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Teoría de Resonancia

IntroducciónDefinimos como resonancia al comportamiento de un circuito con elementos inductivos y capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo circuito, y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede aparecer en todo circuito que tenga elementos L y C.Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia paralelo o en una combinación de ambos.El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias, dependiendo del circuito, pero nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una fuerte dependencia del comportamiento respecto de la frecuencia. Deviene de ello la gran importancia de los circuitos sintonizados, especialmente en el campo de las comunicaciones, en lo que hace a la sintonización de señales de frecuencias definidas o al "filtrado" de señales de frecuencias no deseadas.Genéricamente se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensión aplicada y la corriente están en fase, el factor de potencia resulta unitario.

Resonancia seriePara un circuito serie como el dibujado, la impedancia será la siguiente:

⎛ 1 ⎞Z = R1 + j⎜ωL1 − ⎟⎝ ωC1 ⎠

Si trazamos el diagrama de tensiones y corrientes del circuito, se verificará que la tensión adelantará, Atrasará o estará en fase con la corriente. Esto resulta evidente de la expresión anterior, en la cual, para algunas frecuencias se cumplirá que:

ωL > 1 ,ωC

para otras frecuencias será:

ωL < 1 .ωC

En el primer caso, se comporta el circuito en forma inductiva, en el segundo, en forma capacitiva y, además, para alguna frecuencia, se cumplirá que:ωL = 1

.ωC

Para este caso, el circuito se encontrará en resonancia, ya que la impedancia será resistiva pura.(tensiónen fase con la corriente). Este tipo de circuito se denomina también Resonante en Tensiones, dado que los módulos de las tensiones en los componentes reactivos, son iguales pero opuestos en fase y se cancelan.Los diagramas fasoriales son los que se dibujan a continuación:

0 0

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Debe observarse que cuándo, el circuito estará en resonancia, el circuito se comportará en forma resistiva pura, mientras la impedancia será sólo la resistencia del circuito, y, por consiguiente, la corriente será máxima.

Frecuencia de resonancia

Se obtiene muy fácilmente, ya que la componente imaginaria de la impedancia deberá ser nula, para que el circuito se comporte como resistivo puro. Para este caso simple, será:

Se ve en esta última expresión, que la frecuencia deω L = 1 ⇒ ω 2 = 1 ⇒ ω = 1 resonancia, será siempre la misma en la medida que noω 0C

0 LC LC cambie el producto LC.

Comportamiento del circuito según la frecuencia

si, ω 0

= 2πf0 ,

1resulta : f0 = .

2π LC

Representaremos gráficamente las distintas componentes de la impedancia en función de la frecuencia.La reactancia inductiva, XL , será pues una recta con origen en cero.La reactancia capacitiva, XC , por su parte, será una hipérbola

equilátera, es decir tendrá como asíntota horizontal al eje de las frecuencias.

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0

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También hemos graficado en la figura, la componente imaginaria de la impedancia del circuito,⎛ 1 ⎞⎜ωL − ⎟⎝ ωC ⎠Finalmente representamos el módulo de la impedancia, es decir:

Z = R 2 + X 2

Sobretensión y factor de selectividad / calidad

En los circuitos RLC serie, puede ocurrir que la tensión en los elementos reactivos sea mayor que la tensión de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la resistencia total es mucho menor que la reactancia del circuito.En resonancia se cumple que:

VC

tomemos pues para el análisis cualquiera de ellas.

