TeoriadasEstruturasI

7/26/2019 TeoriadasEstruturasI

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Maria Fernanda Fvero Menna Barreto

Daniel Tregnago Pagnussat

Carina Mariane Stolz

Teoria dasEstruturas I


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Daniel Tregnago Pagnussat

Carina Mariane Stolz

Teoria das

Estruturas I


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Reitor: Marcelo Palmrio

NEAD - Ncleo de Educao a Distncia

Pr-Reitora de Ensino Superior: Inara Barbosa Pena Elias

Pr-Reitor de logstica para Educao a Distncia: Fernando Csar Marra e Silva

Capa e Editorao:Andresa G. Zam; Diego R. Pinaffo; Fernando T. Evange lis ta; Renata Sguissardi

Reviso Textual e Normas: ?????????????????????????

Ficha catalogrfica realizada pela bibliotecria.

Este livro publicado pelo Programa de Publicaes Digitais da Universidade de Uberaba.

FICHA CATALOGRFICA - SERVIO DE BIBLIOTECA EDOCUMENTAO UNIVERSIDADE DE UBERABA

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CDD: ???


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A histria da hoje Universidade de Uberaba, Instituio sem ns lucrativos, manti-da pela Sociedade Educacional Uberabense, remonta ao ano de 1940, quando Mrio

Palmrio funda o Lyceu do Tringulo Mineiro, com sede, inicialmente, na Rua Manoel

Borges. Com essa iniciativa, o educador dava os primeiros passos na direo de um

projeto muito mais ousado: dotar a pacata Uberaba da poca, de uma escola voltada

para a oferta do ensino superior.

At que a ideia se transformasse em realidade, Mrio Palmrio ps em prtica ou -

tras duas aes. Transferiu a sede do Lyceu, mais tarde chamado de Colgio Tringulo

Mineiro, para um conjunto de edifcios onde, hoje, funciona o Campus Centro e criou a

Escola Tcnica de Comrcio do Tringulo Mineiro.

Em 1947 o governo federal autorizou a abertura da Faculdade de Odontologia do

Tringulo Mineiro. Em menos de dez anos, outras duas escolas entraram em funciona -

mento: a Faculdade de Direito do Tringulo Mineiro, em 1951, e a escola de Engenharia

do Tringulo Mineiro, em 1956. Uberaba, ento, passa a se projetar tambm em razode sua importante estrutura, voltada para o ensino superior, privilgio de poucas cida-

des mineiras, no incio dos anos 50. Junto com essas importantes conquistas, veio a

necessidade de expanso da estrutura fsica. Por isso, em 1976, comeou a funcionar o

Campus Aeroporto, instalado na Avenida Nen Sabino.


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Teoria dasEstruturas ICarina Mariane Stolz; Daniel Tregnago Pagnussat; Maria Fernanda Fvero

Menna Barreto

Caro(a) aluno(a),

Seja bem-vindo(a) disciplina de Teoria das Estruturas I, cujo material didtico foi ela-

borado pelos professores Eng. Civil Carina Mariane Stolz, Dra; Eng. Civil Daniel Tregnago

Pagnussat, Dr.; e Eng. Civil Maria Fernanda Fvero Menna Barreto, Me..

Os autores deste material tiveram sua formao de ps-graduao toda no NORIE/

PPGEC/UFRGS. Atualmente, a prof. Carina M. Stolz realiza seu ps-doutorado na mesma

instituio. A prof. Carina tambm exerce atividades como consultora tcnica, alm de ser

professora convidada do IPOG (Instituto de Ps-Graduao). A prof. Maria Fernanda ti -

tular do curso de Engenharia Civil da Universidade de Cuiab (Unic). Por m, o prof. Daniel

T. Pagnussat professor das Universidades de Caxias do Sul (UCS) e do Vale do Rio dosSinos (UNISINOS), professor convidado do IPOG (Instituto de Ps-Graduao) e consultor.

Dentre as diversas atividades vinculadas prosso dos engenheiros, faz-se necessrio

um profundo conhecimento e interao com importantes conceitos da Fsica aplicada a

APRESENTAO


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corpos rgidos. No estudo de sistemas estruturais, estamos sempre respaldados por dois

ramos da Fsica: a fsica ESTTICA e a fsica DINMICA. Estes conceitos de mecnica

estrutural e de resistncia dos materiais constituem-se na base terica para grande parte

do clculo das estruturas projetadas pelos engenheiros.

Neste material, abordaremos importantes conceitos relacionados a cargas mveis e

deslocamentos em estruturas isostticas. Tambm sero discutidos os primeiros conceitos

relacionados a estruturas hiperestticas, e o chamado mtodo das foras.

Esperamos que este material sirva de base para um primeiro contato com o assunto,

de modo a instig-lo(a) a desenvolver e pesquisar mais a respeito do tema, bem como lhepreparar para o clculo de estruturas que necessitem de tais conceitos.

timo estudo!


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SUMRIO

CAPTULO 1: CARGAS MVEIS E LINHAS DE INFLUNCIA

EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS 11

Cargas mveis em estruturas .............................................................. 13

Cargas mveis: trens-tipo .................................................................... 16

Linhas de inuncia ............................................................................. 19

CAPTULO 2: LINHAS DE INFLUNCIA 25

Exemplos resolvidos de linhas de inuncia em estruturas isostticas27

CAPTULO 3: PRINCPIO DE MLLER-BRESLAU 39

O mtodo de mller-breslau ................................................................. 41

CAPTULO 4: DIAGRAMAS DE VALORES EXTREMOS E ENVOLTRIAS 51

Diagramas de valores extremos e envoltrias ...................................... 53

CAPTULO 5: PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS 69

Princpio dos trabalhos virtuais ............................................................ 72Princpio das foras virtuais ................................................................. 76


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CAPTULO 6: DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTTICAS 85

Equao da linha elstica .................................................................... 87

Mtodo da superposio ...................................................................... 94

CAPTULO 7: MTODO DAS FORAS 99

Mtodo das foras ............................................................................... 102

CAPTULO 8: MTODO DOS DESLOCAMENTOS 115

Introduo ........................................................................................... 117

Mtodo dos deslocamentos ................................................................. 118

CONCLUSO 135


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Captulo

1

Cargas mveis elinhas de influncia

em estruturasisostticasCarina Mariane Stolz; Daniel Tregnago Pagnussat;


INTRODUO

Em algumas situaes especcas, faz-se necessrio o estudo de sistemas onde as

cargas movimentam-se atravs do corpo da estrutura. A existncia de uma chamada

carga mvel torna mais complexo a resoluo de sistemas isostticos em relao a

aqueles onde as cargas so todas xas.

Nesta unidade vamos conhecer um pouco mais sobre a base conceitual para a resoluo de

exerccios desta natureza. Bons estudos!

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM

Identificar cargas mveis em estruturas.

Correlacionar o conceito de cargas mveis com sistemas estruturais.

Estabelecer a base conceitual para o futuro dimensionamento de

estruturas com a presena de cargas mveis.

ESQUEMA

Conceito de cargas mveis em estruturas

Conceito de trem tipo

Conceito de linhas de influncia

Exemplos e exerccios


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13Teoria das Estruturas I

CARGAS MVEIS EM ESTRUTURAS

Para entender o conceito de cargas mveis preciso retomar o conceito original

de cargas, bem como sua classicao.

Uma carga, dentro de um curso de anlise estrutural, nada mais do que o efeito

de uma fora aplicada sobre um corpo. Essas foras so originadas a partir da fora

gravitacional, da ao do vento, de cargas ssmicas etc. Essas foras, atuando sobre

um corpo rgido, por exemplo, uma edicao, so chamadas, portanto, de CARGAS

que atuam sobre estas estruturas.

A forma como estas cargas atuam sobre um determinado sistema estrutural pode

variar bastante. Uma edicao, por exemplo, possui vrias foras (cargas) atuando

sobre ela: o peso prprio dos pilares, vigas e lajes; o peso prprio das paredes, dos

revestimentos de piso, dos forros e das coberturas. A esse tipo de carga atuante cha-

mamos de CARGAS PERMANENTES; alm destas existem as chamadas CARGAS

ACIDENTAIS. As cargas acidentais em uma edicao podem ter diversas nature-

zas, mas talvez a mais relevante seja aquela oriunda da utilizao da prpria edica-

o. O peso das pessoas, dos mveis, de eletrodomsticos so cargas acidentais.

A norma brasileira NBR 6120: Cargas para o clculo de estruturas de edica-

es (ABNT, 1980), utiliza exatamente esse critrio de classicao para separar as

cargas a serem consideradas em uma edicao. Assim, na considerao do pesoprprio de uma viga de concreto armado de um prdio necessrio calcular seu

peso prprio a partir do peso especco aparente dado pela referida norma (no caso

25 KN/m). Da mesma forma, ao considerar o clculo da carga acidental de uma sala


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14 Captulo 1

de leitura de uma biblioteca, deve-se considerar a carga vertical de norma do mesmo

(que a NBR 6120/80 estabelece como 4 KN/m).

Como se pode notar, no caso de uma edicao, a carga acidental a ser considerada um

valor de certo modo xo independente de eventuais variaes de posio das pessoas e mobi-

lirio. Essa simplicao de clculo suciente e funciona bem nestes casos, mas existem cer-

tos tipos de estruturas onde o conceito e o clculo das cargas ca um pouco mais complexo.

REFLITA

Imagine que voc responsvel pelo

projeto de uma ponte rodoviria. Por ela

iro circular todos os dias diversos vecu-

los, com diferentes pesos, capacidades de

carga, nmero de eixos. Em algumas situ-

aes estes veculos iro transpassar ra-

pidamente a ponte; em outros momentos,congestionamentos podero fazer com que

alguns destes veculos quem durante um

tempo sobre a ponte. Como saber qual a

pior situao de clculo? Alis, como saber

quais as cargas possveis nestas situaes

para a elaborao do projeto? A partir des-

tes questionamentos, parece fcil entender

a importncia do assunto que estamos porconhecer: as cargas mveis.

