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C h a p t e r 1

I n t r o d u c t i o n

1 1 W h a t i s t h e {i n i t e e l e m e n t m e t h o d

T he f i n i te e l e m e n t m e t ho d (F E M ) i s a n u m e r i c a l t e c h n iq u e f o r s o l v in g p r o b l e m s w h i c h a r e d e s c r i be d

by p a r t ia l d i f f e r e n t i a l e q u a t io n s o r c a n b e f o r m u l a t e d a s f u n c t i o n a l m i n i m i z a t i o n A d o m a i n o f i n t e r e s t

i s r e p r e s e n t e d a s a n a s s e m b ly o f l i n i t e e l e Jn e n l s A p p r o x i m a t i n g f u n c t io n s i n f i n i t e e l e m e n t s a r e de t

m i n e d i n t e r m s o f n o da l v a l u e s o f a p hy s i c a l f i e ld w h ic h is s o u gh t A c o n t in u o u s p hy s i c a l p r o b l e m i s

t r a n s f Dr m e d in t o a di s c r e t i z e d f i n i t e e l e m e n t p r o b l e m w i th u n kn o w n n o d a l v a l u e s F o r a l i n e a r p r o b l e m

a s y s t e m o f l in e a r a lg e br a ic e q u a t i o n s s ho u ld be s o l v e d V a lu e s in s id e f i n i t e e l e m e n ts c a n b e r e c o v e r e d

u s in g n o da l v a lu e s

Tw o f e a t u r e s o f th e F EM a r e w o r th t o b e m e n t io n e d :

1) P ie c e w i s e a pp r o x im a t i o n o f p hy s i c a l f ie ld s o n f i n i t e e l e m e n t s p r o v ide s g o o d p r e c i s i o n e v e n w i th

s im p l e a p p r o x im a t i n g f u n c t i o n s (in c r e a s i n g t h e n u m b e r o f e l e m e n t s w e c a n a c h i e v e a n y p r e c i s i o n )

2) L o c a l it y o f a pp r o x i m a t io n le a d s t o s p a r s e e qu a t i o n sy s t e m s f o r a d is c r e t iz e d p r o b l e m T h i s h e lp s t o

s o l v e p r o b l e m s w i th v e r y l a r g e n u m b e r o f n o da l u n k n o w n s

1 2 H o w t h e F E M w o r k s

T o s u m m a r iz e i n g e n e r a l te r m s h o w th e f i n i t e e l e m e n t m e th o d w o r k s w e l is t m a i n s t e p s o f th e f i n i t e

e le m e n t s o l u t i o n p r o c e du r e b e lo w

1 D i s c r e t iz e the c o n t in u u m T h e f i r s t s t e p i s t o d iv i de a s o l u t i o n r e g i o n i n t o f i n i t e e le m e n t s T he

f in i t e e l e m e n t m e s h i s t y p ic a l ly g e n e r a t e d by a p r e p r o c e s s o r p r o g r a m T h e d e s c r ip t i o n o f m e s h c o n s i s t s

o f s e v e r a l a r r a y s m a i n o f w h i c h a r e n o da l c o o r d in a t e s a n d e l e m e n t c o n n e c t iv i t i e s

2 Se l e c t In t e rp o l a t io n f u n c t io n s I n te r po l a t i o n f u n c t i o n s a r e u s e d t o i n t e r p o l a t e th e f i e l d va

a b l e s o v e r t he e l e m e n t O f te n p o l y n o m i a l s a r e s e l e c te d a s i n t e r p o l a t io n f i m c t io n s T h e d e g r e e o f th e

p o ly n o m i a l d e p e n d s o n th e n u m b e r o f n o d e s a s s ig n e d to th e e l e m e n t

3 Fi n d t he e l e m e n t p m p e r t i e s T he m a t r ix e q u a t i o n f Dr t h e f i n i t e e l e m e n t s h o u l d b e e s t a b l i s he d

w h i c h r e l a t e s th e n o da l v a lu e s o f t he u n k n o w n f u n c t i o n t o o the r p a r a m e t e r s F o r t h is t a s k d i f l e Re n t

a pp r o a c he s c a n b e u s e d ; t he m o s t c o n v e n i e n t a r e : t h e v a r i a t i o n a l a p p r o a c h a n d t he G a l e r k i n m e t ho d

4 A s s e m b l e t h e e l e m e n t e q u a t i o n s To f in d th e g lo ba l e qu a t i o n s y s t e m f o r th e w h o l e s o l u t i o n

r e g i o n w e m u s t a s s e m b l e a l l th e e l e m e n t e qu a t i o n s I n o th e r w o r d s w e m u s t c o m b i n e l o c a l e l e m e n t

e q u a t io n s f o r a l l e l e m e n t s u s e d f o r d i s c r e t iz a t i o n E l e m e n t c o n n e c t iv i t i e s a r e u s e d f o r th e a s s e m b l y

p r o c e s s B e fo r e s o l u t i o n bo u n da r y c o n d i t i o n s (w hi c h a r e n o t a c c o u n t e d i n e l e m e n t e qu a t i o n s ) s h o u l d

b c i m p o s e d

5


C LI A PT E R I IN T RO D U CT I O N

m"

