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The One-dimensional Cutting Stock Problem with Usable Leftovers and Handling
Constraints: a Case Study
Kelly Cristina Poldi, Gerhard Wäscher
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
2
Conteúdo
• Apresentação da empresa
• Definição do problema
• Modelo matemático
• Método de solução
• Exemplos
• Perspectivas
3
Motivação
• Produção de lamelado colado (“glued laminated timbers”) para atender mercado internacional
Nordlam GmbH, in Magdeburg.
• Nordlam GmbH
• Localizada em Magdeburg
4
Magdeburg está situada no coração da Europa, com excelente conexão internacional (rodovia, ferrovia e navegação fluvial).
Nordlam GmbH
5
Logística – Rio Elba
Rio Elba: nasce na República Tcheca, desagua no Mar do norte, em Hamburgo, no maior porto da Alemanha.
República Tcheca.
Porto em Hamburgo.
Aqueduto de 918m. (228m sobre a água)
Wasserstraßenkreuz
6
Produtos: Lamelados Colados
• Resistência à incêncio (embora metal não queime, ele deforma rapidamente);
• Resistência a terremoto (tipo de encaixe);
• Transferência de calor.
• Meio-ambiente: recurso renovável, enquanto metal consome muita energia (recurso não-renovável) para ser produzido.
Madeira x Metal
7
Produtos
8
Classificação
• Dimensão:
Produtos
• Firmeza: BS11, BS14, BS16, BS18
• Qualidade: view (85%)
industry (15%)
9
• Objetos são estocados em diferentes cassetes (aprox. 990 cassetes);
• Perda aceitável de até 2000mm;
• Sobra de 8000mm a 19999mm.
Informações adicionais
10
• Cherri, A. C., Arenales, M. N., Yanasse, H. H. (2008). The one dimensional cutting stock problem with usable leftover – a heuristic approach. EJOR.
Literatura
• Gradisar, M., et al. (1997). Optimization of roll cutting in clothing industry. C&OR.
Constrói padrões de corte adicionando-se e retirando-se itens no padrão.
Algoritimos baseados em níveis de apiração.
• Abuabara, A., Morabito, R. (2008). Cutting optimization of structural tubes to build agricultural light aircrafts. AOR
Indústria de aeronaves.• Koch, S.; König, S.; Wäscher, G. (2008). Linear Programming for a Cutting Problem in the Wood Processing Industry – A Case
Study. Working paper.
Padrões de corte gerados a priori.
11
Formulação matemática
kKk
hand
jPpjp
trimjp
Jj
ycxc
)(
min
trim
jpc
.,0
;,
;,
cc
perdaLc
sobraLc
Iiijpij
waste
Iiijpij
leftover
:
:trimjp
hand
c
c Custo de movimentação de cassetes
Custo de padrão de corte
12
.,1,0
);(,,integerand,0
;,
;,
;,t.s.
min
)(
)(
)(
)(
Kky
jPpJjx
JjONMAXx
Jjysx
Iidx
ycxc
k
jp
jjPp
jp
Kkkjk
jPpjp
ijPp
jpijpJj
kKk
hand
jPpjp
trimjp
Jj
Formulação matemática
13
Um padrão de corte p (p P(j)) para um objeto tipo j é representado por um vetor:
que satisfaz:
Um padrão de corte é factível factível quando:
tmjpjpjp ,,α 1
).(,,0
);(,,,integerand,0
);(,,1
);(,,
jPpJjt
jPpJjIi
jPpJj
jPpJjLt
jp
ijp
Iiijp
jjpIi
ijpi
,0 jIi
ijpijp Lt
não há perda:
Perda aceitável:
Sobra:
,0 WLMAXLtIi
ijpijjp
.RLMAXLtRLMINIi
ijpijjp
Padrões de corte
14
n = m + m’
m m’
A= NB1. Partição básica
2. Solução básica inicial:
3. Variáveis duais: multiplicadores simplex
4. Custos relativos:
5. Direção simplex
6. Tamanho do passo
7. Atualização e volta ao passo 3.
dB Bx
Bt cB
qccqNk ,ˆminˆDantzig:
Nqaccqqq N
tNN ,ˆ
base na entra variável0
ótima solução0
kac
ac
kt
k
kt
k
Método de solução: Simplex com GC
15
Custos relativos
.max
min
min
,minˆ
wastewaste
wastewaste
waste
iijpiij
iijpi
iijpij
iijpi
iijpij
Nt
N
cLc
cLc
Lc
qccqq
Custos relativos:
Problema da mochila:
zj
mi
jLts
vvz
ijp
jmjpmjp
mjpmjpj
,,1int,and,0
,..
