 GPa )

BD pirinç (G= 39 GPa )çubuğuna

tutturulmuştur. CD parçası boşlukludur

ve iç çapı 40 mm olduğuna göre

A’daki burulma açısını belirleyiniz.



Th

irdE

ditio

n


Soru

G= 77 GPa olan AB ve CD şaftlarının tasarımları yapılacaktır.

𝜏𝑚𝑎𝑘𝑠 ≤ 60 𝑀𝑃𝑎 ve CD şaftının D ucunun dönmesiyle oluşacak olan

dönme açısının (𝜑𝐷) 1.5 ͦ ‘ yi geçmemesi istenmektedir. Bu durumda

şaftların çaplarını belirleyiniz.



Th

irdE

ditio

n


Ödev

• Cisimlerin Mukavemeti kitabından problem

• 3.13

• 3.37

• 3.57

• 3.74

• Ödevler 25.11.2014 tarihine kadar teslim

edilecektir.

Documents

Third Edition MECHANICS OF MATERIALS - Muhendislikmuhendis.kafkas.edu.tr/doc/personel-dosyalari/mukavemet-hafta-6-7... · MECHANICS OF MATERIALS dition Beer