X

F ig u r e 1 1 : T w o o n e d im e n s i o n a l l in e a r e l e m e n t s a n d fu n c t i o n i n t e r p o l a t io n in s ide e le m e n t

5 So l v e the g l o ba l e q u a t i o n sy s t e n T T he f i n i t e e le m e n t g l o b a l e qu a t io n s y t e m i s t y p ic a l ly sp a r s e,

s y m m e t r i c a n d p o s i t iv e de f i n i te D i r e c t a n d i t e r a t iv e m e tho d s c a n be u s e d fo r s o lu t i o n T h e n o da l v a lu e s

o f t h e s o u gh t fu n c t io n a r e p r o du c e d a s a r e su l t o f t he s o lu t i o n

6 C o m p u t e a ddi t i o n a l r e s u l ts I n m a n y c a s e s w c n e e d t o c a l c u l a t e a dd i t i o n a l p a r a m e t e r s F o r

e x a m p l e in m e c h a n i c a l p r o b l e m s s t r a in s a n d s t r e s s e s a r e o f i n t e r e s t i n a dd i t i o n t o d i s p l a c e m e n t s,

w h ic h

a r e o bt a i n e d a f te F s o l u t i o n o f th e g l o ba l e q u a t i o n sy s te m

1 3 F o r m u l a t i o n o f f i n i t e e l e m e n t e q u a t i o n s

Se v e r a l a p p r o a c h e s c a n be u s e d t o t r a n s f o r m t h e phy s i c a l f o r m u la t io n o f th e p r o b l e m t o i t s f i n i t e e l e m e n t

d i s c r e t e a n a l o gu e I f the p hy s i c a l fo r m u la t io n o f t he p r o b le m i s k n o w n a s a d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h e n t h e

m o s t p o p u l a r m e th o d o f i t s f i n i t e e l e m e n t fo r m u l a t i o n i s th e G a l e r kJn m e m o d I f t he p hy s ic a l p r o bl e m

c a n be f o r m u l a t e d a s m i n im iz a t io n o f a f u n c t io n a l t h e n v a r ia t io n a l f o n Jt u ta t i o n o f the f i n i t e e l e m e n t

e q u a t i o n s i s u s u a l ly u s e d

1 3 1 G a l e r k i n m e t h o d

L e t u s u s e s i m p l e o n e d im e n s io n a l e x a m p l e f o r t h e e x p la n a t io n o f f i n i t e e l e m e n t f o r m u l a t io n u s i n g th e

G a l e r k i n m e th o d Su pp o s e th a t w e n e e d t o s o lv e n u m e r ic a l ly th e f o l l o w i n g d i f t e r e n t ia l e qu a t io n :

d2u

a n j + b = 0,

O g a g 2L (1 1)

w i th b o u n d a r y c o n di t i o n s

d ua

di l. 2 L - R( 1 2)

w h e r e 11 is a n u n k n o w n s o l u t i o n W e a r e go in g t o s o l v e th e p r o b l e m u s i n g tw o l i n e a r o n e d i m e n s i o n a lf i n i t e e l e m e n t s a s s ho w n i n F ig 1 1

F i s t c o n s i de r a f i n i t e e l e m e n t p r e s e n t e d o n t he r igh t o f F ig u r e T he e l e m e n t ha s t w o n o d e s a n d

a pp r o x i m a t io n o f the fu n c t i o n U (Z ) c a n be do n e a s f o l l o w s :

U - N 1 U 1 + JVz u 2 - [N ]( · }[N ] = [N , N z ]{ t L} = {u 1 U 2 }

(1 3)

2X

32

6


L e c t m e N o t e s : nt r oduct i on ¢o the F i n i te E l e n \ t : n t M e t hn t t

Ta b le o f C o n t e n ts

C ha p t e r 2 B a r a n d B e a m E l e m e n t s 2 5

C lt a p t e r 4 F i n i t e E l e m e n t M o d e l i n g a n d So l u t i o n T e c hn i q u e s 105

19 9 7 2003 Y ij u n L iu,

U n iv e r s i ty o f C i n c i n n a t i i i i


L e c t u r e N o t e s : h t r o d u c t i o n t o the F i n i t e E l e m e n t M e t ho d

l 19

U F i n i t e E l e Jn e n t F o r n i u l a t i o n

1997 200 3 Y i ju n L iu,

U n i v e r s i ty o f Ci n c i n n a t i i v

: i


L e c t t t r e No t e s : l n t r o cl u c l i o n l o th e F i n i te E l e m e n t M e l ho t t

P r e f a c e

T h e s e o n l i n e l e c t u r e n o t e s (in t h e f o r m o f a n e bo o k ) a r e i n t e n d e d t o s e f v e a s

a n i n t r o d u c t i o n t o t he f i n i t e e l e m e n t m e t h o d (F E M ) f o r u n d e r g r a du a t e s t u de n t s o r

o t h e r r e a d e r s w h o h a v e n o p r e v io u s e x p e r i e n c e w i t h t h i s c o m p u t a t i o n a l m e t h o d