max
11
11
icv iiwaste
i ,
jj zLcc wasteˆ
Custo relativo é dado por:
Minimizar custos totais
iijpijjp Lcc wasteFunção objetivo
16
.)(,,0
;,
;,t.s.
min
jPpJjx
Jjsx
Iidx
xc
jp
jp
jp
ip
jpijpj
pjpjp
j
Problema Mestre Relaxado
(PMR)
Subproblema tipo 1 (SP1)Padrão de corte
Procedimento para a solução
Resolver o PCE usando geração de colunas, com ILOG Concert.
Subproblema tipo 2 (SP2)Padrão de corte com sobra
mi
jL
v
ijp
jIi
ijpi
Iiijpi
,,1,intand0
,t.s.
max
mit
jLt
v
jpijp
Iiijp
jjpIi
ijpi
Iiijpi
,,1,intand0,
,1
,t.s.
max
17
(a) Construir o Problema Mestre Relaxado (com padrões de corte homogêneos).
(b) A cada iteração, resolve-se os Subproblemas tipo 1 e tipo 2, para todos os objetos em estoque, em todos os cassetes.
A melhor solução para cada subproblema (menor custo relativo) é adicionada ao Problema Mestre. Porém, todas as colunas são armazenadas.
Quando o processo de geração de colunas termina, tem-se uma solução fracionária para o PMR e todas as colunas que foram geradas no processo.
(c) Converte-se o PM em um problema inteiro a adiciona-se as variáveis binárias yk relativas ao movimento de cassetes.
(d) Resolve-se o PM e obtém-se uma solução inteira para o problema.
Procedimento
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• Custo de movimentação: 6€ por movimentação de cassete
• Custo de material: 320€/m3
• Custo de sobra: 5% do custo do material
• ONMAX: 50% da disponibilidade do objeto padrão
• Perda aceitável: 2000 mm
• Sobra aceitável: entre 8000 mm e 19999 mm
Dados da empresa
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Exemplo
Itens demandados
ComprimentoNúmero Cassete
4 8600 mm 3 24060 mm 849
2 7900 mm 2 24060 mm 163
2 6700 mm 1 19052 mm 163
6 5300 mm 1 16060 mm 849
1 15802 mm 849
1 15802 mm 163
1 12044 mm 163
4 11402 mm 849
1 11136 mm 163
1 9900 mm 163
2 7544 mm 849
1 7042 mm 748
1 6382 mm 163
1 6220 mm 163
1 5428 mm 748
Grupo:
BS11
80 x 180
view
20
Solução para o exemplo
Freq. 8600 7900 6700 5300 CassetePerda/sobra
(mm)Custo por padrão (€)
24060 1 0 0 0 3 849 8160 1,88006
24060 2 2 0 1 0 163 160 0,73728
16060 1 0 0 0 3 849 160 0,73728
15802 1 0 2 0 0 849 2 0,00921
Custo material = 4.10€
Custo mov = 12.00€
Total = 16.10€
Perda = 482 mm (0,46%)
Sobra = 8160 mm
21
Experimentos computacionais
53 grupos de produtos
22
Experimentos computacionais
de até
Número de tipos de itens 2 16
Número de tipos de objetos 5 82
Número de cassetes 1 13
Média (53 exemplos):
Perda 748 mm 3,44€ 0,71%
Sobra 18324 mm 4,22€
Número de cassetes 1,64 9,84€
Função objetivo 17,51€
Tempo computational 4,7 s
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Conclusões e Perspectivas
• Um problema prático foi modelado e uma abordagem por geração de colunas foi desenvolvida para resolvê-lo.
• A abordagem desenvolvida foi capaz de resolver todos os problemas fornecidos pela empresa em um tempo computacional aceitável e também apresentou solução de qualidade (min valor da f.o.).
• Testes com variação no parêmetro ONMAX.
• Comparação com solução ótima.
Obrigada!