Sssekind (1981, p.298) vai alm deste conceito inicial e coloca que:

As cargas ditas acidentais, conforme a prpria denominao, so aquelas

que podem ou no ocorrer na estrutura e so provocadas por ventos, em-

puxos de terra ou gua, impactos laterais, foras centrfugas, frenagens ou

aceleraes de veculos, sobrecargas (cargas de utilizao) em edifcios,

peso de materiais que vo preencher a estrutura (caso de reservatrios de

gua, silos, etc.), efeitos de terremoto (de importncia fundamental para os


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projetos em regies sujeitas a abalos ssmicos), peso de neve acumulada

em regies frias e, nalmente, pelas assim denominadas cargas mveis.

No caso de estruturas como pontes, viadutos, passarelas suspensas, arquibanca-

das e ans, preciso considerar, portanto, aquilo que chamamos de cargas mveis.

As cargas mveis so originadas a partir de uma fora que conhecida (por

exemplo, o peso prprio de um caminho), entretanto esta fora muda de po-

sio em relao ao elemento estrutural (um tabuleiro de viaduto, por exemplo).

Diferentemente da situao do peso do mobilirio e de pessoas sobre uma laje de

um pavimento, no h como, nesta situao, atribuir um valor xo de carga acidental

em uma determinada rea; se fossemos considerar uma pretensa carga acidental de

projeto padronizada, precisaramos vericar cada uma das innitas posies da car-

ga em relao ao elemento estrutural. O conceito de carga mvel surge justamente

para garantir um clculo mais apropriado a estas situaes.

Cabe lembrar que as cargas mveis so diferentes de cargas acidentais dinmi-

cas, onde preciso levar em conta tambm, alm da variao da posio relativa, a

questo temporal. Para estes casos, deve-se recorrer a teorias vinculadas especi-

camente a Dinmica das Estruturas.

FIQUE POR DENTROO correto dimensionamento de uma estru-

tura sujeita a cargas acidentais como veculos

circulando e ao do vento fundamental para

garantir a segurana e estabilidade, durante

toda a vida til do sistema estrutural. Hoje, o

desenvolvimento das teorias das estruturas, o


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16 Captulo 1

conhecimento tcnico e o auxlio de softwares

computacionais facilitam muito a vida dos pro-

jetistas. Mas nem sempre foi assim. Um dos

exemplos mais conhecidos de ponte que entrouem colapso a famosa ponte Tacoma. Famosa

pelo seu balano, ruiu no nal de 1940. Tacoma

foi uma ponte pnsil localizada em Washington,

Estados Unidos. A ao do vento gerou o seu

colapso. A Ponte de Tacoma movimentava-se

levemente atraindo inclusive vrios curiosos

que queriam conhecer a ponte que balanava.Em um determinado dia, porm, o vento atingiu

uma velocidade de aproximadamente 65 km/h;

com isto comeou a gerar movimentos de tor-

o, aumentando progressivamente seu balan-

o at o colapso total. Segundo a WIKIPEDIA(2016), ao contrrio do que se publica em alguns

livros de fsica, acredita-se que os grandes mo-

vimentos foram causados devido ao fenme-

no de futter aeroelstico e no de ressonn-

cia. Um vdeo da ponte entrando em colapso

pode ser visto em: .

CARGAS MVEIS: TRENS-TIPO

Em uma ponte ou viaduto, o nmero de pessoas e veculos, bem como seu peso

e sua posio relativa uns em relao aos outros geram innitas combinaes de

cargas. Imagine as situaes abaixo. Como calcular para cada caso especco?

Foto: Site destaknews.blogspot.com.br

Acesso em: 06 jan. 16 Disponvel em:


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Foto: Site g1.globo.com


Foto: Site esporte.uol.com.br


Foto: Site notcias.uol.com.br



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18 Captulo 1

Para conseguirmos efetivamente calcular a estabilidade de uma estrutura submetida

a cargas mveis, preciso estabelecer alguns critrios. Estes esto denidos em nor-

mas especcas que denem os chamados TRENS-TIPO. Essa denominao, confor-

me cita Sssekind (1981), se originou por inuncia da necessidade de clculo de car-

gas em pontes ferrovirias, onde era preciso estabelecer um padro de carregamento.

Trens-tipo seriam, ento, veculos ideais que variam conforme normas especcas de

cada pas e do tipo de utilizao das estruturas (rodoviria, ferroviria, pessoas).

Marchetti (2008) cita que para realizar um clculo de um carregamento mvel em

uma estrutura como uma ponte preciso utilizar o conceito do trem-tipo, sendo que

esse elemento criaria um conjunto que soma cargas dos diferentes veculos e de

pessoas. O trem-tipo colocado no sentido longitudinal da estrutura e a sua ao

obtida por meio do carregamento, com correspondente linha de inuncia (conceito

importante que veremos na sequncia).

Como exemplo, a norma brasileira NBR 7188:2013: Carga mvel rodoviria e de

pedestres em pontes, viadutos, passarelas e outras estruturas (ABNT, 2013) considera

como carga mvel rodoviria padro, chamada TB-450, um veculo tipo de 450 kN, com

seis rodas, carga esttica concentrada aplicada no nvel do pavimento igual a 75 kN,

trs eixos de carga afastados entre si em 1,5 metros, com rea de ocupao de 18,0

m, circundada por uma carga uniformemente distribuda constante igual a 5,0 kN/m.


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Fonte: ABNT NBR 7188, 2013

Uma vez denidas as cargas mveis atuantes, a resoluo de um sistema estru-

tural nestas condies dada pela determinao dos esforos mximos e mnimos

provocados nas estruturas por estas cargas. Conhecendo tambm os esforos devi-

dos as cargas permanentes e acidentais (no mveis), saberemos entre que valores

extremos ocorrer a variao dos esforos em cada parte da estrutura.

O procedimento de resoluo leva em conta, ainda a questo das linhas de inu-

ncia, que ser nosso prximo tpico de discusso.

LINHAS DE INFLUNCIA

A partir do momento que uma carga em movimento transpassa por uma estrutu-

ra, alterando sua posio relativa no conjunto, as foras internas em cada ponto desta


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20 Captulo 1

estrutura tambm sofrem algum tipo de variao. Dessa forma, as linhas de inuncia

se constituem em elementos grcos que representam como as deformaes ocorrem

nas estruturas e como as mesmas se alteram, conforme uma carga se move sobre elas.

As imagens a seguir, exemplicam a alterao nas deformaes em relao a

um momento aplicado estrutura, supondo-se que uma carga de 100kN se move ao

longo de uma viga de 10 metros biapoiada. No entanto, no confunda esta linha de

inuncia com diagrama solicitante.

Leet, Uang e Gilbert (2010) resumem linha de inuncia como sendo:

um diagrama cujas ordenadas, que so plotadas como uma funo da dis-

tncia ao longo do vo, fornecem o valor de uma fora interna, uma reao

ou um deslocamento em um ponto especco de uma estrutura quando uma

carga unitria de 1 kip ou 1 kN se move pela estrutura.


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A construo da linha de inuncia ir nos auxiliar a determinar a seo crtica de

uma estrutura ao receber uma carga mvel. Para determinarmos a linha de inuncia,

deveremos estabelecer a localizao de uma dada seo S deste elemento, avaliando

a inuncia da carga concentrada que percorre a estrutura nesta seo predenida.

O procedimento, a seguir, descreve a resoluo de uma linha de inuncia em

uma viga isosttica biapoiada e similar ao que propem Leet, Uang e Gilbert (2010):


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22 Captulo 1

imagine uma viga isosttica como a do desenho acima. Ao colocarmos uma carga

concentrada de 1 KN sobre essa viga, e deslocarmos esta carga ao longo da viga da

esquerda para a direita (a), teremos diferentes valores das reaes Ra e Rb medida

que a carga muda de posio. Quando a carga est aplicada diretamente sobre o apoio

A, temos Ra=1 e Rb=0 (b); analogamente quando a carga for deslocada a uma distncia

L/4, temos Ra=0,75 e Rb=0,25 (c); quando a carga atinge o meio da viga (L/2), temos

que Ra=0,5 e Rb=0,5 (d); nalmente, quando a carga mvel atinge a posio do apoio B,

temos Ra=0 e Rb=1 (e). Para construir a linha de inuncia deste exemplo, basta dese-

nharmos o grco com os valores da reao Ra diretamente na posio correspondente

da carga unitria associada ao valor de Ra (f). Se o mesmo procedimento fosse aplicado

a uma carga pontual de 1kN que se desloca da direita para a esquerda a partir do apoio

B, teramos o grco da linha de inuncia devido a Rb (g). Esse procedimento pode ser

aplicado tanto para a vericao das linhas de inuncia devidos aos esforos cortantes

como para os momentos etores de sistemas isostticos.

INDICAO DE LEITURA

Livro: Curso de anlise estrutural I Estruturas Isostticas

A ideia de escrever este Curso de Anlise Estrutural nasceu

da necessidade encontrada de um texto que servisse de su-porte para o ensino da Isosttica e da Hiperesttica aos futu-

ros engenheiros civis, ideia esta que cresceu com o estmulo

recebido da parte de diversos colegas de magistrio, que se


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vem deparando com o mesmo problema, e cuja concretizao se tomou possvel a

partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em edit-lo.

Autor: Jos Carlos Sssekind

Disponvel em: . Acesso em: 04 jan. 16.