T h e n o t e s c o v e r th e b a s i c c o n c e p t s i n t h e F E M u s i n g t h e s i m p l e s t m e c h a n i c s

p r o b l e m s a s e x a m p l e s,

a n d l e a d t o th e d i s c u s s i o n s a n d a pp l i c a t io n s o f t h e 1 D ba r

a n d b e a m,

2 D p l a n e a n d 3 D s o l i d e l e m e n t s i n t h e a n a ly s e s o f s t r u c t u r a l s t r e s s e s,

v ib r a t i o n s a n d dy n a m i c s T h e p r o p e r u s a g e o f t h e F E M,

a s a p o p u l a r n u m e r i c a l

t o o l i n e n g i n e e r i n g , i s e m p h a s i z e d t h r o u gh o u t t h e n o t e s

T h i s o n l i n e do c u m e n t i s b a s e d o n t h e l e c t u r e n o t e s d e v e l o p e d by t h e a u t h o r

s i n c e 1997 f o r t h e u n de r g r a du a t e c o u r s e o n t h e F E M i n t h e m e c h a n i c a l e n g i n e e r i n gde p a r t m e n t a t t h e U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i Si n c e t h i s i s a n e bo o k

, th e a u t h o r

s u g g e s t s th a t th e r e a de r s k e e p i t t h a t w a y a n d v i e w i t e i t h e r o n l i n e o r o f Fl i n e o n

h i s /h e r c o m p u t e r T h e c o n t e n t s a n d s ty l e s o f t h e s e n o t e s w i l l d e f i n i t e ly c h a n g e

f r o m t i m e t o t i m e,

a n d t h e r e fo r e h a r d c o p i e s m a y b e c o m e o b s o l e t e i m m e d i a t e ly

a f t e r t h e y a r e p r in t e d R e a de r s a r e w e l c o m e t o c o n t a c t t h e a u t h o r f o r a n y

s u g g e s t i o n s o n i m p r o v in g t h i s e b o o k a n d t o r e p o r t a n y m i s t a k e s i n t h e

p r e s e n t a t i o n s o f th e s u b j e c t s o r ty p o g r a p h i c a l e r r o r s T h e u l t i m a t e g o a l o f t h i s

b o o k o n t h e F EM i s t o m a k e i t r e a d i ly a v a i l a b l e f o r s t u de n t s,

r e s e a r c h e r s a n d

e n g i n e e r s,

w o r l d w i d e,

t o h e lp th e m l ear n s u bj e c t s i n t h e F E M a n d e v e n t u a l l y s o l v e

t h e i r o w n d e s i g n a n d a n a l y s i s p r o b l e m s u s i n g t h e F E M

T h e a u t h o r t h a n k s h i s f o r m e r u n de r g r a d u a t e a n d g r a d u a t e s t u d e n t s f o r t h e i r

s u g g e s t i o n s o n th e e a r l i e r v e r s i o n s o f t h e s e l e c t u r e n o t e s a n d f o r t h e i r c o n t r ib u t i o n s

t o m a n y o f th e e x a m p l e s u s e d i n t h e c u r r e n t v e r s i o n o f t h e n o t e s

Y ij u n L i u

C i n c i n n a t i,

O h i o,

U SA

D e c e m b e r 2 002

1997 2003 Y ij u n L iu,

U n i v e r s i ty o f C i n c in n a t i


L e c t u r e N o t e s : f m r o d u c [ i o n t o F i n i t e Ete m e n t M e t ho d C h u p f e r I Tn l r n t h t c l i n n

C h a p t e r 1 In t r o d u c t io n

I.

B a s i c C o n c e p t s

T h e j h i t e e l e r n e n t rr t e t h o d WE M ) , o r Ji n i t e e l e m e n t a n a ly s i s

(F E A ) , i s b a s e d o n th e i d e a o f b u i l d i n g a c o m p l i c a t e d o bj e c t w i th

s im p l e b l o c k s,

o r,

d i v i d i n g a c o m p l i c a t e d o b j e c t i n t o s m a l l a n d

m a n a g e a b l e p i e c e s A p p l i c a t i o n o f t h i s s i m p l e i d e a c a n b e f o u n d

e v e w w h e r e i n e v e r y da y l i f e,

a s w e l l a s i n e n g i n e e r i n g

E x a m p le s :

· i i i l l i i· L e g o (k i d s

'

p l a y )

· B u i l d i n g s

* A pp r o x i m a t i o n o f t h e a r e a o f a c i r c l e :

" E l e m e n t" S i

A r e a o f o n e t r i a n g l e : S,

- : R 2 s i n O :

A r e a o f t h e c i r c l e : S Si

= : R ' N , i . r > t r R 2 a s N > -

i 1

w h e r e N = t o t a l n u m b e r o f t r i a n g l e s (e l e m e n t s )

O bs e r v a t i o n : C o m p l i c a t e d o r s m o o th o b j e c t s c a n b e

r e p r e s e n t e d b y g e o m e t r i c a l ly s i m p l e p i e c e s (e l e m e n t s )

1997 200 3 Y ij u n L iu U n i v e r s i t y o f C i n c in n a t i


L e c t u r e N o t e s : I n t r o d t t c t i o n t o F i n i t e E l e m e n t A i e t ho t l C l l u p te r 1 I nt mt ht c r i a i t

W h y F in it e E le m e n t M e th o d ?