= VL

VVL = ωL I , pero I =

Rpues, en resonancia se cumple que el circuito se comporta en forma resistiva pura, es decir:

Z = R .Por lo tanto, reemplazando, resulta:

donde llamaremos a:

V = ω 0 L

VL R

V ω L XQ = L = 0 = L

0 V R R

factor de selectividad o simplemente Q del circuito.Mediante un desarrollo análogo se llega, para el capacitor a:

Q = 1 = X C ω 0 CR R

Cualquiera sea la forma de calcular el Q, en resonancia el valor será idéntico, ya que XL = XC, paraω = ω0. El factor de mérito, nos indica cuánto más grande es el valor de la reactancia que el de

laresistencia. Es conveniente que los circuitos resonantes, en general, tengan un Q elevado, pues sucomportamiento será mucho más dependiente de la frecuencia en la vecindad de la resonancia. Esto sucederá cuando la resistencia sea pequeña.Los circuitos prácticos usados en sintonía en el campo de las radio frecuencias (RF), tienen valores de Q superiores a 100 en la mayoría de los casos. El factor Q se suele llamar también factor de sobretensión o también factor de calidad.Más adelante daremos una definición del Q basada en conceptos energéticos.

Admitancia [Y] cerca de la resonancia

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Prácticamente, la información más útil sobre el comportamiento del circuito a frecuencias cercanas a la de resonancia, se encuentra en la parte inferior (en forma de "V"), de la curva de la impedancia en función de la frecuencia. Por lo tanto, resulta útil representar la función inversa, es decir La admitancia.

Y = 1Z

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Además esta curva tendrá la misma forma que la de la corriente, si excitamos al circuito con tensión constante, ya que:

I = V Y

También, la parte más importante se encuentra dentro de un intervalo comprendido en ±10 % f0, dondef0 es la frecuencia de resonancia, ya que a frecuencias mayores, las variaciones son muy pequeñas.Por último, conviene explicar también que en la gráfica se toma la frecuencia en coordenadaslogarítmicas, lo cual es muy común cuando se grafican funciones de la frecuencia, ya que el espectro de los valores es muy amplio. Además aquí se tiene la ventaja adicional que el uso de coordenadas logarítmicas simetriza la curva respecto de la frecuencia de resonancia. En las figuras siguientes, observamos las curvas correspondientes al módulo y a la fase de la admitancia en la vecindad de la resonancia. Vemos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es capacitivo (fase 90°). Luego, el comportamiento capacitivo persiste pero en forma menos intensa ( circuito RC ), hasta la frecuencia de resonancia, donde el comportamiento es resistivo ( fase 0°). Luego, el comportamiento se torna levemente inductivo, a medida que crece la frecuencia respecto de la resonancia (circuito RL), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente inductivo , circuito inductivo puro (fase -90°) Refiriéndonos ahora a la curva del módulo de la admitancia, se observa que a frecuencias muy bajas, resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia capacitiva es muy alta. En resonancia, el circuito presenta la impedancia mínima e igual a la resistencia, por lo que la admitancia será máxima e igual a la conductancia

Y = Y0 = G = 1R

Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonancia, la admitancia reduce su módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, con lo cual la impedancia es también alta.Es interesante observar que si el circuito tiene una resistencia muy pequeña, la admitancia en resonancia tiende a infinito, lo mismo que la corriente. Si las pérdidas suben, sube R y, consecuentemente se reduce el módulo de admitancia en resonancia, por lo que la curva se aplasta. Resumiendo, si el Q del circuito es elevado, la curva es más aguda, mientras que si Q es reducido, la curva resulta menos aguda. En lo que se refiere a la fase, la variación de la misma es mucho más rápida a valores de Q altos. Si el factor de mérito tiende a infinito, la fase varía bruscamente, pasando de +90° a -90°. Todo esto pone de manifiesto que a valores de Q elevados, el fenómeno de resonancia se hace mucho más notorio que a valores bajos.

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Los gráficos anteriores son correspondientes al circuito dibujado y con sus valores. Veamos tambiénqué sucede si en el mismo circuito anterior, adoptamos una resistencia R1= 5 Ω, es decir 10 vecesmenor que la ya usada.

Y con la fase, vemos que varía mucho más bruscamente como lo habíamos anticipado.

⎜ R

2

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Puntos de potencia mitad

Veamos qué sucede si la componente reactiva total es igual a la resistencia del circuito.