CONSIDERAES FINAIS

Caro(a) aluno(a), nesta unidade tivemos o primeiro contato com as bases con-

ceituais para a vericao do comportamento de cargas mveis em sistemas estru-

turais. Estes conceitos sero agora ampliados para que possamos traar os diagra-

mas de extremos e as envoltrias destes sistemas. Estes so justamente os nossos

prximos passos, que complementaro o que vimos aqui.

Lembramos que este livro uma primeira referncia para o(a) aluno(a) que est to-

mando contato com o assunto, e seu estudo deve ser complementado pelas sugestes

de leitura e/ou outras fontes de referncia para o aprofundamento do seu conhecimento.

Antes disso, atente para as atividades de autoestudo abaixo. Lembre-se que o

estudo de sistemas estruturais exige, alm da nossa capacidade de compreenso

do problema em si, que gastemos algumas horas praticando os procedimentos de

clculo envolvidos no processo. A dedicao leva a excelncia!


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ANOTAES


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Captulo

2

Linhas de

influnciaCarina Mariane Stolz; Daniel Tregnago Pagnussat;


INTRODUO

No momento em que desejamos dimensionar certos tipos de estrutura, necessrio

estabelecer quais os esforos mximos e mnimos que ela apresentar ao ser sub-

metida a um determinado carregamento mvel. No caso destas cargas mveis (con-

ceito que j detalhamos na unidade anterior), necessrio identicar e desenhar as

linhas de inuncia, para depois determinar um diagrama, chamado diagrama de

envoltria de esforos, indicando os valores mximos e mnimos das sees trans-

versais da estrutura em anlise. Agora chegou o momento de exercitarmos a deter-

minao destas linhas de inuncia, para nas prximas unidades desenvolvermos a

questo das envoltrias.

Mantenha a ateno e pratique conosco!

Bons estudos!


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Correlacionar o conceito de cargas mveis com o dimensionamento de

linhas de influncia.

Calcular linhas de influncia em estruturas isostticas.

ESQUEMA

Resoluo de exerccios sobre linhas de influncia em estruturas

isostticas


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EXEMPLOS RESOLVIDOS DE LINHAS DE INFLUNCIA EM

ESTRUTURAS ISOSTTICAS

Retomando os conceitos que foram discutidos na Unidade I, chegou o momento

de entendermos o passo a passo do clculo de linhas de inuncia em vigas isost-

ticas, por meio de alguns exerccios resolvidos.

Exerccio resolvido 1

Considerando a viga biapoiada abaixo, determine as linhas de inuncia nos

apoios A e C.

Passo 1:

Estabelecer uma posio qualquer, entre os pontos A e C, para a carga unitria (1

kN), visando gerar uma equao geral para os valores de RA. Consideraremos que

a carga unitria est a uma distncia X1 do apoio A.


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28 Captulo 2

Passo 2:

Calcular o momento atuante sobre o apoio C, convencionando-se positivo o mo-

mento no sentido horrio.

Passo 3:

Calcular RA para diferentes valores de X1.

X1 RA

0 1

2,5 0,58

5 0,17

7,5 -0,25

10 -0,67

Passo 4:

Determinar a equao geral de RA para os casos em que a carga unitria estiver

localizada entre os apoios C e D mediante o somatrio dos momentos no ponto C.


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Passo 5:

Calcular RA para diferentes valores de X2.

X2 RA

0 0

1 -0,17

2 -0,33

3 -0,5

Passo 6:

Desenhar a linha de inuncia de RA.

Passo 7:Considerando-se que o valor da soma da carga unitria aplicada em cada uma

das sees da viga deve ser igual a 1, para desenhar a linha de inuncia em RC

pode-se simplesmente subtrair os valores obtidos para RA de 1.


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30 Captulo 2

Outra forma de se obter os valores de Rc repetir os clculos realizados para

RA, porm em relao a RC.

Assim, podemos denir os valores de Rc:


Considere um objeto que est se movimentando ao longo da viga abaixo do pon-

to P1 ao ponto P5. Denida a seo S, desenhe as linhas de inuncia do cortante e

do momento nesta seo para cada uma das posies deste objeto.

Considere as seguintes convenes para cortante e momento:


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Passo 1:

Quando o objeto de carga 1kN est na posio P1, podemos considerar que a

reao na seo S igual a zero, j que a reao sua carga ser dada pelo ponto

A, ou seja, RVA= 1 kN e RVS= 0.

Passo 2:

Quando o objeto de carga 1kN est na posio P2, imediatamente antes da se-

o S, teremos a seguinte situao:


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32 Captulo 2

Passo 3:

Quando o objeto de carga 1kN est na posio P3, imediatamente aps a seo

S, teremos a seguinte situao:

Passo 4:

Quando o objeto de carga 1kN est na posio P4, teremos a seguinte situao:


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Passo 5:

Quando o objeto de carga 1kN est na posio P5, podemos considerar que a

reao na seo S igual a zero, j que a reao sua carga ser dada pelo ponto

A, ou seja, RVA= 1 kN e RVS= 0.

Passo 6:

Realizados os clculos dos valores dos cortantes e dos momentos, podemos

ento desenhar as linhas de inuncia para a seo S analisada.

Linha de inuncia do cortante em S:

Linha de inuncia do momento em S:


Considerando a viga engastada isosttica abaixo, determine as linhas de inun-

cia devidas ao cortante e ao momento etor em relao a seo S.


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34 Captulo 2

Passo 1:

Estabelea uma posio X1 qualquer, entre os pontos A e B, para uma carga

unitria (1 kN), visando gerar uma equao geral para os valores de Ra em relao

a seo S que est a uma distncia X.

Passo 2:

Calcular as reaes no engaste, convencionando-se positivo o momento no sen-

tido horrio.

Passo 3:

Calcular o cortante e o momento para diferentes valores de X1 em relao a X.

X1 Qs Ms

X1 < X 0 0

X1 > X 1 -X1+X

X1 = L 1 -L+X


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Passo 4:

Realizados os clculos dos valores dos cortantes e dos momentos, podemos

ento desenhar as linhas de inuncia para a seo S analisada.

Linha de inuncia do cortante e do momento em S:

REFLITA

Todos os exemplos resolvidos acima so a

base conceitual para o clculo de qualquer outroexemplo numrico. Se colocarmos valores de car-

gas permanentes e acidentais adicionais a uma

viga, o procedimento no muda. Procure entender

a lgica da resoluo, pois somente assim voc

ser capaz de resolver exerccios mais complexos.

Hoje em dia o acesso a informao est

cada vez mais facilitado. Diferente de alguns

anos atrs, onde a informao estava restrita

s bibliotecas por meio de mdias impressas,

hoje praticamente possvel acessar bancos

de dados de todas as partes do mundo. Se

voc se interessa por esta parte de clculo

estrutural de pontes, viadutos e outras estru-

turas que utilizem o clculo de cargas m-veis, os links abaixo podem ser interessantes

para complementar seus estudos:

(site da

Associao Brasileira de Pontes e Estruturas,

possui um link de publicaes).

(site dedicado a discusses de

engenharia de pontes).

(base

de pesquisa de artigos cientcos em geral,

vale a pena buscar artigos tcnicos a partir

de palavras-chave em ingls).


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Captulo 2

FIQUE POR DENTRO

Abaixo alguns links interessantes para vocque est estudando esta parte da esttica dos

corpos rgidos to importante para a concep-

o de estruturas como pontes. Voc conhece

algumas das pontes mais incrveis do mundo?

Seguem algumas para voc conhecer!!!

.

.

CONSIDERAES FINAISE ento, com essa unidade conseguimos praticar bastante a questo das linhas

de inuncia. Esperamos que voc, neste momento, j esteja familiarizado com a

mesma, pois o clculo imprescindvel para a resoluo de estruturas com cargas

mveis. Se voc ainda est com diculdades, no desanime. Na prxima unidade

vamos desenvolver uma metodologia alternativa para a determinao das linhas de

inuncia que pode ajudar. Vamos trabalhar?


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Teoria das Estruturas I

ANOTAES


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ANOTAES


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Captulo

3

Princpio demller-breslau

Carina Mariane Stolz; Maria Fernanda Fvero

Menna Barreto; Daniel Tregnago Pagnussat

INTRODUO

O princpio de Mller-Breslau, tambm conhecido como Mtodo Cinemtico para

traado de Linhas de Inuncia (LI), permite que as linhas de inuncia para as reaes,

cortante e momento de vigas sejam determinadas de forma qualitativa e rapidamente.

Segundo Leet et al. (2010), este mtodo pode ser utilizado principalmente para

as seguintes aplicaes:

vericar se o aspecto de uma linha de inuncia, produzida pelo movimento de

uma carga unitria em uma estrutura, est correto;

estabelecer onde se deve posicionar a carga mvel em uma estrutura para maximi-

zar uma funo especca, sem avaliar as ordenadas da linha de inuncia. Uma vez es-

tabelecida a posio crtica da carga, ca mais simples analisar diretamente certos tipos

de estruturas para a carga mvel especicada do que desenhar a linha de inuncia;

determinar a localizao das ordenadas mximas e mnimas de uma linha de

inuncia, para que apenas algumas posies da carga unitria precisem ser consi-

deradas quando as ordenadas da linha de inuncia forem calculadas.

Bons Estudos!


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Calcular linhas de influncia em estruturas isostticas.

ESQUEMA

Princpio de Mller-Breslau

Resoluo de exerccios sobre linhas de influncia em estruturas

isostticas mediante o uso do mtodo



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O MTODO DE MLLER-BRESLAU

Resumidamente, deve-se seguir trs etapas para traar as LI pelo Mtodo de

Mller-Breslau (SSSEKIND, 1980):

a. rompe-se o vnculo capaz de transmitir o efeito E cuja linha de inuncia se

deseja determinar;

b. na seo onde atua o efeito E, atribui-se estrutura, no sentido oposto ao de

E positivo, um deslocamento generalizado unitrio, que ser tratado como

sendo muito pequeno;

c. a congurao deformada (elstica) obtida a linha de inuncia.