· D e s ig n a n a ty s i s : h a n d c a l c u l a t i o n s,

e x p e r i m e n t s,

a n d

c o m p u t e r s i m u l a t i o n s

· F E M /F E A i s th e m o s t w i d e ly a pp l i e d c o m p u t e r s i m u l a t i o n

m e t h o d i n e n g i n e e r i n g

* C l o s e ly i n t e g r a t e d w i th C A D /C A M a p p l i c a t i o n s

·

A p p l ic a t io n s o f F E M in E n g in e e r in g

* M e c h a n i c a v A e r o s p a c e / C i v i l /A u t o m o b i l e E n g i n e e r i n g

· St mc t ur e a n a ly s i s (s t a t i c /dy n a m i c,

l i n e a r /n o n l i n e a r )

· T h e r m a l / f lu id f l o w s

i g "

· E 1e c t r o m a g n e t i c s

· G e o m e c h a n i c s

B i o m e c h a n i c s

·

M o d e l in g o f g e a r c o u p l i n g

E x a m p le s :

199 7 2 00 3 Y i ju n L i u,

U n i v e r s i ty o f C i n c in n a t i 2

e


L e c [ t t r e N o t e s : i n Er o d u c t i o n t o F i n i t e E l e m e n t M e t ho d c l i@a@a l i n t r o i t u c t i o n

A B r ie f H is to r y o f t h e F E M

· 194 3 C o u r a n t (V a r i a t i o n a l m e t h o d s )

· 19 5 6 T u n e r,

C l o u g h,

M a r t i n a n d T o p p (s t i f f n e s s )

· 19 6 0 C l o u g h (" F i n i t e E l e m e n t "

, p l a n e p r o b l e m s )

19 7 0 s A p p l i c a t i o n s o n m a i n f r a m e c o m p u t e r s

· 19 8 0 s M i c r o c o m p u t e r s, p r e a n d p o s tp r o c e s s o r s

· 19 9 0 s A n a ly s i s o f l a r g e s t r u c t u r a l s y s t e m s

l m

C a n IMMA T e s t m c k f o r m o r e i n f o r m a t i o n a n d a n a n i m a t i o m

© 199 7 2 00 3 Y ij u n L i u U n i v e r s i ty o f C i n c in n a t i 3


L e c t t t r e N o t e s : l n t r o d u e t i o n l o F i n i r e E l e m e n t M e t ho d C ha p te r j I n t r o t l u c t io n

F E M in S t r u c t u r a l A n a ly s is (T h e P r o c e d u r e )

D iv i d e s t r u c t u r e i n t o p i e c e s (e l e m e n t s w i t h n o d e s )

· D e s c r ib e t h e b e h a v i o r o f t h e p hy s i c a l q u a n t i t i e s o n e a c h

e l e m e n t

C o n n e c t (a s s e m b l e ) t h e e l e m e n t s a t t h e n o d e s t o f o r m a n

a p p r o x im a t e s y s t e m o f e qu a t i o n s f o r t h e w h o l e s t m c t u r e

· So l v e th e s y s t e m o f e qu a t i o n s i n v o l v in g u n k n o w n

q u a n t i t i e s a t th e n o d e s (e g , d i sp l a c e m e n t s )

·

· C a l c u l a t e d e s i r e d qu a n t i t i e s (e g , s t r a i n s a n d s t r e s s e s ) a t

s e l e c t e d e l e m e n t s

E x a m p le :

eb b t ::

FE M m o de l i o r a g e a r t o o t h (F r o m C o o k 's b o o k

, P 2)

199 7 2 00 3 Y ij u n L iu U n iv e r s i ty o f C in c i n n a t i 4

:


L e c tu r e N o t e s : i n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E le m e n t M e t ho d C h a p t e r 1 Jn t r o d u c t i rj n

C o m p u t e r Im p le m e n t a t io n s

· P r e p r o c e s s i n g (bu i l d F E m o d e l,

l o a d s a n d c o n s t r a i n t s )

· F E A s o l v e r (a s s e m b l e a n d s o l v e t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s )

· P o s t p r o c e s s i n g (s o r t a n d d i s p l a y t h e r e s u l t s )

A v a i la b le C o m m e r c ia l F E M S o ftw a r e P a c k a g e s

· A (W ) YS (G e n e r a l p u r p o s e,

P C a n d w o r k s t a t i o n s )

· S D RC [ D E A S (C o m p l e t e C A D /C A M /C A E p a c k a g e )

· N ASI RA N (G e n e r a l p u r p o s e F E A o n m a i n f r a m e s )

· A B , { g u s (N o n l i n e a r a n d dy n a m i c a n a ly s e s )

* C O SM O S (G e n e r a l p u r p o s e F E A )

· A L G OR (P C a n d w o r k s t a t i o n s )

· P A I KA N (P r e /P o s t P r o c e s s o r )

H } : p e r M e s l i (P r e /P o s t P r o c e s s o r )

· D y n a 3D (C r a s h / i m p a c t a n a ly s i s )

A L i n k t o C A E S o f t w a r e a n d C o im M n ie s

© 199 7 2003 Y iju n L iu U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 5


L e c t t+ r g N o te s : I n t r o t i u c t i a n to F in i t e E l e m e n t M e t ho ci C h a p t e r 1 I n t r o du c t i o n

O bj e c t iv e s o f Th is F E M C o u r s e

U n d e r s t a n d th e f u n d a m e n t a l i de a s o f t h e F E M

K n o w t h e be h a v i o r a n d u s a g e o f e a c h ty p e o f e l e m e n t s

c o v e r e d i n t h i s c o u r s e

B e a b l e t o p r e p a r e a s u i t a b l e F E m o de l f o r g i v e n p r o b l e m s