Y = 1 = 1 , si ωL −

1 = R ⇒ Y

= 1

Z R + ⎛j⎜ωL −⎝ 1 ⎞ ωC⎟ωC ⎠

R ± jRde manera que el módulo de la admitancia valdrá:

Y = 1 = Y = 1

R 2 + R 2 Y0 2

mientras que el ángulo de fase adoptará el sig. valor:ϕ = arctg⎛ ±⎝ ⎟ = arctg (± 1) = ±450

R ⎠El doble signo, deviene por el hecho que tendremos el mismo valor para el comportamiento capacitivo (frecuencias inferiores a la de resonancia) y para el comportamiento inductivo (frecuencias superiores a la de resonancia).La potencia disipada en el circuito será en resonancia:

P = I 2 R = U 2Y 2

R0 0 0

Para los puntos en los cuales la componente reactiva es idéntica a la resistencia del circuito, tendremos:2⎛ Y ⎞ U 2Y 2 R

P = U 2 ⎜ 0 ⎟ R = 0 12 ⎝ ⎠

2

Vemos que la potencia vale la mitad que la correspondiente a resonancia, es decir

P = P0 12

2De estas consideraciones deviene el nombre de puntos de potencia mitad.El intervalo de frecuencias comprendido entre los puntos de potencia mitad, define lo que se conoce como ancho de banda de 3 dB, o simplemente ancho de banda. Este último valor es muy importante, ya que define la selectividad del circuito resonante, parámetro muy importante fundamentalmente en Comunicaciones cuando se estudian los circuitos sintonizados, ya que , en gran parte, dependerá de la selectividad, la calidad de la recepción. El concepto de ancho de banda de 3dB, surge el hecho que la potencia en los puntos de potencia mitad, cae justamente 3dB, lo cual puede demostrarse muy fácilmente, como sigue

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P12 = 1 ⇒ P12 (dB) = 10 log 1 = −3(dB)

Gráficamente resulta

P0 2 P0 2

1

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A continuación observamos el diagrama de fase.

Vemos que el ancho de banda del circuito es:BW = ∆f = f2 – f1 = 3,1 KHz – 2,7 KHz = 0,4 KHz

observándose que el circuito es bastante selectivo, ya que el ancho de banda es sólo de 400 Hz. Comoveremos en el párrafo siguiente, la selectividad está íntimamente relacionada con el valor del Q.

Relación entre el factor de selectividad en resonancia y el ancho de banda

Determinemos la frecuencia correspondiente a cada uno de los punto de potencia mitad. Para f = f1, resulta :

1ω1C1 − ω 2 LC− ω L = R ⇒ 1 = R ⇒1 ω C

2 21 − ω1 LC = ω1CR ⇒ ω1 LC + ω1CR − 1 = 0 ⇒ω 2 + ω R − 1 = 01 1

L LCSe trata pues de una ecuación de segundo grado con una incógnita, de muy fácil resolución mediante la fórmula resolvente, es decir:

Rω1 = ±2L

R 2 1+4L2 LC

En forma análoga podemos determinar la frecuencia f = f2 , haciendo:

1 L

1 1 L

ω

P

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L 1

R R R 2 1 ω 2 − =2 C

⇒ ω 2 = ±2L

+4L2 LC

Por lo tanto, el ancho de banda en término de la pulsación, resulta:∆ω = ω − ω = R + R = R ⇒ ω 0 = ω 0 = ω 0 L = Q2 1 2L 2L L ∆ω R R

O

LBW : Ancho de banda; donde BW = f 2 − f1

Q = ω 0 = f 0 0 ∆ω BW

Por lo tanto, podemos escribir:

Q = ω 0 L = f 0 O

R BWAquí se observa que cuanto mayor es el factor de mérito del circuito, menor es el ancho de banda, con lo que aumenta la selectividad.Es interesante observar que la relación anterior provee un método sencillo para la medición del Q del circuito, ya que bastará determinar la frecuencia de resonancia y las frecuencias para las cuales el ángulo de fase vale ± 45°.El concepto de selectividad define la mayor o menor aptitud que tiene un circuito para separar el resto de las frecuencias respecto de la de resonancia.