A tabela, a seguir, apresenta exemplos de deslocamentos generalizados em vn-

culos pelo mtodo de Mller-Breslau.

Fonte: Nunes e Martha (2001)


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42 Captulo 3

REFLITA

Voc sabia que a ponte suspensa que

possui o maior vo livre do mundo est no

Japo?

A Ponte Akashi-Kaikyo est localizada

entre a cidade de Kobe e a ilha Awaji, no

estreito de Akashi, no Japo. Foi inaugu-

rada em abril de 1998, aps 10 anos de

construo, com 3911m de comprimento

total e 1991m de vo central, sendo as-

sim a maior ponte suspensa do mundo. A

Akashi-Kaikyo conquistou trs recordes: o

de vo mais extenso, o de ponte com torre

mais alta, com 283m e o de ponte mais

cara (4,3 bilhes de dlares). O compri-

mento total de fios de ao usados na pon-

te de 300.000 km, quantidade suficiente

para dar 7,5 voltas ao redor da Terra.

Percebeu a importncia do entendimento

do comportamento das estruturas para colo-

car em prtica um projeto ousado como este?

Disponvel em: . Acesso

em: 16 jan. 16.

Vamos ver alguns exemplos de aplicao para simplicar o entendimento do m-

todo de Mller-Breslau?


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Exemplo 1:

Linha de Inuncia de reao vertical em A:

Linha de Inuncia de cortante em B:


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44 Captulo 3

Exemplo 2:

Linhas de inuncia das reaes em A, C e D.


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Linha de inuncia do corte em C:

A B

C

FIQUE POR DENTRO


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46 Captulo 3

Quer simular o comportamento de es-

truturas? Visualizar suas deformaes?

Entender as consequncias das foras que

so aplicadas? Calcular cargas mveis e li-

nhas de inuncia? O programa FTOOL pode

ser uma tima ferramenta para te ajudar!

Desenvolvido pelo Professor Associado

da Pontifcia Universidade Catlica do Rio

de Janeiro (PUC-Rio) Luiz Fernando Martha,

o FTOOL um programa que se destina

ao ensino do comportamento estrutural de

prticos planos, ocupando um espao pouco

explorado por programas educativos, que se

preocupam mais com o ensino das tcnicas

numricas de anlise, ou por verses educa-

cionais de programas comerciais, mais preo-

cupados em introduzir os estudantes s suas

interfaces. Seu objetivo bsico motivar oaluno para aprender o comportamento estru-

tural. A experincia de ensino nesta rea tem

mostrado que o processo de aprendizado dos

mtodos de anlise estrutural no eciente

sem o conhecimento sobre o comportamento

estrutural. muito difcil motivar o aluno pa-

dro a aprender a teoria dos mtodos de

anlise sem entender como o modelo sendo

analisado se comporta na prtica. O proces-

so de aprendizado dos mtodos de anlise

melhoraria bastante se o estudante pudesse

aprender sobre o comportamento estrutural

simultaneamente. Do seu objetivo bsico

decorre a necessidade do FTOOL ser uma

ferramenta simples, unindo em uma nica in-

terface recursos para uma eciente criao e

manipulao do modelo (pr-processamen-

to) aliados a uma anlise da estrutura rpida

e transparente e a uma visualizao de resul-

tados rpida e efetiva (ps-processamento).

O download gratuito do programa, bem

como explicaes de como utiliz-lo podem

ser encontrados no site: . Voc ainda pode encontrar na inter-

net diversas apostilas de diferentes instituies

de ensino que ensinam o uso do programa.



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INDICAO DE LEITURA

Livro: Sistemas de Estruturas

Nesta obra bilngue, explcitas ilustraes mostram

o comportamento complexo dos sistemas estrutu-

rais e a relao entre estrutura e forma arquitetnica.

Consequentemente, o projetista - arquiteto, engenheiro

ou estudante - pode adquirir desde uma viso geral ao

conhecimento especco para elaborar ideias estrutu-

rais. Aps mais de 30 anos de existncia, este livro con-

tinua sendo hoje, nesta viso atualizada, o manual de referncia na matria.

Autor: Heino Engel


CONSIDERAES FINAIS

Caro(a) aluno(a), estamos chegando ao nal de mais uma unidade e com ela

o encerramento do estudo terico referente a linhas de inuncia. Para facilitar o

emprego das linhas de inuncia em vigas isostticas, Soriano (2010) apresenta em

seu livro um formulrio para uma viga engastada e uma biapoiada, com os perstpicos de LI para cada uma delas, apresentado na tabela a seguir.

Facilitou um pouquinho a vida, no?


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Captulo 3

Neste momento voc deve estar pensado: por que este formulrio foi apresen-

tado somente nas consideraes nais da unidade?. Esta sistemtica proposital,

caro(a) aluno(a). Primeiramente, indispensvel que se entenda o comportamento

das estruturas que estamos analisando, para posteriormente utilizarmos as frmulas

prontas. O mesmo se aplica a softwares de clculo estrutural, sendo que de nada

adianta eu comprar um software carssimo e de excelente qualidade se eu no sou-

ber analisar os resultados que ele me d. No acha?


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ANOTAES


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ANOTAES


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Captulo

4

Diagramas devalores extremose envoltrias



INTRODUO

Estamos chegando no momento nal de reunir todos os conceitos abordados at o

momento e sua aplicao prtica no dimensionamento de estruturas. Nos falta, ca-

ro(a) aluno(a), buscar compreender como fundamental, dentro de uma distribuio

de esforos devido a uma carga mvel que muda de posio ao longo do elemento

estrutural, saber identicar os valores extremos e as envoltrias. Em termos prticos,

o objetivo de vericar as situaes mais desfavorveis das cargas mveis aplica-

das, pois estas sero a base para nosso futuro dimensionamento.

Fique atento(a) metodologia de resoluo, pois a mesma exige vrios passos

at a resposta nal.

Bons estudos!


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Conceituar Diagramas de valores Extremos e Envoltrias.

Correlacionar o conceito de cargas mveis com o dimensionamento delinhas de influncia, valores extremos e envoltrias.

ESQUEMA

Valores Extremos e Envoltrias



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DIAGRAMAS DE VALORES EXTREMOS E ENVOLTRIAS

O diagrama de valores extremos representa os mximos efeitos (sejam eles esfor-

os ou deslocamentos), devido a uma carga mvel ao qual a estrutura est submeti-

da. Esses diagramas sero gerados pelas chamadas linhas de mximos e mnimos.

Segundo Chameki (1956), o traado da linha de mximos se d de diferentes formas:

a. Escolhe-se um determinado nmero de pontos em uma estrutura para em

seguida, em cada ponto, determinar a posio da carga mvel que provoca o

mximo efeito procurado (mediante as linhas de inuncia), ou:

b. Determina-se, por meio de um processo analtico, a posio da carga mvel

que provoca o mximo efeito procurado, em relao a um determinado ponto

desta estrutura (Exemplo 1), ou:

c. Outros processos especiais, para estruturas especcas, como o processo de

Winkler (que no abordaremos aqui).

FIQUE POR DENTRO


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54 Captulo 4

Voc tem diculdade em visualizar o

comportamento das estruturas ao serem

submetidas aos diferentes esforos ou pos-

surem rigidez distintas? Que tal reproduzir

o comportamento dessas estruturas me-

diante maquetes exveis? Esta foi a ideia

dos idealizadores do Kit Mola.

O kit composto por um conjunto de

esferas, molas, os, tringulos e placas de

ao, plstico e ms e tem como objetivo

inovar no ensino de estruturas nos cursos de

engenharia e arquitetura.

Ficou interessado(a)? Acesse os vdeos

com demonstraes do kit mola no YouTube.

Segue o link de um deles: .

Exemplo 1: (adaptado de Chamechi, 1956, p.133)

A partir da carga concentrada P aplicada nas diferentes sees da viga isosttica

abaixo, traar a linha dos mximos momentos etores.


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RESPOSTA: na gura a), temos a descrio da viga em estudo. Ao traarmos a

linha de inuncia do momento etor em uma seo S, temos o grco apresentado

em b); A carga P ir gerar um momento etor mximo em S quando estiver exatamente

sobre a seo (como indica abaixo a gura c). A frmula deste momento dada por:

Sendo a=x e b=(L-x) a equao anterior pode ser desdobrada em:

Essa equao uma parbola do segundo grau, representada pela linha da -

gura d), e corresponde a linha de mximos momentos nas sees. O valor mximo

dessa equao vale quandoExemplo 2: determine os valores mximos de momento etor na seo S da viga abaixo

(Fonte: . Acesso em: 15 jan. 16):


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56 Captulo 4


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58 Captulo 4

Finalmente, sobre envoltrias limite, Holtz (2005, p.56) descreve:

As envoltrias limites de um determinado esforo em uma estrutura descrevem

para um conjunto de cargas mveis ou acidentais, os valores mximos e m-

nimos deste esforo em cada uma das sees da estrutura, de forma anloga

a que descreve o diagrama de esforos para um carregamento xo. Assim, o

objetivo da Anlise Estrutural para o caso de cargas mveis ou acidentais

a determinao de envoltrias de mximos e mnimos de momentos etores,

esforos cortantes, etc., o que possibilitar o dimensionamento da estrutura

submetida a este tipo de solicitao. As envoltrias so, em geral, obtidas por

interpolao de valores mximos e mnimos, respectivamente, de esforos cal-

culados em determinado nmero de sees transversais ao longo da estrutura.

Vamos desenvolver ainda mais este conceito?