· C a n i n t e r p r e t a n d e v a lu a t e t h e qu a l i t y o f t h e r e s u l t s (k n o w

t h e p h y s i c s o f th e p r o b l e m s )

· B e a w a r e o f t h e l im i t a t i o n s o f t h e F E M (d o n' t m i s u s e t h e

F E M a n u m e r i c a l t o o l)

g t J i

13 4 : i ® m LI M ¢i a d e r T r o m m f o r m o r e in f o )

B y J e f f B a d e r t s c h e r (M E C la s s o f 2 0 0 1,

U C )

Se e m o r e e x a m p l e s i n :

S h o w c a s e : F i n it e E l e m e n t A n a w g is i n A c t i o n s

19 97 2003 Y ij u n L iu,

U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i


L e c tu r e N o t e s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E l e n i e n E M e [ ho [ l Cha p te r I I n t r o t l u c t i o n

I I.

R e v ie w o f M a t r ix A l g e b r a

L in e a r S y s te m o f A lg e b r a ic E q u a t io n s

a2 1

X1

+ a2 2

X2

+ + a2 .

X.

- b(1)

w h e r e x b x 2 . , X . A r e t h e u n k n o w n s

\ n m a t r i x f o r m

A x = b (2 )

w h e r e

a

a

11

2 1

a12 : l n

2 n2 2A = a

i j =

a

n la

n 2a

n n

X(3)

X

X = Xi

= b = {b } =

Xn

A i s c a l l e d a n x n (s q u a r e ) m a t r i x,

a n d X a n d b a r e (c o l u m n )v e c t o r s o f d im e n s i o n n

199 7 20 0 3 Y ij u n L iw U n iv e r s i ty o f C in c i n n a t i 7

2

a

a

2

a


L e c t u r e H o l e s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i te E le m e n t h f e ¢ho d m a 1 ! n l r m l l #c t i t J n

R o w a n d C o l u m n V e c t o r s

V = vl

W,

W = < W2

W 3

M a t r ix A d d it io n a n d S u b t r a c t io n

F o r t w o m a t r i c e s A a n d B,

b o t h o f t h e s a m e s i z e (171 x n ) , t h e

a dd i t i o n a n d s u b t r a c t i o n a r e d e f i n e d b y

C = A + B w i t h Cf

- ai

+ b,

D = A B w i th d,

- ai j

b,

S c a la r M u lt ip l ic a t io n

AA = 1- la i j J

M a t r ix M u lt ip lic a t io n

F o r t w o m a t r i c e s A (o f s i z e t x m ) a n d B (o f s i z e m x n ) , t h e

p r o du c t o f A B i s d e f i n e d by

C = A B w i t h Ci j

- ai rt

bt f

k = 1

N o t e t h a t,

i n g e n e r a l,

A B B A,

b u t (A B ) C = A (B C )

(a s s o c i a t i v e )

19 9 7 2 003 Y i ju n L i U n i v e r s i ty o f C in c i n n a t i 8

3V

2V


Le c tu r e N o ze s : I n t r o d u c t io n t o F i n i te E l e m e n t M e t ho t f @MH e r 1 I m r u cl u c ¢i o n

Tr a n s p o s e o f a M a t r ix

I f A = [a i j ] , th e n th e t r a n s p o s e o f A i s

A T = a

j i

N o t i c e t h a t (A B ) T _ B T A T

S y m m e t r ic M a t r ix

A s q zr a r e (n x n ) m a t r ix A i s c a l l e d s y m m e t r i c,

i f

A = A T o r = a

U n it (Id e n t ity ) M a t r ix

I =

0 1

N o t e t h a t A I = A,

I x - X

D e t e r m in a n t o f a M a t r ix

T h e d e t e r m in a n t o f s q u a r e m a t r i x A i s a s c a l a r n u m b e r

de n o t e d by d e t A o r A l F o r 2 × 2 a n d 3 × 3 m a t r i c e s,

th e i r

d e t e r m i n a n t s a r e g i v e n by

d e t - a d b c

a n d

199 7 2 003 Y i ju n L i u,

U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 9

j ia

0

0

1

0

00

:


L e c t u r e N o t e s : Jm r o d t Jc t i o n to F in i t e El ement M e l hu d C l t u p t ¬ r I I m n i du c l i o l l

ai 1

d e t 02 1

12

a2z

a

a

13

23= a , a a

: + a

, a a .