Resonancia ParaleloPara un circuito paralelo como el dibujado en la figura 1, demostraremos la equivalencia e identidad con el circuito de la figura 2 y determinaremos luego la impedancia.

Para demostrar que ambos circuitos son idénticos y equivalentes, determinaremos la Admitancia [Y] de la serie R1–L1y del paralelo RP–LP, de ambos circuitos. Las mismas deberán ser iguales.Circuito 1 Circuito 2

Y = 1 = 1 Y = 1 = 1 + 1

; siendo : 1 = − jZ R1 + jX

L

Z R jX jP

Y = 1R1 + jX L

R1 − jX L⋅ 1

R1 − jX L

Y = 1RP

− j 1X

P

(2). Igualando (1) y (2) tendremos

R1 − jX L R X LY = 1 = 1 − J 1 (1)

R1 − J X L1 = 1 − j 1

R 2 + X 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2 R 2 + X 2 R X1 L1 1 L1 1 L1

1 L1 1 L1 P LP

Dos números complejos son iguales si las partes Reales e Imaginarias resultan iguales. En efecto, los circuitos serán iguales si:

L

L

L

L

L L

1

P L

P L

L

1

P R

P

L

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R 2 + X 2

R = 1 L1 y XR1

2

R 2 + X 2= 1 L1

X1

Considerando que generalmente:

RP = R1

X L+ 1 y XR1

= R1 + XX

L1

1

X > 10 ⋅ R1 . (Se tendrá presente que R1 es la Resistencia Ohmica del conductor).

R 2

Entonces : R1y 1 serán de valor despreciable frente al otro término de la ecuación.X

1

Luego tendremos que:

X 2

R ≅ L1 y XP

1≅ X o bien: LP1

= L1

Dadas estas condiciones ambos circuitos serán idénticos y equivalentes.

Frecuencia de Resonancia

Como en el circuito serie, en alguna frecuencia se dará que:ωLP = 1 = ωLωC 1

En este caso por encontrarse ambos componentes en paralelo las corrientes por los mismos serán iguales en módulo pero opuestas en fase. Resultando éste un circuito Resonante en Corrientes. El diagrama fasorial se muestra en la próxima figura:

De la observación del mismo encontramos que, al cancelarse las corrientes reactivas entre sí, la corriente por la resistencia RP es igual a la corriente de la fuente. Luego la impedancia del circuito será:

VZ 0 = I

= VI RP

= RP

X 2

R ≅ L1

R1

Sobrecorriente y factor de selectividad / calidad

En los circuitos RLC paralelo, puede ocurrir que la corriente en los elementos reactivos sea mayor que la corriente de alimentación. Este fenómeno se aprecia especialmente en frecuencias cercanas a la de resonancia cuando la impedancia total es mucho mayor que la reactancia de los componentes del circuito.

En resonancia, como lo hemos mencionado se cumple que:I C = I

L

Luego el factor de selectividad o sobreintensidad será:V

I L I C I L X L RQ = = = = P = P

I I

entonces :

I RP V X

P

RP

RP = Q ⋅ X L = Q ⋅ X

1

0

−

−

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Impedancia cerca de la resonancia

Esta curva tendrá la misma forma que la de tensión, si excitamos al circuito con corriente constante, ya que:

V = I ZSi adoptamos para el circuito de la figura 1, los siguientes valores:R1 = 50 Ω; C1 = 150 nF y L1 = 20 mHy. I1 = 1 mALuego:

f = 1 = 1 = 2905 KHz2π LC 2π 20 ⋅10 −3 ⋅150 ⋅10 −9

−3

X L = 2π ⋅ f 0

⋅ L = 2π ⋅ 2905 ⋅ 20 ⋅10

Q = X L = 365 = 7,3

= 365 ΩR1 50

RP = Q ⋅ X L = 7,3 ⋅ 365 = 2665 ΩV = I ⋅ RP = 1⋅10 [A]⋅ 2665[Ω] = 2,66[V ]