As chamadas ENVOLTRIAS determinam uma faixa de trabalho de uma estru-

tura. Para entendermos melhor: quando temos uma estrutura submetida a cargas

mveis, tambm temos que considerar os prprios carregamentos permanentes

nela existentes. Para realizar a incluso dos efeitos das cargas permanentes aos

valores extremos calculados de cada uma das reaes de apoio em funo das car-

gas mveis, estes valores devem ser somados s reaes correspondentes a estes

tipos de carregamento. O resultado da soma destes valores aos valores extremos

(mximos e mnimos, que aprendemos a calcular anteriormente) gera uma tabela

que nos fornece pontos para plotarmos um grco, que denem a ENVOLTRIA

DE MXIMO ESFORO e a ENVOLTRIA DE MNIMO ESFORO. Estas envolt-

rias denem uma faixa de trabalho na qual o Engenheiro pode dimensionar, com a


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devida segurana, cada seo de uma ponte, viaduto ou passarela submetida a car-

regamentos permanentes e cargas mveis. Vamos, ento, ver um exemplo resolvido

para aprendermos a calcular envoltrias.

Exemplo 3:

Determine a envoltria de esforos internos da viga biapoiada com balanos,

carga permanente e carga mvel apresentada a seguir (fonte: . Acesso em: 16 jan. 16).

Inicialmente, determinaram-se os diagramas de esforo cortante e de momento

etor devidos carga permanente.


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60 Captulo 4

Em um segundo momento, calculou-se os esforos cortantes mximos e mni-

mos devido carga mvel para cada seo transversal adotada da estrutura.

O diagrama, a seguir, apresenta o clculo do cortante mximo e mnimo para a seo Besq:

O diagrama, a seguir, apresenta o clculo do cortante mximo e mnimo para a seo Bdir

:


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Esforo cortante mximo e mnimo na seo C:

Esforo cortante mximo e mnimo na seo D:


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62 Captulo 4

A tabela e a gura apresentadas a seguir apresentam os resultados do esforo

cortante mximo e mnimo nas sees da estrutura devido a cada carregamento

atuante e o valor nal das envoltrias de esforo cortante.

SeoCarga

Permanente

Carga Mvel Envoltrias

Mnimo Mximo Mnimo Mximo

A 0 -20 0 -10 0

BESQ

-60 -60 0 -120 -60

BDIR

+120 -8,75 +91,25 +111,25 +211,25

C +60 -12,50 +57,50 +47,50 +117,50

D 0 -31,25 +31,25 -31,25 +31,25

E -60 -57,50 +12,50 -117,50 -47,50

FESQ

+120 -91,25 +8,75 -211,25 -111,25

FDIR

+60 0 +60 +60 +120

G 0 0 +20 0 +20

As guras, a seguir, mostram como foi feita a determinao dos momentos etores

mximos e mnimos devidos carga mvel para cada seo transversal da estrutura.


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Momento etor mximo e mnimo na seo B:

Momento etor mximo e mnimo na seo C:


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64 Captulo 4

Momento etor mximo e mnimo na seo D:

Os resultados do momento etor mximo e mnimo nas sees da estrutura de-

vido a cada carregamento atuante e o valor nal das envoltrias de momento etor

esto apresentados na tabela abaixo:

SeoCarga

Permanente

Carga Mvel Envoltrias

Mnimo Mximo Mnimo Mximo

A 0 0 0 0 0

B -90 -105 0 -195 -90

C +180 -90 +195 +90 +375

D +270 -75 +255 +195 +525

E +180 -90 +195 +90 +375

F -90 -105 0 -195 -90

G 0 0 0 0 0


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Envoltrias de momento etor:

INDICAO DE LEITURA

Livro: Arquiteturas da Engenharia - Engenharias da

Arquitetura

Neste livro, trs professores universitrios explicam o fun-

cionamento estrutural de edifcios, pontes e torres de for-

ma simples, quase intuitiva. A ideia central mostrar que

as melhores obras nascem do encontro feliz de compe-

tncias na arquitetura e na engenharia. A publicao re-

sulta da experincia didtica dos autores, que desenvolveram um mtodo de ensino

inovador, ajustado a futuros arquitetos, mas tambm indispensvel aos prossionais

de engenharia. Mais do que pretender rever o tema com uma abordagem fechada

que resultaria em um texto com princpio, meio e m, os autores optaram por manter a


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Captulo 4

possibilidade de fragmentos que, com ajuda de dezenas de exemplos reais entrelaa-

dos, acabam por congurar outros sentidos teis ao esclarecimento e ao aprendizado.

Autores: Yopanan C. P. Rebello, Joo Marcos Lopes, Marta Boga.


REFLITA

A disponibilidade de informaes nainternet constitui-se em uma importante

ferramenta de pesquisa para estudantes

em qualquer lugar do mundo. Hoje em dia,

possvel pesquisar sobre qualquer as-

sunto. No raro, existem diversas videoau-

las para estudantes de engenharia sobre

Esttica das estruturas. Elas podem serteis para complementar seus estudos.

Contudo, tenha bastante ateno quantoa fonte de pesquisa que est sendo utili-

zada. Muitas vezes, os vdeos disponibi-

lizados na internet so produzidos pelos

prprios estudantes como parte de uma

disciplina, ou por pessoas sem o devido

preparo, que geram material com erros

conceituais. Fique bem atento(a) ao tipode material que est pesquisando!

CONSIDERAES FINAIS

Encerrando esta etapa deste livro, agora estamos com todos os conceitos com-

pletos para a compreenso das bases de clculo de estruturas submetidas a cargas

mveis. Lembramos, novamente, que este material uma base inicial para seusestudos no tema, que devem ser complementados com mais horas de trabalho por

meio de leituras, exerccios etc. Mas ainda temos bastante matria para aprender!

Sigamos em frente!


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ANOTAES


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ANOTAES


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Captulo

5

Princpio dostrabalhosvirtuais




Compreender o conceito e aplicar o Princpio dos Trabalhos Virtuais, a

partir do qual resolveremos o problema do clculo de deformaes nas

estruturas.

ESQUEMA

Princpio dos Deslocamentos Virtuais

Corpos rgidos

Corpos elsticos

Princpio das Foras Virtuais


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INTRODUO

O Princpio dos Trabalhos Virtuais estabelece a relao entre as foras () atuan-

tes em um ponto e seus possveis deslocamentos (), sendo esta ou aquela virtual1.

Desta forma, o trabalho () pode ser descrito como:

(5.1)

Conforme dito anteriormente, o Trabalho Virtual pode ser gerado a partir de duas

situaes:

Trabalho realizado por foras reais durante um deslocamento virtual;

Trabalho realizado por foras virtuais durante um deslocamento real.

O termo virtual, empregado acima, remete a algo ctcio. Ou seja, o deslocamen-

to virtual e a fora virtual so arbitrariamente impostos sobre o sistema estrutural,

eles no ocorrem realmente.

Segundo Beer, Johnston, Mazurek e Eisenberg (2012, p.123), o Princpio do

Trabalho Virtual para uma partcula estabelece que, se uma partcula est em equi-

lbrio, o trabalho virtual total das foras atuantes sobre ela zero para qualquer

deslocamento virtual desta partcula. Ou seja, se a partcula est em equilbrio, a

resultante das foras () zero. Substituindo este valor na equao 5.1, se tem que o

trabalho virtual tambm igual zero.

1 Todas as grandezas virtuais sero denotadas por um trao superior na equao, por exemplo,

signica trabalho virtual.


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72 Captulo 5

PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Princpio dos Deslocamentos Virtuais

O Princpio dos Deslocamentos Virtuais pode ser utilizado para determinar qual-

quer um dos esforos seccionais das estruturas (SORIANO; LIMA, 2006). Ele apli-

cvel aos corpos rgidos e elsticos, descritos a seguir.

Corpos rgidos

Para um corpo rgido em equilbrio, o trabalho virtual total das foras externas

atuantes sobre o corpo rgido zero para qualquer deslocamento virtual desse corpo

(SSSEKIND, 1980; BEER; JOHNSTON; MAZUREK; EISENBERG, 2012).

(5.2)

Nas estruturas isostticas o deslocamento do apoio no provoca deformaes

nem esforos internos. Desta forma, considera-se que as estruturas isostticas fun-

cionam como corpos rgidos (SORIANO; LIMA, 2006). Sendo assim, as reaes

de apoio de estruturas isostticas podem ser calculadas utilizando o Princpio dos

Trabalhos Virtuais.

Exemplo 1 (SORIANO; LIMA, 2006) Calcule a reao no apoio A da estrutura

abaixo.


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Para uma fora real (reao de apoio A), aplica-se um deslocamento virtual.

O Princpio dos Trabalhos Virtuais para corpos rgidos fornece:

(a)

Da geometria da congurao virtual mostrada anteriormente, tem-se:

(b)

Substituindo a equao (b) em (a), obtm-se:

(c)

Corpos elsticos

Corpos elsticos so corpos deformveis, onde um ponto em seu interior se move

em relao aos outros. Neste caso, as foras internas e externas realizam trabalho.

Quando a estrutura hiperesttica, a congurao virtual uma congurao defor-

mada, de trabalho interno diferente de zero (SORIANO; LIMA, 2006).

Sendo assim, para um corpo elstico que atingiu o equilbrio, o trabalho virtualtotal das foras externas igual ao trabalho virtual das foras internas, para to-

dos os deslocamentos virtuais impostos sobre ele (SSSEKIND, 1980; SORIANO;

LIMA, 2006; MARTHA, 2010).


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74 Captulo 5

(5.3)

(5.4)

A deformao interna virtual pode ser desmembrada em parcelas que conside-

ram os efeitos relativos de suas sees: deformao axial devido ao esforo normal,

deformao de exo devida ao momento etor, deformao de cisalhamento de-

vido cortante e deformao de toro devido ao momento torsor. Sendo assim, o

trabalho interno a energia de deformao total.