+ az

U3

U13

3 1 3 2 33

13 ' 22 ' 3 1

S in g u la r M a t r ix

A s q zi a r e m a t r i x A i s s i n g u l a r i f d e t A = O,

w h i c h i n d i c a t e s

p r o b l e m s i n t h e s y s t e m s (n o n u n iqu e s o lu t i o n s,

d e g e n e r a c y , e t c )

M a t r ix In v e r s io n

F o r a s q zi a r e a n d n o n s i n g u ta r m a t r i x A (d e t A O) , i t s

m v e r s e A' i s c o n s t r u c t e d i n s u c h a w a y th a t

A A 1_ A ' A - I

T h e c o fa c t o r m a t r i : c C o f m a t r i x A i s d e f i n e d b y

C = ( 11 · j M : j

w h e r e Mi i s t h e de t e r m i n a n t o f t h e s m a l l e r m a t r i x o b t a i n e d bye l i m i n a t i n g t h e i th r o w a n d j th c o l u m n o f A

T h u s,

t h e in v e r s e o f A c a n b e d e t e r m i n e d by

A 1= l g

d e t A

W e c a n s h o w th a t (A B ) 1_ B ' A 1

© 199 7 200 3 Y ij u n L iu,

U n i v e r s i ty o f C i n c i n n a t i 10

a

a

a

1

a


L e c t u r e N o t e s : I n t r o ci u c l i o n t o F i n i t e E l e m e n t M e t ho d C l l a p l e r 1 Tt t r oct uct i on

E x a m p le s :

(1)b

=

La d b c ) , C

C h e c k i n g ,

1 0

(2 ) 1 2 =

3 2 17 T

2 2 1 =

(4 2 1)2 2

1 2

C h e c k i n g ,

0 3 2 17 1 0 07

1 2 1 2 2 1 = 0 1

2 JL1 0 0 1

I f d e t A = O (i e,

A i s s i n g u l a r ) , t h e n A ' d o e s n o t e x i s t !

T h e s o lu t i o n o f th e l i n e a r s y s t e m o f e qu a t i o n s (E q (1 c a n b e

e x p r e s s e d a s (a s s u m i n g t h e c o e f f ic i e n t m a t r i x A i s n o n s i n g u l a r )

X - A ' b

T h u s,

t h e m a i n t a s k i n s o l v i n g a l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s i s t o

f o u n d t h e i n v e r s e o f th e c o e f f ic i e n t m a t r i x

199 7 200 3 Y i j u n L i u,

U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 1 1

1

1

1

2

111

0

11

a

d

1

11

a

C

r

1

1

0

0


L e c t u ' " g N o t e s m u c l i o n to F i n i t e E l e m e n t M e t ho t l C ha p t e r J Jn l r u t l u c t i o n

S o lu t io n Te c hn iq u e s fo r L in e a r S y s t e m s o f E q u a t io n s

· G a u s s e l i m i n a t i o n m e th o d s

· I t e r a t i v e m e t h o d s

P o s it iv e D e f in it e M a t r ix

A s q u a r e (f t x n ) m a t r i x A i s s a i d t o b e p o s i t i v e d e fu ? i t e,

i f f o r

a l l n o n z e r o v e c t o r X o f d i m e n s i o n n,

X T A x > O

N o t e t h a t p o s i t i v e d e f i n i t e m a t r i c e s a r e n o n s i n gu l a r

D if fe r e n t ia t io n a n d In t e g r a t io n o f a M a t r ix

L e t

A ( t ) = [ai j ( t )

th e n t h e d i f f e r e n t i a t i o n i s d e f i n e d by

d t

a n d t h e i n t e g r a t i o n by

A (t ) d t = LI a . (t ) d t

19 9 7 2 0 03 Y ij u n L i u U n i v e r s i ty o f C i n c in n a t i 12

d


Lec t t r e N o te s : I n t r o du c t io n t o F i n i t e E l e m e n t M e tho d W 1 I n i r o d u c t i o n

Ty p e s o f F in it e E le m e n t s

1 D (L i n e ) E l e n t e n t

·

(Sp r i n g , t r u s s

, b e a m

, p ip e,

e t c )

2 D (P l a n e ) E l e m e n t

(M e m b r a n e, p l a t e

, s h e l l

, e t c )

3 D (S o l i d) E l e m e n t

(3 D f i e l d s t e m p e r a t u r e,

d i sp l a c e m e n t,

s t r e s s,

f l o w v e l o c i t y )

1997 20 03 Y ij u n L iu U n i v e r s i ty o f C in c in n a t i 13

e


L e c t u r e N o t ¬ s : I n t r o t i u c t i o n t o F iTt i t e E le n \ e n t M e t ho cl C ha p t e r 1 I n l r o [h +c l in n

I l l.

S p r i n g E le m e n t

°

u e r y tl i n g Lm p ° r t a n t L5 3 Lm p

O n e S p r in g E le m e n t

T w o n o d e s : i, j

N o d a l d i s p l a c e m e n t s : U IJztj (i n

, m

, m m )

N o d a l f o r c e s : j . (1b,

N e w t o n )

Sp r i n g c o n s t a n t (s t i f fh e s s ) : k (1b/ i n,

N /m,

N / m m )

Sp r i n g f o r c e d i s p l a c e m e n t r e l a t i o n s h i p :

F = k A w i t h A - Z'j

Ui

L i n e a r

F N o n l i n e a r

= F / A (> O) i s t h e f o r c e n e e d e d t o p r o du c e a u n i t s t r e t c h

19 9 7 2 0 0 3 Y ij u n L i u U n i v e r s i ty o f C i n c i n n a t i 14

: °

k


L e c t u r e N o t e s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E l e m e m M e th o t l C ha p t e r I I nl m[ l l l cf i on

W e o n ly c o n s id e r En e a r p r o b l e m s i n t h i s in t r o du c t o r yC O U FS E

C o n s i d e r t h e e q u i l ib r iu m o f f o r c e s f o r th e s p r i n g A t n o d e i,

w e h a v e

f : - F = k {u j

U, ) = ku ku

j

a n d a t n o d e j ,

f j- F = k [ u

jLt

,) = ku,

1 kuj

l n m a t r i x f o r m,

L k k J1 u j j l l j lo r

k u - f

w h e r e

k - (e l e m e n t) s t i f fh e s s m a t r i x

U - (e l e m e n t n o d a l ) d i s p l a c e m e n t v e c t o r

f = (e l e m e n t n o d a l ) f o r c e v e c t o r

N o t e t h a t k i s s y m m e t r i c I s k s i n g u l a r o r n o n s i n g u l a r ? T h a t i s,

c a n w e s o l v e th e e qu a t i o n ? I f n o t,

w h y ?

