Théorie Des Graphes_1

Introduction

Introduction la thorie des graphes

Fattehallah Ghadi1

1Department of Mathematics and Computer ScienceFaculty of sciences, Ibn Zohr University.

F. Ghadi Graphes - ENSA4

Introduction

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1 IntroductionDfinitionsIntrt et ApplicationExemples

IntroductionDfinitionsIntrt et ApplicationExemples

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Dfinition

Dfinition 1La Thorie des graphes est un domaine la frontire entreles mathmatiques et linformatiqueBranche des mathmatiques, distincte, ne faisant ni partiede lanalyse, ni de lalgbre et encore moins desprobabilits ou des statistiques.

Dfinition

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IntrtInstrument de modlisation - rsolution ;Structure de Donnes :

1 Les structures relationnelles : celles-ci prennent en comptedes relations existant ou nexistant pas entre les entitsquelles dcrivent ; les relations binaires sontreprsentables sous forme de graphes (orients ou non).

2 Les structures arborescentes, avec la sous-familleimportante des arbres binaires.

ApplicationsProblmes de rseau de transport ;Problme de gestion de projet ;Modlisation de systmes dynamiques.

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Ponts de Konigsberg

1736 Euler,sintresse auproblme des pontsde KonigsbergIl s git de savoir silexiste un cheminpassant une fois etune seule parchaque pont de laville.

Ponts de Konigsberg

Modlisation

les arcs (courbes oulinaires)symbolisent lesparcours possiblesentre les diffrentssecteurs de la ville :les noeuds dugraphe.Les arcs : PontsNoeuds : secteursde la ville.

Euler prouva que tout noeud dun graphe de ce type doit trereli un nombre pair d arcs. (chemin Eulrien)

Modlisation

Existe-t-il unparcours ferm sur ce graphe empruntant chaque arte unefois et une seule?

Problme de Postier

Minimiser la distance parcourue par un postier voulantdesservir toute la ville.1856, Hamilton tudie le problme suivant : Trouver unchemin passant une fois est une seule par chaque sommetd un graphe (Chemin Hamiltonien)

Problme de Postier

Plus court / Plus long chemin

Soit un ensemble de villes et des chemins reliant ces villesentre elles. Le problme consiste trouver pour une villede dpart donne et une ville d arrive donne le cheminle plus court qui les relies.Trouver un chemin le plus court pour chaque couple devilles.

Plus court / Plus long chemin

Soit un ensemble de villes et des chemins reliant ces villesentre elles. Le problme consiste trouver pour une villede dpart donne et une ville d arrive donne le cheminle plus court qui les relies.Trouver un chemin le plus court pour chaque couple devilles.

Plus court Chemin

la meilleure solutionpour aller dusommet hautgauche au sommetbas droite.Le cot de ceparcours est :1+2+6-2=7.

Plus court Chemin

Ordonnancement / Planification : Gestion de Projet

Le projet est constitu de diffrentes tapes raliser.Certaines taches doivent tre effectues avant d autres(logique !), alors que certaines peuvent tre effectues enmme temps. Ainsi, on tablit un certain ordre entres lestapes.Trouver une planification des tches qui aboutisse laRalisation du projet en un minimum temps ?Dtecter les tapes dites critiques dont le moindre retardpeut affecter toute la suite du projet.?Ordonnancer=Rpondre la question Sous quellemodalit?

Exemple

Affectation

Affectation : Suite des modifications de poste dans uneentreprise, plusieurs personnes doivent tre affectes denouveaux postes. Chacun doit classer par ordre deprfrence les postes qu il veut occuper.Problme : Comment attribuer chaque personne unposte tout en respectant au mieux son souhait ?

Affectation

Affectation : Suite des modifications de poste dans uneentreprise, plusieurs personnes doivent tre affectes denouveaux postes. Chacun doit classer par ordre deprfrence les postes qu il veut occuper.Problme : Comment attribuer chaque personne unposte tout en respectant au mieux son souhait ?

Voyageur de commerce

Voyageur de Commerce : Un voyageur de commerce doitdmarcher dans un certain nombre de villes. Il connatbien entendu la distance qui spare les villes entre elles.Le voyageur veut passer le moins de temps possible dansses dplacements.Problme : Trouver un chemin qui passe par toutes lesvilles une fois et une seule et qui est le plus courtpossible? (Cycle de cot minimum)

Voyageur de commerce

Voyageur de Commerce : Un voyageur de commerce doitdmarcher dans un certain nombre de villes. Il connatbien entendu la distance qui spare les villes entre elles.Le voyageur veut passer le moins de temps possible dansses dplacements.Problme : Trouver un chemin qui passe par toutes lesvilles une fois et une seule et qui est le plus courtpossible? (Cycle de cot minimum)

Exemple2

Le cot de cette solution est=92

Exemple2

Remarquesle problme de Voyageur de commerce semble proche decelui du plus court chemin. La ralit il sont diffrents.Hormis l algorithme testant tous les chemins possibles, il nexiste pas de mthode donnant la meilleure solution.Tester tous les chemins possibles devient vite hors deporte de calcul, mme pour les ordinateurs les pluspuissants.

Flow Maximum

Flow Maximum : Soit des chteaux d eau ayant un dbitconstant. Ils desservent un certain nombre de villes,chacune ayant des besoins quantifis constants. L eau estachemine travers des conduits dont le dbit maximumest connu.Problme : Trouver un moyen de satisfaire au mieux lesdemandes de chaque ville. C--d essayer d apporter leplus d eau possible vers les villes?

Flow Maximum

Flow Maximum : Soit des chteaux d eau ayant un dbitconstant. Ils desservent un certain nombre de villes,chacune ayant des besoins quantifis constants. L eau estachemine travers des conduits dont le dbit maximumest connu.Problme : Trouver un moyen de satisfaire au mieux lesdemandes de chaque ville. C--d essayer d apporter leplus d eau possible vers les villes?

Exemple3

PlanIntroduction aux graphesArbres et ArborescencesReprsentation des graphesArbre recouvrant de poids minimum (ARM)Recherche du plus court cheminPlanificationRecherche du flot maximum

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Théorie Des Graphes_1