(5.5)

Da equao 5.5 tem-se:

- Esforos normal, momento etor, cortante e torsor no sistema vir-

tual provocado por P;

N, M, V, T Esforo normal, momento etor, cortante e torsor no sistema real

provocado pelo carregamento real;

Comprimento do elemento estrutural;

E Mdulo de elasticidade longitudinal do material;A rea da seo transversal do elemento;

I Momento de inrcia da seo transversal em relao ao seu eixo neutro;

G Mdulo de elasticidade transversal;


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rea de cisalhamento referente seo transversal, , valores na tabela

abaixo;

J Momento de inrcia toro da seo, valores na tabela a seguir.

Fonte: Soriano e Lima (2006)


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76 Captulo 5

Substituindo-se a equao 5.4 e 5.5 na equao 5.3, se alcana a equao nal.

(5.6)

PRINCPIO DAS FORAS VIRTUAIS

Em estruturas de material elstico linear, o Princpio das Foras Virtuais ape-

nas uma forma alternativa de se escrever o Princpio dos Deslocamentos Virtuais

(SORIANO; LIMA, 2006).

(5.7)

A equao 5.7 expressa o Teorema das Foras Virtuais que se enuncia: conside-

rando em uma estrutura um sistema de foras equilibradas quaisquer, denominadas

foras virtuais, o trabalho virtual das foras externas igual ao trabalho virtual das

foras internas (SORIANO; LIMA, 2006).

uma das principais ferramentas para a determinao de deslocamentos em

estruturas, por meio da qual se utiliza um sistema virtual diferente do sistema real

que se deseja calcular um deslocamento ou rotao. O sistema virtual trabalha com

a mesma estrutura, porm com carregamento unitrio compostos de uma fora (oumomento) escolhidos arbitrariamente na direo do deslocamento (ou rotao) que

se deseja calcular e de suas correspondentes reaes de apoio (MARTHA, 2010).


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Consideraes gerais

Para as estruturas que lidamos usualmente na prtica, podemos acrescentar as

seguintes informaes, segundo Sssekind (1980):

A parcela pode ser desprezada em presena das demais, com erro

mnimo (somente em caso de vos muito curtos e cargas muito elevadas em

que a inuncia do esforo cortante considervel);

A parcela tambm pode ser desprezada em peas de estruturas que

no trabalhem fundamentalmente ao esforo normal;

A parcela pode ser obtida pelo uso de tabelas:


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78 Captulo 5

Fonte: . Acesso em: 24 jan. 2016


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Exemplo 2 (SSSEKIND, 1980) Calcular o deslocamento horizontal de D, para

o quadro abaixo, que tem para todas as barras.

Para um deslocamento real, aplica-se uma fora virtual (unitria) no local em que

se deseja obter tal deslocamento (Figura a), desta forma se tem o estado de defor-

mao virtual (Figura b):

a. Aplicao da fora virtual para ob-

ter o deslocamento real.

b. Estado de carregamento (momento)

da fora virtual.


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80 Captulo 5

Em seguida, calcula-se o estado real, ou seja, o estado de deformao da es-

trutura com o carregamento real aplicado (Figura c), obtendo-se assim o estado de

deformao real (Figura d):

c. Estrutura com o carregamento

real aplicado.

d. Estado de deformao (momento)

da fora real.

Com o estado de deformao real (Figura e) e virtual (Figura f), calcula-se o des-

locamento real pela equao 5.7.

e. Estado de deformao real. f. Estado de deformao virtual.

Por se tratar de uma estrutura que trabalha fundamentalmente a exo, conside-

raremos s o momento no clculo da deformao em cada barra:


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(a)

(b)

(c)

Com a forma dos estados de deformaes e equao c, entra-se na tabela en-

contrando o valor do deslocamento:

Sendo o sinal do deslocamento negativo, indica que o sentido da fora unitria

se ope ao deslocamento, logo o deslocamento real no ponto D para sua direita.


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82 Captulo 5

FIQUE POR DENTRO

Aprender o Princpio dos TrabalhosVirtuais essencial para resoluo de

estruturas hiperesttica pelo Mtodo dasForas, logo no o ignore ou subestime-o.

REFLITA

extremamente importante o domnio

da isosttica para traar os diagramas de

esforos seccionais (normal, momento, cor-tante e torsor) das estruturas, pois qualquer

deslize nos diagramas causar um erro na

obteno da deformao, visto que esta de-

pende daquele.

Por isso, caso encontre diculdades emtraar os diagramas, no deixe de rever os

contedos passados de isosttica.

INDICAO DE LEITURA

Livro: Curso de anlise estrutural 2

A ideia de escrever este Curso de Anlise Estrutural nas-

ceu da necessidade encontrada de um texto que nos

servisse de suporte para o ensino da Isosttica e da

Hiperesttica aos futuros engenheiros civis, ideia esta

que cresceu com o estmulo recebido da parte de diver-

sos colegas de magistrio, que se vem deparando com o

mesmo problema e cuja concretizao se tornou possvel

a partir do interesse demonstrado pela Editora Globo em edit-lo.

Autor: Jos Carlos Sssekind


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CONSIDERAES FINAIS

Conforme visto, o Princpio dos Trabalhos Virtuais est diretamente relacionado

com as foras e os deslocamentos da estrutura, sendo um dos dois virtuais.

Ou seja, o trabalho virtual pode ser realizado por uma fora real gerando um des-

locamento virtual ou por uma fora virtual gerando um deslocamento real. A partir dis-

so, surgem o Princpio dos Deslocamentos Virtuais e o Princpio das Foras Virtuais.

Aprender o Princpio dos Trabalhos Virtuais muito importante, pois ele lar-

gamente utilizado no Mtodo das Foras para resoluo de estruturas hiperest-

tica. Sendo assim, a aprendizagem do tema em questo o passo inicial e ser

explorado mais adiante.


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ANOTAES


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Captulo

6

Deslocamentosem estruturasisostticas



INTRODUO

A deformao mxima de uma viga sob um carregamento tem importncia espe-

cial, pois as especicaes de projeto geralmente incluem um valor mximo admis-

svel para sua deformao (BEER; JOHNSTON; DEWOLF, 2010).

Uma viga prismtica submetida exo pura exionada em um arco de circun-

ferncia que, dentro do regime elstico, a curvatura da superfcie neutra pode ser

expressa como:

(6.1)

Da equao 6.1, tem-se:

M Momento etor;

x Distncia da seo a partir da extremidade esquerda da viga;

E Mdulo de elasticidade;

I Momento de inrcia da seo transversal.

A informao da curvatura em vrios pontos da viga permite concluses gerais

referentes deformao da viga sob determinado carregamento.


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Obter, sem a aplicao do Princpio dos Trabalhos Virtuais, as

deformaes elsticas de uma viga:

Deslocamento transversal (flecha).

Inclinao.

ESQUEMA

Equao da linha elstica

Mtodo da superposio


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EQUAO DA LINHA ELSTICA

Para encontrar a inclinao e o deslocamento transversal da viga em qualquer

ponto, determina-se a equao diferencial linear de segunda ordem dada a seguir,

que governa a linha elstica caracterizando a forma da viga deformada (BEER;

JOHNSTON; DEWOLF, 2010).

(6.2)

A inclinao dada pela equao 6.3, que nada mais do que a integrao da

equao anterior.

(6.3)

A deformao vertical (echa) dada pela equao 6.4, que nada mais do que

duas integraes sucessivas da equao 6.2 ou uma nica integrao da equao 6.3.

(6.4)

As constantes de integrao e so determinadas pelas condies de contorno

ou, mais precisamente, pelas condies impostas viga pelos seus apoios (BEER;

JOHNSTON; DEWOLF, 2010):


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88 Captulo 6

Fonte: Beer, Johnston e Dewolf (2010)

Exemplo 1 (BEER; JOHNSTON; DEWOLF, 2010) A viga em balano AB abaixo,

tem seo transversal uniforme e suporta uma fora P na sua extremidade livre A.

Determine a equao da linha elstica, a echa e a inclinao em A.

a) Carregada.

b) Deformada.

Primeiramente, se dene a equao de momento, que ser integrada at chegar

na equao da linha elstica.

Substituindo-se M(x) na equao 6.3:

(a)


89/139


Pelas condies de contorno, sabe-se que no ponto B e .e .

Inserindo essas informaes na equao a, tem-se que:

Inserindo o valor de na equao da inclinao (equao a) e integrando tudo

novamente, obtm-se a equao da linha elstica:

(b)

Pelas condies de contorno, sabe-se que no ponto B e e

Inserindo essas informaes na equao b, obtm-se:

Inserindo o valor de na equao b, tem-se a equao da linha elstica:

Para obter a echa no ponto A, basta inserir na equao da linha elstica a dis-tncia x do ponto A, .:


90/139

90 Captulo 6

Para obter a inclinao no ponto A, basta inserir na equao da inclinao (equa-

o a) a distncia x do ponto A, , .

Exemplo 2 (BEER; JOHNSTON; DEWOLF, 2010) A viga biapoiada AB est

submetida a uma fora w uniformemente distribuda por unidade de comprimento.

Determine a equao da linha elstica e a echa mxima da viga.

1. Carregada.

2. Deformada.

Primeiramente, se calculam as reaes de apoio.

Em seguida, dene-se a equao de momento que representa a viga.

Substituindo-se M(x) na equao 6.3:

(a)

Integrando-se novamente, obtm-se a equao da linha elstica:


91/139


(b)

Pelas condies de contorno, sabe-se que no ponto A e e no

Ponto B e e . Inserindo essas informaes na equao b, obtm-se

um sistema que fornece o valor de e :

;

Inserindo os valores de e na equao b, tem-se a equao da linha elstica:

Sabe-se que a maior echa ocorre no centro da viga. Desta forma, substituindo x

por na equao da linha elstica, tem-se a echa mxima da viga.