199 7 2003 Y ij u n L iu U n i v e r s i ty o f C i n c i n n a t i 15


L e c tu r e N o t e s : nl r oduct i on to F i n i t e E l e m e n t M e tho t l C }t a p l c r ! I n t r c n i t t t l i f m

S p r in g S y s te m

- MJ

u J F , 2 F 2 Lt 3 F 3

F o r e l e m e n t 1,

k

e l e m e n t 2,

k

w h e r e / ,

° i s t h e (i nt er nal f o r c e a c t i n g o n l o c a l n o d e i o f e l e m e n t

m ( i = 1,

2 )

A s s e m b l e t h e s t iHin e s s Yr i a t r i x j o r t h e w h o l e s y s t e m

C o n s i d e r th e e qu i l ib r iu m o f f o r c e s a t n o d e 1,

F,

=

a t n o d e 2,

a n d n o d e 3,

© 199 7 2 00 3 Y ij u n L iu U n iv e r s i ty o f C i n c i n n a t i 16

3

X

21

2k

2

f :


L e c t u r e N o t e s : I n t r o d u c t i o r t t o F i n i t e E i e m e t t t M e t ho t l @m m t I n t r o t l u t l i rJ ¢i

T h a t i s,

I n m a t r i x f o r m,

k 0 rk n = ia 6 = I =

o r

K U = F

K i s t h e s t i f f n e s s m a t r i x (s t r u c t u r e m a t r i x ) f o r th e s p r i n g s y s t e m

A n a l t e r n a t i v e w a y o f a s s e y r t b l i n g t h e w h o l e s t i ffn e s s m a t r i x

" E n l a r g i n g" th e s t i f f n e s s m a t r i c e s f o r e l e m e n t s a n d 2

, w e

h a v e

0 0 0

0 k k

0 k k

Z'2

3

=

r o

19 9 7 2003 Y i ju n L iu,

U n i v e r s i ty o f C in c in n a t i 17

1

2

22

2

k

0


L e c tu r e N o t e s : h t r o d u c t i o n t o F i n i t e E l e m e n t M e tho t i C l i a p l e r 1 H t r o cl t i c l i o r t

A dd i n g t h e t w o m a t r i x e qu a t i o n s (s zt p e l p o s i t i o i t ) , w e h a v e

n TL V Lt \

k

k k

T h i s i s t h e s a m e e q u a t i o n w e d e r i v e d b y u s i n g t h e f o r c e

e q u i l ib r i u m c o n c e p t

B o u n d a r y a n d l o a d c o n d i t i o n s

A s s u m i n g , Zl

,- O a n d F

, = P=

w e h a v e

k

k

k2

2 =

L

w h i c h r e du c e s t o

k,

1 : k

k

a n d

U n k n o w n s a r e

U = a n d t h e r e a c t i o n f o r c e (i f d e s i r e d )

199 7 2 003 Y ij u n L iu , U n i v e r s i t y o f C i n c i r m a t i 18

2

322

2

2

l:: J

0

k

0


L e c t u r e N o t e s : h zl r o d u c l io n l 0 F in i t e E te m e i zl M e tho t l @m J I n t r o t l u c t io n

So l v in g th e e q u a t i o n s,

w e o b t a i n th e d i sp l a c e m e n t s

a n d t h e r e a c t i o n f o r c e

F,

= I P

C h e c k in g t h e R e s u lt s

· D e f o r m e d s h a p e o f t h e s t r u c t u r e

* B a l a n c e o f t h e ext er nal f o r c e s

· O r d e r o f m a gn i t u de s o f t h e n u m b e r s

N o t e s A b o u t t h e S p r in g E le m e n t s

· Su i t a b l e f o r s t i f f n e s s a n a ly s i s

· N o t s u i t a b l e f o r s t r e s s a n a ly s i s o f th e s p r i n g i t s e l f

· C a n h a v e sp r i n g e l e m e n t s w i t h s t i f f h e s s i n t h e l a t e r a l

d i r e c t i o n,

s p r i n g e l e m e n t s f o r t o r s i o n,

e t c

199 7 2003 Y ij u n L i u U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 19


L e c h +r e N o t e s : I n t r o d u c t io n [o F i n i te E le m e n t M e t ho d @m m 1 I n l r o du c l i o n