observamos las curvas correspondientes al módulo y a la fase de la impedancia en la vecindad de la resonancia. Vemos en ellas que para frecuencias bajas, el comportamiento es inductivo (fase 90°. La tensión adelanta a la corriente de línea o fuente). Luego, el comportamiento inductivo persiste pero en forma menos intensa ( circuito RL ), hasta la frecuencia de resonancia, donde el comportamiento es resistivo (fase 0°). Luego, el comportamiento se torna levemente capacitivo, a medida que crece la frecuencia respecto de la resonancia (circuito RC), hasta que a frecuencias muy altas se torna fuertemente capacitivo; circuito capacitivo puro (fase -90°. La tensión atrasa de respecto de lacorriente de la fuente)Refiriéndonos ahora a la curva del módulo de la Impedancia, se observa que a frecuencias muy bajas, resulta que dicho módulo es muy bajo, ya que la reactancia inductiva es muy baja y la capacitiva muy alta. En resonancia, el circuito presenta la impedancia máxima e igual a la resistencia equivalente RP.Por último, para frecuencias muy superiores a la de resonancia, la impedancia reduce su módulo, ya que la reactancia inductiva es muy alta, pero la capacitiva será muy baja.Si la resistencia propia del conductor resulta menor por ejemplo R1 = 5 Ω la impedancia del circuito en resonancia crecerá en forma inversamente proporcional resultando RP = 26650 Ω. Este valor provoca uncambio importante en la tensión dado que ahora valdrá:

V = I ⋅ RP = 1⋅10 [A]⋅ 26650[Ω] = 26,65[V ]

+2

− ⎟

L C

L

C

O

2 2 2 2

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Este cambio ostensible de tensión provoca un importante crecimiento de las corrientes en los elementos reactivos. Esta corriente circulará internamente, dentro del paralelo, motivo por el cual a este tipo de circuito resonante se lo suele llamar Circuito Tanque.La relación entre BW (ancho de banda) y el factor de selectividad (Q) para el circuito paralelo resulta ser la misma que para el circuito serie.

Q = ω 0 L1 = f 0

R1 BW

Aquí observamos que cuanto menor sea la resistencia del conductor que forma la bobina, mas selectivo será el circuito.

Un caso general de resonancia paraleloEn el próximo circuito la admitancia entre los terminales 1-2, resulta:

Y = YL + YC = 1 + 1 ;

RL + jX L RC − jX COperando algebraicamente tendremos :

Y ⎛ R L RC ⎞ ⎛ X

j C

X L ⎞= ⎜ ⎟ + ⎜ 2 2 2

⎝ RL + X L RC + X C ⎠ ⎝ RC + X C RL + X L ⎠El circuito se encontrará en resonancia cuando la admitancia resulte unnúmero real. Luego: X C = X L ; reemplazando y resolviendo.2 2 2 2RC

+ X C

1

RL + X L

⎛ 1 ⎞(R 2 + ω 2 L2 ) = ω L⎜ R 2 + ⎟ω C

L 00 ⎜ C ω 2C 2 ⎟

0

ω = 1 0

LC

⎝ 0 ⎠R 2 − L L CR 2 − L

C CCada uno de los cinco parámetros puede variar para obtener la resonancia. Además, las raíces deben ser siempre un real positivo, luego habría resonancia cuando:

a) R 2 ⟩ LC y R 2 ⟩ L

ó C

R 2 ⟨ LC y R 2 ⟨ L ;C

de no cumplirse una u otra situación, resultará una pulsación imaginaria (raíces complejas), donde no existirá valor de L ó C que satisfaga la condición de resonancia. Para una determinada frecuencia de la fuente, puede obtenerse la condición de resonancia, variando:

L, C; RL y RC

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pero, al modificar uno de los parámetros para lograr el efecto de resonancia, ésta no se alcanzará para cualquier valor de los restantes. Al variar L ó C y para determinadas relaciones de los restantes parámetros, son posibles dos frecuencias donde se ha de cumplir la condición de resonancia, debido a que se logra formar una ecuación de segundo grado para L y C.Otros casos particulares serán:

2 2 1 b) RL = RC ≠ L C

; ω0 = y,LC

c) R2 = R 2 = L ; ω = 1 0 ; donde, el circuito podrá resonar a cualquier frecuencia.L C C 0

LC 0

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Proceso energético puesto en juego en la resonancia

a) En el caso de RL = RC = 0, la corriente “I” por el paralelo resulta cero, no hay transferencia de energía al resto del circuito, solo se intercambia entre la bobina y el capacitor (intercambio entre campo eléctrico y magnético).

b) Si alguna de las ramas tiene una componente resistiva distinta de cero, la corriente resultante deja de ser cero (I > 0) y se transfiere energía al circuito. En el circuito paralelo la sumatoria de energía puesta en juego por los campos magnéticos y eléctricos no es una constante. Existen momentos en el que la fuente entrega energía al circuito y otros en los que los campos eléctricos y magnéticos disipan su energía en las resistencias como efecto Joule (calor), no retornando energía a la fuente dado que la corriente resultante iL está en fase con la tensión uC. El valor instantáneo de la potencia “P” es siempre mayor que cero observándose además que el factor de potencia fp = 1.

c) Si IC adelanta π/2 respecto de IL, la tensión UC estará en fase con IL de manera que la tensión en el capacitor y la corriente de la bobina pasan por cero o máximo simultáneamente; las energíasde los campos están en fase, la energía en la bobina alcanzan el máximo y/o mínimo simultáneamente no efectuándose intercambio de energía entre los campos. Al producirse el efecto descrito, la fuente entrega energía almacenándose simultáneamente en la bobina y el capacitor, luego y simultáneamente al bajar uC e iL, la energía se disipa en las resistencias. El proceso descrito no se manifiesta cuando:

R 2 = R 2 = LL C C

Energía en un circuito resonante serie/paralelo

m

C C

m C

=

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En el cuadro de ecuaciones se demuestra que la energía puesta en juego es equivalente a la energía máxima puesta en juego por la bobina o el capacitor.

i = I m senωt; u

C = U

Cm sen(ωt − π

2 ) = −U

Cm

cosωt

El circuito resonante paralelo tiene similitud al circuito serie, pero su

WL = 1

Li 2 =2

1 LI 2 sen

2ωt;2

WC = 1

Cu2

21 2

2 Cm

cos2 ωtcomportamiento es totalmenteopuesto al circuito paralelo; éste, tiene alta impedancia en resonancia

UCm = I m ;ωC

1

Luego :

1

mientras que el serie tiene alta admitancia. Los diagramas aparentan

1 ser iguales pero las corrientes

= 2 ⎛2ω + 2 ω ⎞ ω 2

WT I m ⎜ Lsen

2 ⎝ t cosω 2C

t ⎟;⎠ Para resonancia 0 =LC

reemplazan a las tensiones. Portanto, como se ha visto, la curva de

W = 1 I 2 (Lsen2ωt + L cos2 ωt ) = 1

I 2 L(sen 2ωt + cos2 ωt ) resonancia dibujada en admitancia

T

WT =

2 m

1 I 2 L =

2

1 2

2 Cm

2 m 1 4 44 2

4=1

4 43 “Y” para el circuito serie, representala impedancia “Z” de resonancia en paralelo. También resulta que la energía almacenada permanece constante.

ConclusiónLa apropiada ubicación de los circuitos estudiados, además de la correcta elección de los componentes, permitirá diseñar FILTROS y TRAMPAS para las frecuencias elegidas, canalizando las mismas por el camino deseado aprovechando el concepto de selectividad anteriormente descrito; mejor será la separación de cada una de las frecuencias, cuanto mayor sea el factor de selectividad adoptado.

Ing. Cocco Julio C.Departamento de Ingeniería EléctricaUTN. FRRO Enero de 2006