Exemplo 3 (BEER; JOHNSTON; DEWOLF, 2010) Para a viga prismtica e o

carregamento mostrado, determine a inclinao e a echa no ponto D.


92/139

92 Captulo 6

3. Carregada.

4. Deformada.

Primeiramente, se calculam as reaes de apoio.

Em seguida, dene-se a equao de momento. So necessrias duas equaes

de momento, uma para parte AD outra para parte DB.

Substituindo-se M na equao 6.3:

(a)


93/139


Integrando-se novamente, obtm-se a equao da linha elstica:

(

Pelas condies de contorno, para o trecho AD, enquanto e para

o trecho DB, enquanto . Inserindo isto na equao a, tem-se que:

(c)

Novamente pelas condies de contorno, quando e

e , logo:

(d)

(e)

A partir das equaes c, d, e, forma-se um sistema que fornecer as incgnitas

, , :

Substituindo esses valores na equao a e equao b, tem-se:


94/139

94 Captulo 6

(f)

(g)

Fazendo em qualquer uma das equaes f, tem-se a inclinao no

ponto D e fazendo a mesma coisa em qualquer uma das equaes g, tem-se a echa

no mesmo ponto.

MTODO DA SUPERPOSIO

A deformao e a declividade de vigas submetidas a vrios carregamentos po-

dem ser obtidas pela superposio do efeito de cada carregamento individualmente

que, aps somados, do o resultado do carregamento como um todo.


Para facilitar, abaixo h uma tabela que fornece a echa mxima, a inclinao e

a equao da linha elstica para vrias estruturas. Desta forma, a estrutura da gura

anterior pode ser facilmente obtida pela tabela abaixo.


95/139



FIQUE POR DENTROPor meio do mtodo apresentado nes-

ta unidade, tambm se pode calcular

inclinaes e deformaes em estruturas

hiperestticas.


96/139

96 Captulo 6

REFLITA

Quais os fatores que inuenciam direta-mente na echa e na inclinao da estrutura?

Em uma estrutura, deseja-se aumentar o seu

carregamento mantendo a deformao verti-cal mxima (echa) constante. Isso poss-

vel? Como?

INDICAO DE LEITURA

Livro: Resistncia dos Materiais

O objetivo principal de um curso bsico de mec-

nica desenvolver no estudante de engenharia a

habilidade para analisar um dado problema de ma-

neira simples e lgica e aplicar alguns princpios

fundamentais e bem compreendidos na sua solu-

o. Esse texto destinado ao primeiro curso em

mecnica dos materiais ou mecnica dos slidos

ou resistncia dos materiais oferecido aos estu-

dantes de engenharia nos dois primeiros anos do curso de graduao. Os autores

esperam que o livro auxilie os professores a atingir este objetivo neste curso em

particular, da mesma maneira que seus outros livros-textos Mecnica Vetorial para

Engenheiros ajudam na esttica e na dinmica.Autor: Mario Moro Fecchio


97/139


CONSIDERAES FINAIS

Nesta unidade foi abordada a determinao de inclinaes e echas de vigas

isostticas sob carregamentos transversais. Os deslocamentos transversais e incli-

naes podem ser obtidos por integraes ou por meio de tabelas. Quando carrega-

das com diferentes cargas, o mtodo da superposio vem auxiliar a sua resoluo.


98/139

ANOTAES


99/139

Captulo

7

Mtodo das

forasCarina Mariane Stolz; Maria Fernanda Fvero



Determinar um conjunto de reaes e/ou esforos secionais

superabundantes ao equilbrio esttico de estruturas hiperestticas,

permitindo que as demais reaes e/ou esforos seccionais sejam

calculados com as equaes da esttica (SORIANO; LIMA, 2006).

ESQUEMA

Mtodo das Foras

Sistemtica


100/139


101/139


INTRODUO

O Mtodo das Foras utilizado para auxiliar a resoluo de estruturas hipe-

restticas, por meio da determinao dos esforos superabundantes ao equilbrio

esttico das estruturas.

Sendo assim, o primeiro passo para sua aplicao a identicao da estrutura

hiperesttica, seguido de seu grau de indeterminao esttica.

A estrutura est em equilbrio quando a resultante-fora e a resultante-momen-

to (em relao a um eixo qualquer) das aes e das reaes de apoio so nulas.

Isso matematicamente representado pelas equaes de equilbrio da esttica

(SORIANO; LIMA, 2006).

(7.1)

Quando essas equaes so sucientes para determinar as reaes de apoio

(vnculos externos) e os esforos seccionais (vnculos internos), tem-se uma es-

trutura isosttica. Quando elas no so sucientes, pois os vnculos externos e/ou

internos so superabundantes, tem-se uma estrutura hiperesttica. O nmero de

reaes de apoio e esforos seccionais superabundantes para o equilbrio denomi-nado grau de indeterminao esttica (SSSEKIND, 1980; SORIANO; LIMA, 2006).

A Figura a hiposttica, porque no tem vnculo que impea seu deslocamento

horizontal. A Figura b isosttica, pois as reaes de apoio so sucientes para


102/139

102 Captulo 7

impedir seus deslocamentos e as equaes de equilbrio tambm so sucientes

para o clculo de suas reaes. A Figura c hiperesttica externamente, porque as

equaes de equilbrio so capazes de fornecer apenas 3 das 4 reaes, logo essa

diferena o grau de indeterminao esttica da estrutura. A Figura d isosttica

externamente e hiperesttica internamente, pois as equaes de equilbrio fornecem

as 3 reaes de apoio, mas no conseguem fornecer o momento, cortante e normal

da barra interna da estrutura, logo ela hiperesttica de grau 3. A Figura e hipe-

resttica interna e externamente, pois as equaes de equilbrio so capazes de

fornecer 3 das 4 reaes de apoio, e no conseguem fornecer o momento, cortante

e normal da barra interna da estrutura, logo ela hiperesttica de grau 4.

a)Estrutura

hiposttica

b)Estrutura

isosttica

c)Estrutura

hiperesttica

externamente

d)Estrutura

isosttica ex-

ternamente e

hiperestt ica

internamente

e)Estrutura

hiperestt ica

externa e

internamente

MTODO DAS FORASSegundo Martha (2010), a metodologia utilizada no Mtodo das Foras para

analisar uma estrutura hiperesttica : Somar uma srie de solues bsicas que


103/139


satisfazem as condies de equilbrio, mas no satisfazem as condies de compa-

tibilidade da estrutura original, para na superposio restabelecer as condies de

compatibilidade (p.38).

Ou seja, a sistemtica do Mtodo das Foras consiste no seguinte:

10 Identicar o grau de indeterminao esttica da estrutura.

A estrutura abaixo possui 5 reaes de apoios dos quais apenas 3 podem ser for-

necidas pelas equaes de equilbrio no plano. Logo, ela hiperesttica de grau 2.


20Escolher um sistema principal isosttico.

O sistema principal (SP) pode ser obtido por meio da retirada das redundantes

esttica ( da estrutura hiperesttica. Exemplos de sistema principal da gura anterior

esto expostos a seguir:


104/139

104 Captulo 7


30Traar os diagramas do sistema real e sistemas virtuais.

O sistema real ( ) consiste no sistema principal isosttico com o carrega-

mento real da estrutura. Os sistemas virtuais ( ) consistem no sistema principal


105/139


carregado com um valor unitrio no local da redundante esttica ( )retirada da

estrutura hiperesttica, conforme os estados abaixo.

a) Real ();

b) Virtual 1 ();

c) Virtual 2 ().

40Calcular os deslocamentos ( ).

O clculo do deslocamento ser dado pela equao 7.2, por meio da combinao

dos diagramas dos estados (real e virtuais) e com o auxlio da tabela fornecida no

captulo 5.

(7.2)

50 Montagem e resoluo do sistema de equaes de compatibilidade de

deslocamento.


106/139

106 Captulo 7

Com os valores dos deslocamentos das combinaes possveis, inseri-los na

equao de compatibilidade 7.3 para obteno da redundante esttica ( retirados

inicialmente da estrutura hiperesttica.

(7.3)

60Calcular as reaes de apoio e traar os diagramas nais

Com as redundantes estticas da estrutura hiperesttica calculadas, restam-se

apenas os vnculos externos e internos da estrutura isosttica que podem ser facil-

mente obtidos por meio das equaes de equilbrio 7.1.

Exemplo 1 Obter os diagramas solicitantes e as reaes de apoio para a estru-

tura abaixo.

10Identicar o grau de indeterminao esttica da estrutura

As equaes de equilbrio so capazes de fornecer 3 das 5 reaes de apoio.

Logo, trata-se de uma estrutura hiperesttica de grau 2.20Escolher um sistema principal isosttico.


107/139




Conforme dito no item 1.3 do captulo 5, a contribuio da cortante e da normal

pode ser desprezada. Desta forma, neste exemplo ser considerada apenas a par-

cela do momento para o clculo das deformaes.


108/139

108 Captulo 7


deslocamento.


DM

DV


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Exemplo 2 Obter os diagramas solicitantes e as reaes de apoio para a estru-

tura abaixo.

10Identicar o grau de indeterminao esttica da estrutura

As equaes de equilbrio so capazes de fornecer 3 das 4 reaes de apoio.

Logo, trata-se de uma estrutura hiperesttica de grau 1.

20Escolher um sistema principal isosttico.


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110 Captulo 7



111/139



Conforme dito no item 1.3 do captulo 5, a contribuio da cortante e da normal

pode ser desprezada. Desta forma, neste exemplo ser considerada apenas a par-

cela do momento para o clculo das deformaes.


112/139

112 Captulo 7


deslocamento.