E x a m p le 1 1

J k】 k : 2 P k3

2 3 4

G i v e n F o r th e sp r i n g s y s t e m s h o w n a b o v e,

k,

- 100 N / m m,

k2

- 2 00 N / m m,

k3

- 10 0 N / m m

P = 5 00 N,

U1

- U4

- 0

F i n d (a ) t h e g l o b a l s t i f f n e s s m a t r i x

(b ) d i s p l a c e m e n t s o f n o d e s 2 a n d 3

(C) th e r e a c t i o n f o r c e s a t n o d e s 1 a n d 4

(d) th e f o r c e i n th e s p r i n g 2

So l t t t i o n

(a ) T h e e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i c e s a r e

=

r 10 0 10 0

100 10 0(N /m m ) ( 1)

2 0 0(N /m m )

2 0 0(2 )

r 10 0

10 0

10 0= ( N /m m )

10 0(3 )

19 97 2003 Y iju n L i u U n i v e r s i ty o f C i n c in n a t i 20

X

l 1

k

k

k 2

3


L e c tu r e N o te s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E l e m e n t M e l ho cf C ha p te r J I n ¢r o , l u c l i o n

A p p ly i n g th e s u p e r p o s i t i o n c o n c e p t,

w e o b t a i n t h e g l o b a l s t i f f n e s s

m a t r i x f o r t h e s p r i n g s y s t e m a s

0 0

10 0

19o

2 0 0l2 00

K =

21°

2 0 0 ki o o

l 0 0

100

10 0

o r

10 0 100

10 0 30 0K =

2 0 0

2 0 0

3 0 0

10 0

10 0

10 0

w h i c h i s s y m n ?e t r i c a n d b a r zd e d

E qu i l i b r iu m (F E ) e q u a t i o n f o r t h e w h o l e s y s t e m i s

10 0 10 0 0 0 u

100 3 00 2 00 O 1'2

0 2 00 3 0 0 10 0 t '3

100 100 zi

= (4 )

4 1

(b ) A p p l y i n g th e B C ( u,

- zl,

- O) i n E q (4 ) , o r d e l e t i n g th e 1"

a n d

4 t h r o w s a n d c o l u m n s

, w e h a v e

199 7 2003 Y ij u n L iu U n iv e r s i ty o f C i n c i n n a t i 2 1

4t l

0

0

0

P

3t l

0

0

0

0

2Zl

0

0

0

0

0

0

0

0


L e c t u r e N o t e s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E l e m e n t M e tho d C h a p t e r 1 I nt m[ l ucl i on

3 00 2 0 011 t l, 1° 1

2 0 0 30 0 J\ zt, f l p l

So l v i n g E q (5 ) , w e o b t a in

(5)

(m m ) (6)

(C) F r o m t h e 1 s t a n d 4 t h

e qu a t i o n s i n (4 ) , w e g e t t h e r e a c t i o n f o r c e s

F,

= l o o M.

- 2 00 (N )

F,

= 10 0 zt3

- 3 00 (N )

(d) T h e F E e qu a t i o n f o r sp r i n g (e l e m e n t ) 2 i s

H e r e i = 2, j = 3 f o r e l e m e n t 2 T hu s w e c a n c a l c u l a t e t h e s p r i n g

f o r c e a s

F = f , = f = [ 2 0 0 2 0 0j

2 0 0 2 0 0]

- 2 0 0 (N )

C h e c k t h e r e s u l t s l

19 97 2003 Y ij u n L iu U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 2 2

l:: Jl:J


L e c t u r e N o t e s : I n t r o d u c t i o n t o F i n i t e E ie m e n i M e tho t i C ha p t e r 1 I n t r o du c t i o n

E x a m p l e 1. 2

Ln : ii : hnh

J«T

m h

P r o b t e n z : F o r t h e s p r i n g s y s t e m w i t h a r b i t r a r i l y n u m b e r e d n o d e s

a n d e l e m e n t s,

a s s h o w n a b o v e,

f i n d th e g l o b a l s t i f fh e s s

m a t r i x

S o l u t i o n

F i r s t w e c o n s t r u c t th e f o l l o w in g

E l e m e n t C o n n e c t i v i t y T a b l e

E l e m e n t N o d e i (1) JVo d e j ( 2)

w h i c h s p e c i f i e s t h e g l o ba l n o de n u m b e r s c o r r e sp o n d i n g t o t h e

to c a i n o d e n u m b e r s f o r e a c h e l e m e n t

1997 2003 Y ij u n L i u,

U n iv e r s i ty o f C i n c in n a t i 23

k 3

2

3

5

1

F

4

2

3

2

X

1

2

3

4


L e c l t t r e N o t e s : I m r o d u c t i o n l o F i n i te E l e n t e n t M e t ho d C hu p l e r 1 Fnt mdl l cl i nn

T h e n w e c a n w r i t e t h e e l e m e n t s t i f f n e s s m a t r i c e s a s f o l lo w s

1'2

kl

k k

k2

k k= =

2 1

k3

-

k

k4

k k

F i n a l ly , a p p ly i n g th e s u p e r po s i t i o n m e t h o d

, w e o b t a i n t h e g l o b a l

s t i f f n e s s m a t r i x a s f o l l o w s

L'2

= i kl

+ k2

+ k4

0 k

0 k

k 2

k.

4 : k2 3

k

K = k

k

T h e m a t r i x i s s y m m e t r i c,

ba n d e d,

bu t s i t?g u l a r

© 199 7 2 003 Y ij u n L iu U n iv e r s i ty o f C in c in n a t i 24

3t t

2

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0

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k

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3

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