(a)


DM DV

FIQUE POR DENTRO

O Mtodo das Foras no o nico m-

todo para resoluo de estruturas hiperes-

ttica, existem outros, como por exemplo,

o Mtodo dos Deslocamentos. Entretanto o

Mtodo das Foras essencial para o desen-

volvimento do Mtodo dos Deslocamentos.

REFLITA

Qual a principal diferena entre os mto-

dos de resoluo de estruturas hiperesttica?

Quais desses mtodos so mais utilizados

em programas computacionais?


113/139


INDICAO DE LEITURA

Livro: Anlise de Estruturas Mtodo das Foras e

Mtodo dos Deslocamentos.

A motivao para a publicao desta Anlise de

Estruturas, em que o primeiro volume, foi disponi-

bilizar material didtico atualizado para as disciplinas

tradicionalmente denominadas Hiperestticas e/ou

Anlise de Estruturas dos cursos de Engenharia Civil.

Na linha de conhecimento, essas disciplinas vem

aps as disciplinas Mecnica (Tcnica), Isosttica e Resistncia dos Materiais.

Autor: Humberto Lima Soriano e Slvio de Souza Lima.

CONSIDERAES FINAIS

Conforme visto, o Mtodo das Foras um mtodo que auxilia a resoluo de

estruturas hiperestticas. Ele no o nico, entretanto, ele essencial para o desen-

volvimento de outros mtodos, como o Mtodo dos Deslocamentos.

No existe um clculo nico para o desenvolvimento deste mtodo. Ele varia de

acordo com o sistema principal adotado. Sendo assim, importante saber a siste-

mtica, o passo a passo, para no se perder ou se esquecer de qualquer detalhedurante sua resoluo.


114/139

ANOTAES


115/139

Captulo

8

Mtodo dos

deslocamentosCarina Mariane Stolz; Maria Fernanda Fvero



Resolver estruturas hiperestticas pelo Mtodo dos Deslocamentos.

ESQUEMA Mtodo dos Deslocamentos

Sistemtica


116/139


117/139


INTRODUO

O Mtodo dos Deslocamentos utilizado na resoluo de estruturas hiperestti-

cas. Para sua resoluo, so adotados como incgnitas, deslocamentos em pontos

estratgicos na estrutura, os quais so obtidos por meio da resoluo de um sistema

de equaes (SORIANO; LIMA, 2006).

Tais deslocamentos so denominados graus de liberdade e sua quantidade, grau de

indeterminao cinemtica. Eles so usualmente escolhidos nas extremidades das bar-

ras. Os deslocamentos dos pontos nodais no restringidos esto representados na Figura

b. Para facilitar a resoluo, despreza-se a deformao do esforo normal (Figura c).

a) Identicao dos ns e das barras.

b) Deslocamentos considerando deformao axial.


118/139

118 Captulo 8

c) Deslocamentos desconsiderando deformao axial.Fonte:Soriano e Lima (2006)

Sendo assim, na estrutura da Figura c, tem-se apenas dois deslocamentos para

determinar, o deslocamento horizontal da barra 2 ( ) e a rotao do ponto 1 ( ).

MTODO DOS DESLOCAMENTOS

O Mtodo dos Deslocamentos consiste na identicao dos deslocamentos da

estrutura analisada e na restrio dos mesmos. Tais deslocamentos sero calcula-

dos no desenvolver do mtodo.

Desta forma, o Mtodo dos Deslocamentos consiste em:

10 Escolha de um sistema principal no qual se restringe os deslocamentos

(Figura d).


119/139


5. Sistema Principal.

6. Estrutura para clculo dos esfor-

os de engastamento perfeito.Fonte: Soriano e Lima (2006)

Os deslocamentos restringidos so as incgnitas primrias a determinar (com

sentidos positivos arbitrados). O smbolo , no ponto nodal 1, expressa restrio da

rotao e o apoio do primeiro gnero restringe o deslocamento horizontal .

20Clculo dos esforos de engastamento perfeito para obteno das foras no-

dais combinadas (Figura e).

Para isso, sero utilizadas as tabelas 2.1, 2.2 e 2.3 expostas a seguir:


120/139

120 Captulo 8


121/139




122/139

122 Captulo 8


123/139




124/139

124 Captulo 8

30 Clculo dos coecientes de rigidez das barras.

7. Estado virtual 1. 8. Estado virtual 2.

Para isso, ser utilizada a tabela 2.4, anteriormente exposta, para obter os esta-

dos virtuais.

40 Montagem e resoluo do sistema de equaes de equilbrio para determina-

o dos referidos deslocamentos.

Este passo ser realizado por meio da seguinte equao:

(8.1)

o vetor das foras nodais combinadas, calculadas no estado real ( );


125/139


k coecientes de rigidez, calculados nos estados virtuais ( ;

d deslocamentos restringidos;

foras externas diretamente aplicadas segundo os deslocamentos.

50Obteno dos esforos nais.

Poder ser executado pela isosttica ou pela equao:

(8.2)

Exemplo 1 - Obter os diagramas solicitantes e as reaes de apoio para a estru-

tura abaixo.

10Escolha de um sistema principal no qual se restringe os deslocamentos.


126/139

126 Captulo 8


dais combinadas.

30Clculo dos coecientes de rigidez das barras.


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40 Montagem e resoluo do sistema de equaes de equilbrio para determina-



Sero calculados os momentos na esquerda e abaixo da .


128/139

128 Captulo 8

Com esta informao, as reaes de apoio podem ser encontradas com as equa-

es de equilbrio da isosttica.

Exemplo 2 - Obter os diagramas solicitantes e as reaes de apoio para a estru-

tura abaixo.

10 Escolha de um sistema principal no qual se restringe os deslocamentos.


129/139



dais combinadas.

30Clculo dos coecientes de rigidez das barras.


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130 Captulo 8

40Montagem e resoluo do sistema de equaes de equilbrio para determina-



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Sero calculados os momentos na esquerda e direita do primeiro e do se-

gundo .

Primeiro

Segundo

Com esta informao, as reaes de apoio podem ser encontradas com as equa-

es de equilbrio da isosttica. Em seguida, s traar os diagramas.


132/139

132 Captulo 8

FIQUE POR DENTRO

O Mtodo dos Deslocamentos, por ser

vastamente utilizado em programaes

automticas, o mtodo mais importante de

anlise de estruturas.

REFLITA

O que torna o Mtodo dos Deslocamentos

o mais utilizado em programao? Qual sua

principal caracterstica que o destaca dos ou-

tros mtodos?


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INDICAO DE LEITURA

Livro: Anlise de Estruturas Mtodo das Foras e

Mtodo dos Deslocamentos

A motivao para a publicao desta Anlise de Estruturas,

em que o primeiro volume, foi disponibilizar material di-

dtico atualizado para as disciplinas tradicionalmente

denominadas Hiperestticas e/ou Anlise de Estruturas

dos cursos de Engenharia Civil. Na linha de conhecimen-

to, essas disciplinas veem aps as disciplinas Mecnica

(Tcnica), Isosttica e Resistncia dos Materiais.

Autor: Humberto Lima Soriano e Slvio de Souza Lima.

CONSIDERAES FINAIS

Conforme visto, o Mtodo dos Deslocamentos, assim como o Mtodo das

Foras, um mtodo que auxilia a resoluo de estruturas hiperestticas.

Embora no seja o nico, o mais importante por ser vastamente utilizado em

programaes automticas.


134/139

ANOTAES


135/139

CONCLUSO

Chegamos ao nal de mais uma disciplina.

Ao longo deste perodo juntos, aprofundamos o nosso conhecimento relacionado

a estruturas isostticas e iniciamos nossos estudos em estruturas hiperestticas.

Lembre-se que voc deve sempre complementar seus estudos com livros, apos-

tilas, vdeos e demais materiais disponveis na internet ou bibliotecas, mas nunca

esquecendo de vericar a conabilidade das informaes acessadas.

O aprendizado das disciplinas de estruturas torna-se sempre mais prazeroso

quando tentamos correlacionar a teoria com situaes reais do nosso dia a dia.

Tente analisar as estruturas de edicaes, pontes e tneis quando voc caminhar

pela cidade. Com certeza esta prtica ir te surpreender.

Bons estudos!


136/139

REFRENCIAS

1. A HORA DA NET. Disponvel em: . Acesso em:

jan. 2016.

2. ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (ABNT). NBR 6120:

Cargas para o clculo de estruturas de edicaes. Rio de Janeiro: ABNT, 1980.

3. ______. NBR 7188: Carga mvel rodoviria e de pedestres em pontes, viadu-

tos, passarelas e outras estruturas. Rio de Janeiro: ABNT, 2013.

4. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell; MAZUREK, David F.; EISENBERG,

Elliot R. Mecnica vetorial para engenheiros. 9. ed. So Paulo: AMGH Editora

Ltda., 2012.

5. BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON, E. Russell, Jr.; DEWOLF, John T. Resistncia

dos Materiais. 4. ed. Porto Alegre: AMGH Editora Ltda., 2010.

6. CADTEC. Anlise Estrutural I. Notas de Aula. Princpio dos Trabalhos Virtuais.

Disponvel em: . Acesso em: jan. 2016.

7. ______. ______. Linhas de Inuncia de Estruturas Isostticas. Disponvel

em: . Acesso em: jan. 2016.

8. CHAMEKI, Samuel. Curso de esttica das construes. Rio de Janeiro: Editora

Cientca, 1956. 241p

9. DESTAK NEWS. Ponte Rio-Niteri tem trnsito lento em toda extenso.

Disponvel em:


137/139


REFRENCIAS

10. ponte-rio-niteroi-tem-transito-lento-em.html>. Acesso em: jan. 2016.

11. Exerccios de Linhas de Inuncia e Diagramas de Mximos e Mnimos.

Disponvel em: . Acesso em: jan. 2016.

12. FTOOL. Um Programa Grco-Interativo para Ensino de

Documents

TeoriadasEstruturasI